DIE DIFFERENTIAL- UND INTEGRAL-
GLEICHUNGEN
DER MECHANIK UM) PHTSIK
ZWEITER (PETSIKALISCHEB) TEIL
Herausgegeben von
DR. PHILIPP FRANK
2 VEBMEHRTE AUPLAGE
SBUCE U»D YEBLAC TON VBIBDR. T1EWEG A SOHIT AIT. GE8.
BRAUNSCHWEIG, 1936.

Ф. ФРАНК к *, KS3BC
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ и ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ Л. 9. ГУРЕВНЧА
I
ОНТИ. ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОВЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД 1887. МОСКВА

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ ИЗДАТЕЛЯ К ПЕРВОМУ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая книга не есть учебник теоретической физики, она имеет
дело только с „медленно меняющейся" частью ее, являющейся промежуточным
звеном между системой гипотез и олытом и представляющей собой необходимое
орудие в самых различных ее областях. Теория возмущений, разработанная
Лапласом и Лагранжем для вычисления влияния одних планет на орбиты дру-
других, оказалась полезной в применеиви в стоЛь важному в квантовой теории
спектров изменению энергии атомов в электрическом поле, приводящему
к Штарк-эффекту. Методы, открытые Фурье в его теории теплопроводности,
Эйнштейн и СмолуховскнЙ применили почти бее изменений к выводу законов
броуновского движения при различных внешних условиях. Введенные Далам-
бером, Эйлером и Пуассоном методы вычисления собственных колебаний струн
и мембран применяются в волновой механике Шредингера для определения
стационарных состояний атомов. Наконец, теория потенциала, созданная Ла-
Лапласом- и Гаусоом, Кошн и Риманом, в наше время нашла применение, между
прочим, к вычислению поддерживающей силы самолета.
Было бы большой ошибкой Предполагать, что область собственно „матема-
„математической физики", как мы можем ее назвать, употребляя старый термин,
играет, в противоположность миру гениальных гипотез, на которых основана
теоретическая физика, лишь подчиненную роль. Наоборот, большинство гипотез
высказывалось таким образом, что можно было воспользоваться уже готовым
математическим аппаратом и при его помощи привести их в связь с опытом.
Уже разработанные теории математической' физики часто побуждали фантазию
и приводили таким образом к открытию гипотез. Не будем уже говорить
о многочисленных теориях, которые в той'или иной форме используют схему
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами или
уравнения потенциала, схему, которая предпочтительна потому, что все ее
математические следствия хорошо известны. Но уже в наше время гамильтонова
аналогия между световыми лучами и траекториями частиц, так же как и свя-
связанная с ней теория интегрирования Гамнльтона-Якобй привела Шредингера
к его новой волновой механике, представляющей собой по существу превраще-
превращение формальной аналогии в физическое представление.
Для того чтобы, несмотря на сотрудничество многих авторов, обеспечить
за книгой характер учебника, а не справочника, мы придерживались, поскольку
было возможно, следующих принципов.
Стремление/давать не рефераты о теориях, а только полностью проделан-
проделанные выводы и вычисления, осуществлялось тем, что материал ограничивался во
многих отношениях. Прежде всего, мы отказались от подробного исследования
физических гипотез, так же как и от сравнения результатов вычисления с опы-
опытами, ограничиваясь в основном лишь собственно математической. „промежу-
„промежуточной областью"; при этом й большинстве случаев исключались также все
приближенные методы, чем достигалось некоторое единство целого. Мы не
стремились также к полноте, но везде давали характерные примеры применения
различных математических методов. Ссылки на литературу имеются лишь в тех
случаях, когда речь идет о работах, результаты которых еще не вошли в обыч-
обычные учебники. В конце же отдельных частей или глав имеются краткие указа-

6 Из предисловия автора к первому немецкому изданию
тели учебников, которые по рассматриваемый (ШьЩклщаи вопросам содержат
больше материала, чем предлагаемая книга. ••-*:v;i---r.:>;. , - .
Выбор подробно излагаемых проблем определялся следующими моментами.
Во-первых, возможность иллюстрировать па физических примерах понятия
новейшей математики, как, например, касательные преобразования, интегральные
инварианты, пространства Римана, задачи о собственных значениях, инте-
интегральные уравнения. Во-вторых, свявь с современной теоретической физикой,
например, с броуновским движением, теорией излучения и т. д. В-третьих,
необходимость рассиотрения примеров, имеющих значение для технических при-
применений. В частности, было обращено внимание на области, наиболее суще-
существенные для современной техники, как, например, теория самолетов, усилители,
беспроволочная телеграфия, токи в земле.
Что касается отношения предлагаемой новой обработка в веберовской обра-
обработке лекций Римана, то мы стремились не к возможно большему внешнему
сходству с пей, а к тому, чтобы для нашего времени выполнить ту задачу,
которую Вебер так мастерски разрешил для своего. Ч
... (Необходимость значительных изменений по "сравнению с изданиями
Вебера) мы можем кратко резюмировать теми же словами, которые Г. Вебер
предпослал в 1900 г. своему первому изданию лекций Римана:
„... Таким образом, несомненно, что неизмененное или немного изме-
измененное издание этих лекций является совершенно неуместным, если мы хотим,
чтобы книга имела не только историческое значение... Поэтому пришлось
предпринять полную переработку ее..."
Каждый физик нашего поколения может вспомнить, что нри появлении
первого веберовского ивдания многие читатели с сожалением вспоминали
о „наглядно-фивическом" характере лекций Римана (в издании Хаттендорфа)
по сравнению с „математически абстрактным" характером книги Вебера. Нет
сомнения, что многим издание Вебера будет теперь каваться „фивически"
наглядным, а предлагаемая книга — „математически абстрактной".
Но развитие книги есть не что иное, как отражение развития самих
физико-математических наук, представляющего собой несомненный факт.
'Филипп Франк

ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Предлагаемая книга является одной ив немногих в фтаике книг, имеющих
большую, именно, более чем полувековую историю. В 1876 г. она появилась
как лещии одного ив величайших математиков XIX века — Римана (Riemann):
„Vorlesungen tiber Schwere, Elektrizitut und Magnetismus", в обработке Хаттен-
дорфа (Hattendorf). Через 24 года —в 1900 г. Г. Вебер (G. Weber) издал
новую обработку лекций Римана, которая выдержала ряд изданий и стала
чрезвычайно популярной. Наконец, в 1927 г. Ф. Франк (Ph. Frank) и Р. Мивео
(R. Mises) предприняли издание книги, которая была названа 7 ивдапием книги
Римана-Вебера и которая по мысли издателей должна была иметь то же зна-
значение, какое для своего времени имели лекции Римана. От первоначальных
лекций в пей, разумеется, ничего не осталось. Книга была разделена на две
части: общематематическую и прикладную (физическую). Вторая часть (на
первой мы не будем останавливаться, так как она не вошла в русское издание)
должна была обнимать всю область математической физики. Задача эта, которая
была по силам одному человеку во времена Римана, ^стала много сложнее
в наше время. Поэтому книга была нанисаиа целым рядом авторов'. Это обстоя-
обстоятельство значительно изменило ее характер. В то время как обе первые обра-
обработки лекций Римана представляли собой единую систему математической
фивики, книга Франка и Мивеса есть немногим более чем совокупность статей
по всем намеченным областям. Мы не могли ставить себе задачу переработки
всего этого колоссального материала с целью его объединения с единой точви
зрения; это была бы совершенно непосильная работа. .
Русский перевод был сделан с первого немецкого ивдания. Первая (обще-
(общематематическая) часть его не была переведена, так как при ряде ее достоинств
она все же не 'столь необходима; имеется Курант и Гильберт „Методы матема-
математической физики" и ряд книг и монографий, посвященных отдельным вопросам
математической физики. Издание русского перевода сильно задержалось, и за
это время успело выйти второе немецкое издание. Оно отличается от первого
добавлением главы, посвященной аналогии оптики и механики, й раздела,
посвященного волновой механике; далее'—тем, что заново написана другими
авторами статья по гидродинамике; наконец, многочисленными более мелкими
дополнениями и исправлениями текста.
Русское ивдание несколько отличается как от первого, так и от второго
немецкого ведений. Прежде всего статья Кармана по теории идеальных жид-
жидкостей была, по инициативе В. А. Фока, заменена статьей М. Лагалли (М. Lagally)
ив VU тома „Handbuch der Physik"; Карман — большой ученый, тем не менее
его статья была написана небрежно, чем и объясняется замена. Необходимость
изменений в этом разделе была, между тем, независимо от нас, пригнана в
немецкими издателями, которые во втором издании заменили прежние статьи по
гидродинамике новыми.
Далее, нам пришлось по ряду причин отказаться от включения в книгу,
добавленной во втором немецком издании шестой части, посвященной волновой
механике. Прежде всего эта статья очень мало связана с остальным материалом
книги. Квантовую фивику нельзя рассматривать просто как пример на опреде-

8 От редакторов
ление собственных колебаний, и попытка уложить ее в рамки этой кнвив привела
к мало удачному комиромиссу. Статья Г. Бека содержит много общего .^мате-
.^материала, которому место в учебнике, а не в книге, предназначенной для читателя,
уже знаквмого с физикой. Материал, представляющий специально математи-
математический интерес, в ней очень неполон. Для того чтобы дать полное предста-
представление хотя бы только о математической стороне квантовой механики, потре-
бовалось бы гораздо больше места, что сделало бы книгу чрезмерно громоздкой.
А так как к тому же статья Г. Века есть далеко не лучшее изложение квантовой
механики, то иы решили ограничить рамки книги классической математической
Остальные дополнения ко второму немецкому изданию внесены в русское
издание. Кроме того, оно содержит ряд добавочных статей: статья К. В. Меди-
Медиков а о касательных преобразованиях; глава, посвященная теории распростра-
распространения колебаний в упругих телах, написанная С., Л. Соболевым; наконец,
статья В. А. Фока о распространении электромагнитных волн вдоль .земли,
в которой содержится исправление вычислений и выводов А. Зоммерфельда-
Последнее сделано с согласия автора, частично использовавшего во втором
немецком издания указания В. А. Фока. \
Мы думаем, что даже при наличии отмеченных выше недостатков книга
будет несомненно полевна советским фиэикам и инженерам, как первая книга,
содержащая подробное и охватывающее все области изложение методов решения
конкретных вадач классической математической физики.
В написания, переводе и редактировании перевода книги принимали
участие следующие лица:. г
I часть (см. оглавление) написал Ф. -Франк (Ph. Frank), дополнение —
К. В. Меликов; неревели: гл. I — К В.Солодовников, гл. II—Vl—Л. Э. Гу-
р е в и ч; редактировали перевод: гл. I — Л. Э. Г у р е в и ч, гл. II—VI •— К. В. М е-
ликов.
II часть, гл. VII—IX написал Е. Т р е ф ф ц (Е. Trefftz), гл. X — М. Лагалли
(М. Lagally), гл. XI — Факсен Ш. Рахёп) и К. В. Овеен (С. W. Oseen), .
гл. XII — С. Л. Соболев; перевел гл. VII—XI — О. М. Тодес; редактировали:
гл. VII—IX Н. И. Мусхелишвили, гл. X—XI —В. А.Фок, гл. XII —
Л. Э. Гуревнч.
III часть написал Р. Фюрт (R. FUrth), перевел С. В. Ив май л о в, ре-
редактировал Ю. А. Крутков. **
IV часть написал Ф. Нот ер (F. Noether), перевел Л. Э. Гуревич, ,
редактировал М. П. Вройнштейн.
V часть написал А. Зоммерфельд (A. Sommerfeld), дополнение —
В. А. Фок; перевел В. С. Сорокин; редактировал — В. А. Фок. Ряд мелких
добавлений и изменений текста во втором немецком издании переведен Соло-
довниковым. Общая редакция книги выполнена Л. Э. Гуревич ем.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ОПТИКА
ГЛАВА I
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
§ 1. Световые лучи и волновые поверхности в любых телах
1. Однородные изотропные тела. В геометрической онтике рассматривается
только одна определенная сторона оптических явлений. Если к моменту t0 све-
ювое возмущение успело распространиться до известной поверхности Fo, назы-
называемой волновой поверхностью, относящейся к моменту t0, то задача геометриче-
геометрической оптики состоит в том, чтобы ответить на вопрос: в какую поверхность Ft
перейдет эта волновая поверхность к моменту tv вследствие распространения
света. Кривые, описываемые отдельными точками волновой поверхности при ее
перемещении, называются световыми лучами. Обозначим через v скорость
распространения светового возмущения вдоль этих лучей или лучевую скорость,
а скорость v) перемещения волновой поверхности в направлении, нормальном к ее
положению в данный момент, назовем волновой скоростью. Таким образом,
задача геометрической оптики состоит в вычислении пути световых лучей и пере-
перемещения волновых поверхностей в предположении, что оптические свойства среды
заданы. Геометрическую оптику интересует лишь одна сторона явления, а именно,
величина лучевой скорости в каждой точке среды в любом направлении.
1 Условимся определять точку среды при помощи радиуса-вектора г с соста-
составляющими х, у, з, в покоящейся прямоугольной координатной системе, а любое
направление в этой точке — при помощи единичного вектора s с составляющими
sx, sv, s8. Тогда среда является оптически определенной в смысле геометрической
оптики, если нам вадана величина v как функция от г и s, т. е. зависимость
вида:
A) v — v (г, S) = v (ж, у, z\ $х, sy, sz).
В том случае, когда v не зависит от направления s, а зависит только от г,
тело называется изотропным г). Если, кроме того, v имеет одно и то же зна-
значение во всех точках тела и, следовательно, величина г также не входит в функ-
функцию, то тело называется однородным. Значение этой постоянной скорости в пустоте
мы будем обозначать черев с. Распространение светового вовмущения в пустоте
или в каком-нибудь однородном изотропном теле можно изучать, сделав простое
предположение, что световые лучи распространяются но прямым линиям. Если
нам вадан пучок световых лучей, в котором через каждую точку проходит только
один луч, то каждому значению г соответствует некоторое значение единичного
вектора луча 8. Следовательно, такого рода пучок можно описывать при помощи
х) См. A. Sommerfeld und J. Runge, Ann. d. Phys. 36, 1911, 277.

10 Классическая механика и геометрическая оптика
функции s = s (г). Исследуем прежде всего тот случай, когда функция 8 (г) опи-
описывает пучок прямых линий.
Обозначим черев do элемент дуги кривой; если кривая совпадает с лучом
света, то функция должна иметь вдоль всей кривой постоянное вначепие, т. е.
ds ,
B) -тг = 0: da =
Вводя векторные обозначения, можно выразить производную от' s (r) по эле-
элементу дуги также следующим образом:
C) -^ =(SV)s(r).
Эту формулу легко привести к более удобному виду, если воспользоваться
соотношением
(8а) grad (ab) = V (ab) = (а V) b +'(b V) a -f (a X rot b) -f (b X rot a),
где а (г) и b(r) обозначают произвольные векторные поля.
Полагая в этой формуле a = b = s(r) и принимая во внимание, 4toss = 1,
откуда следует, что градиент равен нулю, мы получим из (За)
D)
и следовательно, согласно C):
E) (rotsXs) = O. '
Так как s(r) есть единичный, вектор, то величина ds представляет собой
не что иное, как угол между касательньши к двум соседним точкам кривой. Частное
от деления этого угла на элемент do дуги кривой есть, как известно, вектор кри-
кривизны к (г), направление которого совпадает с направлением главной нормали,
а абсолютное значение равно обратной величине радиуса-вектора. Если при
помощи s(r) описывается произвольный пучок кривых, то на основании уравне-
нения D) мы будем иметь:
ds
F) к (г) = -^ = (в V) s (г) = (rot s X s).
Световые лучи, следовательно, характеризуются также тем, что к = 0.
Очевидно, что один ив способов удовлетворить уравнению E) заключается
в предположении, что
G) rot 8 = 0.
В этом случае, как известно, существует некоторая скалярная функция S (г),
обладающая тем свойством, что
(8) s = grad S (г).
Обозначая изменение функции S при изменении г на 8г через Ъ8, мы получим
(9)
Рассмотрим семейство поверхностей S(r) = 8(х, у, г) = const и предположим,
что 8г лежит в касательной плоскости к одной иэ поверхностей, тогда 8$ = 0, и
уравнения (8) и (9) показывают, что s перпендикулярно к поверхности S (г) = const,
т. е. рассматриваемый пучок световых лучей пересекает поверхность S=c под
прямым углом к ней и, следовательно, он образует так называемую нормальную
конгруэнцию прямых. Если мы перейдем вдоль светового луча, т. е. вдоль напра-

I, § 1 Световые лучи и волновые поверхности в любых телах 11
вления, перпендикулярного к поверхности, к соседней поверхности, для которой
функция S отличается от первоначального значения на %S, то согласно (9)
A0) 8S=|er|-|gradS|.
Так как s есть единичный вектор, то в силу соотношения (8)
|—!¦-(§ )"+(? )'+(? )'-• •
Отсюда, на основании A0), получим
A2) »8^
т. е. расстояние по нормали между двумя соседними поверхностями имеет вдоль
всех лучей одно и то же абсолютное вн*ачение. Таким образом, если световое
всшущение распространяется от некоторой • поверхности S(r) = S к некоторой
другой поверхности S(r) = St,TO, интегрируя A2), мы получим, что^ — So есть
расстояние по нормали между обеими поверхностями. Поверхности 8= const
называются волновыми поверхностями. Их можно найти, интегрируя уравнение
в частных производных A1), которое называется уравнением эйконала.
2. Принцип Ферма и световые лучи. При переходе к произвольной среде
мы должны вместо постоянной скорости света рассматривать более общую зави-
зависимость, выражаемую уравнением A). Функция v (г, в) определена только для
таких значений sx, sy, s8, которые удовлетворяют условию: s^2 -]- ss2 -J- s,2 = 1. Мы
примем, что функция v задана в виде аналитического выражения, обладающего
частными производными по своим аргументам. Мы увидим, что в -этом случае
любой зависимости функции « от г и я световые лучи не будут перпендикулярны
к волновой поверхности и мы уже не имеем прав? считать, что они прямоли-
прямолинейны.
Элементу волновой поверхности, содержащему точку г, мы сопоставим еди-
единичный вектор п, нормальный к этому элементу поверхности.
Тогда волновая скорость w будет равна проекции лучевой скорости на напра-
направление п. Следовательно, если s есть направление лучей, то для w мы получаем
соотношение:
A3) t» = w(r, s)sn.
Предположение о прямолинейности лучей света уступает место принципу
Ферма, согласно которому лучи распространяются таким образом, что световое воз-
возмущение попадает из какой-нибудь точки Ро в другую точку Pv лежащую' в напра-
направлении распространения луча, в течение кратчайшего из возможпых промежутков
времени. Если элемент пути луча обозначить через do, то для прохождения этого
расстояния свет будет затрачивать .время, равное —. Обычно, вместо этого вре-
времени вводится ход луча, т. е. произведение постоянной с, представляющей собою
скорость света в пустоте, на время, которое необходимо для юго, чтобы свет
успел распространиться от точки Ро к точке Pv Для хода луча S мы получаем
выражение:
р, р,
A4) 8= f
где через jx обозначен коэффициент преломления среды,
A5) [х = —.

12 Классическая механика и геометрическая оптика
Мы можем задать каждую кривую, представляя г, а следовательно и х, у, z как
функции некоторого параметра и.
Вводя для производных этих величин обозначения:
,,„¦. . &г , &х , dy , д.г
A6) г'= -5-; х' = -Г-\ у' — -?-; ^ — -г-,
4 du du du ¦ xdu
мы получим *
A7) А, = /*'• + •«+•" Л;
и
A8)
причем - ,
A9) F(x,y,2,x',y\2') '
F(x,y,2,x,y\2)= /fa Т, ;s, =
V (X, у, S, Sx, Sy, 8г)
Так как v, согласно A7), имеет нулевой порядок однородности относительно х\
у', а?, то функция F, определяемая формулой A9), представляет собою однород-
однородную функцию первого порядка относительно х\у',г'. Следовательно
Мы можем представить это уравнение в векторной форме при помощи сим-
символического вектора V. Так как Ъ вависит от двух векторов г и г', то этот опе-
оператор можно выразить как черев компоненты г, так и черев компоненты г'.
В последующем изложении мы всегда будем обозначать символом ve оператор,
применение которого означает дифференцирование ио составляющим вектора а.
dF dF dF
Так например, VrF есть вектор с составляющими -^—, -г— , -т—, a Vr. F —
вектор с составляющими .-7Г-7- и х. д. Таким образом мы можем переписать урав-
уравнение B0) в следующем виде:
B1) F=r'(Vr,F).
Так как выражение Vr. F1 очевидно имеет нулевой порядок однородности относи-
относительно x',y',z', то его -можно выразить при помощи единичного вектора s; мы
запишем это в виде соотношения
B2) V^^pO-.s).
Если функцию F выразить черев j* при помощи формулы A9), то функцию р (г, s)
можно найти в явном виде.
Именно, дифференцируя F по ж', мы получим:

J, § 1 Световые лучи и волновые поверхности в любых телах 13
так как, согласно A7),
+ '» Й 1 а У *
то, произведя подстановку, мы будем иметь:
dF , да
или наконец в векторной форме
B3) p(r, s) =
С помощью этой формулы каждому вектору s в рассматриваемой среде
можно привести в соответствие вектор р (г, s).
Для этих векторов, согласно B3), мы получаем следующее соотношение
B4) (s, р (г, в)) = (ss) р. (г, s) + (s V. р) A — (ев)).
Если в частности s есть единичный вектор, то
B5) u (rs) = sp (г, s),
что непосредственно вытекает также из B1).
Если для световых лучей интеграл A8) обращается в минимум, как тре-
требует принцип Ферма, то, как известно из вариационного исчисления, лучи должны
удовлетворять дифференциальным уравнениям Эйлера.
Эти уравнения в применении в световым лучам принимают вид:
B6) -E-OL^JUL- JL OIL =*!!?-.. d dF — dF
du da/ dx ' du ду' ду ' du дг' да '
Если мы хотим представить эти уравнения в векторной форме, то лучше
всего воспользоваться вектором р(г, s), соответствующим единичному вектору s
и определяемым уравнением B3). Выражая F через а при помощи уравнения A9),
мы получим из B6) и B2), принимая во внимание A7), уравнение светового
луча-в следующем виде:
B7)
Операция дифференцирования в первом члене здесь означает производную
по элементу дуги искомой кривой. Мы припишем каждой точке пространства
единичный вектор s при помощи соотношения s = s (r). Благодаря атому все
пространство окажется заполненным семейством или конгруэнцией кривых. На
основании соотношения s — s (г) каждая функция <р (г, s) может быть преобразо-
преобразована в функцию, зависящую только от г, которую мы обозначим через <? (г).
Например
B8) ^ (г, s (г)) = ^Г(г); p(r,s(r))==?(r).
Таким образом, каждое поле единичного вектора s (r) определяет поле соответ-
соответствующего векторар (г). С его помощью уравнение светового луча B7) может быть
. представлено также в виде:
B9) (¦ V») ?(г) — Vr V- (г, s) = О.

14 Классическая механика и геометрическая оптика
Уравнение B9) представляет собою целую конгруэнцию лучей и в рассма-
рассматриваемом случае заменяет уравнения B) и C), имеющие место в случае одно-
однородных изотропных тел.
Если левую часть уравнения B9) обозначить через к, то семейству кри-
кривых s (г) будет соответствовать векторное поле к (г), которое в каждой точке про-
пространства, аналогично F), определяет „вектор кривизны" кривой „в отношении
световых лучей в среде, характеризуемой показателем преломления р(г,в)"; при
этом сами световые лучи изображаются кривыми с иочезающе малой кривизной
(k(r) = O). Можно наглядно представить поле к (г), если вместо |х(г, s) подста-
подставить его значение из B5). Подставляя в это уравнение вместо s произвольно
выбранное семейство кривых s(r), мы получим:
C0)
Применим теперь к обеим частям уравнения C0) оператор V,. При этом,
согласно уравнению B8), мы должны принять во внимание, что величины р и р
содержат переменную г как явно, так и неявно (вследствие зависимости единич-
единичного вектора s от г). Найдем составляющую вектора Vrt*B направлении оси ОХ:
C1) д<* ^_ а1* I fy ds, . ду. д$я . ду. ds,
дх дх "*" dsx дх "•" dsf дх •"¦" ds, дх *
или в векторной форме
C2) У,^(г) = Уг(*(г,8)Н- Vr(sVi(t).
Применяя оператор V,» нужно помнить, что от г еавиоит только в, а не V,!*.
Произведя простое векторное преобразование правой части уравнения C2), мы
получим ч
C3) Vr9(r) = Vrt* (г, s) + (V>Vr) s + (Vsl* X rot s (r)).
При этом применена формула а X (b X с) = b (ас) — с (ab), в которой векторы
а, с и b заменены величинами У„Нч s (г) в символическим' вектором vr-
Для вычисления Vr(s(i')F(I>)) служит векторная формула (За), в которой а
и b заменены через s (г) и р"(г). Таким образом, мы подучаем:
V, (я (г)"р (г)) = (s Vr)?(r) + 6 Vri s (г) +
C4) + (S (г) X rot p>)) -f ( р (г) X rot s (г)).
Из равенства C0) вытекает, что правые части уравнений C3) и C4) должны
быть равны. Если, кроме того, вместо р подставить его выражение, вытекающее
из B3) и B8), и принять во внимание D), то мы найдем, что
C5) (s Vr) P>) — Vr v- (г, s) = rotf(r) X s (г).
Полученное соотношение справедливо для всякой конгруэнции кривых, заданной
при помощи ноля s(r) единичных векторов, а также для сопряженного с ней по
уравнению B3) векторного поля, соответствующего среде с коэффициентом прелом-
преломления {1 (г, s). Поэтому вектор крививны к (г) кривых поля s (г) по отношена»
к световым лучам в рассматриваемой среде определяется соотношением:
C6) "k(r) = iT

I, § 1 Световые лучи и волновые поверхности в любых телах 15
Если это выражение обращается в нуль, то конгруэнция кривых предста-
представляет световые лучи. Таким образом, уравнение C6) при к == 0 есть дифферен-
дифференциальное уравнение семейства световых лучей, зависящего от двух параметров.
3. Световые лучи и волновые поверхности J). Уравнение траектории
световых лучей можно вывести не только* из принципа Ферма,, но и ив другого
принципа, не содержащего вариации интегралов, а рассматривающего возбужде-
возбуждение света в одной точке пространства. Этот вывод обладает тем преимуществом,
что он позволяет одновременно определить траекторию световых лучей и распро-
распространение волновых поверхностей.
Этот принцип гласит: „Элемент волновой поверхности, положение которого
определяется единичным вектором п', имеющим направление нормали, переме-
перемещается вдоль светового луча в направлении s, соответствующем наибольшему
значению волновой скорости, определяемой уравнением A3)". В силу A3) и A9)
мы имеем:
•C7) -^- =
Следовательно, нам нужно найти такой единичный вектор s, при котором правая
часть уравнения C7) имеет минимальное значение. Тогда, если удовлетворяется
добавочное условие ss = 1, то производные этого выражения по составляющий s
должны4 равняться нулю, т. е. в векторной форме:
где X есть некоторый множитель, определяеиый из добавочного условия. Выполняя
операцию V,, мы получим:
C8) Z^._J^ +2Xs==0.
sn' (sn')a
Умножая это уравнение свалярно на s, мы можем найти X. Действительно,
так как 88 = 1, то
C9) гх^-Л-д^-ву^].
SI1
Соотношения C8"), C9), C7) приводят к следующему окончательному ревуль-
тату;
D0) -^-n/=^(r,s)-s + V,l*
Отсюда видно, что выражение —-и' есть вектор, „соответствующий" еди-
единичному вектору s светового луча в смысле уравнения B3). Следовательно^
пользуясь обозначениями формул B1) и B3), можно также написать:
D1) p(r,s) = ^n'.
При помощи уравнения D0) можно вычислить направление светового луча
и волновую скорость для каждого элемента волновой поверхности, заданного его
положением и нормалью, т. е. векторами г и п. Уравнение D0), совместно с ура-
уравнением 88 = 1, представляет собой систему четырех скалярных уравнений
*) Ph. Frank, Lichtsrahlen trad WeUenflachen in allgemein anisotropen Medien. ZS.
f. Phys., 0, 1933.

16 Классическая механика и геометрическая оптика
с четырьмя неизвестными. Простой способ нахождения этих неизвестных состоит
в следующем. Прежде всего решим уравнение D0) относительно s. При этом мы
найдем соотношение вида
D2) . s =
Если и. есть однородная функция первого порядка относительно составляю-
составляющих 8, а следовательно, р — однородная функция нулевого порядка оаноситедьно
этих величин, то, решая уравнение D0), мы получим только два соотношения
между sx, ss, s4; в этом случае Y не имеет определенного значения и дальнейшие
соображения неприменимы. Как поступать в этом случае, показано на примере,
приведенном в § 3, 3.
Векторная функция Y (г, п) на основании равенства ss = l должна удовле-
удовлетворять соотношению:
D3)
Очевидно При помощи уравнения D3) можно вычислить w как функцию
от г и п, т. е. действительно приписать каждому элементу волновой поверхности
свою волновую скорость. Подставляя найденное выражение для w в формулу D2),
легко найти направление s светового луча.
Введем теперь вектор:
D4) п = ^-п',
который мы назовем вектором нормали, соответствующим рассматриваемому
лучу.
Согласно D3) он удовлетворяет уравнению Y(n)Y(n) = l, которое можно
переписать и в другом виде. Действительно, так как s есть единичный вектор,
то, умножая обе части уравнения D0) скалярно на s, мы получим уравнение:
D5) Иг, я) — ns = jA(r, Y(r,a))— nY(r,tt) = 0,
позволяющее, так же как и уравнение D3), определить и и w. Левую часть
уравнения D5), как функцию от г и п, мы назовем функцией Гамильтона для
рассматриваемой задачи и обозначим через Н (г, и). Следовательно,
D6) Иг>8) — ns = ff(r,n),
и уравнение, определяющее вектор нормали или, если задан элемент волновой
поверхности, определяющее скорость w, принимает вид
D7)
С помощью функции Гамильтона Н вектор луча s легко можно предста-
представить в виде функции от вектора нормали п и, таким образом, получить выра-
выражение для функции Y (г, п), входящей в уравнение D2), в явном виде. Для этой
цели составим частные производные от Н(г, п) по составляющим вектора п,
т. е. найдем вектор Va H- Тогда, в силу D6) и D2), мы получим:
D8) Vn Н = VB Р [г, Y (г, и)] — VB [nT (r, n)] =±= VB [>¦ (г, s) — vn Ощ-
Но мы можем написать уравнение, аналогичное B1):
D9) VB V- (г, s) = (Vs t* Vn) s + (Vs t* X rota s),

pl^^JS Световые лучи « волновые поверхности в лщбых телах 17
^ под rotns подразумевается дифференциальная операция вихря по отношению
К составляющим вектора п. Далее, по аналогии с уравнением C4), легко
яавти, что
E0) VB(ns) — s+fa'Vjs-f (nXrotBs).
Это соотношение можно получить из формулы (За) стр. 10, если принять
во внимание, что дифференцирование должно быть выполнено по составляющим
вектора п, я поэтому, например, rotB п = 0.
:,;..-.. Если мы выравиа д при помощи уравнений D4) и D0) через а и примем
во внимание, что из ss = 1, аналогично уравнению B3), следует:
E1) (s VB) s + s X rotB s = 0,
то мы получим на основании D8), D9), E0), E1)
дН дН дН
Соотношение между г и п не всегда нужно представлять при помощи
уравнения E2), в котором Я есть функция, определяемая уравнением D6); могло бы
также иметь место уравнение, эквивалентное уравнению D7), вида ?
D7а) Я*(г,п) = 0, Я*(г,п) = Дг,п)Я(г,пХ
причем предполагается, что f(r,n)^bO. В таком случае S7nH* = f• VB-ff +
-\-Н- VBf, и на основании равенства М = 0 и уравнения E2) мы получим:
E3) a = f-VnH*. «
Здесь функцию /"(г, и) можно найти, ийходя ив условия, что ss = l. Из
него следует, что
4. Дифференциальное уравнение волновых поверхностей и световых
кучей. Рассмотрим теперь волновую поверхность в момент ( = б н совокупность
волновых поверхностей, образующихся из нее в результате распространения све-
светового возбуждения. Такую совокупность волновых поверхностей мы будем назы-
называть волновой последовательностью. Пусть волновая поверхность в -момент t
определяется уравнением
E5)
Вместо функции т часто вводят другую функцию S = ct, так что волновую
Последовательность можно представлять в виде
Очевидно, если нам бадана функция 8(г), то можно без труда вычислить
вектор нормали п, определяемый уравнением D4). Рассмотрим две близкие поверх-
поверхности нашей последовательности S (г) и &(г) =»<?(* +Л). Пусть расотояние
йежду ними по нормали в точке, характеризуемой вектором г, равно dn. Тогда
ва основании определения волновой скорости w, очевидно, что in = wdt, и, сле-
следовательно:
е edt / / 9iS
8m. 1*08. — Фраяж x Кияес. Двфф. уравн. хат.

18 Классическая механика и геометрическая оптика
Но так как вектор grad 8 перпендикулярен к волновой поверхности
5=^ const, то он совпадает по направлению о вектором нормали, поэтому
т'
E8)
Однако, вектор п должен удовлетворять соотношению D7). Таким обравом,
для 8 иы получаем уравнение:
E9) fl(
Выражение E9) представляет собою дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка по отношению к функции 8. Всякое решение этого
уравнения называется эйконалом, а само уравнение E9) носит название
уравнения эйконала я представляет собой не что иное, как дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона-Якоби нашей вариацион-
вариационной задачи.
Всякое решение уравнения эйконала E9), согласно E6); определяет волно-
волновую последовательность. Совокупность световых лучей, вдоль которых распро-
распространяется волновая последовательность, называется семейством лучей,
соответствующим последовательности. Семейство лучей можно представить с по-
помощью поля направлений, которое выражается через S (г), на основании урав-
уравнений D2), E2) и E9) следующим образом:
F0) s = Y(r, V, ?(*)), Y(r,n) = -VBHr(r,n).
Из этого уравнения можно опять получить дифференциальное уравнение
световых лучей. Пусть п (г) есть векторное, поле, удовлетворяющее уравнению D7),
следовательно, ч ' ,
F1) И [г, и (г)] = Я (г) = 0.
Но но аналогии о уравнением C3)
F2) . Vr
и на основании E2)
F3) Vr-ff(r)=Vxtf(r,n)—(sv,)» — (sXrotn).
Но так как, в силу условия F1), вектор Vrff(r) равен нулю, то ив F3) вы-
вытекает
F4) V, Н (г, n) = (s Vr) n -f (s X rot п).
Если и (г) есть поле векторов нормали, относящихся к волновой последова-
последовательности, то, на основании E8), rotn = O, и, следовательно, уравнение F4)
дает:
F5) (sVr)n=VxH(r,n).
Это векторное уравнение вместе с уравнением E2) представляет систему
двух векторных уравненвй для векторных полей s (г) и п (г). Легко видеть, что
условие 88 = 1 не противоречит этим уравнениям, так как п (г) удовлетворяет
соотношению Н (г, п) = О. Уравнение F5) справедливо только для семейства ове-
ховых лучей, соответствующих волновой последовательности. Однако, легко уста-,
новеть, что левая часть уравнения F5) зависит только от хода одного едивствеи-
ного луча.

Жь § 1 Световые лучи и волновые поверхности в любых телах 19
Если уравнение светового луча опять представить в параметрической форме,
х — х{и) и т.д., как и в уравнениях A6) и A7), где однако теперь параметр « есть
длина дуги вдоль луча, я поэтому обозначается буквой о, то переменные ж', у', /,
согласно уравнениям A6) и A7), будут являться составляющими вектора s; по-
юому составляющая х левой части уравнения F5) будет равна:
0«_ dx , д% dy . дпх dz_ йп„
дх da ' by da r dz da do
В векторной форме уравнение F5) примет вид:
F6)/ -|S-=VxH(r,n).
Последнее уравнение вместе с уравнением {52), которое можно теперь пере-
перевисать следующим образом
F7) -^- = —VBH(r,n),
образует систему двух векторных уравнений для двух векторов п и г, рассматри-
рассматриваемых как функция от параметра о. - #
Теперь, очевидно/ что мы имеем, вдесь дело с дифференциальными уравне-
уравнениями для отдельных световых лучей. Если такие уравнения составить для каждой
составляющей, то мы получим
F8)
da~ дпх* da ~~ Ьп9 ' do ~~ дп,
dng дН dn дН dn, dll
da дх ' da dy ' do
Эти выражения представляют собой известные дифференциальные уравнения
экстремалей некоторой вариационной задачи в канонической форме.
Дифференциальное уравнение светового луча можно составить не только для И,
яо и для Л*, при условия, что равенство нулю величины Н* эквивалентно
обращению в нуль Н. Тогда/согласно уравнениям E3) и D7а), мы получим
F9)
L
Если вместо длины дуги а, отсчитываемой вдоль светового луча, ввести
параметр и при помощи соотношения
G0) fda = du, ' «« J' fdo,
то уравнение световых лучей можно также написать в следующем виде:
Эти уравнения имеют такую же каноническую форму, как д уравнения F8).
Таким образом, мы опять получили известные дифференциальные уравнений
экстремалей вариационной задачи в канонической форме.
Так как соотношение F5) относится и к отдельным световым лучам, то оно
должно быть справедливым и для такого поля направлений, которое определяет
семейство световых лучей, не Относящихся б какой-нибудь определенней волновой
2*

Классическая механика и геометрическая оптика
последовательности. Однако, из F4) следует,- что каждое семейство световых
лучей, заданное полем направлений', должно удовлетворять уравнению
G2) s(r)Xrotn(r) = O,
если вектор п (г) соответствует единичному вектору в (г) по уравнению D0).
Условие для поля направлений s (r) световых лучей, на основании G2),.
можно также написать в виде
G2а) rotn(r) = Xs(r),
где X есть скалярная функция координат. Когда X обращается в нуль, световые
лучи образуют определенную волновую последовательность. Для любого поля на-
направлений световых лучей из G2а) вытекает следующее соотношение: •
divXs(r) = O,
т. е.
X div s + -j— = 0.
Если поэтому значение X на некоторой поверхности, пересеваемой всеми
dX
световыми лучами, равно нулю, то производная —=— также должна равняться
нулю, т. е. X равно нулю вдоль всех световых лучей поля. Следовательно, если
световые лучи пересекают хотя бы одну поверхность так, что соответствующие
вектора нормалей перпендикулярны к этой поверхности, то эти лучи принадлежат
к определенной волновой последовательности (теорема Малюса).
Теперь легко показать, что световые лучи, удовлетворяющие уравнению G2),
могут быть получены из принципа Ферма, и, следовательно, обращают интеграл
в уравнении A4) в минимум. Действительно, из уравнений C5), G2) и D1)
следует:
(sv,)n — Vrn(r, s) = 0.
Вводя опять длину дуги а как параметр и применяя соображения, при-
приведшие от уравнения E8) в уравнению E9), мы сможем написать предыдущее
выражение в виде:
dn dnx dp dnt 9{i. dnt За
G3) -d7==:Vx(i(r's); -a4~ = -fa; ~dT = "fy; ~dT="dFm
Однако, в силу B7) и D1), это и есть условие того., чтобы интеграл A4)
вдоль хода светового луча имел экстремальное значение.
Рассмотрим теперь две точки: точку Ро о радиусом-вектором г0 и точку Р,
с радиусом-вектором г,. Легко показать, что путь луча между этими двумя точ-
точками, т. е. интеграл A4), взятый по соединяющему их световому лучу, можно
представить при помощи решения уравнения эйконала E9). Для этой цели рас-
рассмотрим последовательность волн, к которой принадлежит рассматриваемый
световой луч. Пусть световое возмущение в момент t0 проходит через точку
Р№ а в момент tt через точку Рг. Тогда точка Ро будет лежать на поверх-
поверхности S (r) = ci0, a TosKaPj на поверхности 8 (г) — ctlt где функция б" (г) есть
соответствующим образом выбранное решение уравнения эйконала. Рассмотрим
теперь вою совокупность световых лучей, принадлежащих в последовательности
8 (г) — const. Тогда мы получим поле направлении s<r) и соответствующее поле
векторов нормали п (г, s (г)) =^п (г). Как известно, rotn (r) равен 0. Вследствие
этого интеграл \
G4) y*

t, § 2Отпнческое отображение в общем случав анизотропной среды 21
не вависит от пути в полностью определяется пределами интегрирования. Беля
интеграл G4) взять вдоль какого-нибудь пути от точки Ро до точки Flt то на
основании E8) мы, очевидно, получим:
G5) J n (г) dr = J At • S7tS(r) = S(ri) — S(r0).
ре ; р„
Если же интеграл G4) взять не по произвольному пути, а вдоль светового
луча, соединяющего точку Ро с точкой Р„ то в этом случае dr = sd^, и так как,
согласно уравнению D5), ns = р (г, s), то мы получим ив уравнения G5):
G6)
7
т. е. путь светового луча между двумя точками равен разности значений эйко-
эйконала в этих двух точках в том случае, если эйконал описывает последователь-
последовательность волн, к которой принадлежит рассматриваемый световой луч. Если при
перемене направления распространения луча функция ц (г, s) не изменяет свой
знак, т. е. если
G7) р(г, s)=ii(r, — s),
то мы имеем „симметричную" анизотропию. Она существует во всех покоящихся
кристаллах и отсутствует только в том случае, йогда анизотропия тела вызы-
вызывается его движением (см. § 3, 4).
Если условие G7) удовлетворено, то из уравнения D0) или из равенства
ц(г, s) = ns, оледует, что вектор п меняет анак вместе с вектором s. При этом
левая часть уравнения G6) будет всегда положительной независимо от порядка
пределов интегрирования, ,-
§2. Оптическое отображение в общем случае анизотропной среди
1. Эйконал точки, эйконал угла и уравнения отображений. Всякое ре-
решение уравнения эйконала, § 1, E9), дает определенную волновую последова-
последовательность, которая определена, если задана форма волновой поверхности в мо-
момент f = 0. Мы рассмотрим сейчас такую волновую последовательность, которая
в момент ( = 0 локализована в одной точке, иначе говоря —световое возбуждение,
распространяющееся от точечного источника. Обозначим радиус-вектор этой
точки Ро через го. Соответствующее решение уравнения эйконала должно содер-
содержать г0 как параметр и, следовательно, его можно представить в виде &(г0, г).
Это решение как функция от г удовлетворяет уравнению E9) § 1; поэтому,
согласно § 1, уравнение E8), вектор нормали п в точке г можно выразить
в форме;
A) n = v,5'(ro,r).
Рассмотрим точку Рх о радиусом-вектором гх. Величина S (г0, г^, согласно
уравнению G6) § 1, представляет собой ход светового луча, свявывающего точки
Ро и Рх; действительно, все лучи света, проходящие черев точку Ро, принад-
принадлежат s волновой последовательности, описываемой нашим эйконалом; поэтому
сравнивая теперешние обозначения с обозначениями § 1, уравнение G6), получим
^Сг^^ЯСГо»1*;); В (г0) = S (г0, г0). Однако, на основании определения величины
?(го,г), очевиднЬ, что S (г0, г0) = 0; поэтому
C) S{TQ,riy*
чао и подтверждает правильность указанного значения функции 8 (r0, rj.

22 Классическая механика и геометрическая оптика
Рассмотрим теперь луч света, распространяющийся от точки Ро к точке Рр
Обозначим нормали, соответствующие вектору s в точке Ро и Plt на основа-
основании D0), через п0 и nlt тогда, согласно A):
C) 14 = УГД(г0) rj.
Если обовначить через S (гх, г0) эйконал, соответствующий точечному источ-
источнику в точке Pj, то световой луч, идущий от точки Pt к Ро, принадлежит к этой
волновой последовательности. Если рассматриваемое тело имеет симметричную
анизотропию, то нормальный вектор, соответствующий точке Ро, равен —п0, и
мы имеем аналогично C):
(За) — no=Vr,5(r1,ro).
Однако, в этом случае, на основании § 1, G7) и уравнения B), можно на-
написать:
откуда, принимая во внимание (За), получим:
E) По = — V,e S (г0, г,).
Уравнения C) и E) здесь выведены, конечно, для случая „симметричной
анизотропии*; тем не менее они справедливы также и в общем случае анизо-
анизотропных тел.
Функцию точек Ро и Pv представляющую ход луча между точками Ро и Р,,
т. е. S (г0, Tj), мы называем точечным эйконалом нашей оптической задачи. Его
можно вычислить, согласно § 1, зная коэффициент преломления исследуемого
тела. Уравнения D) и E) светового луча позволяют для любых двух точек Ро
и Р, найти направление связывающего их луча в конечных точках, если известно
значение функции S (г0, г,) в этих точках. В самом деле, на основании § 1, E3),
вектор направления s можно вычислить из выражений для п или S. В ток слу-
случае, когда точки Ро и Р1 рассматриваются как ч точечный объект и его точечное
изображение при некотором оптическом отображении, мы будем называть уравне-
уравнения C) и E) „уравнениями отображения".
Часто бывает удобно исходить не ив функции координат г0 и гх, т. е. не
ив объекта и его изображения, а из некоторой функции, зависящей от напра-
направления нормалей в этих точках. Прн этом вместо функции S (г0, rt) вводится
функция:
<6) S (r0, г,) — (г^! — гоПо) == W (п0, пх).
Последняя зависит только от По и щ, так как на основании уравнений C)
и E) величины г0 и г, можно выразить как функции от в0 и п, и подставить
их в уравнение F). Функция W {Oq, Hj) называется угловым эйконалом нашей
оптической задачи. Легко видеть, что, пользуясь им, можно очень просто сфор-
сформулировать уравнения отображения C) и E). В самом деле:
G) V., W= VBiS- V,4 (rj nj + VBi (r0no).
Принимая во внимание, что г0 и rt представляют собою функции от в,, и
щ, мы получил:
<8) VBi S (г0, гх) = VBi (г, Vr, S) + V 'Bi (Ft V,t S),
Применяя оператор v'Bi, следует помнить, что второй множитель в круглых
скобках должен рассматриваться как постоянная величина. Далее:
Vai (г,щ) = rt -|- V',, (гл), VBi(гоп„) = v'Bi (rono);

I, § 2 Оптическое отображение в общем случае анизотропной среды 23
здесь также нужно дифференцировать по составляющий только первый множи-
множитель выражения, заключенного в скобки. В таком случае из уравнения C), в силу
определения F), вытекает, что
(9)' VBiTF = -r1.
Применяя к обеим частяк уравнения F) оператор V,,» мы получим при
помощи аналогичных преобразований:
A0) VBeW = r0.
Уравнения (8) и (9) представляют собою уравнения отображения, выражен-
выраженные через угловой эйконал. Они позволяют вычислить координаты объекта и изо-
изображения из направлений луча в этих точках.
Функция W (п0, щ) называется угловым эйконалом по следующим при-
причинам. Если точки Ро и Р] лежат в областях постоянных показателей преломле-
преломления |J.O и (¦<•!, то, согласно D0) § 1, Пд н щ определятся при помощи следующих
соотношении:
(И) n0 = lloSo; ai = {hSi«"
Если подставить' эти выражения в F), то W окажется функцией исключи-
исключительно от начального и конечного направлений s0 и Sj светового луча. Исключая,
кроме того, переменные sx° и s^ при помощи условий so2=l и s,2 = 1, мы
окончательно получим функцию от четырех переменных sf°, s,°, s l, s,1, которая
обычно и называется в оптике угловым эйконалом.
.2. Отображение эдеиентов линии и элеиентов поверхности. Рассмотрим
теперь точечные многообразия, зависящие от двух параметров и заданные тем,
что радиусы-векторы г0 и гх представлены как функции двух скалярных пара-
параметров KID
12) г0 = г0 («, v); rl = rl (и, v),
В общем случае эти уравнения представляют две поверхности, на которых
лежат точки Ро и Р15 причем каждой паре значений параметров и, v соответ-
соответствует определенное положение обеих точек. Этим выделяется определенный
световой луч, связывающий точки Ро и Pv Если уравнение A2) подставить
в выражение для точечного эйконала, S (г0, гг)
A3) S(r0 (и, v), г4 (и, v)) = S («, v),
10 эйконал окажется функцией от и и и, и потому будет иметь для каждого луча
определенное значение, равное ходу луча между его точками пересечения с обеими
поверхностями A2).
Найдем частные производные функции S (и, v) по и и ». Из уравнения A3)
мы получим
ди *• ди 1 г« ди dv т» dv ' г»
-, в силу C) и E):
dS Эг0 . drt dS дг0 , drt
Дифференцируя первое уравнение по v, а второе по $t и приравнивая ре-
d*S
вультаты, так как оба раза получится , мы получим:
A6)
or,
ди
дпх
dv
dv
дщ
ди
_ дг0
ди
дщ
dv
дг0
dv
дщ
ди

24 Классическая механика и геометрическая оптика
Уравнение A6) показывает, что для каждого семейства световых лучей,
зависящего от двух параметров, существует некоторое инвариантное дифферен-
дифференциальное выражение, т. е. такое выражение, которое вдоль каждого луча сохра-
сохраняет постоянное значение.
Если функции г0 и rt не зависят от v, то уравнения A2) представляют
две кривые, причем каждому значению и соответствует одна точка на каждой
кривой, и следовательно — один световой луч, соединяющий эти точки. Допустим
теперь, что световые лучи в нашей среде обладают таким свойством, что все
лучи семейства, характеризуемого одним параметром, исходящие из некоторой
точки кривой г0 = г0 («), сходятся в одной и той же точке кривой rt = rt («).
В этом случае кривые представляют собой совокупности взаимных точечных ото-
отображений. Если мы будем различать лучи, исходящие из одной и той же точки,
определяемой некоторым значением параметра «, при помощи другого пара-
параметра v, то мы опять получим семейство световых лучей, зависящее от двух
параметров; однако теперь значение эйконала будет определяться однии значением
параметра «, так как всё лучи с одинаковым значением и соединяют одни и
те же точки и, следовательно, по определению величины S (г0, гг) соответствуют
одному и тоиу же значению этой функции. Применим также и к этому семейству
лучей уравнение A6); для этого нужно только положить, что проивводные от г0
и rt no v равны нулю; тогда мы получим:
8r dn = дт0 дп0
ди dv ди dv '
Уравнение A7) нельзя непосредственно вывести из уравнения A6), так как
0 Tj представляли собой функции двух независимых переменных.
Однако, если S и —— зависят только от «, то, дифференцируя первое из урав-
уравнений A5) по v и приравнивая результат нулю, можно непосредственно полу-
получить уравнение A7).
Это уравнение имеет большое значение длятеории оптического отображения.
Величины -г-— и -~- определяют в нем направления и длины двух бесконечно
аи аи
малых отрезков, точечно отображенных друг на друга, тогда как величины -~
и —^- зависят только от направлений световых лучей, которые отображают какую-
OV
нибудь конечную точку одного отрезка на определенную конечную точку другого.
Таким образом, условия A7) должны быть удовлетворены для всех лучей, ото-
отображающих эти точки друг на друга, причем отображаемый отревок остается
неизменных. Если мы обозначим единичные векторы направлений обоих отобра-
отображаемых друг на друга отрезков через а« и а,, а их длины через <fc0 и dalt то
дго _я doo. drt _я d<si
откуда, введя коэффициент увеличения отображения
A9) Р=="^"'
мы получим, на основании A7), A8) и A9),

1, § 2 Оптическое отображение в общем случае анизотропной среды 25>
Наглядная интерпретация величин -??¦ и -—- в общем случае анизотропной:
среды довольно затруднительна, поэтому мы ее коснемся более подробно только-
в § 3 при изучении изотропных сред. В общем случае мы рассмотрим только
одно следствие, вытекающее из уравнения B0). Интегрируя обе части этого
уравнения по », мы получим
B1)
где векторы щ* и пх* определяют направления определенного луча, связываю-
связывающего отображенные друг на друга точки. Далее из уравнения B0) следует, что
B2) , рахОч— V^aoOio^-no*).
Так как векторы щ* и lij* соответствуют световому лучу, выбранному опреде-
определенным образок, то последнее выражение может быть переписано также в сле-
следующем виде:
B3) pa, iii—а^, щ = const.
Это уравнение, справедливое для всех световых лучей, соединяющих обе-
отображенных друг на друга точки, причем |3, а^,, а] постоянны, обыкновенно
называется теоремой косинусов для оптического отображения, так как в это урав-
уравнение входят косинусы углов между нормальными векторами, соответствующими
отображающим лучам и отображаемым отрезкам.
Теорема косинусов принимает особенно простой вид, если существует такой
световой луч, для которого нормальный вектор перпендикулярен как к отобра-
отображаемому отрезку, так и к его отображению. Бели этот световой луч выбрать-
таким образом, чтобы его нормальные векторы совпадали с и0* и nt*, то а^, п0* =
= а1п1* = 0 и из уравнения B2) следует
B4) ра1п1 = а0п0.,
Здесь необходимо отметить еще то обстоятельство, что, если вместо точеч-
точечного эйконала S ввести угловой эйконал, то из уравнения A5) можно получить
аналогичные соотношения.
Подставляя уравнение A2) в равенство F) или A0), мы получим функции
W(u, v) и 8 (и, v), для которых из уравнений A5) и определяющих их уравне-
уравнений F) и A0) вытекают следующие соотношения:
дП° 9ui dW
ды
-r ^ r
3. Нахождение световых лучей при помощи эйконала, касательные-
преобразования. Если радиус-вектор г0 и нормальный вектор щ удовлетворяют
уравнению D7) § 1 Я (г0, п^ = 0, то они определяют некоторый световой луч. Если
крез г, и пх обозначить радиус-вектор и нормальный вектор в какой-либо точке
|уча, то эти величины удовлетворяют уравнениям C) и E). Поэтому при га»
данных г0 и щ выражения
.26) n = VrS(r0,r); no = — y
южно рассматривать как уравнения радиуса-вектора и нормального вектора (г, п)
(Ля некоторого светового луча. Так как функция S удовлетворяет уравнению
йконала Н (г, VI'S)==0, и, следовательно, векторы г и и удовлетворяют урав-
ювию D7) § 1, то уравнения B7) дают только пять соотношений между шестью
оставляющими векторов г и п. Таким образом, из этих уравнений можно полу-
ять г и п как функции от г0, л0 и одного параметра. Уравнения B6) можно

26 Классическая механика « геометрическая оптика
рассматривать как каноническое преобразование J) от переменных г0, щ к пере-
переменным г, II наоборот. С помощью такого преобразования система канонически
уравнений световых лучей [см. § 1, F6), F7)] переходит в систему уравнений
того же вида для переменных г0, щ
<27> -^—^^Оч»11^ -^=УГ,Я* (ro.no),
причем
B8) о
В случае, если переменные г0, п,, и г, в связаны преобразованием B6),
причем величина S удовлетворяет уравнению эйконала Л (г, VtS), то
<29) Я*(Го,иа) = О •
л, следовательно, уравнения B7) можно легко проинтегрировать. Интегрирование
показывает, что векторы г0 и щ вдоль светового луча постоянны. Таким образом,
при постоянных г0 и и0, уравнение B7) действительно является уравнением све-
световых лучей. Если мы нашли решение уравнения эйконала, которое не есть
точечный эйконал, но так же как и последний зависит от трех постоянных Zv ?a, ?8,
I. е. имеет вид S Fls ^, ?3), то формулы
C0)
dS
dS
ds
определяют каноническое преобразование, и уравнения C0) на основании гех же
.соображений представляют собой при постоянных Et, ?2, ?8, v ""te» "Чз уравнения
светового луча.
Уравнения B7) можно также рассматривать как частный случай касател-
касательного преобразования. В этом случае преобразуемый элемент представляет собой
элемент поверхности в четырехмерном пространстве х, у, г, S. Координаты эде-
а dS д8 dS K „
мента тогда равны х,у,г,8, •*—, -т—, -^—, или в векторных обозначениях: г, о, в.
Касательное преобразование определяется тем, что „объединенные" элементы
преобразуются в такие же. Два элемента г, s, п и г + dr, s-f-tfs, n-}-cfa
называются „объединенными", если удовлетворяется условие
.C1) dS — ndr = O.
Но так как n'== — n', dS = cdz [см. § 1, E6) и D4)], то это означает, что
/32) и>е*с = n'dr.
Если d- = 0, то n'dr = 0, и элементы представляют собой смежные элементы
-одной и той же волновой поверхности t = const. Если же dx = 0, то равенство C2)
означает, что оба элемента при распространении света в рассматриваемой среде
переходят друг в друга за время dt. Они являются соседними элементами одного
и того же светового луча. Совокупность со8 элементов, т. е. гиперповерхность
четырехмерного пространства, образуется из элементов волновой последова-
последовательности.
См. дополнение редактора после га. TL

I, § 3 Ход луча в различных средах 27
Легко видеть, что равенства B7) определяют касательное преобразование.
В самом деле мы, имеем тождество:
dS(г0, г) = dr VrS+dr0 Vr,S,
и вследствие B7):
C3) d8 = ndr — По dr0.
Но это равенство является условием касательного преобравования в том случае,
когда переменная S не входит в уравнения преобразования, а это обстоятельство
как раз и имеет место в уравнениях преобразования B7).
Мы уже имели случай убедиться в том, что уравнения B7) преобравуют
начальный элемент г, н светового луча в некоторый другой элемент того же
луча. Мы можем для нашего касательного преобразования ввести понятие бес-
бесконечно малого преобравования, которое преобразует некоторый элемент в сосед-
соседний элемент; например, элемент г, п светового луча преобразует в соседний элемент
r-f-dr, n-f-dn. Если значения параметра « в двух таких соседних точках све-
светового луча отличаются друг от друга на величину du, то переход между этими
двумя элементами совершается с помощью канонических уравнений G1) § 1.
Если параметром служит длина дуги о, то будут иметь место уравнения G3),
которые, следовательно, представляют собой бесконечно малое касательное пре-
преобразование. Поэтому мы можем при помощи повторного применения бесконечно
малого преобразования получить группу касательных преобразований, зависящую
от одного параметра. Эта группа в нашем случае состоит ив всех касательных
преобразований, которые преобразуют каждый элемент светового луча в элемент
того же луча.
§ 3. Ход луча в различных средах
1. Закон преломления. Рассмотрим теперь тело, обладающее тем свойством,
что для одной его части показатель преломления определяется функцией ^'.г, 8),
а для другой — функцией [Аа (г, s). Предполо-
Предположим, что обе части соприкасаются вдоль не-
некоторой плоскости, которую мы назовем по-
поверхностью раздела. Проследим теперь, что
происходит с последовательностью волн, пе-
реходяющих через поверхность раздела, из
одной части тела в другую. Мы можем при-
применить и в нашем случае выведенные ранее Рис j
законы, в которых функция предполагалась
непрерывной, но для этого прерывное изменение |х (г, s) нужно заменить непре-
непрерывным, но очень быстрым изменением и только в результатах вычислений совер-
совершить переход от непрерывной функции к прерывной.
Для всякой последовательности волн величина п представляет собою опреде-
генную функцию координат п (г), поэтому мы можем воспользоваться уравне-
уравнениями G4) и G5) § 1, согласно которым вдоль всякой замкнутой кривой:
В качестве такой кривой (рис. 1) мы выберем прямоугольный контур
до сторонами а ш Ъ, причем сторона а меньше Ъ и пересекает поверхность раз-
раздела по перпендикулярному к ней направлению, а сторона Ъ параллельна поверх-
поверхности раздела. Если постепенно изменять форму прямоугольника, все время умень-
уменьшая а, а Ъ сохраняя неизменным, то стороны АВ и CD будут все ближе и ближе
Придвигаться к поверхности раздела, в то же время оставаясь в частях тела
«различными показателями преломления.

28 : Классическая механика и геометрическая оптика
Обозначим через tv t2 — единичные векторы, параллельные поверхности
раздела, и назовем векторы нормали по обеим сторонам поверхности раздела щ
и Па. Тогда вдоль АВ: dr = tj do, и интеграл, взятый вдоль нашего прямоугольника,
будет равен сумме следующих четырех интегралов:
в о в а
J (п^)]**» -{- f'ndr—f (nata) do -}- Г "n dr = О.
л bob
Так как второй и четвертый интегралы при неограниченном уменьшении
стремятся к нулю, то -в пределе, полагая а-*О и переходя к прерывному изме-
изменению {1, мы получим:
где t есть единичный вектор, лежащий на поверхности раздела. Это уравнение
должно быть справедливо для всякого прямолинейного пути, лежащего на поверх-
поверхности раздела, что возможно только в том случае, если подинтегральные выра-
выражения равны друг другу.
Следовательно,
B) n^iigt.
'Таким образом, найденное равенство должно быть справедливо при пере-
переходе от одной из сторон поверхности раздела к другой для любого единичного
вектора t, лежащего на поверхности раздела. Так как равенство относится только
к некоторому бесконечно малому отрезку поверхности раздела, то оно должно быть
верным как для плоской, так и для кривой поверхности раздела. Уравнение B)
выражает закон преломления для произвольного анизотропного тела. Оно указы-
указывает на то, что касательная составляющая вектора нормали при переходе через
поверхность раздела между двумя различными средами остается неизменной.
Таким образом, уравнение B) представляет собою не что иное как уравнение
rotn = O для случая прерывного изменения векторного поля п.
Уравнение B) можно также истолковать в том смысле, что вектор щ — щ
перпендикулярен ко всем касательным векторам, лежащим- на поверхности раз-
раздела, и, следовательно, совпадает с нормалью к поверхности раздела. Мы имеем,
следовательно:
C) п, — па = УЛ,
где 1 есть единичный вектор в направлении нормали к поверхности в точке
падения луча. В таком случае векторы щ, па и 1 лежат в одной плоскости.
2. Изотропные среды. Изотропные среды характеризуются тем, что пока-
показатель преломления зависит только от координат, но не от направления. Таким
образом, нормальный вектор, соответствующий вектору луча, равен, согласно § 1,
B3), D1),
D) п = -?н'-р(г)ч,
так как производная от ;i по вектору направления s обращается в нуль.
Следовательно, в этом случае сам луч перпендикулярен к поверхности волны.
Показатель преломления есть функция ji(r), зависящая только от г. Волновая
скорость w, на основании D) и § 1 A5), равна скорости луча v. •
Так как уравнение § 1 D2) принимает теперь простой вид:

I, § 3 Ход луча в различных средах 29
го функция Гамильтона, согласно D6) § 1, равна
F) Я(г,п)^-1[^(г)-п.п].
Отсюда опять, согласно E9) § 1, получается уравнение эйконала в сле-
кующем виде:
Если предположить, что неоднородность среды заключается только в той,
410 она состоит из двух однородных сред с постоянными показателями прелом-
преломления i^i и Рз> т0> применяя к нашему случаю закон преломления B) в общем
виде и уравнение D), мы получим:
(8)
где st и s2 означают направления падающего и преломленного лучей. Из урав-
уравнения C) следует, что падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр
в точке падения лежат в одной плоскости. Если угол между падающим лучоя
в перпендикуляром в точке падения обозначить через «рц а угол между прелом-
преломленным лучом и перпендикуляром в точке падения через срг, то уравнение (8)
принимает вид известного вакона преломления Снеллиуса:
т
В случае изотропных сред законы отображения B0), B4) § 2, также полу-
получают очень простое выражение. Подставляя в уравнение B4) вместо п, в п,
их значения из D), мы получим:
A0)
Если обозначить углы между отображающим лучом и линейным элементом
через «J»! и ty0, то предыдущее уравнение можно переписать в следующем виде:
A1) p[
Предположение, сделанное при выводе уравнения B4), § 2, в нашем случае
родится к тому, что должен существовать такой луч, к которому пернендику-
зярны оба направления ах и а0 отображаемых отрезков. В том случае, когда
ртот особый луч прямолинеен, а среда и, следовательно, траектории лучей обла-
обладают осевой симметрией относительно рассматриваемого луча, можно вместо
углов % и Фи ввести углы Хо и Xi между каким-либо лучом и центральным
аучом. Тогда уравнение A1) примет вид:
Это уравнение обычно называется „законом синусов Аббе". Его значение
заключается в вытекающем из него важном условии того, что два линейных эле-
Ыта, отображаются резко друг на друга, хотя в него и входят только углы
режду лучами пучка и центральным лучом, посредством которого одна един-
единственная точка резко отображается на другую точку.
Уравнение B0) § 2 также можно наглядно истолковать в случае изотроп-
изотропной среды. Прежде всего из него, согласно уравнению D), следует, что:

30 Классическая механика и геометрическая оптика
I
Полагал
ds1 = bjd^; ds0 = bo<7<{>o>
где dty0 и d^! есть углы между двумя соседними отображающими лучами, аЬ,я
Ь2 — единичные векторы, перпендикулярные к этим лучам и лежащие в плоско-
плоскостях, определяемых векторами sv dst и 80, ds0, и обозначая через
(НУ г=~ dSi
.коэффициент углового увеличения", мы получим, разделив A2) на-^:
ov
A5)
Если опять рассмотреть случай, когда имеется луч, к которому перпенди-
перпендикулярны оба отрезка и, в частности, предположить, что этот луч является цен-
центральным лучом некоторой системы, обладающей осевой симметрией, так что оба
отрезка лежат в одной плоскости с обоими отображающими лучами и централь-
. ным лучом, то, пользуясь приведенными выше обозначениями, можно написать:
Тогда уравнение A5) принимает вид:
A6) ii#r cosXl = Но cos xo-
Очевидно, что это уравнение можно также получить, дифференцируя закон
синусов. Оно обычно называется законом отображения Штраубеля, и для близких
к оси лучей, для которых можно положить cosxt и cosxo равными 1, переходит
в условие Лагранжа:
A6а) НчРт=?*о-
3. Одноосные кристаллы. Одноосный кристалл характериауется тем, что
в нем показатель преломления {* зависит только от направления луча s, причем
существенным является только угол между лучом и некоторым определенным
выделенным в кристалле направлением. Обозначим единичный вектор в этом
направлении, т. е. в направлении оси кристалла, через а, а какой-нибудь еди-
единичный вектор, перпендикулярный к оси кристалла, через q. Тогда зависимость
показателя преломления от направления луча для „необыкновенного" луча опре-
определяется уравнением
A7) {*(s) = Vsia2(as)»-f{ie2(qsJ.
Здесь {io и {i? есть постоянные, характерные для рассматриваемого кристалла;
полагая s равным а или q, легко видеть, что {ia есть показатель преломления
для лучей, распространяющихся вдоль оси, т. е. для лучей, параллельных оси,
а ц? — показатель преломления для лучей, перпендикулярных к оси. Легко также
видеть, что функция ji(s) от составляющих (s) есть однородная функция первого
порядка, откуда следует, что вектор нормали п есть однородная функция от тех же
составляющих нулевого порядка. Поэтому функция р удовлетворяет уравнению
Эйлера {jl = svs}|'> и вектоР нормали, согласно § 1 D0), можно просто вычислить
но формуле:
A8) n=Vs^(s),
Произведя дифференцирование, мы получим из уравнения A7):
д^ t*a2(as)

I, § 3 Ход луча в различных средах 31
Это выражение, действительно, нулевого порядка однородности относительно
составляющих 8, и, исключая два соотношения между тремя составляющими,
можно получить одно уравнение для трех составляющих п.
Для одноосных кристаллов' все составляющие, перпендикулярные к оси,
равноправны, поэтому можно рассмотреть одну единственную плоскость, прохо-
проходящую черев ось, например, плоскость, определяемую векторами а и q, и таким
образом, ограничиться исследованием составляющих п в направлениях аи q.
Таким путем мы найдем ив A9):
5ie2 as i^qs
B0) па = ; nq = —
Исключим из обоих равенств отношение ^as к qg. Для этого возведем оба
уравнения B0) в квадрат и разделим их соответственно на fie2 и j*A
Принимая во внимание уравнение A7), мы получим:
Левая часть, как функция от п, представляет собой функцию Гамиль-
Гамильтона Н (п), введенную нами в § 1, уравнение D7), с точностью до некоторого
множителя, который мы обозначим через f.
Поэтому из уравнения F9) или E2) § 1 для единичного вектора светового
ауча получается выражение:
B2) ¦fV.(n)f
где j вычисляется из условия ss = 1. Итак, окончательно:
Теперь легко также вычислить волновую скорость w для любого направле-
направления распространения п. Из уравнения B1), в связи с уравнением D4) § 1»
следует; что скорость и\ с которой распространяется волна с нормалью п, опре-
определяется равенством:'
и>* _ (па*) (nq)«
Ив уравнения B1) и § 1, E8) мы сразу получаем дифференциальное урав-
уравнение в частных производных для функции эйконала S (г) нашей задачи. Оно
имеет вид
Га rq
Чтобы выразить это уравнение в обычно применяемом координатном пред-
представлении, введем систему координат с осью, параллельной оси кристалла, так
что вектор а направлен по оси г, а вектор q лежит в плоскости х, у. Тогда
Уравнение эйконала при этом получает вид:
дх

Классическая механика и геометрическая оптика
При исследовании световых лучей в кристалле, необходимо учитывать, что
жак {!., так и Я не зависят ох г. Отсюда, согласно § 1, F6) или F9), следует,
что вектор п вдоль светового луча постоянен. Но так как, на основании B3),
вектор 8 зависит только от п, то он также постоянен, и, следовательно, световой
луч представляет собой прямую линию. Исследуем теперь явление преломления
светового луча, попадающего из воздуха в одноосный кристалл. Предположим,
что граничная плоскость расположена относительно оси кристалла таким образом,
что ось кристалла образует с нормалью в точке падения угол а. На рис. 2 изо-
изображен разрез кристалла плоскостью, проходящей через нормаль в точке падения
я. ось кристалла, причем зти линии проведены черев ту точку, в которой свето-
световой луч проходит через границу. Падающий луч также должен лежать в этой
плоскости; из соображений симметрии и преломленный луч должен лежать
в той же плоскости. Если обозначить векторы нормалей в воздухе и в кристалле
соответственно через щ и 1Ц, векторы соответ-
соответствующих лучей через S, и s2, единичный вектор,
тежащий в плоскости раздела обеих сред, через t,
ю можно воспользоваться законом преломления,
сформулированным при помощи уравнения B).
В рассматриваемом случае, на основании уравне-
уравнения D), мы получим:
Щ = Mi = st; n2 = —
Г2
(s2a) a -{- ?* (s2q) q].
Таким образом, закон преломления, выражае-
выражаемый уравнением B), примет вид:
Эта формула верна для каких-утодно напра-
Рнс. 2. влений векторов sv s2, а. Если теперь принять, что
все эти векторы лежат в одной плоскости, о чем
уже упоминалось выше, то в качестве такой плоскости можно выбрать плоскость,
изображенную на рис. 2. Обозначая углы падения и преломления нашего луча
соответственно через ф( и ср3 и пользуясь уравнением B), мы получим следую-
следующие соотношения:
(^а) = cos (ф2— а); (вд) = sin (?2— а); (stt) = sin «р^ (at) = sin а; (qt) = cosou
В этом случае наш закон преломления, выраженный уравнением B8), при-
принимает вид:
u.a2 cos (<р2 — a) sin а -{- И-,2 sin (cp2 — а) cos а
.B9)* ein «Pj == —.
У [ia2 cosJ (<р2—а) -j- (г 42 sin* (<p2 — а)
Закон преломления имеет особенно простую форму в том случае, когда
поверхность раздела перпендикулярна к оси кристалла. Тогда о = О и мы получаем
из уравнения B9):
sin ф, ?1„а
<ЗО) ?1
Возводя
получим:
C1)
это
-= --
sin ср2 у у»2 cos2 <ра -{- [i92 sin8 <p2
уравнение в квадрат и выражая sin 7а
через sin<pp мы

I, § 3 Ход луча в различных средах 33
Введен теперь обозначения:
__ а 2 ц. 2 — а_2
C2) V
C3)
г ft.' (V* *
Тогда уравнение C1) можно представить в следующем виде:
sin »о 1
sin <p! v p.2 -j- s sin2 <pj
Теперь из уравнения C2) ясно, что s есть мера анизотропии кристалла.
Легко видеть, что при очень малых углах падения <ot уравнение C3) можно
приближенно переписать следующим образом:
Sin «j {А
и, следовательно, в этом случае оно переходит в обычный закон преломления
для изотропных однородных сред [уравнение (9)], только вместо обычного пока-
показателя преломления в него входит „средний" показатель преломления (а, вычи-
вычисляемый по формуле C2).
4. Движущиеся тола. Рассмотрим теперь изотропное тело с коэффициентом
преломления \ь0 (г), в котором свет распространяется со скоростью v0 (r). Если
тело движется, то система координат, относительно которой скорость света
попрежнему остается равной v0 (г), в свою очередь будет двигаться относительно
этого тела.
Таким образом, к скорости света t'o(r), которая относится к покоящемуся
телу, прибавится вектор скорости координатной системы, который мы обозначим
через ТГ (г).
Если определить направление светового луча в этой координатной системе
единичным вектором q, так что вектор „ относительной" скорости будет равен voq,
то результирующая скорость света, абсолютное значение которой мы опять обо-
обозначим через i\ а вектор направления через s, будет равна —
C5) t?-s = i>oq-f-W(r).
Пользуясь представлением о некоторой упругой среде, так называемом
эфире, в котором свет распространяется со скоростью t-0, часто выражают это
соотношение следующим образом: к вектору скорости voq относительно эфира
прибавляется вектор скорости W „эфирного ветра" относительно нашего тела,
причем векторная сумма обеих скоростей равна действительной скорости рас-
распространения света относительно рассматриваемого движущегося тела.
Теперь легко показать, что вычисление траектории луча в движущемся
изотропном теле может быть сведено к рассмотрению покоящегося андзотроп-
ного тела; это обстоятельство дает возможность применить теорию, изложенную
в § 1. В самом деле, переписывая равенство C5) в виде roq = tfs — W и воз-
возводя обе части последнего равенства в квадрат, мы получим следующее квад-
квадратное уравнение относительно v:
C6) w2 — 2vsW -j- W2 = V-
Если принять во внимание, что абсолютное значение W=|W| скорости
«оординатной системы всегда меньше скорости света v0, то уравнение C6) имеет
одно вещественное решение для v
C7) # = sW + y(sWJ + f02— W*.
g Зек. Mat. — Франк ж Мязес. Дифф. уравц. мат. фаз.

34 Классическая механика и геометрическая оптика
и, следовательно,
C8) ^(Г,8) = 4- =
Мы видим, что коэффициент преломления действительно представляет собою
функцию от г и s, благодаря чему мы можем воспользоваться наложенной в § 1
теорией анизотропных сред. Вычислим сначала нормальный вектор в, соответ-
соответствующий лучу s; на основании равенств D0) и D4) § 1 мы получим
(И) ' V*—
ив этого выражения о помощью уравнения D0) легко получить выражение для
вектора и, определяемое равенствами D0) и D4) § 1. Таким образом, мы находим
D0) п = С (vs — W).
Если в знаменателе последнего выражение квадратный корень заменить
его значением v — sW, согласно C7), н принять во внимание вытекающее из
уравнения C5) соотношение v = v0 (qs) -j- sW, то равенство D0) примет вид:
D1) n = -?-q, v^v-щ.
Таким образом, поверхность волны перпендикулярна к „относительному"
направлению луча q, Поэтому q = и и для волновой скорости w мы получим,
согласно уравнению D4) § 1:
D2) » = »,.
Следовательно, скорость распространения волновых поверхностей равна проекции
результирующей скорости света на „относительное" направление луча.
Уравнение D0) определяет п как функцию от г и s.
• Если решить его относительно s, то мы получи* функцию Y (см. § 1, D2)),
которая при подстановке ss = 1 или ji. = sn перейдет' в функцию Гамильтона или
в уравнение эйконала. Однако, мы не будем производить этих вычислений
в общем случае, разберем только тот предельный случай, когда абсолютное зна-
значение скорости | W | настолько мало по' сравнению со скоростью света v0, что
можно ограничиться лишь членами, линейными относительно -^. Обычно в этом
случае говорят, что учитываются только эффекты первого порядка.
В атом приближении, из уравнения C7) следует, что
а из уравнения D0), в силу уравнения D3):
или в рассматриваемом приближении:
D4) a
Это уравнение легко решить относительно 8. При этом
D5) -? + 1*Т"

I, § 3 - Ход луча в различных средах 35
Исключая из последнего уравнения s при помощи соотношения 88 = 1, мы
получим
Левая часть полученного уравнения с точностью до некоторого множителя
представляет собой функцию Гамильтона. Волновая скорость w, согласно" уравне-
уравнению D4) § 1, определяется из уравнения
D7) *%
ft,2 о
в котором, на основании равенств D1) и D2), можно положить n' = q, w = v2.
Если обозначить составляющие вектора W через Wx, Wy, Wz и принять во
внимание соотношение n=V1/S', то, пользуясь равенством D6), уравнение эйко-
эйконала можно представить в следующем виде
или
D8)
+[w .+w .+ w
I»,8 (г) ^ с \ х дх ^ * ду ^ W* дз
Исследуем теперь изменение световых лучей, вызываемое движением тела,
ограничиваясь опять „эффектами первого порядка". Пусть функция в(г) будет изо-
изображать семейство световых лучей в движущемся теле, принадлежащих к неко-
некоторой волновой поверхности. Тогда эта функция удовлетворяет уравнению rot n = О,
где величина п есть функция от 8, определяемая равенством D0). Таким образом:
D9) rot О»,, в) = -|-WWW)-
ь
Отклонение световых лучей от их траектории в покоящемся теле легко
найти с помощью введенного вами в § 1 C6) вектора кривизны для какой-либо
кривой по отношению к световым лучам, распространяющимся в определенной
среде. В качестве такой среды мы выберем здесь покоящееся тело. Тогда оче-
зидно, что в выражении для радиуса кривизны § 1 C6) вместо величины s
нужно подставить рассматриваемое нами семейство световых лучей,* а вместо
величины р(г) — нормальный вектор, соответствующий распространению света
в покоящемся теле. Так как тело нвотропно, то из уравнения D), § 3 следует,
адо n = (ios, и вследствие этого, согласно § 1 C6), мы подучим идя вектора
кривизны: л
к = rot (MX s.
Отсюда на основании уравнения D9) вытекает
ISO) k = -f
с
Это выражение измеряет кривизну световых лучей в движущемся теле но отно-
отношению к лучам в покоящемся теле. Следовательно, оно равно нулю, если дви-
рение не влияет на ход световых лучей, поскольку дело касается эффектов пер-
|©го порядка. Так как наблюдения над ходом световых лучей в различных
Недах, находящихся на земле, не обнаруживают эффекта первого порядкам, вызы-
вызываемого движением земли, то еще в период существования теорий эфира выска-
8*

36 ' f'^' Классическая механика и геометрическая оптика
вывались различные гипотезы, пытавшиеся совместить этот факт с существова-
существованием эфирного ветра. Из уравнения E0) вытекает необходимость такой гипо-
гипотезы относительно эфирного ветра, появляющегося при движении тела, из которой
вытекало бы обращение в нуль выражения rot [i02 W. Две наиболее важные
из этих гипотез заключаются в следующем.
1. Гипотеза Стоке а. Внутри земных тел система координат, в которой
скорость света имеет такую же величину, как и в покоящемся теле (эфир), пол-
полностью увлекается движением тел, так что вообще эфирный ветер не возникает,
т. е. W = 0. Но так как в наблюдениях над аберрацией звезд световые лучи вне
вемли, т. е. в пустом пространстве, также не обнаруживают каких-либо отклонений,
которые могли бы возникнуть вследствие движения земли, и так как в пустоте
jto=l, то движение земли сквозь эфир должно вызывать в последнем поток, для
которого rot W = 0, то есть безвихревой поток.
2. Гипотеза Френеля. Если земля движется с постоянной скоростью g,
то эфир внутри всякого земного тела движется не со скоростью g,,-а со ско-
скоростью xg, где х зависит от показателя преломления jx0 рассматриваемого тела.
Очевидно, что скорость эфирного ветра W = xg — g. С другой стороны, если
[*о2 W = с, где с некоторый постоянный вектор, то rot (ц.о2 W) = 0. Следовательно,
должно существовать равенство (х — 1) g = —'—. Если еще предположить, что
сильно разреженный воздух не увлекает эфира, то при р0 = 1 должно быть х = о,
и поэтому с = — g. Отсюда следует, что х — 1 = - и
E1) ¦ 4=1 —-L.
Эта величина, введенная Френелем и характеризующая увлечение эфира
телом с показателем преломления ji0, была названа „коэффициентом увеличения"
Френеля.
5. Электронный микроскоп *). Если рассматривать траектории электронов
в электромагнитном поле как световые лучи, то так же, как; и в предыдущем
пункте, соответствующая среда оказывается анизотропной. Обозначим напряжение
электрического поля через Е, магнитного поля через Н, а заряд и массу эле-
электрона через е и т, тогда уравнения движения электрона в электрическом
поде Е и магнитном поле Н имеют вид
E2) т-^ = е
Так как поля Е и Н можно выразить через скалярный потенциал V и век-
векторный потенциал А при помощи соотношений
E3) Е = — gradF, H = rotA,
то уравнение E2) можио написать также в следующем виде:
E4) т
-Tj- = — е I grad V v X rot A j.
Если умножить обе части этого уравнения на \dt и проинтегрировать, то мы
получим уравнение энергии
F5) ~v^^-eV = E.
2
*) W. Glaser, Uber geometrisch-optische Abbildung durch Elektronenstrahlen, ZS. ?
Phys. 80, 193a, 451.

: I, § 3 Ход луча в различных средах 37
Выражение E4) можно также написать в форме вариационного принципа. В самом
деле, если положить
E6) X = -^-t-2 — eV-\- — (vA),
то уравнения Эйлера
d dL dL _ d dL dL d dL dL _
@7) _ UJ _ —0; • - ¦ ©,
dt дх дх dt ду ду dt дз дг
получающиеся при рассмотрении экстремума интеграла
E8) / Ldt ->• экстремум,
будут в точности совпадать с уравнением E4). N
Чтобы перейти от уравнения E7) в соответствующему принципу Ферм&
E9) / pds -*¦ экстремум,
исключим из E6) при помощи уравнения E5) кинетическую энергию , тогда,
очевидно, мы получим: v
Ldt =2{E—eV)dt-\-~ (vdt - A) — Edt.
Если в этом выражении заменить \dt на sds, а вместо dt подставить
- „ ~— (см. уравнение E5)), то мы получим:
2 (.?< — е У )
F0) Ldt = \V2m(E — eV)-f -J- (sA)l ds — Edt.
Так как в уравнении E7) независимая переменная t не вариируется, то
вид траектории не изменится, если мы прибавим к L постоянную величину Е,
поэтому выражение E7) можно представить в форме принципа Ферма, причем
F1) ¦ }i = V%m(E — eV) -j- — (As).
С
Обогначим изотропную часть показателя преломления р, зависящую только
от электрического поля, через (*0, тогда выражение для j* можно представить
в виде
F2) {t==(io_[_A(Ag).
Анизотропия нашей среды обусловливается исключительно магнитным полем.
Ниже мы увидим, что в аксиально-симметричном электромагнитном поле эту
анизотропию в известном смысле можно исключить, и, следовательно!, траектории
лучей и в этом случае будут таковы, как если бы лучи распространялись в изо-
изотропной среде.
Для соответствующего нормального вектора п мы получаем из уравнения F2),
согласно уравнению B3) § 1, следующее выражение:
F3) n ?

38 Классическая, механика и геометрическая оптика
и волновая скорость w, как функция волновых нормалей п, определяется урав-
уравнением: . ^,
F4) l =
На поверхности раздела двух сред с различными напряжениями поля и раз-
различными показателями преломления А15 Нч>1== vi и А2, jj-02 = v2, электронный
пучок будет испытывать преломление, определяемое, согласно F3) и уравне-
уравнению B) § 3, соотношением:
F5) v, (Slt) -f- -f (A,t) = v2 (s2t) + -i- (A2t).
§ 4. Отображение посродствон симметричных оптических приборов
1. Дифференциальное уравнение для лучей, близких к оси. Перейдем
теперь б более подробному изучению траектории луча и соответствующего отобра-
отображения в среде с осевой симметрией относительно показателя преломления.
Пусть ось симметрии совпадет с осью OZ прямоугольной координатной
системы. Если г = ~\/ х% -J- г/2 есть расстояние некоторой точки от оси симметрии, то
показатель преломления [а(ж, у, s), вследствие осевой симметрии относительно
оси г, должен зависеть от г и е, т. е. ji = (а (г, г).
Так как далее ji не должно изменять знака при изменении знака радиуса-
вектора, то оно является четной функцией. Аналитически это выражается в том,
что нечетные проивводные от (а по г обращаются на оси (г = 0) в нуль, вслед-
вследствие чего разложение функции jx(r, г) в ряд по степеням г будет содержать
только четные степени г. Итак,
A)
где
B) v (*)=,» (О, *); Ч*) = -^г при г = 0.
Все плоскости, проходящие через ось OZ, равноправны, поэтому достаточно
рассмотреть' какую-нибудь одну из них, принимая при этом переменные г и г
за прямоугольные координаты в этой плоскости.
В последующем мы ограничимся рассмотрением случая, когда лучи распро-
распространяются вблизи оси. Это условие математически определяется тем, что во всех
вычислениях можно пренебречь более высокими, чем первая, степенями рас-
•w , dr
стояния г от оси OZ и .тангенса угла наклона г — —г-•
Если
do = У\ -f-r'2 dz,
где г' = —=—, обозначает элемент дуги, то дифференциальное уравнение лучей, со-
гласно § 1 B6), будет иметь вид:
C)
th
Ив этого выражения мы получим, согласно уравнению A), следующее диф-
дифференциальное уравнение для близких к оси лучей:

i, § 4 Отображение посредством симметричных оптических приборов 39
Здесь обе функции v(,e) и "к (г) представляют собой .коэффициент прелом-
преломления и его вторую производную вдоль оси симметрии. Пусть область изменения
показателя преломления заключена между плоскостями Ео и Et, которые пере-
*»екают ось под прямым углом в точках г = а и г = Ь. Эти две плоскости мы
будем называть граничными плоскостями. Пусть перед плоскостью Ео (т. е. для
г < а) показатель преломления имеет постоянное значение v (a), a за плоскостью Ег
(т. е. для ?>&) постоянное значение vF). Таким образом, вне пространства,
ограниченного этими плоскостями, лучи будут прямолинейны.
Чтобы получить уравнения отображения для близких к оси бесконечно малых
-лъектов, мы перейдем посредством подстановки
от уравнения D) к соответствующему дифференциальному уравнению Риккати.
В самом деле, мы получим из уравнений (б) и D):
d(sr) a t dr\
ds dz \ de ) v '
' 1 dr
1 dr
я вторично подставляя значение -т- из (б), мы наконец придем к диффе-
дифференциальному уравнению Риккати
F) ^ = ~s2
При помощи подстановки E) можно из общего интеграла дифференциаль-
дифференциального уравнения D) получить общий интеграл дифференциального уравнения F),
нричем результат подстановки (б) не зависит от постоянного множителя, на
который умножается решение линейного дифференциального уравнения.
Если r1(s) и г2(з) есть' два решения дифференциального уравнения D),
соответствующие начальным условиям
гДа) —1, г/(а) = 0
то из того, что общий интеграл уравнения D) равен г = cxrx -f- e2rv следует, что
общий интеграл уравнения Риккати, согласно E), равен
(8) e!=_v(*)J?lL
В частности, выражение
-представляет собою интеграл, который принимает в точке г —а значение, рав-
^нсе s{o). Таки^г образом, решения дифференциального уравнения" Риккати при
Гйомощи проективного преббравования связаны с начальными значениями. Вели-
Величины s (а) и s(b) связаны соотношением
При этом s{a) и s(b), согласно E), определяются уравнениями:
s(a) r'(a) s(b) г' (Ь)
v (a) »¦(«)' v F) г F)

4O ¦' Классическая механика и геометрическая оптика
Точки, в которых находится объект, мы будем относить к координатной
системе г, ж (причем х — г— а), началом которой является точка Ео, а начало
отсчета аналогичной координатной системы в пространстве изображений совпа-
совпадает с точкой Et.
Пусть положительным направлением обеих систем является наиравление
слева направо. Луч г (г), распространяющийся прямолинейно в пространстве
объектов и проходящий через точку с координатами г (о) и 0 в плоскости Ео,
определяется уравнением
г —г (а) = г'(а) (ж —0).
Следовательно, координата х0 точки пересечения его с осью (г == 0) определяется
равенством:
Аналогично в пространстве изображений координата з^ точки пересечения луча
с осью будет определяться равенством:
„ _ г(Ъ)
A3)
r'(b)
Отсюда мы получим, в связи с уравнениями A1) и A0), выражение, связы-
связывающее между собою расстояние объекта ж0 и расстояние изображения хх от
соответствующих граничных плоскостей:
Теперь, для того, чтобы вывести соотношение между величиной изображе-
изображения уг и величиной объекта у0, мы рассмотрим луч, распространяющийся в про-
пространстве объектов параллельно оси на расстоянии у0. Согласно G), его урав-
уравнение имеет вид
A5) г = уйгх{г).
Так как этот луч проходит в пространстве изображений через точку гх (Ь),
лежащую в плоскости Eit то его уравнение в пространстве изображений будет
иметь вид
A6) у — уф) = у'(Ъ)-х.
Отсюда следует, что .
Если в это уравнение подставить значение жх из A4), то величина объекта
и величина изображения будут связаны выражением
A7) • * = —^^f^
Из формул A4) и A7) вытекает, что пространство объектов и пространств»
изображений связаны центральным проективным отображением в том случае,
если для построения изображения пользоваться лучами, близкими к оси. Это сле-
следует исключительно из того обстоятельства, что дифференциальное уравнение D),
определяющее траекторию луча, есть однородное линейное дифференциальное
уравнение второго порядка.
2wДиоптрика Гаусса. Выразим теперь величины, входящие в уравнения A4)
и A7), через обычные оптические иостоянные отображения.

I, § 4 Отображение посредством симметричных оптических приборов 41
Решая эти уравнения относительно х0 и у0, мы получим:
Из A4) следует, что точки, лежащие в плоскости Fo пространства объектов,
определяемой уравнением
A9) г/а:о-г2' = 0,
отображаются в пространстве изображений бесконечно удаленными точками.
Обратно, из A8) следует, что точкам изображения на плоскости F1
B0) '/*,+»•, = О
в пространстве изображений соответствуют бесконечно удаленные точки объекта.
Обе плоскости Fo и F, называют „фокальными" плоскостями пространства изобра-
изображений и пространства объектов. Параллельные лучи пространства объектов
пересекаются в пространстве изображений в одной точке фокальной плоскости
и наоборот.
Обе фокальные плоскости перпендикулярны к оси и удалены от граничных
плоскостей Ео и ^соответственно на расстояния
Точки пересечения фокальных плоскостей с осью, координаты которых опре-
определяются уравнением B1), называются „фокусами". Перенесем теперь начало'
координат обеих систем ив точек Еоя Et в фокусы Fo и Fx. Положим в соответ-
соответствии с этим
B2)
и, следовательно,
г/Х = гх'а
Х=с
, „ /.
'0 2 '
Fo X, , X =Д
/о
_ /у/ __ „ г _|_
•а; i^:
у/
При этом уравнения отображения A4) и A7) примут вид: -
' -у Г1 Г2 Г1Г2 . у 1 у/-
X j^, Y-—WY
,
B3)
Если далее положить
B4) f= Г*Г*'~Г1'Г* ; Г = --^7-;
то для уравнений отображения мы получим.
B5) „ = „ = . ; А А = ff .
Величины f ъ f называются фокусными расстояниями системы. Они свя-
связаны между собой замечательным соотношением, которое можно получить сле-
следующим образом. Из дифференциального уравнения D) можно вывести, что любые
два луча гг и г2 удовлетворяют соотношению:
B6)
Его можно получить, помножая дифференциальное уравнение для г2(г) наг1г
уравнение для г, (г) на г2, вычитая результаты и интегрируя. Если, в частности,
веять для гх и г2 решения G) и написать уравнение B6) для пространства

42 Классическая механика и геометрическая оптика
объектов, то, принимая во внимание уравнение G), мы получим для постоянной
значение
<27) С=*{а),
причем уравнение B6) примет для точки я = Ь вид:
Отсюда, на основании B8) и B4), мы получим для фокусных расстояний
искомое соотношение
f Г
Y'
Отношение -^- называется „увеличением". Оно равно единице, если Х = /",
т. е. если X' = f. Эти соотношения определяют две перпендикулярные к оси
системы плоскости Л ж 1Г, называемые „главными плоскостями" системы. Точки
пересечения обеих плоскостей с осью называются главными точками оптического
отображения.
3. Диоптрика электронных лучей *). Мы применим теперь выведенное
выше соотношение для нахождения оптического отображения электронных лучей
в аксиально-симметричном поле. Для этого введем цилиндрические координаты г, <р, г
и определим аксиально-симметричное поле, как такое, в котором Е и Н не зависят
«от <р и кроме того составляющие 1?у и Hf равняются нулю. Отсюда следует что
<30) V = V(r, e), Ar = At = O, A9 = A(r, г).
Так как вектор 8 определяется выражением
dr d<p ds
~~ ds •' ds ' ds '
a ds выражением
C2) . dfs2 = dr2-l-r2df92-f-^2,
то на основании уравнения F2) § 2 и C0) мы получим
<33) yds =[ [i0 У г2 + гЦ2 + г2 + г? — A)dt = Fdt.
с
Из уравнения Эйлера для переменной <р
Q
dt д? д<?
«ледует, так как функция F не зависит от о,
dt
ИЛИ
C5) ц.ог2ю = — г — А У й + rty -\- z* -j- const.
С
i) W. Glaser, Zur geometrischen Elektronenop.tik des axialsymmetrischen elektromagne-
tischen Feldes, ZS. f. fhys. 81, 1933, 647; 88, 1УЗЗ, 104.

* X, § 4 Отображение посредством симметричных оптических приборов 43
Если мы потребуем, чтобы в пространстве, свободном от магнитного поля,
составляющая скорости rtp была равна нулю, то постоянная должна будет рав-
равняться нулю. Таким образом, мы получим
C6) . rUl = —y ~ ds.
Подставляя C6) в C3), мы найдем
C7)
Если положить
C8) ch
то из C2) и C6), на основании C8), следует:
C9) ds&
Если это выражение для ds подотавить в C7), то иы получим, наконец:
D0) '
Поэтому принцип Ферма § 2 E9) для среды с анизотропным показателем
преломления F2) сведется к принципу Ферма для среды с изотропным показа-
показателем преломления
D1) m(r, в) =
Этик самым устанавливается связь с предыдущими рассуждениями. Таким образом,
траектория в аксиально-симметричном поле будет совпадать с траекторией в изо-
изотропной среде D1), на которую налагается, оогласно C6), некоторое вращение луча
с
а
Ограничиваясь рассмотрением лучей, близких к оси, легко видеть, что это
вращение луча не зависит от траектории отображающих лучей 1) и, следовательно,
гаконы отображения, выведенные в предыдущем пункте, останутся справедливыми
и для аксиально-симметричного поля, если только представить себе ивображетф
повернутым по отношению к объекту на определенный угол.
УЧЕБНИКИ
И. Born, Optik. Berlin, 1933.
И. Herzberger, Strahlenoptik. Berlin, 1931.
См. W. Glaser, 1. o.

44 Классическая механика и геометрическая оптика
ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
§ 1. Уравнения движения в прямоугольных координатах
1. Свободная материальная точка. Пусть х, у, г— прямоугольные коорди-
координаты материальной точки массы т по отношению к какой-либо ияерциальной
системе, а X, Y, Z—соответствующие составляющие действующей на нее силы,
которые зависят от положения и скорости материальной точки относительно инер-
циальной системы. Тогда X, Y, Z представляют собой заданные функции от
х, у, г, х, у, г, где, как обычно, точки означают производные по времени I. По
законам движения Ньютона дифференциальные уравнения движения будут:
d?x .
A) m~dW ==Х(Ж' У' *¦> х> У' *)'
m -?- = Y (х, ... в), m ш2 = Z(x, ... г).
Это — три дифференциальные уравнения второго порядка для определения трех
неизвестных величин х, у, z как функций времени t.
Из теорем существования, доказательство которых можно найти во всяком
большом курсе анализа, следует, что для любого значения t, „начальной тбчки" t0
шкалы времени, можно произвольно задать значения х, у, г, х, у, г, „начальное
состояние", причем уравнения A) будут иметь регулярное решение, принимающее
при t = t0 наперед заданное значение, если только для выбранного начального
состояния правые части уравнений A), т. е. X, Y, Z, регулярны. Следовательно,
общее решение зависит от жести произвольных постоянных. Если рассматривать
все шесть величин х, у, г, х, у, г как неизвестные функции,. то можно заменить
уравнения A) системой шести дифференциальных уравнений первого порядка,
именно:
B)
dx v • dy v ds
dx • dij • dz
В качестве простейшего примера мы рассмотрим движение в поле тяжести.
Направим ось х горизонтально, ось у вертикально вверх и обозначим через д
ускорение силы тяжести, которое мы можем считать постоянным, если ограничи-
ограничиваться достаточно малой областью пространства. Тогда X = Z=Q, Y = — тпу>
и уравнения A) принимают вид:
-^--0 ^ - а ^ -О
откуда после интегрировлния получаем:
D) x^

II, § 1 Уравнения движения ё прямоугольных координатах 45
где Cv С2,...,С6 — произвольные постоянные. Выберем начальное состояние так,
что в момент t = О материальная точка находится в начале координат, начальная
скорость v0 лежит в плоскости ху и направление ее составляет с положительным
направлением оси х „угол бросания" а, отсчитываемый вверх. Тогда при t = Q
хы должны иметь:
х = у = г = О, х = v0 cos а, у = v0 sin а, 2 = О,
и из D) следует:
C<i — Ci = C6 = О, Ci = r0 cos а, С3 = v0 sin а, С6 = О,
поэтому в качестве окончательного решения мы получаем известные формулы для
движения в безвоздушном пространстве тела, брошенного под некоторым углом
к горизонту:
E) , x=vocosa -t, y=vosma • t ^-?2, 2 = 0,
2. Притер: влияние сопротивлении воздуха на движение точки иод
влиянием силы тяжести. Если относительно сопротивления воздуха, испытываемого
движущейся материальной точкой, сделать предположение, что оно пропорцио-
пропорционально квадрату скорости v и противоположно ей по направлению, то составляющие
сил, действующих на т, можно написать следующим образом:
Х = — mCv*cosЪ, Y—— mg — mCv2sinЬ, Z=0.
4 При этом С есть постоянная, называемая коэффициентом сопротивления,
а & — угод между касательной к траектории точки и положительным направле-
направлением оси х, так что
х = v cos f>, y — v sin Ь.
Поэтому, согласно A), вместо уравнений движения C), соответствующих дви-
движению в безвоздушном пространстве, надо написать:
Начальное состояние возьмем такое же, как и в п. 1.
Если в уравнения F) ввести х, у я s = v, где s — длина дуги траектории,
отсчитанная от начальной точки, то мы получим:
.„. dx -,• • du _••
Разделив первое из этих уравнений нал и проинтегрировав, получим:
Так как при t = О, s также равно нулю, то из начальных условий следует
соотношение eCl = rocos<x, и поэтому:
* —Се ' *
(8) - .г = t'o cos a • е
Как показал Л. Эйлер, интегрирование уравнений F) сводится к квадратурам,
если ввести в качестве вспомогательной величины тангенс р угла наклона као»-
тельной к траектории; тогда:
(9) *=dJ' У=РХ- • -

46 Классическая механика и геометрическая оптика
»¦
Из G), (8), (9) следует:
Но так как ds = У +jp2 йж, то из A0) следует:
A1)
«02 cos2 a
Здесь можно в обеих частях произвести интегрирование с помощью элементарных
функций. Если ввести обозначения:
A2) Ф(Р) =
то из A1) после квадратуры следует:
fy,2
Это представляет конечное соотношение между р и s, содержащее две произволь-
произвольные постоянные Ох и С2 или v0 и а. Из A3) и A0) или из A3) и (9) следует:
, *(?)-С1"
Оба эти уравнения также можно решить посредством квадратур, но полу-
получающиеся при этом функции от р не выражаются через элементарные функции.
Поэтому квадратуру нужно выполнить графически или каким-либо другим мето-
методом численного интегрирования.
Таким образом, мы получаем х ж у как функции от р и четырех произволь-
произвольных постоянных, т. е. параметрическое представление траектории, — „баллисти-
„баллистической кривой". Мы получим движение в зависимости от времени, если в пер-
первое из уравнении A0) вставим значение х из A4), именно:
тогда получим:
A5) У~дс at =—т—dp
Р2-Ф(р)
откуда после интегрирования получим р как функцию от t, которую нужно вста-
вставить в интегралы уравнения A4), чтобы получить окончательное решение урав-
уравнений движения F).
3. Уравнения движения системы свободных материальных точек и их
интегралы. Рассмотрим теперь систему, состоящую из N свободных материаль-
материальных точек. Пусть точка со значком i имеет массу т, и прямоугольные координаты
х» У» et относительно некоторой инерциальной системы, и пусть на нее дей-
действуют силы, составляющие которых по координатным осям обозначены через
Х„ Г4, Zv Уравнения движения Ньютона имеют вид, аналогичный A):
A6) . т^- = Х„ 1и,^ = Г„ Щ%=Ъ 0 = 1,2,..., IV).
Если мы будем рассматривать х„ у„ г{ как составляющие вектора г„ „век-
„вектора положения", а Х„ Yt, Zt как составляющие „вектора силы" kt, то уравне-
уравнения A6) можно написать в следующем простом виде:
A7) mt-^- = kt (t = l,2,...,2V).

II, § 1 Уравнения движения в прямоугольных координатах 47
Если сложить все N уравнений A7) и ввести сокращенные обозначения
Ю из A7) следует:
Величина g называется количеством движения или поступательным
импульсом системы, а величина к главным вектором „внешних" сил, так
как при суммировании векторов к, внутренние силы вследствие равенства дей-
действия и противодействия попарно сокращаются. Если на систему не действуют
никакие внешние силы, т. е. к==0, то из A9) вытекает постоянство g или,
разлагая на составляющие:
N ¦ N N
B0) g = const, 2j «»Д== const, ^ mg/t = const, V«i,3, = const.
Эти три интеграла уравнений A6) называются интегралами количества,
движения или импульса. Если ввести еще обозначения:
N N
B1) »» = ]?*»<' wr=^»i,if,
где г является вектором положения центра инерции, то из A'8), A9), B1)
следует.*
i2r *
B2) m-^- = k,
т. е. центр инерции движется так, как если, бы вся масса была сосредоточена
в нем, и все внешние силы были приложены к нему.
Если помножить уравнения A7) векторно на г, и сложить опять все N
получающихся таким образом уравнении, то получим: ,
N N
B3)
Но по правилу дифференцирования векторного произведения
-^ (г, X г,) = (г, X г,) + (г, X г'д,
и поэтому в силу равенства
г,Хг, = О,
B4) -5T==d'
где
• N У
B5) i = 2 Щ (г, X гД d = ^ (г, X к,)-
Величины i и d называются соответственно моментом количества движения си-
системы и главным моментом внешних сил относительно начала координат, если-
мы опять примем во вникание, что главный момент внутренних сил равен

48
Классическая механика и геометрическая оптика
жулю. Если имеются только внутренние силы, т. е. d = 0, то из B4) вытекает
'постоянство i, что выражается в составляющих этого вектора равенствами:
B6)
mi B/« '3i — ei Уд =
т, {zt xi — xt zt) — const,
mi (xi Vi — У i *<) = const-
Эти уравнения называются интегралами площадей.
Наконец, если помножить уравнения A7) скалярно на г и опять сложить
все, то мы получим:
<27)
или, так как
i-l
dt
B8)
где
B9)
dK
~dt
K =
^Г называется живой силой или кинетической энергией системы,
а А—работой сил к„ совершаемой в единицу времени. Если мы предполо-
предположим, что существует потенциальная энергия, т. е. функция V координат xv yt, bv
#25 Уъ>-'-г& и8 которой составляющие сил получаются по правилу:
C0)
dV Y- dV 7- dV
то из B8), B9), C0) следует интеграл энергии:
dV
C1)
dt
К-\- F= const.
4. Положения равновесия как особые точки. Если составляющие силы
X, Y, Z в уравнении A) зависят только от координат х, у, г, то мы говорим
о силовом поле. Такие точки силового поля, в которых материальная точка
может длительно находиться в покое, называются положениями равнове-
равновесия. Из A) или B), в силу х = у = з = 0, следует, что в положениях равнове-
равновесия должны удовлетворяться условия:
<32)
X (х, у, «) = Г {х, у, e) = Z (ж, у, г) = 0.
Движение вблизи положений равновесия мы исследуем только для систем с одной
степенью свободы. Предположим, что материальная точка может перемещаться

KlI, § 1 Уравнения движения в прямоугольных координатах 49
только по прямой, вдоль которой мы и направим ось х-оъ. Тогда уравнения дви-
движения B) сводятся к первым двум, из которых получим делением:
dx x
Это дифференциальное уравнение первого порядка, которое, как известно, дает
; возможность вблизи каждой регулярной точки определить х как функцию х, при-
причем в- самой рассматриваемой точке может быть произвольно задано начальное
направление кривой в плоскости хх, т. е. в „плоскости состояния". Так как
состояние равновесия представляет собой состояние покоя и согласно C2) вы-
выражается точкой, в которой Х = 0, ж = 0, то правая часть уравнения C3) при-
0
иимает для этих значении х, х неопределенное значение — и является осо-
особенной точкой дифференциального уравнения C3), в которой теорема существо-
существования теряет силу. Поэтому здесь приходится обратиться к теоремам, относя-
относящимся к поведению решения вблизи особенной точки.
*!) В тех случаях, когда функция fix, у) удовлетворяет некоторым условиям,
в силу теоремы существования и единственности, через данную точку (ж0, у0)
проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения
A*) —Л- 4=s f (х, гЛ.
Точки плоскости, для которых упомянутые условия не выполнены, назы-
называются особенными точками уравнения A*). Если f (x, у) представляется
как частное от деления двух полиномов Р, и Р2" переменных ж и у и в точке
(ж0, у0) одновременно обращаются в нуль оба полинома, то точка (х0, у0) будет
особенной и поведение интегральной кривой вблизи этой точки требует особого
исследования. Можно показать (теорема Пуанкаре), что при качественном изуче-
изучении решения уравнения
к ' dx P(xy) cx-\-dy-\- к ^ '
вблизи особенной точки х — 0, у —О, за некоторыми исключениями, поведение
интегральных кривых определяется членами первого измерения. Поэтому мы
получим характеристику и классификацию особенных точек этого уравнения,
мучая так называемое однородное уравнение, т. е. уравнение вида
dy ах-\-Ъу
№ ) dx cx-\-dy
Мы будем предполагать a, b, e, d вещественными и такими, что
ad — be ф 0.
Положим, что уравнение C*) допускает прямолинейную интегральную кри-
кривую у = Аж, тогда к должно удовлетворять квадратному уравнению
1) Отмеченное * является дополнением редактора этого раздела.
Зак. 1406.— Франк и Мизес. Дифф. уравв. мат. фаз.

60 Классическая механика и геометрическая оптика
Относительно корней этого уравнения можно сделать следующие предпо-
предположения:
1) корни вещественные различные,
2) корни вещественные равные,
3) корни мнимые сопряженные.
1. Имеем две различные вещественные интегральные прямые. Преобразуем
уравнение, взяв эти прямые за новые координатные оси (вообще говоря, косо-
косоугольные). Преобрааование достигается линейной подстановкой вида
E*) 6 = в»-|-ру, ч = Тв-|-8у.
Уравнение преобразуется к форме
т ?-"*
с интегралом
F**) ц=*СР.
Надо различать три частных предположения:
a) А > 0. Все интегральные кривые проходят через начало координат,
которое является узлом. При А > 1 кривые в начале координат касаются
оси 6, при А < 1 — оси ij. Сами оси являются тоже интегральными кривыми.
b) J. = 0. Система параллельных прямых.
c) А < 0. Гиперболовидные кривые с двумя асимптотами (осями координат),
являющимися тоже интегральными кривыми. Это случай седла.
2. Имеем двукратный вещественный корень. Преобразованием вида E*)
можно достигнуть того, что двукратная интегральная прямая станет осью орди-
ординат. Уравнение примет вид
di\
Так как преобразование не могло изменить характера интегральных кривых,
то соответствующее полученному уравнению уравнение D*), имеющее теперь вид
D**) * = Х + ^,
не должно ни иметь корней, ни тождественно удовлетворяться. Следовательно,
]»=1, кфО,ъ мы приходим к уравнению
d-q _ XE-f ч
-ft-"!—
или, полагая т^Хт^, к уравнению
с интегралом
G*?)
Все интегральные кривые проходят черев начало координат и касаются
в этой точке оси ij, мы опять имеем узел.
3. Два мнимых сопряженных горня и, следовательно, две мнимые сопряжен-
сопряженные интегральные прямые. Преобразованием вида E*) достигаем того, что две
интегральные кривые будут
(8*)

II, § 1 Уравнения движения в прямоугольных координатах 51
> дифференциальное уравнение примет вид
и в зависимости от того р = 0 или рфЪ будет иметь интеграл
(9**)
(9***)
(9**) соответствует вихревой особенной точке или центру, а (9***) — фо-
фокусу (Strudelpunkt).
Более подробное изложение можно найти • в курсе высшей математики
В. И. Смирнова, т. П, стр. 143, 71 и 72 (изд. 1926 г.). *
В силу этих теорем вопрос решается линейными членами разложений в ряды
числителя и знаменателя правой части уравнения C3). Так как Х = 0, то при
положении равновесия х — 0, разложение X будет: X = ах -\- ... и, следова-
следовательно, после отбрасывания членов высших порядков уравнение C3) примет вид
C4) * пХ
dx х
Это соответствует уравнению C*), если в нем положить у = х,Ъ = О, с = О,
¦d=l. Характеристическое уравнение D*) принимает теперь вид ?2 = а. При
положительном а оно имеет два вещественных корня, следовательно, „состояние
¦равновесия" ж = 0, х — О является седлом для интегральных кривых уравне-
уравнения C4); при отрицательном а корни характеристического уравнения мнимые
сопряженные, и мы имеем вихревую особенную точку. По теореме Пуанкаре
отсюда следует, что для полного уравнения C3) в случае а > 0 точка х = О,
х = О является седлом, тогда как в случае а < 0 она может быть также и
.фокусом (Strudelpunkt). Однако, можно непосредственно показать, что точка
х = О, х = Ь, является также и здесь вихревой точкой уравнения C3). Интеграл
энергии C1) имеет в этом случае простой вид -к~х2-\- V= const. В силу соот-
' dV -t, т. а „ ,
ношения -т— = а, можем написать к = ——ж2-}-.-., т. е. при малых значе-
вилх х, х интегральные кривые имеют форму кривых — ж2 — ж9 = const, сле-
Л It
довательно при а<0 это—эллипсы, окружающие точку ж = О, х — О, которая
поэтому является в этом случае вихревой точкой решения. В случав седловой
точки через состояние равновесия проходят две вещественные „кривые состоя-
состояний", они представляют движения, приближающиеся асимптотически с исчезаю-
исчезающей скоростью к положению равновесия, которое, следовательно, в этом случае
а>0, является „неустойчивым". Что касается вихревой точки, то ее не дости-^
гает ни одна из интегральных кривых. В этом случае материальная точка ли-
когда не может приблизиться сколь угодно к состоянию равновесия, эллипсооб-
фазные кривые состояний выражают колебания около состояния равновесия
которое в случае а<0 является „устойчивым".
б. Принцип Далаибера. Обовначим через 8ж15 8^, 8^, 8ж2, ..., §2N бес-
бесконечно малые изменения координат N материальных точек, рассмотренных
в. 3. При этом подразумеваются не те изменения, которые действительно про-

52 Классическая механика и геометрическая оптика
исходят вследствие движения, а все возможные „виртуальные" изменения, кото-
которые совместимы с ограничениями движения, предписанными системе. Когда
материальные точки „свободны", как в случае 3, то 3JV величин ^...8^ могут
принимать произвольные независимые друг от друга вначения. В этом случае
уравнения движения A6) можно объединить следующим образом: должно иметь
место равенство:
N
C5) 2 К™' *« —Хд **• + (Ш« & ~~ Г«> 8у« + (т« *« -" ^ ** J = °'
в котором через bxv ..., 8^ обозначены виртуальные перемещения свободных
материальных точек. Вследствие их независимости из C5) следуют уравнения A6).
Если же имеются ограничения движения или „связи", если, например, материаль-
материальные точки все или часть их жестко связаны друг с другом, то 3N величин
Ъхх, ..., bzN не являются уже более независимыми, но могут быть выражены
черев какие-нибудь п из них. Принцип Даламбера гласит, что и в этом случае
уравнения движения системы являются следствием соотношения C5). Только
в этом случае виртуальные перемещения 8ж1, ..., lzN нужно • выразить через
какие-нибудь п иа них, которые сами могут иметь произвольные значения. Из
уравнения C5) вытекает в этом случае только равенство нулю коэффициентов
при этих п перемещениях, следовательно, получается п уравнении движения.
Под силами в C5) подразумеваются только „приложенные" силы, а не те силы,
которые вызываются жесткими связями или другими ограничениями движения.
Если вместо прямоугольных координат ввести другие, на которые уже не
наложены никакие ограничения и которые, следовательно, как раз достаточны,
чтобы определить положение системы (число этих координат очевидно должно
быть равно »), то из уравнений C5) должны получаться уравнения движения
такой системы с п „степенями свободы" в этих новых координатах. Это приво-
приводит к уравнениям движения Лагранжа.
§ 2. Уравнения движения Лагранжа и Гаиильтона
1. Вид уравнений Лагранжа. Если мы будем рассматривать механическую
оистему, состоящую на N материальных точек, прямоугольные координаты кото-
которых по отношению к инерциальной системе мы обозначим теперь через xt, ж2,
xa, xv ..., xaN, то движения системы подчиняются принципу Даламбера (§ 1,6).
Если мы обозначим массы через m1(=*m2 — mj, w»4 ( = «г5 = m6),..., w»3№ и
составляющие приложенных сил через Х^ Х2, Х3, Х4,..., X3N, то иа этого прин-
принципа в его лагранжевой форме [§ 1 C5)] следует, что должно иметь место
уравнение:
a) S^^^S^8*'
»=1 г=1
при
• dx{ -¦ d2xt
Xt~~dT'Xi — ~d^'
где oxt, 8ж2> ..,, bx3N—произвольные бесконечно малые изменения координат,
вовместимые с уравнениями связей, которые только и ограничивают свободу дви-
движения системы. Будем рассматривать системы с п степенями свободы, для кото-
которых xv ж2, ... можно считать функциями „обобщенных" координат qv q2, ..., qn,
так что каждое бесконечно малое изменение bq3- величины q, совместимо с огра-

II, § 2 Уравнения движения Лагранжа и Гамильтона 53
ничивающими условиями (голономные системы). Соотношения, выражающие пря-
прямоугольные координаты через обобщенные, имеют вид:
B) *, = *, (д„ q2, . . . , qn, t) ' (i= 1,2, ... , 32У).
Если время t не содержится в них явно (д4 называются тогда склероном-
склерономными координатами), то <^- также относятся к инерциальной системе. Из уравне-
уравнений B) следует:
3=1 ч 3=1 3
3N п 3N
D)
Величины Qj называются обобщенными составляющими силы,
отнесенными к координатной системе величин qt. С помощью тождеств:
. . •• dxi d I • dxt \ - дх% дх{ дх{
dqj at \ dqj ' aqj dqj *i
из которых второе следует из ур;авнения C), мы получаем:
d
Если ввести живую силу .ЙТ системы, причем [согласно § 1 B9)]:
то из E) вытекает:
Величины^- называются обобщенными составляющими импульса.
Из A), F), G) и D) теперь следует
откуда вследствие произвольности 8^. вытекают уравнения движения Ла-
Лагранжа:
(9) i^_« = % 0=1,2,...,»).
di 9gy dq:-
Если в ?Г вставить выражения для ж, из C), то живая сила принимает вид:
где о, о,-, «yS представляют собой известные функции q3 и t. Мы видим из C), что в слу-
случае склерономных координат I —ф = О J величины а, а} равны 0, так что, согласно A0),
К в этом случае является однородной квадратичной функцией qt. В дальнейшем

54 Классическая механика и геометрическая оптика
мы ограничится случаем, когда время t не содержится явно в этих коэффициентах,
если даже оно и входит в уравнения B). Тогда:
d Ж ^ За- .
at dqj t ** ft(j
Переставляя значки суммирования, мы получим:
dajk dafl\ . . ,
Если вставить все эти выражения в (9), то уравнения Лагранжа принимают
развернутый вид: '
Г'Л -"-^1-^ o'=i,2,...,W)
ГI ft] 1
Г I ft 1
Величины . называются символами Кристоффеля.
Если составляющие сил Qj заданы как функции qj, qj, t, то уравнения дви-
движения (9) и A1) представляют собой п дифференциальных уравнений 2-го по-
порядка для п функций q5 от времени t. Если время не входит в уравнения B),
то а = «,= (), а поэтому, согласно A2), также и ^- = 0, и уравнения движе-
движения A1) принимают более простой вид:
Если же t входит в уравнения B), то уравнения A1) все же можно при-
привести к виду A3), если написать их в виде:
A5) " ж< ' дй '
Иначе говоря, мы можем вычислять так, как если бы q}- были отнесены
к инерциальной системе; но только при этом необходимо прибавить силу с со-
составляющими JRj— „фиктивную силу относительного движения". Если величины
Bj равны 0, то координатная система является инерциальной, даже если t вхо-
входит в уравнения B).
2. Примеры. Рассмотрим материальную точку массы т с прямоугольными
координатами х, у, г в инерциальной системе. В качестве ^выберем сферические
координаты г,Ь, tf в той же инерциальной системе, тогда уравнения B) будут:
A6) х = г sin & cos <р, У — г sin & sin <p, s = r cos ft. •

II, § 2 Уравнения движения Лагранжа и Гамильтона 55
Простое вычисление дает далее:
/П1 • • • ftt. • • •
A7) к=—(ж2 4* у2 4- ^2)=—(г2 4"г2 ^а+r2 s*n2 * ?2)-
Если составляющие обобщенных сил обозначить через Qr, Qt, Q , то, вста-
вставляя выражение A7) в уравнения (9), мы получим:
тг — тг№ — mr sin2 &»2 = О—
A8)
тг — тг№ — mr sin2 &ср2 =
r*& + 2»игг * — wr2 sin Ь cos & ?a = Qb,
r2 sina S? -f- 2wr sin8 S<p r 4- 2mr2 sin & cos & »& =
т. е. уравнения движения вида A3).
В качестве примера координат, не отнесенных к какой-либо иперциальвоЁ
системе, рассмотрим прямоугольные координаты Е, ti, С материальной точки по
отношению к координатной системе, ось которой совпадает с осью г инерциаль-
ной системы и которая вращается как целое с постоянной угловой скоростью «о.
Уравнения преобразования B) имеют в етом случае вид:
A9) . aj = ?cosatf — Y]smwf, у = ? sin <at -\-1\ cos cof, г = {
Они содержат t явно и для живой силы получается выражение:
B0) г=^-(|
н, следовательно, в обозначениях уравнений A0) и A2):
. а = —а>2(?24-т12), ас = — т@7]1 а_ =
B1)
Уравнения движения имеют такой вид, как если бы \, % С представляли
собой прямоугольную инерциальную систему; но только при этом прибавляется
фиктивная сила с прямоугольными составляющими В^, В^, Bv которые, согласно
с уравнением A5), имеют вид:
B2) В% = ^
Равнодействующая слагается из двух сил, обеих перпендикулярных к оси
вращения, причем одна ив них имеет величину 2m<av (где v есть составляющая
скорости в плоскости ё, т)) и направлена перпендикулярно к направлению v. Она
обычно называется силой Кориолиса. Вторая сила имеет величину
то»2 j/S24~Yla и направлена по радиусу. Она называется центробежной
силой. Мы видим, что в правой части уравнения A5) первый член предста-
представляет собой обобщение силы Кориолиса, а второй — обобщение центробежной
силы.
3. Законы энергии и импульса. Пусть К есть произвольная функция
?У и qj введем взаимную ей функцию К*, определяемую формулой:
B3) ^^
4}

56 Классическая механика и геометрическая оптика
Если помножить уравнения (9) соответственно на величины q} и резуль-
результаты сложить, то получится соотношение:
При его выводе необходимо применить тождества:
• й дК й ( ¦ дК\ ¦¦ дК dK ъ/дК • . дК -\
4} 1~ = — ( 4.j—r- — 3/—" и ¦—¦==Zj(—зИ——%\-
at dq}- dt\ dq}.) dqj dt ?\dqs dq} J
Если теперь К представляет собой живую силу механической системы,
определяемую уравнением A0), в котором величины а, ajt ajk не содержат, вре-
времени t, то:
B5) К* =
Если время явно не входит в уравнения B), то, на основании теоремы
Эйлера об однородных функциях, мы имеем, в силу A0), B3):
B6) ^
На основании уравнений B4), B6) приращение живой силы за некоторый про-
промежуток времени равно работе, совершенной приложенными силами 8а тот же
промежуток времени (закон энергии). Если существует потенциал V, то,
согласно D) и § 1 C0):
dV
B7) Q>=e—_ (j = l,2,..., n),
следовательно,
dV v1/-» '
з
и из B4), B6), B7) получается интеграл энергии:
B8)
где Ео означает постоянную энергии. Если определить „функцию Лагран-
жа" L посредством соотношения:
B9) L = K— V,
то уравнения движения (9), в силу B7), принимают вид:
AlL-n0 0-=i,2,...,n).
dt dqj %
Если какая-либо координата, например д„ не входит в К, и кроме того
соответствующая составляющая силы Ql равна 0, то qt называется „скры-
„скрытой" г) координатой, и из (9) вытекает постоянство составляющей обобщенного
импульса jpv В этом случае мы получаем интеграл системы уравнений (9):
дК
C1) Pi = — = const
Чх
1 Verborgene Koordinate; иначе эти координаты, следуя английским авторам, нави-
навивают .циклическими" — п.угЛл dits

II, § 2 Уравнения движения Лагранжа и Гамильтона 67
— интеграл количества движения или интеграл импульса.
Если qx есть прямоугольная координата (например q1 = %1), то уравнение C1)
принимает вид, аналогичный уравнению § 1 B0):
тххх = const
4г. Связь г. вариационны» исчислением. Если мы введем интеграл:
h
C2) 7= I' Ldt,
k
то, в силу основных теорем вариационного исчисления, уравнения движения
в форме C0) являются условиями того, чтобы Ы равнялось нулю для любой
вариации 8^ координат какого-либо их решения. При этом §<fy представляют
собой вариации q} при постоянном t. Однако можно определить еще более общее
изменение движения, если расчленить представление движения на геометри-
геометрическую форму траектории и его течение во времени. Первая из них определяется
тем, что п координат q}- выражаются как функции произвольного параметра и; что
касается течения во времени, то оно определяется тем, что время t выражается
как функция того же самого и. Введем в таком случае в I этот параметр и
как независимую переменную. Если обозначать штрихом дифференцирование по и,
так что:
*-¦&¦ '-? i-H-
то
C4) J =
«о
где «0, «j заданные значения и. Рассмотрим семейство функций
ft=&(M>a)i t = t(u,a)
ж положим
( даЛ I Ш \ 1 dl\
C5) 8ges(-J?.) da, 8i= — da> **=\-j-) da.
Тогда для вычисления Ы мы можем применить обычные приемы вариационного
исчисления; однако, при этом необходимо иметь в виду, что у нас теперь
имеется те -j— 1 функция t, qv . . ., qn, независимой переменной и и что в каче-
качестве подинтегральной функции у нас фигурирует Ltr. Полученная таким обра-
8ом вариация 8/ соответствует такому изменению движения, при котором про-
происходит не изменение q}- при постояннбм t, но при каждом заданном значении
параметра и изменяются все величины t, qv. . . , qn. Вариации 8<fy соответствуют
изменению геометрияеского вида траектории, а Ы соответствует изменению тече-
течения движения во времени.
Выполняем вычисления полностью, предполагая, что L не содержит t явно:
da
щ
иди, замечая, что
Та да \~F~J~ V дида ~~?^^да

68 Классическая механика и геометрическая оптика
и группируя несколько иначе члены
dl ?X"V9.L да, ., , dL d2q{\, , ?Г ^ '^Г\ dL 1 94
du.
da J jLJ\dq, да dq, дида/ J L jLJ dq, -i дида
Замечая, что
d I dL dqs \ ЬЪ Щ; d (dL\ dqs
du dqj da > dqj du da du \ dq^ ' da
мы можем частично выполнить интегрирование в первом интеграле, кроме того
выполняем интегрирование по частям во втором интеграле. В результате по-
получим:
ЧН L dqj dt >П dL . df]Ui
f
da da \ dqf 'da I
Переписывая, наконец
— l—)-±du
du \ dqf I da
в виде
d (dL\ dq,
dt\daJ da
н умножая обе части на 8а, мы получим:
где
C7) ?* = _?+ 2|^Ч-
Если L есть функция Лагранжа механической сестемы B9), то согласно
B6), B8): " ;
C8) L*

П, § 2 Уравнения движения Лагранжа и Гамильтона 69
Если кривая (п+1)-мерного пространства, а = 0, из которой исходят
вариация, является решением: уравнении движения C0), то в силу ч C8),
B9), G):
C9) И \У\
Если, наоборот, предположить, что при заданной системе функций ?Д«)
J(«), 81 = 0 при любых значениях вариаций, причем Ц^Ы ограничены только
тем условием, что они равны нулю на границах интегрирования м0, uv то
И8 формулы C6) вытекает, вследствие равенства нулю проинтегрированных
членов, что коэффициенты при вариациях §«,-, of должны равняться нулю. Отсюда
dL*
вытекают уравнения движения (9) и кроме того —^— = 0, т. е., согласно C8),
интеграл энергии.
.Утверждение 81 = О, понимаемое в установленном смысле, называют прин-
принципом Гамильтона.
Так как в предыдущих рассуждениях время t не играет особой роли по
сравнению с координатами <7,-, то с помощью этого принципа можно преобразо-
преобразовать уравнения движения (9) в дифференциальные уравнения для функций ?,(»),
*(«)• Если ввести обозначения:
i, J ч>
to для однородного квадратичного Kt следовательно, для склерономных коор-
в поэтому; i
«, щ
D1) j'V~Kt'du = /VT du,
«. щ
При этом вариации нужно производить так, чтобы каждое 8д^ на границах,
U—везде—равнялись нулю. Так как формула C6) справедлива также и в той
влучае, если мы положим L — Y К » т<> формулу D1) можно переписать в виде:
/ 2
dt dqt dqt du dqk' Bq,
Вследствие произвольности 8g, из D2) следует:
Следовательно, согласно уравнениям D3) и D4)
D5) /F Х
. _,()
2и У К ±У К? dt dqtr

60 Классическая механика и геометрическая оптика
Отсюда, с помощью B4), (9), D3}, следует:
Dв)
Если мы будем рассматривать силы, которые зависят от потенциала V,
т. е. даются формулами B7), то из уравнения D6), положив, на основании C8),
К — Ео—V, после простого вычисления получается
Но если принять в расчет значение \(f), определенное формулой D3), то
отсюда следует:
D7) \(V(Eo—V)k)*=O («=1,2 п).
А это условие того, чтобы первая вариация интеграла
D8) l f
«о «о *'J
равнялась нулю. Утверждение 87=0 называют обычно „принципом наименьжего
действия" в форме Эйлера-Якоби. Оно содержит только утверждение о геоме-
геометрической форме траектории, но не о течении движения во времени.
5. Уравнения движения в форме Гамильтона и Рауза. Мы будем
говорить, что величины qt и q, определяют состояние механической системы.
Из уравнений:
D9) «, = -^- (*'=!, 2 »),
Hi
где L определяется формулой B9), можно вычислить q\ как функции qt и pt.
Следовательно, мы можем определить состояние также величинами q, и р, так
называемыми „каноническими переменными". Величины pt предста-
представляют собою при этом, на основании формул A7), составляющие импульсов.
Таким образом, моашо преобразовать уравнения движения Лагранжа в дифферен-
дифференциальные уравнения для qt и рг Для этой цели выразим функцию, взаимную
с функцией X Лагранжа и определяемую формулой C7), с помощью уравнений
D9) через q, и jp,. Тогда мы получим функцию Гамильтона:
E0) H(qv ... , qn , Pl, ... , рп) = —
Если мы всегда будем считать Н функцией от qi и pt, a L — функцией от
q, и qt, то из уравнений E0) получится:
— ==_ V —ЛИ*-л- у р ^S-h--X-n
dp, ft = i dqh dp, fc^f dp{
dH __ iJd v dL дЯк i V1 9i
Hi дЪ к д% Цг к dq{

Ш, § 2 Уравнения движения Лагранжа и Гамильтона 61
ton
Отсюда, на основании D9) и C0), следует:
дН ¦ дН 8L
Ж -Ц/
dt ~~ dp, '
Эю—„каноническая" или гамильтонова форма уравнений движения.
Если К есть однородная квадратичная функция qt, то величины pt, со-
согласно D9), линейны относительно q,, и Л", в силу C8), принимает вид:
-E3) Я
*де Aijt V суть функции ?,'. Однако вывод уравнений E2) из уравнений C0)
справедлив при любой зависимости L от qt и q{. Если, например, qt—сфериче-
qt—сферические, координаты, определяемые уравнениями #A6), то из A7), B9), D9) следует:
<54> я=2
если составляющие импульса обозначить через рг, рь, д,. Если мы разобьем п
координат g, на две группы wt, м»2, ..., и» и glt ?»>•••> 2В_,,. и исключим
Я 7"
с помощью уравнении Uj = —— (j=l, 2, ... , р) только р первых скоростей
Wj, соответствующих первым \ь координатам, то все переменные, характеризую-
характеризующие состояние, можно выразить как функции от м^,...,^, и1г...,и^, g1,-..,gn_ll,
if "'in— • Если мы теперь введем нечто среднее между функцией Лагранжа
к Гамильтона — функцию Рауза Л:
E5) M{wv...,w^ uv...,%, gv...,qn_^ 'qx,...,qn_r) =
и выразим ее через выбранные переменные, то получим аналогично уравне-
уравнениям E1)
dR___ • dR _ db_ "
О Л OXj OJ% O-Lj n
г
dql
При этом i считается функцией q%, qt, м?у, «f)y. Теперь величины qt, qt, tOj
нграют в функции В ту же роль, что и величины q, в функции Н.<
Из уравнений движения Лагранжа C0), которые в новых обозначениях
распадаются на две группы: одну, содержащую q{, и другую, содержащую wf,
вытекает теперь с помощью уравнений E6).
dw, dR du,- dR
E7)
, 0=1, 2, ...,»—(!.),
d dR dR
: = 0 (i = 1, 2, ... ,»—p).

62 Классическая механика и геометрическая оптика
Следовательно, с помощью функции Рауза можно всегда преобразовать уравне-
уравнения движения механической системы таким образом, чтобы они состояли из
2[i дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно величин Wj,»j вида
гамильтоновых уравнений E2) и из п — jj. дифференциальных уравнений 2-го по-
порядка относительно qt вида лагранжевых уравнений C0).
6. Интегралы уравнений движения Гамильтона. Уравнения E2) обра-
образуют систему 2» дифференциальных уравнений первого порядка относительно
2и переменных qv . ..,?„, pv . • -,рп ¦ На основании общих теорем об интегриро-
интегрировании такой системы, всегда существуют 2п функций qt, р, переменной t и 2»
произвольных постоянных, удовлетворяющих этим дифференциальным уравнениям.
Эти функции мы будем называть решениями системы E2). Если Ы не содер-
содержит времени t явно, то t входит в уравнения только в виде дифференциала dt.
Тогда одна из постоянных связана с t аддитивно. Поэтому решения имеют вид:
j 2i = ?<(' — 'о» Cl'C2>-">C2»-l)>
j Л = ФД* —*e> ei»в*—»**!-i) (г=1, 2, ..., n),
где tt, ct, ... , c2n_1 означают 2и произвольных постоянных интегрирования.
Под интегралом системы E2) подразумевают такую функцию времени t
и In переменных q,, pt, из которой при подстановке решений время t, а поэтому
также и постоянная t0, выпадает, причем эта функция переходит в функцию
величин ct, с2,... , сгп_1. Поэтому такой интеграл f(t, <zP ...,<?„, pt ...,pn)
должен удовлетворять тождеству:
dt dt* /U\ dqt dt ' dpt dt
если вместо qt, рг вставить решения E8). Из E9) при посредстве E2) следует:
F0) ^ + (H,f) = 0,
где символ (Н, f) означает скобки Пуассона:
(дН df m df
Интегралы f представляют собой таким образом также интегралы линейного
однородного дифференциального уравнения первого порядка в частных производ-
производных F0) о 2и-|- 1 независимыми переменными t, qv ..., qn ,jpt,.. .,рп.Ъ теории
дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение F0) имеет 2» различ-
различных (независимых) интегралов, через которые можно выразить все остальные.
Так как они совпадают с интегралами системы E2), то их можно получить,
. решая уравнения E8) относительно постоянных в форме:
J /*Bi»—»9»,Л»—»J»J —в* ' (ib=l, 2,..., 2п —1),
I /»,(«!».-.а,,, Л,...,Р„) = « —10.
Из числа этих 2п интегралов время t не входит в 2п — 1. Каждый интеграл
уравнения F0) может быть представлен как функция 2и интегралов ft, f2, ...,
f^m -1' fin —'• •Если интегРал ие зависит от времени, то -~ = 0, и уравнение
F0) приобретает форму:
F3) (И, /) = 0.

II, § 2 Уравнения движения Лагранжа и Гамильтона 63
Это уравнение имеет 2п — 1 различных интегралов, которые все не содержат
времени и в качестве которых мы можем принять функции /j, f2, ..., fan_1,
входящие в уравнения F2). Каждый интеграл, не содержащий времени, может,
следовательно, быть представлен как функция этих 2ге — 1 интегралов.
В частности, если само Н не зависит от t, то, очевидно, оно является
интегралом уравнения F3) и, следовательно, может быть представлено как функ-
функция /;,..., /;„_,.
Так как, согласно уравнениям E3), величина Н в обычных механических
идачах представляет собой энергию, то энергию системы можно выразить в функ-
функции от 2w—1 постоянных интегрирования сх, ... , с2п_х.
Если f и g являются интегралами уравнения F3), то можно показать, что
скобки Пуассона (f, g) также представляют собой интеграл уравнения F3). Дей-
Действительно, если f, g, H означают три произвольные функции q{, pi то между
г скобками Пуассона имеет место тождество Якоб и:
Щ) ((f,9)IT) + ((<>,H)f) + «H,f)g) = O,
которое легко проверить, вставляя выражения F1) скобок Пуассона. Если па
"предположению (Н,}) = 0 и B?, д) = 0, то из F4) вытекает, что (f, g) является
также интегралом уравнения F3). Следовательно, если f и д — интегралы .диф-
.дифференциальных уравнений механики E2), притом такие, что в вих не входит
время, то из них, образуя скобки Пуассона, можно получить третий интеграл.
Это предложение называется обычно теоремой Пуассона и имеет место
также и в том случае, когда f и д содержат время, чего мы однако здесь не
будем доказывать.
Так как мы и бев того знаем, что каждая функция величин f и д пред-
лигавляет собой интеграл уравнения F3), то теорема Пуассона только в том
"случае дает „новый" интеграл, когда (f, g) нельзя представить как функцию от
f * 9-
Если у нас имеется г различных интегралов F3): flf f2, ... , fr, из которых
е помощью теоремы Пуассона нельзя получить никаких новых интегралов, т. е.
вели для любой пары функций ft, fj имеет место соотношение:
F5) (fi,fj)=*?Mfv;fr)>
ю мы говорим, следуя С. Ли, что г функций образуют „группу функций". К этой
группе в таком случае причисляются также и все функции величин fvfv ...,fr.
Если мы рассмотрим г независимых функций величин fvfv ...,/",, например
уп д2, ,дг, то эти последние очевидно тоже образуют г-членную группу
функций. Действительно, вз определения скобок Пуассона легко вывести, что
Здесь y.ffiftv означает функциональный определитель -Щ--М-—М- • Jr.
^(// '1 "/2 "II 4 2
В силу групповых свойств величин f{ скобки Пуассона, на основании F5)»
представляют собой функции ft, а, следовательно, также и дк; то же имеет место
я для функциональных определителей уже на том основании, что дк являются
фркцвями величин ft. Следовательно, (gkgi) также могут быть выражены через
jij, ...,gr. В этом случае говорят, что они определяют ту же группу, что
и /,, но в другой форме.

64 Классическая механика и геометрическая оптика
Если в частности функции <р4у в уравнении F5) тождественно обращаются
в нуль, т. е. если для любых двух функций группы (ft fj) тождественно равны
нулю, то ft, ..., fr образуют „систему в инволюции" а).
Согласно уравнению F6), любая другая форма группы представляет в этом
случае также систему в инволюции, так как из обращения в нуль скобок (f,f)
вытекает также равенство нулю выражений igkg^.
Интеграл энергии Н образует, согласно уравнению F3), с каждым не зави-
зависящим от времени интегралом систему в инволюции.
Рассмотрим систему в инволюции /} (д„..., qn , pv...,рп) = с,- (ji = 1, 2, ..., г),
состоящую из г интегралов, и предположим, что г выписанных уравнений могут
быть разрешены относительно jpt, р2, ..., рг. Пусть их решения имеют вид:
F7) J»j = t,(«i. 12>--->Чп> Рг + 1» — ».Р««е1> с2'---'сг> G = 1.2, ..., г).
Тогда можно показать, что функции pj — ^(j=i, % ..., г) 2» переменных
qt, p{ также образуют систему в инволюции. Доказательство можно получить
путем непосредственного вычисления: ,из уравнений fr = cr после дифференциро-
дифференцирования вытекает:
вания вытекает:
Иа этих 2w—г уравнений можно определить 2w — г величин:
^-, (fc-l, 2, ...,п), ф (fc-r + 1, ...,»)
dfj
как линейные функции г величин -=— (Л = 1, 2, ..., г). Поэтому, согласно опре-
делевию F1), скобки Пуассона (/<5 /}), можно представить как квадратичные
формы тех же г величин, т. е.:
После вычисления мы получим для коэффициентов вначения:
F9) Аш- % - а^ ¦+
Если, с другой стороны, вычислить выражения (pft — «J^, pA—<}iA) непосредственно
с помощью формулы F1), то мы получим:
G0) (Р« —Ф*,Л —40=-^».
г) Согласно терминологии, введенной С. Ли о двух функциях ftt fj, говорят, что
онн находятся в „инволюции", если (ft, fj) — 0. В дальнейшем мы будем говорить, что
система уравнений fi = c, н ff= с,- есть система в инволюции, если (fb fj) = 0, т. е. если
функции /j и fj — в инволюции. ' ¦

II, § 3 Дифференциальные уравнения траекторий 65
так какфл зависят только oiqv ...,qn, pr+1 >• •., рп- Если скобки (/",, fj) обра-
обращаются в нуль, то из F8) и G0) вытекает система г линейных однородных
уравнений относительно г неизвестных величин:
^T(Pk — ^k,Pn — W (h = h 2, ..., г),
* = 1 °P*
причем г имеет определенное значение. Так как определитель, образованный гз
коэффициентов системы, есть функциональный определитель величин fv .. .,fr
по pv .. .,рг, который, согласно предположению о разрешимости уравнений
fr = cr, не может обращаться в нуль, то все г неизвестных должны быть равны
нулю. Повторение этого же рассуждения приводит к заключению о равенстве
нулю самих скобок (ph — tyh, pk — tyk), что и требовалось доказать.
В частности, если система в инволюции fr = er состоит из п членов, то
функции 4/j в уравнениях F7), получающиеся при решении, совсем не содержат
р{, и мы получим, согласно F9), для скобок Пуассона G0) выражение:
G1) (рЛ-^,Л-^) = -||--||-.
Если, следовательно, fj = Cj (j=l, 2, ..., п) представляет и-членную
систему в инволюции, то выражения J0> = ty(?i» • • • > ?b>ci»---j cn) 0= 1»
2,...,п), получающиеся при их решении, образуют коэффициенты полного
дифференциала:
G2)
где W есть функция от «„..., gn, cv ..., с„.
§ 3. Дифференциальные уравнения траекторий
V
1. Траектории материальной точки в плоскости. Если мы представим
движение материальной точки массы т в прямоугольных координатах х, у на
плоскости, то уравнения движения Ньютона получат вид:
A) nix = X, my—Y
где X, Y являются заданными функциями от х, у и представляют прямоуголь-
прямоугольные составляющие силы, действующей на т *). Если, как в § 2 C3), мы введем
параметр и, изменяющийся вдоль траектории, то х = х'и, х = х"Ф -f~ x'u и ана-
10ГИЧНО для у. Для живой силы К мы при этом получим:
2К = т (х2 -\- у2) = т (х
Если помножить уравнения A) на у' и х' и вычесть, причем х и у за-
заменить их значениями, то мы получим, выражая и2 через К:
™ ЖУ-?/У = 1 Xtf-YxT
IK У
х) Прн этом силы трения н другие подобные нм силы, зависящие от х, yt не рас-
рассматриваются.
5 Зав. Ш8. — Франк а Мизес. Дифф. уравп. мат. фвв.

66 Классическая механика и геометрическая оптика
Если же первое из уравнений A) помножить на х', а второе па у' и сло-
сложить, то получим
C) •
Если положить:
' V *'2 -V У"*
то, на основании известной формулы дифференциальной геометрии, G будет пред-
представлять обратное значение радиуса кривизны г траектории, а Р составляющую
силы, перпендикулярную к касательной к траектории. В таком случае уравнение
B) можно написать в более простой форме:
E) °~Ш*-
Если мы представим скорость v в виде v2 = х2 -\- у2, касательную составляю-
составляющую Р силы определим формулой Pv=Xx-\- Yy, a r выразим с помощью соотношения
r(i = 1 и вставим в выражения C) и (о), то мы получим обычный вид уравне-
уравнений движения с „естественны!" разложением на касательную и нормальную
rp- mv2 „
составляющие: mv — P, = Р.
Если к B) [или E)] и C) присоединить еще дифференциальное урав-
уравнение, определяющее параметр и, например, х'2 -J- у'2 — 1 (причем и в этом слу-
случае означало бы длину дуги траектории), то мы получим три совокупные диф-
дифференциальные уравнения для трех функций х, у, К параметра «. При этом
х, у определяют геометрическую форму траектории, а К—зависимость дви-
движения от времени.
Высшие производные, входящие в уравнения, будут х", у", К'; если мы
решим уравнения относительно них, то мы увидим, что при заданном значении и
значения а/, г/', К, иначе говоря, направление траектории и живая сила могут
быть заданы произвольно. Если исключить К из C) и E), то мы получим диф-
дифференциальные уравнения, в которые входят только х, у и их производные по «
Вместе с уравнением для параметра, мы имеем теперь систему двух урав-
уравнений относительно х и у как функций от и. Из D) следует, что в F) входят
производные от х и у до третьего порядка. Из E) следует, что при увеличении
К траектории приближаются все больше к прямым (G = 0), а при уменьшении
К—к силовым линиям (Р = 0).
2. Траектории механических систем в общем случаех). Если мы будем
как и в § 2, 4, рассматривать координаты qx, ..., qn и время t как функции пара-
параметра и, то мы для механической системы самого общего вида можем высказать
соображения, совершенно аналогичные тем, которые были высказаны в 1 для
одной материальной точки. Мы воспользуемся обозначениями § 2 и будем исхо-
исходить из D6). Положим
G) G< =
L. Berwald und. Ph. Franl; Math. Zeitschr, 1924. 21, 154 и след.

¦ II, § 3 Дифференциальные уравнения траекторий • 67
Если мы вычислим Х,(|/ к) с помощью определяющего его уравнения § 2 D3),
то мы получим, подобно тому как и при вычислении в развернутом виде левой
части уравнений Лагранжа в § 2, 1 A3):
(9) д, е= \t (к) =
Т j. i
Тогда из § 2 D6) следует:
A0) (г, = —j^ Р{ (» = 1, 2, ... , »).
Сюда добавляется уравнение энергии, вытекающее из § 2 B4), которое, на осно-
основании равенства К* = К, принимает вид:
Уравнения (8) и A0) представляют собой обобщение уравнений E) и C),
т. е. разложения на касательную и нормальную составляющие. Вместе с диффе-
дифференциальным уравнением, определяющим параметр и, они образуют систему из
« + 2 дифференциальных уравнений относительно п-\-1 функций qv...,qn, К
от и. Но так как в силу уравнений G) и (8) имеют место тождества
A2)
i = i i = i
то ив этих уравнений по крайней мере одно является излишним, так что в общем
остаются п -\-1 независимых. При п — 2, gt = x, q2 = y мы возвращаемся
к случаю 1. Ив двух уравнений A0), ив которых в силу соотношений РЛ^ -\- Р2у' = О
и Gx( -(- G^f = 0, вытекающих из (Т2), второе есть следствие первого, можно
образовать новое уравнение, а именно уравнение E); при этом необходимо
"только положить
G=Giy' — G^ и Р^Р^ — Р^'.
Далее совершенно так же как и в 1, исключая .ВТ ив уравнений A0) и A1),
можно получить дифференциальные уравнения для вычисления геометрической
-формы траектории, независимо от времени. Таким образом получается система
дифференциальных уравнений для qt (и), ... , qn (и)
A3) i(t)
Если нет внешних сил, то траектории (в виду равенства Pt = 0) удовлетворяют,
-согласно уравнениям A0), дифференциальным уравнениям второго порядка G<==0
(¦=1, 2,..., п), к которым приближаются уравнения траекторий при возраста-
возрастали К также при любых действующих силах.
Ив 2и произвольных постоянных в общем решении уравнений G{ = 0 одна
«вязана с и только аддитивно (так как и не входит явно в дифференциальные
уравнения) и, следовательно, определяет только ту точку траектории, в которой
Если мы в качестве уравнения, определяющего параметр, примем такое
дифференциальное уравнение, в которое входят только qt и д/, то между началь-
5*

68 Классическая механика и геометрическая оптика
, - *
ньгаи значениями этих величин, т. е. постоянных интегрирования, будет иметь
место некоторое соотношение. Если мы, например, выберем в качестве параметра д„
т. е. положим и — qv то уравнение для параметра будет иметь вид д/ = 1,
и следовательно, д/ нельзя будет выбирать произвольно. Решение дифференциаль-
дифференциальных уравнений для движения ори отсутствии внешних сил, т. е. для так назы-
называемых геодезических траекторий, зависит, следовательно (кроме выбора
начальной точки для отсчета параметра), от 2» — 2 произвольных постоянных.
При интегрировании дифференциальных уравнений A3) траекторий в общем
случае, в которые входят также третьи производные от д„ может быть произ-
произвольно предписана еще одна из величин q{". Следовательно, решение зависит
от 2w — 1 постоянных.
Следовательно, дри исчезновении внешних сил оо1 траекторий сливаются
друг с другом. Например, в случае наклонного бросания в вертикальной- пло-
плоскости оо 8 парабол с вертикальной осью переходят в со 2 прямых.
3. Различные виды траекторийг). Если у нас имеется решение уравне-
уравнений A3), т. е. нам известна геометрическая форма траекторий, то, согласно (8)
и G), можно вычислить G{ и Р4, а согласно § 2 D0), также и к вдоль нее; следова-
р
тельно, согласно A0), можно вычислить К— -ктг, т. е. значение живой силы и ее
изменение в течение движения. Действительно, если К дано как функция от и,
то, согласно § 2 C3), можно посредством квадратуры вычислить t из соотношения
¦ - • а
Следовательно, вообще говоря, вдоль некоторой траектории воз-
возможно только одно движение с однозначно определенной живой силой, т. е. трае-
траектория может быть пройдена лишь двумя различными способами, которые нолу-
чаются один из другого изменением направления скорости; действительно, извлекая
квадратный корень, мы получаем при одном и том же К два значения -т—, так
TfOTf —— —4 "I / .
rlt —— I/ к '
etc у к
Значение К будет неопределенным только в том случае, если вдоль траек-
траектории имеют место равенства Р,= О и G, = 0 (i — 1, 2,..., п). Такая траектория
может быть пройдена бесчисленным множеством способов. Она представляет
собой „геодезическую" траекторию, которая кроме того удовлетворяет п диффе-
дифференциальным уравнениям 1-го порядка Р< = 0. В случае, рассмотренном в 1,
это есть прямая линия, которая в то же время является силовой линией. При
наклонном бросании, например вдоль каждой параболы, скорость (о точностью
до направления) определена однозначно; но вдоль вертикальной прямой бросание
может совершаться с любой скоростью. В случае движения планет скорость опре-
определена вдоль любой эллиптической орбиты, тогда как вдоль прямых, ведущих
к притягивающему центру, возможны движения с любыми скоростями. Так как
живая сила положительна, то движение может иметь место только вдоль таких
траекторий или частей траекторий, вдоль которых частное -тг положительно. Если
i
это имеет место вдоль отрезка траектории, то этот отрезок ограничивается точ-
точками, в которых Р4 = О (» = 1, 2,..., п). Согласно уравнению G), это может
произойти в двух различных случаях: либо в этой точке обращаются в нуль также
и все Qj, либо "все Р„ во не все Qt. В первом случае эта точка представляет
собой положение равновесия системы. Так как в этой точке в силу уравнения
г) P. Painleve, Sur les mouvements et les trajectoires reels des systemes, Bull. Soe.
Math. France 22, 136 и след., 1894; Ph. Frank, Eine geometrische Deutung von Painleves
Theorie der reellen Bahnkurver, Proceed, of the first interuat. Congress for applied mecha-
mechanics, Delft, 1924.

II, § 3 Дифференциальные уравнения траекторий 69
р
К=—~- функция К (и) обращается в нуль, то в силу уравнения A1), по которому
dK
обращается в нуль также и -j—. мы имеем дело с кратным корнем. Ьсли же,
наоборот, в нуль обращаются все Р{, но не все Qo то, согласно G), сумма
п
2 QhQh также не равна нулю, и поэтому в силу уравнения A1) эта точка пред-
представляет простой корень функции К (и).
Поведение системы вблизи такой „точки остановки", как назвал ее
Пенлеве вследствие обращения в нуль живой силы, можно исследовать, если
воспользоваться дифференциальным уравнением
04) [^) -=*(.),
которое определяет изменение параметра со временем, если выбрать и таким
образом, чтобы к = 1, где к определяется § 2 D0), и поэтому в простейшем
случае и означает длину дуги. Пусть и0 есть то значение параметра, которое
соответствует точке остановки; предположим, что К (и) в этом месте можно раз-
разложить в степенной ряд. Если и = м0 представляет собой а-кратный корень
функции К, то это разложение имеет вид:
A5) К(и)=*(и — и0)" [«0 + ai(« — «0) + а2(м — «0J+ ...],
Из уравнений A4) и A5) следует
В случае простого корня (а = 1) интегрирование дает:
u — u0 1—-^-(и — и0)-\-...
t — <„ = :+
в после возведения в квадрат:
Решение этого уравнения дает для и — м0 ряд, расположенный по степеням
С—'о)а> который начинается с первой степени этого выражения. Следовательно,
точка остановки и = и0 действительно достигается в момент времени t —10.
Вблизи этого момента времени тем значениям t —10, которые отличаются только
иаком, соответствует одно и то же значение и. Следовательно, система дви-
движется к точке остановки, меняет там направление, и проходит те же положе-
положения еще раз с обратным направлением скорости. Точка остановки есть точка
возврата.
Если К (и) имеет два простых корня, между которыми заключаются началь-
начальные значения параметра и, то система движется периодически.
Если и = щ — двукратный корень, т. е. точка остановки есть положение
равновесия системы, то в уравнении A5) нужно положить a = 2, и тогда интег
вдювание уравнения A6) дает:
t — <o = — aoln О — мо)=ь^г(« — «о)+..'..'

70 Классическая механика и геометрическая оптика
Следовательно, точка остановки никогда не будет достигнута за конечный
промежуток времени, так как и — и0 соответствует значение I = оо . То же самое
имеет место при а > 2. Следовательно, к точке остановки, которая является поло-
положением равновесия, система приближается асимптотически, никогда не достигая ее.
4. Примеры. В качестве частного случая 1 примем координату х за пара-
параметр и. В таком случае параметрическое уравнение, прибавляющееся к C) и E),
имеет вид х' = 1, следовательно, х" = 0 и г/ = ~~, г/ = -~^. По формулам D)
мы имеем в этой случае:
Вставляя эти значения в уравнение F), мы получим'дифференциальное уравне-
уравнение траектории:
Выполнение дифференцирования дает:
Y — y'X
дх ' " \ ду дх
Мы получили дифференциальное уравнение 3-го порядка для у как функции
от х. Следовательно, в плоскости имеется с»8 траектории. В частности, если мы
имеем дело с однородным полем тяжести и выберем вертикальную плоскость
в качестве плоскости ху, то Х=0, Y— — тд, где д—постоянное ускорение
тяготения. В этом случае в A7) Л = В = О, и уравнение траекторий имеет вид:
у'" = 0; его общее решение есть у = —- ж2 -)- Ъх -\- с, где я, 6, с — произвольные
постоянные. Это есть уравнение всех парабол с вертикальной осью. Согласно C),
только те из них могут действительно проходиться точкой, для которых G > О,
откуда следует а>0, следовательно, эти параболы должны быть обращены выпук-
выпуклостью вверх.
Если мы возьмем теперь прямоугольные координаты в пространстве х, у, з
и выберем в качестве параметра и длину дуги, так что Ь = х'ъ-\-у'Ъ-\-г'2<=.\,
то, согласно (8), (9)\ для Gu G2, Gb получаются значения х", ij", г". Но это — соста-1
вляющие вектора, длина которого равна обратному значению радиуса кривизны,
а направление совпадает с главной нормалью траектории.
В качестве дальнейшего примера рассмотрим центральное движение в пло-.
скости, причем примем полярные координаты г, ср (ж = г cos tp, y = rsin<?).
Воспользуемся уравнениями A0), A1). Пусть ql= — = р, д2 = <р. Пусть, далее,
сила действует только по радиусу, т. е. Qt = Q ф О, Q2 = Q = 0.
В качестве параметра возьмем м = ср, следовательно, ?'== 1, <р" = 0. В таком
случае h = w-^[^~\~2')> и поэтому, согласно формулам G), (8) и (9):

II, § 4 Теория преобразований дифференциальных уравнений Гамильтона 71
Q (p'2 + p2)
По формуле A0) мы можем теперь вычислить К = —^ „ —. Но так
АТС
как по уравнению A1) —г- = Q р', то, исключая К из обоих последних уравне-
уравнений, мы получим после короткого вычисления:
Это дифференциальное уравнение 3-го порядка для р = — как функции
от <?. Из уравнения A8) следует:
A9) P" + P = CQP,
рде С—произвольная постоянная. Если мы введем вместо Q обычно употребляемую
составляющую силы В, соответствующую координате г, которая, согласно § 2 D),
связана с Q соотношением p'Q =r'R, то, приняв во внимание равенство
г' = —^-, мы получим из A9)
B0) р" + р =
Для того чтобы система действительно могла пройти траекторию, необходимо,
чтобы р" + р> 0, следовательно, в уравнении A9) О>0, так как в этом случае
К > 0, если предположить, что Q > 0.
§ 4. Теория преобразований 'Дифференциальных уравнений Гамильтона1)
1. Аналогия между оптикой и механикой по Гамильтону. Принцип
Гамильтона (§ 2, 4) утверждает, что движение механической системы соответ-
соответствует экстремальному значению интеграла
A) I^fLdt,
и
ввятого вдоль траектории движения qx (и), ... ,qn(и), t(и), в пространстве п-j-1
переменных g,, q?,---,qn, t. Этот принцип совершенно аналогичен изученному
вами в гл. I, § 1, 2, свойству световых лучей, вытекающему ив принципа
„Ферма и заключающемуся в том, что интеграл
B) [=
ч «о
ввятый вдоль них, должен иметь экстремальное значение. Чтобы дат;ь обоим прин-
принципам общее математическое выражение, достаточно привести интеграл A) к
:аиду B) и положить
= G(<Zl,...,gn, t, «/,...,?„', О-
Координаты х, у, z, #', у', гг, применяемые в геометрической оптике, соот-
соответствуют здесь переменным qi,---,qn,t, g/ ,.. .,<?„', I' или, если if формально
вбозначить через qn+v то—переменным gt,..., qn+1, «/,..., q'^y
1) См. в конце этой части дополнение редактора о касательных преобразованиях.

72 Классическая механика и геометрическая оптика
Таким образом, все рассуждения первой главы, основанные на принципе Ферма,
могут быть повторены почти дословно. Так, например, мы можем ввести величину,
аналогичную вектору р = — п' [см. гл. I, § 1 D1)]. Обозначим эту величину
также через р, а ее составляющие через ц1, р2,... ,рп, рп+1 и определим ее,
согласно гл. I, § 1 B2), при помощи соотношений
D) . Р' = Щ' О'-=1. 2,...,
Если заменить G на Z согласно C), а вместо величин q/ (j = l, 2,.. .,w -f-1)
опять ввезти, согласно гл. П, § 2, скорости <^О==1) 2,...,»), то мы получим
п
E) ft = — (*=1. 2,...,«) i( )
Из этих уравнений очевидно, что первые п составляющих вектора р то-
тождественны с составляющими импульса [§ 2, D9)], канонически сопряженного
с координатами qv ... , qn, тогда как рп+1 равно отрицательному значению
„взаимной" функции Лагранжа L* [§ 2, C6а)]. Если решить первые п уравне-
уравнений E) относительно п величин qv q$,---,qn и подставить полученные функции
зависящие от qu ... , qn, t в последнее уравнение, то мы получим уравнение
F) Я* =Рп+1 + H{qv ...,qn,t,Pl,.. .,pn) = О,
аналогичное уравнению Гамильтона в геометрической оптике.
Каноническая система дифференциальных уравнений Гамильтона для све-
световых лучей [гл. I, § 1, E2)] также может быть непосредственно перенесена
в механику в следующем виде:
G) ^=4^^=-^ (-1,2,...,«+!).
du dpt du dqt v '
Однако из F) следует, что
выбирая время t в качестве параметра и, мы получим:
т. е. уравнения Гамильтона § 2, E2) и закон сохранения энергии § 2, C8).
Функция Н*, как было выяснено в геометрической оптике на стр. 17, опреде-
определена ур-нием F) лишь с точностью до некоторого произвольного нормировочного мно-
множителя /', выбор которого эквивалентен выбору определенного параметра в уравне-
уравнениях Гамильтона. Как явствует ив предпоследнего из ур-ний (8), наш параметр
определяется также видом функции Н в ур-нии F). В этом можно убедиться и непо-
непосредственно, приняв во внимание, что производная (w-j-l)-ofi координаты qn+1
пе входит в L [см. ур-ние C)] только тогда, когда параметром является t.
Поэтому только в этом случае функция Н имеет вид, определяемый выражением F),
решенным относительно рп+1.

II, § 4 Теория преобразования дифференциальных уравнений Гамильтона 73
Отметим, что функция Н* есть аналог функции Гамильтона, введенной нами
в геометрической оптике, а функция Н есть функция Гамильтона, применяемая
в механике и введенная нами в § 2.
Аналогом волновых поверхностей S (г) = const, для которых grad# = n,
вдесь являются поверхности S(qv qv ... ,qn, Q = const в (м + 1)-мерном прост-
пространстве, для которых
dS ,. . _ . oS
Тогда мы получим ив F) соотношение:
аналогичное уравнению эйконала в геометрической оптике
2. Касательное преобразование, канонические перепенные. Мы говорим
что состояние механической системы определено, если заданы значения 2я
координат и импульсов qlt.. .,qn,pv •••,.??„, момент времени t = qn+1 и энергия
Я=—Pn+1- При этом необходимо заметить, что для того, чтобы описать состоя-
состояние системы, собственно говоря, достаточно задать первые 2м -\-1 величин
?i» • •. ,qn, Pi, • • • ,рп и t, так как этим самым определяется и энергия системы.
Однако в некоторых отношениях удобнее задавать все 2ге-|-2 величин. Если
теперь ввести 2п-\-2 функций Qp PJ. (j= 1, 2, ..., w-f-1) от qs и рр то „состоя-
„состояние" будет определяться этими новыми величинами точно так же, как и коор-
координатами qj, импульсами pj и временем t. При этом опять следует'иметь ввиду,
что одно из 2п-{-2 уравнений преобразования оказывается излишним, так как
преобразование энергии определяется уравнениями преобразования <^-, pj и вре-
времени *. Таким образом, в 2м-}-2-мерном пространстве переменных qv .. .,qn+lt
Р1' * • • > Pn+i вв°Дятся новые криволинейные координаты с помощью уравнении:
' f % = Я j («1» •••> ?n+i» ?х> • • ->Рп+д>
\ ^ = ij (?!, • • •> 3„+1' Pv • ' ->Pn+J 0 « 1. 2, ...,»+ 1).
Так как величина ^ является, согласно F), функцией от qv ...,qn,tf
Pv • •> Pni то из A0) следует, что между Qj, Pj существует некоторое соотношение.
Если относительно первоначальных величин, характеризующих состояние системы,
нам известно, что величины q} определяют положение,^ (вместо с qj) — состоя-
состояние движения, t = qn • —момент времени и Н=—Pn+i — энергию, то относи-
относительно новых 2м -\- 2 величин, характеризующих состояние системы, можно
только сказать, что они все вместе определяют положение и скорость, время
и энергию.
Большое значение в механике имеют такие преобразования A0), которые
озтавляюл: неизменным вид системы 2м -(- 2 канонических уравнений движения
Гамильтона G). Это нужпо понимать следующим образом: если мы выразим
с помощью соотношения между Qj, Pj, вытекающего из A0) и F), величину
Рп+1 как функцию остальных величин, то мы получим уравнение
A1) J^=Pw+1 + ?T(& Qn, Qn+V PX Ря) = 0.
Функцию Н* называют функцией Гамильтона, преобразованной при помощи
ур-ний A0). Инвариантность уравнений G) относительно преобразования A0)
выражается, следовательно, тем, что они переходят в уравнения

74 Классическая механика и геометрическая оптика
Точно так же ур-ния (9), вытекающие ив G), переходят в
<12а>
&Q. дЛ dP, дН
При этом величины Qj, Pj, называют каноническими перемен-
переменными и, в частности, величину Р, называют канонически сопряженной
с Qj. Такое „каноническое преобразование" характеризуется тем, что выра-
выражение
A3) 1>А -f • • • +Рп+^п+1 — -Wi — ' • -Pn+i dQn+l = dQ
представляет собою полный дифференциал произвольной функции 2 от qi,-..,qn,i
и Qx, •••>Qn+v ^ частности, если положить Qn+1==qn+1 = t, т. е. если не пре-
преобразовывать время t, то мы получим из A1):
A4) P^ + tf^, ..., Qn,t, Рх, .. .,PJ = 0.
Если вместо рп+1 и Ря+1, подставить их значения из F) и A4), то усло-
условие A3) для нашего канонического преобразования примет вид:
п п
A5) %Р№ — Hdt—% PtdQt + Hdt = dQ;
но так как
jn № , . , 32 3Q 32 92
^=^^ + ... + ^-^„ + --^1+...+~-^„ + ^г
то из A5), сравнивая коэффициенты, мы получим:
, p.—W с--.. v..,«
A7)
*-, p.—W
И
Инвариантность канонических ур-яий G) и (9) относительно преобразовг
ний A6), A7) лежит в основе одного из методов интегрирования первоначальной
системы уравнений. В самом деле, мы можем выбрать „производящую" функ-
функцию 2 (g, Q) канонического преобразования таким образом, чтобы новая фупкпи"
Гамильтона Н имела возможно более простой вид, например, тождественна
обращалась в нуль. В этом случае можно без труда проинтегрировать новую
систему с переменными Qj и Pj. При этом для 2, согласно A7), мы получим
4 '••'¦^•••••f)+l-0-
Таким образом, мы пришли к дифференциальному уравнению Гамильтон?-
Якоби, известному из аналитической механики. Оно аналогично уравнение
эйконала Fа) геометрической оптики. Нахождение интеграла дифференциальноп
уравнения в частных производных A8), содержащего п произвольных постоянны;
эквивалентно интегрированию системы (9), так как последнюю в новых пере-
переменных Qj и Ру легко представить в виде:
П9) ^ = 0, «I'-ft 0-1,2,...»,

II, § 4 Теория преобразования дифференциальных уравнений Гамильтона 75
вследствие того, что Н==0. Таким образом, величины Qj и Pj в A6) сделаются
постоянными, если вместо qj подставить решения ур-ния (9), и 2 удовлетворяет
ур-нию A8). Поэтому полным интегралом 2 в A8), т. е. решением с п произ-
произвольными постоянными Qu .. .,<?„, можно воспользоваться для решения уравнений
движения (9). Если решить систему ур-ний A6) относительно переменных qs
и pj, то эти переменные будут представлять собою функции от t ж от 2»
постоянных Qj, Pj. Таким способом, согласно § 2, 6, мы получим наиболее
общее решение уравнений движения (9).
В качестве постоянных Qj, Р, можно, например, выбрать значения pfi qs,
в определенный момент времени. Тогда связь между ур-ниями A6), A7) и инте-
интегрированием уравнений движения может быть выражена следующим образом:
состояние qj, Pj, t некоторой механической системы можно получить из состоя-
состояния Qj, Pj, соответствующего определенному моменту времени tQ, при помощи
касательного преобразования A6). Поэтому „производящая" функция 2 (gv.. ,,qn, t,
Qb • • -yQtd такого преобразования должна удовлетворять дифференциальному урав-
уравнению Гамильтона-Якоби A8) рассматриваемой задачи. Эта функция является
„полным интегралом" A8), в том смысле, что она содержит п произвольных
постоянных Qv ..., Qn.
Значение функции 2 при таком выборе постоянных можно выяснить с по-
помощью § 2, C9). Если за величинами Qs, P} сохранить выбранное выше значение
и положить l(Ufd = t0, t(u) = t, то для этих двух моментов времени K-\-V=H
иди Н, и, следовательно, это уравнение можно переписать следующим образом:
Сравнивая с A5), мы получим:
B1) I (Qv ..., Qn, t0, qv .. .,qn, t) = Q {qv ...,qn,t, Qv ..., QJ.
Tas как уравнения движения Гамильтона § 1, E2) дают возможность
перейти от состояния qlt..., qn, pu .. .,р„, соответствующего моменту времени t,
к близкому состоянию q1 + dqlr ..., qn -f- dqn, p± -\- dplt... ,pn -j- dpn, соответ-
соответствующему моменту времени t-\-dt, то эти уравнения представляют собой бес-
бесконечно малое касательное преобразование, как и аналогичные им ура-
уравнения геометрической оптике гл. I, § 1, F8).
Согласно ур-нию B1) функция 2 (qv . ..,qn,t, Qv .. ,,Qn) есть аналог
точечного эйконала геометрической оптики [см. § 2, B)].
Если функция 2, входящая -в ур-ние A6), не удовлетворяет ур-нию A8),
а является произвольной функцией, то касательное преобразование A6) заклю-
заключается попросту в переходе к новым „каноническим переменным" Qj, Pj, тогда
как в частном случае B1) каждая „траектория движения" преобразуется сама
в себя.
При этом, исходя из условия .A5), что уравнения
B2) jj
должны представлять собою канонические преобразования, можно кроме тоги
исключить произвольную функцию Q(q, Q), и таким образом характеризовать
ур-ния B2) при помощи дифференциальных соотношений, как касательные пре-
преобразования. Если обозначить опять через if, g) скобки Пуассона для двух
функций fug, зависящих от qj и Pj [§ 1, ур-ние F1)], то необходимые и доста-

76 Классическая механика и геометрическая оптика
точные условия для того, чтобы преобразования вида B2) являлись касательными
преобразованиями, заключаются в том, чтобы:
B3) (Q,, ф = 0, (Р„ Р,) = 0, (Q, Р,) = 0, 0фг),(B„Р,) = 1.
Величины Fj называются переменными, канонически сопряжен-
сопряженными с переменными Qj. В 2м -f- 2-мерном пространстве переменных qJy...,?„,?,
Pi> •••>!>„, Н согласно § 1 F2), F3) величины t и Н будут канонически сопря-
сопряженными друг относительно друга перемеппыми, если t выразить при иомощи
§ 1, F2) через qu ... , qn, _p,,. .. , р„. Функция Гамильтона Я, выраженная
через любые канонические переменные Qj и Pj, не имеет уже более того вида,
который рассматривался нами в § 1, E3); в этом случае она и для механиче-
механических систем может являться произвольной функцией переменных Q(, Pj и t.
Частный случай касательных преобразований можно получить, заменив qi
при помощи уравнений вида Qj — Q,(?i, 22!• • "<7В) О" = 1» 2, •¦•>**) новыми коор-
координатами Qj, выразив величину К при помощи § 1, A0) через Qj, Qj и затем,
определив Pj согласно § 1, G), посредством равенств Р> = —=—. Для одно-
dQ
родной квадратичной функции К, согласно § 1, B6), мы получим:
п п
B4) 2K=
Поэтому Pj могут быть определены также из тождества:
B5)
Так как dqt преобразуется в dQt при помощи линейных однородных пре-
преобразований, то переход от pt к Pj должен совершаться при помощи контра-
градиентного преобразования, которое, таким образом, также является линейно
однородным. Определенные таким путем преобразования называются обоб-
обобщенными точечными преобразованиями. Они представляют собою
частный случай однородных касательных преобразований, опре-
определяемых ур-ием B2) и названных на основании тождества B5) касательными
преобразованиями. В самом деле, ур-ние B5) является частным случаем
ур-ния A5).
3. Соответствующие канонические перепенные. В некоторых случаях
оказывается более удобным вводить в ур-ния A5), A6), A7) вместо функции
S (<?, Q), зависящей от старых и новых координат, функцию W(q, F), зависящую
от старыг координат положения <fy и новых импульсов Pj.
Чтобы перейти к этой новой функции, воспользуемся тождеством
3=1 3=1
и перепишем ур-ние A5) в следующем виде:
п п
B6)
Так как в правой части B6) величины Qj могут быть выражены череа
свои значения B2), то, введя обозначение
п
B7) W(q, Г) = Q (?, (?) + 2 QjPo

II) § 4 Теория преобразования дифференциальных уравнений Гамильтона 77
мы можем написать условие A5) для касательного преобразования также в виде:
п п
B8) 2j PMj — Hdt -\
При этом W ((?!,..., д„, *, Pu ..-, P»), точно так же как ранее 2 (qv ...,qn>t,
Qn • • • > Qn), может быть любой функцией своих аргументов. Сравнивая коэффи-
коэффициенты при дифференциалах в обеих частях B8), мы получим уравнения преоб-
преобразования, аналогичные A6), A7):
B9) ^ = ^' Q^Wr Л=Н + д~Ж (•=!. 2. ••-.»).
Все дальнейшие выводы для смешанного эйконала остаются такими же,
как и для точечного эйконала. Ив требования Н = 0 следует, что дифферен-
дифференциальное уравнение Гамильтона-Якобн остается справедливым и для смешан-
смешанного эйконала:
а ив инвариантности канонической формы уравнений движения вытекает, что
величины Qj и Р,- должны быть постоянными во время движения. Мы можем
найти величины qj и pj, как функции постоянных интегрирования и времени t,
решая опять ур-ния B9). _
Попытаемся определить теперь If в B9) таким образом, чтобы, величина Н
была функцией одних Ри ..., Р„, т. е. чтобы она не зависела от t, Qlt..., Qn.
Получающуюся таким образом функцию мы обозначим черев Е:
C1) H = E(PV P2, ...,PJ.
Величины Qj,Pjназываются каноническими переменными, „соот-
„соответствующими" функции Гамильтона Н. В случае механической системы,
благодаря соотношению H = K-\-V, энергию можно при этом выразить как
функцию or одних только Р15 ... , Р„. Ур-ния A2) принимают тогда вид (здесь
« = *):
dP, dQ, дЕ
C2) -gJ-O, -af-Щ 0-1, 2,...,п).
Эту систему уравнений можно непосредственно проинтегрировать. Первый инте-
интеграл дает:
C3) Pj = a,-, Qj = -0p-t-\-bj (j = 1, 2 »),
где а}; bj — произвольные постоянные, число которых равно 2». Решая ур-ния C3)
относительно qt, p(, мы найдем, что они являются функциями от t и 2и произ-
произвольных постоянных ttj, bj, т. е. представляют собой полную систему решений
вида § 2 E8).
Таким образом требуется только найти касательное преобразование, ив
которого вытекало бы ур-ние C1). В наших обозначениях задача заключается
в нахождении такой функции W(qu ..., qn, Pu . ¦. , Р„, 0« чтобы преобразо-
преобразование B9) приводило к ур-нию C1). Подставляя эту функцию в последнее
ур-ние B9), мы получим:
C4) ^

78 Классическая механика и геометрическая оптика
Если в частности время t явно не входит в Н, то мы можем написать W
в виде:
C5) , W=F(ql,...,qn,P1,...,Pn)
(т. е. без t). Тогда ив C4), C5) подучается для F следующее дифференциальное
уравнение:
C6)
и в силу B9), C5):
C6а) Л = Я.
Ур-ние C6) называется дифференциальным уравнением Га-
Гамильтон а-Я коби в частных производных, независящим от
времени. Легко видеть, что выражение
C7) W=-E(PV ... , Pn)t + F(qi, ... , qn, Pu ... , Р„),
где F удовлетворяет ур-нию C6), является решением C0).
4г. К интегрированию уравнения Гамильтона-Якоби в частных произ-
производных. Задачу нахождения полного интеграла уравнения C6) можно сформу-
сформулировать также следующим образом: нужно найти » таких функций <р* от qv р,
и п параметров Plf . ,.,Р„, чтобы уравнения, получающиеся от их приравнива-
приравнивания нулю
C8) <?к (?х, ...,?„ ft, ...,Р„, Р„ • •.,PJ = О
были разрешимы относительно j?it и чтобы получающиеся при этом функции qt
превращали выражение iftdft в полный дифференциал, т. е. чтобы существо-
4=1
вала функция F от величин qt и Р,» удовлетворяющая тождеству
C9) dF(qv...,qn, Pv ...,Р„) ^j^pfiq» Pt==~d^'
Далее, функции j», от д, должны удовлетворять тождеству вида
D0) Н fo, .. .,?„, ft,. ..,pn) = E (Pi,.. .,Р„).
Такую систему « функций можно найти следующим образом. Мы исходим из п
произвольных интегралов уравнений движения, находящихся в инволюции друг
к другу:
D1) fk (qv ..-., qn, ft, ... ,ft.) = ck, (ft fk) =0 (t, Ti = 1, 2, .. ., *).
Если положить ck = Ph, то функции от qf, получающиеся при решении
относительно pf, удовлетворяют на основании § 2 F7), G2) тождеству вида C9).
Что D0) тоже удовлетворяется и, следовательно, из C9) получается полный
интеграл уравнения C6),—легко показать, вводя касательное преобразование
вида B3), в котором Р,- = /} (qv ...,j)B), a Qs определяются так, чтобы удовле-
удовлетворять уравнениям B3).
В таком случае, в силу D1) мы действительно имеем касательное преобра-
df dP-
вование. Так как fk должны Тшть интегралами, то -^ = —rf — 0. При этом
из A2а) следует: -^г- = 0 (j=l, 2,...,»). Значит Н есть функция только
от Pj и найденные величины Р,, Qj „соответствуют" задаче.

II, § 4 Теория преобразования дифференциальных уравнений Гамильтона 79
Здесь нужно отметить, что, как указано в § 2, 6, в общем случае только
после того, как даны 2 и — 1 интеграл вида D1), каждый дальнейший интеграл
уравнений движения является их функцией. Однако, если п таких интегралов
находятся в ипволюции, то Н можно выразить только через эти п интегралов,
следовательно, они могут быть выбраны в качестве „соответствующих" пере-
переменных Pj.
б. Введение волн, соответствующих движению точки. Рассмотрим теперь
движение некоторой материальной точки с массой т. Обозначим ее прямоугольные
координаты через х, у, z. В этом случае п = 3i и на основании гл. I можно
произвести сравнение между кривыми, изображающими движение материальной
точки в п -\- 1 = 4-мерном пространстве х, у, г, t, и световыми лучами. Так как
H=K-\-V, то согласно § 1, B9), мы получим:
D2) Я = -^ (р* +р9* + л») + V(х, у, г),
где
D2а) рх = тх, ру = ту, рг = тг.
Тогда дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона C0),
которое мы также можем рассматривать как уравнение эйконала для световых
лучей, примет вид:
Решение этого уравнения можно найти с помощью C7), положив
D4) W(х, у, e,f)=—Et + F(x, у, в),
где F удовлетворяв! ур-нию C6), т. е. в нашем случае — уравнению:
(8F\
fD
Тогда волновым поверхностям в оптике будут соответствовать, согласно 1,
поверхности W(x, у, г, t) = const в четырехмерном пространстве. В этом случае
каждая ив таких поверхностей (с определенной постоянной) изображает движение
некоторой поверхности в трехмерном пространстве х, у, г, так как при W = const
каждому значению t соответствует уравнение такой поверхности. Сравним теперь
эти поверхности с волновыми поверхностями геометрической оптики и найдем
волновую скорость.
Направление grad.F определяет направление волновых нормалей. Таким
образом, единичный вектор в этом направлении равен
D6)
ЕсЛи обозначить волновую скорость как и прежде, через w, то перемещение
&v волновой поверхности ва время dt будет равпо dr = Wivdt. Следовательно,
D7)
Так как \V= const, то из D4) следует, что при изменении t на dt, a r в выраже-
выражении F(r) = F(x, у, г) на dr,
или, согласно D7),
3^L
igrad.FI
ет, что п
— Edl -f grad F • dr = 0

Классическая механика и геометрическая оптика
Таким образом, мы получим из D5):
D8) w =' Е
V 2т (Е — V) '
Итак, траектории можно рассматривать как световые лучи в изотропной, но
неоднородной среде.
Скорость луча v равна волновой скорости w и в какой-либо точке г сило-
силового поля определяется выражением D8). Эта скорость w обратно пропорцио-
пропорциональна скорости V х2-\-у2-\- s2 движущейся материальной точки, что следует
из D2), D2а) и из равенства Н = Е.
§ 5. Метод разделения неременных
1. Основные идеи метода. Применение метода, изученного в § 4, 4, к инте-
интегрированию дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона-
Якоби существенно упрощается в том случае, когда И имеет такую форму, что
» функций <j>ftB§4C8) содержат величины qt ир{ только так, чго в <pft входит един-
единственная координата qk и единственная составляющая импульса рк. Следовательно,
если мы решим относительно pt, то должны существовать такие п функций;
A) pt =pt (q(, 1\, ..., Р„), (г = 1, 2, ..., п)
которые удовлетворяют тождеству § 4 D0). Это будет, например, иметь место
во всех тех случаях, когда Н можно представить в форме:
H=E[gl(q1, pt), д2(g2, р2), ...,д„(qn, р„)].
Действительно, в таком случае нам стоит только положить д{ (qt, pfi = Р, я
решить эти уравнения относительно р„ чтобы получить уравнения вида A), удо-
удовлетворяющие тождеству § 4 D0). Существенное упрощение заключается в том,,
что при этом тождество § 4 C9) всегда выполняется само собой. Действительно,
величины дк всегда находятся в инволюции, так как они по определению скобок
Пуассона § 2 F1) должны удовлетворять тождествам (#,, дк) = 0. Если мы введем
неопределенные интегралы:
B) / Pt (qt, Л, Р2, • • •, Pn\d9l = Ft (qv Pv..., PJ, ,
то мы сразу получим выражение F, удовлетворяющее тождеству § 4 C9), если
ПОЛОЖИМ'
п
C) F(q» ¦ ..,<?„, Рг Д) =
Таким образом, мы получим полный интеграл уравнения в частных производ-
производных Гамильтона-Якоби. При этом общее решение уравнений движения имеет,
согласно B), C) и § 4, B9), C5), C3), вид:
D) j Q i а
}=Ъ О' = 1, 2,...,п).
Этот метод получил название метода разделения переменных.
2. Критерий его применимости. Вопрос сводится к тому, возможно ли
найти функции вида A), обладающие тем свойством, что если их подставить
в выражение § 4 D0) для рр то все qt выпадают. Производные функцийpt no q,

•II, § 5 Метод разделения переменных 81
тоже содержат по одной координате q,. Подставляя выражения A) для pf, мы
получим ив § 4 D0):
дН дН dpt ^ Q
dqt ~>~ др( dqt
Если мы введем функцию р, величин qv ..,, qn,px, ..., рп посредством равенства
„. дН дН
E) -5 -—р. = о,
Л ag, dpt п
•го величины р, должны после подстановки j», из ур-ний A) превращаться в функ-
кян одних только д„ так как
Следовательно, при j ф i должно быть:
Бели мы введем в это выражение р,- и затем выразим р{ и р^ черев И, та
кн получим условие, которому должно удовлетворять Н, как функция |>4 и qt, для
«го, чтобы можно было применить метод разделения переменных:
&Н дН дИ Э2Д дН дН
Ш дШ Ш дН
dqt dpj + dpfipj dqt dqf
Если Н представляет гамильтонову функцию механической задачи, a qt —
обычные координаты положения, то на основании § 2 E3) Н = К-\- Vt где К
гвднородная квадратичная функция относительно^, а V—от них не зависит. Если
"иы подставим эти значения Н, то левая часть ур-ния F) будет представлять
собой полином четвертой степени относительно рг Следовательно, тождество F)
может иметь место только в том случае, если члены каждой степени в отдель-
отдельности равны нулю. В частности, рассмотрим члены нулевого порядка, они
имеют вид: ;
dptdpj 8qt dq} '
и условие их обращения в нуль имеет в силу § 2 E3) вид:
<7) ^|Г = 0 (i,j = l, 2, ...,»).
Эти уравнения выполнены, например, в том случае, когда К имеет только
чисто квадратичные члены. В этом случае \ мы получаем системы, изученные
Штеккелеи по методу разделения переменных. Если положить А# = А,; то
при этом
(8) #=
v Мы нолучии установленные Штеккелем условия, которым должны удовлетво-
удовлетворять А}- и V, чтобы было возможно интегрирование но методу разделения пере.
в Зав- 1406. — Фрашс ¦ Мвзес Дифф. урвллв. пат. фиэ.

82 Классическая механика и геометрическая оптика
менных, если подставим значение Н ив (8) в F) и приравняем нулю коэффициенты
при отдельных степенях ps x).
Легко показать, что условия F) достаточны для возможности интегрирования
посредством разделения переменных, однако на этом мы не будем останавливаться.
Во всех конкретных случаях это утверждение можно проверить, подставляя в Н
решения A).
3. Выполнение вычисления 2). Мы ограничимся тем случаем, когда Н
имеет вид (8), но будем вести вычисление так, чтобы тот же метод можно было
применить н в общем случае. Если установлено, что Н удовлетворяет ур-ниям F),
то задача заключается только в том, чтобы найти п функций вида A), удовлетво-
удовлетворяющих тождеству § 4 D0), т. е. в нашем случае
3=1
Введем сначала вместо постоянных Pj в ур-ния A) значения величин р,
ири qt = 0, т. е. с( =pt (О, Pv ..., Р„).
Далее обозначим через A/r)(qr) значение, которое принимает Afi когда все qt,
кроме qr, равны нулю, и аналогично, через V{r)(qr) значение V@, ..., О, qr,O, .. .,0).
Через А/0) н F@) мы обозначим значения А5 и V, когда все qt равны нулю. Если
мы сначала произведем в (9) эту последнюю подстановку, то мы сможем опреде-
определить Е как функцию от си с2, ..., с„. При этом мы получим:
3=1
Если же мы положим в (9) все qs = 0 за исключением qr, то мы получим:
(И) ЛИ(в^гЧ S' ^W<We/~ 2E-2V<r\qr).
3=1
Для упрощения последующих формул предположим, что Ar^(qr) = l при
г = 1, 2, ..., п 8). Тогда из A0) и (И) следует:
A2) A
При этом 2' означает сумму, в которой отсутствует член с j = г.
1) Staeekel, HaWlitationsschrift, Halle, 1891 и Math. Ann. 42, 546 и след. Ур-ния G)
могут однако быть удовлетворены и таким образом, что ие все Ау обращаются в нуль.
Они могут, например, иметь такие значения, что ур-ния G) и другие невыписанные усло-
условия, вытекающие ив ур-ний F), будут выполнены только в том случае, когда -г— равны
нулю для всех ¦. В этом случае мы имеем дело с изученными Леви-Чнвнта (Math. Ann. 59,
1904, 383 н след.) существенно геодезическими системами, которые можно
проинтегрировать с помощью разделения переменных лишь при отсутствии внешних сил. I
2) Dell'Acqua, Rend. del. Circ. math, di Palerma, 33, 1912, 141 и след. |
3) Если это ие имеет места, то этого всегда легко добиться введением новых пере-.
меиных; для этого нужно только ввести в (8) вместо qr новые переменные qr* посред-
посредством соотношений
A In а\- Аг<Я1*> ¦••> 3»*) fr-Л 9 «\
¦Ar(qv ..., qn) — , (г = 1, А ... , я)
и после вычисления опять обозначить их черев qt.

II, § 5 Метод разделения переменных 83
Если ввести новые постоянные Р,-, положив
аз) ic/=pi'
то A2) примет вид:
Рг=у 2F@)-
Bri = А* - А/К (j ф г), Brr = 1«\
Эти уравнения и представляют собой искомые уравнения разделения,
зоответствующие общим ур-ниям A). В таком случае, в силу ур-ний B) и C),
из A4) вытекает решение дифференциального уравнения в частных производных
Гамильтона-Якоби
F(qv ..., qn, Р1,...,Р„) =
• * А— 5
r—x J г j=i
и, в силу D), общее решение уравнений движения:
где
если принять во внимание, что в ур-ниях D) д-jj- можно, в силу ур-ний A0)
и A3), вычислить из
A8) 25
Таким образом, ур-ния A6) позволяют свести к квадратурам общее решение
уравнений движения в том случае, когда Н удовлетворяет уравнениям F). Если
какая-либо координата, например qr, совсем не входит в выражение Н и, следот
вательно, является „скрытой координатой", то она не может входить и в ур-ния A),
а, следовательно, и A4); мы можем считать соответствующее рг постоянной вели-
величиной, т. е. функцией величин Рр и в соответствии с обозначениями этого пункта
е самого начала положить рг — сг, следовательно, —рг2 = Рг, после чего остается
проинтегрировать по методу разделения систему с п — 1 переменными.
4. 11римеры. Рассмотрим движение материальной точки массы т на плоскости
дод влиянием упругих сил. Пусть qv q2—прямоугольные координаты, следова-
следовательно, р{ — mq{ — составляющие импульса. Пусть, далее, в направлении qi дей-
действует сила — k{qt, где к,—постоянная, характеризующая силу, действующую
в направлении соответствующей координаты. В таком случае функция Гамильтона
имеет вид:
б*

84
Классическая механика и геометрическая оптика
Это S имеет тот частный вид, который изучен в начале 1. Поэтому можно
найти уравнения разделения A), удовлетворяющие тождеству H — EPP
полагая
A9а) _L Л« 4--J- *,«,• = -Pi. (•' = 1. 2). # =
Решая их относительно j)t, получим:
B0) ^, = /2тР,—тк#*, (» = 1, 2), JBe
г. е. ур-ния вида A) или A4). Тогда ур-ние C) дает:
F(qit в„ Р„ Ра) = J УЧтР,— mk^* dq, +
f
После этого, в силу D) и B0), решения уравнений движения прини-
принимают вид:
<22)
Бели вычислить интеграл, то в левой части получим
Решая относительно qt, мы найдем, что
B3) 3,
где Р, и р|==Ьл — произвольные постоянные. Ур-ние B3) представляет собой
наложение двух гармонических колебаний: одного в направлении qt с частотой vt,
другого — перпендикулярно к первому о частотой va. Из A9), B1) и § 4, A3)
следует:
B4)
У 2т Р, — mhfl,2
Интеграл здесь тот же, что и в ур-нии B2) и, следовательно,
Если решить это относительно qt и вставить результат в первые ив ур-ний
то мы получим:
~~2Р," в.
B5)
Р1 = У2тР> cos 1/ -=-«, .
(*==1, 2).
Это—искомое касательное преобразование, которое после подстановки в A9)
приводи? к равенству H — Pt -j-Pa- Следовательно, величины Qt, P0 определенные
ур-нием B5), представляют канонические переменные, соответствующие гамилыо-
новой функции A9). '

II, § б Метод разделения переменных 85
В качестве второго примера рассмотрим движение материальной точки массы ш,
притягиваемой по закону тяготения Ньютона к неподвижной материальной точке
массы М, находящейся в начале координат. Представим движение в простран-
пространственных полярных координатах, так что гамильтонова функция будет опреде-
определяться уравнением E4) § 2. При этом для V нужно подставить ньютонов потен-
_. п.Мт тт
пиал F= , где х означает постоянную тяготения. Наша задача заклю-
заключается в том, чтобы определить рг как функцию от г, рэ как функцию от Ь, pf
как функцию от «р и при этом все три должны зависеть от трех произвольных
постоянных Рц Р2, Р3 таким образом, чтобы имело место тождество вида:
Так как ® есть скрытая координата, то прежде всего, согласно примечанию
в конце 3, мы положим: -jrPea = -P3- Теперь можно применить либо общий
метод, изложенный в 3, либо сокращенный метод, к которому приводит сле-
следующее замечание: если Н не может быть представлено как функция от
9tDuPi\ 9ъ(Я*Pz)> • • - (как мы предполагали в начале 1), но имеет вид
H=H(q1,pl, <р(за,i>2)> • • •). то можно положить<?(qa>pt)=Pi, H(qlf p1,P2) = pi и>
решая относительно р\, pv получить уравнения разделения со всеми свойствами,
которыми обладают уравнения A), причем E(PltP^ будет просто равно Pt. Если
мы применим эти соображения к уравнению B6), то наряду с ttJ?3 = -?з> мы
жны еще положить'
Если мы решим эти уравнения относительно рг, рд, р^ то получим уравне-
уравнения, соответствующие уравнениям A):
Вставляя эти выражения в уравнение B6), мы получим Е — Р^. Далее, из
уравнений B) следует:
B8)
r, Ъ, <р, Pv Р2, Р8)=
Применение уравнений D) дает теперь решение уравнений движения,
причем
дЕ дЕ дЕ
1 °
Необходимо принять во внимание, что хотя гамильтонова функция уравнения
B6) удовлетворяет условию F) разделимости, но это свойство связано с вы-
выбранной системой координат. Если мы вместо полярных координат введем прямо-

86 Классическая механика и геометрическая оптика .
угольные пространственные координаты xv х%, ж3 и соответствующие составляю-
составляющие импульса обозначим Ук — тх^ то К примет вид:
B9) Н = ~
V 2«г
и не будет уже удовлетворять уравнению F), Переменные, при которых разде-
разделение возможно, называются „разделяющимися переменными". Следовательно,
прямоугольные координаты в случае ньютоновой задачи одного тела не разде-
разделяются.
5. Свойства периодичности разделяющихся переиендых. Чтобы получить
изменение координат положения q, со временем, необходимо исследовать, как они
зависят от Q(. Связь между ними определяется касательным преобразованием
§ 4 B9), где значение W нужно взять из § 5 C). Для одного важного класса
механических систем об этом можно высказать кое-что общее. Будем исходить
из разобранного в 2 случая Штеккеля. Ив § 4 B9), C5) и § 5 A5), A6)
следует:
C0) ^"VS
Предположим теперь, что функции ^r(qr) имеют по два простых корня
gr<0) < 2ГA), между которыми нет других корней; далее пусть Brj(qr) в этом про-
промежутке не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность. Если мы в обеих частях
уравнений A) перейдем к дифференциалам и решим полученные таким образом
уравнения относительно dqr, то мы получим уравнения вида:
Если Хг не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность, то —$~ не могут
в рассматриваемом промежутке менять свой знак. Система будет все больше при-
приближаться к положениям, определенным границами промежутка. Если бы система
имела только одну степень свободы, то уравнения C0) свелись бы к одному
единственному уравнению, в котором мы опускаем значок для координаты:
и которое имеет вид уравнений, изученных в § 3 A4). Вследствие однократности
корней движение системы па границах меняет направление, и поэтому между
обоими граничными положениями оно будет периодическим. С помощью сообра-
соображений, аналогичных примененным в § 3, на которых мы однако вдесь не оста-
остановимся, можно вывести из C0), х) что каждое qr, приближающееся к простому
корню функции ЧГГ (qr), достигает его за конечное время, поворачивает там обратно
и стремится к другому корню, о котором можно сказать то же самое. Каждое qr
колеблется, следовательно, периодически между значениями gr@) и qr^\ Необхо-
Необходимо однако иметь в виду, что положение, определенное системой значений
дг@>(»-=1, 2, ..., п), не должно быть точкой поворота системы в смысле § 3.
Действительно, там в точке поворота все -— одновременно меняли направление
(Ль
и система проходила в обратном направлении через те же положения, тогда
как здесь каждое qr в свое особое время достигает граничного лоложения qj®
или q}1} и здесь поворачивает обратно.
См. например, Charlier, Die Mechanik des Himmels, т. I. гл. П, § 3.

II, § 5 Метод разделения переменных 87
Если некоторое определенное qr изменяется между граничными значениями,
тогда как все остальные остаются неизменными, то в сумме C0) справа меняется
только член с qr; так как на основании A4), A7) рг = У^г(Яг) и Рг линейно
и однородно относительно —, то при повороте на границе квадратный корень
(л/Ъ
меняет знак. Следовательно, при возрастании qr от qr{0) до qr(x) необходимо брать
квадратный корень о положительным знаком, а при. обратном изменении до qr@)—
с отрицательным. Но так как при возрастании qr величина dgr положительна,
а при убывании — отрицательна, то интеграл на обоих путях имеет одинаковое
значение, которое мы обозначим <orJ-. Следовательно, интеграл, взятый по всем
вначениям qr, пройденным в прямом и обратном направлениях, который мы обо-
обозначим через ф, имеет значение:
Боли система не принадлежит к типу Штеккёля, но все же обладает тем
свойством, что при движении каждое qr может испытывать только определен-
определенный цикл ивменений, то вместо уравнений1 C0), в силу D), имеют место общие
уравнения:
C2) Qj^jdpMr'^y^)dqr 0-i; 2, ...,w).
При полном обходе всех значений qr, если при этом остальные qi остаются
неизменными, Qj изменяется на:
C3) 2o>r, = ф J^?^r±^» • !•'-¦/_ ^ E = 1,2,..., »).
Если gr делает несколько обходов, например кг, следовательно, в конце
концов опять принимает начальное значение, то Qj очевидно изменяется на
2Jtra>rJ-, а если при этом qx, ..., qn делают соответственно kv ...,kn обходов, то
га
на 2 2 K^rf Но это означает, что qt остаются неизменными при измене-
ниях Qj на эти величины. Если, следовательно, мы решим уравнения- § 4 B9),
C5) касательных преобразований относительно q, и будем рассматривать их
как функции от Qj, то эти функции обладают свойством
п п „
2 7 к e> Q -4~ 2 7 к в> О -4— 2 /ii'ffl ) =
C4) S S '"'""" r=1 ' Г"
= «i(Qi, Qa, ••-, QJ (» = 1, 2, ...,»),
для всех значений Qt, ..., Qn и произвольных целых чисел й17 ..., кп. При этом
величины »rj определяются равенствами C1) и C5). Такая олстема, у которой
координаты положения qt, как функции „соответствующих" системе канонических
координат Qj, обладают свойством C4), называется и-кратно периодиче-
периодической системой.
6. Угловые неременные и переменные действия. Можно вместо Q{, P, ввести
другие канонические переменные, по отношению к которым координаты поло-
положения обладают более простыми свойствами периодичности, чем те, которые

68 Классическая механика и геометрическая оптика
определяются уравнениями C4). Введен новые канонические переменные
Wj, м?3, ..., wn и сопряженные им Jb У2, ..., /„, причем:
C5) 7cQr = 2 «ft»! (г = 1, 2, ...,»),
C6) Jr = —(t) >r(Я„ Pi, • • • , PJ dqr (r = 1, 2, ..., »),
где интеграл опять берется по всем значениям qf в прямом и обратном напра-
направлении между обеими границами. Если теперь мы решим C6) относительно Р,
и подставим в функцию F в C), то она останется полным интегралом диффе-
дифференциального уравнения в частных производных Ганильтона-Якоби § 4 C6),
в которое только вместо п постоянных Р} введены новые постоянные У,-
Следовательно, если мы положим:
C7) I 'F^1' *•*' Зя' Pv •"•' ^п) = -рЧсBц ••-. Я.п-> Л» •
/ц • • • > -U
то, в силу § 4 C6):
dF* dF* ^
C8) Н (з15 ... , qn, ——, ... , -д—) = Е* (Jv ... , Уп).
Уравнения, аналогичные B9), § 4
C9) ,,-|?, „^Ур о--1, а, ....•)
определяют тогда переход от qJy Vj к каноническим „соответствующим" пере-
менным toj, Jf Легко показать, что преобразование, определяемое уравне-
уравнениями C7), C9), тождественно с тем, которое определяется уравнениями C5), C6)
совместно с § 4, C6а).
Для этого необходимо только показать, что ив C5), C6) вытекает второй
ряд уравнений C9), так как первый ряд сразу получается иг уравнения C7)
и § 4, C6а). Действительно, ив C7) следует:
dF dPr
дР. dJ, '
dF* ^r\
В силу § 4, B9), C5) мы сраву получим, подставляя значение Q, из C5) и используя
соотношение e>lr = ic -~jf, вытекающее из C3) и C6) [если принять во внима-
dJ дР 6(!ф&\ F*
dJ, дРг 6(!ф&\ dF* Л
ние, что V ~5d -аТ~—ч /7 -ч 1> что -^т*» что и требовалось доказать.
Следовательно, уравнения движения механики сохраняют и в перемен-
переменных tCj, Jj каноническую форму, и на основании C7) движение может быть ана-
аналогично § 4, C3) представлено также уравнениями:
яга
D0) Jj^aj, w^ — t+h . 0 = 1, 2, ...,»),
где aj, Py—произвольные постоянные. Чтобы вывести отсюда что-либо о дей-
действительном движении, нам опять нужно исследовать, каким образом координатн
жоложения д^ зависят от Wj. Из C5) следует:
» »
D1) ж (Qr + 2 2 */»*) - 2 ш"(W'+ Шг) (г = 1, 2, ...,»),

II, § 6 Многократно-периодические системы 89
т. е. если каждое м>, изменяется на целое кратное 2тс, то Qr меняются как раз
иа такие величины, которые согласно C4) не влекут за собой никаких измене-
изменений qt. Следовательно, если мы при помощи C5) вычислим qt как функции
м>„, то, полагая ?,(&, ..., Qn) = qt*(гви ..., м>„)> мы получим:
..,
D2) q* (к?! -j- 2ufcl5 м;
где kj — произвольные целые числа.
Следовательно, координаты положения представляют собой периодические
функции Wj с периодом 2и.
Поэтому величины ws называются угловыми переменными; действи-
действительно, они имеют с обычной угловой координатой, как, например, полярный угол &
в обыкновенных полярных координатах, то общее, что изменение на 2тс приво-
приводит к тому же самому положению системы. Однако в общем случае угловые
переменные не являются координатами положения, так как они не являются
функциями только от qt. Переменные Jjt канонически сопряженные угловым
переменным, называют переменными действия. Выражение энергии си-
системы как функции от переменных действия мы будем называть для краткости
вросто „выражением энергии".
§ 6. Многократно-периодические сн стены
1. Введение произвольных координат. Если вместо разделяющихся перемен-
ных qt, примененных в § 5, ввести новые переменные xt, жа,... , хп, считаякаждое qt
функцией от Жц ... , %п, и определить соответствующие обобщенные составляю-
составляющие импульса- t/t согласно § 4, B4) равенством 2 ytdxt = .SiVUfo-то M и инте-
интегралов § 5, A) мы получим опять п интегралов общего вида:
?*(*i, •••,*», У» • '¦> Уп, Pv • • •» -Р») = 0. (* = 1, 2, ..., »),
соответствующих уравнениям C8) § 4. Будучи получены преобразованием си-
системы в инволюции § 5, A), они согласно § 2, 6, сами также образуют
систему в инволюции. Если мы решим эти уравнения относительно у„ то они
получат вид:
A) У» = У|(*1, ...,*„, Рц • •., Р.). (* = 1, 2,..., »).
Эти выражения на основании § 4, C9) удовлетворяют тождеству вида:
п
B) 2 ytdwt = aF*(xu ...,хя,Ри...,Рлу.
При этом F# есть только другая форма функции F в § 5, C).
Поэтому можно ввести'-„соответствующие" канонические переменные Qt, P,
§ 5, 1 также посредством уравнений:
Если q, обладают относительно Qt свойствами периодичности, определяе-
определяемыми уравнениями § 5 C4), то теми же свойствами обладают и х, (как одно-
вначные функции д,). Если некоторое оиределенное qt, например gr, пробегает
разобранный в § 5, 5 цикл, а все остальные qt остаются неизменными, то
величины xv x2, ..., хп при этом оказываются функциями параметра qr; этим
в ю-мерном пространстве величин х{ определяется замкнутый путь, или, точнее,
отрезок кривой, проходимый в прямом и обратном направлениях. Если обовна-

90
Классическая механика и геометрическая оптика
четь интеграл вдоль эфой замкнутой кривой черев ф, то, в силу равенства
qt для интегралов по замкнутому контуру, введенных в § 5, C3)
и C6), мы получим соотношения:
C)
*ч»
При этом сюда нужно подставить значения у{ из A).
Таким образом переменные действия Jj могут быть непосредственно вве-
введены, исходя из х„ yf при помощи равенств C). Например, если мы в случае
ньютоновой задачи одного тела в плоскости будем исходить ив гамильтоновой
функции в прямоугольных координатах § 5, B9), в которой разделение невоз-
невозможно, то мы все же можем ввести „соответствующие" канонические перемен-
переменные Q,, Р, и в частности Wj, Jj. Мы -будем' исходить из двух интегралов
р9 = У Р2 и Н = Ри где постоянные обозначены, как в § 5, B6), B7). В прямо-
прямоугольных координатах эти уравнения, имеют вид: ч
D)
-*аа
Оба эти интеграла, очевидно, находятся в инввлюции. Если мы решим их
относительно yv y2, то получим уравнения, соответствующие A): /
E)
Г
У a — • • • »
где у2 получается из ух перестановкой значков и изменением знака У Р%. Легко
убедиться, что
V~P
хя = 8' (ххйхг — х2пх,) ±
I Ж2
представляет собой полный дифференциал функции F* (xt, ж2, Ри Ра), производ-
производные которой по ж, дают у,, а по Р, — дают Qt. Обоим обходам по всему циклу
значений при постоянной г и постоянном & соответствуют в плоскости xv x2
два обхода, для первого из которых мы, в силу тождества г* = х^-{-х22, имеем
соотношение xxdxx -\- xd2x2 = О, тогда как при постоянном & равенство 9 = arctg —
дает xldx.2 — x2dx1 = O, так что при вычислении «7Х, J2 из C) и F) остается
только один член в правой части уравнения F). Мы получаем точно вначе-
ния «79 и Jr в гл. V, § 1, G).
2. Введение общих игногократно-нернодических систем *). Сопоставим
теперь свойства систем, изученных в 1 и в § 5, 5, 6, которые, отвле-
1) A. Einstein. Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein, Verh. d. D. Phys.
Ges., 19, 1917, 82 и след..

II, § 6 Многократнв-периодичесше системы 91
каясь от возможности разделения переменных, можно сформулировать следую-
следующим образом. Если мы рассмотрим! уравнения A), то они дают вещественные
значения ух, ¦... , уп только в конечной и-мерной области значений хи ..., ж„.
Движение, начинающееся в этой области, никогда не может выйти за ее пределы.
Каждой точке этой области соответствует конечное число систем значений уи..., уп
[для систем Штеккеля две в силу § 5, A2)]. Если мы назовем замкну-
замкнутым „путем" в области замкнутую кривую, вдоль которой не только xlt ..., хп,
но и приведенные им в соответствие при посредстве A) величины ух, ...,уп,
изменяются непрерывно, то существует п и только п отличных друг от друга
замкпутых путей, вдоль которых интеграл от полного дифференциала B) при-
принимает отличные от нуля значения.
При этом различными называют такие пути, которые не могут быть пере-
переведены один в другой непрерывным изменением. Так например, путь, проходи-
проходимый в смысле § 5, б между qr(® и qr(V) в прямом и обратном направлениях,
никогда не может быть непрерывно переведен в такой путь, который не дости-
достигает этих границ области. Действительно, на таком пути рТ может быть либо
только положительным, либо только отрицательным; переход, который был бы
непрерывен относительно qr и рг, невозможен потому, что рг может менять знак
только на границах.
Если сделать относительно системы такое допущение, не предполагая при
этом возможности введения разделяющихся переменных, и обозначить через
интеграл, взятый по r-му из п выделенных путей, то можно точно так же, как
в 1, вывести из F* касательное преобразование, вводящее соответствующие
канонические переменные Qt, Pt. Так как при r-ом из названных обходов Qj изме-
изменяется на величину 2e>ri, определяемую формулой C), в то время как ж, возвра-
возвращаются к прежним значениям, то xlt как функции величин Qp обладают свойством
периодичности, которое было формулировано в § 5, C4) для величин qt. Если мы
введем теперь величины wjt Js посредством формул C) и § 5, C3), то так же
как и в § 5, 6, можно вывести, что х, периодичны относительно tv}- с периодом 2тс,
a Jj канонически сопряжены с м>у. Этим определяются угловые переменные и
переменные действия для общих w-кратно периодических систем.
Простейшим видом функций xf являются простые тригонометрические функции,
именно ж, = A cos (fcjtOj -f- &2м>2 -f-... -f knwn + 8), (i = 1, ...,«), где \, ... ,hn —
произвольные целые числа, а А и 8 — произвольные функции величин Jlt ... , Jn.
И так как простую периодическую функцию переменной w всегда можно пред-
представить как сумму тригонометрический выражений V Ak cos (Jew — Ьк), где Ь — целые
к
числа, а Ак и Ьк не зависят от tv, то аналогичная теоремах) имеет место для перио-
периодических функций п переменных t«x,...,wn. Поэтому, согласно § 5, D2), можно
положить
-.*„ *» *• 1 ' Г П П I kv...JCn
где &j, \,..., Ьп пробегают все целые неотрицательные числа, ai г 8 являются
функциями от J,, .. .,Jn. Член с k1 = k<i— .. .йя = 0 не содержится под знаком
суммирования; он вынесен и мы его' всегда будем называть „непериодическим
х) Доказательство этого разложения имеется у Ж. Вейерштраееа, Math. Werke.2.
183 и след.

92 Классическая механика и геометрическая оптика
Обозначая:
дЕ*
(8) -щг- = ^.(J,, J2, ... , Jn\ 0=1,2, ..., и),
мы получим из § 5, D0)
j+ 2 *и«*НК*г+ %.
При этом, как величины Д, так и J. представляют функции от Ju ... , Jn.
3. Вырождение. Если бы сумма (9) состояла только из одного единственного
периодического члена, то она представляла бы собой одно гармоническое колеба-
колебание ж, с частотой #Л + &2va + • • • + *Л [CM- § 5« B3)]- Но в каждом члене
частоты складываются из целых кратных величин v,. Поэтому п величин vx, v2>... ,vB,
определяемые формулами (8), называются «основными частотами много-
многократно периодического движения. Если между нами нет никаких линейных одно-
однородных соотношений с целыми коэффициентами, то их называют п независимыми
частотами, а система называется невырожденной, те-кратно периоди-
периодической системой. Если мы примем, что между величинам v, имеется т таких
соотношений:
A0) 2л V V = °» (t = 1, 2,... , w) (m < и),
i—i
то их можно рассматривать, как т линейных однородных уравнений между и вели-
величинами Vy. Согласно теории линейных уравнений, все решения можно составить
линейным и однородным образом из и — т величин, причем, вследствие цело-
численности величин к®, коэффициенты будут тоже целочисленны, иначе говоря,
существуют п — т величин v^, v/,.. -,\_т таких, что
(И) *;= ? '« v« ^=1' % •••'И)'
причем № представляют собой также целые числа.
Если подставить A1) в (9), то ж< представятся как суммы периодических функций
от времени с частотами, представляющимися линейными, однородными функциями
с целыми коаффициентами от »— т основных частот v/, ..., v'n_m. В этом
случае систему называют «г-кратно вырожденной или (п — «г)-кратно
периодической. Крайний случай будет тогда, когда т = п—1. В этом случае
система оказывается просто периодической. В таком случае величины у^
представляют собой целые кратные одной единственной основной частоты /.
Вместо Wj легко могут быть введены посредством касательного преобразо-
преобразования новые угловые переменные. Положим:
A2) to/ = 2 */*Ч (i = 1, 2, ... , п),
j = i
где Ъ® — целые числа и определитель, составленный ив величин fyw, имеет
значение ± 1. Решая эти уравнения, мы получим величины Wj как линейные
однородные функции величин w/ с целочисленными коэффициентами, и подставляя
в формулу G), мы увидим, что зависимость ж, от w/ имеет тот же вид, что и

JIt § 6 Многократно-периодические системы 93
от w}: Для того чтобы преобразование было касательным, величины J/ должны
быть такими линейными однородными функциями Jj, чтобы, согласно § 4, B5):
A3) 2 JW = 2 **
Ив A3) и A2) вытекает:
ft
A3а) «^=2 Ц' J< U= I, 2, ...,»)
¦=i
Если положить:
.Е* (JL, Ja, . • • , Jn) = Ef (J/, J2 , ..., «/"„')»¦
*o
Следовательно, в качестве основных частот можно выбрать любые линейные
однородные функции старых Vj с целочисленными коэффициентами, определитель
которых равен ± 1. Если теперь система вырождена, т. е. если между вели-
величинами v. имеется т соотношений A0), то величины hf в преобразовании A4)
можно выбрать так, чтобы они соответствовали в первых т уравнениях величинам
j<*) уравнений A0). Но тогда из A4) и A0) вытекает, что ^ = ^= ... =v^ = 0
и только » — т основных частот Ут + 1> • • • » v/ отличны от нуля. Отсюда однако
вытекает, что величины J/, ...,Jm' не входят в выражение Е'.
Следовательно, если система m-кратно вырождена, то всегда можно ввести
такие угловые переменные и переменные действия, которые распадаются на две
группы: 1) т „несобственных" угловых переменных vx, ...,vm, таких, что соот-
соответствующие им переменные действия м,- не входят в Ег\ эти Vj остаются по-
постоянными во время движения, 2) п — т = [л „собственных" угловых пере-
переменных wt, ..., w таких, что только переменные действия J., соответствующие
им, входят в -Б'; эти ws представляют собой линейные функции времени. В таком
случае решения § 5 D0) имеют вид:
»,-=Ру 0 = 1, 2, ...,ш);
(*=1,.2,
Если вместо Jjf Wj ввести их значения та A5) в G), то мы получим, обо-
обозначая опять ч/ просто через v,:
..., ит,
3 эти выражения входят только j* „основных частот"; функция несобственных
«тловых переменных появляется попросту как фазовая постоянная.
4с. Примеры. Введение угловых переменных совершается очень просто
з первом примере § б, 4. В силу § 5, C6) и B0), мы должны положить:
= 1, 2).

94 Классическая механика и геометрическая оптика
>
Интеграл по замкнутому контуру нужно ваять между корнями qTm и q"'
подинтегральной функции в прямом и обратном направлениях. Проще всего
его вычислить посредством введения вспомогательной переменной Ь с помощью
к а ~
уравнения -^—- = sin2&.
Для корней нодинтегральной функции sin2 0 = 1, или sin& = rtl,
»=::+:—. Следовательно, интеграл нужно взять от —— до-f- — и обратно, или,
вследствие периодичности нодинтегральной функции относительно Ь, от 0 до 2и.
При этой </j принимает значение
или, согласно § 5, B3):
A8) ' Jr = ~^ (Г=1» 2).
Но в силу § 5, B0) и B1) отсюда., следует:
A9) ?* = v1J14-v2Je'
^*(«i, 2a» Ji. J2)= /VsmJ^, —j
B0) { -
+y У 2mJ2v2-
Ha основании § 5, C9);
B1) Wj^fMj j у . = O'=l. 2),
и если мы вычислим интеграл аналогично § 5 B4): Wj = v^Q^. Решения уравнений
движения в угловых неременных и переменных действий имеют, согласно § 5 D0),
вид: jP
t0,- = v/-j-P>-
Мы получим касательные преобразования, посредством которых вводятся
Wj, Jj, подставляя в § 5, B5):
-^- sin wf, pj = у 2Jj^m cos w, (J = 1, 2).
Система вырождается согласно A0), если между vx и v2 имеется соотношение
вида fc1vi -J- /fc2v2 == 0, где Ъи h2 есть целые числа, т. е. — представляет собой ра-
рациональное отношение. В этом случае система является просто периодической.
§ 7. Однозначные интегралы и траектории, заполняющие объем
1. Плоский осциллятор. Будем опять исходить ив упругих колебаний ма-
материальной точки в плоскости «ft, g2 (CM- § 5> 4 и § 6, 4). Легко видеть, что
интегралы уравнений движения можно подразделить на два класса интегралов,
имеющих совершенно различный физический смысл. В виде примера интеграла
первого класса можно привести интеграл эта ергии в случае одной сте-
степени свободы §4, A9а). Если выражение для этого интеграла решить отно-
относительно р{ [см. § 4, B0)], то на основании полученного уравнения каждому зна-

II, § ? Однозначные интегралы и траектории, заполняющие объем 95
чению <Zj будут соответствовать два определенных значения j?, (так как квадратный
корень имеет два внака), так что вблизи этих значений р( не имеется других зна-
значений, удовлетворяющих уравнению A9а). Такого рода интегралы называют одно-
однозначно нли конечно-много8начно разрешимыми относительно pt
в зависимости от того, соответствует ли каждому определенному значению & одно
единственное или конечное (в нашем случае два) число значений pt.
В качестве второго примера рассмотрим интеграл, получаемый ив двух урав-
уравнений B3), § 5, если из них исключить время t. В результате мы получим сле-
следующее соотношение между дх и
j = arcsin
Решая A) относительно q2, мы найдем
sin [*• + •?
При каждом определенном значении gt arcsin может принимать бесконечное-
число различных значений, отличающихся друг от друга на 2пж, где и — любое
целое число. Таким образом, аргумент sin в выражении B) содержит при опре-
определенном значении gt неопределенный член вида 2ъп~, так как п может рав-
vi
няться любому целому числу. Предположим, что — есть . иррациональное число.
Тогда всякбе число, лежащее между 0 и 2я, можно с произвольной точностью
представить при помощи выражения 2яи —, если всякие два числа, отличаю-
отличающиеся друг от друга на число, кратное 2тс, мы будем считать равными. Поэтому
при каждом данном значении qt координата да, на основании уравнения B\
,а и — l/ ,а.
В этом случае говорят, что интеграл A) не разрешим однозначно или
конечно -многозначно относительно д2. Так как gt и qz играют
в A) одну и ту же роль, тоA) нельзя решить и относительно qr ни однозначно,
ни многозначно. Интеграл, который нельзя решить однозначно (или конечно-мно-
гозначво) относительно какой-либо переменной, называют неоднозначным
(или не конечно-многозначным) интегралом.
Легко видеть, что между однозначными интегралами (под которыми мы
в дальнейшем будем также подразумевать „конечно*многозначные" интегралы) и
неоднозначными при их физической ийтерпретации имеется существенное различие.
Представим себе, что любое „состояние" осциллятора может быть изображено
точкой в четырехмерном пространстве qt, g2, pt, p2,-—„фазовом пространстве"
осциллятора. Тогда эта точка — „фазовая — точка" при своем движении будет описы-
описывать кривую в фаговом пространстве, которая называется фазовой кривой.
Оба однозначных интеграла § 4, B) при определенном выборе постоянных инте-
интегрирования Рх, Р2 ограничивают фазовую кривую двумя определенными двух-
двухмерными частями фазового пространства» так как задание qx и д2 одновременно
определяет значения рх н^>а. Если теперь воспользоваться интегралом A) и вы-
выбрать определенные значения для постоянных интегрирования |3j и р2, то фазовая
кривая будет ограничена одномерным подпространством. Из уравнения Bа) § 4 сле-
следует, что проекция фазового пространства на плоскость qx, g2, которая теперь совпа-
совпадает с траекторией движения, заключена внутри прямоугольника состоро-

96
Классическая механика и геометрическая оптика
нами
у
/2Р /~ 2Р
—г^- и 2 1/ —jp-. Траектории для случая, когда Vj находится в ра-
рациональном отношении к va, т. е. когда они относятся друг к другу как целые
/ ' ¦ 2
числа, изображены на рис. 3 и 4, причем для рис. 3 это отношение равно — ,адля
О
рис. 4 оно равно —. Чем больше целые числа, входящие в отношение —, тем
больше точек прямоугольника находится в непосредственной близости к траектории.
Если наконец отношение — будет иррациональным числом, то траектория нри-
близится к каждой точке прямоугольника сколь угодно близко, так как в атом случае
уравнение B) нельзя однозначно решить относительно какой-либо координаты, и
следовательно, каждому значению gt будет соответствовать любое значение д2
Рис. 3.
Рис. 4.
внутри прямоугольника. При эхом говорят, что траектория заполняет весь
прямоугольник или что фазовая кривая заполняет двухмерное пространство.
Таким образом, обобщая, можно высказать утверждение, что оба однозначных
интеграла § 4, B0) ограничивают фазовую кривую » = 4-мерного пространства
и — 2 = 2-мерным пространством.
Других однозначных интегралов не существует. Поэтому фазовая кривая
„заполняет" все пространство, определяемое обоими однозначными интегралами.
Неоднозначный интеграл A) не приводит к дальнейшему уменьшению числа
измерений пространства, заполненного траекторией.
Это различие имеет большое значение для физической интерпретации инте-
интегралов. Действительно, ив физических измерений постоянные интегрирования Р1, Р3
можно определить лишь с ограниченной точностью. Поэтому двухмерная поверх-
поверхность, на которой находится фазовая кривая, определяемая однозначными инте-
интегралами § 4, B0), будет иметь некоторую~flтолщину". Так как интегралы одно-
однозначны, т. е. так как определенным значениям qt, g2 соответствуют определенные
изолированные значения pl5 pt, то эти поверхности конечной толщины sa-
полняют только некоторую часть 4-мерного фазового пространства, которая тем
меньше, чем точнее определены Plt P2. В этом случае говорят, что всякое „изме-
„измерение" постоянных интегрирования „однозначных" интегралов ограничивает фа-
фазовые кривые некоторой частью фагового пространства.
Но так как постоянные pt, |32 в B) также определены с некоторой „ошибкой",
то и „траектории" B) имеют некоторую толщину. Благодаря этому они полностью,
не оставляя пустых мест, заполняют весь прямоугольник, лежащий в плоскости
qt, g2. Измерение постоянных интегрирования неоднозначного интеграла совер-
совершенно не ограничивает траекторию. Это измерение не дает нам более точных

II, § 7 Однозначные интегралы и траектории, заполняющие объем 97
сведений, чем те которые мы уже имели до определения постоянных интегриро-
интегрирования.
2. Системы однозначных интегралов; импринитивные сдстеиы. Обо-
Обозначим теперь 2» координат qu .. .,qn, pv .. .,рп 2»-мерного фазового простран-
пространства для простоты через xlt х2, .. .,х2п. Цустъ
C) fj(xi, х2, . . .,xin) = Cj (j= I, 2, ..., т),
где т ^ 2 м—1, представляет собой систему т независящих от времени
интегралов уравнений движения Гамильтона [см. § 2, F2)]. Если можно решить
уравнения C) относительно т переменных, например хх, х2, .. .,хт% так, чтобы
каждой определенной системе значений жто+1, ..., хы соответствовали опре-
определенные значения х1, ... , хт или конечное число „изолированных" систем зна-
значений х1, ... , хт, то говорят,что уравнение C) можно решить однозначно
или конечно-многозначно относительно xlt ...,xm. Для краткости мы
условимся так же, как в 1, применять всегда выражение однозначно. Если
среди величин хх, ... , ж2п имеется т таких переменных, относительно которых
уравнение C) можно решить однозначно, то C) называется „системой т одно-
однозначных интегралов". Если такого решения не существует ни для одной системы
из т величин, выбранных из 2м переменных, то C) называют системой т
неоднозначных интегралов.
С помощью системы т однозначных интегралов при определенных зна-
значениях постоянных интегрирования сх, ... , ст определяется, согласно рассужде-
рассуждениям 1, B» — т)-мерное подпространство 2и-мерного фазового пространства,
в котором находится фазовая кривая.
Если к интегралам C) добавить еще один интеграл fm + l(xv ..., я\,п) = сто+1
образующий вместе е C) систему т т-\-1 однозначных интегралов, то при опре-
определенном выборе ет , 1 вид фазовой кривой можно определить более точно; при
этом мы получим Bм — т — 1)-мерное подпространство, в котором расположена
кривая. Однако, если не существует интеграла, который вместе с C) мог бы
образовать систему из т -\-1 однозначных интегралов или, другими словами, если
не существует системы, содержащей более т однозначных интегралов, то добавле-
добавление к C) нового интеграла, даже при определенном выборе постоянных интегри-
интегрирования ст , г,..., так же, как в 1, . B), не будет ограничивать ход фазовой
криЕой. Если Bм — »и)-мерное подпространство, определяемое C), при опреде-
определенном выборе значений ct, ... , cm конечно, как и в примере с осциллятором,
рассмотренным в 1, то оно будет целиком заполняться всякой фазовой кривой,
если только первые постоянные сх, ... , с„ соответствуют этому подпространству,
каковы бы ни были остальные постоянные ст , ±, ...,с,п_1, необходимые для
определения фазовой кривой, согласно § 2, F2).
Если мы ранее говорили, что определенную фазовую кривую можно задать
при помощи 2п — 1 интегралов вместе с их постоянными интегрирования, то
теперь, на основании 1, мы должны сказать, что для определения фазовой
кривой имеют физическое значение только однозначные интегралы. Задание т
таких интегралов определяет оо 2га ~ * ~ m фазовых кривых, которые заполняют одно
и то же m-мерное фазовое пространство. Только задание Чп — 1 однозначных
интегралов действительно определяет с физической точки зрения одну одномерную
фазовую кривую.
Следуя Леви-Чивита, можно назвать механическую систему, содержащую не
более чем т однозначных интегралов, „m-кратно импримитивной" системой.
В такой системе т постоянных интегрирования et, ..., ст определяют иг-мер-
ные подпространства, заполняемые „фазовой кривой". Система, в которой фазовая
кривая действительно может быть установлена „физически", является, следова-
7 Зак. 1408, — франк и Мтес. Дифф. уравн. пат. фнз.

98 Классическая механика и геометрическая оптика
тельно, „Bи — 1)-кратно импримитивной". Другим крайним случаем является
„однократно им примитивная" система, имеющая только один однозначный интеграл.
Энергия .H{qx, •••> <?„1 Pi> • • • > Рп) представляет собою интеграл для
всякой механической системы. Поэтому, на основании § 2 E3), мы получим:
D) }
Но это выражение несомненно является однозначным интегралом, так как его
можно однозначно решить (в данном случае — двузначно) относительно каждого pj.
Таким образом, единственным однозначным интегралом для однократно импри-
митивной системы является энергия D). Каждая фазовая кривая, соответствующая
значению постоянной Ео, целиком „заполняет" Bп—1)-мерную поверхность
энергии D). Такого рода механическую систему обычно называют квазиэр-
годической.
Рассмотрим исследованные в § 5 механические системы, которые можно
интегрировать при помощи разделения переменных. Если взять систему Штеккеля
§ 5, (8), то во всяком случае существуют п однозначных интегралов § 5,A1)
или A2), с п постоянными интегрирования сх, ... , сп.
В качестве примера можно указать на осциллятор, рассмотренный нами в § 5,1.
Если эти п интегралов — единственные однозначные интегралы, то мы будем
иметь и-кратно импримитивную систему.
Если кроме того совокупность постоянных с[г ... , с„ [или согласно § 5, A3)
л C6) Pj, ... , Р„ или Jj, ... , Jn] выделяет 2» — и = и-мерное подпро-
подпространство 2»-мерного фазового пространства, как в случае «-кратно периоди-
периодической системы, исследованной в § 5 и § 6, то всякая фазовая кривая, для ко-
которой и постоянных совпадают с заданными значениями с15 ... , си, целиком
„заполняет" определяемый ими w-мерный объем подпространства.
3. Приближенные периоды w-кратно периодических свете». Начнем
опять с исследования 2-кратно периодической системы — осциллятора, рассмо-
рассмотренного нами в 1. Мы видели, что если отношение — иррационально, т. е.
va
если не существует соотношения #jVx -(- Aava = 0 с целочисленными ht, #a, то оба
„интеграла разделения переменных" § 4, A9а), являются единственными одно-
однозначными интегралами и система „двукратно импримитивна".
Если же соотношение k^ -\- fc2v2 = 0 удовлетворяется целочисленными зна-
значениями #,, &2, т.е. если система, в смысле § 6A0), „вырождена", то интеграл A)
также однозначен, система трехкратно импримитивна и имеет одномерную „в фи-
физическом смысле" фазовую кривую.
Из § 4, B3) следует, что х является периодом движения, если
E) v1x=«2itn1, Vjit = 27c»25
где Wj и п2 целые числа.
Если положить, что ^ = «2, Л2 = — %, то из E) вытекает:
Поэтому период т тем продолжительнее, чем больше наибольшее из целых чисел
&j и &2 в соотношении, связывающем vx и v2. Это непосредственно следует из
о
рассмотрения рис. 3 и 4. На втором из них, для которого это отношение равно —,
материальная точка должна чаще менять направление движения, прежде,
чем она вернется в свое прежнее положение, чем на рис. 3, для которого это
2
отношение равно —,
О

¦ II, § 7 Однозначные интегралы, и траектории, заполняющие объем 99
Если отношение — иррационально, то t стремится к бесконечности и ма-
материальная точка никогда не сможет возвратиться точно в свое первоначальное
положение. Но так как с течением времени материальная точка пройдет мимо
всех точек упоминавшегося нами прямоугольника на сколь угодно малом расстоянии,
то она приблизится сколь угодно близко к любому исходному положению. Таким
образом, мы приходим к понятию „приближенных периодов". Они тем больше,
чем больше „требуемая точность". Из уравнения E) легко видеть, что еслл отно-
отношение — иррационально, то равенству E) можно удовлетворить с любой степенью
V2
точности, выбрав достаточно большие значения Wj и пг В самом деле, всякое
иррациональное число можно представить в виде отношения двух целых чисел
с любой степенью точности, если их выбрать достаточно большими.
Уравнение E) можно написать также в следующем виде:
Т1 — > ^2 — — »
vl V2
где через х1 и т2 обозначены периоды колебаний в направлении координатных
.. Т-. V1
осей. Коля отношение —— иррационально, то всегда можно найти такие целые
V2
числа п1 и и2, чтобы удовлетворялось равенство
Fа) »Л-%
где ч\ при достаточно больших значениях п,, »а можно сделать сколь угодно
малым. Но из E) и F) тогда следует, что „приближенный период" т будет очень
большим по сравнению с периодами х1 и т2 в направлении координатных осей.
Чем больше требуемая точность, тем больше будут значения nt и »2, а следо-
следовательно и т.
V,
Но утверждение, что отношение —*- рационально или иррационально, соб-
собственно говоря, не имеет физического смысла, так как никакими измерениями
нельзя установить, является ли данное число рациональным или иррациональным.
Можно ответить лишь на вопрос: возможно ли определить отношение — с за-
Ч
данной степенью точности как отношение двух малых целых чисел или нет.
В первом случае система называется „физически вырожденной", а во втором
„физически невырожденной". Поэтому с физической точки зрения нельзя провести
различия между „приближенными периодами" и „математически точными перио-
периодами", а можно лишь сказать, что если система физически вырождена, то благо-
благодаря малости Wj и и2 приближенный период т будет по порядку величины равен
периодам х1 и тд. Если же система „физически невырождена", то Wj и геа будут
очень большими числами и т будет очень велико по сравнению с t, и та.
Такие же точно рассуждения можно применить и в случае любой много-
многократно-периодической системы. Если система „невырождена", то кроме и одно-
однозначных „интегралов разделения", определяемых постоянными Jlt ... , Jn, ни-
никаких других однозначных интегралов не существует. Такая система и-кратно
импримитивна. Если ж& система иг-кратно вырождена в смысле § 6, 3, то»
существует еще т однозначных интегралов, т. е. т однозначных соотношений
между координатами qt, ..., qn. Подпространство, заполненное фазовой кривой,
имеет только и — т измерений, поэтому система, согласно § 6, 3, будет
(»—т)-кратно периодической и 2и — (п — т) = и-р-ю»-кратно импримитивиой.
В предельном случае она может быть (п—1)-кратпо вырожденной; в таков
7*

100 Классическая механика и геометрическая оптика
случае она B»— 1)-кратно импримитивна, имеет одномерную (в физическом;
смысле) фаговую кривую и является, как уже было показано в § 6, 3, одно-
однократно периодической.
§ 8. Некоторые сведения из статистической механики
1. Относительное вреия пребывания; виртуальные множества. Рассмотрим
теперь «г-кратно импримитивную систему. Постоянные сх, ... , ст однозначных
интегралов § 7, C) определяют B» — иг)-мерный конечный объем ®2п_т, пол-
полностью „заполняемый" всеми фазовыми кривыми, для которых т постоянных
имеют значение elt .,.., ст. Всякая точка этого объема определяется значениями
координат хт+1, ..., х.гп,& координаты xv ... , хт можно вычислить из C) § 7.
Пусть элементарная область состояний фазового пространства, содержащая эти
точки, определена элементом:
A) d» = dxn + 1 ... dxen.
Необходимо иметь в виду, что d<o не есть величина элемента объема (см. 2),
так как область, определенная равенством /} = с,-, не „плоская". Область со-
состояний, определенную уравнением A), мы будем коротко называть: „состоянием
Изменение состояния xv .. .,х.2п происходит по уравнениям движения § 2, E2),
которые в наших теперешних обозначениях принимают вид:
B) -у- = А, (#!, ;г2, .. • , #2и/ , (г = 1, 2, ... , 2п).
Это выражение можно также толковать как поток в фазовом пространстве;
каждой точке хи ...,х2п соответствует скорость с составляющими Хи ...,Х2п.
Предположим, что мы следим за движением системы в течение времени Т.
Вычислим сумму всех элементов времени, в течение которых система на-
находится в области состояний A). Отношение этой суммы к общему времени Т
мы будем называть относительным временем пребывания &i системы в состояпии
xm + v '• 'хгп • Если это отношение стремится к некоторому пределу при неогра-
неограниченном возрастании Т, то мы будем говорить о „вероятности d~ нахождения
системы в состоянии ят + 1,- • •>x2nU' ^ы будем предполагать, что отношение
только что определенной вероятности dz фазовой точки к йю при неограниченном
убывании do> стремится к определенному предельному значению:
Таким образом,
C) dz = тай* = я (хт + v.. .,x.J ixm + l... dx%n.
Интегрируя C) по всему Bм.— ш)-мерному объему <и>ы-т [см. § 7, C)], мы,
на основании определения d~, получим следующее соотношение:
D) f irda> = l.
Итак, наша задача созтоит теперь в том, чтобы определить функцию я (%m+l> — >x2t),
входящую в уравнение C).
Разобьем общее время наблюдения Т на N равных промежутков времени
и рассмотрим совокупность состояний (фаз) механической системы, соответ-
соответствующих точкам деления Т. Представим себе, что каждая из этих фаз осуще-
осуществляется некоторым экземпляром системы, т. е. системой, совершенно тождест-

II, § 8 Некоторые сведения из статистической механики 101
венной с начальной системой, находящейся как раз в этой фазе. Таким образом
мы заменяем фазы, через которые с течением времени проходит начальная си-
система, т. е. так называемое временное множество совокупностью эк-
экземпляров системы, одновременно находящихся в этих фазах. Такая сово-
совокупность экземпляров обычно называется виртуальным множеством. Дви-
Движение каждого экземпляра описывается уравнениями B). Фазы виртуального мно-
множества в определенный момент времени совпадают с фазами исходной система
Т _
в моменты, отделенные друг от друга промежутками -—-. Легко видеть, что число
систем виртуального множества в определенпой области состояний A) не изме-
изменяется со временем, так как хотя отдельные системы и изменяют свое состояние,
однако в каждый момент времени в данную область состояний входит столько
же систем, сколько из нее выходит. Такое распределение виртуального множества
называется стационарным.
Для доказательства разделимязаполненное"фазовыми кривыми пространство Q
на ячейки и перенумеруем их в каком-либо порядке. Отложим на оси времени G
промежутки времени, в течение которых фазовая точка проходит различные
фазовые ячейки, и припишем каждому промежутку номер соответствующей ячейки.
Очевидно, что последовательность номеров ячеек будет соответствовать последо-
последовательности их прохождения. Если исходную систему изобразить точкой на прямой G,
то для того, чтобы время пребывания точки в каждом промежутке было равно
времени пребывания в соответствующей ячейке, необходимо, чтобы она двигалась
по прямой времени с постоянной скоростью, равной единице. Пусть теперь'
каждому экземпляру нашего виртуального множества соответствует точка на
прямой G. Очевидно, что эти точки точно так же должны двигаться но прямой
времени со скоростью, равной единице; однако, фазы различных экземпляров не
одинаковы и поэтому они будут выходить из ячейки I в различные моменты
времени. Так как фазы экземпляров отличаются друг от друга на постоянную
т
величину -дт-, им будет соответствовать ряд равноотстоящих друг от друга точек
прямой G, движущихся со скоростью, равной единице. Отсюда следует, что
распределение нашего виртуального множества по ячейкам не будет изменяться
со временем. В течение определенного элемента времени в д&нпый промежуток
на прямой G будет входить и выходить одинаковое число точек. Таким образом,
распределение „стационарно". Однако из нашего построения можно получить
еще несколько заключений. Так как точки, изображающие виртуальное множество
на прямой G, образуют равноотстоящий ряд, то число их в данном интервале со-
состояний на прямой 6г пропорционально длине этого интервала, т. е. число
экземпляров в определенной фазе пропорционально времени пребывания исходной
системы в этой фазе. Поэтому функция *(жт + 1, . ..,ж2п) с точностью до не-
некоторого постоянного множителя [который можно определить с помощью условия
нормировки D)] может рассматриваться как относительная частота определенной
фазы в введенном нами виртуальном множестве. Однако из стационарного харак-
характера распределения следует, что если система в момент времени t находилась
в фазе хт + 1, ... , xin, а в момент времени t-\-dt в фазе ^т + 1—хт + 1-\~
~\~dxm,1>.. .,х'гп = xSn-\-dx2n, то условие неизменности числа систем нашего
виртуального множества можно выразить соотношением:
•• dx2n =* " (*'т + 1> • • • 'X'J dr'm f i • • • dxam
где x'm^v...,x'2n представляет собой фазу, образующуюся из фази хт . v-..,oo2n
по уравнениям движения B).
Таким образом, свойство E) является характерным для функции тс и, следо-
следовательно, им можно полъвоваться для ее определения. Оно выражает, что число

102
Классическая механика и геометрическая оптика
систем icdo> в области состояний doe равно числу систем ic'do/ в doe', если do/
получается из dw посредством уравнений B). Интегрируя по конечному объему
<о2п_ж или по объему °4,_„,1 в который объем <»2n_OT переходит согласно B),
мы получим:
Eа)
/ тео!а> = / iz'da/.
W2n - т
Ш2п-т
Таким образом, выражение / vda> представляет собою интегральный инвариант,
причем этот вывод предполагает лишь существование интегралов § 7, C); следо-
следовательно, этот инвариант зависит от постоянных cv...,cm.
2. Вычисление объемов в фазовом пространстве. Конечный объем
2и-мерного фазового пространства можно вычислить в прямоугольной системе
координат по формуле:
F) <о2и = У <Ц dx2 ... de.2n.
Введя In криволинейных координат и1, щ, ... , и.2п, мы получим уравнения
xi = XJ («p • • •' «4J (/«U 2»),
вида:
G)
2»
т. е.
(8)
Построим элементарный параллелепипед • из In элементарных векторов,
направления которых совпадают с новыми координатными линиями uv ...,u.in.
Составляющие этих векторов по направлению Xj равны:
dxj дх}- dxj
дих v ди2 2' ди2н 2и"
Объем элементарного параллелепипеда равен определителю:
(9)
где
A0)
ди1 1
дх.
Hit г/41
~а'..~aui' • • • ' ~аТ, aw2»
= D • dttl du2 ... du.2
Э(«„ ...,и,„)
представляет собой функциональный определитель переменных^-по переменными..
Поэтому
(И) <В2«= I dxi ••• ^'2»= I -DdUi ... du2ut
или, вводя элемент объема dv = dxx ... dxi№,
A1 a")
dv — Dduidu2 ... duSn:

II, § 8 Некоторые сведения из статистической механики 103
Введем теперь такяе переменные Uj, чтобы в B»—т)-мервом пространстве
§ 7,C), заполненном фазовымя кривыми, величины «х, ... , uia были постоянны,
так что каждая точка определяется ояотемой значений*ит , v...,игп. Для этой
целя положим:
A2) /}(*,, ...,#*„) = «,, (j — 1, 2, ... , т), xj = uj (j = mi-l, ...,2м),
яли, — если решить эти уравненяя относительно xv ..., хт, что по предположению
можно сделать- однозначно:
A3) / a*a=s*J(ll« + i' •' " W**' Mi" ' "О 0'= 1, 2, ..., m),
Отсюда следует по A0), что
A4) D— ^" Уг» •' • > ?»¦)
д(«j,я8, ...,«„,)'
На основании свойств функционального определителя из A4) и A2) сле-
следует, что
A5) Я = Х' А= ЭСЛ./"я. •••»/,) #
Таким образом, для элемента объема (На) мы получим:
1
A6) dv = — ймхйи2... dumdum + l... du2n. *
Если исходить из линейного элемента, выраженного в новых координатах, то мы
сможем эти формулы написать так, чтобы они не зависели от старых коорди-
координат Ху Как известно, длина ds линейного элемента dxx... dxa определяется
равенством:
которое для произвольных координат ut можно, на основании (8), написать в виде
*¦.*¦'
Если коэффициенты при duk du, обозначить через ды, т. е. положить:
A9) ЯЧ '-
то мы получим:
B0) ds2 =
Не теореме умножения определителей ив A0), A1) и A9) следует:
A\\ Q —!! ffi.r il = D"*,
где д есть определитель, составленный из дк1. Поэтому мы можем написать фор-
формулу (Па) для элемента объема в следующем виде:
B2) dv = Y~g dux... du2n.

104 Классическая механика и геометрическая^ оптика
Пусть в 2и-мерном фазовом пространстве задано Bw — т)-мерное, вообще
говоря, „искривленное" подпространство при помощи следующих уравнений:
B3) х. = xt («m+v ...,u2n) (i = 1, 2, ... , 2п),
точно так же, как в трехмерном пространстве х, у, г двухмерная поверхность
определяется тем, что величины х, у, г задаются как функции двух „гауссовых
переменных" (это соответствует случаю 2м = 3, т = 1). Тогда линейный элемент
в этом подпространстве имеет вид:
B4) ds^=^dx/= 2 9rkldukdulr
где величины дк{ (um + v ••• »«2„) определяются уравнениямиA9) и B3). Можно
показать, что элементы объема dv2n_m области dum + 1... du2n в этом подпро-
подпространстве определяются аналогично B2) формулой:
B5) dv^ _ т = V7 dum + 1... d4n = V7 • «Ч, _ т,
где д' представляет собою Bw — »»)-мерныЙ определитель, составленный из
коэффициентов дь{, входяп!,их в B4).
Вычислим теперь д' для случая, когда Bи — т)-мерное подпространство B3)
совпадает с Bw — т)-мерным пространством, определенным т однозначными
интегралами § 7, C) с постоянными gv ... , ст и „заполненным" соответствующими
траекториями. Для этого введем по уравнению A3) координату Uj и положим
tij^Cj для j =1,2,... , т. Тогда уравнения:
B6) ос. = <?.(ит + 1,..., ияпг с„ ..., ст) (/= 1»2, ..., и)
примут требуемый вид B3) и в силу A2) будут описывать требуемое пространство.
Так как на основании B6)
2п
B7) <Ц= 2j -af-*** * 0=l,2,...,m),
то из B4) следует, что
B8) ?«'(«„,+ !.¦••. «J = 8*
j = i * l
где 8Д/ = 0 при Ьф1 и 8W = 1.
3. Теорема Лиувилля. Чтобы найти функции «, удовлетворяющие уравне-
уравнению E) или Eа), рассмотрим прежде всего тот случай, когда d(o = dx ... dx2n,
т. е. представляет собою область состояний в 2»-мерном фазовом пространстве.
Если функцию it определить так же, как и в 1, то мы будем иметь случай
имиримитивпой системы пулевой кратности, не имеющей однозначных интегралов,
и фазовая кривая „заполняет" 2м-мерный фазовый объем. Этот случай не встре-
встречается в механике, так как интеграл энергии всегда однозначен. Если же мы
под функцией it будем понимать плотность виртуального множества, не совпа-
совпадающего с временным множеством, то мы сможем и в этом случае поставить
математический вопрос: какой вид должна иметь функция « для того, чтобы
удовлетворять условию E). Черев и1г ... , игп мы обозначим теперь координаты
фазовой точки, представляющей собою состояние некоторой материальной точки,
в момент времени ?0, а че^ез х1У... , х2п — соответствующие значения для той же
материальной точки в момент времени t.

II, § 8 Некоторые сведения из статистической механики 105
Тогда уравнение G) будет характеризовать переход фазовых точек в новые
положения, происходящий в промежутке от t0 до L Рассмотрим теперь множе-
множество состояний в момент t и предположим, что соответствующие им точки
заполняют область состояний ш2п фазового пространства, определяемую A1).
Чтобы вычислить изменение этого объема с течением времени t, необходимо
вместо Xj подставить их выражения из уравнения G), причем однако время I
в правой части последнего уравнения, а, следовательно, и в D (см. уравнение 10).,
нужно рассматривать как параметр. Тогда из A1) следует
или. согласно (Па):
dw2n ¦ Г 1 dD , Г 1 еШ
Отсюда мы получим, на основании A0) и B), применяя правило дифферен-
дифференцирования определителей: •* ^
где
и так как
то
Но так как
90
X
Пъ —
1
д{х11 •
'* — д('
¦^ дХ
X
и±, ... ,
ах,
duj
к ^'Г1'
j
... ,а
,ик,ик.
т '3
"и _ 1J. Яу
, 9Ь_
. . . ,
' Хк +1'
м2п)'
/¦-) 19 9 (Л
• • • ' ^гп^
при г = Л)
при г ^ Л),
или, согласно C1):
й = 1 *
и уравнение C0) примет вид:
'•2»'
Если уравнения B) представляют канонические уравнения движения меха-
механики, то ¦,

106 Классическая механика и геометрическая оптика
Гаким образом, на основании C3), C4) мы получим:
Это значит, что если рассматривается множество систем, фазовые точки
которых в момент времени t0 заполняют определенный объем <а$ фазового про-
пространства, то на основании уравнений движения фазовые точки того же мно-
множества систем в какой-нибудь момент времени t будут заполнять такой же по
величине объем. Очевидно, что это справедливо также и для элемента объема.
Действительно, если ж17 ж2, ... , ж9п переходят на основании уравнений дви-
движения в ж/, ж2', ... , xrin, то согласно A1) и (Па):
C7) dx/dx/ ... dx2nf =з dx^Xg, ... dx2a.
Так как прямоугольные координаты х/ начального состояния, на осно-
основании G), можно рассматривать как криволинейные координаты «,- конечного
состояния, то из C7) следует, что элемент объема также равен dv = du1 ... duitt,
и, следовательно, в A6), A5) D=l. Тогда, вследствие того, что т = 0, из E)
и C7) вытекает, что я(ж„ ..., ж2п) = const. Если также, как в 1, считать, что
функция ir характеризирует собою относительное время пребывания, то на осно-
основании C7) мы приходим к следующему заключению: если однозначные интегралы
не существуют, т. е. если фазовые кривые „заполняют" 2»-мерную область,
то времена пребывания в равных по величине частях объема фазового про-
пространства буду(т равны друг другу.
4. Теорема Больцмана J). Вычислим теперь относительное время пребы-
пребывания для m-кратной имнриыитивной системы, т. е. найдем при помощи C7)
функцию it, удовлетворяющую уравнению E) или .уравнению Eа) при любых
значениях т. Введем опять вместо xi в фазовом пространстве криволинейные
координаты «и м8, ... , щп при помощи уравнений A2), A3). За элемент объема
в пространстве состояний примем элемент объема, соответствующий фазовой
области duxdvk^ ... duin, величина которого определяется формулой A6). Рас-
Рассматривая фазовую область объема dv', получающуюся вследствие движения
области dux ... duin, необходимо принять во внимание, что, на основании
интегралов § 7 и уравнения C), координаты uv ...,иш, а следовательно, и
du1 ... dum не изменяются при движении. Если опять обозначить через х-
величины, в которые переходят координаты ж,- при движении, то:
C8) ^ = ~ du, ... dumd' d\d dj d
где А' получается из Д при замене Uj = Xj(j = m-\-l, ... 2и) на ж/. Величины
же Uj(j— I, 2, ... , т), как в Д, так и в Д' равны значениям с,- позтоянных
интегрирования т однозначных интегралов § 7, C). Поэтому из C7) и C8) следует:
C9)
Из C9) мы видим, что функция
К
D0) я(ж/и + v ... , жй1) == —
представляет собою решение уравнения E), причем К есть постоянная, которую
можно определить из D).
1) W. Glaser, ZS. f. Phys. 61. 1930, 644.

I], § 8 Некоторые сведения из статистической механики 107
Решение C6) уравнения (б) единственно с точностью до постоянного множи-
множителя. В самом деле, пусть жи« есть два решения уравнения E). Деля равен-
равенство тгйш = тг'йш' на равенство тейш = rc'do/, мы подучим:
откуда следует, что это отношение вдоль всей' фазовой кривой должно иметь
одно и то же значение. Но так как фазовая кривая „заполняет" B»—т)-мер-
ный объем, определенный постоянными си ...,с„, § 7 C), то это отношение по-
постоянно во всей области, я и те отличаются друг от друга только на некоторый
постоянный множитель, который мы можем включить в К в D0). Таким образом,
мы получим из D0), A5) и C) для относительного времени пребывания в фазовой
области do = dxm + ± ... йхы формулу Больцмана:
, , .. dx
D2) dt == ?".+ х 2JL
причем знаменатель этого выражения является функцией хт + 1, ..., х2п, так как,
решая C), § 7 мы можем представить координаты xv ...,«„ при помощи по-
постоянных cs, ..., ст в виде функций величин хт + 1, ..., rv2n. Постоянная К, ко-
которую можно вычислить из D), также является функцией от cv ..., ст. Если
вместо области состояний ^<02«-w5==^c,n+i ••• ^хгп (как мы будем, более точно
писать вместо d<s>) ввести величину ее объема dv3n_m> то из D2) и B5) следует,
что
Л-
d~ =
где д' есть определитель, составленный из дк{ B8) при щ = хк (для к=т -{-1,... ,2м).
Применим эту формулу Больцмана к двум важным частным случаям, когда т = п
и т = 2п— 1. Допустим сначала, что существует как раз » интегралов уравнений
движения; •
D4) f( (д„ ..., qn, pv ... ,pn) = c( (i = 1, 2, ... , »),
которые можно однозначно решить относительно pw и что не существует системы,
имеющей больше чем п однозначных интегралов. Тогда вероятность нахождения
координат положения механической системы в промежутке между qx, qq, ... , qn
и 2i Ч~ uli •> Чч 4~ &Чъ 1 • • • 1 2» ~г ^2» или' как говорят, вероятность нахождения
системы в „конфигурации <7j, ...,qnu равна, согласно D2):
D5) dx =
* ¦-.#„)
б. Время пребывания м-кратно периодической системы *). Формул^ D5)
для и-кратно периодической системы можно привести б очень простому виду.
Предположим, что п однозначных интегралов D4) точно так же, как в § 4, D1);
образуют и-членную систему в инволюции. Можно показать, что это свойство
вытекает ив того, что траектории „заполняют" и-мерное подпространство, опре-
*) Ph. Frank и W. Glaser, ZS. f. Phys. 61. 1930, 640.

108 Классическая механика и геометрическая оптика
деляемое уравнением D4) г). При этом предположении можно написать решенные
относительно рк соотношения D4) по замечанию конца § 2, 6 в виде:
(А п\ „ ^ (.пи • • -'Яп' С1> • • ''О (Ъ 1 о п\
DЬ) рк= — _ (А-—I, г, . . . , Щ.
0lJk
В случае «-кратно периодической системы можно, согласно § 5, 6 или § 6, (8),
вместо п произвольных постоянных интегрирования с„ ..., с„ (которые соот-
соответствуют Р} в цитированных формулах) ввести также п переменных действия Jr.
Тогда мы получим вместо D4) п однозначных интегралов вида
D7) fr (qu... ,qn, 1>1г... ,pn) = Jr
[конечно, fT — другие функции, а не те, что в D4)]. Пользуясь формулами пре-
преобразования § 5, C9), мы получим
"Як
л = 1, I, ... , и).
Если подставить значение D8) для рк в D7), .то эти уравнения становятся
тождествами по отношению к Jr\ поатому, если продифференцировать D7) по Jh
и воспользоваться соотношением D8), то мы получим:
Отсюда, на основании теоремы умножения определителей, следует:
E0) ДХ> = 1,
где
dqtdJn
Если вместо qi ввести угловые переменные Wj по § б, C9), то
Таким образом из D5), A5), E0) и E1) следует, что
я
2» •
Поэтому формулу для относительного времени пребывания можно, пользуясь
формулами F), A0), A1), написать в виде:
E3) di = K&wx ... dwn.
Таким образом, в пространстве угловых переменных время пребывания
в каком-нибудь элементе объема dw1 . *. dwn прямо пропорционально величине этого
элемента объема, или, другими словами, „плотность вероятности" тг {wv м>2, ... , ivn)
везде одинакова. ' ^
6. Квазиэргодическая система, микрокаяоническое множество. Второй
важный частный случай — когда т — 1, т. е. когда единственным „однозначным"
интегралом является интеграл энергии (§ 2, 6) '
(Ю fi(q» ...,g., Л, •••,i'n)==XBi, ••-, 2„. Pv ".,pn) = c1 = E.
Если положить
Ph. Frank, Phys. ZS. 80, 1929, 227.

II, § 8 Некоторые сведения из статистической механики 109
то при помощи D2) и E4) для времени пребывания системы в фазовой области
dq1 ... dpn _ х, получим выражение
КЛхг ,.. dx2n Kdqi ... agndPl...dpn_1
E5) *« ^ - ^ ;
дх, дрп
2» — 1 координату, ...,рп_г определяют точку B»—1)-мерной „поверхности"
энергии. В знаменателе последней формулы рп нужно рассматривать как функцию
от glt ... , pn_1t E, которую можно получить, решая E4) относительно рп:
' Если, как и прежде, обозначить через dv2llm_'1 объем фазовой области dql ... dpn _t
энергетической „поверхности", представляющей собой по существу Bм — 1)-мер-
ное пространство, то мы сможем вычислить dz также из D3). В нашем случае,/
есть определитель, составленный из коэффициентов gn' (qv...; qn, p1, ...,,рп _^ ±, Ё),
которые по B8) равны
E7) д'ы = 8Я-Н ^ -^ (Л, г = 2, 3, ..., 2»),
где функция <р определяется уравнением E6), к которому сводятся т уравнений B6)
при т = 1. Из E7) легко вычислить значение Bw—1)-мерного определителя,
составлеЕНого из коэффициентов д'ы:
Если продифференцировать тождество, получающееся при подстановке E6)
в E4) по какой-либо из переменных #2, ...,ж2и, то мы получим:
E9) -Щ+^Щ = ° • 0-2,8, .."., 2.).
Возводя в квадрат и суммируя, имеем:
Д dxj
и, следовательно, на основании E8),
Уравнение D3) даст при этом
KdV2n~l
F1) ••• d'^j^HT\'
Виртуальное множество с распределением плотности по формулам E5)
или F1) Гиббс называет „микроканоническим множеством", соответствующим
энергии Е.
УЧЕБНИКИ
L. ЪоШтапп, Vorlesungen Uber die Prinzipe der Mechanik.
Т. Леви-Чивита и Н. Амалъди, Курс теоретической механики.
Э. Т. Уиттэкер, Аналитическая динамика.
P. Painleve, Lecons sur l'integration des equations de la mecanique..

110 Классическая механика и геометрическая оптика
ГЛАВА III
УСТОЙЧИВОСТЬ И МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 1. Квазистатические движения ])
1. Упрощение интегрирования при наличии скрытых координат. Если
в лагранжеву функцию L не входит часть координат, а входят только их произ-
производные но времени, то » координат можно разбить на две группы: 1) только что
упомянутые „скрытые" координаты и 2) входящие в L „видимые" координаты.
Предположим, что имеется \ь скрытых координат wx, to%, ..., w и и— ^ видимых
координат <7t, q2, ..., gn_(l. В таком случае L представляет собой функцию
от w,, ..., ir^, qt, ..., gn_|l, qx, ... , ?„_,,- Следовательно:
дщ = ° c; = i, 2,,..,,).
Для функции Рауза В мы имеем в таком случае, в силу гл. II, § 2, E6),
также - д— = 0. Следовательно, -функция В, образованная по отношению к скрытым
координатам и>1, ... ,w , в обозначениях гл. II, § 2, E5) представляет собой
функцию от gfj, . ..,gn_(l, gt, ... , qn _,,., **х, ... , u^. Если теперь мы используем
du-
уравнения движения в форме Рауза гл. П, § 2, E7), то, в силу -тт = О, из них вы-
вытекает постоянство величин иу В таком случае В является функцией только
<h> ••• > tfn-ii' %¦> •••¦>in-v. и Р произвольных постоянных Uj. Вторая группа
названных уравнений E7) состоит в таком случае из п — \ь дифференциальных
уравнений 2-го порядка для видимых координат. Они имеют в точности вид урав-
уравнений Лагранжа, но только вместо L в них входит функция Рауза Л. Инте-
Интегрируя эту систему » — ц уравнений второго порядка, мы получим п — р. видимых
координат qs в виде функций от времени t и от 2м — 2ц произвольных постоянных
интегрирования, к которым прибавляются еще \>. произвольных величин м,. Если
вместо <?, и q( вставить эти функции, то В превращается в известную функцию
от t и 2п — [а произвольных постоянных. Но в таком случае обе первые группы
уравнений движения гл. II, § 2, E7) допускают интегрирование посредством про-
простых квадратур. Действительно, очевидно, величины ->— также будут предста-
влять собой известные функции от t и In — ja постоянных, следовательно:
A) W; = Г ||- dt + Р,, «,= О, (J = 1, 2, . . . , » — (*),
где интеграл берется как неопределенный, a ay, $j означают произвольные по-
постоянные. Вместе с р. величинами J3,- наши решения имеют теперь как раз
J) Движения этого рода часто называются в английской литературе „steady motion".
Однако часто под этим выражением подразумевается и более общий вид движения, ко-
который мы введем в § 3 под названием „перманентных* или „постоянных" движений („рег-
manente" oder „bestandige" Bewegungen), постепенно получившим права гражданства
в немецкой литератур*.

II7, § 1 Квазистатические движения 111
B» — (*) + У = 2» произвольных постоянных. Следовательно, если имеется ^
скрытых координат, то интегрирование п уравнений движения можно свести к п — i*
уравнениям:
т ik_?«=0 (.•-i,2,...,rt,
dt dqt dq{
и к а квадратурам. Из B) получаются „видимые", а из A) скрытые координаты,
как функции времени и 2w произвольных постоянных.
В качестве примера рассмотрим плоское движение под действием цен-
центральной силы. Пусть материальная точка массы т притягивается неподвижпым
центром массы Ж с силой Mmf (г), где f(r) — какая угодно функция расстояния г.
Если воспользоваться полярными координатами г, <р с началом в Ш, то согласно
гл. II, § 2, B9), функция Лагранжа имеет вид:
Ч 2
где F(r)= Г f{r)dr. Здесь <р есть скрытая, а г единственная видимая коор-
координата. Поэтому на основании предыдущего мы можем написать уравнение
в форме Лагранжа, для одного г. Здесь надо положить » = 2,[a=I,u>1 = ©, qx = r.
Следовательно, функция М = — Ъ-\-щ, причем
dL ..
и = — = тг2<?.
При посредстве этого уравнения <? может быть исключено, и Ii оказывается
функцией от г и г:
"" 2
На основании уравнения B) *• определяется как функция от времени с помощью
одного единственного дифференциального уравнения:
Ив A) получается в таком случае:
' Y J mr* ' v m J r2
где а и fJ — произвольные постоянные J).
2. Квазистатическио движения по Раузу. Ив полной системы решений
уравнений движения легко можно выделить частичную систему, которая содержит
только 2[а произвольных постоянных и которую можно получить без всякого инте-
интегрирования дифференциального уравнения. А именно, уравнения B) всегда могут
быть удовлетворены постоянными значениями и — [а видимых координат. Если мы
вставим такие значения, которые мы обозначим через 2,- = ft, то величины qt
* дВ
обращаются в нуль, выражения в постоянные, производные которых па
dq{
времени равны нулю, и величины q{ должны теперь удовлетворять только ко-
\ Дальнейший пример он. гл. IV. § 3. 8.

112 Классическая механика и геометрическая оптика
нечным уравнениям —— = 0. Решая эти п — {«. уравнений относительно q(, мы
получим искомые q- как функции [* произвольных постоянных ui = aj. Если
дВ — „
вставить в выражения -л— значения q( = q(, и, = <*., то квадратуры сейчас же
OUj
берутся и мы получим систему решений, содержащую 2и произвольных по-
постоянных:
*с о) 1,0 j ^~— "т ¦ ъ | р .¦, ty ¦' х, ^, ... . М1}, qt ^^— q I V ' х, а, ••• ,'^ ~~~*~ [А/.
Каждое движение, принадлежащее этой системе, мы назовем квазиста-
квазистатическим по отношению к выбранной системе координат. Действительно, оно „по-
„подобно покою", так как все видимые координаты остаются неизменными. Только
«крытые координаты возрастают линейно со временем и, следовательно, имеют
постоянные скорости tvj.
В силу гл. II § 2, E6) можно найти квазистатические движения, полагая
¦также величины iv:- равными произвольным постоянным, именно icj = «о,., и опре-
деляя q( из уравнении —— = 0 как функции \>. произвольных постоянных ш^-;
в таком случае величины tv}- получают вид и>у = «^-f-fy, где C,-—новые произ-
произвольные постоянные.
Наконец, квазистатические движения можно также установить с помощью
функции Гамильтона II. Согласно гл. II, § 2, (б 1), в Я также не входят скрытые
координаты Wj. Если мы разобьем канонические дифференциальные уравнения
яа две группы, одну для скрытых, а другую для видимых координат, именно:
f die, дЯ du,- дЯ
' ? ?. . (i 1 о ,.\
! . dt ди. dt dWj
\ dq, дН dp, dll
\ at op( dt aqt
дЯ п _,
то из -• ¦ - = 0 вытекает постоянство величин Uj = oij. Из
дЯ _ d.L _
«ытекает постоянство р( для квазистатического движения, которое, следовательно,
определяется уравнениями:
E) q{ = qt, l>( =jp7 (i = 1, 2, ... , ji), «s = <tj,
где a, — произвольные постоянные; значения qt, pl получаются в функции от a.j,
если решить конечные уравнения:
F) а?в0)ан=0' 0- = lj2><> w_u)
Если рассматривать в качестве примера центральное движение, то квази-
квазистатическое движение определяется тем, что единственная видимая координата*-
остается постоянной. Ее значение вычисляется из уравнения —— = 0, причем
„нужно положить г — 0 и и = а, так что R оказывается функцией одного *-.

г, § 1 . Квазистатические движения 113
Следовательно, на. основании формулы для R, данной в 1, постоянное значение г
должно удовлетворять уравнению Mmf(r) = —=-, тогда как <р определяется из
mrs
уравнения <? = —=- 14- |3. Мы имеем в этом случае семейство равномерных
mr2 "
круговых движений, зависящее от двух произвольных постоянных а, J3. Если вместо
а
а ввести постоянную же угловую скорость <о с помощью соотношения ср = о> = ——,
тг*
то Mf(r) — raP, откуда для ньютонова гравитационного поля /"(*¦) = —g- полу-
чаепся третий закон Кеплера 3f =r3e>2.
3. Обобщение понятна квазистатичеекого движения но Леви-Чивита.
Введенное в 2 понятие было существенно связано с наличием скрытых коор-
координат. Если же, например, при рассмотрении центрального движения вместо по-
полярных координат ввести прямоугольные координаты х, у, то функция Лагранжа
будет i= — (#2-f-2/2) — MmF (У х2 -J- у2), и скрытых координат нет. Однако,
очевидно, что особая роль равномерных круговых движений остается в силе.
Следовательно, должен существовать метод, позволяющий в более общем виде
устанавливать квазистатические движения. Такой метод установлен Леви-Чивита*).
В то время как в 2 мы рассматривали, следуя Раузу, движения, при
которых составляющие импульса и4, соответствующие скрытым координатам tvJt
не менялись со временем, теперь, следуя Леви-Чивита, рассмотрим движения,
при которых какие-либо ja интегралов уравнений движения в смысле гл. П, § 2, F2)
имеют определенные значения постоянных интегрирования с,-.
Пусть, как и раньше, qv q , ..., qn обозначают обобщенные координаты, а
ji. не содержащих времени интегралов уравнений движения гл. II, § 2, E2). Если
при этом fj образуют систему в инволюции (см. гл. II, § 2, 6), то посредством
касательного преобразования можно ввести новые канонические переменные таким
образом, что а( опять будут представлять постоянные значения составляющих
импульса, соответствующих скрытым координатам. Введем новые переменные Qu
Q2> •••> Qn-v* Wi> Wv..., W^ и сопряженные им Pv P2, ..., Pn_[4, IT,,
Uz,..., U посредством следующих соотношений:
(8) Uj B„ ... , qnf pv ... , pn)=*fj (g,, ..., qn, pv..., Pn) {j=l,%..., ft).
Остальные величины Qt, P{, Ws должны быть такими функциями от величин .
Зи • • •> 3„> Ръ • • •» Рп> чтобы были удовлетворены дифференциальные уравнения:
О
О)
В таком случае, в силу G), (8) и предположения относительно величин /}, соот-
соотношение (?/,, Uk) = 0 будет выполнено само собой. В таком случае, мы согласно
гл. П, § 4, B2) имеем дело с касательным преобразованием вида гл. П, § 4, B3).
!) Rendiconti dei Iincei, 1901 я 1905. Упрощенное я сводное изложение с много-
многочисленными примерами: Т. Levi-Civita, Sur la recherche des solutions partlculieres des
eystemea differentiels et sar les moavemeats stationnaires. Prace mat.-fizycz, XVII, War-
echau, 1906.
8 Зак. 1408. — Ф^внк в Мизес. Днфф. урава. мет. фпз.

114 Классическая механика и геометрическая оптика
Уравнения движения сохраняют свой вид. Следовательно, если, согласно нашему
теперешнему обозначению, разделить их на две группы, то мы получим, анало-
аналогично гл. II, § 4, A2а):
dQt дН dPt дН ,. , п
~аТ = Щ> -АГ — Щ- <»в1' 2> •¦¦' П-^'
дН
ЧГШТ; ЖЩ. О'=ь 2, ..., ц).
При этом тождественно:
H(qv ..., qn,pv ...,_pn) =
я (Qt, ..., Qn_^ pv ..., p..,,, wt,..., w^ ut,..., uj. •
air
Так как, согласно (8) и G), величины Uj не меняются со временем, то ^^- = О,
т. е. в выражение П величины Wj не входят; следовательно, в преобразованной
задаче они являются скрытыми координатами. Теперь мы видим, совершенно
так же, как в 2, что при постоянном Uj = <tj существует решение уравне-
уравнений A0), при котором Q{ и Р{ имеют постоянные вначения Qv Pt, которые можно
получить ив 2» — 2(i конечных уравнений
Д ГТ ЭТТ
(is) W^0' ар~=0 (* = i, 2,....»-}*),
решением их_относительно Qff Pf, как функций <хх, а2, ..., а . Если вставить эти
значения в //, то из A1) мы получим:
dff
(U) Wj = -fc- t+pj, Ц = Ь (j=l, 2, .... 51).
Вместе с равенствами Qt = Qt, P( = Pt мы имеем систему решений уравне-
уравнений 10), A1) с 2[j, произвольными постоянными a.j, $j из которой мы сразу получим
такую же систему решений первоначальных уравнений, если мы в уравнения каса-
касательного преобразования введем для величин Qt, .Pt, WJt Uj выражения A4)
и равенства Q=Qp P=c=Pt и решим эти In уравнений относительно 2» вели-
величин (/j, ..., qn, р„ ..., jpn. Таким образом, мы получим эти общие координаты
как функции времени t и 2(а постоянных а,-, ^. Следуя Леви-Чивита, мы н.азовем
эту систему решений квавистатическтши движениями относительно ji интеграловv
движения fj уравнений G), обрзвующчх систему в инволюции.
На основании заключител] ног > замечания в гл. II, § 4, каждое движение
системы очевидно является квазистатическим относительно системы в инволюции
из п интегралов.
В болшшнстве конкретных случаев невозможно, однако, вычислить изло-
изложенным способом величины qt, p( для квазистатического движения, так как
действительнее выполнение каоател1ного преобразования требует решения
системы (9) дифференциал!ных уравнений первого порядка в частных произ-
производных. Однако, нижеследующее замечание приводит к цели. Рассмотрим изме-
изменение, которое испытывает функция Гамильтона Н или, что то же самое, полная
энергия системы, когда мы переходим от квазистатического движения системы
в соседнему движению, которое соответствует тем же значениям постоянных
BHTerpHpjBaHHH в уравнениях G), и разложим это изменение по изменениям Дф„
АР, ... величин Q,, Pt, W}., Uj. Если мы затем примем в расчет, что Wj не
входят в выражение Н, а 6Г,- не изменяются, то линейные от носительно ярира-

HI, § Квазистатические движения 115
щений члены, которые мы обозначим через ЬН, имеют на основании уравне-
уравнений A2) и A3) вид:
A5) «я=пг=
Обратно, из условия 8Н"=0 при добавочном условии, что величины 1Т}-
должны оставаться постоянными, вытекают уравнения A3) для квазистатического
движения. Следовательно, в этой форме условие не зависит от системы координат,
и мы можем его выразить следующим образом непосредственно в величинах qv — ,qn,
Pv ••¦>Рп: НУЖНО найти движения, для которых при <х добавочных условиях G)
имеет место уравнение Ш(qv ..., qn, pv ..., рп) = 0. Из G) следует после
решения:
A6) p^i (qt, • • • > Яп> Pv ¦ ¦ • > К-*.' «!>•••> \)> (* = » —P + l, ..., п).
Вставляя в A2), мы получим:
f Л {qx, ..., qn, pv .-¦ , Рп_^, Ф„_11 + 1, • • •> Ъп) =
{ = Н* (?!> • • • > Чп> Pv • ¦ • ' Рп-*> av ¦•¦ ' %)•
В таком случае условие может быть сформулировано как уравнение 8Я* = О
без добавочных условий. Из него следует:
дН*
A8) ^i- = 0 (* = 1, 2, ...,»), -g— =0- («==1, 2, ... , п — а).
Здесь мы имеем как будто бы 2w —j* условий. Но так как они эквива-
эквивалентны с 2м—2[i условиями A3), которые можно написать также как условия
для <7f, р^ то [а из уравнений A8) представляют собой следствия 2п — 2и.
остальных. Поэтому в них можно выбрать произвольным обравом еще \i неивве-
стных, например qif ... , q^, а остальные 2п — 2jj. выразить через них.
Если вставить эти выражения и остальные рг — ^. из A6) в уравнения
движения гл. II, § 2, E2) и рассмотреть первые ja из них, то мы получим [А
дифференциальных уравнений первого порядка, из которых можно вычислить q:,
q , ..., q как функции от времени t и от и постоянных интегрирования. Но так
как само Я* содержит еще величины <Ху, то в нашем решении имеется 2а по-
постоянных. Следовательно, нахождение квазистатических движений требует инте-
интегрирования системы |А обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка. Другие неременные получаются при решении уравнений A8), как
функции <?,, ... , q , а следовательно также t и 2ц постоянных. Что эти пере-
переменные также удовлетворяют первоначальным уравнениям, видно из того, что
соотношения A8), если они имеют место в некоторый момент времени, в силу
уравнений движения, выполняются тождественно и в любой момент t, Легче всего
убедиться в этом следующим образом: уравнения A8) эквивалентны уравне-
уравнениям A3). Но последние представляют собою соотношения, „инвариантные"
относительно уравнений движения A0), т. е. из A3) и A0) также следует:
d 'дЗ d дЛ__ .
1пЩ~ ~&~Щ~ (г—1, А..., и W-
Действительно:
d дН _ у Э2Я Щс . dW dPh
ft*

116 Классическая механика и геометрическая оптика
А отсюда согласно уравнениям A0) и A3) вытекает равенство нулю левых сто-
сторон и, следовательно, справедливость соотношений A3) для любого момента времени.
Более симметричным образом можно вывести соотношения, вытекающие
не 811=0, при добавочных условиях /} = «,-, вводя ц неопределенных множи-
множителей Л,-. В таком случае искомые соотношения имеют, как известно, вид:
дН Л df, дН JL dft
Если исключить X, с помощью уравнений G), то из 2» уравнений между 2»
величинами qt, ..., qn, px, ..., j>n по тем же основаниям, как и выше, остаются
только 2»—2ц независимых сеотношений.
Чтобы показать применение метода на совершенно ясном примере, рас-
рассмотрим центральное движение в прямоугольных координатах.
Если обозначить составляющие количества движения через рх = тх, р = ту,
то гамильтонова функция имеет вид: Н=-^— (Р«2 "hi5»2)—MmF(r), где г = Ух*
Будем искать квазистатические движения по отношению к интегралу площадей:
УРх — хРу = * В нашем случае п = 2, j* = 1; следовательно, для квазистатических
движения между х, у, рх, ру должны иметь место 2»—[а = 3 независимых соот-
соотношений. На основании уравнений A9), полагая ft — ypa—хр , мы долучим
сначала 2» -{- V- = 5 соотношений, а именно:
B0)
С помощью последнего уравнения можно исключить X; а именно, если
в последней системе уравнений помножить первое уравнение на у, второе на х
и вычесть результаты, то мы получим X = -. Если вставить это значение,
то останутся 2п = 4 уравнения между х, у, рх, jpy:
%»r = O, Mm?f(r)y— *.«=<>,
B1) {
Четвертое из них вытекает ив 2и — jx = 3 первых. Из B1) можно вывести сле-
следующие три независимые симметричные соотношения: из первых двух посредством
умножения на хж у, сложения и применения интеграла площадей: Mm43f (г) = а
2
ив второй пары посредством умножения на_р„. и ру ж сложения: i>a.2+j>1,2 = —,
наконец, из той же пары посредством умножения на х я у и сложения: хрх-\-
+ 2/^ = 0. На основании первого уравнения г должно иметь постоянное зна-
значение г, которое зависит только от а; на основании второго уравнения то же
имеет место для абсолютного вначения скорости. На основании третьего уравнения
скорость всегда перпендикулярна радиусу-вектору. Следовательно, квааистати-
ческие движения представляют собой равномерные круговые движения, радиус
и скорость которых являются определенными функциями а. Мы получим х и у,
как функции от времени, если вычислим из трех соотношений рх, р$, у как

Ill, § 2 Устойчивость и анергия И?
функции от ж и вставим в канонические уравнения движения. Решение трех
соотношений дает: /
Если мы вставим эти выражения в первое уравнение движения т — =_р^, то
мы получим:
dx
т.
dt
-ту l~r*>
т. е. дифференциальное уравнение для одного х. Интегрируя, мы получим х как
функцию от t, a и одной' постоянной интегрирования J3, а именно,
Так как у, рх, ру выражаются через х, то мы получим отсюда
и т. д.
Дальнейшие примеры см. гл. IV, § 2, 3 и гл. VI, § 3, 3.
§ 2. Устойчивость и энергия
1. Понятие устойчивости. Рассмотрим определенное основное движение,
т. е. определенное решение_ qt = qt (t), pt —jpt (<) уравнений движения. Пусть
далее qt — q, (t) -f- Aqit jpt =pt (t) -\- Apt представляет собой второе решение урав-
уравнений движения; оно является, как говорят, возмущенным движением. Фун-
Функции времени Дд{, Ар{ называются возмущением основного движения. Если, вы-
выбирая в один определенный момент возмущение достаточно малым, можно этим дости-
достигнуть того, что величины Д&, Ар, будут сколько угодно малы по абсолютному
значению все время, то основное движение навивается устойчивым относи-
относительно произвольных возмущений в этот момент времени,
а если этот момент времени также может быть выбран произвольно, то оно
называется просто устойчивым. Если же только для возмущений Aqt, Ap{,
удовлетворяющих определенным условиям, возможно выбором достаточно малых
значений возмущения в некоторый момент времени достигнуть того, что они всегда
будут сколь угодно малы, то основное движение называется „частично устойчи-
устойчивым" или устойчивым по отношению к специальному классу возмущений.
Частным случаем является устойчивость равновесия, где основное движение
заменяется положением равновесия системы, следовательно gt (t) = qt, где qt суть
постоянные, а р, @ = 0. Простейшее обобщение положения равновесия есть ввави-
статинеское движение системы со скрытыми координатами, где только видимые
координаты остаются постоянными,' qt (t) = qt (i = 1, 2, ..., n — ц). Если мы
хотим оставаться возможно ближе к возмущениям из положения равновесия, то
нужно рассматривать такие возмущения квазистатического движения, при которых
изменяются только видимые координаты и соответствующие составляющие импульса
иа Aqt, Apt(i=l, 2, ..., п — \i), в то время как составляющие импульса ,«,•,
соответствующие скрытым координатам, остаются постоянными, так что изменение
функции Гамильтона Н (qv ... , qn_v, pv ¦ •. , рп_ , uv ... , uj вависит только
от возмущения видимых координат и импульсов.

118 Классическая механика и геометрическая оптика
Под устойчивостью квазистатического движения мы согласно этому понимаем
всегда частичную устойчивость по отношению к возмущениям видимых координат
и импульсов, при которых, следовательно, Uj остаются невозмущенными, т. е. сохра-
сохраняют значения г^=ау, соответствующие основному движению. Если мы затем
перейдем к квазистатическим движением по Леви-Чивита в смысле 3, то мы
будем рассматривать только такие возмущения Дд„ Др,(г=1, 2, ..., (t), которые
пе изменяют значений постоянных интегрирования в интегралах G) § 1 и которые,
следовательно, удовлетворяют условиям:
! *И*1 + 9» 5а + 9а' ' А + 4Рп) =/у(«i» •••'Я) = «у
где как и выше g, = ql (О, ... представляют собой уравнения основного дви-
движения. Под устойчивостью такого основного движения мы опять понимаем
частичную устойчивость по отношению к возмущениям, которые удовлетворяют \>-
условиям A).
2. Энергетический критерий устойчивости Рауза. Представим себе, что
мы ввели канонические координаты по § 1, 3, в которых квазистатическое
движение относительно \i интегралов § 1, G) выражается черев постоянные
значения Q{ = Qt, Pt = Pt(i=l, 2, ..., п — ji), удовлетворяющее уравне-
уравнениям § 1, A3). В таком случае функция Гамильтона или полная энергия системы
представляет собой функцию от Qv ..., Qn_[4, Pv ..., Ря_^, Uv ..., U^. Рас-
Рассмотрим изменение значений этих величин по сравнению с квазистатическим
движением как основным движением, причем возмущения должны удовлетворять
условиям A). Произвольные приращения Дфг ..., AQM_(t, APV ..., АРп_^
всегда представляют такое возмущение и соответствующее приращение АН
функции Н согласно- § 1, A2) равно:
|
( . — H(QV Qp ..., Рп_^, av <x2, ..., а^).
Предположим теперь, что для системы значений
Qt*=Q» Pi=~?i (» — 1, 2, ...,» —р),
Н принимает действительно минимальное значение по отношению ко воем изме-
изменениям Qt, Pv если только а, остаются постоянными, т. е. что полная энергия
для квазистатичеекого движения минимальна по сравнению с возмущенными
движениями названного типа. При этом предположении Рауз показал, что квази-
квазистатическое основное движение устойчиво по отношению ко всем возмущениям
этого типа. Доказательство Рауза заключается в следующем. Если какая-либо
функция нескольких переменных имеет для определенной системы значении
последних минимум х), например f (х, у) при х = х, у = у имеет минимальное
значение f (ос, y) — fo, то, выбирая значение функции f (x, у), достаточно близкое
к f0, можно всегда достигнуть того, что у и х произвольно приблизятся к ж и у.
Иначе говоря, если мы хотим добиться того, чтобы (х — ж)<е и (г/—у)<.е, то
при произвольно малом е это может быть достигнуто тем, что в неравенстве
1/4^» У) — /ol<Ti» 1 будет выбрано достаточно малым. Отсюда следует:
если i?0, представляет значение энергии для квазистатического основного дви-
движения, то, выбирая значение Н достаточно близким к Ео, можно добиться того,
1) Как здесь, так и в дальнейшем предполагается изолированный минимум
или максимум.

Ill, § 2 Устойчивость и энергия 119
что Q,, Р, будут оставаться произвольно близкими к Qt, Р{, т. е. что координаты
возмущенного движения все время будут оставаться произвольно близкими к коор-
координатам основного движения. Но соответственным выбором значений возму-
возмущения AQf, ДР, в некоторый определенный момент времени всегда можно дости-
достигнуть того, что энергия Е0-\-АН возмущенного движения будет произвольно
близка к Д)> что вследствие постоянства энергии будет иметь место в продолжение
всего возмущенного движения. Но отсюда по определению 1 вытекает устойчи-
устойчивость основного движения. Точно так же можно доказать, что основное движение
устойчиво, если Н принимает для него максимальное значение.
Выразим теперь это условие, например для случая минимума, в виде фор-
формул. Выражение АН в уравнении B) должно при произвольных значениях AQt,
ДР, быть положительным и обращаться в нуль только вместе с ними. Разложим ДН"
по теореме Тэйлора по степеням AQt, ДР,, до членов второго' порядка включи-
включительно. Если черточкой, стоящей над функцией Qt, Pir обозначить, что в ней нужно
положить Qf — Qt, Pt=>Pt то, принимая в расчет § 1, A3), мы-получим:
C)
В правой части стоит квадратичная форма величин Дф,, ДР( с постоянными
коэффициентами. Если Н должно быть для основного движения (AQt = ДР, = О)
минимумом, то эта квадратичная форма должна быть положительно определенной
(или, если Ео должно быть максимумом величины Н, то — отрицательно опре-
определенной).
Если, следовательно, квадратичная форма в уравнении C) положительно или
отрицательно определенна, то квавистатическое движение устойчиво. Однако,
в большинстве случаев применение этого критерия непосредственно невозможно,
так как введение канонических координат Qt, Pf практически невыполнимо. Но
квадратичная форма не может потерять свой положительно определенный характер,
если посредством линейного однородного преобразования ввести независимые друг
от Друга новые переменные. Но в силу касательного преобразования 2» — 2р
величин Q,, Р, являются функциями от 2» первоначальных переменных qv q2, ...,
д„, pv р.2, .. ¦, р„. Поэтому AQ{, ДР,, если ограничиться лишь членами первого
порядка, являются линейными функциями величин Дд,, Ар„ например:
где &qk, Apk попрежнему означают отклонения координат возмущенного движения
от координат основного движения. Однако 2» величин Дд„ Ар, не независимы
друг от друга; между ними на основании уравнения A), если удержать лишь
члены первого порядка, имеется р линейных однородных соотношений
4 9f
Эти соотношения позволяют исключить ц из величие Дд„ Ар,, и выра-
выражение ДЖ уравнения C) переходит в квадратичную форму 2п — ц переменных,
например Д^, ..., Aqn, Apv ..., Дря , коэффициенты которых, вообще говоря,
уже не являются постоянными, но в общем случае зависят от времени, так как
в коэффициенты выражений Д&, Ар, нужно вставить вместо qt, o; их вначения

120 Классическая механика и геометрическая оптика
при квазистатическом основном движении, qt == qt (t), pt ==р{ (t), которые в общем
случае зависят от времени. Если эта форма положительно или отрицательно опре-
определенна, то основное движение устойчиво но отношению к возмущениям, удовле-
удовлетворяющим уравнению A).
В частности, если мы в качестве основного движения выберем положение
равновесия, определяемое условиями:
Pi==°' Ж = °' (t = l, 2, ..., w),
и исследуем устойчивость по отношению к произвольным вовмущениям, то мы
должны принять в расчет, что па основании гл. II, § 2, E3) величина Н для
этих значений никогда не может быть максимальна, так как первая часть, а именно
кинетическая энергия, при pt = 0 во всяком случае имеет минимум. Следова-
Следовательно, если Н в целом должно иметь минимум, то V для положения равновесия
должно быть минимальным. Таким образом, мы получаем известный классический
критерий Дирихле для устойчивости положения равновесия:
потенциальная энергия должна в положении равновесия иметь минимальное зна-
значение 1).
3. Примеры. Рассмотрим опять движение в полярных координатах г,<о
с соответствующими составляющими импульса р, «. Функция Гамильтона на осно-
основании § 1, 1 имеет вид:
D). Я=-^ (p* + ^-MmF (r),
где—MmF (г) — потенциальная энергия и, следовательно, МтЪ' (г) = Mmf (r) —
притягивающая сила. Так как только г является видимой координатой, то квази-
„дН пдН п
статическое движение получается из условии -х- = О, -~~= 0 при постоянном м=а
ор от
в виде р = 0, г = г, где г получается из условия MmPiPf (r) =i — а2. Если мы
теперь разложим Н около точки р =р = 0, г = г по приращениям Ар, Аг, при
условии, что и— а, то мы при этом получим:
Я9 ТТ %rt$ -
Но -тг? = —-? — Mmf (г). Если здесь положить г —г и выразить а2 через г, то
мы окончательно получим:
(б) ДЯ.= -L (Ар)« - i- W (г) + rf (r)] (ДгJ.
2m r
Это квадратичная форма относительно Др, Дг, которая никогда не можег
быть отрицательно определенной и будет положительно определенной в том
случае, если
F) 3f(r)-frf G)<0.
Если силовое поле таково, что уравнение F) удовлетворяется тождественно
по отношению к г, то каждое равномерное круговое движение устойчиво па отно-
*) Данная здесь формулировка критерия Дирихле не точна, критерий Дирихле дает
не необходимые условия для устойчивости, а достаточные. Правильной будет следующая
формулировка: если потенциальная анергия в положении равновесия системы имеет
изолированный минимум, то равновесие устойчиво. {Прим. ред.).

Ill, § 3 Малые колебания системы около положения равновесия 121
тению к возмущениям, которые не меняют и. Если в частности f (г) = — г", то
из F) вытекает
G) »+3>0, .
т. е. круговое движение устойчиво Для п > — 3, например, для вакона Нью-
Ньютона п = — 2.
Дальнейшие примеры см. гл. IV, § 2, 3 и гл. VI, § 3, 3.
§ 3. Малые колебания системы около положения равновесия, или устано-
установившегося движения
1. Вывод и форма дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему
с п степенями свободы, положение которой определяется посредством п кеор-
динат xv xv ..., хп по отношению к некоторой иперциальной системе. Пусть,
далее:
xt = q,(t) 0 = 1, 2, ..., я>
есть частное решение уравнений движения; мы будем считать его „основным,
движением". Введем теперь п новых координат qv qt, ..., qn, которые мы
назовем относительными координатами по отношению к назван-
названному основному движению; они связаны с ж, соотношениями:
A) *i = ii(*) + g4 (t=l, 2, ...,»>
и представляют собой отклонение произвольного положения от положения в основ-
основном движении в какой-либо момент t времени. Так как уравнения преобразо-
преобразования A) явно содержат время t, то уравнения движения в относительных
координатах д, имеют вид гл. П, § 2, A1). Они отаичаются еще тем, что-
в силу A) основное движение д, = 0 (г=1, 2, ... , и) должно быть решением.
Если мы условимся обозначать черточкой, стоящей над функцией величин q, и tr
ее значение для основного движения qt = o, то для выполнения указанного выше
условия необходимо н достаточно чтобы (^ = — ^—. Если мы исследуем движения
вблизи основного движения, то мы можем представить их приближенно посред-
посредством дифференциальных уравнений, которые мы получим из упомянутых выше
уравнений, разлагая все члены по степеням величин qt и q, и удерживая только
члены первого порядка. Если положить
то уравнения гл. II, § 2,* A1) с указанными пренебрежениями принимают вид-
B)
™фк —
к к
по an
а9 °9

122 Классическая механика и геометрическая оптика
Величины с черточками над ними являются, вообще говоря, функциями
времени. Положим:
¦ _ . Щ ?а dQj
C) •>'.¦ — ajk> rjk— Wjk Г Т7"" > Pjk — 7. Г " »
Hk d9jdqk dqk
тогда дифференциальные уравнения B) движения, близкого к основному дви-
движению qf = 0, примут вид:
D) 2 ('>*«»+гл«*+#*?*> в0 . О'=1. 2, ..., п)
Это система и линейных однородных дифференциальных уравнений второго
порядка для п относительных координат .qu g2, ... , gn, коэффициенты которых,
вообще говоря, являются функциями времени. Если время t выпадает из коэффи-
коэффициентов, и они, следовательно, обращаются в постоянные, то уравнения D) назы-
называются „дифференциальными уравнениями Малых колебаний". Так например,
коэффициенты уравнений D) наверняка постоянны, если основное движение
является квазистатическим, а д4 — такие координаты, что часть их представляет
собой „скрытые" координаты, тогда как остальные остаются при основном дви-
движении постоянными*). Если силы Qt не содержат сил сопротивления, то они не
зависят от &; следовательно, = 0 и в силу гл. II, § 2, A2) rjk=-. — rkj\
"Як
далее во всяком случае lJk = Zw, и если силы зависят от потенциала V, т. е. Q,- =
dV _
= — —, то также pjk = pkj. Если основное движение сводится к ноложению
равновесия, то q{ также представляют собой координаты в инерциальной системе.
Следовательно, и tvkJ = 0, а = 0, а значит rjk = 0.
В каждом конкретном случае уравнение D) можно проще всего вывести сле-
следующим образом: либо можно исходить из уравнений движения в координатах
d dL dL .. , „
. = о * (*=1, 2, ... , п),
dt dxt дх1
ввести в них согласно уравнениям A) величины ,q{, разложить по степенях д,
и q, и ограничиться лишь членами первого порядка. Или же можно произвести
подстановку A) непосредственно в ?, разложить по степеням д4 и qt и
оставить лишь члены второго порядка. Тогда с помощью этой квадратичной
формы, как функции Лагранжа, можно вывести уравнения движения. Что касается
членов нулевого и первого порядка относительно q{, qff то они частично выпа-
выпадают при вычислении производных от L. входящих в уравнения движения, ча-
частично они должны обращаться в нуль потому, что значения qt = 0 представляют
собой решение.
1) Если дифференциальные уравнения движения, „орседнего" с основным движением,
имеют вид D) с постоянными коэффициентами, то основное движение называют „перма-
„перманентным" или .постоянный движением по отношению к примененным координатам".
В своей диссертация, выполненной по предложению Р. Мизес в 1913, Г. Дорнер вводит еще,
более общее понятие „квазипостоянного движения". Он говорит о нем в том случае, когда
коэффициенты уравнений D) являются периодическими функциями времени. На основании
вышесказанного ясно, что квазистатические движения принадлежат к постоянным.
Последнее понятие уже потому более общее, что оно применимо также и к движениям,
пря которых действуют силы сопротивления. ((?. Dorner, Uber die Stabilitat der quasibes-
tandigen Bewegungon, Strasburg, 1913.).

7/7, $ 5 Малые колебания системы около положения равновесия 183
В качестве примера рассмотрим опять центральное движение в полярных
т
коордипатах. Согласно § 1, 1, здесь Х== — - ir*-\-r%f) —:MmF(r). Если мы
будем исходить из квазистатического основного движения' г = г, у= —=- 14- р
mr2
(§ 1, 2), положим г = г-\-р, <р = <? -f~ ° и разложим X по степенямр, о. сохра
нив лишь члепы второго порядка, то, в силу соотношения а? = Mn&rbf (г), но-
лучим:
[ « + Л» + 4 К" F,VfG) р °"
(б) L = -у
Еслп составить уравнения движения, соответствующие р и о, то они
имеют вид:
F)
[ p + M (Г (г) - Ш-) р - 2 V rl
I
следовательно, имеют форму D).
2. Интегрирование дифференциальных уравнепий свободных коле-
колебаний. Движения, удовлетворяющие уравнениям D), называют „свободными"
колебаниями около основного движения, так как при этом нет никаких другие
сил, кроме тех, которые действуют при основном движении. Их интегрирована i
производится согласно общей теории систем п линейных дифференциальных урав-
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Положим:
G) . qk = A/9 (* = 1..2, п).
Подставляя это в D), мы получим, что постоянные Ак должны быть реше-
решениями п линейных однородных уравнений:
(8) 2 <'^9 + *>Х +**> А"= ° (* = 1, 2, ... , п).
которые только в том случае могут иметь отличные от пуля решения, когда X
является решением алгебраического уравпепия порядка 2w
где
(9)
Если ^ = ^а есть простой корень уравнения D(X) = O, то с точность*
до общего множителя Са. существует только одна единственная система реше-
решений Af>,...,А„(Л) уравнений (8) при X = \Л. Если, следовательно, D(X) = О
имеет только простые корни, всего в количестве 2п, то, согласно G), имеется
также 2w различных независимых систем решений уравнений D), а именно:
(jfc = l, 2 п)

124 Классическая механика и геометрическая оптика
При этом Са представляют собой произвольные постоянные. Суммирова-
Суммирование 2'п решений A0) по а. дает поэтому самое общее решение.
Если же, наоборот, Х = Ха есть кратный корень, например, та-кратный,
то результат зависит от того, как ведут себя миноры D (X) при X = Ха. А именно,
если миноры с п—1, п — 2,... строчками также обращаются в нуль и только
среди миноров on— тЛ строчками один отличен от нуля, т.е. детерминант D (Ха)
имеет ранг п— та, то линейные уравнения (8) имеют при Х = Ха не одно, a w,
независимых систем решений вида A0), которые, следовательно, имеют одинако-
одинаковые Ха, но различные системы коэффициентов Ah<aK Если же, наоборот, не все
миноры с числом строк, большим чем п— та, обращаются в нуль и, следова-
следовательно, D (Ха) имеет ранг выше, чем »— та, то кроме решений вида A0) по-
появляются еще решения вида:
A1) q*a) = (Bki 4--B«*-b .. .Bte.«"e~1)eXe' D = 1, 2, ... ,п\
где БН1,..., ВНтл опять представляют собой определенные коэффициенты.
Величины Ак(") я \а в уравнениях A0), а также Вк1,... в уравнениях A1),
вообще говоря, не вещественны. Однако, из уравнений A0) можно получить 2п
вещественных систем решений. Разложим Хя и Ак^ на вещественную и мнимую
части, т. е. положим:
A2; Ь.~Р. + «., A™ = ah(%&\
Так как D(X) = 0 есть уравнение с вещественными коэффициентами, то
корни Хя можно соединить в пары комплексно сопряженных корней и корню,
сопряженному с \а, соответствует система решений уравнений (8), комплексно
сопряженная с AkW.
Следовательно, In систем решений A0) соединяются в пары, и из каждой
пары можно посредством сложения и вычитания получить пару вещественных
систем решений, а именно:
| «г* CA' cos (o.< + 8.Э (t = 1, ?,...,»),
Здесь cv ... , c2n произвольные вещественные постоянные. Суммируя по a,
мы получим отсюда общее решение дифференциальных уравнений (8). Послед-
Последнее, очевидно, можно составить из следующих 2» частных решений:
,,,. («) г. We,* , (»+«) v («) р«* . . (*=li 2,...,»),
A4) qk =*$лаь с cosoj, q, =Ълаь е smo.< (a= 1, 2, ... ,и).
При этом нужно только вместо с„ ...,с2„ ввести следующим образом 2п новых
постоянных !>!,..., Dn, Ev .. .,Еп:
A5) -D. —«, «**,+««+« Jsm8-' ^« = — e.sinB. + c^eos»..
Общий характер движений, представленных уравнениями A3) и A4), будет сле-
следующий: для вещественного Ха (следовательно, ал = О) получается непериодическое
движение, которое при положительном ра все больше удаляется со временем от
основного движения, а нри отрицательном ра асимптотически приближается к основ-
основному движению д, = 0, ..., qn = 0. Для чисто мнимой Ха (следовательно, ра = 0)
уравнение A4) для каждого а дает периодическое колебание около основного дви-
движения с частотою <зл (в 2тг единиц времени). В общем случае для комплексного
Ха с отрицательной вещественной частью ра = — da мы получаем колебание с убы-
убывающей амплитудой, причем da представляет логарифмический декре-

/,
' Малые колебания системы около положения равновесия 125
мент, a e~da — коэффициент затухания. При положительной веществен-
вещественной части амплитуды все время возрастают; следовательно, в этом случае мы не
получаем движения, остающегося близким в основному. Но так как в этом случае
невозможно также пренебрегать высшими степенями величин q, и q\, как это было
сделано при выводе уравнений D), то решения уравнений D), при которых
ра > 0, вообще не представляют приближенных решений первоначальных уравне-
уравнений движения.
Каждое частное решение, содержащееся в A4) и соответствующее опреде-
определенному значению значка а, представляет собою колебание, прн котором » коор-
координат qt испытывают периодические изменения с одинаковой частотой оаис оди-
одинаковой фазой (например, все обращаются в нуль в одно и то же время). Раз-
Различаются они только амплитудами, находящимися, однако, в определенных соот-
соотношениях. Такое колебание системы называется свободным главным колеба-
колебанием или собственным колебанием, а частоты <за — собственными
частотами. Следовательно, если D(X) = 0 имеет только простые невеще-
невещественные корни, т. е. 2и различных корней, то система имеет п различных соб-
собственных частот (потому что каждому \а и его комплексно сопряженному соот-
соответствует одно и то же аа). Но на основании уравнений A3) или A4) каждой
собственной частоте соответствуют два главных колебания с одинаковым соотно-
шением амплитуд, но со сдвигом фаз на —. Если среди корней есть 2v веществен-
ных, то 2п— 2v комплексным или чисто мнимым корням соответствуют опять п — v
собственных частот и 2и — 2v главных колебаний, a 2v вещественным корням
соответствуют 2v различных непериодических движений с 2v различными (в об-
общем случае) отношениями амплитуд.
Если \а есть ша-кратный комплексный корень, а !?(*¦„) имеет ранг п — »пв,
то частоте аа соответствует не 2, а 2та главных колебаний, из которых всегда
каждые два отличаются только по фазе. Если ранг &(Ьа) выше, чем и — та, то
корню \я соответствуют еще другие решения, кроме главных колебаний, а именно
вещественные решения, которые получаются из A1) соответствующей комбина-
комбинацией или разложением на вещественную или мнимую часть, и они, согласно A2),
имеют вид: <
<16) ?* = (b*i + V + • • • + W"^ У'* cos (в.* + 8J (it = 1, 2,..., п),
где величины Ъь1, ... вещественны. Эти решения тоже представляют собой коле-
колебания с частотой аЛ, но с амплитудой, зависящей от времени, уменьшающейся
со временем асимптотически до нуля при отрицательном ра, но уже при ра = 0
(следовательно, при чисто мнимом Ха) растущей со временем до бесконечности.
3. Частные случаи колебания системы. Колебания около положений
равновесия. Предположим, в частности, что Qt зависят от потенциала V, являю-
, л dV
щегося функцией только qv qt, ..., qn, и что, следовательно, Qj = ¦?—. В таком
случае мы имеем с тем же приближением, как и в уравнении (8):
гДе Pjk—Pw Если мы далее предположим, что основным движением является
положение покоя, следовательно, положение равновесия, то все rjk = 0 и уравне-
уравнение D) принимает простой вид:
= 0, 0 = 1,2,...,»),

126
Классическая механика и геометрическая оптика
причем, согласно C):
A8)
представляет собой кинетическую энергию с тем же приближением. Следовательно,
малые колебания около положения равновесия могут быть представлены урав-
уравнениями Лагранжа с лагравжевой функцией L = K—• V, где К и V опреде-
определяются квадратичными формами A7) и A8). Соответствующее характеристическое
уравнение (9) представляет собой в таком случае уравнение и-ой степени отно-
относительно X2, которое легко сводится к вековому уравнению A9), написанному
ниже. Действительно., всегда можно указать такое линейное однородное преобра-
преобразование величин & с постоянными коэффициентами (из которого вытекает такое же
преобразование для величин q{), при котором К перехрдит в сумму квадратов,
так как ведь кинетическая энергия выражается положительно определенной фор-
формой. Если обозначить новые координаты через qt*, то:
* jj, k
В таком случае уравнения движения принимают вид
2,
и поэтому уравнение (9) будет:
A9)
р1я*
Рт*
= 0.
В силу соотношения р#* =рь* это и будет вековым уравнением для X2. Известно,
что все его корни вещественны. Поэтому значения корней Ха для всех а или
вещественны (при X2 > 0) или чисто мнимые (при X2 < 0). Следовательно, поду-
подучаются либо непериодические движения, либо незатухающие колебания. Так
как К положительно определенная форма, то, как известно, можно произвести
также такое линейное преобразование величин gt, чтобы обе формы (К и V) све-
свелись к суммам квадратов, причем во всяком случае только у одпой, например А',
все коэффициенты могут быть _ сделаны равными 1. Введенные таким образом
координаты обозначим yv y2, •••>]!„• В таком случае:
i 1
где Joj — положительные и отрицательные постоянные.
Теперь уравнения движения принимают вид
а характеристическое уравнение:
-j-Aj, 0, ... , О
0=1, 2",...,*),
и , о ,..

Ill, § 3 Малые колебания системы, около положения равновесия 12Т
Здесь очевидно, что корнп Ха = -\- У — ]ел, Хв+П = —Y—К вещественны или
мнимы, смотря по тому, имеет ли Jca отрицательное или положительное значение.
В частности, если форма V положительно определенна, то все &,- соложителыш
и все Ха чисто мнимые. Это опять приводит к теореме, что около каждого поло-
положения равновесия, для которого V имеет минимум (так как для него Г=0),
возможны только малые периодические колебания и, следовательно, оно устойчиво.
Если мы опять положим \а = гол, то <за = ka, следовательно, решения уравнений,
движения в координатах yt имеют простой вид:
*
у{ = Dj cos ajt -f- Ej sin Gjt,
где Dj, Ej — произвольные постоянные. Следовательно, частоте о,, соответствуют оба
главных колебания: .
f yt= .. .=у =у = ... =уп = 0,
B1) j - ¦
{ yj = Dj cos ajt, (или Ej sin o^).
Следовательно, главное колебание отличается тем, что изменяется лишь одна
координата, а все остальные остаются постоянными. Поэтому такие координаты
yv у2т'->Уп называются главными^координатами.
Если несколько kj совпадает, то уравнение B0) имеет кратные корни. Если,
например, \ = &а, то получается двойной корень, но одновременно ранг опреде-
определителя B0) сводится к и — 2, потому что все миноры си — 1 строками обра-
обращаются при Х2 = — ij = — к2 в нуль. Соответствующие частоты о1 = оа = о при~
надлежат тогда четырем главным колебаниям (вместо двух), а именно:
yt =г= Dt cos з<, (или ух = El sin at), y2 = y3=: ... = уп = о,
и
2/i = 0, y2 = D2cosd, (или y2 = E2smat), ys == г/4 =;:...= уп = О,
где Dt, Ёг, JJ, E2 — произвольные постоянные. Тоже самое имеет место в случае1
многократных корней, которые, следовательно, в задачах о колебаниях около поло-
положений равновесия, при отсутствии сил трения, никогда не приводят к движе-
движениям, представленным уравнениями A6).
В качестве второго примера рассмотрим колебания системы с одной сте-
степенью свободы. При этом уравнения D) сводятся к уравнению:
B2) h+r'q+M = O.
В таком случае характеристическое уравнение имеет; вид /X.2 -{— rX -f- i» == 0, а его
корни X = -j- rir 1/ -—rg —-. В случае сильного затухания г2 > 4pl и оба
корня вещественны. Рассмотрим подробно только случай малого затухания, когда,,
следовательно, у2 < ipl и движение является колебательным. Пользуясь обозначе-
обозначениями формул A2), мы получим при этом X1 = p-]-io, Х2=<р — ia, где:
B3)
В таком случае, согласно A4), оба главных колебания имеют вид:.
B4) q = .Deft cos Ы, q = Eeft sin of.

128 Классическая механика и геометрическая оптика
При г к I положительных р < О, следовательно, мы имеем затухающее колебание.
При г = 0 оно превращается в незатухающее колебание с частотой о0 = 1/ -^-;
поэтому между а и о0 имеется соотношение:
<25)
„2.
u° 4/2
Следовательно, затухание изменяет частоту только на малые величины второго
порядка относительно постоянной -у-. Если мы в частности рассмотрим незату-
незатухающее колебание (р = *• = ()), то общее решение имеет на основании B4) вид:
<26) q — Deosa0t-\-Esin<30i.
Постоянные В, Е можно определить, например, задавая для ? = 0 начальное
положение q = q* и начальную скорость q = u*. В таком случае из B6) мы по-
получаем:
м*
B7) 2 = 3* COS aot -j sin aot.
°o
Если мы введем вместо D и Е другие постоянные А и 8 с помощью ооотноше-
4 ний D — A cos 8, Е = A sin 8, то B6) примет вид:
{28) ' q = AcosCot — 8).
I • р
Полная энергия незатухающего колебания равна -x-q2-\—^-g2. Если мы вста-
вставим значения q и q из B8) и вычислим среднее во времени, т. е. проинтегрируем
ло t за время полного периода, т, е. от t = О до t = -—, и разделим на пе-
°о
риод , то длн средней энергии колебаний или интенсивности колебания J мы
получим:
<29) J==~2~ foo2^2'
§ 4. Вынужденные колебания
1. Общее интегрирование дифференциальных уравнений. В то время
так в случае изученных в § 3 свободных колебаний механическая система выво-
выводилась из своего основного движения возмущением начальных условий и потом
предоставлялась своим внутренним силам, теперь мы рассмотрим возмущение
основного движения, которое вызывается внешними .силами, заданными как функ-
функции от времени. Если мы опять ограничимся рассмотрением малых отклонений
от основного движения, то уравнения § 3 D) заменятся уравнениями-
= fj(f) O' = l, 2,...,»),
где через fj(t) обозначены заданные функции времени. Уравнения A) называют
дифференциальными уравнениями вынужденных колебаний. Они предста-
представляют собой неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Мы получим
•общее решение уравнений A), если к частному решению их прибавим общее
решение однородных уравнений § 3 D). Так как последнее было найдено в § 3,

/17, § 4 Вынужденные колебания 129
то нам нужно здесь найти только частное решение уравнений A). Мы сделаем
это в общем виде для того случая, когда силы представляют собой вещественные
части показательных функций от времени, т. е. выражения вида:
* О'=1. 2,...,»),
где Ej и е могут быть комплексными. При чисто мнимом е это тригонометри-
тригонометрические функции. Следовательно, если бы f}(t) были произвольными периоди-
периодическими функциями от времени, то о помощью разложения в ряд Фурье их
можно было бы представить как сумму тригонометрических функций, и поэтому
решение уравнений A) — как сумму решений, которые мы получим, если вместо
fAf) подставим отдельные члены разложения в тригонометрический ряд.
Очевидно мы получим искомое решение уравнений A), если решим систему
уравнений:
¦ к-~л
и разложим результат на вещественную и мнимую составные части. Первая ив
них даст тогда искомое частное решение системы уравнений A). Попытаемся
удовлетворить, уравнениям B), положив
C) qk — Ake* (i = l, 2, ...,»);
при этом мы получим:
п
Мы получили » линейных неоднородных уравнений для » неизвестных Ак. Если
мы обозначим через DJk(e) минор, соответствующий элементу <^(е), взятый
с соответствующим знаком, а черев -D(e)— определитель из коэффициентов d^,
то решение D) имеет вид:
E) Ак=%Е,-^Щ- (* = 1, 2,. ..,
следовательно, па основании C), искомое решение системы B) будет:
F) ?,
Это решение суп1,ествует только в -том случае, когда уравнения D) имеют не-
неравный нулю определитель Л(г), т. е. когда характеристическое уравнение
§ 3, (9) D(k) = 0 дифференциальных уравнений свободных колебаний пе имеет
корней, совпадающих с е. Если в частности мы предположим, что величины Sj
вещественны, a s = tv чисто мнимое, то вещественные части правых сторон урав-
уравнений B) будут Ej cos vt, а вещественные части выражений F) дают решение
уравнений A) для fs (t) = Es cos vi. Если мы разложим:
на вещественную и мнимую части, то подучим из F) вещественное решение:
(8) qk = 2, «у* W Щ cos (v* + 8,*) (А- = 1, 2, ...,»).
9 Зак. 1403. — Франк и Мизес. Дифф. урави. мат. физ.

130 Классическая механика и геометрическая оптика
При этом aj,. и bjk являются функциями v, которые можно вычислить из G).
Величины Ej называются амплитудами, a v — частотами возбуждающего ко-
колебания. Из (8) следует, что вынужденное колебание составляется из коле-
колебаний, частота которых совпадает с частотой возбуждающего колебания, по которые
имеют сдвиг фаз 8^ и изменения амплитуд ajk по сравнению с возбуждаю-
возбуждающим колебанием, зависящие от v. Решение (8) становится в общем случае не-
неприменимым, если s = w является корнем *„ =¦ р« + *оя уравнения D(X) = o, т. е.
если существует незатухающее собственное колебание (рв = 0) с частотою воз-
возбуждающего колебания, т. е. с частотой аа = v. Но так как к каждому решению
уравнений A) может быть прибавлено еще произвольное решение однородных
уравнений § 3, D), то постоянные в последнем можно выбрать таким образом,
чтобы решение, получающееся при суммировании, оставалось конечным также и
при v = аа. Все таи результаты можно изучить подробнее на примере системы
с одной степенью свободы.
2. Система с одной степенью свободы. Рассмотрим частный случай, когда
система A) состоит только из одного уравнения:
(9)
Пусть опять /'@ представляет вещественную часть от Ее'*, и кы рассмо-
рассмотрим сначала уравнение
A0) iq+rg+pq^Ee".
Здесь имеем D(e) = h^ -\-гг-\-р, и решение F) имеет вид:
Предположим опять, что Е вещественно, а г = и чисто чпимое, тогда воз-
возбуждающее колебание определяется выражением Ecosvt. Вынужденное колебание
мы получим с помощью разложения, апалогичпого уравнению G):
A2) |а /. , = a (v) е*и) .
Умножая обе части на комплексно соиряженное выражение и извлекая
квадратный корень, мы получим:
A3) а (у) = .-—^-.^Зи
Умножая в левой части A2) числитель и зпаменатель на комплексно со-
сопряженное выражение—№ — irv-\-p, приравнивая в обеих частях вещественные
и мнимые составные части и затем деля почленно мнимую часть на веществен-
вещественную, мы получим:
A4) **
Вещественное решение (9) при f(t) —Ecosvt имеет тогда, согласно A1)
и A2), вид:
A5) g = a(v).Ecos(v<4-8),
где a(v) и 8(v) — функции от v, определяемые уравнениями A3) и A4).
Среднюю кинетическую энергию вынужденного колебания мы вычислим
совершенно аналогично § 3, B9), как среднее по времени от — д2, где q имеет

Ill, § 4 Вынужденные колебания 131
значение, определяемое уравнением A5). Таким образом, мы получим интен-
интенсивность колебания J(v):
A6) J(v)= -i a2 (v) #*•/->
Из уравнения A3) можно вычислить функцию J (v). Кривая, представляющая
эту функцию, резонансная кривая, имеет максимум при v = o0, резо-
резонансной частоте ')• Соответствующая резонансная интенсивность
имеет, согласно A6) и A3), если принять в расчет соотношение р = Ь02, значение:
Из A7) и A6) мы нолучим, полагая в A3) 1 = —, ¦
5г
A8) -й^ч- = «s 00 v2»-2 =
1 '""rV" \~f~ о
Отношение интенсивности колебаний к максимальной интенсивности зави-
зависит, следовательно, только от „акустического интервала" — между возбуждаю-
°0
щей частотой v и собственной частотой о0 системы. Падение от максимального
значения тем резче, а резонанс тем острее, чем больше ~, т. е. чем меньше
затухание системы. При исчезающе калом затухании (г = 0) дробь в A8) была бы
равна нулю, т. е. резонанс был бы совершенно острым. Но это происходит потому,
что в таком случае, согласно A7), резонансная интенсивность становится беско-
бесконечной и решение A5) при v = <j0 и г = 0 становится неприменимым. Однако,
и в случае резонанса при незатухающих колебаниях можно найти решение, если
принять в расчет, что от каждого решения уравнения A0) можно отнять реше-
решение соответствующего однородного уравнения, причем опять получается реше-
решение A0). Итак, положим е = гзо-{-А, г = 0; тогда A1) имеет вид:
Так как о0 есть собственная частота свободных колебаний, то V) (w0) = о.
Предположим, что это есть простой нуль; в таком случае 1У (*з0) ф 0. Езли мы
составим из A!)) выражение
то это равносильно тому, что мы вычли решение однородного уравнения, соответ-
соответствующее „свободным" колебаниям. Если мы разложим числитель и знаменатель
в B0) по степеням h и будем уменьшать h до нуля, то мы получим:
B1)
") Максимум резонансной кривой не совпадает в точности с г = с0, а песколько
опережает это значение. Совпадение тем ближе, чем_меныле коэффициеп г. Максимум
выражен тем менее, чем больше г и, наконец, при г > Y'Zpl резонансная кривая максимума
не имеет. {Прим. pet).).
9*

132 Классическая механика и геометрическая оптика
Таким образом, мы получаем решение уравнения A0) при е = ia0, г = 0. Отделяя
вещественную часть, мы получим на основании соотношения ТУ (ia0) =
вещественное решение:
B2) q =
При произвольном f(f) мы дадим решение уравнения (9) только для случая,
когда г = 0. Его можно получить из решения соответствующего однородного урав-
уравнения, например в форме § 3, B6), посредством метода вариации постоянных.
Однако, мы предпочтем более наглядный путь (предложенный Томсоном и
Тэтом). Мы будем исходить из решения однородного уравнения в форме § 3, B7).
Если мы в нем будем попимать под q*, и* значения q и q в момент х, то опо
даст значение q в момент I, если справа везде вместо t вставить промежуток
времени t — т. Таким образом, „свободное" колебание может быть представлено
уравнением:
B31 q @ = q CO Cos o0 (t — х) -| ^- sin o0 (t — т).
°о
Если в момент х имеет место внезапное изменение скорости Аи (х) без изме-
изменения положения, то возникает „свободное" колебание, при котором отклонение
точки от положения равновесия отличается от прежнего на
Если мы представим себе, что это изменение скорости вызвано действием силы
/ (-) в течение промежутка времени Дт, столь непродолжительного, что изменением
подозрения за это время можно пренебречь, и нужно принимать в расчет только
изменение скорости, то после интегрирования (вследствие соотношения q = и)
при г = 0 из уравпения (9) вытекает:
т+Дт
B4) /Дм=:г[м(т:-1-Дт) —«(т)] = у* f(z)th.
В пределе, когда за промежуток времени Дх положение совсем не изменяется,
интеграл справа называют „импульсом" за элемент времени Д-.
Далее, действие возбуждающей силы можно представлять себе таким обра-
образом, что весь промежуток времени от 0 до t разделяется на промежутки вре-
мепи Дх, за каждый нз которых действует импульс, определяемый правой сторо-
стороной уравнения B4), а в заключение нужно перейти к пределу, соответствующему
малому Дх. Вставляя Дм из уравнения B4) в выражение Дд(<) и суммируя по
всем частичным промежуткам Дт от 0 до t, яы получим, переходя к пределу:
B5) q @ = г- / f(x) sin с0 (t — х) dx.
Хотя этот вывод является не строго математическим, а скорее наглядным, все же
с помощью простой подстановки выражения B5) легко убедиться, что оно пред-
представляет собою частное решение уравнения (9) (при г = 0).
Если прибавить к B5) решение однородного уравнения § 3, B7), то мы
получим общее решение уравнения вынужденных колебаний, которое при < = 0
переходит в начальные значения q*, и*.

Ill, § 5 Малые колебания и устойчивость 133
§ 5. Малые колебания и устойчивость
1. Общие критерии. Если мы рассмотрим „постоянное" движение, такое,
что соседний ему движения представляются линейными дифференциальными урав-
уравнениями с постоянными коэффициентами § 3, D), то об устойчивости основного
движения д, = 0 (i'¦ — 1, 2, ..., те) можно судить по корням Ха характеристического
уравнения D (X) = 0, § 3, (9). Характер возмущенного движения зависит от
начальных условии лишь постольку, поскольку от начальных значений возмуще-
возмущения, т. е. от значений величин qt и д4 в момент t = О зависит, какие из постоян-
постоянных Du и ЕЛ в решениях § 3, A4), отличны от нуля, и потому какие из зату-
затуханий ра и частот о0 действительно входят в решение. Если все входящие ра
отрицательны, то согласно § 3, A4), все qk с возрастанием t стремятся к нулю;
то же имеет место, если даже соответствующее Ха = ра -J- гЪа является кратным
корнем и приводит к решению вида § 3, A6). Следовательно, основное движение
устойчиво относительно всех возмущений, которые приводят к появлению в реше-
решениях корней уравнения Т> (X) = 0 с отрицательной вещественной частью. Опо
вообще устойчиво, если все корни Ха имеют отрицательную вещественную часть.
Это условие достаточно, но не необходимо; действительно, при исчезающей веществен-
вещественной части (р„ = 0) решения § 3, A4) становятся чисто тригонометрическими
функциями времени, и уменьшением возмущения можно произвольно уменьшить
коэффициенты Da и F^, благодаря чему сами qk также могут на все время сделаться
меньше любой заданной величины. Однако, это уже не имеет места, если реше-
решения дм еют вид § 3, A6), так как при р„ =0 выражения вида t cos (a a {-(-8) и т. д.
увеличиваются до бесконечности при возрастании t.
Сопоставляя сказанное, мы можем формулировать следующие необходимые
и достаточные условия устойчивости основного движения.
Корни уравнения D (X) = 0 § 3, (9) не должны иметь положительной веще-
вещественной части. Если вещественная часть равна нулю, то соответствующие
корни Xe = iaa должны быть или простыми корнями, или такими «^-кратными
корнями, для которых определитель D(Xa) имеет как раз ранг п — т^.
' Частичная устойчивость для определенных возмущений наступает тогда,
когда Ха, входящие в решение, выполняют указанные условия.
Важнейшим случаем устойчивости является тот, в котором D(X) = 0 есть
уравнение Гурвица !).
2. Примеры. Рассмотрим сначала устойчивость равномерного кругового
движения при любых центральных силах. Рассмотрим уравнения соседних дви-
*) Гурвнц показал, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравне-
уравнение аоаР -f- axa!n"-f-,.w-?-an == О при «0 > 0 имело только корни е отрицательной веще-
вещественной частью, состоит в том, чтобы имелн место неравенства
0, ... Д„>0.
где Д» — определители, составляемые по схеме
ах а0. О О ... О
«3
«5
°2ft-l
«4
°2ft-
«1
«3
2 *
"о •
а2 .
.. О
.. О
«ft
в которой вое/ элементы е индексами, большими и, должны быть заменены нулями
(ем. Д. Л. Граве, Элементы высшей алгебры). (Прим. ред.).

134
Классическая механика и геометрическая оптика
жений, определяемых § 3 F). В этом случае характеристическое уравнение
имеет вид:
B6)
f (f) — 4*"- j , — 2X V rMf (r)
21V' r
= 0.
или в развернутом виде
B7)
= 0.
Уравнение B7) имеет во всяком случае двойной корень Х = 0; так как при Х = 0
определитель 2)(Х) имеет ранг не я — '2 = 2 — 2 = 0, а ранг 1, то основное
движение неустойчиво по отношению к возмущениям, при которых появляются
соответствующие члены.
Вторая пара корней является чисто мнимой или вещественной, смотря по
тому, являются ли выражения:
положительными или отрицательными. Только в первом случае основное движение
устойчиво по отношению к соответствующим возмущениям. Это условие совпа-
совпадает с условием § 2, F), выведенным ив критерия «пергии. Там мы посредством усло-
условия постоянства момента количества движения
и = а исключили, возмущения, при которых
появляются в решениях члены с ). = 0. Но
пи возмущения тоже очень просты, решения
1меют, согласно § 4, A6), B2), форму t cos3o/,
икуда, вследствие равенства X = а = 0 полу-
получаются линейные функции времени. Можно
также непосредственно убедиться, что ура-
уравнения § 3, F), могут быть решены в пред-
предположении р = const, о = const, следовательно
р = з'= 0.
3. Центробежный регулятор. В каче-
качестве следующего примера рассмотрим центро-
центробежный регулятор. Оп представляет собою
приспособление, позволяющее сохранять равно-
равномерность вращения махового колеса какой-нибудь машины (например, паровой
машины) даже при внезапных изменениях нагрузки. Мы будем схематически
рассматривать махоное колесо вместе с регулятором как систему с двумя степе-
степенями евзбоды.
Обозначим черев <? координату положения махового колеса, т. о. угол между
одной из его спиц и неподвижной прямой, лежащей в плоскости колеса. Ось
махового колеса жестко связана с осью регулятора. Ось регулятора, которую
мы будем представлять себе расположенной вертикально, связана при помощи
шарниров с двумя жесткими стержнями, к которым прикреплены два шара. Эти
шары Moryf передвигаться в плоскости, проходящей через ось регулятора (рис. 5).
Если маховое колесо привести в движение, то ось регулятора начнет вращаться,
и благодаря центробежной силе шары поднимутся. В качестве второй коорди-
координаты, описывающей наше устройство, мы выберем расстояние х какого-нибудь
ив шаров, которые мы будем считать расположенными симметрично, от оси регу-
регулятора. Действие устройства заключается в том, что положение шаров каким-
Рис. б.

I IF, § 5 Малые колебания и устойчивость 135
либо способом влияет па скорость вращения махового колеса; например, можно
считать, что скорость уменьшается при поднятии шаров.
Если момент инерции махового колеса обозначить через Т, то кинетическая
анергия К всей системы будет состоять ив трех частей: I) кинетической анергии
махового колеса — 7'с?2 (гл. IV, § 1,4); 2) кинетической анергии вращения шаров
регулятора, равной m./-2a2ts2, где от есть масса обоих шаров, а а — отношение
числа оборотов регулятора к числу оборотов махового колеса и :!) кинетической
энергии — тх- колебательного движения шаров в плоскости, проходящей через
ось. Таким образом, полная кинетическая энергия будет
B.3) К = -1 [G-+ w«2*2) ? + "И-
Обозначим обобщенные силы, соответствующие координатам » и х, через
Ф а Л. Ф есть момент вращения, зависящий от нагрузки машины (например,
от противодействия, создаваемого индуктируемыми электрическими токами в динамо-
машине, приводящейся в движение нашей паровой машиной), от положения х регу-
регулятора и от сил трения, которые мы будем считать пропорциональными угловой
скорости <? = т. Значит Ф есть функция от х и <?. Положим
Ф=Р(х, *) — Фо,
где Фо есть момент вращения нагрузки. Сила X, действующая на х, зависит
от положения регулятора и от сил трения, которые мы попрежнему будем считать
пропорциональными х. Таким образом X есть функция вида Х(.г, х). Тогда ура-
уравнения движения, согласно гл. II, ? 2, (9), примут вид:
d дК дК . d дК дК
(Of)) : — =Ф, • - ¦.- =Л.
. dt <Ь д<? ' dt dr. dor
Вычисляя эти выражения при помощи B8) и пренебрегая моментом инерции
регулятора тх- но сравнению с моментом инерции махового колеса Т, мы
получим:
C0) о2 7'в = Р (х, а) — Фо., тх — m.ma»a = X (.г, х).
Ндесь «р есть скрытая координата в смысле § 1, 1.
Однако мы не можем говорить о квазистатических движениях, так как сила
не имеет потенциала. Если мы исследуем движение, для которого, так же как
и в случае квазистатического движения (см. § 1, 2), х = х0 и '¦о = а>0, то'можво
показать, что такого рода движения существуют и представляют собою перма-
перманентные движения в смысле § 3, 1. Действительно, полагая в C0) x = xQ
и ср = ш0, мы получим:
C1) 1> (;г0, <в0) = Фо; — от.г0а2ш0^ = X (х0, 0).
Таким образом, при данной нагрузке Фо существует, вообще говоря, только
одно определенное положение регулятора х0 и одна определенная угловая ско-
скорость <о0, при которых возможно пермапентпое движение. Исследуем теперь,
будет ли движение х = х0, ф = ш0 устойчивым. Для этого рассмотрим бесконечно
мало отличающееся движение, для которого угловая скорость и положение регу-
регулятора уже не постоянны.

136
Клаасыческая механика и геометрическая оптика
; Положен
C2) я =
и, следовательно,? = «== «0+¦»), причем величины ? и tj, зависящие от времени,
настолько малы, что достаточно принять во внимание их первые степени.
Пусть:
C3)
где значок 0 означает, что х = х0> <(> = «<,, а: = 0.
Подставим теперь C2) в C0). Принимая во внимание C3) и C1), а также
соотношение:
C1а)
получающееся при дифференцировании второго из уравнений C1), и пренебрегая
степенями ?, ч\, 6 выше нервов, мы получим:
C4)
1 (дР\ , 1 (др\
^—«Щ-дх-^-^тУ-д*)^-0'
дх
введем теперь для краткости обозначения:
Далее, согласно C1а), мы имеем
Обовначая „степень неравномерности хода" регулятора черев S, а наи-
наибольшее наблюдаемое на практике изменение величины х через h, мы получим
C7)
Тогда, на основании C6), C7):
Далее положим
C9)
Отсюда следует, что
если ДР есть разность значений Р при крайних положения* регулятора. Пусть

Ill, § 5 Малые колебания и устойчивость 137
т. е. «пх
Величина Р называется затуханием, [* — скольжением, а вре-
временем падения регулятора. Это есть время, в течение которого тело, дви-
движущееся е ускорением а:оа2«оа, проходит расстояние h. Величина — есть время
разбега машины, т. е. время, в течение которого угловая скорость возрастав!
от 0 до ш0. В этих обозначениях уравнения C4) имеют вид:
D2) ^ ^
Так как это есть дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами»
то основное движение х = х0, ср = дао?, действительно, является перманентным
движением в смысле § 3, 1. Характеристическое уравнение Z>(X) —О, соот-
соответствующее уравнениям D2), можно найти, пользуясь методами § 3. Однако,
здесь будет проще свести два уравнения D2) к одному дифференциальному
уравнению третьего порядка.
Для этого решим второе уравнение D2) относительно г\ и подставим,
результат в первое уравнение D2); мы получим:
D3) ajf+вД+ «^ + 086 = 0,
где
D4Y яо = 1, e, = p-[-ii» я2 = ^ + р23, a3 = P2(ii8-f x). '
При этом характеристическое уравнение D (X) = 0 примет вид:
D5) . a0X3 + aixa-f-a2X + a3 = 0,
где величины а0, ..., а3 определяются из D4). Условия для того, чтобы D5)
представляло собою уравнение Гурвица, выражаются неравенствами:
а, > 0, а^а2 — яоя8 > О,
т. е. согласно D4):
D6)
Отсюда легко видеть, что если нет затухания и скольжения (р = р = 0)
то эти условия не удовлетворяются, так как —р2х не может быть положительным
Таким образом, для устойчивости движения регулятора требуется наличие зату-
затухания § Если не принимать во внимание изменение момента вращения машины
ири изменении числа оборотов, или „саморегулировку", т. е. если положить jj. = O»
то из D6) следует
D7) р>0, 8>4-
Р
Следовательно, „неравномерность хода" также необходима. Затухание должно
быть тем больше, чем меньше неравномерность хода 8. Если рфО, то ватуха-
иие р может быть меньше. В самом деле, ив D6) мы получили
D8) .pa_,>
p>f
Это неравенство удовлетворяется при очень малых р, если f* достаточно-
велико.
Следующий пример применения теории малых колебаний к исследованию
устойчивости перманентных движений, в котором имеет значение критерий Гур-
вица, можно найти в гл. IV, § 4, 4.

1о8 Классическая механика и геометрическая оптика
ГЛАВА IV
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 1. Вывод уравнений движения
1. Координаты положения. Положение твердого тела в пространстве
может быть определено, если определено положение прямоугольной координатной
системы, жестко свяванпой с телом, относительно системы, покоящейся в про-
пространстве. Проще всего это можно сделать, задавая вектор положения s начала
системы, связанной с телом, и девять косинусов углов между осями обеих систем.
Девять косинусов можно считать составляющими трех единичных векторов а, Ь, с,
направленных но покоящимся осям, относительно осей, связанных с телом. Р1сли ¦
мы обовначим прямоугольные координаты точки в покоящейся системе через х, у, г,
а в системе, связанпой с телом, — через xlf х%, х3 .то составляющие s в покоя-
покоящейся системе равны: .v,, sy, s., а составляющие а относительно системы, свя-
связанной с телом: а,, а2, ов, и аналогично для b : ft,, b2, b3, для с : си с2, с3.
Так как между направляющими косинусами имеет место шесть соотношений:
A) (аа) = (bb) г-= (»•.<•) = 1, fab) = (ас) = (be) = О,
то и.ч них только три независимы. Вместе с nr, sy> ,•>, мы имеем, следовательно,
шесть координат положепия: значит твердое тело есть система с шестью степе-
степенями свободы. Мы приходим, следовательно, к задаче выразить девять величин
av я2, ..., с3 через три независимые величины таким образом, чтобы шесть соот-
соотношений между направляющими косинусами выполнялись тождественно. Это
можно выполнить, вводя три „угла Эйлера" ft, <!», -?. Положим
I аЛ = cos <'j cos са — cos 9 sin i sin 9,
bl = sin <b cos ® -j- cos ft cos') sin »,
c1 = sin Я sin <p, »
a0 — COS <J Sill '5 ¦— COS ft sin i COS 'J>,
B) ¦} bo = — Sill '; Sill 'Si ~\- COS ft COS 'i COS S,
c» = sill i) cos -s,
a3 = sin ft sin 6,
bs = — sin ft cos <\,
c3 =-- cos ft.
Эти выражения удовлетворяют уравнениям (I). Геометрическое значение
л глов ft, ty, « легко попять, если выбрать начало неподвижной системы таким
образом, чтобы оно совпадало с началом системы, связанной с телом. В таком
случае плоскость ху и плоскость xtx2 будут пересекаться по прямой, проходящей
через начало координат и называемой „узловой линией". При этом 0 есть угол,
на который нужно повернуть вокруг узловой линии, как оси, неподвижную
систему для того, чтобы кратчайшим путем привести в совпадение плоскость ху
с плоскостью х^, так, чтобы в общей теперь плоскости оси х и у были ориен-
ориентированы одна но отношению к другой так же, как и оси ж, и ж2. Это враще-
вращение определяет некоторое направление на узловой линии. Мы назовем положи-
положительной стороной ту, с которой вращение на угол ft совершается в направлении
часовой стрелки. Далее, 6 ecib угол, на который пужно повернуть тело около
оси г, чтобы положительная ось х совпала с положительной узловой линией,

1V, § 1 Вывод уравнении движения 139
причем вращение, наблюдаемое со сторолы положительного направления z, совер-
совершается но часовой стрелке. Наконец <? есть угол, на который нужпо поело :>того
повернуть тело около оси хл, чтобы положительная половина узловой липии
совпала с положительной осью .г,, причем опять вращение, рассматриваемое со
стороны положительного направления xs, происходит но часовой стрелке. Этими
тремя вращениями оси х, у, г действительно приводятся в совпадение с осями
ж,, .r2, xs с сохранением взаимпого расположения. Доказательство того, что связь
этих трех углов с направляющими косинусами определяется уравнениями B),
основ и вается на рассмотрении сферических треугольников, определяемых точками
пересечения осей с единичной сферой, описанной около начала координат.
2. Скоростные координаты. Если мы будем рассматривать движение твер-
твердого тела, при котором одна точка, а именно, начало С системы, связанной
с телом, удерживается в начале неподвижной системы, и. с каждой точкой Р
тела сопоставим вектор ее скорости v относительно неподвижной системы, то
в течепие элемента времени dt точка тела, определяемая вектором положения г,
проведенным из неподвижной точки, пройдет бесконечно малый отрезок, который
представится вектором vdt. Если обозначить расстояние точки Р от мгновенной
оси вращения через г, то xdf имеет абсолютную величину ra>dt, если через со
обозначена мгновенная угловая скорость. Это площадь параллелограмма, образо-
образованного векторами г и tadt, где вектор w по абсолютной величине равен ш и имеет
направление оси вращения. Так как при вращении происходит перемещение _/',
перпендикулярное к плоскости обоих векторов г и ы, то по определению вектор-
векторного произведения скорость точки, вектор положения которой равен г, будет
C) v — ю X г-
Геометрическое значение w заключается в следующем. Бесконечно малое движе-
движение есть вращепие около оси, направление которой есть направление вектора w,
а угловая скорость определяется абсолютной величиной да. При этом вращепие,
наблюдаемое со стороны стрелки м, происходит по часовой стрелке. Величину со
называют „вектором угловой скорости.
Уравпение C) можно истолковать еще следующим образом, если заменить v
производной от г но 1.: оно дает нам изменение dr, испытываемое в течепие эле-
элемента времени dl вектором г, исходящим из начала, если вектор г жестко связан
с телом, а последнее вращается со скоростью, определенной вектором w. Если
вектор а испытывает в течение элемента времени dt изменение -^— относительно
системы, связапной с телом, то его изменение относительно неподвижной
<?а .
системы -р отличается от глого: к нему прибавляется еще изменепие, которое
вектор а испытывал бы в том случае, если бы он был постоянпым по отноше-
отношению к системе, связанной с телом, т. с. был бы с ней жестко связан. Поэтому,
согласно C):
D) -^^--КоХа).
Конечно, только изменения направления различаются в обеих системах, но
не изменения величин, так как оба бесконечно малые изменения а различаются
только на вектор, перпендикулярный к а.
Если, в частности, мы рассмотрим единичные векторы а, Ь, с, направленные
по трем неподвижным осям, то их изменение относительно неподвижных осей
равно нулю, и мы имеем:
E) | ?? |

140 Классическая механика и геометрическая оптика
Если обозначить составляющие w относительно осей, связанных с телом,
через a>j, <»2, ш3, то из E) вытекает на основании формулы векторного произве-
произведения.
да. , Л дп
-^- + <о2а8 —«>sa2 = 0, —'-
я аналогичные уравнения для b и с. Скороотное состояние твердого тела может
быть представлено производными но времени от координат положения, т. е. по-
посредством sa, sg, sa, av a2, ..., c& или Ь, ty, 9. Но так как, согласно уравне-
уравнениям F), производные аи ..., с8 могут быть вычислены ив трех величин av «2, ш3
я координат положения, то три составляющие вектора вращения со вместе с соста-
составляющими s определяют скоростное состояние, причем обязательно нужно иметь
в виду, что toj, ш2, <о3 не являются производными по времени от координат поло-
положения. Однако, если a>1? а>2, ша заданы как функции от времени, то уравнения F)
можно рассматривать как дифференциальные уравнения для определения коор-
координат положения av a2, ..., с3. В таком случае мы имеем дело с системой
дифференциальных уравнений первого порядка, которым должны удовлетворять
как составляющие вектора а, так и составляющие векторов b и с. Мы должны,
следовательно, найти три системы решений этих уравнений, между которыми
имеют место соотношения A), и те, которые получаются из них посредством
дифференцирования* Интегрирование системы F) может быть сведено к интегри-
интегрированию уравнения Ривкати ').
Обратно можно использовать три из девяти уравнений F) (причем из этих
трех самое большее два могут содержать составляющие а) для вычисления
в>,, да2, да3, как функций направляющих косинусов и их производных, потом вставить
выражения аЛ, ..., с3, ив B) и выражения я,, ..., с^ получающиеся ив B) по-
посредством дифференцирования, и тогда мы получим:
G)
а>2 = ф sin S sin » -\- & cos (о, а>2 = ф sin S cos <p — Ь sin 9,
а>3 = (j) cos 0 -[- <p.
Значения, полученные ив 3-х уравнений F), на основании A),не могут противо-
противоречить остальным уравнениями и получающимся ив них посредством дифференциро-
дифференцирования соотношениям а^^а^-^а^—О, и т. д.. Решая G), мы получаем:
9 = ш3 — ctg & (qj sin 9 + <»2 cos ?)»
ф = cosec & (a^ sin <s -j- a>2 cos 9),
4 = ojj cos 9 — даа sin 9.
Следовательно, если a>1, a>3, a>3 заданы как функции времени, то (8) пред-
представляют собой тр» дифференциальные уравнения первого порядка для опреде-
определения углов Эйлера у, ф, &.
3. Законы движения твердого тела. Каждое бесконечно малое движение
твердого тела можно составить ив перемещения, общего всем точкам и опреде-
определяемого вектором 8s, и бесконечно малого вращения около оси, проходящей
(8)
*) Т. е. уравнения вида ^ = a0 (x) + ai («) У + Ъ (я) у1. Дальнейшие подробности можно
найти у Q. Darboux, Lemons sur 1а theorie generate des surfaces, т. I, кн. 1, гл. II, HI.

IV, § 1 • Вывод уравнений движения 141
через начало G системы, связанной с телом. Последнему движению для точки
тела, вектор положения которой, проведенный ив С, равен г*, соответствует, со-
согласно C), перемещение оо X г("\ где 8о имеет направление w и длину, равную
бесконечно малому углу вращения. Поэтому возможно каждое смещение 8q*
точки г*, при котором:
(9) SC e
при произвольных 8s и 8о. Далее, принцип Даламбера для движения произвольной
механической системы дает:
(ю) .
если написать уравнение гл. II § 1, C5) в векторных обозначениях я обозначить
черев тл массу, черев V — вектор ускорения и через к' — силу, соответствую-
соответствующие материальной точке г". Если мы вставим 8q" из (9), то A0) должно быть
удовлетворено для произвольных 8s и So. Так как на основании известной фор-
формулы векторной алгебры W* (8о X г") = 8о (г* X W), то отсюда вытекает, что если
рассматривать твердое тело, как систему жестко связанных между собой мате
риальных точек:
Обозначим, как и в гл. II, § 1, A8), B5), черев g количество движения, черев i
момент количества движения тела относительно С; тогда:
A2) g = 2 ту, i = ? «. Or" X О,
где v* ¦— вектор скорости точки г" относительно покоящейся системы. Обовпачии
далее через к — равнодействующую приложенных сил, черев d — ее момент отно-
относительно точки отсчета С, тогда
A2а) к
Так как s есть вектор положения точки С в покоящейся системе, то т" = s -f- г",
w" = v(I; следовательно, дифференцируя A2) по t и вставляя г*=тв—'¦$, мы по-
получим:
«
Если мы обозначим вектор положения центра инерции тела через г, общуж
массу через w = 2m»> то на основании гл. II, § 1, B1) отг = 2т«г^ следова-
тельно mr = ^mxva — «is. Вставляя в A2Ь), мы получим, в свяви с A2а), A1):
A3) -^-k, |
Если точка отсчета неподвижна (s = 0), то второе уравнение A3) сводится
к -Tj- = а, т. е. если какая-нибудь точка тела остается неподвижной, то проив-

H2 Классическая механика и геометрическая оптика
водная по времени момента количества движения относительно этой точки равна
главному моменту приложенных сил относительно той же точки. Если в качестве
точки отсчета выбрать центр инерции тела (следовательно, г = г = О), то да.же
при отсутствии неподвижной точки в теле, мы получим то же
упрощение уравнения A3):
A4) «Ж=к' rf/ =<J-
Первое уравнение показывает, что центр инерции движется пак свободная
материальная точка, в которой сконцентрирована вся масса и все силы; второе
уравнение — что тело движется относительно центра, инерции так, как если бы
последний покоился (относительно неподвижной системы).
4. Уравнения движений Эйлера. Если мы выразим импульсы g и i через
координаты положения и скорости, то мы получим, вставляя их в A3), диффе-
дифференциальные уравнения движения твердого тела. Мы должны, следовательно, для
v" вставить в A2) выражение, получающееся из (9), заменив повсюду перемещения
скоростями. Тогда мы получим:
A5) V =
где it = s представляет скорость начала системы координат, связанной с телом.
В таком случае, согласно (Г2) и A5), если мы введем вектор положения г центра
тяжести посредством соотношения mr = 2w»r% мы получим;
f
S =»»[ii-K»Xr)J,
Если мы введем единичный тензор Е 2) я определим тензор 0 посредством
соотношения:
A7) Ь = ? К (г V) Е -»«. (г"; г')],
то можно написать нросто:
A8) "i =•»/(г X ") + •«*•
Если теперь мы перейдем от отдельных материальных точек т^ к непрерывному
распределению масс, заполняющих пространство с массой dm в элементарном
объеме, то сумма в уравнении A7) перейдет в интеграл. Если кроме того мы
воспользуемся диадой Яумана г) но формуле {!***), то формула A7) примет вид
формулы (8*).
*) Ввиду того что здесь и в дальнейшем мы сталкиваемся с понятием тензора,
нам приходится привести несколько самых необходимых формул тензорного исчисления
в трехмерном пространстве.
Пусть х, у, г определяют систему прямолинейных прямоугольных координат, тогда
составляющая vv вектора т по направлению ч будет
A*) »„ = rx cos {у, ¦>) + vy cos (л ij) + vz cos (ч, г).
Здесь очевидно vx, vy, v2 значения v4, соответствующие направлениям ч = *, ч = у, v = s.
Построим по образцу A*) формулу
B*) рч = рх cos (ч, х) + ру cos (ч, ,v) + рг cos (ч, г),
где рг, ру, ра три заданные вектора, a pv вектор, величина и направление которого за-
зависит (при заданных рх, ря, р3) от направления v. Очевидно рх, ру, рг являются значе-
нилми pv, соответствующими направлениям ч = х, ч = у, ч = г.
Совокупность иначений ве >т ра р, для всех значен];;"! ч определяет тензор П.

IV, § 1 Вывод уравнений движения 143
Компоненты „диады момептов инерции" будут:
I (,*22 -f •гз2)dm — У ->'уГ2Aт — I xvrAdm,
— / XgX^dm I ,г3.г2<2иг I (xf-\-
Если в дальнейшем мы будем принимать центр инерции за начало системы
координат, неизменно связанной с телом, то s будет равно нулю, а и будет ско~
ростью центра тяжести. Если теперь мы обозначим составляющие момента коли-
количества движения через ?",., а компоненты диады инерции через 6^, то, в силу
(о*), из A8) получим:
A9) I = to»; t»=eM«i + eie"a + e»s»e (*=1, 2, 3>
Система осей xv ж2, х&, может быть выбрана, по крайней мере, одним спо-
способом, так что компоненты bkj для h-f-j обращаются в нуль.
Выражая все векторы, входящие в B*), через координатные орты i, j, k и скаляр-
скалярные составляющие по осям и приравнивая в левой и правой частях коэффициенты при
i, j, к, мы получим трн равенства:
C*)
— Рхх eos <У> *) + Pyx cos (v> У) + Pzx cos (У> ')'
= РХу 4OS (ч, х)+руу OOS (ч, у)
РХу
Р-а —.Рхг eos (v» x) +Pys °os (v' У) + Pgz cos ^' *)•
Таблица коэффициентов:
Pxx Рогу Рх
Pyx Руу Руг
Ргх Ргу Р„
называется матрицей тензора П и может быть отождествлена с самим тензором
вследствие чего часто пишут
IP XT Рху /V
Pyx Руу Руг
Ргх Ргу Ргг->
Девять величии ргх, рху,. ¦ •, ргг называются компонентами теизма.
Можно считать очевидным, что сумма двух тензоров дает тенвор, компоненты кото-
которого равны суммам соответственных компонент слагаемых. Точно так же произведение
тензора на скаляр дает тензор, компоненты которого получаются умножением соответ-
соответственных компонентов данного тензора на этот скаляр. Первая из этих операций ком-
коммутативна н ассоциативна, вторая коммутативна и дистрибутивна.
Под произведением тензора П иа вектор т мы будем понимать вектор у' — произ-
произведение значения тензора П, соответствующего направлению вектора т, на модуль
вектора т.
E*) П v = [рх cos (с, х) + ps cos (v, ц) -[- рг cos (v, г)\ v = vxpx -j- vypv -j- ^,рг.
Таким образом, компоненты т' будут:
E**) | »у'--=Р,у*
и произведение Пт тензора II иа вектор т можно определить как вектор v', составляю
щие которого линейно выражаются через составляющие вектора т, причем коэффициен-
коэффициентами являются компоненты тензора II. С другой стороны, П можно рассматривать как
символ линейного преобразования, которое преобразует любой вектор т в новый,
вектор т'.

144 Классическая механика и геометрическая оптика
Такую систему мы назовем „главными осями инерции". При этом остаются
только составляющие 6№. Мы положим тогда 94& = вй и назовем его „ главным
моментом инерции" относительно оси хк. Мы имеем:
B0) ** = V>* (*=»1, 2/3).
Если мы хотим вычислить входящую в уравнения A3) производную по времени
от момента количества движения относительно неподвижной системы осей, то
мы должны принять в расчет, что <оА (&=1> 2, 3) представляют собою соста-
составляющие изменения w со временем относительно' системы, связанной с телом,
которая теперь может совпадать с системой главных осей инерции. Применяя
D) к A3), мы получим:
¦B1) -.
Если разложить на составляющие, то на основании B0) мы получим:
B2)
dt
Дистрибутивность этой операции по отношению к сложению и коммутативность по
отношению к умножению на скаляр очевидны.
Рассмотрим два способа образования тензора из двух векторов аи Ь. Первый
дает так называемое произведение или диаду Гиббса и определяется ра-
равенством .
F*) Р, = а ОН = а Р>ж cos (v, x) + Ь„ соз (м, у) + Ъ„ Лз (v, г)],
где v — произвольный единичный вектор, a (bv) — знак скалярного произведения двух
векторов b и v. Компоненты этого тензора определятся таблицей
@**)
а,Ъ
у
«А «А «А
Обозначая это произведение символом, (а; Ь), в силу E*), получим
({;***) (а; Ь) т = а (Ьм) v = а (Ьт).
Второй способ образования тензора дает произведение или диаду Яумана
и определяется равенством:
Р, = а X (Ь X v) = i {«» [К cos (v, у) — Ъу cos (v, x)] — at [Ъг cos (v, ж) — Ъх cos (v, г)]} +
G*) +j {...}+k {...}.
Здесь X —знак векторного произведения. Компоненты этого тензора определяются
таблицей
( — йЛ~аА °А «А
G**) { . «А —«А —«А «А
I «А «А — °А — "^у
Обозначая это произведение символом а-^Ь', в силу E*), мы получим:
G***) (a^b) v = а X О» X v)» = аX 0> Xт)
Непосредственное приложение Этих формул мы имеем при рассмотрении .днады
моментов инерции". Обозначая через w вектор угловой скорости тела, г—вектор поло-
положения элемента массы dm, проведенный из какой-либо точки оси вращения тела, и соста-
составляя главный момент количества движеная тела, мы получим
<8*) i = JrX^Xr)dm
или, в силу G***):
(8**) J== — /rX(rX<°) dm— — J (r^r) (Afon = вш,
где в = — f (г^г) dm — тензор, представляющий „диаду моментов инерции*. (Прим. ред.).

IV, § 1 Вывод уравнений движения 145
Уравнения B2) навиваются „уравнениями Эйлера" для движения твердого
тела. К ним прибавляются уравнения, получающиеся из первого уравнения A3),
если ввести в него согласно A6), g —гаи (так как г = 0). Если мы введем
составляющие их, иу, иг скорости центра инерции относительно неподвижных
осей, то мы получим:
B3)
dux du 7 du
m-di==k" тЖ = **' m~i
I «п. . \
1или же т — = 7с5 и т. д. 1
Уравнения B2), B3) образуют вместе с „кинематическими дифференциаль-
дифференциальными уравнениями" (8) систему девяти совокупных дифференциальных уравнений
первого порядка для определения девяти величин *>, «, «I», их, иу, иг, о>„ о>2, e>s
как функций от времени. При этом, конечно, предполагается, что составляющие
сил кх, 7су, кг так же, как и й,, d2, ds, заданы как функции этих величин и их
первых производных.
Различие в форме уравнений B3) и B2) зависит только от того, что мы
ввели составляющие и относительно неподвижной в пространстве системы.
Если бы мы ввели составляющие их, u2, м3 вдоль главных осей инерции, то
необходимо было бы первое уравнение A3) написать, согласно D), в виде:
B4) -^- + (»Xg) = k,
откуда тогда вследствие соотношения g = mu вытекало бы, если разложить на
составляющие:
-^-fa>2«3 —<B3w2J=i1
B5) m -j7H-«>2«3 — <»3W2 =*i и т- Д-
При атом kx, Jc2, 7% представляют составляющие равнодействующей силы относи-
относительно главных осей инерции.
5. Формальное обобщение математических выражений ^исчисление
моторов). Уравнениям движения твердого тела можно придать большую нагляд-
наглядность и для некоторых ,целей большее удобство для применений, если сделать
4ще пгаг вперед в том направлении, которое ведет от способов рассмотрения
скалярных велнчин к векторному исчислению. В то время как, применяя вектор-
аые понятия, мы делаем соотношения независимыми только от выбора опреде-
определенных координатных направлений, введение Р. Мизесом аналогичного
понятия мотора делает их независимыми также от выбора начала коор-
координат х).
Система сил, действующая на твердое тело, задавалась выше главным
вектором к и главным моментом «1, отнесенным к определенной начальной
точке г. Если мы перейдем к новой точке отсчета г', то новый момент будет:
B6) d' =
В таком же соотношений, как d, d' и к находятся друг к другу скорости т, т'
обеих точек отсчета и вектор угловой скорости м:
B7). т'=т + «Х(г'-г).
Будем рассматривать к и d, а также к и d' как первую и вторую векторные
составляющие „силового мотора" К; аналогично, м и v и соответственно
J) „Исчисление моторов', которое приближается к более старому понятию „динамы",
наложено в работах Р. Мизес, ZS. f. angew. Math, und Meoh. 4, 1924.
10 Зак. 1406. — ФранА и Мизес. Дифф. уранн. мат. физ.

146 Классическая механика и геометрическая оптика
«iV, — как две векторные составляющие „мотора скорости" <г. Мотор есть
величина, имеющая шесть составляющих, его скалярные составляющие от Кг до К6
и соответственно от Gt до Сг6 зависят от начала координат и направления коор-
координат, а векторные составляющие — только от начала координат. Мы выберем
обозначения так, чтобы Кх, К2, К3 были составляющими главного вектора к,
Kt, Къ, Ке — составляющими главного момента d; аналогично: Gv G2, G3 — со-
составляющими to, a G4, G6, G6 — составляющими v. В более старом чисто геоме-
геометрическом понимании механики твердого тела понятию мотора силы соответствует
понятие динамы или силового винта, а понятию мотора скорости — понятие винта
движения.
Определим как сумму двух моторов А и В мотор С, скалярные и вектор-
векторные составляющие которого равны суммам соответствующих составляющих А и
В; следовательно С, = Л,-{-Д; совершенно аналогично В = ХА должно овначать,
что Д = ХА при i = l, -2, ..., 6.
Кроме мотора силы и скорости тела основную роль играет еще мотор
количества движения. Для одной единственной точки с массой т^ скоростью Vе
к радиусом-вектором г" количество движения имеет векторные составляющие
mtv* и г"Хиау° Как мотор количества движения J твердого тела мы опреде-
определим сумму отдельных количеств движения, т. е. мотор с первой составляющей
2 *»«Ў" и второй составляющей 2 т*Т* X т", причем суммирование распростра-
вяется на все элементы тела. Тогда полный закон движения твердого тела
гласит:
B8) f=K,
идя, на словах: производная мотора количества движения но
времени равна мотору силы.
Если мы напишем B7) в форме у" = т -f- (о» X О и вставим это в выра-
выражение для векторных составляющих J, то мы увидим, что мотор количества
движения есть линейная функция мотора скорости, коэффициенты которой зависят
от следующих десяти сумм (интегралов):
1) полной массы m = 2m«;
2) трех статических моментов зх, а^ о3 нли координат центра тяжести х*,
у*, г*, а именно:
3) трех моментов инерции в, = 2т*{У* + ?*) и т. д. и
4) трех центробежных моментов инерции 8, = ^ «„УА н Tt Д*
Если мы обозначим черев их, м2, м3 составляющие скорости у точки отсчета,
черев e>j, ш2, <в3—составляющие о», то мы получим:
B9) 1
\ J Ь^ 8 — 82ш3 -|- т (у*щ —
Так как ю„ «2, ш8, uv «2, % являются не чем иным, как скалярными соста-
вляюшвми Gv 6r2,..., G6 мотора скорости G, то B9) можно написать в форме
C0) Jx =
1 = 1

IV, § 7
Вывод уравнений движения
147
m
0
0
0
тз*
— my*
0
m
0
— mz*
0
тх*
0
0
m
my*
— тх*-
0
0
— тг*
my*
~ 83
— o2
0
— nix*
— 83
»2
— 8.
— my*
mx*
0
— 82
-Л
h
(где вместо значков 7, 8, .9 нужно вставить 1, 2, 3 в порядке циклической
перестановки), при этом ма'грица Ти выглядит следующим образом:
(so') \ ^ ^ .; . [.
¦
Аналогично нонятию диады, мы назовем C0') схемой моторной диады,
которую мы назовем диадой инерции ц выскажем B9) или C0) в простой
форме: мотор количества движения есть произведение (мотор-
(моторной) днады иперц'ии и мотора скорости
. C0") J = Т • (х.
Чтобы использовать соотношения B8) и C0") в их свяаи, мы введем еще
два определения произведения в моторном исчислении. Мы назовем скаляр-
скалярным произведением моторов А и В выражение:
('31) А-В-Л^ + ЛаВй-МдЯв + АА + А^ + ЛбД!-
Скалярное произведение моторов силы и скорости есть мощность L,
скалярное произведение мотора количества движения и скорости есть* удвоенная
живая сила 2К:
C2) К G = L, ЗЪ = 2К.
Для 2К мы получаем из B9) и C1) выражение:
C3) I —2
1 +2т[ж*(«2а)з- «з^
Из двух произвольных моторов А и В, у которых первые нли вторые век-
векторные составляющие равны а, Ь, а0, Ьо, мы образуем далее моторное
произведение Р = АХВ, полагая, что первая и вторая векторные соста-
составляющие Р соответственно равны
C4) р = аХЬ, p0 = a0Xb-j-aXb0.
Главное применение моторного произведения аналогично применению урав-
уравнения D). Если мотор А остается неизменным в системе, движущейся со ско-
скоростью G, то по отношению к неподвижному пространству оп изменяется в еди-
единицу времени на G X А; следовательно, из уравнения D) вытекает, если рассма-
рассматривать общее движение, а не простое вращение:
C5)
—
dt
-
dt
Легко убедиться с помощью векторных формул в том, что определения про-
ввведения C1) и C4) инвариантны относительно изменения точки отсчета и
удовлетворяют обычным законам умножения, например переместительпому закону
А.(ВХ'С) = В-(СХА) и т. д.
Если помножить левую сторону B8) скалярно на A, использовать формулу
дифференцирования C5) и затем только что указанное переместительное соот-
10*

148 Классическая механика и геометрическая оптика
ношение, принять в расчет, что, согласно C4), &Х& = 0. наконец, что Т неиз-
неизменно в системе, связанной с движущимся телом, то мы получим:
C6) tr--^-=G- -^
Симметрия Т имеет следствием то, что в последнем выражении порядок
умножении может быть изменен, так что можно положить
(ЗГ ' **.tT.G) = ^.J=^.J.
Но первое выражение в C6) и последнее в C7) представляют собой обе
части производной ЧК по времени. Так как на основании C6) и C7) они равны
друг другу, то мы тем самым вывели из B8) уравнение энергии твердого тела:
Однако, важнее исследовать несколько дальше саму общую форму уравнения
движения. Если применить формулы дифференщгоования C5) к B8), то мы
получим:
C9) Т-^+&Х(Т.&) = К.
Шесть скалярных составляющих уравнений, соответствующих уравнению C9),
можно написать чисто механически по вычислительным правилам, содержащимся
в C0) и C4). Мы дадим только первое и четвертое, так как остальные можно
легко получить посредством круговой перестановки всех переменных. При этом
мы обозначим производные по времени точками, поставленными над переменными;
пусть составляющие к будут, как и в 4, йх, &2, &3, а составляющие d попреж-
нему du d2, dz. В таком случае:
D0)
т («^ -\- г*и2 — y*d>s) 4- ™<»2 («з —
— 82i3 + т
ma>i
Мы видим, что уравнения D0) переходят в „уравнения центра инерции"
B5) если положить ж*, у*, з* равными нулю, и что из D1) получаются „уравне-
„уравнения Эйлера" B2), если кроме того положить 8j = 82 = 83 = 0, т. е. если в каче-
качестве координатной системы, связанной с телом, выбрать систему главных осей.
В некоторых случаях, например, когда приходится иметь дело с телами, соприка-
соприкасающимися в отдельных точках, необходимо исходить из более общего предполо-
предположения D0), D1).
6. Уравнения движения Лагранжа. Чтобы установить уравнения движения
твердого тела по общим формулам гл. II, § 2, (9), нужно сначала вычислить живую
силу К как функцию от шести координат положений sx, sv, st, Ь, С/, « и их про-
производных. Так как 2К= 2т«(У' v°% то> применяя формулы четверного н диад-
ного произведения векторов F***) *)
(а X Ь) (с X d) = (ас) (bd) — (ad) (be)
х) См. сноску на стр. 142.

IV, § 1
Вывод уравнений движения
149
(a; b)v = j
и вводя вектор положения г центра инерции, из A5) мы получим:
D2)
Y2 К (rV) м- ma (г*; г")м]
*>
или, если опям. поместить начало системы, связанной с телом, в центре инер-
инерции и ввести ив уравнения A7) диаду инерции в, то
D3) JT=^-(n
Если опять ввести в качестве xv аг2, х3 главные оси инерции, то мы поду-
подучим, на основании A9), B0):
D4) #=-?-D2 + «!,2 + -:
или, вводя, согласно G), углы Эйлера
D5)
1 ,
J_ <i2 63 -f- 8^F! —
cos &.
Обобщенные составляющие сил Qa, Qy, Qz, Q$, Фф, Qf определяются
согласно гл. П, § 2, D), если ввести векторные обозначения, уравнением
D6)
Если мы вставим 5q* иа (9), то мы получим, согласно A2), A3):
У к" (8о X г") = (к8Ю -f (d3°) =
D7) I -'--• ^
= hx osx -j- ku bsy -J- kz 8sz -j- dt 8ох -f" ^2 ^°2 ~Ь ^з 8°з-
Если положить &oh = a>hdt, 80 = &8i, 8ф = ф8<, 8a» = cp8<, то иа G) для 8ofc
получаются такие же выражения череа 8&, 8<|», 8ср, как там для <oh чере У, 4, да.
Если эти формулы для Soh вставить в правую часть уравнения D7), то, сравни-
сравнивая коэффициенты, мы получим:
D8)
\ Q^ = dt si
sin 8 sin f -f- d2 sin ft cos ? -J- ^s cos ft, Q? = d3.

150 Классическая, механика и геометрическая оптика
Если затем составить шесть уравнений Лагранжа гл. П, § 2, (9) с помощью
выражения К из D5), то для величин sx, sy, se мы, в силу D8), получим как
раз уравнения B3), а для величин в, .-ф, <?:
D9)
ей дЬ дЬ '"' d« Э<? 9<J> V
л эк" ак;
Если считать kid функциями от координат и их производных по времени,
то B3) и D9) представляют собой шесть совокупных дифференциальных уравне-
уравнений второго порядка для шести координат положения sx, sy, $г, Ь, ty, «.
§ 2. Свободное движение твердого тела
1. Общее интегрирование уравнений Эйлера. Если мы предположим, что
никаких внешних сил нет, так что к = 0, d = 0, то' мы получим из § 1, B2):
а из § 1, B3) мы получи^
= «„=*„ =
Следовательно, система девяти совокупных дифференциальных уравнений § 1,
B2), B3), (8), распадается на системы: трех совокупных дифференциальных урав-
уравнений A) для а^, ш2, ©з, трех уравнений для s_,, sy, sz, из которых сразу следует,
что эти координаты центра инерции являются линейными функциями времени,
и трех совокупных дифференциальных уравнений § 1, (8) для U, ty, 9, в кото-
которые нужно вставить вместо <»], ш2, ш3 функции от времени, получающиеся пря
интегрировании A). Уравнения A) определяют движение твердого тела, свободно
движущегося около своего центра инерции. Если же неподвижной является
произвольная точка тела, то уравнения A) имеют место также и для
свободного движения тела около этой точки; только при этом нужно взять систему
главных осей инерции #,, xv xs, проходящую череа ату неподвижную точку,
как начало (см. § 1,3).
Выведем сначала два - интеграла уравнений A). Умножая их последова-
последовательно на 0^, 62<в2, 63<в3 и складывая, мы получим 6Х2 mj a>; -j- 022m2o>2 -}- 622m3o>3 = 0.
Если: затем мы помножим уравнения A) на ш,, <во, <о3 и сложим, то получим
аналогично:
Так как левые стороны обоих этих соотношений являются полными производными
по времени, то, интегрируя, мы получим из них:
где 60, ш0 суть две соответственным образом введенные постоянные интегрирс
вания. Из § 1, B0) и D4) следует, что уравнения B) выражают постоянстве
абсолютной величины момента количества движения и кинетической энергии Щ
в таком случае 60 и ©0 представляют собой „характеристический" момент инер-

IV, § 3
Свободное движение твердого тела
151
ции и „характеристическую" угловую скорость, которую тело должно было бы
иметь для того, чтобы при вращении около ^главной оси инерции кинетическая
энергия и момент количества движения совпадали с соответствующими вели-
величинами при действительном движении.
Если мы введем абсолютную величину <в мгновенной угловой скорости при
помощи уравнения
C) , < + а>22 + в>^ = №2,
то из B) и C) можно вычислить величины a>j, <b2, а>3 как функции от а>17 вста-
вставить затем в A) и получить одно единственное дифференциальное уравнение
для оз, которое решается посредством квадратуры.
Если мы будем рассматривать B) и C) как три линейные уравнения
относительно «j2, <o22, <в32, то их определителем является иввестное произведение
разностей @х — Ь^) @2 — 63) (Oj — 68). Оно наверно отлично от нуля, если все
моменты инерции отличны друг от друга, что мы в дальнейшем будем предпо-
предполагать. Пусть:
{4) «1 >
Решение дает в таком случае:
03.
если мы обозначим через ер е2, е3 следующие выражения, зависящие от 6А:
(б)
о 1
2 = .
Ив E) вытекает после умножения и извлечения корня:
С другой стороны, из уравнений A) вытекает, если их помножить последова-
последовательно на -г1-, -г3-, -jt и сложить,
«1 % °3
(8) <Di'^fi + a>2-3;
Если применить соотношение
• ¦ • » •
(9) «Oi»! -j- °>а<»г -j- cdscos = a>o>,
вытекающее ез C) после дифференцирования, то из G) и (8) следует:
= =t ]Л>>8 — 8l2) (8,2 — 0J) (a>2— Sg2),

162 Классическая механика « геометрическая оптика
т. е. дифференциальное уравнение для ш2 вида гл. IL § 3, A4). Начальное зна-
значение для оз должно быть выбрано таким образом, чтобы выражение под корнем
было положительно. Выбор знака получается из" начальных значений а±, а>2, о>3,
так как согласно (8) и (9) отсюда получается знак охо, т. е. левой части A0).
Чтобы изучить ход движения, основываясь на исследовании гл. II, § 3, 3, вели-
величины Sj2, е22, е32 должны быть расположены до порядку их численных значений.
Начальное состояние определяется начальными значениями о>15 «2, ш3, или, что
в силу B) и C) означает то же самое, тремя постоянными 60, ©^ ©*, где ш*
есть начальное значение о>. При этом <в* может быть задано произвольно, в то
время как 60 и а>0 должны удовлетворять неравенствам 0х ^- 60^> 63, а>0*С<а*, вы-
вытекающим из B), A) (при а> = а>*) и неравенствам Oj ^ 62 -j- 63 х) и т. д. между
тремя главными моментами инерции. Вычитая уравнения F) друг из друга, мы
получим:
60<»o2
A1) •* -"—
Из неравенств между 0Л в таком случае вытекает е22 > е^, s22 > s32. Напро-
Напротив, знак разности ej2 — е32 нельзя указать, так как 0о может быть как меньше,
так и больше среднего главного момента инерции 62. Чтобы иметь дело с опре-
определенным случаем, мы предположим, что 60 <; 0а (в противоположном случае
вычисления нроделываются совершенно аналогично); в таком ,случаё согласно D)
и A1) имеют место неравенства:
Для того чтобы в A0) левая сторона была вещественной, необходимо, чтобы
начальные условия удовлетворяли неравенству е22 ^ (ш*J ^> ej2. В таком случае,
согласно гл. II, § 3, 3, <и2 в течение всего движения остается между значе-
значениями ej2 и е22. Функция К в гл. II, § 3, A4) имеет здесь значение:
•j К (о>2) = (<в2 — Sl2) (е22 — о>2) (со2 — 832).
Если s,2, s^2, е32 отличаются друг от друга, то мы имеем дело с простыми
нудями функции К (<в2), и о>2 есть периодическая функция времени, изменяющаяся
между границами ej2 и е22 с периодом:
A3) т=
Если, наоборот, s22 > Sj2, но е,2 = е32, то мы имеем дело с двойным нулем
?Г(а>2); ш2 с течением времени асимптотически приближается к значению ех2 = ги2.
Но на основании E) отсюда следует, что a>j2 и а>32 стремятся к нулю и что,
следовательно, движение асимтотически приближается к равномерному вращению
1) Эти неравенства представляют собой непосредственное следствие определений бд,
именно:
)dm, bz^fixf + xfidm, % = J(x^ + х.?)dm.

IV, § S Свободное движение тверд»го тела 153
около оси х\ среднего главного момента инерции. Равномерность вытекает из
того, что, согласно A1), 62 = 60, откуда в аилу равенств a>j = o>3r=0 из B) сле-
следует ш22==ш02. Следовательно, в этом случае движение непериодично. Если,,
наоборот, Sj2 = г22 есть двойной корень уравнения К(ф2) = О, то ив уравнения A1)
следует 60 = 63. Но так как 63 есть наименьший главный момент инерции, то
на основании уравнения B) это может быть только в том случае, если движе-
движение уже вначале представляло собой равномерное вращение- около оси хъ.
_. 2. Явный вид решений в случае периодического движения. Найден
формулы для решений в периодическом случае, когда в A2) не имеет места
знак равенства. Так как ш2 все время оотается между Sj2 и е22, мы можем ввести
вспомогательный угол ч\ такой, что
A4) и2 = ех2 sin2 -ц + е22 cos21\ — г22 — (г22 _ 8l2) sin2 •»).
При этом
( со2 — ej2=(s22 — e12)C0s2-r1,
A5) \ аг2 — оJ ^(ез2 — S,2)
[ 22 B 2)
где
A6)
Далее из A4) вытекает:
A7) Т'Ж ^ ~ ^2~~г^ sin ^ cos ^ ~^''
вставляя A5) и A7) в A0), получаем
•A8) •-
и после интегрирования.
/l — &2sm2Yi'
где t0 есть постоянная интегрирования, а именно, момент, в который тело зани-
занимает положение г\ = 0 (т. е. ш2 = s22)^
Интеграл в уравнений A9) есть эллиптический интеграл первого рода,
обозначаемый F {к, ч\). Если положить в нем sin t\ = z, то он переходит в нор-
нормальную форму Лежандра ')• Обратная функция есть введенная Лкоби функция
sin am:
B0) з = sin f[ = sin am [ У e22 — Sg2 (t —10)].
Всспользовавшись двумя другими эллиптическими функциями cos am и Д am,
из E), A6) и A4) получим:
B1)
cos am [W —«а(*
am [У1?=Я (t
%) Таблицы значений эллиптических интегралов были вычислены Лежандром. Эти
таблицы переизданы F. Emde под заглавием А. М. Legendres, Tafeln der elliptischen
Normal-integrale erster und zweiter Gattung, Stuttgart, K. Wittwer, 1931. В сокращенном
виде (с 4-мя знаками) они включены в Математические н астрономические таблицы,
изданные С. П. Глазвпапс?м, Лгр., 1У32. (Прим. ред.). ¦>

154 Классическая механика и геометрическая оптика
Знаки должны быть при положительном квадратном корне выбраны так
потому, что при положительном ш8, на основании первого уравнения A),
в силу D), о»! и со2 совпадают по знаку, и согласно известной формуле теории
dcosami
эллиптических функции имеет место соотношение — — — sinamiAamL
. Cvt
Уравнения B1) дают самое общее решение уравнений Эйлера A), так как они
содержат три произвольные постоянные соо, 60, tQ.
Для того чтобы получить координаты положения, &, &, <?, как функции вре-
времени и трех дальнейших произвольных постоянных (начальных шачений &, ty, »),
необходимо вместо «j, со2, ш3 вставить выражения B1) в кинематические уравне-
уравнения § 1, (8) и проинтегрировать последние. В нашем случае задача может быть
облегчена обходным путем с помощью дифференциальных уравнений для напра-
направляющих косинусов «j, я2,... , с3, § 1, F). Из § 1, A3) оледует, в силу d = О,
постоянство главного вектора количества движения i во времени. Если мы выбе-
выберем его в качестве оси z неподвижной системы, то его составляющие в системе,
связанной с телом, равны, согласно § 1, B0): 6jO>j, 62ю2, 68со3; его абсолютная
величина, согласно B), равна 60ш0, и поэтому направляющие косинусы оси z
<22) в.
1 60<o0 ' 6o<oo 60ш0
Эти cv e2, c3 представляют собой, если шр ш2, <о3 удовлетворяют уравне-
уравнениям A), частное решение системы § 1, F). С номощью последних трех урав-
уравнений § 1, B) можно перейти от е:, с2, с3 к &, с; а именно, мы имеем:
B3) f =
С2
И
sin© Cj coscp c2
sin» ^c^ + Ca2' sin» == cx2 + с22 '
Подставляя эти значения в последнее из уравнений § 1, (8), мы получим:
B4) А _Ю1С1 —Ю2?2
Если вместо cv е2 подставить их значения из B2), исключить затем <ои ш2
с помощью первого из уравнений B), то мы получим из B4) посредством ква-
квадратуры:
При этом фо означает произвольное начальное значение ф. Так как, согласно B1),
<в3 содержит три произвольные постоянные, и две произвольные постоянные опре-
определяют положение главного вектора количества движения в пространстве, то B3)
и B5) цредставляют собой самое общее решение с шестью произвольными постоян-
постоянными. Но «о,, ш2, ш3 периодические функции времени с периодом Т, который,
согласно A3) и A4), может быть написан также в форме:
к
ч"
B6) *_ - I dir»

IV, § 3 Свободное движение твердого тела 155
На основании B3), B4) величины cos ft, tg» и ф также представляют собой
функции времени с периодом Т.
Легко видеть следующее: ? растет постоянно и поэтому должно в течение
периода Т увеличиться как раз на 2те, для того чтобы tg« принял свое прежнее
значение; наоборот, Ь колеблется между двумя граничными значениями (которые
соответствуют значениям ш = е1 и ш = s2) и выполняет за время Т как раз полное
колебание. Для $ из соотношения ty(t-\-T)= ty(T) посредством интегрирования
мы получаем:
т. е. 41 возрастает за каждый период на одну и ту же постоянную величину.
3. Квазистатические движения. В качестве простейшей системы решений
исследуем квазистатические движения по отношению к интегралу количества
движения
W—W = о.
На основании гл. Ill, § 1, 3 эти движения могут быть определены тем, что
ЪН — О для всех bqh, 8ph, удовлетворяющих уравнению /"=0. Так как в этой
форме правило не зависит от выбора координат, то мы можем его применять
даже в том случае, когда функция Гамильтона Н н интеграл f выражены вообще
не через координаты положения и их производные, но через координаты поло-
положения и составляющие угловой скорости ш1( о>2, со3. При свободном движении
F1в1 + 02<о2 + 83ш32),
и условия b(H-\-\f) = O имеют вид:
B7) 6гш, A -f 2ХОХ) = 0, 62ш2 A -f 2Х82) = 0, 63ш3 A -f 2Х08) = О,
если ш1} ш2, ш8 считать независимыми переменными. ,
Вследствие различия главных моментов инерции D) из множителей, стоящих
в скобках, может обращаться в нуль самое большее один. Пусть, например,
1 -\- '2\ЪВ = 0. В таком; случае нз неравенства нулю обоих остальных вытекает
<Oj = <о2 = 0, а из f = 6 — постоянство <о3 во времени. Следовательно, получается
равномерное вращение около главной оси инерции хь. Конечно, вращения около
обеих остальных главных осей инерции тоже квазистатнчны по отношению к инте-
интегралу количества движения. Если желательно исследовать вращение около оси х3
на устойчивость, то, согласно гл. Ш, § 2, 2, необходимо исключить величину ш3
из // с помо цью соотношения f= 0 и потом разложить в степенной ряд по при-
приращениям Ai>lf Дш2 относительно квазистатического движения. Но так как послед-
последнее определяется равенствами ш1 = ш2 = 0, то величины ш, и о>2 сами предста-
представляют собой отклонения' от квазистатического движения. Следовательно, чтобы
составить ДЛ" в смысле гл. Ш, § 2, C), нужно только вычислить <о32 из условия
f<= 0, вставить в Н и вычесть получившееся значение из значения Н при
ш1==ш2 = 0. Таким образом, мы получим:
B8) 2ДЯ = -i- [*,» \ (83 - 6,) + ш22 62 F3 - 6а)].
3
Здесь Д]ЕГ уже само представляет собой квадратичную форму относительно
возмущающих членов o>j, ш2. Она положительно определенна, если 68 > 6, и % > 02;
она отрицательно определенна, если 68 < 6j, 68 < 62. Следовательно, в обоих слу-
случаях основное движение устойчиво, т. е. равномерное вращение около оси наи-
наибольшего или наименьшего главного момента инерции устойчиво. Если, наобо-
наоборот, х3 есть ось среднего главного момента инерции, значит, например, 83 < 62,

156 Классическая механика и геометрическая оптика
но % > 6j, квадратичная форма B8) неопределенна. Вращение около этой оси
неустойчиво. ' ч
4. Симмеричный волчок. Теперь мы будем рассматривать уже не тот слу-
случай, когда все три главных момента янерцин различны, а предположим, что два
из них равны:
B9) %1 = Ь2 = П\ 63 = 9.
В таком случае тело называется симметричным волчком, а ось xs —
„осью тела". При этом система главных осей инерции уже не будет однозначно
определенной; все прямые в плоскости xt, x2, проходящие через нача!ло, будут
равноправны. В этом случае выражение для живой силы § 1, D5), если мзд
попрежнему будем представлять себе, что одна, точка остается неподвижной
(sx = sg=se=:0), будет:
C0) К = 4" *>2°' + 4- ? (°' sin2 а + ft cos2 а) +4- ?26 + ?ф cos 0.
Так как вследствие отсутствия внешних сил K = L, то 9 и ty представляют
собой скрытые координаты в смысле гл. Ш, § 1, 1, а Ь—угол между осью
тела и неподвижной осью sz — единственную видимую координату. На основа-
основании Ш, §1,2 мы получим со * квавистатических движений, если полож'им, что
<i, <j* и & постоянны:
дК п
При этом должно иметь место соотношение -~г — 0; это выражение можно
вычислить из C0) посредством дифференцирования и потом в него нужно вста-
вставить значения C1). В таком случае соотношение примет вид:
C2) Р sin ff* [p F' — 8) cos &* — v6] = 0.
Если не иметь в виду тривиальных случаев р = 0 и sin 9* = 0, то отсюда
вытекает:
C3) Со8а* = -1 ° илиц^- 6
_ 0) cos 9* '
Следовательно, движение заключается в том, что волчок вращается с по-
постоянной угловой скоростью v около оси тела, а последняя одновременно описы-
описывает с постоянной угловой скоростью [t круговой конус с углом &* около непо-
неподвижной оси г. Такое движение называют регулярной прецессией.
Интегрируя C1), мы получим явные формулы:
C4) <p = v(f —10), ,$*=!*(< — 10) + %> ¦»==»*•
Эти формулы содержат четыре произвольные постоянные р, v, t0, ty0, так как 9*
может быть на основании C3) выражено через ^ и v. Но так как в пространстве
нет никакогв выделенного направления, то каждую прямую, проходящую череэ
неподвижную точку, можно выбрать в качестве оси г. Так как для определения
направления необходимы две постоянные, то мы получим из C4), изменяя ось з,
решение с шестью произвольными постоянными. Но это и есть самое общее
решение трех дифференциальных уравнении второго порядка для Ь, <р, $. Следо-
Следовательно, в случае симметричного волчка все движения могут быть получены из
рассмотрения квазистатических движений. Существуют только регулярные пре-
прецессии.

IV, § 3
Движение в поле тяжести
157
Наконец, если мы имеем дело с „шаровым волчком", в котором все три
главные момента инерции равны друг другу, то в нем существуют только равно-
равномерные вращения около неподвижных осей.
§ 3. Движение в поле ^тяжести
1. Общая теория. Действие силы тяжести можно всегда рассматривать
таким образом, как если бы в центре тяжести тела действовала сила величины тд,
направленная вертикально вниз; если направить ось s вертикально вверх, то
необходимо положить в § 1, A3), A4):
A) к = —тд с, d == О,
где с означает единичный вектор, направленный, вертикально вверх, и центр
тяжести выбран sa начало системы, связанной с телом, так что сила тяжести не
дает момента относительно тела. В таком случае, согласно § 1, A4), центр тяжести
движется как свободная материальная точка в поле тяжести, и вращение около
центра тяжести подчиняется тем же законам, как и свободное движение около
неподвижной точки. Это приводит опять к случаю § 2. Чтобы притти к новой
эадаче, мы должны предположить, что неподвижной является какая-либо другая
точка тела, а не центр тяжести. В эту точку мы поместим начало как неподвиж-
неподвижной, так и связанной с телом системы, к ней относятся теперь момент внешних
сил d, момент количества движения i и момент инерции 6ft. Так как одна точка
неподвижна, то из уравнений движения A4) нужно рассмотреть только второе.
Так как скорость и начала равна нулю, то согласно § 1, A8) \ = Ы, и согласно
§ 1, A2а):
d = ]? ma (r'Xk1) == m (г X 2 к") == m (г X к);
а а
следовательно, на основании первого уравнения A), имеющего место также
и теперь:
B) d = — тд (г X с),
где г есть вектор положения центра тяжести с составляющими \v S2, S3. Подста-
Подставляя в уравнения Эйлера § 1, B1), мы получаем, в связи с § 1, E):
C) я
Если положить i = 8« и разложить на составляющие, то отсюда получится:
\ ^ 4- F3 — %) «V* +
D)
df
i — %) «л + m9 (fei —
dt
• -j- F2 — 6Х) ш1<о2 -j- тд ($jCa — SgCj) = 0.
[
E)
dt

158 Классическая мехакика и геометрическая оптика
Уравнения D), E) образуют систему из шести совокупных дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка для определения шести неизвестных а^, <о2, <о3,
cv c2, с3. Теперь уже нельзя, как в случае свободного движения (§ 2), проинте-
проинтегрировать отдельно три уравнения Эйлера D).
Три интеграла системы D), E) находятся сразу. Если мы помножим урав-
уравнения D) последовательно на mv о>2, ш8, сложим их и примем во внимание E),
то мы получим: v
VA + Ма^а + Мз^з + т9 (Mi + ?2С2 + ss4) = °-
Если же помножить уравнения D) последовательно на ср с2, с3, а уравнения E)
на O^j, 92oJ, 63<о3 и сложить все шесть, то мы получим:
= О.
Из уравнений E) вытекает после помножения на с„ с2, с3 и сложения:
Так как обе стороны трех полученных соотношений являются полными производ-
производными по времени, то интегрирование дает:
F) у F1<о12 + е2«22+ V>82) -4- тд fte, + $2с2+^з) = const,
G) в1а1с1 + 6авас2 + в8в3с8 = const,
(8) сх2 -f с22 + с32 = const,
т. е. три интеграла, являющиеся алгебраическими функциями переменных. Можно
покапать, что четвертого алгебраического интеграла, вообще говоря, нельзя найти;
он существует только в трех случаях, отличающихся особым распределением масс:
1) в случае когда центр тяжести совпадает с неподвижной точкой. При
этом г = 0, ?1 = ?2 = ;3 = 0 и уравнения D) сводятся к уравнениям § 2, A),
следовательно они имеют, согласно § 2, B), четвертый интеграл:
012<»12 + °22<В22 + 632<В32 = COnst
(случай Эйлера),
* 2) в случае симметричного волчка § 2, 4, когда центр тяжести и непо-
неподвижная точка лежат на оси тела (оси х3), последнее уравнение D) имеет на
основании 0, = 82 и SjC2 — ?2сх —0, простой вид: ш3 = 0, и мы получаем четвер-
четвертый интеграл о>3 = const (случайЛагранжа);
3) в случае симметричного волчка (et = 6.2 = 6), когда кроме того 63 = 26
и центр тяжести лежит не на оси фигуры, а в плоскости хи ж2 ($3 = 0). Этот
случай (случай Софьи Ковалевской) мы здесь не будем разбирать по-
подробнее.
2. Симметричный волчок. Квазнстатичеекое движение. Мы разберем
подробнее только случай Лагранжа. Вычислим функцию Лагранжа L — K—V.
При этом К нужно взять из § 2, C0). Составляющие силы Qa, Q., Q,t , входя-
дящие в уравнения движения § 1, D9), получаются из § 1, D8), если вместо
dt, d2, d3, подставить, согласно § 3, B), составляющие d. Если обозначить через ?
расстояние центра тяжести от неподвижной точки, то dl = mglo^, d% — — »»</Ц|.
d3 = 0. Ери этом Q =<?ф = 0, Qe = w^sin& и V=mgZ cos Ъ. Отсюда следует:
(9) Ъ=^^г-ЬЧ' -\-~^(Ь' sin2»4-6co 4

IV, § 3 Движение (Г%оле тяжести 159
Если опять представить квазистатическое движение в форме § 2, C1), то значе-
ние 9* получается теперь, согласно гл. Ш, § 1, 2, из уравнения -^-- = 0. Это
т, в силу (9) и § 2, C1), соотношение:
A0) у.2 (8' — 6) cos 0* —1«6 + »*0? = О,
которое заменяет § 2, C2). Интегрирование дает опять уравнения § 2, C4);
следовательно, опять существуют регулярные прецессионные движения, зависящие
от четырех произвольных постоянных. Но только теперь ось z, около которой ось
тела описывает коническую поверхность, выделена в пространстве, это есть напра-
направление силы тяжести. Поэтому теперь уже нельая, как при свободном движении,
выбирать произвольно положение оси z. Существуют только прецессионные дви-
движения около вертикали, как оси конуса. Эти движения поэтому не могут исчер-
исчерпывать всех возможных движений. Кроме того из A0) следует, если решить отно-
относительно <f.
/
— 6) cos Ь*
2 F' — 8) cos &* "~ V 4 F' — 6Jv2 cos2 9*
Следовательно, регулярная прецессия может появиться только в том случае,
если выражение под корнем не отрицательно. Но коль скоро оно положительно,
всегда имеется два значения [t, следовательно прецессионные движения с двумя
различными скоростями, быстрая и медленная прецессия.
3. Симметричный волчок. Самое общее движение. При общем интегриро-
интегрировании уравнений движения Лагранжа мы пользуемся методом, изложенным в гл. III,
§ 1, 1, так как имеются две скрытые координаты <р и ф. Согласно (9):
Я Т
и =—г = 6 D cos &-)-?)>
и = —— = 0' sin2 ftty Н~ 6 cos У ('^ cos ft -f- с).
Образуем теперь из (9) и A2) по гл. I, § 2, E5) функцию В Рауза
A3) В (&, Ь, », мк, ф, и,) — L—<эи — <|iw..
Решая A2) относительно », ф и подставляя в A3), мы получим:
6»
Л
U 2 (И,— U COS&J
Теперь можно согласно гл. Ш, § 1, B) для единственной наличной координаты
составить одно дифференциальное уравнение, содержащее только ее:
d дВ дВ n ft/;i dV*
A§) — ; = О ИЛИ 6 О =
Если мы помножим обе части на У и проинтегрируем, то получим:
A6) 1

160 Классическая механика и геометрическая оптика
————-I -* . .. I,-
где h — произвольная постоянная. Если мы вставим для V* его значение из A4)
и A6) и введем вместо Ь переменную cos ft = о, то из A6) получится:
Это опять уравнение вида гл. П, § 3 A4). Чтобы изучить решение, мы
должны исследовать нули функции f< (°), стоящей в правой части A7). Если мы
направим ось #„ таким образом, чтобы центр тяжести лежал на ее отрицательной
половине, то 5 < 0 и. можно сразу установить знак F(a) при определенных зна-
значениях аргумента. Из A7) следует:
A8)
(— со)>0
[и.
Вследствие непрерывности F(a) из трех нулей уравнения третьей степени F (о) = О
по крайней мере один должен быть вещественным и отрицательным; обозначим
его — S. Так как действительное движение возможно только из такого начальпого
состояния, для которого F(p) положительно, то, если o0 = cosfr0 есть начальное
значение ;:
A9) ^(=о)>О —1<
Но из A8) и A9) следует, что два вещественные корня Ojsscosftj и o2 = cos&2
должны лежать между — 1 и + 3; следовательно:
B0) — оо<— S < — 1 < Oj < о0 < о2 < -f-1.
Поэтому уравнение A7) может быть написано так:
Если Oj > — 1, то оно не может совпадать с —S; если оно отличается также .
и от а2, то Oj и оа простые корни F{?). В таком случае, на основании гл.11, § 3,
3, о колеблется все время периодически между значениями ог и о2, а зпачит Ь
также колеблется между значепиями ^1 и *>2> т- е- ось тела все время качается
в промежутке между поверхностями двух конусов с вертикальной осью, причем
через равные промежутки времени она касается конусов с углами при вершине
2i>i и 2&2. Если ввести теперь вспомогательную переменную г\ посредством соот-
соотношения: ;
B2) о = ог sin2 т) -{- a2 COS2 т) = a2 — (a2 — Oj) sin2^,
то аналогично § 2, A0), A4), A9) мы получим, принимая во внимание, что вместо
величин а^, е22, е32, здесь входят av о2, — S:
Решая относительно i\ ж вставляя в B2), мы получим, применяя функцию
emus amplitudinis:
B4) cos & = cos 02 — (cos &2 — cos &x) [sinam X (t — f0)]2,

IV, § 3 Движение в поле тяжести 161
если, как и ранее, положить o = cos&. Решая уравнения A2) относительно <р> \,
мы получим:
d<o «^ F'sin2»+ 8 cos2») — M^
~dt~ W sin* *>
^ ' c?4> и cos Ь — мф
Если ввести здесь, согласно B4), cos ft и sinft как функции от t, то после
интегрирования мы получим 9 и $ как функции от времени и шести постоянных
интегрирования h, и^, мф, t0, <р0, iji0, где 90 и $0 —значения ? и ty в момент *0,
получающиеся при интегрировании B5). Уравнения B4), B5) дают самое общее
решение уравнений движения. Согласно этим решениям, cos Ь, <р, ф получаются
как периодические функции времени с периодом Т:
=2 Г d° =1 Г Д?
где вторая форма интеграла получается из первой с помощью подстановки B2).
Поэтому, если t возрастает на Т, то cos& принимает свое прежнее значение, тогда
как 9 и ф, как и в § 2, увеличиваются на определенные постоянные. Следова-
Следовательно, движение состоит из вращения около ogh тела с угловой скоростью 9»
прецессии оси тела, которая однако не является регулярной, так как ось тела
не описывает поверхность кругового конуса, а колеблется в течение прецессии между
поверхностями двух конусов, и из третьей составляющей, а именно йтих колебаний
или нутации оси тела. Когда ai = &2, мы имеем случай регулярной прецессии.
Когда же 9Х ф $>2, но оба угла отличаются друг от друга очень мало, то практи-
практически движение не отличается от регулярной прецессии. Только при точном рас-
рассмотрении мы заметим маленькое „нутационное движение", периодические колеба-
колебания оси тела, накладывающиеся на движение процессии. Это движение называется
псевдо-регулярной прецессией. Его можно рассматривать в смысле
гл. III, § 3, как малое колебание около квазистатического движения.
Можно наконец показать, что как раз наиболее обычные начальные условия
при опытах с волчками приводят к таким псевдо-регулярным прецессиям. Действи-
Действительно, если вначале сообщить волчку только вращение около его оси с угловой
скоростью v и предоставить его затем самому себе, то начальные условия имеют
вид: 6 = ф = 0, <? = v. Тогда для постоянных интегрирования h, uf, u^ из ура-
уравнений A2), A4), A6) получаются значения:
При этом мы получим из A7):
<27)
Ив двух корней F (о), лежащих между — 1 и -fr li °Дии есть очевидно само о0.
Второй близок к з0, если второй член в квадратных скобках имеет преобладающее
еначение по сравнению с первым, т. е. если живая сила 0— вращения волчка
велика но сравнению с потенциальной энергией mgl. Если, следовательно, сооб-
сообщить волчку быстрое вращение около его оси и, наклонив ее на угол i>0 по
11 Sane. 140$. — франк а Миаес. Дифф. уравв. мат. фи».

162 Классическая механика и геометрическая оптика
отношению к вертикала, предоставить самой себе, то ось волчка, рассматриваемая
сверху, будет описывать боковую поверхность конуса с углом 2&0; в действитель-
действительности же она совершает малые колебания—нутацию между конусом с углом 2&0
и очень близким конусом с несколько большим углом.
Если ох в B1) будет двойной корень, то, на основании II, § 3, 3, движение
уже не является периодическим, но мы им здесь не будем заниматься подробно.
4. Колебательные движения с конечной амплитудой. Если мы не сооб-
сообщим телу начального вращения, то начальные условия будут иметь вид (p = tji = o,
и если в вертикальной плоскости будет иметься начальная скорость ш0, то: tt = ш0.
В таком случае постоянные интегрирования имеют, на основании уравнений A2),
да ^
A6), A4), вид: и — и = 0, й = 8' —~~-\-mglv0. При этом уравнение A7) дает:
B8) (§J
Здесь корпи функции F(a): —#=— 1, о1 = о0-|- ° , о2 = -f-1. Поэтому
а периодически колеблется между а, и а2 == -|-1. Так как а = cos 0, то Ь колеблется
между значением &v получающимся из cos &х = cos 00 -{- °р (которое при ш0 = О
сводится к самому ft0) и &2 = 0- Следовательно, в вертикальной плоскости про-
происходит колебательное движение с периодом Т, определяемым формулой B6). Но
величины X и k2 имеют теперь, согласно B3), значения:
B9)
=1 /"— т/\ 7;2^ !—°0>
если положить ш0 —0. В таком случае решение уравнения движения имеет,
согласно B4), вид:
C0) . sin — = sin —\ [sinam X (t — fQ)].
При этом нериод Т в силу BG) и B9) есть функция начального отклонения 90.
Если мы предположим, что отклонения настолько малы, что можно ограничиться
только первыми степенями, то можно будет синусы заменить дугами, а косинусы о
череэ 1. При этом функция sinus amplitudinis превращается в простой синус,
так как &2 можно пренебречь, и C0) переходит в:
C1)
Это элементарная формула для колебания физического маятника. Частота X
определяется моментом силы тяжести тд\ т& моментом инерции 6' около горизон-
горизонтальной оси вращения.
§ 4. Движение самолета
1. Вывод уравнений движения. В случае свободного движения (§ 2)
и движения в поле тяжести (§ 3) из системы уравнений движения можно выде-
выделить частичную систему, состоящую из трех уравнений, которая содержит только
три координаты центра инерции sx, sy, se и позволяет вычислить движение центра
инерции, не зная вращательного движения. Но это невозможно в том случае,
когда силы Аж, Ау, & зависят также от углов Эйлера % ф, ^ и их производных

IV, § 4 Движение самолета 163
Ъ, 9) <W В этом случае необходимо изучать сразу всю систему девяти совокупных
дифференциальных уравнений.
В качестве примера рассмотрим движение самолета. Здесь, кроме силы
тяжести и тяги пропеллера, которую мы предположим заданной с помощью соста-
составляющих pv jo2, jos действуют еще сопротивления воздуха, которые вавиеят от
интенсивности и направления воздушного потока относительно самолета. Предпо-
Предположим для упрощения *), что это действие может быть представлено для каждой
самостоятельной части самолета отдельной силой, которая зависит: 1) от скорости
(г;/), vav\ v3ft) „средней" точки (с координатами х^\ жа<у), х^) этой части по
отношению к покоящемуся воздуху (т. е. по отношению к неподвижной системе);
2) от угла 8у) между этой скоростью и определенным направлением, ясеотко свя-
связанным в средней точке с соответствующей частью самолета, „средней нормалью"
с направляющими косинусами п^\ »а(/>, иД Если ввести еще „угол атаки"
соответствующей части а¦ = — 8<'), то
A) sin., - cos У) = n
Результаты опыта заставляют предположить, что составляющие вовдушных
сопротивлений имеют вид vWA^iaj) и т. д., а координаты точек их приложения
xfi-^-hfiCaj) и т.д., где А^\ ... , h^\ .., функции от а,, определяемые
из опыта. Так как сила тяжести имеет вид § 3, A), где т означает полную массу
самолета, то девять уравнений движения получатся из уравнений § 1, B5), B2)
и § 3, E), если в них положить:
h = — mgci+Pi-
B) d =
' i
При этом Ах, yd2, tf3-"—моменты приложенных сил относительно центра инер-
инерции самолета и кроме того предположено, что линия действия тяги пропеллера
проходит черев центр инерции. Так как, согласно § 1 C):
C)
то мы имеем дело с девятью дифференциальными уравнениями для девяти неиз-
неизвестных uv и2, «3, ши ша, ю3, с,, с2, с3. Мм выполним их интегрирование только
при следующих трех допущениях: плоскость xrxs есть плоскость симметрии
самолета. Она движется все время в одной и той же (неподвижной в простран-
пространстве) вертикальной плоскости, а именно в плоскости х-з. Поступательная ско-
скорость в направлении оои пропеллера велика по сравнению с остальными соста-
составляющими скорости.
2. Дифференциальные уравнения продольного движения. Если мы напра-
направим ось «j по оси пропеллера, то мы можем следующим образом математически
формулировать сделанные предположения: величины jo2, p3, с2, х2'?\ »./>, A^J>,
шз>
а также ft2, dv d3 равны нулю. Далее
1) Си. v. Mises, Dynamische Problems der Mascninenlehre, Bncyklop. d. math. Wis-
eenschaften, Bd 4, стр. 345.
11*

164
Классическая механика и геометрическая оптика
являются малыми величинами, квадратами которых можно пренебречь. При этом
и =Y «ia+**22' следовательно в желательном приближении « = м,. Также все
углы а, должны быть настолько малы, что с желаемой точностью можно положить
sin uj — а., cos oty = 1. В таком случае составные части самолета можно считать
цилиндрическими поверхностями с образующей, направленной по ж2; линии их
пересечения с плоскостью xv-x% определяют дуги кривых линий,— „профили",—
„хорды" которых наклонены к направлению полета под углами а,.; если мы обо-
вначим постоянные углы этих хорд
с осью пропеллера (arx) через C,-, то
Ь = Р> + <*» где а — угол между
осью пропеллера и направлением
полета — называется „углом атаки
самолета" (рис. 6). При этом
»/•>) = sin fy; »/> = — cos fy;
ut = и cos a; u3 = — и sin a,
так что из A), C) следует с ука-
ванной точностью:
и-
Рис. 6.
0 той же точностью для величин
кают соотношения вида:.
E)
(a^), A?j) (а,),
(аД ... выте-
вытеи т. д.
и аналогичные формулы для h^.... Шесть выражений B) сводятся к трем. Если
не писать аргумента fy, то, в силу C), E), они имеют вид:
F)
G)
= Ф 2 J (
Уравнения движения § 1 B5), B2), § 3, E) сводятся к следующим:
(8)
Чтобы ближе подойти к соотношениям, имеющих место в настоящем само-
самолете, раоехотршЕ схему самолета, имеющего только две составные части, на
которые действуют сопротивления воздуха: несущую поверхность 0 = 1)

IV, § i Движение самолета 166
к демпфирующую поверхность (j = 2). Первая находится недалеко от центра
инерции (следовательно, «jA) = a;3A) = 0), вторая на расотоянии I повади него
(х^ = — I, ж3B) = 0). Что касается сопротивлений вовдуха и точек их приложения
для случая движения в направлении оси пропеллера (жх), т. в. при «= шя = О,
а, = р^, то точка приложения должна лежать на несущей поверхности в центре
тяжести (ht = h3=0); на демпфирующую поверхность при этом вообще не
будут действовать никакие воздушные силы ie i3>{i>^
В таком случае ив F), G) следует:
= - тдс,
[Л » + а (Ii»+3»> —^ 2гЩ],
(9)
A0)
Преобравуем теперь уравнения движения таким образом, чтобы они иовволили
непосредственно вычислить координаты самолета в неподвижной системе. Ив этих
шести координат при движении плоскости х^3 в вертикальной плоскости х~г
меняются только три, а именно sx, s,, в. Остальные остаются постоянными, при-
чем $у = 0 и [согласно § 1, B1)] ср = —-, «J> =— —, следовательно ejsasin»,
cs = cos&, и согласно § 1, G), ю2 = — i>. Этим уже удовлетворены три последние
уравнения в § 4, (8), и мы получим три уравнения движения, вводя в уравнения
(8), (9), A0) составляющие сил вдоль неподвижных осей посредством поворота
координатных осей. Мы выбираем для этого не оси х и г, а направление ско-
скорости и и направление, перцендикулярное к ней, получающееся (см. рис. 6) ив и
таким же вращением, как xs из хх. Ив этой фигуры мы видим, что составляющая
силы, касательная к траектории центра тяжести, равна ht cos a — &8 sin а, а пер-
перпендикулярная к ней fcj sin a + &зcos а- Вычислим теперь эти выражения
ив (9), а соответствующие левые части ив (8). Мы имеем:
Cj cos a — с8 sin а = sin (& — а), сх sin а -f- c3 cos а = cos (Ь — а).
Так как
iix = и cos а, «з = — и sin а,
то
dux dus . du <?Wj . , dMg da
Предположим, что все силы, вависящие от давления воздуха, пропорциональны
его плотности — (if — удельный вес воздуха) и площади /}, характеривующей
соответствующую составную часть самолета. Далее введем еще следующие обо-
вначения: '

166 Классическая механика и геометрическая оптика
Если еще принять во внимание, что с требуемой точностью sin а = а,
cosot=l, то иввестяым уже способом получаем ив (8), (9):
(И)
ти
Члены, пропорциональные «2, называются обычно соответственно „лобовым
сопротивлением* и „поддерживающей силой" *), w1-\-aw1 называется коэффи-
коэффициентом сопротивления, a, -f-aaj — коэффициентом поддерживающей силы несущей
поверхности, atv2, aa2 имеют то же значение для демпфирующей поверхности.
Если желательно выравить A0) в тех же переменных, то нужно принять
во внимание, что aiJb^A^ — К^А^) есть момент силы А^\ A3(i) о точкой
приложения ah®, ah® относительно центра тяжести. Так как абсолютная вели-
величина силы равна j/"(^41A))a-j-(^8<1)J = — f^Y ™1~^а1' то ее момент может быть
написан в форме—ah — fx У wt2,-j- аха, где ah — плечо силы и h приписьгоается
If
положительный внак, в том случае, когда вращение этого плеча (считая напра-
направление ив центра тяжести) в направлении вектора силы совпадает с направле-
направлением вращения оси ж, к оси ж3. Тогда ив третьего уравнения (8) и A0) следует
при наших новых обовначениях (если положить 62=6):
Уравнения A1), A2) представляют три совокупных дифференциальных урав-
уравнения относительно переменных м, а, 8. Уравнения A1), определяющие движение
центра тяжести, вообще говоря, не могут быть проинтегрированы невависимо
от уравнения A2), определяющего вращение около центра тяжести.
Согласно с предположением, сделанным при их выводе, уравнения A1), A2)
представляют все движения симметричного самолета в вертикальной плоскости,
которые не очень сильно отличаются от поступательного движения в направлении
оси пропеллера.
3. Uo-тоянные (перманентные) движения н малые колебания. Иссле-
Исследуем сначала движения, которые нроисходят строго поступательно в направлении
оси пропеллера (а = 0). Центр тяжести должен двигаться прямолинейно с постоян-
постоянной скоростью U и углом подъема в = &*. В таком случае ив A1) следует:
A3) 0 = — тдsin0*-f ^_ JL цзд Wl; 0 = — mg cos»*+— V2fi4-
Уравнение A2) удовлетворяется тождественно, что по существу является
следствием предположения й1A) = h^ = 0.
г) Уравнение A1) можно получить • непосредственно, если разложить воздушную
силу на составляющую в направлении скорости (лобовое сопротивление) и перпендику-
перпендикулярную к ней составляющую (поддерживающую силу). При этом нужно положить под-
поддерживающую силу равной V -I- vfcij (а,), а сопротивление 2j vfwj(*j)> и разложить
функции aj и wj утла атаки с^, как и аналогичные функция А^ и т. д. согласно D), (
<б) я t!№ согласно A), C).

IV, § 4
Движение самолета
167
При заданном 9* и весе G — mg получаются определенные значения для
U и Л:
д cosS>* ' -^
В частности для горизонтального полета @* = 0):
A5)
s называется углом скольжения. Рассмотрим теперь движения, близкие
к описанному горизонтальному полету, т. е. положим в A1), A2) и= U-\-v,
где V нужно взять из A5), и предположим, что -jy и Ь малые величины, квадра-
квадратами которых можно пренебречь. Разделим затем уравнения A1) на G, примем
в расчет A5) и учтем, что у действительных самолетов J) f2w2 и f2a2 малы по
сравнению е f1ai, далее е мало по сравнению с — = С и —^ приблизительно
равно С. Тогда из A1) вытекает:
A6)
д dt g dt
U
Точно так же из A2) следует, если ввести радиус инерции х посредством
соотношения 6 = ту.2:
A7)
-Я=Ау1-|-еа-й; Д
АЙ2
Уравнения A6), A7) представляют три линейные дифференциальные ура-
уравнения с постоянными коэффициентами для определения -=-, 8, а, т. е. систему
вида гл. Ш, § 3, D). Они выражают малые колебания около горизонтального равно-
равномерного прямолинейного полета, который поэтому может рассматриваться как
постоянная траектория (в смыоле гл. III, § 3,1). Для интегрирования
мы сделаем, как и в гл. III, § 3, G), предположение:
г) Th. v. Kdrmdn und В. Trefftz, Uber LSngsstabilitat und L'angsschwingungen von
Flugzeugen (Jahrbuch der wissenschaftlichen Gesellschaft fixr Luftfahrt 3, 1914/15).
Последнее соотношение вытекает из того, что при действительном полете угол сколь-
жения е = —- близок к минимальному значению, следовательно, его производная по а
должна быть очень близка к нулю.

168 Млассическая механика и геометрическая оптика
При этом для определения к получится, аналогично III, § 3, (9:
1 •? —1
A8) - ,U U
О,
Если мы развернем определитель и введем сокращения:
A9) X—j= — x —^= = а, ej/~2*=b, —=p,
то, так как е мало по сравнению с С, мы получим для новой переменной х, заме-
заменяющей \, уравнение 4-й степени:
B0) (ж2 -\~ах +1) {р-\-~х)х-\- q (х*-\-Ъх-\-\) = 0.
Если B0) имеет четыре различных корня, то, согласно гл. Ш, § 3 A0), A2), A3,-
мы получим четыре частных решения уравнений A6), A7), наложение которы-
дает решение с четырьмя произвольными постоянными. Так как продольное двь
жение самолета определяется координатами sx, se, &, то оно имеет три степенЕ
свободы; движение зависит от шести произвольных постоянных. Две недостающие
даются вначениями координат положения центра тяжести в начале движения. Зна-
Значения этих координат для произвольных значений t следуют тогда из уравнений
sx = vcos(§ — a), se = »sin(& — а), которые после введения решения A6) и A7
могут быть проинтегрированы в квадратурах.
Мы далим решение только для частвого случая. Пусть посредством особогг
закрепительного устройства центр тяжести удерживается неподвижным и на само-
самолет дует горизонтальный воздушный поток со скоростью U. В таком случае
(см. рис. 6) & = а; движение центра тяжести, определяемое уравнениями A6,
устраняется внешними силами, и остается только вращение около центра тяжестг
согласно A7). С обозначениями A9) уравнение A7) получает вид:
d?b g l/"~2~" db 2Ф
B1) —Г + Р-— _-|_д__0 = 0.
Решение представляет, согласно гл. Ш, § 3 B2), B3), B4), затухающе!
колебание, если 4g>jp3. Частота колебания о=—^—~Y ^Я.—Р2> логарифмиче
U у 2
ский декремент о = -у=т-р. Если самодеа1 вначале находился в покоь
(8 = 0), то действует момент, пропорциональный — ф. Он возвращает самолет
в положение покоя, если </>0. В атом случае самолет называют статичеекг
устойчивым. Если бы момент вращения в продолжение всего колебания onpt
делялся этим выражением (следовательно, р = 0), то мы имели бы незатухающие
колебания частоты о0 = ——— Yq. Величину q называют моментом ставь
лнзации !), &р — моментом аатухапия.
4. Продольная устойчивость горизонтального полета. Если мы хоти*
исследовать уставовившееея гориЕонталхное движение, изученное в 3, на en
1) Kdrmdn und Trefftz, 1. с.

IV, § 4 Движение самолета . 169
устойчивость в смысле гл. Ш, § 2, 1, то на основания гл. Ш, § 4, 1, доста-
достаточно знать, имеют ли уравнения A8) или B0) только корни о отрицательной
вещественной частью. Условиями для этого, следовательно, также достаточными
условиями для устойчивости служат критерии Гурвица *). Чтобы применить их,
мы напишем B0) в форме a(fcl-{-al3?~\-a^c'i-{-a^c-\-ai = 0, т- е> мы положим:
ао = 1, aj.=p-\-a, ai=pa-\-q-\-l, aa=p-\-qb, ak = q.
, Если уравнение имеет только вещественные коэффициенты, то корни xv x2,
®з> Xi должны быть либо вещественными, либо попарно комплексно-сопряженными.
Еоли составить полином ао(х — %{)(% — #а)(а: — %)(*— ЖД то вычисление сраву
показывает, что, в случае отрицательных вещественных частей (если оо > 0)>
все коэффициенты at, a», a3, ai положительны. Так как, следовательно, во всяком
случае необходимо, чтобы все а0, ..., at были положительными, то можно четыре
(в нашем случае) критерия Гурвица D1 > О ,D2 > О, Ds > О, Д, > 0 свести
к меньшему числу. Так как
ZI = Oi, D2 = ala^ — aoaa, D3 = a3D2 — afa^ D^ = aJ)b
(надо положить о6 = a6 = ... = 0), то из положительности всех коэффициентов
и Z)8 > 0 вытекает положительность всех Dv ... , D4. Следовательно, критериями
устойчивости можно считать:
B2) «,>(), я2>0, a8>°. «4>0>
или с обозначениями уравнения B0):
| i>4-a>0, pa-f g-f 1 > 0,
Так как величины а, Ъ и р положительны по их физическому смыслу
и кроме того а и Ь в обычных самолетах не сильно колеблются по своим значе-
значениям, то продольная устойчивость в основном зависит от параметров устой-
устойчивости р и q.
Прежде всего из B3) следует, что q должно быть положительно, т. е. со-
согласно 3: самолет должен быть статически устойчивым. При этом
первые четыре условия B3) выполнены, пятое выполняется только тогда, когда р
достаточно велико. Действительно, при р = 0, оно принимает вид:
—gb) —a«fl>0;
следовательно, выполняется только при 3>-т-- Если случай выполнения всех
условийB3) назвать случаем динамической устойчивости, то мы можем
следующим образом подытожить результаты: для динамической устойчивости всегда
необходима статическая устойчивость (д > 0); во достаточной она является только
тогда, когда момент ватухания р достаточно велик. Бри исчезающем малом р
ыолент стабилизации д должен быть выше определенного предела, само-
самолет должен быть очень устойчивым статически.
5. Фигондное движение. В предельном случае бесконечно большой стати-
статической устойчивости (д = оо) коэффициент при а в A2) согласно A9), A7), бес-
бесконечно велик; можно разделить на него и вывести, что A2) при а = 0 выпол-
выполнено при произвольном д. В таком случае движение центра тяжести происходит
все время в направлении оси пропеллера (a?j) и движение всего самолета опре-
определено движением одного центра тяжести. При этом последнее подчиняется ура-
уравнениям A1), в которых нужно положить а-=0.
См. гл. Ш, § б, 1.

170 Классическая механика и геометрическая оптика
Пели мы предположим кроме того, что тага пропеллера и лобовое сопроти-
сопротивление уравновешивают друг друга pt = — u2f1wv то ив A1) следует, что если
if
мы пренебрежем сопротивлением воздуха и поддерживающей силой демпфирующих
поверхностей, т. е. положим м>2 = аа = 0, то
Мы получаем два совокупных дифференциальных уравнения первого порядка.
Движение, определяемое ими (и вообще говоря, не являющееся близким в „постоян-
„постоянному"), Ланчестер назвал фигоидным движением.
Если мы обозначим через х, г прямоугольные координаты центра тяжести
«амолета, то х = и cos &, г = и sin Я, и первое уравнение B4) примет после умно-
умножения на и вид: ии = — gz, откуда после интегрирования следует и2 = — 2дз -j-
-f- const. Если мы выберем в качестве прямой 0 = 0 горизонталь, на которой
и — О, то необходимо положить const == 0. В таком случае и может быть выражено
черев г и из второго уравнения B4) следует:
и -т- = и —— s — и2-з- sm Ь == — Чдг sin S> -=- =
it dz dz 3 dz
d cos & о n /¦ T
dz =~gcos>>~2^A«i~-» .
следовательно»
Так как, следовательно, cos &, как функция от «г, удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению первого порядка, то его общий интеграл имеет
вид:
B6)
Здесь С есть произвольная постоянная, выбором которой определяется угол
наклона Ь траектории полета по отношению к горизонтали при определенпой
высоте г. Таким образом найдено общее уравнение траектории полета в конечной
форме.
ЛИТЕРАТУРА
F. Klein und A. Sommerfdd, Uber die Theorie des Kreiaels, 4Hefte, Leipzig. 1897—1910.
R. Grammel, Der Kreisel, seine Theorie und seine Anwendungen, Braunschweig, 1920.
A. Gray, A treatise on gyrostatics and rotational motion, London, 1918,
R. Fuclis und L. Eopf, Aerodynamik. Berlin, 1922.
ГЛАВА V
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1. Основные понятия теории возмущений
1. Общие механические системы. Если интегрирование уравнений движе-
движения гл. II, § 2, E2) по методу Якоби, наложенному в гл. II, § 4, 3, практи-
практически невыполнимо, т. е. если не удается ввести „соответствующие" канони-
канонические переменные, то во многих случаях бывает возможно разложить функцию Я

V, § 1 Основные понятия теории возмущений 171
на два слагаемых (Н = Н0-\~'кН1) таким образом, что X есть постоянная, малая
по сравнению с 1, и что для системы с гамильтоновой функцией Н6 вычисления
по методу Якоби могут быть выполнены. В таком случае можнв посредством
преобразования вида гл. II, § 4, B9) (с T=t) ввести канонические перемен-
переменные t, Qv ... , Qn, Рр ..., Р„, соответствующие функции Яо, так что Но будет
зависеть только от величин Р,, а Нх конечно также и от всех остальных:
A) Hit, qv ..., qn, Л, ..., рп) = Но (Plf ..., PJ +
+ хт/1(*, qv..., qn, pv...,pn).
Теперь уравнения движения гл. II, § 2, E2) могут быть проинтегрированы
с помощью приближенного метода.
Вследствие малости X. можно считать, что движение рассматриваемой меха-
механической системы получается ив движения системы с гамильтоновой функцией Йо,
„невозмущенной" системы, под влиянием „малого возмущения". Добавочный член
к Но, вызывающий возмущение, т. е. Х/Tj, называют функцией возму-
возмущения.
После касательного преобразования, приводящего к уравнению A), уравне-
уравнения движения опять переходят в каноническую систему уравнений относительно
переменных t, Qj, Pj, следовательно, принимают вид гл. И, § 4, A2а) (с T=t),
причем Л может быть вычислено из Н уравнения A) согласно гл. П, § 4 B9)-
Следовательно, если в частности уравнения преобразования не содержат вре-
времени t, то согласно гл. II, § 4, C6а), выражение /fo-j-Xifj уравнения A) и есть
искомое Н; следовательно, уравнения гл. I, § 4, A2а) имеют вид:
BV ^Я1 = ШсL-L i^El ^^—xi^L Г=1 2 "
В дальнейшем мы будем главным образом ограничиваться случаем, когда
функция возмущения уже при первоначальных переменных не зависит от времени,
когда, следовательно, уравнения движения переходят в уравнения B) посредством
преобразования, не содержащего времени, причем Нх в этом случав зависит
только от Pj, Qj.
Метод вычисления возмущения заключается в том, что решения уравне-
уравнений B) пытаются искать в виде степенных рядов относительно X. При Х = 0
уравнения B) переходят в дифференциальные уравнения невозмущенного дви-
движения гл. II, § 4, C2), где только вместо Е нужно вставить теперь Но =
= -B0(Pj, ..., PJ, энергию невозмущенного движения, что для этого движения
приводит, согласно гл. И, § 4, C3), к постоянным значениям Pj и линейно со вре-
временем растущим значениям Qj. Поэтому для возмущенного движения мы напи-
напишем Pj и Qj в следующей форме:
¦ХвР,»-Ь77
C)
При этом Pj@\ QP представляют 2« постоянных интегрирования в уравнениях
невозмущенного движения, обовначенных в гл. II, § 4 C3) через Оу, bj, а вели-
величины Ру<х), Рр, ..., Qp, qP должны быть так определены, как функция от
времени, подстановкой выражений "C) в уравнения B), чтобы уравнения B) воз-
возмущенного движения были удовлетворены. Этот метод называется лагранжевым
методом вариации постоянных. Если мы вставим C) во B), равложим по степе-
степеням X и сравним коэффициенты при равных степенях с обеих сторон, то мы по-
получим ряд дифференциальных уравнений для определения коэффициентов разло-
разложений в C). Решение C), оборванное на члене с X", называется и-ым прибли-

172 Классическая механика и геометрическая оптика
женньга решением. С помощью этого понятия мы можем описать вывод названных
дифференциальных уравнений для Q/1', ... несколько нагляднее, если обовначим
заключением в скобки и значком и результат подстановки и-ого приближения в функ-
функцию от Pj, Qj. Вставим сначала в правые части второй группы уравнений B)
нулевое приближение:
Тогда после приравнивания коэффициентов при X с обеих сторон мы получим:
При этом постоянные интегрирования определены таким образом, что движение
переходит в ыевсзмущенное при t = 0. Под интегралом стоит известная функция
от t. Затем в правые части первой группы уравнений B) в первый член подста-
подставляются вместо Pj первые приближения iy^-j-X/^1*, вычисленные не E), а во
второй член — нулевые приближения D). Мри этом мы получаем, сравнивая опять
коэффициенты при к с обеих сторон:
где подставлено следующее разложение:
Так как все выражения, в которые вставлено нулевое приближение, являются
известными функциями от t, то ив F) и E) вытекав!:
Следовательно, решения дифференциальных уравнений B) имеют в первом
приближении вид:
01 i
где для Qf*, РуA) нужно встявитъ их выражение гв (8) и E). Дальнейшие вычи-
слевия мы расположим наиболее наглядным образом, поступая аналогично ме-
методу последовательных приближений. Мы вставим сначала первое
приближение (9) в правые части второй группы уравнений B). С помощью
квадратуры мы получим ваорое приближение1):
A0) (РД=Р/0)-Х f(j^)* O" = l, 2, ..., п)
х) Оно очевидно совпадает с выражением, которое мы получим, разлагая по степе-
степеням X н приравнивая коьффидиенты при № с обеих сторон B), если справа вставлено
первое приближение.

V, § 1 Основные понятия теории возмущений 173
Постоянные интегрирования определяются таким образом, что при I = О
состояние системы совпадает с невозмущенным движением D), которое, следова-
следовательно, вовникает, если в момент t = 0 возмущающие силы внезапно исчезают.
Его называют невозмущенным движением оскулирующим в момент 1 = 0.
Описанное приближение можно вести сколь угодно дчлеко. Если мы подставим
выражения A0), как вторые приближения, в первую групиу уравнений B) ,в первые
члены справа, а во вторые члены первые приближения (9), то получим после
интегрирования:
(п) ЮА- Q}0) + / (Щ я+х / (Щ я tf=1, 2,..., .).
о о
Точно так же из (»—1)-го приближения получается »-ое по следующим
рекуррентным формулам:
а»)
2. Многократно-периодические сиртечы. Преположим теперь, что наша
невозмущенная система многократно периодична в смысле гл. П, § 5,.5, § 6, 2, и
'что каноническими переменными Qjy Pj, примененными в 1, являются угловые
переменные и переменные действия, которые мы обозначим, как и в гл. II,
§ 5, 6 и § 6, через iVj, Jj. В таком случае гамильтонова функция возмущенной
системы имеет аналогично A) вид:
г, ..., Pn)~E0*(Jv...,Jn)+
l,...,wn,Ju...,Jn),
если мы предположим, что она не зависит от времени. При этом Ео*, согласно
гл. II, § 5, C8), есть энергия невомущенной системы, как функция неременных
действия, а Ф есть возмущающая функция.чОчевидно, мы получим Ф подстановкой
разложения величин ql,pl в гл. II, § 6, G) в Я, (дг, ..., qn, pv ..., р„). Следова-
Следовательно, Ф так же, как gt и pf, есть периодическая функция величин Wj с перио-
периодом 2«, которую при очень общих условиях можно разложить в ряд Фурье.
В предположении возможности этого разложения функция Ф, так же, как и qt,
имеет вид:
A5)
2
кик2,...,к„
На основании гл. П, § 5, D0) невозмущенное движение определяется по-
постоянными Jj и величинами м>,., возрастающими, линейно со временем. Для возму-
возмущенного движения величины Jj и w^ являются функциями времени, удовлетво-
удовлетворяющими B), т. е. в наших обозначениях:
дФ dJ, . дФ
х *

174
Классическая механика и геометрическая оптика
Нулевое приближенное решение X = 0 имеет, аналогично D), вид:
A7) («Л-^+vA /°e
Оно представляет собой невозмущенное движение, которое освулирует о возму-
возмущенным движением в момент ? — 0, когда его состояние определяется значе-
значениями IVj0, JP.
Первое приближение имеет аналогично (9), E), (8) вид:
A8) («Ж-и^+Ъ
A9)
о
* t
Если мы вставим значение Ф из A5), произведем дифференцирование и
вставим для to,-, J} значения A7), то мы получим, интегрируя по t:
Ъ
B0)
cos
^vn@)) < -f «P*! ^W • • -, Jn°)} -
B1)
S
При этом для краткости не выписан явный вид функций а, Ь, с, который легко
вычисляется. Если мы кратко назовем периодическими членами все вы-
выражения вида:
sm
Л@>) О
и будем в дальнейшем писать сокращенно „пер. чл.", то мы сможем написать
первые приближенные решений, согласно A8), B0), B1) в следующем виде:
B2)
t
1 («А
пер.

V, § 1 Основные понятия теории возмущений 175
При этом аначения ty, о»,., v,w получаются из уравнений B0), B1). Возможно ли,
чтобы среди периодических членов были такие, которые не содержат времени t,
которые, следовательно, в действительности постоянны? Для этого должны
были бы иметь место соотношения Jc^^ -{-••• -\- &Л<0) = 0 с целочисленны-
целочисленными Jcv ..., кп. Но очевидно, что все kj не могут обращаться в нуль, так как
в разложении A5) функции возмущения Ф член Ф, не зависящий от ws, уже
вынесен ив суммы, которая, следовательно, содержит лишь такие члены, в которых
не все hj обращаются в нуль. Но на основании П, § 6, 3 целочисленное ли-
линейное однородное соотношение между величинами v/0) с коэффициентами kjt кото-
которые не все обращаются в нуль, может иметь место только в том случае, когда
невозмущенная система вырождена. Мы же теперь предположим, что невозмущен-
невозмущенная система действительно в точности и-кратно периодическая, следовательно,
невырождена, тогда все периодические члены действительно содержат время.
В таком случае, согласно гл. II, §' 7, 3 эти члены, хотя и не имеют точного
периода, но все же имеют приближенный. Легко показать, что среднее значение
этих членов по времени, распространенное на приближенный период невовму-
щенной системы, обращается в нуль с тем большим приближением, чем большее
приближение к первоначальному положению требуется по истечении этого „периода".
Если система физически не вырождена, то по гл. II, § 7, п. 3 период
растет вместе с этой мерой точности. Рассмотрим систему такого рода с двумя
стеиеняци свободы. Пусть при этом периодический член имеет вид:
где %, »2 — целые числа. Вычислим приближенный период, как и в гл. Л, § 7, Fа)..
Там он выражается равенствами:
to)
I „ _ 2~fc2 | _
—)— Tj — f- 7j.
@) —-2 I 'I— @)
Если мы образуем искомое среднее значение х величины х посредство»
интегрирования в пределах от нуля до к^й) и деления на &,т,@\ то мы получим:.
W0) («Л* + «л«) *"¦= ^ «in [(пЛ<°> + «2v2@>) k^) =
, = А ят [2те (njcx + %fc2) + «aVS] •
Если положить 7iva<0) = 2it», где'з может быть сделано сколь угодно малым, то
отсюда следует:
х = A sin [2ir (n1Hcl -j- «^a) + 2itan2j = A sin
Отсюда следует, что при уменьшении в (т. е. при увеличивающейся мере точ-
точности для приближенного периода) х стремится к нулюх).
Отсюда следует, согласно B2), что при возмущенном движении величины (Jj)t
и (tfy)i в среднем по времени за приближенный период невозмущенного движе-
движения имеют тот же временный ход, как в при невозмущенном движении. Только
постоянные J"/o), wp, v^0) имеют несколько иные значения, отличающиеся от
невозмущенных на величины порядка X. Это выражают также таким образом:
величины J,- и ivj испытывают в первом приближении только „периодические
возмущения .
1 Исключение имеет место только тогда, когда для рассматриваемого периодиче-
периодического члена выражение njfcj-fn^ очень мало уже для малых щ, щ. Для больших щ, п^
зто ие противоречило бы доказательству, так как в такой случае коэффициенты Фурье А
малы.

176 Елассичеекая механика и геометрическая оптика
Если мы перейдем ко второму приближению, то, полагая п — 2,
Qs=zV}j, Pj = Jj, мы получим из A2):
B3) Ы-Ф-* f
о
дФ
В силу A5) выражение -^—содержит только члены, периодические относительно Wj.
Если мы, согласно B2), вставим для Wj выражения (.WjI н разложим по степе-
степеням X, то подинтегральная функция в B3) будет содержать, кроме постоянных
к периодических членов,' также члены вида \t. пер. чл., где каждая постоянная
имеет множитель X. Так как для интеграла от t cos t легко получается выражение
< sin tf-|-cos <, то, выполняя интегрирование в B3), мы получим для (JJK выра-
выражение вида:
чл.] +
. чл.].
Следовательно, во втором приближении величины Js отличаются от постоянных
не только на величины, которые в среднем, вычисленном ва приближенный период
невозмущенного периода, обращаются в нуль, но также и на члены, возрастаю-
возрастающие со временем. Однако, эти „вековые" члены все пропорциональны первой сте-
степени t, и помножаются на X2. Если мы будем продолжать приближенное вычи-
вычисление, то в качестве «-го приближения получим, аналогично B4), выражение,
в котором коэффициент при X" представляется функцией от времени, содержащей
кроме постоянных и периодических членов также и такие, в которых степени t
до tn~1 включительно умножены на постоянные или на периодические члены.
Так получаются чисто вековые и смешанно вековые члены. Так как
величина X предполагается очень малой, то мы только в том случае говорим
о вековом возмущении (т. е. о таком отклонении от невозмущенного движения,
которое не уничтожается в среднем, вычисленном за „период" последнего), когда
в равложении J, имеется член, в котором Xя помножается по крайней мере
на и-ую степень t. В этом Ъмысле, сопоставляя результаты, можно сказать:
при вовмущении и-кратно-периодичеокой невырожденной си-
системы постоянные траекторий J, не испытытывают вековых
возмущений. Угловые переменные Wj, вообще говоря, испыты-
испытывают вековые возмущения постольку, поскольку в B2) под-
влиянием возмущения вместо частоты v^0) появляется v^0'-j-XvyA).
3. Вырожденные системы. Совсем иначе действует возмущение на траек-
траектории вырожденной системы. Предположим, что наша невозмущенная система
с п степенями свободны w-кратно вырождена в смысле гл. Ц, § 6, S, т. е. она
периодична в точности (х-кратно, причем \>. = п — т. Введем переменные состоя-
состояния, определенные в заключении гл. П, § 6, 3, несобственные угловые пере-
переменные vu t>2, ..., vm, затем собственные wv м>2, ..., и^, соответствующие пере-
переменные действия «j, и2, ..., ит и Jt. J2» • • •> ^v- Тогда движение невозму-
невозмущенной системы на основании гл. П, § 6, A5) определяется уравнениями:
где JP, v}°\ Uj°\ wf*—постоянные интегрирования и
t {JJ)——щ
—щ

V § 1 Основные понятия теории возмущений 177
Если теперь все траектории невозмущенной системы периодичны только
а-кратно, то величины Uj вообще не содержатся в Ео. Если, наоборот, только
та траектория, которая рассматривается как исходная траектория возмущения,
вырон;дена в предположенной степени, то Ео, а следовательно, согласно B6),
также п ^.@), зависят от uv uv ..., ит и только при Uj = uj0) (j= 1, 2, ..., т):
B7) v/>^v.(J/»>..., J*\ <) ..„^^g^O 0=1. 2,...,«).
Если мы выразим возмущающую функцию Ф, определенную уравнением A5),
в этих обозначениях, то сумма, стоящая в правой части, внолне может содержась
члены, в которых коэффициенты hj всех собственных угловых переменных w-
обращаются в нуль, т. е. члены, которые, так же как и Ф, остаются постоянными
при невозмущенном движении.
Поэтому мы вынесем эти члены за знав суммирования и напишем:
Ф = в (Jv ..., J^ uv ..., «|n, i.t, ..., i
B8) t + 2d r*i av(Jp •••' Js uv
В этой сумме уже не содержатся члены, в которых все kv .,., Jc равны нулю.
Если мы обозначим их для краткости через Р, и положим:
B9) Ф = Л(^, ... Щ, ... «„'...) + P(Ji, ... wv ...«!, ... i<J? ...),
то дифференциальные уравнения A6) возмущенного движения распадаются на
две группы:
dR [ 1 9Р ^ л 9Р /• ,
+x ?х oi 2)
rfuv . дЕ . . дР diij , OR . дР
-ж = х-^т+х-^Т' it—*-&;-*-ц # о-1,2,...,«).
Если мы сделаем относительно величин i^., J,, иу предположения, анало-
аналогичные D), причем в качестве невозмущенцого движения (X = 0) положим в основу
уравнения B5), то из C0) для первого нраближения Jp uij получается точно
такой же вид B2), как и из уравнений A6). Действительно, ноль скоро для м*
v-j будут вставлены постоянные значения (нулевые приближения), уравнения (Зи)
и A6) имеют одинаковый вид. Следовательно, постоянные траектории Jj ивме-
.няются в первом приближении опять только на периодические члены, под кото-
которыми подразумеваются теперь члены вида:
a cos [(Vx<0) + ... + V/^ + S],
где а и 8 остаются при движении постоянными. Среднее значение таких членов
за приближенный период невозмущенного движения опять равно нулю.
Если мы, наоборот, в правую часть C1) вставим нулевое приближение B5),
то члены, содержащие Д будут постоянны, члены, содержащие Р, периодичны
и интегрирование даст в первом приближении:
| ()
C2) j ; '; О' = 1, 2, ..., т).
12 3»к. 1408. — Франк и Мизос. Дифф. уравя. мят. физ.

178 Классическая механика и геометрическая оптика
Следовательно, величины и, Vj, постоянные при невозмущепном движении, испы-
испытывают не только периодические, но также и вековые возмущения. Эти возму-
возмущения происходят также только от первых членов в правой части C1). По-
Поэтому Л называют вековой частью возмущающей функции.
Если мы вставим первые приближепия для Wj, Jp Uj, Vj в правые части
уравнений C0), C1) и для этой системы уравнений найдем второе и следующие
приближения по тем же точно методам, как и в 2 для уравнений A6), то мы
придем точно так же, как и там, к результату, что в разложениях величин Jj,
Up Vj, если принять в расчет только члены, происходящие от производных функ-
функции Р, входят только периодические члены или такие, которые хотя ш пропор-
пропорциональны tn~1, но при этом оказываются помноженными по крайней пере на X";
это означает, что члены, происходящие от Р, ничего не прибавляют к вековым
возмущениям величин Jj, Uj, Vj. Точно так же ничего не прибавляют и те выра-
выражения, происходящие от В, в которые вместо величин J"y, му, vs вставлены неве-
невековые члены; при отом постоянные во времени члены все время причисляются
к вековым. Если совокупность всех вековых членов мы обозначим DJj и соот-
соответственно Dvj, JDuj, то на основании вышесказанного мы их получим и в том
случае, если в системе C0), C1) все члены с Р совсем зачеркнем, а в В
вместо Jj, Uj, Vj вставим DJj, Ihij, JDvj. Следовательно, вековые возмущения
являются решениями следующей системы дифференциальных уравнений:
C3) {
0-.,*
dR dT)u.j дЯ ,¦ , ,
Х 0=1. 2,
Если мы будем искать такие решения этой систе1ш уравнений, которые
при < = 0 сводятся к Jj0), vf\ Uj0), то из первых (а уравнений мы сразу полу-
получим DJj = Jj^0>, т. е. величины Jj остаются при вековом возмущении постоянными,
Эти значения можно вставить в остальные уравнения, причем для вычисления
вековых возмущений получается система из 2т совокупных дифференциальных
уравнений первого порядка относительно 2т переменных Dux,.. .,Ъит, Dvit.. .,Dvm.
Если мы в правые части везде подставим нулевое приближение, то, интегрируя,
мы получим первое приближение:
C4)
=1, 2
=i, о,
в точности совпадающее с C2), если в нем оиустить периодические члены в
постоянные а,-@), Ь}щ.
Сопоставляя все сказанное, можно сказать, что переменные дей-
действия Jj, соответствующие собственным угловым перемен-
переменным, не испытывают вековых возмущений также и в случае
вырожденных систем. Наоборот, несобственные угловые пе-
переменные Vj и соответствующие им переменные действия
испытывают вековые возмущения Dvjt DUj, которые в первом
приближении определяются уравнениями Ct), в общем же
случае удовлетворяют дифференциальным уравнениям C3).

V § 1 Основные понятия теории возмущений 179
4. Дифференциальные уравнения вековых вознущепнй. Если ми теперь
для краткости обозначим сами вековые возмущения через it,-, Vj (вместо Dup Bv),
то они удовлетворяют на основании C3) дифференциальным уравпениям:
dvi , dli dii; .dli
<35) *—^' Si—^W, ¦ 0-1.2,...,»).
В смысле гл. II, § 2, E2), это каноническая система 2т дифференциальных
уравнений первого порядка с гамяльтоновой функцией Н = к1{. Интегрировать
ее можно, согласно гл. II, § 4, 3, введением соответствующих канонических
переменных. Для простоты мы здесь предположим, что величины г^, «, сами
представляют собой соответствующие канонические переменные, т. е. что 11 зави-
зависит только от «и..., ит. В таком случае из C5) вытекает:
(86) •., = ««, ,, =
Так как величины «,- являются угловыми переменными, т. с. координаты
положения з, системы являются периодическими функциями Vj с периодом 2тг.
то 3j представляют частоты колебаний возмущенной системы, так же как, со-
согласно B5), B6), величины v^ представляют частоты колебаний певовмущенной
системы. К этим (а частотам прибавляются еще т величин aJt так что под вли-
влипнем возмущения система превращается опять в точно ;а -}- т = «-кратно пери-
периодическую, и следовательно вырождение в общем случае исчезает.. Исключение
имеет место только тогда, когда между о, имеются целочисленные однородные
соотношения, например, некоторые из них обращаются в нуль. В этом случае
возмущенная система также вырождена. Но сравнению с величинами v,. вели-
величины Oj малые порядка X.
На ряду с быстрыми изменениями Wj (периодическими) под влиянием воз-
возмущения происходят медленные (вековые) изменения величин v:-. Если ыы хотим
вычислить координаты положения системы при вековом возмущении, то для вели-
величин wv ..., w , Jlt ¦¦-,Jy_ необходимо вставить в гл. II, § 6, G) их значения
вз B2), выкинув периодические члены, а для величин м> +1, • • •> wn, «^+1» • • •» ^п
вставить значения vv ..., vm, «15 ..., мт, взяв их значения из C6). В таком слу-
случае в формуле для хг все коэффициенты А и все фазовые углы 8 постоянны,
и формула гл. D, § 6, A6), имеющая место для невозмущенной вырожденной
системы, периодичной лишь ji-кратно, заменяется для системы, которая под влия
нием возмущения стала т-\-у. = и-кратно периодичной, формулой:
C7) *|-Л*+ ? <...,V, гт X
fci> •¦-, йц. h< •••• 'от
Xcos [(*Л+ ... + VV + *i°i+ ... +^°„)« + 8*1 ij («- 1, 2, ..., п).
При этом представлении движения системы мы пренебрегли периодическими чле-
членами и положили v> = v>@)-f-Xv^1).
Если предположить, что все величины Uj малы, то мы приходим к так
называемой элементарной неории вековых возмущений. Прежде
всего к каноническим переменным Uj, Vj применяется касательное преобразование:
C8) %j = Y^Uj cos Vj, tij = Y2Uj sin Vj . (j—1, 2, ..., m).
12*

180 Классическая механика и геометрическая оптика
В таком случае, как известпо, уравнения C5) опять переходят в канони-
канонические уравнения. Пусть 7?* есть выражение Е в повых переменных ?,-, т.. Сле-
Следовательно, мы имеем:
~df~ дТ7 0-1, 2, ...,
Так как из C8) вытекает 2м, = bj* -f- ?]/, то в разложение 7г* по степеням малых
величин iiy, Tjy входят только члены четной степени. Поэтому мы положим в пер-
первом приближении:
D0) XR* = г0 + у 2 Г/*М* + s
следовательно, в силу C9):
D1)
At
O'=l, 2, ...,
Мы получаем, следовательно, систему линейных дифференциальных урав-
уравнений с постоянными коэффициентами. В таком случае вековые возмущения можно
в смысле гл. Ш, § 3, 1 рассматривать как малые колебания около певовму-
щенного движения. Введенное там уравнение гл. III, § 3, (9) для определения
частоты колебания называется поэтому „вековым уравнением". Итак, мы видим,
что вековые возмущепия вовсе не означают большие возмущения, а возмущения,
которые не уничтожаются в среднем за период певозмущеннои системы, но должны
пметь много больший период (т. е. малую частоту), если они вообще периодичны.
Уравнение D0) получилось только при том предположении, что и,-, «у кано-
канонические переменные, соответствующие гамильтоновой функции В, следовательно,
R зависит только от их,'..., ит. Однако, и в том случае, когда Vj входят в В,
можно выполнить преобразование C8), из которого вытекают уравнения C9).
Если В имеет такой вид, что для В* имеет место приближенная формула вида
D0), то можно применять теорию малых колебаний.
§ 2. Возмущения упругих колебаний
1. Возмущающая сила иронорциопальна второй степени отклонения.
Рассмотрим теперь в качестве простого примера материальную точку, колеблю-
колеблющуюся в плоскости около начала координат. Пусть ее прямоугольные координаты
будут g,, q2, ее масса 1. Как невозмущенное движение, мы будем рассматривать
чисто упругие колебания, гамильтонова функция которых имеет на основании
гл. П, § 5 A9) вид:
A) Яо = \ W+р22) + у (Vtfi2+«)•
Для этой системы, согласно гл. I, § 5, 4, можно ввести соответствующие
угловые переменные и переменные действия. Из касательного преобразования
гл. II, § 6 B2):
/J7
— -
/
— - sm Wj, Pj = V 2Jj*j cos wJt U = 1, 2)

Y, § 2 Возмущения упругих колебаний . 181
вытекает:
C) fi = v1J1+va/2.
Тот случаи, когда сила не удовлетворяет в точности закону пропорциональ-
пропорциональности Гука, а содержит также член — X (atf]2-\-a$q22), пропорциональный квадрату
отклонения, при малом \, мы можем изучать по методу вычисления возмущений,
изложенному в § 1. В этом случае гамильтонова функция II полной системы
имеет вид:
D) tf tf +
Вели ввести в D) величины Wj и Jt согласно B), то мы получим формулу, соответ-
соответствующую формуле § 1, A4), причем
1 ^ / 2Jj V
Ф = —- 2 aj I -+ ) C sin wj — sin 3w,)
E)
получается И8 D) и B) с помощью формулы 4 (sin м>K = 3 sin w — sin 3w. В таком
случае, согласно § 1 A0), дифференциальные уравнения возмущенного движения
имеют вид:
the, V Л/
- Ь + * a У ~7 С3 sin
F) \ лт rVir-U О =1.2).
/f а,- , / / А/
При этом v^=sv^(Q), так как, согласно C), производные по J^- от Но — Ео* не зави-
зависят от Jj. В таком случае нам нужно в правой части венде подставить нулевое
приближение Wj = iv№-\-4it,Jj = J®>, и мы получим посредством иптегрировапия
соответственно § 1, B2), первое приближение:
G)
0" = 1,2).
При этом постоянные интегрирования fy@), ш^<0) определены таким образом, что
при f = 0 имеют место равенства Jj = Jp, iVj = wf0). В противоположность
ббщему случаю § 1, B2), здесь v>A) = 0, т. е. частоты колебания в первом при-
приближении пе испытывают под влиянием возмущения никакого изменения.
Согласно § 1, B1), ото зависит от того, что в нашем случае, в силу E), вековая
часть возмущающей функции Ф = 0 и величины v^- пе зависят от Jj. Величины
Jjfi iVj возмущенного движения отличаются от соответствующих величии при
чисто упругом колебании только па „периодические" члены, если не считать того,
что постоянные траектории сами изменяются на малые величины Xfy@) и Ха>;.<0).
Траектория опять заполняет повсюду плотно прямоугольник плоскости qv q ,
если мы предположим; что невозмущенное движение невырождепо и, следова-
следовательно, в точности двукратно периодично. В силу B), мы можем из G) получить
также приближенные формулы для самих прямоугольных координат qt, q3. Если

Классическая механика и геометрическая оптика
мы разложим формулы для qj, полученные подстановкой выражений G) в B),
около точек J,- = J,@) -j- Х^@), vo- = ivj® -f- v/ -f~ ^a)/°) и сохраним только члены пер-
первого порядка, то после простых тригонометрических преобразований мы придем
к следующему результату:
(8) . g> = l/ j J " > sin («;/»-f Хш/о) _[- v/) —
cosBv/-l-2co,@>)] (i=l, 2).
Следовательно, возмущенное движение совершается уже не около начала
координат, как центра, по прямоугольник, заполненный траекторией, лежит сиМ-
-Ха//0)
метричпо относительно точки с прямоугольными координатами д: = g—-. Это
смещение зависит от J}°\ следовательно от амплитуды упругих колебаний, оску-
лирующих в момент времени t = 0. Возмущающая функция здесь выбрана та-
таким образом, что даже в случае вырождения невозмущенной системы, следова-
следовательно, в случае простого периодического упругого колебания (например, vx = v.2)
разложения G) не содержат вековых членов.
2. Лозмущающая сила пропорциональна кубу отклонения. Если мы
вместо D) предположим, что галильтонова функция возмущенного движения
имеет вид:
к* ) Jti = JIq -f- -
то из B) с помощью соотношения 8 (sin wL = cos Ш — 4cos2?y-(-3 для возму-
возмущающей функции вместо E) получается выражение:
2 /Т\2 I2 /Г\2
E') Ф = — V 6^1 —-) -\- -g- 'V ъЛ —) (cos 4iVj — 4 cos 2wJ).
При этом первый член справа представляет вековую часть функции возмущения,
обозначепную в § 1,A9) через Ф. В таком случае вместо F) мы имеем:
dwt 3 bfJf bjJj
¦-- „- (cos 4и\- — 4 cos 2wX
F0
J
dJ, b.Jf
f=l, 2).
Тогда первое приближение имеет, аналогично G), вид: ,'
h Т@J V л 1
J, = JP + Хф/> - X ^ .^- [± cos Dv/ + *»Л - cos Bv/ + 2^)J
G0 ' «;_, = to/) -f X<o/o) + f ,.4- X ~~
- sin DV + 4»Л -2sin Bv/ + 2t,,<°>)J .
Под влиянием вековой части Ф величина Wj испытывает здесь вековое
возмущение, т. е. частота колебания v,- изменяется на величину, цронорционалъ-

V, § 2
Возмущения упругих колебаний
183
ную X. Если мы опять вычислим прямоугольные координаты, то, подставляя G')
в B), пренебрегая высшими степенями X, но сохраняя степени X/, совершенно
аналогично (8), после простых тригонометрических преобразований мы получим
приближенное решение:
(80
sin
-f Хю/» -R v, +
3v,
'=l. 2)
— 2 sin Cv/ -f- 3w/0) + Xv_,A)O — 3?sin (y/ +1»/0) — b,wQ].
При этом величина Xv- есть изменение частоты, возникающее под влия-
нием возмущения согласно G'), т. е. X
. Разложения G') в случае вы-
рождения (ух = v2) невозмущенной «Системы также не указывают на изменение
ее поведения. Это зависит от того, что возмущающая функция D') составляется
из слагаемых, каждое из которых зависит только от координат одной единственной
степени свободы. Поэтому уравнения движения отдельных степеней свободы можно
¦ полностью разделить, что и произведено в действительпости в' уравнениях F').
Для того чтобы найти влияние вырождения, мы должны предположить суще-
существование возмущающих сил, вызывающих взаимное влияние степеней свободы,
их связь.
3. Возмущающая сила содержит члены связи. Чтобы рассмотреть слу-
случай, в котором при вырождении невозмущенной системы благодаря возмущению
появляются вековые члены, мы возьмем функцию Н в виде:
Здесь так же, как и в 1 и 2, qv q2, обозначают такие прямоугольные
координаты, в которых энергия Но упругих колебаний может быть представлена
в форме A), т. е. как сумма квадратов. В 1 и 2 было предположено, что
в этих главных координатах (см. гл. III, § 3, 3) энергия возмущенного движения
также могла быть представлена пак сумма члепов, каждый из которых содержал
лишь одну координату. Это предположение о виде возмущающей функций фор-
формулой (9) уже не удовлетворяется. Из B) и (9) вытекает после простых тригоно-
тригонометрических преобразований:
(Ю) Ф = Ц±^± _|_ ЪЫ^ [cos 2(wt — u>2)-f-cos 2 (u>! -f ip2) — 2 cos 2wt — 2 cos 2м/а].
При этом первый член справа опять представляет' вековую часть Ф. В таком
случае дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют по § 1, A6)
вид:
(Н)
—-- — = v. -I- X ¦ 2—
rti l ' Ov ч
[cos 2 (w\ — w.2) -j-
dt
-j- cos 2 (wl -J-w2) — 2 cos 2w1 — 2 cos 2w2],
-f- cos 2 (u;1 -j- w2) — 2 cos 2u\ — 2 cos 2iv2].

184 Классическая механика и геометрическая оптика
A2) ^ "'lV2
"Л = " Iv^ Ь Sm 2 (t ~ M'2) + 8Ш 2 (tt;i + Щ) ~ 2 8Ш 2?1'
Если мы подставим справа нулевое приближение, то, интегрируя, мы нолучим
нервбе приближение, причем для краткости мы выпишем только значение Jt:
A8) j,= Jr + %@)-х -^ /¦gyt2(v1^«±au>1a<]
i OS [a (Vi + va) f + 2^'i@) + 2^a(8)] 2 cos
Как и в случае 8, величины Ju Ja испытывают только периодические возмущении,
величины асе м>,, и>2 — вековые возмущения, нроявлямщиеся в изменениях частот
Vj, vB на XvjW, Ь2°). Эти члепы, зависящие от Ф, имеют по A1) или § ], B5)
значения:
(U) v A) - (JL] - I**' v 00 - I-9*- (
Предположим теперь, что невозмущенная система вырождена, т. е. от:а
исаытывает простое периодическое упругое колебалие. Если мы в частности пред-
предположим, ч:то v1 = v2 = v, то певозмущенпая траектория, определяемая, согласно
(ffy, формулой
A5) 9i
eeib эллипс. Если бы мы хотели вычислить влияние возмущения на эту траекторию
согласно A3), то эта формула оказалась бы неприменимой вследствие обращения
знаменателя Vj —v2 в пуль. Если бы мы одновременно вставили в правую часть A2)
w1~w2 — (yt — v2) / -f- to,® — мл>(°> == w^) — м/2«»,
то первый член был бы независим от времени и при интегрировании дал бы
для J1 член, линейный относительно t, следовательно, вековой, поэтому для ъы-
числёния возмущенного движения просто-периодичной, следоввгтельно, вырожденной
системы, необходимо применять теорию вековых возмущений, изложенную в § 1,
3 и 4.
4. Возмущения цроето-пориодичегких траекторий. Предположим теперь,
что невозмущенпое длижепне вырождено, следовательно однократно- или просто-
периодично с периодом — и представлено формулой A5). В таком случае по
общему правилу гл. II, § 6, 3, можно ввести новые переменные, при которых
простой периодический характер становится ясным вследствие выпадения „соб-
„собственных" угловых переменных. Так как соотношение, соответствующее гл. II,
§ 6, A0) между частотами имеет в пашем случае вид v, — v2 = 0, то для новых
угловых переменных, которые мы обозначим v, tv, мы имеем, в силу гл. II, $ 6, A2)*
A6) V = W1 Щ, W = Wr
Так как соответствующие переменные действия м, J должны, согласно гл. II,
§ 6, A3) удовлетворять тождеству Jw~\-uv = Jlwl-\-Jiwi, то из A6) вытекает:
A7) . J1=J-{-u,Ji = ~u или J=J1-\-J2, « = —J"a.

V, § 2 Возмущения упругих колебаний
Так как в таком случае из C) следует По = v,7, следовательно и не входит в Яо,
то v есть несобственная угловал неременная, a w—единственная собвтвенная.
Па основании § 1, B5) уравнения движения имеют в этих неременных вид:
A8) J=J{0\ « = «@), v = v@\ w = 4t + tvw.
Согласно B), A6), v = (vj — v2) t -f- *V0) — Щ(о) — мг@) — tt'2@) есть постоянная раз-
разность фаз между двумя взаимно перпендикулярными частичными колебаниями A5),
из которых составляется наше периодическое колебание. Три величины и, v, J
являются постоянными, характеризующими эллиптическую траекторию материаль-
материальной точки. Действительно, если ввести в B) новые неременпые v, и, w, J, то
мы получим:
v
Били мы из первого уравнения вычислим sin w и cos w как функции от qx,
и с помощью этих формул выразим разложенную правую сторону второго урав
нения через qv то возводя в квадрат, мы получим уравпение эллиптической
орбиты:
B0) g|° _ afrg^oos v _ д? = 2 sin2 v
Если теперь действует возмущающая сила, то периодические возмуш,ениЯ;
которые в течение периода —— невозмущенной системы в среднем равны нулю
действуют таким образом, что форма траектории становится не в точпости эллип-
эллиптической, но эти отклонения со временем не складываются друг с другом, а за
2тс
.каждый период — все время описывается почти эллиптическая орбита. Наоборот,
вековые возмущения действуют так, что постоянные и, г; характеризующие эллип-
эллиптическую орбиту, медленно меняются в продолжение многих периодов колебания.
Эти возмущения можно рассматривать как медленные движения и деформации
траектории, которая, однако, нри этом все время остается приблизительно эллип-
эллиптической. На основании теории, развитой в § 1, 3, J остется постоянным,
также в течение всех вековых возмущений, т. е. по B) и A7): сумма квадратов
амплитуд частичных колебаний испытывает только такие изменения, которые
выравниваются в течение каждого периода —. Наоборот, миг» испытывают
вековые изменения, которые, согласно § 1, C5), удовлетворяют дифференциальным
уравнениям:
dv _ dR du __ dB
если R вековая (независящая от w) -часть возмущающей функции Ф. В случае I
возмущающая функция E) вообще не имеет векового члена. Поэтому Л = 0 и
эллиптическая орбита сохраняет все свои параметры (положение, величину, отно-
отношение осей). Наоборот, если мы предположим, что возмущающая сила имеет вид,
упомянутый в 2 или 3, то мы подучим Е, если введем в A0) новые пере-
переменные и, v, J, w, согласно A6), A7), и выкинем все члены, содержащие и>.
Тогда, в силу равенства v1 = v2 = v:
B2) Д = -^»[

1S6 Классическая механика и геометрическая оптика
и соответственно:
В первом случае В, зависит только от и, система уравнений B1) может быть
непосредственно проинтегрирована, и решение имеет, согласно § 1; D2), вид:
B3)
Следовательно, эллиптическая орбита имеет форму, которая получается
из уравнения B0) при и = и<-°\ г> = г/0), J=jW одним изменением v. Если <р
представляет угол между осью qt и большой полуосью (следовательно, также.
линией апсид) эллипса, лежащей в первом квадранте, то, преобразуя уравнение
B0) к главным осям B1 = g/cos© — g/sin <p, q) = g/sin о -J- q^'cos ?) и при-
приравнивая пулю коэффициент при q^,q^ мы получаем:
B4)
откуда, согласно B3), получается закон изменения положения эллипса (вращения
линии апсид). Если выразить длины осей через и, v, J, то мы получим также
закоп их изменения. Если 7? определяется вторым из уравнений B2), то оно
содержит также vv и уравнения B1) уже не могут быть проинтегрированы в конеч-
конечной форме. Необходимо либо выполнит!, повое каноническое преобразование,
¦которое удалит из II одну переменпую, либо нужно удовлетвориться приближеп-
ным решением § 1, C4), которое дает только члены, линейные относительно X.
Если ;ке выбрать начальные условия так, что и мало по сравнению с /,
то можно применить способ, изложенный в § 1, 4, который для малых -=• дает
точные формулы вековых возмущепий (т. е. не пренебрегает степенями Х). Это
предположение означает очевидно, что невозмущенггое движение, представляет
очень вытянутый эллипс, большая ось которого составляет очень малый угол
с осью qv Мы введем, согласно § 1, C8), новые переменные Ь,ч\\ I = У— 2м cos v,
"r\=Y — 2м sin v (причем под знаком корпя поставлено — и, чтобы получить
вещественные $, ч\). Подставляя во второе уравнение B2) и применяя формулу
cos 2v = cos2 v — sin2 v, мы нолучим выражение:
Ы
соответствующее § 1, D0), где не цриняты во внимание все высшие степени I, т).
В таном,- случае дифференциальные уравнения, согласно § 1, D1), будут:
dl 4va ' dt 4v2
Если мы сделаем, согласно гл. III, § 3, G), предположение \ = А^, г\ = А2е^\
то для Av Л2 получатся два линейные однородные уравнения с определителем
ja2-f- X23 j yy I , и приравнивая его нулю, мы получим уравнение, определяю-

V § 3 Выражение анергии для возмущенных систем 187
щее ]х, „вековое уравнение". .Так как fi оказывается чисто мнимым, то мы положим»
B7) ^ = гЪ, о-
Следовательно, 5 и т) илгеют вид a cos (a< -(- 8), и потому остаются всегда
малыми, если онп вначале были малы. Эллиптическая орбита всегда остается
вшяе^той и линия апсид испытывает медленные колебания около оси q^
2г. . 2тс
с периодом —, большим по сравнению с —¦.
§ 3. Выражение энергии для возмущенных систем
1. Соответствующие канонические переменные. Применявшиеся до сих
пор угловые переменные и переменные действия Wj, Jj „соответствовали невоз-
мущеннои системе" в том смысле, что ее гамильтонова функция Но выражалась
только через величины Jj. Вместо того чтобы интегрировать дифференциальные
уравпепия § 1, A6) с помощью приближенного метода, изложенного в § 1, можно
было также с помощью касательного преобразования перейти от Wj, Jj ъ повьтм
каноническим переменным w/, J/, соответствующим возмущенной системе, в кото-
которых, следовательно, Н0-\-\Ф становится функцией одних только J/. Вследствие
малости X искомое преобразование не может сильно отличаться ог тождества, и
мы попытаемся найти его опять с помощью приближенного метода. Согласно
гл. II, § 4, B9), каноническое преобразование (если мы теперь вместо qt,_p(, Qt, 1\
введем Wj, Jj, w/, J/) определяется характеристической функцией F(tvv ..., wn,
J/, ..., J/) и имеет вид:
О) Jj^; «1 = -Щт 0=1,2,...,,)
Предположим, что F имеет форму:
F{w,, ..., tvH, J/, .... J,/) =
которая при X = 0 переходит, в силу A), в тождество Wj = w/, JJ. = JJ/t. Так как
мы требуем, чтобы величины w/ также были угловыми переменными, ю они
должны отличаться от Wj только на члепы, периодические относитрльпо wb
с периодом 2-.
Так как из A) и B) следует:
то величины Fv F2X ... должны быть периодичны относительно Wj с периодом 2ir.
Для того чтобы Wj, Jj соответствовали возмущенной системе, необходимо, чтобы
после подстановки выражений A), B) для Jj в Ы0-\-\Ф [где Ф определяется
§ 1, A5)] все Wj выпадали, следовательно Но-^У-Ф должно быть функцией одних
только J/. Следовательно, если представить энергию Е в форме JEs7 == JE?0 —|— >-JE?x —J—
-j- X2i?2 -j- ... то должно иметь место следующее тождество:

188 Классическая механика и геометрическая оптика
где вместо всех аргументов выписан только один с индексом j и Ео, Ev Е*, ...
являются функциями только от «Г/. Если разложить но степеням X и сравнить
коэффициенты при Х°, X1, X2 в обеих частях, то мы получим:
E) -Но(«Г/, .. •, J7) = #0ОЛ', •¦-. -1Л
При этом (...)' означает, что в выражении, стоящем в скобках, необходимо поло-
положить Jjz=JJf (j=l, 2, ..., »). Но F) представляет линейное дифференциальное
уравнение первого порядка в частных производных относительно Fv как функции
величин wv ..., гоп. Если мы вычислим из него F^ и вставим в G), то уравне-
уравнение G) станет дифференциальным уравнением того же типа для -F2 и т. д., так
что все разложение B) может быть вычислено последовательным решением линей-
линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных
с постояпными коэффициентами. Но в таком случае A) дает канонические пере-
переменные, соответствующие возмущенному движению, и вместе с тем общие решения
уравнений движения, так как величин* J/ остаются постоянными, a wf Линейно
меняются^со временем. Этот метод интегрирования сам по себе не проще, чем
изложенный в § 1. Но он имеет большое преимущество, если нам не нужно
знать само возмущенное движение, а нужна только его энергия, как функция
соответствующих переменных действия J-, следовательно ряд
2. Вычисление выражения энергии. Энергия каждой механической системы
может быть, согласно гл. IT, § 2, 6, представлена как функция 2и—1 позтоян-
ных, от которых зависят траектории. Однако, если п постоянных являются значе-
значениями инволюционной системы п интегралов, то, согласно гл. II, § 4, D0), энергия
может быть представлена только через эти п постоянных. Такие п постоян-
постоянных представляют собой также переменные действия Ju ..., Jn, соответствующие
¦ системе, в функции от которых може'т быть представлена энергия, согласие гл. II,
§ 5, C7). Назовем это представление кратко выражением энергии. Изло-
Изложенный в 1 метод был выработан Борном и Паули *) (согласно с идеей Н. Бора
и Крамерсау.для вычисления выражения энергии возмущенной системы. Первый'
член в разюжепии Е получается согласно E) простой подстановкой величин
J/ BMecTO_J",- в энергию Но невозиущеиного движения. Если подставить
в F) для Ф его выражение § 1, A5) и принять в расчет, что Fv F2, ..., в силу
своих свойств периодичности, также должны иметь вид Ф, и поэтому производные
от F, по tvh могут содержать только члены, периодические относительно wt, ..., wH,
то можно очень просто проинтегрировать (С) по всем ivh от 0 до 2ъ и разделить
па Bл)". При этом мы получим:
(з) ?1(Y»---.O = 'HV.---. «V),
так как интегралы по периодическим членам обращаются в нуль. Следовательно,
в первом приближении выражение энергии возмущенного движения можно полу-
получить без всякого интегрирования в форме:
WЕ = Яо G/, ..., J.0 + ХФ (J/, ..., О-
!) М. Born und W. Pauli, jr. Ober die Quantelung gestorter mechanischer Systeme
ZS. f. Phys., 10, 1922, 137.

V, § 5 Выражение энергии для возмущенных систем 180
К энергии невозмущенного движения прибавляется непериодический (вековой)
член возмущающей функции. Вставляя Ег согласно (8) в F), мы получим отсюда
па основании § 1, A5):
У v @) 9-1- = Ф Ф == У f , (.] ' Т ') У
0°) h = i " *! \
X cos [k^ -1- ...
При . ^^)
Очевидно, что линейное дифференциальное уравнение в частых производ-
производных A0) имеет решение:
!-- 2
V
Ль 11
Если мы подставим ото значение в G) и опять вычислим для всех wh
среднее значение за период 2ж, то при этом пропадут все члены, зависящие
от усреднения по периодическим-, членам (т. е. те, которые линейны относи-
относительно производных от F2) и остается:
2 ^ dJhdJr ) dWh d^
При атом черта сверху означает усреднение в прежнем смысле. Его резуль-
результатом являются опять непериодические члены. Действительно, хотя производ-
производные от Ь\ и Ф сами периодичны относительно wt, .... wn, все же при умпо-
жепии и разложении в тригонометрические ряды могут получиться неперио-
непериодические члены, как например: cos iv cos w = — A -|- cos 2iv). Характерное нре-
имущество метода Борпа и Паули заключается в том, что для вычисления Ех
величину F вообще не нужно вычислять, для вычисления Е2 нужно вычислить
только Fy и т. д. Очевидно, вычисление может быть продолжено дальше и дает
выражение энергии с любой точностью. Способ неприменим только в том случае,
когда невозмущенная система вырождена, потому что тогда между ее частотами vA(°>
имеют место соотношения впда: ftjVjW -}-•••-{- ABvn<°> = 0, благодаря которым не-
некоторые внаменатели разложений A1) могут обратиться в пуль.
3. Невозмущениая система вырождепа. Рассмотрим, как и -в § 1, 3,
систему, в точности ii-кратно периодическую, и введем, как и там, собственные и
несобственные угловые переменные. В таком случае гамилыопова функция имеет,
согласно § 1, B9), в канонических переменных, соответствующих певозмущепнон
системе, вид:
A3)
Найдем теперь новые каноиические переменные to/, J/, v/,u/, соответ-
соответствующие возмущенному движению, принимая сначала во внимание только веко-
вековую часть В функции возмущения. Следовательно, мы ищем, как это требуется
и для иитегрирования дифференциальных уравнений § 1, C5), такое касательное
преобразование, после которого величины v/ уже не входят в IV (преобразо-
(преобразованное R). Но для того, чтобы одновременно с этим величины го/ не появились

190 Классическая механика и геометрическая оптика
в Ло, мы примем для характеристической функции G {wv ..., w ? Vv . .., vm^
J"/, ..., J,/, ?t/, ..., wm') искомого преобразования вид:
A4) G = t^J/ + ... -f fvV + Go (J/, ..., J/, »„ ..., «„,, a/, ... O.
Б таком случае преобразование будет аналогично A), если F заменить там
через G:
. . j __ 9G __ j г г ®(* i 3G(, 9Gq , 9G0
з J J j j
Если преобразование имеет желательный вид, то, подставляя в A3), мы
нолтшм:
-р ХР (Jj , .. ., w^ , .. ., м/, ..., «/, . ..).
Так как величины J/, м/, «/ остаются постоянными при невозмущенном
движении, то величины to/ отличаются, согласно A5), от ге>:- только на аддитив-
аддитивные постоянные и, следовательно, представляют собой также угловые пероменпые.
Следовательно, Р' опять периодично относительно и>/, ..., м;'^ с периодом 2тг.
Чтобы теперь удалить из Р/ также и w/, Ворп и Паулих) еще раз применяют
к выражению A6) метод 1, 2, причем Ф заменяется теперь на T^-j-P' и пре-
преобразование относится только к собственным угловым неременным iv/ и соответ-
соответствующим J/, тогда как и/, v/ остаются вообще неизменными. Следовательно,
ищется функция F^w/, ..., к//, J/', ..., J/), из которой получается такое
преобразование величин w/, j/ в wj\ J":
dF dF
A7) J^^V,»''^-^- (i = l, 2, ..., u),
что при подстановке выражения для J/ в Н [уравнения A6)] w/ совсем выпа-
выпадают. Если мы напишем F в форме B), то Н должно опять разлагаться в ряд
jE0 -f- Х-Ь?! -f- X2jE ..., где Wj не входят в Ео, Ev E2, ... Сравнивая коэффи-
коэффициенты, мы получим, совершенно аналогично E) и F),
A8) Но ('7/', ..., J"/') = 2?0.
A9) * 2
Если мы вычислим для всех w/, ... to/ среднее значение за период 2тг,
то оно обращается в нуль вследствие периодичности производных от Ft и функ-
функции Р' для этих членов, и мы получим, так как Е1 не зависит от w/, El = R\
что дает для Е в нервом приближении:
B0) Е = Яо (J/', ..., /,'0 + ХЯ' (J/', . .., J/, <, ..., «„').
К выражению энергии невозмущенного движения прибавляется выражение
энергии, получающееся из дифференциальных уравнений вековых возмущений
§ 1, C5). Действительно, эти уравнения сами образуют каноническую систему
уравнений с энергией В, и в B0) стоит выражение этой энергии в соответству-
соответствующих неременных действия и/. Этим первым приближением мы здесь и огра-
ограничимся2).
г) См. цитированную выше статью.
2) Для вычисления дальнейших членов отошлем к выше цитированной работе Бор на
и Паулн.

F, § 4 Выражение энергии для негармонических колебаний 191
§ 4. Выражение энергии для негармонических колебаний
1. Оскулирующее гармоническое колобапие не вырождено. Теорию,
изложенную в § 3, молено применить для вычисления выражения энергии таких
негармонических колебаний, которые можно считагь получающимися из упругих
при малых возмущениях. Рассмотрим сначала случай § 2, 1, где возмущающая
функция Ф определяется но § 2, E). Если мы обозначим переменные действия, соот-
соответствующие возмущенной системе, через Ji (без штриха), то, согласно § 2, C)
и § 3, E), будем иметь: jE'0 = v1J1-|-v2J2, далее, согласно § 3,(8), вследствие отсут-
отсутствия непериодических членов в Ф, член ряда Ех = О, так что Е в первом при-
приближении равпо J57O. В таком случае Е<, вычисляется из § 3,A2). Чтобы вычислить
эту формулу, нужно сначала вычислить Ft из § 3, A1). Используя Ф из § 2, E),
мы получим: .
Если подставить это значение и выражение Ф из § 2, E) в § 3, A2), причем
двойная сумма исчезает, так как Ыо линейно относительно J}, то мы получим
выражение, из которого с помощью простых преобразований можно устранить все
произведения тригонометрических функций, так что получится сумма тригономе-
тригонометрических выражений, из которой при усреднении остаются только непериодиче-
непериодические члены. Таким образом мы получим:
Следовательно, приближенная формула для Е имеет вид:
C) tf^v^ + v ^g
Если мы произведем то же самое вычисление для возмущающей функции Ф,
согласно § 2, A6), то мы уже для первого приближения Ео -j- \Ег получим выра-
выражение, отличное от Ео, так как Ф содержит непериодический член, равный Ех.
Если мы продолжим операцию до второго приближения, то:
D) i?=v1J1 + v2J2+X
1
2 (v, - v2) t 2
1 21
(vt + v2) vt J
v182 есть выражение, получающееся из v112 E) перестановкой значков. Если система
вырождена, например, Vj = v2, то формулы D), E) неприменимы для вычисления
выражения энергии; формула E) для vm во втором приближении вообще не
годится; но и первое приближение также становится неверным, так как при вы-
вырождении в возмущающих функциях к вековым членам прибавляется член
с м>! — w2, так что вековая часть Ф принимает вид В, второго уравнения § 3, B7)
и зависит теперь пе только от неременных действия. Следовательно, нужно при-
применять способ § 3, 3.
2. П^озто-периодическое основное движение. Будем опять исходить из
возмущающей функции § 2, A0), но предположим, что невозмущенное движение
является просто-периодическим, следовательно Vj = v2 = v и введем опять в § 2 A6),
A7) переменные v, tc, и, J. В таком случае выражение энергии в первом при-

192 Классическая механика и геометрическая оптика
ближении представляется формулой § 3, B0), где R' вычисляется из второго
выражения для Л в § 3, B0), в котором Я можно рассматривать как гамильто-
пову функцию механической задачи и ввести соответствующие переменные и', ?/.
Если мы обозначим через р численное значение 1{, определяемое значениями
и, v, J при невозмущенном движении и остающееся постоянным в течение всего
векового возмущения, то дифференциальное уравнение в частных производных
Гамильтопа-Якоби
(С) _
_
может быть решено методом разделения переменных, так как в него входит одна
единственная координата положения v. Согласно гл. 1J, § 5, 1 и 3, уравнение
F) можно решить относительно и. При этом мы получим:
2Т
2 ~ у 4 Ь B -f cos 2») '
если мы напишем ту ветвь функции, которая при р = 0 обращается в нуль.
Определим при этом, соответственно § 3 A4), A5), касательное преобразование
с характеристической функцией G:
/оч п -гг , I I « , -. Г J'2 4-PV2
(о) Cr = i
При атом нужно принять во внимание, что мы найдем р как функцию от J'
и и', согласно гл. II, § 5, C6), подставляя там вместо Jt, J~2, qv q%, pv j>2 вели
чипы J7, и', tv, v, J, и, тогда как Plt P2 будут входить теперь только в комби-
комбинации р. Таким образом, мы получим:
Иа первого уравнения следует J=J'. Если вставить это во второе уравнение и
решить его относительно р, то мы получим р как функцию от J' и и', следова-
следовательно искомую функцию Л''. Явное вычисление В' удается только в том случае,
когда и мало по сравнению с J. Тогда, согласно F), р также мало по сравнению
с J, и мы можем разложить подинтегральную функцию в (9) по степеням этих
малых величин. Тогда мы получим:
4v^ _р Г dv 16v* p2 Г
b J J 2 -т- cos 2t' о2 Jd J
о о
где контурные интегралы преобразованы в обычные интегралы.
На основании легко получающейся формулы
(И)
2- f
2ж J я
f
2ж J я -f e cos 2v У а'* — е^
о
и той, которая получается из нее дифференцированием по а, мы получим из A0):
, 4v2 p 32v* pa
A2)
J 362/3 J»
Если обозначить через рп и-ое приближенное значение р, которое мы полу-
получим, если, оставив в (9) справа п членов, решим относительно р и удержим члены,

V, § 4 Выражение энергии для негармонических колебаний 193
до »-ой степени относительно «', то второе приближение pg, которым мы удовле-
удовлетворимся при вычислении В', имеет *Бид:
аз. л—^^
Так как, согласно § 3 B0) и A5), нужно просто подставить в A0)
чтобы получить окончательную формулу, то мы получим выражение энергии, обо-
обозначая опять через J, и (без штриха) соответствующие переменные действия:
4va 2va
Если мы желаем вычислить интеграл по контуру в (9), ничего не отбра-
отбрасывая, то необходимо принять во внимание следующее1). Если квадратный ко-
корень в G) имеет вещественное значение для всех значений v (между О и 2гс),
то и принимает опять свое первоначальное вначение, когда v увеличивается
на 2тг; следовательно, интеграл по контуру в (9), также как и вA0), надо вы-
вычислять по v от 0 до 2тг. Очевидно, этот случай (случай „периодичности", так
как и при этом есть периодическая функция от v) имеет место только тогда,
когда подкоренная функция в G) неотрицательна даже при cos2v = —1:
A5)
Это имеет место, например, во всех тех случаях, когда р очень мало, как в слу-
случае A0). Если, наоборот, р больше, чем требует неравенство A5), то для v полу-
получается определенное предельное значение, дальше которого оно не может уве-
увеличиваться, так как и перестает быть вещественным. Это предельное значение
определяется формулой:
A6)
Из A6) для v получаются два вначения: ±rw*, между которыми v должно
изменяться для того, чтобы и оставалось вещественным. Интеграл по контуру
в (9) необходимо брать между обоими нулями ±е* подкоренной функции, причем
в одном направлении с положительным корнем, а в другом — о отрицательным.
Поэтому (9) может быть написано:
Здесь мы имеем случаи качания или „либрации". Из (б) вытекает, что
выбор р может влиять на периодичность или либрацию.
1) См. P. Epstein, ZS- f. Phys. 8, 1922, 211, 305; 9, 1922, 92.
13 &«. МОв. -¦Франк и Мюес Дифф. уравн. мат. фок.

194 Классическая механика .и геометрическая оптика
ГЛАВА VI
ЗАДАЧИ НЕБЕСНОЙ И АТОМНОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Движение Кеплера
1. Элементы орбиты для кеплерова эллипса. Если в начале координа"
находится масса М, которая действует на другую массу т (положение которое
определяется плоскими полярными координатами г, х) силой, притягивающей ее
к М и определяемой законом тяготения Ньютона:
A) Л = -х
7 ~
то дифференциальное уравнение орбиты имеет, на основании гл. Ш, § 3, B0,
вид:
* .. 1 * ^___ Ш *ча п/Л/И *\ _—
где G—произвольная постоянная. Если ввести р — О/.Мт как новую переменную,
то B) может быть легко проинтегрировано, причем появляются две дальнейшие
произвольные постоянные. При соответствующем обозначении трех постоянных
интегрирования в конечном уравнении орбиты, последнее имеет в плоских поляр-
полярных координатах вид
Если е < 1, что мы будем всегда в дальнейшем предполагать, то C) пред-
представит полярное уравнение эллипса с большой полуосью а (направлени>-
которой составляет угол Хо с полярной осью) и счисленным эксцентри-
эксцентриситетом е1). Предположение е<1 необходимо потому, что, согласно гл. IL
§ 3, ири законе A) орбита, определяемая формулами B) и C), может быть дей-
действительно пройдена только при положительном С, а из С > 0 вытекает, чт<
е < 1. Если мы хотим установить также и положение орбиты в пространстве, и.
необходимо вадать две дальнейшие величины: угол г, который плоскость орбиты
составляет с экваториальной плоскостью ( & = —) системы пространственных по-
хярных координат гл. П, § 2, A6), и угол Q между линией пересечения пло-
плоскости орбиты и плоскости экватора (узловой линие&) я осью х I <р = о, Ь = — 1 -
Если направить полярную ось (х==0) плоской координатной системы по узловой
линии, то эллиптическая орбита определяется по положению и форме следующиюЕ
пятью постоянными: а, е, Хо» * (наклонностью орбиты), Q (долгота восход*^
щего узла). Вместо Хо часто пользуются величиной n = Q-f-Xo' ядолгото4
н ери гелия". Пять „элементов орбиты" вместе со временем t0, в которое»
масса т проходит через перигелий, составляют шесть постоянных интегрировав
*) В теоретической астрономии е называется .астрономическим эксцентриситетом»'1
в отличив от „линейного" эксцентриситета. *

VI, § 1 Движение Кеплера 195
ния задачи. Так как формула энергии в плоских или пространственных полярных
координатах имеет вид:
D) E=?-
то в первом случае х> а во втором <р есть скрытая координата. Поэтому, согласно
н. П, § 2, C), рх = «г»"ах и р9 = я»»-2 sin2 0<p при движении остаются постоянными
и, следовательно, должны выражаться через элементы орбиты. Если мы исполь-
вуем то обстоятельство, что кинетическая энергия есть однородная функция вто-
второй степени, то из гл. П, § 2, C) вытекает, если мы преобразуем в D) оба вы-
выражения:
PS +АХ = 9S
следовательно:
E) V
Проведем через массу т сферу радиуса г с центром в начале координат Ъ1
и нанесем на этой сфере следующие окружности: окружность пересечения с пло-
плоскостью орбиты, экватор полярной системы ( & = —- J, параллельную окружность
и меридиан через т. Если обозначить угол между плоскостью орбиты и пло-
плоскостью параллели (с полярным расстоянием &) через р, то мы получим, раз-
разлагая вектор касательной скорости длины г-^ на две взаимно перпендикулярные
составляющие вдоль параллели и меридиана: х. cos Р = ? sin *» x sin р = &. Для
врямоугольного сферического треугольника, образованного экватором, меридианом
в плоскостью орбиты мы имеем cos i = cos ?lsin&. Поэтому для составляющих
обобщенного импульса получается:
= mr^Lsinр=
у р = mr2 sin2 &9 = mr2 sin 8 x cos P =!'•/. cos i.
2. Введение угловых переменных я переменпых действия. Попытаемся
теперь ввести такие угловые переменные и переменные действия, которые соот-
соответствуют нашей механической задаче (т. е. ее гамильтоновой функции). В этом
случае величины Jr, Jb, J^ должны оставаться постоянными при кеплеровом дви-
движении, а величины wr, wb, to , относительно которых координаты положения пе-
периодичны, меняться линейно со временем. Согласно гл. П, § 5, C6), величины J}-
получаются из выражений для j>^, которые в свою очередь получаются по методу
разделения переменных, т. е. в нашем случае из выражений II, § 5, B7)
prdr=(p у 2тР1-\ —«- «Ь-,
=? P<pd?=
Vi'

196
Классическая механика и геометрическая оптика
При этом значения постоянных Р,, Ра, Р3 получаются но формулам гл. П,
§ 5, 4, с помощью уравнения F) в виде:
(8) РХ = Д Р2 = ру2, P3 = -i-i>\cosai.
Следовательно, величины Ру могут быть выражены черев энергию, момент
количества движения и наклонность орбиты. Если мы вставим значения (8) в G),
введем в формуле для Jr в качестве новой переменной величину р, обратную
радиусу г, и разложи» выражение под корнем на линейные множители, то мы
получим:
(9)
ШтЧ
¦p)(p-p2)^
2mE
Так как pt есть наибольшее, а р2 йаименьшее значение р, которых натяа мате-
материальная точка действительно достигает, то, согласно C) и (9):
1 * 1
A0)
т- V
Mm
~2а~'
Интеграл в (9) мы преобразуем посредством интегрирования по частот.
При этом:
— V(Pi—P)(P—Pa) -^- = /(Pi-
При вычислении интеграла по контуру в (9) члены в квадратных скобках
ори подстановке пределов интегрирования выпадают (так как верхний и штжтгй
пределы совпадают), и мьт получим:
A0а)
pt + p2
2
(р,-р)(Р-
dp
Введем теперь, также как и в гл. IV, § 2, A4), вспомогательную перемен-
переменную а с помощью соотношения:
P — Pi
Тогда из A0а) получается:
A0b)
а 1
sin2 -у = -у l(Pi -f P2) + (Pi — Pa) cos о].
_ = «у (р, 4- ро) I ——¦—-г j-i г pr i da —
г SIW1-1-YV J (pj-f-p^ — ^ — p^cOSO Г* J
о в
= 2ю / Pi+Pa Л

VI, § 1 Движение Кеплера 197
причем в заключение была использована интегральная формула гл. V, § 4, A1).
В таком случае из A0Ь), (9) и A0) следует:
Для вычисления Jb и J лучше всего применить соотношение pxdx =_petZ9- -f-
-f-p?d», вытекающее из E). Если в обеих частях применить интегрирование ио
контуру, то из G) следует: i>x ^ ^в ~Ь ^ю' Но так как из последнего уравне-
уравнения G) сразу следует J —}^2PS, то мы получим с помощью (8):
A2) Ja = рг A — cos г) = VFa —
cos i
Решая A1), A2) относительно Е, pv pxcosi, мы получим:
A3) Е = -
Отсюда, согласно. (8), вытекают выражения для Pv Pa, Р8. Если мы вставим их
в формулы для рг, рь, р9, то мы получим из, гл II, § 5, B8) функцию F* (г, Ь,
<р> Jr, J& J^), из которой получается, согласно гл. П, § 5, C9), касательное пре-
преобразование, вводящее соответствующие переменные wr, w^, w , J^ Jb, J. Так
как выражение энергии Е* через эти величины определяется формулой A3), то
мы получаем из гл. II, § 6, (8) для трех основных частот vr, vft, v равенство:
vr = vft s= v . Следовательно, между ними имеют место два различные соотношения
вида гл. II, § 6, A0), а именно \—v9 = O, vr—v =0. Следовательно, наша си-
система двукратно вырождена; вследствие этого, так как она имеет три степени
свободы, то она в точности однократно периодична. Поэтому посредством кано-
канонического преобразования вида гл. II, § 6, A2), A3а) можно ввести новые угло-
угловые переменные и переменные действия таким образом, чтобы из первых: и/,
«/, г?2' только и/ было бы „собственной" угловой переменной. Сопряженные вели-
величины можно обозначить через J7, «/, м/. Положим:
A4) J> =
Эти уравнения имеют вид гл. II, § 6, A3а). Так как, согласно A3), A4), энергия,
которую мы в новых переменных опять обозначим просто через Е, зависит
только от J', то только угловая неременная, сопряженная о J', является соб-
. ственной. Мы вычислим непосредственно м/, «/, v2', вводя в функцию F в гл. П,
§ 5, B8) величины J', «/, «/ с помощью (8), A3), A4). Тогда, согласно гл. П,
§ 5, C9), угловые переменные получают вид:
, dF , dF dF
r
Г
Так как нижние пределы интегралов произвольны, то мы могли для них
подставить подходящие частные значения; г1 есть расстояние перигелия. Если

198
Классическая механика и геометрическая оптика
мы вычислим и>' Н8 A5) и A6) и разложим полином под знаком квадратного
корня на линейные множители, то мы получим:
A7)
u/ =
Г
/ Г _
е/ I/
и
/8
_ жЖт* Г rdr
~~~Т'*~ J V(r,—г)(г-т5
При этом rt и г2 представляют наименьшее и наибольшее значения, которые
принимает г ори движении, т. е. расстояния перигелия и афелия, следовательно,
в силу C)
A8) г, = а A-е), г, = a A + t).
Для вычисления A7) мы опять введем вспомогательный угол а, который
возрастает от 0 до 2тг, когда г изменяется между
11
A9) r = -jf (ri-\-)+
B0)
и г2
В таком случае мы получим из A7):
xJJfm2 Г
77д— I
^— (а — е sm я) = о — е sm a,
) где вместо J' подставлено его выражение черев а, получающееся из A4), A3),
A0). Единственная собственная угловая переменная w' растет, согласно П,
§ 5 B3), по закону:
B1)
причем i0 есть время прохождения перигелия, а Т—период обращения. В астро-
астрономии обычно называют а эксцентрической аномалией, и/ — средней
аномалией, a v — средним движением. Несобственные угловые пере-
переменные г>/, f/ остаются при движении постоянными. Следовательно, если их
вычислить с помощью дифференцирований A5) ^в. A6), то их значения не ме-
меняются, если после дифференцирования в выражение для vt' вставить вместо $
и 8 их значения для перигелия (*" = *11, & = 00, где Ьо есть полярное расстояние
перигелия), а в выражение »9' вместо & и «р — их значения для восходящего
узла
\ 1
- Если принять в распет соотношения A4), A2), F), то
мы получим:
B2)
•l -«1 / /¦ u >2" = / —Л=
/ l/ M '» -^ / I/I
e/ I/ * Sin2» ** V
sina»
*0
: / d'/ — у. = П
— 2, < =

VI, § 1 Движение Кеплера 199
Следовательно, несобственные угловые переменные представляют собой
в основном, если мы применим обозначения 1, долготу перигелия и долготу вос-
восходящего узла. Введенные таким образом J', «/, и2', w', »/, v9f часто назы-
называются элементами орбиты Делонэ. Они в астрономии обозначаются чаще
всего буквами L, G, Н, I, g, h. Так как в планетной системе наклонность г ж
эксцентриситет е орбит представляют малые величины, то то же самое имеет
место для разностей J' — ад/, w/— и,', что следует из A4), A3), A1). Поэтому
естественно, для того чтобы получить удобные разложения в ряды, ввести новые
канонические переменные:
B3) J=J', к, = J' — ад/, щ = «/ — м/.
При этом соответствующие угловые переменные to, vx, v2 должны удовле-
удовлетворять тождеству Jw -j- utt\ -j- м2г>2 = J'w' -j- «•/»/ -f- u2'v2'. В таком случае
ив B3) следует:
B4) w = w' -f-»/ + »й\ vi— — vx' — v2', v2 — —v%.
Здесь опять только w является собственной угловой переменной. Вместо
шести составляющих координат. и скоростей (например, в декартовой системе
х, у, г, х, у, г) каждое состояние материальной точки может быть определено
также с помощью шести канонических переменных н>, vv v2, J, uv u%. Это пять
постоянных vv t-2, J, «!, ма траектории, которую опишет материальная точка,
если в рассматриваемый момент ее подвергнуть действию силового поля A), и
шестая постоянная — угол м>, который определяет положение точки на эллипсе,
„средняя долгота". Эти лгасть величин называют каноническими элемен-
элементами кеплерова движения оскулирующего по отношению к рассматриваемому
движению. Выразим их в заключение через эллиптические элементы орбиты,
введенные в 1 и имеющие непосредственное геометрическое значение. Йв B4),
B3), B2), B1), A4), A2), A1) вытекает: /
B5)
J = m Y*M Va; щ = т УШ У a A — У I— e2),
u2 = m У-кМ У а A — e2) A — cos i) .
3. Вычисление координат положения. Нам надо теперь от угловых пе-
переменных и переменных действия, зависимость которых от времени определяется
просто формулами B5), вернуться к обычным координатам положения. Испольвуем
обычные декартовы координаты х, у, z, связанные с пространственными поляр-
полярными координатами, примененными в 1, посредством уравнений гл. П, § 2, A6).
Если мы опишем около точки М сферу радиуса г, проходящую через т, и рас-
рассмотрим на ней три большие круга: сечение с плоскостью ориты, с эквато-
экваториальной плоскостью /&=-^-1 и меридианом, то эти окружности образуют сфе-
сферический прямоугольный треугольник. Длины сторон, как видно из рис. 7,
равны х» -75 *» ? — 2» а углы, нротиволежажде обеим первым сторонам, —
и г. В таком случае на основании основных формул сферической тригонометрии
(„правил Непера"):
cos (<р — 2) sin Ь — cos х» sin (<p — Q) sin ft = sin x cos *,
cos 0 = sin x sin»;

800
Классическая механика * геометрическая оптика
ноэтому веля положить в гл. II, § 2, A6) <р = (<р — Q) -f-12 и разложить sin <o, cos <р, то
(Щ
x*=r (cos х cos Q — sin x sin Q cos г),
y = r (cos x sin Q -f- sin x cos Q cos *),
Если мы в B6) везде вставим X —Хо+(х —
— Хо) и разложим cosx, sinx, то мы легко смо-
сможем вместо „истинной аномалии" х — Zo ввести
„эксцентрическую аномалию", определенную фор-
формулой A9). Действительно, ив C) и A9) для пря-
прямоугольных плоских координат ж@', j/@) нашей ма-
материальной точки относительно главных осей эллип-
эллиптической орбиты, принятых за координатные оси,
получалось:
х = г cos (х — Хо)— а (cos а — е)«
{хт ==*
T/@) =
I — Хо) —а К 1 — e2sin<x).
Рис. 7.
В таком случав из B6) и B7) вытекает, если
в обозначениях 1 ввести долготу перигелия П в по-
помощью соотношения Хо = П — ^:
х — х*® [cos (П — Q) cos Q — sin (Д — Q) sin Q cos t] —
—y@) [sin (П — Q) cos Q — cos (Д — Q) sin Q cos i]
у = ж@) [cos (П — Q) sin Q + sin (П — Q) cos Q cos i] -f-
+r/@) [— sin (П — Q) sin Q -f- cos (П — Q) cos Q cos i]
г = ar@) sin (П — Q) sin *" -f y@) cos (П — Q) sin i.
Дая x®, г/@> нужно подставить выражения B7). Если о увеличивается на 2it,
*о на основании B0) то же имеет место для угловой переменной и/. Следова-
Следовательно, х{0) и у@) , в силу B7), являются периодическими функциями и/ с перио-
периодом 2гс, причем а@) есть четная функция, а у{0) — нечетная. Следовательно, #@) и г/0)
могут быть' разложены в тригонометрические ряды следующего вида:
B9)
• = Вх sin и/ -\- В% sin Iwf -f- ...
(Щ
к
2 Г
— I (cos о — е) cos jvf dtv',
в
2 Г
— i (УI — ез gin о) sin ju>' duf
0 = 1,2,...).

VI, § 1
Движение Кеплера '
201
Если мы применим к этим интегралам интегрирование но частям и подо-
хкх в результате и>' = о — esina, dw' = (l—е cos a) da, то мы получим:
(82)
i:
2 Г
Aj — —г I sin [j (о— 8 sin о)] sin ada =
о
= —г I cos [О* — 1) « —je sin a] da —
17 J
о
X
— —^-l cos [( j -j- l)a —i? sin a] da.
о
= —-—: I cos [j (a — e sin a)] cos a da =
о
к
= г / cos [(j +1) a —P sin a] da -f-
0
-j r I cos [(j — 1) a —js sin a] da.
%3 J
Формулы C1), C2) представляют величины Aj, Bj, как функции от ja,
которые могут быть выражены через бесселевы функции. А именно, мы имеем1)-
C3)
Далее, согласно C0):
C4)
, = у [^-i (Я)
О*)],
я
2 Г
=— I (cos
о
—ecosa)da = — Зе.
Так как очевидно функции Бесселя при одновременном изменении знака
аргумента и значка не меняют значения, то из B9), C3), C4) вытекает:
TJi-i (l?e) C0S; '
i-
где в обеих суммах надо выбросить член j = 0. Вставляя C5) в B8), мы получим
окончательные формулы для х, у, г, как функций пяти постоянных орбиты и
угловой переменной w' = 4(t —10). Аналогичным образом можно представить
*) См. Р. О. Жуаьмш, Веоселевы функции, ГТТИ, 1935, гл. V, § 1.

•202
Классическая механика и геометрическая оптика .
также и расстояние г массы т от М. Согласно A9) и B0), г есть так же как
и *@) четная функция и/ с периодом 2гс.
Если мы положим
C6)
— _i_с04-С, cosм>' -f C2 cos2u>' -f .:.,
X
2 /*
Су = — I A — г COS a) cos jw'dw' (j = 1, 1, .. .),
то совершенно аналогично C0), C1), C3), C5) получим:
C7)
+0O
V
Наконец, если мы хотим выразить х, у, 2, r через угловые переменные и пере-
менине действия м>, vv v2, J, uu м2 и получить таким образом общую форму раз-
разложения в ряд координат положения, установленную в гл. II, § 6, G), то мы
должны решить B5) относительно a, e, i, П, Q, m/=sv(< —10) и вставить резуль-
результаты в B8), C5), C7). Это дает:
C8)
«»
m**Ai
II — — f?t, Q — — r
?t,
9,
/ = w — II.
Мы произведем действительное вычисление формул для координат положе-
положения, получающихся при подстановке C8) только для того случая, когда ut и «2
малы по сравнению с J. Это означает, что эллипсы Кеплера имеют малые е и %.
Если мы применим разложения бесселевых функций в ряд:
~
,
2Bv-f-2) 2-4Bv-f 2
1)
где П (м) = 1.2...м, то окажется, что ряд для Ji_1(ej) начинается с члена по-
порядка величины в*-1. Если мы хотим сохранить только члены, линейные относи-
относительно «1 и и2, то мы должны дойти в в и г только до порядка еа и г2, следо-
следовательно, принять во внимание только бесселевы функции J0(e), JrBe), J3Ca).
В выражении C7) для г вследствие наличия множителя в перед суммой доста-
достаточно даже сохранить линейные относительно в члены в функциях J0(e), Jx{2&) и
положить J0(e) = l; JjBe) = e. В таком случае ив C8), C7), C6) вытекает:
C9)
--^- cosBw4-2»),
тЪ.М
См. Р. О. Кузъмът, стр. 39, (9).

VI, § 2
Возмущенное движение Кеплера
203
§ 2. Возмущенное движение Кеплера
1. Случай центральной возмущающей силы. Если мы предположим, что
кроме ньютоновой силы § 1,A) действует еще возмущающая сила, потенциал
которой XF(r) есть заданная функция от г, то мы получим возмущающую функцию Ф,
вводя в XF(r) канонические переменные § 1, B5), соответствующие невозмущен-
невозмущенной системе, движению Кеплера. Если мы разложим V(r) в точке а по степе-
степеням «! и ограничимся только членами первой степени, то из § 1, C9) получится:
V(r)=V (а) + Лг V (а) + i (Дг)* V" (а),
A)
Аг
а [^ -
cos (w + v,) - ^ cos Bu> +
cos (и,+ *',)-
- -}*- [ V (я) - i F" (я) ] cos Bw -f 2»,),
где для а везде нужно вставить его значение, выраженное через J по § 1, C8).
Уравнение A) соответствует общей формуле гл. V, § 1,C4). Для вековой части R
возмущающей функции Ф, к которой относятся все члены, не содержащие w,
из A) следует:
(V\ 7? г= V' " ' ЯМ< тг' ' N ' a
В таком случае из теории гл. V, 3 следует, что J не может испытывать ни-
никаких вековых возмущений. Дифференциальные уравнения для вековых возмуще-
возмущений величин i?j, ult согласно гл. V, § 1, D1), имеют в нашем случае по B) вид:
Так как, еогласно § 1, C8) заданием J и их определяются также величины а и Е,
то при возмущении центральной силой эллипс Кеплера сохраняет в среднем
за период свою величину и форму. Он испытывает только как целое медленные
вековые изменения положения. Действительно, из первого уравнения C) следует:
/1 \ (о) |_ , •, ?
1 . ti
Так как, согласно § 1, B5), vt = — П, то линия апсид эллипса Кеплера
(направление на перигелий) испытывает медленные вращения с угловой ско-
скоростью о, движение перигелия. При этбм м2 и t>2 остаются постоянными,
так как они совсем не входят в В. Так как центральная сила ни в коем. случае
не может вывести массу т из плоскости эллипса Кеплера, то элементы орбиты 2, г,
определенные величинами »2, г>2, не могут изменяться. Легко видеть, что о только
в том случае может совсем (т. е. для всех значений а) исчезнуть, когда V(r)
есть потенциал ньютоновой силы, т. е. rV(r)=* —%Мт.
Чтобы вычислить „выражение энергии" в смысле гл. V, § 3, B0), мы должны
принять в расчет, что вместо Ио нужно вставить выражение энергии невов-

204
Классическая механика и геометрическая оптика
лущенного движения из § 1, A3), выраженное однако, согласно § 1,A4) и B3),
через J. Вместо R' нужно вставить В из B), которое уже без дальнейших пре-
преобразований зависит только от переменных действия J, и. Таким образом, мы
получаем:
^?
E)
Здесь нужно для а вставить из D) и § 1, C8) его выражение как функцию
от J.
. § 3. Некоторые введения, ваеающиеса задачи трех тел
1. Задача двух тел. Рассмотрим две материальные точки с массами
«I, = т2 — ms и т4 = ть = «гб. Обозначим их прямоугольные координаты в инер-
диальной системе через д„ g2, qs и g4. q6, q6. Бели мы обозначим их расстояние
через
г = У(ft-^J -К<7б-<?2J +Cб-3зJ
и предположим, что они притягиваются друг к другу по закону тяготения
Ньютона, то гамильтопова функция будет иметь вид:
т<тш
V(q*-
at
9то выражение посредством касательного преобразования легко привести
к виду гаиильтоновой функции для движения Кеплера (притяжение массы непо-
неподвижным центром). Введем в качестве новых координат Qj относительные коорди-
координаты второй массы по отношению к первой и координаты центра инерции:
A = т& -f
*
Из условия 2 PjQj
m3q3 -\- m6q6,
получаются уравнения преобразования для»,-:
C)
Pi
«г,
т
т
-б»
р I тз
Вставляя B), C) в A), мы получим:
D)
«г.
Теперь Qv Q6, Qa будут скрытыми координатами в смысле гл. Ш, § 1, 1.
Если мы напишем канонические уравнения движения, то ив них будет вытекать
постоянство Р4, Р5, Р6, т. е. количества движения всей системы, а Qt, Q&, Qe,

VI, § 3 Некоторые сведения, касающиеся задач® трех тел
205
координаты центра тяжести, окажутся линейными функциями времени. В уравне-
уравнениях движения со значками 1, 2, 3 величины Р4, РГ), Ре вообще не входят; следо-
следовательно, при составлении этих уравнений из гамилътоновой функции D) мы
вообще можем отбросить второй член: при этом она получит вид:
,т,
Но это есть гамильтонова функция движения Кеплера, причем неподвижная
в пространстве притягивающая масса есть М, а движущаяся „iv
2. Приведение задачи трех те,л. Совершенно аналогичные соображения
можно применить и в том случае, когда три массы притягивают друг друга по
закону Ньютона. Обозначим эти массы через mt = m2 = m9, т4 = т5 = «г6
и пгп = «г8 = «гэ, прямоугольные координаты первой точки через g15 g2, qs, второй
через g4, qb, q6, третьей через g7, q8, qg. Расстояния масс друг от друга равны
и аналогично выражаются гп, г47. При этом гамильтонова функция имеет вид:
1 9
F) 1
2т,
'14
'17
'47
dt
При помощи касательного преобразования можно получить из F) гамиль-
тонову функцию простой механической системы. Мы введем в качестве новых
координат Qj относительные координаты Qr, Qv Qs второй массы по отношению
к первой; относительные координаты Q4, Qb, Qt третьей массы по отношению
к центру инерции первой и второй; наконец координаты Qn, Q8, Qg центра
инерции всех трех масс в инерциалышй системе. Следовательно:
G)
¦«-в
т = тх -j-i
Для Ру мы тогда получим аналогично 1:
Pi = --Pi-
--Pi(8)
«г,
rn,
ms-\-mG
«г
т
mt
4 ml -\- mi
т1
т
,
«г4
т
т
I p 3.
8 т

806
Классическая механика и геометрическая оптика
Если обозначить расстояние третьей массы от центра тяжести обеих первых
через Гцч = Y Q2 + <2б2 + Qe3 > то мы получим, вставляя G) и (8) в F) и затеи
прибавляя и вычитая —-—-:
'87
(9)
m.
О
L гл r17 r47 J
Здесь Qi, Qti, Q9 скрытые координаты, что можно видеть, либо вычисляя з с по-
помощью G), либо без вычислений из того, что Р7, Р8, Р9 являются составляющими
нолного импульса системы, остающегося при движении постоянным. В уравнениях
движения со значками от 1 до 6 величины Р7, Р8, Рэ совсем не входят; следова-
следовательно, при их составлении из Н можно в (9) отбросить второй член и мы полу-
получим тогда механическую систему только с шестью стеиенями свободы. Если пред-
ноложить, что масса «г, очень велика по сравнению с mi и «г7, то мы приходим
к задаче о движении двух планет около солнца (задаче трех тел) и можем при-
применить методы теории возмущений, изложенные в гл. V, § 1. Если мы, например,
положим, что масса солнца т1 = 1, то w4, тч будут палыми величинами. Так как
в таком случае центр инерции т1 и mi очень близок в «гь то г, очень мало
11
отличается от г17. Так как легко убедиться, что есть величина малая
порядка »»4, то S должно быть малой порядка «г4т7, и мы получим, вводя малый
параметр Х = «г4т7 для S вид ? = ХФ, где Ф конечно. В таком случае (отбрасы-
(отбрасывая второй член) мы можем переписать (9) под видом:
A0) Л= A) B)
(П)
т.
= - Т (Р 2
2а
B).
Е2) —
Но очевидно, что НоA) и /Zq'"'1 гамидьтоновы функции движений Кеплера
(§ 1). Если мы будем считать Но гамильтоновой функцией „невозмущенного дви-
движения", то метод § 1 дает возможность ввести соответствующие ей канонические
неременные. А именно, так как Но{1) содержит только Qlt Q2, Q3, Pu P2> Pg,
а Нот, наоборот, только ^4, Q-u, Q6, l\, Рб, i'6, то уравнения движения, соответ-
соответствующие Ыо, распадаются на две системы по шести уравнений. Каждая из этих
систем имеет решением движение Кеплера, причем то, которое соответствует
HqX\ получается из рассмотренного в § 1, если в § 1, A), D) положить w = jij,
M = —^} a т0) которое соответствует ЯоB),
получается из того же движения,

VI, § S Некоторые сведения, касающиеся задачи трех тел 207
если положить т = (х4, М = —-^-. Следовательно, невозмущенное движение за-
заключается в том, что первая планета mi описывает эллипс Кеплера, в фокусе
которого находится солнце, и из эллиптических элементов этой орбиты ах, еи г„ Q,, 11г
могут быть вычислены по § 1, B5) „каноничезкие элементы" (м>A), v^~v.2w
J(I), м, , м>2A>)> если положить m = jj.j, Jf=—-, а вторая планета w7 описы-
вает эллипс Кеплера около общего центра инерции солнца и первой планеты,
как фокуса, и из эллиптических элементов орбиты av s2, ... этого эллипса можно
вычислить „канонические" (м>C), г'/2), ...) по § 1, B5), если положить m = pit
М = —-. Так как ири этом, по § 1, 3, прямоугольные координаты положения,
а следовательно также и расстояния rsl, r,7, г47 могут быть выражены, как функ-
функции двенадцати канонических элементов, а в i/0A) входит только JA), и в Но<2)
только JB) [см. § 1 A3), A4), B3)], то гамильтонову функцию Н задачи трех тел
можно, согласно (9), A0), A1), привести к виду:
г®
1+ХФ(.Л ,Д ,/>, J«, «Д <>; «Я, вД г,
Но это в точности вид, из которого мы исходили в теории возмущений гл. V,.
§ 1, A4). Из выражения $ = ХФ в (9) можно вывести разложение возмущающей
функции, аналогичное гл. V, § 1, A5), с помощью которого можно составить
двенадцать дифференциальных уравнений гл. V, § 1, A6). В небесной механике
эксцентриситеты ev e2 и наклонности г,, г2 орбит планет считаются малыми, что
приводит к малым значениям также и для и^\ м2A), и^, м2B), так что коэффи-
коэффициенты тригонометрического разложения возмущающей функции гл. V, § 1, A5)
также могут быть разложены по стененям %A), ..., так что для теории вековых
возмущений может быть применен метод, изложенный в заключении гл. V*
§ 1, 4.
3. Квазистатические орбиты в случае плоской задачи трех тел.1) Если
мы будем рассматривать только движение трех тел в плоскости, а именно в плос-
плоскости ху, и обозначим массы через т0, т^ т%, их прямоугольные координаты
через &0, ¦%; 1и щ; \ъ irj2, соответствующие составляющие импульса через р0, q0;
Pi> Qii P>> 1ъ далее, предположим, что общий центр инерции трех масс покоится,
следовательно .Po+.Pi+i^^0' tfo 4" ?i + % == °> т0 Н щожет быть написано
аналогично F):
-'"о
A3) . , ,
S v
где через V обозначена потенциальная энергия и xt = % — ?0, yl = t\i — •% (г = 1, 2).
Так как момент количества движения массы иг, по отношению к началу
координат определяется, согласно гл. II, § 6, D), выражением ^qt — fiiP» и сумма
2
мояентов количества движения всех масс должна быть постоянной, то 2 0ч&—^kPt)
»=0
есть интеграл системы, который после введения относительных координат xv ..., уг
1) Си. сноску в гл. III, § 1, 8.

Классическая механика и геометрическая оптика
масс тх, «г2 относительно т0 и принятия в расчет соотношений р0 = — (pt -\~р%
ж т. д. может быть написан следующим образом:
A4)
f(xlt yv xv
qu g2) =
— ?/4p() = const.
Движения наших трех масс, квазистатические относительно интеграла A4),
могут быть найдены по гл..III, § 1, A9). Так как и = 4, у.= 1, то мы получаем
дМ . . df
восемь уравнений вида -^ \-ь-~—- = О и т. д.; они дают 2»— № независимых
соотношений между основными величинами. Если мы составим сначала восемь
уравнений, которые могут быть объединены в равенстве bH-\~'kbf=-O, где Ы
надо вставить из A3), a f из A4), то они примут вид:
A5)
A6)
Я Т/
—
*==1, 2).
Если принять во внимание, что по определению составляющих обобщенного
импульса pt ==»», -тг» &~т»~^' т0 Уравнение A5) можно написать так:
dx, , dtt,
~ж У" ~ii)~lx'- o = i,2).
-тг
Отсюда после умножения соответственно на ж, и уг и сложения вытекает
¦жД + 2/#* = 0> следовательно, постоянство ж^-}--^2. Взаимное расстояние трех масс
остается при движении постоянным; они движутся как неизменяемый треугольник.
Если мы введем полярные координаты ж, = г, cos &,,?/, = г, sin 0f, то вследствие по-
постоянства rt, вставляя в A7), мы получим Х = — 0о т. е. треугольник вращается
с постоянной угловой скоростью X около своего центра инерции. Если мы вычи-
вычислим величины g,, pt из A6) и вставим в A5), то мы получим:
A8)
Эж, ' т0 \ 9ж, дх2)
Ч, == О,
« = 1,2).
Если обозначить расстояние т1 и т2 через А, то, согласно F):
A9)] Г=-хМ-х^З_х^,
и мы получим, подставляя A9) в первое уравнение A8), при *=1 и» = 2:
Уравнения B0) представляют собой два линейные однородные уравнения
для xt, xv Подставляя A9) во второе уравнение A8), мы увидим, что уи у$
должны удовлетворять тем же уравнениям B0). Следовательно, мы должны найта

VI, § 3 Некоторые сведения, касающиеся задачи трех тел 209
две системы решений B0). Если вообще существуют отличные от нуля решения,
то определитель коэффициентов должен обращаться в нуль (т. е. его ранг
должен быть меньше 2).
При этом нужно еще различать два случая, смотря но тому, равен ли
этот ранг нулю или единице.
Первый случай. Имеются два различные решения, т. е. векторы xv yl
и х2, у2 пе совпадают по направлению, три массы действительно образуют тре-
треугольник. Так как определитель имеет ранг нуль, то все его элементы должны
равняться нулю. Это дает:
Три массы образуют равносторонний треугольник, вращающийся с угловой
скоростью, квадрат которой обратно пропорционален третьей степени расстояния
масс, совершенно аналогично третьему закону Кеплера в случае простого движе-
движения Кеплера 1§ 1, B1)].
Второй случай. Имеется (с точностью до общего постоянного множи-
множителя) только одна система решений. Векторы xv yt и аг2, у2 совпадают; три массы
лежат на одной прямой; отношение их расстояний может быть вычислено
из равенства нулю определителя уравнений B0), так же как и их угловая ско-
скорость, но мы здесь не будем этим заниматься.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. V и VI
Небесная механика
С. L. Charlier, Die Mechanik des Himmels. 2 Bd. Leipzig, 1902.
if. Poineare, Lecons de mecanique celeste. T. I. Paris, 1905.
F. R. Moulton, An introductioa to celestial mechanics, New-York, 1923.
E. T. Whittaker, Analytical Dynamics.
Атомная механика
Jlf. Born, Vorlesungen iiber Atommecbanik. Berlin, 1925.
A. Sommerfeld, Atombau and Spektrallinien, I Bd. Braunschweig, 1931.
§ 4. О касательных преобразованиях
(Дополнение редактора)
1, Если рассматривать» переменных ж/, ж/, ...,#/ как функции других п
неременных xv xv...,xn> заданные уравнениями вида
A) *»' = /"»Ob ж2,.. .хп) (»= 1, 2 ... «),
где функции ft определены для некоторой области изменения хи х2, ..., осп, то
уравнения A) определят преобразование переменных ж, к переменным xt'.
Решение уравнений A) относительно переменных xt, x2,...,xn определит пре-
преобразование, обратное первому.
Конечная или бесконечная последовательность преобразований может обладать
тем свойством, что каждые два преобразования из этой последовательности, выпол-
выполненные одно за другим, определяют преобразование, принадлежащее к рассматри-
рассматриваемой последовательности. В этом случае говорят, что преобразования образуют
группу. Если внутри группы преобразований существует последовательность
преобразований, саиа обладающая свойствами группы, то эта последовательность
образует подгруппу данной группы.
14 Зак. 1408. — Франк я Мязес. Дифф. уравн. мат. фиа.

210 Классическая механика и геометрическая "оптика
2. Пусть в трехмерном пространстве В3 х, у, г означают координаты точек
некоторой^поверхности или кривой. Введем три величины ж', у', У, определив их4
как некоторые функции координат х, у, г:
B) х' = Ъ(х, у, г), г/' = /(ж, у, г), 2' = fa(z, у, г).
Переменные ж', у', г' можно рассматривать как координаты точек другой
поверхности или кривой, причем каждая точка второй поверхности или кривой
соответствует некоторой точке первой поверхности или кривой. Мы говорим, что
B) определяет точечное преобразование первого геометрического места
во второе. Не трудно проверить, что точечное преобразование не изменяет свойств
касания, так что две касательные кривые или поверхности преобразуются в каса-
касательные же кривые или поверхности в соответственных точках.
3. Пусть теперь в Jf?3 x, у, г обозначают координаты точки некоторой
дз дз
поверхности, а рг=-^- и 2=д угловые коэффициенты касательной плоскости
р(Х — x)-\-q(Y—у) — (Z—?) = 0 к этой поверхности в точке х, у, г, так что
пять переменных ж, у, е, р, q определяют элемент поверхности. Поло-
, . . . д/ . д/
жим далее, что ж , у , г,р — u— q = -~-s координаты точки н угловые коэффи-
коэффициенты касательной плоскости j/ (X' — ж') -f- q' (У — у') — {% — в') = 0 поверх-
поверхности, полученной преобразованием первой поверхности, причем все переменные
х', г/, z',jp', q' являются функциями, вообще говоря, всех переменных х, у, z,p, </•
\ P' = ?i (х> У' *¦> Р> Я)> «' == Ъ (х> !/. е> Р> Я.)-
Очевидно, что не при всяких произвольно заданных функциях flt fv f3,
9,, ?8в результате преобразования хг, у', tt', р',' q' будут определять элемент
преобразованной поверхности. Найдем те условия, которым должны удовлетворять
пять функций /",, ...,о2> чтобы результат преобразования элемента поверхности
определял тоже элемент поверхности. Для зтого очевидно надо, чтобы равенство
имело место одновременно с равенством
&z =pdx -|- qdy,
откуд
' D) d/ —p'dx' — q'dy'' = p(de—pdx — qdy),
где p — произвольная функция переменных ж, у, г, р, q.
Приведенное выше рассуждение можно легко обобщить на многомерное
пространство. Преобразование в Rn , t будет преобразованием 2ю-{-1. переменных
*, xv x2, ...,xn; pt, jp2, ...,рп к переменным /, xf1, х\,.. .,xnf; jp/.j)/,.. .,|>„',
при котором будет иметь место соотношение:
\и
E) d/ - J] Pl'dx/ = р (d* - 2 РМ ).
Это общее касательное преобразование Софуса Ли.
4. Наряду с общим касательным преобразованием можно рассматривать его
специальные виды. Особое значение, благодаря его применению к преобразованию
уравнений динамики, имеет касательное преобразование, в котором 2» переменных
а-,, аг2, ..., жп; pv р2, ...,рп преобразуются к 2и переменным ж/, х.2', .. .,»„'; _р/,

VI, §4 О касательных преобразованиях 211
Яг'» • • • <Р» ГГРИ посредстве 2» уравнений такого вида, что дифференциальная
форма
будучи представлена как функция переменных xt,..., хп; pv .. .,рп и их диффе-
дифференциалов, является полным дифференциалом тгекоторой функции W этих пере-
переменных, т. е.
F) р/Лв/ -f ... +pn'dxn' —pxixx - ... —Pndxn = aW.
Надлежащим выбором функции W последнему равенству можно придать
иную форму. Принимая во внимание, что все р/, х{ являются функциями нере-
неременных xv хй, .. .,хп; pv jo2, .. .,р„, положим
Тогда
и после подстановки получаем равенство:
являющееся другой формой условия того, что преобразование касательное.
В частном случае, если W = 0, то по терминологии С. Ли преобразование
называется однородным касательным.
Если в преобразовании 2» переменных переменные хх',...,хп' являются
функциями только переменных xv ..., хп, остальные же переменные являются
функциями всех переменных xv ..., хп; рг,..., рп, то преобразование называется
обобщенным точечным преобразованием, причем и уравнений,
связывающих ж/, ж2',.. .,х/ с xv x2, .. .,хп определяют точечное преобразование
в том значении термина, какой ему был дан выше.
Наконец, если считать всеа^,^ функциями одной независимой переменной t,
то можно поставить вопрос о таком преобразовании к переменным #/, ... хп';
Pi'i • • • Рп> *'» ПРИ котором
G)
< = f,(xv ..., х„; рх,..., р„, f),
Pi—b(xi> •••' *«; Pv-, Pn> 0) (« = 1,2,...,»)
t' = F(xu ..., х„; pt,...,pn, t),
и сохраняются характерные свойства касательного преобразования J).
6. Остановимся подробнее на касательном преобразовании 2» переменных,
для которых в дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями qt, g2,..., qn\
pt, ргу.,рп- Переменные, получающиеся в результате преобразования, мы будем
обозначать Qv Q2,..., Qn; 1\, F*,..., Р„.
!) Это преобразование не является касательным в том смысле, который атому
термину прядая выше, но принадлежит б более общему классу так называемых каво*
няческнх преобразований.
14*

212
Классическая механика и геометрическая оптика
Докажем следующую, основную для всей теории, теорему. Если Q»
P4(t = l, 2, ...,») 2» функции переменных qitpt(i = l, 2, ...,»), тожде-
тождественно удовлетворяющие соотношению
где W—функция тех же переменных qn рг, то эти функции
независимы и удовлетворяют соотношениям
(8а)
,, Qj) = 0, (Pv Pj) = О (i, j = 1, 2, ..., и),
(Qt, Р,) = 0 ¦ (t, j = 1, 2, ..., n; %фз)ъ
{Q,,Pi)=l (t=l, 2,..., »).
Здесь знак ( ) обозначает как обычно скобки Пуассона, т. е. выра-
выражение, составленное по схеме:
(9)
Пусть d и 8 знаки независимых .друг от друга приращений переменных
тогда мы можем написать:
(*=1, 2, ...,»)
0=1, 2,..., n)
•-!,№ •*+§ 4
и аналогично (81)
(8')
• = 1
»=1
Дифференцируем (8,) и (8')» давая переменным приращения, определяемые
соответственно 8 и d. Замечая, что 8d = d8, после вычитания одного из другого
получим:
(И)
i=X

VI, § 4
О касательных преобразованиях
213
Выразим, что A1) должно иметь место при любых приращениях 8q{, &pt, если
в левой части вместо 8Р, и 8Q, подставить их выражения из A02). Выполняя эту
подстановку и приравнивая коэффициенты при Зд^ и 8р; получим:
A2)
Системы уравнений A0,) и A2) должны быть эквивалентны; следовательно, если
в A2) подставить значения dQ0 dPt из A0j) или, наоборот, в A0j) подставить
значения dqjy dpj из A2), то мы получим тождества. Поэтому, если через Д обо-
обозначить определитель из коэффициентов при dqf, dpt в A0'), а через Д' определи-
определитель из коэфициентов при dQ0 dPt в A2), то, в силу известного свойства линей-
линейных подстановок, получим
Но
еД' =
и нетрудно видеть, что надлежащей перестановкой отрок и столбцов второй
определитель преобразуется в первый, а тогда
Но определитель Д является якобианом функций Я» Р^ следовательно, их незави-
независимость доказана.
Для доказательства второй части теоремы подставляем в формулу
очевидно имеющую место для любой функции м переменных qs, pp вместо dqt и
dpj их значения из A2). Пользуясь обозначением скобок Пуассона, мы получим:

214 Классическая механика и геометрическая оптика
Подставляя теиерь вместо и последовательно функции. ft и Р, и замечая, что, в силу
доказанной независимости этих функций, их дифференциалы произвольны, мы
получим:
1 = (ft, РД О = («I, Ра), ... О = (ft, Р.), О = (ft, ft), ... О = (ft, QJ,
(ft Р) 1 (& Р) О (« Р) О C ft)(Q Q
0 =
0 =
0 =
(Qz,
(Pi,
Pi),
p )
Pi),
1=(<?2,
0 — (Q ,
о = (Р„
, 1J
V
P,
>), • •
a),..
. O = (<22,
I //)
• 0 = (Plt
pn),
p )
pn),
0 =
0 =
(ft,
ft
ft
), ••
),..
-
. 0
0
0
= (Q
~(Pi>
0 )
«.).
о=\t>Ai о=(pj р2),...б=(pn,pS о = - (>., ft),. • .iu-(/>„; (?j,
т. е. теорема доказана вполне J).
Для случая общего касательного преобразования, определенного формулой E),
имеет место аналогичная теорема с тою разницей, что соотношения, которым
должны удовлетворять функции Z, Qt, Р„ будут:
[Qt, Яй = о. [Pt, РА = о, [z, ft] = о, [Z, р(] = - рр, ¦
(i, j=l, 2, ..., и),
[ft, Р,] = О («, j = l, 2, ..., •, гфо), [ft, PJ= — р («=1, 2, ..., п).
Здесь выражения, обозначенные символом [ ], образуются по тон же схеме
как и скобки Пуассона, с тою разницей, что производные -г— должны быть за-
d д . д ?'
менены производными -=— = -—j-_p, 7f~"
6. Выше мы назвали однородным касательным преобразованием преобразо-
преобразование, определяемое уравнением:
Если помножить правую и левую части этого уравнения в*а некоторое число и,
то результат этой операции можно истолковать как появление у всех функций Р,
одного и того же множителя и при умножения на число и всех переменных рг
Это — свойство однородных функций первой степени. Следовательно, в рассматри-
рассматриваемом преобразовании Р, должны быть однородными функциями первой степени
переменных р„ при этом не обязательно целыми. Предположим теперь, что они
не только однородные, но и целые, а следовательно, линейные функции этих
переменных. Тогда можно написать
Р, = 2 Pifa («!, За, • • • ?*)-
Подставляя A4) в A3) и приравнивая в обеих частях коэффициепты
получим:
п
fa (Ян 3s. • • • • 2„) dft = <%• f Л = 1, 2, ... ,п).
i-i
Отсюда видно, что qlt q2, ..., qH являются функциями только Qv ft, ..., Qn n
лритом
/l*(«i. fe <¦•> О—-g|-t (», *= 1, 2. • • -, »),
г) Легко видеть, что (ф, 4) = — (t, ?), а потому 1 .-= — (Pit QJ равносильно 1 = (Q,, Р.)
и т. д.

VI, §4 О пасательных преобразованиях 215
т. е. это преобразование принадлежит к типу обобщенных точечных преобразо-
преобразований. Преобразование этого рода можно получить, задав произвольно п соотно-
соотношений между переменными qlt q2,..., qn и Qv Q2, ... , Qn и определяя
Pv P2,..., Р„ из уравнений:
A5) P, = 2i Pi^i fi = 1, 2, ..., я).
7. Рассмотрим еще один вид касательного преобразования, имеющего боль-
большое значение в применении к уравнениям динамики, именно так называемое
бесконечно малое касательное преобразование. Положим, что
преобразование бесконечно мало изменяет переменные qt, pt, тогда его можно
представить под видом
A6)
где т произвольная бесконечно малая постоянная, а ?, и vt — функции переменных
qt, pt. Очевидно Ъ{ и тс, не могут быть взяты произвольно, поэтому найдем условия,
которым они должны удовлетворять, чтобы преобразование было касательным.
Подставляя в (8t), мы получим
или, делая приведение подобных членов и отбрасывая члены, содержащие г2:
Отсюда видно, что dW=zda>, где я> — произвольная функция переменны: g}, pt.
Итак, для определения ?, и тг( мы имеем
\- Tjdj,) = dm,
или
или, наконец:
п
Отсюда
dQ
и формулы A6), определяющие преобразование, принимают вид:
си) «.-*.+!¦-*, ^-ft-g^
где 2 — произвольная функция переменных qt, р„ а т — произвольная бесконечно
малая величина, не зависящая от qi} pf.

216 Классическая механика и геометрическая оптика
Найдем с точностью до величин первого порядка малости изменение какой-
нибудь функции II переменных qt, р{, в результате ее преобразования к новым
переменным:
..Q,——-¦:, ...;... 1\-\- ?~-т, ...
или обратно
A8) Я(е,; Р.) = F(g{; л) + (Я,
8. Рассмотрим, наконец, тот случай преобразования, когда изменяется и неза-
независимая переменная t, функциями которой являются переменные qif pf.
Так как рассматриваемый нами вид преобразования по самой сути дела
требует четного числа переменных, то вводим дополнительную переменную ро,
относя ее к группе переменных р„ тогда как t отнесем к группе перемен-
переменных qt. Теперь вся система переменных будет
ви *5 Р» Ро (*=1, 2, ...,п).
В соответствии с этим рассматриваем систему 2п-\-2 функций этих пере-
переменных
Qt, Т; Р„ Ро, ' (i = l, 2, ...,«)
выбирая их под условием, чтобы вся совокупность переменных определяла каса-
касательное преобразование, т. е. чтобы было выполнено условие (8), которое в дан-
данном случае примет вид
A9)
»' = 1 i = 1
или равносильные ему условия, выраженные при помощи скобок Пуассона (82),
где однако i надо давать значения О, 1, 2, ...,и, а под q0 и Qo подразумевать
соответственно t ъ Т. Этому определению равносильно другое определение: пре-
преобразование определяется 2« -f-1 уравнением G) при условии существования
apex функций P0(Pt, Qt, T), ро(р„ qt, f) и W(pt, qt, t), которые совместно с G)
обращают A9) в тождество.
9. Рассмотрим несколько примеров касательных преобразований.
1. Пусть3 — f(qvqv •••» <?„), Pi — -jr-' Рассмотрим преобразование, опре-
определяемое уравнениями: <
I = Pi? jti = 2о ^ = j>4 PA* — г'
» = i
Прежде всего замечаем, что переход от Qt, P(, Z к qv pf, s определяется аналогич-
аналогичными формулами:

VI, §4 О касательных преобразованиях 21Т
Далее, составляя выражение dZ—2 PflQ» мы непосредственно убеждаемся,
что преобразование является касательным, причем р = —1. Следовательно, мы
имеем одновременно:
п
И
п
Это преобразование обладает еще одним характерным свойством. Обозначив
д2г d*Z
через гу и i?y соответственно -т-д- и ДГ>ДА » так что очевидно го =
Иг} = Вр. Тогда мы можем написать:
П П
Подставляя вместо Р, и Qi их выражения через переменные д„ j»,, получим:
I»
^ = 2 ад», =
откуда
V
я г
Обозначая через 8 определитель, составленный из коэффициентов rw и через Д
определитель, составленный из коэффициентов До-, через 8W и До— соответствую-
соответствующие миноры этвх определителей, мы получим:
Рассмотренное преобразование называется преобразованием Лежандра
и в случае трехмерного пространства в обычных обозначениях характеризуется
формулами: *
rt — s*' rt — s*'
Л
S*' MT — 8*'
2. Найти постоянные а и [3 так, чтобы преобразование
Q = q'cos fa, P — q'smfa
было касательным.

218 Классическая механика и геометрическая оптика
Составляем выражение PdQ—pdq~.
PdQ —pdq = q" sin $p (aqa~1 cos $p • dq — ^q1 sin $p • dp) —pd<} =
Это выражение должно быть полным дифференциалом, а тогда производная по р
коэффициента при dq должна равняться производной по q коэффициента при
¦dp, т. е.
арз2—1 cos 2
Отсюда
и, следовательно, а = г/2, р = 2. Итак мы получаем преобразование:
B0) ' Q = ]/"gcos2p, Р= ]/"д sin 2p,
впервые примененное Пуанкаре в задачах небесной механики.
3. Зададим выражение Р,(^, р^) и будем искать Qt(c[j, pj) при условии
получить касательное преобразование. Положим
121) P.--J&— (i=l, 2, ...,»).
Заметим теперь же, что из этого равенства следует равенство совершенно того же
вида для выражения р, через Pj, именно
B10 Л = -А--
Для разыскания вида функций Q, (др pj) воспользуемся уравнением F'), положив
еще в нем W = 0, т. е. уравнением:
Так как ^ зависят только от Р{ (но не от Q,), то можно написа1ъ:
п n
dP V
Сравнивая коэффициенты при dPt, получим
Для удобства вычисления положим
к П

VI, §4 О касательных преобразованиях 219
Г,-
тогда Лг=1 и р • = —'-,
Умножая на д,- и суммируя, находим
B2) ' «,=*
где через s обозначена сумма 2jA.
Уравнения B1) и B2) определяют касательное преобразование. Мы уже
отметили взаимность в формулах B1) и B1'), определяющих зависимость между Р,
и pv такая же взаимность существует и в формулах для Q{ и qt. Положим
тогда
(=1 *=1
n n
Далее имеем из B2)
и потому
B2') qi = QiR—2riS.
Это преобразование было впервые применено Леви-Чивита в тех
задачах небесной механики, где уравнения движения представляют особенности
в силу возможности неограниченного сближения тел.
10. Нам остается рассмотреть вопрос о применении касательных преобра-
преобразований к каноническим уравнениям. Предварительно докажем одну вспомога-
вспомогательную теорему.
Пусть /j и / Две каки е-л ибо функции переменных qif p{
(*=1, 2, ...,м). Обозначим через Ft и F2 результат преобра-
зованияэтих функций к переменным Q(, lJt(i = l, 2, ..., и), которые
вместе с gj, pt определяют како е-л ибо касательное преобразова-
преобразование, тогда будет иметь место равенство:
в котором значки показывают, по каким перемепным берутся
производные.

220 Классическая механика и геометрическая оптика
Для доказательства заметим, что если две функции ft и / зависят от
неременных qt, pt (* = 1, 2, , «), через посредство каких-либо 2« функций
?i> ?2» •••'?«> Фи $2' ••чФп» то> как не трудно показать, имеет место равенство:
Если за функции ф,„ ф, взять 2и функций Q,, Р4 переменных у,, р{, то в силу
свойств касательного преобразования скобки (фг, ф,) и (фг, Ф*) тождественно обра-
обратятся в нуль, в нуль- же обратятся и скобки (<эг, ф,) для гфв, для равных же
значков г я s последние скобки обратятся в единицу. Поэтому мы получим:
Но правая часть есть нечто иное как скобка(i^, F2)Q p, следовательно равен-
равенство B3) доказано.
11. Пусть мы имеем каноническую систему уравнений
B5)
di др., •
d («=1, 2, ..., я),
где Н — функция qv pit t. Докажем, что есл'й мы преобразуем
эти уравнения к переменным Q,, Р{, которые вместе с qt, pi
определяют какое-либо касательное преобразование, то си-
система преобразуется в каноническую же систему:
Ь > dt — dF/ dt ~~ dQ/
где Нг обозначает результат преобразования фуькции Н
к переменным Q{, Pt.
Для доказательства введем произвольную функцию F переменных qt, pi и,
/пв. dF x dF
помножив уравнения B5) почленно на -^— и -г—, сложим их. Мы получим:
dqt dpt
dqt "йГ+ др{ dt ) ~ 2*Д dqt dpt др{ dqj>
ИЛИ
Преобразуем полученное уравнение к переменным Q{, P{. Если через F обозна-
обозначить результат преобразования F, то левая часть, будучи полной производной,
df
примет вид —=—; что касается правой части, то, на основании доказанной выше
dt
теоремы, она преобразуется в (Ff, H')Q p. Итак:

VI, §4 О касательных преобразованиях 221
справедливо для любой функции F. Будем последовательно подставлять вместо
F функции Qu Q2, ..., Qn; Pv P2, ..., Pn. В силу их независимости все произ-
производные, кроме одной для каждой функции, будут обращаться в нуль, и мы полу-
получим уравнения B5').
Доказательство теоремы, обратной доказанной: если некоторое пре-
преобразование переменных qt, pt приводит каноническую си-
систему к канонической же, то это преобразование касатель-
касательное, — не представляет никаких трудностей.
12. Пусть попрежнему нам дана система канонических уравнепий:
di dp4 ' (Й dq{ *
где /f зависит от qis plt t. Рассмотрим каноническое преобразование с одновре-
одновременным преобразованием всех переменных, включая независимую переменную <.
Выведем предварительно олдо соотношение, которым мы воспользуемся ниже.
Составим полную производную Н.
B8)
"dt ~ dt "*~ 2u \ dqt dt ~f" dp{ dt
_
dH
dt
Теперь, чтобы иметь четное число переменных, подобно тому как это было сде-
сделано в 8, введем еще переменную р, так что полная система переменных
будет
Ч.» l> Pt> Р (*=1> 2. •• ¦> п)
Пусть % — некоторая функция этих переменных. Составим при помощи нее
систему In -f 2 канонических, уравнений. Мы получим
^ ' dt ~~ dpt' dt~~ dp' dt ~~ "d'q{ ' dt ~ dt ' '
Последнее. из уравнений первой группы показывает, что р может входить в %
только в виде слагаемого. Возьмем в качестве другого слагаемого функцию Н,
так что получим
dp дН
Обратимся теперь к последнему уравнению, оно дает -тг = — -чг, или, в силу
соотношения B8):
~dt+ dt ~°'
откуда Н-\-р — const. Мы м^жем эту постоянную считать равной нулю. Теперь
видно, что введенная нами система при указанном выборе функции % тожде-
тождественна с данной системой.

222 Классическая механика и геометрическая оптика
Любое касательное преобразование переменных qt, t, pt, р к переменным
Q{, T, Pt, Р преобразует систему B9) в канонической же системе. Пусть резуль-
результат этого преобразования будет
dQ
dT
Ь%'
~ Щ '
dT
dT
d%
ЭР'
dPt
dT
d%
dQ,'
dP
dT
d%'
dT
(»=1, 2,..., я).
^ Последнее из уравнений первой группы показывает, что Р входит в %'
в виде слагаемого, так что %' = Н' -\-Р. Далее, так как равенство B8) очевидно
имеет место и для функции %', то мы имеем
dP = _dW__ Шг
'd,T dT ~ dT'
откуда
Я' + ?=* const.
Теперь, так как переменные Pv Qt, Р и Т независимы, остальные уравнения
принимают вид:
dT ~~ 8Pt' dT ~dQt »
это и есть преобразованная система. Что касается функции W, то она опреде-
определяется следующим образом: когда преобразование от переменных qt, t, pt, p,
к переменным Qit Т, Р„ Р выбрано, подставляем в Н-{-р — % значения старых
переменных в функциях новых, в результате получим %'. Приравнивая эту функ-
функцию какой-либо постоянной, в частности нулю, решаем полученное уравнение
относительно Р, так чтобы оно приняло вид:
Н'-\-Р=0,
тогда В! определит искомую функцию.
13. В 7 мы рассматривали бесконечно малое касательное преобразование,
теперь мы показали, что характерным свойством всякого касательного преобра-
еования, а следовательно, и бесконечно малого, является сохранение в результате
такого преобразования системой канонических уравнений канонической формы.
Если сюда присоединить еще, что касательные преобразования образуют группу,
то мы сможем дать совершенно новую интерпретацию природе движения дина-
динамической системы, определяемого уравнениями вида:
с^___дн_ dj^ ан
dt ~~ dpt ' dt ~~ dql *
Если бесконечно малую постоянную т в уравнениях A6) рассматривать как
бесконечно малое приращение Д? времени f, то эти уравнения определят значе-
значения переменных в момент t-}-&t по их значениям в момент t. А так как пере-
переменные Q, и Р, удовлетворяют уравнениям
dQi__djr_ dP_t дН'
dt ~~ 9P/ dt ~~ 8Q/
то мы можем сказать, что поведение динамической системы
во время движения можно рассматривать как бесконечный
ряд выполняющихся последовательно одно за другим беско-
бесконечно малых касательных преобразований. Отсюда следует,
что если через o.v p, обозначить значения переменных qt, pi в некоторый опреде-
определенный момент времени /0, то уравнения, определяющие qit px в функциях а,,

VI, §4 О касательных преобразованиях 223
р„ t и являющиеся решением системы дифференциальных уравнений движения,
будут определять некоторое касательное преобразование.
Рассмотрим движение тяжелой материальной точки, брошенной под некото-
некоторым углом к горизонту, не принимая во внимание сопротивления воздуха. В прямо-
прямолинейных прямоугольных координатах мы получим для Н выражение:
и система уравнений будет",
dt — т Pv dt
dt m r* dt
dt m dt
Обозначая через «15 а2; рг, р2" значения qv g2; pv р2 д,хя t = 0, мы получим реше-
решение в форме:
Нетрудно убедиться, что эти формулы определяют касательное преобразование от
переменных av о2; р,, ^2 к переменным glr g2; ^р р2, соответствующее функции
(Р^+Р2) ЩчЛ h)- Здесь время t надо рассматривать просто
как параметр, входящий в уравнения, определяющие преобразование.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
ГЛАВА VII
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Постановка вопроса и обозначения
Из опыта известно, что твердые тела под влиянием внешних сил претерпе-
претерпевают некоторые изменения формы (деформации), исчезающие при постепенном
прекращении действия сил; внезапное
же прекращение действия последних
вызывает колебательные движения.
Теория упругости ставит себе задачей
изучение возникающих таким образом
деформаций и движений при помощи
математических методов. Выражаясь
точнее, имеются в виду следующие
вопросы.
Пусть дано упругое тело, как
угодно расположенное. Ограничимся,
для простоты, случаем, когда некото-
некоторые точки или части поверхности
тела неподвижно закреплены, на дру-
другие части поверхности действуют за-
заданные силы, а на внутренне точки—
сила тяжести или другие объемные
силы.
Требуется, во-первых, найти деформацию, испытанную телом (в случае, если
задаваемые воздействия устанавливают состояние равновесия) или состояние
движения тела; во-вторых, требуется определить „нагрузку материала", т. е. внут-
внутренние силы (напряжения), которые выражают силы взаимодействия между раз-
различными частицами тела.
Обозначения (рис. 8). Прямоугольные координаты точек упругого тела
мы будем обозначать буквами х, у, г. Смещение точки, происшедшее вследствие
упругой деформации, будем задавать его проекциями и, v w на оси координат.
Компоненты сил, действующих на единицу площади поверхности тела, будем
обозначать через S, H, Z, а компоненты сил, действующих на единицу объема
(„объемные силы") внутри тела—через X, Y, Z. Если таким образом do есть
элемент поверхности тела, a du> элемент объема внутри тела, то на первый из иих
действуют но направлениям осей координат силы Edo, Hdo, %do, а па второй
силы Xda, Ydun, Zdu>. i N
Внутренние силы, с которыми две соседние частицы тела действуют друг на
друга, мы будем характеризовать следующим образом. Представим себе два смеж-
смежных параллелепипеда, следующих друг за другом в направлении оси х, с ребрами
4х, dy, ds, направленными параллельно осям воординат, и соприкасающихся вдоль
Рис. 8.

VII, § 2 Постановка вопроса и обозначения '
границы пуйг, перпендикулярной к направлению оси х. Компоненты силы, с кото-
которой элемент (параллелепипед), расположенный справа (т. е. со стороны возраста-
возрастающих х), действует на элемент, расположенный слева, обозначим через <sxdydz,
zxydyds, xxldydz. Таким образом, о,, zXf, ххг суть компоненты силы, действующей
на единицу площади поверхностного элемента, причем подразумевается сила,
с которой элемент тела, расположенный справа, действует на элемент тела,
расположенный слева. Аналогично, пусть хух, <зу, ъуг и хгх, tty, <зг обозначают
компоненты сил, действующих на единицу площади поверхностных элементов,
перпендикулярных к осям у и г.Векторы этих сил,имеющих компонентами ох,хху, т,в;
хУх> <V х»г' "га> хгу °«» мы будем обозначать соответственно черев t(a:), t(!rt и t(z).
Относительно этих сил мы предположим, что они удовлетворяют принципу
равенства действия и противодействия. Это значит, что сила, с которой частица 1
действует на частицу 2 через разделяющую их поверхность, равна по величине
и противоположна по направлению силе, с которой частица 2 действует на ча-
частицу 1. Далее мы предположим, что сила, действующая на бесконечно малый
элемент поверхности, проходит через центр тяжести этого элемента (точнее го-
говоря, если h есть расстояние точки приложения силы до центра тяжести пло-
площади, а в — наибольший диаметр последней, то Mm — = 0). Величины ах, т и
е->0 в *
т. д. мы будем называть компонентами напряжений, или короче, просто
напряжениями. Величины ох, су, ое, измеряющие составляющие сил, перпен-
перпендикулярные к площадкам, на которые эти силы действуют, будем называть нор-
нормальными напряжениями, а zxy, -zyt и т. д., измеряющие составляющие,
параллельные этим площадкам, назовем скалывающими напряжениями.
Относительно знаков компонентов напряжения заметим следующее правило, выте-
вытекающее из вышесказанного. Рассмотрим площадку, ограничивающую бесконечно
малый параллелепипед со стороны возрастающих х; тогда <зх, хху, ххг положи-
положительны, когда соответствующие им составляющие силы, действующей на еди-
единицу площади, направлены соответственно в сторону возрастания х, у и г.
На площадку, ограничивающую элементы тела со стороны убывающих х, дей-
действует при этом сила, составляющие которой направлены в сторону убывания
координат.
Например, величина сх положительна, когда параллелепипед растягивается
с правой стороны вправо, а с левой — влево. Положительные нормальные напря-
напряжения соответствуют, таким образом, растягивающей нагрузке материала, а отри-
отрицательные — сжимающей.
§ 2. Анализ напряжений и деформаций
1. Теоремы о равновесии. В основе "изучения напряжений лежит следую-
следующий принцип. Если мысленно вырезать из упругого тела произвольную конечную
или бесконечно малую часть его объема, то силы напряжения, действующие на
поверхность вырезанной части, должны уравновешивать приложенные к этой части
внешние силы.
Первое применение основной теоремы о равновесии. Рас-
Рассмотрим бесконечно малый тетраэдр с ребрами О — А, О — В я О — С, парал-
параллельными осям координат. Образуемые ими треугольники являются проекциями
основной элементарной площадки А — В — С на координатные плоскости. Если
поэтому dF есть площадь этой последней площадки, a cos (v, x), cos (v, у), cos (v, г)
"направляющие косинусы нормали v к dF, тогда площади треугольников О—В—С,
О — С—А и О — А — В равны соответственно dl< • cos (v,x), dF- cos (v, у),
dF ¦ cos (v, г).
15 Зек. 1406. — Франк и Мнзос. Дифф. урааи. кат. физ.

226
Механика сплошных сред
Сила, действующая на площадку, есть напряжение, умноженное на вели-
величину площади. Таким обравом, на наши площадки действуют соответственно сле-
следующие силы:
на площадку О—В—С действует сила —1( 'd/''cos(v,ic),
О —С—А
О —А —В
— twdFcos(v,y),
— twd*'oos(v,*).
Рис. 9.
Перед силами стоит знак минус, ибо все три
грани находятся на стороне убывающих коорди-
координат.
Для достаточно малого объема мы можем счи-
считать, что силы, действующие на площадки О —
— В—С, О — С—А, О—А—В, уравновешива-
уравновешиваются силой tM ¦ ^/^действующей на основную пло-
площадку А — В—С. Действительно, эти силы про-
пропорциональны площадям, т. е. квадратам линей-
линейных размеров, в то время как объемные силы про-
пропорциональны объему, т. е. третьей степени линей-
линейных размеров; поэтому объемными силами можно
пренебречь по сравнению с силами напряжений.
Если t(() есть вектор напряжения, действующий на
основную площадку, то сила напряжения, действую-
действующая на нее, равна t(v) • dF. Так как эта сила должна
уравновешивать названные выше силы напряжения,
то мы должны иметь:
A)
t('> = t(x) cos (v,x) -f tiy) cos (v, y) + t{z)cos (v, g),
Это уравнение позволяет нам находить вектор напряжений для любым обра-
образом ориентированной площадки, если заданы векторы напряжений для площадок,
параллельных координатным плоскостям.
Равновесие на поверхности тела. Если мы вырежем наш тетраэдр
таким образом, чтобы его основная , грань была элементом do поверхности дан-
данного тела, то силы, вызываемые напряжениями, действующими на грани тетра-
тетраэдра, параллельные координатным плоскостям, должны уравновешивать внешние
силы Edo, Hdo и Zdo, действующие на элемент do в направлении координатных
осей. Обозначая единичные векторы в направлении координатных осей через
i(ar), i(w, iB:), мы имеем для вектора внешних сил, действующих на do, выражение:
и условие равновесия требует, чтобы
B) Ei(ir> + Hi^ -f 7, iw = t(x) cos (v, x) -f tw cos (v, y) +1B) cos (v, г).
Разлагая это векторное уравнение на три скалярных уравнения для компо-
компонентов по осям координат, получим:
{Е = пх cos (v, x) -f tyx cos (v, y) + ¦:„ cos (v, г),
H == ~ry cos (v, x) + ay cos (v, y) -f- xt% cos (v, г),
Z = ~хг C0S (V> X) + ~уг C0S (V> У) + az C0S <Л *>)•
Эти уравнения выражают условия равновесия для элемента поверхности.
Второе применение основной теоремы о равновесии. Выре-
Вырежем мысленно произвольный конечный объем внутри унругого тела. На каждый элемен!

VII, §2 Анализ напряжений и деформаций 227
объема d<o вырезанной части действуют объемные силы Xdm, Ydm, Zda>, а на ка-
каждый элемент dF поверхности вырезанного объема силы напряжения:
= {t<x) cos (v, x) -f tw cos (v, y) + t(f) cos (v, 2)} dF,
или, в компонентах по осям:
по оси х : ¦ {ах cos (v, x) -f- *„» cos (v, у) -}- -zzx cos (v, г)} dF,
« » У- К, cos (v, #) + «,, cos(v, y)-\-*lt cos (у,г)} dF,
Если мы имеем дело с равновесием, то сумма всех сил, действующих
в направлении любой из координатных осей, должна равняться нулю:
f f f ХЛо + f f {°x cos (v>x) + V cos <v' V) + "« cos (v' *)} dF= 0»
j j* J Yd<o -f f f{\y cos (v, ar) -f o^ cos (v, ?/) -f- тгу cos (v, *)} dF= 0,
j Ij Zdv -f у у {тет cos (v, ж) + хуг cos (v, у) -f о, cos (v,,?)} dF «, 0.
Интегралы по поверхности могут быть прообразованы в объемные. Для
этого обозначим через
t(aJ) вектор с компонентами оя, т
-tM -
V'
Тогда Oj-cos (v, a;LrTyxcos(v,j/)-[-x!;i. cos(v, з^) есть нормальный компонент
t?? вектора ](!Е), и условие равновесия для оси х выразится так:
Преобразуя второй интеграл но теореме Гаусса
мы перепишем наше условие в виде:
fff {
и аналогично для других двух осей:
fff { Y + div?w} d» = 0, /// {^+ div t@)} da = 0.
Эти три условия должны быть выполнены для любого, произвольно вырезан-
вырезанного из упругого тела объема. Это может быть только в том случае, если под-
интегральные функции тождественно равны нулю, т. е. если:
"D)
15*

228 Механика сплошных сред
Для равновесия [выделенной части необходимо еще, чтобы сумма моментов
сил напряжения и объемных сил была равна нулю. Проекция этой суммы мо-
моментов на ось z есть сумма моментов всех объемных и поверхностных сил отно-
относительно оси г (главный момент относительно оси г):
f f f&V-Yx)d»+f f
Преобразуя, как выше, поверхностные интегралы в объемные, заметим, что
div (уУх)) = у div t{x) + t(x) grad у,
div (xtte)) = x div t^ -f- lly) grad x.
Ho grad у имеет только компонент 1 в направлении оси у, a grad x — также
только один компонент 1 в направлении оси х, и поэтому
t(ar) • grad y = tyx и tm ¦ grad х = хгу.
Следовательно
f f f*fV — ~lfx} <*i<T = /'/'/' {У &™(X> —
Таким образом, главный момент относительно оси з будет
М, = /// {У ( div^* + X)-x (div t(v> + Г)} d* 4- ///( V - W *»•
Первый из написанных интегралов равен нулю вследствие условий D). Так
как при равновесии Ъ1г = 0 для произвольным образом вырезанного объема, то
должно быть
E) V = T*y
и аналогично для двух других осей
Хгу == ^уг) Тжг == TKt *
Отсюда следует также, что
^oaj i == ъ , i = i,i =1 •
2. Тензор напряжений. Исследуем несколько подробней напряженное со-
состояние упругого тела. В частности выясним, как выражаются при повороте коор-
координатной системы компоненты, напряжений в новой системе черев компоненты
напряжений в старой.
Пусть новые оси Si, т), С образуют со старыми х. >', z углы с направляю-
направляющими косинусами cos (Si, x), cos (т\, х), cos (С, х) и т. д. Векторы напряжений для
площадок, перпендикулярных к новым осям, будут
tR) с компонентами a, t5i), тк,
Мы получим их значения, если 'в формуле A) вместо v возьмем последо-
последовательно \, ч\ и С; это дает:
F)
t(y = tix) cos (?, х) 4- tto) cos E, у) 4- tw cos E, z),
tW _ tH cos (^ х) _j_ tW cos (ть fy) ц_ tW cos G])
tw = t(x) cos (С, ж) + t(l/) cos (С, у) 4- t(a) cos (С, г).

VII, § 2 Анализ напряжений и деформаций 229
Для вычисления компонентов новых векторов напряжений умножим скалярно
каждое из уравнений F) на единичные векторы i<5), i(il), i(C) новых координатных
осей. Тогда, нанример:
t® • i® = a?, if* . i© e Оя cos (?, a-) + xxy cos (?, j/) + -zxl eos E, «X
t® • iw = ^, tf*>. i«> = vcos(?,*)-f 0,008E,0 +т„cosF,*),
t® /iro = xK, tB). ift) = х„ cos E, *) + xn cos F, j/) -f os cos E, s).
G)
Таким образом, умножение первого из уравнений F) на 1(ч* дает:
t® • iD) = х^ = пх cos (Е, х) cos (т|, х) -f- ?ху cos ($, a) cos (т|, у) +
+ -гв cos ($, ж) cos (-л, ?•) + т^ cos (S, у) cos (т|, ж) -f os cos (S, г/) cos («п, у) -f-
+ -css cos (i, y) cos (tj, ^) -j- хы cos ($, г) cos (yj, ж) -}- xsy cos (I, s) cos (tj, y) -j-
4- o. cos (L z) cos (ti, *•).
Выражения для остальных восьми компонентов вполне аналогичны формуле G).
В этих формулах для получения компонентов напряжения в повернутой системе
надо сложить все девять старых компонентов, умножив предварительно каждый
на два соответственных направляющих косинуса. Индексы в направляющих коси-
косинусах получаются по следующему правилу. Первые индексы этих косинусов сов-
совпадают со значками компонента напряжения, стоящего в левой части, а вторые
индексы совпадают с значками умножаемого компонента напряжения,' причем ве-
величины ~Х!/ и iyx и т. п. следует формально рассматривать как различные и, кроме
того, полагать
Девять величин <зх, ixy, xxl, <зух, <зу и т. д., преобразующиеся по вышеопи-
вышеописанному закону, образуют так называемый „тензор напряжений". В силу
условий E) тензор напряжений „симметричен" и легко видеть, что эта симме-
симметрия сохраняется в любой новой повернутой системе координат.
Главные оси напряжений. При исследовании напряжений в данной
точке тела возникает вопрос, как выбрать направление осей координат, чтобы по-
получить особенно простые выражения для напряжений. Это оказывается действи-
действительно возможным; а именно можно подыскать такие направления осей, ?ля кото-
которых скалывающие напряжения обращаются в нуль, так что остаются одни нор-
нормальные напряжения (следует здесь же заметить, что подобное упрощение не может
быть достигнуто одновременно для всех точек упругого деформированного тела
в котором напряжения меняются от точки к точке, а лишь для каждой отдельной
точки). Оси координат, имеющие такие направления, что для них пропадают ска-
скалывающие напряжения, называются главными осями напряжения или
осями главных напряжений1). Соответствующие нормальные напряжения
называют главными.
Пусть v в уравнении A) есть направление одной из таких главных осей, а
о—соответствующее нормальное напряжение. Так как на площадку, перпендику-
перпендикулярную к этой оси, не действуют скалывающие напряжения, то вектор напряже-
напряжения t(v) совпадает с направлением v. Поэтому его компоненты по координатным
направлениям х, у и г будут о cos (v, ж), о cos (v, у) и о cos (v, z). Разложив вектор-
J) Вообще главною осью напряжений (в данной точке) называется ось, обладающая
тем свойством, что на площадку, к ней перпендикулярную, действует только нормальное
напряжение (а скалывающие отсутствуют). (Прим. ред.).

230 Механика сплошных сред
яое уравнение A) на три- скалярных, беря компоненты векторов по осям коорди-
координат, получим три уравнения:
о cos (v, ж) = ах cos (v, x) -f txy COS (v, у) + ххг COS (v, г),
о cos (v, у) = xyx cos (v, x) + oy cos (v, y) -f. хуг cos (v, z),
О COS (V, 2) = Хгх COS (V, X) -J- *„ COS (V, y) -j- Os COS (V, 3),
или
(oe — о) • cos (v, ж) + -zxy cos (v, ?/) 4- xxl cos (v, s) = 0,
(8) ryx cos (v, x) + (oy — o) cos (v, f/) + ту1 cos (v, 2) = 0,
хгх cos (v, ж) 4- tiy cos (v, j/) 4- (pz — a) cos (v, г) = О.
Эти уравнения суть линейные однородные уравнения, служащие для опре-
определения cos (v, x), cos (v, у), cos (v, г), т. е. для определения главных осей. Как из-
известно, система линейных однородных уравнений (8) имеет решения, отличные от
нуля только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов,
обращается в нуль, т. е. если
;
(9) :
о,—
=0
Определитель в девой части симметричен (так как хху = тух и т. д.), и по-
поэтому уравнение (9) имеет три вещественных корня') <з1г о2, о3. Подставляя
вместо о в уравнение (8), например, ot, мы получим значения cos(l,a;), cos(l,j/),
cos(l,?) e точностью до общего множителя, который определяется из условия:
A0) «os2 (I, x) 4- cos2 A, у) 4- cos2 A, z) = 1.
Таким образок, мы найдем направление одной из осей.
Направления остальных двух главных осей находятся аналогично подстанов-
подстановкой оа и о3 вместо о в уравнения (8).
Как известно2), найденные таким образом три главных оси взаимно перпен-
перпендикулярны. Если мы перенумеруем главные напряжения так, что о, есть наиболь-
наибольшее, о3 — среднее и о3 — наименьшее ив главных напряжений, то о, будут макси-
максимальным, а «з — минимальпым нормальным напряжением (в данной точке тела)
среди нормальных напряжений, соответствующих всевозможным направлениям.
Следует отметить аналогию наших результатов с известными результатами
векторного исчисления. Задавая главные напряжения, и соответствующие главные
направления, мы задаем напряженное состояние в данной точке аналогично тому,
как задается вектор своей величиной и направлением. Вектор, кроме того, может
быть задан своими составляющими 'по осям, а напряженное состояние, вполне'
аналогично, девятью компонентами напряжения в данной координатной системе.
1) Задача нахождения главных направлений, как мы видим, на основаани уравне-
уравнений (9) вполне совпадает с задачей нахождения главных диаметров (осей) поверхности
второго порядка
• У- + °*' * + а*»» • уз + 2tw • гх + 2хху • ху = С,
где С — произвольная постоянная. Доказательство того, что уравнение (9), называемое
вековым илн секулярыым, имеет только вещественные корнн, можно найти, напри-
например, в любом подробном к/рсе аналитической геометрии или алгебры. A1рим. ред.).
2) Если две из величин аи аг, а3 равны между собою, то существует бесчисленное
множество главных направлений, из которых всегда можно выбрать три взаимно перпен-
перпендикулярные. (Прим. ред.).

VII, § 2
Анализ напряжений и деформаций
931
Величины главных напряжений, так же как и длина вектора, не зависят от выбора
системы координат. Отсюда можем заключить, что и коэффициенты уравнения (9),
определяющего главные напряжения, тоже не должны зависеть от выбора коорди-
координатной системы. Выпишем уравнение (9) в развернутом виде, умножив- его пред-
предварительно на—1: ¦
- zj) - (о, V, -f -i.._. -
т 2 — о г
»* у
Коэффициенты при различных степенях о, не зависящие от выбора системы коор-
координат, носят название инвариантов напряженного состояния. Их значения
мы получим, повернув систему координат до совпадения ее с тремя главными на-
направлениями; это дает
я» I у г уг Г иг
— 2
т - о т 2 0 - 2.
у^в гг ж уг у W
в согласии с известными формулами элементарной алгебры.
Формулы, выражающие компоненты напряжения в произвольной системе осей
координат х, у, г через главные напряжения, являются особенно простыми. Если
cos (ж, К), cos {у, К), cos (г, К) — на-
направляющие восинусы fc-ой главной jj-d9
оси относительно осей х, у, г, то с-^С
A2) К =
C°S
Рне. 10.
и т. д. циклической перестановкой
х, г/, ?•.
3. Тензор деформации. При
упругой деформации в теле изме-
изменяются расстояния между его от- / •
дельными точками и углы между отрезками. Мерой удлинения отрезка мы будем
считать увеличение единицы длины последнего, т. е. отношение удлинения от-
отрезка к его первоначальной длине. Это отношепие мы будем называть удли-
удлинение м1^. Изменение углов мы будем измерять разностями углов до и после
деформации.
Мы вычислим сначала удлинения отрезков, расположенных до деформации
в направлениях, параллельных координатным осям, и изменения углов между та-
такими отрезками, первоначально бывших прямыми. При этом мы ограничимся „ма-
„малыми смещениями", т. е. такими смещениями, которые вместе со своими проиа-
водными настолько малы, что их квадратичными выражениями (произведениями
двух перемещений 'или двух производных и т. п.) можно пренебречь по сравне-
сравнению с линейными величинами (смещениями или их производными). Итак, рас-
рассмотрим две точки А я В, лежащие на прямой, параллельной оси х на рассто-
расстоянии dx друг от друга. Так как мы рассматриваем только малые смещения, то
1) Таким образом, под удлинением мы понимаем не абсолютное удлияеяяе,
а относительное. {Прим. ред.).

232 Механика сплошных сред
длина рассматриваемого отрезка не изменяется от смещений его концов в на-
направлении осей у или з. Мы должны, следовательно, рассматривать только сме-
смещения в направлении оси х. Если и есть смещение точки А в направлении
оси х, то смещение точки В будет и -\- — dx. Значит расстояние между точками
А и В после деформации равно dx-\--^—dx, а изменение длины отрезка равно
— dx. Деля последнее на первоначальную длину dx, получаем удлинение в на-
правлении оси х
_ Зм
г*-"дх~'
Аналогично получаются удлинения в других координатных направлениях,
так что
ди dv dw
Рассмотрим теперь поворот нашего отрезка в сторону оси у; на него не
влияет смещение в направлении осей х и z. Если точка А смещается в напра-
направлении оси г/па г;, то смещение точки Въ том же направлении будет v-\-—dx.
Так как цри малых углах мы можем заменить угол его тангенсом, заключаем,
dv
что отрезок А—В поворачивается к оси у на угол -^ —. Выбирая другой
отрезок А—гС длины dy, направленный из точки А параллельно оси у, мы
имеем смещение точки С в направлепии оси х, равное и -j- -^— dy, где и есть
if
. .. . -, ди
смещение точки А. Отрезок А—С поворачивается, следовательно, на угол -тг-
к оси х. Угол, заключенный между двумя отрезками А—В и А—С, первона-
первоначально прямой, после деформации уменьшается па сумму обоих поворотов
ди , dv n.
——г"а"Т- Обозначая это изменение угла через f и проведя аналогичные вы-
О If OJL
числения для остальных осей, получаем:
_ ди dv
Т^~"9у  "97'
dv . dw
die . ди
Полученные нами величины в и f определяют состояние деформа-'
ции упруго деформированного тела. Они дают нам удлинения трех отрезков, ис-
исходящих из точки А в направлении координатных осей, и изменения углов между
ними. Если мы из этих величин сумеем вычислить удлинения в изменения углов
для любых трех взаимно перпендикулярных отрезков в точке А, то этим будет
доказано, что величины в и f дают полное описание состояния деформации. Этвк
легко можно показать, если выбрать соответственно трем новым (произвольно
выбранным) взаимно перпендикулярным отрезкам систему осей координат S,i), V

VII, § 2 Анализ напряжений и деформации Щ?
им параллельных. Пусть cos (Е, ж), cos (?, у) и т. д. суть направля&дре косивусы
осей ?, tj, С, в системе координат х, у, z. Тогда координаты точек компоненты
смещения преобразуются по одинаковым формулам'; пусть и', v', w' gjgtb компо-
компоненты смещения относительно, новых осей. Тогда
и' я и cos (Е, х) 4- v cos E, у) -f- urcos (Е, #),
# = 5 cos E, х) -f- ?i cos (tj, x) -f- С cos (С, #);
v' — и cos (tj, #) -f-" cos (tj, y) 4~ iv cos (i), 2),
У = & cos E, y)'+ ч cos (t)/^/) + С cos (C, i/);
v/ = и cos (C, x) 4- v cos (Cy) 4*w COs ('> ^j
г ess 5 cos E, ^) 4- т) cos (ть гг) 4~ С cos (C, ^).
Проиаводя вычисления по формулам:
ди' дп' I дп дх , ди ду , 9« Зг
dv дх dv ду dv дг
"аё" * "БГ + 'sy' * "аГ'^-'аГ * I
dw дх . дю ди , дго дг
+ + i
г \
T)
и введя обозначения
т., == ^х; ч„ = 2гУ; т™ =
мы получаем:
cos (^ ж) C0R & 'г") + Та-» cos (^ 'r) cos (>. У) + Т*.cos («»ж) cos (>
о©8 (?. У) cos & а;) + 7W °os О,!/) cos 0, у) 4- ти cos (E, у) cos F, г) 4-
4- Тм °os E, г) cos (J, х) 4- Tzy cos (S,«) cos (S, j/) 4- •y,, cos (?, г) cos E, г);
A5) i т5ч = x™ cos E,«) cos (¦»), ж) 4- т,:» cos E, x) cos (т), у) 4- Ъг cos (;, ж) cos (•»), г) 4-
+ TSx cos F, ?/) cos Gi, ж) 4- tya cos (?, у) cos (tj, y) 4- Tys cos E, y) cos.(ti, г) 4-
4- ^„ cos (S, г) cos ft, x) 4- f f!f cos (i, z) cos (tj, y) 4. ^ cos (E, г) cos (tj, г).
и т. д.
Мы видим, что формулы для вычисления компонентов смещения вполне
совпадают с найденными нами выше формулами преобразования напряжений.
Отсюда иеренося результаты, полученные нами для последних, на деформации,
мы получаем следующее предложение: в каждой точке существуют три вваимио
перпендикулярных направления, относительно которых компоненты деформаций
с различными значками обращаются в нуль. Эти направления носят название
главных осей деформации и после деформации остаются перпендикуляр-
перпендикулярными друг к другу.
Пусть соответствующие удлинения, называемые главными удлине-
удлинениями, расположенные в порядке убывания, суть е15 гг, г3. Тогда г1 есть
максимальное, а е3 — минимальное из удлинений в каком-либо направлении.
Формулы A5) принимзют особенно простой вид, если за первоначальную систему
координат примем направления главных осей деформации. Обозначая через

234
Механика сплошных сред
cos (х, h), cos (г/, h), cos (г, К) направляющие косинусы А-ой главной оси относи-
относительно первоначальных осей, мы получим:
A6)
¦ = V sh cos (x, h) cos (i/,h) и т. д.
Так же как и для напряжений, коэффициенты в уравнении, определяющем
главные удлинения:
1 1
«,—«, yW у
yV' e» 8> 2
О Та
A7)
= 0,
будут так называемыми инвариантами деформированного состо-
состояния
V,
-Ь -J-
§ 3. Закон Гука и основные уравнения теорнн упругости
1. Закон Гука. Для установления дифференциальных уравнений теории
упругости нам не хватает еще соотношений между напряжениями и деформа-
деформациями. Эти соотношения могут быть получены, конечно, только ив оиыта. Мы огра-
ограничимся случаем однородного изотропного тела, т. е. вещества, упругие свойства
которого одинаковы во всех точках тела и в котором нет никаких преимуще-
преимущественных направлений.
Для такого материала очевидно главные оси напряжений и деформаций
должны совпадать друг с другом. Действительно, так как в направлении глав-
главных осе» напряжений действуют только нормальные натяжения или давления,
то очевидно углы между этими осями должны остаться неизменными, если только
не существует анизотропии.
Нам поэтому достаточно математически сформулировать связь между глав-
главными напряжениями и главными удлинениями. Для малых деформаций, кото-
которыми ,мы попрежнему ограничиваемся, опыт приводит нас к следующим заклю-
заключениям. Если к телу приложено растягивающее усилие, то оно получает удли-
удлинение в направлении растягивающего усилия, пропорциональное последнему.;
Одновременно в теле появляется поперечное сжатие, пропорциональное продоль-
продольному удлинению. При действии нескольких сил на наше тело, действия, отдель-
отдельных сил складываются („налагаются"). Рассматривая, в согласии со сказанным,
направление первого главного напряжения, заключаем, что это главное напря-
жение вызывает, во-первых, удлинение, пропорциональное о, и равное -^, если,
согласно общепринятому обычаю, обозначим коэффициент пропорциональности

VII, § 3 Закон Гуна и основные уравнения теории упругости 235
*
через -рг ¦ Величина Е есть постоянная, зависящая от свойств материала; она
называется модулем упругости или модулем Юнга. Одновременно с этим
каждое из двух других главных напряжений а2 и а3 вызывает в направлении
первого главного напряжения некоторое сжатие (отрицательное удлинение), про-
пропорциональное соответствующим удлинениям —¦ и -^. Эти сжатия равны——; и
М М mMi
—р, если коэффициент пропорциональности обозначить через — . Величина т
есть число (определяемая из опыта константа вещества), характеризующее сжа-
сжатие тела в поперечном направлении, вызываемое его удлинением в продольном
направлении1). Оно называется пуассоновым числом; обратная величина
— называется коэффициентом Пуассона.
т . '
В общей сложности для удлинения по направлению главной осн, соответ-
соответствующей ols будем иметь:
— -L( а __°? + _аз\ _ ¦»+ 1 1 - °i + °2 + "з )
Е\ 1 ~т )~ Е0Г\1 ш+1 )
и в других главных направлениях соответственно:
A)
m -j- 1 i at -4- 32 Ч~ °з)
! = ~ Em~ \ °2 ST+T"" }'
?з Жи"
Эти формулы годятся и для случая приложенного внешнего давления,
если только правильно выбрать зн4к: отрицательное о соответствует напряжению
от давления, отрицательное удлинение равно сжатию в данном направлении.
С помощью формул преобразования для компонентов напряжений и дефор-
деформаций [§ 2, A2) и A6)] мы можем без дальнейших затруднений преобразовать
формулы A) от главных направлений к любой координатной системе х, у, z и
получить в самом общем виде связь между напряжениями и деформациями.
Обозначая направляющие косинусы углов /j-ой главной оси через fcos (x, Ь),
cos (у, h), cos (г, h), можно записать связь между деформациями и напряжениями
в виде:
= 2 вЛ cos2(.r, u), sx = ^]A
, cos (г,/0 cos (г/, 70, Тч,= 2 ]? вЛ oos (a?, A) cos (у, А).
J) Точнее, величина т определяется следующим образом. Представим себе призму,
вырезанную из тела, к основаниям которой приложены (равномерно распределенные)
растягивающие напряжения (в продольном направлении). Опыт показывает, что при этом
призма удлинится в продольном направлении н сожмется в поперечном н что отношение
(относительного) сжатия любого линейного элемента, взятого в поперечном сечении прнзмы,
е относительному удлинению призмы, есть величина постоянная, независящая от
величины удлинения призмы (но зависящая от вещества ее). Это отношение н обозначено
в тексте через - -. (Прим. ред.).

236
Механика сплошных сред
Переписывая уравнения A) в виде:
т-\-\
Ет
е2 —¦
е = ™.±1
где s — ot ~\-о2-\-аъ = <зх-\-<зуЛ-о^ умножая их соответственно на cos2 (я, 1),
cos2 (x, 2), cos2 (x, 3) и складывая, получаем:
B)
так как cos2 (х, 1) -f- cos2 (#, 2) 4- cos2 (x, 3) = 1.
Умножая же выражения для et, е2, e3 справа и слева соответственно на
cos (;>¦, 1) cos (у, 1); cos (x, 2) cos (у, 2); cos (#, 3) cos (у, 3) и складывая, получаем:
2 '*» ?т "**'
так как cos (х, 1) cos (г/, 1) + cos (or, 2) cos (г/, 2) -f-
+ cos (ж, 3) cos (г/> 3)] = 0.
Обозначая для краткости - - - -т-^-с = G, получаем
окончательно: 2{т-\-1) •
г
Рис. 11.
C)
1
•2G(
_ 1 f
Эти уравнения связывают напряжения с деформациями (Spannimgs-Delmungs-
^leichungen). Физический смысл G мы получаем, если представим себе куб
(рис. 11), к которому справа и слева, а также сверху и снизу приложены только
скалывающие напряжения Г. Это есть случай так называемого чистого сдвига.
При этом углы куба изменятся на
<=~w (
если F есть площадь грани куба,
то ~хУ — -1п-\- G, следовательно, есть отношение скалывающих напряжений к изме-
изменению угла (к углу сдвига); его обычно называют модулем сдвига.
2. Основные уравнения теории упругости. Уравнения B), связывающие
напряжения с деформациями, можно решить относительно напряжений, что дает:
D)
,i-
,+
m-
m-
I ' X*y " "ixy '

VII, § 3 Закон Гука и основные уравнения теории упругости 237
где для краткости положено:
Эти уравнения совместно с уравнениями равновесия § 2, D):
E)
' дх ~Ь~ ди ~*~'
\
составляют полную систему дифференциальных уравнений в частных производных
для напряжений и деформаций. К ник присоединяются еще граничные условия,
которые могут быть различным образом заданы. Мы рассмотрим два наиболее
важных частных случая: 1) когда на границе заданы смещения и, v, w и 2) когда
на границе задана нагрузка внешними силами (S, H, Z) на единицу поверхности
по трем координатным направлениям^, т. е. когда на границе выполняются условия
F)
(V, *
^ COS (V, *) =
— 'zx cos (v, x) -f zzy cos (v, y) + <зг cos (v, z) = Z.
Из уравневий (З), D) и E) можно исключением получить дифференциальные
уравнения только для смещений или только для напряжений. В зависимости от
вида граничных условий целесообразно пользоваться той или иной из получаемых
систем уравнений.
Подставляя выражения для напряжений из C) в уравнения равновесия D)
и. вспоминая соотношения A3) и A4) § 2, получаем систему уравнений для
смещений
G)
где
G
дЬ
дЧ
д-
Дифференцируя первое из этих уравнений ао х, второе по yt третье по г
и складывая их, получаем
(8) 20 -
где
h^ эх . эг . dz
дх^дудз

238 Механика сплошных сред
Из объемных сил мы будем рассматривать только силы тяжести и цевтро-
бежные силы, для которых
Применяя операцию
~ ~д& ~*~ Иг? "¦" ~д&
к уравнениям (.7), мы в этих случаях получим:
( ДДм = О,
(9) j АД»—О,
I ДДм; = О.
Для получения уравнений для напряжений проще всего исключить из урав-
уравнений <„4) и G) деформации следующим образом. Будем исходить из уравнений G)
т — 1 дх
и D)
°х~~ I "^ т — 2 у
к которым добавим соотношение:
ди . dv . dw I m — 2
получающееся при сложении уравнений C).
Применяя к D) операцию Д и принимая во внимание (8), мы получаем:
A1) ДОЖ=:2<
дх ' т — 2 } дх т — 1
Дифференцируя G), получаем:
дАи _ дХ От &Щ _ дХ т efts
'дх ~~ дх т — 2 дх2 дх
откуда
. пдХ т
дх т-\-1 дх2 т — 1 *
или
Аналогичным образом получаем для скалывающих напряжений:
¦ПЧ\ А- I т ^ (дХ дГ

VII, § 3 Закон Гука м основные уравнения теории упругости 239*
Остальные уравнения получаются из A2) и A3) циклической перестановкой
.г, у, z и X, Y, Z.
Если объемные силы суть силы тяжести, то X, Г, Z постоянны и уравнения при-L
нимагот более простой вид:
m d*s г> Л I m d*s г. л I m
0 ^1^ д+
. , т д% m &s
k*»~rOT_|_l дхду ' ти "T"m+i fycte '
д -1- т ^s о
A4)
Следует еще особо отметить одно обстоятельство: при выводе уравнений;
равновесия х, у, г обозначали координаты рассматриваемой точки в деформиро-.
ванном теле, а в тензоре деформаций дифференцирование производилось по коор-
координатам в недеформированном состоянии. Мы, однако, не принимали в расчет этой
разницы при подстановке соотношений между напряжениями и деформациями
в уравнения равновесия, так как мы ограничиваемся малыми деформациями, при
которых этой разницей можно пренебречь. [Рассмотрим для пояснения некоторую,
функцию f{x). Пусть х = Ь-\-и.
Тогда
df df дх df I , ди
д\ дх д\ дх \ д\
Если мы полагаем -у равным -х—, то это значит, что мы пренебрегли малой
величиной ~р по сравнению с единицей].
3. Вычисление смещений по данным напряжениям, В зависимости от
характера задачи приходится иметь дело с уравнениями для смещений или урав-.
нениями для напряжений. Если найдены смещения, то напряжения легко получить
из, уравнений C) простым дифференцированием. Наоборот, если найдены напря-
напряжения, соответствующие смещения находятся простым интегрированием. Действи-
Действительно, если нам известны напряжения и тем самым компоненты деформации
ди ди . dv л
—-, -—\- -тг- и т. д., то смещения определяются таким образом: при помощи
дх ду дх
дифференцирования мы можем получить все вторые производные от смещений,.
Например, для и:
A5)
'дх* дх ' ду* ду дх ' дз* дз дх '
1 f Эг.. Э-г 9v. 1 Э2м да. дЧ
1 } д*1хг д*1ху ^Чуг \
s=~2\~dy"^ дз дх'}'
дудз 2 ( ду 1 дз дх у дздх дз ' дхду
Формулы для v и w получаются отсюда циклической перестановкой х, у, &
и м, v, tv между собой. Из этих вторых производных можно получать смещения-
двукратным интегрированием. Тем самым последние определяются лишь с точ-.

240 Механика сплошных сред
v = — "{X -\- as -\~ г0
ностыо до линейных функций, которые в силу того, что компоненты деформации
заданы, должны иметь вид *):
A6)
Если тело вакреплено, то шесть получающихся при интегрировании кон-
бтант определяются ив условий закрепления. Для незакрепленного тела, нахо-
находящегося в равновесии под действием заданных внешних сил, положение тела
определено лишь с точностью до переноса и поворота. Действительно, смещения
вида A6) при малых а, C, •у означают только параллельный иеренос вдоль коор-
координатных осей на «0, г0, я>0 и одновременное вращение всего тела в целом,
без деформации, вокруг этих осей на а, C, •у. Величины а, р, •у надо брать всегда
такими, чтобы вычисляемые смещения были малыми величинами (принятого
нами иорядка малости).
§ 4> Минимальные принципы. Теореиы единственности
1. Работа деформации. Для того чтобы вызвать деформацию единицы
объема упругого тела, необходимо затратить известную работу (на единицу
объема), которая остается иоглбщенной телом, пока длится упругая деформация
и освобождается при равгрузке.
Таким образом, эта работа, которую мы будем называть работой дефор-
деформации, равна энергии е, заключенной в единице объема при состоянии дефор-
деформации. Для ее вычисления поступим следующим обравом. Представим себе, что
из упругого тела вырезан маленький параллелепипед с ребрами а, 6, с, парал-
параллельными главным осям напряжений и деформаций. Напряжения, действующие
па его грани, будут at, о9, о3, а соответствующие удлинения ребер et, е2, е3.
Длины ребер в деформированном состоянии будут a(l-j-~ei)i &A ~be2)> сA~Ьез)-
При увеличении ех на 8st ребро а возрастает на a8et и работа напряжения о,,
равная силе, умноженной на путь, т. е. напряжению, умноженному на поверх-
поверхность и на увеличение длины av будет:
Ограничиваясь малыми деформациями, мы мЪжем пренебречь величинами
е., и е3 по сравнению с единицей, и работа представится в виде:
Деля эту величину на объем abc, получаем работу, ватрачиваемую на еди-
единицу объема при увеличении si на Ьг^. Но эта работа равна увеличению энергии
1) Если («л vit щ) и (м-,, % «г) — смещения, соответствующие одним и тем же задан-
заданным компонентам деформации вх, ву, еа, у^, -(ю, fTS, то, очевидно, смещения м, », го, опре-
определяемые равенствами it = w2 — щ,у = т2 — vlt ю = м>2 — и/j, соответствуют деформации
с компонентами вт = гу = г, — ?jb = fax — Ъг» = 0. Но тогда из A6) следует, что все вторые
производные от м,- v, гв равны нулю. Следовательно:
и = с^х -f- bty -j- cvz + к0> v — o^cA-b^-\-e^-\-v^ w = с^х + Цу + с3г-\- w0,
где ait a2, ..., c3, «0, r0, m'o—постоянные. Выражая далее, что
е* =*=е» = • • • = 1х, - О,
мы сразу получаем:
«1 = h = ci — 0. h — — a2» Ч = — \> <Н — — С1»
откуда и следуют формулы A6). {Прим. ред.)
I

VII, § 4
Минимальные принципы
241
деформации, заключенной в единице объема, обозначенной нами черев е. Следо-
Следовательно:
86 = 0^.
при постоянных еа и е3. Рассматривая аналогичным образом изменения г2 и е8,
получим, таким образом: '
де де де
Подставляя сюда значения ov о2, о3 из уравнения C) § 3, имеем:
де
Интегрируя, получаем:
B)
_
Из этого выражения легко получить выражение энергии деформации через
компоненты деформации относительно любой (прямоугольной) системы осей; для
этого достаточно вспомнить [см. § 2, формулы (8)], что симметрические функции
главных напряжений суть инварианты тенвора деформации. Имеем
C)
= О2 - 2
Таким образом, энергия деформации, отнесенная к единице объема, пред-
представится в виде:
D) е =
82
4-y
Мы прежде всего отмечаем, что из этой формулы следуют, как обобщение
формул A), соотношения:
де де де
дех *' дгу "' дег "
06 06 06 v
¦Чху " Tj/2 " Tea;
Мы можем выразить энергию деформации и через напряжения. Для этого
заметим, что е (г, •у) есть однородная квадратичная функция компонентов дефор-
деформации и, следовательно, по теореме Эйлера имеем
6 — ~2~
_ J_
~~2
де
де
де
V»
16 Sue 140S. —Франк я Мизес. Дифф. уравн. мат. фаз.

242 > Механика сплошных сред
Подставляя в правую часть выражения компонентов деформации через ком-
компоненты напряжений, подучим выражения для энергии деформации черев напря-
напряжения; это выражение мы обозначим через а (о, т), так что:
F) а(о,т) = -1
G)
И здесь следует особо отметить обращение формул E):
да За да
да __ да . За
Я^ Т*»' "Ят *^г' Ят ^'х'
2. Принцип минимума для смещений. Принцип возможных перемеще-
перемещений. Если мы применим к нашей упругой системе общий принцип возможных
перемещений, который гласит, что для системы, находящейся в равновесии,
сумма работ, произведенных при бесконечно малых перемещениях ив положения
равновесия, равна нулю, то мы должны формулировать его так: при каждом сме-
смещении упругого тела ив положения равновесия, совместном с наложенными на
тело условиями, работа внешних сил равна увеличению энергии деформации.
Это заключение мы докажем непосредственно.
Рассмотрим упругое тело, деформированное воздействием заданных объ-
объемных сил (X, Y} Z на единицу объема) и поверхностных напряжений (S, H, Z
на единицу поверхности), заданных на части поверхности тела. Будем считать,
что на той части поверхности тела, где. не баданы поверхностные напряжения,
задаются смещения м, ю, я/ (т. е. что эта последняя часть поверхности закре-
закреплена определенным образом). Произведем некоторое возможное перемещение,
т. е. заменим « на м-{-8м, v на v-j-bv. Мы считаем, что условия закрепления
при этом не нарушаются, так что для всех точек закрепленной части границы
должно быть 8м — 8v = 8м> = 0. Вычисляя работу заданных объемных и поверх-
поверхностных сил на этих перемещениях, мы получаем:
(8) Iff {Х8м + Ybv + Zbw ) d@ + f f f E8m + mv + Z8tG' do'
где первый интеграл берется по всему объему деформированного тела, а второй
должен быть взят только по той части поверхности, где ваданы внешние напряжения.
Сумма этих интегралов должна быть равна изменению энергии деформации.
Полная энергия деформации равна
и ее вариация
де
Но ведь -J— = <зх и т. д., и вначит
(9) №
где'о^, -. и т. д. суть напряжения в состоянии равновесия, удовлетворяющие
уравнениям равновесия [§ 3, D)]. Подставим в интеграл значения для Ъех и т. д.
, 8 98м _ dbv 98м;
A0)
х дх ' * ду ¦' " bz
ЪЪо Э8м Л dbw , dlv «,
дх ду ' ** ду дг ' дз дх
\

VII, § 4 Минимальные принципы 843
!
и упростим интеграл векторной 'записью. Векторы напряжений:
t{x) с компонентами ах, т^, xxg,
е р
grad 8м с компонентами
были нами введены еще раньше. Введем еще векторы:
98м 98м дЬи
——, ——, ——
ox oij оз
дЬо dbv dbv
grad St> „
grad 8м> „
дх ' ду ' дз
dlw dbw dbw
дх ду дз
Тогда вариация энергии деформации запишется в виде:
A1) 8 Е = f f f {t(x) • grad Sm + t(y) • grad 8г; +1B) • grad fov } do), i)
Интегралы A1) можно преобразовать по формуле Гаусса. Имеем:
div (8м . tix)) = 8м • div t(a!) + t(a!) • grad 8м.
Далее, условие равновесия для напряжений, имеющих место в действи-
' тельности, дает
Поэтому
A2) / / / t • grad 8мdo) = / / tv • 8мdo-\- I I Xbudo).
t/ t/ v •/ U - e/ t/ e/
В поверхностном интеграле, согласно граничному условию [§ 2C)]
рассматривая аналогично и остальные интегралы, получаем: *
A3) 8.Е= С f f {Xbu-^Ybv-\-Zbw)ds>-\- /"/"{ Е8м-j-H8t;-fZ8w } do.
Так как в тех местах, гДе заданы смещения 8м = 8г> = 8м> = О, то поверх-
поверхностный интеграл распространяется только на те точки, в которых заданы
поверхностные силы. Таким образом, мы доказали, что на виртуальных переме-
перемещениях, совместных с наложенными условиями закрепления, увеличение энергии
деформации в точности равно работе внешних сил.
Этот результат обычно выражают в следующей форме: так как объемные
и поверхностные силы нам заданы и не варьируются, то можно написать:
/ f f \ХЪи-\- Ybv-\-Zbw) do)+ f /*{ S8м+ H8i; + Z8m)} do ==
J J J J J
= 8 { f f f(Xu + Yv -\-Zto) d<o + f f (Ем +Ш + Zw) do } ,
и поэтому уравнение A3) принимает вид: *
A4) " 8 X I I I е (г, i) do) — / / / (Хи -4- Yv -\- Zw) dot —
— f f (Ем + Ш4-Zw)do | = 0.
!) t(a!) grad 8м есть скалярное произведение grad 5м и tw. (Прим. ред.)
1С*

344 Механика сплошных сред
, . ш ¦ I О» ' — — ,
Выражение, находящееся внутри скобок^ называют потенциальной,
энергией всей системы; поэтому мы можем формулировать полученный резуль-
результат в виде предложения:
Из всех возможных перемещений, удовлетворяющих усло-
условиям закрепления, осуществляются в действительнос.ти только
те, при которых потенциальная энергия системы минимальная.
То, что мы в действительности имеем минимум [из уравнения A4) следует
только стационарность], получается, если, не ограничившись первой вариацией
энергии деформации, вычислить полное ее изменение.
3. Принцип нининуна для напряжений. Принцип минимума потенциальной
энергии выражает характерное свойство упругих деформаций в случае равно-
равновесия. Так называемый принцип Еастильяно, к которому мы сейчас перейдем,
выражает некоторое минимальное свойство систем напряжений, получающихся
при равновесии. Для вывода этого принципа мы будем исходить из выражения
для работы деформации (энергии деформации тела), которую мы выразим
теперь как функцию от напряжений:
Изменим теперь напряжения, которые в действительности имеются при
равновесии, и вычислим работу деформации при измененных папряжениях.
При этом мы будем требовать, ч*обы и измененные напряжения удовлетворяли
условиям равновесия внутри и на границе тела. Объемные и поверхностные
силы, как величины, заранее заданные, при этом. будут, конечно, оставаться
неизменными. Так как, по условию, исходные и измененные напряжения удовле-
удовлетворяют условиям равновесия, будем иметь:
внутри тела
div t(a:) + X = O, ndiv (t^-l-St^ + X^O я т. д.;
на поверхности:
О^Еи!,(ЧЧA>-=Е и т. д.
Отсюда видно, что изменения напряжений 8t(a!), 8t(l", 8tB) должны удовле-
удовлетворять условиям:
внутри тела
div St(x) = O; div 8t(^ = 0; div 3^ = 0^
а на поверхности:
Последние условия должны выполняться только там, где заданы позерх-
ностные напряжения. В тех точках поверхности, где заданы смещения, напря-
напряжения могут варьироваться.
Работа деформации для измененной системы напряжений равна:

VII, § 4 Минимальные принципы 845
Первый интеграл есть работа деформации А, соответствующая действи-
действительно существующим напряжениям. Последний есть работа деформации, которая
получилась бы, если к телу приложить только изменения напряжений. Она
всегда заведомо положительна и в дальнейшем мы ее кратко обозначим „полож".
Средний из интегралов мы предварительно преобразуем. По формулам G)
да _ди_ da__dv да _dw
д<зх дх ' д<зх ду ' dza dz *
да ди . dv да __ dv dw da dw ди
и следовательно
ди . 8
С С С\ди
J J J {^
ди
или, в векторной форме:
A7) ^а = /*/*/*( ^ad u ' U(X) + Sracf v ¦ U<y) + grad ю
Но так как
div8t(a:) = O, div8tto) = O, div St(z) == О
и div («8t(T ) = м • div Ы(х) + grad и • 8t(a:),
то
A8) Iff grad' M 'b^ ' *° = f fu
По условию A5) интегрирование можно производить только по той части
поверхности, где заданы смещения. Для работы деформации получаем, таким
образом: - ' s
A9) 8^ = J j [nit™ -{- «8*,00+«*t,w }vdo + яположа,
где интеграл в правой части распространяется только на те части поверхности,
на которых заданы смещения. Так как последние не -варьируются, то можем
написать:
8 { А — у' f.fiuKX) + e*,W + *<г>) d°) = »полож.«
это и есть „принцип Кастильяно".
Из всех систем напряжений, находящихся в равновесии
с заданными объемными и поверхностными силами, осуще-
ствл-яются в действительности те, для которых выражение:
B0) А-
есть минимум. Поверхностный интеграл распространен здесь по той части
поверхности, на которой заданы смещения.
4. Единственность решения. Применим интегрирование по частям, которое
привело нас к вышеустановленным принципам минимума, для того чтобы нока-
вать единственность решения наших дифференциальных уравнений при опреде-
определенных граничных условиях. Положим, что на некоторое тело действуют заданные

246 . Механика сплошных сред
объемные силы, а на его поверхности заданы на одной части поверхностные
силы, а на другой — смещения. Пусть нами подучено два различных решения
дифференциальных уравнений, причем оба решения удовлетворяют одним и
тем же заданным граничным условиям. Тогда вследствие линейности уравнений
и граничных условий разность этих решений есть также решение наших диффе-
дифференциальных уравнений при отсутствии объемных сил. Действительно, обозначим
наши решения через и., vv iv, и и2, v2, u>2, а соответствующие им напряжения
+ (я) t W) t (s) _ t (x) t (у) . (г)
Разности обоих решений мы будем обозначать такими же буквами, но без
индексов. Тогда
div t™ + X = 0, div t2(x) + X = 0 и т. д.
и для разностей имеем:
B1) div tte) = 0, div t{y) = 0, divtB) = O.
На поверхности, в тех местах, где заданы смещения, имеем:
B2) и = и2 — % = 0, г; = 0, w=0,
а там, где заданы поверхностные силы:
B3) ',W«'bW-C*=0, ^ = 0, 0г> = 0.
Составим выражение для работы деформации (энергии деформации), соот-
соответствующей разности решений:
Здесь мы можем положить (§ 4, 1)
или, в векторной форме:
B4) E==ljff{ grad и ' t<a;) + grad v ' ^ + grad w '
Но, на основании B1):
B5) div (Mtw) = и ¦ div t(JC) -j- grad и • t(a!) = grad и . t(x) ,
в следовательно:
B6) E=
Этот поверхностный интеграл, согласно формулам. B2) и B3), равен нулю,
так как на границе обращаются в нуль или смещения иди составляющие вектора
напряжения. Отсюда:
но так как е—. всегда неотрицательная величина, то этот интеграл может быть
равен нулю, если только во всех точках

VII, § 5
Уравнения движения
247
Но е есть определенная положительная квадратичная форма своих аргументов
и, следовательно, равенство A8) может иметь место, только если каждый из этих
аргументов равен нулю во всей рассматриваемой области. Значит
ди dv ди> ди , dv dv . dtodw .ди
~дх ^^
dv ди> _ ди , dv dv
Ту!=~д7== ' Ty^~~dx~~ ~дг
dw .ди
~ ~Ъх~^"~д ~
Отсюда оледует, что смещения и, v, w представляют собой только переме-
перемещение всего тела без деформации. Если часть поверхности закреплена, то должно
быть м = О, v = 0, to = O, и во всей области оба решения и1г »,, гох и м2, v$, tv%
совпадают. Если на поверхности заданы только поверхностные силы, то напряже-
напряжения в обоях решениях одинаковы, а смещения могут отличаться друг от друга
только перемещением всего тела в целом без деформации.
В добавление следует отметить случай, когда в некоторых точках поверх-
поверхности заданы частично компоненты напряжений и частично компоненты дефор-
деформаций, причем в каждой точке заданная поверхностная сила перпендикулярна
заданному смещению. Цоверхностиый интеграл B5) обращается в нуль и в этой
случае, чем доказывается единственность решения и для этого случая^,
§ 5. Уравнения движения. Единственность решения
1. Дифференциальные уравнения движения упругого тела получаются,
если добавить к объемным силам силы инерции. Если р есть масса единицы объема,
то для получения сил инерции единицы объема надо умножить компоненты уско-
ускорения на —р, т. е. силы инерции имеют компоненты: \
r di2 ' r dl2 r dl2 ¦
Прибавляя эти выражения к X, Y, Z в дифференциальных уравнениях
упругого равновесия G) (§ 3), получаем уравнения движения:
или
A)
, ПЬ СО 1
' m — 2 dx )
= 0 и т. д.
дЧ
99
m
M
К этим дифференциальным уравнениям следует добавить еще граничные
и начальные условия. В различных точках на поверхности могут быть заданы или
смещения или поверхностные силы Е, Н, Z как функции от времени. В первом
случае, следовательно, на поверхности должно быть:
B) u=U, в-Г, w=W,
где U, V, W—заданные функции места и времени. Во втором случае напря-
напряжения, которые связаны со смещениями теми же соотношениями, что и в стати-
статическом случае, должны уравновешиваться поверхностными силами, т. е.
t W — н) т- е> ^ cos (V) х) -\- т^ cos (v, у) -\- zxg cos (v, г) = S,
C)
cos (v, y) + zyg cos (v, *) = H,
zzw cos (v, x) + czy cos (v, y) + ог cos (v, s) = Z,

248 Механика сплошных сред
где 3, Н, Z — заданные функции места и времени. X, Y, Z могут также зави-
зависеть от временя. К этому следует добавить начальные условия: в момент 2 = 0
нам должны быть заданы положения и скорости точек, т. е. при 2 = 0:
(ж, у, s); v = vo(x,ij,s); w = tvo(x,y,s),
D) \ ди ,, 'dv ,, . ди>
\ ~т = и° ^уs); Ж = v° (х уz^ I
,, dv ,, . ди> ,.
= и° ^'у*s); Ж = v° (х> у'z^ It = w°(ж> у>
где и0, v0, w0, ii0', vor, Wq—заданные функции места.
Закон сохранения энергии. Обозначим через К полную кинетиче-
кинетическую энергию упругого тела:
а черев
F)
как и выше, энергию упругой деформации, и вычислим изменение полной энергии
со временем. Изменение кинетической энергии, рассчитанное за единицу времени,
равно: ¦ '
Г Г Г \ ди
J J J p\-dF
dv
а изменение энергии деформации равно:
dE
Ho
Г Г Г ( де dsx де де« де dfxz )
J J J l Л, dt l dey dt ^ д-(хг dt J
де де дех д /ди\ dfxv д ldv\ д Iди
в уравнение (8) может быть записано в виде:
Это выражение мы преобразуем так же как и раньше, интегрируя тождество
по всему объему упругого тела и преобразуя интеграл в девой части по формуле
Гаусса в поверхностный интеграл:
Отсюда следует, что

VII, § 5 *•¦ Уравнения движения 249
Но из уравнениЁ равновесия при присоединении сил инерции следует
A2) div^ + X = P|^, divt«+ir-p|*. dlv1* + Z-p*?.
Отсюда, принимая во внимание граничные условия tv<21) = S и т. д., поду-
подучаем:
= J J J \
Это уравнение выражает закон сохранения энергии. Действительно, инте-
интегралы в правой части представляют работу объемных и поверхностных сил за еди-
единицу времени. Уравнение A3) утверждает тогда, что увеличение полной энергии
за единицу времени равно работе, произведенной внешними силами за то же
время.
2. Единственность решения. Мы покажем, что может существовать только
одна единственная система функций и, v, w, удовлетворяющая дифференциальным
уравнениям движения и кроме того начальный условиям. Для простоты мы огра-
ограничимся тем случаем, когда на поверхности заданы либо только смещения, либо
только поверхностные силы. Положим, что существуют два решения uv vt, w%
и м2, *2> wa> тогда разности:
вследствие линейности дифференциальных уравнений и граничных условий,,
должны удовлетворять уравнениям:
дЧ „ [ А , т 96
(U)
т дЬ
т
В тех точках поверхнвс^и, где заданы смещения, должно быть:
A5) и = О, v = O, м) = 0,
а в тех точках, где заданы поверхностные силы:
A6) . *?VO, *f = O, <f=0.
Далее, при t = 0 должно быть
,, -ч ди dv div
A7) .-„-„«О, ^- = - = ^- = 0.
Функции и, v, w являются, следовательно, решениями уравнений движения,
в случае, когда объемные и поверхностные силы равны нулю, а в момент t = О
тело не деформировано и находится в состоянии покоя. Если бы такое решение
и, v, w существовало, то выходило бы, что недеформированное покоящееся тело
могло бы без воздействия внешних сил начать двигаться. Это однако невозможно
на основании закона сохранения энергии. Действительно, при отсутствии внеш-
внешних сил полная энергия должна оставаться постоянной и даже равняться нулю,

250 Механика сплошных сред
так как она равна нулю в начальный момент времени. Кинетическая энергия и
энергия деформации могут принимать только неотрицательные значения и, сле-
следовательно, их сумма может обращаться в нуль только в том случае, если каждая
из них равна нулю в отдельности.
Кинетическая энергия, следовательно, равна:
(IS) K = -
Это возможно только в том случае, если
~dt=~dt = ~дТ = °'
следовательно, и, v, w остаются постоянными, и так как они в момент t = О рав-
равнялись нулю, то и в любой другой момент:
B0) « = v = w = 0.
Решения иг, vx, u>1, и м2, гг2, м>9 должны, следовательно, равняться друг
другу. Иначе говоря, может существовать только одно единственное решение.
СОПОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ
Для дальнейших глав мы сопоставим еще раз полученные нами формулы
в новой нумерации. Имея в виду прилбжения, мы ограничимся случаем, когда
объемные силы суть силы тяжести
( ' Формулы.
Работа деформации (энергия деформации) единицы объема
A)
B) а (а, т) - -L J -^ S2 _ 2 @.9
-L J
т.,
Связь между деформациями и напряжениями.
C)
де I 6 \ де
де „ t де
 "(

vn, § б
Уравнения движения
251
Обозначения:
х, г/, г —прямоугольные координаты точки.
и, v, w —компоненты упругого смещения.
ди
dv
dw
*'• г м—компоненты тензора напряжения.
du , dv \
dv . dw
dw . dy
dx * dz
— компоненты тензора деформации
°п °2' 5з — главные напряжения.
ei» ^j 8з — главные удлинения.
s = ox-|-os-|-oB — сумма главных напряжений.
6 = ех -j- е.у -|- 8Я — сумма главных удлинений.
X, Y, Z— компоненты объемных сил, действующих на единицу объема.
Е, Н, Z — компоненты поверхностных сил на единицу поверхности
(компоненты вектора напряжения).
Е — модуль упругости,
m — пуассоново число (обратное значение коэффициента Пуассона).
Ет
^ — модуль сдвига.
е (е, f) — работа деформации (энергия деформации) на единицу объема,
выраженная через компоненты деформаций.
а (о, т) — работа деформации на единицу объема, выраженная через
компоненты напряжений.
D)
da
9а
xy
В объеме:
уг~~ Хуг ~~ G ' dxzx ~ Ux~ G '
Уравнения равновесия
E)
dx ду
.*«
*.»>

252
Механика сплошных сред
F)
На поверхности:
4? = о, cos (v, х) -j- тад cos (v, у) -f тю cos (v, «) = S,
<'f' = V C0S (V' *) + "*, C0S (V' У) + Tyz C0S (V' *) — H>
^ = Xzx C0S (V> *) + ~"zy C0S <V' У) + % C0S (V' *) — Z-
Дифференциальные" уравнения для смещений:
f
G)
ж — 2
2„ \ /1 U>
m
m — 2
Дифференциальные уравнения для напряжений:
Уравнения E) и следующие
(8)
m
«4.
m
m +
m
¦1
1
te2
32S
dif
— о;
= 0;
= 0;
m
1 дудз
= 0,
™ О
= 0.
"• ' «4-1 dz*~"' ~'tx^ «4-i fe&
Уравнения, выводимые из предыдущи-
(9) 8 = — ст~2 s,
A0) Д8 = 0, As = O,
(П)
A2)
ДДм = О, ДД« = О,
= 0, ДДо„ = 0,,
= о,
ГЛАВА VIII
ЗАДАЧИ НА УЦРУГОБ РАВНОВЕСИЕ
§ 1. Элементарные решения с линейный распределением напряжений О
Если мы будем искать деформации, при которых напряжения распреде-
распределяются линейно, то дифференциальные уравнения для, напряжений [стр. 252,
уравнения (8)] удовлетворяются сами собой, и напряжения должны удовлетво-
удовлетворять еще только условиям равновесия E) предыдущей страницы. Простейшим
примером является:
') Во всем этом параграфе объемные силы считаются отсутствующими. (При» ред.)

VIII, § 1 Элементарные решения с линейным распределением напряжений 253
1. Нагрузка равномерно распределенный нормальным давление». Пусть
на поверхность упругого тела действует равномерное давление р на единицу
поверхности в направлении нормали к этой поверхности. Тогда компоненты сил,
действующих на единицу площади поверхности по направлениям координатных
осей, равны
A) Е = —р cos (п, х); Н — —р cos (п, у); Z = — р cos (n, в),
и мы легко удостоверяемся, что решение
_ _ л
'¦ху — V ь« — U
удовлетворяет как нашим дифференциальным уравнениям, так и граничным
условиям F) предыдущей страницы. Соответствующие компоненты деформации
равны
( _ _ 1 т — 2 от—-2
C) { •.-«,-•.-•- 2О^Г+ТР= Ш~р>
I v s= у = v = О
1 \ху Ij/s 1кг "•
Это означает, что все элементы длины уменьшаются в одном и том же
отношении и нет никакого изменения углов. Деформация есть просто подобное
самому себе уменьшение размеров тела. Найдем, в частности, относительное
уменьшение объема тела. Выберем в качестве единицы объема куб с длиною
ребра, равной единице; ребро куба после деформации имеет длину A—е).
Объем куба после деформации, если пренебречь величинами, содержащими е2
и е8, равен
V = 1 — Зе.
Вычитая отсюда первоначальный объем, мы получим чуменьшение единицы
объема
Д V п 3 (т — 2)
D) ==3в=^р
2. Растягивающая нагрузка, равномерно распределенная на концах
цилиндра. Проведем ось х параллельно образующим цилиндра через центр
тяжести поперечных сечений, перпендикулярных в образующим. Пусть к концам
цилиндра приложена постоянная растягивающая сила с на единицу поверх-
поверхности. Тогда ' -.
E)
есть решение наших дифференциальных уравнений с граничными условиями.
Из этих условий [F), стр. 252] остается только первое, так как все величины,
входящие во второе и третье условия, равны нулю. На боковой поверхности
cos («, х) = 0, и следовательно, выполняется условие, что к боковой поверхности
не приложено никаких внешних сил. На концах цилиндра справа cos (и, х) = 1
и В= с, а слева cos (и, #) = —1и Е= —с, следовательно граничные условия
выполнены также и там. Деформации могут быть вычислены по уравнению D)
стр. 251, если подставить туда s = ах -J- ау -j- <зг = с:
F)
1 ОТ С_, _ —С _ —С
** = 2G" т -\-1 С~~"; e"~es"~2G(w-|-l)~ -Ew '

254 Механика сплошных сред
Углы между отрезками, параллельными осям координат, не претерпевают никаких
изменений. Волокна, параллельные оси х, равномеряо растягиваются, волокна
в поперечном сечении равномерно сжимаются, так что поперечные селения'
уменьшаются подобно самим себе.
3. Изгиб стержня приложенными па концах его моментами. Рассмо-
Рассмотрим опять цилиндрический стержень и проведем ось х параллельно образую-
образующим цилиндра через центры тяжести поперечных сечений, перпендикулярных
к образующим. Оси у и s мы проведем так, чтобы они совпадали с главными
осями инерции поперечного сечения, т. е. чтобы для сечения интеграл
/ / ysdyds = O. Мы возьмем следующие решения дифференциальных уравне-
уравнений для напряжений:
<7)
I т«» — V = хгх = °>
и посмотрим, какие силы должны действовать на поверхности для того, чтобы
были выполнены граничные условия F), стр. 252. На боковой поверхности, где
cos (п, х) = 0, очевидно не должны действовать никакие силы. На правом конце
цилиндра, где cos (и, ж) = 1, надо приложить нормальное напряжение Е = сг,
а на левом конце цилиндра, где cos (n, х) ==,4-1, надо приложить нормальное
напряжение S— — сз. Вычисляя главный вектор этих сил, приложенных к кон-
концам, мы получаем, что все три его компонента равны нулю, так как в напра-
направлении оси у и в не действуют никакие силы, а главный вектор сил, действую-
действующий в направлении оси х:
I fzdyds = I Г oxdydz = c I I sdyds = O,
так как центр тяжести расположен на оси х. Остается еще главный момент
внешних сил. Его компоненты равны (верхние знаки берутся для правого конца,
а нижние для левогоI):
Относительно оси х, Мх — 0,
у, * Му = rt J j axsdy ds = ~^c JJ z4y ds,
s, M, = z^J J oxydydz = z±:c J J ysdydz.
Последний интеграл равен нулю, так как оси у и г являются главными
осями инерции поперечного сечения. Остается только момент вращающий вокруг
оси'г/, равный
(8) My = ±cJy,
-где мы для сокращения положили:
=f f'
Внешние силы, вызывающие это напряжение, сводятся к двум парам
с одинаковыми по величине, но противоположными по направлению моментами,
приложенными к концам стержня. Строго говоря, необходимо, чтобы пары эти
получались из распределения сил вида G). Однако опыт показывает, что рас-
распределение напряжений в стержне, за исключением частей в непосредственной
близости к его концам, не зависит (с большой степенью приближения) от спо-
способа приложения этих пар на концах. Таким образом мы можем применять наши
формулы и тогда, если условия G) на концах выполняются не вполне точно
(принцип Сен-Венана).
г) .Правый конец" — обращенный в сторону возрастания х. (Прим. ред.)

VIII, § 1 Элементарные решения с линейным распределением напряжений 255
Если нам дан стержень, изгибаемый парами с моментами. ±Му, прило-
приложенными к его концам (Ж„ обозначает момент пары, приложенной к правому
концу)а), то мы можем найти распределение напряжений в поперечных сече~
ниях. А именно, из формул (8) и G) следует
(9) \
зМ,
у
Если приложена нара, вращающая не только вокруг оси у, то мы можем
разложить ее на составляющие пары с моментами по направлениям у и г.
Компонент момента по направлению у дает уже вычисленное выше напряже-
напряжение, а компонент по оси г аналогичным образом напряжение:
которое складывается с первым.
Деформации, полученные при действии пары с моментом Му, можно вычи-
вычислить либо по общему правилу, согласно формулам стр. 239 [§ 3, A5)], или же,
здесь это будет ироще, непосредственно искать их в виде квадратичных функ-
ций/ от х, у, #, исходя из того соображения, что их производные — компоненты
деформации — линейные функции; коэффициенты этих квадратичных функций
определятся непосредственной подстановкой и сравнением коэффициентов. Таким;
способом получаем формулы (о точностью до смещения и поворота всего стержня
без деформации):
czx сгу —mx2-\-ifi— z2
do) M=-^-; *—*; «~«
Если стержень тонкий, т. е. размеры его поперечного сечения (у и г),
малы по сравнению с длиной стержня, то деформация в основном определяется
смещением средней линии стержня {у = 0, в== 0). Остальные деформации так
малы, что ими обычно пренебрегают для технических приложений. Полагая в AG)
ij = s = O, мы получаем деформацию средней линии стержня:
ex*
A1) Wo==~~2E-
Из этого уравнения мы выведем геометрическое значение величины с.
Величина w равна второй производной прогиба по х; если мы пренебрежем
с
квадратом первой производной по сравнению с единицей, то — -~ равно кри-
кривизне средней линии'стержня (нейтральной оси), вызываемой изгибающим моментом.
В техническом учении об изгибе балок, которого мы здесь коснемся только
вкратце, формулы для распределения напряжений и для связи между кривизной
средней линии и изгибающим моментом, переносятся и на те случаи, в которых
стержень подвержен напряжению не только от одного момента. При этом еще
пренебрегают изменениями формы поперечного сечения. Простейшее обоснование
г) Му есть алгебраическая величина, знак которой определяется по обычному
правилу для моментов относительно осн. {Прим. ред.)

256 Механика сплошных сред
мы получим, применяя принцип возможных перемещений. Работа деформации,
рассчитанная на единицу объема, равна
о _ 1 °*
"~ 2 B '
я
4G w +1 * "~ 2
и, следовательно, работа деформации, рассчитанная на единицу длины стержня,
есть:
яли, выражая через кривизну средней линии стержня:
EJtt
(индекс 0 для прогиба средней линии мы отбрасываем). Будем теперь считать
эту формулу (приближенно) справедливой во всех случаях. Положим, например,
что балка подперта в начале (ж = 0) и в конце (х = I), т. е. в этих точках w = О,
и что по всей своей длине она загружена распределенной нагрузкой, равной q
аа единицу длины, действующей в направлении оси в. Вызываемый этим прогиб
обозначим w{x). Изменим теперь прогиб до w-\-bw. Тогда изменение работы
деформации равно работе нагрузки q(z), т. е.
» При иаменении w надо иметь в виду условия закрепления, т. е. что ири
л = 0н х—1, где и> = 0, должно быть также и 8и> = 0. Интегрируя A3) дважды
:по частям, получаем:
г г
^L1!—dx= I EJw"bw"dx=[EJw"bw'}\ —
¦j 0
l г
_ ГА (EJtv") bw 1 + Г 8W -~ (EJvf) dx,
¦или, принимая во внимание, что 8м; @) = bw (I) = 0:
i
A4) /Sw {5(Ши/Г)—qw) dx+ iEjw"wi ¦
Так как это уравнение должно выполняться для всех возможных bw, то
,7-2
A5)
и
A6) EJuf @) = 0, EJic" @ = О.
Заменяя уравнение A5) двумя уравнениями второго порядка:
d4l , ,
411) -Щ—*^
мы подучаем дифференциальное уравнение теории изгиба балок в обычной виде.
М(х) есть момент, с воторым силы, приложенные левее сечения, соответствую-

VIII, § 2 Кручение призматических стержней 257
щего абсциссе х, стремятся повернуть левую часть балки относительно правой *)
(изгибающий момент). К этому добавляются в рассматриваемом случае еще гра-
граничные условия
A8) м;@) = 0, to@ = 0, мЛ(о) = 0, м/'@ = 0
и формула распределения напряжений
A9) V=:?.
§ %. Кручение призматических стержней
1. Дифференциальное уравнение н граничные условия. Рассмотрим
цилиндрический стержень, нижнее основание которого совпадает с плоскостью ху.
Ось в проведем параллельно образующим, через центры тяжести поперечных
сечений, перпендикулярных образующим. Приложим к верхнему концу стержня
некоторый момент М, вращающий вокруг оси г. Нижний конец стержня мы будем
считать закрепленным; весь стержень таким образом подвергается кручению.
Положим, что при кручении два поперечных сечения, находящиеся на расстоянии
1 друг от друга, повернулись на некоторый угол <в друг относительно друга.
Тогда*сечение, находящееся на высоте .г, поворачивается на угол юг. Мы будем
искать такое решение наших основные уравнений, для которых горизонтальные
смещения равны
A) и = — easy; v = mzx
(при малом «о это обозначает вращение на угол <ьг вокруг оои в). Смещение
в направлении оси в мы будем считать независящим от в и положим
B) № = »-<р(ж, у).
Так как при этом предположении
ди dv , dw,
дх ' ду ' дв ' ' '
то оба первых уравнения G), стр. 252, выполняются сами собой. Из последнего
мы получаем для ге = щ {х, у) уравнение логарифмического потенциала:
> ' 9жа ' ду%
К этому следует добавить граничное условие, что на боковой поверхности
цилиндра нет никаких напряжений, т. е. там S = Н = Z = 0. Вычисляя напря-
напряжения при сделайкных предположениях A) и B), получим:
х) Точнее, исходя из уравнения A5), мы можем получить уравнения A7), вводя
вместо g величину, определяемую равенством
M=f ««)•<*-
представляющую собой главный момент нагрузки q(i), приложенной к левой части
етержия @<!5<!а;), относительно точки с абсциссой х. Легко получаем:
о
^ (Прим. ред.).
17 Зав- 1408- — Франк и Миэес. Дифф. уравн. мат. физ.

258 Механика сплошных сред
и неравными 0 остаются только
D) ,„ = а
Граничные условия F) стр. 252 требуют, чтобы на контуре поперечного
сечения выполнялось равенство:
E) t^cosO, aO-f-x^cosf», у) = 0.
Так как нормали к боковой поверхности лежат в плоскости s = const, то
dy dx
F) cos(w, x) = ~r-±; cos(», y) = -jj-,
где через dl обозначен элемент длины контура, ограничивающего поперечное
сечение; dx и dy суть его проекции на оси координат. Граничное условие E)
тем самым преобразуется в следующее:
dy . dx • I dy . dx , до dx д<о dy
G) -^ж+^ж=6°\уж+х1+1%-ъ
Для упрощения этого выражения мы введем сопряженную с о потенциаль-
потенциальную функцию Ф, которая связана с <р условиями Коши-Римана: «
до Эф 9«р Эф
дх ду' ду "Т дх'
Функция ф вместе с функцией у образует функцию <p-\-ity = f(x-\-iy) ком-
комплексного переменного x-\-iy.
Заменяя в G) «р на ф, получаем:
X~dl~^ylU~\'dx~dT'^"dy~dJ
или, интегрируя *) (по контуру):
(8) • ^ ^
Так как ф тоже удовлетворяет дифференциальному уравнению
то наша вадача сводится к нахождению некоторой функции ф (ж, у), удовлетво-
удовлетворяющей уравнению Дф = О и принимающей на границе поперечного сечения
2|2 "
значение —^12—|_С. Если мы решим эту задачу, то сможем определить напря-
жение, возникающее при заданном угле поворота а>. Останется только найти связь
между <о и крутящим моментом Ж.
Если мы проведем какое-либо сечение, перпендикулярное оси з, то момент
скалывающих напряжений D), приложенных к нему со стороны положительных ?,
должен равняться М, т. е.
A0) М= Jf'(xj
г) Следует отметить, что еслиvграница сечення состоит не из одного, а ив
нескольких замкнутых контуров, то постоянная С в формуле (8) может (и вообще
говоря, должна) принимать различные значения на различных контурах; нетрудно пока-
показать, что значение С может быть задано произвольно только на одном из них. Значе-
Значения С на других контурах определятся И8 условия однозначности функции у, с которой
сопряжена функция ф- (Лрим. ред.).

VIII, § 2 Кручение призматических стерокней 259
Для вычисления этого момента введем функцию
Тогда
A2) Дх = 2, а на границе ~? = 01).
Далее
и, следовательно:
A4)
Подинтегральное выражение равняется:
grad х = div I
grad
Так как на границе X = °» т0 по теореме Гаусса 2):
A5) М= G<* J J grad Х* + У* . grad z <&?% = — 2G« f j
В то», что скалывающие напряжения не дают никакой результирующей,
а только некоторый момент, можно легко убедиться, если выразить напряжения
через х- Тогда
f f тт*хёу=-в* f f^
f f Tlydxdy=Ga J f ^dxdy = O,
так как на границе х = const.
2. Простейшие примеры. Для решения вадачи кручения мы. сперва при-
применим предложенный Сен-Венаном „полуобратный" метод; а именно, мы будем
искать функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению Дф = 0, а затем
будем выбирать за контур поперечного сечения такие кривые, на которых зна-
значения полученных функций удовлетворяют установленному нами граничному
условию (8).
Круг. В простейшем случае, принимая ф постоянным, получим круг. Кон-
Константа интегрирования С для нас не существенна и может быть положена рав-
равной нулю. Для ф можем взять значение:
A6) ¦-^-р
где It — постоянная. Граничное условие выполнится, если мы выберем за попе-
поперечное сечение круг радиуса В. Напряжения равны:
A7) \X — — Gwy; x,y = Gmx.
}) В случае, когда граница состоит из нескольких замкнутых контуров, это усло-
условие следует заменить следующим: х = const, причем const будет, вообще говоря, различ-
различной для различных контуров; на одном из них ее можно положить равной нулю (см. пре-
предыдущее примечание), (прим. ред.).
2) Если граница состоит из нескольких контуров, то формула A5) вообще неспра-
несправедлива, ибо не иа всех контурах можно считать х= 0; в этом случае можно пользо-
пользоваться 'формулой A4). (Прим. ред.)
17*

260 Механика сплошных сред
Вектор окалывающего напряжения, приложенного к поперечному сечению,
перпендикулярен к радиусу и величина его
A70 . * = ViJ + \* = Cw
пропорциональна расстоянию г от центра.
Крутящий мЛмент при угле закручивания «о на единицу длины равен
A8) М=
где Jp есть полярный момент инерции площади круга относительно его центра
Jp
На практике обычно задается момент М и требуется найти полный поворот
цилиндра высоты h:
„ , Mh
A9) b h
и наибольшее напряжение
B0) xmax ^r
Эллиптическое поперечное сечение.
Решение задачи кручения цилиндра с эллиптическим поперечным сечением
мы получим, если в качестве ф выберем квадратичную потенциальную функцию:
B1) ф = с(ж2 — 2/2) + Ра
(с < 0,5 = const; p ^= const). Отыскивая точки, для которых выполняется граничное
условие •!» = —^)~' мы пОЛУчаем эллипсы
или
где
У2
/0,5 — с
Выражая сир через а и Ъ, получаем решение нашей граничное задача
для эллипса с полуосями а и Ъ:
Отсюда получаются компоненты напряжения:
B3)
и крутящий момент
М= С С (^y — ^^dxdy^-^^ {а2 Г Г y4xdy-\-b* j j x^dxdyl.

VIII, § 2 Кручение призматических стержней 261
Для эллипса
nab9
j Г
~ 4 '
и, следовательно, момент
B4) М =
Мы отыщем еще наибольшее получающееся напряжение. Проведем из центра
эллипса полудиаметр к некоторой точке Р на границе и заметим, что напряжения
,в точках, лежащих вдоль этого полудиаметра, пропорциональны расстоянию этих
точек от центра. Поэтому наибольшее ¦ напряжение может быть только на границе.
Для точек на границе наши формулы для напряжении получают простое истол-
истолкование. Если точка Р на границе имеет координаты х, у,- то конец Рг сопря-
сопряженного полудиаметра имеет координаты:
/ аУ / Ьх*
Подставляя это в формулы для напряжений, мы получаем:
.nr. 2G<oab. , 2Gmab ,
т. е. напряжение в точке Р направлено параллельно сопряженному полудиаметру
и пропорционально его длине р'. Действительно, величина вектора напряжения
равна:
« Отсюда мы видим, что наибольшее напряжение
B6) хтах =
приложено на концах налой оси эллипса, а не на концах большой, как могло бы
показаться на первый взгляд. .,
3. Прямоугольник. Метод разложения в ряды. На примере прямоуголь-
прямоугольного поперечного сечения мы поясним метод разложения в ряд для разрешения
нашей задачи теории потенциала.
Пусть наше прямоугольное поперечное сечение лежит в плоскости ху так,
что начало координат совпадает с центром прямоугольника. Большая сторона Ъ
параллельна оси у, а меньшая а параллельна оси х. Будем искать потенциальную
функцию С/, которая на границе принимает значения
т. е,
2
B7)
на больших сторонах jx = ± -^-j значения: ф== —
' ' l Ъ Ь2 ж2
а на меньших сторонах ( у = -±. — I значения: ф = ( .
\ 2 J 8 * 2
Мы можем упростить нашу- граничную задачу, рассматривая вместо ^ ее
вторую производную
B8) t-**--. ^

262 Механика сплошных сред
Обе вторые проивводные по х и у равны друг другу по величине, но имеют
обратный знак, так как <|< удовлетворяет дифференциальному уравнению Дф = о.
Для t получаются граничные условия:
B9)
на больших сторонах lx = -±z — \, t = — 1 или t* = О,
на меньших сторонах [у = ± — j, t = -\-l или f* = 2,
где t* = t-{-l, t* есть также потенциальная функция. Решение мы будем искать
со
в виде ряда f = 2 С»Л (х) 9, (У% каждый член которого удовлетворяет дифферен-
0
циальному уравнению Мч* = 0. Тогда должно быть:
ч &q4 (у)
или
1 d4. 1 d2a (и)
- Р"
Значение обеих дробей должно быть равно некоторой постоянной, так как =-2—
Р-,
С
не может вависеть от у, а — не может зависеть от х.
Выбирая -{-X8, получаем:
ру = ch \чх или sh \x\ qy = cos \y или
При —X2 получается:
'Рч = cos \чх или sin Xva;; gv = ch Xvt/ или
Мы получаем, следовательно, решения потенциального уравнения, если умножим
гиперболический синус или косинус от х (или у) на обычный синус или косинус
с таким же аргументом от у (или х). Так как ив граничных условий видно, что t*
есть четная функция от ж и у, то решениями могут быть только косинусы. Если
мы еще требуем, чтобы частное решение удовлетворяло условию t* = 0 при
а
x = ztz—, то остаются только члены вида ch \jj cos Xv#, для которых должно быть
-. Мы положим, следовательно:
Хч j
j со
C0) t* = 2 cv ch Xv2/ • cos Xv^; X, =
Остается теперь удовлетворить условию t* = 2 при у = dz —, ив которого
мы и определим коэффициенты су. При у = ±— мы имеем

VIII, § 2
Кручение призматических стержней
263
Метод определения коэффициентов сч известен из теории рядов Фурье. Если
а
умножить C1) справа и слева на cos
а
и проинтегрировать от
а
до -\- —, то справа остается только один член, для которого v = h, откуда следует:
/¦
a
г
cosv.
2a
I cos2-^—-E-^ dx,
J &
нли, после вычисления:
C2)
__ 8-(—I)"
Cu
2a
Интегрируя по ж и у, получаем из формул
, Bv + 1) да
Ch ! :
C3)
зьгоажения:
дх
C4)
8
сЬ^+1>
2а
• cos
сЪ
а . Bv -I-1) тег
2а
Щ
Эф
by
У
8а
cos
2a
Постоянные интегрирования обращаются в нуль, так как напряжения:
в центре (ж = 0, у = 0) равны нулю вследствие симметрии сечения. Напряжения
в остальных точках даются формулами:
C5) j
Bv-f IJ
cos
2х г-
h
Cu
.
z
2a

264 Механика сплошных, сред
Наибольшее напряжение получается в середине большой стороны, так как
член 2G<az преобладает над рядом. Оно равно ж=—, у = 0 \:
C6)
1 o
Т Bv + 1> chBv+1)
2а
Так как по нашему предположению Ъ больше я, то этот ряд сходится чрез-
чрезвычайно быстро. Практически достаточно ограничиться первый членом ¦ г. fan
сЪ-^-
как даже в самом неблагоприятном случае Ь = а значение этого первого
1
члена г- = 0,4, а значение остальных членов:
9 1-
Следовательно, ряд равен своему первому члену с точностью до 0,5%.
Отсюда с достаточной точностью:
C6') - " ' * 8
Крутящий момент
М == JJ (тгуа; — хпу) dx dy
вычисляется простым интегрированием и равен
- 6 ¦+•¦«* ^>+1)^ ~^~е ' B+d
Но, как известно:
1
Bv-}-l)* 96'
и, следовательно:
2а
Здееь также можно ограничиться первым членом бесконечного ряда, та)
как в самом неблагоприятном случае первый член:
th-J = 0,927,

, § 2
Кручение призматических стержней
265
а весь остаток
th
Bv-f-l) ъЪ
(+V (+)
Следовательно, первый член суммы равен всей сумме с точностью до 0*5%,
в с практически достаточной точностью:
2«-
Выпишем в заключение выражение для смещения:
C8)
= ш
By-f-l)s
2a
4. Сечение, ограниченное многоугольником. Применение метода
теории функций комплексной переменной.
Решение граничной задачи кручения для поперечного сечения, имеющего
вид прямолинейного многоугольника, подучаетея с помощью применения метода
конформного отображения. Заметим прежде всего, что и здесь граничное усло-
условие 4 = —"Г может быть значительно упрощено, если наряду с функцией
<p-f"*tl' ввести ее вторую производную по х -\~iy.
Положим
C9)
Полагая далее
D0)
получаем:
тогда
д?
d(x-\-iyY
_ Ц _ Ъ<ь
q~~dx ~ду'
dp _ dq
дх~ ~ду
~дх~~ ду~"дз?~ дх'ду~ ду*'
Скалывающие напряжения при этих обозначениях равны
D1) ¦ztx = Gm( — y+p); \y = G<»(x — q).
Рассмотрим v-ую сторону многоугольника. ^Обозначим черев х, Угол между
этой стороной и осью х, и через dl элемент длины этой стороны. Тогда, дву-
двукратное дифференцирование граничного условия по I дает:

866
Механика сплошных сред
но
Здесь
dx
D2)
Отсюда подучаем:
~dl
J д2^ dx dy ,. dty ( dy\2
"¦" ЪхЬу ~аТ1п^"ду2 \dl) "
dy
s • sin 2X,
d2x
да
cos 2x, =
Это есть уравнение (в плоскости sf) прямой, находящейся на расстоянии 1 0-
начала координат (s = t = O) и образующей угод—2Х, с осью s. Если ш-
втому мы рассмотрим конформное отображение, осуществляемое функцией
плоеНость Z
•¦X
¦л-г
плоскость
C-
Рис. 12.
приводящее в соответствие каждой точке плоскости ху толку плоскости st, тс
как это следует из D2), при этом отображении v-ая сторона многоугольнике,
ограничивающего сечение, перейдет в отрезок прямой s • sin 2Х\ -f-1 • cos 2X-# —
на плоскости st. Следовательно, заданное поперечное сечение преобразуется
опять-таки в некоторый многоугольник. Стороны заданного поперечного сечени.
образуют с осью х углы Xl, Ха, Хз и т- Д- Стороны его изображения в плоскости s:
образуют углы —2Xl, —2Ха, —2Xs и т. д. с осью s. Если поэтому внутренние
углы данного многоугольника суть а1э а2, а3 и т. д., то внутренние углы изобрг
жения Pd pa, р3 и т. д. получаются из них о помощью соотношения:
D3) Р =Bи
где тч оуть некоторые целые числа.
Мы, таким образок, свели нашу задачу к вадаче отображения некоторог<
многоугольника в плоскости ху с углами <xv на другой многоугольник в пло-
плоскости st с углами Рч, описанный около единичного круга так, чтобы вершинк
углов одного многоугольника соответствовали вершинам другого.
Конечно, вообще говоря, два многоугольника не могут быть отображены
друг на друге так, чтобы вершины одного соответствовали вершинам другого.
Но в нашем случае это возможно сделать потому, что мы имеем право ввести

VIII, § 2 Вручение призматических стержней 267
в плоскости st надлежащее число так расположенных точек разветвления, чтобы
вышеуказанное условие выполнялось г).
Наша задача отображения решается с помощью отображения плоскостей осу
и si на плоскость вспомогательной комплексной переменной С = ?-j-tr), так, чтобы
оба многоугольника преобразовывались в верхнюю полуплоскость С. Выберем
наши координаты так, чтобы »-ая вершина поперечного сечения в плоскости ху
совпадала с началом координат, & »-ая сторона (от п — 1-й вершины до »-й)—
с осью х (см. рис. 12). Тогда угол между m-ofi стороной и осью х
D4) Х»=-2*.
Началу координат плоскости осу пусть соответствует на плоскости С беско-
бесконечно удаленная точка С = оо. Вершинам нашего поперечного сечения в пло-
плоскости пусть соответствуют точки С^ С2, ... , Сп-1. Такое отображение пло-
плоскости ху на плоскость С производится, согласно формуле Шварца-Еристоффеля,
с помощью интеграла:
с
D5) х4-гу
С ^ .
J ЩС-С,I
Здесь показатели \ определяются по внутренним углам поперечного сечения:
D6)
Переходя теперь к отображению многоугольника плоскости st на плоскость С,
вепомним, что вершины его должны соответствовать вершинам поперечного
сечения и, следовательно, при отображении на плоскость С, тек же точкам d,
Цр • • •' Ч»—1-
Связь между плоскостями st и С дается интегралом вида D5), только в не-
несколько более общей форме. Вместо показателей 1 — xv в знаменателе теперь
будут стоять показатели:
3 2я
D7) i_-^.=_J!_2m4 = 2x4 — 2«v
Кроме того, в плоскости st могут существовать разветвления. Учитывая
это обстоятельство, введем в подинтегральное выражение еще целую рацио-
рациональную функцию Л (С) с вещественными коэффициентами, корни которой соот-
соответствуют точкам разветвления. Положим, следовательно:
D8)
/
В том, что коэффициенты полинома R (С) должны быть вещественными, можно
убедиться следующим образом. Точки С*, в которых R (С*) = G, соответствуют
точкам резветвления плоскости st. Если теперь зеркально отразить многоугольник
плоскости st относительно v-ой стороны, и в соответствии с эгин верхнюю полу-
полуплоскость С относительно отрезка С, _1-J*- С,, то отражение С* точки С* должно
J) Автор хочет сказать, что взаимно однозначное отображение двух многоуголь-
многоугольников, при котором вершины соответствовали бы друг другу, вообще говоря, невозможно.
Но в нашем случае взаимная однозначность не требуется (s + И должна быть однозначной
функцией от x-\-iy, во ив обратно), и поэтому мы инеем право ввести на плоскости st
точки разветвления, так выбранные, чтобы отображение сделалось возможным, (Прим. ред.).

268 Механика сплошных сред
опять соответствовать некоторой точке разветвления плоскости st. Значит будем
также иметь В (С*) = 0 и значит В (С) имеет вещественные коэффициенты J).
Докажем теперь, что выражение D8) действительно дает решение нашей
задачи. Для этого рассмотрим отрезок Cft_x-»-Cft оси, соответствующий А-ой сто-
стороне многоугольника. По D2) здесь:'
< s • sin 2хЛ -}" * * cos ^Xs == !•
Это равенство можно записать в виде:
D9) I {ei2lh (s -)- it)} = 1 (I == мнимая часть).
Дифференцируя, получаем:
E0)
Дифференцируя D8), имеем
E1)
П(С —
Числитель этого выражения вещественный, так как тч суть целые числа
и В вещественно. В произведении, стоящем в знаменателе, вещественны те мно-
множители, в которых С, <Cft_1, т. е. от v = l до v = A—1. В множителях от
К — ^JXft Д° & — CftJ**-1 ВСЮДУ (С —С,JХ" =|С —CJ e2"V Мы получаем, сле-
следовательно, если обозначить совокупность вещественных величин одной буквой Z:
E2) ** + *>
Остается доказать, что множитель Пе~2кН* равен
Так как х, есть угол между v-ой стороной многоугольника и осью х, то
X, + i Х,==1С avi
и суммируя от h до п — 1
П— 1
х„—хй=(»—fe)^ —2 v
»—i
¦ ? 2<s4
Так как
E3) Пе~2 Хч" = rt e 2<aft,
что и требовалось доказать.
В выражении D8) остались еще неопределенными показатели тч и целая
рациональная функция В (s). Мы докажем еначала, что показатели т не могут
быть отрицательными. Это следует из физического требования конечности энергии
а) Это рассуждение требует дополнения, я заключение не вполве правильно. Но это
обстоятельство не влияет на результат, ибо, как будет показано ниже (впрочем не вполне
строго), мы действительно получим решение задачи, если возьмем В (?) с вещественными
коэффициентами. (Прим. ред.)

' Ч
VIII, § 2 Кручение призматических стержней 269
деформации. Энергия деформации на единицу длины стержня и на единицу пло-
площади поперечного сечения равна:
E4) е = \ G»*{(y -pf + (*- qJ).
Для того чтобы полная энергия / / edxdy оставалась конечной, инте-
интеграл I Г (p2-f-g2) dxdy должен сходиться и, следовательно, p-\-iq не должно
возрастать быстрее, чем {(x-\-iy) — (яу-{-«/,)}", когда мы приближаемся к v-й
вершине.
Вводя обозначение г=-х-\-ху (г здесь уже не является третьей простр&н-
ехвенной координатой), мы имеем вблизи от h~6& вершины
[
E5) i
[
где С ж С суть некоторые постоянные, которые мы не определяем более подробно.
Следовательно:
— 2
к после интегрирования:
Для того чтобы показатель был больше, чем —, должно быть:.
4тЛ + 2 —2хА>—kv
иди
Так как v.h = — лежит всегда между 0 и 2, то целое число mh должно
удовлетворять условию
E6) ' Щ>0.
Объединяя положительные степени (С — СЛ) с функцией B(Q, мы получаем:
s + it=f R^d'
Аналогичные рассуждения позволяют нам оценить степень В (С). Рассмотрим
для этого точку з = 0, t = оо. Производя аналогичным образом вычисления
и обозначая степень В через N, получаек:
E7) 2V<2»—6.

270
Механика сплошных сред
Тем самым полное решение может быть представлено в параметрической
форме:
с
E8)
сю
t=J псс-с^'
л с:)в
где все яч вещественны.
В каждом отдельном случае необходимо еще определить коэффициенты а№
а, ..., а>2п-в- ^ы показали пока только то, что на сторонах многоуголь-
многоугольника sin 2/vds -}- cos 2-^dt = О и, следовательно, s • sin 2jcv -f- s • cos 2%4 =* const.
Коэффициенты av должны быть так определены, чтобы эта последняя постоянная
на всех сторонах многоугольника равнялась единице.
Покажем теперь, что число коэффициентов и постоянных интегрирования
(комплексная постоянная считается за две вещественных) как раз достаточно
для того, чтобы удовлетворить граничным условиям. Если на каждой стороне
cos2x, = 1, то тем самым-тг|- = 1; если, кроме того,
> то граничные условия будут выполнены повсюду.
многоугольника s - sin 2x
в 'каждой вершине $ =
Эти и условий на сторонах и » условий в вершинах дают совместно 2» условий,
для выполнения которых у нас имеется в распоряжении как раз необходимое
число 2» постоянных, а именно: ,
2» — 5 коэффициентов а№ av ..•,«2n_e,
2 постоянные интегрирования для s-{-it,
2 постоянные интегрирования для р -\- iq,
1 постоянная интегрирования для ф.
Простейшим примером, который впрочем может быть легко получен и при
помощи полуобратного метода, является равносторонний треугольник. В этом
1С
случае п равно 3, и поэтому В (С) приводится к постоянной; углы ач = —-,
о
и поэтому
Интегралы при этом получаются такие:
E9)
г
_ [ &
i n(c-cv)^"
f йг= г aj^.
J П(С —CJ«

VIII, § 2 Кручение призматических стержней 271
Отсюда
\it = a^-\-постоянная интегрирования.
Обе постоянные определяются из условия, что па сторонах s • sin 2](v -J-
-f- * • cos 2^v == 1. На положение координатной системы при этом не наложено
никаких ограничений. Мы расположим данный треугольник (сечение) так, чтобы
он был вписан в некоторый круг радиуса р с центром в начале координат и чтобы
третья сторона треугольника была параллельна координатной оси х; пусть эта
р
сторона будет расположена на пряной у = — ¦-?-. При таком выборе координатной
системы постоянная интегрирования пропадает и, как легко убедиться, а =
Значит
откуда, интегрируя, получаем:
Постоянная интегрирования отпадает, так как в центре тяжести треуголь-
треугольника, в силу симметрии, напряжение равно нулю. Интегрируя еще раз, мы полу-
получаем выражение
Зр
мнимая часть которого
Для определения постоянной Cs потребуем J), чтобы в середине третьей
стороны (т. е. при х = 0, у = ~~Ь
отсюда
и следовательно:
Напряжения оказываются равными:
(„+«а).
!) Постоянная О, никакого влияния иа упругое раваовесие ие оказывает и ее
можно подчинить любому условию. (Прим. ред.).

272 Механика сплошных сред
Наибольшее 'напряжение получается в серединах сторон, где
F1) " ттах=:—4 = Т~
Крутящий момент вычисляется по формуле
M_Gml* YY
~ 80 '
где I есть длина стороны треугольника.
* 5. Кручение призм, составленных из различных материалов х). Пред-
Предположим, что данная призма состоит из нескольких призматических (цилиндри-
(цилиндрических) стержней, составленных из различных материалов и спаянных между
собою вдоль боковых поверхностей (например, бетонный брус, армированный
иродольными металлическими стержнями).
Сечение S такой призмы состоит из различных участков Sv S2, ... S#
соответствующих различным материалам.
Положим, как в случае однородной призмы:
(А) и = — mzy, v = <azx, w = охр (х, у).
Подставив эти значения в формулы, связывающие напряжения со смеще-
смещениями; получим, что для точек, принадлежащих участку Sj(j = l, 2, ..., к),
будем иметь, как в случае однородной призмы:
дх
(В)
где Gj — модуль сдвига, соответствующий участку ?,•.
Подставляя эти значения в уравнения равновесия, получим, как и в случае
однородного цилиндра, что Д» = 0 в каждом из участков »Sy.
Граничные условия выразятся следующим образом. Во-первых, функция <?
должна быть непрерывной во всей области S, ибо этого требует непрерывность
компонента смещения w (мы ведь предположили, что материалы спаяны между
собою).
Во-вторых, на свободной границе области S должно быть (как и в случае
однородного цилиндра) гет cos (га, х) -(- тгу cos (га, у) = 0, что сводится, как легко
видеть, к условию:
(С) -^ — у cos (п, х) — х cos (и, у),
где » — нормаль к границе.
В-третьих, на линиях раздела, смежных участков St и S}- должно быть
[твд cos (», х) + \v cos (», y)]t = [¦:„ cos (и, it) -\- -zty cos (и, ?/)]>7
где значки г и j указывают па то, что выражение, заключенное в скобки, вычи-
вычисляется для материала с соответствующим номером. На основании (В) легко
видеть, что эти условия сводятся к следующим:
GF, № ) —gA -^) = (G, -
(D) GF, № ) —gA -^) = (G, - G,) [у cos (га, я)-* cos
1) Отмеченное * добавлено редактором. (Дрим. ред.).

VIII, § 3 ¦ Плоская пластинка, к которой приложены силы 273
Можно показать х), что поставленная таким образом аадача всегда (вернее,
при весьма общих условиях) допускает вполне определенное решение. Также не
трудно дать простые, практически пригодные решения для ряда чаотных областей. ¦
§ 3. Плоская пластинка, к которой приложены силы, расположенные
в этой же плоскости
1. Функция напряжений. Рассмотрим плоскую пластинку, т. е. цилиндри-
цилиндрическое тело, у которого расстояние между верхним и нижним параллельными
основаниями мало по сравнению с размерами этих оснований.
Пусть эта пластинка загружена силами, приложенными к ее контуру н рас-
иоложенными в ее плоскости.
Систему координат мы выберем таким образом, чтобы оси х, у лежали в сред-
йей плоскости пластинки, а ось z была перпендикулярна к ней.
Мы установим уравнения для средних значений напряжений, взятых по тол-
тине пластинки, т. е. для о = -г- I ads и т. д. Для этой цели заметим, что
h h
ва плоскостях в = — и z = —- , где не приложено никаких внешних сил, на-
пряжения оа, тет, т должны обращаться в нуль. Из условия равновесия
ОХ ' ду 02
вледует, что и -—- также равно нулю на этих плоскостях. Мы поэтому будем
считать, что величина о, сама, или по крайней мере ее среднее значение, равно
нулю. Это предположение выполняется тем лучше, чем тоньше пластинка.
Для средних вначений напряжений:
0= -г-
обозначаемых черточками сверху, мы получаем уравнения равновесия:
A)
дх ' ду
¦ох о у
— ь
интегрируя основные уравнения равновесия по z от —-— до ¦
1) См. Н. И. Мусхелишвилп, К вадаче кручения и изгиба упругих брусьев, соста-
составленных нз различных мптериалов, Иав. Академии наук UGUP, Огд. мат. наук, Ib3i,
стр. 907 н слвд. (Прим. ред.).
. 18 Зак. 1408, — Франк в Ылзес. Дифф. уравн. мат. фяз.

274 Механика сплошных сред
Связь этих средних значений напряжений со средними значениями деформаций
y J
l
2  2
мы получаем, интегрируя по г уравнения, связывающие деформации с напряже-
напряжениями, что дает
дх —г*~ 2G
1
ди . dv - __ 1 —
Ту + ИГ ~'lx*~~G Хх*'
Общий интеграл уравнения A) имеет вид1):
_
*•> °х bif ' *х»~ дхду' °*~ дх*'
Функция F называется функцией напряжений.
Дифференциальное уравнение для F мы получим, если 8аметим, что величины
- ди - dv - ди . dv
** ~ "to ' **~Hy' '{'»="ду+'Ш
евяааны следующим соотношением („условие совместности")
д%у_ _ дЧ дЧ _ д%^ ЗЧу
( -* ~дхду~~ дхду2 ' дх*ду ~~ ду2^"'дх^'
которое получается на основании возможности перемены порядка дифференциро-
дифференцирования. Подставляя в это уравнение выражения для ех, г , г , даваемые фор-
д2 д2
мулами B) и C), и вводя снова для сокращения обозначение Д = -j-j -|- -х—^-,
нолучаем:
1 d*F 1 f d*F d*F 1 (d4F d2\F
^ } 6r дх*ду2 ~ 2G \ dx* "" dy* m + 1 \ dx2 "• dy2"
') Действительно, из уравнений A) следует, что выражения aydx — ixpdy и
— irydx-\-Qxdy суть полные дифференциалы некоторых функций от х н у, которые мы
•бозначим через Fz{x,y) н Fy(x, у), так чво <yte — ixydy = dFx, —ixydx-\-oxdy = dFr
Отсюда следует:
dFy dF. dFr dFy
* ду ' • дх'* . *• ду дх
Ив последнего равенства следует, что Fxdx-\-Fy4y есть полный дифференциал
некоторой функции F(x, у), так что
F —— F — —
Значит будем иметь:
у дх* ' **~ дхду' (Прим. ред.)

VIII, § 3
Плоская, пластинка, к которой приложены силу
276
или
m-\-l
Я4 ~Г ^ Я2
и следовательно, уравнение E) дает нам после сокращения на , л уравнение
(в) AAF = O.
К дифференциальному уравнению F) следует добавить еще граничные
условия, что на границе тела напряжение находится в равновесии с приложен-
приложенными там внешними силами. Если обозначить через S и Н средние значения
внешних сил, приложенных к границе и рассчитанных на единицу длины границы,
а через cos (n, x), cos (», у) — направляющие косинусы нормали к границе, то
для равновесия требуется, чтобы:
{ °х cos (». х) +\у cos (», у) = Е,
| хгу cos (п, х) -\- ау cos (и, у) — Н.
Выражая напряжения через функцию напряжений и замечая, что
(8) cos (и, x) = ~JLy cos (и, у)= — ^-,
где dl есть элемент длины граничного контура, a dx, dy его проекции на коорди-
координатные оси, получаем:
dx_w
dl -""'
(9)
(Ю)
дхду dl 9жа dl
Интегрируя эти равенства по I, получаем X):
dF _
ду =
дх
Так как постоянная интегрирования не оказывает никакого влияния на
значение напряжений, то интегрирование в правой части можно начинать из любой
точки контура. Р и Q суть компоненты главного вектора всех внешних сил,
приложенных к контуру между начальной точкой интегрирования и переменной
точкой (х, у).
Интегрируя еще раз, получаем:
F=f(Pdy—Qdx).
*) Левые части соотношений (9) очевидно равны соответственно
d fdF\ d /dF\
(Прим. ред.).
18»

876 Механика сплошных сред
При поиощи интегрирования по частях легко выяснить физический сиысл F.
F есть главный момент всех внешних сил, приложенных иежду начальной точкой
в конечной точкой интегрирования, взятый относительно пооледней1).
Граничное условие A0) мы можем написать в еще более простом виде;
обозначая через dn элемент длины в направлении внешней нормали, мы имеем:
dx dy dy dx
~dn dl' Hn~~~~M
и И8 A0) получается
dn — dx dn^ dy dn ~ V dl ^Г dl ]
Задача, к которой свелось нахождение напряжений, может быть сформули-
сформулирована следующим образом: требуется определить некоторую функцию F, которая
удовлетворяет дифференциальному уравнению !
ДД2? = О,
а на границе, вместе с своей нормальной ^производной, приникает заданные
вначения:
A1) F
Вычисление смещений по функции напряжений.
Вычисление смещений при ваданных напряжениях производится в общем
случае по следующему правилу: сначала из уравнений, связывающих напряжения
с деформацией, вычисляются компоненты деформаций. Дифференцируя их, мы
получаем вторые производные м, v, w по х, у, z и двухкратным интегрированием
находим сами смещения. Последние при этом определяются с точно зтью до парал-
параллельного перемещения и поворота всего тела, не вызывающего деформации.
Само вычисление не представляет озобого интереса. Результат в нашем случав
следующий: из s = AF следует As =0; весть, следовательно, плоская потенциаль-
потенциальная "функция. Обозначая сопряженную с ней потенциальную функцию через t,
*) Пусть А (хА, уА) и В(хв< ув) — начальная и конечная точки интегрирования.
Считая, что F=sP — Q = O в начальной точке, получаем, применяя интегрирование
по частям:
в В
F(x,y)=f {Pdy — Qdx)=J [ pd(j,-yB)—Qd (х-хв) }
А А
Я
+f {(*-
J
А . А
В Я
Замечая что dQ = lldl, dP = Zdl и что Р и Q раниы нулю при х = хл, у = уА,
получаем / ¦ \
В
J
откуда Н следует утверждение VfKCTa. {ирам. ред.).

VIII, § 3 Плоская пластинка, к которой приложены силы
277
«ы имеем, что s-\-it есть аналитическая функция от комплексной переменной
ж'Ц-iy. Обозначая далее через 8-{-гТ комплексный интеграл втой функция
A3)
ЙГ+ »Т= У* (s + it) d(x + iy),
dS дТ _
ду~~дх '
жы получаем для смещений:
A4)
m
m
dF
Эти смещения дают правильные значения для напряжений. Действительно,
1ак и требуют уравнения, связывающие напряжения ic деформациями, получается:
ди
m
1 / т - 0 I- l L
2G\m+l S *l~2G\'
6f
Постоянные интегрирования м0 и v0 означают пареллельное перемещение
всей пластинки; f (которое должно считаться малой величиной) — вращение на
угол -у без деформации. Для выяснения геометрического смысла функции t,
составим вихрь вектора смещений. Отбрасывая несущественные постоянные инте-
интегрирования, получаем:
dv " ди 1 т ( df dS ] mi
следовательно, о точностью до множителя —
есть вихрь вектора
смещения, т. е. равно среднему повороту линейного элемента, проходящего черев
данную точку.
Многосвязные области. Формулы для смещений приобретают особен-
особенное значение, если рассматриваемая область не односвязна, т. е. если мы имеен
' dF
пластинку с отверстиями. В граничные условия для F и -^— входят три про-
произвольных постоянных интегрирования. Для односвязной области эта неопреде-
неопределенность не ущественна: различные решения, соответствующие различному выбору
этих постоянных, отличаются друг от друга на некоторую линейную функцию
от х и у, которая пропадает при дифференцировании, производимом для опреде-
определения напряжений. Но если мы имеем дело с многосвязной областью, то для
каждой границы имеются три неопределенных постоянных, причем иэ них всех
только три могут быть выбраны произвольно. Остальные определяются ив условий,
что не только напряжения, но и смещения должны быть однозначными функциями
от х и у.

278 Механика сплошных сред
Для этого, во-первых, требуется, чтобы средний поворот линейного элемента
(т. е. функция t) был однозначен. Эта функция определяется формулой:
A6)
Так как при обходе вокруг отверстия в пластинке функция должна возвра-
возвращаться к своему начальному значению, то интеграл по замкнутому контуру,
окружающему отверстие:
A7)
Во-вторых, требуется еще однозначность функций и и v. Для этого выражения
_ т _9F m _ dF
т-\-1 dx «i'-f-l d~y~
при обходе вокруг отверстия должны возвращаться к своим исходным значениям.
Функции S и Т определяются формулами:
A8) S = f (sdx - tdy); T= f\sdy -f- tdx).
Если условиться обходить границу в таком направлении, чтобы внешняя
нормаль была обращена вправо по отношению к направлению обхода, то, как было
dF dF
показано выше, приращения величин -j~~ и -¦—— между двумя точками гра-
ницы равны суммам проекций внешних сил, приложенных между этими точкам?,
на оси х и у.
о , dF dF
она,чит, при обходе вокруг отверстия -т— и .— увеличиваются соот-
оу ох
ветственно на Р* и Q*; через Р* и Q* обозначены суммы проекций внешних сил,
приложенных к границе отведсхия на оси х и у. Так как — m ' S и
m-j-1 dx
mi"l T FT Д°лжпы возвращаться после обхода вокруг отверстия к своим
первоначальным значениям, то —- S и -—р—- Т должны увеличиться на
m-j-l m-j-1 '
dF dF
такие же величины, как ~— и -^—; значит мы должны иметь:
m
m
A9)
где интегралы взяты вдоль всей границы отверстия в указанном выше направлении.
Если в формулах A0) мы придадим постоянным интегрирования для внеш-
вей границы пластинки прозвольные значения, то постоянные интегрирования
для границ отверстий внутри плаотинки определятся из условий A7) и A9).'

VIII, § 3 Плоская пластинка, к которой приложены сили 279
Интегрирование, конечно, при этом значительно усложняется тем, что функция F
и ее первые производные уже не будут однозначными во всей области J).
* la. Комплексное представление функции напряжений 2). Во многих
случаях очень удобно представлять функцию напряжений, а также сами напря-
напряжения и смещения при помощи функций комплексной переменной x-j-iy и
сопряженной переменной х — гу. Выше [формула A3)] мы ввели комплексную
функцию;
S -f гТ = у (s -f it) d (x+iy),
где s = hF, a t — функция, сопряженная с s. Так как S и У представляют собою
вещественную и мнимую части функции комплексной переменной х-\-гу, то они
суть потенциальные функции, т. е. Д5' = Д7т=0. Кроме того имеем:
дх ду
Легко непосредственно проверить на основании этого, что
откуда
F-±(fi
.где Sj — потенциальная функция; значит:
(A) >=I(-S
Пусть 2*1 — потенциальная функция, сопряженная Sv Положим:
8 -f- гТ = 4Ф (х+iy), Si + Я\ = ^ (л -f гу).
Тогда, очевидно, предыдущая формула (А) может быть переписана так:
'(В) F=R{{x—гу)Ф(х +
Эта формула, по суп^еству, совпадает с формулой, данной Гуроа.
Вводя функции Ф (х -j- iy) и W (х -|- гг/) вмеото F в выражения для напря-
напряжений и смещений, получаем весьма удобные и важные формулы, совпадающие
по существу с формулами, полученными Г. В. Колосовым иным путем. Не оста-
останавливаясь на их выводе3), заметим, что при их помощи весьма просто
решается ряд важных вадач, имеющих практический и теоретический интерес.
Укажем еще одну простую формулу, вытекающую из формулы (В).
Переписав эту последнюю в виде
*) Более подробное исследование случая многосвязной области си.' в статье
Т. Ж. Mieell'a (которому и принадлежит большая часть указанных результатов), О» the
direct determination of stress и т. д., Ргос. of the London Math. Soc, V, 81, 1900, 100
и сдед. Все эти результаты несравненно проще получаются при комплексной предста-
представлении решения, о которой ниже будет сказано .несколько слов. (Прим. ред.).
2) Отмеченное ¦ добавлено редактором- •
*) Вывод можно найти, например, в книге Н. И. Мусхелишеили, Некоторые основные
задачи математической теории упругости, изд. Академии наук СССР, 1933; также см.
ссылки на работы Г. В. Колосова и М. И. Мусхелишеили.
(Прим. ред.).

280 Механика сплошных сред
и ваыечая, что (х — iy) (x -j- «/) = хй -j- t/a = r2—вещественная величина,
получим:
(С) Р
где <?, и <?а — потенциальные функции:
Так как прибавление линейной функции к F(x, у) не ивменяет напряжений,
то кы можем всегда прибавить к Ф(х-\-гу) произвольную комплексную постоян-
постоянную. Если начало координат находится в рассматриваемой области, то эту
постоянную можно выбрать так, чтобы Ф @) = 0, я тогда — Гч **' будет ре-
x-f-iy
гулярна и в начале координат; значит, функции <Pi и ф2 в формуле (О) можно
считать регулярными; однако они могут быть многозначными в случае много-
многосвязных областей.
2. Сосредоточенная сила, приложенная на границе полуплоскости.
Рассмотрим полуплоскость у >0, на границу которой в начале координат, дей-
действует сосредоточенная сила К в направлении оси у. Определим прежде всего
dF dF ,
значения -^— и -=— вдоль оси х (т. е. на границе области), начиная интегри-
интегрирование от точки х — — со. Мы имеем формулы A0): :
где Р и Q суммы горизонтальных и вертикальных компонентов сил, приложенных
к границе между точкой х — — со и рассматриваемой точкой. Следовательно:
f dF dF
при х<0, -к— = 0, -j—= 0, F=0,
I dx дц
B0) др
(при*>0, _1 = _я: __.о. F=-Kx.
Для нахождения решения заметим, что если «Jj и ф2 суть потенциальные,
функции двух переменных (х, у), то функция
B1) ^=1
удовлетворяет уравнению ДД/'1=О. При г/ = 0 имеем:
Следовательно, ввачение на границе (оси х) функции ^ совпадает со значением
на границе функции F. Потенциальная функция, принимающая на границе зна-
значения того же характера, что и F, т. е. линейная (на оси х) справа и слева
от начала и имеющая производную (по х), которая изменяется скачком при пере-
переходе через начало координат, дается нам мнимою частью комплексной функций
(x + iy) lg (x-\-iy) = (x + iy) (lg r+ »&)== x lg r — t/»-f-г(хЪ-)-у lg r), '
где г и & обычные полярные координаты. Если положить:;
B2) <Pi*=^

Will, § 3 Плоская пластинка, к которой приложены силы 281
so вышёнапнсанное граничное условие будет выполнено. -Далее, так как вдоль
Я Е»
всей оси должно быть -—-=0, то *)
' Мы получаем, следовательно:
кли, окончательно:
B3) F = -^ (хЬ — у) —Кх.
— и —
Отбрасывая несущественные для напряжений члены — и —Кх, мы
получаем просто:
Дифференцируя это выражение, мы получаем напряжения:
<25)
ду* * И '
?___21Г j? _ , 2К у
= i— Л = 0 -4- О == —
_ 2K.xy»
дхду ~~ тс г* *
Исходя из этого решения, можем найти функцию напряжений для случая,
когда вдоль оси х распределены произвольные нормальные силы следующим
путем. Если в «очке I действует сила; равная 1, то соответствующая функция
напряжений:
B6) ' f(x,y,D = ^-(x — Qarotg
1С
Л
Если же на элемент d\ действует сила р (?) сК, то соответствующая функция
напряжений:
,' Р (О f(*, У, 9 * = -?•(*- 0 arctg -У-гР F) Л.
1 JSTJ*
:) Ив условия -т— = 0 (на оси х) следует, что потенциальные функции % и
—(й; Равны иеясду собою на границе. Отсюда можно заключить (при известных пред-
предположениях относительно поведения наших функций на бесконечности н вблизи точки
разрыва, на чей мы не останавливаемся), что <fa и ~ равны между собою во всей
*• оу
рассматриваемой области. (Ырим. ред.).

S82 Механика сплошных сред
Если теперь по-оси х приложены силы р(?) на единицу длины, то соответ-
соответствующие функции напряжений суммируются. Интегрируя, мы таким образом
получаем функцию напряжений в виде:
?=оо 4-°°
B7) F*(x,y)= j f{x,yA)P$)& = ~f (a-^arctgJ-^)^.
5= —00 —00
3. Круглая шайба (диск) под действием нормальных сил, приложен-
приложенных к ее границе. Пусть к круглой шайбе, толщину которой, для простоты,
положим равной 1, приложены на границе силы давления, перпендикулярные
к границе н равные р кг на единицу длины контура. Для вычислений полезно
ввести полярные координаты г, Ь. Если 'мы вырежем иг шайбы криволинейный
четырехугольник, ограниченный двумя бесконечно близкими кругами и двумя бес-;
конечно близкими радиусами, то к последнему будут приложены следующие силы:*
нормально к радиусам ов
нормально к кругам аг
скалывающие напряжения .... т.
Так как представление напряжений с помощью функции- напряжений не
зависит от выбора координатной системы, то эти напряжения могут быть полу-
получены из функции напряжений следующим образом. Из формул для напряжений
в прямоугольных кординатах
ыы выводим следующее правило: напряжение, действующее перпендикулярно,
к некоторому прямолинейному сечению, получается двукратным дифференциро-
дифференцированием функции по направлению сечения, так что для сечения по направлению
радиуса
Скалывающее напряжение вдоль этого прямолинейного сечения получим,;
если продифференцируем, по направлению этого сечения, компонент градиента F'
в направлении, перпендикулярном к сечению. Компонент градиента F в напра-]
1 dF
влении, перпендикулярном к сечению, равен ^- и, следовательно:
1 dF\
Для получения ог ваметим, что сумма нормальных напряжении не зависит
от ориентировки системы координат, и следовательно:
Если выразить оператор Лапласа в полярных координатах, то, как ив-
вестно:
вычитая отсюда аэ, получим:
1 92F 1 dF
t31 *

VIII, § 3 Плоская пластинка, к которой приложены силы 283
Заметим теперь, что всякая функция F, удовлетворяющая уравнению
AAF=O, может быть представлена в форме:
C2) Р=?1+
[см. выше формула (О) стр. 280], где ©! и <?2 — плоские потенциальные фун-
функции. Последние могут быть представлены внутри круга рядами вида
Положим, следовательно
сю оо
C3) F= JJ r"(a,,cos и» -f P«costi») +^rn+2(a'»c°s и&+^«sin n'))
li 0
ж будем искать коэффициенты <х„, §„, <х'я, j3'n так, чтобы на границе круга, т. в.
при г = В, выполнялись условие
Скалывающие напряжения
о
(—a'nsin
о
при r—R должны обращаться в нуль при всех значениях 8, и следовательно:
Г (и
1 (и
0,
0.
Для того чтобы удовлетворить этим уравнениям, положим:
'C4) <»-ПП
C5)
Тем самым F принимает вид:
1 J1 1 „П+2
Мы видим, что член с и—1 должен отсутствовать, т. е. должно быть
а1 = Ь1== 0. Вычисляя по C5) напряжения, получаем:
«г» (И-2>"
C6) \
д»
' «о
X :

284 Механика сплошных сред
Ь частности при r = R:
в = — 2 V(«l ccs пЬ 4- ь s:
C7)
}
od == — 2^(an cos n» + К sin w&)>
0
Так как при г = Б нам задано ог = —р(Ь), то должно быть:
_ cos nO + Ь_ sm »&) = ——
о
Отсюда видно, что коэффициенты аа и Ън являются коэффициентами ряда
Фурье функции -тг-р(в) и вычисляются по известным формулам:
А
1 Г 1 Г 1
C8) а0 = —- I p(&)d»; an = -jr- I p @) cos »0d&; Ь= —-
о о о
Выше мы потребовали, чтобы «! = &! = 0. Это выполняется на самом деле,
так как приложенные силы давления должны уравновешиваться, и поэтому ком- ¦
поненты их главного вектора по осям х и у
jpdy=- |JZpcosOd& = 2«a1i?; jpdx=±— I
должны обращаться в нуль.
С практической точки зрения существенно отметить, что* опасные места
пластинки находятся на ее границе (обоснование этого мы здесь опускаем), и
поэтому для суждения о прочности достаточно знать напряжение на границе.
Так как тгран = 6 по предположению и зг задано, то необходимо знать только о9.
Последнее, однако, по формуле C7) равно ог, и следовательно, мы можем судить
о прочности без всяких вычислений. Это получается,, конечно, только в случае
чисто нормальных напряжений на границе и только для круглых шайб. Прибли-
Приближенно однако можно перенести полученные результаты и на так называемые
„некруглые шайбы", нагруженные нормально приложенными силами.
4. Растяжение полосы с отверстием. Рассмотрим случай растяжения
стержня (полосы), в котором просверлено отверстие. Вели диаметр отверстия
мал по сравнению с шириною полосы, то можно приближенно вычислить изме-
изменение напряженного состояния, вызванного присутствием отверстия, вблизи
отверстия, считая полосу бесконечно широкой, что приводит к следующей идеа-
идеализированной задаче: найти напряжённое состояние пластинки, представляю-
представляющей собою бесконечную плоскость с отверстием, в предположении, что на бес-
бесконечности пластинка нагружена чисто растягивающими усилиями (действую-
(действующими в определенном направлении). Мы рассматриваем случай, когда отверстие
круговое, с радиусом Л и центром в начале координат. Вводя функцию напря-
напряжения F' и считая, что растяжение производится параллельно оси у, будем
иметь на бесконечности: ч
C9) о.«=0, °у = с, тху = 0;
значит можем считать, что на бесконечности: -
. Л. „ сжа сг2 cos3 0 сг2
D0) F= — = j-(l+ cos2»)

, § 3 Плоская пластинка, к которой приложены силы 285
с точностью до аддитивных функций, не дающих никаких напряжений на бес-
бесконечности.
К границе отверстия не должны быть приложены никакие силы, и, следо-
следовательно, должно быть:
D1) F=§ = °-
Мы составим некое искомое решение яв функций, зависящих только от г,
или содержащих угол 0 в виде множителя cos2i>. Такими функциями являются
1, r2, Igr, г* Igr,
^У^-, cos 2b, r2 cos 2», г* cos 2»,
«оторые все удовлетворяют дифференциальному уравнению A?lF=O, так как
часть ив них является чисто потенциальными функциями, а часть потенциаль-
потенциальными функциями с множителем г3. Оба последние решения г2Igr и r*cos2&
(йпадают, так как они на бесконечности возрастают слишком быстро. Остается
D2) F = ^
Так как при г = В, по условию,
го должно быть
Ъ' п еВ
+ « = 9. + Ь = 0, + а + _ = о,-т---
г следовательно
CJR2 ей* , cm ,, сВ*
.«__,»—г, «'=-^-, 6=-^-.
Отсюда получаем:
|43) р = А Ла _ да _ 2да lg Х.\ + -^ ^2 — 2^ + ^-) cos 2».
На границе отверстия будем иметь:
ог == 0, х = О.
Напряжение о» дается формулой:
-?-
и следовательно, на границе, при г = В,
D5)
Наибольшее значение получается при & =
Мы видим, таким обрздои, что наибольшее получающееся напряжение ровно
в три рава больше, чем напряжение с на бе :конечноли, которое получилось бы
в во всей плооко^ти при отсутсгвйн отверлия.

286 Механика сплошных сред
§ 4. Пространственные задали
1. Равновесие тела, ограниченного бесконечной плоскостью. Предста-
Представим себе упругое тело, ограниченное с одной стороны некоторой плоскостью;
которую мы выберем за плоскость ху, и не имеющее больше никаких границ:
На граничную поверхность пусть действуют внешние силы, составляющие кото-
которых (расчитанные на единицу поверхности) в направлении координатных осей
равны соответственно S, Н, Z. Объемные силы будем считать отсутствующими
Пусть тело представляет собой полупространство г > 0. Мы предполагаем, что
ва бесконечности тело находится в своем нормальном состоянии, точнее, что*,
компоненты смещений и, v, w при удалении в бесконечность стремятся б нулю
таким обравом, что значения Ни, Rv, Bw, где Е есть расстояние точки от на*
чала координат, остаются ограниченными.
Равновесие тела однозначно определяется, если на поверхности г = О за-
заданы или внешние силы S, H, Z, или смещения и, v, w, или, в более обще*
случае, если известна величина какого-либо члена каждой из трех пар S, «;,,
И, г; Z, w при 0 = 0. Эта задача в общем виде решена Буссинеском с помощи'
методов теории потенциала, и другим путем решена Черути по методу Бетти,
применившего метод, аналогичный методу Грина в теории потенциала. Мы при*
мегим метод Фурье, при котором решение подобных задач получается суммиро-
суммированием частных решений. Основной нашей формулой будет служить формула*
выражающая теорему Фурье, которая может быть представлена в комплексно*
виде так (мы берем случай двух переменных) *):
4-оо -f-oo
(i) ' fi; v)*f f
Функция f(x, у) может быть и комплексной:
Ах, У) = fx(x, у) + */а(ж1 У)-
Внешние силы, приложенные б плоскости г = 0, расчитанные на едини%
поверхности, мы обозначим через Е, Н, Z. Условия равновесия на этой пло
скости требуют, чтобы при г = О:
B) *„ = —Е, *.,= —Я, о„ = -3.
Наша задача состоит в том, чтобы .найти компоненты смещений и, v, и
гак, чтобы они удовлетворяли дифференциальным уравнениям [стр. 252 G)]:
т 38
«1 — 2 ду.
т дЪ
ди . dv , dw
а на плоскости в = 0 следующим условиям: либо
D) и = Ut v = Vt to = W\
*) См. например, В. В. Смирнов, Курс высшей математики, ч. II, 2-е изд., 1931, § 159.
[Прим. ред.)

fill, § 4 Пространственные задачи 2ti7
1ИбО
К) '« = —S. ^ = -H, o, = Z,
где U, V, W и S, Н, Z — заданные функции от г и ?/.
Можно поставить вадачу и общее, считая, что в каждой ив трех пар S, и;
Н, v; Z, ю одна ив двух функций ведана при г = 0.
Кроме того, на бесконечности должны исчезать и, v, w, как было принято
выше; мы будем предполагать еще, что и объемное расширение 9 исчезает на
бесконечности:
F) lim « = О, » = 0, w = 0, 6 = 0.
Так как дифференциальные уравнения равновесия линейны, то ив не-
нескольких частных решений «15 01S %юх; «2> ra» wa > • • • можно составить более
общее решение:
х если имеется бесчисленное множество частных решений, то таким способом,
смотря по обстоятельствам, можно получить решение в виде бесконечных рядов
или определенных интегралов. Таким обравом, вопрос прежде всего заключается
в нахождении частных решений надлежащего вида, содержащих достаточное
висло параметров, лля того чтобы можно было составить (суммированием) ре-
решение, удовлетворяющее граничным условиям E) и F).
Решение, удовлетворяющее этому условию, дается формулами:
G)
где о, Ъ, с, а, р, f, h суть постоянные, которыми мы можем еще соответствую-
соответствующим обраэом распорядиться. Положим сначала, что
(8) a9-f-pa_j_T2_o или Т —
р основании чего получаем:
(9) / 6 = i{aa + ^ + C
и даЗее
f &u = —
A0) j A* = -
' ( /
Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения C), мы нахо-
находим, что последние удовлетворяются, если:
A1) (Вт— 4Oq = — т (am. -\- Щ -\- с-{).
Тем самым мы нашли h как функцию всех остальных постоянных. Будем
ечитать, что а и р чисто вещественные, а •(, следовательно, чисто мнимая вели-
величина. Тогда при г = -\-оо, и, v и w равны нулю.
Положим теперь:
[12)
Л, Д С—произвольные функции параметров аир.

288
Механика сплошных сред
Далее
A3)
где, согласно A1), надо взять:
Суммируя эти частные решения, мы получаем для «, v, и> общие выра-
выражения:
A5)
и= С С (А + м Л*)е
—оо
v= f f
—оо
+СО
Функции А, Б, С, вообще говоря, комплексны. Для того чтобы и, v, w были
вещественны, достаточно, чтобы
А (—а, -р), В(-а, — р), С(-«, — Р)
были комплексно сопряженными с
т. е. чтобы вещественные части были четными, а мнимые части нечетными
функциями от а и р. Действительно, ив A4) следует, что при этом и функции
A-j-iaHs, В+ЦНг, C-\-i-(Hs
будут обладать такими же свойствами. Отзидч следует, что выражения A5) не
будут меняться при замене t на — t, если одновременно под внаком интеграла
заменить переменные интегрирования о и р н% —аи —р. Тем самым дока-
доказано, что и, v, из будут вещезтвенньми при указанном условии.
Определение произвольных функций из граничных усло-
условии. Пусть нам заданы на поверхности значения смещений:
u=U, v=V, to=W.
Ив предположения, что при г = 0 вели чипы u,v,w принимают значения
U(x,y), V(x,y), W{x,y),
следует:
A6)
СГ= Г C
—оо
+0О
+0O
f f

VIII, § 4
Пространственные задачи
Ш интегральной формулы Фурье A), примененной к А, В, С, следует
тогда, что:
A7)
~
+ОЭ
Так как условия, которым должны подчиняться А, Б, С для того, чтобы «, v, w
были вещественны, как легко видеть, выполнены, то наша задача решена вполне.
Если нам 8аданы силы на поверхности, то при z = 0 должно быть
Если выразить напряжения хж„ туг, о, черев деформации по формулам:
то ив формул A5) следует:
+
+ОТ
т.„ =
A») {
-cot
О.
4-со
вли, применяя формулу A4):
—от
Следовательно, при
A9)
+0»
19 Зав. 1408. - Фраак и Мизес. Дифф. урвеи. мат. фнз.

290
Механика сплошных сред
где для сокращения положено:
B0)
A' (a, p), B/ (a, p), C" (a, p) могут быть, аналогично предыдущему, определены
на основании интегральной формулы Фурье:
B1)
—со
С" (<*, P) = lb
Когда найдены А', В*, С, то по формулам A4) и B0) можно вычислить
функции А, В, С и Л и тем самым найти смещения и, v, w.
2. Вдавливание цилиндра
в горизонтальную плоскость.
Рассмотрим некоторое цилиндри-
цилиндрическое тело с плоским круглым
основанием, поставленное на го-
горизонтальную плоскую подстав-
подставку. Материал цилиндра мы бу-
будем считать настолько твердым
по сравнению с материалом под-
подставки, что можно пренебречь
его деформацией, когда он вда-
вдавливается некоторой силой Р в
подставку. Для вычисления на-
напряжений и деформации под-
Рис. 13. ставки мы будем считать послед-
последнюю простирающейся до беско-
бесконечности, т. е. занимающей полупространство г < 0, ограниченное плоскостью
г = О (рис. 13). Проведем оси х ж у так, чтобы начало координат совпадало с
центром основания цилиндра. Для того чтобы сделать нашу задачу опреде-
определенной, мы предположим, что поверхность соприкосновения между цилиндром
и подставкой смазана и никаких скалывающих напряжений между цилиндром
и подставкой не появляется. При этих предположениях наша задача может
быть сформулирована следующим образом: требуется определить упругие сме-
смещения и, v, w в полупространстве г ^ 0, удовлетворяющие дифференциальным
уравнениям :
f . , т "
B2)
т — 2 дх
т дЬ
— 2ду
'О,
т-
2 дг

VIII, § 4
Пространственные задачи
291
и граничным условиям: на плоскости г —0 вне площади, занимаемой основа-
основанием цилиндра, т. е. при жа -\- у2 > а2 напряжения
B3) хт = 0, т,„ = 0, ог = ().
Внутри круга жа-]-у2 = аг, т. е. непосредственно лод цилиндром, напря-
напряжения:
B4) тю = 0, тг„ = 0.
Кроме того смещение в направлении оси в
B5) w=h
постоянно и равно глубине, на которую вдавливается цилиндр.
Наша задача может быть следующим образом сведена к обычной задаче
теории потенциала со смешанными граничными условиями. Пусть <р1У <ра> <Рз» Ф
суть потенциальные функции, удовлетворяющие уравнениям:
Д<в = 0; (Д == -
Будем искать и, v, to в виде:
B6)
т
Ц
ду'
~дТ'
Дифференциальные уравнения B2) будут выполнены, если положить:
/074 ^ т ( Э?1 I ^1 3?8 \
к '' дг ~~ Зт — 4: \ дх "•" ду "т" дг ) '
дг
' Этим условием определяется ф (когда известны fpi> ?2> 'Рз)' так как Щ>и
0==-)-оо ф должно обращаться в нуль. Остается определить еще только функции
?!> ?2» % так' чтобы удовлетворялись граничные условия. Сначала приравняем
нулю скалывающие напряжения tlx и tiy на граничной поверхности г = 0. По-
Последние равны
B8)
т.„ =
"гу
дх
дхдз
Так при z — 0, они должны обращаться в нуль, то должно быть
'29)
Мы доказали пока, что эти уравнения должны выполняться при г — 0.
Но так как левые части являются потенциальными функциями, то они должны
равняться нулю во всей области, ибо их значения на границе области равны
19*

292 Механика сплошных сред
нулю. Уравнения B9), следовательно, выполняются во всем полупространстве.
Дифференцируя их но ж и по у и складывая, получаем:
или, так как
Д?3 = 0 и
дз \ дх
ду дз
откуда, интегрируя:
Постоянные интегрирования при этом отпадают, так как на бесконечности
смещения вместе с их первыми производными должны обращаться в нуль. Под-
Подставляя C1) в уравнение B7), получаем:
' дз ~~ \ дх г ду л дг } ~ \ дг ^ дз
откуда после интегрирования и простого вычисления:
значит
а— Н i Эг> I ди> — dl?i I дЪ I 9?з I Э^ — w~2 3^з
ч— дх^ ду] dz ~ дх^ ду ^ ds ^ дг ~ т — \ дг '
Мы удовлетворили условию равенства нулю скалывающих напряжений на
границе. Кроме этого, во всех точках, вне поверхности, соприкасающейся с ци-
цилиндром, должно быть еще а8 = 0.
Но ведь
для того чтобы о„=0 при г = 0, должно, следовательно, быть
C5) ?_*
Под цилиндром же должно быть
C6) w = v>s = h,
и наша задача сводится к нахождению потенциальной функции ср8, которая на
граничной поверхности удовлетворяет условиям:
{внутри основания цилиндра, т. е. при жа-|-у2^;а2, <?3 = &,
вне основания цилиндра, т. е. при а?2-{-г/2 >а2, —^ = 0.
Подобная граничная задача теории потенциала носит название „смешан-
„смешанной", так как граничные условия относятся частью к значению самой функции,
а частью к значению ее нормальной производной. Эта задача совпадает с из-
известной вадачей электростатики. Представим себе бесконечно тонкую круговую
пластинку радиуса а в плоскости г = О, центр которой совпадает с началом

VIII, § 4
Пространственные задачи
293
координат, электрически заряженную до некоторого постоянного потенциала Тс.
Тогда электростатический потенциал <р вдоль пластинки (г = О, ж2 -\- у% ¦< а2)
равен к, а вне последней, в плоскости г = О пластинки, удовлетворяет усло-
условию -—- = О, как это явствует из соображений симметрии. Таким образом,
электростатический потенциал в этом случае удовлетворяет совершенно таким же
граничным условиям, как и потенциальная функция ® нашей задачи теории
упругости, и мы можем использовать известное из электростатики решение. Так
как потенциал очевидно зависит только от г и от расстояния г до оси г, то
введем цилиндрические координаты г и г и положим:
C8)
где /(а) есть некоторая функция параметра а, которую требуется определить
так, чтобы удовлетворить граничным условиям.
Выражение C8) удовлетворяет дифференциальному уравнению потенциала
если J (ar) удовлетворяет дифференциальному уравнению Бесселя:
, 1 <&]
dr
= 0.
J(ar) есть, следовательно, бесселева функция нулевого порядка аргу-
аргумента аг.
Граничные условия при г —О:
9з = К при г < а,
выполняются, если:
C9)
_р. = о при г>а,
/"(a) J (аг) da == Jc, при г <!а,
а /*(а) J(ar) da = 0, при г >а.
Это выполняется, если положить
D0)
D1)
D2)
'у 2k sin(aa)
ic a '
Это следует из интегральных формул для бесселевых функций:
I ОО
j Г sin(aa)
¦{ I ¦ —— J(ar)da —
со
I sin( aa) J (ar) da =
-, при г < а,
arcsm —, при г ^ a,
О, при г > a,
i
, при г <.а.

294
Механика сплошных сред
D3)
Искомая потенциальная функция, следовательно, дается формулой:
оо
sin (act) _„
?8 = — J
Для определения функций <?г и <р2 вспомним уравнения B9) и C1); иг них
следует, что
*»—2 ftPs
—2
да
и, следовательно:
3^ к_ т — 2 Г
~де~~~ ~iT т—1 J
о
j*b._ к от —2 Г
дг ~ л т — 1 J
2(m—1)
к т — 2 Г sm(aa) Т. . . ах _« ,
1 ——— J (яг) е da,
a v ' г '
m — 2 /* sin (aa) „ . ч aw _« ,
I i—- J'(ar) —¦i- e из.
a ч г
Как известно, производная бесселевой функции нулевого порядка равна
бесселевой функции первого порядка с обратным знаком. Производя интегриро-
интегрирование по з, получаем:
D4)'
•Pi
da,
ОО
Тс m—2 х Г sin(aa) - , .
== -. I i—?- J,(ar)
т. m— 1 r J a 1Vi/
о
oo
it m-—2 у f sin(aa) т ч _oz
= _i- I ±-J- J (ar)e "da.
т m— 1 r J a *v
Функции О] и % дают при z = O непосредственно компоненты смещения.
Обозначая индексом О их значения при з — О, будем иметь:
D5) '
к m — 2 х Г sin(aa)
к m — 2 х Г
л m — 1 г J
о
ей
г Z- m — л У I
1С m i r j
in (aa)
Jx (ar) da,
Jt (ar) da.
Смещения очевидно происходят в радиальном направлении. Величина ра-
радиального смещения равна
оо
7. п
D6)
к m — 2 Г sin (aa)
р — I b__i_ J (ar) da.
r it m— 1 J a iv-1
Смещение считается положительным наружу. Следует отметить, что фор-
формула эта дает вам отрицательное значение смещения, т. е. материал под порш-
поршнем стягивается внутрь, в противоположность тому, что, казалось бы, следовало
ожидать,-

/X, § 1 Колебание струны 295
Для величины полное силы Р, необходимой для вдавливания цилиндра,
получаем:
подставляя сюда значения зй из уравнения C4):
_ Gm д<?в _ Gm 2k
о
и принимая во внимание D2), получаем:
2к Г
- I sia(ad)J(<ir)da,
<47) , р==Шст Г rir_ ^J0m_
т — 1 J У а* —г* т—\
Выражая к через Р, получаем:
D8) >-^-Ч
Наша задача решена полностью. При помощи полученных функций ер,, <р2>
93 можно вычислить смещения и затем напряжения. Полное исследование резуль-
результатов мы здесь опустим.
ГЛАВА IX
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Колебание струны
1. Дифференциальное уравнение колебаний струны. Простейшим при-
примером задачи на колебание упругого тела является задача о колебании струны.
Дифференциальное уравнение движения проще всего вывести непосредственно.
А именно, поступим следующим образом: рассмотрим струну, которая настольво_
сильно натянута силой 8, что можно пренебречь действием силы тяжести , но
«равнению с S. Можно тогда ожидать, что движение, вычисленное при пренебре-
пренебрежении силой тяжести, совпадает с реальным. Опыт подтверждает правильность
этого. Далее мы еще упростим наши рассуждения тем, что будем рассматривать
только малые смещения из положения равновесия, так же как и в статических
задачах теории упругости. Поэтому мы будем пренебрегать величинами, содер-
содержащими смещения или их производные сомножителями несколько раз, по сравне-
сравнению с членами, линейными относительно смещений и их производных.
В положении равновесия натянутая струна, очевидно, прямолинейна. Коор-
Координатой какой-либо точки струны мы будем считать расстояние х вдоль этой
прямой от некоторой начальной точки х = 0. Эту начальную точку {(х = 0), а
также и конечную точку (х = I) струны мы будем считать сначала закрепленными.
В дальнейшем мы однако сможем освободиться от этого условия; в частности мы
рассмотрим, например, бесконечно длинную струну. Во всех случаях струна должна
бить натянута силой S. Если разрезать струну в какой-либо точке, то для сохра-
сохранения равновесия к обоим получающимся свободным концам надо будет прило-
приложить силы, равные <SV, направленные в противоположные стороны по прямой,
вдоль которой расположена струна.

296 Механика сплошных сред
Для описания движения струны введем прямоугольную систему координат.
Ось х направим вдоль положения равновесия струны, оси у и г выберем к ней
перпендикулярными. Смещения ив положения равновесия определяются их проек-
проекциями «, «, w на оси координат.
Рассмотрим элемент струны Р—ТУ длиной dx. Концы его получают смеще-
, J» , dt> 7 , dw , ,
ния и, v, w и «-1--3—dx, v-f--——dx, w-\~—^—dx и длина ds этого элемента
ах дх ох
носле смещения определяется формулой:
откуда, пренебрегая величинами второго порядка, получаем:
С увеличением длины элемента связано увеличение напряжения в данной
месте, пропорциональное относительному удлинению элемента и равное Ее на
единицу площади поперечного сечения, где 1?модуль упругости и е = -^ от-
относительное удлинение элемента струны в рассматриваемой точке. Если F есть
площадь поперечного сечения струны, то полное приращение величины S будет:
ох
ди
Полное натяжение S' = 8-\-EF --— направлено по касательной к дефор-
ох
мированной струне. Обозначая углы между направлением касательной и осями
координат черев а, р, т и принимая во внимание малость смещений и их про-
производных, можем считать, что величины направляющих косинусов равны:/
, п dv dw
COS<X = 1, C0SS = -5— , COS 7= -5—.
r dx ' dx
На левую границу Р рассматриваемого элемента девствуют поэтому сила
с компонентами:
а на правый конец:
«*(-?+& *)¦

IX, § 1 Колебание струны 297
и, следовательно, на весь элемент dx:
-х- [EF-^r- \dx, S-х-к- dx, S-z-z-dx.
dx \ dx ] dx2 dx2
Согласно основным уравнениям динамики, эти компоненты силы равны
произведению из массы элемента на соответствующие компоненты ускорения.
Если обозначить через [* массу единицы длины струны, то масса нашего эле-
элемента длины dx будет равна [*dar.
Компоненты ускорения равны:
Значит мы будем иметь уравнения:
д /_„ ди \' , д*и . .
-д— I EF -?— I • оя: = [А»а; • -^-~- (и Дв& аналогичных).
Сокращая эти уравнения на ах, получаем дифференциальные уравнения
движения струны:
ди \
дх
ян,,
S
V- "^72~ —'
dx*
В этих уравнениях компоненты смещений полностью отделены друг от
друга. Вид этих уравнений (по крайней мере при постоянном поперечном сече-
сечении F и при всюду одинаковом модуле упругости Е) одинаков для всех трех
компонентов. Граничные и начальные условия во всех трех случаях одинаковы.
На концах струны, т. е. при х = 0 и х = I для всех значений t вели-
величины « = « = to = 0. В момент * = О вдоль струны, т. е. при О <[ х <[ I известны
положения и скорости точек струны; иначе говоря, при i = O нам заданы и,
ди dv dw , ^,
v, w, -—, -7ГГ-, —от-, как функции от х при 0 ^ х <;».
Функция и определяет продольные колебания струны; только эти колеба-
колебания зависят от упругости материала струны, т. е. от Е; v и w суть компо-
компоненты поперечных колебаний. По вышесказанному достаточно заняться только
одним ив компонентов, например v. Рассмотрим сначала случай постоянных (J.
и S. Положив
B) . cQ==-f'
мы приходим к задаче интегрирования дифференциального уравнения
C) д2» =tf» дЧ
с добавочными условиями:
{при х = О должно быть « = О для всех значений <>О,\
» *—* » я V = U яя и '-s^'U,

298 , Механика сплошных сред
2. Метод разложения в ряд. Дифференциальное уравнение и граничные
условия движения струны линейны и однородны относительно неизвестной
функции. Поэтому очевидно, что, составляя из ряда частных решений vv vv щ
и т. д., удовлетворяющих граничным условиям, сумму вида cxvx -f- c2i>9 -J- е^3 -{-...
с постоянными коэффициентами с, мы получаем опять некоторое решение нашего
дифференциального уравнения, удовлетворяющее граничным условиям. Будем
искать сначала частное решение дифференциального уравнения C), предпо-
предполагая, что v имеет вид
F) *=»*>(*)• а @.
где р зависит только от х, a q— только от t Подставив это выражение в C)
и разделив полученное дифференциальное уравнение на pq, получаем:
¦1 d*q I ffip .'
q dP p da:2 *
Левая часть этого уравнения не зависит от х, а правая не зависит от t.
Это может быть только в том случае, если обе части равны одной и той же
постоянной, которую мы обозначим через —v2. Отсюда получается:
Основные частные решения этих уравнений имеют соответственно вид:
q — cos vf или sin tt
V . V
p = cos — x или sin— x.
r с с
(Общее же решение получается линейной комбинацией предыдущих).
Так как произведение pq должно удовлетворять граничным условиям,
в силу которых в любой момент времени t начальная и конечная точки закре-
закреплены, то р может быть только синусом, для которого
G) vZ = c»Tt,
где п — целое число, которое можно считать положительным. Таким образом, мы
получаем частные решения pq дифференциального уравнения C), удовлетво-
удовлетворяющие граничным условиям D), при
(8) р = sm —j— и q = An cos —у- t -}- В„ sin —j— t,
i it
где Ап и Bn — произвольные постоянные
Из них, как уже указано выше, можно составить более общее» решение
с произвольными постоянными А„ и Вп, взяв конечный вли бесконечный ряд
(«) v(z, 0 =
Мы увидим ниже, как определяются пока произвольные постоянные АЛ
и Вп, если нам известны положения и скорости точек струны в начальный
момент. Однако сперва рассмотрим несколько ближе колебания, представляемые
отдельными членами итого ряда.
Колебание вида:
A0) vn(x, 0 = sin

IX, § 1 . Колебание струны ' 299
которое мы также можем записать в виде:
A1) vn (x, t) « С„ sin —¦ cos (vn* — Ти),
(где Сп = УАп2-\~Вп2 и tg^ = —j-2-1 есть колебание гармоническое. Этовначит,
\ Л« !
что каждая точка струны совершает гармонические колебания, притом так, что
вое точки одновременно достигают своего наибольшего удаления от нулевого
положения и одновременно проходят черев это нулевое положение; а именно,
это происходит тогда, когда cos (ynt — -у») равен соответственно 1 или 0. Период
колебания этого периодического движения
2- 21
A2) Тп=_=_.
vM гас
Его обратная величина
аз) -±.= л°-
есть число колебаний, происходящих ва единицу времени, например, секунду.
От этого числа колебаний (частоты) зависит „высота тона". Мы видим, что
каждая данная струна может совершать подобные гармонические колебания не
с любыми частотами, а только с такими, которые получим, подставляя в фор-
формулу G) вместо » последовательные целые числа. При « = I мы получаем са-
самый низкий тон, который может давать струна, так называемый «основной тон".
Остальные называются „гармоническими обертонами". При га, равном 2, мы полу-
получаем октаву основного тона. При п, равном 3, — квинту октавы, при п, равном 4, —
вторую октаву и при га, равном 5, — большую терцию второй октавы.
Из (II) мы получаем еще, что в тех точках, в которых « является крат-
кратным величины —, смещение v остается все время равным нулю. Следова-
71 *
тельно, га-ое гармоническое колебание разделяет струну на га равных частей,
каждая ич которых колеблется так же, как колебалась бы струна длины — при
своем основном тоне. Точки деления
х=™-, (й=1 2, ... »-1)
га ' ' * * '
называются узлами.
Наши формулы дают зависимость высоты основного тона от длины, натя-
натяжения и массы струны. Постоянные Сп A1) называются амплитудами колеба-
колебаний, их квадрат определяет силу или интенсивность тона.
Если мы сложим ряд частных решений, то получим более сложную форму
колебания струны, при которой одновременно ввучит основной тон и ряд гар-
гармонических обертонов. От относительной интенсивности обертонов по Гельм-
гольцу зависит тембр звука.
8. Определение постоянных по начальному состоянию струны. Пред-
Представим теперь решение задачи колебания струны в виде ряда (9):
v(x, 0 = 2, sm—p {^o< + B<}

300 Механика сплошных сред
н постараемся отыскать постоянные Ап и Вп так, чтобы дрн t = О струна
занимала заданное начальное положение E)
и обладала начальными скоростями E):
ft
Для этого должно быть:
A4) , А.)
и
A5) jW = jJ «Д» sin
Задача определения коэффициентов А„ и Вп сводится тем самым к раз-
разложению заданных функций f(x) и д(х) в тригонометрические ряды, являющиеся
частными случаями рядов Фурье.
Согласно известным формулам,
г
, . . 2 Г „, . . п-кх ,
A6) ^„==-у I f(x)sm —|— da:
о
A7) Д. = -j~ j 9 (х) sin ^- dx.
С определением этих коэффициентов задача колебаний струны решена
полностью.
4. Решение в форме Далаибера. Только-что указанное решение было дано
Даниилом Бернулли1). Несколько раньше Даламбер2) дал несколько другое ре-
решение, которое мы теперь выведем не непосредственно, а из решения Бернулли.
Мы начнем с того, что расширим область О <] х -^ I, в которой первона-
первоначально заданы f(x) и д(х), заменив /"(ж) и д{х) их разложениями A6) и A7)
в ряды Фурье и определяя f (ж) и д (х) вне промежутка 0 <[ х <^ I значениями
этих рядов (которые сохраняют смысл для всех значений х).
Тогда f(x) и д(х) становятся нечетными периодическими функциями, с пе-
периодом 2к
Г А—*)--/"(*), д(—х) =
\
С помопц>ю известного тригонометрического преобразования мы можем
написать решение в виде
/л V • w«x ( . nnct . „ . nizct \ <
v(x, t)=2d sm —J- \ A» cos —f" + B» sm -—j~ 1 =
sin -
< л n cos -f- zjh sm —^— j
г—cf)
+ SI11 ^ M
cos
г) Memoires de l'academie de Berlin, т. ЗЗД 147*
' г) Там же, т. 1747, 214.

IX, § 4 Колебание струны 301
Но мы имеем:
и, следовательно:
л mz(x—ct)
Ansm —^ '-
л ¦ niz(x-\-cf)
; f(x-{-ct)=2d J»Sln I
Далее:
и, следовательно:
x+et
4
cos —i-7— —cos
Мы получаем, таким образом, новый вид нашего решения:
x+ot
A9) v(x, 0 = ^-{/"(^-cO + /-(* + cO}+~ f
X—Ct
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это решение удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению движения, если только f дифференци-
дифференцируема дважды, а </ — один раз; в остальном функции fug могут быть произ-
произвольными. Граничное условие v = 0 при х = 0 выполняется благодаря нечет-
нечетности функций fug; граничное условие для х = I также выполняется в силу
нечетности этих функций и в силу их периодичности.
Покажем это; имеем:
так же точно
так что
l+ct
f
+
f
t
f
l-ct
и значит
Применение указанных соотношений позволяет вывести еще одно общее
заключение. Заметим прежде всего еще, что для нечетной периодической функции
д E) & = 0 и, следовательно, / д F) <# = 0.
О X
Мы можем, следовательно, к пределам интегрирования по желанию доба-
добавлять или вычитать 21,

302 Механика сплошных сред
Т I
Увеличим теперь t на -„- =— и положим:
с
Тогда
J—x+ct+l
f
+
-±- jf
Jt
B0) { ={/(*c0+AHC0}+
j
J-ж—ct-l
x—ct •
x+et
a;—ot
и, следовательно:
B1) v [l — x, t + ^= — v(x, t).
I
Мы заключаем отсюда, что, спустя промежуток времени —, в точке I — х
иоавлается смещение, равное ио величине и противоположное по знаку тону
смещению, которое имело место в точке х в момент t — О. Таким образом, от-
Т I
клонение точек струны через промежуток времени -jr- = — получится из откло-
2i С
нений, имевших место в начальный момент, зеркальным отражением справа налево
относительно середины струны, сопровождающимся зеркальным отражением сверху
вниз. Аналогичное имеет место для скоростей, как в этом можно непосредственно
убедиться дифференцированием.
5. Бесконечная: струна. Если точки закрепления струны удалить в беско-
бесконечность, т. е. рассматривать бесконечную струну, то в решении Даламбера A9)
отпадают условия периодичности и нечетности, наложенные на функции fug.
Остаются только условия дифференцируемости. В остальном f и g вполне произ-
произвольны, но их значения теперь должны быть заданы заранее для всех значений
аргумента.
Прежде чем исследовать общее решение, рассмотрим сперва простейший
частный случай, когда
B2) v = f(x-[-ct).
Изображаемое этой формулой движение представляет „волну", движущуюся
со скоростью с назад (т. е. в сторону убывания х) вдоль струны. Действительно,
если в момент t введем новую координатную систему, сдвинутую по отношению
к старой координатной системе назад на расстояние ct, т. е. положим xr — x-\-ct,
то по отношению к новой координатной системе положение струны, которое опре-
определяется формулой:
B3) v(t)
будет таким же, как в момент t — О, по отношению к первоначальной системе-
»@)=/•(*)•
Таким образом, для наблюдателя, движущегося со скоростью с назад, форма
-струны остается все время неизменной.

IX, § 4 Колебание струни 303
Если изменим знак у с, то есть положим
(JA) v = f \х — ci),
то получим совершенно аналогичный результат, только волна теперь распростра-
распространяется вперед.
Полагая теперь
B5) 4-
мы можем общее решение записать в виде:
B6) v(x, t) =— {f(x + ct)-\-G(x-{-cf)-{-f(x — ct) — G(x—c1)}.
Оно слагается из" водны, бегущей назад:
и волны, бегущей вперед:
1
л>е"ч «1 /•*• Л I f (ф />Л /*» /~ л4\ i
Мы рассмотрим несколько подробнее два частных случая, когда струна
выведена из своего первоначального положения равновесия без начальной ско-
скорости и когда движение струны начинается из начального положения равновесия
с заданными скоростями. В частности, предположим, что подобное возмущение
струны ограничивается конечной областью — а <С[ х ^ а с обеих сторон начала
координат.
Пусть f(x) определяет начальное положение струны, из которого начи-
начинается движение без начальной скорости; тогда
Это показывает, что половина возмущения распространяется в виде волны
вправо, а другая половина в виде волны влево. На рис. 14 изображено началь-
начальное возмущение и затем положение струны через некоторый момент t, когда оба
наполовину уменьшенные возмущения распространились направо и налево.
/~\
•а о а
Рис. 14.
Рассмотрим теперь второй случай; пусть д(х) есть начальная екорость дви-
движения, начинающегося из положения равновесия; тогда
B8) •(*, 0 = "^- /
x—ct
Так как возмущение в начальный момент (< = 0) ограничивалось отрез-
отрезком от —а до -j-а, то в любой последующий момент времени все точки слева,
для которых x-\-ct<i—а, и точки справа, для которых х — d > а, находятся;

304 Механика сплошных сред
в покое. Только для точек внутри отрезка, левый конец которого дается равен-
равенством: x-A-ct — — а, а правый — равенством х—ct — a, мы подучаем интервал
интегрирования, захватывающий по крайней мере часть интервала от —а до
-\-а, где g($)^zO (рис. 14 и 15).
Возмущение, распространяется1, следовательно, от граничных точек :±а
начального возмущения с волновою скоростью с вправо и влево. Если (при дан-
данном х) t настолько велико, что x-\-ct >а ж х — с<<; — а, т. е. если с*>- |#|-|-а,
то границы интегрирования заключают в себе полностью область от —а
до -f-а и
x+et +a
g(l)dl —const.
х—et —а
Движение, следовательно, состоит в том ,что смещение распространяется от места
первоначального возмущения направо и налево, так что каждая точка остается
и \х\ — а „ . \х\ — а . |ж1+а
в покое до момента времени р = -—' . С момента t = -—= до * = ——!—
с со
+а
1 Г '
смещение изменяется до величины —— I g (I) d& и остается в дальнейшем не-
—<»
изменным.
<29) v (х, 0 = 4с~ / 9(^cK=='W /
-a Ota
Рис. 16.
6. Разрывы. До сих пор мы налагали требование, чтобы функции f(a)
и д{х) были непрерывными функциями от х. В приложениях однако встречаются
случаи, когда целесообразно допускать, что эти функции разрывны. Примерок
такого случая может служить струна, которую в некоторый момент оттянули
сосредоточенной силой в определенной точке из положения равновесия. Тогда
начальное положение струны будет иметь вид, изображенный на рис. 16. В точке
приложения сосредоточенной силы функция f (а;) и значит касательная к началь-
начальному положению струны терпят разрыв (разрыв самой функции f(x), опреде-
определяющей начальное положение струны, само собой разумеется, исключен, если
считать, что цельность струны не нарушается). Естественно ожидать, что наши
решения останутся применимыми и. в этом случае, так как ряды остаются схо-
сходящимися и решение Даламбера формально вполне применимо. Прежде чем обо-
обосновать законность такого применения, рассмотрим получающееся при этом
решение. Движение струны получается, если мы, как это показано на рис. 17,
рассмотрим волну, бегущую слева направо вдоль струны, и наложим на нее
такую же волну, бегущую справа налево. При любом положении наших волн,
среднее арифметическое ординат для любого значения х дает значение смещения
точки струны в этом месте. Форма струны в некоторый момент времени * пред-
представляет собой ломаную линию, состоящую из двух или трех отрезков прямой.
Точка излома начального положения при движении распадается на две, бегущие
вперед и назад со скоростью с.
Доказательство применимости наших формул также и для случая разрывов
принадлежит Кристоффелю. Оно основывается на непосредственном прииенении
уравнений Ньютона, т. е. закона количества движения, для материальной частицы,

IX, § 1
Колебание струни
305
через которую проходит излом. Пусть ? есть абсцисса точки излома К. Если
точка К (рис. 19) перемещается вдоль струны*) со скоростью а, то за время dt
она переместится на расстояние dt = adt. Сформулируем сперва условие, что
точка излома должна находиться как на восходящей, так и па нисходящей вет-
ветвях кривой смещений v. Обозначая смещение левее К через vlt а правее К
через v2, мы получаем
dv-i ь dv* , dv л д^з,
-s— d\ -1—5— dt = —5-*- d? -1—=?- at,
дх ' dt дх ' от
или
C0)
9»i . Si', dv2
я„ I я/ ~~5Г»~
Рие. 16.
Рис. 17.
.-. dv . dv
Значит выражение а —= 1—й,— должно оставаться постоянным.
0,1/ OX
При переходе точки разрыва через элемент струны длиною d\ на него дей-
действуют следующие силы. Слева на него действует натяжение S, наклон которого
к горизонту есть ^-; перпендикулярная к струне составляющая этой си-
силы =.— S -Tj-1-. Аналогично на правый конец действует сила с нормальной
¦"¦ч
Рпс. 18.
составляющей ^ - г-2 , происходящая от натяжения S; в общем результирующая
их равна
i ях Эх / '
Эта сила действует на элемент d\ в течение времени d?, и полный импульс силы
равен
дх д
Эту величину надо приравнять увеличению количества движения элемента.
*) Точка излома К есть геометрическая точка, пробегающая через различные мате-
материальные точки, составляющие струну. (Прим. ред.)
20 &№• 1408- — Франк и Мнзес. Дифф. уравн. мат. физ.

306
Механика сплошных сред
Так как элемент, расположенный сначала на правой ветви, оказывается распо-
расположенным затеи на левой, то это увеличение количества движения равно
\ dt dt } ' \ ot dt /
где [i есть масса единицы длины. Мы получаем отсюда в качестве второго
условия (если положим, как и раньше, S — y-c1*) равенство
дог дх
dt dt j'
или
C1)
т. е. точка излома может распространяться вперед и назад только со скоростью
волны с
dx dt dx dt
Сравнение с формулой C0) дает нам пепосредственпо:
с* —а?, или с =
Рис. 2о.
Обозначая скачок наклона через
C2)
а скачок скорости через
C3)
i
dv.
dv.
-w
мы получаем из предыдущих соотношений:
C4)
сЪ (и)
1 = 0,
или
0(9)
т. е. скачок скорости находится в определенном отношении к скачку наклона.
Если это условие не выполняется, как, например, в случае, когда мы выводим
струну из положения равновесия сосредоточенной силой и отпускаем безначаль-
безначальной скорости, так что в точке разрыва получается скачок наклона, но скачок
скорости отсутствует, то такой разрыв надо представить себе -как сумму двух
изломов, ив которых один бежит слева направо, а второй справа налево. Поль-
Пользуясь обозначениями з (») и о (д) для заданных разрывов наклона и скорости
и обозначая черев вд (»), Oj (д) и о2 (»), з2 (д) скачки для точек разрыва, бегущих
соответственно вперед (а—— с) и назад (а = -}-с), получаем для определения
°i(w)» oi(J7)j °2(и)' °2(9) четыре уравнения:
C5) / С^

IX, § 1 Колебание струны 307
Исследуя решение Даламбера, легко убедиться, что оно (так же как реше-
решение в виде рядов) удовлетворяет условиям разрыва и, следовательно, может быть
непосредственно распространено и на этот ранее исключавшийся нами случай.
Пример. Мы можем в некоторых случаях получить движение струны, без
применения общей теории, с помощью условий для движения разрывов. Мы пока-
покажем это на следующем примере. Заметим сначала, что дифференциальное уравне-
уравнение движения струны тождественно удовлетворяется, если v (х, t) есть линейная
функция по отношению к каждой из переменных х и L Струна тогда состоит
в каждый момент из прямолинейных отрезков.
Рассмотрим случай, когда струна разделяется на два таких отрезка и имеет
вид, изображенный на рис. 20. Так как v линейно относительно каждой из пере-
переменных v и t, то производная -^- должна быть линейной функцией от х, т. е.
C6) -^ = «1* + «1. -}f
Постоянные at н а2 обращаются в нуль, так как -^- должно обращаться
в нуль на левой ветви при х = 0 и на правой при х = I. Движение обоих прямо-
прямолинейных отрезков состоит, следовательно, из вращения их с угловыми скоро-
скоростями «J и ю2 вокруг обеих конечных точек, как если бы отрезки были твердыми
стержнями. Интегрируя, мы получаем смещения: •
C7) v1 = <Blx(t — t0), v2
(t0 есть постоянная интегрирования1). Точка излома К находится там, где
г^ = v2, значит абсцисса этой точки равна
Г"
ч —
(«1
Точка излома должна двигаться с постоянной скоростью -т-=:±:с. Но это
at
возможно только %в случае, если в знаменателе пропадают члены, содержащие t.
Поэтому должно быть
C9) ю1 = — ю2 = ш
и
Выбирая, например, положительный внак, получаем:
_ I
D1)
«2 = Ю (I X) U
По абсциссе ? = ci точки излома вычисляется ее ордината по формуле
D2) Ч-,К?)—-аA7°*.
t) Постоянную интегрирования в vt можно уетраннть, выбрав надлежащим образом
момент, от которого отсчитывается время.
20*

308 Механика сплошных сред
Точка излома перемещается, таким образом, с постоянной горизонтальной
скоростью слева направо вдоль некоторого отрезка параболы. Пряные, соединяю-
соединяющие точку излома с концами струны, представляют форму рмещенной струны
в данный момент времени. Когда точка излома достигает правого конца, то гори-
горизонтальная скорость ее движения внезапно переходит от значения с к значе-
значению — с Точка излома начинает двигаться вдоль отрезка параболы:
расположенного симметрично относительно предыдущей, и возвращается по этому
отрезку в начало. Скорости точек струны при этом обращении скорости точки
излома назад остаются непрерывными.
Рассматривая скорость данной точки струны, мы видим из наших формул,
что она движется с постоянной скоростью -дг" = — <°Q —х) вниз, пока точка
излома находится левее данной \точки. Если точка иглома лежит правее данной
dv, „
точен, то последняя движется со скоростью -кг- = ®% вверх. Когда точка излома
проходит через данную точку, то скорость последней меняется скачком, переходя
от положительного постоянного значения к отрицательному постоянному значению
и наоборот.
По Гельйгольцу приблизительно по такому закону движется струна скрипки.
Смычок сообщает тем точкам струны, которых он касается, вышеописанное дви-
движение.
§ 2. Приложение интегральных уравнений к задаче колебания
1. Вывод интегрального уравнения. Перейдем теперь к изложению метода
интегральных уравнений, который мы можем рассматривать как обобщение метода
разложения в ряд по частным решениям.
Мы изложим этот метод в применении к колеблющейся струне с закреплен-
закрепленными концами. Прежде всего мы можем отбросить условие постоянства плотности
струны.
Мы будем исходить из случая статической нагрузки. Пусть на элемент длины
струны действует нагрузка qdx (q есть нагрузка на единицу длины). Если v есть
прогиб струны под влиянием этой нагрузки, то условие равновесия элемента
требует, чтобы
где S — натяжение струны. Действительно, силы, действующие на концы эле-
элемента dx и происходящие от натяжения S струны, направлены по касательным
к струне: проекция на ось у силы, действующей на левый конец, равна — ?-=—-,
СлгЗС
а проекция силы, действующей на правый конец, равна -f-^f-т—}-1-2&|,
значит проекция их равнодействующей есть ^~гт ^х' Написав, что силы, проис-
происходящие от натяжения, уравновешивают нагрузку qdx, получаем уравнение A).
Заметим прежде всего, что вследствие линейности дифференциального
уравнения и однородности граничных условий (г> = 0 при х = 0 и х = X) при
наложении различных прикладываемых нагрузок складываются также соответ-

IX, § 2 Приложение интегральных уравнений к задаче колебания 309
ствующие им прогибы. Если нагрузки qx{x) и да(я) вызывают соответственно
смещения vt(x) я v2(x), то нагрузка g==g, + g2 вызывает прогиб v = vl-\-vi
(принцип наложения).
Единичная сила. Если в точке ? действует сосредоточенная единичная
сила (груз Q = 1), то деформированная струна состоит из двух прямолинейных
отрезков: от х = 0 до х = \
№ rlW_
а от ж = $ до ж = /
• 2 W J p
Из условия равновесия следует
откуда получаем:
хA
левее груза, т. е. при х <JJ, V(x, $) = —Ц
Это уравнение дает нам деформацию:
F)
правее груза, т. е. прн #>•?, F(rr, $) = -^-——-.
Мы обозначаем прогиб через V(x, ?) дляч того чтобы указать зависимость его
от точки приложения груза. Если в точке % действует не груз, равный единице,
а груз Р, то соответствующий прогиб в точке х в Р раз больше и равен
Если в точках 5j, S2, Ss и т. д. приложены соответственно грузы Р,, Р2, Р8 и т. д.^
то соответствующие прогибы складываются и мы получаем
Если мы имеем непрерывно распределенную нагрузку, такую, "что на эле-
элемент d$ действует сила q (?)<&, то эта сумма переходит в интеграл
г
В том, что G) есть действительно решение нашего дифференциального ура-
уравнения A), можно убедиться непосредственным дифференцированием.
Имеек
X I
v(x)= I Г(х, Е) «(?)«+ / V(x,
Откуда

310 Механика сплошных сред
В первом интеграле
Во втором интеграле
a; >- 5, следовательно, —^-!—- = r^-.
OX ijl
и значит
О X
Дифференцируя еще раз, получаем
Существенным свойством функции V (х, ?) является ее симметрия относи-
относительно х и %:
(8) ' F(x,0=F($)ar).
Это значит, что единичный груз, приложенный к точке \, вызывает в точке х
такую же деформацию, какая была бы в точке I, если бы этот единичный груз
был приложен в точке х. Для доказательства положим сначала x — h, i = k
(h<k); тогда
Полагая далее x~k, l = h, ж>?, получаем
и следовательно,
V(k,h)=V(h,k),
что и требовалось доказать.
Интегральное уравнение движения струны мы получаем, применяя принцип
Даламбера. Последний утверждает, что если к внешним силам, действующим на
струну, добавить силы инерции, то в каждый данный момент все эти силы будут
уравновешиваться.
Начнем с того, что будем искать периодические относительно времени ре-
решения вида
(9) v (x, t) = <р (х) cos vf.
Элемент длины dx имеет массу pdar (|* есть масса на единицу длины в точке х)
и его ускорение
A0) -dJ2 = — v2,9 (ж) cos v*.
Сила инерции, следовательно, равна
(x) cos v< • dx
или, на единицу длины,
A1) у2рлр (х) cos vf.

IX, § 2 Приложение интегральных уравнений к задаче колебания 311
Эту силу инерции и следует подставить вместо нагрузки g в уравнение равно-
равновесия G)
г
Множитель cos vi справа и слева сокращается и для <? получается линей-
линейное однородное интегральное уравненяе
г
A2) ?(jO
Если масса ft в различных местах струны неодинакова, то ядро этого
интегрального уравнения несимметрично. Однако можно получить интегральное
уравнение с симметричным ядром, если обе части уравнения A2) умножить
на Yv- 0>0» что всегда допустимо, так как ц положительно. Полагая
A3) Ф(*) = У7(*)?(аО,
A4) К (ж, 0 = V (х, 6) У?ЩЩ = К (S, as),
получаем для функции 41 интегральное уравнение
(is) Ф(
ядро которого
симметрично. Ив общей теории интегральных уравнений*) иавестно, что это
интегральное уравнение имеет решение не при всяких вначениях va, а только
при таких, которые совпадают с характеристическими числами ядра К(х, ?).
Струна, следовательно, может совершать периодические колебания не с любой
частотой, а с частотами, равными корням квадратным нз характеристических
чисел.
Возможные частоты колебаний образуют [дискретный ряд чисел, нигде на
конечном расстоянии не сгущающийся. Располагая по возрастающей величине,
мы будем обозначать их через v1? v2, v3 и т. д. Соответствующие фундаменталь-
фундаментальные функции ^ (ж), -^2 0*0 и т.д. симметризированного уравнения и функции
<рд (#) = tyft (x)\~Yv- (#), дающие амплитуды колебаний точек струны, определяются
лишь с точностью до некоторого постоянного множителя. Этот множитель мы
будем брать таким, чтобы
i i
A6) У <Ь,2 (X) UX^fv. (X) ?4» (X) dX=l.
О О
Две фундаментальные функции, соответствующие различным характеристический
числам (частотам), взаимно ортогональны, т. е. при Ъ,фЬ
i i
A7) f % (х) \ (х) dx = f ft (x) *h (x) <?, (x) dx = 0.
0 6
Если некоторому характеристическому числу соответствует несколько фунда-
фундаментальных функций ф', 41" и т. д., то образованные из них линейные комби-
J) См. например Т. Биарда, Интегральные уравнения, ГТТИ, 1933 (Прим. ред.).

312 Механика сплошных сред
нации с'4'тсТ"Ь"" с постоянными коэффициентами суть также фундамен-
фундаментальные функции этого характеристического числа. Коэффициенты с можно
подобрать таким образом, чтобы условия ортогональности A7) и нормальности AG)
выполнялись также и в этом случае.
2. Потенциальная и кинетическая энергия. Если к струне приложена
нагрузка q kijcm, to последняя совершает при прогибе работу, переходящую
в „потенциальную энергию деформации" струны. Если освободить струну от на-
нагрузки, то эта энергия переходит в кинетическую анергию колебании. Для ее
вычисления положим, что нагрузка q (?) увеличилась на bq. Прогиб струны при
этом увеличивается па »
i
о
и на это затрачивается работа
i t i
A8) ЬЛ = J q (x) iv (ж) dx = J j V (x, i) q (x) Ц (?) dx dS,
0 0 0
равная увеличению потенциальной энергии. Переставляя под знаком инте-
интеграла х и 5, мы получаем
г i
A9) ЬА = J J VE, х) q (?)bq (х) dcdl
о о
Складывая A8) и A9) и принимая во внимание, ,что V (S, х) = V (.г, ?),
получаем
i i
B0) Ы = ~
о о
г г
г
= *ljf f V(x,l)q(x)q(l)dxd>A.
оо
оо
Приращение потенциальной энергии равно, следовательно, приращению интеграла
в правой части и значит
11
J
о о
если потенциальную энергию ненагруженного состояния считать равной нулю.
Если струна совершает собственное колебание
B2) v(x, O = ?0*0cos(v< — f),
частоты v, то мы получаем прогиб в некоторый момент t, заменяя нагрузку q
силой инерции на единицу длины, т. е. полагая
B3) q (х) = v2 cos (v< — ч) [J. (x) о (х).
Отсюда для потенциальной энергии деформации получаем
i i
B4) A^t^Lt^Uf f

IX, § 2 Приложение интегральных уравнений к задаче колебания 313
В этом интеграле мы можем выполнить интегрирование по ?.
Действительно, из интегрального уравнения A2) имеем
I, следовательно,
i
B5) А = \v2 cos2 (У11—1
0
Кинетическая энергия колеблющейся струны равна
г г
B6) Е = у J V- (х) i^j dx = -1 v2 sin2 (v< - T) J j* (*) ?2 (*) Ar.
0
0 . 0
Выведем теперь некоторые следствия из формул для кинетической и потен»
циадьной энергии. Прежде всего отсюда вытекает закон сохранения энергии.
Сумма кинетической и потенциальной энергии
г
B7) * Y
о
так что нолная энергия не зависит от времени. Во-вторых, путем интегри-
интегрирования но времени за полный период колебания мы получаем
Т I Т
B8) ( Edt**^ [ V(*)?2(x)Ax=j Adi,
о • <Г о
т. е. для каждого собственного колебания средние но времени значения кинети-
кинетической и потенциальной энергии равны между собой.
Если напишем среднее значение потенциальной энергии в виде
г г
г
Г
U О
то из последней теоремы получим:
v2r Г v*T
1 J 4
о оо
Отсюда заключаем, что характеристические числа v2 интегрального уравне-
уравнения не только вещественны, но и положительны. Действительно, правая часть,
представляющая нотенциальную энергию, всегда положительна. В левой части
/ [j, (х) а2 (х) dx — также положительная величина и, следовательно, v2 должна
быть также положительным. Наконец, из наших уравнений мы получаем механи-
механический смысл условий ортогональности A7), утверждающих, что для различных
фундаментальных функций
i i
х) <!/h(x)dx— I ji (х) <р/, (#) ?* (#) dx = 0.
и и
i
J

314 Механика сплошных сред
Эти условия обозначают, что при наложении двух собственных колебаний скла-
складываются не только смещения, но и энергии.
Действительно, если имеются два колебания
ч = А®* О*)cos Ы—?»)' vk=А?* (х) 0s (V—т»).
то кинетические энергии отдельных колебаний равны
i
?* = Y v*2^*sm2(v*«—T*)
Если оба колебания происходят одновременно, то кинетическая энергия
результирующего колебания v = vk-\-.vh есть
г
+ \\AhAk sin (vA{ — та) sin (?kt — Ya) I p. (x) ?A (ж) <»А (ж) ote.
<r
Вследствие условия ортогональности последний интеграл обращается в нуль»
и поэтому
<29) E=*Eh + Ek,
что и требовалось доказать. Таким же образом доказывается аддитивность потен-
потенциальной энергии.
Отсюда следует, что закон сохранения энергии остается справедливым
л для любого движения, получающегося наложением собственных колебаний.
3. Решение при данных начальных условиах. Для нахождения движе-
движения, совершаемого струной нз заданного начального положения
C0) v(x, 0)=f(x)
с известными начальными скоростями
C1) ^- = ,(*),.
мы поступим так же, как и в случа^ однородной струны (см. стр. 298). Если
<?*(#) sin v,,*
суть колебания, соответствующие частотам v,, v2, v3 и т. д., то всякий сходящийся
ряд, допускающий почлепное дифференцирование •
C2) v {х, 0=2?* <*) fА* cos v'-' + В» sin v** J
с пока произвольными коэффициентами Ah, Bh, удовлетворяет интегральному
уравнению движения струны:
г
v(x,t) = - f V(x

IX, § 2 Приложение интегральных ¦ уравнений к задаче колебания 315
Коэффициенты Ah, Bh следует определить так, чтобы этот ряд удовлетворял
начальным условиям C0) и C1). Для этого должны выполняться соотношения:
C3)
Считая ряды равномерно сходящимися, умножим эти равенства справа и слева
за н- (х) <вп (х) и проинтегрируем от 0 до I. Тогда все интегралы в правой части
¦братятся в нуль за исключением
i
fv.{x)<?a*{x)dx = l,
о -.
та основании A6), и мы получаем
i
C4)
В,
= /
. = — Г 9 (х
Остается только показать, что получаемые ряды сходятся и действительно
представляют собой функции f(x) и g (x). Для доказательства мы используем
функции <{/, для чего умножим равенства C3) на У^.(ж), что дает:
C5) fix) VV?) =2
Значит функция V^f1 (ж) /^(ж) должна быть разложима в ряд типа Фурье по фунда-
фундаментальным функциям \ь(х) симметричного интегрального уравнения A5). Ив общей
теории интегральных уравнений известно, что подобное разложение возможно,
если функция YTf может быть представлена в виде
2
C6) vV(*j пх)=
о
где функция р — квадратично интегрируема. Записывая это условие в виде
I '' : I
C7) f (x) = J'V (x, 0 V7@ p (g) <К = f V (х, 5) q (;) «,
о о
мы видим, что это условие соблюдено, если начальное положение струны может
быть представлено как форма равновесия под влиянием квадратично интегри-
интегрируемой нагрузки q(i). Так как нагрузка, вызывающая заданное смещение f,
согласно уравнению A), определяется соотношением
то наше условие требует, чтобы начальное положение струны представлялось
функцией, вторая производная которой квадратично интегрируема.
Аналогичные условия получаются и для д(х). Этот результат может быть
обобщен, и может быть показано, что составленные указанным образом ряди
абсолютно и равномерно сходятся для всякого начального состояния, получаю-
получающегося при конечной затрате энергии.

316 . Механика сплошных сред
I. Вынужденные колебания. До сих пор мы рассматривали струну, которая
начинает колебаться ив некоторого заданного начального состояния и на которую
в дальнейшем не действуют никакие внешние силы. Рассмотрим теперь случай,
когда колебания струны вызываются некоторой периодической внешней силой.
Мы рассмотрим простейший частный случай, когда эта сила (рассчитанная
на единицу длины) представляется в виде
C8) Q(x, f) = g(я)-cospi.
Из таких частных случаев может быть, при помощи разложения в ряд Фурье,
составлен общий случай периодического возбуждения при внешнем воздействии.
Будем искать решение такого же периодического вида
C9) v (ж, t) = <о (x) cos pt.
Тогда на основании принципа Даламбера мы получим интегральное уравнение
или, сокращая на eospt,
г
D0) <р (х) = Тс (х) + р2 j V (х, \) ц ($) <р (*) dl
Здесь
D1) Tc(x) =
о
есть прогиб струны под влиянием статической нагрузки. Сниметризируя ядро,
полагаем: >
К (х, .1) = V(x,l)
и, вводя обозначение f(x) = 1с (х) У у. (х), получаем
г
D2) * (х) = f(x) + P2 f К {х, 5) ф F) dl
Это янеоднородное" интегральное, уравнение имеетх) определенное решение
в том случае, если возбуждающая частота р отлична от всех собственных1
частот vn однородной задачи, т. е. за исключением случая „резонанса". Решение
нашего интегрального уравнения в виде, указанном Шмидтом, можно чисто фор-
формально получить, оперируя непосредственно с несимметричным ядром и его
фундаментальными функциями <?А (х). Предположим для этого, что Ъ (х) разло-
разложено по фундаментальным функциям:
i
D3) * (*) = 2 К ?» (*) 5 *• - / * О) V- (*
о
и будем искать решение в виде
D4)
См. например, Лиарда, 1. с.

IX, § 2 Приложение интегральных уравнений к задаче колебания 317
Подставляя это выражение в уравнение D0), мы получаем
г
D5) 2^?.(*) = 2*«?^) + P'2^
о
Эти уравнения очевидно выполняются, если
D6) Ап = 7сп + -^Ап или An = K
Решение получается в виде
D7) ?(*)
Принимая во внимание, что по D3)
мы можем это решение еще выписать в виде
Это есть решение неоднородного уравнения в той форме, в которой его дал
Шмидт. Законность наших выводов сходимости разложения D8) функции К(х)
может быть непосредственно обоснована, если принять, что разложение D3)
функции Ti{x) представляв!; равномерно сходящийся ряд.
То обстоятельство, что решение в последней форме D8) остается справед-
справедливым и без этого условия сходимости, представляет собой существенную мате-
математическую сторону доказательства Шмидта.
Если p = vA, т. е. частота внешней силы равна одной из собственных частот,
то это интегральное уравнение имеет решение только в том случае, когда
i
D9) bh =
о
Механически это обозначает, что внешние силы не должны совершать ника-
никакой работы, когда струна совершает движение, соответствующее этому-собствен-
этому-собственному колебанию.
5. Колебания стержня. Теория интегральных уравнений может быть приме-
применена б изучению колебания стержней буквально в той же форме, в какой мы ее
применяли при исследовании движения струны.
Рассмотрим стержень длины I, каким-либо образом закрепленный: либо под-
подпертый на обоих концах, либо заделанный одним концом, либо шарнирпо закре-
закрепленный обойми концами.
Пусть опять V(x, ?) обозначает прогиб в точке х, вызванный единичной
силой, приложенной в точке i. Отметим прежде всего, что и в рассматриваемом
случае V{x, S) обладает свойством симметрии: V (х, $) = F(S, x), как в этом можно
убедиться из следующего рассуждения, основанного на рассмотрении энергии.
Энергия деформации, заключенной в стержне, равна работе внешних сил, произ-
произведенной в процессе деформации. Если в точке х стержня мы приложим силу Р,
а в точке $ — силу Q (речь идет о сосредоточенных силах), то они вызовут:
в точке х прогиб v (х) = V(x, x) P-f- V(x, Я) Q,
в точке $ прогиб »(?) = VQ., x) P-f- V(l, l)Q.

318 Механика сплошных сред
При увеличения Р на ЬР:
прогиб в точке х увеличивается на Ьх> {х) — V (х, х) ЬР,
прогиб в точке S увеличивается на 8г>($) = V(i,- х)ЬР,
а энергия деформации увеличивается на величину, равную работе, произведенной
внешними силами при этой дополнительной деформации. Значит приращение Л
энергии деформации равно
ЬЛ = V (х, х) РЬР-\- F($, x) QbP.
Следовательно
L
dPdQ
V(x,\)=V(t,x).
Начиная с этого места, вывод интегрального уравнения и следствий, которые
можно вывести из него, точно такие, как в случае колебания струны.
В связи с исследованием дифференциального уравнения колебания струны
упомянем еще общий метод интегрирования уравнений подобного типа, принад-'
лежащий Риману и имеющий огромное значение. С этим методом можно ознако-
ознакомиться например по книге Э. Гурса, Курс анализа, т. Ш.
§ 3. Колебания мембраны
1. Дифференциальное уравнение колебаний мембраны. Мембраной назы-
называется упругое тело, имеющее вид тонкой перепонки, не сопротивляющееся иггибу,
по сопротивляющееся растяжению.
Пусть данная мембрана натянута на данный неподвижный контур (границы
мембраны), причем вдоль этого контура на мембрану действует повсюду одина-,
ковая сила натяжения & кг/см. Контур, ограничивающий мембрану, мы будек
считать плоским. В положении равновесия мембрана находится в плоскости кон-'
тура, которую мы выберем за плоскость ху. В этом положении равновесия мем-
мембрана повсюду находится в одном и том же напряженном состоянии, т. е. вдоль
любого сечения, мысленно проведенного в плоскости ху через мембрану, дей-
действует растягивающая сила S кг/см со стороны одного края сечения на другой.
Если вывести мембрану из положения равновесия, оставляя ее границу закре-
закрепленной, то она начнет совершать некоторые колебания. Отклонения от положения
равновесия мы будем считать малыми, а именно такими, что можно так же, как
и раньше, пренебрегать произведениями двух смещений или их производных но
сравнению с линейными величинами.-
Мы примем также, что изменения напряжения малы по сравнению с началь-
начальным напряжением и что ими можно пренебречь. Будем считать, что на поверх-
поверхность мембраны не действуют никакие внешние силы. Смещения точки мембраны
из положения равновесия мы обозначим черев и, v, to и будем рассматривать
здесь только последнее. Через п мы обозначим направление нормали к поверх-
поверхности мембраны в каждый данный момент времени. При этих обозначениях напра-
направляющие Косинусы нормали, согласно известным формулам аналитической гео-
геометрии, будут
. . . .дю
cos (п, х) = — cos (от, z) —,

IX, § 3 Колебания мембраны . ¦ 319
. . дьо
cos О, у) = — cos О, г) —,
cos (от, г) =
Ограничиваясь малыми деформациями, будем иметь
, 9ю . dw ,
A) cos (и, х) = — -gj, cos (w, */) = — —, cos (и, г) = 1.
Допустим, что напряжения оя, ау, ое, хху, хуг, ^.распределены равномерпо по
толщине мембраны. Напишем теперь уравнения равновесия для ^элемента свобод-
свободной поверхности мембраны [гл. VII, стр. 252, F)], принимая во внимание, что ком-
компоненты напряжений at,zry, хуг, тю должны быть малы и что для ая и ву имеем,,
с точностью до малых величин
_ _ ,?
где d есть толщина мембраны. Пренебрегая квадратами и произведениями малых
величин, получаем
/41 /si / ч S dw ,
ох cos (», х) + хху cos (и, у) -{- тгг cos (и, г) == — -j _ + т„ = О,
т cos (м, а:) -\- о cos (и у), -f- т cos (», г) = — -^ -^- -{- т = о,
" • • а ау
ixl cos (и, ж) -}- туг cos (и, г/) + о, cos (и, г) = ог = О,
откуда
B) "« = ^Г^—, Te! = -j--3^, o, = 0.
хг d дх «г d ду' *
Подставляя эти значения в 3-е уравнение равновесия, в которое включены силы
инерции [гл. VII, стр.249, A2)]:
9т„ 9х..„ 9з.
дх ' ду ' 9.г г 9/2 »
получаем дифференциальное уравпение движения мембраны
d
Здесь.р есть масса единицы объема материала мембраны; следовательно
C) ji = pd
есть масса, приходящаяся на единицу поверхности. Вводя сокращения
,,. • S 8
получаем дифференциальное уравнение в виде:
E)

320 Механика сплошных сред
К этому уравнению следует еще добавить начальное и граничные условия. На
границе мембрана должна быть закреплена, т. е. вдоль граничного контура
F) ю = 0 для всех значений t ^- 0.
В начале движения (t = 0) заданы начальное положение и начальные ско-
скорости мембраны, т. е.
G) при t = 0, го = Дат, у), -^-^=9 О", У).
Так же, как и в случае колебаний струны, мы заметим сначала, что вследствие
однородности дифференциального уравнения и граничных условий ряд го = 2 с„н>п,
составленный из каких-либо нескольких частных решений tov м>2» ws и. т. д.
(удовлетворяющих граничному условию) с постоянными коэффициентами сх, с2, с3
и т. д., также удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному урав-
уравнению. Не обращая сперва внимания: на начальные условия, будем искать перио-
периодические частные решения вида
(8) to (х, у, t) = W {х, у) • cos it (или sin vf).
Из таких решений мы потом составим ряд укаяанного выше вида и подберем
коэффициенты так, чтобы удовлетворялись и начальные условия. Подставляя
выражение (8) в дифференциальное уравнение E), мы получаем для функции
W (х, у), которая является амплитудой гармонического колебания в данной точке, ,
дифференциальное уравнение:
или. вводя сокращение
(9)
(ю)
Мы увидим ниже, что так же, как и в случае струны, мембрана может
совершать периодические колебания только с некоторыми определенными часто-
частотами v, т. е., что дифференциальное уравнение A.W-{-X4V = 0 может иметь реше-
решения, обращающиеся в нуль на границе и отличные от нуля внутри, только при
некоторых вполне определенных значениях Х2, которые мы будем называть „хара-
„характеристическими числами нашей граничной задачи". <
Таким образом, перед нами будет стоять задача нахождения этих „характе-
„характеристических чисел" и соответствующих им „фундаментальных функций" IV(х, у).
Мы начнем с рассмотрения некоторых частных случаев. \
2. Прямоугольная мембрана. Рассмотрим сначала мембрану, ограниченную
прямоугольником с ребрами а и Ъ, и проведем оси координат вдоль ребер этого
прямоугольника, ось х — вдоль ребра я, ось у — вдоль ребра Ъ. Мы будем искать
частные решения дифференциального уравнения в виде произведения функции
только от # и функции только от у:
W=F(x).q(y).
Легко убедиться непосредственно, что каждое из выражений:
A1) sincu;sm|fy; sin cue cos ffy; cos ax sin $y; cosocrcosfiy
удовлетворяет дифференциальному уравнению, если постоянные аир связаны
между собой условием
A2) а2 4-?2^X2,

IX, § 3
Колебания мембраны,
321
Ив этих частных решений только первое обращается в нуль на границах
ж = 0, г/ = 0 прямоугольника. Для того чтобы оно обращалось в нуль и на двух
других граничных линиях х = а и х = Ь, должно быть
sin aa == О, sin f
или
О,
A3)
—г*
•дат
где т и п суть целые числа, которые можно считать положительными. Ив A2)
мы получаем для \ выражение
A4) Х =
Умножая последнее на с, мы получаем все возможные частоты, с которыми
может колебаться прямоугольник, придавая тип всевозможные целые положи-
положительные значения. Периоды этих колебаний равны
A5)
т,п
т, п
—
62
Самый нигкиЁ тон мембраны получается при щ==п = 1. Более высокие
тона называются „обертонами". Общий случай колебания мембраны слагается
из найденных частных решений в виде ряда
A6)
где Атп и Втп суть постоянные, которые необходимо определить так, чтобы
при t = 0 мембрана находилась в заданном начальном положении я обладала
заданными начальными скоростями, согласно формулам G):
Следовательно, должно быть
A7)
-~
¦
1 1
. «тем
sm-/,
т. е. функции f(x, у) ид (х, у) следует разложить в двойные ряды Фурье. Согласно
известным формулам, коэффициенты этих рядов равны:
а Ь
_4
аЬ
A8)
Я.. . . тгтх . ту , ,
f{x, у) sin —^- sm —j2- dx dy,
о о
а Ь
^ С С г \ ¦ m7ZX ¦ nTj
21 Зак. 1408. — франк н Мизес. Дифф. уравя. мат. физ.

322 Механика сплошных сред
Гармонические обертоны
Будем искать среди простых тонов мембраны тона, гармоничные друг по
отношению к другу, т. е., другими словами, такие тона, частоты которых
находятся в рациональном отношении друг к другу.
Пусть v и \' суть две такие частоты, соответствующие целым числам т, п
и т', 1ь', причем v: / = h: h', где huh' целые положительные числа, относи-
относительно которых можем считать, что они взаимно првстые. Тогда
(т2 п- \
a2 -i- p J
и, следовательно,
f fe'2w2_fc2OT'2_
A9) ^2 — J
Если а2 и Ь2 не находятся в рациональном отношении друг к другу, то обе
части A9) должны обращаться в нуль и, следовательно, должно быть
JOlJLA
т' — »' ~~ V '
Будем считать, что п и т — взаимно простые. Тогда должно быть:
B1) т' — 1т, п' = Ы,
где I — целое число. Таким образом, мы получаем ряд гармонических токов с часто-
частотами
причем предполагается, что в выражении для v* числа т и « положительные
взаимно простые числа. Каждому такому v* соответствует ряд B2) гармонических
тонов, для которых v* является „относительным основным тоном". Самый низкий
тон (основной тон мембраны) получается при т = \ и » = 1.
Выбирая теперь какую-либо другую пару взаимно простых чисел т и п, мы
получаем другой ряд возможных гармонических тонов с частотами
B2а) »i = V, 2v!*, 3V,*, ...
и т. д. Если а2 и Ь2 не находятся в рациональном отношении друг к другу, то
никакие два тона из различных рядов взаимно не гармоничны.
Иначе обстоит дело в случае, когда а2 и б2 находятся в рациональном отно-
отношении друг к другу; тогда тона ив различных рядов могут быть гармоничными.
Так как любые два тона ряда (v) гармоничны друг с другом, так же как
и любые два тона ряда (vj), то если какой-либо один тон ряда (v) гармоничен
с каким-либо тоном ряда (vj), тогда каждый тон ряда (v) будет гармоничен с каждым
тоном ряда (vj. Такие два ряда мы будем называть гармоничными друг
с другом.
Полагая в рассматриваемом теперь случае
<23> TF'-jr—*

IX, § 3 Колебания мембраны 323
где а и j3 — целые положительные взаимно простые числа, можно переписать, на
основании A9), условие гармоничности рядов (v) и d) в виде
B4) А'2(ат2 + р«2) = А2(ат'2+рм'2).
На основании сказанного очевидно, что, разыскивая все ряды (vj), гармо-
гармоничные с данным определенным рядом (v), можно считать, что в (Vj) числа т'
и п' взаимно простые. Вводя обозначения:
B5) hm' = х, hn' = у, h' = г,
мы получаем из B4) уравнение
B6) aa* + № = V?-
Таким образомы, мы пришли к следующей задаче теории чисел:
Найти все целочисленные решения (х, у, z) неопределен-
неопределенного уравнения ом?2-\-§у% = -(г2, где а, % f — заданные целые числа.
Решение этой задачи упрощается тем, что нам известно одно решение B6):
г = 1, х = т, у = п.
Для нахождения всех простых тонов мембраны одинакового с данным периода
надо найти все целые числа х и у, при которых выражение
имеет одно и то же целочисленное значение -у [<* и |3 суть целые числа, опреде-
определяющиеся из B3)], или, как говорят в теории чисел, надо найти все предста-
представления числа -у квадратичной формой ах2-\-фу\ Число таких представлений всегда
конечно, так как существует только конечное число целых чисел, для которых
целое положительное число ах2-\-$у2 не превосходит заданной границы. Мы не
будем здесь заниматься подробнее этой задачей теории чисел. Желающего озна-
ознакомиться с нею подробней мы отошлем к четвертому разделу лекций Дирихле
и Дедекинда по теории чисел. Здесь же мы приведем несколько простых при-
примеров в частном, случае квадратной мембраны, когда а = р = 1:
Узловые линии. Простое колебание прямоугольной мембраны имеет вид:
. . ткх . nizy
Соответствующим выбором начальной точки отсчета времени мы можем всегда
привести это выражение к виду
„ . . . ткх . «им
B7) w = Csmvm ntsin-^-.sm—^,
it Tmn
где С есть амплитуда колебаний. Когда t есть целое, кратное = —±—,
т,п
то м; = 0, т. е. все точки мембраны одновременно проходят через положение
равновесия. Далее м; = 0 при всех зпачениях t, если х или у целые кратные:
а Ь
— или —.
т п
21*

324 Механика сплошных сред
Мы имеем, следовательно, две системы прямых линий, параллельных сторонам,
прямоугольника, которые при колебании иембраны остаются неподвижными. Подоб-
Подобные линии называются „узловыми линиями". Они разделяют прямоугольную мем-
мембрану на т • да прямоугольных полей с длинами сторон — и —. Смещения w
в двух соседних полях в каждый момент времени имеют противоположный знак.
Если, в случае сложного колебания, представляемого суммой вида
V., , . mizx . nicy
, j Gm „sinv „isin sin—^--
имеются узловые линии, т. е. линии, на которых смещение w все время равно
нулю, то множитель sin v -n t, зависящий от времени, должен быть во всех членах
этой суммы один и тот же. Иначе говоря, период колебаний во всех членах
суммы должен быть одинаковый. Это может быть, как мы видели, только тогда,
если а и Ъ находятся в рациональном отношении друг к другу> Уравнение узло-
узловых линий при атом принимает вид
B8) 2;^.»sin::?:sin'TL=0'
где сумма распространяется на все те значения т и да, для которых выражения
ат2-\-$п2 имеет одинаковое значение ^- Здесь аир обозначают взаимно простые
числа, так что
•8— l l
Так как каждый член суммы можно умножить на любой произвольный мно-
множитель С, то уравнение B8) представляет собой большое количество возможных
видов узловых линий, или, как их называют еще, „фигур ввучания", .изучение
которых, однако, не очень просто. Для примера мы приведем некоторые фигуры
(рис. 21), получающиеся для квадрата с ребрами a = b = tc. При Х2 = 10, чему
соответствует v2 = 10 с2, мы получаем два возможных решения:
sin v* • sin x • sin Ъу
и
sin it • sin Зщ • sin у. v
Комбинируя их с произвольными коэффициентами, получаем:
м; = sin vi { A sin x sin 3t/—Б sin Зх sin у }
или
w = A sin vf { sin x sin Ъу — ji sin Зх sin у }.
Узловыми линиями являются кривые
sin х sin Ъу = 1* sin Зх sin у,
или, после элементарных преобразований,
^ ,1 ( „ , 1
cos 2у-\--у ~ V-\ cos 2ж -f- -n"
Эти угловые линии изображены на рис. 21 при j* = — 1; ——; —г?
—г; 0; -г-; 1. Если вместо этих значений jj- взять обратные величины, то # и г/ ме-
б ¦ л

IX, § 3
Колебания мембраны
325
_. , \ it 2тс
няются ролями. Все изображенные кривые проходят черев точки х = — и —-,
о о
у = — и -—, для которых обе части уравнения узловой линии обращаются в нуль.
О О
3. Круговая мембрана. Если мембрана ограничена окружностью, то для
интегрирования уравнения A0).
. I
И" ~Ъ
/"*-%
il=-</5
м = о
мы введем полярные координаты г и 0 в плоскости ху. Как показывают простые
вычисления, дифференциальное уравнение принимает в этих координатах вид
Если мембрана есть полный круг радиуса а, то W должно оставаться конеч-
конечным, когда г меняется от О до а, и должно принимать то же самое значение,
когда 0 возрастает на 2тг. Мы будем поэтому искать частные решения в виде
C0) W=B(r)oosmb или W = В (г) sin mb,
где т есть целое число и В есть функция только г, для которой получается
дифференциальное уравнение второго порядка

326 Механика сплошных сред
нли
Это есть дифференциальное уравнение бесселевых функций порядка т 1). Функ-
Функция Jm (ir) есть единственное решение этого дифференциального уравнения,
которое при г = 0 остается конечным. .
Следовательно, если А и В—произвольные постоянные, то
C2) W = AJm (Xr) cos mb -f- BJm (Xr) sin (Xr)
есть частное решение дифференциального уравнения A0). Для того чтобы вы-
выполнялось граничное условие W = 0 на границе круга, т. е. при г = а, должно
быть
C3) . Jn (Хя) = 0.
Это трансцендентное уравнение имеет только вещественные корни 2), и нам доста-
достаточно ограничиться рассмотрением положительных корней. Мы обозначим их,
расположив в возрастающем порядке, через Sml, Ьт2, ... Тогда мы имеем для X
следующие вначения: Хт п = т'" , чему соответствуют значения
v — т,п .
Vmn — —^—J -
подставляя указанные значения C2), получаем частные решения уравнения A0),
обращающиеся в О на границе, в виде
C5) Wmn = {Am
Общее колебание мембраны составляется из этих частных решений и пред-
представляется в виде
C6) *=
.„ cos m» + Д^n sin «») sin vm
Для того чтобы полученное решение соответствовало заданному начальному
состоянию мембраны, следует еще подобрать надлежащим обравом постоянные
А, А' ц В, В1. Если, например, в момент t = 0 должно быть: м; = /"(г, &), то
ны должны иметь
C7) Дг, ») = 2J 2i J- <*-. n'^f^n^^H #m> n sir
jn=O n = l .
Умножая обе части на cosmS) и интегрируя по 0 от 0 до 2тг, получаем
C8) ff(r,$)cos>,
причем для « = О в правой части надо прибавить множитель 2.
См., например, Р. О. Кузьмин, Бесеелевы функции, ГТТИ, 1935, гл. II.
См. Кузьмин, 1. с. гл. III, § 7.

IX, § 3 . Колебания мембраны 327
Если мы умножим теперь обе части C8) на rJm (X п г), проинтегрируем
по г от 0 до а и примем во внимание равенства
= O, при
(которые представляют собою частный' случай условий ортогональности, о чем
будет сказано ниже), то получим
о 2it a
0 0
Принимая далее во внимание, что
получим
о о
и аналогично
а 2и
= ^ f j
о о
Постоянные 4' и В' определяются по значениям начальных скоростей совершенно
аналогичным образом.
4. Аналитические свойства решений. Для аналитического исследования
нашего дифференциального уравнения мы используем формулу, получающуюся
из теоремы Гаусса:
D3) С fdWtdxdy=ftvdsl)
(поверхностный интеграл расхождения равен потоку нормального компонента век-
вектора черев границу). Если tx и ty компоненты вектора t, то
К К
divt = ^+^-
ох ду
в
К == 1Х cos (v' *) + ly cos (v' УУ>
cos (v, x) и cos (v, у) суть направляющие косинусы внешней нормали к контуру v
по отношению к осям.
Если о есть некоторая функция точки, то grad <p есть вектор с компонен-
тами ~- и •—-. В согласии с этим
ох ду
D4) -
*) Здесь, как и всюду в дальнейшем, двойной интеграл берется по всей поверхности
мембраны, а ординарный вдоль ее границы. {Прим. ред.)

328 Механика сплошных сред
а нормальные компонент gradcp в направлении внешней нормали есть
9ф до до
D5) -I. cos (v, х) + -щ cos (v, у) = -?:
Пусть ф есть другая функция точки, тогда
где grad <p grad <|> есть скалярное произведение векторов grad <р и grad ^. При-
Применяя теорему Гаусса к последнему уравнению, получаем
D7) I ty-^-ds= I I i{bqdxdy-{- j I grad9gradtydxdy.
Меняя ф н ^ местами, инеем
D8) / <f^-ds= j I <?tydxdy-\- j j grad о grad 4» dx dy
и, вычитая D8) ив D7), получаем окончательно:
ч
D9) J fttAo-vAVdxdy^ j (if -J- — <?Щ й*.
Интеграл но контуру в правой части мы рассмотрим в частном случае,
который нам понадобится в дальнейшем. Пусть о непрерывная функция с непре-
непрерывными первыми производными, а ^ есть функция, логарифмически обращающаяся
в бесконечность в точке Р с координатами х = \, у = % т. е.
E0) ф = «Ь г-И (а?, у), г ==
где -у имеет непрерывные первые производные. Вычисляя контурный интеграл
вдоль маленькой окружности радиуса е вокруг точки Р и устремляя е в нулю,
мы получаем
Лд<о 9«|» i Г д'з Г д<р Г д In г л г !Jj
Y dv 9 ду' ) ~ J fo' ~т~ J dv J dv J дч '
В пределе, при г = 0, все интегралы, за исключением интеграла
/9 In • г ,
обращаются в нуль. Пусть v есть нормаль, направленная внутрь круга, тогда
д\аг _ дЫг 1_, , _ „
9v дг г '
и
E1) lim I [ <Ь ~~-—»^~- I ds = Со (|, т)) j d& = 2тгG<р (i, tj).
e->oj \ c/v av / J
0
Полученные формулы мы применим к исследованию дифференциального урав-
уравнения

IX, § 3 Колебания мембраны 3291
Сначала мы докажем, что все решения этого уравнения суть аналитические
функции. Для этой цели мы подставим" в формулу D9) <р = W, где W есть
исследуемое решение дифференциального уравнения. За <]* мы выберем такое
решение этого же дифференциального уравнения, которое в точке Р (х ==:?, y = t\}
обращается логарифмически в бесконечность и зависит только от расстояния г
от точки Р. Чтобы найти такое решение, введем полярные координаты г и 9-
с полюсом в точке Р. Мы получаем для <]* уравнение (приняв во внимание,,
что ф не зависит от Ь)
Это есть дифференциальное уравнение бесселевой функции нулевого порядка.
Последнее имеет два линейно независимых решения, Jo (Хг) н Ко (Xr) *). Функция
JQ.r) (в дальнейшем мы будем опускать индексы у Jo и Ко) при всех значе-
значениях г непрерывна и сколь угодно раз дифференцируема, -КГ(Хг) при г = О
обращается логарифмически в бесконечность и имеет требуемый для <]* вид*
где т имеет непрерывные первые производные. Пусть точка Р лежит внутри
области G, в которой W имеет непрерывные производные. Применим тогда фор-
формулу D9) к области Gr, которая получается из G, если ив последней вырезать
круг малого радиуса е вокруг точки Р. Так как W и К удовлетворяют вашему
дифференциальному уравнению, то
и формула D9) дает нам-
/
где контурный интеграл распространен по полной границе области Gr, включая
окружность вокруг точки Р. Равлагая E2) на два интеграла, один по внешнему
контуру G, а второй по окружности вокруг точки Р, мы получаем на основании:
E1), что последний интеграл равен
J (**?
откуда
иди
E3)
Здесь контурный интеграл уже распространен только по контуру, ограничиваю-
ограничивающему область G.
Формула E3) представляет собой аналог теоремы Грина в теории потен-
потенциала. Если точка Р лежит вне области, то исключать эту точку нет надобности..
Часть интеграла, соответствующая малому кругу, отпадает, и мы получим
Л О тit r\ -шут \
K!h— W~w) ds = 0 (если Р лежит вне ^
*) Ко (Хг) есть так называемая функция Бесселя II рода (см. Р. О. Жузьмгт, 1. с>
(Прим. ред.\

330 Механика сплошных сред
Если мы вместо бесселевой функции К возьмем функцию первого рода J, то
<«>
[независимо от того, лежит ли Р вне или внутри G]. Если Р лежит внутри G,
то в формуле E3) г отлично от нуля. Так как К (Хг) при г ф О сколько угодно
раз дифференцируема, то и Ж внутри области регулярности также сколь
угодно раз дифференцируемо. Например,
dW_ Г\дК(\г) dW дК(\г)}
31 ~ J \ ol 9 w 9S9 j '
_ Г\дК(\г) dW
~ J \ ol ¦ 9v
Следовательно, W есть аналитическая функция от х и у *).
Теорема о средних значениях. Выбирая за G круговую область,
мы получаем из E3) теорему, соответствующую теореме о среднем в теории
потенциала. Пусть г есть радиус круга. Тогда при интегрировании по контуру,
К(\г) есть постоянная. Ее нормальная производная равна
= дК(\г) ^ ш, г)
и, далее, ds = rdd. Отмечая значение W в центре значком 0, мы получаем ив
формул E3) и E5)
E6)
о о
2k 2ic
8lt
J Wdb,
1 Г dW 1 Г
E7) o = ±-J(\r)r j -JjLdb — -jW(}.r)r I Wdb,
о о *
Эти формулы верны для любого решения W нашего дифференциального уравне-
уравнения. Применяя их в частности к функции JQ^r), мы получаем:
E8) 1 = ~ {К (\r) J' (М) - К' (kr) J(kr)),
так как J@) = l. Умножая E6) на J(Xr), a E7) на К(\г) и вычитая, получим,
принимая во внимание E8),
E9)
следовательно, значение функции W в центре круга получается, если мы раз-
разделим среднее вначение функции на границе этого круга на J(lr).
Отсюда можно заключить, что точки, в которых W обращается в нуль, не
ногут быть изолированы. Если W в некоторой точке Р обращается в нуль, то
на любом круге с центром в точке Р функция W должна принимать и поло-
положительные и отрицательные значения, и тем самым по крайней мере два раза
обратится в нуль. Следовательно, через точку Р должна проходить кривая
Ж=0. Каждая кривая Ж=0 отделяет, следовательно, части плоскости, в кото-
которых W больше нуля, от частей плоскости, в которых W меньше нуля.
!) Как известно, функция может быть дифференцируема произвольное число раз,
но ие быть аналитической. Однако, не трудно видеть, что приведенное в тексте утвержде-
утверждение справедливо. Это вытекает из того, что К (кг) •— аналитическая функция. (Прим. ред.).

IX, § 3 Колебания мембраны 331
Уравнение J(Xr) = O имеет бесчисленное множество корней *), из квторых
наименьший Хг = 2,405. Полагая г = 2,405/Х, мы имеем
J Wdb = 0.
Следовательно, на перефирии круга радиуса 2,405/Х, с центром в любой точке Р,
функция W должна менять свой знак, область, в которой задана W, целиком
содержит этот круг.
5. Интегральное уравнение колебания мембраны. Подставим в формулу
D9) вместо ф функцию Грина для логарифмического потенциала, т. е. потен-
потенциальную функцию G(S, ч\, х, у), которая в точке х-=%, y = t\ обращается лога-
логарифмически в бесконечность 2), а на границе заданной области G равна нулю.
Полагая в D9) v—W, где W—решение уравнения ДРГ-|-Х2Ж=0, обращаю-
обращающееся в нуль на границе данной области, получим
^— wd-?) а*.
F0) j j g& ч, ее, у) aw
Контурный интеграл в правой части опять-таки распространен по границе
данной области и вдоль окружности бесконечно малого радиуса, описанной
вокруг сингулярной точки i;, Y). Так как на границе данной области функции
G F, % х, у) ж W обращаются в нуль, остается только контурный интеграл по
бесконечно малой окружности. Последний, однако, по формуле E1) равен
2TF(S, т)). Заменяя еще AW на —X2W, мы получаем
F1) W& ч) = — ^ J j G (?, ч, *, У) W(x, у) dxdy. ¦
Это есть линейное однородное интегральное уравнение для фундаментальных
функций W. Ядро его симметрично, ибо, как известно
F2) G& ч. *, У) = G (а, у, С, ч).
Характеристические числа, следовательно, все вещественны. То, что они также
положительны, доказывается умножением обеих частей дифференциального
уравнения aW-}-№W=0 на W и интегрированием по всей области, занимае-
занимаемой мембраной; это дает
Г С W& Wdxdy -f- X2 f f W4xdy = 0.
Но по формуле D7), если положить в = «J» = TV, получаем:
Г Г WA Wdxdy + f Г grada Wdxdy = Г W ~^- dS.
Интеграл по контуру обращается в нуль, так как функция W равна нулю на
контуре. Отсюда
J J WA Wdxdy = — j J grada Wdxdy
и
Г Г grad2 Wdxdy *
F3) ^9 = LLA "'
Jj W*dxdy
следовательно, X2 заведомо положительно.
x) См. выше примечание к стр. 326. (Прим. ред.)
*) А именно, имеет внд lg r -j- f, где f — непрерывная функция. (Прим. ред.)

332 Механика сплошных сред
'¦-¦"
Применяя теорию интегральных уравнений, можно доказать следующую
теорему:
Существует бесчисленное множество характеристических чисел, при кото-
которых наше интегральное уравнение имеет решения и, следовательно, исходное
дифференциальное уравнение имеет решения, обращающиеся в нуль на гра-
границе (фундаментальные функции).
Обозначим характеристические числа и фундаментальные функции через
Xj, Х2, Х8,... и т. д. и Wv W2, Wb,... и т. д. Последние определяются с точ-
точностью до постоянного множителя, который мы выберем так, чтобы
F4) . J J Wn4xdy=l.
Две фундаментальные функции, принадлежащие к различным характеристиче-
характеристическим числам, ортогональны друг к другу, т. е.
F5) jj WnWmdxdy = О, при пфт.
Если к некоторому характеристическому числу принадлежит несколько фундамен-
фундаментальных функций, то любая линейная комбинация последних 2 ^р ^р есть также
решение дифференциального уравнения ири том же самом значении характери-
характеристического числа. Соответствующим выбором коэффициентов с мы можем удовле-
удовлетворить условиям ортогональности F5) и нормальности F4) также и а этом
случае. ,
В общем случае движение мембраны слагается ив отдельных колебаний,
соответствующих различным характеристическим числам:
оо
F6) to (х, у, 0 = 2 W» <*' у) ^А» cos v»* + В» sin v»^
Коффициенты Ап и Вп определяются из начальных условий ири помощи
условий ортогональности F5) и нормальности F4). Пусть, например, ири t = 0
мембрана находилась в заданном положении
W=f(x,y),
и мы отпустили ее без всякой начальной скорости. Тогда все коэффициенты В
должны обратиться в нУль, и кроме того должно быть
F7) А*, У) =2 Л*Г. (*.»)•
Умножая правую и левую части равенства F7) на Wh (x, у) и интегруруя
по всей области, мы получаем
F8) Аь = J j f{x, у) Wh {x, у) dxdy.
Аналогичным образом определяются коэффициенты В по заданным начальным
скоростям.
Ряд ?i-A.nWn(x, у) сходится равномерно и абсолютно, если начальное
положение мембраны f(x, у) может быть представлено в виде
F9) f(x, у) = -,1- f j G (х, у, ?,
где p — функция, квадрат которой интегрируем. Физически это обозначает, что
мембрана была приведена в начальное состояние нагрузкой р /

-IX, § 4 Граничная задача колебающейся мембраны 333
§ 4. Граничная задача колеблющейся мембраны как задача вариацион-
вариационного исчисления
1. Минимальная задача для первого характеристического числа. Мы
перейдем теперь к изложению методов вариационного исчисления в применении
к задаче колебания мембраны. Для этого надо сформулировать нашу задачу
интегрирования дифференциального уравнения
при граничном условии
B) V-0
как вариационную задачу. Рассмотрим сначала решение нашего дифференци-
дифференциального уравнения, соответствующее наименьшему характеристическому числу,
и покажем, что это решение есть в то же время решение следующей вариа-
вариационной задачи.
Среди всех непрерывных и кусочно непрерывно дифференцируемых функ-
функций, обращающихся в нуль на границе и удовлетворяющих добавочному
условию
C) J(W)— Г f W2dxdy = l,
найти ту, которая сообщает минимальное значение интегралу
D) D{W) = J J grad2 Wdxdy.
Для решения названной задачи мы применим классический метод вариа-
цианного исчисления. Положим, что W есть решение нашей минимальной задачи.
Рассмотрим наряду с W совокупность функций
E) U= W+&р (х, у) + чф (х, у),
бливких к W. Функции ф и ф выбираются произвольно, но должны быть диффе-
дифференцируемы и удовлетворять условиям
F) <р = О и ф=?О
на границе.
При следующих вычислениях мы их будем считать выбранными опреде-
определенным образом. Интеграл, который должен быть минимальным, является неко-
, торой функцией от ? и ij:
D{U)= f J grad2 Udxdy = ff grad2 Wdxdy +
-\-1% J С grad W ¦ grad ydxdy -\- Чч\ J J grad W • grad tydxdy -(-
-\- S2 f I grad2 ydxdy -|- 2Sttj Г Г grad <p • grad tydx&g -f-
+ f? J J grad2 ^dxdy,
так же как и интеграл
f
(8)
J(U) = J J IPdxdy = J J W4xdy + 2\ J J Wydxdt, +
-f 2tj j J W^dzdy + E2 J J <?4xdy + 2fr) Г Г yijdxdy -f-
/* f

334 Механика сплошных сред
Наша минимальная задача требует, чтобы функция I) принимала ири добавоч-
добавочном условии J=l минимальное значение, когда U= W, т. е. при 1 = 0,
¦»1 = О. <р и ф нами уже выбраны, остаются переменными лишь % и ¦ ц, и мы
имеем обычную задачу на нахождение минимума некоторой функции D(S, t))
с добавочным условием J(S, т|) = 1. Если минимум получается при ? = 0,
7) = О, то при 5 = т) = О должно быть
(9) Ж = Х2Ж' д-Ц = 12%
(X2 неопределенный множитель Лагранжа), т. е.
Я grad W • grad adxdy = X2 / / Wydxdy,
У / grad W• gra,dtydxdy = X2 Г i Wtydxdy.
На границе у и <j* обращаются в нуль, и поэтому интегралы в левой части
[см. § 3, D7)] равны
у у grad W • grad wdxdy = — Г Гyb. Wdxdy,
Г Г grad Ж • grad 4>dx%= — / / <
»/ J J J
Наше минимальное условие принимает поэтому вид:
f f <p {Д W-\- X2 W} dxdy = 0,
A2) J J
Эти условия должны выполняться при любом выборе ф и ф- Отсюда следует,
что
Мы видим, следовательно, что наша минимальная задача совпадает с гра-
граничной задачей колеблющейся мембраны. Минимальное значение интеграла
(см. D7) § 3) равно
В (W) = ff grad2 Wdxdy = — J j Wb Wdxdy = X2 J j W4xdy,
так как на границе TF=O. Но / / W2dxdy = l и значит
A3) X2 = D (W) = У У grad2
Мы видим, что характеристическое число нашего дифференциального уравнения
получается непосредствено как минимальное значение интеграла, минимум
которого мы искали.
В примененном здесь приеме вывода мы представили соседние с W
функции в виде U= ТГ-|~&р~Ь7L'' а не просто в виде U?=W-{-t<p, так как
!в этом последнем случае при произвольном выборе <? добавочное условие удовле-
удовлетворялось бы только одним значением 5, так что по $ нельзя было бы диф-
дифференцировать.
Колебания свободной мембраны. Мы можем еще поставить
вопрос: каково решение нашей вариационной задачи, если мы отбрасываем

IX, § 4 Граничная задача колеблющейся мембраны 335
условие, что W=0 на границе. Ход вычисления сначала такой же, как и
выше, и мы получаем минимальное условие в виде
A4) / / grad W - grad ydxdy — V*ff Wvdxdy
(и аналогично для С/); но при следующих теперь преобразованиях интегрирова-
интегрированием по частям появляется один контурный интеграл, ибо мы отбросили гра-
граничное условие W = 0, и тем самым граничные условия у = 0 и ^ — 0. Про-
врводя вычисления, получаем вместо формул A1)
I I grad W • grad^dxdy = — I I <o&.Wdxdy -f- I <?
= X2 Г С yWdxdy,
или
A5)
f С ? {AW+ VW] dxdy= С rp^-ds,
f f ф {Д W-f \4V) dxdy = Г ф -~ ds;
© и ^ здесь совершенно произвольны. Выбирая их, в частности, так, чтобы они
на границе обращались в нудь, мы получаем, так же как и выше, внутри обла-
области интегрирования дифференциальное уравнение
Интеграл в левой части, следовательно, во всех случаях должен равняться нулю.
То же самое должно быть и для контурного интеграла в правой части. Вслед-
Вследствие произвольности <р и ф это очевидно может быть только, если на границе:
Значение минимального интеграла в этом случае также равно характеристиче-
. екому числу. Физически это соответствует случаю колебания мембраны с неза-
незакрепленной границей. Сила S, натягивающая мембрану, действует при этом и
во время движения нормально граничному контуру, параллельно плоскости равно-
равновесного положения мембраны.
2. Высшие характеристические числа. Если нами найдено первое характе-
характеристическое число и первая фундаментальная функция (при граничном условии
W= 0), то можно определить второе характеристическое число и вторую фунда-
фундаментальную функцию из аналогичной вариационной задачи. Для этого к доба-
добавочному условию / Г W^dxdy = 1 следует присоединить в качестве второго
добавочного условия еще условие ортогональности второй фундаментальной
функции к первой: -^
A7) О(Wv VF2) = J f WtW2dxdy = 0.
•Для нахождения решения W2 мы рассмотрим опять, наряду с этим решением,
^совокупность функций с тремя параметрами %х, ?2, ?3 и произвольно выбранными
функциями <?!, <р2> ?з» обращающимися в нуль на границе, определяемую фор-
иулой
•-A8) U=W2

336 Механика сплошных сред
Интегралы D(U), J(U), О {IT) являются тогда функциями от %v ^ ?3:
D(U)= Г Г grad2 Udxdy = ff grad2 W2dxdy +
-f- 2 V 5 / / grad W9 - grad ydxdy -f- квадратичные члены,
J@) = /*y ВОДу = УУ Wfdxdy + 2 J] Sp у у W&fdxdy -\- ...
О (D) = У У W, СГ^% = У У TF, TTaAwly + 2 5p ff W^dxdy + ..
Выразим, подобно предыдущему, условие того, чтобы интеграл D(U) при-
принимал минимальное вначениё при U=W2, то есть при lv %%, Ъ3 = 0. Это у слови»
дает равенства:
-при ^ = |а = S3 = О, где Хд2 и |* неопределенные множители Лагранжа для
наших двух добавочных условий.
Это дает нам в свою очередь:
У J grad W2 • grad ydxdy = X22 j J W^dxdy-j- ji у /* ^
или, интегрируя по частям,
+X2+ } О.
Так как эти интегралы должны обращаться в нуль при любом выборе <рх. <?2
ср3, то подобно предыдущему
<22) ДИ79 + Х22Ж8+ jiTFi —0.
Множитель |* должен быть равен нулю. Действительно, умножая: предыдущее
равенство на W-± и интегрируя во всей поверхности мембраны, мы получаек,
принимая во внимание граничные условия Wt = W2 = 0,-
, ~i — W2 ~1 Xds = 0.
^Следовательно:
J J Wt Д W2dxdy = ff W^W^xdy = — Xt2 J J W2 W^dxdy = 0
и
J J Wt {Д W2 + Х28РГа + |i WJ dxdy = 0 = v-ff Wfdxdy = i*,
т. e.
B3) H = Ol . :
Таким образом наше минимальное условие действительно эквивалента»;
дифференциальному уравнению, а значение минимального интеграла опять-так»-
равно характеристическому числу. Если отбросить граничное условие W2 = %
то, подобно предыдущему, легко убедиться, что решение соответствующе!
вариационной задачи дается решением дифференциального уравнения при гра
dW
яичном условии-j-2-—О. Аналогичным образом продолжая, мы можем последе*
вательно определить все характеристические числа а фундаментальные фунвдЁ

JX, § 4 Граничная задача колеблющейся мембраны 337
е понощью их минимальных свойств. К требованию / / grad2 Wdxdy = min и
добавочному условию / / W2dxdy = 1 присоединяются для »-го характеристи-
характеристического числа еще следующие добавочные условия ортогональности:
B4) f f WnWhdxdy = О (h = 1, 2,...,«-1).
Значение минимального интеграла равно соответствующему характеристическому
числу:
B5) Х„а = J J grad* WJxdy.
Независимое определение «-го характеристического чис-
числа из максимально-минимальной задачи. Для исследований общего
характера укаванпый способ мало пригоден, так как он дает правило только для
последовательного (рекуррентного) определения характеристических чисех Мы
можем однако получить возможность непосредственного определения то-го характе-
характеристического числа, если несколько изменим нашу вариационную задачу. Будем
искать минимум интеграла
B6) D (U) = j j grada Udxdy
при добавочном условии
B7) Т (?7) = J J XPdxdy == 1
м граничном условии
B8) U=O.
Вместо условия ортогональности B4) мы потребуем, чтобы
B9) ffufh(x,y)dxdy = O (h = l, 2,...,n — 1),
где fh (х, у) — произвольно заданные функции от х и у. Тогда можно показать,
что вначение минимального интеграла всегда лежит между Xj2 и Хяа. То, что
оно больше, чем Xj2, совершенно очевидно, так как \2 представляет собой мини-
минимальное значение при отсутствии добавочных условий ортогональности. При
сужении класса допустимых функций требованием соблюдения условий ортого-
ортогональности B9) минимальное значение интеграла не может конечно стать меньше Xj2.
То, что искомый минимум меньше X,,2, будет, очевидно, доказано, если нам
удастся составить хотя бы одну функцию U, которая удовлетворяет всем доба-
добавочным условиям и для которой значение минимального интеграла меньше Хп2;
действительно, минимум должен лежать ниже любого частного значения интеграла,
получаемого для какой-либо функции, и эту функцию U мы составим в виде
линейной комбинации первых п фундаментальных функций:
C0) и
Постоянные ср мы определим так, чтобы удовлетворялись добавочные условия
B9) и B7). Это всегда возможно, так как уравнения
п
ff Щ (*, У) dxdy = 2 СР // W/hdxdy = 0, (h = 1, 2,..., • -1),
P=i
представляют собой систему п—1 линейных однородных уравнений, которые
могут быть удовлетворены п величинами ср бесчисленным множеством способов.
22 Зак. 1408, — франк в Мивео. Дифф. уравн. кат. фаз.

338 Механика сплошных сред
Умножением на некоторый постоянный множитель можно добиться того, чтобы
кроше того
C1) J = // IPdxdy = ? СР2 = 1 •
Вычисляя I j grad2 Udxdy, мы подучаем:
C2) ' ff grad2 Udxdy = ]? СД».
i
Величины Хх, Xa,..., Xn_x меньше, чем Хя, и потому
(За) f f &гА* Udxdy ^\n*^cf = \?.
Верхняя граница Хя2 достигается только тогда, когда функции fv f.2,..., fn_x
равны первым п — 1 фундаментальным функциям. Следовательно, п-ое характе-
характеристическое число есть максимум всех минимальных значений интеграла C3),
получающихся при произвольных п — 1 добавочных условий ортогональности.
3. Следствия из минимальных свойств. Из минимальных свойств можно
вывести некоторые следствия о фундаментальной функции, соответствующей
наименьшему характеристическому числу; эти свойства мы и приведем здесь. Мы
докажем прежде всего, что первая фундаментальная функция не имеет узловых
линий, т. е. что она внутри области G, занимаемой мембраной, нигде не обра-,
щается в нуль. Первая фундаментальная функция обращает интеграл D(W) =
= f /grad2 Wdxdy в минимум при добавочном условии: J ( W) = / f W2dxdy=l.
Мы покажем, что для любой фундаментальной функции, имеющей узловые линии,
существует соседняя фулкция U, для которой, при неизменном J, интеграл D{U)
меньше, чем D(W).
Тем самым наша теорема будет доказана, так как тогда эта фундамен-
фундаментальная функция заведомо не является решением вариационной задачи для пер-
первой функции.
Мы видели выше, что узловая линия всегда отделяет области с положи-
положительным значением W от областей с отрицательным значением W. Мы будем
обозначать области, в которых W положительно, через I, а области, в которых
оно отрицательно, через 1]. Заменим функцию W ее абсолютным здачепием:
C4) W' = \W\,
т. е. всюду, где W отрицательно, заменим ее знак на обратный. Интегралы J и
D для W и W' очевидно имеют одинаковое значение, так как эти функции и
их производные в D и J входят только квадратичным образом.
Для того чтобы найти такую функцию U, которая при заданном значении
C5)
дает минимальное значение нашего интеграла, такое, что везде
C6) D(V)<D(W')<=D(W),
нредставим U в виде
где <р и ty какие-либо функции, обращающиеся в нуль на границе, имеющие
непрерывные первые производные; ? и -ц суть два параметра, которые будут:

IX, § 4 Граничная задача колеблющейся мембраны 339
выбраны впоследствии надлежащим образом. Они ограничиваются требованием,
чюбы J(V) = J(W) т. е. чтобы
J f W'4xdy=f J W'4xdy-\-1\ J f
+ 2y) J J W'C,dxdy -f J f
или
C7) 0 = 2S J J W'vdxdy -\-1i\ff W'^dxdy +
f f <?4xdy -\- 2b] С f otydxdy -{- -rj2 Г f Cfdxdy.
Если ф и <J< заданы, то мы можем изобразить допустимые значения I и щ
на плоскости frj. Они лежат на эллипсе, проходящем через начало координат,
если функции <р и ф выбраны так (что всегда можно предположить), что
f f W'ydxdy и / Г W'ifdxdy не равны нулю одновременно. Заметим здесь же,
что при этом условии можно всегда найти сколь угодно малые значения % и т\,
удовлетворяющие C7).
Вычисляя интеграл D(U), мы имеем:
C8) D(U)= f f grad2 Udxdy = f f grad2 W'dxdy-f
grad W • grad ($<p -f t^) ia;d(/ 4- / / grad2 E? + т$) ia;dy.
Преобразуя второй интеграл правой части интегрированием по частям (при
этом следует рассматривать область, запятую мембраной, как совокупность обла-
областей I и II), получим:
C9) f J grad W • grad (&p + -ф) dxdy = — J J' (E«p +1*) A TF'drdi/ +
r dW/ r dW'
4-1 ^Jr^)-1-Lds+ \ (l? + rly-^-ds,
C, ' Си a
где С и Сп обозначают границы областей I и II.
Так как на границе мембраны <р = <J< = 0, то интегрдлы в C9) надо будет
брать только вдоль узловых-линий, отделяющих области I и П друг от друга.
Так как W получается из первоначальной функции W изменением знака в обла-
области II на положительный, то нормальная производная от W претерпевает ска-
скачок вдоль узловой линии. Поэтому части контурных интегралов, распространен-
распространенных по границе областей I и II, не сократятся друг с другом. Принимая еще
во внимание, что ДW = — X2W', будем иметь:
D0) D(U) = JD( W) + 2X2 J Г W'. (
Я г dW/ r dW'
.grad* (S? + туй dxdy + J fo + rfy) -^-i- ds + J F? + ^) JL
Вычитая отсюда уравнение C7), умноженное на X2, получаем:
Г dW/ Г
cf ^ erf
D1)
f ^ erf
ГГ
22*

340 Механика сплошных сред
Выберем 5 и т] настолько малыми, чтобы квадратичные члены выражения
D(U) — I){W) не оказывали влияния на его знак. Тогда знак этой разности
определяется знаком контурного интеграла. Так как знаки Лит} могут быть
одновременно изменены на обратные, то знак правой части может быть сделан
каким угодно соответствующим подбором достаточно малых значений I и щ.
Иначе говоря, мы можем всегда найти функцию DF), у которой D(U) <D(W),
при одинаковом J(U) = J(W), что и требовалось доказать.
Ив доказанного выше мы можем заключить, что первому характеристическому
числу соответствует только одна фундаментальная функция. Если бы имелось,
например, две таких фундаментальных функции, то разность их должна была бы
быть также такой фундаментальной функцией. Но так как / / W^dxdy**
— Г Г W22dxdy = l, то W2 не может быть повсюду меньше или больше,
чем Wx. Разность Wa—W, являлась бы, следовательно, фундаментальной функ-
функцией, имеющей узловые линии. Но, согласно сказанному выше, такая фундамен-
фундаментальная функция не может соответствовать наименьшему характеристическому
числу.
4. Метод Ритца. Эллиптическая мембрана. Ритцу принадлежит следующий
прямой метод определения характеристических чисел и фундаментальных функций
из их минимальных свойств. Мы укажем здесь только ход вычислений. Желающих
ознакомиться - с исследованиями сходимости метода мы отсылаем к подробным
курсам математической физики.
Мы будем исходить непосредственно из вариационной задачи, которая заклю-
заключается в следующем: из всех непрерывных и дифференцируемых функций, обра-
обращающихся в нуль на границе, требуетея найти такие, для которых
Г f W4x dy = l и J J grada Wdx dy
минимален. Положим нам дан ряд функций рх {х, у), p.z (х, у) и т. д., обра-
обращающихся в нуль на границе и подобранных таким образом, чтобы любая
непрерывная и дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на границе.,
могла быть представлена, вместе с ее производными, рядом вида
с любой степенью точности. Положим, что решение нашей вариационной вадачв
приближенно может'быть представлено конечной суммой
п
D2) U =
Определим коэффициенты о так, чтобы выполнялось добавочное условие
J(U)= Г Г U*dxdy = \ и чтобы D(U)= f I grad2 Udxdy было минимально.
Обозначая через X2 неопределенный множитель Лагранжа для добавочного
условия, мы должны решить систему уравнений
дВ ^„ dJ
Так как
—-¦= 2 I j grad U' grad-^— dxdy = 2 У а | I grad » gradphdxdy

IX, § 4 Граничная задача колеблющейся мембраны 341
и
dj г г BU Y1 Г Г
то ътя уравнения могут быть записаны в виде
п я
grad ph dx dy = I? ^ ap у у* д |jh di- <2t/.
Мы получили столько линейных однородных уравнений, сколько требуется
определить коэффициентов а. Эта система уравнений имеет решение, отличное
от нуля, только тогда, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая последний
нулю, мы получаем алгебраическое уравнение для определения множителя Ла-
грапжа X2. Степень этого уравнения равна числу коэффициентов. Так как опреде-
определитель симметричен, то уравнение это имеет только вещественные корни. Умножая
уравнение D3) на ah и суммируя, мы убедимся, что эти корни кроме того еще
положительны. Действительно, J(U) и D{TJ) суть квадратичные формы относи-
относительно а и по теореме Эйлера об однородных функциях
Отсюда мы получаем, помня, что J= 1:
D5) D = Х2/, Х2 = J j grada TJ dx dy.
Если найдены значения X, то для каждого значения Ха, являющегося корявы
определителя, мы получаем систему коэффициентов а , которые определяют нам
функцию U. При увеличении числа коэффициентов п корни определителя стре-
стремятся к характеристическим числам нашей вариационной задачи.
Этот метод обычно применяют для определения характеристических чисел.
Мы вычислим с его помощью первое характеристическое число эллиптической
мембраны. Заметим себе сначала, что этот метод приближения даст нам ваведомо
слишком большое значение характеристического числа. Действительно, последнее
равно минимуму D, и поэтому всегда меньше полученного приближения.
Для эллипса мы сделаем еще одно предварительное упрощающее задачу
вамечание. Будем считать, что за оси координат выбраны оси эллипса. Наимень-
Наименьшему характеристическому числу может соответствовать только одна •фундамен-
•фундаментальная функция.; докажем, что она должна быть симметрична относительно х
и у. Действительно, обозначим ее черев- f(x, у). Из соображений симметрии
f(—x,y) есть также фупдамешяльная функция. Если fix, у) — f(—х,у)фО, то
вта разность есть также фундаментальная функция, имеющая узловую линию
ж = 0, что невозможно, ибо фундаментальная функция, соответствующая первому
характеристическому числу, не имеет узловых линий. Поэтому при олределении
первой фундаментальной функции мы можем ограничиться только четными функ-
функциями от х и у. Обозначая полуоси эллипса через а и Ъ, мы напишем уравнение
последнего в ввде
Выберем простейшее приближение, удовлетворяющее граничному условию:
и= с {«да—ь%2—а*
Константу С мы определим из условия

342 Механика сплошных сред
что дает
Других коэффициентов, выбором которых могло бы еще быть снижено значение
минимизируемого интеграла, в нашем распоряжении не имеется. Вычисляя минима-
вируемый интеграл, мы получаем элементарным интегрированием:
D{V) = J С grad2 Udxdy = С%а868 (а2 + ft2),
подставляя сюда вычисленное значение для С2, мы получаем приближенное зна-
значение первого характеристического числа по D5):
З
1 —
Для улучшения этого вначения мы сделаем дальнейшее предположение, что
U = { аЧ* — ЪЧ1* — а2у2 } • {
Стоящий спереди множитель я2?»2 — Ь2х2 — а2у2 обеснечивает выполнение гранич-
граничного условия U=O при любых значениях о, |3, f. Вычисляя вначения интегралов
J и 1) как функций от о, {3, ?, мы получаем: \
"I 3 +24ГГ
Если отбросить несущественные множители и ввести сокращение
то уравнения
OR — Х2 — и т
принимают вид:
16 J+ 48 ~ +
6 ^ 48 ^ Т \ 6 (а2+ Ь2) ^ 16 / ~ \ 24 ^ 240"+ 80 /'
Мы проведем вычисления до конца в частном случае а = 2, 6 = 1. Умнож&я
последние уравнения на 24, мы имеем:
+ D-х2) р + D— х2) т = 0,
D __ х2) а -1- B,3 — 0,Зх2) р + @,5 — 0,1х2) т = 0,
D — х2) о + @,5 — 0,1х2) р -f D,7 — 0,Зх2) Т = 0.

IX, § 4 Граничная задача колеблющейся мембраны 345
Для того чтобы эта однородная система уравнений имела решения, отличные
от нуля, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный ив ее
коэффициентов
B4—8x2), D — х% D — у.2)
D — хЯ), B,3 — 0,3-/2), @,5 — 0,1x2)
157,44 — 78,08x2 + 8,72х* —0,24х« = О
D —х2), @,5 — 0,1x2), D,7 — 0,3x2)
обратился в нуль. Наименьший корень этого уравнения хг2 = 2,8554. Отсюда
3'568'
Сравнивая это с результатом первого приближения
= 3,75,
мы видим, что более точное приближенное значение на 5% меньше первого.
Вычисляя коэффициенты о, р, f, мы получаем:
а =1,560, j3 = — 1,178, 1 = 0,399.
Недостатком метода является то, что мы не имеем никакой возможности
оценить ошибку вычисления. При определении характеристических чисел поэтому
считают приближение достаточным, если при дальнейшем улучшении приближения
последующее приближенное значение не отличается заметно от предыдущего.
б. Асимптотическое распределение характеристических чи?-ел. Закан-
Заканчивая наше исследование, мы остановимся еще на вопросе о распределении
характеристических чисел. Физически говоря, это обозначает, сколько частот коле-
колебаний мембраны лежит ниже, чем заданное значение г. Точный ответ на этот
вопрос требует, конечно, 'определения характеристических чисел в каждом данном
случае. Мы покажем, однако, что для очень большого z число N {г) собственных
колебаний с частотами, меньшими z, для всех мембран с одинаковой площздью
асимптотически одно и то же. Если F есть площадь мембраны и N(z) — число
характеристических чисел, меньших г, то
«•) llm *?-?
z*
«==«
Это асимптотическое выражение мы докажем сначала в случае прямоуголь-
прямоугольника, где нам уже известно распределение характеристических чисел. Разобранные
пами выше методы вариационного исчисления позволят нам перенести эту фор-
формулу и на общий случай.
Прямоугольник. Собственные колебания прямоугольника с ребрами а
и Ъ имеют вид (см. § 3, стр. 323):
где тип суть целые положительные числа. Характеристические числа X диф-
дифференциального уравнения &.W-f-X2TF" равны
Соответствующие частоты равны
Uсп ./"га2 , «а
<49) \,.п=™у w+-p

344 Механика сплошных сред
если положить, как раньше
E0) с = —.
Для нахождения числа частот, меньших, чем некоторая заданная величина г,
мы должны ответить на вопрос, сколько имеется целых и положительных решений
неравенства
При конечном значении я мы можем подсчитать число таких решений, если
проведем в координатной системе, абсциссой которой служит т, а ординатой »,
т2 . п2 г2 „ аг
эллипсы —а" ~г Та"== ~2Д • Полуоси этих эллипсов равны соответственно —¦„
и —. Все точки с целыйи координатами, лежащие внутри первого квадранта
эллипса и образующие плоскую решетку, соответствуют частотам
Для точек, лежащих вне эллипса, v п > г. Число частот, меньших я, равно
числу узлов решетки, лежащих внутри первого квадранта эллипса. Это число
приближенно равно площади этого квадранта. В теории чисел доказывается, что
относительная ошибка, получающаяся при таком приближении, с возрастанием *
стремится к нулю. Отсюда приближенно
E2) iV(^)==JL^iil==^fi
4 то ice 4та
или точнее:
.. N(z) ab
lim —~ = ——.
dW
Если ваменить граничное условие W= 0 граничным условием -тг— = О
что соответствует отсутствию граничных условий при вариационной трактовка
задачи, то собственные колебания прямоугольной мембраны, незакрепленной иа
границе, имеют вид:
.. тих пк и . .
К, п cos —a— cos -~ cos (\, nt—V „)•
Соответствующие частоты
получаются такие же, как и в случае граничного условия W = 0. Добавляютс-
при этом только частоты, получающиеся, если положить m или п равный
нулю. В прямоугольнике с закрепленными границами эта возможность исключен-
Вновь полученные характеристические числа лежат, если их представить графи-
графически, в углах решетки, с положительными координатами. Асимптотическая фор-
формула для числа собственных колебаний остается той же, так как число доба-
добавляющихся частот равно сумме полуосей и в асимптотической формуле отпадаег
E3> ШШ»
Докажем теперь, что эта формула остается справедливой при любой форк-
кембраны. Основной идеей доказательства является то, что при увеличена

XX, § 4 Граничная задача колеблющейся мембраны 345
добавочных условий в вариационной задаче, ограничивающих круг допускаемых
функций, минимальные значения могут этим только увеличиваться. Поэтому в
в максимально-минимальной задаче наибольший ив минимумов может только
возрастать.
Наоборот, если „ослабить" вариационную вадачу, т. е. опустить часть условии
(граничных условий или требований непрерывности), то круг допускаемых функций
тем самым расширяется и все минимумы и их наибольшие значения могут только
убывать. Физически вто означает то, что при усилении граничных условий частоты
возрастают, а при ослаблении уменьшаются.
Для того чтобы применить этот основной факт к нашему частному случаю,
мы поступим следующим образом.
Проведем в плоскости мембраны, покрывающей область G, систему коорди-
координат и нанесем квадратную сетку прямых, параллельных осям, находящихся на
расстоянии в друг от друга.
Совокупность квадратиков, все точки которых лежат внутри заданной обла-
области, образует некоторую область, которую для краткости назовем внутренним
многоугольником. Если же мы возьмем все квадратики, имеющие по крайней мере
одну общую точку с G, мы получаем фигуру, которую для краткости назовем
внешним многоугольником. Площадь мембраны G лежит тогда между внешним и
внутренним многоугольниками и при уменьшении квадратиков площади этих
многоугольников стремятся к площади мембраны.
Усиление вариационной задач и. Мы будем исходить ив вариацион-
вариационной задачи мембраны, закрепленной на краю.'Усилим условия, налагаемые на фунда-
фундаментальные функции, тем, что вакрепим все площадки, лежащие между границей
мембраны н внутренним многоугольником. Добавим, далее, еще более ограничи-
ограничивающее условие, закрепив мембрану вдоль прямых, образующих решетку. Мы
приходим тогда к колебаниям внутреннего многоугольника с закрепленной границей
и закрепленными прямыми, образующими координатную решетку. При этом, конечно,
отдельные квадратики вписанного мноугольника колеблются независимо друг
от друга. Число собственных колебаний внутреннего многоугольника с частотами,
меньшими г, мы получим, складывая число таких колебаний по всем отдельным
квадратам. Асимптотическое число колебаний с частотами, меньшими z, для каждого
отдельного квадрата равно —— и, следовательно, для всех квадратов равно
4те
4т:с '
где ft есть площадь внутреннего многоугольника. Так как при таком усилении
вакрепления все частоты увеличиваются (или по крайней мере не уменьшаются),
то число частот, меньших г, уменьшается (или но крайней мере не увеличивается).
Это полученное нами число будет заведомо меньше числа колебаний нашей
мембраны с частотами, меньшими г, т. е.
(М)
Ослабление вариационной задачи. Мы будем исходить опять-таки
из вариационной задачи с данной мембраной и будем ослаблять наложенные
условия, оставив сначала свободными части поверхности между внешним
многоугольником и мембраной. Ослабляя мембрану далее, мы освободим гра-
границу внешнэго многоугольника и разрежем последний вдоль прямых, образую-
образующих решетку; мааематически говоря, мы отбросим условие непрерывности вдоль
прямых, образующих решетку. Отдельные квадратики при этом колеблются совер-
совершенно независимо друг от друга, без всяких граничных условий (в минимальной

346 Механика сплошных сред
задаче это дает граничное условие —^—= 0], т. е. со свободной границей. Коле*-
бания разрезанного внешнего многоугольника слагаются ив колебаний этих отдель-
отдельных квадратиков. Число колебаний разрезанного внешнего многоугольника с ча-
частотами, кеныпими г, равно сумме таких чисел для отдельных квадратов. По E3)
число колебаний с частотами, меньшими г, для квадрата асимптотически равш
f z2
а сумма для всех квадратов равна -f—, где fa есть площадь вписан-
пого многоугольника. Так как при ослаблении наложенных условий частоты
баний падают (или, по крайней мере, не увеличиваются), то число частот, мень-
меньших г, будет увеличиваться (или, по крайней мере, не падать). Полученное нами
число поэтому больше ели равно их числу для первоначально рассматриваемой
мембраны. Вместе с E4) это дает нам неравенства:
E5) _А.<итЩА
4ЯС ?3
Уменьшая величину отдельных клеток решетки и увеличивая их число, мы можек
сделать площади ft и fa вписанного и онисанного многоугольников сколь угодно
близкими к площади F мембраны. Значит верхняя и нижняя границы выражения
hm —~ стремятся к одному и тому же пределу, и мы получаем асимптотиче-
скую формулу:
E6) Ш-ЩГ
Приведенные здесь соображения могут быть перенесены на все задачи на нахо-
нахождение характеристических чисел.
ЛИТЕРАТУРА
А. Жяв, Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935.
Е. Трефрц, Математическая теория упругости, ГТГИ, 1932.
С. Д. Тимошенко, Курс теории упругости, Пгр 1914; II, 1916.
Л. Ж. Мусхелишвили, Некоторые основные задачи математической теории упругости,
ГТТИ, 1933.
A. Clebaeh, Theorie der Elastizifat der festen Korper, Leipzig, 1862, ч. 1. :
ГЛАВА Х
ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ
М. Лагалли
§ 1. Общая теория и законы движения
1. Определение идеальной жидкости. Когда реальная жидкость находится
в равновесии, то в любом месте внутри нее выполняется закон изотропности
давления. На любой элемент поверхности (площадку), проходящий через дан-
данную точку внутри жидкости, действует давление жидкости, направленное по нор-
нормали к поверхности, причем величина этого давления одинакова для любого
направления нормали к площадке. Этот яакон изотропности давления перестает,
однако, выполняться при движении реальной жидкости; ив-за внутреннего тре-
ная в жидкости появляются скалывающие силы, действующие параллельно
выделенному нами элементу поверхности, отделяющему одну частицу жидкости
от другой. Подобные скалывающие силы появляются, вследствие трения а стенку,

X, § 1 \05щая теория и законы движения 347
и на тверды? поверхностях, ограничивающих жидкость, в то время как в состоянии
покоя давление жидкости перпендикулярно к стенке.
В большинстве случаев движения многих жидкостей скалывающие силы
чрезвычайно малы. Этот факт позволяет при рассмотрении таких жидкостей идеа-
лиаовать их, предполагая, что эти силы в точности равны пулю. Таким путем
мы сильно упрощаем математическое описание жидкостей. Жидкость, для которой
вакон изотропности давление выполняется также и при ее движении, называется
идеальной жидкостью.
Жидкость непрерывно заполняет пространство в предоставленной ей области.
Если плотность р жидкости во всей области постоянна, то подобная жидкость
иашвается несжимаемой. Не только капельные жидкости, но и гавы могут
рассматриваться, с большим приближением, как несжимаемые жидкости в тех
случаях, когда скорости движения малы по сравнению со скоростью звука.
Во многих случаях, однако, допущение переменной плотности не приводит к зна-
значительному усложнению математической трактовки-вопроса, если можно считать
плотность функцией только от давления. Сличай, когда на плотность влияют
термодинамические процессы, труднее и нами рассматриваться не будет.
Теория идеальной жидкости дает, вследствие сделанных в ней упрощающих
предположений, лишь идеализованную картину движения реальной жидкости.
Однако, не следует недооценивать значения этой теории для описания действи-
действительного движения жидкости. Для жидкостей с небольшим внутренним трением
результаты теории, вообще говоря, хорошо совпадают с результатами наблюдений;
_только в непосредственной близости к стенке необходимо вводить поправки.
И лишь для очень быстрых и, в особенности, турбулентных движений, теория
совершенно отказывается служить.
Полный список литературы можно найти в цитируемой ниже книге Лемба
и в Энциклопедии математических наук (Enzyklopadie der Mathemalischcn Wissen-
schaften), новые работы указаны в тексте. Краткий указатель литературы приведен
в конце этой главы.
2. Поле скоростей. Если мы будем рассматривать движущуюся жидкость в не-
некоторый момент времени t, то каждая „частица жидкости", т. е. жидкость, заклю-
заключенная внутри очень малой замкнутой поверхности, имеет некоторую определенную
среднюю скорость. Стягивая эту замкнутую поверхность в точку, мы приходим к пред-
представлению о том, что каждой точке Р\х, у, z) пространства, занятого жидкостью,
ножно сопоставить определенную скорость течения. Эту скорость в данной точке
обычно задают значениями «, v, w ее составляющих по осям X, Y, Z правой
декартовой системы координат. Величина этой скорости будет *
A) | v | = У«»-|-«в-f «А
Сама же скорость но величине и направлению есть вектор
B) v = «i-f
где 1, j, k—единичные векторы (орты) в направлении координатных осей.
Функции и, v, w мы будем предполагать конечными, однозначными и непрерыв-
непрерывными в'о всей области, за исключением отдельных точек, линий или поверхностей.
Представление о поле скоростей (поле тока), т. е. о распределении скоростей
в области, ванолненной жидкостью, приобретает особую наглядность при введении
линий тока. Последние суть кривые, направление которых (то есть касатель-
касательная) в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости в этой точке. Они
являются интегральными кривыми совокупной системы дифференциальных уравнений
(За) dx : dy : dz = и : г : iv,
где аргумент t функций и, v, w нужно считать постоянным параметром. Линия
тока, проходящие черев маленькую вамкнутую кривую, образуют так навываемую

348 Механика сплошных сред
трубку тока. Жидкость, заключенная внутри трубки тока, образует нит.
тока.
С течением времени, вообще говоря, изменяется не только скорость данно
движущейся частицы, но и скорость в данном (закрепленном в пространстве
месте поля. Поэтому с течением времени изменяют свой вид и все линии тока
Траектории, по которым движутся частицы, не совпадают, следовательно
с линиями тока. Эта траектории являются интегральными кривыми совокупно!
системы
(ЗЪ)
dx dy dz
где аргумент t функций и, v, w является, в отличие от , уравнений (За), не:_
висимой переменной. Траектории частиц совпадают с линиями тока только в елуч&
стационарного движения, когда скорость в каждой точке поля не завися
от времени. В этом случае жидкому, находившаяся внутри трубки тока, движете
в ней как в твердой трубке; через любое поперечное сечение последней прот$
кает в единицу времени одинаковое количество жидкости. -
Задачей гидродинамики является изучение движения жидкости в кинемат»
ческом и в динамическом отношении. При этом мы можем либо ограничить?
изучением всего поля скоростей в целом с его линиями тока для каждого момент
времени, либо ввести в рассмотрение местонахождение каждой отдельной частицц
т. е. изучать ее траекторию и движение ее по этой траектории. Все гидродин*|
мические величины, а также давление и плотность, мы свявываем, в первй1
случае, с точками поля, а во втором случае — с отдельными частицами жидкост
в различные моменты времени.
Весьма важным частным случаем является плоское течение жидкости
когда все частицы движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижно!
плоскости, причем частицы, расположенные друг над другом, т. е. на одном i
том же перпендикуляре к этой плоскости, описывают в параллельных плоскоота
одинаковые траектории и остаются друг над другом все время. Все течение жидкоср
описывается ее движением в одной из этих плоскостей, которую обычно выбираю
за плоскость ху. ~
3. Уравнение неразрывности1). Распределение скоростей в поле ш
должно удовлетворять следующему кинематическому условию. Отдельны
частицы жидкости должны двигаться друг относительно друга так, чтобы пр
сохранении их массы пространство было ваполнено жидкостью целиком и <$й
полостей. При этом мы оставим пока в стороне вовможность прибыли или убщ
жидкости в некоторых точках или сплошных участках ванимаемого жидкости
пространства, и не будем рассматривать источников и стоков жидкости
В этом случае заполняющая элемент объема d~ = dxdydz масса жидкости
dm es= pdt
может измениться за время dt лить вследствие ивменения ее плотности. Эг~
ивменение (скажем, увеличение) количества жидкости, равное -?- dxdt, происходи
потому, что ва время dt в элемент объема "<?т втекает больше жидкости, чар
ив него вытекает; оно должно равняться избытку втекающей жидкости над выте?
кающей, т. е. величине :
дх ' ду ' дг
*) Мы пользуемся здесь, следуя А. А. Фридмаиу, термином .уравнение неразрыв-
неразрывность*. В русской литературе употребителен также термин „уравнение сплошности".
(Прим. ред.).

X § 1 Общая теория и законы движения 349
Отсюда следует уравнение неразрывности
=0' или -?+*v<py)-o.
Для несжимаемой жидкости оно принимает более простой вид
ди . dv ,'dw ,.
D0 -х- + -тг- + -а— «= 0, или divv = O.
v ' ' дх ду ' дг
В атом случае оно служит выражением того факта, что количество втекающей
жидкости равно количеству вытекающей.
Предположим теперь, что в жидкости имеются источники, непрерывно рас-
распределенные в поле тока, и пусть е есть интенсивность (количество вытекающей
за единицу времени жидкости) источников, отнесенная к единице объема (плот-
(плотность источников). Тогда уравнение неразрывности должно быть ваменено более
общим уравнением
d(ptv)
Г = е
Наличие источников в данном элементе объема будет иметь следствием, с одной
стороны, повышение плотности жидкости в этом элементе объема, и с другой
стороны, вытекание жидкости из него.
Для плоского движения в несжимаемой жидкости уравнение нераз-
неразрывности приводится к виду
Это уравнение может быть проинтегрировано с помощью вспомогательной
функции ф (х> У) [или Ф (ж> У> О ДЛЯ нестационарного движения], если положить
ду дх
Уравнение линий тока (За),2 принимает вид
d^==O, т. е. ф = const.
Функция ^ навывается функциейтока.
4. Теорема Гаусса; поток. Мы видели, что интенсивность источни-
источников, заключенных в некотором элементе объема, равна увеличению количества
Экидкости в этом объеме, происходящем из-за увеличения ее плотности, плюс
избыток вытекающей из объема жидкости над втекающей. Это справедливо
также и для конечных объемов. Этот избыток может быть выражен в виде инте-
интеграла, распространенного по поверхности, ограничивающей наш объем, и пред-
представляющего поток через поверхность.
Под потоком черев ограниченную контуром или замкнутую поверхность
мы понимаем количество жидкости, протекающее в единицу времени через эту
поверхность. Поток мы считаем положительным в одном из двух возможных
направлений, а именно в том, в котором мы считаем положительным направление
нормали к поверхности. Для замкнутой поверхности положительной нор-
налью мы будем считать нормаль, направленную внутрь.
Обозначим черев и единичный вектор положительной нормали к элементу
поверхности dS, и черев d8 = ndS—направленный элемент поверхности. Тогда
/ pvudS или, короче, / pvdS есть поток через некоторую поверхность. Интен-

360 Механика сплошных сред
сивность источников, ваключенных внутри замкнутой поверхности, равна дм
стационарного движения [см. ур. E), 3]:
/ div (pv) dr.
Отсюда получается
Gа) / div (pv) dz — —f pvdS.
В случае постоянной плотности имеем
div xdx = — / vdS,
или
Г Iди . dv . дмЛ , Г , „ , . ,„
J \дх dy dz j J
где о, р, f суть направляющие косинусы нормали. Это уравнение носит названи
теоремы Гаусса. Иногда, особенно в английской литературе, оно причисляете!
к теоремам Грина.
Из уравнения Gа) можно получить несколько более общую форму теорем»
Гаусса:^
Gс) / vgradpdT-}- / pclivvdi = — /
5. Деформация частицы жидкости. Если мы будем рассматривать малую
область, заполненную жидкостью вблизи некоторой точки О (х, у, z), движущей!»
со скоростью v, то для любой точки
P(x-\-dx, y-\-dy,
этой области скорость в тот же самый момент времени равна
Различие в скоростях двух соседних точек О и Р приводит к тому, что.
за единицу времени расстояние между точками О и Р изменяется на dv. Эть
разность dv проивводит, следовательно, деформацию объема жидкоати вблизи
точки О и является мерой этой деформации. Скалярные разности скоростей d».
dv, dtv;
(8)
, ди , , ди , . ди ,
du s= —— dx -4- — dy -J- -—- dz,
дх ' dy v ' dz
Д dv j . dv , . dv ,
d djd+d
~ dx-\--r- dy-\--—dz,
dx ' ' dy a '<¦ dz
определяют компоненты относительных смещений в направлении осей х, у, г.
Мы можем равложить эти смещения на две части, из которых полная деформация
получается наложением
tft, dv = d^-\-d2v, dw = d

, § 1
Общая теория и законы, движения
351
Эти две части мы выберем таким образом, чтобы уравнения, определяющие
первую часть, имели симметричную, а уравнения, определяющие вторую часть,
антисимметричную схему коэффициентов:
du , . 1 (du dv\ I (ди
dv , du\ , , dv , , 1 I dv , dw)
A0)
dm dv
dtv
dv
du dw
dw dv
dw dv
Первая часть деформации, определяемая уравнениями A0), есть деформация
в собственном смысле, т. е. чистое растяжение ио трем взаимно
жерпендикулярным направлениям. Вторая часть, определяемая урав-
уравнениями A1), есть вращение вокруг некоторой оси, цри котором жидкость,
окружающая точку О, вращается как целое, подобно твердому телу *). Это вра-
вращательное движение частиц жидкости называется вихревым дв-ижением.
Мы видим отсюда, что в гидродинамике слово вихрь употребляется в смысле,
ие совсем совпадающем с обычным смыслом этого слова. Величины
w dv\ 1(ди dw\
)
называются компонентами вихря, а вектор
i. j.
d d
(is)
связанный с вектором скорости
дх' dy
w
соотношением
v = ш -f- jv -f- ktv
1
2
rot v,
называется вихревым вектором. Направление этого вектора совпадает
о направлением оси вращения частицы жидкости, а его величина
A4) а=УР+ур+&
есть угловая скорость этого вращения; \, % С, суть составляющие вектора угловой
скорости по осям координат.
Таким образом, с полем тока жидкости (полем скоростей) мы связываем
еще одно векторное поле — поле вихрей. Линии вихревого поля, так назы-
1) Напомним, что речь идет о деформациях и смещениях ва единицу времени,
т. е. собственно о скоростях деформаций и смещений. (Прим. ред.).

358- Механика сплошных сред
ваемые вихревые линии, характеризуются тем, что их направление в каждой
точке совпадает с осью вращения находящейся там частицы, они являются инте-
интегральными кривыми совокупной системы
A5) dx:dy:ds = i:-ri:(..
Вихревые линии, проходящие черев некоторую малую замкнутую кривую,
образуют вихревую трубку. Жидкость, находящаяся внутри вихревой труби,
образует вихревуюнить.
Для более подробного изучения деформации в собственном смысле, соответ-
соответствующей чистому расширению, мы запишем уравнения A0) в более кратком виде:
-я— dx -j- hdy -f- gdz,
-я—
— dy-\-fdz,
^ dz,
A6)
и рассмотрим вблизи точки О (х, у, г) поверхности второго порядка, называемые
поверхностями деформации:
<17) 2F = ~ (da;J + 2Mxdy -f j- (dy)* -f- 2gdxdz + Ifdydz -f ¦? (dz)* = const.
Все точки Р с относительными координатами dx, dy, dz относительно точки О
располагаются на совокупности геометрически подобных поверхностей второго
порядка. Получающиеся при деформации в собственном смысле смещения d{u,
dtv, dxw, т. е. ивженения относительных координат, могут быть представлены
в виде:
d dd
Относительные смещения представляют, следовательно, градиент неко-
некоторого поля, поверхности уровня которого суть вышеописанные поверхности
второго порядка A7). Величина и направление смещений задается уравнениями A8).
Уравнение несжимаемости — условие отсутствия объемного расши-
расширения
ди _|_ jk_ , Ьхю
~дх"Т~Ту"т"~дг~~
выражает некоторое инвариантное свойство поверхностей деформаций. Если мы
направим оси координат по главным осям поверхностей расширения, т. е. по^
ложим, что
2F=, A (dxf + В (dy)* + С (dzf = const,
то уравнение несжимаемости принимает вид
Это уравнение представляет соотношение между длинами трех главных осе!
и указывает, что, если жидкость несжимаема, то поверхностями деформаций могу»,
быть только центральные поверхности второго порядка одного определенного!
класса, именно, так называемые ортогональные гиперболоиды.
6. Безвихревое движение; потенциал скоростей. Движения, при которых
частицы жидкости испытывают только деформации и не испытывают вращения,
образуют обширный математически простой и физически весьма важный класс:

X, § 1 Общая теория и законы движения 353
движений. Подобные движения называются безвихревыми. Из обращения
в нуль компонент вихря 6, tj, С, т. е. из равенств
dv ди п dw dv n ди дю Л
A9) -; -5- = О, -з -5-"= О, -5~ = 0 ИЛИ rotY = O
к ' дх ду ду дг дг дх
следует, что компоненты скорости и, », w могут быть выражены как частные
производные некоторой функции *) о (х, у, г, t)
до до до • ,
B0) « = —-, v = -~, w — -^- или т = grad ».
. to ду аз
Эта функция. <? называется потенциалом скоростей. Для стационар-
стационарного движения она не зависит от времени t.
Для безвихревого движения несжимаемой жидкости из уравнения D'), 3
следует:
где Д есть оператор Лапласа. Потенциал скоростей удовлетворяет урав-
уравнению Лапласа. В тех точках, где уравнение несжимаемости перестает быть
верным, т. е. в местах источников, уравнение Лапласа заменяется согласно
уравнению E) 3, уравнением Пуассона:
.пп. д%? , д*о . д*? е . е
Для ивучения кинематической стороны движения достаточно рассматривать
вначение р = 1. Тогда, в случае поля с источниками,
B20 Д? = е.
Это уравнение можно также получить, если в уравнении D) считать знамена-
знаменатель р включенным в величину е. Тогда величина е будет выражать интенсив-
интенсивность истодников, отнесенную к единице плотности.
Для плоского потенциального движения уравнение B1) приводится к
Решение этого уравнения может быть представлено в виде
B4) , o
Другими словами, <р может быть положено равным вещественной части
гомплексного потенциала 2, т. е. некоторой функции комплексного пере-
переменного x-\-iy.
7. Примеры: а) Ламинарное движение. Ламинарным мы называем
такое плоское движение, в котором скорости всех частиц параллельны некоторой
прямой (например, оси х). Полагая скорость пропорциональной расстоянию от
этой оси, мы получаем: " \
*) Многие авторы, например, Lamb (Hydrodynaihics), пишут не 9. а — Ч, по аналогии
е потенциалом силы:
(Прим. ред.).
23 Зав. 1408. — Франк н Мизес Дифф. уравв. мат. фаз.

354 Механика сплошных сред
Коэффициент пропорциональности с есть скорость на прямой у=1. В это»
движении вихрь имеет бдну, постоянную во веек пространстве, составляющую;
равную
г— с
^~~ 2 '
Кривые деформации в рассматриваемом плоском движении суть равной
бочные гиперболы
2F = cdxdy = const.
Полная деформация (относительное смещепие) каждой частицы
du = cdy, dv—O
складывается из деформации в собственном смысле
dtu = ~ dy, dxv = ~ dx,
и чистого вращения („вихре^го движения")
С С
b) Вращение. Если вся жидкость, находящаяся в некотором сосуде, вра-,
щается целиком, как твердое тело, с угловой скоростью а> вокруг оси г, то плоско^
движение в сечении, перпендикулярном оси вращения, задается уравнениями
и = — <оу, v = <ох.
Это движение имеет одну, постоянную во всем поле, составляющую вихря
.Деформации при этом никакой нет. Движение называется чисто вихревым;
в противоречии со значением этого слова, придаваемым ему в обыденной речи.
c) Изолированныё вихрь. Если линии тока в плоском движения
суть концентрические круги и величина скорости на каждом круге обрати»
пропорциональна радиусу г, то выражения для скоростей имеют вид:
у х
Коэффициент пропорциональности ц равен скорости j движения частиц на
круге радиуса 1.
При этом движении во всех точках поля имеет место деформация в соб-,'
ственном смысле; кривые деформаций суть равнобочные гиперболы. Вращении,
частей нет ни в одной точке поля, за исключением центральной точки, в которой
компонента вихря i остается пока неопределенной. В дальнейшем (§ 1, 18 н
§ 2, 8) мы увидим, что целесообразно считать угловую скорость вращения^
в этой точке бесконечно большой.
Описанное движение до некоторой стэпени совпадает с понятием „вихря*;
в обычном смысле этого слова. Однако, в математическом смысле оно является
безвихревым, за исключением центральной точки, где имеется" „изолированный
вихрь", интенсивность которого характеризуется множителем ji. Движение обла-
обладает потенциалом скоростей
У
— -.
3/

'X § 1 Общая теория и законы движения 355
8. Уравнения Эйлера. Для установления дифференциальных уравнений
движения идеальной жидкости под действием внешних сил, мы будем исходить
изосновных законов динамики.
Внешние силы суть силы объемные или массовые, т. е. пропорциональные
массам рассматриваемых элементов жидкости. Силу, отнесенную к единице
массы, мы обозначим через F, а составляющие ее по осям координат — через X,
Y, Z. Кроме них, на каждую частицу действует в качестве поверхностной силы
давление жидкости; величину этой силы на единицу поверхности мы обозначим
через р. Нам нужно составить равнодействующую сил давления на всю поверх-
поверхность частицы и найти ее составляющие по осям. Значения их, отнесенные
к единице объема, будут
dp dp dp
~~~дх* ~"ду' ~~~Ь7'
а отнесенные к единице массы
1_ др __2__Ф __JLiP
р дх ' р ду ' р дг '
На границу жидкости вместо давления жидкости р действует извне нор-
нормальное к границе внешнее давление Р; равное р; это условие выполняется как
для свободной и подвижной поверхности, так и для твердой стенки.
_., du dv dw
Обозначая черев ~тг> ->т> -jr проекции ускорения на координатные оси,
CLt CLt dt
мы получаем уравнения движения
du 1 dp
U^ р" IP
du__ 1 dp
~dt~~ p ~ду'
dw „ 1 dp
~dt~ р~ W
B5)
или, в векторной форме
B5а)
В этом выводе введение понятия ускорения связано с некоторым принци-
принципиальным затруднением. В самом деле, об ускорении элемента жидкости можно
говорить разве только в смысле его среднего вначения, и лишь в том случае,
когда масса элемента жидкости стремится к нулю, ускорение его будет прибли-
приближаться к определенному пределу. Поэтому, в методическом отношении пред-
предпочтителен несколько иной вывод уравнений движения. Составим для любой
(конечной) части жидкости равнодействующую всех действующих на нее объ-
объемных и поверхностных сил и положим ее равной производной по времени от
количества движения жидкости
dt
С pvdt = Г pFdx-f- Г pdS.
Припимая во внимание, что дифференцирование в левой части, внесенное
под интеграл, относится только к скорости (так как масса частиц pdt остается
ири движении неизменной), и преобразуя второй член правой, части с помощью
формулы Гаусса в объемный интеграл, мы. получаем уравнение B5а).
2S*

356 ' Механика оплошных сред
„ du dv dw .„_.
Производные ТтГ' "л7"> "лТ" в уравнениях B5) суть отношения изменения ско-
скоростей данной движущейся частицы к Промежутку времени dt. Они являются,
таким образом, „субстанциальными'1 нроивводными.
Субстанциальное изменение -— некоторой величины f, связанной
с движущейся частицей, слагается из двух частей. Первая часть есть локальное
изменение -~', величина f получила бы его и в том случае, если бы частицы
не меняли своего положения (для стационарного движения локальное изменение
обращается в нуль). Вторая часть есть конвекционное изменение
lx ~dJJr~d$~dlJr'te ~dl'ssU "to+t? ~dyJrW~te=
Оно вызывается движением частицы и не исчезает также и при стацио-'
нарном движении. Субстанциальное изменение величины f равно, следовательно,
или
Таким образом, уравнения движения принимают вид:
ди , ди . ди . ди _ 1 др
^u +г? +w X
dv
dw .
Ж"
dv
dw
f(vV
4-
dw
) v = F
dv
dw
1_
P
P
gradp.
VI/ U* U« 1/Л (>
dp
или
B7a)
Эта форма уравнений движения носит наввание уравнений Эйлера.
Уравнения Эйлера описывают поле тока и его изменение, но ничего не говорят
о движении отдельных частиц.
С помощью известного преобразования можно привести уравнения Эйлера
к виду
uV 1 1
очень удобному для изучения безвихревых движений, при которых в нем пропа-
пропадает член, содержащий rot т.
При стационарном течении и консервативных внешних силах уравнения
Эйлера упрощаются и принимают вид:
B7с) (vV) v = — grad V gradj»,
Р
где V есть потенциал внешних сил, отнесенных й единице массы.
9. Уравнения Лаграияса. Если желательно узнать траекторию отдельной
частицы жидкости и движение последней по этой траектории, то координаты х,

X, § 1 Общая теория и законы движения 357
t/, s частицы в некоторый момент t сдедует считать функциями от времени t
и от ее начальных (декартовых или же обобщенных) координат a, b, e в момент^
Тогда субстанциальные производные
du d2x dv _ d2y dw d4
~dt~~~W'~dt'~~dP>lU~~dP
в уравнениях B5), 8, обращаются в частные производные -тр-, --:;-, - . При
этом и все остальные величины, входящие в уравнение B5), 8, следует считать
вависящими не от х, у, г, а от а, Ь, с. Умножая уравнения B5), 8, на производ-
производные от х, у, а по а, Ь, с и складывая, мы получим три новых уравнения:
З2^ дх_,^ ду_,д^ 0?_ to, Y ®!л.7 if - М.
дР да ~*~ дР да *~ дР да да ' да~*~ да р да'
дЧ дх , дЧ/ ду , №z дг v дх , „ д
db "" dt* дЬ*№ дЪ дЪ~*~ дЬ~*~ дЬ р дЬ'
~дР дс ' W'dc'* дР дс~~ до 'т "* дс^" Jo р"дс'
9 которых и давление р также выражено через новые координаты «, 6, с. Эта
форма уравнений движения носит название уравнений Лагранжа, хотя эти урав-
уравнения, так же как и предыдущие уравнения B7), 8, были впервые получены
Эйлером.
Стоящие в правой части равенства выражения
v дх л v ду , ¦„ dz
и т. д. суть обобщенные силы в смысле Лагранжа. Если внешние силы имеют
потенциал, то в уравнениях Эйлера будет:
а в уравнениях Лагранжа
дх ,v ду ,„ дз дГ
Уравнениями Лагранжа выгодно пользоваться, между прочим, при изучения
нестационарного движения жидкости со свободной поверхностью. Частица, нахо-
находящаяся в некоторый момент времени на поверхности, и в дальнейшем остается,
вследствие непрерывности движения, на этой поверхности. Уравнения Лагранжа
дают, следовательно, координаты точек на поверхности в момент времени t как
функции от значений а, Ъ, с координат этих точек в момент t0.
При применении уравнений Лаграпжа необходимо преобразовать также
^уравнение неразрывности [уравнение D), 3] к переменным а, Ъ, о, t.
Для простоты мы будем считать, что а, Ъ, с суть прямоугольные, а не обобщен-
обобщенные координаты частицы в момент tf = 0.
Если ввести координаты а, Ь, с, t, то количество жидкости т, заключенное
внутри некоторой замкнутой поверхности, выражается следующим образом:
т =

358
Механика сплошных сред
где
9 (а?, У, *)
3 (а, Ь, с)
есть функциональный определитель (якобиан).
Уравнение неразрывности выражает тот факт, что масса отдельной частицы
жидкости во время движения не изменяется. Следовательно, должно быть
дх
да'
дх
db'
дх
дс'
dy
~да~'
ду
db'
ду
1с~*
дг
да
дг
дЬ
дг
'дс
3 Г
dt [р
д(х, у, г)
3(«, Ъ, с)
так что р
д(х, у, г)
не должно меняться со временем. При t = O плотность р
д(а, Ъ, с)
равна р0, а координаты х, у, г совпадают с их начальными значениями «, Ъ, с;
якобиан яри этом равен 1, а уравнение нераврывности принимает вид:
B9) р4тг44 = Ро-
B9')
В частном случае несжимаемой жидкости
д(х, у, з)
3 (а, Ъ, с)
= 1.
10. Гидростатика; плавание. Условия равновесия непосредственно полу-
получаются из уравнений Эйлера, они имеют вид:
C0)
dp
Они показывают, что выражение
должно быть полным дифференциалом dp. Это значит, что должно существовать
семейство поверхностей, перпендикулярных к силовым линиям, каковым как раз
и является семейство поверхностей равного давления. Если внешние силы кон-
консервативны, то условия равновесия принимают вид
C0') pgradF = — gradp,
где V есть потенциал внешних сил. Отсюда следует, что при действии консер-
консервативных сил равновееие возможно только в том случае, если плотность есть
постоянная или функция только от давления (так что при наличии термических
процессов равновесие невозможно). Обратно, если плотность постоянна или зави-
зависит только от давления, то никакие силы, кроме консервативных, не могут со-
создать равновесия. В этом случае поверхности равного потенциала являются вместе
с тем и поверхностями постоянногр давления и постоянной плотности. Свободная
поверхность при равновесии всегда будет эквипотенциальной поверхностью.
Простейшим примером является изотермическое равновесие атмо-
атмосферы. В этом случае нужно положить плотность пропорциональной давлению

X, § 1 Общая теория и законы движения 359
Единственная действующая сила есть вес единицы массы, измеряемый уско-
ускорением силы тяжести
Z=~g.
Третье из уравнений равновесия C0) принимает вид:
и после интегрирования дает так называемую барометрическую формулу:
|- = O
Ро
в ее простейшем виде, где р0 и з0 суть соответственные значения давления и
высоты.
Случаем, более важным в гидродинамическом отношении, является равновесие
тяжелой несжимаемой жидкости с погруженными в нее частично или целиком
телами. Давление жидкости на поверхность тела дает равнодействующую силу,
направленную вверх и проходящую через центр тяжести вытесненного погружен-
погруженной частью тела объема жидкости. Величина этой гидростатической подъемной
«илы равна весу вытесняемой телом жидкости. Это есть принцип Архи-
Архимеда в его первоначальной формулировке, соответствующей частному случаю.
Когда тело частично погружено в жидкость и плавает, то подъемная сила
уравновешивает вес тела.
Вопрос о положениях равновесия плавающего тела и об
устойчивости этих, положений равновесия находит исчериывающее решение в гео-
геометрической теории Дюпена, основы которой мы здесь вкратце изложим. В каждом
положении плавающего тела плоскость поверхности воды — плоскость плавания —
отсекает от него погруженный в воду объем, величина которого определяется
принципом Архимеда. Каждому положению этой плоскости плавания соответствует
определенное положение, центра пловучестн С, определяемого как центр
тяжести вытесненного телом объема жидкости. Геометрическое место центров
пловучести называется поверхностью пловучести. Если тело в поло-
положении равновесия свободно плавает, ао нормаль к поверхности пловучести в точке,
являющейся для данного положения равновесия центром пловучести, проходит
через центр тяжести S всего тела и, расположена вертикально. Таким образом,
определение возможных положений равновесия сводится к отысканию тех нор-
нормалей к поверхности пловучести, которые проходят через центр тяжести S. Обе
точки, Мх и Мг нормали С, которые являются центрами кругов кривизны в глав-
главных сечениях поверхности пловучести, проходящих через С, называются мета-
метацентрами соответствующего положения плавающего тела. Если оба метацентра
лежат выше центра тяжести тела, то положение равновесия устойчиво (остой-
(остойчиво); если хоть один из метацентров расположен ниже центра тяжести, то поло-
положение равновесия неустойчиво (не остойчиво). Теория Дюпена сводит плавание
тела к катанью по горизонтальной плоскости вспомогательного тела, ограничен-
ограниченного поверхностью пловучести.
Возвращаясь еще раз к принципу Архимеда следует отметить, что в на-
настоящее время под этим названием разумеют теорему, гораздо более общую, чем
та, которая принадлежит самому Архимеду, а именно следующую. Если тело
совершает в несжимаемой жидкости некоторое виртуальное перемещение (в кото-
котором по необходимости принимает участие и окружающая тело жидкость), то вир-
виртуальная работа произвольных внешних консервативных сил при этом как. раз
равна работе, которую эти силы совершили бы при том же перемещении тела,
если бы оно находилось в пустоте, а масса каждого элемента его объема была
уменьшена на массу жидкости, вытесняемой этим элементом.

360 . Механика сплошных сред .
Если действующая сила есть сила тяжести, то мы получаем отсюда обыч-
обычный принцип Архимеда.
11. Свободная поверхность вращающейся жидкости. Фигуры равно-
равновесия. ») Если жидкость вращается с постоянной угловой скоростью а> вокруг
неподвижной оси (оси z), то можно ввести координатную систему, вращающуюся
вместе с жидкостью, и рассматривать центробежную силу как внешнюю объемную
силу. Условие относительного равновесия жидкости напашется тогда
grad Г F— ^- (а?2 + УУ] = — у
Здесь 5" <*>й (х2-{-у2) есть потенциал центробежной силы, а V—потен-
V—потенциал внешних сил.
Если действует только сила тяжести в направлении, обратном оси г, то
условие равновесия однородной жидкости будет
дг — !* (** + j/2) = L (p _jg.
Поверхности равного давления суть параболоиды вращения вокруг
оси я, один из которых является свободной поверхностью. Такой же вид будут
иметь поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей различной плот-
плотности.
Значительно интереснее вопрос о форме свободной поверхности тяжелой
жидкости, вращающейся не в поле земного тяготения, а подверженной только
собственной гравитации. Изучением подобных фигур равновесия,
очень важных для астрономии и, в особенности, для космогонического вопроса
о форме небесных тел и их развитии, занимался ряд лучших математиков в те-
течение почти двух столетий. Несмотря на то, что уже получено много изящных
результатов и методы исследования высоко развились особенно за последние
десятилетия, на многие основные вопросы ответа еще не получено. Различные
физические исследования, вроде опыта Плато, который вращал шарик из масла
в жидкости с той же самой плотностью и тем самым нейтрализовал силу тяжести,
не могут давать никаких указаний относительно фигур равновесия вращающихся
масс. Дело в том, что, например, для масляной капли Плато основную роль
играют силы поверхностного натяжения. Впрочем, существуют и теоретические
исследования о фигурах равновесия Плато 2).
При исследовании фигур равновесия гравитирующей жидкости, которую
для простоты обычно полагают однородной, естественно постараться прежде всего
решить вопрос о существовании эллипсоидальных фигур равновесия. Вопрос
этот может быть сведен к теории потенциала для однородного эллипсоида. Этот
потенциал есть квадратичная функция координат точки
F= Fo — Г^
Здесь величины Fo, Ft, F2, Fs- внутри эллипсоида постоянны, а для внеш-
внешних точек они зависят еще от одного параметра, который имеет одинаковое зна-
значение во всех точках эллипсоида, конфокального нашему однородному эллипсоиду.
J) Новейшие исследования по этому вопросу см. L. Lichtenstein, Astronomie und
Mathematik in ihrer Wechselwirkung, Leipzig, 1JB23. Условия существования: L. Lichten-
Lichtenstein, Ma,tb. ZS. 23, 72 и 89 A925). Дальнейшая литература: S. Oppenheim, Theorie der
Gleichgewichtsfiguren der Himmelskorper, Enz. d. Math. Wiss. Bd VI, 2 стр. 21; W. Thom-
Thomson u. P. O. Tatt, Handbuch der theoretischen Physik, Bd 2, стр. 770; IT. Lamb, Hydrody-
namik, гл. 12. См. также важные исследования Ляпунова: A. Liapounoff, Sur certaines
series do figures d'equilibre d'un liquide heterogene en rotation, I et II, Leningrad, 1925—27.
z) Handbuch d« Physik, Bd VII, гл. 6, 17.

X, § 1 Общая теория и законы движения 361
В частности, для точек на поверхности однородного эллипсоида полный потен-
потенциал со включением потенциала центробежной силы есть также квадратичная
функция от координат. Следует определить размеры эллипсоида таким образом,
чтобы эта квадратичная функция имела, в силу уравнения эллипсоида, во всех
точках свободной поверхности одно и то же значение. Тогда свободная поверх-
поверхность будет поверхностью равного потенциала, а виачит рассматраваемый эллип-
эллипсоид будет фигурой равновесия.
Этим путем приходят в двум различным типам эллипсоидальных фигур-
равновесия. Первый из этих типов открыт Маклореном, а второй сто лет спустя
Якоби.
Эллипсоиды Маклорена суть сплющенные эллипсоиды вращения. Возможные
фигуры равновесия этого рода для данной массы жидкости образуют линейный
ряд, который начинается от шара и при возрастании сплющивания переходит
. в диск, толщина которого в направлении оси вращения стремится к нулю, а диа-
диаметр к безконечности. При этом угловая скорость вращения возрастает от нуля
до некоторого максимального значения, а затем опять спадает до нуля. Для
каждой скорости вращения, меньшей максимальной, имеются две маклореновых
фигуры равновесия, а для скорости, большей максимальной — ни одной.
Якобиевы эллипсоиды суть трехосные эллипсоиды и они также образуют
:линейный ряд. Этот ряд начинается от эллипсоида вращения и кончается эллип-
эллиптическим цилиндром. Скорость вращения при этом понижается от некоторого
' начального значения до нуля. Существенно отметить, что начальная фигура ряда
'якобиевых эллипсо^цов — эллипсоид вращения — и геометрически и механически
принадлежит к ряду маклореновых эллипсоидов. Последний ряд имеет, следова-
следовательно, меото разветвления, в котором от него ответвляется ряд якобие-
вых эллипсоидов.
Из результатов новейших исследований одним из наиболее существенных
является открытие Ляпунова и Пуанкаре. Эти ученые нашли, что кроме двух
вышеупомянутых рядов эллипсоидальных фигур равновесия существует еще бес-
бесконечное множество линейных фигур равновесия, связанных друг с другом в ме-
местах разветвлений. Например, ряд, ближайший к обоим рядам эллипсоидов, есть
ряд грушевидных тел1), ответвляющихся от ./ряда якобиевых эллипсоидов.
Весьма существенным является, далее, вопрос об устойчивости фигур равно-
равновесия; именно тогда, когда, исходя из знания линейных рядов и их связи, хотят
сделать заключения о возникновении небесных тел. Достоверных результатов очень
трудных исследований мы имеем немного; ряд маклореновых эллипсоидов устои»
чив, но крайней мере, до того места, в котором от него ответвляется якобиев
ряд; устойчива также часть ряда якобиевых эллипсоидов. .
Напротив, относительно фигуры равновесия, от которой ответвляются груше-
грушевидные фигуры Пуанкаре, окончательно доказана неустойчивость 2). Впрочем, не
следует упускать из виду то1 обстоятельство, что в действительности для устой-
устойчивости фигуры равновесии весьма существенно также внутреннее трение
жидкости.
Наряду с фигурами равновесия свободной гравитирующей массы, интерес
исследователей давно привлекали к себе фигуры равновесия гравитирующей массы
в поле тяготения другой массы. Так, Лаплас при исследовании возможной формы
луны пришел к трехосному эллипсоиду, мало отличающемся от шара. Данный
Лапласом приближенный метод расчета в наше время уже не может быть при-
признан удовлетворительным; однако, лучшие методы привели к толу же результату
и к доказательству устойчивости. Более общими является эллипсоиды Роша
*) Я. Poineare, Acta Math. т. 7, стр. 259—380, 1885.
2) Об этой вопросе, бывшем одно время предметом спора, см. L. Lichtenstein, 1»
стр. 21.

362 Механика сплошных сред
(Roche), которые представляют фигуры равновесия массы жидкости, вращающейся
как твердое тело вокруг близкого или далекого центра протяжения. Также и
изучение проблемы двойных звезд за последнее время значительно продвину-
продвинулось вперед.
Наконец, система колец Сатурна дала толчок к исследованию кольцеоб-
кольцеобразных фигур равновесия. Последние были наблюдены и на других объ-
объектах звездного неба, а именно в некоторых космических туманностях. Впрочем, эти
массы газа не вращаются с постоянной угловой скоростью, как твердое тело,
так же точно, как и система колец Сатурна, раздробленное состояние которых
ныне твердо установлено. Кольцеобразные фигуры равновесия идеальной жидкости
не именУт поэтому космогонического значения. Что такие фигуры равновесия,
« центральным телом или без него, могут, в чисто математическом смысле, суще-
существовать—этого отрицать нельзя. Но едва ли можно говорить об устойчивости
такого рода образований.
При исследовании фигур равновесия, с гидростатической задачей, встретив-
встретившейся впервые в работах Маклорена, нераздельно связаны гидродинамические
вопросы.
Все исследования устойчивости носят гидродинамический характер, безразлично,
•сравниваются ли свойства некоторой фигуры со свойствами бесконечно близких фигур,
или же допускаются возмущения любого вида. Независимо от вопросов устойчивости,
в середине предыдущего столетия Дирихле, Риман, Дедекинд и другие авторы
произвели исследования над массой жидкости с переменной формой поверхности
(эллипсоидальной). Замечателен ряд эллипсоидов, данных Дедекиндом, внешняя
форма которых совпадает с якобиевыми, тогда как внутри происходит движение.
12. Уравнение для давления; уравнение энергии. Если движение без-
безвихревое и внешние силы имеют потенциал, то уравнения Эйлера [уравнения
B7), 8] допускают интеграл. Мы должны положить в них
rot v = 0 и F = — grad V,
после чего получим
~ -f -у grad Vs = — grad F— — grad p.
Заменяя в первом члене этого равенства v его выражением v = grad tp из
уравнения B0), 6, получаем
д<? v2 Y 1
^ + )= —grad V — j-
и интегрируя
Вследствие сделанного нами предположения, что плотность р есть функция
dp
давленая р, величина — есть полный дифференциал. Произвольную функцию Ф (t)
можно включить в ~. Особенно простое соотношение получается для стацио-
нарного движения несжимаемой жидкости. Тогда уравнение C1) приводится к сле-
следующему:
C2а) JL + lL+v^C.
Это уравнение выражает закон сохранения энергии. Левая часть
уравнения представляет полную энергию единицы массы (удельную энергию),

X, § 1 Общая теория и законы движения 363
Р V2
как сумму энергии давления —, кинетической энергии движения — и потенци-
альной энергии V в поле внешних сил. Эта полная энергия не меняется для
данной частицы со временем и одинакова для всех частиц (с массой, равной
единице).
Вполне аналогичный интеграл может быть получен, как мы сейчас покажем,
для стационарного движения, также и при наличии вихрей. Ценность интеграла
несколько умаляется здесь тем, что вихревое движение может быть стационарным
только при соблюдении некоторых жестких условий (см. дальше 19); впрочем,
именно эти движения имеют большой практический интерес. Внешние силы мы,
как и прежде, предполагаем имеющими потенциал.
Умножая обе части уравнения Эйлера в их первоначальной форме B7а), 8
скалярно на v, мы получаем
д I v2
C3) (
d .[ vs \
Левг^я часть этого уравнения ; есть субстанциальное изменение -тт I -^-1.
В правой части величина ч
vgrad V=-n-
at
есть конвекционное изменение потенциала, отнесенное к единице массы; анало-
аналогичное значение имеет и последней член.
Интегрирование ятого уравнения C3) возможно лишь в случае стационар-
стационарного движения и только вдоль линий тока. Получающийся интеграл
C2b) JL+*L+V = C
отличается от C2а) тем, что константа С меняется при переходе от одной линии
тока к другой.
Полная удельная энергия частицы остается неизменной во времени и оди-
одинакова для всех частиц, лежащих на одной и той же линии тока. Две частицы
из разных линий тока обладают различными удельными энергиями.
Кроме вышеупомянутого случая безвихревого стационарного движения
удельная энергия остается одинаковой во всем поле еще в одном частном
случае, который получается следующим образом. Составляя градиент левой части
уравнения C2а), мы будем иметь:
— grad p -j- -- grad v2 + grad V = 0.
P *
Сравнивая это выражение с уравнением Эйлера B7с), мы получаем
и отсюда простым преобразованием:
v X r°tv = О-
Это условие показывает, что уравнение C2а) с одинаковым значением кон-
константы во всем поле имеет место, кроме безвихревого движения, также и в том
случае, когда линии тока совпадают с вихревыми линиями. Этот случай ветре-

364 Механика сплошных сред
чается в теории аэропланного крыла и имеет поэтому важное практическое
значение г).
Уравнения C2а) и C2Ь) называются уравнениями Бернулди. Умножая
на р (и изменяя обозначение константы), мы получаем уравнение для
давления:
C4) P + P-~ + ?V=Po-
Все слагаемые левой части имеют размерность давления; р0 есть некоторое
постоянное давление. Это уравнение показывает, что при прочих равных усло-
условиях давление уменьшается с увеличением скорости. Наиболее узкие места
трубки (в которых скорость течения^наиболыпая) являются местами наименьшего
давления.
При отсутствии внешних сил уравнение C4) принимает вид:
C4') Р + ^=Ро-
р0 есть наибольшее возможное давление, соответствующее скорости v = 0, и назы-
называется динамическим давлением. Наибольшая возможная скорость соответ-
соответствует давлению р — 0; ее величина равна \У -^. При больших скоростях
появляется отрицательное давление, которое приводит к разрыву непрерывного
течения и образованию пустот (полостей).
Если внешней силой является только сила тяжести, то V=gs (ось г напра-
направлена вертикально вверх). В таком случае принято, разделив уравнение Бер-
нулли на 0, писать его в виде
C5) Jl + .| + , = ,0,
Р
в кртором все члены имеют размерность длины; величина — называется в ы с о-
г"
Vs
той напора, „—есть скоростная высота и е — высота места.
Сумма этих трех величин есть величина постоянная вдоль линии ..трка, рав-
равная з0. Уравнение C5) является основой всей гидравлики.
Полученные нами до сих пор законы описывают превращения энергии
в различных частных случаях движения. Для получения более общего результата
умножим уравнение C3) па dt и проинтегрируем его по всему объему, занимае-
занимаемому жидкостью. Для простоты положим V не зависящим от времени. После
некоторых преобразовании интегралов, причем последний интеграл преобразуется
по обобщенной формуле Gс), 4, мы получаем
C6) -j^f *-?&+-%ffVdx- f p<Uvr.tk+ f
Три первые интеграла берутся по объему, а последний по поверхности,
ограничивающей область, занимаемую жидкостью. Значение их следующее.
Величина
*)-?. Prandtl, Tragfliigeltheorie, I. Mitteilung, Gottinger Nachriohten, 1918; Handbucb
der Physik, т. VII, гл. 4.

X § 1 Общая теория и законы движения 365
есть полная кинетическая энергия потока; величина
есть потенциальная энергия жидкости в поле внешних сил; первый интеграл
в правой части равен
С л- л ЙП*
где П* есть энергия давления жидкости, вычисленная как работа, затраченная на
увеличение давления каждой частицы от нуля до р; при этом плотность предпо-
предполагается функцией ох давления. Наконец,
Г p\dS \ dt = f p-jj- dSdt = f pdrdS = dA
есть работа, которую совершают силы давления по поверхности, когда точки
поверхности получают смещения dxdydz.
Отсюда мы видим, что уравнение C6) действительно выражает закон сохра-
сохранения энергии:
<36') d [Т -f- П + П*] = йА.
Работа, производимая действующим на границе жидкости давлением, при
перемещении этой границы идет на увеличение энергии поля тока. Эта энергия
слагается из кинетической энергии, потенциальной энергии в ноле внешних сил
и энергии давления жидкости.
Величину П*, названную выше энергией давления, можно было бы назвать
также потенциальной энергией упругого сжатия жидкости1) и представить ее
в виде интеграла:
П* =
где величина
есть потенциальная энергия упругого сжатия единицы массы жидкости. Докажем,
что с этим значением Д* имеет место приведенное выше соотношение (*). Мы
имеем:
dF p dp
~dr*=z~p ~Ш'
и следовательно,
-J dt pdx-J
dt
dp . . .
где —5~- есть субстанциальная производная от плотности, которая, но определе-
определению [B6а), 8], и в силу уравнения неразрывности E), 3, равна
i) Этот абзац добавлен редактором. {Прим. ред.).

366 Механика сплошных сред
Подставляя это в предыдущее уравнение, получим:
что и требовалось доказать.
13. Теореяы о количестве движения для стационарного течения жид-
жидкости. Истечение из сосуда. В механике системы материальных точек можно
получить, путем составления надлежащих линейных комбинаций уравнений дви-
движения отдельных точек, уравнения, характеризующие движение всей системы.
Таковы, например, уравнения, выражающие закон движения центра тяжести, а
также закон площадей. Значение этих уравнений состоит в том, что вытекающие
из них следствия могут быть использованы и в том случае, когда движение
отдельных материальных точек не вполне известно.
В механике сплошных тел, в частности, в гидродинамике, можно таким же
путем, т. е. без полного описания движения отдельных частиц, получить уравне-
уравнения, позволяющие выводить следствия относительно движения замкнутой области,
заполненной жидкостью, или же относительно равнодействующей появляющихся
нри этом движении сил. В простейших случаях движения, строго стацио-
стационарного или стационарного только в среднем, для установления этих
уравнений (теорем о количестве движения), необходимо знать только значения
некоторых механических величин на поверхности, ограничивающей жидкость. Зна-
Значение этих законов выходит далеко за пределы теории идеальной жидкости. На
этом основано — помимо их принципиального значения — их большое практиче-
практическое значение в гидравлике. Мы будем, однако, нопрежнему рассматривать лишь
случай идеальной жидкости.
Рассмотрим некоторый объем Т, заполненный в данный момент жидкостью,
и введем следующие обозначения:
J — количество движения жидкости, т. е. сумма количеств движений отдель-
отдельных частиц,
К — равнодействующая внешних объемных сил,
Р — равнодействующая внешних сил давления, действующих па поверх-
поверхность жидкости,
N — момент количества движения жидкости,
М — равнодействующий момент внешних объемных сил,
Р* — равнодействующий момент действующих извне сил давления.
Тогда, как мы знаем, должны иметь место два уравнения
C7а) -g
C7b) ' -§-
'Эти уравнения нолучаются сложением соответствующих уравнений для
отдельных частиц; нервое из них выражает для отдельной частицы основной
закон динамики, а второе — закон площадей. При сложении уравнений все вну-
внутренние силы, на основании принципа равенства действия и противодействия,
взаимно сокращаются, и остаются только объемные силы и их моменты. Силы
давления, действующие на поверхность частиц и их моменты во всех внутрен-
внутренних точках жидкости, также взаимно сокращаются, и в уравнениях остаются
только силы давления, действующие на внешнюю поверхность и их моменты.
Рассмотрим, в качестве простейшего применения уравнения C7а), случай ста-
стационарного течения несжимаемой жидкости в узкой трубке с твердыми стеи-
ками (рис. 22).

X, § 1 Общая теория и законы движения 367
Область Т ограничена двумя перпендикулярными сечениями трубки и степ-
ками последней. Количество движения жидкости, заключенной в данный момент
в области Т, может при стационарном движении меняться только за счет пере-
передвижения жидкости вдоль трубки. За время dt часть жидкости в Т, прилегающая
к начальному сечению е, освобождает некоторый заштрихованный на рис. 22
объем, а часть жидкости, прилегавшая к конечному сечению а, выходит из Т,
захватывая новый (также заштрихованный) объем. Изменение импульса за время dt
равно разности импульсов выходящей и входящей жидкости.
Перенос количества движения через любое сечение может быть
вычислен следующим образом. Если S есть площадь этого сечения, то pS\\\dt
есть количество жидкости, проходящее за это воемя через сечение, и pS\v\dt-n
его количество движения.
Обозначим величины, относящиеся
к начальному сечению, значком е, а
к конечному — значком а; в частности, пе
и пв суть соответствующие единичные
векторы внутренних нормалей к
поверхности.
Тогда
суть импульсы жидкости, прошедшей за *' Рис. 22.
время dt через соответствующие сече-
сечения; величины pSe\e2ne и —Р^а\а2па дают, следовательно, перенос количества
движения (в единицу времени) через соответствующие сечения. Отсюда имеем:
Сила давления Р складывается из еилы Р^, оказываемой давлением стенки
трубки на жидкость, и ив сил, действующих на оба сечения по направлению их
внутренних нормалей. Обозначая через ре и ра давления на обоих сечениях,
получим:
Y = Yw + SePene + Sj,ana.
Заметив еще, что
равно реактивному давлению, оказываемому жидкостью на трубку, мы
получим ив уравнения C7а) следующее выражение для этого реактивного
давления:
C8) R = К + 8. (pv*+Ре) пе + Яв <р».» +ра) па.
Таким образом, для нахождения реактивного давления достаточно знать
значение скорости v и давления р в обоих сечениях, а также равнодействую-
равнодействующую внешних сил, причем обычно ив внешних сил встречается только сила
тяжести. В каждом из сечений к силе давления жидкости на
поверхностьдобавляется еще переносколичества движения
через поверхность, имеющий также размерность силы. Все эти
силы направлены внутрь области Т.
Таким же образом, как само реактивное давление получается из уравне-
уравнения C7а), момент реактивного давления может быть найден из уравнения C7Ь).
Тем самым определяется линия приложения силы реактивного давления.
Если жидкость, находящаяся в некотором сосуде под давлением р0, выте-
вытекает через отверстие в пространство, в котором имеется давление р, то, прене-

368 Механика сплошных сред
<брегая внешними силами, можно получить из уравнения давления C4') 12
«корость вытекающей струи:
<39) |v| =
В случае истечения тяжелой жидкости через отверстие, сделанное в со-
сосуде на высоте к, отсчитываемой вниз от поверхности жидкости, уравнение энер-
энергии C5), 12 дает для скорости вытекающей струи
D0) | v 1 = V^gh..
Это есть выражение теоремы Торричеллй, которая утверждает, что ско-
скорость частиц вытекающей жидкости такая же, как если бы они свободно падали
да промежутке h от поверхности жидкости до отверстия. Сравнение выраже-
выражений C9) и D0) показывает, что избыток давления в месте истечения над
давлением на поверхности равен давлению столба жидкости, находящейся выше
отверстия.
При выводе уравнений C9) и D0) предполагалось, что распределение ско-
скоростей истечения во всем сечении струи равномерно. Вследствие схождения линий
тока к отверстию такое распределение достигается однако лишь на некотором рас-
расстоянии от отверстия, где линии тока становятся вновь параллельными друг
другу, причем, струя претерпевает сжатие. При выводе предполагалось также
отсутствие падения давления в непосредственной близости к отверстию. Эти тре-
требования приближенно выполняются, если пользоваться насадкой Борда, предста-
представляющей короткую цилиндрическую трубку, идущую от отверстия внутрь сосуда.
Обозначая через So сечение трубки, мы можем сказать, что сила избыточного
давления в насадке
уравновешивается силой реактивного давления вытекающей струи, равной пере-
переносу количества движения вытекающей жидкости. Обозначая через S сечение
струи после сжатия, мы получаем ив уравнения C9), что перенос количества дви-
движения равен
Отсюда
tPo — Р) So =*2 (Ро — Р) 8
а теоретическое значение коэффициента сжатия -~- получается равным —-.
14. Теоремы о количестве движения. Общая формулировка1). Отбросим
все введенные нами до сих пор ограничения и рассмотрим движение жидкости
{не обязательно стационарное) в области Т, ограниченной частью твердыми
стенками и частью воображаемыми .контрольными поверхностями", проведен-
яыми внутри жидкости. Интегрируя уравнения Эйлера
dt
но области Т, мы получим
D1) Г р ~ dx = \ pYd' — , \ gradi? • dx.
*) Весьма общий вывод бнл дан в. ZerJtoteits, Zeitsch. Ь d. ges. Turbinenw. 1916,
Л. 27—30.

X, § 1 Общая теория и законы движения 369
Здесь
dv , dJ
Р
dt -— dt
есть субстанциальное изменение количества движения J= / рт<2т; далее,
есть равнодействующая внешних объемных (массовых) сил, наконец
есть равнодействующая поверхностного давления.
Преобразуя левую часть уравнения D1) с помощью теоремы Гаусса и ура-
уравнения неразрывности, мы получим
D2) Г -^ (pv) eft — J pv(vdS) = Г pFdx-j- f pdS.
Здесь
д дЗ
есть локальное изменение количества движения жидкости, заключенной в Т,
а '— / рт (vc?S) = i' есть конвекционное изменение количества движения за еди-
единицу времени, или перенос количества движения через контрольные поверхности.
Действительно, pvJS = dm есть количество жидкости, проходящее за единицу вре-
времени через элемент поверхности, py(vdS) есть ее количество движения
и — / pv(vdS) есть избыток количества движения уходящей жидкости над
количеством движения входящей. Уравнение D2) можно тогда кратко записать
в виде
Сила давления F здесь опять распадается на силу Рж на твердой стенке
и силу Рд на контрольной поверхности. При этом —Рж=в есть сила реак-
реактивного давления жидкости на твердую стенку. ^Таким обрагох, эта сила реак-
реактивного давления получается равной
D4) R = K + PQ-J'—^-.
Аналогично можно получить и момент сил реактивного давления (реактив-
(реактивный момент) В*, а следовательно, определить и линию приложения этих сил.
Для. этого нужно в уравнениях Эйлера составить момент входящих туда векто-
векториальных величин и затем' просуммировать (проинтегрировать). В результате
получается (обозначения, как в 13):
D5) Ц* = М + Рв*-1Г--^.
Мы получили, таким образом, для идеальных жидкостей теоремы для коли-
количества движения в самой общей форме. Как мы уже упоминали, вти теоремы
остаются в силе и для вязкой жидкости; это видно из следующих соображений.
Если учесть силы трения введением добавочных членов в уравнения Эйлера, то
24 3»к. 1^08. — Франк и Мизее. Дифф. урава. мат. фшз.

470 Механика сплошных сред
при суммировании силы внутреннего трения, по закопу равенства действия и
противодействия, сократятся, тогда как трение на границе даст в уравнении D4)
добавочную силу, а в уравнении D5) — добавочный момент сил. Следует также
отметить, что локальное изменение количества движения и его момента может
обращаться в нудь и длят нестационарного течения, как, например, в случае тур-
турбулентного движения, когда количество движения жидкости, заключенной в Т, и
его момент имеют постоянные средние значения.
С другой стороны, теоремы о количестве движения выполняются лишь пра
некоторых ограничениях, связанных с тем, что при выводе их применялась тео-
теорема Гаусса и уравнение неразрывности. Внутри" области Г не должно быть источ-
источников и точек, в которых скорость терпит разрыв или обращается в бесконеч-
бесконечность.
16. Ток и циркуляция. Пусть две точки Л и В жидкости соединены неко-
некоторой линией AJJ, лежащей целиком внутри жидкости (рис. 23). Линейный
интеграл
в я
Г (udx -f- vdy -J- wdz) = f \dn
/ ж 'л
J мы назовем током вдоль линяй АВ. Ток вдоль замкнутой ди-
/ ^» нии называется циркуляцией и обозначается буквой Г:
Г = ф (udx -f- vdij -f- teda) = ® xds.
* Ток вдоль линии, соединяющей две точки А ж В, вообще
говоря, зависит йе только от этих точек, по и от пути инте-
интегрирования. Ток не зависит от пути и определяется конечными
точками только если %dx-{-vdij-\-teds есть полный диффереи-
Рно. 23. мдал. В этом случае должно быть:
т. е. должен существовать потенциал скоростей; тогда
в
/ (udx -j- vdy -\- wds) = срв — »л .
Нри 8том не следует упускать из виду следующего ограничительного условия.
Ток между А и В одновначно определен лшиь в том случае, если потенциал
скоростей во всей рассматриваемой области конечен и однозначен. В этом
случае ток между двумя любыми точками, лежащими на двух эквипотенциаль-
эквипотенциальных поверхностях со значениями потенциала »4 и «в, будет^ один и тот же.
Следует отличать случай односвязной области от многосвявныз областей.
Область называется n-связной, если в ней существует » замкнутых линий,
которые не могут быть преобразованы одна в другую с помощью непрерывной
деформации внутри области. В односвязной области всякую замкнутую линию
можно стянуть к любой точке этой области. В n-связной области имеется w—1*
еамкнутая кривая, которые не могут быть преобразованы одна в другую и
стянуты в точку.
Мы будем рассматривать такое движение жидкости, потенциал скоростей
которого конечен во всей области. Если потенциал скоростей обращается в бес-
бесконечность в некоторых точках, или на некоторых замкнутых или открытых
кривых, то мы вырежем такие места из нашей области, окружив их маленьким
шарвяш или трубками. При этом область, вообще говоря, становится более

X, § 1 Общая теория » законы движения 371
многосвязной, по крайней мере, в случае замкнутых особенных линий. Если
в односвязной области существует повсюду конечный нотенциал скоростей, то
он однозначен. Ток между двумя точками А и В не зависит тогда от пути, в
циркуляция по замкнутому контуру равна нулю.
В многосвязной области возможно существование повсюду конечных ци-
циклических потенциалов скоростей. Циклический потенциал скоростей в %-связ-
иой области при однократном обходе но одной из (w — 1) несводимых к одной
точке замкнутых кривых изменяется на постоянную величину Г„ Г2, ...
яли Г г Эти константы суть циркуляции по соответствующим кривым. Потен-
Потенциал скоростей определен, следовательно, лишь с точностью до суммы этих цир-
циркуляции, умноженных на целые числа. С такой же неопределенностью
.гаределяется и ток между двумя точками Л и В; его значение зависит от
выбора пути.
16. Теореиа Стовса. Поток вихря. Для того чтобы выяснить смысл цир-
циркуляции по замкнутому контуру С в случае движения, не имеющего потенциала
скоростей, мы цреобразуем эту цвркуляцию по теореме Стокса. Проведем поверх-
поверхность S, ограниченную нашим контуром. Вид этой поверхности остается в высо-
высокой степени произвольным; мы положим только, что она расположена целиком
в области, в которой функции «, ю, го конечны, однозначны и непрерывны. Обо-
Обозначим через dS и dS, как и раньше, элемент этой поверхности и через ос, р, f
направляющие косинусы нормали к этому элементу. Направление нормали к по-
поверхности мы выберем так, чтобы она вместе с направлением обхода но кон-
контуру О составляла правый винт. Тогда линейный интеграл, представляющий
циркуляцию по контуру С, преобразуется в поверхностный интеграл по S
/ ' , , , ,, Г Г / дго dv \ . / ди dw \
D6) j) Ddx + vdy + wdz) = J l[-dJ—d7] a+[~W—dx J
или, в векторной форме:
D6') <Ь Td8= /rotvdS.
Выражаемая этим равенством интегральная теорема Стокса позволяет, при
помощи введенного выше [уравнение A3), б] вихревого вектора п представить
щвркуляцшо в виде
D6") Г= ^ vds= / roW • rfS = 2 J utfS.
В правой части стоит удвоенный поток вихря и через поверхность S. Цирку-
Циркуляция по контуру С является поэтому мерой полного потока вихря через
любую поверхность, ограниченную этим контуром.
Если мы соединим две поверхности, ограниченные контуром С, в одну
замкнутую поверхность, то получим, что поток вихря через замкнутую поверх-
поверхность равен нулю. Вихревой вектор есть вектор соленой дальний
(не имеет источников); внхревые линии не могут начинаться или
кончаться внутри жидкости.
17. Сохранение циркуляции. Рассмотрим циркуляцию вдоль замкнутой
шипи, которая движется вместе с жидкостью так, что состоит все время из одних
28*

372 Механика сплошных сред
я тех же частиц. По теореме Томсона1) циркуляция вдоль такой „жидкой
линии" не меняется со временем, если только внешние силы консервативны.
Так как при потенциальном движении в односвязной области циркуляция
равна нулю, то теорема Томсона содержит, как частный случай, следующее
утверждение, высказанное впервые Лагранжем2). Если в некоторый момент
времени существует потенциал скоростей, то нри консервативности внешних
сил он будет существовать все время. Иначе говоря, в невязкой жидкости вихря
не могут ни появляться ни исчезать.
Вследствие связи циркуляции с потоком вихря, теорема Томсона может
служить также основой для знаменитых теорем Гельмгольца *) о вихревом дви-
движении.
Из многочисленных выводов теоремы Томсона мы приведем в дальнейшем
один,основанныйнавеберовском преобразовании1)уравненийЛагранжа.
По Веберу, первое уравнение Лагранжа [уравнение B8), 9]
_fx_ дх_ . д*у_ dy_, д2г _<??___ dV 1_ др
~dW да """ ~W ~da~^~~W ~~да дсГ ~р~ ~да
может быть преобразовано следующим образом:
J
JL (A4.ii JL]±JLUJLY-L.L-
dt j dt да "*" dt да'*' dt да J 2 да [ \ dt ) "*" \ dt
ds yi dV 1 dp
dt ) J да р да
и соответственно преобразуются два других уравнения, содержащие производ-
производные по Ъ и с вместо а. Вводя функцию
D8)
и проинтегрировав уравнение D7) по t, мы получим уравнения Вебера
(Weber), если только мы Примем во внимание, что в момент f = 0 будет х = а,
¦l dx dti dz
y = b, е = с, и если мы, для * = 0, положим -^— = и0, -^- = «0. ~5Г — ю*
Уравнения Вебера будут иметь вид:
i. j Я — 3_ Я..
dt да """ dt д~а~~Т~~дТ да ~M°~i ~da'
to_jte_ , Jy' jty_ i дз ds _ ¦ д%
dt 96"+" df дъ ~т~~дТ ~dT~v°'T"~dT'
dt dc ~ dt dc ~ dt dc ~
Эти уравнения совместно с D8) и уравнением нераврывкости ^уравне-
ние B9), 9] достаточны для определения х, у, з, %, р, как функций от t, есдн,
как обычно, считать р постоянной или известной функцией от давления р.
*) W. Thomson (Lovd Kelvin), On vortex motion, Edinburgh. Trans., 26, 186».
a) J. L. de Lagrange, Memoire sur la theorie du mouvement des Guides, Nouv. mem. de
l'Acad. de Berlin B), 12, 1781.
») K. Helmkoltz, Crelles Journ., 66, стр. 26, 1858.
«) E. Weber, Crelles Journ., 68, стр. 286, 1868.

X, § 1 Общая теория и законы движения 373
Теперь уже легко доказать и теорему Томсона. Для этого умножим урав-
уравнения D9) соответственно на da, db, dc и сложим. Заменяя —~г, —Цг-, ——
Оь Ot 0%
черев м, г>, м;, мы получаем
E0) udx -f- vdy -f- vods = uoda -j- vodb -\- wodc -j- d'f.
Заметим, что при составлении дифференциалов dx и т. д. мы полагали dt = O;
так что уравнение E0) выполняется для любого, но постоянного времени t. Инте-
Интегрируя E0) но незамкнутой „жидкой линии"—что теперь возможно, так как
координаты и скорости точки предполагаются функциями от начальных коорди-
координат я, Ь, с, — мы получаем
B) B)
/ (udx -f vdy + wdz) = f (uoda -f vodb + wodc) + X ,2) — X(t) •
(I) (?)
Значки 1 и 2 обозначают здесь начальную и конечную точки жидкой линии.
Еели эти точки совпадают, тох«) = Х(п5 если только функциях в нашей области
однозначна, для чего, вообще говоря, достаточна однозначность
функции V. Тогда
E1) ф (udx 4" vdy 4" wdz) = ф (uoda -\- vodb -\- wodc).
В этой формуле оба интеграла суть циркуляции вдоль жидкой
линии; один в момент t, а другой при t = 0. Тем самым теорема
Томсона доказана.
18. Теоремы Гельмгольца о вихрях. С помощью понятия
и свойств циркуляции можно исследовать общие свойства вихре- р
вого движения, которые Гельмгольц получил другим путем. , ¦'
Циркуляция по кривой, ограничивающей любой участок стенки вихревой
трубки, равна нулю. Это легко доказать, преобразовав циркуляцию по теореме
Стокса и заметив, что поток вихря через боковую поверхность вихревой трубки
равен нулю, нбо вихрь перпендикулярен к этой поверхности. По теореме со-
'хранения циркуляции она остается равной нулю все время. Следовательно,
любая вихревая трубка все время остается вихревой трубкой. То же самое
можно утверждать и о любой вихревой линии, так как вихревую линию можно рас-
рассматривать как пересечение двух вихревых трубок. Вихревая линия содержит,
следовательно, все время одни и те же частицы; вихревое движение с в я-
заносчастицамижидкости.
Рассмотрим часть поверхности вихревой трубки, заключенную между двумя
сечениями. Разрежем ее вдоль, как показано на рис. 24, и тем самым превра-
превратим ее в односвязную область. Циркуляция по контуру, ограничивающему полу-
полученную поверхность, тоже будет равна нулю. Так как линия продольного раз-
рева проходится при интегрировании дважды, и притом в противоположные
стороны, то отсюда следует, что циркуляция по контуру, ограничивающему любое
поперечное сечение вихревой трубки, одинакова. Это значит, что поток вихря
черев любое поперечное сечение вихревой трубки также
остается постоянным вдоль трубки.
Для достаточно тонкой вихревой нити можно считать угловую скорость
вихревого движения постоянной но всему сечению. Циркуляция вокруг каждого
сечения вихревой нити, или момент вихря равен тогда по теореме Стокса
[уравнение D6"), 16]
E2) Г=2ою,

874 Механика сплошных сред
где « есть угловая скорость, а о площадь сечения. Для двух различных сече-
сечений нитя, вследствие постоянства циркуляции, мы имеем соотношение
E3) <оЛ:=«Л.
Угловые скорости вращения в двух различных местах
вихревоЁ нити обратно пропорциональны площади сечений.
Вихревая нить или замыкается сама на себя, или уходит обоими концами
в бесконечность. Если жидкость замыкает ограниченную область, то вихревая
нить может начинаться и кончаться на границе.
Наконец, из закона сохранения циркуляции вытекает закон постоянства
(во времени) момента вихря вихревой трубки.
Следует отметить, что вместо циркуляции или момента вихря Г часто вво-
вводят интенсивность вихря, определяемую равенством:
E4) * = -?..
Замечание. Из теоремы сохранения циркуляции и теорем Гельмгольца о
Еихрях следует, что возникновение вихрей в невязкой жидкости невозможно.
Наблюдаемое в обычных жидкостях ~ появление вихрей часто относят поэтому
8а счет внутреннего трения жидкости. Было, однако, неоднократно показано, что
и в вяэкой жидкости вихрь не может возникнуть, если внешние силы, действую-
действующие внутри и на поверхности жидкости, консервативны1).
19. Стационарное вихревое движение. Течение жидкости, частицы кото-
которой совершают вихревое движение, вообще говоря, нестационарно. Для нахожде-
нахождения условий стационарности вихревого движения мы будем
исходить из уравнений Эйлера [в форме B7Ь), 8] для случая консервативных
объемных сил "¦
¦аГ + ¦*- grad v24~ rot т X т = — grad V grad p,
<П ? р
и положим
Обозначим полную энергию единицы массы через <
Тогда уравнения Эйлера принимают вид
E5) т X rot т = grad ф.
В частном случае безвихревого движения это уравнение выражало одина-
одинаковость энергии единицы массы во всем поле и давало тем самым условие суще-
существования не зависящего от времени потенциала скоростей A2). В общем
случае вихревого движения смысл его заключается в следующем. Оно показывает,
что в стационарном движении должно существовать семейство поверхностей
<5< — const, на каждой из которых расположена система линий тока и система
вихревых линий. Это будет, очевидно, иметь место в том случае, когда линии
тока совпадают с траекториями частиц (рис. 25).
1) G. Jaffi, Phys. ZS., 21, стр. 641, 1920; A. Friedmmn, ZS. t angew. Math. u. Mecfa.,4,
стр. 102, 1924.

• Общая теория и законы движения
375
Обозначая через |3 угол между линией тока и вихревой днивей, мы долу-
чаем из уравнения E5) скалярное уравнение
Я,!,
E5')
тшивтжа
Здесь — есть величина градиента ф, направленного по нормали к поверх-
ностям Ф = const. Величина | т | sin {3 есть скорость, с которой вихревая днния
передвигается в плоскости Ф. — const перпендикулярно самой себе. Если дп есть
расстояние между двумя соседними поверхностями ф и <1>-}-йФ, *°
da = [ т | sin j3d»
есть поперечное сечение такой вихревой нити (расположенной между этими двумя
поверхностями), которая за единицу времени передвигается на расстояние, равное
своей ширине. Тогда из E5') мы получаем
E6) 2a>do = d<j» или dT — d$,
«ели мы еще введем циркуляцию a!F, которая,
по теоремам Гельмгольца, постоянна для дан-
данной вихревой нити в пространстве и во вре-
нени.
Если мы проведем поверхности ф = const
так, чтобы разность параметра dty была одина-
одинакова для каждой пары соседних поверхностей,
то все пространство можно будет разделить
указанным способом на вихревые нити, обла-
обладающие одинаковым моментом вихря. За еди-
единицу времени каждая такая вихревая нить
передвигается на место предыдущей.
В случае шшсдого движения несжимаемой жидкости, из уравнения E6) полу-
получается, если принять во внимание уравнение неразрывности, что компонента
вихря С постоянна вдоль каждой линии тока. Уравнение E5) приводит, если слегка
изменить обозначения, к следующему параметрическому представлению стацио-
стационарного вихревого движения [см. уравнение F), 3]
Рис. 26.
и = -f-
Эф
W
V — ¦
дх
получается равной
2 \ дх* ' яг/2
С другой стороны, величина С есть функция от
переходе от одной линии тока к другой:
кик как вва меняется при
Таким образом, ^ должно удовлетворять дифференциальному ураввевжю
E7) -к-? 4- -^-g = F (Ф).
Величина ф есть функция тока для плоского движения. В случае потен-
потенциального движения Ф удовлетворяет уравнению Лапласа.

376 Механика сплошным сред
§ 2 Общие методы
1. Потенциальное движение; теорема Грина. Теоремы Гельмгольца
о вихрях показывают, что безвихревое, или так называемое потенциаль-
потенциальное движение есть физически весьма важный случай движения жидкости.
В самом деле, ввиду того что под действием консервативных внешних сил
в жидкости не могут возникнуть вихри, всякое движение жидкости, получившееся
И8 состояния покоя под действием консервативных сил, есть движение потен-
потенциальное. Движение реальной жидкости можно считать потенциальным до тех
пор, пока можно пренебрегать силами внутреннего трения.
Всякое потенциальное движение несжимаемой жидкости (этим случаем
мы адесь и ограничимся) характеризуется математически следующими уравнениями,
уже установленными в 6. Скорость равна
A) Y = grad<p;
потенциал скоростей <р в области, где нет источников, удовлетворяет уравнению
Лапласа
B) Дда = 0,
а в области, где источники имеются—уравнению Пауссопа
B') Д<Р = |-,
или проще, Д» = е, если е есть интенсивность источника на еди-
единицу массы. В точечных источниках, где интенсивность источника бесконечно
велика, уравнение Цауссона теряет смысл.
Для большинства математических преобразований целесообразно выключать
из рассматриваемой области особенные точки или линии. Кроме точечных источ-
источников, такого рода особенностями являются еще вихревые линии, в которых по-
потенциал скоростей не существует.
Исследование потенциального движения тесно связано с теорией по-
потенциала, рассматриваемой в специальных курсах. Здесь мы разберем только
те теоремы и методы теории потенциала, которые нам непосредственно пона-
понадобятся.
Теорема Гаусса, примененная к полю скоростей в безвихревой области,
имеет на основании A) следующий вид:
C)
Здесь -j— есть производная от о по направлению внутренней нор-
мали. Из уравнения неразрывности B) мы получаем
<п /?"-••
Это уравнение выполняется для поверхности, ограничивающей любую ко-
конечную область, в которой о есть однозначная потенциальная (гармоническая)
функция.
Ив этого уравнения, выражающего тот факт, что поток через замкнутую
поверхность равен нулю, легко вывести, что <р не может иметь внутри жидкости

X, § 2 Общие методы 377
максимума или минимума. Еще более важным является замечание, что величина
скорости v, определенная через посредство равенства
не может иметь максимума внутри жидкости, в то время как минимумы могуг
существовать х). Величина скорости достигает, следовательно, своего наибольшего
значения на поверхности.
Весьма важную роль играет в теории потенциала теорема Грина, которая
в том виде, как она приводится здесь, есть простое преобразование теоремы
Гаусса.
Пусть U и V суть две конечные, однозначные и непрерывные функции,
обладающие в нашей области непрерывными производными первого порядка.
и ограниченными производными второго порядка. Тогда имеют место нижесле-
нижеследующие уравнения:
и ч Ггглглл С тт dV jo C(dU dV . dU dV . dUdV
Da) J UbVdx=-JU — dS~J(— -_ + ___ + _
Db) ff
Теорема Грина верпа и для бесконечных областей, если функции U и V
убывают на бесконечности, по крайней мере, как -^-.
Предположения, необходимые для доказательства теоремы Грина, налагают-
на ее применимость в гидродинамике известные ограничения, из которых глав-
главнейшее заключается в следующем. Если мы хотим применить ее к многосвявной
области с циклическим потоком и подставить вместо одной из функций U, V
потенциал скоростей 9» то необходимо сначала сделать последний однозначной.
функцией точки. Для этого необходимо превратить многосвязное пространство» ¦
в односвязное, проведя в первом соответствующим образом выбранные сечения^
При этом все поверхностные интегралы надо брать не только но внешней поверх-
поверхности, но и по поверхности этих сечений, ив которых каждая будет фигурировать,
в качестве границы области два раза.
2. Следствия из теоремы Грина. Если мы заменим в уравнении Dс), 1
функции U однозначным потенциалом скоростей о, удовлетворяющим уравнению
Лапласа внутри ограниченной односвязной области, то мы получим следующие,
три теоремы:
1) Если 9 на границе области постоянпо или, в частном случае, нуль, то<
и внутри области 9 имеет то же самое постоянное значение, как и на поверх-
поверхности. Физически это означает, что внутри области нет никакого движения
жидкости. Линии тока не могут проходить через поверхность, так как тогда «¦
принимало бы экстремальное (максимальное или минимальное) значение внутри
области, что невозможно. Они также не могут быть и замкнутыми кривыми, так
как тогда <? было бы циклическим, а не однозначным потенциалом.
до
2) Если-^- на границе нуль, то 9 принимает внутри области постоянное
*) В этом ложно убедиться, заметив, что оператор Лапласа от квадрата гармони-
гармонической функции есть величина положительная (равная суыме квадратов гармонических,
функций). (Прим. ред.).

^378 Механика сплошных сред
во всех точках
значение, которое не может быть определено из этого граничного условия.
д'-о
Физически обращение в нуль -— на границе означает отсутствие линий тока,
Oft
пересекающих эту границу. Отсюда вытекает, как и в предыдущем случае,
отсутствие всякого движения внутри жидкости.
3) Если на некоторой части границы <р постоянно, а на остальной —- = 0,
(лъ
то » внутри объема постоянно.
Из этих теорем вытекает следующая теорема единствености. Если
границы задано о (или-тр), то фуйкция <р может быть опреде-
определена внутри области однозначно (или с точностью до аддитивной постоянной).
Вопросом о существовании решения мы здесь заниматься не будем. Так же
точно и методы построения функции » по заданным значениям на границе, т. с.
общее исследование задач на предельные условия, выходят из рамок этой статьи
и относятся к теории потенциала. Значение и применение так называемой
функции Грина мы рассмотрим несколько ниже F, § 2).
.Для областей, простирающихся до бесконечности, вышеупомянутые теоремы
надлежит применять с осторожностью. Первая из теорем не посредственно при-
применима в том случае, когда внутренняя граница бесконечной области состоит
из конечных односвязпых областей, функция » предполагается на бесконечности
убывающей как -^-, а постоянное значение, принимаемое <э на внутренней гра-
границе, равно нулю. В других случаях требуется особое исследование.
3. Источники. Точечный источник, интенсивность которого, отнесенная
к единице массы, равна Е, дает поле с потенциалом скоростей
Е
где г есть 'расстояние точки йаблюдения А от источника. Скорость, соответ-
соответствующая потенциалу E), имеет величину
и для Е > 0 направлена радиально наружу, а для Е < 0, т. е. для случая
стока, — радиально внутрь. Потов черев сферу радиуса г равен 4кг2|т| = \М\.
Он пе зависит от радиуса и равен интенсивности источника. Это доказывает
правильность нашей формулы E). Потенциал о удовлетворяет во всех точках, за
исключением самого источника, уравнению Лапласа, т. е. уравнению неразрывности.
Непрерывное распределение источников — поле источников — мы по-
подучим, если каждому элементу объема dz припишем интенсивность edx, где е
есть плотность источников. Соответствующий потенциал скоростей
имеет вил,
... . ' 1 Г edx
F) *=—*;¦) т- .
Оп удовлетворяет во всех точках поля источников уравнению Пуассона
G) А» = е,
а в остальных точках — уравнению Лапласа. Течение жидкости, определяемое
уравнением B), — безвихревое; скорость его равна

X,§ 2
Общие методы
379
Следует отметить, что уравнение Пуассона G) имеет один единственный
интеграл, который, вместе со своими первыми производными, конечен, однозна-
однозначен и непрерывен во всем пространстве и убывает па бесконечности, как
Этот интеграл дается выражением F), которое принято называть
вым потенциалом",
Кроме пространственно распределенных источников, могут быть источники,
распределенные вдоль линий или поверхностей. Потенциал скоростей для
поверхностного распределения источников имеет вид
„ньютоно-
„ньютоногде е* есть поверхностная плотность интенсивности. Этот потен-
потенциал обладает всюду, за исключением поверхностей, покрытых источниками,
всеми свойствами ньютонова потенциала. На
этих поверхностях первые производные потен-
потенциала претерпевают разрыв, так что при про-
прохождении этой поверхности скорости изменя-
изменяются скачками. *
Потенциал скорости источников, распре-
распределенных линейно, т. е. вдоль некоторой
кривой, имеет вид
A0)
_ 1 Г tds
9 4*"J V'
где е есть линейная плотность ин-
интенсивности. Особо важен случай пря-
прямой (например, оси г), покрытой источникамс
постоянной плотности е. В этом случае, ин-
теграл о
ds
после вычисле-
Ряс. 28.
4е j
ния и отбрасывания бесконечной константы, приводится к виду
01)
Здесь р есть расстояние от точки наблюдения А до оси г (рис. 26).
В этом случае <р есть так называемый логарифмический потенциал. Он удовле-
удовлетворяет во всем пространстве, за исключением точек, лежащих на оси в,
уравнению" Ланласа с двумя независимыми переменными
A2)
до
'— — О
Соответствующее движение является плоским, т. е. одинаковым во
всех плоскостях, параллельных плоскости ху. Если мы будем рассматривать
движение в одной из этих плоскостей, то сечение ее осью г есть источник
движения.
?. Двойной источник (диполь). Если мы будем неограниченно сближать
источник и сток с равными по величине и обратными по анаиу кнхенсквностями,
*) Плотность мы положили выше равной единице; поэтому нет опасности спутать
с плотностью.

380 Механика сплошных сред
Е и —Е (рнс. 27), так, чтобы произведение их расстояния do на интенсив-
интенсивность Е оставалось постоянным иди стремилось к некоторому пределу М, то
в пределе мы получим двойной источник, или диполь. М—называется
моментом диполя. Подобный двойной источник вызывает движение о потенциа-
потенциалом скоростей
аз)
=
4тс do 4тсг2
Направление от стока к источнику (или, вернее, предел этого направле-
направления) называется осью двойного источника, в — есть угол между этой осью и
прямой, проведенной от диполя Q к'точке наблюдения А. В первом из выра-
выражений A3) для <? следует дифференцирование производить в точке Q, а не
в точке А.
Из случаев непрерывного распределения двойных источников особенно
важным является тот случай, когда они распределены по некоторой поверх-
поверхности и оси этих диполей направлены в сторону (поло-
(положительной) нормали к поверхности. Если обозначить через
т поверхностную плотность моментов рас-
расположенных таким образом диполей, то потенциал ско-
скоростей принимает вид
<р = | т —— dS.
4тс J on
Рис. 27. j
Величину — надо Здесь дифференцировать на по-
поверхности по направлению положительной нормали. Потенциал скоростей та-
такого двойного слоя терпит на самой поверхностя, в которой лежат диполи,
разрыв. Так же точно терпят разрыв и его производные по направлениям, ка-
касательным к поверхности, т. е. касательные составляющие скорости.
Плоский диполь мы можем получить так же, как получаем плоский источ-
источник. Для этого распределим на оси z, с постоянной линейной плотностью р
момента, одинаково направленные диполи, оси которых перпендикулярны к оси г.
Соответствующий потенциал скоростей плоского движения будет
A5) , ? = _
Источники более высокого порядка встречаются значительно реже. Они,
однако, представляют некоторый принципиальный интерес, так как дают воз-
возможность гидродинамического толкования шаровых функций1).
Если удалять>двойной источник в бесконечность, одновременно увеличивая
до бесконечности его момент, то движение, им вызываемое, переходит в посту-
поступательное движение со скоростью, одинаковой во всех точках пространства.
5. Поверхностное распределение источников; слои источников. Если
мы имеем конечную или простирающуюся в бесконечность область Т, в кото-
которой задана однозначная функция <э, удовлетворяющая во всех точках уравне-
уравнению Лапласа [а в случае бесконечной области, убывающая на бесконечности,
!) .Г. С. Mcaneell, Electricity and Magnetism, Кар. IX; W. Thomson und P. G. Tait,
Handtmch der theoret Physik, 1, стр. 162; ср. A. Clebseh, Crelles' Journal, 61, стр. 196,1862.

X, § 2 Общие методы 381
как -й- 1, то мы можем вычислить вначение функции у в любой точке А
области Т, если известны значения <? и -—- во всех точках границы этой обла-
области (рис. 28). В самом деле, ив теоремы Грина [уравнение DЬ), 1] следует, что
A6а) »д = --?~ ( $-±
v ' 'л 4тс J дп г
Здесь <?А есть значение функции о в точке А, г — есть расстояние от точки А
до точки на поверхности, по которой производится интегрирование.
Наметим вкратце вывод этого выражения из уравнений Db), 1. В этом урав-
уравнении надо заменить ?Гна », V на •—и принять во внимание, что функция <р удо-
удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках области,
а величина— удовлетворяет ему во всех точках, за
исключением точки А. Точку А следует выделить
поэтому ив остальной области, окружив ее небольшой
сферой. Тогда в остальной области девая часть урав-
уравнения DЬ), 1, будет равна нулю. Зато в правой части
придется интегрировать не только по первоначальной
границе области Т, но и по поверхности вырезанной
сферы. Этот последний интеграл можно вычислить,
приближая радиус сферы к нулю; он дает добавочный Рис. 28.
член, равный 4тс®д-
Если заменить точку наблюдения А, лежащую внутри Т, другой точкой В,
лежащей вне Т (в дополнительной части пространства '1% то при вычислении
интеграла усложнение, свяванное с необходимостью выделения особенной точки,
отпадает. Обовначая расстояние точки В от точки на границе области через г',
мы получаем
9 —
<16Ъ> J^f^
Гидродинамический смысл уравнения A6а) состоит в том, что оно позво-
позволяет найти потенциал скоростей, а,. следовательно, и течение жидкости в любой
точке внутри области, если нам известны значения потенциала <р и нормаль-
нормальной составляющей скорости жидкости —- на границе. К сожалению, поверх-
оп
ностное распределение обеих этих величин никогда не бывает известно одно-
одновременно. Мало того, одновременное задание обеих этих величин даже и невоз-
невозможно, так как они не независимы. В самом деле, ив упомянутой нами в %
теоремы единственности следует, что для однозначного определения потенциала
скоростей в Т достаточно вадать поверхностное распределение одной из этих
величин. Распределение второй величины получается однозначно ив распреде-
распределения первой, но только после того, как мы решим всю вадачу с граничными
условиями.
Другое физическое толкование уравнения A6а) основано на том, что
интегралы
д
1 Г 9? 1 ,„ 1 Г
— -j- I V US и -— I
4тс J дп г 4тс J
дп

388 Механика сплошных сред
суть потенциалы, происходящие от простых источников с поверхностной плот-
плотностью е * = -г- и от двойных источников поверхностной плотностью момента
дп
т = — <?, распределенных па поверхности, ограничивающей область Т. Это
распределение простых и двойных источников на поверхности области Т ни
в коем случае не является, однако, единственным, так как тот же самый потен-
потенциал внутри области может быть вызван бесчисленным множеством других рас-
распределений.
Для получения последних рассмотрим потенциал »', удовлетворяющий
уравнению Лапласа в области Т', полученной вырезанием области Т ив всего
бесконечного пространства. Если мы обозначим, как раньше, через г расстоя-
д
ние от точки Л до точки на поверхности, а через -„—,- — дифференцирова-
дифференцирование по внутренней (относительно области Т') нормали, то по уравнению A6Ь)
имеем для Т:
1
0 = —-J- f-%±dS-\--}- f <?'-/-dS.
•» 4к J дп г 4к J дп
Складывая это с уравнением A6а), получаем
Это дает нам наиболее общее распределение простых и двойных источни-
источников на поверхности Т, которое вызывает данный потенциал <р внутри Т. Плот-
Плотности этих распределений будут соответственно
A7') «* =
4^ + У
on дп
Мы видим, что путем соответствующего выбора <?' можно обратить в» нуль
in или е* одним и только одним способом. Следовательно, существует одно
распределение простых источников, а также одно распределение двойных источ-
источников на поверхности Т, которые, каждое в отдельности, дают внутри Т иско-
искомый потенциал скоростей в, т. е. вызывают там данное безвихревое движение.
Эти результаты не могут быть непосредственно применены к случаю много-
евявных областей и циклических потенциалов. Такого рода области необходимо
иредварительно превратить в односвязные, путем проведения соответствующих
сечений; эти сечения нужно покрыть затем надлежащим образом распределен-
распределенными двойными источниками.
6. Задачи с граничными условиями; функции Грина. Задача Дирихле, или
так называемая первая предельная задача, состоит в отыскании однозначной
в области Т потенциальной (гармонической) функции о, удовлетворяющей урав-
уравнению Лапласа во всех точках области Т, но заданным значениям ер на гра-
аице Т.
Задача Неймана, или так называемая вторая предельная задача, состоит
в отыскании однозначной в Т потенциальной функции <р, удовлетворяющей
уравнению Лапласа во всех точках области 1\ по заданным на границе Т зна-
значениям -—-, что соответствует в гидродинамике ваданюо нормальной составляю-
оп
щей скорости. В гидродинамике вторая задача является более важной.

X, § 2 Общие методы 383'
Задачи с другими граничными условиями, правда, также существенны для
гидродинамики, но мы их не будем вдесь рассматривать, чтобы не вагромождать
изложения.
Для того чтобы освободиться от необходимости знать входящие в урав-
уравнение A6а) 5.
1 Г д<о 1 ,е . 1 Г
3—
г
д'о
значения <р и -j- на границе, заметим следующее.
На основании теоремы Грина [уравнение DЬ), 1] для всякой функции G,
удовлетворяющей во всех точках уравнению Лапласа
имеет н«сто равенство
Комбинируя это равенство с уравнением Aа), 5, мы получаем:
A8)
4тс J дп \ г ) 4тг
дп
Функцию G падо постараться подобрать таким образом, чтобы один ив интегра-
интегралов обращался в нудь иди, если это недостижимо, чтобы он принял некоторое
постоянное значение, хотя бы и отличное от нуля.
Таким образом, первая вадача сводится к нахождению функции G, обла-
обладающей следующими свойствами:
a) О должна быть конечной, однозначной и непрерывной вместе со своими
первыми производными во всех точках Т;
b) G должна во всех точках Т удовлетворять уравнению Лапласа;
\ 1
c) во всех точках на границе Т должно быть G = —, где г есть расстоя-
расстояние от точки А;
d) если область Т простирается в бесконечность, то к втому нужно доба-
добавить еще одно условие: G должна убывать на бесконечности, как величина
1
первого порядка относительно —.
Определение G само требует решения предельной вадачи для частного
случая, когда ваданное значение функции на границе равно G = —. Если эта
функция найдена, *о при помощи ее мы можем решить вадачу Дирихле для
любых предельных вначений искомой функции <р> по формуле;

384 Механика сплошных сред -,
G навывается первым потенциалом Грина. Вместо нее часто
употребляют функцию Грина J)
s пишут решение в виде
-Функция (У отличается от G тем, что она:
а') в точке Л, в Т, имеет „полюс", в котором обращается в бесконечность,
1
Ъ') в точке Л не удовлетворяет уравнению Лапласа;
с') во всех точках на границе Т обращается в нуль.
Решение первой граничной вадачи указывает путь для решения второй.
^Естественно было бы попытаться обратить в нуль второй интеграл формулы A8),
подыскав такую функцию G, которая имела бы на границе то же значение нор-
нормальной производной, как и —, а в остальном удовлетворяла бы тем же усло-
условиям (а, Ъ, d), как и в первой предельной задаче. Однако, оказывается, что, по
крайней мере, для ограниченной области Т такую функцию подобрать невозможно.
Действительно, для любой функции, удовлетворяющей в этой области уравнению
Лапласа, а, следовательно, и для постулируемой функции G, мы имеем, на осно-
основании теоремы Гаусса,
Г
дп
С другой стороны,
•если г есть расстояние от поверхности до полюса Л внутри этой поверхности.
Поэтому, когда вводят для внутренней области второй потенциал Грина
-G*, его подчиняют требованию
a-L
дп ~~ дп ~ 6"
где S есть площадь граничной поверхности, а также условиям (а, Ь). В само»
деле, мы имеем тогда:
Решение второй граничной вадачи получается из A8) и имеет вид:
<20> ^
Ц Обычно называют функцией Грина величину G-, которая отличается зна-
знаком от рассмотренной ниже функции G'. (Прим. ред.)

X, § 2 Общие методы 385
где С есть некоторая произвольная постоянная. Изменение потенциала на
аддитивную константу не изменяет значения его производных.
Для внешней области, простирающейся в бесконечность, можно искать
функцию G*, удовлетворяющую условию
dG* __ д Т
дп дп
В этом случае в решении граничной задачи произвольная постоянная отпадает,
потенциал однозначно определяется условием „d".
Кроме второго потенциала Грина G*, в литературе встречается функция
Грина второго рода, или функция Неймана х)
г *
Она отличается от G* тем, что:
а') в точке А, ее „полюсе", она обращается в бескопечность, как ;
Ь') в точке А не удовлетворяет уравнению Лапласа;
с') во всех точках на границе имеет постоянную или обращающуюся в нуль
производную по нормали.
С помощью функции G'* решение второй граничной задачи может быть
написано в виде
Физически функция Грина второго рода для внешней области представляв!
собой потенциал скоростей, соответствующий течению жидкости с источником
интенсивности E — ix, находящимся в точке А, причем границы области
играют роль твердых стенок. Для внутренней области условие равенства нулю
нормальной составляющей скорости на границе заменяется условием ее 'посто-
'постоянства, так что поток через поверхность равномернб распределен но всей ее
площади.
1. Метод изображений. Областью, для которой проще всего найти реше-
решение граничной задачи, является ограниченное бесконечной плоскостью полу-
полупространство. (
Пусть в точке А верхнего полупространства находится источник интен-
интенсивности 4тг. Поместим в точке А', являющейся зеркальным отраже-
отражением точки А в нижнем полупространстве (рис. 29), источник интенсивно-
интенсивности—'4^, т. е. сток. Тогда потенциал скоростей соответствующего течения
будет:
где г и г' — расстояния от точки наблюдения Р до точек А и А'. Полученное
о есть функция Грина первого рода для верхнего полупрос1ранства с полю-
полюсом А. Действительно, <р обращается в нуль во всех точках граничной плоско-
плоскости и удовлетворяет уравнению Лапласа во всем верхнем полупространстве за
исключением точки .4, В точке А функция <р имеет полюс и стремится к беско-
бесконечности как . /
г
1) Относительно внака функции (У* ом. предыдущее примечание.
25 Зак. 1408. - франк и Мизес. Дифф. уравн. мат, физ.

386
Механика сплошных еред
Если мы в точке А' поместим не сток, а источник (рис. 30), интенсив-
интенсивности 4-, то подучим величину
1 1
? —7-F'
представляющую функцию Грина второго рода для верхнего полупространства
с полюсом А. На граничной плоскости -— обращается в нуль. Функцию <р
можно рассматривать как потендиал скоростей потока, исходящего из источ-
источника 4я в точке А и ограниченного плоской твердой стенкой.
¦кгп
«Я
/
Рис. 29.
Этот метод отражения может быть легко обобщен на случай любого дис-
креаного или непрерывного распределения источников в верхнем полупростран-
полупространстве. Если при этом каждому источнику интенсивности Е в верхнем полупро-
полупространстве сопоставить источник интенсивности —Е или же -j- E, являющийся
его зеркальным отражением, то мы получаем движение, для которого граничная
плоскость представляет в первом случае поверхность уровня потенциала
<р = 0, а во втором случае — твердую стенку. Аналогичную картину мы имееи
и для случая двойных и кратных источников, а также, с незначительными
изменениями, я для вихрей.
Для шара метод ивображений был раввит В. Томсоном х), применившим
его к решению первой граничной вадачи, встретившейся при неучений одной
электростатической задачи. Внутри (или вне) шара задано распределение электри-
электрических масс, а на поверхности шара потенциал <р должен равняться нулю.
Требуется определить функцию «э во всех точках внутри (или вне) шара.
В гидродинамике это соответствует потоку, источники которого ваданы внутри
(или вне) шара, причем этот поток должен быть перепендикудярен поверхности
шара. Решение вадачи следующее: веркальным изображением источника интен-
интенсивности Е, находящегося на расстоянии а от центра шара радиуса М, является
отрицательный источник (сток) интенсивности Е' =— — Е, лежащий на про-
4 if2
должении радиуса-вектора источника, на расстоянии а'=— от центра. Задан-
Заданный источник и его изображение лежат в „сопряженных" точках, переходящих
одна в другую при преобразовании обратных радиусов-векторов (рис. 31).
Более важное для гидродинамики решение второй граничной задачи
несколько сложнее, так как при этом изображение точечного источника уже не
*) W. Thomson, Journ. de math., 10, 1846; 12, 1847.

X, § 2 Общие методы 387
есть точка *). Поставим себе задачу найти поток в пространстве, внешнем отно-
относительно шара, играющего роль твердой стенки, когда в этом внешнем простран-
пространстве задано распределение источников. В этой случае изображением источника
интенсивности Е, находящегося на расстоянии а от центра (а > Е\ служит, во-пер-
вых, расположенный в сопряженной точке источник интенсивности W ==—Еж,
во-вторых, равномерно распределенные на линии, соединяющей сопряженную
Е
точку с центром шара, стоки с линейной плотностью =г. При этом полная
Jti
интенсивность источников, находящихся внутри шара^ равна нулю. Изображе-
нием двойного источника с моментом Ж, ось которого направлена по радиусу,
является расположенный в сопряженной точке двойной источник, ось которого
имеет противоположное направле-
направление, а момент равен g-M. Если
двойной источник во внешнем про-
Рно. 31. Рис. 32.
етранстве отодвигается на бесконечность, то течение, им вызываемое, обра-
обращается в поступательное равномерное и прямолинейное. При этом, изображе-
изображение двойного источника стремится к центру шара. Потенциал скоростей такого
потока, обтекающего шар, радиуса М, не имеющего во внешнем пространстве
особенных точек и обладающего на бесконечности скоростью в направлении
оси х, будет
B1) <Р=
Исходя отсюда, легко исследовать равномерное и прямолинейное движение
шара в жидкости, занимающей все пространство и неподвижной на бесконеч-
бесконечности. Для этого достаточно сообщить всему полю вместе с шаром скорость с
в направлении отрицательной оси х. \Относительные" линии тока, вызываемые
в некоторый момент движущимся в жидкости шаром, совпадают вне шара
с линиями тока двойного источника, лежащего в центре шара (рис. 32).
Метод изображений может быть применен и в случае областей, ограни-
ограниченных двумя параллельными или пересекающимся плоскостями, или двумя
сферами. При этом, однако, мы получаем два бесконечных ряда изображений
Всякое вновь вводимое нами ивображение удовлетворяет граничному условию
на одной ив поверхностей, но вато нарушает уже достигнутое выполнение гра-
граничного условия на второй из них. Введение поправки отражением получендого
1) W. M. Eicks, Phil. Trans., 171, 1880.

388
Механика сплошных сред
изображения во второй поверхнооти дает добавочный член, нарушающий гра-
граничное условие на первой, и т. д. Этот процесс, сходимость которого может
быть доказана, представляет собой' геометрическую интерпретацию некоторых
общих методов теории потенциала, примененных здесь к простейшим задачам.
В случае плоского потока метод иэображения значительно упрощается.
В первой граничной задаче изображением источника является источник
равной (и противоположной по знаку) интенсивности, помещенный в сопряжен-
сопряженной точке. Во второй граничной задаче изображением источника, лежащего
вне круга, служит источник равной ему интенсивности, лежащий в сопряженной
точке внутри круга, и сток такой же интенсивности, помещенный в центре
круга. Изображением произвольным образом направленного двойного источника,
является также двойной источник, направление и момент которого могут быть
легко вычислены. Аналогично и для вихрей (см. ниже § 3, 16).
С методом изображений
тесно свяэан один прием,
состоящий в следующем. На
поступательное движение
жидкости налагают источ-
источники и стоки с общей ин-
интенсивностью нуль и распо-
располагают их таким образом,
чтобы одна из поверхно-
поверхностей, образуемых линиями
Рис. 33. тока, бы;: а замкнутой и
заключала все источники я
стоки внутри себя. Область внутри этой поверхности можно представить себе заня-
занятой твердым телом, которое будет, таким образом, обтекаться стационарным и не
имеющим особенных точек потоком жидкости, движение которой будет вполне из-
известно. В простейшем случае мы можем взять источник и сток равной интенсив-
интенсивности; они еще не дают стационарного течения, а как бы движутся с постоянной
скоростью в направлении соединяющей их прямой. Если теперь наложить на
это течение равномерный поток, обладающий такой же, но противоположно
ваправденной скоростью, то получается замкнутая поверхность тока, вид кото-
которой напоминает более или менее вытянутый эллипсоид вращения *) (рис. 33).
В предельном случае, когда источник и сток бесконечно сближаются и обра-
вуют двойной источник, получается обтекание шара.
Неоднократно применялись также распределения конечного или бесконечно
большого числа источников на прямой а). При наложении поступательного дви-
движения это дает замкнутые поверхности тока, пригодные для воспроизведения
формы воздушного корабля.
Аналогично источникам для получения замкнутых поверхностей тока могут
служить также замкнутые вихревые линии (см. ниже § 3,16).
8. Вихревое поле; вихревые линии; закон Био-Оавара. Подобно тому
как распределенные в жидкости источники вызывают движение всей жидкости,*
находящееся там поле вихрей (или отдельную вихревую нить в поле, не имею-
имеющем других особенностей) можно рассматривать как причину происходящего
в жидкости движения. Однако, в то время как поток, вызываемый полем
источников, имеет потенциал скоростей, удовлетворяющий уравнению Пуассона
в местах нахождения источников и уравнению Лапласа во всех остальных
. *) W. Rarikine, Principles relating to stream lines, Engineer, 1868. Точный вид линий'
тока в двухмерном случав показан на чертеже, приведенном в- книге Lanchester'a, Аего«;
dynamik, I, стр. 87.
2) Например, iV. JoukowsTri, Aerodynamique, 1916,' стр. 66; G. Fuhrmann, ZS. f. Flueter
chnik u. Motorluftsehiffahrt, 2, 1911.

Общие методы
389
точках пространства, — поток, вызываемый полем вихрей, имеет, потенциал ско-
скоростей лишь в точках жидкости, свободных от вихрей.
Поэтому можно, вообще говоря, получить выражение только для скорости
v потока. Положим, что жидкость заполняет все бесконечное пространство;
Пусть величина
B2) rot v = w
задана во всех точках вихревого поля, или всего пространства, причем задан-
ная функция w должна удовлетворять условию
div w = 0.
Тогда выражение для скорости течения жидкости имеет вид
B3) Y~r
Здесь г обозначает расстояние данной точки А (скорость ко-
которой определяется) от переменной точки вихревого поля, по
которой производится интегрирование; последнее распростра-
распространяется на все пространство. Вывод уравнения B3) сравни-
сравнительно сложен; поэтому мы его здесь только наметим. Ско-
Скорость v ищут в виде „завихренности" (rot) некоторого век-
векторного потенциала \\
(*) v = rot W.
Последний подчиняют уравнению
(**)
div W = О.
Рис. 34.
Если подставить выражение (*) для т в уравнение B2) и принять во внимание
(**), для W получается уравнение Пуассона
AW = —w,
решение которого есть, как иэвестно,
W
4w*
Легко видеть, что в силу условия divw = 0, это выражение удовлетворяет
уравнению (**). Подстановка найденного выражения для W в уравнение (*)
приводит к формуле B3). Подучаемое таким путем течение жидкости не имеет
источников.
Отдельная вихревая нить бесконечно малого поперечного сеч ния, с цир-
циркуляцией Г, создает поток, скорость которого в некоторой точке А, не лежащей
на этой нити (рис. 34), равняется
B4)
Г . Г ds
r= — rot I —-.
2-ir J r
Здесь ds есть направленный элемент длины вихревой нити. Обозначим через а
угод, составляемый элементом ds и вектором г, проведенным от ds в точку
наблюдения А. Тогда выражение для скорости примет вид
B40 V = ?
Каждый элемент длины ds вихревой нити вызывает в точке А скорость
- s—'> Закон, определяющий скорость потока, вызванного вихревой нитью,

390 Механика сплошных сред
формально совпадает с законом Био-Оавара в электродинамике, определяющим
магнитное поле электрического тока.
Уравнение B4) выполняется не только для замкнутой вихревой нити, но и
для нити, уходящей обоими концами в бесконечность. Так как в него уже не
входит величина поперечного сечения вихревой нити, то правую часть можно
относить и в изолированной, бесконечно тонкое вихревое нити (линии), обла-
обладающей конечным вихревым моментом; ее можно определить аналогично тому,
как мы определяли точечный источник конечной интенсивности. По уравнению
E2), 18, § 1, угловую скорость в точках изолированной вихревой линии нужно
считать бесконечно большой.
Проведем произвольную поверхность, ограниченную вихревой линией, и
преобразуем (для каждой ив составляющих v) линейный интеграл в поверхност-
поверхностный по теореме Стокса. Мы получим:
Г Г г
т == — — grad 1 -5— dS.
4я J on
Поток, вызываемый отдельной вихревой линией, имеет, следовательно, потен-
потенциал скоростей
B5) <? = -? Г-5Г*?.
Сравнивая это с уравнением A4), 4, мы видим, что вихревую линию можно
заменить двойными источниками, распределенными по поверхности, ограничи-
ограничиваемой вихревой линией, причем оси их направлены по нормали к поверхности.
Поверхностная плотность момента двойных источников постоянна и равна цир-
циркуляции в вихревой линии. Эта теорема также совпадает формально с известной
теоремой электродинамики, согласно которой замкнутый электрический ток дает
такое же магнитное поле, как и соответствующий двойной магнитный слой.
Полученное для <р выражение может быть истолковано геометрически.
Телесный угол е, под которым видна замкнутая кривая из некоторой точки
наблюдения, равен
дп
Здесь интеграл распространен на произвольную поверхность, ограниченную
заданной кривой. Отсюда следует, что потенциал скоростей вихревой линии"
в точке наблюдения может быть следующим образом выражен, через телесный
угол е и циркуляцию Г:
4тг
Если наша точка наблюдения будет обходить вихревую линию по некоторой
замкнутой кривой, то за время обхода телесный угол изменится на 4тг. Вслед-
Вследствие этого потенциал скоростей <р вихревой линии является циклическим.
Его циклическая постоянная есть циркуляция Г.
Движение, вызываемое полем вихрей, так же как и движение, вызываемое
одной вихревой линией, имеет в точках вне вихревого поля потенциал скоростей.
Этот потенциал может быть получен путем надлежащего интегрирования выра-
выражения B5). Это мы сделаем в следующем номере.. (9), по крайней мере, для
вихревых полей, распределенных по поверхности.

X, § 2 Общие методы 391
9. Вихревые слои. Если имеется непрерывное распределение вихревых
линий на некоторой поверхности S, то говорят о вихревой слое. Пусть
ЙГ есть циркуляция вокруг бесконечно малой полоски, состоящей ив вихревых
линий на поверхности. Тогда скорость потока, вывиваемого вихревым слоем,
будет равна
B6) v=irot
Внешнее интегрирование производится по поверхности поперек вихревых линий.
Если вихревой слой о.бразует односвяаную поверхность, то внутренний
интеграл можно для каждой вихревой линии преобразовать в поверхностный,
распространенный на ту часть поверхности вихре-вого слоя, которая ограничена
вихревой линней. Тогда скорость будет равна
д- д
а потенциал скоростей напишется
Здесь соответствующее элементу поверхности dS значение Г есть сумма цирку-
циркуляции вокруг всех вихревых линий слоя, начиная от его границы до рассма-
рассматриваемого элемента поверхности. Сравнивая это выражение с уравнением
A4), 4, мы видим, что вихревой слой вызывает такой же поток, какой вызы-
вызывало бы распределение двойных источников по поверхности вихревого слоя,
причем поверхностная плотность их момента т — Г есть функция точки на
поверхности.
Применимость вихревых слоев, однако, шире, чем применимость поверх-
поверхностных распределений двойных источников, поскольку с помощью последних
можно представить только однозначные потенциалы в односвязных областях,
а с помощью первых — также и циклические потенциалы. В случае многосвяз-
многосвязных областей скорость попрежнему задается уравнением B6). Для получения
потенциала скоростей необходимо преобразовать I — в поверхностный инте-
интеграл, распространенный по поверхности S', ограниченной нашей вихревой
линией, каковая поверхность является сечением многосвязного вихревого слоя.
S или, вернее, многосвязного пространства, ограниченного этим слоем. Впрочем
это, по существу, тот же прием, какой применяется при изучении распреде-
распределения двойных источников (см. конец б). Потенциал скоростей принимает вид:
f dT f r
J 4тг J дп
dS.
При переходе череэ вихревой слой, касательная составляющая скорости
изменяемся скачком, тогда как нормальная составляющая остается непрерывной.
Обозначим черев ds элемент длины на поверхности вихревого слоя, перпенди-

392 Механика сплошных сред /
кулярный к направлению вихревых линий, а через v и v' составляющие ско-
скорости в направлении ds с обеих сторон вихревого слоя. Тогда
аг
V V = -тг—
ds
есть разрыв, претерпеваемый скоростью при прохождении через вихревой слой.
Применение вихревых слоев весьма удобно и при рассмотрении потоков, содер-
содержащих поверхности, на которых касательная составляющая скорости терпит
разрыв, так что два потока жидкости как бы скользят один по другому. На
появление подобных поверхностей раздела (разрыва) указал Гельм-
гольц J)i разработавший также метод их аналитического изучения. Для физи-
физической наглядности полезно представлять себе аналитические вихревые слои,
появляющиеся на поверхности раздела как действительные слои жидкости,
частицы которых, как валики, лежащие между обоими потоками, способствуют
скольжению последних.
Вихревые слои не являются, вообще говоря, ни стационарными, ни устой-
устойчивыми (ср. 19, § 1 и 18, § 3).
О возникновении вихревых слоев см. ниже 18, § ?>.
10. Представление потока с помощью источников и вихрей. Выше
(в 3) мы определили безвихревое потенциальное течение, вызываемое задан-
заданными источниками, а затем (в 8) мы рассмотрели лишенное источников (соле-
ноидальное) течение, вызываемое заданным вихревым полем. Наложением обоих
потоков мы можем получить поток с заданными источниками и вихрями во всем
бесконечном пространстве.
Пусть е = div v есть плотность источников потока и w = rot v есть вихрь
(завихренность) скорости (причем div w = 0). Тогда скорость потока равна:
„ ^ ' л С edx , . Г wdz
B8) v = — grad I \-vot I —-.
y J 4w J 4w
Если жидкость заполняет ограниченную область Т, внутри которой заданы ее
вихри и источники, то поток внутри Т будет однозначно определен лишь в том
случае, если известно его поведение на границе Т. Например, нам может быть
задана нормальная составляющая скорости на границе. В простейшем случае
она равна нулю, если граница области Т есть вместе с тем твердая стенка,
ограничивающая поток. Выражение B8) даст нам „предварительное" решение,
если в пространстве Т, внешнем по отношению к Т, задать произвольное, по
возможности простое, распределение источников и вихрей и распространить
интегрирование по всему бесконечному пространству. Проще всего предполо-
предположить поток в Т' лишенным источников и вводить в нем вихри, лишь поскольку
требуется замкнуть вихревые линии, выходящие из Т сквозь его границу. Най-
Найденное таким образом решение, хотя и обладает в области Т заданным полем
источников и вихрей, но, вообще говоря, не удовлетворяет граничным усло-
условиям. Для выполнения последних следует наложить на него потенциальный
поток, не имеющий в Т особенных точек и являющийся решением граничной
задачи второго рода. Для нахождения этого решения необходимо знать „вторую"
функцию Грина для области Т.
11. Кинетическая энергия потока. Кинетическая энергия потока в конеч-
конечной или бесконечной области зависит от находящихся в этой области источников
и вихрей.
а) Кинетическая энергия потенциального движения
v = grad <р; Д? = О
IT. Jlelmholts, Berl. Ber., 1868, стр. 215.

X, § 2 Общие методы 393
.равна
к может быть, по теореме Грина [уравнение Dс, 1] приведена к виду
где интеграл распространен по всей границе области. Для областей, уходящих
в бесконечность, интеграл по внешней (бесконечно удаленной) поверхности
обращается в нудь, если жидкость на бесконечности покоится и остается только
интеграл по внутренней поверхности, который конечен. (Потенциальный поток,
который бы не имел особенных точек и заполнял все бесконечное пространство,
не существует, если, как мы предполагаем, скорость на бе с ко-
нечностиестьнуль).
Ъ) Кинетическая энергия потока, вызванного одним только полем источни-
источников. Б этом случае
т = grad -?, Д» = е;
где е есть приведенная плотность. Кинетическая энергия имеет перво-
первоначально тот же вид (*), как и для потенциального движения, но, после пре-
преобразования по теореме Грина, она принимает вид
Для безграничного пространства второй интеграл обращается в нудь. В этом
случае мы получаем:
= 9- C
При этом достаточно интегрировать по той части пространства, в которой факти-
фактически имеются источники, т. е. где ефО. Подставляя для <р его выражение B),
получаем кинетическую энергию
в виде двукратного объемного интеграла. Здесь г обозначает расстояние между
двумя точками, лежащими в элементах dx и dx\ в которых плотности источников
равны е и е'; штрих (') служит для различения обоих интегрирований. В выра-
выражении для кинетической "энергии конечной области, наряду, с этим членом, будет
. еще стоять соответствующий поверхностный интеграл.
Выражение вида C1) часто встречается в теоретической физике; слегка
изменяя в нем обозначения, мы получаем, например, значение потенци-
потенциальной энергии данного распределения электрических или гравитирую-
щих масс.
Кинетическая энергия поля зависит, согласно C1), не от полной интенсив-
интенсивности источников, а от их распределения. Если мы 'имеем поле источников
общей интенсивности Е, заполняющих с равномерной плотностью некоторый
шар, то, изменяя при постоянном Е радиус В этого шара, мы получим,
что кинетическая энергия всего бесконечного потока обратно пропорцио-
пропорциональна радиусу шара. Это замечание весьма существенно, так как оно

394 Механика сплошных сред
показывает нам, что кинетическая анергия поля точечного источника бесконечно
велика. Точечный источник конечной интенсивности есть математическая фикция,
пригодная для упрощенного описания непрерывного распределения источников;
поэтому неудивительно, что в точках, совпадающих с самими источниками, опи-
описание будет уже качественно неверным. Существенным является, однако, факт,
что и некоторые свойства всего поля получаются при применении точечных
источников количественно неверными (например, энергия получается беско-
бесконечной).
с) Для чисто вихревого поля скорость задается уравнением
т = rot W,
где, согласно B3), 8,
C2) W =
«сть векторный потенциал, и
C2') w = rotv
есть заданный вихрь (завихренность) скорости в каждой точке пространства.
Для этого случая мы напишем кинетическую энергию потока, заполняющего бес-
бесконечное пространство, в виде
. yd- = -— I v rot Wdx.
Воспользовавшись векторным преобразованием
т rot W = W rot v — div [v X W]
и применив теорему Гаусса, мы получим
Г= | f W rot т dz.
Появляющийся поверхностный интеграл по границе потока обращается для
безграничного пространства в нуль, если жидкость на бесконечности покоится.
На основании C2) и C2') можно представить кинетическую энергию Т в виде
двукратного интеграла по всему пространству
C3) У =
где штрихи служат, как и в C1), для различения обоих интегрирований. Наряду
с C3), представляет интерес еще одно выражение для энергии. Обозначим эле-
элемент объема вихревой нити через
dx = d8 ds,
где dS есть вектор поперечного сечения, a, ds — векториальный линейный эле-
элемент некоторой средней вихревой линии, и введем циркуляцию вихревой нити
dr = w ds.
Мы получим тогда
Здесь внешнее интегрирование нужно производить так, чтобы каждое произве-
произведение циркуляции dlW двух вихревых нитей входило только один раз, т. е.,
чтобы появление каждого «Ягодин pas в виде первого множителя и другой раз
в виде второго уже не принималось в расчет.

X, § 2 '¦: Общие методы 395
Выражения C3) и C3'), так же как и C1), встречаются в других областях
теоретической физики. Они дают, например, потенциальную энергию или электро-
электродинамический потенциал поля замкнутых электрических токов.
Высказанные выше, при рассмотрении энергии поля источников, соображения4 о
том, что произойдет, ебли изменить распределение источников, не изменяя их полной
интенсивности, могут быть перенесены с соответствующими изменениями и на
вихревое поле. Энергия поля тока, вызываемого одной вихревой нитью, увеличи-
увеличивается, если уменьшить сечение нити без изменения ее полной циркуляции. Она
становится бесконечно большой, если сечение стремится к нулю, т. е. если
вихревая нить обращается в сингулярную вихревую линию конечной циркуляции.
Сингулярные вихревые линии представляют, следовательно, математическую фик-
фикцию, пригодную для замены вихревых нитей при рассмотрении поля тока вне
их. В точках же самих вихревых нитей получаются качественные отступления;
кроме того, энергия всего поля получается количественно неверной.
d) В общем случае поле тока, содержащее источники н вихри, может быть
представлено в виде
v = grad ср -{- rot W.
Его кинетическая энергия складывается нз кинетической энергии потенциального
поля v = grad<?, энергии вихревого поля v = rotW и добавочного члена <
I' = p /"gradcp
который не обязательно положителен. Член Тг может быть преобразован в по-
поверхностный интеграл, взятый по границе области, заполненной жидкостью, и обра-
обращается в нуль, если жидкость занимает все бесконечное пространство и на бес-
бесконечности покоится. В этом последнем случае кинетическая энергия поля прини-
принимает, на основании C1) и C3), следующий вид:
C4)
= -±- f f«L **'+ i- Г (JLJL
8п J J г 8т J J r
Кинетическую энергию жидкости, заключенной в конечной области, мы
в общем случае исследовать не будем. Для потенциального движения в конечной
области нами уже дано для энергии выражение B9). Другой интересный путь для
ее вычисления дает нам уравнение C3). Заменим поток, заполняющий конечную
область потоком, заполняющим все пространство, так, чтобы в первоначальной
конечной области ноток оставался неизменным, а в области, в которой первона-
первоначально не было тока, жидкость покоилась. Тогда все движение можно считать
вызванным вихревым слоем, покрывающим границу первоначальной конечной
области. Выражение же C3'), рассматриваемое как поверхностный интеграл по
этой границе, дает искомую кинетическую энергию.
12. Геометрические свойства; сдои тока. Кинетическая энергия отдельной
части жидкости может быть получена иным путем, чем энергия всего поля,
а именно, путем использования геометрических свойств поля.
Рассмотрим поток, лишенный источников. Пусть два семейства поверхностей
тока <J* = const и х — const разбивают его на трубки тока с сечением, имеющим
форму параллелограмма. Тогда скорость может быть представлена в виде
где х есть — пока — некоторая функция точки. Поток через каждое сечение dS
такой трубки равен
| v | dS =

396 Механика сплошных сред
Отсюда следует, что х есть величина постоянная вдоль каждой трубки тока. Над-
Надлежащим выбором обоих семейств поверхностей тока можно добиться того, чтобы х
стало постоянным во всем поле, так что можно будет положить
¦/ = 1.
Таким образом '),
C5а) v
и
(86b)
Предположим теперь, что поток имеет потенциал скоростей <р- Если мы
разобьем эквипотенциальными поверхностями «р = const трубки тока на отдельные
ячейки, то кинетическая энергия dT каждой такой отдельной ячейки будет:
а между поперечным сечением ячейки dS "я ее длиной dl будет иметь место
соотношение
dS _ dtydy
dl ~~~d^'
Выберем эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов d<?
между каждыми двумя соседними из них была одинаковой, и расположим таким же
образом, т. е. через равные интервалы dty и dy, поверхности тока <i = const и
у = const. Тогда все поле тока распадется на ячейки, для ка-
каждой из которых отношение величины поперечного сечения
К длине будет иметь одно и то же значение и в каждой из
которых кинетическая энергия жидкости также будет оди-
одинакова 2).
Аналогичная теорема имеет место и для вихревого движения; вместо экви-
эквипотенциальных поверхностей нужно брать там семейство поверхностей, не перпен-
перпендикулярных к линиям тока.
Уравнение C5а) совместно с уравнением E5), 19, является основой теории
движения слоев тока, которая была развита Мизесом 8) и приобрела
большое значение втеориитурбин.
Мы рассмотрим здесь лишь два простейших случая потенциального движе-
движения ; при наличии потенциала скоростей уравнение C5а) принимает вид
i C6) grad <? = grad«]»X grad •/•
а) Возьмем в качестве поверхностей тока х. = const семейство плоскостей,
параллельных плоскости ху. Тогда из уравнения C6) следует для плоского
движения
C7)
Ь~ ду~~ дх
1) Ср. Jacobi, Crelles Journ., 27, стр. 199, 1844.
2) Геометрическая часть теоремы имеется у Lanchesler'a., Aerodynamik, I, стр. 71
без доказательства и указания источников. Ср. М. Lagally, ZS. f. Math. u. Phys., Т. 63,
стр. 360 If, 1915.
S) R. v. Mises, ZS. f. Math. u. Phys., 57, стр. 1-120, 1909; Phys. ZS.. 10, стр.
140-143, 1909.

X, ? 2 Общие методы 397
в согласии с уравнениями F), 3 и B0), 6. Функции « и <J» обе удовлетворяют
уравнению Лапласа
<38) ^+^ ' "^"W
Эквипотенциальные кривые «р и линии тока ^ делят плоскость на О ее ко-
конечно малые квадратики1), причем жидкость, заключенная в каждом
из этих квадратиков, имеет одинаковую кинетическую энергию 2).
Ь) Выбирая в качестве поверхностей тока х = const пучок плоскостей, про-
проходящим через ось г, мы получим течение жидкости, обладающее аксиаль-
аксиальной симметрией. Введя цилиндрические координаты р (расстояние от оси),
г и х> т> е- прямоугольные координаты р и г в, каждой из плоскостей пучка,
мы будем иметь для составляющих скорости ир и иш выражения:
C9)
Ир =-тг- =
9?' 1 9^ .
ap~~"p~lF'
v'? 1 {?ф
ад и__- — — —~ -- *
* 02 р Ор
Потенциал <р удовлетворяет уравнению Лапласа, имеющему в цилиндрических
координатах вид
д"к> дЦ . 1 до
а стоксова функция TOKa<J* удовлетворяет уравнению *)
. L. дЧ . д^ 1 94»
4 ' дз* ' 9р2 р Эр
Эквипотенциальные кривые и линии тока делят плоский поток на прямоуголь-
прямоугольнички, о форме которых мйжно высказать следующую теорему. Отношение сто-
стороны прямоугольника, принадлежащей эквипотенциальной кривой, к стороне
нрямоугольника, являющейся частью липии тока, пропорционально расстоянию
от оси симметрии *).
Эта теорема применялась для графического определения формы лопатов
турбины. Наложение безвихревого вращательного движения вокруг оси не пред-
представляет принципиальных затруднений. Однако, движение слоев тока вдоль
вращающихся лопаток турбины имеет более общий характер и не является,
вообще говоря, безвихревым. Мизес Б) установил дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет соответствующая функция тока в случае лопатки про-
произвольно заданной формы; оно содержит D0Ъ) как частный случай и не будет
нами здесь приведено.
Отметим зато, что и вихревое аксиально-симметричное движение, для ко-
которого поверхностями тока служит пучок поверхностей, может бы представлено
с помощью стоксовой функции тока совершенно так же, как и потенциальное
1) См. например, рис. 42, стр. 428. s
2) Lanchester, Aerodynamik, 1, стр. 92.
3) С. Stokes, Cambrige Trans., 7, 1842.
4) V. Kaplan, ZS. f. d. ges. Turbinenw., 9, стр. 533, 1912; M. Broszko, ZS. d. Ver. d.
Ing. 56, стр. 2045, 1912.
Б) Ср. предыдущую ссылку иа v. Mises'a.
V

398 Механика сплошных сред
движение. Уравнения C9) остаются при этой в силе по отношению к функции
тока; уравнения D0Ь) следует заменить уравнением
д*\> , дЧ 1 Эф
где со есть произвольная функция от ф [ср. уравнение E7), 19 § 1].
13. Давление в потоке. Реактивное давление,1 оказываемое жидкостью
на погруженное в нее тело, многократно исследовалось еще с первых шагов
гидродинамики. Тот факт, что шар или круговой цилиндр, находящийся в иду-
идущем из бесконечности (поступательном) потоке жидкости, не должен (в случае
идеальной жидкости) испытывать со стороны последней никакого давления, из-
известен под именем парадокса Даламбера или парадокса Дирихле. Уравнения
гидродинамики дают движение, симметричное относительно передней и задней
частей погруженного в жидкость шара или цилиндра: отсюда следует, что резуль-
результирующее давление потока обращается в нуль. Вследствие трения, действую-
действующего в пограничном слое жидкости у поверхности погруженного тела и вслед-
вследствие вызванного этим трением отрывания вихревых слоев, движение жидкости,
имеющее место в действительности, будет с задней стороны тела другим, чем
это дает пам теория идеальной жидкости *).
Положим, нам задан произвольный потс*к, ограниченный замкнутой поверх-
поверхностью S и заполняющий внутреннюю или внешнюю часть пространства (в по-
последнем случае он распространяется до бесконечности). Вопрос о силах давления
потока на поверхность относится к теории идеальной жидкости. Для выяснения
этого вопроса мы можем тогда взять известное уже нам выражение [уравнение
D2), 14, §11:
¦—/*
для силы реактивного давления жидкости на твердую границу и преобразовать
его с помощью уравнения Вернулли C2а), 12 § 1 следующим образом а):
D1) R = -~ I v2dS — рС I dS.
s s
Сделанное здесь предположение о том, что постоянная С уравнения Бернулли
одинакова на всей поверхности 8, не исключает существования источников и
вихрей внутри жидкости. Вообще говоря, здесь исключен только тот случай,
когда особенные точки имеются на самой поверхности. Важный для применений
случай, когда из поверхности S исходят вихревые линии, совпадающие с ли-
линиями тока, таким образом, не исключается.
Второй интеграл в выражении D1) обращается в нуль. Преобразуя первый
интеграл в объемный, распространенный по заполненной потоком области J,
получаем
= 1- f
С помощью известного векторного преобразования мы получаем следующее
окончательное выражение для силы реактивного давления
D2а) R = p /vdivvdx — р I yy,rob\dx.
j j
1) См. следующую главу.
' 2) М. Lagaily, ZS. f. angew. Math. д. MechM 2, стр. 409; Sitzungsber. Bayr. Akad.
d. Wiss,, 1921, стр. 209. Ср. ряд более старых итальянских работ, особенно Е. Ahnansi,
Rend. R. Accad. Lincei 18, II, 1909; 19.1. 1910.

X, § 2 Общие методы ' 399
Это уравнение справедливо [для жидкости, заполняющей область J внутри S%
или же внешнюю относительно S область А, идущую до бесконечности; послед-
последнее, если на бесконечности жидкость покоится. Если же жидкость ваполняет
внешнюю часть пространства и на бесконечности ее скорость равна Too, та
в выражении для силы реактивного давления появляется еще добавочный член,.
D2Ъ) R = р С т div v dx — р j т X rot v di — p i Va> div v efr.
А А Дда
Здесь последний интеграл берется по всему бесконечному пространству.
Уравнения D2а, Ь) дают нам силу реактивного давления в функ-
функции от особенностей поля (источников и вихрей) и от скорости в тех точках,
где имеются эти особенности, причем не требуется внания скорости на самой
поверхности. Скорость в точках, где имеются источники и вихри, зависит не-
нетолько от этих источников и вихрей, которые предполагаются заданными, но и
от формы поверхности S. Только таким, не прямым, путем входит форма поверх-
поверхности в выражение для силы реактивного давления. Следует помнить, что для
определения т приходится решать граничную задачу второго рода, причем,
в случае D2Ь) не только для внешней, но и для внутренней части пространства,
так как последний интеграл распространен на все пространство Д».
¦ Таким же путем, как и силу реактивного давления R, можно определить
и ее момент R* и, тем самым, линию приложения этой силы. При этом полу-
получаются следующие две формулы для момента сил:
D3а) R* = p/*[rXv]divvdT—р /*г X О X rot v] йт,
D3b) \
= p A
1
/*[rXv]divvdT—р /*г
¦—p
Boo
Всю
Эти формулы применимы в тех же случаях, что и соответственные формулы
D2а) и D2Ь) для силы; г обозначает в них радиус-вектор.
В простейшем случае поступательного движения жидкости, лишенного-
особенных точек, в формулах D2Ь) и D3Ь) остаются только добавочные интегралы,
распространенные по внутреннему пространству. Легко видеть, что добавочный
интеграл D2Ь), т. е. сила реактивного давления, обращается в нуль: тем самым
парадокс Даламбера доказан в самом общем виде. Реактивный момент
сил для тела произвольной формы, вообще говоря, отличен от нуля и зависит-
от величины направления скорости на бесконечности; только для трех опреде-
определенных, вваимно перпендикулярных направлений этой скорости он обращается
в нуль.
14. Движение твердых тел в идеальной жидкости. Движение одного
или нескольких твердых тел в идеальной жидкости изучалось многими авторами
и представляет задачу, очень интересную в математическом отношении. В физи-
физическом же отношении к результатам этих исследований следует подходить
с осторожностью. В самом деле, из парадокса Даламбера следует, что тело, по-
покоящееся в поступательном потоке жидкости, не оказывает последнему никакого ¦
сопротивления; поэтому и обратно, для поддержания равномерного и прямолиней-
прямолинейного движения твердого тела в идеальной жидкости, так же точно, как и в пу-
пустом пространстве, не требуется прилагать силу и совершать работу. Сила не-
необходима только для сообщения ускорения и она идет на преодоление силы инер-
инерция движущихся масс. При этом следует под движущейся массой понимать не

400 Механика сплошных сред
только массу твердого тела, но и массу жидкости, увлекаемой телом при его
движении. Так как поток жидкости не имеет источников и произошел из состоя-
состояния покоя, то он должен иметь потенциал скоростей, убывающий на бесконеч-
1
ности как —2~. ..
Решение задачи, кратким наброском которого мы здесь ограничимся, рас-
распадается на кинематическую и динамическую части. Кинематическая часть задачи
состоит в разыскании движения жидкости, вызываемого заданным Движением твер-
твердого тела. Мы предположим сперва, что имеется только одно твердое тело.
Состояние движения жидкости зивисит от шести составляющий) скоростей его
поступательного и вращательного движения. Состояние движения жидкости
определяется требованием, чтобы нормальная составляющая скорости жидкости
на границе жидкость—твердое тело равнялась нормальной составляющей скорости
твердого тела. Для определения движения жидкости нужно, следовательно,
решить граничную задачу второго рода. Последняя имеет однозначное решение,
«ели твердое тело односвязно, т. е. не просверлено, так что циклические токи
отсутствуют. Для отыскания потока, соответствующего' произвольному состоянию
движения твердого тела, достаточно найти решение граничной задачи второго
рода для шести различных простейших распределений граничных значений
сообразно шести степеням свободы твердого тела. Решение для общего случая
может быть получено линейной комбинацией из этих шести частных случаев.
Введение второй функции Грина упрощает решение только формально.
Если в жидкости имеется не одно, а п непросверленных твердых тел, то
новых затруднений принципиального характера при этом не возникает. Вместо
шести составляющих скорости, в этом случае будут входить уже 6и составляющих,
вообще говоря, обобщенных в смысле Лангража. Случай просверленных тед нами
здесь рассматриваться не будет, так же как и существование многосвязной
твердой границы. Ч
Динамическая часть задачи состоит в установлении уравнений движения,
определяющих зависимость ускорений, т. е. изменение состояния движения твер-
твердых тел и жидкости от внешних сил, и в интегрировании этих уравнений. Для
установления уравнений движения можно исходить из уравнения Лаграпжа вто-
второго рода, или, что методически еще лучше, из начала Гамильтона *). Дело сво-
сводится, следовательно, к получению выражений для кинетической энергии и для
работы при виртуальном перемещении. Кинетическая энергия твердых тел есть
однородная квадратичная функция от их 6» скоростей с коэффициентами, завися-
зависящими от обыкновенных или обобщенных координат этих тел. Тот же вид имеет
и кинетическая энергия жидкости, как это непосредственно вытекает из уравне-
уравнения B9 ), 11, если припомнить замечание, сделанное при рассмотрении кинема-
кинематической части задачи, что потенциал скоростей потока жидкости есть линейная
функция от скоростей твердых тел. Виртуальная работа, а тем самым и силовая
функция, получается из упомянутого нами выше A0, § 1) обобщенного принципа
Архимеда; она оказывается функцией только от координат твердых тел. Для уста-
установления уравнений Лагранжа второго рода никаких данных, кроме этих, уже не
требуется. Система, состоящая из п твердых тел и жидкости, в которой они нахо-
находятся, ведет себя как система с 6и степенями свободы»
Проинтегрировать уравнения движения удается только в простейших слу-
случаях; уже трудности, кинематической части задачи большей частью оказываются
непреодолимыми. Сравнительно просто удается рассмотреть случай однородного
шара. Решение граничной задачи для этого случая было нами получено другим
путем G). При движении шара, к его собственной кинетической энергии доба-
добавляется кинетическая энергия массы жидкости, объем которой равен половине
См. главу I.

X, § 3 ¦ Частные задачи и методы . - 401
объема шара, а скорость равна скорости центра шара. Силовая функция может
быть получена из закона Архимеда в его частной формулировке: вес шара умень-
уменьшается на вес вытесняемой им жидкости.
Легко отсюда видеть, как будет себя вести в жидкости маятник, который
мы для простоты положим шарообразным. Период его колебаний увеличится по
сравнению с периодом колебаний в пустом пространстве по двум причинам: из-за
увеличения инерции движущейся массы и нз-за уменьшения ускорения силы
тяжести. Затухания, однако, не произойдет; это есть следствие парадокса Далам-
бера, т. е. пренебрежения трением.
Других примеров движения одного тела мы приводить не будем. Движение
многих тел в идеальной жидкости особенно интересно из-за появления ускорения
отдельных тел, которое можно свести к проявлению „гидродинамических сил
дальнодействия". Два шара, центры которых движутся один за другим по одной
к той же прямой, отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной,
примерно, четвертой степени расстояния между их центрами. Два шара, движу-
движущиеся параллельно друг другу, притягиваются. Еще замечательнее силы взаимо-
взаимодействия, возникающие между двумя синхронно пульсирующими шарами; в зави-
зависимости от разности фаз получаются силы притяжения или отталкивания, обратно
лропорциональные квадрату расстояния 1).
§ 3. Частные задачи и методы
а) ПЖОСКОЕ ИОТЕНЦИАЖЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1. Комплексный потенциал. Составляющие и, v скорости плоского потока
могут быть всегда представлены как частные производные некоторой функции
тока <|*. Если же движение, за исключением разве отдельных особенностей, без-
безвихревое, то и, v могут быть еще представлены и как частные производные по-
потенциала скоростей <?. В этом случае мы имеем, согласно уравнениям F), 3 § 1
и B0), 6 § 1.
до 9ф
A)
дх ду
ду дх
Обе функции ер и ф удовлетворяют уравнению Лапласа и являются, как это видно
из A), сопряженными в смысле условий Коши-Римана. Они могут быть, следова-
следовательно, представлены как вещественная и мнимая части комплексного
потенциала, т. е. некоторой комплексной функции со (которую "мы выше
в 6, § 1, обозначили через S)
а> = ер-{-»<!>
от комплексного переменного
s = x-\-iy,
так что:
B) ( Швш(ж)'
Из этого уравнения видно, что поток в плоскости z (х, у) конформно отображается
на плоскость со (ер, <i), так что эквипотенциальные линии и линии тока в пло-
плоскости з переходят в плоскости ш в прямые 9 — const и ф = const, параллельные
осям координат. Вообще, если ввести новую комплексную переменную г', предста-
1) N. Bjerlcnes, Vorlesungen iiber hydrodynamische FernkrSfte nach С A. Bjerknee
Theorie, Leipzig, 1900—1902.
26 Зак. 1408. — Франк и Мизес. Дифф. уравн. мат. фдз.

402
Механика сплошных сред
вляющую функцию от старой переменной' я, то получится новое потенциальноь
движение, связанное со старый посредством конформного отображения. Tat
например, подстановка
дает инверсию [отражение в единичном круге, соединенное с отражением О",
вещественной оси (рис. 35)].
Ив B) следует:
dm д'-р . 9ф
Называя
w = и — iv
комплексной скоростью, мы видим, что
__ dm
dz
C)
есть также функция комплексной переменной г, дающая отображение поля ско-
скоростей w (и, »), называемого иногда годографической плоскостью, на пло-
плоскость в (ж, у).
Для многих целей удобнее рассматривать не «в как функцию от с.
а * как функцию от «в
г = г (т).
Мы получаем тогда обратные формулы:
• дх ду и
E)
ду __ дх _
из u-\-iv
V
~у2
Рис. 35.
в которых составляющие скорости и и v и
ее величина | т | являются функциями от f
и <1>. Отсюда можно, согласно C), вернуться при помощи одной квадратуры
к независимым переменным хну.
Комплексный потенциал потока, регулярного вблизи начала*
координат, может быть разложен в ряд по возрастающим степеням г:
F) «в = о0 -(- а^г -j- а2я2 -(-....
Вещественная часть этого ряда есть разложение потенциала скоростей в ряд
по гармоническим полиномам. Движение, регулярное на бесконечности (скорость,
на бесконечности равна нулю), приводит к ряду, расположенному по убывающим
степеням г. Простейшим особенным точкам соответствуют следующие комплексные
потенциалы и связанные с ними величины,
а) Поле вихревой точки:
G)
«В :
— * -

X,§3
Частные задачи и методы
403
(l* — интенсивность вихря, Г—момент вихря или циркуляция),
G')
: — , U IV = *}1 -
Ь) Поле точечного источника:
(8)
(е — интенсивность источника, т. е. поток черев вамкнутую кривую, окружающую
источник),
(8')
(ж2-)-?/2), ф — ~9~ arotg —,
и — iv = ^-, v =
с) Поле двойного источника (диполя):
(9)
(В:
У- е
2* з
i—момент двойного источника; а — угол между его осью и осью ж),'
Ф = J7—- COS 6
(ср. с уравнением A5), 4 § 2]. Комплексный потенциал кратных источников (мульти-
яолей) выражается черев более высокие отрицательные степени г. Посредством
инверсии можно ив поля двойного источника получить поступательный
поток с постоянной скоростью:
A0)
Это движение можно, следовательно, рассматривать как вызванное бесконечно
удаленным диполем. Инверсия мультиполей приводит к движениям с бесконечно
большими скоростями на бесконечности.
2. Конформное отображение. Применение конформного отображения для
получения из известного потока новых потоков, удовлетворяющих заданным
условиям, будет иллюстрировано нами на одном примере, весьма важном для
приложений *).
Поступательный поток, обтекающий круг (т. е.круговой цилиндр), полу-
получается так же, как и для шара [уравнение B1), 7, § 2]. С помощью ком-
комплексного потенциала он выражается, однако, проще, чем в пространственном
случае. Комплексный потенциал потока, обтекающего круг радиуса Д равен
A1) —«ос
Ср. В. Grammel, Die hydrodynamischen Grundlagen des Fluges, § 11.
26*

404
Механика сплошных сред
Здесь и|от есть комплексная скорость поступательного движения на бесконеч-
бесконечности, Woo есть комплексно сопряженная с ней величина. Поток, обтекающий
круг, получается, как мы видим,
добавлением к поступательному
потоку Wa>2 потока от надлежа-
надлежащим образом выбранного двой-
двойного источника.
Далее, если поместить в
центре круга вихревую точку,
то и для вызванного ею потока
можно считать круг радиуса Я
твердой стенкой. Добавляя к A1)
комплексный потенциал вихре-
вихревой точки G), 1 мы получаек
поток
для которого наш круг предста-
представляет твердую границу. Вне
круга мы имеем наложение по-
поступательного и „циркуляцион-
„циркуляционного" движения. Скорость тече»
ния равна
A^>—.-**_«-i,.
Рис. зе.
Поток имеет различный харак-
характер, в зависимости от того, бу-
будет ли
где |Voo| есть абсолютное вначе-,
ние скорости Woo.
В первом случае, одна и».
линий тока имеет двойную точ-
точку (пересекает сама себя) и об-
образует замкнутую петлю, внутр*
которой лежит наш круг. Жид-
Жидкость внутри петли движет
вое время по замкнутым траек-
траекториям вокруг круга (рис. 36а).
В третьем случае мы имее^
на окружности круга две напор
ные точки. Они являются точ
ками разветвления да
линии тока, встречающих в этож
месте круг. Эти линии разде
ляют весь внешний поток hi
две части, каждая ив которы*
обтекает круг со своей сторон*
(рис. 36с).

x, § з
Частные задачи и методы
405
Второй случай является переходным между первым и третьим (рис. 36Ь).
Введем новую переменную
A3а)
Решая это уравнение относительно з, получаем:
A3Ь)
Эти формулы преобразуют плоскость круга в двухлистную риманову по-
поверхность, два листа которой соответствуют внешней и внутренней (относи-
(относительно круга) области. Окружность переходит при этом в прямолинейный раз-
разрез, соединяющий обе лежащие на вещественной оси точки разветвления
я' —гЬ.Й; вдоль этого разреза один лист римановой поверхности переходит
в другой. Ив потока, обтекающего круг в плоскости of, получается поток, который
обтекает отрезок плоскости ^соединяющий обе точки разветвления. В преобра-
вованном потоке (в плоскости з') следует разли- I
чать те же три случая, как и в исходном потоке.
Для многих целей нет необходимости выписывать
подробно выражения для комплексного потенциала
скоростей »' (/) и для комплексной скорости w' (/)
преобразованного течения; мы их не будем приво-
приводить и здесь. Чтобы выразить эти величины в
функции от if, достаточно заметить, что
8»
У
У
V
14
щ
У
\,
Г,
/
\>
Рис. 37.
Весьма важным для приложений является по-
поток, который относите ч к третьему случаю и в кото-
котором одна из точек разветвления совпадает с концом
обтекаемого отрезка, так что остается только одна напорная точка. Такого типа
будет плоский поток, обтекающий поперечное сечение несущей поверхности
(крыла) больших продольных размеров. Для применения к теории несущих
"поверхностей были найдены, путем соответствующих преобразований, много-
многочисленные виды течения вокруг контуров, ближе подходящих к встречающимся
на практике профилям несущих поверхностей, чем прямолинейный отревок.
Рассмотренный здесь довольно сложный поток слагается из проотых отдель-
отдельных потоков. Такого рода поток легко получить графически по способу, пред-
предложенному Максвеллом. Если для каждого из двух потенциальных течений на-
начертить, как указано на рис. 37, систему эквипотенциальных кривых I и II
для равноотстоящих значений потенциала и наложить оба чертежа один на
другой, то получится сетка. Для одного ив семейств диагональных кривых этой
сетки сумма значений обоих потенциалов будет постоянна. Эти диагональные
кривые IU являются, следовательно, эквипотенциальными кривыми того течения,
которое получается наложением обоих потенциальных течений.
Таким же образом иожно получить линии тока составного течения из линий
тока слагающих течений; в самом деле, линии тока плоского потенциального
течения можно рассматривать как эквипотенциальные кривые сопряженного
потенциального течения. >
Способ Максвелла можно обобщить на пространственное потенциальное
течение, однако лишь в той части, которая относится к построению эквипотен-
эквипотенциальных поверхностей, а не к построению линий тока.

406 Механика сплошных сред
Ъ) ОБРАЗОВАНИЕ СТРУЙ
• 3. Струя в покоящейся („мертвой") воде. При неучений вихревых слоев
(9, § 2) мы указали на возможность существования в потоке жидкости по-
поверхностей разрыва, на которых касательная составляющая скорости
изменяется скачком. Ограниченная поверхностями разрыва часть потока до неко-
некоторой степени соответствует физическому понятию струи жидкости. Такого
рода часть потока можно рассматривать самостоятельно, если ввести на поверх-
поверхностях раздела вместо действующего там внешнего давления равную ему поверх-
поверхностную силу другого физического происхождения.
Струя жидкости, в узком смысле слова, получается в том случае, когда
стационарная поверхность разрыва отделяет движущийся поток от покоящейся
части жидкости („мертвой воды"). В этом случае на поверхность раздела дей-
действует постоянное гидростатическое давление. Рассматривая тогда движущийся
поток как самостоятельную струю, мы должны заменить гидростатическое давле-
давление на его поверхности постоянным внешним давлением, обычно, атмосферным.
4. Плоские струи. Методы Гельигольца и Кирхгофа. Если пренебречь
действием внешних сил, в частности, силой тяжести, то образование струй
в плоском потоке может быть изучено с помощью комплексного потенциала.
В этом случае каждая граница струи есть линия тока, на которой, согласво
уравнению C4'), 12, § 1, величина скорости | v | должна оставаться постоянной.
Будем считать комплексную переменную a = x-\-iy функцией от комплекс-
комплексного потенциала
и введем другую комплексную переменную
<"> '-¦?•
По уравнению E), 1, выражение
есть комплексная величина, модуль которой равен обратной величине скорости,
а аргумент а есть угол между направлением скорости и осью х
Часто применяется еще одна вспомогательная переменная
Плоскость о> может быть конформно отображена на плоскость С (или С')-
В плоскости о> линии тока if = const изобразятся как прямые, параллельные
оси да. Таким образом, изображениями твердой границы потока (стенки), а также
свободной поверхности струи будут там такие же прямолинейные отрезки. На
свободной границе струи величина скорости |v| остается постоянной. Свободные
границы струи изобразятся поэтому в плоскости С отрезками дуг концентрических
кругов с центром в начале координат. Если мы, кроме того, ограничимся тем
случаем, когда твердой границей потока являются прямолинейные стенки, вдоль
которых направление скорости а остается постоянным, то эти границы изобра-
изобразятся в плоскости С отрезками полупрямых, исходящих ив начала координат.
Если ввести еще вместо плоскости С вспомогательную плоскость С', то много-

X,§3
Частные задачи и методы
407
угольники, образованные в плоскости С дугами кругов и отрезками полупрямых
(радиусов), перейдут в плоскости С в прямолинейные многоугольники, стороны
которых параллельны координатным осям.
При указанных ограничениях получение плоских струй жидкости приво-
приводится е конформному отображению области, ограниченной прямыми линиями
в плосеости а», на многоугольники из дуг кругов плоскости С или на прямолиней-
прямолинейные многоугольниЕИ !) в плоскости С'. ТаЕое отображение может быть произве-
произведено с помощью формулы Шварца-Кристофеля2). Если мы затем определим 'С
как функцию от а>, то связь между z и a>, a значит и фактическая граница струи
может быть найдена с помощью одной квадратуры.
В примере, рассчитанном Кирхгофом (рис. 38), рассматривается вытекание
струи ив щели в бесконечно большом сосуде (полуплоскости); направление струи
на бесконечности перпендикулярно к плоскости щели. Пусть линии тока, огра-
ограничивающие струю, будут i}i = 0 и ф33^. Мы должны отобразить бесконечную
в обе стороны полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми, в ияо-
ш
C)
ГО- =оо
Н
(р+воо
N
м
»>н
$шш$$ ^*^<^ш
т
и)
Рис. 38.
скости <о, на область в плоскости С, которая подучается из полуплоскости,
если из нее вырезать полукруг. Четыре точки, обозначенные на каждом из
рис. 38 через 1, 2, 3, 4, соответствуют одноименный точках на остальных
чертежах.
Искомое отображение дается уравнением:
1 ->
Связь между з и а> получается следующая:
ar
ctg Ve^—l..
в = 1 — е-ф+Уе-2а>~1
Уравнения обеих границ струи будут:
х = 1 -J- ё~" -{- те (для первой границы).,
х = 1 — ё~(? (для второй границы).
1 —
(для обеих границ).
!) Эта теория развита Кирхгофом. Ср. .Mechanik" 21-ая и 22-ая лекции, а также
Crelles Journ., 70, 1869. „ . „, , „ „ iV
2) Н. A. Schware, Crelles Journ., 70, стр. 105, 1869; S. В. Chrxstofftl, Ann. dl Math.,
8er. II, 1, стр. 89.

408
Механика сплошных сред
Ширина щели получается отсюда равной 2-j-u; ширина струи на бесконеч
2
ности к сжатие струи будет —-.— = 0,39.
Аналогичным образом может быть рассмотрено вытекание жидкости и:
бесконечно большого сосуда (вся плоскость) черев канал, ограниченный двумл
параллельными прямыми, уходящими в бесконечность, причем канал нескольш
вдается внутрь сосуда. Сжатие получается при этом, в согласии с теорие!
Ворда, равным Чг. Эта задача была решена Гельмгольцем в качестве первой
примера разрывного движения жидкости1), с помощью примененного им функ-
функционального уравнения для значений комплексного потенциала на по-
поверхности разрыва. В развитие результатов Гельмгольца, Кирхгоф разработав
вышеописанный метод конформного отображения. В параллель с первоначальны!
методом Гельмгольца можно поставить недавнее исследование Леви-Чивить
изучавшего так называемые перманентные волны на поверхности жидкость
с помощью функционального уравнения (см. ниже 7, § 3). Особенно важным являете;
N
г
Ж13У/Л«Щ ШЩ
'гЩ
N
Шг
й
%
Рис. 3S.
разобранный Кирхгофом же 2) пример плоского потока, набегающего аа пласгинк^
и расщепляемого последней на две части, отделенные друг от друга областьк
„мертвой воды" (рис. 39). Существующая при непрерывном потоке симметриг
течения в областях спереди и сзади пластинки, приводящая к отсутствию
сопротивления движению пластинки в жидкости (парадокс Даламбера), в случа*-
разрывного потока исчезает. Пластинка оказывает отличное оп
нуля сопротивление, которое, правда, примерно на одну треть меньше
наблюдаемого на опыте, но все же имеет верную зависимость от скорости жид-
жидкости на бесконечности, от ее плотности и от ширины пластинки.
Предположим, что жидкость, имеющая на бесконечности скорость, равную „
направленную обратно положительной оси у, обтекает пластинку ширины ~
{
расположенную вдоль оси х от —^- до
на плоскость С дается уравнением: .
—{——-. Тогда отображение плоскости а
2
1
где Ъ есть неопределенная пока постоянная. Связь между г и а> получается
отсюда следующая:
arcsin
Jc
!) H. Helmholtz, Monatsh. d. Akad. d. Wise, zu Berlin, 1868.
2) Gf. также Lord liayleigh, Seient Pap., 1, стр. 287.

X, § 3 'Частные задачи и Метода 409
Отделяя в этом уравнении вещественную и мнимую части, мы подучим уравне-
уравнения линий тоЕа и, в частности, той ив них (ф = 0), Еоторая идет вдоль пла-
ствнки, а 8а пластинкой составляет свободную границу между движущейся и
поЕОящейся жидкостью („мертвой водой"). Ширина пластинки при этом подучается
равной
откуда и определяется постоянная й.
Сопротивление W пластинки может быть легко вычислено с помощью
уравнения Бернулли, причем получается
A5) ' W = T^
где р есть, как и раньше, плотность жидкости. Вид уравнения A5) соответствует
экспериментально установленному закону сопротивления, квадратичному относи-
относительно скорости (см. ниже 17, § 3). Впрочем, коэффициент сопротивления получается
здесь несколько меньшим действительного. О методе Кирхгофа существует
обширная литература, в которой на ряде примеров разобрано образование
и слияние струй, а также неучены и силы, появляющиеся (вследствие образо-
образования „мертвой воды") при отрыве струи от твердых стенок и возникающие
при падении струй на твердые препятствия.
В последнее время Б. Экк*) применил этот метод к изучению потока
в вентилях (клапанах) при упрощающих предположениях, что задачу можно
считать двухмерной и что можно пренебречь влиянием трения s).
5. Метод Леви-Чивита 8). Метод Кирхгофа, как и его обобщение, применим
к изучению лишь тех потоков, твердые границы которых составлены из прямо-
прямолинейных отрезков. Леви-Чивита разработал более общий метод, который позво-
позволяет рассматривать любым образом ограниченные препятствия в потоке жид-
жидкости, простирающемся до бесконечности, причем на форму препятствия нала-
налагаются лишь некоторые общие ограничения. Скорость потока на бесконечности
предполагается направленной вдоль положительной оси х, а по величине равной 1.
Положим, что в точке О плоскости з (х, у) препятствие имеет ребро, на
котором приходящая линия тока расщепляется на две. Эти две линии тока
идут с двух сторон вдоль препятствия и, оторвавшись от него в точках Рг и Р2,
образуют ватем свободные границы потока, отделяющие его от Омертвой воды",
расположенной непосредственно за препятствием (рис. 40).
Эти две исходящие из точки 0 линии тока изображаются в плоскости в> (ср, ф)
одной и той же положительной осью <р от О до бесконечности, которую поэтому
надо считать дважды; вдоль этой линии следует представлять себе плоскость а>
разрезанной. Бесконечно удаленной лючке (Q) плоскости з соответствует бес-
бесконечно удаленная точка плоскости а>.
В отличие от Кирхгофа, в дальнейшем вводится, вместо комплексной ско-
скорости
da>
или ее обратной величины -,—.новая комплексная переменная
1) В. Eck, ZS. f- angew. Math. u. Mech., 4, стр. 464, 1924.
2) В переводе здесь опущены некоторые подробности технического характера;
ср. Handlmeh der Physik, TII, гл. 3, 21. (Прим. ред.).
8) Т. Levi-Civita, Rend, di Palermo, 23, стр. 1—17, 1907.

410
Механика сплошных сред
где о и |т| имеют прежнее значение. Для сокращения положим
В плоскости w* (о, t) начало координат есть изображение бесконечно удаленно!
точки потока; изображением обеих свободных границ является отреэок Р^^
оси а. На свободной границе to* вещественно.
Существенно новый в методе Леви-Чивита является введение вместо а
новой комплексной переменной С')
с=
¦*)(«>),
которая определяется из условия, чтобы изображением разрезанной плоскости а.
в плоскости t являлась внутренняя часть полукруга единичного радиуса, лежа-
лежащего в верхней полуплоскости. Изображение бесконечно удаленной точки (Q
потока должно при этом попасть в начало координат; изображения точек I
и Р2 — в точки гр 1 на оси 5. Изображением точки О будет тогда какая-то точк;
Рис. 40.
яа полукруге. Функция Да») определена Этими условиями однозначно и легкг
может быть найдена.
Функция го*, которая была регулярной функцией от а> на всей раврезанног
плоскости а>, за исключением точки О, будет, как функция от С, также регуляр-
регулярной внутри полукруга, ва исключением точки О; кроме того, на всем диаметр;:
(—1, -{-!) она будет вещественной. Применяя принцип отражения Шварца,
мы ее можем продолжить на нижнюю полуплоскость. Тогда to* будет регулярна.
внутри всего круга и будет иметь две особенные точки на его периферии
в точке О и в ее зеркальном изображении О (относительно оси Е).
Проведя наше рассуждение в обратном порядке, мы убедимся, что иг
каждой функции м>*E), которая регулярна внутри единичного круга, вещественна
на его вещественном диаметре и имеет на окружности две симметрично распо-
расположенные особенные точки, можно вывести функцию з(а>), которая соответствуе-1
обтеканию криволинейного препятствия. Решение, впрочем, не всегда физическг
осуществимо; для этого функция to*(Q должна удовлетворять известным анали-
аналитическим условиям. Форма препятствия получается из функции «(»), т. е. под
самый конец. Более важная (физически) задача о нахождении потока, обтекаю-
обтекающего контур наперед заданной формы, наталкивается до сих пор на непреодо-
непреодолимые аналитические трудности.
Зато все динамические величины, которые относятся к препятствию, соот-
соответствующему данной функции tv*(Q, могут быть вычислены бег определенна
1) Не следует смешивать это С с величиной, обозначенной также через С в метода-
Кирхгофа D), § 3.

X, § 3 Частные задачи и методы 411
формы самого препятствия. Например, сила, с которой поток давит на препят-
препятствие, подучается вычислением выражения:
где, после введения независимой переменной С вместо «о, интегрировать нужно
по окружности единичного круга. Так как подинтегральная функция, рассматри-
рассматриваемая как функция от С, имеет в точке Q полюс, то вычисление сводится
к нахождению вычета в этой точке. Вещественная часть от М дает нам сопро-
сопротивление потоку в направлении оси ж, мнимая же часть дает силу, действую-
действующую в поперечном направлении (если она имеется).
В связи с исследованиями Леви-Чивита многими, преимущественно итальян-
итальянскими и французскими математиками, разобран ряд примеров, на которых, так же,
как и на дальнейшем развитии теории, мы здесь останавливаться не можем1).
6. Учет силы тяжести. Переливание жидкости через плотину. На свобод-
свободной поверхности плоской струи давление остается постоянным (j? = p1, давление
атмосферы) и в том случае, когда на жидкость действует сила тяжести. Уравне-
Уравнение Бернулли C5), 12, § 1
(ось у направлена вверх) приводится в этом случае к виду:
если только система координат выбрана надлежащим образом, т. е. если ось X
проведена на надлежащей высоте.
Блазиус2) разобрал случай переливания жидкости через плотину. Свободная
1 поверхность переливающейся воды дает, при сведении задачи s плоской, границу
струи. Произвольную глубже лежащую линию тока можно рассматривать как гре-
гребень плотины, а на дальнейшем ее протяжении, если нужно, как подошву струи
(дно).
Наивышпве положение, которое может занять- точка на принадлежащей сво-
свободной поверхности линии тока, определяется равенством у==0. Этот случай
осуществляется, когда в некоторой точке на такой наружной линии, тока ско-
скорость v обращается в нуль, что может; например, иметь место при истечении
из бесконечно большого и глубокого бассейна. Если скорость не равна нулю ни
в одной точке наружной линии тока, то последняя имеет асимптоту, лежащую
ниже оси х. Задача усложняется, если наружная линия тока не является таковой
на веек своем протяжении, а приходит из области, в которой она прилегает
к твердой стенке. Тогда на твердой стенке, на некоторой максимальной высоте,
большей нуля, давление становится равным нулю; выше этой предельной высоты
поток физически невозможен, хотя и может быть продолжен аналитически.
Теория Блавиуса не позволяет определить поток и его свободную границу
по заданной форме н положению плотины. Обратная же задача — по заданной
свободной границе струи определить весь поток и возможные формы плотины —
решается сравнительно легко. Пусть уравнение свободной границы струн есть
A7) y = f(x).
*) См. реферат Jaffi. ZS. f. angew. Math. u. Mech., 1, стр. 398—410, 1921.
2) H. Blasius, ZS. f. Math. u. Phys. 58, стр. 90 И ол., 1910.

412 Механика сплошных сред
На этой границе градиент потенциала скоростей равен, согласно уравнению A)
а сам потенциал скоростей* следовательно, равен
A8) . <р = V2g f V—f
Обозначим через
получающееся ив уравнений A7) и A8) параметрическое представление свободной
границы, и пусть на этой границе функция тока ty принимает значение нуль.
Если мы предположим функции р и q аналитическими и введем в них вместо
вещественного аргумента <о комплексный аргумент <р + г<1<, кы придем к предста-
представлению всего сечения в виде
х -f- iij =р (со + «<|i) -f iq (о + ity).
Это уравнение дает нам конформное отображение плоскости (<р, <J0 на пло-
плоскость (х, у), причем границе струи соответствует ось ^ = 0. Это конформное отобра-
отображение приводит, вообще говоря, в многократному перекрытию плоскости (х, у),
что затрудняет определение границ фактически интересующей нас части потока.
Блазиуе рассмотрел случай вытекания жидкости из-под щита, а также случай
переливания её через плотину при радиальном потоке ив бесконечно большого
резервуара.
7. Функциональное уравнение для свободной границы струи; перна-
нентные волны. Если нам известно положение и форма свободной границы пло-
плоского потока тяжелой жидкости, то теория Блазиуса позволяет нам найти ком-
комплексный потенциал потока, а также твердую часть его границы. Если же мы,
наоборот, хотим определить свободную границу потока по заданной твердой части
его границы, то для этого необходимо определить комплексный потенциал так,
чтобы он удовлетворял известным условиям на твердой границе и, кроме того,
удовлетворял определенному функционально му уравнению, характеризую-
характеризующему некоторую линию тока или ее часть как свободную границу.
Из уравнения Бернулли [C5), 12, § 1] следует, что на свободной границе,
на которой давление постоянно, должно быть
V2
— 4-2/ = const.
Дифференцируя это выражение вдоль линии тока по 9 и применяя „обратные
формулы" D), 1, §3, мы получим:
A9)
Это уравнение подчиняет комплексную скорость
w — u — iv, (| v| =
как функцию от комплексного потенциала a> = <p-j-i(Ji, определенному условию
на линии тока.
Леви-Чивита х) пользуется этим функциональным уравнением для изучения
периодических перманентных волн. Под перманентной волной мы
*) Т. Levi-Civita, Math. Ann., 8б>, стр. 256 и др. работы, в особенности: Fragen der
Klassischen and relativistisehen Meehanik, 2. Vortrag, а также La determination rigoureuse
des ondes peimanentes d'ampleur finie, International Congres voor Technisehe Meehanica.
Uittrekeels der Voordrachten, и Proceedings of the first international Congress for applied
Mechanics., стр. 129—145, Delft, 1924.

X, § 3 Частные задачи и методы 413
понимаем волну, которая распространяется без изменения формы своей поверх-
поверхности. Если распространение волны происходит со скоростью с в направлении
отрицательной оси х, то, накладывая поступательное движение с той же ско-
скоростью с в направлении положительной оси х, мы можем сделать движение
стационарным. Граничная линия тока бегущей волны становится при этом неиз-
неизменной свободной границей струи; на этой границе комплексная скорость и потен-
потенциал связаны функциональным уравнением D). Комплексный потенциал их можно
тогда искать в виде
B0) а> = <р-\-1<!? = Ф-\-{Ф-\-сг.
Здесь сг есть потенциал поступательного движения, а Ф -j- iW есть потенциал
возмущения, налагаемого на поступательное движение волнением. Величину
Ф-\-г^ можно также рассматривать как потенциал собственно волнового дви-
движения, отнесенного к координатной системе, перемещающейся вместе с волной.
Эта величина <&-]-№ есть ограниченная функция во всем поле тока.
Если волна распространяется в канале конечной глубины и если
Л = 6Х и 6 = 0 суть две линии тока, идущие по свободной поверхности волны
и по дну канала, то
есть глубина канала. Проведя ось х вдоль канала и замечая, что на дне ком-
комплексный потенциал и комплексная скорость вещественны, мы можем, по прин-
принципу отражения Шварца, аналитически продолжить эти функции под веществен-
вещественную ось в отрицательную полуплоскость.
Для периодической волны длины X скорость w(x-\-iy) = и — iv есть
периодическая функция с вещественным периодом X, тогда как потенциал удовле-
удовлетворяет уравнению
(
т. е. не периодичен. Не представляет, однако, затруднений ввести вместо со новую
переменную С, которая была бы периодической функцией от x-\-iy с периодом X.
Эта переменная определяется уравнением
B1) ' С=е ~сГ' '
Волновая струя изображается в плоскости со полосой, ограниченной прямою
<ji = <jij и\ осью ф = 0. К этой полосе примыкает, как аналитическое продолжение,
ее зеркальное изображение. Отображая плоскость <о на плоскость С и вводя
в плоскости С полярные координаты р и 6, определяемые формулой
мы получаем уравнения преобразования
р = е ск , 6 = — ср.
В плоскости С волновая струя изобразится кольцевой областью, ограничен-
ной кругом радиуса R = eck , соответствующим свободной границе струи, и еди-
единичным кругом, соответствующим дну канала. К этому добавляется, как анали-
аналитическое продолжение, та кольцевая область, которая получается отражением
исходной в единичном круге. Во всей кольцевой области скорость го есть одно-
-вначная регулярная функция от С.
Таким образом, определение перманентных волн в канале конечной глубины
сводится к нахождению такой аналитической функции iv — w (Q, которая

414 Механика сплошных сред
a) регулярна в кольцевой области между кругами радиусов М и ~,
b) вещественна на единичном круге,
c) на круге радиуса В удовлетворяет функциональному уравнению A9),
которое, если выразить <о черев С, принимает вид:
Разложим и> в ряд Лорана. Предполагая, что движения отдельных частиц
жидкости весьма малы по сравнению с общим поступательным движением, мы
можем ограничиться начальными членами этого ряда. Приближенное решение
будет тогда иметь вид
B3) w =
где у- есть малый параметр. Это решение совпадает о так называемыми волнами
Эйри *). Подставляя w в функциональное уравнение, мы найдем, что оно удо-
удовлетворится, если будет выполнено следующее соотношение между константами
в}'
Вводя вместо В глубину канала h, мы, получим
B4)
Отсюда видно, что при данной глубине h скорость с с возрастанием длины
волны увеличивается и стремится в предельному значению
B40 с -* У S*>
которое, между прочим, имеет место для волн прилива и отлива. При бес-
бесконечно большой глубине мы имеем:
B5)
Если выразить в уравнении B3) при помощи B1) величину С через ш,
то интегрирование уравнения C), 1, § 3
ds
дает, в качестве первого приближения, потенциал скоростей а> волновой струи
в функции от в:
B6)
Переход от волновой струи в бегущей волне Эйри будет сделан в 10, § 3,
и получаемое движение будет обсуждено там же. То, что свободная граница
волновой струи есть в первом приближении синусоида, непосредственно
явствует из уравнения B6).
Периодические волны в бесконечно глубоких каналах могут быть разобраны
подобно периодическим волнам в каналах конечной глубины. Функционально-
теоретическая задача при этом несколько упрощается. Если обозначить черев
1) G. В. Airy, Tides and Waves, 1846.

X, § 3 Частные задачи и методы . 415
<]» = 0 значение функции три, на свободной границе, то искомая величина должна
быть аналитической функцией от С, которая
a) регулярна внутри единичного круга,
b) в начале координат вещественна и равна с',
c) на единичном круге удовлетворяет функциональному уравнению.
Леви-Чивита удалось, после соответствующего преобразования функциональ-
функционального уравнения, найти такие функции в виде рядов, сходимость которых обеспе-
обеспечена, и тем самым получить волны конечной амплитуды в каналах
неограниченной глубины.
8. Пространственные струн. Методы теории функций комплексного пере-
переменного не пригодны для изучения пространственных форм струй. Соответствую-
Соответствующие методы теории потенциала очень сложны и, кроме того, пригодны только
для получения последовательных приближений. Поэтому о пространственных
струях, за исключением тривиальных случаев, нам известно мало.
В том случае, когда внешними силами, в особенности силой тяжести, можно
пренебречь, скорость на свободной поверхности будет оставаться, ьпо уравнению
Вернулли, постоянной, если под внешним давлением разуметь постоянное давле-
давление атмосферы. Ряд общих теорем был установлен Моленбруком *) и другими
авторами. Линии тока на поверхности струи суть, геодевические линии: линии
пересечения поверхности струи с поверхностями уровня потенциала скоростей
геодезически параллельны; в точках этих линий пересечения средняя кривизна
самых поверхностей уровня равна нулю. .
Точное решение не известно даже для струй, имеющих аксиальную симме-
симметрию. Треффц 2), пренебрегая влиянием силы тяжести, привел задачу нахождения
поверхности аксиально-симметричной струи, вытекающей ив бесконечно большого
сосуда, к линейному однородному интегральному уравнению. Главная трудность
состоит здесь в том, что ядро атого интегрального уравнения зависит от вида
меридиональной кривой струи, так что оно неизвестно и должно быть получено
путем последовательных приближений одновременно с этой меридиональной кри-
кривой, на основании требования постоянства скорости поверхности струи.
Для тяжелой струи о аксиальной симметрией часто приводят грубую при-
приближенную формулу, выведенную из предположения, что скорость во всех точках
горизонтального поперечного сечения струи одинакова и направлена вертикально,
Ферстер s) пытался получить, о помощью разложения в ряд, меридиональную
кривую струи для случая произвольных внешних сил. Ряды эти годятся, однако,
только для определения асимптотического приближения струи к форме кругового
цилиндра и не позволяют сделать каких-либо заключений о форме струи вблизи
места ее выхода из сосуда.
с) ВОЖЕН
9. Общие соображения о волнах жидкости. Под общим названием вол-
волнового движения принято объединять большое число динамических процес-
процессов, весьма различных по своей природе и формам проявления. Часто различают
стоячие и бегущие волны. К последним относятся, наряду с группами
волн, волновыми пакетами, состоящими из следующих друг за другом
гребней и долин, также и одиночные волны. Волны, бегущие без изменения
формы их поверхности, называются перманентными. Важнейшие перманент-
перманентные волны суть волны периодические. Форма поверхности их не меняется
во времени и повторяется через равные промежутки длины. Существование
перманентных безвихревых волн было в течение долгого времени опорным вопро-
P. MoUribroek, Ann. Phyi. u. Chem., 62, 189*.
) Ж Trefftr, ZS. f. Math. «. Phys., «4, стр. 34—61,1916.
«) B. Forsttr, ZS. f. Math. U. Phys., «2, стр. 319—327, 1913—14.

416 Механика сплошных сред
сом, и лишь недавно вопрос этот был разрешен Леви-Чивита в утвердительном
смысле (см. 7 выше). Прежние методы позволяли только получать перманентные
волны очень малой (бесконечно налой) амплитуды и применять для определения
перманентных волн конечной амплитуды процесс последовательных приближений,
причем сходимость этого процесса не только не была доказана, но и оставалась
под вопросом, так как имелись обоснованные сомнения в фактическом существо-
существовании этой сходимости.
Волны, бегущие в поступательно-движущемся потоке со скоростью, равной
скорости потока, но направленной в противоположную сторону, наблюдаются
в природе. Это фактически происходящее явление вполне соответствует приме-
примененному нами выше приему (мысленному эксперименту), который состоял в том,
что, путем наложения надлежащего поступательного движения на перманентную
волну, мы получали из нее стационарную струю. Выделяя, если нужно, чисто
поступательное движение, можно ив любого волнового движения получить такое,
в котором полное перемещение каждой частицы жидкости или, по крайней мере,
перемещение около ее среднего положения будет мало. Потенциал скоростей
такого движения (если только он существует) будет во всем поле тока ограни-
ограниченной функцией. Этот факт может, при упомянутом ограничении, послужить
математическим определением волнового движения любого рода. Если мы пред-
предположим, что волновое движение возникло из состояния покоя под действием
консервативных внешних сил, то для этого случая существование потенциала
скоростей вытекает из теоремы Гельмгольца о вихрях.
Наряду с этим уже давно известен под именем волн Герстнера один вид
вихревого волнового движения. Это движение является перманентным, обладает
конечной амплитудой и допускает простую математическую трактовку; физическое
значение его, однако, не велико.
Физически едва ли возможно дать определение, охватывающее все возмож-
возможные волновые движения и только их. Отвлекаясь от стоячих волн, мы можем
усмотреть общее характерное свойство всех бегущих волн в том, что (после опре-
определения, если это нужно, чисто поступательного движения) некоторое явление
распространяется со скоростью, превышающей скорость движения частиц жид-
жидкости. Это имеет место (с небольшими изменениями) и в Случае волнового дви-
движения жидкостей, имеющих в состоянии покоя неплоскую границу, например,
для волн на поверхности жидкого шара или эллипсоида. Последнего случая мы
касаться в дальнейшем не будем.
Главная математическая трудность, возникающая при изучении волн в жид-
жидкости, так же как и при изучении струй, состоит в том, что, наряду с обычными
предельными условиями, на твердых стенках должно выполняться условие постоян-
постоянства давления на свободной поверхности. То обстоятельство, что движение волн,
вообще говоря, нестационарно, делает теорию волн еще более трудной, чем
теорию струй,. К тому же, в некоторых случаях, например, для волн, распро-
распространяющихся на границе между двумя жидкостями, простое граничное условие
постоянства давления ваменяется более сложным.
В идеальных несжимаемых жидкостях все волны являются поверхност-
поверхностными волнами в том смысле, что движение частиц наиболее интенсивно на
поверхности, а при удалении вглубь оно ослабевает. Если плотность зависит,
от давления, то внутри жидкости могут существовать волны сгущения и разре-
разрежения, которые мы здесь рассматривать не будем 1).
Общий случай, когда плотность зависит и от других факторов, вообще исклю-
исключен нами из рассмотрения в этой статье. Литература по волновому движению
необычайно обширна. В значительной части исследований задача ставится
). Ср. Handbuch der Physik, 7, гл. 5, а также 8.

X, § 3 Частные задачи и методы 417
с самого начала приближенно, а многие преследуют и технические цели. Некото-
Некоторые типы волн важны для гидравлики.
10. Периодические волны в капало. Если на бегущие в канале конечной
глубины со скоростью с (налево) периодические перманентные волны
наложить поступательное движение с той же скоростью с, но в противопо-
противоположном направлении (направо), то получится стационарная волновая струя.
Возможность сделать с помощью тако'го приема перманентное волновое движение
стационарным была замечена Рэлеем1) и применена им к определению волн
малой амплитуды. В 7 комплексный потенциал ш был вычислен нами для
этого случая по более общему методу Леви-Чивита, причем получилось
B7) ш = е U— -|р sin-г^-2 .
Здесь X есть длина волны, а \>- определяет амплитуду. Ось х нашей координатной
системы совпадает а дном канала и направлена вправо. Глубина канала h свя-
связана с с и X уравнением B4), 7:
О—/¦2 9—/i
<28) >g- =th-T-,
которое мы уже обсуждали выше. Условие для давления выполняется только
на поверхности канала, которая для состояния покоя выражается уравнением у = h.
Если отнести бегущие волны (без поступательного движения) к системе
координат, неподвижной в пространстве, то для (теперь уже нестационарного)
волнового движения мы получаем следующий потенциал скоростей:
<29)
C0)
Составляющие скорости (в функции координат и времени) будут тогда
~ = и = — са cos ~ (х -f- ct) ch -^ у,
at \ /' а.
Ли 2^ 2тг
-?. =«? = — c[i sin -г- (д? + с*) sh -г- у-
Мы приходим к первоначальному решению Эйри2), которое соответствует тре-
требованию, чтобы поверхность волны имела вид чистой синусоиды.
Интегрирование этих уравнений и определение путей отдельных частиц
выполняется без затруднений лишь при упрощающем предположений, что каж-
каждая частица совершает периодическое движение вокруг своего среднего поло-
положения и что перемещения е,е весьма малы. Вследствие малости перемещений
можно тогда заменить скорость ч'астиц па ее орбите той скоростью, которой
обладает в тот же момент времени жидкость в центре траектории частицы3).
При этих предположениях траектории оказываются эллипсами, большая ось
которых горизонтальна, причем с приближением к дну канала обе оси эллипса
уменьшаются, тогда как расстояние между фокусами остается неизменным.
Частицы на дне канала колеблются по горизонтальным прямым.
Соотношения эти несколько упрощаются для каналов бесконечной глубины.
Если мы не хотим производить при этом самостоятельного иследования и исхо-
исходим ив каналов конечной глубины, то для аналитического рассмотрения вопроса
!) Lord Bayleigh, On Waves, Phil. Mag. E), I, стр. 257.
2) a. B. Airy, Tides and Waves, 1845.
3) Это сводится к тому, что в правых частях равенств C0) координаты х к у заме-
заменяются их средними значениями щ и у0. {Прим. ред.).
27 Зак. 1408. — Франк и Низсс. Дифф. уравп. мат. фив.

418 Механика сплошных сред
необходимо предварительно перенести ось х со дна канала на его поверхность
и затем произвести переход к пределу для бесконечно возрастающей глубины.
В уравнения C0) войдет тогда, вместо гиперболических функций, простая пока-
показательная функция. Траектории частиц будут круги, радиусы которых быстро
убывают с возрастанием глубины.
В действительности, т. е. для волн конечной амплитуды, траектории час-
частиц жидкости будут хотя и почти замкнуты, но все же не совсем замк-
»у т ы. Это получается потому, что на гребне волны поступательное движение
вперед несколько больше попятного движения в волновой долине. Вследствие
«того волновое движение связано в верхних слоях с некоторым переносом
массы в направлении распространения волны, который хотя и мал, но не
равен нулю. Наиболее веским возражением против изложенной выше прибли-
приближенной теории Эйри является то, что она не дает переноса массы. Стокег)
впервые заметил отклонение этой теории от действительности, применив метод
последовательных приближений для волн конечной амплитуды. В теории Стокса
волновые гребни и волновые долины не симметричны по отношению друг к другу;
долины несколько более пологи, чем гребни. Для более точного определения
траекторий частиц естественно попытаться применить, вместо эйлеровых урав-
уравнений движения, уравнения Лаграпжа. Такого рода попытки делались неодно-
неоднократно.
В весьма мелких каналах, в которых, при одинаковой длине волны, ско-
скорость распространения
C1) e=Vgh>
будет меньше, чем в глубоких, незамкнутость траекторий частиц становится
при больших амплитудах сильно заметной и легко приводит к опрокидыванию
волповых гребней. Это явление, напоминающее прибой, не следует смешивать
с разбиванием волн на поверхности глубокой воды под действием веатра, влияние
которого на образование волн мы в предыдущем совсем не учитывали.
Гельмгольц2) исследовал образование волн на границе двух жидкостей,
расиоложённых в виде слоев одна над другой и имеющих различные горизон-
горизонтальные скорости течения. Линия раздела должна быть линией тока для обеих
жидкостей, это условие должно выполняться строго. К нему присоединяется,
вместо обычного условия для давления на поверхности жидкости, условие ра-
равенства давлений по обе стороны линии раздела. Если ограничиться волнами
малой амплитуды, достаточно удовлетворить этому условию приближенно. При
этом предположении волны на линии раздела качественно не отличаются от
поверхностных волн жидкости неограниченной глубины. В количественном отно-
отношении нужно в этом случае заменить ускорение силы тяжести g на g ,¦ »
Pj ~г Р»
где р, и р2 плотности обеих жидкостей. Скорость распространения будет равна,
но уравнению B5), 7:
Воздушные волны Гельмгольца образуются на границе двух скользя-
скользящих друг относительно друга потоков воздуха, несколько различающихся своей
плотностью. Длина этих волн очень велика, так как скорость их не может
опуститься ниже некоторого определенного минимального значения; последнее
вытекает из соображений устойчивости.
!) С. Stokes, Cambrige Trans., 8, 1847.
2) If. Hdmholtz, Zur Theorie von Wind und Wollen, Bert. Monatsber., 1889.

X, § 3 Частные задачи и методы ¦ 419
Поверхностные волны на воде при учете ветра также должны рассматри-
рассматриваться как волны на границе между воздухом и водою. Из соображений устой-
устойчивости следует, что эти волны могут возникнуть только если скорость ветра
превысит некоторое определенное значение, которое на опыте оказывается,
впрочем, ниже теоретического. Очевидно, что при возникновении воли от ветра
существенную роль играет трение.
До сих пор мы пренебрегали поверхностным натяжепием; для
коротких волн это уже недопустимо. Поверхностное натяжение искривленной
поверхности жидкости вызывает добавочное, действующее по нормали давлениех)
C3) р'
которое прибавляется к атмосферному. 13десь 11{ и liQ главные радиусы кри-
1/1 , 1 \ „
визны поверхности, а -^ ( — -{- — I ее средняя кривизна. Главный радиус кри-
визны следует считать положительным, если соответствующее нормальное сечение
направлено выпуклостью в воздух. Капиллярная постоянная ? есть отне-
отнесенная к единице длины снла натяжения поверхности2). При учете поверх-
поверхностного натяжения скорость распространения волн в бесконечно глубоком ка-
канале будет
C4) с =
Для длинных волн — „волн тяжести" в сумме иод корнем преобладает первый
член и скорость определяется уравнением B5), 7. Для коротких—„капилляр-
коротких—„капиллярных"— будет преобладать второй член суммы. Скорость коротких капиллярных
волн зависит от констант жидкости у ир, тогда как скорость длинных волн
тяжести — от рода жидкости не зависит. Существует критическое значение, ниже
которого скорость распространения волны упасть не может; это значение дости-
достигается, когда оба члена под знаком корня в C4) становятся равны друг другу,
что будет иметь место при Х = 2тг л/ —. Критическая скорость равна
C5) с,
Каждой скорости, большей чем с0, соответствуют две волны различной длины:
одна капиллярная, а другая — волна тяжести.
Содержащаяся в волне „энергия", рассчитанная на полную длину волны,
всегда будет наполовину кинетической и наполовину потенциальной. Переход
одной из этих форм энергии в другую, который в различных частях волны идет
в различном направлении для всей волны в целом, равен нулю. При прочих
равных условиях энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Все сказанное
выше про энергию остается в силе и Для стоячих волн, которые будут рассмо-
рассмотрены нами в следующем параграфе.
11. Наложение (суперпозиция) волн в каналах. Периодические волны
малой амплитуды, как мы их до сих пор рассматривали, могут налагаться друг
на друга. Так как скорость с зависит от длины волны X, то перманентный ха-
характер волн, вообще говоря, при наложении теряется. Самый общий вид волно-
волнового движения с малой амплитудой может быть построен из элементарных
периодических волн, поверхностями которых являются синусоиды, и обратно —
1) См., например, A. Gymanl, Handbuch d. Physik, т. VIII, гл. 6.
*) Капиллярная постоянная равна также энергии единицы поверхности. (Прим.ред.),
27*

420 Механика сплошных сред
волна общего вида может быть разложена на такие элементарные волны. Ана-
Аналитически разложение производится с помощью ряда Фурье.
Следующие два простых случая наложения двух серий волн являются
особенно важными.
a) При встрече двух серий волн одинаковой амплитуды и одинаковой, но
противоположно направленной скорости образуются стоячие волны. Расстоя-
Расстояние между двумя узлами или двумя пучностями равно половине длины
бегущей волны. Складывая комплексные потенциалы B9), .10 обеих встречных
серий волн, мы получаем комплексный потенциал стоячей волны.
Ха 2тс 2тс
C6) в>* = — c_!_sin— ct • cos -r-?,
тг A . A
откуда комплексная скорость получается равной
w = 2c[a sm -г- ct sin -г- г.
А К
Движение частиц в вертикальных плоскостях, проходящих через пучности, вер-
вертикально. Стоячую волну можно ограничить такой плоскостью; при этом полу-
получится движение, напоминающее отражение волн на воде от стены. Так же точно
можно ограничить часть стоячей волны двумя вертикальными плоскостями и
получить при этом стоячие волны в бассейне. При отражении от стены бегущая
волна любой длины образует стоячую волну; в резервуаре же, ограниченном
двумя вертикальными плоскостями могут образоваться лишь колебания опреде-
определенного вида. Эти колебания можно представить себе возникшими при интер-
интерференции двух серий волн, идущих друг другу навстречу, причем половина
длины волны в каждой серии равна либо всей длине резервуара, либо длине
его, деленной на целое число. Изучение стоячих волн в бассейнах иной формы
требует особых методов1).
b) Если две серии волн почти одинаковой длины волны и почти одинако-
одинаковой скорости бегут в одном и том же направлении, то получается интерферен-
интерференционное явление того же характера, как известное в акустике явление биений.
При этом образуются отдельные группы, волн, амплитуды которых нарастают
с концов к середине группы. Каждые две такие группы отделены друг от друга
промежутком, длина которого, примерно, равна длине группы и внутри которого
жидкость находится в почти полном покое. Подобные группы волн не являются
перманентными образованиями и скорость их перемещения иная, чем у волн,
образующих эти группы в результате интерференции. „Групповая скорость" С,
с которой распространяется вся групиа, как целое, равна:
C7) С^-^Ж-
Она зависит не только от скорости с и длины волны X, но, ввиду наличия
do
члена с -т-, и от вида функции C4), 10, связывающей с и X. Вследствие этого
поведение групп .волн тяжести" будет иное, чем групп капиллярных волн.
Для волн тяжести, скорость которых в бесконечно глубоких каналах равна
с = I/ —, мы получаем С — — . Групповая скорость вдвое меньше скорости'
отдельных волн. Отдельная волна возникает на задней стороне группы и про-
продвигается через груипу вперед, причем высота ее сперва увеличивается, а ватек
вповь убывает; на передней стороне группы волна исчезает.
1) Ср. В, Lamb, Hydrodynamics, §§ 254—259.

X, § H Частные задачи и методы 421
Для капиллярных волн, идущих со скоростью с=1/ f-^~, мы инеем
g
G=— с. Отдельная волна возникает у фронта группы, отстает от группы во
время ее перемещения и исчезает на задней стороне группы.
Групповая скорость, которая, заметим здесь, может быть определена для
волнового движения любого рода, имеет важное динамическое значение; она
является мерой потока энергии, связанного с волновым движением.
Ив других форм волн в каналах следует назвать здесь изученное Рессе-
лем1), Буссинеском*) и другими авторами одиночные волны, возникающие
при внезапном местном повышении уровня и имеющие перманентный характер.
Далее следует отметить изученное еще значительно ранее Пуассоном и Коши'!>
движение жидкостей, состоящее в выравнивании кратковременных местных воз-
возмущений, возникающих, например, при погружении в жидкость или вынимании
из нее твердого тела. При этом получаются волнообразные повышения и пони-
понижения всей поверхности, которые ослабляются по мере удаления; распростране-
распространение их происходит с постоянным ускорением. Более важными, чем эти волны
в каналах, являются трехмерные волны, возникающие на внешней поверхности
жидкости от кратковременных местных возмущений.
12. Волны Герстнера. Свыше ста лет тому назад Герстнером*) в Праге
было открыто, а затем вновь найдено Ренкином6) периодическое волновое дви-
движение с конечной амплитудой, которое может происходить в бесконечно глубоких
каналах. Движение это является перманентным и строго удовлетворяет условию
давления на свободной поверхности, но в отличие от разобранных выше случаев
оно является вихревым. Волновое движение Герстнера определяется ура-
уравнениями:
C8)
V
х = а-\—- /* sin к (а + ct),
/с
у=>Ъ ^- екЪ cos Ъ (а + d).
Здесь а и Ъ суть две величины, характеризующие положение частицы в мо-
момент 2 = 0, но не сами начальные координаты, с есть скорость распространения,
а к характеризует длину волны X. Угловая скорость вращения элемента жид-
жидкости равна
ксе
1-е2*6*
Волновое движение Герстнера не может, следовательно, возникнуть из началь-
начального состояния покоя под действием консервативных сил. Оно не может такя;е
появиться вследствие проникновения в неподвижную жидкость где-либо воз-
возникшего волнового движения. Для объяснения появления этих волн пришлось бы,
по Стоксу, предположить» что уже заранее существовало надлежащее ламинар-
ламинарное течение, которое могло бы быть вызвано, например^ ветром.
Траектории отдельных частиц будут здесь окружностями, радиусы которых
убывают с возрастанием глубины. Линии равного давления суть трохоиды
(кривые, описываемые точкой, неподвижно связанной с катящимся кругом).
1) J. S. Russet, Report on Waves, Brit. Ass. Rep., 7, 1837.
») /. Boussinesq, С R., 72, стр. 755,1871.
3) Ср. П. Lamb, Hydrodynamics, §§ 236—244.
*) E. J. Gerstner, Theorie der Wellen, Prag, 1804; Gilberts Ann. d. Phys., 82, 1809.
•5) W. Rankine, Phil. Trans. London, 1, стр. 227 и след. 1833.

¦122 Механика сплошных сред
Каждую из них можно взять в качестве свободной поверхности; в самом деле, после
наложения поступательного движения, делающего волновое движение стационар-
стационарным, кривые эти совпадают с линиями тока. Наивысшая кривая, которая может
еще служить границей, есть обычная циклоида; дальше должны были бы сле-
следовать кривые с петлями, которые физически невозможны, так как повели бы
к разлому волны. Если мы будем рассматривать волны Герстнера на воде, над
которой находится атмосферный воздух, то мы, строго говоря, будем иметь здесь
дело с волновым движением на границе двух средин. В воздухе должно было бы
также происходить при этом Герстнерово волновое движение, интенсивность
которого должна была бы кверху возрастать, а на определенной высоте должен
был бы происходить разлом волн. Этот факт, наряду с присутствием вихрей,
является веским аргументом против возможности физического осуществления
волнового движения Герстнера.
Волны Герстнера не связаны с каким-либо переносом массы; напротив
того, в верхних слоях перманентных безвихревых волн конечной амплитуды
перенос массы необходимо имеет место.
Скорость распространения волн Герст-
Герстнера равна
как и у безвихревых волн в бесконечно
глубоких каналах.
13. Корабельные волны. При изу-
изучении волновых движений мы для боль-
большей простоты ограничивались до сих
пор плоским движением. Плоское движе-
движение можно считать изображением двн-
Рис- 41- жения в канале, причем роль поверх-
поверхности жидкости играет граничная линия.
Из волн на двухмерной поверхности весьма' важными являются, помимо
упомянутых в 11 двух видов, следующие типы волн1):
a) Волны, вызванные периодическим ч возмущением; они кольцеобразны и
их амплитуда убывает обратно пропорционально корню квадратному из расстоя-
расстояния от источника возмущения. Это связано с потоком энергии и распростране-
распространением последней на кольцевые области все возрастающего радиуса.
b) Волны, распространяющиеся с постоянной скоростью из места с изме-
измененным давлением (источника возмущения). Эти волны можно рассматривать
как интерференцию кольцевых волн, источник которых перемещается.
Точки одинаковой фазы принадлежат к двум различным системам кривых: се-
семейство поперечно-направленных волн следует за источником возму-
возмущения и сопровождается с двух сторон семейством боковых волн, с которыми
оно интерферирует (рис. 41). Такого рода волны наблюдаются позади непо-
неподвижного препятствия в текущей воде, а также и в стоячей воде позади идущего
корабля. Скорость (относительная) источника возмущения должна быть больше
критической скорости с0 системы волн; для случая бесконечной глубины вели-
величина е0 дается уравнением C5), 10. При большой скорости источника возму-
возмущения возникают, преимущественно, волны тяжести. При движении корабля
от его носа и от его кормы исходят две системы волн, которые интерферируют
друг с другом. Энергия, необходимая для возбуждения этих систем волн, тра-
тратится за счет работы, которую производит корабль, преодолевая сопротивление
своему движению. Капиллярные волны получаются в том случае, если скорость
Ср. IT. Lamb. Hydrodynamics, §§ 251—253.

X, § 3 Частные задачи и методы 423
источника возмущения лишь немного превышает критическую скорость с0; их
можно наблюдать позади сваи или лесы от удочкиг) в медленно текущей воде.
Вид корабельных волн2) сильно зависит, в частности, и от глубины воды.
На бесконечно глубокой воде, как цоперечно-направлеипые, так и боковые волны
лежат внутри другранного угла, грани которого образуют с плоскостью симме-
симметрии угол в 19°28'. В мелкой воде этот угол зависит от скорости движения
«удиа. Сначала, с увеличением скорости он растет, достигает при некоторой
критической скорости судна 90°, и затем опять уменьшается. При этом меняется
строение всей системы волн, а именно, при скорости корабля выше критической,
поперечно-направленные волны пропадают.
Глубина воды влияет также и на сопротивление движению ко-
корабля. Весьма замечателен сильный рост сопротивления, который наступает,
когда скорость судна приближается к критической для данной глубины, и вне-
внезапное падение сопротивления при переходе за критическую скорость. Сопро-
Сопротивление движению судна подчиняется закону, аналогичному закопу для случая
мелкой воды, еще в одном случае, а именно, когда на более плотную морскую
воду попадает сравнительно тонкий слой пресной воды. В этом случае, образо-
образование системы волн на поверхности раздела обоих слоев воды вызывает увели-
увеличение сопротивления, которое при известных обстоятельствах оказывается на-
настолько большим, что дает повод говорить (в другом смысле, чем обычно)
о „мертвой" воде3).
14. Волны прилива и отлива*). К волновым явлениям принадлежат также
и те периодические колебания уровня моря, которые известны под названием
приливов и отливов и вызываются, главным образом, гравитационным действием
луны и солнца. Вследствие необычайной сложности явления до сих пор еще не
удалось развить, полной теории приливов и отливов. С другой стороны, практи-
практические методы разработаны достаточно полно для того, чтобы можпо было
дать ответ на все относящиеся сюда вопросы, представляющие интерес для
портов.
Если мы представим себе, что земля и луна неподвижны друг относи-
относительно друга, земля не вращается и целиком равномерно покрыта морем, то
форма ее поверхности будет фигурой равновесия A1, § 1) в гравитационном
поле луны и самой земли. При этом мы сначала не будем принимать во вни-
внимание действия солнца. Тогда фигурой равновесия будет вытянутый эллипсоид
вращения, весьма мало отличающийся от шара. Полюсы эллипсоида, в которых
будет наибольшее (по сравнению со средним шаровым уровнем) повышение
поверхности моря, лежат на одном из диаметров земли, расположенном в пло-
плоскости лунной орбиты, а не в плоскости экватора. В конечных точках диаметра
широтного .круга (параллели) повышение моря над сферическим уровнем будет,
следовательно, не одинаковым; разница будет тем больше, чем больше склонение
луны, и только когда луна находится на линии узлов, разница будет нулем.
Влияние притяжения солнца будет совершенно того же рода, но не столь сильно,
как влияние притяжения луны. Оба отклонения от шаровой поверхности нала-
налагаются друг на друга, и результирующее отклонение будет наибольшим, когда
еолнце и луна находятся в соединении или в противостояние (сизигии), т. е.
во время новолуния и полнолуния; отклонение будет наименьшим, когда солнце
и луна стоят в квадратуре, т. е. во время первой и последней лунной четверти.
1) Lord Rayleigh, Proe. London Math. Soc, 15, стр. 69 и ел., 1883. Ср. Н. Lamb, Hydro-
Hydrodynamics, § 268 („задача об удочке").
2) Е. Hogner, Proc. of the internat. Congress for applied mechanics, стр. 146 и ел.,
Delft, 1924.
3) Описание явления см. F. Nansen, In Nacht und Eis I, cm 147.
*) A. Muller, Theorie der Gezeitenkrafte, Braunschweig, 1916; A. Prey, C. Mainka,
E. Тапщ, Einfiihrung in die Geophysik, Berlin, 1922.

424 Механика сплошных сред
Статической теорией приливов и отливов называют теорию, в ко-
которой предебрегается инерцией морской воды; теория эта построена, таким
образом, на предположении, что нри движении луны, земли и солнца поверх-
поверхность моря в каждый момент времени представляет собой эквипотенциальную
поверхность гравитационного поля этих небесных тел. Приливы составляются
тогда ив ряда отдельных слагающих—„частных приливов",—периоды которых
определяются временем обращения земли вокруг солнца, периодом обращения
луны вокруг земли и, наконец, периодическими неравномерностями движения
этих небесных тел. Важпейшие такие „частные приливы" суть полусуточ-
полусуточные лунные и солнечные приливы („сутки", как промежуток времени между
двумя последовательными кульминациями; для луны и для солнца эти
„сутки" различны). Полусуточные приливы обусловливаются тем, что эллип-
эллипсоидальная фигура равповесия дает два максимальных цовышепия на про-
противоположных концах диаметра шара. К этому добавляются целосуточиые
лунные и солнечные приливы, обязанные своим происхождением неодина-
неодинаковому повышению уровня моря на противоположных концах диаметра земной
параллели. Далее идут полумесячные и месячные лунные приливы, полугодо-
полугодовые солнечные и т. д. Приливы, происходящие при совпадении полусуточных
лунного л солпечного приливов в новолуние и полонолуние, называются сизи-
гийпыми приливами (Springflut, spring-tide); приливы при наибольшей
разнице фаз между луной и солнцем, происходящие во время первой и послед-
последней лупиой четверти, называются квадратурными приливами (Nippflut,
neap-tide).
Статическая теория, количественные результаты которой недостаточно
хорошо согласуются с опытом, уступает в своей точности динамической
теории, начало которой было положено Лапласом. В этой теории исходят иа
уравнений Эйлера B7), 8, § 1 для шара и пренебрегают радиальной составляющей
движения. Силами, вызывающими прилив, являются здесь силы притяжения,
действующие на единицу массы и определяемые из гравитационного потен-
потенциала трех пебесных тел. При этом в координатной системе, вращающейся
вместе с землей, фактически действует только разность между значением
потепциала луны и солнца в данной точке и значением его в центре земли;
к этому добавляются центробежные и Кориолисовы< силы. Интегрирование
уравнений движения может быть произведено в общем виде до конца только
с помощью рядов. Динамическая теория дает запаздывание приливов, проис-
происходящее вследствие инерции воды; поверхность моря уже не является мгновен-
мгновенной эквипотенциальной поверхностью гравитационного поля, как в статической
теории. Ероме того, она содержит указания на возможность собственных коле-
колебаний моря, период которых зависит только от размеров моря. Если период
собственных колебапий совпадает с периодом одного из „частных приливов",
то амплитуда последнего может чрезвычайно возрасти.
Входящее в первоначальную дипамическую теорию предположение о рав-
равномерном покрытии всей земли, водой делает ее результаты вполне примени-
применимыми лишь в приливах, которые могут происходить на небесных телах, находя-
находящихся еще в юношеском „огненно-жидком" состояйии, и должно быть признав»
крупным недостатком теории в смысле неприменимости ее к земле. Эйри пытался
устранить этот недостаток, развив теорию каналов. В этой теории исследу-
исследуются явления приливов, возникающие в каналахравномерной ширины и глубины»
как то, в морских проливах или в устьях рек. При пренебрежении приливообра-
зующими силами теория волн тяжести в каналах G и 10) непосредственно
дает применимые результаты, прежде всего скорость распространения как
функцию от глубины [уравнение B4'), 7]. Если ввести в рассмотрение гравита-
гравитационное действие лупы и солнца, то существенным оказывается направление
канала на поверхности земли; в теории разбираются каналы, направленные

X, § 3 Частные задачи и методы 425
по экватору или по какой-нибудь другой параллели, и каналы, направленные
по меридиану. Из результатов особенно интересен обратный ход прилива и
отлива, имеющий место при определенных предположениях; так как скорость
приливной волны в канале зависит от его глубины, то наступление наиболь-
наибольшей высоты прилива (полпой воды) запаздывает относительно момента куль-
кульминации луны. Промежуток времени между кульминацией луны и последу-
последующим наступлением полной луны называется лунным промежутком
(Mondflutintervall, lunitial interval). Лунный промежуток в момент новолуния
называется прикладным часом (Hafenzeit, vulgar establishment, etablisse-
ment du port). Сужение канала вызывает в первую очередь увеличение ампли-
амплитуды приливной волны; это явление также укладывается в теорию.
В связи с теорией каналов стоят исследования колебаний воды в замкну-
замкнутых бассейнах, которые наблюдаются во внутренних озерах и малых морях и
известны под названием сейшей (seiches). В малых бассейнах приливы, вы-
вызываемые гравитационными действиями, как правило, не наблюдаются, а наблю-
наблюдаются только свободные колебания. Математический расчет- этих колебаний
представляет значительные трудности, за исключением олучаев особенно про-
простой формы резервуара. Упомянутые в 11 колебания в прямоугольном бас-
бассейне оказываются в некоторых случаях приближенно применимыми. В неко-
некоторых бассейнах может существовать несколько свободных колебаний с раз-
различными осями; при наложении этих колебаний получаются сложные кслеба-
тельпые состояния.
d) ВИХРИ
15. Вихревые точки в неограниченной плоскости. Кирхгофг) изучал
движение п свободных вихревых точек в неограниченной плоскости. Обозначая
через а и Ъ координаты, а через н-р интенсивности вихревых точек (р = 1,2 3,
..., п), мы, на основании уравнения G) и G'), 1, § 3, получаем для комплексного
потенциала <в, потенциала скоростей <р и функции тока <Ь» описывающих вы-
зваппое вихрями движение, следующие выражения:
C9) «> = - *2^р lg {(Х — Яр} + * (У "~ V1'
р
, у — Ъ
1 aretg_ L ,
i
р
Скорость ( и, v) в некоторой точке Р(х, у), не совпадающей с какой-либ»
ив вихревых точек, равна
f Ах до V .. ^ — ^р
D0) { '¦ ¦ Х __и
\ р р р
Скорость вихревой точки аа, Ъв мы найдем, если заметим, что ее движение вы-
вызывается потенциалом скоростей от всех остальных вихревых точек кроме ее
самой, потенциал же скоростей самой вихревой точки на нее не действует.
В суммах для и и для v нужно, следовательно, отбросить член, соответству-
Kirchhoff, Mechanik, стр. 255.

426 Механика сплошных сред
ющий значению р = а, что мы обозначим штрихом у символа суммы (?'). Кроме
того, координаты х л у следует заменить на а и Ъ . Дифференциальные урав-
уравнения движения вихревых точек примут тогда следующий вид:
D1)
¦df
dt
Можно указать ряд интегралов уравнений движения; так, например,
„функция траектории"
2
сохраняет постоянное, независящее от времени, значение.
Далее „центр тяжести" системы вихрей, определяемый уравнениями
D2)
«охраняет неизменное положение. Наконец, остается неизменным и „момент
инерции системы вихрей":
Эти четыре интеграла позволяют, в том случае, когда имеются только
три вихревые точки, свести интегрирование уравнений движения к квадрату-
квадратурам и полностью описать движениеа).
Особенно просто движение в случае только двух вихрей. Оба вихря дви-
движутся по концентрическим окружностям с одинаковой угловой скоростью вокруг
их общего центра тяжести. Если интентивности обоих вихрей равны по вели-
величине и обратвы по знаку, то центр тяжести их лежит на бесконечности; такого
рода вихревая пара движется поступательно с постоянной скоростью
по двум параллельным прямым.
16. Вихревые точки в ограниченной области. Если мы имеем не-
несколько вихревых точек в ограниченной области, то вызываемый ими поток
не будет, вообще говоря, иметь на границе касательное к ней направление.
К вызванному вихрями движению жидкости следует добавить течение, завися-,
щее от формы границы и от расположения, вихревых точек; этот дополнитель-
дополнительный поток обладает внутри области потенциалом скоростей и для определения
его необходимо решить граничную задачу второго рода. Уравнения движения
иихревых точек легко получаются и в этом случае; однако, интегралы Кирхгофа
уже не будут теперь справедливы.
Во многих случаях задача2) упрощается при применении принципа отра-
отражений или метода изображений. Например, одиночный вихрь в одном из квад-
квадрантов плоскости будет описывать гиперболу четвертого порядка, в прямоли-
1) W Grobli, Dissert., Gottingen, 1887.
*) Си. Math. Encykl, T. IV. Art. 16. стр. 94, примечание 25. Кроме того имеется ряд
яовых работ.

X, $ 5 Частные задачи и методы 427
нейном канале он будет двигаться по прямой, параллельной стенкаи канала;
в круге будет описывать круговые орбиты. Движение одиночного вихря в пря-
иоугольнике определяется эллиптическими функциями. Движение вихря в плос-
плоскости с прямолинейный разрезом может быть сведено к движению вихревой
пары, причем второй вихрь помещается на втором листе двулистной Римано-
вой поверхности1). В этом случае траекторией вихря при движении вокруг
оси прямоугольного препятствия конечной длины будет эллипс: при движении
вокруг препятствия, уходящего на бесконечность, траекторией будет парабола,
а при движении сквозь щель в стене, уходящей в обе стороны на бесконечность,
траекторией будет гипербола. При наложении на это движение потенциального
потока, который в первом листе либо вовсе не имеет особенных точек, либо,
по крайней мере, не имеет их на конечном расстоянии, не получается никаких
новых усложнении принципиального характера. Таким путем может быть разо-
разобрано большое число интересных движений. На рис. 42 изображены в качестве
примера поле тока и траектории одиночного вихря в плоскости, которая
разрезана вдоль полупрямой, уходящей на бесконечность. На рис. 42а на поток,
вызванный самим вихрем, не наложено никакого другого движения в разре-
разрезанной плоскости. На рис. 42Ь и 42с на этот же поток наложено потен-
потенциальное движение, линия тока которого образуют систему конфокальных
парабол, имеющих осью нашу полупрямую, а эквипотенциальные линии суть
ортогональные к ним параболы. На рис. 42Ь направление параболического
потока одинаково с направлением собственного движения вихря, а на рис. 42с
противоположно последнему.
Если применить к полю тока, вызванному отдельными вихревыми точками,
метод конформного отображения (вихревые точки, как особенные, при этом исклю-
исключаются), то получится новый поток, который будет изображением первоначаль-
первоначального. Цоток этот также будет вызван вихревыми точками, причем они будут
изображениями особенных точек первоначального потока. Вихревые точки
отображаются, следовательно, при конформном отображении вместе с пото-
потоком. Это свойство вихревых точек объясняется инвариантностью циркуляции
при конформном отображении. Кривые, которые получаются при конформном
отображении траекторий вихрей, уже не будут, однако, вихревыми траек-
траекториями в преобразованной области.
Рауз2) дал метод, с помощью которого можно по известной траектории оди-
одиночного вихря определить траекторию отображенного вихря. Одиночный вихрь
(а, Ъ) движется в безвихревом (за исключением его самого) потоке совершенно
так же, как обыкновенная частица в стациойарном потоке, который уже не
будет безвихревым. Функция тока у (а> &) этого вихревого потока (которая
всегда существует) связана со скоростью движения вихря по своей траектории
уравнениями
da д1 db Ч
dt~db' dt да'
Для отыскания движения вихря в области Г комплексной плоскости е — х-{-гу,
эту область Т конформно отображают на область То плоскости С = ?Н-м], в ко-
которой движение вихря (а, р) известно, так что там известна и функция тока
Роуха х (а> Р)- Если отображение производится с помощью функции
С = /"(*-),
*) И. Laqally, Miinchener Ber. 1914, стр. 377.
2) В. I. Bouth, Ргос. London Math. Soc, 12, 1880—1881; М. Lagally, Math. ZS., 10, стр.
231, 1921; В. Caldonazzo. Rend. R. Accad. Lincei, 28, 1919.

428
Механика сплошных сред
то Раузова функция тока / (а, Ъ) в области Т будет:
D4)
Рис. 42.
где в правой части уравнения аргументы а я р функции ул (a, J3) должны быть
выражены через а и b нри помощи уравнения:

X, § 3 Частные задачи и методы, 429
Полученная Роутова функция тока % (а, Ъ) непосредственно дает траекторию
вихря. Для нахождения перемещения вихря в зависимости от времени, не-
необходимо, согласно уравнению D3), выполнить одно исключение переменной и
одну квадратуру.
При существовании в области Т нескольких вихрей, для каждого из них
существует (йвоя функция тока, причем она зависит от положения остальных
вихрей. Преобразование дает только дифференциальные уравнения движения,
даже если известны траектории вихрей в области То. В простейших случаях
эти уравнения удается проинтегрировать; например, движение двух вихрей
внутри круга (область Т) может быть сведено к движению двух вихрей в полу-
полуплоскости (область То,) и решение может быть доведено до конца.
17. Вихри Кармана. Особенно важным случает движения отдельных вихрей
является движение вихрей Кармана*). Это вихри, расположенные в виде двух
рядов; они начинаются позади препятствия, стоящего в текущей жидкости, и
перемещаются в направлении течения; или же они следуют за твердым телом,
передвигаемым в покоя-
покоящейся жидкости. Для Г^\ ?+) С*)~
плоского потока на явле- д_
нии вихрей Кармана мо- —(+) Л*Л- Лн)
жет быть построена тео- ,. ..
г Ъсншичивое расположение
рия сопротивления, ис-
испытываемого телом в --(?) (+) (+)
идеальной жидкости, при- *> ' * *¦ ,
чем эта теория предста- —(+\ f+\ f+\
вляет существенный шаг ^-^ ^^ ^-^
вперед ПО сравнению 6 Неустойчивое расположение
теорией Кирхгофа-Рэлея Рис. 43.
4, § 3.
Теория Кирхгофа-Рэлея основывается на предположении, что поаади пре-
препятствия образуется область мертвой воды, простирающаяся до бесконечности
и ограниченная двумя поверхностями (или линиями) разрыва. В действительности
эти поверхности разрыва, которые физически и математически следует рас-
рассматривать как вихревые слои, являются очень неустойчивыми образованиями.
Уже во время их возникновения они начинают распадаться вблизи края пре-
препятствия на. отдельные вихри, которые в каждом слое следуют друг за другом,
примерно, на одинаковых расстояниях. Момент каждого из этих отдельных вих-
вихрей равен циркуляции вокруг того куска поверхности разрыва, который, свер-
свертываясь, породил данный вихрь.
Карман рассматривает два ряда вихрей, расположенных на равных рас-
расстояниях друг от друга вдоль двух бесконечных параллельных пряных, при-
причем моменты вихрей одного ряда между собой одинаковы и равны ± Г и отли-
отличаются знаком от моментов вихрей другого ряда. Поставим требование, чтобы
все образование перемещалось с постоянной скоростью и в направлении парал-
параллельных прямых так, чтдбы составляющие скоростей всех вихревых точек в на-
направлении, перпендикулярном нашим прямым, обратились в нуль. Этому требо-
требованию удовлетворяют два различные расположения вихревых точек на обеих
прямых (рис. 43). В первом расположении вихри обоих рядов стоят друг против
друга, а во втором они сдвинуты друг относительно друга па половину рас-
расстояния между двумя последовательными вихревыми точками. Изучение устой-
устойчивости этих расположений, произведенное по методу малых колебаний, пока-
Ц Th. V. Kdrmdn , Uber den Meohanismus dos Widerstandes, don einbewegterKorperin
einer Fliissigkeit erfuhrt, Gottinger Nachr., 1911 u. 1912; подробнее: Th. v. Karmdn ц.
Hubach, Phys. ZS. 13, 1912.

430 Механика сплошных сред
зывает, что первое расположение всегда неустойчиво; что касается второго, то
оно будет устойчивым, если расстояние h между обоими рядами и расстояние
I между двумя последовательными вихрями в каждом ряду связаны соотноше-
соотношением
D5) ch-^ = V, -^ = 0,2806...
4 Ход рассуждений, приводящий к этим результатам, иожет быть передан
здесь только в общих чертах. Комплексный потенциал обоих рядов вихрей и
скорость движения, вызываемого им в точке, не имеющей особенностей, ищут
в виде C9) и D0) 15 § 3. Уравнение D1) 15 § 3 дает тогда скорость самих
вихревых точек. Для исследования устойчивости варьируют координаты вих-
вихревых точек. При этом сначала все вихри, за исключением двух, предпо-
предполагаются неподвижными; это дает для возмущений указанного очень частного
вида условие устойчивости в виде D5). Далее может быть показано, что точно
такое же условие устойчивости получается, если считать, что и все остальные
вихри могут отклоняться от своего положения равновесия, причем устойчи-
устойчивость имеет место для возмущения весьма общего вида.
Скорость, с которой перемещается как целое все образоваиние, состоящее
из обоих рядов вихрей, равна
w___Lth—
или, по условию устойчивости
D6) «
У 8 I
Если в жидкости перемещается со скоростью U твердое тело, то вихри,
образующиеся позади него при свертывании вихревых слоев, принимают, как
мы уже указывали, на некотором расстоянии за телом устойчивое расположе-
расположение. Применяя теорему о количестве движения, можно отсюда вычислить сопро-
сопротивление, оказываемое жидкостью движению твердого тела A3 § 1).
Скорость, с которой тело движется относительно стабильного вихревого-
образования, будет U—и. За время
тело переместится относительно вихрей на отрезок I и, следовательно, за это
время в каждом из вихревых слоев возникает но одному новому вихрю. Выделим
мысленно часть жидкости, заключающую внутри себя движущееся тело и огра-
ограниченную достаточно удаленной от тела „контрольной поверхностью". Прирост
количества движения этой части жидкости за время 'Т складывается из количества
движения двух вновь возникших внутри нее вихрей и из переноса количества
движения через ее поверхность с другой стороны. Это увеличение количества
движения равно импульсу, т. е. интегралу по времени от сил давления, дей-
действующих снаружи на „контрольную поверхность". Эти силы давления и соста-
составляют ту силу, с которой тело действует на жидкость, преодолевая ее сопро-
сопротивление, и которая равна по величине и обратна по знаку искомому сопро-
сопротивлению.
Таким путем для сопротивления W получается выражение

X, § 3 Частные задачи и методы 431
или, если воспользоваться условием устойчивости D5),
D7) * W =
Сравним полученное для сопротивления выражение с экспериментально-
установленным квадратичным законом сопротивления
D7') W=$pLU2,
где V есть скорость, с которой передвигается тело, L — надлежащим образом,
выбранный параметр, характеризующий линейные размеры тела, и <ь коэффи-
коэффициент сопротивления, т. е. множитель, зависящий только от формы, но-
ноне от размеров тела. Оба выражения совпадают, если
Совпадение вычисленных значений сопротивления с измеренными полу-
получается очень хорошее: правда, теория не дает возможности определить путем
и
вычисления отношение jj , которое приходится получать из опыта, путем про-
промера картины потока.
18. Возникновение вихрей Кармана. Теория идеальной жидкости не дает
вам никаких указаний о причинах возникновения вихревых слоев, которые, вслед-
вследствие своей "неустойчивости, приводят к образованию вихрей Кармана; в самом
деле, по одной из теорем Гельмгольца о вихрях, возникновение вихрей в идеаль-
идеальной жидкости невозможно. Напротив, предложенная Прандтлем теория погра-
пограничного слоя !), учитывающая трение в жидкости в непосредственной бли-
близости к твердой стенке, дает удовлетворительное объяснение этого явления.
Дальнейший вопрос о том, каким образом выходящие из пограничного слоя
чрезвычайно неустойчивые вихревые слои распадаются на отдельные вихри, отно-
(сится уже к предмету теории идеальной жидкости. Край вихревого слоя начинает
спиралевидно завиваться, причем вихревой момент в окрестности начальной
точки постепенно увеличивается. После того как образующийся вихрь достиг
определенной интенсивности, на том же самом месте и таким же точно образом
начинает зарождаться новый вихрь. Точного решения какой-либо определенной
задачи получить до сих пор не удалось. Прандтлю 2) однако, удалось показать
возможность разрывного плоского движения, в котором лвния раздела есть лога-
логарифмическая спираль, остающаяся геометрически подобной самой себе и обла-
обладающая углом подъема в 30°. В таком движении скорость в каждой точке воз-
возрастает со временем по величине, оставаясь неизменной по направлейию. Это
движение имеет потенциал скоростей, который распадается на множитель, зависящий
только от времени, и множитель, зависящий только от координат. Несколько более
общее движение, в котором линией раздела является изменяющаяся аналогичным
образом логарифмическая спираль, разобран также Прандтлем. При этом ока-
вываются возможными только такие спирали, угол подъема которых не превы-
.. шает 30е.
Дальнейшей задачей является установление условий, при которых вихри.
. возникшие при спиральной сворачивании граничного слоя, отрываются от послед-
последнего, а также выяснение того, каким образом два ряда оторвавшихся вихрей
' принимают устойчивое кармановское расположение.
*) L.Prandtl, (JberFllissigkeitsbewegungen bei sehr kleiner Reibung, Verb., d. Ill intern.
Math. Kongr., Heidelberg A904), 1905, стр. 484; ср. также Handbuch der Physik, т. VII. гл. 2,
и.п. 27 н 58.
2) L. Prandil, Uber die Entstehung топ Wirbeln in der idealen Fliissigkeit usw., Vor-
trage aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik, Insbruck, 1922; ср. доклад Драндтм
, в ШЗ г. в Геттннгенском математнческок обществе.

432 Механика сплошных сред
Феппль 2) изучал движение пары вихрей позади кругового цилиндра, погру-
погруженного в поступательный поток жидкости. Оказалось, что существует бесчислен-
бесчисленное множество положений равновесия вихревой нары позади цилиндра; геометри-
геометрическим местом положений равновесия являются две кривые, симметричные отно-
относительно направления потока. При одном и том же значении поступательной
скорости на бесконечности вихревая пара, занимающая две симметричные точки
этих кривых, должна обладать тем большим вихревым моментом, чем дальше она
отстоит от круга. Таким образом, по мере того как в обоих вихрях накапливается
обладающая вихревым движением жидкость, доставляемая обоими идущими от
круга вихревыми слоями, пара вихрей должна понемногу отодвигаться от круга.
Опыт подтверждает существование этого явления. Цравда, при этом не происходит1
неограниченного удаления обоих вихрей, сопровождающегося увеличением их
момента, а происходит следующее. Симметрия положения вихрей понемногу нару-
нарушается, после чего удаляется сперва- один вихрь, а вслед за ним быстро уда-
удаляется и другой. Затем наступает род маятникообразного движения: с обеих
чзторон образуются яоочередно новые вихри, которые идут затем по обоим
„вихревым дорогам", в результате чего вырабатывается Кармановская картина
потока.
Описанные отрыв и удаление обоих первоначальных вихрей из положения
равновесия обусловлены недостатком устойчивости последнего. Вихревая пара,
расположенная на упомянутой выше кривой, устойчива лить по отношению
к симметричным смещениям, т. е. таким, что положения обоих вихрей являются
все время зеркальными изображениями друг друга. Если же допустить и анти-
антисимметричные смещения из положения равновесия, то окажется, что одно из обоих
главных колебаний вихревой пары будет неустойчивым. Вихревая пара выходит
из положения равновесия, причем один из вихрей приближается к оси симме-
симметрии потока, а другой удаляется от нее. Впрочем, при наступлении этого события
вихревые центры вихрей оказываются уже настолько разросшимися, что лишь
с очень грубым приближением можно рассматривать их как изолированные
вихревые точки. Это обстоятельство может служить объяснением отклонения
явлений, экспериментально наблюдаемых при отрыве и удалении вихревых пар
от вычисленных явлений.
19. Вихревые кольца. Движение отдельных вихрей в плоском потоке
может быть исследовано сравнительно легко по той причине, что при этом до-
допустимо заменять вихри малого поперечного сечения изолированными вихревыми
точками; такая замена не вносит заметного изменения в движение жидкости во
всей области, за исключением ближайших окрестностей вихревых точек. При
рассмотрении же пространственных, не прямолинейных вихревых нитей, их уже
нельзя заменять изолированными вихревыми линиями. В самом деле, в 11 § 2
мы видели, что математическая фикция, которою является изолированная вихре-
вихревая линия, приводит к бесконечному значению кинетической энергии; а это же
самое обстоятельство приводит также к бесконечно большим значениям ско-
скоростей элементов изолированной вихревой линии.
Движение вихревых колец, т. е. круговых вихревых нитей с малым
поперечным сечением, было исследовано уже Гельмгольцем. Поток, вызываемый
вихревым кольцом, обладает аксиальной симметрией. Если ввести Стоксову функ-
функцию тока, то составляющие скорости в меридиональной плоскости будут, согласно
уравнению C9) 12 § 2
? р дг - р др ф
!) L. Fdppl, Wirbeltewegung hinter einem KreiszyUnder, Miinchener Ber., 1913; cp.
II. CaUonazzo, Rend. R. Accad. Lincei F), 28, стр. 191 и ел., 1919. ;

X, § 3 Частные задачи и методы 433
а сама функция <J» будет удовлетворять уравнению D0с), 12, § 2, а именно:
Здесь ев есть угловая скорость вихревого движения, которую можно считать про-
произвольной функцией от ф. Уравнения D8) и D9) определяют тогда скорость, вызы-
вызываемую вихревым кольцом произвольной структуры в любой точке пространства,
в частности, внутри самого вихревого кольца, тем самым эти уравнения опре-
определяют также движение и изменение самого кольца.
Для одиночной круговой вихревой линии вид функции <|» получается из
соображений, аналогичных общим рассуждениям 8 § 2. Функция ф будет равна:
«АЛ
E0)
/*
в том же
где 6 есть угол между элементом дуги круговой вихревой линии и направлением
от этого элемента к той точке, для которой вычисляется $ (точке наблюдения);
величины гх и г.2 суть наибольшее и наименьшее расстояния точки наблюдения
от точек вихревой линии.
Скорость перемещения такого рода изолированного вихревого .кольца бес-
бесконечно велика. Рассматривая вихревые кольца с малым (но конечным) круговым
сечением, мы приходим к результатам, которые лучше согласуются с опытом.
Впрочем, все выведенные для движения такого вихревого кольца формулы
являются только приближенными. Если обозначить через В радиус кольца и
через е его радиус поперечного сечения, то скорость его перемещения полу-
. Г / 8Е 1 \ _
чается равной . (Jg — I. Вихревое кольцо перемещается
направлении, в котором протекает жидкость через ограниченную кольцом кру-
круговую поверхность. При своем движении вихревое кольцо сопровождается неко-
некоторым количеством жидкости, как бы „атмосферой", частицы которой описывают
относительно кольца замкнутые траектории, проходящие сквозь его отверстие.
Эта „атмосфера" заполняет односвязную или же кольцевую область, ограничен-
ограниченную поверхностью, охватывающей вихревое кольцо.
Совместное движение двух вихревых колец с одной и той же осью также
было описано, по крайней мере качественно, Гельмгольцем. Если оба кольца
имеют одинаково направленную циркуляцию, а значит, и одинаковое напра-
направление движения, то переднее кольцо будет расширяться, а заднее стягиваться.
Скорость первого кольца будет уменьшаться, а второго — увеличиваться до тех
пор, пока второе кольцо не догонит первое и не проскочит сквозь него; при
этом предполагаются надлежащие начальные условия. После зого, как оба
кольца обменялись таким образом ролями, аналогичное явление начинается
сызнова.
Когда два кольца с противоположной циркуляцией приближаются друг
к другу, оба они расширяются, в то время как их скорость уменьшается.
В случае полной симметрии, плоскость симметрии может быть заменена непо-
неподвижной стенкой. Вихревое кольцо, движущееся к n стенке, будет поэтому асим-
асимптотически приближаться к последней и при этом неограниченно расширяться.
20. Другие вихревые образования. Найденное Карманом устойчивое рас-
расположение двух рядов вихрей, которые при плоском течении образуются ив
28 Зав. 1408. — Франк и Мизес. Дифф. уравн. мат. физ.

434 Механика оплошных сред
обоих исходящих из препятствия вихревых слоев, позволяет сделать некоторые
заключения о расположении вихрей, образующихся в пространственном потоке
позади препятствия. Следует ожидать, что отделяющийся от тела вихревой слой
не распадается на отдельные, следующие друг за другом на равном расстоянии
кольцеобразные вихревые нити, а сворачивается в винтовую или спиральную
вихревую нить, начало которой совершает круговые движения позади препят-
препятствия. К такому же конечному состоянию будет стремиться вихревая полоса,
которая отделяется от вращающегося пропеллера.
Как показал Лаут :), вихревая нить, имеющая форму винтовой линии на,
круговом цилиндре и уходящая обоими своими концами на бесконечность, является
стационарным образованием, которое совершает, как целое, винтовое движение.
Об устойчивости такого вихря этим, впрочем, ничего еще не сказано.
Напротив, устойчивость круговых вихревых колец известна уже давно. Это
их свойство, совместно с неразрутаемостью и непроницаемостью вихревых колец,
является основой предложенной В. Томсоном теории вихревых атомов, ко-
которая, правда, имеет теперь лишь исторический интерес.
Из других пространственных вихревых образований следует упомянуть элли-
эллиптический вихревой цилиндр Кирхгофа, представляющий собою эллиптичрский
цилиндр, заполненный параллельными вихревыми линиями; внутри цилиндра
угловая скорость вращения частиц жидкости а> имеет всюду одно и то же зна-
значение. Вихревой цилиндр вращается как целое с угловой скоростью X = 2а> ¦- ....,,
зависящей, кроме да, еще и от отношения полуосей а и Ь. При не очень большой
эксцентриситете такой вихрь устойчив.
Многочисленные другие примеры пространственных вихревых образований,
из которых наиболее известен стационарный шаровой вихрь Хнлла, содержатся
в более старой английской литературе и).
е) ЦИРКУЛЯЦИЯ И ПОДЪЕМНАЯ СИЛА
21. Гидродинамическая подъемная сила. Согласно парадоксу Даламбера,
поступательно движущийся и ие имеющий особенных точек поток жидкости, обте-
обтекающий непрерывным образом шар, не оказывает на этот шар никакого давления;
это происходит потому, что движение вполне симметрично относительно передней
и задней стороны шара, так что, если мы возьмем симметрично расположенные
элементы поверхности шара, то равнодействующие сил давления на эти элементы
будут попарно равны по величине и противоложны по знаку. То же самое будет
и в плоском поступательном потоке, обтекающем круговой контур, если только
циркуляция вокруг этого контура равна нулю. Если на поступательное движение
наложить циркуляцию вокруг кругового контура, то симметрия движения нару-
нарушится. На той стороне, где циркуляция и поступательное движение направлены
в одну и ту же сторону, получается .увеличение скорости, а шачит, и умень-
уменьшение давления. На противоположной стороне, где циркуляция и поступательное
движение направлены в обратные стороны, получается уменьшение скорости и,
следовательно, увеличение давления. В результате возникает равнодействующая
сила давления — подъемная сила, которая направлена под прямым углом
к поступательному движению в сторону увеличенной скорости 8).
J) A. Lauth, Ann. d. Phys. D), 49, стр. 671, 1916; ср. Я. Fetiinger, Jahrb. d. schiff-
bautechn. Ges., 19, стр. 426, 1918; Я. Reissner, ZS. f. angew. Math. u. Mech., 2, стр. 106,
1922.
2) Cp. Enzyklopadie der mathematisohen Wissenschaften, T. IV, Art 16, n. 3.
3) Cp. E. F. Lanchester, Aerodynamik, deutscb. von C. u. A. Runge, T. I, гл. III.

X, § 3 Частные задачи и методы 435
Кутта и Жуковской *) покавали, что в плоском потенциальной потоке без
особенных точек на любой обтекаемый контур всегда будет действовать такого
рода подъемная сила, если только иа поступательное движение налагается еще
циркуляция вокруг контура. Величина этой подъемное силы, как будет показано
в 22, равна
E1) 4 = рГ|Уоо1,
где | Voo | есть скорость потока на бесконечности, а р и Г обозначает, как и
раньше, плотность жидкости и циркуляцию. Вид контура в выражение E1) явных
образом ие входит.
В пространственном потенциальном потоке циркуляция вокруг ограниченного
односвязного тела невозможна в виду того, что для всех кривых, которые могут
быть путем деформации переведены одна в другую, циркуляция имеет одно и
то же значение, в частности, для наших кривых* которые могут быть стянуты
в точку, значение нуль.
22. Теорема Кутта-Жуковского. Для вычисления силы давления, ока-
оказываемого плоским потенциальным потоком на погруженный в него контур С,
можно, цо Блазиусу, объединить обе составляющие Рх и Ру этой силы в одну
комплексную величину: .
и показать, что эта комплексная величина выражается в виде интеграла от
функции комплексной переменной г = х-\-гу. Для этого мы составим выражение
Р = Рх + iPy = | pdx — г (j) pdy = § р (dx — idy),
где интегрирование производится вдоль контура С в положительном направлении
По теореме Бернулли мы имеем
Р = — -|- ? у2 (dx — idy),
откуда, при помощи несложных преобразований, получаем
E1а) Р = —|
Аналогичным образом можно получить и равнодействующий момент сил давления
как вещественную часть некоторого контурного интеграла:
E1Ь) ., М= — Re-|-(t)M>2,eek.
Уравнения E1а, 51Ь) называются формулами Блазиуса2). Применимость их
значительно шире, чем это требуется для большинства приложений. Справедли-
Справедливость их не нарушается и при наличии бесконечно больших скоростей на остриях
и углах контура. Они остаются в силе и в том случае, когда поток, обтекающий
1) W. Kutta, Auftriebskrafte in strOmenden Fliissigkeiten, Illustr. aeronaut. Mitt, 1902.
W. Kutta, Cber eine mit den Grundlagen des Flugproblems in Bezihung stehende zweidi-
mensionale Stromung. MOnch. Ber., 1910; W. Kutta, Uber ebene Zirkulationsstronrangen
nebst flugtechnischen Anwendungen, там же, 1911; N. Joukowsky, Bull, de l'inst. aerodyn,
de Koutschino, 1906; N. JoukowsJey, De la chute dans l'air des corps legers de forme allongee
animes d'un mouvement rotatoire, там же, 1912.
2) Л. Blasius, ZS. f. Math. u. Phys., 68, стр. 90. 1910; ср. В. Grammel, Die bydrodyna-
miscben Grundlagen des Fluges, 1917, стр. 15.
28*

436 Механика сплошных сред
контур, имеет какие угодно особенные линии или точки, если только последние
не лежат на самом контуре.
С помощью формул Блазиуса теорема Кутта-Жуковского доказывается
легко. Разложим скорость регулярного вне контура потенциального потока в ряд,
расположенный по убывающим степеням е и сходящийся вне некоторого круга
4
4" -р т ~~з 4" • • •
Но теореме Коша о вычете комплексной функции получаем тогда
Постоянные с0 и сх имеют простой механический смысл. Комплексная скорость
на бесконечности и;=о = мсо — йт равна с0, а циркуляция Г равна 2кг сх, по-
постоянная с1 должна быть чисто мнимой. Таким образом:
E2) Р = —рГм>со,
тем самым теорема Кутта-Жуковского доказана !).' Уравнение E2) дает ная
подъемную силу по величине и направлению
E2а) [
I Ру = — рГ
Подобным же образом может быть получен момент подъемной силы,
и тем самым линия приложения последней
М = Re тар^2 -|- 2с0 с2).
В это выражение, кроме постоянных с0 и сх, входит еще и с2. Чтобы придать
ей механический смысл, вводят „момент циркуляции":
т = Ф югАг = 2тЛс.2.
Разлагая последний на вещественную и мнимую часть
т = тх 4- гту,
мы получаем следующие окончательные выражения для момента подъемной силы:
E2Ь) Ж = — Re pmwoo = — р (тх ит -J- my Va,)-
Теорема Кутта-Жуковского сама является только частным случаем одной
более общей теоремы. Если поток не будет регулярным во всей области вне кон-
контура, а будет иметь там распределенные рагличным образом источники и вихри,
то сила давления потока и ее момент получаются из уравнений D2Ь) и
D3Ь), 13, § 2, если их написать для случая плоского потока. Положим, в част-
частности, что поток содержит- только изолированные источники с интенсивностями
екф— 1, 2,...) и вихревые точки с вихревыми моментами Гг A= 1, 2, ...). Обо-
Обозначим через wk* и соответственно через wj* комплексные скорости, которые
получаются в местах источников и вихревых точек после отбрасывания особен-"
ностей, соответствующих данному источнику или вихрю. Тогда комплексная сила
давления потока^ на контур будет равна 2):
E3) Р = рг 2 ек (ivk* — м^) + Р 2 Г, (и>* — г^) — рГ «;<*,.
Последний член есть подъемная сила, по Кутта-Жуковскому. Величина Г озна-
означает здесь, как и прежде, циркуляцию вокруг контура.
!¦) Выводы теоремы, данные первоначально Кутта и Жуковским, основывались на
рассмотреиии энергии и количества движения. Приведенное здесь доказательство следует
идеям Грамме ля. v
2) М. ТмдаПу, Miinehener Вег., 1921, стр. 209.

X, § 3 Частные задачи и методы 437
При соответственной специализации это уравнение может быть применено и
к вычислению подъемной силы биплана *).
23. Техническое значение гидродинамической подъемной силы. Теорема
Кутта-Жуковского составляет основу теоретического изучения проблемы полета,
а также современной теории гидравлических машин, которая получила развитие
в связи с теорией несущего крыла.
Простейшим и старейший применением этой теории является плоская
теория несущего крыла. Ноток, обтекающий несущее крыло большого
размаха, - можно в его средней части приближенно считать плоским. Влияние
концов крыла и происходящих на этих концах явлений при этом не рассматри-
рассматривается. Условием возможности получения гидродинамической подъемной силы
является наличие некоторой циркуляции; поэтому возникает вопрос о происхо-
происхождении циркуляции вокруг плоского несущего крыла. На этот вопрос теория
вдеальйЬй жидкости может дать только очень неполный ответ. По теореме Том-
сона циркуляция вдоль замкнутой жидкой линии остается неизменной во времени;
поэтому возникновение циркуляции вокруг несущего крыла должно сопровождаться
одновременным возникновением и отрывом вихря, момент которого равен цирку-
циркуляции по величине и обратен ей по знаку. Но в возникновении вихрей решающую
роль играют явления в пограничном слое (см. 18 § 3), на которые можно воз-
воздействовать целесообразным выбором контура и свойств поверхности несущего
крыла.
Теория гидродинамической подъемной с»лы, как показал еще Кутта, под-
поддается обобщению на потоки, обтекающие более чем один контур. Это обобщение
находит себе применение в плоской теории биплана, теории рядов крыльев и
всякого рода колес с лопастями.
В новейшее время получила техническое применение и боковая сила, которая
действует на вращающийся (и увлекающий за собой воздух) цилиндр в поступа-
поступательном потоке воздуха. Действие этой боковой силы, носящее название эффекта
Магнуса, но замеченное за 100 лет до Магнуса2), является причиной бокового
отклонения вращающихся снарядов и мячей и в новейшее время применено для
использования механической энергия движущегося воздуха (ветра). В ротор-
роторном корабле Флетнера машина вращает вокруг вертикальной оси башенки,
имеющие форму кругового цилиндра. Благодаря трению на поверхности, они
увлекают за собой окружающий воздух и приводят его в циркуляционное дви-
движение. Ветер дает при этом отклоняющую силу, которая используется для своего
рода парусного действия. Величину и направление этой силы можно определить-
по формуле Кутта-Жуковского, если допустить для простоты, что движение плоское.
Возникновение циркуляции здесь также обусловлено трением в пограничном
слое; трение это приводит к образованию и отрыву вихрей, момент которых равен
по величине и обратен по знаку моменту возникающей циркуляции. При ветре
отрыв происходит с той стороны, на которой направление движения цилиндра
противоположно направлению ветра. Скорость циркуляционного потока непосрец-
ств'енно у вращающегося цилиндра не следует смешивать со скоростью движения
поверхности цилиндра. Первая составляет примерно половину второй.
24. Нрандтлевская теория несущего крыла 8). Плоскую теорию подъем-
подъемной силы всегда надлежит рассматривать как довольно грубое приближение. Даже
для несущих крыльев, размах которых велик по сравнению с поперечными раз-
!) Ср. В. Еек, ZS. f. Flugtechn., 1925, стр. 183.
2) В. Robins, New principles of gunnery, London, 1742; G. Magnus, Uber die Abwei-
chungen der Geschosse, Abhandl. d. Berl. Akad., 1852; Lord Bayleigh, On the irregular flight
of a Tennis Ball, Messenger of Math., 7, 1877; A. Flettner, Die Anwendungen der Erkent-
nisse der Aerodynamik zum Windantrieb von Sehiffem, Werft, Ruderei, Hafen, б, стр. 667,
1924; L. Prandtl, Naturwissensch., 13, H. 6, 1926.
3) L. Prandtl, Tragfltigeltheorie I и II, Gbttinger Nachr., 1918.

438 Механика сплошных сред
мерами, отклонения подъемной силы, вычисленной по формуле Кутта-Жуков-
ского, от измеряемой на опыте, довольно значительны, так что влиянием концов
крыла пренебречь нельзя. Обобщению теории на пространственный случай пре-
препятствует та трудность, что в пространственном потенциальном потоке циркуляции
вокруг ограниченного (односвяаного) тела существовать не может.
Мы вынуждены поэтому принять в расчет и фактически исходящие с обеих
сторон ваднего ребра крыла вихревые нити или вихревые полосы и положить
полный их вихревой моиент равным циркуляции вокруг крыла. Раз мы допустили
образование вихрей или вихревых слоев, мы тем самым покинули область теории
идеальной жидкости. Прандтлю удалось, однако, дополнить эту теорию добавле-
добавлением некоторых вспомогательных представлений, так что ее можно рассматри-
рассматривать как предельный случай теории вязкой жидкости, соответствующий стремле-
стремлению вязкости к нулю, без того, чтобы было необходимо принимать во внимание
само трение. Важнейшим из этих вспомогательных представлений является, наряду
с вышеупомянутым возникновением вихревых слоев в пограничном слое, пред-
представление о том, что обтекаемое тело, в данном случае несущее крыло, может
быть заменено распределением вихревых линий внутри или на поверхности тела.
Пространство, занимаемое телом, рассматривается при этом как часть самой
жидкости, и обтекающий поток аналитически продолжается внутрь тела. Эта
мысль родственна изложенному выше в 10, § 2 применению вихревых слоев
для представления потенциальных потоков, но ее не следует смешивать с по-
последним. Существенное различие заключается в том, что теперь, когда мы пред-
предполагаем, что с обеих сторон заднего ребра исходят вихревые линии, те вихревые
линии, которые образуют само крыло, уже не будут замкнутыми, а служат для
того, чтобы соединить попарно вихревые линии, исходящие с обеих сторон крыла,1
и создать тем самым необходимые условия для существования теоремы о достоян--
стве циркуляции.
Заменяющие тело вихревые линии отличаются от свободных, исходящих
из тела вихревых линий тем, что первые остаются на определенном месте, так
что они являются „связанными". И в то время как движение свободных вихрей
в жидкости происходит без воздействия внешних сил, связанные вихри должны
.обладать свойствами, которые позволили бы им служить заменой твердого тела,
а именно, свойством проявлять внешние силы, в частности, силы, заменяющие
давление твердого тела на жидкость. Из уравнений Эйлера B7Ь), 8, § 1, полу-
получается при помощи уравнения Бернулли C2а), 12, § 1, следующее выражение
для заменяющей силы, отнесенной к единице объема
Интегрируя по объему заполненного вихрями тела и ичменяя знак этого выра-
выражения, мы получаем силу давления потока на несущую поверхность
E4) В, = У р [YXrot т] dx.
Эта сила может быть в простейших случаях разложена на слагающую, перпен-
перпендикулярную направлению скорости на бесконечности, — гидродинамиче-
гидродинамическую подъемную силу — и на слагающую, направленную обратно этой
скорости, — индуцированное сопротивление.
В формуле E4) можно легко узнать обобщение теоремы Кутта-йьуковского
на пространственный случай.

X/, § 1 Вывод основных уравнений 439
ГЛАВА ,Х1
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ С ТРЕНИЕМ »)
§ 1. Вывод основных уравнений
В предыдущей главе была рассмотрена теория жидкостей, свободных от
трения. Эта теория имеет то преимущество, что она сравнительно проста с ма-
математической точки зрения. С другой стороны, для всех действительных жид-
жидкостей, смотря по характеру их движения, более или менее ясно заметно дей-
действие внутреннего трения. Только в задачах о равновесии влияние внутреннего
трения совершенно исчезает.
В то время как на тело, движущееся прямолинейно ж равномерно в иде-
идеальной жидкости, не действуют со стороны последней никакие силы, даже самое
маленькое трение вызывает появление позади движущегося тела
вихрей и вместе с ними появление как сопротивления, так и
подъемной силы. Это и намечает важнейшую задачу теории с
трения. Но вследствие больших математических трудностей эта
задача до сих пор решена только в первом приближении.
1. Теорема о напряжениях. Подробный анализ напря-
жений содержится в § 2, гл. УД. Поэтому мы можем здесь
ограничиться несколькими дополнительными замечаниями.
Чтобы исследовать напряжение в точке О жидкости, пред-
представим себе прямоугольную координатную систему (х, у, г) с началом в указан-
указанной точке. Пусть А будет какая-нибудь точка на оси х, В иа оси у и С на
оси е, и пусть отрезки ОА, ОВ, ОС будут очень малы.
Рассмотрим количество жидкости (рис. 44), находящейся в некоторый мо-
момент времени внутри тетраэдра О А ВС Мы будем считать, что действие окру-
окружающей жидкости можно заменить поверхностными силами. Например, через
элемент поверхности ABC окружающая жидкость действует на наше количество
жидкости с силой t^dS, при чем dS означает площадь ABC, a v — направление
внешней нормали 2) к указанному элементу поверхности. Таким образом, напря-
напряжение t * равно силе на единицу площади.
Через плоскость уз зкидкость с правой стороны, где х положительно, дей-
действует на жидкость с левой стороны с некоторым напряжением, которое на-
назовем t(x>. По ньютонову принципу равенства действия и противодействия жидкость
слева от ОВС действует на жидкость справа от этой плоскости с силой
— t{x) • &ОВС = — t{x} - dS cos (v, x)..
Каким образом t(v) зависит от направления нормали? Чтобы ответить на
этот вопрос, напишем уравнения движения нашего малого количества жидкости.
*) В русском переводе мы опустили последний параграф (§ 6) статьи Факсена и
Озееиа, озаглавленной: , Будет ли движение при бесконечно малом трении приближенно
совпадать с потенциальный движением". Изложенное в этой параграфе математическое
исследование едва ли представляет физический интерес, так как оно основано на при-
применении к случаю исчезающей вязкости (большие вначения числа Рейнольдса, см. прнм.
ред. на стр. 457) линеаризованных уравнений Озеена (§ 2), приближенно справедливых
лишь при большой вязкости (малые значения числа Рейиольдса). (Прим. ред.).
*) Напомним, что в предыдущей главе X (статья Яагаллн) нормаль бралась вну-
внутренняя. (Лрим. ред.).

440 Механика сплошных сред
Если его масса равна dm, а ускорение центра тяжести v, то \dm должно рав-
равняться равнодействующей всех сил. Эти силы будут частью объемные (например,
сила тяжести), которые можно обозначить через Rdm, частью поверхностные
силы, упомянутые выше. Уравнение движения центра тяжести будет поэтому:
\dm = R dm -f tM dS—tw dS cos (v, x) — tiy) dS cos (v, y) —1B) ds cos (v, *).
Но элемент поверхности есть малая величина второго порядка (того же, как dxdij), a
элемент массы dm малая величина третьего порядка (того же, как dxdijdz), если счи-
считать длины ребер рассматриваемого тетраэдра малыми первого порядка. Мы разде-
разделим обе части ураврения на dS и заметим, что при беспредельном уменьшении
dm ,. .
тетраэдра частное —— стремится к нулю. Мы получим таким образом уравнение
A) t(v> = t{x) cos (v, x) -f %{y) cos (v, y) 4-1B) cos (v, г).
Это уравнение совпадает с соответствующим уравнением теории упругости
(стр. 226 ур-ние 1). Там рассматривалось покоящееся упругое тело, здесь — дви-
движущаяся ускоренно жидкость. Но в приведенном выше анализе теввора напря-
напряжений действие ускорения выпало. \
Объемные силы выпадают, по тем же основаниям, также и в доказательстве
симметрии тензора напряжений (стр.228 и след.). Поэтому все исследование тен-
тензора напряжении, в § 2, гл. VII (стр. 225 до 231) остается в силе без всяких
изменений и для жидкости с трением.
Для покоящейся жидкости это уравнение можно упростить. Перпендикулярно
к площадке ЛВС действует тогда только гидростатическое давление р. Так как
оно направлено противоположно вектору нормали v, сила давления будет равна
—jjtdS. Следовательно, t(v)d? =—pvdS, и мы можем уравнение A) заменить
следующим, более простым
B) t(v) = —pv.
2. Закон Пуазейля. Внутреннее трение жидкости проявляется в сопроти-
сопротивлении изменению формы элементов жидкости, причем это сопротивление зависит
от скорости, с которой происходит изменение формы. Силы, стремящиеся восста-
восстановить начальную форму элемента жидкости (как это имело место в случае уп-
ругях тел) при этом не появляются. .
Чтобы выразить это формулами, рассмотрим сначала простой и экспери-
экспериментально хорошо известный случай, а именно течение через узкую трубку. Мы
не будем при этом учитывать особых условий вблизи концов трубки. ,
Скорость текущей жидкости будет везде параллельна оси трубки. Все ча-
частицы с одинаковым расстоянием от оси трубки будут иметь одинаковую ско-
скорость и. Можно представить себе, что жидкость разделена коаксиальными цилин-
цилиндрическими поверхностями на тонкие слои (laminae), внутри которых скорость
везде одинакова. Поэтому это и подобные движения называются „ламинарными".
Как велика увлекающая сила, с которой каждый слой действует на при-
прилежащий к нему слой? Ньютон ввел предположение, что эта сила пропорциональна
поверхности и градиенту скорости. Таким обравом, на слой радиуса г действует
со стороны граничащего с ним изнутри слоя следующая сила:
Здесь I есть длина той средней части трубки, которой мы интересуемся. Знав
du
минус стоит потому, что —— отрицательно.

XI, § 1 Вывод основных уравнений 441
/ Величина 5* есть коэффициент внутреннего трения. Ньютон предположил,
что он не зависит от давления.
Наш слой, толщина которого пусть будет Ду, действует в свою очередь на
граничащий с ним снаружи слой с силой . .
Jr + Дг
Так как ускорение равно нулю, эти силы уравновешиваются разностью давлений
Pi — р0 на основания цилиндра. Таким образом,
После деления на Лг и перехода к пределу Дг-»-0, это уравнение цришшает
следующий вид:
Это уравнение можно сейчас же проинтегрировать:
du
(Pi — i>o) ~r% = 2W
При этом постоянная интегрирования выбрана так, чтобы и было равно нулю
на стенке трубки (г = а). Действительно, в подавляющем большинстве случаев
жидкость прилипает к стенкам. Она не скользит даже, когда стенки не смачи-
смачиваются ею.
Количество жидкости, протекающее за единицу времени сквозь трубку,
равно
. Это и есть закон Пуазейля. Он проверен и подтвержден многочисленными
опытами. Он остается в силе и при больших скоростях, если только движение
остается ламинарным.
Таким образом, вышеупомянутое предположение Ньютона подтверждено
зышериментально. Однако, оно применимо только в простейших случаях. Чтобы
облегчить обобщение, придадим этому предположению следующий вид: если мы
возьмем ось г перпендикулярно к слоям (параллельным оси х), в направлении
увеличивающейся скорости, то увлекающая (параллельная слоям) сила на еди-
единицу площади будет
ди
C) ^-^"аГ-
3. Обозначения. В последующем мы будем обозначать координаты через
xv хъ хь, вместо х, у, г, так как этим можно достичь сокращения письма.
Составляющие скорости будут, сообразно с этим, называться uv м2, иа. Урав-
Уравнение неразрывности [стр. 349, уравнение D')] мы будем поэтому писать в виде:
8 ди. ди dv dw
( 1
= 0 вместо -j— -f- -я Ь -5— = 0.
дх ' ду ' as

442 Механика сплошных сред
Если в одной и том же члене встречаются два различные значка, то этот член
представляет компоненту некоторого тензора. Компоненты /тензора мы ножен
поэтому писать в виде j»y. Матрица, составленная из компонент тензора, будет
иметь вед:
ч Рп Ла ¦ Р\г
PS\ PS2 PSS
Компоненты единичного тензора мы будем обозначать через 8у. Таким обра-
образом 8у равно нулю, если i ф j, и равно 1, если г =j.
i. Связь., между напряженияни и скоростью деформаций. Проведем через
произвольную точку внутри жидкости площадку dS с нормалью v. Уравнение A),.
которое определяет силу t(v)<tS, действующую на dS, имеет тот же вид, как и
то уравнение, с помощью которого устанавливается понятие тензора. Поэтому
векторы tAB), tfv\ t(a) определяют некоторый тензор, тензор напряжений, компо-
компоненты которого мы обозначим через ту. Если обозначить, далее, составляющие
cos (v, ж), cos (v, у), cos (v, z) вектора v через »,, n.2, n3, то уравнение A) примет
вид:
(За) -nJ = 2^ ?,j »i 0" = l. 2» 3), :
i
причем rnJ обозначает j-ую составляющую вектора t(v). Величины iy меняются,
вообще говоря, от точки к точке и зависят также от времени.
Тензор (def v) скорости деформации имеет матрицу:
ди 1 / dv , ди \ 1 / dw , ди
дх
\
1 (dv_j_du\ fo_ I (dw dv \
~2~[дх+ ду)' ду' 2 \ду +" дз /'
1 / dw . ди \ 1 /dw_ . dv_\ dw_
~2~ \1х~ ^"Tij ' ~2~ \ ду "г" дг ) ' dz '
В нашей сокращенном способе написания компоненты тензора скорости дефор-
деформации будут
Зи
дх}
Как именно тензор напряжений зависит от давления и от скорости дефор-
деформации, мы для частных случаев уже видели [уравнения B) и C)]. Найдем теперь
общий физический закон, который заключал бы в себе эти частные случаи. Этот
вакон не может зависеть от положения координатной системы, так как положение
координатной системы не имеет физического значения. Система координат вво-
вводится только для облегчения математических вычислений. Так как тензоры имеют
физическое значение независимо от выбора системы координат, то искомый закон
должен иметь форму уравнения между тензорами. Простейшее предположение,
которое мы можем сделать, следующее:
ди, \

XI, § 1 Вывод основных уравнений 443
В самой деле, эти уравнения показывают, что такое же соотношение будет
виеть место между самими тэнзорани:
Т==—рЕ-\- 2A -defy,
где Е есть единичный тензор. Верно также обратное. Отсюда следует, что урав-
уравнения D) сохраняют свой вид, если тензоры будут разложены на компоненты по
отношению к какой-нибудь другой системе координат. Попутно заметим, что это
можно было бы доказать с помощью формул F), стр. 228 и A5), стр. 23.'!, так как
уравнения A5) будут справедливы и для жидкости, если только считать в них
и, v, w составляющими" скорости, а не смещения.
В том, что уравнение C) содержится в D) как частный случай, можно
убедиться, расположив координатные оси так, чтобы производные -»— и т. д. были
ди
равны нулю, кроме -%— , Мы покажем теперь, что уравнение D) содержит как
частный случай также и уравнение B). Написанное со значками, уравнение B)
будет: ?nj = —pn>j или по Aа) и по определению единичного тензора Зу:
В статическом случае тензор скорости деформации равен нулю. Тогда последний
член в D) выпадает. Поэтому уравнение D) содержит как частный случай соот-
соотношение Ту = —рЬу, годное для покоящейся или равномерно вращающейся жид-
жидкости. А оно совпадает с вышеприведенным уравнением xnj==—-рп^.'
Замечание. В качестве обобщения уравнений B) и C) мы получили урав-
уравнение D). G помощью инвариантов, которые можно построить из компонент тен-
тензора, можно было бы обобщить B) и C) еще и иначе, так что вместо D) полу-
получились бы другие уравнения, которые удовлетворяли бы всем до сих пор поста-
поставленным требованиям. Однако, невидимому, уравнения D) являются единственным
обобщением, которое не делает вычислений чересчур сложными. Насколько мы
знаем, уравнения D) дают достаточное объяснение всех до' сих пор сделанных
измерениЁ (различные опыты с медленно движущимися шарами и пр.).
. 5. Полные дифференциальные уравнения. Мы выведем еще раз с не-
незначительными изменениями, теорему о количестве движения, установленную
в главе об идеальной жидкости.
Рассмотрим произвольный, неподвижный в пространстве, элемент объема V
в текущей жидкости. Количество движения Жидкости, содержащейся b'V, имеет
составляющие Jlt J2, Js. Вычислим приращение AJj за малое время от t до
t-\-At. Количество движения изменяется, во-первых, потому, что на наше коли-
количество жидкости действуют силы. Частью это будут объемные силы (как, например,
сила тяжести), равнодействующая которых будет иметь по оси j составляющую
I I I. Xjdxldxidxa, частью же это будут упомянутые выше напряжения, ко-
которые, как мы предполагаем, заменяют собой действие окружающей жидкости
(или неподвижных стенок). Напряжения, действующие на поверхность S объема V,
имеют равнодействующую, составляющая которой по оси j равна / / Vt^ nt dS,
i[cp. (la)], где nt обозначают направляющие косинусы внешней нормали к по-
поверхности.
Во-вторых, жидкость переносит в своем течении количество движения через
ограничивающую поверхность. Через элемент поверхности dS вытекает объем
жидкости ^u(ntdSAt, так как составляющая скорости в направлении нормали

444 Механика сплошных сред
будет 2wiwr Этот объем жидкости выносит ив V количество движения с соста-
составляющей по оси j, равной 2 pwj^n^SAt, если р обозначает плотность жид-
жидкости.
Для полного изменения за единицу времени составляющей по оси j от коли-
количества движения мы получаем следующее выражение:
шпг- JУУ'x*dV+J7S-V»'**- /'/2 «,p •,».*&
С другой стороны, количество движения жидкости, находящейся в V, имеет
составляющую по оси j, равную Jj — I I I pujdV. Это выражение нужно под-
подставить в левую часть вышепаписанного уравнения. Одновременно мы преобра-
преобразуем по теореме Гаусса оба поверхностных интеграла в объемные. Мы получим:
Это уравнение будет иметь место при произвольном выборе области интегриро-
интегрирования. Поэтому само подъинтегральное выражение должно быть нулем, откуда
Мы предположим теперь, что жидкость несжимаема. Тогда плотность р
будет постоянна. Далее, мы внаем, что существует уравнение неразрывности
-^-— = 0. С помощью D) мы получим:
X
Zi дх» ^Zidx, дх~ дх.
причем Д- имеет значение
Далее
Sdipujuj
После подстановки в E) и добавления уравнения неразрывности мы получим
полные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
F) р-^
Они содержат уравнения движения идеальной жидкости (стр. 356) как частный
случай (}1 = 0), в чем легко убедиться, переходя к старым обозначениям.

XI, § 1 Вывод основных уравнений 445
6. Составляющие напряжения на поверхности покоящегося тела. По A)
и D) составляющие вектора напряжения, действующего на элемент поверхности
с нормалью nt, равны
Если tx и t2 будут две взаимно-перпендикулярные касательные в некоторой точке
поверхности, и п—нормаль, то мы можем взять tu t2, n в качестве трех осей
прямоугольной координатной системы. Тогда
I >
По замечанию в 2, жидкость не скользит по поверхности твердого тела. Поэтому
там м4 равны нулю. Но отсюда следует
а из приведенного уравнения вытекает тогда
а _ _а_
dxj ~~tlj дп '
^причем cos (n, xj) заменен, как обычно, через Uj. На основании этого и при
помощи уравнения неразрывности, мы находим
д д \ V/ д д
Далее мы найдем, что
ди, ди< ди,
Таким образом, на поверхности покоящегося твердого тела имеют место
соотношения J):
ди,
(S) V—^ + ^iir' или '^-
Замечание 1. Эти выражения остаются, разумеется, справедливыми также
и тогда, когда тело имеет постоянное поступательное движение; в самом деле,
этот случай ничем не отличается от случая покоящегося тела в потоке жидкости.
Замечание 2. Все наши вычисления относятся к изотропным жидкостям.
Если изотропии нет, т. е. если трение различно в разных направлениях, то урав-
уравнение (8) уже не имеет места. Важное исключение представляют во многих слу-
случаях смазочные вещества. Удлиненные по большей части молекулы располагаются
слоями, как показывает рентгеновский анализ 2). Эти слои скользят друг по другу
как колода карт. Для таких явлений наш математический анализ, понятно, не
годится.
1) Faxen, Ark. f. mat., astr. о. lys. Т. 20А, № 8, 1927.
2 Trillat, Compt. rend., 1926, стр. 843; ср. далее Stanion, Friction, London, 1923.

446 Механика сплошных сред
7. Линеаризованные дифференциальные уравнения. Если положить
то уравнения F) примут вид
ди- да
(9) p_L = __ y )
Эти уравнения сами по себе не проще, чем уравнения F). Они имеют такое
строение, что могут быть полностью проинтегрированы только в некоторых част-
частных случаях (§ 4). Поэтому пытались получить, с помощью различных упрощений,
дифференциальные уравнения, интеграция которых была более простой и которые
допускали бы решение, приближено представляющее действительные соотно-
соотношения. Таким упрощением было вычеркивание членов, содержащих <а. Это ведет
к теории идеальных жидкостей, содержащейся в предыдущей главе.
Другое упрощение состоит в том, что вычеркиваются квадратичные члены,
так что дифференциальные уравнения становятся линейными. Однако, не нужно
непременно вычеркивать все квадратичные члены. Если, например, пренебречь
/ ди( ЗиЛ
влиянием составляющих вихря 1 -? - I, то можно в уравнении (9) писать
X, вместо Yj. Мы получим тогда систему
ди. dq „ ди,
(Ю) р-а'— - + ^+Х 2
При равномерном поступательном движении тела можно применять подвиж-
подвижную систему координат уи у2, у^ с осью уи параллельной скорости поступатель-
поступательного движения. Если неподвижная ось хх также имеет это направление, то
yi = Xl—Ut, у.2 = х2, у3 = х3,
причем U есть скорость поступательного движения. Далее,
d», (if! + Ut, у» Уз, 0 duj duj(xvx2,x3,t)
dt ~ дУ1 ' dt
Если подставить это в A0), то мы получим для величин ир q как функций от t,
f/j, у2, у3, линеарийоваиную систему уравнения 1)
ди- ди, да ^, ди.
В этих уравнениях сохранены те члены, которые при медленном движении будут
играть главную роль, а все остальные вычеркнуты. Величины us обозначают
здесь составляющие скорости по отношению к неподвижной системе. По отноше-
отношению к движущейся системе составляющие скорости будут равны «, — U, и2, и3,
§ 2. Фундаментальные интегралы линеаризованных дифференциальных
уравнений
Под фундаментальным интегралом линейного дифференциального уравнения
в частных производных эллиптического типа разумеют простейшее решение, обла-
1) С. W. Oseen, Aik. f. mat, astr. о. fys., в, № 29, 1910.

¦XI, § 2 Фундаментальные интегралы 447
дающее той же особенностью, какой обладает функция Грина этого уравнения.
Например, фундаментальным интегралом уравнения Лапласа в пространстве будет
функция --.¦--, а для уравнения Лапласа в плоскости — функция — —-lgr. Здесь
мы употребляем это слово в обобщенном смысле, так как мы имеем здесь дела
не с одним дифференциальным уравнением в частных производных, а с системой
четырех таких уравнений. Общие методы отыскания фундаментальных интегралов
вполне пригодны и для этих дифференциальных уравнений. Однако, для крат-
краткости мы предпочитаем здесь найти фундаментальные интегралы с помощью более
частных приемов.
1. Линеаризованные уравнения в форме Стокеа. Когда поверхности,
ограничивающие жидкость, неподвижны, естественнее всего взять неподвижную
¦систему координат. В этой системе линеаризованные уравнения имеют вид A0)
¦'§ 1. Если мг, «2, «3, не зависят от времени, движение называется стационарным.
Тогда в A0) производные по времени будут равны нулю. Далее мы пренебрежем
P(Mi2~f"tt22+tt82) п0 сравнению с р. Это пренебрежение имеет только ту цель,
что оно приводит линеаризованные уравнения к привычному виду, когда р
етоит вместо q. Сами же дифференциальные уравнения от этого не делаются
Проще. Таким путем мы получаем уравнения Стокеа для медленного стационар-
стационарного движения жидкости:
Ъ^О а= 1,2,8).
Чтобы без необходимости не усложнять вычислений, предположим,-что функ-
функции Ху отличны от нуля только в некоторой конечной области п что они везде
однозначно дифференцируемы. X,- есть аналог плотности р в уравнении Пуассона
для потенциала. Найдем теперь аналог для выражения потенциала через плот-
плотность (ньютонов потенциал).
Если мы продифференцируем первое из уравнений A) по х} и просумми-
просуммируем по j, мы получим
По формуле Пуассона, интеграл этого уравнения, исчезающий на бесконеч-
бесконечности, будет равен
р (*„ х2,х3) = -—J J J 2 -? . — dl,
B)
При этом
Область интегрирования произвольна. Однако, ниже, при интегрировании по
частям, будет сделано предположение, что X, равны нулю на границах области
интегрирования. Это предположение не имеет, впрочем, существенного значения
Уравнение A) принимает теперь следующий вид:
a l y 1 д Г С С V dKi 1 л лк лк
1 (J. ' 4itji дх^ J J J *J д% r ! 2 d
2
Так как Дг = —> мы получим после нового применения формулы Пуассона;
Ш1 [2L

448 ¦ Механика сплошных сред
С помощью трех интегрирований по частям мы получим аналог выражения для
нотепциала через плотность
. /¦/•№,, > у С Ч V />»•»• Ч V Т 7»
ni\r\> "^2' "^3/ — 111 ?як •'' ^ 1 '* - '2' 3 *®' ' ^ *' 2' ^' * ^ *3
m^r -г r } — III > « (t ? r J r ? "l X f& ? С ^ rJ' Л- if-
J" I.1*1!) ^2» 3/— I J I AJi l *1» 2 '2' "*8 *3' "-1 V'l» »2' '8/> a'i a»2 a'3-
При этом
1 Г 28i
1
8i4 S2r 1 , 19 1
Выражение C) представляет (внутри той области, по которой производилось
интегрирование) одно из бесконечного множества решений уравнения A). Оста-
Остальные решения мы получим, если прибавим к C) произвольные решения соот-
соответствующих A) однородных уравнений, т. е. решения уравнений
E) -jp—^jiAm—0, >.-h-l = 0 (;== 1,2,3).
Уравнения (З) и D) найдены Лоренцем (Abhandlungen, стр. 32, Teubner 1907).
2. Линеаризованные уравнения пространственногп движения для слу-
случая, когда система координат имеет постоянную поступательную скорость.
Когда в уравнении A1), § 1, производные по времени равны нулю, движение
называется стационарным по отношению к движущейся системе координат. Если
мы, далее, пренебрежем разницей между q и р, мы получим уравнения:
ди, dp ^ ди.
Такюг же путем, как выше, мы получим для р выражение B). По формуле Пуас-
Пуассона будет
<7) Xj, = - ^г Д
причем
После подстановки обоих выражений в уравнения (G), нам нужно будет инте-
интегрировать уравнения
ди< Д Г Г Г X,
При этом мы положили
2jx °-
Единственная функция от п&ременных у1г у2, у3, входящая в правую часть, есть —.
Если мы найдем надлежащее решение уравнения
*,.»*-+АФ-Л-,
dV г

XT, § 2 Фундаментальные интегралы 449
то можно будет легко убедиться путем дифференцирования, что решением написан-
написанного выше уравнения будет
при этом предполагается, что Ф таково, что можно изменять порядок дифферен-
дифференцирования и интегрирования. Мы попробуем определить функцию Ф так, чтобы
она зависела только от >
С = [ з| r-j— а (у1 — ?j).
Так как
М2_2|°|С лг_21а1
i
то для Ф получается уравнение
, д?Ф , _ . „. йФ 1
Это уравнение можно также написать в виде
Интегрирование его дает
1 Г 1
Ф = тт I
ее
причем с и Cq постоянные интегрирования. Как легко проверить, вышеупомя-
вышеупомянутая перестановка дифференцирования и интегрирования делается возможной,
если положить с = — 1. Значение Со несущественно. Мы выберем простое значе-
значение Со==0.
В последнем интеграле в (8) мы произведем интегрирование по частям.
После перестановки порядка дифференцирования и интегрирования, уравнение (8)
принимает вид C), если в уравнении C) заменить xv хг, хъ на yv y2, у3 и положить
dt.
V
1 Г
Это и будут фундаментальные решения нашей системы уравнений. Они найдены
в 1910 году Озееном. Когда |о| стремится к нулю, Ф приближается к значению
г-\--~г(у1 — Et) и уравнение (9). вследствие Дг — —, переходит в D).
I a| г > ...
3. Линеаризованные уравнения плоского движения для случая, когда
система координат имеет постоянную поступательную скорость. Вычисления
проводятся таким же образок, как раньше. Мы приходим к уравнениям вида
92Ф . 02ф , . дФ а д . п , .,
++2 2Ig (JtI2)
Частные решения
——jr-
29 Зак. 1408. — Франк и Мизес. Дифф.* уравв. мат. физ.

450 Механика сплошных сред
имеют в начале координат слишком сшишую особенность, чтобы позволить выше-
вышеупомянутые преобразования. Поэтому мы должны прибавить некоторое подходя-
подходящее решение однородного дифференциального уравнения, которое получится,
если приравнять нулю левую часть нашего дифференциального уравнения. Под-
Подстановкой
<b = f(r)e-
оно приводится к виду
Это есть уравнение Бесселя для функций от чисто мнимого аргумента. Как
известно, оно имеет решение *)
(П) '
[Последний член дает выражение через функцию Ганкеля (Hankel)]. Опуская
дальнейшие вычисления, укажем сразу фундаментальные интегралы:
i. Движение твердого тела. Когда твердое тело движется с постоянной
поступательной скоростью и0 через жидкость, движение жидкости можно задать
формулами, аналогичными уравнениям C). Нужно только представить себе тело
замененным жидкостью, имеющей ту же поступательную скорость, что и тело.
Действие поверхности тела заменяется приложенными силами тп„ которые имеют
ту же величину, как напряжения на поверхности тела. Если не действуют ника-
никакие другие внешние силы Xt и если жидкость ничем, кроме тела, не ограни-
ограничена, то
A3) Ъ<У1,У2,Уд
Интегрирование производится по поверхности тела. Если точка (уи у2, ys) лежит
внутри тела, то эти интегралы дают скорость тела, т. е. «j = и0, и2 = и3 = 0.
Кроме того, там будет j? = 0. Если же точка лежит вне тела, мы получим, разу-
разумеется, скорость" и давление жидкости. Эта теорема высказана здесь в виде
правдоподобной гипотезы. Но ее можно также доказать2).
5. Наиболее общие линеаризованные дифференциальные уравнения.
Если, как и раньше, пренебречь разницей между q и р, то можно написать,
согласно уравнению A0) § 1, упомянутые в заголовке уравнения в виде:
ди,
4
1) Р. О. Луаьжин, Весселевы функции, ОНТИ, 1935, гл. II и III.
1) ВТ. Faxen, Ark. f. mat. astr. о. fys., 20A, № 8 ,1927.

XI, § 2 Фундаментальные интегралы 451
Для р здесь опять получается выражение B). Если мы его подставим в эти
уравнения и возьмем для Xj выражение G), мы должны будем интегрировать
дифференциальные уравнения
ди, 1 Г Г Г 1
эх,
Так как X,- и -^— зависят здесь только от lv l& S3, t, но не от хи х2, х3, мы
можем по методу, изложенному в 2, исходить из дифференциального уравнения 2)
о.) ,?
Предположим, что F зависит только от г и *. Тогда
Поэтому уравнение A5) принимает вид-
* • dt 9r2
Решение этого уравнения:
t
rF=ty= -— / /(т)гФ(г, t— т)йт,
причем
A6) Ф==— I e 4F(*-t)_=•
о
В самом деле, мы имеем:
i 9 (*¦ Ф)
о L4!i(« —тJ 2(< —т)!
90» 9^
Таким обравом, при вычислении р -~ {* -т-j производные от подъинтеграль-
ного выражения сокращаются и остается только производная по верхнему пре-
пределу. Поэтому
дф Щ prf(t) ,. , . , .
х) Уравнение A5) встречается также в теории теплопроводности {ср. стр. 621, A2)],
когда имеются меняющиеся со временем источники тепла.
29*

458 Механика сплошных сред
Вводя новую переменную интеграции, мы найдем
В силу
СП
J 2
о
и леем:
lim.I» = -L]/ ?l.
Мы видим теперь, что ty удовлетворяет уравнению A5а). Мы нашли, следова-
следовательно, решение F= — уравнения A5). Если подставить его в дифференциаль-
дифференциальное уравнение для «,-, то это уравнение можно сейчас же проинтегрировать
* t
Так как мы предположили, что все JC, на границах области интегрирования
исчезают, то мы получим, после интегрирования по частям и других допустимых
преобразований
t
причем
Величина ^, как уже сказано, дается уравнением B) или, лучше, последним из
уравнений C). Эти фундаментальные интегралы найдены в 1906 г. Озееном.
В двухмерном случав соотношения аналогичны. Для Ф и tJt имеем в этом
случае следующие выражения:
/°°
§ 3. Стоксова формула сопротивления и связанные с ней формулы
1. Поток вокруг «аленького тара. Если шар совершает с малой ско-
скоростью равномерное поступательное движение, то поток вокруг него будет ста-
стационарным. Тогда производные по времени от их, »а, «3 в дифференциальных
уравнениях F), § 1, будут равны нулю. Пусть ось х будет иметь направление
скорости шара U. Если U очень мало, то uv щ, % и их производные будут также
малы. Поэтому мы можем уже в дифференциальных уравнениях пренебречь их

XI, § 3 Стоксова формула сопротивления и связанные с ней формулы 453
произведениями. Таким образом, мы получаем [ср. уравнение 5, § 2], следуя
Стоксу, уравнения:
др
При решении этих уравнений должны быть учтены следующие граничные
условия. На поверхности шара
Г2 = X? -f Я-22 Н- Ж23 = Я2
должно быть
м, = 17, «2 = м3 = 0.
На бесконечном расстоянии должно быть
и1 = и2 = и3 — 0.
В наших формулах ') величины xv х2, хъ и щ, и2, иъ суть координаты и ско-
скорости в неподвижной координатной системе, причем все величины рассматри-
рассматриваются для того момента времени, когда центр шара как раз поравнялся с нача-
началом координат. Если от этой координатной системы перейти к системе, движущейся
вместе с шаром (координаты ух, t/2, г/3 ср., ниже пункт 2 этого параграфа), то
составляющие скорости будут уже ut — U, г*2, %.
В выражениях C) и D) § 2 мы уже имеем решения наших уравнений.
Если мы положим
; = i, $, = ^=$3 = 0,
то мы будем иметь с точностью до множителя
^?^ 2 J ±
г* г ~ г3 '
J ±
дхх г
Эти выражения содержатся уже как частный случай в уравнениях C), D) § 2,
если мы там возьмем силу только в направлении хх (Х^ = Х3 = 0), а область
действия X, сконцентрируем в ближайшей окрестности точки ?х = ?2 = &з = 0, так,
чтобы равенство
имело место несмотря на малость области интегрирования. В том, что tfl и рх
будут решениями уравнения A), если их подставить вместо и} и р, можно убе-
убедиться также следующим образом. В силу условия неразрывности можно искать
решеиия всех однородных линеаризованных уравнений в виде
Это получается также из уравнений (9Y, A8), § 2, если в уравнении C), § 2,
считать отличной от нуля только составляющую Хк, стянуть ее область действия к
точке
и положить
Г Г f
ill Xkdz, dio dS4= 1.
выражения для и- удовлетворяют уравнению A), если
ДД Ф = 0 » = р.. = —11 —• А Ф.
к
Этот.абэац изменен редактором.

454 Механика сплошных сред
Уравнениям этим удовлетворяют функции
1
Это дает:
П)\
¦2
Так как Дг = -—, то можно также положить Ф = г. Тогда мы получим как раз наши
Ь*' Pi (ЧР- замечание в конце 2, § 2).
Иэ этих двух различных решений обравуеи новое решение уравнения A)
\ ¦
где Аг ъ Аг постоянные. Граничные условия «! = [/", м2 —«3 = 0 на поверхно-
поверхности шара дают для определения этих постоянных соотношения:
а ' а* а
откуда
Таким образом, формулы
3
B)
содержат решение нашей задачи.
Составляющая по оси xi от силы, о которой жидкость действует на эле-
элемент dS поверхности шара, будет равна, согласно уравнению (8) § 1:
Здесь «„ «2, »3 обозначают составляющие единичного вектора, проведенного пер-
перпендикулярно к dS наружу. Так как
xj д д
V * — И —х— ==^ ~~х—,
1 г дп дг
то равнодействующая этих снл имеет составляющие:
—T aU^ (
T"8jl + 4" •4lt' 28л ~ Т Т
Таким образом, равнодействующая направлена обратно направлению дви-
движения шара. Она представляет то сопротивление, которое шар должен преодо-
преодолевать при своем движении. Мы получаем закон сопротивления Стокса.

XI, § 3 Стдкеова формула сопротивления и связанные с ней формулы 455
Маленький шар, совершающий медленное поступательное движение в вязкой
жидкости, испытывает сопротивление
2. Более точное вычисление потока вокруг шара. Если желательно
точнее вычислить поток, то естественно исходить вместо уравнений в форме
Стокса, из линеаризованных дифференциальных уравнений [ср. § 2, F)], написан-
написанных в виде *):
9м, 9» w-, ди,
C) *и+*** ?
В этих уравнениях сделаны как раз те упрощения, которые наиболее целесооб-
целесообразны для системы координат с равномерным поступательным движением. Пусть
начало координат лежит в центре шара и пусть ось ух будет параллельна напра-
направлению движения. Типичным решением C) являются выведенные в 2, § 2
фундаментальные интегралы
1 /* л а 93ф \ 1 а 1
1 —"
———— da.
I
J
Другими решениями будут
Положим опять
и составим так же, как и выше, решение нашего дифференциального уравнения
в виде линейной комбинации:
Чтобы удовлетворить граничный условиям
м, —г7=м2==м3 = 0
на поверхности шара, нужно приближенно вычислить значение составляющих
скорости для малых г. Мы найдем
I « I г + о^
При сосгавлении tJt член j~ выпадает, так что главным членом будет г. За-
Заключенные в скобки члены будут поправочными. Они распадаются на два рода
членов, а именно, некоторые из них меняют свой знак вместе с С/1 потому что
/ V
о = -^— I, в то время как другие при перемене знака U остаются без изменения.
2м» /
Только последние члены могут иметь влияние на сопротивление, так как оно
одновременно с U меняет свой знак (напомним, что коэффициенты А1 и А2 также
1) С. W. Oseen, I. о.

456
Механика сплошных сред
меняют знак одновременно о U). Отбрасывая поэтому члены первого рода, мы
получим:
Из этого выражения для Ф и из приведенного выше значения и* вытекает
для малых значений г, что
t - *>* I1 \а\)+ У*
В силу граничных условий
и*
при г— а, постоянные Ах и А% должны удовлетворять условиям:
А1
откуда
=
4^l__a|0
Так как по формулам 2, § 2 мы имеем
(l—fe|«|J"
г ду1 or
то мы получим для составляющих скорости н для давления следующие оконча-
окончательные выражения:
2 _| «,,,._„„, , а'-
D)
4^1-т«|
ZaU
Ъау.Ц
9 М — — я
' + г» '
Опуская попрежнему те члены, которые остаются без изменения, когда
U меняет знак, мы получим для малых значений г следующие приближенные
формулы:
3y.aU
9 1
Равнодействующая сил, с которыми жидкость действует на шар, выче
сляется из этого выражения точно таким же способом, как в 1. Единственная

XI, § 3 Стоксова формула сопротивления « связанные с ней формулы 457
разница заключается в том, что здесь в знаменателе. стоят новый множитель
11 1 о [ j. Таким образом, сопротивление будет г):
Так как при наших вычислениях мы пренебрегали членами порядка а2оа
по сравнению с 1, мы можем сопротивление писать в виде 3)
EЬ) \^l
3. Поступательное движение тонкого кругового цилиндра в вязкое
жидкости. В этой задаче уже в первом приближении нужно исходить ив более
точного вида линеаризованных уравнений, а именно
дщ др ^ ди,
y.Auj-{-pU-.-' — -5=- = 0, У -г*- = 0.
3^v ду, drjj ~i dyj
Граничные условия будут: на бесконечности м, = 0, на поверхности цилиндра
должно быть:
ut = U, м2 = 0.
Из § 2, 3, мы берем следующее решение этих дифференциальных уравнений:
В силу того, что Д lg г = О, формулы
дают еще одно решение наших уравнений. Для малых значений г будек
*) a W. Oseen, Ark. f. mat., astr, о. fys., 9, № 16, 1913.
з) Величина
2oo= tT>
входящая в выражения Ea) e Eb), является параметром, характеризующим отношение
сил инерции, к- силам вяэкостн, или, если угодно, отношение кинетической энергии жид-
жидкости в энергии, затрачиваемой на тренне. Этот параметр, который представляет отвле-
отвлеченное число, носит название .числа Рейнольдса*. Число Рейнольдса вводится и при
рассмотрении других задач, причем в качестве а в Л берут характерные для данной
задачи длину и скорость. "Рассмотренные в § 2 линеаризованные уравнения Озеена
(а также уравнения Стоке а) пригодны, в отличие от уравнений F) и G) § 1, лишь при
небольших значениях числа Рейнольдса. (Прим. ред.).

458
причем
Tr= 1.7811 ...
ит 8
Механика сплошных
. Следовательно
1 *? о ' г2 1 * *#'
сред
B) и *У).У}
j r2 rl
Ив обоих этих частных решений мы получим более общее решение диффе-
дифференциальных уравнений в виде
Ив граничного условия м1=?7, w2 = Q на поверхности цилиндра, мы получаем,
с помощью вышеприведенных приближенных выражений, следующие два урав-
уравнения для определения постоянных Ау и А%.
Эти уравнения дают:
Для потока вблизи цилиндра мы будем иметь приближенные выражения:
и2 — Лг(г2 — а2)
7 Г j/i , оаа
Р i 1 |^ Г2 I 2
Равнодействующая сил, с которыми жидкость действует на единицу длины
цилиндра, имеет составляющую по оси уг (ср. § 1, (8)), равную
где s есть длина дуги кривой пересечения цилиндра с плоскостью yty%. С помощью
наших приближенных выражений, мы получим
Таким же образом можно убедиться, что составляющая равнодействующей
силы по оси y.z равна нулю, что можно было бы заключить и по соображениям
симметрии; равнодействующая направлена обратно направлению движения
цилиндра и имеет величину
Эта формула для сопротивления была впервые найдена Лэмбом (Lamb)
в 1911 г.

XI, § 4 Точные решения уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости 459
§ 4. Точные решения уравнений движения вязкой несжилаеиой жидкости
В предыдущих параграфах мы познакомились с некоторыми решениями
уравнений движения, приближенно верными только для медленного движения.
Только описанное в § 1, 2 пуазейлевское ламинарное движение остается верным
при больших скоростях. Чтобы найти другие строгие решения, Гамедь х) (G. Hamel)
поставил себе вопрос:. могут ли в случае вязкой жидкости существовать плоские
движения, для которых линии тока были бы такими же, как в случае потен-
потенциального движения [ср. гл. X § 3)], а распределение скоростей было бы
иным?
1. Функция тока. В силу уравнения неразрывности плоский поток всегда
можно представить с помощью функции тока ty (хх, ж2, 0 следующим образом
A) Ml=i?' и^~^ Ms==a
Если подставить это в уравнение F), § 1, мы получим:
Ц дЩ, Ц дЦ\ =_&Р_ , „ a JL
^^ д'
Р \ Шх2
_ I дЦ dif дЦ Ц
9 \ dtdxt "• Hx~l dxf ~~ дхх Ьхх
дхх Ъх<* I дхх
Ьх% ) ~ дх2
д "*
а»! dx^
V
Исключив отсюда р путем дифференцирования, мы будем иметь
В этом единственном уравнении соединены таким образом все три урав-
уравнения движения плоского потока [уравнения F) и G) § 1]. Для потенциальных
потоков (т. е. безвихревых движений) А^ = О, так что вое потенциальные дви-
движения удовлетворяют уравнению B). Однако, этот факт имеет мало значения,
так как вязкие жидкости прилипают к твердым стенкам, а из теории функций
известно, что потенциального движения с этим свойством существовать не может.
Поставленный Гамелем вопрос можно теперь формулировать так: су-
существуют ли такие решения уравнения B), для которых
тогда как Дф не равно нулю? В самом деле, линии тока задаются уравнением:
функция тока <Ji = const. Если рассматривать у как функцию тока некоторого
потенциального движения, то обе системы линий тока ^ = const и «р = const
должны, согласно уравнению C), совпадать.
Мы ограничимся, как мы уже говорили, стационарным движением, и будем
поэтому иметь -^- = 0. Непосредственная подстановка C) в B) дает:
га дхх дхх дх% J ¦
G. Hamel. Jahresber. d. deutsch. Math. Vereinigung, 1916.

460 Механика сплошных сред
df а
Здесь положено
2. Введение комплексных переменных. В силу уравнения C), выражение
F(.)=*-ig-
dxt дх2
есть аналитическая функция перененной g— xt-\-ix2. Значение
ве зависит от того, выбрано ли приращение ds вещественным, или чисто нни-
' 1
мым, или комплексным. Очевидно, что величина •= имеет производную о такими
же свойствами, а потому сама есть аналитическая функция. То асе самое верно
и для функции
д<о , . дер дг9 . . до
W /defi(e)~ "dxt Q * d(ix2) Q
Если мы обозначим через а и & соответственно вещественную и мнимую
часть етой функции, то мы получим
г<ц \дхх q ) - *з*а \дх2 q J- dxt [дх, QJ
д I ftp 1 \ 1 Г Э? dQ dtp dQ ]
Ь = _ 2-?- /iL_U - 2 _?- /if. J-
Так как линии тока задаются уравнением ер = const, то их форма не ме-
меняется, если 9 заменить на су, где с постоянная. При такой вамене мы получим— и —
с с
вместо а и Ъ. Мы можем, следовательно, разделить а и Ъ на произвольную
постоянную. Так как ]g F {г) имеет производную с указанными выше свойствами,
то величина
\
должна также быть аналитической функцией от г, а значит, мы будем иметь:
Таким образом, оказывается AQ = Q2 (a2 -J- Ь2). С помощью этого уравнения и
выражения для а и b мы можем написать'уравнение D) следующий образом:
F) i-/¦"/JЬ = /-IV -f /¦"(я2 + Ь2) + 2/-ша

X/, § 4 Точные решения уролнений\движения вязкой несжимаемой жидкости 461
3. Траектории. Можно показать, что это дифференциальное уравнение
имеет интеграл, зависящий от одного <р тогда и только тогда, когда а и h
постоянны. Из приведенного выше определения а и Ь следует после интегриро-
, ванна:
(а + ib) (е — га) = — -щ^,
Если теперь х будет гармоническая функция, сопряженная с <о (в смысле условий
Коши-Римана), то
3? ¦*? F() —2
d-г 9xj dxj 9.r2 ^ (a-}~ *&)(.?—
и, следовательно,
— Tip^ ^ (* — *o) + const-
Если ввести полярные координаты посредством уравнений
xi~~~xi°* — r cos ^> хг — -С2(о) == r sin
го
Ч (? — го) = ]g tr (cos » + * sin »)] = Ig г
. Поэтому вещественная часть нашего уравнения будет
G) 9 = --
Уравнения линий тока, т. е. траекторий частиц жидкости, вадаются, согласно
сказанному в 1, уравнением ® = const. Они будут поэтому логарифмическими спи-
. радями !
a lg г -{- ЬЬ = const.
Случай о = 0 соответствует чисто радиальному потоку, случай Ь — О движению
ио концентрическим кругам.
4. Распределение скоростей. Из уравнений A), C-) и G) мы найдем для
радиальной составляющей скорости выражения:
1 dif f1 Эу 26 f1
е для составляющей, касательной к кругу:
Эф л Эу 2а
9г ~ ' Э» ~
Для определения функции f служит уравнение F). Однократное интегриро-
интегрирование этого уравнения дает, если положить f =w,
w114- Saw1 + w (a2 -f 62) _ ±. bw* = С
-Это уравнение легко решить в обоих упомянутых выше предельных случаях а = 0,
Ь=0. В случае чисто радиального потока, т. е. когда а = 0, уравнение можно
проинтегрировать еще один раз после умножения на «Л&р. Мы получим
dw

462 Механика сплошных сред
где С\, С] и с2 новые постоянные. Как было замечено в 2, величины о н Ь
можно разделить на любую постоянную. Поэтому мы можем положить 6 = — 2;
тогда уравнение G) даст <? = $, и мы получим
Если ввести здесь новые переменные
у = w -\- 2v
то это уравнение примет вид
где </2 и gs новые постоянные. Но это есть дифференциальное уравнение для эллип-
эллиптической функции f в нормальной форме Вейерштрасса. Поэтому радиальная
составляющая скорости будет равна
w 2v
(9) -Гв--Г + "
а круговая составляющая, как сказано, равна нулю.
Когда поток ограничен о боков двумя плоскими стенками & = ±9Р то даль-
дальнейшее исследование уравнения (8) или (9) дает следующеег). В качестве характери-
характеристического параметра (числа Рейнольса) мы можем ввести число—-. При малых —-1
мы получаем распределение скоростей, подобное известному параболическому распре-
распределению (§ 1, 2) между двумя параллельными плоскими стенками. При боль-
больна, .
ших значениях —L мы должны различать два случая: сходящуюся насадку (поток
со стоком) и расходящуюся насадку (поток с источником).
Первый случай будет подробнее исследован в § 5, 4. В большей части
угла (-^-^1<&<&j) получается приближение к чистому потоку со стоком,
почти как если бы никаких стенок не было. В этой области скорость вытекания
почти не зависит, таким образом, от &. Вплотную около стенок находится вих-
вихревой граничный слой, в котором скорость быстро уменьшается до значения нуль
на стенках.
Во втором случае распределевие скоростей отклоняется от параболического
„ w$.
в обратном направлении Ьогда параметр -—- растет, протекающая жидкость кон-
концентрируется в середине. При еще больших —- чистый поток с источником
делается невозможным. Вместо него возникает с одной или с обеих сторон область
с обратным током. Истечение концентрируется в струе, которая либо хлещет
в середине, либо прилегает к одной из стенок. При еще больших значениях
параметра существует еще больше возможных областей с противоположными
направлениями потока и поэтому еще больше возможных форм потока.
В основании этого рассуждения лежит, од* ако, предположение, что скорость
всюду направлена строго радиально, а это предположение редко вьшолняется
в действительности. Весьма замечательным является, однако, следующий результат.
J) Th. v. Kdrmdn, в книге Th. v. Kdrmdn und Levi Civitd, Vortrage aus dem Gebiet der
Hydro- und Aerodynamik (Insbruck, 1922), Berlin, 1924.

X/, § 5 Теория пограничного слоя 463
Течение в направлении падающего давления (поток со стоком) проходит суще-
существенно иначе, чем течение против падения давления (шпок с источником).
В первом случае поток отклоняется от потока без трения только вблизи стенок
Во втором случае, уже малейшее трение придает потоку совершенно другой характер.
5. Поток между воаксиальныии цилиндравя. Если Ъ = О, мы имеем еще
проще
иР -f-
Положив
мы получим для v однородное дифференциальное уравнение
характеристическое уравнение которого г2 -f- 2ar -f- cfi имеет двойной корень
г = — а. Поэтому общее решение будет иметь вид
w==<LA-e-a
а2 '
2lgr
или, в силу <р = ——?— :
а
w — const -4- & (А + Д 1^ О,
где Д новая постоянная. Если вычислить еще давление, то мы найдем, что
условие, чтобы давление возвращалось к своему прежнему значению при полном
обходе по круговому кольцу, будет 1^ = 0. Мы получаем, следовательно,
Радиальная составляющая скорости будет равна нулю, а круговая равняется
где Тс и г0—постоянные. Описанное этой формулой движение осуществляется
в опыте Куэтта. В этом опыте жидкость заключена между двумя кбаксиальными
цилиндрами, из которых один достаточно медленно вращается вокруг своей-оси.
§ 5. Теория пограничного слоя
В мало-вязкой жидкости, например в воде, поток иногда бывает на большом
протяжении почти безвихревым. Возьмем, например, поступательное движение
какого-нибудь тела. Позади него господствует неправильное вихревое движение,
а впереди тела и по бокам — движение приблизительно безвихревое. Точное мате-
математическое вычисление такого рода потоков не удалось еще ни в одном случае.
Что же касается приближенных» методов, то с одним из них мы познакомимся
в этом параграфе.
1. Пограничный слое. Если поток в какой-нибудь области безвихревой, то
он имеет там потенциал. В самом деле, равенство нулю составляющих вихря
Ьи, дик
¦? -х— есть математическое условие существования функции <р (х1г х2, х3, t)
удовлетворяющей уравнениям
Зср

464 , Механика сплошных сред
Уравнение неразрывности.
у _л = о
дает тогда Дср = О. Решения этого дифференциального уравнения называются
гармоническими (или потенциальными) функциями, а сам поток потенциальным
потоком.
В области потенциального потока kuv Дад2 и Дм3 равны нулю, так как мы
имеем
Ди • = Д -7г- = -=— Д® = 0.
1 djj dxj '
Поэтому в дифференциальных уравнениях F) § 1 члены, содержащие внутреннее
трение, выпадают. Таким образом, в области с потенциальным потоком трение не
проявляется, даже если |х отлично от нуля.
При очень малом и. поток спереди от тела и сбоку от него приблизительно
безвихревой, так что движение приблизительно потенциальное х).
Граничным условиям (выражающим тот факт, что жидкость не должна скользить'
по поверхности тела) это приближенно-потенциальное движение, вообще говоря, не
удовлетворяет. Поэтому даже при самом малом трении Ьколо поверхности образуется
тонкий пограничный слой, в котором осуществляется переход от скорости, господству-
господствующей в потенциальном движении, к скорости движения тела. Таким образом, спереди'
от тела и сбоку от него, трение проявляется только в тонком слое у поверх-
поверхности тела.
В последующем мы не будем заниматься скоростями, которые настолько
велики, что в пограничном слое поток становится неправильно вихревым (турбу%
лентным), и ограничимся случаем ламинарного пограничного слоя.
2. Уравнение движения пограничного слоя 2). Мы ограничимся двухмер-
двухмерным случаем и возьмем за координаты длину дуги хх контура, ограничивающего тело,
и расстояние я2 от этого контура, считаемое по нормали (рис. 45). Предположии
сначала, что граничная линия (контур) есть прямая. Пусть порядок величины
толщины пограничного слоя будет в. Так как на этом отрезке скорость и должна^
х возрастать от нуля до нормальных значений, то:
дих 1 д*их 1
Ят в ' Ят 2 »2
„ ди, ди, я2м, тт
Нормального порядка величины будут значения «,, -^г~, ~ъ и я «• "а осп0
ди2
вании этого, из уравнения неразрывности следует -я~--—1 и после интегриро-i
ох%
*) Когда [* очень мало, частица жидкости только тогда может заметно начать вра-,-
щаться, когда она попадает в область с большим градиентом скорости. В Самом: деле,
мы можем представить себе форму частицы в данный момент времени шарообразной.
Такая частица может начать вращаться только под влиянием трения. По уравнению D)
§ 1, силы трения равны р, умноженаому иа некоторый член порядка величины градиента
скорости. Так как спереди и сбоку от тела этот градиент будет велик только у поверх-
поверхности тела, го отсюда и следует справедливость нашего утверждения.
») Л. Blasim, Diss., Gotttngen, 1908.

XI, § 5 Теория пограничного слоя 465
вания «2— е. Если тело имеет постоянную скорость поступательного движения,
то основные уравнения будут
(ди. . ди. , ди. \
1.1 e.l 1 1 1
dt дх^ дх% } дщ \ w*j- vAg"
в 1-е е- 1 е —
е
Под каждым членом написан его порядок величины. Мы пренебрежем
всеми членами, которые малы как в или е3. Из первого уравнения следует
тогда, что влияние трения будет надлежащего порядка величины, если р— е2.
Это вначит, что толщина пограничного слоя пропорциональна Y~V- Тогда из
первого уравнения выпадает член -^—~. Из второго уравнения мы заключаем,
др -л
что -^~~е' Если граница не прямая, но кривизна ее не слишком велика, то
путем преобразования производных можно показать, что только во втором урав-
уравнении добавляется такой член, а именно , которым нельзя пренебречь (г
есть радиус кривизны). Так как этот член ¦— 1, то -~— будет самое большее
порядка 1. Вследствие малой толщины пограничного слоя, давление может ме-
меняться вдоль оси ж2 самое большее на величины порядка е. Этими изменениями
можно пренебречь. Тем самым обоснована весьма важная теорема Прандтля,
еогласно которой давление р во всем пограничном слое имеет ту же величину,
что и в области потенциального движения непосредственно вне граничного
слоя. Для упрощения вычислений считают, что р известно. Либо может быть
известно потенциальное движение и давление р вычислено из него, либо мы
зиаем р из измерений. Таким образом, мы получаем установленные в 1904 г.
Прандтлем основные уравнения для потока в пограничном слое:
(Ьих , диу . диг \ с
01 ОХ, ОХ
дхх дх^
Граничные условия будут:
при Жд большом: их равняется скорости потенциального движения.
& Отрыв пограничного слоя. Пограничный слой можно легко наблюдать
на погруженном в воду цилиндре. Тогда видно, что пограничный слой отде-
отделяется от цилиндра, причем отрыв его происходит в точке, удаленной несколько
иеныпе чем на 90° (в наблюдениях Гименца около 82°) от передней точки
цилиндра. Теория пограничного слоя объясняет этот отрыв следующим образом:
давление имеет максимум в точке подпора, самой передней точке цилиндра.
Вдоль контура цилиндра давление падает и достигает при угле около 72° мини-
минимума, гораздо меньшего, чем давление на бесконечности. Далее назад давление
опять возрастает.
30 Зак- l*08- ~ ФР&вк к ВДяео. Дифф. уравн. маг. фаз.

466 Механика сплошных сред
Вследствие трения о поверхность цилиндра, та жидкость, которая проникла
в граничный слой, теряет часть своей кинетической энергии. Позтому, сама по
себе, она не может проникнуть далеко в область возрастающего давления. Еще
немного ее увлекает за собой окружающая жидкость. Но при этом толщина
пограничного слоя быстро увеличивается. Скоро пограничный слой вотречает
ток, засосанпый с задней стороны тела, который располагается между погра-
пограничным слоем и поверхностью цилиндра. Таким образом, сильно вихревой погра-
пограничный слой отделяется от поверхности тела и попадает внутрь жидкости.
В какой степени позволяет нам теория пограничного слоя воспроизвести
эти качественные рассуждения вычислительным путем? Прежде всего мы не
можем с полной точностью вычислить математически потенциальное движение,
так как на него сильно влияет турбулентный поток в кильватере. С другой
стороны, если давление у поверхности цилиндра измеряется экспериментально,
то, зная* его, можно затем, с помощью численных методов, получить хорошее
приближение для потока в пограничном слое в области падающего давления.
В области же увеличивающегося давления и, в особенности, в окрестностях
точки отрыва, пограничный слой, как сказано, сильно увеличивается в толщине.
Поэтому предположение „е мало" часто уже не выполняется. Несмотря на ото,
численные и графические вычисления дали очень хорошие приближенные зна-
значения для положения места отрывах).
4. Пограничный слой в точной теории Гаиеля. Когда жидкость втекает
в промежуток между двумя сходящимися стенками, то, если трение мало, на
этих стенках образуются пограничные слои. Точная теория Гамеля позволяет
нам вычислить один пример такого движения. Если в уравнении (8) §4 разложить
выражение под корнем на множители, его можно привести к виду:
dw
причем
el + e2 + «3 = —6v-
Рассмотрим случай, когда еи с2 и е3 все вещественны и ех > 0 !> w >- е2 > е3.
Так как w отрицательно, мы имеем дело с втеканием со скоростью —— (§ 4,4).
Когда w имеет минимум, величина —7<г- должна обращаться в нуль. Тогда и?
предыдущего уравнения следует wmia = е2. Если отсчитывать ft от этого места, р
: у -g- V (е1 — w) (w — е2) (и? — е3),
W
- Г dw
J Y(e1 — w)(w — eJ(w — ez)'
2
Для одного и того же значения w эта формула дает два равных, но противо-
противоположных по знаку значения ft. Поток, таким образом, симметричен. Так каь
скорость на стенках равна нулю, мы находим для половины угла растэора между
стенками значение
о
dw
Какой вид имеет этот поток при очень малых значениях кинематической
вязкости v? Предыдущее уравнение показывает, что для того, чтобы ft получило напе-
J) К. Ыгетет, Dissertation, Gottingen, 1911; Dingiers polyt. Journ. 326, стр. 321,1911;
К. Pohlhausen, ZS. t. angew. Math. u. Meeh,, 1 стр. 252, 1921.

XI, § б Теория пограничного слоя 467
ред заданное значение нормального порядка величины, интеграл должен быть очень
велик. Так как — представляет максимальную скорость втекания, мы при-
примем, что е2 должно иметь значение нормального порядка величины. Интеграл
же будет велик только в том случае, когда е3 почти равно е2, что мы и будем
предполагать. Если w — е2 не очень мало, то, в силу
е1 + е2 + ез = — 6v~O,
мы будем нметь приближенно
^Щ-У -2e2-w
Так как v очень мало, то отсюда следует, что &t — & будет очень мало до
тех пор, пока w не станет приблизительно равным е2. Однако, в последнем слу-
случае это уравнение будет уже непригодно. Но мы все-таки показали, что, если рас-
рассматривать скорость как функцию от О, главное увеличение скорости будет про-
происходить совсем близко от стенок. В большей части промежуточного пространства w
почти равно е2, т. е. скорость почти равна -. Так как втекание со ско-
ростью — есть чисто потенциальное движение, то, следовательно, мы пока-
показали, что поток будет почти потенциальным, кроме области в непосредственной
близости стенок, где находятся пограничные слои. Далее, из последнего уравне-
уравнения видно, что толщина пограничного слоя пропорциональна У v , что хорошо
согласуется с сказанным в 1.
ЛИТЕРАТУРА
I. Учебники и сборники по теории идеальных жидкостей (гл. X)
М. Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamik. Leipzig 1907.
W. Wien, Lehrbuch der Hydrodynamik. Leipzig 1900.
G. Kirchhboff, Mechanik. Leipzig 1876.
B. liiemann—H. Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der Physik, Braunsch-
Braunschweig 1901.
W. Thomson u. P. G. Tait, Handbuch der theoretischen Pbysik. Braunschweig 1871.
T. W. Lanchester, Aerodynamik. Leipzig 1909.
R. Grammel, Die hydrodynamischen Grundlagen des Pluges. Braunschweig 1917.
~H. Lorenz, Technische Hydrodynamik. Miinchen u. Berlin 1910.
F. Prasil, Tecbnische Hydrodynamik. Berlin 1913.
B. v. Mieses, Elemente der teebnischen Hydrodynamik. Leipzig 1914.
iV. Joukovjsky, Aerodynamique. Paris 191E-
A. Foppl, Vorlesungen iiber technische Mechanik, VI Bd, Die wichtigsten Lehren der
ЬбЬегеп Dynamik. Leipzig u. Berlin 1909.
A. Schafer, Einfiihrung in die theoretische Physik. Leipzig 1914.
30*

468 Механика сплошных сред
A. Паа», Einfiihrung in die theoretische Physik. Leipzig 1921; Enzyklopadie der ma-
thematischen WissensChaften, Bd 4: Mechanik.
Winkebnann, Handbuch der Physik: Auerbach, Hydrostatik, Hydrodynamik usw; 2 Aufl.
Leipzig 1908.
L. Prandtl, Abrifi der Lehre топ der Fliissigkeits- und Gasbewegung. Sonderdruck
aus dem Handworterbuch der Naturwissenschaften, Bd IV. Jena 1913.
Ik. v. Karman u. T. Levi-Civita, Vortrage aus dem Gebiete der Hydro- und Aerodyna-
mik (Innsbruck 1922). Berlin 1924.
C. B. Biezeno u. E. M. Burgers, Proceedings of the first International Congress for
Applied Mechanics (Delft 1924). Delft 1926.
П. Оригинальные работы и монографии по теории идеальных
жидкостей
I). Bernoulli, Hydrodynamica. Straflburg 1738.
L. Euler, Principes generaux de l'etat d equilibre des fluides. Berlin, Hist, de l'Acad.
т. II, 1755.
L. Euter, De principiis motus fluidorum, Petersburg. Novi Coimn, т. 14, 1770.
L. Euler, Principes generaux du mouvement des fluides. Berlin, Hist, de 1 Acad. т. II.
175i.
/. L. de Lagrange, Memoire sur la theorie du mouvement des fluides. Berl. Mem. B)
т. 12. 1781.
G. G. Stokes, On the steady motion of incompressible fluids. Cam Dr. Phil Soc Trans,
т. 7. 1842.
G. B. Airy, Tides and Waves. Encyclopaedia Metropolitan a. London 1847.
H". Hehnholte, Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen welche den Wirbel-
bewcgungen entsprechen. Journ. f. Math. Bd 66. 1868.
S. Helmholts, tiber diskontinuirliche Flussigkeitsbewegungen. Berl. Ber. 1868.
G. Kirchhoff, Zur Theorie freier Flussigkeitsstrahlen. Crelles Journ. Bd 70. 1869.
W. Thomson, On vortex motion. Edinburgh Roy. Soc. Trans, т. 25. 1868. '
I. Boussinesq, Essai sur la theorie des eaux courantes. Mem. du. sac. т. 23. Paris 1887.
G. Neumann, Hydrodynamische Untersuchungen. Leipzig 1883.
B. Poincare, Tbeorie des tourbillons. Paris 1893.
II. Учебники и монографии по теории вязких жидкостей
М. Brillouin, Lecons sur la viscosite, Paris, 1907.
C. W. Oseen, Neuere Methodenund Ergebnisse der Hydrodynamik, Leipzig, 1927.
L. Hopf, Zahe Fliissigkeiten, в Handbach der Physik, т. 7.
ГЛАВА XII
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
хение
Расематраваемые в настоящей главе задачи распространения колебаний
связаны все или с одним волновым уравнением
d^tt cfiw д^и 1 &^и
дх2 ' By* ~*~ Ьг% ~а? dta '
или с уравнениями теории упругости, которые могут быть приведены к двум вол-
волновым' уравнениям указанного выше вида с различными значениями постоянной а2.
Физическое значение волнового уравнения выяснено весьма подробно
в предыдущих главах.
В олучае уравнений теории упругости мы подробно выясним их связь
с волновым уравнением.
Еще в первой половине XIX века Пуассоном и Стоксом были решены задачи
о распространении колебаний в безграничном пространстве, как для одного вол-
волнового уравнения, так и для уравнений теории упругости. Значительно более
сложной представляется задача распространения колебаний при наличии границ.
С этой задачей связана теория отражения, а также проблема диффр акции. Этим
вопросам и посвящена настоящая глава. В некоторых исключительных, частных
случаях задача непосредственно приводится к задаче о колебании безграничного

XII § 1 Введение 469
пространства. Это имеет, например, место прп одном волновом уравнении для
ди
полупространства с предельным условием « = 0 или — =0.
0Hh
Однако, та же проблема для уравнений теории упругости представляет зна-
значительные трудности.
Мы будем рассматривать в дальнейшем только такие задачи распростра-
распространения колебаний, когда граница состоит из отрезков прямых линий (ндоский
случай) иди плоскостей (трехмерный случай).
Переходя к короткому иоторнческому очерку, мы начнем с одного волнового
уравнения. В этом случае задача отражения от плоскости, как мы уже укавы-
вали, не представляет никакого труда. Задачи диффракции для одного волнового
уравнения решались главным обрааом для установившихся синусоидальных режи-
режимов. Обширный материал в этом направлении имеется в одной из предыдущих
глав. Там же имеется ссылка на новую работу Рубиновича, который рассматри-
рассматривает одну специальную задачу диффракции при любых начальных условиях.
Упомянем еще о некоторых работах Зоммерфельда и Лэмба, в которых рассматри-
рассматривалась диффракция общего вида плоской волны относительно ширмы.
Значительно сложнее представляются аналогичные проблемы для уравнений
теории упругости. В 1887 году Рэлей указал для случая полупространства со
свободной границей- некоторое синусоидальное решение, удовлетворяющее пре-
предельным условиям и затухающее с глубиной.
Эта работа Рэлея была источником целого ряда работ, близких хронологи-
хронологически к нашему времени, в которых аналогичные решения даются для более
сложных граничных условий и для случая слоистых тел. Бо всех этих решениях
мы, строго говоря, не имеем задачи распространения определенным образом
локализованного в начальный момент возмущения, а имеем лишь распространение
фа?ы некоторого синусоидального решения, удовлетворяющего предельньш условиям.
В атом направлении пожалуй самым крупным явлением была работа Лэмба
(On the propagation of Tremors over the Surface of an Elastic solid, Phil. Trans.,
1904 p. 203), в которой во всей полноте рассматривалась задача о распростра-
распространении колебаний в полупространстве со свободной границей, как в двухмерном,
так и в трехмерном случае, причем источником колебания являлась сосредото-
сосредоточенная сила, девствующая в некоторой точке поверхности нормально к этой
поверхности. В этой работе впервые была выяснена для распространенного случая
роль поверхностных волн. Общее решение было составлено Лэмбом из бесчислен-
бесчисленного множества решений синусоидального типа, то есть по существу Лэмб поль-
пользовался методом Фурье. Применение этого метода, в связи с наличием непрерыв-
непрерывного спектра собственных колебаний полупространства, привело к довольно зна-.
чи(гелъным математическим трудностям даже в той частной задаче, которая была
рассмотрена Лэмбом.
Что касается законов отражения упругих колебаний, то здесь мы имеем до
настоящего времени решенными лишь наиболее простые задачи, а именно задачу
отражения синусоидальных волн, а также простейшие случаи задачи отражения
плоской волны от прямоугольной границы. Наконец, в задаче диффракции упругих
волн и по сию пору ничего не сделано.
В связи с нашим историческим очерком упомянем еще об одном вопросе,
связанном с теорией распространения колебаний. Мы имеем ввиду вопрос о пре-
прерывных решениях волнового уравнения или уравнений теории упругости.
Во всякой задаче распространения колебаний от локально сконцентрирован-
сконцентрированного начального возмущения мы имеем, по существу, дело с такого рода пре-
прерывными решениями. В важнейших случаях рядом авторов (Рнман, Гюйгенс,
Адамар) были выяснены те дополнительные условия, которым должны удовлетво-
удовлетворять прерывные решения на поверхностях разрывов.
В настоящей главе мы занимаемся следующими проблемами.

470 Механика сплошных сред
Для одного волнового уравнения мы рассматриваем общую задачу диф-
фракции любого начального возмущения, имеющего вид плоской волны, относи-
относительно логарифмической точки разветвления римановской плоскости, причем
начальное возмущение имеет место лишь на одном из листов этой плоскости. Для
решения этой задачи весьма целесообразно несколько расширить класс прерывных
решений волнового уравнения и найти то, что мы называем обобщенными реше-
решениями волнового уравнения. Эти вопросы излагаются в § 7 и 8.
Далее мы переходим к материалу, изложенному в настоящей главе и отно-
относящемуся к теории упругости.
Здесь мы излагаем, прежде всего, общую теорию плоских упругих волн для
полупространства, причем под плоской волной мы понимаем решение уравнение
упругости, удовлетворяющее предельным условиям и зависящее от некоторой
линейной комбинации координат и времени с комплексными коэффициентами.
Далее мы излагаем общую теорию отражения упругих волн некоторого спе-
специального типа от прямоугольной границы (в плоском случае). Это дает нам,
в частности, возможность решить задачу, аналогичную вадаче Лэмба, и для того
случая, когда источник колебаний находится внутри среды. Принципиально важным .
является то обстоятельство, что применяемый нами метод, как показали последние
исследования, которых мы не можем здесь касаться, дает решение общей задачи
о колебании слоистой среды при наличии внутреннего источника.
Далее мы приводим решение задачи о колебаниях упругого полуиространства,
как в двухмерном, так и в трехмерном случаях при любых начальных условиях.
Решение всех задач объединено одним общим методом. Характерным для
этого метода является применение теории функций комплексного переменного
к построению решений волнового уравнения. В § 2 и § 5 мы излагаем основы
этого метода, как для двухмерного, так и для трехмерного случаев.
Весь излагаемый здесь материал возник из работ теоретического отдела
Сейсмологического института Академии наук СССР.
Основные задачи теоретической сейсмологии требовали усовершенствования
математического аппарата в проблемах распространения колебаний. В первую
очередь стоял вопрос о продолжении упомянутой выше работы Лэмба. При этом
казалось, что использование метода Фурье для случая колебания не вполне огра-
ограниченной среды представляется мало целесообразным, и было настоятельно необхо-
необходимо выработать новый метод, который дал бы возможность непосредственно
изучать распространение колебаний, минуя те элементарные решения, которыми
пользуется метод Фурье. ч
Таким новым методом и является общий метод всего дальнейшего исследо-
исследования, а именно, метод комплексных решений волнового уравнения.
§ 1. Задача об отраженна плоских упругих волн
1. Уравнения распространения упругих волн. 'Задача о распространении
упругих колебаний, как мы знаем из предыдущих глав, приводит нас к системе
дифференциальных уравнений для вектора смещения, имеющих вид:
&и „[ т дЬ
A) „~ „, т
т
Для нас представляется несколько удобнее записать эту систему в виде

XII, § 1 Введение 471
одного векторного уравнения, для вектора смещения v с составляющими и, v, w.
Если ввести вместо постоянных G и т так называемые постоянные Лямэ X и ji,
связанные с ними соотношениями:
т— 2 1
то мы дадим уравнениям A) вид:
B) р —g = (X -f- 2[i) grad div v — у rot rot v -j- X.
Уравнения B) могут быть сведены к обычным волновым уравнениям, соответ-
соответствующим выбором известных функций. Посмотрим, как это можно сделать.
Прежде всего, разобьем вектор внешних сил X на два слагаемых, таким
образом, что
X = grad U -f- rot L,
где функция U будет представлять собой так называемый скалярный потенциал,
а вектор L — векторный потенциал.
Уравнения B) будут удовлетворены, если мы положим:
C) v = grad Ф +rot F,
где
D) р^-
и
E) P-^
Действительно, как не трудно видеть: ч
div v = div grad Ф = ДФ,
rot v = rot rot Г,
откуда
grad div v = grad ДФ,
rot rot v = — rot AF.
Подставляя эти выражения в равенства B), легко убеждаемся в справед-
справедливости нашего утверждения.
Формула C) представляет собою общее решение уравнений B). Дока-
Докажем это.
Допустим, что мы разложили каким-нибудь способом вектор смещения v на
два слагаемых:
F) v = V! + v2,
из которых Одно Vj представляет собой вектор потенциальный, а другое v2—ве-
v2—вектор соленоидальный:
G) т, = 0; div v2 = 0.
Подставляя разложение в наши уравнения B) и перенося члены, содер-
содержащие v2 и L в правую часть, а остальные — в левую, получим:
р -pL ~ (х + 2^) erad <U v v, — grad U = —р -^- — О rot rot v2) -f rot L.

472 Механика сплошных сред
Так как для потенциального вектора Tt grad div совпадает с оператором Лапласа,
а для соденоидального вектора v2 rot rot равен оператору Лапласа с обратным
внакон, то мы можем переписать полученное уравнение в виде:
Р ~± - (* + 2|i) Ат4 - grad U= - [р -^ - цДу2 - rot b
В написанном равенстве правая часть представляет собой вектор соле-
ноидальный, а левая — потенциальный; следовательно, обе части не имеют ни
вихря, ни расходимости, и являются так называемым лапласовым вектором,
представляющим собой градиент гармонической функции. Обозначим этот вектор
через vs.
Тогда, мы поЛучим:
Р —™- — РД V2 — rot Ь = — V3.
Однако разбиение вектора v на два слагаемых, которое нами сделано, не
является единственным. Если бы мы ввели вместо \г вектор
t
а вместо т2 — вектор
то векторы v/ и т/ давали бы также разбиение т на два слагаемых, одно потен-
потенциальное, '& другое соленоидальное:
F0 T-V/ + V/.
Кроме того, как легко проверить, V/ и т/ удовлетворяют каждый своему
волновому уравнению:
(8) P-^-(X
(9) ?~^ jiAv,'—rotb = O.
Потенциальный вектор т/, удовлетворяющий волновому уравнению (8),
очевидно может быть представлен в виде градиента некоторого потенциала:
v/ = grad Ф.
Этот потенциал может быть выбран таким образом, чтобы он сам удовле-
удовлетворял волновому уравнению.
Действительно, подставляя в уравнение (8) выражение т/ через потенциал,
получим:
[#2ф I
р -^р-1 = (X + 2^) ^ad ДФ + grad U,
н следовательно
где С—некоторая постоянная.

XII, § 1 Введение 473
Но при этом, мы могли бы, вместо Ф ввести другой потенциал
который удовлетворяет уравнениям:
A0)
(и) ^
Аналогично, векторный потенциал va' может быть представлен как вихрь
некоторого соленоидального вектора:
Подставляя в уравнение (9) вместо та' его выражение через потенциал,
получим:
rot ¦
Принимая во вникание, что F вектор соленоидальный, мы видим, что
выражение
представляет собою ланлаоов вектор, без вихря и бее расходимости.
Если мы теперь рассмотрим, вместо выбранного векторного потенциала F
другой F', отличающийся от него слагаемым
t
W = ? —-f(t~ У) w (f) Я',
P
то, как легко проверить, новый потенциал будет обладать свойствами:
A2)
A3)
Формулы (8), (9), A0), A1), A2) и A3) показывают нам, что задача оо>
интегрировании уравнений упругости сводится к задаче решения ряда волновых
уравнений, для скалярного и векторного потенциалов или для двух слагаемых,,
на которые распадается вектор смещения.
2. Плоская задача. Развитые нами общие соображения значительно упро-
упрощаются в отдельных частных случаях. Разберем несколько примером подоб-
подобного рода.
Положим, что составляющая смещения w и составляющая массовых сил Z
обращаются в нуль, и вся картина движения не зависит от координаты г.
Прежде • всего покажем, что в этом случае потенциалы U и Ь для вектора
массовых сил могут быть выбраны таким образом, чтобы Lx и Ly равнялись
нулю, a U и Ls не зависели от в.
Действительно, пусть мы выбрали, каким-нибудь способом, эти потенциалы.,,
тогда divgrad 27= diY X и не зависит от координаты г\ следовательно
div grad -х- — О,
03

474 Механика сплошных сред
а ш г
и значит -_¦ гармоническая функция. Но при атом существует для нее перво-
первообразная гармоническая функция V. Если мы выберем за скалярный потенциал
внешних сил функцию их = U— V то, очевидно, градиент разности
X = grad (Jv
¦будет вектором ооленоидальным.
dU,
Так как -—-, очевидно, уничтожается, то этот вектор не имеет составляю-
составляюсь
ш,ей по оси s.
Потенциал Ut, как легко видеть, может быть взят за скалярный потенциал.
Далее, для того чтобы наше утверждение было полным, докажем, что для
соленоидального вектора X, независящего от г и лежащего в плоскости ху,
можно взять векторный потенциал в виде Le. Это вытекает из того, что диф-
дифференциальные уравнения
т dLt ¦ v dL' • n — dL~-
ду дх ds
dX . dY л а
совместны, так как -^ -f- -д— = 0, благодаря ооленоидальности вектора.
Точно так же вектор смещения, который для плоской задачи не зависит от s
и лежит в плоскости ху, может быть разбит на два слагаемых потенциальное
и соленоидальное, не зависящих от г и лежащих в плоскости ху. ч
Повторяя теперь все рассуждения, проделанные нами для общей задачи
и замечая, что все поправочные слагаемые могут быть нами выбраны всегда
так, чтобы составляющая вектора смещения по оси г уничтожалась и воя кар-
картина движения не зависела от координаты г, ми придем к разбиению вектора v
на два слагаемых:
v = v1 + v2, .
удовлетворяющих волновым уравнениям и таких, что
div v2 = 0,
rot \\ = 0.
Далее, рассуждая аналогично прежнему, нриходим к уравнениям для
потенциалов <?(х, у) и ty(x, у):
A5)
3. Граничные (краевые) условия. Полупространство. Задача о распро-
распространении упругих колебаний в неограниченной среде, как мы выяснили в пре-
предыдущем параграфе, совершенно эквивалентна задаче об интегрировании системы
лолновых уравнений, и поэтому может быть разрешена элементарно.

ХП, § 1 Введение 475
Однако, когда мы, имеем дело с распространением упругих волн в огра-
ограниченном пространстве, то здесь начинают играть чрезвычайно существенную
роль так называемые граничные или краевые условия. Для задачи теории
упругости естественными граничными условиями будут такие, при которых на
краю задают соотношения между вектором смещения и так называемым тензором
напряжения.
Как известно из предыдущих глав этой книги, тензором напряжения назы-
называется симметричный тензор второго ранга:
« v °
компоненты которого иногда обозначаются •
Хх, Ху,
Y Y
у у у у
Составляющие итого тензора в упругом теле связаны о производными от вектора
смещения при нашем способе выбора постоянных следующей линейной зависи-
зависимостью (закон Гука):
A8)
ди | дг0
Естественные граничные условия должны давать зависимость между соста-
составляющей тензора напряжения в направлении нормали.к площадке границы тела,
которую называют вектором напряжения, действующим на площадку границы,
и вектором смещения.
Самыми простыми среди них будут так называемые условия на свободной
границе и условия на закрепленной границе.
В первом случае уничтожается вектор напряжения, действующего на пло-
площадку границы:
X, = Хх cos (v, x) + Х9 cos (v, у) + X, cos (v, s) = 0,
A9) Yv == Xy cos (v, x) + Yw cos (v, y) + Yz cos (v, s) = 0,
7^ = X, cos (v, x) + У, cos (v, y)-\-Z% cos (v, e) = 0.
Во втором случае, на границе обращается в нудь вектор смещения:
B0) м = 0, f = 0, «> = 0.
Если мы, решая задачу, отыскиваем потенциалы или смещения, то в фор-
формулы A9) или B0) необходимо подставить Ф и Р или гг и т2. Тогда краевые
условия будут выражены в тех же неиввеотных, относительно которых соста-
составлены уравнения.

476 Механика сплошных сред
Рассмотрим задачу о распространении упругих колебаний в полупро-
полупространстве.
Пусть мы выбрали координатные оси таким: образом, что плоскость xz
представляет собой границу нашего полупространства, а ось у направлена по
нормали вглубь упругой среды. Ограничимся, для простоты, плоской вадачей,
то есть будем считать, что » = 0и т =——=0.
02 03
Как мы видели в предыдущем пункте, в этом случае наша задача сво-
сводится просто к решению двух волновых уравнений A5) и A6).
Для того /чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, мы разберек
случав, когда граница свободна. Граничные условия примут при этом вид:
@i> xj =°; Y«\ =о; zj =0.
v ' У\у=о »1» = о У1у-о
Третье условие выполняется автоматически, а левые части двух первых
могут быть выражены через потенциалы.
Простые выкладки дают:
Обовначим для удобства
Так как обе постоянные Ламэ всегда положительны, то аа > Ь2.
Окончательно наша задача формулируется как задача интегрирования
уравнений!
дх* ^ ду*
дх2 ^ Зг/2
с граничными условиями:
0
4. Линейно-поляризованные поперечные волны. Наряду с плоской задачей
теории упругости рассмотрим еще одну вадачу, которая отличается большой
простотой и представляет, как мы впоследствии увидан, значительный теорети-
теоретический интерес.
Допустим, что в уравнениях теории упругости
B6) р -^з = (X + 2[а)grad divv — protrotv + X
составляющие массовых сил X и Y обращаются в нуль, а составляющая Z пред-
представляет собою функцию только от х и у.

XII, § 1 Введение 477
Рассмотрим такое решение этих уравнений, в которой и и v обращаются
в нуль, a w не аависит от г.
При этом два уравнения B6) будут удовлетворены тождественно, а третье
приведется к виду:
то есть превратится в обычное волновое уравнение со свободным членом в двух
измерениях.
Подсчитаем, каковы будут составляющие тензора напряжении при таком
движении.
Очевидно, мы будем иметь:
Решение рассмотренного типа мы будем называть линейно-поляризованной
поперечной волной.
Линейно-поляризованные поперечные волны могут существовать не только
в неограниченном пространстве. Они могут иметь место и в средах, ограничен-
ограниченны! цилиндрическими поверхностями, с образующими, параллельными оси г.
Пря этом мы получим, очевидно, задачу на интегрирование неоднородного вол-
волнового уравнения B7) в области двух переменных х, у.
Граничные условия будут, для закрепленной границы, иметь вид:
B9) Hs = 0.
На свободной границе, очевидно cos(», я) = 0, поэтому из составляющих
вектора напряжения по нормали к площадке границы не будет тождественно
равно нулю только Zn:
дк>
Zn = Za cos (и, х) -\- Z, cos (и, s) = -j—.
Поэтому условие на свободной границе будет:
ди>
C0) -д— = 0.
°п в
Мы видим, таким образом, что задача о линейно-поляризованной волне при-
велаеь к интегрированию уравнения, которое мы в предыдущей главе получили
для -колебания мембраны с теми же граничными условиями.
5. Звуковые волны. Совершенно та же задача об интегрировании волно-
волнового уравнения B7) с граничными условиями B9) или C0) встречается в задаче
«ввуковых колебаниях.
Задача о звуковых волнах получается из общей вадачи теории упругости,
вели предположить, что ц = 0г массовые силы X представляют собой потен-
потенциальный вектор.
При этом остаются справедливыми все формулы, выведенные нами для
лбщей задачи, причем потенциал <j» необходимо считать равным нулю.
Тогда задача сводится к интегрированию волнового уравнения для скаляр-
'ого потенциала <р. В случае твердой, границы мы не можем считать уничто-
мщимиея все составляющие смещения, так как очевидно, что если в среде,
лгорую мы рассматриваем, нет сопротивления сдвигу, то граница не будет
гаять на потенциальные составляющие смещения.

478 Механика сплошных сред
Поэтому граничные условия для твердой границы будут заключаться в том,
что нормальная производная от потенциала, то есть нормальная составляющая
смещения должна обратиться в нуль. Мы приходим к условию:
дп s
совпадающему с 'условием C0).
На свободной границе по той же причине мы должны потребовать уничто-
уничтожения только нормальной составляющей напряжения, которая выражается
формулой:
Чтобы свести ату задачу к предыдущей, введем Р в качестве новой неиз-
неизвестной функции.
Очевидно, что Р удовлетворяет уравнению:
,оол 0 9Р _ W ^ I дР 4- "Р \ 4- / дХ 4- дY 4- d
то есть обычному волновому уравнению.
При этом, условие C1) по типу оовиадает о условием B8).
Для звуковых волн также полезно иногда рассматривать плоскую задачу,
как благодаря ее простоте, так и благодаря тому, что она является, в некотором
смысле, орудием для изучения трехмерной.
Плоская задача звуковых волп по типу уравнений совершенно совпадает
с задачей о линейно-поляризованной поперечной волне. \
6. Класс комплексных решений волнового уравнения. В предыдущих
главах этой книги мы уже встречались с приложениями теории функций ком-
комплексного переменного к уравнению Лапласа в двух измерениях:
Основная мысль, лежащая в основе этого метода, может быть применена
не только к интегрированию уравнения Лаилаоа, но и к решению некоторых
упругих задач, связанных с волновым уравнением для пространства двух
измерений:
это уравнение уже неоднократно встречалось нам на страницах этой книги.
Мы знаем, что произвольное решение уравнения Лапласа C3) всегда может
быть представлено в форме вещественной части некоторой аналитической функции ¦
комплексного переменного
C5) «=R{/4*+ *»)},
где символ R обозначает вещественную часть комплексного выражения. Иначе
формула C5) записывается:
C6) * = \f(* + iy) + \f& + iy\
где символ f обозначает сопряженную функцию комплексного переменного,
то есть такую аналитическую функцию, значения которой отличаются лишь
знаком мнимой части от соответствующих значений функции f в точках, сим-

XI/, § 1 Введение 479
метричных относительно вещественной оси (область, в которой определена
функция /', является, таким образом, симметричной с областью, в которой опре-
определена функция f относительно оси х).
Формула C6), по внешнему виду, совершенно совпадает с интегралом
Даламбера, представляющим общее решение уравнения струны, известное чита-
читателю из предыдущих глав.
Каждое из ее слагаемых в комплексной области представляет собой решение
уравнения C3).
Аналогично этому, можно построить некоторый класс решений волнового
уравнения C4), определяемый с помощью формул, близких по структуре к C6).
Поставим себе задачу: построить класс решений уравнения C4), с помощью-
формулы: ,
C7) « = /2),
где S представляет собой некоторую, определенным образом подобранную, функ-
функцию переменных х, у и t, быть может комплексную, a f—произвольная анали-
аналитическая функция комплексного переменного.
Подставляя выражение C7), в уравнение C4), мы получим:
Благодаря произвольности функции f, мы должны приравнять нулю
коэффициента, при f и при f" порознь. Таким образом, для функции S мы.
получим систему двух уравнений:
\дх
Л_- 4- ^— — - ---=0
которые представляют собою необходимое и достаточное условие того, чтобы
формула C6) давала решение волнового уравнения C3).
Детальный анализ этих уравнений, на котором мы сейчас не можем оста-
останавливаться, дает нам общий интеграл системы C8), задающий функцию Q
в неявном виде. Этот общий интеграл представляет собою уравнение, линейное
относительно х, у, и t:
C9) b~l(Q)t-\- m (Q)x~{~n(Q)y — &B) = 0;
коэффициенты уравнения C9) должны быть связаны зависимостью;
D0)
Тот факт, что уравнения C8) дают решение уравнения C4), легко прове-
проверить непосредственно. Действительно, по формуле дифференцирования неявных

¦480 Механика сплошных сред
функции мы подучим следующие выражения для производных от 2 по коор-
координатам:
92 т B) 92 юB) # 32 _ I B)
"йГ~ 8~; ~ду ?~; ~дГ~ ?~;
D1)
922__J__9_/]m(S)p\ 9*2 _ 1 9 / [и (О)]» \ . 9^2
9a;a ~~ 8l 92 \ 8' /' dy% ~~ 8' 92 \ 8' /' 9B
1 9 /P(S)]«
/
8' 92 \ 8'
_ 1 9 f n(Q)l(Q) \ g2 _ 1 д (l(Q)m(Q)\ _
9у9Т~" 8' 92 \ 8' /' Шдх ~ 8' 92 [ 'ъ' ) ' 9ж9г/~
__ J 9 /отB)иB)\
~" 8' 92 \ 8' J'
где для краткости символом 8' обозначена частная производная от девой части
уравнения C9) по 2.
Подставляя эти выражения в уравнения C8) и пользуясь D0), мы легко
убеждаемся в справедливости нашего утверждения.
Таким обравом, мы видим, что волновое уравнение C4) имеет класс реше-
решений, представляемых формулой C7), где 2 определяется равенством C9), коэф-
коэффициенты которого подчинены, условию D0).
Эти решения являются единственными представимыми в таком виде. По-
Полезно выравить непосредственно производные от f по х, у и t. Путем неслож-
несложных выкладок получим:
<42)
Простейшие решения вида C7), подучаются, например, если положить
i, m и ю постоянными, а функцию &B) положить равной 2. Тогда равенство C9)
принимает вид:
<43) Q
где
и формула C7) дает просто:
{44) u = f(lt~\-mx-{-ny).
Решения вида D4), в некоторых частных случаях, нам уже встречались.
Если все числа I, mid вещественны, то мы получаем так называемую плос-
плоскую волну, которая является простейшим решением волнового уравнения. Может
случиться, однако, что среди коэффициентов I, m, n есть комплексные. Если,
например, от = 1, n = ±i, 1 = 0, то мы опять приходим к внакомому нам общему
интегралу уравнения Лапласа, который конечно удовлетворяет и волновому
уравнению.

XII, § 1 Введение 481
Наконец, если вое три коэффициента, будучи комплексными, отличны от
нуля и аргументы их различны, то мы подучим существенно новое решение,
которое условимся называть в дальнейшем комплексной плоской волной.
На примере плоских волн и гармонических функций легко видеть, что
формула C7) иногда может заключать в себе различное содержание. Действи-
Действительно, для доказательства того, что эта формула представляет собою решение
волнового уравнения, мы производили дифференцирование функции f но веще-
вещественным переменным х, у и t, черев посредство вспомогательной функции й.
Если эта функция 2 при вещественных значениях координат принимает в пдо- *
скости комплексного переменного значения, заполняющие некоторую область, то
мы должны предположить, что функция f дифференцируема в комплексном смысле
внутри этой области. В скрытой форме это предположение, как известно, оодер-
л:ит в себе уравнение Лапласа для вещественной и мнимой частей функции f.
Пример этого рода представляют решения:
Если же функция f принимает совокупность значений, зависящих от одного
вещественного параметра, то есть лежащих на некоторой лилии, то условие
не является необходимым, достаточно дифференцируемости вдоль этой линии
два раза.
Такого рода пример представляют собою обычные плоские водны.
7. Плоские волны. Отражение плоских продольных волн. В плоской
задаче о распространении упругих колебаний плоской продольной волной назы-
называется такое решение уравнений упругости B3) и B4), в котором векторный
потенциал тождественно уничтожается, а скалярный потенциал представляется
формулой вида D4) о вещественными коэффициентами.
Плоской поперечной волной называется такое решение этих уравнений,
в котором скалярный потенциал уничтожается, а векторный потенциал пред-
представляется в виде D4) с вещественными коэффициентами.
Так как очевидно, что коэффициент I не может обратиться в нуль, то его
можно, не уменьшая общности, считать равным единице. Полагая для удобства
т= — 6, мы можем записать продольную плоскую волну в виде:
D5) <? =
4 = 0,
а поперечную плоскую волну в виде:
<р=0,
D6) . ф =
?-«¦*).
Если мы рассматриваем задачу о колебании полупространства у > 0, причем
в вещественное число |6|<— и 1/ —§¦ — б8ф. О, мы будем называть продоль-
продольной волной, идущей по направлению к границе, решение вида:
<47) ?e
; ¦ 4"= о,
1408. — Франк и Мизес. Дифф. уравя. мат. физ.

482 Механика сплошных сред
а продольной волной, идущей но направлению от границы, решение вида:
D8) ?e
Точно так же в поперечной волне, идущей к границе, потенциал ф пред-
представляется формулой:
' D9) ф =
а в поперечной волне, идущей от границы — формулой:
E0) ф=/У*—вж—Т/-А- — 6* А
Геометрический смысл такого названия совершенно очевиден. В волнах,
идущих к границе, плоскости, на которых потенциал сохраняет заданное постоян-
постоянное значение, то есть плоскости
_ — б2 « = const
6a?-fl/ __
при возрастании t передвигаются так, что направление их движения I, харак-
характеризуемое косинусами:
cos (J, ж) = об cos (J, у) = — Yl — a2 6*
cos (i, х) = ъь cos (I, у) = — Yi —
образует тупой угол о осью у.
В волнах же, двигающихся от границы, направление этого движения, харак-
характеризуемое косинусами:
cos (I, х) = ab cos (I, у) = ]/"l —
и
cos (I, х) = ЪЬ cos (I, у) == У" 1 _
образует острый угол с осью г/. Проделанный нами кл лримере общих уравнений
упругости анализ может быть целиком приложен и к более простым случаям
задачи о распространении упругих волн, когда вопрос сводится к одному волно-
волновому уравнению. В равной мере это относится и к теории отражения, к которой
мы переходим. Однако, ввиду того что для более простых случаев вое рассу-
рассуждения будут крайне простыми и.не представляют никакого интереса, мы оста-
остановимся на самом сложном случае общей упругой вадачи.
Нетрудно убедиться, что в чистом виде ни водна, идущая к границе, ни
водна, идущая от нее, не удовлетворяют однородным граничным условиям ни на
свободной, ни на закрепленной границе.
Однако, если составить решение задачи путем наложения нескольких таких
волн, то этим условиям можно удовлетворить.
Физически интересной является задача: по ваданной волне, двигающейся
к границе и называемой обычно падающей волной, определить две отраженные
волны, идущие от границы, продольную и поперечную, таким образом, чтобы
сумма волны падающей и двух отраженных удовлетворяла граничным условиям.

, § i
Введение
483
Для того чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, рассмотрим от-
отражение плоское нродольноЁ волны от свободноЁ границы.
Пусть заданная падающая нродольная волна имеет вид:
E1) ?i =
где очевидно | в| < —.
Будем искать отраженные волны в виде:
-вх-|/-1— в»
E2)
Подставляя в условия B5) (р = <р1-4-?а и Ф» мы получим уравнения для
ояределения постоянных А я В:
Г A — 26262) A-f А) — 2ЪЧ 1/ -1 —fia^l f" (t — 6ж) = О
E3)
Отсюда легко определяем значения постоянных J. и ?:
E4)
А = -
В:
Знаменатель полученных дробей всегда положителен и решение всегда
имеет смысл.
Отметим некоторые геометрические следствия формул E1) и E2).
Если назвать углом падения волны угол bv который составляет нормаль
к поверхности
E5)
-х. _ 62 « = const,
с направлением отрицательных у, а углами отражения % и %—углы, кото-
которые составляют поверхности f
E6)
E7)
— Ьх — 1/ —г- — 6a« = const
t— 6я — 1Л -^ — б2 у = const,
31*

484
Механика сплошных сред
с направлением положительных «/-ков, то для отраженной продольной волны
угол падения равен углу отражения &j = Ь^ а для отраженной поперечной отно-
отношение синуса угла падения к синусу угла отражения равно отношению скорости
волны продольной к скорости волны поперечной:
sin &х об о
Этот закон иввестен ив элементарной физики.
8. Отражение поперечных волн. Задача отражения поперечных волн
типа D6), не представляет никаких новых трудностей, если 6 < —, и решается
совершенно аналогично первой.
Если падающая волна задана формулой:
E9)
где 6 < — то отраженные волны можно искать в виде:
а
F0)
F1)
F2)
откуда, предполагая f фО, находим постоянные:
^ = 2^-8*-]/^- Фу}.
Подставляя в формулы B5) <р и 4" = 4»i + Ц*а» получим:
[A — 26262) С7+ 2W1» у -i- _ 82 A _ 27)If ((_ Ьх) = О
F2а)
•б*
Формулы E9), F0) и F1) опять, как прежде, дают закон синусов.
Однако, случай 6 > — дает уже. нечто принципиально новое.
Этот случай называется обычно случаем полного внутреннего отражения.
Одно ив характерных его свойств заключается в том, что синус угла отра-
отражения продольной волны, вычисленный по закону синусов
оказывается больше единицы и, "следовательно, вещественного угла отражения
для продольной волны в обычном синоде слова не существует.

XII, § 1 Введение 485
^ Поэтому наша старая постановка задачи теряет смысл. Мы не можем
в данном случае требовать, чтобы продольный потенциал соответствовал в этом
случае отраженной волне. Однако, если вместо нашего первоначального требо-
требования поставить себе просто условие ограниченности вектора vt = grad <р, пред-
представляющего продольную волну, то задача решается вполне и притом единствен-
единственным образом. Для ее разрешимости необходимо только, чтобы функция f {х)
была везде ограничена.
Мы, приходим к следующей формулировке.
Для заданной падающей: поперечной волны E9) найти такую отраженную
поперечную волну, а также продольное возмущение с ограниченными смещениями,
чтобы сумма их удовлетворяла граничным условиям.
Разберем сначала частный случай задачи. Пусть в формуле E9) функция f
является комплексной и представляет собой просто значения на вещественной
оси некоторой функции комплексного переменного, регулярной в верхней полу-
полуплоскости, производная которой ограничена в этой полуплоскости.
Оставляя в стороне доказательство единственности, дадим здесь окончатель-
окончательный результат. '
Решение задачи мы будем искать в виде:
(во')
где Сх и Dx какие-то постоянные. ¦
Благодаря сделанному нами допущению, обе эти формулы имеют опреде-
определенный смысл.
Не трудно далее определить постоянные С, е Д, с помощью совершенно
аналогичных прежнему выкладок. Мы получим таким образом:
F20
46
B6*-^) /-ir-
Формулы F00, F10 и F20 получаются из F0), F1) F2) и F2а) простой
1/ -\ — 6* на —г Л/ \ — Ф.
у а* / у а*
Совершенно аналогично решается задача для того случая, когда f=fz
представляет собою аналитическую функцию,1 заданную не в верхней, а в ниж-
нижней полуплоскости.
При этом формулы F0) и F1) переходят в:
F00
F10

486 Механика сплошных сред
а коэффициенты Gа и Х>2 даются формулами:
F2")
Решение этих двух частных задач позволяет получить ответ на вопрос
и в общем случае.
Пусть f (х) некоторая вещественная функция, определенная при всех веще-
вещественных значениях аргумента. Допустим, что эта функция имеет непрерывную
первую производную, а вторая производная существует и удовлетворяет неравенству:
Функция f(x) может быть представлена в виде:
причем функция ft (x) представляет собою функцию комплексного переменного,
определенную и регулярную в верхней полуплоскости, обладающую тем свой-
свойством, что fi (х) ограничена в этой полуплоскости, а функция fa (x) является
регулярной в нижней полуплоскости и имеет там ограниченную производную.
Доказательство этого утверждения элементарно. Вещественная часть функ-
функции /", (х) может быть построена как гармоническая функция, определенная
и ограниченная в верхней полуплоскости комплексного переменного х и прини-
принимающая на вещественной оси значения, совпадающие с f (x). Совершенно также
вещественная часть f2 (я) представляет собою ограниченную гармоническую
функцию в нижней полуплоскости. Вещественная часть f2(x) на вещественной
оси совпадает с f(x).
Непосредственно очевидно, что значения вещественных частей fx {x) и f2 (x)
в точках, симметричных относительно вещественной оси, совпадают.
Из принципа симметрии Шварца вытекает, что их мнимые части в этих
точках отличаются знаком.
Таким образом ft (x) и f2 (x) будут представлять собой сопряженные функции.
Из ограничений, наложенных нами на f (x), вытекает ограниченность /"/ \х)
и U (х).
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим конформное преобразование % = ' . ,
переводящее верхнюю полуплоскость в круг единичного радиуса.
Функция f {x) переходит при этом в функцию «' E). Мы будем иметь:
'©4—"ю 2i
и так как, по предположению, f (х) • х2 ограничена при вещественных вначе-
ниях х, то будет ограниченной и ш" (?) на окружности |S| = l, но при этом
ю' (S) будет ограничена вевде внутри круга | ? | = 1. Так как «' (?) = f ($), то
наше утверждение доказано. ,

XII, § 1 Введение 487
Перейдем к решению общей задачи об отражении, когда падающая волна
представляется в виде:
где f произвольная вещественная функция. При-,- >6> —мы разобьем <J»t на
два слагаемых, пользуясь только что изложенной теорией. Мы получим при
8Т0М
Решая затем задачу, для каждого слагаемого порознь, мы получим ответ,
складывая результаты.
Таким путем мы получим формулы:
Так как постоянные Dt и 2>2, а также Ct и Сг являются комплексными
еопряженными, то мы можем записать результат в виде:
[
F3) I
{
Отметим один случай, особенно часто встречающийся при изложении этих
вопросов, когда функция fx задана формулой:
F4)
При этом поперечный отраженный потенциал будет иметь вид:
F5) ^ = 1
Так как Dt по модулю равно единице, то амплитуда отраженных волн будет
равняться амплитуде падающих.
Энергии той и другой волны будут совпадать. Поэтому этот случай полу-
получил название полного отражения.
Продольная волна при этом будет затухать по экспоненциальному закону
е возрастанием координаты у:
F6) ?=е~

488
Механика сплошных сред
9. Поверхностные волны Рэлея. Мы разобрали решения задачи о коле-
колебании полупространства, в котором сначала оба потенциала, продольный и по-
поперечный, были вещественными плоскими волнами, падающими' и отраженными;
затем только поперечный состоял из плоских волн, продольное же возмущение
было комплексной плоской, волной с ограниченными смещениями.
Возникает вопрос: не существует ли таких решений, в которых как про-
продольное, так и поперечное возмущение -были бы комплексными плоскими волнами
с ограниченными смещениями.
Оказывается, что такие решения для случая свободной границы суще-
существуют.
Выбирая в дальнейшем для потенциалов такие функции комплексного
переменного, производная которых обращается в нуль на бесконечности, мы по-
получим решения, в которых смещения в далеких точках полупространства будут
сколь угодно малы. Весь эффект сказывается, таким образом, только в точках
поверхности.
По этой причине, волны такого типа называются поверхностными волнами.
Переходим теперь к более детальному анализу теории поверхностных волн.
Допустим, что продольный потенциал <р задан формулой:
(G7)
где 6 вещественное число и 161 > -т-, и где /", — функция комплексного пере-
переменного, регулярная в верхней полуплоскости и такая, что | f1'' | ^ JdT для этой
полуплоскости.
Попробуем искать условия, при которых потенциал ^ может быть задав
в виде:
F8) <}.= <?/
Ox
Подставляя выражения F7) и F8) в условия B5), нолучнм:
— 26263) -f 2ib*6 у 62 —^- Gt I f" (t — О.г
F9)
Приравнивая нулю оба коэффициента при f, мы получим систему двух
уравнений для определения одной постоянной G^. Эти уравнения допускают
решение, Отличное от бесконечности, лишь в том случае, когда определитель
G0)
— 2гв 1/
V
Ь2 /
обращается в нуль.
Мы получим, таким образом,
гаемого типа:
условие существования решений предпола-

предполаXII, § 1
Введение
489'
Уравнение G1), называемое обычно уравнением Рэлея, как мы докажем
далее, имеет единственный вещественный положительный корень, лежащий
в промежутке — < 6 < оэ, и другой, равный ему по модулю, отрицательный.
Обозначая этот корень через — и подставляя всюду — вместо 6, мы полу-
С С
чим после элементарных выкладок окончательный результат:
G2)
G3)
„ С V Са От
а — _?
с* б2)
б2
Совершенно аналогично, рассматривая функцию f2, определенную в нижней:
полуплоскости, мы придем к формулам:
G2')
\ с2 й2 /
Z
б2
G30
Полусумма решений вида G3) и G3'), если ft и /"а сопряженные функции^
дает нам, очевидно, вещественную функцию. Результат, полученный нами, может
быть при этом записан в виде:
G4)
Волны типа G4) по имени Рэлея, впервые указавшего существование-
частных решений такого типа, называются рэлеевскими волнами или поверх-
поверхностными R волнами.
Они имеют большое значение в сейсмологии и наблюдаются неизменно
при каждом землетрясении.
Качественный характер полученных решений представляется довольно-
интересным. Вся картина движения с течением времени, очевидно, перемещается
вдоль оси х-оъ со скоростью с, оставаясь в целом неизменной. Наблюдатель,
движущийся со скоростью с вдоль оси х, видел бы вместо движения покой,
'.исло с называется обычно рэлеевской скоростью.

490 Механика сплошных сред
Так как максимальные значения как вещественной, так и мнимой частей
-функции комплексного переменного находятся на контуре, то вектор смещения
¦будет иметь максимальное значение на поверхности полупространства и будет
убывать вглубь средн. Закон этого убывания может быть различным в раз-
различных случаях.
В случае, указанном Рэлеем, когда функция
<75) /
убывание происходит по показательному закону.
Для того чтобы закончить наше исследование, нам остается только рас-
рассмотреть уравнение Рэлея G1).
Существование корня у этого уравнения легко установить, следя за изме-
изменением знака левой части, которая положительна при б = —- и отрицательна
?при 6 — со, так как разложение ее в степенной ряд в окрестности бесконечно
удаленной точки начинается с члена:
¦ \Ь* а*)'
Единственность этого корня вытекает из постоянства знака производной от
левой части в этом промежутке. Действительно, эта производная равна:
86 б2 — ¦
{

XII, § 1 Введение 491
{
Первое слагаемое этой суммы отрицательно, так как
(»8-^)>
а второе — по той причине, что
Величина рэлеевской скорости для случая X = ц. (гипотеза Пуассона) при-
приближенно равна 0,91946.
10. Общие формулы комплексной теории отражения. Разобранные нами
четыре задачи об отражении и о поверхностных волнах, несмотря на кажущееся
формальное несходство в их ретении, могут быть объединены в двух простых
формулах. Чтобы получить эти формулы в наиболее простом виде, положим
в формуле E1) для задачи об отражении продольной волны:
G6)
В качестве окончательного решения этой задачи мы получим следующие
формулы для продольного и поперечного потенциалов:
G7)
« = 4б/262—1.
Точно также, положив в формуле E9) для задачи об отражении попереч-
поперечной волны при 6 < —:
78)

?92 Механика сплошных сред
можем написать окончательный ответ в форме:
G9) \
Формулы G7) и G9), очевидно, при всяких комплексных значениях 6 дают
решение задачи о колебаниях полупространства, удовлетворяющее граничным
условиям, если только функции ft и f2 определены в соответствующих ком-
комплексных областях.
Легко убедиться, что в них содержатся все рассмотренные нами задачи.
Рассмотрим все решения, даваемые этими формулами.
Прежде всего, очевидно, что коэффициент 6 должен быть вещественным.
Действительно, если предположить, что он комплексный, то, давая х и t раз-
различные вещественные значения, можно получить для аргумента fx или / любое
комплексное число. Если потенциалы ср иди $ предположить ограниченными
для рассматриваемых нами значений х, у, 2, то, по известной теореме
Лиувилля, функции ft и /'л должны быть постоянными. Таким образом для
комплексных 6, в нашем предположении, могут существовать лишь тривиаль-
тривиальные решения. Формулы G7) и G9) для вещественных значений
в при <б<—, очевидно, дают простейшие решения, рассмотренные нами.
Для значений 6 из промежутка—<в<-г- формула G7) не дает никаких ре ше-
V «2
яий, кроме тривиальных. Действительно, так как радикал 1 / —^ — 6а при этих
условиях чисто мнимый, то при положительных у одно из слагаемых в выра-
выражении <? будет лежать в верхней полуплоскости, а другое в нижней. Следова-
Следовательно, опять как и при комплексных 6, функцию ft придется считать ограни-
ограниченной во всей плоскости и, следовательно, сводящейся к постоянной. Наоборот,
формула G9) может иметь смысл при этих значениях.
V а2
Если радикал 1/ —^—б2 считать положительно мнимым, то аргумент
функции f2 в выражении для ф внутри полупространства попадает в нижнюю
полуплоскость.
Предполагая функцию f2 ограниченной в этой полуплоскости, мы получим
решение задачи об отражении для случая полного внутреннего отражения,
когда угол падения больше предельного. Формула G9) для этого случая вполне
эквивалентна F0"), F1") и F2"). Давая отрицательно мнимое значение радикалу
1 / -у— б2 и предполагая функцию f2 ограниченной в верхней полуплоскости,
мы получим формулы F0'), F1') и F20-
Формулы G7) и G9) позволяют легко получить и волны Рэлея.
При вещественных значениях 6>-=-, вообще говоря, мы должны на осно-
основании прежних соображений считать функции fx и fz равными постоянным.

XII, § 2 Общий анализ комплексных решений 493
Однако, при значении Ь = =t — коэффициент при первом слагаемом в формулах
С
G7) для <о и G9) для ty обращается в нуль, если выбрать
л/ ——в2 одного знака мнимости. При этом значения аргумента функции /",
или /а в обеих формулах будут лежать лишь в одной полуплоскости.
Легко проверить непосредственно, что результаты совпадут при этом с фор-
формулами G3) или G3').
*
§ 2. Общий анализ комплексных решений
1. Однородные комплексные решения волнового уравнения. Внутрен-
Внутренность основного конуса. Для того чтобы изучить более детально введенные
нами в прошлом параграфе комплексные решения, не сводящиеся к плоским
волнам, полезно разобрать один пример, имеющий теоретическое значение. Пусть
в формуле C9) § 1 свободный член Тс B) тождественно равен нулю. Если l(Q)
не обращается в нуль, то, разделив уравнение на соответствующий делитель,
мы можем добиться того, чтобы было справедливо равенство
I B) = а.
Далее, так как произвольная функция- от Q является функцией любой
переменной, зависящей только от 2, то класс решений C7) § 1 может быть
представлен в виде:
A) « = /4Q.
где С комплексная переменная, зависящая от 2. Пусть тB) не равно постоян-
постоянной. Тогда, пользуясь отмеченной функциональной инвариантностью нашего класса
решений, определим комплексную переменную С по следующей формуле:
Так как, по нашему предположению, m(Q) не сводится к постоянной, то
класс решений, даваемых формулой A), совпадает с классом, даваемым функ-
функциями f(Q). -
В силу условия D0) § 1, коэффициент п может быть сразу вычислен;
мы получим, таким образом:
пш) = гг:
Для того чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, выберем знак -f-.
При этом окончательно мы получим для С уравнение:
B) -*--
Удобнее всего решается это уравнение введением полярных координат.
Полагая «=s=pcos&, y — psmb, получим:
C) с-^М+уЧ—Ъ

494 Механика сплошных сред
откуда
Формула D) является удобной в том случае, когда
E) И^р.
Если же
F) И|Э=Р,
ю удобнее придать этой формуле несколько другой вид:
<(»±агссов—)
G) - С = е р .
Произведем анализ этих случаев порознь. В трехмерном пространстве с коор-
координатами х, у и t, область E) представляет собой внутренность конуса с вер-
вершиной в начале координат и осью, параллельной оси t. Угол, составленный обра-
образующей этого конуса с осью t, равен arctga.
Рассмотрим сначала ту половину конуса, где t > 0.
Внутри этой половины мы будем, очевидно, иметь два корня D). Обозначим
их, соответственно:
D") ^ =
He трудно видеть, что оба корня D) сохраняют постоянное значение на
полупрямых, проходящих через вершину конуса
(8) <Л« = р».
Очевидно, что область изменения Сг представляет внутренность круга:
(9) |С,|<1,
а область изменения Cg внешность этого крута.
Точки d и Са, соответствующие одному и тому же лучу, симметричны отно-
относительно окружности |С| —1.
Между лучами в пространстве х, у, t, лежащими внутри конуса, и плос-
плоскостью комплексной переменной Сх или С2 существует простое однозначное
соответствие. При исследовании этого соответствия удобно пересечь конус E),
плоскостью t = const. При этом мы получим в сечении круг в плоскости, опре-
определяемый тем же неравенством E). Каждому лучу, проходящему внутри конуса,
отвечает некоторая точка внутри круга. При этом задача сведется к исследова-
исследованию соответствия между кругом (9) и кругом E).
Каждому радиусу круга E) О = const отвечает радиус круга
и каждой окружности с центром в начале р = const отвечает окружность:
I ^1 I ~~~ '"" "" \/ ^ ' ' -*¦ j
Р г Р
причем большей окружности соответствует ббльшая, контур одной контуру другой
и центр одной центру другой. Точки Ct и С2, соответствующие одной и той же
точке р и ft, являются симметричными относительно окружности, так как аргу-
аргументы их равны, а произведение модулей равно единице.

XII, § 2 Общий анализ комплексных решений 49В~
Поэтому соответствие круга (9) внешности круга F) носит такой же про-
простой характер. Радиусу отвечает радиус и притом идущий под тем же углом-
Окружности с центром в начале отвечает окружность с центром в начале,
причем бблыпей отвечает меньшая и наоборот. Центру круга (9) отвечает беско-
бесконечно далекая точка области F), а контуру (9) контур F).
Подобно тому как мы складывали в предыдущем параграфе сопряженные-
функции от сопряженных комплексных переменных, чтобы получить веществен-
вещественное решение задачи, здесь можно получить вещественное решение задачи, скла-
складывая соответственно подобранные функции С, и C<j.
Всякая функция Сг или С2 может быть рассматриваема как функция пере-
переменной
(Ю) Ei^
или соответственно
(и) *2=
Переменные ?, и ?2 будут, очевидно, иметь сопряженные значения во всех»
точках пространства ж, г/, t, так как их вещественные части, равные 0, совпа-
совпадают, а мнимые обратны по знаку, как логарифмы обратных величин.
Рассмотрим две сопряженные функции ft (Sj) и /"а B2) от переменных Jj и ^,
принимающих в точках, симметричных относительно вещественной оси, значения,
отличающиеся лишь знаком мнимой части. Эта пара функций заменой A0) к
A1) превращается в функции:
обладающие тем свойством, что значения их в точках, симметричных относительно»
окружности |С| = 1, отличаются лишь знаком мнимой части. Мы будем называть,
пару функции A2) сопряженными относительно окружности (9).
Вещественные решения волнового уравнения получаются в виде полусуммы)
функций A2):
A3) « = у{<
или иначе, в виде:
A4) • = Я{»1<Ы].
Функция и, определенная уравнением A4), дает нам некоторое веществен-
вещественное решение волнового уравнения C4) § 1, являющееся г однородной функцией,
нулевого измерения относительно х, у и <. Можно доказать, что все такие реше-
решения выражаются формулой A4).
{ Действительно, всякая однородная функция нулевого измерения относи-
относительно х, у и t внутри конуса E) является функцией только двух переменных:
A5) 0 и r= ™
Вводя в волновое уравнение C4) § 1 новые независимые переменные г и О,
¦ы после элементарных выкладок приведем его к виду:
г дг

496 Механика сплошных сред
Уравнение A6) представляет собою уравнение Лапласа в полярных коорди-
координатах и общий интеграл его представляется в виде:
что и доказывает наше утверждение.
Весь анализ, произведенный нами для верхней половины конуса, может быть
без всякого изменения перенесен на нижнюю его половину.
Нам будет удобнее переменить там обозначения, считая для t < О
При этом опять d будет отвечать внутренности единичного круга, а С2 его
внешности.
Разница с предыдущим будет только в том, что аргумент Cj и С2 будет
"равен Bй -4-1)гс (&=..., — 1, О, 1, .. .)> так как оба выражения
Р ~V Р2
отрицательны.
Окончательный результат будет иметь вид:
или
как и в предыдущем случае.
'2. Внешность основного конуса. Переходим теперь к рассмотрению
внешности конуса F). Легко проверить, что оба корня G) в этом случае будут
по модулю равны единице. Как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, мы не
обязаны при этом считать функцию f аналитической функцией; достаточно предполо-
предположить, что это произвольная (например, вещественная) функция переменного С,
определенная на окружности единичного радиуса и дифференцируемая два рава
вдоль этой окружности.
Формулы G) имеют простой геометрический смысл. '¦
Положим для определенности при t > 0:
* ( Р + »ГС008 )
<7') С3 = е ' Р
i,y<? —,»rooos j
•G*) С4 = е р .
При фиксированном t > 0 проведем в плоскости ху окружность радиуса at,
•с центром в начале координат (рис. 46).
Из точки Ж с координатами {х, у) проведем две касательные к этому кругу
ША и MB. Тогда, как видно из рисунка,
то есть углу, составленному радиусом-вектором, проведенным в точку касания О А,
с осью х. Аналогично
<20) -
яо есть углу, составленному другим радиусом-вектором ОВ с осью ж.

XI/, § 2
Общий анализ комплексных решений
497
Переменная Cs сохраняет постоянное значение вдоль каждой нолукасатель-
ной к кругу (8), направленной в отрицательном направлении, равное е**°, где 90
аргумент точки касания, а переменная С4 сохраняет постоянное значение вдоль
каждой полукасательной, направленной в положительную сторону; это значение
также равно е***.
При непрерывном переходе t из области положительных значений в область
„ at \at\
отрицательных значении arccos— переходит в к — arccos J—L.
Таким образом, при t < О мы должны считать:
(П
GIV)
<(?+-=-<
JELL)
M.
M
Рис. 46-
Рис. 47.
Это приводит нас к такому геометрическому построению. В плоскости проводим
круг радиуса \at\ (рис. 47). '
Для точки М с координатами (х, у) строим симметричную с ней точку М1
с координатами (— х, '—у), и проводим две касательных к нашему кругу —
МгА и МкВ. Тогда
B1) argC3 = XO^,
то есть равен углу, составленному радиусом-вектором О А с начальной осью х,
B2) argC4=XO?,
то есть равен углу, составленному радиусом-вектором ОВ с начальной осью х.
Переменная С8 сохраняет постоянное значение вдоль полукасательных к кругу
(8), проведенных в положительном направлении, так как для точек М, лежащих
на такой полукасательной, точка ilfj также попадает на такую полукасательную.
Это значение равно е*(9о+|с), где 00 аргумент точки касания.
Точно так же переменная С4 сохраняет постоянное значение вдоль полукаса-
полукасательных к кругу (8), проведенных в отрицательном направлении, и это значение
равно е<(»'-к).
Результаты, полученные нами в пространстве х, у, t, могут быть изображены
на следующем рисунке (рис. 48).
Переменная С3 сохраняет постоянное значение на касательных полуплоско-
полуплоскостях к конусу, направленных при положительном t в отрицательную сторону,
32 Зак. 1406. — Франк ж Мкзес. Джфф. уроен. нас.

498
Механика сплошных сред
а при отрицательном t в положительную. Переменная ^ сохраняет постоянную
величину на других полуплоскостях.
Всякая функция, сохраняющая постоянное значение на плоскостях одной из
этих систем, является функцией С3 или С4 и удовлетворяет волновому уравненвю,
если только существуют ее вторые частные производные.
Сумма двух функций такого типа'. .
является решением волнового уравнения, представляющим собою однородную
функцию нулевого порядка относительно х, у и t. Крохе того, справедливо и
обратное заключение.
Всякая однородная функция нулевого порядка в области F), удовлетво-
удовлетворяющая волновому уравнению, может быть представлена в виде B3). Для дока-
= const
Рмс. 48.
зательства достаточно заметить, что такая функция зависит только от чдвух
аргументов:
B4) & и 7] = arecos —.
Подставляя аргументы B4), в качестве независимых переменных, в волвовое
уравнение, мы приведем его к виду: ч
B5)
дЧ d^i. — n
Для уравнения B5) легко написать общий интеграл Даламбера:
Отсюда, вводя опять С3 и С4, получим формулу B3). Наша теорема доказана.
3. Кинематические и динамические условия совместности. Характе-
Характеристики. До сих пор мы все время предполагали, что решения волнового урав-
уравнения и уравнений теории упругости имеют непрерывные вторые производные.
Однако, с математической стороны представляет значительный интерес рассмо-
рассмотрение решений, в которых уже первые производные имеют конечные или беско-
бесконечные разрывы.

XII, § 2 Общий анализ комплексных решений 499
Такие решения оказываются весьма полезными при решении общих задач
теории распространения колебания.
Однако, этим не исчерпывается значение разрывных решений.
Целый ряд физических задач, по существу, лучше всего решается с помощью
функций, имеющих разрывы первых производных.
Разберем один простейший класс таких решений, являющийся наиболее
важным по своим приложениям.
Положим, что функция и, удовлетворяющая волновому уравнению C4) § 1,-
имеет разрывы первых производных на некоторой системе конечного числа про- '
стых линий,, движущихся в плоскости ху. В пространстве х, у, t функция и
будет иметь разрывы первых производных на конечном числе поверхностей, отно-
относительно которых мы предположим, что они имеют определенную касательную
плоскость, меняющуюся непрерывно, и ограниченные кривизны везде, кроме, может
быть, конечного числа особых точек.
Предположим далее, что сама функция « непрерывна во всем пространстве.
Возьмем какую-нибудь точку Мо на некоторой поверхности разрыва 2 и
лежащую вблизи нее точку непрерывности М.
Изучим поведение первых производных от « в точке М при стремлении ее
к Мо по путям, некасательным к поверхности разрыва, и сделаем несколько
гипотез относительно этого поведения.
Проведем в точке Мо нормаль к поверхности 2! направление этой нор-
нормали обозначим через v0. Кроме того рассмотрим еще направления касательных
к 2 в точке Мо. Через т0 обозначим какое-нибудь одно из этих направлений.
Предположим, что производная от и по любому направлению ~0 при стре-
стремлении М к Мо но любому некасательному пути стремится к определенному
пределу, совпадающему с производной от и вдоль 2 • Мы допустим далее, что
это стремление — равномерное для всех точек поверхности разрыва и для всех
путей, отличающихся от касательных на любую наперед фиксированную вели-
величину. Иными словами, если мы построим в точке Ж поверхности разрыва конус
с определенным углом растворения, ось которого совпадает с нормалью к поверх-
поверхности, то стремление производных по -0 к пределу будет равномерным для
всех М, лежащих внутри такого конуса.
Далее, допустим, что при стремлении М к Мо по некасательному нути,
производная от « по v0 в точке М либо имеет определенный предел, вообще
говоря, различный но обеим сторонам 2> стремление к которому равномерно
в описанном смысле и который представляет собой непрерывную функцию, либо
равномерно стремится к бесконечности определенного знака с одной или* с обеих
сторон.
Функцию, удовлетворяющую этим условиям, мы будем называть функцией
с правильными сильными разрывами. Иногда эти условия называют кинематиче-
кинематическими условиями совместности движения.
С кинематической точки зрения, условия совместности представляют собою
просто условия дифференцируемое™ функции и вдоль поверхности разрыва и не
содержат в себе никаких глубоких физических соображений.
Математически, кинематические условия совместности движения, то есть
условия правильности разрывов заключаются в том, чтобы выражения:
B6)
32*
ди , . ди , „
д? cos <vo> 2/) — Щ cos <v0' *) = Л/„
ди / Л ди . ,,
¦щ COS (Vo, 0 — — COS (Vo, у) = М2,
ди ди ... „,
-щ- COS (VO, X) — j^ COS (V,,, t) = Мъ

500 Механика сплошных сред
были равномерно непрерывны при прохождении через поверхность в том смысле,
как это отмечено выше, а выражение
B7) ^r cos(vo, х) 4- -щ-cos (vo, у) + -^ cos (v0, t) = Mt
равномерно стремилось б непрерывному пределу или к бесконечности определен-
определенного знака на каждой стороне 2"
Кроме кинематических условии совместности мы наложим на наши решения
еще некоторые ограничения, вытекающие из самого физического характера задачи.
Мы потребуем, чтобы данное решение с правильными сильными разрывами
могло быть приближенно представлено решением, не имеющим этих разрывов и
имеющий непрерывные первые проигводные с любой наперед заданной точностью.
Иными словами, данное решение и должно быть пределом некоторой после-
последовательности непрерывных решений:
B8) u — limun.
При этом и„ и касательные производные от «„ должны стремиться к и или
соответственно к касательным производным от и равномерно во всем пространстве.
Нормальные производные от ип должны равномерно стремиться к нормальным
производный от и во всякой области, не содержащей поверхностей разрыва.
Из этого предположения вытекает одно весьма важное следствие.
Пусть S некоторая поверхность в пространстве х, у, t, некасательная
к поверхности разрыва и имеющая кусочно непрерывно меняющуюся касатель-
касательную плоскость.
Рассмотрим интеграл, взятый по этой поверхности:
где а, 6 и с совершенно произвольные, непрерывные и дифференцируемые функции.
При сделанных нами допущениях можно утверждать, что
C0) /
S
Докажем это утверждение сначала для одного простейшего случая. Пусть
поверхность S представляет собою часть плоскости t = 0, а поверхностью раз-
ди ди
рыва служит плоскость х = 0. Тогда, по предположению, « , --^- и -"- равно-
ду at
ди ди
мерно стремятся соответственно к «, -^- и -L--
/ ay at !
Подставляя вместо dS его выражение dS=dxdy, легко убеждаемся, что
Рассмотрим теперь:
lim I I a -~- dx dir
n^-ooj J dx •/I
s
интегрируя по частям по х, получим:
a-fardxdy= J <™ncos(y,x)dl— J j un~dxdy,
Я
J
где через I обозначен контур поверхности S.

XII, § 2 Общий анализ комплексных решений 601
Отсюда, переходя к пределу и интегрируя по частям еще раз, получим:
С С да )
х) dl — I I к —— dx dy > =
J J ox J
s
= | аи cos (v, x) dl — I I uj^dxdy= j ja — dxdy.
I S S
Сопоставляя эти результаты, получим:
lim Jn= J,
что и требовалось доказать.
Для того чтобы доказать наше утверждение в общем случае, достаточно
просто произвести замену независимых переменных, введя систему криволинейных
координат X, Г, Т таким образом, чтобы поверхность Х = 0 являлась поверх-
поверхностью разрыва, а поверхность Т—0 поверхностью S. При этом мы сразу при-
придем к уже разобранному случаю. .
Таким образом, теорема доказана.
Условия, наложенные нами на решения волнового уравнения, иногда назы-
называют динамическими условиями совместности.
Смысл этого названия мы выясним подробно несколько позднее.
В литературе, вместо приведенного нами определения, мы можем часто
встретить другие, которые совпадают с данными для громадного большинства
практически важных задач, но для наших целей удобнее использовать именно
это определение.
Посмотрим, какие математические следствия можно вывести из этого опре-
определения.
Для этого вспомним так называемую формулу Грина для линейных уравнений
второго порядка. В применении к волновому уравнению эта формула имеет вид:
C1)
S
Если мы ноложим в этой формуле
то получим:
C2)
где S любая замкнутая поверхность.
По доказанному в формуле C2), если поверхность <S не касается моверх-
ности разрыва, можно перейти к нределу под знаком интеграла.
Таким образом, мы получим:
C3)
Формула C3) иногда называется законом импульсов.
Если мы предположим, что некоторая функция и с непрерывными произ-
производными до второго порядка удовлетворяет условию C3) для произвольной

502 Механика сплошных сред
поверхности S, то отсюда вытекает, что эта функция удовлетворяет волновому
уравнению.
Действительно, применяя эту формулу к объему V, ограниченному поверх-
поверхностью S, получим:
/Я
? и dx dy dt = 0.
Ввиду произвольности объема V
D« = O, .
что и требовалось доказать.
Условие C3) является, как мы видели, непосредственным следствием сде-
сделанных нами предположений B8). Можно доказать и обратное. Из условия C3)
вытекает, что функция и является пределом накоторой последовательности B8),
причем стремление к пределу имеет место с такими оговорками, как это было ука-
указано выше. Мы не будем однако останавливаться на этом детальнее.
Второе важное следствие формулы C3) сво-
сводится к тому, что поверхности разрыва у правиль-
правильных решений должны иметв очень специальный
характер.
Переходим к анализу этого обстоятельства.
Опишем вокруг некоторой точки Мо, лежа-
лежащей на поверхности разрыва 2 > °ФвРУ ° достаточно
рис 49. малого радиуса, такую, что нормали в 2> прове-
проведенные из точек внутри а, не встречают больше 2
внутри этой поверхности (см. рис. 49), и проведем две поверхности, параллель-
параллельные 2 й близкие к ней:2 и 22* Обозначим через Vi и V2 области, ограничен-
ограниченные 2i и о и соответственно V2 и о, не содержащие точек V- Части сферы о,
являющиеся границами этих областей, назовем соответственно о, и о2.
Применяя к поверхностям, ограничивающим Vx и V2, формулу C3), получим:
-^ cos («, х) -f- ¦— cos (п, у) — -2 ~ cos (n, t)\ dS-{-
F4)
Шди . ди . . ^ v.. / Л i лс л
-т- cos (п, х) 4- -7Г- cos (п, у) 5- —- cos (и, t) dS = 0;
дх ¦ ду a2 dt
ЯГ ди . , ди , 1 ди . А
-з— cos (и, х) 4- -тг— cos (и, у) у ~~zt cos \ni 0
I дх ду ал дь J
L f f^cos(n
1 J J Lдх cos
ди , . 1 9м
В силу наших предположений о характере разрывов функции м, интегралы
по at и по с2 имеют определенный предел при стремлении 2i и 2г к 2-
Отсюда вытекает существование определенного конечного предела у интегралов
2 2
по 2i и 2а-
К
i 2а
Как известно из определения параллельных поверхностей, точки поверх-
поверхности 2i получаются, если мы отложим равные отрезки на каждой нормали,
восставленной в точке Мг поверхности 2- Таким образом, между точками 2 и
2i существует взаимно однозначное соответствие по нормали. При этом каждая
нормаль к одной из этих поверхностей встречает другую в соответствующей

XII, § S Общий анализ комплексних решений 503
точке и является нормалью также и для другой поверхности. Поэтому напра-
направления касательных плоскостей в соответствующих точках 2 и 2i совпадают.
Построим теперь в каждой точке поверхности 2i вектор F, составляющие кото-
которого равны
cos (и, х), cos (та, у), —¦ — cos (п, f).
«г
Этот вектор, очевидно, остается постоянным в соответствующих точках
при стремлении 2i K 2-
Подинтегральное выражение в левой части C4), очевидно, представляет
собой скалярное произведение вектора Г на градиент функции и.
Разложим вектор F на сумму двух векторов:
так, чтобы вектор Fx был направлен по нормали к 2i> a вектор F2 был перпен-
перпендикулярен Fr
Очевидно, что Ft и F2 будут непрерывными функциями на поверхности 2 г
Основное утверждение, которое мы будем доказывать, заключается в той,
что если решение и удовлетворяет динамическим условиям совместности, то
вектор ?х должен обратиться в нуль тождественно.
Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда на поверхности 2
нормальная производная от и, при перемещении точки по нормали со стороны
2ц обращается в бесконечность определенного энака.
Очевидно, что подинтегральное выражение в левой части формулы C4),
может быть представлено в виде:
^ + ^
где через ) ?г) и | F21 обозначены длины векторов Fj и Fa, а черев тг напра-
направление вектора F2, которое, очевидно, является касательным к 2i- Если длина
вектора | Fj | в окрестности некоторой точки на поверхности 2i не обращается
в нуль, то она, очевидно, сохраняет постоянный гнак. Тогда, выбрав сферу о
достаточно малого радиуса, можно достигнуть того, чтобы выражение C5) стре-
стремилось к бесконечности определенного знака при стремлении 2i K 2 всюду
внутри о. При этом интеграл по 2i будет стремиться к бесконечности при
стремлении 2i к 2> что противоречит доказанному выше утверждению.
Отсюда вытекает, что Ft должно быть равно нулю, так что вектор F пер-
перпендикулярен к нормали к 2i или> чт0 то же1 к нормали к 2- Наше утверждение
доказано.
Переходим теперь к исследованию случая, когда нормальная производная
от и имеет различные конечные пределы с разных сторон 2-
Складывая формулы C4) и замечая, что применение формулы C3) по
зсей сфере о дает:
I J J \ 9? C°S (Н' Х) ^"ду C0S (*'У) — "^ IT C0S (И' 7
Г*Г I ди
J J [ ~Ъ*
ди . . 1 ди , л \ ,„1
ду C°S (W'У) ~~ а2 Ж C°S (П' ° j } =
^-COS (П, у) —-^-^-008A1, t)J (ИГ = О,

604 Механика сплошных сред
мы убеждаемся, что: f
,. f Г Г (ди , . , ди . . 1 ди ,
\) J \~te C°S(Ж> Ж) + "? C°S ' У)~~&~д1 C0S (n'
г г / ди
J
Так как такое предельное равенство справедливо для любой точки и для
сколь угодно малой области, то, очевидно, подинтегральные выражения в пределе
отличаются только знаком. Так как направления нормалей к 2i и 2э также
отличаются знаком, то мы видим, что выражение:
C6) -± cos О0, ж) + -^ cos (m0, у) — —2- ¦? cos (m0, 0 = Мъ
имеет определенный конечный предел, одинаковый с обеих сторон поверх-
поверхности 2' то есть является непрерывным при прохождении сквозь поверхность.
Это выражение может быть представлено в виде C5). Если бы| Fx | не было
равно нулю в какой-нибудь точке, то благодаря тому, что нормальная производная ^~
on
терпит разрыв при прохождении сквозь 2» %1й было бы разрывной функцией.
Мы получаем противоречие. Отсюда, как и прежде, вытекает обращение | .FJ в нуль.
Таким образом, во всех случаях вектор F должен быть перпендикулярен
б нормали к поверхности разрыва. Математически это условие может быть запи-
записано в виде:
C7) a2 [cos2 (», х) -f cos2 (я, у)] = cos2 (m, t).
Условие C7) и представляет собой наиболее удобную геометрическую фор-
формулировку динамических условий совместности.
Ив справедливости этого условия вытекает и справедливость закона
импульсов.
Решения волнового уравнения, удовлетворяющие кинематическим и дина-
динамическим условиям совместности, мы будем называть правильными разрывными
решениями.
Отметим еще одну аналитическую формулировку динамических условий
совместности, представляющую теоретический интерес.
Как мы видели, формула C3), выражающая закон импульсов, приводит нас
к требованию ограниченности и непрерывности выражения:
.„„. ди , . . ди 1 ди . . .
C6) -^ cos К, х) + -щ cos (no, у)— — -^- cps (п0, 0 = Мь.
Рассмотрим теперь систему равенств B6) и C6) как систему линейных
ди ди ди
уравнении относительно -^— , -г— и ~^г ¦ ¦
дх ду дъ
Попробуем разрешить эту систему относительно всех частных производных
от неизвестной функции и.
? ди ди ди
Если бы это оказалось возможным, то -т—, -т— и -sr выражались бы опре-
дх ду at
деленными линейными функциями от Mv Жъ 1/3, Mt и Иь и были бы непрерывны
при переходе сквозь поверхность 2- Тогда 2 не была бы поверхностью раз-
разрыва.

XII, § 2
Общий анализ комплексных решений
505
Если же 2 является поверхностью, где хоть одна из частных производных
от и терпит разрыв, то ранг таблицы:
C8)
cos п0 у, ¦— cos п0 х, о
О cos^01, — cos п0 у
— cos щ t О cos п0 х
cos п0 х, cos п0 у, 2"cos по(
должен быть меньше трех 1).
Приравнивая нулю все миноры третьего порядка этой таблицы, которые не
являются тождественным нулем, получим опять:
C7) a2 [cos2 (я01 х) -j- cos* (п0, у)] = cos2 (п0, t).
Обратно, если условие C7) выполнено, то динамические условия совмест-
совместности являются следствиями кинематических, так как при этом Мь линейно
зависит от Jfl5 Ж2 и 3/8 и ив непрерывности B6) следует непрерывность C6).
Уравнение C7) называется уравнением характеристик, а поверхности, ему
удовлетворяющие, характеристиками волнового уравнения. Если мы напишем
уравнение поверхности ра8рыва*2 в неявном виде:
C9) Ф(х, у, 0 =0,
то условие C7) может быть записано в виде:
D0)
Наши результаты окончательно могут быть сформулированы так.
Правильными разрывными решениями волнового уравнения будут такие
решения, которые имеют правильные разрывы вдоль характеристик, то есть
новерности разрыва должны удовлетворять условию D0).
4. Уеловия правильности однородных, комплексных решений. Мы изу-
изучили решения волнового уравнения, являющиеся однородными функциями нуле-
нулевого порядка относительно х, у и t в областях E) и F) порознь. Граница этих
областей — конус (8), вообще говоря, является поверхностью сильных разрывов,
так как нормальные производные v от решений A7) и от решений B3), вообщс-
говоря, будут бесконечными на поверхности этого конуса.
Если мы теперь будем „склеивать" вдоль конуса (8) однородные* решения
нулевого порядка, значения которых на поверхности этого конуса совпадают,,
то этот конус будет правильной поверхностью разрыва для составного решения.
Действительно, непосредственный подсчет убеждает в том, что касательные-
производные от этого решения непрерывны благодаря тому, что функции «, и
ш2, стоящие в формулах B3), дифференцируемы; предельные значения «^ и а>г
*) Под термином ранг таблицы обычно понимают наивысший порядок определи-
определителя, который можно составить нз элементов этой таблицы и который отличен от нуля.
Рассмотрим систему т уравнений с п неизвестными:
«21*1+ «22*2+ •••
«ml xl + ат 2 *»+••• +«я1пЯ* = Ьт
Если ранг таблицы, составленный из коэффициентов этой системы, равен «, то и»
уравнений этой системы можно выделить систему п уравнений с п неизвестными, кото-
которая будет иметь определенное решение, причем х, будут выражаться линейной комбина-
комбинацией bj с определенными конечными коэффициентами.

S06 Механика сплошных сред
в формулах A7) также будут дифференцируемы, так как их вещественные части
дифференцируемы по контуру два раза.
Нормальные же производные от обоих решений, вообще говоря, всюду стре-
стремятся к бесконечности определенного знака.
Далее, очевидно, что конус (8) удовлетворяет уравнению характеристик D0).
Таким образом, единственное условие, которое необходимо наложить на наше
„.склеенное" из двух частей решение, заключается в том, что его предельные зна-
значения извне и изнутри должны совпадать.
Полезно отметить, что при этом вещественные значения в области E)
вполне определяются вещественными значениями в области F), если мы счи-
считаем решение однородной функцией нулевого порядка от х, у, t во всем про-
пространстве.
Действительно, при этом значения вещественной части функции комплекс-
комплексного переменного »г(Сг) определены на контуре области и, следовательно, одно-
однозначно определены и внутри. То же относится, очевидно, и к мнимым значениям.
Обратное, вообще говоря, неверно, если не сделать никаких дополнительных
предположений. Исходя ив значений в области E), мы не можем однозначно
определить аначения в F).
Одну из функций o>j (Cj) и «2 (У мы можем выбрать совершенно произ-
произвольно, так как только сумма их определена условиями совместности. При этом
другая определяется совершенно однозначно.
В дальнейшем, мы всегда будем выбирать это продолжение решения ив E)
в F) наиболее удобным д^я нас способом.
Отметим далее еще одно важное обстоятельство. Пусть в формуле B3)
одна ив функций а^ или а>2 имеет разрыв первой производной в какой-нибудь
изолированной точке Сг = С0.
При этом функция и также будет иметь разрывы первых производных на
полуплоскости, которая определяется уравнением:
Можно непосредственно проверить, что эта полуп-доскость является хара-
характеристикой и что в этом случае функция и также удовлетворяет кинематическим
, и динамическим условиям совместности.
5. Анализ комплексных решений общего типа. На частном примере одно-
однородных решений нулевого порядка мы изучили все наиболее характерные
свойства комплексных решений вообще. Рассмотрим теперь такие решения в самом
общем виде.
Для простоты мы предположим, что нами выбрана комплексная переменная С,
определенная уравнением:
D1,
Как мы выяснили ранее, наше предположение не ограничивает общности
задачи.
Параллельно с уравнением D1), рассмотрим соответствующее ему однородное
уравнение:
D2)
Мы видели, что комплексному значению С,, лежащему внутри круга еди-
единичного радиуса, отвечает некоторый луч в пространстве х, у, t. Уравнение
этого луча можно получить непосредственно, подставляя в уравнение D2) наше
значение Сг Принимая во внимание, что х,у я t вещественны, и разделяя в этом

XII, § 2 Общий анализ комплексных решений 507
равенстве вещественную и мнимую части, мы получим два линейных соотношения
между х, у и t, которые и дадут уравнение нашего луча.
Тот же самый луч получится, если мы вместо Сг, внутри единичного круга,
подставим значение, симметричное с ним относительно этого круга.
Аналогично, если мы похставим теперь в уравнение D1) вместо С неко-
некоторое комплексное число, лежащее внутри круга единичного радиуса, мы получим,
разделяя вещественную и мнимую части, два линейных соотношения между коор-
координатами, определяющих прямую линию. Очевидно, что эта прямая будет парал-
параллельна соответствующему лучу, получаемому при подстановке в D2) того же
значения Сг. Таким образом, вид функции Хг(О совершенно не влияет на направле-
направление луча, которое определяется однозначно гаданием С. Так как мы изучили
зависимость между ними для Xi (Q = °> т0 мы знаем эту зависимость для вся-
всякого Xi (')•
Если мы, в соответствии с уравнением D1), построим сопряженное с ним урав-
уравнение:
D1')
в котором функция Ха 0*') сопряжена с Xi (О относительно круга единичного
радиуса, то значению С' в D1'), сопряженному со значением С в уравнении D1)
относительно круга единичного радиуса, отвечает тот же самый луч.
Действительно, при подстановке в функции К~{-~?~) и ('•Ч~77~) 8на"
чеши, сопряженных относительно окружности, мы получим значения, сопряженные
относительно вещественной оси. То же самое относится и к выражениям:
/
Отсюда видно, что уравнения D1) и D1'), при сопряженных относительно
круга значениях С и С, удовлетворяются одними и теми же значениями веще-
вещественных координат х, у и t.
Совокупности лучей, соответствующих 8начеииям С внутри круга единичного
радиуса, отвечает некоторая область пространства х, у, t, аналогичная области E).
Внутри этой области мы получим вещественные решения волнового урав-
уравнения в виде:
D3) « = !-
D4) «=яг{
где coj — произвольная функция, регулярная в круге, а »2 — функция, сопряжен-
сопряженная с «J относительно круга единичного радиуса.
Значению Ср равному по модулю единице, соответствует в уравнепии D2)
не один луч, а две полуплоскости, касательные /к конусу (8), И8 которых одна
отвечает C3 = \,v а другая С4=Сг. Обе эти полуплоскости вместе составляют
одну касательную плоскость к конусу. Уравнение этой плоскости можно опять
получить непосредственно, подставляя в D2) выбранное значение Ч1г лежащее
на круге единичного радиуса.
Если мы подставим теперь в D1) вместо С то же самое значение, то при условии,
что для этого значения функция -/i (О вещественна, мы получим опять урав-
уравнение плоскости, которая будет параллельна прежней. Если Xi СО комплексно,
то мы получим не плоскость, а бесконечно удаленную прямую.
Таким образом, значениям С, лежащим на круге единичного радиуса, для
промежутков, где Xi (С) вещественно, отвечает система плоскостей L, параллель-

508 Механика сплошных сред
ных образующим конуса (8). Та же система плоскостей L получается и при под-
подстановке тех же значений С в уравнение D2').
Заметим, что если функция -/г (Q имеет промежуток вещественности на круге
единичного радиуса, то, по принципу симметрии Шварца, мы можем утверждать,
что х.2 (?) является просто аналитическим продолжением /л (С), и уравнение D2')
совпадает с D2).
Система плоскостей X огибает, вообще говоря, некоторую линейчатую поверх-
поверхность, которая является границей области, занятой прямыми, соответствующими
комплексным значениям С. Эта поверхность обращена вогнутостью в область ком-
комплексного С
Действительно, вообще говоря, на каждой такой плоскости, соответствующей
параметру С на окружности | С | = 1, будет находиться прямая, являющаяся пре-
предельной для тех прямых, которые отвечают комплексным значениям С, стремя-
стремящимся ивнутри к предельному значению С на окружности.
В случае однородных решений, эта прямая являлась образующей конуса (8).
Вся остальная плоскость будет, очевидно, • вообще говоря, вне области ком-
нлексности С
Поверхность S, огибающая семейство L, будет, как легко видеть, характе-
характеристикой волнового уравнения.
Действительно, уравнение этой огибающей получится путем исключения С
из уравнений:
(at — cos &х — sin by -j- <Ji @) = О
D5) |
sin vx — со
которые можно рассматривать, как параметрическое гадание х, у и t, через t
и 0. Решая эти уравнения относительно х и у, получим уравнение поверх-
поверхности в виде:
| а? = [at+ «!¦(»)] cos »— </ @)sin»,
D0) I 2/ = [a*-f~<K^)] s'n ^~Ь ? (®)cos &,
Отсюда можно вычислить непосредственно cos (п^ х), cos («0, у) и cos (»0, t)
с помощью известных формул дифференциальной геометрии.
Мы будем иметь:
D7) cos (я0, х): cos (я0, у) : cos (та0, 0 = — (at + Ф W + ? (а)) c<>s *> :
Из D7) непосредственно следует C7); следовательно наше утверждение
доказано.
Во внешности поверхности S, в некоторой близости от нее, через всякую
точку пространства можно провести две касательных плоскости к S.
Эти касательные плоскости, как мы видели, обладают тем свойством, что
на каждой из них сохраняет постоянное значение некоторый корень уравне-
уравнения D1).
Две касательные плоскости соответствуют тому, что в этой области мы
будем, вообще говоря, иметь два различных корня уравнения D1), которые будут
стремиться слиться в один двойной корень, при приближении к S. Прямая, вдоль
которой касательная плоскость касается S, разделяет эту плоскость на две поло-
половины, каждая из которых отвечает одному из корней. Таким образом, во внешности S
мы будем иметь or ять формулу, аналогичную старой:
D8) и = — {о>! (у+»2 (:4)},

XII, § 3 Задача об источниках колебаний для полупространства 509
которая получается наложением решений, соответствующих двум корням урав-
уравнения D1).
Поверхность S опять, вообще говоря, будет служить поверхностью сильных
разрывов, как для внутреннего, так и для внешнего решения. Это легко видеть
из тех соображений, что производные от С, С, С3 и С4 по нормали будут обра-
обращаться в бесконечность.- Действительно, так как уравнение D1) при этом при-
приобретает кратный корень, то обратно -~ , ~- и -~- обращаются, вообще говоря,
в пуль.
§ 3. Задача об источниках колебаний дда полупростраяетва
1. Источники колебаний с однородными потенциалами. Большое коли-
количество частных решений уравнений теории упругости, в которых потенциалы »
и <|/ являются однородными функциями нулевого порядка от х, у и t, имеет
определенный физический смысл.
Рассмотрим несколько примеров таких задач.
Простейшая задача такого типа — это задача о сосредоточенной силе.
Рассмотрим уравнения плоской задачи теории упругости с массовыми силами
в неограниченном пространстве:
I
1
Допустим, что мы решаем такую задачу, в которой при t < О, как смещения,
так и массовые силы обращаются в нуль. При ( = 0в некоторой ограниченной
области Сг начинают действовать массовые силы X (х, у, t) и Y (х, у, t), которые
действуют в течение ограниченного промежутка времени О < t < 1.
Далее, при t > 1 массовые силы прекращают свое действие и среда про-
должает колебаться свободно.
Рассмотрим теперь такое решение вадачи, в котором массовые силы выра-
выражаются формулами:
д _ t ^_1Л У
B)
Эти массовые силы действуют внутри области СУ. подобной G, но умень-
уменьшенной в — раза с центром подобия в начале координат, в течение проме-
промежутка времени О < t < e.
Назовем <р« и "г1, потенциалы, соответствующие такого рода вадаче.
Начнем затем уменьшать параметр е, устремляя его б нулю
При этом, как легко видеть, интегралы:
г
f(f_/
х, (х> У, 0 dx dy ) dt

510
Механика сплошных сред
представляющие собой составляющие нмпульса сил, действовавших на среду,
остаются постоянными.
В пределе мы получим функция <в0 и \, дающие ответ на вопрос о дей-
действии сосредоточенного элементарного импульса, действующего в начале коор-
координат в момент t — O.
Если бы все предельные переходы, которые мы совершаем, оказались
допустимыми, что мы проверим впоследствии, то можно было бы легко докавать,
что функции ®0 и 4?0 есть однородные функции нулевого порядка, удовлетво-
удовлетворяющие волновому уравнению.
Действительно, пусть вектор массовых сил X и Y можно представить в виде:
(*)
dU
дУ ;
dN
где функции U я N обращаются в нуль при t <О и ири
При этом мы получим для Хс и У, выражения:
1.
где
F)
N-±n(±. I. -Ц
причем Uc и Nt уничтожаются при t < О и при t > e.
Как доказано в § 1, потенциалы »t и <J>e будут удовлетворять уравнениям:
G)
Совершая предельный переход, получим:
(8)
при
Введем в рассмотрение. функции
(9) <Ре (Аж, At/, Af) и <|*Е (Аж, ку, kt).
Эти функции, очевидно, удовлетворяют уравнениям:
\ (Аж, ку, Ы)
—• (X -)- 2ti.) Л;р? (Аж, Ау, АО = Аа J/t (Аж, ку,,
A0)
^—— [хДсрt (Аж, Ay, АО = A2ive (Аж, Ay, */).

XII, § 3 Задача од источниках колебаний для полупространства 511
Принимая во внимание, что
мы видим, что уравнения для <pt (kx, ky, Ы) и tye (ftx, Icy, Ы) буквально совпадают
с теми, которым удовлетворяют
? ±{х, у, t) и bjjx, у, t).
к к
Предполагая, что нага предельный переход приводит к определенному един-
единственному результату, что мы также проверим впоследствии, получим:
lim yjjcz, hj, Ы) = Ит вj_(x, у, t) = <р0 (^, У, 0>
е->0 е->0 ft
lim ^E (&r, kij, Ы) == lim ф _^(#, у, <) = 40 (х, г/, <)•
s-> 0 «->в ft
Таким образом:
| ?о (, У> *0 = ?о (^, У, О
что и доказывает наше утверждение.
Наше элементарное рассмотрение дает возможность, кроме того, сделать
несколько заключений относительно характера решений.
Очевидно, что при t < О, как ®0 и »1»0, так и -^ и -?¦ обращаются в нуль.
Предполагая решения непрерывными, мы видим, что при ? = О, <р0 и ^0
должны обратиться в нуль. Так как, по условию правильности разрывов, пло-
скость t = 0 не может быть поверхностью разрыва, то -— и -*?¦ обращаются
на ней в нуль.
С другой стороны, при положительных %, для всей внешности конуса:
A2) а»Р = р*
мы будем иметь для »о представление:
A3) ?o = Y
где
\ , i (в - arccos
(см. § 2).
Кроме того, при t = О
A5) ^^-^'СУ
Дифференцируя A3) но &, получим:

Механика сплошных сред
так как обе производные -~ и -— должны обратиться в нуль, то а>/(С,) =
= «•/ ОУ — ° и' следовательно, обе функции представляют собой просто ностоян-
иые, обратные по внаку.
Отсюда вытекает, что во всей внешности конуса A2) »0 обращается в нуль.
Так же можно доказать, что % уничтожается во внешности конуса
Отсюда мы получаем граничные условия для вещественной части функции
комплексного переменного «>1(С1) [ср. формулу A4) § 2] в представлении »0
*,«*{-,('.,)). где ^
Эта вещественная часть уничтожается на контуре круга единичного радиуса.
Если бы мы предположили, что потенциалы <ро и <J*0 ограничены, то пришли бы
в заключению, что они тождественно равны нулю.
Поэтому естественно предположить, что они являются неограниченными.
Проще всего сделать допущение, что они имеют особенность в точке ? = 0.
При этом потенциалы будут неограниченны в начале координат во все моменты
времени. Функции комплексного переменного, выражающие эти потенциалы,
должны разлагаться в сходящийся ряд Лорана вокруг начала координат, содер-
содержащий бесконечные члены.
Характер этих бесконечных членов мы сейчас исследовать не будем. Впо-
-следствии мы сможем непосредственно вычислить потенциалы <?о и % и опре-
определим эти члены. Если бесконечные члены будут известны, то конечная часть
определится однозначно, благодаря граничному условию.
2. Задача с однородными смещениями. Еще большее теоретическое зна-
значение имеют те решения волнового уравнения, в которых однородными функ-
функциями нулевого порядка являются смещения.
Для того чт^бы не загромождать изложения, мы не будем здесь останавли-
останавливаться на механической стороне дела, так как несколько позднее мы сумеем
лучше осветить все такого рода задачи. I
Переходим прямо к математическому анализу таких решений.
В § 1 нами было доказано, что вектор смещения v может быть разбит на
-сумму двух векторов: v = v1+vi, из которых один потенциальный:
A8) ?•—-*1 = О,
ду ох
а другой соленоидальный:
дх ' ду
Вектор y , при отсутствии массовых сил, удовлетворяет волновому уравнению:
B0) *>V--ATl==0'
а вектор v^ уравнению:
Будем искать такие решения этих уравнений, которые представляются одно-
однородными функциями нулевоге порядка относительнв х, ij, t.

XTI, § ii Задача об источниках колебаний для полупространства 513
Во внутренности конуса A2) «оставляющие \\ будут представляться фор-
формулами:
Г Wl-/.'{fA (С,.)}
B2)
где
Мы будем предполагать далее, что вещественные части функций иг (Сх)
и Fj (Cj) уничтожаются на контуре круга единичного радиуса, а сами функции
имеют полюс в начале координат. Из условия A8), дифференцируя формулы B2),
получим:
дг д'
Выражая '-— и —f1- с помошью формул § 1, получим:
г дл оу
а:,
"дх~
B3)
откуда
4 >-\С^
= 0.
Знаменатель этой дроби, очевидно, равен:
__*?_„.
откуда наше условие переписывается:
1
- 1) i- ^ (У (V + 1)} = 0.
Следовательно, должна уничтожиться функция комплексного переменного,
стоящая под- знаком В.
Мы долучин:
B4) — «CT/CCiXt!*—1)=Ь V/iQ^-t 1).
33 Зак. 1408. — Франк в Мвзес. Диф^. уравн. мат. фи<

514 Механика сплошных сред
Совершенно аналогично составляющие вектора V2 выражаются с помощью
формул:
( j
где
B6) Щ (С2) (V -f1) =»*У (У(V -1)'
функции 1/9 и F2 мы будем предполагать имеющими вещественную часть равную
нулю на контуре круга единичного радиуса и имеющими полюса при С2 = 0.
3. Конформное преобразование — I С -J- -=-1 = 6. Переменная С, введен-
введенная нами в § 2, имеет большие преимущества при теоретическом анализе раз-
различных свойств комплексных решений. Однако, при решении некоторых аадач
удобно произвести замену переменных и использовать другие переменные. В пло-
плоских задачах отражения упругих волн удобнее пользоваться переменной:
При такой замене переменных круг единичного радиуса в области С пере-
переходит в целую плоскость комплексной переменного 8 с купюрой вдоль веще-
1 ,1
ственнои оси от точки до точки А .
а ' а
Окружность | С | = 1 переходит в дважды повторенный отрезок
Верхнему полукругу С соответствует нижняя полуплоскость 8, а нижнему
полукругу С верхняя полуплоскость. Отрезку мнимой оси С = *•»), 0 < у < со отве-
отвечает отрезок мнимой оси 6 = »х, — со < х < 0, а отрезку — 1 < -ц < 0 отрезок
О < х < °°. Отрезку вещественной оси 0 < С < 1 отвечает отрезок — < 9 < оо,
а отрезку — 1 < С < 0 — отрезок — со < 8 < .
(л
Началу координат С = 0 отвечает бесконечно удаленная точка 8 =* со. При
этом, так, как функция — | С Н—=- 1 имеет в начале полюс первого порядка, то
всякая функция, имеющая, как функция от С, полюс или корень порядка к при С = О,
будет иметь полюс или корень той же кратности, как функция 8 при от 8 = со.
Функцию — 1С—р-1 мы будем записывать как + I/ -у—®2» Радикал
1/ -у—82 будет в нашей плоскости с разрезом однозначной функцией.
Мы будем, таким образом, принимать его положительным при значениях в
на положительной части мнимой оси и отрицательным на отрицательной ее части.
При этом он будет отрицательно-мнимым для — < в и положительно-мнимым
дляв< .
а
Однородные решения волнового уравнения:%

XII, § 3 Задача об источниках колебаний для полупространства 515
ны будем, следовательно, записывать в виде:
или
B9) ,
где
(зэ) '
Формула B8) будет давать значение и внутри конуса A2), а формула B9)
вне его.
В уравнении C0) радикал считается всегда униформизированным по тому
способу, который указан выше.
То же самое касается уравнения:
решение которого будет представляться.в виде:
C2)
или
(зз)
где
C4) i - Ьх + j/-!- - 82 у = 0.
4. Задача об отражении продольных волн. Случай комплексных потея*
циалов. Рассмотрим упругое полупространство у > 0 и допустим, что внутри этого
полупространства в точке х0, у0, в момент t0 подействовал какой-то источник про-
продольных колебаний, вызвавший в первые моменты времени колебания, которые
имеют поперечный потенциал равный нулю, а продольный, выражаемый с помощью
функций комплексного переменного при помощи формулы
C5) о1 = В[Ф1(Ь1)},
где
C6) ^-(f-O-O.Or-
для точек, лежащих внутри конуса
C7) • аЦг — Уа=
ж равный нулю на границе этого конуса и во внешности его.
Пока время t меняется от t0 до ^0 +—> граница нашего полупространства
находится в области покоя. Поэтому граничные условия удовлетворены автома-
автоматически и наличие границы никак не сказывается на движении. Когда возмущение
доходит до границы среды, то есть при * > ?0-|--^- формула C5) перестает
передавать процесс, так как наличие границы вызывает появление отраженных волн.
33*

о 16 Механика сплошных сред
Задача отражения заключается в том, чтобы, зная как протекаем движение
при f < ?0 -}--—, определить характер его при больших значениях.
Для решения этой задачи мы поступаем аналогично тому, как было
сделано в теории плоских волн.
Прибавим- к нашему потенциалу ©t два других „отраженных потенциала" »г
и $ так, чтобы добавленные слагаемые не изменяли картины движения при
C8) ' - ? = ?t-f-<?2 * * ¦ Ч
удовлетворяло граничным условиям.
Потенциалы <р2 и 41 мы будем искать также в виде вещественных частей
некоторых функций комплексного переменного:
C9) Ф2= В {Ф2@2)}
D0)
где ба удовлетворяет уравнению:
/ < fo-f- -— и чтобы решение с потенциалами
D1) t-%x±yf~- V У+ *.(«.)= О,
и % уравнению:
D2) , f-eaa^
Попробуем теперь определить функции уЛ F2) и Хз (,%) так, чтобы при у = О
значения комплексных переменных 62 и 03 совпадали с Ь1#
Очевидно, это условие будет соблюдено, если:
= — «о
о + So — у ^5— V .Vo-
Таким образом, мы получим для в2 и 63 уравнения:
Определим теперь знак перед радикалами. Как легко заметить, конус C7) пересе-
пересекается с плоскостью по гиперболе.
Лучи, соответствующие комплексным значениям переменного 61, встречают
эту плоскость во внутренних точках гиперболы. Внутренняя часть, ограниченная
верхней ветвью гиперболы, точки которой имеют координату t > t0 -j- ~, встре-
встречает лучи, отвечающие нижнему полукругу переменной С15 то есть верхней полу-
полуплоскости переменной 6Г
Эти лучи, соответствующие верхней полуплоскости 61( с точки зрения геоме-
геометрической характеризуются тем, что при возрастании координаты t координата у
вдоль каждого луча уменьшается, и следовательно, с возрастанием у уменьшается /.
Если мы вспомним установленный ранее факт, что направление луча при задан-

XII, §3 Задача об источниках колебаний для полупространства 517
них коэффициентах перед х, у и I в уравнении, определяющем комплексную
переменную, вависит исключительно от значения комплексной переменной, а не
от свободного члена, то мы видим, что знак -f- перед радикалами в уравнениях
для 62 и 68 не подходит. Действительно, при этом отраженные лучи (лучи, соот-
соответствующие отраженным 6) будут при возрастании t иметь убывающее у
и, таким образом, проникнут обратно в пространство I < t0 -|- —. Это противо-
противоречило бы нашей постановке задачи.
Наоборот, если мы выберем в этих уравнениях знак —, то это равносильно
изменению направления «на —t. Поэтому вдоль лучей, соответствующих зна-
значениям 6 из верхней полуплоскости, I и у будут возрастать одновременно.
Окончательно получим: '¦
D3) 8з в (t - У - 62 (х - *„)- у± - 62" у - ^/± - 6а* у0
D4) 88^0-/о)-6з(Ж-^)
Переменная 62, очевидно, соответствует некоторому воображаемому источнику
в точке (х0 — у0, 10); она, очевидно, принимает комплексное вначеяие внутри отра-
отраженного конуса:
•D5) ««Со—О4 = (*-«о)"+ («/+«*>)¦•
Геометрический характер лучей, соответствующих этой переменной, изучен
достаточно хорошо. Переходим к описанию 63.
Так как на отраженных лучах 83 принимает те же значения, которые
принимала переменная 8а на падающих, то очевидно, *лэ совокупность этих
значений состоит на всей верхней полуплоскости и часги верхнего „берега"
купюры г < 6 < -у-, для которой | Ь | < а. Отраженные лучи, соответствующие
комплексным значениям б3, заполняют некоторую область (ср. § 2). Граница
этой области состоит из лучей, соответствующих вещественным значениям 68,
берущих начало па гиперболе:
D6) a* (i — *„)* = (х - хоу +1/0«
в плоскости у = 0.
Эта граница является огибающей семейства плоскостей, получаемых из D4)
подстановкой туда вещественных значений |63|<[—.
Поверхность эта, очевидно, переходит через гиперболу D6) и отраженные
лучи, соответствующие вещественным значениям 8, являются ее прямолинейными
образующими.
Подставляя потенциалы в = «i + ?а и "W в граничные условия B5) § 1
и пользуясь формулами D2) того же параграфа, получим:
*\±4-
<{ д\ б/ 8' д% 87"
i _,
1 9
, Л

518
Механика сплошных сред
а/
зе,
т г
1_ ___
ЭЙ,
4-
V
д
= 0.
Так как приу —0 6i=82 = 63; 8/ = V = V» то мы можем обозначить этя
бй б 6 8' С
ру i2 3 / V V
величины одной буквой без значков: 6 и 8'. Соединяя при этом одинаковые члены,
мы видим, что наиболее простым предположением, достаточным для выполнения
этих условий, будет система равенств:
A7)
"- 26" ) [Ф/ F) + Ф,' F)] - 29 j/^-l - 62 ЧГ' @) = 0
Можно доказать, что при весьма широких требованиях эти равенства
являются и необходимыми для удовлетворения граничным условиям.
Решая эту систему уравнений, получим для Ф/ F) и W F) значения:
D8)
где
(в)
62
F@)= 262---
|2- 02.
Символами ^4F) и 5F) обозначены числители полученных дробей.
Зпгя производные от Ф2 и W, мы находим и сами функции непосредствен-
пыи интегрированием.
1
Отмстим одно важное обстоятельство. Так кав на отрезке
(^}, а снеюиФ,/@) и W F) на эток
1
<
а
1
<-j ,
а
функция *1\ (в) была чисто мнимой, то Ф/
отрезке также будут чисто мнимыми.
При этом выбором постоянных можно добиться того, чтобы Ф2F) и ЧГ(8)
также имели бы вещественную часть равную нулю на этом отрезке.
Благодаря этому, значения отраженных потенциалов на границе области
комплексности 62 и % будут равны нулю и, следовательно, во всем остальной
пространстве мы можем положить Фа и W равными нулю с выполнением всех
кинематических и динамических условий совместности.
Таким образом наша задача решена.
5. Задача об отражении продольных волн. Случай комплексных сме-
щенкй. Совершенно аналогично решается вадача в том случае, когда не потен-
потенциал ?, а продольная составляющая вектора смещения т является однородной функ-
функцией нулевою порядка и выражается в комплексном виде.

XII, § 3 Задача об источниках колебаний для полупространства 519
Пусть, подобно прежнему, в момент tQ в точке х№ у0 подействовал какой-то
источник колебаний и в течение промежутка времени
движение является чисто продольным, а вектор смещения внутри конуса C7)
выражается формулами:
D9) «1 = ^(^F,)}, «^Д^СМ.
где Oj определено уравнением C6 \ а во внешности этого конуса уничтожается.
Условие B4) потевциалыгости вектора ии vu если вспомнить связь между Ьх и Сх,
записывается в виде:
E0) ¦
Для того чтобы условия совместности для т2 были выполнены, мы потре-
потребуем, чтобы функции Ut и Fj были чисто мнимыми для значении 0} с обеих
сторон купюры < 0 < —.
Будем искать решение задачи для t > t0 -J- — в внде:
^
by дх
дх ~ ду '
где; т2 и тз опять представляют собою решения выраженные с помощью комплекс-
комплексной переменной.
Положим
где в2 определено уравнением D3) и
E2) «3 = H{U3(%)}; t;3 = Ji{F3(e3)},
где в3 Удовлетворяет условию D4).
Так как вектор v2 должен быть потенциальным вектором, то мы получки
подобно прежнему:
E3)
Точно так же условие соленоидальности вектора т3 записывается в виде:
<54)

520
Механика сплошных сред
Если подставить выражения смещений в наши граничные условия B1) § 1,
то мы подучим после несложных выкладок:
-^ Щ
E5)
JV-f
-= о
¦во»
у=С
Огвгода получаем, как прежде, систему уравнений для определения U.>', V</>
U' и VJ\
E6)
-^- 2^ O[CYF) + D,' F) + U3' F)] +
~ ^'(9)]
+ • [Г/ F) + F,' (S) + F/ F)] = 0.

Z[J, § 3 Задача об источниках колебаний для полупространства
521
Решая эту систему и пользуясь при этом равенством E0), получим:
FQ0
57) {
62
'» ^' — /.'(в)
Здесь через Л, В ж Е обозначены числители
полученных дробей.
Функции (J2, F2, U3 и F3 могут быть
выбраны так, чтобы на границе области ком-
комплексности смещения м2, »2, м3 и t-8 уничто-
уничтожались.
Таким образом задача решена.
6. Принцип Ферма. Отметим еще неко-
некоторые геометрические свойства полученных ре-
решений.
Рассмотрим детальнее поверхности, яв-
являющиеся границами областей комплексности
% и %.
В пересечении с поверхностью t== const
поверхность конуса D5) дает окружность с
центром в точке х0 = — у0 и радиусом
а2(< — 'оJ (Рис. 50).
Каждая точка этой окружности обла- \у
дает теж свойством, что кратчайший путь от
нее до точки (ж0, г/0) с непременным усло-
зием по пути достичь границы у — 0, равен
n{t —10), а кратчайшее время, за которое
ложно проделать этот путь, двигаяеь со еко-
эостью а, гавно (t —10). Точки, лежащие вне окружности, то есть не попавшие
-ще в область возмущения, вызванного отраженной продольной волной, будут
таеть кратчайшее время больше, чем (t — /0), а для точек, попавших внутрь
жружности, это время меньше (t —10). Это положение называется обычно прин-
гапом Ферма. Принцип этот гласит, что возмущение достигает какой-нибудь
¦точки в кратчайшее вреия. двигаясь все время со скоростью, равной скорости
a/t-U
Рис. 50.

522 Механика сплошных сред
распространения волн в данной среде. Так как отраженное возмущение идет
из источника хо,уо в течение времени t —10, обязательно отражаясь по пути от
границы, то окружность D5) и должна быть так называемым передним фронтом
волны.
Фронт поперечного возмущения, как легко проверить, также удовлетворяет
лринципу Ферма.
Действительно, подсчитаем, каково кратчайшее время, в течение которого
можно пройги из точки (х0, у0) в точку (х, у), обязательно заходя при этом на
границу среды и двигаясь сначала со скоростью а, а затем со скоростью Ъ. Оче-
Очевидно, такой кратчайший путь состоит из прямолинейных отрезков от (х0, у0) до
некоторой точки (А, 0), на границе и от (h, 0) до (х, у).
Время пробега по этому пути равно:
I
**0 —| .
Величину h определим из условия минимальности. Мы получим:
<59) , h~X° k~X
1 aV{x h
Уравнение E9) дает нам h как функцию от х, у, х0, у0. Если мы введем
вместо h новую функцию 68:
<ео) е8 = hx
то уравнения E8) и E9) могут быть выражены с помощью параметра 8S. В силу E9):
{61) 03 ^ТЛ
Исключая из F0) и F1) параметр h, получим уравнение для определения б3.
"С этой целью проще всего отметить, что
<62) Л/ ~ 632 = - У°
V я2
я
F3) \f ~— е *
' Кб2
откуда
умножая уравнения F4) и F5) соответственно на у0 и у и складывая,
лолучим:
<«6) -^ — х0) -1 -320 .j "»у в о.

XII, § 3 Задача об источниках колебаний для полупространства 523
Далее, из E8) следует:
0* ^ a
4- (*-ftJ ,
и, в силу F0), F1), F2) и F3), имеем
Уравнение F7) совпадает с D4). Левая часть F6) есть производная
от E8) по 63. Условие F6) говорит о том, что линии, на которых кратчайшее
время пробега равно (t — f0), как раз являются линиями пересечения огибаю-
огибающей семейства плоскостей F7) с плоскостью, / = const.
Таким образом, принцип Ферма имеет место и для поперечной волны.
7. Отражение поперечных волн. Случай комплексных потенциалов.
Аналогично тому, как рассматривается отражение продольных волн, мы можеи
рассмотреть задачу об отражении волн поперечных.
Однако, здесь нам придется встретить несколько новых моментов.
Пусть заданная поперечная волна имеет вид:
F8) $ — В {<К(О4)Ь
где 64 определяется уравнением:
F9) 84 = (<-*o)-6^- |/^
Аналогично прежнему допустим, что движение в промежутке t0 < t < to-\-~
вполне характеризуется поперечным потенциалом вида F8). Формула F8) дает
значение потенциала поперечных волн внутри конуса
G0) 62 (< - tof = (х - xof + (у - иО«. *
Пусть, кроме того, функция <|> чисто мнимая на обоих „берегах" купюры
г- < 64 < -г и, следовательно, на поверхности конуса G0) мы будем иметь нудь.
Во внешности конуса G0) мы предположим, что в рассматриваемый промежутвв
времени будет покой.
Аналогично прежнему, будем искать решение, удовлетворяющее граничным
условиям во все моменты времени, в виде
G1) ?
где
G2) bu^(t-t0)-%(x-x0)
ж
G3)
где
G4) **

624 Механика сплошных сред
и
G5) 56 ^ (/ _ Q - 06 (х - ,0) — Л/ I - Оа'-> {,j -;- ?/о) = 0.
^е, мы можем формальпо подставить наши выражения для потенциалов
в условия B5) и, таким образом, определить Ф' и Чг2'- Не повторяя здесь вы-
выкладок, которые вполне аналогичны предыдущим, мы приведем окончательный
р?зу;1ьтат: *
F(h)
G0)
vjr ' (-6s) ==
Принципиально новым в отношении функции W2' F), окзывается при этом
то обстоятельство, что эта функция уже не является чисто мнимой на всем
отрезке j- < 0 < -\- у , который соответствует грапице области комплекс-
V а?
ности соответствующей переменной 66. Действительно, радикал |/ —^—662
становится чисто мнимой величиной на отрезках —< 1661 < -т-. При этом мно-
множитель неред функцией ЧГ/ F) во второй формуле G6) становится существенно
комплексным, так как на этих отрезках функция ЧГ/ F), но предположению,
чисто мнимая, то ее мнимая часть существенно отлична от нуля и, следова-
следовательно, ЧГ2' F) существенно комплексна и имеет вещественную часть, нерав-
неравную нулю.
Таким образом, мы не можем уже считать потенциал ty равным нулю
во внешности конуса
G7) ЪЦ1-10У = (х-х0)* + (у+у0)К
Второй существенно новый момент, который мы встречаем в этой задаче,
заключается в том, что не все отраженные продольные лучи будут итти вглубь
упругой среды, то есть с возрастанием t не на всех отраженных лучах будет
возрастать у. Действительно, лучи, которые соответствуют значениям 6Б, лежа-
лежащим на отрезках
т<1в»1<т-
и которые возникнут в результате отражения некоторых образующих конуса G0)
(как нетрудно убедиться, вспомнив закон соответствия между комплексным пере-
переменным 86 и направлением луча, разобранный нами- подробно ранее), пойдут
параллельно плоскости у = 0 и, следовательно, не выйдут из этой плоскости.
На этих лучах будет всюду у = 0.
Падающие лучи, соответствующие комплексным значениям 64, встречают
длоскость у = 0 внутри гиперболы:
G8) IP (t - tof = {x — :roJ -f V

XII, § 3 Задача об источниках колебаний для полупространства
и, очевидно, заполняют всю внутренность, ограниченную верхней ветвью этое
гиперболы (рис. 51).
На рисунке эта область обозначена цифрой I.
Точкам самой верхней ветви гиперболы отвечает вещественный отрезок
частям этого отрезка—<|6|<-г- соответствуют две части ветви гииерболь.
уходящие на бесконечность.
Легко показать, что отраженные лучи 96, берупще пачало на точках зтиг
частей, пойдут по касательным к гиперболе. Действительно, значения Й4 и (^
при у==0 должны совпадать. Значения же 64 в промежутках—< | б | <-.- со-
соответствуют плоскостям, касательным к конусу G0), которые пересекают идо *
кость ?/ = 0 по касательным к гиперболе G8).
Таким образом, зпачепия 64, а с ним и Ьб'
из этих промежутков должны при у = О давать ¦
касательные к гиперболе, что и требовалось
доказать. Нолукасательные к гиперболе, являю-
являющиеся отраженными лучами 6б, очевидно, пой-
пойдут вверх, то есть все их точки будут иметь
координату t, большую, чем в точке касания.
Эти полукасательные заполнят в плоскости у
части, обозначенные на рисунке цифрой II
(рис. 61).
Очевидно кроме того, что в окрестности \ Рис 61.
точек, принадлежащих областям II, в простран-
пространстве (х, у, t) будут проходить лучи, соответствующие комплексным значениям 5
и вблизи этих точек покоя не будет.
Граничные условия, о которых мы заботились внутри области комплекс
ности б4, то есть в точках, принадлежащих внутренности гиперболы (области /
не будут удовлетворены в точках II, если не распространить каким-либо спосо-
способом наше решение иа всю область.
Обе эти трудности, как удовлетворение граничных условий, так н вынолпе-
ние условий совместности, можно легко преодолеть введением в рассмотрение
отраженных поперечных волн вне конуса G7).
С этой целью воспользуемся теми же комплексными решениями," которые
получаются в областях, где 96 имеет вещественные значения.
Как было подробно разобрано в § 2, построим две системы касательпы-
полуплоскостей к конусу G7). Через каждую образующую этого конуса, которая
является отраженным лучом, то есть соответствует верхнему „берегу" купюрь
-—г-< 66 <-—, проходят две такие полуплоскости. Для образующих, соответ-
соответствующих отрезкам—<i^el <~Г» °Дна И8 этих полуплоскоетей в пересечении
с плоскостью у = 0 дает как раз ту полукасательную к гиперболе G8), которая
служяла отраженным лучом 6б. Для всех значений 6 > 0 эта полуплоскость будет
принадлежать к одной системе, а для значений 6 < 0 к другой.
Эта полуплоскость будет обладать тем свойством, что для той ее части,
Уо
с iw?ifc vjajx \j\?Mx>ui.*sf ten i<o —|—
Эти полуплоскости мы назовем отраженными.
где 1/>0, значения координаты t длявсзх ее точек будут больше, чем to-\-~.

526 Механика сплошных сред
Для второй полуплоскости, проходящей через ту же образующую, всегда
можно указать такие точки, в которых у > О и t меньше любого числа.
Две касательные отраженные полуплоскости, соответствующие значениям
e=rir — с конусом G7) и плоскостью ?/ = О, отсекают некоторые области про-
пространства, внешние по отношению к конусу G7) и граничащие с областями //
на плоскости у — О. Назовем эти области областями непрямых возмущений.
Смысл втого названия выяснится далее.
Внутри етих областей пространства расположены все отраженные полу-
полуплоскости.
В соответствии с тем способом продолжения комплексных решений, который
изложен нами в § 2, мы положим, что внутри областей непрямых возмущений
решение ЧГ9Fв) определяется теми же формулами, что и внутри конуса'G7),
ло за переменную 96 взят тот корень уравнения G5), который сохраняет постоян-
постоянную величину на отраженных полуплоскостях.
Выполнение условий совместности при этом очевидно.
Граничные условия также будут выполнены, в чем легко убедиться непо-
непосредственной подстановкой потенциалов в условия B5) § 1 для областей II.
При такой подстановке левые части этих условий формально не изменятся,
в них будет отсутствовать лишь член с ЧГ/ (Ь4). Так как ЧГ/ функция чисто
мнимая, то вещественная часть произведения ее на любой множитель уничто-
уничтожается. Добавляя к левым частям B5) члены, равные нулю, мы легко проверим
их выполнение.
В этом явлении есть общие черты с некоторыми результатами § 1. Как
здесь, так и там решения, полученные внутри области, где основная перемен-
переменная является существенно комплексной, принимая значения, вависящие от двух
вещественных параметров, годятся в областях, где она принимает значения,
вависящие от одного вещественного параметра, и наоборот. Конечно, приэтом
формально одинаковые формулы в различных областях получают различное
содержание.
8. Отражение поперечных волн. Случай комплексных смещений. Совер-
Совершенно аналогично решается задача об отражении поперечных волн в случае,
когда задан в комплексной форме не потенциал, а вектор смещения, являющийся
соленоидальным вектором.
Пусть при *<*о~ 7 вектоР смещения внутри конуса G0) представляется
в виде:
G9) «4 = В{^(94)}; «4 = 2г{
где функции U^ Vt удовлетворяют условию:
(so) е4 и/ F,) = j/-p—e/ v/ F
обеспечивающему соленоидальность вектора v4.
Будем искать при t>to-\-4~- решение в форме:
(81) « = «iH-tt6-f-M6, « = «4+ «5
где
(82) Ч = ЯЩ%)}; % = ?{
(83) j/~ - е6* иь' (%) = w (еб)

XII, § 3 Задача об источниках колебаний для полупространства 527
(84)
(85) - 6etY F6) = у -^ ~ 662 F6' (%).
Функции U6, Vb, U6 и F6 внутри области комплексности переменных бБ и 96
определяются совершенно тем же приемом, который был нами применен при от-
отражении продольных волн. Не повторяя всех рассуждений и опуская несуще-
несущественные выкладки, приведем лишь окончательный результат:
(86)-
_ 282B62—i
\ Ь
Щ
~У~4621/ -4 —
' СО = * ; ^ у,F) ^ Ь F/ @) ==
Г/ (В) = —А A_L К_а К_Ь у. (е) _
Формулы (86) решают вопрос опять только для областей комплексности
% и 66. Кроме того, здесь опять придется рассмотреть еще области непрямых
возмущений.
Так же как и в предыдущей вадаче, все условия будут выполнены, если
мы будем пользоваться для этих областей теми же формулами (86), выбирая 6,
так, чтобы оно сохраняло постоянное значение на системе отраженных полу-
полуплоскостей.
9. Принцип Ферта. При отражении поперечных волн, как можно легко
проверить, будет опять иметь место принцип Ферма.
Очевидно, что линия пересечения конуса G7) с плоскостью t = const будет
обладать тем свойством, что кратчайшее время, за которое можно пройти от точки
хо> Уо> в точку х, у, лежащую на этой линии, двигаясь со скоростью Ь, при усло-
условии пройти через точку границы, равно как раз t —10.
То же самое, как легко проверить, относится и к границе области комплекс-
комплексности 6В, которая является огибающей семейства плоскостей 65 = const.
Уравнение этой огибающей будет:
(87)

Л28
Механика сплошных сред
лце функция 6- определяется из соотношения:
88)
— \х хо) ~т"
= О.
.Тиния пересечения этой поверхности с плоскостью t = const обладает тем
••войством, что кратчайшее время, в течение которого можно попасть из точки
л0, у0 в точку (х, у), при условии двигаться из (х0, у0) до некоторой точки гра-
зицы (h, 0) со скоростью Ъ, а затем от этой точки до точки (х, у) со ско-
скоростью а, равно t —10.
Убедиться в этом можно, переставляя в рассуждениях пункта 6 этого пара-
я. скорости а и Ъ.
pdoht непрямого возмущения, то есть плоскости
являющиеся границами областей
непрямого возмущения, тоже удо-
удовлетворяют принципу Ферма. Линия
пересечения такой плоскости с плос-
плоскостью t = const обладает тем свой-
свойством, что кратчайшее время, в
течение которого можно из точки
(хо> У о) пройти в точку (х, у),
двигаясь сначала от хо,у0 до неко-
некоторой точки границы Ж„ со ско-
скоростью Ь, затем двигаясь по гра-
—i. яйце со скоростью а до точки Jf2
и затем опять двигаясь от М2 к
(х, у)* со скоростью 6, равно как
• раз t — /0 (рис. 52).
Действительно, если координаты М1 будут (А„ 0), а координаты М., будут
О), то это время равно:
Рис. 52.
(90)
t- *0 =
Величины h2 и fet определяются из условий, что :>те время должно быть
минимальным. Мы получим, таким образом:
/д]л _ Jh хо_._ __ _L• х — ^2 J
Ь У (ht—Хо)*~-\~Уо~ а' ^ У (.х — h.>y2~-Fy2 я'
у
Чтобы исключить fej и h2 из (90), ваметим, что
l/"_L L=
Подставляя далее в уравнение (90), переписанное в вжде:
I
Ь 1/^1^)
Ъ У\х — А2J 4" У2 '

XII, § 3 Задача об источниках колебаний для полупространства 529
выражения отношений (91) и (92), приходим к уравнению (89). Таким образом,
наше утверждение доказано.
10. Волны Рэлея. С точки зрения раввитой нами теории отражения волн,
очень легко подойти к анализу волн Рэлея.
Представим себе подвижную систему координат ?, ч\, движущуюся поступа-
поступательно в направлении оси х с некоторой скоростью д:
(93) 6 = ж—gt, y\ = y.
Пусть в нашей среде действовал источник колебания, и продольный потен-
потенциал <р складывается из падающего потенциала <f1, вызванного этик источником н
определяемого формулой C5), и отраженного потенциала <ра, определяемого фор-
формулой C9). Поперечный потенциал ty определяется формулой D0). Функции Фх,
Ф2 и ЧГ свяваны соотношениями D8). -
Попробуем дать асимптотическую оценку вектора смещения при ограни-
ограниченных % и t[ и t, возрастающем до бесконечности. Эта асимптотическая оценка
даст нам картину движения с точки зрения подвижного наблюдателя в поздние
моменты времени в далеких точках.
Из формул C5), C9) и D0) вытекают выражения для составляющих век-
вектора смешения v:
(94)
f n « л/ - V
J 6. 6„ I/ Й* 3
; = ft I Ф 'Гв 1 '- 4- Ф ' Г6 1 — 4- Ф' Cfl ¦» —
v = 221 Ф/i
Попробуем дать разложение величин и и v в ряд Лорана по отрицательным
степеням t. ч
Если воспользоваться уравнениями, служащими для определения 6„ то мы
в помощью простых выкладок получим для них следующие асимптотические
выражения:
(95)
6з = ~'
откуда вытекает, что
Зак. И08. — «фанк ж Иавео. Джфф. уравв. nai. фаз.

630 Механика сплошных сред
а также
<w -г- ' v —i9V f a'+r
dy 8/
Если — не совпадает с rfc —, то есть не является корнем уравнения Pa-
Pas' с
лея G1) § 1, то при возрастании t, в стремится к — ,и так как функции Ф/,
Ф/ и Ф' при 9 = —ограничены, а ковффициенты -ту-, "гт"'#*- сЧ>емятся
9 °i "а
к нулю, как—, то мы видим, что смещения м и v при возрастании t также
стремятся к нулю.
Если же наблюдатель будет двигаться со скоростью волн Рэлея g = с, то он
увидит нечто принципиально иное.
Действительно, при 6 = — обе функции Ф2' и ЧГ3' имеют, вообще говоря,
полюс, так как знаменатель в правых частях формул D8) обращается в нуль.
При стремлении t к бесконечности, 9 будет стремиться к— и, следова-
С
тельно, Ф2' и Ч?1/ будут неограниченно расти. Здесь мы, очевидно, не можем
утверждать, что смещение будет затухать. Рассчитаем все явления подробно.
Благодаря тому что F (—1=0, мы имеем, пользуясь (95),
Vе/
(98)
Пользуясь (98) и подставляя D8) в (94), мы получим, ограничиваясь чле-
членами, свободными от —:

, §3
Задача об источниках колебаний для полупространства 631
(99)
_/А_±У_—i/—-— л/1—1.
\ с2 Ь2/ са у <?а а2 у с2 Ь»
х
X
а2 \ с2
б2
X
х
1у ~г*~~ v*
б , . _/ 1 1
1 1
е2 V») с2 |/ с
с2
1 Г , .,/¦! Г
_fii/JL_J_/A_ M
с2 |/ с2 а2 \ с2 б2 /
Таким обравом с точки зрения наблюдателя, движущегося параллельно по-
поверхности со скоростью Рэлея, явление не затухает, а стремится к некоторой
стационарной картине. Если сравнить полученные нами формулы с результатами
§ 1, то мы видим, что главное слагаемое в формулах (99), дающее незатухаю-
незатухающую волну, идущую со скоростью —, представляет комплексную плоскую волну,
с
которую обычно называют волной Рэлея. Это слагаемое представляет собой част-
частный случай плоской комплексной волны Рэлея, разобранной вами выше, который
получается из общего при частном предположении о функции f, входящей в фор-
формулы § 1.
Наши ревультаты объясняют, таким образом, появление волн Рэлея при
землетрясениях.
В следующем параграфе мы остановимся на этом подробнее.
Весь анализ, проведенный нами для случая отражения продольных волн при
комплексном потенциале, может быть перенесен почти без изменения на все осталь-
остальные случаи. Мы предоставляем проделать это читателю.
В этом параграфе, так же как и в теории отражения плоских волн, мы совер-
совершенно не останавливались на разборе простейших задач, как задачи о линейно-
поляризованных поперечных волнах и т. д. Рассуждения, которые мы провели,
бее всякого труда распространяются н на эти случаи. Мы предоставляем это сде-
сделать читателю.
34*

532 Механика сплошных сред
§ 4. Задача Еоши для упругого полупространства в двух ивиерениях
1. Постановка задачи. Формула Грина. В теория интегрирования волно-
волнового уравнения:
где А заданная функция х, у, t, основной является так называемая вадача Копта.
Математически эта задача ставится как задача отыскания интеграла уравнения A),
удовлетворяющего так называемым начальным условиям:
B) «I =«<>(?, у), -^- =«о'(ж,у).
К решению этой задачи мы и приступаем.
На предыдущих страницах мы встречались уже с так называемой формулой
Грина для двух решений волнового уравнения.
Пусть и непрерывное со вторыми производными решение уравнения:
а м1 такое же решение уравнения:
1 дЧ -О
Рассмотрим область В трехмерного пространства х, у, t, ограниченную по-
поверхностью S, состоящей из конечного числа кусков, имеющих непрерывно меняю-
меняющуюся касательную плоскость.
Тогда справедлива следующая формула:
D) JJ {иРп («,) - MlPn (*))d8=*fff{ и А, - utA} dx,
S В
ipe через Рп(и) обозначена операция:
(Я Й 1 Я \
COS (», X) — 4- COS («, у) щ — jf COS (», t) — J U,
a n — направление внутренней нормали. В формуле D) очевидно dS—элемент
поверхности в пространстве х, у, t, a dx элемент объема этого пространства.
Формула D) выведена в предположении, что и и их имеют непрерывные
вторые производные. Однако, она сохраняет смысл, например, и в том предполо-
предположении, что одно из этих решений и{ является правильным разрывным решением.
Докажем это. Пусть, для простоты, внутри объема В имеется одна поверхность
разрыва uv которую мы обозначим 2- Выделяя эту поверхность разрыва двумя
близкими параллельными поверхностями 2i и 2» мы разобьем оставшийся объем
на две части В1 и Д>, лежащие по разные стороны поверхности разрыва. Гра-
Границей объема 2?i будет служить поверхность 2i и часть S, поверхности S. Гра-

XII, § 4 Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях 533
ницей Б2, аналогично, будет 2а и часть 82 поверхности S. Применяя к ка-
каждому из этих объемов формулу D), получим:
Si
Складывая эти результаты, будем иметь:
/
+ ff'{uPn(u1)-u1Pn(u)}dS=, f ff {иА.-щЛ}^.
Переходим теперь к пределу, устремляя поверхности 2i и 2ак поверхности раз-
разрыва 2- При этом сумма поверхноетей St -f- #j будет стремиться к поверхности S,
а сумма объемов Bt и В2 — к объему В. Интегралы по 2i и п0 2г в пределе
сократятся, так как пределы Рп(м1)"и -?„(«) на поверхностях 2i и ^)з> в силу
условий совместности, будут отличаться только внаком ив-sa перемены напра-
направления нормали. Окончательно мы будем иметь:
ff{uPn(ul)-ulPn(u)}d8=fff(»A1-ulA}fr.
8 Ь
Эта формула и представляет собой формулу Грина для объема В.
2. Фундаментальное решение Вольтерра. При решение задачи об инте-
интегрировании волнового уравнения основную роль играет так называемое фунда-
фундаментальное решение однородного уравнения, которое мы сейчас построим. Это
решение, как и весь рассматриваемый метод, принадлежит Вольтерра. Решение
это в комплексном обозначении имеет вид:
F)
где
Не трудно проанализировать основные свойства этого решения. Решение это
внутри конуса
(8) а2 (*0 — О2 = (х — хоу + (у — г/0J, t < tv
представляется в виде:
(9) «-]
Во внешности этого конуса и на его границе оно, очевидно, равно нулю. Бла-
Благодаря тому, ччо конус (8) является поверхностью характеристик, мы видим,

534 Механика сплошных сред
что на этом конусе выражение Р,,^) уничтожается в силу условий совмест-
совместности. Линия
A0) х = х0; У = Уо
в иространстве х, у, t, параллельная оси времени, будет очевидно особой ли-
линией фундаментального решения, так как вдоль нее ut обращается в беско-
бесконечность.
4. Решение задачи Копта по методу Вольтерра. Обозначим через В
объем, ограниченный плоскостью t = 0 и поверхностью конуса (8). Выделим ив В
линию A0) поверхностью малого цилиндра радиуса е, описанного вокруг нее.
Уравнение этого цилиндра будет:
Обозначим полученный объем черев BL. Применим теперь формулу Грина к иско-
искомому решению и и фундаментальному решению »t в объеме Вх. Поверхность
Вх состоит ив части поверхности конуса (8), которую мы назовем L, части по-
поверхности цилиндра A1), которую мы назовем N, и части плоскости t — Q, ко-
которую мы обозначим #,.
Применение формулы Грина дает нам:
f
На поверхности L подинтегральное выражение обращается в нуль. Обращая
внимание на то, что на поверхности N — const уничтожается и
а на поверхности 8t обращаются в нуль cos (nx) и cos (ny), мы можем переписать
наш результат в виде:
Г Г Г 9м, ди) ,о 1 Г Г [ Зм, ди
N # S
A2) ^
Ив формулы (9) вытекает:
A3) Э^_ a(to-t) Ьщ^ а
or г у a2 (t tj- г2 dt v~a? (t О2 *
Подставляя эти результаты в A2), получим:
JNJ \ rVa4h-t)*—r* 'Эг/ «'
JNJ \ rVa4ht)r / /Л V а»«в —V —
Bi

XIT, § 4 Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях
Обозначил черев / окружность пересечения цилиндра (И) с плоскостью
1= const. Интеграл по N может быть ваписан в виде:
°
Г f g(<o—О Г 1 Г
J \ /о» («ь — О2 — e8L О
-/
о
Посмотрим, каков предел этого интеграла при е-*О. По теореме о среднем
г
где и (&<), т)о) — вначение и в некоторой точке на окружности I. Допустим, что
и (?0, ¦%) отличается от и (#0, у0) на величину у\, которая равномерно стремится
к нулю вместе с -е. При этом
/
О
у оа(«0—оа—е2 ^ i J У «2(*о—О9.—«
¦
а
—у Tkdt =
= 2-е I м (ж0, j/0, О
где if)! стремится к нулю. Предполагая, что и(хо,уо) ограничено, лепСо видим,
что
I у^ч^о—о2—g2
ди
-.„ . ди _,
Кроме того предполагая, что =- также ограничено, легко убеждаемся, что
lim
имеет пределом нуль. !

536 Механика сплошных сред
Перейдем к пределу в формуле A2), устремляя е к рулю. Мы получим:
2к
( u(xo,yo,t)dt — -^ / Г
Продифференцируем эту формулу по t0. При этом
-щ j «(«01 Уо> t)dt = u (х0, у0, д.
о
интеграл
еависит от ?0 как явно, так и благодаря тому, что граница области интегриро-
интегрирования является переменной. То же самое относится, очевидно, и к тройному
интегралу, взятому по В. Однако, в данном случае легко видеть, что перемен-
переменность границы не сказывается при однократном дифференцировании. Действи-
Действительно, в силу того, что подинтегральная функция уничтожается на границе
области интегрирования, иы можем слегка расширить эту область, превратив
ее в область, независящую от t0. При этом мы непрерывно продолжим подинте-
гральное выражение в эту область с помощью тождественного нуля. Нетрудно
видеть, что при этом можно будет дифференцнровать по параметру полученный
нами интеграл. Возвращаясь затем к старой области, мы убеждаемся, что про-
производная по параметру от обоих рассматриваемых интегралов равна инте-
интегралу от производной. Принимая во внимание это обстоятельство, мы получим:
(U)
1 Г Г и/(х и^
(as — i
Jl
dt.
Перенося члены, содержащие неизвестное в одну часть, получим окончательный
результат:
J J -j
L Г Г <(«.iQ_ dxdy+1- Г Г Г , А —
A5)
2га*
Метод Вольтерра им же был применен и к изучению упругих волн в не-
неограниченном пространстве. Не останавливаясь на этом, перейдем сразу к за-
задаче о распространении упругих волн в полупространстве нри заданных началь-
начальных, и граничных условиях.

XII, § 4 Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях 537
4. Формула Грнна-Вольтерра. Переходя к решению общей задачи теории
• упругости для полупространства (в плоском случае), прежде всего выведем
одну формулу, являющуюся обобщением формулы Грина для вадач теории упру-
упругости и принадлежащую Вольтерра.
Рассмотрим какие-нибудь два решения уравнений упругости § 1 в слу-
случае плоской задачи. Пусть одно ив решений имеет вектор смещения т, а дру-
другое aj. Обозначим черев Xxt Ху, Yv составляющие тенвора напряжений, соответ-
соответствующие первому решению, а черев XxU Xyl, Yyl,— эти же составляющие,
соответствующие второму решению. Пусть компоненты массовых сил в первом
решении будут X и У, а во втором Хи и Yv '
Рассмотрим теперь некоторую область. В пространства (х, у, t), ограни-
ограниченную поверхностью S, имеющей непрерывно меняющуюся касательную пло-
плоскость или состоящей ив конечного числа кусков,- обладающих этим свойством.
Обозначим через J интеграл, ввятый по поверхности 8:
J = //{ mX*i + vX** ~ uiX* - "Л) C0S
где п обозначает внутреннюю нормаль к S. Если мы заменим в этом инте-
интеграле составляющие тенвора напряжений через их выражения A8) § 1, а за-
затем преобразуем по формуле Гаусса поверхностный интеграл в объемный, те.
после элементарных сокращений, получим:
Г Г Г (
в
Пользуясь теперь уравнениями B) § 1, приходим к окончательному ре-
результату:
/ J I " L Х*х C°S ^Щ Х^Ху 1 C0S^ У^~?~Ш C0S (П' ^ И"Н Xyl cos(n>x
J3
rt -1 Г-
+ Yv, i cos (», у) — p -Ji cos (», t) I — «i X, cos (n, x) -\-
-f-X^cosC»,^) — p-^cos(»,0 J— vA Xyc
-f YyGos(n,y — p — cos(M)J \dS
A7) ^ j j j {uX.+vY.-u.X-^Y}

338 Механика сплошных сред
Формула A7) и представляет собой формулу Грина-Вольтерра, на которой
основано все дальнейшее изложение.
5. Кинематические и динамические условия совместности для уравне-
уравнений упругости. В последующем наложении нам будет необходимо пользоваться
некоторыми разрывными решениями уравнений теории упругости. При этом мы
могли бы ограничиться требованием выполнения кинематических и динамических
условий совместности для тех волновых уравнений, к которым сводятся урав-
уравнения упругости; но для наших целей удобнее привести другой вывод, осно-
основанный на применении самих уравнений упругости. Как прежде в § 2, назовем
кинематическим условием совместности условие того, чтобы обе составляю-
составляющих вектора смещения и и v имели лишь правильные поверхности разрыва
в конечном числе. Динамические условия будут опять заключаться в том, чтобы
к заданному решению можно было приблизиться сколь угодно с помощью других
дифференцируемых решений ип и vn и притом так, чтобы на всех поверхностях, не
касательных к поверхностям разрыва, можао было бы совершать предельные пере-
переходы в интегралах, содержащих производные от составляющих вектора смещения.
Если мы возьмем в формуле A7) один раз Xj =0; Yt = 0; ut = 1, vt = О,
а другой раз щ = 0; «,_=1, то мы получим две интегральные формулы, которым
удовлетворяет всякое дифференцируемое решение уравнений теории упругости:
I I I Ххcos(щх) + Х9cos (п, у) — p — eos(n,t)\dS= j j j Xdxdydt,
A8)
Эти формулы аналогичны формуле C3) § 2. Их иногда также называют зако-
законом импульсов. Для того чтобы пояснить это название, применим, например,
первую из этих формул к телу, ограниченному цилиндром с образующими, па-
параллельными оси t, и двумя плоскостями t = tl и < = B, параллельными пло-
плоскости X0Y. Обозначая при этом через/ контур основания цилиндра, а через ^
ллощадку проекции цилиндра на плоскость X0Y, мы получим:
И -1 Г [Хх cos (и, х)+ X, cos (и, у)] dl+ С J Xdx dy J dt =
p— dxdy— I I p^—dxdy.
оц j j ai1
Левая часть этого равенства представляет собой сумму составляющих по оси X
от импульсов всех сил, действовавших на площадку 2» а правая дает прира-
приращение составляющей количества движения этой площадки по оси X.
Так же как и в § 2, наше определение динамических условий совместности
влечет за собой справедливость законов импульсов для решений, удовлетворяю-
удовлетворяющих этим условиям. Так же как и там, мы могли бы взять это обстоятельство
за определение динамических условий.
Можно доказать, что и здесь мы можем полностью свести вопрос к геомет-
геометрическим свойствах поверхностей разрыва. Из справедливости закона импуль-
импульсов для нашего разрывного решения вытекает, что выражения:
ди
Хк cos (»0, х) -\- X, cos (m0, у) — р ~ cos (»0,0 = Мlt
X. cos (»0, х) -f Yy cos (»0, у) — р д- cos (n0, t) = Мя

XII, § 4 Задача Жоши для упругого полупространства в двух измерениях 539
должны быть непрерывны при прохождении сквозь поверхность разрыва. Кроме
того, из кинематических условий совместности вытекает непрерывность выра-
выражений:
~ cos (п0, у) —^ cos (п0, х) — Jf3,
ох оу
ди . Л ди , ч _,
х- cos (»0,0 — — cos (»0, х) = Ж*
B0)
9м . ди
-щ cos («о,х)~~^ cos (wo« 0 = мь>
gj COS (»0, у) ——COS (ПО, Ж) =
dv_
дх
dv_
ду
cos (»0,0—-orcos i
= Ы
ь
¦— cos (»0, ж) — ^- cos (»0, () = Ms.
Для того чтобы поверхность могла служить поверхностью разрына, необхо-
необходимо, чтобы ранг матрицы, составленной из коэффициентов при производных
от и и v в выражениях М{ (» = 1, 2...8) был меньше шести. Иначе все эти
производные являлись бы линейными комбинациями непрерывных выражений М{
и сами были бы непрерывны. Упомянутая матрица имеет вид:
(Х-4-2A) cos (»0, x) |i cos («о, у) —pcos(ne,<) ft cos (п0, у) Хсо8(»(„ж)' О
X cos (п0, у) fi cos (»0, х) 0 |i cos (п0, ж) (Х-4-2[а) cos (»0,г/) —р cos (no,t)
B1)
QOS(no,y) ¦
No
— cos (m0> t)
0
0
0
—cos(wo,a:)
cos (»o, if
0
0
0
0
0
— cos »0, у
cos n0, x
0
0
0
0
0
0
"COS(l
0
—cos(
0
0
0
0
0
0
0
cos(»o>2/) — cos(m0la:)
cos (n^ t) — cos (m0, y)
) 0 cos («o, x)
Если приравнять нулю все определители шестого порядка этой матрицы,
то после подробных вычислений мы увидим, что все они содержат множитель:
{ р cos2 («о, 0 — (X + 2ja) [cos2 (»о, х) + cos2 (и0, г/)]} {р cos2 (m0, <) —
B2) — (* [cos2 («о, я) -f cos2 (»0! г/)] }
и могут уничтожиться одновременно только в том случае, когда этот множитель
обратится в нуль. Отсюда мы видим, что поверхности разрыва для уравнений
теории упругости могут быть двух родов: одни из дих должны удовлетворять
уравнению
B3) р cos2 (n0,0 — (X + 2ji) [cos2 (m0, х) + cos» (n0, у)] = О,
а другие уравнению
B4) р cos2 (»0, t) — (* [cos2 (и0, х) + cos2 (по,у)] = 0.
Однако, в отличие от прежнего, условий B3) и B4) недостаточно для выполне-
выполнения динамических условий совместности; даже если все определители шестого
порядка матрицы B1) обращаются в нуль, выражения A9) могут и не являться
линейными комбинациями выражений B0).

640 Механика сплошных сред
I Чтобы разобраться в этом подробнее, выберем направление осей х и у
специальным образом так, чтобы в исследуемой точке поверхности разрыва на-
направление оси у лежало в касательной плоскости к этой поверхности; при
- ди dv
iiTOM cos(поу) равен нулю и производные -~~ и г— непрерывны при переходе
сквозь 2- В этом случае левые стороны B0) принимают вид:
X g- cos (»0, х) + (X -{- 2[а) ^ cos (n0, х) — р — cos (»0, t)
|* ^ COS («о, Ж) -f Ji g- COS (»0, Ж) — р — COS («о, 0.
Если выполнены условия B3), то первое из этих выражений непрерывно
dv „ , „ .3» , ,
а втоматически, так как — непрерывно по предположению, a (A-j- 2(*)^- cos (по,х)-—
ди . ди . Л ди , ч
— Р д7 cos (wc 0 пропорционально т- cos (m0, /) — — cos (%, ж), которое непрерывно
т cos (m0, /) —
в силу кинематических условий совместности. Что карается второго из выра-
выражений B0'), то из его непрерывности следует непрерывность всех производных
dv dv , ...
от v, так как т-я ^- могут быть представлены как линейные комбинации от
ОХ 01
dv .' dv
V- -fa cos («о, x) —• p — cos (»0, t)
ч
И
dv , ,, dv , .
^ cos («o, t) — — cos (»0, x).
Совершенно так же можно убедиться, что, если выполнено условие B4),
второе из выражений B0') непрерывно автоматически, а непрерывность пер-
первого влечет за собой непрерывность всех производных от «. Так как м в на-
нашем случае является нормальной составляющей вектора смещения по отноше-
отношению к линии разрыва в плоскости ху, a v тангенциальной составляющей, и
так как выбор координатных осей, очевидно, не влияет на результат, то мы
можем утверждать, что при соблюдении условия B3) могут терпеть разрыв
лишь производные от нормальной составляющей вектора смещения, а при со-
соблюдении B4) лишь производные от его тангенциальной составляющей.
Наша формулировка условий совместности может быть еще упрощена,
если мы перейдем к изучению порознь • обоих слагаемых, потенциального и со-
леноидального, на которые может быть разбит вектор смещения.
Пусть
где v' — вектор потенциальный, а V — вектор соленоидальный.
Нетрудно убедиться в том, что для потенциального вектора производные
тангенциальной составляющей к поверхности разрыва непрерывны. Для соле-
ноидального вектора, наоборот, непрерывны производные от нормальной соста-
составляющей.
Для доказательства, выберем опять такую систему координат, в которой
ось у параллельна касательной к поверхности разрыва в данной точке. Для по-
потенциального вектора
du_dv_
ду~дх

XII, § 4 Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях 641
Производная от и по у непрерывна в силу кинематических условий, сле-
dv лж dv
довательно, ^- также непрерывна. Ив непрерывности г- и и кинематических
dv
условий вытекает непрерывность —.
Аналогично, для соленоидального вектора
ди dv
dv
я ив непрерывности ^— вытекает непрерывность всех производных от и.
Мы видим, таким образом, что динамические условия совместности экви-
эквивалентны тому, что для потенциального слагаемого поверхности разрыва должны
удовлетворять условию B3), а для соленоидального слагаемого — условию B4).
Нетрудно убедиться, что таким образом динамические условия для урав-
уравнений упругости эквивалентны динамическим условиям для тех волновых урав-
уравнений, которым удовлетворяют потенциальное и соленоидальное слагаемые век-
вектора смещения.
Выполнение кинематических и динамических условий совместности для
одного ив решений, входящих в формулу A7), является достаточным для того,
чтобы формула A7) была применима при условии, что другое решение имеет
непрерывные производные.
Действительно, если эти условия для v выполнены, a Vj непрерывно, то
мы можем, вырезав из объема В все поверхности разрыва близкими к ним па-
параллельными поверхностями, лежащими по обе стороны, подобно тому, как мы
делали в § 2 этой главы, применить формулу A7) к оставшемуся объему.
После предельного перехода интегралы по обеим сторонам поверхности
разрыва сократятся в силу непрерывности A9), и мы получим формулу A7)
для всего объема.
6. Постановка плоской задачи теории упругости для полупростран-
полупространства. Общая вадача теории упругости для полупространства в плоском случае
ставится обычно как задача интегрирования уравнений:
B5)
дЧ
д 1ди i dv
с начальными условиями:
B6)
и I t=o = % (ж> УУ> v I (=о = lo О' У) i
ди
dv
dt
t=o
и граничными условиями:
B7) «1„=о = «<О)(^О; «I„=, = »<•>(*,*)
иди
<28) . Xvl^X»\x,t); Yy\y=0=YyV(Xtt).
Рассмотрим решение второй ив этих задач, когда граничные условия
имеют вид B8).

542 Механика сплошных сред
С этой целью используем меход, предложенный для неограниченного про-
пространства В. Вольтерра.
Этот метод является естественным обобщением методов Грина и Риманна
и основан на применении формулы Грина-Вольтерра.
7. Фундаиеитальные решения. Построим два основных фундаментальных
решения уравнений упругости.
Рассмотрим решения, представляющие собой сумму падающей продольной
волны, в которой смещения являются вещественными частями функций ком-
комплексного переменного, и двух отраженных волн того же типа, продольной и
поперечной.
Переставим в этом решении t и tQ. При этом оно, конечно, останется ре-
решением уравнений упругости в отсутствии массовых сил, удовлетворяющим гра-
граничным условиям и условиям совместности.
Вместо падающей волны, которая распространяется от источника колебаний,
мы получим волну, сбегающуюся к этому источнику, которую будем называть
обратно падающей. Вместо отраженных волн, мы получим две волны, которые
обратно переходят в сбегающуюся волну. Эти волны назовем обратно отра-
отраженными.
Пусть при этом основная обратно падающая волна имеет вид:
где
a bi определяется уравнением:
81 в (<0 — 0 — 6Х {х — х0) + yjr, - 6Х2 {у — г/0) = 0.
Условие E0) прошлого параграфа при этом, очевидно, выполнено. Обратно
отраженные волны будут определяться уравнениями:
где функции Uv F2, Ua и F8 определяются с помощью формул E7) прошлого
параграфа, а функции 62 и 83 вычисляются ив уравнений:
C4) з2 =з о0—t)—е2 {х—х0) — у -1— е2* (г/+г/о) = о,
C5) S3 s (*0-0-е8(*-%)-J/-^-682 г/-J/ -1— 6322/о=О.
1'раницей области возмущения продольной обратно падающей волны будет
служить нижняя половина конуса C7) прошлого параграфа. Границей области
возмущения продольной обратно отраженной волны будет служить опять ниж-
нижняя часть конуса ^45) того же параграфа.
Границей области возмущения поперечной обратно отраженной волны
будет служить огибающая семейства плоскостей, получаемых ив C5) подстанов-
ьой вместо 68 значений ив промежутка

XII, § 4 Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях 543
Решение, представляющееся в виде:
C6) « = «,-|-«,-f-«3, » = »I + «2 + »s.
ны будем называть первый фундаментальным решениек уравнений упругости
для полупространства со свободной границей.
Очевидно, что при 6Х = <» функции С^ (QJ и Vx Fj) обращаются в беско-
бесконечность.
Это соответствует току, что первое фундаментальное решение будет иметь
особую линию х = х0> у = у0, которая отвечает лучу р1 = со.
Второе фундаментальное решение получается также перестановкой t я ta
в решении, состоящем ив падающей поперечной волны и двух отраженных—
продольной и поперечной. Это решение будет состоять из обратно падающей
поперечной волны н двух обратно отраженных, продольной и поперечной.
Возьмем обратно падающую волну в виде:
C7) «,
где
C8) 84 = (f0 — *) — 84(я-
и функции U4 F4) и F4 (84) определяются уравнениями:
C9) ^(94) = — *84;
Обратно падающие волны будут выражаться равенствами:
где
{4J/ Og = {tQ 1) O6 [X Xo) -
И
Функции Ub, Vb, Ut и Fe определяются из формул (86) прошлого пара-
параграфа с той же оговоркой относительно областей непрямого возмущения. Реше-
Решение, в котором:
мы будем называть вторым фундаментальным решением уравнений упругости
для полупространства со свободной границей.
Обратно падающая волна дает смещения неравные нулю внутри области,
ограниченной нижней половиной конуса G0) предыдущего параграфа. Обратно
отраженная продольная волна дает смещения, не уничтожающиеся тождеотвенно-
внутри области, границей которой олужит огибающая семейства плоскостей, полу-
получаемых из D2) подстановкой значений
Наконец, обратно отраженная поперечная волна дает отличное от нуля
возмущение внутри области, границей которой олужит нижняя часть конуса G7)

544 Механика сплошных сред
прошлого параграфа и две плоскости, отделяющие области непрямых возмущений;
уравнение которых получается ив D2) подстановкой
' а '
Второе фундаментальное решение, так же как и первое, имеет особую линию,
ж = жп> У — Уо-
8. Решение общей задачи теории упругости для полупространства
в плоско» случае. Для решения общей вадачи теории упругости применим
формулу Грина-Вольтерра к искомому решению и к первому фундаментальному
решению.
За область интегрирования В выберем часть области возмущения первого
•'фундаментального решения, для которой t > 0, вырезав еще из нее особую
линию х = х0> у — у0 цилиндром радиуса з. Обозначим черев L часть поверхно-
поверхности этого цилиндра, являющуюся границей области Д черев S— часть плоскости
t = 0 и через 2—часть плоскости у = О, являющиеся границами этой же области.
Пусть N будет внешней границей области возмущения.
Применяя формулу A7), получим:
D5) Jf GdS + J J GdS+ J f GdS + J j i
= — Г J f(utX + »! Y)dx dy dt,
где через G обовначено выражение:
G = и I X , cos(w,^)-|- A cos (и, у) — p -~- cos (n,t)\ -
i ' dt I
. f „ , . . ,, . dv,
-j- v\ Xy 1 cos(w, x)+ Yy< t cos (n, y) — p -~- cos <
<46> * ' eu
x oos (n, x) + Xy cos(m, y) — p —- cos (n,() 1 -
— i;, I Xv cos (n,'x) + Yv cos (и, у) — p -^- cos (n,01.
Подсчитаем отдельно каждое слагаемое левой части. Прежде всего, необхо-
необходимо отметить, что интеграл, взятый по N, обращается в нуль. Действительно,
благодаря кинематическим и динамическим условиям совместности, выражение D6)
уничтожается на N, так как vt и выражения A9) непрерывны при прохождении
сквозь поверхность N и уничтожаются вне области возмущения.
На поверхности 2 выражение G содержит только известные элементы, так
как cos (и, t) = cos (п, х) = 0; Хг, = Yt, t = 0, а величины Х^ и Yy заданы с по-
помощью граничных условий B8). Аналогично, на поверхности S обращаются в нуль
¦cos (ibx) и cos (пу), величины же м, -к-, v и -%т известны. Благодаря этому выра-
Об Ov
жение G также известно на этой поверхности и интеграл по S определен.
Займемся подсчетом интеграла, взятого по цилиндру L.
Так как мы впоследствии перейдем к пределу при стремлении радиуса
цилиндра г к нулю, то очевидно влагаемые, вависящие от обратных отраженных
волн т9 и т3, для которых ось цилиндра не является особой линией, будут стре-
.миться к нулю, поэтому мы займемся исключительно членами, зависящими от vv

XII, § 4 Задача Eoiau для упругого полупространства в двух измерениях 546
Отметим прежде всего, что на цилиндре направляющие кооинусы нормали,
внутренней по отношению к В, будут иметь вид: .
D7)
cos (», х) ¦¦
cos (», у) =
г г
Далее, непосредственный подсчет дает для составляющих вектора смеще-
смещения Vj во всем пространстве формулы:
D8) »1=—
где
Простые выкладки дают далее на поверхности цилиндра L:
Хх, 1 COS (П, X) -j- Ху 1 COS (П, у) =
D9)
х cos (п, х) + ГЛ х cos (и, у) =
О», у)
Очевидно» интеграл
E0)
— «J —^-} [« cos (», ж] + » cos (», у)]-^
, ,' ди . д„
I г1 I о1# \ йиГ
1/3»
j-
4-
Разберем каждое слагаемое порознь.
Если обозначить контур окружности цилиндра через I, то первый интеграл
может быть представлен в виде:
4-
=- I —~ I [«cos(w,x)-\~v cos (»,y)i/ lif.
s2 J •"/ J
35
к. 1408. — Франк и Миаео. Дифф. уравя. мат. физ.

646 Механика сплошных сред
Применяя к внутреннему контурному интегралу, взятому по I, формулу
Гаусса, приведем его к виду:
1 Г Г ( ди dv
где черев о обозначена площадка основания цилиндра; отсюда, с помощью тео-
теоремы о среднем, получим для первого слагаемого правой части E0) предста-
представление:
• ¦ е2
V
Г
Здесь через 6, tq обозначена некоторая точка, лежащая внутри окружности в.
_ [ ди , dv\
Принимая во внимание, что I ——f- -^— I ограничено и
/
7
мы видим, что предел первого слагаемого правой части E0) будет:
О
Принимая во внимание, что на цилиндре
второе слагаемое может быть записано в виде:
f
Первое слагаемое в формуле E2) представляется в виде:
at.
Если применить к внутреннему интегралу по / теорему о среднем, то очевидно
мы приходим к выражению для предела этого слагаемого в виде:
F3) .

XII, § 4 Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях 647
Что касается второго слагаемого, то его предел проще всего опреде-
определить, представляя его в виде:
Применяя опять к внутреннему интегралу формулу Гаусса и теорему
о среднем, преобразуем это выражение к виду:
п * ди . dv
Очевидно, что предел этого интеграла — нуль, тдк как -^—г~я~ ограни-
чено и среднее значение (у — у0) отремится к нулю.
Собирая эти результаты, мы получим выражение для предела интеграла по L:
E4)
Переходя в формуле D5) к пределу и перенося члены, содержащие неив-
вестные, в одну часть, а члены, не содержащие их, в другую, будем иметь:
E5)
г=— Г Г GdS— Г Г GUS— С Г ( (ulX-\-vx Y)dxdydt.
I S В
Тот же самый процесс рассуждений применим еще раз, если рассмотреть
вместо первого фундаментального решения второе.
Применим формулу A7) к объему, получаемому вырезанием малого цилиндра
радиуса в из части области возмущения второго фундаментального решения, для
которой * > 0. Обозначим эту область череч Вх. В качестве одного из реше-
решений возьмем искомое т, а в качестве другого второе фундаментальное решение V.
Если обозначить часть поверхности цилиндра радиуса е, служащую гра-
границей Bv через Lu часть плоскости у = 0, служащую границей той же облаете,
через 2п чаоть плоскости < = 0 через 8t, и, наконец, часть внешней границы
области возмущения через N^ то применение формулы Грина-Вольтерра дает:
E6) f f Gtd8+ f f GxdS+ ff G,dS+
•V -V "V
+ f f GxdS= — fff («
35*

548 '¦< Механика сплошных сред
где черев G1 обозначено выражение:
E7) G, = и {х/ cos (и, х) 4- Xv" cos (и, y) — ?^f cos (n,f) I -f
4- v | X/ cos (», ж) -f- Y/ cos (и, у) — p — cos (», 01 -
— u" JX^ cos (и, x) + Xy cos (w, y) — p -^ cos (», t)\ —
—«" I Х„ cos (и, ж) -f- Г„ cos (и, у) — p — cos (и, f) 1.
Попрежнему легко убедиться, что интегралы по 2i и п0 &i представляют
собою И8вестньте величины, а интеграл по N уничтожается. ,
Вычислен предел, & которому стремится интеграл по цилиндру Lv При его
вычислении, очевидно, достаточно принимать в расчет лишь слагаемые, соответ-
соответствующие т^,. так как для v5 и v6 ось цилиндра служит обыкновенной линией. ";
Непосредственный подсчет Yi дает нам:
* ^
Принимая во внимание формулы D7), получим далее на поверхности
цилиндра:
v59)
Очевидно интеграл
-
|/ (*о — О2 — -р-1 [» cos (и, у) — v cos О, ж)] -^- 4"

XII, § 4 Задача Еоши для упругого полупространства в двух измерениях 649
Не повторяя рассуждений, почти дословно совпадающих с теми, которые
приведены наии для первого фундаментального решения, приводим здесь оконча-
окончательный результат:
Переходя к пределу в формуле E6) и перенося члены, не содержащие
неизвестные, в правую часть, получим:
= — Г Г GidS— f f GtdS— f f f (u"X + tf'Y)dxdydt.
Обозначим, для краткости, правую часть формулы E5) через М (хд, у0, /01
а правую часть формулы F2) черев N (х^ у0, t0).
Дифференцируя затем E5) по х0, а F2) по у0 и складывая, получим:
^дМ dN
~ дх0 "" ду0'
Аналогично, дифференцируя E5) по г/о, а F2) по х0 и вычитая, получим-
F4) 2.
L
дуо
ду0
0 \ дх0 ду0
дМ dN
ду0 дх0 '
Прибавляя и вычитая иг обеих частей F3) и F4)
2я /х(«о —0* и 2т: / У(*0 —
б7 о*7
и пользуясь уравнениями B5), будем иметь:
F5)
J

5S0
Механика сплошных сред
Интегрируя затем но частям левые части F5), приходим к окончательным фор-
формулам:
ди
Уо> *о> = и (жо> Уо> °) + *о -jjf («о» Ус °) +
F6)
1 (dM.dN
« («о, Уо. 'о) = »
Уо>
-^ («0, Ус 0) +
Формулы F6) выражают неизвестные смещения в Точке (х0, у0, t0) через
известные элементы и, таким образом, решают в замкнутой форме поставленную
задачу.
9. Теория точечных источников. Из физических следствий формул F6)
отметим, прежде всего, теорию точечных источников.
С помощью формул F6) мы можем указать, каковы численные выражения
потенциалов, введенных в § 3, н указать еще несколько простых примеров точеч-
точечных источников.
Прежде всего расснотрин математическое выражение мгновенного импульса,
сосредоточенного в данной точке.
Предположим, что мы рассматриваем движение с начальными условиями:
. ди I _ dv
F7)
= 0
в неограниченном пространстве.
Тогда в формуле F6) выражения М и N будут иметь очень простой, вид:
М = — f f f {«! X + v, Г} dx dy dt,
N
= — J f f KX + »4 Y] dxdydt.
В раскрытом виде эти выражения записываются так:
F8)
О a?(t-
¦-№>)*
-Л
о ь» у
'x—
X — Xo
ъ — tyb—Xnrdxdy
\dt.
Вычислим теперь производные от Ж и N по х0 и по у0.
Отметим, что непосредственно дифференцировать по параметру интегралы,
выражающие М и N, нельзя, так как получаются не абсолютно сходящиеся
интегралы и так как область интегрирования зависит от параметра.
Разобьем внутренний двойной, интеграл в представлении М на два слагав-
мых, вырезав из круга радиуса a(t0 — t) маленький круг о вокруг (хо,.уо) с ра-
радиусом е, независящим от (х0, у0). Обозначим оставшуюся область буквой С.

XII, § 4 Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях 551
При малом изменении (х0, у0) эта точка не выйдет ив пределов этого круга
и, следовательно, интеграл, взятые но оставшейся области, можно будет диффе-
дифференцировать но параметру.
Вычислим производную:
дх0
Внутренняя граница области С — контур круга о — не зависит от х0. Внеш-
Внешняя же граница также может быть сделана независящей от него небольшим
расширением области интегрирования. Так как подинтегральное выражение уни-
уничтожается на этой границе, то, продолжая его нулем, мы, не нарушая его непре-
непрерывности', не меняем величины интеграла.
Поэтому мы можем заменить производную от интеграла интегралом от
производной. Мы получим:
Интеграл по кругу о мы преобразуем, разбив на два слагаемых:
д
дха
Второй член этой суммы представляет собой интеграл от функции, регу-
регулярной при х = х№ у — у0.
Действительно:
±
-«-fill * Р2 . 2
и, следовательно, —g- l/ (f0 — 0*—^r — (*о — 0 регулярная функция.
Поэтому производная от этого интеграла при достаточно малом о может
быть сделана меньше любого наперед заданного числа.
Первое слагаемое мы перепишем в виде:
&>

558
Механика сплошных сред
Проделывая аналогичные выкладки для остальных производных, получив
окончательно ряд формул;
<69)
W. II {^
II
р»< О» (*,- *
где tiv t\& %, тц сколь угодно малые числа, а область Сх обозначает область,
подученную исключением и» круга р2-<Ь2(<о—0а малого круга о радиусом г,
содержащего (#о> Уо) внутри себя и независящего от (х0, у0).
Вспоминая известное свойство логарифмического потенциала:
G0)
ш11-т^-
l) dx dy=~

XII, § 4 Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях 553
G00
~?? ff lnTY{t°~t)dxdy+
вычисляя с помощью формул F9) производные от М и N и подставляя в F6),
ны получим:
«(«oi У о, ?о) =
G1)
В формулах G1) полезно несколько изменить порядок интегрирования.
Заменим область С через сумму области С1 и кругового кольца Ь2(<0 — 02<^
О2<[аа(<0 — <J и соединим интегралы по С, в один. При этом, как легко
убедиться, подинтегральная^ функция в интеграле, взятом по G1} станет абсолютно
интегрируемой, и поэтому станет возможным переход к пределу, при котором
область Gx перейдет в круг радиуса Ь(<0 — I). После этих преобразований ны полу-
получим окончательный результат:
G2)
2л
—Уо
-iLJL
д !Гх-

?54
Механика сплошных сред
{12')
Формулу G2) можно записать в бблее кратком виде; условимся считать
вектор v4 равным нулю вне области возмущения.
Тогда его можно считать определенным во всем пространстве. При этом i
формула G2), очевидно, может быть записана в виде:
<73)
Пользуясь G3), очень легка решить нашу старую задачу о сосредоточенном
импульсе.
; " Рассмотрим последовательность знакопостоянных функций Х„ (х, у, t),
Yn {x, у, f) таких, которые отличны от нуля в малой области Ъп трехмерного
пространства х, у, t, лежащей при t > 0, величина которой стремится к нулю
при »-> оо, и расстояние всех точек которой от начала координат также сколь
угодно мало.
Пусть кроме того
<74) fffxn(x,y,t)dxdydt = F и fffYtl{x,y,t)dxdydt = Q,
где Р и Q величины, независящие от и. Физический смысл их очевиден. Они
являются составляющими импульса всех сил, приложенных к упругой среде
по осям х и у.
Расширяя определение сосредоточенного импульса, данное нами в § 3, мы
¦будем называть решением задачи о сосредоточенном импульсе предел, к которому
стремится последовательность решений уравнений теории упругости для неогра-
личенного пространства м(га),г>(га) с нулевыми начальными условиями и массовыми
«илахи Xn,Y_.

XII, § 4 Задача Ноши для упругого полупространства в дву& измерениях 555
Очевидно
¦ (п)
G5)
D
Применяя к интегралам по D теорему о среднем получим ввиду непрерывности
„ 1ди, дм, dv. dv,
функций 1 --Ц -—*- ^-
G6)
где через и1 @,0) и т. д. обозначены значения функций двух пар аргументов:
«1 (^о! Уо, х, у) и т. д., при х = 0 и у = 0.
Формулы G6) дают возможность определить потенциалы <? и <Ji для задачи
о сосредоточенном импульсе.» Мы получим, очевидно:
dxQ 9г/о d%o dy$
\UQt 2те j ду0
9м4(О,О)
duello)
Ui'U 11
J+
редел.
2тг |
DHU1U llCpCAl
dv, (o,o)
^.?о
«да.
9уа @,0)
9л:0
G7)
—^-«.@,0)+ -^-.
Полагая, например, Р= 0, будем иметь:
. ' 2ic if' i
где
G9)
или
(80)
где
(81) *о — <
/*о — |/ ^- — 6/2 г/0 = О,
-^— V22/o = О,
- 6,2 г
0;
*0 - 64.r0
— V 2/o = 0.
Формулы (81) дают численный ответ на вопрос, поставленный нами в § 2.
Мы не останавливаемся далее на анализе других точечных источников,
в которых потенциалы или смещения выражаются однородными функциями нуле-
нулевой размерности или производными от них. Переходим прямо к рассмотрению
одной интересной задачи, решенной впервые Лэмбом, который дал выра-
выражение для значений вектора смещения на границе среды.
10. Задача Лэмба. Задача отличается от задачи о точечном источнике
только тем, что здесь мы имеем дело не с неограниченным пространством,

Механика сплошных сред
а с полупространством, н точечный источник, имеющий характер мгновенного
импульса, расположен на границе этого полупространства.
С целью решения этой задачи, рассмотрим сначала задачу о внутренней
тимнульсе, а затем перейдем к пределу, когда точка приложения импульса стре-
стремится к границе среды.
Пусть мгновенный импульс величины Q, направленный по оси у, приложен
в точке @, /") при t = О.
На основании результатов предыдущего параграфа потенциалы падающих
волн будут иметь вид:
(82)
где
(83)
(84) 84==*— \x+y -p—V(У—П = 0.
Согласно § З, мы получим для отраженных потенциалов формулы:
где
(86)
^*— V—j/^-V(г/+/¦)== о>
= 0,
(87)
= г
4)
- Bва

XII, § 4 Задача Еоши для упругого полупространства в двух измерениях 557
Обозначим черев 8A), 6B>, 8C) и 8D) переменные, удовлетворяющие урав-
уравнениям:
(88)
g(ii __. f $№% -4-
8<2>==f_8B)* —
— 6A) 2 у = О,
—.^2 у Jo.
s t
При стремлении параметра /" к нулю, % стремится к вA), 82 и в5 к 9B),
е4 к еC), в8 и ев к ew.
Очевидно, что после перехода к пределу потенциал <р будет складываться
из двух слагаемых:
{ФB) (б<2))}.
(89) ?
а потенциал ^ из двух слагаемых
(90) ^
где
Ф<3>'(еC))=-»l/'-p— e(sJ;
Нетрудно теперь привести эти формулы к более компактному виду. Для
этого отметин, что функция 9A) сопряжена с 9B), а 9(8) сопряжена с 6D). Поэтому
(92)
Я
так как, кроме того, i 1/ -тк — б2 есть функция, при нашем понимания, чисто
мнимая при вещественном значении в, то формулы (89) и (90) заменяютоя через
(93) |?^
где
Ф' (8B») = - й» + Ф/ (8B>) + Ф/ (бB)),

558 Механика сплошных сред
иди
(94)
Формулы (93) и (94) и дают решение задачи Лэмба. Самим Лэмбом указаны
лишь выражения составляющих смещения в точках поверхности.
11. Волны Рэдея. Для того чтобы закончить физическое исследование
нашей задачи, мы разберем подробно явление так называемых волн Рэдея для
вынужденных колебаний полупространства, которое представляет большой интерес
с точки зрения теоретической сейсмологии.
Рассмотрим опять, как в задаче Лэмба, упругое пространство, в котором
в начальный момент времени t = 0 царит покой.
Пусть в некотором ограниченном объеме D трехмерного пространства х, у, t
действуют по какому-нибудь закону массовые силы Х(х, у, t) и Y (х, у, «).
Путем рассуждений, аналогичных тем, которые были уже однажды прове-
проведены в том пункте, где мы исследовали точечные источники, можно установить
в этом случае формулы, аналогичные G3) для составляющих смещения:
Уо, *о)-1^] J J \Х[ду0 + ду0 + ду0 дхо-1щ~Ъ
.+%l + pL_p,-p._pL]\dxdydt.
, &Уо дУо дхо дхо дхо J J
Исследуем значения этих смещений при больших t0 и ж0, если ж0 = ? rt ^
где g некоторая постоянная, а 5 и у ограничены.
Для этого ааметим прежде всего, что производная от щ по координате х0
может быть выражена в виде:
Аналогично выражаются все производные от щ и v{ по х0 или у0.
При исследовании волн Рэлея от точечных источников, мы установили, что
при этом предположении 0, стремится к dz—, а выражение -тг-нри этом предполо-
предположении стремится к нулю. Отсюда вытекает, что если все U/ I — J и V/ I—1
ограничены, то подинтегральная функция в формулах (95) стремится к нулю и,
следовательно, для таких точек в такие моменты времени смещение будет также
стремиться к нулю.

XII, § 5 Основы решения трехмерных задач "^ 559
Из выражений для Ut и F4 вытекает, что этот случай всегда будет иметь,
место, если только g не равно с, где с рэлеевская скорость.
В этом последнем случае Us','Ut', Ubr и U&' растут неограниченно при
стремлении t0 к бесконечности. Выясним асимптотический характер и и v
для больших t0. С этой целью разложим их в ряды по Степеням — и ограни-
огранило
чимся свободными членами этих разложений. После несложных выкладок, почти
буквально совпадающих с 1еми, которые уже были нами однажды произведены
мы получим окончательный результат [см. формулы (96) на стр. 560 и 561].
Таким образом мы видим, что в этом случае движение не будет стремиться
к покою, а будет по мере увеличения t0 приближаться к некоторому стацио-
стационарному движению. • *
Из формул (96) мы,видим, что стационарное движение представляет собою
волну Рэлея, рассмотренную нами в § 1.
Мы ограничились разбором того случая, когда движение является так
называемым вынужденным, взяв % качестве начальных условий покой.
Совершенно такой же анализ мы могли бы произвести для движения опре-
определяемого произвольными начальными условиями.
Предположив опять, что начальные условия отличны от нуля только в не-
некоторой ограниченной области двухмерного пространства х, у, мы убедились бы,
что при больших t0 я- xQ— таких, что величины S = rt^0 t-\-x0 и у0 ограничены,,
смещения будут стремиться к нулю при всех g кроме д = с.
Выделяя опять главное слагаемое, мы получили бы волну Рэлея.
Произведенный нами анализ объясняет, таким образом, появление волн Рэдея:
при всяком землетрясении.
§ 5. Основы решения трехмерных задач распространении колебаний методой:
комплексной переменной
1. Обобщение понятия плоских волн. Рассмотрим в плоской задаче о сво-
свободных колебаниях полупространства, определяемой уравнением
' ¦ Л, A lft ' Л
« а* + а^в«*Ж для у>0> '
некоторую определенную линию х = х0, параллельную оси ординат. Если рас-
рассматривать колебательный процесс на этой линии, то очевидно, и будет там
функцией двух переменных у и t. Может случиться, что функция u(xo,y,f), как
функция от у л t, в свою очередь удовлетворяет волновому уравнению с двумя
переменными:
fr 1
Где и —постоянная, независящая от х0 и притом такая, что
и> а.
В таком случае мы будет иметь, очевидно, на основании известного инте-
интеграла Даламбера: ^
C) и (х0, у, t) = «! («о, у + »0-Ь«2 («о» У — nt)-
Функция и может быть разбита на два слагаемых, для одного ив которых
точки одинаковых значений движутся по каждой ординате в направлении к гра-
граничной плоскости со скоростью п, а для другого движутся от этой плоскости
с той же скоростью.

Механика сплошных сред
X

XII, § 5
Основы решения трехмерных задач
561
X
r
ей
СТэ
36 Зак- 1408- — Франк в Мазес. Дифф. уравн. мат. фио.

562 Механика сплошных сред
Функцию типа
D) «i(a
мы будем называть падающей примитивной волной, а функцию типа
E) М2 0е, У — nt)
отраженной примитивной волной.
Нетрудно доказать, что данное нами одределение примитивных волн совпа-
совпадает для пространства х, ?/, t с понятием обычных плоских волн.
Действительно, обозначив, например, y-\-nt — l и принимая во внимание,
что функция и зависит только от х и \, подучим, в силу A):
дЧ .д^и и2 дЧ
или
' дЧ
Ох*
Отсюда, по известной формуле Даламбера:
(«и2 ч \ Щ%
F) u1(
совершенно так же получим:
G) и2(х,у — nf) = u5yy — nt+y ~p — 1 x
Таким образом, примитивные водны состоят каждая из двух плоских волн,
движущихся в противоположных направлениях.
Понятие примитивных волн является, однако, существенно новым обобще-
обобщением понятия плоских волн, если мы будем рассматривать пространство трех
измерений. Переходим к анализу этого случая.
Пусть дано волновое уравнение в полупространстве с координатами х, у, з,
, где г > 0.
Назовем примитивной падающей волной решение типа:
(8) ^(х, у, s-\-nt) s
и примитивной отраженной — решение типа:
(9) u2(x,y,z — nt).
Легко видеть, что если обозначить, как раньше, через \х величину s-\-nt,
а через I величину {г —»/), то обе примитивные волны будут удовлетворять
условиям:
dip ~U2 /эр*
Являясь непосредственным обобщением плоских волн, примитивные волны
обладают многими свойствами этвх последних.
Рассмотрим самые основы теории таких волн в применении к задачам
теории упругости.
/и2 \ и2
В наших целях удобно обозначить l--^—II через -р
При этом мы будем иметь основное уравнение теории примитивных волн
в виде:
дЧ д*и от2 9%
и2

XII, § 5
Основы решения трехмерных задач
563
Из этого уравнения сразу вытекает дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяют значения функции и на плоскостях г = const.
Это уравнение имеет вид:
дЧ , дЧ 1 дЧ
то есть представляет собою опять волновое уравнение, но с двумя неремен-
неременными и скоростью распространения ft. По поверхности г = const распростра-
распространяются таким образом типичные двухмерные волны.
2. Отражение упругих примитивных воли. Рассмотрим упругое полупро-
полупространство з > О со свободной границей z = O. При отсутствии впешних сил, урав-
уравнения колебания такого полупространства, как известно из § 1, будут иметь
следующий вид:
92® 92о 92и 1 92о
A3)
жЛ-
б2
& т я(/а
где ® скалярный потенциал, а фц "iv *« составляющие векторного потенциала.
Составляющие вектора смещения и, v, w выражаются через потенциалы
с помощью формул:
b
и = -^- 4- -,г •' "--
дх ' ду дз
A4)
V ~ду *" дз"
w ¦¦
Как легко проверить, условия на границе полупространства будутиметь вид:
A5)
X.
дхду ' 9ж2
0.
г=0
г=0
Т~ Д^Яи
+
^
дхдз
2=0
г=0
дуд г
= 0.
Подобно тому как это имело место в теории плоских волн, ни чисто падаю-
падающие, ни чисто отраженные примитивные волны не удовлетворяют граничным
условиям. При этом опять, аналогично прежнему, встает задача — но заданной
надакЛцей вблне определить отраженные так, чтобы сумма их удовлетворяла
граничным условиям A5).
Мы не будем здесь приводить подробно решение этой задачи, так как оно
чрезвычайно напоминает рассуждения, проделанные нами нри рас-
36*

664
Механика сплошных сред
смотрении задачи о плоских волнах, а ограничимся приведением трех универ-
универсальных формул, аналогичных формулам G7) и G9) § 1, содержащим в себе
вое возможные случаи.
Формулы эти имеют вид:
=в{[\w~~^j +wV -&~wУ 'w~~w
x
X
dt
б2 У fta У Я2 ?2 у b2 ?2
t п гv
ЯО I т ti t 1 / — v
X
dt
62
\ \ / •
dt
X
62
+¦
x
%
_ -vy+4- т/Л^Л i/5^? I
x
X
to

XII, § 5 Основы решения трехмерных задач 665
A8) ¦.
Во всех трех написанных формулах A6), A7) и A8) функции Ql5 Q2 и Qs
суть произвольные решения волнового уравнения:.
как функции двух вещественных переменных (ж, #) и одной комплексной t.
Если, как функции t, они определены и ограничены в верхней полуплоскости,
. , /1 Г /" 1 Г
то мы должны считать в этих формулах радикалы 1/ —г" щ' и 1/ Та гТ
всегда или положительно вещественными или отрицательно мнимыми. Если же
считать 2j и 2а заданными и ограниченными в нижней полуплоскости комплекс-
комплексного переменного t, то эти радикалы нужно выбирать положительно веществен-
вещественными или положительно мнимыми. В случае, если оба радикала вещественны,
вещественная часть функции на вещественной оси будет, очевидно, совершенно
произвольна; при этом становится безразличным, где считать определенными
2, и е2.
Читатель может легко убедиться в том, что формулы A6), A7) и A8) пред-
представляют собой решения уравнений упругости, удовлетворяющие граничным
условиям. Эти формулы аналогичны G7) и G9) § 1 с той разницей, что здесь
везде вместо в стоит -=-.
к
Исследуем подробно все частные случаи, даваемые этими формулами.
Формула A6) при к > а очевидно дает закон отражения некоторой при-
примитивной падающей продольной волны. Первое слагаемое в выражении для в
представляет собою падающую волну, а второе отраженную. Потенциалы $х и ф
представляют отраженные поперечные волны.
С ломошью простых рассуждений, которые мы здесь не имеем возможности
приводить, легко установить, что всякий потенциал падающей продольной
волны, то есть такой продольной волны, в которой и, v и w зависят лишь от
аргументов х, у, ^-\-Л/ —% ~ш3> может быть представлен в виде:
где Q1 — функция, удовлетворяющая условию A9).
Для тех же значений к > а формула A7) дает отражение такой падающей
поперечной волны, у которой составляющая вектора потенциала по оси г равна
нулю. Первые слагаемые в выражениях $х и tyy представляют собою падающие
волны, а вторые отраженные. Выражение для <р очевидно представляет собою
отраженную волну.
Формула A8) дает для ft>6 отражение попередной волны о соста-
составляющими ф„ и <!?у равными нулю. При отражении такой волны продольная отра -
женная волна не образуется.

566 _ Механика сплошных сред
С помощью таких несложных рассуждений молено показать, что любая па-
падающая поперечная волна, в которой и, v и w являются функциями от х, у
и t-\-\/ "Т5~—Ш г> может быть разложена на сумму двух волн, у одной из
которых ^„ = 0, а у другой $х = $у = о. Для этого нужно предварительно разбить
нашу поперечную волну на сумму двух таких волн, для которых у одной rotsv = О,
а у другой rot,, v = rota v = 0.
Потенциалы этих двух волн при соответствующем выборе и будут обладать
требуемыми свойствами.
3. Полное внутреннее отражение поперечной волны при ^ = 0. Фор-
Формула A7) для значений Ъ < h < а дает, как и формула G9) § 1, нечто прин-
принципиально новое.
Для придания ей определенного смысла мы должны очевидно считать
функцию 2а определенной или в верхней или в нижней полуплоскости своего
последнего аргумента.
Положив ее для определенности регулярной и ограниченной в верхней
полуплоскости, мы должны будем всюду приписать радикалам 1/ —г =^- отри-
у а /с
цателъпое мнимое значение.
В выражениях для <±>х и фу мы опять получим при этом прежние отно-
отношения. Первые слагаемые дадут надаюнУую волну, а вторые отраженную. Любо-
Любопытно, что при этом, в противоположность уже«разобраниону случаю, вид падающей
и отраженной волн совершенно различен. Благодаря наличию комплексного мно-
множителя, вещественная часть отраженной волны будет зависеть и от мнимой и от
вещественной части падающей.
Продольный потенциал в нашем случае не будет, строго говоря, ни падающим,
ни отраженным.
Возмущение в этом случае ^удет своего рода комплексной примитивной
волной по аналогии с комплексными плоскими волнами. Все явление будет пол-
полностью аналогично явлению полного отражения поперечной плоской волны.
4. Волны Рэлея. Для того чтобы закончить наш анализ, нам остается еще
попытаться определить возможность такого решения уравнений упругости с гра-
граничными условиями, в котором как продольное, так и поперечное возмущения
будут комплексными примитивными волнами.
Эти решения получаются, как из формул A6), так и из формул A7),
причем результаты, даваемые теми и другими, сводятся к одному и тому же.
При к < 6, вообще говоря, ни те ни другие формулы не дают никаких ре-
решений кроме тривиальных. Действительно, вследствие того, что аргументы у
функций Q1 и S2 для мнимых значений радикалов 1/ — j^- и Л/ -пт гз"
у а к у b /с
при положительных з попадают и в верхнюю и в нижпюю полуплоскости, мы
должны считать »ти функции ограниченными на всей плоскости комплексного
переменного, каковым является третий аргумент. При этом, по теореме Лиувилля,
этн функции вообще не зависят от третьего аргумента, то есть дают решение
статической задачи, которое не представляет интереса. i
Однако, если коэффициент при нервом слагаемом в выражении для о в фор-
формулах A6) или коэффициенты при первых слагаемых в выражениях для $х и tyy
в формулах A7) обращаются в пуль, то значения третьего аргумента для поло-
положительных з во всех неравных нулю членах будут лежать только в одной полу-
полуплоскости комплексной переменной, и мы сможем удовлетворить ^сем условия»
задачи функциями, неравными тождественно постоянной.
Этот первый коэффициент совпадает с левой частью разобранного нами урав-

XII, § 5 . Основы решения трехмерных задач 567:
нения Рэлея [см. уравнение G1) § 1], если заменить в нем Л через-т-. Корнями
этого уравнения будут служить очевидно ±с.
Решения, полученные ив формул A6) и A7), при к = ±с, носят название
волн Рэлея. Существование таких волн было обнаружено сначала на частных
примерах.
Простейшие такие примеры легко указать.
Пусть в формуле A6)
2
где через р и» обозначены полярные координаты плоскости.
Подставляя это выражение в формулу A6), получим:
B0) л -к _
( у [ V с2 а2 \с-> б2/ " \ с г/ с р
Формулы B0) дают рэлеевские волны, распространяющиеся от точечного
(линейного) источника р = 0. Если бы мы вместо ганкелевской функции ввяли
функцию Бесселя, то мы получили бы так называежро стоячую волну Рэлея.
5. Принцип наложения. Понятие примитивных волн позволяет легко вы-
выяснить один общий принцип, полезный в дальнейшем. Разберем сущность этого
принципа.
В пространстве с координатами х, у, г выберем новую переменную коор-
координатную систему X, Y, г, зависящую от параметрах и определенную формулами:
X = х cos X -f- у sin X,
B1) Y = —arsinX-j-t/cosX,
Рассмотрим в этой переменной системе координат функцию п(Х, s, t; X),
представляющую собой решение двухмерного волнового уравнения:
v '
зависящее от параметра X еще и явным образом.
Очевидно, что эта функция в пространстве х, у, z при всяком значении
параметра X представляет собой решение трехмерного волнового уравнения:
дх* ~г ду* г" дг* а*
Интегрируя это решение по параметру X в промежутке от 0 до 2я, мы получим,
решение уравнения B3) в внде:
B4) U(x, у, з, <)= С и (х cos X + V sin X, г, t, X)dX.

568 Механика сплошных сред
Мы примем здесь на веру основной принцип, применение которого делает
формулу B4) чрезвычайно полезной при решении различного рода задач. Этот
принцип, который мы будем называть принципом наложения, заключается в сле-
следующем.
Всякое решение уравнения B3) представимо в форме B4), где и (X, я, t)
является решением B2).
Навовем вектор v волновым вектором, если все его составляющие удовле-
удовлетворяют волновому уравнению.
Принцип наложения пригоден не только для получения скалярных решений
уравнения B3), но годится и для получения произвольных волновых векторов.
Рассмотрим некоторый вектор ^7(Х, з, t, X), направленный, например, по
оси Y, зависящий лишь от X, з, t и параметра X, и удовлетворяющий волновому
уравнению B3).
Очевидно, этот вектор в системе координат (ж, у, г) имеет составляющие:
B5) \
= —Л sinX
и удовлетворяет волновому уравнению B3).
Очевидно, что результат интегрирования этого вектора по параметру X.
в пределах от 0 до 1т., дает нам опять решение волнового уравнения.
Мы получим таким образом:
1 2*
Wx = — Г фг (х cos X + у sin X, з, t; X) sin XdX,
B6)
о
2«
Vy= I $Y('rcos*¦ ~HУ s^n ^' '' '5 *¦) cos^^-
Совершенно аналогичным способом мы можем поступить с векторами, на-
направленными по оси г «ли по оси х.
Очевидно, например, вектор ХЪ\, являющийся решением волнового уравне-
уравнения B3), представляется, аналогично B5), в виде:
B7) ЧГ«=
Подобно тому как мы могли получить по принципу наложения решения
волнового уравнения B3), мы можем, пользуясь тем же принципом, получить
и общие решения уравнений теории упругости.
Эти решения, как оказывается, могут быть получены путем наложения
решений двух основных типов: во-первых, решения задачи в координатах X, з,
характеризуемого потенциалами ер и WY, скалярным и векторным, направленным
по оси Y, и во-вторых, решения, в котором отличен от нуля только потенциал \Ft,
зависящий от X, з, t и X.
Формулы, характеризующие эти решения, будут, очевидно, иметь вид:
B8)
в = / Ф (х cos X -(- у sin X, з, t, X)
о
2s
i>x = — I ^

XII, § о
Основы решения трехмерных задач
569
B8')
где
B9)
о
2л
sinX, s, t; X)cosXdX,
"a?
C0)
y
С точки зрения принципа наложения легко установить непосредственную»
связь между примитивными и плоскими волнами.
Мы не будем за неимением места останавливаться здесь на строгом выводе,
а приводим лишь окончательный результат.
Оказывается, что всякое решение уравнения B3), представляющее собой
примитивную волну со скоростью распространения -т-, представляется как ре-
результат наложения таких решений B3), которые имеют вид плоских волн, за-
зависящих от аргумента
C1) * — OX rt л/-\ — №г,
где
C2) 0 = -^.
С этой точки зрения падающая примитивная волна есть просто аггрегат из
плоских волн, падающих под одинаковым, углом во всевозможных меридиональных
направлениях.
Точно так же отраженная примитивная волна есть просто аггрегат из отраженных
Плоских воли, идущих под одинаковым углом б плоскости во всевозможных на-
направлениях.
Простейшим примером на применение принципа наложения может служить
построение бесселевых функций.
Рассмотрим решения волнового уравнения B3), имеющие вид:
Составляя решение B3) наложением и подставляя для удобства-
C4) #
получим:
C5)

570 Механика сплошных сред
Вводя вместо X новую переменную С = & — X и пользуясь периодичностью
интегрального выражения, преобразуем C5) к виду:
C6) м=
откуда, пользуясь известными интегральными представлениями бесселевых фуж
ций Jn, сразу получаем простейшие решения волнового уравнения:
JM.
Нетрудно убедиться, что принцип наложения, сформулированный нами дл«
неограниченного пространства, может быть с успехом применен и для полу-
полупространства з у> о.
Если мы имеем некоторое решение уравнений упругости, даваемое форму
лами C1) и C2), удовлетворяющее однородным граничным условиям, например:
<38) Z,|,eQ=y.|, = 0 = Zf|, = 0 = 0,
то очевидиц результат наложения таких решений в виде B8) дает опять реше-
пие уравнений теории упругости, удовлетворяющее граничным условиям C8).
Накладывая падающие и отраженные плоские волны, представляющиеся
формулами G7) и G9) § 1, мы можем получить падающие и отраженные при-
примитивные волны, представляемые формулами A6) и A7).
Накладывая далее плоско-поляризованные поперечные волны, у которых
отлична от нуля только составляющая вектора смещения по оси.?, мы получи
решение A8).
Действительно, подставляя в формулы B8) решения G7) § 9 и заменяя % — --",'
будем вметь:
2» /
D0)
у &-&
2*

XII, § 5
Основы решения трехмерных задач
571
Если мы рассмотрим f\ — первообразную функцию для fx
и введем функцию Q^x,]),I) по формуле:
D2)
У, 9=
то будем иметь, очевидно:
2л
D3)
^= J
2л
aQj 1 Г f (t]±_(
о
^! — — С f U + -
ду k J 1 \ к
Подставляя эти выражения в формулы C9—41), приходим к формулам A6).
Совершенно аналогичными выкладками можно получить формулы A7).
Для получения A8) представим прежде всего вектор смещения в плоско
поляризованной поперечной волне с помощью потенциала <|*t. Пусть мы имеем
некоторую плоско поляризованную поперечную волну с вектором смещения т,
зависящим от X, г, t и направленным по оси Y. Этот вектор, как вытекает из
определения, должен удовлетворять уравнению:
D4)
J
Построим вектор фв» направленный по оси г, зависящий также только от X, z
и t и удовлетворяющий условию:
<4о) г' = —"ЭХ'
Очевидно, всегда можно подобрать при этом ^г так, чтобы
Действительно, если мы нашли какую-нибудь функцию ^г<1), удовлетворяющую D5).
то на основании D4)
дХ*
б2
При этом за «{"г можно взять <|>gll) -|- X (^, t), где у (г, <) произвольное реше-
решение уравнения;
»-^—.(, о.

572 Механика сплошных сред
Нетрудно видеть, что векторный потенциал @, 0, ф„) удовлетворяет волновом]
уравнению и условию '
Если падающая плоская волна имеет вид:
( |
то очевидно условие свободной границы дает для отраженной волны формулу:
¦-¦(/Й
Совокупность же падающей и отраженной волн представляется в виде:
D7) 1,e = /
Применяя к формуле D7) принцип наложения, мы с помощью элементарных
выкладок получаем A9).
Очевиддо, принцип, сформулированный нами для обычных волн, остается
справедливым и для комплексных. Наложение комплексных плоских волн дает
комплексные примитивные волны.
Наложение двухмерных рэлеевских волн дает трехмерные поверхностные
волны.
6. Построение первого фундаментального решения для трехмерной
задачи теории упругости. Рассмотрим несколько важных примеров применения
принципа наложения.
В качестве первого примера укажем, как с помощью принципа наложения
получается решение, в котором составляющие смещения определяются по формулам:
D8)
Решение, определяемое формулами D8), мы будем называть первым фунда-
фундаментальным решением уравнений теории упругости.
Очевидно, что это решение представляет собою чисто продольную
волну, в которой вектор смещения в каждой точке направлен по прямой,
проведенной из начала координат в эту точку. Величина вектора смещения за-
зависит только от расстояния до начала и времени. Таким образом, вся картина
движения симметрична относительно начала координат.
Нетрудно видеть, что функции м3, vit tvt имеют разрывы первых производных
на поверхности
D9) га == аЧК
Эта поверхность, очевидно, является характеристикой уравнений теории
упругости. Поэтому первое фундаментальное решение является правильным раз-
разрывным решением. Переходим теперь к построению этого решения по принципу
наложения.
»i = -^ ( Р — ^) при г2 < аЧ\ V, = 0 при г* > а2**,
2 I »*2\
>! = --( *2 тЛ, Wi—O.
1 г3 \ a^J *

XII, § б
Основы решения трехмерных задач
573
Рассмотрим некоторое частное решение плоской задачи теории упругое?»
для г > 0, в котором поперечная водна отсутствует, а составляющие смещения
при s^at выражаются формулами:
удовлетворяет уравнению:
E0)
где (
E1)
E2)
мы будем брать, как обычно в предыдущих параграфах, при положительных зна-
значениях *, тот корень E1), который лежит в нижней полуплоскости. Это соот-
соответствует тому, что на отрицательной части мнимой оси мы будем считать
Мы будем рассматривать лишь положительные значения t.
Внутри полукруга
/*-'
Рнс. 53.
отрицательным. Во внешности круга E2) мы будем определять значение в раз-
различным способом, в зависимости от того, будет ли X > 0 или X < 0. •
Как было указано раньше, в плоскости X, z каждая каеательная к кругу E2)
разделена своей точкой касания на две части, соответствующие двум различным
корням уравнения E1). Мы будем в каждой части пространства Х>0 или X < О
выбирать для 6 тот корень, который сохраняет постоянное значение на отрезке
полукасательной, заключенной между точкой касания и прямой линией г = 0. Мы
получим при этом картину, изображенную на рис. 53.
Пунктирными линиями изображены отрезки касательных, на которых
6 = const.
Кроме того, мы будем предполагать, что при г >• at функции U и v обра-
обращаются в нуль.
Не трудно проверить, что введенные решения действительно представляют
собою продольную волну, так как
_
дг
дх '

574
Механика сплошных сред
Применим теперь к построенному решению принцип наложения.
Мы получим решение уравнений теории упругости, имеющее вид продольной
волны.
Составляющие смещения по осям координат будут при этом выражаться
формулами:
E3)
w, = / -Ri 0.1/ —5- — О,2 ъ arcsin аЪ, \
cosXrfX,
2it
2it
i ~~8*2 ~ isarcsin abi 1sin ХЛ'
где
E4)
Здесь под arcsin abt понимается
t/ у я2 1
взятый по путл, лежащему це-
целиком в нижней полуплоскости.
Подсчитаем теперь смещения и, v и ьо, непосредственно вычисляя интегралы.
Обозначая х = р cos &, у = р sin *, мы будем иметь внутри круга E2) следующие
выражения для интересующих нас функций:
_ 1 afpcos(& — X) — г
'~ a
E4)
— p2cos2(» — X) — г'*
p2cos2(& —
V
y^T
1 — atz — ip cos @ — X) У аЧ2 — p2 cos2 (ft — X) — g2
о р2 cos2 (ft — I
arcsin aOi^-r-lg (»ав -f /l —o282) =
at-\-VаЧ2 — p2cosa(U— X) —
ipcos @ — X) -fi
arctg
pcos($)—X)
ui 4- V a'^a — Pa cos" (** — X) — g*
-)¦
Здесь под arctg понимается та его ветвь, которая обращается в нуль
при р = 0.

XII, § о Основи решения трехмерных задач
Точно так же, при pcos@— Х)>0, z<at, р2 cos2 @ — Х)-{-22>0,
получим:
1 at p cos (Ъ — \) — г V. р2 col?2 @ —
1 a . p2eos2(tt —;
/J. „ 2 _ _1_ — ats — p cos (ft — X) V~p2 cos2 (ft — X) -|- г2 — аЧ*
a2 x ~~ a p2cos2(& — Х) + г2 '
E5) •
. - 1 , / a< — t
arcsm aOj = —r- lg
e-arctg PC0S^~X) _ arctg
Здесь опять под arctg понимается его главная ветвь. Совершенно аналогично,
при pcos(S) — X) < 0. з < at, p2 cos2 (Ь — X)-J-;z2>0, мы будем иметь:
E6)
alp cos (ft — X) -f g У P2 cosa (i> — X) -|- ^ — a2/2
p2 cos 2 (» — X) 4- ^2
/J__ _ —-atar
a2 l ~
(» —X) Vp2cos2(a:—
p2cos2@
¦ „ . pcos(»—X) ^p2 cos20> — X)-f ^2~
arcsm aOj = — arctg ^ '--{- arctg -^-^ -~
Подставляя эти выражения в формулу E3) и выполняя интегрирование,
которое совершается с помощью элементарных функций, мы подучим окончатель-
аый результат для w в виде:
при г**СаЧ*, w — O, при
где для краткости положено г2 = ж2 -J- г/2 -f ^2.
Умножая первое равенство'E3) на cos О, а второе на sin& и складывая,
будем иметь:
2 ic
1
«COS
iii& = — J- f в\в1 ]/ -a\ — V — -^ arcsinae! |cos(» —X)dX.
Аналогично, умножая первое равенство на —sin ft, а второе на cos а и скла-
складывая, получим:
9 г* — -^ Г R! 6, л/ -^ — 6^ — ~? arcsin a\ \ sin(& —
cos 9
Вычисляя эти интегралы, мы получим с помощью элементарных, хотя и кро-
кропотливых выкладок:
«cos

576
Механика сплошных сред
откуда окончателъяо:
<57)
"<"'"-
»!=(>,
Мы видим таким образом, что первое фундаментальное решение для точй|
з > О получается наложением частных решений E0).
Можно подобным же образом получить его и для г < 0. С этой целью чи
должны вместо решения E3) рассмотреть другое, обратное ему по знаку:
<58)
Это решение будет определено с помощью выбора значения 6г при в < О
из верхней полуплоскости, причем на положительной части мнимой оси мы должны
будем считать l/ — — V положительным.
Во внешности полукруга можно выбирать значения 61? которые сохранят
постоянную величину на линиях, показанных пунктиром .(рис. 53).
Функцию arcsmaf^ мы будем при этом определять как
взятый вдоль пути, лежащего целиком в верхней полуплоскости.
При этом для z < 0 мы получим путем аналогичных выкладок формулы:
E9)
«1 = ~ j В { »i j/"-^- -V — -^ arcsinae, ] cos Ш,
о
о
2it
7. Задачи с осевой симметрией. Первое фундаментальное решение пред-
представляет собою пример так называемого решения с осевой симметрией. Рас-
Рассмотрим несколько подробнее этот класс решений, так как он представляет собою
интерес во многих практических задачах.
Мы будем называть решением с осевой симметрией такое решение уравне-
уравнений теории упругости, в котором вектор смещения лежит в плоскости, проходящей
черев некоторую фиксированную ось, в нашем примере, например, через ось г.
Эту плоскость мы будем называть в дальнейшем меридиональной плоскостью. Б щи*

XII, § 5 Основы решения трехмерных задач 577
линдрических координатах вектор смещения будет лежать в плоскости р, г. Кроме
того, этот вектор смещения не должен зависеть от координаты &. С формальной
стороны решения с осевой симметрией имеют сходство с плоское задачей. Если
выражать решение с осевой симметрией через потенциалы, то оказывается доста-
достаточным взять как скалярный, так и векторный потенциалы зависящими только
от р и г. При этом векторный потенциал можно всегда выбирать таким образом,
чтобы направление этого вектора в каждой точке было перпендикулярно к ука-
указанной плоскости.
Если вспомнить формулы для выражения расходимости и вихря в цилиндри-
цилиндрических координатах, то решение с осевой симметрией будет выражаться фор-
формулами:
<60>
где черев « и uz обозначены составляющие вектора смещения по оси р и по оси г,
а через % численная величина векторного потенциала.
Уравнения для скалярного и векторного потенциалов принимают в цилиндри-
цилиндрических координатах для случая свободных колебаний очень простую форму:
(еоЧ
Эр2 т р dp * дз* '
02<k 1 Эф. 1 Э2фя
Ц1I»И, I Та
_
Ь2 дР ~~ Эр2 ^ р Эр р2 Y»^ дг\ '
Задачи с осевой симметрией получаются очень просто из плоской задачи
с помощью принципа наложения.
Для этого необходимо применить этот способ к решению плоской задачи,
не зависящему явно от угла X.
Если решение некоторой плоской задачи характеризуется скалярным потен-
потенциалом Ф, то решение задачи о осевой симметрией будет иметь вид:
2 it
F3) <?— f Ф(р cos(Ъ —К), г, t)dk.
о
Если решение плоской задачи характеризуется векторным потенциалом ф,
направленным по оси Y, то решение задачи с осевой симметрией будет пред-
представляться в виде:
F4) Ф»—/ Ф(Р cos (» — X), г, 0 cos (& — X)dX.
о
Примеры такого рода задач приведены в специальной брошюре по данному вопросу
(см. приложение в конце главы).
8. Построение других фундаментальных решений. Ероме первого фун-
фундаментального решения нам полезно будет ввести еще три других и укавать,
каким образом они могут быть получены при помощи принципа наложения» Эти
решения являются чисто поперечными я имеют следующий вид:
F5)
37 Ьж. М08. — Фравк ж Мнзес. Дифф. ууавн. наг. фив.

578
Механика сплошных сред
0>7)
^8=75-
¦U-S-('-S)
Решение va представляет собою чийто поперечную волну. Так как производ-
производные от составляющих вектора смещения терпят разрыв на поверхности г2 = ЪЧ2,
которая является характеристикой, то, очевидно, второе фундаментальное решение
является правильным разрывным решением уравнений теории упругости.
Вектор т2 в некоторой точке пространства направлен перпендикулярно мери-
меридиональной плоскости, проходящей черев эту точку и ось г. Величина его зависит
только от г и У х2 -\- у2. Поэтому вся картина движения симметрична относи-
относительно оси г.
Решения т3 и т4 получаются ив т3, перестановкой роли координат х, у, г.
Легко указать, какие решения необходимо накладывать для получения F5),
F6) и F7).
Для значений г > 0 решение F5) получается наложением чисто поперечных
решений в виде плоско поляризованной волны с вектором смещения т, параллель-
параллельным оси у:
• в22 —тз arcsin&62
F8) j F-—j
где
F9) 82==« —
а для значений я < 0 наложением решений обратных по знаку:
{ ,а
% Л/ -Г» — 62' — "^ arCsin &Ц2 }
W i
w =¦ 0.
Совершенно аналогично прежнему, будем иметь формулы
}¦
G1) ]
2и
«2 = ^-^- J
о
arcsin
¦ 0.

XII, § 5
Основы решения трехмерных задач,
579
Верхние знаки соответствуют значениям г > 0, а нижние значениям г < О. Выбор
значений 6а 1/-то—^а2 и arcsin &62 в этих формулах совершенно аналогичен пре-
дыдущему, только вместо а везде нужно ставить Ъ.
Решение «8, vs, w3 получается в результате наложения двух решений: одного
решения плоской эадачи, имеющего вид поперечной волны:
.G2)
w ¦¦
~ V - -^f arcsin Ь62
и одного решения в виде плоско поляризованной волны
G3) I , -+- 2lr { 2 1 sln
Окончательные формулы будут иметь вид:
Ля
1 г
2ic j
G4)
2гс
!=нГ-2^- / В |в2 т/ -р-—в22— -р- arcsinЬ62 |
arcsinЬ62 | cosXrfX.
В формулах G2), G3) и G4) верхние знаки опять соответствуют значениям
г > О, а нижние значениям г < 0.
Наконец, решение т4, как и предыдущее, опять представляется как результат
наложения системы двух решений: одного решения плоской задачи в виде попе-
поперечной волны:
G5)
sinX
tv=:
-V—^ arcsin
sinX,
и одного плооко поляризованного решения:
76)
i ^^— . i_
cosX
ui = 0.
37*

$80 Механика сплошных сред
Окончательные формулы будут иметь вид:
«4 = 0
77) j Н"Э" J
__ 1 Г Г Г\ 2 1
"*в±"гГ J (¦ J/ #"—02 "~"ь*
o
2ic
arcsinb'ea
Здесь опять при г > 0 нужно брать верхние знаки, а при ?< 0 нижние. •
Проверка этих формул не представляет никакого труда, так как все они
получаются сразу из формул E3) заменой а на Ъ.
Мы привели здесь только окончательный; результат и не останавливались
юдробно на анализе способа его получения.
В специальной литературе по этому вопросу (см. приложение) читатель
аайдет методы, с помощью которых можно по заданному правильному разрывному
эешению в трех измерениях найти двухмерные решения, наложением которых
можно получить данное.
9. Основные свойства наложения общих комплексных решений. Разо-
Разосланные нами примеры позволяют легко подметить основные свойства наложения
'омплексных решений общего вида. Мы не имеем здесь места подробно останавли-
останавливаться на доказательстве всех этих свойств, отсылая читателя к специальной
литературе по этому вопросу, указанной в конце главы, и дадим лишь формули-
човку этих основных свойств.
Рассмотрим лишь такие задачи, в которых накладываемые решения имеют
несколько специальный характер.
Пусть мы имеем дело, например, с продольной волной, в которой соста-
составляющие вектора смещения выражаются через комплексную переменную по фор-
формулам:
( ?/ = R
G8) \ ^=0
где переменная 6 определяется из уравнения:
G9) »st-
Мы изучим порознь области, соответствующие верхней и нижней полу-
полуплоскости б.
Рассмотрим некоторую часть пространства X, г, где г < А.
Пусть эта рассматриваемая часть при любом положительном t распадается
на две области: область Bv где уравнение G9) имеет существенно комплексные
корни или вещественные корни, по модулю большие, чем -^, и область -Ва, где
корни G9) — вещественные числа, лежащие в промежутке:
80) — -J< 6< + ^--
Мы допустим, что область В^ отделяется от области В% контуром С, обра-
обращенным вогнутостью в сторону положительных z и двигающимся при возрастании t

XII, § б Основы решения трехмерных задач 681
в направлении отрицательных г. Допустим кроме того, что этот контур симметри-
симметричен относительно оси г, то есть уравнение его имеет вид:
(рис. 54). В разобранных выше примерах этот контур был просто дугою окруж-
окружности.
Мы будем считать U и V равными нулю при значениях г, меньших, чем
— a (t—х@)» то есть в точках, лежащих ниже, чем касательная, отвечающая
значению 6 = 0. (Эта касательная, очевидно, целиком будет лежать в В2).
В остальной части области Б2 мы будем выбирать для 6 тот корень, который
сохраняет' постоянное значение на отрезках, касательных к контуру С, заключен-
заключенных между точкой касания и ли-
линией г = A. it
Для того чтобы добиться не-
непрерывности U и го, мы потребуем
кроме того, чтобы функции ?7F) и
tv F) при 6 = 0, обращались в нуль.
Решения, удовлетворяющие
поставленным требованиям, мы бу-
будем называть комплексными реше
ииями, идущими в направлении
отрицательных г.
Понятие это, конечно, вовсе Рнс. 54.
не обязательно подразумевает, что
волна должна быть продельной. Под волной, падающей в направлении отрица-
отрицательных г, мы будем понимать такую волну, продольную или поперечную, в ко-
которой какие-либо элементы смещения выражаются через комплексную пере-
переменную и в котором области вещественности и комплексности выбраны указан-
указанным выше образом.
Совершенно аналогично можно ввести понятие о волне, идущей в напра-
направлении положительных г. Это определение после разобранных примеров понятно
само собой. Обобщая это понятие, мы можем называть комплексными волнами,
идущими в направлении положительных или отрицательных г, и такие волны,
в которых не смещения, а потенциалы являются функциями комплексной пере-
переменной.
Нашей задачей является формулировка основных свойств наложения реше-
решений, падающих в направлении положительных или отрицательных г. Укажем
эти свойства.
Свойство I. Решения, полученные наложением волн, падающих в на-
направлении положительных или отрицательных г, представляют собой правильные
разрывные решения уравнений теории упруговти. Поверхностями разрыва первых
производных могут служить либо поверхность, получаемая вращением контура С,
уравнение которой имеет вид:
либо конические поверхности, полученные вращением отрезков касательных
вдоль которых 6 сохраняет постоянное значение.
Второе свойство, которое также играет весьма важную роль, относится
к решениям, зависимость которых от параметра X носит несколько специальный
характер.
Мы назовем решение, зависящее от параметра X, простейшим, если кроме
косвенной зависимости от X через координаты X и Y, оно зависит еще явно
только благодаря наличию множителя cos (иХ) или sin (иХ) в выражении U mv.

582
Механика сплошных сред
Все рассмотренные нами примеры как раз содержат наложение простейших
решений. Основное свойство простейших решений заключается в следующем.
Свойство П. Пусть в рассматриваемом нами простейшем решении:
(81)
F=0
или
(82)
F=R{FF)}
W —— Uj
где 6 — некоторая комплексная переменная, соответствующая продольной или
поперечной волне. Функция го (в) при 9 = 0 имеет корень кратности (и^|-1),
а функция U(b) или F(8) корень кратности (»-|-2). Пусть кроме того мнимые
части функций U(Q), FF) и w (8) обращаются в нуль на некотором отрезке
—а < 6 < а, который соответствует касательным к контуру С, точка касания кото-
которых расположена на дуге ТЛХМЪ (рис. 54) симметрично относительно оси. При
этом функции, полученные наложением волн (81) или (82), будут обращаться
в нуль во всей области, полученной от вращения полукасательных с точкой
касания, лежащей на дуге МХМ2, то есть во всей внешности поверхности, обра-
образованной вращением контура NyM^MJS^i состоящего ив касательных Л^-Д^
и M%N2 и дуги MtM2. Таким образом, результат наложения отличен от нуля
в той области переменных р, г, которая получается вращением области X, z,
где J(U) и Rw) или J(V) отличны от нуля.
Мы сформулировали свойство П для верхней полуплоскости комплексной
переменной в, но не представляет никакого труда убедиться в том, что оно
остается справедливым и для нижней полуплоскости, только рис. 54 будет не-
необходимо перевернуть. Свойство П, сформулированное нами для случая комплекс-
комплексных смещений, остается справедливый и для комплексных потенциалов. Мы не
останавливаемся на нем подробно, так как формулировка его очевидна.
Доказывать это свойство мы не можем за неимением места. Первое и второе
свойства наложения комплексных решений играют большую роль в теории отра-
отражения, к изложению которой мы и приступаем.
10. Отражение фундаментальных решений. Мы уже видели, что фунда-
фундаментальные решения эадачи теории упругости
(83) \ «i(«. *, У, «)
«Ч (t, х, у, 2)
Uj, (t, x, у, г)
«2 С» ж' 2/» *)
w,(t, х, у, я)
«а С» ж' 2/. *)
«а С я, у, г)
ws (*, х, у, з)
«4 (t, х, у, г)
«< (t, х, у, г)
М>4 (*» Ж» У> 3)
для г > 0, представляются как результат наложения волн, идущих в направлении
отрицательных г, а для #<0—как результат наложения волн, идущих в напра-
направлении положительных s. j"
Подставим в эти решения всюду вместо г, х, у, г аргументы t0 — t, x — ж,
у — уф г—га. Мы получим систему фундаментальных решений:
о»
(84) \
— f> х~я* У—
«>а («о —
«а
х
0,
Щ Со — t,oc — хо,у— у0, г —г0)
«4 Со — '. х — хо, 2/ — 2/о» 3~г0)
»4 Со — t,x—х0, у — у0, г~г0)
«о — t,x—х0, у—у0, г—еа)

XII, § 5 • Основы решения трехмерных задач 583
. с центром в точке t0, х0, у0, г0. Очевидно, что эти решения для г < г0 предста-
представляются наложением волн, идущих в направлении отрицательных г, а для z > %
наложением волн, идущих в направлении положительных г.
Если мы будем рассматривать полупространство г > 0 со свободной грани-
границей, то очевидно, фундаментальные решения (88) будут удовлетворять гранич-
граничным условиям только до тех пор, пока (t0 — 0 < —-, так как для таких момен-
моментов времени вблизи границы будет покой.
Одной из основных задач, возникающих при этом, будет задача так допол-
дополнить эти фундаментальные решения при (t0 — t) > —, чтобы удовлетворить гра-
граничным условиям. Эта задача, то есть задача отражения фундаментальных реше-
решений, совершенно аналогична рассмотренной нами ранее задаче об отражении
фундаментальных решений для случая двух измерений.
Для решения ее мы воспользуемся представлением фундаментальных реше-
решении по способу наложения.
Как мы видели выше, для г < г0 решение м1, «„ wt представляется
в виде:
2 it
(85)
cos XdX
о
2it
о
2it
i^Oo — t, x — xo,y~yQ,z — 0O)==J- Г ?{~#i(V)} sinXdX
0.
01(to — t,x — xo,y — y0,2 — zo) = -z— f Л{м>1F/)} <&•
(86). i ^(V) = V1/ •?-<
(87) {^ — 0 — V [(* — *6) c»s »• + (У — Уо) sinЦ + l/"-p- — 6/2{z — z0) = 0.
Рассмотрим отражение того двумерного решения, которое позволяет по-
построить w: ^
(88)
1 ^ = ^{^F/)}.
Очевидно, при (t0 — i) < —- это решение удовлетворяет граничным усло-
условиям. На основании общей теории отражения, разобранной нами подробно в прош-
прошлых параграфах, мы можем утверждать, что для удовлетворения граничным усло-
условиям достаточно добавить волны типа:
(90) { Uw

584
Механика сплошных сред
где 6'1Д определяется уравнением:
(91) (t0 — 0 — »'ад [(ж—xo)cos\
* 6'lt2 — уравнением
(92) (f0 — О — ^[(*
Функции LJj,i, 1»1Л, C/1,2 и m>i,2 связаны с функциями J/i и tPj формулами D8) § 3.
Сумма решений (89), (90) и (85), очевидно, будет удовлетворять граничным
условиям.
Применим теперь наш принцип наложения к решениям (89) и (90).
Мы получим при этом, очевидно, два новых решения уравнений упругости:
(93)
2и
о
i COS
— I ЕЛ, sink»
(94)
0
«1,2 = -^- j #1,2cosXdX
0
2it
v1>2 =—- I Ui,2 sin \d\
0
2ic
^1,2 = -^; J
Как уже было отмечено ранее, сумма первого фундаментального решения
н двух полученных нами решений (93) и (94) удовлетворяет граничным усло-
условиям.
Решения (93) и (94) удобно навивать поэтому отраженными волнами для
первого фундаментального решения. На основании общих свойств наложения
комплексных решений, сформулированных нами выше, мы можем утверждать, что
решения «1Д, «1,1, m>i,i и и1А vt^ мг^ обращаются в нуль во всем простран-
стве при tQ —1<-^-.
На основании свойства I, полученные нами отраженные решения будут
правильными разрывными решениями во всем пространстве.
Нетрудно проверить, что все условия, требуемые свойством II для этих
решений, также выполнены.
Поэтому мы можем заключить, что области, в которых отраженные волны
дают смещения, отличные от нудя, получаются просто вращением тех областей,
которые изображены на рис. 50 (стр. 521).

\
§ 5
Основы решения трехмерных задач
585
В пространстве трех измерений при фиксированной it эти области имеют
вид, изображенный на рис. 55.
В этой задаче так же, как и для двухмерного случая, можно легко проверить
справедливость принципа Ферма.
Аналогично отражению первого фундаментального решения можно получить
н отражение всех остальных. Мы приведем здесь очень кратко полученные
результаты.
Очевидно, что второе, третье и четвертое фундаментальные решения при
г<.з0 представляются в виде G1), G4) и G7), где вместо 6г необходимо под-
подставить переменную 62', определяемую уравнением:
(95) (<0— 0 — V [ (x— x0) cos X + (у — y0) sin X] -f
— V2 (»—*о) = 0.
Рис 5Б.
Второе фундаментальное решение есть, таким образом, результат наложения
решений вида G0), в которых вместо 8а поставлено 02', определяемое формулой:
(96) (<„ — 0 — VtO* — •
Обозначим отраженное решение для «2, иа, м>а через w2,i «2,2, ^2,1, Тогда,
как легко проверить, мы будем иметь для него формулы:
(97)
где
(98)
sin
^4 = 2^ /Д(^.х(»'м)}
о >
= 0,
Точно так же третье фунданеитальное решение есть результат наложения реше-
решений G2) и G3), в которых вместо 6а всюду поставлено в2'.

686
Механика сплошных сред
Отраженные волны будут, как нетрудно убедитьоя, получаться путей нало
жения трех различных двухмерных решеннй. Обозначив три различных отраженны:
волны черев м81, vSl, t»si; и^, «82, м^; мзз> V83» "'ев' мы получим для них фор-
формулы:
(99)
«„ = ¦1 f B{Uai
31 ^ J I 81
0
vai = -^ f B{Usl(bw)}si
Sic
2*
1 Г
«43 = 7:— I
2it j
2л
2л
A00)
«83
= - ^ / « {
О
2ic
»83 =
2]) }
где 621 и 622 определяются уравнениями (96) и
A01) (to — t)—^[(x—s0)co
— eaa2 zQ = 0.
Функции ?7Sj, t»31 и f/82, м>82 определяются с помощью соотношений (86) § 3.
Функция FSg, очевидно, просто совпадает с функцией 622 sin X, определявшей
падающую волпу. Аналогично получается и отражение четвертого фундаменталь-
фундаментального решения.

XII, §6
Задача Коша в трехмерном пространстве
587
Отраженные волны для него получаются в виде:
2л
««=-5:
(
2л
A02)
2it
^ j R[U4l
A03)
42
COS Ш
A04)
2л
го,„ = 0.
Функции С/^, tc41, ?74a и «с13 получаются с помощью тех же фориул (86) § 3, а функ-
функция Vjg = ваа cos X.
Области в пространстве ос, у,' s, для которых отраженные решения при фик-
фиксированной t отличны от нудя, получаются путем вращения соответствующих
областей двухмерной задачи.
§ 6. Задача Коши в трехиерном пространстве
о 1. Задача Коши для волнового уравнения в неограниченной простран-
пространстве. Мы итожим в этом параграфе те же две основные задачи, которые
мы разбирали для пространства двух измерений. Одна из этих задач — это задача
Коши для волнового уравнения в неограниченном нространстве, а другая задача —
задача Коши для теории упругости в полупространстве.
Займемся сначала первой задачей. Постановка этой вадачи аналогична преж-
прежней. Требуется найти решение волнового уравнения
а) д^.еч дч ,F_j_a%
к ' Ъх* ^ ду* ^ дг* ^ о2 а*2

588
Механика сплошных сред
в неограниченной пространстве х, у, z% удовлетворяющее начальным условиям:
«L Л = Мл (X, tt, Z\
B)
ди
Ы
2. Фориула Грина для волнового уравнения. Формула Грина для четы-
четырех переменных не содержит ничего нового по сравнению со случаем трех пере-
переменных х, у, t, но так как здесь могут представиться некоторые трудности, свя-
связанные с рядом новых геометрических понятие, то мы остановимся на этом
подробнее.
Рассмотрим какую-нибудь область Q в пространстве четырех переменных
х, у, z, t, ограниченную некоторой трехмерной совокупностью, которую мы будем
называть гиперповерхностью.
Пусть внутренние точки области 2 определяются неравенством:
C) f(x, у, г, t) < О,
ж уравнение гиперповерхности S имеет вид:
D) f(x, у, г, 0 = 0.
Назовем направляющими косинусами внутренней нормали в четырехмерном
пространстве величины:
' К.
()
E)
cos 0,2/) = —
cos (n, z)=- —
cos (», t) — —
df_
ду
дг
dt
\ .
dt
Будем называть элементом гиперповерхности S и обозначать через dS
выражение, определяемое одним из следующих равенств: *
(в) ¦" •
dxdn dz
u
dydzdt _
df
dx
dzdtdx
~ \df
\9y
dt dx dy
df\
dz\
где x, у, г, t связаны зависимостью D).

XII, § 6
Задача Коши в трехмерном пространстве
589
Нетрудно видеть, что все эти определения, вообще говоря, эквивалентны,
если тольео знаменатели у них не обращаются в нуль.
Действительно, если считать за независимые переменные сначала, напри-
например, х, у, з, а затем перейти к переменным у, г, t, то очевидно:
df_
Р(х,у,г)^дх dt
D(y,*,t) dt df '
откуда
В (х, у, г)
dt
или
df
'dx
dxdy dz dy dz dt
dt
dx
что и доказывает наше утверждение.
Рассмотрим теперь интеграл, ввятый do гиперповерхности S:
Г Г Г ( Г dv ' ч,9» , . . dv . . 1 dv , л 1
J J J j • [-^ cos (n,*) +-^-008A1, у)+ -gj oos (n, z) — — ~cos(w,Oj —
cos (и, ж) -f jg- cos (», 2/)+-^- cos (», ^) — -^- -^- cos(», t) J Ji5
и преобразуем его в четырехкратный интеграл, взятый по области 9.
Преобразуем, например, интеграл:
и ¦?¦ **(й> ж) ~v "?*cos (w> ж) гs'
Если подставить вместо cos (w, ж) d5 его выражение, то этот? интеграл
разобьется на два отдельных слагаемых в зависимости от знака cos (nt x). Мы
получим, таким обраеом:
/
s,
где 5j та часть поверхности, для которой внутренвде точки объема 2, близкие
к ней, имеют координату tX, большую, чем в точках поверхности, стремящуюся
к своему значению на поверхности, а #2 остальная часть. Таким образом, на
прямых у = const, з = const, t = const для интегралов, соответствующих вну-
внутренним точкам 2, точки 8Х служат нижней границей, а точки S2 верхней гра-
границей.
Замечая теперь, что
d ( dv du \ _ №v d*u
~Ш \U Ж ~~V dx j ~U dx* V da? '

590 ¦ Механика сплошных сред
и выражая разности интегралов по 8г я 83 черев интеграл от производной,
получим:
j j j J (viS? ~u^)dxdyd*dt-
о
Проводя то же рассуждение для остальных слагаемых, получим оконча-
окончательно следующую формулу:
G)
ШГ dv , ч . dv . . . dv . ч 1 dv , Л
u[-.cos(n,x) + 1^coS(n,y) + — coS(n,z) —_ — cos(ii,0|-
s
[du . ч , дм .дм . 1 Зм . Л \ тЛ
-^ cos (и, ж)+-^- cos (и, г/) + -gjcos (», 0) — -^--^- cos (», <)J j d^ =
~~ J J J J 1 * L я*2 32/ ЭяВ «2 3*2 J
s
Эта формула обычно и называется формулой Грина.
3- Фундаментальное решение волнового уравнения. Рассмотрим частное
решение волнового уравнения без свободного члена, имеющее вид:
О r>a(tQ — t),
где
(9) ¦ r
Это решение мы назовем фундаментальным решением. Легко видеть, что
функция v имеет особую лянию ж = а;0, у = у0, » = ^0> вдоль которой решение
обращается в бесконечность. На конусе
A0) г — a(t0 — <) = 0
это решение имеет разрывные производные. Так как поверхность A0) является
характеристикой, то (8) представляет собой правильное разрывное решение.
Нетрудно проверить непосредственно, что к правильному разрывному реше-
решению можно применять формулу Грина.
4. Решение волнового уравнения. Применим формулу G) к объему 2,
определенному неравенствами:
A1) j to>t>O,
i.
Геометрический объем Q представляет собой часть гиперконуса с вырезан-
вырезанным из него малым гиперцилиндром.
В качестве функций и и v возьмем искомое решение волнового'уравнения
и частное решение (8).
Мы получим при этом:
ffff

XII, § 6 Задача Коши в трехмерном пространстве 691
где 8Х представляет часть гиперповерхности A0), являющуюся границей объема Q,
8S— часть гиперповерхности цилиндра r = e, a 8S— часть гиперплоскости t = 0,
являющуюся границей этой поверхности. Через G здесь обозначено выражение;
. „. _ Г dv . ч . dv . . . dv . . 1 dv , Л"|
A3) G = и ^ cos (и, х) + -щ cos (и, у) +. -^г cos (и, г)—-^-^- cos (и, 0J
' . . Зм . . . Зм 1 дм 
И '
A4) dz = dx dy ds dt.
Посмотрим, во что преобразуются все три слагаемые левой части фор-
формулы A2). Легко видеть, что / / / обращается в нуль. Действительно, Ha<Sj,
очевидно, уничтожается как v, так и
-^ COS (», X) + -щ COS (n, y)-\"fo C0S (». *) — -# -qJ C0s (и> 0-
Интеграл по S3 представляет собой иввестную величину, так как на 8&
cos (w, x), cos (w, г/) и cos (п, з) уничтожаются, a cos (w, t) обращается в еди-
единицу. Функции и и -^- на &s определяются начальными условиями B). Такин
о*
образом:
Вычислим интеграл по поверхности ?2.
На этой гиперповерхности cos (w, *) = 0, cos (п, х) = ; cos (и, у) =»
_ У У о и со8(и>,(зг) — е.. Таким образом, мы получим для интеграла
по ?а выражение:
/ 9и_ х-х0 ди_ у-у0 ди_ *-*0 \ Д1
\ дх г ' ду г ' дг г } )
•Jepee dS здесь обозначен элемент поверхности сферы г —е. Преобразуя
интеграл от первого слагаемого, получим:
«.—г
Очевидно, при е, стремящемся щ нулю, предел внутреннего интеграла
будет:

592 Механика оплошных сред
а все выражение имеет пределом:
4 га j (t0 — t)u (xQ, y0, z0, f) dt.
0
Совершенно аналогично убеждаемся, что интеграл от второго слагаемого
равен нулю. Собирая все результаты, мы будем иметь:
j
у0, jjj
r<at0
г <о(*„-«
о < * < *„
Дифференцируя обе части полученного равенства два раза по t0> мы получим:
«о
Г
о
д2 Г
^4™ I (t0 — t)u(zo,yo,3o,t)dt =
откуда
A5) u(Xo,
r<at0
0<t<t«
r<a(ta-t)
Формула A5) дает значение функций « в любое точке х0, у0, z0, t0 и тем
самым до конца решает поставленную задачу. Если выполнить фактически
дифференцирование в ее правое части, то ей можно придать более компактный
вид:
A6) • (*0, г/о, *о,*о) =
г = at, r < ata
> .
г = V &—* оJ + (У —
Из этой формулы можно вывести несколько простых физических заключений
« характере происходящего явления.
Допустим сначала, что мы имеем дело с задачей о свободном колебании,
то есть функция F тождественно равна нулю. Пусть, кроме того, начальные усло-
условия таковы, что функции «0 и и0' отличны от нуля только в некоторое ограни-
ограниченной области <о пространства (х, у, з), лежащей на конечном расстоянии.
При этом функция и (xq, уо, zq, t0) будет в некоторой точке отлична от нудя
только для таких моментов времени t0, при которых переменная поверхность
сферы r = at0 проходит через область <о.
Таким образом, если точка Xq, yQ, з0 лежит вне области <п, то моментом
вступления волны в эту точку будет момент ?0 = -^s-, где г,^ — кратчайшее
расстояние от точки х0, у0, з0 до области <п.

XII, § 6 Задача Коши в трехмерном пространстве 593
Затем при fo = —!5St, где rmai обозначает наибольшее расстояние от точки
ха, г/о, z0 до переменной . точки х, у, г обдасти <в, колебание прекратится, и при
<0 = -а^ в данной точке будет покой.
Таким образом, возмущение движется в пространстве со скоростью а и про-
проходя не оставляет никаких остаточных колебаний. Это явление называется прин-
принципом Гюйгенса. Характер действия объемных сил совершенно тот же, как и харак-
характер влияния начальных условий. Мы предоставляем читателю проверить самому,
что возмущение, вызванное действием этих сил, также движется со скоростью а
и проходя не оставляет никакого следа.
5. Фориула Грина для уравнений теории упругости. Совершенно ана-
аналогично формуле Грина в двухмерной задаче теории упругости, можно вывести
эту формулу для трехмерной задачи. Так как вывод этот не представляет ничего
существенно нового, то мы не будем приводить здесь всех рассуждений, а дадим
лишь окончательный результат. Формула Грина будет иметь вид:
A7) /// { КХ, — »1Х, + »1Х, — «Хв1—вХ,1 —»*,,]«» (п, х
[
u
-f faX. -f «i Fe + wxZ3 — uXtl — vYiX — wZel] cos (и, z) —
du , dv , bw du. dv. dw
«= ffff { «iX + ^F-l- w1Z—uX1 — vYl — wZ1 } dx.'
a
Здесь очевидно, Xx, Xy, Xt, Yy, Yt, Zt — составляющие тензора напряжения
для вектора смещения v, a XzV Xyl, Xtl, Yyl, Ytl, Ztl те же составляющие
для вектора смещения v^
Каждый вектор смещения удовлетворяет своему дифференциальному урав-
уравнению:
^v 9(ХХ.ЗЦЛ9(ХГГ.) ,
Тх ^ Ту i Тг
W Tx "i Ту л T» Tx'-
Эта формула, как и раньше, будет применима в том случая, когда одно из
входящих в нее решений будет представлять собой правильное разрывное реше-
решение уравнений упругости.
6. Фундаментальные решения уравнений упругости для полупростран-
полупространства. В предыдущем параграфе мы уже ввели фундаментальные решения урав-
уравнений теории упругости в неограниченном пространстве и указали, как строятся
отраженные решения для случая полупространства со свободной границей. Мы
будем называть первым фундаментальным решением для полупространства и
обозначать vA) сумму первого фундаментального решения:
«1 (Щ у, г, t; х0, г/0, г0, t0); vt (х, у, г, t; х0, у0, г0, t0); wx (х, у, г, ц *0, $ф г0, L)
и отраженных его решения v,, и v12.
Точно так же под термином второе, третье или четвертое фундаментальное
решение для полупространства мы будем понимать соответствующее фундамен-
фундаментальное решение для неограниченного пространства, сложенное с- отраженными
волнами.
38 Зал. 1408.— Франк х Киеве. Дифф. урава. хат. фяа

694 Механика сплошных сред
Мы будем обозначать эти решения соответственно vB), v<3) и vD).
Фундаментальные решения для полупространства, очевидно, будут правиль-
правильными разрывными решениями уравнений теории упругости во всем полупро-
полупространстве, исключая особую линию х = х0, у = у0, г = г0. Особенность их на этой
линии такая же, как и у соответствующего фундаментального решения в неогра-
неограниченном пространстве.
7. Решение задачи Коши для упругого полупространства. Задача Копш
для упругого полупространства представляет собой задачу об интегрировании
уравнений упругости A8) для полупространства я>0 при начальных усло-
условиях:
B0) v 11=0 = v0,
ду __ ,
и при граничных условиях:
Для решения этой задачи воспользуемся опять методом Вольтерра, приме-
примененным уже при решении двухмерной задачи.
Рассмотрим гиперобъем 2A), состоящий из тех точек пространства х, у, s, t,
ля которых 0 < t < t0 и решение иA), v^\ wA) отлично от нуля. Вырежем иа
того объема малым гиперцилиядром
B2) г = е
особую линию х = х0, y = yw 3 = zor обозначим оставшуюся часть 2A) через 2гA)-
Границами объема 2,A) будут, очевидно, некоторая поверхность характери-
характеристик StA) (конус), на которой и вне которой иA) уничтожается, часть #2A) поверх-
поверхности гиперцилиндра B2), часть #3A) плоскости t = 0 и часть Sjj-iy плоскости г = 0.
Применяя в объеме QjA) формулу Грина к искомому решению v и первому
фундаментальному решению иа\ *>A), ЧсA), мы получим:
B3)
a.d)
где через dS обозначен элемент поверхности в четырехмерном пространстве (х, у,
г, t), dx элемент объема того же пространства. Через Gu), для краткости, обо-
вначено выражение:
=(«W Xx + vmXs + w^X, - uXj-l) - vX^ - wX,{1)) cos (», x) +
s + vm Ys + wA) Yt — и Xv(x) — v Y™ —10 F,A)) cos (n, y) +
B4)
du , A) dv (i) dw duA) dv{1) dtvA)\
а через Нт выражение:
B5)

XII, § 6
Задача Коши в. трехмерном пространстве
595
Нетрудно видеть, что на поверхности jS'1<1) выражение Gm уничтожается на
основании тех же соображений, которыми мы неоднократно пользовались при ре-
решении двухмерной задачи и задачи Коши для волнового уравнения.
На поверхностях S3W и S^, Gm представляет собой известную величину.
Действительно, на поверхности &9A) очевидно,
cos (», х) = cos (п, у) = cos (п, г) — О,
cos(»,i) = l. »
ди
Так как значения м и -j- на этой поверхности даны формулами B0), то
наше утверждение для этой поверхности очевидно. На поверхности ?4A) мы будем
иметь:
cos (и, х) = cos (», у) = cos (п, 0 == О
л
cos(«, e) = l.
Кроме того, по условию на этой поверхности уничтожаются
Так как Xt, Y,, и Zt известны из формул B1), то и для этой поверхности наше
утверждение справедливо. Займемся вычислением интеграла на поверхности &йA).
Очевидно, на этой поверности мы будем иметь:
cos (я, х) = , cos (п, у) = -2 ^- , cos (п, г) = , cos (и, ?) = 0.
При вычислении интеграла по этой поверхности достаточно принять во вникание
слагаемое \х, входящее в состав первого фундаментального решения, так как мы
дальше будем переходить к пределу, устремляя радиус гиперцилиндра к нулю. При
атом все члены, зависящие от остальных слагаемых, уничтожаются.
На поверхности ?2A) мы будем иметь:
B6)
Элементарный подсчет дает далее для точек этой поверхности:
X,A)cos {п, х) -f X,woos (», у) 4- X.» cos (п, г)
B7)
X,woos (n, x) -f Ytwcos (п, у) + Y.w cos (»,
X,A)cos (», ж) + F,A)cos (и, у) + ^аA) cos (и,
38*

596
Механика сплошных еред
Подставляя эти выражения в интеграл, мы получим после элементарных
выкладок, аналогичных тем, которые мы неоднократно производили:
Здесь, очевидно, вместо х, у, z в правой части подставлены х0, у0, #0.
Пользуясь этим результатом и перенося в формуле B3) выражение, завися-
зависящее от неизвестных в одну часть, а все остальное в другую, получим:
B9)
где через М обозначена известная величина, определяемая по формуле:
C0) М = -А-
Если мы повторим те же рассуждения для остальных фундаментальных
решений, то можно будет получить для них формулы:
C1)
Здесь через N{ (г = 2, 3, 4) обозначено выражение:
C2)
где
C3)
C4)
^] cos(n, ?) —
ди

XII, § 6
Задача Ноши в трехмерном пространстве
597
/*, получается из объема Qw, состоящего ив точек, для которых
»w, г>№, м;(<) отличны от нуля и 0 <<<^овыре8апием малого гиперцилиндра радиуса е.
^W — та часть гиперплоскости < = 0, которая является границей объема Qi(<),
а 8А® — та часть плоскости z = О, которая также является границей этой области.
Так же как я М, величины 2Vt выражены через известные, совершенно ана-'
логично топу, как это было сделано нами в двухмерной задаче.
Дифференцируя формулы B9) и C1) сначала по t0, а затем по координа-
координатам, пользуясь уравнениями теории упругости и затем интегрируя по частям,
¦одучим окончательный ответ в виде:
C5)
,
' 8
/
\
'
a*Na
»(*o 5 ?Уо»^o > 'о) —
/
\
dx0dt0 ' dsodto
\ д г
dyodto ) ' dt0 J
Уо.
dyodto
-L-Л-
dto
dN3 д г,
d'xodto~T~ dtoj '
(to-t)*dt,
{to —t?it,
(to—t)*dt.
8. Анализ полученных результатов. Все физические следствия, получен-
ные нами для двухмерной задачи из формул F6) § 4, могут быть выведены
н для трехмерной задачи из формул C5) предыдущего пункта.
Ввиду того что результаты эти являются совершенно аналогичными, мы
ве будем останавливаться на выводе, а отметим только основные результаты.
В качестве первого следствия можно отметить строгую теорию волн Рэлея.
Оказывается, что если в начальный момент времени мы имеем покой и вынуждаю-
вынуждающие силы действуют только на ограниченном - участке втечение конечного про-
промежутка времени то от возмущенного места будут распространяться волны Рэлея,
изученные нами в прошлом параграфе. Формулы C5) позволяют дать конечное
выражение для составляющих смещения в этих волнах.
Ввиду того что вдесь, очевидно, энергия рассеивается по поверхности
.г = 0, а не в пространстве, затухание этих волн будет меньше, чем затухание
обычных продольных и поперечных волн.
Это подтверждается как формулами C5), так и непосредственными дан-
ными опыта.
В случае, когда мы имэем дело с неограниченным пространством, формулы
C5) могут быть упрощены. ч
С этой целью нужно выполнить фактически дифференцирование в правых
частях этих формул.
Не останавливаясь на выкладках, укажем здесь окончательный результат
для того случая, когда массовые силы отсутствуют.

598
Механика сплошных сред
Окончательный результат имеет вид:
u(.xo,yo,zo,to) = -^- j J J | (t0 V-f и0) g^2
C6)
j J J
^
где через д0 и ^о' обозначены составляющие векторов v и v0' по направленкю
вектора г, соединяющего точку (х0, у0, г0) с точкой (х, у, г).
Две другие составляющие вектора смещения v и w выражаются совер-
совершенно аналогично. '
Формула C6) вместе с аналогичными выражениями для v и го назы-
называются обычно формулами Стокса. Из этих формул вытекает ряд простых физи-
физических следствий.
Допустим, как и при исследовании волнового уравнения, что начальные
условия содержат в правых частах функции, которые отличны от нуля только
в ограниченной области <в. Тогда в данной точке xQ,y0,z0 моментом вступле-
вступления возмущения будет
в промежутке
min
в данной точке будут происходить продольные колебания.
В этом промежутке переменная сфера г = at0 будет проходить через воз-
возмущенную область.
Если
то в промежутке
~а <to<
вектор смещения будет выражаться объемным интегралом, ввятым по области <в.
Не трудно убедиться, что при этом он будет представлять собой некоторый лап-

XII, § 7 Обобщение решения волнового уравнения 599
ласов вектор, зависящий линейно от времени. Колебание нельзя при этом счи-
считать ни прбдольным, ни поперечным. Далее при
"min
в данной точке будет иметь место поперечное колебание. При
Ч>
max
b
мы получим покой.
Формула, аналогичная (86) с массовыми силами, позволяет, как и в плоском
случае, развить строгую теорию точечных источников и разрешить задачу Лэмба
о действии сосредоточенной силы на поверхности среды. Читатель, желающий
ознакомиться с этим вопросом подробнее, найдет все интересующие его сведе-
сведения в специальной литературе по данному вопросу.
§ 7. Обобщение решения волнового уравнения
1. Разрывные решения волнового уравнения. В § 2 настоящей главы
мы уже видели, что как физическая, так и математическая сторона колебатель-
колебательных явлений сплошь и рядом требуют введения решений волнового уравнения,
имеющих определенные разрывы первых производным.
Оказывается, что и такого рода решения не могут удовлетворить всем
предъявляемым требованиям. В целом классе задач, к которым нам необходимо будет
перейти, нужно будет допустить существование разрывов не только у первых
производных, но и у самих неизвестных функций. При этом мы иногда будем
вводить даже неограниченные решения. ^
Частично мы уже имели дело с такого рода решениями, когда рассматри-
рассматривали задачу об отражении упругих волн, вызванных мгновенным импульсом в двух
измерениях. При решении этой задачи, мы накладывали на потенциалы кине-
кинематические и динамические условия совместности. Смещения же, вычисленные
для этой задачи, были неограниченными и терпели разрывы на поверхностях
характеристик.
Простейшим типом решений волнового уравнения, обладающих такии»
свойствами, являются, например, плоские волны.
Рассмотрим решения волнового уравнения:
_дЧ д»и 9% 1 дЧ
A) ии = ~дг*"г ду* +~д^~1р~др—^
имеющие вид:
м = f (It -f- mx -\-n\j-\- рг),
где
" Р* = а? (»!« + «¦ 4-Р").
Мы знаем, что если функция /' имеет непрерывные вторые производные,
то и удовлетворяет волновому уравнению A). Если эти вторые производные или
даже первые терпят разрывы в изолированных точках, то и терпит разрывы
на изолированных поверхностях и удовлетворяет кинематическим и динамиче-
динамическим условиям совместности.
Совершенно естественно далее рассматривать и такие плоские волны,
в которых функция f сама терпит разрывы. С формальной точки зрения эти
решения столь же удовлетворительны, как и всякие другие, и очевидно, что
их можно также считать пределом некоторой последовательности непрерывных
решений. Кроме этого, дальше мы убедимся, что пользование такими решениями

€00 Механика сплошных сред
вносит значительные упрощения при рассмотрении некоторых конкретных
задач.
Задачей настоящего параграфа будет дать некоторое обобщение понятия
о решении волнового уравнения. Для простоты мы будем рассматривать волно-
волновое уравнение с тремя переменными, но все наши результаты будут справед-
справедливы для любого числа измерении.
2. Обобщенные решения волнового уравнения. Рассмотрим некоторую
область В в пространстве трех измерений х, у, t, ограниченную поверх-
поверхностью S, состоящей из кусков, имеющих непрерывно меняющуюся касательную
плоскость.
Построим функцию v (х, у, f), обладающую следующими двумя свойствами.
1) Функция v определена и непрерывна со своими первыми и вторыми
производными во всей области В, вплоть до контура.
2) Как сама функция, так и все ее первые производные обращаются в нуль
на поверхности S.
Пусть теперь и некоторое непрерывное решение волнового уравнения, имею-
имеющее непрерывные первые и вторые производные во всей области В вплоть
до контура.
Применив к и и v известную формулу Грина, мы будем иметь:
III («*?*> — v [2u)dx dydt= I I [v Pn (it) — и Рп (»)] dS,
где черев Ря обозначена операция: \
Я Я  Я
B) Рп = COS (», х) ~х J- COS (», у) -z jj- COS (», 0 -gV- ,
а через п обозначено направление внутренней нормали к поверхности S. В силу
условий, наложенных на v, как v, так и Рп (v) на поверхности S уничтожаются,
и левая часть нашего равенства обращается в нуль. Принимая во внимание
уравнение A), получим окончательно:
C) I' JJu \Jvdxdydt = 0.
Очевидно, что класс функций и, удовлетворяющих условию C) во всяком
объеме В, при произвольной функции v, подчиненной лишь требованиям 1) и 2),
содержит в себе класс непрерывных решений волнового уравнения. Однако,
условие C) может оказаться более широким, так как оно, например, вовсе не
требует ограниченности и. Мы легко убедимся далее, что класс функций, удо-
удовлетворяющих условию C), шире, чем класс решений волнового уравнения,
в обычном смысле этого слова.
Мы будем называть обобщенным решением волнового уравнения A) всякую
функцию от (я, у, г), удовлетворяющую условиям:
а) Функция и суммируема в смысле Лебега в любой ограниченной об-
области пространства (x,y,t).
б) Для любой области В и функции », удовлетворяющих поставленным
выше условиям, и удовлетворяет уравнению C).
3. Связь с условиями совместности. Обобщенные решения волнового
уравнения можно представить себе, так же как и решения, удовлетворяющие
кинематическим и динамическим условиями совместности, в виде предела после-
последовательности непрерывных решений:
D) « = lim «„.

XII, § 7 Обобщение решения волнового уравнения 601
Стремление и к своему пределу достаточно предположить таким, чтобы
для любого объема В:
E)
lim / / I undxdydt= I I Г и dx dy dt,
Ив этого обстоятельства, как доказывается в курсах анализа (см., напри-
например, Валле-Пуесеи, Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, в русском переводе),
вытекает что
im f f fun[Jvdx= f f fuQvdx
->oo J J J J .1 J
lim
i так как
«„ D«^ = о,
то наше утверждение доказано.
Отсюда мы можем ожидать, что всякое правильное разрывное решение,
удовлетворяющее кинематическим и динамическим условиям совместности, будет
в то гее время обобщенным решением.
Докажем это утверждение. *
Рассмотрим объем В и допустим для простоты, что внутри него проходит
одна поверхность разрыва и, которую мы назовем ?•
Вырежем эту поверхность двумя близкими к ней параллельными поверх-
поверхностями St и Sg и применим к оставшемуся объему формулу Грина. Так как
в оставшемся объеме ? и = О, то мы получим:
/ / I u?}vdxdydt = lim I f[vPn{u) — uPn(v)]dS-{-
+ lim ff[v Pn (•) - Pn (v)} dS.
В силу кинематических и динамических условий:
HmttL =limit|j. и ^m^>n(w)li ==^m-f>»(a)!s •
Так как, кроме того, v непрерывно с первыми производными, то
и limP>)|_ =limP.<*)|
причем стремление к пределу имеет место равномерно.
Переходя в равенстве F) к пределу, получим условие C), что и требо-
требовалось доказать.
Кроме того факта, что наши обобщенные решения включают в себя пра-
правильные разрывные решения, как частный случай, существенным является еще
одно обзтоятельство.
Для них, как и для правильных разрывных решений, выполнение условий
правильности разрывов, то есть кинематических условий совместности, влечет
за собой выполнение динамических условий.
Покажем сначала, что в точках непрерывности вторых производных спра-
справедливо волновое уравнение. Допустим, что это не так. Тогда в некоторой
малой сфере радиуса h, П и сохраняет постоянный знак. Возьмем эту сферу 8а.
область В и введем функцию
G) •-(*¦*-#)»,
где г — расстояние от центра сферы до переменной точки.

€02 Механика сплошных сред
Формула Грина дает нам:
/ f /*«Qvdxdydt = f I /"sQiifody dt.
В правой части, нри нашем предположении, стоит величина определенного знака,
неравная нулю. Следовательно, левая часть также отлична от нуля, что проти-
противоречит предположению о том, что и обобщенное решение. Следовательно,
Q « = о, и первая часть нашего утверждения доказана.
Переходим к самим динамическим условиям.
Если и имеет правильные разрывы, то выражение
(8) Pn(«) = -Jcos(no,x)-\- -^cos(no,y) — -^-^ cos (?io,t)
с обеих сторон поверхности разрыва - имеет определенный предел или стре-
стремится к бесконечности определенного знака в каждой точке по любому некаса-
некасательному пути. Допустим, что^этот предел неограничен в окрестности некото-
некоторой точки Мо на поверхности. Построим вокруг этой точки сферу малого
радиуса h такую, чтобы для всех точек ?, лежащих внутри этой сферы по одну
ее сторону, предел Рп(и) был бесконечностью одного знака.
От части сферы, лежащей но ту сторону поверхности И, где этот предел со,
отсечем поверхностью Et область,, смежную с 2, и к оставшемуся объему Вг
применим формулу Грина, взяв в качестве v функцию G). Мы получим:
av dx=//{* pn («) - мР» 00 >ds-
Величина, стоящая слева, ограничена. Справа иРп (v) также очевидно ограни-
ограничено. Если Р„ (и) стремится к бесконечности, то правая часть неограничена, и
мы получаем противоречие.
Следовательно, Р„(м) имеет всегда конечный предел.
Остается установить, что этот предел одинаковый с обеих сторон ?. С этой
целью опять проведем сферу малого радиуса h вокруг точки Мо, внутри кото-
которой во всех точках S скачок Р„(м) одного знака.
Применяя формулу Грина к функциям G) для обеих частей этой сферы
и складывая результаты, получим, благодаря непрерывности функций м, »,
и Р»:
/ //« D v dx dy dt = //{Р.+(«) - РгГ i»)}v*S.
Правая часть этого равенства не обращается в нудь, следовательно, и левая
не равна нулю, и мы пришли к противоречию.
Следовательно, наше утверждение докавано полностью.
, 4. Теорема интегрирования. Одним из самых важных для применений
свойств обобщенных решений является теорема об интегрировании решений,
зависящих от параметра.
Рассмотрим некоторую совокупность обобщенных решений волнового урав-
уравнения
(9) « (х, у, t, I),
зависящих от параметра X.
Составим функцию:
- ' ь
A0) U=J'u(x,y,t,\)d\,
а
где а и Ъ постоянные, независящие от х, у и L

XII, § 7 Обобщение решения волнового уравнения 60S
Если только функция и (х, у, t, \) суммируема, в смысле Лебега, как функ-
функция своих четырех аргументов x,y,t,\, то функция do) будет опять обобщен-
обобщенным решение» волнового уравнения.
Для доказательства рассмотрим интеграл:
A1) ' fffUQvdx.
Заменяя в нем U через ею выражение и переставляя порядок интегриро-
интегрирования, что возможно благодаря сделанным предположениям (см. Валле-Пуссен
т. D, ГТТИ), получим:
A2) j ffU0vdxdydt= flf Г fuUvdxdydt\d\^0,
В а В
чем наша теорема доказана.
5. Обобщенные комплексные решения. Область неаналитичности.. После
того как мы определили ряд новых понятий в теории волнового уравнения,
вернемся к исследованию комплексных решений волнового уравнения.
Разберем прежде всего тот случай, когда в некоторой области изменения
вещественных х, у, t, функция 2, определенная равенством:
A3) bmml(Q)t + m(Q)x+n(Q)y— fc(Q) = O,
принимает в плоскости- комплексного переменного последовательность значений,
лежащую на одной линии, то есть зависящую от одного вещественного пара-
параметра.
В § 2 настоящей главы мы доказали, что при этом всякая функция
A4) u = f(Q),
два раза дифференцируемая вдоль этой линии, является решением волнового
уравнения A). Можно доказать значительно более общее утверждение.
Б рассматриваемой области всякая суммируемая, в смысле Лебега, функ-
функция f(Q) является обобщенным решением волнового уравнения.
Мы будем пользоваться в дальнейшем лишь частным случаем этой общей
теоремы применительно к однородным решениям. Для этого случая она форму-
формулируется следующим образом. Произвольная функция переменного С3 или С+
(см. § 2) /"(Се) иди соответственно /"(С4), определенная на окружности единич-
единичного радиуса и суммируемая по дуге этой окружности, является обобщенным
решением волнового уравнения во внешности конуса
A5) " p = at.
Доказательство этого утверждения мы оставляем в стороне, отсылая
читателя к специальной литературе до данной вопросу, указанной в конце
главы.
6.. Обобщенные комплексные решения во всей области существования.
Очевидно, что во внутренности основного конуса всякое комплексное решение
имеет все производные и, следовательно, является решением волнового уравне-
уравнения A), даже в обычном смысле этого слова. Мы только что выяснили, что эти
решения будут обобщенными решениями во внешности этого конуса. Для того
чтобы исчерпать анализ, остается рассмотреть, какие- условия должны быть
выполнены при приближении к поверхности конуса для того, чтобы наше реше-
решение было решением и во всем пространстве.

004 Механика сплошных сред
С этой целью надо выяснить, при каких условиях уничтожаются интегралы
C), взятые по области, часть которой принадлежит внутренности A5), а часть
его внешности.
Рамки настоящей статьи не позволяют нам останавливаться на тонких
вопросах предельного перехода, который необходимо произвести для изучение
вопроса, и поэтому мы укажем вкратце лишь основные результаты.
Пусть функция комплексного переменного /"(Cj) (или соответственно /"(Cg)),
определенная и регулярная в круге единичного радиуса, имеет на окружности
этого круга суммируемые предельные значения. Определим решение волнового
уравнения внутри конуса A5) с помощью формулы:
A6) .".
где
или соответственно
а во внешности втогс конуса — с помощью формулы:
« = /YC8);
или
•
Тогда функция и будет обобщенным решением волнового уравнения во веек
пространстве при условии, если /"(С) принадлежит к так называемому классу Е1
по классификации, предложенной Ритцом.
Точное определение этого класса следующее. Функция f(reif) называется
принадлежащей к классу Н1 Ритца, если интегралы
2*
f\f(re*\a9,
о
то есть интегралы от абсолютного значения функции, взятые по концентриче-
концентрическим кругам с центром в начале, равномерно ограничены для всех г; меньших
единицы.
Для нашей цели достаточно укавать несколько простых категорий функций,
принадлежащих к этому классу. Пусть функция /"(С) регулярна всюду внутри
круга |С|-<1 и имеет на его окружности лишь конечное число особых точек.
Допустим, что все эти точки являются просто точками разветвления конеч-
конечного или логарифмического порядка.
Если в окрестности каждой точки разветвления ап функция /"(С) разла-
разлагается в ряд вида:
где s и г конечные числа,
то она принадлежит классу Л1 Ритца.
Мы ограничились вдесь разбором случая однородных комплексных решений,
однако, наши результаты почти бее всяких оговорок могут быть перенесены на
общий случай комплексных решений. Предоставляем это сделать читателю.

XII, § 8 Задача о диффракции плоских волн вО5
. § .8. Задача о диффракции плоских волн
1. Постановка задачи. При распространении волн существенную роль
играют явления, происходящие при колебании частей пространства, ограничен-
ограниченных контурами, имеющими угловые точки. Такого рода задачи вместе с неко-
некоторыми другими, подробно разобранными на страницах этой книги для случая
световых волн, обычно объединяют под общим названием задач диффракцни.
,Для нас представляет интерес одна из простейших задач этого рода о коле-
колебаниях полуплоскости, ограниченной двумя лучами, выходящими из начала коор-
координат. Б полярных координатах задача эта формулируется математически сле-
следующим образом.
Найти решения волнового уравнения
к.} а?» + р ф + Р* э$>2 а? др +л-и
в области
B) Р>0; а<»<0,
при соответствующих дополнительных условиях. Часто эти дополнительные усло-
условия даются в виде граничных условий на прямых линиях <р = а и cp = {J и
• определенных начальных условий.
Мы разберем граничные условия двух типов:
C) *!8 = « = О; »ie=e = °
и
D)
ди
дп
ди
дп
= 0.
Чтобы не слишком загромождать изложение, ограничимся случаем, когда В = О,
то есть случаем свободных колебаний.
Углы аир могут быть соверпгенно произвольными и в некоторых случаях их
удобно отодвигать на бесконечности, полагая
а = — оо, {3 = — оо.
Геометрический смысл такой задачи сводится б изучению Колебаний бесконеч-
ио-листной римановой поверхности логарифмического типа.
Чтобы построить такую поверхность, необходимо наложить одну на другую
бесконечное множество простых плоскостей Lt(i= ... —1,0,1,2...), разрезан-
разрезанных вдоль оси р от начала координат б бесконечности. После этого нужно сое-
соединить верхний берег разреза на листе Lt с нижним берегом разреза листа Х.^,
Легко показать, что к задаче о колебании такой поверхности может быть
сведена общая задача о диффракции с любыми аир.
Способ, которым это достигается, аналогичен способу, применяемому при
решении уравнений струны с граничными условиями по способу Даламбера.
Пусть мы имеем решение волнового уравнения A) в области B), удовле-
удовлетворяющее, например, условиям C)
E) •&,&).
Построям функцию:
F) «^{^-«(р^-»),
определенную в области
G) Р>0, р<»<2р — а.

606 ' Механика сплошных сред
Эта функция в некоторой точке имеет вначение, обратное по знаку значению «
в точке, симметричней относительно прямой Ь = р. Покажем, что если мы про-
продолжим функцию м(р,О) на область G), определяя ее в области B) как функ-
функцию E), а в области G) как функцию F), то мы получим правильное решение
волнового уравнения, для которого прямая f3 = 0 будет линией непрерывности
функции и ее производных.
Действительно," значения и с обеих сторон, в силу C), обращаются в нуль,
равно как и значения производных от и по р и- по t. Производные же по & сов-
совпадают, как видно ив непосредственного дифференцирования. Совершенно так же
можно доказать непрерывность всех производных от нашей функции, которые
существуют вплоть до границы & = р.
Принцип отражения, которым мы воспользовались, может быть повтореп
многократно. При этом мы получим следующий результат.
Функция и, определенная в области B) и удовлетворяющая волновому
уравнению и граничным условиям C), может быть определена во всем про-
•странстве
(8) — сю < & < + оо, р > О
с помощью формул:
Г м(р,&) = м[р,&±2к(? — <*)], при а<»
^ \ — а)], при
Определенная таким образом периодическая функция с периодом 2 (Р—а)
будет иметь непрерывные производные во всей области существования кроме
старых правильных разрывов и их периодических повторений.
С помощью этого построения мы приходим к идее многолистного простран-
пространства, подробно развитой Зомиерфельдом на страницах бтой книги. Полученное
нами многодистное пространство имеет бесконечное иножество листов, связан-
связанных в одной точке разветвления. Поверхность такого типа с листами, идущими
от — со до + со, обычно называется логарифмической римановой поверхностью.
Из всего сказанного вытекает, что для решения задачи о диффракции в общем
виде, достаточно уметь решать задачу о диффракции на логарифмической рима-
римановой поверхности.
2. Разветвляющиеся комплексные решения волнового уравнения. Мы
пришли, таким образом, к совершенно естественной идее изучать многозначные
млн разветвляющиеся решения волнового уравнения.
С помощью развитой нами теории комплексных решений этого уравнения
нетрудно построить большое число разветвляющихся решений волнового урав-
уравнения различного типа. Эти решения будут иметь вид:
(Ю)
где С удовлетворяет уравнению:
A1) 8ssai—
причем мы считаем функцию /"(С) многозначной функцией, и более того, считаем
что эта функция имеет единственную точку разветвления С = О.
Как было выяснено в § 2 настоящей главы, внутри конуса
A2)

XII, § 8 Задача о диффракции плоских волн 607
уравнение A1) имеет два корня:
A3)
а во внешности этого конуса два корня:
i(»4-arccos—)
A4) |
»
— е
(*—агссов —)
Если мы подставим в формулу A0) для f>0 вместо С корень С15 то, как
мы знаем, началу координат в плоскости d отвечает прямая ж = 0, у = 0. По-
Поэтому любая многозначная функция /*(Ci), определенная в круге единичного ра-
радиуса о точкой разветвления в начале координат, представляет собою развет-
разветвляющееся решение волнового уравнения внутри верхней части A2), причем
ось t есть ось разветвления. То же самое относится, очевидно, к любой много-
многозначной функции /"(У с точкой разветвления в начале для нижней половины
конуса A2), где <<0.
Что касается внешности конуса A2), то там мы, очевидно, будем иметь
следующий простой результат. Всякая непрерывная функция на бесконечно-
диетной окружности единичного круга
/"(О или /ЧСД
которая при обходе по этой окружности переходит к новым значениям и сумми-
суммируема, в смысле Лебега, по любой конечной дуге, является обобщенным развет-
разветвляющимся решением волнового уравнения. Легко видеть, что характер развет-
разветвления f(Q во всех случаях совпадает с характером разветвления поверхности
(х, у). Если функция /"(С) имеет алгебраическую точку разветвления и возвра-
возвращается к исходному значению, если дать argC приращение тк, то в простран-
пространстве х, у, t ось t будет служить осью разветвления такого же типа. Аналогично,
логарифмической точке разветвления отвечает логарифмическая.
Для того чтобы определить функцию и во всем пространстве, необходима
более детально разобрать возможности связывания внутренности конуса A2)
в его внешностью. Как мы знаем из предыдущего, для выполнения необходимых
нам условий нужно, чтобы функция была непрерывна при переходе через по-
поверхность этого конуса.
Пусть функция f (С) в формуле A0) выбрана таким образом, что она опре-
определена в круге единичного радиуса с точкой разветвления в начале, а на кон-
контуре круга удовлетворяет условию, выясненному нами в конце прошлого пара-
параграфа, относительно ограниченности интегралов от ее абсолютных значений.
Внутри A2), при t > О, мы получим вполне определенные значения для функции и,
выбрав
/"С) гДе
Во внешности у нас при этом представляется всегда две возможности под-
подставить в формулу A0) С3 или С4. /-
Как выяснено в самом начале этой главы, этот выбор равносилен тому,
что* мы будем во внешности конуса считать и сохраняющим постоянное значение
на одной из двух систем полуплоскостей, изображенных на рис. 48 (§ 2).
В нижней половине конуса A2) при t < 0 мы будем считать и функцией

€08 Механика сплошных сред
переменной С2, область значений которой совпадает с областью изменения Ct для
t > 0. Однако, необходимо оговорить еще одно обстоятельство.
Формула A3) определяет значение Са, но не может, конечно, определить
положение его на римановой поверхности. Легко видеть, что
; —l)it.
Непосредственно из рисунка можно убедиться, что если мы во внешности
конуса определим и формулой м = /"(С8), то необходимость сохранить непрерыв-
непрерывность и заставляет нас в нижней половине конуса определить и формулой
« = f(Ca'), причем под С/ необходимо понимать то значение, аргумент которого
равен ft-f-*-
Совершенно аналогично, из тех же соображений непрерывности, если мы
определим и во внешности конуса A2) формулой м = /"(СД мы должны будек
в нижней половине этого конуса положить и = /ЧСа"), где С/ -имеет аргумент,
равный (8 — и).
Чтобы унифицировать все различные случаи, мы введем комплексные пере-
переменные С' и С", определенные формулами:
Ср аЧ* > р2, t > О |d, аЧ* > ра, t > О
С/, а2<2 > pa, t < О (С2", а2** > Р2, * < О,
При этом решения во всем пространстве будут представляться одной фор-
формулой: \
или и =
Вещественные решения получаются, если мы возьмем от этих решений
вещественную часть. Мы видели в § 2, что это равносильно прибавлению сопря-
сопряженной функции от сопряженного аргумента.
Наиболее общий вид вещественного однородного разветвляющегося решения
мы подучим, очевидно, складывая два решения обоих типов.
Этот общий вид будет:
07) «=л{Л(О+/-2(С")}.
Не все разветвляющиеся решения, разобранные наша, отвечают физическим
условиям задачи. Необходимо избежать т<Ци. чтобы ось разветвления служила
сама источником дополнительных возмущении.
Нам нет возможности останавливаться сейчас на этом более подробно.
Мы укажем очень кратко, какие еще добавочные ограничения вытекают
из существа задачи.
Рассмотрим сначала случай, когда функция /*(С) имеет алгебраическую
точку разветвления, то есть принимает всего конечное число значений. Тогда «-
будет однозначной функцией на римановой поверхности (я, у), состоящей из ко-
конечного числа листов. Бак известно из теории функций комплексного перемен-
переменного, мы можем при этом разложить /"(С) в ряд по дробным степеням С:
A8) . 0
где т обозначает число значений функции /*(С). Ряд A8) будет сходящимся
во всем круге | С | < 1. Сущность физических ограничений, которые необходимо
принять во внимание, сводится к тому, что в разложении A8) нужно удержать
только неотрицательные степени С. При этом решение A7) будет ограниченным
на оси разветвления во все моменты времени.

XII, § 8 Задача о диффракции плоских волн 609
В случав, если число листов бесконечно, то есть мы имеем дело о лога-
логарифмической поверхностью, это требование заменяется более слабым. При этом
необходимо только, чтобы:
A9) lim \ft = O.
1C UK
Стремление этого выражения к своему пределу должно быть равномерным
нри всевозможных путях стремления !j = lg С к бесконечности в полуплоскости
С точки врения координат р, &, функция и будет во все моменты времени
обладать свойством
B0) lim -f^- == 0.
г.^.о1пр
3. Элементарные плоские волны логарифмической поверхности. Для
удобства проведем на нашей логарифмической поверхности купюры на всех ее
листах от начала координат до бесконечности по отрицательной части оси х.
Условимся считать листом с номером Тс тот лист римановой поверхности р, &, в ко-
котором W изменяется в пределах B&— 1) % < 9 < Bк-\- 1)т.
Рассмотрим обобщенное решение волнового уравнения, которое мы назовем
элементарной плоской волной.
Определим функцию и0 при t < 0 следующими равенствами:
( ( 1, х>— at
B1) | I °> x< — at
[ «о=О, при |»|>к.
Это движение представляет собою плоскою волну на нулевом листе рима-
римановой поверхности, движущуюся со стороны положительных х. До вступления
возмущения в некоторую точку, значение функции и равно нулю, а после его
вступления м = 1. На всех остальных листах римановой поверхности мы при 2 < о
имеем покой.
Нетрудно убедиться в том, что построенная нами функция действительно
является обобщенным решением волнового уравнения. Для доказательства доста-
достаточно отметить, что на нулевом листе ее можно, например, представить в видо:
B'2) и0 = lim un (x -f- at),
где
B3)
причем ип стремится к и0, оставаясь ограниченным.
Нетрудно видеть, что функция и0, определепная равенствами B1), пред-
представляет собою однородную функцию координат и времени. Мы могли бы доказать
непосредственно, что она является обобщенным решением волнового уравнения,
но это доказательство настолько просто, что мы предоставляем его читателю.
Как вытекает из предыдущего, функцию и0 можно представить в форме A7).
Это представление, как легко проверить, имеет следующий вид:
B4) «0 =
39 Зак. 14*8- ~ Франк и Мизес. Дифф. уравн. мат. физ.

610 Механика сплошных сред
Действительно, внутри конуса A2) при t < О
положительным или отрицательным числом.
Поэтому /t(C) и /а (С") совпадают и развость их обращается в нуль. Значения
функций-г-In С — it и — In С"-)-* внутри A2), очевидно, лежат в верхней полу-
полуплоскости,¦¦ благодаря тому, что
На окружности единичного круга -г- lg С принимает чисто вещественные зна-
значения, поэтому arg I -r-lg С — я 1, представляя собой предельные значения для
функции, лежащей в полуплоскости, может иметь только
два значения 0 или г, в зависимости от того, будет ли
Aшс-*)
То же относится и к функции I -r-lnC-j-ic I. Вспоминая гео-
геометрический смысл С и С во внешности конуса A2), подробно
выясненный нами в § 2, мы видим, что вещественная
часть первого слагаемого в формуле B4) равна 1, при
г. . , at с, , at .
w < -j- arccos —, и нулю, при w > -j- arccos —. Аналогично,
Р Р
вещественная часть второго слагаемого равна — 1 при
-, и нулю при 0 > — arccos —. Отсюда и вытекает справедли-
справедливость B1).
Формула B4) дает нам, однако, не только представление решения при ?<О,
но и ответ на вопрос о поведении решения при t > 0. Действительно, решение,
представляемое этой формулой, является обобщенным решением волнового урав-
уравнения. Бак мы отмечали раньше, правда, без доказательства, такое решение
является единственным. Так как для I < О оно совпадает с «0, то очевидно, что
формула B4) и дает ответ на интересующий нас вопрос.
Тем самым она сразу, в замкнутой форме, решает задачу о диффракции
элементарной плоской волны.
Проанализируем геометрическую структуру решения для t > 0.
На нулевом листе мы будем иметь следующую картину (рис. 56).
Диффракционное возмущение будет сосредоточено внутри круга радиуса at,
проведенного из начала координат. Касательная к этому кругу, проведенная из
точки А с координатами (— at, О), точнее две полукасательных А В и АС отде-
отделяют область, ограниченную контуром ВА DEFAG, где функция «0 равна единице,
от области покоя х < — at, где и0 равно нулю. На всех остальных листах все
возмущение сосредоточено внутри круга радиуса р = at, а во внешности его и0 = 0.
Все это может быть получено непосредственно из анализа выражения B4).
4. Диффракция произвольной плоской волны. С помощью элементарной
плоской волны очень легко выражается произвольная волна.
Введем разрывную функцию s(?) от переменного ?, определенную равен-
равенствами;
т - s<0>

XII, § 8 Задача о диффракции плоских волн 611
Произвольная абсолютно непрерывная функция /"(?), подчиненная одному
условию:
B6) ДО = О, при ?<О,
имеет очевидное представление:
B7)
о
Действительно, интеграл в правой части B7) сводится просто к
С помошъю формулы B7), мы можем свести произвольную плоскую волну,
представляемую формулой:
к сумме элементарных. Действительно, в силу B7)
B8) f(at + x) = f f'(\)s(at-j-x — X) dX.
о
Каждое слагаемое типа:
f'(k)s(at+x-\)
представляет, очевидно, элементарную плоскую волну.
Формула B8) решает поставленный вопрос.
С помощью функции s(i) мы можем записать функцию м0, определенную
соотношением A9), следующим образом:
I s (at-\-р cos Ь) на нулевом листе,
B9) «о(рЛ0 = { <<О
I 0 на прочих листах.
Благодаря этим соображениям, задача о диффракции волны общего вида
решается с помощью интегрирования элементарных решений.
Задача эта формулируется следующим образом.
Требуется найти решение волнового уравнения, имеющее при<<0 вид
плоской волны и заданное соотношением:
| f
^ ' \ 0 на остальных листах,
f (at -f- x) на нулевом листе,
0 на остальных листах
) р
Решение этой задачи легко написать непосредственно1.
оо
C1) «
Действительно, по теореме интегрирования формула C1) дает обобщенное реше-
решение волнового уравнения на логарифмической поверхности, удовлетворяющее
условиям C0) при t < 0.
1) Напомним, что одно из определений абсолютно непрерывной функции заклю-
заключается в той, что такая функция является интегралом от своей собственной производной.

612 ' Механика сплошных сред
Следует отметить одно принципиальное обстоятельство, на выяснении ко-
которого мы здесь не можем останавливаться. Решение задачи, даваемое форму-
формулой C1), не является единственным, если не принять во внимание некоторых
ограничений, накладываемых на возможные решения физической сущностью за-
задачи. Мы уже встречались с этим вопросом, при определении разветвляющихся
решений. Однако, если учесть эти добавочные условия, то решение C1) един-
единственное, которое им отвечает.
5. Периодические решения. Кроме основной задачи о диффракции элемен-
элементарной волны на логарифмической поверхности, представляет еще интерес за-
задача о диффракции бесконечной суммы плоских волн, идущих с положительной
оси х (& = о) и из всех направлений, отличающихся от первоначального на
кратное некоторому углу х(^== — &х)-
Математически эта задача решается с помощью простого сложения эле-
элементарных решений.
Окончательный ответ имеет вид:
C2) «х = »о(рЛ')-
Формулу C2) можно представить в более удобной форме, просуммировав,
ряд, стоящий справа.
Принимая во внимание, что
П0ЛТЧИ51
1
C'
-fin 1-
-
или

XII, § 8 Задача о диффракции плоских волн ' 613
откуда по известной формуле Вейерштрасса, дающей представление синуса
в виде бесконечного произведения
и-, (a, b,t) = Л —г {In sin — 4- In sin >.
т.г \ 1 X J
Выражая теперь синус через иоказательную функцию, получим окончатель-
окончательный результат:
1 ~ 1
C3) иу (р, О, I) = R11 In 1 [(Се" "У - (Се" л<)~ Y] - ln-1- [(CVV - (С V<)~
Интегрируя иг вместо и0, мы можем получить в замкнутой форме решение
задачи о диффракции периодически расположенных плоских волн, идущих со
стороны положительных х из всех направлений, отличающихся от первоначаль-
первоначального на кратное \.
Окончательный ответ будет, очевидно, иметь вид:
оо
C4) u,f = J4
G. Диффракция относительно угла. Задача о колебании части плоскости
B) с граничными условиями C) или' D), называемая обычно задачей о диффрак-
диффракции волны относительно угла, легко решается сложением решений типа C4).
Действительно, как мы уже видели, эта эадача приводится, к отысканию
периодических решений волнового уравнения.
Если в качестве основного решения эадано решение, которое до диффрак-
диффракции имело вид:
C5) u = f(at + x), где f{\) = о, 6 < О,
то ответ на вопрос при граничных условиях (8), как не трудно видеть, будет
выражаться формулой:
C6) « = «3_а, f(p, », f) — мр_о> f (p, 2{3 — %, t).
Формула C6) в разных случаях может давать внешне несхожие результаты.
В случае, если а < ^ и р > -^-, все движение в области B), при t < О,
будет полностью описано формулой C5). Действительно, в формуле "C6) в этом
случае как первое, так и второе слагаемое состоят ив агтрегатов плоских воли,
не затрагивающих области B), кроме одной волны C5), лежащей целиком в этой
зоне. Все прочие плоские водны, входящие в состав первого слагаемого, как
легко непосредственно проверить, лежат вне зоны
а все плоские волны, входящие в состав второго слагаемого, лежат вне воны
|-<!>< 2,3—1.
Если хоть одно из чисел а или 3 по абсолютной величине меньше— , то
с самого начала при t < 0 одновременно с волной C5) будут присутствовать
другие плоские волны.

614
Механика сплошных сред
Физически это соответствует тому обстоятельству, что при этом волна C5)
падает на одну ив границ, а иногда и на оба угла при t < 0 и претерпевает
отражение, иногда многократное.
Те лишние слагаемые, которые вводятся формулой C6), и представляют
собой отраженные волны. На прилагаемой рисунке (рис. 57) изображено
положение фронта пряного, отраженного и диффракционного возмущения при
f <?<¦?•'. -?<•<-«.
Стрелками показано направление движения волны. На рис. 57(о)
мы видим положение фронта до диффракции. Линии ED и CD— фронты
падающей и отраженной волн. Линии ОА и ОВ представляют границы
В
(Ъ)
Рис. 57.
области возмущения. Рисунок F) представляет собой положение фронта после
диффракции. Линия DG служит фронтом падающей волны, линия ЕН — фронтом
отраженной, которая уже оторвалась от границы области. Внутри окруж-
окружности CDEF мы имеем возмущение, возникающее благодаря диффракции.
1. Трехмерная задача диффракции плоских волн! Подобно тому как
мы рассмотрели задачу о диффракции волн в двухмерном пространстве, мы можем
разобрать и трехмерную эадачу.
Рассмотрим трехмерное пространство, определяемое тремя цилиндрическими
координатами
р, О и z.
?¦ "' Будем изучать колебания части этого пространства, определяемой нера-
неравенствами:
C7) «<»<Р,
при граничных условиях типа:
(чй\ и\&— = О, « L _ о = О,
или
*"* '» = «
ди
9»
Так же как и в двухмерной задаче, углы аир могут быть совершенно про-
произвольными. Если а = — со и р= -f-oo, то мы получим задачу о колебании
бесконечно-листного пространства с осью разветвления.

XII, § 8
Задача о диффракции плоских волн
61Г
Для удобства примем старую нумерацию листов этого пространства, сч~
тая fc-ым листом тот, где Bft — 1) я < & < Bft -j-1) тт.
Мы ограничимся вдось разбором того случая, когда ось служит осью рас
ветвления бесконечного порядка. Случай периодических решений вытекает
отсюда с помощью рассуждений, совершенно совпадающих с теми, которые уж*
были нами однажды проделаны для пространства двух измерений.
Перейдем к постановке задачи.
Рассмотрим прежде всего элементарную плоскую волну, аналогичную эле-
элементарной волне в двухмерном случае.
В декартовых координатах в обычном неразветвленном нюостюанстве это.
плоская волна определялась бы формулой:
D0)
где черев а, {3, и
и-
JO, at-\-x cos а-{-у cos $ -j-^cos? <C
1, at-\-x cos a -\-y cos{3 -j- scos^ > t
обозначены углы, составлен-
ные направлением, откуда движется волна, с
Д
осями координат,
случаем, когда
Для простоты ограничимся
2
В двухмерном случае мы просто считал*
до известного момента времени движение на
нулевом листе совпадающим с заданной плос-
плоской волной, а на остальных листах принимали
его за покой.
Очевидно, что в трехмерном случае этого
принципиально нельвя сделать, так как в лю-
любой момент времени плоскость фронта волны Рис. 58.
пересекает ось разветвления. Поэтому эдесь не-
необходимо ставить задачу иначе, подобно тому как мы ставили эадачу отражениг
плоских волн.
Построим прежде всего kohjc с вершиной в точке пересечения фронта
волны с осью разветвления, причем ось фронта совпадает с этой оськ.
Угол растворения этого конуса выберем так, чтобы он касался фронта волнь"
(рис. 58).
Выберем ту половину этого конуса, которая лежит целиком в возмущенног
области, где и было бы равно единице при отсутствии точки разветвления
Если считать, что наша плоская волна двигалась все время из бесконечностг
на нулевом листе, то естественно сделать допущение, что непосредственно!
причиной того, что движение не описывается формулой D0) на нулевом лист*
и не является покоем на остальных, служит появление добавочных диффрав-
дионных возмущений, возникающих в точках оси разветвления в момент паде-
падения туда плоской волны. При этом можно непосредственно проверить, чте
на основании принципа Ферма наш полуконус является той границей, до кото-
которой успело распространиться возмущение.
Поэтому задача о диффракции плоской волны в трехмерном случае сть-
вится так.
Найти такое движение многолистного пространства, в котором мы имееь~
во внешности полукопуса на нулевом листе движение, определяемое формулой
D0), а на остальных листах покой.
Для решения этой задачи вводим вспомогательную подвижную систем-
координат р, ft, х, движущуюся поступательно в направлении отрицательной
\

616 Механика сплошных сред
оси г со скоростью ¦. Эти координаты будут связаны со старыми по-
посредством формул:
Ив физических соображений очевидно, что в такой системе коордипат все
движение будет иметь вид покоя. Иными словами и будет зависеть только or
р, & и т. Подставляя этот результат в волновое уравнение и замечая, что:
д2и _ дЧ дЧ _ 92«_cos2f .-
получим для и уравнение:
dp- + p dp "+" р2 JW a?~ dz* '
Таким образом, эадача свелась к интегрированию волнового уравнения
sin y
в двухмерном случае со скоростью распространения -
а
Нетрудно заметить, что задача о диффракции в такой постановке пол-
полностью совпадает с задачей о диффракции для двухмерного случая.
При т < 0 на нулевом листе и будет определяться формулой:
D3) о {
I 0, т-f p cos 0 < О,
а на остальных листах мы будем иметь покой. Ответ на эадачу совпадает с тем,
который мы получили на предыдущих страницах:
D4) {^ D )^ (Т
где С и С" получаются заменой t 'через т и а через —.— в формулах A3),
A4) и A5).
Совершенно аналогично тому, как мы поступали в двухмерном случае, мы
можем, интегрируя элементарное решение D4), получить эадачу о диффракциц
плоской волны произвольного вида. Складывая волны, идущие в различных на-
направлениях, мы получим периодические решения и решение задачи о диффракции
относительно угла. Формулы, дающие окончательный ответ на вопрос, мы предо-
предоставим получить читателю.
8. Общая задача диффракции для двухмерного пространства. Чтобы
закончить наше изложение, остается упомянуть, что с помощью рассмотренного
нами метода можно решить общую вадачу Коши на логарифмической поверх-
поверхности. Читатель, желающий ознакомиться с этим вопросом подробнее, найдет
весь материал по этому вопросу в специальной литературе, приложенной
в конце. Мы укажем только основной принцип-для получения такого решения.
Суть дела заключается в том, что с помощью интегрирования элементар-
элементарных плоских волн, зависящих от параметра, строится такое решение волнового
уравнения, которое при некоторых значениях времени на пулевом листе со-
совпадает с решением Вольтерра и имеет особенность к фиксированной точке х0, у0,
а на остальных обращается в нуль.
Применяя затем метод Вольтерра, можно получить и решение общей
задачи.

XII, § 8 Задача о диффрахции плоских волн 61?
ЛИТЕРАТУРА
I. Распростраиенне колебаний в случае одного волнового
уравнения.
1. Главы IX, IXX н XX настоящей книги.
2. А. Вебстер и Г. Сеге, Дифференциальные уравнения в частных производных
математической физики, ГТТИ, 1934.
3. С. Соболев, Плоская задача диффракции (печатается в трудах Сейсмологиче-
Сейсмологического ии-та Ак. наук СССР).
И. Распространение упругих колебаний.
1. Stokes, Dynamical theory of diffraction, Cambr. Phil Soc. Trans, vol 9. A849), Math,
and Phys. Papers, vol 2, p. 243.
2. Lord Bayleigh, London Math. Soc. Proc. vol. 17 A887) или Scientific Papers, vol. 2,.
p. 441.
3. A. E. Love, London Math. Soc. Papers (ser. 2), vol 1 A904) p. 29.
4. H. Lamb, Phil. Trans. (A) 203 p. 1 — 42 A904)
5. С. Соболев, Применение теории плоских волн к задаче Я". Lamb'a, Труды Сейсм.
ин-та Ак. н. Л» 18.
6. Е. Нарышкина, Об одном применении теории плоских волн, Тр. С. И. № 19.
7. V. Smirnoff et S. Soboleff, Sur une metnode nouvelle dans le probleme plan des vibra-
vibrations elastiques, Тр. С. И, № 20.
8. K. Nary&chkina, Uber die Schwingungen des festen elastischen Halbraumes, Тр. С. И.
№ 21.
9. У. Smirnoff et S. Soboleff, Sur l'application de la mothode nouvelle, Тр. С И. Ju 29.
10. S. Soboleff, Sur les vibrations d'un demiespace et d'une couche elastique, Математи-
Математический сборник 40, в 2 A933).
11. E. Marysckkina, Sur les vibrations d'un demiespace elastique a conditions initiales
donnees (печатается в Тр. С. И).
12. Е. Нарышкина, Поверхностные волны Рэлея в трехмерном пространстве-
(печатаются в Тр. С- И).

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ
глава хш
СВОБОДНЫЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ
§ 1. Основные понятия и дифференциальные уравнения
1. Основные понятия теплопроводности в твердых телах. Учение
¦о теплопроводности исходит из опытного факта, что при касании двух тел раз-
различных температур или при наличии равности температур между различными
частями одного и того же тела происходит выравнивание температур со временем
~а притом всегда так, что более теплое тело охлаждается, а более холодное —
нагревается.
Естественно истолковать эти явления так, что „тепло" принимается за
некоторого рода жидкость, которая, находясь в теле, повышает его температуру
и стремится притом течь от мест с высокой к местам с низкой температурой.
Мы принимаем в настоящее время, что тепло не является материей в узком
смысле слова, но есть некоторая .форма энергии, могущая возникать при извест-
известных обстоятельствах из других форм энергии и обратно в них превращаться.
Кинетическая теория тепла утверждает, что тепловая энергия есть не что иное
как кинетическая энергия беспорядочного движения мельчайших частиц материи—
молекул, атомов, электронов. Здесь мы будем останавливаться на этом специ-
специальном представлении лишь в некоторых случаях; в общем мы испольвуем исклю-
исключительно тот факт, что тепло есть форма энергии, количество которой можно
измерять в механических единицах — эргах.
При сообщении тепловой энергии некоторому телу массы т его темпера-
температура повышается согласно следующему опытному закону:
<1) >
где dq обозначает сообщаемое количество тепла, du — повышение температуры,
а о есть величина, характерная для вещества тела; она называется теплоемкостью
или удельной теплотой. Теплоемкость, вообще говоря, есть некоторая функция темпе-
температуры и давления. Зависимость от давления для твердых тел, о которых здесь
идет речь, настолько мала, что ею можно пренебрегать, напротив, зависимость
от температуры иногда значительна. На практике, однако,"для небольших рав-
ностей температур, обыкновенно достаточно предположение о постоянстве о.
На основе A) количество тепла можно измерять также в тепловых еди-
единицах с таким количеством тепла в качестве единицы, называемой „калория'',
которое повышает температуру единицы массы некоторого основного вещества
¦<воды) на единицу. Эрг и калория связаны между собою посредством некоторого
постоянного переводного числа — механического эквивалента тепла.
Из ряда опытов для потока тепла черев твердое тело получился сле-
следующий эмпирический закон. Представим себе в однородной среде пластинку,
размеры которой велики по сравнению с ее толщиной, и будем поддерживать

XIII, § 1 Основные понятия и дифференциальные уравнения 619
(например, посредством тающего льда и кипящей воды) обе параллельные
грани при постоянных, но неравных температурах; тогда со временем устана-
устанавливается стационарное состояние, при котором черев пластинку от нагретой
к холодной поверхности течет постоянный тепловой поток определенной интен-
интенсивности, который можно определить ив количества льда, растаявшего в единицу
времени, или из количества конденсированного пара.
Под „тепловым потоком" Q мы понимаем количество тепла, протекающее в
одну секунду черев грань пластинки. Обозначим черев А толщину пластинки,
через F—площадь, через t — время и черев их и «2 обе постоянные темпера-
температуры; тогда имеем следующее эмпирическое соотношение:
B) Qt = h Ml~Ma .F.t.
Величина к называется внутренней теплопроводностью вещества,
она в первом приближении есть материальная постоянная, точнее — некоторая
функция температуры. Чтобы не очень усложнять наши вадачи, мы в даль-
дальнейшем будем считать 1t постоянным. Смотря по величине Ъ, мы называем тела
хорошими или плохими проводниками тепла.
Обобщим теперь задачу на случай произвольного тела. Представим себе,
что в какой-либо точке Р тела проведен элемент поверхности dF и параллельно
ему на расстоянии dn — другой, равный по величине. Разность температур между
этими поверхностями обозначим черев du.
Полагаем, что тепловой поток в малом цилиндре в течение очень малого
времени dt подчиняется предельному случаю вакона B) в виде:
C) dq = — Ь ~ dt ¦ dL
где знак минус поставлен потому, что тепловой поток имеет направление убы-
убывающих и. Теперь можно ввести вектор ?Х — плотность теплового по-
потока, величина которого равна -j>vi.-, и записать C) в векторной форме:
A) d = — fcgradw, Q= I ?bndF — — I [h-x-)dF,
При этом h, вообще говоря, может быть как функцией места, так и напра-
направления вектора ?Х по отношению к какой-либо твердо связанной с телом системе
координат. Q есть полное количество тепла, протекающее в направлении га,
в единицу времени черев единицу поверхности.
Если две однородных среды с различными теплопроводностями ftt и йй
касаются друг друга вдоль некоторой поверхности, то для нее необходимо ввести
некоторые специальные предположения касательно передачи тепла. Мы пред-
предположим, что при переходе от одного тела к другому температура не претер-
претерпевает скачка, так что всегда
E) иг=и2.
Далее, физически, очевидно, что в силу отсуютвия для теплового потока поверх-
ностых источников или стоков на границе должно быть:
т. е. градиент температуры на границе двух различных средин претерпевает
разрыв.

620 Теплопроводность и диффузия
Мы должны, наконец, знать закономерности, имеющие место для теплового
потока черев „поверхность" тела. Понятие „поверхность" несколько неопреде-
неопределенно, так как каждую поверхность можно понимать как границу двух тел, кроме
разве случая границы с „абсолютной пустотой". Во многих случаях однако,
например, на границе с вовдухом или другим газом, теплопроводность внешней
среды так незначительна, что мы можем пренебречь тепловым потоком тепло-
теплопроводности. Тогда теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой
происходит, во-первых, путем теплового ивлучения, во-вторых, путем конвекции
вследствие течения окружающей жидкости или газа. Истинный закон этого
процесса очень сложен и сильно изменяется от случая к случаю. Поэтому для
аналитического рассмотрения пользуются грубым приближением, называемым
законом охлаждения Ньютона: если температура поверхности тела ад,
температура окружающей среды U, далее dF—элемент внешней поверхности,
то тепловой поток перпендикулярно к dF за время dt равен:
G) dq — h(u — U)dFdt,
где h есть зависящая от обстоятельств постоянная, — так называемая
внешняя теплопроводность. Закон G) справедлив только с ограни-
ограниченной точностью, величина h определена весьма неточно. Ниже мы увидим,
что при некоторых определенных предположениях вакон Ньютона допускает
точное обоснование.
Ив непрерывности теплового потока на поверхности следует окончательное
условие на поверхности:
(8) й^ = Л(«-Ц).
2. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Пользуясь зако-
законом D), мы можем без труда вывести дифференциальное уравнение теплопровод-
теплопроводности в твердых телах, для чего подсчитаем баланс тепла, входящего и выхо-
выходящего из некоторого мысленно выделенного в теле элемента объема d V. Допу-
Допустим сперва, что вещество неоднородно, но изотропно, тогда & есть скалярная
функция точки.
Излишек входящего ъ dV количества тепла над выходящим мы получаем
из формулы для Q [уравнение D)], если распространим интегрирование на
поверхность элемента объема. По теореме Гаусса этот интеграл равен объемному
интегралу. Так как мы рассматриваем лишь объемный элемент, то имеем
divddF=div (&grad«) dV [см. уравнение D)]. Далее, в элементе dV может,
посредством каких-либо процессов (например, химической или электрической
природы), возникать тепло. Если обозначить черев А количество тепла, возни-
возникающего в одну секунду в единице объема, то к полученному выражению надо
прибавить еще AdV. С другой стороны, вследствие увеличения количества
тепла в элементе dV температура его возрастает на -^- (в единицу времени),
Ott
или, согласно A), количество тепла — на ор —- dV, где р обовначает плотность
вещества. Приравнивая это выражение сумме, указанной выше, получим искомое
дифференциальное уравнение:
(9) op -~ = A-\- div {к grad и) = А + *Д« + (grad и, grad &).
Если среда анизотропна, что имеет, например, место для многих кристаллов, то
направление теплового потока и направление градиента температуры, вообще
говоря, не совпадают друг с другом, и скалярная величина Ъ заменяется теперь

XIII, § 1 Основные понятия и дифференциальные уравнения 621
тенвором К, с составляющими \х, Jcxy, ... Изменение дифференциального урав-
уравнения (9) сводится при этом просто к замене произведения ftgradu произве-
произведением iCgradw. Вместо (9) для анизотропных тел имеем, следовательно:
A0) ар-Q-
Если предположить, что тензор К—симметричный тензор, что довольво
надежно установлено опытными исследованиями над различными кристаллами,
то всегда можно выбрать такую координатную систему, что все составляющие с
двумя различными индексами исчезнут и останутся одни „главные составляющие" \.
Ъу, ~kz по трем направлениям х, у, г, соответственно. Далее мы будем всегда
пользоваться этой координатной системой.
Если к или К—постоянные величины, то ив A0) следует:
.„. ди . . , дЧ . 7 94 , 7 д2и
(И) °? ж=^+^-5?+*г Jr/+K -^
и из (9), в силу grad lc = Q
,.„, ди 7; Л
A2) • — = — ?м-\ .
Если, кроме того, Л — 0, то дифференциальное уравнение имеет простой вид
A3) -ъг = — Дм = а2 Дм.
^ Ы ро ¦
Величина а3, если теплоемкость постояЯна, также постоянна и носит название
температуропроводности.
/ ди
В стационарном состоянии, в котором м есть функция только точки! -zr— О J,
из A2) следует:
A4) д«4-^- = 0,
то есть уравнение Пуассона теории потенциала. При А = 0 из него получается
A5) Дм = 0,
т. е. уравнение Лапласа. В этом случае задачи теплопроводности приводятся,
следовательно, к задачам теории потенциала. Общее уравнение A3) есть' линейное
дифференциальное' уравнение в частных производных второго порядка. Если м
зависит лишь от одной пространственной .координаты х, то оно имеет вид
а2 - -~2 —я/" = °> т0 есть мы имеем Дело с параболическим дифференциальным урав-
уравнением.
Задачей теории теплопроводности является нахождение решения м (t, x, у, з
дифференциального уравнения AQ) [соответственно A1), A2) или A3)], пере
ходящего при t = 0 внутри конечной области пространства в некоторую заданную
функцию от х, у, з, причем на границе температура и или падение
ди
температуры -т—, или линейная комбинация обоих [как, например, в уравнении (8)],
on
при t > 0, эаданы как функции t. При этом и должно быть для t > 0 регулярно
во всей области.
3. Основные понятия диффузии при отсутствии внешних: сил.
Под диффузией мы понимаем следующее явление: если имеются две смеси
различных концентраций 1 и 2 ив двух составных частей А и Д находящиеся

622 ч Теплопроводность и диффузия
в жидком или газообразном состоянии и соприкасающиеся по некоторой граничн
поверхности, так что на обеих сторонах последней давление и температура один
ковы, то наблюдается некоторое течение между обеими смесями, такое, ч
составная часть А (а также В) течет из смеси с большей концентрацией в cue
с меньшей до тех пор, пока концентрации в смесях 1 и 2 не сравняются.
Под „смесью" понимаются вдесь смеси или растворы двух жидкостей од!
в другой, растворы твердых или газообразных тел в жидкостях, смеси двух газо
наконец, „туман" из твердых или жидких частиц в газах. При этом, раствор
могут быть как молекулярные, так и коллоидное, т. е. смешение смеси моям
итти до молекулы или только до молекулярных комплексов растворенных вещест:
Если количество одного ив двух тел преобладает над количеством другоп
как, например, в большинстве растворов твердых тел в жидкостях, то изменение
концентрации жидкости по отношению к твердому веществу можно пренебрег
и позволительно говорить о диффувии одного только растворенного веществ?
хотя растворитель также должен диффундировать. Для упрощения мы буде:
исследовать далее лишь этот последний случай, результаты переносятся на други
случаи бее затруднений.
Чтобы найти закономерности диффузионного тока, произведем следующие
опыт: поместим в двух очень больших резервуарах 1 и 2 один и тот же раство]
двух различных концентраций ct и cz>cv Оба сосуда соединим друг с друго!
посредством капилляра длины I. Пусть гидростатические давления на обоих конца:
капилляра равны. Тогда мы заметим, что растворенное вещество течет чере*
капилляр ив сосуда 2 в сосуд 1 и что количество Q вещества, прошедшее чере!
капилляр га время t, определяется формулой:
A6)
Величина х есть постоянная, зависящая от поперечного сечения капилляра,
а также от природы растворенного вещества и растворителя. Мы видим, что
закон диффувии вполне аналогичен вакону B) для теплового потока черев пла-
пластинку, но градиент температуры заменяется вдесь „градиентом концен-
концентрации". Этот же опыт можно произвести и так, что оба сосуда связаны друг
с другом посредством фитиля или полосы фильтровальной бумаги, или посред-
посредством разделяющей их твердой перегородки ив пористого вещества, которую
можно представить себе как связку капиллярных трубок. В последнем случае
явление обыкновенно называют осмосом.
Ту же формулу A6) мы получим, если представим себе, что растворенное
вещество проходит черев капилляр под влиянием гидростатической равности дав-
давлений р1 —р2, так как сила трения в капилляре прямо пропорциональна его длине.
Таким образом, разность концентраций сх —Сд действует, как пропорциональная ей
гипотетическая разность давлений рх—р2. Давление р мы назовем, осмоти-
чеоким давлением; между ним и концентрацией имеем соотношение:
A7) p = v,
где ? уже не зависит от концентрации.
Существование осмотического давления можно непосредственно доказать
и измерить само давление, когда капилляр или поры осмотической перегородки
настолько увки, что сквозь них могут проходить молекулы растворителя, но не
растворенного вещества. В этом случае -растворитель ив сосуда 1 с меньшей
концентрацией течет в сосуд 2 с большей концентрацией. Бели оба сосуда
замкнуты и снабжены манометрами, то давление в сосуде 2 воврастает, а в со-
сосуде 1 понижается до тех цор, пока не возникнет разность давлений, равная
осмотической разности давлений, и действующая в обратном направлении, и не
установится равновесие.

XIII, § 1 Основные понятия и дифференциальные уравнения 623
Так можно найти подтверждение закону A7) и обнаружить .смысл вели-
величины f. Обозначим через v объем одной граммомолекулы растворенного веществ»
в растворе, тогда с = —, и закон A7) можно написать в форме,
A8) pv = ВТ,
где Т означает абсолютную температурт, а В—некоторую универсальную по-
постоянную, которая оказывается совпадающей с газовой постоянной. Отсюда сле-
следует, что законы осмотического давления вполне аналогичны законам идеального
газа; величина осмотического давления не зависит от природы капилляров или
осмотических мембран. Мы можем теперь обобщить результат, полученный из
описанного опыта, поступая как в 1 для теплопроводности, предотавляя себе,
что во всяком растворе, в котором концентрация есть функция точки, на малый-
элемент жидкости действует сила осмотического давления, пропорциональная,
согласно A7), градиенту концентрации и направленная от мест с большей кон-
концентрацией к шестам с меньшей концентрацией.
Таким образом для плотности потока диффундирующего вещества мы.
получим, аналогично D), векторное уравнение:
A9) ?L = —D grade,
где D означает негависящую от с величину, могущую зависеть от вещества
и температуры, которую мы назовем коэффициентом диффузии. > Он
играет в теории диффузии ту же роль, как коэффициент внутренней теплопро-
теплопроводности в теории теплопроводности. В некоторых случаях D может быть опре-
определено теоретически. Вследствие существования градиента осмотического давления
на растворенное в единице объема вещество действует, по законам гидростатики,
сила К = — gradp; под ее действием вещество получит скорость т =—;
здесь г — возникающая при движении сила трения (разделенная на скорость), которая
очевидно равна силе трения, действующей на одну молекулу, умноженной на числа
молекул в единице объема. Обозначим величину, обратную силе трения на одну моле-
молекулу, через.В(подвижность)и через N—число молекул в граммолекуле (число Лошмид-
1 * 7?
та), тогда г == -^ cN, откуда т = j=- grad_p. Так как, согласно A8), р = ВТс
RT
е O = cv, то Ct=» =г=- Б grade; сравнивая с A9), получаем;
ТУ Т7
B0) D==JW B'
Величина Д вообще говоря, не может быть вычислена, она представляет"
собою некоторую постоянную, характеризующую данное вещество. Для шаро-
шарообразных частиц твердого вещества в жидком растворе по вакону Стокса.
(см. гл. XI, § 3)
B1) Б
где р есть коэффициент внутреннего трения растворителя ж а — радиус частицы.
4. Дифференциальное уравнение диффузии. Мы можем сраву получить
теперь, по образцу 2, дифференциальное уравнение диффузии. Избыток коли-
количества растворенного вещества, втекающего за время dt в малый элемент
объема d V, над вытекающим'равен в граммолекулах — div ?X dvdt = D div grad edVdt.

€24 Теплопроводность и диффузия
дс
С другой стороны, та же самая величина равна -^ dtdV. Приравнивая оба
выражения, мы получаем:
B2) , -| = ЯДС.
Это есть дифференциальное уравнение диффузии, которое формально тожде-
тождественно с уравнением теплопроводности A), если с отождествить с температурой,
a D с а2. Поэтому формально задачи теории диффузии могут быть сведены к задачам
теории теплопроводности и обратно.
Уравнение B2,) справедливо во всякой точке внутри рассматриваемой жид-
жидкости или газа. Если соприкасаются две различные жидкие или газообразные
«меси, разделенные пористой перегородкой, то, согласно A7), должно иметь место
следующее условие для нормальной составляющей осмотического тока через
элемент поверхности dF за время dt:
B3) О„ «Й = D* (et — c2)dFdt,
где D* зависит не только от природы вещества, но еще и от рода пористой
перегородки. Если D* для растворителя отличается от нуля, а для растворенного
вещества равно нулю, то перегородку называют полупроницаемой.
§ 2. Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах
1. Тело, бесконечно протяженное в одной измерении. Общее решение.
В этом параграфе мы предполагаем, что Ь, р, о постоянны и А = 0. Тело одно-
однородно, изотропно и неограниченно по всем направлениям, но предполагается,
что и зависит только от одной координаты х. Ниже мы покажем, что подобной
зависимости от одной координаты можно действительно добиться подходящим
выбором начальных условий. Уравнение A3) сводится теперь к
A) -? = ввП-
dt ах1
Наша задача — найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетво-
удовлетворяющее условиям: при t = О и равняется заданной функции Ф (х), и для всех
позднейших времен t > О функция и во всем пространстве конечна, непрерывна
и непрерывно-дифференцируема.
Ищем частное решение, как произведение функции только от х на функцию
только от /:
B) u = X(x)T(t).
,,. „ дТ „_ Э»Х 1 дТ od?X „
Подставляя в уравнение A), получим а — = аг± -~ 2 или -^ —- = aJ-i-0. Лдееь
в левой части стоит функция только от t, в правой — функция только от х.
Поэтому уравнение может иметь место для всех, значений х и I только тогда,
когда обе части равны одной и той же постоянной а. Отсюда следует -^- = аТ,
или T—Aeat. Положив <х= — Х2а2, получим для X дифференциальное урав-
оРХ
нение - ,-2 = — Х2Х. Оно имеет частные интегралы sin \x и cos \x. Функции X
и Т для всех 1>О г всех х только тогда конечны, если а вещественно и отри-
отрицательно, следовательно, X2 вещественно и положительно. Согласно B), мы полу-
получаем два решения Аё~шч cosXa; и Ве~^аЧ su\\x. Здесь X — произвольное веще-
вещественное число, считаемое нами положительным, А и В произвольные величины,

XIII, § 2 Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 625
которые мы считаем функциями от X. Так как суммирование любого числа этих
яастных решений дает всегда новое решение, то, интегрируя по X, мы. получим
решение:
оо
C) и= I (A cos Хж 4- -В sin Хж) е~~ к'аЧ dX,
о
вависящее от двух произвольных функций А (X), В (X). Посмотрим, можно ли;;
выбрать их так, что будет выполнено начальное условие м==Ф(а;) при t=s&i::
Согласно интегральной теореме Фурье, функция Ф (ж), удовлетворяющая внутри
конечного интервала условиям Дирихле и исчезающая вне его, может быть пред-
представлена в следующем виде:
оо + оо
D) Ф (ж) = —- Г dX / Ф (a) cos X (а — ж) da.
О — со
Йри t=O из C) получаем:
ОО
E) и— Г DcosXa;-|-Bsinix) dX.
Разлагая косинус в D) и сравнивая D) и E), имеем:
Sit J ' я J
и после подстановки в C):
оо + оо
F) м = А Г e-k'a"d\ Г Ф (a) cos X (а — ж) da,
О — ос>
откуда при * = 0, в силу D), следует и = Ф (ж).
Переставим теперь порядок интегрирования в F); тогда
4
м = — Г Ф(а)йа Г e~wt cosX(a — x) d\.
— оо О
Интегрирование по X можно выполнить, что дает:
е- "« cosX («-«) dX^-L j/ — в **• .
J
о
так что для и мы получим:
1 г°°
G) « = ^т== I Ф(в)
в
*"*
В том, что G) представляет решение нашей задачи, можно убедиться и не-
1 (»-аОа
посредственно. Функция -= е 4о"* для любого а есть частный интеграл урав-
V t
иения A), в чем убеждаемся подстановкой.
40 Зав. U08. — Франк и Мивео. Дифф. увавн. мат. фив.

626 Теплопроводность и диффузия
Чтобы доказать, что при ( = 0 « сводится к Ф(ж), вводим в G) новую пере-
переменную ? = —-—?=• Это даст а = х -\- 2\а Y~i и
2а Уt
+ со
(8) « = ^ / Ф(..
— 00
ври tssa.O мо дает
вфГ J_ "*? _у _
—со
Решение G) допускает весьма наглядное физическое толкование на основе сле-
следующих соображений.
Рассмотрим частный интеграл
(9)
2а
нашего дифференциального уравнения A) где f означает пока произвольную
постоянную. При t = О эта формула дает и = О везде за исключением точки х = а.
Это соответствует, следовательно, начальному условию, что во всем пространстве
господствует равная нулю температура, за исключением области, непосредственно
окружующей плоскость х = а. В бескодечнооти и исчезает для всех времен.
Если вычислить полное количество тепла, которое в некоторый момент
находится в цилиндре с сечением 1, простирающемся в бесконечность в обе
стороны параллельно оси х, то, согласно § 1, найден:
у
Q = ?<3 J udx — paif
— оэ
где интеграл находится с помощью примененной выше подстановки а = х-\-
-J- 21а УТ. Количество содержащегося в теле тепла при нуле температуры
положено равным нулю.
Итак Q не зависит от времени, т. е. полное количество тепла сохраняет
свое (конечное) значение; в момент нуль оно сжато в бесконечно узкой полосе, рас-
распространяется затем путем теплопроводности по всей бесконечной области и для
бесконечно большого времени бесконечно разрежается. Величина f играет, следо-
следовательно, в формуле Q = pof роль произведения объема узкой полосы на началь-
начальную температуру в точке ж = а. Для одного только „источника", создающего те-
тепловой поток, т. е. узкого слоя температуры Ф (а) и ширины (= объему) da,
вследствие соотношения f = Ф (а) da, температура в какой-либо точке х в какой-
либо момент t, согласно (9), представляется выражением:
2а
da.
Если в каждой точке а находится „источник" и Ф(а), как и выше, есть
функция распределения температуры в момент < = 0, то поток создается как бы
действием многих единичных изолированных независимых друг от друга источ-
источников, и и есть сумма всех этих потоков. Тогда выражение G) можно назвать
интегралом по источникам теплового потока, или короче, интегралом по
источникам дифференциального уравнения A). Это толкование мы будем
употреблять и ниже.

XIII, § 2 Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 627
Вышеупомянутые формулы, согласно § 1,4, где вами установлено формаль-
формальное тождество между дифференциальными уравнениями диффузии и теплопро-
теплопроводности, дают одновременно решения аналогичной диффузионной вадачн, если
заменить количество тепла количеством вещества, а температуру — концентрацией.
2. Принтеры. Рассмотрим ряд простых примеров.
В качестве первого примера рассмотрим следующее распределение темпе-
температур (или концентраций) при t = 0: и = 0 всюду за исключением слоя между^
а = —f-1 и а = — 1, где и постоянно и равно, например, 1. Это обозначает, что
Ф (а) = 0 для а > 1 и а< — 1 и Ф (а) = 1 для — 1 < а < -j-1. Подставляя эти
шачения Ф (а) в (8), замечая, что подинтегральная величина отличается от нуля
¦*н -I в -1-6 -ь -4 -з .-г -/ - ¦¦ а 3 4 s в т. $, s
только между пределами х-{-21а у t = dz 1 и вычисляя отсюда пределы для С,
получим из (8):
1-х
2aVJ
2aVJ
где через <j> обозначен интеграл Гаусса
(И) H*)
Непосредственно видно, что и удовлетворяет начальным условиям и исчезает
везде при t = co, так как конечное количество тепла распространяется по бес-
бесконечной области. На рис. 59 представлена температура как функция х в раз-
различные моменты времени.
В качестве второго примера рассмотрим такое начальное распределение
температуры, что для а > О Ф (а) = 0 и для а < О Ф (а) = 1.
По формуле (8) получаем:
A2)
^-L Г
V* J

628
Теплопроводность и диффузия
На рис. 60, представляющем распределение температуры для различных моментов
времени, видно, как тепло течет из отрицательного ж положительное полупро-
полупространство. Заметим, что ни в одном месте положительного полупространства ни для
какого времени температура не может быть выше '/а-
Этот пример дает одновременно аналитическое толкование основного опыта
по диффузии. Возьмем два равных достаточно длинных цилиндрических сосуда
с основаниями, совпадающими друг с другом, но разделенных перегородкой. Один
цилиндр содержит чистый растворитель (е = 0), другой — раствор с концентра-
концентрацией с0. Удалим перегородку и через некоторое время Т снова поставим ее на место.
Согласно A2), растворенное вещество будет диффундировать из 1-го цилиндра
во 2-ой. Чтобы определить количество перешедшего вещества, заметим, что,
согласно § 1, A9), за время dt через открытую перегородку проходит количество
вещества dg = D (-тг~) fdt, где F означает поперечнбе сечение цилиндра.
) р
D (-тг~)
•«> -9 -В -? -» -5 -4 -3 -2 -Г
Подставляя сюда выражение A2) (для м =
протекшее за время Т количество вещества:
т
A3)
с,
Co), получим
Измеряя Q, мы можем по этой формуле определить коэффициент диффузии D.
Вернемся теперь б формуле A2) и посмотрим, с какою скоростью распро-
распространяется некоторая температура в положительном полупространстве. Если
обозначить « через и0, то искомую скорость мы найдем, положив в A2) и = ис
и разрешив уравнение относительно х.
Мы получаем:
A4)
х = 2а
— 2«0),
где <]** означает функцию, обратную ф. Поэтому искомая скорость равна:
dx a
dt Vt
A5)
Мы замечаем, что для каждой температуры и0 скорость распространения
непрерывно уменьшается со временем, иди, соответственно, с удалением от тем-
температурной границы, и в первый момент бесконечно велика; что, далее, скорость

XIII, § 2 Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 629
тем больше, чем более низкие температуры мы рассматриваем. Следовательно,
о скорости распространения теплоты в обычном смысле слов нельзя говорить,
так как в течение сколь угодно короткого промежутка времени, начиная от t = О,
температура изменится на сколь угодно большом расстоянии от ж —0.
Замечательно, далее, что для ж = О температура для всех времен сохра-
сохраняет постоянное значение J/2. Мы используем это обстоятельство позже* при
разборе другой задачи, в которой требуется сохранение в определенном месте
заданной температуры.
Формула A4^ позволяет, наблюдая проникновение температуры, определить
величину а, или 'аналогично в диффузионной задаче определить D в тех слу-
случаях, когда подобное проникновение можно сделать заметным каким-либо про-
простым способом.
В первом случае исследуемое вещество в форме длинного стержня
докрывается тонким слоем легкоплавкого вещества (парафина) и наблюдается
распространение границы плавления, или окрашивается краской, меняющей
цвет с превышением некоторой определенной температуры, и наблюдается рас-
распространение границы двух красок, причем мы пренебрегаем внешней тепло-
теплопроводностью. Позднее эта задача будет рассмотрена точнее.
В случае диффузии можно наблюдать распространение определенной кон-
концентрации, например, для кислотных или основных растворов, для его надо
добавить в раствор цветной индикатор, меняющий свою окраску при некоторой
определенной концентрации основания или кислоты.
Третий более общий пример мы получим, если откажемся от однородности
вещества и допустим, что а меняется с местом. Некоторое обобщение выше
рассмотренного представляет собою случай, допускающий простое рассмотрение,
а именно случай тела, составленного из двух однородных частей, соприкасающихся
по плоскости х = О. Эти части можно охарактеризовать температуропроводностями
ах и а2, так что при х < О имеем температуропроводность av при х > О —-а2. Кроме
того, пусть при t = О температуры обеих частей постоянны и равны соответ-
соответственно Cj и С2. Ищем распределение температуры в теле в какой-либо позд-
позднейший момент времени и для любого места. При х < 0 имеет место дифферен-
дифференциальное уравпение:
.. ди -&и
-яг" •»¦*?.
а при х > 0:
ди _ 2 3%
~7~а* ~
В точке х = 0, по § 1, E) и F), имеют место граничные условия:
/-,«14 7 ^М1 7 дМ»
A7) «! = «,; *rg^«**-^.
Попытаемся решить задачу посредством искусственпого приема, предполагая,
что первое вещество занимает все пространство и задано начальное распреде-
распределение температуры: при х <О и = Си при ж>0м = С/, где С/ — некоторая
еще не определенная постоянная. Аналогичное допущение делаем и для второго
вещества. Мы получим два решения, первое из коюрых соответствует начальному
условию: при х < О Ф (ж) = Сх, при х > О Ф (ж) = С/; второе — условию: при
х < О Ф (ж)=С72/ и при х > О Ф (ж) = С%. Оба решенияп олучаются из (8). Посте-

630 Теплопроводность и диффузия
янные С,' и С/ определяются, если потребовать, чтобы оба решения при
удовлетворяли условиям A7). По (8) имеем тогда:
С,
% J е dl==V* J
2а, V t 2а, К Т
20, К «
И
Обозначим общую температуру поверхности соприкосновения через Со, тогда,
яодотавляя в A7), получим:
следовательно:
A8)
A9) и^С0-(С0-С1)(
\ 2ai
Если теперь положить и = и1 для х < 0 и и = ма для ж > 0, то легко убедиться,
что м действительно удовлетворяет нашим начальным и граничным условиям A7)
я является решением дифференциального,уравнения A6). На поверхности сопри-
соприкосновения господствует постоянная температура Со, которая через бесконечно
долгое время устанавливается во всем пространстве. Дальнейшее интересное
применение наших общих соображений дано Фурье х) и сводится б следующему:
мы предполагаем опять, как в примере 1, начальную температуру равной нулю
везде, ва исключением очень узкой полосы, окружающей ж = 0, в которой темпе-
температура так велика, что произведение температуры и ширины полосы (интенсив-
(интенсивность источника тепла) равна 1. В таком случае, согласно (9) (для f = 1 и a =0):
B0) и = —1—е'^.
2Vt
Будем наблюдать температуру в некоторой определенной точке ж = х0, в ее
•ависихости от t. В момент t = О в этой точке во всякой случае и = о, то же будет
в при I = оз, так как конечное количество тепла рассеивается по бесконечной
области. Поэтому, в некоторый конечный момент времени температура в х0 дости-
*) Ом. Ph. Frank, Phys. ZS. 19, 515, 1918.

XIII, § 2 Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 631
гает максимума. Мы найдем этот момент времени tm, если положим в B0) х = х0
и -гт-='О.^Последнее дает:
ди /1 х0* \ Л
откуда следует
\Zil_f ьСЛ ^^ -"И t*n « •-и ~^ л"»
\ ; ° "" " 2в2
Формула B1) может быть использована для определения а по вышеизложенному
методу, как это, в частности, уже с успехом выполнено в аналогичной задаче
диффузии, а именно для растворов электролитов в.воде *), причем соответствую-
соответствующий раствор в начале опыта расположен в виде очень тонкого слоя на дне на-
наполненного водою сосуда, а изменение концентрации в заданном месте исследуется
посредством измерения электродвижущей силы у находящегося в данном месте
электрода.
3. Применение к броуновскому движению одной частицы. Согласно
сказанному в § 1, 3, по молекулярной теории диффузия происходит оттого,
что молекулы находятся в беспорядочном движении и стремятся равномерно
заполнить все пространство, им предоставленное. Допустим, что в бесконечной
среде имеется вещество, сконцентрированное в момент ( = 0в плоскости х — О,
тогда через промежуток времени t его распределение будет дано формулой B0).
На основании молекулярной теории это надо пойимать в том смысле, что
за время t не все молекулы испытывают равные смещения х, но лишь некоторая
определенная дробная часть всех смещений, выражаемая формулой а)
с (x,t) dx
B2)
I e (x,t) dx
приходится на смещения, лежащие между х и x-\-dx. Если все молекулы
совершенно одинаковы, то можно произвести опыты с одной единственной моле-
молекулой, выходящей из х = 0, измеряя ее положение в момент t и возвращая ее
после каждого измерения снова в начальную точку. Из очень большого числа
таких опытов часть, соответствующая смещениям, лежащим между х и x-\-dx,
очевидно опять будет равна wdx. Величина wdx является, таким образом,
„вероятностью" молекуле за время t вследствие теплового движения переме-
переместиться на отрезок, лежащий межу ж.и x-\-dx.
В точности те же самые соображения должны быть применимы, если мы,
вместо молекулы, возьмем видимую под микроскопом частицу вещества. Такие
частицы действительно совершают беспорядочное движение, которое мы назы-
называем „броуновским движепием". Эти беспорядочные смещения подчиняются
„закону вероятности B2). Из формулы B2) можно вывести полученный впервые
Эйнштейном8) закон для „среднего квадрата смещения", который определяется
интегралом:
+ 0О
B3)
= Г x*w(x)dx = ~ Г
*) Procomti, Ann. de Phys. 9, 96, 1918.
*) A. Etnstein, Ann. d. Phys. 17, 558, 1905.
») A. Einstein, Ann. d. Phys. 549, 1905.
M. v. Smoluchowski, там же, 21, 756, 1906.

632 Теплопроводность и диффузия
Этот закон формально аналогичен B1). Мы увидим далее, что большое число
вадач о броуновском движении можно решать сходным методом путем отыскания
соответствующих „интегралов по источникам" дифференциального уравнения
диффузии.
4. Тела, бесконечно протяженные в двух измерениях. И здесь мы сде-
сделаем предположение, что рассматриваемое тело однородно, изотропно и что нет
источников тепла. Тело должно бесконечно простираться по всем направлениям,
но температура должна зависеть лишь от двух прямоугольных координат х и у
и не зависеть от z. Это можно осуществить, предположив, что начальное рас-
распределение одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных к оси г, или если
пренебрегать внешней теплопроводностью, взяв очень тонкую пластинку боль-
больших размеров.
Дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае имеет вид
Мы ищем частное решение этого дифференциального уравнения в виде
произведения двух функций Т и В, где Т есть функция только времени,
а В—функция расстояния г = "|/ж3-)-у2. Тогда
у T~ r dt
и, после подстановки и = ТВ в B4), для Т получается дифференциальное урав-
уравнение, имеющее, как и в 1, решение Т= Ае~х*фг, Для В получаем диффе-
дифференциальное уравнение:
4 ' dfr3 ' r dr
Вводя здесь вместо г переменную р = Хг, приводим его к виду:
B6) ^ + J,J™+^0.
' dp3 ' p dp '
Это дифференциальное уравнение известно из теории функций Бесселя, его
решение есть функция Бесселя нулевого порядка Jo, так что мы имеем:
B7) 7? = Jo(p)
Мы имеем, следовательно, частное решение B4):
B8) u = Ae-l'attJ0{\r),
где in), могут иметь любые значения. Так как дифференциальное уравнение
однородно и линейно, то общее решение можно получить, рассматривая Л как
произвольную функцию от X и интегрируя по X по всем значениям от нуля до
бесконечности:
оо
B9) м = J А (X) e-}faH Jo (Kr) d\.
о
Функция А (X) выбирается так, чтобы удовлетворить начальным условиям
задачи. Это возможно лишь в той случае, когда и для < = 0 и функция

ХИТ, § 2 Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 639
только от г. Мы воспользуемся для этого предложением ив теории функций
Бесселя о представлении ваданноЙ функции посредством двойного интеграла
по функциям Бесселя, аналогичном употребляемому в одномерном случае пред-
представлению Фурье. Это представление имеет вид J):
оо оо
C0) Ф (г) = у Jo (Кг) Ы1 J Ф (а) «/"о О) ado.
о о
Наше и приводится при t = О к
оо
ио = J A(X)J0(lr)dk.
о
Сравнивая с C0), получим для А (X):
со
А (X) = к J Ф (a) Jo (Ь) ada.
Подставляя это в B9), получим окончательно для «:
оо оо
C1 и= С Ф
Интегрирование по X., в отличие от одномерного случая, вообще говоря, не можег
быть выполнено. Б одном частном* случае решение можно получить сразу, именно
когда Ф (а) везде равно нулю за исключением очень малой области около a = о.
причем / аФ(а)йа=1. Тогда в C1) можно выполнить интегрирование по а к
мы получаем:
C2) «= С <ryaI'
,2a2*
в чем можно убедиться, подставив вместо функции Jo разложение в степенной
ряд и проитегрировав почленно. Дополнительно можем убедиться, что C2) есть,
частное решение B4).
Перенесем теперь начало координат в точку k, -ц; тогда
и частный интеграл C2) дает:
C3) и = В-±-е м- ,
где В может еще быть любой функцией от 5 и ч\. Теперь из C3) можно полу-
чить общее решение для B4) („интеграл по источникам"), если проинтегриро-
проинтегрировать по всей плоскости:
C4) «= j I B(l^)
о о
где функцию В опять следует выбрать соответственно начальным условиям.
1) ф (а) должно удовлетворять тем же условиям, как в интегральной теореме Фурье-
Уравнение C0) принадлежит Н. НапкеГю (Math Ann. 8, 471, 1876).

€J4 Теплопроводность и диффузия
Мы бросим еще краткий взгляд на линии равной температуры, получаю-
получающиеся при распространении тепла в большой пластинке (если пренебречь внешней
теплопроводностью) — изотермы. В случае цилиндрически-симметричного началь-
начального распределения из соображений симметрии ясно, что изотермы в каждый
данный момент суть круги с центрами на оси цилиндра, если, конечно, среда
жзотроина.
Отбросил теперь предположение об изотропии среды и будем рассматривать
пластинку, вырезанную, например, из кристалла так, что две главные терми-
термические оси (см. стр. 621) лежат в плоскости пластинки, или пластинку из дерева
с волокнами, параллельными пластинке. Дифференциальное уравнение, отнесен-
отнесенное к главным осям, имеет при этом, согласно § 1 A1), вид:
dt ~~ х дх* ~г ' д& '
ОС 1/
Введем в качестве новых переменных величины ?==— и ¦*] = —; тогда
подучим: :
ди 9а« . (Ри
Но это дифференциальное уравнение для изотропного случая, и поэтому изотер-
изотермические кривые в системе координат ;, tq должны быть кругами с уравнением:
42 -\-v\2 = const, или —- 4- -^у = const.
Это есть уравнение эллипса с главными осями, пропорциональными ах и ау.'
На этом обстоятельстве основан метод определения главных йроводимостей
кристалла. Ив кристалла вырезается пластинка, как описано выше, и покры-
покрывается легкоплавким веществом, например, парафином. Затем в некоторую точку
пластинки помещается острие накаленной проволоки и наблюдаются фигуры
плавления парафина, представляющие собою ивотермы температуры плавления;
они представляют собой, вообще говоря, эллипсы, отношение осей которых дает
отношение теплопроводностей кристалла.
Другой подобный же способ определения теплопроводности основан на приме-
применении пластинки, составленной из двух различных однородных материалов,
смыкающихся по произвольной кривой. На этой кривой, по § 1, E), F), должны
выполняться условия:
, . 7 ди, 7 дип
C5) «, = «* а,-^-*,-^.,
где « обозначает направление нормали к кривой. Обозначим черев s направление
касательной к этой кривой, тогда по C5):
Дифференциальное уравнение изотермы имеет вид:
ди , . ди ,
-т- ds 4- -5— du = 0.
9s ' дп

XIII, § 2 Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 636
„ ди
Следовательно,-д— пропорционально косинусу угла а между нормалью к И8отерме
ди „
и п, — синусу этого угла. Поэтому
OS
C7) i tg«=-
ди
~дТ
JUT*
Пользуясь C5) и C6), получим:
C8) lf^ = V
т. е. изотермы на граничной кривой имеют излом, величина которого дает
отношение теплопроводностей. Если другим способом измерена теплопроводность
одного из веществ, то этим способом можно легко измерить теплопроводность
другого.
5. Тела, бесконечно протяженные в трех измерениях. Разберем теперь
общий случай движения тепла в бесконечно протяженной среде, причем опять
ограничимся рассмотрением однородных и изотропных тел. Анизотропный случай
изучается без затруднений путем введения новых переменных по образцу 14.
Предположим, что и зависит только от расстояния г точки наблюдения
от начала координат (случай шаровой симметрии). Тогда дифференциальное
уравнение § 1, A3) приводится к
{6J) dt ~ \дг*^ г dr
Введем вместо « новую функцию v = ru; тогда
что совпадает с дифференциальным уравнением A) для линейного случая. Но
г принимает здесь только положительные значения и функция v должна удовле-
удовлетворять условию v = O при г—0. Так как (9) есть частный интеграл A), пред-
представляющий распространение тепла от точки х = 0 по прямой, то мы знаем
интеграл уравнения D0), а именно:
A -ir'
V*
где А—произвольная постоянная. Отсюда, в силу v — ru, получим интеграл C9):
А 'г'
D1) м = ——-е «**.
г у t
Но это выражение бесконечно велико при г = 0 и, следовательно, не удовлетворяет
нашим условиям. Однако, если v есть частный интеграл D0), то и vy = ^— еси.
интеграл; следовательно, в нашем случае
Бг - *

636 Теплопроводность и диффузия
есть решение уравнения D0), удовлетворяющее нашему требованию; otcj
вводя vi = гм,, имеем:
D4) ttj = —j- e М(,
как решение C9). В есть опять произвольная постоянная. Теперь И8 D2) моя
вывести общий интеграл дифференциального уравнения § 1, A3), для чего пе]
несем начало координат в точку РA, % С) и введем
г =
Мы можем умножить Wj на произвольную функцию Ф (?, -ц, С) и проинтегрирова
ио всему пространству. В силу однородности и линейности дифференциально
уравнения это будет опять интеграл. Обозначив элемент объема через d
получим общее решение в виде:
D3) и==
Bа
Обовначим через dm элемент поверхности единичной сферы с центром в точ1
(х,у,г), тогда dV = ridrdm. Обозначим далее среднее ввачение функции Ф i
сфере радиуса г вокруг точки (х,у,г) через <1»(г):
f f f
J J J
D4) 1{г) = -±- j
тогда из D3) получаем:
°°
. ~ I ty(
о
Этот интеграл можно упростить, введя новую переменную Х = —-, благе
2ау t
даря чему он переходит в
D5)
и = -4= Г + B« V Щ
о
Щ е~Х'
Это и содержит произвольную функцию ty и представляет поэтому общий инте-
интеграл § 1, A3). При t — 0 он приводится к
4 Г _у,2
о
Функция ф есть средвее значение функции Ф, но так как Ф — непрерывная
функция точки, то <|* @) = Ф (х, у, г). Стало быть, Ф есть начальное состояние
в момент ? = 0, и выражение D3) есть решение дифференциального уравнения
§ 1, A3) для произвольного начального состояния (следовательно, ото „интеграл
но источникам" для трехмерного случая). В частном случае функции Ф, зави-
зависящей лишь от одной переменной ?, мы можем выполнить интегрирование в D3)
но ¦*) и С, пользуясь тем, что
+г° С-су
1 +г
V-xt J

XIII, § 2 Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 637
и получим*
D6) и (х, t) = —^= Г Ф (;) е *"'*" d:.
Но это есть найденное раньше решение G) для одномерного случая. Итак, мы
видим, что в самом деде, как указывалось на стр. 624, -подходящим выбором
начальных условий — например, независимости от •»], С, можно свести общую
задачу к одномерной. Независимость эта на практике встречается часто. Точно
также, если функция Ф зависит только от двух переменных I и у\, трехмерная
задача сводится к изученной выше двумерной.
Весьма важный частный случай общего решения D3) получается, если
начальное условие обладает шаровой симметрией, т. е. Ф есть функция только
art Р = УЬ2-\-у\*-\-(.2. Обозначим расстояние точки наблюдения Q (х, у, г) от
начала О через В, тогда г — расстояние PQ. Угол между г в р назовем »,
угол между плоскостью OPQ и некоторой основной плоскостью, проходящей через г,
назовем ф. Тогда
г2 = В2 + р2 — 2Др cos <p,
d V = р2 sin 9 dp d<p <%
и после подстановки в D3):
оо я 2ге _
1 Г Г Г
и== -р=— \ \ \ z 1аЧ
BaV*tf J J J
0 0 0
sin
Интегрирование по <р и ф можно выполнить, и тогда для и получим:
D7)
" (Д-f у /д+р у
Здесь Ф (р) определено только для положительных значений аргумента; мы
можем для отрицательных значений р положить Ф(р) = Ф(—р), тогда и пре-
превратится в
D8)
2а У nt В
t0
J
Это выражение отличается от одномерного случая G) только тем, что вместо и
стоит Ей и, соответственно, вместо Ф стоит Фр, что мы могли бы прямо заклю-
заключить из того обстоятельства, что всякое решение дифференциального уравнения
D0) посредством подобного преобразования переходит в решение уравнения C9)
для случая сферической симметрии. Еа« пример, иллюстрирующий изложенную
задачу теплопроводности или диффузии, рассмотрим задачу, аналогичную рас-
рассмотренной выше. А именно, определим вид функции и от В и t, если в момент
t = о температура (или концентрация) исчезает во всем пространстве за исклю-
исключением области В < 1, в которой Ф(р) = 1. Вводя ? = ——^ как новую пере-
2а у t
менную в D8), мы можем привести и к виду:
D9) u^
2aVt)l

638 Теплопроводность и диффузия
Это выражение построено аналогично соответствующему выражению A0) и
определяется формулой A1).
6. Интегральное уравнение теплопроводности и диффузии. Выше на!
было показано, что задачи теплопроводности и диффузии приводят к решени
некоторых дифференциальных уравнений в частных производных второго порядк,
Теперь мы покажем, что та же цел}» может быть достигнута путем решена
некоторых интегральных уравнений, которые мы теперь и получим. Постави
себе следующую задачу: при * = 0 температура (или концентрация) везде равн
нулю, только в непосредственной окрестности плоскости ж = а и отличается с
нуля так, что взятый по этой окрестности интеграл Г udx = 1. Из соображени
симметрии ясно, что и для всех позднейших времен есть функция только х и
если среда однородна и изотропна и простирается до бесконечности.
Обозначив температуру (или концентрацию), как функцию исходного положе
ния а и координат х и t, через « = /*(«, x, t), мы можем найти распределе
ние и для любого позднейшего момента времени t-\-x так: по истечении вре
мени t от начального момента около точки ? получилось распределена
/¦(<*. ?, *)• Рассмотрим содержащееся между ? и ?-}-d? количество тепла (ид)
вещества) и позволим ему распространяться таким же образом дальше
тогда в момент t-{-x ъ точке х оно равно:
так как механизм распространения в первой части процесса очевидно тожде
ственен с механизмом во второй части.
Примем теперь, что фактическое состояние в ж в момент t -f- -с дается нало-
наложением всех выше определенных частичных процессов для всех 6 от —оо
до -f- оо, тогда получим для функции f следующее квадратичное интегральное
уравнение г):
у
E0) У Да, 5, t)f($, х, t-\-z)dl = f(a, x, *+-*),
которому должна удовлетворять функция f для произвольного т. Можно легко
проверить, что, например, наше решение (9), удовлетворяющее вышеуказанному
начальному условию, есть решение этого интегрального уравнения. Мы не
будем теперь заниматься трудной задачей решения интегрального уравнения E0)
при подходящих граничных условиях, но хотим лишь показать, что решение E0)
необходимо одновременно является решением некоторого дифференциального
уравнения, при тех же граничных условиях2). Предположения относительно
функций, которые нам тут понадобятся, следующие: 1) функция /"(а, х, t) при
очень малых, t исчезающе мала для всех х, за исключением непосредственно
близких к х = а; 2) для очень малых х и соответственно t, f(a, x, t) есть функ-
функция четная от х — а. Оба предположения фивически непосредственно оче-
очевидны. Далее, из сохранения количества тепла (или материи) следует, что
f(a, х, t)da не зависит от времени, следовательно, должно равняться началь-
ному значению 1. Выберем i очень малым по сравнению с t и разложим функ-
функцию Да, %, t) в степенной ряд по степеням ? — х. Тогда имеем:
E1)
1) М. v. Smoluchowsh, Ann de Phys. 48, 1106, 1915.
*) П. С. Burger, Versl. K. Akad. van Wet. 25, 1137, 1917.

XIII, §2 Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 63Р
Разлагая /"(а, ж, <-f~T) по малой величине т, получим степенной ряд
df т2 дЧ
E2) Да, *, ? J^
В силу условия 2) для очень малых т мы можем считать f(l, ж, x) = f(x, ?, т)„
что при подстановке в E1) и E2) дает:
-f-oo -f-oo
% J (*-*)/Ч*. *. | /
В этом ряду, в "силу условия 2), исчезают все интегралы, содержащие нечетные-
степени разности \ — х. Далее, в силу предположения 1), стоящие под знаком
интеграла функции исчезающе малы для всех \, не смежных непосредственно с х.
Для этих значений f еще умножается на степень малой величины ? — х. Можно,
следовательно, для очень малых т пренебречь всеми интегралами ряда по срав-
сравнению с интегралом, содержащим (I — жJ. Также исчезнут все члены с х2, т3...
по сравнению с членом, содержащим •:. Свободные от 5 и •: члены в обеих частях
равны друг другу. Остается, следовательно:
E3)
Переставляя здесь обозначения ? и ж, мы можем написать:
E4) K-.D**
где введено для краткости обозначение
+со
E5) D = ± j (ж - ?J /-E, х, т) dx.
, —оо
Так как это дифференциальное уравнение выполняется для всех •:, и f (а, Л, t) вовсе
не содержит т, то D от *с не зависит. Следовательно, D есть постоянная.
Мы видим: условие того, что некоторая функция есть решение интеграль-
интегрального уравнения E0) нашей задачи, заключается в том, что она удовлетворяет
дифференциальному уравнению E4) с D = const. Но это как рае есть диффе-
дифференциальное уравнение теплопроводности или диффузии. Если мы, решая E0)
или E4),*нашли решение с источниками, удовлетворяющее некоторым гранич-
граничным условиям, то посредством изложенного в § 2, 1 метода наложения можем
найти решения и (ж, f), соответствующие произвольному начальному условию,
и (ж, t0) «= Ф (х\ Мы приходим, таким образом, к установлению нового, а именно*
линейного интегрального уравнения для функции « = «(#, t) и произвольного,
начального состояния:
+~
E6) U(x,t)= J »(S,
— CO
где f имеет прежнее значение.

640 Теплопроводность и диффузия
Мы исследуем это интегральное уравнение более подробно для того част-
частного случая, когда нет граничных условий на конечных расстояниях и, следова-
следовательно', функция f, согласно § 2, (9), имеет вид *):
1
E6а) , е («-
2/«Л («—*„)
В силу § 2, G), всякое решение интегрального уравнения E6") и(х, t) есть
также решение дифференциального уравнения E4). Легко убедиться, что
-функции
E7) Г
суть решения дифференциального уравнения E4). Здесь Ип обозначают поли-
полиномы Эрмита. Это легко докавать, если подставить E7) в E4) и принять во
внимание дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита.
Подставляя в уравнение E6) вместо и(х, t) функции E7), ему удовлетво-
удовлетворяющие, получим:
<58)
д. С * у
"^ 2/—ZW/
Вводя сюда новые переменные:
получим
<ео) я
Это есть линейное однородное интегральное уравнение для функции Ип (X), ядро
которого, однако, несимметрично. Умножением на е 2 мы можем его легко
превратить в уравнение с симметричный относительно X и Е ядром. Тогда из
F0) получаем:
-—в (X)
Мы видим, что функции е 2 п суть собственные функции интегрального
уравнения F1) с симметричным ядром
Mylkr-Lebedew, Math. Ann. 64, 388, 1907.

XIII, §3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 641
п
соответствующие собственным (характеристическим) числам I у-1 ,«=1,2, 3....
Ядро содержит сверх того параметры t и tQ.
Отсюда следует, что (с определенными ограничениямп) произвольную функ*
цию <в (X) можно разложить по этим функциям:
F3) o(X)^ 2jC»e * Я-(Х>-
Это разложение можно использовать для решения указанной выше задачи линей-
линейной теплопроводности. Именно, если начальное состояние вадано функцией Ф(х),
т. е. и (х, t0) = Ф (х), то для t = t0, согласно' преобразованию E9), можно поло-
положить Ф (х) = <? (X). Разлагая теперь <? (X) согласно F3) и ваменяя в этом разло-
разложении X по, E9) на х и t, получим некоторую функцию и(х, t), удовлетворяю-
удовлетворяющую интегральному уравнению E6) и при t = t0 — заданному начальному усло-
условию и, следовательно, представляющую решение нашей задачи.
Можно притти к некоторому другому интегральному уравнению для процес-
процессов теплопроводности или диффузии, если, согласно § 2,1, разбить дифференциаль-
дифференциальное уравнение A) на два уравнения для переменных х и t, причем получится
обыкновенное дифференциальное уравнение:
Из этого дифференциального уравнения можно получить однородное линейное
интегральное уравнение и из него решение линейной задачи теплопроводности
при заданных граничных условиях при помощи разложения по соответствующим
собственным функциям.
§ 3. Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах
1. Теипература (концентрация) на поверхности постоянна. Тело ограни-
ограничено плоскостью. В этом параграфе мы рассматриваем задачи, в которых, в про-
противоположность предшествовавшим, среда ограничена. В этих задачах задание на-
начальных условий недостаточно для однозначности решения и необходимы еще
данные о температуре тела на его внешней поверхности. Мы ограничимся
сначала условием постоянства температуры на ограничивающей поверхности.
Это условие — поддерживание поверхности при постоянной температуре — на
практике осуществляется соприкасанием поверхности с плавящимся или кипящим
телом или с потоком жидкости постоянной температуры. Во всех рассматривае-
рассматриваемых случаях тело однородно и изотропно и, следовательно, слраведливо диффе-
дифференциальное уравнение § 1, A3).
Рассмотрим сперва одпомерный случай. Первая задача, которую мы рассмо-
рассмотрим, следующая: с одной стороны тело ограничено плоскостью х — 0, а с другой
стороны простирается в бесконечность. Ищется решение дифференциального
уравнения:
A) Ж==а'?'
при условиях:
B) и — Ф (х) при t = 0 и и = 0 при ее = 0.
В этом случае, как и во многих других, решение можно получить посредством
следующего искусственного приема. Продолжим начальное условие за пределы
4J Зак. 1408. — франк в Мизос. Дифф. уравц. мат. физ.

G12 Теплопроводность и диффузия
граничной поверхности так, чтобы граничные условия1 были выполнены тожде-
тождественно. Мы уже пользовались этим приемом. В рассматриваемом случае дело
весьма просто — непосредственно видно, что продолжение
C) Ф( — .г) = — Ф(ж)
обладает требуемым свойством. Согласно § 2, G) и (8), разыскиваемое решение
дает функция
D)
или
lay~t J
о
OO CO
м = ~; Г Ф B;й /Г +ж) C~'2 dl — •-*«= Г Ф B;a /Г — а?) е~г= a;.
— ж а;
aa V't" 2a V'f
Если, например, начальная температура постоянпа и ранка С, то мы получим
отсюда, в обозначениях § 2, A1):
х
2а
Это решение тождественно с § 2, A2). Действительно, там мы получили резуль-
результат, . что при х = 0 температура сохраняет свое значение с течением вре-
времени. Итак, здесь справедливы все .выведенные там заключения о скорбрти рас-
распространения тепла, только она толкуется здесь как „охлаждение нагретого тела".
Мы видели в § 2, A4), что время, необходимое для проникновения некото-
некоторой определенной температуры на заданное расстояние х от поверхности внутрь
проводника, прямо пропорционально квадрату величины —. Этот факт можно
использовать для измерения теплопроводности по Ипгепхоузу. Представим себе
несколько стержней из различных исследуемых материалов и "покроем их поверх-
поверхности легкоплавким веществом с определенной точкой плавления. Концы стержней
поддерживаются при постоянной температуре, например, посредством погружения
в водяную бапю, или так, что они прикреплены к трубе, через которую протекает
водяной пар. Тогда измеренные в один и тот же момент времени для различных
стержней расстояния мест плавления от концов стержней прямо пропорциональны
их теплопроводностям.
2. Диффузнопный опыт Бриллуэпа и „первые прохождения" при
броуновском движении. Само собой разумеется, что выражение E) одновре-
одновременно является решением аналогичной диффузионной задачи, гласящей: бесконеч-
бесконечная среда со стороны отрицательных х ограничена при х = 0 стенкой, па которой
концентрация постоянно равна нулю. При t = 0 везде господствует постоянная
концентрация. Этому условию можпо легко удовлетворить, если сделать стенку
„липкой", так что всякая частица растворенного вещества, подошедшая к ней,
прилипает.
Формула E) дает для концентрации, как функции времени и положения,
соотЕошение
F) с = <
2Vjh

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 643
и отсюда мы заключаем, что количество вещества Q, прилипшее ко времени
t = Т к единице площади стенки, равно '):
о
Путем измерения количеств» прилипшего вещества можно таким образом опреде-
определить коэффициент диффузии. Этот метод применялся Бриллуэном 2) к эмульсиям
гуммигута и мастики, причем стеклянная стенка была слабо подкислена,
благодаря чему она получала свойство удерживать ударяющие в нее частицы.
Число прилипших частиц подсчитывалосъ под микроскопом.
Можно было бы предположить, как это ошибочно сделал Бриллуон, что при-
приставшее количество вещества равно тому количеству, которое при отсутствии
стенки диффундировало' бы наружу, следовательно, равно, согласно формуле § 2,
f~DT
A3), С 1/ — . В действительности, мы получили удвоенное значение; это будет
понятно, если вспомнить, что при отсутствии стенки частицы могут проходить
в противоположном направлении, чего в нашем случае нет.
; Выберем теперь начальное распределение таким, что при < = 0 все
вещество сосредоточено в некоторой узкой области около х = а, причем
Ф (ж) Да; = 1, а вне ее'везде Ф(ж) = 0, тогда, согласно, D) получим:
(ж—»)'
ве
Отсюда мы заключаем, что количество вещества, которое» в интервале времени
между t и t-\-dt попадет на степку, равно 3)
(9) Ж @ dt = D (%-) at = —?==. е~Ъ* dL
Согласно нашим общим соображениям, мы можем понимать это выражение как
вероятность того, что „броуновская частица" за некоторый промежуток времени,
лежащий между t и t-j-dt, получит смещение а в определенную сторону, при
условии, что после превышения а оиа выбывает из статистики, или иными сло-
словами, что t есть время, в течение которого смещение а достигается в первый раз.
Составим среднее значение величины:
ив (9) мы получим:
Следовательно, измеряя некоторое достаточно большое число подобных одно-
односторонних времен первого прохождения для броуновского движения, мы можем
определить величину D 4).
!) Ж v. Smoluchowski, Wiener Вег. 124 Bа), 263, 1915.
2) Ср. J. Perrin, Die Atome, S. 120, Leipzig, 1914; есть русский перевод (ив „Соврем,
пробя. естествознания").
3) М. v. Smoluchovski. Phys. ZS. 16, 318,1915; Е. Schrodinger, там же, 10, 289, 1915.
*) R. Furth, Ann. d. Phys. 58, 1T7, 1917.
41*

644 ' Теплопроводность и диффузия
3. Тело, ограниченное двумя плоскостями. Мы сделаем теперь еще
один шаг дальше, а именно возьмем тело, ограниченное двумя плоскостями, на
которых поддерживается постоянная температура. Начальная температура про-
произвольна. Начальные и граничные условия, имеют следующий вид:
A1) и = Ф(х) для * = 0, и = О для х = О, « = y для ж = а(<>0).
Мы можем расчленить задачу на две части; именно, положим и = ul -j- u.2, где
«*! и м2 определяются следующими условиями:
ut = Ф (х), «2 = 0 для < = 0иО<ж<«,
A2)
Wj == 0, и.2 = "( „ t > 0 и х = а.
Для определения щ мы применим метод, подобный примененному в § 2, 1,
пытаясь из частных решений составить общее. В качестве такого частного реше-
решения A) мы имели там функцию e~enft sin \x. Определим прежде всего постоян-
постоянную \ так, чтобы были выполнены граничные условия. Для этого, очевидно, надо
положить Ха = пк, где п — произвольное целое число. Мы можем теперь, в силу
линейности и однородности A), построить общее решение, умножив частные
решения на произвольные постоянные и сложив их:
A3) м1== > Апе «¦' sin—ж
а
Спрашивается, можно ли здесь коэффициенты определить так, чтобы было выпол-
выполнено начальное условие:
п— 1
Но это не что иное как разложение функции Ф(х) в ряд Фурье по аргументам
¦кх . ,
•—-, коэффициенты которого определяются как
о
Подставляя это выражение в A3), получим- окончательно:
A4) %^TJLie sm—- J *(e)sm—S«.
П I
Подставляя сюда, например, Ф (?) = 1, получим:
/лк\ и ___?_ у е~~ 1~—а—~\ * . B»-J— 1)телг 1
71 «=о Sm * * 2» + 1"
Функция (^15) для различных значений < представлена графически на рис. 61.
•у
Перейдем теперь к определению м2. Функция ад2' = — х очевидно удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям A2). Чтобы удо-
удовлетворить теперь начальному условию, прибавим к «./ решение м2", исчезающее

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах .,
646
на обеих границах и в момент нуль как раз равное —х. Это решение мы
получим, если в A4) положим Ф(Е) = — Е. Тогда получим:
а
sir?
/
Е, sin —*-d\.
Интеграл, легко вычисляемый интегрированием по частям, равен (— j)"+1 }
так что % равно*
A6) Me = 1f{_+^- >;(_1)»_е - « ' sin
{а тс ^" - п
Искомое и окончательно равно:
оо
~Z г" /1
ОС 4вл
При I = оо сумма исчезает и, следовательно, че-
через достаточно большой промежуток времени
устанавливается стационарное распределение:
A8) —Т?.
Это распределение, в котором и есть функция
только места, но не времени, можно, ко-
конечно, получить непосредственно из диффе-
дифференциального уравнения. Именно, если и не
ди
зависит от времени, то -^- = 0, и мы должны
искать решение дифференциального уравне-
уравнения , 2 = 0 при поставленных выше гранич-
граничных условиях.. Решение есть линейная функ-
функция от х, определяемая граничными условиями
в согласии с A8). ,-
4. „Двухсторонние первые прохождения" при броуновской движении.
Рассмотрим и здесь аналогичную диффузионную задачу, которую формулируем
так: рассматривается жидкость, заключенная между двумя „липкими" стенками
у плоскостей х = 0 и х = 2а. В момент t = 0 все вещество сосредоточено
в очень узкой области около а, так что / Ф (Е) di = 1, а вне ее везде Ф (Е) = 0.
Тогда из A4) !), в силу ч = 0, следует:
Рис. 61.
A9)
оо
1 v г
П=1
. «71
sm —,
В. Fun*, Ann. d. Phys. ба 177, 1917.

646 • Теплопроводность и диффузия
Отсюда для количества вещества, прилипшего между t и t -\- dt к обеим стенкам
вместе, получим:
в~5*" -J »яп-2"
Эта формула дает прежде всего очевидный результат, что для бесконечно боль-
больших времен все вещество прилюгает к стенкам, так как
О га = 1
Толкуя формулу опять в смысле вероятностей, видим, что она определяет вероят-
вероятность того, что частица вещества за время от t до t-\-dt сместится в первый
раз направо или налево на отрезок а. Составим среднее значение за очень боль-
большое время
оо
l=fm(t)dt\
о
подставляя B0):
- 16а2
Эта формула обнаруживает далеко идущую аналогию с формулами B1), B9) § 2
и формулой A0) § 3.
Делая достаточно большое число измерений таких времен двухсторонних
первых прохождений с тем же самым отрезком а, можно, пользуясь B1), опреде-
определить весьма просто коэффициент диффузии частиц. г)
5. Слоистые тела. Задача теплопроводности A1) допускает еще неболь-
небольшое обобщение 2) на случай, когда рассматривается не просто провод-
проводник, ограниченный двумя плоскостями, но имеется некоторое „слоистое" тело,
бесконечно простирающееся в направлениях у и г, а в направлении х состоя-
состоящее из слоев толщины 8Р о2,... , 8Я с теплопроводностями hlt к2,..., &я. Обо-
Обозначим толщину всей пластинки через 8 = 8Х -|-Sa -j— ... -f- 8Я, температуру в v-om
слое через «,. Ограничимся рассмотрением стационарного случая. Поместим гранич-
граничные плоскости в плоскости х — 0, х1г х2,... , хп и допустим, что во все времена
при х = 0 господствует температура и = 0, а при х = хп = Ь — температура
u = f. В плоскостях xt, x2, ...,хп_1 должны иметь место следующие гранич-
ные условия: при x=*x4, «, = «v + 1 и fcv -^- = ^ + 1 —?-.
Согласно A8), мчесть линейная функция х, которую можно написать в виде:
B2) «=e
)
перевод
1) R. Fiirth, Ann. d. Phys. 68, 177, 1917.
2) И. Grober, Die Grundgesetze der Warmeleitung, 100. Berlin, 1921. Есть русекнР
од,

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах ' 647
Теперь из граничных условий надо определить 2» величин с^, ^. Подставляя
B2), паходим:
т. е. как раз 2и линейных уравнений для определения постоянных. После простой
выкладки находим:
у —1 *
К
B3) . «, = ~5 ¦» к = Ч~ 1
Полагая для сокращения письма
B4)
г *'
8,.
1
получим для м, из B2) и B3) окончательно:
B5) «v
Согласно § 1,D), для теплСвого потока через v-ый слой получим:
д и чк
следовательно он одипаков для всех слоев, что, очевидно, необходимо должно иметь
место в стационарном случае. Так как ^/3 есть температурный градиент, который
имел бы место для сплошной пластинки, состоящей нз одного куска, на поверхности
которой вынолнены поставленные выше граничные условия, то коэффициент к играет
роль теплопроводности этой фиктивной пластипки. Можно, следовательно, сказать,
что пластинка, состоящая из ряда слоев, в отношении теплопроводности перпен-
перпендикулярно к слоям ведет себя так же, как некоторая сплошная пластинка с те-
теплопроводностью B4). Допустим теперь, что через ту же самую пластинку течет
тепловой поток параллельно плоскостям слоев! Тогда сразу видно, "что в ста-
стационарном случае тепловой ноток в отдельном слое пропорционален выраже-
выражению fcv8N, и поэтому полный тепловой поток пропорциопален сумме этих выражений,
так что кажущаяся теплопроводность равна:
6. Теплопроводность в цилиндре. Мы рассмотрели до сих нор в этом
параграфе задачи, зависящие только от одной координаты. Перейдем теперь
к рассмотрению теплопроводности или диффузии, сначала в цилиндрическом,
а затем в шарообразном теле. (
Полагаем, что рассматривается цилиндр бесконечной длины, и что тем-
температура— функция только от расстояния г от оси цилиндра; тогда, как в § 2,
2, можно вязать частное решение вида:
B7) u = Ae-ai'4.J0(kr),

648 Теплопроводность it диффузия
где А и X — произвольные постоянные и Jo обозначает функцию Бесселя по-
порядка нуль. Теперь надо удовлетворить граничному условию, требующему,
чтобы поверхность цилиндра удерживалась при постоянной температуре, рав-
равной, например, нулю, так. что и = О при г = Е. Следовательно, X должны быть
такими, чтобы удовлетворялось трансцендентное уравнение JO(\R) = O. Из теории
функций Бесселя известно, что уравнение J0(x) = 0 имеет бесчисленное мно-
множество вещественных и положительных корней, которые могут быть ваяты иа
соответствующей таблицы. Обозначим их через ?v, тогда граничное условие
выполнено, если X = Хч = -—-. Подставляя это в B7), умножая частное реше-
решение на произвольную постоянную Л., и суммируя по v от 1 до оо, получим
общее решение:
B8) . «
Но так как при ? = 0 вадано начальное условие «=г=Ф(г), то
Всякая функция Ф (с известными ограничениями) разложима в подобный ряд.
Положим здесь х = , тогда
Ф (АО =
где ?ч — корень Jo = O; Ач выражается так:
1
А = j^|y jf * (Rj0 Jo E,, х) xdx.
Возвращаясь к переменной г и принимая во внимание, что Jo' = — Jj, имеем:
в
B9) ^ = ДЦ-»(Б)
о
^i(?0 3Десь обозначает соответствующее v-ому корню </0 значение Jx, которое
можно взять из таблицы или из чертежа. В силу B8), B9), получим оконча-
окончательно искомое решение:
оо В
(зо> «=^ ^
v=i 0
Если, например, Ф (г) = С, т. е. везде постоянно, то интегрирование в C0) можно
выполнить,так как xJ0(x) — --t— [x Jj, (ж)]; тогда
C1) и = 4>

XIII, § 3 Теплопроводность « диффузия в ограниченных телах 649
7. Теплопроводность в шаре. Рассмотрим теперь общую задачу
для шара.
Введем полярные координаты г, ft, <p, тогда дифференциальное уравне-
уравнение A3) § 1 переходит в
. / . . ди\ ч
C2) ^ ° gM. 1 \ т')+ J
+ 1
dt г \ дг2 г sin» дЬ г sin2» 'д-f'
Ищем частное решение в виде:
C3) и = 1-В-Х,
где Т—функция одного только t, В — функция одного г, X — функция
только 9 и <р. Подставляя это в C2), получаем: •
dT а2 d*(rR) , a* 1 " Г д\) ) . 1 Э»Х
__
Т dt ~~ гК dr* ¦ r^X \ sin» 9»
Предположим, что X — шаровая функция и-го порядка и, следовательно, удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
C5) 1 jI!
v ' sm& дЬ ч ?
Из C4) и C5) получаем
1 dT _ о? d*(rR) аЧ(п-\-1)
{ } Т dt rR dr* r*
В этом дифференциальном уравнении слева стоит функция только t, справа —
функция только г. Следовательно, обе стороны должны быть равны одной и
той же постоянной, которую обозначим через — Х2а2. Отсюда следует:
C7) ^
Уравнение C7) имеет известное решение:
C9) Т=е
откуда следует, что должно быть л2 > 0, Положив в C8) Хг = х, получим диф-
дифференциальное уравнение:
Положив здесь, наконец,
D0) Д=-^Я(ж
Ух
получим для S дифференциальное уравнение:
+
da;2 х

Теплопроводность и диффузия
Ото уравнение есть один из видов дифференциального уравнепия для бесселе-
бесселевых функций с полуцелым индексом v = » -|— . Так как Л конечно для х = 0.
Л
то должно быть 3@) = О.
Решение D1) имеет, следовательно, вид 5 (ж) —J i (х). Функция J t (.г)
выражается в замкнутой форме через тригонометрические и рациопальные
функции от х. Вставляя полученное выражение (которое, впрочем, нас далее не
будет интересовать) в D0), получим функцию Лп(х).
Для J 1 (ж), как и для функции Бесселя с целым индексом, можно пока-
лать, что уравнение Ип (х) = 0 имеем бесконечное множество вещественных корней
и не имеет ни мнимых ни комплексных корней. Назовем и-х ljm\ тогда функ-
функция i?n (Xn('n)r)— решение дифференциального уравнения C8), исчезающее
при г = 1 и конечное при г = 0. Она удовлетворяет, следовательно, нашим
граничным условиям и о них нам далее заботиться не надо.
Теперь можно указать общее решение нашей задачи, подставляя в наш
ч частный иптеграл C3) выражение C9) вместо Т, функцию R(knr) вместо Л и
шаровую функцию порядка п с ^и-j-l произвольными постоянными вместо X.
Принимая во внимание» все положительные корни, принадлежащие данному п,
и суммируя по всем пит, получим для и общее выражение:
D2) и =
п т
Чтобы теперь удовлетворить начальному условию, надо выбрать шаровые функ-
функции Х(и) так, что при t = О:
D3) Ф (г, 8, <f) =
п т
Но для любого г можно разложить функцию Ф в ряд Лапласа по шаровым
функциям Y(n):
D4) Ф (г, 0, <р) = V Y (п)(&, <р).
п
Постоянные в Г(к) будут тогда еще функциями от г. Сравнивая D3) и D4),
получим:
D5)
Это разложение функций Yn но функциям Л„ аналогично подобному же разло-
жепию по обыкновенным функциям Бесселя. Коэффициенты легко определяются,
если воспользоваться свойствами ортогональности.
Так как Лп и Хп(ш) уже известны, то из D5) можно определить Х(и) как
функции г, &, о, после чего и определено однозначно, и наша задача решена
полностью.
8. Распространение холода. Рассмотрим теперь задачу теплопроводности,
примыкающую в известном отношении к задачам предыдущего параграфа, но отлича-
отличающуюся от них своеобразным граничным условием, что интересно в методическом
отношении. Дело идет о важной физической задаче о проникновении холода
(например, в сырую землю- или в стоячую массу воды) или распространении
застывания в расплавленную металлическую массу при охлаждении. Мы будем
рассматривать жидкую массу, ограниченную с одной стороны плоскостью и не-

XIII, §3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 651
ограниченно простирающуюся в другие стороны. Пусть в момент t = 0 она обла-
обладает везде постоянной температурой Gv Граничная поверхность длительно под-
поддерживается при некоторой постоянной температуре Сп ниже точки замерзания
жидкости. В таком случае прилегающий слой быстро замерзает, и граница за-
затвердевания будет со временем все дальше и дальше проникать внутрь жид-
жидкости. Мы спрашиваем о скорости этого продвижения и о распределении
температуры как функции места и времени.
Пусть граничная плоскость есть плоскость х = О, координату границы
мерзлоты в данный момент назовем через i и пусть а, и а2, 7^ и к2 — темпера-
температуропроводности и теплоироводности твердого и жидкого состояпий. Теплоту
плавления, т. е. количество тепла, необходимое для того, чтобы расплавить еди-
единицу массы твердого вещества, назовем А.. Тогда на границе мерзлоты имеем
следующий тепловой баланс: к твердому веществу в направлении убыва-
убывающих х за время dt через квадратный сантиметр утекает количество тепла
&! (-д-1-) dt. Со стороны жидкости приходит количество тепла &2 |-я—I dt.
Разность этих двух выражепий должна как раз равняться количеству тепла, иду-
идущему на процесс плавления за время dt.
Но за время dt граница холода передвинется на отрезок d\, следовательно,
объем расплавленного вещества равен dc, масса pdz; а связанное количество
тепла >.pd;.
Итак, мы получаем граничное условие:
К этому надо прибавить еще условия <•
D7) ui = 0, и2 = О для х = I; п1 = Сг для х — 0;
«2 = С2 для х = оо,
так как температура плавления у нас положена равной нулю и так как во вся-
всяком случае граница охлаждения дойдет лишь за бесконечно длинное время
до х= оо.
Дифференциальные уравнения имеют вид:
D3)
„ Э2мо
Покажем, что наши начальные и граничные условия удовлетворяются, если
положить:
D9)
м, =.
иа =
где А1Л А2, Bv В2 — постоянные и ^ есть функция, определенная в § 2, 3.
Что так определенные и удовлетворяют уравнениям DS), следует уже из того,
что формула A1), § 2, есть частный интеграл уравнения теплопроводности.
Условия D7) при х=0 и ж—оо дают:

652 Теплопроводность и диффузия
Итак, выполняется и начальное условие, требующее, чтобы при t = О, «2 = С2
Оставшиеся граничные условия D7) дают:
Чтобы это имело место для всех времен, аргумент 41 в обоих уравнениях должен
быть постоянным, следовательно, 6 пропорционально У"* • Положим:
E0) 1 = аУТ.
Теперь можно определить постоянные А и В:
ш. ¦
E1)
¦ (?)' "'*-*Ш'
В,
1 А /_Л_ |
\ 2а2 /
Наконец, надо еще посмотреть, можно ли постоянную а, остающуюся пока сво-
свободной, определить так, чтобы граничное условие D6) выполнялось тождественно.
Подставляя D9) и E0) в D6), имеем:
Л, Б, —Jt;. Jc2B2 -—¦ лр
/ / Л
Здесь У^ сокращается и, подставляя E1), мы получим:
Из этого трансцендентного уравнения надо определить а. Легко видеть, что
при Сх < 0 и G2 > 0 по крайней море одно такое а существует. Действительно,
при а = 0 левая сторона уравнения равна —оо, а при <х = оо она равна -t-oo,
тогда как правая сторона пробегает значения от 0 до — оо. Должно быть поэтому,
по крайней мере, одно положительное значение а, дающее обеим сторонам равные
значения. Ива находим затем постоянные А ж В согласно E1) и, подставляя в D9),м.
Таким образом, задача решена. К сожалению этот метод невозможно распростра-
распространить на произвольное начальное состояние, так как, в силу неоднородности гра-
граничного условия D6), невозможно составить общий интеграл из сложения частных.
На рис. 62 показано распределение температуры для случая лед—вода
для ряда моментов времени, причем приняты следующие данные (индекс 1 обо-
обозначает лед, 2 — вода); С, = — 4, kt = 0,005, ох = 0,63, pt = 0,92, G2 = -f 4,
?2 = 0,001, с2 = 1,00, р3 = 1,00, Х = 80. v
Решая E2) графически, находим a = 0,0219, и отсюда для постоян-
постоянных А, В:
А1 = — 4, Az = — 2,36, ^ = 30,2, Л2 = 6,36.
9. Теипература (концентрация) граничной поверхности есть заданная
функция времени. Выше, в 1 мы требовали, чтобы поверхность сохраняла
постоянную температуру. Рассмотрим теперь несколько более сложную задачу,
требуя, чтобы температура, граничной поверхности была заданной функцией вре-

Ш1, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 653
1ени. Мы ограничимся при этой одномерным случаем и прямей, что тело одно-
чодно, изотродно и ограничено с одной стороны плоскостью х = О.
Начальная температура есть заданная функция Ф(х) и при х = О на всей
тлоскости u = o(t). Мы должны, следовательно, решить дифференциальное ура-
уравнение A) *
dt
'а ~~5
д
ген добавочных условиях:
и = ф (х) для t = О, х > 0;
и = cp_(f) для х = 0.
лак и в § 3, 1, разложим задачу на две части, положив' и = иг 4- и",
где и' и и" удовлетворяют следующим условиям:
E4)
%' = 0; и" — Ф (х) при t = 0, х > 0;
ю' = <р (i); м" = 0 при а; = 0.
Функция м" найдена выше и дана формулой D). Мы должны, следовательно,
найти только и'.
Будем рассматривать нашу задачу как предельный случай некоторой дру-
другой задачи, в которой температура на поверхности меняется скачком только
в моменты времени 0, t1} t2, ta, .. Jv, ... В интервале iv = fv+1 — t^ темпера-
температур/ имеет постоянное значение ю (<). Мы можем теперь представить и' в виде
«' = 2«v> гДе П°Д wv понимается решение дифференциального уравнения A),
E5)
удовлетворяющее при # = 0 граничным условиям:
I mv = О для < < <v и для t > 1
| mv = ? (fv) для f v < < < f,+1.
Введем теперь следующую функцию х(ж> 0:
V \pG) t) ^^ U ДЛЯ ь ^^^ i
E6)
(«,„=-;. j-.-
da для < > О.
ZaVT

654 Теплопроводность и диффузия
Это есть непрерывная функция от х и при хфО также непрерывная функция
от t, но в точке х = О она разрывна относительно t и при переходе от отри-
отрицательных значений t к положительным внезапно изменяется от О до 1.
Эта функция удовлетворяет кроме того, как мы видели еще в § 2, 1,
дифференциальному уравнению A).
Составив
E7) и ¦ = <? (О [Х (х, t — tj — г <х. t - *v+1)],
получим функцию, удовлетворяющую нашим условиям (п5). Действительно,
при х = О и t < tf, оба ¦/ равны нулю, при t > t^,1 оба равны единице, а
при ty < t < t.t первое равно единице, а второе нулю. Поэтому
E8) •' = 2 ? (О tX (*• * - К) - X (*. ' - *,+1)] •
Будем теперь постепенно уменьшать интервалы тч и увеличивать их число.
В пределе мы придем таким образом к некоторой непрерывной функции © (/)
на поверхности. Имеем:
т., о
где положено ^+1 = &. Если мы умножим и разделим каждый член суммы E8)
на т , то при предельном переходе ktv = 0 вместо оуммы получим интеграл:
годный при t < tn, где tn есть последний момент такой, что еще © (t) ф О. Но
так как у (х, (— Ь) исчезает при t < Ь, то молшо в E9) отбросить интегри-
интегрирование от t до tn; тогда мы получим:
t
Но, согласно EG):
&/(х. t — b) х
dt
и следовательно, окончательно:
F0)
и/ = ^—- I © |
2а у тс J
Теперь лгы ложен легко проверить, что это решение действительно удо-
удовлетворяет всему, что от него требуется. В § 2, 5 мы показали, что
х е ia?t t ~ есть частный интеграл дифференциального уравнения A). Ничего
не измепится, если вместо t подставить i — ft, что, очевидно, меняет лишь
начало отсчета времени. Правда, переменная t стоит еще в верхнем пре-

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 6д;>
деле интеграла, но легко видеть, что это несущественно, так как член, возни-
возникающий ыри дифференцировании по верхнему пределу, исчезает при t = &.
Чтобы показать, что добавочные условия также выполнены, введем новую
/V"
переменную а = ¦ —_ , тогда (GO) перейдет в выражение:
2а У t ft
F1)
и' = 7_. 1 о it I e da,
2а VT
исчезающее при ( = 0 и переходящее в <p(f) при #=0. Полагая здесь с? = const,
мы вернемся опять к рассмотренному нами в § 3, 1 случаю и найдем преж-
прежнее решение. Укажем здесь еще другой способ решения рассматриваемой
задачи1), основанный на применении преобразования Лапласа, приводящего-
в соответствие всякой функции и (t) другую функцию f(s) как „функцию
от функции":
/•(.?)= I' e~stu(t)dt.
Мы можем распространить это преобразование на пату функцию и(х, t), по-
положив:
оо
f{x, «) = / e~8tu(x, t)dt,
i 0
где х входит как параметр.
Подставив вместо и в эту формулу -г— и интегрируя по частям, получим:
€*(. о] ^Х, S) It \Х) \JJ *
Умножая обе части дифференциального уравнения A) па ё~st и интегрируя по t
от t — О до t — co, получим, допустив, что порядок дифференцирования по х и
интегрирования по t можно переставить, и пользуясь граничными условиями E;)):
— —sf(x, s) — Ф(х).
Это — обыкновенное дифференциальное уравнение для фупкции f(x), содержащее s
как параметр. Оно упрощается в данном случае (если только мы вместо и будем
рассматривать функцию и', для которой Ф (х) = 0) и принимает вид
a dto обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами. Граничное условие u = o(t) при х = 0 превращается в
G. Doetsch tmd F. Bernstein, Math ZS. 22, 285, 1925.

,656 Теплопроводность и диффузия
где для сокращения письма положено:
оо
f
о
Если, кроме того, на бесконечности и исчезает, то должно быть /"(оо) = 0.
Таким образом, задача сведена к простой граничной задаче для дифферен-
дифференциального уравнения 2-го порядка. В случае наших граничных условий решение
очевидно следующее:
Чтобы теперь от / вернуться к и, надо решить интегральное уравнение:
A(s)e а Х = J e~st u{x, t)dt,
о
чем мы здеоь запиматься не будем. Mj^s приходим здесь снова к найденному
выше решению F0).
10. Тепловые волны. Из многочисленных применений найденного общего
решения мы отметим простой частный случай, когда о (J) — периодическая функ-
функция времени. Положим:
o(t) = C cos nt.
Пусть начальная температура всюду равна нулю. Тогда формула F1) дает:
ор
F2) v, = —г=г I cos n [t I e dx.
гаУТ
Предположим сперва, что от начала опыта протекло много времени и, следова-
следовательно, в интеграле F2) за нижнюю границу можно взять нуль. В этом случае
интегрирование легко выполняется, если вместо cos я: подставить е1Х и взять ве-
вещественную часть результата. Это дает:
ОО \
20 / int —^— а!
«— —j= I e *а'а' dx.
о
Дополняя показатель до полного квадрата и вынося свободный от а множитель
из-под знака интеграла, получим:
F3) u=^e*1*" ° t e
u v*e a }
о
Написав для сокращения х2 = ——— х, разобьем интеграл F3) на два, а именно
от 0 до х и от у. до оо. В первом интеграле вместо х введем новую перемен-
переменную 5, положив
—т+/т+"р

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 657
тогда он перейдет в
Во втором интеграле виесто а введем новую переменную rj, положив
—f
тогда он перейдет в
о
Складывая оба выражения, получим:
0
Пользуясь тождеством Yi =—^-, получим в F3) для степени е перед
знаком интеграла
р \ а У2 / о V2
и так как нужна только-вещественная часть этого выражения, то
F4) и==Gе aV2 cos
8то выражение, как известно, представляет собощ бегущую' гармоническую тем-
температурную волну со скоростью распространения а \^2п, амплитуда которой
убывает с глубиной в геометрической прогрессии.
Это обстоятельство дает средство определять температуропроводность путем
измерения скорости распространения гармонического температурного изменения
от поверхности внутрь тела. Так, например, можно определить теплопро-
теплопроводность верхних слоев земли, которая подвергается действию периодически
меняющейся температуры на поверхности. Для этого одновременно регистрируют
температуру на поверхности земли и на некоторой глубине и величину а опре-
определяют по смещению фаз обоих периодов по формуле F4).
Явление распространения тепловой или диффузионной волны весьма сходно
с распространением упругой волны, но, однако, глубоко отличается от этого
последнего процесса. В то время как скорость распространения упругой волны
зависит лишь от упругих свойств среды, из, F4) видно, что скорость распро-
распространения тепловой или, соответственно, диффузионной волны является еще
функцией от частоты колебаний. Поэтому здесь нельэя, как в случае упругих
волн, перейти к любой периодической функции <р (<) путем замены этой функ-
функцией <р (t) косинуса в F4), но надо иметь в виду, что отдельные4 гармонические
волны, из которых состоит общая волна, ведут себя различным образом. Это
42 Зав- 1«S. —франк к Мжвес. Двфф. урави. хат. фжв, ' ..

658
Теплопроводность и диффузия
заставляет представлять в общей случае и как сумму некоторого числа выра-
выражений вида F4):
« =
где и, обозначает часть, соответствующую отдельному составляющему колеба-
колебанию, которую можно получить из F4), положив там « = «,, а Ач есть ампли-
амплитуда этого составляющего колебания.
На рис. 63 изображена температура и как функция х для ряда моментов
времени. Здесь видно распространение колебаний со временем и их постепенное
убывание.
'Как уже упомянуто, полученный выше ревультат применим к задаче темпе-
температурных изменений в верхних слоях вемли, поверхность которой подвергается
приближенно периодическим изме-
изменениям температуры, причем здесь
налагаются две простых периодич-
периодичности— суточная и годовая.
Температурные колебания де-
делаются незаметными, начинал с не-
некоторой глубины, когда показатель
i
— х достигает некоторого опре-
Рис. 63.
деленного аначения е. Отсюда
видно, что на большой глубине
это будет иметь место для ма-*
лых частот колебаний п; следова-
следовательно, на достаточной глубине
останутся лишь очень медленные
колебания, быстрые же квменения
будут незаметны. Этим объясняется
известное явление, заключающееся
в том, что на определенной глу-
глубине под земной поверхностью за-
заметны лишь годовые (но не суточ-
суточные) колебания температуры (тем-
(температура погребов), и что на еще
больших глубинах господствует по-
постоянная температура.
Можно теперь для случая F4)
вычислить тепловой поток через еди-
единицу площади внешней поверхности. Согласно формуле &я =— Л ( -э— ) получим:
F5)
— sinnf) = —— Ccos
Тепловой поток, следовательно, имеет тот же самый период, как и температура
внешней поверхности, но смещен относительно нее по фазе вперед на */8 пе-
периода колебаний т.

XIII, § 3 . Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 659
Полное количество тепла, проходящее в тело за полупериод, по F5), равно
и следовательно, как непосредственно ясно, прямо пропорционально теплоем-
теплоемкости тела, и тем больше, чем меньше число колебаний, т. е. исчезающе мало
в случае чрезвычайно быстрых колебаний. Решение F4) соответствует распре-
распределению температуры по истечении большого времени от начала опыта. Отсюда
кожно легко получить путем следующих соображений общее решение. Положим
в F4) t = О, тогда получим:
Vn
х
Ф(х)=.е aVT COS
что можно понимать как начальное состояние. Однако, как в E4), мы предположим,
что начальное состояние имеет вид Ф (х) = О, поэтому к и, так же как и выше
в 1, ^надо прибавить функцию «х, удовлетворяющую начальному условию: при
< = 0 Фг(а:) = — Ф(х) и равную все время нулю в точке' х = О.
Такую функцию мы уже нашли и, пользуясь формулой D), получим:
_
' о
_
' о
F7) выражается в замкнутом виде в вещественной форме, но и из этого выра-
выражения очевидно, чтО| оно с ростом времени затухает и становится исчезающе
малым для очень больших времен.
11. Внешняя поверхность — изолятор. Теперь рассмотрим задачу, играю-
играющую роль в ра&личных физических и технических проблемах: проводящее тело
с адиабатической, т. е. не пропускающей тепла внешней поверхностью. Этот
случай осуществляется практически, если тело окружить оболочкой из очень
плохого проводника. В аналогичной диффузионной вадаче дело обстоит так, что
среда, в которой происходит диффузия, окружена оболочкой, не пропускающей
(но и не удерживающей) диффундирующего вещества, т. е. „совершенно отра-
отражающей" его частицы. В математической формулировке это означает, что нор-
нормальная составляющая теплового или материального потока исчезает на внеш-
внешней поверхности:
F8) gradn« = -|l = O.
Способ решения будет такой же, как в 1, но с тем отличием, что усло-
ди
вне и = О заменяется условием -к— = в. Можно, например, здесь, как и; выше,
попытаться продолжить начальное состояние наружу так, чтобы граничное усло-
условие F8) выполнялось тождественно для всех времен.
Рассмотрим, например, опять линейную задачу, в которой тело ограничено
плоскостью х — О, и положим:
/ Ф(а;) = Ф( — х);
тогда благодаря веркальной симметрии Ф при # = •, должно выполняться усло-
условие F8).
42* '

660 Теплопроводность и диффузия
Мы найдем, следовательно, наше решение из D), если заменим там во
втором члене знак— знаком +:
оо
F9) « = —tL- f
-\ \= [
V1С J
SaVT
Подставляя сюда опять, как в § 3, 1, Ф(х) = С, получим очевидный ре-
результат:
20 Г -(• _
Vk J
ибо если равномерно нагретое тело ваключить в адиабатическую оболочку, то
по законам термодинамики температура его меняться не будет. Аналогичный
результат имеет место для- диффузии.
Случай двух параллельных плоских стенок, ограничивающих однородный
проводник, можно рассмотреть также по образцу § 3,. 1, если общее решение
составить не частных решений вида:
cos х,
для которых градиент температуры исчезает' на границах Оно. Пользуясь
рядом Фурье с косинусами, получим для м формулу, аналогичную A7):
G0) —f ! У *~[~} «OS «ZL f
Полагая здесь Ф(Е) = С и пользуясь тем, что
/"cos — d$ = 0,
/ а
получим опять очевидное решение и = С, объясненное выше.
Рассмотрим теперь следующую диффузионную задачу: раствор заключен
в сосуде с двумя параллельными стенками, „полностью отражающими" раство-
растворенное вещество и находящимися на расстоянии 2а. В момент t = 0 половина
сосуда от х = 0 до х=?а имеет концентрацию С, другая половина — концентра-
концентрацию 0. Каково с как функция х и <?
Введем в G0) начальное условие:
G1) Ф($) = СдляО<5<-|-; Ф© = |
и заменим а на 2а; тогда -
2а 2а

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах
661
и следовательно:
G2)
Wit . И7С
cos -— x sm —=-
2a 2
П=1
Функция G2) представлена для различных моментов t графически на рис. 64,
из которого видна некоторая аналогия с рассмотренным в § 2, 1 случаем.
Основной опыт диффузии, описанный там, представляется данным здесь реше-
решением строже, так как мы всегда имеем дело с конечными сосудами.
Возьмем теперь вместо G1) следующее начальное условие, аналогичное
задаче, рассмотренной ранее:
при
G3)
Тогда из G0) мы получим для с формулу:
G4) с== 1 > — е ^2а' cos
2а
• sin
Wit
~2a~
cos
Wit
О
№=1
Для (=со мы получаем с = —,,так как ко-
/ а
личество вещества сохраняется и распреде-
распределяется по сосуду.
12. На внешней поверхности тела
имеет место „внешняя проводимость". Мы
перейдем теперь к рассмотрению задач теп-
теплопроводности, подчиняющихся следующему
условию: проводник погружен в1 среду темпе-
температуры нуль, и „внешняя проводимость" на
границе проводника такова, что теплообмен
со средой совершается исключительно путем
внешней теплопроводности. Тогда, согласно
§ 1, (8), условие на границе имеет вид:
05) ' k~=hu.
Ф
64.
В качестве первого примера попытаемся найти решение для случая тела,
которое изотропно и однородно наполняет положительное полупространство
х^>0. Пусть опять состояние зависит лишь от координаты х. При t=p
в области х > 0 температура задана функцией Ф (х). Постараемся удовлетво-
удовлетворить граничному условию при х — 0 путем соответствующим обравом выбран-
выбранного продолжения функции Ф в отрицательную область. В согласии с G) § 2,
пишем решение в виде:
со / (я—я)» (я-fa
G6) «^^W f ma> 4аЧ +Ф(-«)е Ш' Ida.
I
Вычисляя
ди
получим:
/[Ф(а)_Ф(_а)]е
la?t
ado.
~2aW

662 . Теплопроводность и диффузия
Первый интеграл преобразуем, интегрируя по частям:
оо
f
e ^ da.
Допуская, что Ф (ж) непрерывна в точке * — О, мы имеем: Е (О) = 0, и полу-
получим, подставляя в G5):
G7)
a)] J d« = O.
Чтобы этот интеграл исчезал для всех t, надо, чтобы выражение в фигур-
фигурных скобках равнялось нулю. Поэтому, положив Ф*(а) = Ф(— а), получим для
него следующее дифференциальное уравнение
+**()*() ф()
Его решение следующее:
G8) Ф*(а) = е *"{/«*( ф'(?) jf Ф (l) J * + COnst ['
где постоянная, в силу непрерывности в точке <х = О, равна Ф@). Интеграл
j
преобразуем, интегрируя по частям:
у
о
е * ^(E)««=e * Ф(Е) -J-y*®* * «й.
о •
Подставляя это в G8), получим для Ф( —«) уравнение:
ъ _А л А*
G9) Ф( — а) = Ф(а)— 2~-е * уФ(Е)е*
Подставляя 9то в G6), получим искомое решение задачи для любого начального
состояния.
Исследуем теперь частный случай Ф(а) = С, где С—постоянная. В этом
случав из G9) для Ф( — в) следует:

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах
663
следовательно, согласно G6):
е 4о'* da— / с
4a»t ft
Введем в этих трех интегралах для упрощения новые переменные:
в первом интеграле:
„ . /~" == *>
2ау
во втором:
В последнем интеграле дополним показатель до полного квадрата, так что
он примет вид:
/ . 2a«fc
-{ тйГ
. \* о*. h }
и положим здесь
¦=¦5.
2aVt
Все интегралы этими подстановками приводятся к интегралу Гаусса A1)
§ 2, и мы получим окончательно:
-cUf * Л
\ \2aVt )
(80)
На рис. 65 изображена функция (80) для не-
нескольких различных моментов времени. Она
имеет большое сходство с рис. 59, отличаясь
однако от последнего, в особенности вблнви
х = 0.
Полагая в (80) х — О,, мы получим по-
поверхностную температуру: • ,
(81) •(O-CfcTT
Для больших значений аргумента можно при-
приближенно положить
Рис. 66.
и, следовательно:
(82)
lim «@) =
акут '
Таким образом, для достаточно больших времен температура на поверх-
поверхности обратно пропорциональна корню ив времени и убывает все более и более
медленно. Спросим еще о величине градиента температуры на поверхности.
Ив граничного условия G5) мы получаем:

664 Теплопроводность и диффузия
следовательно, опять для больших t:
(83)
то есть, при больших t градиент на поверхности обратно пропорциона-
пропорционален "|/Т и, что весьма замечательно, зависит лишь от тенпературопроводностн,
но не от внешней или внутренней теплопроводнооти.
Томсон применил формулу (83) для определения возраста твердой венной
коры. Пока земля находилась в жидком состоянии, внешние слов, охлаждаясь
путем лучеиспускания, делались тяжелее и вследствие этого опускались в глу-
глубину, где опять нагревались. Этим путем температура всей вемли поддержива-
поддерживалась постоянной дс того момента, когда началось ватвердевание поверхности.
Образовавшийся твердый слой должен был очень быстро расти в глубину и.
скоро достигнуть такой толщины, что для небольшой области внешней поверх-
поверхности условия этого параграфа были выполнены. Так как с образования твер-
твердой земной коры протекло очень много времени, то мы можем воспользоваться фор-
формулой (83) для градиента температуры на поверхности. Этот последний известен*
приближенно из намерений приращения температуры с глубиной и составляет
примерно 1° С на 25 м. С другой стороны, теплопроводность вемных слоев при~
мерно иввестна. Начальная температура по вышесказанному равна температуре
плавления горных пород земной коры и оценивается в 4000° С. Это дает для
искомого времени величину порядка 100 миллионов лет, что хорошо согласуется
с различными геологическими оценками.
13. Диффузия сквозь диафрагму. Мы можем применить формулы (80) и
(83) к решению интересной диффузионной вадачи, которую формулируем сле-
следующим; образом. Представим себе, как в § 2, 1, два раствора с концентра-
концентрациями С и 0, налитые в две части бесконечно длинного цилиндра, но так, что
обе жидкости не соприкасаются, а в плоскости х — 0 отделены друг от друга
пористой перегородкой, оказывающей прохождению растворенного вещества не-
некоторое сопротивление.
В силу непрерывности потока диффувии в плоскости аг=О, согласно § 1»
A9) и B3), имеем уравнения:
(84) D^^
Из соображений симметрии ясно, что функции сг и с2 симметричны отно-
С
сительно вначения -—¦, т. е. существует соотношение
2*
что соответствует граничным условиям (84), если мы положим
(85) *l__?
Эти граничные условия формально тождественны с G5), если заменить »
п h ID*
на 2сх — С и -j- на —уг-; мы можем поэтому ввять искомое решение непосред-
непосредственно ив формулы (80):
(86) „_.?
_

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах* 665
Как и следовало ожидать, распространение концентрации существенно
зависит от величины D* проницаемости пористой перегородки. Считая стенку
полностью непроницаемой, т. е. Ъ* — 0, получим:
ег = С для х > О и с2 = О для ж < О,
что и следовало ожидать, так как обе жидкости совсем не проникают друг
в друга. Пусть, наоборот, перегородка полностью проницаема, тогда, согласно (84),
J5* = оо. Легко видеть, что в этом случае второй член в фигурных скобках,
исчезает, и (86) дает:
что полностью согласуется с формулой A2) § 2,,где рассмотрен случай, в ко-
котором стенка вообще отсутствует.
Количество вещества, протекающего в единицу времени черев стенку,
дается формулой Q = D 1-д—} , т. е.
- «
(87) Q = CD*e »
и на стенке господствует равность концентраций, определяемая по формуле (87)
Для больших t это выражение превращается в
(88)
14. Задача внешней теплопроводности в двух измерениях. Разберем
теперь задачу стр. 661 для двух измерений. Представим себе цилиндрическое
тело очень большой длины и примем, как в § 3, 1, что температура есть функ-
функция только расстояния г точки наблюдения от оси цилиндра. На этот рае, однако,
поверхность цилиндра сообщается при помощи внешней теплопроводности с окру-
окружающей средой температуры U, и, кроме того, внутри цилиндра непрерывно про-
ивводится в единице объема постоянное количество Л тепла в секунду. Зависи-
Зависимость р и о от температуры пусть будет настолько мала, что ею можно прене-
пренебречь. Ищем решение для стационарного состояния, которое, как фивически оче-
очевидно, установится само собою по истечении достаточно долгого времени. Диф-'
ференциальное уравнение для этого случая, согласно A4) § 1, имеет вид:
(89) Дм + А
или в силу вависимости и только от г:
Это есть линейное дифференциальное уравнение для —j— , решение кото-
которого имеет вид:

<>66 Теплопроводность и диффузия
Чтобы градиент температуры" на оси оставался конечным, С должно быть равно
нулю. Отсюда мы получаем:
где С надо выбрать так, чтобы выполнялось граничное условие:
(92) *L *(,_Ц)
•следовательно:
и окончательно:
(93)
Интересно применение этой формулы к вычислению распределения
тепла в проводе, накаливаемом теплом Джоуля, которое выделяется проходящим
черев провод электрическим током. Формула показывает, какую температуру
примет провод, если черев него проходит ток определенной силы, и какую
температуру он будет иметь на оси, если температура на внешней поверхности
иввестна. Температура на оси всегда, конечно, больше «, как учит формула (93),
на величину -гт- -R2.
В ваключение рассмотрим второй пример стационарное теплопроводности,
который дается следующим образом: бесконечно длинная цилиндрическая труба
с внутренним радиусом Вх и внешним В% поддерживается внутри при постоянной
температуре С и может ивлучать тепло в окружающую среду температуры нуль.
Ищем распределение тепла внутри трубы и ивлучаемое в одну секунду коли-
количество тепла.
Мы испольвуем данное выше уравнение (90), в котором положим .4 = 0,
и найдем общее решение при помощи логарифмического потенциала:
(94) ««=
Так как, в силу граничных условий, имеют место уравнения:
то постоянные X, и Х( определяются ив них, и для и получаем:
(In —
1-| j—Q,
Отсюда находим температуру внешней поверхности при г — В^'
1

XIII, § 3 Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 667
и количество тепла, излучаемое в одну секунду единицей площади внепгаей
поверхности
P
Г97)
(97) ^1пф.+1
Эта формула мож^г служить для определения теплового излучения цилин-
цилиндрического радиатора водяного или парового отопления, температура которого
протекающей жидкостью поддерживается постоянной, а наружу излучается тепло
в окружающую среду. С обозначает тогда разность температур нагревателя я
окружающей среды.
15. Теплопроводность стержня. Переидем теперь к общей задаче в трех
измерениях. Замечательное упрощение задачи мы получим, когда тело имеет
форму стержня, поперечные размеры которого малы по сравнению с его длиной.
Это — случай, часто встречающийся на практике..
Пуж этом, мы не обязаны рассматривать прямой стержень, он может иметь
произвольно искривленную форму, в частности может замыкаться, образуя
КОЛЬЦО *)•
Мы примем, чточсечение по всей длине стержня имеет одну и ту же вели-
величину и форму; пусть площадь сечения равна q, а периметр его—р. Черев
соответствующие точки, например, центр тяжести всех сечений, проводим ось
стержня и наносим на ней масштаб. Будем отсчитывать длину I в выбранном
масштабе вдоль этой линии от какой-нибудь произвольной начальной точки,
элемент этой длины назовем dl. Внешняя теплопроводность в среду с тем-
температурой нуль пусть имеет место на всей поверхности. Мы попытаемся учесть
эту внешнюю проводимость уже в дифференциальном уравнении теплопровод-
теплопроводности. С этой целью выделим не стержня некоторую часть двумя сечениями на
расстоянии dl друг от друга, тогда объем ее до величин высшего поряХка
малости равен q • dl. Боковая поверхность этого элементарного цилиндра равна
р • dl. Уравнение теплового баланса в этом элементарном объеме qdl (аналогично
§ 1, 2) имеет вид: ^
ро -^— qdl = kkuqdl — hupdl
или, если и рассматривать только в зависимости от длины вдоль оси:
Введем сюда вместо и новую переменную v с помощью подстановки •
(99) и = е ~ v;
тогда (98) переходит в дифференциальное уравнение для v:
формально тождественное с уравнением A). Посредством этого приема задачи
о тонком стержне с учетом внешней теплопроводности удается свести к извест-
известным задачам и нзучнть их методами, наложенными в § 2, 1; § 3,1, 3,4, 5.
ди
Особенно проста стационарная вадача. Положив в (96) —ъГ — Ъ сведем ее
к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения:
A01) а
Kirehhoff. Vorlesungen ilber die Theorie der Warme, стр. 25. Leipzig, 1894.

668 Теплопроводность и диффузия
тождественного с уравнением . упругого колебания и имеющего общее решение
si _вг
A02) ч = Ае + Ве ,
Ъ2 -
где для сокращения положено —^- — ft. Постоянные находятся ив граничных
условий. Пусть, например, при 1 = 0 и = 0 и при I = L и = V, тогда мы по-
получим :
(ЮЗ) ._,,.??? _«,*[».
На этой формуле основан простой метод определения теплопроводности.
На обоих концах стержня не исследуемого материала при помощи паровой
бани, текущей воды или льда поддерживаются постоянные температуры и по
прошествии некоторого времени измеряется — посредством термометра или тер-
термоэлемента— температура вдоль стержня. Пользуясь формулой A03), можно
в таком случае определить C и, если h известно ив другого опыта, также а и к.
Как упомянуто выше, можно предположить, что стержень вамкнут, тогда
мы имеем дело с задачей теплопроводности в очень тонком кольце произвольной
формы. Периметр кольца, измеренный вдоль его оси /, пуоть равен L. Мы
должны искать, очевидно периодическое относительно 2 решение дифференциаль-
дифференциального уравнения (98). Действительно, для того чтобы и было одновначной функ-
функцией положения на кольце, надо, чтобы с увеличением аргумента на L функция
и всегда принимала прежнее значение.
В § 2, 1, мы познакомились с частными решениями
vr= Ае sinH и v" = Be cosH
дифференциального уравнения A00); подставляя их в (99), получим1; для и:
A04) u' = Ae~v*sinU, и" = Be ~ ** cos X/,
где для сокращения положено
A05) 11 = б9 •+- а2*2-
Чтобы эти функции были периодичны по I с периодом Ъ, надо, чтобы А. имело
одно из вначений
(Ю6) ' ' *„=^,
где и — произвольное число.
Из A04) с произвольными А и В после суммирования по » мы получим
соответствующее общее решение:
A07) и = 2 в ~Ы* {Ап sin U + Вп cos lnl].
п
Это решение мы можем приспособить к любому начальному условию м = Ф(/)
обычным способом, выбирая Ап и Вп соответственно так, чтобы они были коэф-
коэффициентами Фурье разложения функции ФA) в ряды по синусам и косинусам.
Таким образом, мы имеем общее решение нашей вадачи. Для t = оо везде
и = 0, так как все тепло ушло наружу. Для очень больших t мы можем в A07)
пренебречь всеми членами по сравнению с нулевым и первым, так как показа-
показатель (*„< очень сильно возрастает с увеличением и. Это дает:
A08)

XIII, § 3 Теплопроводность те диффузия в ограниченных телах 669
Измеряя температуру и в двух точках кольца, отстоящих друг от друга на поло-
зинт neDHMeTDa. например, в точках * = О и 1 = —, получим ив A08):
• D)
e"
Лзмеряя зависимость этих выражений от времени, мы можем определить пока-
показатели обеих степеней и тем самым о и Ъ, а следовательно, ивмеритъ внешнюю
7. внутреннюю теплопроводности h n Тс.
16. Охлаждение призмы. Если стержень имеет прямоугольное сечение, то
ш можем рассматривать вадачу теплопроводности в общем виде х) без прене-
jpesceHHH, сделанных в предыдущем параграфе. Рассматриваемое тело — одно-
однородный и изотропный параллелепипед, ребра которого параллельны трем коор-
координатным осям х, у, z. Мы ищем, следовательно, решение дифференциального
уравнения A3) § 1:
<110> IF
яри условиях
i = Ф (ж, у, г) для it = О,
A11) < ди,- К
Г
на ограничивающей поверхности.
Решение ищем в виде:
A12) u = T-X-Y-Z,
где Т, X, Y, Z обозначают соответственно функции только от ?, ж, у, г. Тогда,
согласно § 2, 1:
A13) - Т=Ае-"™,
и для X, Y, Z имеем дифференциальное уравнение
которое должно выполняться для всех вначений х, у, я, что возможно только
тогда, когда все три члена в левой части уравнения порознь равны некоторым
постоянным, которые мы обозначим через —Хжа, —Ху2, —ХД соответственно.
Между X существует соотношение:
Функция X должна, следовательно, удовлетворять дифференциальному уравнению:
dx*
Kirchhoff, Vorlesungen fiber die Theorie der Warme, стр. 25 и след. Leipzig, 1894.

670
Теплопроводность и диффузия
решение которого мы пишем в виде:
A15) Z
Аналогично выражаются функции Y и Z.
Примем, что одна ив вершин параллелепипеда лежит в начале координат
и ребра имеют длины 1Х, 1у, 1е. >
Тогда, согласно A11), имеют место следующие граничные условия:
при ж = 0 -=— = — .
dx к
. dX h
при х = I -у— = —.
da? Л
Благодаря этому A15) получает следующий вид:
A16)
Рис
где Az произвольно, & Хв есть корень
трансцендентного уравнения:
A17)
Аналогичные выражения имеем для
Г и Z.
Трансцендентное уравнение A17)
имеет бесчисленное множество веще-
вещественных корней, в чем легко убе-
убедиться путем следующего -геометри-
-геометрического рассуждения, позволяющего
также вычислить эти корни.
Положим:
.) и !*/=-
и вычертим обе функции \>.х и р'я от Хх в одной и той же координатной системе
(рис. 66); v{f (X) есть гипербола с центром в начале координат й асимптотами ч
к=°
и |*_ =.
а (*(Х) есть известная кривая для tg. Очевидно, обе кривые имеют бесчисленное
множество точек пересечения, причем с отрицательной стороны они те же по
абсолютной величине, что и с положительной стороны. Значения Х^, соответству-
соответствующие этим точкам пересечения, суть корни трансцендентного уравнения A17);
не них следует принять во внимание лишь положительные, ибо, как видно
не A16), Х(—Х) = Х(Х). Представим себе корни расположенными в ряд по
величине и обозначим их черев Х,A), Xcw,..., Х,м, ... Аналогично получаем Х^
и X «.
Теперь мы получим общий интеграл и уравнения A10) обычным путем,
подставив в выражения A13), A16) все вовможнне значения X, снабдив их
произвольными коэффициентами к трехкратно просуммировав A12):

XIV, § 1 Основные понятия, и дифференциальные уравнения' 671
и=S S 2 А-
A18) X [ooe^ + ^rin^».)] [ooeCX^ + ^rinCX^y)! X
Теперь надо еще выполнить'начальное условие, что -всегда ножно сделать, если
функция Ф (х, у, г) разлагается в ряд вида:
Коэффициенты А в тех случаях, когда это разложение возможно, вычисляются
с помощью свойств ортогональности методой, сходным с методом Фурье.
Это решение и решение подобных задач об охлаждении нагретых тел путем
излучения имеет для техники большое значение. Так, например, можно по изло-
изложенному методу вычислить скорость охлаждения в какой-либо точке параллеле-
пипедообразной отливки. Для тел других форм при аналитической исследование
мы наталкиваемся, вообще говоря, на большие трудности, за исключение»
случая шара, который допускает рассмотрение, подобное § 3, 1. Подобный же
метод применим также к эллипсоиду.
ГЛХВА XIV
ВЫНУЖДЕННАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ
§ 1. Основные понятия н дифференциальные уравнения
1. Дифференциальное уравнение теплопроводности с конвекцией. В пре-
предыдущей главе мы ограничивались рассмотрением теплопроводности в твердом
теле. Здесь мы отбросим предположение о твердости тела, допуская, как это
имеет место в случае жидкостей и газов, движение отдельных частей тела друг
относительно друга. Благодаря этому обстоятельству к тепловому потоку вслед-
вследствие теплопроводности добавится еще другой поток тепла, происходящий от
того, что движущаяся материя переносит с собой, в силу своей теплоемкости,
конечные количества тепла. Последний процесс называют обычно конвекцией.
Конвекция может иметь либо внешние причины, в том случае, когда внеш-
внешние силы вызывают течение жидкости, или же, вследствие равности температур
и происходящего поэтому изменения плотности от точки к точке, могут появиться
силы, которые со своей стороны вызовут движение жидкости и тем самым
передачу тепла конвекцией.
Составим дифференциальное уравнение, соответствующее процессу тепло-
теплопроводности с конвекцией.
Пусть т будет вектор скорости потока; в общем случае т функция места
и времени.
Тогда плотность потока материи равна рт, а переносимое им количество
тепла равно роит-
Для полного теплового потока мы должны пользоваться, вместо D) гл. ХШ,
§ 1, 2, выражением
A) О = — к grad и -f- ромт.

€?2 Теплопроводность и диффузия
Здесь плотность р надо также считать функцией места и вренени. Ъ.
подучаем:
B) о —^р.= — div?t = div(ugradu)— odiv(p« • v).
Внутреннюю теплопроводность мы снова считаем постоянной.
По иввестной теореме векторного анализа:
div (pv • и) =* и div (рт) -{- рт grad и.
Принимая далее во внимание уравнение неразрывности гидродинамики (гл. ]
§ 1, 3) .
и тождество
д(ри)_ j**i др_
мы получим ив B):
C) ор—=Ыи — орт- grad и.
к
Вводя снова обозначение — = а2, получим искомое дифференциально)
уравнение:
D) -—- = а2Дн — т grad и.
К этому надо еще добавить, как и в случае твердого тела, некоторые гранич-
граничные условия. Если мы рассмотрим небольшой участок поверхности раздела двух
несмешивающихся жидкостей или жидкости и твердого тела, то конвекция
перпендикулярно к этой поверхности должна исчезнуть, так как линии тока
жидкости располагаются параллельно рассматриваемой части поверхности. Таким
обравом, теплопередача осуществляется там лишь с помощью процесса, аналогич-
аналогичного внешней теплопроводности с поверхности твердого тела. Примем, как
довольно естественную, гипотезу, что количественно соблюдается тот же вакон,
т. е. применима формула G) [гл. ХШ, § 1], причем величину h—назовем ее
здесь коэффициентом теплопередачи — следует рассматривать как характерную
постоянную для двух данных жидкостей.
Конечно, едва ли последнее предположение в точности правильно, в дей-
действительности теплопередача вероятно есть функция и от относительной ско-
скорости жидкостей в месте соприкосновения. Во многих задачах мы можем считать
h большим по сравнению с &, так что можно будет положить равными темпе-
температуры обоих тел на поверхности соприкосновения.
В общем случае это однако не так, и на границе твердого тела и жидкости
существует конечный температурный скачок.
2. Дифференциальное уравнение диффузии при действии внешних «яд.
В гл. ХШ, § 1, 4 мы вывели дифференциальное уравнение диффузии в покоя-
покоящейся среде.
Предположим теперь, ч^о на диффузионный поток налагается другой произ-
произвольный поток с векторной скоростью v, который мы можем считать вызванным
.действием внешних сил на диффундирующее вещество.

XIV, § 1 Основные понятия и дифференциальные 'уравнения 673
К диффузионному нотоку— Dgradw, вызванному осмотическим давление*,
мы должны прибавить еще конвекционный ноток су, так что мы получим теперь
уравнение диффузии- в виде:
E) -~ = DU — div(cv).
В случав течения без источников (<liv v = 0) формула E) формально совпа-
совпадает с D). В частности, если скорость т вызвана действием сил к на молекулы
растворенного вещества, так что существует соотношение:
F) у = к-Д
где В — подвижность, то из E) получается следующее дифференциальное уравнение:
G) . |i = .D. ДС —
ot
3. Интегральное уравнение диффузии и его связь со статистикой.
В гл. ХШ, § 2, 6, мы исследовали интегральное уравнение E6) для тепло-
теплопроводности и диффузии. Из метода его вывода ясно, что это уравнение при-
применимо и в более общем случае, рассматриваемом в этом пункте. Мы увидим,
что в действительности оно имеет еще более общее значение. В самом деле,
согласно принципу, изложенному в гл. ХШ, § 2, 3, функции, входящие в это
уравнение, можно рассматривать как некоторые вероятности. Поэтому, если
состояние некоторой физической системы определяется переменной х; зависящей
от времени статистическим образом, т. е. совершающей некоторого рода броунов-
броуновское движение, то это движение опять-таки будет описываться интегральны»
уравнением E1).
Если и(х, t) есть вероятность того, что система в момент времени t нахо-
находится между х ъ х-\-dx, а /"E, х, -^dtdx — вероятность того, что система в тече-
течение времени т переходит из начального положения, лежащего меж^цу 5 и Z-{-dzt
в конечное положение, лежащее между х и x-\-dx, то « удовлетворяет линей-
линейному интегральному уравнению:
(8) «(х, t+т) = f и (&, о • де, х, -) <к,
—со
ядро которого f, вообще говоря, несимметрично.
В случае обыкновенного броуновского движения, при отсутствии внешних
сил, ядро симметрично относительно % и х и имеет вид, определенный в гл. ХШ,
§2, E6а). Там же указано решение "уравнения (8) в этом случае. Чтобы найти
решение в общем случае, целесообразно преобразовать интегральное уравнение (8)
в дифференциальное уравнение следующим способом.
Введем сначала в уравнение (8) вместо Е новую переменную у = х—?,
представляющую собой смещение системы за время г. Тогда уравнение (8)
примет вид:
(9) »(x,t-\-x)= J u(x — y;t)w(x — y,y,
— со
где выражение w(x, у, -) dy, очевидно, равно вероятности того, что система сме-
сместится за время х из начального положения х на расстояние между у и y-\-dy,
Примем теперь, что г очень мало, и разложим левую часть (9) по степеням т
43 Зав. 1408. — Франк ж Ицзес. Дифф. уравн. мат. фяв.

674 Теплопроводность и диффузия
с точностью до членов первого порядка, а правую часть по степеням у. Тогда
мы получим
(Ю) и(х^)+х.Щ^~и(х,г)^-^[и(х,1).^} + ±^[ч(х,ъ.^}...,;
где величины Jn имеют значение:
(И) J. (ж, х) = J yn-w (х, у, г) dy.
— оо
Из определения функции w как вероятности непосредственно следует, что
Jo = 1. Предположим теперь, что существуют предельные значения:
A2) v (x) = lim при w = 1 2 ...
Тогда из A0) получается дифференциальное уравнение для функции и(х, t):
A3) •— = #¦-«,
где Jf есть оператор
Это уравнение называется в статистической физике дифференциальным урав-
уравнением Фоккера-Планка 1). Оно имеет самые разнообразные применения.
Если механическая система испытывает беспорядочные флуктуации под дей-
действием внешних сил, с одной стороны, и вследствие теплового движения молекул —
с другой, как это имеет место при обыкновенном броуновском движении, то
функция v1 (x), согласно A1) и A2), есть средняя скорость «(ж), приобретаемая
частицами под действием внешних сил. Далее, в этом случае »а (ж) = const = 2Д
а все vn(x) при »>2 тождественно равны нулю. Таким.образом, A3) переходит
в обобщенное уравнение диффузии F), где D есть коэффициент диффузии.
Согласно A1) и A2):
+оо
A5) D = lim -i- f y*w (x, у, х) dy,
—оо
т. е. D равно среднему квадрату смещения, деленному на 2т, соотношение,
которое мы уже встречали в гл. ХШ, § 2, B3) под названием формулы Эйн-
Эйнштейна.
Если внешние силы отсутствуют, т. е. если функция f в (8) симметрична
относительно 5 и х, то функция »(ж), согласно A2), тождественно равна нулю,
и A3) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение диффузии гл. ХШ,
§ 1 B2). Поэтому всякая функция, определяемая интегральным уравнением E0)
гл. ХШ, § 2, должна одновременно удовлетворять уравнению B2) гл. ХШ.
Если же внешние силы не равны нулю, то можно найти стационарное реше-
решение и (х) уравнения Фоккера-Планка, соответствующее состоянию, устанавливаю-
устанавливающемуся через достаточно большой промежуток времени независимо от началь-
начального состояния. В этом случае и (х) dx есть вероятность пребывания системы
в промежутке между х и x-\-dx, или относительное число тождественных систем,
находящихся в этом интервале, если в начальный momqht они были распреде-
1) Л. D. Fohker, Ann. Phys. 43,1914, 810; М. Planck, Berlin.' Вег. 1917, 324: F. ZerniU,
Proc. Amst, 18, 1916, 1520; H. C. Burger, там же, 20, 1918, 642.

XIV, § 2 Теплопроводность и диффузия при вынужденной конвекции 675
лены произвольно. Если положить, что левая часть A3) равна нулю, v2(x) = 2D,
V3 ix)== vi (ж) — • • • — ° н в соответствии с G), v1 (ж) = v (х) = В • К, то можно
найти первый интеграл
du
D ~ = BKu -f const.
Из требования, чтобы на бесконечности функция « вместе со своей первой
производной равнялась нулю, вытекает, что постоянная интегрирования равна
нулю. Проинтегрировав еще рае, мы получим:
„ Т7 [к&с „ -Н7.(х)
A6) u(x) = G-e°J =Ce ,
где х(#) есть работа, которую необходимо совершить против внешних сил, чтобы
перевести систему из положения равновесия в положение х; h — статистически-
механическая постоянная, а С—вторая постоянная, которая определяется из
условия, что интеграл выражения A6) по всем возможным значениям х должен
' равняться единице. Соотношение A6) называется распределением Больцмана в
дарает в статистической механике большую роль.
§ 2. Теплопроводность и диффузия при вынужденной конвекции
1. Теплопроводность при течении жидкости без трения. Охлаждение
тела обтекающей жидкостью. Поставим себе следующую задачу. В жидкости
удерживается на месте твердое тело, нагреваемое какими-либо источниками тепла.
Жидкость имеет на бесконечности постоянную температуру и движется по законам
невязких и несжимаемых жидкостей.
Пусть коэффициент теплопередачи на границе жидкость — твердое тело на-
настолько велик, что температуру жидкости и твердого тела на поверхности раздел»
можно считать, согласно § 1, 1, одинаковой.
Пусть коэффициент расширения жидкости настолько мал, что р можно счи-
. тать постоянным, и поэтому можно с небольшой ошибкой принять, что линии тока
нагретой жидкости существенно не отличаются от тех, которые мы получили бы
из уравнений гидродинамики для равномерно нагретой жидкости. Предыдущие
предположения хорошо подтверждаются соответствующими опытами.
Требуется найти распределение температуры в стационарном состоянии и
отдачу телом тепла обтекающей его жидкости. Мы ограничиваемся здесь двух-
двухмерной задачей, т. е. считаем, что твердое тело имеет форму очень длинного
цилиндра с произвольным сечением, а жидкость повсюду течет перпендикулярно
' «си цилиндра *). ,
Дифференциальное уравнение D) § 1 гласит в этом случае:
«ч о/ Я3* , Э2»\ ди . ди
A) О2 I -a"V + ^Т 1 = v» "а Г v* ~Z~'
к ' \ дх* ' ду*) " дх ' * ду
Введен вместо х и у новые переменные 5 и ¦*) при помощи формул преобра-
преобразования
т di) ь\ д-ц
У> ду~ дх~" дх~ду~»'
г, есть не что иное как потенциал скоростей, постоянный вдоль эквипотенциальных
линий, а \ — „функция тока", постоянная вдоль линий тока. Эта координатная
система ортогональна и удовлетворяет, как известно и из гидродинамики, урав-
уравнениям:
:C) *!!+**>-©, *-о, АЧ=е.
; дх дх ' ду ду '
а) J. Boussinesq, Theorie analytique de la chaleur, Paris, 1903.
4!Г

676 Теплопроводность и диффузия
Вводя эти новые переменные, мы получим, как легко можно показать простых
дифференцированием, согласно B):
_ а
так что, подставляя в A), получим:
Специализируем это уравнение еще дальше, на тот случай, когда теплопро-
теплопроводность жидкости достаточно мала. Так как теплопередача в направлении i\
происходит путем внутренней теплопроводности и конвекции, а в направле-
направлении ? — только первым путем, то мы можем пренебречь внутренней теплопро-
д2и
водностью в направлении -ц по сравнению с конвекцией, т. е. отбросит ь член -^-г-
Off
в уравнении D). Тогда мы получим
дЧ, ди
Дадим теперь решение этого дифференциального уравнения, такое, что на поверх-
поверхности тела и есть ваданная функция (места), & постоянно вдоль поверхности тела;
так как % определено лишь с точностью до аддитивной постоянной, то можно
положить ? = О на поверхности тела. Тогда для ? = О и = Ф (-щ). На бесконечности
везде должно быть « = 0.
Дифференциальное уравнение E) формально совпадает с уравнением A),
гл. ХШ, § 2, для линейной теплопроводности в твердом теле, если отождествить
? с х и t\ с t
Наши граничные условия соответствуют тогда следующим условиям: для
х = о и есть заданная функция Ф (t). Но эта задача разрешена в общем виде в
гл. ХШ, § 3, 3. Воввращаясь снова к нашей задаче, мы получим решение, согласно
формуле F1) этого параграфа:
2 Г./ ?> \ _«,,
и = —т= I Ф I -г) 1 е da,
У-к. J \ 4flftx«/
F)
где начальная точка отсчета t\ представляет нулевую точку температуры. Коли-
Количество тепла, отдаваемое телом жидкости в единицу времени на единицу поверх-
поверхности, есть
что дает после дифференцирования:
Таким образом, формула показывает, что исходящий из единицы поверхности тела
поток тепла пропорционален температуре тела в этом месте. Итак, охлаждение
твердого тела обтекающей его жидкостью есть процесс, для которого верен закон
охлаждения Ньютона [гл. ХШ, § 1 G)]. Мы видим, что принятие этого закона для ,
теплоотдачи через поверхность нагретых твердых тел в гл. ХШ может быть опра-
оправдано при некоторых обстоятельствах и точной теорией, если пренебречь тепловых

XIV, § 2 Теплопроводность и диффузия при вынужденной конвекции 67/
излучением. Однако, коэффициент пропорциональности h, который мы назвали
внешней теплопроводностью, ни в какой мере не является постоянной, характер-
характерной для вещества, так как он содержит еще % т. е. зависит и от формы поверх-
поверхности и от скорости потока, и притом сложным образом, чем и объясняется
необычайное расхождение результатов экспериментального определения h в зави-
зависимости от примененного способа. Те же рассуждения, разумеется, Остаются в силе
и для теплопередачи на границе двух жидкостей.
Примем, например, что наше тело есть круговой цилиндр радиуса В. Пусть
иа бесконечности vx = — V, vy = 0. Уравнения линий тока, если ось цилиндра
проходит через начало координат, гласят (ср. гл. X, § 3):
(8)
При этом постоянные ?0 и -^ следует определить так, чтобы, при г = В, 5 обра-
обращалось в нуль, отсюда &0=^0. Так как вследствие малой внутренней теплопро-
теплопроводности жидкости температура для положительных х существенно не отличается
от температуры на бесконечности, которую мы приняли за нуль (даже на очень
небольшом расстоянии от поверхности), то можно с небольшой ошибкой выбрать
i\Q так, чтобы при х = В, у==0 было: т| = 0, откуда -% = 2BV и
(9)
Подставив эти значения в F), мы получим полное решение для случая кругового
цилиндра. Если желательно знать, сколько тепла теряет весь цилиндр на единицу
своей длины в секунду, когда вся его поверхность поддерживается при одинако-
одинаковой температуре U, то надо проинтегрировать G) по tj пб всей- окружности, что
дает, в силу симметрии.*
(ю) Ф-
Здесь Tii и Ъ экстремальные значения t\ на поверхности, равные по (9) 0 и 4BV.
Таким образом,
/Ш?П, (И)
7t
или, в среднем, на единицу поверхности:
откуда видно, что в данном случае внешняя теплопроводность обратно пропор-
пропорциональна корню из радиуса цилиндра, т. е. что тонкий цилиндр, при прочих
равных условиях, охлаждается быстрее, чем толстый.
- 2. Конечный коэффициент теплопередачи. Вышеизложенный метод не
применим, если коэффициент теплопередачи не бесконечно велик. Однако, не-
некоторые аадачи удается решить и в этом более общем предположении. Попы-
Попытаемся сперва рассмотреть следующий вопрос.

678 Теплопроводность и диффузия '
По цилиндрической трубе кругового сечения радиуса R и очень большой'
длины течет без трения жидкость с одинаковой во всех точках сечения ско-
скоростью v. В начале трубы температура по всему сечению равна U. Температура
самой трубы повсюду равна нулю, расширением жидкости пренебрегаем. Ище*
стационарное распределение температуры.
Введем цилиндрические координаты гиги положим в начале трубы z — 0-t
тогда, вследствие симметрии относительно оси трубы, дифференциальное уравч
вение § 1, D) обращается в
4-J- ifl-L- — v ди — о
т дг дз^ а2 дг '
а граничные условия будут: .
ди , ¦
(3") «= и для 2 = 0; -г— = пи для г = R' и = 0 для г= со. \
\ J л дг ' *
Представим обычным способом решение в виде ^произведения функции R
от одного г и функции Z от одного г, тогда A2) распадается на следующие
два дифференциальные уравнения второго}порядка:
<">
где X2—произвольная положительная постоянная. Решение уравнения A5) гласит;
A6)' ( Z=Ae^z + Be^\
где Л и В—произвольные постоянные, a ?t и ^ — корни характеристического
уравнения:
В силу третьего граничного условия A3) А исчезает, и в A7) надо взять
нижний знак.
Решением A4) будет, согласно гл. ХШ, § 2, 2:
A8) -R = <7o(x*0,
где JQ — бесселева функция нулевого порядка. Вследствие второго краевого
условия A3) X должно удовлетворять трансцендентному уравнению:
или
A9) < fr
Из теорем о нулях бесселевых функций непосредственно следует, что это
уравнение имеет бесконечное множество вещественных и положительных корней;
расположив их в порядке величины, назовем их Хх, Х2, ..., Ху,...; соответствую-
соответствующие этим X значения ? назовем tv Sa, ..., !;„...
Вследствие линейности A2) мы можем представить общее решение в виде
вуммы частных решений A6), A8) с произвольными коэффициентами:
B0)

XIV, §2 Теплопроводность и диффузия при вынужденней конвекции 679
Остается определить JS» так, чтобы удовлетворить первому условию A3)* т. е.
B1) СГ
Это — разложение по бесселевым функциям, коэффициенты которого легко опреде-
определяются.
Простое вычисление дает:
<22) ^
и окончательно получаем для и как функции от г
3. Течение сквозь узкие трубы. Холодильник. Если труба достаточно
узка, так что в каждом сечении температуру можно считать постоянной, то
внешнюю теплопроводность можно ввести в дифференциальное уравнение,
так как мы это делали в гл. XIII, § 3, 5 для тонких стержней, при-
причем снова сеченне может иметь любую форму и труба может быть изогнута,
так как линии тока всегда будут параллельны оси трубы и вследствие несжи-
несжимаемости жидкости v будет везде иметь одинаковое значение.
Дифференциальное уравнение принимает вид:
<*> *-,?-..<.-?>-.*.
где / — параметр, отсчитываемый вдоль оси трубы, U—окружающая температура,
и для краткости положено:
где р — внутренний периметр, a q — поперечное сечение трубы.
Рассмотрим в качестве примера применения этого дифференциального урав-
уравнения „холодильник*. Черев две концентрические цилиндрические трубы 1 в 2
текут две жидкости в одинаковом направлении. В месте входа первая жидкость
(в трубе 1) имеет температуру Ul и скорость vv вторая (в трубе 2) — темпера-
температуру Щ и скорость г'2. Внешняя труба теплонепроницаема, внутренняя же
настолько тонкостенна, что можно пренебречь как ее толщиной, так и ее тепло-
теплоемкостью и вычислять так, как если бы обе жидкости прямо скользили одна
вдоль другой. Требуется определить, каким образом более холодная жидкость
в стационарном состоянии охлаждает более теплую и обратно.
Дифференциальное уравнение B4), примененное к обеим жидкостям, да<ж
B5)
причем должны быть выполнены граничные условия:
B6) Г «^^«^.при^О,
v ' ( «j и «2 конечны при х = со.

680 Теплопроводность и диффузия .
Исключая из уравнений B5) м2, определив его, например, из первого уравнения
в подставив во второе, получим линейное дифференциальное уравнение четвертого
порядка:
B7) k-s-j-4-t—}-^~{-m~j-^j-n j
где постоянные имеют следующие значения:
B8) {»ввД
Его решение гласит:
B9) и = Ах -\- B/
где Xj, Xa, Xs — корни алгебраического уравнения третьей степени-
C0) kzb-\-W*-\-m3-\-n = Q.
Так как-у > 0, то из трех корней этого уравнения либо все три имеют отрица-
отрицательную вещественную часть, либо только один ив них (который в этом случае
вещественен) отрицателен.
Далее, так как по B8) коэффициенты C0) к, I, m, n не все имеют одина-
одинаковый знак, то все три корня не могут иметь отрицательную вещественную
часть!). -
Отсюда и из предыдущего ми заключаем, что уравнение C0) имеет только
один (и поэтому вещественный) корень с отрицательной вещественной частью
(—X). Коэффициенты показательных функций в B9), у которых Х^ не имеет отри-
отрицательной вещественной части, должны исчезать вследствие условия B6), и мы
яолучаем:
Ш) и1 = Л1-{-В1е-^.
Исключая «! таким же способом из B5), мы снова получим B7), так что можно
написать;
C2) щ = А2-]~В2е~-Ла).
Однако, коэффициенты Alt A2, В{, В% не произвольны. Подставляя в
B5), получим уравнения
КVB, - Ь/СВ, - В2) + v1\Bl\ е~Хх = Ь,2(А, - Аг)
КVB,-Ь28{В^В,) + VД] е-^ = Ь22(А,-А,),
которые должны выполняться для любых х. Но это возможно только тогда, когда
исчезают обе части уравнений в отдельности, откуда
C3) A -
C3) ах-
То, что второй и третий члены последнего выражения действительно равны между
собой, есть, как легко видеть, следствие того обстоятельства, что X — корень
уравнения C0). Если мы нашли \ и вместе с тем р, то из B6), C1), C2) и C3)
однозначно следует:
(
C4)
г) В противном случае C0) было бы уравнением Гурвица, для которого все коэф-
коэффициенты должны иметь одинаковый знак, если они вещественны.

XIV, §2 Теплопроводность и диффузия при вынужденной конвекции 68t
В нагревающей трубе температура падает, а в охлаждающей растет экспо-
экспоненциально, пока, наконец, не установится одинаковая температура Uo = ——^—8-,.
1—р
зависящая от теплопроводностей и скоростей обеих жидкостей и от формы холо-
холодильника.
Аналогично можно рассматривать и холодильник с противотоком, в котором,
обе жидкости текут в противоположных направлениях.
4. Диффузия в текущих газах и под действием заданных внешних сил..
Мы ограничимся в этом пункте одномерными задачами и примем, что vx = v,.
vv = vz — 0, тогда дифференциальное уравнение § 1, E) упрощается и полу-
получает вид:
Ж ~ Ъ~аР V ~дх '
Мы сразу можем указать стационарное решение этого уравнения. Для-
дс
этого положим —— = 0; мы получим уравнение
решением которого бу^ет:
(pi) . с —yie: .
Концентрация распределяется, таким образом, в направлении скорости по>
показательному закону, содержащему скорость и коэффициент диффузии. На.
последнем факте основывается предложенный недавно способ разделения га-
80вых смесей диффузией *). А именно, если дать смеси двух газов диффунди-
диффундировать в третий, текущий с постоянной скоростью v, то каждая из двух состав-
составных частей распределится вдоль х, согласно C7), по показательному закону..
Если ^коэффициенты диффузии обоих газов в третий газ различны, то и крутизна
возрастания с для обоих газов будет различна и их концентрация относительно-
гретьего газа будет функцией от х. Соответствующим подбором v и х можно
добиться любого отношения составных частей смеси, т. е. можно в произвольной
мере разделить оба газа. Чтобы воспрепятствовать уносу обоих газов, о ко-
которых идет речь, третьим, в качестве последнего выбирают пар, например, во-
водяной пар, который можно конденсировать в подходящем месте х и получать
чистые газы.
Мы получим, согласно § 1, 2, формулу такого же вида, что и C7), если
диффузия происходит в покоящейся среде, но на частицы диффундирующего
вещества действует постоянная сила в направлении х. Тогда. скорость v есть
та скорость, с которой частицы раствора равномерно двигались бы в направле-
направлении силы, если бы не происходила диффузия.
Если, например, этой силой является сила тяжести, то формула C7) есть
известный аэростатический закон, дающий в согласии с опытом распределение
плотности в растворе, подверженном действию силы тяжести2), а также-распре-
также-распределение плотности в свободной атмосфере, при установлении которого дело в
сущности заключается также в диффузионном процессе.
5. Седиментация и броуновское движение в поле силы тяжести. Перей-
Перейдем теперь к общей задаче решения уравнения C5) при определенных граничных.
а) J.
Herts, ZS. f. Phys., 19, 35. 1923.
J Perrin, Die Atome, стр. 82, Leipz'g, 1914.

Теплопроводность и диффузия
условиях. Мы можем решить эху вадачу, вводя новую зависимую переменную,
«ак мы уже делали в гл. ХШ, § 3, 5, а именно, полагая:
<38) с = с*е™(Х *" "\
Для с* тогда получается дифференциальное уравнение
дс*
т. е. то, которое имеет место для диффузии в покоящейся среде. Граничные
условия при этом, естественно, меняются, а именно вместо условия q — О полу-
дс ID де*
чается е* = 0 и вместо -д— = О условие c*-j — = 0.
Применим вышесказанное к раствору, находящемуся в высоком сосуде под
действием силы / тяжести. Пусть у сосуда будет горизонтальное „клейкое"
<ср. гл. ХШ, § 3, 1) Дно1)-
Наше граничное условие гласит тогда, согласно гл. XIII, § 3, 2:
с* = О при х = О, если дно находится в этой плоскости. При t = О пусть
С секс = 1, когда область интегрирования содержит значение t = о, и / cdx = О,
когда она его не содержит. Тогда, вследствие формального тождества задачи
¦с рассмотренной в гл. ХШ, § 3, 2), мы можем прямо написать решение, под-
•«тавляя для с* выражение гл. ХШ, § 3, (8).
Решение гласит, принимая во внимания C8):
«»t у(х-л) (ж —»)» ¦
Если мы теперь вычислим, следуя ходу мыслей гл. ХШ, § 3,1, вероятность
первого прохождения плоскости ж = 0 между t и t~{-dt, отнесенную к движе-
движению отдельной частицы, то мы получим:
»*t
adt t
юткуда, без труда выполняя интегрирования, получаем следующее средние зна-
значения времен прохождения:
Сопоставляя их, мы нолучим простую формулу
<43) a
«оторой обычно пользуются для определения D при даблюденир броуновского
движения тяжелых частиц в вертикальном направлении2).
1) М. v. SmoluchowsJei, Phys. ZS. И, 318,1915; Е. Schrodinger, там же 16, «9,1915.
1) Е. Weiss, Wiener Вег. 120 Bа) 1021, 1911.

XIV, § 2 Теплопроводность и диффузия при вынужденной конвекции 683
Она играет большую роль при определении заряда малых частиц по спо-
способу Эренгафта-Милликенах).
Бели дно сосуда „отражает" частицы, то граничное условие должно выра-
выражать, что общий поток черев плоскость ж = О исчевает, так что
(А) , d?-«. = o
или, согласно C8): -
дс* v' *п
0
И вдесь мы можем сразу написать общее решение для с* по гл. ХШ, § 3, 52),
если мы примем, что при t = О, / Ф (a) da = 1 для области интегрирования, со-
содержащей точку x=sxQ, и равен нулю в противном случае.
По формуле G9) га. ХШ, § 3 мы должны положить:
D5) Ф( — а) = Ф(а) — -^-е 2В J Ф(?)е2 dl. •
о
Подставляя в G6) гл. ХШ, § 3, мы получим, при вышеуказанных условиях
после простых вкладок:
D6) с* = —±={е Wt +е wt -1. \е im ™ + ™ da .
-1. \
Вводя в последний интеграл в качестве переменной интегрирования
g= a~rx~Tv ^ мы сведем его к функции ф [гл. ХШ, § 2, A1)]; пользуясь C8),
мы получим окончательно для с:
D7) в- -^=(e~ iDt ' W^) e^*-^-™-
2 JJt
21) I i V 2
Для очень больших f и »<0 эта формула сводится к
D8) Iim с = ~ ев ,
i—oo
т. е. имеем стационарное распределение, которое представляет собой, как этого
и следовало ожидать, частный, случай общего решения C7) и уже подробно
рассмотрено нами в i •
6. Связь с одной теоремой статистической неханики. Если скорость т или
сила к не поотоянны, то решение уравнения E) или G) § 1 может быть дано
в некоторых частных случаях. Покажем прежде всего, что дифференциальное
*) См. F. Ehrenhaft, Ann. d. Phys. 56, 1, 1918; В. Л. Millikan,, Das BJektron,
Braunschweig, 1922.
a) M. v. Smolnchomki, Ann. d. Phys. 48,1107,1916.

684 . Теплопроводносщь и диффузия
уравнение G) § 1 может быть решено в совершенно общем виде в предпс
жении стационарности. Здерь, вследствие —- = 0, мы имеем:
D9) div{Z> grade — B(kc)} = 0.
Итак, вектор потока частиц не имеет источников. Если вихрь силы k pai
вулю, т. е. сила имеет потенциал, то ив энергетических соображений ясно, >
в стационарном случае движение жидкости непременно должно быть так
безвихревым, так как в противном случае вследствие сил трения в жидкое
непрерывно выделялось бы тепло, для которого извне не подводилось никак<
еквигалента в виде механической работы. Таким образом, вектор полного пото
должен быть равен нулю, т. е.
JD grad с — Век = О,
или
E0) grad (In с) = -j- k;
силы к, следовательно, повсюду нормальны к поверхностям равной концентраци
Возьмем от обеих частей этого уравнения линейный интеграл между то
ками А и В; левая часть, как известно, не зависит от пути, а зависит, лип
от значений с в точках А и В.
Величина / htds есть не что иное как произведенная при этом силами
работа х (s)> равная уменьшению потенциала этих сил между А и В; таки
образом:
в
E1) ¦ е = #е~1Г'8)'
где К есть концентрация в начальной точке пути. Взяв для JD формулу гл. XIII
§ 1 B0), мы получим далее:
' у
E2) с = Ке жуХ(8,
В такой форме этот закон есть частный случай известной теоремы стати-
статистической механики— „теоремы" Больцмана о распределении собрания одинаковых
систем, зависящих от одного „наблюдаемого" параметра «„по значениям.
Ив предыдущего вывода видно, что эта теорема может быть получена и ив
классической теории диффувии с точностью до коэффициента при х-
В случае постоянной силы в направлении х мы сразу снова получаем C7).
Если же, например, в направлении х действует упругая сила, притягиваю-
притягивающая к точке х==0 и имеющая, стало быть, вид|к| = — р#,то х(.х)= о ъ> если
яоложить {Ш = а, то мы получим:
- —а»
E3) с — Ке 2D
— формула, имеющая формально, да и по содержанию, иввестное сходство с гаус-
гауссовым законом распределения ошибок1).
7. Диффузия электролитов. Дадим в заключение еще одно важное при-
применение дифференциального уравнения G) § 1, а именно — к диффузии эле-
жтролитов2). ,
*) И. v. Smoiuchowsici, Bull. int. Acad. Cracovie, Math, naturw. Klasse, А, стр .418,1913.
s) W. Nenist, ZS. 1 Pbvs. Chem. 2.. 613. 1888.

XIV, § 2 Теплопроводность и диффузия Щт вынуэюденной конвекции 68S
Мы исходим ив представления, что молекулы растворенного электролита
распадаются на „ионы", часть которых несет положительные, а часть отрица-
отрицательные электрические варяды. Примем для простоты, что мы имеем дело с „би-
„бинарных" электролитом, состоящим ив двух составных частей: положительно заря-
заряженного катиона и отрицательно варяженного аниона, причем оба сорта ионов
имеются в одинаковых количествах и несут одинаковый заряд. Оба сорта ионов
не должны, однако, иметь одинаковую „подвижность". Мы будем отмечать ведж-
чины, относящиеся к катиону, значком 1, а величины, относящиеся к аниону—
значком 2. Неодинаково быстрая диффувия обоих составных частей поведет к воа-
никновению электрических сил, которые можно будет представить как градиент
потенциала <р.
По § 1 G) мы получим для ионов обеих сортов дифференциальные урав-
уравнения:
E4)
де
-? = Б, [РДс, + е div (с, grad <?)],
дс.
'2
gt ^^2[РДс2 — e div (c2 grad о)],
где Р—постоянная величина, а <? должно удовлетворять уравнению Пуассона:
E5) , Д» = 1——?—.
Здесь е обозначает диэлектрическую постоянную жидкости и N — число Лопшидта.
Положим сперва Ci = c2 = e и посмотрим, существует ли решение E4),
удовлетворяющее этому условию. Вычитая второе уравнение E4) ив первого,
получим: '
E6) \Вг — Б2) Р • Дс + е (Бх + В2) div (с • grad <?) = О,
или
div (с grad <?) = — ^((^7?г Дс,
что дает, пооле подстановки в одно из уравнений E4), соотношение;
Ял
E7) Ж = П'АС' '
если ввести для краткости обозначение:
E8) D = 2PJ^
Это вначит, что оба электролита подчиняются обычному уравнению диффузии B2),
гл. XIII, § 1, с коэффициентом диффувии E8). Теперь мы должны еще посмо-
посмотреть, можно ли удовлетворить уравнению E7) так, чтобы Дер = 0, согласно E5).
Ив E6) следует, что
div {P{BX~ B2) grad с + еЩ^ В2) с grad <p} = 0.
Ив тех же соображений, что и в § 2, 6, мы снова должны заключить об исчез-
исчезновении величины в скобках, откуда

686 Теплопроводность и диффузия
Но это выражение, вообще говоря, не равно нулю, откуда следует, что пр(
положение ct=c2 в общем не оправдывается. Если, однако, вычислить прав
часть F0) для какого-нибудь случая, встречающегося на практике, то она oi
жется очень «алой, так как величина In с лишь очень «ало меняется с месте
и A (In с) остается малым, а коэффициент при этой величине наверняка мев
ше 1(Г в абсолютных единицах; с другой стороны, множитель при ct —са в пр
вой части уравнения E5) порядка 1018, так что во всех практически встреча]
щихся случаях ct—са иечевающе мало по сравнению с ех или с2.
Таким образом, мы показали, что наше первоначальное предположен!
оправдывается с большим приближением. Если мы исходим ив какого-ли)
начального состояния, в котором сх = е2, что соответствует существу веще:
го, по вышесказанному, это равенство будет с большой точностью сохранятьс
и в дальнейшем, так как всякое последующее состояние одновначно определен
начальным черев посредство дифференциального уравнения E7), а мы показал)
что предположение сх = сй представляет очень хорошее приближение.
Конечно, Cj никогда не равно в точности с2, тав как, с одной сторонь
коэффициенты диффувии. обоих сортов ионов различны, с другой стороны, пол
вообще не могло бы возникнуть, ёели бы не появлялись какие-либо варяды, чт<
иожет произойти лишь тогда, когда число положительных и отрицательны;
конов не везде одинаково велико.
Интегрированием получаем ив E9) соотношение
Это выражение определяет электродвижущую силу концентрационного эле-
элемента, если известны концентрация обеих частей.
7. Диффузия ионов в газах. Теория, примененная в 6 в диффувии
ионов в жидкостях, может быть с небольшими изменениями применена и к диф-
¦фузии ионов в газах. Действительно, ионы газов, точно так же как и ионы жид-
жидкости, обладают определенной подвижностью и зарядом и подчиняются обычному
вакону диффувии.
Однако, в отличие от электролитических ионов, число ионов газа не по-
постоянно, так. как, с одной стороны, ив нейтральных газовых молекул под влиянием
внешнего воздействия образуются пары ионов, а с другой стороны, такие пары
ионов исчезают вследствие рекомбинации. Пусть число пар ионов, образуемых
в единицу времени в единице объема, равно А. Число рекомбинирующих пар
ионов, очевидно, пропорционально концентрации положительных и отрицательных
ионов в том месте, где происходит рекомбинация, поэтому мы положим его рав-
ным а• CjC2. Постоянная а называется коэффициентом рекомбинации.
Предполагая, что E3) справедливо и в этом случае, и следуя методу гл. ХШ,
§ 1, A0), мы можем обобщить уравнение E4), и тогда получим:
dt
F2)
j- — Bl[P- Дсх -f- e div (ct grad ?)] -f- A ¦
= В2[Р • Дс2 — е div (c2 grad <р)] + А
Кроме того, сюда еще нужно добавить уравнение Пуассона E5).
Когда внешнее поле отсутствует и ср зависит только от полей самих ионов,
то можно с достаточным приближением положить, точно так же как и в 6,
что Cj = с2. Исключив с помощью одного ив уравнений F2) функцию <? ив
другого уравнения, мы получим
Ял
F3) |°- = Л-А« + ч4— ас2,

XIV, § 2 Теплопроводность и диффузия при вынужденной конвекции 687'
где D есть выражение E8). Интегрируя дифференциальное уравнение F3) прв
определенных начальных в граничных условиях, мы получим решение поста-
поставленной задачи.
В качестве наиболее простого частного случая рассмотрим вкратце ста-
стационарную одномерную вадачу, граничные условия которой заключаются в том,,
что с равно нулю на плоскостях х = ±1. Этот случай легко осуществить, если
представить себе, что в этих точках помещены вавемленные металлические пла-
пластинки и, следовательно, важдый попадающий на них ион сразу отводится в землю».
Таким образом, вместо F3) мы должны решить обыкновенное дифференциальное^
уравнение:
с граничными условиями: '
F5) с = 0 при х = I и х = — /,
к которым, очевидно, нужно еще добавить условие:
dc
F6) " ~dx~~° при х~0)
вытекающее ив симметричности функции е (х) относительно точки я = 0.
- Однократное интегрирование F4) дает:
F7) -j- =
где С — постоянная, которую необходимо еще определить. Интегрируя еще pas
мы получи»:
х
При ж —О должно быть с — Х. Поэтому, на основании-F6) и F7)
F9) G==f"FX~WX8;
следовательно:
G0) Б=
Далее, на основании F5) и F8), должно быть
о
Величину X легко можно выразить черев A, a, D "и I, подставив GО>
в последнее выражение. Таким обравом, все постоянные иввестны и вадача
решена.
Число ионов, попадающих в одну секунду на 1 кв. ем пластинки, поддаю-
поддающееся непосредственному измерению, равно, на основании F5) и F7):

$88 . Теплопроводность и диффузия
§ 3. Спонтанное конвекционное течение под действием внешних сил
При нагревании жидкости в цилиндрическом сосуде со' стороны дна,
выравнивание температуры происходит, как известно, так, что сперва нагре-
нагревается слой жидкости, непосредственно прилегающий ко дну, вследствие чего
¦слой расширяется. Вследствие уменьшения плотности он поднимается вверх,
в то время как более, холодная и тяжелая жидкость опускается вниз, снова
нагревается на дне, снова поднимается и т. д. Аналитическое описание этого
процесса сталкивается с очепь большими трудностями, а именно по гидродина-
гидродинамическим причинам, так как етот подъем и опускание жидкости в сосуде не
представляют правильной циркуляции, а происходит в виде беспорядочных
потоков. Броме того, при этом происходит еще диффувия более теплой жидкости
в более холодную, — задача, которой мы не хотим вдесь касаться.
Мы можем, однако, непосредственно пользуясь изложенными выше прин-
принципами рассмотреть один особенно простой случай спонтанного конвекционного
течения, как пример для ряда аналогичных задач.
Выберем в качестве примера применяемого вдесь метода следующий.
Возьмем замкнутую трубку в форме прямоугольника высоты Н и основания
L с вакругленными углами для того, чтобы поток не образовывал в них вих-
вихрей. Труба, целиком заполненная жидкостью или газом, поставлена так, что сторона
Н вертикальна и подогревается вдоль нижнего колейа таким обравом, что в А
господствует постоянная температура U. Тогда жидкость, как сказано выше, будет
подниматься вверх вдоль АВ, будет течь далее вдоль горизонтального участка ВС
и падать между С и D; при этом она будет постепенно охлаждаться теплоотдачей
трубе и от трубы наружу, и снова нагреваться на пути от D вдоль DA, пока
•опять не примет, достигнув А, температуры U.
Таким образом, в стационарном случае жидкость будет циркулировать по
трубе, и вадача заключается в том, чтобы найти скорость этого течения и рас-
распределение температуры вдоль трубы.
Мы будем считать трубу настолько увкой, что можно будет пользоваться
дифференциальным уравнением B4) § 2* т. е. считать^что вдоль всего сечения
господствует одинаковая температура. Далее, упростим закон движения жид-
жости. Примем, что линии тока параллельны оси трубы и скорость одна и та же
, но всему сечению. Трение вдоль стенок трубы мы будем учитывать и предпо-
предположим, что оно прямо пропорционально скорости течения относительно стенки,
направлено в противоположную сторону и прямо пропорционально площади
трущихся поверхностей. Пусть количество тепла, развивающееся вследствие тре-
трения, настолько мало, что можно пренебречь вызванным им изменением темпера-
температуры. Температуру внешнего пространства положим равной нулю.
Дифференциальное уравнение B4) § 2 для стационарного случая, если х
обозначает'длину, отсчитываемую вдоль трубы по ABCD, и если в А х = 0,
напишется так: )
. . . , d2u du hp
<1) & 3-5 — ^Р3 -j -=0.
% ' , dx2 dx q
Уравнение справедливо лишь вне области источников тепла, т. е. для
участка ABCD.
Ив соображений непрерывности произведение pv должно быть постоянным
для всех х. Поэтому A) есть дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами, решение которого мы сраву можем написать. Оно имеет вид:

X] V, § 3 Спонтанное конвекционное течение под действием внешних сил 689
где ?i и ?2 — корни характеристическою уравнения
to) ' t
2k -
Так как для очень больших HaL температура м во всяком случае должна ста-
становиться произвольно малой, то из этих двух корней нам нужен лишь корень
с нижним знаком, .который мы назовем просто ?. Так как, кроме того, при х = О
должно быть и=п, то мы получим:
D) м=?7е?~.
Этим однознаппо определено распределение температуры, если нам еще
удастся определить величину ь: Но она получается из условия, что для ста-
стационарного состояния сумма всех сил, действующих па движущуюся жидкость.
исчезает. Эти силы складываются нз следующих трех частей: 1) из тяжести
столба жидкости АВ, противодействующей скорости, 2) тяжести столба жид-
жидкости CD, действующей в направлении течения, и пакопец 3) из силы трения
в трубе, также действующей в направлении, противоположном течепию. Если
обозначить через g ускорение силы тяжести и через i\ коэффициент трения, то
условие равповесия будет:
Н 2H + L
E) Q9 \ — f ?dx -f- f pdx ] — 2 (Н+Црщ = 0.
L о7 nib J
Изменение шютности с температурой следует известному закону расширения:
F) ± = ±A + аи),
где а постояпная и р0 обозначает плотность при температуре м = 0. Коэффициент
трения ri также меняется с температурой; для упрощения задачи мы можем
положить, правда с известным произволом, что f] н р пропорциональны друг
другу, так что
Ив D) и F) мы находнм:
dx
, С dx f
ix — p0 I — = p0 I —
J 1 -f- au ^ 1
Веря за новую переменную у = &х, мы получим далее:
pdx = ~~ /
« J :
y(\-\-*Uy) $ l+«[/y
— Ро*—у- In (l-\-ocUelxLr const
Подставляя G) и (8) в E), получим:
A
Это уравнение содержит кроме («р) лишь известные величины, и поэтому
(vp) может быть из пегв определено, чем и решается задача.
44 Зак. 1408. — Франк и Мизес. Дифф. уравн. мат. физ.

690 Теплопроводность и диффузия
Уравнение (9) существенно упрощается, если, как это обычно бывает, а
ие очень велико. Равлагая левую часть по малой величине а, получим:
Для v = О, согласно C), 5 < 0, конечно и отлично от нуля, левая часть уравне-
уравнения остается конечной, так что должно быть ?7 = 0. Для « — с», = —=0,
vapgr
pg
следовательно, t& остается конечным, левая часть уравнения A0)" равна нулю,
Т. 6. ДОЛЖНО быть U—ca.
Далее, легко видеть, что для всех промежуточных значений U значения v
непрерывно растут от нуля до бесконечности.
Мы получаем результат, который можно было предвидеть, что циркуляция
прекращается при ?f — О и становится более быстрой при повышении
температуры нагрева.
§ 4. Связь между теорией диффузии н волновой механикой
1. Основные положения волновой механики. В этом параграфе мы рас-
рассмотрим некоторые задачи волновой механикк, которые близки к вадачам теории
диффузии, и которые цоэтому лучше всего рассматривать в свяви с последней.
В основу наших рассуждений мы положим „волновое уравнение" Шре-
дингера, зависящее от времени:
где h есть постоянная Планка, ^ — некоторая, вообще говоря, комплексная
функция от обобщенных координат qv ...,qn, a H оператор, получающийся и»
функции Гамильтона Н классической механики посредством замены в пей
импульсов _р, оаераторамн —— —. Решить уравнение Шредингера — это значит
найти при заданном начальном состоянии ty(q, 0) и при заданных граничных
условиях „волновую функцию" ty(q, t) в любой момент времени. Физический
смысл функции <|i заключается в том, что, согласно общепринятой в настоящее
время статистической точке зрения, (<5<|2 служит мерою вероятности нахождения
рассматриваемой системы в момент времени t в состоянии qlt ..., qn.
Это статистическое толкование ^> с одной стороны, и формальное сход-
сходство между дифференциальным уравнением A) н уравнением классической ста-
статистики Фоккера и Планка § 1, A3), с другой, позволяют предположить, что
между волновой механикой и теорией диффузии существует определенная связь.
Если исходить из большого семейства одинаковых систем, начальные положения
которых в пространстве конфигураций в начальный момент времени распре-
распределены с относительной частотой |<!»(?, 0)|2, то распределение \fy(q, 0I8» отно-
относящееся к моменту времени t, получается из начального распределения посред-
посредством некоторого обобщенного процесса диффузии. Однако между волновой
механикой и классической теорией диффузии существует глубокое различие,
заключающееся, во-первых, в том, что в основное уравнение A) входит мнимый
множитель —г и, во-вторых, в том, что роль концентрации играет не сама
функция <k представляющая собой „амплитуду вероятности", а квадрат ее
абсолютного значения.

XIV, § 4 Связь между теорией диффузии и волновой механикой 691
Мы ограничимся рассмотрением системы, состоящей ив одной единственной
материальной точки массы т, находящейся под действием внешних сил,
определяемых независящим от времени потенциалом О. Так как в этом случае
функцию Гамильтона можно написать в виде:
то, но предыдущему, соответствующий оператор н! имеет вид:
B) Н =
(Д— оператор Лапласа). Подставляя B) в A), мы получим следующее диффе-
дифференциальное уравнение:
дф in .. 2ni
О) ^^и^?)
Функция 4**1 комплексно сопряженная с ty, будет удовлетворять дифферен-
дифференциальному уравнению вида:
Если внешних сил нет и U во всех точках пространства равно нулю, то
мы получим не C):
т. е. уравнение, которое при вамене —— на коэффициент диффувии JD совпа-
совпадает с обычным дифференциальным уравнением диффузии гл. ХШ, § 1, B2) при
отсутствии внешних сил.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что функция ^ стремится
к нулю на бесконечности достаточно быстро, и будем ее нормировать таким
образом, чтобы удовлетворялось соотношение:
F)
где интегрирование производится но всему пространству. Легко убедиться
в том, что условие нормировки F) совместно с уравнениями C) и D). В самом
деле, если умножить C) на ty*, a D) на <|i, сложить полученные произведения и
затем проинтегрировать по всему пространству, то с помощью векторной фор-
мулы
G) div (ab) = grad a • b -\- а • div b
и теоремы Гаусса мы получим:
(8) в^///Й
tfe Г С ( * ®? ®t*
4ят J J \ дп ' 9»
44*

692 'Теплопроводность и диффуузия
так как поверхностный интеграл нужно взять по бесконечно удаленной поверх-
поверхности.
Нормировка F) удобна тем, что выражение |0|2 dxdyds равно при этом
вероятности нахождения частицы -в момент времени t в точке, координаты
которой лежат между х и x-]-dx, у и y-\-dy, z и z-\-dz. Поэтому среднее
значение f пекоторои функции /", зависящей от координат частицы, равно:
(9)
2. Движение системы ча«тпц под действием впешпих сил. Перейдем
теперь от рассмотрения одпой единственной частицы к рассмотрению системы
большого числа (п) одинаковых частиц с одной н той же массой т. Общую
массу пт для простоты мы положим равной единице. Если взаимодействием
между частицами можно пренебречь, то на основапии условия F) функция
rj = I *V | - будет представлять собой плотность распределения частиц в системе
в момент времени i; это- справедливо во всех тех случаях, когда плотность
вещества очень мала. Интегрирование дифференциального уравнения C) или
D) эквивалентно нахождению распределения плотности в какой-нибудь момент
времени, если задано исходное распределение в начальный момент, т. е. экви-
эквивалентно задаче, которая решена в классической теории диффузии.
Выведем прежде всего два общих закона движения нашей системы частиц.
Первый закон — это соотношение (8). Пользуясь принятой нами теперь терми-
терминологией, можно сказать, что это есть закон.сохранения общей массы системы
частиц во время их движения.
Второй закон можно получить из рассмотрения движения центра тяжести
системы частиц. Координаты центра ^тяжести х, у, s определяются, в соответ-
соответствии с (9), как средние значения х, у, z по всему пространству:
¦dV.
Пользуясь тем же методом, с помощью которого было выведено выражение
(8), мы получим на основании G) и теоремы Гаусса:
dx
~di =
A0) ~х = fff xfA*d Vi У= fff УМ* dV> ~* = f f f
= .-*_ Г Г Г div(лгй*grad</ — х^gradedV =
4тш J J J
откуда найдем, воспользовавшись уравнениями C) и D), после простых пре-
преобразований:
4
№—i
Легк? покавать, что последний интеграл равен нулю. Для этого достаточно
переставить в нем операции -^— с div и применить еще раз теорему Гаусса.

XIV, § 4 Связь между теорией диффузии и волновой механикой 693
Таким образом, мы получим окончательно, проделав такие же преобразования
для у и z:
.Так как, согласно (9), интегралы, стоящие в правой части уравнений A1),
представляют собой средние значения сил, действующих на частицы системы,
то из уравнений A1) следует, что центр тяжести Системы движется по законам
Ньютона, как материальная частица с массой, равной общей массе всех частиц,
па которую действует сила, равная сумме всех сил, действующих на отдельные
частицы.
Одновременно с движением центра тяэпестя, вследствие своего рода диф-
диффузии, происходит постепенное растекание частиц, идущее до тех пор, пока
наконец не установится независящее от времени стационарное состояние. Част-
Частный пример, иллюстрирующий этот процесс диффузии, будет ра'зобран нами в 3.
Из предыдущего рассмотрения вытекает, что движение системы одинаковых
частиц по волновой механике вполне сходно с движением системы частиц,
рассматриваемым в классической механике и теории диффузии. Однако, наряду
с этим имеют место другие явления, подчеркивающие фундаментальные
и чрезвычайно существенные различия механизма движения по обеим теориям.
Наиболее просто это можно уяснить себе, рассмотрев случай стационарного
состояния, когда р не зависит от времени.
Это может быть в том и только в том случае, если функция 6 имеет сле-
следующий вид;
A2) <Ь (я, у, *, 0 = 9 (х, у, 0 • eif {i\
где через '-? обозначена любая функция координат, а через f—вещественная
функция времени. Для того чтобы функция A2) удовлетворяла дифференциаль-
дифференциальному уравнению C), очевидно необходимо, чтобы функция f была линейной
функцией. Поэтому функция $ может быть представлена в виде:
A3) Ъ==*(х, у, г)-е "
Подставляя A3) в уравнепие C), мы получим для <? следующее диффе-
дифференциальное уравнение: ^ ,
(U) ' . А? + т (Е - С1(х, у, я)) ? = О.
ЧТО Hj иредитаилаех иииии не чпм диие ьаь шлпиули ЭНврГИЮ чаСТИЦЫ. УраВНв-
ние A4) при заданных граничных условиях имеет решения, вообще говоря,
только при определенных значениях Ек> называемых собственными значениями
рассматриваемой граничной задачи; этим собственным значениям соответ-
соответствуют собственные функции <эк. Для того чтобы функция A3) удовлетворяла
условию нормировки F), необходимо нормировать функции <?к так, чтобы удо-
удовлетворялось условие:
A5) //А*
¦k*dV=l.

694 Теплопроводность и диффузия
В силу ортогональности собственных функций '), сюда прибавляются
соотношения:
A6) fff?,tf*dV = O для всех 1сф1-
Стационарные решения A3) представляют собой „стоячие волны", ампли-
амплитуда которых есть решение уравнения A4). Стационарное распределение плот-
плотности р(х, у, г) определяется „интенсивностью" волн, т. е. квадратом абсолют-
абсолютного значения амплитуды.
Общее нестационарное решение уравнения C) можно представить как
линейную комбинацию частных интегралов A3) с постоянными коэффициентами.
В случае дискретного спектра собственных значений это соответствует в клас-
классической теории диффузии разложению в ряд Фурье, а в случае непрерывного
спектра собственных значений — интегралу Фурье. Посредством подходящего
выбора коэффициентов (или в случае интеграла Фурье — функций) можно осуще-
осуществить любое начальное состояние, т. е. любое начальное распределение плот-
плотности, которое будет представлять собою группу волн или, как обычно говорят,
„волновой пакет".
Волновой характер функции ф, как легко видеть, обуславливается тем
обстоятельством, что в основном уравнении C) имеется мнимый множитель,
который приводит к периодическому поведению временного множителя A3),
тогда как в аналогичном решении гл. XIII, § 2, C) классического уравнения
диффузии показатель — вещественный, что приводит к затуханию со вре-
временем. Поэтому в классическом процессе диффузии любое распределение плот-
плотности с течением времени само собой должно перейти в стационарное распре-
распределение, тогда как в волновой механике изменение плотности происходит вслед-
вследствие интерференции отдельных воли волнового пакета, причем стационар-
стационарному распределению плотности соответствует каждая из волн, взятая в отдельности,
но не результирующая волна.
3. Движение по инерции. Рассмотрим теперь более подробно случай
отсутствия внешних сил ({7=0) и исчезающе малой плотности вещества
в пространстве. Этот случай описывается дифференциальным уравнением E).
Стационарные решения можно попрежнему получить при помощи формулы
A3); соответствующее уравнение амплитуд A4) принимает вид обыкновенного
уравнения оптики [ср. XIX, § 1, A2)]. Таким образом, функция ф полу-
получается при помощи обычных гармонических стоячих волн, частота которых
Е . с ¦ Л
v = -r-, а длина волны а. = — = — т. е. совпадает с длиной волны де-
п v р "
Бройля. В классической теории диффузии стационарное распределение характе-
характеризуется постоянной плотностью, в волновой же механике волновая функция ф
является периодической функцией места, что доказывается известными одытами
над диффракцией электронов.
Общее нестационарное решение можно, как было указано выше, получить
при помощи метода Фурье в виде волнового пакета. При отсутствии граничных
условия на конечном расстоянии, т. е. в случае непрерывного спектра соб-
собственных значений, можно воспользоваться формальным тождеством уравнения
E) с уравнением диффузии, и, ограничиваясь одномерной задачей, применить
метод гл. ХШ, § 2, 1. Подставляя в формулу гл. ХШ, § 2 G) вместо В
выражение
A7)
!) См. Курант-Гильберт, Методы математической фиэики, а также учебники по кваи
товой механике.

XIV, § 4 Связь между теорией диффузии и волновой механикой ~ 695 •
мы сможем сразу написать:
A8) ф(*,«)-__! Г е~~ГЙ"ф($)й|,
2 у mst J
— со
где Ф(ж) = ф(а;, 0) есть начальное состояние при * = 0. Формула A8) позво-
позволяет точно проследить, как частицы, распределенные в начальный момент
с плотностью ро (х) — ФФ*, мало-по-малу распространяются на все пространство,
распределяясь в нем вследствие неизменности общей массы с бесконечно малой
плотностью.
В качестве примера рассмотрим, как расползается волновой пакет, описы-
описываемый волновой функцией:
— — 4-ia c
где <о и а есть вещественные постоянные. Распределение плотности, соответ-
соответствующее A9):
B0) Ро
есть распределение Гаусса. На основании условия F):
B1) 1
в чем легко убедиться, интегрируя по а; от — то до -j- оо.
Далее, согласно (9), из B0) и B1) следует, что средние ан&ченвя х и
х2 в начальный момент равны:
0, x\== J х2ро<1х = ^.
Если подставить выражение A9) в A8) и для простоты ввести сокра-
сокращенные обозначения:
./ х_
B4) а=>±-ЬЪ=*^**

496 Теплопроводность и диффузия
то после простых преобразований мы получим:
2 1/ met
-t-c
B5) =V^=n f
2 у ъггт J
— со
+ СО
7-
гх
Воспользовавшись соотношением B1), мы получим отсюда для распределения
плотности в момент t:
B6) о = ^* = -_1 eU a*; = -J е |о1* .
Выполняя интегрирование, легко убедиться в справедливости уравнений:
( + СО +СО
I
j J
| — СО
B7) , +„
(x-xf= [ (х —
J
{ -°°
из которых первое есть частный случай (8), а второе — частный случай B1), и
означает, что центр тяжести системы частиц движется с постоянной скоростью
B8) '¦ V— 2ае.
Распределение плотности около центра тяжести будет оставаться гауссов-
ским в любой момент времени, причем дисперсия равна
B9)
Эта формула дает представление о том, как увеличивается дисперсия со
временем от начального значения B3).
4. Связь с соотношение» неопределенности. До сих пор мы рассматри-
рассматривали только распределение плотности системы частиц, не интересуясь распределе-
распределением скоростей. На основании соображений, высказанных в 2, очевидно, что оба
рода распределений должны быть связаны друг с другом. В самом деле, для
того чтобы описать систему частиц с заданным распределением плотности при
помощи волнового пакета, необходимо, вообще говоря, произвести наложение
волн вида A3) со всевозможными частотами, т. е. волн, соответствующих
всем возможным собственным значениям Eh A4). Однако, так как Е предста-
представляет собой энергию одной частицы, то Е)то означает, что различные частицы
обладают всевозможными значениями энергии, совместными с граничными усло-
условиями, причем это распределение по энергии определяется коэффициентами раз-
разложения волнового пакета в ряд Фурье. Таким образом, задание распределения
плотности обусловливает вместе с тем определенное распределение но энергиям
или скоростям частиц системы. В обычном процессе диффузии расползание

XIV, § 4 Связь между теорией диффузии и волновой механикой 697
частиц обусловлено неодинаковостью скоростей отдельных частиц; аналогичным
образом можно понимать расползание волнового пакета. В связи с этим, мы добавим:
несколько замечаний к разобранному в 3 примеру движения по инерции, ограни-
ограничиваясь попрежпему одной степенью свободы.
Если обозначить через х0 начальное положение одпой из частиц системы,
а через v ее скорость, то положение частицы в момент времени t будет опре-
определяться выражением:
C0) x = xo-\-vt.:
Если центр тяжести в начальный момент совпадает с началом координат,
то усредняя C0) по всем частицам системы, мы получим:
C1) x — ~v-t.
Отсюда следует, что центр тяжести движется с постоянной скоростью v.
Вычитая C1) из C0), возводя в квадрат и усредняя, мы найдем:
C2) Д% = ж02 -f 2 [х0 (v — г')] •< + (« — «J • <2 == Д% + 2 [х0 (г; — »)] < + Д2г> • P,
если Av есть дисперсия скоростей.
Применим сначала формулу C2) к разобранному в 3 примеру; восполь-
воспользовавшись формулами B3) и B9), мы получим:
Из первого из этих двух равенств следует, что дисперсии х0 и v друг от
друга статистически независимы. Второе же равенство при помощи A7) можпо напи-
написать в следующем виде: ,
C3) Ар • Axo=mAv • AxQ = —~ .
Оно представляет собэю частный случай фундаментального для квантовой
механики соотношения неопределенности Гейзенберга, заключающегося в том, что
произведение неопределенностей двух канонически сопряженных переменных
но порядку величины равно h.
Рассмотрим теперь общий случай любого, а не гауссовского, начального рас-
распределения р0 = ФФ* с дисперсией Да-в. Так как основное уравнение E) инвари-
инвариантно по отношению к равномерному поступательному движению координатной
системы, и так как на основании (8) центр тяжести системы частиц движется
с постоянной скоростью, то мы всегда можем, не нарушая общности, выбрать такую
координатную систему, в которой центр тяжести покоится, и в этой системе
исследовать изменение Ах.
Перепишем сначала при помощи сокращенных обозначений A7) основное
уравнение E) и комплексно сопряженное уравнение для одномерного случая:
"Ti~ —~ ^ "^—о* 5 ^ —"" Ъ& ^~"л" •
Применяя эти уравнения и приняв во внимание предположенное поведение
функции 6 на бесконечности, мы получим после повторного интегрирования по частям:
у
х2— I хЩЧх\
C4)
-* .
К

698
Теплопроводность и диффузия
<3б)
03,},
дх дх* дх дх2
d —
дх
<36)
r/a^* дч
-ьи J \JZ"dxb
.ч Г д 1 дЪ* дЧ
J 9ж \ 9ж da;2
_
По формуле C6) ДЯг = ж2 есть, в согласии с C2), квадратичная функция вре-
времени, а дисперсия А2», представляющая собой коэффициент при t2, равна, на
основании C5) ж C6):
1 <?2 — /" Й2 Г дФ I2
C7) Д2»=—--г-(ж2) = 4а2 / — ' "
2 ш2 v J дх
dx = 4г2
Попытаемся теперь найти для А» Дж0 нижнюю границу, исходя из оче-
очевидного соотношения:
дФ
х
C8)
и нолучая из него для — неравенство:
ОЗС
>О
ОЗС
C9)
9Ф
дх
х
,
дх
йг;~ 4Д%Ро
х
дх '
Подставив C9) в C7) и воспользовавшись C4) и F), мы получим;
е2 Г 2s2 Г е* .
/л о .2^' ]"~— —¦ I СС ОгМСС —1-* — I РЛС13С === »
tit ОС 7 Д^Х / ?$2С
откуда для ДрДа;0 тыгекает неравенство:
D0)
= mAv ¦ \х0
4**
Нижняя граница будет очевидно достигнута в том и только в том случае,
когда в C8) стоит знак равенства. Тогда нооде однократного интегрирования мы
подучим для Ф выражение:
откуда исходное распределение плотности имеет вид:
которое в силу B3) тождественно с B9).
Таким образом, нижняя граница соотношения неопределенности D0) дости-
достигается только в случае распределения Гаусса, для которого это было доказано
в уравнении C3).

XIV, § 4 Связь между теорией диффузии и волновой механикой 699
ЛИТЕРАТУРА
Fourier, Analytische Theorie der Warme, Berlin 1884.
G. Kirchhoff, Vorlesungen Cher die Theorie der Warme, Leipzig, 1894.
B. Poincare, Theorie analytique de la propagation de la chaleur, Paris, 1895.
J. Boussinesq, Theorie analytique de la chaleur, Paris, 1901.
Weber und Gam, Repertorium der Physik. 1 Bd. 2. Halfte. Leipzig und Berlin, 1916.
H. Grober, Die Grundgesetze der Warmeleitung und des warmeiiberganges, Ber-
Berlin, 1921.
H. S. Charlslatu, Introduction to the mathematical theory of the conduction of heat in
solids, London, 1921.
В. Гейзепбер%, Физические принципы квантовой теории, ГТТИ, 1932.

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
СТАЦИОНАРНОЕ (И КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ) ЭЛЕКТРО-
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
ГЛАВА XV
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 1. Формулировка проблемы
1. Основные физические представления. Электростатика наряду с уче-
учением о тяготепии является той областью теоретической физики, в которой преиму-
преимущественно развивались идеи и методы теории потенциала; таким образом, в своем
теперешнем виде электростатика представляет собой непосредственное приме-
применение этих методов. Бее, что будет здесь сказано относительно электроста-
электростатики, применимо mutatis mutandis также и к магнитостатике. Следующие законы
являются основными.
а) Закон Кулона. Два точечных электрических заряда е1, е2, находящиеся
в однородной среде на расстоянии г друг от друга, отталкиваются с силой, ко-
которая направлена по линии, соединяющей оба заряда, и равна но величине:
где г представляет собой постоянную, характеризующую среду, в которой по-
помещены заряды, и зависящую от принятой системы единиц. Заряды eY и е2 могут
иметь положительный или отрицательный знак; в случае разных знаков отталки-
отталкивание заменяется притяжением. Этот закон можно расчленить на две следующие
части:
а) Электрический заряд вызывает в окружающем пространстве „поле", на-
направленное по радиусу наружу и равное
V - б1
|5) Заряд с2 испытывает в поле Е силу, по направлению совпадающую
с полем и по величине равную
Р=е2Е.
Функция
измеряет поэтому работу, которая требуется для перемещения единицы заряда
из бесконечности в какую-либо точку шаровой поверхности радиуса г. Она назы-
называется „потенциалом" этого электрического поля.
Ь) Постояннуюsназывают, согласноФарадею, диэлектрической посто-
постоянной соответствующей однородной среды. Абсолютные электростати-

XV, § 1 ¦ Формулировка проблемы 701
ческие единицы заряда и поля выбираются так, что постоянная е для воз-
воздуха (или точнее для пустоты) оказывается равной единице. В других телах,
в частпости в тех, которые употребляются в качестве изоляторов, диэлектрическая
постоянная больше единицы. Тела, у которых е > 1, называются „диэлектриками".
Тела, у которых е < 1, неизвестны.
c) Ноле многих зарядов (точечных и объемпых) получается векторным на-
наложением полей отдельных зарядов. Соответствующие потенциальные функции
при этом складываются скалярно.
d) Существуют тела, в которых, под влиянием электрического ноля, возни-
возникают и перемещаются положительные и отрицательные заряды. Такие тела
называются проводниками электричества. Равновесие в проводниках
возможно только тогда, когда внутри них пет пикакого электрического ноля.
e) Когда электрическое иоле действует на систему соединенных друг
с другом проводников, то в последних устанавливается определенное состояпие
равновесия в результате образования на их поверхности положительных и отри-
отрицательных зарядов. В системе проводников, соединенных между собой, по изоли-
изолированных от всех других нроводпиков, сумма всех зарядов пе зависит от эле-
электрических полей, действующих па систему, и представляет собою постоянную
величину, характеризующую систему.
f) В пространстве вне проводников (в диэлектрике) существуют только заранее
заданные заряды; электрическое поле не вызывает здесь появления новых зарядов,
даже в том случае, когда диэлектрик состоит из частей, обладающих различными ди-
диэлектрическими постоянными. Заряды, имеющиеся в диэлектрике, а также заряды,
собирающиеся на поверхности проводников, называются истинными электри-
электрическими зарядами.
g) В неоднородной среде, состоящей из нескольких диэлектриков, не может
иметь место закоп Кулона в форме а). Согласно Фарадею, можно представить
себе, что в диэлектрике имеется много малых обособленных проводников. Эти
последние не влияют на общую сумму всех истинных зарядов, находящихся в
поле, но экранируют поле внутри диэлектрика посредством образующихся при
этом па их поверхности положительных и отрицательных зарядов; в то же
время в окружающем пространстве, а также между, такими воображаемыми
проводниками поле подчиняется закону Кулона. Однако, с электростати-
электростатическим. полем, в указанном выше смысле, следует отождествлять не это непра-
неправильно распределенное поле, но среднее поле, которое получается посредством
усреднения по маленьким элементам объема и которое только и поддается изме-
измерению. Это среднее поле меньше того, которое имеет место в воздухе, в отно-
отношении V: е. Оно соответствует внутри диэлектрика только истинным зарядам, так как
сумма зарядов, индуктированных в фиктивных маленьких проводниках, равна
нулю. Но на границе двух диэлектриков поле таково, как если бы там были
распределены заряды (свободные заряды но Гельмгольцу). Эти заряды при прочих
равных условиях пропорциональны разности диэлектрических постоянных г,, е2
обоих диэлектриков. Среднее поле также обладает потенциалом U(x, у, г), так
как оно составлено из отдельных кулоновых полей.
h) Потенциал U обозначает работу, которая должна быть совершена против
сил электричезкого поля для того, чтобы перенести единичный заряд из беско-
бесконечности в точку х, у, z. Потенциальная энергия всего поля соответст-
соответствует работе, которая пеобходима для того, чтобы постепйнно построить си-
систему зарядов, являющихся носителями поля, т. е. перенести эти заряды из
бесконечности в те точки, где они находятся. Сначала необходимо представить
себе, что заряды сг, е.2, ... распределены на отдельных проводниках, причем
потенциалы этих проводников равны соответственно Ut, Щ, ... Когда заряд rt
увеличивается на Ас,, то, ио определению, энергия заряда при этом увеличи-
увеличиваемся на АЕ= t/jAe,, откуда для непрерывного изменения заряда мы получаем

702 Стационарное электромагнитное поле
?/¦,= -. Но на основании с) значения Ut представляют собой линейные одно-
родные функции зарядов ек, и поэтому Е будет однородной функцией второго
порядка относительно варядов ек. Следовательно, на основании теоремы Эйлера
об однородных функциях:
причем сумма должна быть взята по всем зарядам. Этот результат может быть
непосредственно перенесен на тот случай, когда заряды распределены в про-
пространстве непрерывно с плотностью р в объеме v или с поверхностной плот-
плотностью о на поверхности f. Тогда мы имеем аналогично A):
A') Es=tJ Uix' у' г) р {х' У' г) dv + ? / U^ у' г) °(ж' у' *) df'
2. Математические уравнения поля. Теория потенциала позволяет пред-
представить указанные в 1 законы в виде следующих законов близкодействия, доста-
достаточных для построения электростатики:
a) В каждом электростатическом поле имеется скалярная потенциальная
функция U(x, у, г), обладающая тем свойством, что вектор напряжения поля
равен ее градиенту, взятому с обратным знаком. Следовательно, этот вектор
определяется равенством:
B) . Е == — grad U,
т. е.
b) В однородпой среде с диэлектрической постоянной е, в которой распре-
распределены заряды с объемной плотностью р, имеет место равенство:
В частности, в тех областях пространства, в которых нет зарядов:
C') divE = — ДС7=О.
c) Внутри проводников электрическое поле Е всегда равно нулю, следова-
следовательно, U = const. Эта постоянная имеет везде одно и то же значение в системе
проводников, связанных друг с другом проводящими связями. Если же система
состоит из различных отделенных др"уг от друга частей, то каждая ив этих частей
характеризуется особым значением постоянной U.
d) Если заряд распределен на поверхности с поверхностной плотностью о,
то можно указать положительное направление нормали к поверхности п и
обозначить значения функций на положительной стороне значком -\- или а,
а на отрицательной стороне значком — или *. В случае замкнутой поверхности a
всегда означает внешнюю сторону, г — внутреннюю сторону. Тогда вместо C)
имеем:
D, -№
\ 9» /+

XV, § 1 Формулировка проблемы 703
Таким образом, нормальная составляющая напряжепия поля терпит разрыв,
в то время как из существования потенциальной функции следует, что танген-
тангенциальная составляющая остается непрерывной.
В частности, если заряженная поверхность проводника примыкает к диэ-
диэлектрику с постоянной е, то внутри проводника Е, = О, в силу с). Следовательно,
мы имеем в этом случае для плотности варяда на пограничной поверхности урав-
уравнение:
е) В диэлектрике плотность варяда везде является заданной функцией
координат. Если две однородные диэлектрические среды о диэлектрическими по-
постоянными в, и вя граничат друг с другом вдоль некоторой поверхности, то равно-
равновесие между ними, по представлениям Фарадея, устанавливается тахим образом,
как будто бы эта граничная поверхность представляла собой тонкий слой, про-
проводящий в поперечном направлении. С обеих сторон этой поверхности образуются,
следовательно, варяды, однако сумма их поверхностных плотностей о, и о„
в каждом месте равняется нулю.
Если опять обозначить через п нормаль, направленную наружу, хо в силу
уравнения E):
V/ «¦• па » ш
Нормальная составляющая вектора
является, следовательно, на граничной поверхности непрерывной; касательная
составляющая Еа вектора Е тоже остается непрерывной, вследствие непре-
непрерывности потенциальной функции U вдоль граничной поверхности, т. е.
Вектор D, совпадающий по направлению с вектором Е, называется электри-
электрическим смещением, а вектор D — Е = (е—1)Е называется электри-
электрической поляризацией.
1) Если диэлектрическая постоянная е сама является непрерывной функцией
координат, то из представлений, аналогичных тем, которые были развиты в пункте е),
следует, что вектор D либо не имеет источников, либо его источниками являются
находящиеся в диэлектрике заряды. Следовательно:
' 1V ~ дх ду дз~"~
Вдоль поверхности, заряженной поверхностными зарядами, имеет место соотно-
соотношение:
(8') Лпа DM{ — 4:ЖЗ,
а вдоль проводящей поверхности, в силу равенства D, = 0:
(9) Ъпа = 8вЕпя =
причем соотношение Е = — grad U остается справедливым,
Далее

704 Стационарное электромагнитное поле
и соответственно:
4т: "" " 4i
означают пространственную и поверхностную плотности свободно го заряда,
g) Если имеются заряды, распределенные в объеме или па поверхности, то
потенциальная энергия ноля, в силу A), определяется выражением:
(И) Е=-7Г f U?dv+-7T f Uzdf.
* J * J
v f
При этом необходимо предположить, что плотности зарядов р и о па бесконеч-
бесконечности обращаются в нуль достаточно быстро, так что общий заряд остается
конечным. Вставим сюда значения р, о из (8) и (8) и применим теорему Грина
в форме:
Ubndf= С D grad Udv -f f V div Ше.
В качестве граничной поверхности рассматриваемой области необходимо
при атом взять, во-первых, обе стороны поверхностей, заряженных поверхностными
зарядами, а во-вторых, шаровую поверхность очень большого радиуса, охваты-
охватывающую всю систему электрических зарядов и поля. Интеграл. Г VDndf по
этой шаровой поверхности стремится к нулю с увеличением радиуса И, так как,
но предположению, U стремится к пулю пропорционально Л~1, а 1)п—'Пропорцио-
1)п—'Пропорционально 1Г~2 Следовательно, остается:
В этом выражении анергия системы уже не связана с варядами, а распре-
распределена по всему пространству, заполненному полем. Это толкование, которое
в электростатике является чисто формальным а вполне эквивалентно прежнему
представлению о распределении энергии, окавалось чрезвычайно плодотворным
для дальнейшего развития электродинамики.
§ 2. Основные задачи; иетод отражений и электрических изображений
1. Однородные основные задачи. Основные задачи электростатики распа-
распадаются на две группы, которые математически различаются как однородные
и неоднородные задачи. Простейшей задачей первого типа является сле-
следующая: электрический проводник, окруженный со всех сторон диэлектриком, по-
получает определенный заряд. В состоянии равновесия этот заряд распределяется,
в силу § 1, по поверхности проводника таким образом, чтобы внутри его не было
никакого поля, следовательно, U= const. При этом требуется найти распреде-
распределение заряда па поверхности и потенциал, который лрипимает проводник но
отношению к бесконечности или к земле и другим весьма удаленным проводникам.
На основании § 1 E) распределение заряда будет известно, когда определено
электрическое поле и его потенциал снаружи проводника.
Эта задача принимает совершенно элементарный характер в случае сфери-
сферического проводника радиуса а, который находится в диэлектрической среде
с постоянной 8. Потенциал в окружающей среде удовлетворяет уравнению Д?/— О
и должен в этом случае обладать сферической симметрией, т. е. зависеть только

XV, §2 Основные задачи; метод отражений и электрических изображений 705
от расстояния до центра проводника. Единственная функция, удовлетворяющая
этим условиям, если отвлечься от аддитивной произвольное постоянной, есть
0) «r-i,
где т — некоторая постоянная. В этом случае, в силу § 1, E), илотность зз-
s dll em _.
ряда па поверхности о = — — -— = g , при г = а. Следовательно, полный,
заряд е = 4таг2з = ет. Если е задано, то' будет известно также и т. Внутри шара
потенциал принимает постоянное значение Uo =—- Если задано значение потен-
потенциала Uо, то заряд e — sm = eaU0. Отношение K.—>e:U0 называется емкостью
проводника по отношению к бесконечности и принимает в данном случае зна-
значение К = га.
Более общая однородная задача заключается в том, что имеются два или
несколько изолированных друг от друга проводников, погруженных в диэлектрик,
и вадана разность потенциалов между этими проводниками; требуется найти
соответствующие заряды. Простейший пример такой задачи представляет собой
шаровой конденсатор, т. е. два концентрических металлических полых
шара, между которыми приложена разность потенциалов Uo. Пусть промежу-
промежуточная среда простирается от г —а до г = 6 и имеет диэлектрическую по-
постоянную s.
Сферически симметричная потенциальная функция в этой среде имеет вид
т ¦
U— \- п.
г
Следовательно:
ТТ — II (п\ ТТ(IA ~ ' — ni
' а о ab
Плотность заряда на внутреннем шаре
s /dU \ sm
а на внешнем
эи
3 -л. fe (d
4 Г4АЭ
причем различие в знаках связано с тем, что на шаровой поверхности Ь нормаль,
проведенная из металла в диэлектрик, соответствует направлению убывающего г,
Полный заряд на обеих шаровых поверхностях имеет, следовательно, значения
так что величину
_, пЪ
можно рассматривать как взаимную емкость обоих шаровых слоев. При
убывании расстояния Ь — а между поверхностями обоих шаров, она неограниченно
растет.
2. Распределение электричества иа эллипсоиде. Поставленная в 1
однородная задача для случая эллипсоида решается следующим образом. Пусть
45 Зак. 1408. — франк и Мизес. Дифф. уравы. (мат. фна.

706 Стационарное влектромагнитное поле
оси эллипсоида равны а, Ъ, с; общий варяд равен е, тогда распределение варяда с
поверхностной плотностью
B)
а*
удовлетворяет тому условию, что потенциал этого распределения внутри эллип-
эллипсоида имеет постоянное значение, причем получается правильный общий варяд е1).
В предельной случае отсюда получается распределение на эллиптическом
диске, если с стремится к нулю. Так как при этой, однако, стремится к нулю
также и г на поверхности, то мы должны сначала исключить г посредством
ХЧ. гцЧ g2
уравнения эллипсоида —^- -J- -^-—}—г~ == ¦*¦* Поэтому мы напишем B) в виде-
C)
откуда, при с — О
C') - о = -
!) В правильности этого решения можно убедиться следующим образом: введем
эллипсоидальные координаты X>p.>v, которые равны корням кубического уравнения:
В этих координатах элемент длины определяется из
где
и т. д.
Уравнение Лапласа имеет* вид
Если мы хотим удовлетворить этому уравнению функцией F(X), зависящей только
от одного X, но не от fi и v, то это дает:
-А v У^+^)(Ьг + Х)(с2 + Х)^г) = 0,
откуда
<2Х
У = (
Верхний предел интеграла выбран так, чтобы на бесконечном расстоянии было F=0.
Если мы возьмем его выражение для У при Д>0 я положим V(X) = const => У@) при
Х<0, то удовлетворим всем условиям, которых доджей удовлетворить потенциал заря

, §2 Основные задачи; метод отражений « электрических изображений 707
Такой варяд расположен, однако, на обеих сторонах диска, поэтому плотность на
единицу поверхности диска получается удвоением:
о* =
а2//2'
и в частности, для кругового диска (а = Ъ) (га = ж2 + у9)
На краю эллиптического или кругового диска эта плотность становится бесконечной,
тогда как поверхностный интеграл плотности, вычисленный элементарным способом,
действительно, дает варяд е. Если вычислить эквипотенциальные поверхности,
соответствующие этому распределению варядов, то мы получим семейство софо-
куспых сжатых эллипсоидов вращения, фокусная кривая которых совпадает с краем
кругового диска. В этом легко убедиться йосредством интегрирования или, общее,
посредством введения эллиптических координат; см. об этом гл. XV, § 3,3. Так как
каждая эквипотенциальная поверхность сана может быть рассматриваема как
проводник, то одновременно с этим мы находим потенциальное поле, соответствующее
сжатым эллипсоидам вращения.
зкенного проводящего эллипсоида. Заряд эллипсоида определяется из того, что при X,
очень большой по сравнению с а3, Ь2, с*, должно быть, как показывает уравнение f(s) = О
Поэтому при больших значениях X
Поэтому окончательно:
у=± ?-== * (х>о).
2 J У (о2 + X) (Ьа + X) (с* + X) v ;
Следовательно, поверхностная плотность заряда равна
v)
так как на поверхности нашего эллипсоида X = 0. Из элементарных свойств корней
кубического уравнения вытекает, что при X = .0 '
а2) — г^ (о
2
Ига»
(Прим, ред.)
46*

708 Стационарное электромагнитное поле
Так же просто вычисляется поле удлиненных эллипсоидов вращения.
Примем сначала b = с, y2-\-z2 = г2; тогда, в силу B):
случае Ъ = О, когда эллипсоид превращается в отрезок прямой, мы имеем:
,.-¦,. е е е
lim о = hm
ь-уо ь->о
и, следовательно, в этом случае заряд на единицу длины оси является постоян-
ньга: 2кго = — Мы получаем, таким образом, случай равномерного распределения
варяда на отревке оси а; между —аи + а, причем полный 8аряд равен е. Потен-
Потенциал этого распределения заряда в точке х, г получается в результате эле-
элементарного интегрирования в виде:
+ а
тт е Г dt е (, а — х . а-\-х\
U=— ( - . = —-( arcsh ^-arcsh——)¦
la J y^piZ^^x iyi 2o\ r ' r )
— a
Если положить u = ch (— U )¦, то вычисление дает нам эквипотенциальные ло-
\е 7
верхности, определяемые уравнением:
и так как —— - = 1 ю это уравнение действительно представляет
и—1 и — 1
семейство софокусных удлиненных эллипсоидов -вращения с одинаковым фокусным
расстоянием а. Мы можем, следовательно, расчитать иоле, соответствующее такоиу
эллипсоиду, распределяя заряд е равномерно по отрезку, соединяющему фокусы.
Относительно представления посредством эллиптических координат, а также и
о случае трехосных эллипсоидов см. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, том
2, II, гл. III.
3. Неоднородные основные задачи. Если проводник помещен в заданное
электрическое поле, то в ней индуктируются Электрические заряды, и следова-
следовательно, образуется добавочное поле, которое компенсирует первоначально заданное
поле внутри проводника. При этом, в силу основного положения е) (§ 1), сумма
индуктированных зарядов должна равняться нулю, если проводник изолирован.
Ищется потенциал, который устанавливается на каждом проводнике, и распределение
заряда на его поверхности. Если же проводник простирается до бесконечности, то
его потенциал следует считать равным потенциалу бесконечно удаленных точек,
который п<& определению равен нулю. Подобный же случай имеет место- и тогда,
когда проводник свяван тонкой проволокой с землей, которую мы представляем
себе очень удаленной; при этом остальными действиями проволоки можно прене-
пренебречь. В этом втором случае потенциал проводника задан, ищутся же сумма за-
зарядов на нем и их распределение. Конечно, возможны многочисленные комбинации
вбеих этих задач, которые имеют место, например, тогда, когда некоторые из про-
проводников изолированы, а другие заземлены.

XV,.§2 Основные задачи; метод отражений и электрических изображений 709
Пусть задано электрическое поле Ео, и его потенциальная функция Uo<
Мы ищем решение в виде:
E) Е^Ео + Е,, U^Uo+Ui,
причем"" добавочное поле Е: снаружи проводника не имеет источников. Тогда, на
основании формулы C) § 1, имеем для области вне проводников:
F) divE! = —Д^ = 0.
Внутри каждого проводника, а, следовательно, также и на его поверхности,
потенциал принимает постоянное значение с1г так что:
G) ио+и^с{. .
Эта постоянная может либо быть задана, либо подлежать определению из
условии задачи (полный заряд). Во всяком случае из отсутствия поля внутри
проводник^ следует в силу непрерывности касательной составляющей по ура-
впению G) § 1, что касательная соста-
составляющая внешнего поля вдоль поверх-
ности проводника должна равняться
нулю:
.(8) Efc + Ej.-O.
Это и есть пограничное условие для
искомого внешнего поляЕ:, которое может
быть написано также в эквивалентной
форме G), применимой в силу непрерыв-
непрерывности также и в точках, примыкающих к \--'~- .'*'. |
проводнику извне. Наконец, необходимо -*-"*'-, .-Y/--H
принять в расчет, что на бесконечном
расстоянии добавочное поле должно Рис. 67.
исчезать, так как оно образовано заря-
зарядами, индуктированными на проводнике и, Следовательно, расположенными в
конечной области. Так как Ео4 в формуле (8) или UQ в формуле G) есть за-
заданная функция, то эта задача является неоднородной..
Очень простой пример представляет случай незаряженного проводящего
шара в однородном электрическом поле.
Пусть шар имеет радиус а и начало координат находится в его центре:
Пусть, далее, заданное однородное поле направлено вдоль оси х и равно Ео-
Его потенциальная функция, следовательно, равна
(9) Uo = — Eo# = — Eorcos».
Искомый добавочный потенциал иг должен удовлетворять уравнению F),
стремиться к нулю при г = со, а на поверхности сферы г — а равняться, на
основании формулы G)
Ur (а) = с + Еоа cos &.
Единственная функция, которая удовлетворяет этому условию о точностью до
неопределенной постоянной с, есть,
. Eoa3cos& ,
U, (х, у, z) = -JL__ »

710 Стационарное электромагнитное поле
так что окончательно получается решение
Плотность 8аряда на поверхности равна
' A dU\ Ео а
С = — — — =-^C0S»
откуда ясно, что если смотреть в направлении поля, то на ближайшей к нам стороие
индуктируются отрицательные заряды, а на задней стороне — положительные
заряды. Постоянное вначение . потенциала на поверхности шара г = а равф<
U(a,b)r=o, и то же самое значение потенциал принимает также на всей пло-
плоскости 8 = —, перпендикулярной заданному однородному полю (рис. 67).
2 '*¦ v
4. Отражение и электрические изображения. Электростатические задачи
упомянутого типа, относящиеся к таким пограничным поверхностям, как плоркостж
и сферы, часто могут быть решены способом зеркального отражения. Еслж,
например, область пространства, в которой изучается электрическое поле, огра-
ограничена проводящей плоскостью, например, поверхностью веяли или плоской метал-
металлической поверхностью, то потенциал U должен вдоль «той поверхности принимать
постоянное значение. Это условие может быть удовлетворено посредством отраже-
отражения в плоскости, причем задача, которая первоначально была поставлена только
для полупространства, ограниченного плоскостью, превращается в подобную же
задачу для всего пространства.
Конечно, физически реальным является только поле в заданном полупро-н
странстве, которое мы будем называть физическим пространством.
Пусть проводящая пограничная плоскость есть плоскость г = О, а физическое
пространство — область г > 0. Далее пусть известен потенциал UQ, который кроме
координат х, у, г, зависит еще от параметров ?(, ч\„ С(, например от координат
источников поля. Он удовлетворяет уравнению AUQ — — 4жр, где р есть плотность
заряда, заданная как функция х, у, г. Тогда отраженная функция:
A1) их{х, У, 8)—U0(x, У,-!i)
удовлетворяет потенциальному уравнению:
ДСГ=-|-41гр(ж, у, —г).
Мы получим ее, отражая источники ?4, т|4, С, в пограничной плоскости и
вычисляя поле этого отраженного распределения варяда. Поэтому вдоль плоскости
з = о UQ-\- C/j = 0 и, следовательно, потенциал U= Uo-{- иг удовлетворяет вдоль
плоскости 2 = 0 поставленному условию G). Броме того, если источники поля Ut
лежали в физическом пространстве, то источники поля Ut лежат вне его, тал
что в фивическом пространстве, как и требуется, AC/jsO.
Пусть, например, имеется один единственный точечный заряд е в точ*е
5, "»), С (С > 0) и ищется поле этого варяда и проводящей плоскости в = 0. Мы
получаем тогда решение:
V (*~

XV, §2 Основные задачи; метод отражений и электрических изображений 711
для полупространства г > 0. Для полупространства г < 0 инеем равенство Z7— О.
Индуктированный варяд р действительности расположен вдоль поверхности г — ».
Его плотность, как показывает вычисление, равна:
Чтобы вычислить сумму этих варядов, положим {х — ?J-\-(у — тг]J
Мы найден после элементарного вычисления:
со со
f o(r)rdr = —еС Г
rdr
г- = — е.
Она, следовательно, равна и противоположна по знаку индуктирующему
заряду, как это и должно быть в силу теоремы Гаусса A2).
Если физическое пространство ограничивается не плоскостью, а сферической
поверхностью, то „отражение в сфере" является непосредственным обобщенем
этого метода. В общем случае задача ваключается в том, что пространство раз-
разделяется поверхностью на две части и ищутся две функции UQ, Ut, которые
вдоль пограничной поверхности имеют равные и яротивоположные по 8наку зна-
значения, причем одна из этих функций является регулярной потенциальной функцией
в одной области, а другая в другой. Сфера отличается от остальных поверх-
поверхностей тем, что каждая ив функций ЕГ0, Ut может быть в этом случае просто
выражена через другую.
Если а есть радиус сферы, а г,у,д пространственные полярные координаты,
отнесенные к ее центру, то ив заданной потенциальной функции Uo всегда можно
получить другую, удовлетворяющую уравнению Лапласа потенциальную функцию
Pj и обратно, посредством вваимного соотношения:
A4)
Эти соотношения свявывают вначение UQ в точке г, ©, & и 8на"чение Ux
в .отраженной точке" — , <р, 9, которая соответствует первой точке в силу пре-
образования обратных радиусов и, кроме того, очевидно J70-(-C/j = 0 вдоль
поверхности сферы г = а. Обе связанные таким образом потенциальные функциж
являются веркальными изображениями друг друга по отношению к сфере
радиуса г = а.
Примером этого является „потенциал индуктированного заряда" J). Неза-
1) В дальнейшем используется следующее злементарно-геометричесвов свойств»:
из определения точки А' следует:
ОА' _ ОР
OP ~ О А'
где Р — любая точка на сфере. Полому ОА'Р подобен ОРА, и следовательно
ОР _ОА
РА'~РА'
ио(Г, ъ »)—f 17х(-?, », а).

712
СтационарнЬе элептромагнитное поле
ряженная проводящая сфера помещена в иоде точечного электрического заряда^
который находится вне сферы в точке А. а, г, <э, г> имеют тот же смысл, что
и выше, a R есть расстояние точечного заряда от центра сферы, причем заряд
лежит на радиусе, соответствующем & —0. Пусть г есть расстояние некото-
некоторой точки Р (г,Ь) от этого заряда (рис. 68).
Точке Р соответствует, в силу преобразования обратными радиусами,
я2
точка Р' с координатами г' = —, <р> Ь, расстояпие которой до точки А пусть
равно г'. Тогда мы имеем:
A5) г = Y& -f- r*—2Rr cos i>, .
3
Рис. 68.
Первоначальное поле заряда имело потенциал
Об) ц>=4-
Зеркальное изображение этой функции в том смысле, какой мы атому выражению
придали выше, есть:
а е
ае
ае
ае
здесь р, т. е. корень в знаменателе последней формулы, означает расстояние
точки Р от точки Аг — зеркального изображения А в сфере. Это означает, что
отраженная функция U^ как и первоначальная функция 170, есть функция,
имеющая один простой полюс; ее полюсом является зеркальное изображение
Значит для каждой точки сферы
-JL-JL _L
РА~ Л 'РА''
Если Р есть любая точка в пространстве, то потенциал
повсюду обращается в нуль на сфере, причем ясно, что полный заряд сферы, т. е.
Иг.
во теореме Гаусса равен —~. Поэтому потенциал
л
v—<,(JL.^Jl L | "¦ 1 Д
\РА В РА''*' Л РО)
удовлетворяет двум условиям: 1) на сфере радиуса о он постоянен Га именно, равен -4~)
и 2) полный варяд этой сферы по теореме Гаусса равен нулю.
(Прим. ред.)

XV,.§3 Электростатическое равновесие на двух заряженных сферах
7W
Ti/ я « « . ае
заданного полюса, а именно, точка И = -т>->" — О, а ее заряд равен е = ^-,
Так как самая общая потенциальная функция может быть составлена из таких
„полюсных функций" (кулоновых полей; см. § 1), то это вычисление можно,
между прочим, рассматривать как простейшее доказательство правила отра-
отражения.
Функцию U1 в физическом пространстве (г > а) можно рассматривать как поле
некоторого заряда, распределенного по поверхности сферы, причем полный заряд
но теореме Гаусса равен фиктивному заряду е'. Истинная плотность заряда вдоль
поверхности, умноженная на 4-, равна:
A8)
!_,_ HUo+Цг)
дг
e(r — R cos 0)
: _ _.
a
_
e(r — If cos 0)
Из введенпых выше определений следует при г = а известное геометри-
геометрическое соотношение для отражеппя: р : г = а : В, и кроме того KR' — а*. На осно-
основании этих уравнений, члены с множителем cost) выпадают из уравнения A9)..
и остается плотность заряда:
A9)
ca - - —
гз
откуда видпо, что плотность заряда обратно пропорциональна 3-й степени рас-
расстояния от полюса А, создающего поле.
Функция U* = Uo-\- U1 удовлетворяет требуемым электростатическим усло-
условиям во введшей пространстве и на границе сферы. Однако это решение соот-
соответствует не случаю незаряженной сферы, а тому условию, чтобы потенциал
был равен нулю как на поверхности сферы, так и на бесконечности, — следова-
следовательно, соответствует случаю заземленной сферы. Вычисленный заряд сферы
окавался равным с'= — -—. Чтобы найти поле незаряженной сферы, образуем
потенциальную фупкцию:
г
Г ° l rli '
B0)
которая получается, если в центре сферы имеется добавочный полюс с заря-
зарядом — е'. Так как вдоль поверхности сферы U* = О, то, значит, вдоль этой
поверхности:
B1)
*<«,?.*)—-7-
следовательно, потенциальная функция равна значению первоначальной потен-
потенциальной функции Uo в центре сферы. Потенциал внутри сферы принимает как
раз это постоянное значение.
§ 3. Электростатическое, равновесие на двух заряженных сферах
1. Задача и принцип решения J). С помощью разобранного в § 2, 4
принципа отражения можно решить такую задачу: две металлические сферы
заряжаются до заданных потенциалов Ua и Uh* Ищется величина зарядов и их
1) Применение метода отражений к этой задаче предложено В. Томсоном, а изло-
изложенные здесь аналит невские вычисления в принципе выполнены Риманом в книге
Hattendorf, Vortesungen ftber Sehwere, Elektrizitat und Magnetismus, Hannover, 1876.
\

714
Стационарное электромагнитное поле
распределение на поверхности обеих сфер, а также поле в окружающем про-
пространстве.
Эту задачу можно прежде всего разложить на две задачи и, таким образом,
упростить: сначала решим задачу в том частном случае, когда только Ua отлично
от нуля, a Ub равно нулю, т. е. вторая сфера заземлена; потом решим обратную
аадачу, соответствующую завемлению первой сферы: Ua равно нулю, Ub отлично
от нуля. Общий случай получится в результате линейного наложения обоих
частных случаев; поэтому можно ограничиться решением первой задачи.
Пусть радиус первой сферы, (рис. 69) равен а, радиус второй сферы Ь,
расстояние центровке, и пусть
с>а-\-Ь,
так что сферы не соприкасаются. Направим ось х пб линии соединения обоих
центров; поле будет обладать осевой симметрией относительно этой оси. Пусть
х, у, з координаты, отнесенные к первому центру, S, у, г—координаты, отне-
отнесенные ко второму центру, причем ж и ?
отсчитываются таким образом, что
X -f- \ = С.
Далее пусть:
Рис. 69.
<3а)
<8Ь)
A)
B)
Искомая потенциальная функция должна
удовлетворять условиям:
U=Ua, при г = а,
U=O, при р==Ь.
Мы исходим из простейшей потенциальной функции, удовлетворяющей только
условию (За)
,*\ тт - aU*
W . 1 г .
и применяем метод последовательных отражений в обеих4 сферических поверх-
поверхностях. Чтобы удовлетворить условию (ЗЬ), мы должны прибавить функцию К,,
образованную отражением в сфере Ъ. Для этой цели обозначим функции, выра-
выраженные через радиус г и полярные координаты (их можно обозначить через <рв, Ьв),
отнесенные к первому центру, буквой ?/,, а ту же самую функцию, когда она
выражена через радиус р и полярные координаты (<р4, S»), отнесенные ко вто-
второму центру, — буквой Wf. Тогда функция, получающаяся при отражении в *
{для краткости назовем это преобразование отражением Ъ), равна
Так как С7, (и соответственно TFj) в D) есть простая полюсная функция, то н*
основании § 2, 3, ия также представляет собой простую полюсную функцию
с другим положением и другой силой полюса.
Функция U1-{-U2 удовлетворяет теперь условию (ЗЬ),.но не удовлетворяет
уже условию (За). Чтобы опять удовлетворить также и ему, мы опять должен
прибавить функцию

XV, § 3 Электростатическое равновесие на двух заряженных сферах 715s
которая получается ив U2, отражением в сфере а (говоря короче, отражением а).
Эта функция опять представляет собой простую полюсную функцию и UA -\- 1ГЯ -\- Us,
опять удовлетворяет условию (За), но уже не удовлетворяет условию (ЗЬ). Про-
Продолжение такого ряда отражений должно, если ряд сходится, привести к иско-
искомому решению в виде бесконечной последовательности функций.
2. Решение. Функция Ut имеет полюс силы а ?7, в начале координат г = 0
(точка Pt на рис. 69). Поэтому функция U2 имеет полюс в точке, получающейся
из г = О посредством отражения Ъ. Эту точку мы обозначим через Р2; очевидно
она находится внутри сферы Ъ. После отражения а функция U2 опять переходит
в простую полюсную функцию СТд, с полюсом Рд внутри сферы а и т. д.
Чтобы определить точнее положение полюсов, мы примем в расчет, что
сфера а переходит после отражения Ъ в сферу Ь9, лежащую целиком внутри Ь,
но не охватывающую центра р = О. Внутри этой сферы лежит Р2. После отра-
отражения а эта сфера переходит в сферу а8, лежащую целиком внутри аивсвою
очередь не охватывающую точки Рх (г = 0). Внутри этой сферы лежит Р3. Отра-
Отражение Ь, примененное еще рае, переводит сферу аь в новую сферу Ь4, лежащую
внутри bj и не охватывающую точки Р2, причем внутри этой сферы лежит Р4 и т. д.
Продолжая^этот прием, мы получим внутри сферы а ряд сфер ад, а5,..., лежа-
лежащих внутри друг друга, причем между каждыми двумя последовательными сфе-
сферами, считая также и сферу а, лежат последовательные полюсы Р,, Р3, Рь,.. .
Точно так же внутри сферы Ъ получается ряд сфер Ь2, Ь4,..., находящихся
внутри друг друга, и между каждыми двумя сферами лежат последовательные
полюсы Ра, Р4,... Оба ряда полюсов приближаются к некотовым определенным
точкам Раао и РЬоо. Обе эти точки обладают тем свойством, что они получаются
друг из друга при отражении а и при отражении Ь. Ближайшая задача заклю-
заключается в том, чтобы определить эти взаимно соответствующие точки.
Рассмотрим для этой цели значения полюсных функций #4 и W{ только
вдоль оси х, соединяющей центры сфер. Функции Ut с нечетным значком» = 2& — 1,
полюсы которых лежат внутри сферы а, мы напишем в виде
F) ?>_= ^ .
Для того чтобы получить функцию вдоль всей оси х, необходимо взять
абсолютное вначение этого выражения. Чтобы определить отсюда И^, надо
написать, на основании формулы B)
Отсюда иа основании правила отражения Ъ имеем:
I
Напишем это выражение в виде
G') Wa:
?2fc-i

716
Стационарное электромагнитное поле
Величины jo2i._1, <72fc_i можно рассматривать как однородные координаты
нечетных полюсов, а величины р2к, q2k как однородные координаты четных
полюсов. Для них из G) и G') получаются рекуррентные формулы:
(8) р=--р. _-*_ ; ь =-Ь
Если переставить обе сферы (отражение а вместо Ь); то мы получим из функ-
функции A2к функцию U31c+1 точно таким же образом, как мы получили функцию Uilc
из 6r,fr_j. Коэффициенты соответствующих формул получаются из (8) переста-
перестановкой я и Ь, причем мы получим:
(9)
с
1 ? 'Pile
Вставляя (8) в (9), мы получим, наконец, рекуррентные формулы, связы-
связывающие координаты нечетных полюсов Р21с+1-
A0)
с2
аЪ
¦ Р ~i Qo
*2k —1*
Эти рекуррентные формулы не зависят от выбора первого полюса, из
которого ряд исходит, поэтому они определяют также й координаты р, q
точек Раоо, Pbo=i соответствующих друг другу при отражении а л Ъ, причем
для этих точек получается выражение вида;
с2 —Ь2 , с
(И)
а
Т
Для отношения а получается после исключения р, q квадратное уравнение
AГ> aa-f- п "т" 7~~С а4-1 = С,
v ~ ab ¦ ' '
и если вставить его корди av a2 в A1), то получатся координаты обеих искомых
точек Рао0, РЬоа- Вычисляя дискриминант уравнения:
Гс2
[с2 — (а — ЬJ]
\ аЬ
легко убедиться в том, что оба корня вещественны и отличны друг от друга...
Действительно, дискриминант положителен вследствие предположения с > a -j- Ь.
Так как av о2==1, то можно выбрать at > 1, а2<1. Обовначим однородные
координаты первой из этих двух точек
A2)
а координаты второй точки (а2) через
A2')
„<2>
к,), получающиеся из A1), через
а-\-аЛЪ
B1 а-\-аф
1 ~ ~~с

XV, § 3 Электростатическое равновесие на двух заряженных сферах
717
Общее решение рекуррентных формул A0) получается из этих „частных"
решений, если составить их линейную комбинацию с помощью двух ностояп-
ных сA\ ст:
где рх и ql означают начальные значения.
При этом рекуррентные формулы A0), если принять в расчет A1), дают
в случае к=1:
а в общем случае:
*-у2).
Для того чтобы найти решение, необходимо определить, обе постоян-
постоянные сA), с<2) в A3). Для этого нужно принять во внимание, что полюсная функция,
из которой мы исходили, ото — функция Uv определяемая уравнением D), т.е.—
вдоль оси х: иг = —.—~. Поэтому р1 =1, д, = 0. Если вставить эти числа в A3)
\х\
и использовать A2), A2'), то решение оказывается:
A5) сA)= — сB) =
и уравнения A4) принимают следующий явный вид:
ft —1 fc-l к ft
п., — аа ~"~ " — -
A6)
с а
1
к — 1
Та часть искомой потенциальной функции U [или ее значения U(х) вдоль
оси а;], которая соответствует полюсам iJ2u_1, находящимся внутри сферы а,
имеет вид
A6')
Из этой формулы ясна сходимость примененного метода. Действительно,
в силу выбора <tx > 1, а2 < 1, члены с множителем af получают по мере увели-
увеличения показателя все большее значение по сравнению с членами, имеющими мно-
множитель а/, и поэтому ряд сходится как геометрический.
Каждый отдельный член ряда A6') соответствует простой полюсной функции,
которую мы получим, если вместо
v U()
Pi
Pi
напишен:
A7)
all.

718 Стационарное электромагнитное поле
Соответствующий частичный заряд равен, следовательно,
1 Л
Полный заряд сферы а (распределенный в действительности на ее поверхности)
равен сумме этих фиктивных зарядов отдельных полюсов:
^ a(ax —oa ) + b(«i —«a).
и ¦
относительно сходимости которой можно сказать то же, что и прежде.
Чтобы найти чисть С7F) искомой функции U, которая соответствует полюсам,
находящимся внутри сферы Ъ, надо использовать рекуррентные формулы (8),
которые, в силу A6), дают:
a a, — a2
q — gi ~г~а2 ~* | Ь gi ~a2
Следовательно, согласно G'),
00
A8)
(«1-е.
Относительно сходимости этого ряда можно сказать то же самое, что и относи-
относительно ряда A6'). Значение искомой функции вдоль оси х можно представить
в виде U{x)— U^-\- ?/(Ь), причем от этой суммы простых полюсных функций можно
без труда перейти опять к пространственной функции U(x, у, г) аналогично A7).
Отсюда для полного заряда сферы Ъ получается выражение:
00
„. чг-1 Ъи , аЪ vi 1
A9) е> = 2/—&=г—^«(«i—«а)" 2) (а*_а*)'
Повторение всего вычисления при измененных условиях:
U= 0, при г = а; . ?/"= Uo, при р = Ъ
дает, далее, вторую часть потенциальной функции, которая соответствует потен-
потенциалу сферы Ъ. Из написанных выше формул легко перейти к предельному случаю,
в котором обе сферы соприкасаются," и следовательно Ua= Ub (при этом <Xi = ag).
1 Однако', на этом мы не будем останавливаться.
3. Коэффициенты емкости. .Предыдущее вычисление давало в том частном
случае, когда Uts=>0, заряды обеих сфер в виде
Если принять в расчет только Ub{Ua = Q), то получилось бы аналогично этому

XV,§4 Цилиндрические поля 719
в общем же случае, наложение обоих решений дает:
При этом всегда имеет место соотношение симметрии
что вытекает ив вычисленной формы коэффициента СаЪ A9). Действительно, если
явно ввести а и Ь, то это выражение оказывается симметричный относительно
обеих этих величин.
Кроме того, множители —\—-^т- также являются симметричными функ-
V — а2*
днями от а,, о.2 и, следовательно, согласно уравнению A1'), — симметричными функ-
функциями от а и Ъ. i »
Уравнения B0), поскольку они определяют варяды еп, еь по заданным напря-
напряжениям Ua, Ub, представляют, собою уравнения емкостей, причем второй способ
написания правой стороны этих уравнений показывает, что С^ = СЪа можно рас-
рассматривать как взаимную емкость, a Gaa~{-Cia и ОаЪ-\-Съь — как собственные
емкости сферы а и сферы Ь. Все эти коэффициенты зависят от взаимного поло-
положения обеих сфер. Обратная задача определения потенциалов по заданным,
варядам решается, если уравнения B0) решить относительно потенциалов.
§ 4. Цилиндрические поля. Представление посредством функций
комплексной переменной
1. Логарифмический потенциал, коаксиальные круговые цилиндры
Электростатические задачи для трехмерных областей, иг коих некоторые-
были решены в предыдущих параграфах, в принципе можно решать посредством
разложений в ряд, к которым самым общим образом ведет теория потенциала
и теория интегральных уравнений. Однако, лишь в немногих случаях современ-
современный анализ обладает специальными методащ, дающими возможность более детального
изучения распределения поля. При таком положении дела весьма важно то обстоя-
обстоятельство, что эти задачи значительно облегчаются, если ограничиваться двухмер-
двухмерными областями, причем это упрощение для многих физических задач возможно
без больших ошибок. Это имеет место в тех случаях, когда изучаемые тела в рас-
рассматриваемой области можно считать цилиндрами, которые в направлении г про-
простираются до бесконечности, причем поле в этом направлении изменяется мало.
При этом необходимо отвлечься от действия концов цилиндра; вместо понятий
трехмерной теории потенциала, при этом появляются понятия двухмерной теории.
Точечный заряд е вызывает по § 1 в окружающем пространстве радиально
направленное кулоновское поле, равное
A) В~5Г-'
Представим себе теперь бесконечную прямую, например ось г, заряженную
хинейным зарядом, распределенным на ней с постоянной линейной плотностью q>
так что e = qd(, есть заряд элемента длины iC; каждый такой элемент создает
воле, выражающееся .формулой A), причем для точки х, у, в будем иметь:

720 Стационарное электромагнитное поле
Сложение этик полей дает плоское радиалъно направленное поле, перпенди-
перпендикулярное к оси г, причем на расстоянии г = }А;2 -f- уя от оси г ноле равно
_ / gdC-cosCr, В) __ с
*~ J *? + ,/ +(*_¦<:)» - J
r r
2
Потенциальная функция, соответствующая этому распределению поля, равна
C) Щх, y) = 2gln^;
она содержит произвольную постоянную г0, которая определяется, если задан
цилиндр, потенциал которого равен нулю; вначение этой произвольной постоян-
постоянной не может быть принято равным ни нулю, ни бесконечности.
Далее, в силу C) § 1, потенциал ?7вобъеми!Ьго наряда, распределенного
с плотностью р(х, у, г), удовлетворяет потенциальному уравает;цл:
В цилиндрическом случае заряд также можно считать распределенным
в объеме, но его плотность должна быть независимой от координаты з. Плот-
Плотность заряда па единицу длины в направлении я и на единицу поверхности
плоскости ху мы назовем поверхностной плотностью и обозначим через о.
Потенциал этой поверхностной плотности, если положиь г = |/"(^+• >2 ~\~(У — "ЛJ»
получается из C) посредством интегрирования по всей плоскости ху
E) U{x, у) = 2 J о (?, г)) In *f_ ЛЫ%
и этот „логарифмический потенциал" поверхностной плотности о удовлетворяет
двухмерному потенциальному уравнению
дх* ' 9г/2
Такой потенциал цилиндрически распределенного заряда, в противополож-
противоположность ньютоновскому потенциалу, не может быть продолженным до бесконечности,
так как там он убывает до — сю. Однако, если сумма зарядов (или, при непре-
непрерывном распределении, интеграл элементарных зарядов) обращается в нуль;
G)
то бесконечные члены выпадают, и тогда можно написать
(8) U(x, у) = 2 j о E, ri) In (J_) dldf].
Эта функция на бесконечности, в силу G), стремится к нулю как —
1 в то время как ньютоновский потенциал, при исчезающей сумме зарядов, стре-
нулю как -де ]. В приложениях имеет значение только этот случав.
аштся к
>) coe» = cos(r, В) —г : В; г — C = rtg».

XV, § 4 Цилиндрические,поля 721
Вследствие указанной особенности логарифмического потенциала вдесь
нельзя уже говорить о емкости одной единственной заряженной проволоки, как
мы это делали в случав сферы, причем под этой емкостью мы подразумевалн
емкость по отношению к бесконечно удаленным телам. Здесь приходится пред-
представлять себе проволоку окруженной коаксиальной цилиндрической проводящей
поверхностью и определять емкость по отношению к этой поверхности. Пусть
имеются два цилиндра с радиусами а, Ъ, ось которых совпадает с осью z. Эти
цилиндры заряжены и разность потенциалов между ними равна Vai. Потен-
Потенциальная функция поля между цилиндрами имеет тогда, вообще говоря, вид:
с двумя постоянными q и г0. Отсюда получается заданная разность потен-
потенциалов:
ЬЛ = U (а) — ЩЬ) = 2q In ~.
Множитель
называется взаимной емкостью, отнесенной к единице длины цилиндров. Плот-
Плотность зарядов на поверхности цилиндров равна
_ 1 (ди\ —
4тс v v, /__4
2. Отражение, эксцентрические .круговые цилиндры. Задачу о распре-
распределении заряда на двух эксцентрических круговых цилиндрах с заданной раз-
разностью потенциалов между ними можно решить аналогично задаче для двух
сфер (§ 2), но гораздо проще, чем там. В основе этой задачи лежит „отражение
в круге". Проще всего получить правило отражения, если аналогично простран-
пространственному случаю преобразовать уравнение ДС/"=О к плоским полярным коор-
координатам:
рг \ дг ) ' д?2 д In г \ д In г / "^ 9о2
Это уравнение не изменяется, если заменить г на —, так как г в неге
д
входит только под знаком -^—.——, причем к тому же это дифференцирование
повторяется дважды.
Отсюда получается важное правило отражения: если U(r, <p) есть потен-
потенциальная функция, то и
A0) - U^ — l
тоже есть потенциальная функция, и обе принимают вдоль окружности г = я
значения, равные и противоположные по знаку. Мы назовем эти функции
зеркальными изображениями друг друга в окружности г = а.
46 Зак. 1408. — Франк ж Мизес. Дифф. урави. мат. физ.

722
Стационарное электромагнитное поле
Выберем теперь, как и в аналогичной задаче § 2, потенциальную функ-.
кдю Uo, которая имеет в точке Р (си. выше рис. 69, причем нужно вставить <?
вместо &) логарифмический полюс, соответствующий варяду q. Следовательно
A1) ио = — 2grlnr = — 2qlnVr*-\-Il2 — 2rlftcos<?.
Перейдем к отраженной функции:
A2) Cfj = 2g In г' = 2g In |/ ^+R* — 2 ^-R cos? =
Так как р означает здесь расстояние РА' точки наблюдения Р от изобра-
изображения А' точки А, то ясно, что Ut действительно представляет собой потен-
потенциальную функцию. Если мы теперь выберем в качестве функции Uo логариф-
логарифмический потенциал, соответствующий двум
параллельным проводникам J.,, Ая (рис. 70),
заряженным зарядами равной и противополож-
противоположной по знаку плотности q, причем все вели-
величины в предыдущих соотношениях будем раз-
различать значками 1 и 2, то получим:
Рис. 70.
A3) Г/о = —
При этом, согласно A2), отраженная функция
будет
— lnr) — 2g (In J22 -f- In p2 — lnr) =
A4)
Следовательно, отраженная функция U1 имеет с точностью до аддитивной
постоянной тот же вид, что и первоначальная функция С/о; ее полюсы предста-
представляют собой зеркальные изображения первоначальных полюсов.
Если, наконец, обе точки Av А* сами представляют собой зеркальные
изображения друг друга по отношению к окружности, то рх совпадает с rv
а р2 с г,. Следовательно, в этом случае
A4') #о =
Следовательно, добавочный потенциал Ut, который вместе с С/о дает вдоль
окружности сумму U = U0-\-U1 = q, совпадает о точностью до аддитивной
постоянной с Uq, откуда видно, что потенциал Uo имеет вдоль окружности
постоянное значение, и, следовательно, его можно рассматривать как потен-
потенциальную функцию, соответствующую этой окружности. А именно, в этом случае
мы имеем при г = а:
В,
A5)
I
То обстоятельство, что действительно г2 : г, = const, а именно = |/J?2 : Rx
в том случае, когда А1 и А^ представляют собой зеркальные изображения друг
друга по отношению к окружности, следует из теорем элементарной геометрии
(круги Аполлония).

XV, § 4 Цилиндрические поля 723
С помощью этих соображений легко определить потенциальную функцию,
которая принимает постоянные значения вдоль двух эксцентрических окружно-
окружностей, а вне обеих окружностей везде регулярна. Для этого нужно выбрать
в качестве точек Av A% пару точек, определенную уже в § 3, 2 и обла-
обладающую тем свойством, ч"то эти точки представляют собой веркальные ивобра-
жения друг друга в обеих окружностях. Если окружности имеют радиусы а, Ь и
расстояние их центров с> а-\-Ъ, то расстояния этих точек Hv B2 от центра
окружности а вычисляются ив уравнений, выражающих свойство зеркального
изображения в обеих окружностях:
A6) . ЗД = аЗ, (с — Д,Н« — Ла) =
причем получаются выражения:
Потенциальная функция
A7) U
м
вринимает, согласно A5), на окружности а постоянное значение
и, аналогично этому, на окружности Ъ постоянное значение
так что разность потенциалов обеих окружностей оказывается равной
еткуда для вваимной емкости обоих круговых проводников получается выра-
выражение:
09) P.,- rrlrr =- 1
В практических приложениях с обычно велико по сравнению с а л Ъ. В это1!!
случае можно придать выражению емкости другую форму. Уравнения A6) можно
преобразовать следующим обравом:
и отсюда
09')

724 Стационарное электромагнитное поле
Если с вначительно превосходит а и Ъ, то Дх приближается к нулю, a JZ2
к значению с, и тогда из A9') получается приближенное выражение:
A9") Oai= L__,
которое обычно кладется в основу технических расчетов.
При выводе этого приближенного выражения исходят обычно и» упро-
упрощенного представления, что варяды распределены равномерно по поверхности
, о
цилиндров, что, конечно, справедливо лишь с точностью до величин порядка —
или —. Потенциальное поле первого проводника при этой можно выразить фор-
с
мулой:
х поле второго—формулой:
(г, н гь означают расстояния от соответствующих центров, а г0 — постоянную),
и оба потенциальных поля налагаются друг на друга. На поверхности первого
проводника нужно положить rtt=a, гь = с I с погрешностью — — ), а на поверх-
поверхности второго проводника гъ — Ъ, га = с I с погрешностью ~ — |. Следовательно,
равноеть потенциалов
U— Ub= 2q (ln-^- — In I2. + In -UL — In 1*-) = 2gln -^-,
a ¦ 3\a c' b e ) * ab
In ) = 2gln ^
\ b e ) * ab
что совпадает с A7').
Это приближение обладает тем преимуществом, что его можно распростра-
распространить на случай, когда число проводников больше двух, тогда как точный способ
б такому случаю не применим. Пусть 1, 2, 3 такие проводники (рис. 71),
9v Ъу 9з их заряды, аи a2, a8 — их радиусы и с]2, с23 и т. д. — их расстояния
друг от друга. Потенциалы проводников можно написать в виде:
C12
Рис.71. г ^8 = 2^ In—^-+2g2ln—5--f2gsln——.
I cia c23 a3
Эти уравнения называются емкостными уравнениями Максвелла. Для тог»
чтобы иметь возможность проивводить вычисления с определенными вначенияш
потенциалов, необходимо предположить, как и выше в (8), что между варядамж
существует соотношение:
B0') 0 =

IT, § 4 Цилиндрические поля 725
В этом случае можно вычитать почленно любые два ив уравнений B0)
в жсключать таким образом произвольную постоянную г0. Например,
с13
ври этом получается, если учесть также B0'), правильное число уравнений с не-
взвестпыми qt, q%,... и т. д., которые можно, таким образом, выразить через
разности потенциалов иг — U2 и т. д. между проводниками.
3. Представление поля посредством функций комплексной переменной.
Тесная свявь, которая существует между уравнением
к функциями комплексной переменной, естественно имеет очень большое зна-
значение также и для двухмерных электростатических вадач. Искомые потенциаль-
потенциальные функции можно рассматривать как вещественную или мнимую часть ком-
комплексной функции аргумента г = х-\-гу.
Положим в этом смысле
B2) n*) = f(x + i!j) = T(x,y) + iU(x,y).
Электростатическое условие, которому должна удовлетворять потенциальная
функция V, ваключается всегда в постоянстве функции на поверхности провод-
проводника. Это означает, что функция /"(¦?), которую можно назвать комплексной
потенциальной функцией, должна на поверхности проводника иметь
постоянную мнимую часть или, другими словами, если рассматривать уравне-
уравнение B2) как конформное отображение плоскости z = x~\-iy на плоскость
f=T~\-iU, поверхности проводников, которые в плоскости з представляются
некоторыми кривыми, должны после отображения переходить в прямые ?/ = с,
т. е. в параллели к вещественной оси. Сюда прибавляются еще условия в бес-
бесконечно удаленных точках плоскости z, которые меняются от случая к случаю.
Если имеется одна единственная замкнутая кривая, причем ищется рас-
распределение электричества на этой кривой в случае равновесия, то вадачу можно
еформулировать еще иначе. Так как для окружности эту вадачу можно решить
без труда, то достаточно отобравить заданную кривую на окружность таким
ебравом, чтобы внешняя область переходила во внешнюю область окружности
(причем бесконечно удаленная точка должна оставаться бесконечно удаленной),
а внутренняя область — во внутреннюю область окружности. Если w(z) =
= u(z)-\- iv (г) представляет собою искомое конформное отображение, решающее
эту вадачу, то потенциальная фуикция в основном определяется выражением
hV^ + v*. .
Для решений, приведенных в 1 и 2, легко можно указать комплексные
формы. В случае двух концентрических круговых цилиндров потенциальная функ-
функция имела вид:
Соответствующая комплексная функция есть
B2а) /¦(*) = 2»g In-^-;
Z
оп» в самом деле преобразует окружности на плоскости з в горизонтальные
¦рямые на плоскости f.

726 Стационарное электромагнитное поле
В случае двух эксцентрических круговых цилиндров потенциальная функ-
цвя имела вид:
где Tj и га — расстояния от двух неподвижных точек. Соответствующая ком-
комплексная функция равна
где zv г2 обовначают комплексные координаты обеих неподвижных точек.
Далее, комплексная функция f(z) непосредственно свявана в случае электро-
электростатического поля с вектором напряжения поля ?. Действительно, на основа-
основании § 1, мы имеем:
да) *—?. ц,—f,
и далее:
B4) djv^ ^
дх ' ду
Поэтому Т&„ и J&j, можно выравить через одну и ту же функцию Т следующим
образом:
B30 F —^ Е--^-
{гб) Е*~ ду' Ь*~~ дх *
Из B3), B30 при этом следует:
df__dU_ дТ _ dU
дх ду ' ду дх
Эти уравнения в соответствующих обовначениях совпадают с уравнениями
Римана для вещественной и мнимой части комплексной функции, и, следова-
следовательно, введенная нами функция Т совпадает с вещественной частью Т ком-
комплексной функции ¦>
(По аналогии с гидродинамикой Т называют функцией тока. Она постоянна вдоль
силовых линий электрического поля). Сопоставляя, можно написать:
B5) ^_^=-^4-^ = 9/+^
* дх ' ду ду ' ду
Таким образом, вектор поля можно получить непосредственно из функции f(z)
при помощи комплексного дифференцирования, и поэтому его можно рассматри-
рассматривать как комплексный градиент комплексной потенциальной фикции f (г). Нако-
Наконец, плотность заряда на поверхности проводника также можно выразить через f (г).
Действительно, так как в этом случае плотность варяд» выражается, согласно § 1, E),
черев нормальную составляющую F, а касательная составляющая равна нулю, то
B6) ^«K^bEJ-lfWI,
и следовательно, плотность варяда выражается черев абсолютное значение ком*
влексного градиента, причем ее внак положителен или отрицателен, смотря по
тому, направлено ли поле из поверхности наружу или внутрь.

XV, § 5
Поле призматических проводников
727
§ 5. Поле призматических проводников
1. Применение метода Шварца. Наиболее важным из методов конформ-
вог* отображения, находящих себе применение в электротехнике, является метод
Шварца х) и его обобщения. Мы можем его применить непосредственно к сле-
следующему случаю. Цилиндрический проводник, сечение которого представляет
собой замкнутый многоугольник, заряжен определенным зарядом на единицу
длжны. Ищется распределение варяда и совданное им электрическое поле. При
атом в качестве противоположного полюса, на котором кончаются силовые линии,
исходящие из призмы, можно представить себе большой круговой цилиндр, охва-
охватывающий проводник.
Наиболее непосредственно можно применить здесь отображение Шварца
в следующей форме: пусть число вершин многоугольника, лежащего в пло-
скостн г (рис. 72), равно и, а их
внешние углы равны
, A) Pi*, № ••• ' IVе-
'Положительные значения (х
означают выходящие углы много-
многоугольника, а отрицательные значе-
значения— входящие углы. Так как
многоугольник весь расположен в ко-
конечной части плоскости, то на осно-
основании теоремы о внешних углах, Рис
сумма углов равна 2тс. Следова-
Следовательно
Комплексные координаты вершин обозначим через
Этот многоугольник, лежащий в плоскости г, нужно теперь отобразить на
единичную окружность в плоскости w таким образом, чтобы внешняя область
многоугольника однозначно соответствовала внешней области окружности, а беско-
бесконечно удаленная точка плоскости г— бесконечно удаленной точке плоскости г».
Отсюда следует, что г должно быть связано с w разложением вида:
C) * = ^ + Яо ^
Искомая комплексная потенциальная функция принимает в таком елучае,
иа основании § 4, 3, вид:
D) ' Я» = 2«г1п-^,
где q означает ваданный заряд на единицу длины цилиндра, а и>0 — произволь-
произвольную постоянную. Действительно, эта функция обладает тем свойством, что ее
мнимая часть U принимает постоянное значение на окружности |м»| = 1; следс-
*) Теория отображения Шварца изложена на русском языке в следующих пособиях:
С.А.Янчевскш, Функции комнлексной переменной, Ленинград, 1934 (глава VIII, § 20),
И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексной переменной (глава XI, §8);
«к. также Bururite-Courant, Funktionentheorie III Abschnitt, 7 Kapitel; Biemann- Weber, Diffe-
Differential-und Integralgleichungen der Meehanik and Physik, 1 TeiL, XVI, § 3.
(Прим. ред.).

728 Стационарное электромагнитное поле (
вательно она постоянна в плоскости г на многоугольнике, а ив разложения C)
следует, что U с точностью до аддитивной постоянной ведет себя нри больших
значениях г как — 2g In | г \, что соответствует ваданноагу заряду па единицу
длины цилиндра.
Комплексные значения wk, которые функция w принимает в вершинах
многоугольника, мы можем написать в виде:
E) ' w1 = e"i; w3 = eiS';...,tvn = eiS»,
так как они должны лежать на единичной окружности плоскости to.
Сделаем теперь в плоскости w обход по окружности, охватывающей еди-
единичную окружность и очень близкой к ней. В плоскости г этому обходу соответ-
соответствует обход по непрерывной линии, охватывающей многоугольпик и близкой
к нему. Для того чтобы касательная к этой линии поворачивалась на угол:\>-{к
вблизи вершины zv необходимо, чтобы в этой области дифференциал ds имел вид:
F) ds
где Р, (м>) означает аналитическую функцию, регулярную вблизи wt.
С помощью аналогичных соображений, относящихся к другим вершжнан,
иы получаем:
где Р(гс) означает теперь аналитическую функцию, регулярную вдоль *сей
единичной окружности. Для больших значений г % %о разложение —— должно,
dw
на основании C), иметь вид:
dz a_x 2а_2
v ' dw w* м;3
причем z не имеет особых точек во всей внешней области. Если нмо-
жить P(w) = —j-, то, принимая в расчет B), мы получим:
dz _ (to - wtr (to - w.2r ¦ • ¦ (to - wj*
или, разлагая в ряд:
Для того чтобы это выражение совпадало с (8), необходимо, чтобы член с цервой
отрицательной степенью w равнялся нулю, откуда для м>„ получается условие:
A0) ^ю, + а2м;а 4- ... + v-Hwn = 0.
Это условие означает, что функция
йе имеет на бесконечности логарифмического члена разложения, и, следователь-
следовательно, остается однозначной при обходе вокруг многоугольника.

XV, § ?> Поле призматических проводников 729
Мы получим связь между окружностью и многоугольником, если подставим
сюда значение м> = егЬ вдоль окружности, и заменим wk их значениями E). Произ-
Произведя простые преобразования и приняв в расчет B), мы придем к простому
выражению:
A1') Г
Х
из которого сраву видно, что направление отображающей кривой поворачивается
на заданный угол txsir при прохождении каждого из значений frn, а в остальных
местах она прямолинейна.
Функция A1) содержит комплексную постоянную а и комплексную постоян-
постоянную интегрирования z0, далее п вещественных постоянных 0„ &2,...,&п, значе-
значения которых однако ограничены комплексным уравнением A0), эквивалентным
двум вещественным условиям, так что окончательно остаются й-{-2 веществен-
вещественные постоянные, которыми мы можем распоряжаться. Многоугольник характери-
характеризуется 2» параметрами, из которых после вычитания и — 1 независимых задан-
заданных углов остается п -j- 1 параметр, определяющий эти п -\- 2 постоянные. Одна
постоянная остается неопределенной; это объясняется тем обстоятельством, что
единичную окружность можно повернуть около самой себя на произвольный
угол &о, иначе говоря, все w,r могут быть помножены на общий множитель е№>.
Из потенциальной функции D)
w
следует, на основании уравнения B6) § 4, что плотность заряда на поверхности
призмы но абсолютной величине равна
К } ' '~~ 4к '' Wl~" 2т:
Так как отображение было произведено па единичную окружность, то го (г)
имеет на поверхности абсолютное значение 1. Отсюда, в силу (9), получается
выражение:
dw
\a(iv — w^1 (го — w2f' ...(го — и>яУ»
обращающееся в бесконечность во всех вершинах, для которых р. положи-
положительно, и обращающееся в 0 во всех тех вершинах, где ц отрицательно. Это озна-
означает, что в выходящих вершинах плотность эаряда бесконечна, а во входящих
она равна 0. Первое явление называется в физике действием острия, а второе
экранированием.
В качестве примера многоугольника возьмем квадрат со сторонами длины s,
параллельными осям х и у. Из соображений симметрии молено заключить, что
в этом случае значения wk также образуют вершины квадрата, вписанного
в единичную окружность плоскости w; их можно положить равными корням
четвертой степени из —1: —~j= —~rf- Так как углы квадрата прямые, то
все [i4 = —. Тогда, на основании A1)
A3) s — го = а I

730 Стационарное электромагнитное поле
В D) сделаем произвольную постоянную м>0 равной 1, откуда w =* e2q , — =»— t
так что окончательно:
f г __
аз-) '-'.-|/ у w*+-^*f=?J v 2cosi^
Если проинтегрировать вдоль единичной окружности в плоскости м>, то уки
д =— ilnw— ¦—-, а сторона квадрата окавываетея равной
Зк , 1С к
A4) s — — ai J V2cos2»5&=a /"¦ У2cos2i>d& = a J/T /'
т -г •
Следовательно, постоянная а определяется длиной стороны s; выраже-
выражение A4) представляет собой эллиптический интеграл, который можно выразить
черев полные эллиптические интегралы первого и второго рода (гармонический
тип) х).
2. Два бесконечных призматических проводника. В предшествующем
применении метода Шварца мы находили статическое распределение электри-
электрического заряда на многоугольнике, отображая его на единичную окружность
или на вещественную ось второй комплексной плоскости. Обобщение этого ме-
метода решает вадачу о вычислении ноля между двумя призматическими провод-
проводниками. Проще всего тот случай, когда поперечные сечения обоих проводников
простираются в бесконечность, так что промежуточная область между ними одно-
связна. Пусть между обоими проводниками существует разность потенциалов Uo,
т. е. потенциалы обоих контуров равны О и Uo; другими словами, конформное
отображение, определяемое комплексной потенциальной функцией f=T-\-iU,
должно отображать один ив контуров на вещественную ось, а другой на парал-
параллельную к ней прямую, находящуюся на расстоянии UQ. Для простоты рас-
рассмотрим функцию w — t-\-iu= -j=-, для которой параллельная прямая нахо-
дится на расстоянии л.
В качестве первого примера возьмем случай, изображенный на рис. 73 (см.
также рис. 74), когда след первого проводника представляет прямую у = 0, а след
второго проводника есть угол а = jj.it, одна сторона которого параллельна первому
проводнику и находится от него на расстоянии а. Решение этой вадачи позво-
позволяет с помощью отражения вычислить также поле между двумя углами, лежа-
лежащими симметрично относительно оси х, как укавано на рисунках. Возьмем опять
выражение ~^~ = В (to), .где F(w) представляет собой функцию, которая веще-
вещественна вдоль вещественной оси и — 0, а вдоль параллельной прямой «= тс
частью вещественна, частью комплексна, причем ее аргумент определяется внеш-
внешним углом а = итс. Так как, далее, при больших отрицательных значениях х
*) Напомним: эллиптическими интегралами первого и второго рода (Веаерштрасс)
называются интегралы
г dz r zdz
„Гармонический" случай имеет место, когда все три корня полинома под радикалом
расположены (на комплексной плоскости) на одной прямой. (Прим. ред.)

XV, § б Поле призматических проводников 731
поле должно переходить в однородное, то -=— должно там приближаться к постоян-
постоянной, равной —,
1С
Мы удовлетворим этим условиям, выбирая в качестве функции Е соответ
ствующую функцию переменной v — ew, так как v вещественно при и = О и при
и = it. Это можно истолковать таким обравом, что функция v отображает полосу
плоскости w на верхнюю половину плоскости v, и таким обравом отображение
сводится к методу Шварца. Если вершине А соответствует точка w = m, то
с помощью соображений, аналогичных тем, которые были применены в 1,
можно убедиться, что эти требования будут удовлетворены выражением*
A5) ?.*(i,)eiL(
Действительно, это отображение дает для w = m, т. е. ею = — 1, требуемый
угол, а для w — — с», т. е. ew = O, -=— приближается к требующемуся значе-
a \ \ \
! / /
: "—\~ .• -i.n ч.
ПпОСНвсть 2' '•-.._...-•' плоскость W
Рис. 73. ч Рис. 74.
нию —. Следовательно, A5) есть решение задачи, а если принять в расчет
однозначность решения1), то окажется, что A5J есть единственное решение
поставленной вадачи.
В следующих двух случаях вычисление можно провести дальше, и оно ока-
оказывается важным для физических применений:
а) Края бесконечно широких конденсаторных пластин.
Когда угол а = тг и, следовательно, jj. = 1 (рис. 74), то речь идет о поле между
двумя конденсаторными пластинами, которые имеют в направлении, перпенди-
перпендикулярном к плоскости рисунка, бесконечную длину, и ширину которых в напра-
направлении отрицательной оси х можно тоже считать бесконечно большой. В дей-
действительности же таким образом может быть определено поле вблизи краев
пластин конечной ширины. Гедьмгольц изучал эту задачу в гидродинамической
формулировке. Мы получаем из A5), вводя опять f=——:
A6)
-=— =—(е
dtu it v
x) Доказательство теорем об однозначности решения для всех трех задач теорлн
потенциала ем на русском языке, наяример, у IL И. Иделъсонц, Теория потенциала,
ГТТИ 1932 (дл* задачи Дирихле § 3, 2в, для задачи Неймана § 3, 2 н для омешаниой яа-
дачн § 4). Шржм. ред.).

732 Стационарное электромагнитное поле
Для тех вначений функции f=T~\-iU, которые обладают большой отри-
отрицательной вещественной частью, преобладающее значение получает первый
член, представляющий собой однородное поле между пластинами, перпендику-
перпендикулярное к ним при больших отрицательных х\ при большой положительной веще-
д (п_и_
ственной части Т преобладает второй член: е и° е ®»—. Потенциальные ли-
"К
нии U= const представляют собой лучи, а линии поля 2'= const — окружности,
которые укаваны на рисунке.
Ь) Прямой угол (поле впадины). Случай а = -—, т. е. <j- = — играет
важную роль при расчетах динамомашин и соответствует полю бесконечно глу-
глубокой впадины. В этом случае мы получаем:
О
ияж после элементарного интегрирования:
JL(*-20) = 2 V е» + 1 __Ьф^=^-Ц^ — 2 УЧ -f-21n (
При большой отрицательной вещественной части числа w преобладает
часть, связанная со знаменателем второго члена:
+ -Le»+...-l)=«;-ln2 + ...,.
которая представляет собой одно-
у. w родное поле при больших отри-
* & цательных ж; при больших поло-
„о.... _. жительных вначениях веществен-
вещественной части w преобладает пер-
"
вый член: 21/еи + 1~2е , и
в качестве линий потенциала и
Рис. 75. поля опять получаются лучи и
окружности (ср. рис. 73).
с) Поле между двумя прямоугольными полюсами. Более
общим случаем, чем задача, изученная в Ь), является двухмерный случай поля
между двумя прямоугольными полюсами (рис. 75). Посредством отражения этот елу-
чай опять сводится к случаю одного единственного проводника и плоскости,
след которой представляет собой ось у — 0. Отображение на плоскость w — t -\- ги
надо опять произвести таким образом, чтобы ось у = 0 отображалась на ось
и = 0, а прямоугольный контур на параллель и = к. Отображение производится,
как и выше, в форме -~ — F(e"), причем ширина полюсов равна 26, а их
расстояние 2а.
Для определения F предположим, что точка г = 0 соответствует точке
г» = о. Тогда середине Р полюса (г = ш) соответствует w = №. F должно
быть вещественно и не должно обращаться в нуль, когда w вещественно; обоим
углам полюса соответствуют два нуля функции F на параллели м = гя,
которые на рис. 75 обозначены буквами м>15 tv2 и которые лежат симмет-
симметрично относительно точки to^i-к; обозначим е№1 — е~щ через —vv Далее, соот-

XV, § б Поле призматических проводников 733
ветствующие показатели jj. должны равняться половине, так как углы пря-
прямые. Наконец, F{e") представляет собою четную функцию w. Всем этим требова-
требованиям удовлетворяет следующее уравнение:
A8) t •^¦ = ^/(e" + *i)(e- + »i),
где А н vj представляют собой постоянные, которые определяются ив размеров
полюсов,, причем v, вещественно, положительно и больше единицы. Однознач-
Однозначность этого решения следует, как и выше, из теорем теории потенциала *).
Для выполнения вычисления сделаем подстановку:
A9) e" = v = , s = i Yvy e 2,
vi
которая связана с тем, что е" отрицательно и вещественно на контуре нолю-
сов. Отсюда
B0) ^=2,^ /$|(^)
*Ущ
следовательно, получается эллиптический интеграл с модулем к — — <1.
„ vi
Четырем углам г}, zv za, s4 контура в плоскости в соответствуют четыре
значения м> = :±:«те±1п»1, и соответственные четыре значения s = —vv — 1,
-j-i'n-fr, 1 (порядок значений соответствует рис. 75).
Поэтому из заданных размеров полюсов получаются для постоянных А
и «j два следующие условия:
B1) »tAi
B1') 2vtAi J -J
. . A
-^) =- 2ia.
При этом последний интеграл следует брать но комплексному пути, обходящем)
вокруг точки s = 0.
Интеграл в формуле B1) можно разложить следующим образом:
"к к
ds
J S* У V V J &V A— в») A — )
JL J:
= - f (l-fcV)c?s _ft2 [_z==Js_===_
J Y A _ e») A _ #Я8) J / A — я») A _ Vs*)
+ f Ф.
J S2 /A— S*-) A— u»i») '
См. примечание к отр. 731.

734 Стационарное электромагнитное поле
1 1
нрячем мы обозначили —g черев &2(<1). После подстановки s==-r— посдед-
нжй из этих трех интегралов переходит в
ТГ 7Г - ,
/№гНг Г A — &2r2) dr
У A _ r2) (Д _ J2r2) ~ J ]Л(Г—r2) (I _ J2r2) '
1 1 *
г — **-
Таким образом, мы свели интеграл B1) к полным эллиптическим интегра-
интегралам первого и второго рода с модулем к.
Положим
к к
__ Г ds , .„ _ Г 1 — кЧ*
1 ~" J у A_S2) A_J2S2)" ' ' J Y(l—S^) A —
Мы получим тогда вместо B1):
B2) ~ = 2Е1— С
Аналогично этому положим:
„ У ds „ Г A —4%2)^
% Л = 1 — , ' : i ?j = I —. — —
о о
и в помощью такого же преобразования получаем из B1'):
B2') -~=2Е—A-
-_. Деля B2) на B2х), получаем, наконец:
f
Здесь К а К1 представляют собой полные эллиптические интегралы первого
рода с модулем it и V = Y1 — ^2» -Е есть интеграл второго рода с модулем i,
а Ег можно выразить через полные интегралы первого и второго рода, если при-
привлечь еще полный интеграл второго рода Е', соответствующий модулю ? J). Все эти
интегралы как функции к известны и табулированы. Поэтому с помощью B3)
можно вычислить модуль it из —, а потом постоянную А с помощью B2)
или B2').
3. Поле между двумя конечными ограниченными проводниками. Если
ограничены оба проводника, между которыми ищется поле, или, по крайней мере,
один из них, то соответствующая задача отличается от предыдущей тем, что
пространство вне проводников является двусвязньш. При этом нужно различать
случая, из которых составляется общий случай:
Ср., например. Jacob», Fundamenta nova, § 56 и след.

XV, § S Поле призматических проводников 735
a) Оба проводника имеют равные и противоположные по
знаку заряды; в этом случае поле на бесконечности стремится в нулю (см.
§ 4, 1), так что бесконечно удаленная точка регулярна.
b) Оба проводника имеют одинаковый заряд; потенциал на
бесконечности является логарифмически бесконечным, комплексная потенциальная
функция имеет там заданную логарифмическую особую точку. Можно также рас-
ематривать первый случай как однородный, а второй как неоднородный.
а) Однородный случай. Нахождение потенциальной функции, которая на
юверхности обоих замкнутых проводников принимает постоянные значения с раз-
разностью 2UQ, мы опять истолкуем как отображение плоскости s = x-\-iy на пло-
екость w = t-\-iu, точнее на полосу между осью и — — и и и—-}-п. Искомый
потенциал тогда равен й—и—-. Вследствие двусвязности внешней области
в плоскости в это отображение не может быть одно-одно8начным; оно должно быть
одно-многозначным соответственно разделению полосы плоскости го на бесконечно
большое число конгруэнтных прямоугольников, длина стороны которых должна
быть определена. При этом всю внешнюю область плоскости г нужно отобразить
на каждый такой прямоугольник плоскости w. Простейший случай этого рода пред-
представляет собой задача в § 4, 2, где речь идет о внешней области двух эксцен-
эксцентрических окружностей. Комплексная потенциальная функция для этого случая
F — 2iq[\n(z—е{)— In (я — г2)], найденная в § 4, 3, действительно обладает
тем свойством, что ее вещественная часть при обходе одной из точек sl или %
возрастает на постоянную величину ц= 4яд, в то время как мнимая часть не
изменяется.
В случае двух замкнутых многоугольников можно опять применить метод
Шварца, вычисляя сначала выражение:
Л"
B4) ~ = F{w) = (и; — и)г)н (w — м>2Г ... Р(м>),
показатели у- которого определяются внешними углами многоугольника. При этом
нулевые точки распадаются на точки, соответствующие первому многоугольнику
и лежащие на оси и — — те, и точки, соответствующие второму многоугольнику
и лежащие на оси » = -|-я. Функция P(w) не должна иметь нулей в полосе
между и = :±: и и на ее краях, и она должна быть выбрана таким образом, чтобы
были выполнены условия периодичности и вещественности. Последним можно удовле-
удовлетворить, как и в 2, тем", что мы выберем в качестве функции F{w) функцию
от ге 2, так как это выражение положительно и вещественно вдоль оси и = — %.
и отрицательно и вещественно вдоль оси u = -\-ic. Таким образом, в функцию
F(w) вводится период 2ю. С другой стороны, вследствие разделения на прямо-
прямоугольники она должна обладать вещественным периодом. Следовательно, она об-
обладает свойствами двойной периодичности того же типа, что в эллиптические
функции с прямоугольным параллелограмом периодов, и поэтому всегда может
быть выражена через эти функции.
В качестве примера мы рассмотрим случай, на котором Гельмгольц г) выяс-
выяснил значение метода отображений: две бесконечно длинные параллельные кон-
конденсаторные пластины, которые однако теперь, в противоположность задаче, рас-
рассмотренной в 2 а (см. рис. 74), имеют конечную ширину. Их контур в плоскости z
состоит из двух параллельных разрезов, причем четыре вершины, т. е. точ-
точки rt b rt га, образуют прямоугольник (рис. 76). Эти вырезы можно рассматривать
как предельный случай многоугольников, а именно как двуугольники. Их внеш-
*) Л. Helmholtz, Ges. Werke, 1, 157. Но решение, данпое там, неправильно.

736 Стационарное электромагнитное поле
ней областью является вся бесконечная плоскость в, причем напряжение поля
с обеих сторон разреза будет принимать различные значения, и противоположные
точки разреза нужно при отображении считать различными точками, но только
с одинаковыми и. Вследствие симметрии мы можем, пользуясь отражением, огра-
ограничиться тем, что отобразим полуплоскость, ограниченную верхним разрезом
и вещественной осью у —0, в а половину полосы в плоскости w, лежащую между
осью и = 0 и (несколько обобщая то, что было прежде), параллелью и = К', где
К' подлежит определению. Оба „внешние" утла двуугольника равны я, так что
все значения }* равны 1.
На параллелях % = КГ плоскости w в этом случае на каждой длине периода
должны лежать две нулевые точки выражения F(tv), соответствующие обоим
краям вх, г2 = ±Ъ-^-га разреза, причем, так как i*=l, то эти нули простые.
При отображении полному обходу вокруг сечения соответствует увеличение
вещественной части t неременной w на постоянную величину, которую можно
обозначить через 2К. На ту же самую вещественную величину увеличивается t
(вследствие оаображепия в прямоугольнике) в том случае, когда мы проходим всю
-. if" * '
f
в
if
— — —
о——
K*tlT
ъ w'
*
2K*1K
UK»
Рис. 76.
вещественную ось х от — оо до -f- со. Следовательно, 2К и 2гК' предста-
представляют собой стороны параллелогра ма периодов в плоскости w, причем
верхняя полуплоскость z соответствует половине прямоугольника со сторонамн
2К и гК'. Точке в — оо оси х соответствует в каждом прямоугольнике плоскости
w точка оси « = 0, причем здесь можно выбрать точки м> = 0, ±2К, -±z4:K
dz
и т. д. Речь идет здесь о полюсе второго порядка, так как —г— не меняет знака
при прохождении через этот полюс (т. е. вблизи точки w = 0, е имеет порядож
w~l или w — порядок e~i, в согласии с примечанием в § 4, 1, согласно кото-
которому потенциал стремится к нулю при г=оо, как г в том случае, когда сумм»
зарядов равна 0). у
Соответствие плоскости z и прямоугольника плоскости ю устанавливается сле-
следующим образом: г— со соответствует м» = 0, ±2К" и т. д., причем это по-
полюсы второго порядка; при этом точке в — 0 на основании соображений симметрии
¦ соответствует w = ±: К, ± ЗК и т. д. При этом середине z = ia разреза на его
нижней стороне соответствует го — K-\-iKr, а той же точке на верхней стороне
разреза соответствует w = iJC, так как переход от верхней к нижней стороне
соответствует здесь ноловине обхода (см. по рис. 76).
Всем этим свойствам можно удовлетворить введением функции Лкоби *):
Л Л.
B5) H(w, К, гК') = 2q 4" sin ~ w - 2<f * sin -^ u> -f
1) О функции Якоби Я см., кроме цитированных уже Fundamenta nova, также
\Р. AppelletE. Lacowr,Fonctionselliptiques, Piiris (Gauthier-Villars),ed.2, 19>2. Используемое
'здесь разложевие Функции H(w) вряд ©vpbe выведено у Аипелля-Лакура в главе 1У
|§ 75 (стр. 119). В большинстве других современных курсов эти обозначения Якобн не
: встречаются, нлн затрагиваются лишь вскользь. См., например, Уиттекер и Batncou, Куре
современного анализа, в отделе 21, 62. {Дрин. ред.)

XV, § 5 Поле призматических проводников 737
где
причем нули этой функции находятся в тех точках, в которых F= -,— должно
обладать полюсами второго порядка. При этом F оказывается выраженным черев
некоторую функцию, аналогичную ^-функции Вейерштрасса:
B6) -- = F(w) = A ^ \-В,
и формула отображения поэтому имеет вид:
w
B7) e=*JF(w)dw=*A Ш^{и>) +Bw-\-C.
Для выполнения дальнейших условий мы должны определить постоянные
А, В, С и отношение периодов или модуль эллиптических функций. Постоянные
В и С должны равняться нулю, первая потому, что при увеличении аргумента и>
на 2К, в должно быть чисто периодическим; но это свойство уже имеет, по
определению, часть с множителем А. Далее, С = 0 потому, что, при w — K,
г должно обращаться в нуль, а этим свойством, в силу уравнения B5), обладает
Н'(w). Следовательно, остается:
. dlnH(w) dz
W > N 2~Л dw ' dw~
s
Но, как известно из теории эллиптических функций, функция —г- [совпадающая
с функцией Якоби Z(iv)] вещественна вдоль параллели u = iKf с точностью до
аддитивной мнимой постоянной и не имеет полюсов на этой линии. Следовательно,
она должна на протяжении каждого периода 2К иметь максимум и минимум.
dz
Эти значения представляют собой нули и>,, м>2 выражения-^—, соответствующие
обоим краям zt, гй разреза. ^Дальнейший ход вычислений следующий: положение
одного из этих нулей ю1 вычисляется как функция от отношения периодов, при-
ЯЧъН л 1
чем принимается в расчет, что —t-z- известным образом связана с —т-s и,
v аюг sm2 am w
следовательно, табулирована; после этого с помощью таблиц для Z{w^)' (эллип-
(эллиптический интеграл второго рода) вычисляют соответствующие значения -4- = '
_ -51 ' гУ* ш Требование xt: ijl — Ь: а представляет собой условие, опреде-
определяющее отпошение периодов или модуль 1с. Если эти величины известны, то B7')
дает также постоянную А в форме г1 — AZ(w^). Наконец, f— Ua-jrr представ-
представляет собой искомую комплексную потенциальную функцию.
Ь) Неоднородный случай. Второй случай, который вместе с изученным уже слу-
случаем дает решение общей задачи, заключается в том, что оба замкнутые многоуголь-
многоугольника в плоскости г имеют одинаковый потенциал, и поэтому, в силу симметрии
формы проводников, несут одинаковые заряды, которые можно обозначить че-
Ц Мы избегаем здесь обозначения q, которое применяли до сих пор, так как оно
употребляется обычно в теории 8-функцнй Якобн.
47 Зав. 1408. — Франк в Мизе». Дифф. уравя. лат. физ.

738 Стационарное электромагнитное поле
При этом на большой расстояния г потенциал ведет себя, на основании
§ 4, 1, как 2Qlnr.
Примененный выше метод отображения может быть использован также и для
решения этой задачи. С помощью этого отображения устанавливается соответ-
соответствие между бесконечно удаленной точкой плоскости s и рядом точек:
м>от = 0, ±2К, ±4K и т. д.
плоскости w. Искомая комплексная потенциальная функция, — назовем ее
Иг=Чг-|-гФ, — имеет в каждой ив этих точек логарифмический полюс с за-
рядом Q. Действительно, как мы сейчас докажем, при конформном отображении
поля заряд соответствующих частей поверхности проводника остается неизменным,
а такими частями можно считать большой круг в плоскости г и каждый маленький
круг, охватывающий полюс на плоскости w.
Действительно, на поверхности проводника плоскости г плотность заряда,
согласно B6) § 4, равна
Конформное отображение
w = vo (г) или г = в (w)
дает
B8) =¦ •
ds dw ds
С другой стороны, элемент длины ds плоскости s переходит при отображе-
отображении в элемент длины ds плоскости го, причем
B9) ds = ds ~
Следовательно, если проинтегрировать вдоль соответствующих частей по-
поверхности проводника, то, согласно B8), B9), мы будем иметь:
4w J I dz
Но ведь последнее выражение представляет собой заряд части проводника
в плоскости w, чем и доказано наше утверждение.
Мы имеем теперь, следовательно, в плоскости w = t-\-iu следующую задачух).
Ищется потенциальная функция И^м;), которая принимает одинаковые постоян-.
вые значения вдоль обоих параллельных прямолинейных проводников w = ±K't
и которая в точках w = О, ± 2К, rt 4K и т. д. должна иметь логарифмически»
полюсы с зарядом -j- Q. Для решения задачи мы поступим следующим образом.
Сначала мы отравим ряд полюсов (назовем его „действительным" рядо*
полюсов и обозначим значком 0, рис. 77) в обеих ограничивающих прямых и при.
пишем зеркальным отображениям полюсов заряды, равные и противоположные щ
знаку действительным зарядам,. следовательно заряды—Q. Отраженные рядй
обозначим значками 1 и 1. Тогда ряд полюсов 0 вместе с изображениями 1 удо-
удовлетворяют условию постоянства потенциала на верхней стенке и = ~\-К\ с дру-
другой стороны ряд полюсов 0 вместе с изображениями 1 удовлетворяет тому щ
условию на нижней стенке «=—К'. Однако, изображения 1 не удовлетворяли-
!) Эта задача встречается и непосредственно в электротехнике (см. F. Noether^
Cber eine А^аЪе der Kapazitatsberechnung, Wise. Veroff. a. d. Siemens-Sehuckerf
Konzern, II, стр. 198, 1922.

XV, § 5 Поле призматических проводников 739
условиям на нижней стенке," а изображения 1 не удовлетворяют условиям на
верхней стенке. Для того чтобы также и эти условия были удовлетворены, необ-
необходимо еще раз отразить ряд 1 в нижней границе и = — К', а ряд 1_ в верхней
границе и = + -К"'; таким образом мы получим два новых ряда 2 и 2. Эти новые
изображения опять получают противоположный заряд, т. е. заряд + Q. Продол-
Продолжая таким образом дальше, мы получаем, наконец, поле в физической области
между прямыми u — ±Kf, представленное как поле решетки, которая в важдом
горизонтальном ряду имеет последовательно заряды rt Q. При этом логарифмиче-
логарифмические полюсы с зарядом+ Q лежат в точках wmn = 2mK.-\-4:niK' ,ъ полюсы с заря-
зарядом— Q лежат в точках wn^ = 2mK~\~D:n-\-2)iK' для всех положительных
н отрицательных чисел т, и, включая нул*. (ср.* знаки на рис. 77).
Это поле логарифмических полю- ,
сов обладает двойной периодичностью 5+о +о +о- +о +о +•*«
эллиптических функций с периодами
4tK, 4iK'; что касается его сходи-
сходимости, то к ней применимы теоремы, 7-о -о -о -о -о +2ИС
известные из теории эллиптических
функций. Комплексная потенциальная ¦ """" + W
функция, которая получается в ре- 0JtO +о +о +о +
вультате суммирования отдельных по- >—2М -**
люснъгх функций, может быть, согласно ¦ - НС
§ 4, 3, написана в виде: ?_q _q _q _q ^ _^
C0)
Функция P(w) должна иметь по- +о
люсы первого порядка во всех точках
решетки с положительным знаком и Рис. 77.
нуди первого порядка во всех точ-
точках решетки с отрицательным знаком. Эти условия выполняет функция Якоби
sin am (x го, Ьг)'
если определить модуль кх таким образом, чтобы соответствующее отношение
тсг l *
периодов равнялось i -тт- I в то время как примененное выше конформное отобра-
гение давало отношение периодов г -^-^ \. Для этой цели нужно положить (ср.
Jacobi, Fundamenta nova)
откуда
Соответствующие полные интегралы равны
к 1С
^ 2К'
1 J V\— Vsin»? ' * J Vl — (I— ifc
о
47*

740 Стационарное электромагнитное поле
К К'
Остается положить х = -^- = —^, после чего периоды функции Р(м>) действи-
тельно принимают значения 4К и ПК'. В таком случае искомая потенциальная
функция, согласно B8), B9), представляет собой мнимую часть W, следовательно,
sin am
что решает задачу полностью.
Постоянный потенциал на стенках получается ив его значения в точках
w — + iKr. В этих точках значения равны:
U(±:iK') = — 2Qhi
sinam
На основании формулы, известной из теории эллиптических функций, имеем:
sin am ( ——, It l = —=.
Поэтому потенциал на стенках равен:
Далее, вдоль окружности малого радиуса г, окружающей действительный:
полюс, надо положить:
тс тс
sin am -~ w = -—¦ г,
Л. л
и .значит разность потенциалов между этой окружностью и стенками =? %К':
— 2Qh(^-r)-i
\ /
Значение
определяет „емкость системы, рассчитанную на полюс", если представлять себе
полюсы как реальные поперечные сечения проводников малого радиуса г.
§ 6. Прииенение электростатики к теории катодных, ламп г)
1. Постановка задачи. В то время как металл в холодном состоянии,
находящийся в вакууме, может быть заряжен сколь угодно сильно, в горячем
(накаленном) состоянии он теряет это свойство, так как тогда электроны могут
выходить из металла посредством процесса, подобного испарению. Это явление
лежит в основе устройства катодной лампы, которая, как правило, состоит из
двух находящихся в вакууме электродов — катода и анода. Катод накаляют;—чаще
всего с помощью электрического тока. В случае трехэлектродной лампы приба-
прибавляется еще один вспомогательный электрод, изолированный от обоих дру-
чих — „управляющий электрод". Если соединить положительный полюс батарея
(анадной батареи) с анодом, а отрицательный с катодом, то, согласно вышеска-
вышесказанному, через лампу потечет электрический ток. Сила этого тока iA есть опре-
определенная функция iA = f (?д) анодного напряжения уА. Функциональную
Этот параграф включен по инициативе редактора немецкого издания.

XV, § 6 Применение электростатики к теории катодных ламп 741
зависимость гА от <?А обыкновенно называют „характеристикой" лампы. Ее обычный
вид представлен на рис. 78. В области между точками Л и В (только эта
область и имеет значение в большинстве применений) можно приближенно счи-
считать характеристику прямолинейной.
Если между катодом и управляющим электродом ввести вспомогательное
напряжение <oQ, то при неизменном <рд сила тока гА изменяется, на чем и осно-
основано применение катодной лампы в качестве усилителя в радиотелеграфии.
Варкгаузен *) нашел, что зависимость iA от »е может быть представлена
формулой
где f имеет то же значение, что и выше, a D есть постоянная, характеризующая
данную лампу и называемая обычно „проницаемостью". Ее теоретическое вычи-
вычисление представляет собой задачу большой важности потому, что величина D
имеет основное значение для усилительного действия
лампы. 1а
2. Вычисление проницаемости. При вычисле-
вычислении проницаемости мы будем следовать Лауэ2) и
Абрагаму3) и соответственно этому будем считать
задачу в первом приближении электростатической.
При наличии разностей потенциалов <рди <?в на катоде
индуктируется электрический заряд е; благодаря тому
обстоятельству, что этот электрод накален, заряд А в
иожет выйти из катода и вызвать ток %А, который мы
поэтому в первом приближении будем считать про-
пропорциональным величине е. Заряд е легко вычислить по общим законам электроста-
электростатики. А именно, если сначала положить <oQ = 0, то во всяком случае e = el=^ Сх<оА,
причем постоянная Су обычно называется частичной емкостью между
катодом и анодом. Аналогично, если положить »д = 0, то заряд е = е2 = С2<ре,
где С21есть частичная емкость между катодом и управляющим электродом. Оче-
Очевидно, что общий случай можно получить, складывая заряды, получающиеся
в обоих частных случаях (см. § 3, 3):
B) ' ' e = ei + e.2 = Ol?A + O29e, С, < О, С2<0.
На основании вышесказанного мы можем, следовательно, положить
где
C) .D=s^>0;
следовательно, сила тока iA действительно выражается формулой вида A) на
прямолинейной части характеристики. При этом проницаемость оказывается равной
/У
отношению обеих частичных емкостей —¦, и поэтому может быть вычислена
с помощью методов теории потенциала. Для того чтобы электрический ток мог
протекать, необходимо, в силу отрицательности заряда электронов е<0, чтобы
было уe -f- D<oA > 0. В противном случае ток не течет (выпрямляющее действие
катодной лампы).
х) Г. Мёллер, Электронные лампы и их применения, ГТТИ, 1934.
2) Хаме, Ann. d. Phya. 59, 465, 1919.
3) Abraham, Arch. f. Elektrot»chn. 8, 42, 1919.

742
Стационарное электромагнитное поле
Вычислим теперь значение величины D в конкретном случае, которые возможно
более близок к технике. Пусть лампа имеет сечение, указанное на рис. 79.
Анод представляет собой цилиндр радиуса а, а катод есть провод радиуса г0,
совпадающий с осью цилиндра. Пусть г0 <С! <*• Управляющий электрод пусть
состоит из „сетки" ив т проводников, параллельных оси и имеющих радиусы р (р <С»,
которые находятся на равных расстояниях друг от друга на цилиндрической по-
поверхности радиуса д и соединены между собой электрически. Пусть д < а, но
дна имеют одинаковый порядок величины. Для простоты предположим, что
цилиндрические поверхности простираются до бесконечности в направлении оси;
при этом наша вадача сводится к двухмерной. \
Задача заключается, согласно § 2, 1, в решении дифференциального урав-
уравнения 4G=0 с пограничными условиями: ?7 = 0, при г — гф U—yA, приг = а
и U~og на поверхностях проводников сетки. Введем в плоскости чертежа ком-
комплексную координату z, и тогда можем при-
приравнять U, на основании § 4, 3, веществен-
вещественной части комплексной функции х (*0> кото-
которая удовлетворяет вышенаписанным погра-
пограничным условиям.
Ясно, что мы сможем приближенно удо-
удовлетворить условию постоянства х на поверх-
поверхности проводников катода и сетки, приникая
в качестве х сумму логарифмических потен-
потенциалов, выражающихся формулой B2а) § 4, с
полюсами в точках 0, ви я2, ... Действительно,
в достаточной близости от точки zk величина
* \g(z—zk) много больше всех других логариф-
логарифмов, и поэтому эквипотенциальные линии в
достаточной близости от zk приближенно явля-
являются окружностями, а поэтому поверхности
проводников, как и требуется, являются поверх-
поверхностями постоянного потенциала.
Чтобы сделать потенциальной линией также и окружность г = а, отразим
точки вк в этой окружности; обозначим отраженные точки через zk*. На осно-
основании метода электрических изображений § 4, 2 можно утверждать, что тогда
на поверхности г = а потенциал тоже будет постоянным, если в точки zH и гк*
поместить равные и противоположные по знаку заряды, т. е. если к каждому
члену lg(z—zk) прибавить член —\g(z— zk*): Следовательно, в общем виде
можно положить
Рис. 79.
где А, Въ G—выбираемые покамест произвольно вещественные ностоянные. Отсюда
следует:
г,*
Так как значения zk, как равноотстоящие точки на окружности радиуса д,
представляют собою корни уравнения ¦?*"—дГ — О и то же самое справедливо
относительно як''
D)
* то мы можем также написать:
у
г0

XV, §6 Применение электростатики к теории катодных ламп 743
где, на основании правила отражения
E) 99*= а*.
Для определения постоянных положим сначала в D) г = а, тогда, принимая
в расчет E), получим после простого вычисления:
F) <p.=^llg— ,4-тБ lg-i-
r0 a
Далее, для г = r0, вследствие того, что г0 <^ д, получим, принимая в расчет E),
G) 0 = 2тБк —-4-С.
а
Наконец, положим \г—д\ = $. Тогда можно вынести из выражения \гт—дт\
множитель р, а в том, что останется, в силу условия р<^<7, положить прибли-
приближенно г = 9- Эт° дает:
\г —9 \ = Р\г -Тг 9-{-•••-\-г9 +9 1 = 1
Далее, с той же самой точностью
Тогда пограничное условие на проводниках сетки имеет, на основании D), вид:
(8) ?G =
¦[(т) -]
Из трех уравнений F), G), (8) можно сразу выразить три постоянные А,
В, С через потенциалы <оА и <ре линейным образом и тем решить задачу опре-
определения U. В частности, для постоянной А мы получаем с точностью до неинте-
неинтересного для нас множителя:
Вблизи нулевой точки D) сводится к первому члену, следовательно
U—к логарифмическому потенциалу. В этом случае по своему физическому
смыслу величина А есть просто заряд единицы длины катода, разделенный на—2
(ср. § 4, 1); поэтому (9) совершенно аналогично B), и для проницаемости сразу
получается:
(Ю,
Если, например, положить (как обычно бывает в чтехнике усилительных
ламп): а = 5 мм, д = 2 мм, р = 0,2 мм, m = 6, то из A0) получим: D = 0,09 = 9%-
3. Объемный заряд. Полученное выше решение является неправильным
не только потому, что мы исследовали электростатически случай стационарного
тока, но также и потому, что применение уравнения Лапласа недопустимо, так
как электроны, излучаемые катодом в вакуум, создают заметную объемную плот-

744 Стационарное электромагнитное поле
ность варяда (объемный варяд). Поэтому горячий металл в вакууме всегда окру-
окружен „облаком объемного заряда", и вычисление распределения потенциала и
варяда в таком облаке представляет собой дальнейшую важную и интересную
вадачу теории катодных ламп. Эта задача была в основном также решена Лауэх).
На основании принципов статистики легко установить и проверить на опыте
(Ричардсон), что плотность объемного варяда в состоянии статистического равно-
равновесия в какой-либо точке свявана с потенциалом U уравнением
(П) Р = рД
где р0 овначает плотность в точке ?7—0, а а есть постоянная, вависящая только
от температуры металла. В дальнейшем мы всегда будем полагать, что на поверх-
поверхности металла U= 0; тогда для каждой определенной задачи р0 и а будут опреде-
определенными постоянными, причем, так как варяд электронов отрицателен, то ро<0.
Если связать A1) с уравнением Пуассона § 1, 2 C), Д*7= —4гср, то мы
получим дифференциальное уравнение
A2) AtT== —4icPoeair.
Выведем сначала одно общее свойство уравнения A2). Так как р0 < 0, то
AU всегда >0, и поэтому U, согласно теореме Гаусса, не может нигде иметь
максимума, а следовательно, согласно A1), | р | также не может иметь максимума.
Следовательно, электронное облако, которое имеет на границе исчезающую элек-
электронную плотность, не может находиться в равновесии; поэтому оно должно по
крайней мере в одном месте находиться в соприкосновении с накаленным
металлом.
В качестве простейшей задачи мы найдем решение уравнения A2) в том
елучае, когда U вависит только от одной координаты х. Этого можно достигнуть
в том случае, если рассматривать накаленный электрод как бесконечно протя-
протяженную пластинку, перпендикулярную к оси х. Из уравнения A2) мы тогда
получим:
Е
dx* —
Умножая обе стороны уравнения A3) на -=—, мы получаем первый интеграл:
A4) -^=1/ -^-e«a+A*,
dx у о
где А* есть постоянная интегрирования. Если имеется только один накаленный
электрод (мы представляем себе его как массивный кусок металла, простираю-
простирающийся от х — х0 до — оо), то на основании вышесказанного U не может иметь
максимума в какой-либо точке х > х0, и поэтому также не может иметь мини-
минимума в конечной области. Следовательно, -=— нигде не может равняться нулю,
и поэтому А2 должно быть положительным числом или нулем.
Обозначим положительный" корень из А2 черев А и введем в уравнение
A4) вместо U переменную р, определяемую формулой A1); тогда мы получим:
A5) х= J
pVp-\-B V—
Lam, Jahrb. d. Rad. u. Elektr.. 16, 205.

XV, § 6 Применение электростатики к теории катодных ламп 745
где для сокращения положено В = —, а X — произвольная постоянная.
Решая уравнение A5) относительно р, мы получаем:
И**>' АЧ1'
откуда с помощью A1) можно вычислить также U(x).
Ив A6) мы видим, что при # = Х, р — — оо; следовательно, X должно во
всяком случае быть меньше, чем х0. Вблизи х = X, р ведет себя приблизительно как
я, следовательно, не вависпт от А; в той же области U стремится к бесконеч-
бесконечности как —2 lg(ar—X).
Для х0 — X получается приближенно:
xo — X=y —
откуда следует, что, так как в общем случае а и р0 оба очень велики, плоскость
ж = Х лежит очень близко" к поверхности накаленного электрода. Поэтому мы
можем с малой погрешностью поместить эту поверхность в точке х = хо = Х и
производить вычисления таким образом, как будто на поверхности плотность
и потенциал бесконечно велики.
Для очень больших х из A6) получается:
А2* -Аа(х-Х)
р_ _-_«
Следовательно, при больших значениях о плотность очень быстро (экспонен-
(экспоненциально) стремится к нулю; согласно A1), мы получаем отсюда для потенциала
t. e. линейный ход. Постоянная А будет определена, если задать в одной
какой-либо точке х вначение U, — если, например, в эту точку поместить холодный
электрод, обладающий" определенной разностью потенциалов <р относительно горя-
горячего электрода. Так как А > О, то <р должно быть < 0, следовательно, холодный
электрод должен быть отрицательным, что ясно и бев вычислений. Если холод-
холодный электрод положителен, то получается не стационарное состояние, а эле-
электрический ток (см. 1 и 2). При А = О формула A7) применима совершенно
(точно, и в этом случае р стремится на бесконечности к нулю обратно продор-
ционадьно квадрату расстояния, a U логарифмически. Это соответствует тому
случаю, когда холодный электрод находится на бесконечности и :имеет потен-
потенциал, равный нулю.
Мы переходим теперь к решению уравпения A2) в двух измерениях, что
применимо во всех тех случаях, когда электроды имеют форму бесконечно длин-
длинных цилиндров произвольного сечения. Тогда нужно написать:
Введем новые координаты с помощью комплексной функции го = w (г)
таким образом, что s — x-\-iy, a tv = u-\-iv. Пусть при этом функция U(x,y)

746
Стационарное электромагнитное поле
переходит в функцию U* (м, v). Определим далее еще одну функцию
средством уравнения
по-
поA9)
_2_
a
dz
dw
Между функциями U и U* имеет место соотношение:
да?
Если подставить это в A8), то, используя A9), мы получим:
In 2 _„
В силу уравнения AЭ)
9Г , 3Г _ d*/
ds
dw
регулярна. Отсюда далее следует:
«г
вевде, где функция lg
B0)
что формально тождественно с A8).
Следовательно, если мы нашли решение V уравнения B0) для какого-
либо частного случая, то ив него можно с помощью A9) сразу получить новое
решение U*, в котором ьо(г) есть произвольная аналитическая функция. При этом
точка U= со переходит в точку F= со, причем, однако, в отдельных точках,—
в особых точках отображения z{w)—могут возникать трудности, которые необхо-
необходимо особо принять во внимание. Мы нашли выше общее решение уравнения
A8) для случая, когда точки х = Х имели потенциалы U=co. Если мы с по-
помощью конформного отображения z{w) преобразуем прямую м = Х в проив-
вольно вадапную кривую в плоскости г, то мы получим из уравнения A9)
решение, соответствующее этому пограничному условию. Если новая погранич-
пограничная кривая не имеет углов, то вбливи ее функция V будет вести себя как
— 2 lg /, где I овначает расстояние рассматриваемой точки от пограничной
кривой. Поэтому мы опять можем с тем же приближением отождествить эту
кривую с контуром цилиндрического накаленного электрода и после аргого
решить задачу о распределении заряда в двух измерениях самым общим обра-
образом для произвольной формы накаленного цилиндрического электрода.
Если, например, функция отображения имеет вид м> —lg —, то она пе-
реводит прямые и = const в окружности, центр которых совпадает с началом
координат в плоскости г. С помощью этого отображения легко можно изучить
наиболее важный для технических применений случай, когда электроды имеют
форму бесконечно длинных коаксиальных круговых цилиндров. Существование
особой точки в начале координат не имеет,вдесь значения, так как эта точка
во всяком случае не, лежит внутри рассматриваемой области. Аналогично по-
поступают и в других случаях.
Наконец, с помощью ивученных методов можно получить самое общее
решение уравнения A8). Легко убедиться с помощью вычисления, что- частное
решение уравнения B0) для кругового цилиндра есть

XVI, § 1 Формулировка уравнений поля и простые задачи 747
Отсюда мы получаем, согласно A9), решение уравнения A8):
Здесь w{s) есть совершенно произвольная комплексная функция, так что
B1) представляет собой общее решение A8). Эта формула дана Лиувиллем, и
Бибербах показал, что действительно все вещественные решения A8) содер-
содержатся в B1).
ГЛАВА XVI
СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ
§ 1. Формулировка уравнений поля и простые задачи
1. Физические законы. Законы, которым подчиняется поле электрического
тока, ведут к математическим формулировкам, почти совпадающим с формули-
формулировками вадач электростатики, так что задачи обеих областей всегда могут быть
сопоставлены друг с другом. Задачи, требующие более сложного математического
исследования, появляются в тех случаях, когда ток идет черев области, имею-
имеющие различную проводимость, причем последняя может изменяться непрерывно.
В качестве примера мы рассмотрим вадачи о ваземлении и задачу о токе
в жидкости между электродами. Мы дадим вдесь решения только для стацио-
стационарных (постоянных) токов, чем практически с достаточным приближением
решается также и вадача о переменных токах нивкой частоты. При этом пре-
пренебрегают теми неоднородностями в распределении тока, которые появляются при
переменных токах и вависят от индукции (например, скин-эффект).
Основные ваконы взяты из области явлений прохождения тока в так назы-
называемых линейных проводниках, т. е. проводов постоянного сечения, погруженных
в непроводящую среду:
a) Когда к заряженному телу присоединен линейный .провод, то увели-
увеличение или уменьшение полного варяда тела в единицу времени определяет
электрический ток в проводе, который считается положительным в одном на-
направлении и отрицательным в другом направлении.
b) В каждом отдельном линейном проводнике можно с помощью электро-
электростатических приборов измерить в каждой точке потенциал J7, падение которого
вдоль заданного отрезка пропорционально силе тока J, текущего по проводнику
(закон Ома), т. е. между двумя точками 1, 2 имеет место падение напряжения:
A) U2—U1 = WJ.
Постоянная W, омическое сопротивление, пропорциональна длине проводника
между точками 1, 2, обратно пропорциональна площади его поперечного сечения
и зависит от материала.
c) В месте разветвления линейных проводников сумма притекающих токов
равна сумме вытекающих токов A закон Кирхгофа).
d) В произвольно разветвленной цепи линейных проводников тоже можно
в каждой точке электростатически ивмерить потенциал,—иначе говоря, сумма
падений напряжения вдоль разветвленной цени на произвольном вамкнутом
пути равна нулю (П вакон Кирхгофа).
Из произвольно разветвленной цепи можно посредством предельного пере-
перехода получить поле электрического тока, непрерывно распределенного в про-
пространстве. Поэтому Максвелл распространил эти законы на поле токов сле-
следующим образом:

748 Стационарное электромагнитное поле
а) Поле токов характеризуется вектором i плотности тока, составляющая
которого in по нормали к некоторому элементу поверхности df дает ток на
единицу поверхности, проходящий черев этот элемент. Если Q есть истинный
электростатический варяд, находящийся внутри* вамкнутой поверхности f, то
г
т. е. изменение варяда в единицу времени равно полному току, проходящему
черев поверхность внутрь ее (направление нормали п считается наружу).
Если V означает объем, ограниченный этой поверхностью, а р — объемную
плотность заряда, то
= fpdV и findf= fdividV;
/ / /
последнее преобразование сделано на основании теоремы Гаусса; следовательно,
из B) вытекает, если применить эту формулу к элементу объема, что
B0 "divi = f-
В случае стационарного тока отсюда следует
C) divi = O,
т. е. поле электрического тока аналогично полю потока несжимаемой жидкости.
b) В поле стационарного тока существует электростатическая потенциаль-
потенциальная функция U, связанная с напряжением поля соотношением:
D) Е = — grad U.
c) Каждый материал характеризуется постоянной с — удельным электриче-
электрическим сопротивлением, т. е. сопротивлением куба, ребра которого равны единице
длины.
Ее обратное значение X = — называется проводимостью. Интегрируя по
С
произвольному пути между двумя точками поля тока, мы получаем:
E) Щ—Щ^
откуда следует
E') — gradC[=E = ci, или 1 = ХЕ.
Последнее соотношение является дифференциальной формой закона Ома.
d) К закону C) л. а) надо прибавить, что на границе двух средин с раз-
различными проводимостями X.J, Х2 нормальная составляющая \п плотности.тока не-
непрерывна:
F) 4 = W
Следовательно, нормальная составляющая напряжения поля терпит раврыв,
определяемый соотношением /
Поэтому при прохождении тока через такую пограничную поверхность на
яей всегда образуется электростатический ааряд с плотностью

XVI, § 1 Формулировка уравнений поля и простыв задачи 749
Можно представить себе, что электростатическая потенциальная функция
поля U создана этим распределением заряда, которое имеется также и в том
предельном случае, ксгда проводник (\t) граничит с непроводником (Х2 = 0);
в последнем случае нормальная составляющая in=O, однако предельное зна-
чение —- = Еп, остается конечным.
Наоборот, в силу Ъ), касательная составляющая напряжения поля непрерывна
(см. гл. XV, § 1), и поэтому касательная составляющая плотности тока тер-
терпит разрыв:
(8) Е,, —Е,1==О, т. е. ib.—kr=o.
Ив непрерывности касательной составляющей поля и нормальной соста-
составляющей тока вытекает, как и в других подобных случаях, вакон преломления
'для линий тока на поверхности раздела. Если <xt и etg означают углы линий
тока в обеих4 средах с нормалью к поверхности раздела, то
|E1lsino1==|E2|sma2; ^|Е
следовательно, закон преломления:
<ga1:tga2 = X1:X2.
е) Так как 4up = divE (по гл. XV, § 1), то из E') и B') следует для
области с постоянной проводимостью X:
(9) -^--= —divi = —XdivE = —4-лр,
откуда вытекает
т. е. внутри однородного проводника, даже в случае нестационарного тока,
заряд может находиться только при том условии, если он вначале был туда
внесен. Плотность этого заряда в каждой точке проводника убывает по экспо-
экспоненциальному закону. Если не принимать в расчет таких внесенных извне
варядов, то даже и в случае нестационарных токов имеем уравнение divi = O.
Мы получим полную электростатическую аналогию с формулированными нами
основными законами поля тока, если вместо электрического тока будем
рассматривать диэлектрическое смещение, иначе говоря, электростатическое
поле неоднородного диэлектрика, причем вместо проводимости X -появится
„диэлектрическая проводимость" е. Поэтому в электростатике проводник можно
рассматривать также как вещество с бесконечно большой диэлектрической по-
постоянной, в котором хотя сила поля равна нулю, но диэлектрическое смещение
остается конечным, так же как, на основании формулированных выше ваконов,
сила поля Е в идеальном проводнике (X = оо) равна нулю, но плотность тока
остается конечной.
2. Простые задачи о стационарных по/шх тока. Законы поля электри-
электрического тока находят простейшее применение в том случае, когда металлический
проводник с проводимостью Х2, которая принята равной бесконечности, помещен
в бесконечно протяженную однородную проводящую среду с проводимостью X,
например, в землю, и ток переходит ив металла в землю. В связи с наличием
сопротивления току у вемли появляется разность потенциалов между металлом
(„электродом") и удаленными точками вемли. Вычисление этой равности потен-
потенциалов имеет практическое вначение.
Если \п есть плотность тока, проходящего через поверхность, то Е„ = ~

750 Стационарное электромагнитное поле ¦ •*<
i
есть нормальная составляющая напряжения поля во внешней среде, в то время -
как в металле напряжение поля равно нулю. Вследствие непрерывности Е„
касательная составляющая Е равна нулю вдоль пограничной поверхности также
и в наружной области, поэтому электрическое поле в наружной области ведет
себя как электростатическое поле. На пограничной поверхности образуется
электрический варяд с плотностью с==—2-==—2-, и поэтому полный заряд есть
—й'
где J=. Г indf овначает полный выходящий из металла ток. Наконец, если
электростатическая емкость проводника по отношению к бесконечности есть С,
то падение напряжения по отношению к отдаленным точкам есть
Следовательно, в случае сферы радиуса я,
J
4irXa "
Небольшое видоизменение этих соображений приводит к случаю, когда метал-
металлический электрод, подводящий к вемле ток, помещен на поверхности вемли (например,
электрод полушаровой формы). В этом случае нормальная составляющая тока вдоль
поверхности земли должна равняться О. С помощью отражения в поверхности
вемли можно свести этот случай к предыдущему, при этом однако необходимо
удвоить силу тока и, следовательно, считать ее равной 2J. При этом под С мы
теперь подразумеваем емкость полного тела, подучающегося при отражении
(например, а в случае полушария радиуса а). Тогда
к- J
1 1
Множитель -т--гр или „, называется „сопротивлением вавемления"
электрода. В применениях электроды, имеющие форму пластин или стержней, заме-
заменяются обычно эллипсоидами или полуэллипсоидами с подходящим отношением
главных осей, и после этого применяются формулы, выведенные ранее (гл. XV,
§ 2, 2) для емкости эллипсоида.
Большое вначение имеет, например, тот случай, когда электрод предста-
представляет собой малый круговой диск радиуса Ь, касающийся поверхности вемли.
* 2Ь
Но формулам гл. XV, § 2, 2, емкость кругового диска С' = ; следовательно,
1С
1
сопротивление ваземления в этом случае равно - ¦,.-.
§ 2. Прохождение тока между землей и металлическими проводниками
1. Граничная задача и интегральное уравнение. Сделанное в послед-
последней вадаче § 1 допущение об исчезающе малом сопротивлении металлического
проводника (в сравпении с удельным сопротивлением окружающей среды) ста-
вовится недозволенным, когда металлический проводник имеет форму „линей-
еого" проводника, т. е. его длина значительно больше его поперечных размеров.

XVI, § 2 Прохождение тока между землей и металлическими проводниками 751
Действительно, в этом случае падение напряжения вдоль проводника будет того же
порядка, *что и падение напряжения в окружающей среде. Рассмотрим здесь сле-
следующие задачи 1).
Не принимая в расчет поверхности земли (ее можно бев труда принять
в расчет с помощью отражения, см. 1. с), предположим, что бесконечно длинная
проводящая трубка, имеющая форму кругового цилиндра, помещена в однородную
среду — землю. Направим ось х прямоугольной координатной системы вдоль оси
трубки и обозначим внешний-радиус трубки через р, а поперечное сечение металла
через f. Пусть на расстоянии h по перпендикуляру от этой оси из маленького
шарообразного электрода Q выходит в землю электрический ток Jo; спрашивается,
каково будет распределение тока в земле и в проводящей трубке. Пусть прово-
проводимость земли равна X, проводимость металла Л; что же касается проводимости
вещества, наполняющего внутренность трубки, то ее можно не принимать в расчет,
так как она во всяком случае 'мала по сравнению с Л и практически ее можно
учесть небольшим изменением сечения f. Следова-
Следовательно, сопротивление проводника при равномерном 9 s
распределении тока на единицу длины проводника ]
1 I
равно w = -г->. /,
Часть тока, входящего в землю, переходит в
проводник и в дальнейшем опять выходит в землю.
Из формул § 1 для этого тока получается следующая ¦
граничная задача: надо найти поле тока (г) и свя
ванное с пим электростатическое поле (Е), которое —~—~
получается из функции U, удовлетворяющей потен-
циональному уравнению (Е = — grad U). Вблизи точки . Рие- 80-
х — у — 0, s = h, U должно вести себя как функция
~
р
[г = Ух2-j-у2-\~(г — hJ] и точно так же на большом расстоянии U
должно стремиться к нулю, как —. Вдоль поверхности у2 -\- г2 = р2 проводника,
которую мы обозначим через о, U должно быть непрерывно, а его нормальная
производная должна терпеть разрыв, определяемый уравнением
A)
(¦
где а и г означают внешнюю и внутреннюю производные I если существует не-
непроводящая среда внутри, то на внутренней границе проводника нужно
dU A
ПОЛОЖИТЬ -j— = О I .
дп )
Эту вадачу можно преобразовать в интегральное уравнение, выразив
функцию U черев простое распределение заряда на поверхности а
с плотностью jj.; это распределение представляет собой одновременно действи-
действительное распределение электростатических зарядов. Потенциальная функция
при этом получает вид:
'do;
B)
*) Дальнейшие технические выводы См. у F. Koether, Wise. Veroffentl. d. Siemens-
Schuckert-Konzerns I, 3 A921), стр. 35.

752 Стационарное электромагнитное поле
(?, т), С суть координаты точки, лежащей на поверхности а). Пограничное усло-
условие A) можно написать в виде:
Вставляя B), мы получаем интегральное уравнение
8
C) — Z*(\ + A)v.(as,y,,)-i-Q. — A)j ?(=, ч,С)
_ ,А Xv dU0(x, у, г)
которое имеет иесто на поверхности проводника.
Формулированная таким образом граничная задача и интегральное уравне-
уравнение, решение которых чрезвычайно затруднительно, дают распределение зарядов,
напряжений и тока, как в продольном, так и в поперечном направлении провод-
проводника. Практическое значение имеет лишь распределение в продольном направ-
направлении, а для его вычисления данная нами формулировка мало пригодна.
Поэтому чрезвычайно существенно то обстоятельство, что с помощью упрощенной
формулировки, которая непосредственно приведет к интегральному уравнению,
?ы сможем вычислить как раз продольное распределение.
2. Непосредственная фориулировка интегрального уравнения. Из всего
тока Jo, выходящего в землю, часть проходит в металлический проводник, где
он в основном течет параллельно оси. Ток, проходящий через поперечное сече-
сечение f параллельно оси, представляет собой интеграл продольных составляющих ix
плотности тока по этому поперечному сечению; назовем этот ток в поперечном
сечении с абсциссой х через J(x). Мы имеем, следовательно:
D) J(x)= flx(x,y,e)df.
Вследствие наличия разности потенциалов между трубкой "и окружающими
частями земли ток в дальнейшем опять выходит из проводника. Обозначим
суммы входящего и выходящего тока на единицу длины проводника, считая
положительным выходящий ток, через i(x). Эта сумма равна интегралу нор-
нормальной составляющей тока на поверхности по периметру I поперечного сечения:
2яр 2*р 2*1>
E) •(*)= f ind/ = X f Е„ас« = Л
0 0 и
Здесь Е„в и Е„, означают нормальные составляющие электрического тока
внутри и снаружи. Вследствие закона сохранения тока C) § 1, мы имеем:
<6>
Напряжение поля на поверхности терпит разрыв, поэтому поверхность
надо считать заряженной электрически, причем заряд q на единицу длины пред-
представляет собой интеграл плотности заряда р, введенной в 1, взятый по пери-
периметру сечения: ч
G)

XVI, § 2 Прохождение тока между землей и металлическими проводниками 753
следовательно, согласно E)
*1'\ g (х\ _ .3 /х\ в
Рассмотрим теперь ивменепие напряжения вдоль оси трубки {у = г=^о^
причем обозначим это напряжение черев U(x). Заряд, распределенный по поверх^
ности проводника, согласно G), создает в точк,е х оси потенциал
(8) Di(»)= f Adi,
— oo
где
Первоначальный потенциал, созданный источником тока Qt равен, согласно § 1
где
Следовательно, полный потенциал на оси трубки (у =ss = <
+ СО
j A
Эта формула решала бы задачу, если бы можпо было пренебречь омиче-
омическим сопротивлением проводника (т. е. если бы Л/1 было равно бесконечности).
Действительно, в этом случае, мы имели бы U (х) = const, а именно = О,
как и при х = оо. Следовательно, дело сводится к электростатической задаче
о вычислении распределения варядов q(x), которое уравновешивает заданное
внешнее потенциальное иоле Uo в смысле гл. XV § 2. Это уравнение:
(ю-)
представляет собой „интегральное уравнение первого рода", определяющее
распределение тока в „идеалтвом" проводнике, или, практически говоря, в доста-
достаточно коротком отрезке действительного прололвика. '
Если же мы хотим определить 'также и обратное выхождение тока в вемлю,
то необходимо принять в расчет конечное значение электрического сопротивления.
Падение потенциала вдоль оси, вычисленное по формуле A0), должно совпадать
с тем, которое вызывается омическим сопротивлением. Мы должны сделать вдесъ
приближенное предположение, что это омическое падение напряжения вызы-
вызывается полным током J(x) во всем сечении и сопротивлением w = jj. на единицу
длины, т. е.
J(x)
Этим самым мы предполагаем, что ток J(x) равномерно распределяется
яо сечению и что напряжение, следовательно, тоже постоянно во всем сечении.
48 Зак. 1408. - Франк и Иизес. Дифф. уравн. пат. фпз.

754 Стационарное электромагнитное фоле
Значит мы пренебрегаем поперечными составляющими тока я электрического
поля внутри проводника; ' чтобы быть последовательными, мы пренебрежем
также членом Е„, в G), и, следовательно, членом —г- в G'), и поэтому напишем:
А.
(Г) g»- i(x)
Ив G"), F) в A1) следует:
ж поэтому мы получаем не A0):
-t- о
kf Г
*«*¦ J
В 4кХ V *2 -f-
Мы получили неоднородное линейное интегродифференциалшое уравне-
уравнение B-го рода) для падения напряжения вдоль проводника. Функция =
='-7- • называется ядром этого уравнения. Упомянем еще, что вид
уравнения не изменяется, если сечение цилиндрического проводника становится
ве круговым. При этом только вмезто р появляется соответствующая величина,
характеризующая поиеречное сечение (ср. работу, цитированную в начале § 2).
Поэтому в этом случае следует говорить не о значении потенциала на оси,
* о среднем значении потенциала в поперечном сечении.
3. Решение интегрального уравнения для распределения: тока. Реше-
Решение интегрального уравнения A0') возможно, если мы внаем собственные функции
соответствующего однородного уравнения. Для этой цели мы введем сначала
отвлеченные величины
A4) ' -?--«, ±-ь -1 = ,.
В интегральном уравнении A0') мы теперь будем искать варяд q на еди-
яицу длины (или же заряд Р2 = Ч иа новую единицу длины, равную р)
в функции от t, причем для этого заряда получим уравнение:
A5, j"
j"
с ядром
A5') К (t — х) = г
Соответствующее однородное уравнение (параметр Ъ) есть
A6) * @ - 4 / Kit - х) ф (г) dx = 0;
— оо
его решение мы и должны сначала найти.
Мы имеем здесь особенно простой случай однородного интегрального ура-
уравнения потому, что ядро K(t — х) симметрично относительно переменных In

XVI, § 8 Прохождение тока между землей и металлическими проводниками 755
к зависит только от равности t—т, н потому, что интегрирование производится
вдоль всей вещественной оси от — оо до + оо. Поэтому в этом уравнении
ни одно значение t не выделяется но сравнению с другими и его можно рас-
рассматривать как аналог линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, существенное свойство которых ваключается в следующем. Если
известно решение ty (t), то функция ty(t-{-c) ПРИ произвольном значении постоян-
постоянной с есть решение того же уравнения, т. е. в данном случае уравнения с тем же
параметром ?. На основании этой аналогии мы ищем общее решение в виде:
A7) Ф» @ «"tap*
Вставляя выражение A7) в уравнение A6), мы получаем:
= It
4 4
fc sin (*»(< + с) J ЛГ(С)со8н-*СйС + Асов^(«-}-с) j JST(C) sin ^
— oo
(для сокращения мы ввели обозначение х — * = С). Так как К (С) есть четна»
функция, то последний интеграл равен 0, и поэтому независимо от с получается:
условие
+ оэ +¦ оо ¦
г г
( ) ~ * J W °°S (Ад — J
— ОО — 00
определяющее связь между к и ц*. Пусть рк пробегает
все вещественные вначения; найдем соответствующие
вначения -^- или к, определяемые уравнением A8).
Не производя интегрирования, можао убедиться
е помощью определения A5') величины К (С) = К (t—т),
что при i*fc = 0 интеграл -^т- стремится к бесконеч-
бесконечности, следовательно, Jt стремитоя к нулю, а при ph = оо * " 1
интеграл -цг стремится к 0, следовательно, Jt — к бес- р „ .
конечности. Более детальное аналитическое исследо-
исследование показывает, что в промежуточных точках к растет монотонно вместе
е (а,, от О до оо. Чтобы убедиться в этом, напишем:
+_оо ^ _ +J»
A9)
1 г cos р, Г
к / V 1 -i-tiT /
Этот интеграл можно преобразовать с помощью комплексного интегрирования
в нввеотный интеграл, если заменить вещественный путь интегрирования 1(рис. 81),
петлей Л около точки разветвления C = -f-«. Подстановка С = * С = *
приводит опять к вещественному интегралу:
i vTrr

756 Стационарное алептромагнитное поле
Это выражение представляет собой нормальную форму первого интеграла
НапкеГя пулевого порядка ').
Поэтому:
B0) -[^PW^^^'W
при обычном обозначении функций НапкеГя. Так как Л0A)(г[А) представляет
собой, согласно A9'), функцию, монотонно убывающую от оо до О'2), когда jj.
монотонно растет от 0 до -f- оо вдоль вещественной оси, то h действительно моно-
монотонно растет вместе с {а* от 0 до оо, причем соответствие между ними одно-
однозначное. Каждому положительному значению параметра к соответствуют, следова-
следовательно, собственные решения интегрального уравнения A6), причем оба решения
линейно независимы. Отрицательные а:е h не могут быть собственными зна-
значениями.
Однако, значение к = оо (соответственно рк = 0) параметра неоднородного
уравнения A5), подлежащего решению, можно считать собственным гначе-
нием. Поэтому существование решения этого уравнения не является несомненным;
решения существуют только в том случае, когда функция, стоящая в правой
части уравнения, которую мы обозначим через f(t), удовлетворяет условиям:
+00 ¦ , +00 .
B1) lira / f(x) cos u.i dz = lim / f(x) sin ji- dz = 0.
Так. как в случае уравнения A5) функция
убывает до нуля при t = оо, а во всех других точках остается конечной, то эти
условия в действительности выполнены.
Чтобы получить полное решение, представим функцию f(%) в виде инте-
интеграла Фурье, полагая в нем
со
B2) АО = —^ j А (» cos jii <*|ь
и
/
где А (у) имеет, в силу A9) и B0), значение
+ оо + ос
1 Г COS UT 7 1 Г C0S P7' J / * / \
B2') 4(Р)-Т -r=^=,dz^— f [ d^ = --p^).
— OO — ОС
С другой стороны, неизвестную функцию q(t) также моашо искать в виде инте-
интеграла Фурье:
B3) q@=
J) Watson, Theory of Ressel functions; Кузьмин, Бесеелевы функции, 1П35.
s) Ср.. например, Е. Япке и Ф. Эмде, ТаблиДы функций, Укр. Изд., 1934.

XVI, § 2 Прохождение тока между аемлей % металлическими проводниками 757
Если вставать эти выражения в A5), то, изменяя порядок интегрирования и при-
принимая в расчет, что cos([i*) удовлетворяет уравнению AС), мы получим:
-j- со
— А ГлG»)oosid<i|i= J BdOdji J Я(* —•s)oos!kA=
О 0 — со
и, следовательно, сравнение коэффициентов даст
Вычислим наконец полный ток в проводнике. Принимая в расчет (G) и G"), мы
получим для него выражение
-f- со -f- со -f- со
J= — Г i(E)dfe = —4теХ У aF)(R = —4яХ у q(x)«fc.
— со — со — со
Так как q(l) в B3) представлено в виде интеграла Фурье, то мы получим инте-
интеграл функции q(x) от — оо до -{-со непосредствен^ из того преуелтного зна-
значения, к которому стремится коэффициент Фурье 5(;j.) при ;а->0. На основании
этого соображения
+ оо
B4) Г q(^ = ]im*B(u) = -A lim -^?-.
Но на основании уравнепия B0)') можно для малых (i панисать разложение
где C==lnf означает постоянную Эйлера 0,577.... Отсюда следуот, что р(?) и
jo(t), }i) стремятся б логарифмической бесконечности при (i->0, и поэтому в пре-
пределе отличаются друг от друга только па конечную аддитивную постоянную
2lnt). Следовательно, предел в формуле B4) равен единице, и можно написать
J = Jo, т. е., весь ток входит в трубку (конечно, только в том случае, когда про-
проводимость Л можно считать бесконечной).
Отметим еще частный случай •/) = 1, т. е. h = р, в котором источник тока Q
находится непосредственно у поверхности проводника. В -л ом случае, согласно B3),
B3'). мы. имеем:
««—йг/
COS
о"
Это выражение представляет собой разложение в интеграл Фурье несоб-
несобственной функции, которая во всех точках равна нулю, кроме точки ? = 0, где она
стремится к бесконечности таким образом, что интеграл ее, взятый между Произ-
Л
вольным отрицательным и положительным пределов, конечен и равен — ¦ -
В этом случае полный ток, который опять равняется J& концентрируется в этой
Ср. также Янке и Эмде, Таблицы функций.

758 . Стационарное электромагнитное поле
точке. Это замечание существенно для'фазбора вопроса о вторичном вырождении
тока из проводника, так как здесь мы имеем простейший случае, когда ток под-
води1ся к проводнику непосредственным металлическим контактом.
4. Решение интегроднфференцнального уравнения для выхода тока.
Подобным же образом находится решение интегродифференциального уравне-
уравнения A3). Мы опять введем отвлеченные величины i, т, % определенные уравне-
ниен A4); далее в качестве неизвестной функция выберем отношение потен-
потенциала U(x) к тому, который был первоначально создал в точке х = 0:
и через ха обозначим отвлеченный положительный, практически всегда большой,
параметр
B6) *9=4w- •
При этом интегродифферепциальное уравнение получает вид
B7)
+
J ^ ' d*
с ядром K(t — x), определяемым уравнением4 A5').
Пусть соответствующее однородное интегродифференциальное уравнение
B7')
опять имеет независимые собственные решения
+* @ =чй
Тогда так же, как и в 3, получается связь между Тс и (it, определяемая
уравнением
B8)
С помощью этого уравнения с каягдпм вначением |а однозначно сопоставляется
соответствующее Л(ц), причем при обозначениях A9), B0) эта связь имеет вид
B80 -щ—=
Поэтому можно утверждать, что все собственные значения к теперь отрицательны,
если принять в расчет разобранные выше свойства р((*). Так как р(р) при
jx==O имеет логарифмическую бесконечность, то-г- = 0 при (а = 0, как и в слу-
ft
чае обычного дифференциального уравнения второго порядка. При больших вна-
чеаиях р имеет место асимптотическое разложение i
B9) р М = т Но1 (ш) -

X VJ, § 2 Прохождение тока Между землей и металлическими проводниками 769
.
поэтому, при больших \х, — оаять стремится к нулю, как и выше, в случае ндте-
к
грального уравнения в 3. Сопоставляя полученные результаты, мы видим, что,
в то время как [а растет монотонно от нуля до бесконечности, Jt изменяется
от — со до определенного отрицательного значения с наименьшей абсолютной вели-
величиной и потом опять растет по абсолютной величине до — со. Следовательно,
абсолютная величина отрицательных собственных значений It имеет неравный
нулю нижний предел. Отсюда следует, на основании теории интегральных урав-
уравнений, что неоднородное уравнение B7) имеет решение при каждом положитель-
положительном значении ча.
Для определения решения представим опять правую сторону уравнения B7)
в виде интеграла Фурье B2):
B2")
где, согласно B2')
1 / COS lit 1
A ((i) = — I —, — at = —j> Oq[a).
< — o°
Функцию <р@ мы также будем искать в виде интеграла Фурье:
оо
C0) «@ = fC (ji) cos [Л <Z|t,
так что B7) принимает вид
оо - оо #о
/г г
С (ji) cos [if d(j. -j- ч9 / К (t — т) / ja2 С ((a) cos jit dp. dt =
• — оо t
ex.
=i\ Га (ji) cos n< d*.
Так как cosjj.* есть решение однородного уравнения B7') с параметром
?(|а), то из C1) после изменения порядка интегрирования в двойном интеграле
получается:
C2)
следовательно, в силу B8')
C3) G00 =
Таким образом, решение формально найдено.
Что касается сходимости решения C0), C3), то необходимо принять в рас-
расчет, чтор(р), на основании B9), экспоненциально стремится б нулю при возра-
возрастании [а, следовательно, C(ja) стремится к riA(p), и поэтому сходимость инте-
интеграла C0) предполагает сходимость B2) и определяется последней. С меньших
количеством предположений связано представление в виде интеграла Фурье

760 Стационарное электромагнитное поле
функции <?(?)—F{t), где под F(t) подразумевается правая сторона уравпения
B7) или в более общей случае произвольная фупкция. При этом мы получаем:
C4) ? @ -F(t)=- ф* Ja GO i+J^Im cos v*
и, вследствие экспоненциального убывания р (ц) в числителе, этот интеграл схо-
сходится гораздо лучше, чем C2). В формуле C4) можно в общем случае подста-
подставить вместо i\A ((*) интегральную форму этого выражения:
+ оо
= — I F(t) cos ji/е d~.
1С J *
Приникая в расчет асимптотическое поведение этих выражений, иоасно изменить
порядок интегрирования, и тогда получаем:
-f-
Г
f
= F@ — — Г
-я J
cos
Так как jP(t) предполагается ^етной функцией, то можно прибавить соот- .
ветствующий члеп с sin «jJ sin \l-, который не прибавит ничего к написанному
уравнению после интегрирования по т; таким образом, мы получаем:
C5)
где
с»
C5') Г (* — т) = — Г т-i—rv:)Т-ч c«s 1* С — О <*!*
о i
есть „разрешающее ядро" интегродифферепциальпого уравнения B7).
Дальнейшие исследования решения содержатся в работе, цитированной
в начале § 2. Они относятся прежде всего к случаю т| — 1, который, как мы
видели в 3, изображает постепенное обратное выхождепие тока, сконцентриро-
сконцентрированного в одпой точке, и имеет место, например, тогда, когда проводник пред-
представляет собой полосообразное заземление сети высокого напряжения.
§ 3. Слой жидкости с металлической границей. Цветные кольца Нобили
1. Задача Ричгана. Законы распределения тока в объемных проводниках
изучаются с помощью явления цветных колец Нобили. Если через слой электро-
электролита, находящийся над металлической пластинкой, пропускать ток, входящий
через острие, а выходящий через пластинку, то на последней получается осадок,
толщина которого, на основании закона Фарадея, определяется плотностью тока в
соответствующем месте выхода. Этот осадок дает в падающем свете цветные
кольца Ньютона, с помощгю которых можно экспериментально определять толщину
слоя и тем самым распределение плотности тока. На основании прежних опытов
в этом направлении, которые однако основывались на неправильном вычислении
линии тока, Ринан1) произвел последующие вычисления, кладя в основу законы
Шетапп, Gesammelte Werke., стр. 55.

XVI, § 3 Слой жидкости с металлической границей 761
тока, сформулированные в § 1; он искал поток в проводящем слов; распределей-
распределейном на идеально проводящей металлической етеике. V ¦*
Пусть плоскость # = 0 представляет собой поверхность металла (н$|>ис. 82
ваштрихованпую), h означает высоту лежащего на пей слоя жидкостя, !<$бла-
дающей проводимостью X, а в качестве электрода, из которого выходяф'яш,
возьмем точечный источник тока на высоте z = a (-^.h). Пусть 70 есть полный
ток, выходящий из источника, a U—потенциальная функция идектричеексйю.
ноля тока. В этом виде задача блиэко связана е той, которую ми разбирал*
в § 2, 3. ¦ ' Л-
Решение должно удовлетворять следующим условиям (здесь г означает
): функция
U. = О -—-?¦ = U— Uo, ирн а < h,
г
A0 Ut-U--—r?j==r = U--Uv при а-*.
4тгХу И + (г- — аJ
должна представлять собой регулярную потенциальную функ-
цию внутри слоя ()<?<&, включая окрестность точки г = а,
г = 0, и, следовательно, должна удовлетворять уравнению
Д?7
На верхней границе слоя составляющая тока но пор
мали к поверхности равна О, т. е. Л
B) --& = °> нри^ = ^. о-
На поверхности металла равны нулю касательные со-
составляющие напряжения поля и тока, т. е. г
C)
40,
or
Накопеп^ при r = co, U должно стремиться к 0 по крайней мере как — .
Функцию U можно найтн методом зеркального отражения, подобном тому, кото-
который был уже применен в двухмерном случае гл. XV § 5, 3,Ь). При этом
приходится исходить из полюсной функции Uo и удовлетворить сначала усло-
условию B), отражая полюс в плоскости s = h, с сохранением его внака; в случае
a — h, это выражено уже в формуле A') для функции Vo. После этого можно
удовлетворить условию C), отражая полюс в плоскости г = 0 i изменяя его
зяак. Каждая и& отраженных функций удовлетворяет пограничному условию
только на соответствующей плоскости отражения, но не удовлетворяет ему на
другой пограничной плоскости. Поэтому их нужно подвергнуть последовательным
отражениям, по тем же правилам, как и в указанной главе. При этом мы полу-
получим полюсы в следующих точках:
+ +----+ +
a, 2/t — а, —а, — 2h-j~a, Ik -f-я, 4h-—a, 2h — а, — 4/t-J-a и т. д.,
где впачки, поставленные наверху, указывают на знак полюсов. Суммируя uo
всем' польеам, мы получим потенциальную функцию
Т +°° •/ 1
Z , ш |
— яJ
1 \
1 \
+ 2nh + af)'

762 Стационарное электромагнитное поле
которая формально удовлетворяет всем поставленным условиям. Ее сходимость
также несомненна, так как отдельные члены суммы при больших и умень-
уменьшаются пропорционально — и при этом каждые два последующие члена имеют
п
противоположные знаки.
В тех областях, в которых г < h, для сравнения с экспериментом доста
точно принять в расчет несколько членов суммы. На больших расстояниях
удобнее другое представление, основанное на том обстоятельстве, что функция t
представляет собой периодическую функцию от .г с периодом 4h. Так как кроме
того функция U нечетна огносиге^лно оси г = 0 [т.е. U( — г)=—[/(г)]ивюж«
время четна по отношению к оси z = h [т. е. UBh — z)=U(z)\, то ее равло-
жение в ряд Фурье имеет внд: v
,_ч т-т . кг . . тг , . itz ,
E) Dr=aiSm-^ + fl8?m3-2^ + «uSin 5A+*"»
и мы получаем для коэффициентов a2J+l выражение
2/»
* 4яХ& J
1 ]«.
Если в общем члене суммы со значком п положить
C-J-2»fo—а = х и С -j- 2nh -j- о = т,
то нодинтегральная функция во всех членах суммы принимает одинаковый внд,|
и отдельные члены отличаются только изменением границ интегрирования на]
2» rt а; при этом необходимо принять в расчет, что знак функции sin при нечет*
ном п изменяется, поэтому мы получаем:
оо
70 Г / . Ь , , , . foe , Л dx
ei==—2_ / | sin — (t + a) — sin — (t — д) ) ; -——
4идЛ J \ 2A 2fe /у r2-j-t'
•— oo
. bto f hex dx 1Л . kita P *—
sm I cos — , = =. sin I e *>
2h J 2h V *-2 + x» 2к>Л 2й J
Если ввести в качестве переменной интегрирования —, то этот интеграл
превращается в интеграл НапкеГя нулевого порядка [ср. A9) в § 2, 3]:
та Я,,1 (г-тгг-). Следовательно
и при больших значениях -т- иожно использовать для Н асимптотические фор-
формулы B9) § 2, 4. Тогда мы получаем ряд
G) 0"^ —Ц= V - ' ...__^ s»B Bi -f 1.) -^- sis B/ -}-1) -?- е
w иХ 1/ hr w I/ 2< n-1 2Л 2fe

XVI, § 3 Слой жидкости е металлической границей 763
который очень быстро сходится вследствие наличия экспоненциального множи-
множителя. Искомая плотность тока на поверхности металла получается в виде:
(8) ,@) =
2. Учет поляризации. На явление колец Нобили оказывает влияние еще
одно обстоятельство, которое не принято в расчет в изложенной выше теории
Римана, а именно, поляризация слоя, осажденного на поверхности металла.
Вебер (Н. Weber *) предполагал, что поляризация представляет собой напря-
напряжение, пропорциональное осаждающей плотности тока, так что вместо C) нужно
наиисать условие вида:
C') U — -4, = U+ *Х ^= О.
Однако наблюдениям лучше соответствует сделанное Roiti предположение, что
поляриаация может расти только до определенного максимума2). В таком случае
в стационарном состоянии в тех частях поверхности металла, в которых этот
максимум не достигнут, плотность тока должна равняться нулю, так как в про-
противном случае поляризация нарастала бы дальше. Наоборот, в тех областях,
в которых максимум достигнут, имеет место постоянное напряжение, равное
этому максимуму. Первая область представляет собой внешнюю область, а по-
последняя внутреннюю область окружности г = Ь, величина которой становится
кввестной только после решения всей вадачи, если вадано максимальное напря-
напряжение. Сначала мы примем в качестве известной величины радиус Ъ, но при
этом величину напряжения уже нельвя считать ваданной. Далее для упрощения
вычислений мы сделаем предположение, что высота слоя жидкости бесконечна
велика, т. е. h = сю.
При этом вадачу можно- сформулировать следующим обравом. Мы ищем
некоторую функцию U= Uo-\- Uv При этом
— a?
С?! должна быть регулярной потенциальной функцией в области г > О, т. в.
UV = 0 'везде, включая и окрестность точки г =¦ О, * = о.
Пограничное условие при этом имеет вид:
dU
= О, г > Ь,
17 в,б«
ЯТТ
Далтнейтптгм условием является требование, чтобы весь ток 10 проходил
в металлическую пластину, а не утекал частично в бесконечность, так как
1ш приняли бесконечно высокий н бесконечно протяженный слой только как
Недельный случай имеющегося в действительности конечного слоя. Это оепа-
Crelles Journal 76, 1872.
Kuove Gimento vol. X; ср. така» Т. Volterra, Atti R. Accad. Torino, vol. XVIII,
83

764 Стационарное электромагнитное поле
чает, что интеграл тока, взятый по круговой поверхности, черев которую npd«
ходит ток, должен "удовлетворять условию:
ь ь
A2)
//* ЯIT
ierdr = 2icX I — rdr = /„, нри з = О.
Это условие можно выравить также и таким образом, что на бесконечности нет,.
никаких источников тока, т. е. ч
A2') У~7*-\-г* и=0, прп
Формулированная таким образом задача решена R. Gans'oM х) с помощьв.
разложения по гааровьта функциям, а М. Hafen'ou 2) в конечном виде.
Для того чтобы учесть условие A0), мы представим себе, что функция V
есть четная функция от з, продолженная в область отрицательных г. Иначе
говоря, мы прибавим второй полюс в точке г=*=0, з =— а:
fj __ !°_
° 4-Х У r't + iirfap
и будем искать U не в вышенаиисанной форме, а в виде
где Ui есть четная функция г. Ее производная —~ равна нулю йа плоскости
гг = О при г>6, и остается конечной при г < 6; поэтому она терпит разрыв*
при прохождении через плоскость. '
Эта обобщенная задача доиускает электростатическое истолкование. Область
з — 0, г < b надо считать плоекой круглой металлической пластиной, а все
окружающее пространство однородным диэлектриком, и задача заключается в опре-
определении электростатической индукции обоих полюсов на металлическую пластину^
при том условии, что полный заряд круглой пластины равен и противоположен
ио впаку сумме зарядов обоих полюсов, следовательно, равен \
Эта задача представляет собой неоднородную задачу в смысле гл. XV, § 2.
3. Однородная в-.номогательная задача. Чтобы решить эту неоднородную
задачу, будем исходить ив однородной вадачи об электростатическом; распреде-
распределении зарядов на круглой пластинке с радиусом fi < Ъ и об определении соот-
соответствующего электростатического поля. Потенциальную функцию, соответствую-
соответствующую этому однородному решению, мы обозначим через ^(Р, г, г) или короче <|*(Р)«
Мы найдем ее о помощью введения соответствующей системы ортогональных
координат, в качестве которых мы выберем эллиптические.
Криволинейные координаты, которые мы обозначим через о, у. х, можно
ввести о помощью пбдстановки
Г
\ х = г cos t," у z=s r sin t.
Поверхности
(U) ' о = const, т.е. rL
*) ZS. f. Math. п. Phvs. 4», 1ГОЗ.
2) Math. Ann. 69, ШО (§ 2 раооты).

XVI, § 3 ¦ Слой жидкости е металлической границей 765
представляют собой поверхности вращения софокусных эллипсов с фокусным
расстоянием.р и ооью г = 0. При значении параметра о = о поверхность вра-
вращения вырождается в поверхность, образованную обеими сторонами круглой
пластинки радиуса г = р. Поверхности же
A5) ^ = const, т.е. j-J^---—p~=l,
представляют собой поверхности вращения соответствующих софокусных гипер-
гипербол. При ;а = О 8ти поверхности вырождаются в поверхность, образованную
обеими сторонами области г>р плоскости # = 0, а при ^=1 — в ось г = 0.
Следовательно, координатная область 0О-<1, ОО^оо ваиолняет полупро-
полупространство положительных ?, а при изменении знака — также и область отри-
отрицательных z.
В новых координатах элемент длины имеет вид:
и, следовательно, дифференциальный оператор Д?7яолучает вид.
Будем искать решения уравнения Д?7, обладающие вращательной сим-
симметрией и, следовательно, ие зависящие от т. Их можно представить как сумму
произведений вида:
где для Р и Q получаются из AG) уравнения:
'Фупкции Р, определенные уравнением A7), представляют собой шаровые
функции переменной \ь, а функции Q, определенные уравнением A7'), предста-
представляют собой шаровые функции переменной is, причем опи должны быть регу-
регулярны для значений о, заключающихся между нулем и бесконечностью, т.. е.
вдоль всей оси мнимых is. В этой области достаточно рассматривать только
шаровые функции второго, рода, так как шаровые функции первого рода при
увеличении аргумента возрастают до бесконечности, в то время как функции
второго рода уменьшаются до нуля; в этом, можно убедиться, *сли разложить
решения уравнения A7 ) при болниих значениях в степенной ряд.
Искомое решение нашей однородной задачи ty(p, r, *) должно быть постоян-
постоянным на поверхности круглой пластинки (а==О), следователгно, не должно зави-
зависеть от ;а. Поэтому надо принять /с —0, и тогда мы получаем из A7') с точ-
точностью до произвольного постоянного множителя:
A8) ф(?) = Q0 = aroetga = arcsiu -—===..
у 1 -f- а-

766 Стационарное влектромагнитное поле
Постоянное впачепие этой функции на поверхности пластинки (з = 0)
равно — -. Решая уравнение A4), можно опять ввести переменные г, г, причем
после несложных преобразований получаетбя результат:
О
р, г, г) = arcsin , —
2p
:arcsm —
A80
Последнее уравнение показывает, что нри больших значениях г и г функ-
ция ty приближается к виду —; она -предотавляет собой поэтому потен-
циал круглой пластинки радиуса г, полный варяд которой равен р. Из постоян-
постоянного значения потенциала (КР) = -т- при о = 0 и варяда р получается емкость
23
круглого диска, равная С= —.
1С '
Так как эквипотенциальные поверхности о = const представляют ообой,
соглаоно уравнению A4), укороченные эллипсоиды вращения, то мы решили
электростатическую задачу также и для них (см. также гл. XV, § 2, 2). Для
удлиненного эллипсоида вращения можно аналогично ввести эллиптические коор-
координаты, переставляя в формулах подстановки A3) переменные гиг; при этом
мы найдем решения аналогичным обравом.
4. Общее решение неоднородной задачи. Чтобы решить формулированную
в 2 неоднородную задачу, мы используем, следуя М. Гафеяу (loc. cit.), представ-
представление искомой функции i/j с помощью поверхностного варяда круглой пластинки
г4^.Ь, лежащей в плоокости ? = 0. В качестве элементов этого поверхностного
варяда мы выберем распределение варяда на пластинках радиуса р < 6, ооот-
ветствующее распределению, найденному в 3, причем элементарный варяд каж-
каждой такой пластинки равен q(P)d$. Плотность варяда q($) надо определить ив
пограничного условия A1). Для того чтобы далее удовлетворить условию A2)
для полного варяда, мы прибавим однородное решение с^F, г, г), которое не
влияет на пограничное уолозие A1), так как оно постоянно вдоль поверх-
поверхности г < Ъ.
Потенциальная функция, соответствующая элементарному заряду д(Р), на
основании вычисления в конце предыдущего номера, равна -|~'HP» r> 8\ ее п0"
етоянное гначение вдоль г < Ъ равно ~; мы обозначим его череа р'($). Тогда
мы можем представить потенциальную функцию С/, в виде:
A9) U, = -A J р' (р) ф (р, г, в) dp + сф (Ь, г, z)
или, интегрируя по частям:
ь
A9') о,»—-|
где штрих обозначает дифференцирование по р.

XVI, § 3 C'jiju жидкости с металлической границей 767
В пограничном условии A1) мы напигаем нри е = 0:
После подстановки A9') оно принимает вид:
ь
' B1) f (г) + О = -| J р (?) «К (р, г) а?, при г<Ъ,
о
где второй член с правой стгт-оны уравнения A9'), имеющий Постоянное зна-
значение при г < Ъ, вьлючен в постоянную С. На плоскости z = О мы имеем,
согласно A8'):
f ft ч
Ч (?> r) =arcsin —» поэтому ? $г) = , при г > р;
B2) Г УГ'-Р
ф (?, г) = --, поэтому ф' (рг) = О, при г < р;
следовательно, в качестве окончательной формы пограничного условия мы
получаем но B1):
г
^dp' при г <6-
Это есть интегральное уравнение типа Вольтерра. Можно дать явное реше-
решение этого уравнения с помощью метода, использованного Гафеном (loc. cit.) также
и для более общего случая.
Обовначим переменные интегрирования черев р вместо г, помножим урав-
уравнение B1') на pdpY*—Р2 и проинтегрируем но р от О до г:
J ТЛг^ —p2 * J l^r2 —pa J V^p2— Ba
Для того чтобыг изменить порядок интегрирования в двойном интеграле',
примем во внимание, что этот интеграл вгят но, области р < р. Поэтому мы
имеем:
B3') Г-7?Ё=йр + Gг=А Гр(р)<ф Г
В этой формуле внутренний интеград на правой стороне представляет
еобой постоянную, не зависящую от р и г и равную —- [соответствующим об-
разом и был выбран множитель, на который помножено уравнение B1').] Дей-
Действительно, если подставить С = р2, то надо будет интегрировать в ком-
комплексной плоскости С вдоль разрева С = р2 до С = г2. Дополним этот
путь до замкнутого обхода {Е) Еокруг этого разреза и деформируем

768 Стационарное электромагнитное поле
атот обход в большую окружность (К), на которой интеграл можно вычислить
как вычет. Тогда
~~ 4 J V1^'^WZ?)'~ 4./ ~* ~ V
? 1С
н поэтому B3') дает:
т. е.
4 Таким образом, мы нашли функцию р' (Р), входящую в первоначальное выра-
выражение A9) функции Z/j, и тем принципиально решили неоднородную задачу, так
что остается только установить вначение постоянной С.
5. Решение в случае тока. В частном случае, соответствующем кольцам
Нобили и нашей электростатической вадаче, функция f(r) определяется уравне-.
нием B0). Тогда в уравнении B4) интеграл определяется с помощью, элемен-
элементарного интегрирования, причем получается ревультат:
о
Следовательно, согласно B4)
['ыражепие A90 Дает ПРИ nT0M искомую потенциальную функцию
ь '
нричем в постоянную с' включены члены, содержащие
Здесь удобно в качестве переменной интегрирования опять ввести пере-
переменную о, использованную в 3, причем, согласно A8)
*'СО <*Р=<*¦ = -¦]г^г»
i Это обозначение следует понимать так, что для определенной точки зна-
значение координаты о вависит от фокусного расстояния C, которое положено в основу

XVI, §3 Слой жидкости е металлической границей 769
координатной системы; на это и указывает значок р. Действительно, мы имеем
согласно A4):
Следовательно, при воех значениях г и г значению В = О соответствует
значение о. = оо, н поэтому, проивводя подстановку, мы подучаем ив B5):
Интеграл равлагается на простые дроби следующим образом:
__7о^_**_ Г I 1 1
сх>
где введены следующие обовначенвя:
— аJJ =
4O22 = (У Га -f- (Z 4- «J — V Г2 -f (* — O)9 K = (Ла — J
Интегрирование прнввдит к выражению:
I 2аг Г 1 4_ № — J?2)eb
— в -1.В arcctg 9* 2 °Ь '
^1 + #2 2^ J
и, нсжольвуя соо тношение R22 — By2 = 4аг:
-f1 Marcctc
\л, i?Jarcctg
2fla(b'r'j)
Наконец, мы должны определить постоянную с' с помощью условия A2'),
по которому при больших значениях г и г потенциальная функция Ux должна
стремиться к °^-, где В=Уг*-\-г*. Функция <!»(Ь, г, ^) по уравнению A8')
нри больших iJ приближается к функции -=т-. Чтобы найти значение Vt* при
больших Л, мы можем использовать выражение B6); однако, удобнее исходить
а
непосредственно ив B5). Действительно, так как <j» (Ъ, г, г) стремится к -^-, то
У (В, г, гг) стремится к ---, а в таком случае интегрирование выражения B5)
дает:
т i a
Io arcctg -у-
49 Зав. 1488. — •раше в Ним». Дифф. уравн. мат, фив.

710 Стационарное электромагнитное поле
Следовательно, для определения с' мы имеем уравнение:
B8) -А- «* А + с'Ь _ А-, ,. .. С _ Jfj- A - ± arcotg
тем самым функция #, определена полностью х).
Далее на основе выведенных формул можно бее труда вычислить постоян-
постоянное значение потенциала U на круговом диске г < Ъ и обратно определить из
заданного вначения радиус Ъ, что и соответствует вакону поляризации. Но но-'
следняя вадача требует графического или какого-либо другого приближенного
решения.
ГЛАВА XVII
МАГНИТОСТАТИКА
§ 1. Образование магнитных полей
1. Основные законы магнетизма и основанные на иих задачи во многих
отношениях совпадают с законами электричества и с электрическими задачами;
поэтому приемы решения утих задач могут быть непосредственно перенесены
на случай магнетизма, если ввести магнитные понятия, соответствующие элек-
электрическим. Вместо электрического поля н его потенциала появляется магнитное
поле и его потенциал, вместо электрического смещения — магнитная индукция.
Полная магнитная индукция, пересекающая по нормали некоторую ваданную
поверхность f, называется магнитным потоком (Ф) сквозь эту поверхность. Сле-
Следовательно, если В есть вектор индукции, а В„ нормальная составляющая индук-
индукции на поверхности, то
A) . Ф =
В однородных телах индукция направлена одинаково с полем и ее4 отно-
отношение к полю, называемое магнитной проницаемостью jj., в большинстве тел,
как например в воздухе, имеет величину, мало отличающуюся от единицы; однако,
в противоположность диэлектрической постоянной, она может быть также меньше
единицы. Тела, обладающие тем свойством, что их магнитная проницаемость
меньше единицы, называются по Фарадею „диамагнитными", а тела с [а > 1
навиваются „парамагнитными".
В противоположность электрическим свойствам многих тел, не существует
проводников магнетизма, т. е. таких тел, в которых статическое магнитное поле
не может существовать. Металлы также могут быть парамагнитными или диа-
диамагнитными. Исключение представляет собой желево и бливкие к нему вещества,
называемые „ферромагнитными" телами; их свойства являются исключительными
в двух отношениях:
а) Проницаемость железа в нормальном состоянии необычайно
йелика (порядок величины 103), так что при средних значениях индукции напря-
напряжение поля очень мало. В этом отношении эти тела до некоторой степени ана-
аналогичны электрическим проводникам. Однако, проницаемость не является постоян-
постоянной, а убывает с ростом индукции, приближаясь к небольшому постоянному вна-
чению, примерно равному единице (насыщение).
1) Вместе с функцией V мы нашлн функцию Грина, соответствующую пограничным
условиям для кругового диска, если полюс находится на оси вращения г = 0. При более
общем положении его функцию Грина можно было бы получить отсюда посредством не-
небольшого обобщения. Ср. также Я. Heine. Handbuch der Kugelfunktionea, 2 изд., ч. 2,
стр. 132.

X.V1I § 1 Образование магнитных полей 771
Ь) Магнитный гистерезис. При переменном во времени магнитном
ноле индукция не непосредственно следует sa напряжением поля, но смещена
во времени относительно напряжения, причем это смещение мало заметно
в случае мягкого железа. В случае же твердого железа (стали) это смеще-
смещение проявляется настолько сильно, что можно говорить о „постоянном" магнетивме.
Сталь, однажды намагниченная, сохраняет свою индукцию и после прекращения
магнитного поля, и поэтому сама действует как возбудитель поля. „Постоянный
магнит" можно рассматривать как железное тело, в котором длительно сохра-
сохраняется поле индукции, — до тех пор, пока на него не подействуют внешние поля,
достаточно сильные для того, чтобы вызвать перемагничение.
Постоянное поле внутри магнита обладает, следовательно, свойствами индук-
индуктированного поля. Оно нигде не имеет источников: весь магнитный поток, про-
проходящий черев поверхность, равен нулю. Если постоянный магнит механически
разделить на несколько частей, то, вследствие отсутствия источников поля, по-
последнее свойство остается в силе и для каждой отдельной части.
2. Постояппый магнит и магнитный момент. Согласно такому предста-
представлению магнитное поле Bnyipic магнпта, так же как и вне его, не имеет источ-
источников, но может иметь вихри, так как его касательная составляющая на поверх-
поверхности может терпеть разрыв. Далее, совсем не обязательно представлять себе,
что индукция внутри постоянного магнита не имеет вихрей; можно представлять
себе ее как поле молекулярных токов Ампера (см. !$). г)
Постоянный магнит создает в окружающем пространстве магнитное поле
Пусть Bw—внутреннее поле индукции, Bn(i>— его нормальная составляющая на
новерхности, В(п) н hja) созданное магнитом поле индукции и" его нормаль-
нормальная составляющая во внешнем пространстве. Тогда последнее пе имеет источ-
источников и вихрей и определяется тем, что общее поле В = В(ч -\- В(а) не имеет
источников. В отом смысле не существует истинного магнетизма. Из отсутствия
источников па поверхности следует условие для внешнего поля:
B) В» = -В*.
Поэтому ято поле определяется „второй граничной задачей теории потен-
потенциала" (гадание В„(а)), и следовательно, его можно однозначно представить
с помощью поверхностного заряда, распределенного на поверхности так, что
полный заряд
равен нулю. Таким образом, общее поле В(а)-|-В(<), не имеющее источников, заме-
заменяется полем, которое совпадает с ним во внешней области, , а во внутренней
не имеет вихрей. Разумеется, это поле должно при этом иметь источники, а именно
одновначно определенное распределение источников на поверхности. На этом
фиктивном представлении основано понятие „магнитного момента" постоянного
магнита.
Пусть о(Е, к), С) есть плотность источника в точке Р поверхности магнита,
тогда потенциал в точке х, у, s выражается формулой:
D) U(x, у, г) = J ^l^R.at, В = /(*-^+G/-<r)
Далее пусть
*) О другом представлении поля см В, Gam, Enzykb d, math. Wiss. 5, 15, Л» 24.
49*

772 Стационарное электромагнитное поле
представляют собой расстояния точки наблюдения и точки интегрирования от
произвольно принятого начала координат, а г и р векторы, соответствующие
этим расстояниям. Так как по формуле C)
т
то ив D) для таких значений г, которые больше максимального значения р,
чается разложение х) вида
1 Г 1
E) u==7* J (я*+#71+^)°& ^ У^+тг (•••)'
или, вводя вектор
F) М= ^" роF, ч, l)df
с составляющими
F0 и5 = f ь (^. ч. О <*Л мч = у* ч' F, ч. У d/". ис = / '3 (?. ч. Ч «V,
Г / Г
получаем разложение:
/к/л гг w j / М i .„,C0S(rM) .
E0 f/ = —Jtt-grad —-)+... = —|И|—-я Н-.-
Это* вектор М называется „магнитным моментом" постоянного магнита.
Магнитный момент имеет непосредственный смысл в предельном случав.
Пусть постоянный магнит вырождается в тонкий слой постоянной толщины, кото-
который намагничен перпендикулярно к поверхности сдоя, причем магнитная индук-
индукция ВA) может быть функцией точки на поверхности слоя. Пограничное усло-
условие B) дает при этом для внешнего поля с обеих сторон поверхности одно ж
то же значение В„(а), если эта нормаль с обеих сторон поверхности имеет одина-
одинаковое направление.
При этом поверхностное распределение источника о на обеих сторонах по-
поверхности переходит в двойной магнитный слой на поверхности. Если f* есть
эта поверхность, то уравнение D) принимает вид
G) ffM-T
f* f*
Если сравнить это выражение с формулой E0, то мы видим, что вектор вели-
величины т, направленный по нормали v, представляет собой магнитный момент на
единицу поверхности этого „магнитного слоя".
Если точка наблюдения г приближается к точке р поверхности о положи-
положительной или отрицательной стороны, то подучаются два различные потенциала
U+ и U_, причем
(8) U+ — U_ = 4кт F, ч, С).
3. Стациоиарпое электромагнитное иоле. Кроме постоянных магнитов,
магнитное поле может создаваться стационарными, следовательно, замкнутыми
электрическими токами. „Статическое электроиагнитное иоде" не ааеет н«и'де
источников, так что во всем пространстве имеет меото уравнение:
(9) div В = div ({J.H) = 0.
Это разложение получается Н8 ряда Тэйлора:
*+ + * + . . . (Прим. ред.).

XVII, § 2 Парамагнитные тела в магнитном поле 773
Далее, закон Ампера утверждает, что интеграл работы вдоль произвольного
8ам1лутого пути
A0) J Hds==i нли
смотря по тому, окружает ли этот путь проводник, по которому течет ток J, хлх
нет. Из первого соотношения, на основании теоремы Стокса, следует:
A1) rotH = 0, т. е. Н = — gradtf.
Однако, в связи со вторым условием потенциальную функцию можно опре-
определить однозначно только в том случае, если ограничить бесконечное простран-
пространство поверхностью, проходящей через проводник,— „мембраной". С обеих сторон
жембраны потенциальная функция принимает различные значения, а именно, со-
согласно (9):
A2) U+—U_ = 4wJ.
Если сравнить это поле о тем, которое описано в конце 2, то мы при-
придем к следующему утверждению: магнитное поле замкнутого тока тождест-
тождественно с полем двойного магнитного слоя, распространенного по „мембране", маг-
магнитный момент т которой на единицу поверхности постоянен и имеет величину
m — J. Именно в этом виде впервые был высказан закон Ампера. Следовательно,
маленький круговой ток радиуса г и силы J эквивалентен магнитному моменту
|М| = r2i;J. Поэтому можно представлять себе, что постоянный магнит построен
из системы „молекулярных токов" Ампера или, в теперешнем смысле — системы
вращающихся внутри мблекул электронов, причем общий электрический заряд
молекулы равен нулю.
§ 2. Парамагнитные тела в магнитном поло
1. Общая граничная задача. Поместим тело с постоянной проницаемостью
(а, в заданное поле, созданное постоянными магнитами или токами. Каким обра-
образом это тело видоизменяет заданное поле? Этот вопрос особенно важен в случае
тел с большим jx, следовательно, например, в случае железных сердечников ка-
катушек.
Напряжение заданного магнитного поля пусть равно Но, а искомое напряжение
A) Н = Н0 + Н1,
причем внутренней областью мы будем считать пространство, занятое телом.
Во внутренней и внешней^ области Ht удовлетворяет дифференциальным уравне-
уравнениям: .1.J2
B) " divH^O,
B') rotH1 = O.
На границе обеих областей касательная составляющая Н,, следовательно,
также и Ки, непрерывна; это условие можно рассматривать как обобщение урав-
уравнения B'). В то же время, в силу условия об отсутствии истинного магнетивма,
нормальная составляющая индукции непрерывна, следовательно
О) • *Н« = МС
где ft, есть проницаемость внешнего пространства и верхний значок различает
внутреннее и внешнее пространство. Подставляя сюда уравнение A), мы получаем
неоднородное условие для Ht:
- |i.Hft = (р. - к) НОй,

774 Стационарное электромагнитное поле
правая сторона которого представляет собой функцию F(s), значение которой
на граничной поверхности определяется основным полем и которая удовлетво-
удовлетворяет условию:
D') J F(s)ds = 0.
Поведение на бесконечности определяется из того соображения, что поле
во всем пространстве (внутренняя и внешняя область, так же как и погранич-
пограничная поверхность) не имеет источников. Отсюда следует, что не только г2^, но
и r3Ht остается конечным при бесконечно больших значениях г.
Эта задача решается однозначно. Действительно, мы удовлетворим поста-
поставленным условиям, если, в силу B'), выразим Ht через две потенциальные функ-
функции <р@ и <р(а):
При этом, вследствие непрерывности Hls на пограничной поверхности, функция
также является непрерывной:
E) ?1(<) = ?Л
и согласно D)
Далее, согласно B), во внутренней и наружной области
F) A?1fi) = 0, Д?1(а) = 0,
и в бесконечности у2?/0' конечно.
Мы имеем здесь дело с общей граничной задачей теории потенциала. Эту
задачу можно с помощью предположения о поверхностном заряде на пограничной
иоверхности s (переменные интегрирования обозначаем через о)
свести к интегральному уравнению. Здесь х, у, z есть точка наблюдения, I, ij, С —¦
переменные интегрирования. Для пограничной поверхности мы получаем
(8) '. — 2* ([хв + [х,) т (a) + (jxe _ v.,)/K(s, о) т (о) do = F (s),
где ^
для точек наблюдения х, у, з, лежащих на самой поверхности.
Из уравнений D7) следует прежде всего равенство полного заряда нулю.
Действительно, интегрируя (8) и принимая во внимание D'), мы получаем:
(9) — 2я (,*„ -f-1*,) У я» (в) ds + (|АЯ — ji,) //К (в, а) т (а) dads = О.
Но при определенном значении о, следовательно для источника, лежащего
па самой поверхности, мы имеем, согласно (8'):
A0) J*
х) Если поверхность имеет углы, то вместо этого получаетя * • 2а. Так как такие
углы могут быть лишь дискретными, то в результате ничего не меняется.

XVII § 2 Парамагнитные тела в магнитном поле 775
Поэтому (9) дает после изменения порядка интегрирования:
— 2r.pi / т (о) da = О,
а это и означает равенство нулю полного заряда.
В связи с доказанным равенством нулю полного заряда условие на беско-
бесконечности, которому должна удовлетворять функция <?, оказывается выполненным.
Для того чтобы доказать существование решения полной неоднородной задачи,
нам остается установить, что соответствующая однородная граничная задача не
имеет решения. Действительно, в случае однородной задачи условие E') заме-
заменяется условием i
При этом мы получаем для внутренней области г?,:
A2) O = ft JVV^»-,*, J (graded»,-f-ц,
Точно так же для внешней области va:
A2') O = vaf 9la)A?(a)dva = -ft, J(grad9(a))X-
8
Здесь последний (поверхностный) интеграл должен быть взят по пограничной по-
поверхности и по границе внешнего пространства, образованной бесконечно боль-
большой сферической поверхностью. Но в силу доказанного поведения ю на бесконеч-
бесконечности, эта последняя часть интеграла равна нулю.
Следовательно, складывая и принимая в расчет E) и A1), мы получим:
A3) ^4 / (grad ?№J dvt + y,af (grad <?<a)J dva = 0.
Так как у, и [хв оба положительны, то отсюда следует, что <р везде должно рав-
равняться нулю, т. е. однородного решения не существует. Это и дает требуемое
доказательство существования и однозначности решения неоднородной задачи.
2. Шар в однородном поле, а) Массивный шар. Пусть задано основ-
основное однородное поле в воздухе (;*„ = 1)
Но = Но* •
Его потенциал
A4) ?о=—
В это поле вносится шар радиуса а с проницаемостью ц; центр этого шара
находится в начале координат; пусть полярные координаты относительно этой
точки будут г и &. При этом пограничные условия для функций «pj№ и ^а) при-
принимают следующий вид: при г = а
A5)
дг
При этом естественно искать решение в том же виде, как и в задачах
гл. XV § 2, 3 для электрического поля, в которые наша задача переходит,

776 Стационарное электромагнитное Ноле
когда I* = оо, следовательно, с помощью разложения по шаровый функциям.
Для однородного основного поля, согласно A4), мы имеем:
Ю0 = —#оГ COS Ь = —HffP! (»).
Разложим функции <pi в ряды но шаровым функциям, — следовательно, полежим:
A6) ¦ ?i
где сп означают постоянные, которые имеют различные значения во внутренней
и внешней области. Условия A5) должны быть удовлетворены независимо от 8,
следовательно каждым отдельным слагаемым суммы A6). То же можно сказать
относительно условия регулярности на бесконечности. В таком случае мы видим,
что для всех значков, исключая значок « = 1, условия A5) однородны, и поэтому,
как доказано в предыдущем номере, имеют решения только при равенстве нулю
еп и с_я_1. Остается, следовательно, член с » = 1, и если принять в расчет усло-
условие регулярности, то
A7) ?i =
При этом условия A5) дают:
Следовательно
и наконец
3 Ч
во внутренней области о = j—к Н<? cos 8 = \-~-
J*+2 v И- + 2
г — ^ -g-]cos8.
В случае парамагнитных тел (;х>1) решение означает ослабление ноля
внутри тел, так что при н- = °° поле обращается в 0. Наоборот, индукция В = ^Н
усиливается до значения ЗН0 при ja = оэ по сравнению с Но при у- = 1. Во внеш-
внешней области (вдоль средней плоскости cos 8 = 1) поле и индукция при h->!
ослаблены. Следовательно, магнитные силовые линии сгущаются в парамагнит-
парамагнитных телах. Наоборот, внутри диамагнитных тел поле усиливается до значения
—TAq, при }i = 0, тогда как индукция ослабляется и при \>. = 0 становится рав-
равной нулю. Внешнее поле и индукция при этом усиливаются, следовательно, сило-
силовые линии отталкиваются диамагнитным телом.
¦" Ь) Полый шар в однородном магнитном поле. Случай нара-
магпитиого (или диамагнитного) шара в магнитном поле -интересен тем, что этот
шар оказывает экранирующее действие на внутреннюю область. Пус$ь внешний
радиус шара равен а, внутренний равен Ъ, проницаемость шара равна jx, в то
время как во внешнем и внутреннем пространстве мы примем проницаемость
равной единице. Положим опять
©0 = —Нох = — Но г cos &

XVII, § 2 Парамагнитные тела в магнитном поле
777
в напишем:
<р = <р0-|-«>*о) во внешнем пространстве
(р = <р0-|-<рAи*) в сечении жара (Ъ<.г<а)
<p = <po-}-<p<i) во внутреннем пространстве (г < Ь).
Те же соображения, как и в п. (а), приводят к формулам:
<P^=<f r cos a,
причем пограничные условия на обеих поверхностях шара имеют вжд;
при г— а ??} = ?Г '
дг
¦-?-=¦1*
дг
при г =
дг ' дг ) дг ' дг '
Отсюда вытекают последовательные уравнения:
(«)
(Р) -2с^
A9)
(X)
(m)
C
-2 С1
Для их решения положим -jg — b; комбинируя сначала (а) и (Р), получим:
(е)
а комбинируя (у) и (8)
(С) fr—
Отсюда
наконец, из (?) и (8)

778 Стационарное электромагнитное поле
Решая уравнения (е), (С) и (¦»)), мы получим:
с: ' =
"i — д vr j
где
Д = 2 A — X) ([х — IJ — 9iiX;
Следовательно1, согласно (&)
2A
0___^0 и <лчв^ ^vr ^я<>
и согласно (*)) и (а):
,„, _B,1.-И)A-Х) (ж)_ BJJL+1) (»*-!) A-Х)
с-2— з ~2~ Д °"
Таким образом, поле определено во всех трех областях. Больше всего нас
интересует экранирование поля внутри шара. Здесь «^ = (с^ — Но) х, следо-
следовательно, для напряжения поля мы получаем после простого вычисления:
У
Отсюда следует в связи с соотношением Ь< а замечательный реаультат:
Н.(<) всегда меньше Но, следовательно получается экранирование, как при }*<1,
так и при ft > 1, причем мера экранирования остается неизменной, если вместо
проницаемости ц. ввести проницаемость —. Во внутренней области поле остается
однородным.
3. Эллипсоид в однородной поле. Общая граничная задача § 2 поддается
решению только в немногих случаях. Для применений важно то обстоятельство,
что в число этих случаев входит задача об эллипсоиде (пара- или диамагнит-
диамагнитном) в первоначально однородном поле, так как это дае^ возможность пред-
представить себе соотношения в случае тел, имеющих сходный вид. Эллипсоид
имеет свойство, общее с изученной в § 2 сферой, заключающееся в том, что
добавочное поле внутри него однородно, если ссновное поле внутри него было
однородно. Чтобы убедиться в этом, дадим сначала общее выражение добавоч-
добавочного поля с потенциалом <?j, если основное поле имело потенциал »0 • (<р = <po-j-e,).
Добавочное поле ?i > кроме общих потенциальных уравнений, определяется
пограничными условиями E) и A1) § 2 на пограничной поверхности:
B0) С'1 ^ <фл
'i ft?i \ ч Э?^
5 1 == Cf-i У-а) "К
п on ) , on
Эти условия B0) и B1) можно истолковать таким образом, что потенциальная
функция »! создается неизвестным зарядом, распределенным на поверхности о
тела с плотностью
ц — ji, 0cpw

XVII, § 2 Парамагнитные тела в магнитном поле 779
При этом, если обозначить через v внешнюю нормаль в точке интегриро-
интегрирования, мы получаем для потенциала выражение:
\4?) »! Лт..,„ I „
Так как &<^$ = 0, то этот интеграл можно, на основании теоремы Грина, пре-
преобразовать в объемный интеграл
B3) ?i = !!li?-< Г (grad?(*> • grad. -^-W
?i = !!li?-< Г (grad?(*> • grad. -^-
(grad? обозначает производную по координатам точки интегрирования ?, % С).
Спрашивается, при каких условиях это добавочное поле <р,, а следовательно,
также и результирующее поле <pW, является однородным внутри тела. В этом
случае а>О должно представлять собой линейную функцию координат, следова-
следовательно, grad 9(<> должен быть постоянным. Поэтому мы получаем из B3):
B4' <p, =
?^
Чтобы еще более упростить последний интеграл, выделим из объема V тела
объем шара К с центром в точке 5 = х, "Ц — у, ? = ?, лежащего целиком внутри
объема F. Для этой части объема мы имеем, по соображениям симметрии:
к
Остальную часть, в силу равенств
di дх
можно заменить интегралом
следовательно
B5) * в ~ !4^fi [grad ?w grad- (/7^7 dV)\'
Для того чтобы <?i было также линейной функцией, когда grad <?№ имеет
постоянное значение, необходимо, чтобы потенциал объема тела
B6) P
представлял собою внутри тела квадратичную функцию переменных х, у, г. Это
условие выполнено в том случае, когда тело представляет собой эллипсоид.
Действительно, для эллипсоида, отнесенного к главным осям и определяемого
уравнением: х

780
Стационарное электромагнитное поле
имеет место соотношение1):
B7) Р=Е—Ах* — Ву*—Сг\
где постоянные Е,А,В,С имеют следующие значения:
ds
B7')
Е = :
В =
/та
ds
Пусть положенное в основу однородное поде определяется потенциалом
?о =—(?**+НОуУ + Яо»»),
далее., согласно требованию однородности, положим
В такой случае
Потенциал внутри однородного эллипсоида равен
а вне его
^__ У8
a^ + s Pfs
Для того чтобы это доказать, составим сперва ДР. Внутри эллипсоида ДР равно
~2\/ T^{^~Tl + W+~s + W+7)~27Z
вне эллипсоида
А так как
f
«^г У-
2г
j
да:
дХ дХ
и аналогично для -v—, -g—, то
ДР = 0.
Итак, уравнения Лапласа н Пуассона удовлетворяются. А так как Р но-
в*»ду непрерывно н исчезает на бескопечностн (X -> оо), то он является единственный
правильным решением задачи. (Прим. ред.).

XVII, § 2 Парамагнитные тела в магнитном поле / 781
а следовательно, по B5)
Таким образом-
Н1х = — — и т. д.
и для результирующего поля
B8)
Есл« вставить эти значения для —grad «pw в выражение C) добавочного жосвя-
циала, то поверхностный интеграл принимает следующий вид:
^« — I».
Мы видели, что форма B7) потенциала Р и вытекающая из нее форма B9)
искомого решения <pt суть необходимые условия требуемой однородности ноля Н®.
Нам нужно показать, что они также достаточны, чтобы действительно удовле-
удовлетворить всем условиям задачи.
,То обстоятельство, что «^ удовлетворяет потенциальному уравнению, а также
условию непрерывности B0), вытекает на его выражения с помощью поверхне-
стного распределения заряда; то же можно сказать об условии на бесконечности,
так как интеграл по поверхностному распределению зарядов равен нулю вслед-
вследствие соотношений
Г cos (v, \) do = 0 и т. д.
Остается установить, выполняется ли пограничное условие B1). Для этой цела
обозначим заданные функции следующим образом:
C0)
Тогда нз B9) следует, в связи с условиями прерывности для поверхностного за-
заряда равенс1во:
ж для того, чтобы было удовлетворено пограничное условие B1), необходимо,
чтобы из B9) в B7) получалось соотношение:

782 Стационарное электромагнитное поле
Но так как Н' есть постоянный вектор, то из формулы B9) вытекает с помощью
такого же преобразования, как то, которое вело от B4) к B5), соотношение:
-с^ = Г H'gJ
= —Н' - grad Р = 2 (Нх'Ах + Иу'Ву + H'.Gs),
откуда
C2) Л1Х=— —~±-~ ^——-А-Н. х и т. д.
Следовательно, принимая в расчет C0),
C3) Л.« = Л0. + Я,.» (l +Е^Ь^Л/ -!^* Л.' - Л/ и т. д.
что и требовалось доказать. Таким образом мы установили, что все условия за-
задачи удовлетворяются решением B9).
§ 3. Силы, испытываемые материальными толами в электрическом или маг-
магнитном поле
1. Энергия поля. Онределение поля, данное нами в § 2 и § 3,
достаточно для вычисления сил, испытываемых в магнитном иоле рассматривав-1!
мыми телами. Одновременно с этим решается и соответствующая электростати-
электростатическая задача — диэлектрические тела в электрическом поле, — если заменить
магнитные величины (Н, В, р) аналогичными электрическими (Е,. D, е). Это сов-
совпадение обоих полей должно и может иметь место только вне помещенных в них
тел, потому что всегда должны оставаться различия, характеризующие магнит-
магнитное и электростатическое поле: мы представляем себе, что электростатическое"
основное поле не имеет вихрей, а магнитное основное поде не имеет источников.
Силы, испытываемые материальными телами в электрическом поле, можно
пайти с помощью принципа виртуальной работы: каждому электрическому полю
соответствует определенный запас энергии U, который мы рассматриваем как
потенциальную энергию. Так как результирующее поле однозначно определено
положением тела в заданном основном поле, то эта энергия кроме основного
поля зависит только от координат тела. Представим себе, что эти координаты
подвергнуты вариации 8, и будем под ЬА понимать механическую работу, кото-
которую при этой вариации совершают по отношению к телу пондеромоторные силы
и вращающие моменты поля. Они должны определяться из принципа виртуаль-
виртуальной работы
A) 8С7+ 84=0.
Случай магнитного поля можно равобрать таким же образом. Единственное
различие, которое связано с упомянутым выше различием в характере поля и
которое было впервые установлено Максвеллом, заключается в том, что энергию
магнитного ноля надо считать не потенциальной, а кинетической — поэтому мы
обозначаем ее через Т. Вместо принципа виртуальной работы нужно теперь
исходить из принципа Гамильтона (точнее „центрального уравнения") в той
форме, которую он принимает, когда составляющие „скоростей" являются „скры-
„скрытыми" (циклическими) (см. гл. II, § 1,1); что же касается импульсов, принадле-
принадлежащих к „явным" координатам (они пропорциональны скоростям перемещения
материальных тел), то от них мы отвлечемся; при этом мы получаем уравнение:
B) — 82'+84 = 0.

XVII, § 3 Силы, испытываемые материальными телами в электрш. поле 783
Аналогично этому в общем случае электромагнитного поля появляются оба
вида энергии, — потенциальная и циклически-винетпческая, и следовательно,
должно удовлетворяться общее уравнение
В электрическом и магнитном поле, по представлениям Максвелла, энергия
ие связана с материальными телами или с создающими поле зарядами и токами,
а распределена во всем поле. При этом электрическая энергия на единицу
объема, вак было выведено в случае электростатического поля в гл. XV, § 1,
уравнение A1), равна — (Е • D); аналогично этому магнитная равна — (Н • В),
следовательно
C) ' и=^- f(E-B)dV, T=— [ (K-B)dV.
8тс J ' 8* J
Надо преобразовать эти выражения энергии в виду, в котором возможно их вы-
вычислить, если задано положение тел, помещенных в основиое ноле.
2. Вспомогательная теорема. Пусть заданы два векторные поля Р и Q,
которые во всем пространстве удовлетворяют условиям:
D) rotP = O,
E) div Q = О.
Здесь включен также и тот случай, когда эти векторы терпят разрыв на
определенных поверхностях. В этом случае поверхностный вихрь и поверхност-
поверхностная расходимость должны равняться нулю:
На бесконечно большом расстоянии г должны быть удовлетворены условия:
(G) lim г2Р = О,
F') lim rQ = 0,
исключающие существование бесконечно удаленных источников вектора Р и
вихрей вектора Q.
В таком случае мы утверждаем, что интеграл скалярного произведения
обоих векторов, распространенный на все пространство, исаезает:
G) J
Действительно, согласно D), мы можем положить:
Если через Vt обозначить области, в которых векторы Р, Q непрерывны, 8t—их
поверхности, п, — нормали, направленные наружу от этих областей, то интеграл
J, согласно E), превращается в
4)dVi = y.if(f-Qnl)dSi.
*) Здесь нормаль с обеих сторон пограничной поверхности считается положитель-
положительной в направлении из ограниченной области наружу.

784 Стационарное электромагнитное поле
В этой сумме поверхностных интегралов оба слагаемые, соответствующие одной
и той же пограничной поверхности, компенсируют друг друга в силу условия
непрерывности E') и в силу условия D'), по которому функцию f можно также
считать непрерывной; интеграл по бесконечной поверхности равен О в силу F)
или в силу вытекающего отсюда соотношения: \\mrf=Q, а также в силу F').
Г->оо
Следовательно, равенство <J=O действительно доказано.
3. Энергия диэлектрического тела в электрической поле. Пусть в одно-
однородном пространстве (диэлектвичесЕая постоянная е ) задано основное электри-
электрическое поле Eq. Мы имеем:
(8) rotEo = O; Eo = — grad ф0; D0 = saE0.
Пусть все заряды, создающие поле ро = —divD0, лежат в конечной части нро-
странства, так что Ео удовлетворяет на бесконечности условию F). В это поде
вносится тело с диэлектрической" постоянной е,; внутреннюю область этого тела
обозначим через F,, внешнее пространство через Fj, получающееся при этом
добавочное поле обозначим, как и выше, через Et, <?lf а результирующее поле
через Е, <р. Во внутренней и внешней областях имеем:,
(9) D = sj(E9 + E1) и D = f
Далее
ф.0) ' rotE, ==O,
(.10') diY(D —D0) = 0.
На пограничной поверхности касательная составляющая Et и нормаль-
нормальная составляющая (D — Do) непрерывны, а на бесконечности D — Do удовле-
удовлетворяет условию F'). Пусть энергия основного поля равна Uo, энергия резуль-
результирующего поля U, тогда внесение тела в поле приводит к возрастанию потен-
потенциальной энергии на
Ul=U—U0^~ j [(B-D) —(Bo-Do)]dF —
1 Г
В силу условий A0) и A0') первая часть этого интеграла равна нулю на осно-
основании вспомогательной теоремы G), и остается:
71==^ j (E-Eo).Doc/F=^
V+V
j
Vi+Va
Второй из этих интегралов можно преобразовать в интеграл, распростра-
распространенный во F,. Действительно, согласпо (8), (У)
f EJHdV. = К f ЕЛ dVa=f(B-Do)EodVa.
Va Va Уа
В силу (8), A0') и условий F), (f/), к этому интегралу также можно примени»
вспомогательную теорему G), причем мы получаем:
f (D - Do) Eo dV. = - у (D - Do) EodVt.
Уа

XVII, § 3 Силы, испытываемые материальными телами в электрич. поле 785
Окончательно для энергии Ut получается выражение:
A1) Ui = -k
~ f (ED0-
modv4
odv4.
4. Энергия пара- или диамагнитного тела в магнитной поле. Пуеть
ваданы величины Но и Во = ^оНо5 определяющие основное магнитное поле. По
нашим предположениям
A2) divBo = O,
но вихри ооновиое поле может иметь. После внесения тела с проницаемостью j»,
получается результирующее поле Н, а индукция равна В = j^H во внутренней
области и В = раН во внешней области. Тогда
A3) rot(H—Н0) = 0, '
A4) divB = div(B — BO) = O.
На пограничной поверхности (Н.—Но) и (В — Во) непрерывны. Для энергии
тела мы получаем: f
A5) Тг = Т-Т0 = ± j (НВ -Н0В0) dV=
=~ j [H-H0)B0 + H(B-B0)]dF.
Здесь, в силу A2), A3), первая часть интеграла равна нулю, согласно вспо-
вспомогательной теореме G). Вторая часть дает:
Г1=-^ JH(B-B0)dP4 + ^ fH(B-B0)dVa.
Вместо интеграла по Va мы напишем:
/H(B-B0)dFa = lx(,/H(H-H0)dF(,= /'B(H-Iie)dF>i.
Га Уа Va
Согласно условиям A3), A4), к этому интегралу опять можно применить вспо-
вспомогательную теорему, которая дает:
/ В (Н - Но) dVe = - f В (Н- Но) dV(.
Следовательно, энергия окончательно определяется выражением:
A6) 'А = ^ / [Н(В-Во)-В(Н-Но)]^ =
Vi
= ~ j (BHo-HBo) dV(
50 Зак. 1408. — Франк и Млзес. Дифф. уравн. пах. фи».

786 Стационарное электромагнитное поле
Сравнение формул A1) и A6) показывает, что энергия тела в электриче-
электрическом и магнитном поле, если отвлечься от знака, выражается одинаковой фор.
мулой, — надо только заменить электрические величины внутри тела магнитными
и обратно. Несмотря на различный характер условий возникновения поля (источ-
(источники или вихри), оба основные поля вблизи тела могут быть тождественны друг
цругу, и в этом случае, в силу равенства пограничных условий, они создаю*
также и тождественные добавочные иода. Если принять теперь в расчет разли-
различие знаков в принципе виртуальной работы A) и в центральном уравнении B),
то мы придем к выводу, что пондеромоторные силы останутся теми же, если
электрические величины Б, D, е вблизи тела заменить аналогичными магнитными
величинами Н, В, р.
5. Применение в эллипсоиду. Вследствие этой аналогии мы ограничимся
магнитным случаем. Пусть эллипсоид с проницаемостью fi, находится в однород-
однородном магнитном поле Но. Это поле, конечно, на большом расстоянии не удовле.
творяет условиям F); но так как искомые силы зависят только от поля* в непосред-
непосредственной близости к телу, и так как выражение A6) энергии Тх содержит лишь
интегрирование по объему тела, то однородное поле можно с любой точностью
считать приближением к основному полю, удовлетворяющему этим условиям.
Используя постоянные выражения B8) § 3 для Н, мы получим:
И 2 ' П2„ #2
A7) (H-Ho)= f?L 1 fJE 1 ^
1*.
2itj»e
4
или с помощью формулы F, — — ъаЪс для объема эллипсоида:
О
A7') Tt = ~^- аЪс (Н • 1Г0).
Это выражение энергии зависит от значения напряжения поля Нй в также от
направления поля по отношению к главным осям. Поэтому вращению тела по
принципу виртуальной работы B) должен соответствовать момент вращения if,
испытываемый телом в магнитном поле. Пусть 8» (Зю,., Ьа>у, 8о>,) есть вектор вир-
виртуального вращения тела около е^о центра, в том смысле, в каком это пони-
понимается в механике; что же касается основного поля Но, то оно неподвижно
в пространстве. В этом случае мы имеем в системе главных осей, неподвижных
относительно тела, к которым относятся составляющие НОх в т. д., соотношение
т. е.
если эта система осей является правовинтовой. Далее, согласно A7'), принимая
в расчет однородный квадратичный характер формы A7),
«i = ^^ааЪе • 2(Н8Н0) = *г~^ аЪс (Н • [Но X Н) =
X Но]
С другой стороны, виртуальная работа моментов вращения
8Л == (М • 8<о) = МХЪ«

X VII, § 3 Силы,"испытываемые материальными телами в электрич. поле 787
Следовательно, принцип B) дает (так как 8а> — три независимые вариации):
A8) М= ft*' йЬс[НХН0],
или в составляющих:
1 1
A80
1
1+ ,
Ив этих выражений для моментов можно вывести замечательные следствия.
Сначала надо установить некоторые простые соотногаения между постоянными Л,
В, С. По определяющим их формулам B7') § 3 имеем:
A9)
О, Б>0,
Далее, порядок величин А, В, G обратен порядку величин а, Ъ, с, т. е. когда
а<Ь<с, то А>В>С.
Складывая эти величины, приводя подинтегральные функции в § 3 B7')
к общему знаменателю и- вводя в качестве новой переменной интегрирования
величину о = (о6с2)J, мы получаем:
^аЪс f
J
= vabc
с»
/
2it.
Отсюда и И8 формулы A9) следует:
B0) J<2it, Б<2тг,
где знак равенства может иметь место только в том случае, когда две ив вели-
величин А, В, С равны нулю; это имело бы место в вырожденном случае, когда две
из осей а, Ъ, с бесконечно велики. В случае сферы А — В~С — -—.
Формула B0) показывает, что в выражениях для вращающих моментов A8')
в фигурных скобках {} знаменатели всегда положительны даже в диамагнитное
случае (i*4 < jj.e), причем надо исключить только (физически нереальное) значение
^ = 0, соответствующее упомянутому особому случаю. Если привести дроби
в фигурных скобках к общему знаменателю, то получим, например:
IT. Д.
50*

788 Стационарное электромагнитное поле
Направление составляющих момента не зависит поэтому от того, будет ли
Нч > V-a илн Ъ < IV Все составляющие момента вращения равны нулю, если
магнитное поле Но паралельно одной из главных осей. Направление вращения
зависит от относительной величины главных осей, например: момент Мх отрица-
отрицателен, когда С < В, т. е. с > Ъ, а компоненты Коу и Н„г оба положительны. Можно
высказать следующее общее утверждение: составляющие момента вращения по
главным осям вращают в таком направлении, что в каждой главной плоскости,
перепендивулярной а составляющей момента вращения, большая из обеих главных
осей приводится в совпадение с составляющей поля в этой плоскости кратчай-
кратчайшим путем.
Поэтому положение равновесия эллипсоида устойчиво, если с направлением
поля совпадает наибольшая ось, и оно неустойчиво, если совпадает наименьшая
или средняя ось; в последнем случае равновесие неустойчиво только по отношению
к вращениям около наименьшей оси, в то время как по отношению к враще-
вращениям около наибольшей оси оно устойчиво. В случае удлиненного эллипсоида
вращения положение ось |] полю устойчиво, в случае укороченного—оно неустойчиво.
На первый взгляд кажется, что независимость ориентации эллипсоида от
знака величины ji, — jio противоречит опытам Фарадея; но эти опыты относились
не к случаю однородного поля, а к случаю поля неоднородного, созданного двумя
магнитными полюсами. В неоднородном поле возникают силы, которые приводят
к добавочным моментам вращения.
Для того чтобы вычислить такие силы, возьмем „квази-однородное поле",
т. е. такое поле, которое мало изменяется на протяжении линейных размеров
тела. Сообщим телу смещение 8х, 8г/, hz, сохраняя его пространственную ориен-
ориентацию; пусть при этом
5.1 =±= Рх
есть виртуальная работа поля. С другой стороны, энергия Тх есть функция поло-
положения, которое занимает тело в поле — в общем случае зависящая также от
ориентации главных осей относительно направления поля. Следовательно:
Ы = —— ox -j—— Ьу -j—— из.
ах ay oz
Поэтому для силы, испытываемой телом в поле, мы получим, согласно фор-
формуле A7') и принципу работы B):
Р = grad T = ^* ^" abe grad (H • Hq).
В случае шара (а = 6 = с, А=- 2тг) мы имеем:
ЖГ "Го ТГ .
следовательно
Эта сила не зависит от направления поля и при {*,>!*„ (парамагнитный
случай) в каждой точке имеет то направление, в котором абсолютное 8начение
напряжения поля рзстет быстрее всего, и противоположное направление в диамаг-
диамагнитном случае <

XV111, § 1 Квазистационарные контуры тока 78.9
ГЛАВА XVIII
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ И ВОЛНЫ
§ 1. Квазистационарные контуры тока
1. Магнитная энергия поля. Стационарный ток I создает в окружающем
пространстве магнитное поле, не имеющее источников и определяемое условием
Ампера, которое заключается в том, что линейный интеграл напряжения поля
на каждом замкнутом пути s, охватывающем проводник тока
A)
в то время как интеграл по замкнутому пути, не охватывающему проводника
с током, равен нулю х).
Если ток I изменяется со временем, то, как будет доказано в V части,
в окружающем пространстве распространяются возмущения со скоростью, при-
примерно равной скорости света; при этом состояние поля изменяется. Однако,
в том случае, когда изменение тока со временем совершается медленно во
сравнению с этим процессом установления поля, то с достаточной точностью
можно считать состояние в каждый момент установившимся. При таких усло-
условиях говорят о „квазистационарных" изменениях состояния.
Чтобы найти законы таких изменений состояния, будем исходить из энер-
энергии поля. Рассматриваемые проводники „линейны", т. е. мы отвлекаемся от их
поперечных размеров. Тем самым исключаются электрические заряды иа поверх-
поверхности проводников, тш как их емкость, согласно гл. XV, § 4, 1, равна нулю.
Пусть для простоты имеются два такие замкнутые проводника, по которым
текут токи Iv 72, создающие вместе магнитное поле Н = Н1-(-Н2 и поле индук-
индукции В = \iSL. Оба проводника s,, s2 мы представим себе затянутыми мембранами
fii /a> обе стороны которых для различения обозначим через f1+, ft_, и f2+, ft_.
В бесконечном пространстве, ограниченном поверхностями мембран, существует^
согласно A), потенциальная функция 9 = 91 + 92' так чт0
f H = —grad9; H, = —grad9p H2 = — grad92,
¦ ' \ div В = div уН = 0; div В, = div [iHj = 0; div B2 = div \lH2 = О.
Однако эта функция 9 c обеих сторон мембран принимает различные
значения, а именно
на fx 9+ — ф-
. на f2 94. — ?_ = ?2+ — ?2— = ~Ь
Интеграл энергии поля по бесконечному пространству
1 r"~-'=i(V(grad9J^,
8* J 8тг
(см. гл. XVIT, § 4, 1) преобразуется по теореме Грина в поверхностные инте-
интегралы. При этом
ft— ?2+ Тг—
х) Дуть интегрирования, направление тока или контур тока и положительная
нормаль к мембране (см. стр. 773) образуют правовннтовую систему.

790 Стационарное электромагнитное поле
Здесь dn есть элемент нормали к соответствующему элементу поверхности,
направленной наружу. Если под п в выражении для составляющих Нп, пВ под-
подразумевать нормаль к мембране на положительной ее стороне, то
на ft+ и f2+ -? = — #„,
на f. и /*„ -?г- = -J— И ,
и величины Нп и Вп имеют одинаковое значение с обеих сторон. Следова-
Следовательно
Тг+
Здесь
/Jf и j>2=
навиваются магнитный потовом сквозь сечение замкнутого проводника s, или s3.
Соответственно разложению величины H = Hi-f-H2, pt и р2 также разделя-
'ются на две части, зависящие от токов 11 и 12:
« ' { *1;
Вычислим разность
II * •? /jf i 11 # I if ' л/# —'—
i 5 "" / 1 ¦*¦ о I }* q t*/ ——
h+ f2+
Далее, вследствие непрерывности «j на поверхности / и ?2 на поверх-
пости Д
Из E) и E') мы получаем с помощью вычитания интеграл по поверхности,
составленной из четырех частей f1+, ft_, f' /_:
~~ L f(c?i div ¦•—?»di

XVIII, § 1 - Квазистационарные контуры тока 791
(по теореме Гаусса и B)]; следовательно
IJiiLin— L^ = Q, T- e- Ll2 = Lul.
В силу этого важного соотношения симметрии магнитная энергия C)
принимает вид:
Xn, Z22 называются коэффициентами самоиндукции, a ?12 = .?21 естъ коэффи-
коэффициент взаимной индукции обоих проводников.
2. Механическое представление системы. Закон индукции Фарадея.
Примыкая к во88рениям Максвелла, мы будем считать магнитную энергию
кинетической; этот взгляд связан с характером тока как скорости движения
электрического заряда. Соответствующие „импульсы" оказываются тогда не чем
иным как магнитными потоками
iL=u+i J= -d-L=*L I +LJ =p
1 2 ч
Соответствующие им координаты не входят в выражение энергии Т, так что
мы имеем дело с циклической системой. Однако они могут входить в выраже-
выражение электрической энергии, так как последняя является потенциальной. Анало-
Аналогично тому, как это делается в механике, мы определим их формулами:
t t
(8) qx = J I^t, q2 = f I2dt,
в будем для замкнутой цепи считать их просто вспомогательными величинами,
введенными для вычислений. Если же цепь, по которой течет ток, прерывается
конденсатором, то эти величины представляют собой заряд на той обкладке
конденсатора, которая считается положительной.
I В .последнем случае, пусть V,, V_ суть потенциалы положительной и отри-
отрицательной обкладок, Ес напряжение поля в конденсаторе, Ъ — расстояние пла-
пластин; в таком случае соответствующая электрическая энергия, согласно гл. XV,
§ 1, равна
ь
?/¦__/]/¦ у \ д.— _,
Так как Е,. пропорционально q, то это выражение квадратично относительно q,
и изменению заряда 8д соответствует вариация энергии
(9) 8?7е ==Sgc
По одному И8 основных законов физики, в проводнике в единицу времени
образуется джоулево тепло в количестве, определяемом формулой:
Eds.
= fmds = I- Ге-Й8 = ^| Г
То же выражение справедливо в случае какого-либо химического превра-
превращения энергии. Выделяющуюся теплоту или какую-либо другую форму энергии
мы также должны считать потенциальной энергией. Поэтому, по формулам (9), (9')

792 Стационарное электромагнитное поле
виртуальному изменению „координат положения" q,, q2 соответствует виртуаль-
виртуальное изменение потенциальной энергии
A0) 8*7= bqxj Eds + 8?я у Eds,
где интегралы надо веять по замкнутым путям, — следовательно, также и по от-
отрезкам, занятым конденсаторами.
Ив G) и A0^1 следуют уравнения Лагранжа:
~аЧ
(И)
Соотношения, выраженные «формулой A1), представляют собой законы
индукции Фарадея в общей форме. Заслуга открытия такой связи между осно-
основами электродинамики и механики принадлежит Максвеллу.
3. Колебание цепей, Оопротивлеиие при переменной токе. Пусть цепи,
изученные в 2, имеют омические сопротивления Wv Wv — следовательно, оми-
омические падения напряжения в них равны WtIt и TF72. Далее, пусть в каждую
из них включен конденсатор с емкостью К, и, соответственно, К2. Падения
напряжения в конденсаторе тогда равны ~- и соответственно ~, и потому
интегралы напряжений в формуле A1) принимают вид:
A2)
j
a,
Далре формулы A1), A2), G), (8) вместе приводят к следующим уравне-
уравнениям:
г dh
A3)
dt
* ~dt+?s2 ~df + W*T*+к~1=
?1 — П г ¦_
Изучим сначала свободные колебания одной несвязанной колебательной
цепи. В этом случае ?1а = 0 и, опуская значки в формуле A3) и исключая q,
мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка:
Вставляя известные выражения решения 7 = c1e1°'*-f-c8e<0'*, получаем урав-
уравнения, определяющие ю:
следовательно
2L~ у 4L* LK'

XVIII, § 1 Квазистационарные контуры тока 793
Когда Д = W2 — 4 ^р- > 0, то мы имеем дело с апериодически затухающим
К.
током в цепи; наоборот, когда Д < 0, частные решения уравнения имеют вид:
( w * ¦ /~~ й"*Л
следовательно, в этом случае в цепи происходят затухающие колебания с лога-
логарифмических декрементом к и частотой п:
2х/ zir у j-ij\.
В общем случае уравнения A3) выражают связанные колебания обеих
цепей. Мы не будем изучать этот общий случай, а ограничимся вынужденными
колебаниями цепи, которые мы получим, например, в том случае, если будем рас-
рассматривать в первом из уравнений A3) член связи Ll2 -~=f- как индуктиро-
Cvt
ванное периодическое напряжение заданного вида (следовательно, не будем при-
принимать во внимание обратного действия на вторую цепь). Пусть это напряжение
имеет вид Pcosart; тогда опуская значки, придем к уравнению:
A4) L§ + WI+± %
Так как свободные колебания, существование которых мы устаноьили выше,
быстро затухают, то главным образом нас здесь интересуют вынужденные коле-
колебания. Если мы, пользуясь известным методом, заменим правую часть уравне-
уравнения A4) комалексным выражением Pewt , то мы найдем, что сила тока I есть
вещественная часть решения уравнения:
Пусть вынужденное решение имеет вид Iew*; в таком случае мы полу-
получаем:
/ _
т. е.
A6)
W + i[L*-
Знаменатель, определяющий комплексное отношение напряжения в току, мы
назовем, по аналогии с законом Ома: „комплексным сопротивлением при пере-
переменном токе". Абсолютное значение этого отношения, которое в электротехнике
называется „импеданц", равно
При этом, согласно A6), ток отстает по фаве от напряжения на величину

794 Стационарное электромагнитное поле
Этот сдвиг фае в том случае, когда „емкостный" член г=- преобладает над
„индуктивным" членом La>, переходит в опережение. Сдвиг фае равен нулю
в случае, когда частота ш резонирует с незатухающей свободной частотой, т. е.
когда
Для абсолютной величины |1| в зависимости от <о при заданном |Р| фор-
формула A7) дает резонансную кривую.
§ 2. Квазистационарные волны в проводниках
1. Волновые уравнения. Как будет показано в гл. XXU на основе урав-
уравнений Максвелла, электрические возмущения не только распространяются со
скоростью света в свободном пространстве, но также распространяются и вдоль
„идеальных" проводников, которые можно рас-
рассматривать как предельный случай металли-
металлических проводников при бесконечно большой
проводимости. При изучении таких волн можно
также, как показали Хивисайд и др., исходить
из менее общих соображений, которые для
Ai <?з. одпородных прямолинейных проводников в ре-
Рис. 83. зультате совпадают с теорией Максвелла.
Для составных проводников этот метод дает
лишь приближение к тому полю, которое удовлетворяет уравнениям Максвелла.
Однако это приближение имеет преимущество большей простоты.
Пусть два цилиндрические проводника A, 2, см. рис. 83) расположены парал-
параллельно оси х; мы будем рассматривать такие волны, в которых токи обоих
проводников равны по величине и противоположны по направлению. (Если бы
этог0 не было, то можно было бы прибавить третий проводник, например землю
так, чтобы сумма токов равнялась нулю.) Токи Ii = I и 12 = — I оказывают
двоякое действие: во-первых, они создают в окружающем пространстве магнит-
магнитное ноле Н(В = аН), и во-вторых, они заряжают проводники электричеством;
в связи с этим, а также в связи с существованием омического сопротивления
между проводниками, появляется электрическое поле Б. Интеграл поля, ваятый
в сечении х, перпендикулярном к проводникам, от одного из них до другого
A) fmy = P(x),
называется напряжением проводника 1 по отношению к проводнику 2 в этом
сечении. Вдоль самих проводников
B) E^WJv E^WJi = -WJv
где WVW2 суть омические сопротивления проводников на единицу длины.
Возьмем два поперечных сечения АХА2 и BtBv перпендикулярных к обоим
проводникам, и рассмотрим прямоугольник А1В1Б2А2. Так как закон индукции
Фарадея, выведенный в § 1, не зависит от того, является ли рассматриваемая
непь замкнутой или она прерывается конденсатором, то мы имеем право приме-
применить этот закон к нашему прямоугольнику, контур которого частью проходит

X VIII, § 2 Квазистационарные волны в проводниках '
в проводниках, частью в промежуточной среде. Следовательно, для замкнутого
обхода по контуру прямоугольника мы имеем:
C) f^
Второй интеграл относятся к плоской новерхности f, ограниченной прямоуголь-
прямоугольником, а п есть направление нормали к этой поверхности. Вставляя A), B)
в интеграл, стоящий на девой стороне сравнения C), мы получим:'
В, А,
—~ J Bn j f
T Аг
В
f Мх.
А
Здесь мы перейдем к пределу, приближая %В-+%А ^дифференцирование
по х). Из поверхностного интеграла слева получается с точностью до множи-
Аа
теля dx линейный интеграл / Bndy, выражающий поток на единицу длины
проводника в этом месте, и вводя сокращенное обозначение W = W\ -j- W2, мы
получаем:
В
f
А
где все величины надо брать в сечении х.
Мы сделаем здесь следующие упрощающие предположения, справедливость
которых и правильность выведенных из них следствий выяснится на основе
уравнений Максвелла (гл. XIX):
a) Индукцию Вп{х) можно вычислять из силы тока 1(х) так, как если бы
ток был одинаков вдоль всего проводника. Таким образом, вычисление магнит-
магнитного поля представляет собой двухмерную задачу. При этом мы пренебрегаем
также индуктирующим действием „тока смещения", который, по предвтавлениям
Максвелла, течет от проводника к проводнику (см. часть IV, особенно гл. XV,
§ 2, 3). Поэтому мы будем называть такие волны „квазистационарными".
b) На обоих проводниках находятся заряды, которые, в силу предположе-
предположения 11-}-72 = 0, равны по величине и противоположны по знаку в каждом сече-
сечении. Пусть их плотность на единицу длины на обоих проводниках равна -\-q
и —q. Напряжение Р(х) мы будем вычислять из плотности заряда q(x) так,
как если бы плотность заряда вдоль всего проводника была постоянна, — если бы,
следовательно, мы имели дело с двухмерной задачей гл. XV, § 4, 2.
Если принять в расчет направление индуктированного поля (правило
Ленца), то индукция на единицу длины, согласно предположению а), примет вид:
E)
здесь L называется „самоиндукцией проводника на единицу длины". Следова-
Следовательно, вместо D) мы получим:

796 Стационарное электромагнитное поле
С другой стороны, по предположению Ь), можно ввести постоянную К, —
„емкость на единицу длины", определяемую соотношением
Наконец, вследствие неизменности полного заряда, изменение варяда отрезка
между сечениями хА и хв есть
в
~т
А
следовательно, переходя к пределу В-+ А,
dq __dl_
(") Я/ ~ Яф
и И8 7) и (8)
Уравнения F), (9), связывающие напряжение и ток и управляющие распро-
распространением волн тока и напряжения, навиваются „телеграфными уравнениями".
Между постоянными L и К всегда имеется соотношение, которое, как легко
убедиться, вычисляя поле, имеет вид:
A0) Ж-?.
Здесь s, [J. суть диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость
среды, окружающей проводники, с есть скорость света в пустоте, и все вели-
величины выражены в электромагнитных единицах.
Исключение напряжения Р из F) и (9) дает
и то же самое уравнение получилось бы для напряжения Р, если бы мы исклю-
исключили силу тока I. Общий вид решения этого уравнения может быть получен
в предположении, что проводник неограничен и что задано начальное распре-
Я т
деление I (х) и —, то есть, согласно F), задано Р (хI).
J) Общее решение этого уравнения при условии, что, при t = 0, I(x)=sf(x),
-г- = д (х), гласит:
2
L
где Jo есть бесселева функция.
{Прим реё.)

XVIII, § 2 Евазиешационарняе волны в проводниках 797
2. Стоячие волны. Свободные колебания. Мы ограничимся здесь
более частными задачами, а именно, такими, которые относятся к ограни-
ограниченным проводникам. Для этой цели найдем сначала частные решения уравне-
уравнений F), (9), в которых как I, так и Р выражаются в виде произведения
функции от t и функций от х. Так как речь идет о дифференциальных уравне-
уравнениях с постоянными коэффициентами, то в качестве такого частного решения 1т,
Рт можно веять
При этом т, a, jm, pm представляют , собой постоянные, для которых мы,
вставляя A1) в F) и (9), получаем следующие соотношения:
A2)
02') —mjm = Kapm;
следовательно, после исключения постоянных jm, pm
A3). ^
и после исключения т
Сначала рассмотрим случай, когда I и Р гармонически периодичны по
отношению к х, или же составляются из таких частей; в этом случае ы чисто
мнимое — мы обозначим его *v — и согласно A3)
W -+- - ¦• /
"*" ' ~LK
отрицательно и вещественно при v2:^^^^—, тогда как при больших значе-
значениях v обе эти величины комплексны, сопряжены друг другу и имеют отри-
отрицательную вещественную часть. Следовательно, при этом происходят апе-
апериодически уменьшающиеся или затухающие колебания. Рассмотрим последний
случай и положим .
Тогда, к омбинируя покавательные множители, соответствующие -f~v и —v>
и используя A2'), мы можем построить следующие частные решения (мы
обозначаем вдесь буквой jH постоянную, которой определяется сила тока):
A5)
Р = — ^r- j cos
Такие решения, как известно, называются свободными стоячими колеба-
колебаниями, так как местоположения нулей и максимумов тока и напряжения непо-
неподвижны, и член со временем определяется только постоянными системы. В про-
пространстве имеется между напряжением и током сдвиг фаз на четверть волны,
а знаменатель а в выражении для Р означает, что напряжение отстает от
тока на фазу во времени ifv = arg (av) = arctg j_JL j, что в случае х = 0, т. е.
W = 0, опять дает сдвиг фаз в четверть периода.

798 Стационарное электромагнитное поле
В качестве применения х) возьмем случай, когда в момент t = О задано
распределение заряда qo(x) на проводнике длины I, открытом с обеих сторон,
причем исследуется неустановившийся режим. На концах проводника в каждый
момент времени имеет место равенство
A6) 1 = 0, при ж = 0 и х = 1,
и кроме того в начальный момент ток везде равен нулю, т. е.
A6') 1(х) = 0 при г = 0 и
Разложим решение в ряд Фурье, причем согласно условиям A6), разложе-
разложение должно иметь вид:
а.
где п есть целое число. В таком случае распределение заряда и напряжения,
согласно формуле A5) с учетом выражения A3), в котором нужно положить
w2 = — (итг//J, имеет вид:
q(х, 0 = КР{х, 0 = -ё~«2 P^fcos-^-sin
= -е-** VKL ? зп cos
В момент ( = 0 ин получаем отсюда:
» Sm T» Cos
1 п=1
так что зп определяется из соотношения Фурье*.
г
n = - J ъ F)
3. Вынужденные колебания. В технике переменных токов имеет место
другой случай, когда ток I и напряжение Р изменяются во времени чисто гар-
гармонически, причем частота <о определяется внешним источником. Тогда в фор-
формуле A1) <х = га> есть чисто мнимая величина, и согласно A3)
A3)" «г = г!=уг.ЙГ( — LaP-\-iW<u) ==t(p-?-to)
будет комплексно. При этом, если аз считать положительным, то величины р
и о также положительны. Частное решение можно тогда написать в виде:
а соответствующее значение Р, согласно A2) и A3')
A8') 7>_i/ ¦"-—»"¦/»,. _. „<(«.f + «» + fa> , .„<(»«-. «a,)-.
tt Пвдрвбцвд явучение таких вадач ем, у К. W, Wagner, Elektromagnetiscbe Axa-
S in Freileitungen und Kaljeln, Teubner, 1908.

X VIII, § 2 Квазистационарные волны в проводниках 799
Та часть решений A8), A8'), которая имеет множитель jt, представляет
собой волну, бегущую в направлении уменьшающихся х, а та часть, которая
имеет множитель j2, представляет собой волну, бегущую в направлении воз-
возрастающих х, причем обе волны затухают в направлении распространения. Пер-
Первую можно рассматривать как отражение последней, если, например, проводник
находится в области ж<0, а при х — 0 обрывается, и в этой точке „нагружен",
т. е. замкнут на некоторое омическое (В) и индуктивное (S) сопротивление. Коэф-
Коэффициент отражения jx :j2 определяется при этом видом нагрузки, характеризую-
характеризующейся условием:
A9) P = S~-\-Bl, при х = 0.
Если в выражение A9) вставить A8), A8'), то мы получим для отношения
)i '-h уравнение:
A9')
причем, так как это выражение комплексно, то оно определяет коэффициент отра-
отражения и по величине и по фазе. При некоторых обстоятельствах отраженная
волна может отсутствовать, именно в том случае, когда коэффициент при j2
в уравнении A9') равен нулю. Чтобы это могло иметь место, необходимо прене-
пренебречь индуктивным сопротивлением S нагрузки и омическим сопротивлением W
проводника, а омическое сопротивление нагрузки должно иметь определенную
величину
B0)
Введенная здесь постоянная Z, которая при исчезающем сопротивлении
представляет собой единственную постоянную, характеризующую проводник,
называется „волновым сопротивлением" проводника, так как в этом случае, со-
согласно A8), A8'), она определяет отношение напряжения к току в распространяю-
распространяющейся волне. Комплексное отношение между напряжением и током, определяемое фор-
формулами A8), A8') в более общем случае, мы также назовем волновым сопротивлением.
В том случае, когда заданы ток (Jo) и напряжение (Ро) на конце х = 0
проводника, целесообразно несколько видоизменить уравнения A8) и A8'). При
т. е. _
ZI0 — Ро = 2ZJ! ei<at; ZI0 -f Po «=
Подставляя эти значения, мы получаем из A8), A8'):
_ _ ^па -L-e-™* етх _
B1)
-г — — ЛЛ
2 ° 2
„— тх лих I
Так как адесь m = p-j-ia комплексно, то при заданных 10 и Ро величины
I и Р в зависимости от х можно представить диаграммой в комплексной плос-
косзя, которая называется в электротехнике „спиральной диаграммой". Если пре-
пренебречь омическим сопротивлением W, то, в силу A3") и A0)
р = 0, о = оз Y~L1

800 Стационарное электромагнитное поле
и мы
B10
получаем
вместо B1):
0
iP= ZIosm
оке
— -It,
°°L+ipc
' с
cos Y ер —
0
В этом случае ток и напряжение вдоль всего проводника периодически меняются
как по фазе, так и по амплитуде. Только в том случае, когда iPQ совпадает по
фазе с /0, фазы сохраняются вдоль всего проводника. В этом случае сдвиг фаз
между I и Р равен везде четверти периода *).
4. Бегущие волны произвольной форны. Частные решения A1),
из которых мы исходили в 2, можно, в силу A4), A4'), написать в виде:
в этой форме они представляют собой бегущие волны с коэффициентом затуха-
— 2
ния е
равна
ния е , не зависящим от^длины волны . Скорость их распространения
(W \2
Если мы при вычислении ограничимся линейными членами, то все волны будут рас-
распространяться с одинаковой скоростью и иметь одинаковый коэффициент зату-
затухания. После того как установлено таким образом действие ватухания, мы упро-
упростим задачу тем, что совсем пренебрежем омическим сопротивлением W провод-
проводника. Тогда мы вместо F), (9) получим уравнения:
д! дР_ дР д_1_
Ы ~~ дх ' Ы~ ^ дх '
Общее решение этих уравнений, выраженное через две произвольные функции
flf f2, имеет вид:
B2)
где
Z=1/ -?¦ t> =
УТЖ V^'
Задачи, изучаемые с помощью этих бегущих волн, относятся к случаям
отражения от концов проводников или к случаям перехода на провод-
проводники с другим волновым сопротивлением, например, от воздушного проводника
в кабель. При этом приходится иметь дело между прочим со следующими погра-
пограничными и переходными условиями:
1 Дальнейшие Сведения—в цитированной книге К. W. Wagner, а также у Breisig,
Theoretische Telegraphic (Vieweg, 1924), гл. VII, VIII.

XVIII, § 2 Квазистационарные волны в проводниках 801
На конце проводника
а) Разомкнутый конец проводника при.г = О. В этом случае
I (о, 0 = °) а следовательно:
Л+/"*«= О. / = Л(Н-«9—Л ( —
Р=> - Wi (* + «О + Л (- * + «*
Здесь fj надо считать падающей, а /*2 отраженной волной в области х > 0.
Отражение происходит таким образом, что сила тока на конце равна нулю,
а напряжение удваивается.
b) Замкнутый конец проводника при х = 0, т. е. Р@,<) = 0,
следовательно
—Л+/"а = о. /=
В этом случае ток падающей волны при отражении от конца удваивается.
c) Нагрузка омическим сопротивлением R. В этом случае
следовательно
(Л
Отраженная волна f2 отсутствует в том случае, когда й — Z==0, т. е.
сопротивление нагрузки и волновое сопротивление равны друг другу.
d) Нагрузка индуктивным сопротивлением S. В этом случае
на конце х = 0 ¦
откуда для определения f2 при заданном ft получается линейное неоднородное
дифференциальное уравнение:
Если падающая волна гармонически периодична, а именно выражается
по I X \
множителем е I t ¦), то это условие имеет вид:
d — Z)fx-\- (iSvm -\- Z) f2 = О,
следовательно, отраженная волна по величине равна падающей, но сдвинута
относительно нее по фазе.
Переход между двумя проводниками.
а) В точке х = 0 встречаются два проводника с различными волновыми
сопротивлениями, причем сопротивление равно Z+ в области х > О и равно ?_
в области х < 0.
Предположим, что в первой области задана волна fx (x -f- vt), падающая
в направлении уменьшающихся а;; в месте раздела х = 0 она распадается на
отраженную волну f2 и проходящую fs. Поэтому в первой области мы положим,
согласно B2)
а во второй области
B3') I_ = feC* + »Q, P_
51 3»к. 1408. — Франк ж Жжаве. Днфф. уравв. мат.

802 Стационарное электромагнитное поле
Условие непрерывности, как тока, так и напряжения, в месте раздела дает:
откуда
Смотря по тому, будет ли Z_f$:Z+, отраженная волна тока будет иметь
противоположный или тот же знак, что и падающая волна. При Z_ -> со
первый случай превращается в случай рагомквутоЁ цепи, а при Z_-+0 второй
случай превращается в случай замкнутой цепи.
Ъ) Омическое сопротивление R включено между двумя проводниками с оди-
одинаковыми волновыми сопротивлениями Z_==Z+ = Z. В этом случае в уравнениях
B3), B3') надо Z и Z_ заменять на Z, а при х = О будут иметь место пере-
переходные условия:
1+ (о, 0 - /_ (о, <) =
Р+(о,о—Р_(о,0 + л/_(о,о==
откуда
, В . 2Z
Здесь также получается при R -> оо предельный случай разомкнутого провод-
пека, а при В-у 0 — случай свободного прохождения волны бее всякого отражения.
с) Пусть теперь вместо омического сопротивления между двумя одииако-
вшга проводниками в точке х = 0 включено индуктивное сопротивление 8. Тогдё
к уравнениям B3), B3') прибавляются переходные условия:
оа куда
Svf»'
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение определяет f3 как
функцию аргумента l — x-\-vt, причем, как легко проверить, эта функция
имеет вид:
если предположить, что при отрицательных значениях аргумента и при Е = 0
имеют место равенства /",(?) = 0 и /^ (?) = О- При этом отраженная волна/,
как функция аргумента —х-\-Ы, определяется соотношением /*2 = /а—Л- На
основании этих уравнений ток во втором проводнике и отраженный ток в пер-
первом возрастают постепенно, начиная с момента встречи.
Если, например, в падающей волне ft = const (прямоугольная волна), то
(
1-

J.VIII, § 3 Квазистационарные волны в катушках 803
жричен конечных состоянием является полное прохождение:
/з — f\ •
Если падающая волна при 6 > 0 гармонически периодична с частотой <г,
т. е. Д (?) = се*"*** , то конечное состояние определяется выражением:
''' 'а ~" 2Z+ iSto '1-
§ 3. Квазистационарные волны в катушках
1. Волновые уравнения. Распространение волн через катушки есть задача
для полного решения которой необходимо точное вычисление поля около катушки1);
более наглядные результаты дает однако упрощенное вычисление а) (рис. 84), ана-
аналогичное тому, которое мы проделали в § 2.
Пусть ось катушки направлена по оси х, а сама катушка представляет
собой простую цилиндрическую винтовую линию с малой величиной хода. Обрат-
Обратный проводник пусть для симметрии идет
во оси катушки; предположим, что он за-
заземлен. Этот обратный проводник, так же
как и другие удаленные цилиндрически
симметричные проводники, мы для крат-
краткости будем называть „землей".
В воздушной среде внутри и вне ка-
катушки имеется электрическое поле Е, и мы
будем рассматривать радиальную соста- . Рис- вл-
влияющую этого поля Er (r = Wa + s2)
и продольную составляющую Ея. Далее, ток, протекающий по катушке, создает
магнитное поле Н, о котором мы сделаем очевидное предположение, что оно
лежит в радиальных плоскостях, т. е. что нужно рассматривать только его соста-
составляющие Нг е Нг При этом предположении, согласно закону индукции Фарадея,
электрическое поле в радиальных плоскостях не имеет вихрей, и поэтому его
можно вычислять как электростатическое. Под напряжением Р в некоторой точке
катушки мы будем подразумевать интеграл — / Е ds, который взят по некото-
некоторому пути, лежащему в радиальной плоскости и идущему от земли до этой
точки катушки.
На поверхности проводника, образующего катушку, появляются электриче-
электрические заряды, которые мы тоже разложим на две части, соответственно общему
выражению гл. XV, § 1, 2 для плотности объемного 8аряда в вовдухе (а = 1):
Пусть, следовательно, заряд катушки на единицу длины оси х равен:
B) 9 = 9,+?,.
Первую часть, которая, согласно A), соответствует составляющей поля Ег,
мы будем вычислять таким образом, как если бы объем, занятый катушкой, пред-
представлял собой круговой цилиндр с внутренним радиусом а и внешним радиу-
радиусом Ъ; связь между qr(x) и средним напряжением Р(х) при этом будет прини-
1) См. W. Lens, Ann. d. Phys. 4, 37, 1912.
*) Ср. О. ВбНт, Wanderwelleneclrwingungen in Traneformatorwicklungen, Arch. Elek-
trot, 5, 1917; K. W. Wagner, там же 6/ 1918.
51*

804 i Стационарное электромагнитное поле
матъся как и в § 2, 1, такой, как если бы напряжение было постоянный
вдоль цилиндра. Следовательно
C) qr(x) = KP(x),
где К означает емкость на единицу длины оси х1).
Вторую часть дх заряда проще всего вычислить так, как если бы цилиндри-
цилиндрический объем катушки был непрерывно 8аполнен продольным полем Еж. Заряд
на единицу длины при этом получается посредством интегрирования по кольце-
кольцеобразному поперечному сечению f между г = а и г — Ь, по формуле A):
г
где черточка означает среднее значение. Так как по предположению поле в ра-
радиальных плоскостях не имеет вихрей, то здесь
Согласно D) и E), мы можем, следовательно, написав
F) я. = -*-йг-
Величину С мы назовем „емкостью обмотки" на единицу длины оси х.
Окончательно мы получим:
B') я(*) = я,
Эта формула заменяет уравнение G) в § 2, 1.
Что касается уравнений F) и (8) § 2, то они в той же самой форме имеют
место и для этой задачи. Необходимо' только принять во внимание, что коэффи-
коэффициент самоиндукции L соответствует теперь магнитному потоку, пересекающему
перпендикулярно плоскость катушки по поверхности а2тг, и, следовательно, не свя-
связан с емкостью тем соотношением, которое определялось формулой A0). Если а
означает угол наклона витков, то как емкость К, так и коэффициент самоиндук-
самоиндукции L возрастут примерно в отношении ctg а по сравнению с тем, как если бы
они определялись этим соотношением, т. е. по порядку величины мы можем
писать:
G) V LK — ctgaJ—?.
с
L также надо считать на единицу длины оси рс, так же как и сопротивление W,
которым мы однако для цростоты пренебрежем. При этом мы получим следую-
следующие уравнения:
(8) « № - П
dt дх' dt . дх
Следовательно, по B')
к-дР—с- dsp ''¦' dI
с
dt dx*dt ~ ~.дх'
Формулы (8) и (9) определяют распространение волны в катушке.
х) Ее можно вычислить электростатически по гл. XV, § 4, 1, причем однам не-
необходимо принять в расчет размеры „земли".

Z.VIII, § 3 Квазистационарные волны в катушках 805
2. Гармонические волны. Для исследования этих волн мы можем восполь-
воспользоваться только методом составления их из последовательности гармонических
волн, так как общих решений в виде бегущих волн произвольной <|й>рмы, каковы
решения B2) в § 2, 8десь не существует. Возьмем опять частные решения:
(Ю) J,=:.?,е j ¦Р^,==Рче >
и вставляя в (8), (9), получим:
A1) ¦— iLaj4 = — *vp,, — tvj, == — * С&'ео + Ccov2) p ,
откуда
A2)
A3) Z,=
И8 этих уравнений вытекает, что каждому вещественному v, то есть,
гармоническому распределению напряжения и тока в пространстве, соответ-
соответствует вещественное со, следовательно, гармоническое изменение во времени.
В этом случае мы имеем дело с бегущей волной, скорость распространения
которой вависит от частоты или от длины волны:
При 09 = 0 скорость равна
схедовательно, по G), это величина порядка
При уменьшений длины волны f = 2w/v или увеличении частоты со она
уменьшается, и в предельном случае исчезающе малой длины волны (v=oo)
становится равной нулю. Частота со при этом приближается к предельному зна-
значению, которое называется „критической частотой":
A5) coft= *
При больших частотах распространяющиеся волны уже не вовможны; при о» > <ок,
v, согласно A4), становится чисто мнимым. При этом распределение частных ре-
решений в пространстве будет не гармоническое, а экспоненциально убывающее
или возрастающее.
Точно также по A3) волновое сопротивление Z4 = ~ уже не является по-
постоянной, характеризующей вещество, а вависит от длины волны или частоты
и становится равным нулю при критической частоте, при которой, следовательно,
катушка в обоих отношениях ведет себя как прямой проводник с бесконечно
большой емкостью. При больших частотах Z становится чисто мнимым, т. е.
между напряжением и током появляется сдвиг фаз на четверть периода.
3. Образование преломленных волн. Пусть в области х < 0 имеется
воздушный проводник, подобный тому, который был рассмотрен в § 2 с волно-

806
Стационарное электромагнитное поле
вык сопротивлением Z. В области х > 0 к нему приключена катушках). Для
гармонических волн ее можно, согласно 2, рассматривать как воздушный про-
проводник с волновым сопротивлением Zv. Следовательно, если в воздушном про-
проводнике распространяется гармоническая волна с частотой <а и амплитудой силы
тока flt то на основании 8адачи а) на стр. 801,. в катушку входит волна той же
частоты, причем для ее тока и напряжения мы получаем формулы:
A6)
O7 У
Падающую волну произвольной формы можно представить в виде интеграла
Фурье из таких гармонических волн. Пусть, например, мы имеем дело с гармо-
гармонической волной частоты а с „крутым фронтон-, которая достигает места раз-
раздела в момент < = 0. Иначе говоря, пусть падающая волна при х — 0 будет:
Р@,0 = ZI@,0 = 0, при t < 0;
= '2e*rt» при *>0.
Эту функцию нель8я представить в виде вещественного интеграла Фурье,
так как она не интегрируема на вещественном пути от — со до -j- oo. Однако,
это можно сделать на комплексном пути. Действительно, мы имеем:
A7)
Ш
о»
+00
=-Л- /
2и J to — a
Рис. 85а.
Рис. 856.
где последний интеграл ввят в комплексной плоскости ш по комплексному нута,
покаэанному на рис. 85а, обходящему точку a> = a против часовой стрелки. Дей-
Действительно при t < 0 этот путь можно непосредственно деформировать в боль-
большой полукруг, охватывающий отрицательную .мнимую полуплоскость, и, таким
образом, получить для интеграла значение нудь. При положительном t его можно
преобразовать только в малый круг х, окружающий точку a> = a, и в полу-
полукрут, охватывающий положительную полуплоскость и дающий опять вначенив
нуль. В качестве вычета, относящегося к окружности х, остается / (О, tf) =se*"*.
Следовательно, волна, входящая в катушку при х = 0, равна, согласно A6)
и A7)
A8)
a> —a)
где
1 Соотношения были бы подобны рассматриваемым здесь, евдн бы на каждш
конце проводника было прикдючено по катуике.

JLVIII, § 3 Двазыстационарные волны в катушках 807
Наконец, при х > 0 нужно прибавить к иодинтегральной функции множитель е~**",
,'де v имеет значение, определяемое формулой A4). Поэтому, при х > 0, мы полу-
получаем:
A9)
— о»
как полное решение, определяющее распределение тока. Соответствующее рас-
распределение напряжения имеет вид:
+ <
B0)
При выборе пути интегрирования в A9), B0) необходимо принять в расчет,
что подынтегральная функция должна оставаться конечной при всех положитель-
положительных х, включая х = со. Это наверное имеет место в том случае, если квадрат-
квадратная скобка в показателе вещественна. Так как, однако, при а> > а>4 квадратный
корень является чисто мнимым, то нужно выбрать путь таким образом, чтобы
«о
Vl
при а> > а>4 было вещественных. Если корень в области о» < в>к был выбран
положительным, то мы достигнем этого, если проведем равревы в плоскости а>
от -f-«s до -f-°° и от — оьн до—оо и выберем путь интегрирования, указанный
на фиг. 85Ь. При t <0 этот путь опять можно деформировать в полукруг, охва-
охватывающий отрицательную мнимую полуплоскость так, что интегралы оказываются
равными нулю.
При t > 0 необходимо более подробное исследование. В общих чертах
результат заключается в той, что крутой фронт волны при вхождении в ка-
катушку становится более пологим, ибо, как было установлено выше, те со-
составляющие волны, которые обладают более высокой частотой, распростра-
распространяются с меньшей скоростью, причем порядок величины, определяемый форму-
формулой A4), остается правильным до критической частоты <а—а>ь. Но вследствие
наличия в показателе квадратного корня, который становится мнимым при
«> шя, с момента t = О становится невозможным при произвольном положи-
положительном х деформировать путь интегрирования в отрицательный полукруг, на
котором интегралы равны нулю. Это означает, что в момент * = О как Р, так
ж I внезапно1) принимают при всех положительных ж некоторое конечное,
хотя и очень маленькое вначале значение; это явление происходит вследствие
емкостного действия между обмотками.
*) Если принять в расчет ток смещения (см. следующий раздел), то здесь будет
иметь меото распространение со скоростью света.

ЧАСТЬ ПЯТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ГЛАВА XIX
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Основные уравнения и однозначность решений
Под электромагнитными колебаниями мы понимаем периодически зависящие
вт времени решения уравнений Максвелла любой частоты, от коротковолновых
рентгеновых лучей и обыкновенного света до волн Герца и радиотелеграф-
радиотелеграфных частот. Здесь нас совсем не интересует вопрос, дают ли уравнения
Максвелла окончательное физическое представление этих процессов, или оно
будет еще уточнено в смысле теории квант: математическая трактовка распро-
распространения волн будет всегда определяться уравнениями Максвелла, даже если
в будущем придется рассматривать эти уравнения как результат усреднения
квантовых процессов. С другой стороны, испускание и поглощение света, ко-
которые несомненно не содержатся в уравнениях Максвелла, также не входят
в круг нашего рассмотрения. При этом под „уравнениями Максвелла" мы будем
понимать, в противоположность историческому положению, дел, не только их
упрощенную форму, данную Герцем и Хивисайдом, но также и уравнения эле-
электронной теории Лоренца и их релятивистское обобщение.
1. Собственно теория Максвелла. Уравнения Максвелла для неподвижной
среды, в удобных (рациональных, свободных от 4ir) единицах и в математически
удобной системе мер (электрические величины, включая ток, измерены в эле-
электрических, магнитные величины — в магнитных единицах), имеют вид:
(I) —В=* — ЫВ, (Ш) divB = O,
С
(П) — (i> + J) = + rotH, (IV) divD = p.
с
В есть магнитная индукция, D электрическое смещение, Е и Н — электрическое
и магнитное поля, J — ток проводимости, р — объемная плотность (истинного)
электрического заряда, с — скорость света в пустоте = 3.1О10 CMJcen.
(IV) представляет определение р. Из (П) можно ваключитъ, что для непро-
непроводников (J = 0), р не зависит от времени, так как div rot = 0. Точно так же
ив (I) следует, что div В не меняется со временем. Эту величину можно паввать
истинной плотностью магнитных источников. (Ш) специализирует это условие
в том отношении, что вектор В вообще не должен иметь источников (должен
иметь соленоидальный характер).
Уравнения (I) и (II) только тогда получают физический смысл, если мы
к ним присоединим взятые из опыта зависимости между векторами D, В, 1
и Е, Н- Для изотропной среды, в отсутствии магнитного и электрического на-
насыщения и гистерезиса, эти зависимости имеют вид:
(V) D=eE, В

XIX, § 1 Основные уравнения и однозначность решений 809
Положительные коэффициенты е, jx, о называются: диэлектрическая по-
постоянная, магнитная проницаемость, проводимость.
Далее, необходимо ввести с помощью дополнительных аксиом энергетически»
i нондеромоторные величины.
Форма уравнений позволяет ввести следующие определения (см. ниже 2):
Wt = — ED — объемная плотность электрической энергии;
(мг\ I ^« ~ Т ^^ " » магнитной энергии;
Q==EJ джоулево тепло на единицу объема и единицу времени;
S —еЕХН — поток энергии на единицу поверхности и единицу вре-
времени = вектору излучения
Таким обравом, плотность энергии дается скалярным произведением, — а поток
анергии,—векторным произведением.
Для изотропной среды скалярное нровдведение приводится к простому
произведению абсолютных величин.
Кулоновские силы между двумя точечными электрическими зарядами е, ег
или между магнитными полюсами т, т' будут в наших единицах, согласно (VI)
где е и р обозначают константы промежуточной среды. Отсюда следует, что мы
перейдем к обыкновенным „условным" единицам (которые употребляются в раз-
разделе Щ), если во всех формулах заменим
е, р, J, т через У~4&(е, Р> J» т) условные
B) E,D,H,B „ -4=(Е,В,Н,В) »
У 4ir
Если мы хотим дальше перейти от электрических („электростатических")
в магнитным „(электромагнитным") единицам, мы должны, кроме того, заменить.
(в, P. J)., через с (е, р, J)magn,
(S> (В, D)el . ^(E,
Уравнения (I — IV) имеют силу во всем пространстве независимо от при-
присутствия каких-либо неоднородностей или переходных слоев. Так как бесконечно
большие значения В и Ь нужно исключить из энергетических соображений, та
для переходных слоев из| (I) и (II) вытекают следующие условия на границах
для тангенциальных составляющих:
непрерывны при переходе через поверхность раздела,
тогда как (IV) и (Ш) дают для разности нормальных составляющих по обеим
сторонам поверхности условия
E) D2 —D1 = ti; B2 —B1 = O,
где 7) — (истинная) поверхностная плотность электрического заряда в погра-
яичном слое; соответствующая магнитная величина, согласно (Ш), равна нулю.

810 Электромагнитные колебания
2. Закон сохранения энергии и однозначность решений. Если мы умно-
умножим (I) скалярно на Н, (П) на Б в вычтен (I) из (II), мы подучим справа:
BrotH —HrotE = — div (Е X Н),
и следовательно:
= — ediv(EXH).
Вводя сокращенные обозначения (VI), мы будем иметь:
F)
W=We-{-Wm представляет полную объемную плотность электромагнитной
энергии: уравнение F) формулирует теорему Пойнтинга (Pointing) — закон со-
сохранения энергии для электромагнитного поля. Этот закон выражает, что энергия
в некотором элементе объема изменяется, с одной стороны, вследствие наличия
потока энергии S (который называется также вектором Пойнтинга), с другой
стороны — вследствие выделения тепла Q.
В непроводниках (Q == 0) уравнение F) выражает сохранение электро-
электромагнитной энергии в пространстве и времени.
Пусть теперь Е15 Нх и Еа, На будут решения основных уравнений, исче-
исчезающие на бесконечности и тождественные во всем пространстве для t — O.
Мы покажем, что и для t > О они останутся тождественными. Для этой цели
возьмем разности полей Е = Е2 — Et, Н = Н2 — Hj, которые, вместе с соот-
соответствующими величинами D, В, J также удовлетворяют уравнениях A) и B)
вследствие их линейности. Поэтому остается в силе и уравнение F), причем
теперь нужно понимать под W, 8, Q выражения (VI), образованные с помощью
разностей полей.
Ограничим пространство поверхностью Q, расположенной на очень большом
расстоянии, и проинтегрируем выражение F) по пространству, ограниченному
этой поверхностью. Проинтегрированные выражения мы обозначим чертой на-
наверху. Получается:
G) ~^W+'Q = ~divS =—j Snda.
Для перехода от объемного интеграла к поверхностному в правой части при-
применена теорема Гаусса.
По предположению, Е и Н исчезают 'на S, и мы положим, что она
исчезают настолько быстро, что правая часть G) стремится к нулю. Остается,
следовательно,
х ' at
Правая часть этого уравнения^ ¦< 0 [см. (VI) и (V)], так что W не может уве-
увеличиваться со временем. Но W необходимо >0м обращается в нуль при t = в.
Отсюда мы заключаем, что для всех t
т. в.
Ej = Eg, H, = Н2,
что и нужно было докавать.
Доказательство остается без изменения, если Q лежит на конечном
расстоянии. Поля Et, Ht, Ез, Щ, определены тогда только внутри Q. Предполо-
Предположим, что они совпадают при t — O. Крохе того они должны удовлетво-
удовлетворять на 2 одинаковым граничным условиям, так как оба поля являются ре-

XIX, § 1 Основные уравнения м однозначность решений 811
шением одной и той же задачи. Для этого достаточно, чтобы тангенциальные
составляющие Ех и Е2 (или Нх и Щ) для всех t > 0 были равны. Правая
часть G) исчезает также и в этом случае. Из (8) следует затем (черта сверху
;еперь обозначает интегрирование по области внутри Q) Е = Н = 0 для t > О
и для пространства внутри Q. Электромагнитное поле определяется в этом случае
однозначно начальными и одним из приведенных выше граничных условий, при
произвольном распределении материи (проводников, диэлектриков и т. д.) внутри S.
При этом мы можем допускать и анизотропные тела; для них, по (VI), W,, Wm
и Q будут положительно определенные формы от напряжений поля, так что наши
«аключепия сохраняются и здесь.
Замечательно, что основное физическое понятие энергии оказывается при-
пригодным также и для доказательства однозначности. Мы можем рассматривать
это как указание на глубокую гармонию между математическими и физическими
понятиями.
Для проблемы колебаний предыдущее доказательство дает не очень много.
В этом случае дело идет не о распространении заданного начального состояния,
а о периодически возвращающихся состояниях. Кроме того, однозначность может
здесь зависеть от возможности собственных колебаний. Однако, предыдущее до-
доказательство поучительно для общего понимания уравнений Максвелла и при-
причинной определенности представляемых им процессов.
3. Замечание о математической трактовке колебательных процессов.
Математическая трактовка чисто периодических процессов очень облегчается
введением комплексных величин. Пусть имеется некоторое периодическое поле
с периодом колебания ?, следовательно, с круговой частотой (число колебаний
в 2it единиц времени) а> = — . Тогда мы положим:
с оговоркой, что справа мы, собственно, подразумеваем только вещественну»
часть. Независящие от t функции положения Eg и Но, которые, как и Е и Н,
являются векторами, будут вообще комплексными величинами.
Назовем Ео и Но комплексными полями. Если взять вещественные часта
выражений (9), мы получим:
A0) Е = Ех cos «f -f- E.2 sin mt, H = VLt cos ш* + EL, sin ad.
Однако, очевидно, что гораздо легче пользоваться при вычислениях выраже-
выражениями (9), чем A0). Поэтому мы будем переходить к вещественным частям (если
вообще будем переходить) только в самом конце вычислений.
Предпочтение —Ш перед +t«tB(9)—' чисто условно и несущественно, тав
как для вещественной части, которая все время подразумевается, знак * не может
иметь никакого значения. Наш выбор представляет однако некоторое удобство,
к чему мы еще вернемся. Наглядный пример нашего комплексного представления
дают некоторые диаграммы в технике переменных токов. Изображение токов н
напряжений в виде векторов в плоскости чертежа (соответственно их фазам) и
векторное складывание их вполне соответствуют нашему вычислению с ком-
комплексными величинами. Как известно, векторные диаграммы электротехнику надо
представлять себе вращающимися около нулевой точки с постоянной угловой
скоростью (наше <о); мгновенные значения представляемых величин получаются
при проектировании на горизонтальный диаметр векторной диаграммы. То, что
в технике переменных токов, как правило, отвлекаются от этого равномерного
движения и интересуются только относительным расположением векторов,—

812 Электромагнитные колебания
соответствует тому обстоятельству,. что мы, как правило, будем опускать вре-
временной множитель е""*10*. Проектирование вектора на горизонтальный диаметр
еоответствует у нас очевидно образованию вещественной части. Плоскость
векторной диаграммы есть не что иное как гауссова плоскость комплексных
чисел.
Если мы, пользуясь (V), исключим из Максвелловых уравнений (I) и (В)
величину Н, в предположении, что е, jj., о постоянны во всем пространстве, то
мы получим для Е дифференциальное уравнение
2 dl2 ' с2 Й
Точно такое же уравнение получается для Н после исключения Е. Мы будек
называть A1) волновым уравнением.
Оно показывает, что скорость волн равна —^ и что проводимость действует
У &у.
как причина затухания (вследствие выделения джоулева тепла).
Если мы в A1) подставим еще для Е выражение (9), получится характерное
для монохроматических колебательных процессов дифференциальное уравнение:
A2)
где под и можно подразумевать, кроме Е, также и Я и другие электромагнитные
векторы D, В и т. д. Уравнение A2) также будем называть волновым уравнение*
(или уравнением колебаний). -
Введенную в уравнении A2) постоянную к мы будем называть волновыж
числом. Его размерность — обратная длина. В пустоте (е =в jj, = 1, <j = 0), по A2),
будет
A3) * = -?. = ??,
причем к определяется как путь, пройденный светом за время одного колебания,
Х = ст. Название „длина волны" происходит из того, что в простейшем случае
плоской волны к характеризует пространственную периодичность колебательного
процесса (для более общих состояний X имеет этот смысл только асимптотически,
для достаточно больших расстояний от источника).
Условимся, что в случае проводящей среды (ог?0), где к% по A2), ком-
комплексно, ив двух значений к с противоположными знаками мы будем выбирать
то, которое имеет положительную мнимую часть.
Плоская водна, распространяющаяся в направлении положительной оси .г,
представляется в комплексной форме так:
A4) * = Ае**.
Это очевидно связано с тем, что мы взяли временной множитель в виде е~~ш.
В этом случае в показателе будет стоять выражение кх — Ы, которое, если его
приравнять постоянной, указывает, что при возрастании t колебательное состоя-
состояние распространяется в направлении положительной оси х.
В множителе А соединены амплитуда а и фаза а, А = ае1".
Самое общее решение уравнения A2), зависящее только от х, гласит:
Второе слагаемое представляет плоскую волну, распространяющуюся в на-
направлении отрицательной оси х. В частности, при А = ?, сумма обоих членов
представляет стоячую волну.

XIX, § 1 Основные уравнения и однозначность решений 813
Ниже мы увидим (ср. § 4, 2), что решение уравнения A2), предста-
представляющее шаровую волну, расходящуюся из нулевой точки (г = О), имеет вид:
etkr
A5) и = А — .
Шаровой волне, сходящейся в точку г = О, не имеющей никакого физического
смысла, соответствовало бы выражение:
• -ftr
все это, в обоих случаях, конечно, только тогда, когда временной множитель
пишется в форме e~iU>t. To, что в уравнениях A4) и A5) волны, распростра-
распространяющиеся в сторону -\-х и -\-г, пишутся с -\-г,к есть одно из удобств нашего
выбора знака.
Мы всегда получим амплитуду колебательного процесса, если возьмем абсо-
абсолютную величину (модуль) наших комплексных выражений. Например, в случае
плоской волны, [уравнение A4)], где мы положили А == ае**, при отсутствии зату-
затухания (к вещественно), получается:
A6) \u\=\A\-\eikx\ = a.
Само собой разумеется, что комплексный способ написания допустим только
для лилейных выражений, а не для произведении или квадратов; как известно,
произведение вещественных частей двух комплексных величин отлично от веще-
вещественной части их произведения. Однако и здесь полезно употреблять комплексные
величины, поскольку вещественные части удобнее всего вычислять как арифме-
арифметическое среднее из самого комплексного числа и его сопряженного.
Рассмотрим, например, произведение двух колебательных величин, которые
задаются двумя (скалярными или векторными) комплексными выражениями ми».
Спрашивается, каково будет среднее по времени от этого произведения?
(Обычно практически только это и важно.) Обозначим среднее по времени черев «»
и комплексно сопряженные выражения через и и ь: Тогда мы имеем:
в, так как e±fc" в среднем =0:
A7) uv = -^- (мг; -f- ?;м).
Для v = u отсюда следует еще более простое выражение
A8) п? = — ии= —¦ I и I2.
Электротехники широко пользуются этими уравнениями для понятия эффективявго
тока. Если J — комплексное представление какого-нибудь переменного тока, т. е.
имеющий направление ток на векторной диаграмме, то |«Г| будет амплитуда тока,
т. е. длина вектора тока. С другой стороны, вводится величина J^, определяемая как
т. е. как среднее значение квадрата.
По уравнению A8), мы имеем соотношение:

814 Электромагнитные колебания
Если, наконец, подставить в A7) для и комплексный ток /, для v комплексное
напряжение Е, то «ю будет равняться мощности .#. Из A7) получается, если обо-
обозначить через <р разность фаз между током и напряжением:
N
B0) N(JE + EJ)
или, принимая во внимание A9),
B00 N
Мы укажем еще на формальное упрощение, которое подучается, если в рядах
Фурье ввести вместо вещественных тригонометрических—комплексные показа-
показательные функции.
Обычно разложение функции f(x) между —к и +ж пишется так:
+ * ' +*
J b j
—я
a =— (
Aft J
— я
С 8jihm совершенно эквивалентна более простая формула, в которой член с п = О
не занимает исключительного положения:
О\\ f(r\= V г finx г Г
\ V I ?д » п 2к J
или
Bi') ^(a;)==i 2 / f$)ein{x~&di
— оо — «
Связь между нашими комплексными коэффициентами с и вещественными а и Ъ,
очевидно, следующая:
— ао • • • « == 0.
Для переменного тока произвольного вида мы вместо B2) напишем, при-
принимая во внимание B1")
Ддя вычисления среднего квадрата образуем:
J2 - т

XIX, § 1 Основные уравнения и однозначность решений 8Ш
При образовании среднего выпадают все члены, в которых произведения,
показательных функций не равны единице. Остается простая сумма:
B2) J* = T ^(cnc_n + 2cJn-^Xn)=^nZ = ^+
— оо — со 1
Для определения мощности N следует J(t) умножить на
и составить
Если <рп обозначает разность фаз между я-ым комплексным напряжением
и n-ым током, то, как и в B0):
B3) Л = - 2 К| )еп\ (е-«» + е*»)= ? |CJ . |enfcoscpe =
— оэ
= |со| |e0|cos>0 + 2 ^ |«.| |в.|cosч»„
При сравнении B2) и B3) о A9) и B0) следует обратить внимание на то,
что | сп | в j еп | обозначают только половину вещественной амплитуды [ J^ \ п-т-
тока (или напряжения \ЕЛ\). Именно, из B1") для п > 0,|сп | = | с_п I = Y
для я = 0, |со|==ао. Мы напишем поэтому:
и будем иметь вместо B2) и B3)
Первое уравнение утверждает, что квадрат полного эффективного тока
равен сумме квадратов частичных эффективных токов. Второе уравнение покавы-
вает [см. B0)], что полная мощность равна сумме мощностей всех частичных
токов (с соответствующими напряжениями).
Комплексный способ применим также в теории интегралов Фурье. Мы ва-
кенин обычную форму
оо -г'о»
B5) f(x)=~ С da С f(l)cos<x(x~-Z)dZ
более выгодной для наших целей:
-f ОО
B6) b / /

816 Электромагнитные колебания
4. Электронная теория. Мы можем углубить понимание уравнений (V),
«ели напишем в них:
(Va) D
Здесь Р обозначает электрическую поляризацию или электрический момент
единицы объема1)» М — магнитный момент единицы объема г) или намагниче-
намагничение. Можно считать, что Р и М вызываются величинами Е и Н, и поэтому
пропорциональны им. Формула для J, в которой суммирование распространяется
на единицу объема, показывает, что ток проводимости следует рассматривать
как ток переноса подвижных зарядов, в металлах также, как в электролитах иди
в ионивованном вовдухе. Уравнения (Va) осуществляют переход от феномено-
феноменологического к атомистическому представлению электродинамики, т. е. к электрон-
электронной теории.
По этой теории диэлектрик (е > 1) отличается от пустого пространства (е = 1)
тем, >что в нем имеются молекулы, составные части которых смещаются полем Е,
а именно, противоположно заряженные — в противоположных направлениях.
Вследствие этого в молекулах возникают электрические моменты, которые склады-
складываются в результирующий момент Р. Точно так же, магнитное тело (у. ^ 1) отли-
отличается от вакуума (а = 1) тем, что в его молекулах находятся вращающиеся
электрические заряды, которые действуют как элементарные магниты и отчастж
ориентируются полем Н.
Возникающие таким образом магнитные моменты складываются в намагничи-
намагничивание М. По этим же представлениям, ток проводимости J возникает тогда,
когда в соответствующем месте пространства имеются подвижные заряды. В не-
непроводниках, где заряды привязаны к молекулам, v = O и J = O.
Вместо третьего из уравнения (Va) мы будем писать также
(Vb) -tf = pv,
где р объемная плотность зарядов, причем предполагается, что все заряды имеют
в соответственном месте одну и ту же скорость.
Далее электронная теория заимствует из атомистической физики предста-
представление о том, что существуют заряды только одной величины, равной элементарному
количеству электричества е = ±:4,77 • 1О~10 (в условных электростатических
единицах), — а именно, положительные электроны, т.v е. нротоны, и отрица-
отрицательные электроны, т. е. электроны в собственном смысле. Однако, нужно от-
отчетливо отметить, что этот важнейший экспериментальный факт не содержится
органически ни в первоначальных уравнениях Максвелла;, ни в основных пред-
представлениях электронной теории, так что до сих пор „электрон — чужеземец
в электродинамике" (Эйнштейн). Это обстоятельство показывает больше чек
какое-либо другое, что теперешнее обоснование электродинамики не может быт»
окончательным в физическом смысле, хотя оно со стороны математичесво!
удовлетворяет всем требованиям.
§ 2. Инвариантность уравнений Максвелла по отношению к преобразо-
преобразованию Лоренца
Так как электронная теория объясняет электродинамические свойства ма-
материи с помощью подвижных или приведенных в движение электронов, она
х) Эта сокращенная формулировка обозначает, как известно, следующее: образуем
соответственную величину для элемента объема di, который, хотя велик по сравнение,
с молекулярными размерами, но настолько мал, что наблюдаемое электромагнитное поде
можно там считать однородный, и затеи разделим на d%.

XIX, § 2 Инвариантность уравнений Максвелла 817
имеет дело с единой средой — пустым пространством (с „чистым эфиром"). Для
этого пространства D = Е, В = Н, так что основные уравнения § 1, если в них
подставить вместо J его выражение (Vb), будут иметь вид: t
(I) _Lh = — rotE; (III) divH = 0;
С
(II) — (E-f-Pv) = + rotH; (IV) divE = P.
Чтобы понять структуру этих уравнений и, вместе с тем, подготовить их
интегрирование, покажем, что они допускают некоторую группу преобразований х).
Мы тем самым пойдем по пути, который был намечен Клейном в его „Эрлан-
генской программе" сначала только для различных геометрических дисциплин,
а затем распространен им самим на механику и теорию относительности.
1. Введение электромагнитных потенциалов. Мы удовлетворим урав-
уравнению (III), если положим:
A) H = rotA.
А называется „вектор-потенциалом". Уравнение A) напишется тогда так:
Стоящая в скобках величина является, таким образом, невихревым вектором, и
потому есть градиент скалярной функции. Назовем эту функцию — % мы получим:
B) - Е = —— A — grade.
С
9 называется скалярным потенциалом. Подставляя B) в (IV) и (И), будем иметь:
C) — div А -\- Дф = — р,
с
D) 2 А — — grad о -j pv = rot rot A = grad div A — ДА.
Заметим, что последнее преобразование возможно только при употреблении
прямоугольных (не криволинейных) составляющих А.
Мы можем еще более упростить два последних уравнения, если подчиним
потенциалы А и <р дополнительному условию, которое только и определит их
однозначно. i
Именно, положим
E) — <s+diYA = 0.
Тогда в D) градиенты выпадут с обеих сторон и D) перейдет в дифферен-
дифференциальное уравнение для одного А:
Точно так же C) переходит в дифференциальное уравнение для одного <?:
C') А? —-4 т = —Р-
!) Т. е. не меняются при преобразованиях известного вида. {Щим ред.).
52 Зак, Ш8. — Франк в Мизес. Дифф. уравн. мат. физ.

818
Электромагнитные колебания
Левые части уравнений C') и D') имеют теперь вид „волнового уравнения"
в смысле § 1, A1).
Действительный смысл этих соотношений выясняется только тогда, когда
мы вместе с Минковским х) сделаем явной четырехмерную симметрию про-
пространственных и временных координат. Мы будем употреблять прямоугольные
координаты х, у, z и в качестве четвертой координаты мнимый „ световой путь" id.
Эти четыре координаты мы будем обозначать также xv ж2, хь, xi и определим с их
помощью четырехмерный „координатный вектор". Затем объединим вектор-по-
вектор-потенциал и умноженный на i скалярный потенциал в один четырехмерный по-
потенциал Ф, а величины р — и *р в одни вектор — четырехмерный ток Р. Со-
С
ставляющие Фи Р по координате хк будут Фк, Ph. Они, так же-как и для трех-
трехмерных векторов, обозначают проекции на оси координат. Мы ввели, таким
образом, три четырехмерных вектора, компоненты которых получаются из сле-
следующей таблицы:
Таблица 1
*
я*
ф*
р*
1
X
А*
pJc~
2
У
3
z
^ с
ict
щ
if
1
Перенося простейшие векторные операции на четырехмерные векторы,
определим, как „расходимость четырехмерного вектора", скалярную величину:
Fа)
Div<Z>=
дФь
дхк
Затем определим „вихрь" Eot Ф—величину с шестью составляющими — назы-
называемую „антисимметрическим тензором" или „шестерным вектором" (Sechser-
vektor). '
Составляющие ее суть
Fb) Rot*ft#
дхк
(к, А = 1,2, 3,
И наконец, введем ячетырехмерную операцию дельта" в символике, которой уже
пользовался Еопш:
Fс)
После этого, уравнения C') и D') соединятся в
G) ?<*> = — Р.
Дополнительные условия E) будут:
(8) >
См. в особенности посмертную его работу в Ann. d. Phys. *7, 927 A915).

xjx, § a
Инвариантность уравнений Максвелла
819
и уравнения A) и B) можно единообразно представить в виде:
(9) (Н, — *E) = Rot<?.
Прежде чем мы займемся выводом следствий этого удивительно красявоп
представления, мы должны выяснить структуру антисимметричного тендорь
в уравнении (9).
2. Антисниметричный тензор поля. Мы будем считать, что электрическое
и магнитное поля представляют лишь разные стороны одной более общей че ¦
тырехмерной величины f.
Сопоставление ее составляющих с составляющими Е и Н показано в сле-
следующей схеме:
Таблица 2
\ ft
fc \
1
2
3
4
1
0
hi
fsi
A:
2
fn
0
fu
fa
3
Аз
0
Аз
4
/w
fto
0
\ ft
1
2
3
4
1
0
-H,
+ HS
2
H,
0
— нг
3
-¦»
0
4
— tL.
-fE,
— t'L.
0
ней мы сделаем следующие замечания:
1. Схема антисимметрична, т. е.
fkh — fh
hk)
в поэтому
Следовательно, шестнадцать составляющих тензора второго ранга сводятся г
шести.
2. Два вначка у /"^ показывают, что составляющие относятся не к коорди-
координатным осям, как для четырехмерного вектора, но к шести координатным пло-
плоскостям. Соответственно с этим, геометрическим изображением тензора будет .пь
отрезок, а часть плоскости [вообще две взаимно перпендикулярных части пло-
плоскости 1)].
3. Наличие двух значков у Н понятно, так как Н, даже если его рассма-
рассматривать в трехмерном пространстве, не полярный, а аксиальный вектор; Н„
означает собственно не составляющую по оси z, а по плоскости ху. Этому
соответствует обозначение двумя вначками" (fi2 или Нху). Выббр знака дается
циклическим порядком индексов 1, 2, 3, например
Н.
— Яхг = fB1 = —
18"
4. В то время как Н дается чисто пространственными составляющими f, E
задается смешанными пространственно временными составляющими. Мнимая
единица в формуле iEk = fik, 1с—х, у, z или 1, 2, 3, соответствует поэтому
мнимой временной координате. ,
См. SommerfeM, Ann. d. Phys. «2, 749, 1910, § 1.
52*

820
Электромагнитные колебания
5. Теперь мы можем легко проверить, что уравнение (9) содержит оба
уравнения A) и B). Вместо уравнения (9) мы можем теаерь, учитывая FЬ),
написать яснее
(9a) f,
и получим тогда по таблицам 2 и 1:
dxt
^1
дхк
дАу
'дх,
9Ф« —у
дх
ду
е — if =-il^_^i—IiA._iL
пх— 1ц ^ дх^ дх^ I c 9у- дх ,
что совпадает с A) и B).
6. Уравнения (I) — (IV) тоже принимают теперь симметричную форму.
Их можно резюмировать таким образом:
A0)
В первом уравнении суммируем по h от 1 до 4, а Ъ держим постоянным;
во втором h держится постоянным, а к, 1,т обозначают остальные три индекса
в циклическом порядке. Например, для h = 1 второе уравнение дает:
^-н) =0,
а это и есть первая составляющая уравнения (I).
Дифференцирование в уравнениях (II) —|— (IV) и (I) —{— (Ш) представляет
также вычисление некоторой расходимости тензора.
7. Первоначальные уравнения Максвелла также допускают соответствую-
соответствующую четырехмерную формулировку. Но тогда мы должны ввести два антисимме-
антисимметричных тензора, которые мы определим так:
(in
(В, -ЯЕ) =
и должны дополнить ток проводимости до четыремерного вектора, введя чет-
четвертую составляющую J4 = *p. Тогда уравнения (I) — (IV), § 1, напишутся так:
д „
A0а)
с тем же значением индексов, как и в A0). Удивительное на первый взгляд
сопоставление величин Н и D, с одной стороны, и В и Е — с другой, было,
разъяснено Ми, который называл первые „количествами", а вторые „интенсив-
" х)
ностями"
!) Же, Gruadlagen einer Theorie der Materie, Ann. d. Phys 1912 и 1918, в особенности
1-ое сообщение, там же 37, 511, 1912.

XIX, § 2
Ипва/риантность уравнений Максвелла
821
3. Группа ортогональных преобразований. Цель векторных обозначений
в обыкновенной (классической) физике — показать независимость уравнений от
выбора системы координат. Переход от одной прямоугольной координатной снстеыы
к другой осуществляется посредством трехмерного ортогонального преобразования.
Уравнения, не инвариантные или ковариантные относительно этих преобразо-
преобразований, физически бессмыслены.
Наши уравнения G) — (9) позволяют непосредственно установить, что урав-
уравнения Максвелла инвариантны не только по отношению в трехмерным ортого-
ортогональным преобразованиям х, у, z, но также и по отношению к четырехмерный
ортогональным преобразованиям координат xv x2, xa, хА. Четырехмерные ортого-
ортогональные преобразования определяются требованием инвариантности квадрата
расстояния произвольной „мировой точки" (пространственно-временной точки)
от начала О, О, 0, 0:
(теорема Пифагора в четырех измерениях) или инвариантности „линейного эле-
элемента" (расстояние двух соседних точек):
Преобразование предсадшляется следующей схемой:
Таблица 3
X/
х/
X/
ап
«21
'«31
«41
«12
«22
«32
ч «42
*3
«13
°23
«33
«43
«J4
«24
«34
«44
s соотношениями
A1а)
a
ft»
— 0;
Мы назовем теперь четырехмерным вектором всякую четверку величин,
которые при преобразовании координат преобразуются как сам координатный
вектор, т. е. по схеме 3. Должно быть, например,
4 *
Далее, мы назовем антисимметричным тензором шесть величин, преобразующихся
ло схеме
A3)
я*/ а*
Пт

822
Электромагнитные колебания
Эти формулы выводятся из предыдущих, если сначала рассмотреть тензор част-
частного вида Т№-=ФнФк, преобразование которого уже задано преобразованием
четырехмерного вектора Ф.
Из полученного преобразования для Thk следует преобразование для fhh,
если принять во внимание, что fhk =— fkh. Далее, легко убедиться, что урав-
уравнения G) — (9) сохраняют свой вид при переходе к произвольной „штрихован-
„штрихованной" системе. В частности, легко вычислить, что ? = ?' представляет инва-
инвариантную дифференциальную операцию, что ШхФ — Div' Ф' также инвариантно и
что Rot Ф преобразуется как антисимметричный тензор. То же самое можно по-
показать, на основании определения A2) и A3), для первоначальных уравнений
поля A0) или (Юа).
Так как только что установленная инвариантность не может быть случайна,
а должна основываться на самом существе электродинамики, мы заключаем: не
существует никакой исключительной системы координат (никакого абсолютного
эфира); все ортогональные четырехмерные координатные системы равноправны.
В частности электромагнитные колебания распространяются в пустоте во
всех координатных системах с одной и той же скоростью света с, причем это
имеет место независимо от состояния движения испускающего центра (принцип
постоянства скорости света).
4. Частное преобразование Лоренца. В общем ортогональном преобразо-
преобразовании (общее вращение в четырехмерном пространстве) заключается в частности
и трехмерное вращение. Так как оно нас не интересует, мы предположим,
что ж/ = xz, xs' = xz. Схема преобразования будет тогда:
Таблица 4
ж/
ж2'
аи
0
0
а41
0
1
0
0
0
0
1
0
а14
0
0
«44
Если мы напишем сокращенно ои = а и, учитывая мнимый характер xv
положим, а,4 = шр, то условия ортогональности A1) дадут:
Если взять всюду верхний знак, что не ограничивает общности, то урав-
уравнения преобразования будут:
A4)
W' 3 31

XIX, § 2
Инвариантность уравнений Максвелла
833
или после перехода к координатам х, у, г, t:
A4а)
t !-.
С
У — У,
z —z.
Эти уравнения показывают, что штрихованная оистема координат движется
по отношению в нештрихованной в направлении положительной оси х со ско-
скоростью
A4Ь) »= Ре
В самом- деле, сделаем otf = const; мы получим из dx' = О, по первому урав-
уравнению A4d)
dx
С другой стороны, второе уравнение A4а) показывает, что при этом нужно
также преобразовывать и время, т. е. что V ф t.
Подставляя A4Ь) в A4а), мы получим общую форму преобразования
Лоренца и обратного преобразования:
х' 4- vtr
vx
t=
Vl— pi
Переходя к пределу с=
классической механики
оо, р = О, мы приходим к галилееву преобразованию
A5а)
а/
я; —
а; =
Итак, привычное для нас представление об абсолютном времени (t = f) обусло-
обусловливается только громадностью скорости света с и верно лишь приблизительно.
Здесь не место выводить массу следствий, вытекающих ив уравнения A5)
для кинематики теории относительности: релятивизация одновременности, скорость
света, как верхняя граница для всякого материального движения (8 < 1), Лорен-
цово сокращение (длина тела, измеренная в „движущейся вместе с ним системе",
кажется в „покоящейся системе* укороченной в V^l — {З2 раз), Эйнштейновское
замедление времени (измеренное в „движущейся системе" время кажется в „покоя-
„покоящейся системе" удлиненным в ^-7 раз, например, период колебаний кажется
p
смещенным к красному концу спектра), теорема сложения скоростей, опыт Май-
кельсона (Michelson) и мн. др. Мы должны упомянуть здесь только о некоторых
влектродинамических следствиях.

824
Электромагнитные колебания
Во-первых, четырехмерный вектор Ф = (А, гср) преобразуется как коорди-
координатный вектор х. Следовательно, мы имеем по A4)
A6) .
Л/ =
Таким образом, разделение на скалярный и векторный потенциал зависит от
точки зрения наблюдателя; в А/ входит как <?, так и А,.
Что касается преобразования поля /"—(Н, —г'Е), то оно содержится
в общем виде в уравнениях A3). Если их специализировать для частного случая
преобразования Лоренца с осью х в качестве направления движения, мы должны
положить все akh равными нулю, за исключением
1 t'P
Мы легко получим тогда
A7)
/ гт гт г У ' " " гт г « ^ 9
¦ — f> -, П ,. = г -—, 11, = ^ -— ,
v '"^¦* Й2 ЛГл C2
Электрическое и магнитное поля образуют единое целое и могут быть раз-
разделены только по отношению к употребляемой системе координат. При перемене
системы координат из магнитного поля получаются добавки к электрическому и
наоборот. Если, например, в некоторой системе Н = О, т. е. поле электростатическое,
то в другой системе координат мы наблюдаем, кроме электрической, также и маг-
магнитную сторону явления. (Геометрическая аналогия: при прямой зрении от куба
видна только передняя сторона, при рассматривании вкось—• также и боковая).
Пусть, например, поле в непгтрихованной системе соответствует покоящемуся
электрону:
[Относительно множителя 4тс см. A), § 1]. Тогда, по A7), для штрихованной си«
стены, в которой электрон движется в сторону отрицательных х со скоростью v,
будет
-п> г, -р трг * тр
A8)
..*
ГТ I
» уг=р"«"
тт' =
vez
— vey
1 — ?2 4ясг3 У1 — р>
Отсюда следует: магнитные силовые линии представляют окружности,
лежащие в плоскости, перпендикулярной к направлению движения электрона,
интенсивность поля Н равна:
A8а)

XIX, § 2
Инвариантность уравнений Максвелла
825
Электрические силовые линии и в штрихованной и в нештрихованной си-
системе суть прямые, расходящиеся из мгновенного местонахождения электрона;
они концентрируются у средней плоскости (х = 0) электрона и для fS = 1 сосредото-
сосредоточены в этой плоскости. В самом деле, выражая в A8) х, у, г через х', у*, / в.
взяв, например, f = О, получим;
A8Ь)
ех'
4ir EJ ¦¦
еу'
ez
\ of*
1 —
Определение поля равномерно движущегося заряда сводится в теории
относительности к алгебраическим преобразованиям, тогда как в старой электро-
электродинамике приходилось применять интегрирование. О поле ускоренного заряда
речь будет в ближайших параграфах.
Уравнение A7) можно еще упростить и обобщить, если освободиться от
оси ж. в качестве направления движения.
Если мы условимся, что слово „продольный" означает направление, парад-
дельное направлению движения, „поперечный"—перпендикулярное направление,,
ю A7) эквивалентно следующим уравнениям:
Продольные Попер'ечные
A9)
H--XE
Особенно важны выражения, стоящие в числителях „поперечных" формух.
По Лоренцу они представляют пондеромоторную силу, действующую на движу-
движущуюся единицу заряда (движущийся единичный полюс).
Чтобы ввести эти силы в четырехмерную систематику, обозначим через F
электродинамическую силу на единицу объема и представим ее в виде четырех-
четырехмерного вектора
B0) . Р = Р/"
4
с составляющими Fs= 2 ^а/**-
В самом деле, можно показать в общем виде, что произведение вектора на
антисимметричный тензор будет опять вектором, и что для нашего частного-
случая первые три составляющие F тождественны с р IE -j т X Н I, например:
B0а) Р.=
Мы видим, что Лоренц в своем выражении для (относящейся к еди-
единице объема) пондероноторной силы ввел ковариантную величину, имеющую
смысл в теории относительности. Вообще, лоренцовская электронная теория
была законным предшественником теории относительности. Величины, не имеющие

€26 Электромагнитные колебания
векторного ели тензорного характера в смысле группы преобразований Лоренца,
т. е. не инвариантные, не имеют вообще никакого физического значения Н •
Интересно образовать также четвертую составляющую выражения B0).
Она. будет:
B0b) Ft=slL(viiElc + VfE, + V.EJ
я означает умноженную на — работу электрических сил, отнесенную к единице
С
объема и к единице времени.
К динамическим или аондеромоторным составляющим добавляется четвер-
четвертая, мнимая, энергетическая. Это также характерная черта четырехмерной
физики.
Здесь следовало бы рассмотреть вопрос о том, как включить понятия плот-
плотности и потока энергии в четырехмерную схему. При этом оказалось бы, что они
не представляют самостоятельных величин, а являются соотавными частями более
¦общего тензора, „тензора напряжений и энергии" (Spannungsenergietensor), расхо-
расходимость которого совпадает с силой F. Однако это завело бы нас слишком далеко.
Мы удовольствуемся тем, что констатируем: избранный здесь путь, заключающийся
в требовании инвариантности уравнений Максвелла, есть настоящая regia via
{царский нуть) в область теории относительности и электродинамики.
§ 3. Запаздывающие потенциалы и поле ускоренно движущегося заряда
Обратимся теперь к интегрированию уравнений Максвелла для случая
произвольно движущегося заряда. При этом мы будем широко пользоваться четы-
четырехмерной симметрией уравнений.
1. Определение четырехмерного потенциала Ф. Уравнение G), § 2,
«тавит перед нами задачу четырехмерной теории потенциала, которую мы будек
решать так же, как соответствующую трехмерную задачу — именно с помощью
теоремы Грина. При этом мы сначала будем поступать так, как если бы чет-
четвертая координата xt была вещественной, как и первые три. Теорема Грина
для четырех измерений гласит-
Слева интегрируется по четырехмерной области ?, справа — по ее трехмер-
трехмерному ограничению S, »— внешняя нормаль S.
Прежде всего найдем четырехмерный аналог Ньютоновского потенциала »=—,
т. е. решение уравнения ? »'==(), имеющее шаровую симметрию вокруг точки.
*) Это утверждение, понятое буквально, не совсем верно, так как, например, в кван-
квантовой механике вводятся величины — так называемые спиноры — с особым законен
преобразования, отличным от векторного нли тензорного.
Правильнее понимать утверждение автора в более широком смысле, а именно, что
лишены физического значения величины, не имеющие определенного закона преобра-
преобразования. (Прим .ред.).

XIX, § 3 Запаздывающие потенциалы и поле ускоренно движущегося заряда 837
Такое решение будет х), если обозначить через ж/ координаты неподвижной,
xt — координаты подвижной точки:
При подстановке этого выражения в A), мы должны исключить из области инте-
интегрирования S точку О, окружив ее, например, трехмерной шаровой поверх-
поверхностью К. Одновременно положим и = Ф. Из A) тогда получается, в силу диф-
дифференциальных уравнений для и и v:
К
Справа, кроме шаровой поверхности К, надо было бы интегрировать еще
но поверхности, ограничивающей область интегрирования на бесконечности.
Однако, мы можем предположить, что в пределе. этот участок интеграции даст
нуль. - ,
Поверхность К мы стянем к точке О. При этом элемент dS уменьшается
как .В8, тогда как, с другой стороны
_9 1_ 2 дВ _ 2
¦ Ип В? Б»Ип~"Ж
соответственно увеличивается '.
дФ
Член с -5— исчезает для i? = 0, а вместо Ф можно подставить его зна-
оп
чение в точке О, т. е. Фо- Уравнение B) превратится тогда в
Bа) 2Фо<о
Здесь <» обозначает поверхнооть „шара" радиуса единица в четырехмерном про-
пространстве. Она равна 2ir2 2). Уравнение B) переходит, следовательно, в оконча-
окончательную формулу
C) 4*2ФО= J JlrdE,
*) Вообще для пространства п измерений соответствующее решенне уравнения
п
V -, -2- = 0 для потенциала будет:
= 2 (я*'-**J-
-Это можно непосредственно проверить дифференцированием.
2) Для доказательства, рассмотрим ннтегрил
= / / / / dx1dx2dassdxie *~1
распространенный по всему бесконечному четырехмерному пространству. Он равен чет-
четвертой степени У~п, т. е. те2. С другой стороны, вводя четырехмерные полярные коор-
оо
дннаты, мы имеем J = w I Я3 е~ ** dR = -^- -, откуда w = 2л:2. Этот же способ можно
обобщить на п намерений.

828 Электромагнитные колебания
совершенно аналогичную основной формуле трехмерной теории потенциала.
Она дает нам значение Ф в любой пространственно временной точке О с коор-
координатами xt', %<?, х/, х/. При этом мы можем, не ограничивая общности, выбрать
шкалу времени так, чтобы было ' '
х/ = О.
Однако, для наших целей, формула C) требует одного существенного изме-
изменения. Положение и скорость заряда заданы нам для вещественных t, и именно
для t < О, т. е. для всех моментов времени, предшествующих тому моменту (V = О),
для которого мы хотим вычислить Ф. Соответствующие значения хА = Ш отри-
отрицательно-мнимы. Следовательно, мы знаем Р не для вещественных, а дл]я отри-
отрицательно-мнимых значений х4. Поэтому мы отогнем путь интегрирования от
вещественной оси вниз и превратим его в петлю (рис. 86) вокруг отрица-
отрицательно-мнимой оси. Решение будет нопрежнему удовлетворять дифференциальному
Г уравнению Q Ф = —- Р, как это следует из аналити-
.,' . ческой формы выражения C). Для петли на рис. 86
* *1Г мы можем принять, что значения Р, заданные только
[ на мнимой оси, могут быть продолжены в ее непо-
; средственной окрестности.
->-— Далее мы увидим, что установленное сейчас че-
четырехмерное интегральное представление Ф оказы-
оказывается чрезвычайно полезным.
Сначала мы покажем с его помощью, что C)
СГ удовлетворяет дополнительному условию (8), § 2.
Для этого прежде всего необходимо рассмотреть
• Рис.86. Уравнение
D) DivP = 0.
Оно тождественно с так называемым" гидродинамическим уравнением не-
неразрывности и выражает не что иное как сохранение электрического заряда
в пространстве и времени. Оно является поэтому основанием всех электронных
представлений. В самом деле, Div P можно переписать следующим образом:
и если это выражение приравнять нулю, мы получим уравнение неразрывности.
Впрочем оно следует также из A1) § 2, если образовать справа и слева рас-
расходимость в трехмерном смысле ж учесть (IV).
Вычислим теперь четырехмерную расходимость интеграла C). При этом мы
должны дифференцировать по координатам ж/ точки О. Но •
Ъх?№~ дхк №\
Поэтому, принимая во внимание D), можно сделать такие преобразования:
Dа)
чю и нужно было показать.

XIX, § 3 Запаздывающие потенциалы и поле ускоренно движущегося заряда 829
При проделанном нами интегрировании по частям учтено, что выраже-
выражение —«- исчезает на границах. Это верно для нашего комплексного пути инте-
интегрирования, так же как для первоначального вещественного пути.
В заключение рассмотрим еще уравнения (9) и (9а) § 2. С помощью C)
они дают нам следующее четырехмерное представление поля f в виде инте-
интеграла:
(о) 4-2 fm--
Иод R здесь подразумеваем четырехмерный вектор xkf — xk, т. е. четырехмерный
радиус-вектор из точки, где находится заряд, в точку, для которой вычисляется
поле (точку наблюдения), а Р X R обозначает антисимметричный тензор, полу-
получающийся из произведения векторов Р и R и имеющий компоненты
(Рхв)а=РЛ-р,йР
Четырехмерное представление E) окажется потом особенно полезным и имеющим
большие преимущества перед соответствующим трехмерным представлением.
2. Запаздывающие потенциалы и приблиагенне Льенарда-Вихерта. Для
дальнейшего исследования выражения C) для потенциала мы можем выполнить
сперва либо интегрирование по ж4, либо интегрирование по xit xv xs. Пойдем
сначала но первому пути.
Разыщем те точки, где знаменатель R2 обращается в нуль. Напишем
F) Я2 = г2 + яД
где г обозначает трехмерное расстояние точки х1х2х3 от точки х^х^х/, для
которой нужно вычислить потенциал Ф (при этом мы напоминаем, что мы
взяли ж/ = О).
Существуют две точки, для которых JK2==O, а именно:
Fа) ж4 = —м- и x± = -\-ir.
Первую мы назовем L („Lichtpunkt"), вторую I/. Для L м*ы имеем
FЬ) ' / = -f.
В окрестностях L, но F) и (Ga), будет
G)
Gа) Jte4 2ir.
Интеграл по петле на рис. 86 мы можем, по теореме Копти, превратить в инте-
интеграл по замкнутому контуру вокруг L и подставить для R? его значение G);
J
¦ ¦ • 2г
Справа нужно взять Р для значения хА в точке L, т. е. для t = . Инте-
С
грал равен (ср. направление обхода на рис. 86) — 2т, следовательно, интеграл
слева равен —. Уравнение C) переходит в
(8)

830 Электромагнитные колебания
Отсюда вытекают для мнимой составляющей ср и для вещественных составляю-
составляющих А вектора Ф выражения
d:?j dx2 dxs
J *=""T
(8a)
dx1 dx% dxs
В предыдущих формулах ® и А называются „запаздывающими потенциалами",
по следующим причинам. Чтобы вычислить действие в точке наблюдения О для
времени V = O, нужно суммировать не по одновременным положениям и ско-
скоростям элементов заряда, а рассматривать те более ранние моменты времени,
в которых действие должно было бы выйти из О, чтобы достичь точки О в мо-
момент f = 0.
Необходимое для этого время называется временем запаздывания (Latens-
zeit). Если бы мы, например, имели дело с движущимся зарядом, распределен-
распределенным ио шару, то интегрирование в (8) и (8а) надо было бы распространить
не по шару, а по другой поверхности, которая была бы более или менее де-
деформирована, в зависимости от положения точки, для которой вычисляется по-
потенциал, и от движения шара.
Перейдем теперь к другому споообу, в котором сначала выполняется интегри-
интегрирование по xlt x2, xs. При этом мы должны, конечно, принять, что точка на-
наблюдения О лежит так далеко от заряда, что заряд можно рассматривать как
точку, т. е. как „электрон". В соответствии со смыслом Р = р( —, »') поло-
положим, обозначив через е заряд электрона,
(9) I I / PdXidx^dXb^ei—,*')= R-
Здесь R обозначает производную по t *) от. радиус-вектора
т. е.
(9а) R = — (v, ic).
Уравнение C) переходит в
A0)
Путь интегрирования—петлю на рис. 86—можно опять деформировать в вамкнутый
контур вокруг L.
г) Нужно заметить, что R == -тт- не есть четырехмерный вектор, так как dt ив
имеет инвариантного значения в четырехмерной геометрии- То же самое относится и к ве-
величине it, которой мы будем пользоваться ниже. Последовательнее было бы ввести, вместо
К и К, величины V = -г- и -г-, где dx обозначает элемент «собственного времени" Мни-
ковского. ¦
Здесь это опущено ради краткости, но было для этой же задачи проделано в ра-
работе автора „О структуре т-лучей", напечатанной в Sitzungsberichte d. Munch. Akad.
1911, § 7.

XIX, § 3 Запаздывающие потенциалы и поле ускоренно движущегося заряда 831
В окрестностях L величина jR2 задается уравнением G). Но в противо-
противоположность тому, что мы делали в Gа), мы должны теперь рассматривать х1У
х%, xs, как функции от ж4. Поэтому вычисляем
A1) ^ = i-(RR) = J
v ' dx гс dt гс
где R задается выражением (9а). После этого A0) дает:
RR ,
и так как значение интеграла опять равно — 2та, мы имеем
A2) ^2
RR
В L будет xt = — ir; следовательно, R = (г, -j- ir); на основании (9а), мы имеем
UB, = — rv 4- сг = сг ( 1 —М .
Здесь vr есть составляющая v по направлению электрон -»• точка наблюдения.
Если мы в A2) перейдём к|мнимой части <р и вещественной А, мы по-
получим формулы Льенарда и Вихерта:
A2a)
Значения г, v, vr нужно брать, как это следует из нашего вывода, в точке L,
т. е. не для времени t = О, для которого вычисляются потенциалы, а для более
Г I 0 \
раннего момента t = —'¦ — . Множитель I 1 ) напоминает эффект Допплера-
Если бы мы захотели получить формулы A2а) из (8а) посредством перехода
к точечному заряду, мы должны были бы учесть названную выше деформацию
и получили бы тогда, например, при интегрировании р по xv x2, xs; не е, а
——'——. Однако, это было бы гораздо сложнее изложенного сейчас способа
с
и потребовало бы специальных геометрических рассуждений *), тогда как здесь,
мы могли опираться на хорошо известную теорию вычетов Еоши.
В заключение рассмотрим совсем коротко:
3. Поле произвольно движущегося заряда. Мы будем исходить из че-
четырехмерного уравнения E) и напишем его для точечного заряда, произведя
интегрирование по xlf xv x^ как в (9) и A0), в виде
A3)
Интегрирование по xi производится опять по замкнутому контуру вокруг L.
(рис. 86). При этом нужно помнить, что L теперь уже не простои полюс, а по-
полюс второго порядка подинтегральной функции. Введен вспомогательную ве-
величину и = хк-j-ir, так, что в L будет и=0 [уравнение Fа]. Разложим теперь
числитель и знаменатель по степеням и и определим коэффициент при «"Ч
1 См. Lorentz, Enz. d. Muth. Wiss. V, 2 стр. 186 или Abraham, Theorie der Elektrfzitat,.
i Aufl. II Bd. § 11 стр. 77.

?32 Электромагнитные колебания
При этом примем во внимание, что
d =_d__±_±
du, dxi ic dt'
Разложение числителя будет
Затем, так же как в A1), учитывая, что JRL2 = 0, получаем
и, следовательно
A4а) Д* = 4 (^)[(RR)^+ (-|) (RROj
Согласно уравнениям A4) и A4а), коэффициент при и будет
ic
4
Но умножении на—2т это выражение даст нам значение интеграла в A3).
Таким образом
е
е (RRJ (RRK
В этом выражении резюмированы довольно громоздкие формулы *), кото-
которые даются для электрической и магнитной частей поля Е и Н. Это можно про-
проверить, подставив в A5) значения R, R, R в точке L.
A6) R = (г, ir), R = ¦— (v, ic), R = (— v, 0).
Если перейти к равномерному движению электрона, т. е. положить R = О, тс
из A5) подучится:
е (RRK
Ото уравнение тождественно 2) с формулами A8) предыдущего параграфа, кото-
которые там были получены без интегрирования с помощью преобразования Ло-
Лоренца.
Если A7) вычесть из A5), останется чистое „поле ускорения"
(R X В) (RR) — (R X R) (RR)
е (RRK
/Отсюда следует в трехмерном написании
( 4irH (г X v) (rv — сг) — (г X v) (rv)
в (сг — гтK
4irE (re —rv) (rv)-f-vr(rv — cr)
1) См. Abraham, I. c.
2) Для сравнения нужно помнить, что прежние формулы A8а) относились к поло-
положению электрона в момент наблюдения (<' = 0), теперешние формулы — к точке L,
Переход от одной точки зрения к другой требует решения квадратного уравнения.

XIX, § 4 Вектор Герца и излучение колеблющегося диполя 833
Отсюда мы заключаем непосредственно, что
Н и Е перпендикулярны к г и друг к другу, мы имеем типичное поперечное
поле.
Положим, в частности, что т и т одинаково направлены (прямолинейное
движение), и обозначим, как обычно, абсолютные величины т и т через v
и в; тогда
#v = т» и также
Поэтому A9) упрощается и принимает вид:
4«Н -гУт
\г } Tvcosd — гт
A9а)
здесь Ь обозначает угол между направлением т или т и радиус-вектором г (на-
(направление заряд -*¦ точка наблюдения ср. рис. 87 в следующем параграфе).
Для абсолютных величин имеем:
B0)
cV (I—pcos»)s
Эти величины убывают с расстоянием только как г~1, поэтому на больших рас-
расстояниях „полем скорости", убывающим как г~2, можно пренебречь по срав-
сравнению с „полем ускорения".
Равенство Е и Я и указанная вависимость от г сохраняются и для более
общих случаев (т и v направлены различно); только тогда Е и Л уже не вы-
выражаются простой формулой B0).
§ 4. Вектор Герца и излучение колеблющегося диполя
/ Простейшая модель источника света в классическом смысле была равра-
ботана уже Генрихом Герцем 1). Она представляет колеблющийоя диполь. Пред-
Представим себе варяд, укрепленный неподвижно в точке нуль, и равный заряд
другого знака, периодически движущийся в непосредственной близости от пер-
первого. Момент диполя и быстрота его ивменения будут:
A) р @ = el, р @ = el — ev,
где 1 — мгновенное удаление движущегося варяда е. \
х) В работе .Die Kr&fte elektrischcr Schwingnngen, behandelt nach der Maxwellschen
Theorie", Ann. d. Phys. 86, 1 A888) или Ges. Werke II, стр. 146.
53 ?ак. 1408. — фрашс ж idjiseo. Дифф. уравж. кат. фи».

634 Электромагнитные колебания
В предыдущих параграфах мы рассматривали вектор-потенциал А точеч-
точечного заряда, который для »<<; равен, по A2а)
Аргумент t указывает на то, что скорость надо брать не для момента
наблюдения, а для момента, предшествующего ему на время вапавдывания?.. В
последующем, однако, удобнее рассматривать вместо - сам момент р, т. е. от
вектор-потенциала перейти к новому „вектору Герца", который мы определим
уравнением
B) 4«n«fp(<—f).
Между А и П имеет место соотношение:
C) А = Тй'
Для скалярного потенциала <р мы получаем ив уравнения E) § 2
откуда
D) <р = — div П.
Вектор П удовлетворяет такому же дифференциальному уравнению, как А,
[ср. § 2, D)], именно, во всем пространстве, кроме начала координат, имеет
место уравнение
E) ДП = С2 П.
Это уравнение имеет место для любой прямоугольной составляющей П
в отдельности [ср. вамечание к D), § 2].
Как следует поступать при разложении П по криволинейным координатам,
мы укажем в 4. Наконец, поле Е и Н выражается, по уравнениям A) и B)
§ 2, учитывая предыдущие уравнения C) и D), следующим образом:
1
Н = —rotn,
1 ..
Е = — ^а П + grad div П.
1. Непосредственное рассмотрение электрического диполя. Здесь будет'
не лишне вывести предыдущие соотношения непосредственно из уравнений
Максвелла, так как окольный путь черев четырехмерный потенциал и интегри-
интегрирование в четырех измерениях не совсем соответствуют простоте данной вадачи.
Мы будем исходить ив выражения F) для Н, которое уже удовлетворяет
уравнению (Ш) § 2. Подставляя его в (I), мы получим r<>t I -g- П -}- ЕI = 0 и,
следовательно, подразумевая под ty неизвестную пока скалярную функцию:
Fа) В — -* "

ХГХ, § 4 Вектор Герца и излучение колеблющегося диполя 835
Подстановка F) в (П) дает для всех точек пространства, кроме нуля, где
рт = О: ,
Fb),, E = rotrotn = — ДЙ + graddivII.
Сравнение Fа) и FЬ) показывает, что
Мы получили, таким образом снова уравнение E) и одновременно убедились,
что Fа) и FЬ) переходят в выражение F) для Е. Уравнение (IV) вевде, кроме
начала координат, выполняется тождественно, в силу FЬ).
Остается только интегрировать уравнение E). -Задача особенно упрощается
потому, что мы должны искать решение, симметричное относительно начала
координат. Поэтому вводим полярные координаты г, 9, » и предполагаем реше-
решение независящим от 9, <р. Мы получаем тогда, если обовначим черев П одну из
составляющих вектора II
18/ 2Ш\ д*й . 2 Ш 1 ?.„
Уравнение E) можно поэтому написать в виде:
1 д2 д2
Это уравнение имеет форму уравнения колеблющейся струны. Его общее реше-
решение будет, по Даламберу:
где fx и /g проиввольные функции 1). Первая обозначает процесс излучения,
вторая — волны, сходящиеся ив бесконечности.
Для обеих функций поверхности равной фазы при заданном t будут
шары г = const, но в одном случае (f2 = 0) шары расширяются со временем
-^ = + с1, а в другом случае (Д = 0) они сжимаются I-^ = — с] . Только
первый процесс имеет фивический смысл. Поэтому мы полагаем /3 = 0, и вновь
приходим с помощью этого простого метода к уравнению B). Уравнение B)
вместе с F) представляют поле произвольного колеблющегося диполя.
Полагаем rU = f в вводим вместо (иг независимые переменные:
Уравнение напашется
откуда
где ft' произвольная функция, которую мы пишем в виде производной от ft (S). Интегри-
Интегрируя дальше, получаем:
i(
т. е. решение Даламбера.
(Дрим. ред.)
63* ,

836
Электромагнитные колебания
2. Поле линейного гармонического вибратора. Перейдем теперь к слу-
случаю чисто периодических (гармонических) колебаний и положим:
(мы положили здесь Ь = — = -г-; относительно этих обозначений, а также ком-
С А
плексного написания см. § 1 3).
Величина |ро| будет максимальным моментом диполя, равным заряду, умно-
умноженному на амплитуду колебания. Отбрасывая во всех следующих формулах,
.—«о*
(ср. § 1, 3), мы получим ив B) и E)
оощий множитель рое
G)
Gа)
где По есть уже скалярная величина.
Выражение G) мы назвали „функцией шаровой волны". Она играет при
интегрировании Gа) такую же роль, как ньютоновский потенциал — при инте-
интегрировании уравнения АПО = О, и переходит в пего при Jt~O. Понимая далее
под П вектор, пропорциональный скалярной величине G), мы напишем, в силу
F):
(8) Н = — ik rot П, В = &аП -f- grad div П.
Если дело идет о линейно поляризованном колебании и мы возьмем ось г
'по направлению колебания, то Пг = По, Пв = Пу = 0.
Вводя сокращенные обозначения:
1 d I d ё
.Her
dr 4тс dr r
dr r kxdr r dr r
мы получим:
аг г
(9а)
grad divH =
Поэтому, в силу (8):
rot П =
У-w
-^П<
A0)
Н =
0
Вычисление этих выражений проходит различно, в зависимости от того, нахо-
находимся ля мы вблизи диполя иди достаточно далеко от него: „вблизи" значит г

XIX, § 4 Вектор Герца « излучение колеблющегося диполя
837
сравнимо с длиной волны X; „достаточно далеко" означает г^>Х. В последнем
случае hr^>l. Здесь мы ограничимся только этим случаем.
Интересные особенности вблизи диполя (последовательное отделение элек-
электрических силовых линии от диполя, оттеснение линии, возникших раньше, под
влиянием только что возникших) разобраны Герцем A. с.) на ряде рисунков.
Для Jcr~^>l, пренебрегая высшими степенями т-, получим ив (9) и A0):
т
ik
г
(И)
e
yze
ikr
-*¦
ikr
Г
ikr
Г Г
,2 х
г
eikr
Отсюда следует, если понимать под г радиус-
вектор ж, у, г, под 9 угол между г и осью г, под Е
и Д результирующие поля г),
Рис. 87.
ikr
Мы можем здесь опять, как я в конце предыдущего
параграфа, констатировать поперечный характер эле-
электрического поля. Е и Н перпендикулярны друг к
другу и к г, результирующие поля Е и И равны
друг другу, оба равны нулю вдоль оси г, т. е. по
направлению колебаний диполя. Магнитные силовые
линии имеют вид кругов, расположенных вокруг оси г,
электрические силовые линий лежат в меридиональных плоскостях, проходящих
через ось з.
Напротив, вблизи диполя, где Ъг невелико по сравнению с единицей, поле
не будет чисто поперечным, в чем можно легко убедиться с помощью уравнения
A0). В смысле предыдущего параграфа (см. конец § 3) это вначит, что здесь на
„поле ускорения" накладывается „поле скорости". Для пояснения может служить
рис. 87. Здесь направление колебаний диноля указано стрелкой т. Около точки
О построен шар с радиусом г, равным расстоянию от диполя до точки наблю-
наблюдения Р.
Точки пересечения этого шара с осью отмечены буквами N и/ S (как се-
северный и южный полюсы). На шаре проведена параллель РР' и меридиан NP.
Направления Н и Е в точке Р будут касательными к этим кругам. Чтобы об-
облегчить сравнение этих результатов с результатами предыдущего параграфа, мы
отбросим предположение о чисто гармонических колебаниях, и возьмем для П
общее выражение B) вместо частного G). Боли мы оставим в силе предположе-
!) Здесь под результирующим полем разумеется проекция поля на его направле-
направление, так что оно (точнее его вещественная часть) будет равно, с точностью до знака, аб-!
оолютной величине поля. (Лрим. ред.) ' 1

838
Электромагнитные колебания
ние, что мы находимся на достаточно большом расстояния от диполя, мы смо-
сможем в B) и в аналогичных выражениях дифференцировать только по аргументу
р и не дифференцировать множитель —, например,
гс div П = — •
сг
Выражения для полей получаются с помощью тех же вычислений, что и
выше:
A3)
уг_
У
О
Все, что касается поперечного характера поля и взаимного расположения
Е и Н, остается в силе попрежнему. Для результирующих нолей мы теперь по-
подучим:
A4)
sm 9 ~ / , г \
Здесь положено, как и в A), р(<) =
= ет. Конечно, нужно брать уско-
ускорения v не в момент t, а в более ранний момент t , как показывает наша
С
формула A4). Далее формула A4) показывает, что для определенного радиуса-
вектора г существенно не само ускорение т, а его составляющая по направле-
направлению, нормальному к г:
Эти составляющие ускорения яоказаны на рис. 87.
Мы теперь непосредственно видим связь между формулами A4) и форму->
лами B0) в конце предыдущего параграфа. Вся разница заключается в множи-
множителе A—pcosft)8. Для v<^e, р<^1, что мы предполагаем в нашем случае,
этот множитель равен единице. Наши теперешние формулы соответствуют не-
неподвижному или медленно движущемуся источнику света, тогда как прежние —
случаю быстро движущегося электрона. Влияние скорости электрона нужно на-
например учитывать в теории рентгеновых лучей.
3. Излучение энергии. Чтобы определить излучение неподвижного или дви-
движущегося источника света, вычислим поток энергии через шар с радиусом г,
изображенный на рис. 87. Поток энергии на единицу площади и времени будет
по уравнению (IV), § 1:
S = cEXH.
В нашем случае, для неподвижного источника, когда EJ_H, Е = Ы, ив
уравнения A4) получается
A5)
IS1 —
sin2».

XIX., § 4 ' Вектор Герца и излучение колеблющегося диполя
839
Направление потока перпендикулярно в поверхности шара; он направлен
радиально наружу. Для движущегося источника, согласно уравнению B0), § 3,
этот поток энергии будет
A5а)
sin2»
16u2c8r2 A —pcos»)8
Обе формулы мы представим на полярной диаграмме (рис. 88), где нанесено
181 как функция от Ь. Нижняя пара кривых, симметричных. в плоскости эква-
эквазе
хора I 9 = -к-1, представляет излучение неподвижного источника [уравнение
A5)], причем направление колебаний совпадает с осью я (9 = О и & = *).
Верхняя пара кривых начерчена для случая C = -— , т. е. она предста-
представляет излучение заряда, очень 2
быстро движущегося вдоль оси г,
при том же полном мгновенном
излучении. Кривые теперь уже
не симметричны к плоскости эк-
экватора, но наклонены в напра-,
влении движения. Для того что-
чтобы получить распределение из-
излучения в пространстве, мы
должны вращать обе кривые
около оси в. Вторая кривая объ-
объясняет, поскольку ёто вообще
возможно с точки зрения волно-
волновой теории, некоторую односто- до
ронность в испускании рентгено-
рентгеновых лучей в направлении первич-
первичных катодных лучей, торможение
которых дает рентгеновское голу- ioo~
чение. Первая кривая опреде- т т т i50f7omtso т 1го
ляет, например, процессы рассеи-
рассеивания света или распределение
вторичных рентгеновых лучей.
От „удельного" излучения на единицу площади перейдем к общему излу-
излучению черев всю шаровую поверхность радиуса г. Для этой цели мы должны
интегрировать уравнения A5) и A5а). Элемент поверхности шара; если ср есть
географическая долгота на шаре, будет
do = г2 sin & dMy,
По формуле ¦
'60
70
150 Г7О ГЮ
Рис. 88.
мы найдем
A6)
8 = г2 f d<? f \S\sinbdb
6 о
+1
л*>2 Г Р2«;2 Г
бте»
г) При переходе к условным единицам е заменяется на ~\f4&e; см. уравнение B),
§ 1] мы получим вместо A6) часто встречающуюся в литературе формулу:

Ю Электромагнитные колебания
соответственно:
.+1
е2»2 Г sin3» !*<& f 1
е2»2 Г si
8^ J A —p
16a) =-
6тсс° A ¦
Радиус шара г вевде выпал из наших формул, как и должно быть. Послед-
яя формула показывает, что при приближении к скорости света, р ->• 1, уве-
увенчивается не только излучение в направлении движения, но (при том же
амом ») также и полное излучение.
В заключение рассмотрим формулу A6) для частного случая гармониче-
ких колебаний и перейдем к среднему по времени. Если а—амплитуда коле-
колебания, <о частота в 2х сек., то
^ = i-a2<o2,i2 = i-a2<o*,
i полагая
й = — = -
с X '
получим на основании A6)
== 12* 4==~ ' ~Х4~"
Эту же формулу мы, разумеется, получим и ив уравнения A2), выведенного спе-
специально для гармонического колебания *).
Уравнение A7) содержит гнаменитыи „закон -хт", с помощью которого
лорд Рэлей (Rayleigh) объяснил голубой цвет неба. Представим себе, что наш
диполь вовбуждается падающей волной; тогда максимальный момент диполя еа
не будет зависеть от длины волны падающего света [именно, он будет равен
Л (»2 — 1), где. Л — амплитуда падающей волны, и показатель преломления].
Вследствие этого, уравнение A7) показывает, что во вторично испущенном („рас-
(„рассеянном") свете будет преобладать синий цвет (малое X). Наоборот, в свете, про-
прошедшем черев мутную среду, будет преобладать красный цвет: небо и далекие
горы кажутся голубыми, ваходящее солнце красным.
4. Обобщения. Не трудно обобщить формулы пункта 1 этого параграфа таких
образом, чтобы они были применимы к среде с произвольными (но постоянным»
во всем пространстве) электромагнитными константами г, р, в. Нужно только
положить, вместо F)
A8)
Н = — rot (ей-{-оП),
г) вследствие равенства Е и Н будет J S | == | сЕ X И f = сЕг. Поэтому, если Е пред»
ставляет комплексное выражение A2) и если мы добавим опущенный в A2) множите»,
р*=з«а, мы получим по правилу A8) § 1, 8:
Отсюда, после интегрирования по шару радиуса г, следует как рае A7).

XIX, § 4 Вектор Герца и излучение колеблющегося диполя 841
и подчинить П (точнее Ux, IIj,, Пс) уравнению:
A9) . -5 ^
Тогда уравнения (I)— (TV) §1 будут удовлетворяться. Конечно, интегрирование
нельзя уже будет произвести так легко и в таком общем виде, как в 1, так
как решение Даламбера уже-не годится при наличии затухания (член с П).
Поэтому мы перейдем, как в 2, к случаю гармонических (чисто периоди-
периодических) колебаний, т. е. представим зависимость от времени в виде е~м и опу-
опустим этот множитель во всех формулах для Пг Е Н Уравнение A9) перейдет
тогда в i
A9') ДП + ИП-О. »-
.
которое можно, введя полярные координаты, написать для каждой прямоуголь-
прямоугольной составляющей П так:
Общий интеграл этого уравнения будет опять
Из двух членов справа нужно зачеркнуть второй, так как мы берем Ъ с поло-
положительной мнимой частью (ср. § 1, 3). В противном случае По возрастало бы
экспоненциально с г. Тогда мы получим при частном выборе амплитуды:
B0) 4*110 = — еЛГ,
как в G), однако, с той разницей, что теперь Те комплексно.
Уравнения A8) переходят теперь в
A8')
Если взять направление П по оси г, вычисления дают в точности уравнение
A0), с единственной разницей, что в выражении для Н нужно заменить h через
его -4- го ¦ .,
! . Сообразно этому остаются в силе прежние положения о поперечном
С
характере поля; только Е и Д уже не будут равны друг другу, но будут рав-
личаться но величине и фазе, так как они различаются на постоянный множи-
множитель (комплексный, если офО).
i Чтобы освободиться от ограничения, обязывающего нас брать прямоуголь-
прямоугольные координаты, предположим, что П, Б, Н разложены на составляющие по
любым криволинейным координатам. Вместо A8Q мы положим общее
A8") j
где U—скалярная функция, которой мы можем распоряжаться по произволу,
я которую теперь лучше не приравнивать divH. Веяв для Н, Е выражения

842
Электромагнитные колебания
A8"), мы удовлетворим уравнениям (I) и (Ш), § 1. Уравнение (П) приводит
теперь к равенству
A9*) grad U— rot rot П -{- А;2 П = 0.
Частное предположение ?/"= div П дало бы ' прямое обобщение уравнения A9'):
для криволинейных координат, именно '
(grad div — rot rot) П + fca П = О.
При этом удовлетворяется и уравнение (IV). Для чисто периодических процес-
процессов это понятно само собой; в общем случае это можно видеть, веяв расходи-
расходимость от уравнения A9").
Наши последние формулы допускают довольно замечательное обращение.
В дальнейшем мы будем говорить о магнитном диполе, вместо электриче-
электрического. Представим себе, например, что вдоль оси г колеблется магнитный полюе;
тогда, в противоположность тому, что было раньше, магнитные линии будут
лежать в меридиональных плоскостях, электрические будут круги около оси *,
Для целей радиотелеграфии (глава ХХШ) магнитный диполь схематизируй;
рамочную антенну, тогда как электрический обыкновенную линейную антенну,,
В самом деле, в рамочной антенне магнитное поле пульсирует в направления
нормали к виткам, которая представляет тут ось диполя. В линейной же антенне
вдоль оси диполя, т. е. вдоль антенны, колеблется электрическое поле.
Мы опишем поле такого магнитного диполя сразу для среды с произволь-
произвольными электромагнитными постоянными, если вместо A8) возьмем:
B1)
div П.
Чтобы удовлетворить уравнениям Максвелла (I) — (IV) § 1, необходим
только, чтобы П удовлетворяло уравнению A9) или, в случае гармонически
колебаний, уравнению A9'). Отсюда следует для П то же самое выражение B0)*,
как и для электрического диполя. Вычисления выражения B1) для гармониче
ских колебаний дают в основном такие же формулы как A1), с заменой Б на"
и с несколько измененными постоянными:
B2)
е№т
г
eikT
г
ikT
у e
rr
цшк х eikT
err
О
Эти выражения подтверждают наше утверждение, что магнитные лин
жежат в меридиональных плоскостях, а электрические имеют вид кругов вокр,
оси г. В гл. ХХШ мы возвратимся к колебаниям этого типа.
Обобщения уравнения B1) для криволинейных составляющих Я, Е, Я ш
напишем только для гармонических колебаний:
B1')

XIX, § 4 Вектор Герца и излучение колеблющегося диполя 843
причем векторная функция П и скалярная U опять должны удовлетворять урав-
уравнению A9"); частный выбор f7=divn допустим и здесь, но в последующем не
всегда полезен.
Не лишнее вдесь подчеркнуть разницу между постоянным магнитным дипо-
диполем, какой рассматривается в атомной теории магнетизма, и колеблющимся магнит-
магнитным диполей, который мы изучали выше. Представлениям Ампера о постоянных
молекулярных токах соответствуют в электронной теории круговые электронные
орбиты. Круговые колебания, лежащие, например, в плоскости ху, можно, как
известно, заменить двумя линейными колебаниями по направлениям х и у, сме-
смещенными друг относительно друга на ~ по фазе, т. е. двумя векторами Герца,
Лх и Пу. Наложение этих двух колебаний представляет Амперов молекулярный
ток в плоскости ху или, что то же самое, магнитный диполь, по оси z, но
с одной существенной разницей: оба линейные, а следовательно, и круговые
колебания сопровождаются излучением; вследствие потери энергии уменьшается
амплитуда линейных колебаний (или радиус круга кругового колебания). А для
объяснения атомного магнетизма нам необходим диполь с постоянным по вре-
времени моментом. Следовательно, чтобы перейти к электронной модели магнетизма,
мы должны отвлечься от излучения.
Нечто совершенно другое представляет колеблющийся магнитный диполь,\
каким мы его рассматриваем в радиотелеграфии. Для него излучение существенно
и фивически реально. Магнитный диполь, колеблющийся, например, по оси г,
соответствует не достоянному, а переменному круговому току в плоскости ху.
Этот переменный магнитный диполь и дает предыдущая теория, тогда как по-
постоянный магнитный диполь с точки зрения классической электродинамики пред-
представить себе нельзя.
5. Вычисление оптической интенсивности по вектору Герца. Оптиче-
Оптическая интенсивность в пустоте может быть, как известно, определена как среднее
по времени от плотности электромагнитной энергии
B3) F=4-(E3+®)-
В случае плоских волн эта величина совпадает со средним по времени от
деленного на с потока энергии:
В самом деле, в указанных условиях (плоские волны в пустоте) будет Е X Н
и | Е | = | Н |. Мы покажем, что при тех же условиях можно измерять интен-
интенсивность также величиной
B4) W или|по|2,
если сделать предположение о монохроматическом характере колебаний и положить
B5) П = Пое-<ш'.
Величина B4) отличается от B3) только несущественным множителем.
Мы будем разуметь под U не ту простую функцию, которая связана с эле-
элементарным (электрическим или магнитным) диполем Герца, а некоторую более
сложную функцию, и будем считать, что в результате отражения, преломления и,
главное, диффракции излучение от первоначального диполя претерпело раз-
различные изменения, так что явное аналитическое выражение для П нам неизвестно.

14 Электромагнитные колебания
вязь же между вектором Герца и полем [уравнения F) и B1)] мы должны ео-
>анить и здесь, так как эта связь выражает просто тот факт, что поае удовлетво-
нет уравнениям Максвелла.
Вообще говоря, вектор П при переходе от точки к точке будет меняться по
зличине и по направлению. Но мы будем предполагать, что в каждой области'
ространства состояние может быть приближенно представлено в виде плоской
злны. Если оставить в стороне некоторые исключения, которые мы потом пере-
ислим, то это будет иметь место всегда, по крайней мере, при достаточно малой
лине волны X. Наше предположение означает, что в формуле B5) мы полагав»
По = («, 0,0); и = иое{кг,
де м0 есть медленно меняющаяся функция. Мы взяли здесь в качестве
•си z направление распространения волны, а в качестве оси х — направление ее
юляризации. (Если бы поляризация была неполной, мы должны были бы ввести
еде одну составляющую, По»)- Полсловами „медленно меняющаяся функция" мы
[одумеём то, что величина и0 пало меняется на отрезке порядка длины водны:
grad «0р»0.
Мы вычислим теперь составляющие поля в'той же координатной системе,
причем будем пользоваться для электрического вектора Герца уравнениями F)
или (8). Мы получим:
div П ~ О,, Ех = ft» и0 еш~ш, Еу = Е, = 0.
Полагая «0 = | «01 е*" и переходя к вещественной части, будем иметь
На = Е2 == fc4 | и012 cos * (кг—ud -f- о)
Отсюда следует для интенсивности
что согласуется с нашим утверждением B4).
Тот же результат получается и для магнитного вектора Герца на основания
уравнений B1) (написанных для частного случая пустого пространства), прнчен
В и Н меняются ролями.
Остается еще обсудить вопрос о том, в каких случаях будет справедливо то
предположение, которое лежит в основе наших рассуждений, а именно, что опти-
оптическое поле можно рассматривать как плоскую волну (с амплитудой, медленно
меняющейся по величине и направлению при переходе от одной области про-
пространства к другой). Как известно, его предположение постоянно делается как
в обыденной ЖИ8НИ, так и в практике оптических измерений. Существуют, однако,
случаи, когда оно становится несправедливым. Сюда относятся, прежде всего, все
явления, связанные с фокусированием; в этих явлениях лучи не имеют, как
в плоской волне, определенного направления, а сходятся со всех сторон. Далее,
сюда относятся явления в окрестности каустических поверхностей и в непосред-
непосредственной близости диффрагируюпщх препятствий.
В следующей главе эти исключительные случаи не играют роли, так что
мы можем там всегда вычислять интенсивность по правилу B4).

XIX, §5 Условия излучения 845
§ 5. Условия излучениях). Собственные функции и собственные
значения
Решения уравнения колебаний для бесконечно большой области не опре-
определяются однозначно заданием источников и условием равенства нулю на бес-
бесконечности, как это имеет место для уравнения потенциала, — они остаются
при этом в большой мере произвольными. Решение уравнения потенциала, обра-
обращающееся на бесконечности в нуль и не имеющее источников на конечных
расстояниях (т. е. повсюду регулярное), должно равняться нулю. Решение же
уравнения колебаний, обращающееся на бесконечности в нуль и не имеющее
источников на конечных расстояниях, может быть отлично от нуля (то же имеет
место и для конечной области); Такое решение мы назовем „собственным коле-
колебанием" бесконечной области. „Собственными значениями" называются те зна-
значения №, для которых существуют собственные колебания, т. е. решения уравне-
уравнения Д« -{-&% = 0, не имеющие особых точек и стремящиеся к нулю на границах.
Собственные значения бесконечной области образуют повсюду плотное множество,
т. е. для каждого к существуют собственные функции; в случае же конечной
области такие функции существуют только для дискретных значений к. Таким
образом, если область бесконечна, то тот, вообще говоря, исключительный слу-
случай, когда решение не определяется заданием источников и условием равенства
нулю на бесконечности, будет иметь место при любом значении к. В случае же
конечной области этот случай возможен только при некоторых значениях к, а
в теории потенциала — совершенно невозможен. Физическое основание этого
заключается в следующем: при решении задач оптики и задач, сходных с ними,
речь идет о бегущих волнах, исходящих из источников, расположенных на
конечном расстоянии и излучаемых в бесконечность, т. е. о расходящихся
волнах. С другой стороны математически равноправными, хотя физически и не
осуществимыми, были бы сходящиеся бегущие волны, т. е. волны, исходящие
из бесконечности и поглощаемые заданными „стоками", расположенными на конеч-
конечном расстоянии. Комбинируя соответствующим образом оба рода бегущих воли,
мы можем исключить все особые точки, источники и стоки и получить стоячие
волны, по характеру сходные с собственными функциями бесконечной облаоти.
Возможность наложения таких стоячих волн на любое . решение задачи
указывает на неоднозначность ее постановки.
Но так как в природе реализуется, очевидно, только одно однозначно
.определенное решение, то необходимо ввести дополнительное условие, при по-
кощи которого мы смогли бы из совокупности всех решений уравнения коле-
колебания выбрать бегущие расходящиеся волны. Этот критерий относится к поведе-
поведению волн на бесконечности. Мы будем его называть условием излучения.
Различие между расходящимися и сходящимися, бегущими и стоячими вол-
волнами можно уяснить себе при помощи обоих членов f± и f2 решения Даламбера
[§ 4, уравнение F с)]. В случае периодической зависимости от времени они
иеют вид:
aikr —ikr
С С
1 г
гае л = ск,
!) Ср. A. SommerfeM, Die Greensche Fuaktion der Sehwiagungsgleichung, Jahresber.
L D. Math. Vereiaiguag 21, 1912, 309.

\46 Электромагнитные колебания
На бесконечности они удовлетворяют условиям:
2) Нт г I —х-3— ikut I = 0 (условие излучения), '
г=оо\ ОТ J
—~--\-iku21 =0 (условие для сходящихся волн),
ОТ ) ^
Переходя к вещественной части, мы убедимся, что vt есть расходя-
расходящаяся бегущая волна, а и2 — сходящаяся бегущая волна:
vt = — cos (Ы — кг), v2 = — cos (<at -j- кг).
При наложении обеих волн мы получим вынужденную стоячую
волну. Рассмотрим
1 / i \ cos/fer 1^7
C) % = о («1 + и2) = , Ид = — cos Ы cos кг.
Сферы одинаковой фазы будут теперь неподвижны;1 колебание имеет в точке
О источник (т. е. является вынужденным). Оно получается в результате интер-
интерференции двух бегущих колебаний, одного расходящегося и одного сходящегося,
которые встречаются в нулевой точке с одинаковой фавой. Если же положить
1 . . sin кг 1
D) «4 = -^(«, — м2) = —— , »
4 ^(, 2) , 4 s к,
то мы получим свободную стоячую волну. В этом случае сферы одина-
одинаковой фазы также закреплены, однако в нулевой точке нет источника. Этт
„собственные колебания" бесконечного пространства происходят от интерференцшг
двух бегущих волн, одной расходящейся и другой сходящейся, которые ветре*
чаются в нулевой точке с противоположными фагами.
Попытаемся теперь вывести условие излучения в общем виде. Чтобы охва-
•• тить случай произвольно ваданных, но расположенных на конечном расстоянии
источников (распределенных в пространстве непрерывным образом или ягё
сосредоточенных в точках) при любом виде границ области, определим искомую
функцию и при помощи следующих условий:
a) функция и вне замкнутой поверхности о (которая может состоять из не-
нескольких поверхностей) должна удовлетворять дифференциальному уравнению
E) Au-{-]u4 = f.
Функция f является мерой интенсивности источников, которые могут бш*
распределены непрерывно или сосредоточены в отдельных точках. Во всякое
случае функцию f нужно считать наперед заданной, притом так, чтобы на беско-
бесконечности она достаточно быстро стремилась к нулю. Обозначим область, ддк
которой справедливо уравнение E), через 8;
b) функция и должна обращаться в нуль на поверхности о (или удовле-
удовлетворять аналогичному однородному условию^
c) функция и должна на бесконечности стремиться к нулю таким образом,
чтобы при *• -»¦ оо произведение ги оставалось конечным, „условие конечности";
d) так как эти условия еще недостаточны для определения и, то мы доба-
добавим к ним „условие излучения" B):
F) liro г (-^- — Ли )=0.
г = оо \ ОТ I

XIX, § 5 Условия излучения 847
Удесь величина г представляет собою расстояние от какой-нибудь (распо-
(расположенной на конечном расстоянии) точки О, которая пусть находится внутри S.
Таким образом, если мы положим
т •'= 1Ы
то и' должно каким-либо образом стремиться к нулю при *• -> оо.
Пусть в формуле Грина
G) Г (uAv — vAu)dS = f (и ~ — г> ^\ do
« есть решение, удовлетворяющее этим требованиям,. а функция v равна
где г есть радиус-вектор от точки О до точки интегрирования Р, уже приме-
примененный в F). Далее, пусть S есть пространство, заключенное между поверх-
поверхностью в и очень удаленной поверхностью 2, за вычетом объема, лежащего
внутри очень малой поверхности о0, окружающей точку О. Поверхностный
интеграл, стоящий в правой части равенства, следует взять по всем трен
поверхностям о0, о и 2- Так как Ди = — 7с2у и Дм = — №u-j-f, то интеграл,!
стоящий в девой части равенства, равен:
а интеграл, стоящий в правой части равенства [см. § 3, уравнение B), где
проведены подобные же рассуждения], равен, благодаря наличию oq,
Gа) й0 I
J
интегрируя по о (пусть, например, функция и должна обращаться на поверх»
ности о в нуль), получим:
Г е1кг ди ,
— I ^— da;
J r дп
О
и, наконец, интегрируя по S:
' \ J \ дг г дп дп
Таким образом,мы получим
/pihr Г Я« рШ
fl-dS+J^
Так как
д е*г _.ъе*кг еш
10

848 Электромагнитные колебания
Здесь
A0а) d» = —-^f- = cos (*•,») ¦—§-
лредставляет собой телесный угол, под которым величина d? видна ив точки О;
поэтому интегрирование в последнем интеграле нужно производить по конечной
области 4я, и этот интеграл будет равен нулю во всех тех случаях, когда «
будет стремиться к нулю на бесконечности [ср. условие с]. Далее, первый ии-
теграл в A0) равен нулю по условию и&лучения d). Чтобы это доказать, возь-
возьмем в качестве ? шаровую поверхность, описанную из точки О, как ив центра,
бесконечно большим радиусом. Тогда
дг /41
— = cos (г, п) ~ 1,
¦ первые интеграл [ср. (ва) и A0а)] перейдет в
Благодаря условию ивлучения d) и условию конечности с), выражение V-
равно нулю, и следовательно, вначение « в произвольной точке О можно пред-
gttr
ставить, согласно (9), как совокупность расходящихся волн , про-
происходящих от источников f, расположенных внутри области, и от возмущенй
ди
-х— па границе области S. , ,
on
При помощи условия излучения легко показать однозначность вадачв.
о вынужденных колебаниях, или — что то же самое — невозможность собствен-
собственных колебаний. В самом деле, пусть ЕГ, и U2 представляют собой два различ-
различных решения, удовлетворяющих всем условиям от а) до условия d). Тогда рав^
ность этих решений и = Ul — U2 также будет удовлетворять тем же условия»;
кроме а), вместо которого она будет удовлетворять дифференциальному урав-
уравнению:
A1) Аи-\-кЧ = 0.
Предположим, что существует функция Грина О (О, Р), т. е. функция, ва*
висящая от обоих аргументов О (источник) и Р (точка наблюдения), удовлетво-
удовлетворяющая всем условиям от Ь) до d), и кроме того дифференциальному уравне-
уравнению A1) (относительно координат точки Р). Этому уравнению функция G удо-
удовлетворяет везде, кроме точки О, так как в этой точке G обращается в бес-
1 б*^*"
конечность как —, иначе говоря, ведет себя как ——. Подставляя в G) вме-
вместо v эту функцию, мы получим, вместо (9):
Если мы воспользуемся здесь условием излучения d) для и и G, введем
функцию (У, аналогичную и' в Fа), и выберем в качестве поверхности ? сферу
в центром в точке О (т. е. d]S = r2da>), то мы получим

XX, § 1 Разветвленные решения уравнения колебаний 849
Но ото выражение равно нулю, так как ги и rG на основании с) конечны, «'
и G' на основании d) стремятся к нулю, и интегрирование dm производится по
конечной области D^).
Отсюда вытекает, что и должно равняться нулю в любой точке О, так что
мы имеем ?7j = Uv что и требовалось доказать.
Физически непосредственно очевидно, что из условий излучения вытекает
невозможность собственных колебаний. Действительно, это условие запрещает
подвод энергии из бесконечности, требуя в то же время непрерывного отвода
ее. При этих обстоятельствах любое осуществленное каким-либо образом сво-
свободное колебательное состояние будет затухающим, т. е. будет иметь комплекс-
комплексную частоту ш, а следовательно, и комплексное Ь, тогда как мы предполагали,
что в нашем дифференциальном уравнении h вещественно. Доказывая невоз-
невозможность собственных колебаний с вещественным значением h, мы не исклю-
исключили возможность существования собственных колебаний для ряда дискретных
комплексных значений к, соответствующих некоторому затухающему начальному
состоянию. Для беспроволочной телеграфии вокруг земного шара (см. XXIII,
§ 4,2) такого рода аатухающие собственные функции имеют большое значение.
ГЛАВА XX
ТЕОРИЯ ДИФФРАКЦИИ
§ 1. Разветвленные решения уравнения колебаний
В то время как для описания явлений, происходящих в обычном процессе
зрения или в оптических инструментах, в основном достаточно геометрической
или лучевой оптики, для объяснения явлений диффракции необходимо пользо-
пользоваться волновой оптикой. Лучевая оптика получается как предельный случай
волновой при X = О (ср. § 3, 4). Классическую теорию диффракции можно
рассматривать как соответствующую первому члену разложения в ряд по малой
величине X (ср. тот же § 3). Этим объясняется большое значение обыкновенной
теории диффракции и ее способность приспособляться к самым сложным гра-
граничным условиям (отверстие произвольной формы, решетка), которые предста-
представляют непреодолимые трудности при точной трактовке.
В противоположность этому, мы рассмотрим в этом параграфе диффрак-
цнонные задачи при произвольном X, как математические задачи с граничными
условиями. Правда, мы должны будем ограничиться самыми простыми случаями
и настолько идеализировать граничные условия, что, пожалуй, можно усом-
усомниться, можно ли такую трактовку считать, с физической точки зрения, „точ-
„точным решением" днффракционной задачи.
Если отвлечься от аналитических трудностей, связанных с существом
дела, то задачи, которые мы рассмотрим, представляют с принципиальной точки
эрения наиболее простые примеры колебательных задач. Здесь дело идет об
углубленном понимании фундаментального факта — отбрасывания тени непро-
врачными телами.
1. Математическая формулировка задачи. Рассмотрим плоский экран S,
ограниченный контуром В. Где-нибудь перед ним пусть находится источник
света Q. Экран мы будем считать бесконечно тонким, но, несмотря на это,
совершенно непрозрачным. С точки зрения электромагнитного поля мы достиг-
достигнем этого, если будем считать его идеальным проводником (о = оо). В идеаль-
идеальном проводнике не может существовать электрического поля. Поэтому внутри
проводника Е = 0. Вследствие непрерывности касательной составляющей Е
[гл. XIX, § 1, D)], отсюда следует для внешнего поля по обеим сторонам экрана:
A) Е = 0 в касательном направлении.
54 Зак, 1408. — Франк и Мизес. Дифф. уравн. мат. физ.

350 Электромагнитные колебания
Так как нормальная составляющая поля вообще не непрерывна, т. е. не
обязана исчезать во внешнем пространстве, можно также скавать: электрические
силовые линии направлены перпендикулярно к поверхности экрана, как в элек-
электростатике.
Определенный таким образом „непрозрачный экран" отлнчеп от „черного
экрана", рассматриваемого в оптике. Черное тело, по определению, поглощает
всю падающую на него энергию и ничего не отражает. Наш же непрозрачный
:»кран не поглощает энергии и отражает вполне. Его можно называть „блестя-
„блестящим" телом (blank). Черное тело вообще нельзя определить с помощью электро-
электромагнитных граничных условий. В следующих параграфах мы увидим, каким об-
образом с нашей точки зрения можно определить черное тело хотя бы прибли-
приближенно.
Мы возьмем поверхность экрана в качестве плоскости ху, нормаль, к нему
за ось z. В источнике света Q мы представим себе электрический диполь
(гл. XIX, § 4, 2), колеблющийся с частотой в (и „волновым числом" fc = —I,
и будем различать два случая:
A) Ось диполя параллельна плоскости экрана, например, направлена по
оси г, Н = (Бг, О, О).
B) Ось диполя перпендикулярна к экрану, т. е. направлена по оси г,
П = (О, 0, Пе). " -
Согласно уравнениям (8) гл. XIX, § 4, 2, касательные составляющие Е будут.
(А) ЕвВ 4^ 4д*
х
' дх дх ' » ду дх '
Уравнение A) будет удовлетворено, если на поверхности S потребовать
(А) П, = 0; (В) i = 0.
В случаях (А) и (В) мы положим соответственно
(А) 4:пПх = ие-ш; (В) 4тгПг = ие~ ш;
ч будет тогда комплексной функцией точки наблюдения Р и положения источ-
источника света Q:
B) u = U{P,Q).
Для ее определения, мы имеем условия:
I) и удовлетворяет в координатах Р уравнению
2) для Р = Q, и делается бесконечной как -—¦ [ср. уравнение G), гл. XIX,
§ 4, 2]; во всех остальных точках и конечно и непрерывно *);
ди
3) на поверхности экрана S, в случае (А) и = 0, в случае (В) -д— = 0;
4) сюда еще надо присоединить условие на бесконечности 2): и должно
!) На краю 8 мы должны допустить обращение в бесконечность grad и, однако
только так, чтобы г -— , в пределе при г — 0, обращалось в нуль (г = расстояние от края);
2) SommerMd. Jabresbericbte d. D. Matb. Vereinigung 21, 309 A912).

XX, § 1 Разветвленные решения уравнения колебаний 851
иметь характер уходящих волн, чтобы исключить волны, приходящие из беско-
бесконечности (ср. гл. XIX, § 5).
Ьслп мы переидем к частному случаю плоской волны, т. е. будем отодви-
отодвигать диполь в определенном нанравлении на бесконечность (соответственно уси-
усиливая его амплитуду и меняя его фазу), мы можем, обычном образом, разложить
процесс на два (под плоскостью падения мы будем понимать плоскость про-
проведенную через направление падающей волны и нормаль к экрану):
A) Плоскость поляризации параллельна плоскости падения; тогда Е перпен-
перпендикулярно к плоскости падения, т. е. параллельно экрану, например, лежит
в направлении оси х.
B) Плоскость поляризации перпендикулярна к плоскости падения; тогда Н
параллельно экрану и направлено по оси х.
Тогда мы можем- положить:
А) Е = (Я# 0,0); Ех^ие~ш, В) Н = (/*,, 0,0); Нх = ие-Ш;
и будет в обоих случаях комплексно 1 фупкцией точки наблюдения Р и угла
падения а (то есть угла между направлением расиространения и пормалъю к экрану).
Bа) и = и(Р, ос).
На основании уравнения A), i* случае А на экране опять будет и = 0;
в случае В, из уравнения B) и уравнения Максвелла
1 у, _ ЭН.
заключаем:
=0,
дз ' дг дп
Вследствие этого, при теперешнем определении и, для случаев А и В
остаются прежние условия 3. Точно :гак же, па основании уравнения A2) на
стр. 812, остается в силе условие 1. Напротив, вместо 2 и 4 мы должны потре-
потребовать:
2') и везде конечно и непрерывно;
4') и ведёт себя на бесконечности как падающая по направлению а плоская
волна [ср. уравнение A4) стр. 812].
2. Понятие пространства Римана. Ввиду простоты третьего граничного
условия можно попытаться удовлетворить ему, пользуясь методом отражений.
Для этого нужно построить отражение источника в плоскости экрапа (мы возвра-
возвращаемся к первоначальной формулировке задачи с точечным источником). Это, однако,
запрещается условием 2, но которому единственная особая точка функции и
в физическом пространстве есть Q. Изображение О! поэтому не может лежать
в „физическом пространстве". Это заставляет нас ввести еще некоторое „мате-
„математическое вспомогательное пространство", которое вместе с физическим обра-
образует двойное пространство Римана *). Его построение мы опишем так: -возьмем
два экземпляра трехмерного пространства, разрежем их вдоль S и скрепим
каждую сторону поверхности разреза с противоположной стороной разреза в другом
J) В математической физике представление о пространстве Римана встречается
в теории магнитного листка. Для магнитного потенциала стационарных токов роль
линий разветвления играют несущие ток проводники (которые мы представляем себе
бесконечно тонкими); растянутый между ними магнитный листок представляет разрез
и соответствует в оптическим случае нашему экрану. Впрочем, в случае магнитного
поля, дело идет о разветвлении бесконечно высокого порядка, так как при переходе
через разрезы потенциал каждый раз возрастает на модуль периодичности Dя7 в обыч-
обычных единицах), в то время как в оптическом случае нам придется сначала рассматри-
рассматривать случаи разветвления конечного порядка (например, двойное пространство).
54*

852
Электромагнитные колебания
а
Рис. 89.
пространстве. Мы будем называть S также „разрезом", край В экрана S— „ли-
„линией разветвления", — следуя в атом терминологии из учения о Римановых
поверхностях в теории функций, с той, однако, разницей, что наше Риманово
пространство — Эвклидово, тогда как поверхность Римана определяется только
в смысле геометрии положения (Analysis situs).
Наша задача — найти решение U дифференциального уравнения A), одно-
однозначное и непрерывное в пространстве Римана и имеющее там только одну
особую точку Q. Назовем его „главным решением" для пространства Римана
или, по отношению к фивическому пространству, „главным равветвленным реше-
решением". Правда, главное решение для простого пространства
C) U0 = -^e{kR
однозначно также и в пространстве Рнмана, но имеет там не одну, а две особых
точки; именно, кроме Q (Е=0), также Qt, лежащую в том же месте, что и Q, но в дру-
другом экземпляре пространства. Мы будем искать та-
такое решение U, которое ведет себя по отношению
к двойному пространству так же, как Uo по отно-
отношению к простому. Мы сейчас увидим, как можно
в простых случаях действительно построить такое
решение; вследствие простоты математической
постановки вопроса решение получается даже в
относительно простом и замкнутом виде.
В двойном пространстве можно провести про-
процесс отражения, не совдавая никаких недозволен-
недозволенных особых точек в физическом пространстве. От-
Отражение Q' точки Q попадет в математическое
вспомогательное пространство, как пояснено на
рис. 89. Выходя из Q, мы переходим экран в точке А, вступаем в другой
экземпляр пространства и приходим в точку Q', расположенную симметрично с Q
по отношению к экрану. Если мы пойдем оттуда через Сх на переднюю сторону
разреза и перейдем экран второй раз, например, в В, то попадем опять в физи-
физическое пространство. Здесь мы можем дойти назад до Q, например, через точку С,
которая, хотя и лежит в том же месте, что и Cv но не тождественна с ней.
Заметим еще, что введенное здесь разветвление вдоль <S\ вполне соответствует
физическим условиям. В самом деле, оптические поля по обеим сторонам S не
имеют друг с другом ничего общего. Они вполне отделены друг от друга идеаль-
идеальным проводником. Аналитическое продолжение поля передней стороны экрана
не дает поля задней стороны, а переводит нас во вспомогательное математи-
математическое пространство.
Следующее утверждение будет понятно без дальнейших пояснений.
Если U (Г, Q) или U(F, Q') будет разветвленное главное решение, обра-
обращающееся в бесконечность в Q или, соответственно, в Q', то
D) u=U{P, Q)+U(P, Q')
будет решением нашей диффракционнои задачи, причем верхний знак относится
к случаю А, нижний — к случаю В. Точно так же для диффракции плоских волн
можно утверждать следующее:
Если U(P, а) и U(P, а') будут разветвленные главные решения, соответ-
соответствующие: одно — волне, падающей в физическом пространстве в направлении а,
другое — волне, надающей в математическом пространстве в направлении а!, то
решение диффракционнои задачи для плоской волны, с поляризацией А или Д
будет
Dа) u=U(P, %)+U{P, a').

XX, § 1 Разветвленные решения уравнения колебаний 853
В обоих случаях молчаливо предполагается, что наше главное решение V
удовлетворяет на бесконечности условиям D) или D'), которые гарантируют там
характер уходящих волн. При исследовании частных случаев в следующем
параграфе на это нужно обратить особое внимание.
Ссылаясь на рис. 89, рассмотрим соответствующую диффракционную задачу
для „дополнительного" экрана. Под этим мы будем понимать, как обычно, экран 8',
закрывающий ту часть плоскости 8, которую 8 оставлял открытой и обратно
(ср. также рис. 90а, Ь). Задача отличается от предыдущей только тем, что физи-
физическое пространство нужно иначе ограничить. Теперь 8'' образует разрез, отде-
отделяющий фиэическое пространство от математического; напротив, при перехода
через прежний экран 8, мы остаемся в прежнем экземпляре пространства. Поэтому <2'
принадлежит теперь к физическому пространству и ее нельзя брать в качестве
отражения. Напротив, лежащая в том же месте, что и Q', точка Q/ принадлежит
математическому пространству. Так же как Q' лежала симметрично с Q по
отношению к 8', так и Q\ лежит симметрично с Q по отношению к 8\. Поэтому
мы должны перепести отражение в Qt', соответственно заменить направление а
па лежащее в другом экземпляре пространства направление а', одинаковое с а,
чтобы удовлетворить граничным условиям для S'. Уравнения D) и Dа) пред-
представляют одновременно решения соответствующих диффракционных задач для до-
пЪлнительного экрана -S", если только заменить Q' на Q/ и, соответственно, а.'
яа а/.
В виде дополнения мы вернемся к задаче черного тела я покажем, что
предположение
E) u=U(P, Q), u=U(P, a)
(без добавления отраженного действия) описывает простейшим образом физи-
ди
ческое представление черноты. Граничные условия вроде и = 0 или -х— = О
теперь, естественно, не выполняются. Однако, здесь достигнуто то, что волна,
попадающая на переднюю сторону экрана, исчезает в нем. (именно, переходит
в математическое вспомогательное пространство), и что (из-за отсутствия источ-
источника света в математическом пространстве) от экрана в физическое простран-
пространство не возвращается заметного излучения. Это в самом деле соответствует
характерным для черного тела представлениям (стр. 850): отсутствие отражения
и полное поглощение.
Впрочем, черное тело описывается таким путем неоднозначно. Очевидно,
мы могли бы вместо двойного пространства Римана употреблять тройное, .чет-
.четверное, или бесконечно кратное пространство, по той же схеме, по которой мы
строим двойное пространство Римана, а именно путем последовательного при-
прикрепления дальнейших экземпляров пространства. Эти пространства высших
порядков, в особенности, бесконечно высокого порядка, соответствовали бы еще
лучше нашему представлению о черноте, чем двойное пространство, так как
они пропускали бы назад в фиэичёское пространство еще меньше падающей
энергии. Однако о математически-однозначной реализации черного тела нельзя
говорить даже и для пространства Римана бесконечной кратности. В самом
деле, нас ничто не заставляет брать в математических экземплярах простран-
пространства те же разрезы, что и в физическом, или брать там те же дифференциаль-
дифференциальные уравнения распространения света. Проблему черного тела по самому
существу дела нельзя однозначно сформулировать математически *).
В пользу нашего представления о черном теле и нашего введения раз-
разветвленных решений вообще, говорит то обстоятельство, что, в сущности, по
!) Ср. § 3, конец 8; далее W. Voigt, Compendium d. thcor. Physik (Leipzig 1896), Bd 2,
стр. 768 и Gott. Nachr. 1899, стр. 1.

854
Электромагнитные колебания
этому же пути идут при экспериментальном осуществлении черного тела в том
виде, как оно употребляется при термодинамических измерениях излучения. Как
известно, такое черное тело состоит из нагретой полости, снабженной маленьким
отверстием. Это отверстие играет роль нашего разреза, так как оно поглощает
всякое падающее излучение; полость таким же образом соединена с помощью
этого отверстия с внешним пространством, как наше математическое вспомога-
вспомогательное пространство с физическим.
Мы хотим еще обратить внимание на одну общую зависимость между раэ-
ветвленными главными решениями в n-кратном пространстве Римана и нераэ-
ветвленным решением Uo [уравнение C1)] в простом пространстве. Если точки
Рц Р2...Рге_г лежат в следующих друг эа другом экземплярах пространства
на одном и том же месте с Р, то очевидно
F}
ЩР,
т. е. симметричная функция первой степени от развет-
пленных решений равпа неразветвленному решению.
В самом деле, сумма слева представляет решение ура-
вления Дм -\- №и = 0, однозначное в обыкновенном про*-
странстве, и такое, что оно только в одной точке Р= Q
обращается в бесконечность как -=-- ; следовательно, оно
Рис. 90а.
S'
Рис. 906.
должно быть тождественным с главным решением Uq,
(Соответствующее соотношение получится также, если
слева не менять Р, a Q заменить точками Qv Q2 ... Qn_1,
лежащими в следующих друг за другом экземплярах
пространства в том же месте, что и Q.)
Наша теорема F) представляет обобщение и уточ-
уточнение так называемого принципа Вабинэ, который утвер-
утверждает, что два дополнительные экрана образуют диф-
фракционные картины так, что их векторы колебаний
в каждой точке дополняют друг друга до невозмущенного
колебания падающего света, которое имело бы место
в соответствующей точке при отсутствии (экранов.
Пусть на рис. 90а, так же как на ркс. 89, в S бу-
будет экран (вместо одного экрана мы могли бы рассма-
рассматривать систему экранов, а в „дополнительном" слу-
случае —• систему отверстий). Из источника Q мы достигаем точки Р в физи-
физическом пространстве через точку С. Если же мы, пройдя через А, перейдем
экран, то мы попадем в математическое вспомогательное пространство (пунктир)
и в точку Pv отличную от Р. Если мы будем считать экран' черным, то состоя-
состояние в Р можно представить через
ЩР, Q).
Рис. 90Ь отличается от рис. 90а только (ср. рис. 89) другим ограниче-
ограничением физического пространства. Физическим пространством теперь является вся
область, куда можно попасть, не переходя через -S". Поэтому путь QAP^ лежит
весь в физическом пространстве, тогда как точка Р и (обозначенный пунктиром)
путь СР лежат в математическом вспомогательном пространстве. Состояние,
наблюдаемое в точке Рх фиэического пространства, будет

XX, § 1
Разветвленные решения уравнения колебаний
8S5
Если мы условимся изображать черное тело с помощью двойного простран-
пространства Римана (а не с помощью пространств более высоких порядков), то тео-
теорема F) дает:
Fа) U(P,Q)+V(P1,Q)=U0,
т. е. распределение света в случаях 90а и b в соответствующих местах скла-
складывается в Uo, т. е. в освещение, какое было бы при отсутствии экранов. Это
и есть принцип Вабинэ.
Наше изложение одновременно показывает, что этот принцип имеет ту же
степень неопределенности, что и само представление о черном теле, так как
уравнение F) имеет место только тогда, когда черное тело определяется
с помощью двойного пространства Римана и, строго говоря, будет неверно, если
взять для него другое определение (напри-
(например, с помощью пространства Римана бес-
бесконечной кратности).
3. Функция плоской волны, одно-
однозначная на поверхности Рииана. Мы
начнем с представления функции плоской
волны, однозначной в обыкновенной плос-
плоскости [гл. XIX, § 1, A4)]:
G) uo = eik*
в виде комплексного интеграла. Введем
полярные координаты г, <р, добавим ампли-
амплитуду А и выберем в качестве направле-
направления падающей волны вместо оси х (<р = 0)
произвольное направление а. Тогда мы бу-
будем иметь вместо G):
u = Aeikro°s('f-a).
Gа)
Мы получим решение волнового уравнения,
если будем считать А функцией х и про-
проинтегрируем каким-нибудь образом по а:
I
Рис. 91.
(8)
u= / A(x)e
per еоз (<р— а)
dx.
В качестве пути интегрирования мы выберем обход в комплексной плоскости л
в положительном направлении вокруг точки а = 0, и выберем А(х) так, чтобы
оно имело в этой точке полюс первого порядка с вычетом -~—^. Тогда, по тео-
теореме Коши, (8) переходит в G). Выберем, в частности, для А (а) периодическую
функцию х с периодом 2тг, именно
1 е"
(9) ^(а)==_____.
Обход вокруг нуля мы можем деформировать произвольным образом, если только
мы не переходим через полюса А функции (т. е. черев все точки х = ±2т:т,
т — целое). Если мы хотим, чтобы наш путь интегрирования уходил на бесконеч-
бесконечность, мы должны позаботиться, чтобы на бесконечности подинтегральная функция
обращалась в нуль. На рис. 91 заштрихованы те области, в которых cos (о — а)
имеет положительную мнимую часть; они ограничены, как легко проверить,
прямыми а = »±т!: (т — целое). В этих заштрихованных областях веществен-
вещественная часть «cos(о — х) обращается на бесконечности в отрицательную бесконеч-

856 -¦-' Электромагнитные колебания
ность, следовательно, показательная функция в (8) обращается в нуль. Обозна-
Обозначенный на рис. 91 путь интегрирования состоит ив двух ветвей С, каждая ив
которых уходит в бесконечность в двух соседних заштрихованных областях, и
из двух связывающих путей D. Последние выбраны так, что они переходят один
в другой при смещении на 2ir и Еваимно уничтожаются вследствие периодич-
периодичности подинтегральной функции и противоположности направлений обхода.
Значит, если в (8) интегрировать по двум ветвям С, то этот путь инте-
интегрирования все еще будет эквивалентен обходу вокруг а = 0 и выражение (8)
будет тождественно с G).
Теперь можно непосредственно осуществить переход от простой плоскости
к поверхности Римана с точкой разветвления порядка п в г = 0.
Вместо (9) положим
(9а) ^(a)==_i__^L_,
е" — 1
т. е. выберем Л так, чтобы оно имело период 2тги и сохранило полюс с выче-
вычетом ——г в точке a = 0. В качестве пути интегрирования возьмем две ветви С
(заметим: без связывающих линий D). Теперь
==_1_ Г с»
A0)
Мы должны показать, что это выражение, в связи с условиями A), B'), C), D^
стр. 850 и 851, удовлетворяет следующим требованиям:
1) и удовлетворяет волновому уравнению Дм -j- №и = 0 в координатах г, <р
точки наблюдения. Это следует непосредственно из того, что мы представили м
в виде положения плоских волн G а);
2) и везде конечно и непрерывно. Для г > 0 это следует из представле-
представления и в виде всегда сходящегося комплексного интеграла, причем мы всегда
можем избежать перехода через особую точку. Только точка разветвления г = 0
требует особого рассмотрения. Для г = 0 обусловливающая сходимость показа-
показательная функция обращается в единицу; однако, несмотря на это, интеграл не рас-
расходится; это следует из того, что остающийся интеграл можно написать, положив
in
г = е п , так:
1 Г ds
W~ 2m J & — \ щ
Это дает при интегрировании по нашим ветвям С конечное впадение —.
' п
тг ди
Другое дело производная ^—, которая для г = 0 обращаеюя в оо, как докажут
j ОГ
приближенные формулы § 2, 2;
3) на нашей поверхности Римана г» однозначно. J3 самом деле, положим
в A0) j3 = a — в; тогда получается:
*1 о П о П

XX, § 1
Разветвленные решения уравнения колебаний
857
л-
•я-
-л
-л-
т. е. лшражение, которое превращается в самого себя, если <э увеличить на 2it«,
т. е. сделать полный обход по разветвленной поверхности. В то время как
в уравнении A0) путь интегрирования по х перемещается вместе с о (к чему
мы вернемся на следующем рисунке), он остается неизменным в уравнении A0а),
в силу определения Р;
4) и ведет себя на бесконечности на первом листе как плоская волна G)
и исчезает на бесконечности на всех остальпых листах. Цервым листом жи
называем все точки, для которых |о| < я, второй, третий, м-ый листы опреде-
определяются посредством неравенств
Для доказательства
нужно только еще раз рас-
рассмотреть рис. 91. Если мы
находимся на первом листе,
то полюс а = 0 лежит па
отрезке АВ\ он, в част-
частности, совпадает с А или
Б, если 9 = + я или —it.
Когда г обращается в
бесконечность, показатель-
показательный множитель eftrcos(9-a)
исчезает во всех точках за-
заштрихованных областей (а
не только для бесконеч-
бесконечности), так как он имеет
там отрицательный веще-
вещественный бесконечно боль-
большой показатель (благодаря
множителю з). Интеграл
но одной из петель С (в на-
нашем случае по проходящей в положительной полуплоскости) равен нулю, так
как мы можем провести путь интегрирования через точки В и М целиком по
заштрихованной области. Если мы сделаем то же самое с интегралом по другому
контуру, то путь интегрирования повиснет на полюсе a = О. Остальная часть
интеграла исчезает также и в этом случае. Остается только обход вокруг a = .0,
который приводит нас опять к выражению G), так как вычет (9а) равен——.
Если же мы, напротив, находимся на одном из остальпых листов, полюс a = О не
лежит па отрезке АВ. Оба пути интегрирования можно провести целиком по
заштрихованным областям, и следовательно, интеграл равен нулю. Поэтому ре-
решение и исчезает на бесконечности всех листов за исключением первого. Сле-
Следовательно, плоская волна, распространяющаяся в направлении ср — 0 в первом
листе, Не распространяется .до бесконечности на всех остальпых листах, на
конечном же расстоянии от точки разветвления ее действие можно, разумеется,
обнаружить и в этих листах.
Для полпоты, докажем еще уравнение, аналогичное уравнению F):
/1 14 л! ( *\ I «I /*ф. \ Оя-Ч I Л1 /rr, I A mm\ I \ лг Гrr, ( О /ал 1 \ -е-1 _— л/ __ л "-Р
I X J- J w (О I "~т— № ( w * | * ? 7Г 1 ¦¦¦!¦- 2t I СЭ —4-- *t7c I " 1 " • • • " •] " w I >Р " '] " Zt I ТО ~ -* J. I TZ I -'— bV/\ ~ ' tJ
которое утверждает, что сумма значений разветвленного решения в п точках,
лежащих друг над другом в п листах, равна разветвленной функции плоской
волны и0. Для доказательства начертим на рис. 92 рядом пути интегрирования,
соответствующие положению нашей точке в первом, втором и т. д. листах,
Рис. 92.

858 Электромагнитные колебания
ж добавим соединительные пути D, которые взаимно уничтожаются, вследствие
периода 2тс». В результате мы получим замкнутый обход вокруг полюса а = 0,
и поэтому, в силу теоремы Коши и того, что вычет в этой полосе равен -^—г,
интеграл будет равен е№х, как это и показывает правая часть уравнения A1).
Интересен, особенно с точки зрения наилучшего определения черного тела,
предельный случай уравнения A0) для »== оо. Здесь получитоя просто:
A2) « '— I я«геов(?-«) da
при таком же выборе пути интегрирования, как и на рис. 91. Поверхность
Римана с конечным числом листов переходит при этом в бесконечно развет-
разветвленную поверхность. На первом листе | <р | < к, падает плоская волна, она
немного переходит в соседние листы тс < ср < Зтг и — тс > о > — Зтг, тогда как
в дальнейших листах поле возбуждается все меньше и меньше.
Данное здесь построение разветвленного решения было в первый х) раз
развито для довольно сложной задачи (диффракция непериодического рентге-
рентгеновского импульса вместо периодической плоской волны) и излагается в статье
Эшнтейна 2) в „Энциклопедии Математических Наук". Путь, первоначально
предложенный автором 8) (через посредство потенциальных функций бесконечно
высокого порядка) гораздо сложнее.
4. Решения для пространства Римана. Пусть пространство Римана имеет
только одну прямую неограниченную линию разветвления, которую мы выберем
sa ось г. Пусть это пространство состоит из п экземпляров пространства
(„листов"), расположенных таким обравом вокруг линии разветвления, что после
я-кратного обхода вокруг нее мы возвращаемся в исходную точку.
Если бы плоская волна падала перпендикулярно к линии разветвления
(т. е. в плоскости ху), мы бы- вернулись к прежнему двухмерному случаю поверх-
поверхности Римана. Поэтому рассмотрим плоскую волну, нормаль к которой имеет
направляющие косинусы х, |3, f. Hepаэветвленное решение в простом простран-
пространстве будет:
A3) и =
Введем полярные координаты в плоскости ху.
x — r cos о, х = о cos ф' ) ,
у = г sm <р, р = р sin 9 J
Тогда A3) напишется так:
A3а) во ^ в<* irp се(?
Заменим теперь (как и в предыдущем пункте) угол падения <р' комплекс-
комплексной переменной интегрирования а и добавим амплитуду Л (а), которую мы опре-
определим спачала уравнением (9). Мы получим:
A3Ь) и = eftl" f Л (а) в*1* С03 (? ~а) da.
1) ZS. f. Math. u. Physik. 46, 11 A901).
2) Enzykl. d. Math. Wiss. V, 3 Art. 24, стр. 492 и ел.
3) Math. Ann. 47, 317, 1896. Ср. также Math. Ann. 45, 2$3, 1894, где уже указано
разветвленное решение для задач теплопроводности.
П. Poincare (Aeta Math. 20, 313, 1897) сравнивает метод разветвленных решений
о методом разложения в ряды, примененным им к соответствующим диффракционнъш
задачам.

XX, § 1 Разветвленные решения уравнения колебаний 859
Если мы теперь выберем путь интегрирования как на рис. 91, то A3Ь) оиять
перейдет в A3а) (с той несущественной разницей, что азимут направления
падения <р' равен нулю), независимо от того, будем ли мы интегрировать но
контуру вокруг а = 0 или но обеим петлям С.
Мы осуществим переход к «-кратному >пространству Римана, если для А (а)
возьмем выражение (9а). Из A3Ь) тогда получится:
A4)
еп —
интегрирование нужно провести по петлям С, как на рис. 91. Из того, что
.добавленный в показателе множитель р имеет вещественное положительное зна-
значение, следует, что разделение плоскости а на заштрихованные и незаттрихо-
вапные части остается прежним.
Совершенно так же, как и в предыдущем пункте, можно доказать, что выра-
выражение A4) удовлетворяет условиям 1, 2, 3, 4 и уравнению A1). В частности
наше выражение можно привести к виду, аналогичному A0а), который явно
показывает однозначность нашей функции в пространстве Римана и м-значность
в обыкновенном пространстве; это достигается подстановкой а — ? = |3:
(Ma)
«3
Г 'I—
Обратимся теперь к „функции светящейся точки", т. е. к решению, обра-
обращающемуся в одной точке в бесконечность. Соответствующее неразветвленнов
решение будет по уравнению C),
« „ше
Здесь В выражается через введенные выше полярные координаты следующим
образом
A5) В3 = г2 -f- г'2 + {г—¦О2 — 2 w' cos (Ъ — ф').
Заменяя <р' на а, мы будем писать i?a вместо Д; затем мы введем х)
A5а)
Тогда
Ва2 = 2rr' [cos ip — cos. (a — а)].
Выражение
A6) СГ=
тождественно с первоначальным выражением для Uo, если А (а) взять из (9) и
в качестве пути интегрирования в плоскости а принять обход вокруг полюса
а = 0 (азимут <?' мы будем считать нулем). Нам надо теперь деформировать
этот путь интегрирования, и мы должны поэтому посмотреть, как значения Ra
отображаются на плоскости а.
!) Величину р в Aба) ие следует смешивать С величиной, обозначавшейся в преды-
предыдущих формулах той же буквой.

860
Электромагнитные колебания
Мы утверждаем, что ломаная линия (рис. 93)
U -> A^Il^N^-M^-B -> _ F
ср — те —j— * схэ ср — ir ср cp —f— *р <р cp-j-ic со -J- it -f- * оо
соответствует вещественной оси плоскости Ва. В самом деле: вдоль прямой TJA
имеем а = о — к -\-га, где а вещественное положительное число, поэтому
cos (о—a) = cos(— ir-f-*a)== — cos «о вещественный и отрицательный, следова-
следовательно, i?a2, по A5Ь), вещественно и положительно, и само Ва, при подходящем
выборе знака, вещественно и отрицательно.
При переходе от А до Ж, при вещественном a — ср» Д, остается веществен-
вещественным я отрицательным. На отревке MN, a = f-j~ia. Точка N соответствует тому
значению о = р, для кото-
которого, по A5Ь), Ва обраща-
обращается в нуль.
Если бы мы попели
дальше, эа N, i?a2 сдела-
сделалось бы отрицательным,
следовательно, Ва мнимым.
Поэтому, чтобы итти даль-
дальше по вещественной оси
плоскости Еа, мы должны в
точке N повернуть навад
и вернуться в М. Отреэкам
NM, МБ и BV соответ-
соответствуют тогда возрастаю-
возрастающие по4ожктельные значе-
значения i?a. Мы заштриховал!
область плоскости а, огра-
ограниченную ломаной линией
UAMNMBV, чтобы пока-
вать, что она соответствует
положительно-мнимой части
плоскости Да.
Очевидно, что, кроме точки N(a = <э -)-ip), величина Ва исчезает еще в точке
jV/(a = o — ip) и во всех точках Nu N2... JV^iV/, отличающихся от ^V и N'
на кратные 2тг. Отрезки NN', Л^ЗГ/.... служат линиями разветвления В . При
переходе черев них, так же как при переходе через нашу ломаную линшо
в любом другом месте, мы переходим из положительной в отрицательную полу-
полуплоскость плоскости Ва или наоборот. Нашу плоскость а нужно, следовательно,
в свою очередь представлять себе как двухлистную поверхность Римана соот-
соответственно двум значениям ±i?a. Те области представленного на рис. 93 верх-
верхнего листа, которые не заштрихованы и соответствуют отрицательно мнимой
полуплоскости Ва, будут заштрихованы в нижнем листе, так как там они соот-
соответствуют положительно мнимому Ва и наоборот. v На нашем чертеже пунктиром
обозначены те кривые, которые проходят в нижнем листе, сплошные кривые
цроходят в верхнем листе.
Теперь мы достаточно подготовлены к тому, чтобы деформировать ввер-
и вниэ наш первоначальный контур, проведенный вокруг a = 0. Наш путь инте-
интегрирования должен там, где он уходит на бесконечность в верхнем (нижнем) лиетъ
проходить по штрихованной (нештрихованной) области, так как только в этом сдт-
Рис. 93.

XX, § 1 Разветвленные решения уравнения колебаний 861
чае показательная функция eikRa исчезает; а это необходимо и достаточно для схо-
сходимости интеграла. Этому условию удовлетворяют две петли С, которые вместе
с необозначенными на рисунке и взаимно уничтожающимися контурами С/"-»- IF и
V-> V эквивалентны первоначальному контуру. Так как при деформировании кон-
контура нельзя пересекать точек разветвления, оба пути должны переходить через
разрез NN', причем они при этом переходят в нижний лист и дальше обозна-
обозначены пунктиром.
Переход от простого к и-кратному пространству Римана теперь очень
прост. Подставим в A6) для А (а) прежнее выражение (9а) и сохраним путь
интегрирования, состоящий из двух петель С. Получающаяся таким образом
функция
e» — 1
A7)
— 1 B.
удовлетворяет следующим условиям:
1. Она удовлетворяет волновому уравнению ДСг-}-й2Сг= 0 [как всякое
выражение вида A6) с произвольным Л (а)].
2. U конечно и непрерывно для всех положений точки наблюдения Р,
кроме того случая, когда точка Р и источник совпадают, т. е. когда
г = г', з = У, ср = ср' = 0. -»
Первая часть этого утверждения понятна сама собой, так как U дается в виде
сходящегося комплексного интеграла и мы, вообще говоря, можем всегда про-
провести путь интегрирования так, что он не будет проходить через полюс а = 0.
Вторая часть утверждения следует из того, что петли С обязаны проходить
между N и N'.
Когда г = г' и г = J, а значит р = О, то обе точки разветвления NN'
попадают в М. Обе петли С проходят тогда через Ж. Иптеграл~и тут не обра-
обращается в бесконечность, если одновременно ср не равно нулю.
Так как точка М определена из условия а = со, то для ср = О в точке М
будет также и а = 0, т. е. в точку М попадает также и полюс подинтегральной
функции, а пути интегрирования С необходимо проходят через полюс.
Нужно заметить, что при этом выводе обязательно предполагается, что
ср = О (или равно кратному 2irw). Напротив, если хотя и будет г —г', z = zf,
но cp = 2ir, 4ic или 2ir(n — 1), полюс а = О не будет совпадать с точкой М,
определенной условием ср = а. Проходящие через М петли С не проходят через
полюс и интеграл не делается бесконечным. Это можно выразить еще так: наш
источник Q (со' = 0) лежит в первом листе нашего пространства Римана. Функ-
Функция U обращается в бесконечность только для Р=<2 в первом листе и остается
конечной в точках Pv P2.. .Paj_u лежащих в том же месте в других листах. То,
что она в Р= Q делается бесконечной как раз так, как Uo, можно усмотреть
из уравнения F) стр. 854. Именно, так как здесь U(P,Q), U(Pn_itQ) конечны,
U(P, Q) должно обращаться в бесконечность совершенно так же, как Uo.
Уравнение F) можно, очевидно, проверить таким же образом, как это сде-
сделано на рис. 92: и пар петель, лежащих рядом и смещенных друг относительно
друга на 2ir, дополняются до замкнутбго обхода около полюса а = 0.
3. Однозначность U в и-кратном пространстве Римана следует из строе-
строения нашей/формулы и становится очевидной после подстановки а — ср = ft, как
в уравнении A4а).
4. При r = oo,U исчезает во 2-м, 3-м,..., (»— 1-ом листах пространства
Римана (| ср | > it), как мы сейчас покажем. После этого иэ F), следует, что оно
исчезает также и в первом листе (| ср j g ir), так как в уравнении F) при г = со.

868 Электромагнитные колебания
кроме U{PV Q),... СГ(Р„_1, Q), обращается в нуль также и правая часть U0(P,Q,
Для доказательства первого положения заметим, что везде, где на рис. 93 I
имеет положительную мнимую часть, е а обращается в нуль при г = ее
Вследствие этого в заштрихованных областях выпадают сплошные участи
пути (С), а в незаштриховашшх — пунктирные. Но мы можем провестЕ
петли (С) таким образом, что их сплошные участки будут проходить только т
заштрихованным областям, а их пунктирные участки — только по незаштрихо-
ванным. Для этого достаточно оттянуть верхнюю петлю вниз настолько, чтобь.
она проходила через М и В и нижнюю петлю поднять кверху, чтобы она про
ходила через Ж и А. При этом полюс х = О .помешать не может, так как, л<
предположению (|<?|<тг), и следовательно, он лежит вне отрезка АВ.
Переход т. предельному случаю пространства бесконечной кратпосм
(и = со) можно провести в каждом ив уравнений A4) и A7) совершенно так хь
как в уравнении A2).
Вернемся еже раз к двухмерной задаче. Мы могли б,ы и здесь искать ра^
ветвленное решение, обращающееся в бесконечность в одной точке, так сказать
„функцию светящейся лилии". Эта функция будет представлена формулой, ана
ет
логичной A7), с тем же путем интегрирования х), но дри этом величина —=—
будет заменена ее двухмерным аналогом H0(t> (kR) [ср. следующий §, уравне-
уравнение C)], Н обозначает первую функцию Ганкеля (Hankel) порядка О. Однако
особой точкой этого решения (а также и соответствующего разветвленного
решения) является не полюс первого порядка, как для функции светящейся
точки, а логарифмическая особая точка, как в двухмерной теории потен-
потенциала.
5. Приложения и дополнения. При помощи функций, построенных в пре-
предыдущих пулктах, и метода отражений [уравнения D) и Dа)] можно прежде
всего решить задачу о диффракции от бесконечно тонкого, вполне отражаю-
отражающего экрана, имеющего форму полуплоскости, при этом нужно брать реше-
решение для двойного пространства Римана (Римановы поверхности с двумя листами).
Для черной полуплоскости можно брать и-кратное или со — кратное развет-
разветвление.
Но с помощью наших разветвленных решений можно исследовать также
и случай вполне отражающего клиновидного тела. Классическая установка,
соответствующая этой эадаче, представляет двойное зеркало Френеля (Fresnel),
для теории которого как раз существенна диффракция на ребре клина (на пря-
прямой, где соединяются оба зеркала). Пусть угол в воздушном, пространстве будет
6 = nnjm, так что угол клина 2 ж — 8. Воздушное пространство вне клина буде»
нашей областью I, для которой поставлена задача. Будем отражать ее после-
последовательно в плоскостях клина. Исходная область, вместе с 2т — 1 вер--
кальными изображениями заполняет все пространство без пропусков ровно
п раз.
Пусть в области I задана светящаяся точка Qv Путем однократного отра-
отражения па одной иэ граней клина пусть возникает изображение Q/. Вместо
того чтобы продолжать отражения в другой грани, можно последовательно
поворачивать m — 1 раз пару точек QXQ^ вокруг ребра клина па угол 26; пу<л\
при этом возникают точки Q2, Q2', ..., Qm, Qm'. Каждую из этих точек возьмем
*¦) Ср. Math. Ann, 47, 338. Трехмерное обобщение данных там двухмерных решения
было разработано сначала для случая теории потенциала (Proc. Lond. Math. Soc. 28, 895.-
1836). Обобщение для волн дал Л. S. Carslaw, там же 30, 121, 1898, Ср. также Proc. Edic-
burgh Math. Soe. 19, 71, 1901, где рассмотрен случай плоских волн в Римановом npw
странстве. Подробности у С. W. Oseen, Arkiv. f. Mat. Astr. och. Fysik 7, № 25, 34, 40.

XX, § 1 Разветвленные решения уравнения колебаний 863
в качестве источника те-кратно разветвлепного решения ТТ. Мы получим реше-
решение диффракционой задачи в виде:
A8) ч=%и(Р,Яд + .
г=1 г—1
Верхний знак соответствует условиям па поверхности (на обеих гранях- клина)
« = 0, нижний ^—= 0. Доказательство заключается в том, что пе только обе
on
плоскости, ограничивающие исходную область, но и все их изображения
в т-кратпом пространстве Римана лежат симметрично по отношению ко всем
источпикам Qt и Q,'.
Если мы возьмем на одной грани (а) и = 0, на другой (Ъ) — = ОХ), то для
ОУЬ
угла клина 6 = — нужно будет сделать не 2мг, а 47» отражений, причем,
на грани (а) и ее изображениях — с изменением знака; на грани (Ь) и ее изо-
изображениях— сохраняя знак. Мы придем к ^«-кратному перекрытию пространства,
т. е. к 2те-кратно разветвленным функциям.
Применение к случаю (двух или трехмерной) плоской волпы очевидно.
Если угол 6 нельзя выразить как рациональпое кратпое л, мы должны взять,
вместо те-кратиого пространства Римана, .пространство бесконечной кратности.
Интересен случай прямоугольного клина 0 = -Щ-. Решение будет одно-
вначно в тройном пространстве Римана. Задача решена по изложенному здесь
методу Рейхе 2). Сопоставляя действительную форму и размеры диффракционной
щели с длиной световой волны, можно сообразить, что края щели больше
похожи на края глубокой выемки туннеля, чем на края бесконечно тонкой пла-
пластинки. Поатому явления при выходе волны из щели можно, с обеих сторон
щели, приближенно описывать как днффракцию па прямоугольных клиньях.
Задачу с клином можно решить еще иначе, в известном смысле проще.
Если О угол клипа, найдем сначала решение волнового уравнения, периодиче-
периодическое по азимуту « с периодом 20. Его' можно получить совершепно так же, как
решение A7), имеющее периоды 2ъп. Нужно только заменить в A7) [или A0)]
2та» через 26, т. е.— через -~; полученная функция ?7о9 будет однозначна.
внутри клина с углом 20, который следует представлять себе периоди-
периодически .продолженным s). Разделив этот клин пополам и поместив в одну
половину полюс Q, в другую — его зеркальное изображение Q', составляем
функцию.
A8а) и = Un (P, Я) =i= иЛ (Д Q').
*) Такие „смешанные" граничные условия представляют интерес для гидродина-
гидродинамики; ср. Zeilon, Schwed. Akad. Handlingar, 3 Serie 1, A924). Дифференциальное уравнение
вдесь такое же, лак в теории потенциала (к = 0). Исходная область — круг, который
превращается в полуплоскость преобразованием обратных раднусов-векторов, т. е. в клин
с внешним углом 0 = 2я, так что 2» = 4. Соответствующее решение будет в простом
пространстве четырехзначно.
2) F. Reiche, Ann. d. Phys. 37, 131, 1912.
s) Так что внутренние поверхности граней считаются как бы совпадающими.
(Прим. ред.)

864 Электромагнитные колебания
Мы удовлетворим таким образом граничным условиям и = О, либо -з~ = О
on
для обеих граней разделенной пополам области *). При сравнении этой формулы
с прежней A8) оказывается, что указанные в последней сузшы можно вычи-
А
слить и что это дает ?729. Это справедливо и в случае иррационального —, когда
однако суммы в A8) бесконечны.
G помощью примененного здесь метода можно также разобрать случай,
когда источник,света излучает не периодически, а по произвольной заданной,
функции времени2). Такие решения применяются при диффракции рентгеновых
лучей и удовлетворяют уравнению:
1 дЧ
Рубинович (A. Rubinowicz) 8) интегрирует это уравнение для произвольного
угла клина 0 и применяет полученные функции к последовательному построению
решений предыдущего уравнения на произвольной поверхности Римана при
произвольном начальном состоянии.
До сих пор не удалось построить в конечном виде решение для случая
двух параллельных линий разветвления или, в двухмерной терминологии, для,
поверхностей Римана с двумя точками разветвления, лежащими на конечном
расстоянии. Такое решение позволило бы точно решить задачу со щелью (точно
в математическом смысле, т. е. с абсолютно отражающими бесконечно тонкими
краями щели, а не точно в физическом смысле). Шварцшильд 4) дал сходящийся
ряд последовательных приближений для задачи со щелью, исходя из разветвленных
решений для полуплоскости и пользуясь знакопеременным методом (altemieren-,
des Verfahren).
В простраиственной теории потенциала решение для круговой линии раз-
разветвления получается из решения для прямой с помощью преобразования обрат-
обратными радиусами 5), и оттуда путем отражения получается потенциал круглого
диска. Соответствующей оптической задачей была бы диффракция от круглого
экрана (например, капелька тумана) или от круглой щели (зрачок, зрительная
труба). К сожалению, преобразование обратными радиусами не применимо-
к уравнению Дм -{- К*и — 0- Именно, последнее переходит при инверсии на шаре
радиуса з=1 в уравнение Дм-j j- = О6). Инвертированное решение соот-
соответствует не постоянному, а переменному показателю преломления (к тому же
с особой точкой в центре инверсии). Поэтому, если мы хотим получить матема-
математически точное решение, мы должны уже для круглого экрана разработать
другие методы (разложение в ряд).
Следует еще упомянуть одну задачу теории упругости, в которой рассма-
рассматривается крепость на разрыв поцарапанной поверхности. Если считать тре-
трещину бесконечно тонкой (угол клина в упругом материале равен 2тг), то можно
х) И. М. Macdonald (Electric waves, 186, СатЪг. 1902) построил такое решение другая
способом. Л. Wiegrefe (Gott. Diss., 1912, Ann d. Phys. 39, 449, 1912) рассматривает дру-
другие относящиеся сюда случаи, также Carslaw (Proc. Lond. Math, Soc. 18, 291, 1919).
2) ZS. f. Math. u. Phys. 46,11,1901. Решение было получено другим путем Я. LamVaP
(Proc. Lond. Math. Soc. 1907, стр, 191 и 1910 стр, 42а).
3) Math. Ann. 9в A927), стр. 648.
*) Schwarsschild, Math. Ann. 65, 177, 1902. ' '
5) Proc. Lond. Math. Soc. 28, 395, 1896.
e) F. Pockels, tJber die рагйеЦе Different!algleichung Au-\-№n=:0, (Leipzig 1Щ
отр. 205,

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений 865
удовлетворить граничным условиям для обеих сторон полуплоскости и притти
к цели с помощью двузначных (однозначных на двойной плоскости Римана)
решений уравнений упругостих).
§ 2. Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений.
Наиденные в предыдущих параграфах комплексные интегралы можно вы-
выражать приближенно двумя способами: сходящимися рядами, которые пепрак-
тичны, и расходящимися (полусходящимися) рядами, которые окажутся очень
полезными. Причина такого необычного поведения обоих рядов заклю-
заключается в малости длины волны: так как, из соображении размерности, наши
г
решения могут зависеть только от отношения — или, что то же самое, от произ-
А.
ведения Тег, нас интересуют практически только разложения вблизи существенно
особой точки Тег = оо, где не существует никаких сходящихся рядов, тогда как
сходящиеся ряды около точки ir=O могут претендовать только на теоретиче-
теоретический интерес.
1. Подготовительные замечания о функциях Бесселя. Мы будем исхо-
исходить из уравнения (8), § 1, которое при произвольном выборе А представляет
решение волнового уравнения, и положим в нем
понимая под р произвольное (рациональное или иррациональное, положительное
или отрицательное) число. =
Вводя в качестве переменной интегрирования C = а — <р, получим:
Zp(p) есть наиболее общая „цилиндрическая" функция от аргумента р порядка р.
Она удовлетворяет дифференциальному уравнению Бесселя, которое, если итти
по нашему пути, получается следующим образом. Выражение A) есть решение
волнового уравнения, написанного в полярных координатах г, <р:
д2и 1 ди . 1 9%
огл т дг тг д<р*
Вследствие этого мы имеем для Z:
d*Z I dZ
dr2 ' г dr
положив еще hr = p, мы можем написать
Мы получим различные решения дифференциального уравнения Бесселя,
если будем выбирать различными способами путь интегрирования в A). Для
ориентировки заметим: в исходной формуле (8), $5 1, путь интегрирования для х
мог быть выбран произвольно. При подстановке р = а — «р он вообще зависел бы
от о. Поэтому, если Z должно быть функцией от одного р, путь интегрирования
1) К. Wieghardt, ZS. f. Math. u. Phys. 55, 60, 1907.
55 Зак. 1408. — Франк к Мизес. Дифф. уравн. мат. фпз.

866
Электромагнитные колебания
в (8), § 1, а потому также и в A), должен уходить на бесконечность. На рис. 94,
показаны, как и на рис. 92, те области (заштрихованные), где tp cos р имеет при
комплексном р отрицательную вещественную часть, т. е. в которых интеграл
сходится на бесконечности. Прямые границы между этими областями нанесены
для вещественных р (для комплексных р границы деформируются). Мы можем
теперь брать интеграл, начиная на бесконечности в каждой из этих областей,
до бесконечности в каждой другой области. Однако только два из этих интегра-
интегралов линейно независимы. Все остальные составляются из них линейно с посто-
постоянными коэффициентами ештр {т целое). В качестве двух независимых инте-
интегралов мы возьмем:
'«-i/
р—г)
dp,
ш
«poos?
о
'dp.
Рис. 94.
Рис. 95.
Пределы интегрирования I, II, Ш указывают на бесконечность в заштрихован-
заштрихованных областях I, II, Ш. Пути интегрирования для 1ZA) и НB), из соображении,
которые будут ясны позже, проведены через точки р = 0 и р = те, и именно под
углом 45° к вещественной оси р, но, конечно, их можно произвольно деформиро-
деформировать. В частности, видно, что последовательное прохождение путей, соответ-
соответствующих ЯA) и ЯB), эквивалентно прямому переходу из I в Ш.
Мы определим:
hi
(*) J,(P) = 4^
и представим соответствующий путь еще раз на черт. 95 (верхняя половина).
H(V> и Н{г) суть так называемые функции Ганкеля, J—функция Бесселя1)
в узком смысле. Первые делаются бесконечными при р = 0, вторая остается
конечной для р = О, р >- 0.
В самом деле, поведение всех трех функций при р = 0 определяется выра-
выражением:
взятом на соответствующих пределах, откуда непосредственно следует, что эи
функции обращаются в бесконечность на границе U и остаются конечными на
Она встречается (для п = 0) уже в теории колеблющейся струны Даниил!
и A732) и в Theorie analytique de la chaleur A822) Фурье (Fourier).
Берну дли A732)

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений 867
границах I и Ш. При целом р — п, путь I—Ш можно, как показано пунктиром
на рис. 95, свести к отрезку вещественной оси, длины 2тг, так как оба участка,
параллельные мнимой оси, взаимно уничтожаются. Тогда можно написать (изменив
несущественным образом пределы интегрирования):
E)
и лритти к первоначальному выражению Бесселя для целого порядка п. Наша
формула D) является естественным обобщением E) для произвольного порядка.
Из уравнения E) видно, почему мы выбрали именно такой способ норми-
1 * я
ровки: вследствие множителя -„— будет J0@) = 1, вследствие множителя е 2
функция Jn (p) будет вещественной при вещественных р.
Если заменить в D) ?3 на — ?3, то получится:
IV
Dа)
Путь интегрирования указан на нижней половине рис. 96.
Jp(p) можно разложить в следующий ряд (который, конечно, получается и
из нашего интеграла):
DЬ)
2Bр+2)
-••У
Таким образом, J при положительном р обращается в нуль как f.
Исследование поведения Н® и Н® при р = а можно найти в известных
курсах теории Бесселевых функцийх). В частности, для р = 0, в окрест-
окрестности р = 0 будет
F)
Fа)
JE.
= 1,7811... =е°,
С = 0,57722... — постоянная Эйлера.
При произвольном р имеют место равенства:
—р
(р) =
что легко видеть, заменив в C) ?3 на —р.
Упомянем еще так называемые соотношения обхода2) функций Ганкеля.
Эти соотношения, с нашей точки зрения 3), т. е. исходя из уравнений C) для
Hpw и НР^\ выводятся следующим образом: вместо р подставим ре19 и заста-
заставим & непрерывно меняться от 0 до «гтг, где т — какое-нибудь положительное
или отрицательное целое число. При этом заштрихованные области па рис. 94,
а с ними и пути интегрирования Н<?> и Ж2), перемещаются с & непрерывным
2) См., например: Watson, Theory of Bessel Functions, Cambridge 1922 или N. Nielsen,
Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, Leipzig 1904.
2) Си N. Nielsen, 1. с, гл. 1, § 6.
3) Эта точка врения проведена в особенности в работе: L. Hopf und A. Sommerfeld,
t)ber komplexe Integraldarstellungen der Zylinderfunktionen, Arch. d. Math. u. Phys. 18,
1, A911).
55*

368 Электромагнитные колебания
образом. Составляя смещенные пути интегрирования из первоначальных, мы
получим линейные соотношения между значениями //W и Л® для аргу-
аргумента ретт и значениями для аргумента р. В частности, при т = ±1 и при
произвольном р оказывается:
FЬ) Я"/V) = в- *+*> '* Я,« (р), Я;2)(Ре- *") = «*+» ir- Я,« (р),
причем второе равенство получается из первого перестановкой р с ре~г*. На-
Например, для р = 0 будет: i
F0) ЛоA)(рв'") = -Яо(й(р).
Для приложений особенно важно поведение ffW и И® при больших р;
тогда e<pCOS? исчезает во всех точках заштрихованных на рис. 94 областей
и делается бесконечно большим во всех точках незаштрихованных областей
(р считается вещественным). Путь интегрирования для ВУ* начинается с исче-
исчезающих значений в I, переходит через „перевал" в Р = 0, где справа и слева4
подинтегральная функция быстро возрастает и спускается в II опять к исчеза-
исчезающим значениям. То же самое будет иметь место и для Н^2\ с перевалом в р=я.
Заметные значения для интеграла дают только непосредственные окрестности
перевала. Точки перевалов мы будем называть еще „седловыми точками",
имея в виду поведение подинтегральной функции в окрестностях перевала.
При этом мы будем сходить с перевала в направлении наиболее быстрого
спадания (англ. steepest descent, крутейший склон) абсолютного значения пока-
показательной функции и подниматься на перевал по направлению наиболее быстрого
возрастания, чтобы как можно скорее попасть в область малых значений функции
или возможно дольше оставаться в такой области. В нашем случае это значит,
что мы должны переходить через оба перевала в направлении 45° к веществен-
вещественной оси, как показано на рис. 94, т. е. мы должны держаться на одинаковом
расстоянии от высот справа и слева.
Общее правило, которое приводит к такому выбору пути интегрирования,
по Дебаю1), таково. Разложим функцию f (в нашем случае i cosfi), на которую
умножен обращающийся в бесконечность параметр (здесь р), на веществен-
вещественную и мнимую части и и v. Абсолютная величина показательной функции
будет ерМ. Пусть ds будет направление наиболее быстрого изменения и, в кото-
котором мы должны интегрировать, dn перпендикулярное направление. Тогда -=- = О
dv
и по условиям Коши-Римана также и — = 0, т. е. путь интегрирования следует
определить уравнением « = »0 = const, где v0—значение v в седловой точке.
В нашем случае это дает для Я*1* следующее: седловая точка р = 0;
f=i cosC, в седловой точке fQ = i = v0, вблизи нее /=*' I 1 — —-1; положим
Р = set<f; тогда уравнение v = v0 требует, чтобы -— cos 2« = 0, т. е. «р = -~
а = -{-~~ веДет от седловой точки в незапгтрихованную область I. Веществен-
ная часть f будет^м = -~- sin2tp = —; далее d$ = ds • е * ; интегрирование
!) В русской литературе этот способ был подробно равработан, за 10 лет до Дебая,
Л. А. Некрасовым в его книге ,Исчисление приближенных выражений от функций весьма
больших чисел". Москва, 1900. (Прим. ред.).

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разлооюения разветвленных решений 869
no s нужно распространить на окрестности седловой точки, например, от —е
до -j-e, где е произвольно мало и не зависит от г.
Стоящую в C) показательную функцию, которая не содержит р, можно счи-
считать медленно меняющейся и заменить ее вначением в седдовой точке. Выра-
Выражение для НA) в C) переходит в
G) Л;1>(Р) = -1/(р-1'Ы) ^
—
После подстановки t = s 1 / -|-, пределы интегрирования делаются для р -> со
равнымиdzоо и сам интеграл равным ]/ —. Применив этот способ к Я/2),
получим асимптотические выражения:
\
(8) ' j
На этом простом асимптотическом поведении в основано особое вначение
функций Ганкеля для приложений.
При более точном приближении (вводя переменную интегрирования f—f0
и разлагая по ней выражение eip^ d$) мы получим для П^ и it® полусходя-
полусходящиеся ряды, расположенные по отрицательным степеням р, первые члены которых,
представляют выражения (8).
Особенное преимущество этого „метода перевала" или „метода седловой
точки" заключается в том, что он свободен от всяких формальных вычислений,
так что сложность интегралов никоим образом не ограничивает эффективности
метода. Это выяснится в 3.
Из (8) следует, согласно D)"
(8а) Jj, (p) =
Три формулы (8) и (8а) представляют точный двухмерный аналог различ-
различных типов одномерных колебаний экспоненциального характера (плоские волны).
Мы можем сопоставить:
Плоские I Цилиндриче-
волны - ские волны
Yp(kr)
Бегущие волны . . . . \
, е~~
, cos Тех
Стоячие волны . . . . {
sin/еж
Введенная здесь Бесселева функция второго рода или функция Неймана
Тр определяется следующим уравнением, аналогичным уравнению D),
Формулы (8) останется в силе и для комплексного аргумента, еоли разрезать
плоскость р вдоль отрицательной (для Я*1*) или положительной (для Н®)жвп-

870 Электромагнитные колебания
мой оси х). При полном обходе вокруг нуля выражение (8) изменяется по соот-
соотношениям обхода FЬ, с). Здесь можно говорить о главной ветви функций Гаи-
келя, подобно тому как принято говорить о главной ветви логарифма. Положим
р = |р|е*9. Тогда главная ветвь i/A)(HB)) охватывает область'
2
I ?- < & < -?г I • Главная ветвь Я*4 исчезает на бесконечность во всей поло-
положительно мнимой полуплоскости, iif*2*— в отрицательно мнимой полуплоскости,
Напротив, Jp(p) исчезает на бесконечность только по вещественной оси и без-
безгранично возрастает на бесконечность, как в положительно, так и в отрица-
отрицательно инииой полуплоскости.
По сказанному об области применимости формул (8), формула (8а; приме»
нима только 2) в области — < 9 < —.
Как следствие D) и (8), отметим еще важное соотношение:
(8b) A^
для всех комплексных бесконечно возрастающих р с положительной мнимой
частью.
Полное полусходящееся разложение первой функции Ганкеля гласит:
(80)
^ 2! BгрJ * 3 ! BгрK
Такая же формула существует и для второй функции Ганкеля Нр®(р); она по-
получится из (8с), если там везде (но не в аргументе р) заменить -\-i на —г.
Уравнение (8с) показывает, что при полуцелом порядке 1р = ~—I
ряд обрывается на {п -\-1) члене, т. е. тогда
(8d)
v "
есть целая функция »-ой степени от —. Такие „полуцелые" Ганкелевы и со-
соответствующие Бесселевы функции играют в оптике особую роль во всех зада-
задачах с шаровой симметрией (ср. § 4 и гл. ХХШ, § 4). Так как целая функция м-ой
степени имеет в комплексной плоскости п корней, то функция Нр (р) при р = ^~-—
имеет ровно п корней. Общее правило для произвольного р ясно из рис. 96:
.. 2га+ 1
отложим для каждой из абсцисс р = ^— число корней п как ординату и про-
1) Я. Hankel, Math. Ann. 1, 497, 1869.
2) Можно показать (см. Watson, 1. с), что в формулах (8) асимптотическое выра-
выражение для fffl) применимо в области — тс<0<2тс, а выражение для Н1® — в области —
— 2я¦<§<«¦ Отсюда следует, что формула (8а) применима в области—ъ<^Ъ<^ъ.
(Прим. ред.).

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений 871
ведем через концы этих ординат попеременно вертикальные ж горизонтальные
прямые. Получающаяся лестница с длиной и высотой ступеней, равной 2, и дает
число корней главной ветви Нр (р) при произвольном р х). Соответствующие
корни лежат: для Нрх) в отрицательной мнимой полуплоскости, для Bj®—в по-
положительной. Действительно, можно легко доказать с помощью теоремы Грина 2), что
A)
(р) не имеет корней в положительно мнимой, Ир — в отрицательно мни-
мнимой полуплоскости. При этом р предполагается вещественным.
При выводе формул (8) и (8с), е^ считалась медленно меняющейся функ-
функцией. Это допустимо только до тех пор, лока^х^р. Противоположный случай
(р <-~ р или р ^> р) рассмотрен Дебаем 8) по
методу седловой точки. При этом нужно
заново установить положение седловой
точки и ход перевала.
В важном значении приближений Де-
бая для оптических целей нам придется
неоднократно убеждаться в дальнейшем.
Они осуществляют, вообще говоря, переход
от волновой к лучевой оптике.
2. Выражение для разветвленной _r_________^___1__1__i_
функции плоской волны в виде сходя- ПгГ~* ' v ' t? ' 1s7~~~P
щихся рядов по Бесселевьш функция».
Мы будем исходить из уравнения A0а), § 1. Рис. 96.
Для пути интегрирования, лежащего в по-
положительно мнимой полуплоскости переменной р (см. рис. 91), т. е. там, где
, «JL
<е " I < 1, пишем разложение:
еп —е п
Выполнив интегрирование в A0а), § 1, получим:
ikr cos? «-5L
е е п
причем пределы интегрирования обозначены как на рис. 95. Согласно уравне-
уравнению D), определяющему Jp (p), сумма тождественна с
(9)
Возвращаясь к уравцению A0а), рассмотрим, с другой стороны, часть пути
интегрпрования, лежащего в отрицательно мнимой полуплоскости, где \е " | > I.
!) Falckmberg u. E. Hub, Gott. Nachr. 1916, стр. 190.
2) D. Hondros, Ann. d. Phys. 80, 905, 1909. Доказательство можно сейчас же обобщить
иа произвольное р, если там же положить:
« = ff,»(er) e*», v = Д»<2' фг) в -*».
3) ВеЪус, Math. Ann. 67, 535, 1909 и (для комплексных, аргументов или порядков}
Munch. Akad. 1910.

872 Электромагнитные колебания
Здесь мы должны разлагать так:
Выполнив интегрирование в A0а), получим
и
е " I
2кп J
II
fe-cosp — i — Р
е е п <
где пределы интегрирования обозначены попрежнему, согласно рис. 95. Согласно
уравнению Dа) мы можем написать вместо этого
(9а) ^
т=0 »
Сумма (9) и (9а) дает искомое представление для функции на поверхности
Римана в виде ряда:
2
A0) и= V сте п 2 Jot (kr) cos — «р
т = о п с = —, т = 0.
т п
В частности отсюда следует, при п = 1, когда » делается равным е^0*
(плоская волна в простом пространстве), ряд по Бесселевым функциям целых
порядков, который часто употребляется в качестве определения этих функций.
Заставим с другой стороны стремиться п к бесконечности (п -*¦ оэ) (плоская волна
на бесконечно разветвленной поверхности), и мы получим из A0) интеграл от
Бесселевых функций с непрерывно меняющимся индексом. Положим, (* = —,
п
т. е. ф = —, сот = 2ф, тогда из A0) получается, после перехода к пределу,'
своеобразная формула
е 2 J^ (kr) cos |«pd[J..
о
Уравнение A0) иредставляет точный аналог степенных рядов в двухиерной
теории потенциала. Здесь мы будем иметь в окрестности обыкновенной точки
наиболее общее выражение потенциала:
(Лп cos w«p -f- Bm sin то)
и в окрестностях то-кратной точки разветвления:
или в комплексной виде (положив re* =г и присоединив сопряженный потен-
потенциал):

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений 873
[так называемые ряды Пюизв (Puiseux)]; при к = 0 волновое уравнение пере-
переходит в уравнение потенциала, функция Jm (кг) переходит тогда, с точностью
п
т
до множителя, в соответствующую степень гп, а паше выражение A0) — в ряд
Пюизв (или его вещественную часть).
Отсюда одновременно следует, что около точки разветвления, т. е. для г = О,
само и остается конечным, а -х нет. Из A0) и DЬ) следует для г->сс
1 1
то
1 ди 2 ? / h \n г» <p
A1) « =—, __ — _ е2« _ r-cos-^
V ' п ' дг п \2 ) я/_1 \ п
со,
прячем мы написали только первый член, который наиболее сильно обращаете*
в бесконечность. -^— обращается в бесконечность так, что г-тг- = 0, для г = 0.
На это уже было указано на стр. 850, (сноска 1).
Равложение A0) можно перенести с Римановсй плоскости в Риманово про-
пространство. Интеграл в A4а), § 1, имеет ведь совершенно такой же вид, как и
в A0а) § 1. Поэтому предыдущее вычисление дает для функции плоской волны
в «-кратном пространстве Римана (? — косинус между направлением падения и
линией разветвления, р = ^1 —f*):
A2) « = еП" У cmef~?Jm (Jcpr) cos -J ф.
О п
Это же разложение можно с помощью нетрудного преобразования при-
приспособить к задаче с клином. Если дело идет, как на стр. 863, о клинообразной
области с углом 26, плоскости которой периодически отнесены друг к другу, то^
нужно только замени!ь п через —, как уже замечено там же. Зависимость от
азимута задается теперь cos оттс -j- и имеет в самом деле период 26*
В получающемся уравнении порядок Весселевых функций будет - —.
Если мы теперь захотим перейти, например, от ряда A0) к действитель-
действительному вычислению решения и, мы столкнемся, по крайней мере в оптическом
случае, с практической невозможностью сделать это. Так как Jcr = 2ir -т- и в виду
Л
того, что во всех оптических (не акустических) задачах точка наблюдения удалена
ог края экрана на очень большое число длин волн, нам пришлось бы вычислял
Бесселевы функции для очень большого аргумента. Мы должны были бы поль-
пользоваться асимптотическими формулами (8) для вычисления тех членов ряда, в ко-
которых порядок Весселевых функций мал по сравнению с их аргументом, и получили
бы все эти члены ряда приблизительно одной величины. Убывание членов ряда
начинается только в области применимости асимтотических формул Дебая (ср.,
конец 1). А это значит, что хотя сходимость теоретически существует, но практи-,
чески она совершенно недостаточна; число членов, которые пришлось бы вычислить,
было бы порядка-г—. Поэтому мы должны обратиться к совершенно дpyгoмv>
(гесретически расходящемуся) способу приближенного представления решения.

874
Электромагнитные колебания
Если дело идет не о разветвленном, всюду конечном, решении (плоская
волна), а о решении U с логарифмической особой точкой (цилиндрическая волна
от светящейся линии), то, согласно стр. 862, мы должны исходить ив выражения
A7), § 1 и заменить там
В
через Но1' (kRJ, где
есть первая Ган-
келева функция нулевого порядка. Для этого решения также существует разло-
разложение в ряд по Весселевым функциям, аналогичное рядам Маклорена (Maclaurin)
в теории функций. Оно имеет различный вид, смотря по тому, будет ли r^t'
(г — расстояние от точки наблюдения дс точки разветвления, г'—расстояние
от источника, т. е. от светящейся линии)
A2а)
cos
г',
~
<12b)
Коэффициенты ст такие же, как в A0). В частности, для *=1,
'*—1rr' coscp),
и уравнение A2а) дает тогда так назы-
называемую теорему сложения Ганкелевых
функций (ср. § 3, 2).
3. Асимптотическое выражение
Pzcc'9> разветвленной функции плоской волны.
Будем опять исходить из уравнения A0а)
§ 1 и начертим путь интегрирования рис. 91
в переменных р = а—<р (рис'97, пунктир).
Решение A0а) мы напишем в виде:
A3)
и = С ф (Р) exp (ikr cos
еп —е
Предположим сначала, что | ® \ < х,
Рие. 97. так что точка (г, <р) не лежит на первом
листе Римановой поверхности (стр. 856).
Тогда <К{3) будет регулярной на отрезке — it < р < -(- « и мы можем замени» оба.
пути (С) двумя ветвями Dx и Х>а рис. 97. Оба последние пути принципиально
тождественны с соединительными путями (В) на рис. 91 и отличаются от них
•только тем, что они проходят через точки {* —d=ic. Нами пути Dx и Х>а про-
проходят целиком по заштрихованным областям, где ikr cos p имеет отрицательную
вещественную часть, которая делается бесконечной при Ъг -*¦ с». Поэтому инте-
интеграл по Z>j и Х>2 сводится почти к нулю за исключением участков вблизи кри-
критических точек p = rti:. Эти точки являются седловыми точками функции /ЧР)=
df
= ik cos 3, так как в них ^ = 0.
ар
Совершенно так же, как на стр. 868, через эти точки следует проходить
чс* прямой, наклоненной под углом в 45° к вещественной оси, так чтобы описать

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений 875
на поверхности, изображающей абсолютную величину exp {ikr cos р), кривую
самого быстрого подъеиа и спуска. Для окрестностей р = ц= тг подожни:
2т:» т ii
е п — е
к считая ф(Р) медленно меняющейся функцией, получим сначала
о z ds.
iK — *«¦
'. п — е п еп — в п
Пределы интеграла выражены здесь, как и в G), через произвольно малую,
независящую от г величину е. Проинтегрировав, как в G), и соединив два
члена в скобках вместе, мы получим
Ч 1 . 1Г
) — sin —
и п . ,..
COS COS ——
« n
Если, с другой стороны, точка наблюдения находится в „первой листе"
|<р|<тс, то на отрезке —ir<p<« лежит полюс функции ^(f3), р==—<р, с вы-
вычетом . . При переходе от сплошного контура к пунктирному (рис. 97) этот
полюс нужно окружить замкнутый контуром, который дает для интеграла
и0 = exp (ikr cos <f).
Вследствие этого, вместо A5), получается:
- ¦(*•¦+ т)
A5а) и е
1
— sm
IT
п
тс
COS
ф
п
Можно убедиться [легче всего с помощью выражения A4)], что и значений и,
соответствующие точкам ср, ф -{- 2it, ... <р + 2 (и — 1) it, лежащим одна над другой
иа поверхности Римана, дают в сумме »0, как этого требует уравнений A1), § 1.
Рассмотрим теперь отдельно оба множителя Ft и F2, из которых склады-
складывается правая часть выражения A5). Множитель
A6) ' *-,
представляет цилиндрическую волну, расходящуюся от линии разветвления (края
экрана). Вообще уменьшение амплитуды, пропорционально е —j=, характеризует ци-
У г
линдрический тип волн. Для шаровых волн [§ 1, C)] амплитуда уменьшается
1 1
как —, т. е. интенсивность как —, так что полная интенсивность на поверх-
поверхности шара 4irr2 не зависит от г. Подобно этому, для цилиндрической волны должна
оставаться постоянной общая интенсивность на поверхности цилиндра; а так
как поверхность эта на единицу длины образующей равна 2izr, то амплитуда
1
должна уменьшаться как —-?=.
У г

876 Электромагнитные колебания
С другой стороны, знак показателя в выражении Ft соответствует волне,
расходящейся от линии разветвления (а не сходящейся, что было бы физически
бессмысленно). Чтобы выяснить это, добавим временной множитель:
A6а) РгеШ L<(")
То, что мы здесь должны писать ехр (-f- Ш), а не ехр (— Ш), связано с тем,
что мы представляли волну, приходящую со стороны положительных х,
в виде:
В самом деле, если временной множитель (ср. § 1, 3) взять в виде
мы получим плоскую волну, распространяющуюся в сторону уменьшающихся
х, т. е. к началу координат.
Разумеется, обращение^ в бесконечность приг=.О физически нереально.
Мы ведь зпаем [формула A1)], что наша функция на самом деле везде конечна
и при г = О равна —. Кажущееся обращение в бесконечность происходит
ft
оттого, что наша формула пригодна только асимптотически при Тег -> оо, и ее
нельзя экстраполировать на кг = О. Однако, как мы увидим, глаз как раз и делает
такую недозволенную экстраполяцию.
—in
Наконец, еще замечание о постоянном множителе е 4 в A6а). Он пока-
показывает, что фаза цилиндрической волны не совпадает с фазой падающей волны
[фаза последней дается выражением ехр (iwt -f- гкх), т. е. в начале координат
exp(«o>i)]> а отстает от нее на —. Такой „скачок фазы" происходит всегда, когда
волна проходит через фокус (в нашем случае линия фокусов) и является, как н
кажущееся обращение в бесконечность при 0, только следствием нашего асимпто-
асимптотического представления. На самом деле, не только амплитуда, но и фаза
остаются непрерывными, поскольку вообще можно говорить о фазе при
сложном характере колебания.
Обратимся теперь ко второму множителю в A5):
A7)
который дает зависимость амплитуды от азимута. F2 уменьшается по мере того,
как 9 удаляется от значений ± ъ. Обращение F2 в бесконечность при <р = — Т
опять-таки только кажущееся и объясняется недостаточностью нашего асимпкк
тического приближения (см. ниже) При и = 2 и «=со, A7) переходит в
A7а) F2 = -^- и F2 = —J^-^.'
v ' Л © СО2Т*
1
n
cos
sin
1С
. —
n
11
¦COS
о
—'—
n
Каждое из этих выражений показывает, что рассеянный свет будет наблю-
наблюдаться далеко в геометрической тени. Рассмотрим, например, случай черного
экрана {S на рис. 98), когда наша функция и непосредственно, т. е. без
добавления отражения, представляет оптическое состояние [ср. E), § 1]. Падаю-
Падающая волна и0 приходит из направления ® = 0. Первый лист поверхности Римана
ограничен полупрямыми <р = —я» из которых на рисунке изображена только

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений 877
о = -j- тг, так как в = — it лежит по ту сторону экрана (Риманова разреза).
То, что формулы A5) и A5а) различны, показывает, что падающая волна
имеется только в первом листе, т. е. о = тг представляет границу тени. Область
„геометрической тени" <? > тс на рисунке заштрихована. Там мы имеем лишь
рассеянный свет, пе только вблизи границы тени, но и до произвольных значе-
значений ф, причем амплитуда его' постепенно уменьшается согласно A7) и A7а)—¦
без всяких максимумов или минимумов (диффракциониых полос), характерных
для других явлений диффракции. Этот рассеянный свет несколько раз наблю-
наблюдался [Гун, Вином в его диссертации и другими]; все это вполне соответствует
тому представлению, которое составил себе Т. Юнг A802) о сущности диффрак-
диффракции. Мэй1) обращает внимание на то, что уже первый исследователь диффрак-
ционных явлений, Гримальди, описал это явление и что его можно объяснить
с помощью теории Френеля-Кирх-
гофа.
Наблюдаемый в геометри-
ческой тени свет кажется исхо-
исходящим от рассеивающего края
экрана. Сам край экрана для
смотрящего и аккомодированного
на него глаза кажется тонкой
светящейся линией. Это значит,
что глаз проделывает как раз
ту названную нами недозволен-
недозволенной экстраполяцию, заключая по
характеру света на больших рас-
расстояниях (асимптотическое при-
приближение при Jcr-> oo) о его ха-
характере при Ъг — 0. Глаз делает
это всегда, например, когда лучи
идут по кривым линиям, а глаз заключает о происхождении луча, продолжая
прямолинейно наблюдаемое направление лучей. В нашем случае удалось даже
сфотографировать направление лучей в цилиндрической волне. А. Калашников2)
укреплял булавки на фотографической пластинке, поставленной косо к напра-
направлению лучей, и при достаточно долгой экспозиции булавки отбрасывали тень
в радиальном направлении.
Теперь мы должны рассмотреть границы тени <о = ± it, где F2 по уравне-
уравнениям A7) и A7а) обращается, на первый взгляд, в бесконечность. Что наш
способ недопустим в этом случае, видно сразу: ty ф) делается, в случае 9 =*=t it,
бесконечной в одной из точек ^ = zpir, следовательно ty (f3) не будет медленно
меняющейся функцией, и поэтому ее нельзя считать постоянной при нахождении
седловой точки и при интегрировании [на рис. 97 полюс <|*(Р) лежал внутри
или вне путей интегрирования Х>, и D2, смотря по тому, находились ли мы
в тени или в освещенной области; между тем на границе этих областей полюс
как раз совпадает с одной из седловых точек].
Прием, который нужно . было бы применить в данном случае, получается
из сказанного в конце 1 о способе Дебая для функций Ганкеля. Мы должны
перенести ln<KP) B показатель и найти седловые точки функции
Рис. 98.
1924.
l) ZS. f. d. pbys. und chem. Unterricht 17, 11, 1904; ср. также Ann. d. РЬуз. 73,
2) ЖРФО, 44, 133, 1912.

878 Электромагнитные колебания
а также и наиболее удобный ход нутей интегрирования вблизи этих точек. Тогда
мы получили бы и в этом случае разумные асимптотические формулы и избе-
избежали бы бессмысленного обращения в бесконечность' F2. Однако, мы воздержимся
от осуществления этого плана, так как оно несколько сложно и так как в сле-
следующем пункте мы рассмотрим область границы тени гораздо проще.
Но мы должны еще обсудить случай волны, падающей косо на край экрана.
[уравнение A4а), § 1]. Так как это уравнение только несущественно отличается
от A0а), мы можем сейчас же написать по образцу A5) асимптотическое выра-,.
жение для его решения. Для области внутри геометрической тени (которой.мы
можем ограничиться) мы имеем:
Здесь f = cos О — косинус угяа, под которым волна падает на край экрана
(ось г), p = yrl — Y2==sin,*>; F2 имеет то же значение, что и в A7). В то время
как фаза падающей волны [A3а) § 1, при ?' = 0] дается выражением
ih (ч2 Н~ Р*"cos ?) — & °os 0 (z -j- tg & x)
(плоская волновая поверхность), фаза рассеянной волны в геометрической теня
будет, согласно A8):
ik (y# — рг) = гк cos & {г — tg 0 г).
Волновые поверхности рассеянного света будут круговые конусы с осыс,.
совпадающей с краем экрана, а рассеянные лучи будут лежать на конически!
поверхностях, нормальных к первым. При переходе от этого случая к случай
перпендикулярного падения, первые конические поверхности переходят в коакси-
коаксиальные цилиндры, вторые вырождаются в плоскости, перпендикулярные к краю
экрана.
При аккомодации на край экрана глаз видит освещенным только маленький
отрезок края, ту область, где проходят попадающие в глаз конусы лучей. Наиболее
ярко это явление может быть характеризовано словами Т. Юнга, что паданши!
свет отражается на отклоняющем крае. Это явление также можно наблюдать1).
4> Частный случай и = 2. Этот случай, особенно важный вследствие его
применения в методе отражения, имеет то (формальное) преимущество, что в ие*
комплексные интегралы могут быть сведены к хорошо исследованному интеграл^
Гаусса (он же интеграл Френеля), чем облегчается не только исследсвани,,
границы тени, но и сравнение с классической теорией диффракции. К сожале
нию, указанное преобразование несколько искусственно.
Мы будем исходить из рис. 97 и уравнения A3) прн » = 2 и полсжг
Р = — ie -f-1\ на пути Dv f3 = -f- я -f- ч\ на пути Л2, причем нужно учесть отрица
тельное направление интегрирования по Ь2. Ограничиваясь сначала вторы
аистом, 191 > к, получаем из A3)
и = J exp( — iJ
ч. вычислим
е2
ii _«p.
e2 -\-ie a
1) Е. Маеу, Ann. d. Phys. 49, 93, 1893.

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений 879
вместо чего мы напишем сокращенно Ф(^). Путь D, в который переходит D,
при подстановке р = — тг -f- irj, делится точкой -rj = 0 на две равные части; для
половины, лежащей в отрицательно-мнимой полуплоскости, сделаем подстановку
tj' = — т) и получим, соединяя обе части вместе,
ico
и= I ехр( — гЛгcosyj) { Ф (•/))-}-Ф (—1\) } dr\.
о
Выражение в скобках { } равно
1 i = -lCos4- 2
4тс | Y|-)-o' — yj -4— <р f it 2 COS i\ -]- cos о
12 2 '
Понимая под м0 неразветвленную функцию плоской волны, составдл выра-
выражение
ico
k О I
„ — ikr (cos n + cos <p)
€
Uo ТС J COS Y) -}- COS И '
о
а также
ioo
„ 4cos-|- /
OA. 2, I _
йт (eos т) + cos if) _ cos _2L
Ф
' cos-i-
2
Интеграл справа берется в конечном виде и дает
/¦
2кг
Тогда
f; ^"afcf cos -|-
9rVit J
Мы можем проинтегрировать еще раз и получим:
где постоянная интегрирования С не зависит от г. Положим г = оо, тогда
G=0, так как слева м = 0 (второй лист), а справа верхняя граница интеграла
равна нижней (| ® | > тс).

880 Электромагнитные колебания
Следовательно
iK T
A9) w = mo-JLL I e~**dx, Г= yH^cos-!-, M0 = c'ftrco3').
CO
Но эта формула верна не только во втором, но и в первом листе, по пра-
правилам аналитического продолжения. Она ясно показывает общие свойства «,
а именно: двузначность в обыкновенной плоскости (г, <?), однозначность на
поверхности Римана I г, --г-1, конечность везде без исключения, равенство нулю
в бесконечности второго листа (У= — со), переход в и0 на бесконечности пер-
первого листа (Г = + со). Выражение A9) удовлетворяет также общему соотно-
соотношению A1), § 1.
С помощью A9) мы проверим наше асимптотическое выражение из пре-
предыдущего пункта сначала для второго листа. Считая Т = — (Т | большим
отрицательным числом и интегрируя несколько раз по частям, имеем:
Т со со со
-»т« т / -»т" j I ае е Iе-,
-со in \т\ m
^ , }-*> I'3j5 l \
Это — типичный полусходящийся ряд. Оборвав его на первом члене, что
вследствие большой величины кг всегда достаточно, и подставив в A9), получим:
B0) и =
2iy 2Tcr
ф
COS-
cos
а это в точности совпадает с A5) [ср. также A7а)].
Считая, с другой стороны, Т большим и положительным (первый лист),
мы можем выполнить следующее преобразование:
Т + со со
J e dx = J e dx— J e dx.
— со — со Т
_in
Первый интеграл справа берется и дает У~пе * , для второго остается
в силе полусходящееся разложение. Оборвав опять на первом члене и подста-
подставив в A9), получим:
<20а)
и0— .
у 2izJc
2izJcr 2 cos -—¦
2
г. е. учитывая A7а), в точности уравнение A5а).
Мы подошли теперь к переходной области между первым и вторым листами,
которую мы назвали „границей тени". Она характеризуется условием я|Г|мало
или не очень велико", или у — it. Здесь можно было бы подумать о разложении
интеграла по положительным степеням Т, сходящемся в обычном смысле; однако
оно — также, как ряды в 1, было бы пригодно только для таких малых I,

XX, § 2 Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений 881
что практически этот способ отпадает. Поэтому нужно составить себе более общее
представление о поведении интеграла A9).
Чтобы не расходиться с общепринятыми обозначениями, положим:
B1)
B1а)
I
V
C(v)— f cOS-^-aPda,
о
V
S(«) = Г sin -|- a2 da,
и назовем F = C-\-iS „интегралом Френеля". Вообще говоря, B1) осуществляет
преобразование плоскости « на плоскость F (С и S будут прямоугольными коор-
координатами в плоскости F). Так как для нашей цели достаточно ограничиться
вещественными значениями v, мы должны изучить только отображение веще-
вещественной оси v в комплексной плоскости F. Это отображение представляется
кривой в плоскости F, называемой „спиралью Корню" (Gornu), которая пред-
представлена на рис. 99.
При преобразовании, следующие точки, очевидно, соответствуют друг другу:
точке 0 = 0 точка F—0,
14-*
я г- = оо „верхняя предельная «очка" F= ^ -,
„ v — — оо „нижняя предельная точка" F = s . ' .
F = о есть точка перегиба с горизонтальной касательной I здесь имеет место при-
j-yn \
ближенное соотношение S = ——д~ ]. Преобразование сохраняет длину отрезков,
1 of
так как
dF = e*~V'dv, " \dF\=dv или dC2 + d№ = d&.
Сопоставление F и v осуществляется простым разворачиванием спирали на
вещественную ось v. Уже отсюда следует, что длина опирали бесконечна, что
предельные точки достигаются только асимптотически (после бесконечного числа
оборотов). Более точные результаты дает вычисление касательной к кривой F.
Назовем а. угол между касательной и осью С, тогда
dS , тс „ ' к „
Таким образом, с возрастанием v, касательная все время вращается в одном
направлении; для v-»-=too мы имеем спиральный ход кривой.
Наш интеграл в выражении A9) отличается от B1), если отвлечься от
выбора нижнего предела, только заменой г на—i и другим обозначением пере-
иенной интегрирования. Оба обстоятельства оставляют форму спирали без
&6 Зав. 1408. — фраяв и Мивес. Дифф. урана, тле. фиа.

382
Электромагнитные колебания
1ения. Нижний предел в A9) мы учтем тем, что составим разность F(v)-
7(—оо). Тогда получаются выражения* тождественные с A9), а именно:
i/tocitocm* F,
Mm.
22)
— COS -?-.
тс 2
Здесь \F(v)—jP(—oo)| обозначает расстояние в плоскости F между
"очкой v на спирали Корню и нижней предельной точкой. Поэтому амплитуда
света прямо измеряется этим
расстоянием, умноженным еще
X на некоторый множитель, зави-
зависящий от масштаба чертежа и
от интенсивности падающего
света.
Возвращаясь к рис. 98,
представим себе, что sa „откло-
„отклоняющим" экраном S, например,
параллельно ему, поставлен вто-
второй „воспринимающий" экран.
Проследим интенсивность на по-
последнем, двигаясь из геометри-
геометрической тени к границе ее и
дальше в освещенную область.
Этому соответствует возраста-
возрастание v от — оо через 0 до -(- оо.
Радиус-вектор на рис. 99 (от
нижней предельной точки к пе-
переменной точке «) сначала мед-
медленно возрастает, без всяких мак-
максимумов или минимумов.
Такое положение характеризует геометрическую тень. Еогда v приближается
» нулю, радиус-вектор возрастает быстрее, пока не достигнет значения -г- V~2~,
-.оторое он принимает для <p = i?, т. е. в продолженном направлении волны.
Здесь | и | = —. Возрастание продолжается до первого максимума, который
1тмечеи на рисунке значком Мах, затем v пробегает спиральную часть кривой F:
"эадиус-вебтвр уменьшается до первого минимума (Жш на рис. 99), затем опять
возрастает и т. д. Разница между двумя последовательными максимумом н минй-
'умом постоянно уменьшается, радиус-вектор асимптотически приближается
= значению V~^t расстоянию обеих предельных точек; этому соответствует,
югласно B2),
| и | = 1 = амплитуде падающей волны.
На рис. 100 представлен соответствующий ход интенсивности J=|«|s.
Так как амплитуда на границе тени равна половине амплитуды падающей волны,
интенсивность там равна только четверти падающей интенсивности. Появление
Рис. 99.

XX, § 3 Сравнение с классической теорией диффракцыи {Френель-Кирхгоф) $88
максимумов в минимумов в освещенной области объясняется интерференцией
падающего в рассеянного света (расходящейся от края экрана цилиндрической
волны). Отсутствие максимумов и минимумов в геометрической тешг происходит
потому, что там имеется только цилиндрическая волна.
Наблюдению доступны лучше всего те максимумы и минимумы, которые
лежат ближе к границе тени. Бели мы имеем дело с „блестящим" экраном
(а не с черным), то к падающей волне присоединяется еще отраженная, которая
представляется формулой, аналогичной A9), с соответствующей границей тени.
Максимумы и минимумы
можно обнаружить также
и в окрестности этой
новой границы (т. е.
перед экраном).
Как обобщается наш
способ на случай п > 2,
видно из упомянутой на
стр. 863 работы Рейхе
[(Ann. d. Phys 37, 131,
1912) (»=3)]. В этом слу- геометрии.
чаедлякаждоголистапо- тенъ
верхности Римана нужно
составлять свою величи- J
ну, аналогичную X; произ-
производные от этих величин по
I
а
а.
освещенная область
Т<0
Рис. 100.
г выражаются точно с цо-
мощью функций Ганкеля порядка — (ж < »). Особое положение случая п ¦¦
¦¦ 2 осно-
основано на том, что „полуцелые" функции Ганкеля выражаются через показательные
функции, как мы уже видели в (8с) и как иы покажем подробнее в § 4, (9) и A2).
Качественно случай »>2 не отличается от п = 2. Мы можем обращаться
к рис. 100 также и для представления плоской волны на п раз перекрытой
поверхности Римана.
§ 3. Сравнение с классической теорией днффракции (Френель-Кирхгоф)
Еак было замечено в начале § 1, классическая теория диффракции Фре-
Френеля и Кирхгофа обладает необычайной способностью приспособляться к самым
сложным условиям (решетка, отверстие произвольной формы и т. п.). Она пред-
представляет практически совершенное н идеально работающее орудие, к которому
постоянно будет обращаться фиЪик-экспериментатор при исследованиях в области
оптических измерений (при достаточно малых X). Мы даем здесь очерк теории
Кирхгофа в упрощенной и отчасти уточненной форме.
1. Теорема Грина и функция Грина. Если «и v-—две произвольные ска-
скалярные функции, обладающие надлежащими свойствами непрерывности в про-
пространстве интегрирования V, если da—элемент поверхности, ограничивающей
эте пространство, а d» — линейный элемент внешней нормали к этой поверхности,
то теорема Грина гласит:
A)
B)
J (мД« —
Предположим, что и равно функции шаровой волны [C) стр. 852]:
в1кг
&6*

884
Электромагнитные колебания
a 0 равно одной из прямоугольных составляющих искомого поля (точнее, равно
одной es комплексных прямоугольных составляющих потенциала, описывающего
поле, стр. 850). Пусть экран будет плоским; диффракционное отверстие тогда
тоже можно считать плоским. Плоскость Е, составленная из экрана и отверстия,
пусть образует границу пространства интегрирования. Источник света Q (особая
точка функции v) пусть находится по одну сторону от Е, точка наблюдения
О — но другую (вта сторона на рис. 101 заштрихована). Пусть г обозначает рас-
расстояние от точки О до той точки Р, по координатам которой интегрируется. Так
как и и » удовлетворяют волновому уравнению A2), стр. 812, правая сторона A)
будет равна нулю, если исключить из области интегрирования окрестности
точки О, окружив эту точку шаром К с радиусом limJ? = 0. С правой стороны
интегрирование распространяется на плоскость Е и шар К. Интегрирование
по К дает величину — 4я», взятую для центра О шара К, и мы получим:
C)
При обычной трактовке диффракционной
задачи принимается, что:
a) на экране (именно, на его задней
. Л dv л
стороне) t) = 0 и -7г- — 0;
b) в диффракпионвом отверстии v и -=—
дп
равны значениям этих величин при невозму-
Рио. 101. щенном распространении света, т. е. ^в отсут-
отсутствие экрана.
Эти предположения связаны с математическими трудностями 1). Если бы
условие а) было выполнено на каком-нибудь конечном участке плоскости Е, то
оттуда следовало бы с необходимостью (как для уравнения Д«-(-&2« = 0, так
и для Д« = 0), что v везде тождественно равно нулю. Точно так же из Ь) следует,
что v везде (также и непосредственно за экраном) равно невозмущенной функции.
Оба результата бессмысленны. Очевидно, что этот способ следует считать лишь
приближенным. Если мы подставим в C) хотя и приближенные, но противоре-
противоречивые граничные значения а) и Ь), то получим функцию v, которая, хотя и удо-
удовлетворяет точно волновому уравнению, но только приближенно—граничным
условиям.
Возникшие здесь математические трудности мы можем однако смягчить
следующим образом: положим, и равно не функции шаровой волны, а функции
Грина для нашего полупространства
B0 G = ~-C
исчезающей на Е. Для этого- нужно отравить точку О в плоскости Е (изобра-
(изображение пусть будет (У; см. рис.'101) и понимать под г' расстояние от О' до Р.
Тогда ив A) получается, в силу равенства G = 0 на Е, вместо C) следующее
выражение:
C')
dG
дп
do.
/
в
Л. Sommerfeld, G6tt. Nachr. 1894» Nr. 4.

XX, § 3 Сравнение с классической теорией диффракции (Френель-ЕЩитоф) 886
dv
Так как -%— исчевло ив нашего .уравнения, мы должны для вычисления C')
оделять те или иные предположения только для v. Это можно сделать, не впадая
в математические противоречия, следующий образом:
а') на обратной стороне экрана положим v = 0;
b') в отверстии мы положим v равным невозмущенной падающей волне.
В противоположность выражению C) с условиями а) и Ь), функция, задан-
заданная выражением C')» действительно принимает граничные значения а') и Ь') —
по теории функции Грина. Конечно, и условия а') и Ь') тоже не точны физически.
На самом деле даже непосредственно за экраном будет рассеянный свет, так
что наи нельзя без дальнейших рассуждений брать v — Q (no крайней мере, не
для всех составляющих светового вектора). Присутствие экрана на самом деле
влияет и на распределение света в отверстии (по крайней мере, на расстояниях
порядка длины волны), так что и условие Ь') не точно. Следовательно, и в таком
виде наш способ имеет, в физическом отношении, лишь приближенный характер.
2. Принцип Гюйгенса. По формуле B') вычисляем:
3G д ( eikr \ . . д
Если точка Р лежит в Е (плоскость симметрии между О и О'), то
г' = г, cos (», г') == — cos (», г)
dG п д ( eilcr
Поэтому из C') следует: -
/а / «г
В силу предположения а'), интегрирование надо здесь распространить
только на диффракционное отверстие; вместо v, в силу Ъ'), надо подставить
значения для невозмущенной падающей волны. Далее
(кг
В скобках справа можно пренебречь вторым членом по отношению 'к еди-
единице, так как ifc = —, а при наблюдении диффракции всегда г ^> X. Поэтому D)
переходит в
Г eikr
kv9 = — 2ik I v cos(«, r)do.
В силу значения к, вместо этого можно написать >
/е(кг *
v cos(», r)do.
Это уравнение вполне соответствует принципу Гюйгенса: представим себе,
что от каждого элемента do поверхности отверстия распространяется шаровая
eikr
волна , фаза и амплитуда которой определяются падающей волной. Множи-
Множитель cos (», г) уменьшает эффективную площадь испускающего элемента, как
это и естественно, по закону Ламберта (Lambert), множители t и X нормируют

886 Электромагнитные колебания
фазух) и амплитуду светового возмущения, складывающегося ив этих элемен-
элементарных волн (заметим, что эта нормировка не вытекает непосредственно ив
принципа Гюйгенса).
Уравнение E) сводит вычисление явлений диффракции к простому сум-
суммированию шаровых волн. Эти элементарные волны интерферируют и иногда
могут погасить друг друга — в этом и заключается объяснение образования тени,
данное Френелем. Прямолинейное распространение света, которое на первый
взгляд противоречит принципу Гюйгенса, сводится, таким обравом, к явлениям
интерференции волн.
Принадлежащая Гюйгенсу интерпретация выражений C) и C'), выдвину-
выдвинутая здесь на первый план, на первый взгляд прямо вытекает из самой формы
этих интегралов. Однако, эти же самые функции можно толковать в смысле
Т. Юнга, как это показывает Рубиновича). Выражение C) можно разбить на
две части8) и называть их падающей и рассеянной волной. Распределение
падающего света соответствует законам геометрической оптики; отклоненный
свет имеет вид волн, распространяющихся от края экрана. Явление диффрак-
диффракции можно тогда описывать в смысле Юнга, как интерференцию рассеянных
волн, распространяющихся от различных участков края экрана, друг с другом
н с падающей волной. Мы будем иметь здесь соотношения, подобные получен-
полученным на стр. 876 при строгом решении задачи диффракции от полуплоскости.
Это преобразование можно сделать, однако, только для той функции, которая
на теневсй стороне экрана дается выражением C), а на освещенной — аналити-
аналитическим продолжением C), получающимся при переходе через отверстие. Так как-
на освещенной стороне экрана имеется падающий свет, который отсутствует
на теневой стороне, и так как рассеянная волна при переходе через экран
ведет себя регулярно, то ив нашего разложения следует, что решение Кирх-
Кирхгофа имеет на экране разрыв, величина которого как раз равна падающей волне.
Отсюда, кроме того, следует, с одной стороны, что решение Кирхгофа и
все его аналитические продолжения можно однозначно представить только
в пространстве Римана с бесконечным числом листов, а с другой стороны, что
в теории Кирхгофа экран совершенно непрозрачен для падающей волны, но
совершенно прозрачен для рассеянных волн.
В таком же смысле Коттлер *), следуя Лармору6), рассмотрел принцип
Кирхгофа в применении к уравнениям Максвелла и, в частности, исследовал
вадачу с полуплоскостью.
3. Прямоугольное отверстие, щель и полуплоскость. Здесь не место
подробно разбирать следствия, которые можно вывести из уравнения E). Мы
ограничимся случаем прямоугольного отверстия, который приведет нао в конце
концов к уже рассмотренному случаю диффракции от полуплоскости.
Пусть падающая волна будет плоская и распространяется перпендикулярно
к прямоугольному отверстию. Положим
F) v = Aeiltx.
Пусть точка О лежит на втором экране (экране наблюдения), поставлен-
поставленном на конечном расстоянии а за первым, параллельно к нему. На рис. 102 заштри-
заштрихована область геометрической тени между обоими экранами.
1) Относительно трудностей при определении фазы, возникавших раньше (Френель
я др.), при более наивном применении принципа Гюйгенса, см. F. Neumann, Vorl. ub.
theor. Optik, Nachtrag 2, Teubner 1885.
?) Ann. d. Pnys. 58, 257, 1917.
a) Cm. Maggi, Ann. di Matem. 16, 21, 1888.
*) Kottler, Ann. d. Pnys. 70, 405, 1923, 71, 457, 1933; см. также A.Rubinowics, Ann. i
Pbys. 74, 459, 1924 в возражение Kottler'а., там же, 75, 634, 1924; далее Rubinomee, там же,
81, 140, 1926.
5) Lmmtor, Ргос. Lond. Math. Soc, 1, 1 A903).

ХК,§3 Сравнение с классической теорией диффракции (Френель-Кирхгоф) 887
Происходящие диффракционные явления принадлежат к классу диффрак-
диффракции Френеля. Если бы а было бесконечно, т. е. если бы, вместо того, чтобы
рассматривать второй экран, мы наблюдали явления с помощью трубы, устано-
установленной на бесконечность, мы бы имели более простой случай диффракции
Фраунгофера (Fraunhofer), когда источник света и точка наблюдения находятся
на бесконечности v).
Возьмем прямоугольную систему координат xyz с началом в центре прямо-
прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника будут
согласно уравнению F), для всех точек пря-
прямоугольника v = A. Из уравнения E) еле- '
+т
G) ikv
'/*/
2 2
Координаты точки наблюдения О равны:
х — а, у = ч\, s = С,
так что
Так как мы считаем а большим относительно размеров отверстия (у, г)
и области (¦»), С), в которой может находиться точка наблюдения, мы можем раа-
ложить г по формуле
(8) ' = ° + 4^+Т^+--
Это разложение нужно ввести в показательную функцию в G), так как она быстро
меняется, вследствие большого множителя к. Напротив, — ' - , как медленно
меняющуюся_ величину, можно вывести из-под знака интеграла и заменить
в нем г на г — среднее расстояние от точки наблюдения до средины прямо-
прямоугольника, причем
, — а
cos («, г ) = —.
г
Тогда из G) получается:
i\v = Aeiak-L I dye
(9)
1) Общее говорят вместо .диффракции Френеля" о .микроскопической", и вместо
„диффракции Фрауигофера" — о .телескопической диффракции'. Данное в тексте опреде-
определение последней в сущности чересчур узко: двффрахцна Фрауигофера (т. е., выражаю-
выражающаяся в элементарных интегралах) получается всякий рае, когда \- -г— = 0, где a
и Ь — расстояния источника света ж места наблюдения от экрана, а не только при a »
— Ь = со.

888 Электромагнитные колебания
Оба интеграла имеют вид интеграла Френеля, стр. 881. Сохраняя введенные
тан обозначения, положен:
v
2а ~ 2 ' 2а
После этого произведение обоих интегралов будет равно:
Ха
2
ds-e *
и (9) переходит в
A0) v = Ae^~^ •
В этой формуле содержится вся сложная система полос, которые будут
наблюдаться внутри геометрической проекции прямоугольника (освещенная
область), а также вне ее (теневая область).
От прямоугольника иы перейдем к щели, сделав h = oo; тогда
*! = + «>, t2 = — oo, F(/!)-F(y=ye 2 dt.
Этот интеграл равен 1-f-*» т.е. он равен комплексному расстоянию точек.
(?i и Сг2 на рис. 99, а значит равен и
171
ут • в4.
формула для щели (которая и в этом случае вполне воспроизводит всю систему
полос) гласит (если отбросить несущественный, медленно меняющийся мно-
множитель 1-=г
(И)
Наконец, чтобы перейти к полуплоскости, сделаем d = oo, причем одно-
одновременно положим -— -f- ¦*) = Y» т- е- сделаем (здесь, очевидно, необходимый)
перенос начала координат (ср. рис. 102). Тогда:
•¦-К ¦&
Это выражение по своему строению тождественно с формулой B2) предыду-
предыдущего параграфа. Например, А еа" точно соответствует прежнему и0. Немного дру-

XX, §3 Сравнение с классической теорией диффращии (Френель-Кирхгоф) 889"
гой только аргумент первого интеграла Френеля. Раньше он был (8 = я — <р„
обозначает угол рассеяния, ср. рис. 102):
а теперь, так как (рис. 102) i{ —r slab,
cos 8
Однако, оба выражения совпадают при малых 8; в самом деле,
Сходство обоих решений для полуплоскости (классического и рааветвленного>
еще подробнее разобрано в цитированных работах Рубиновича (Ann. d. Phys. 53,
257, 1917).
4. Связь между геометрической и волновой оптикой. Мы сейчас убедились-
в почти полном совпадении результатов двух различных методов вычисления диф-
фракционных явлений.
Это совпадение основано на малости длины волны: для больших,
длин волн (акустика, радиотелеграфия) метод Гюйгенса с его несколько про-
произвольными предположениями о граничных условиях уже недостаточен.
В виде дополнения мы покажем, что малость длины волны объясняет также-
совпадение результатов волновой и лучевой (геометрической) оптики. В самом
деле, мы все время применяем лучевую оптику как в обыденной жизни, так и
при расчете оптических инструментов, твердо зная, что отклонения от лучевой
оптики могут проявляться только во вторичных явлениях (диффракция). Мы по-
постараемся? обосновать вто, следуя Дебаю х), следующим образом. Дифференциальное-
уравнение волновой оптики имеет вид
Вследствие малости длины волны,; величина к здесь очень большое число
(размерность его см~г). Будем искать .приближенное решение
A3) •' и^Ае^
и предположим, что А и S будут медленно меняющиеся функции положения, т. е-
такие, которые и в пределе к -> оо остаются конечными и непрерывными, вместе
ш
со своими производными; Jcq обозначает значение к в пустоте, т. е. величину —
с
тогда как к = -^ пусть относится к произвольной среде с показателем пре-
ломления и = -рг. Дифференцируя A3), получим:
дх *К°и дх~^~и дх
дЧ
1 Ср. Л. Sommerfdd u. Iris Runge, Ann. d. Phys. 85,290 A911). Мы здесь идемдальш»
цитируемой работы в том отношении, что даем уравнение для Л одновременно с уравне-
уравненном для S.

¦890 Электромагнитные колебания
где обозначенные многоточием члены не обращаются в бесконечность при &<, -> оо.
Вследствие этого
4- 2t&ow Г-| AS 4-(grad In Л, gradS)! + . . ..
Таким образок, мы удовлетворим приближенно волновому уравнению, если опре-
Aс
-т- = » равно нокавателю пре-
ломленяя I:
<р) (grading, gradS) = — ±
«ли
Ив A3) следует, что уравнение 5= const дает семейство волновых поверх-
поверхностей, так что grad 8 есть вектор нормали к волне, т. е. (в изотропной среде)
лучевой вектор. Величина 8 называется „эйконал" и тождественна с „характе-
„характеристической функцией1' Гамильтона, которому принадлежит также и обовначе-
яие S. Таким образом (а) представляет уравнение эйконала; (J3) определяет
амплитуду А, если S иввестно. Если положить
1
то @ будет, согласно (а), единичным вектором в направлении луча, а уравне-*
аие (|3) показывает тогда, кто градиент In А в направлении луча равен
так что А уменьшается по мере расхождения лучей и увеличивается там, од
они сходятся. Ддя общности можно считать п меняющимся непрерывно (неодшй
родная среда), и тогда мы получим кривые лучи.
Только-что проделанное преобразование волнового уравнения в уравнением
лучевой оптики показывает также, в каких случаях лучевая оптика нерестае^
быть приближением для волновой. Мы предполагали, что А (как и 8) — мед-
медленно меняющаяся величина, т. е. что она мало меняется на отрезках порядка!
1
длины волны, иначе говоря, порядка -*-. А уже не будет удовлетворять эти*
требованиям, когда граничные условия (наличие экрана) обусловливают по геоме»
трйческой оптике резкий скачок А (например, на границе тени) или когда урав^
нение ф) приводит к слишком большим значениям градиента А. Последней
получается, в частности, в тех случаях, когда div@ очень велико, т. е. в фсвй
«ах, фокальных линиях и плоскостях. И в этих случаях мы также имеем диффра^
двойные явления, для которых лучевая оптика становится недостаточной, та|
что надо обращаться к волновой оптике х).
Уравнения (а) и (Р) дают хорошев приближение, только когда | A A j <^| Sq2 А \,
(Прим. d )

XX, §3 Сравнение с классической теорией диффракции (Френель-Кирхгоф) 891
Дифференциальное уравнение эйконала тождественно о уравнением Гамиль-
Гамильтона-Якоби для движения материальной точки т в силовом поле с надлежащим
образом выбранной потенциальной энергией. В самом деле, закон сохранения
энергии дает для свободной материальной точки в трех измерениях соотношение
Применяя метод Гамильтона-Якоби и пршюманая соотношения р1 — тх
и г. д., мы будем име'жь:
ад д8 as
и уравнение Гамильтона-Якоби будет иметь вид:
Это уравнение совпадет с (а), если веять •)
¦" 2т '
Таким путем можно сопоставить геометрическую оптику с механикой све-
световых частиц (в духе Ньютона или в духе теории квант). В этой свяви можно
искать действительные корни механики Гамильтона2). В последнее время эта
связь стала особенно актуальной, так как в руках Шредингера 8) (SchriJdinger)
она привела к реформе механики атома, к так называемой „волновой механике".
Последняя стоит в таком же отношении к классической механике, как наша
волновая функция и к характеристической* функции S лучевой оптики: уравне-
уравнение в частных производных волновой механики имеет тот же самый вид, что и
уравнение Д« -|- №и = 0. Оно представляет собой, таким образом, уравнение
в частных производных второго порядка, а не первого порядка, как основные
уравнения лучевой оптики или классической механики.
В волновой механике уравнение {$') допускает простое толкование: оно
показывает, что число частиц при движении сохраняется, если только считать,
что объемная плотность их задается квадратом амплитуды. Это вытекает из
тех же соображений, из которых в гидродинамике выводится уравнение нераз-
неразрывности.
G точки зрения волнового уравнения скорость частиц равна не фазовой,
а связанной с ней групповой4) скорости волн. Таким образом, перед нами от-
открывается заманчивая перспектива трактовать частицы подобно световым лучам,
а затем и подобно световым волнам. В настоящее время можно говорить
с диффракции материи точно так же» как о диффракции световых волн б).
1) Впрочем, в этом уравнений п уже не есть просто показатель преломления; это
связано с тем, что в уравнении механики Гамильтона S имеет размерность действия, а не
длины, как S в уравнении эйконала. Можно сблизить обе точки зрения, если в выраже-
выражении A3) взять в качестве к0 не обратную длину, а обратное действие; у Шредингера
fc0 ваято равным -j-, где h — квант действия Планка (Plancfc)
8 Подробности у F. Klein, Gesammelte Abhandlungen 2, 601 н 60S, первоначально
опубликовано в Jahresberichte d. Deutch. Math. Ver. 1, 1891, и ZS. f. Math. n. Phys. *6,1901.
») E. 8ehr6dinger, Ann. d. Physik 79, 361, 489 н 734; 80, 437; M, 109, 1926.
4) Понятие о групповой скорости воли рассматривается в гидродинамике.
5) Конец § 3 передается нами в несколько сокращенном изложении.
{Прим. ред.).

892 Электромагнитные колебания
§ 4. Днффракциа от шара и от других тел. Метод разложения в ряды
Метод разложения в ряды (метод Фурье) допускает гораздо более обпшр
ные приложения, чем метод разветвленных решений. Как и везде в математиче
ской физике, без него нельвя обойтись и в теории диффракции, например, в слу
чаях цилиндрических или сферических поверхностей раздела. Применяя эта
метод, мы должны прежде всего ввести подходящие, вообще криволинейные, ко
ординаты, допускающие разделение переменных, т. е. такие, что в них волно
вое уравнение имеет частные решения в виде произведения функций, зависящие
только от одной координаты каждая. Мы должны заняться сначала этими част
ными решениями.
1. Частные решения.
а) Цилиндрические координаты. В обычных цилиндрических коор-
координатах r,<p,z, мы имеем следующее частное решение уравнения &и-\-№и = о:
независящее от г:
A) u«e**Z,(*r),
где Z представляет одну из цилиндрических функций (Ганкеля или Бесселя),
введенных на стр. 866.
Если вадача требует простой периодичности по % например, в случае диф-
диффракции от цилиндрической проволоки, то нужно веять р = п = целому числу.
В этом случае мы выберем следующие два частных решения:
B) «=
Bа) u =
Внутри цилиндра нужно брать только первое решение, так как только оно
остается конечным при г=0. Второе надо употреблять в области вне цилиндра, если
дело идет о волнах, расходящихся от цилиндра (отраженные или рассеян-
рассеянные волны) и если зависимость от времени взята в виде в ~ий*. В самом деле,
асимптотическое выражение (8) стр. 869 дает при больших г характерную для
уходящей волны форму показательной функции
Я О) (ftr) е ~ ш -> — е * (*г " "">.
Наоборот, если зависимость от времени взята в виде е+ *ш*, мы должны
брать вторую функцию Ганкеля, соответственно асимптотический формуле
у г
Если состояние зависит, кроме г и <р, еще от г, то, вместо уравнения Aа)
стр. 865, мы будем иметь
д*и 1 ди . 1 дЧ . дЧ
+ + +
ОГ* ' Г ОГ Г* 0<f* ' 02
Его наиболее общее частное решение будет
C) и = eip9 Zp (YW—h? r) eihz.
Если мы имеем цилиндр с конечной высотой И, то для того, чтобы удо-
удовлетворить граничным условиям на з = 0, г = П, мы должны взять (т целое)

XX, § 4 Диффракция от шара и от других тел $93
т. е. считать вависимость от в периодичной с периодом Н. Для бесконечного
цилиндра можно брать непрерывно меняющееся-h. Положив W — й2=Х2 и нред-
нолагая периодичность по у, мы вместо C) напишем:
D) •-e^J
Dа) « - ein* HnW (Кг) е"*^*.
Эти выражения применимы в тех же случаях, как B) и Bа). Выражения
C) и D) будут часто встречаться в дальнейшем. Например, мы придем к C)
в главе XXI, § 2 и гл. ХХП, § 1. Выражение D), особенно при и = 0, весьма
важно для вадач беспроволочной телеграфии в гл. ХШ.
Ь) Сферические координаты. Здесь волновое уравнение будет
иметь вид:
Ограничиваясь однозначными решениями, не имеющими особых точек по
отношению к 0, можно положить:
F) u=^v(r)Pn\oosb)e^,
где Р„ суть яприсоединенные шаровые функции". При v = O они переходях
в обыкновенные полиномы Лежандра (Legendre) от аргумента х = cos 0. Ив E)
и ив известного уравнения для шаровых функции:
волучается для v обыкновенное дифференциальное уравнение
Оно связано с уравнением для Бесселевых функция. Именно, положим
w
(Тогда, после легких вычислений, мы получаем ив G)
гак что w есть цилиндрическая функция ^порядка »-|—— от аргумента р = far. Реше-
не уравнения G) можно написать в общем виде так:
1 у

894
Электромагнитные колебания
Специаливируя Z и добавляя для удобства множитель,, положим !):
Между этими функциями существует соотношение
A0)
аналогичное D) стр. 866.
<!<„ имеет с Jn общее свойство оставаться конечным при р = О. Функция
С„ делаются, подобно Нп, бесконечными при р = 0. Ив уравнения (8) стр. 86S
получаются асимптотические "выражения, которые в нашем случае, ср. стр. 870;
обрываются на (л-j- 1)-ом члене (мы вдесь выписываем только первый член)
A1)
и отсюда, в силу A0),
AДа)
1 •/ п + 1
)==leif—г-1
р
. / s 1г
4»«(Р) = — sin
Особенно просты функции Ц*о и Со - Полагая в G) »= 0 и Тег = р, получим
уравнение:
J
р dp
1 j
р \ dp2
Общий интеграл, который при надлежащем выборе постоянных интегрирования С,
должен давать Со и ty0, будет:
Определяя С в согласии с асимптотическими выражениями A1), находим:
A2)
= —.»-— C(a) = 4-t—-
sinp
1 Г'
Эти элементарные выражения соответствуют тому обстоятельству, что при
к = 0 асимптотические выражения, как мы уже ваметили, обрываются на пер-
первом члене.
*) Обозначение ф принадлежит Seine (Handbuch d. Kugelfunktionen), С — Дебаю (Ann.
d. Phys. 80, 62, 1909). У Heine С называются V. В отношении ворияровкн мы следуем Heine,
за исключением множителя 2 прн ф. Функции Дебая <|* к С отличаются от ваших множи-
множителем р.

XX, § 4 Диффрахция от шара и от других тел 8$&
¦ Для частного случая v = 0, частные решения уравнения F), а именно то,,
которое остается конечный при г = О, и другое, которое после умножения на.
ё~ *"* соответствует при г -»¦ со уходящей волне, будут:
A3) и = ^n(fcr)Pn (cos »),
A3а) « A)
Они переходят при п = 0 в
A4) « =
Лкг
A4а) « =С0A) (И=-*-V'
Величина A4а) есть иввестная функция шаровой волны.
с) Эллиптические координаты. Наиболее общий случай, охваты-
охватывающий оба предыдущих, представляют эллиптические координаты на плоскости
(система софокусных эллипсов и гипербол) или в пространстве (софокусные-
эллипсоиды и т. д.). Частными решениями уравнения колебаний для плоскости будут
функции эллиптического цилиндра, относительно которых см. например книгу
Покельса. В пространстве это будут обобщения функций -Лама. Ив диффракцнон-
ных вадач, исследованных в эллиптических координатах до конца, укажем слу-
случаи экрана с эллиптическим 1) или параболическим 2) сечением.
2. Теоремы сложения. Применяя метод разложения в ряды, мы после
отыскания частных решений должны равложнть падающую волну по соответ-
соответствующим частным решениям. Это осуществляется с помощью некоторых заме-
замечательным формул, навиваемых „теоремами сложения".
а) Плоская волна в цилиндрических координатах.
Простейший случай представляет разложение Фурье для в*** ==е*гоов* по-
углу (р. Оно содержится в более общем уравнении A0) стр. 872 дляп=1 и пи-
пишется проще всего так:
(Щ ! ikrcoe<f ^
Доказательство следует ив выражения J в виде интеграла E) стр. 867,.
которое как раз имеет вид соответствующего коэффициента Фурье. Бели заметить,.
что при целом т
как это вытекает ив того же интегрального представления, то A5) может быть,
также написано в виде
A50 «*" °0S' = Л <*г) + 2 2 »""J- (И c°s mi.
Ь) Плоская волна к сферических координатах. Пусть волна,
падает в направлении е. Положим .г = г cos 0, тогда
A6)
Я1=0
Е. Sieger, Ann. d. Phys. 27, 626, 1908.
P. Epstein, Diss Munchen, 1914 .Функции параболического цилиндра* оовпадаюг
- с полиномами Эрмита.

€96 Электромагнитные колебания '
"Эту формулу интереоно сопоставить с A5'). Прямое докавательетво можно про-
провести так. Если предположить, что произвольное решение уравнения E), не
-зависящее от у, разлагается по частным решениям A3), мы можем прямо на-
ннсать (полагая кг = р):
Отсюда, по условию ортогональности шаровых функций:
A6а) <^m(p)- 2
— 1
•Сравним главные члены асимптотических разложений правой и левой части ори
f ->¦ со. После интегрирования по частям, интеграл справа1) переходит (с точ-
востыо до высших членов относительно —I в
Р /
Сравнивая это с асимптотическим выражением ^т(р) в (Па), мы в самом
деле получим ив A6а)
ст = Bт+1)г™.
с) Цилиндрическая волна. Соответствующее разложение для цилин-
цилиндрической волны (светящаяся линия) в полярных координатах г,ц> содержится
в уравнениях A2а), A2Ь) стр. 874 при п=1 и будет2), если писать <р вместо
¦у —'/ и положить Д = (г2-(-г'а — 2rrrcos<?)*, иметь вид
Положив в верхней строчке limr' = co и ч/ ==jc, мы должны получить плоскую
волну в***. В самом деле, в силу асимптотических формул (8) стр. 869, мы полу-
получим таким путем разложение A5) для плоской волны (с точностью до множи-
множителя, зависящего только от г'). Этот переход к пределу представляет вместе
45 тем прямое доказательство уравнения A7) при г<г'. Действительно, так
как волновое уравнение удовлетворяется в обеих парах переменных г, у и г', у',
то коэффициент при ет{9~9> должен быть частным решением уравнения Becceihi
« индексом т. Коэффициент этот, как функция от г, должен быть пропорциональ-
2»» 4-1
1) Без множителя ./ • (Прим. ред.).
\
2)"На основании Fа) стр. 867, мы имеем для целых т соотношения: H-
{ — 1)т Я*.A) н Я-«<2> = (- if Я J2>. (Прим. ред.).

XX, § 4 Диффращия от шара и от других тел 897
ным Jm (г), так как разлагаемая функция регулярна при г = 0. Как функция
от г', он должен содержать множитель вида
Для определения постоянных ст и dm мы переходим к пределам г' =* оо в
<s' = it и, сравнивая с A5), ваключаем, что
Нижняя строчка в A7) получается перестановкой г и г'.
Если написать соответствующее разложение для Я0B) (кВ) и сложить его
с A7), то получится
—оо
eikR
d) Шаровая волна. Функция шаровой волны в пространстве -^-, со-
согласно уравнению A2), совпадает с г7?0A) (кВ). Здесь В обозначает расстояние
от точки наблюдения г, ft, <р до светящейся точки г', *>', <р'. Напишем:
cos в = cos & cos У -|- sin 8 sin У cos (<p — <fO,
тогда
iJ2 == Г2 + Г'2 — 2ГГ' COS в.
Разложение, аналогичное A7), будет иметь вид:
jkR
A8) С
Bт +1) ф» (tr) ^\hr') Pm (cos 6), г <
[кг') CmA) (кг) Рж (cos 9), г > г'.
Это разложение относится к A6) так же, как A7) к A5). В самом деле, положим,
г' — оо, Ь' = тс, т. е. отодвинем светящуюся точку на бесконечность отрицатель-
отрицательной оси г; мы получим тогда плоскую волну eik" (с точностью до множителя).
При этом
cos 6 = — cos 0, Рт (cos 6) = (— If Рт (cos Ь).
Учитывая это н припоминая асимптотические выражения A1) для <Ст(кгг), мы
видим, что A8) прямо переходит в A6). В этом заключается, опять-таки, иря-
мое доказательство A8).
Складывая с A8) аналогичное уравнение для CqB), получим, на основании A0)
3. Диффравция от цилиндра. Пусть ось прямого цилиндра (проводника
или диэлектрика) направлена по оси г. Его поверхность будет г = а. На ци-
цилиндр падает плоская волна в**»*. Пусть к0 и к будут „волновые числа", введен-
введенные формулами A2) и A3) стр. 812. Пусть, наконец, электрический вектор
Е = (Б„ 0,0) направлен параллельно оси провода. Тогда рассеянный свет будет
поляривован в том же направлении. Положим Е, = Её~ш* и будем искать Е в виде:
A9а) E^ei1^J
A9b) E=
57 Зак. 1408. — Франк ж Мизео. ДифФ уравн. мат. фпв.

898 Электромагнитные колебания
Т/т обозначает первую функцию Ганкеля. То обстоятельство, что вне провода
употребляется только она одна, соответствует тому, что рассеянный свет распро-
распространяется от провода в бесконечность. Внутри провода, очевидно, ив двух ре-
решений B) н Bа) надо брать только решение с Jm.
Е связано с Н уравнениями (I) стр. 808.
— ic dEz ic ЭЕе
откуда
„ . Lr . ic ffE
H — sm® • if -|-cos<p • И„ =— -_—.
Требование вепрерывпости Ег и Н? приводит к граничный условиям:
B0Л Т? -F дЕ° 1 дЕ г-«
B0) Ео-Е, -w = -1-, r = a.
Подставив в A9а) разложение A5), получим ив B0):
а- Нт М - bmJn(ka) = - i*Jm (koa),
* A W/ (М - ~ bJJ (*а) = - *,/" J« (M)-
Отсюда следует, для рассеянного света,
B1) ат [1JJ (ka) Hm (M - *<ДЛ*о«) ^т (*«)] =
Для металлического провода (& = оо) уравнения B0) сводятся к одному урав-
уравнению jEo = O при г = а* Отсюда или же путем перехода к пределу в B1),
следует
B1а) а- = -Г#^'
В случае противоположной поляризации [Н = (Не, 0,0); He=He~<l0t поле
параллельно оси провода] надо взять для Н выражения, соответствующие A9)
н B0), и поступать попрежнему.
Для волн Герца (Х^>а) решение не трудно исследовать1), так как там
достаточно взять небольшое число членов ряда.
Для оптического случая (а^>\ ср. стр. 873) ряд совершенно ле годится,
вследствие недостаточно быстрой сходимости. Как его можно преобразовать в этом
случае, покаэал Дебай2), строго решивший двухмерную гадачу, аналогичную sa-
даче о радуге (с водяным цилиндром вместо капли).
4* Диффракцня от шара. Коллоидальные частицы. Пусть плоская па-
падающая волна распространяется по направлению г, причем
х = г sin ft cos <р, У = ¦" sin 0 sin <р, г = г cos Ь,
х) Ср. в особенности Gl. Schafer, Sitzungsber. d. Preuss. Ak. 11, 225, 1909»
a) Pbys. ZS. 9, 775, 1908-

XX, §4
Диффракция от шара и от других тел
899
и пусть электрическое поле поляризовано по направлению оси х, а значит,
магнитное поле поляризовано по направлению оси у. Отбросив временной мно-
множитель e~iu)* и учитывая уравнение A5), положим:
B2)
Ех = Н„ = в"' =
Этому соответствуют полярные составляющие:
B2а)
B2Ь)
дх
Er = -д-Б, = sin Ь cosoe
ikr сов Ь
Ee = у |J Е, = cos & cos <?eikr cos*
JE = —i_ -ГПЕХ = - sin cpe1
Hr = ?f Ky = sin & sin ?e*r cos *
r sin 5)
ОсГ 008 9
Hy = cos
ikr 003 &
Пусть на пути падающего света находится шар г = а из произвольного
вещества. Чтобы сделать более наглядными формулы для рассеянного света, вер-
вернемся к уравнению A8") стр. 841 и будем считать стоящий там вектор Герца П
направленным по радиусу
B3)
Тогда, вычисляя grad и rot в полярных координатах, получим:
ди _JLIE e= 1 ди_
dr ' * r 3i> ' т r sin ft dy '
B4)
При этом ЛжП должны удовлетворять дифференциальному уравнению A9")
стр. 842
grad U— rot rot П + &2П = 0.
Рассмотрим сначала в этом уравнении составляющие по направлениям Ь и ?.
Вследствие ПЬ = П —0, мы получим
B6)
г sin Ь drdv
57*

900 Электромагнитные колебания
Далее, радиальная составляющая выражения B5) будет1)
г*ап +
г—о.
Написав здесь Ur — ru и разделив на г, получим:
B7) ' Aw-f-fc2w = 0.
Выражения B4) переходят теперь в следующие:
B8)
Однако, поле, даваемое этими выражениями, получается частного вида, так
как вдесь НГ = О в противоречие с B2Ь). Мы поэтому донолним выражения для
поля другим решением, в котором Ег = 0. .Такое решение дают уравнения BГ)
стр. 842. Считая новый вектор Герца И/ опять радиальным вектором, мы теперь
получим:
B9)
H-o u-*LJ!L*L h-
1 dU' H l dU'
Н
Уравнение B5), которое и теперь сохраняет силу, если в нем заменить
(J и Пг на V и Я/, определяет [Г н П/ таким же образом, как и раньше,
именно 2):
Of
а) Уравнение (*) для Лг может быть также получено следующим более элементар-
элементарным путем. По нашим предположениям, прямоугольные составляюшие вектора Герца И
равны:
х ~ г» у ~ r> г ~ г>
отсюда
(Ш)г = ~|ДЯ, + — ДЛ + — Ш. =Д1Г, —И
а далее
С другой стороны, уравнение <25) может быть написано в виде:
¦ grad (IT — div П) -J- ДД + &2П = 0.
Так как V= -rf г иэ наших формул следует, что радиальная составляющая этого
выражения равна
нлн
-&
& это уравнение совпадает о приведенным в тексте. (Прим. ред.).
"*) Введение потенциалов и и v {JIt и JT2) принадлежит Дебаю (Diss. Muhcfaen, 1908
н Ann. d. Phys. SO, 57, 1909). Их связь с радиальным вектором Герца, в том виде, как это
изложено здесь, невидимому, нигде не была замечена.

XX, § 4 Диффракция от шара и от других тел 901
а уравнения B9) переходят в следующие:
C0)
Мы сначала составим потенциалы «иг», соответствующие падающей
волне, для чего сравним составляющие Е, н II, в выражениях B8) и C0) с вы-
выражениями B2а), B2Ь). Последние мы напишем, пользуясь A6), следующим
образом:
C1а) Бг=
(81b)" K=^±
Тут мы приняли во внимание соотношения между первыми присоединен'
ными шаровыми функциями РпA) и зональными шаровыми функциями (полино-
(полиномами Лежандра): .,-..
Pnw(cos») = -^Pn(cos»).
Из C1а) и B8) следует тогд?:
Так как « удовлетворяет уравнению B7), вевде конечно и, по C2), пропор-
пропорционально cos <р, то мы возьмем для него, припоминая F) и (9), такое выражение:
C2а) м
Подставив это в C2) и приравнивая коэффициенты, заключаем:
ф
Но по уравнению G) коэффициент при ап слева равен »(»-{-1) —, а поэтому
Аналогичное рассуждение, примененное к уравнениям C0) и C1Ъ), ведет
к следующему выражению для v:
C2b) t>
причем оказывается, что Ъп = ап как в C3). Таким образом, потенциалы и и v
падающей волны будут:
Для того чтобы подчеркнуть, что падающая волна существует только вне
шара, вдесь написано k0 вместо &.
При получении и я v для падающей волны мы пользовались только соста
вляющими Е, и Нг. Остальные составляющие получаются с помощью суперно-

902 Электромагнитные колебания
зиции (наложения) величин, заданных уравнениями B8) н C0): То, чтр полу-
полученные значения будут совпадать с B2а) и B2Ь), понятно само собой, если при-
принять во внимание дифференциальные соотношения между этими составляющими.
Но можно это показать и непосредственно, если воспользоваться соотношениями
между шаровыми функциями.
Теперь мы можем написать решение нашей вадачи. Оно составляется ад-
аддитивно из обеих величин и и v. Функция и должна иметь вид:
г > а, вовдух, к = к0,
)] Р»1* (cos &)cos ?>
I r < а, любое вещество. к = к,
C5Ь)
В самом деле, из частных решений (9) для области внутри шара можно
взять только 4*п> вне шара—кроме падающей волны—только Cj1'- Множитель са
в рассеянной ив проходящей внутрь шара волне добавлен для упрощения фор-
формул и, конечно, не ограничивает общности предположения.
Для определения стоящих в выражении для и коэффициентов Ап н В„ слу-
служат граничные условия на поверхности шара г = а.
а) Непрерывность Б, н ? , т. е., согласно B8), непрерывность —^—-; это
дает
(86а) ^ ,
в) Непрерывность Нв иН,, т. е., согласно B8), непрерывность — м, отсюда:
C6b) к* Nn (коа) + AJ.n (коа)] = ± BJn (ka).
Эти уравнения определяют Ап н Бп. Наиболее общее выражение для v имеет
тот же вид, что для и [в уравнениях C5а) и C5Ь) должно теперь стоять sin <p
вместо cos о], но постоянные в граничных условиях другие, н поэтому для Ап и Д,
получаются несколько отличные значения.
Мы не будем выписывать здесь Ап и Вп, так как мы должны воздержаться
от более детального обсуждения решения и отсылаем поэтому к работе Ми1).
Разумеется, эти формулы непосредственно применимы только к достаточно ма-
малым частицам (я<^Х). Как раз такие частицы мы имеем в коллоидальных
растворах серебра и золота. Теория приобретает особенный физический интерес,
в виду возможности объяснения замечательных цветов этих растворов. Для боль-
больших частиц (капли воды, радуга) мы должны перейти к интегральным выраже-
выражениям, похожим на те, которые мы будем выводить в задачах беспроволочной
телеграфии (гл. ХХЩ, § 4) для случая земного шара.
!) О. Mie, Ann. d. Phys. 26, 377, 1908. Теория Mie дополнена G. Jobst'on для случаев
«> X. Ann. d. Phys 76, 868, 1925 и 78, 167, 1925.

XXI, § 1
Распределение в проводящей плоскости
903
ГЛАВА XKI
СОПРОТИВЛЕНИЕ ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ И СКИН-ЭФФЕКТ
В этой и следующих главах мы будем заниматься, главным образом, про-
процессами, происходящими на границах проводников и непроводников. Свойства про-
проводников и непроводников будут при этом задаваться не атомистически в смысле
электронной теории, а феноменологически в смысле первоначальных уравнений
Максвелла [гл. XIX, (I—VI)]. Проводимость о мы будем считать конечной, т. е.
не будем делать перехода к предельному случаю идеального проводника, как
в § 1 предыдущей главы.
В основной части этой главы мы будем вычислять даже не по максвеллов-
ской, а по до-максвеллов сков теории, пренебрегая током смещения по сравнению
с током проводимости. Начнем, однако, с полных, неискаженных уравнений Макс-
Максвелла.
§ 1. Распределение в проводящей плоскости
1. Симиетрия задачи и строгое интегрирование. Сначала поставим еебе
на первый ввгляд не интересную, чрезвычайно идеализованную задачу, которая,
однако, важна как введение также и для последующих глав. Пусть наше про-
пространство будет наполовину воздух (у > 0), наполовину металлический провод-
проводник (у < 0), так что поверхность раздела у = 0 — плоская. Поле пусть не зави-
зависит от одной из координат (скажем г), чисто периодически зависит от времени и
имеет характер водны, распространяющейся по направлению х. В области у > О
мы имеем (е, ji, о) = A,1,0), в области у < 0 мы будем вычислять с общими зна-
значениями е, j», о. Последнюю область мы можем рассматривать как предельный
случай провода, радиус которого делается бесконечно большим. Мы имеем два
возможных решения уравнений Максвелла, противоположной симметрии, так ж<»
как на стр. 842, а именно:
(А)
(В)
0
о ,
0
о ,
Е
Jj =
н =
и.
Еу
0
н.
ну
0
Нас здесь интересует только первое решение, так как только оно соответствует
предельному случаю провода, по которому протекает переменный ток. Ввиду неза-
независимости поля от S, при обоих предположениях три из шести уравнений Макс-
Максвелла (I) и (U) удовлетворяются тождественно: в случав (А) — первое и второе
из уравнений (I) и третье уравнение (II), и в случае (В) — третье из уравнений (I)
и первое и второе уравнения (II).
В случае (А) мы возьмем комплексное выражение:
¦ АЛ. в
соответствующее временной периодичности и распространению в направлении х.
Здесь h есть постоянная, Н — функция одного у. Для вычисления Н восиользу-

904 Электромагнитные колебания
емся полученных из уравнений Максвелла волновых уравнением A2) стр. 812,
которое дает для И:
B)
?
У<0.
Постоянная h есть волновое число (число волн на 2i? единиц длины), соответ-
соответствующее распространению вдоль поверхности проводника, а постоянная k (k0)—
волновое число, соответствующее свободному, не связанному ни с какой поверх-
поверхностью раздела распространению волн в проводнике (или в непроводнике). Мы
можем также сказать: h относится к „поверхностных" волнах, к—к „объемным"
волнам.
Для Е возьмех аналогичные выражения:
Ех и Еу, как функции от у, определяются из уравнений Максвелла (П):
¦&„ = ¦
[
D) , ^ , <*> dy
Стоящие справа выражения получаются из написанных слева путем ухно-
ження на -^- и подстановки значения &2 из B). Из D) непосредственно следует,
С
что удовлетворяется также и уравнение Максвелла (IV), которое для чисто вол-
волнового процесса, т. е. в отсутствии истинных зарядов (электростатических полей),
переходит в div D = О или div Е = О, если считать s постоянным.
Уравнение B) интегрируется следующим образом:
E)
Раньше, на стр. 812, мы уславливались брать & с положительной мнимой
частью; подобно этому условимся сейчас, что из обоих значений У к2—А2 следует
брать то, которое имеет положительную мнихую часть. Из этого следует, что кш
должны взять:
для у >О В==О,
для у < О А = О.
чтобы Н и для у = ± оо не делалось бесконечно больших. Для того чтобы
удовлетворялось условие непрерывности D) стр. 809, не обращающиеся в нуль
значения А и В должны быть равны друг другу; пусть они будут равны С. Мы
напишем поэтому
(б) / я-*"*?Ч у>о,
H^Ce-tr«'-"\ y<0.

XXI, § 1
Распределение е проводящей плоскости
905-
го
~kQ здесь обозначает, согласно B), величину h = — для непроводника. Теперь
С
из D) следует:
Gа)
GЬ)
Ь?-у
У>0
у<Р.
Таким образом, электрическое поле определено нами полностью, за исклю-
исключением величины С, которая остается неопределенной по самой своей природе
и зависит от интенсивности возбуждения и волнового числа h. Для определения
последнего, мы имеем как раз еще одно уравнение — именно, условие непрерыв-
непрерывности Ех при переходе через поверхность раздела у = 0 [уравнение D) стр. 809].
Из Gа) и Gb) мы выводим, сначала для частного случая [* = 1:
1 —
или, проще, после сокращения общего множителя,
2 L_±- t
&а ъ 2 r й •
(8а)
(8Ь)
ялн
общем случав ((* > 1) мы будем иметь вместо этого
X -, „ —
(8о)
2_
1
Вычислим еще полный ток в проводнике по направлению х, проходящий
сквозь поперечное сечение полосы, ширина которой в направлении г равна еди-
единице, а длина в направлении у бесконечна. По уравнению GЬ) мы получим
(в комплексном виде):
(9) f
.J- a fa. fdy
Подставим вместо к0 его значение из B) и перейдем, при помощи уравне-
уравнений B) и C) стр. 809, от нашего тока J, измеренного в электрических еди-
единицах, к току Jmagn, измеренному в условных магнитных единицах. Мы будем
иметь:
(9а)
-ш+ihx
е

-906 ¦ Электромагнитные колебания
Множитель справа можно положить равным с, при условии, что в выра-
выражении B) можно пренебрегать величиной sjmb2 относительно jio» (током сме-
смещения по сравнению с током проводимости), что, вообще говоря, можно делать
для металлов. Тогда
<9Ь)
2. Исследование поля, а) Большая проводимость. Для металли-
металлического проводника \Jc\ ^> &0, особенно для малых частот ш. Поэтому, согласно (8а)
или (8с), мы имеем h~lc0. Исследование ноля в этом случае очень просто. Так
¦как h = ho = ^, то показатель в выражении A) или C) будет:
— ia>t-|-ihx = — ад» it j.
Следовательно, поле распространяется в направлении а; со скоростью.
« в е т а и без затухания. Вместе с тем,
A0) для у > 0, Ех — 0, Еу = С, Н=С.
Следовательно, силовые линии электрического поля стоят перпендикулярно
к поверхности проводника. Электрическое поле Е^ и магнитное Нг имеют везде
одинаковую величину, т. е. нет никакого убывания поля при удалении от по-
поверхности проводника наружу.
Внутри проводника поле убывает очень быстро и тем быстрее, чем больше
проводимость. Именно, из G) следует, вследствие \l \hJ
для у < О Я.~ ¦&
Мы можем написать
A2)
В самом деле, так как в и р порядка единицы, можно пренебречь первым
слагаемым в выражении B) для Тс, по сравнению со вторым, на том же осно-
основании, на каком мы пренебрегаем &оа по сравнению с к2. Наконец, о = 4rcc2amagn,
где отагп обозначает проводимость, измеренную в обычных (условных магнитных)
единицах1). Поэтому мы можем еще написать, вместо A2),
A2а) Ъ = A +0 V2r^a~ = A +
Здесь v = — обозначает число Еолрбаний в секунду. Вследствие этого, по-
2тс
казательная функция в выражении A1) переходит на глубине у = — d в
/• j 3 )
x) Из 3 = oE следует при переходе к условным магнитным единицам, по уравне-
уравнениям B) и C) стр. 809:
а)
-с другой стороны, определим в этих же единицах:
") "magn = amagn "magn*
Ив а) и Ъ) следует приведенное в тексте соотношение:
С) е

XX/, § 1
Распределение в проводящей плоскости
907.
A3а)
Таким образом, при перемещении в глубину на расстояние
1
амплитуда иоля уменьшается в е раз и в то же время фаза отстает на один
180°
радиан, т. е. на ——. ото явление называется, Еак известно, скин-эффектом.
Понятие о численных соотношениях для меди дает следующая таблица;
(,3magn — 5,' 5 /Ч
•» — 4
60
1000
3-10*
3-Ю8
d
ММ
9,4
2,1
0,4
4-10-*
Технический переменный ток . . . .
Телефонные токе
Радио-телеграфньтё волны X = Ю км
Волны Герца X = 1 м
В последнем случае весь переменный ток концентрируется в тонком слое
на поверхности проводника, как показано па рис. 104. Для железа, для которого о
в шесть раз меньше, но зато у в 600 раз больше, чем для меди, скин-эффект
выражен еще более резко (именно d приблизительно в 10 раз меньше).
Поверхность проводника будет заряжена. Плотность заряда ч\ можно вы-
вычислить на основании уравнения E) стр. 809 по скачку Еу на поверхности.
Из A0) и A1) получается, если опять пренебречь &0 по сравнению с к, следую-
следующее выражение:
Ч = Се с' ,
т. е. в случае большой проводимости заряд также бежит вдоль поверхности со
скоростью света.
Ь) Средняя проводимость. Когда величиной Jc0 нельзя совершенно
пренебречь по сравнению с к, мы можем произвести в уравнениях G) и (8) разло-
h
жение по степеням ~, причем мы ограничимся здесь первым членом разложения.
к .
Из (8с) следует:
где введено сокращенное обозначение
Q ==
Показатель в выражениях A) и B) теперь будет
(Ua) -- + ^ = - { « — I1 2Q-) )-±Q-X-
Волна распространяется в направлевии х с затуханием и со скоростью, от-
отличной от скорости света (> с) х).
!) Так как здесь дело идет о фазовой скорости, то релятивистский ваярвт ско-
скоростей, больших скоростей света, не имеет к этому никакого отношения.

У08
Электромагнитные колебания
Далее, из (8Ь) следует, что
A5)
*,*
к
есть комплексная величина. Так как №, по определению [уравнения B)], лежит
в первом квадранте комплексной плоскости, к должно лежать в первом или
третьем, а -г и четвертом или во втором квадранте. Так. как мы условились
брать V'fco2 — ^2 с положительной мнимой частью, мы должны взять для -т- то из
двух возможных значений, которое лежит во втором квадранте. Положим
.например,
A5а) I / —jT-jjj— = ре, ¦-„"<!«<!'"•
р будет тем меньше, чем больше | к | по сравнению с к0; уравнения F) и G) по-
показывают теперь, что в воздухе поле не будет уже назависимым от у, но что оно
(при малом р медленно) уменьшается при удалении от поверхности
проводника. Внутри проводника поле и теперь очень быстро убы-
убывает, так же как в случае а).
Рассмотрим ближе положение электрических силовых линий
у поверхности проводника, у = О. При этом безразлично, какое
значение х мы будем рассматривать, так
как волновой процесс распространяется
вдоль оси х без изменения формы [если
отвлечься от вычисленного в A4) затуха-
затухания].
Положим поэтому х = О. Очевидно, мы. мо-
можем, кроме того, взять С=1. Из Gа)н C)
следует тогда с достаточным приближе-
приближением следующее выражение для поля с непроводящей стороны по-
поверхности (мы перешли здесь от комплексных величин к вещественным):
A6) { Х = Ъх = -»ъ« .
У
- X
Рис. 1036.
' Эти уравнения поясняются рис. 103а. Обе составляющие электрического
поля представлены в виде координат X и Y. Y изменяется между —1 и +1»
X между —р и -j-P- Точка (X,. Y) описывает эллипс, вписанный в прямо-
прямоугольник (rt I, rfcp). Для »t = 0 будет Х = — pcosa>O, F=l (точка О на
рисунке), для «<=:¦?-, Х = — psina<0, Y = Q (точка ~) и т. д. Эллнпй
2 \ л /
пробегается в направлении, указанном стрелкой. Прямая, соединяющая центр
с мгновенным положением точки (X, Y), даст мгновенное направление электри-
электрического вектора („вращающееся поле"). Среднее положение электрического вектора,
заданное большой осью эллипса, уже не перпендикулярно к поверхности про-
проводника, а наклонено вперед, в направлении распространения (по положительной
оси х). Конечно, за время одного периода будет момент, когда силовые линии
стоят как раз перпендикулярно к поверхности, л также и такие, когда они
направлены как раз по касательной. С возрастанием к (уменьшение р) прямо-
прямоугольник и эллипс делаются все уже и уже. Поле все больше приобретает
характер чисто переменного и устанавливается преимущественно перпендикулярно
к поверхности, как в предельном случае а).

XXI, § 1 Распределение в проводящей плоскости У09
Для проводника, в непосредственной близости от поверхности (у = 0), есяя
мы опять возьмем х = 0, мы получим по GЬ) с достаточной точностью:
Если р обозначает малое вещественное число, а — угол, несколько меньший —,
4
мы можем написать
Далее мы можем положить:
Для представления электрического вектора в проводнике, мы имеем в коор-
координатах X, Т следующие уравнения:
Они опять представляют эллипс, большая ось которого повернута немного
в сторону от направления оси X (рис. 103b).
Малая ось будет тем меньше, чем больше проводимость. В предельном случае,
когда силовые линии вне проводника стоят перпендикулярно к поверх-
поверхности, эллипс в проводнике вырождается в прямую, па-
параллельную поверхности. Однако, в общем случае поле
не будет прямолинейно-колебательным, а будет иметь
вращательный характер. Если в проводнике можно пре- »-
небречь величиной е^ш2 по сравнению с <з\ко, оси эллипса
совпадут с осями х и у.
Рис. 104 показывает, в очень схемативованном
виде, среднее положение электрического вектора в воз-
воздухе и в проводнике, по отношению к направлению рас- рИс. 104.
пространения волны (горизонтальная стрелка на рисунке).
Рисунок показывает ясно, что распространение волн происходит, собственно,
в непроводнике и что силовые линии в проводнике тащатся сзади, как
в вязкой среде.
Кроме того, на рисунке показано схематически уменьшение амплитуды
переменого тока в проводнике (скин-эффект).
3. Сопротивление переменному току. Элементарное определение сопро-
сопротивления (длина, деленная на поперечное сечение и на проводимость) разумеется
в нашем случае не пригодно. Вместо него введем энергетическое определение.
Мы обозначали через Q [уравнение (VI) стр. 809] джоулево тепло на
единицу объема, а теперь обозначим через
среднее по времени от джоулева тепла, выделяющегося в столбике, перпенди-
перпендикулярном к поверхности проводника, с основанием в 1 см2 и высотой оо. Сопро-
тивление R мы определим по аналогии с постоянным током, при помощи со-
соотношения

910 Электромагнитные колебания
где J2 обозначает среднее по времени от квадрата полного тока в смысле ура-
уравнения (9) [т. е. квадрат эффективного тока, уравнение A9), стр. 813]. Мы по-
получим В в обыкновенных магнитных единицах A0~9 ома), если будем измерять J
в этих же единицах. _
Чтобы проще всего найти Q, мы будем исходить из теоремы Пойнтинга
[уравнение G), стр. 810]. Эта^ теорема дает, при усреднении по времени, для
введенной сейчас величины Q выражение
'A8) Q = -
где справа нужно интегрировать по поверхности нашего столбика и усреднить Sn
по времени. Поверхность столбика состоит из трех частей: двух параллельных
плоскостей, перпендикулярных к оси z, двух параллельных плоскостей, перпен-
перпендикулярных к оси х, и площадки, перпендикулярной к оси у. Поток энергии S,
вследствие симметрии поля, направлен всюду перпендикулярно к оси г, так что
v плоскости s = const во всяком случае не дают ничего. Но и обе плоскости
\х=- const вместе дают нуль, по крайней мере, если мы возьмем предельный
случай большой металлической проводимости (ср. 2а).
В этом случае, как мы видим, поле в направлении х чисто периодическое
(h вещественно и равно &0); поэтому через одну из плоскостей х = const входит
такой же поток эпергии, какой через другую выходит, но только в другое время.
При усреднении по времени, оба потока взаимно уничтожаются. Остается только
верхняя площадка у = О. Здесь Sn = Sy, так как нормаль п считается положи-
положительной наружу.
Уравнение A8) дает тогда
vHO
н по уравнению A7) стр. 813
A9) Sy=—^(
Здесь надо заметить, что усреднение по t уничтожает также зависимость
от х, так как х входит только в комбинации — iwt-\-ihx (h — вещественно). По
уравнениям F) и Gа) (мы можем считать G вещественным), для у = 0 будет
A9а) • J^=
Таким образом,
Затем мы получим из (9Ь) по правилу A8) стр. 813 в условных магнитных
единицах, в которых мы хотим вычислить также и 7с:
Поэтому ив A7) следует:
B0)

XXI, § 1 Распределение в проводящей плоскости 911
Но согласно A5) и A2а) мы имеем:
,~ ч / &n2— Л2 H^n2 j A—0 S^n j A —'О / f1*"
У V * 2/^шатае11 2с У 2uamagn
Здесь надо взять нижний знак, чтобы/ &02—h? имело, как условлено, положи-
положительную мнимую часть. Из B0) и B0а) окончательно получается
Мы лучше вникнем в смысл этого выражения, если сравним его с глубиной,
проникновения тока в проводник при скин-эффекте. В вычислялось на единицу
длины в направлении тока и для „поперечного сечения", ширина которого (в напра-
направлении г) равна единице, а глубина (в направлении у) равна со. Однако,
глубина из-за скин-эффекта не используется.
Если мы обозначим эффективную глубину через d, т. е. возьмем поперечное-
сечение 1 • d, то обычная формула для сопротивления даст в нашем случае
а это в точности совпадает с A2), еслн мы возьмем для d вычисленное выше
вначение A3а). Наша формула для сопротивления B1) представляет поэтому
непосредственное следствие окучивания линий тока у поверхности проводника-
Сопротивление растет с возрастанием частоты и магнитной проницаемости, так
как одновременно уменьшается эффективное поперечное сечение проводника.
При частоте нуль (постоянный ток), когда току предоставлено все большое
поперечное сечение проводника, сопротивление будет, разумеется, равно нулю.
Если мы перейдем от сечения ширины 1 к сечению ширины 2ica, т. е
если мы будем рассматривать призматический кусок проводника длины 1 в на-
направлении х, ширины 2яа в направлении г и глубинь! со (или d) в напра-
направлении у, мы получим сопротивление В', которое вычисляется из B1) следующим:
образом:
B2) *'
omagn
Мы еще вернемся к этой формуле в следующем параграфе.
Мы могли бы вместо энергетического взять электродинамическое опреде-
определение сопротивления. Положим, как обычно,
B3) E=BJ+L^,
где Е—электродвижущая сила (линейный интеграл электрического поля вдоль
поверхности проводника), L — (внутренняя) самоиндукция. Если мы применим
это уравнение к единице длины оси х, мы получим .Ё = ЕЯ.. Подставим в B3)
аначеняе Е^ из Gа) (пересчитав его в обычные магнитные единицы и взяв его
для у =ж о) и значение J из (9Ь). Эти величины равны

912 ¦ Электромагнитные колебания
Тогда уравнения B3) и B0а) дают х):
Этим путем мы получаем одновременно сопротивление и самоиндукцию, причем
первое получается в согласии с B1).
Заметим еще, что и самоиндукцию можно было бы вычислить энергетически
но уравнению
а именно: „внутреннюю" самоиндукцию из магнитной энергии проводника и
„внешнюю" по энергии воздушного пространства. [Ср. гл. XVIII § 2, F)]. Мы
вернемся е этому в следующем параграфе.
§ 2. Провод с круговым сечением при низких и высоких частотах
1. Переиениое поле с круговой симметрией. Пусть радиус кругового
поперечного сечения будет я; ось провода мы примем за ось х. В плоскости
поперечного сечения введем полярные координаты. Электромагнитное поле,
соответствующее протекающему в проводе переменному току, имеет цилиндри-
цилиндрическую симметрию вокруг оси х, т. е. для всех составляющих поля мы имеем:
д<о
Магнитные силовые линии имеют вид кругов вокруг оси провода, электрический
вектор лежит в меридианных плоскостях, проходящих через эту ось.
Положим соответственно случаю (А) стр. 903:
(А) . Н = @, О, Н9); Е = (ЕХ, Ег, О).
$
Обратное предположение (В) соответствовало бы магнитному переменному току
и будет в известном смысле реализовано в задаче о катушке, рассмотренной
в следующем параграфе.
Мы выпишем только те составляющие уравнений Максвелла, которые не
удовлетворяются тождественно нашими выражениями (А), причем напишем их
в полярных координатах. Нам нужны прежде всего выражения для составляющих
вихря rot.
Мы имеем, например:
дх * дх
Только вторая из этих трех составляющих отлична от нуля. Поэтому
Максвелловские уравнения (I), стр. 808, сводятся к одному:
у. дШ 0ЕГ дЪ
<х' с dt ~~ дх^ ,дг '
х) То, что „операч^р сопротивления* В — iwL иаписаи со знаком минус при i, свя-
связано, очевидно, с тем, что мы все время, например, в выражении для J, писали временной
множитель в виде е-<ш*. При перемене знака во временном множителе оператор сопро-
сопротивления будет, конечно, -В + i«>L,

XXI, § 2 Провод с круговым сечением при низких и высоких частотах 913
и соответственно, уравнения (II) — к двум:
Положим, как и в предыдущем параграфе:
K = Exe-
считая процесс чисто периодическим во времени и имеющим характер волны,
распространяющейся по оси х. Величины Н, Ег и Ех зависят тогда от одного г.
В чисто волновых процессах следует считать заряд внутри однородной
среды равным нулю. Уравнение (IV) стр. 808 дает поэтому, если припомнить
выражение для расходимости в полярных координатах:
D) jH
Уравнение (III) стр. 808 удовлетворяется само собой.
Величина Еж, как прямоугольная составляющая, удовлетворяет волновому
уравнению вида A2) стр. 812. Это даст для Ех обыкновенное дифференциальное
уравнение:
E)
После подстановок р = V^i2 — № • г, Z—Ex, оно принимает вид:
a*z , 1 dz
Eа)
Сравнение с B) стр. 865 показывает, что интегралом уравнения Eа) будет
цилиндрическая функция нулевого порядка, т. е. одна из функций
F) . ЯоA)(р), ЯО(81(Р), Jo(p).
В этой главе мыограничимся областью внутри ароводника.
Более трудные соотношения во внешней области мы рассмотрим в еле
дующей главе. Внутри проводника мы можем взять из частных решений F)
только то решение, которое остаётся конечным при р = 0, т. е. функцию J0(p),
ср. гл. XX, § 4, 1. Вследствие этого мы необходимо получим:
G) E, = CJ0(p) = CJ0Qr&=W.r).
Чтобы найти Ег, лучше всего исходить из условий D). Оно дает, если
воспользоваться дифференциальным уравнением E):
ih Id/ dEr
Отсюда следует, без ограничения общности:
_ ih dEr ih n-r,
(8) Er-W^-drCJ
Наконец, из (I) находим:
{J> [аш \№ — h- ' / dr
58 Зак. U08. — Франк и Мизес. Дифф. уравн. мат. физ,

914 Электромагнитные колебания
Таким обравом, поле определено полностью, за исключением двух постоянных
О и К Первая остается неопределенное но своей природе, как мера интенсив-
интенсивности возбуждения, вторая может быть определена только в связи с полем вне
проводника при посредстве граничных условий. Ими мы будем подробно зани-
заниматься в следующей главе. Цока же заметим, что из рассуждений предыдущего,
параграфа [например, уравнения A4)], вытекает, что h будет того же порядка,
как и Icq, волновое число в непроводнике.
Это обстоятельство приходит нам на помощь при нашей теперешней точке
зрения. Именно, мы можей пренебречь величиной h^7cQ по сравнению с & и
получить для наиболее интересных для нас величин Ех и Н из G) и (9) не
зависящие от h выражения
E.=>CJ0(hr)
Напротив, мы сможем высказать что-нибудь определенное об Д только
тогда, когда решим вадачу полностью, учитывая окружающий непроводник.
Вычислим еще полный ток J путем интегрирования по поперечному се-
сечению провода:
в «
J = 2яз С Exrdr = 2*аG Г Jo (kr) rdr.
6 о
Интеграл справа легко берется. Из дифференциального уравнения Eа) для
цилиндрических функций нулевого порядка следует
1 d dZ
так что
С dZ H (dZ\
(На) J 2pdP = -P^ =-р°\1Гр) = '
Подставив сюда Z=J0(kr), p = &r, Po = ^a' получим
a
A2) I Jo Фг) rdr = — j Jo' фа);
о
отсюда
A3) . J== — l™°CJ0^ka).
2. Исследование поля. Мы хотим получить картину распределения тока
но поперечному сечению при возрастании частоты, причем мы будем держать
плотность тока на поверхности постоянной и равной единице. Это соответствует
тому, что мы будем рассматривать величину:
Мы должны различать два случая, смотря по тому, будет ли \Ъ\а не очень
велико, или же оно будет очень большое число. При этом удобно ввести сокра-
сокращенное oi означение:
|fc|« ,
A4а) х — —7^ (отвлеченное число).

XXI, § 2 Провод с круговым сечением при низких и высоких частотах 915
Итак, мы будем различать два предельных случая а) и Ь):
а) х мал о. В этом случае мы можем взять для JQ (р) разложение Db) стр. 867.
A5) Л(р)==1
Подставив в A4), получим:
Но в металлическом проводнике с большим приближением й2 = г|й12 [B)стр. 904];
поэтому
X = 1+ i Щ? (а» — г2)— !|? (За* —
4 Ь4
--; |Х| = 1(а
или, если воспользоваться сокращенным обозначением A4а),
A6) |X| = l-*
Амплитуда |Х| переменного тока отложена на рис. 105 в горизонтальном
направлении для каждой точки поперечного сечения. При этом мы оставляем в
стороне изменение фазы, которое происходит наряду с уменьшением амплитуды
в проводе от поверхности внутрь.
1 3
Рисунок изображает кривые для х = 0 -(постоянный ток), х = —, — и 1.
Для ориентировки заметим, что, по данным стр. 907 для меди и при радиусе
а = 1 мм, кривая для технического переменного тока почти совпадает с 0 и что
даже для телефонных токов cv = 1000 сек соответствующая кривая лежит еще
между 0 и —. Вычисленная на основании уравнения A6) кривая для х = 1 имеет на
оси провода ординату |Х | = 0, что показывает, что наше приближенное выра-
выражение здесь уже не годится, вследствие пренебрежения высшими членами (для
еще больших х оно дало бы отрицательные значения).
Поэтому для больших частот мы должны перейти к приближению, пригодному
в противоположном случае, когда
Ь) х велико. Здесь мы можем воспользоваться асимптотическим выра-
выражением (8) стр. 869. Считая, что р имеет положительную мнимую часть, что
соответствует нашему условию о знаке У к2—-№ стр. 904, мы получим для весьма
больших р:
A7) #о(%)=О, #<<%
58*

916
Электромагнитные колебания
и, согласно уравнению D), стр. 866,
J0(ka) =
точно также:
так что из A4)
\1с\
Перейдем к амплитуде |Х|, причем вспомним, что № = г\к\-, Тс = A -J-*) -у= •
X= l/ ±e*la-r).
t
a '
1
a
1
О
¦
Тогда
A8)
14-
1*1
е у 2
Рис. 105.
Коэффициент при (а — г) в показателе есть не
что иное как обратная величина введенной на
стр. 907 длины d.
Поэтому мы можем написать:
A8а)
Таким образом, получается экспоненциальное спадание амплитуды от края к средине,
как раз такое же, как и в случае плоской поверхности проводника, поскольку
наше асимптотическое представление применимо. Граница между ярко выраженным
скин-аффектом и равномерным заполнением сечения, совпадающая с границей
между областями применимости асимптотического выражения и степенного ряда,
зависит от отношения —. Если a^$>d, скин-эффект вокруг проводника может
развиваться без помех и середина остается свободной от поля. Вместе с тем, по-
поверхность провода можно считать почти плоской, так как ее радиус кривизны
велик по сравнению с толщиной несущего ток слоя d. Для а < d, напротив, несущие
ток слон сходятся в середине н возмущают друг друга. При а = 1 мм и при
данных стр. 907, оказывается d = а для частоты v = 4,3 X Ю8, т. е. для тока
на границе слышимости. Для полноты, мы вычислили на рис. 105 кривую для
d = -¦- по формуле A8а). Ей соответствует х=5. Здесь скин-эффект выражен
уже очень ярко. Еще совершеннее будет он в случае волн Герца.
3. Сопротивление и самоиндукция провода. Возьмем электродинамическое
определение сопротивления и самоиндукции, уравнения B3), § 1. Электродвижу-
Электродвижущая сила на поверхности провода на единицу его длины будет, согласно A0),
в обыкновенных магнитных единицах
Ток, измеренный в тех же единицах, будет, по формуле
1
Vi-e.

XXI, § 2 Провод с круговым сечением при низких и высоких частотах 917
В обеих формулах опущена зависимость от t и х. Уравнение, определяющее
электродвижущую силу
дает:
В — ia>L = — 4ттс2
Сравним это с сопротивлением единицы длины провода для постоянного тока
1
Мы получим
R — vs>h ha J0(ha)
2 Jo'
Вместо зтого часто пишут
в
,. „ ч Л «¦>? fa Jq (fa)
A9a) _ = _ ^fr-L. Рис.106.
MQ 2 Jx (lea)
В самом деле, между функциями Бесееля J"x и Jo существует соотношение
J-i = — Jor> как легко видеть из их представлении в виде рядов DЬ) или в виде
интегралов E), стр. 867.
При исследовании A9) мы должны опять различать два крайних случая:
(a) " |&|а<С1,
(b) |*|
В первом предельном случае мы имеем почти постоянный ток; следовательно,
h (OjCi
здесь -=— должно перейти в 1, а -я- в 0. Во втором случае мы имеем ярко
к0 м0
выраженный скин-эффект. ,Ток течет в тонком поверхностном слое, кривизной
которого можно пренебречь по сравнению с его толщиной. Мы имеем, следова-
следовательно, те же соотношения, что и для плоского проводника, именно для слоя
шириной 2тся. Для такого слоя сопротивление дается выражением B2), § 1».
Мы «случаем оттуда
B0)
где у. есть величина A4а). Эта формула была] впервые выведена лордом
Рэлеем (Rayleigh) для очень быстро переменных токов. Для этого ^случая, как
чмы сейчас покажем,
B0а)
о
Если откладывать (рис. 106) но оси ординат сопротивление и самоин-
самоиндукцию, по оси абсцисс величину х, то случай (а) будет представлен пря-
прямой Р, параллельной оси абсцисс и проходящей на расстоянии. 1 от нее (для
кривой сопротивления -^—I; для самоиндукции-^т- он будет представлен самой
осью абсцисс. Напротив, случай (Ъ) (для обеих кривых) будет представлен пря-
прямой, проходящей через начало под углом в 45° к оси абсцисс. Кривые сопро-
сопротивления и самоиндукции должны укладываться между этими граничными ли-
линиями. Мы покажем это более подробным исследованием формул A9) и A9а).

918 ' Электромагнитные колебания
а) \Ъ\а<^,1. Согласно уравнению A5), мы имеем, если положим ка = р,
±1J-Laa1
ш
а, значит согласно A9)
1/P\* 2 \2 ) 12
1/P\',1/P\* 2 \2 ) 12 I 2
Для отделения вещественной части от мнимой, напишем
р2 = г | й |2 а? = 8гх2;
мы подучим:
Кривая сопротивления касается прямой Р, как парабола четвертого порядка,
кривая самоиндукции — оси абсцисс, как парабола второго порядка.
Ъ) |йа|^>1. Здесь мы должны применить асимптотическую формулу (8Ь)
стр. 870. По уравнению A9) непосредственно получаем:
B2) В-М =_п^=
J? 2
J?o 2 21/2 V ^
Это отвечает рэлеевской формуле сопротивления и асимптотическому при-
приближению х) к прямой G на рис. 106. /
Разумеется, эти результаты можно вывести и на основании энергетического
определения сопротивления и самоиндукции.
§ 3. Еатушка с переменным током
1. Упрощения и симметрия задачи. Приведенное ниже исследование 2) по-
поучительно в том отношении, что оно показывает, насколько можно идеализовать
физическую задачу, не теряя из виду ее существенных особенностей. Мы будем
считать катушку бесконечно длинной в направлении х и совершенно отвлечемся
от формы сечения провода, от величины хода витков и от изоляции витков.
Катушка превращается тогда в металлический полый цилиндр; пусть внутрен-
внутренний радиус будет г = а, внешний r = a-\-d, ср. рис. 107.
Далее, мы будем считать магнитное поле внутри бесконечно длинной
катушки однородным. Мы положим:
A) Н = (ДС, 0, 0), Пх = Не~ш для г^а.
Точно так же снаружи мы будем считать поле однородным. Так как оно должна
исчезать на бесконечности, мы должны будем взять:
B) Н = 0, для гэ=
*) Из рисунка видно, что сопротивление асимптотически отличается от * на неко-
некоторый постоянный член (что ие доказано в тексте). Во второй я третьем приближенна!
будет {ср. Jahncke-Emde, Funktionentafeln; или Sommerfeld, Phys. ZS. 8, 805, 1907]:
B__ J_ , _3_ _^_ 3 3
Bo — *+ 4 "T" 64% ' Ro — * 64* 128%2
*) A. Sommerfeld, Aim. d. Phys. 15. 673. 1904.

XX/, § 3
Катушка с переменным током
919
Впрочем, вводя это предположение, мы тем самым покидаем строгую теорию
Максвелла. В самом деле, уравнения (II) стр. 808 дают для однородного магнит-
магнитного поля, вследствие rotH = 0,
C)
Е = 0, для г <Са и г > а -}- eJ,
и уравнениям (I) удовлетворить уже нельзя. Мы становимся поэтому на до-
Максвелловскую точку зрения, которая не знала токов смещения в непроводни-
непроводниках. С этой точки зрения, индукционные действия переменных магнитных полей
учитываются только в проводниках.
Предположение об однородности поля влечет за собой то, что мы должны
пренебречь распространением поля в направлении оси х и поэтому отбросить в A)
введенный в предыдущих параграфах множитель е
безусловно требует для однородного ноля:
дН,
дх
ihx
Ибо условие (III) стр. 808
= 0.
Несмотря на то, что мы ограничиваемся до-Максвел-
ловской теорией, в дальнейшем мы будем применять Макс-
велловский метод, т. е. единое оаисание поля с помощью
дифференциальных уравнений и граничных условий. В атом
отношении наша трактовка задачи с катушкой дополняет
задачу в гл. XVIII, § 3, где точно такой метод вычисления
был приспособлен к старой точке врения. Как и там, мы
будем называть нашу теперешнюю трактовку поля квави-
«гационарной. В заключение этого параграфа мы вернемся
к более строгой точке зрения.
Перейдем к области внутри катушки a < г < а -(- d. Здесь Н также парал-
параллельно оси х, но уже зависит от г. Зависимость от г определяется волновым
уравнением того же вида, как уравнение E), §2, но при ft = О. Ив трех решений
F) уравнения Eа) мы будем пользоваться функциями ИоA) и Щ® (Весселева
функция Jo не занимает здесь особого положения, а обращение в бесконечность
fанкелевых функций при г = 0 ничему не мешает, так как г = 0 не принадле-
принадлежит в рассматриваемой области). Итак, мы напишем:
Рио. 107.
(*)
Н = (Н„ 0,0); Н, = { С,
Чр)+ед(з)(Р) }*~ш,
= —-„—, а-.
Данное здесь выражение для № соответствует тому обстоятельству, что
внутри вещества катушки мы, несомненно, можем пренебречь током смещения.
Постоянные интегрирования Сх и С2 нужно определить ив граничных
условий. Положим:
E) p1=ha, p3 = h(
Тогда мы будем иметь, вследствие непрерывности магнитного поля при
переходе через поверхность катушки, по A), B) и D):
Это дает:
F)
ТГ - ТТ
*~
Я"оB)(Р2)

920
Электромагнитные колебания
Переменное поле Н индуцирует в веществе катушки переменный ток плот-
плотности J. Благодаря тому что мы пренебрегли изоляцией и ходом витков, мы
можем считать распределение тока чисто азимутальным. Сообразно этому, мы
положим
и по Максвелловским уравнениям (II) стр. 808 (в этих уравнениях нужно взять
только составляющую по »,. так как составляющие по г и по х принимают ви?
0 = 0) мы будем тогда иметь
дг
' (р) -
(р)
> (Р
Если бы мы хотели определить полный ток J, мы должны были бы интегриро-
интегрировать плотность по всему поперечному сечению. Последнее, однако, не опреде-
определено. Мы поможем делу тем, что, кроме интегрирования по толщине d, мы
проинтегрируем еще на единицу длины в направлении х. Если N есть число
витков провода на единицу длины (мы возьмем однослойную катушку), то согласие
G) или по указанному на рис. 107 слева „соотношению обхода" (линейный инте-
интеграл магнитного поля равен полному току через ограниченную контуром поверх-'
ноеть) мы имеем:
NJ= J' dx f dr3,
(8)
r_
Прежде чем переходить к исследованию полученных результатов, мы попы-
попытаемся их строже обосновать. Вспомним о противопоставлении случаев А и В
в начале § 1 этой главы. Симметрии задачи с проводом, случаю А, можно про-
противопоставить симметрию задачи с катушкой, случай В:
= уу, и, ли ), м± i= (Mix, si., U).
Все три неисчезающие составляющие мы возьмем, как в уравнениях B),
§ 2, в виде:
(9)
Hr =
где Е, Нх и Нг будут зависеть только от г. Определим эти величины сначала
для воздушного пространства внутри катушки, где г<а и h = й0.
* При этом мы можем сослаться непосредственно на уравнения G), (8), (9)
стр. 913. Как там Ех, так здесь Нх определяется, как конечное реше-
решение Jo уравнения Бесселя. Как раньше Ет определялось из Ех, так теперь И,
определяется из Нх из равенства нулю расходимости и т. д. Поэтому мы полу-
получим теперь:
A0)

XX/V § 3 Катушка с переменным током 981
Не вдаваясь в определение h из граничных условий, мы можем сраау ска-
сказать (ср. стр. 914), что h должно быть того же порядка величины, что и й0.
Поэтому аргумент всех трех Бесселевых функций будет очень мал, и мы можем
положить: .
JO(P)=1, ,Г0'(р) = —?_,
откуда
Но ко = -т—,и поэтому Л = -т—, где X длина волны протекающего в ка-
катушке переменного тока. X во всяком случае чрезвычайно велико по сравнению
с радиусом катушки а и расстоянием г. Поэтому мы будем иметь с большим
приближением НТ~Е = О, и по формуле (9)
что совпадает с нашим прежним предположением A) и C).
Таким образом, предположение, что внутри катушки магнитное поле одно-
однородно, а электрическим можно пренебречь, подтверждается также и с более строгой
точки врения при не очень больших частотах (не очень малых X).
С другой стороны, для воздушного пространства вне катушки, r>
l: = k0, мы должны были бы положить, вместо A0):
ioB){Vw=h?- г).
С2 должно здесь быть нулем, так как Н0{г) при г = оо и положительной мнимой
части аргумента обращается экспоненциально в бесконечность [ср. (8) стр. 869]»
На том же основании во внешнем пространстве не применима функция Jo. Но
постоянная Сх будет весьма малой, так что мы можем также взять G'j = CL
В самом деле, в противном случае Ня уменьшалось бы во внешнем пространстве
очень медленно (сначала даже увеличивалось бы), так как аргумент Н0<и очень
мал (fc = &0), что бессмысленно. Таким образом, мы получим Нх = 0, и вслед-
вследствие этого также [ср. A0)] Нг = Е = 0. Это совпадает с нашим предположе-
предположением B) и C) для внешнего пространства. На основании этого понятно, что и
для области внутри вещества катушки формулы D), F), G) окажутся прибли-
приближенными выражениями строгого решения.
2. Исследование поля. Задача заключается в графическом представлении
уравнений F) и G) для области внутри катушки a < г < a -f- d- Прежде всего-
оказывается, что, исключая постоянный ток, мы должны во всех случаях брать
для функций Ганкеля асимптотические формулы (8) стр. 869. Именно, мы имеем:
= *«a» = Ир- а
Возьмем, например, а = Ь см и по данным стр. 907 для меди р =
4
°m
~4
magn = 5,75 • 10~4, тогда pi = 1Д5 • * • v. Так .как нас интересуют частоты v > 50.,

Э22 Электромагнитные колебания
¦ .
то все три величины р, ри р2 нужно рассматривать как большие числа. Указан-
Указанные асимптотические формулы дают тогда *):
р)
тт _? е ТТр
х „-<((>•-Pi) +<(pp) ™
1т • 7 ° I xt —win, *
Jo = —гск—г- ~—X7 г- He
I ? —« (Pj— Pi> g+» (P« — Pi)
Хотя Pi и p2 — большие числа, может оказаться, что р2 — рг и р2 — р будут
малы. В этом случае можно будет заменить показательные функции в A2) пер-
первыми членами их разложений по степеням аргументов. Если же р2 — pj и р2 —р
хакже велики, то вследствие комплексного характера этих чисел можно прене-
пренебречь одной из показательных* функций по сравнению с другой. Поэтому мы
будем различать два предельных случая:
а) | р2 — р! | мало.
В этом случае мы получим из A2) после разложения в ряды и сокра-
сокращения на —2гк
—- Не ,
т. е. магнитное поле спадает линейно, начиная от значения Н для г = я до
значения 0 при r = a-\-d. Ток распределен равномерно по сечению. Это пре-
предельный случай постоянного тока 2).
Ь) |Ра — Pil велико.
Так как мы берем у ~к положительную мнимую часть, вещественные части
г(р2 — р) и *(р2 — р^ будут отрицательны и, вообще говоря, очень велики. Вслед-
Вследствие этого надо пренебречь в A2) второй показательной функцией в числителе
¦и знаменателе по сравнению с первой. Мы получим:
Этот случай соответствует ярко выраженному скин-эффекту. Когда мы пере-
перемещаемся от внутренней поверхности катушки (г —а) вглубь ее материала,
магнитное и электрическое поля убывают по показательному вакону. Скин-эффект
развивается здесь совершенно односторонне: линии тока и линии магнитного
поля теснятся к внутренней поверхности катушки и оставляют внешнюю ее
часть свободной.
х) Справа должен был бы еще стоять множитель у -^-=т/ - , ио мы ваме-
нили его на единицу. Это допустимо, если толщина катушки мала по сравнению с ее
радиусом. (Прим. ред.).
2) Как указано автором в начале этого параграфа, в случае постоянного тока фор-
формулы A2) не годятся, и следовательно, вывод формулы A3) нужно изменить. Более
•строгие формулы для постоянного тока (сплошное распределение) будут:
н — тт Ь (д + ^ — 1ц- г J_ _ Я о
_rf_\
При налой толщине катушки эти формулы практически не отличаются от указанных
та тексте. (Прим. ред.).

XXI, § 3
Катушка с переменным током
923
Подробности представлены на рис. 108. Он показывает постоянную ампли-
амплитуду П переменного магнитного поля внутри катушки (г < а) и спадание ее до
нуля в веществе катушки. Спадание будет линейным для постоянного тока
(кривая О) и все более и более крутым при увеличении частоты (кривые 1 и 2у.
Кривая над ними представляет распределение тока. Для постоянного тока, рас-
аределение равномерное (кривая О), при увеличении частоты мы имеем увели-
увеличение плотности тока с внутренней стороны и уменьшение с внешней (кривые 1
и 2), при той же величине полного тока (той же площади фигуры).
3. Сопротивление и самоиндукция катушки. Мы будем исходить из элек-
электродинамического определения В и L, уравнение B3), § 1, и подставим туда
цля J значение (8), для Е значение Ев = — из A2) при г = а. Тогда получится
iJcN е*Ь'-ь> -fe-<<h-n>
Здесь по формуле D)
Р2 — Pi = *d =
если положить
A6) x = l/|fc|d =
Знаменатель в A5) будет тогда иметь вид:
г<а г. с г-а»л
Рис. 108.
е "— е
Умножив числитель и знаменатель на сопряженную с этик величину,
получим:
(ех-|-О —(в +e
или, вводя тригонометрические и гиперболические функции:
A7) JR.—*a)L = (l— »)-„—j-!
K ' v ' 2od
—г—! .
ch x — cosx
Перейден сначала к случаю постоянного тока 1) (о> = о, х = 0); мы будем
иметь
(Па)
Поэтому
A7а)
A7Ь)
будет
В
в0
В —it
Во
х sh
2 ch
— (Л
\1
х -|- sin х
X — COS X
во =
"od
X
2
mL
Но
-2)
sh
ch
•
х -(- i sin x
X COSX
x shx —
2 chx —
-sinx
-COSX
*) См. прим. ред. 2) на стр. 922.
2) Сравнивая это с формулой йо = -»~ для единицы длины провода с сечением F,
Л 1
получим F = -|=-. Это соответствует прямоугольному сеченню ширины Л и высоты -^
(ср. рие. 107).

984
Электромагнитные колебания
Рассмотрим опять два предельных случая:
а) х мало. Разлагая в ряды числитель и внаменатель в A7Ь), например:
Bк* \
1 ~^~ "бГ"" Г
получим:
A8а)
Ъ) •*. велико. Можно пренебречь sin x и cos х по сравнению с ch х
в мы получим ив A7Ъ):
R _ mL _ х
°8Ь) Ж""Д7"Т'
sh *.,
Это поясняется рис .на 109, на котором в качестве абсциссы нанесена величина
A9)
[ср. A6)].
Л
Рис. 109.
Кривая -=- начинается как парабола четвертого
Щ
порядка у прямой Р, параллельной оси абсцисс, и при-
приближается, колеблясь, к прямой G. Точно так же и кри-
вая-,^-, которая начинается у оси абсцисс как пара-
парато
бола второго порядка. Обе кривые пересекаются в точ-
точках, лежащих на равном расстоянии одна от дру-
другой.
Сравнивая рис. 109 с подобным ему рис. 106, следует обратить внимание
на то, что теперешняя абсцисса — [уравнение A9)] будет в известном смысле
в четыре раза больше, чем прежнее х [уравнение B0) стр. 917], если сопоста-
сопоставлять толщину катушки d с диаметром провода 2а. В этом смысле уравнение
A8b) дает вчетверо большее сопротивление, чем уравнение B2) стр. 918 для
прямого провода. Это увеличение сопротивления легко объясняется менее благо-
благоприятным распределением тока (скучиванием линий тока на внутренней стороне
катушки) по сравнению с равномерным распределением по окружности прямого
провода. Ф. Долежалек *), установивший впервые это увеличение сопротивления
экспериментально, стремился избежать его, употребляя крученые (витые) про-
провода, состоящие из мелких проволок, чем достигалось более полное использова-
использование сечения катушки.
В то время как наши формулы A8а, Ъ) хорошо воспроизводят качествен-
качественные соотношения, мы не должны особенно полагаться на численные значения
коэффициентов. Последние зависят от действительной формы поперечного сечения
и от величины хода витков, которым мы пренебрегли. Точный учет этих факто-
факторов очень сложен2). Для кругового сечения и плотной намотки (ход витка = диа-
диаметру провода = нашей величине d), вместо A8а), получится*
!) Ann. d. Phys. 13, 1142, 1903.
2) A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 24, 609, 1907; упомянутые в тексте результаты
содержатся в {уравнениях C0) н D0) этой работы, если положить в первом уравнении
А = 2г н в последней ввести замеченную Брейтом численную поправку, hre.it, Journ. Opt.
Soc. of Amer. 10, 65, 1925.

XXII, § 1 Поле и распространение волн вдоль проводов 925
С другой стороны, при очень больших частотах сопротивление получается не'
в 4 раза, как по A8Ь), а только в 3,4 раза больше, чем для прямого провода.
В случае высоких частот для представления магнитного поля необходимо поль-
пользоваться эллиптическими модулярными функциями [именно, преобразованием
(вырожденного) кругового треугольника в полуплоскость].
Задача о катушке разобрана в гораздо более общем виде Ленцем1). Он
впшодит также формулы для практически важных собственных частот катушки.
ЛИТЕРАТУРА
Е. Cohn, Das elektromagnetische Feld, стр. 449 и ел., Leipzig 1900.
Abraham-Foppl, Theorie der Elektrizitat, Bd 1, § 78, 6-е изд. Leipzig, 1921.
ГЛАВА XXII
ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
В опытах Генриха Герца, наряду с распространяющимися в свободном
пространстве пространственными волнами, решающую роль играли бегущие вдоль
проводов „поверхностные" электромагнитные волны: Герц ожидал, что скорость
(с \
или —~ в диэлектрике}, но сначала
ие мог подтвердить этого ни экспериментально, ни теоретически. Причиной его
экспериментальной неудачи было возмущающее действие стен лаборатории2),
причиной непригодности его теории 8) —- чересчур большая идеализация задачи:
он рассматривал провод как бесконечно тонкий, и не мог поэтому поставить
никаких электромагнитных граничных условий. Эти последние играют главную
роль при вычислении скорости поверхностных волн и дают, как мы увидим,
значение этой скорости, практически равное с, но, строго говоря, немного
меньшее с.
Экспериметальные трудности были преодолены, как известно, Лехером,
который брал вместо одного, два параллельных провода, таким образом, что
электрические силовые линии выходили из одного провода и кончались на другом.
Таким образом, поле концентрировалось, и помехи от окружающих предметов
исключались.
Теоретическое исследование Лехеровской системы является, если мы не
хотим довольствоваться квази-стационарным приближением, гораздо более
сложным, чем строгая теория одного провода 4). Поэтому мы обратимся сна-
сначала к этой последней.
§ 1. Поле и распространение волн вдоль проводов
Пусть провод будет прямой и бесконечно длинный, его поперечное сечение—
круглое и постоянной величины. Возьмем за ось х ось провода, а в плоскости его
поаеречного сечения введем координаты г и ер. Задача имеет ту же симметрию,
что и разобранная на стр. 912. Симметрия эта характеризуется условиями рассмо-
рассмотренного там же случая (А). Таким обрааом, магнитные силовые линии имеют
вид кругов с центрами на оси провода, электрический вектор лежит в иери-
!) Lenz, Ann. d. Phys. 34, 923, 1912; 43, 749, 1914; ср. также работу Goosman, Arch. f.
Elektrotechn. 14, 258, 1925.
2) H. Herts, Ges. Werke, 2 Bd. Einleitune, стр. 10 и ел.
') Там же, стр. 65 или Ann. d. Phys. 86, 1, 1888. Это та самая работа, в которой
Герц дает свое, ставшее классическим, представление поля колеблющегося диполя.
*) Л. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 67, 233, 1899.

926 Электромагнитные колебания
диональных плоскостях, проходящих через эту ось. Все составляющие поля не
зависят от о-
Рассмотрим процесс, чисто периодический по времени, соответствующий
распространяющейся вдоль провода волне. Положим, как на стр. 913.
A) Н9 = Не" *"*+**, Ег = Ег е~ ш +i>ix, Bx = Ехе~ ш+<hx.
Постоянная h будет одна и та же внутри и вне провода. Она
определяет распространение волны в направлении х. Поле внутри провода нам
известно [см. уравнения G), (8), (9), стр. 913]. Найдем поле вне провода, при-
причем начнем с Ех; величина Ех удовлетворяет волновому уравнению E) стр. 913 [ср.
также B) стр. 904] со значением постоянной &, равным
B) * = *в=^..
В саном деле, вне провода мы можем взять е = [х = 1, о —0. Как сказано на
стр. 913 относительно частных решений волнового уравнения, оно интегри-
интегрируется в цилиндрических функциях с аргументом
Условимся *) еще рав брать квадратный корень с положительной мнимой
частью, если он комплексный, и положительным, если он вещественный. Покажем,
что из трех приведенных на стр. 913 частных решений нам надо брать только
одно, а именно П^ (р), причем нужно рассматривать только главную ветвь
этой функции. Если квадратный корень ]/ &02 —- fc2 комплексен, это следует из
условия убывания поля на бесконечности; в самом деле, по асимптотическим
формулам (8) стр. 869, оба другие решения Jo (p) и Ж0B)(р) обращаются в бес-
бесконечность при г -+ то. Если корень вещественный, то это следует ив условий отсут-
отсутствия радиальных волн, сходящихся к проводу ив бесконечности (отсутствие
источников энергии на бесконечности). Это видно ив тех же асимптотических
формул (8) стр. 869, согласно которым только ff0W имеет вид:
соответствующий (если иметь в виду множитель е ""*) расходящейся волне.
Мы положим поэтому, отбросив верхний значок у Но :
C) Е = АН0 (V &о2 ¦ ^2 *г)-
Величины Ег и Н получаются теперь, точно так же как и на стр. 913, на
основании уравнений Максвелла, а именно:
1. Условия на поверхности и трансцендентное уравнение. В уравне-
уравнениях C), D) и E) входят две неопределенные постоянные А я h. Точно так же
в выражениях для поля внутри провода оставались неопределенными две
*) Здесь текст изменен и дополнен редактором в целях исправления допущенной
автором неточности. (Прим. д$

G)
XXII, § 1 Поле и распространение волн вдоль проводов 98?'
ностоянные С и h. В общем получаются две неизвестных: отношение ампли-
амплитуд —sj- и постоянная распространения h. Для их определения как раз доста-
точно двух условий на поверхности (непрерывность касательных составляющих;,
индексы i и а обозначают „внутреннее" и „внешнее").
F) Exi = Еха; Н, = Па,
т. е.
АЩ (У V — fe2 а) = CJo (V*2 —Ь2 а)
Исключив i и С, получаем трансцендентное уравнение задачи:
Ш"оF) Л2 i^oCi) / Е = V ^о2 — Л2 • я
Если оно решено, неизвестная -^г определяется подстановкой А в одно из урав-
уравнений G). После этого поле будет определено как внутри, так и вне провода.
Для упрощения уравнений (8) рассмотрим сначала предельный случай
идеального проводника, |Л|->оо. В этом случае i\ = ka бесконечно большое
комплексное число (с положительной мпимой частью); по уравнению (8Ь) стр. 870-
мы имеем тогда -р- = -\- г. Вследствие этого правая часть (8) принимает не за--
висящее от h значение
к
(9) *!*-]Г"&оа>
обращающееся в пределе i-^оов нуль. Чтобы исчезла и левая часть,мы должны
В8ЯТЬ
A0) 5 = 0, h = ko = ~,
ибо мы видели раньше, что главная ветвь функции Ганкеля Но не имеет нулей..
По уравнению A0) скорость распространения волны вдоль про-
провода будет р.авна с. Это как раз то, что предполагал Герц.
Случай реального металлического провода должен непрерывно переходить,
в случай идеального прововика. Поэтому мы можем счить \ малым и взять
в левой части (8) для По приближенную формулу F) стр. 867:
tic "(? f? ift 1
Правую часть нужно заменить ее значением (9). Тогда получится
Напишем вместо этого
и In и = v,
(И)

$28 Электромагнитные колебания
Так как v известно, и определяется трансцендентным уравнением A1).
Для его решения можно предложить своебразный прием, похожий на образова-
образование непрерывных дробей. Он основан на том, что In меняется медленно по
«равнению с и. Поэтому, если мы нашли n-ое приближение ип, то (п-\-1)-ое
находится иг
<12)
Это приводит к такому алгорифму:
A2а) v
In —
Ъ±
In
Сходимость легко доказывается х) для вещественных положительных зна-
значений v, но, конечно, остается и в комплексной области, что нам как раз и
важно. Для логарифма нужно при этом всегда брать главную ветвь (мнимая
чашгь между — те и -J- тс), для того, чтобы соответствующий аргумент х лежал
в положительной мнимой полуплоскости главной ветви функции Ганкеля Н0AК
Начальное значение в некоторых пределах безразлично, так как оно последова-
последовательно исправляется. Однако, чтобы улучшить сходимость, рекомендуется брать и,
сообразно значению In и, т. е. полагать ut = -= ; In и, как увидим, будет отрица-
отрицательным числом, приблизительно равным — 20. В формуле A2а) «,, конечно,
явно не встречается.
Заметим, что уравнение A1) допускает еще бесконечный ряд других кор-
корней, которые, однако, не имеют никакого значения для поверхностных волн.
Один из корней лежит вбливи и = 1, другие соответствуют не главной ветви,
а тем ветвям логарифма, которые отличаются от главной на кратное 2та. Эти
«горни также можно вычислить но нашему способу, если взять начальное зна-
значение и около 1, или если брать для логарифма не главную ветвь.
2. Численный пример 2) для одного типичного случая. Вычисление
скорости распространения и затухания. Рассмотрим, как на рис. 105, медный
провод с радиусом а = 1 мм, проницаемостью ц = 1 е проводимостью а =
= 5,75-10 и возьмем частоту v = 10 сек. , соответствующую,, длине волны
2~
в воздухе" Х0 = 30 см и „волновому числу" ко~-Бк- Тогда
i = A + i) 2ir • 7,6 • 102, v = — A -j-«) • 7,2 • 10~7.
Положим, например,
1j a
U* = -l0 =(!+,»)-3,6-1+0
и вычислим сначала
hi u.v == — 16,8 = — A6,8 — 0,78 i),
!) A. Souimerfeld, Gottinger Nachr. 1899.
2) В наших первоначальных: вычислениях (Ann. d. Phys., 67, 1. с.) ошибочно писа-
писалось 1/f вместо f. Однако, сделанные там выводы остаются качественно верными.

XXII, § 1 Поле и распространение волн вдоль проводов 939
затем последовательно, согласно A2):
In и2 == — A6,7 — 0,83 i ),
«8 уже почти равно и2, т. е. мы уже достигли предела, получаемого по нашему
способу. Из и получается, согласно A1)
S2 = — -а- « = — E,3 + 5,7 i) • 10~V
Малость этого значения оправдывает задним числом употребление прибли-
приближенной формулы для Ео (%), а также для Jo (у). По уравнению (8) ив найден-
найденного значения ?8 следует теперь при а = ОД см:
W = V + E,3 + 5,7 »У10-6,
6,0-{-6,4г-) 10~5].
Подставив это значение в показательную функцию нашего первоначаль-
первоначального выражения A), 'получим для мнимой части показателя выражение
A3а) — м» It — ~A + 6,0 • 10~5) ) ,
а для вещественной части
A3Ь) —1,3-КГ6ж.
Из A3а) следует, что распространение фазы вдоль провода происходит
со скоростью
Из A3Ь) следует, что амплитуда уменьшается до ой доли ее первона-
чального значения при перемещении на отрезок
10б
х = --
Таким образом, отклонение от скорости света и затухание
в этом типичном случае практически незаметно.
3. Очень тонкий провод. Аномальный случай распространения и зату-
затухания. Рассмотрим материал, который можно растянуть в виде очень тонкой
нити, например, платину. Пусть радиус провода будет а = 2(х = 2 • 10~* ем
(Волластонова нить). Проводимость платины приблизительно в восемь рае
менЫпе, чем для меди. Частоту возьмем меньше, чем в предыдущем случае,
именно v = 3 • 108, соответствующую длине волны в воздухе, равной Хо = 1 м.
Тогда
*а_A _{_,-J«. 1,5 ¦ 102, fc
59 Зак. 14»8. — Франс и Мизес. Дифф. уравк. мат. физ.

930 Электромагнитные колебания
tj уже не велико, как в предыдущем параграфе, а мало. Вследствие этого,
так как J0(r|)=l, Jq'(¦»]) = ±\ правая часть (8) будет равна ]fc2~'H
уравнение A1) примет вид (при том же значении буквы и):
Возьмем в качестве начального значения опять ut = — —; мы получим после-
20
довательно:
ut = 3,5* • Ю~10, InMj = -^-—21,8 = — B1,8 —1,57 г),
и2 = -j^- = ( — 0,23 + Ь,2 0 • 10~10, In м2 = - - B1,8 — 1,61 г),
Предел и, получаемый по нашему способу, достигнут. Затем, согласно (8)
и A), мы будем иметь:
Слагаемые справа одного порядка величины, так что корень нельзя извле-
извлекать по формуле бинома. Вычисление дает
h = @,83 + 0,61 г) • 10~\
Цодставив это в A), получим для мнимой части показателя выражение:
A4а) — «о* -j- 8,3*ж • 10~2.
Таким образом, скорость распространения фазы вдоль провода (вследствие
ю = 2itv и v = 3 • 108) равна:
dx о • 102 _ 2д • 3 • 1010_ п пр
~dt-~%3~~ р — 0,7bc
Волна бежит теперь со скоростьй только в 76% скорости
света. Затухание тоже аномально. Вещественная часть показателя ihx в A)
равна теперь:
(НЪ) — 6,1.10~2ж.
Таким образом, уже при пробеге отрезка
ж = -7гг- =16 ел
ь,1
амплитуда уменьшается до 1/е доли ее значения; следова-
следовательно, в йтом аномальном случае уклонение от скорости
света и затухание поддаются наблюдению.
Причины аномалии в нашем теперешнем случае очевидна: в то время
как в толстой медной проволоке скин-эффект мог развиваться свободно, так
что положение вещей не отличалось от случая бесконечно толстого провода
(проводящей плоскости), в тонкой платиновой проволоке оба несущие ток слоя
перекрывают друг друга в середине провода и взаимно возмущают друг друга.

XXII, § 1 Поле и распространение волн вдоль проводов 931
Положение вещей будет зависеть поэтому ,от радиуса провода и будет примерно
такое же, как на рис. 105 для сравнительно низких частот.
На самой деле, опыты Баркла *) (ВагЫа), сделанные, впрочем, не с одним
проводом, а с Лехеровской системой проводов, показывают уменьшение скорости
распространения с уменьшением радиуса провода.
4. Поток энергии на бесконечности. Мы сейчас покажем вычислением
радиального потока энергии при г = со, что в наших решениях мы имели дело
с процессом,, в котором источник энергии находится на .одном конце провода.
ж = -4~°°1 а сток на ДРУгом конце, % — — с». Мы имеем: '
Отсюда для полного потока- энергии через единицу длины цилиндра с радиу-
радиусом г получается выражение:
A5) 6' = — ЪкгсК^.
Но Е и Я представляются по C) и E) функцией По (У V —fe2 * г\ к<>т<ь
рал, при комплексном Y К2— ^2 с положительной мнимой частью, уменьшается
для г = оэ по показательному закону. Вследствие этого 8-*- 0 для г -*¦ то, как.
и следует быть.
Мы видели 2) при исследовании уравнения (8) стр. 927, что величина
У «02— fc2 комплексна; если бы, напротив, она оказалась вещественной, то вели-
величина № [уравнение A5)] стремилась бы к постоянному пределу, что соответство-
соответствовало бы потоку энергии, уходящему от провода в радиальном направлении на
бесконечность. Таким образом комплексность величины У &02 — ^ имеет след-
следствием то, что энергия идет, вдоль провода, а не уходит в стороны от него.
б. Структура поля. Поле внутри провода известно нам из § 2 предыду-
предыдущей главы: в нормальном случае — полный скин-эффект, при аномальных обстоя-
обстоятельствах—частичное заполнение сечения током.
С другой стороны, соотношения вне провода в основном представлены, для
нормального случая, в § 1 предыдущей главы, так как они похожи на соотно-
соотношения, имеющие место в случае плоской поверхности проводника: электрические
силовые линии почти перпендикулярны к проводу, в среднем (по времени)
несколько наклонены вперед, временной ход дается узким эллипсом вращающегося
поля (рис. 103а).
То же самое следует и из нашего нового представления C) и E), которое,
если принять во внимание приближенную формулу A0а), вблизи провода пере-
переходит в
«с 1 °**>
2 '~~ V — А2 *г '
Здесь | Ег | ^> | Ех \, т. е. силовые линии еточти перпендикулярны к що-
воду, ибо 1--^>Ъ~ и |*P»!V-*e|.
Уменьшение поля о возрастанием г еще не проявляется в етом приближе-
приближении; оно начинается только на расстояние, для которых годятся асимптотические
формулы н имеет место неравенство | Y й02 —- ft21 r ~^§> 1. Моментальный снимок
1) Phil. Magazin I (Sep. 6) 652, ltfOl. ,
2) Конец a. 4t изменен .редактором (см. прим ред. иа стр. 926).
59*

Электромагнитные колебания
электрических силовых линий приведен на рис. 110а. Означении рис. 110b мы
говорить потом.
Вследствие тождественности внутреннего поля с тем, которое было полу-
твяо в §
2 гл. XXI, мы
воздух
воздух
Рис. 110а.
зечно большими. В
зый ток идет в виде токов смещения,
получим для сопротивления и самоиндукции такое же
выражение В — tmX, как на стр. 917.
Но теперь можно определить также и
внешнюю самоиндукцию и емкость про-
провода (например, по магнитной и электри-
электрической энергии внешнего пространства),
так как теперь внешнее поле на доста-
достаточно больших расстояниях стремится
к нулю. Для стационарного тока можно,
как известно, определить внешнюю са-
самоиндукцию только в том случае, когда
для обратного тока имеется особый про-
провод. Во всех остальных случаях самоин-
самоиндукция, также как я магнитная энергия
внешнего пространства делаются беско-
нашем случае высокочастотных волн вдоль провода обрат-
Рис. 110Ь.
§ 2. Дополнения
1. Побочные волны электрического и магнитного типов. Несимметрнч-
зые волны х). Наше трансцендентное уравнение (8), кроме только что иссле-
исследованного корня, имеет еще ряд других корней. Мы их получим, если предпо-
предположим, что h не того же порядка величины, как h0 (в каковом случае 5 было
<ало), но что Е велико. Тогда левая часть (8) равна t'S, т. е. тоже велика.
Поэтому искомые корни в первом приближении определяются уравнением
jo С*1) = 0» т- е- лежат на вещественной оси плоскости i\. В соответствии с этим,
янимая часть Ь? будет равна мнимой части й2, т. е. для металлических проводни-
проводников она будет чрезвычайно велика. Поэтому соответствующие волны —
лы назовем их побочными волнами, в отличие от прежних главных волн —
'резвычгайно быстро затухавдт. В силу этого обстоятельства они не
лаблюдаются.
Эти побочные волны, как и главные, симметричны вокруг оси провода,
т. е. их поле не зависит от азимута ср. Но распределение поля совершенно
отлично от случая главных воли, как это видно ив сравнения рис. ПОЬ с рис. 110а.
Вне провода поле уменьшается так быстро, что можно было бы говорить
о внешнем скин-эффекте. Внутри провода поле почти постоянно. Внешняя и
внутренняя области здесь как бы обменялись ролями. Электрические силовые
линии направлены внутри провода почти перпендикулярно к поверхности, сна-
снаружи они образуют угол в ?5° с осью провода. Этим объясняется чрезвычайно
быстрое затухание этих волн. Оно обусловливается развивающимся в проводе
джоулевым теплом, которое здесь особенно велико, так как провод целиком
заполнен током. Главные волны защищаются от ватухания скин-эффектом,
избегая пространства внутри провода. К этой точке грения мы вернемся в сле-
следующем абзаце.
Ероме симметричных электрических волн, существуют симметричные маг-
магнитные волны. Мы получим их, если будем исходить из предположений (В),
вместо (А), т. е. переставим электрическое поле с магнитным. В случае симме-
симметричных магнитных волн, электрическое ноле направлено по кругам вокруг оро-
1) D. НопЯгов, Мюнхенская диссертация 1909; Ann. d. Phys. 30, 905,1909.

XXII, § 2 Дополнения 933
вода, магнитное поле лежит в меридиональных плоскостях, проходящих черев
ось провода; в проводе мы имеем, так сказать, магнитный ток. Так как маг-
магнитная проницаемость никогда (даже у железа) не достигает таких значений,
как электрическая проводимость металлов, здесь не существует аналога идеаль-
идеального проводника и потому нет никаких „главных" магнитных волн. Возможные
типы волн определяются уравнение», аналогичным (8) I нужно только справа
ваменить -~- на -— I. Корни «го опять приближенно даются уравнением
К ft /
Jo' (t|) = о. Определяемые этим уравнением симметричные „побочные" магнитные
волны, как и соответствующие электрические, чрезвычайно сильно затухают и
поэтому недоступны наблюдению.
Мы можем также рассматривать волны, не имеющие радиальной симметрии
вокруг оси провода. Вместо Jo и По мы тогда должны будем взять, в смысле
гл. XX, § 4, частные решения
7 C0S TJIU C0S
" sin т " sm '
соответствующие 2«-кратному подразделению окружности провода на области
противоположной фазы. Оказывается, что в этом несимметричном случае эле-
электрические и магнитные волны взаимно связаны и не могут существовать
отдельно. Главной волны не существует и здесь; все несимметричные волны
очень сильно затухают и относятся к типу „побочных" волн.
Это обстоятельство может объяснить, почему при несимметричном вовбу:
ждении (например, в системе Лехера) наблюдается только симметричный тип
волн: из всех одновременно возбуждаемых симметричных и несимметричных,
электрических и магнитных, главных и побочных волн, остается только главная
влектрическая волна, а остальные вследствие затухания уничтожаются в за-
зародыше.
2. Поверхностные волны на непроводниках Л). Джоулёво тепло, которое
тушит побочные волны в металлических проводах, отсутствует в случае непро-
непроводников. Поэтому возникает вопрос: нельзя ли наблюдать побочные волны на
диэлектрическом, например, водяном „проводе". Для ответа мы должны исхо-
исходить из уравнения (8) предыдущего параграфа. Волновое число в проводе
теперь вещественно и пропорционально корню из диэлектрической постоянной е,
иначе говоря, оно пропорционально показателю преломления диэлектрика п
Если положить fi=l, то уравнение (8) можно написать в виде:
Яо'ТбУ""»»" Jo'Ti)"' 1 4 = V"^V"-=F-a.
Здесь, как и pai. ше, а обозначает радиус провода, &0 = -г-^ волно-
ло
вое число в воздухе, т. е. /^—длину волны при свободном распространении в воз-
воздухе колебаний данной частоты.
Так как затухания нет, h будет вещественно, и мы можем положить
, 2х , „ „ '
ft = —г—, где л—длина поверхностной волны, распространяющейся вдоль яровода,
А. г
измеренная вдоль него.
В. Hondros и Р. ВеЬуе, Ann. d. Phys. 32. 465, 1910.

934 Электромагнитные колебания
I . . ¦¦**!¦*• и - .- .-...-I ... _ i ¦ .1.1 i I. i i ¦ i i I . ¦ ¦ |
Так как h вещественно, обе величины 5 и • tj будут либо вещественны, либо
чисто мнимы; во всяком случае, правая часть уравнения A6) будет веще-
вещественной.
Легко видеть х), что при вещественном 5 левая часть A6) не может быть
вещественной, так что 5 должно быть чисто мнимым. В самом деле, считая ?
вещественным и разделяя па основании формулы
в выражении - °Л{ вещественную и мнимую часть, получим для мнимой части
выражение:
t(YQJ0'-J0
г. ¦
э, <
',
2,
з.
' 5.52
, - 6.SS
. * 3.83
• = 7,ог
• - 10.2
Из дифференциального уравнения для Бесселевых функций следует, что числи-
/ 2 \
тель этого выражения есть отличная от нуля постоянная I она равна 1;
знаменатель же обращается в бесконечность
только при 5 = 0. Следовательно, при веществен-
вещественном 5 мнимая часть tt?w не может обратиться
в нуль и мы должны считать 5 чисто мнимым.
Поэтому будем лучше писать t? вместо 5,
югда 5 будет вещественным, причем 0 < 5 < оэ.
Мы сможем тогда провести все рассуждения в
плоскости двух вещественных переменных 5 и %
При ? = 0 (или ? = оо) левая часть A6),
по формулам F) и (8), стр. 867 и 869 обраща-
т5
. ется в нуль, как 5а In ¦—• (или в оо как 5) и оста-
1гИС. IX X. /t
ется вещественной также для всех промежуточ-
промежуточных вначений 5. Поэтому при 5 = 0 также и правая сторона A6) должна обра-
обращаться в нуль, а для 5 = оо она обращается в бесконечнооть. Это значит, что
значению 5 = 0 соответствуют корни уравнения Jf0 (tj) = 0, а значению 6 = оо
корни уравнения J0'(?i) — — «7^A)) = О. Корни обоих уравнений вещественны
и их существует бесконечное количество; отметим их на рис. 111 по оси орди-
ординат и назовем их по порядку 1<„ 2№ 30 для /0(к)) = 0 и lj, 2lt 3t —для Jt (tj) = О.
Черев точки, соответствующие второму ряду, проведем параллели к оси абсцисс,
представляющие асимптоты кривых т) E), заданных уравнением A6). Ход этих
кривых можно получить, пользуясь таблицами Бесселевых функций. Он будет
зависеть от величины показателя преломления. На нашем рисунке взято »= 9
(для воды в = 81).
Но между т) и 5 существует еще соотношение:
• которое получается исключением h из выражения для 5 (или вернее для ft я т\)
в формулах A6). Начертим поэтому вокруг точки ? = tq = 0 окружности с ра-
радиусом
A8) Р = У«9 — 1 • hQa
и рассмотрим их пересечения с нашей системой кривых. Точки пересечения
дают пары вначений 5, *), удовлетворяющие всем условиям нашей задачи.
1) Доказательство ынаыоств 5 добавлено редактором.

XXII, § 2 Дополнения 935
__^___ ... ...in . ш>| т...... .... .-. ... ...—.-
Построение сейчас же покавывает: для р < 2,40 (первый корень JQ = 0)
вообще не существует точек пересечения, для 2,40 < р < 5,52 (второй корень
/0 = 0) существует одна точка, для 5,52<р<8,65 — две течки пересечения
и т. д. Радиусу р, на основании A8), соответствует длина волны в воздухе
. 2-У^Л
A9) Хо= 1— —.а.
Таким обравом, существует некоторая граница для, волн,
выше которой поверхностные волны на диэлектрике невоз-
невозможны. Для воды « = 9 и а = 1 см, эта предельная длина волны равна
Так как в этом предельном случае ё = 0, а вначит, по A6), h = h0, то длина
волны, определяющая распространение вдоль провода, равна предельной длине
волны Хо. Вообще, по уравнению A6)
т. е. X уменьшается с увеличением р (с увеличением Tt0 и ?) и притом сильнее,
чем Хо.
Когда р достигает значения 5,52, т. е. Xq становится равным:
то делается возможной волна другого вида, для которой сначала опять X = X,,,
в то время как первая волна с X < Х„ сохраняется и т. д. Учитывая возмож-
возможности наблюдения, мы можем ограничиться волнами первого вида» „основными"
волнами; волны высших порядков будут трудно наблюдаемы.
Проследим ветвь, соответствующую основной волне, от р = 2,40 и X = Xq до
р = оо, где она асимптотически переходит в прямую i\ = 3,83. На первой гра-
границе скорость распространения вдоль провода v будет, очевидно, равна,
вследствие X —Хо, скорости распространения во внешней
среде (в вовдухе), т. е. F=c. Каково значение V на другой границе? В виду
того, что ?! конечно и к0, согласно A8),, обращается с возрастанием р в оо,
ив определения t\ [уравнения A6)] следует:
V/ V
т. е.
Но мы имеем вообще: V = -т- = с -—. Отсюда, в силу B0), следует, что
для другого цредельного случая основной волны скорость распространения
вдоль провода равна скорости распростр аненйя внутри диэлек-
р
т р и к а, т. е. F = —. То же самое верно и для остальных ветвей, соответ-
соответствующих волнам высших порядков. Скорость распространения вдоль провода

936 Электромагнитные колебания ,
всегда лежит между скоростями, характерными для внешней в. внутренней
сред, именно, между V==c и F=—.
Структура поля в общем случае также является промежуточный между этими
двумя предельными случаями. В первом случае (h = k0) аргумент У й0* — h? • г
функции Ганкеля, представляющей поле вне провода, равен нулю: поле убывает по
направлению наружу бесконечно медленно, силовые линии перпендикулярны к
новерхности. Во втором случае этот аргумент очень велик, именно, равен
»S—^too: поле спадает снаружи бесконечно быстро, мы имеем ревко выра-
выраженный скин-эффект вне провода (а не внутри, где все пространство заполнено
током). Все остальные случаи располагаются между этими двумя. Ход силовых
линий в обоих предельных случаях будет такой же, как на рис. 110а и Ъ.
Существенные черты описанной здесь теории можно проверить экспери-
экспериментально, хотя это и сопряжено с большими техническими трудностями 1).
3. Случай металлического обратного провода. Более важной, чем
система ив одного провода, является Лехеровская система ив двух парал-
параллельных проводов, из коих второй отводит обратно переменный ток, идущий по
нервому проводу.
Для целей физических измерений такое расположение имеет то преиму-
преимущество, что оно значительно меньше зависит от окружающих (не слишком
близких) предметов, чем один провод, так как главная часть поля сконцентри-
сконцентрирована вблизи проводов.
Однако, в теоретическом отношении, задача очень сложна из-ва отсутствия
цилиндрической симметрии. Математически естественно искать решение при по-
помощи такой системы биполярных координат, чтобы обе окружности проводов
принадлежали к координатным кругам системы. К сожалению, однако, волно-
волновое уравнение в биполярных координатах 2) не разделяется так, чтобы его
интеграл можно было построить ив частных решений, представляющих произ-
произведение функций, зависящих от одной координаты каждая. Ми 8), который довел
задачу с параллельными проводами до конца, т. е. до численного исследования,
был поэтому принужден в конце опять переходить к обычным полярным коорди-
координатам, т. е. к рядам по Весселевым и тригонометрическим функциям. Необхо-
Необходимые при этом вычисления не уместились бы в рамках этой книги.
Технически интересный случай, когда один провод бесконечно тонок,
а другой очень толст (проводимость воздуха относительно вемли) 4), полностью
просчитан Поллячеком (Pollaczek), применившим- методы, изложенные в следую-
следующей главе 5).
Проще случай кабеля, так как там имеется цилиндрическая симметрия:
внутренний провод окружен цилиндрическим изолятором, который, в свою оче-
очередь, окружен другим проводником (например, морской водой). Этот случай
исследован Томсоном (J. J. Thomson) 6).
1) О. Schriever, Ann. d. Phys. 68, 646, 1920.
2) Случаи, в которых разделение возможно (прямоугольные, полярные, , эллиптиче-
эллиптические координаты и их вырождения), разобраны у F. Pockels'a, Die partielle Differential-
gleichung Дм + №ы = 0, стр. 136, Leipzig 1891, ср. также XIX, § 4. '
3) Ann. d. Pbys. 2, 201, 1900.
4) Весьма общее решение (для провода произвольной формы) было дано в 1926 г.
В. Фоком и В. Бурсианом, ЖРФХО, ч. Фи8., т. 58, вып. 2, стр. 335 A926). Это же
решение было доведено затем до численных вычислений, результаты которых уже не-
несколько лет применяются в СССР в деде электро-разведки полезных ископаемых.
(Прим. ред.).
5) Elektrische Nachrichten-Ttechnik 1926.
e) Proc Roy. Soc. 46, 1, 1889 н его книга .Recent Researches in Electricity and
Magnetism', Oxford 1893.

XXIII, § 1 Вертикальная антенна на плоской земле 93?
Во внутреннем проводнике берутся Бесселевы функции J, во внешнем —
Ганкелевы функции НA>, решение в изоляторе составляется ив обоих частных
решений Весселева уравнения. Четыре граничных условия на поверхностях
раздела дают, после исключения трех отношений постоянных, трансцендентное
уравнение, ив которого определяются скорость и затухание. Случай, когда
внешний проводник ваменен воздухом (т. е. провод с диэлектрической оболочкой
в воздухе) исследован Гармсом (Harms) *).
Богатая литература о поверхностных волнах и родственных явлениях со-
содержится в статье Абрагама в Энциклопедии Математических Наук (Enzyklo~
pedie der mathematischen Wissenschaften, Bd V, 18).
ГЛАВА ХХ1П
БЕСПРОВОЛОЧНАЯ ТЕЛЕГРАФИЯ
(§§ 1 и 2 этой главы переработаны В. А. Ф о к о м) 2)
Задачи ив области беспроволочной телеграфии состоят, с одной стороны,.
в расчете приемников и отправителей, с другой — в исследовании распростра-
иения волн между приемником и отправителем. Мы будем заниматься здесь
только задачами второго рода, так как только они подчинены дифференциальным
уравнениям в частных производных электромагнитного поля.
Мы будем считать землю иногда плоской, как в §§ 1 и 2, иногда шаро-
образной, как в § 4, но всегда однородной, т. е. при вычислениях мы будем
считать диэлектрическую постоянную и проводимость постоянными. Таким обравом,
мы не будем рассматривать интересных, но трудно поддающихся расчету явлений,
какие, например, происходят при переходе волн с суши на воду. Точно
также мы принуждены считать однородной и атмосферу, хотя новые опыты
с очень короткими волнами как раз показывают, что расслоение атмосферы
играет важную роль. Мы сможем только коснуться этих вопросов в § 4.
Далее мы должны сильно идеализовать форму излучающей антенны. Мы
можем это сделать потому, что для излучения на большие расстояния, т. е. на
расстояния во много длин волн, важен только полный текущий в антенне ток —
его величина и направление, а не его распределение по антенне. В § 1 мы
будем заниматься простой вертикальной антенной, которую мы будем рассма-
рассматривать как диполь, колеблющийся перпендикулярно к поверхности земли; в § 2
мы ваймемся горизонтальной и рамочной антеннами, которые мы, если угодно,
можем называть „магнитными диполями". Мы будем брать монохроматические
колебания, зависимость которых от времени задается выражением ё~"°*. Это
соответствует современным ламповым или машинным отправителям, в то время
как старые, искровые, отправители давали сильно затухающие, а никоим образом
не гармонические, волны.
§ 1. Вертикальная антенна на плоской земле
Пусть поверхность земли будет плоскость 0 = 0; вверх (в сторону атмо-
атмосферы) мы будем считать г > О, внив (вглубь земли) г < 0. Положение отправи-
1) F. Harms, Ann. d. Phys. 28, 44, 1907.
2) Переработка &тих параграфов потребовалась вследствие ряда допущенных авто-
автором существенных погрешностей. Эти погрешности будут иамн разобраны в конце § 2.
При переработке мы старались сохранить ие только план изложения, ио и оставить по
возможности принятый автором ход рассуждений, исправив вычисления н устранив не-
неверные выводы. Во втором немецком издании наиболее существенные ошибки былтт
устранены автором этой главы, А. Зоммерфельдом, в соответствии с указаниями редак-
редактора русского перевода ее, В. А. Фока, а также Ф. Н5тер. (Прим. ред.).

$38
Электромагнитные колебания
теля О пусть будет началом цилиндрической системы координат г, <р, г. Рас-
«тояние точки наблюдения Р от О будет тогда
Выразим поле, как в главе XIX, § 4, 4, с помощью вектора Герца, П, который для
вертикальной антенны имеет направление оси г и не зависит от <?:
П = @, О, П.); П,=-П,(г,«).
Вертикальную составляющую П„ мы будем в дальнейшем обозначать буквой П
без значка. Величина П удовлетворяет уравнению A9), § 4 той же главы.
ш
с
Написанные здесь выражения для постоянной к соответствуют току, что
мы полагаем для воздуха е = ц = 1, о = 0, а для земли р = 1. Требуется найти
такое решение уравнения A), которое обращалось бы определенным образом
в бесконечность в точке О (ср. ниже 1) и исчезало бы на бесконечности вместе
со своими первыми производными. И» уравнений A8') стр. 841 следует для ци-
цилиндрических координат:
дП
Граничные условия требуют, чтобы Н и Ег принимали одинаковые значения
но обе стороны поверхности раздела. По B) это дает сперва:
дг ' drdz
дг
дг dz
Мы обозначили здесь значение П в воздухе значком 0. Предыдущие урав-
уравнения верны при всех г, поэтому их можно по г проинтегрировать; постоянную
ятт
интегрирования нужно положить равной нулю, так как П и -д— исчезают при
г = оо. Поэтому граничные условия переходят в: г
дг
ЭП
дг
1. Первичное и вторичное возбуждение. Характер обращения в беско-
бесконечность в точке О мы определим требованием, чтобы поле вблизи этой точки
получалось такое, как от простого диполя с вертикальной осью. Согласно урав-
уравнению B0), стр. 841, это означает, что П должно обращаться в бесконечность
1
порядка-=-, где R— у r2-\-z2. Мы положим поэтому:

XXIII, § 1 Вертикальная антенна на плоской земле 939
Выделенный нами член удовлетворяет в отдельности волновому уравнению,
а также второму ив предельных условий C). Амплитуда в выделенных членах
может содержать еще общий для П и По множитель, который остается произ-
произвольным и может быть определен только ив интенсивности излучения. Важно
отметить, что амплитуда в члене для По пропорциональна А2, а в члене для П
она пропорциональна &02; это необходимо для того, чтобы главные члены в По
я в П:
обращающиеся при Д = О в бесконечность, удовлетворили в отдельности также
и первому из условий C). Только если это требование х) выполнено, мы можем
ручаться, что функции По' и П' будут оставаться конечными во всем про-
пространстве.
В формулах D) мы назовем выделенные члены первичным возбужде-
возбуждением, вызванным источником энергии в точке О, а остальную часть вектора
Герца, т.е.функции По' и П' мы назовем вторичным возбуждением. Это вто-
вторичное возбуждение вызвано условиями распространения волн, и оно учиты-
учитывает различие материальных постоянных земли и воздуха.
Вторичное возбуждение мы представим в виде суммы (интеграла) частных
решений дифференциального уравнения A) следующим обравом а):
Здесь J = J0 есть Бесселева функция нулевого порядка, X — произвольный
параметр, f0 и f—произвольные функции, которые мы затеи должны будем
определить. Условимся всегда выбирать знак квадратного корня в показателе
таким образом, чтобы вещественная часть корня была положительна. Тогда
показательная функция в первой строчке исчезает при г = -j- со, а во второй
строчке она исчезает при г = — со, как мы и должны требовать для поля на
бесконечности.
Сложим теперь первичное возбуждение Dа) со вторичным E), проинтегри-
проинтегрировав последнее по веек X от 0 до со; мы получим:
<№pikl>R С
fe+Jf(x)J(x)n'vzdx 3>0;
F)
Это выражение не только удовлетворяет дифференциальному уравнению A), но
также имеет требуемые свойства в точке О и на бесконечном расстоянии от О,
если только /(Х) и f(*) убывают при Х-* со по крайней мере как-rg-. Остается
!) В первоначальном тексте это требование не было принято автором во внимание,
чей н обусловлена необходимость внесенных здесь редактором исправлений.
{Прим. ред.).
*) Что E) удовлетворяет дифференциальному уравнению A) 1, можно проверить не-
непосредственно. Ср. также частные решения в гл. XX, § 4, 1 C). Выбранное в E)
выражение имеет то преимущество, что оно содержит постоянную Те (неодинаковую дая
земли н для воздуха) только в показателе; поэтому 1е выпадет при г =* 0. Это облегчает
выполнение граничных условли.

940 Электромагнитные колебания
еще удовлетворить условиям на поверхности C), для чего нам послужат обе до
сих пор произвольные функции fQ и f.
2. Преобразование первичного возбуждения. Покажем сначала,' что м
нервичное возбуждение можно представить в виде суммы частных решений E).
Мы предпошлем этому теорему о разложении произвольной функции F(r) по
функциям Бесселя. Эта теорема гласит:
G)
Для наших целей достаточно считать J функцией Бесселя порядка О; но тео-
теорема остается в силе для Бесселевых функций произвольного, как целого, так
и дробного порядка v > —.
Доказательство следует из интеграла Фурье для произвольной функции от
двух прямоугольных координат
-f-co ¦+• оо -4* оо Н- со
BitJ J J J ]<¦/
— оо — оо — оо — оо
ср. гл. XIX, § 1, B6). Введем в (8) полярные координаты:
х = т cos ф, % = р cos <5*» а = X cos jx,
у = г sin ср, тг) = р sin 4», Р = X sin jx,
-{- оо +°° °° 2тс -fl-oo-f-oo оо 2к
J da J fd$= f Ы\ f fdp, J dl J fdri=J'pdpJ'fd4,
oo — oo 0 0 — оо —оо О О
a(x — ?)-{- PB/ —•»!) = Xr cos(jx — <p) — Xpcos(fi — ty)
i предположим, что f(x, у) зависит только от г:
f(x,y)=*F(r).
Тогда:
(8а) В (г) =
Оба интеграла но )t и <|> зависят только от Хг и Хр, т. е. не зависят от <р и р,
и после введения подходящих переменных интегрирования (например, р — <р = Р>
ф — jj, _[_ л —: р') они оказываются тождественными с интегральным выражением E)
стр. 867 функций Бесселя нулевого порядка J (Xr) и J (Хр), т. е. уравнение (8а)
совпадает с уравнением G), которое тем самым доказано. Чтобы доказать такое
же равенство для Бесселевых функций произвольного целого порядка п, нужно
положить: *
f (х, y) = F (г) еы*, fG,n> = F (p) в '**
и убедиться, что после подходящих подстановок (р — <р = Р, ф — 1
е*1* сокращается с обеих сторон. Конечно, F(r) должны так стремиться к нулю
при г -> сю, чтобы интеграл Фурье (8) сходился.
Йрименим уравнение G) к нашему первичному возбуждению, причем будем
считать г = 0, так что В = г. Положив

XXIII, § 1 Вертикальная антенна на плоской земле
941
мы получим и8 (Т):
/г=0
'г=о 5
dp
Второй интеграл справа можно вычислить, если подставить вместо «Г(Хр)
его интегральное выражение E) стр. 867. В самом деле, если мнимая часть h
положительна, мы можем написать:
(9а)
Этот интеграл вычисляется элементарно; он равен
d& 2тЛ
(9Ь) J i + Xoosp VT2^
— ic
причем вещественная часть корня должна быть положительной. Таким образом
(9с) j dp
о
Подставляя (9с) в (9), получим
Мы предполагали вдесь число к комплексным; формула A0) справедлива,
однако, и для вещественного Тс, если мы условимся брать в ней, при к < Те,
е'*л
где корень V"fca — X2 положителен.
И» формулы A0) легко получить также значение выражения -=-е'*лдля
проиввольного г. Для этого надо только добавить под интегралом множитель
е_у>*-*»гпрИ ^о и eVw-*«a при ?<о, так чтобы правая часть ЦО) удо-
удовлетворяла волновому уравнению. Если мы еще напишем fc = fc^ для гг>0, мы
получим:

942
Электромагнитные колебания
При помощи A1) мы можем написать выражение F) целиком в виде инте-
интеграла
A2)
оо
*
3. Выполнение граничных условий. Теперь можно легко удовлетворить
граничным условиям. Первое ив них требует*
^—+v ft (X) 1J ().r) <*х =
о
Отсюда следует, что
A3) Vft(X)
0
Х . Х V
х2—** ух«—V/
Остается теперь удовлетворить второму граничному условию C). Здесь мы уже
не можем пользоваться выражениями A2), так как после дифференцирования
по z под знаком интеграла он будет расходящимся при г = О. Но мы уже ваме-
тили, что первичное возбуждение в отдельности удовлетворяет второму гранич-
граничному условию. В самом деле, мы имеем:
eikR\ d I eikR
Вследствие этого достаточно, чтобы второму граничному условию, удовле-
удовлетворяло вторичное возбуждение. Мы получим поэтому;.
откуда
A3а) у X* _ Vft (X) + У X*—*2 f(X) = О.
Уравнения A3) и A3а) определят функции ft(X) и /"(X):
V X2—fc2 ' д>у x«—
. При Х-*со функции ft (X) и /"(X) будут порядка -г^-, так что интегралы,
представляющие вторичное возбуждение, будут сходящимися, а значит и конеч-
конечными, также и при z~r = 0.

XXIII, § 1 Вертикальная антенна на плоской земле 943
Подставляя найденные выражения A4) в уравнения A2), получим:
A5)
*<0,
о
где положено для краткости:
A5а) .iV
Формулы A5) дают полное решение нашей задачи. Для проверки рассмо-
рассмотрим два предельных случая.
a) fc = fc0. Диполь в однородной среде (в воздухе). Мы имеем:
N N 2/х2 — fco2
Обе формулы A5) переходят в формулы A1), которые в этом случае дают
первичное возбуждение. Вторичное возбуждение пропадает, как это и дол-
должно быть.
Ь) ?=со, воздух и идеально проводящая земля, например
морская вода. Этот случай лежал в основании старых исследований по радио-
радиотелеграфии, вследствие своей простоты:
№ 1 eikaR
— = , , т. ё., согласно A1): 110 = 2—^г-
^- = 0, т. е. 11 = 0,
как и должно быть в идеально проводящей среде. Множитель 2 у По указывает
на полное отражение первичного возбуждения от поверхности земли.
4. Другие формы решения. Заметим сначала, что интегральное выраже-
выражение A1) можно рассматривать как пучок плоских волнх), впрочем отчасти
с комплексными направляющими косинусами. Это как раз соответствует тому,
что формула A1) выводится из интеграла Фурье (8), подинтегральная функция
которого имеет вид плоской волны. Вывод остается в силе также и в тон слу-
случае, если иы добавим множитель, зависящий от г. В самой деле, напишем в A1):
2 — 1с2 = rt ik cos Ь,
и возьмем для J интегральное выражение с л временной интегрирования ? — ®'\
мы получим:
ik (г sin & сое (<f — <р') ± s сое »).
~ Г J
Вместо этого мы можем написать:
a; = rcoscp, у = г sin», dm =
a = sin & cos«/, p = sin & sin </,
^«Tt (vc + $y ± is)
'hi1
i) Возможность такого рассмотрения указана уже в первой работе автора, Ann. cL
Phys. 28, 665, 1909, § 11, к которой притыкает наше изложение. Н. Weyl в своей работе»
в Ann. d. Phys. вО, 481, 1919, неходит непосредственно из этой точки врения в основы-
основывает на ней интегрирование задачи.

944
Электромагнитные колебания
Подинтегральная функция здесь имеет вид плоской волны с (вообще
комплексным) направлением а, C, ?- '
Теперь можно было бы, как в оптике, заставить каждую из этих волн
отражаться и преломляться на поверхности раздела ¦? = <), и получить полное
решение нашей задачи, т. е. формулы A5). Величина -=¦=• соответствует здесь
формулам Френеля для отраженной и преломленной амплитуд.
Для последующего гораздо существеннее преобразование нашего интеграла
« нижним пределом Х = О в интеграл, распространенный от —оо до -(-со.
Согласно уравнению D) стр. 866, положим:
и разложим A5) на два *интеграла I и II, оба взятые от О до оо; один с ЯоA),
другой — с Я0<2). Например, при 0 > 0 будет
оо
<16) Не I ~^Н0{2)(\г)е~Ук*~к'** Ы\.
о
По соотношениям обхода Fс) стр. 868
Введем в интеграле II вместо X переменную интегрирования jx = — X;
тогда, ввиду того что N зависит только от X2, мы можем написать:
Этот интеграл, после перестановки пределов интегрирования, складывается
с интегралом I в один интеграл с функцией ЕоA\ взятый вдоль вещественной
оси от — оо до + °°-
Мы получим, таким образом, новый вид решения нашей задачи:
п
+ СО
- Г ±?-
J N
,+ v»-*«.
XdX (z<0).
Здесь и далее опущены значки О и 1 при Н. Совершенно таким же образом
можно представить первичное возбуждение или пропорциональные ему вели-
величины A1) с помощью следующих формул:
+ ОО
2 J V^-i
л
— оо
+ СО
Vw -V
Л 2 J Vl?-

XXIII, § 1
Вертикальная антенна на плоской земле
945
5. Приближенное представление решения. Интеграл JP. Как часто
бывает, исследование этих общих формул *) оказывается труднее их получения.
Попутно, заметим сначала следующее: наш путь интегрирования — веществен-
вещественная ось — проходит при вещественном к0 через точки разветвления X = r+zi0,
что приводит к неопределенности в знаке корня Ух2—к02. Мы можем избежать
этого, считая &02 комплексным, как и к2, но с произвольно малой положительной
мнимой частью (соответственно, очень малой проводимости воздуха) 2). Тогда
и для П и для По точки разветвления лежат попарно в положительно мнимой
и отрицательно мнимой плоскости Х(Х = -}-&0, -\-к, Х = — к0, —к).
Риманова поверхность, на которой однозначны под интегральные функции
для Г10 и П, будет иметь четыре листа, в соответствии с четырьмя комбина-
комбинациями знаков ух2—&02 и V ^—&2~- По условию, сделанному на стр. 941
и необходимому для сходимости инте-
интегралов, мы будем рассматривать только
один из этих четырех листов — назо-
назовем его верхним — именно тот, для
которого оба корня имеют положи-
положительную мнимую часть. По этому верх-
верхнему листу и проходит наш первона-
первоначальный, вещественный, путь инте-
грирования; деформируя его, мы \*.*-к,
должны заботитьея о том, чтобы оста- \
ваться на первом листе. В качестве \
разрезов мы должны взять те линии, \=-k»^ N
на которых вещественные части "^ \
¦|/Х2 — к02 и У X2— к2 равны нулю. чч
Эти разрезы (см. рис. 112) проходят чч
в положительно-мнимой полуплоскости
от X = -\-к0, -\~к до «со, в отрица- Рис. 112.
тельно-мнимой — от Х = — к0, — к до
— »со. При деформировании пути интегрирования мы не должны переходить
через эти линии разветвления.
Подинтегральные функции имеют еще по особой точке в каждой полу-
полуплоскости, именно, по полюсу (X = h), там, где знаменатель N обращается в нуль.
Величину h можно вычислить, согласно A5а), из уравнения:
B0)
У № — к* ~ &2
Возводя в квадрат, находим:
B1)
г) Исследование нитегралов A8)i а также тех, которые встречаются в § 2, дано,
для случая * = 0, в работе В. А. Фока (V. Fock, Ann. d. Phys. [б], 17, 401, 1933). См.
также В. Фок и В. Вурсиаи, ЖРФХО, ч. Фнз., т. 58, стр. ЗБ6, 192& где результаты при-
приведены без доказательств. (Прим. ред.).
2) В пределе, прн *ь вещественном, для X<^ получается Vw — itfs=—i yktf — X2»
где У*о* — Х2>0, как это мы указывали выше. (Прим. ред.).
gQ Зак. 1108. — франк к Мизис. Дифф. урави. кат. физ.

946 Электромагнитные колебания
или
B2) й2=!7+]^*
Заметим, что это выражение совпадает с (8а) гл. XXI, § 1, стр. 905.
Так как величина h определена через посредство ее квадрата, мы должны
условиться в выборе ее знака. Мы будем считать, что мнимая часть h поло-
положительна.
Для полноты покажем еще, что точка X = h лежит в верхнем листе нашей
поверхности Римана. Если бы эта точка лежала в одном из нижних листов, то
она выпала бы ив нашего рассмотрения, так как путь интегрирования не мог бы
проходить черев нее. Выразим корни квадратные, входящие в формулу B0),
через величину й. Мы имеем:
B3)
К '
Чтобы показать правильность выбора знака в этих формулах, достаточно
убедиться, что нравые части выражений B3) имеют положительную веществен-
вещественную часть. Для этого положим:
B4) йо = |&0|ей; Tu = \h\J*\ А = |А|ей,
1С
где в и 8 весьма малы и положительны, а <р почти равно — • Вещественные
части в B3) будут положительны при условии
B5) 8 <«,-.,
а это условие, в силу сказанного, можно всегда считать выполненным. Из урав-
уравнения B3) следует, что равенство B0) действительно имеет место, т. е. что
внаменатель действительно обращается в нуль в верхнем листе поверхности
Римана. Если бы в одной из формул B3) был обратный внав, то в верхнем
листе вместо B0) имело бы место равенство
V
и тогда полюс X = fc не лежал бы в верхнем листе.
Переходя к исследованию интегрального выражения A8), оттянем, как по-
показано на рис. 112, путь интегрирования в верхнюю часть положительно мнимой
полуплоскости, где первая функция Ганкеля исчезает на бесконечности. Путь
интегрирования тогда будет висеть на разрезах k0-*ico и k-+ico и, кроме
того, на полюсе X = А, тогда как линии подхода к полюсу, как известно, ничего
не дают для интеграла. Обозначим эти три части в названном порядке через
Qv Q3 и Р и напишем:
B6) По *=Р+?! + &.
Займемся сначала слагаемым Р, происходящим от полюса. В окрестностях
полюса X = h мы имеем:
где, на основании A5а):
dN

J
JLXIII, § 1 Вертикальная антенна на плоской земле 94?
Подставляя сюда значения квадратных корней нв B3), получаем:
Вычисляя по теореме Коши вычет интеграла A8) в точке Х = Л и поль-
пользуясь B7), получаем:
(** —V)
Введем особое обозначение для величины » V fe2—i^, с которой нам чаото
придется встречаться, а именно, положим:
B9) х = f
В силу нашего выбора . знака квадратного корня, мнимая часть х будет
положительна. Если иы подставим B9) в B8), мы можем величину Р написать
в виде:
C0) Р=2«
Заметим, что это выражение, вследствие множителя Н (hr), обращается
в бесконечность при г = О, т. е. на вертикальной прямой над диполем. Поэтому,.
взятое в отдельности, оно не может иметь физического смысла, и необходимо
присоединить к нему другие два члена Qt и Q2. .
6. Приближенное представление решения. Интегралы Qt и Q2. Рас-
Рассмотрим теперь интегралы Q1 и Qr Обозначая, Бак принято, интеграл по петле,
л„+
окружающей точку разветвления Х = &0, символом / , мы можем написать:
d
C1) &= J ^-П7Г^2
ico
Но по формуле A5а) мы имеем:
1 _
к } N
так что величину -г?, а следовательно, и Qu можно разложить на два слагаемых:
C3) '
где
(8*) «/ " F^V
и
ЛИ-

948 Электромагнитные колебания
Qyr будет, очевидно, четной, a Qt" — нечетной функцией от г. Величину
Q/ можно представить в виде
где через U обозначен интеграл
C7) с/= I .2 ,g- 6 ХоХ.
Величину Q/' мы будем вычислять приближенно, пользуясь тем, что |fcoe
весьма мало по сравнению с |&2| и что главным участком пути интегрирования
является та его часть, которая лежит вблизи точки разветвления Х = &0 и, зна-
значит, проходит недалеко от полюса X == h. Мы получим хорошее приближение,
если заменим под интегралом функцию
X2 — А2
выражением, которое мало от нее отличается на главном участке. Для этого
достаточно взять первые члены разложения ]Лх2—1с2 вряд по степеням X2 — fe9,
т. е. положить
( + l ?=?).
Так как, на основании B3) и B9),
.C8) ylTZii «-**•=<-*«,
то мы будем иметь:
ух2— &2_ . fc2 / у. &08 \
C9) X2 — Л2 ~~г "у \ ^2 — А" """ 2Wfc / '
Подставим это выражение в C5), причем воспользуемся обозначением C7),
а также равенством
•
которое получается дифференцированием первого из уравнений A9) по в. Мы
получим:
Складывая это с C6) и помня C3), получим:
где мы положили
D3) F = lE

XXIII, § 1 Вертикальная антенна на плоской земле. 949
В выражении D2) первый член будет главным, а второй поправочным.
Дальнейшие, отброшенные нами, члены содержали бы нечетные нроизводные но г
от -=-e*k°R, умноженные на малые коэффициенты. Второй член мы также отбро-
сим в окончательном результате; мы его сохранили здесь, чтобы видеть, какого
порядка величины мы отбрасываем.
Нам остается вычислить величину F. Дифференцируя C7) под знаком инте-
интеграла и имея в виду, что
Х2 — ft2 = X2 — fc
мы получим:
= - С ,Л™
D4) V = - С ,Л™ «Г ™=* * ХЙХ.
Дифференцируя D4), легко вывести, на основании*D0), что функция У
удовлетворяет уравнению
, ¦ ' dV . д е<мг
03 03 В
Мы получили дифференциальное уравнение, из которого легко определить V,
пользуясь'предельным условием х):
Г = 0, при г = —со.
Для решения D5) полагаем
D6) Г« —2
и подучаем для Vt уравнение
решение которого есть, очевидно,
г
D7) ,,_ — , д
Функцию Ft удобнее представить в виде
оо
D8) ' F,
где нижний предел t0 равен:
ухи) In=== ^Т * •
В тождественности D8) с D7) легко убедиться из следующих соображений.
При з == — со будет t0 = -f- oo и, следовательно, интеграл D8) обращается в нуль.
Далее
г) Равенство У = 0 при • г = + со не является особым условием, так как ему
удовлетворяет всякое решение уравнения D5).

950 Электромагнитные колебания
я наконец
E1) Т01Ё~ = ~И'
dV
Поэтому производные ^~- совпадают и равны D5*), а следовательно оба
OS
выражения для F, равны.
Подставляя D8) в D6), будем иметь:
E2) V — 4
t.
Так как мы вычисляли величину Qf приближенно, то мы должны, строго
говоря, пренебречь в выражении C9) величиной &0* по сравнению с /fc4.
Подставим, наконец, найденное выражение для V в D2). Мы получим:
д **
Здесь член, содержащий производную—-, весьма мал по сравнению с глав-
03
ным членом; поэтому мы можем его отбросить. С той же степенью точности мы
можем заменить стоящий перед Скобкой множитель -д-—j-j единицей. Сделав
эти пренебрежения, мы получим для Qt следующее более простое выражение:
E8а) Q,-|e + ate/e
и
где, напомним, t0 имеет значение D9). Сделав такое же пренебрежение в выра-
выражении C0) для Р, мы получим:
E4) Р=2госЯ(Лг)е<х*.
' Что к.асается q2j то ЭТу величину можно представить в виде интеграла
того же вида, как Qf [уравнение C5)], только взятого по петле, охватывающей
точку X = i. Без всяких вычислений ясно, что этот интеграл будет чрезвычайно
мал, а именно, того же порядка, как значение функции
H{\r)e~Y1F=^-z,
стоящей под интегралом, при \ — к. Эту функцию мы можем толковать как волну,
распространяющуюся с тем же поглощением, какое имеет место в земле; ясно,
что на рассматриваемых расстояниях амплитуда ее будет практически равна
нулю. Поэтому без ощутительной погрешности мы можем положить:
E5) <3? = 0.
Таким образом, мы нашли приближенные выражения для всех трех вели-
величин Р, Qx и Q2, сумма которых дает, согласно B6), вектор Теща, По.
При составлении суммы П0 = Р-|-<2, мы должны иметь в виду, что функ-
функция H(hr) в E4) может быть представлена в виде интеграла того же вида
какой входит в E3), только с другими пределами. В самом деле, на оснований
формулы C) § 2, гл. XX, мы имеем:
и
E6)

XXIII, § 1 Вертикальная антенна на плоской земле — 951
Положив здесь
E6*) •¦-*< «~?
и припоминал, что при р стремящемся к p0-f-ioo в области I < = 0, а прв
р = р0' -j-»оо в области II t = сю, мы можем написать E5) в виде
E6a)
о
Подставляя это в E4), мы получим для Р выражение:
оо
E4а) р=—2«efas J е~**+~*'-у.
Если мы сложим это с выражением E3) для Qlt мы можем оба интеграла
соединить в один и получим:
E7) По =
о
о ,11
Заменяя здесь переменную интегрирования t на — и полагая т = ——,
т. е., согласно E0),
E0*) г = ^=1 . *±1,
мы можем вместо E7) написать:
E8) По==4
Это окончательное выражение для По послужит основой для дальнейшего
исследования. Оно совпадает с тем, которое было совершенно другим путем выве-
выведено Вейлемх), если в выражении Вейля заменить множитель ,2 , а единицей.
Первый член в E8) представляет, очевидно, первичное возбуждение. Если
считать землю абсолютным проводником, то второй член в E8) исчезает; он
представляет, таким образом, влияние конечной проводимости земли. Заметим,
что этот второй член уже не обращается в бесконечность при г = 0, как это
было с величинами Р и Qt в отдельности. Следовательно, и выражение E8)
для По остается, при г = 0, конечным и равным:
— du. (г = 0). ,
E9) по = -Г<м-Й«A1 Г
U (x-fto)
Таким образом, выражение E8) справедливо во всем пространстве выше
поверхности земли.
7. Вывод приближенной формулы для точек вблизи поверхности
зеили. Наибольший интерес представляет значение поля для точек, высота
Н. Weyl, Ann. d. Phys. 60, 481, 1919.

952 • Электромагнитные колебания
которых над землей весьма мала по сравнению с горизонтальным расстоянием
от антенны (диполя). В этом случае можно упростить выражение E8) и свести
в нем интеграл в другому, зависящему только от одного параметра.
Рассмотрим интеграл, входящий в выражение E8). В нашем случае т будет
близко к единице; поэтому мы разбиваем интеграл на. два — один от т до 1
и другой от 1 до оо:
со со т
г i?L(< + 4) dt Г -^ЧНг4) dt Г
Первый из этих интегралов равен, как нетрудно видеть, половине инте-
интеграла от 0 до оо, входящего в E4а), так что соответствующий член в П<>
равен —Р.'Выделяя этот член и обозначая его через Щ, мы можем написать
F0)
где
F1), Их = -§- •"*
и
F2) U2
В интеграле, входящем в F1), произведем подстановку E6*) и напишем
его в виде
Г
F3) Ге^ (' + т)^!==й>«И-оо8Е10 Г
1 О
Здесь верхний предел р0 определяется из равенства
F4) 1?0 = 1„х = 1п^
причем мы имеем [см. уравнение E0)]
F5) ihr cos p0 = ik0R — ixs.
Подставляя F3) в F1) и пользуясь F5), получим
F6)
jl— xj? Г
Так как мы считаем величины — и -=г- = —=-. малыми, то нараметр
? /С [Ь
также будет малым, причем мы будем иметь, согласно F4),
или приближенно
F4а) *о = "Т

XXIII, § 1^ Вертикальная антенна на плоской земле
В выражении F6) разлагаем cos р и cos р0 по степеням р и j30, отбрасыва*
четвертые степени. Происходящая отсюда погрешность будет порядка
—
>
так что при обычных условиях она будет весьма мала. Интеграл в F6) на-
напишется:
Ро Ро ihr
,ов р - cos p.) d? у — W-
Введем теперь величину
F7) р^-^-^^-
которую назовем „численным расстоянием", и возьмем в качестве переменной
интегрирования величину
Верхний предел в нашем интеграле будет тогда u = w, где
F8)
-я вследствие того, что
F8*) *
наш интеграл напишется:
F9) f ear(cnf-M,W(!p^_j.t!L]=r^ Г tt«dM
J ft V? J
Подставим теперь F9) в F6) и заменим там множитель R перед интегра-
интегралом его приближенной величиной г. Помня соотношение F7), мы получим:
G0) U^ — e^il-^VJW),
где
G1) • • J7=c-«* feu'du,
о
причем р и w имеют значения F7) и F8). Нам остается преобразовать выра-
выражение F2) для 112. Мы в праве считать величину hr большой, несмотря на то,
что ~K7-\hr\ |po4| весьма мало, и можем поэтому подставить вместо
асимптотическое выражение (8) стр. 869. Мы получим тогда:
G2)

954 Электромагнитные колебания
или если мы воспользуемся F7) и выравим х, согласно B9), через A, k0, k:
<72*) П2 = — — Virp
Преобразуем вдесь выражение в показателе
На основании F5) и F8*) мы имеем:
— ixz = ihr cos 8n ~ ihr —-
откуда . .
<73) «Лг 4- ixa — ih^R—w\
Подставляя это в G2*) и заменяя там перед интегралом знаменатель 'г
яа В, получим
<74) Щ = + 2*
ikjt
Заметим, что вследствие соотношения
о
/
мы можем сумму выражений G0) и G4) представить в виде:
<75) ( /
Это и есть окончательная приближенная формула, которая была получена
также и Вейлем в его работе, цитированной на стр. 943. При г<=0 (когда
«>2==р, Е = г) она вполне совпадает о формулой, выведенной автором (А. Зом-
лерфельдом) в т. 28 Ann. d. Phys.J).
Величина W [уравнение G1)] может быть легко разложена в ряд по сте-
степеням w. В самом деле, W удовлетворяет дифференциальному уравнению
dw
« начальным условием ТГ=О при to — Q. Отсюда тотчас получается, путем
«равнения коэффициентов
w ( 2_ а 2-2 2-2-2
Разложение в ряд величины Л1 будет поэтому:
Для достаточно малых значений р и w мы будем иметь:
<76) Во^П,--!,**.
Бак мы уже отметили в конце 6, это выражение соответствует (также
я в отношении множителя 2) предельному случаю бесконечно большой прово-
димости 8емли, ср. конец 3, случай Ь).
!) Ср., в особенности, уравнение D7) стр. 711 и уравнение (S5) стр. 719 указанной
работы. Вместо р тан написано а2.

XXIII, § 1 Вертикальная антенна на плоской земле
955
То, что здесь для малых р и w получается предельный олучай идеального
проводника, является интересным подтверждением той точки зрения, которая
принималась в первых работах по беспроволочной телеграфии [например, в ра-
работах М. Абрагаиа (Abraham)] и согласно которой земля считалась бесконечно
проводящей и антенна отражалась от поверхности земли. Но мы теперь видим
что эта точка врения допустима только при | р | <СС 1» а что для больших р на-
наблюдаются отклонения, зависящие от вещества земли.
Входящая в наши формулы величина р, названная нами численным рас-
расстоянием, будет, вообще говоря, комплексной. Однако, как это видно из прибль
женной формулы F7),
F7а) р=1*?г,
в том весьма важном частном случае, когда мнимая часть № весьма велика пг
сравнению с вещественной частью, численное расстояние р будет веще-
вещественным.
Наше выражение F7а) для р содержит своего рода вавон подобие
для беспроволочной телеграфии. Так как поле задается выраже-
выражением G5), а у поверхности земли, где w = V~p~, оно зависит только от ¦
/ е*в\
I если отвлечься от несущественного множителя —— I, то одинаковым значе-
значениям р (при, быть может, весьма различных значениях г) соответствуют один*
ковая величина и одинаковый характер поля.
Все обстоятельства, увеличивающие (уменьшающие) р, делают хуже (лучше
передачу волновых сигналов. Рассмотрим в этом отношении, во-первых, свойств*
почвы, ватем частоту или длину волны колебаний.
Влияние свойств ночвы очень значительно. Важна не только проводимости
земли о, но также и ее диэлектрическая постоянная е, значение которой
вместе с о, определяет, согласно уравнению A), значение к, а следовательно
согласно F7а), также и значение р. О материальных постоянных различных родоь
земли имеются приблизительные данные Ценнека (J. Zenneck)х). По ним можне-
1 .
вычислить, например, для расстояния *" = — вемного квадранта (что соответ
ствует первой трансатлантической станции Ирландия — Лабрадор) и для длин*
волны X = 2 км (для старых больших станций) следующие значения (в круглы-
числах):
Морская вода
Влажная земля
Р = 6,5
Пресная вода
Р=30
Сухая земля
р = 300
Соответственно совершенно различным порядкам величины этих чисел, мы
должны ожидать во всех этих случаях различное телеграфное действие и раз-
различную картину волнового процесса.
Затем рассмотрим влияние длины волны на численное расстояние, напри-
например, в случае морской воды, где можно пренебречь током смещения по сравне-
») Ann. d. Phys. 28, 859, 1907.

956 Электромагнитные колебания
нию с током проводимости. Тогда, согласно A), будет ?2 = - „-, ко==—, исо-
с . с
гласно F7а):
Таким образом, увеличение частоты (уменьшение длины волны) увеличи-
увеличивает р в рассматриваемом случае по квадратичному закону. Если в вышепри-
вышеприведенном примере уменьшить длину волны с 2 км до 200 м, мы увеличим р
с — до 3,3. Мы должны ожидать, что телеграфное действие соответственно
ухудшится. Обратпо, имевшаяся первоначально тенденция переходить для боль-
больших станции к волнам все большей длины доказывает, что увеличение длины
волны — вследствие уменьшения численногр расстояния — благоприятно для пре-
преодоления больших абсолютных расстояний.
Конечно, это заключение связано с предположением об однородности атмо-
атмосферы и о непрерывном распространении вдоль поверхности земли. При учете же
возможной неоднородности атмосферы (поверхности разрыва, отражающие волны
обратно) соотношения могут измениться на обратные. Новейшие опыты х) с очень
короткими волнами (X < 200 м) показали, что эти волны преимущественно отра-
отражаются от верхних слоев воздуха и поэтому могут, перекрыть большие рас-
расстояния. При эксперименте можно даже отделить оба рода переноса волн:
прямые или „земляные" волны (ground ray) и непрямые или отраженные волны
(atmospheric ray). Наши формулы относятся только к первому ив этих двух родов
волн и для них сни подтверждаются экспериментом, в особенности поскольку
дело идет о зависимости от материальных постоянных земли.
§ 2. Горизонтальная и рамочная антенны
Кроме вертикальных антенн (вертикальная мачта с натянутым сверху
проволочным зонтом), для передачи беспроволочных сигналов могут служить
горизонтальные антенны (кабель вблизи поверхности земли, натянутый преимуще-
преимущественно горизонтально). Такие горизонтальные антенны употреблялись в каче-
качестве приемников и отправителей на войне, но они пригодны также и для
дальней телеграфии, как, например, так называемый изогнутый отправитель
Маркони, рис.113, у которого горизонтальная вегвь длиннее и действует эффек-
эффективнее, чем вертикальная. Особенное преимущество горизонтальных антенн за-
заключается в их направленном действии, т. е. в том, что они сильнее излучают
в своем собственном направлении, чем в перпендикулярном направлении,
в то время как в случае вертикальной антенны поле, естественно, симметрично-
вокруг нее.
Оба рода антенн, как вертикальные, так и горизонтальные, мы будем назы-
называть электрическими антеннами и противопоставлять их рамочным
антеннам, которые будем называть также магнитными антеннами2).
Именно, когда через обмотку рамки протекает переменный ток, средняя линия
рамки делается осью пульсирующего магнитного поля. Первичным возбуждением
будет здесь „магнитный диполь", колеблющийся перпендикулярно рамке. Гори-
Горизонтальной электрической антенне соответствует рамочная антенна с вер-
вертикальной рамкой. Бертикальной электрической антенне соответство-
!) Работы Е. V. АррШоп'й и его учеников, особенно J. A. Ratcliffe и М. A. F. Bur-
Burnett, СатЪг. Phil. Soe. Proc. 28, 288, 1926; Appleton and Barnett, Roy. Soc. Proc. 118, 450,1926.
2) Возможность идеализировать рамочные антенны, в виде линейных магнитных,
была мне указана Н. Barkhausen'on.

XXIII, § 2 Горизонтальная и рамочная антенны 957
вала бы горизонтальная рамка. На практике очень употребительны
рамочные антенны первого рода, особенно в качестве приемников. Как и гори-
горизонтальные электрические антенны, они обладают преимуществом направленного
действия. Как приемники, они, как легко понять, настроены преимущественно
на волны, падающие в плоскости рамки, т. е. на такие, у которых магнитные
"силовые линии пульсируют перпендикулярно рамке. Точно так же легко понять,
что рамочные антенны с вертикальной осью, т. е. с горизонтально поставленной
рамкой, практически непригодны (а именно, вследствие вызываемых в земле
вихревых токов, которые на больших расстояниях полностью уничтожают пер-
первичный ток рамки). Это будет детально обосновано последующим математиче-
математическим исследованием.
Хотя некоторые свойства можно объяснить элементарным путем (в особен-
особенности, направленное действие, как следствие интерференции), мы дадим здесь
аналитическую трактовку, тесно примыкающую к § 1, т. е. учитывающую конеч-
конечную проводимость земли; последнее обстоятельство в самом деле является
существенным фактором, влияющим на характер действия как горизонтальной,
так и рамочной антенны. Кроме того, при такой трактовке полностью про-
проявляется дуали8м между электрическими и магнитными задачами.
1. Вертикальная магнитная антенна. Мы начнем с практически неинте-
неинтересного, но теоретически наиболее простого случая магнитной вертикальной
антенны (горизонтальной рамки), так как этот случай ближе всего к рассмотрен-
рассмотренным в предыдущих параграфах х). Как и там, поле описывается вектором Герца
с вертикальной составляющей II = Пг (г, г), зависящей от координат г и г ж
независящей от третьей координаты <р. П удовлетворяет такому же дифферен-
дифференциальному уравнению, как и в случае вертикальной электрической антенны,
именно уравнению A), § 1. Но в этом случае поле получается из II не по
уравнению A8). стр. 840, а по уравнению B1) стр. 842. Вместо уравне-
уравнений B), § 1 мы теперь получим (временной множитель взят е~ш и ц = 1):
Е =Е =0 Е =-^--arL
И-•
Т
A)
Магнитное поле лежит в вертикальных ндоскостях, проходящих через ось
рамки, электрические силовые линии имеют вид кругов с центром на этой осн.-
Если опять отмечать величины, относящиеся к воздуху, в > О, значком О
и проинтегрировать по г, то граничные условия, вследствие непрерывности
Еу и Нг требуют:
B) по=п, «к-f.
Для первичного магнитного диполя мы возьмем, в отличие от D), § 1,
выражения:
1) Этот случай может представить большой практический интерес в теории электро-
электроразведки. См. В. Фок и В. Бурсион, ЖРФХО, ч. Фйз., т. 58, стр. 356 A926). (Прим. ред.).

958
Электромагнитные колебания
где П/ и П' функции, которые остаются конечными во всем пространстве,
В этих выражениях главные члены, обращающиеся при JR = O в бесконечность,
' 1
будут вида -=-, так что они в отдельности удовлетворяют предельным усло-
условиям B).
Функции До' и П' будем, искать, как и раньше, в виде интегралов
П' = ffWJ (Xr) e+ n>-*'* dX, в < 0.
6
Входящие сюда функции /*0 и ft определяются не так, как в электрическом
случае, вследствие других граничных условий. Именно, теперь первое из уравне-
уравнений B) требует, вместо прежних уравнений A3):
второе ив уравнений B) дает совпадающее с A3а) выражение
Отсюда следует:
( . . . X
и для П получается выражение, формально совпадающее с прежних уравне-
уравнением A5):
Dа)
Единственная рашица в значении знаменателя N't
N' = У X2 —Ао2
Вследствие этого, в пределе к=со, исчезает не только П, но и По. Действие
магнитной антенны на больших расстояниях полностью уничтожается вихревыми
гоками, индуцированными в идеально проводящей 8емле.
2. Горизонтальная электрическая антенна. Возьмем направление антенны
8а ось х и пусть поверхность земли будет опять г = 0. Проще всего было бы
вести вычисления с вектором Герца
> 0, 0), ,

XXIII, § 2 Горизонтальная и рамочная антенны 959
имеющим то же направление, что я антенна. Однако это приводит к про-
противоречию. Именно, если вычислить поле (Е, Н) по уравнениям A8') стр. 841,
то в прямоугольных координатах получится:
Граничные условия требуют непрерывности Ег, Е„, Н„. Таким образом, мы
имеем три условия, тогда как для определения П, мы можем иметь их только-
два. Из непрерывности Еу следовало бы, если бы мы проинтегрировали по х
я у я обозначили значение П для воздуха {з > 0) значком 0: Щ = П. Но тогда
непрерывность Ех требовала бы ?02 = &2, что противоречит предположению.
Мы должны поэтому обобщить наше предположение, связав горизонтальное
возбуждение Ц, с вертикальным П,:
П^Щ,, О, П.).
Физически это вначит, что горизонтальный ток в антенне замыкается по-
посредством вертикальных токов в земле. В силу A9) стр. 841 обе составляющие П»
и П, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению
Уравнения A8') стр. 841 дают теперь:
н _ ic » 9П, п _ гс „ / Шх Ш,
Граничные условия требуют непрерывности составляющих E) и дают по-
поэтому четыре уравнения. Как раз столько уравнений нужно для определения
двух составляющих Ц, и Ц, вектора Герца 1). Граничные условия, приведенные
к наиболее простому виду (проинтегрированные), будут:
F) *2Иго ~ ^2Ця в соответствии с условиями для Нд.,
G) io2_|2_==ji;2_JL) в соответствии с Н^ и F),
3V
(9) к^П-х0'=кЩ;11, в соответствии а Ед, и (8).
Рассмотрим сначала уравнения G) и (9), служащие для вычисления Щ.
Они совпадают с уравнениями B), если *02Пд,0 и кЩ^ отождествить со стоящими
там По и П.
1) Ср. «. Horschelmann, Diss. Munchen, Jahrb. d. drabtl. Telegr. u. Teleph. 5, 14 и 188,
1911.

,930
Электромагнитные колебания \
Добавляя постоянный множитель, одинаковый в земле и в воздухе, я выбран-
мыж так, чтобы наше П^ равнялось прежнему По, можем написать
A0)
со
Так как TLX зависит от х и у только через посредство г = \^х2 -f- у2, мы
¦будем иметь
9IT, дПх дг дПх
- * = — . = COS <э
если определить, как обычно, угол о с помощью уравнений х = г cos в, у = г sin ср.
'Из условий (8) следует поэтому, что Ц, должно содержать множитель costs, так
что эту величину можно представить в виде производной по х от функции, зави-
зависящей только от г и от г.
Мы положим
г0 дх ''
Условия F) и (8), проинтегрированные по х, дадут тогда:
П -1~^. = П | V dF
Если воспользоваться (9), можно (8а) написать в виде:
dF0 dF
Имея в виду Fа), мы будем искать функцию F в виде:
е " dX
Fа)
(8а)
<8Ь)
где функция /'(Х) в обоих интегралах одна и та же. Условие (8Ь) дает тогда:
или
2Х

ХХ.Ш, § 2
Горизонтальная и рамочная антенны.
961
где N имеет прежнее значение:
A4) N=k*VV—
Подставляя A3) в A2), будем иметь:
A5)
— &a.
ГГо формулам A1) отсюда получается составляющая П, вектора Герца,
а именно:
A6)
где J' есть производная от J. В формулах A0), A5) и A6) мы можем, как это
мы делали на стр. 944, распространить интегрирование от — оо до -f- со, заме-
заменив под интегралом J(Xr) на — Н(Хг) и J' (Хг) на — W (кг). Интегралы A5),
а также их производные по г, будут сходящимися также и при # = 0, так что
при подстановке A5) в (8Ь) мы имели право дифференцировать под знаком инте-
интеграла. Мы не могли бы этого делать с выражениями A6), так как получили бы
тогда расходящиеся интегралы.
Для приближенного вычисления наших интегралов мы воспользуемся тем же
приемом, какой мы применяли в § 1, а именно, заменим интегрирование по веще-
вещественной оси интегрированием по петлям, окружающим особенные точки под-
интегральной функции. При этом, как мы выяснили в § 1, интегралом по петле
вокруг точки Х = & можно пренебречь.
Рассмотрим сперва интеграл Пж01 [уравнение A0)]. Так как подинтегральная
функция в нем не имеет полюса, то, с указанным пренебрежением, он сведется
к интегралу вокруг точки k = h0. Заменив в интеграле 2J(Xr) на Н(\г) и пред-
1
ставив -гр в виде
мы получим:
__
ко'
/
«ОО
Здесь мы можем считать корень
и заменить его постоянной величиной
вании формулы A9) § 1
2
Vх ' I "жО ад Ь
Д
к2 медленно меняющейся функцией
— &2- Сделав это, получим на осно-
осноdz В
61 Зак. 1408. — Франк а Мнзес. Дафф. уравн. пат. фаз.

962 Электромагнитные колебания
или, если мы пренебрежем вдесь величиной ?оа по сравнению с к2:
2i д eik°R i 2 д2
Для вычисления величины Fo, через которую выражается вертикальная
составляющая вектора Герца, мы воспольвуемся тем, что производная —^- может
быть выражена черев П^ и через вычисленный нами в § 1 вектор Герца верти-
вертикальной антенны По. В самом деле, ив уравнений A0) и A5), а также уравне-
уравнения A5) § 1, получаем без труда строгое равенство
С другой стороны, найденные в § 1 приближенные выражения E8) для По
удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, как и рассмотренная
там величина — V, а именно:
а*) ?-*».-*?¦?•
Если мы будем писать По в виде
B0) П° = ^
где, согласно уравнению E8) § 1,
B1) По' = — 2гхе"г I
"Г
мы будем иметь:
B2) Щ?-****
t '
отт г
Выражая в A8) по этой формуле По черев ——- и пользуясь приближенным
значением величины х
мы получим:
dz ~~ к dz *0>
Так как само П^ представлено у нас в A7а) в виде производных по г,
интегрировать это равенство по з не составляет труда, и мы получаем:
KIi) °"" к U° + к В *» дз В '
вли, на основании B0):
„ I' 2 9 eik°B
Входящая при интегрировании по е произвольная функция от х и у оче-
очевидно должна равняться нулю,, так как Fo удовлетворяет волновому уравнению,

XXIII, § 2
Горизонтальная и рамочная антенны
963
представляет расходящуюся волну и остается конечным во всем полупростран-
полупространстве г >¦ 0.
Вертикальная составляющая Пг0 вектора Герца получается, согласно A1),
дифференцированием выражения B4) по х.
Таким обравом, мы получаем окончательно следующие выражения для соста-
составляющих вектора Герца:
B6)
дя В
В '
д
h дх В
дхдг Л
дП0'
дх
В этих выражениях главными членами правых частей являются первые
члены. Сопоставляя их, легко видеть, что на больших расстояниях составляю-
составляющая П^ весьма мала по сравне-
сравнению с Пг0, так что в дальнейшем
мы можем ограничиться рассмо-
рассмотрением П^. Это обстоятельство
весьма замечательно, так как в на-
нашей горизонтальной антенне пер-
первичное вовбуждение должно, каяа-
лось бы, иметь направление антен-
антенны, т. е. оси х. Первичное воз-
возбуждение нужно вдесь как
бы только для того, чтобы
породить вертикальную со-
составляющую вектора Герца.
Передача волны вдаль осуществля-
Рис. 113.
ется уже этой последней.
Для этой передачи вдаль прежде всего характерно направленное действие,
обусловленное множителем cos? в уравнении A6). Этот же самый множитель
входит и в электрические и магнитные составляющие поля, которые определяют
ивлучение, и поэтому входит в квадрате в выражение излучаемой энергии.
Энергия для любого расстояния г представлена на рис. 113, как функция <р,
в виде симметричной полярной диаграммы (cos2? отложен как радиус-вектор;
о пунктирной кривой смотри ниже). Эта диаграмма тождественна с симметрич-
симметричной диаграммой ивлучения на рис. 88, с той только разницей, что теперь ма-
максимум лежит в направлении горизонтальной антенны, тогда как на рис. 88
продольное излучение равнялось нулю. Причина этого, конечно, та, что ивлучает
совсем не горивонтальная антенна, т. е. не составляющая Пж, а индуцирован-
индуцированные токи, т. е. составляющая Пе.
Если мы скомбинируем горизонтальную антенну когерентно & верти-
вертикальной, как в ивогнутом отправителе Маркони (нижняя часть рис. 113), то Ц,
вертикальной антенны алгебраически сложится с Пе горизонтальной. Действие
будет усилено для © = 0 и ослаблено для <р = т.. Пунктирная кривая в верхней
части рис. 113 представляет частный случай, когда оба Пг одной величины.
Тогда не будет никакого ивлучения для ? = тс и двойная амплитуда для <р = 0,
т. е. ярко выраженное одностороннее направляющее действие.
Наклонную антенну можно равложить на диполи с горивонтальной и верти-
вертикальной осями, действия которых просто складываются. Но так как на больших
расстояниях действие горизонтального вовбуждения опять-таки сводится к дей-
действию вертикальных антенн, суперповиция обеих частей будет соответствовать,
61*

964 Электромагнитные колебания
если не обращать внимания на направленность, полю простых вертикальных
антенн с силовыми линиями, почти перпендикулярными к поверхности земли.
Выведенные нами формулы дают наглядную картину действия горизон-
горизонтальной антенны. Если мы пренебрежем в B5) вторым членом и выразим Пг0
через По, мы получим:
,.,„. „ t дП0 i dll0
B7) ГГ. = -у- -^- = -у cos <p -^-2 .
v ' «° h дх h ' дг
Эта связь между горизонтальной и вертикальной антеннами весьма поучи-
поучительна. Оказывается, что дальнее действие 11^, горизонтальной антенны можно
рассматривать как одновременное действие двух вертикальных антенн, в смысле
рис. 114. Изображенный здесь „антенный диполь", состоящий из вертикальных
токов от земли и в землю, действует во вне,
в направлении горизонтальной антенны, по фор-
муле:
где I — эффективное расстояние обоих верти-
вертикальных токов и По — действие одной верти-
вертикальной антенны [см. уравнения B0) и B1)].
Для излучения под углом <р нужно, очевидно,
заменить эффективное расстояние I на I cos ?.
Этим объясняется направляющее действие гори-
горизонтальной антенны, в частности излучение 0 для о= —. Амплитуда у в фор-
муле B7) показывает, кроме того, что конечная проводимость в месте стояния
горизонтальной антенны является необходимым условием всего процесса (Гер-
шельман): для It = оо амплитуда обращается в нуль.
Мы должны ожидать, что две вертикальные антенны, возбуждаемые коге-
когерентно, по с противоположными фазами, будут иметь такое направленное дей-
действие, как и то, которое в случае горизонтальной антенны получается само
собой. На рис. 114 изображены для сравнения две такие мачтовые антенны на
расстоянии / друг от друга. Действительно, еще в самой ранней стадии раз-
развития беспроволочной телеграфии Браун (F. Braun) делал опыты с такими
двойными антеннами и получил ожидаемое направленное действие, которое
здесь (из-за формулы /coscp), конечно, можно обосновать элементарно.
Свойства электромагнитного поля (Е, Н) горизонтальной антенны вполне
определяются уравнениями E) и Eа) и выражениями B6) для вектора Герца.
Но мы воздержимся от дальнейших вычислений, тем более что это поле в основ-
основном совпадает с полем двойной вертикальной антенны (на рис. 114), которое
можно обогреть совсем элементарно.
3. Горизонтальная магнитная антенпа (рамочпая антенна с вертикаль-
вертикальной плоскостью). Возьмем первичный магнитный диполь по оси у, т. е. пло-
плоскость рамки в плоскости хг. Мы получим таким путем соотношения, аналогич-
аналогичные тем, которые были в случае горизонтальной электрической антенны, рис. 113.
Именно, если считать рамку прямоугольной, то горизонтальным сторонам рамки
соответствует ток в горизонтальной электрической антенне и обратный ток
в земле, а вертикальным — ток от вемли и к земле.
Для вычисления поля будем исходить, как и в п. 1 этого параграфа, ив
уравнений B1), стр. 842. Если мы попытаемся взять выражение
B8) П = @, И_, 0)

XXIII, § 2
Горизонтальная и рамочная
965
(простой магнитный диполь по оси у), мы наткнемся на противоречия, анало-
аналогичные тем, которые были в начале п. 2. Поэтому обобщим предположение:
B9)
= @,Пй,Пг).
При |i=l и гармонической зависимости е
занных уравнений B1):
— iu>t
от времени мы получим из ука-
гш / дП. Ш„\ гт дП2
¦п I г_ _У \ та _J_
х~~ с \ ду дг')' у~ с "ох '
д 1д\1у
дП,
д (д\\у
дг
' с дх ' г ' дг \ ду ' дг )
C0)
C0а)
Граничные условия требуют, чтобы составляющие C0) были непрерывны
при переходе от вовдуха (значок 0) к земле. Отсюда следует, если проинтегри-
проинтегрировать по х и у:
C1) «го^11*. изЕ«'
C2)
C3)
^ = -^-, из Ех и C1),
дП.
dIho дИу
i ~я» " ~ ~~а7/ ~ ~Г
, изН,
дг
= 4»П , из Н и C3).
с » *
Условия C2) и C4) содержат только Ву и П^о; вместе с уравнением
ДП -j- &2П = 0 и условиями на бесконечности и в начале координат они одно-
вначно определяют эти функции. Все эти условия оказываются в точности
такими же, как для вертикальной электрической антенны в 1. Поэтому мы
вовьмем из A5), § 1 выражения:
C5)
N = № V Ь2 — ?02
Так как вдесь П9 вависит только от г, а не от х и у в отдельности, мы получим,
положив х = г cos tp, у = г sin <p:
311, ЯП„ дг

966
Электромагнитные колебания
Отсюда на основании C3) заключаем, что Пг должно содержать множитель
sin <р. Положим поэтому:
C6)
п.
by
где новые функции Fo и F уже не будут зависеть от угла о. Подставляя C6)
в проинтегрированные по у уравнения C3) и C5), получим:
C3а) Fo — F,
/««\ ТТ _1 О ТТ _1_
Если мы будем искать Fo и F в виде A2), мы получим для входящей в A2)
функции f (X) уравнение:
так что эта функция совпадает с A3). Следовательно, и Fo и F будут совпадать
с теми, которые были обозначены этими символами в предыдущем пункте, и мы
получим для Пг0 и Пг выражения:
C7)
СО
/
NN'
Так как функции По и FQ нами уже вычислены, мы можем прямо написать
приближенные выражения для вектора Герца:
C8)
=^1 JL
««"i ft
E
dydz R
dy
Из этих формул видно, что составляющая П^ весьма мала по сравнению
с Ц^. Если мы отбросим Пг0, а в П^о оставим только главный член (что допу-
допустимо при малых „численных расстояниях"), мы получим (отбрасывая несуще-,
ственный множитель 2) следующие выражения для поля:
C9)
9*
ik°E
е'*°д
л — ° в в
х
¦~о,

XXIII, § 2 Горизонтальная и рамочная антенны, 967
D0)
eiKB
fco-R
¦~ дудя R = ° Д2 J? =
Таким образом, мы имеем почти перпендикулярное к поверхности вемли
электрическое поле с направленным действием, как и в случае горизонтальной
антенны, и почти азимутальное магнитное поле, также с направленным действием,
численно равное электрическому. В самом деле, ив формул D0) для Ня и ffs
мы имеем:
H = — H_sincp + H cos<p = &oacoscp—-—,
Hr = Hj. cos » -(- H^sin 9 = 0.
Из выражений для Ег и Н^ получается, что поток энергии ,
пропорционален cos2?» т. е. имеет изображенное на рис. 113 распределение.
Если бы мы вычислили, с таким же приближением, поле для горизонтальной
антенны, мы получили бы для Е и Н с точностью до множителя те же формулы
C9) и D0).
Более точное выражение полей для электрической и магнитной горивон-
тальпых антенн, а также оценку эффективности их действия можно найти в Ana
d. Phys. 81, 1135A926).
ПРИМЕЧАНИЕ
редактора раздела В. А. Фока.
Нам остается разобрать допущенные автором оригинальной немецкой статьи
А. Зоммерфельдом погрешности, потребовавшие полной переработки §§ 1 и 2 этой главы.
Автор во всем изложении проводит разделение воли на „поверхностные" и „простран-
„пространственные*, разумея под первыми тот тип волн, амплитуда которых вдоль поверхности
земли убывает обратно пропорционально корню квадратному из расстояния. Автор внди!
типичного представителя „поверхностных волн" в выражении Р, уравнение C0), § 1,
а представителя „пространственных" волн в выражении Qi, уравнение C1), § 1. Прн этом
он утверждает, что при больших „численных расстояниях" Р будет главным членом
в выражении По = Р + Q\ + Qi, что, как мы видели, не верно. Не только в § 1, при трак-
трактовке вертикальной антенны, но я во всех других случаях, рассмотренных в § 2, автор
старается прежде всего выделить в векторе Герца члены типа Р, считая их главными.
Правда, прн получении окончательных формул автор фактически не пользуется своим
разделением волн на пространственные н поверхностные, вследствие чего он часто полу-
получает верные результаты. Но при фивнческом толковании результатов он опять возвра-
возвращаете^ к этому разделению, что" приводит к противоречиям и крайне затрудняет пра-
правильное понимание действительных соотношений.
Можно думать, что автор пришел к своей неправильной точке зрения вследствие
ошибки при вычислении интеграла QY [наше уравнение C1), § 1]. А именно, он рассма-
рассматривает знаменатель N = N(k) в формуле C1) как медленно меняющуюся величиной
получает для Qi выражение:
л'~ ~w{ir
не имеющее ничего общего с верным выражением F3), § 1. Причина расхождения яона:
вследствие близости полюса X = h к точке разветвления X = fc0, знаменатель N предста-
представляет, вблн8И X = Icq, чрезвычайно быстро меняющуюся величину, которую никоим образок
ввльая считать постоянней и выносить за знак интеграла.

968 Электромагнитные колебания
Мы.не будем заниматься здесь детальным рассмотрением и опровержением неверных
выводов автора. Читатель, внимательно проследивший за нашими выкладками и поже-
пожелавший сравнить их с оригинальной немецкой статьей, сам без труда разберется в этом.
Отметим только, в качестве примера, что именно лрн больших «численных расстояниях" р
величина Р будет особенно мала (а именно порядка е ~р) по сравнению с главным чле-
членом Qv
Хотя предложенное автором разделение волн на «поверхностные" в .простран-
.пространственные* следует считать неверным, можно, однако, сделать аналогичное разделение
по несколько иному принципу, указанному Вейлем, а именно: можно считать «поверх-
«поверхностными* те волны, амплитуда которых, при возрастании проводимости земли, стремится
к нулю во всей области, в которой "тлО ^о> гДе ®о—некоторая отличная от нуля положи-
положительная величина. При таком разделении в выражении
следует считать первый член „пространственной", а второй член По' .поверхностной"
волной.
Кроме указанной главной погрешности, в оригинальной статье имеется ряд второ-
второстепенных погрешностей и нестрогостей, как то: неправильное выделение первичного
возбуждения, неправильное дифференцирование под знаком интеграла, приводящее к рас-
расходящемуся интегралу, и т. п. Все этн погрешности в тексте исправлены, и на них мы
останавливаться не будем. /
В заключение считаем долгом указать, что изменения текста сделаны с согласия
автора.
§ 3. Теорема взаимности в беспроволочной телеграфии
Теоремы взаимности хорошо известны в теории потенциала (теорема о пе-
перестановке источника и точки наблюдения для функции Грина), далее в аку-
акустике [теория Гельмгольца (Helmholtz) для закрытых и открытых труб] и в тех-
технической теории упругости (теорема Максвелла о взаимности смещений в ферме).
В оптике известна теорема Гельмгольца об обратимости пути света.
В беспроволочное телеграфии существует следующая теорема взаимности:
Пусть антенна i, излучает волны в точке Ot и пусть их при-
принимает в точке О2 произвольно направленная антенна А2;
пусть, с другой стороны, J2 излучает волны той же самой
частоты и энергии, что раньше Аи и пусть их принимает Аг,—
тогда принимаемое поле в Ах будет то же, что раньше в А2,
независимо от электромагнитных свойств промежуточной
среды (вода или земля, или то и другое, слоистая или неоднородная атмосфера,
более или менее ионивованная и т. д.) и независимо от формы антенн.
При доказательстве мы будем придерживаться старой работы Г. А. Лоренца
(Н. A. Lorentz)*) об электромагннчных колебаниях, в которой, впрочем, вопросы
беспроволочной телеграфии, конечно, не рассматриваются.
1. Общее обоснование по Лоренцу. Пусть электромагнитное поле первого
процесса (излучатель At) задано уравнениями A), поле второго процесса (излу-
(излучатель As) — уравнениями B)* выписанными ниже. Пусть С будет полный ток,
т. е. сумма тока смещения D и тока проводимости J. Обозначения и единицы
здесь те же, что в уравнениях (I) и (Ц) стр. 808:
A) J B^-ewtB,
+ H2
1 Amsterdamer Akademie von Wetenschappen, 4, 76, 1895—96. Ср. также Pfrang, Dies.
Miinchen 1925 (не напечатано) н A. Sommerfeld, Jahrb. d. drahtL Telegraphie, 26, 93,
1926. Несколько связанных с этим работ W. Schotfky рассматривают „закон глубокого
приема*, ср. Prenss. Akad. d. Wiss. 1926,«стр. 116; Jahrb. d. drahtl. Telegraphie, 27, 131,1926.

XXIII, § 3 Теорема взаимности в беспроволочной телеграфии 969
( В2 = —crotE2
V ' \ Ca = +crotH,
Умножим эти уравнения скалярно на написанные справа от них векторы Н и Е,
так же, как мы это делали при выводе теоремы Пойнтинга (стр. 810), но возь-
возьмем теперь векторы не того же самого, а другого процесса, с накрест-изменен-
нымн внаками. Складывая полученные результаты, напишем:
C) I ^ '
v I =c{HirotE2
Это следствие, как и основные уравнения A) и B), справедливо во всем
бесконечном пространстве, независимо от возможно имеющихся там разрывов
или неоднородностей для электромагнитных констант, т. е. также и па поверх-
поверхности равдела вемля — воздух, вемля — вода и т. д. Ведь и обыкновенные гра-
граничные условия выводятся как рав так, что (взяв сначала непрерывные пере-
переходные слои) считают основные уравнения годными везде, бев исключения. При
применении уравнения C) (ср. конец этого пункта) нужно только исключить
сами источники (антенны), поскольку, для упрощения расчета, мы берем там
бесконечно большие поля.
Правую часть C) преобразуем по теореме
div [А X В] = В rot A — ArotB.
Тогда из C) получается:
D) -f
Предположим теперь, что оба процесса представляют монохроматические
колебания одинаковой частоты, и представим их в виде (ср. стр. 811):
( -о- тт „ — «'<"* х! т? о— *т*
I -П-1.2 == J^J-i.2 е , jji 9 = Jjj\ 2 е ,
Эти комплексные выражения удовлетворяют основным уравнениям, так же кан
их вещественные части, вектора поля. Поэтому уравнение D) остается спра-
справедливым, если в него подставить вместо вектора поля величины E). Этот спо-,
соб был бы недопустим, если бы мы хотели сделать ваключение об энергии или
потоке энергии действительного фивического процесса, так как эти величины
нужно составить ив вещественных векторов поля, а не из их комплексных
выражений (ср. стр. 813). Но этот способ является ваконным, если дело идет
об аналитических соотношениях между комплексными векторами Н, Е, В, С,
определенными уравнениями E).
Предположим далее, что между В, Н, С, Е существуют обычные линейные
вависимости х) (V) стр. 808, причем можно считать е, у, о меняющимися от точки
к точке. Эти вависимости переносятся на комплексные выражения E) и дают
для них:
*) Случай ионной проводимости, важный для атмосферы, рассмотрен, наряду
с металлической проводимостью, в нашей цитированной работе A. SommerfelcL Jahrb. d.
prahtl. Telegraphie, 26.

970 Электромагнитные колебания
«•
Если мы теперь подставим F) в D), то первые два члена слева сокра-
сократятся с последними двумя, и, отбросив общий множитель e~2toi, мы получим
уравнение:
G) div (Е2 X Щ) = div (Е, X Н2).
Это уравнение справедливо везде, где вектора Е и Н непрерывны и допу-
допускают дифференцирования, нужные для обравования расходимости в G).
Так как далее мы будем рассматривать антенны Аг и А2 как простые
диполи, т. е. будем считать в Ot и О2 поля бесконечными, мы должны исклю-
исключить точки О1 и 02. Поэтому построим около этих точек два шара с поверхно-
поверхностями Кг и К2. Затем ограничим пространство на бесконечности шаром К.
Проинтегрируем G) по всему «стальному пространству и применим теорему
Гаусса. Так как в пределе интегралы по К исчезают в обеих частях равенства,
то это дает
(8)
+Кг Kl+K,
. 2. Две линейные электрические антенны. Мы будем считать обе антенны
диполями, как бы они ни были построены на самом деле, и будем говорить
об оси А данного диполя (главное протяжение антенны — направление тока,
действующего на большие расстояния). Возьмем эту ось ва ось z прямоугольной
системы координат, начало которой совпадает с местом расположения диполя О.
Обе оси А1 и А2 в Ох и 02 (т. е. оси координатных систем, применяемых
в окрестностях О1 и О2) могут быть произвольно наклонены друг к другу.
Поле каждого ив диполей мы представим с помощью вектора Герца:
П = @,0,Яг), ^
Ж обозначает момент, диполя (заряд, помноженный на амплитуду колебаний).
Эти формулы справедливы, конечно, только в непосредственной близости поро-
порождающего поле диполя, где „первичное" действие источника преобладает над
„вторичными" (отраженным, рассеянным и т. д.) действиями, которые могут
вывиваться неоднородностью окружающей среды.
Выпишем теперь оба интеграла, стоящие справа и слева в формуле (8):
A0)
X IQnd°, «/» = /(^ X
Все четыре интеграла представляют, так скавать, „взаимные потоки энергии"
черев поверхности шаров Kt и Kv которые получились бы, если бы оба поля
были наложены одно на другое, но потоки энергии, вычисленные не по ввще-
сгвенным составляющим поля Е, Н, а ло мнимым Е, П.

XXIII, § 3 Теорема взаимности в беспроволочной телеграфии 971
Выражая Л1 в Jn по формуле A8) стр. 840, напишем (ах представляет
значение константы <°~'~— около Ot):
С i -
Ju= —«a,
= — *о, У* ( -J- (#2 X rot П);+X (^2 Х rot П)9 + -L (Е„ X rot П)г 1 da.
Вместо rotn подставим выражение (9а) стр. 836; мы получим:
При интегрировании по поверхности шара Kt величины Л2 и П' = -
постоянны: точне так же можно считать приблизительно постоянным неарерывный
вдесь вектор Е%; далее,
/ xzdo = / yzda = I xyda = 0,
С хЧо = Г уЧа = f z4o =
J J J
/ л ~\\ tat i c\ i /«I ^t *<•
I xdo ==...== I afida =... = / xysda = ... = 0.
Таким образом,
и так как по смыслу П' в уравнении (9) стр. 836
lim ^
где Jf, — момент диполя в Ov то окончательно:
A2) J^—ia^E^
При вычислении J12 мы должны выразить 2?2 с помощью уравнений A8)
стр. 840 и считать Н.^ приблизительно постоянным. Мы получим:
/ [(grad div П + W П) ХЯ,]„ da =
Но выражения для составляющих вектора (grad div II -j- &2 П) по осям х
и у содержат только четные, именно вторые или нулевые степени координат
х, у, г. То же самое справедливо и для составляющих нашего векторного про-
произведения. Таким образом, если отвлечься от множителей, постоянных на поверх-
поверхности шара, то все члены под знаком интеграла содержат нечетные степени коор-
координат. Нечетные же степени дают при интегрировании нуль [последняя строчка
A1)]. Таким образом, мы имеем:
A3) J",a==0.

972 Электромагнитные колебания
Обратимся к правой части уравнения (8); нам достаточно переставить
там вначки 1 и 2. Ив A2) и A3) получается:
J22 =/йХ Щпdo = 1 i
Таким образом, уравнение (8) дает:
A4) alM1E2z=a2MzEiz.
Мы должны теперь решить, как нужно выбрать оба момента Мх и М2,
чтобы они соответствовали ивлучению энергии, одинаковому для обеих антенн
Ах и А2.
При этом мы можем опираться на уравнения A7) стр. 840. Там а обозна-
обозначало амплитуду колебаний, т. е. а равнялось дипольному моменту М. Соответ-
Соответственно этому, уравнение A7) напишется:
-
Это уравнение выведено для нормальной среды (в = jj. = 1, о = 0). Обоб-
Обобщение на проиввольную электромагнитную среду дает:
Если поэтому обе антенны должны излучать с одной и той же энергией,
их дипольные моменты должны, согласно A4) и A5), быть связаны соотно-
соотношением
Если обе антенны находятся в нормальной среде, то, разумеется, М1 = ЛГ2.
Уравнение A4) тогда даст просто
или, написав подробно,
в точке Ot \ / в точке 02 \
в направлении At J \ в направлении Л2 /
Напряжение, принимаемое антенной Ах в поле Et, равно и о
амплитуде и фаве напряжение, пр,инимаемому антенной А%
в поле ir
Для более общего случая, когда электромагнитные константы в окрестно-
окрестностях О1 и О2 различны, из A4) и A6) получается:
(
Таким обравом, комплексные амплитуды' принимаемых в обоих случаях
напряжений находятся в постоянном отношении, вадаваемом электромагнитными
константами окрестностей приемника и отправителя.
3. Две магнитные аптенны или одна электрическая и одна магнитная
антепны. ^ Пусть теперь в Ot и О2 находятся магнитные диполи с осями Ах

XXIII, § 3 Теорема взаимности в беспроволочной телеграфии 973
и А%, т. е. рамочные антенны, плоскости которых стоят перпендикулярно к Л{
и А2. Обе эти оси, которые опять могут быть произвольно ориентированы одна
относительно другой, мы [вовьмем ва оси г, точки Ох и О2 8а начало прямо-
прямоугольных систем координат. В непосредственной близости Ot и О2, поле каждого
диполя задается уравнением (9). Поля Е и П получаются ив (9) с помощью
уравнений B1) стр. 842. Если подставить получающиеся выражения в уравне-
уравнение A0), для Jn, J12..., то на этот раз исчезнут Jn и J^, так как, при под-
подстановке И1 и Щ ив B1), под интегралом будут только нечетные степени
х, у, s. Напротив, J12 и J21 будут теперь отличны от нуля, а именно, если at
и ай обозначают значения постоянной -=—- вО, н О2, мы получим:
Эти интегралы имеют тот же вид, что и вычисленный в предыдущем пункте инте-
интеграл Jn, только теперь вместо Е% стоят Ht и Щ. Уравнение A2) дает поэтому:
2 2
/12 = — {а2М^ТГи, J<n = ~3- *<*ХЩЩг •
Если считать Jlf и a = —i— одинаковыми с обеих сторон, уравнение A8)
о
приводится к
A9) Hu = H2li
иди, подробнее:
/в точке Оа , \ / в точке Ot \
1 \ в направлении А% ) 2 \ в направлении ^ /
Исходящее от антенны^ ивлучение дает в точке О2 и в на-
направлении А% магнитное поле, равное по амплитуде и фазе
тому магнитному полю, которое антенна А% даст в точке О,
в направлении Av
При неодинаковых значениях е, р., о в точках Ot и О2 и при одинаковом
излучении, диполи Мг и Ж2 связаны соотношением, аналогичным A6):
Вместо A8) мы получим, приравняв /12 и J21:
B1) VhVJHu= VlhVjff^,
так что и в этом случае получается вполне определенное отношение прини-
принимаемых в обоих случаях напряжений, зависящее только от значений материаль-
материальных постоянных в окрестностях излучателей.
Наконец, пусть в Ot находится электрическая (линейная) антенна, а в О2—
магнитная (рамочная) антенна. Тогда мы должны взять для Et и Ht выра-
выражения A8) стр. 840, а для Е% и Щ выражения B1) стр. 842. Одинаковая
в обоих случаях мощность отправителя обозначает равенство моментов элек-
электрического и магнитного диполей, если обе антенны находятся в нормальной
среде; в общем случае, М1 и М,2 нужно, согласно A6) и B0), выбрать в таком
отношении друг к другу, чтобы было:
Ъё1

974 Электромагнитные колебания
Теперь из четырех интегралов A0) исчезают «/21 и J^, и из уравнения (8)
мы получаем:
с
I т №d
е/,о = — га, I (Я, X rot Щ_аа, ао = -!-^
Вычисление дает:
т. е.
в частности, если обе антенны находятся в воздухе:
_ / в точке О. \ тт / в точке Ой \
'• I I == — -"i I I •
\ в направлении At / \ в направлении «42 /
Электрическое поле, принимаемое электрической антен-
антенной At от магнитного диполя в О2, равно по амплитуде, но
противоположно по фазе, тому магнитному полю, которое
испускается электрическим диполем в 0t и принимается
магнитной антенной А%; при этом предполагается, что обе
антенны излучают одну и ту же энергию и фаза берется
относительно фазы соответствующего отправителя.
Особенно замечательно и важно для практики то обстоятельство, что наша
теорема совершенно не зависит от свойств поверхности земли между отправи-
отправителем и приемником. Между ними вемля и вода могут чередоваться совершенно
произвольно. Точно также не существенны свойства почвы в местах нахожде-
нахождения отправителя и приемника, так как от этих свойств зависят только множи-
множители в уравнениях A8) и B1). Поэтому свойство взаимности остается в силе,
когда отправитель находится на земле, а приемник на воде или наоборот. Рав-
Равным обравом, в нашем доказательстве ничего не предполагалось относительно
однородности атмосферы, подобно тому как в оптике обратимость пути света
верна для елоистой среды, так же как и для однородной. Нужно только исклю-
исключить внешнее магнитное поле (например, поле вемли) х).
Очевидно, что наша теорема взаимности может значительно упростить
исследование частных случаев. Например, можно определить, с какой интенсив-
интенсивностью земная станция принимает сигналы аэроплана, когда его положение
меняется и почва имеет любые свойства, если мы знаем поле, которое станция
дает в воздухе. Для последней вадачи мы развили необходимые формулы в § 1
(правда, для однородной вемли и однородной атмосферы). По теореме взаимности
яти формулы можно перенести на случай: отправитель в вовдухе, приемник
на земле.
§ 4. Беспроволочная телеграфия вокруг земли
Чтобы решить часто возбуждаемый вопрос, может ли кривизна земного
шара быть преодолена 2) при однородной атмосфере или же для этого необходим
1) Ср. Е. V. Appleton и И. A. F. Barnett, Proe. Cambr. Phil. Soc. 22, 872, 1925; также
Sommerfeld, Jahrb. d. drahtl. Telegraphic, 1. с
^ В наши дни можно е поиощыо хорошего усилителя проследить беспроволочные
сигналы до антиподов.

XXIII, § 4 Беспроволочная телеграфия вокруг земли 975 '
так называемый слой Хевисайда, мы займемся в этом параграфе представле-
представлением электромагнитного поля излучателя в однородной атмосфере при по-
помощи строгих формул, удобных для вывода физических следствий. В многочис-
многочисленных и во многом отличающихся друг от друга результатах прежних авторов
можно ориентироваться по работам Ватсона г) и Лапорта а), которых мы и
будем придерживаться при исследовании наших формул. В виде дополнения,
мы коснемся вадачи со схематизованной неоднородной атмосферой, именно,
случая распространения волн между поверхностью земли и ревко выраженным
сдоем Хевисайда, присутствие которого, конечно, очень благоприятствует пре-
преодолению кривизны земли.
1. Однородная атиосфера, общая формулировка задачи. Мы будем исхо-
исходить ив рассуждений гл. XX, § 4, 4. Оптическое поле вокруг шара было там
представлено с помощью двух потенциалов и и v, из которых получались электри-
электрические и магнитные поля путем дифференцирования. Пусть в нашей случае дело
идет об антенне, перпендикулярной к поверхности земли. Поле этой антенны
будет симметрично вокруг земного диаметра, проходящего через антенну, причем
магнитные силовые линии имеют вид кругов, перпендикулярных к этому диаметру
и с центром на нем, а электрические силовые линии лежат в меридианных
плоскостях. Составляющая магнитного поля, перпендикулярная к поверхности
земли, Нг, вевде равна поэтому нулю. Мы можем, следовательно, обойтись здесь
одним потенциалом и, который как раз характеризуется, в отличие от v,
условием Нг = 0. Если ввести полярные координаты г, Ъ, <р с началом в центре
земли и о осью Ь = 0, проходящей черев антенну, то и, кроме того, не будет
зависеть от <р. Следовательно, поле будет выражаться уравнениями B8) стр. 900,
которые (если вевде подразумевать множитель e~xu>t и положить (*= 1 не только
в воздухе, но и в земле) дают, при — = 0.
(!) • я
v ' ди
Первичное поле антенны мы будем рассматривать как дипольное поле
с вертикальной осью. По теореме сложения A8) стр. 897, такое поле выражается
в координатах г, Ь, <р точки наблюдения и в координатах г', 0 источника, еледукь
щим обравом:
e<kR
B)
2 B» -И) ф. <У) Cn (kr) Pn (cos »), г > /
B« + 1 )'СП Qcr') «К, (кг) Р„ (cos 0), г < г'.
Мы отбрасываем везде верхний значок (!) у функции Сп. Вместо f подста-
подставляем Ъ, так что Ъ обозначает расстояние антенны от центра земли. Мы предпо-
предположим сначала Ъ > а (а = радиусу вемли), так как шар г =* Ъ играет особую
роль в представлении и в виде ряда B), и его надо отличать от шара г — а,
для которого будут написаны граничные условия. Мы должны тогда равличать
три области: :
1. Внешнее пространство: 2. Промежуточный слой; 3. Внутренность земли:
г > Ъ, к = fc0. Ъ > г > а, к = fc0. а > г, к = к.
Ср. G. Ж Watson, Ргос. Roy. Soe. 95, 83, 1918.
О. Laporte, Ann. d. Phys. 70, 595, 1923.

976 Электромагнитные колебания
Имея в виду, что внутри земли первичное возбуждение отсутствует, и поль-
пользуясь B), будем писать это первичное возбуждение в виде:
2»(cos{>)> ««М2»-И)
3. м3 = 0.
Для выражения вторичного возбуждения нужно заметить, что здесь шар г = 6
не имеет никакого особого значения, так что в областях 1 и 2 будут одни и те же
формулы. Так как здесь мы имеем дело с решениями уравнения Дм-}-&% = О,
которые внутри земли всегда конечны, а снаружи имеют характер уходящих
волн, мы положим, вводя неизвестные коэффициенты а„, Ьп:
1. и 2.
3.
Для полного возбуждения мы, следовательно, будем иметь:
2- «2
3. • «3
Согласно уравнениям A), условия на поверхности земли г = а (граница
между 2-й и 3-й областью) будут:
д(ги)
а) Е8 непрерывно, т. е. —^—- непрерывно:
Ь) Н непрерывно, т. е. Jc2u непрерывно:
(зь) ? WKinM + dj,n<fa)}==mjt
Чтобы упростить формулы, введем следующие обозначения:
|
Тогда условия (З) переходят в
( }
и дают
(«о) - *К («о) ^„ («) *
1) Мы могли бы избежать введения обозначений ЧГ и-Z, если бы мы взяли Дебаев-
скую нормировку функций ф и С, ер. примечание 1, етр. 490; тогда в последующих фор-
формулах стояли бы у и С вместо %' н 2. Мы однако придерживаемся старой (принад-
(принадлежащей Heine) нормировки Ф и С, так как тогда эти функции прямо будут ,нормальными
функциями" шара. В цитированных работах Ватсоиа (G. Watson) и Лапорта (О. Laporte)
употребляется нормировка Дебая; поэтому их функции отличаются от наших множи-
множителем р.

XXIII, § 4 Беспроволочная телеграфия вокруг земли 977
Теперь, удовлетворив граничным условиям, мы можем перейти к нре-
делу Ъ = а (о возникающих тут вопросах сходимости, см. Ватсон, 1. с). Тогда
мы имеем:
Так как при этом область 2 стягивается в ничто, то нас будет интересовать
только область 1 и следующая комбинация коэффициентов:
Числитель здесь зависит только от одного аргумента а0 и по опреде-
определениям D) равен J
G) «о Й. Ы W Ы-С» К) Ф/ («оI-
Но обе функции фп и Сп удовлетворяют дифференциальному уравнению G),
стр. 893:
}
Поэтому, по известной теореме о линейных дифференциальных уравнениях:
Для определения постоянной С мы можем воспользоваться асимптотической
формулой A1) стр. 894.
Ив этих формул и зависимости A0) между ф и СA), СB) следует <?=«, так
что величина G) равна —; мы можем теперь написать вместо F):
ао
Fа) «„+"„ =
и наш потенциал во внешнем пространстве будет:
Для области внутри вемли получается соответственно
3 «О »» ^^ + } Ф.(«)
В случае бесконечной проводимости земли А
A0)
Зах. 1408.—Франк я Мизес. Дифф. уравн. мат. физ.

978
Электромагнитные колебания
и разумеется, и3 = 0. Для конечной, но большой проводимости мы можем раз-
разложить (8) на суиму двух членов:
A0а)
и
Л(Ро)
(cos»).
2. Переход от рядов к интегральноиу представлению. Нас, главным
образом, интересует поле в воздухе [уравнение (8)] и прежде всего предельный
случай A0). Так как порядок величины отношения -г- будет около 108, то а и р
(мы будем отбрасывать значок 0 у а и р и значок оо у и) будут большие числа.
Поэтому пока и не очень велико, можно брать асимптотические формулы A1)
г
стр. 894, которые показывают, что -у
не зависит от п. Так как Bm-j-l) Pn с
возрастанием п даже увеличивается, о прак-
практической сходимости ряда A0) не может
быть и речи. Нужно было бы веять больше
1000 членов, чтобы формулы A1) сдела-
сделались непригодными и на их место встали
бы асимптотические приближения Дебая
(ср. стр. 871); только тогда ряд начинает
действительно сходиться. Вследствие этого
ряд A0) совершенно не нригоден для числен-
численных вычислений. Мы возьмем его только
в качестве исходного материала для ком-
комплексного интеграла такого рода, чтобы сумма вычетов подинтегральной функ-
функции совпадала с исходным рядом.
Пользуясь методом, полезным также и в других случаях, добавим в знаме-
знаменателе множитель cos irf, который на положительной вещественной оси в точ-
точках t = n-j-—, » = 0, 1, 2 ... исчезает как
(П) (—1)"ч
Мы получик искомый интеграл, если в общем члене разложения A0) вместо »
напишем t — и проинтегрируем по t по петле % вокруг положительной веще-
ственной оси по направлению часовой стрелки. Тогда получается равнозначащее
с A0) выражение:
t,_j_(p) Pt_jjcos(it —»)]
tdt -=-
Рис. 115.
A2)
COSIt*
Аргумент it — ^ в выражении шаровой функции учитывает множитель(— 1)" в A1),
так как Р„ (— «) = ( — 1)" Р„ (ж). Путь 31 вокруг вещественной положительной
оси эквивалентен пути SS, "лежащему над вещественной осью, ср. рис. 115. Чтобы
это доказать, покажем, что множитель при tdt в A2) есть четная функция от t.
Во-первых, из дифференциального уравнения для шаровых функций следует,
что, если при нецелом значении » понимать под Р„ то решение уравнения,.

XXIII, § 4 Беспроволочная телеграфия вокруг земли 979
которое удовлетворяет условию РпA) = 1, эта функция будет обладать свой-
свойством 1)Р„=Р _ „т. е. щцп = 1 — -:
* * * * *
Затем, ив связи между 'С и Л" i , (9) стр. 894 и из Fа) стр. -867,
я п -f- ~
ВИДНО, ЧТО
Такое же уравнение справедливо, по определению D), также и для Z.
Следовательно, -=¦ также есть четная функция от t. Так как <Л четно, то инте-
грал A2) не меняется при замене t на —*. При этом часть $1, лежащая под
вещественной осью, переходит в показанный на рисунке пунктиром путь 91',
а его вместе с Ж можно перевести в SB, что в требовалось доказать.
Путь 23 мы будем далее деформировать в положительно мнимую сторону
Р*_-1
(верхняя полуплоскость рис. 115). Для подготовки рассмотрим поведение ~-
COS ТС? .
при больших положительно-мнимых значениях U Для таких t можно вывести
асимптотическое равенство:
Р _j_ [cos (*- »)] = [2* (t --i-) sin&J
в так как одновременно
eositf = — e 4я>,
то
Р±[со8(.-»)] -г_ ^
<12Ь> Sc^i1/5Ж5
что исчезает экспоненциально. При этом, для удобства, величина * — —в зна-
менателе заменена черев t, что в асимптотической формуле, конечно, позволи-
позволительно.
Далее мы должны исследовать поведение С (р) и Z(a), как функций от t>
в положительно-мнимой полуплоскости переменной 1 и, в частности, определить
корни Z{d). Обыкновенные асимптотические формулы A1) стр. 894 здесь, разу-
разумеется, не годятся, так как они выведены для конечного индекса (порядок Бес-
Бесселевой функции) и бесконечно возрастающего аргумента. Но и здесь мы можем
пользоваться, по Дебаю2), методом седловой точки и получить формулы, годные
для большого аргумента (радиус земли) н большого или бесконечно большого
индекса. Относительно подробностей мы должны отослать к работе Дебая,
вдесь же укажем только общий ход вывода.
J) См. Eiibert-Gourant, Methoden der mathematischen Physik, гл. VII, § 3.
*) Munchener Akademie, 1910, где рассмотрены комплексные значения аргумента
и индекса; яоиое изложение результатов, принадлежащее Дебаю, ом. у Jahnke-Emde,
Funktionentafeln, стр. 102 и 103, 1-ое изд.
62*

980 Электромагнитные колебания
Во-первых, С^_Л отличается от Htw(p) только не зависящим от t мно-
г
жителем 1 / -^-, [стр. 894 ур. (9)], так что мы можем рассматривать Htm (p)
вместо С. Мы напишем интегральное выражение C) стр. 866 в виде:
A3)
Седловые точки будут там, где f ф) = 0. Там мы имеем, согласно A3),
Положим, вмеоте с Дебаем:
A4а) —
тогда в седловых точках (Р = РО)
I tcost).
Асимптотическое поведение Н в основном определяется показательной функ-
функцией ехр |» ("Т~^~^^о^)| (ср< 0ТР" 868 и 869^' Добавочный множитель, который
вычисляется нз f (po) = rppsint, не играет здесь особой роли.
Уже экспоненциальная форма Н показывает, что мы не подучим корней
JT=O, пока асимптотическое поведение будет определяться только «одной из
седловых точек rtt (на седловые точки rtt-j-2ic»n, m целое, мы можем не
обращать внимания). Это всегда будет так, если f (po) комплексно, что, в силу A4а),
при комплексном t вообще и будет иметь место. Если же f{%) вещественно, то
для асимптотического поведения Н одинаково важны обе седдовые точки ~*~t.
Вместо показательной функции мы тогда получаем косинус *), и в качестве асимпто-
асимптотического выражения мы получаем (отбросив указанный множитель):
A5) tf/IJ(p)~cos (y + /-(p0)) =oos
Корня определяются, следовательно, условием:
A5а) p(sini:
Здесь целое число » нужно брать отрицательным (ср. Дебай). Поэтому мы
будем писать —» вместо п. Для малых t (не очень больших п) следует:
?-Ц?. ,-«.-„4(%f
причем относительно знака корня, ив единицы опять отсылаем к Дебаю 2). Отсюда,
вследствие A4а), следует:
2
A6) i.==l_^.+ ...=l-|D»-ir
*) Фаза в нем определяется путем более подробного исследования.
(Прим. ред.)
а) 1. с, § 4. Дебай дает корня #B) = 0; корни Я^ = 0 будут о ними сопряженными.

XXIII, § 4 Беспроволочная телеграфия вокруг земли 981
или
_2_
A6а) е = р + 1Dи-1)^^3 p^e+J5\ (» = i, 2,3...).
Эти величины представляют корни уравнения if/1) (p) = 0, рассматриваемого
как уравнение для t. Для вещественного р они лежат в положительн о-мнимой
полуплоскостих) переменной t; для иллюстрации их расположения Может каче-
качественно служить рис. 115, на котором указаны корни ?(<*) = 0. Одновременно мы
получаем корни if/i) (р) = 0, рассматриваемого как уравнение для р. Именно
И8 A6) мы непосредственно заключаем:
и так как в первом приближении р = /, то
2
A6b) p==<+i ^j
Таким образом, корни р уравнения ЛГ/^ (р) = О лежат (при вещественном <)
в отрицательной мнимой полуплоскости переменной р. Этот ревультат находится
в согласии с упомянутым на стр. 871 следствием из теоремы Грина.
Для исследования нашего интеграла A2) нам нужны, собсп^нно, не
корни С = 0, а корни внаменателя ^= С -j- pC' == 0. Их мы легко найден следу-
следующим образом 2).
При вычислении Ht (p) мы в формуле A5) отбросили медленно меняющуюся
амплитуду. Такая же амплитуда будет и у функции С, отличающейся от Н
медленно меняющимся множителем. Мы можем поэтому положить:
С = A cos в,
где
A7) ^=s —-f-p (sint — tcost).
С той же степенью приближения мы будем иметь:
если пренебрежем проивводной от медленно меняющейся величины Ар.
Следовательно, корни г = 0 даются уравнением sin# = O.
Вблиот корня ts=tn мы имеем:
Z(р) =» — Ар cos* -щ -?¦ (t — tn),
или
A8)
!) В силу уравнения A2а) мы имеем еще ряд корней на диаиетралюо противополож-
противоположных местах —*, т. е. в третьем квадранте плоскости t. Это будет как для корней Щ
или С, так и для корней Z A9). Если бы мы на рис. 115 заменили 31 на путь «В, лежа-
лежащий под вещественной осью, то при деформации в отрицательно-миимой полуплоскости
он повис бы на этих корнях — t уравнения 2 = 0.
а) Последующие выкладки несколько нвменоны редактором. (прим. ред.).

982 Электромагнитные колебания
Амплитуда А выпала ив наших формул. Вычислим производные -т- и -=-.
Дифференцируя A7), получаем:
dz , dx
dp ' dp
dz . dx
С другой стороны, соотношение t = pcost [уравнение A4а)] дает:
di t cost dx 1
dp pa p ' rff p •
Слодовательно,
dz . dz
8Ш; *
Подставляя эти выражения в A8), получим:
A8а)
Найдем теперь корни sin^ = O, ? = ттс. Если мы поступим с этим уравне-
уравнением так же, как раньше с аналогичным уравнением A5а), т. е. будем считать т
малым, п отрицательным (и писать вместо него — п), и кроме того положи»,
в соответствии с A2), аргумент у Z равным а (вместо р), мы получим:
A9)
- —
е •.
Эти корни также лежат в положительно-мнимой полуплоскости (рис. 115);
они отмечены там как t0, t} ...
Мы ограничимся вычислением интеграла A2) для точек в непосредственной
близости от земной поверхности, где г = а и р = а. На основании A8а) мы имеем
вблизи t = tn:
B0) С<й> J 1
Z (a) azn sin xn t — fn'
Наш интеграл A2), по теореме Коши, равен умноженной на 2т сумме
вычетов в точках < = <„, т. е. согласно A2Ь) и B0):
Если мы выразим здесь последний множитель с достаточным приближенней
черев A9) [тп = sin *„ = const • Dre-f-l) s, tn = a] и включим все постоянные
В уже отброшенную амплитуду, мы получим окончательно:
B1) и * У ^
У
У sm U -"

XXIII, § 4 Беспроволочная телеграфия вокруг земли 983
3. Численное исследование н дополнения. Корни tn, заданные уравне-
уравнением A9), имеют положительную мнимую часть и ноэтому вызывают нечто вроде
затухания (или лучше затенения). Выпишем разделениые на а 8 ннимые части Im (tn)
Еорней tn, в виде таблицы:
n
0
1
2
Im(U
i
a8
0,70 x)
2,23
3,32
Соответствующий множитель затухания при н = О равен
— 0,70а */« »
<- .
2
Положив \ = 10 км, а = радиусу земли = — 10* км, мы найдем:
откуда для & = 10° получается затухание:
е ~~j--
Для второго корня, мнимая часть которого превышает мнимую часть первого
A \з 1
— I —-siTT* Множитель
Dн-{-1) 8 в B1) уменьшает эту величину примерно до -.¦ппп. Поэтому мы
в праве пренебречь вторым, и тем более третьим членами в сумме B1), и напи-
напирать просто:
.- J
у s
_j_
Здесь мы в вещественной части t0 пренебрегли содержащим а 3 поправочным
членом по сравнению с главным членом a = koa; d = a$> обозначает расстояние
между отправителем и приемником, считаемое по поверхности земли. Из двух
следующих выражений для затухающего множителя 8, первое получается, если
подставить вместо а его значение в километрах, второе, если, кроме того, ввести
вместо угла & расстояние d:
_ JL __!
B2а) 8 = ехр( — 23,9 X 3&) = ехр( — 3,76 .10~8Х » d).
В обоих последних выражениях нужно, разумеется, выражать к и d в километрах.
*) Из уравнения A9) получилось бы 0,76. Однако, нужно помнить, что наше прибли-
приближенное вычисление корней нужно дополнить высшими членами разложения, которые
важны как раз для меньших корней. Поэтому мы исправили по Деваю и Лапорту число
0,76 на 0,70. Для следующих корней наше выражение A9) практически достаточно.

984 Электромагнитные колебания
• Зависимость показателя от X показывает, что затенение будет тем полнее,
чем меньше X, чем менее заметна диффракция (огибание шара).
Распространение фазы, задаваемое множителем е**"*1 в B2), происходит со
скоростью света с вдоль земной поверхности. Очень интересен множитель (sin &)~ "
в B2). Он указывает на концентрацию энергии в точке, диаметрально противо-
противоположной с отправителем, как это можно обнаружить на самом деле. Правда,
надо иметь в виду, что вблизи самой этой точки наша формула непригодна,
так как там не годится примененное в A2Ь) асимптотическое выражение
шаровых функций (см. ниже), вследствие чего кажущееся обращение и в бес-
бесконечность при & = it не реально. С другой стороны, множитель Vsmtt ясна
показывает, что процесс распространения сильно отличается от процессов геоме-
геометрической оптики, именно, что в самом деле происходит загибание силовых линий
вдоль поверхности земли (также и в случае идеально проводящей земли). В рамках
теории диффракции можно было бы сравнить 'увеличение интенсивности при
0 = it с так называемыми явлениями диффракции Пуассона, которые происхо-
происходят на обратной стороне совершенно непрозрачного диска.
Бросим еще взгляд на выражение ив в уравнении A0а), учитывающее в пер-
первом приближении конечную проводимость земли. Здесь вместо знаменателя Zn (a0)
стоит его квадрат. При переходе к интегральному выражению нули t = tn будут вхо-
входить квадратично, но без изменения их положения. Поэтому вычеты подинтеграль-
ной функции нужно вычислять иначе, но затухающий множитель 8, который полу-
получается из асимптотического значения \-, остается «прежний. Поэтому ко-
cos то -*
нечная проводимость не изменяет меры затухания или затенения и не дает
ничего существенного для объяснения дальности действия радио-телеграфных
сигналов.
Наконец, мы можем сделать переход к пределу а -*¦ оо, т. е. к плоской земле,
который должен вернуть нас к формулам § 1. При конечном d, с переходом
к пределу а = оо, угол О = —, измеренный от центра земли, обращается
в нуль. Для шаровых функций будет справедливо уже не выражение A2Ь),
а следующее выражение:
limP. (cosl-)=Jo(8)i).
8 . d
Отсюда мы заключаем, положив и = |ia, — = & = —:
п а
м («*¦?)-
Если мы подставим это в A0) и превратим сумму по и = |ла в интеграл
1
по у> причем d|» = —, то мы получим:
а
B3) и=Т
При вычислении С и Z ограничимся, для краткости, поверхностью земли, где
г— а, р = а, и заметим, что теперь нужны не нули функции Z, а произвольные
Ср. Seine, Handbuub d. Kugelfunktionen I, C0).

XXIII, § 4 Беспроволочная телеграфия вокруг земли 986
точки на вещественной оси }*, так что нужно брать первоначальную показа-
показательную форму асимптотического выражения Н, упомянутую на стр. 980, а не
тригонометрическую, т. е., по примеру наших предыдущих вычислений, положить:
B4)
С («) = )
С —1
Z га sin т '
Но, согласно уравнению A4а), в применяемых нами теперь обозначениях
(я и а вместо t и р), мы имеем:
f п (* . 1
B5) { « К К
= a У I*2 —
Подставив B4) и B5) в B3), получим:
B6)
tk0J У>2 —
а это и есть в точности наш прежний результат A5) § 1 (с измененными обо-
обозначениями d, у- вместо г, \) для предельного случая fc=oo (ср. там ж*, Ь).
Делитель перед интегралом получается потому, что в уравнении B) мы
¦AJJ
исходили не из eikR, а из ~ . Как показывает Лапорт в цитированной работе,
аналогично можно получить, с помощью перехода к пределу «-»¦ со, формулу A5),
§ 1 и для произвольного к.
Заметим еще, что общий вид B2а) затухающего множителя указан впервые
Пуанкаре в 1905 г., а стоящий там и имеющий существенное значение числен-
численный коэффициент дан Никольсоном в 1910 г. и Макдональдом в 1914 г. Наше
изложение в основном совпадает с цитированными работами Ватсона и Лапорта.
4. Сравнение с опытом. Слой Хевнсайда. Количественные наблюдения
интенсивности приема очень трудны. Лучшие наблюдения принадлежат, пожалуй,
Аустину (L. W. Austin). Результаты вообще таковы, что интенсивности приема
в действительности гораздо больше тех, которые должны были быть по преды-
предыдущей теории, т. е. для однородной атмосферы, причем это происходит как
днем, когда наблюдения дают однородные результаты, так в в особенности
ночью, когда результаты получаются неоднородные и иногда дают гораздо боль-
большие дальности, чем днем. Аустин представляет результаты своих наблюдений
эмпирической формулой с множителем затухания:
i_
B7) 8 = е-в'вх 2* (\ в км).
_ j_ i^
Характерна зависимость показателя от X; там стоит X 2 вместо X *
в уравнении B2а).
Для объяснения неожиданно большой дальности приема, со времен Хеви-
сайда A900) принимают существование ионизованного и поэтому проводящего
верхнего слоя воздуха. Если рассматривать этот слой и землю как идеальные
проводники, то распространение волн было бы сконцентрировано в относительно
тонком слое. Внутри последнего надо, ввиду того что поле уже не простирается
на бесконечность, брать вместо 1., стр. 976, более общее выражение

986 Электромагнитные колебания
причем появляется новое предельное условие на внешней границе шарового
слоя. Интересно то, что Ватсон, пользуясь тем же методом, при помощи которого
он исследовал разобранный выше случай однородной атмосферы, показал, что
для шарового слоя множитель затухания имеет тот же вид, как в формуле B7),
_ L
т. е. что он пропорционален \ 2. Для объяснения полученного Аустином числен-
численного множителя 9,6 нужны, впрочем, добавочные предположения.
Непосредственные наблюдения над сигналами на короткие расстояния также
подтверждают существование слоя Хевисайда. В этой области особенно ценные
данные были получены Экльтоном и его учениками. Брэйт и Тюв измерили и опи-
описали1) эхо радиоволн, возникающее у слоя Хевисайда. Из наблюденной разности
времен получается высота отражающего слоя от 80 до 200 км.
УЧЕБНИКИ
J. ZennecTc, Lehrbuch der drahtlosen Telegraphic, 5. Aufl., совместно с Н. Ruhkqpp,
Stuttgart 1925, в особенности главы 10 н 18.
W. H. Eecles, Wireless Telegraphy and Telephony, London 1918.
*) Phys. Rev. 28, 554 A926).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Отр.
Из предисловия издателя к первому немецкому изданию 5
От редакторов русского перевода 7
Часть первая
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Глава I
Геометрическая оитнка
§ 1. Оветовые лучи и волновые поверхности в любых телах 9
1. Однородные изотропные тела 9
2. Принцип Ферма и световые лучи '1
3. Световые лучи и волновые поверхности *15
4. Дифференциальное уравнение волновых поверхностей и световых поверхностей
и световых лучей-» 17
§ 2. Оптическое отображение в общем случае анизотропной среды 21
1. Эйконал точки, эйконал угла и уравнения отображений 21
2. Отображение элементов линии и элементов поверхности 23
3. Нахождение световых лучей при помощи эйконала, касательные преобразования 25
§ 3. Ход луча в различных средах 27
1. Закон преломления 27
2. Изотропные среды 28
3. Одноосные кристаллы зо
«.- Движущиеся «тела зз
б. Электронный микроскоп 36
§ 4. Отображение посредством симметричных оптических приборов 38
1. Дифференциальное уравнение для лучей, близких к оси 38
2. Диоптрика Гаусса 40
Глава II
Дифференциальные уравнения механических систем
§ 1. Уравнения движения в прямоугольных координатах 44
1. Свободная материальная точка 44
2. Пример: влияние сопротивления воздуха на движение точки под влиянием
силы тяжести 43
3. Уравнения движения системы свободных материальных точек и их интегралы 46
4. Положения равновесия как особые, точки . 48
б. Принцип Даламбера . . . 61
§ 2. Уравнения движения Лагранжа п Гамильтона 62
1. Вид уравнений Лагранжа 52
2. Примеры 54
3. Законы энергии и импульса 55
4. Связь с вариационным исчислением 67
5. Уравнения движения в форме Гамильтона и Рауза 60
6. Интегралы уравнений движения Гамильтона ©2
§3. Дифференциальные уравнения траекторий ..-••¦ 65
1. Траектории материальной точки в плоскости 66
2. Траектории механических систем в общем случае ев
3. Различные виды траекторий » ее
4. Примеры 70

988 Оглавление
Огр.
§ 4. Теория преобразований дифференциальных уравнений Гамильтона 71
1. Аналогия между оптикой и механикой по Гамильтону 71
2. Касательное преобразование, канонические переменные 73
3. Соответствующие канонические переменные 76
4. К интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных . 78
5. Введение волн, соответствующих движению точки 79
§ 5. Метод разделения переменных ^ • 80
1. Основные идеи метода 80
2. Критерий его применимости 80
3. Вылоляение вычислений 82
4. Примеры 83
5. Свойства периодичности разделяющихся переменных 86
6. Угловые переменные и переменные действия 87
§ б. Многократно-периодические системы 89
1. Введение произвольных координат 89
2. Введение общих многократно-периодических систем 90
3. Вырождение 92
4. Примеры 93
§ 7. Однозначные интегралы и траектории, заполняющие объем 94
1. Плоский осциллятор ' ¦ 9*
2. Системы однозначных интегралов; импримитивяые системы 97
3. Приближенные периоды n-кратно периодических систем 98
§ 8. Некоторые сведения из статистической механики 100
1. Относительное время пребывания; виртуальные множества 100
2. Вычисление объемов в фазовом пространстве Ю2
8. Теорема Луивилля 104
4. Теорема Болъцмана 1Ов
5. Время пребывания пчкратно периодической системы 107
6. Квазиэргодическая система, микроканоническое множество 108
Глава III
Устойчивость и малые колебания
§ 1. Квазистатические движения nj>
1. Упрощение интегрирования при наличии скрытых координат по
2. Мвазистагические движения по Раузу • • , П1
3. Обобщения понятия квазистатнческого движения по Леви-Чивпта из
§ ^"Устойчивость и энергия JJJ
1. Понятие устойчивости 1|'
2. Энергетический критерий устойчивости Рауза По
3. Примеры 12°
§ Э. Малые колебания системы около положения равновесия, или установившегося
движения \V.
1. Вывод и форма дифференциальных уравнений -"»"''*„.
2. Интегрирование дифференциальных уравнений свободных колебаний .... 123
3. Частные случаи колебания системы ¦> 125
§ 4. Вынужденные колебания ' • J^®
1. Общее интегрирование дифференциальных уравнений 1^н
2. Система с одной степенью свободы 1М
§ 5. Малые колебания н устойчивость jjJ3
1. Общие критерии J|*
2. Примеры :°1
3. Центробежный регулятор
Глава IV
Уравнения движения твердых тел
138
§ 1. Вывод уравнений движения
1. Координаты положения 13_
3. амшостные координаты

Оглавление 989
Стр.
3. Законы движения твердого тела ' 140
4. Уравнения движения Эйлера 142
б. (Формальное обобщение математических выражений (исчисление моторов) . . 145
6. Уравнения движения Латранжа ', 148
§ 2. Свободное движение твердого тела 150
1. Общее интегрирование уравнений Эйлера 150
2. Явный вид решений в случав периодического движения 153
3. Квазистатнчоские движения 155
§ з. Движения в поле тяжести 157
1. Общая теория 157
2. Симметричный волчок. Квазистатическое движение 158
3. Симметричный волчок. Самое общее движение 15в
4. Колебательное движение с конечной амплитудой 168
§ 4. Движение самолета 163
1. Вывод уравнений движения . . «¦ 162
2. Дифференциальные уравнения продольного движения 163
3.. Постоянные (перманентные) движения и малые колебания 1бв
4. Продольная устойчивость горизонтального полета . 168
5. Фигоидиое движение . 169
Глава V
Методы теории возмущений
§ 1. Основные понятия теории возмущений ...... • . 170
1. Общие механические системы 170
2. Многократно-периодические системы т v
3. Вырожденные системы 176
4. Дифференциальные уравнения вековых возмущений 179
§ 2. Возмущения упругих колебаний , • ISO
1. Возмущающая сила пропорциональна второй степени отклонения 180
2. Возмущающая сила пропорциональна кубу отклонения 183
3. Возмущающая сила содержит члены связи . . 18S
4. Возмущения' просто-периодических траекторий ..." 164
§ 3. Выражение энергии для возмущенных систем 187
1. Соответствующие канонические переменные 187
2. Вычисление выражения энергии 188
3. Невоэмущеиная система вырождена 189
§ 4. Выражение энергии для негармонических колебаний 191
1. Оскулирующее гармоническое колебание не вырождено '191
2. Просто-периодическое основное движение «. . • 191
Глава VI
Задачи небесной в атомной механики
§ 1. Движение Кеплера 194
1. Элементы орбиты кеплерова эллипса 1»4
2. Введение угловых переменных и переменных действия 19в
3. Вычисление координат положения 199
§ 2. Возмущенное движение Кеплера 203
1. Случай центральной возмущающей силы 203
§ 3. Некоторые сведения, касающиеся еадачн трех тел -. 204
1. Задача двух тел 204
2. Приведение задачи грех тел 205
3. Квазистатические орбиты в случае плоской задачи- трех тел 207
Дополнения редактора
4. О касательных преобразованиях ,, ... 209

990 Оглавление
Часть вторая
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Глава VH
Математические основы теорий упругости
Отр.
§ 1. Постановка вопроса и обозначения 224
§ 2. Анализ напряжений и деформаций 225
1. Теоремы о равновесии 225
2. Тензор напряжений 228
3. Тензор деформации . ., 231
§ 3. Закон Гужа и основные уравнения теории упругости 234
1. Закон Гука 234
2. Основные уравнения теории упругости • . . . . 236
3. Вычисление смещении по данным' напряжениям 239
§ 4. Минимальные принципы. Теоремы единственности 240
1. Работа деформации 240
2. Принцип минимума для смещений. Принцип возможных перемещений . . . 242
3. Принцип минимума для напряжений 244
4. Единственность решения 245
§ 5. Уравнения движения. Единственность решения 247
1. Дифференциальное уравнение движения упругого тела 247
2. Единственность решения 249
Сопоставление формул .. л 250
Глава VIII
Задачи на унругое равновесие
§ I. Элементарные решения с линейным распределением напряжений 252
1. Нагрузка равномерно распределенным нормальным давлением ...... 253
2. Растягивающая нагрузка, равномерно распределенная на концах цилиндра . 253
3. Изгиб стержня приложенными на концах его моментами . 254
§ 2. Кручение призматических стержней 267
1. Дифференциальное уравнение и граничные условия 257
2. Простейшие примеры 259
3. Прямоугольник. Метод разложения в ряды 261
4. Сечение, ограниченное многоугольником 295
5. Кручение призм, составленных из различных материалов 272
§ 3. Плоская пластинка, к которой приложены силы, расположенные в этой же
плоскости • 273
1. Функция напряжений 273
ia. Комплексное представление функции напряжений 27»
2. Сосредоточенная сила, приложенная на границе полуплоскости 280
3. Круглая шайба (диск) под действием нормальных сил, приложенных в ее
границе 282
4. Растяжение полосы с отверстием 284
§ 4. Пространственные задачи 286
1. Равновесие тела, ограниченного бесконечной плоскостью 286
Глава IX
Динамические задачи теории упругости
§ 1. Колебание струны . . 295
1. Дифференциальное уравнение колебаний струны 295
2. Метод разложения в ряд 298
3. Определение постоянных по начальному состоянию струны 29»
4. Решения в форме Даламбера 300
5. Бесконечная струна Зоа
6. Разрывы • *• 304

Оглавление 991
Стр.
§ 2. Приложение интегральных уравнений к задаче колебания 308
1. Вывод интегрального уравнения 308
2. Потенциальная и кинетическая энергия »12
8. Решение при данных начальных условиях 314
4. Вынужденные колебания. 516
б. Колебания стержня 317
§ а. Колебания мембраны аш
1. Дифференциальное уравнение колебаний мембраны 818
2. Прямоугольная мембрана 320
3.1 Круговая мембрана 825
4. Аналитические свойства решений 827
5. Интегральное уравнение колебания мембраны '83.1
§ 4. Граничная задача колеблющейся мембраны как задача вариационного исчисления 383
1. Минимальная задача для первого характеристического числа ...... 333
2. Высшие характеристические числа Э36
3. Следствия из минимальных свойств 338
4. Метод Ритца. Эллиптическая мембрана 340
5. Асимптотическое распределение характеристических чисел 34»
Глава X
Идеальные жидкости
§ 1. Общая теория и эаконы движения •. •¦ 346
1.' Определение идеальной жидкости . . 346
2. Поле скоростей 347
3. Уравнение 'Неразрывности " . '• ч 34в
4. Теорема Гаусса, поток ^849
5. Деформация частицы жидкости . 350
6. Безвихревое движение, потенциал скоростей 362
7. Нримеры . Збз
8. Уравнения Эйлера' 366
9. Уравнения Лаграижа 866
10. Гидростатика; плавание > 358
11. Свободная поверхность вращающейся жидкости. Фигуры равновесия . . . 360
12. Уравнения для давления; уравнение энергии 362
13. Теоремы о количестве движения для стационарного течения жидкости. Исте-
Истечение из сосуда 366
14. Теоремы о количестве движения. Общая формулировка 368
16. ТОК И ЦИРКУЛЯЦИЯ ' : 370
16. Теорема икжса. Поток вихря 371
17. Сохранение' циркуляции 371
18. Теоремы Гельмгольца о вихрях 378
19. Стационарное вихревое движение 374
б 2. Общие методы >¦ зтв
1. Потенциальное движение; теорема Грина ¦ • &7в
2. Следствия из теоремы Грина 877
3. Источники . -¦ 378
4. Двойной источник (диполь) 37»
5. Поверхностное распределение источников; слои источников 880
«. Задачи о граничными условиями; функции Грина 382
7. Метод изображений 365
8. Вихревое поле; вихревые линии; закон Бно-Савара 388
9. Вихревые слои »8Г
ю. Представление потока с помощью источников и вихрей 392
11. Кинетическая энергия потока 392
12. Геометрические свойства; слои тока 395
13. Давление в потоке 398
14. Движение твердых тел в идеальной жидкости Зв»
§ з. Частные задачи и методы 401'
1. Комплексный потенциал 401
2. Конформное отображение 403
3. Струя в покоящейся («мертвой») воде - . . - 406
4. Плоские струи. Методы Гельмгольца г Кирхгофа . * 40в

992 Оглавление
Стр.
5. Метод Леви-Чивита 409
6. Учет силы тяжести. Переливание жидкости через плотину 411
7. Функциональное уравнение для свободной границы струи; перманетнтные волны 412
8. Пространственные струи 415
9. Общие соображения о волнах жидкости „ » 416
Ю. Периодические, волны в канале 417
11. Наложение (суперпозиция) волн в каналах 419
12. Волны Герстнера 421
13. Корабельные волны 422
14. Волны прилива в отлива 423
15. Вихревые точки в неограниченной плоскости 425
16. Вихревые точки в ограниченной области 426
17. Вихри Кармана 429
18. Возникновение вихрей Кармана 431
19. Вихревые кольца 432
20. Другие вихревые образования 433
21. Гидродинамическая подъемная сила 434
22. Теорема !Кутта-Жуковского > 436
23. Техническое значение гидродинамической подъемной , силы 437
24. Прандтлевская теория несущего крыла 437
Глава XI
Движение жидкостей с трением
§ 1. Вывод основных уравнений 439
1. Теорема о напряжениях 439
2. Закон Пуазейля ....,., 440
3. Обозначения 441
4. Связь между напряжениями и скоростью деформаций 442
Й. Полные дифференциальные уравнения 44Э
6. Составляющие напряжения на поверхности покоящегося тела 445
7. Линеаризованные дифференциальные уравнения .......... 446
§2. Фундаментальные интегралы линеаризованных дифференциальных уравнений . 446
1. Линеаризованные уравнения в форме Стокса 447
2. Линеаризованные уравнения пространственного движения для случая, когда
система координат имеет постоянную поступательную скорость 448
3. Линеаризованные уравнения плоского движения для случая, когда система
координат имеет постоянную поступательную скорость 449
4. Движения твердого тела 4-50
5. Наиболее общие линеаризованные дифференциальные уравнения .... 450
§3. Стоксова формула сопротивления и связанные с ней формулы » 452
1. Поток, вокруг маленького шара 462
2. Более точное вычисление потока вокруг шара 4бб
3. Поступательное движение тонкого кругового цилиндра в вязкой жидкости . . 457
§ 4. Точные решения уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости . . . 459
1. Функция тока' 469
2. Введение (комплексных переменных ." 460
3. Траектории 461
4. Распределение скоростей 461
5. Поток между коаксиальными цилиндрами 463
§ 5. Теория пограничного слоя . . •« 463
1. Пограничный слой 463
2. Уравнение движения пограничного слоя 464
3. Отрыв пограничного слоя 465
4. Пограничный слой в точной теории Гамеля 466
Литература .467
Оригинальные работы и монографии по теории идеальных жидкостей . . . 468
Гл'ава ХП
Некоторые вопросы теории распространения колебаний
Введение -«• 468
J 1. Задача об отражении плоских упругих воли 470
1. Уравнения распространения упругих волн 470
¦>. ¦¦"» .

Оглавление 993
Стр.
2. Плоская задача 473
3. Граничные (краевые) условия. Полупространство 474
4. Линейно-поляризованные поперечные водны 476
б. Звуковые волны 477
6. Класс комплексных решений волнового уравнения 478
7. Плоские волны. Отражение плоских продольных волн 481
8. Отражение поперечных воля : 484
9. Поверхностные волны Рэлея 488
• ю. Общие формулы комплексной теории отражения 491
§ 2. Общий анализ комплексных решений 493
1. Однородные комплексные решения волнового уравнения. Внутренность основ-
основного конуса 493
2. Внешность основного конуса 496
3. Кинематические н динамические условия совместности. Характеристики . . 498
4. Условия правильности однородных комплексных решений 506
5. Анализ комплексных решений общего типа 506
§ 3. Задача об источниках колебаний для полупространства 509
1. Источники колебаний с однородными потенциалами 509
2. Задача с однородными смещениями 512
8. Конформное преобразование 514
4. Задача об отражении продольных воля. Случай комплексных смещений . . 515
5. Принцип Ферма 521
6. Отражение поперечных волн. Случай комплексных потенциалов 523
7. Отражение поперечных волн. Случай комплексных смещений 626
8. Принцип Ферма 527
9. Волны Рэлея 529
§ 4. Задачи Коши для упругого лолуиростт анетва в двух измерениях 532
1. Постановка задачи. Формули Грина 532
2. Фундаментальное решение Вольтерра ^ 53$
3. Решение задачи Коши по методу Вольтерра 534
4. Формула Грина — Вольтерра 537
5. Кинематические и динамические условия совместности для уравнения упругости 588
6. Постановка плоской задачи теории упругости для полупространства .... 541
7. Фундаментальные решения 542
в. Решение общей задачи теории упругости для полупространства в плоском
|случае 644
9. Теория точечных источников 560
10. Задача Лэмба 555
11. Волны Рэлея 568
§ 5. Основы решения трехмерных задач распространения колебаний методом ком-
комплексной переменной - 559
1. Обобщение понятия плоских воля -559
2. Отражение упругих примитивных волн 563
3. Полное внутреннее отражение поперечной волны при tyj= о 566
4. Волны Рэлвя 566
5. Принцип наложения 567
6. Построение первого фундаментального решения для трехмерной задачи тео-
теории упругости 572
7. Задачи с осевой симметрией 576
8. Построение других фундаментальных решений 577
9. Основные свойства наложении общих комплексных решений 580
10. Отражение фундаментальных решений 582
§ в. Задача Коши в трехмерном пространстве 587
1. Задача Кошн для волнового уравнений в неограниченном пространстве . . . 587
2. Формула Грина для волнового уравнення 588
3. Фундаментальное решение волнового уравнения 590
4. Решение волнового уравнения 590
5. Формула Грина для уравнений теории упругости 598
6. Фундаментальные решения уравнений упругости для полупространства . . 593
7. Решение задачи Коши для упругого полупространства 594
8. Анализ полученных результатов 597
§ 7. Обобщение решения волнового уравнения 599
1. Раврывные решения волнового уравнения 5М
л 2. Обобщенные решения волнового уравнения 60С
63 Зшс. 1408. — Фрын; в Мизес. Дифф. угавн. мат. физ.

994 Оглавление
Стр.
3. Связь с условиями совместности 600
4. Теорема интегрирования 602
5. Обобщенные комплексные решения. Область неаналитичности 603
6. Обобщенные комплексные решения во всей области существования .... 603
t? я. Задача о диффракции плоских воли 005
1. Постановка задачи 605
2. Разветвляющиеся комплексные решения волнового .уравнения 606
3. Элементарные плоские волны логарифмической поверхности 609
4. Диффракция произвольной плоской волны 010
5. Периодические решения E12
6. Диффракция относительно угла 613
7. Трехмерная задача диффракции плоских волн 614
8. Общая задача диффракции для двухмерного пространства 616
Часть третья
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Я ДИФФУЗИЯ
Глава XIII
Свободные теплопроводность н диффузия
§ 1. Основные понятия н дифференциальные уравнения ¦ . . .,__ 618
1. Основные понятия теплопроводности в твердых телах .""' 618
2. Дифферепцналъное уравнение теплопроводности 62.0
3. Основные понятия диффузии при отсутствии действия внешних сил .... 621
4. Дифференциальное уравнение диффузии 623
§ 2. Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах 624
1. Тело, бесконечно протяженное в одном i: смерен ин. Общее решение .... 624
2. Примеры 627
3. Применение к Броуновскому движении одной чааицы 631
4. Тела, бесконечно протяженные в двух измерениях 632
5. Тела, бесконечно протяженные в трех измерениях 635
6. Интегральное уравнение теплопроводном и и диффузии 638
§ 3. Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах 641
1. Температура (концентрация) на поверхности постоянна. Тело ограничено
плоскостью 641
2. Диффузионный опыт Бриллуэна и «первые прохождения» при броуновском
движении 642
3. Тела, ограниченные двумя плоскостями 644
4. «Двухсторонние первые прохождения» при броуновском движении .... 645
5. Слоистые тела 646
6. Теплопроводность е пилиндре . 647
7. Теплопроводность в шаре 649
8. Распространение холода 660
9. Температура (концентрация) пограничной поверхности есть заданная функ-
функция времени 652
10. Тепловые волны 656
11. Внешняя поверхность — изолятор 659
12. На внешней поверхности тела имеет место «внешняя ироиодимость» .... 661
13. Диффузия сквозь диафрагму 664
14. Та же задача в двух измерениях 665
15. Теплопроводность стержня 667
16. Охлаждение призмы 669
Глава XIV
Вынужденная теплопроводность и диффузия
3 1. Основные понятия и дифференциальные уравнения 671
1. Дифференциальное уравнение теплопроводности с конвекцией 671
2. Дифференциальное уравнение диффузии при действии внешних сил . . . 672
3. Интегральное уравнение диффузии и его связь со статистикой 673
$ 2. Теплопроводность и диффузия прн вынуждепной конвекции 67i
1. Теплопроводность при течении жидкости без трения. Охлаждение тела обте-
обтекающей жидкостью 675
2. Конечный коэфипиент теплопередачи 677

Оглавление 995
Стр.
3. Течение сквозь узкие трубы. Холодильник 679
4. Диффузия в текущих газах н под влиянием заданных внешних сил . • . 681
5. Седиментация и броуновское движение в поле силы тяжести 681
6. Связь с одной теоремой статической механики 683
7. Диффузия электролитов 684
8. Диффузия ионов в газах 686
§ 3. Спонтанное конвекционное течение под действием внешних сил 638
§ 4. Связь между теорией диффузии и волновой механикой 690
1. Основные положения волновой механики 690
' 2. Движение системы частиц под действием внешних сил 692
3. Движение по инерции с 694
4. Связь с соотношением неопределенности 696
Часть четвертая
СТАЦИОНАРНОЕ (ЯВАЗИСТАЦНОНАРНОЕ) ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Глава XV
Электростатика
§ 1. Формулировка4 проблемы 700
1. Основные физические представления 700
2. Математические уравнения поля 702
§ 2. Основные задачи; метод отражений н электрических изображений 4
1. Однородные основные задачи 704
2. Распределение электричества на эллип-сонде 705
3. Неоднородные основные задачи •. . 708
4. Отражение и электрические изображения 710
§ з. Электростатическое равновесие на двух заряженных сферах 713
1. Задача и принцип решения 713
2. Решение 715
3. Коэффициенты емкости 718
§ 4. Цилиндрические поля. Представление посредством функций комплексной пере-
переменной 719
1. Логарифмический потенциал, коаксиальные круговые цилиндры 719
2. Отражение, эксцентрические круговые цилиндры 721
3. Представление поля посредством функций комплексной переменной . "^ . . 725
§ 5. Поле призматических проводников 727
1. Применение метода Шварца 727
.2. Два бесконечных призматических проводника 730
3. Поле между двумя конечными ограниченными проводниками 734
§ 6. Применение электростатики в теории катодных ламп 740
1. Постановка задачи 740
2. Вычисление проницаемости 741
3. Объемный заряд 743
Глава XVI
Стационарные электрические токи
§ 1. Формулировка уравнений поля и простые задачи 747
1. Физические законы 747
2. Простые задачи о стационарных полях тока 749
§ 2. Прохождение тока между землей и металлическими проводниками .... 750"
1. Граничная задача и интегральное уравнение 750
2. Непосредственная формулировка интегрального уравнения 752
8. Решение интегрального уравнения для распределения тока 754
4. Решение интегродифферепциального уравнения для выхода тока 758
§ 3. Слой жидкости о металлической границей. Цветные кольца Нобили .... 760
1. Задача Римана 760
2. Учет поляризации 763
3. Однородная вспомогательная задача 764
63*
.у

996 Оглавление
Стр.
4. Общее решение неоднородной задачи 766
5. Решение в случае тока 7бв
Глава ХУП
Магнитостатика
§ 1. Образование магнитных полей 770
1. Основные законы магнетизма 770
2. Постоянный магнит и магнитный момент 771
3. Стационарное электромагнитное поле 772
§ 2. Парамагнитные тела в магнитном поле 773
1. Общая граничная задача 773
2. Шар в однородном поле 775
3. Эллипсоид в однородном поле 778
4. Энергия пара или диамагнитного тела в магнитном иоле 785
5. Применение к эллипсоиду 786
Глава XVIII
Квазистационариые токи и волны
§ 1. Квазистаицпенарные контуры тока 789
1. Магнитная энергия поля 789
2. Механическое представление системы. Закон индукции Фарадея 791
3. Колебание цепей. Сопротивление при переменном токе 792
§ 2. Квазистационарные волны в проводниках 794
1. Волновые уравнения 794
2. Стоячие волны. Свободные колебания . 797
3. Вынужденные колебания 7943
4. Бегущие волны произвольной формы 800
§ 3. Квазистационарные волны в катушгках 803
1. Волновые уравнения 803
2. Гармоничные волны 806
3. Образование преломлепных волн 806
Глава XIX
Общие теоремы и методы интегрирования
§ 1. Основные уравнения' и однозначность решений 80S
1. Собственная теория Максвелла 80S
2. Закон сохранения энергии и однозначность решений 810
3. Замечание о математической трактовке колебательных процессов 811
§ 2. Инвариантность уравнений. Максвелла по отношению к преобразованию Лоренца 816
1. Введение электромагнитных потенциалов 817
2. Антисимметричный тензор поля 819
3. Группа ортогональных преобразований 821
4. Частное преобразование Лоренца 822
§ 3. Запаздывающие потенциалы и поле ускоренно движущегося заряда .... 826
1. Определение четырехмерного потенциала . . . 826
2. Запаздывающие потенциалы и приближение Льенарда-Вихерта 839
;?. Поле произвольно движущегося заряда 83а
§ 4. Вектор Герца и излучение колеблющегося диноля S33
1. Непосредственное рассмотрение электрического диполя 834
2. Поле линейного гармонического вибратора 836
3. Получение энергии ¦. 838
4. Обобщения 840
5. Вычисление оптической интенсивности по вектору Герца 843
§ 6. Условия излучения. Собственные функции и собственные значения , , , . 346

Оглавление 997
Глава XX
Теория диффракции
Отр
§ 1. Разветвленные решения уравнения колебаний 819
1. Математическая формулировка задачи 849
2. Понятие пространства Рямана S61
3. Функция плоской волны, однозначная на поверхности Римама 856
4. Решения для пространства Римана 858
5. Приложения и дополнения 862
§ 2. Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений .... 865
1. Подготовительные замечания о функциях Бесселя 86ч
2. Выражение для разветвленной функции плоской волны в виде сходящихся
рядов по Бесселевым функциям 871
3. Асимптотическое выражение разветвленной фундции плоской волны .... 874
4. Частный случай 878
§ 3. Сравнение с классической теорией днффракции (Френель-Кщххгоф) 883
1. Теорема Грина и функции Грнпа 983
2. Принцип Гюйгенса 885
3. Прямоугольное отверстие, щель и полуплоскость 886
4. Связь между геометрической и волновой оптикой 389
§ 4. Диффракция от шара и от других тел. Метод разложения в ряды .... S92
1. Частные решения 892
2. Теоремы сложения 895
3. Диффракция от цилиндра 897
4. Диффракция от шара. Коллоидальные частицы 898
Глава XXI
Сопротивление для нерешённых токов в скин-эффект
§ 1. Распределение в проводящей плоскости 903
1. Симметрия задачи и строгое интегрирование 903
2. Исследование поля 906
3. Сопротивление переменному току ' 909
§2. Провод с круговым ееченнем при низких и высоких частотах 912
1. Переменное поле с круговой симметрией 912
2. Исследование поля &14
3. Сопротивление и самоиндукция провода 916
§ 3. Катушка с переменным током 918
1. Упрощения и симметрия задачи 918
2. Исследование поля 921
3. Сопротивление и самоиндукция катушки 923
Глава ХХП
Волны вдоль ироводов
§ 1. Поле и распространение волн вдоль проводов 925
1. Условия на поверхности и трансцендентное уравнение 926
2. Численный пример для одного типичного случая. Вычисление скорости рас-
распространения и затухания 943
3. Очень тонкий провод. Аномальный случай распространения и затухания . . 929
4. Поток энергии на бесконечности 981
5. Структура поля 931
§ 2. Дополнения 932
1. Побочные волны электрического и магнитного типов. Несимметричные волны . 932
2. Поверхностные волны на непроводниках 933
3. Случай металлического обратного провода 936
Глава XXIII
Беспроволочная телеграфия
§ 1. Вертикальная антенна иа плоской земле »37
1. Первичное и вторичное возбуждение Э38
2. Преобразование первичного возбуждения . 940

998 - Оглавление
Стр.
3. Выполнение граничных условий 942
4. Другие формы решения 948
5. Приближенное представление решения. Интеграл Р 945
6. Приближенное представление решения. Интегралы Qi и Qs 947
7. Вывод приближенной формулы для точек вблизи поверхности землн .... 951
§ 2. Горизонтальная и рамочная антенны 956
1. Вертикальная магнитная антенна 957
2. Горизонтальная электрическая антенна 958
3. Горизонтальная магнитная антенна (рамочная антенна с вертикальной пло-
плоскостью) . . 964
Примечание 967
§ 3. Теорема взаимности в беспроволочной телеграфии 968
1. Общее обоснование по Лоренцу > 968
2. Две линейные электрические антенны 970
3. Две магнитные антенны или одна электрическая и одна магнитная антенны . 972
§ 4. Беспроволочная телеграфия вокруг, земли 974
1. Однородная атмосфера, общая формулировка задачи 975
2. Переход от рядов к интегральному представлению 978
3. Численное исследование и дополнения 983
4. Сравнение с опытом. Слой Хевисайда 985