/
Text
СК.Годунов
•
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ФИЗИКИ
С. к. ГОДУНОВ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов университетов, обучающихся
по специальности ^Математика* и ^Механика*
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 7 1
517.2
Г 59
УДК 517.944
Уравнения математической физики. С. К. Годунов,
Главная редакция физико-математической литературы
изд-ва «Наука», 1971.
Книга представляет изложение оригинального курса
лекций, которые автор читал в Московском и Новоси-
бирском университетах. Нетрадиционный выбор материала
связан с тем, что автор много занимался приложениями
дифференциальных уравнений к механике сплошных сред
и разработкой численных методов для решения этих
уравнений. Автор стремился отобрать материал, который
к настоящему времени стал уже классическим у специа-
листов, хотя, может быть, еще не слишком часто встре-
чается в учебниках и в монографиях, доступных широ-
кому кругу механиков.
, Рис.-87.
Сергей КонсгНан^и^ович Годунов
" УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
М‘, 1971 г., 416jcjjp. с илл.
Редактор А. М. Ильин
Техн, редактор Я. Ф. Брудно Корректор Л. С. Сомова
Сдано в набор 14/1V 1971 г. Подписано к печати 11/Х 1971 г. Бумага 60 X ЭО/ю-
Физ. печ. л. 26. Условн. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 26,12.
Т-16803. Тираж 37 000 экз. Цена книги 1 р. 05 к. Заказ № 1727.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор»
им. А. М. Горького Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР,
г. Ленинград, Гатчинская ул., 26
2—2—3
6—71
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................................. 9
Глава I. Вводная часть ,..................................................... 11
§ 1. Ньютоновский потенциал................................................. 11
Несколько предварительных замечаний о характере уравнений, которые бу-
дут изучаться в курсе» Исторические замечания о работах Лапласа, привед-
ших его к уравнению для потенциала тяготения. Потенциал непрерывного
распределения масс (или зарядов). Его непрерывность и непрерывная диф-
ференцируемость. Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Убывание
потенциала на бесконечности.
§ 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге ......................... 19
Принцип максимума для гармонических функций и теорема единственности
для убывающего на бесконечности ньютоновского потенциала. Понятие о ло-
гарифмическом потенциале на плоскости. Аналитические и гармонические
функции двух переменных. Некоторые специальные решения уравнения
Лапласа и эвристический вывод формулы Пуассона для определения гармо-
нической в круге функций по ее граничным значениям. Различные варианты
записи этой формулы и некоторые свойства ядра. Обоснование формулы
Пуассона для решения уравнения Лапласа. Постановка задачи Дирихле.
Теорема единственности решения задачи Дирихле. Существование решения
вытекает из обоснования формулы Пуассона.
§ 3. Уравнение теплопроводности........................................... 28
Вывод уравнения теплопроводности. Задача Дирихле как задача определения
стационарного распределения температуры по заданной температуре границы
области. Постановка задач для одномерного уравнения теплопроводности.
Принпип максимума для этого уравнения. Теоремы единственности задач
1 и 2 для уравнения теплопроводности при различных предположениях о ре-
шении и о начальной функции.
§ 4. Уравнение теплопроводности (продолжение).............................. 40
Формула Пуассона для уравнения теплопроводности и ее обоснование.
Решение с помощью интеграла Пуассона простейшей задачи для уравнения
теплопроводности на конечном отрезке. Нестрогий эвристический вывод ин-
тегральной формулы для решения уравнения теплопроводности. Примеры
частных решений линейного и нелинейного уравнений теплопроводности.
§ 5. Гиперболические уравнения .......................................... 55
Простейшие примеры гиперболических уравнений с частными производ-
ен , ди „ о
ными: — — =0, уравнения для звуковых и электромагнитных волн. За-
дача Коши для этих уравнений и ее решение с помощью характеристик. Ги-
перболическое уравнение второго порядка. Формула Даламбера. Интеграл
энергии для звуковых волн. Доказательство единственности решения, основан-
ное на использовании интеграла энергии. Интеграл энергии для одномерных
уравнений Максвелла. Схема вывода уравнений Максвелла.
§ 6. Характеристики . . . ,................................................ 77
Определение характеристик для общей системы уравнений первого порядка с
двумя независимыми переменными. Соотношения на характеристиках. Ком-
плексные характеристики уравнений Коши —• Римана. Определение характе-
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ристик в случае большего числа независимых переменных. Определение ^-ги-
перболической системы первого порядка. Симметрические /-гиперболические
системы первого порядка. Пример — уравнения для звуковых волн. Инвари-
антность понятия характеристик относительно невырожденных преобразова-
ний искомых функций и замены уравнений эквивалентными линейными ком-
бинациями. Конус характеристических нормалей. Определение характерис-
тик для одного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши для та-
кого уравнения. Примеры. Определение эллиптической системы и эллипти-
ческого уравнения,
§ 7. Метод Фурье............................................................ 93
Схема метода Фурье для уравнения Лапласа и его обоснование. Метод Фурье
для гиперболической системы уравнений акустики. Представление решений в
виде суммы стоячих волн. Пересказ вводной главы из работы Римана, посвя-
щенной истории метода Фурье. Ортогональность собственных вектор-функций
и вычисление коэффициентов Фурье.
§ 8. Корректность ........................................................ ПО
Связь между корнями характеристического уравнения и свойствами ко-
ротких волн. Пример Адамара. Понятие о корректно и некорректно постав-
ленных задачах. Некорректная задача для уравнения теплопроводности. За-
мечания о предмете курса уравнений математической физики.
Глава II. Гиперболические уравнения................................... 117
§ 9. Интеграл энергии................................................ 117
Приведение к каноническому виду гиперболической системы с двумя незави-
симыми переменными в окрестности точки. Римановы инварианты. Неодно-
значность их определения. Канонический вид—частный случай симметричес-
кой по Фридрихсу системы. Тождество «интеграл энергии* для гладких ре-
шений симметрических /-гиперболических систем. Пример: закон сохранения
энергии для уравнений акустики. Лемма об интегральном неравенстве.
§ 10. Теорема единственности и оценки решений гиперболических систем 125
Использование интеграла энергии для оценок решений симметрических ги-
перболических систем. Оценки проводятся в области полупространства / > 0,
ограниченной сверху некоторой «шапочкой», про которую известно, что по
ней поверхностный интеграл энергии неотрицателен. Как проверить это усло-
вие, пока не выясняется. Теорема единственности для рассматриваемых об-
ластей. Получение оценок для производных путем применения изучаемой
техники к расширенным системам, включающим уравнения для оцениваемых
производных. Специальный способ расширения путем включения только
уравнений для производных по /.
§11. Условие неотрицательности квадратичной формы, связанной с ин-
тегралом энергии ............................................................ 130
Конус векторов, связанных с неотрицательно определенными квадратичными
формами интеграла энергии. Его выпуклость. Способ вычисления границы
этого конуса. Неравенство т -f- Н (£, г|) >: 0 и определение Н (£, Т])- Одно-
родность и вытекающее из нее равенство == Примеры: гипербо-
лическая система с двумя независимыми переменными х, t в канони-
ческой форме и уравнения теории упругости. Замечание о случае перемен-
ных коэффициентов.
§ 12. Уравнение Гамильтона —Якоби ...................................... 137
Неравенство и уравнение Гамильтона — Якоби. Схематическое описание при-
ема интегрирования этого уравнения. Бихарактеристики и канонические урав-
нения Гамильтона для их построения. Конус характеристических нормалей для
уравнений акустики и уравнения Гамильтона — Якоби для этой системы.
Описание областей единственности для нее. Конус характеристик и конус
характеристических нормалей. Пример: уравнения акустики.
§ 13. Постановка смешанной задачи для гиперболической системы............ 149
Обсуждение (на примере^-ностановки граничных условий для гиперболи-
ческой системы. Число условий, которое надо задавать на той или иной
границе для однозначной разрешимости задачи. Условия согласования на-
чальных данных и граничных условий (на примере). Диссипативные гра-
ничные условия. Возможность такого приведения гиперболической системы
к каноническому виду, чтобы граничные условия стали диссипативными.
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 14. Теорема единственности решения смешанной задачи......................... 157
Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями.
Оценка решения и теорема единственности. Расширение системы уравнений
и граничных условий задачи. Получение оценок производных. Обзор оценок
решений для симметричных гиперболических систем. Условия согласования
начальных данных и граничных условий. Непрерывная зависимость ’решений
от условий задачи. Понятие об обратимых задачах. Примеры исследования
постановок граничных условий для гиперболических систем.
§ 15. Оценка решений разностных уравнений для смешанной задачи ... 166
Разностная схема решения смешанной задачи для гиперболической системы.
Оценка решений разностных уравнений в случае диссипативных граничных
условий. Начальные данные должны удовлетворять граничным условиям.
§ 16. Компактность решений разностных уравнений.................._. . . . 175
Продолжение вывода оценок решений разностных уравнений. Оценка раз-
ностных отношений. Интегральные неравенства, обеспечивающие равносте-
пенную непрерывность функций в прямоугольнике. Теорема Арцела о ком-
пактности е-энтропия.
§ 17. Теорема существования решения смешанной задачи................. 184
Доказательство теоремы существования решения у гиперболической системы
начинается с описания продолжения сеточных функций на весь прямоуголь-
ник. Оценки для этих продолжений или «интерполяций» как следствия из оценок
сеточных функций. Выполнение начальных и граничных условий для пре-
дельных функций. Доказательство дифференцируемости предельных функций.
Формулировка решаемой задачи, предельный переход в разностных уравне-
ниях. Теорема существования. Попутно полученные неравенства для решений
и их производных. Некоторые замечания к доказанной теореме существова-
ния и единственности смешанной задачи для гиперболической системы: 1) от-
каз от диссипативности граничных условий, 2) случай коэффициентов, не
зависящих от времени, 3) теорема существования решения задачи Коши
внутри характеристического треугольника.
§ 18. Волновое уравнение. Формула Кирхгофа........................... 196
Задачи Коши и теорема единственности для волнового уравнения. Формула
решения задачи Коши в“случае одного пространственного переменного. Вы-
вод формулы Кирхгофа для решения в случае трех пространственных пере-
менных. Обоснование этой формулы. Метод спуска и получение формулы Пу-
ассона для решения двумерного волнового уравнения. Сводка формул для
одномерного, двумерного и трехмерного пространств. Лакуна в области за-
висимости в трехмерном случае. Резкий передний и задний фронты от воз-
мущения в ограниченной области. Другая ситуация в случаях одного и двух
измерений. Диффузия волн. Сферически симметричная звуковая волна. Необ-
ходимая гладкость начальных данных. Запаздывающие потенциалы.
§ 19. Обобщенные решения.............. .............................. 214
Обобщенное решение для уравнений акустики. Связь определения обобщенного
решения с законами сохранения. Понятие обобщенного решения для простей-
шего гиперболического- уравненияОбобщенное решение как пре-
дел гладких решений. Определение С. Л. Соболева. Эквивалентность этого
определения классическому на гладких решениях. Уточнение определения.
Теорема единственности. Теорема существования.
Глава III. Уравнение Лапласа . . . ................................ 226
§ 20. Свойства гармонических функций ................................ 226
Инвариантность уравнения Лапласа и интеграла Дирихле относительно кон-
формных преобразований плоскости. Новый вывод формулы Пуассона для ре-
шения задачи Дирихле в круге на основе этой инвариантности. Две теоремы
о среднем арифметическом для гармонических функций. Следствие—оценка
гармонической функции в центре круга через интеграл ее квадрата. Из схо-
димости последовательности гармонических функций в среднем вытекает рав-
номерная сходимость в некоторой подобласти. Решение задачи Дирихле в
круге бесконечно дифференцируемо во всех внутренних точках. Оценка его
производных в центре круга. Теорема Гарнака о равномерной сходимости и
о гармоничности предела. Сходимость производных во внутренних точках.
Неравенство Гаркака для неотрицательных гармонических функций. Теорема
Лиувилля. Усиленный принцип максимума. Теорема о разрывной мажоранте.
Устранимые особенности.
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 21. Вариационный принцип Дирихле....................................... 237
Формула для вычисления интеграла Дирихле гармонической в круге функции
по коэффициентам Фурье граничных значений. Пример непрерывной в круге
гармонической функции, имеющей бесконечный интеграл Дирихле. Неравен-
ство для интегралов Дирихле двух функций, принимающих на границе круга
одинаковые значения, одна из которых гармоническая. Пример Адамара не-
прерывной на границе круга функции, которая не может быть продолжена
внутрь с конечным интегралом Дирихле. Вариационный подход к задаче Ди-
рихле. Некоторые исторические замечания. Пример неразрешимой вариацион-
ной задачи. Единственность экстремальной функции. Принцип Дирихле для
круга и для простейших областей, полученных из него конформными пре-
образованиями.
§ 22. Метод Шварца....................................................... 249
Альтернирующий метод Шварца доказательства существования решения задачи
Дирихле для составных областей. Критерий ^Шварца. Формулировка тео-
ремы и ее доказательство. Использование метода Шварца для обоснования
принципа Дирихле. Пример получения теоремы существования решения за-
дачи Дирихле и принципа Дирихле в неодносвязном многоугольнике. Про-
верка критерия Шварца с помощью геометрического «условия луночки». Схе-
ма доказательства принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для
любых многоугольных областей.
§ 23. Обоснование принципа Дирихле....................................... 259
Ограничения на область и на функции. Лемма о поведении допустимых функ-
ций вблизи границы и (лемма 2) оценка интеграла квадрата функции, об-
ращающейся на границе в ноль, через ее интеграл Дирихле. Построение
специальной минимизирующей последовательности, изучение ее свойств.
Предельный переход, в результате которого обосновывается принцип
Дирихле.
§ 24. Задача Гильберта для уравнений Коши —Римана в круге................ 268
Постановка и примеры. Индекс граничного условия. Нормировка (регуляри-
зация) граничного условия в задаче Гильберта. Теорема существования реше-
ния в случае неотрицательного индекса граничного условия. Исследование
неединственности при положительном или нулевом индексе граничных усло-
вий. Единственность и условия разрешимости при отрицательном индексе.
Задача с косой производной и ее сведение к задаче Гильберта. Задача Ней-
мана. Индекс задачи и индекс граничных условий. Понятие об индексе для
’ системы линейных алгебраических уравнений.
§ 25. Некорректные задачи............................................... 277
Обсуждение возможности решения некорректных задач на примере задачи
Коши для периодических решений уравнения Лапласа. Разложение этих
решений в ряд Фурье. Логарифмически выпуклые функции и получение
с их помощью неравенств для гармонических функций. Условная коррект-
ность в классе ограниченных решений. Регуляризация приближений для на-
чальных данных и отыскание решения некорректной задачи, ограниченного
известной константой.
Глава IV. Преобразование Лапласа и метод Фурье для гиперболи-
ческих систем .............................................. 288
§ 26. Система обыкновенных дифференциальных уравнений............. 288
Изучение формул для решения систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений с постоянными коффициентами при помощи соображений, которые бу-
дут использоваться для обоснования метода Фурье. Интеграл Дюамеля и пре-
образование Лапласа. Частотная характеристика. Формулировка теоремы об
обращении преобразования Лапласа и ее применение для представления ре-
шения в виде суммы экспонент.
§ 27. Теорема об обращении преобразования Лапласа.......................... 296
Формулировка теоремы об обращении преобразования Лапласа и ее обобще-
ния на растущие (не слишком быстро) функции. Первые три леммы и вытека-
ющие из них следствия приводят к важному тождеству с тригонометрическим
интегралом. Обсуждается характер остаточного члена в этом тождестве. Окон-
чание доказательства теоремы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 28. Преобразование Лапласа для решений гиперболической системы . . . 303
Описание постановки обратимых смешанных задач для гиперболической систе-
мы. Существование решений и оценки для них изучались в § 17. Преобразо-
вание Лапласа v-(х, X) решения при достаточно больших Re к. Его аналитич-
ность. Обыкновенные дифференциальные уравнения, которым оно удовлетво-
ряет. Оценки. Использование обратимости. Изложение схемы дальнейшего
изучения. Основные свойства ъ^х, Л), которые будут обоснованы в следую-
щих параграфах, и получение с их помощью формулы обращения, содержа-
щей интеграл по замкнутому контуру,
§ 29. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений 312
Асимптотические (по X) формулы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений, связанных с преобразованием Лапласа. Эти
формулы получаются из явных представлений решений системы, содержа-
щей два независимых уравнения. Последующие леммы постепенно приводят
к все более и более сложному характеру зацепления уравнений.
§ 30. Собственные функции краевой задачи................................ 319
Изучение в полосе | Re к | < const аналитических от к функций, зависящих
от параметра х. Эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциаль-
ным по х уравнениям и граничным условиям. Вывод асимптотических формул
решения краевой задачи из формул для решения задачи Коши, полученных
в предыдущем параграфе. Функция D (к). Ее нули — собственные значения
системы. Нулей D (к) вне полосы I Re к | К нет. Асимптотика нулей Ь {к).
Аналитическое продолжение преобразования Лапласа решения гиперболиче-
ской системы на всю комплексную плоскость с выколотыми полюсами в ну-
лях D (к).
§ 31. Полнота системы собственных функций............................... 329
Напоминание доказанных в предыдущих параграфах фактов о свойствах
у. (лг, к) — аналитических функций от Л и о приближенном представлении реше-
ния смешанной задачи контурным интегралом. Вычисление отдельных вычетов.
Решение приближается суммой конечного числа «стоячих волн». Видоизме-
нения в случае кратных полюсов. Замечание о возможности распростране-
ния теории на системы, не приведенные к каноническому виду. Теорема о
полноте собственных функций. Примеры, показывающие существенность обра-
тимости задачи для применимости метода Фурье.
§ 32. Ряд Фурье для консервативной системы ............................. 337
Консервативная гиперболическая задача для системы из двух уравнений.
Интеграл энергии для вещественных и комплексных решений. Комплексные
евклидовы пространства, натянутые на собственные вектор-функции. Унитар-
ность преобразования, связанного со сдвигом времени. Свойства унитарных
преобразований. Вывод из этих свойств ортогональности собственных функ-
ций и доказательство того, что к^ чисто мнимы. Использование ортогональ-
ности при приближении начальных данных стоячими волнами. Формула для
коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье. Пример.
§ 33. Самосопряженная система второго порядка...........’............... 344
Ее сведение к симметричной системе первого порядка. Эта система консерва-
тивна. «Кинетическая» и «потенциальная» энергия для решений этой системы.
Собственные вектор-функции и собственные значения соответствующей крае-
вой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Собст-
венные функции ортогональны как в «потенциальной» метрике, так и в «кине-
тической». Формулы для приближенного решения задачи. Замечания о методе
Ритца.
Глава V. Разностные методы решения дифференциальных уравнений . . 356
§ 34. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике............ 356
Разностное уравнение, которому удовлетворяет точное решение. Приближен-
ное разностное уравнение. Мажоранты и неравенства для решения разност-
ного уравнения Пуассона. Разрешимость разностной системы. Оценка погреш-
ности.
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 35. Разностная схема для гиперболической системы с двумя независи-
мыми переменными........................................................
Схема, которая ранее использовалась нами для доказательства теоремы суще-
ствования, изучается примерно так же, как в прошлом параграфе изучалось
разностное уравнение Лапласа. Необходимость неравенства —^1. Сравне-
ние областей влияния разностного и дифференциального уравнений и вытека-
ющее из этого сравнения необходимое условие сходимости. Пример, показыва-
ющий, что это условие не является достаточным. Негибкая схема, решения
которой могут при уменьшении шагов сходиться к решениям различных урав-
нений.
§ 36. Неявные разностные схемы..........................................
Лемма о разрешимости системы уравнений с трехдиагональной матрицей. Не-
явная разностная схема для гиперболического уравнения и оценка ее решений.
Исследование сходимости. Явная и неявная схемы для уравнения теплопро-
водности. Описание метода прогонки для решения разностных уравнений,
возникающих в простейших неявных схемах.
§ 37. Аппроксимация и устойчивость......................................
Схематизация проводившихся исследований погрешности разностных решений.
Понятия аппроксимации и устойчивости. Из аппроксимации и устойчивости
г, „ ди . ди ,
следует сходимость. Пример разностной схемы для уравнения — = /,
которую удобнее считать аппроксимирующей не это уравнение, а следствие из
него. Разбор на примере той же схемы нетривиальности понятия аппроксима-
ции в граничных точках.
§ 38. Метод прогонки ...................................................
Хорошо обусловленные системы уравнений, возникающие из разностных
схем. Разрешимость и хорошая обусловленность систем с близкими коэффици-
ентами. Получение оценок прогоночных коэффициентов для хорошо обуслов-
ленных систем. Эти оценки выполнены как для исходной системы, так и для
всех к ней близких. Неравенство нулю знаменателя в прогоночных формулах.
Схема реального вычислительного процесса. Сведение его к точному решению
близкой системы. Ошибка результата зависит от максимума ошибок на каж-
дом из шагов вычислений, но не зависит от числа шагов.
§ 39. Итерационные процессы решения задачи Дирихле......................
Формальная схема. Сведёние вопроса о сходимости-к случаю нулевых гранич-
ных условий. Специальный ортонормированный базис в пространстве сеточ-
ных функций, равных нулю на границе. Аналогия с процессом выравнивания
температур и ее использование для «придумывания» итерационных процессов
решения разностного уравнения Лапласа. Выбор параметра т для простейшего
итерационного процесса. Оценка работы, нужной для того, чтобы уменьшить,
погрешность в заданное число раз. Процесс Дугласа — Рэкфорда, исполь-
зующий «расщепление» итерационного оператора на одномерные. Циклическое
изменение параметров. Леммы о произведении собственных значений и оценка
скорости сходимости.
364
375
384
394
403
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана по материалу курса лекций, которые я читал
в течение трех лет студентам-механикам Московского Университета и чи-
таю уже третий раз в Новосибирском Университете. Выбор вопросов,
на примере которых разбираются постановки задач в теории уравнений
с частными производными, связан с тем, что я много занимался приложе-
ниями уравнений к механике сплошных сред и "разработкой численных
методов для решения этих уравнений. Мне кажется, что вызванная этим
направленность курса будет полезна студентам, специализирующимся в ука-
занных областях.
Некоторые разделы курса навеяны сравнительно новыми работами.
Так, изложение теории смешанных задач у гиперболических систем на
плоскости основано на работе И. М. Гельфанда и К. И. Бабенко об об-
щем виде интеграла энергии. Теория метода Фурье излагается под впе-
чатлением от работ К. В. Брушлинского, Л. А. Дикого и Кейза, связан-
ных с изучением устойчивости гидродинамических течений.
Один параграф посвящен некорректным задачам и следует работе
М. М. Лаврентьева. При его подготовке я пользовался консультациями
А. Н. Тихонова. В 1952 году я присутствовал при изобретении И. М. Гель-
фандом метода прогонки для решения разностных уравнений. Посвящен-
ный' этому методу параграф воспроизводит обоснование, предложенное
в недавней работе В. В. Огневой. Книга заканчивается изложением ра-
боты 1956 года Дугласа — Рэкфорда о решении разностного уравнения
Лапласа.
Мне хотелось отобрать материал, который к настоящему времени
стал уже классическим у специалистов, хотя, может быть, еще не слиш-
ком часто встречается в учебниках й монографиях, доступных широкому
кругу механиков или физиков.
Материал первой главы этой книги (вводная часть) по существу
представляет собой законченный краткий обзор предмета, который, как
мне кажется? может быть положен в основу сокращенного/курса урав-
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
нений математической физики для инженерно-технических вузов или для
пединститутов. Вероятно, такой курс полезно дополнить еще материалом
последней главы, посвященной разностным методам решения дифферен-
__щйальных уравнений.
Я чрезвычайно признателен кафедре дифференциальных уравнений
Московского Университета и ее руководителю И. Г. Петровскому за
приглашение прочесть этот курс и за предоставленную свободу в вы-
боре программы.
Редактор книги А. М. Ильин оказал мне неоценимую помощь в ра-
боте по составлению текста из лекционных конспектов. Его вмешательство
привело не только к некоторому удачному изменению, плана курса, но
и к существенному улучшению изложения материала. Ряд доказательств
был им заменен на более простые и более наглядные.
Я должен также поблагодарить Т. А. Годунову за помощь в тяже-
лой работе по оформлению конспектов лекций и окончательного текста.
С. К. Годунов
Глава J
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
§ 1. Ньютоновский потенциал
Несколько предварительных замечаний о характере уравнений, которые будут
изучаться в курсе. Исторические замечания о работах Лапласа, приведших его
к уравнению для потенциала тяготения. Потенциал непрерывного распределения
масс (или зарядов). Его непрерывность и непрерывная дифференцируемость. Потен-
циал удовлетворяет уравнению Пуассона. Убывание потенциала на бесконечности.
Курс уравнений с частными производными существенно отличается
от курса обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что в этом
курсе будут изучаться далеко не все уравнения, которые можно выпи-
д д д д3 м
сать, используя значки ч-, ..., и т. п. Мы ограничимся только
J дх9 ду9 dt9 9 dxdt2 r
совсем немногочисленными конкретными примерами уравнений и систем:
ди . ди_д2и . д2й_____~ ди____д2и . д2и .
dt^dx^^9 дх^ду2^^9 dt^dx^dy2'
1 cg’IS’ II 0 ’ ди dt ' Родх
ди . dv п ду ’ дх 9 1 dt + Ро
Иногда будут рассматриваться также некоторые не слишком широкие
их обобщения.
Как правило, примеры, на изучении которых мы будем останавли-
ваться, возникают в задачах математической физики, чаще всего — в об-
ласти механики сплошных сред. Именно этим и объясняется название
курса «Уравнения математической физики».
Не. надо думать, что изучаемые нами примеры случайны с точки
зрения математической теории. Изучение уравнений математической физики
привело • к тому, что появилась классификация постановок задач, со-
гласно которой выбранные нами уравнения и системы являются типичными
представителями наиболее важных классов. Оказалось, что для уравне-
ний, отличающихся друг от друга на первый взгляд совсем несущест-
венно, естественными будут совсем разные задачи. В качестве примера
укажем на уравнения
д2и . д2и_~ • д2и д2и__~
И д&~ду»~U’
12 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
так похожие по записи, но принципиально отличные по свойствам.
Во вводной части курса мы рассмотрим примеры некоторых важных
задач, для которых решения удастся выписать с помощью явных фор-
мул. При этом мы, во-первых, приобретем некоторую ориентировку
в вопросах, которые будем потом изучать, а, во-вторых, заготовим эле-
менты аппарата, нужного нам для построения теории.
Первым уравнением, на котором мы остановимся, будет так называ-
емое уравнение Лапласа
д2и . д2и . д2и р
дх2 ду2 ' дг2
и, чуть-чуть более общее, уравнение Пуассона
д2и , д2и . д2и г, ч
dy* + ~d& ~КХ> У’ •
Я сейчас расскажу, как в математической физике появилось уравне-
ние Лапласа. Его появление на свет вызвано совсем нетривиальным ходом
развития естественнонаучных идей. Неожиданный поворот мыслей Лап-
ласа предопределил, как мне кажется, ряд важных соображений, след-
ствием которых явились уравнения Максвелла для электромагнитного поля
и, в настоящее время, уравнения полей, связанных с элементарными час-
тицами.
Как известно, Кеплер, обрабатывая наблюдения Тихо Браге над дви-
жением планет, установил следующие три удивительных закона:
1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого
находится Солнце.
2. Радиус-вектор от Солнца до планеты заметает равные площади
в равные интервалы времени.
3. Квадраты времен обращения двух планет пропорциональны кубам
больших полуосей их орбит.
Законы эти, хотя и красивые, но довольно сложные. В дальнейшем
Ньютон нашел для этих законов более простое, хотя и не менее удивитель-
ное, выражение, называемое законом всемирного тяготения:
«Между любыми двумя телами действует сила притяжения, прямо
пропорциональная их массам и обратно пропорциональная квадрату рас-
стояния между ними».
Законы Кеплера, закон Ньютона и связь между ними подробно изу-
чаются в курсе механики. Поэтому я ограничиваюсь только беглым на-
поминанием.
Удивительно, конечно, как два тела, находящиеся на колоссальном
расстоянии друг от друга, могут действовать одно на другое. Это даль-
нодействие всегда казалось очень удивительным и попытка преодолеть
его, по-видимому, и привела Лапласа к следующему истолкованию.
Наличие какого-либо притягивающего тела влечет за собой возник-
новение во всем пространстве некоторой субстанции, интенсивность и
, НЬЮТОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 13
§ И
которой в точке (х, у, z) вычисляется по формуле
М
К(Х - Х0)г + (у - Уо)2 + (2 - 20)2
Здесь у-некоторая постоянная, х0, у0, z0 — координаты притягиваю-
щего тела, М — его масса. Чтобы вычислить компоненты FX) Fy, Fz
силы тяготения, действующей на тело единичной массы, расположенное -
в точке с координатами х, yt z, надо положить
р ди р ди р ди
Как известно, функция и называется потенциалом векторного поля
Fу, Fz}.
В случае, если притягивающих тел несколько (тело массы М[ распола-
гается в точке (xf, yb Zi)), то силу можно вычислять по тем же форму-
лам, если взять в качестве потенциала функцию
. и==ту_-----------------
/(х-х,)* + (г/-Л)2 + (2-г,)2
Лаплас предложил пользоваться при изучении тяготения не самой функ-
цией и, а тем дифференциальным уравнением, которому эта функция
удовлетворяет. Это уравнение может быть получено следующим образом.
Рассмотрим сначала только одно слагаемое в формуле для функции и,
Mi
Щ = у =, ~_ .
К(Х - Х()2 + (у - уi)* + (г - г,)2
и вычислим его производные. Для упрощения записи обозначим
расстояние между точками (х, у, z) и (дг/, у„ zt) посредством г =
= ^(х ~ Xi)2 4- {у — yi)2 + (z — Zi)2 и заметим, что
дг _________x — Xj____________х — Xi
дх ~ / (х - xz)« + (у- yiY + (г - г,)2 ~ ~Г ’
дг y — yi дг z — Zi
ду г 9 dz г ’
Таким образом, производные
дщ пл X — Xi дЩ. пл У — У1 dUi Z — Zt
^=_ViWi^.
Продифференцируем их еще раз:
д2щ дх2 — yMi —V + 3 г3 1 (Х-Х,)2] г6
д2щ —-т+ 3 L г3 (У-Уг)2
ду2 Гб
д2щ дг2 = yMi — -з- + 3 [ Г3 1 (г~гг)2 Г5
14 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Складывая эти три частные производные, получаем
д2щ __п
дх2 ду2 "Г д?2 ’
Очевидно, что отсюда и из того, что » = вытекает равенство
I
д2и д2и . д2и р
дх2 + ду2 + дг2
которое и называется уравнением Лапласа. Таким образом, Лаплас
предложил отказаться от явной формулы для сил дальнодействия и за-
менить ее на дифференциальное уравнение для поля величины и. Можно
считать, что дифференциальное уравнение описывает взаимодействие
между соседними элементами поля к. Таким образом, введение этого
поля подменяет задачу о дальнодействии между реальными телами за-
дачей о «близкодействующем» взаимодействии между соседними
областями пространства, залитого некоторым, искусственно придуманным,
полем величины «. Лапласу мы обязаны идеей введения уравнений для
надуманного поля н, уравнений, которые действуют всюду вне тех
точек, в которых сосредоточены сами притягивающие массы. (В точках
х=х„ у=у„ z~Zi мы не можем вычислять производные по приве-
денным выше формулам.)
В дальнейшем нам придется иметь дело не с потенциалом точечных
масс, а с полем тяготения, вызванным массой, распределенной по неко-
торому объему. Остановимся на таком объемном распределении масс
с плотностью р = р(а, Ь, с) в точке х = а, у — Ь, z = c. Пусть
р(а, Ь, с) — 0 для всех точех, лежащих вне некоторого шара, то есть
при а2 + &2 + с2> R2. Разобьем этот шар на элементарные объемы со
сторонами Да, Д£, Д<?, в каждом из которых сосредоточена масса
р(а, &, с)ДаД£Ас.
Возбуждаемый этой массой потенциал силы тяготения принимает в точке
(х, у, z) значение
р (а, с) &а Д& Ас
?У(х-аР + (у-&)2+(г-сгГ
Суммарный потенциал и, учитывающий все элементарные объемы, будет
равен
VI р (а, Ь, с) &а Aft Ас
У’ jL К(х-а)2 + (г/-&)2 + (г-^с)2 ’
а, Ь, с
Формально переходя к пределу при неограниченном измельчении шара
а2 4- b2 + с2^ R2, мы получаем представление потенциала в виде сле-
дующего интеграла:
Шр (a, b, с) da db de
/(х_а)2+(г/_6)2-|-(г_С)2 ’
+ +
§ t] НЬЮТОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 15
который носит название объемного или ньютоновского потенциала.
Постоянную у мы, начиная с этой формулы, опускаем.
Нетрудно, хотя и несколько громоздко, показывается, кчто если
р (a, с) имеет непрерывные первые производные, то потенциал
и (х> У> удовлетворяет так называемому уравнению Пуассона
д2и . д2и , д^и л / \
-Ч-7Г 4- -ч-г + -Ч-5Г = — 4лр (х, у, г). (1)
дх2 ' dy2 dz2 г \ \ /
Вне притягивающих масс, то есть там, где р = 0, это уравнение совпа-
дает с уравнением Лапласа.
Доказательство равенства (1) будет дано ниже, а сейчас заметим,
что в задачах, связанных с законом всемирного тяготения, плотность
р(а, bi с) не может принимать отрицательных значений. Однако, как
известно, есть еще одна область физики, в которой сила взаимодей-
ствия так же, как и в теории тяготения, описывается законом
^==Т“72~-
Это — электростатика, a mv т2— заряды двух материальных точек.
В электростатике для обозначения зарядов обычно применяются буквы
е1У е2, а не mv т2. Роль постоянной тяготения у выполняет е"1, где
8 — диэлектрическая постоянная.
В электростатике зарядам нужно приписывать знак — заряды одного
знака отталкиваются, а разного знака — притягиваются. С законом элек-
тростатического взаимодействия — законом Кулона — связан электроста-
тический потенциал, отличающийся от потенциала гравитационного
только тем, что плотность р(а, Ь, е) может принимать как положитель-
ные, так и отрицательные значения (здесь это не плотность массы,
а плотность заряда). '
Напряженность электростатического поля имеет компоненты Ех =
__ ди ди ди zi\
= —~^i Еу =—, Ez ——Следовательно, уравнение (1) можно
переписать в виде равенства
дЕх дЕу дЕг 4лр
дх ду дг 8 ’
которое в электростатике носит название теоремы Гаусса.
Приступим к аккуратному доказательству справедливости уравнения Пуас-
сона (1). Выражение для потенциала и (х, у, г) удобнее записать в виде '
« z) = С f С ——=~=^==^========- da db de,
' ' ' К(Х —«)2+ (Г/ —b)2 + (Z —С)2
гДе интегрирование распространено по всему пространству. (Не надо забывать,
ЧТо Р(а, Ь, с) —О, если а2 + 62 + с2^7?2.) После замены переменных интегриро-
Вания: а—х=|, Ь — г/ = 'П, с—z=£ получим следующее представление для
16
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
потенциала:
До некоторых пор нас будут интересовать только х, у, z, лежащие в конеч-
ной части пространства x2 + z/2-|-z2^/?2. Так как р(х + £, г/ + л» z + g)=O ПРИ
(х+£)2 + 0/ + В)2 + ^+£)2^#2» то можно ограничить область интегрирования
шаром D {£2 + л2 + ?2 (/? + 7?)2 = 47?2 = L2} и записать
w(x, у, г)
p(*+J. у + т). z + £)
П2+п2+С2
dgdilrfC-
(2)
-И5
D
(Интеграл (2) является несобственным, так как подынтегральная функция имеет
особенность в начале координат. Этот интеграл сходится равномерно относи-
тельно параметров х, у, z ввиду того, что подынтегральная функция имеет
интегрируемую мажоранту р*/К^2 + л2 + С2> Р* = гпах|р|. Действительно,
Шр* dl dv\ d£
Интегралы, полученные формальным дифференцированием интеграла (2) по пара-
метрам х, у и z, также равномерно сходятся; следовательно, по известному
правилу
^1р(х+1, у+т). г+»]
dldridt =
с с с Ж(р(х+?’ г+?)1
= \ \ \ ---====-------d$ dr\ d£.
J J J /g2+r)24-?2
D
К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям,
заметив, что
1Н ть. »-r I. TWI Q г р(х+|, у + т), г+g) 1
/|2+п2+£2 L /i2+n2+£2 J
Е-р(* + ё. у+п. г+0
(52+л2+52)’/*
и учитывая равенство нулю функции р (x-j-g, «/ + л, г + £) на сфере £2 + л2 +
+ £2 = £2. В результате получим
= И ( Е-Р(*-В> у+п, г±Э^ (3)
дх i 3 J (В2 + П24Ч2) 4
D
Интегрирование по частям законно, так как интеграл (3) сходцуся. Более
того, этот интеграл сходится равномерно относительно параметров х, у, z,
так как подынтегральная функция обладает интегрируемой мажорантой
§ и НЬЮТОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 17
шах | Р |/(|2 4- П2 + С2) • Действительно,
D О
Производные от подынтегральной функции по х, у или z также обладают инте-
грируемой мажорантой. Следовательно, вторые производные функции и можно
получить, дифференцируя правую часть равенства (3) под знаком интеграла.
Итак,
1?- Ш a.+l.+av.
D
- $ $ S а.+Лп-'' I |р<'+Е'9+п’г+В1<Л| dE
D
и аналогично
—=( С £---------3----гт-—[р(*+£, я+п, z+Q]dUnC
эу* JJJ аг+п2+?8) /’ ап .
D
>-$ S S 9+"'г+м «
Складывая почленно полученные равенства, можем записать
+2 у+ч, Z+Q]
---—--------------------- didr\dt,. (4)
(£2+П24Ч2) /s
д*и д*и д*и f С С \6
дх* + ду* + дг* J 3 }
D
Для вычисления, интеграла в правой части удобно записать его в виде повтор-
ного интеграла (< и ...dSr\drt где Sr — сфера радиуса г с центром в начале коор-
динат, a dSr~элемент площади этой сферы. Заметим, далее, что производная
Эр 4 4
по радиусу равна скалярному произведению градиента функции р, т. е.
л (Эр Эр Эр I
вектора grj"» dFf и еДИНИЧН0Г0 вектора, направленного по радиусу, т. е.
вектора {g/г, т)/г, g/r} (г«КВ2 + ‘П24Ч2)- Следовательно,
£ Jp-+n JP-+? Jp_
ё «Эл dg dr ’
и равенство (4) принимает вид
L
&и . д*и д*и _ С
дх:2 ду* dz* ~ J
О
-^[р (х+^ + п, * + £)]
dS,
Г*
’ dr.
18 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ (ГЛ. I
Так как элемент площади rfSr = r2rfQ, где dQ — элемент площади единичной
сферы Q, или элемент телесного угла, то
д2и f д2и f д2и _
Н dp(*+V. y+iy
ар (X4~gor, у+т]ог> z+gor) I dQ
dr ar(
= ЭД[р(*+£<Л> !/ + 'По^, 2 + С(Л)—Р (х + §оО, Jz + 'HoO, 2 + &)0)]dQ =
Q
“ "JJp (*’ у> 2) = —4лр (х, у, z).
Q
Равенство (1) доказано для любого шара х2 + «/2+г2 ^7?2, а следовательно,
для любых х, у, z.
В заключение этого параграфа докажем еще, что ньютоновский по-
тенциал стремится к нулю при (х2 + У2 + ?2) -> оо. Более точно, мы
докажем равенство
lim ]/~х2 +у2 + z2 и(х, у, г) = И(р(а, b, c)dadbdc.
Запишем ньютоновский потенциал в виде
“(Q)= И S dv> D {r(р> 0)R}>
D
где Q — точка с координатами х, yt z, Р — точка с координатами а,
b, с, dV—dadbdc, r(P, Q)—расстояние между точками Р и Q. Пусть
О — начало координат и г (О, Q) = ]f х2+у2 + z2. Тогда
Г (О, Q)««И $$ ,
° г (О, <2)
Так как
1 г (О, Q) — r(P, Q)\^r{0> P)^R.
то
г (О, Q)H(Q)=SHp(P)(fv+0( г (О, Q))’
lim г (О, Q)ii(Q) = ^^p(P)dV.
Q-*co d
Подведем итог. Нами показано, что ньютоновский потенциал при не-
прерывно дифференцируемой плотности, отличной от нуля лишь внутри
§ 2]
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ
19
некоторой сферы, является решением уравнения Пуассона, которое
стремится к нулю на бесконечности.
В следующем параграфе мы покажем, что этими условиями он опре-
деляется однозначно. С этой точки зрения предложение Лапласа заме-
нить изучение интегралов изучением дифференциального уравнения, кото-
рому эти интегралы удовлетворяют, логически оправдано.
При проверке уравнения Пуассона мы предполагали, что плотность
р(а, Ь, с) непрерывно дифференцируема* во всех точках пространства.
В действительности существенна лишь локальная гладкость плотности
в окрестности той точки-, где проверяется выполнение уравнения
Пуассона.
плотность р (а, Ь, с) равна нулю вне некоторого шара и
(«о, &0, с0). Тогда
Задача. Пусть
имеет непрерывные первые производные в окрестности точки
в окрестности этой точки ньютоновский потенциал с плотностью р удовлетворяет
уравнению Пуассона (1). Отсюда, в частности, вытекает, что ньютоновский по-
тенциал конечного тела постоянной плотности р0 удовлетворяет внутри этого
д2и , д2и ,д2ил
тела уравнению 4--ч-у4--v-g-=—4этр0, а вне тела —уравнению Лапласа.
их оу
§ 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге
Принцип максимума для гармонических функций и теорема единственности
для убывающего на бесконечности ньютоновского потенциала. Понятие о лога-
рифмическом потенциале на плоскости. Аналитические и гармонические функции
двух переменных. Некоторые специальные решения уравнения Лапласа и эври-
стический вывод формулы Пуассона для определения гармонической в круге
функции по ее граничным значениям. Различные варианты записи этой формулы
и некоторые свойства ядра. Обоснование формулы Пуассона для решения урав-
нения Лапласа. Постановка задачи Дирихле. Теорема единственности решения
задачи Дирихле. Существование решения, вытекает из обоснования формулы
Пуассона.
Докажем одно важное свойство решений уравнения Лапласа
д2и д2и п .
~дх^ 'ду2' ~dz2'= которые называются гармоническими функциями.
Теорема о максимуме и минимуме (принцип макси-
мума). Гармоническая функция и (х, у, г), непрерывная на некоторой
замкнутой ограниченной области O=G [J Г и имеющая внутри
этой области первые и вторые производные, не может внутри
этой области принимать значения большие, чем максимум ее зна-
чений на границе Г, и меньшие, чем минимум ее значений на Г.
Обозначим через т максимум значений и(х, у, z) на Г и предпо-
ложим, что максимальное значение и равно w(x0, j>0,
(Точка (х0, j/0, г0) предполагается лежащей внутри G.) Составим вспо-
могательную функцию
v = u(x, у, z) + [(х—х0)2 4- (у —у0)2 + (z—г0)2],
где d — диаметр области G. Из неравенства
(х—х0)2 + (у —у 0)2 + (z — z0)2 < d2
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
|ГЛ. I
20
вытекает, что на Г
/ \ - х М—т л М + т _ ..
v(xt у, z)^m + ~^d2 = —±—<M.
В то же время
Оо> Л> ^o) = w(^o’ Уо> г0) = М
Отсюда следует, что максимум v(x, у, z) внутри О не меньше, чем /И,
а следовательно, больше, чем максимум v на Г. Этот максимум дости-
гается, очевидно, в некоторой внутренней точке (х, у, z) области О.
В точке максимума, как известно,
dv___ду____ду___п д2У п д2У п д2у п
дх ~ ду dz ”*и; дх2 ’ ду2 ’ dz2 и>
а следовательно,
д2^ д2у . д2У ~
Однако
d2v . д2У . д2и ___ д2и д2и д2и . М — т [ д2 . д2 . д2 |
+ + +“^2"Н1г2’“,~ 2d2 Х
X [(х-х0)2 + Си-д/0)а + (г-г0)2| = 0 + ^=^[2 + 2 + 2]>0.
Полученное противоречие показывает абсурдность предположения,
что М > т. Итак, мы доказали, что внутри О
и (х> у, z) шах и |г-
Для доказательства неравенства, ограничивающего и(х, у, z) снизу
и (х, yf z) min и |г-
достаточно применить уже полученный результат к функции —и(х,у, z),
очевидно, тоже являющейся гармонической.
Теорема о максимуме и минимуме доказана. В дальнейшем мы будем
часто пользоваться теоремой о максимуме и минимуме для двумерных
решений уравнения Лапласа:
~д2а(х; у) &и(х, у) __п
дх2 ду2
Такие решения тоже называются гармоническими функциями.
Доказательство принципа максимума в двумерном случае полностью
аналогично доказательству, приведенному выше.
Докажем теперь, что ньютоновский потенциал — единственное реше-
ние уравнения Пуассона
д2и . д2и , д2и л f \
+ -тт — — 4лр (х, у, z),
дх2 1 ду2 1 dz2 '
стремящееся к нулю на бесконечности.
§ 2] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 21
Действительно, если у, z) и u2(x, у, z)—два решения этого
уравнения, стремящиеся к нулю при х2 +у2 + z2 оо, то их разность
также стремится к нулю и удовлетворяет однородному уравнению —
уравнению Лапласа:
д2и' д2и д2и______хч
дх2 "г ду2 + "dz2“
Теперь достаточно применить принцип максимума к функции и в шаре
радиуса R с центром в начале координат. Получаем, что
IИ (Хо, у0, z0) I max |w(x, у, z))
х«+у’+г»-Я’
'для любой точки (х0, у0, z0), лежащей внутри шара. Фиксировав точку
(х0, Уо> го) и устремляя R к бесконечности, приходим к равенству
И (-^о> Уо> ^о) ===
В нашем курсе мы будем изучать уравнение Лапласа только в дву-
мерном случае. Гармонические функции двух независимых переменных
встречаются в теории функций комплексного переменного. Известно,
что аналитическая функция от x + iy удовлетворяет уравнениям
Коши — Римана
ди___dv___п _п
дх ду ’ ду ‘ дх
Из этих уравнений вытекает, что
д*а . д2и _ д (ди_ду \ . д (ди . ду \___
дх2 ду2 дх \ дх ду / ~ду \ ду ~дх) *
д2у . д2у__ д ( ди . др\__д 7 ___да \_л
дх2' ду2 дх \ду 'дх] ду \дх ду) *.
Закономерность этих выкладок обосновывается тем, что u + lv, как
известно, является бесконечно дифференцируемой функцией от х + (у,
откуда с помощью уравнений Коши — Римана нетрудно обосновать су-
ществование и непрерывность вторых производных от и, v.
В частности, из того, что
Ln (х + iy) = In ]/х2 + у2 4- i Arctg -~
является аналитической функцией при х2 4-д/2 > 0, следует гармонич-
ность функций
In У х2 +у2 = — In — --L— Arctg —.
л У*2 + у2 ’ ё X
Первая из этих функций играет в двумерном случае роль, анало-
Гич«ую функции , 1/]/"(х—х0)2 + {У'—.Уо)2 + С? — ^о)2 в трехмерном слу-
Чае- А именно: функция w(x, у)= С С р(а, /?) In da dbt
J J V(x — a)2 + (y-b)2
22
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ т
называемая логарифмическим потенциалом, удовлетворяет уравнению
д2и д2и
дх2 ’ ду2
2лр (х, у),
если р(а, Ь) — гладкая функция, отличная от нуля только в конечной
области.
Доказательство мы проводить не будем. Отметим только, что оно
аналогично разобранному нами трехмерному варианту исследования
ньютоновского потенциала. Правда, логарифмический потенциал, рас-
пределенный в конечной двумерной области, уже не будет стремиться
к нулю при х2 + у2 оо, так как In —--г-Л----------— при этом растет.
. /(х-а)2 + (у-&)2
Но это отличие несущественно для доказательства сформулированного
факта.
Задача. Покажите, что функция In -... - может быть полу-
/(X_g)2+(y-6)2__________________
чена из решения трехмерного уравнения Лапласа —a)2~f~(y— b)2-f-(z—с)2
при помощи следующей процедуры:
/ Ч- £ \
In ----- * ---= lim |— С --------—ln2L|.
У(х-а)2 + (у-Ь)2 L^oo\2 J У(х-а)2 + (у~Ь)2 + (г-с)2 I
\ - L \ '
/
Выражение, стоящее в скобках в правой части, является потенциалом одномер- j
ного распределения зарядов вдоль отрезка оси г длиной 2L, Так как потенциал 1
силового поля определен с
точностью до постоянного слагаемого, то мы вольны J
выбирать его произвольно. Вычитание большой J
постоянной In 2L перед переходом к пределу обес- 1
печивает конечность этого предела. 1
Вторая из этих функций Arctg ~ понадо-1
бится нам сейчас для решения следующей!
задачи: восстановить гармоническую функцию!
в круге X2 +y2^R2 по ее значениям на|
границе круга. I
Ясно, что функция I
<р (х, у) = Arctg — Arctg I
тоже является гармонической. Она представ*!
Рис- ляет собой угол, под которым виден из точки!
(х,у) отрезок, соединяющий (xv у±) с (х2, _у2)1
Из элементарной геометрии известно, что <р (х, у) постоянна вдоль окруж-1
ностей, проходящих через концы этого отрезка. Такие окружности]
являются линиями уровня ф(х, _у). Они изображены на рис. 1.
Положим, теперь хх == R cos 6Р y^R sin 0р ха == R cos 02, у2 = R sin 93
где 0 < 02 < 2л, и рассмотрим, как ведет себя гармоническаз
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ
23
§ 21
функция
ф(х у, 01, 62) = Arctg _Arctg^=-gs-infl?
внутри круга D {x2+y2^R2} и на его границе. Ветви Arctg выберем
так, чтобы внутри круга ф(х, у, 0Р 02) равнялась углу между лучами
рА и РВУ где Р — точка (х, у), А — точка (RccsO^ R sin 0Х) и В— точка
(R cos 02, Rsin02). В частности, в центре круга
Ф(О, О, W = Arctg Arctg -Ъ-в,.
Теперь давайте перемещать точку (х, у) внутри круга. Из рис. 2 видно,
как будет деформироваться угол ф(х, у, 0Р 02) при перемещении
точки Р(х,* у). На дуге АС'В он равен на дуге АСВ этот угол
равен л + • Рассмотрим функцию
w(x, у, 91, 62)==^|ф(.г, .у, 91; 92) — ] =
=J_(Arctg M__LfArct
n \ & x — 7? cos 02 2 j л \ & x — R cos 9X
которая, очевидно, тоже является гармонической функцией от х, у.
(Прибавление константы и умножение на постоянное число не нару-
шают гармоничности.) После всего ска-
занного ясно, что на дуге АСВ функция
w(x, у, 0Р 02)=1, а на * дуг® АС'В
м(х,уу 0Р 02) = О.
С помощью функции w(x, у, 0Р 02)
нетрудно придумать формулу, которая
позволяет восстановить гармоническую
функцию по ее значениям на окружности
x2A-y2 = R2. Сначала мы дадим нестрогий
вывод, а затем приведем полное обосно-
вание.
Разобьем всю окружность точками
xi = R cos 0Z, yi = R sin на достаточно
мелкие части, а на каждой из этих частей
выберем точку х i =R cos 0 i; у i =RsinO i /0Z<0 i<
t + T £ + T \ £ + T
x Рассмотрим на окружности непрерывную функцию/(0). Ясно, что
/^+_I_j^(X, у, 0/, 0/ + 1)
пРинимает на дуге (0Z, 0/+1) значение /^0
к ней дуге — нуль.
а на дополнительной
24
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
|ГЛ. I
Сумма
S/p,, j_Wx’у’0f* 9‘-+i)=
i \ 2 /
9A1
2/]
y—R sin 0/+!
х—R cos 0/ + 1
На дуге /fy, 6^. \ она принимает значе-
представляет собой гармоническую внутри круга функцию, кусочно
постоянную на границе.
ние / /в 1 \ .
Гармоничность конечной суммы внутри круга следует из линейности
уравнения Лапласа. В точках х = Rcosfy, y — RsinQi эта функция,
конечно, разрывна.
Совершим формальный предельный переход при неограниченном
измельчении Окружности, а именно, рассмотрим функцию
2л
# 1
У нас есть основания ожидать, что она будет гармонической внутри?
круга x2+j/2^R2, а в его граничных точках x=R cos со, j/=Rsinco |
будет принимать значения /(со). В дальнейшем этот факт будет обосно- J
ван, а пока мы эту формулу, преобразовав, приведем к более краси-^
вому виду.
Имеем
drArctg^^4-|1=
I & х—R cos 0 2 J
_ —7? cos б (х —RcosO)—- R sin 0 (у~ R sin 0) dti_
— (у-R sin 6)2 + (х—R cos 0)2 2
__2 [R2 — xR cos Ъ — yR sin 0] — (х2+у2) — R2 + 2yR sin © + 2xR cos 0 _ J
2 [(у— R sin 0)2 + (x —R cos 0)2]
__ R2-(x2 + r/2)
~ 2[R2-2R(xcosO + r/sin0)+x2 + z/2] 7
Заметим здесь, что при вычислении дифференциала безразлично, какие
именно ветви Arctg были выбраны, так как значения Arctg z на разных
ветвях отличаются на постоянную величину.
Мы показали, как можно придумать формулу
R2—х2—г/2
2л
( \ 1 С — X- — у
11(Х, У)— 2^- 7W £2_2# (xcosO+f/ sin 6)+х2+#а
которая носит название формулы Пуассона,.
§ 21 ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 25
Запишем ее еще в двух формах. Во-первых, положив х = р cos со,
jz = psin со и заметив, что
х cos 0 4-Jsin б = Р (cos б cos со + sin 0 sin со) = р cos (0 — со),
получаем
2л
и (р COS <й, р Sin со) = J- \ /(6) 755-д-п -г"!—5 <Z0.
r ’ 2л J J v 'Ra —2/? p cos (6 — <o) + pa
Во-вторых, можно разложить ядро нашего интеграла на простые дроби
_________Ra-xa-ya- = _ 1 _|_ ।
Ri — 2R (х cos 0+0 sin 0)+ха+0а + Re^-(x + iy)+ Re'*-(x-iy)
и записать
2л 2л
«(X, у)= -± /(0)М + 2 Re ± \ /(0) —=
2n J 2Я J Re,s — (x+iy)
2л 2п
= — if(0)de + 2Re~ ( -^|--- 40 . (1)
2л j 2л j
Докажем еще, что ядро
________^2~~Р2_______> 9 (2)
R2-~2/?pcos(0-to)+p2 v '
при p^CR и что интеграл от него
2л
1
2л
Первое из этих утверждений очевидно, если заметить, что
R2—2Rp cos (0 — со) + р2 = (R—р)2 + 4Rp sin2 .
Второе доказывается так:
2л 2л
/?2—р2 __ 1 С (iQ । 1 рР 1 £
/?2-2#pcos(0-(i)) + p2 2л J л ке i z~~(x + iy) ‘
В этом равенстве
С dz
J z-(x + iy)
берется по замкнутому контуру—окружности радиуса R с центром
в начале координат, точка л + (у лежит внутри этой окружности.
7?2 —р2
R227?р cos (0 — со) +Р2 1 ’
(3)
26
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
1ГЛ. I
Поэтому
а следовательно,
dz
*-(* + “/)
2га,
2л
1 С /?2__о2 11
2л £2-2/?pcos(e-<B)+p2 dQ==~ 1 + —Rey 2nZ==— 14-2=1.
Формула Пуассона и доказанные сейчас свойства ее ядра будут в
дальнейшем играть важную роль при изучении решений уравнения Лапласа.
Приступаем к обоснованию формулы Пуассона. Проверим, что.
2л
] £ __д.2_у2
у) 2Л \ (xcosO + z/sin 6) + x2 + f/2
гармонична при х2-\-у2 <R2. В самом деле, подынтегральная функ-
ция— непрерывная и, более того, аналитическая функция переменных
х и у, если только х2 < R2. Следовательно, функция и (х, у) не-
прерывна внутри круга, и законно формальное дифференцирование
интеграла.
Воспользовавшись представлением (1), имеем
2л
«£+ «L = J_ СЛв)Г(^ + ^4е_^-------------------> = 0,
дх2 ду2 л |_\'дх2 &/2/ ReiB — (x + u/)J
так как действительная часть аналитической функции Relb/[Reld— (х + (у)]
является гармонической внутри круга функцией.
Докажем теперь, что при непрерывной /(0) функция и (х, j) непре-
рывна вплоть до Границы круга и принимает там значения /(9):
и (R cos 9, Rsin9)=/(9).
Для доказательства представим разность «(х, у)— /(<x) = n(Q) —/(а)
в следующем виде:
«.(Q)—/(а)=
2Л 2 2 1 2Я /^2 2
=2л $ /?2 _ 2/?р cos (6 - со) + р2^ ~/(а) • 24 5 R2 - 2Rp cos (в - со) + р2 Й9 =
о о
2л
= 2л 7?2_2/?pcos(e>—<о)4-Р2 =
= 2л /?2_2flpCos(e-<o)4-p2 —/(а)1dQ +
|9 — а|<б
- 5 «-2»ТХ») + р- I/W-/WW8 = '> + '>
| 6 - а |
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 27
5 2]
Здесь мы воспользовались соотношением (3) и обозначениями х — р cos ®,
y = psin® координат точки Q.
Л Оценим по отдельности каждый из интегралов /х и /2. Так как
ДО)___непрерывная функция, то по произвольному е>»0 можно выбрать
5(е)>0 такое, что |/(6)— ПРИ |б—а|<6. В силу соотно-
шений (2) и (3) получаем оценку первого из интегралов: | /х | < ~.
Фиксируем выбранное 6>0 и приступим к оценке интеграла /2. Ввиду
того что функция /(в) ограничена (| f (0) | < М), имеем
1/1^ Я2~*Р2 С М
.1'21-- я М ' 7?2—27?pcos(fl —со)+р2 "
I 9 — а | б
Обозначим посредством Qo точку с координатами Rcosa, Rsina, а по-
средством Р — точку с координатами R cos 6, R sin 6 для тех 9, для ко-
торых ] 6 — а | 6. Расстояние между точками Qo и Р больше поло-
жительной постоянной Z = 2R sin у (см. рис. 3). Так как знаменатель
подынтегрального выражения равен r2(Q0,
между точками Qo и Р, тр для всех точек
Q, отстоящих от Qo меньше, чем на Z/2,
г2 (Pt Q) > (Z/2)2 и, следовательно, для этих
точек
С ______________М___________
' 7?2 — 27?р cos (0 — со)+р2
I & —a | >: 6
Для таких точек
I j \ *2-р2 лл 16/^ /о ч
МгК—~ М-(Я —Р)-
Р) — квадрату расстояния
Так как R—р не превышает расстояния между точками Q и Qo, то
для точек Q из круга, отстоящих от Qq меньше, чем на (в) =
==min{y> Т * Тб^лг}’ Где sin-—^-, справедливы оба нера-
венства | Л] <8/2, | /21 < 8/2. Следовательно, для этих точек*! u (Q)—
/(а) | <8.
Таким образом, и(х, у) будет непрерывна в точке x = Rcosa,
J'== Rsina, если ее доопределить в этой точке значением / (а). Непре-
рывность и(х, у) внутри круга была доказана раньше.
Тем самым мы показали, что можно внутри круга построить такую
непрерывную вплоть до границы гармоническую функцию, чтобы на
границе она принимала заданные непрерывные значения. Задача вос-
становления непрерывной гармонической функции по ее граничным
28
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
значениям на границе некоторой ограниченной области называется
задачей Дирихле.
Докажем единственность решения такой задачи. Пусть у нее ока-
залось два решения мг(х, _у), w2(x, у). Тогда их разность тоже будет
непрерывной и гармонической и будет обращаться на * границе в нуль.
По принципу максимума -
0 = min ии (х, _у)^тахп==0.
г г
Следовательно, и (х, у) = ut — и2~ 0. Единственность доказана. Для
произвольной области разрешимости задачи Дирихле может и не быть.
Изучением условий разрешимости задачи Дирихле мы будем много за-
ниматься в дальнейшем. А пока в следующем параграфе рассмотрим
некоторый класс задач математической физики, связанный, например,
с процессами теплопроводности. Из этого, в частности, выяснится
пример физически осмысленной задачи, которая приводится к задаче
Дирихле.
§ 3. Уравнение теплопроводности
Вывод уравнения теплопроводности. Задача Дирихле как задача определе-
ния стационарного распределения температуры по заданной температуре границы
области. Постановка задач для одномерного уравнения теплопроводности. Принцип
максимума для этого уравнения. Теоремы единственности задач 1 и 2 для урав-
нения теплопроводности при различных предположениях о решении и о начальной
функции.
Кратко наметим вывод уравнения теплопроводности из физических
соображений. Среда, в которой мы будем рассматривать процессы
теплопередачи, должна характеризоваться так называемым калорическим
уравнением состояния Е=Е(Т), плотностью р = р(х, у, z) и коэффи-.
циентом теплопроводности К=К(х, у, z). Здесь Г—температура,
Е(Т)— внутренняя энергия тела, заключенная в единице массы, если эта;
масса нагрета до температуры Т. Можно рассматривать среду с тепло-
выми свойствами, меняющимися от одной точки пространства к другой.
В этом случае уравнение состояния имеет более общий вид Е
= Е(х,у, z, Т). Количество тепла,, заключенное в бесконечно малом
объеме
Дх , Дх
Xq <2 х Xq 2 f
У.-^У^У.+-%-.
zQ 2 ' z го 2 ’
в момент времени t равно
Р (-^(р Уф ^о) & ? (0) &У &z'
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
29
§ з]
Изменение этого количества тепла за время Af будет равно
Р (-^о» Уо> го) дх fry
Это изменение может произойти только за счет того, что тепло выте-
кает или втекает через границу выделенного нами объема, если мы
предполагаем, что никакого выделения или поглощения энергии не
происходит.
Количество тепла, протекающего через площадку AS за время Д£,
равно
K — MkS.
дп
Здесь К—коэффициент теплопроводности в точке, через которую мы
х дТ
провели нашу бесконечно малую площадку, а — производная темпе-
ратуры по нормали к площадке. Тепло течет из области более высоких
температур в область более низких.
Приведенная формула для потока тепла представляет из себя
закон теплопроводности Ньютона в изотропном теле. Этот закон
является результатом систематизации большого количества опытных
фактов.
Выпишем потоки через площадки
х==х0±Дх/2,
J=Je±4y/2.
z = г0 ± Az/2r
ограничивающие наш объем.
Количество тепла, втекающее через площадку х==.х04-Ах/2, равно
+ к + х-х +дл/2АМ-уЛг’
\ / ил X = Хо -f- tXXjZ
У — Уо
Z = ZQ
а через площадку x — xQ— Ах/2
tr / Дх
К g-,
\ дТ
Zn ~5~
°/ дх
At Ay Аг.
х = лг0 — Дх/2
У —У о
Z=-20
В результате общее количество тепла, вошедшее в наш объем через
30
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ.
эти две площадки, будет
х = х0 4- Ах/2
У = Уо
z = z0
V f .. \ &Т
К 1*0 2 >-У°’ Z°) дх
х = х0 — Дх/2
У= У о
А/ Ау Аг
Аналогично, количество тепла, которое за время \t просочится в наи
объем через площадки у =у0 ±. &у/2, z — zQ± kz/Z, равно, соответ
ственно/ s
Г4-(К-441 ДхАуАгД^,
L ду. \ ду )]х =±Хо
У — У о
[4- (К -44] Дх Ду Аг А/.
L dz \ oz )]х — х0
У ~ Уо
z = zQ
Суммируя все притоки тепла и приравнивая их
внутренней энергии, получаем
сумму
изменению
\тг{К-7Г~} +ir(K + -7гУ1 bxbykzbd=
Ldx \ ’ дх J 1 ду \ ду ) 1 dz \ dz /]х = х0 л
У = Уо
2 = 20
=Р (х0, у о, Zo) kx by
Сокращая обе части этого равенства на Дх Aj/ Аг Д^ и замечая,
точка (х0, J7O, г0) может быть
ноль может быть опущен), мы
выбрана
произвольно
(поэтому
индекс
приходим к окончательной форме урав
нения теплопроводности
z ч дЕ (х, у, z, Т) д
Р(Х.Л г)-5-!------
Предположения про входящие в него функции следующие:
р>0, >>0, к>0.
Эти предположения представляют собой обобщение опытных фактов.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 31
§ 3)
Иногда уравнение теплопроводности записывают в виде
г дТ _ д [v д'Т\ { д [„ дТ\
C~dt дх \К дх /+ ду\К ду дг \К дг )'
дЕ
обозначив через С(х, у, z> Т) выражение р-^-. Величина С по вполне
понятным причинам называется теплоемкостью (единицы объема).
Если теплоемкость С и коэффициент теплопроводности К не зависят
от Т, х, т. е* являются постоянными, уравнение может быть пере-
писано так:
дТ __К [д*Т д*Т . д*Т\
dt ~~ С \ дх* ' ду* + дг* ) ’
ZZ
Коэффициент -g- принято называть коэффициентом температуро-
проводности.
Интересно рассмотреть случай стационарного распределения темпе-
/ дТ \
ратуры Мы видим, что если const, то стационарное рас-
пределение температуры описывается решением Т(х, у> z) уравнения
Лапласа:
д*Т д*Т д*Т п
дх* + ду* ~г дг* 1=3 U*
Задача Дирихле для этого уравнения состоит в отыскании распреде-
ления температуры внутри некоторого тела по известным значениям Т
на границе.
Если область представляет собой высокий круговой цилиндр с обра-
зующими, параллельными оси г, и вдоль каждой такой граничной обра-
зующей температура постоянна, то можно предполагать, что распреде-
ление температуры вблизи среднего горизонтального сечения цилиндра
почти не зависит от z и может быть описано в виде решения Т =
== Т (х, у) уравнения Лапласа + Знаа температуру на обра-
зующих цилиндра, Т (R cos 6, R sin 6), мы можем по формуле Пуассона
определить Т (х, у) внутри цилиндра, т. е. внутри круга на плоскости
переменных х,_ у.
Если область — узкий слой между близкими плоскостями, на которых
поддерживается постоянная температура (на каждой плоскости своя), то
Распределение Т(х) температур (стационарное) между плоскостями
х===^ъ х = х2 удовлетворяет уравнению
dx*
Общее решение этого обыкновенного дифференциального уравнения
й1«еет вид
32 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Постоянные bv b2 должны быть определены из граничных условий —
температур на граничных плоскостях. После этого определения по-
лучим
Т:=(х2-х)Т1 + (х-х1)Т^ где Ti==T^ Tt = T(x*y
х2—Xi
При изучении нестационарного уравнения теплопроводности мы
в дальнейшем ограничимся только одномерным случаем и постоянными
коэффициентами К, С
дТ _ К д*Т
dt ~ С дх* ‘
Изменением масштаба по оси х можно добиться равенства К/С—1.
При рассмотрении уравнения
ди___д*и
'дГ^'д^
мы будем обычно обозначать ‘неизвестную температуру буквой и.
Для простейшего уравнения теплопроводности мы ограничимся
обсуждением следующих двух задач:
Задача 1. Требуется найти ограниченное решение и(х> t), не-
прерывное в области удовлетворяющее уравнению теплопро-
водности при />0 и равное заданной непрерывной ограниченной
функции ф(х) при f = 0. (Эта. задача связана с распространением тепла
в неограниченной среде.)
Примечание. Вместо условия ограниченности ф(х) и w(x, 0
могут быть наложены другие, менее ограничительные условия. Об этом
будет сказано позднее.
Задача 2. Найти в прямоугольной области А^х^В,
непрерывное вплоть до границы решение уравнения
ди д*и 4
dt дх* * >
удовлетворяющее следующим граничным условиям:
и (х, 0) = ф (х), А х В,
и (В, =
(Эта задача связана с распространением тепла в ограниченной области.)'
Мы предполагаем ф(х), фд(0> Фв(0 непрерывными и, следовательно,
ограниченными функциями на замкнутых отрезках Д^х^5,
0 Т. Предполагается также выполнение «условия согласования»
ф (Л) = (0), ф(В) = фв(0). Иначе непрерывную и(х, f) нельзя было бы
построить.
§31
Уравнение теплопроводности
33
Под словами «решение, непрерывное вплоть до границы» мы здесь
подразумеваем следующее. Функция п(х, t), непрерывная при А^х^В,
имеет в каждой «внутренней» точке (А<\х <В,
ди &и
первые и вторые производные, удовлетворяющие равенству — = -^-.
Выполнения этого равенства в точках границы и даже дифференци-
руемости и(х, t) в граничных точках (х = А, Т), (А^х^В,
/ = 0), (х=В, мы не предполагаем.
Исследование задач 1 и 2 начнем с получения теоремы единствен-
ности, основанной на принципе максимума, который напоминает принцип
максимума для уравнения Лапласа.
Принцип максимума для уравнения теплопровод-
ности. Всякое решение уравнения теплопроводности в прямоуголь-
нике A<Zx<ZB, 0<zt^T, не-
прерывное вплоть до границы,
принимает свои наибольшее и Т
наименьшее значения на ниж- 0
ней или на боковых его грани-
цах. На рис. 4 эти границы на-
рисованы двойной линией.
Обозначим через М максимум_______________________________
и (х, t) на всем нашем прямоуголь- д В&
нике, а через т — наибольшее
значение и(х, t) на двойной гра- Рис. 4.
нице и предположим, что М > т.
Пусть (х0, Q — та точка нашего прямоугольника (внутренняя или ле-
жащая на его верхней границе), для которой w(x0, #o)==Af.
Рассмотрим вспомогательную функцию
t) — u(x, 04-.2^5)«(х—х0)2-
На «двойной» границе для v(x, t) выполнено неравенство
v(x, t)^u(x, 0 + 2Л)аw <М
С другой стороны, v(xQ, tQ) = u(xQ9 = т. е. наибольшее значение
v(x,' t) не меньше, чем М. Максимальное значение v(x, t) принимается
в некоторой точке (хх, Так как v(xv а на «двойной» гра-
нице v(x, t)<zM, то точка (хх, 4) не может лежать на «двойной»
границе.
Если точка (хх, tj) — внутренняя точка максимума, то В' ней ^ = 0,
-их==0, и, следовательно, vt — ъхх^0. Если же (хх, tj) лежит
на верхней границе прямоугольника, то vx = 0, vxx^^ и,
опять-таки, vt — vxx^0. Итак, мы показали, что если М = шах и (х, t)>m,
то существует точка (хх, <х), в которой vt—vxx^0. Однако, поль-
ди д2и , jx f lx 1 М — т z
зуясь тем, что = v(x, t)=u{x, t)-\-2^_А^(х—х^, мы без
2 С. К. Годунов
34
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
труда можем вычислить — vxx.
М — т
(В —А)2
<0.
Полученное противоречие показывает невозможность неравенства
АЛ > /zz. Тем самым доказано неравенство п(х, 0^maxw(x, 0 на
«двойной» границе. Принцип максимума обоснован.
Так как функция —w(x, t) тоже удовлетворяет уравнению тепло-
проводности, мы можем, применяя к ней принцип максимума, доказать
еще и
Принцип минимума. Наименьшее значение и(х, t) обяза-
тельно принимается на «двойной» границе.
Примечание. В доказательстве мы предполагаем дважды диффе-
ренцируемость и(х, t) во всех внутренних точках прямоугольника и на
его верхней границе. Достаточно предполагать наличие вторых произ-
водных во внутренних точках, а непрерывность и(х, t) вплоть до
границ. В самом деле, из принципа максимума
и(Х’
в силу непрерывности и(х, t) вытекает, что
и(х, Т)^т.
Объединяя принцип максимума с принципом минимума, получаем
неравенство для ) и (х, t) | :
|w(x, 0|^тах| и(х, 0| на «двойной» границе.
Докажем теорему единственности решения задачи 2. Пусть zq(x, 0,
и2(х, f)—два решения этой задачи. Тогда и(х, 0==и1(х, 0 — w2(x, t)
будет непрерывной функцией, у которой
w(A, 0 = 0 при
w(x, 0) = 0 при
и (В, 0 = 0 при
0^^ Т,
А^х^В,
0<^ Г.
Внутри прямоугольника A<Zx<B, 0 < f < Г функция и(х, 0, оче-
видно, удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди д2и [ диг д^иг \ / ди2 д2и2 \ * q
<№/\ dt дх2 ‘
Из принципа максимума мы заключаем:
шах | и (х, 01
т
max i max I и (х, 0) I, max I и (А, 0 I, max | и (Bf t) П = 0.
{А^х^В )
§31
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
35
Ясно, что w(x, при А^х^В, O^t^T, т. е. что в этом
прямоугольнике ur (х, t) — и2 (х, 0. Единственность решения _ задачи 2
доказана.
Доказательство единственности решения задачи 1 несколько сложней.
Напомним постановку этой задачи.
Задача 1. Найти непрерывную и ограниченную в полуплоскости
— со<х< + оо, функцию и(х, 0, удовлетворяющую при
ди &и , (\ ,
£>0 уравнению > а пРи ^==Р начальному условию и(х> 0) =
= <р(х). Здесь ср(х) — произвольная ограниченная непрерывная функ-
ция х. Ограниченность мы предполагаем заданной в форме нера-
венств
|п(х, 0|<М, |ф(х)|<М
Докажем теорему единственности для задачи 1. Рассмотрим неко-
торое частное решение v(xt 0 уравнения определяемое фор-
мулой
ч(х, 0 = -^-(х2 + 20.
Выполнение уравнения проверяется непосредственным дифференци-
рованием:
dv____л М д2о
Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенствам:
v(x, 0) = -^-х2^0,
v(±L, +
Если у задачи 1 есть два решения ut (х, t), и2 (х, t), то их разность
= — и2 будет решением уравнения
ди___д2и
~dt “ дх2" >
удовлетворяющим при неравенствам |н(х, 0|^2Л4, а при / = 0
обращающимся в нуль: и(х, 0) = 0. Из принципа максимума следует,
что так как на нижней (£ = 0) и боковых (x = ±L) границах прямо-
угольника (Т произвольно), —L^x^L разность v(x,t) —
— w(x, 0^0, то это Неравенство сохранится и внутри прямоугольника.
(Разность D—и тоже удовлетворяет уравнению теплопроводность.) Итак,
при —L^x^L мы доказали неравенство
0^^-(^ + 20-
2*
36
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
Замечая, что функция и(х> f) =— и(х, t) удовлетворяет уравнению и
неравенству н^27И, мы точно так же получаем, что
— и(х, 0<^-(хг4-20.
Если два полученные неравенства объединить, то становится ясно, что
|«(Х, о к 4-2Q.
Фиксировав точку (х, t) (^>0) и выбирая различные L, мы видим,
что неравенство должно быть выполнено при всех достаточно боль-
ших L, а так как L можно устремить к бесконечности, то отсюда сле-
дует равенство
1«(х, о|-о;
wx— п2 = 0 при
Теорема единственности решения задачи 1 доказана.
Мы сейчас ослабим ограничения на функции и(х, t), ф (х) и по-
кажем, что единственность имеет место и при ослабленных ограни-
чениях.
Рассмотрим два решения ^(х, t), и2(х> t) уравнения теплопроводности,
определенных в полуплоскости непрерывных вплоть до f=0,
удовлетворяющих условиям ,
иг(х, 0)=ф(х), и2(х, 0) = ф(х)
и неравенствам
\иг (х, 01 М (t) еа ।х ’,
|u2(x,
где 7И(0—непрерывная монотонная функция t. Она может как угодно
быстро расти с ростом t.
Мы докажем, что иг(х, t) = u2(x, t). Выделим произвольный ко-
нечный отрезок O^t^T времени и докажем совпадение их(х, 0 =
= w2(x, t) для t из этого отрезка. Из произвольности Т будет следо-
вать единственность решения во всей верхней полуплоскости.
Итак, пусть Тогда
l«i(x, t)—и2(х, t)|| «1 (х, 0[ + |w2(x, 01 М*еа1х\.
Через 714* мы здесь обозначили
2 max 714(0 = 274 (Г).
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
37
Как обычно, заключаем, что функция u = ut — и2 удовлетворяет
ди п у л
уравнению —д&=®> Условию и(х> 0)=0, а по доказанному—еще
и неравенству
|w(x, (О^^Т).
Будет доказано, что из этих условий вытекает равенство
и(х, 0=0 при
Доказательство будет почти такое же, как и в предположении ограни-
ченности zz (ат, 0, только мажорирующее решение нужно выбрать
другим.
Положим '
v (х, 0=714* (eaL + е~ aL) ——- е4аЧ.
n dv д2и D
Легко проверить равенство = , В самом деле,
v(х, t) = °Z— е2ах+4а“ + aL} е-Зах +
е2а£
и, следовательно, достаточно убедиться в том, что функции e±2ax + 4fl2;
являются решениями. Это легко получить дифференцированием:
_JL g± 2ах + 4а2/ = 4о^е± 2ах + 4а2/ — ^4- Чах 4- 4а2/.
При 7=0
•о(х, 0)>0 = и(х, 0),
при 0^7 Т
* p2aL I 2а£
v(±L, t)^M* (eaL-\-e~aL)----------~L_----->Л4*£а1.
По предположению, w(±L, 7)^с M*eaL.
Из принципа максимума нетрудно теперь заключить, что при
—L^x^L имеет место неравенство
и (х, t) Л4* (eaL + aL) а 2— е4аЧ.
ezaL
Точно так же доказывается неравенство
— и (х, 0 /14* (eaL + е~^ aL) ——
e2aL
Следовательно,
z>2ax I p-zax
\u(x, t) I M* (eaL 4- e~ aL) -—-------eWi.
38
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
ГГЛ. I
Фиксируем (х, 0, а параметр L устремим к оо. Правая часть нера-
венства стремится при этом к нулю. Значит,
|ц(х, 01^0, и(х, t) = 0.
Теорема единственности доказана.
На самом деле неравенство
|п(х, t)\ <zM(t)ea'x^
может быть еще более ослаблено. Можно допустить еще больший рост
и(х, 0 с ростом х. Однако существуют достаточно быстро растущие
с ростом х решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющие
при f = 0 нулевым начальным данным. К сожалению, в нашем курсе мы
не можем останавливаться на разборе соответствующих примеров.
Сейчас мы распространим теорему единственности на решения
с разрывными начальными данными ф(х). Для простоты ограничимся
случаем, когда есть только одна точка разрыва ф(х), а именно — точка
х = 0. При этом решение тоже нельзя будет считать непрерывным
в точке х = 0, / = 0. Во всех остальных точках мы его непрерывность
будем предполагать. Если есть два решения (х, 7), и2 (х, f) таких, что
при Х#=0 И[ (Х, 0) = ф(х), ТО ИХ рЗЗНОСТЬ U (X, 0 = W!(X, 0 —W2(x, t)
будет непрерывной функцией всюду, за исключением, быть может,
точки х = 0, / = 0. При хт^О функция м(х, 0) = 0. Мы докажем, что
| и(х, 0|
если и (х, t) ограничена в окрест-
ности этой точки и не слишком
быстро растет при |х|->оо, то
я(х, f) = 0. Переходим к акку-
ратной формулировке:
Пусть решение и(х, t) урав-
ди д2а л '
нения -gj-g^ = 0 удовлетворя-
ет при----неравенству
непрерывно при всех х и всех
за исключением, быть
может, точки х = 0, Z = 0. Пусть w(x, 0) = 0, если х 0. При этих
предположениях .и(х, t) = § для O^t^T.
Доказательство. Рассмотрим функцию
— х*
лЬах > л- ъах р 4 (/-|-е) —
v (х, t) = М* (eaL + е- aL) —-«Д-+ 2М* /е.
Она состоит из двух слагаемых, первое из которых
р2ах I р~2&Х
М* (eaL + е- aL) -—----------------eioSt
§ з]
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
39
нам уже встречалось. Оно удовлетворяет уравнению теплопроводности.
Легко убедиться, что и второе слагаемое при любом 8>0 также удо-
влетворяет этому уравнению. Мы не будем проводить вычислений, это
доказывающих. Рассмотрим область Р1Р2Р8...Р8» изображенную на
рис. 5. Всюду на «двойной» границе (она нарисована двойной линией)
v(x, Это очевидно. На [Рр Р2], [Р7, Р8] v(±L, Мы
уже проверяли, что такому неравенству удовлетворяет первое слагаемое.
Второе слагаемое может это неравенство только усилить.
Покажем, что на PJPjPJ?* также v (х, t) > Л4*. Достаточно
убедиться в том, что на этом контуре второе слагаемое больше,
чем М*.
Очевидно, что при |х|<28 верны неравенства:
(последнее при 8 достаточно малом),
Xя
г— е 4 "Ье) 1 1
2М* /в > 22И* • -±=. =
r yt+e У2 /2
Итак, всюду на Р1РгР^>^>ъРйР1Р3
г>(х, 0>
w(x, t)=v(x> t) — и(х, f)>0.
~ to д2ш л
Разность w также удовлетворяет уравнению и> слеД°ва"
тельно, для. нее справедлив принцип максимума. Из этого принципа
вытекает, что всюду внутри замкнутого контура РЛРз^Л^У?^!
также w(x, 0=*и(х, t) — и(х, 0>0. Для доказательства достаточно
область, ограниченную этим контуром, разрезать отрезками [£ = е, —
— 28], [f = 8,2e=Cx=CL] на три прямоугольника QP^PaP*,
РЬР9Р^; ^iQQ^8> как эт0 показано на рис. 5, а затем, последова-
тельно, воспользоваться для каждого из них принципом максимума.
Итак, при —L^x^L, имеем неравенство
w (х, t) <Z М* (eaL + е~ aL)
' xi
ръах _i_ Р- ъах )— о 4- е)
---+ _---+ 2М* /е -р==- = V (X, 0.
Аналогичным рассуждением получаем
— и(х, tX^^x, t)
40 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ |ГЛ. I
и, следовательно,
_ *2
p2axip-zax .— р 4(/4-е)
I и (х, о 1 < М* (eaL 4- е~ aL) —.±7-е™ + 2М* ]fe * .
Фиксируя точку (х, t) и устремляя L к бесконечности, а 8 к нулю,
приходим к утверждению
|w(x, 0|^О,
н(х, 0 = 0.
Доказательство этим завершено.
Можно было бы доказать, не привлекая никаких новых идей,
подобную теорему единственности в случае, если допускать у решения
п(х, 0 ПРИ ^==0 не одну точку разрыва, а любое конечное их число.
Более того, можно предположить, что их бесконечное число, но рас-
стояние между двумя соседними точками разрыва ограничено снизу.
Задача. Докажите, что ограниченное решение уравнения теплопровод-
ности --—=0, непрерывное всюду в прямоугольнике А^х^В,
кроме, быть может, угловых точек (х = А, f = 0), (х«5, ^=0), однозначно опре-,
деляется начальными и граничными условиями и (х, 0)=ф(х), и (А, 0 = фл(0,
и (В, 0 = ф5(/). Мы здесь уже не предполагаем начальные и граничные условия
«согласованными» в углах.
На этом мы заканчиваем доказательство теорем единственности и
в следующем параграфе перейдем к теореме существования решения.
§ 4. Уравнение теплопроводности (продолжение)
Формула Пуассона для уравнения теплопроводности и ее. обоснование. Ре-
шение с помощью интеграла Пуассона простейшей задачи для уравнения тепло-
проводности на конечном отрезке. Нестрогий эвристический вывод интегральной
формулы для решения уравнения теплопроводности. Примеры частных решений
линейного и нелинейного уравнений теплопроводности.
Покажем, что решение задачи 1 из § 3 дается формулой
4-00 (*-£)2
/Г ' " *
— 00
Если мы дадим ее обоснование, то тем самым и докажем теорему су-
ществования. Как можно придумать эту формулу (она называется
интегралом Пуассона для уравнения теплопроводности), мы сейчас
объяснять не будем. Это объяснение будет дано позднее. А сейчас
проведем аккуратное исследование формулы Пуассона, не интересуясь
тем, как она была получена.
Итак, мы приступаем к исследованию функции и(х, t).
§41
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
41
Свойство 1. ЕсЛи |<р(|)|<Меа1SI, то интеграл (1) сходится,
а функция и (х, 0 удовлетворяет неравенству
|и(х, 01 <2Jfee**eel*l.
Доказательство вытекает из следующей
венств:
цепочки неравенств и ра-
- I -«ГД
*2/л 3 /г
— 00
1 +(*° Меа,х1 + а 16~*1
\ —--------—-----— е « <ft =
2/л J Vt 6
„ I _. + 00 аЦ — х\ , _ / 15 —£|
___ 2 С е е » 2/Г ) __
2/л J 2]Л
— со
. . -р 00 -|- со
A/fpfl X I /» f— ]\ApG' I f Р r~
= - V е-ч! + оЩ|2/« dn=M,._ 2 \ e-4‘+on-2/<(/«==
V* J 1 /л J 1
— oo 0
Mea |,x 1
2еаЧ
Ул
2Меа*‘ ea^
n = 2Meaiiea\xi
Свойство 1 тем самым доказано.
Свойство 2. При t > 0 функция и (х, t) бесконечно дифферен-
цируема, а ее производные могут быть вычислены при помощи сле-
дующего сходящегося интеграла:
4"00 Г (х_________
дт+пи(х, О 1 f дт+п 1
---------- -== т=т \ ф(Е)-- -т=ге
dxmdtn--------------------------------2/л J т dxmdtn Vt
— 00
Мы опять предполагаем, что | <р (£) | < Меа 1 * I.
Доказательство. Легко убедиться в том, что
ф©
dxmdtn[ Vt
(Х-Ч)П
е 41
полином от (х—§) -
степень t
(х-5)»
е «
_конечная
(х-Е)8
= ф(1)Р& х, t)e 4t .
Выберем некоторый произвольный интервал времени и
отрезок —Xq^x^Xq оси х.
42
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
Для точек (х, f) из области —х0^х ^xQ выражение
для Р(|, х, t) может быть оценено так:
\Р(& х, t) I < const I g |p < const Bl.
(Через p мы обозначили наивысшую степень (х—£), входящую в выра-
жение для Р(£, X) t).) Следовательно, мы можем написать
1<р©ра> х, t)\<N{x.9 f0,
Из этого неравенства вытекает, что интеграл
1 \*°° уп+п Г 1 — 7Г—
\ ф(|)"-------1—е * =
2 /л J Т dxmdtn Vt
— со
1 Т (х-а*
= 2TT j Ф®Р(?’ х’ t)e 41
— со ,
равномерно сходится для —х0х+ х0,
По известной теореме анализа о дифференцировании несобственных
интегралов по параметру отсюда вытекает справедливость равенства
+00 Г (х —
о =_L_ С « dt
dxmdtn 2/л J У™ dx^dt* Vt 6'
В силу произвольности хв, t0> tr это равенство верно во всех внутрен-
них точкам верхней полуплоскости f>0. Свойство 2 доказано.
Свойство 3. Функция и(х, t) удовлетворяет при />0 урав-
ди д2и п
нению —ч—= 0.
dt дх2
Доказательство. По свойству 2
ди____д2и
dt дх2
д2
дх2
Остается лишь проверить прямым дифференцированием равенство
/А А2 \ 1
—---—4i =0.
\ dt dx* j Vt
Этой проверкой и завершается доказательство свойства 3.
Функцию <р(£), удовлетворяющую неравенству | ср (|) | <ZMea мы
будем предполагать кусочно непрерывной. Сейчас будет доказано
Свойство 4. Если ф(£) непрерывна в точке х0, то функция
а(х, t) непрерывна в точке (х0, 0), при этом
lim и(х, О = ф(^о)-
/ — о
§ 4] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 43
Для доказательства сделаем замену в интеграле Пуассона, положив
4-00
Тогда и(х, = ф(х4-2£}/7 )d£. Этот интеграл
2 V t у я J
сходится равномерно относительно х и t для ограниченных значений
этих переменных. Действительно, для |x\<zR> подынтеграль-
ная функция имеет интегрируемую мажоранту Ме~+ aR + 2аICI.
Далее, на любом ограниченном отрезке | £ | N подынтегральная
функция стремится при х->х0, к функции ^~^ф(х0) равномерно
относительно £. Это свойство вытекает из непрерывности функции ф(х)
в точке х0.
По известной теореме о переходе к пределу под знаком несобствен-
ного интеграла отсюда вытекает, что
1 V
lim и(х, \ е-г'<р(Хо)^ = ф(Хо).
х-> х0 V Л J
/ 0 — оо
Подведем итог. Мы показали, что функция, определенная равенством
1 V0 (*-£)»
И(Х’ f)== 2/^ J
— 00
является при t >> 0 любое число раз дифференцируемым решением
уравнения теплопроводности, если ф (£) — кусочно непрерывная функция,
удовлетворяющая неравенству
|ф®|<М^1Н
Это решение оценивается так:
| и (х, t) | < 2MeaZtea f х I
И, наконец, lim w(x, f) = ф (x0), если точка х0 лежит внутри некото-
х -> х0
/ — о
рого отрезка непрерывности ф(х). Формула для и(х, t)> очевидно,
дает решение задачи 1. Теорема существования тем самым доказана.
Отметим еще одно полезное свойство интеграла (1).
Свойство 5. Пусть функция ф (£) удовлетворяет неравенству
[ф^СУИе*1*1 w, кроме того, ф(£) = 0 для А<Л<В- Тогда
в точках интервала А<х<В, функция и(х> t) равна нулю
вместе с любыми производными по х и t.
Доказательство свойства 5 довольно легко вытекает из явного вида
интеграла Пуассона, и мы не будем приводить это доказательство.
Покажем теперь, как с помощью интеграла Пуассона можно решить
в некоторых простых случаях задачу 2. Для этого рассмотрим нечетную
функцию ф(£):
<р@=—<р(—£)•
44
ЁВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. i
В этом случае формулу для и(х, f) можно переписать так:
г ? <*-б)‘ 1 £ U+I6D8
“<*''>=Т7я S’®'- “ «-STS- $
О — оо
Отсюда и (0, 0 = 0, w(x, 0 =— w(—х, О-
Например, можно взять в качестве ф(£) функцию sign£, разрывную
при £ = 0. Для £>0 соответствующее решение будет уже непрерывным.
Рис, 6.
График и(х, ti) этого решения
изображен для нескольких по-
следовательных времен fo==O,
О > 0, t2 > О, > h на Рис-
Ясно, что если <р(£) анти-
симметрична не относительно
точки £ = 0, а относительно
% = А, то и решение w(x, t)
будет антисимметричным отно-
сительно А. Иными словами,
если
<p(A-H) + (p(A-g) = O,
то
м(А-|-х, f) + u(A-—x, 0 = 0.
Пусть теперь ф(£) задана нам только на отрезке A<Z%<.B- Продол-
жим ее на всю прямую следующим образом:
Ф(Ю = - Ф[2Я~ 1 + ^п(В-А)],
если А + (2д+1)(В-A)<g<B + (2n+l)(B —А),
ф (5) == ф [В — 2я (В — А)],
если А4-2я(В—А)<^<В4-2я(5—А).
Вся прямая разбивается при этом на примыкающие друг к другу
равные отрезки длины В—А каждый, а функция ф(£) оказывается
антисимметричной относительно каждого из концов этих отрезков.
В частности, ф(А + £) + ф(А—£) —0, ф (В +1) + ф (#—|) = 0. Решение
и(х, t)y построенное по так продолженной функции ф(|) с помощью
интеграла Пуассона, будет при £>0 непрерывной функцией, обращаю-
щейся в нуль при х = А.и при х —В
и (А, 0 = 0, и (В, 0 = 0.
Если первоначальная функция ф(|) обращалась в нуль при £ = А и при
£=В, то и(х, 0 будет непрерывной всюду при t^O.
Мы видим, что так построенная функция w(x, 0 решает в области
А^х^В, 1^0 задачу 2 с начальными данными и(х, 0) = ф(х) и
граничными условиями и (А, 0 = фд(0 = 0, и (В, О=Фв(О = 0.
§ 41 УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 45
Если <р(Л) = ф (В) —0, то граничные и начальные данные согласо-
ваны и существует непрерывное решение, единственность которого была
нами доказана. Доказательство единственности решения в случае несо-
гласованных начальных данных быдо предложено в § 3 в качестве за-
дачи. Мы не будем заниматься доказательством существования задачи 2
при произвольных непрерывных г|)д(0> Ограничимся лишь указа-
нием, что и в этом случае решение может быть выписано в виде явной
формулы с интегралами.
Упражнение 1. Докажите, чтр если - .0Р — 6, то
и (Д, 0 = 6.
*2 ([] —-знак целой части
ди д2и
«entier»), докажите, что соответствующее решение уравнения -^-==0.
удовлетворяет начальным данным и (х, 0)=0 и граничным условиям и (0, 0=0,
«(1,0 = 1.
Теперь, как и было обещано, приведем эвристический вывод фор-
мулы, которой мы пользовались, — интеграла Пуассона.
При этом выводе, так как мы будем пользоваться физическими
соображениями, нам будет удобно рассматривать уравнение с неравными
единице коэффициентами С (теплоемкость) и К (теплопроводность),
которые предполагаются постоянными:
дСи___ д f „ ди\
dt ~ дх\ дх)9
Это равенство для достаточно гладких и(х, t) эквивалентно выпол-
нению по любому кусочно гладкому замкнутому контуру интегрального
тождества
^Cudx + K~dt = 0,
выражающего собой закон сохранения количества тепла. Если вспомнить
приводившийся в § 3 вывод уравнения теплопроводности, то легко
заметить, что он как раз состоял в получении закона сохранения тепла для
бесконечно малого параллелепипеда. Интегральным тождеством, которое
было выписано, нам будет удобно в некоторый момент воспользоваться.
Пусть теперь и(х, f) — некоторое решение уравнения теплопровод-
ности. Выбрав постоянные а>0, Х>0, сделаем замену переменных
x = az (z = х/а), t = Xs (s — f/X),
положив
w(x, ^) = и(аг, Xs) ~v (z, s).
46
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
1ГЛ. I
Выясним, какому уравнению удовлетворяет -и (г, $). Для этого сосчи-
таем производные
ди ди dx ди_
dz дх dz а дх 9
ди а ди
ds dt
С помощью этих равенств из уравнения
дСи__ д fr,du\
dt ~dx\ dxj
следует, что
дСи__ X д f „ ди \
~ds~ ““’а2’ ~дг ~дг ] ’
Предположив, что параметры X и а связаны между собой равенством
Х = а2, мы видим, что если п(х, t) является решением нашего-урав-
нения, то и (ах, Х0 тоже будет решением. Из линейности уравнения
можно сделать вывод, что и функция
ум (ах, М) (Х=а2)
тоже является решением при любом постоянном у.
Будем рассматривать только такие решения, для которых при
любом f>0 сходится интеграл
jj См(х, t)dx = Q(t)\
— 00
Q(0—полное количество тепла в момент времени t при —оо<х<
Наряду с решением м(х, f) рассмотрим еще решение w(x, t) ==
==ум(]/Хх, Xf) и сосчитаем полное количество тепла для этого реше-
ния в момент времени t
$ Cw(x, f)dx = J Сум(]^Хх, \t)dx =
«—CO — 00
= -^=г Г Cutyix, ( Cu(z, M)dz=-^ Q(M).
Г X J У X J у X
— 00 — 00
Если положить у=]/"Х, то мы будем иметь
Н-ОО
J Cw(x, t)dx—Q(U).
— 00
В дальнейшем нам нужно будет рассматривать решение, для которого
полное количество тепла с течением времени не меняется, т. е. Q (I) =
§ 4]
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
47
= Q = const. Из наших рассуждений вытекает, что если для решения
и(х, 0 полное количество тепла равно Q, то и для <w(x, f) ==
= рлХ и (]^Хх, Xf) полное количество тепла будет тем же самым.
Мы построили однопараметрическую группу преобразований (пара-
метр X), переводящих в себя множество решений уравнения теплопро-
водности с одинаковым постоянным количеством тепла Q. Интересно
представить себе, как преобразу-
ются начальные данные таких ре-
шений. Пусть а(х, 0) = ф(х).
Тогда w(x, О) = ]/Тф (|/1х).
На рис. 7 изображены и(х, 0),
w(x, 0) в случае, если Х>1.
Чтобы получить w(x, 0) из
и (х, 0), надо сжать график в
раз по х и вытянуть его
вр^Хр'аз по ф.
На этом мы заканчиваем под-
готовительную работу и переходим
собственно к выводу. Рассмотрим область —оо<х<оо, и по-
стараемся в этой области найти решение уравнения
дСи___ д („ ди\
~дГ~ дх\К
которое отвечало бы при ^ = 0 некоторым специальным начальным
данным. Эти начальные данные нельзя представить себе заданными
в виде обычной функции w(x, 0) = ф(х). Для их описания должно
быть использовано специальное понятие «обобщенной функции». Мы не
будем на этом понятии останавливаться и ограничимся нестрогим, но
наглядным описанием.
Представим себе, что при £ = 0 на плоскости х = 0 (в пространстве
х, у, г) выделилось некоторое количество тепла. А именно, пусть на
единицу площади этой плоскости выделилось Q калорий. Из физиче-
ских соображений ясно, что решение, которое отвечает такому началь-
ному впрыскиванию тепла, в любой момент времени t будет распреде-
лением тех же Q калорий:
4- 00
См(х, 0dx = Q.
— оо
При f = 0 все тепло сосредоточено лишь при х = 0, т. е. lim и(х, 0 = 0,
/->о
если х^О. Ясно, что maxw(x, 0 должен стремиться к оо при
х
и при малых t этот максимум обязан достигаться где-то вблизи х = 0.
Пусть нам удалось найти некоторое решение п(х, 0 так поставлен-
ной задачи. Выберем некоторый параметр Х>0 и рассмотрим еще
48
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
решение w(x, t)=f/rX a (]/lx, М). Мы знаем, что для любого <>0
+ со
J Cw(x, t)dx=Q.
— 00
Кроме того, очевидно, что при х ф О
lim w(x, 0=]/X lim w(]/X х, А/) = 0.
Z->0 г-о
Решение w (х, 0 таким образом удовлетворяет всем тем условиям,
которые мы наложили на м(х, 0. Следовательно, либо мы можем по-
строить для нашей задачи о «впрыскивании» тепла бесконечное мно-
жество решений w(x, 0 = и (]/"Х х, kt), либо все эти решения
должны совпадать.
Примем гипотезу о единственности решения поставленной задачи.
Из этой гипотезы вытекает равенство w(x, 0=w(x, 0, а следовательно,
следующее функциональное соотношение, которому должно удовлетво-
рять решение
и(х, 0 = ]ЛХ w(]/X х, Xf).
Фиксируем некоторую точку (х, 0 и выберем X=l/t Получаем
и(х, 0' = -^=rw/-^, = —L- g (-
Vt \Vt ) Vt \Vt )
Для того чтобы найти функцию g®, достаточно подставить это
выражение в уравнение теплопроводности. Тогда для g(£) получится обык-
новенное дифференциальное уравнение второго
порядка. Мы пойдем немного другим путем. Во-
спользовавшись остроумным приемом Л. И. Седо-
ва, мы сумеем для g(£) получить уравнение не
второго, а первого порядка. Этот прием был
предложен Л. И. Седовым не для уравнения
теплопроводности, а для решения одной
газовой динамики.
Из равенства м(х, 0=-—-gf-pyrl
что интеграл
Ъ Vt и
5 Си(х, t)dx — C\> g®dl
61 Vi 6i
задачи
следу-
ет,
словами, количество тепла, заключенное
между
не зависит от t. Иными
любыми двумя параболами х = £1р</, х = (Рис- 8), не зависит ог
времени. Закон сохранения энергии (тепла) записывается в виде
§Cudx + K ~dt=O.
§4]
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
49
(Интеграл берется по любому замкнутому контуру.) Мы уже отмечали,
что это равенство эквивалентно уравнению теплопроводности.
Применим это интегральное тождество к контуру А^А^В^Е^А^ изо-
браженному на рис. 8. Так как
л2 в2
J Cudx= $ Cudx,
Ai Bt
то
P2
Cudx + K~dt= \ Cudx+K^dt.
A2
В силу произвольности интервала времени (£р t2) при любых t юякнъ
быть выполнено равенство
Си(х, =Си(х,
v 7 dt ' дх v 7 dt ‘ дх
x — ^2 V^t
Выразим теперь u(x, f) через g(x/j/T) и получим соотношение
|~ С / х \ 1 । гр 1 1 f / х \”|
[/г Уё12/г + /г гг ё
— Г \ t 1 | iZ’ 1 1 f / X \~|
“ITT g^j7rr2 2/Г + /Г Vt ё Vn/i-bfF’
Следовательно,
с у &) + Kg' (11)=с 1 ^g (У + Kg' (|2).
Мы показали, что С • у gg (g) + Kg'© не зависит от £ и чта, следова-
тельно,
(Выражение у C^g (g) + Kg' (£)j представляет собой скорость, с ко-
торой тепло проходит в момент времени t через параболу x = 1^ft
за счет теплопроводности и за счет того, что точка параболы, переме-
щаясь с ростом времени, «захватывает» все новые участки оси х вместе
с распределенным там теплом.)
Естественно предполагать, что при f>0
1 / х \ du
= V7=- g —7=г конечно и что
Vt ;
и при х = 0 и(х,
gf (0) = 0 (это просто
1
t
дх х==о
соображения симметрии). Иными словами, g(0) конечно, g'(0) = 0. Ясно,
что для этого М должно быть равно 0. Итак, мы получили для g(£)
50 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
линейное уравнение
©+4^)=°’
которое без труда интегрируется разделением переменных:
___— Idt
g 2К**'
__£v
g®=Ae«\
Для и(х, f) мы приходим к формуле
А —— —
и(х, = .
Постоянную А определим из условия, в силу которого полное ко-
личество тепла нам задано,
+ 00 + со с Х3
и(х, f)dx—A е =
— ОО — 00
г__ +оо
Л-2КК С .
=------7=-2- \ e-v’din
КС J 1
— 00
Отсюда А — Q/(2 КСп) и, следовательно,
о —
и (х, £)=-——
2 VKCnt -
А .2КК,г-
— ус Vя
Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что за-
данная этой формулой функция w(x, t) удовлетворяет уравнению тепло- '
проводности, а качественное ее исследование показывает, что при t —> О
и (х, t) -> 0 при любом фиксированном х ф 0. С другой стороны,
4-00
w(x, t)dx не зависит от t и равен -S-. Таким образом, можно счи-
t) k
— оо
тать, что построенное нами решение удовлетворяет поставленным усло-
виям.
Ясно, что сумма решений
с (х — хЛ2
У Qi с-^^-
тоже будет решением, отвечающим выделению при £=0 энергий Qi
в точках х=Х(.
§ 4)
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
51
Если в момент / = 0 нам задано начальное распределение темпера-
туры м(х, 0) = ф(х), то его можно аппроксимировать выделением энер-
гий ф(х/)Дх/ в точках хДДх/— интервал достаточно мелкого разбие-
ния оси х, содержащий • точку хД Соответствующее решение будет
аппроксимироваться суммой
w(x, О
С (X — Х;)2
у ф(хо —ЧтН-
Если теперь формально перейти к пределу при Дх^~>0, получится
интегральная формула
+ °° С<х-6)г
и(х, 0= \ —Т._— е 4KI di-,
} zV^KCnt b
— 00
законность которой была продемонстрирована ранее. Там, правда, мы
для простоты считали, что /< = С=1.
В заключение рассмотрим один интересный класс решений уравне-
ния теплопроводности. Это — решения, имеющие вид бегущей волны
стационарной формы, распространяющейся с постоянной скоростью:
u=f(x — wt). Подставим эту формулу
в уравнение
Р ди__д \
G dt дх дх /
и получим для /(5) обыкновенное диф-
ференциальное уравнение
-Cwf=(*_/')'•
Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами может быть
без труда проинтегрировано
_ Cw е
f®=A+Be х \
Cw
u(x, t) = A-\-Be K Wt) *
График этого решения в некоторый фиксированный момент времени
имеет вид, изображенный на рис. 9. Постоянная А представляет собой
температуру среды «на бесконечности», т. е. там, куда тепло еще не
дошло. Решениями такого вида описывается, например, прогрев вещества,
по которому со скоростью w распространяется вправо детонационная
волна, где реакция поддерживает постоянную температуру
/(X-wO|x_a,/ = o = «o
52
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(гл. i
{x=xs)t—уравнение движения детонационной волны). Температуру на
бесконечности обозначим Определив постоянные А, В, мы получим
следующую формулу для температуры в зоне прогрева:
Cw , л
/24 I / \----^{X-Wt}
и(х, 0 = Иоо + («о — и^е *
Из формулы видно, что толщина зоны прогрева тем меньше, чем
больше скорость w. Это понятно: тепло не успевает далеко распростра-
ниться от источника нагрева за то время, пока источник (детонационная
волна) его не догонит.
Интересно, что получение решений вида может быть
сведено к квадратурам даже в случае нелинейного уравнения тепло-
проводности
dt дх L 4 7 дх J
При этом мы получаем для f обыкновенное уравнение
которое можно один раз проинтегрировать:
wE (f) + K(f)f' = A — const.
Полученное уравнение первого порядка интегрируется так:
,с. К (hdf
d^—y. ex (1 = х — wt).
* A—wE(f) 7
Разберем в качестве примера уравнение вида
Эи - д / т ди \
— = — — щ 2
dt дх \ дх г
(2)
К такого рода уравнениям приводятся уравнения фильтрации жидкости
в пористых средах (/я=1) и уравнения лучистой теплопроводности
в средах, нагретых до температуры'звезд, .т. е. до температур порядка
десятков миллионов градусов.
Положим постоянную интегрирования А равной нулю. Мы будем
иметь
= — ^df,
fm=—
/О — (ПОЛОЖИЛИ Io = 0),
n(x, = — x).
График этого решения для некоторого фиксированного t и для таких х,
что wt—х>0, изображен на рис. 10. Таким образом, функция
И1(Х, t)=[
о
при х—
при х—wt^O
§ 4| УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
53
является гладкой функцией и удовлетворяет нашему уравнению всюду,
кроме прямой x=*wt. На этой прямой их(х, t) не имеет даже первых
производных (при т=\ есть односторонние производные справа и
слева, но они различны).
Как мы уже отмечали, для правильного описания физического про-
цесса важно не столько выполнение дифференциального уравнения тепло-
проводности, сколько выполнение соотношения Cudx-[-K^~ dt = O
по любому кусочно гладкому контуру. Для
нашего уравнения это равенство имеет вид
£ и dx + ит dt — 0.
J дх
(3)
При выводе уравнения теплопроводности
именно подобное соотношение и бралось за
основу, так как оно выражает закон сохра-
нения энергии. Нетрудно проверить, что для
гладких функций выполнение соотношения
(3) для любого кусочно гладкого контура
и справедливость уравнения (2) эквивалентны (это следует из формулы
Грина, примененной к интегралу (3)). Однако для функций, имеющих
где-либо разрывы или разрывы производных, более естественно за опре-
деление решения брать равенство (3). Такие функции называются
обобщенными решениями уравнения (2), и мы остановимся подробнее
на этом важном понятии и на его
строгой математической постанов-
ке позднее, на“ примере гипербо-
лических уравнений.
А пока проверим выполнение
равенства (3) для функции и± (х, 0.
Ограничимся лишь контуром
Pi/W* показанным на рис. 11.
Проверка равенства по любому
другому кусочно гладкому кон-
туру проводится таким же обра-
зом с небольшими техническими
усложнениями.
Интеграл по контуру заменим на сумму трех интегралов:
по контуру РгАВР^Р^ по контуру АСОВ А и по контуру CP%P3DC.
Интеграл по первому контуру по интегральной формуле Грина равен
двойному интегралу
Р1АВР<
Интеграл берется по параллелограмму РгАВР^ и равен нулю, так как
ц1(х, 0 удовлетворяет уравнению (2). Так же проверяется, что равен
54
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
нулю и интеграл по третьему контуру (в нашем конкретном случае это
еще проще: z/j(x, 0 = 0 при x>w0.
К интегралу по контуру ACDBA нельзя применять формулу Грина,
так как внутри этого контура на линии x — wt производные решения
терпят разрыв. Вычислим этот интеграл непосредственно, точнее, оценим
его при 8—>0:
zzx rfx + df — 0,
CD
так как ^ = 0 вблизи CD,
dx + щ dt 4- dx + и™ dt
ас Ьв
f i
2 (tnw)m &т г 0
и, наконец,
А
? и^х + мГ ^-dt
в
$ urdx
DB
dt —
X = wt — 8
1 1
— s"1 dt =
tn
(/zzwe)"2 wdt-\- С mwe(tnw)m
^<2mm wm~rX (f2 — 0)em->0 при s->0.
Таким образом, интеграл по контуру ACDBA, а следовательно^ и рав-
ный ему интеграл
по контуру P^P^^Pi стремится к нулю при
е->0. Так как последний интеграл от е не зави-
сит, равенство (3) доказано.
Чтобы показать, какие подводные камни могут
встретиться при рассмотрении негладких решений,
рассмотрим функцию
иг{х, 0=1 хт+1 при Х>°-
( 0 при
А и ох внешне очень похожую на рассмотренную функцию
Рис. 12. иг(х, t). Легко проверить, что она также удов-
летворяет уравнению (2) всюду, кроме оси
х —0. Тем не менее функция м2 уже не будет обобщенным решением
этого уравнения — она не удовлетворяет соотношению (3). Для того
чтобы убедиться в этом, возьмем контур ABCDA, изображенный на
рис. 12.
§ 5] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 55
Интеграл по AD равен нулю. Легко видеть, что интегралы по АВ
и по CD стремятся к нулю при е О, но
с G
? и2 dx + и™ dt = \ и™ dt =
J t)
3 h
-HL- 1 — -1 /
= (^2 —7^fTem+l =‘^+Т740 ПРИ 8“>0‘
Физически рассматриваемое решение w2 (х, f) описывает распределение
температур при наличии в точке х = 0 оттока тепла постоянной мощ-
ности.
На этом мы заканчиваем краткий обзор основных фактов, связанных
с уравнением теплопроводности.
§ 5. Гиперболические уравнения
Простейшие примеры гиперболических уравнений с частными производными:
~Ц--—- = 0, уравнения для звуковых и электромагнитных волн. Задача Коши
для ,этих уравнений и ее решение с помощью характеристик. Гиперболическое
уравнение второго порядка. Формула Даламбера. Интеграл энергии для звуковых
волн. Доказательство единственности решения, основанное на использовании
интеграла энергии. Интеграл энергии для одномерных уравнений Максвелла.
Схема вывода уравнений Максвелла.
В предыдущих параграфах мы уже ознакомились с некоторыми типич-
ными примерами задач, которые математическая физика ставит в терми-
нах уравнений с частными производными.
Здесь мы продолжим рассмотрение таких
примеров.
Остановимся сначала на простейшем
из уравнений с частными производными, а
именно на уравнении
ди . ди А
Чтобы получить формулу его обще-
го решения, проделаем следующее по-
строение, известное из курса обык-
новенных дифференциальных уравнений.
Нарисуем на плоскости (х, t) прямые линии, вдоль которых = 1
(рис. 13). Уравнение каждой из таких прямых может быть представлено
в виде х — f = const. Только л постоянная (const) будет для каждой из
этих прямых своя. Значения постоянных как бы нумеруют эти прямые.
Мы будем говорить, что постоянная с в уравнении х — t = c является
«номером» прямой нашего семейства, задаваемой этим уравнением.
56
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
|ГЛ. I
Рассмотрим какую-либо функцию и(х, t) и вычислим ее производную
~ вд£>лъ нашей прямой. Ясно, что функцию п(х, t) надо предполагать
дифференцируемой. Вместо слова «дифференцируемая» мы будем упот-
реблять слово «гладкая». Более точно — слово «гладкая» означает, что
рассматриваемая нами функция имеет столько производных или даже
непрерывных производных, сколько нужно для законности тех выкладок
или рассуждений, которые мы собираемся проводить. Этим термином мы
будем и в дальнейшим часто пользоваться. Итак, вычисляем производ-
ную вдоль некоторой прямой ^- = 1:
du___ди . ди dx___ди . ди
dt ~~~dF~^'dx~di~~dt+'dx'
Из формулы для этой производной видно, что уравнение
+ означает постоянство и(х> О ВДОЛЬ каждой из прямых
4£-=1. Конечно, на разных прямых эта постоянная может быть раз-
аг
личной. Таким образом, значение и(х, t) в точке (х, t) зависит лишь
от «номера» той прямой, на которой лежит точка, т. е. и (х, t) =
= —f). (Значение x — t является «номером» прямой.) Ясно, что для
. , / уч ди ди
того чтобы у функции и(х, г) существовали производные ,
надо, чтобы функция /(g) была дифферен-
цируемой. При этом
< = -/'(* "О,
S=/'(x-0-
Отсюда ясно, что любая гладкая / дает
решение уравнения
ди . ди_п
dt + дх
Мы говорим, что формула u~f(x—t) дает общее решение этого
уравнения.
Теперь мы уже можем перейти к обсуждению тех задач, которые
разумно ставить для этого уравнения. Под задачей мы понимаем сово-
купность дополнительных условий, которые надо задать, чтобы выделить
какое-либо конкретное решение. Рассмотрим опять полоску прямых
х —1=const на плоскости (х, t). На рис. 14 мы дополнительно изобра-
зили некоторую кривую у, которая с каждой из прямых x—t = const
пересекается только в одной точке. Пусть у задана в параметрическом
виде x = g(s), f = x(s) и пусть вдоль этой кривой задана функция
ф==ф($).
§ 51 гиперболические уравнения 57
Ясно, что мы можем на прямых нашей полоски так определить
функцию ц = ц(х, t), удовлетворяющую уравнению 4- —= 0, чтобы
в точках кривой -у она принимала заданные значения ф = ф($):и|т = ф.
Действительно, решение должно иметь вид /
«=/(*—0- /
Вид функции f может быть определен следующим образом. Найдем
для каждого значения х—t величину 5 из уравнения х — t = —т($).
Это $ отвечает точке пересечения прямой х—t — const с кривой у и,
по нашему условию, единственно. После этого положим £) = ф ($).
Можно доказать, что если g (s), т (s), ф (s) являются гладкими функциями
(£'($)—х' (s) 7^ 0), то построенная нами f(x—t) тоже будет гладкой,
а следовательно, она даст решение изучаемого уравнения.
Упражнение. Из неравенства £'(s) — т' (s) 7^ 0 вытекает, что каждая из
прямых const пересекается с кривой не более, чем в одной точке. Дока-
жите это.
Мы сейчас не будем аккуратно проводить доказательство теоремы
существования. В дальнейшем эта теорема нами будет доказана совсем
другим способом, который, правда, не столь нагляден, ло зато допускает
далеко идущие и очень важные обобщения.
Наглядные соображения, приводимые сейчас, нужны для того, чтобы
как можно скорее и проще подойти к предварительной формулировке
основных фактов из теории одного важного класса уравнений матема-
тической физики. Вернемся к нашей задаче. В качестве кривой у мы
можем выбрать отрезок оси х или отрезок оси t, как это показано на
рисунках 15 и 16. Можно даже (рис. 17) выбрать в качестве кривой у
примыкающие друг к другу отрезки оси х и оси t. Правда, при этом
придется специально позаботиться, чтобы элементы функции ф($), за-
данные на отрезках АО и ОВ> определили функцию f(x—t)> которая
Дифференцируема на прямой x = проходящей через точку О.
Вопрос. Каким условиям должны для этого удовлетворять элементы ф($)
на отрезках АО и ОВ?
58
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
А вот такие отрезки* осей х, t, какие изображены на рис. 18,
использовать для постановки задачи нельзя, так как здесь есть прямые
х —f== const, которые встречаются как с отрезком АО, так и с отрез-
ком ОВ. Вдоль каждой из прямых х —t = const значение u(xt)
является постоянным, а следовательно, значения ср на отрезке ОА зада-
вать произвольно нельзя. Они однозначно определяются после задания ф
Теперь* остановимся на вопросе о единственности решения. Предпо-
ложим, что мы задаем значения ф($) на отрезке АВ оси х. Решение
определится и притом однозначно внутри полосы, образованной пря-
мыми х — t—const, пересекающими отрезок АВ. Если мы продолжим
гладким образом ф($) на больший отрезок ab (рис. 19), то мы Сможем
построить решение в более широкой полосе, границы которой помечены
пунктиром. Так как такое продол-
жение ф($) может быть выполнено
многими способами, то и решение в
нашей более широкой полосе зада-
нием ф($) на отрезке АВ определя-
ется неоднозначно.
Полоса, образованная прямыми
х—1 = const, пересекающимися с
АВ, является областью единствен-
ности.
Разберем еще случай, когда в качестве кривой у выбран отрезок АВ
одной из прямых х —t = const, например, прямой х—£=0 (рис. 20).
В этом случае ясно, что ф($) произвольно задавать нельзя, так как
। z х du . л
и11 = ф($)> а с другой стороны, вдоль отрезка у производная — =0,
откуда следует, что функция ф($) должна быть выбрана постоянной.
Иначе задача
ди . ди _
dt дх
и|т = <р(5)
§51
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
59
не будет иметь никакого решения.* Если же мы выбрали <р($) = ф0 =
= const, то задача будет иметь решение u—f(x — t), где функция /(£)
подчинена только условию /(О) = фо, а в остальном — произвольна.
Область единственности в этом случае как бы стягивается в одну пря-
мую х — £ = 0.
Мы видим, что выбор кривых у, на которых разумно задавать
дополнительные условия, не может быть произвольным. Нам надо учи-
тывать расположение у относительно прямых x — t = const. Эти пря-
мые носят название характеристик уравнения
ди . да ~
~df ~дх Мы пока не даем важному по-
нятию характеристики какого-либо общего
определения. Такое определение будет дано
в следующем параграфе. Теперь же нам
будет достаточно того качественного описа-
ния, которое мы разобрали.
В дальнейшем, как правило, мы будем в
качестве кривой у выбирать отрезок оси х и
ди . ди м
разыскивать решение уравнения 4- == 0
в характеристической полосе, опирающейся на этот отрезок, только для вре-
мени Дополнительное условие н|7 = ф($) в этом случае есте-
ственно называть накальным условием или накальными данными.
Ясно, что все рассказанное для уравнения + = может быть
да , ди л „
почти дословно повторено и для уравнения -^-4“а"^*==0* Его общее
решение записывается в виде u=f(x — at), откуда видно, что роль
прямых x — t — const в этом случае будут играть прямые х — at — const,
которые мы будем называть характеристиками уравнения +
Разберем теперь более сложный пример системы
dt
да2 ।
TU
dUi р.
а3-^- = 0,
1 дх *
ди» л
2 дх ’
состоящей из двух независимых уравнений. Решение первого из урав-
нений системы имеет вид u±=f(x— а^). Решение второго: u2=g(x — a2t).
Зададим для нашей системы начальные данные на отрезке АВ оси х
(т. е. при £ —0). Отрезок АВ по-прежнему будем обозначать через у:
Wi |7 = ф(х),
к2|7 = ф(х).
На рис. 21 изображены на плоскости (х, t) те полуполосы (7^0),
в которых мы можем определить значения их(х, t) и и2(х, t). Для
30
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
большей наглядности, мы выбрали различными знаки коэффициентов
Ясно, что говорить о решении системы имеет смысл только внутри
треугольника АВС, являющегося пересечением (в теоретико-множествен-
ном смысле) обеих характеристических полос, опирающихся на отрезок
Afi; только внутри этого треугольника
решение будет определено однозначно.
Прямые х — а^ = const, х—a2t =
= const естественно назвать характе-
ристиками рассматриваемой системы,
а треугольник АВС, ограниченный ха-
рактеристиками, характеристическим
треугольником.
Пример системы, который мы сей-
час рассмотрели, может показаться
надуманным. Поэтому мы продемонстрируем, как к этому уже изучен-
ному случаю может быть приведена существенно более сложная, на
первый
взгляд, система
^+_L^=0)
dt 1 ро дх
> in ^2—— 0
dt +аѰ дх
(1)
Эта система описывает распространение плоских звуковых волн
(малых возмущений) в покоящейся среде. Здесь и—скорость возму-
щенной среды, а р — давление в этой среде. Постоянные р0, с0 связаны
со свойствами покоящейся среды: р0—ее плотность, а с0 — постоянная,
характеризующая сжимаемость. Уравнения (1) называются также уравне-
ниями акустики. Вывод этих уравнений можно найти в курсе физики
или механики сплошных сред. Мы сейчас покажем, что систему, опи-
сывающую распространение звуковых волн, можно несложным преобра-
зованием и переобозначением переменных привести к тому простейшему
виду, который уже был нами рассмотрен.
Для этого умножим второе уравнение на 1/ро^о- Полученное ра-
венство
д-P-
dt
ди п
Со-г- = О
0 дх
прибавим к первому уравнению
ди 1 дР
dt "* ро дх
В результате получим равенство
§5J
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
61
0.
Если сложение равенств заменить вычитанием, то получится другое
аналогичное уравнение:
\ Р(А / „ \ Р(А / .
dt 0 дх
Теперь нам остается только обозначить
। Р Р
U-\--J-— = Uli Ц-------—
Росо Ро^о
чтобы прийти к системе уже разобранного вида
г диг
dt + с° дх ~U*
5и2 диа __
~dt С<>~дГ~и-
Общее решение такой системы имеет, как мы знаем, вид
u2=g(x + c0t).
Выражая «х, и2 через и, р, получаем
и + -^-=/(х—соО> и—гт-=£(* + <4)0
Росо Росо
или, окончательно:
„_/(*—CoO+g(*+co0 п_п . f(x-c,fi-g(x+cof)
и — - я. t р — Росо 2 •
Эти формулы дают представление общего решения уравнений рас-
пространения звука.
Пусть нам известно распределение давления р и скорости и в на-
чальный момент t = 0 на некотором интервале x1<Zx<Z. х2. Как мы
уже видели, это начальное распределение однозначно определит решение
в характеристическом треугольнике, опирающемся своим основанием на
интервал (х19 х2). Этот треугольник определяется неравенством f>0,
% *0 “Ь *0* *^2*
Величины и ± носят название римановых инвариантов, по
фамилии немецкого математика Римана, который ввел их в аналогичном,
но более сложном случае. Формула
“++=/(х-ей
показывает, что распределение этого риманова инварианта перемещается
без искажения формы вправо со скоростью с0. Это дает основание для
того, чтобы назвать величину с0 скоростью распространения возму-
щений звуковых волн или, короче, скоростью звука.
62
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
Аналогично, формула
«--A-=g(x + coO
РоЧ)
показывает, что распределение этого, другого риманова инварианта
перемещается без искажения влево, опять-таки со скоростью звука с0.
Подберем функции /, g так, чтобы решение, даваемое полученными
выше формулами, удовлетворяло начальным данным:
и(х, О) = и|<_о = ф(х),
р(х, О)=р|,_о =’!’(*)>
Очевидно, достаточно положить:
заданным на отрезке xt х х2-
,И=Щ+1Й,
Отсюда
ф(х)
росо 2
g(z)=?(z)—£g-,
i|>(x-CoO
/(г) = ф(г) + ^.,
Росо
К + тГ==<Р<Х — ьс
Росо РоЧ)
1“ РЛ~ф(Х + Со)
Теперь нетрудно получить формулы
Ф(*—СоО+ф (*+4)0 , Ф(*~чй —Ф (х+соО
2 2р0с0
___Ф (*—соО + Ф (*+<?о0 । _ ф(*-4)0-ф(*+со0
р =------------------f- р0<?0--------------
дающие решение так называемой задачи Коши для уравнений акустики.
Задача Коши для системы (1) ставится так: требуется найти ре-
шение системы (1) по заданным начальным данным ф(х),
р |/-0=ф (х). Приведенные выше рассуждения позволяют обосновать как -
существование, так и единственность решения задачи Коши внутри
характеристического треугольника.
Часто вместо системы уравнений первого порядка
- ди . 1 др___q
dt "г ро дх 9
^4-пг2 —— О
l -w+ pof® а?“и
рассматривают уравнение второго порядка для давления р
д2р
° дх*
= 0,
— с
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
63
§ 5]
которое получается, если первое уравнение системы продифференци-
ровать "по х, а второе по t, а затем исключить из них смешанную
производную . ото уравнение второго порядка обычно называется
уравнением малых колебаний струны, так как такой же вид имеет
уравнение, описывающее колебания натянутых нитей — струн. Именно v
в связи с исследованием колебаний струн оно и появилось впервые
в математических исследованиях.
Это уравнение может быть переписано в следующей форме:
/ д д\ / д . д\ А
\dt С* dx)\8t +С<> дх)Р~°'
Обозначив через q выражение ~, мы приходим к системе пер-
вого порядка, эквивалентной этому уравнению,
dt + 9 дх ~~q'
dt ° дх
Второе из уравнений системы имеет общее решение
q = О (х -}- cot) = 2с0 g' (х + со0.
(В дальнейшем нам будет удобно второе обозначение произвольной
гладкой функции G через производную некоторой другой функции g.)
Уравнение для р
+с° i=2с»+с°^
может быть переписано теперь так:
<Э[р-§(*+соО] . d[P-g(*4-coO] _п
dt ------д~х------°’ '
что позволяет выписать его общее решение
Р — g (X + cot) =f(x — cot),
p(x, t)=f(x—g(xcot).
Последняя формула, по-видимому, впервые была найдена Даламбером
(1747 г.)
В 1748 году Эйлер выразил /, g через значения при f = 0 функций
Р(х, t), pt(x, t):
р(х, 0) = <p(x), pt(x, 0) = ф(х). (2)
Это привело его к формуле
х + Cot
0=Ф»+^>+Ф<»-«.,>+ 1 С (£)„ь
^0 J
х — cot
64
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
которую часто тоже называют формулой Даламбера, несмотря на то,
что Даламбер считал ее незаконной. Однако название установилось,
и мы будем его придерживаться.
Эта формула дает решение задачи Коши для уравнения = О-
Для этого уравнения второго порядка задача Коши ставится так:
требуется найти решение, удовлетворяющее начальным данным (2).
Чтобы получить формулу решения задачи Коши, мы должны функ-
ции f>gv представлении общего решения
р{х, 0=/(*—<\)O+g(*o+coO
определить из условий
f(x)+g(x)=p(x, 0)=ф(х),
— cJ' (xy + C'g (x)==pt(x, 0)=ip(x).
Продифференцировав первое равенство, приходим к системе уравнений
для производных g7, которая решается так: |
г (*)=4 ~
Интегрируем эти равенства:
f(x)=j<p(x)—J +
g(*)=4 ® +ъ‘
Xq
Здесь Xq—произвольная точка из области задания начальных данных,
а и b—постоянные интегрирования. Однако эти постоянные не незави-
симы. Из равенства f(x) + g(x)==q(x) заключаем, что Ь = — а. Итак:
р(х, t)=f(X--CQt) + g(x + CQt) =
x — cot
= Ф1У-~2^ $ +
Xq
x+Cq* “1
+ 1=
Xq -I
x + Cq*
_ <p(x+cof) + <p(x—CQt) 1 C
" 2c0 )
X—CQt
2
Формула решения задачи Коши обоснована.
§ 51
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
65
Мы уже показывали, что для системы (1) существование и единствен-
ность решения задачи Коши могут быть получены при выводе, явных
формул решения.
Однако обычно для4 доказательства теоремы единственности поль-
зуются соображениями, связанными с законом сохранения энергии.
Покажем, как провести доказательство, основанное на этих соображе-
ниях.
Помножим первое из уравнений системы
j__L dP—п
dt ро дх ’
ЁР.л.п с3— — 0
dt™c* дх-"
на множитель рои, а второе — на множитель Сложив результаты,
придем к тождеству f
л Г / ц2 »Р2 \]
[Ро \ 2 )J ,dpu_Q
dt + дх “U‘
Из этого тождества следует, что по любому кусочно гладкому замкну-
тому контуру
Это интегральное равенство носит название закона сохранения
энергии для гладких решений уравнений распространения звука.
Чтобы пояснить название «закон сохранения энергии», применим
наше интегральное тождество к прямоугольному контуру ABCDA, изо-
браженному на рис. 22. Мы получаем
равенство
с в
С / и2 , р2 \ , f / и2 ,
i \Рот + ) (Ро-г +
D А
D С
+ + ^Pudt~ 5 pudt.
В
Си2
В этом равенстве \ p0^-dx изобража-
ет кинетическую энергию газа, за-
в
ключенного
тенциальная
при xr<Zx<Zx2 в начальный момент f0;
С Р2 j
\ dx — по-
J 2рос5
энергия сжатия этого газа. Интеграл
3 С. К. Годунов
66
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
полная энергия
D С
в момент времени Разность \pudt—\ pu dt пред-
ставляет собой
(f0,
После этих
работу, совершенную над газом за интервал времени
пояснений должно быть понятно, почему наше интег-
ральное тождество естественно
называть законом сохранения энергии
(или интегралом энергии). Покажем
теперь,, как закон сохранения энергии
можно использовать при доказатель-
стве теоремы единственности.
Будем задавать начальные данные
iz |z_0 = <р (jv), р 1^0 = Ф (*) на отрезке
АВ(х1^х^х2) оси х при £ = 0.
Единственность решения мы будем до-
казывать (см. рис. 23) внутри характе-
ристического треугольника АВС, огра-
ниченного слева и справа характеристи-
ками АС (х — cQt = х±) и ВС (х 4- cQt =
= х2). Пересечем этот треугольник от-
резком PQ прямой f = а затем к контуру ABQP применим интег-
ральную форму закона сохранения энергии:
Q в
6
О
t
С
Рис. 23.
Р2
2р(4
р
^\dx-
2росо /
Q
Рассмотрим подробнее интеграл
S [(р® 2 +2wi)dX
А
Так как этот интеграл берется вдоль характеристики х—cQt — const,
то dx = c$dt, а следовательно, его можно записать еще так:
И(р° -т+А) с° dt~Pu dt\=-Ег" $ (н — рЬГ dt °-
j 1.\ 2 2Роч> / J 2 J \ Роч) /
Мы доказали неотрицательность интеграла по отрёзку характери-
стики АР, Аналогично, пользуясь вдоль BQ равенством = — c^dt,
можно убедиться в том, что
Q
МИ+Й-
в
Q
Р(А С
2 j
|2Л
0.
§51
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
67
Из доказанных неравенств и из интегрального тождества закона
сохранения энергии вытекает:
в
г и2 . р2 \ , _ С / и2 . р2 \ j
+ J (Рот + гмИ*
Если при t —0 мы имеем р = 0, w = 0, то
f «2 । Р2 \ j _ л
(Ро 2 + 2poc-JrfXsS°’
а следовательно, на PQ величины п, р тоже должны равняться нулю.
Этим самым мы доказали, что нулевые начальные данные на основании
характеристического треугольника с необходимостью влекут за собой
равенство п = 0, р = 0 всюду внутри него. Теперь легко получить дока-
зательство собственно теоремы единственности.
Если иг, рх так же, как и w2> Р2» являются решениями нашей линей-
ной системы, удовлетворяющими на отрезке АВ одним и тем же началь-
ным данным, то их разность ит— и^, р1—р2 тоже является решением
той..же системы с нулевыми начальными данными. Согласно доказанному
выше и1 — = = всюду внутри характеристического тре-
угольника. Теорема единственности доказана.
На этом мы закончим наше предварительное изучение уравнений
распространения звуковых волн и перейдем к другому примеру — к урав-
нениям Максвелла для плоских электромагнитных волн. В конце пара-
графа мы приведем соображения, которые привели к выводу этих урав-
нений, а пока выпишем эту систему:
р дНу dEz дх ’ . (3)
с0 dt
р. дНг dEy (4)
с0 dt дх 1
8 дЕу (5)
dt дх ’
в дЕг _ dHy (6)
ф с0 dt дх ’
Здесь Ну, Нг — компоненты вектора, напряженности магнитного поля,
Еу, Ег — компоненты напряженности электрического поля. Постоянные
коэффициенты р, 8 — магнитная проницаемость и диэлектрическая по-
стоянная. Компоненты Ех, Нх в уравнениях, описывающих распростра-
нение плоских волн вдоль оси х, отсутствуют. В этом случае говорят,
что электромагнитное поле поперечное.
3*
68
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
ГГЛ. I
Рассмотрим сначала первое и последнее из этих уравнений. Умно-
жим (3) на (в) на
д(УрНу) с0 <3(/ё£г)
dt Уря дх
д(Гв£г) са д(УрНу)
dt У це дх
Проделаем сложение и вычитание этих уравнений:
д(УрНу + У1Ег) _ с0 g(Kp^ + Ke£j_
dt У це дх .
д(УцНу-УёЕг) с0 д(УрНу-У'ъЕг) Q J
dt Урё дх ‘ I
Аналогичным образом из (4) и (5) получим
д(УрНг-У1Еу) с0 д(Ур Нг-УёЕу) -
dt . У dx ’
д(Ур Нг-{-Уё Еу) с, д(УцНг+Уё Еу) р
dt У ре dx
Мы видим, что опять, умножая уравнения системы Максвелла на спе- ?
циально подобранные коэффициенты, а затем вычитая или складывая
их, нам удалось расщепить систему на четыре независимых уравнения
первого порядка, каждое из которых имеет вид !
ди । с0 ди Q
dt J^jxe дх
и, следовательно, описывает распространение волны вправо или влево
(в зависимости от знака ±) со скоростью -~=. Эта скорость — ско-
ГЦ8
рость электромагнитных волн — называется скоростью света в среде
и обычно обозначается буквой с.
Полученный «канонический вид» уравнений Максвелла позволяет
нарисовать на плоскости (х, t) характеристический треугольник, в кото- '
ром однозначно определяется решение, если известен отрезок оси £ = 0,
на котором заданы начальные значения напряженностей. Мы не будем
на этом подробнее останавливаться.
Рассмотрим теперь волну электромагнитного поля, распространяю-
щуюся вправо со скоростью с=-~=. Ее распространение описывается
§5J
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
69
уравнениями
д (/й Ну - /ё Ez) , д (/й Ну -/ё ЕJ л
-------г-------1_ с г------=
dt-------------дх
д^Н. + VlE) d(V^Hg+ViEy) п
------------------------------=L- = 0.
dt дх
Чтобы не рассматривать волны, распространяющейся влево, доста-
точно положить
Ур Ну + У&Ег = 0, Уц. Нг-У&Еу = 0.
При этом два оставшихся канонических уравнения будут выполнены
тождественно.
Общее решение так поставленной задачи дается формулами:
УЙ Ну — У&Ег=/(х—cf), УнНу+У&Ег=0.,
Ун Нг + У&Ey—g(x— ct), Ун Нг-УеЕу=0.
Отсюда можно получить представление для всех четырех компонент поля:
^=-24;/(—*
Из этих формул видно, что векторы Е, Н всегда ортогональны, так как
их скалярное произведение ЕуНу 4- ЕгНг = 0. Отношение длин этих
векторов
J/Я’+Я» V В
постоянно. Пусть теперь /и дописывают периодическую, гармоническую
волну
/(g) = acosg,
g(|)=&sing.
Рассмотрим поведение векторов //, Е в фиксированной точке про-
странства, например, при х = 0
Hv ~ cos ct, Нг = —~ sin ct,
У 2 К Ц 2 Уц
b . , гу а ,
Ev — —:sin ct, Е~ —-----cos ct,
у 2/e z z 2/8
Если рисовать положение векторов на плоскости, откладывая Ну, Ev
по оси у, а Нг, Ех по оси z, то нетрудно заметить, что концы векторов
70
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. Т
описывают эллипсы с одинаковым отношением полуосей ~. Большая ось
эллипса, описываемого вектором Н, направлена вдоль меньшей оси эл-
липса, по которому бегает конец вектора Е. Эта картина дает основание
для названия: «эллиптически поляризованное электромагнитное поле» или
«эллиптически поляризованный свет». Если & = 0, эллипсы вырождаются
в два перпендикулярных отрезка (линейная поляризация).
Задача. Выведите закон сохранения энергии
для решений уравнений Максвелла. Сформулируйте и докажите теорему единст-
венности для этих уравнений.
Сейчас мы кратко опишем, как были выведены уравнения Максвелла.
В первом параграфе мы уже показали, как из закона Кулона получается
уравнение
№ № = _4 р
дх^ду^дг* е
для электростатического потенциала w, вызванного распределением заря-
дов с плотностью р в среде, у которой диэлектрическая постоянная
равна 8. Вектор напряженности Е(ЕХ, Еу> Ег) электрического поля вы-
ражается через потенциал формулами
р __ ди р ______ ди р ______ ди
c‘z~'~~^z9
из которых следует, что его компоненты подчиняются уравнениям
дЕх . dEv . дЕг , р
. dEv . дЕг л р
4-^НЧ—Н = 4л;
* ду ‘ дг е ’
дЕх дЕг dEv дЕх
—_____1 = 0 —-----1=0
дг дх 9 дх ду
дх
дЕг дЕу
—------± = о
ду дг 9
Теперь мы покажем, как закон взаимодействия между электрическими
токами приводит к уравнениям магнитостатики.
Представим себе следующую идеальную картину. В пространстве
расположены два замкнутых проводника, не имеющих сопротивления,
и по ним циркулируют два постоянных тока, имеющих силу соответст-
венно Jlf J2. Обобщение опытных фактов по взаимодействию реальных
проводников привело физиков к закону, который проще всего форму-
лируется в этом абстрактном случае. Этот закон называется законом
Био и Савара.
Пусть бесконечно малые вектора dslt ds2 представляют собой эле-
менты этих проводников и вектор #12 направлен от dsa к ds2. Тогда
сила, испытываемая вторым элементом со стороны первого, равна:
§ 5J
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
71
здесь 4 — некоторая постоянная. Чтобы получить полную силу взаимо-
действия между двумя проводниками, надо F12 проинтегрировать, заста-
вив dsv ds2 обежать полностью первый и второй проводники.
Интересно отметить, что силы F12 и F21 действия первого провод-
ника на второй и второго на первый не удовлетворяют закону «действие
равно противодействию». Пусть, например, dsr параллелен #12, a ds2
перпендикулярен #21 ——#12. В этом случае [dsp /?12] = 0 и поэтому
F12 = тогда как [ds2, #21] # 0 и F217^ 0. Однако это нарушение
третьего закона Ньютона только кажущееся и связано с рассмотрением
искусственно введенной силы взаимодействия между элементами провод-
ников, а не между полными замкнутыми проводниками. В самом деле
пусть
fdlA fdr\A /Th - Ц
t/Si = ldg2j, ds2 = I dx\2 b ^12==IЛ2 ~~ £2 I-
\4з/ W УПз —Is/
Непосредственное вычисление показывает, что
1 Г//о d 1] dh + d^2 dx\z + dv\3 ,
i^[dMdS1> +(n, _ ^]8/2 - у+
। Oh ~ Ei) + (П2 - Ea) ^8 + (Пз - Ез) ^8 /d^\
. thi - El)4 + (Th - Ea)2 + Ob - Es)2],/4
Первое слагаемое, стоящее в правой части этого равенства, при замене
первого элемента тока вторым меняет знак, т. е. удовлетворяет третьему
закону Ньютона. Фиксировав во втором слагаемом £2, g3, d%19 dg2,
fd4}i\
проинтегрируем его no tZs2 = , т. e- по полному контуру второго
\Ж]з/
проводника. Мы получим
1 — Ei) dfh + (Па - Ез) ^На + (Из - Ез) <*Пз (d^\ =
[(T)i - Е1)2 + 01? - Еа)2 + (Из “ Ез)2]3/2 \д*}
=- d -===_!=_
U Г (Hi - Е1)2 + (Па - Еа)2 + (Пз
Это равенство как раз и показывает, что противоречие третьему закону
Ньютона только кажущееся. Интересно отметить, что закон Био и Сава-
ра — это не первая по времени формулировка закона взаимодействия
для токов. Впервые этот закон был сформулирован Ампером в другой
форме, которая закону Ньютона не противоречила. Однако форма Био
и Савара закона взаимодействия оказалась более удобной и именно она
и прижилась.
72
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
Закон Био и Савара после введения обозначения
12 ~ с0|/?12|з
может быть записан так:
^12 = ~ [Л ^$2’ ^12] •
с°
По аналогии с законом Кулона вектор Н12 называется вектором
напряженности магнитного поля, создаваемого в точке, где расположен
элемент ds2, элементом тока Jxdsv
Удобно считать, что ток, создающий магнитное поле, не сосредоточен
на проводниках, а распределен в пространстве с некоторой плотностью
j(x> У> z)- Это означает, что внутри элемента объема dadbdc сосредо-
точен элемент тока
У (a, b, с) dadbdc.
Напряженность И поля в точке (х, у, z), создаваемая этим элементом
тока, будет
И=- da db de,
Со IR Is
(x — a\
x — b j
x — c)
или, покоординатно,
„ 1 — iA^btc)(y-b)+jy(a,btc)(z--c)
Hx =-------=--------------------;-----------da db de,
Co [(X - a)2 + (y - 6)2 + (Z - c)2]3/2
Л — ix(a, b,c)(z-c) + iz(a, b,c)(x-a)
Hv —-------?;-------------------------------da db de,
y CQ [(X _ a)2 + ((/ - &)2 + (Z - c)2]3/2
1 — iy (“> by c) (x - a) + jx (a, b, c) (y - b)
Hz =-------7---------------------------:----da db de,
co [(x - a)2 + (y - d)2.4- (z - с)2]з/2
Для того чтобы учесть вклад от всех элементов тока, мы должны про-
интегрировать компоненты напряженности, по всем элементам объема:
1 f f С — /Иа, с) (y-b) + jy (a, b, с) (z - с)
Нх = — \ \ \------т-------------------------z—:---dadbdc,
Со J J J [(X - а)2 + (у - 6)2 + (Z - с)2]3/2
1 С f С — + М(х-я)
Нv = — \ \ \ —=---------------------------;----da db de,
у Со ' J J [(х - а)2 + (у - b)Z + (Z - с)2]з/2
1 С С С — iy & ь>(х ~ а) + ix («» ь> с) (у-Ь)
Нг=— \ \ \-------------=--------------------=-----dadbdc.
Со J J J [(X - а)2 + (у - Ь)2Н- (Z - с)2]з/2
Когда мы формулировали закон Био—Савара, мы отмечали, что токи
должны рассматриваться замкнутыми. Для распределенных токов это
§51
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
73
условие заменяется на требование div у = О, или в координатной форме:
д)х д)у
дх "Г ду “г dz ’
Интегральное представление вектора Н через плотность тока j (дивер-
генция у считается равной нулю) содержит в себе обобщение всех тех
опытных фактов, которые лежат в основе уравнений магнитостатики.
Подобно тому как интегральное представление электростатического
потенциала используется для вывода уравнений электростатики, выписан-
ное нами интегральное представление для Н служит основой для полу-
чения дифференциальных уравнений.
При выводе этих уравнений удобно воспользоваться следующим
искусственным приемом. Определим по заданному распределению то-
ков у (мы будем предполагать j достаточно гладким и равным нулю
вне некоторой сферы) так называемый вектор-потенциал с компонентами
__С С С______&___________________
* J J J К(х - а)2 4- (I/ - ь)2 + (г - с)2= ’
Ш)у (a,b,c) da db de
у (*-a)2 + (y_&)S+(2_C)2’
д _ С С С ~~ jz(a,b,c) dadbdc____
г^~ J J j/(x-a)2 + (t/-6)2 + (2-c)2 ’
Из известной нам теории ньютоновского потенциала (см. § 1) сле-
дует, что дААх । 4тг 1
дх2 Г ду2 г дг2
д2АУ дх2 д2Ау Г ду2 ' дг* - ^njy, (7)
&Аг дх* । д2Аг 1 ду2 L Ап]г.
Формальным дифференцированием интегралов, представляющих А, можно
получить следующие формулы:
1/ дА. дАЛ
х~ с0\ дг + ду )'
Ну — — (— (8)
у cQ \ дх 1 дг /’ 7
1 / дАх
2 с0 \ ду ' дх /’
Законность этого дифференцирования обосновывается точно так же,
как в § 1 были обоснованы правила вычисления первых производных
от ньютоновского потенциала. Из равенств (8) вытекает, что
дНх dHv дНг
—±-|----L j___L=o
дх ду дг
74 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ЧГЛ. I
Так получается одно из уравнений, которым подчиняется напряженность
магнитного поля.
Дифференцируя первое из уравнений (7) по х, второе по у, третье
по z и складывая, мы получаем, используя равенство divj=0:
д2 } д2 д2 \(дАх f дАу (
дх2 + ду2 + дг2) \ дх + ду дг /
Таким образом устанавливается, что >
дАх дАу дАг
дх ' ду ' дг
является гармонической функцией во всем пространстве. Из интеграль-
, 0ЛХ dAv 'дАг
НЫХ формул ДЛЯ Производных ~ду ~дГ можно установить, что
эти производные, д следовательно, и их сумма стремятся к нулю при
к2 + У2 + z<2 оо. Мы уже показывали, что гармоническая функция, опре-
деленная во всем пространстве и убывающая на бесконечности, тож-
дественно равна нулю
дАх 0ДУ dAz
2! j-----
дх ду ' дг
После этих подготовительных замечаний мы можем перейти к получению
остальных уравнений магнитостатики:
rotH=4^y.
Со
Это векторное уравнение состоит из трех скалярных. Мы убедимся
в справедливости только одного из них
dHv dHz 4л '
_____1 j f =_i
дг ду___________с0 ’х'
Остальные проверяются аналогично. Подставив вместо Ну, Нг их
выражения через компоненты А, получим
dHv дНг 1 Г0 ! дАг дАх\ д / дАх 04v\l
дг ‘ ду с0 [0? \ дх ’’ дг / ду \ ду дх / J
1 Г /д2Ах д2Ах\ д /дАг
Со L \ ^У2 ‘ дг2 дх \ дг ' ду j J
1 Г /д2Ах д2Ах д2Ах\ д /дАх dAv дАг \ 1 4л
Со L \ д*2 *" ду2 ’ / *" dx \ дх *" 01/ + 02 / J
§ 5] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 75
Теперь мы можем подвести итог и выписать полную сводку уравнений,
которым подчиняется стационарное электромагнитное поле:
дЕх дЕу дЕг 4лр
дх ду 8 ’
дЕг дЕу
дЕх дЕг dEv дЕх
дг дх дх ду > ’
дНг дНу 4л . дНх дНг 4л . 4
ду дг с0 Jxi дг дх е0
дНу дНх 4л . дНх dHv дН2
дх ду ~~ cQ Jz> дх “Г ду дг ‘
Заметим еще, что ток /, стоящий в правой части трех уравнений,
предполагается здесь удовлетворяющим условию
дх ' ду дг ’
Теперь кратко остановимся на получении уравнений для нестацио- /
парного электромагнитного поля. Экспериментальной основой для них
послужил закон индукции Фарадея, выведенный им из опытов в
1831 году. Фарадей заметил, что при изменении магнитного поля в про-
воднике, помещенном в это поле, появляется электрический ток. Дру-
гими словами, при изменении магнитного поля интеграл по замкнутому
контуру, вдоль которого можно расположить проводник,
ф Ех dx + Еу dy + Egdz^O
и тем больше, чем больше скорость изменения магнитного поля. Ра-
венство
ф Ех dx 4- Еу dy-}-Ezdz~0
для стационарного поля является следствием уравнений ’
дЕг дЕу дЕх дЕ2 dEv дЕх
ду дг ’ дг дх ' t дх ду
Поэтому естественно, что в нестационарном поле вместо нулей в пра-
вые части должны быть поставлены члены, пропорциональные
дНх дНу dHg
"дТ' dt ’ IT -
76 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Точная дифференциальная форма закона Фарадея оказалась следующей:
дЕу п
ду dz h- V,
дЕх дЕг дНу_ 0,
дг дх Со dt
дЕу_ (Л дНг_ 0.
дх ду Со dt ~
(Постоянная р называется магнитной проницаемостью среды.) Эта фор-
мулировка принадлежит Максвеллу. Теперь, казалось бы, получена пол-
ная система уравнений, описывающая нестационарное электромагнитное
поле. Вот она: '
дЕу . дЕг 4л дЕ2 dEv И ЭНХ
дх ду + дг 8 Р’ ду дг 1 с0 dt
дЕх dEz И дНу — О дЕу дЕх дНг Z о
dz дх * с0 dt дх ду с0 dt
дНх дНу . дНг -О дНг дНу 4л
дх 1 ду + дг ду дг с0 /х»
дНх дНг_ 4л • i дНу дНх 4л /
dz дх ’ с0 ’ дх- ду r J Z* со
Однако Максвелл, выписав эту систему уравнений, заметил ее важный
дефект. Дело в том, что требование на ток
д[х Уу .
дх ‘ ду ’ dz
которое естественно в стационарном случае, не может быть принято
в случае нестационарном. В этом последнем случае ёстественно связать
с дивергенцией тока скорость изменения зарядов по времени равенством
Ф djx diy djz
dt'dx' ду + дг —
Однако это невозможно, так как из последних трех уравнений системы
вытекает равенство
дх + ду ‘ dz
(Для проверки надо первое из этих трех последних уравнений продиф-
ференцировать по х, второе по у, третье по г и результаты сложить.)
Для того чтобы исправить это положение, Максвелл чисто умозри-
тельно предложил ввести в правые части трех последних уравнений
§ 61
ХАРАКТЕРИСТИКИ
77
дополнительные слагаемые:
дН2 дНу J_
~ду
дНх дНг_ 1
дг . дх с0
dHv дНх 1
дх ду с0
(4я/* + е^г).
Н'+'т)-
Эти дополнительные слагаемые 8 называются теперь токами смещения.
Так в 1865 г. была получена система уравнений Максвелла. Макс-
веллу же принадлежит отождествление света с электромагнитными волна-
ми. Естественно, что произвольные предположения, введенные Максвеллом
в свои уравнения, были встречены физиками того времени с большим
недоверием. Окончательно уравнения Максвелла утвердились в физике
только лет через 15 после их опубликования. Тщательная эксперимен-
тальная проверка отмела все возражения их противников.
В заключение перепишем полученную полную систему уравнений
Максвелла в векторном виде:
divE=—р, rotE=-i^,
8 ' ’ cQ dt '
dktf=0, rottf=l(4n/ + e^V
Со \ (/* /
Выше мы рассматривали частный случай уравнений плоских волн
в среде без зарядов и токов (р=0, j=0). В этом случае £** = 0,/7#=0,
а все остальные компоненты зависят лишь от х и t.
§ 6. Характеристики
Определение характеристик для общей системы уравнений первого порядка
с двумя независимыми переменными. Соотношения на характеристиках. Комплекс-
ные характеристики уравнений Коши—Римана. Определение характеристик в случае
большего числа независимых переменных. Определение /-гиперболической системы
первого порядка. Симметрические /-гиперболические системы первого порядка.
Пример —уравнения для звуковых волн. Инвариантность понятия характеристик
относительно невырожденных преобразований искомых функций и замены урав-
нений эквивалентными линейными комбинациями. Конус характеристических нор-
малей. Определение характеристик для одного уравнения второго порядка. По-
становка задачи Коши для такого уравнения. Примеры. Определение эллиптиче-
ской системы и эллиптического уравнения.
Примеры, разобранные в предыдущем параграфе, подвели нас к по-
нятию характеристик, хотя определения этого понятия мы и не давали.
Этот параграф мы посвятим характеристикам, описав соображения,
приводящие к этому понятию в трех типичных случаях. Понятие харак-
теристик для уравнений и систем более общего вида по существу ничем
не отличается от разбираемых ниже примеров.
78
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
В разных примерах мы даем разное аналитическое оформление рас-
суждений, приводящих к определению характеристик, чтобы в дальнейшем
облегчить читателю использование различных литературных источников.
Начнем описание характеристик в случае произвольной линейной сис-
темы с двумя независимыми переменными х, t.
Пусть изучаемая нами система имеет вид
Ап (х/ t) + а12 (х, 0 + Вп (х, 0 + В12 (*. О S =А (*, О,
Л21(х, О^ + А22(х, 0^ + В21(х, 0^ + Б22(х, 0^=А(х, 0.
Иногда мы будем записывать эту систему в матричной форме
обозначая
(1)
Применяя матричную запись, мы, конечно, можем не ограничиваться
случаем двух уравнений с двумя неизвестными функциями. Векторы иу f
можно предполагать л-мерными. Матрицы должны иметь при этом раз-
мер п х п.
Пусть нам известно, что рассматриваемая система имеет гладкое реше-
ние в некоторой области О. Выберем в этой области точку (х0, f0) и
проведем через эту точку кривую у. Вектор бесконечно малого смеще-
ния вдоль этой кривой из точки (х0, t0) будем обозначать (dx, dt). Пред-
положим, что нам почему-либо известны значения и вдоль кривой у и что
мы хотим по этим значениям и по уравнениям системы восстановить и в неко-
торой окрестности у.
Задача нахождения решения системы в окрестности кривой у по
значениям этого решения на кривой называется задаЧей Коши для
системы. Давайте еще сузим стоящую перед нами задачу, а именно
ограничимся попыткой найти у вектор-функции ц = (л1, м2) лишь про-
изводные по нормали к кривой у в точке (х0, £0), лежащей на этой
кривой.
Заметим, что так как и1У и2 вдоль кривой известны, а следовательно,
известны производные от них вдоль кривой, то знание нормальных
производных позволяет нам вычислить производные по любому направ-
лению, в том числе и все производные
дих dut ди2 ди2
dt 9 dx 9 dt 9 dx
ХАРАКТЕРИСТИКИ
79
§ б]
в точках кривой. Наоборот, знание этих четырех производных позво-
ляет вычислить производные по любому направлению, в том числе и по
нормали к кривой. '
Поэтому мы и поставим перед собой задачу: зная вдоль кривой у вектор-
л м мм ди ди
функцию w, найти в точках этой кривой производные &, .
Вычисление этих производных мы будем производить в точке (х0, f0),
используя из нашего знания функции и лишь значение дифференциала
du, отвечающего смещению dx, dt ыцмъ кривой. Запишем du с прмощью
частных производных от и\
dt~-]-dx^ = du1)
= dt 1 = дх =Р
, dt^ + dx^=du2.
= = дх =
В этих равенствах подчеркнуты известные нам дифференциалы, опреде-
ляющие смещение вдоль у.
Объединяя эти два равенства с двумя первоначальными уравнениями
системы, мы приходим к четырем линейным уравнениям с четырьмя
ди-, dui ди* ди*
неизвестными ~:
dt ’ дх 9 dt 9 дх
л ди^ Л-Л ди* -1_ R dUlA-R dut__f
Ап ~3t + А12 -Qf + «11 + «12 57 —71,
л ди11 л диз I R диз< о
Л21 -Qi -t- <*22 dt -I- ^21 57 -t- «22 57 —J 2>
' + dx^ = duv
dtd^ +dx^=du2.
г» « du du
В матричной форме уравнения для^, пишутся так:
dt 1 дх J9
dtE^. + dxE^ = du.
dt 1 дх
Через Е мы обозначили единичную матрицу. Из этих уравнений искомые
производные могут быть определены, если только определитель
А В
dtE dxE
(2)
det
^0.
Для системы второго порядка
II А В
•det|dt£ dxE
^11 А2 ^11 ^12
^21 ^22 ^21 ^22
dt 0 dx 0
0 dt 0 dx
80 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ (ГЛ. I
Линии (задаваемые дифференциалами смещения dx, dt), вдоль которых
' А в II
det dtEdxE\~°’
называются характеристиками системы
dt ' дх J
Пусть теперь у нас кривая у является характеристикой. Несмотря
на то, что определитель равен нулю, система (2) имеет решение, так
как мы предполагаем, что в Q существует решение системы (1), прини-
мающее на у заданные там значения. Это означает, что ранг расширен-
ной матрицы
А В f
dtE dxE du
равен рангу вырожденной матрицы
А В II
dtE dxE|
коэффициентов при неизвестных
Следовательно, вектор du вдоль "характеристик не может быть про-
извольным. Он должен удовлетворять соотношению:
ранг
Д В f ||
=рангу
dtE dxE d«||
А В
dtE dxE
Это соотношение и является соотношением на характеристике.
Для того чтобы проиллюстрировать понятия характеристик и соотно-
шений на них, мы рассмотрим уже знакомый нам пример системы, опи-
сывающей звуковые волны,
dt ро дх ’
др . 2ди л
й + РсА^-О.
Вот ее матричная форма:
1 о\ a (и\ ( 0'“ \
£ 14-1 Ро
0 1 / dt \ р \ ° л /
/ V V7 \роСо о/
0
о
§ 6]
ХАРАКТЕРИСТИКИ
81
Система уравнений (2) запишется в этом примере так:
11. 0 0 2)
Ро
0 1 Росб 0
dt 0 dx 0
0 dt 0 dx
Я /°]
% = °
да ,
s da
\% W
\дх1 \ Ч
Уравнение характеристик
О 1 р04 О
dt О dx О
О dt О dx
= dx2 — с § dt2 = (dx — cQ dt) (dx + c0 dt) = 0.
Таким образом, в качестве характеристик мы получили линии, зада-
ваемые уравнениями
dx=±cQ dt,
т. е. прямые
х гр cQ t = const.
Это как раз те линий, которые мы решили назвать характеристиками
в предыдущем параграфе.
Перейдем теперь к получению соотношений на характеристиках для
рассматриваемой системы. Нам надо, чтобы ранг матрицы
/1 о о — 0\
/ z' Ро \
О 1 р'eg 0 0
I dt 0 dx 0 du I
'О dt 0 dx dp
равнялся (вдоль характеристики) рангу матрицы, составленной из ее
первых четырех столбцов. Определитель этой последней равен нулю.
Поэтому должен быть равен нулю определитель матрицы, составленной
из произвольных четырех столбцов. Например, должен равняться нулю
определитель
10 0 0
0 1 р04 0
' dt 0 dx du
О dt 0 dp
82
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
ГГЛ. I
О О
росо О
dx du
О dp
— dx dp + р04 du dt = 0.
dx
характеристик — = сь выполнено соотношение
или, что то же самое, d [ и + ) = 0. Вдоль
• полученный выбрасыванием из расширенной матрицы ее четвертого (пред-
последнего) столбца. Раскроем этот определитель
1 О
О 1
dt О
О dt
Мы видим, что вдоль
Cq dt dp + poCo du dt = 0
dx J p \ n
характеристик -г. — — e0 аналогично получаем соотношение d[u--~ = 0.
аг \ Росо/
Мы показали, что для системы уравнений распространения звуковых волн
данное нами общее определение характеристик и соотношений на них
приводит к фактам, которые были выведены в предыдущем параграфе.
Рассмотрим еще пример системы уравнений Коши — Римана
' ди___________________________dv___п
дх ду ’
/ ди . dv__п
dy'dx~Ut
В матричной форме она записывается так:
Раскроем характеристический
определитель этой системы
10 0-1
0 110
dx 0 dy 0
0 dx 0 dy
= dx2 + dy2.
Мы видим, что система Коши—Римана не имеет вещественных харак-
теристик (они определяются равенствами dy = ±idx).
Системы, у которых всё характеристики вещественны, при некоторых
дополнительных ограничениях называются гиперболическими. Изучая по-
становку задачи Коши для гиперболических систем, мы обычно будем
предполагать, что начальные данные задаются на некотором отрезке
оси х (при £ = 0). В качестве таких начальных данных задаются началь-
ные значения всех неизвестных функций. При этом мы будем предпо-
лагать, что ось х не является характеристикой, т. е. что при любых
начальных значениях и (х> 0) мы можем, в силу системы, определить
производные по t. Так как система пишется в виде
я ди , г, ди г
А~ы + В
dt 1 дх J
ХАРАКТЕРИСТИКИ
83
§ 61
то это означает, что на отрезке задания начальных данных не равен
нулю определитель det || А || 96 0. В этом случае система может быть пе-
реписана так:
dt 1 дх J
или, если обозначить А^В^С, A^f=g,
Как правило, мы fc самого начала будем предполагать систему задан-
ной в такой форме. Уравнение характеристик для системы в такой форме
упрощается. Действительно, для системы порядка п
, д.|=ЛЛде1
dt Е dx Е || \Е
С
dx
dt
=dtn det
0 С — ~Е
dt
р ~ р
С dtC
=(—!)"</£”det|c—^£:| .
Поэтому характеристиками являются линии, удовлетворяющие уравнениям
а=М*. 0,
в которых наклоны характеристик ki вычисляются как характеристичес-
кие корни матрицы С:
det||C—kE\\.
Если все корни этого уравнения вещественны и не являются
кратными ни в одной точке рассматриваемой области, то мы будем
называть эту систему гиперболической в области.
В дальнейшем мы увидим, что некоторые (не все) системы с кратными
характеристическими корнями k тоже следует причислить к классу гипер-
болических, так как они обладают одинаковыми с ними свойствами.
Сделаем еще одно замечание. Приведенное нами определение харак-
теристик дословно переносится на системы вида
А(х, t, и)^ + В(х, t, u)d£=f(x, t, и).
Такого рода системы, у которых коэффициенты зависят от решения (но
не от его производных), называются квазилинейными. В этом случае
характеристики зависят от того, какое решение рассматривается. Линия,
являющаяся характеристикой для одного решения, для другого харак-
теристикой не является. В качестве примера такой квазилинейной системы
84
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
можно привести известные из механики сплошных сред уравнения дви-
жения баротропного газа:
du , itdu ; р'(р) dp__n
dt±udx^ p dx ’
dp , dp . du n
dt 1 dx r dx
p=p(p) —уравнение состояния.
Задача. Покажите, что для этой системы уравнения характеристик и со-
отношения на них записываются в виде
[ 2=“+кр'(р),
аи=_Д=.
* р Vp' (р)
Перейдем теперь к случаю, когда число независимых переменных
больше, чем два. Мы разберем описание понятия характеристик в типич-
ном случае, когда таких переменных три (х, у, t). При этом описании
мы будем интересоваться только самим уравнением характеристик, а
соотношений на ней выписывать не будем. (Описание, которое мы дадим
для случая трех переменных, может быть дословно перенесено и на уже
разобранный случай двух переменных.)
Итак, пусть нам дана система п уравнений с п неизвестными функ-
циями. Мы ее запишем в векторной форме
Л^ + 5 + у, t, и),
dt \ dx 1 dy J v 7
Пусть нам известно, что эта система имеет гладкое решение в некоторой
области О пространства (х, у, t). Предположим, что мы знаем это решение
на некоторой поверхности S, лежащей в G, и нам хочется воспользоваться
этим знанием, чтобы определить решение и вне S, хотя бы в некоторой
окрестности этой поверхности, т. е. решить задачу Коши для рассматри-
ваемой системы. Давайте еще сузим стоящую перед нами задачу. Огра-
ничимся только отысканием производных от неизвестных по нормали
кЗв некоторой точке (х0, j/0, этой поверхности. (Для этого доста-
точно найти производные по какому-либо направлению, не касательному
к поверхности.)
Пусть уравнение поверхности S пишется в виде
<р (х, у, t) = 0, где grad ср 0.
Рассмотрим, кроме ср —ср(х, у, f), еще две какие-либо функции а =
= а(х, у, f), Р = Р(х, у, 0, подчиненные только условию
Ух Уу yt
ах av at
Рх Pj Р*
# 0
§ б]
ХАРАКТЕРИСТИКИ
85
в некоторой окрестности точки (х0, у0> t0) поверхности S. Систему
функций
Ф = ф (х, у, f),
а = а(х, у, t),
₽ = ₽(л\ у, О
можно рассматривать как некоторую новую систему координат. Если
Z=Z(x, у, f) = Z[x((p, а, 0), з/(ф, а, 0), ^(ф, а, 0)]==2(ф, а, 0), то
Za, Z$ являются производными по направлениям, касательным к S, а
Z?— производная по некоторому не касательному к S направлению.
Запишем нашу систему в новых координатах
\ dt 1 дх ду j дф 1 \ dt ' дх 1 ду / да '
+ ЯЛ + ®В + ^с')|_/.
' \dt 1 дх 1 ду / 30 J
(Я очень рекомендую при разборе этого материала, наряду с матричным
выводом, провести выкладку в покомпонентной фор^е на примере си-
стемы второго или третьего порядка.)
Для разрешимости этой системы относительно при любых
ди г
jp/надо,
чтобы определитель
det|^A+ ^В+ Jcko.
Il dt 1 дх 1 ду ||
Мы видим, что это условие только для поверхности 5{ф(х, у, 0 = 0}
и никак не связано с выбором вспомогательных координатных функций
а, 0. Так как вектор коллинеарен вектору нормали
(т, Л) к поверхности S, то последнее условие эквивалентно неравенству
det||TX + ^ + nC|| 0.
Определение. Поверхности 5{ф(х, у, 0 = 0}, на которых
det||“ Л 4- |?с| =0, или, что то же самое, det[|TA + ^ +
+ т]С || = 0, где (т, т]) — вектор нормали к поверхности S, называ-
ются характеристиками системы
А^ + В^4-С^=/.
dt ‘ дх 1 ду J
Разберем ' пример, иллюстрирующий это определение. Система, опи-
сывающая в двумерном случае распространение звуковых волн, пишется
86
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
так:
др . о [ди . dtA л
<Й- + Ро<^ + ^=°>
ди. . =п
dt р0 дх ’
* । .Ldp^n
dt'pody и-
Вот матричная форма этой системы:
1 0 0\ /р\ /0 ро<?о 0\ /р\ /0 0 ро<?о\ /р\ /О'
010 Ши 4- - 0 0 и 4-100 О Ц1 и =| О
dtl р0 дх I I ду I
0 0 1/ \v \0 0 о/ \v \—О 0 / \v \0
/ \ / \ / \ / \Ро / \ / \ >
Матрица |А + В -|-с| здесь пишется так:
’ дер 2 дф 2
1 дф дф
Ро dt
_1_лр 0
\Ро ду dt
Ее определитель
det|g
II dt 1 дх ' ду || dt\\dt) L / \dy I JJ
Приравнивая определитель нулю, получаем уравнения характеристик:
Определение. Система п уравнений первого порядка
dt 1 дх ’ ду J
называется t-гиперболической, если ее характеристическое урав-
нение
det||TA + ^ + nC|| = °
при любых вещественных g, т| (?2 + 'П2 0) имеет п вещественных и
различных корней т. Если матрицы А, В, С зависят от х, у, t, то
§ 61
ХАРАКТЕРИСТИКИ
87
требуется, чтобы это условие было выполнено в каждой точке (х, у, t)
рассматриваемой области.
Проверять условие гиперболичности для конкретных систем очень
трудно. Однако есть один важный класс систем, когда такая проверка
существенно облегчается.
Рассмотрим систему
A^+B^+C^=f
dt 1 дх 1 ду J
с симметричными матрицами А, В, С. Матрицу А предположим к тому же
положительно определенной.
Очевидно, что матрица ^ = ^В-\-х\С тоже будет симметричной при
любых т]. Известно, что любые две симметричные матрицы А,
одна из которых (в нашем случае А) положительно определенная, можно
одним и тем же невырожденным вещественным преобразованием Т при-
вести к диагональному виду (матрица А при этом может быть переве-
дена в единичную)
/*1 0\
T*<g8T — I 1,
\о bj
л°\ '
Т*АТ=\ ч .
\0 1 /
Рассмотрим теперь уравнение .
det || тА + 1В + пС ||=det || тА + || = [det || Т ||р det|| хТ*АТ + Т*^Т || =
/т + ^1 0 \
= [det || Т Ц]т2 det [ т+\ J = 0.
\ 0 т+м
При любых вещественных £, г| оно имеет для т ровно п веществен-
ных корней. Правда, у нас нет никакой информации об их кратности.
Несмотря на это, системы вида
dt 1 дх 1 ду
с симметричными матрицами А, В, С, из которых А положительно оп-
ределенная, обладают всеми основными свойствами гиперболических си-
стем. Часть этих свойств будет нами в дальнейшем подробно изучаться.
Определение. Система уравнений
dt 1 дх 1 ду J
88
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
называется симметрической t-гиперболической системой (по Фрид-
рих су), если матрицы А, В, С являются симметрическими, а мат-
рица А к тому же положительно определенной, (Все элементы мат-
риц А, В, С и компоненты правой части предполагаются, как обычно,
достаточно гладкими функциями х, у, t.)
Примеру Уравнения распространения звуковых волн, которые мы
уже рассматривали, можно записать так:
1 др । ди . dv ____ ~
P0Cq dt ' дх ду 9
ди , др А
™ dt 1 дх 9
dv . др п
По сравнению с предыдущим примером мы первое уравнение разде-
лили на р04, а два последующих помножили на р0.
В матричной форме рассматриваемая система перепишется так:
0 0 \ Л
\ д I
Ро 0 дЦ и Г"
0 Ро/ Xw
/О 1 о\ /р\ /о
<Э / I .
1 0 О u 1 + 0
\0 0 0/ \v/ \1
Из этой записи следует, что матрицы
0 °\ /0 1 0\ /0 0 1\
4 = о роО , в = 11 о о , С= о о о
О О J 0 °/ \1 О о/
удовлетворяют всем условиям только что приведенного определения и
что поэтому уравнения распространения звука в использованной сейчас
форме образуют симметрическую ^-гиперболическую систему.
Симметрические ^-гиперболические системы, .как это выяснится в сле-
дующей главе, позволяют построить некоторые важные соотношения,
которым удовлетворяют их решения. Эти соотношения, обобщающие
закон сохранения энергии для решений уравнений акустики или урав-
нений Максвелла, носят название интегралов энергии.
По существу вся теория симметрически^ гиперболических систем
основывается на этих тождествах.
Для системы
А(х, у, t, u)jt + B(x, у, t, и)^ +С(х, у, t, u)^=f(x, у, t, и)
(здесь А, В, С — матрицы, и — /z-мерная вектор-функция) мы определили
характеристики как такие поверхности S, что вектор (т, £, т]) — нормаль
ХАРАКТЕРИСТИКИ
89
§ 61
к S—удовлетворяет равенству
det ЦтА + ^ + пС || = 0.
Заметим, что это определение выделяет поверхности, которые не меня-
ются при произвольном линейном невырожденном преобразовании мно-
жества искомых функций и при замене исходных уравнений произвольными
их линейными комбинациями.
Именно, положим и = Tv(T— Т (х, у, t) — невырожденная матрица).
Тогда функции v будут удовлетворять системе
AT^ + BT^- + CT~=f— (Ад-£+В ^ + C^\v.
dt ' дх ' ду J \ dt 1 дх ' ду j
Замена уравнений системы их линейными комбинациями эквивалентна
умножению системы слева на невырожденную матрицу Q.
При этом уравнения принимают форму
QAT- + QBT^- + QCT~ = Qf— Q (a^ + B^ + C^)v.
dt 1 dx 1 ду J \ dt 1 дх 1 ду)
Если бы Q была вырожденной, то эти уравнения не были бы эквива-
лентны исходным.
Напишем уравнение характеристик для так преобразованной системы:
det\\i;QAT + IQBT + x\QCT\\ =0.
По теореме об определителе произведения матриц
det || xQAT + IQBT + ^QCT|| = det || Q (тА + gB + т]С) T || =
= det j Q || det || тА + IB + т]С || det || Т ||.
В силу неравенств det||Q||^O, det || Т || 0 уравнение
det||TA-HB + nC|| = 0 (3)
эквивалентно уравнению
det || xQAT + IQBT + t]QCT|| =0.
Утверждение об инвариантности понятия характеристик относительно
невырожденных линейных преобразований множества искомых функций
и относительно замены уравнений произвольными равносильными линей-
ными комбинациями доказано.
Множество векторов (т, ?]), удовлетворяющих равенству (3), оче-
видно, является конусом, так как с каждым вектором (т, £, т]) этому
равенству удовлетворяют и все коллинеарные ему векторы вида (&т,
£г|). Конус, определяемый таким уравнением, называется конусом норма-
лей к характеристикам или, короче, конусом характеристических
нормалей. Если матрицы коэффициентов А, В, С зависят от^ координат
х, yt £, то и конус характеристических нормалей
det||тА(х, у, t) + ZB(xf у, t) + v}C(x, у, 0|| = О
в каждой точке пространства (х, у> t) — свой.
90
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
Дадим еще определение характеристик в случае одного уравнения
второго порядка
а д2и . q £-) д2и . д2и f г 1 \
AlPA’2BdtdxA'Cdifl==^X’ U*’ U^'
Ограничимся только случаем двух независимых переменных х, t. В слу-
чае большего числа переменных характеристики определяются совершенно
так же. 4
Перейдем к новой системе координат:
ф = ф(х, t), а = а(х, 0, ^^^0.
В этой новой системе координат уравнение запишется так:
9 |" л dtp да , в dtp да , о dtp da , dtp da"] d2u ,
L dt dt ф dt dx+ dxdt dx dx]dtpda +
I ГI о/? d2<P I r<?2<P1 du , r.d2a од d2a
+ [A W + 2B dtTx + C dT2J d^ + [A dfl+ 2B ~dtdx +
, ^>dia.l du ,, , , . .
+ Cd&Jfa—f(x’ u’ и^ + чаах, ^Ф/ + uaat).
Предположим теперь, что на некоторой кривой ф = ф0 = const нам
задана функция и и все ее первые производные, как функции от а.
тт . ди
Для нас существенно, что известна функция и и ее производная
Дифференцируя их по а (то есть вдоль кривой), мы найдем на этой
кривой
ди д2и д2и
да9 да2 ’ дф да ’
Теперь с помощью уравнения, если только
А Ш + 0,
\dt) ' \dtj\dx/ 1 \дх/
д2и
мы смажем найти • Кривые ф (х, t) = const, (grad ф 0), на которых
<ЬМШ)+С(5)!=°. <4>
называются характеристиками уравнения
" л । о д2и . д2и г
А dt^ + 2Bdtdi+cd^==f-
§ б]
ХАРАКТЕРИСТИКИ
91
Характеристики играют для одного уравнения такую же важную роль,
какую они играют для систем.
Так же как и для рассмотренных выше систем, при определении
характеристик для уравнения второго порядка равенство (4) можно
заменить эквивалентным ему соотношением
Дт2 + 2Вт5 + С|2 = 0,
где (т, £) — нормаль к исследуемой кривой.
Если кривая ф(х, 0 = фо является характеристикой, то решение и
удовлетворяет вдоль нее равенству
о ГД дф да । о дф да . р dtp да . Эф да 1 д (ди \ .
2 д/ dx'&dxdt dxj Эа \Эф/ +
+ дх ]да* +
+ hg + 25^- + cS]?-+U^ + 2S^- + C^l^ =
’ [ Э/2 1 . dt дх ’ dx2J Эф 1 L dt2 ' dt дх ’ дх2J да
=f(x, t, и, и?<р* + н«а*; итф/+«ааД
ди
Это равенство можно рассматривать как соотношение между и,
вдоль характеристики.
Задача Коши для уравнения второго порядка ставится так. За-
давая на некоторой линии ф== const значения и, мы должны по-
стараться определить решение в некоторой окрестности этой линии.
Если кривая ф = const является характеристикой, то ставить задачу
Коши на ней нельзя. Задав и на кривой, мы сможем определить из
соотношения на характеристике. Свобода задания начальных данных
снижается. Иногда, правда, достаточно на характеристике задать и,
чтобы определить решение, но такую постановку задачи уже неестест-
венно называть задачей* Коши.
д2ч д2и
Примеры. 1. Для уравнения ---------------= 0 характеристики опре-
деляются равенством 1
(Эф \2__/Эф \2__/Эф Эф \ /Эф . Эф \____п
\дГ/ ~\Эх) 1х )\дГ + ~dxjU-
Общее решение уравнения = О имеет вид ф = ф (х—f), а общее
решение, аннулирующее другой множитель ~ будет ф = ф(х + 0-
Равенства ф(х —f) = const или ф (х + О = const определяют два се-
мейства прямых x±t = const, которые и будут характеристиками рас-
сматриваемого уравнения.
д2и д2и
2. Для уравнения Лапласа “5^г+"^2" = ^ уравнение характеристик
/дф\2 /дф \2
\dt~j действительных решений не имеет.
92
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
3. Уравнение теплопроводности приводит к уравнению ха-
рактеристик =0. Общее решение этого уравнения ф~ф(0, а ха-
рактеристики ф(0 = const (t = const) представляют собой прямые, парал-
лельные оси х. Задача определения температуры для t >> 0 по начальным
значениям и(х, 0) представляет собой задачу с данными на характе-
ристике. Именно поэтому здесь задается в качестве начального условия
только одна функция, хотя уравнение теплопроводности второго по-
рядка. Начальная задача для уравнения теплопроводности не является
задачей Коши, хотя такое название ей часто в литературе присваи-
вается.
Оказалось, что уравнения с частными производными естественно
классифицируются по свойствам характеристического уравнения. Так
было введено понятие гиперболических систем, которые мы уже опре-
деляли. Дадим еще определение эллиптических систем или уравнений.
Система
A ~ + B~ + C~=f
дх 1 ду ' дг J
называется эллиптической, если ее характеристическое уравнение
det||M + ^ + ^C|| = 0
не имеет вещественных решений (g, tj, £) таких, что £2 + Л2 + £2 > 0*
Чтобы дать определение эллиптичности для одного уравнения
Л^ + 2В^-+СЙ=Л
дх2 ’ дх ду 1 ду2 J ’
надо рассмотреть его характеристическое уравнение
4£2 + 2£^4-Ст]2==0
и потребовать, чтобы оно не имело вещественных решений (|, rf) таких,
что £2 + л2 > 0. •
Примером эллиптической системы является система уравнений
Коши — Римана:
- ди__dv / п
дх ду ’
ди . ди__р
а примером эллиптического уравнения — уравнение Лапласа
д2и . д2и___________________________п
X dx^ty2 '
ди д2и п
Уравнение теплопроводности = 0 имеет в качестве уравне-
ния характеристик уравнение |2 = 0, распадающееся на два совпадающих
$ 71 ' ' МЕТОД ФУРЬЕ 93
уравнения. Оно относится к промежуточному между эллиптическим и
гиперболическим классу параболических уравнений. Мы не будем при-
водить определения параболических уравнений, а лишь отметим, что
в это определение входят не только коэффициенты при старших произ-
водных, но и некоторые другие коэффициенты.
§ 7. Метод Фурье
Схема метода Фурье для уравнения Лапласа и его обоснование. Метод Фурье
для гиперболической системы уравнений акустики. Представление решений в виде
суммы стоячих волн. Пересказ вводной главы из работы Римана, посвященной
истории метода Фурье. Ортогональность собственных вектор-функций и вычисле-
ние коэффициентов Фурье.
В этом параграфе мы опишем идею так называемого метода Фурье.
Этот очень распространенный метод решения дифференциальных урав-
нений, к сожалению, не является универсальным. Он применим только
к линейным уравнениям некоторого специального вида, позволяющего
построить для этих уравнений достаточно богатый запас частных решений.
Линейные комбинации этих частных решений затем применяются для
того, чтобы аппроксимировать более или менее произвольное решение.
п гг д2н . д2и л
Рассмотрим, например, уравнение Лапласа ‘^2“ +7^2"—О в круге
x2+j>2^/?2. Нам будет удобно, перейдя к полярным* координатам
г, ф (x= г cos ф, ^ = г$шф), записать это уравнение в форме
1 д ( ди\ . 1 d2u __п
г dr \ dr j ’ г2 дф2 ’
а затем искать его частные решения вида
и (г, <р) = А (г) В (ф).
Подставив эту формулу в уравнение, будем иметь
-у-[М'(г)|' 5(ф) + ±^.£"(ф) = о •
и, далее,
г[гЛ'(г)]'_ В" (ф) «
4 (г) В(ф)
Так как из этого равенства X должно зависеть, с одной стороны,
только от г, а с другой — только от ф, то необходимо, чтобы оно ни
от одного, ни от другого аргумента не зависело, т. е. было бы по-
стоянным. Уравнение
В" (Ф) .
В(ф)
или, что то же самое,
+ КВ (ф) = 0
94 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ (ГЛ. г
имеет общее решение
5(<p) = Ci sin (К^ф) + с2 cos (КХф).
Очевидно, что В (ср) должно быть гладкой периодической с периодом 2л
функцией от ф. Д^я этого необходимо и достаточно, чтобы X было
целым числом п, т. е. чтобы Х = д2. (Докажите это.)
Уравнение
г[М' (г)]' — п2А (г) = 0
для множителя А (г) является так называемым уравнением Эйлера, Его
общее решение (при п ф 0)
Л (г) = Vя + Сп-
итак, мы пришли к решениям уравнения Лапласа, имеющим вид
и (G ф) == ^ (г) В (ср) = (с3гп + с4г"л) (сх sin дф + с2 cos дф).
Частные решения
W = Г— n COS Иф, и = п Sjn Лф
получаются специальным выбором постоянных
(^ = ^2=Ь ^1 = ^4=0), (<?3=Q=1,
(^==^2=Ь Q = £3 = °)> (f4 = q=l, ^2 = ^3=0).
Решения г'71 cos тир, г"лзшлф имеют особенность при г = 0, и мы
постараемся обойтись без них. Добавим к набору частных решений
rn cos /др, гл sin дф еще частное решение w = l, являющееся ограниченным
решением, отвечающим значению п=0. (Разыскивая его в виде
и (г> ф) = А (О cos (0 • ф) = А (г), замечаем, что ограниченное решение
уравнения
г [гА' (г)]' = 0
получается из общего А(г) —c3 + ^ Jn г лишь при с4 —0.)
Линейная комбинация построенных частных решений
N
и (г, ф)=-^-+ У -£7Г (a„ cos Иф-Н„ sin/1ф),
п~ 1
очевидно, тоже будет решением уравнения Лапласа.
Интересно, что если считать постоянные
йо> ^1> ^з> • • •
^2’ ^3> * • *
ограниченными, то линейная комбинация бесконечного числа слагаемых
со
/ \ «О । V? ГП / , I ч
«О', ф) = ~у+ 2? -^г(аяСО5Лф + ^л81ПЯф)
1
§ МЕТОД ФУРЬЕ 96
является при r<R решением уравнения Лапласа. В самом деле, этот
ряд можно переписать еще так:
во , V n„ r"(cosn<p+isinn<p)(a„ — ibn)
U (Г, ф) = -2“+ 2 Re------------pH------------=
n= 1
00
=>+ 2
Ряд п = 1
°o
-J-+ 2 -^«^-(x + (y)n='ffi,(-v + (y)=^(-?)
n = 1
является рядом Тейлора с радиусом сходимости не меньшим, чем R.
Отсюда следует, что внутрй круга сходимости функция w(z)— анали-
тическая, zz~ Rew гармонична.
Если предположить равномерную сходимость ряда
оо
и(п ф)=-^-+ 2 (а« c°s «Ф + MlnЯф) (1)
П= 1
вплоть до границы круга r=R, то для граничных значений «(/?, ф) =
== /(ф) мы будем иметь представление рядом Фурье
оо
/(ф) = -у-+ 2 (алс°8Яф + М1ППф). (2)
/2=1
Как известно, коэффициенты Фурье Ьь вычисляются по формулам
2л
а^=—\/(ф)со8-Лфйф, Л = 0, 1, 2, ..., л,...,
JI J
2л
/(ф) sin ^ф t/ф, А = 1, 2, ..., п, ....
Для того чтобы обеспечить равномерную сходимость рядов (1) и (2)
(первого в замкнутом круге r^R), достаточно предположить непре-
рывность вторых производных у /(ф). Интегрированием по частям
можно убедиться в том, что при этом
2л
ak = — -^- j f" (ф) cos &ф</ф,
2л
== — ' (ф) sin kq> dtp,
I . _ const I < I const
Эти неравенства обеспечивают сходимость.
96
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. 1
Таким образом, для любой достаточно гладкой /(ф), заданной на *
границе'круга O^r^R, законно следующее построение решения за-
дачи Дирихле: . • з
1°. Вычисляем коэффициенты Фурье /(ф) по формулам
1 2?
ak==~\ /(ф) cos Лф dtp, k = 0, 1, 2, п, ..., i
1 f I
bk = — \ /(ф)81пЛфб/ф, k — I, 2, n, .... I
2°. Используем эти коэффициенты при составлении «линейной ком- >
бинации» - -
00
z/(r, ф)==-^-4- 2 wp^&„sinzKp) =
п = 1
оо оо
=-§-+ 2 §r''"cos «Ч> + 2 /‘"siting) ".
п=1 п— 1 . 3
частных решений уравнения Лапласа. Мы доказали, что построенная
функция w.(r, ф) является в круге r^R решением задачи Дирихле для
уравнения Лапласа с граничным значением /(ф), если функция /(ф)
достаточно гладкая.
Сейчас мы покажем, что описанная процедура применима для любой
непрерывной /(ф), совсем не обязательно дифференцируемой. Есть при-
меры, показывающие, что ряд Фурье для непрерывной функции может
не сходиться к ней равномерно. Несмотря на это, мы покажем, что
полученный при помощи нашей процедуры ряд для решения задачи
Дирихле сходится к этому решению равномерно в любом круге
r^R0<ZR радиуса RQ, меньшего R. В § 2 решение задачи Дирихле
в круге при любой непрерывной /(ф) было построено с помощью фор-
мулы Пуассона. Воспользуемся комплексной формулой этого решения
и (г cos ф, г sin ф) =
2л 2л 2л
= —— t ffa)da + — С । 1 С /(a) Re~lada
2л 3 '2л Reia— rei(? 2л J Re~l*—
2л 2л
=-----L С /(а) с?а + Re - ( И?Ие->а da. =
2л J л Rela —-rel<?
2л
. 1 С Г 1 I Ч . г>
=Re— \ — — Н---------------— /(a) da = Re w,
л J [ 2 Reia—re‘f J
§71
МЕТОД ФУРЬЕ
97
разложив подынтегральное выражение в ряд Тейлора по степеням
00
-4 +-------зг5-----1/(а)=у/(а)+ У
1 —~ei «р~'> ] z V '
Этот ряд можно почленно проинтегрировать и перегруппировать сла-
гаемые:
2л
y) = w(r cos ф, г sin ф) = — \ Г—4~+ 1/(a)rfa =
л •) [ 2 Rela — rel(? J
2л оо 2л
1 С V?! / г \л 1 (*
= 2^ \/(а)^а+ 2j \r) \ (cos ИФ cos ла + sin жр sin па)/(а) +
О п = 1 О
оо 2л
2/ Г \Л 1 (*
л” \ cos па — Sin па cos ^ф) du =
п== 1 О
со 00
= -т+ 2 ^^'•'t(cosT + /sn^r=-f + 2 -£2^2 * 4-(^+<уЛ
п=1 п=1
Через аа, Ъп мы обозначили интегралы
2л
ая=-^- j /(a) cos па da, п=0, 1, 2,
2л
&я = -^ /(а)sinпа da, п=1, 2,
о
совпадающие с коэффициентами Фурье.
Тем самым показано, что для любой непрерывной /(ф) формула
решения задачи Дирихле
(ОО ч
2 £г^с*+<у)л
п = 1 )
представляет собой просто другую запись формулы Пуассона. Следова-
тельно, справедлива формула (1) и обоснован метод Фурье. Выделяя
мнимую часть из ряда
оо
W = u + iv = ^- + 2 +
п = 1
найдем
00
(— bn cos Лф + ап sin лф).
п — 1
4 С. К. Годунов
98
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
Мы обосновали правило Фурье построения гармонической в круге
функции и(х> у) по ее непрерывным граничным значениям. Более того,
мы дали также ряд для построения u(x, у)—гармонической функции,
сопряженной к и(х, у) и связанной с ней соотношениями Коши — Ри-
мана
ди___ dv
“дх “ду ’
ди dv
ду дх ’
Из этих соотношений видно, что функция v(x, у) определяется
по заданной и (х, у) однозначно, с точностью до произвольной постоян-
ной (однозначно определяются vx, vy). Мы доказали тем самым, что
аналитическая в круге | х + iy | < R функция w восстанавливается по
непрерывным граничным значениям ее вещественной части однозначно,
с точностью до произвольного постоянного мнимого слагаемого /С. Нам
будет важно для дальнейшего заметить, что если числовой ряд
оо
2 (I ап I +1 &п I) сходится, то w как сумма равномерно сходящегося
п = 1
ряда непрерывных функций будет непрерывной в замкнутом круге
00
| х + 1у | R. Чтобы обеспечить сходимость ряда У (Ы + 1Ш
п = 1
достаточно предполагать функцию /(ф) имеющей вторые непрерывные
производные.
Отметим, что приведенное нами рассуждение дает аккуратное дока-
зательство того факта, что всякая достаточно гладкая (имеющая непре-
рывные вторые производные) периодическая с периодом 2п функция
(ф) может быть представлена равномерно сходящимся к ней рядом
Фурье (2), для коэффициентов которого выполнены неравенства
. const
., . const
\bk\<—
Легко убедиться в том, что это доказательство, основанное на теории
интеграла Пуассона, по существу никак не опирается на те сведения
о рядах Фурье, которые мы использовали при предварительном разборе
наводящих соображений.
Ясно, что если функция f(z) имеет непрерывные вторые производ-
ные и периодична с периодом 2/, то ее можно записать следующим
равномерно сходящимся рядом:
00 оо
= j>cos^H- 2 PftSin—у-.
Л=1
99
МЕТОД ФУРЬЕ
(X
гой—только от х, поэтому оно на самом деле не зависит ни
одного, ни от
рассматривать
«Я
Действительно, этот случай сводится к предыдущему, если положить
I 2л пг
z=~^’ Ч=2Гг = ~Г-
Приведенной сейчас формой ряда Фурье для f(z) мы воспользуемся
ниже в этом параграфе.
В качестве другого примера на метод Фурье рассмотрим задачу
об акустических колебаниях слоя газа толщины I (0 х /) между
двумя неподвижными плоскостями. Для этого у системы уравнений
акустики
ди . 1 ар _ п
dt гр0 дх —
будем разыскивать решения, удовлетворяющие граничным условиям:
и=0 при х=0, х=1. Начнем с отыскания частных решений вида
и= T(f) U(x),
p=T(t)P(x).
уравнений акустики следует, что если такие решения^ существуют,
Т, Р, U связаны равенствами
Г (0 1 Р'(х) , ,
т7-гт = Л = COnst,
Т(0 ро U (х)
Г (0 3 U' (х) . .
W = “ ~рЫ=К = const
является, с одной стороны, функцией только от t, а с дру-
, , - ___ - _________ —I от
другого). Отсюда Т (t) = const и поэтому мы должны
частные решения такого вида:
11 = е^и(х),
р = е^Р(х).
для U(x) должны быть выполнены граничные условия -
Из
ТО
Очевидно, что
U (0) ==[/(/) = 0. Подстановка решений указанного вида в исходную
систему дает для С/, Р обыкновенные дифференциальные уравнения
Xf/+ —-^- = 0,
' Ро dx
' ХР+Росо^=°-
Общее решение этих уравнений имеет вид
Хх Хх
U=+ Be с° *
Р = — РосоЛб?Со + Росо Ве
4*
100
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
(ГЛ. I
Постоянные А, В определим из граничных условий {7 (0) = [/(/) = 0.
Эти условия приводят к однородной системе линейных уравнений
Д4-£ = 0,
AZ _ А/
Двс° Д- Be с° = 0,
решение, лишь если
1
е с°
-- - 1/
e c0 — ecQ __ — 2sh --- = 0,
co
Z)(X) =
которая имеет ненулевое
1
А/
£С0
т. е. если Х=*^р-(&— целое).
ляются с точностью до произвольного множителя. Мы можем положить
А = 1/2, 5 = — 1/2. Тогда
. kn
еч
U=i-—
. kn
е~Х
В----Pof о 2
Значения параметра X, при которых задача
Ро dx
IP+wSf-o,
U(O)=t/(/) = O
имеет нетривиальное решение, называются собственными значениями,
а соответствующие решения U(x), Р(х) образуют собственную век-
тор-функцию. Мы установили, что собственные значения и собствен-
ные функции даются формулами
А • k^tCQ
4=1—.
t7* = ZsinyX, = —p0c0cosy х,
Постоянные Д, В при таких X опреде-
, kn
Tx ”"fT
1 —e 1
2i
. kn
~l ~r x
+ *1
. . kn
i sin -j- х,
Po C0 C0S -f
и тем самым показали, что частных решений
«*=Uk (х), pk = Pk (х)
будет бесконечно много. Ясно, что любая конечная линейная комбинация
- u = ^akuk,
т- е. а*
§ 71 МЕТОД ФУРЬЕ 101
также удовлетворяет системе
а
dt “Гро дх ’
др . 2 ди Л
7й + Росо^ — О
и граничным условиям и (0, = 0=0.
Для системы
dt ^~pQdx ’
др . 2 ди п
+ р0Го л- = О,
dt 1 го ° дх
«(О, 0 = ц(/, 0 = 0
обычно решают задачу с начальными данными
и(х, 0) = <р(х), p(xt 0) = ф(х).
Аппроксимируем вектор-функцию {<р(х), ф(х)} конечными линейными
комбинациями
Естественно ожидать, что решение
« (X, 0=2 akexk‘Uk(x),
и*. о=2
будет аппроксимировать разыскиваемое решение и(х, 0, р(х, 0.
Мы сейчас ограничиваемся только не очень аккуратными формули-
ровками, которые нужны для понимания примера. Строгая теория будет
построена немного дальше.
Остановимся еще на следующем обстоятельстве. Рассматривая веще-
ственную систему с вещественными граничными условиями, мы построили
у нее комплексные частные решения
, j . kftX • j , kjl . kflCn i . k-TC
uk=:ie 1 sin—~~l cos—yZsm x—sin —t sin уx,
kn '
Pk = — PoV COS —№
/ kllCn j kTZ * • • kllCn j \
= — p0c0(cos-j-^r cos -j-x4-zsm—p-tcos-y x\.
Ясно, что линейная комбинация
f^k + u-k\ [Uk~U-k\
\ 2 / \ 2/ J
102
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
ГГЛ. I
является также линейной комбинацией вещественных частных решений
иь + и_ь . .
R '2 *=—Sin-y^ESin — Л,
Pk + P k £лсь j. кл,
2 Р°со cos ~Г~* C0S Т Х ’
f/ь U ь falCQ I » kfl
R п. ' • = COS -г-11 Sin -у- X,
2i I I
= — Pocosin 1cos у X.
Наоборот, любая комбинация этих вещественных частных решений
будет комбинацией комплексных решений (uk) pk). Использование комп-
лексных решений удобно для упрощения выкладок.
Решения вида
' « kTtCn j < ksi \ / у ♦ kj^ 1
— sin—j-1/sin-у-x \ / cos—r-Msin-y-x
• i \ । < / i i
knca , fen * \ . kltCr,, fen
— poco COS —y2-1 COS — X / \ — p0C0 Sltl —y-2-1 COS -j- X
=Va2 + b*
kUC0 (t + x) . kn, ’
COS —0 j -- ' sin у x
. kncQ (t 4- r) kn
— poco sm —syJ—- cos у x
описывают так называемые собственные колебания слоя газа, заключен-
ного между неподвижными плоскостями х = 0, х—Z, или, как иногда
говорят,—стоячие волны. Гра-
фики распределения скорости и
давления в такой волне в неко-
торый момент времени приведены
на рис. 24. Название «стоячие
волны» подчеркивает тот факт, что
для таких колебаний точки, в ко-
торых амплитуда скорости и (или
давления р) равна нулю (узлы)
или экстремальна (пучности), все
время остаются в одних и тех же
местах. Отметим, что в «узлах»
скорости амплитуда давления мак-
симальна. Нужно также указать,
что колебания давления сдвинуты
по фазе относительно колебаний и.
Перейдем к обоснованию метода Фурье для системы уравнений
акустики. А именно, покажем, что решение этой системы с условиями
и(0, Z) = w(Z, 0 = 0 и при некоторых дополнительных ограничениях
на начальные функции и(х, 0) и р(х, 0) представляется в виде беско-
нечной суммы частных решений системы, описывающих стоячие волны.
§ Л
МЕТОД ФУРЬЕ
103
Общее решение уравнений акустики, как мы установили в § 5, имеет вид
.._J (X — C0f)+g (x + cot)
U— 2
n_nr f(.x-cat)-g (x+coO
P — Poco 2 »
где функции /, g определяются через начальные значения и ,^0~ ф (г)>
р|/=>0 = ф(х) формулами
/(г)=<р(г)+^, g(2)=<p(z)—
Ро6о РоЧ)
Эти формулы определяют /(г), g(z) лишь при O^^^Z, что дает воз-
можность построить решение внутри характеристического треугольника
х — x-\-cQt^l.
Чтобы построить решение всюду внутри полосы O^x^Z и чтобы
добиться выполнения граничных условий м~0 при х=0, Z, мы восполь-
зуемся искусственным. приемом продолжения начальных данных на всю
ось х. Аналогичным приемом мы уже пользовались при решении одной
из задач для уравнения теплопроводности.
Определив f(z), g(z) при O=C,?=CZ, мы продолжим их на все z
так, чтобы
f(z)= — g(— z), f(l—z)= — gtf+z).
Нетрудно убедиться, что если /(0)g (0) = 0, f(l) 4- g (I) = 0, то такое
продолжение возможно и единственно. Действительно, если мы знаем
/(г), g(z) при то формулы
/(— z) = — g(z), — f(z)=g(—z)
позволяют определить эти функции при —Равенство /(0)
4-g(0) = 0 обеспечивает совпадение значений при z = 0 до и после
продолжения.
Теперь продолжим f{z\ g(z) на всю прямую периодическими функ-
циями с периодом 2Z:
Г(г + 2/)=/(г),
^(^ + 2Z) = g(4
Возможность такого непрерывного продолжения обеспечивается равен-
ствами /(/)=/(—Z), g(Z) = g(—Z), которые выводятся из условия
/(O + g’W — O и из построения /(—/) = — £(/), g(—Z) = — /(Z). Мы
будем предполагать, что продолженные на всю ось z функции ./(z),
£(<?) непрерывны и имеют непрерывные первые и вторые производные.
Задача. Проверьте, что для этого начальные данные и|/-0 = ф, р|/в-0=-ф
Должны иметь непрерывные первые и вторые производные при 0 х удов-
летворяющие следующим соотношениям:
Ф(0) = 0, ф(/) = 0, ф" (0) = ф" (Z) = 0t ф'(О)=ф' (Z) = 0.
104
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
Теперь нетрудно убедиться в том, что формулы
„ J(X~ 4Д+g (*+gpQ
2
будут давать решение уравнений акустики при всех х, t и, в частности,
при всех х, t из полосы Из равенств
/(—<?о0+йг(со0 = °>
/(Z-coO+g(Z+foo=o
вытекает выполнение граничных условий
и(0, Z)=0, «(Z,Z)=O.
Как известно, всякую достаточно гладкую периодическую функцию
можно разложить в равномерно сходящийся ряд Фурье:
~ СО 00
/(*)=§+2 a*coSyz+2 ₽*sin^£,
А>=1 А = 1
aftC0ST2+2 ₽*sinT2,
Л=1 Л = 1
(Мы уже отмечали, что доказательство этого факта вытекает, в част-
ности, из рассмотрений начала этого параграфа.) Условие f(z) =— g(—<?)
накладывает на. коэффициенты соотношения
= Рй= Р/р
в силу которых
2 a*cos-y-^+2 z>
Л = 1 /г = 1
ОО 00
<(*)=-у-+2 a*cos-y-z+2 ₽*sin^,z.
k=i s=i
Коэффициенты a*, 0* удовлетворяют неравенствам |aA | <; const/A2,
| pfe | const/jfe2, вытекающим из непрерывности вторых производных
g". Для решения
f (х—соО +я (x+cot)
и— 2
. f(x-cof)-g(x + cot)
р — росо 2
§ я МЕТОД ФУРЬЕ Юб
мы приходим к представлению
и = 2 afc-i-[cos^(x + c0f) —cos у (л —соо] +
й=1
+ [sln У <*+с оО+sln т - с»01•
р = £^2. а0 — 2 а* [cos т (х + сof)+cos У —соО] +
Л=1 J
+ 2 p^T[-slnT(x+^)+sinT<x-^]
(перестановка членов, производившаяся при получении этого представ-
ления, законна в силу равномерной и абсолютной сходимости рядов,
вытекающей из неравенств
|a* I <
const
“^2”
1 о I const \
Тем самым получено представление решения через комбинацию вектор-
функций
W W’
~ \ ,/ cos-Hx-HoO—COS-j-(X—caf)
uk I 1 I * *
РЫ 2 \— PoCO [cos у (x + coO + cos у (X — C(f.
7>\ \( siny(x4-coO4-sin^ (x—cof)
llk j ___ 1 [ 1 4
^Pk' 2 Voco [— sin у (x + coO +sln у (X—
/ kJICn j , &Л
f COS-J-2 Sin -p X
i , k^lCn i kfl
\— Poco Sln —I cos 7" xt
каждая из которых является стоячей волной.
Тем самым мы показали, что любое решение системы урав-'
нений акустики, отвечающее достаточно гладким начальным данным
106 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ (ГЛ. I
и(х, 0) = ф(х), р(х, 0)=1|)(х) таким, что
Ф (0)=ф" (0)=(0)=ф (0=ф" (0=Г (0=0
(это условия согласования начальных данных с граничными условиями
и(0, 0 = и(/, f)==0), может быть разложено в равномерно сходящийся
ряд по частным решениям — стоячим волнам. Обоснование метода Фурье
для рассматриваемой задачи закончено.
Теперь немного истории. Метод, который носит название метода
Фурье, возник еще в 18 веке при изучении уравнения, описывающего
колебания струны. Это уравнение точно такое же, какое получается,
если из системы
—О
dt *•“ ро дх 9
dt +P°fo^“0
исключить одну из неизвестных функций (например р). Так мы приходим
к уравнению
д2ц _г2 ____Q
dt* °dx2“U*
В нашей задаче м(х, t) удовлетворяет граничным условиям w(0, t) =
= u(Z, 0 = Этим же условиям удовлетворяет отклонение струны,
закрепленной на концах. (В § 5 мы поручали уравнение такого же вида,
как и (3), исключением не р, а w.)
Изучая уравнение колебаний струны, Даламбер в 1747 году пока-
зал, что его общее решение имеет вид
w (х, 0 =/(х—с00 + g+ cQt).
В 1748 году Эйлер выразил /, g через начальное отклонение струны
щ(х) и через ее начальную скорость ^(х), получив формулу
x + cot
а (х, t) = M*+fo9 + u<>(*-c<>0 4- ’ С Н1 ф (Ц,
Ал J
X — Cot
которую мы теперь обычно называем формулой Даламбера. Эйлер отме-
тил, что по смыслу задачи начальные данные w0(x), щ^х) могут быть
заданы в виде двух произвольных кривых.
Даламбер в 1750 году поспешил выступить против этого расши-
ренного толкования его идеи, так как он подразумевал, что и(х, t)
непременно должно быть выражено через х, t аналитически.
В 1753 году Даниил Бернулли из совсем других соображений при-
шел к выводу, что самыми общими решениями уравнения струны
должны быть решения вида
2. kTtCfl /1 i к
ak sin у х cos (t — tk),
k
МЕТОД ФУРЬЕ
107
$ 71
т. е. линейные комбинации стоячих волн. Эйлер с этим не согласился.
Он сомневался в возможности представления произвольной функции
тригонометрическим рядом.
В 1759 году Лагранж, изучая колебания уже не струны, а аппрок-
симирующей ее нити с нанизанными бусинками, и затем совершая пре-
дельный переход, подтвердил результаты Эйлера, с одной стороны,
и результаты, близкие к результатам Бернулли, с другой. Однако боль-
шое количество предельных переходов, которые в то время, конечно,
не могли быть проведены хоть с <какой-нибудь строгостью, дало осно-
вание Даламберу не согласиться с трактовкой вопроса Лангранжем.
Только в 1807 году Фурье сформулировал теорему о том, что совер-
шенно произвольная функция может быть представлена тригонометри-
ческим рядом. Как это ни странно, с самыми решительными возраже-
ниями выступил против этого Лагранж, хотя его формулы почти совпа-
дают с формулами для коэффициентов тригонометрического ряда
Фурье.
Доказательство теоремы Фурье было дано в 1829 году Дирихле,
который наложил на представляемую функцию довольно жесткие усло-
вия, носящие его имя.
В 1853 году Риман, изучая условия, при которых функция представ-
ляется тригонометрическим рядом, пришел, в частности, к своему извест-
ному определению интеграла. Вводная глава его работы содержит увле-
кательное изложение истории вопроса, которое я пересказал. Я бы очень
рекомендовал прочесть эту главу. Избранные сочинения Римана переве-
дены на русский язык и изданы у нас в 1948 году. Работа «О возмож-
ности представления функции посредством тригонометрического ряда»
помещена в этой книге.
В заключение этого параграфа остановимся еще на одном важном
вопросе. Чтобы методом Фурье можно было пользоваться для решения
конкретных задач, надо указать правило для определения коэффициен-
тов ak (коэффициентов Фурье) в разложении начальных данных задачи.
Сейчас будет описано такое правило, относящееся к разобранному при-
меру системы
ди £др_ п
dt ^ро дх ’
др । 2 ди л
На решениях этой системы с граничными условиями я(0, f)==u(Z, t) =0
имеет место закон сохранения энергии:
i
d С
dt J
о
ро»2 о, о+г4р2(*> о
-----------------dx
108 вводная часть ггл. i
Он непосредственно следует из тождества интеграла энергии (§ 5). Ока-
зывается, что следствием этого закона является ортогональность соб-
ственных вектор-функций в некотором скалярном произведении, связан-
ном с квадратичной формой интеграла энергии. Надо только отметить,
что так как наши собственные функции комплексные, то в эти , форму-
лировки надо внести уточнения, заменив квадратичную формулу интег-
рала энергии эрмитовой. Аккуратное изложение этих фактов из теории
консервативных задач, связанных с процессами, в которых сохраняется
полная энергия, будет проведено в главе IV. Сейчас же мы ограничимся
только указанием формулы
5 [у «1 (*) «2 (*) + 2^- Р1 (*) Рг (*)] dx
о °
для скалярного (эрмитова) произведения вектор-функций с компонентами
(«1(х), pi(x)), (w2(x), и отметим, что различные собственные век-
тор-функции
' ГТ f • kn уч kTl
Uk — l Sin -j- X, Pk = — p0C0 COS -j- X
между собой действительно ортогональны в этом скалярном произведении.
В самом деле, скалярное произведение собственных функций с номе-
рами пг, п вычисляется по формуле
1 1
С Гро а • тпх / л • ППХ I I / тлх\ I плх\ I ,
;sitlT^“^sin-r + 2p^f (~P°C°COS—7“)Росо cos — \Adx =
Pal
если m = n,
0, если тп п.
Как было доказано, решение нашей задачи, отвечающее начальным данным
и(х, 0) = ф(х), р(х> 0) = ф(х)
с дважды непрерывно дифференцируемыми ф(х), ф(х), удовлетворяю-
щими условиям согласования
ф (0) = ф (Z) = ф" (0) = ф" (/) = 0, ф' (0) — ф' (Z) — 0,
может быть представлено равномерно сходящимся рядом
i
On С Г • m^x t ппх । тпх плх\ т
==\у \ sin—г-sin—г-cos —r-cos—г-lax =
§ л
МЕТОД ФУРЬЕ
109
В частности, равномерно сходится ряд, представляющий начальные
данные:
w(x, 0)\
р(х, 0)/ а°
Л= 1
Ортогональность собственных
ный аппарат для вычисления
ной вектор-функции. Чтобы
интеграл
i
J [у ф (*) ип (х) + ф (х) Рп (х)] dx =
о
I
k
. kftX \
I Sin -y- \
, 4-
knx ‘
Po^o cos /
— i sin y-
Zin
Po^o cos -y
функций дает в наши руки очень удоб-
коэффициентов ak ,в разложении началь-
показать, как это делается, рассмотрим
^P0(X)Pn(X)jdx +
4u>D’+^ip‘p’]dx+
1 P_kPn\dx
+ a~k J
о
Из равномерной сходимости ряда, представляющего вектор-функцию ф,
ф, следует законность выполненного нами почленного интегрирования.
Итак, мы пришли к следующим формулам для коэффициентов Фурье
в нашей задаче:
2ро^о
a"=ii 5
0
I I
i f / ч . пых . 1 С , z \ плх ,
у \ ф (х) sin -у-ах----т \ ф (х) cos -у- dx.
I J I CqI I
На этом мы заканчиваем наш предварительный обзор идей, связанных
с методом Фурье.
В главе IV мы подробнее разберем теорию этого метода в случае
гиперболических систем с двумя независимыми переменными. При этом
мы будем существенно опираться на теорему существования решений
из главы II и на технику так называемого преобразования Лапласа.
ПО ВВОДНАЯ ЧАСТЬ \ (ГЛ. I
§ 8. Корректность \
Связь между корнями характеристического уравнения и свойствами короткий
волн. Пример Адамара. Понятие о корректно и некорректно поставленных зада-
чах. Некорректная задача для уравнения теплопроводности. Замечания о пред-
мете курса уравнений математической физики.
Классификация дифференциальных уравнений с частными производ-
ными, описанная в § 6 (эллиптические, гиперболические, параболиче-
ские уравнения), была связана со структурой характеристик — и это
не случайно. ,
Дело в том, что свойства характеристического уравнения тесно свя-
заны с качественными особенностями поведения решений. Сейчас я поста-
раюсь пояснить это обстоятельство, пользуясь нестрогими соображе-
ниями. Впрочем, такие нестрогие соображения, типичные для специали-
стов по прикладным наукам, если постараться, можно превратить
в доказательство. Однако мы не будем таких попыток делать.
Рассмотрим, например, уравнение
в некоторой окрестности точки (х0, £0), которая выбрана так, чтобы
коэффициенты А, В, С, ... внутри этой окрестности могли с разумной
точностью считаться постоянными. Постараемся найти у нашего урав-
нения решения вида и = U[р (&х + т£)]. Здесь g, т — постоянные, выбран-
ные раз и навсегда, а р — параметр. Если взять р большим, то пред-
лагаемая формула будет. описывать очень короткие волны. Подставляя
эту формулу в уравнение, получим
(Дт2 + 2В|т + Cg2) U” = О (±).
Увеличивая р, мы видим, что с его ростом произвольная функция
(У[р(£х + т0] будет все точнее и точнее удовлетворять уравнению, если
только постоянные £, т подчинены условию Ат2 + + С%2 = 0, т. е.
если вектор (£, т) направлен по нормали к характеристике. В качестве
и = U [р(£х + т0] может быть взята любая функция, постоянная вдоль
прямых + rt — const. Эти прямые внутри нашей окрестности можно
считать совпадающими с характеристиками.
Очень полезно взять в качестве U ($) гармонику els. Ей отвечают
приближенные решения вида u=el?&x + it\ Вещественная часть этих
приближенных решений — бегущие синусоидальные волны, если £, т
вещественны.
В случае, если взять уравнение с невещественными характеристиками,
например, уравнение Лапласа + = 0 (£2 + т2 = 0), положение из-
менится. Среди решений вида е1? + (это будут здесь точ-
ные, а не приближенные решения) есть решения, которые очень быстро уве-
§ 8] КОРРЕКТНОСТЬ 11 1
личивают свою амплитуду с ростом £ Этот рост тем быстрее, чем больше
g— меньше длина волны. Для уравнений с переменными коэффициен-
тами дело будет обстоять совершенно так же, так как «с точки зрения
коротких волн» переменность коэффициентов несущественна. По этой
причине изучение уравнений с частными производными начинается, как
правило, с рассмотрения модели, у которой коэффициенты постоянны.
У этой модели в первую очередь удобно найти бегущие короткие волны,
выяснить, растут ли они и как, а лишь потом строить строгую теорию.
Разберем, в качестве примера, уравнения акустики
I —А
dt ^ро дх~4'
др , 2ди А
dt +Росо^ —О
и постараемся найти у этой системы решения вида
и == Uel (a* + р = Ре1 "Ь
Подставляя формулы для и, р в уравнения и сокращая на +
мы найдем, что %/а должно быть собственным числом матрицы
\Ро^О 0 / *
а коэффициенты [/, Р образовывать собственный вектор этой матрицы.
Получаем — = ±с0. Выберем верхний знак: Х=соа. Тогда c0(J +
ОС
Н—Р = 0. Решение имеет вид
и ==------4- М) n = Pgi0- (х + соб.
РоСо г
Вещественные решения можно получить, отделив мнимую или вещест-
венную часть. Выпишем последнюю:
Р
и = — — c°s [a (х + соО],
Росо
р == Р cos [a (х + соО]-
Полученные формулы показывают, что звуковые гармонические волны,
в том числе и короткие, перемещаются, не изменяя с течением времени
своей амплитуды.
Теперь перейдем к эллиптической системе (уравнения Коши—Римана)
и посмотрим, какой характер будут иметь решения, которые строятся
по таким же правилам. Это опять будут точные решения, так как
Уравнения Коши—Римана имеют постоянные коэффициенты. Решения
112
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
системы
ди_________________________________dv
• dt дх*
dv_____ди
dt дх
будем искать в виде
и = Uei v __ yei (Kt+zx)'
Подставляя этот вид в систему, получим
Х24-а2=0, V——U.
Ct
Выберем а=п, —in. Тогда
ип = Unent-*x, vn = - iUnent-in*.
Отделив вещественную часть, найдем решения
ип — Unen( cos пх,
vn = Unent sin пх.
Постоянную Un зададим формулой Un = e~^n,
Пример последовательности решений
ип == ent cos пх,
vn=e^n ents\x\nx
был построен в свое время (1904 г.) Адамаром, который из ее рас-
смотрения пришел к очень важным выводам.
Дело в том, что решение (wn, vn) удовлетворяет при f = 0 следую-
щим начальным данным:
wn(x, 0) = фл(х) = е- cosnx,
vn(x, 0) = фл(х) = е-“^л sin пх.
При п->оо эти начальные данные стремятся к нулю. Более того, про-
изводные от них фд)(х), фдЧх) порядков £ = 1, 2, стремятся
к нулю при п~>оо. (Здесь р — произвольное фиксированное натураль-
ное число.) В самом деле,
<pW(x)=± nke~~ Vn cos nx nke—Vn Sinnx >, если k — четное,
<pW(x) = ± \|)W(X) = ± nke— Vn Sjn nx nke— Vn cos nx >, если k — нечетное.
С другой стороны, ип(х, t), vn(x, t) при любо^и t неограничены.
§8]
КОРРЕКТНОСТЬ
113
Мы видим, что какую бы норму мы ни выбрали для оценки вели-
чины начальных данных, мы не сможем утверждать, что из малости
этой нормы вытекает малость решения (решение здесь оценивается по
максимуму его модуля). В качестве допустимых норм для начальных
данных мы здесь допускаем нормы следующего вида:
II ф (х) ||р = max sup | (х) |,
х
||1|>(х)||р= max sup | (х)
O^fe^p х
Адам ар предложил такие задачи называть некорректными.
Задача называется корректной, если она разрешима при любых
начальных (или граничных) данных, принадлежащих к некоторому
классу, имеет единственное решение и это решение непрерывно за-
висит от начальных данных.
Задача называется некорректной, если она разрешима не при
любых начальных данных, либо если она имеет неединственное
решение, либо если нельзя выбрать такие нормы для решений и та-
кие нормы для начальных данных, чтобы в этих нормах имела
место непрерывная зависимость решения от условий задачи.
В последней формулировке предполагается, что нельзя выбрать
нормы, принадлежащие к * некоторому заранее очерченному, но доста-
точно широкому классу. Как правило, в качестве такого класса рас-
сматриваются нормы, включающие оценку функции и ее производных
вплоть до некоторого фиксированного порядка.
Пример Адамара показывает, что задача Коши для уравнений Коши—
Римана является некорректной.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге, или задачи 1 и 2
для уравнения теплопроводности — корректны. Разрешимость этих задач
была нами доказана, так же как и соответствующие теоремы единствен-
ности. Непрерывная зависимость решений от граничных или начальных
условий вытекает из соответствующих принципов максимума. (Проверьте
это.)
Сейчас мы приведем еще один пример некорректной задачи. Пусть
мы рассматриваем решение уравнения теплопроводности
ди__д2и
dt~dx?
в области f < О, 0хзх и хотим определить это решение по тем
значениям, которые оно принимает при f = 0
w(x, 0) = ф(х).
При х = 0, х=п предполагаются выполненными граничные условия
tt(O,f) = u(n,f)=o.
Это задача об определении тепловой истории нагретого тела по его
состоянию в данный момент. Некорректность такой задачи легко
114 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
устанавливается рассмотрением последовательности решений
ип (х, t) = е~ е~пЧ sin пх>
неограниченной при любом f<0 и удовлетворяющей условиям:
ип (*> 0) = (х) = е~ sin пх,
точно таким же, как в примере Адамара. Адамар выдвинул постулат,
что все процессы в математической физике, которые разумно описывать
дифференциальными уравнениями, связаны с корректными задачами.
Некорректные задачи нам приходится иногда решать в тех случаях,
когда мы хотим получить описание некоторого процесса не по усло-
виям, которыми он вызывается, а по некоторым его следствиям, полу-
ченным в результате измерений. Например, если мы хотим установить
распределение температур в теле для t =—То<О, зная тепловое со-
стояние при t — 0.
Начиная с Адамара, в теории уравнений математической физики изу-
чаются, как правило, корректные задачи. Мы тоже будем следовать по
этому пути.
И. Г. Петровский выделил класс уравнений, для которых' корректна
задача Коши, и назвал уравнения этого класса гиперболическими. Для
эллиптических уравнений, точнее для некоторого естественного их под-
класса, типичной корректной "задачей является задача Дирихле. Мы в
нашем курсе изучим типичные примеры гиперболических уравнений
и задачу Коши для них. В качестве примера эллиптических уравнений
мы рассмотрим только одно уравнение—уравнение Лапласа. В качестве
примеров задач для параболических уравнений, имеющих кратные харак-
теристики, мы уже рассматривали некоторые задачи для уравнения
теплопроводности.
Понятие корректности, введенное нами, имеет смысл применять
только к уравнениям, описывающим процессы с бесконечным числом
степеней свободы. Постараемся пояснить это утверждение на примерах.
Начнем со следующей конечной системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений:
Ее решение yk = ykoekt на любом конечном интервале времени
непрерывно зависит от начальных данных у2а, ..., Укй- В самом
деле, если обозначить
Ь11=тах(1л1> IM •••> 1лН)>
§8] КОРРЕКТНОСТЬ 115
то мы будем иметь
Это неравенство и доказывает непрерывную зависимость решений от
начальных данных (в силу линейности системы и конечности N, из ко-
торой, в свою очередь, следует ограниченность eNt),
Иначе обстоит дело в случае системы бесконечного порядка
Среди решений этой системы будут как угодно быстро растущие (уп
растет как ent), и поэтому непрерывной зависимости от начальных дан-
ных не будет ни на каком интервале времени 0 t Т, как бы мало
ни было Т.
Однако устойчивость будет иметь место, если положить ||j>|| =
— sup||^||, а норму начальных данных определить как ||j/0||r =
= sup (Iyk01 ekT)- Действительно, имеет место неравенство ||j1| ||_у0 ||г
k
(для O^t^T). Вопрос о том, корректна ли рассматриваемая беско-
нечная система обыкновенных уравнений, свелся к тому, считаем ли мы
допустимыми введенные сейчас нормы или нет.
Остановимся теперь на аналогии между примером Адамара и приме-
рами из обыкновенных уравнений, которые мы сейчас разбирали.
Можно аккуратно показать, хотя мы сейчас этого делать и не бу-
дем, что каждое решение уравнений Коши—Римана, периодическое
по х с периодом 2л и определенное всюду в некоторой полосе
может быть внутри этой полосы представлено в виде
4-со 4~о°
и = У] уп (t) COS ПХ — 2 Zn (t) sin
« = —оо « = — оо
oo 4-oo
V— 2 yn (t) sin nx + У (0 cos их
« = — 00 « = — 00
В этом представлении ряды можно почленно дифференцировать и
каждое из слагаемых
и« (*, 0 = Уп (О cos пх (ип — —zn sin пх),
Vn (х> 0 ==Уп (Оsin пх (уп = zn cos nx)
116 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
само является решением системы Коши—Римана. Доказательство этих
фактов мы опускаем. Ограничимся рассмотрением таких решений, у
которых все 2'л(0 = 0. Подставляя
ип (х, t) —уп (0 cos пх,
vn(xt t)=yn(t) sin пх
в уравнения Коши—Римана
дуп dvn дип
dt дх 9 dt дх 9
мы получаем для yn(t) обыкновенные уравнения
^=пуп (п — ..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, ...)
с решениями
уп = С0П81Л
Эта система обыкновенных уравнений как раз того типа, который
мы рассматривали в предыдущем примере. Частные решения, использо-
ванные в примере Адамара, имеют вид
ип=е~^п entwsnx,
vn = e~^n ents\nnx.
Им соответствует следующее решение обыкновенных уравнений
... _У_3=О, У-г=0, У-i = 0, у о=0,..., y^i=0, уп=е~ , уп+1 = 0,...
Нам кажется, что эта аналогия между уравнениями с частными произ-
водными и бесконечными системами обыкновенных уравнений может
быть полезна при продумывании содержания, вкладываемого^ в понятие
«корректность».
На этом мы заканчиваем наш вводный обзор предмета и в следую-
щей главе переходим к изучению гиперболических уравнений — одного
из важнейших классов уравнений математической физики.
Глава П
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 9. Интеграл энергии
Приведение к каноническому виду гиперболической системы с двумя незави-
симыми переменными в окрестности точки. Римановы инварианты. Неоднознач-
ность их определения. Канонический вид —частный случай симметрической по
фридрихсу системы. Тождество «интеграл энергии» для гладких решений симмет-
рических /-гиперболических систем. Пример: закон сохранения энергии для
уравнений акустики. Лемма об интегральном неравенстве.
Система п уравнений
d“ + Cd“ + Du=f
dt 1 дх 1 J
для п неизвестных функций и~(иь и2 ..., ип) с матрицами С=
= || cik 1|=II cik (*, О I D = [| dik ||=|| dik (х, t) || называется гиперболической,
если все корни характеристического уравнения det||C—А2?|| = 0
(Е—единичная матрица) вещественны и различны.
Мы сейчас покажем, как такую систему можно привести к некото-
рому специальному каноническому виду. Рассмотрим собственный век-
тор z матрицы С, отвечающий собственному значению Он удовлет-
воряет системе уравнений
(С—^Е)^==0.
Пусть элементы cik(x, t) матрицы С являются гладкими функциями
координат и пусть kx — некратный корень характеристического уравне-
ния. Собственный вектор z(x, t) определяется в этом случае с точно-
стью до произвольного множителя, являющегося функцией от х и t.
Покажем, что можно предполагать вектор z (х, t) имеющим гладкие
составляющие.
Начнем с изучения гладкости корня k^x, t) характеристического
полинома
det||C—АВ||=(— 1)Ж+М*, Vk^+pAx, +
...+рп(х, f)\ = P(k, X, t).
Его коэффициенты /^(х, РЛХ> О* •••> Рп(х> О представляют собой
полиномы от элементов cik(x, t) и, следовательно, будут гладкими.
Выберем некоторую точку (х0, /0). Корень является некратным и,
следовательно,
ЭР (klt х0, /0) , п
dk
118 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. И
По теореме о неявной функции у точки (х0, tQ) существует окрестность,
в которой однозначно определена непрерывная функция k = k1(x, t),
удовлетворяющая условиям
P(k, х, о =
С^0> ^о) === ^1 (*о> Q-
Эта функция будет иметь ту же гладкость, что и коэффициенты
pi(x, 0> т* е- ТУ же, что и элементы матрицы С. В частности, произ-
dk dk . •
водные g^, вычисляются по формулам
dk_ P((k, х, t)
dx~ Pk (k, x,t)' dt~ Pk (k, x, t) ’
Аналогично могут быть выписаны формулы и для производных более
высокого порядка.
Так как точка (х0, f0) может быть выбрана произвольно, а через k±
может быть обозначен любой корень характеристического уравнения,
нами доказана
Лемма. Если в некоторой области О плоскости х, t все эле-
менты матрицы С являются гладкими функциями координат и
если все ее характеристические корни в этой области некратны,
то сами эти корни будут гладкими функциями х, t.
Теперь постараемся построить гладкий собственный вектор z мат-
рицы С — kE. Мы проведем его построение в некоторой окрестности
произвольной точки (х0, £0).
В точке (х0, t0) ранг матрицы C—kE равен п—1. Значит, суще-
ствует минор этой матрицы, полученный вычеркиванием одной строки
(r-й) и одного столбца (#-го), такой, что его определитель в точке
(х0, ^о) не равен нулю. По непрерывности он отличен от нуля и в не-
которой окрестности этой точки. Только эту окрестность мы будем
рассматривать. Чтобы определить вектор z~(zv z2, ..., zn), положим
2^=1 и рассмотрим все уравнения системы (С — kE) z — 0, кроме г-го.
Если вектор z будет удовлетворять этим п—1 уравнениям, то он будет
удовлетворять r-му, линейно с ними зависимому.
Для n—1 неизвестных zlt z2, ..., zq+1, ..., zn имеем систему
n—1 уравнений с неравным нулю определителем. Ее можно решить по
формулам Крамера. Из этих формул очевидно, что все компоненты
z^x, t), z2(x, t), гд_д(х, t), zg(x, 0=1, Zg+iXx, t), .... z„(x, t)
будут внутри окрестности гладкими функциями от х, t. Ясно, что если
все Zi(x, t) умножить на одну и ту же гладкую р(х, 0=0= т0 мы
опять получим гладкий собственный вектор. В частности, таким путем
можно добиться того, чтобы компоненты Zi(x, t) собственного вектора
п
были нормированы условием г|(х, 0=1- Так нормированный соб-
1=1
ственный вектор определен однозначно с точностью до знака. Только
этот знак мешает нам воспользоваться теоремой Больцано—Вейер-
§ 91
ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
119
штрасса и, выбрав конечное покрытие окрестностями произвольной
замкнутой подобласти, а затем склеив в их пересечениях знаки у (х, t\
построить собственный вектор гладкой функцией во всей замкнутой
подобласти. На самом деле в случае односвязной области такое постро-
ение действительно можно провести. В двусвязной области оно может
оказаться невозможным.
Мы не будем на этом подробнее останавливаться и ограничимся
построением гладкого собственного вектора лишь в некоторой окрест-
ности точки (х0, f0). Построив такие окрестности для всех собственных
векторов, а затем взяв их пересечения, мы можем утверждать, что
у точки (х0, f0) существует некоторая окрестность, в которой элементы
матрицы
'гН *12
^21 г22
%п2
Z2n
znn
являются гладкими функциями х, t. Столбцы этой матрицы мы соста-
вили из собственных векторов так, что
Иными словами, имеет место тождество
/ ^1^11 cz=1 ^2^12 • • * knzln \ ^2Z22 • • • ^nZ2n 1
^2Z2n •' • • kfiZfinJ /zll Z12 ••• Zln\ /^1 0\
__ j ^21 Z22 • • • Z2n II ^2 1 2/^ \^1 zn2 '• • • Znnl \0 kJ
Матрица Z, состоящая из линейно независимых собственных векторов,
отвечающих различным собственным значениям, невырождена. Поэтому
можно написать
Z~1CZ=K.
Это равенство означает, что подобное преобразование с матрицей Z
приводит С к диагональному виду К. Этот факт известен из линейной
120 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. И
алгебры. Мы провели подробно его вывод, чтобы показать возможность
выбрать Z гладкой хотя бы в некоторой окрестности.
Сейчас мы покажем, что если в некоторой области существует глад-
кая матрица Z такая, что Z~1CZ=K, то в этой области гиперболическая
система
ди * у—, ди । г-,,
_.+c^Dtt=f
может быть приведена к некоторому каноническому виду.
Сделав подстановку u = Zv, запишем нашу систему так:
J(Zz>) + C^(Z%i) + D(Z^)=/.
Выполняем дифференцирование
zS+c4,+(dz+sz+ce^-/
и умножаем систему слева на Z"1
£+z~‘cza +Z'‘(DZ+^z+ciz)«=z->/.
Пользуясь тождеством Z~1CZ=K и обозначая
Z-(dZ+£z+C«z)=H«,
Z-y-g,
приходим к системе следующего вида, который называется каноническим:
00 I I ЛА
Вот пример системы второго порядка в канонической форме:
~ + k1(x, t)^ + mn(x, 0fi + z»12(x, t)v2=g!(x, f),
^4-A2(x, t)^ + m21(x, t)v1 + m2i(x, f)v2=g2{x, t).
Компоненты иДх, t) искомой вектор-функции t) в канонической
форме системы называются римановыми инвариантами. Так как мат-
рица Z, приводящая систему к каноническому виду, определена неод-
нозначно, то неоднозначно определяются и римановы инварианты. В даль-
нейшем нам будет удобно этой неоднозначностью пользоваться. *
Иногда говорят, что система ~ Du=f называется гипербо-
лической, если существует гладкая матрица Z, приводящая ее к опи-
санному каноническому виду. При этом совсем необязательно требовать
некратности характеристических корней. Эта некратность была нам
ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 121
§ 9J
нужна лишь для построения гладкой Z(x, t). Если же канонический
вид получен, то для построения дальнейшей теории требование некрат-
ности совсем необязательно.
Пример. Система уравнений Максвелла
рдНу__дЕг ьдНу__ дНг
сй dt дх ’ с0 dt дх~у
р дНг дЕу 8 дЕг дНу
с0 dt дх 9 с0 dt dx
имеет двукратные характеристические корни, но это не мешает ей при-
водиться к каноническому виду (см. § 5 гл. I)
д(^Ну+ПЕг) с0 д(^Ну+^ёЕг)_
dt дх ~~ ’
dtfp Нг-уПЕу) с0 d(V^Hz-VlEy)
Й у— дх ~~ '
d{V^Hy-VlEz) с„ д(^Ну-^Ег)_
dt дх “°’
д(^Нг+ПЕу) св д(УрНг+УгЕу)
dt "кце дх ~ ’
Ближайшие параграфы будут посвящены подробному исследованию
важного класса гиперболических систем — симметрических f-гиперболи-
ческих (по Фридрихсу) систем. Напомним их определение, данное нами
в § 6 гл. I для случая трех независимых переменных х, у, t. Система
уравнений
Л(х, у, f)~ + B(x, у, /)^+С(х, у, t)^=f(x, y', t, и)
называется симметрической t-гиперболической системой, если мат-
рицы А, В, С являются симметрическими, а матрица А к тому же поло-
жительно определенной.
Мы видим, что в случае двух независимых переменных гиперболи-
ческая система после приведения ее к каноническому виду
является симметрической ^-гиперболической, так как диагональная мат-
рица К симметрична, а единичная матрица Е положительно определена.
В случае, если независимых переменных больше, чем две, произвольную
строго гиперболическую систему (с некратными характеристическими
корнями) не удается, вообще говоря, привести к форме, симметричной
по Фридрихсу.
122 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. II
Сейчас мы выведем для симметрических ^-гиперболических систем
одно очень важное тождество, называемое интегралом энергии. Оно
будет играть основную роль при построении всей теории симметриче-
ских систем.
Ограничимся линейными системами вида
« ди । q ди . л ди > /•
Лаг+В^+С^ + См=^
где
А = А(х, у, t), В=В(х, у, 0, С=С(х, у, О,
Q=Q(x, у, t), f=f(x, у, f),
и
А = А*, В = В*, С=С*.
Матрица Q симметричной не предполагается. Умножим систему скалярно
на вектор 2и
«) + 2(5g, H) + 2(cg, «) + 2(Q«, И)=2(/, и).
Преобразуем отдельные слагаемые полученного равенства (пользуемся
тем, что А = А*, В = В*, С=С*):
2(xg, "Н4»' иЫА«' "Н4^ '')+(£ 4*в)-
' f л ди \ । {ди . \ / .ди \ х I л ди\
“) + (.«’ Лм) \Л<Й’ м) + \Ли’ dt]~
= [Ак], и) - ([£а] «, и) + (а«, g) = £(Аи, и)- ([£а] и, «).
Аналогично:
2 (в^-, и\ — ~(Ви, и) — и\9
\ дх 1 J дху J \[dx J г
2(с^-, и\ = ~(Си, w)~-(Г;гС1н, и\.
\ ду 1 ) дук r J \idy J /
Кроме того,
2 (Qu, u) = (Qu, м) + (и, Q*w) = ([Q + Q*] w, и).
После выполнения всех этих преобразований можно написать, что
^-(Aw, и) + ^(5ц, и) + (Си, u) = (Du, н) + 2(/, и).
Здесь
D=ff4 + ss+§c-(«+«=D<J;'>’’0-
Из последнего равенства ясно, какой гладкости надо требовать от А,
В, С, Q, чтобы D обладала той или иной определенной гладкостью.
ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
123
§ 91
Рассмотрим какую-либо область G, лежащую внутри области сущест-
вования решения и, ограниченную кусочно гладкой поверхностью 5.
Проинтегрируем наше тождество по области Q
Й S u) + fx(Bu> + u)]dxdydt=
= ЭД^ l(Plt> и) + 2 (/, и)] dx dy dt.
о
Интеграл в левой части, как интеграл от дивергенции, может быть пре-
образован в поверхностный по теореме Гаусса — Остроградского. Мы
будем единичный вектор внешней нормали к поверхности 5. обозначать
(т, т)). Имеем
ЭД[т(Ан, w) + ^(Bn, п) + т](Сн, и)] ds ЭД [(D«, п)4-2(/, u)]dxdydt.
s а
Интегральное тождество
ЭД ([тА ++ т]С] п, и) ds=J ЭД [(Du, п) + 2 (/, и)] dx dy dt
s о
называется интегралом энергии для симметрической системы.
Если взять в качестве примера систему уравнений, описывающих
распространения звуковых волн (см. § 6) с матрицами
/А 0 °V /° 1 °\ /о 0 1\
А = n п Ь 5=11 0 0), с= о о б
о Ро 0 / \ Г \ /
пол \0 о о/ V о о/
(матрица Q и вектор /—нулевые), то получится тождество
И [т (р5з+ро“2+ро'1’2)++n2/w]ds=° ’
выражающее (после деления на 2) закон сохранения энергии звуковых
волн. В случае двух переменных х, t мы таким законом уже пользо-
вались в § 5 при доказательстве теоремы единственности.
Выведенный нами интеграл энергии будет использован в следующем
параграфе для доказательства единственности решения задачи Коши
в случае произвольной гиперболической системы. А пока мы в заклю-
чение этого параграфа докажем вспомогательную лемму, которой в даль-
нейшем не раз будем пользоваться.
Лемма об интегральном неравенстве. Пусть при 0
t Т функция l(t)2^ 0 непрерывна и дифференцируема. Если такая
/(^-/(<1)^6____________
/2 — 7j
124 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ - [ГЛ. II
I (7) для любых 0 t2 Т удовлетворяет неравенству
?2 ___
+ I(t)dt + N\ vi(t)dt (2И>0, NSsO),
t, ty
TO
_____________________ ___ M. (M. \
Г/(0<//(0)е2 +^e2 -1J. (1)
Доказательство. По предположению, для tr < t2 имеет место
неравенство
= Af/(H + 7VVT(H.
Мы воспользовались здесь теоремой о среднем значении, выбрав с ее
помощью t* =С72). Стягивая [fx, 72] к внутренней точке t интер-
вала и пользуясь дифференцируемостью 7(7), получаем
d^MI(f) + NVW). (2)
Если для выбранного значения t 7(7) = О, то выполнение неравенства(1)
в точке t очевидно. Пусть теперь 7(7)>О. Обозначим посредством
либо наибольшее из тех значений 7, для которых 7(7) = О и 7 <7, либо
(если 7(7) > 0 для всех 7<7) точку 7=0. На интервале (7Р 7) функция
7(7) положительна. Поделим обе части неравенства (2) на 2}/7 (7). Имеем
dt 2 у 1 (t) т 2 ’
-ti
Умножим обе части последнего неравенства на е 2 :
Проинтегрируем это неравенство от 72 до 7
___ м ____________ г м AIa-1
е 2*_е 2 J.
Следовательно,
J/77TT f (<-*«) . N Г Л
Так как 7—7х^с7, a 7(7J либо равно 7(0), либо равно нулю, то инте-
гральное неравенство (1) доказано.
§ 101
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
125
§ 10. Теорема единственности и оценки решений
гиперболических систем
Использование интеграла энергии для оценок решений симметрических гипер-
болических систем. Оценки проводятся ® области полупространства t > 0, огра-
ниченной сверху некоторой «шапочкой», про которую известно, что по ней по-
верхностный интеграл энергии неотрицателен. Как проверить это условие, пока
не выясняется. Теорема единственности для рассматриваемых областей. Получение
оценок для производных путем применения изучаемой техники к расширенным
системам, включающим уравнения для оцениваемых производных. Специальный
способ расширения путем включения только уравнений для производных по t.
Мы начинаем изучение теоремы единственности и теоремы о непре-
рывной зависимости решений от начальных данных для симметрических
гиперболических систем. Попутно мы получим некоторые важные оценки
для решений и их производных. Все эти теоремы и оценки получаются
из исследования интегралов энергии с помощью интегрального нера-
венства, доказанного в конце прошлого параграфа. Доказательство, ко-
торое здесь будет проводиться, предполагает неотрицательность некоторых
поверхностных интегралов. Сейчас мы этими интегралами заниматься
не будем, поэтому все наши выводы будут носить условный характер.
Условия неотрицательности таких интегралов будут изучены в после-
дующих параграфах. Их изучение связано с важными идеями.
Изучая гиперболическую симметрическую систему
лди , ади . ^ди . х
dt * дх ‘ ду ‘ J »
мы в предыдущем параграфе установили для ее гладких решений инте-
гральное тождество, которому было присвоено название «интеград
энергии»:
ЭД ([тА + %В + т|С] и, и) ds = $ЭД [(£>«, и) + 2 (/, м)] dt dx dy.
S Q
В этом тождестве поверхность S ограничивает область О в пространстве
(t, х, у), вектор (т, 1])—единичная внешняя нормаль к этой поверх-
ности. Матрица D определяется равенством
D = Aa+^-B4-^-C—(Q+Q*).
dt 1 дх 1 ду 4 1 7
Пусть некоторая область ограничена поверхностью, которая разби-
вается на две части. Первая из этих частей представляет собой ограни-
ченный кусок плоскости Z = 0, а вторая — является как бы «шапочкой»,
опирающейся на границу первой и расположенной в полупространстве
Такая «шапочка» изображена на рис. 25.
Мы будем предполагать, что всюду на поверхности «шапочки»
квадратичная форма ([тА + W м) неотрицательна. При каких
Условиях это предположение выполняется, мы сейчас выяснять не будем.
126
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. II
Проведем сечения t = и рассмотрим область О, огра-
ниченную этими сечениями и поверхностью «шапочки». На сечении f=f2
вектор внешней нормали (т, £, т]) имеет координаты (1, 0, 0), а на се-
чении t — tx координаты (—1, 0, 0). Опуская в тождестве интеграла
энергии неотрицательный интеграл по боковой поверхности и заменяя
тройной интеграл'по области G на по-
вторный, получим неравенство
ЭД (Ли, u)dxdy^
ti
ЭД (Au, u)dxdy-\-
+ П JJ [|(O«.«)I+
tt l/ = const
+ 2|(/, u)\]dxdyjdt.
Здесь все интегралы по сечениям ^ = f2,
t = tlt t = const берутся только по пе-
ресечению Q с соответствующей пло-
скостью.
Обозначим через 1(f) интеграл
ЭД (Aw, u)dxdy.
/«const
Воспользуемся неравенствами:
— М (Au, и) =sj (Du, u)^M (Au, u),
ЭД | (Du, it) \dxdy^M ЭД (Au, u) dx dy = Ml(t),
t as const t = const
ЭД 2\(f,u)\dxdy^2 ЭД V(f,f)Y(u, u)dxdy^
/«const /«const
ЭД (f, f)dxdy ~Y~p2 ЭД (Au, u)dxdy^.
r /«const ' /«const
ЭД (Au, u)dxdy = NYl(t).
У /«const
С их помощью получаем, что
^2 ___
I(t^l(tJ+M\l(t)dt+N\ Vl(t)dt.
ti h
Применяем теперь лемму об интегральном неравенстве, доказанную в
конце прошлого параграфа:
— — .
Vl(t)^Vl(p)e2 +Ne-^-.
§ 10]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
127
Постоянная М здесь оценивает коэффициенты системы и их производные,
a N—правые части /.
Из доказанного неравенства вытекает, что если и=0 при f = 0 и
если f(x, 0=0, то /(0 = 0, а следовательно, всюду внутри «шапочки»
и = Это утверждение представляет собой теорему единственности.
Правда, мы пока не обосновали важнейшего условия положительности
поверхностного интеграла по «шапочке» и поэтому не установили, для
каких «шапочек» такая теорема имеет место.
Заметим, что (н, и) const (Ли, и), и, определив норму || и || вектор-
функции u(t) = u(x) у, f) на сечении t~ const равенством
11«(0||=1/Л $$ (u,ti)dxdy,
' /=const
запишем выведенную оценку в следующей форме:
|| а (О й const ||«(0) || 4- const max ||/(01|.
Мы предполагаем здесь, что t меняется на конечном отрезке
м
о в — 1
и благодаря этому оцениваем е£ , —— сверху через некоторые по-
стоянные.
Рис. 26. Рис. 27.
Рассуждения, которые мы проводили, никак не связаны, кроме обо-
значений, с тем, что число пространственных переменных х, у равно
двум. Точно так же могут быть разобраны случаи трех пространственных
переменных х, у, z или одного только х.
Остановимся кратко на последнем случае. При этом надо рассмотреть
рис. 26. «Шапочка» в этом случае представляет собой не поверхность,
а кривую, вместо двойных интегралов по сечениям t — const мы должны
рассматривать однократные. Норма ||я(0|| определяется здесь так:
128
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
Конечно, можно представить себе случай «шапочки», изображенной на
рис. 27. Сечения такой тапочки прямыми t = const могут состоять из
нескольких не связанных между собой отрезков. Без всякого труда можно
получить аккуратные формулировки, пригодные и для таких случаев.
Сейчас я расскажу, как описанный выше прием может быть исполь-
зован для получения оценок не самих решений, а их производных. Рас-
смотрим наряду с исходной системой
. ди , D ди , ^ди . г
dt 1 дх ' ду ' J
еще три равенства, получающиеся из нее дифференцированием по f, х,
у. Эти равенства вместе с исходной системой образуют расширенную
систему, содержащую в четыре раза больше уравнений и неизвестных,
чем исходная:
л ди . о ди , ди , х
Ad^ + Bd^ + Cd^ + ^ + At)ut + Btux + Ctuy+.Qtu=ft,
-£ + В -} В AyUt-±- Byiix-\-(Cy-{-Q) uy + Qyu=fy
Эту систему можно записать с помощью клеточных матриц еще в сле-
дующей форме:
/А 0\ /а 1 А ] £ / «/ 1 A dt\ux \0 А / \UyJ II -|- а а а к а а* а в4 " - н ° !<§> ° с? и + СУ ° о и » О ° eq + cq Ч. V ° + -Ч? ’С' а а в в о 1«8 о о су o' ° + eq «3 Qq о +
Из этой формы видно, что расширенная система тоже будет сим-
метрической. Это позволяет применить к ней рассуждения, разобранные
нами выше. С их помощью могут быть оценены производные от и (х, у, t)
через их начальные значения при £ = 0 и через правые части и их про-
изводные ft) fXi fy. Константы в этих оценках зависят от матриц рас-
ширенной системы. Для их получения надо требовать большей гладкости
от коэффициентов исходной системы и ее правых частей, чем при оценке
самой вектор-функции н(х, у, t).
Начальные значения производных uXi иу могут быть получены диф-
ференцированием начальных данных, а начальные значения производной ut
§ 10] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 129
V
вычисляются через начальные значения и, их, иу с помощью основной
системы уравнений:
Aut =— Вих— Cuy — Qu+f)
ut = /Г1 (/— Вих—Сиу — Qu).
В случае, если надо оценить не только первые, но еще и вторые про-
изводные или даже производные более высокого порядка, то, анало-
гично, дальнейшим дифференцированием расширяют систему так, чтобы
она после этого содержала в качестве искомых функций производные
всех тех порядков, какие мы только хотим оценивать.
Ясно, что чем выше порядок производных, для которых мы хотим
получить оценку, тем большей гладкости нам нужно требовать от коэф-
фициентов исходных уравнений, их правых частей и от начальных данных.
Упражнение. Получите расширенную систему, с помощью которой можно
оценить вторые производные от решений.
В некоторых случаях при проведении оценок бывает удобно рас-
ширять систему за счёт включения в нее уравнений не для всех произ-
водных, а только для части из них. Остальные производные
можно при этом оценивать с помощью самих уравнений. Мы
покажем, как это делается, на примере системы с двумя независимыми
переменными х, t. Расширение системы будет производиться за счет
включения в нее уравнений для производных по t.
Предположим, что изучаемая симметрическая гиперболическая система
с гладкими коэффициентами записана в виде
dt 1 дх 1 J
Матрицу В будем предполагать невырожденной (det || В || Ф 0). В этом
ди г ' .,
случае можно выразить через и, f и коэффициенты системы:
~ = — В-1 А ~—B~lQu + B-'f.
дх dt ‘
Поэтому, если мы сумели оценить и, щ, то с помощью выписанного
равенства легко оценится также их.
Дифференцируя заданную систему по t и дописывая ее к исходной,
получаем следующее расширение:
Л ди , D ди , -
Adt+Bd-X+Qu=f’
Ad£ + Bd£ + Qtu + (At + Q)ut + Btux =ft.
Это расширение в той форме, какая выписана, еще неудобно, так как
среди младших членов стоит подчеркнутый нами член Btux, который
не выражен через искомые функции и, щ расширенной системы. Но,
5 С. К. Годунов
130 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 4 [ГЛ. П
как мы только что отмечали, возможно выразить их через и, щ. Сделав
это, получаем следующую форму расширения:
aJ + ^ + Qu=Z -
a +в +(Q' “ в‘5-1 Q) 11+(Q+At ~ BtB~*А) Ut=ft ~
В матричной форме расширенная система выглядит так:
/А 0\£ (и\,(В ' °\д/м\ I
\0 А/ dt \иJ + \ 0 В) дх \tttj +
' / Q 0 \/и\_/ f \
В случае достаточной гладкости коэффициентов, дальнейшим диф-
ференцированием можно получить уравнения, которым удовлетворяет
вектор м, W/, utf. При этом придется воспользоваться тем, что =
выражается через w, ut) utt с помощью уравнения, полученного в про-
цессе уже описанного расширения. Точно ^ак же получаются уравнения
и для uttb utttt или даже для еще более высоких производных по t
Упражнение. Выпишите матрицы расширения, проведенного по описан-
ной сейчас схеме, в случае, если предполагается оцейивать производные вплоть
до второго порядка.
§11. Условие неотрицательности квадратичной формы,
связанной с интегралом энергии
Конус векторов, связанных с неотрицательно определенными квадратичными
формами интеграла энергии. Его выпуклость. Способ вычисления границы этого
конуса. Неравенство т + #(£, ф>=0 и определение Н (§, т|). Однородность и
вытекающее из нее равенство + — Примеры: гиперболическая система
с двумя независимыми переменными х, t в канонической форме и уравнения тео-
рии упругости. Замечание о случае переменных коэффициентов.
В предыдущем параграфе при исследовании интегралов энергии
мы столкнулись с необходимостью изучать такие поверхности S, на
которых
ЭД([тА + £23 + яС]и, и) ds О'
здесь т, g, т] — компоненты вектора нормали к поверхности S; Л, В,
С — симметрические матрицы, причем А положительно определена. Мы
сейчас фиксируем некоторую точку (х0, £0, yQ) пространства и рассмот-
рим для матриц Л, В, С, описывающих коэффициенты некоторой системы
в этой точке, множество всех тех векторов (т, £, т]), для которых
тЛ + £В-|-т]С неотрицательно определена.
§ nj НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 131
Во-первых, заметим, что вектор т=1, £ = 0, т) = 0 отвечает, по
условию, положительно определенной форме тЛ + Отметим
также, что вместе с каждым вектором (т, £, л)> отвечающим положи-
тельно (неотрицательно) определенной форме, любой вектор т = рт,
g = т] = РЛ при р,>0 также дает положительно (неотрицательно)
определенную матрицу тА 4-4-лС == р, (тА 4-4-лС). Это утвержде-
ние можно сформулировать так:
Векторы, отвечающие положительно (неотрицательно) опреде-
ленным формам, образуют конус.
Покажем, что конус векторов (т, £, л)> отвечающих положительно
определенным формам, является выпуклым. Действительно, пусть
Ti(Aw, w) + ^i(Bw, w)4-T)i(Cw, и)^кг(и, и),
x2(Au, u) + ^(But w)4--t]2(C,w, н)^х2(и, w). >
Любой вектор (т, £, л)> лежащий на отрезке, соединяющем концы век-
торов (Тр £р т]1)> (т2, Лг)> может быть представлен в форме
Т = (1— а)Т!+ат2, £=(1 — a)t + «S2> n=G — «Пъ + аПг
с неотрицательным а, не превышающим L Отсюда ясно, что
т(Ап, и)4-|(£м, w) 4-Л «)^[(1 — а)Х14-ах2](н>
х2] (w, и).
Это неравенство и означает положительную определенность.
Итак, мы видим, что вместе с каждыми двумя векторами, отвечаю-
щими положительно определенным формам, все векторы, являющиеся
их линейными комбинациями с положительными коэффициентами, тоже
отвечают таким формам. Таким образом, конус векторов (т, л) с поло-
жительно определенными формами является выпуклым и содержит век-
тор (1,0, 0), перпендикулярный плоскостям t — const. Этот конус не
совпадает со всем пространством, так как вектору (—1, 0, 0) отвечает
отрицательно определенная форма.
Рассмотрим векторы, лежащие на границе конуса положительно
определенных форм. В силу непрерывности квадратичной формы
т (Aw, w) 4- 5 (Ви, и) 4- Л (Си, и) относительно вектора (т, £, л) эта форма
на границе конуса будет неотрицательно определенной:
т(Ап, u)-\-^(But и)4-л(Сп, w)^0.
С другой стороны, для вектора (т0, |0, Ло)> лежащего на границе
конуса, эта.форма не может быть положительно определенной, так как
в противном случае выполнялось бы неравенство
т0(Ая, и) + ^(Ви, ц)4-Ло(Си, п)>х>0,
если ' ; - ..
(и, И)=1,
которое в силу непрерывности квадратичной формы было бы справед-
ливо и для всех векторов (т,л)> близких к (т0, £0, Ло)- Это противо-
речит тому, что (т0, £0>
5*
132
С
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. II
Из алгебры известно, что квадратичная форма симметрической мат-
рицы т(Ли, n) + £(Z?w, + и) будет положительно определенной
тогда и только тогда» когда все ее собственные значения положительны,
и эта форма будет неотрицательно определенной тогда и только тогда,
когда все ее собственные значения неотрицательны. Поэтому неотрица-
тельность квадратичной формы, не являющейся положительно определен-
ной, влечет за собой равенство нулю одного из характеристических
корней ее матрицы. Отсюда ясно, что для векторов (т, Л)> лежащих
на границе конуса положительно определенных форм,
det||TX + ^ + T]C|| = 0.
Конус векторов, которые удовлетворяют последнему равенству,
называется, как мы знаем (§ 6), конусом характеристических норма-
лей. Он делит все пространство на несколько частей. Рассмотрим ту
часть, которая содержит вектор (1, 0, 0). Мы показали, что эта часть
пространства совпадает с теми векторами (т, £, т]), для которых форма
положительно определена. Она является выпуклой.
Рассмотрим некоторую полуплоскость, проходящую через ось т и
через некоторый фиксированный вектор (0, |, т]). Из* наших рассужде-
ний вытекает следующее правило выделения на этой полуплоскости
выпуклого «конуса» — угла,
с положительными формами.
содержащего векторы (т, g, f]), связанные
Надо рассмотреть все лучи, являющиеся
решениями уравнения det|| тА 4- + т]С [|=
= 0, и среди углов, на которые эти лучи
делят полуплоскость, выбрать тот, кото-
рый содержит вектор (1, 0, 0). Вращая
затем полуплоскость вокруг оси т, мож-
но объединением выделенных углов полу-
чить весь конус, отвечающий неотрица-
тельно определенным формам. В произ-
вольно выбранной полуплоскости множе-
ство векторов, отвечающих неотрицательно
определенным формам, заполняет угол меж-
ду верхней полуосью т и некоторой пря-
мой, уравнение которой можно записать так:
T+h/F+V=0
(рис. 28). Внутренность этого угла определяется неравещпфом
1 t_____ .о а эвруг.э Мс
Ясно, что на каждой такой полуп-рос^ст^ угловой коэффициент h будет,
как правило, свой. Поэтому мы'должны считать, что
4оф попрптбддсая гиэоннкщэдпэн уг.пэ а эопотоя
ил* ч)3 _2L,([f Ддотиэя хээн ккд п оапп.
<оЗ фт) oip <Х^от тпрэд
§ И]
НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 133
Для этого множества векторов, связанных с неотрицательной определен-
ностью формы + + наше неравенство запишется так:
T + /^8 + T]2/tf-z-J =., -7-Д—
k/FF? П2+п2>
Обычно для выражения ]/^2 + т]2Л(£/]/Г|24-'П2> f]/^2 + Л2) используют
обозначение Н(& т]). Ясно, что при а>0 справедливо равенство
ат]) = аЛ7(£, т]),
которое означает, что функция Н является однородной функцией первой
степени однородности. Если Н—дифференцируемая функция, то по тео-
реме Эйлера для однородных функций
Конус векторов (т, т|), отвечающих неотрицательным формам,
задается неравенством
т + tfg, т])^0.
Функция Н(& т]) еще может быть найдена так. Надо при каждой фик-
сированной паре (£, т]) найти наибольший корень т* уравнения
det || тА || = 0 и положить т]) = — т*.
Сейчас я проиллюстрирую описанную конструкцию двумя примерами.
Первый пример я рассмотрю в случае всего двух переменных х, t,
чтобы подчеркнуть независимость наших выводов от числа простран-
ственных . переменных. Ясно, что в этом случае И=Н (£), но при этом
может быть, что //(•—£)=/= —7/(£).
Рассмотрим гиперболическую систему в канонической форме:
dw . гу ди । г
чт +К ^- + Q«=Z
dt 1 дх ’ J
Здесь А — Е (единичная матрица), В =
p + 0 \
det|]TAH-gi3[|=det||T^4-gK|]=det | т + Й2г .. =
\ 0 т + ^/
=(т+^)(т + ^)...(т+^).
Уравнение det [I Ц-5-^|| === 0 определяет конус характеристических нор-
малей: п прямых т + ^1^0, которые делят плоскость (т, %) на некого
Рое число углов. Угол, содержащий вектор т=1, £ = 0, ограничен
лучами прямых —0, отвечающих наибольшему и наименьшему
134
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. П
коэффициентам kp (рис. 29). Функция H(g) определяется здесь так:
/7(g) = max(— Iki).
В качестве второго примера рассмотрим двумерные уравнения теории
упругости
л ди дои . до12
dv _ da2l , дс22 (G12 ~ °21)
Ро dt ~ дх ду ’
5<hifiz , 4 ,Л<Э«_ц/> 2\<Эо
^22 _/>Z 4„ *
if=_ у фх++т ф >
^12 —Н
dt ~~^\дх^дуГ
В этой системе уравнений р0 — плотность среды, w, v — компоненты век-
тора скорости перемещения, — компоненты тензора напряжений.
Рис. 29.
Постоянные положительные ко-
эффициенты К и jui называются
соответственно модулем все-
стороннего сжатия и моду-
лем сдвига. Вывод уравнений
теории упругости имеется в
курсе механики сплошных сред.
Выписанная система не
имеет симметрической формы
и поэтому неудобна для на-
ших целей. Поделим последнее
уравнение на |л, а вместо тре-
тьего и четвертого возьмем
некоторые их линейные ком-
бинации.
После этих преобразований уравнения упругих волн запишутся
в следующей окончательной форме:
ди _ ЙТц _ аСТ12 _ п
Ро dt дх ду
dv да 21 до22 л
РоаГ дх ду ’
3Г ЗК+4И „ I
о’|_4И(ЗК + 1*) 11 Ш+.«) 221 «Э“_л
dt дх ’
г ЗК-2И „ , ЗК + 4н „ 1
Ч___4н(ЗК + ц) 11+4|л(ЗК + ц) 82 J _dv п
dt dy 9
1 da12 dv du ~
7? ~dt dx dy
$ Uj НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 135
Эга система уже является симметрической системой вида
А ди | р ди । ди л
Adi-+Bte+C^=Q-
В этом легко убедиться, если , обозначив и2=т», ич = о-,„
и4 = о 22’ W5 ° 12, выписать матрицы А, В, С:
/ро 0 0 0 0\
о Ро 0 0 о|
0 0 _ ffi+4P _ 3*-2р 1
А — 4(л (3/С + р.) 4р(ЗАГ+р) 0|
о о з/L -2р 3* + 4Р л
4ц(ЗК+р) 4р(ЗК + р) /
(0 0 0 0 ~ и/
1 ° 0—10 0) / 0 0 0 0 —1\
0 0 0 0 —1 /о 00—1 0]
fi = — 1 । 0 0 0 0 , с= 0 0 0 0 0 .
0 1 0,00 0 0—10 0 о/
\ 0 1 0 0 0/ \— 1 0 0 0 о/
Уравнение det||x4 4-|В 4-щСЦ =0 для этой системы имеет вид
Фо 0 -1 0 — П
0 Фо 0 — П
— Е 0 т_зк±1н_ т ЗК-2И л
В 4р(3/< + р,) 4р(ЗЛ + р) и
о Т» - 3^~2ц ~ ЗК+4р л *
ч т 4ц (З/С+р) 4ц (ЗК + р) и
— п -6 0 0 . т
Замечая, что
, 3/С+4ц , 3/С—2р. _1Т
4ц(ЗК + ц) 'Т'т 4ц(3/С + ц) ~27’
и вводя обозначения
(О = рот,
3tf+4p
4р. (3 АГ-|-р) ’
ЗК — 2ц
4МЗ/С+Н) ’
а = т
Ь — Г
136
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
мы перепишем это уравнение менее громоздко:
(0 0 -В 0 — П
0 со 0 — Т] м
0 а — ь 0 = 0,
0 — п — Ь а 0
—п 0 0 2(а + &)
'а затем раскроем определитель:
[а(£2 + Л2)-<о(л2~Ь2)] [£2 + п2-2со(а + ад = 0. (1)
Выражение для определителя может быть получено прямым (довольно
громоздким) вычислением. Значительного упрощения выкладки можно
добиться, заметив, что система уравнений инвариантна относительно вра-
щения и поэтому естественно ожидать, что определитель зависит от
переменных £ и f] простым образом: он зависит лишь от £2 + т]2. Пола-
гая в определителе т] —0 и разлагая, его по второй и четвертой стро-'
кам, получаем равенство
(О
о
— ь
а
-ч
о
[_^ + 2®(a + Z>)]
а
— Ь
== [— 2® (а + />)] [со (а2 - Z>2) - а? ] = 0.
Заменяя теперь |2 на s2 + r)2> приходим к равенству (1).
Теперь можно вернуться к первоначальным обозначениям и написать
det || тЛ + £5 + т]С || =
о2 Г К + 3 М
Р>1 т т2-----------------—
. I .A L Ро
= 0.
Это уравнение определяет плоскость т=0 и два конуса
к+4 и
Т2---_A_(g2 + n2) = 0>
Ро
т2-+.(52+п2)=о.
Ро
Эти конусы и плоскость т = 0 изображены на рис. 30. Внутренней
полой конуса, содержащей вектор т=1, £==0, т] = 0, будет верхняя
пола конуса
к+4 и
т2—а2+п2)=о.
Ро
§ 12]
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
137
Это значит, что матрицы тА + ^В4-т]С будут неотрицательно опреде-
лены, если
/<+4 и ________
т-У —W+^0.
Ро
Функцию Н (£, 1]) здесь надо определить равенством
1/г____
н&п)=-У р< 1Л2+п2.
Рис. 30.
Мне кажется, что эти примеры достаточно проиллюстрировали
структуру и способ определения множества векторов, отвечающих неот-
рицательно определенным матрицам
тА + ^ + пС.
В заключение сделаем еще одно за-
мечание. До сих пор мы изучали форму
т(А«, и) + %(Ви, и)+х\(Си, и) в неко-
торой фиксированной точке (х0, yQ, Q.
Если матрицы коэффициентов А, В,
С—переменные, т. е. зависят от точ-
ки (х, у, t), то и конус векторов
(т, %, т]), связанных с неотрицательно
определенными формами, будет в каж-
дой точке свой. Поэтому мы должны
писать его уравнение в виде
т + Н (g, г), х, у, t) 0,
Функция И и здесь — однородная первой степени по переменным %,
rj и, следовательно, если она дифференцируема, + = Этим
равенством мы воспользуемся в дальнейшем.
§ 12. Уравнение Гамильтона — Якоби
Неравенство и уравнение Гамильтона —Якоби. Схематическое описание
приема интегрирования этого уравнения. Бихарактеристики и канонические урав-
нения Гамильтона для их построения. Конус характеристических нормалей для
уравнений акустики и уравнения Гамильтона — Якоби для этой системы. Описа-
ние областей единственности для нее. Конус характеристик и конус характери-
стических нормалей. Пример: уравнения акустики.
В этом параграфе мы подведем итог в рассмотрении вопроса об
области единственности для решений симметрических гиперболических
систем.
Пусть некоторая область ограничена снизу плоскостью Z = 0, а сверху
«шапочкой» ф (х, у, t) = 0 (grad ф 0). Предположим, что внутри
области ф < 0, а вне $е ф >* 0. Итак, мы рассматриваем область,
138
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
высеченную неравенствами ф <; 0, t > 0. Эта область предполагается огра-
ниченной. Внешняя нормаль к «шапочке» ф = 0 направлена вдоль век-
тора—градиента (ф,, фх, фу). Если (т, т]) — единичный вектор внешней
нормали, то
&т=ф/, ^ = фл:, Лг| —ф>5 &>0.
Если мы хотим, чтобы форма т (Аи, и) -|- % (Ви, и) 4- Л (Си, и) была
неотрицательно определенной, нам надо, как мы уже знаем, потребовать,
чтобы
т + /7(£, т], х, у, 0^0.
Умножим левую часть неравенства на положительное k и воспользуемся
однородностью (первой степени) функции Н:
(£& kx, х, у, t) 0.
Иными словами, уравнение поверхности ф (х, у, t) 0 должно зада-
ваться функцией ф, удовлетворяющей неравенству
ф/ + Н (фх, ф^, х, у, t) 0.
Это неравенство называется неравенством Гамильтона — Якоби. Среди
всех поверхностей, удовлетворяющих этому неравенству, особую роль
играют поверхности, для которых функция ф удовлетворяет равенству
ф, + И (фх, фд,, х, у> t) = 0. Это равенство называется уравнением Гамиль-
тона—Якоби, Заметим еще раз, что если взять по поверхности ф =
= const, связанной этим уравнением, интеграл
^[М + |В + лС)«, U] ds,
то этот интеграл будет неотрицательным.
Отметим еще тот факт, что при получении оценок для производных
мы расширяли изучаемую систему до системы, матрицы коэффициентов
при производных у которой принимали клеточный вид
Очевидно, что условия неотрицательной определенности расширенной
матрицы
совпадают с условиями неотрицательной определенности матрицы
гД + |5 + т]С.
§ 121
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
139
В свое время мы определили понятие характеристики как такой
поверхности, для которой вектор нормали (т, т]) удовлетворяет урав-
нению det || + + || = 0. Равенство т-|-/У = 0 дает только часть
решений этого уравнения. Равенство det || тА + || = 0 определяет
некоторый конус — конус характеристических нормалей. Уравнение
Гамильтона—Якоби выделяет из этого конуса только одну полу,
а именно полу, охватывающую положительную полуось т.
Способы интегрирования уравнения Гамильтона — Якоби изучаются
в курсе теоретической механики. Сейчас я очень коротко остановлюсь
на процедуре получения решения (существование и гладкость которого,
равно как и гладкость функции Н, предполагаются), чтобы использо-
вать эту процедуру при разборе важного примера.
Наряду с уравнением Ф/ + Н(фх, фр х, у, 0 = 0 рассмотрим равен-
ства, получающиеся из него дифференцированием по х и по у:
d<f>x , dt 1 ^х dx +н ' Пуу dx 4-^х=0,
dt 1 н Vx dy + Н + <fy dy 4-^=0/
дфх Заметив теперь, что _ ^у dx ’ перепишем их так:
dt 1 „ д*х ^х дх к н д<рх ’’у dy +//х=0,
_^у , dt 1 Нух dx Л.И дЧу ' чу dy +/^=0.
Само исходное уравнение
^г + Щф*> фу> х, у, 0=0,
воспользовавшись тождеством /7(фх, ф^,, х, у, 0=ф^//^ + ф^/4 (одно-
родность Н по фх, фд, первой степени), можно переписать так:
+ ар+# _^=0.
dt * ч>х дх 1 ду
Систему
%+н, ъ + 5₽=о,
dt 1 vx дх 1 ду
^.-1-/7 ^£-4-^=0,
dt ’ дх ' dy ’ х
dt 1 ч>х дх ’ ^у dy ’ у
нетрудно проинтегрировать методом характеристик, который изучается
в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений.
140
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. И
Обозначим qx = x, Я2=У> 4>x—Pi> Фу—Ръ и перепишем систему
еще раз:
у+Н„ (л, р„ I) +н„, (р„ р„ ч„ о - о,
дРя । t_r dp2 । гт dp2 । гт
~д^ + Ир*
Рассмотрим характеристики этой системы
^71 тт ^72 гт
dt dt —пР>-
Вдоль этих характеристик
dpi__дрх । тт dpi । тт dpi_ тт dp%_____ тт
dt ~ dt dqx Pz dq2 ~ dt ~
Кроме того, опять же вдоль характеристик
^=5+//р1Д+/Ург^=о.
dt dt Pi dqx p* dq2
Итак, если мы знаем, что в некоторой окрестности плоскости f —О
точнее, в некоторой окрестности определенной области ^на этой пло-
скости) существует решение ф(х, у, t) уравнения Гамильтона — Якоби
аф.гу/Эф дф А 0
dt 'П \дх ’ ду’ Х’ У’ 1) и’
принимающее при ^ = 0 начальные значения ф(х, у, 0) = ф0 (х, у), то мы
можем построить это решение так.
Через каждую точку (х, у) нашей области на плоскости t = 0 про-
ведем характеристику, определяемую начальными данными
4io — х 1/-о» Ч2о~У l/-o>
„ _дфо „ дфо
^20 ~ ду
и Уравнениями
— н dt ~ nqi’ dt ~HPi
(канонические уравнения Гамильтона). Траектории этих уравнений
x=g'i = ?i(^, ?10, g20); y=^q2 = q2(t, qw, qi0)
заполняют некоторую окрестность нашей области, заданной при t — Q.
Вдоль каждой из этих траекторий ф = ф(<7ю> <7го) = Фо (<7ю> 9го) не за'
висит от t. Из уравнений x = q1(t, q10, q20), y = q2(t, <7го) по задан-
ным xf у, t могут быть определены <?10, а следовательно^ и зна-
чения ф.
§ 121
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
141
Провести по описанной схеме доказательство существования реше-
ния не слишком сложно, но громоздко и кропотливо. Аккуратно такое
доказательство, даже для более общего случая, проведено в книге
И. Г. Петровского «Лекции по теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений». Мы ограничимся только приведенной схемой и перей-
дем к рассмотрению примеров.
Отметим только, что характеристики уравнения q)t = H(tpx> ф>> У> =
= 0, в свою очередь описывающего характеристическую поверхность
некоторой системы, называются бихарактеристиками.
Выпишем уравнение Гамильтона—Якоби для симметрической системы,
описывающей распространение звуковых волн в движущейся среде,
ди . ТТди . др л
Ро +Ро^-5-+ —О,
го in дх ' дх ’
dv . TTdv . др п
Ро^ + Ро^^ + ^ = О,.
1 др . £7 др । du । cto_п
• Мд^рос^ + дх + др-и*
Здесь u+U,-v— компоненты скорости (w<^t7, р — возмущение
давления. Если положить t'= t, х' — х—Ut, у'=y (т. e. перейти к
движущимся co скоростью U координатам), эта система перейдет в уже
известную нам систему уравнений акустики:
ди । др А
Ро дД + = О,
z dt' 1 дх' ’
dv । др п
Ро 377 “F 5”7 ==
дг 1 dy' *
1 др f du . dv__п
д? ‘ дх7 * др7 ”
Уравнение det||TA+ —0 для уравнений звука в движущейся
среде имеет вид
Ро(т + £7|) 0 g
О Po(t+U|) П = о.
£ tl А(т+^)
Росо
Раскрывая определитель, получаем равенство
(Т + ui) [(т+ ^)2-сЖ + п2)] = 0-
Конус характеристических нормалей для этой системы распадается на
плоскость
т+ C7g = O
и конус второго порядка
(т+^)2-^а2+п2)=о.
142 .
Гиперболические уравнения
(гл. и
Таким образом, конус характеристических нормалей разбивает все
пространство т, Л на четыре части:
I. t+^>qFB2+ti2,
п. coyF+n5>T+t/B>o,
III. 0>r+U^>-c0V^+rl2,
IV. -c0V^+^>T+Ul.
Вектор т=1, | = 0, т] = 0, очевидно, принадлежит области I: {т+(7£;>
> со 1А2 Ъ Л2}- Именно в этой области лежат векторы (т, £, т]), отве-
чающие положительно определенным энергетическим формам.
Если | U | < г0, то для векторов этой области
х>сйУ1*+х?-и^сй-\и 1)111^0.
Вся эта область при этом лежит в полупространстве £>0. Если-же
то область т > с0 ]/£2 + г)2 — уже пересекается с полупро-
странством т<0. Ее расположение в этом случае изображено на рис. 31
(t/>0).
Уравнение Гамильтона—Якоби, отвечающее нашей системе, имеет вид
<Pt + — Со Кфж + <Ру = 0,
(#& л) = ^-СоК12 +п2)-
В покоящемся газе (t/=0) оно упрощается
ф< + н (флг, ф>) = ф< — Со Уч>х + ф| = 0.
Построим сначала характеристики для* этого простейшего случая
(//(£, т|) = — е0 ]/ + т12)- Пусть неравенство ф0 (х, у) < 0 определяет
на плоскости х, у некоторую область, изображенную на рис. 32. Кри-
вая ф0(х, j/) = 0 является ее границей. Постараемся построить функцию
143
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
» 121
у, 0 такую, чтобы <р(х, у, 0) = <р0 (х, _у) и чтобы она удовлет-
воряла уравнению Гамильтона--Якоби
ф< — Со "Кф* + ф> = 0.
Мы будем сейчас интересоваться лишь тем, как с течением времени
меняется граница области <р < 0, т. е. как движется линия ф(х, у, t) =
= 0 при изменении t. Возьмем какую-либо точку (х0, у0) на линии
фо=О и определим в ней
Ч20~Уй> Ло = ф0 > /,20 = ф0 •
X у
Очевидно, что вектор (/>10, р2о) направлен по внешней нормали 'к кри-
вой фо = О. Выпишем уравнения бихарактеристики, проходящей через
точку (Хо> Jo) (^=— CoVpl+Pi)’
dx — ^l—H ——г Pl
dy dq% г P2
dt-dt-”?- VpI+pT
^=-и„_о,
5 = -И„-0.
Из этих уравнений видно, что вдоль бихарактеристики pv р2 будут
постоянны, а следовательно, будет постоянен и вектор скорости движе-
ния вдоль бихарактеристики. Этот вектор направлен по той
же прямой, что и (рь р2), но в обратную сторону, а его модуль равен
Итак, двигаясь по бихарактеристике, мы будем смещаться внутрь
области ф0<0 п0 нормали к ее границе с постоянной скоростью с0.
Напомним, что вдоль бихарак-
теристик
Рис. 33.
Ф у, f) = const = 0.
На рис. 33 изображено, куда
сместится граница ф(х, у, t) =
= 0 за небольшое время t.
Вспомним теперь теорему
единственности, которую мы
изучали. По этой теореме
начальные данные, известные
нам при t — О в области
Ф(х, у, t)<Z 0, однозначно определяют решение для в области
Ф (х, yf t) < 0: Почему с ростом t на нашем рисунке эта область умень-
шает свои размеры? Вспоминая, что скорость движения границы
этой области носит название «скорость звука», мы можем дать этому
факту следующее нестрогое, но по существу правильное, наглядное
144 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ц
истолкование. То, что* мы знаем начальные данные внутри области/
ф(х, у, 0) < 0, еще не значит, что они не существуют при ф(х, у,
Просто они нам там неизвестны. Влияние этих начальных данчых распро-
страняется со скоростью звука г0. В каждый момент времени t линия :
ф(х, у, f) = 0 разделяет области, до которой дошло и до которой не,
дошло влияние неизвестных нам начальных данных. Поэтому ничего
удивительного в том, что граница ф (х, у, f) = 0 движется внутрь обла-. *
сти ср < 0 со скоростью с0, нет. Более того, пользуясь этим наглядным
истолкованием, нетрудно понять, как меняется с течением времени t
область единственности и в случаях, когда граница начальной области
фо (х> У)=0 имеет изломы.
Уравнение Гамильтона — Якоби
<Pt — CoV ф1 + ф| = 0 <
имеет, например, следующие решения, являющиеся линейными функ- ;
циями х, у, t\
ф —+ + т (a2 + p2=l).
В частности, такими решениями будут
Фх= Ф1 (х> У’ 0 — cot—х—
ф2 = ф2 (х, у, t)=cj + х,
Фз=Фз(х, у, t)-=cot+y,
ф4 = ф4 (х, у, 0 = c^t — у — 1.
Кусочно гладкая функция
<$(х,у, 0=min (фр ф2, ф3, <р4) =
= min[cof—х—3, cot + x, C(jt-\-y, c^t—у—1]
в каждой области гладкости будет решением уравнения
‘ Ф/ = СоКф1 + ф}-
Поэтому, если в этих областях гладкости направить единичный вектор
(т, г|) по внешней нормали к границе области ф<0, мы будем
иметь, что
ЭД [т (Аи, и) + 5 (Ви, и) + т) (Cw, и)] ds 0.
<р — о
(Этот интеграл можно разбить на сумму интегралов по областям глад-
кости поверхности ф = 0.)
Область ф < 0, t > 0 является областью единственности для урав-
нений акустики. Рассмотрим ее внимательнее. Неравенство ф (х, у, 0) < 0
выделяет на плоскости f = 0 прямоугольник —3<х<0, —
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 145
§ 121
аженный на рис. 34. При увеличении t граница ф = 0 будет переме-
изоор первоначального прямоугольника. Нормальная скорость
шиться bhj; пякня На пи_
0^
Sro перемещения равна с0. На ри-
rvHKe видно, как с течением времени
область <р<0 уменьшается. При
t _ ^горизонтальные границы схлоп- —
нутсТ°и, начиная с этого времени, об-
ласть ф < О перестанет существовать.
Если изобразить эту область в
пространстве х, у, t, то она выгля-
дит как насыпь (рис. 35^. Началь-
ные данные, заданные на основании
этой насыпи, определяют единствен-
ное решение всюду внутри нее. Боковые
область единственности, являются характеристиками уравнений акустики.
Не-все характеристики годятся для ограничения области единсгвенно-
-3
Рис. 34.
-1
грани насыпи, ограничивающие
сти — надо, чтобы нормали к
ним принадлежали к границе
конуса положительно опреде-
ленных форм. Уравнение Га-
мильтона — Якоби выделяет
именно такие характеристики.
Вот еще • важный пример
области единственности для той
же системы. Пусть теперь об-
ласть задания начальных данных представляет собой круг ]Zx2 4-у2 R.
Рассмотрим функцию /
ф (х, у, t)=]/х*+у2 + eot—R.
Эта функция удовлетворяет уравнению
ф< —СоТ фх + ф| = °
и начальным данным
ф(х, у, 0) =Ух2+у2 — R
(ф (х, у, 0) < 0 внутри круга). Поэтому поверхность
Vx*+y* + cQt—R=0
представляет собой границу области единственности (рис. 36). Эта гра-
ница является конической поверхностью с вершиной в точке х = 0,
-У==0, t = ~. Для эта поверхность ]/х2 +,У2 + cQt — /? = 0 пере-
г Cq
^тает существовать. На границе существования она имеет особую точку —
ВеРШину конуса.
Ясно, что геометрически картина не изменится, если центр круга бу-
Дет расположен не в начале координат, а в произвольной точке (х0, yQ).
146
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. II
Это позволяет нам сказать, что решение при некотором t — tQ в
точке (x0,j/0) зависит лишь от начальных данных при t = 0 в области G,
если характеристический конус (х — х0)2+СУ — У о)2 — — ^о)2 = 0 ^точнее,
его пола при опирается при t = 0 на круг, целиком лежащий в
области О (рис. 37).
Рис. 37.
Полная область единственности будет объединением таких (характе-
ристических) конусов, опирающихся своим основанием на область G.
Задача. Опишите структуру области единственности для случая, когда на-
чальные данные для той же системы заданы в области, изображенной на рис. 38.
В скобках около вершин многоугольника поставлены координаты (х, у) этих вершин..
В свое время, давая определе-
ние характеристической поверхно-
сти, мы ее определили как поверх-,
ность, вектор (т, л) нормали к ко-
торой лежит на конусе характери-
стических нормалей
detll.TX + ^ + ijCl^O.
Пусть вектор (т, £, т]) пробегает)
такой конус. Сопоставим каждому
такому вектору перпендикулярную!
к нему плоскость d
т (f —10) + g (х — х0) + п (У —У о) =
Когда (т, £, г|) пробегает конус характеристических нормалей, эти плоЧ
скости огибают некоторый другой конус. Ясно, что если поверхность
имеет нормаль, лежащую на конусе характеристических нормалей, т$
она сама касается одной из плоскостей I
т (t — 10) + g (х—х0) +- П (у — у0) = О
j 12j УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 147
й огибаемого ими конуса. Этот последний носит название конуса ха-
рактеристик.
Проиллюстрируем понятие конуса характеристик на примере урав-
нений звука в движущемся газе. Конус характеристических нормалей
для этих уравнений задается, как мы видели, равенством
(т + Щ) [(т + - cl + If)]=0.
Плоскости т(£— ^о) + £(*—*о) + 'ПСУ—Jo) —ортогональные векторам
(т, т]), связанным равенством т+£/£ = (), проходят через прямую х—
-UI — Xq—Utfr у—у^ что видно из тождества
x(t—Q + х0) + П (у —_у0) = — U% +
+ П (У —У о) = И* — Ut —(х0 — Wo)] + Г] (у —уй)=0.
Эта прямая и является «конусом», который получается как огибающая
плоскостей, нормаль к которым лежит на плоскости т4-[У£=.О.
Если (т, il) пробегают конус (т+^)2— (£2 + Л2) = то нор-
мальные к ним плоскости огибают конус
Ф(х, у, 0 = ^о)2 — [(-V——(ат0— №)]а—(j—Jo)3==O.
В этом легко убедиться, проверив прямым вычислением, что ср (х, у, t)
удовлетворяет уравнению
,(ф<+ад-^(ф^+ф|)=о.
Итак, для уравнений распространения звука конус характеристиче-
ских нормалей состоит из плоскости
т+[/£=0
и из конуса
(T+^)2-qg2 + n2) = 0>
тогда как конус характеристик распадается на прямую х— Ut — x^ — Ut^
•V=Jo и на конус ?
Cl (t - tof - [(X - Ut) - (х0 - Ut0)]* - (J - J0)2 = 0.
Расположение конуса характеристик с вершиной в начале координат
*о=0, д/0 = О, /о = О изображено на рис. 39 в дозвуковом (| U | < £0),
а на рис. 40 —в сверхзвуковом (|{7|>£0) случаях. Конус хйрактери-
СТик для рассматриваемых уравнений (точнее, одна из его пол) всегда
Расположен в верхнем полупространстве и содержит ось t только в до-
3вУковом случае. (Сравните рисунки конуса характеристик с рисунком
к°нуса характеристических нормалей, который рассматривался в начале
Этого параграфа: рис. 31, сверхзвуковой случай.)
й В заключение приведем область единственности для уравнений звука
Движущемся газе, если начальные данные заданы при ф (х, у) =
т. е. внутри круга радиуса R с центром в начале
<4?
148 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
координат. Решение уравнения Гамильтона—Якоби
Ф/+ Со’Ифх + ’Й —О
с начальным условием
ф(х, у, 0) = ]/х2+_у2 —R
дается формулой
<р(х, у, t)=]/r(x—Ut)2+y2-]-c0t—R.
Поверхность
V(x—Ut)2+y2 + cot—R—О,
ограничивающая нужную нам область единственности,
• >
представлю
собой одну полу характеристического конуса с вершиной в точке
= х^=1Л^ = -—, ^о = О«
ЬО Ч)
Расположение области единственности в пространстве х, у, t изобр*
ж ено на рисунках 41 (дозвуковой случай) и 42 (сверхзвуковой случай
ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
149
$ 13]
§ 13. Постановка смешанной задачи
для гиперболической системы
Обсуждение (на примере) постановки граничных условий для гиперболиче-
• системы. Число условий, которое надо задавать на той или иной границе
СК°Иоднозначной'разрешимости задачи. Условия согласования начальных данных
дЛЯпаничных условий (на примере). Диссипативные граничные условия. Возмож-
П ть такого приведения гиперболической системы к каноническому виду, чтобы
граничные условия стали диссипативными.
В ближайших параграфах мы будем изучать способы получения оце-
нок решений и-. теорему единственности для гиперболических систем
в случае, когда решаемая задача не является задачей Коши. Мы пока-
иногда задавать еще и не-
ди , ди__п
при х>0 мы можем зада-
на некотором отрезке оси t
5. Гладкие началь-
§
жем, что кроме начальных данных разумно
которые граничные условия.
Например, решая уравнение
вать значения и не только при f=0, но и
(х=0). При этом решение u~f(x — t) определится во всех точках '
плоскости х, t, через которые проходят характеристики, пересекающиеся
с областью задания начальных данных и граничных условий. Если реше-
ние имеет смысл разыскивать только при х>0, £>0, то его область
определения будет иметь вид, изображенный на рис. 43. С этим приме-
ром мы встречались в ~ ~
ные данные
и(х, 0) = ф(х),
w(0, 0 = ф(^),
должны, конечно, удовлетворять условию
согласования ср (0) = ф (0), чтобы решение
п(х, /) было непрерывным на характерис-
тике х—t — О, Так как, в силу уравнения,
ди ди
—gj, то для непрерывности производных в точке (0, 0) надо
потребовать равенство ф'(0) =— ф'(0).
Если мы знаем, что zz(x, t) два раза непрерывно дифференцируема,
то ф(х), ф(0 удовлетворяют еще равенству ф" (0)—ф" (0)==0. В самом
^ле, для решений выполнены равенства:
д_ /ди . ди\ _^2и . д2и
dt \dt “г дх) dt2' дх dt ~ U>
д /ди . ди\ д2и . д2и п
дх \д/ ‘ дх) дх dt ‘ дх2
Разность левых частей этих равенств \
д2и__д2и__
150 . Гиперболические уравнения
Это равенство, рассмотренное в точке х = 0, Z = 0, как раз и превра
щается в сформулированное условие ф" (0)—ф"(0) = 0. ,
Задача. Выведите условия согласования в точке х — 0, t — О производив
третьего и четвертого порядков от начальных и граничных данных. Напомни*
что изучаются такие решения уравнения — для которых и (х, ОУ*,
= Ф(х), u(0t 0 = W.
Чем большую гладкость решения мы хотим получить, тем болв(
жесткие условия согласования на начальные данные и граничные усл^
вия мы должны накладывать. С условиями согласования нам придет^
иметь дело при доказательстве теоремы существования. При изучен^
теоремы единственности мы о них говорить, как правило, не будем,
Нам достаточно предполагать, что та или иная задача имеет достаточна
гладкое решение, а за счет какого согласования такая гладкость полу?
чается, нам пока не важно. §
Чтобы понять, какие граничные условия надо ставить для тех или
иных гиперболических систем, рассмотрим следующий пример.
Пусть в области O^x^L, t^O мы изучаем решения системы
df dx ’
^-|-2°“2= 0,
dt 1 дх j:
i
du3 _ _ п J
dt dx ’
— П
dt
Эта система имеет два семейства характеристик с положительные
наклоном:
(dx____. [ dx n
dt~-1’ J dt~~ ’
tZzz1==O, I rfw2 = 0,
одно семейство с отрицательным наклоном ' .z
r dx_____.
4 dt~ ’
rfw3 = 0
и одно — вертикальное
[ J=o,
j dt
| <ftz4 = 0.
Для определения функции и4 достаточно ограничиться начальны^
ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
151
$ 131
данными
и4(х, 0) = ф4(х),
постоянна вдоль вертикальных характеристик. Эти характе-
Значения надо задавать при t—Q
ристики изображены на рис. 44.
на отрезке [0, 1] и на оси t при f>0. Из рис. 45, на котором изо-
бражены характеристики ^=1 (вдоль них wx постоянна), ясно, что на-
чальные данные
И1(х, 0) = <рх (х),
0 х L,
МО, 9=%(0>
определяют решение всюду в рассматрива-
емой области.
Аналогично, для определения и2(х, t) до-
статочно задать
н2(х, 0) = ф2(х), п2(0, 0 = ^(0-
Функция t) определяется по ее значениям Рис/ ^6.
на основании (f = 0, O^x^L) и на правой
границе (x==L, ^^0) области. Это очевидно из чертежа (рис. 46), на
котором изображены линии постоянства (характеристики ~ =— 1^.
Слагаем и8 (х, 0) = <р3 (х) (0 < х < L), иа (L, 0 =(0 (t 0).
Итак, мы видим, что решение системы в выбранной области полно-
чью определяется следующими начальными и граничными условиями.
Начальные условия
«1(х, 0) = ф1(х),
и8(х, 0) = ф8(х),
и2(х, 0) = ф2(х),
гг4(х, 0)=ф4(х)
при t=0,
152
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
Граничные условия на левой границе
«1(0, 0=^(0,
«2(0, 0 = ^(0
Граничные условия на правой границе ।
w3(L, 0 = ф3(Т) при x — L,t^0. |
На разных границах нам пришлось задавать разное число условий!
На левой границе надо задавать столько условий, сколько у нашейм
тт *
системы характеристик с положительным наклоном . По мере увели*
чения t эти характеристики удаляются от левой границы, унося с нее]
значения соответствующих римановых инвариантов. Мы будем говорить^]
что для левой границы характеристики с положительным наклоной]
g>0 «уходящие», а с отрицательным наклоном — «приходящие». Для!
хх J dx л dx I
правой границы характеристики с > 0 — «приходящие», .а с з7<0^|
«уходящие». J
В разобранном примере нам пришлось на каждой границе поставить!
столько граничных условий, сколько на этой границе семейств «ухоО
дящих» с нее характеристик. Эти граничные условия могут иметь й|
несколько более сложный вид. Пусть, например, I
«1=«1змз + «1А+'I’i (0> 1
, , , ... ? на левой границе,
«2 = а23Нз + а24«4 + 'Ф2(0 )
«3 = ₽31"1 + Рз2«2 + Рз4«4 + M’s (0 - на правой границе.
Задав эти граничные условия, а также указав. начальные данные пря
f=0: иг(х, 0)=ф1(х), и2(х, 0) = ср2(х), и3(х, 0) = ф3(х), м4(х,
= ф4(х), выберем Т так, чтобы за время Т ни одна из характеристик
не успела пересечь нашей полосы O^x^L от одной границы до дри
гой. Достаточно, чтобы
~ \dx I
Т шах 37
аг
L_
2 - i
—наклон характеристикj. В системе уравнений нашего пример
I dx I
шах — максимальный наклон
можно выбрать
характеристик — равен 2. Поэтов?
Г = —
8
£
1 2
2 I
max
I 13]
ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
153
При значения и3 на левой границе определяются только
с помощью начальных данных, без использования каких-либо граничных
условий. Это становится ясно, если обратиться к рис. 47, на котором
7 dx
изображены характеристики ^==—1, вдоль которых и3 постоянна.
Для определения w4 всюду в рассматриваемой области, в том числе
й на левой границе, как мы уже отмечали, достаточно лишь начальных
данных. Мы видим, что для при х = 0 могут быть найдены
iz3(0, f), и4(0, а после этого вычислены
их комбинации
Эти комбинации, в силу граничных условий,
равны (0, t\ и2 (О, 0.
Аналогично, на правой границе при
^.t^T только по начальным данным оп-
ределятся значения w2, которые «приносятся» на эту гра-
ницу характеристиками с наклонами ^=1, Начальными данными
определяется и граничное значение м4. Это дает возможность по
формуле 1 *
М3 = ?31 М1 + Рз2 М2 + Рз4 И4 + % (О
вычислить и3.
Определив на левой границе w2> а на правой м3, мы свели задачу
к уже разобранному случаю и теперь мы в состоянии определить (х, 0,
«2(*> 0>w3(x, f) всюду в прямоугольнике O^x^L.
Затем, приняв значения при t = T за начальные данные, мы совершенно
так же найдем решение для Т ^t^2T.
Продвигаясь и дальше такими шагами по времени, мы последовательно
найдем искомые функции при 2Т ЗГ и т. д., т. е.
при всех f>0.
Для произвольной гиперболической системы нужное число граничных
Условий и'их вид, оказывается, будут определяться-совершенно так же,
Как и в разобранном примере. На каждой границе надо оставить столь-
ко условий, сколько семейств характеристик уходит от этой границы.
5ти условия должны быть такими, чтобы их можно было разрешить
относительно «римановых инвариантов», отвечающих уходящим харак-
теристикам.
В дальнейшем мы ограничимся разбором только таких систем, у ко-
ТОРЫХ нет вертикальных характеристик. Предположим даже, что в рас-
куриваемых областях (абсолютная величина характеристической
Ск°Рости) ограничена снизу положительной константой.
154 ' ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ц
Пусть гиперболическая система уравнений задана нам в каноническом
виде
п
+ + (i=l, 2, He), ’
Z=1
п i
§ —+ 2 т“и‘=^ (1=п0 + 1, п), |
z=i
Ь>0 i
в полосе O^x^L для O^t^T.
Рассмотрим для этой системы следующие граничные условия:
п
Щ— У, UijUj при х — 0 (/=1, 2, н0),
j=«o4-l
По
««= S $iJuJ при X=l (Z = n04- 1, .... и).
7=1
Для простоты мы ограничиваемся однородными граничными условиями,
коэффициенты которых а^, (3/;- являются гладкими функциями t Началь-
ные данные для описываемой задачи задаются в виде
.0) = ф1(х).
Можно доказать, что так поставленная задача имеет, и притом един-
ственное, решение, если наложить на систему и начальные данные неко-
торые ограничения гладкости. Более того, можно показать, что решение
такой задачи непрерывно зависит от начальных условий, коэффициент
тов и правых частей системы, коэффициентов граничных условий.
Доказательство перечисленных фактов (доказательство корректности
задачи) и служит обоснованием разумности ее постановки. Приведенные
же нами рассуждения на типичном примере могут рассматриваться только
как наводящие соображения, позволившие придумать хорошую поста*
новку задачи.
Сначала мы начнем проведение доказательства теоремы единствен-
ности. Теорема о непрерывной зависимости решений от данных задачи
и теорема существования будут разобраны позже. При их доказатель-
стве мы еще сузим класс цассматриваемых задач, чтобы сделать вывод
менее громоздким.
При изучении теоремы единственности никакие дополнительные
ограничения использоваться не будут. В процессе доказательства теоремы,
единственности будут также получены некоторые оценки решения и его
производных.
Прежде чем приступать к проведению доказательства (оно будет
разобрано в следующем параграфе), воспользуемся произволом в при-
ведении системы к каноническому виду. На наличие такого произвола
- д
§ 13j ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 155
мы в свое время указывали. Умножим каждое из уравнений системы
Z
на какой-нибудь положительный гладкий множитель p = pf(x, £)>0.
результат этого умножения можно записать так:
dl4Uj dt ‘ дх у щ ,
dt ~~kl dx щ OTzzHz«z —Hz/z-
Обозначив [liiii через vb получаем для этих новых неизвестных функ-
ций опять каноническую систему гиперболических уравнений
Характеристические корни (х, t) этой системы такие же, как и у исход-
ной, а коэффициенты при младших членах т,ц и правые части fa—
другие. Граничные условия
п
ui= 2 atjUj (/=1, 2, я0) при х = 0,
у=ПоЧ-1
По
Щ — (z = /z04-l, • ••> п) при x = L
/=1
перепишутся для неизвестных ^ = (1^ так:
п
Vi = 5 a‘fvJ (z=1> 2> •••’ «о) ПРИ x==0>
. “ , i Г/
j = n0 + 1
n0
(i=no + 1> ••• > «) при x — L.
Интересно, что рг«, стоящие в числителе, отвечают номерам, связанным
с «уходящими» характеристиками, а ру- в знаменателях имеют J такие же,
как и «приходящие» характеристики. Выбором функций р/ (х, t) можно
Добиться, чтобы все элементы матриц граничных условий для v2, • • •
•••, vn были по абсолютной величине меньше любого заданного фикси-
рованного числа. Конечно, уменьшая эти элементы, мы будем изменять
и’ как правило, увеличивать тц, и их производные.
Сейчас будет приведено важное определение, смысл которого вы-
спится в следующем параграфе во время проведения собственно дока-
зательства теоремы единственности.
156 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ц
Граничные условия, заданные на одной из границ, называются
диссипативными, если в точках этой границы для любой вектор,
функции (ир и2, ..., ип), удовлетворяющей граничным условиям, вы-
полнено неравенство
-Л М + Л Ы<о.
по прихо- по уходя-
дящим I щим I
(Мы пишем «по приходящим I», подразумевая под этим, что суммиро-
ваниё выполняется по всем тем I, для которых соответствующая характе-
ристика— приходящая. Аналогично истолковывается сокращение «по
уходящим /».) ;
Воспользуемся свободой в выборе нормировочных множителей (х, t\
чтобы сделать граничные условия диссиггативными.
Рассмотрим, например, левую границу с граничными условиями
п
4 = 2 (Z—1, 2, я0) :
и подставим значения tip v2,..., vno из этих условий в выражение
п п0
—5 М+' У, М=— У, М+ У, kivi =
по по I = по + 1 I = 1
приходящим i уходящим I '<
п п0 / п \2
=— 2 л^+2М 2
f = /io + l f=l V=«o + 1 !
В результате подстановки первая сумма — отрицательно определенная
форма 1^4-1, <urto_|_2,..., vn, вторая — некоторая другая форма тех же
переменных. Выбором р, можно сделать все коэффициенты этой второй
формы достаточно маленькими, а тем самым полную сумму отрицательно
определенной. При таких граничные условия для tip v2,..., будут
диссипативными.
Более того, граничные условия будут строго диссипативными. Так
мы будем называть условия, при которых для любой вектор-функций!
удовлетворяющей граничным условиям, выполнено неравенство:
“2 Ai«z+ У — k0 У и}, Л0>0.
ПО по по
приходящим I уходящим I приходящим I
Выбрав pi отдельно на левой и отдельно на правой границах, чтоб^
удовлетворить условиям диссипативности, мы можем потом построить
всюду внутри прямоугольника такие гладкие функции рг (х, t), ^тоб^
на границах они совпадали с теми, которые там были выбраны.
§ 14j . ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 157
В дальнейшем, рассматривая систему
п
^г + ^+2 тчи1^’ Z=1’
/=1
П 5
^ — к^+ 2 i=«o+b--. . п,
Z=1
с граничными условиями i
п
щ= 2 а«А (/= 1, 2,, л0) прих=0,
j = По Ц-1
п0
(/ = Л0+ b • • • > П) ПрИХ=£,
Л=1
мы всегда имеем право предполагать, что эта задача диссипативна и
даже строго диссипативна.
Доказательство теоремы единственности для диссипативных систем
будет приведено в следующем параграфе.
§ 14. Теорема единственности решения смешанной задачи
Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями.
Оценка решения и теорема единственности. Расширение системы уравнений и
граничных условий задачи. Получение оценок производных. Обзор оценок реше-
ний для симметричных гиперболических систем. Условия согласования начальных
данных и граничных условий. Непрерывная зависимость решений от условий за-
дачи. Понятие об обратимых задачах. Примеры исследования постановок гранич-
ных условий для гиперболических систем.
Переходим непосредственно к доказательству теоремы единственности
и к получению оценок для решения диссипативной смешанной задачи.
Мы рассматриваем при t^O решения системы
п
+ г=1> 2,, и0,
Z = 1
п
'* граничными условиями
п
щ = 2 aijuj> /=1, 2, ..., и0 при х=0,
у==По+ 1
Но
щ = Pi/Wy, z = n0-|-1,..., д при x = L.
[гл. и
158 ' ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Начальные данные для этой задачи задаются в виде
щ (х, 0) = ф/ (х), 0 х L (/=1,2,..., /г).
Так поставленная задача называется смешанной, так как она требует
выполнения для решений не только начальных, но и граничных усло-
вий. Предположим, что на обеих границах выполнены условия дисси-
пативности. А именно, предположим, что для любых щ (х, t), удовле-
творяющих граничным условиям, на каждой из границ выполняются
неравенства
—2 №1+ У
по по
приходящим i уходящим i
Наша система является симметрической гиперболической системой
гуди । гл ди । /•
Edi + KTx + mu-f
со следующими матрицами:
Было показано, что для
решений этой системы имеет место следующее
А4
МММ >
&3
А
Рис. 48.
тождество, носящее название интеграла
энергии,
= ф (w, м) dx + (Kw, w) dt =
= [(д“> “) + 2 (Л «)] dx dt-
Элементы матрицы D могут быть вы-
числены через элементы матрицы т =
=|| и через производные от элемен-
тов К,т.е. через производные от (х, 0.
Рассмотрим прямоугольный контур на плоскости х, /, ограниченный
справа и слева отрезками вертикальных прямых х = 0, x = L, а сверху
и снизу — отрезками горизонтальных прямых t = tlf Такой конгур
изображен на рис. 48.
о
t
А
L х
§ 141 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 159
Рассматривая по этому контуру (A^AgAJ интеграл энергии, мы
приходим к неравенству
приходящим
М + У, М dt +
Л2 по
ч L приходящим I
ПО
I уходящим i J
А2 / п \
У М dt 4- Ц У и? }dx +
по А, ч = 1 /
уходящим I -J
/2 ГА
+ М $ J 2 (х, f) dx dt-\-N^
^2
/До
Здесь вместо равенства выписано неравенство, так как мы подробно не
расписывали двойной интеграл по внутренности прямоугольника. Этот
двойной интеграл заменен на больший. Константы М и N оценивают
сверху, соответственно, матрицу D и вектор правых частей /. Аналогич-
ные рассуждения при оценке интегралов энергии несколько подробнее
проводились в § 10.
В силу диссипативности, мы только усилим неравенство, отбросив
интегралы по левой и правой границам. Обозначив, Для сокращения,
через 1(f) интеграл
L п
1 (0=$ У «’ (X, t)dx,
0 /= 1
получим для него уже знакомое нам неравенство
/ (0) < I (0)+(0+N VW dt’
G
в котором постоянная N оценивает сверху правые части (|Л|).
Из этой оценки по лемме об интегральном неравенстве получается
следующее ограничение роста решений
м.
___ ___ м. .
//(0^/7(О)е2 +Ne-jp.
Теорема единственности следует из этого неравенства. Действительно,
если бы у нас существовало два решения задачи с одними и теми же
правыми частями fa (х, f) и с одинаковыми начальными данными щ (х, 0)=
= Ф/(х), то разность этих решений удовлетворяла бы однородной си-
стеме (/, = 0) и нулевым начальным данным. . Рассматривая однородную
систему с нулевыми начальными данными, мы должны считать, что N=0,
/(0) = 0. Отсюда l(f) = 0. Больше для единственности ничего не* нужно.
160 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
На самом деле мы получили несколько больше, чем доказательство^
единственности, а именно — получена оценка решений в смысле следую-;
щей нормы
/Z п
У и® (х, t) dx.
Ui=l
Обозначим через ||ио||о норму начальной вектор-функции
/*£ п
||«о||о=||и(х, О)||о=|/ 5 У, u2i(x, 0)dx.
У OZ = 1
Фиксировав некоторое Г, мы можем полученную оценку записать так:
Il«ll<const[||a0||0 + ||/||].
Если мы хотим получить оценку не .только для решения, но и для
его производных, можно, как мы это уже отмечали, расширить рас-
сматриваемую систему включением в нее уравнений для производных.
Эти уравнения получаются дифференцированием исходных уравнений и
некоторой группировкой членов.
При рассмотрении смешанной задачи удобно воспользоваться спе-
циальным способом расширения, который также нами рассматривался.
В этом способе расширение производится за счет включения в расши-
ренную систему лишь производных по f. Все остальные производные
выражаются через частные производные по t с помощью исходных урав-
нений или уравнений, получающихся из них дифференцированием опять-
таки по /.
, Мы отмечали, что. для проведения такого специального расширения
достаточно, чтобы матрица В у системы
была невырожденной.
В рассматриваемом сейчас случае канонической системы
это требование выполнено, так как роль матрицы В здесь играет диа-
гональная матрица К, на диагонали у которой стоят ненулевые эле-
менты k-t.
Получим теперь граничные условия для расширенной системы. При
этом мы ограничимся лишь рассмотрением левой границы и расширением
системы путем включения лишь первых производных. -
Грайичные условия первоначальной системы имеют вид
«i(0, 0= 2 а,7(0иу(0, о, z=l, 2,..., «о.
§ 14)
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
161
Продифференцируем их по t и, обозначив
d
аЧ~ dt
запишем в следующей форме:
п
Ui(0, t)= У a(-7(0tt7(0, 0, f=l, 2................пй,
/== Wo+ 1
п ti
Uit(O> t)= £ аг/(0«д(0, 0+ S a//(0 «/(0,0.
/ = По -h 1 / — Wp-f-l
Расширенная система уравнений имеет вид:
£ °\ д /и \ , /К °\ д /й \ , п
„ ^ л7 + „ , я- + младшие члены=0.
.0 Ejdt\utj \0 K}dx\uJ
Римановыми инвариантами этой расширенной системы будут щ, uit, при-
чем, в силу клеточной структуры матрицы, функция wz- и ее производная
иц одновременно отвечают приходящей (или уходящей) на границу
характеристике. В самом деле, соответствующие уравнения выглядят так
+ младшие члены = 0,
+младшие члены = 0.
Граничные условия, полученные дифференцированием исходных гра-
ничных условий, оказываются разрешенными относительно римановых
инвариантов, связанных с уходящими характеристиками расширенной
системы. Отсюда вытекает возможность приведения расширенной системы
к диссипативному виду, а следовательно, и возможность получения оценок
Для ее решений. Эти Оценки дают оценки производных исходной системы.
Интересно и важно отметить, что в случае, если коэффициенты az-y
граничных условий не зависят от f, то для расширенной системы они
распадаются на две независимые группы
п
ut— У, z = l, 2,..., n0,
j~no -J- 1
п
«о= 1=1, 2,..., n0.
J = nQ + 1
Матрицы || a//1| в обеих этих группах одинаковы. Если еще вспомнить,
что инвариантам wr-, uit отвечают одинаковые характеристические ско-
рости ki, то станет ясно, что из диссипативности исходной системы вы-
текает диссипативность расширенной.
В случае постоянных azy достаточно привести к диссипативному виду
лишь исходную систему. В дальнейшем мы будем, как правило, изучать
6 С. К. Годунов
162
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
только такие смешанные задачи, у которых матрицы о^у, Р,у граничных
условий постоянны.
Теперь можно оглянуться назад и кратко подытожить те оценки для
решений, которые мы получали.
Все эти оценки получались для симметрических гиперболических си-
стем. Если требовалось получить оценки производных, то исходная си-
стема расширялась включением в нее уравнений для этих производных.
Такие уравнения получаются дифференцированием исходной системы.
Чтобы эти дифференцирования можно было провести, необходима до-
статочная гладкость оцениваемых решений, коэффициентов системы и ее
правых частей. Были описаны такие способы расширения, при которых
расширенные системы оказывались опять симметрическими гиперболи-
ческими системами.
Все оценки основывались на применении тождества интеграла энергии,
которое для системы
dt ' дх ' ду 1 J
имеет вид:
$$ ([^А + ^ + и, и) ds = [(Du, и) 4-2 (/, и)] dx dy dt.
s a
Здесь О—некоторая область, S—ограничивающая ее поверхность,
(т, г|) —единичный вектор внешней нормали к ней.
Симметрическая матрица D определяется через матрицы исходной
системы по формуле
D=|a-|4b + |c-(Q + Q*).
dt ' дх * ду 4 1 7
Поверхность S при проведении оценок выбирается состоящей из
плоских областей, расположенных на плоскостях t — tx, t = t2, и из не-
которой соединяющей их «боковой границы». В качестве этой боковой
границы часто выбирается часть лежащей между плоскостями t = tv
t = t2 «шапочки», нормаль (т, £, т]) к которой удовлетворяет неравенству
т4-//(|, т], х, у, 0^0.
Здесь Н(%, т|, х, у, f) — функция Гамильтона—Якоби, которая строится
по матрицам А, В, С изучаемой системы с помощью процедуры, кото-
рая была подробно описана.
Важен еще один случай, когда на «боковой границе» неравенство
Гамильтона—Якоби не выполнено, но зато известно, что на ней выпол-
нены диссипативные граничные условия. Мы изучали этот случай лишь
при двух независимых переменных х, t для гиперболической системы
в каноническом виде.
При рассмотрении решений смешанной задачи, т. е. в том случае,
когда решения удовлетворяют, кроме начальных, еще и некоторым гра-
ничным условиям, на начальные данные надо накладывать, кроме уело-
§ 14] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 163
вий гладкости, еще й условия согласования начальных данных с гра-
ничными.
Действительно, если мы знаем, что. решение задачи непрерывно, то
начальные данные, очевидно, должны удовлетворять граничным условиям.
Если рассматривается расширенная система (при оценке производных)
и предполагается, что эта расширенная система имеет непрерывное ре-
шение, то это значит, что начальные данные этой системы удовлетво-
ряют ее граничным условиям. Пусть, например, рассматривается система
ot 1 дх '
А + ... = ().
dt 1 дх 1
Ее начальными данными являются zz(x, 0), zz, (х, 0). Последние вычис-
ляются через zz(x, 0) и их(х, 0) с помощью первой группы уравнений
Вих-\-. .. = 0). Условия согласования состоят в требовании, чтобы
так построенные начальные данные удовлетворяли граничным условиям
расширенной системы, на получении которых мы выше подробно оста-
навливались.
Теперь мы кратко остановимся на том, как наша техника позволяет
получить теорему о непрерывной зависимости решений от начальных
даннных, правых частей и коэффициентов уравнений в случае симмет-
рических гиперболических систем.
Оценку разности решений двух систем:
^> + ^ + <^ + 0.»,=/,
мы будем проводить в области, ограниченной снизу плоскостью f = 0,
а сверху «шапочкой», удовлетворяющей неравенствам Гамильтона—Якоби,
полученным как с помощью одной, так и другой систем.
Определим норму ЦиЦ некоторой вектор-функции v как
Н=тах1/’ ЭД (^vl)dxdy.
t г / = const
Двойной интеграл здесь берется по внутренней части сечения f = const,
лежащей внутри «шапочки». Предположим, что для решений обеих си-
стем ограничены нормы
1?4 ISIf
Для этого достаточно предположить, что коэффициенты и начальные
данные обеих систем .достаточно гладкие, но мы не будем останавли-
ваться на доказательстве этого факта.
6*
164 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Рассмотрим разность уравнений наших систем. Эту разность можно
переписать в виде следующего уравнения для разности решений иг — и2:
д д (uj । р д (и^ w2) . р д (^i w2) I р , \
Ai----др---h ----gp— + Ci-----g£----}- Ух (H, — И2) =
E ели j] Ax — A211, [| Bt — B21’, IJCi—C2 Ц, || Qi — Q2 |l, [| ft —f21| малы, то мала и
вся сумма (по нашей норме ||||), вынесенная в правую часть этого равенства.
Рассматривая это векторное уравнение как систему для — и2 и j
предполагая малость разности начальных данных, т. е. малость Ц tt1Q — w20||0, '
мы отсюда можем получить оценку малости — и21|. Тем самым дока- •
зывается, что если начальные данные, коэффициенты и правые части ’
являются достаточно гладкими, то решение непрерывно зависит от всех
этих параметров задачи.
Точно так же доказывается непрерывная зависимость решений сме-
шанной задачи от всех определяющих ее величин. При этом только надо
предположить, что п2(х, 0, и2(х, t) удовлетворяют одинаковым гранич-
ным условиям. На самом деле доказательство можно провести и в слу-
чае близких граничных условий, но мы не будем останавливаться на
нужных для такого доказательства изменениях техники.
Если бы для всех разбиравшихся нами задач (задача Коши в области ,
под «шапочкой» и смешанная задача при Z>0, были дока-
заны теоремы существования, то из доказанной единственности решений
и из их непрерывной зависимости от условий задачи вытекала бы их :
корректность. Мы приведем в дальнейшем доказательство теоремы суще-
ствования для случая двух независимых переменных (х, f). j
Остановимся теперь на одном простом, но очень важном для даль-
нейшего, понятии — понятии обратимой смешанной задачи. Обратимые *
задачи играют принципиальную роль в теории метода Фурье, изучением
которого мы будем заниматься в четвертой главе. <
При решении системы
п
§ + /=1,2,...,^,
Z=1 ?
п *
ди; , dtii , VI j it
f=«o+l, п, 1
' . г=1 |
ki > 0 (0 «2 х 1) «
с граничными условиями
п
щ = 2 Uijiij при x = 0 (Z= 1, 2, .л0),
/ = /20 4“ 1
По j
щ— У ^tjUj при x = L {1 = пй + 1, п)
j = i
$ 14]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
165
И НЗЧЗЛЬНЫМИ ДЗННЫМИ
Ui(x, 0) = ф;(л)
у нас может появиться желание разыскивать решение не при
а при ^=^0. В случае такого «обращения» времени «приходящие» на
границу и «уходящие» с границы характеристики меняются ролями.
Число граничных условий должно теперь равняться числу характерис-
тик, «приходящих» в старом смысле. Решать задачу в сторону /<0и
одновременно в сторону возможно лишь, если число характери-
стик с положительным наклоном равно числу характеристик с отрица-
тельным наклоном (т. е. если п = 2п0) и если граничные условия можно
разрешить как относительно римановых инвариантов, связанных с поло-
жительным наклоном характеристик (uv u%, ..., пЛо), так и относительно
инвариантов, отвечающих характеристикам с отрицательным наклоном
Оч+ь z4)4-2> •••> м2/г0)- в этом случае граничные условия можно запи-
сать так:
По 2п 0
У = £ а/7К/ (/= 1, 2, ..., дв)
/= 1 / = П0-Н
на одном из концов (det || y/у || =£ 0, det || <Х/у || 0) и аналогичное условие
с другими матрицами yZy, aZy на другом конце отрезка.
Такие задачи, для разрешимости которых направление времени не
играет роли, мы будем называть обратимыми.
В заключение этого параграфа разберем на нескольких простых при-
мерах, как с ромощью характеристик исследуется постановка смешан-
ных задач для гиперболических систем.
Пусть нам надо при ^^0, рассматривать систему
% + 5д“+ 16^=0,
dt 1 дх 1 дх
dv . ди х ~dv ~
^+^+5^=0-
Выясним, сколько граничных условий требуется для этой системы задавать
при х==0 и при х=1. Вычислим, наклоны характеристик для этой
системы как корни характеристического уравнения
5 — k 16
1 5 — k
==(5 —А)2—16^=0; ^ = 9, 62=1.
Наклоны обеих характеристик рассматриваемой системы положительны.
Следовательно, при х = 0 должно быть задано два граничных условия.
При х=1 задавать граничные условия не следует.
Рассмотрим теперь систему
^ + 3 Jf_|_ 16^ = 0,
dt дх 1 дх 9
dv . ди . „ dv п
+ + d fo — 0’
166
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
Ее характеристические скорости определяются как корни уравнения
[|3 — k 16
I 1 3 — k
= 0; ^ = 7, k2=—1.
Как при х=0, так и при х== 1 эта система требует задания одного
граничного условия.
Можно ли задать эти граничные условия в виде: w = 0 при х = 0,
м = 0 при х~1? Для ответа на этот вопрос надо привести систему к
каноническому виду. В разбираемом примере достаточно к первому
уравнению прибавить (или вычесть) второе, умноженное на 4. При этом
получаются уравнения
д(ц+40 . 7 d(u + 40_o
д/ ’ дх В 9
d(u~4v) d(u — 4v) п
dt дх
Граничное условие и==0 можно записать в виде равенства ^4-4^ =
= —(w —4х>), которое разрешимо как относительно инварианта, отвечаю-
щего положительному наклону характеристик, так и относительно другого
инварианта.
Поэтому условие можно задавать ка1$ на левой, так и на правой
границе. Эти условия отвечают обратимой задаче.
А вот граничное условие «4-4<и=0 на правой границе задавать
нельзя, так как u^4v—это риманов инвариант, отвечающий приходящей
на эту границу характеристике
dx__7
§ 15. Оценка решений разностных уравнений
для смешанной задачи
Разностная схема решения смешанной задачи для гиперболической системы.
Оценка решений разностных уравнений в случае диссипативных граничных усло-
вий. Начальные данные должны удовлетворять граничным условиям.
В этом параграфе мы опишем простейшую разностную схему, с
помощью которой можно приближенно решать диссипативную краевую
задачу для гиперболических уравнений. Доказывать, что приближенные
решения близки к точным, мы не будем. Да мы и не смогли бы этого
сделать, так как пока нам не известен факт существования решения
у дифференциальных уравнений. В дальнейшем теорема существования
будет доказана. В ее доказательстве важную роль играет разностная"*
схема, которую мы сейчас изучим. Оценки решений разностных урав-
нений, аналогичные оценкам интегралов энергии, будут существенно
использоваться в доказательстве теоремы. Основное внимание при
ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 167
§ 15]
изучении разностной схемы мы обратим именно на получение этих
оценок.
Система, которую мы будем рассматривать в прямоугольнике 0 х L,
Q^t^T, имеет вид
г п
dS++ 2 miiUi i=1 *2.....................
Z = 1
n
— l=n0+l, n.
l=\
Коэффициенты ki(x, Z)>0, тц(х, t) и правые части fi(x, t) предпо-
лагаются ограниченными и достаточно гладкими функциями. Граничные
условия некоторое время нам не понадобятся. Построим разностную
сетку, разделив отрезок Q^x^L на некоторое число равных частей.
Длина h каждой из них называется шагом сетки по х. Шаг по времени
обозначим т. Сетка будет состоять из точек x=ph, t — qx с целыми
неотрицательными номерами р, q. Номер р не должен быть слишком
большим, чтобы все точки лежали при x^L. На каждом временном
слое (t = qx) самая левая точка (р = 0) имеет координату х — 0, а самая
правая x — L. Временной слой <7 = 0 состоит из точек, лежащих в осно-
вании f = 0 нашего прямоугольника. Мы предполагаем известными зна-
чения коэффициентов kb тц и правых частей// во всех точках выбранной
разностной сетки.
Построив приближенное решение системы на сетке с некоторыми
т, /z, мы в дальнейшем будем шаги сетки стремить к нулю. Нам важно
получить для приближенных разностных решений оценки, которые при
всех достаточно малых шагах т, h от этих шагов не зависят.
Значения цг(/=1, 2, ...,,) во всех точках начального слоя (# = 0,
£=0) предполагаются заданными. Схема, которую мы построим, позволит
по этим начальным значениям (при помощи граничных условий, которые
пока даже не формулировались) вычислить приближенные значения иско-
мых функций на первом временном слое ^=1(Z = t). Затем, считая слой
= т за начальный, мы по той же разностной схеме рассчитаем значе-
ния щ на слое <? = 2. Считая теперь начальным слой # = 2, рассчитаем
слой </ = 3, и т. д.
Для того чтобы описать схему, нам, очевидно, достаточно будет .по-
казать, как величины на слое ^==(^4-1)т вычисляются по известным
величинам на слое Z = Пока мы будем иметь дело только с двумя
слоями (t — qx, £ = (<? + 1)т), величины на нижнем слое (Z = ^r) будут
обозначаться uit kif тц, с дополнительным указанием координаты
x==zph или соответственного номера р. Над величинами, относящимися
к верхнему слою (£ = (# +1) т), будет ставиться крышечка й/ (х, (7 + 1)т).
Для упрощения записи при описании схемы нам будет удобно
комбинацию правой части / и младших членов тцЩ Z-ro уравнения
168 ГЙПЕРБОЛИЧЁСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. It
обозначить одной буквой
=fi ШцЩ*
Очевидно, что
sj < const +
L z J’
Если величины щ известны во всех сеточных точках слоя £ = #т, то
в этих же точках нам будут известны Sj.
После введения этого обозначения рассматриваемые дифференциаль-
ные уравнения перепишутся так:
dt~Rldx St'
Разностная схема для уравнений со знаком плюс перед kt будет стро-
иться иначе, чем для уравнений со знаком минус. Мы опишем отдельно
схему для уравнения
dt‘ax~s'
а затем отдельно для уравнения
ди .ди
dt дх
и получим для решений этих схем нужные оценки. Оценки для системы
появятся в результате объединения оценок решений отдельных уравне-
ний. При описании схемы для одного уравнения мы опускаем индекс /,
нумерующий неизвестные функции щ, коэффициенты и правые части
Это7 упрощение сделает выкладки менее громоздкими. Обозначим зна-
чения сеточных функций ц(х), й(х), относящихся к слоям t—qx,
£==(^4-1)т, в точке x=ph через Для вычисления мы
предлагаем воспользоваться разностной схемой
х ~ h *
приближенно заменяющей дифференциальное уравнение
- dt'kdx~S‘
Неизвестное значение й(р) из этой схемы определится формулой
№ = ( 1 И(р) + 4- TS(P).
xk
Шаги х, h мы будем всегда предполагать подчиненными условию -^-<1.
Зная все значения t№\ ..., на нижнем слое, можно опреде-
§ 15] ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 169
лить й(1), /2(2), .Значение же /2(0? в самой левой точке верх-
него слоя при этом не определится. В дальнейшем для определения
этого значения нам придется привлечь граничные условия.
Прежде чем переходить к оценкам, докажем следующую лемму»
Лемма. Пусть w = (l — а)у4-az + rs, O^a^l, и пусть
I а — р | < Ат. Тогда
Доказательство следует из следующей цепочки очевидных
равенств и неравенств:
w2 _[(1 — a)_y 4~ az]2 + ^Xs К1 —a)У + аг] + (*$)2
[(1 —а) у 4- az]2 + 2ts [(1 —a)_y 4~ az] + 2 (Ts)2 =s=
= [(1 -—a) у + az]2 4- 2tsw [(1 —a) у + az]2 + т (s2 4- ^2) =
= (1 — a) j/2 4-a?2—a(l —a)£y—z)2 + t(s2 + ^2)^
==C(1 —a)_y24~az2 4-t(s2 4~ ^2) —
= (1 —a)j/24-pz24-(a—P)z2 + t(s24-^2)^
< (1 — a) y* 4- pz2 4- т (1 4- A) (w2 4- z2 4- s2).
Прежде чем применять эту лемму к нашему разностному уравнению,
заметим, что
Tfe(p) dfcl
h h h
(p — \)h<x* <Zph,
и что поэтому
^_^2L=0(T).
h h v '
Оценка О(т) равномерна по всем достаточно малым шагам т, й. Обо-
значая /Hp> = w, ц(р)==ву, H(P~X) = Z,
a=— 0=-*-
и применяя лемму, мы приходим к неравенству
[Й<₽)]2 < [ 1 — ^] [И(р>]а + [И>]« +
4- const Т {[&W]2 + [и^-«]« + [s<₽>]2}.
Выписав такие неравенства для р=1, 2, ..., просуммируем их,
В результате получим
У, Й2 < У н2 + [бдевИлев — ^прлвИ^рав] + Т CODSt / Й2 + И2 -f- S2\.
* х \ X X X j
170
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
В этом равенстве знак суммы с поставленным слева от него штрихом
означает суммирование по ' р от 1 до L/h (слагаемое, отвечающее
самому левому значению индекса /> = 0, опускается). Нештрихованный
знак суммы S означает суммирование по всем р от 0 до L/h.
Мы приписываем под знаками суммы значок X, чтобы под-
ле X
черкнуть, что суммирование проводится по значениям той или иной
величины, связанным с различными координатами х точек сетки. Мы
обозначили также значения и(0), k^\ uWh\ в самой левой и самой
правой сеточных точках через илев, &лев, «прав, ^прав- Нам кажется, что
такие обозначения сделают дальнейшие рассуждения более наглядными.
Для уравнения
ди * ди .
дг — k = 5
dt дх
мы предлагаем писать разностную схему так:
й^'-U^ и^-и^
т и
h
При этом для нахождения получится формула
й<р>=(1 — «(>) ц(р+1) -|- TS(p),
\' h ' h 1 9
которая позволяет вычислить й во всех точках, кроме самой правой,
отвечающей индексу p = L!h. Опять предполагая шаги т, h связанными
неравенством xk/h<Z\ и рассуждая совершенно так же, как и в случае
схемы для уравнения со знаком + перед k, мы выведем неравенство
2 + ~h ^лев^лев ^прав^прав]
XX
+ т const (£'й2+2>2+1>2У
\ X X X /
Знак суммы с поставленным справа от него штрихом У*, мы приме-
х
няем для обозначения суммирования по всем точкам x=ph, кроме
самой правой (р = ЦЬ, x = L).
Вернемся теперь к рассмотрению системы
п
+ (/=1, 2, п0).
/=1
п
— = = (i=»o+b
<=1
§ 15) ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 171
Напомним, что первая группа из этих уравнений (Z=l, 2, ..., nQ) свя-
зана с характеристиками положительного наклона ^=^>0, а вторая
группа (7 = п0+Ь •••> я)— с характеристиками отрицательного наклона
dx
—kt- Это дает нам основание в дальнейшем пользоваться для обо-
at
значения суммирования по i от 1 до п0 сокращенным обозначением 2*
Под знаком суммы нарисована стрелка, направленная вправо. Анало-
п
гично, вместо мы будем пользоваться более наглядным обозна-
I = До 1
чением Знак обозначает суммирование по Z от 1 до и по
*- х, -►
всем разностным точкам слоя t = qx или £=в(^4-1)т. Знак 2 пока-
X, *-
зывает, что суммировать надо по Z от 1 до п и по всем точкам
слоя, кроме самой правой. Обозначение будет указывать на сумми-
х, i
рование по всем точкам и по всем Z от 1 до п. Стрелка под знаком
суммы у нас всегда направлена в ту сторону, куда с ростом t сме-
щаются характеристики римановых инвариантов щ, входящих в сумму.
Напишем для каждого из уравнений системы разностную схему так,
как это было описано. Подчиним шаги т, h неравенству ~ max < 1
и просуммируем по Z неравенства для сумм квадратов сеточных функ-
ций. Как выводится каждое из этих неравенств, мы подробно разбирали.
В результате суммирования получим:
at + 2' *1 '2 + 5' и! +
+ const т /"2 й! + S' $ + 2 si 4- У1, «А.
\л, -* х, х. i X, i /.
Мы подписали здесь «прав», «лев» около тех квадратных скобок, вели-
чины внутри которых относятся к самой правой (x = L) и к самой
левой (х = 0) сеточным точкам. Неравенство
s; const Iff + 2 и?
\ i
позволяет избавиться от промежуточного в наших рассуждениях
обозначения Пользуясь этим, мы будем в дальнейшем записывал»
т
гиперволичЕскйЁ уРайнёйия
(гЛ tt
неравенство для сумм квадратов в следующей форме:
х.
+т[-24‘“‘+2*""’
прав
лев
(1)
Описанные нами построения позволяют определить величины щ во всех
точках разностной сетки слоя (<z4-1)t, кроме тех щ в граничных
точках, которые отвечают уходящим от границы характеристикам. Для
определения этих неизвестных нам придется воспользоваться граничными
условиями.
Граничные условия
«г =s а>/9
(/ = 1, 2, ..., я0) (на левой границе),
щ— 2 Рои/ (/==и0+^> «о + 2> •••> п) (на правой границе)
мы будем предполагать диссипативными. Доопределим с помощью этих
граничных условий недостающие нам в граничных точках:
, п0) (х=0),
= (Z = «o+!> «о + 2> •••. «) (x==L).
В силу условия диссипативности (см. § 13), будут выполнены следую-
щие неравенства:
Г-^МНЦМЯ ^о,
L *- Jnpas
<0.
L -* *- _|лев
Последовательно переходя от £ —0 к а затем к f = 2r, t—Зт
и т. д., мы видим, что граничные условия, а следовательно,, и условия
диссипативности, будут выполнены на всех слоях t — qx (7—1,2,...),
за исключением начального слоя (7 = 0).
Мы будем требовать, чтобы начальные данные при f = 0 удов-
летворяли граничным условиям.
Если это требование удовлетворено, то условия диссипативности
будут для сеточной функции выполнены на всех слоях
t~qx (<7 = 0, 1, 2, ...).
§ 15]
оценка рёшёний разностных уравнений
173
Поэтому мы только усилим наше неравенство (1), связывающее
суммы квадратов щ на двух последовательных временных слоях, если
отбросим в правой части неположительные слагаемые
прав
лев
Воспользуемся условиями диссипативности еще и для того, чтобы срав-
нить между собой штрихованную и нештрихованную суммы
Jj М/2 + У! Ui>
Х,—+ X, Ч- X, I
взятые по одному и тому же временному слою. Очевидно, что
так как здесь левая сумма содержит меньше слагаемых, чем правая.
С другой стороны, в силу условий диссипативности,
- Аналогично проверяется, что
Отсюда
-2«’=Г2«П +Г2нЛ
x,l L *- _1пРав длев \*, х, -* /
\Х, ч- X,
Итак, мы доказали, что на любом временном слое
'22 и«? < (1+Ю ('S и«?+Я «п *
Правая половина этого неравенства позволяет нам в * правой части
оценки (1) для штрихованной суммы й* избавиться от нештрихован-
ной ц|, несколько увеличив постоянную const. Эту увеличенную
174 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
постоянную мы обозначим буквой М и перепишем неравенство для сумм
квадратов так:
'S +S' % 'S и‘+К м<?+
+ ж Г/'Л й1 + 2' + ("2 «I + s' + 2 л] •
L\*, *,«- / \х, х, *- / х, i J
Обозначим
= ^(Ч max ^fl=F
\х,—+ х,+— ]t~qi
и предположим, что Мт<;1. Тогда
цМ + Mn[U^ + UW + F],
(1 — Мт) [+ у] (1 + ТИт) + -f],
"в,+Н^Пи,0,+4]'
/1+А1т\9 .
(/(«) sg (7(о) j^")? + F .
Воспользуемся теперь тем, что
[_X, z JZ = O
Это дает нам возможность получить оценку
t = qx
«/
_f = 0
+ G+K)
----- max
2
Нам удобно умножить обе части этого неравенства на h и воспользо-
/l+AfrV/* z
вавшись тем, что И _1д4Т~) ПРИ Достаточно малых т ограничено (оно
стремится к еШ1 при т->0, а у нас t^T), представить результат
в окончательной форме:
шах (h 2 иА =S£ Q ГМ 2 afj + max
о^‘^т\ 7/ ) L\ Л=о Zi /I
§ 16] КОМПАКТНОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 175
Заметим, что если начальные данные щ (х, 0) и правые части (x, t)
являются непрерывными функциями, то суммы
\ х, i /t~Q \ х, i /
стремятся при Л->0 к интегралам
$ »/ (х, 0)1 dx, 5 Г5 fi (х, 01 dx
oL i J oL i J
и, следовательно, являются ограниченными. Постоянная Q зависит от
коэффициентов уравнений и их производных.
Мы доказали, что если начальные данные при t — О удовлетворяют
граничным условиям, то решение разностных уравнений, построенных
нами как приближенные для диссипативной гиперболической задачи
с достаточно гладкими коэффициентами и правыми частями, будет
удовлетворять при достаточно мелком шаге неравенству:
max (h V uf\ const.
Это неравенство мы и хотели получить.
§ 16. Компактность решений разностных уравнений
Продолжение вывода оценок решений разностных уравнений. Оценка раз-
ностных отношений. Интегральные неравенства, обеспечивающие равностепенную
непрерывность функций в прямоугольнике. Теорема Арцела о компактности.
8-энтропия.
В предыдущем параграфе мы получили, изучая приближенные реше-
ния гиперболических уравнений, некоторую их оценку, которую обе-
щали в дальнейшем использовать при доказательстве теоремы сущест-
вования. В этом доказательстве нам придется применять оценки
не только квадратов самих сеточных функций, но и аналогичные нера-
венства для их разностных отношений (ЯгЧ -г--/-г и т. п.^ до
r \ Дх ’ М ’ Дх Д/ У
достаточно высокого порядка. Идея вывода этих оценок совершенно
такая же, как и в уже описанном нами способе оценок производных
решений у гиперболической системы. Мы эти оценки получали в § 14.
Для этого мы расширяли исходную систему, добавляя в нее уравнения,
содержащие в качестве неизвестных «оцениваемые производные. Эти
дополнительные уравнения получаются из исходных дифференциро-
ванием.
В случае, если мы рассматриваем решения разностных уравнений,
аналогичный прием позволит нам расширить разностную систему вклю-
чением в нее новых уравнений. Этим дополнительным уравнениям
будут удовлетворять разностные отношения
176 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IJ
С помощью такого расширения системы мы можем опять привести
оценку разностных отношений к уже разобранному приему оценки
самих решений. Так, например, если обозначить
Au I ___и (х, /Н-тр —(х, О
Д7к/“~ т ’
Ди I __и (х, t)
Дх |др, t h ’
то разностное уравнение
О ^k{x>t}^+h, ^и(х, t) +т{х> t)u(x! t)=f(x> t)
может быть записано в форме, почти не отличающейся от дифферен-
циальной:
Ди у f jк Ди,
Выписав такие уравнения в точках (х, и (х, t), а затем вычитая
ик друг из друга и деля на т, придем к равенству
Д /Ди\ , f . ч Д /Ди\ Д& Ди . , , , ч Ди . Д/п Д/
ТТ / — k(xt t + т) -Т- + + +
М\М/ v 1 7 Дх\Д// Д/Дх 1 v 1 7 М 1 М ДГ
Это равенство совсем аналогично дифференциальному
du# г./ ±\dut dk , ✓ I dm df
dt k(x,f)dx $tUx + m(X’ dt u
Некоторая тонкость состоит только в том, что коэффициенты А(х, t+
+ т), /п(х, ^ + т) пришлось в «производном» уравнении взять на т
выше, чем в исходном. Ясно, что с помощью таких «производных»
расширение системы разностных уравнений выполняется совершенно
так же, как и расширение системы дифференциальных. Аналогично
расширяются и граничные условия.
При достаточно мелких шагах коэффициенты расширенных диффе-
ренциальной и разностной систем и коэффициенты отвечающих им
граничных условий будут близкими. Это означает, что если дифферен-
циальная система превращается в строго диссипативную переходом
к новым неизвестным
то для превращения в диссипативную разностной тоже достаточно
положить (при т, h достаточно малых)
Ди,-
Vi = •ayi = Vi-AT-
Оценивая сумму квадратов новых неизвестных, мы, как и в диффе-
ренциальном случае, приходим к выводу, что из гладкости коэф-
§ 16J КОМПАКТНОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 177
фициентов и правых частей при условии достаточно хорошего согла-
сования начальных данных и их достаточной гладкости следует оценка
х, i х, I
Если в расширенную разностную систему включить еще уравнения
Д2^. дз^
для более высоких разностных отношений пгзг, то из достаточной
Дг* 1 Дг3 1
гладкости коэффициентов, правых частей и начальных данных (при
условии согласования) можно вывести аналогичные оценки разностных
отношений высшего порядка.
При доказательстве теоремы существования мы будем пользоваться
такими оценками:
шах Ах У const,
„ т [(тт)’+(тт)’] *г COTSt •
“ЛШ+Ъ)’<)>-
х, i
Шаг h мы в них обозначили через Дх.
Прежде чем переходить к получению теорем существования, нам
придется изучить некоторые важные для нас свойства функций, удов-
летворяющих интегральным неравенствам.
Лемма 1. Пусть функция v(x) непрерывна, кусочно непрерывно
дифференцируема на отрезке [О, L] и удовлетворяет неравенствам:
L
\&(x)dx^A,
о
J Ъх (х) dx^B.
о
Тогда она удовлетворяет неравенствам
\v{x)\^AIL)^^(BL)^, (1)
| v (х) J 2 (А5)1/4 + (A/L)V2. (2)
Для доказательства разобьем отрезок [О, L] на W равных частей и
рассмотрим произвольную точку х0 из отрезка [О, I]. Она принадле-
жит одному из построенных отрезков [хр х2] длины L/М Так как
Х2 L
5 d2 (x)dx J т»2(х) dx А, то на отрезке [хх, х2] найдется точка х3
xi о ___
такая, что | v (х8) | «С1/ -7-7x7. (Противоположное утверждение приводит
178 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ' [ГЛ. Ц
к противоречию с только что написанным интегральным неравенством.)
Теперь нетрудно оценить функцию v(x) и в выбранной нами произ-
l .
вольной точке х0, учитывая оценку для v2x (х) dx и то обстоятельство,
о
что расстояние между xQ и х3 не больше, чем L/N:
|®(*о) —^(*8)
$ vx(x)dx
*3
Отсюда заключаем, что
NAL + y В±.
(3)
В этой оценке 7V—произвольное натуральное число. Так как разность
между квадратными корнями из двух последовательных натуральных
чисел меньше единицы
1 —]/rn=-7=J-------— <i,
Vn+X+Vn
то можно выбрать N так, чтобы
LV2 (В/ Л)М4 < у к L1/2 (В/А)1/4 + 1.
Из этих неравенств и из оценки (3), учитывая произвольность точки х0,
приходим к оценке (2). Если же в неравенстве (3) положить М=1,
то получим оценку (1). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть функция w(x, t) непрерывна, кусочно непре-
рывно дифференцируема в прямоугольнике O^x^L, и
удовлетворяем неравенствам
L
шах ( и2 (х, 0 dx А,
L
max \(их 4- u2t) |/== const dx B.
Tогда эта функция удовлетворяет неравенствам
|и(х, о|(А/Ь)‘/24-(BL)VS
| и (х, 01 2 (Л/?)1/* + (Л/ Ь)х/2, (4)
для любых двух точек (хх, и (х2, ^2) из рассматриваемого пря-
моугольника таких, что \tt— £2|<L.
Первые два неравенства непосредственно следуют из предыдущей
леммы. Для того чтобы доказать последнее, рассмотрим два произвольных
Л1 КОМПАКТНОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 179
§ 16]
момента времени Очевидно, что
Обозначим v(x)=u(x, t2)—u(x, ^). Тогда
L t2L
$ v2 (х) dx (t2 — ti) jj и2/ dx dt (t2 — t^2 B.
о о
Кроме того,
L L
J dx 2 J |[ил (x, fj)]2 + [ux (x, dx < 2B.
0.0
Если применить к функции v(x) неравенство (2) из предыдущей леммы
(роль постоянной В играет здесь 2В, а роль постоянной А — величина
(^2 — ^1)2 т0 получим
d'/j
| v (х) |< 2 • 2’ЛВ’/. (f2 -1^/, + ^(t2_ h) < 4В*/« (t2 - *!)/.,
так как t2—Таким образом,
|и(х, t2)—и(х, tj)\^4B'^\t2—t11*/*.
Если учесть к тому же, что
|и(х1( 0—и(х2, 01 =
х2 ________ L
^ux(x,t)dx хх—х211/ Jul rfxig Z?1/» | Xj—х2
Л?! F 0
то мы получим последнее из неравенств в утверждении леммы 2.
Эти простые, но важные оценки играют основную роль в нашем
доказательстве существования решений у гиперболических уравнений,
поэтому мы уделили им столько внимания.
Если у нас целое семейство {«} функций удовлетворяет выписан-
ным интегральным неравенствам, то для любой функции из этого
семейства выполнены неравенства (4) и (5). Неравенство (4) утверждает,
что семейство {w} равномерно ограничено. В силу неравенства (5) это
семейство равностепенно непрерывно *).
* ) Семейство {и(х, /)} называется равностепенно непрерывным, если для лю-
бого, е > 0 существует 6 > 0 такое, что из | Дх | + | М | < 6 вытекает для каждой
и (х, t) из семейства неравенство | Ди | < 8.
180 гиперболические УРАВНЕНИЯ (гл. П
Теорема Арцела гласит: всякое равномерно ограниченное и
равностепенно непрерывное в прямоугольнике 0 х L, O^t^T
семейство функций {и} компактно в смысле равномерной схо-
димости.
Другими словами: из всякой бесконечной последовательности функ-
ций, принадлежащих такому семейству, можно выбрать равномерно
сходящуюся подпоследовательность.
Следствие из теоремы Арцела и неравенств, нами выведенных:
Семейство функций {w(x, t)} в прямоугольнике O^x^L,
удовлетворяющих там неравенствам
L L
max \ и2 dx А, тах (и* + к?) Д
компактно в смысле равномерной сходимости.
Приведем доказательство теоремы Арцела. Мы ограничимся только
случаем, когда равностепенная непрерывность задается неравенством
I«*1) — «f2) ] < a Vl-ti—+ Р (6)
Пусть, кроме того,
|и(х, 01 <м • (7)
Мы докажем, что функции, удовлетворяющие неравенствам (6) и (7)
с произвольными, но фиксированными a, (J, М, образуют компактное
множество, т. е. что из любой бесконечной совокупности таких функций
можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся к неко-
торой непрерывной функции. Для этого нам достаточно будет показать,
что из всякой бесконечной последовательности таких функций {иг (х, /),...
..., ип(х, f),... } можно выбрать подпоследовательность и^2, w^3,...}
так, чтобы для любого целого р было выполнено неравенство
l^r(x, t) — Uks(X, 0|<-^Г
при г, s^p. В самом деле, последовательность {ukn(x,t)} удовлетво-
ряет критерию Коши равномерной сходимости и, следовательно, равно-
мерно сходится к непрерывной функции й(х, f).
Переходя к пределу при г->оо в неравенстве (6), записанном для
функции ukr, приходим к выводу, что предельная функция й(х, t)
удовлетворяет тому же неравенству:
] W (Хр /j) U (Х2, £>) I & ’j/'j Xi •“'Xj I “Ь P I ““*“^2 I •
Теперь мы сведем вопрос о возможности выбора бесконечной под-
последовательности {ukl, Uktf . . . , Ukn, ...} к другому вопросу, с кото-
рым мы без особого труда справимся. А именно, мы покажем, что воз-
можность выбора такой подпоследовательности следует из того, что для
каждого 8 > 0 существует конечное число' функций фг (х, t),
КОМПАКТНОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 181
$
(X Фг« <«>(•*> таких’ чт0 ДЛЯ Л1°б°й функции и(х, 0 из
нашего множества найдется одна из таких фд, отстоящая от и(х, t) не
более, чем на в;
|и(Х, t) — (ph(X, 0|<8.
Говорят, что Ф2/*(в) образуют конечную г-сеть. Число //(е),
характеризующее минимальное число функций, образующих 8-сеть, назы-
вается ъ-энтропией множества функций {w(x, t)}.
Выберем £i=1/22- Среди функций е^сети найдется хотя бы одна,
в егокрестности которой будет лежать бесконечная подпоследователь-
ность \ukt> Uk* • • •} последовательности w2, ...}. Эту функцию 81-сети
обозначим через ср- Каковы бы ни были две функции Ukb tikm из этой
подпоследовательности, для них будет выполнено неравенство
। «*<—। жф-«*ст ।
„ 1 f э
Положим теперь 82 — и из подпоследовательности {цЛ1, w*2, •••} вы-
берем бесконечную подпоследовательность {wZ1, ..} функций, лежа-
щих в 82-окрестности одной из функций в2-сети, так что Для
функций этой подпоследовательности
Продолжая и далее таким же образом, мы видим, что последовательность,
образованная первыми функциями {w^t, ...} наших подпоследователь-
ностей, будет удовлетворять критерию Коши.
Таким образом, мы свели вопрос о компактности нашего множества
функций к вопросу о конечности его 8-энтропии.
Оценим сверху 8-энтропию множества функций и(х, t), заданных на
прямоугольнике O^x^L, и удовлетворяющих неравенствам
Iи(хг, tj—и(х2, t2)I<aV\x1~x2\ 4-р^l> (6)
|u(x, 0|<М (7)
Для этого разделим прямоугольник на маленькие прямоугольнички со
сторонами
Дх-—А—
Г36а2£] , ^Зба2’
[-JF-J + 1
j~36p2Tj ! ^Збр-
Вершины этих маленьких прямоугольничков (рис. 49) будем называть
Узлами.
182
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
Рассмотрим функции, определенные только в узлах, принимающие
в них значения, равные одному из чисел
ЗЛГ| . <\ 8 ГЗМ1 8 8 п 8 ГЗМ1 8 /ГЗД41 . \ 8
. е J+ / з ’ L 8 J 3 ’ ••• ’ 3 ’ U’ 3“’ ••• > |V] Т’ !/У
и изменяющиеся при переходе от одного узла к соседнему не более,
чем на 8/3. Каждую из таких функций мы можем линейно проинтерпо-
лировать на всех горизонтальных ребрах между узлами, а затем линей-
значения в
ной интерполяцией по t доопределить
всюду в полосках между соседними гори-
зонтальными рядами ребер, т. е. всюду
внутри прямоугольника 0 х L, О
^t^T.
Легко проверить, что для каждой точ-
ки (х, t) этого прямоугольника найдется
t узел, удаленный от нее не более, чем на
Дх/2 по х и на Д//2 по t, причем в этом
узле значение нашей функции отличается от
точке (х, t) не более, чем на 8/3. Я утверждаю, что можно
построить 8-сеть только из этого множества функций.
Возьмем какую-либо функцию w(x, f), удовлетворяющую неравен-
ствам (6) и (7), и рассмотрим ее значения в узлах. В каждом узле
найдем ближайшее к u(x, t) число вида ре/3 с целым р. Очевидно, что
Так как значения и(х, t) в двух соседних узлах отличаются не более,
чем на 8/3:
| Ди|=<а]/Д* + Р + Р j/" збр=з’’
то числа р в соседних узлах меняются не более, чем на 1, т^е. вы-
полнено поставленное нами требование. Продолжая так, как было опи-
сано, эту определенную только в узлах функцию на весь прямоуголь-
ник/ мы получим некоторую ф (х, t).
Пусть (х0, £0)“ ближайший по х и по t узел к точке (х, t). Тогда
| w (х, 0 — ф(х, 0|<|и(х, f) — u(x0, tQ) | + | w(x0, Q —Ф(хо, f0)l +
+ |ф(*о> to) — t) — «(*o> + I +
-у Гx Q 1 Г bt . 8 18 8 . 8 . 8 , 8
<a]/ -2- + ру у +'б+т^^77 + ^77 + ’б + з’<6-
Мы показали, что действительно наши функции ф(х, 0, определяе-
мые заданием дискретных значений только в узлах, образуют 8-сеть.'
Нам осталось оценить количество таких функций. Для этого поступим
§ 16}
КОМПАКТНОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
183
t
следующим образом. Надпишем на ребрах самого левого вертикального
ряда и на всех горизонтальных ребрах числа ± 1, 0' по одному на
каждом ребре так, как это показано на рис. 50. Такие наборы мы
сопоставим каждой из наших функций, определенных в узлах. Мы бу-
хдем писать на ребре 4-1, если функция
на этом ребре возрастает, — 1, если убы- t
вает, 0—если не изменяется. Ясно, что 7,
каждой узловой функции соответствует 0
один такой набор чисел на ребрах и она под-
ностью определяется значением в нижнем
левом углу и таким набором. *1
Правда, могут существовать наборы, с
помощью которых определяются функции, 0
меняющиеся вдоль вертикальных ребер
больше, чем на 8, т. е. число узловых функ-
ций, определяемых такими наборами и значениями в левом нижнем углу,
больше числа допустимых узловых'функций, и поэтому, сосчитав их число,
мы оценим сверху количество допустимых функций.
Число надписываемых ребер равно
v^LT
&
при достаточно малых 8.
Число различных наборов надписей/ не превышает числа
723.
Число различных значений, которые могут приниматься в нижнем левом
углу,
2([3?]+1) + 1<ЦМ.
Таким образом, число различных узлойых функций меньше, чем
12М
—..... о
8
Мы уже отмечали, что число функций s-сети, равное 2я<г>, не превы-
шает числа узловых функций. Отсюда
Таким образом, мы не только доказали конечность числа функций
в е-сети, но и оценили их число.
184 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Понятие 8-энтропии, введенное А. Н. Колмогоровым, играет важную роль
в современной математике. Чтобы понять его смысл, представим себе, что мы
хотим указать с точностью до 8 на какую-либо конкретную функцию и (х, 0.
Ясно, что для этого достаточно указать номер ближайшей функции 8-сети.
Если их нумеровать числами в двоичной системе счисления, то длина этих
номеров и будет равна Н (в). Значит, если мы захотим послать телеграмму с ука-
занием какой-либо конкретной функции, то эта телеграмма должна содержать
Н (в) знаков.
Понятие s-энтропии не будет играть в нашем дальнейшем курсе какой-либо
роли, но мы его разобрали, так как это вообще очень важное понятие, а отвле-
каться в сторону нам пришлось совсем немного.
Задача. Докажите, что бесконечное множество функций { и (х, t) } таких, что
| и (х, t) | < М,
|«(*1> У —“(*2- I <#(1*1— *2 1^ + 14 — ti 10 (Y>0).
допускает в ограниченной области конечную 8-сеть и, следовательно, компактно
в смысле равномерной сходимости. Оцените его 8-энтропию.
§ 17. Теорема существования решения смешанной задачи
Доказательство теоремы существования решения у гиперболической системы
начинается с описания продолжения сеточных функций на весь прямоугольник.
Оценки для этих продолжений или «интерполяций» как следствия из оценок се-
точных функций. Выполнение начальных и граничных условий для предельных
функций. Доказательство дифференцируемости предельных функций. Формулировка
решаемой задачи, предельный переход в разностных уравнениях. Теорема суще-
ствования. Попутно полученные неравенства для решений и их производных.
Некоторые замечания к доказанной теореме существования и единственности сме-
шанной задачи для гиперболической системы:
1) отказ от диссипативности граничных условий,
2) случай коэффициентов, не зависящих от времени,
3) теорема существования решения задачи Коши внутри характеристическо-
го треугольника.
Цель этого параграфа состоит в доказательстве теоремы существо-
вания решения смешанной задачи для гиперболической системы уравне-
ний с двумя независимыми переменными. Основная идея этого доказа-
тельства состоит в получении разностных приближенных решений и оце-
нок для них. Эти оценки будут обеспечивать компактность приближен-
ных решений. После этого будет уже нетрудно проверить, что пределы
сходящихся последовательностей приближенных решений являются точ-
ными решениями.
Оценки для приближенных решений и теорема о компактности уже"
были нами изучены. Теорема существования получится как простое
объединение этих уже известных нам фактов. Некоторая, правда, не принци* :
пиальная, трудность состоит в том, что теоремы о компактности нами :
изучались для функций, определенных во всех точках прямоугольника,"
тогда как приближенные решения строятся только на дискретной сетке, *
Чтобы это несоответствие преодолеть, мы начнем доказательство теоре*
мы существования с изучения интерполяции сеточных функций. Така*
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 185
интерполяция позволит продолжить сеточные функции на все точки пря-
моугольника и после этого применить к ним теорему о компактности.
Рассмотрим прямоугольник 0 A, на котором пост-
роена разностная сетка с шагами т (по времени) и h (по пространству).
Будем предполагать, что в основании [О, L] и в высоте [О, Г] умещается
целое число шагов (h или т соответственно). В "каждой точке разност-
ной сетки определено значение сеточной функции. Значение этой функ-
ции в точке с координатами £ = /т, x — kh мы будем обозначать uik.
Определим непрерывную функцию й(х, t) внутри каждого прямоуголь-
ника kh^x l)h формулой:
й (х> t) = uik (l + + 1 ~ ^’+ 1 —+
+ ui+i> k + 1 —’ + Mi+i> k+i — ^)*
Функция й (х, t) будет кусочно линейной по х при каждом фиксиро-
ванном t и кусочно линейной по t при каждом х.
Предположим, что сеточная функция удовлетворяет неравенствам
max h
X * k
max h !ui+bk — ^ik Blt
1 k \ x /
max h V (Ui> &+1 ~~ B2,
i h ) i
Мы покажем, что в этом случае для интерполяции й(х, f) имеют место
аналогичные оценки
L
max ( й2 (х, t) dx Л,
/ 3
L
max J й? (х, t) dx Вь
* о
L
max V йх (х, t) dx В2.
z о
Доказательство проведем сначала для' первого неравенства. При t=lx
и при kh^x^(k-^l)h имеем для й(х, /т) формулу
и (х, /т)=uik [k 4-1—4- иг, ft+i .
вычислим интеграл "
te-fcOA (А-М) h
\ й2(х, Zt)dx = ? Г1 it) + ui,k+i(“г — аП dx,
kh L ' ' х п
186 _ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Сделаем замену переменных ~ — k=%
(£-Н) л 1
J й2(х, ix)dx=h\[tiik(l — g) + w;, fe+1£]2 </£ =
kh О
Zl h / ь_1~1 \
= у (и?л + ЩкЩ, £4-1 *4-1 yillk Н---------2^-----*4-1/1 =
__huik + ul £4-1
— п 2
Доказав это неравенство и просуммировав его по всем k, мы получим
i
J й2 (х, Zt) dx h 2 ujk-
О £
Пусть теперь ix<Zt<(Z + 1)т. Функция й(х, t) в этом интервале ли-
нейна по t\
й(х, 0=(1
й2(х, Z)^
й (х, ix) + й (х, (14-1) т),
й2 (х, ix)+й2 (X, (I + 1) т).
Очевидно, что при 1)т, т. е. при
писать
Z-— ix .
----< 1, можно не-
i
J й2 (х, Z) dx max
о
J й2 (х, lx) dx
о
I
J й2 (х, (Z+ l)x)dx
о
* k
Неравенство
i
max й2 (х, t) dx А
t о
обоснован©.
Теперь займемся интегралом
J и? (х, Z) dx.
о
На интервале Zt<Z<(/4-1)т производная ut
сочно линейна по х. А именно, при kh<Zx1)й
не зависит от t и ку-
ut {х, t) = (а +1 -Ui’k
Ц/+1, £+1 UL k+1
§ 17j ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 187
(Л + П.Л
Оценка интеграла J й? (х, t)dx делается совершенно так же, как
kh
(*+D*
уже проведенная оценка для J й2(х, i%)dxi
kh
(£-М) h I
С uf (х, t)dx = h\ (1 _ g)-|_gl2 rfg
kh 0 J
ui> । ^ui+l, fe+1 — Щ,
Суммируя эти неравенства по k, будем иметь:
i
J Й? (х, 0 dx < h 2 (^brz-ч^8 < max й 2 “'’*)* =g В,,
о k h
Тем самым доказано, что
i
max J й| (х, i) dx В$.
1 о
Теперь заметим, что при / = /т на интервале kh<x<(k-[-\)h произ-
водная йх (х, /т) постоянна:
iix (х, 1%) = .
Отсюда
i
f йх(х> /т)dx = ft.
и k
На интервале времени ix<Zt <(/+ 1)т производная йх линейна по t:
йх(х, t)=^i-(-^ax(x, 1г)+^йх{х, (Z+1)T)
Отсюда
1 . 1 , 1
t)dx^(\— й*х(х> iT)dx + t-^ ( йЦх, (Z4-l)x)dx^
у \ * / t) V J
I
max йх (х, ir) dx sg max h •
* 0 i k
Последнее из трех анонсированных неравенств
i
max $ йх (х, t) dx^B%
i о
Доказано.
188 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ц'
Пусть у нас есть не одна сеточная функция uik, а целое семейство
(бесконечное) таких функций. Предположим, что каждая из функций,
этого семейства удовлетворяет неравенствам
max h 2 ulk А
l’ *
щах/г ^Bi,
i T 1
max h 2 (U1,
Тогда продолжение й(х, f) на весь прямоугольник каждой из функций
нашего семейства будет удовлетворять неравенствам
i
max (й2(х, t)dx^A,
I
max ( (й| + й*) dx < Вг + В2 = В.
Как было показано в предыдущем параграфе, функции {й} образуют
ограниченное и равностепенно непрерывное семейство. По теореме
Арцела это семейство компактно относительно равномерной сходимости.
Мы знаем, что для достаточно малых разностей времен tx —t2
\й(х2, — *1)1^УвУ1х2—х, |4-4 —М,
|й(х, *)^]/£ + 2УаВ.‘
Фиксировав xv tv х2, t2 и выбирая последовательность {й} функций,
равномерно сходящуюся к пределу и(х, t) мы, очевидно, для этой пре-
дельной функции получим такие же неравенства с теми же константами:
|и(х2, Q — и(хь I У В v I х2—хх |4-4 V~B v I ^2—^11,
|Н(х, 01^^4-27^:
Пусть теперь каждая из сеточных функций uik принимала при £ = 0
значения, равные значениям некоторой фиксированной непрерывной
функции ф (х):
иоа = Ф(^).
Тогда соответствующая проинтерполированная й(х, 0, очевидно, будет
удовлетворять неравенствам
| й (х, 0) — й (kh) | = | й (х, 0) — ф (kh) | У В У \ х — kh |,
| й (х, 0) — ф (х) | Y В У\x — kh\ +1 ф (х) — ф (kh) ].
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
189
Если выбрать = так’ чт0 Расстояние между точками х и kh
л ет меньше h, а затем рассмотреть сходящуюся последовательность
*’нкпий {«}, проинтерполированных по сеточным, соответствующим все
более малым' шагам, то для предельной функции мы получим равенство
,х o) = <p(-v)- Следовательно, предельная функция и(х, t) принимает
при’^ = 0 начальные значения <р(х).
F Аналогично можно установить, что. если семейства сеточных функ-
ций {«kV}» были ПРИ k=z° (т- е- при х = 0) связаны соотно-
тениями вида
и'го = «12 (К) И/О + а18 (гт)
с непрерывными функциями а12(0> а13 (0, то предельные функции и(1\
м(2), и(3) обязаны удовлетворять граничному условию
w(1)(0, 0==a12(f)u<2)(O, 0 + a13(0'w{3)(0, f).
Конечно, мы предполагаем, что для каждой сеточной функции 1$ выпол-
нены такие же оценки, обеспечивающие компактность, какие мы пред-
полагаем выполненными для uik на протяжении всего этого параграфа.
Число функций, связываемых таким граничным условием, может быть,
конечно, любым. Естественно также, что левая граница ничем от правой
не отличается.
Если семейство сеточных функций удовлетворяет непрерывным
начальным данным и граничным условиям с непрерывными коэффи-
циентами и если эти сеточные функции подчиняются указанным
выше неравенствам, обеспечивающим их компактность, то пределы
сходящихся последовательностей таких функций (предварительно
интерполированных) тоже будут удовлетворять тем же началь-
ным и граничным условиям.
Пусть теперь нам заданы два семейства сеточных функций {uik} и
{‘ty/J, связанных соотношениями
h
и удовлетворяющих неравенствам
max h ^ulk^A,
1 k '
max h 2
k
max h 2 «S
I t.
max h V vjk A,
i k
max h V
1 & x
max h k^^~V' k j2 B%-
Семейства проинтерполированных функций {й}> {5} будут при этом
компактны. Выбрав сходящуюся подпоследовательность функций {й},
а из нее выделив подпоследовательность такую, чтобы соответствующие
190
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
v тоже сходились, мы построим предельные для этих подпоследователь-
ностей функции w(x, f), v(x, t). Сейчас будет доказано, что
v(x, t)
ди (х, 0
дх
и одновременно установлено существование производной в правой части
этого равенства.
Очевидно, что имеют место следующие цепочки равенств (х2>х1):
U (Х2, t)—u (х1; 0=й h, [у| т) — й [ y] т) +
+о(1А+/л)= 2
Чт]
[_ Л J
. = 2 Vikh+° w*+
Ь_Г-Ч1
*=bd
L h J [ h J (Л -}- 1) Л
У. У J v(x, ;т)</л + о(|ла —х1|У"л) =
* = ffl Чт] “ •
X2 — _
— J v(x, ix)dx 4- O(|^2—xi I Y h) + 0 =
X2 _ _ ______
= J v(x, t)dx + o(\x2 — х1|У'/г) + 0(]/’л) + 0(|х2—*il Y[t — fr|);
#2 _
u(x2> t)—u(xlt t)= $ 3(x, f)dx + O(y~h + Yv)-
Переходя к пределу при /г, т -> 0, получаем для предельных функций
iz(x, t\ v(x> t)\
X2
- и (x2, t) — и (xv t) = J v (x, t) dx.
Xi
Ясно, что это равенство можно продифференцировать по верхнему
пределу. В результате этого дифференцирования как раз и получается
доказываемое утверждение
z ди (х, О
, v(x> t) = —
4 J дх
§ ,7] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 191
Замечание. Правые и левые разностные отношения
«. __Mr. fe+l uik _____uik ui,k-l
V‘k-~ h ’ V,k h-----------------
, n du
сходятся при h, т -> 0 к одному и тому же пределу , если только к
нему сходятся vik (условия на разностные отношения, наложенные
в предыдущем доказательстве, предполагаются выполненными и здесь).
Доказательство следует из равенства для проинтерполированных
функций:
5(х, t)—v(xf Z) = 5(x, t)—v(x — h, t) = O
Предположим еще дополнительно, что разностные отношения
wik = ?i+1-*~Uik
удовлетворяют неравенствам
max h У Wik А,
1 к
. max h
k
max h k+i—wik\*
k
Тогда можно выбрать одновременно сходящуюся подпоследовательность
сеточных функций {uik}, {w/A} и про их пределы ut v, w утверж-
ди ди п ди
дать, что 1? = ^, Равенство ‘^ = -& доказывается совершенно
так же, как было обосновано утверждение ^ = 1^. Мы не будем оста-
навливаться на повторении этого рассуждения.
Теперь мы закончили несколько громоздкое, хотя по существу очень '
элементарное, изучение сеточных функций и их пределов. Переходим
собственно к теореме существования решений у гиперболических систем.
Мы будем изучать в прямоугольнике 0 х Z, систему
уравнений
+ + (/=1, 2,..., n0),
I
с граничными условиями
п
/ Hf= У atjUj
j—n0+ 1
no
(/=1, 2,..., nQ) при x = 0,
(Z = fl04- 1,n) при x = Z,
192
гиперболические уравнения
(гл. п
которые предполагаются диссипативными. Начальные данные щ(х, 0)=^
= (х) предполагаются достаточно гладкими и согласованными с гра.
ничными условиями вместе со своими производными до достаточно
высокого порядка. Предполагается также достаточная гладкость коэф,
фициентов CQy(f), граничных условий.
Мы построили для описанной задачи формально приближающую efe
разностную схему и для решений разностных уравнений получили оценки:
max
max
III const,
x, i
max
x, i
Лх У [+ { “L? + const.
Из этих оценок следует, как мы показывали, компактность
(Правильнее было бы говорить о компактности не самих этих сеточных
функций, а их интерполяционных продолжений й/, vif W}.) Кроме того,
было показано, что если щ -> Ub -> V/, -> Wi, то эти предельные^
функции связаны равенствами
17 $^1 \Y7 &U j
Vt = ~dx’ Wi==~dt-
Для сеточных функций по построению были выполнены разностные
уравнения (в точках сетки)
I
Правда, разности в некоторых уравнениях брались правые, а в неко-
торых левые. Это не помешает нашим выводам, так как мы уже объяс-
няли, что интерполяция правых и левых разностей отличается на О
и при эти разности стремятся к одинаковым пределам.
Так как интерполяции сеточных функций щ, (мы их будем
обозначать соответственно й/, ©;) в точке (х, t) отличаются от значе-
ний в ближайшей узловой точке сетки на величину не более
а в точках сетки выполнены разностные уравнения, то можно утверж-
дать, что
Wi± + fi = о(1) при h, т->0.
7] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 193
Поэтому для предела сходящейся подпоследовательности должны быть
выполнены равенства
или,
что то же самое.
Z
Проведенные в начале параграфа рассмотрения показывают, что эти
предельные функции удовлетворяют начальным данным' и граничным
условиям.
Сформулируем еще раз доказанную нами теорему и все налагаемые
при этом условия.
I. Область, где строится решение, является прямоугольником ,
О х < L, 0 t < Г.
П. Система уравнений
d^+k^+2mtiUi==fi (/=1> 2..............
— (Z = «o+ 1..«)»
z
ki(x9 0>0-
Коэффициенты и правые части предполагаются достаточно глад-
кими.
III. Гциничные условия на левой границе
ui= У а//«/ (i=l> 2, .... пй\
на правой границе
п0
S (/ = «о+1> •••> «)
/=1
Здесь <Ху({)9 — достаточно гладкие функции времени. Гранич-
ные условия предполагаются диссипативными. Это означает, что
любая функция, удовлетворяющая граничным условиям, удовлетво-
ряет также и неравенствам
По п
— У kpif У] kjUl^id — на правой границе,
/ — 1 I «= По 4~
п п0
— -S ^zMz + 0 — на левой границе,
i -н z«i
7 С. К. Годунов
194
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
IV. Начальные данные ,щ(х, 0) = ф;(х) предполагаются доста-
точно гладкими и согласованными с граничными условиями вместе
со своими производными достаточно высокого порядка.
V. При предположениях I—IV существует единственное реше-
ние поставленной задачи в прямоугольнике O^Cx^CL,
(единственность была доказана в § 14).
Для этого решения были получены оценки с постоянными, выражаю-
щимися через размеры прямоугольника, через коэффициенты уравне-
ний и граничных условий, начальные данные и через производные этих
функций достаточно высокого порядка.
Вот эти оценки:
I Щ I sC const, | | const, | ~ const,
ISI —Si I<const (Ж-^i+Ki^i—-v2i)>
1*1, tl |*fi, *2
IS i —Si Ic°nst(ki^i-^i+r)-
1*1, 6 1*2, ti
Сделаем несколько замечаний относительно доказанной теоремы и ее
формулировки.
Замечание 1. В формулировке пункта III можно отказаться от
требования диссипативности граничных условий. В случае, если гранич-
ные условия имеют такой вид, как в пункте III, то преобразованием неиз-
вестных щ(х, t) можно добиться выполнения условий диссипативности.
Это преобразование приведет только к некоторому изменению констант
в окончательных оценках. Если коэффициенты граничных условий и
уравнений не зависят от времени t, то преобразование неизвестных
функций также можно сделать не зависящим от времени.
Замечание 2. Если система с коэффициентами и граничными
условиями, не зависящими от t, и с нулевыми правыми частями = Q
задана в области 0^£<оо, O^x^L, то решение поставленной
задачи существует для всех f > 0 и удовлетворяет оценкам вида
I ~ SI ID(KlV^M + Kl^-Xxl),
1*1, h . 1*2, t2
I “Si Q(VlV^I+l/|x2-x,I).
1*1, tl 1*2, h
Экспоненциальная зависимость констант от времени следует из оценки
для роста разностных «интегралов энергии», полученной в конце § 15.
§ 17] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 195
(Постоянная /И в этой оценке не зависит от\высоты по t прямоуголь-
ника, так как мы предположили, что коэффициенты не зависят от t)
Сделанное в этом замечании утверждение понадобится нам в даль-
нейшем в гл. 4 при построении теории метода Фурье и преобразования
Лапласа.
Замечание 3. Нами была доказана единственность решения за-
дачи Коши для гиперболической системы. Эта задача требует только
начальных данных. Граничные условия ей не нужны. Решение опреде--
ляется однозначно внутри характеристического треугольника, опираю-
щегося на отрезок оси х, где задаются начальные данные. Этот треуголь-
dx
ник высекается характеристикой -^ = ki (х, t) с наибольшим прохо-
dx
дящей через левую границу отрезка, и характеристикой — = ЛДх, t)
с наименьшим ^(х, t), проходящей через его правую границу. Коэффи-
циенты ki(x9 t) системы
k
мы здесь не предполагаем строго положительными или отрицатель-
ными. Они могут даже менять знак.
Мы сейчас покажем, как из нашей теоремы существования для гра-
ничной задачи вывести теорему существования решения задачи Коши
внутри характеристического треугольника. Во-первых, покажем, что
можно ограничиться только случаем строго положительных наклонов
характеристик ki(x> t). Действительно, преобразование независимых пе-
ременных
х'=х— at, tr—t
приводит систему к виду
у + (я + ki) ~ mikuk =fi.
k
Ясно, что выбором достаточно большого положительного а можно
добиться положительности наклонов характеристик
dx' . ,
Рассмотрим систему с положительным наклоном характеристик внутри
некоторого достаточно большого прямоугольника, содержащего харак-
теристический треугольник (рис. 51). Если система не была ‘определена
в этом прямоугольнике всюду, то мы ее доопределим, продолжив коэф-
фициенты и правые части произвольным достаточно гладким образом.
7*
196
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
Продолжим также начальные данные на все основание этого прямо-
угольника. Так как систему мы предполагаем с положительными kit то
граничные условия нужно для нее задавать только на левой границе.
Зададим их опять-таки произвольно достаточно гладкими и согласован-
ными с начальными данными. (В качестве граничных условий могут быть
заданы значения всех неизвестных функций щ на левой границе.)
У такой расширенной задачи по доказанной теореме будет суще-
ствовать решение. В частности, оно будет существовать и внутри
характеристического треугольника. По
теорема единственности решение внутри
этого треугольника не зависит от нашего
произвола в продолжении уравнений, на-
чальных и граничных условий.
В нашем доказательстве мы не сфор-
мулировали аккуратно предположений от-
носительно коэффициентов и начальных
данных (из которых следовала бы возмож-
ность их гладкого продолжения) и не дали
точного описания , такого продолжения.
Мы не будем останавливаться на этих тонкостях. Этими замечаниями
мы закончим наше обсуждение теоремы существования.
В разобранном нами случае двух независимых переменных существуют
более элементарные способы доказывать теорему существования по
сравнению с тем, который мы выбрали. Наш выбор метода интегралов
энергии и простейших условий компактности был обусловлен тем, что
идея этого метода допускает для симметрических гиперболических си-
стем перенесение на случай большего числа пространственных перемен-
ных. Наиболее удобные и поэтому наиболее употребительные условия
компактности функций носят название «теоремы вложения С. Л. Соболева».
§ 18. Волновое уравнение. Формула Кирхгофа
Задача Коши и теорема единственности для волнового уравнения. Формула
решения задачи Коши в случае одного пространственного переменного. Вывод •
формулы Кирхгофа для решения в случае трех пространственных переменных.
Обоснование этой формулы. Метод спуска и получение формулы Пуассона для :
решения двумерного волнового уравнения. Сводка формул для одномерного, дву- ;
мерного и трехмерного пространств. Лакуна в области зависимости в трехмерном..
случае. Резкий передний и задний фронты от возмущения в ограниченной области. |
Другая ситуация в случаях одного и двух измерений. Диффузия волн. Сферически^
симметричная звуковая волна. Необходимая гладкость начальных данных. Запаз- i
дывающие потенциалы. >
Мы не будем в нашем курсе изучать общие теоремы существования '
гиперболических уравнений с двумя или тремя пространственными перемен-
ными. Мы ограничимся лишь тем, что построим явные формулы для i
решения одного гиперболического уравнения второго порядка с посто- :
янными коэффициентами. К этому уравнению, обычно называемому вол-
§ 18} ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА 197 .
новым уравнением, сводятся многие физические задачи. Волновое урав-
нение в случае одной, двух или трех пространственных переменных
записывается так:
д2Ф__ 2 д2Ф
д?~С* дх*'
<?2ф _ 2/д2ф £2ф\
дР ~+ dt^j'
Й2Ф _ /02ф Э2Ф <Э2ф\
а/2 —
Изучение волнового уравнения мы начнем с теоремы единственности,
доказательство и формулировку которой мы приведем только в случае
двух пространственных переменных х, у.
Повторение этого доказательства с соответствующим изменением
формулировки для одной или трех пространственных переменных может
служить полезным и несложным упражнением.
Задача Коши для волнового уравнения ставится так. В некоторой
области D плоскости / = 0 задаются в качестве начальных данных
Ф|/-о = Фо(*> .у)> ?
ФЛ-о=Ф1(*> у}-
Нас интересует, в какой области пространства х, у, t эти данные
определяют единственное решение. Уравнение характеристической по-
верхности <р(х, у, t) = const для волнового уравнения
фМ(фНф>0
имеет в точности такой же вид, как и уравнение характеристик для
системы, описывающей распространение звука. Поэтому мы имеем осно-
вание надеяться, что граница области единственности будет как для
волнового уравнения, так и для этой системы одинакова. Мы сейчас
подтвердим эти соображения доказательством. Область единственности
мы будем описывать как совокупность всех точек (х0, у0, /0), tQ О,
для которых характеристический конус
(х — х0)2 4- (у—j0)2 — cl {t—10)2 = О
пересекается с плоскостью £ = 0 по окружности
(х—х0)2 + (у —j0)2 = cltl,
Целиком лежащей, вместе ,с ограниченным ею кругом
(х - Х0)2 4- (у —J0)2 < с$,
внутри области D. Нам достаточно убедиться, что если при t — Q внутри
Круга
(X—х0)2 4- (J - J/ ==£ сЩ
198
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
функции Ф0(х, _у) = 0, Ф^х, j’) = 0, то Ф = 0 внутри конуса
(х—xft)2 + (_y—_yo)a<^tf—*o)2>
О < t < tw'
имеющего этот круг основанием. Для доказательства обозначим:
Очевидно, что эти функции р, и, v удовлетворяют уравнениям
। др_а
dt "Г дх ’
dv.dp_n
dt+fy-0’
^4-V-4--\-0
которые совпадают с уравнениями распространения звука (р0=1)- Из;
условия ф|^=0 —0 вытекает, что
। дФ I п । дФ I л
u\f ft =—ч- =0; v Lft =--ч— = 0.
1М) дх |/в0 и 0 ду к-о
Условие же —0 перепишется как р|^о==О. j
Теперь мы можем уже воспользоваться теоремой единственности для '
системы уравнений акустики и утверждать, что всюду внутри конуса >
и=у=р=0 или, что то же самое, Фх = ф^ = ф, = 0, т. е. что Ф = const'
Так как Ф = 0 при Z = 0, то Ф=0 всюду внутри конуса. Доказательство ^
теоремы единственности для волнового уравнения закончено.
Прежде чем переходить к выводу формул для решения волнового ;
уравнения в трехмерном пространстве, рассмотрим одну специальную
краевую задачу для одномерного волнового уравнения.
Пусть Ф (х, 7)— дважды непрерывно дифференцируемая при х^О,-
функция, удовлетворяющая в этом квадранте уравнению *
д2Ф__ 2д2Ф ;
dt* дх*'
начальным условиям
Ф(х, 0) = ф(х),
Ф/(х, 0)=ф(х) -
и граничному условию Ф(0, 0 = 0. Постараемся найти явную формулу?
для функции Ф (х, 0. Для этого продолжим функцию Ф (х, 0 на об-|
ласть х<0, нечетным образом: |
Ф (— х, 0 = — Ф (х, 0.
Так построенная функция будет, очевидно, в силу граничного условия;
непрерывна вместе с первыми производными. Так как в силу уравнения'
199
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА
§ 18J
5? (О, 0=^^(0» 0 = 0. то функция
рывно дифференцируема при
А в таком случае, как мы знаем (§
ется формулой Даламбера
ф(*--С()0 + ф(х+со0
Ф (х, t) будет дважды непре-
5), решение задачи Коши зада-*
x-\-cot
X — Cot
Здесь ф и ф — функции, полученные из заданных на положительной
полуоси ф(х) и ф(х) нечетным продолжением на всю ось х.
В дальнейшем нас будут интересовать значения решения при 0^х<
< с0Л Перепишем формулу в этом случае, учитывая, что
ф (х - с ot) = —ф (с ot - х),
x-\-cot cot~~x cot + x cot + x
X—CQt X — C^t C^t-X Cot—X
В результате мы получаем формулу
Cot-]-X
ф (х, t) = + _L J ф (g) (1)
Cot— X
которая нам скоро понадобится.
А теперь перейдем к получению формулы для решения волнового
уравнения в трехмерном случае
32ф__ 2/02ф 02ф | 02Ф\
dt2 ~ C°\dx2 ' ду2 т- дг2)
с начальными условиями
Ф (х, у, z> 0) = Фо (х, у, г),
Ф/ (х, у, z, 0) = Ф2 (х, у, z).
Решение будем считать достаточно гладким и попытаемся найти форму-
лу, выражающую через начальные данные среднее от функции Ф по
сфере радиуса г с центром в точке (х0, у0, г0)
Ф (Г’ = И Ф (Х’ У> Z’ dSr‘
Sr
Здесь <$г—указанная сфера, где точка (х0, j/0, z^) будет фиксирована
До конца вывода формулы.
Если перейти от интегрирования по сфере радиуса г к интегрированию
По единичной сфере Si, то можно записать другое выражение для Ф (г, ^).
^Sr’ = 4S И Ф (х° + аГ> Уи + РГ’ d®-
200
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. II
Здесь d($ = ~dsr — элемент площади единичной сферы, или телесный »
угол, под которым из точки (х0, >0, z0) виден элемент площадки ds\ а,
Р, у—координаты точки на единичной сфере.
Если ввести сферические координаты
a=sin6cos<p, 0^6=^ л,
P = sin 6 sin ф, 0=Сср^2л, '
y = cos 9,
и учесть, что элемент площади tZ<o = sin в d<pd$, то получим еще одну
форму записи для Ф(г, 0:
2тс тс
ф(г,0=^ § O(xo + rsin0cosq), >0 +
о о
4- г sin 0 sin ср, zQ + г cos 9, t) sin 0 dtp do.
Всеми этими тремя видами записи для функции Ф(г, 0 мы будем в
дальнейшем пользоваться.
Формулу, представляющую Ф(г, 0 .через начальные данные-
Ф(х, у, z, О) = Фо(х, yf z), ФДх, у, z, 0) = Фг0с, у, z), мы выведем/
выписав дифференциальное уравнение, которому Ф(г, 0 удовлетворяет.,
Конечно, это уравнение тоже будет уравнением с частными производ-
ными, но его решение нам удастся свести к использованию полученного-
нами варианта формулы Даламбера.
Проинтегрируем волновое уравнение
02Ф_ 2 /W) Л2ф А2ф\
dt2 ' ду2 + дг2)
для Ф(х, у; z, Г) по шару £>г.[(х—х0)2 + (^—j/0)2 + (2—г0)2^г2]. Ин-
теграл от левой части уравнения запишем в виде повторного (сначала
по сфере Sp радиуса р, ds? = р2 dp dw, а затем по радиусу р), а к пра-
вой части применим формулу Гаусса — Остроградского
о \ Sp ' 8.
= с» [4$(*o + ar> Л + Рг, г0 + уг, 0]r2rfco = ,
а2-4-р2 + 12 = 1
= ф3 Фг(хй + аг, л + Рг, z0 + yr, t)d<D =
«!+РЧ-Г=1
= с»г2^ ф(хо + аг, у/0 + рг, г0 + уг, 0<Z<B =
“2+₽’+i2=| '
. . . <ЗФ (г. 0
= с6г-4л—
J
§ 18J
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА
201
Заметим еще, что
р2 S’ И ф(х« + аР> J'o + Pp-
а»4-р_|_72=1
А) + ?Р> 0^® ^р =
2 л д2Ф (р, /) -
Ра-4л—’dp.
Дифференцируя. по г обе части равенства
р2-4л
а2ф(Р- 0 d0 _ . 4я ЗФ 0
Й2 яр — V ™ дг
приходим после сокращения на 4лг2 к уравнению
dt2 г2 дг \ дг / ’
Это уравнение описывает, между прочим, распространение сферически
симметричных волн. Действительно, если Ф (х, у, г, t) зависит лишь от
г=уг(х—Л70)2 + (у—Jo)2 + (* — ^о)2 и от т0 она совпадает со своим
сферическим средним.
Уравнение для Ф простой подстановкой ф = ф/г можно свести
к стандартной форме одномерного волнового уравнения. Действительно,
дФ __ 1 дФ Ф д 2 дФ _ д2Ф . дФ дФ _ д2Ф
дг г дг г2 ’ дг Г дг Г дг2 дг дг ~~Г дг2 ’
откуда
д2В_ 2д2Ф
dt2 ~Cq dr2 ‘
Функция Ф (r, t), определенная при г^О, удовлетворяет при г = 0 гра-
ничному условию
Ф(0, £) = 0.ф(0, о = о.
•Легко выписать также начальные данные для Ф(г, t)\
ф(г, 0) = гФ(г, 0)=^; J § Ф(*’ У’ = § § Фо(*> У>
и аналогично
ФДГ- °) = 4йД ф! (х> У’ z)dsr
202 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (1%|/
Мы пришли, таким образом, к разобранной уже задаче для одномеп|
ного волнового уравнения на полупрямой г^О и можем выписатЗ
формулу для ее решения. Правда, для полного обоснования нам надо!
было бы проверить, что Ф(г, f) дважды непрерывно дифференцируй!
всюду в замкнутом квадранте, в том числе и при г = 0. Это нетруд^
сделать, но необязательно. Все равно выведенную формулу придет^
проверять, чтобы доказать теорему существования решения задачи Кощ^
Ниже мы покажем, что функция Ф, определяемая по выведенной здесь?
формуле, удовлетворяет волновому уравнению и начальным условиям.. |
Итак, для значений r<ZcQt согласно формуле (1) имеем |
__ СО^“Ь’Г Л
Ф(г, 0 = <Р(г+^Ь<р(^~-) + ё- 1
Z Z4) J J:
С^~Г 1
ГДе ' j
= 0) = 4^| J $ фоО> У> z)dSK, ..
0)=^ J J Фх(х, у, 2)dSv • ?
£
Теперь остается лишь заметить/что |
ф (*о> Уо> *«, 0 -= Ф (0, 0 = lim =^(0, 0,
г->0 ' ог й
и вычислить эту производную: I
^(о,1
V/ Со
Подставляя вместо функций ф и ф их выражения через начальные дан-
ные, приходим к окончательной формуле для решения Ф (х, у, z> 4
задачи Коши: *
Ф (х0, j/0, z0, i) —
И ^X’y^dSr
5r(X0’ ^0’ ^o) _', = C0/
- 1 Г ‘
4nrc0
?o’ ^o)
= —Г—/—
4яс0 \dt I cQt J
L \ 5Co*(XO’ *o)
®i(x,y,z)dsr
Фо ds'j + ту Ф1 ds
' SCot(Xtf >0’ *o)
Эта формула носит название формулы Кирхгофа, Здесь в обозначения
сферы Sr явно указаны координаты х0, j/0, zQ ее центра.
203
U (х, у, z) ds
-0
мо U-
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА
$ 181
Так как (х0, у0> ^0)“~любая точка из числа тех, для которых сфера
5 , целиком лежит (вместе с-ограниченным ею шаром) внутри области
задания начальных данных, то мы и получили формулу для представ-
ления решения всюду внутри той области, для которой может быть
доказана теорема единственности. Правда, в приведенном нами выводе
мы исходили из того, что решение поставленной задачи существует.
Сейчас мы проверим, что выведенная формула действительно дает ре-
шение уравнения и что это решение действительно удовлетворяет постав-
ленным начальным условиям. Тем самым будет доказано существование
решения и завершено обоснование формулы.
z Сначала докажем следующую лемму.
Пусть U(x,y,z)— два раза непрерывно дифференцируемая функ-
ция. Тогда функция
-^о’ *о)
обладает следующими свойствами:
V(0)=~0,
гк-1/«=у«>-о.ад
Напомним, что
U (х, у, г) ds =
Sc$t (X0’ Л)’ ^о) (
2гс гс
= $ \U (*о + со( sin 0 cos ф, Уо + sin 6 sin Ф, z0 + cot cos 8) сУ2 sin2 8 d8 dm.
0 0 . .
Для доказательства представим U (x, у, z) по формуле Тейлора
U = + Uo* (x - x0) + Uoy (y-у0) 4- Uox (z - z0) + Uoxx + ...
• • • + Uoyz (у - y0) (z—zJ + o [(x—x0)2 + (y —y0)2+(z—z0)2].
Проинтегрировав эту формулу по сфере SCot (х0, у0, z0) и замечая, что
интегралы от линейных членов равны нулю, мы получим:
$ U (х, у, z) ds = 4леУ2и0 + At* + o (t*),
scQt (Х0’ ^0’ 2q)
V®=4^ii $ и(х’У> z)ds=U0t + Bt* + o(P).
Scot (X0’ ^0’ *o)
Из этой формулы следуют все сделанные нами утверждения.
Применяя к формуле представления решения
Ф(хо’Л>
Фо ds^ + ^V $ Ф1</«
SCQt (хо* >*0’ *о) ' SC0t(XQ» >0’ го)
204
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ГГЛ. ц -
результат леммы, мы видим, что >
Ф (х0, у о, z0, 0) = Фо (х0, j0, г о),
Ф (х0, Jo, г0, о = Oj (х0, Jo, z0). ;
Эти формулы и доказывают, что начальные данные принимаются. ?
До сих пор мы пользовались формулой, записанной так, что она*
давала значение решения в фиксированной точке в разные моменты!
времени t Чтобы ее можно было применить для различных точек, надо!
d ?
производную в правой части заменить на чтобы подчеркнуть, что -
дифференцирование по времени производится в фиксированной точке;:
пространства. В дальнейшем мы и будем записывать формулу для реше-1
ния в следующем виде: |
Ф<Х>У>
Фо<М+Л ф1^
dt \ cQt J / >
\ SCot(XO> >0’ го) ' SCot(XO' У О' го)
Прежде чем доказывать, что Ф(х, у, zt t) удовлетворяет уравнению,f
заметим, что если и(х, у, z, t) — достаточно гладкая функция и <
д2и 9 (д2и . д2и . д2и\ n
~5Р~сь \д& + ду* °’
io и |
MSV HSO ’О 1
~dfi C° dx2 + ~dy* h = f
__ d fd2u 2 / d2u , d2u . d2u \] n v
— dt L a/2 ~ \d>fi + + Эг2 /1 ~ U‘
Благодаря этому нам достаточно будет показать, что интеграл типа
н(х, j, z, 0 = ^7 § Т), C)ds
s SCot(XO> ^0. ^о)
является решением волнового уравнения. Запишем это равенство
дробнее:
по-
к
и(х, у, z, f) =
U (х + cot sin 6 cos ср,
y + 6 БйГф, г +
+ eot cos 6) со^2 sin 6 tZ6 йф ==
2тс тс
= сof J U (х + cQt sin 9 cos ф, у + cQt sin 9 sin ф, z + cQt cos 9) sin 9 M d(f
oo
и будем его дифференцировать.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА 205
$ 181
ди.
Начнем с вычисления
2тс тс
ди _ «. j. cot \ \ t/(x4-c0^sin9 cos ф, _v4-cofsin6sin(p, ? +
dt t dt $ $
2тс it
I Cot cos 6) sin 0 dS dtp = у + cot c0 [t/e sin 0 cos ф + sin 0 sin <p +
0 О
2тс tc
-p Uz cos 6] sin 6 M dq~~ + ~ [U^ sin 6 cos <p + sin Osin <p +
o о
+ Uz cos 6] sin 6 dB dtp.
Теперь мы обратим внимание на то, что со^2 sin 0 dB dq является эле-
ментом поверхности сферы радиуса cQt. Заметим также, что аргументы
производных U. лежат на этой сфере (эти аргументы х +
+ c$tsin 0 cos ф, j/-}-Cf/sin б sin ф, г-}-£(/cos 0). В то же время sin0 cosф,
sin 0 sin ф, cos 0 являются компонентами единичного вектора внешней
нормали к этой сфере.
Эти замечания позволяют нам записать результат в следующих
формах:
ди и । 1 С ди .
\ dS==z
dt t 1 t J dn ,
sc^x’ У>
=1+4 Щ (^e + ^4 + t/„)^^^=T+4
« - x)2 + 01 -У)* +(C - г)2 < c2/2
(интеграл мы обозначили через I). Дифференцируем еще раз:
д2и _£ du _i_ _L !_ 1 / и . / \ и 1 .1 д! 1 д!
dt2~tdt I2 "г Т di~ — ~t\t + 7/ F— Т2 + 7 di ~ Т dt ‘
Так как
/=
(С-г)2Сс|<2
ТО
cot Г2тс тс
= $ Ц (^5 + Unn + U^) sin 9 dQ d(f>r2
о Lo о
drt
д4 = со Ц (U^ + U^ + U^ds.
SCQt(x> У* z)
(В самом деле, производная по t от интеграла по шару переменного
Радиуса равна интегралу по поверхности, умноженному на производную
206 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. II
радиуса по £.) Итак, мы установили, что
5 = 7 (Уи + и„+и„)*. (2)
‘ SCq((x, у, г)
С другой стороны, непосредственным дифференцированием формулы
ll(x, у, Z, t) =
2п те
= — С С (J{x + cot sin 0 cos <p, у + cot sin 0 sin <p, z + cos 0) co^2 sin 0 <Z0 dtp
Co* J J
мы ’приходим к равенству
ихх 4- Цуу 4~ ягг—J 4" 4"
° SCQt(xt у, z)
(3)
Сравнив (2) и (3), видим, что
и«==4(и^ + и,’у+н«)>
а это и надо было
доказать. Тем самым формула Кирхгофа
Ф (х> yf z, t)
Р-Гж-f-/ фо<^ + -^
4лс0 dt 1с0/ J ) с(^ J
- \ SC(/X> У> *) / scot(x> У* г>
обоснована. Чтобы получить аналогичные формулы для двумерного/
уравнения ?
32ф_ 2/д2Ф д2Ф\
дР ~С(\дх* -г ду2]'
заметим, что этому уравнению, очевидно, будет удовлетворять решение/
трехмерного уравнения г
02ф _ 2 /02ф 02ф 02ф\
а/2 — С°\ дх2 + ду2 ' dz2 /’
не зависящее от z. Для получения таких решений достаточно рассмат-
ривать начальные данные, не зависящие от z. В этом случае интегралы
по поверхности сферы (£ — at)24~(J — Л)24”(^ — £)2 = ^2 могут быть за*'
писаны как интегралы по внутренности круга
Покажем, как это делается. Пусть U= U (х, у) не зависит от
' § 18)
Тогда
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА
207
я
J U (х + сot sin 8 cos ср, у + cQt sin 6 sin ф) c^t2 sin 8 rf8 dq> =
О о
2те it/2
= J J U(x + cQt sin 8 созф, у c.t sin 6 sin ф) сЦ2 sin 8 rf8 rf<p -|-
0 0
2it n
+ jj J U (x + c()t sin 9 cos <p, у sin 9 sin ф) eft2 sin 9 d9 </ф—
0 it/2
2it it/2
= 2^ ’J. U(x4-cQtsin 8 cos ф, + 9 sin <p)^2sin 8 d8 dtp.
0 0.
Проделанное нами разбиение интеграла на два одинаковых имеет следу-
ющий смысл. Каждая прямая, параллельная оси z, пересекает сферу
<$С(Дх, J, z) в двух точках, которые лежат одна на верхней, а другая
на нижней полусфере. Наше разбиение интеграла и означает его разде-
ление на части, относящиеся к этим полусферам. Обозначим р —sin 8,
dp = cot cos 8 rf8. Заметим еще, что при 0^8^л/2
COS 9 = у 1—sin2 9 = 1/' 1 — 4/с1?—Р2-
Теперь можно написать, что
2it it
J J U (х 4- cQt sin 8 cos ф, у 4- cQt sin 8 sin ф) c^t2 sin 8 rf8 </ф =
о 0
2n it/2
=2q у ^х+рсо8(р’>+psin^^4^r^(/erf<i)=
2it cot
= 2^ \ t/(x4-pcos<p,^ + Р81Пф)^^Д=
J FCo^-pn
2it cot
— 2cot ( ( y + psinq»P// ,
? K^8-p2
Подставляя так преобразованные значения интеграла по поверхности сфе-
ры в формулу Кирхгофа, мы получим:
ф(*> у, t)
1
2лс0
(2it cot
С С Фо (х + р cos ср, у + р sin ф)
J J
р dp d(f 4-
2тс cot
С С Ф1 (х + рcosep, у +р sing>)
J /4/^5
prfp б/ф
208
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ГГЛ. п
Эта формула, дающая решение волнового уравнения в двумерном слу^
чае, носит название формулы Пуассона. Обосновывать эту формулу.'
проверкой, показывающей, что она удовлетворяет уравнению и началь-
ным данным, не нужно, так как она является следствием уже обосно-
ванной формулы Кирхгофа.
Сейчас мы сделаем качественные выводы из полученных формул
решения волнового уравнения во всех трех случаях и покажем, как они-
применяются к решению уравнений звуковых волн. £
Выпишем для справок сводку формул:
x-\-cQt
1. Ф(Х, t = ) фо(х+со0 + Фо(х-СоО + 1 С <Dj(g)dg
X — cot , *
, . -9
— формула Даламбера (одномерное пространство).
/2л cot \
УМ Ф0(х+рсоз(р,У+р5т(р)рф</(р h
2. s
2л cot
. С С Ф1(х+рС08ф, y+psinq>)
pdp d(f
fc^-p2
— формула Пуассона (двумерное пространство).
3. Ф (х, у, z, t)
/ 2л л
— 1 3 I 1 С (
4лс0 dt \cQt £ У
Фо (х + cQt sin 9 cos ф, у 4-
\ 2л л
4^0£ sin 6 sin ф, z 4- cQt cos 6) ф2 sin 6 dti dq> j + ^7 § (*+
/ 0 0 0
4~ cot sin 6 cos ф, у 4- cQt sin 6 sin xp, z 4* cQt cos 6) c^t2 sin 6 d$ dq>j
— формула Кирхгофа (трехмерное пространство).
В приведенных формулах Фо обозначает начальное (при £ = 0) зна-
чение Ф, а Ф2 — начальное значение производной Ф^.
Непосредственно из этих формул видно одно существенное обстоя-
тельство. В одномерном и двумерном случае решение в некоторой точке
выражается через начальные данные на всем основании характеристи-
ческого треугольника (или конуса), тогда как в трехмерном случае зна-
чение решения выражается лишь через начальные данные на границе
области зависимости (интегралы берутся только по поверхности сферы
радиуса cQt с центром в точке (х, у, z), а не по всему шару, ею огра-
ниченному). Говорят, что в трехмерном случае имеет место лакуна. Тон-
кие работы, посвященные исследованию гиперболических уравнений
с точки зрения лакун в областях зависимости, были сделаны И. Г. Пет-
ровским.
209
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА
§ 18]
И ичие лакуны в области зависимости для трехмерного волнового
ения приводит к существованию резкого переднего и заднего фрон-
УРавН возмущения, описываемого этим уравнением, если начальное воз-
ТОи ение (при t = было заключено в конечной области пространства,
^двухмерном случае будет резким только передний фронт. Дело в том,
что двумерная задача может рассматриваться как трехмерная, у которой
начальное возмущение задано в длинной цилиндрической области, вытя-
нутой вдоль оси г. Например, двумерными уравнениями будет описы-
ваться распространение и взаимодействие волн от мгновенного подрыва
параллельно расположенных шнуровых зарядов (на некотором расстоя-
нии от зарядов такие волны могут рассматриваться как звуковые). При-
мером трехмерной задачи может служить распространение и взаимодей-
ствие волн, образовавшихся при взрыве несколько точечных заря-
дов. Если такой заряд был только один, то введением сферических
координат можно привести уравнение процесса к одномерному, когда
решение рассматривается зависящим только от г и от t. Мы скоро рас-
смотрим такой случай для уравнений звуковых волн,
как решать задачу Коши для этих уравнений в общем
Система уравнений акустики имеет вид
а пока покажем,
случае.
да 4-— о
J+-^=o,
dt Ро ду
dt "Гро дг ’
др . «/ди . dv . dw\ n
> + Po^(^ + ^ + ^J = O.
Если исключить из этих уравнений скорости, то мы получим для
давления р волновое уравнение
^Р = „8!&р_ . ^Р । д2р \
dt2 о\дх* Тдуг ' дг2/'
Пусть при t — О нам известно распределение
р (х, у, z, 0) =р0 (х, у, z); и0 (х, у, z), v0 (х, у, z), (х, у, z).
Вычислим pt |мо с помощью последнего из уравнений нашей системы:
„I _ „ _8^«0 । Л’о . 5и>о\
Pt k-o — — Росо •
Теперь мы можем применить формулу Кирхгофа и найти р (х, у, z, t)
всюду внутри той области, которая определяется теоремой единствен-
ности. Распределение скоростей может быть после этого определено
Интегрированием по t (при фиксированных х, у, z) производных от
210 гиперболические Сравнения [гл. п
давления:
и(х, у, z, f)=u(x, у, г, °) — 1 j др(Х,^х г’ Т) dx,
v(x, у, z, t)=v(x, у, z, 0)—~*’ Т) dx,
о
w(x, у, z, t) = w{xtyt z, 0) — др^dx.
о
Мы показали, что формула Кирхгофа позволяет построить решение за-
дачи Коши для уравнений распространения звуковых волн. В сфериче-
ски симметричном случае давление р надо считать функцией только от
радиуса r = ]/x2+j>24--?2, а вектор скорости считать направленным
вдоль радиуса-вектора
У
ч) — иг~,
г г ,
Z
XS)=zUr~.
г Г
Дифференциальные уравнения для /?, иг пишутся так:
—п
dt^^dr'
+ ) = 0-
dt 1 г2 дгл 7
Мы ограничимся только тем, что приведем эти уравнения, не выводя их ?
из ранее выписанной трехмерной системы. В дальнейшем мы будем опу-
скать значок г у радиальной компоненты скорости иг и записывать нашу
систему так:
g+l^=o,
dt 1 ро дг
ар рос§ d(r2*o__0
dt * г2 дг
Дифференцируя второе из этих уравнений по t и подставляя в резуль-
ди
тат из первого, мы приходим к волновому уравнению для давления
дР г*дг\ дг} ’
общее решение которого имеет вид
f fr-coO+gfr+cofl
" г
1
§ 18] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА 211
функция f отвечает волне, расходящейся от центра, а функция g—волне
сходящейся.
Как мы уже отмечали, из формулы Кирхгофа следует, что если на-
чальное возмущение было задано только в конечной области г <Zht то
зона, где р отлично от нуля *), будет иметь как задний, так и передний
фронты и в нашем случае будет заключена в /z-окрестности «конуса»
cof = O, т. е. в области —h<Zr — cot<Zh. Поэтому естественно
предполагать, что для достаточно больших t (на самом деле при h/с0)
решение будет описываться формулой
f(r~Cot)
"г
с функцией f(r — cQf), отличной от нуля лишь для h<Zf — cQt<Zh.
Задача. Докажите это утверждение аккуратно, определив f, g из началь-
ных условий (р (г, 0) = ро 0, Pt (Г, 0) = pi (г)):
fW+g W = rpo(H, 1
— cof' (г) + cQg' (г) = rpi (r) f
и из условия регулярности решения в центре (при г,= 0).
Из уравнения = 0 видно, что в зонах г — cQt>h) г — cot<Z
<— /г, в которых давление постоянно, скорость и не зависит от вре-
мени и, следовательно, может быть записана как п(г). Из второго урав-
нения звуковой системы
др । Ро^о d(r2u)_n
dt "Г г2 ’ дг —
следует, что в .этих зонах r2u — const = т (т — постоянная). По физи-
ческому смыслу por2w является количеством газа, протекающим за еди-
ницу временй через сечение г — const. Так , как через сечение г = 0 по-
ток отсутствует' (в центре нет ни источника, ни стока для газа), то
т = г2н = 0 внутри области t^h/c^ г — cQt<z — h. В области же
г— cQtZ>h равенство и = 0 вытекает из теоремы единственности. В са-
мом деле, до точек этой области возмущение из зоны 7 = 0, r<Zh не
успевает дойти, а всюду вне этой зоны мы задавали начальные данные
р=0, м = 0, которым соответствует нулевое решение. По теореме един-
ственности другого решения нет.
Если
/ (Г-СоО
г
то
1 dp_fz(' —CqO f (г—CQt)
Ро дг рог Ро''2 ’
*) Через р мы обозначаем разность между возмущенным давлением и давле-
нием в состоянии покоя.
212
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. И
ди , 1 др л
откуда, интегрируя по t равенство ^ + ~ ^ = 0, получаем
t r — cQt
v(r, t)= ( r_^(r-CoT) + /(r-^-l(zT=; _ 1 ' V
j L Por Por J Рои/ PoV j
r — h h
c~o
При этом интегрировании мы воспользовались тем, что при г — cot = h
и=о, p=L^-r^L=o.
Мы еще знаем, что и = 0, р = 0 при r — cot =— h. Отсюда i
— h
°=777-777^®
РоО/ PoQ/ J
h
т. е. 5 /(|)^ = 0.
— А
Мы видим, что /(g), а следовательно, и давление р должны обяза-
тельно принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Мы показали, что сферическая
волна сжатия должна обязательно
сопровождаться волной разреже-
ния. Пусть график /(g) имеет вид,
изображенный на рис. 52. Мы
показали, что площади верхней
и нижней полуволн совпада-
ют. В графике же давления
р — (для некоторого
фиксированного t) передняя полуволна должна иметь меньшую площадь,
чем задняя (так как для задней у больше).
Отметим еще очевидный из формулы
p{r> t)=L^L
факт, состоящий в том, что амплитуда волны давления убывает обратно
пропорционально пройденному ей расстоянию.
Формула />(г, t)= > описывающая сходящуюся волну, удовле-
творяющую волновому уравнению, позволяет построить следующий, важ-
ный в теоретическом отношении, пример. Положим
{0, если г <" 1 — с,/,
(r + c0^—1)4 если Г^1—CQt.
18] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА 213
, _ 1 ,1
Соответствующее решение, регулярное для t < —, в момент t = —
С0 Cq
превращается в
/ 1 \ //2
Р г’ 7-) = V=г г/г = +У* + г^'* >
\ Со / г
т. е. в функцию, не имеющую в точке х = 0, j/ = 0, z = 0 вторых про-
изводных Фхх, Фуу, Фгг.
Исследованием формулы Кирхгофа нетрудно убедиться, что для того
чтобы решение было дважды непрерывно дифференцируемым, доста-
точно, чтобы начальная функция Фо была трижды непрерывно диф-
ференцируема, а Oj — дважды непрерывно дифференцируема, В нашем
примере Фо имеет только две, а Ф! одну непрерывные произ-
водные.
Исследованием аналогичных формул для //-мерного пространства
было установлено, что от начальных данных для уравнения
д2Ф _ 2 / 02ф д2Ф , , д2Ф\
dt* ~C°\dxl^ dxi + + дхп)
достаточно требовать непрерывности всех производных до порядка
+2. (Для случая //=1 мы уже отмечали, что число непрерыв-
ных производных в начальных данных должно быть равно 2.) Примеры,
аналогичные разобранному, показывают, что эти требования нельзя
ослабить.
Сделаем еще одно замечание об установившейся терминологии. Выра-
жения типа
2те те
\ \ Ф0(х + sin 6 cos Ф, у + c^t sin 6 sin ®, z-\-
о о
4- cot cos 6) dt2 sin 0 de йф = J J g°(*+-CTr’ y+^’ 2+у) ds
r=cot
обычно называются запаздывающими потенциалами. Основанием для этого
названия является то обстоятельство, что такой интеграл совпадает с нью-
тоновским потенциалом зарядов, распределенных по" сфере радиуса г
с поверхностной плотностью Фо (§ 1). Для определения решения в момент
времени t0 «потенциалы» нужно вычислять по значениям решения и его
производной по t в начальный момент времени £ = 0 на сфере радиуса cofo.
Это отставание по времени используемой «плотности заряда» привело
к тому, что «потенциал» называется запаздывающим.
У нас запаздывающий потенциал вызывается поверхностным рас-
вределением «зарядов». В литературе термин чаще используется для
214
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
объемного интеграла
и (х, у, z, =
1 С С С / (s. n. i ^*-S)2 + (y~n)2+(z-^
= J J J К (Х_£)2 + (г/_я)2 + (2_£)2 “
представляющего решение неоднородного волнового уравнения
d2u , / cfiu. , д2и , д*и \ х, л
~di?~ с“ VdF’^dj^' + 'dz2’)-^х’ у' г> А
§ 19. Обобщенные решения
Обобщенное решение для уравнений акустики. Связь определения обобщен-
ного решения с законами сохранения. Понятие обобщенного решения для про-
о а dU I dU П ЪА А
стейшего гиперболического уравнения —= 0. Обобщенное решение как
предел гладких решений. Определение С. Л. Соболева. Эквивалентность этого
определения классическому на гладких решениях. Уточнение определения. Теорема
единственности. Теорема существования.
В заключение нашего обзора основных фактов из теорий гиперболи-
ческих уравнений мы кратко остановимся на чрезвычайно важном поня-
тии «обобщенного решения». Этому понятию и посвящен настоящий
параграф.
Для начала рассмотрим систему уравнений, описывающих распростра-
нение звуковых волн:
dpo«i_dp_ __п
dt дх '
а
Со I dpoti _ р
. dt
К понятию обобщенного решения этой системы приводит тождество
ф\ dt dxj^^\ dt dxj^
/ дф j dip \ / 1 Эф . дф \___
+ Ром dt ‘ dx j ’ ? (% dt ’ дх /
- ^рф+р^)
dt dx
Предполагая функции ф, ф гладкими и финитными (т. е. отличными от
нуля лишь в некоторой ограниченной области на плоскости х, t\ будем
§ 19)
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
215
иметь на решениях исходной системы:
JL ЭД. , Ар\i
с® dt + дх +
/=о
По предложению С. Л. Соболева, обобщенным решением называются
такие р, и, что для них последнее
тождество выполнено при любых
гладких и финитных ф, 4).
В этом определении нужно еще
оговорить, какому классу должны
принадлежать функции р,и (измеримы,
интегрируемы с квадратом...), но
мы на этом останавливаться не -
будем.
Постараемся придать интеграль-
ному тождеству, лежащему в основе
определения обобщенного решения,
некоторый наглядный смысл.
Будем пока предполагать, что ф
Рис. 53.
О, и рассматривать тождество
j dx dt -|- X РоНф dx = 0.
Рассмотрим некоторую специальную функцию ф(х, 0, устроенную
следующим образом. Пусть <р(х, 0=1 внутри некоторого гладкого замк-
нутого контура у на плоскости х, t и
ф(х, 0 = 0 вне другого, охватываю-
щего у, контура у' (рис. 53). Мы будем
предполагать, что контуры у и у' ограни-
чивают некоторую замкнутую полоску,
внутри которой ф(х, 0 плавно спадает
от единицы до нуля. Если предполагать
эту полоску очень узкой, то двойной
интеграл по верхней полуплоскости (он
рис 54 очевидно равен интегралу только по верх-
ней, заштрихованной на рисунке, части
полоски у, у') можно будет приближенно вычислить при помощи
следующего простого соображения. Внутри узкой полоски можно пред-
полагать, что градиент ф(х, 0 направлен по нормали к у и что pow, р
вдоль отрезка этой нормали, лежащей внутри у, у', почти посто-
янны.
216 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Интегрирование по полоске можно выполнять (рис. 54) как интегри-
рование по нормали к у (дифференциал dri) и вдоль у (дифференциал ds):
$ (Ро“ dn== 5 (Po“W/ ^dn
7 7
(Ро«л< + рпх) § dn = (pount + рпх) (— 1) = — pst + pousx
*7
(/^, пх— компоненты единичного вектора нормали к у, st, sx— компоненты
единичного, касательного к у, вектора);
7х
$ [ S (Ро 1Г +/’3 (Ро“^~pst)ds =
вдоль 7 7 ДДОЛЬ7
= poudx—pdt.
вдоль 7 _
Поэтому равенство
$ 5 [Ро“ S рои<рйх = 0
*0 ‘ t = о
может быть приближенно записано в виде контурного интегрального
равенства
ф роп dx—р dt = 0
вдоль верхней (t > 0) части контура у и замыкающего эту часть отрезка
АВ оси х.
Равенство
ф pow dx—р pt = 0
представляет собой закон сохранения количества движения (^pQudx—
количество движения, ^pdt — импульс силы).
Иногда в качестве определения обобщенного решения как раз и при-
нимают выполнение интегральных законов сохранения в форме таких
контурных интегралов
ф роп dx—pdt~Q,
— pozz^ = O.
J co
Второй из этих интегралов представляет закон сохранения массы,
так как р — это на самом деле отклонение Ьр давления от состояния
покоя, а для 8р справедливо равенство б/? = 4бр. Он опять-таки может
§ 191
ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ
217
быть получен из равенства
$ npo“(^+WMiS+S)W*+ $ ((w+^)dx=°, а)
если выбрать ф = 0, а ф— совпадающим с тем ф, которое выбиралось
при получении закона сохранения количества движения.
Форма Законов сохранения
фро« dx — р dt — O,
D ~^dx—pou dt = 0
не очень удобна для построения математической теории. Дело в том, что интегралы
в этих равенствах берутся по контурам, имеющим двумерную меру нуль. Изме-
нение же функции из £2 на мере нуль не меняет ее как элемент пространства Л2.
Поэтому для функций из Ц (на плоскости) значение интегралов по контуру, стро-
го говоря, не определено.
Предложенное С. Л. Соболевым интегральное тождество (1) содержит в себе
законы сохранения в форме, более удобной для строгой математики, так как не-
известные функции в нем интегрируются по двумерной области. (Интеграл
чальных данных.)
Обычно уравнения механики сплошных сред выводятся в виде интег-
ральных знаков сохранения (правда, как правило, в виде контурных ин-
тегралов), а лишь затем из них получаются дифференциальные. Это можно
трактовать как первичность понятия обобщенного решения и вторичность
понятия решения гладкого или, как иногда говорят, классического.
Отметим еще, что для нелинейных уравнений газовой динамики раз-
рывные решения—ударные волны — могут, по-видимому, трактоваться
как обобщенные решения. Однако надо отметить, что построение соот-
ветствующей математической теории до настоящего времени не закончено.
Теперь мы на примере простейшего гиперболического уравнения
— 0 покажем содержательность понятия обобщенного решения
доказав теоремы существования и единственности.
Мы знаем, что общее решение этого уравнения имеет вид:
U=f(x—f)
с довольно произвольной функцией f (£). Мы предъявляем к ней мини-
мальные требования гладкости — требуем дифференцируемости, так как
для того чтобы убедиться в том, что эта функция действительно дает
решение, нам приходится ее производные подставлять в уравнения.
С другой стороны, мы видим из этой формулы, что если рассмот-
реть последовательность гладких решений вида
—fn (х t)
218
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
с функциями /л(|), графики которых изображены на рис. 55, то обра-
щает внимание тот факт, что эти решения сходятся к u=f(x — i)
с функцией, уже не обязательно всюду дифференцируемой. Предельная
функция для последовательности А,/2»/з> • • •» указанной на рис. 55,
изображена на рис. 56. В точке £ = £0 Функция f(g) не имеет произ-
водной. Очевидно, могут быть построены и более сложные примеры,
в которых дифференцируемость нарушается более чем в одной точке.
Можно даже построить пример последовательности решений, для кото-
рой предельная функция будет разрывной. (Конечно, в этом случае пре-
дельный переход должен совершаться не в смысле равномерной сходи-
мости.) Такой прймер изображен на рис. 57. Разобранные примеры ведут
нас к мысли о разумности пополнения множества решений с гладкими f
множеством функций u=f(x — f) с теми /, которые могут быть в неко-
тором определенном смысле получены из гладких путем предельного
перехода.
Такой предельный переход естественно делать в смысле сходимости
по норме вида
|| и || = ]/шах jj и2(х, f)dx.
Основанием для выбора такой нормы являются следующие соображения,
связанные с оценками решений при помощи интеграла энергии. Рассмот-
рим для уравнения
ди ди___п
dt
§ 191
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
219
характеристическую полосу, высекаемую из полуплоскости х,Л (f>0)
характеристиками х —t~ const, проходящими через отрезок [0, 1] оси х.
На этом отрезке мы будем задавать начальные данные.
Прямая t = const пересекает эту полосу по отрезку
(рис. 58). Интеграл энергии для этого уравнения имеет вид
<§u2dx—и2 dt = O.
При интегрировании вдоль характеристик мы имеем ^u2(dx—dt) = O,
и поэтому
/4-1 1 1
J и2(х, t)dx = ^u2(x, tydx~^ul(x)dx,
/ о о
т. е. интеграл от и2 по любому сечению t = const характеристической
полосы будет один и тот же для любых t. Поэтому, если мы возьмем
последовательность решений ип (х, f)
уравнения * -
дЩг । т
dt дх ~
t
с начальными данными
wn(x, O) = uno(x),
то, пользуясь еще линейностью уравне-
ния, будем иметь рис< 5&
/4-1 1
max J [ня(лг, f) — um(x, t)]2dx = ^[un0(x) —ито (x)]2dx,
f ф t о
Г /4-1
К— Н/nHl/ m*x j 0 —tyfdx^
5 [^no 00 wmo OOP •
0
В случае если последовательность {wrt0} сходится в среднем на отрезке
[0, 1], то последовательность решений будет сходиться в смысле вве-
денной нормы. Это утверждение служит основанием для следующего
определения обобщенного решения.
Функцию и (х> t) назовем обобщенным решением, если существует
последовательность и19 и2, ..., ип, ... гладких решений того же
Уравнения
dt “Г дх ~и
таких, что
\\ип— н||->0 при л->оо.
220 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ И
Другими словами, мы назовем функцию и(х, f) обобщенным реше-
нием, если ее можно как угодно точно аппроксимировать гладкими ре-
шениями.
Описанное сейчас понятие обобщенного решения неудобно тем, что
оно трудно проверяемо. В самом деле, чтобы убедиться, что и(х, t\
является. обобщенным решением, мы должны построить бесконечную
последовательность гладких функций и(х, t), аппроксимирующих и (х, f),;
причем надо постараться выбрать wn(x, t) так, чтобы они были точ-^
ными решениями нашего уравнения. Ясно, что это сделать трудно, осо-
* * х! ди . ди
бенно если речь будет идти не о простейшем уравнении ^- + ^=0,
которое мы рассматриваем в качестве модели.
С. Л. Соболев дал другое определение обобщенного решения, кото-|
рое в настоящее время является общепринятым. Основная идея этого|
определения состоит в замене дифференциальных уравнений непосред-]
ственно интегральными законами сохранения, из которых дифференци-
альные уравнения математической физики обычно и выводятся. Мы раз-..
* ди . ди ъ
берем модельное уравнение + = 0 и на нем постараемся понять
существо дела. Простейших физически осмысленных примеров мы уже
касались в начале параграфа. ;
Начнем с замечания, что для любой функции <р(х, i) и любой обла-|
сти G
$ $ + 0^^=0,
С/
если w(x, t) является гладким решением уравнения ^ + |^ = 0- Для
дальнейшего нам удобно предполагать, что область Q имеет кусочно
гладкую границу.
Пусть и(х> t) имеет в некоторой области G непрерывные первые
производные и пусть для любой достаточно гладкой, например, дважды
дифференцируемой функции <р(х, t) имеет место равенство
П (^+Эф(х’ ^dxdt=°-
а
Тогда (как будет доказано) всюду внутри О
ди ,ди__ А
¥ +
Предположим противное. Пусть ~ 0 в некоторой внутренней
точке (х0, ^0) области G. Для определенности предположим, что
/ди । ди\ с л
57 И- ч~ = О > 0.
\dt 1 дх/х=х0
« 191
• ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
221
Из непрерывности производных ut, их следует существование такого в,
что при (х—х0)2 + (^—^о)2^8 выполнено неравенство +
Определим теперь ф(х, t) формулой
I 1
ф(х, 0 = ) L
I 0,
(X —ХоЯ + (^ —^o)2jp
если (х—x0)2 + (f — ^0)2^8,
если (х—х0)2 + (7—£0)2>е.
Выбором достаточно большого р можно добиться, чтобы функция ф
была нужное число раз непрерывно дифференцируемой. (При р = 3
ф(х, t) имеет две непрерывные производные.)
Очевидно, что для такой функции ф(х, t)
/8
• 2лг dr > 0.
Мы пришли к противоречию.
Итак, утверждение,
Шди . ди \ , , , -, Л
при любой достаточно гладкой ф и утверждение
ди .ди_______________________________п
(2)
для непрерывно дифференцируемой w(x, t) эквивалентны.
Теперь, воспользовавшись тождеством
(^+^УФ(Л) 0+(5+^\и=^+^>
\dt ' дх/ГУ ' ' \dt ' дх/ dt 1 дх *
мы сделаем утверждение, что равенство = 0 эквивалентно для
непрерывно дифференцируемой функции и равенству
5 5 & =
G по границе Q
Для любой достаточно гладкой ф. Из проведенного нами доказательства
вытекает даже, что все ф можно считать равными нулю на всей (или
на части) границы G, если мы хотим убедиться в выполнении равенства
+ g —0 лишь внутри G. При этом соответствующая часть контурно-
г° интеграла пропадает.
Для гладких и равенства7 (2) эквивалентны определению решения.
^Ля проверки их выполнимости не надо, однако, дифференцировать
222
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ГГЛ. II
w(x, f). Это и послужило основанием назвать функции, удовлетворяющие
равенствам (2), обобщенными решениями уравнения
ди . ди__п
Прежде чем дать аккуратное определение, опишем структуру Q в
интересующем нас случае. Эта область будет представлять собой верх-
нюю (Z^O) половину полосы 0<х— t<Z 1, ограниченной характеристи-
ками х — f = 0, x — t — \ уравнения + Эти крайние харак-*
теристики проходят через концы х — 0, х=1 отрезка O^x^l оси х*
на котором мы задаем начальные данные. Функции ф(х, достаточно
гладкие внутри полосы (вплоть до границы), мы будем предполагать^
равными нулю на граничных характеристиках, и, кроме того, при все^
достаточно больших t внутри полосы.
Пусть ф(х, i) = 0 при t^T (Т для каждой ф(х, t) может быть
свое). Выберем Q в виде параллелограмма О^х—
(см. рис. 58). На его контуре ф(х, t) отлична от нуля лишь на осно^
вании t = 0, O^x^l. Поэтому для обобщенных решений должно,
быть выполнено равенство '
. 1 *
S Эх) Ф (*> 0)и (х> 0)dx = 0. !"
В двойном интеграле интегрирование проводится по всей полуполос#
что не вызывает никаких затруднений, так как ф = 0 при t>T. £
Определение обобщенного решения. Функция двух пе^
ременных и(х, £)*), имеющая ограниченную норму й
Г—7+1------------- - . J
|| и || = 1 / max J и2 (х, t) dx, -i
У { t
называется обобщенным решением уравнения ~ = 0 внутри полу
полосы О^х— с начальными данными w(x, О)=иоС$
если для любой функции ф, принадлежащей описанному выше классу
выполнено равенство'.
1
5 ф(х> O)wo(x)dx = O.
О
Покажем, что из этого определения вытекает единственность обобш^1*
ного решения. Для этого, очевидно, достаточно убедиться в том, чТ°
из равенства wo(x) = O вытекает равенство и(х, f) = 0. Зададимся некР*
*) Функция и (х> t) предполагается измеримой.
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
223
§ 191
тОрым произвольным Т и покажем, что н(х, 0 = 0 при O^t^T
почти всюду.-
Предположим противное. Из конечности ||и|| вытекает, что огра-
ничен
ЭД п2(х, t)dxdt, •
О^х —/^1
т. е. что и(х, 0 принадлежит пространству функций с интегрируемым
квадратом в параллелограмме О^х —Каждая такая
функция может быть сколь угодно точно аппроксимирована в смысле
среднего квадратичного полиномами un(x, ty
ЭД * [пЛ(х, 0—u(x, t)]2dxdt~+0 при /2->оо.
О^х —/^1
Построим теперь внутри нашего параллелограмма функции <рЛ (х, t) как
решения уравнений
д-дГ+= (1 -х + и" О’
удовлетворяющие при t — T условию <рл = 0. Непосредственным диффе-
ренцированием можно убедиться, что такие решения задаются формулой
г
<рЛ(х, 0 = — (^ —02(1—х + 02(Т —т)2мл(х —f4-т?т) dx
t
и являются непрерывно дифференцируемыми.
Последнее свойство не нарушится, если мы их доопределим равен-
ством <рЛ(х, 0 = 0 при t>T. Очевидно также, что фп=0 при х — f = 0
и при х —-f=l. Из определения обобщенного решения вытекает, что
J J \ dt 1 дх j ’
О^х —
т. е. что
ЭД ’ (X—о2 (1 — X + О2 (Г — f)2 ип (х, t) it (х, t) dx dt = 0.
0^х-^1
^>/>0
^еходя в этом Равенстве к пределу при я->оо, приходим к соотно-
$$ (х—02(l—x + 02(7'—02u2(x, t)dxdt^=Q,
Которое и доказывает теорему единственности.
224
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. И
Докажем теперь теорему существования. Пусть для uQ (х) существует
, 1
конечный Мы покажем, что и(х, f) = uQ(x— t) является
о
. . ди 'ди ~
обобщенным решением уравнения ^-|-д- = 0 с начальными данными
uQ(x) при ^ = 0, т. е. что для любой функции ф(х, i), удо-
влетворяющей всем наложенным на такие функции ограничениям, выпол-
нено равенство
dx dt + ф (х, 0) uQ (х) dx = 0.
о
Для доказательства вспомним, что каждую функцию, интегрируемую
с квадратом на [0, 1], можно как угодно точно приблизить (в среднем)
полиномом. Пусть w„(x) — такой полином, что
[Ил (X)—и0 О)]2 dx < .
Очевидно, что ип(х—t) будет гладким решением уравнения
^ + ^“ = 0 и, вследствие этого, удовлетворяет тождеству
1
И ип(х—0 (^ + ^dxdt+ ф(х, 0)un(x)dx=0
0<х—0
с любой допустимой ф, В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что
для каждой ф существует такое Г, что ф(х, /) = 0 при t^T и что,
следовательно,
1
И ип(х—dxdt+ <р(х, 0)un(x)dx = 0.
0^х —О
Воспользуемся теперь тем, что
1)
1 1
J ф (х, 0) ип (х) dx — § ф (х, 0) uQ (х) dx
о о
Ф2 (х> 0) dx •
(Цп
1
/л
Ф2(х, 0) dxt
§ 19]
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
225
и установим равенство:
1
§ J «о (x—t) dx dt + J н0 (х) <р (х, 0) dx= 0,
i о
i которое доказывает, что ii=uQ(x—t) является обобщенным решением.
Теорема существования обобщенного решения задачи Коши для урав-
ди , ди А
нения 37 + 5- = 0 доказана.
ot * ох
Задача. Докажите непрерывную зависимость обобщенного решения от
начальной функции u$(x).
8 С. К. Годунов
Y
Глава 111
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
§ 20. .Свойства гармонических функций
Инвариантность уравнения Лапласа и интеграла Дирихле относительно кон-;
формных преобразований плоскости. Новый вывод формулы Пуассона для реше4
ния задачи Дирихле в круге на основе этой инвариантности. Две теоремы о сред^
нем арифметическом для гармонических функций. Следствие — оценка гармони-
ческой функции в центре круга через интеграл ее квадрата. Из сходимости после-
довательности гармонических функций в среднем вытекает равномерная сходи-
мость в некоторой подобласти. Решение задачи Дирихле в круге бесконечно диф-
ференцируемо во всех внутренних точках. Оценка его производных в центре круга/
Теорема Гарнака о равномерной сходимости и о гармоничности предела. Сходи-
мость производных во внутренних точках. Неравенство Гарнака для неотрица-
тельных гармонических функций. Теорема Лиувилля. Усиленный принцип макси-
мума. Теорема о разрывной мажоранте. Устранимые особенности.
В этом параграфе мы начнем подробное исследование решений про-
м П I д2и О
стершего эллиптического уравнения — уравнения Лапласа
С этим уравнением мы уже встречались во вводной части курса.
Остановимся сначала на инвариантности уравнения Лапласа относи-
тельно некоторых преобразований плоскости независимых переменных
х, у. Такими преобразованиями являются произвольные невырожденные
конформные преобразования
X = X(g, Г))>
У=У& П)-
Условие конформности (как известно из теории функций комплексного
переменного) записывается в виде уравнений Коши — Римана
дх___ду
дх______ду
Невырожденность преобразования эквивалентна неравенству
дх дх
ду ду
^0.
Нам будет удобно пользоваться не самими условиями Коши — Римана
5 20]
СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
227
а легко вытекающими из них тремя группами равенств:
I.
дх
(дх\* J-f—V _/^\2 4-^V =
' W dy
Ъ
II dx^y.dxdy_ n
“• dg<v <?пЛ1 u’
HI Д-^—О &У id2y_o
11L ap-+№ - °’ ар-+лр - °-
dx
di]
Какова бы ни была достаточно гладкая функция и(х, у), мы можем для
нее получить следующие равенства:
ди_ди дх . ди ду
Ц-д^^ду^
ди___дидх . ди ду
дт] дх дт] ’ ду дт| *
'ди\2 I Д \2____l^!f\2 [7—\2 i /дх\2“| । пди ди Гдх ду . дх д#“|
Д/ ”\дп/ ~ \^х/ 1_\Д/ ’\д'П.И~Т’ дх ду [Д д£"‘Ддти
. (ди^2 Г(ду\2 . /дг/\2Т Г/ди\2 д_ ^_V]
+ \ду/ |_\Д/ + W J LW +W J
д2и__д2и (дх\2 . д2и дх ду . д2и /ду\2 . ди д^х . ди д2у
д^~дх?\д1! +2дхдуд% df + ду2\Д1 + дх ft2 дуЦ2 ’
д2и___д2и /дх\2 . q д2и дх ду . д2и /ду\2 . ди д2х . ди д2у
дт]2 дх2 \дт]/ ' дх ду дт| дт] ’ ду2 \дт|/ ' дх дт|2 ' ду дт]2 *
дх
д1
ду
д1
дх
дт|
дт)
д2и . д2и_/д2и . д2и\
df2 +дт)2"\дх2 ^"ду/2)
дх дх
д| 5rj
ду ду
д^ дП
Последнее из них показывает, что утверждения
d2u д2и п
5^2+5^ = ° эквивалентны.
Проинтегрируем равенство
д2 и . д2и_
д^+дц2 ““
по некоторой области у на плоскости g, тр
Г I
дх дх
д^ дх\
ду ду
dg дП
дх дх
Л)
ду ду
д^ Л)
dldx\.
и
8*
228
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
Если при преобразовании х = х(£, т]), у=у^ т]) область -у переходит
в область gy то, как известно из интегрального исчисления,
дх дх
7 дт| *
Мы доказали равенство
7 g
OTHO-
показывающее инвариантность интеграла
сительно конформных преобразований. Этот интеграл называется инте-
гралом Дирихле, В дальнейшем он будет играть важную роль в тео-
рии задачи Дирихле. Подчеркнем, что функция и(х, у), участвующая?
в доказанном равенстве, вовсе не обязана быть гармонической.
Покажем сейчас, как инвариантность уравнения Лапласа относительно^
конформных преобразований может быть использована для эвристиче-'
ского вывода уже известной нам формулы Пуассона. Напомню, что эта?
формула, выведенная и обоснованная в вводной части курса, дает реше-;
ние задачи Дирихле для круга в случае, если граничные значения заданы?
непрерывными. Задачей Дирихле называется задача нахождения гар-
монической внутри области функции по ее граничным значениям.
Пусть на границе круга радиуса R с центром в начале координат,
т. е. в точках x = Rcosti, y = R sin 9, задана непрерывная функция F(6).
Решение задачи Дирихле в круге с граничным условием
и (R cos 9, R sin 6)=F (6)
обозначим через и(х, у). Мы знаем, что такое решение существует
и единственно. Значение п(0, 0), принимаемое им . в центре круга, обо-
значим через iiQ. Мы сейчас будем предполагать, что функция и (Ху у)
достаточно гладкая внутри круга. В дальнейшем этот факт будет нами,
исходя из формулы Пуассона, обоснован.
Решения уравнения Лапласа остаются решениями, если независимые
переменные подвергнуть произвольному конформному или, в частности,
ортогональному преобразованию. Следовательно,
w (х, у, а) = и (х cos а —у sin а, х sin а cos а)
тоже будет гармонической функцией в круге, принимающей на его гра*;
нице значения F(9 4“Q0- Значение в центре при повороте, очевидно, не
меняется:
я(0, 0, а) = н0?
§ 20] СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 229
Построим теперь функцию
2л
й (х, у) = ± § и (х, у, a) da.
о
В силу предположенной гладкости и (х, у) интеграл допускает дифферен-
цирования по параметрам х, у. Поэтому
д2и . д*и 1 е Гд2а , д*и\. 1 С ПЛ
дх* +ду* 2л J [dx2 + dz/2Jrfa~2л J Qda~ °-
о о
Функция и оказалась тоже гармонической. Ее граничные значения
2it 2тс
и (R cos 6, R sin 0) = F (9 -}- a) da = -- ( F (а) da
о о
не зависят от 6, т. е. постоянны. Константа является решением урав-
нения Лапласа с постоянными граничными значениями. В силу един-
ственности других решений, принимающих на внешней окружности зна-
2тс
чение F(a)da, нет. Итак,
2п 2те
*** 1 С 1 С*
w(x, j/) = ^ F(a)da, и(0, 0)=^ \ F(a)da;
о о
с другой стороны,
2тс 2тс
и(0, 0) = J- \ и(0, 0, a)da=J- \ uoda=uo. .
^31 J &31 J
о о
Таким образом, мы установили, что гладкое решение и(х, у), принимаю-
щее на окружности значения F(0), необходимо должно в центре круга
вычисляться по формуле
2п 2п
И<°> °>=i $ F(a)da=i $ F<vd6-
о о
Теперь мы уже можем переходить к вычислению значения решения
в любой точке круга.
Пусть на окружности x = /?cosco, j/ = /?sinco нам задана непрерыв-
ная функция /(со). Мы хотим использовать /(со) как граничные значе-
ния задачи Дирихле. Решение этой задачи w(x, у) мы будем сейчас
вычислять в точке х = р, j/ = 0, R>p^0. Обозначив z = x*\-ly,
+ сделаем конформное дробно линейное преобразование
* А ^2-рг’
230
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. Щ
переводящее точку г = р в £==0, вещественную ось — в вещественную
ось, а окружность |z| = R — в себя.
Первые два утверждения очевидны, а последнее следует из равен;
ства
I р2 Re^-p | I ор I I р /о. Re**-? |__
П R2- pRe^ | ~ р _ ре^ | I - Re~i<»-P |~
Точка z = Rel<* переходит при рассматриваемом отображении в
£ — Rel\ где углы 6, со связаны равенством
Re^R*-^-”*. ,
R2 — р7?е,<0
с<0__^е|т —р "
R — peia> ’
Дифференцируя это равенство, найдем
iei9 dQ = leia - -R2~^ dm.
(R — pe,0>)a
Поставив вместо e,e его выражение через со, получаем:
д> —(Я’-рЧЛ> 5
Rel<* —р pgzco)2 Я2—2#р cos а> + р2 /
Гармоническая функция и(х, у) переходит при этом преобразований'
в гармоническую же функцию t]) = w[x^, т|), у(1~, т])] со значением
в центре v (0, 0) = u (р, 0) и с граничными значениями v (R cos 9, R sin 6) =
= F(9)=/[(o(G)].
Мы знаем, что
' и(р, О)=Ц(О, 0) = ± рИ6 = ±рсо)^р
о о
Подставляя вместо полученное для нее выражение, приходим к равенству
2те
и (р, 0) = [ /((0) -02 Р2- d(0.
v 7 2я J J 4 7 R2—2p/?cosco+p2
Чтобы вычислить теперь значение и (р cos а, р sin а) в произвольной
внутренней точке нашего круга 0 р jR, О а 2л, достаточно пово*
ротом на угол а по часовой стрелке совместить вектор (р cos а, р sinw
с вещественной осью. Функция /(со) при этом перейдет в /(со+^
20! СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ * 231
Эти соображения приводят к уже известной нам формуле Пуассона
w(pcosa, psina) = ~ f /(ы + а)™—-^2~p2——- d& =
vr r 7 2л j J v 1 7 R2 — 2#p cos co + p2
о
2л
_ 1 C // x /?2-p2 .
"*2л J 7WF>} /?2 —2/?p cos (<p — a)+p2 й(Р’
о
Мы знаем, что эта формула дает решение задачи Дирихле в круге
с любой непрерывной функцией /(ср). Новый ее вывод мы привели
сейчас лишь для иллюстрации. Напомним еще следующий вариант
записи формулы Пуассона, который будет нам иногда полезен:
2п 2те 2тс
„(х v)=_ _L С /(ф)</<₽ 4--L (-l± С /(ф)/?^^ф
’ 2я J 2л J Re‘t — (x-\-iy) 2л J Re~it — {x~iy) '
Сейчас мы установим целый ряд интересных и важных свойств гармо-
нических функций.
Две формы теоремы о среднем арифметическом.
Если и(х, у) непрерывна в круге К {(х — х0)2 + (.У—Уо)*^К2} и
гармонична внутри него, то
2п
1° и(х0, ^о)=2л 5 n(xo + ^cos<p, у0 + Rsinф)dip,
\ \ и (х, у) dx dy ? t и (х, у) dx dy
- 2° и(х0, у0) = ^-п-~------= * .
\ \ dx dy
Для доказательства первого утверждения достаточно переписать
формулу Пуассона для круга с центром в точке (х0, j0):
11 (*^о + Р cos а, у$ + р sin а) =
2те
= 2^ J « (*0 + R cos Ф, Уо + R sin Ф) ^ + ^р1оГ(ф-а)+р2 <*Ч>
о
и положить р = 0. Этой формой теоремы о среднем арифметическом
мы недавно уже пользовались при выводе формулы Пуассона из кон-
формной инвариантности уравнения Лапласа.
Вторую форму теоремы о среднем арифметическом легко вывести
Из первой. Действительно, при любом г (0 г R)
2п
Ч (^о> Уо) = V' (хо + г cos ф, у0 + г sin ф) dip.
о
u{x,y)dxdy <-^5-!«(*> y)\dxdy
К
К
К г к
232 * УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. Щ
Умножим обе части этого равенства на г dr и проинтегрируем по $
от 0 до R: I
R 2к R <
и(А> Л) \ rdr = -^ \ \ 11 (хо + г cos <j>, у0 4- г sin ф) г dr <Лр.
ооо 'Л
Отсюда -
И и (х, y)dxdy j
и (Xq, Уо) = 02 • I
%
Следствие 1. При тех же предположениях *
Доказательство ^следует из второй формы только что доказанной
теоремы:
Iи (хо> ^о)|^=-^2"
и из неравенства Коши — Буняковского:
и2 (*> У)dxdy |/ I2 dxdy = |
w2 (х, у) dxdyl
Будем обозначать посредством О8 множество точек области О, удален*
ных от ее границы больше, чем на 6>0.
Следствие 2. Последовательность \ип (х, у)\ гармонически^
непрерывных в Q функций, сходящихся в О в среднем, в каждой
внутренней подобласти Од сходится равномерно.
Это утверждение следует из того, что
шах | ип (х, у) — ит (х, у) |
(х, у) С Os V л
так как любой круг радиуса S с центром в О8 принадлежит полностью
О (разность ип — ит также гармонична).
Оказывается, что гармоническая функция внутри круга может был*
сколько угодно раз продифференцирована, если она на всем кру#
непрерывна и ограничена. Для доказательства этого факта заметим, что
дп Г
дхт дуп~т [ Re^ - (х + iy)
у $ $ ~~ Um)2 dx dy'
nl Relt in~m
, СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ Функций 233
§20]
что | Rei<? — (Х + (У) I ^R — V^^+y2- Последнее становится очевид-
ным если на комплексной плоскости рассмотреть треугольник со сле-
дующими вершинами: Re1*, x^-iy и начало координат. ,
Отсюда
дп______________________Re* < п\ R
дхт дуп~т Re^ - (х + iу) (R - УхЧч^У*1 *
Аналогично
дп Re4? п\ R
дхт дуп~т Re4?— (х —iу) -У^+у2)^1 ’
Существование, ограниченность и непрерывность всех этих производных
делают законным формальное дифференцирование внутри круга x2+j/2^
г2 < R2 формулы Пуассона
2тс 2тс
и(х>у)=_± ( ЯфИфЧ-L Г/..(ф)^аФ
• 1 2л J 2л J Rel? — (x-}-iy)
2гс
1 С f (ф) Re~l? dtp
2л J Re4? — (x — iy)
по параметрам x, у любое конечное число раз. (Непрерывность п-х
производных вытекает из ограниченности л 4-1-х.) Для производных
получаем оценку (л > 0):
дпи (х, у)
дхт дуп~т
2л! RM
Через М мы обозначили шах | /(ф) | = max | и (R cos ф, R sin ф) |. В центре
круга, т. е. при х=у = 0
' Г дпи (х, у) “I 2л! М
I дхт дуп~,п"\ х=о Rn '
^=о
Ясно, что такая же оценка может быть написана и для круга с центром
в произвольной точке:
' дпи (х, у) 1
дхт дуп~т\х = х0
J=J’o
max | и [Xq + R cos ф, y^ + R sin ф) |.
Первая теорема Гарнака. Последовательность непрерыв-
ных на Q гармонических функций, равномерно сходящаяся на гра-
нице Г области Q, равномерно сходится и внутри Q, причем ее пре-
делом является гармоническая функция. Для каждой внутренней
подобласти сходимость равномерная не только для самих функ-
ций, но и для их производных любого фиксированного порядка.
Равномерная сходимость последовательности {uk (х, у)} внутри О
вытекает из ее равномерной сходимости на границе. Это проверяется
применением принципа максимума к гармоническим функциям и^ (х, у) —
(А уУ
234
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
(ГЛ. ПТ
Докажем теперь равномерную сходимость производных некоторого
фиксированного порядка
dnuk (х, у)
дхт дуп~т
внутри О8. Построив вокруг произвольной точки (xQ, _у0) круг радиуса б,
целиком лежащей в G, применим к гармонической функции uk (х, у) —
— Щ (х, у) оценку
дх™ дуп~т L = л'о
2ftl
-in max I ttk (x, у) — щ (x, _y) | <
0 U-X0)2-{-
+ (>-y0)2=S2
2и!
< gn max I uk(x, у) — ut (x, у) |.
Из произвольности точки (x0, _y0) e G§ выводим, что всюду внутри G§
|d”(ufe--u/) I
I dxmdyn~m \
max I uk (x, y) — Ui (x, y) |.
Это неравенство и доказывает равномерную сходимость производных
в G§. По известной теореме анализа отсюда вытекает, что всюду
в области О существуют производные
дпи __ r dnuk
дхт дуп~т “ дхт дуп~'т ’
Переходя к пределу при &-*оо в уравнении ^Г’ + ‘7^“==0> прихо-
дим к выводу, что предельная функция и(х, у) гармонична в области G.
Теорема Гарнака доказана.
Следствие. Последовательность функций uk (х, у), гармони-
ческих в некоторой области Q и непрерывных в ее замыкании Q,
сходящаяся в этой области в среднем, внутри любой подобласти О5
сходится равномерно вместе с производными любого фиксирован-
ного порядка. Пределом этой последовательности является гармо-
ническая функция и (х, j/), а пределом последовательностей, произ-
водных— соответствующие производные от и.
Это утверждение вытекает из доказанной теоремы Гарнака и второго
следствия теоремы о среднем арифметическом.
Выведем из формулы Пуассона изящное неравенство Гарнака для
неотрицательных гармонических функций.
Неравенство Гарнака. Пусть и(х, у)^0 гармонична (и
непрерывна вплоть до границы') внутри круга (х — ^о)2 + СУ—Jo)2=C
Тогда она удовлетворяет неравенству (0^р</?)
И (х0> Уо) < и Оо + Р cos а, >0 + р sin а) ==5 и (х0, у0).
§ 20] СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 235
Для доказательства воспользуемся неравенством
/?-р_ 7?2-р2 R2 —р2 /?2-р2 __7?-+р
/? + р (/?+р)2 ^/?2+p2-27?pcosco^(/?-p)2 /?-р
и формулой Пуассона
и (хо + Р cos а> У о + Р sil1 а) =
2тс
j Р D2__q2
= 2л \ “(*o + *cos<p, y0 + /?sin<p)/?2 + p2-1_2/?pPcos((p_(x) d<p.
Пользуясь еще неотрицательностью и (х0 + R cos ф, у0 + R sin ф) =
= /(ф), мы имеем
2те 2п
Jrp'i j/(<p)rfq><«(*0+pcosa, Jo + psina)^^! . _L C /(<p)dq).
о о
По теореме о среднем арифметическом
2тс
2^ /(Ф) = « (хй, J/O) •
Неравенство Гарнака доказано.
Докажем теперь одну замечательную теорему о гармонических функ-
циях, определенных во всех точках плоскости (х, у).
Теорема Лиувилля. Г армоническая на всей плоскости функ-
ция и (х, у) не может быть ограниченной сверху или снизу, если
она не постоянна.
Доказательство. Если и(х, у) ограничена сверху, то —и(х, у)
ограничена снизу. Поэтому достаточно рассмотреть случай гармониче-
ской функции и(х, у), которая всюду больше некоторого числа М.
Более того, можно считать, что М — 0. Действительно, и(х,у) — 714 ^0,
а разность и—М гармонична. Итак, предполагая существование гармо-
нической во всей плоскости неотрицательной функции и(х, у), мы дока-
жем, что эта функция постоянна.
Воспользуемся неравенством Гарнака (0 <; р < R):
и (0, 0) и (р cos a, р sin а) и (0, 0).
Если функция и (х, у) гармонична во всей плоскости (и 0), то, фик-
сировав произвольное р>0 и неограниченно увеличивая R, мы получим
w (0, 0) и (р cos a, р sin а) и (0, 0),
wfpcosa, psina) = w(0, 0).
Теорема Лиувилля доказана.
Усиленный принцип максимума. Если гармоническая
в области Q функция и (х, у) принимает свое наибольшее или свое
236 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
наименьшее значение в некоторой внутренней точке (х0, д/0), то
и(х, у) = const.
Доказательство. Достаточно рассмотреть только случай
и (х> У) и (хо> У о) = 0* Все другие случаи приводятся к этому так же,
как и в предыдущей теореме. Пусть круг радиуса R с центром в точке
(х0, Jo) содержится в G. Для любой внутренней точки (х, у) этого
круга (х—x0)2 + (j—Jo)2 = P2<R2 по неравенству Гарнака
О = и (х0, у0) и (х, у) и (х0, Jo) = 0 •
Итак, и(х, у) = 0 внутри круга. Пусть теперь (х*, у*) — любая'другая
внутренняя точка G. Соединим ее с точкой (х0, j/0) ломаной, целиком
лежащей в G. Пусть каждая точка ломаной отстоит от границы больше
чем на 6>0. Выберем R<б и построим на ломаной конечную после-
довательность точек (х0, j/0), (хР л), ..., (хп,уп) (хп = х*, уп=у*)
такую, что (xk— xk-1)2-ir(yk—^J?2/4. Если мы построим круг
с центром в точке (xk, yk) радиуса R, то точка (хА+1, будет для
него внутренней. Если нам удалось для неотрицательной гармонической
функции и (х, у) установить, что u(xk,yk)~0} то по доказанному
н(хА+1, №-1) = 0- Следовательно, из w(Xo>Jo) = O вытекает, что
u(x*, j/*)=0. Усиленный принцип максимума доказан.
Теорема о разрывной мажоранте. Рассмотрим ограни-
ченную область О с границей Г и отметим в О=О-}-Г конечное
число точек (хр j/j), (х2, j/2), ♦ • • > J,v)- Некоторые из этих точек
могут лежать внутри G, некоторые могут быть на границе Г.
Пусть и (х, у), v (х, у)— две функции, непрерывные и гармоничные
в С4-Г, к^роме, может быть, точек (xi9 уд- В этих точках
и(х, у), v(x, у) могут терпеть разрыв или могут быть не опреде-
лены. Предположим, однако, ограниченность этих функций:
| w (х, J/) | Л4, | -и (х, у) | М
в О-|-Г (за исключением, конечно, точек (х/, уд).
Если и (х, у) |г v (х, у) |г во всех точках границы, кроме, быть
может, попавших на границу точек (х/, уд, то и всюду внутри
G+Г и (х, у) v (х, у). (Опять-таки за исключением, быть может,
точек (х/, уд> лежащих внутри.)
Для доказательства рассмотрим функцию
w5 (*> j) ==«(х> у) ~ v (х> у)—У 1п .— •
i In 4 +
1 6
Здесь d—диаметр области G, так что
1П ——,-Xrrr. - 0,
' У(х-Х^+(у-у1)2
б^>0— некоторое фйксированное маленькое число.
§ 21} ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ 237
Рассмотрим область Gg, полученную вырезанием из G кружочков
радиуса 6 с центрами во всех точках (xi} j;). Граница О§ состоит из
кусков границы Г области G и из дуг окружностей, ограничивающих
вырезанные кружочки. Очевидно, что на О5 вместе с ее границей функ-
ция (х, у) .непрерывна, гармонична и неположительна. Последнее
утверждение вытекает из принципа максимума и из неравенства
ws (х, у) —и (х, у)—v (х, у)— > —J1П 7=-.. .... === о,
In 4 У Iх - х<)2 + (У - Уд*
i 6
выполненного на границе G§.
Зафиксируем точку (х, у) и, устремляя в неравенстве w8(x,
параметр 6 к нулю, убедимся, что п(х, у)-— v(x, д/)^0. Теорема
о разрывной мажоранте доказана.
Из этой теоремы можно вывести теорему единственности решения
задачи Дирихле в ограниченной области с кусочно непрерывной гра-
ничной функцией, имеющей конечное число точек разрыва.
Другим следствием теоремы о разрывной мажоранте "является
Теорема об устранимой особенности. Пусть и(х, у) —
гармоническая и ограниченная в окрестности некоторой точки
(х0, Уо) функция, за исключением, быть может, самой этой точки.
Тогда можно так доопределить значение и (х0, j/0), чтобы после
этого и (х, у) стала гармонической во всей рассматриваемой окрест-
ности точки (xQ, уq), включая и саму эту точку.
Доказательство. Пусть круг (х — х0)2 + (_у—>0)2^ Я2 лежит
целиком внутри окрестности. Пусть и* (х, у) — гармоническая всюду
внутри круга и принимает на окружности (х—x0)2-j-(y—>о) = ^2 те же
значения, что и и (х, у). Функцию п* можно построить с помощью
интеграла Пуассона. Ясно, что если | и (х, у) | =< М, то и | и* (х, у) | М.
Поэтому мы можем применить лемму о разрывной мажоранте и с ее
помощью утверждать, что
и* у) и (х, у) w* (х, у)
всюду, кроме точки (j£0, j/0). Следовательно, и (х, у) = и* (х, у). Это
позволяет утверждать, что, положив и (х0> _у0) = w* (х0, j/0), мы превратим
w(x, у) в функцию, непрерывную и гармоническую во всей окрестности.
На этом мы закончим обзор основных свойств гармонических функ-
ций в областях общего вида и в следующем параграфе вернемся к изу-
чению гармонических функций в круге.
к
§ 21. Вариационный принцип Дирихле
Формула для вычисления интеграла Дирихле гармонической в круге функции
по коэффициентам Фурье граничных значений. Пример непрерывной в круге гар-
монической функции, имеющей бесконечный интеграл Дирихле. Неравенство для
интегралов Дирихле двух функций, принимающих на границе круга одинаковые
значения, одна из которых гармоническая. Пример Адамара непрерывной на гра-
нице круга функции, которая не может быть продолжена внутрь с конечным
238
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ ПТ
интегралом Дирихле. Вариационный подход к задаче Дирихле. Некоторые исто-
рические замечания. Пример неразрешимой вариационной задачи. Единственность
экстремальной функции. Принцип Дирихле для круга и для простейших областей,
полученных из него конформными преобразованиями.
Ближайшие параграфы будут посвящены доказательству разреши-
мости задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях весьма широкого
класса. Доказательство основано на так называемом вариационном под-
ходе к задаче и опирается на некоторые важные и интересные свойства
интеграла Дирихле.
Сейчас мы изучим интеграл Дирихле для функций, гармонических
в круге, и докажем экстремальное свойство этого интеграла.
Для простоты рассмотрим круг радиуса R с центром в начале коор-
динат и напомним, что интегралом Дирихле называется выражение
г
Dr(u) = (u^ + ti\,)dxdy=
о О
x = pcosa, j/ = psina.
Если функция w(x, у) гармонична в круге радиуса R, то внутри круга
радиуса r<zR производные их и и? непрерывны. Следовательно, инте-
грал Dr(u)— интеграл от непрерывной функции. Но при r = R этот
интеграл может оказаться несобственным интегралом. При этом под D# (и)
понимается limDr(zz).
Как было показано во вводной части (§ 2), функция и (х, _у) непре-
рывная в круге х2+у2^/?2 и гармоническая внутри этого круга, пред-
ставляется в виде ряда
и (р cos а, р ?in а) = у + J?, (ап cos па + bn sin па),
п — 1
где коэффициенты ап и Ьп являются коэффициентами Фурье граничной
функции /(ф) = и (R cos ф, R sin ф):
= /(ф)cos z/фйф, п —0, 1, 2, ...,
о
2*
= /(ф)8Ш/2фЙф, /2=1, 2, ...
О
Сейчас мы воспользуемся выписанным рядом для вычисления инте-
грала Дирихле. Очевидно, что внутри круга 0<р^г почленное диф-
ференцирование по р и а для ряда и (р cos а, р sin а) законно, так как
§ 21) ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ 239
формально продифференцированные ряды
7 ОО
Ир = 2 (а« cos иа + bn sin йа)’
/1=1
00
иа = 2 (т0 п (— а« sin па + bn cos ла)
л=1
сходятся там равномерно. Следовательно,
00
= 2 cos яа+bn sin
П=1
00
^=2 «л sin ла 4-cos па).
П=1
Это позволяет вычислить интеграл Дирихле Dr(u) в явном виде.
Начнем с вычисления
2я 2те
С /ди\2 , С (ди\2 1 ,
\ hr расе, \ Hr" — da.
J \др/ r J \да) р
о о
Подынтегральные выражения представляются двойными суммами
оо
ди \2 VI gfn+n-1
р = 2^ тп -рт^п (ап cos па + bn sin па) (ат cos та + bm sin та).
т, п=1
оо
1 VI лт+п~1
Ы— = ^n^^(—ansinna + bncosna)(—amsinma + bmcos та),
tn, л=1
Теперь заметим, что
2«
J (ап cos па + bn sin па) (ат cos та + bm sin та) da =
о
( 0, если т п,
I (ап + Ьп) я, если т = п # О,
2тс
(— ап sin па + bn cos па) (— ат sin та + bm cos та) da =
о
( 0, если т п.
\ + Ь2п) л, если т = п О,
240 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. Ш
Это замечание приводит нас к выводу, что
оо
С (ди\2 Л £ (dU\2 I Л VI 2/ * V i.SXp2'1”1
И^р) р(/0С==зЫ 7da=jr 2 «2(a"+^V-
О О л=1
Отсюда
п'(и)== SI$ О
о (о J
00 г 00
= 2^2 »2(4 + ^) ^^dp=n 2 п(4 + ^)(-^ул.
П=1 О П=1
Из определения интеграла D%(u) вытекает, что
Dr (и) = lim Dr (и) = л У, п (а*п + ban). (1)
/2 = 1
Если ряд в правой части расходится, то это значит, что
Оя(и) = оо.
Адамар построил пример непрерывной функции /(ср) такой, что
решение задачи Дирихле в круге Q<Zp^R для уравнения Лапласа
$2и д2и
+ ду2~® с граничным условием zz(R cos ф, R sin ф)=/(ф) имеет
бесконечный интеграл Дирихле, Функция Адамара записывается равно-
мерно сходящимся рядом:
у(ф)= 2 gjn(ni ф)
П=1
и2
(Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна.)
Решение и (х, у) задачи Дирихле с граничными значениями /(ф) имеет
интеграл Дирихле:
оо
Рл(«) = л2 7? = о°-
п = 1
Этот пример в дальнейшем нам понадобится при обсуждении очень
важного и интересного вариационного подхода к решению задачи
Дирихле. А сейчас мы докажем с помощью ряда (1) следующую заме-
чательную теорему. ' 9
. Теорема. Пусть g(p, ф) — какая-либо непрерывная в круге
O^p^R кусочно гладкая функция с конечным интегралом Дирихле
9* R
Dr fe) = J jj («₽ + -р g<p) Р dy.
О о
I § 21J ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ ' 241
1 На границе круга g(p, ф) принимает граничные значения
> /(<p)=g(#> ф)-
Построим гармоническую функцию и(р, а) с теми же самыми
граничными значениями u(R, ф)=/(ф). Мы докажем, что интеграл
Дирихле D%(u) конечен и не превышает D#(g):
! DR(u)^DR(g).
Граничной функции /(ф) = ^(/?, ф) может быть сопоставлен сходя-
. щийся к ней в среднем ряд Фурье
оо
' g (R, ф) = у + (а« cos "*Р + sln П<Р)’
I ' n=1
i Решение w(p, ф) задачи Дирихле представляется тогда рядом
I 00
i и(р, ф) = у+2 (10"(а" cos пЧ + Ьп"ф)-
! ~ п=1
' Интеграл Дирихле этого решения
D₽(w) = n У, »(аН&»У
« = 1
Для того чтобы доказать неравенство
DR(u)^DR(g),
| очевидно, достаточно убедиться 'в том, что при всех W ,
v
Л У Я(4+&п)^Дд(§),
( ’ n=1
т. е. в том, что
Dr («дг) D# (g),
где
У
»№у + У (у)" (ап cos Яф И- bn sin Яф).
П«=1
В доказательстве,- которое мы приведем, будет использовано, что uN
имеет непрерывные вторые производные. (На самом деле uN—полином
переменных х, у и имеет производные любого порядка.)
Доказательство будет состоять из двух лемм.
Лемма 1. Выполнено равенство
f гл / ч-1
J [£(Я Ф)-«лг(Я Ф)][ -^
О
242
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
Доказательство. Ясно, что g(R, ф)— uN(R, ф) — непрерывная
функция, имеющая сходящийся к ней в среднем ряд Фурье
g(R, ср) —Ujv(R, ф) = У (а„ cos Яф-f-sin Яф).
«=АЧ-1
Коэффициенты Фурье, отвечающие значениям индекса от 1 до /V вклю-
чительно, будут для этой функции равны нулю. Эти коэффициенты
определяются интегралами:
2 тс
А>=$ [£(& ф)—un(R> ф)] dcp = О,
О
2я
А>=4 ф)—ср)] cos nep dcp = О,
О
2«
Вп = \ <P) — Un(R> ф)] Sill Яф (/ф = 0.
о J
п=1, 2, ..., М
Любая линейная комбинация Ао, Ар ..., А& Bv ..., В^тоже будет равна
нулю. В частности,
У п(Л„ая4-5А)=0.
Это равенство можно переписать еще так:
лг
2«
5 [£(Я> ф)~uN(R, ф)] У я (й„ cos Яф +/>„ sin Лф) (/ф = о.
О
L« = i
Теперь осталось только заметить, что
2 п (ап cos пер + bn sin /гф) =
n=l
=ч
- N
2 (ал c°s Яф + Z»n sin яф)
1/1 = 1
_пГэМР’ ф)1
~KL dp Jp-jf
p-я
Доказательство первой леммы завершено.
Лемма 2. Пусть О—некоторая конечная область с кусочно
гладкой границей Г, функция ф2 (х’ У) имеет в замкнутой области О
непрерывные вторые, а Ф1(х, 3/) — кусочно непрерывные первые произ-
водные. Тогда
С С +^1 dxdy + И о
\ \ \ дх дх 1 ду ду j J J т \ dx2
Q Q
^dxdy=^^ds
§21]
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
243
(ds— дифференциал длины дуги Г, — производная по внешней нор-
мали).
Доказательство этой леммы мы проведем для области, в кото-
рой 'iKCr, у) непрерывно дифференцируема вплоть до границы. В случае
кусочной гладкости область G может быть разбита на конечную сумму
областей Or G2, ..., Qk, для каждой из которых это предположение
выполнено. Доказав интересующее нас тождество для Ov О2, ..., Qki
а затем сложив их, мы получим тождество для О. При этом интегралы
по внутренним к О участкам границ Gp ..., Qk уничтожатся, так как
для двух соседних подобластей внешние нормали, а следовательно, и
отличаются лишь знаками, функции же фг входящие в граничные
интегралы, — непрерывны. Внутри подобласти О/, где %, ф2 имеют
непрерывными соответственно первые и вторые производные, выполнено
тождество
। /d2fe . д2ф2\ д / 0$?. .
дх дх ‘ ду ду * \ дх2 ) fix \ 1 дх / ’ ду \ду ) *
Проинтегрируем это равенство по Gz:
a. ot.
Для преобразования двойного интеграла в контурный мы воспользо-
вались теоремой Гаусса—Остроградского. Лемма 2 доказана.
Следствие.
И & э-й-.м+dx „ 0.
J J L дх дх ду ду J
•*2-Ну2<Я2
Действительно, положив Идг = ф2> g—uN = ^1 и применяя преды-
дущую лемму к области х2-\-у2 ^ R2, получим
И +
J J L дх дх 1 ду ду J 1
ее
+ И
ди лг Г* ди \г
= J (g—uN)-Sfrds=R J (g — tiN)-^dq = 0.
л:2-р^2 = ^2 p=^
244 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
Остается для пояснения еще заметить, что uN — гармоническая функция:
d^UN ^UN_
дх2 ф ду2 •
Теперь тождество •
р<£
' J J I дх дх 1 ду ду J •у>
в правой части которого последний интеграл равен нулю, а предпо-
следний неотрицателен, сразу позволяет заключить, что
Dr (g) Dr (uN).
Как мы отмечали, отсюда следует неравенство
Dr (w) Dr (g).
Мы доказали, что если для некоторых граничных значений /(ф)
существует непрерывное и кусочно гладкое продолжение g(p, ф)
внутрь круга, обладающее конечным интегралом Дирихле, то гармо-
ническая функция w(p, ф), отвечающая тем же граничным значениям,
будет также иметь конечный интеграл Дирихле, не превышающий
DK(g).
В частности, отсюда следует, что граничная функция Адамара
п= 1
не имеет продолжения ^(р, ф) внутрь круга 0 р R (g(R> ф)=/(ф))
с конечным DR(g). Доказанное нами сейчас экстремальное свойство
гармонических функций носит название вариационного принципа Дирихле.
Мы его доказали в случае, когда гармонические функции рассматри-
ваются в круге. На самом деле аналогичный принцип справедлив для
очень широкого класса областей. Мы этот класс в дальнейшем опишем,
а сейчас остановимся на несколько более развернутом описании идеи
вариационного подхода.
Рассмотрим какую-либо ограниченную область на плоскости, на гра-
нице которой задана непрерывная функция f(s). Возьмем внутри этой
области гладкие функции и (х, у), принимающие граничные значения f(s),
и для каждой из них вычислим интеграл Дирихле
О
§ 21J
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
245
В основе вариационного подхода лежит утверждение, что минимальное
значение D (и) принимается на гармонической функции, решающей задачу
Дирихле.
Ясно, что D(u)^0, и поэтому для значений этого функционала
существует нижняя грань. Пусть эта нижняя грань достигается на глад-
кой функции и (х, у). Как известно из вариационного исчисления,
w(x, у) тогда должна удовлетворять уравнению Эйлера
й [(ri + ^.,1+5 [(«!+-»., 1=0
или, что то же самое,
2Г^+^1=о,
I дх ду J ’
— уравнению Лапласа.
Идея этого вариационного подхода к уравнению Лапласа была впер-
вые высказана Гауссом. Дирихле излагал этот подход на своих лекциях,
одним из слушателей которых. был Риман. Риман развил эту теорию
и под названием принципа Дирихле положил ее в основу своей геомет-
рической теории функций комплексного переменного.
Эта работа произвела большое впечатление на математиков того
времени. Но через 18 лет Вейерштрасс показал, что утверждения, поло-
женные в основу вариационной теории, неубедительны. Дело в том,
что из рассуждений Римана не следовало существование функции
w(x, у), на которой достигается нижняя грань О(п). Риман не сумел
найти ответ на критику Вейерштрасса. Только через 32 года Гильберт
сумел построить корректное обоснование принципа Дирихле.
Так как идеология вариационных методов имеет чрезвычайно важные
и многочисленные приложения, мы не можем обойти ее стороной.
Начнем наше обсуждение с пояснений критики Вейерштрасса. Раз-
берем пример вариационной задачи, для которой не существует
функции, дающей минимум функционала D(u).
Пусть м = 0 на границе круга x24-j/2=l. Потребуем еще, чтобы
zz(O, 0)=1. Рассмотрим всевозможные кусочно гладкие функции и (х, у),
удовлетворяющие сформулированным ограниченйям, и для каждой из
них вычислим интеграл Дирихле D(u). Постараемся оценить нижнюю
грань D(u). Для этого введем полярные координаты х = г cos ср, у =
= г sin <р и определим функции ц5(г, ф) (0 < S < 1) равенством
Щ(г, ф) =
1 (0<г^б2),
1п~
—4 (S2^r<6),
in 4-
о
о (6 < г).
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
246
Вычислим Dr(»a):
2п 1
а /j। ^\а а
2л С “ г , 2л С 1 . 2л
=—г\ \-d7- rdr =—r\^rdr = —Г-
in«4-8*l х а ' 1па4-в^ In 4-
О 0 0
Ясно,1 что £)(п§)->0 при 6->0. Очевидно, что
Мм)к+^1 = °, w5(0, 0)=1,
т. е. п5(х, у) допустимы в нашей задаче. С другой стороны, мы пока-
зали, что D (w§) -> 0 при S -> 0. Отсюда ясно, что
inf D (и) inf D (и§) = 0.
Из неотрицательности D(u) вытекает равенство
infD(iz) = O.
Однако ни на одной допустимой функции эта нижняя грань не дости-
гается. В самом деле, если
то и = const, но постоянная не может принимать различных значений
в центре круга и на окружности.
Тот же самый пример последовательности функций {ws} S = y,
у, ... может играть еще одну роль. Он представляет собой
интересный пример последовательности функций, принимающих на гра-
нице круга нулевые значения и имеющих интеграл Дирихле, стремя-
щийся к нулю. Замечательно, что сами эти функции к нулю равномерно
не сходятся, несмотря на то, что функция п(х, j/) = 0 является здесь
экстремальной. Мы видим, что даже в случае, когда ‘экстремальная
функция существует, минимизирующая последовательность может
к ней не сходиться.
Есть еще одна трудность в вариационном подходе к задаче Дирихле.
Выше был построен пример непрерывной на границе круга функции,
которая не может быть продолжена внутрь круга так, чтобы иметь там
конечный интеграл Дирихле (пример Адамара).
Ясно, что для граничной функции Адамара нельзя решать “задачу
Дирихле с помощью вариационного принципат Поэтому мы накладываем
на граничную /(Q) следующее ограничение: существует в обла-
сти Q непрерывная вплоть до границы, гладкая, или кусочно гладкая.
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
247
§ 21]
функция g(x, у), имеющая конечный интеграл Дирихле DG(g) и
принимающая на границе О значения /(Q).
Только такие /(Q), допускающие продолжение в G с конечным ин-
тегралом Дирихле, будут нами рассматриваться. Только для них будет
доказана разрешимость задачи Дирихле, да и то не для всех областей.
Так, например, область, представляющая собой единичный круг с выко-
лотым центром, не является допустимой. Рассмотренный нами пример
функций у) привел нас к выводу, что не для всякой допустимой
непрерывной граничной функции существует продолжение с минимальным
интегралом Дирихле. Функция
ч, (1 при х = 0, у = 0,
( 0 при №-\-у*= 1
может считаться непрерывной функцией на границе. Мы видели, что она
допускает непрерывное продолжение внутрь области с как угодно ма-
лым интегралом Дирихле. Непрерывная же функция с нулевым интегра-
лом Дирихле, по необходимости, — константан наших краевых значений
принимать не может.
Предположим теперь, что для некоторой области и для некоторой
граничной функции /($) нам удалось построить такое продолжение
п(х, у) внутрь О этой f(s) (u\r~f), что Dg(u) конечен и равен ниж-
ней грани inf Dq(z) интегралов Дирихле функций z(x, у), удовлетворя-
ющих граничному условию
(через Dg\z) мы обозначили интеграл Дирихле от z(x, у) по области
G). Мы покажем, что такое экстремальное гладкое продолжение и(х, у)
единственно.
Пусть
Dg (и) = DQ(y) = d = inf Dq (z),
и jr — v |r=/«
Докажем равенство,
Dq (t) = I D° («) + i Do (®) Da (u-v).
Для этого достаточно сделать элементарные преобразования подынтег-
рального выражения:
248
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
Из доказанного равенства и из неравенства
вытекает, что d^~d-j- ~d—^Dq(u—v). Отсюда
Do (u—v) = § [(Ид.—vx)2 + (Uy—xy)2] dx dy 0.
О
Таким образом, и — T> = const. На границей — *и = 0. Равенство и —17 = 0
всюду в О доказано.
• Применение этой теоремы единственности экстремальной функции к
случаю круговой области завершает для этой области обоснование прин-
ципа Дирихле.
Повторим формулировку принципа в этом случае:
Если /(ф)— непрерывная функция, допускающая хотя бы одно
непрерывное кусочно гладкое продолжение g(p, ф) (g*(p, ф)=/(ф))
внутрь круга 0 р с конечным интегралом Дирихле D# (g), то
существует среди таких продолжений единственное гладкое про-
должение w(p, ф) такое, что DQ(u) — d, где d — нижняя грань ин-
тегралов Дирихле для таких продолжений. Продолжение w(p, ф)
является гармонической в круге функцией, решающей задачу Ди-
рихле
u(R, <р)=/(ф).
В предыдущем параграфе мы показали, что уравнение Лапласа и
интеграл Дирихле инвариантны относительно обратимых конформных
преобразований
х = х(& п), £=£(*, У),
У=У<& Л)> Ч=П(х,у)
независимых переменных. Отсюда вытекает, что если некоторая замкну-
тая область G-f-Г может быть непрерывно и конформно отображена
на круг, то мы можем ручаться,
что задача Дирихле с непрерыв-
ными граничными значениями для
области разрешима.
В частности, отсюда вытекает
Рис. 59. разрешимость задачи Дирихле для
областей, изображенных на рис. 59,
т. е. для кругового сектора или для луночек, ограниченных дугами
окружностей. В теории функций комплексного переменного приводятся
простые формулы для отображений этих областей на единичный круг.
Для всех этих областей справедлив и принцип Дирихле. Действи-
тельно, пусть Г—граница О, и |г=/. Покажем, что
Dq (и) Dq (g),
§ 22}
МЕТОД ШВАРЦА
249
где g —какая угодно кусочно гладкая функция, определенная в Он при-
нимающая те же самые граничные значения, что и и (х, у) (g |г = /).
Пусть равенства
Х = Х(£, Т|).
У=У& П)
определяют конформное отображение круга К {£2+т]2 sg 1} на G. При
этом и[х(В, г]), _у(|, т|)] — гармоническая функция ог £, т), и|Е.+,.=1 =
= f[x& л)’ У & л)]- Очевидно, что функция ?(& Т))=£|Л& Л)> .У(& Л)]
принимает на окружности |24-т]2=1 те же граничные значения, что и
«[* (?> Л)> У (?> Л)]1 В СИЛУ инвариантности интеграла Дирихле
О0 (и) = DK {и [х & г|), у (|, г])]},
Da (g) = D« {g [x (£, П)> У (& П)]}>
а в силу принципа Дирихле для круга
Dk {g [х (Ь т])> У (I П)]} DK {и [ х & т])> У (I П)]}-
Поэтому Dq (g) Dq (w).
Наше доказательство единственности экстремальной функции годится
для произвольных областей, в том числе и для рассматриваемых сейчас.
Мы заканчиваем на этом обоснование принципа Дирихле и разре-
шимости задачи Дирихле для всех областей, которые элементарными
конформными преобразованиями могут быть непрерывно (вместе с гра-
ницей) отображены на круг. В частности, принцип Дирихле и разре-
шимость задачи Дирихле обоснованы для сектдра и луночек, изобра-
женных на рис. 59.
В следующем параграфе будет изучен альтернирующий метод Шварца,
с помощью которого нам удастся распространить теоремы о разреши-
мости задачи Дирихле и о применимости принципа Дирихле на любые
многоугольники.
Если воспользоваться теоремой о том, что > всякую односвязную
область со спрямляемой границей, содержащей не менее двух точек,
можно непрерывно и конформно отобразить на круг, то после некото-
рого уточнения формулировок нетрудно обосновать разрешимость задачи
Дирихле и принцип Дирихле. Однако мы не будем пользоваться этой
теоремой о конформных отображениях, так как ее доказательство
в аккуратной формулировке, которая нас бы удовлетворяла, совсем
не так просто.
§ 22. Метод Шварца
Альтернирующий метод Шварца доказательства существования решения за-
дачи Дирихле для составных областей. Критерий Шварца. Формулировка теоре-
мы и ее доказательство. Использование метода Шварца для обоснования прин-
ципа Дирихле. Пример получения теоремы существования решения задачи Дирихле
и принципа Дирихле в неодносвязном многоугольнике. Проверка критерия
Шварца с помощью геометрического «условия луночки». Схема доказательства
принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для любых многоугольных
областей.
250
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
ГГЛ. III
В этом параграфе будет рассмотрен альтернирующий метод Шварца
решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в составных областях.
Предположим, что область Q разбивается на три части Gp О2, так,
как это показано на рис. 60. Обозначим теоретико-множественную сум-
му областей Ог и О2 вместе с их общей границей р через О12. Анало-
гично обозначим О2)3 —G2 U U где J означает знак объединения.
разрешимость для всей области G.
Граница области О1Л состоит из дуг
а, у и о. Предположим, что для ча-
стичных областей G1>2 и О2 3 раз-
решима задача Дирихле с любыми
непрерывными граничными значени-
ями. Нашей целью будет формули-
ровка условия на области Glt G2,
G3, при котором из разрешимости
задачи Дирихле для частичных об-
ластей О1>2 и G2>3 будет вытекать ее
Сначала мы сформулируем этот кри-
терий в той форме, в какой он нужен для проведения доказательства
существования, но из которой, на первый взгляд, совсем не видно эф-
фективного способа проверки, выполнен ли он для конкретно задан-
ных геометрически областей. В дальнейшем будут указаны простые гео-
метрически наглядные достаточные условия выполнения нашего критерия.
Критерий Шварца. Мы будем говорить, что система обла-
стей Olf О2, G3 с граничными дугами а, р, у, б, а удовлетворяет
критерию Шварца, если выполнены следующие два условия'.
1. Любая гармоническая в G12, непрерывная в Glt2 функция, рав-
ная нулю на а U о и не превышающая по абсолютной величине 1 на у,
всюду на дуге р не превосходит по модулю некоторого 6 < 1.
2. Любая гармоническая в G2>3, непрерывная в О2>3 функция, рав-
ная нулю на б U о и. не превышающая по абсолютной величине 1 на
Р, всюду на дуге у не превосходит по модулю 6 < 1.
В этом критерии предполагается, что постоянная 0 может быть выб-
рана для данной системы областей Ор G2, G3 раз и навсегда и, следо-
вательно, она не зависит от рассматриваемой непрерывной гармониче-
ской функции. (Напомним, что знак черты над множеством означает
замыкание этого множества.)
Будем говорить, что область Olt2 (G2>3) удовлетворяет условию разре-
шимости, если при любой непрерывной на a (J у U о (б U Р IIа) граничной
функции существует отвечающее ей непрерывное решение задачи Дирихле
в G1>2 (G2 3). Аналогично, область O = G1(2|jG2t3 будет удовлетворять
условию разрешимости, если при любой непрерывной на a U б U о гра-
ничной функции существует отвечающее ей непрерывное решение зада-
чи Дирихле в G.
Теорема. Если система областей Glf Q2, G3 удовлетворяет
критерию Шварца и если для областей Oli2, G2>3 выполнено условие
МЕТОД ШВАРЦА
251
§ 22]
разрешимости, то это условие
Gi л 11 G««.
выполнено и для составной области
Доказательство. Пусть на a (J б (J а задана непрерывная гра-
ничная функция /С$). Пусть g(x, _у)— какая-либо непрерывная в Q функ-
ция, равная f(s) на границе aj6U<b Мы сейчас опишем итерационный ч
процесс, который, отправляясь от начального приближения g(x, у), при-
ведет нас к решению задачи Дирихле.
Положим uQ(x, y) — g(x, у) и определим и0(х, у) следующим обра-
зом:
w0 (х, у) на Qt U a U б;
решению задачи Дирихле в G2j3
с граничными условиями
|ЦГ5 =/(S) = У) |ДГ8»
d0|₽ = w0(x, у) |₽-
В дальнейшем последовательные приближения ип(х, у), vn(x, у) будут
строиться следующим образом:
(х, У) на G3 U a U о;
и (х, v) = ' Решению за*ачи Дирихле в Gi>2
п 1 с граничными условиями
Mn It = г’я-1 _v) |у>
ия(х, у) на Ох (J ст J у;
( _ решению задачи Дирихле в О2>3
Ъп\х> У) с граничными условиями
!₽ = ««(*, J)|₽.
Очевидно, что каждая из функций ип (х, у), vn (х, у) по построению
является непрерывной в G и принимает на границе значения f(s). Мы
докажем, что последовательность
w0, vQi ult Up и2, u*_i, uki vki uk+1, ...
равномерно сходится. Отсюда будет следовать, что ее предел будет
непрерывной функцией, принимающей на a jj б |J о заданные значения f(s).
Легко показать, что этот предел будет в G функцией гармонической.
Действительно, возьмем в G какую-либо внутреннюю точку (х0, д/0). Эта
точка будет внутренней хотя бы для одной из областей Oi>2, О2)3.
Рассмотрим, для определенности, случай (х0, yQ) £ Olt2. Последовательность
252 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. П[
(х> У)> ui (х, у), ..., ип (х, у)> ... гармонических в Gf12 функций тоже
равномерно сходится в Glt 2 к тому же пределу как подпоследовательность
сходящейся последовательности. По первой теореме Гарнака ее предел
будет гармонической в Glt 2 функцией.
Если бы (х0, .Уо) С ^2, з> TG> аналогично, надо было бы выделить
подпоследовательность vQ, vly v2>... и установить гармоничность ее предела.
Мы видим, что для обоснования условия разрешимости задачи Дирихле
в G достаточно установить равномерную сходимость последовательности
м0, vQ, и1У vly и2У ...
Переходя к этому исследованию сходимости, отметим, что
на G3Ua|Ja;
Обозначим
Un un-^ — {
(n = 2, 3,4,...) I
(n=l, 2,3,...)
гармонической в Qlt 2 функции,
равной 0 на a U o' и равной
^-i — ^-2 на у;
—на GxUa|jS;
гармонической в G2 3 функции,
равной 0 на 6 J о и
равной ип—на 0.
a„ = max | ип (х, у) - ип_г (х, у) |,
(А у) € Р
bn= max _ | vn (х, j>)—vn-i (x, j) |.
(*, y) £ 7
Из выполнения критерия Шварца мы выводим следующие утверждения:
Отсюда
ап «S 92a„-i sg 02<л~2>а2,
&„<62Я-За2 («>2).
Очевидно, что из принципа максимума для решения задачи Дирихле
следуют неравенства:
I «л (х> У) ~ Un-i У) I const 62Л,
I vn {x, у) - vn-i (x, у) | an < const S2”;
(x, дОСД «=2,3,4,...
Равномерная сходимость последовательностей
Wq, izx, zz2, . . . ,
•po, -Up ^2, ...
очевидна. Теперь заметим, что, начиная с п=1, функции vn—ип9 оче-
видно, будут гармоническими и непрерывными в каждой из областей
МЕТОД ШВАРЦА
253
§22]
0 02, 03 и будут равны нулю на внешней границе a J 6 (J °- Из опре-
деления очевидно также, что vn — un — 0 на Of и на 0. На дуге у функ-
ция ип по построению совпадает с •»„_£. Поэтому vn— ип на у равно
vn-i- По принципу максимума
| vn(х, У)- ип(х, у) |< шах | vn- ип | = max - vn-x \ = Ьп^ const 92".
т г
Отсюда ясно, что составная последовательность
м0, ‘Wi, w2, v2, ...
тоже равномерно сходится. Доказательство теоремы завершено.
Оказывается, что принцип Шварца позволяет переносить на состав-
ные области не только разрешимость задачи Дирихле с непрерывными
граничными значениями, но и выполнение принципа Дирихле.
Пусть непрерывная и кусочно гладкая функция g(x, j) имеет конеч-
ный интеграл Дирихле Dq (g) = DQ1 (g) + Dqs (g) + Dq3 (g\ Предположим
, также, что принцип Дирихле цыполнен для каждой из областей Gh 2, О2 3.
Выполнение этого принципа означает, что для любой кусочно гладкой
в Ох,2 функции v (х, у) и для гармонической там же функции и (х, у),
совпадающей с v на границе (J J a J 6, справедливо неравенство
В частности, для последовательности функций ип, vn> участвойавших
в доказательстве предыдущей теоремы,
(w«) Dolt2 п = b 2, 3> • • •
Отметим4 еще, что на G3 un = vn^1 и поэтому
(^л) fart-l)*
Объединяя два последние утверждения, имеем:
Dq (цп) Dg (tvi ), п = 1, 2, 3, ...
Аналогично, предполагая выполнение принципа Дирихле для О2>3, мы без
труда установим неравенство
W = O, 1, 2, 3, ...
Так как iz0(x, j/) = g, мы убедились в том, что интеграл Дирихле
любой из функций последовательности
м0, 170, wx, -up п2, v2, ...
не превышает DG(g). Мы знаем, что это последовательность равномерно
сходится к гармонической в области О функции и(х, у), совпадающей
с У) на границе этой области. Докажем, что Dq (и) Dq (g).
Достаточно установить неравенство
Dm и я2 и н3 (Ц) = DHl (и) + DHi (м) + DH, (ц) Dq (g)
254
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
для любых внутренних подобластей Hi областей Gz (/Уг с: Op Н2 cz G2,
/73czQ3) и воспользоваться затем равенством
Dq (w) = supZ>H1UH2UHa(w).
Внутри каждой из подобластей Hi последовательность
Ир tip и2, п2, и3, п3, ...
является последовательностью гармонических функций, равномерно схо-
дящихся вместе со своими первыми производными. (Вспомните теорему
Гарнака и теорему о сходимости производных у равномерно сходящихся
гармонических последовательностей.) Поэтому
Dm и н2 и н3 («) = Вт DHl и н2 и на (««)•
п-»оо
С другой стороны,
- Dhx и нг и нз М Dq (lln) Dq (g).
На этом мы заканчиваем доказательство неравенства
DQ(u)^D0(g).
По теореме единственности решения задачи Дирихле функция и (х, у)
определяется по граничным значениям g(x, у) |а g $ g 0 однозначно. Ее
существование следует из доказанной теоремы о разрешимости задачи
Дирихле в О=С1иО2иСз- Функция, совпадающая с g(x, у) на гра-
нице a (J 6 J а и имеющая интеграл Дирихле, равный DQ(u\ един-
ственна. Это было доказано в прошлом параграфе.
Перечисленные сейчас факты составляют содержание принципа Ди-
рихле для составной области G. Итак, мы показали, что из критерия
Шварца для Gp G2, G3, из разрешимости задачи Дирихле для Glt 2,
О2>3 и из выполнения принципа Дирихле для GL2, О2 3 следует разре-
шимость задачи Дирихле и выполнение принципа Дирихле ,для состав-
ной области G = GL2UG2t3. Прежде чем воспользоваться этими фактами,
сделаем несколько замечаний относительно проведенного доказательства.
В этой доказательстве нам было совсем не существенно, чтобы об-
ласти были односвязными, а каждая из дуг границы а, р, у, S, а связ-
ной. Каждая из них может состоять из нескольких различных дуг, как
это, например, изображено на рис. 61. На этом рисунке двусвязный
многоугольник G1|JG2UG3 мы рассекли двумя параллельными прямыми
Р(х = О) и у(х — 1/2) на несколько частей. Части G/* и GJ2’ мы счи-
таем составляющими область Gr Части G^1’, G22>, G28> образуют область 02*).
Границы а, 6 состоят каждая из трех ломаных а2, а3; б2, 63. Гра-
*) Под областью обычно понимается открытое связное множество, так что,
строго говоря, и 62 не являются областями. Однако нам при рассмотрении
этого примера будет удобно, немного отклонившись от общепринятых определе-
ний, называть и 02 областями.
метод Шварца
255
§ 221
нииа о разбивается на шесть различных частей. На каждой из прямоли-
нейных границ 0, у должно рассматриваться по три отрезка; на рис. 62
изображены области G„ О2, О3, расположенные так, что дуга а вообще
Рис. 61.
отсутствует. Покажем, что области, изображенные на рис. 61, удов-
летворяют критерию Шварца.
2
Рассмотрим гармоническую функцию неотрицательную
в U О2 и равную 1 на у(х=1/2).
Неотрицательность этой функции
следует из того, что вся наша фигура
расположена в полосе — 2 х 2,
как это видно из рисунка.
Очевидно, что для любой непре-
рывной гармонической функции, не
большей 1 на у и равной нулю на
a U О', из принципа максимума сле-
дует неравенство
9
П(х, j/)^|(x + 2).
Если мы знаем, что и(х, у) не меньше —1 на у и равна нулю на
a U О', то аналогично мы можем написать:
9
и(х, 5 (х + 2).
256
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
Отсюда ясно," что если 1 на у и если и = 0 на'a Jo, то при
2 4
х = 0, т. е. на В, имеет место неравенство | п|=^-=-(х + 2) = -=-. Точно
О о
таким же способом, с помощью гармонической функции 1—х/2, поло-
жительной в G1UG2 и равной единице на Р(х = 0), показывается, что
любая гармоническая функция, не превышающая 1 по модулю на р и
равная нулю на S U о, удовлетворяет на у(х = 1/2) неравенству | и | 3/4.
Мы видим, что в рассматриваемом случае критерий Шварца выполнен,
если за 6 выбрать
а 4 /3 4\
е=к=шаХи, д .
Если бы мы имели обоснование разрешимости задачи Дирихле и
принципа Дирихле для односвязных областей G/’ |J G^1 J Q'%' U Pi U PsJ
Gi2)UO^UP2; GgUG^UG^UG^UTiU^U Уз* то имели бы право пере-
нести эти утверждения и на неодносвязную область Gr U О2 J G3. Ясно,
что приведенное сейчас рассуждение является общим. Мы не будем на
нем подробнее останавливаться и,
Рис. 63.
доказав в дальнейшем выполнение
принципа Дирихле для односвязных
многоугольников, не будем при ис-
пользовании эту односвязность ого-
варивать. Перенесение доказанных
фактов с односвязных на многосвяз-
ные многоугольники проводится по
разобранной на этом примере схе-
ме путем разрезания на односвяз-
ные части.
Сейчас мы опишем и докажем
одно очень простое и удобное гео-
метрическое условие, из которого
следует выполнение критерия
Шварца,
Пусть внутри области С2 можно
выделить подобласть G22), ограни-
ченную двумя дугами окружностей,
пересекающихся в точках А, В, ле-
жащих на границе G2 так, что ду-
ги р, у оказываются по разные сто-
роны от луночки АВ.
На рис. 63 изображены несколько
допустимых для нас вариантов рас-
положений луночки G22) внутри области О2. Дуги окружностей, ограничиваю-
щих луночку, мы предполагаем не совпадающими. На рис. 64 изображена
область, в которую луночку поместить нельзя, так как дуги р и у ка-
саются между собой в точках Р, Q. Оказывается, что если в G2 описан-
ным выше образом можно поместить луночку, то критерий Шварца
выполнен. Сейчас мы это докажем.
257
МЕТОД ШВАРЦА
§ 221
Пусть нам известно, что некоторая непрерывная гармоническая функ-
ция п(х, >) равна нулю на ajo и не превышает по модулю 1 на у.
Тогда по принципу максимума она не превышает по модулю 1 на дуге
окружности, ограничивающей луночку справа (см. рис. 63). Если удастся
показать, что абсолютная величина этой функции не больше неко-
торого 6 (6 < 1) на левой дуге, ограничивающей луночку, то из принципа
максимума без труда выведем, что и на р такое неравенство имеет
место. Достаточно построить гармоническую функцию w(x, у), равную 1
на правой дуге и неотрицательную на
остальной части границы области ------
GiU^’U0^', чтобы из принципа макси- у л. \
мума вывести неравенство / ДД
IИ (х, у) I < W (х, у), (х, y)^Qi. . «I ffr
\ р\ /
Если при этом окажется, что на ле- \ у /
вой дуге, ограничивающей луночку, 9, У
то нужноенам утверждение будет доказано. -------
Гармоническую функцию — мажоранту Рис, 64.
^(х,_у)~~ мы построим так, чтобы она была
однозначна на плоскости с разрезом вдоль правой дуги нашей луночки,
равнялась 1 на этой дуге слева от разреза и нулю справа от него. Эту
функцию нам удастся построить постоянной вдоль каждой дуги той или
иной окружности, проходящей через точки А, В. Для этого достаточно
воспользоваться гармоничностью функции
® (х, у) = а (Arctg У-^- — Arctg + Ь
и подобрать постоянные а, b и ветви арктангенса так, чтобы удовлет-
ворить поставленным условиям. Гармоничностью этой функции мы
пользовались еще во вводной главе при выводе формулы Пуассона
для решения задачи Дирихле в круге. На левой границе луночки на-
ша w, очевидно, принимает некоторое положительное, меньшее 1, зна-
чение 6.
Правда, использовать функцию w(x, у) в качестве мажоранты на ос-
нове простейшего принципа максимума нельзя, так как она разрывна в
точках Д В, лежащих на границе G, Однако она ограничена, что позво-
ляет использовать лемму о разрывной мажоранте (§ 20). На этом за-
канчиваются рассуждения, доказывающие, что из равенства и(х, _у) = 0
на a U О' и неравенства | и | 1 на у следует неравенство | и | 9 на 0.
Проверка первой половины критерия Шварца закончена. Вторая поло-
вина проверяется совершенно аналогично.
Сейчас мы покажем, как использование критерия луночки позволяет
легко убедиться в разрешимости задачи Дирихле и в выполнении прин-
ципа Дирихле для любого многоугольника. Как уже было отмечено, мы
ограничимся односвязными многоугольниками.
9 С, К. Годунов
258
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. 1П
Пусть некоторый многоугольник можно отрезком прямой АВ, лежа-
щим целиком внутри многоугольника, разрезать на две части АРВ и BQA
(рис. 65), для каждой из которых справедливость доказываемого утвер-
ждения уже установлена. Для краткости мы будем утверждение о раз-
решимости задачи Дирихле и о выполнении принципа Дирихле называть
утверждением £).
Окружим отрезок АВ некоторой луночкой, лежащей целиком внутри
многоугольника. Как было показано в предыдущем параграфе, для лу-
ночки ArBs утверждение D справедливо. С помощью нашего геометри-
ческого критерия легко проверить
справедливость D для области
APBsA, состоящей из много-
угольника АРВ, дополненного
заштрихованной частью луночки.
Из справедливости D для
APBsA и для BQA уже нетрудно
вывести, опять-таки с помощью
условия луночки, справедливостьD
для APBQA.
Любой односвязный много-.
угольник можно разрезать пря-
молинейными отрезками на тре-
угольники так, что каждое сечение
увеличивает число раздельно ле-
областей. Поэтому достаточно ограничиться проверкой справед-
D для треугольников и даже для прямоугольных треугольников
из треугольников может быть рассечен на
одной из своих высот). На рис. 66 изображено,
угольник АВС разрезается на три области
окружностей, проходящих через точку А,
центры которых помещены в вершины
острых углов С и В.
Очевидно, что и здесь условие луночки
выполнено. Поэтому достаточно уметь
проверять справедливость утверждения D
лишь для круговых' секторов САЕ, BAF.
В конце прошлого параграфа была до-
казана разрешимость задачи Дирихле и вы-
полнение принципа Дирихле для лю-
бых секторов. На этом мы заканчиваем описание схемы доказательства
того, что по любой непрерывной функции, заданной на границе произ-
жащих
ливости
(любой
Gi
как
О2,
два прямоугольных
прямоугольный тре-
дугами АЕ, AF
Оз
вольного многоугольника с конечным числом сторон, внутри этого мно-
гоугольнйка может быть построена гармоническая функция, непрерывная
вплоть до границы и там совпадающая с заданной. Если это гармони-
ческое продолжение граничной функции внутрь многоугольника имеет
бесконечный интеграл Дирихле, то не существует какого-либо продол-
259
ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ
§ 23]
женйя этой граничной функции внутрь с конечным интегралом Дирихле.
Если же интеграл Дирихле гармонического продолжения конечен, то для
любого другого продолжения он строго больше или бесконечен.
Доказанными фактами мы воспользуемся в следующем параграфе
при изучении принципа Дирихле в случае весьма широкого класса
областей.
§ 23с Обоснование принципа Дирихле
Ограничения на область и на функции. Лемма о поведении допустимых функ-
ций вблизи границы и (лемма 2) оценка интеграла квадрата функции, обращаю-
щейся на границе в нуль, через ее интеграл Дирихле.
Построение специальной минимизирующей последовательности, изучение ее
свойств. Предельный переход, в результате которого обосновывается принцип
Дирихле.
В этом параграфе будет обоснован принцип Дирихле для весьма
широкого класса плоских областей О и доказана теорема существова-
ния решения задачи Дирихле в области Q для уравнения Лапласа.
На границе Г области G граничные значения ц|г=/($) будут пред-
полагаться такими, что их, хотя бы одним каким-либо способом, можно
продолжить внутрь Q с конечным интегралом Дирихле. Конечно, это су-
щественное ограничение, которое для разрешимости задачи Дирихле сов-
сем не обязательно. Мы должны будем его наложить только потому,
что выбрали в качестве метода доказательства вариационный принцип,
который позволяет работать только с функциями, имеющими интеграл Ди-
рихле конечным.
Начнем с описания тех требований, которые будут накладываться на
область G и на все функции и(х, j) (uk(x, у)), которые будут участ-
вовать во всех теоремах и леммах этого па-
раграфа.
Предположения. // j
1°. Любая из рассматриваемых функций х I
и (х, у) является кусочно гладкой, обладает С
в области О конечным интегралом Дирихле }
Dq (и) = («ж + »y)dx dy (
° k .
и принимает на границе этой области значе- У
ния и |г = /($). (Для всех функций и (х, у) гра- рис б7
ничная f(s) одна и та же.) Обозначение /($) здесь
чисто символическое. Мы не предполагаем, что на границе можно ввести
единый параметр $, допуская, в частности, области, изображенные на
рис. 67. Для таких областей дуги da', bb' тоже причисляются к границе.
Про границу области О и про граничную функцию /($) мы будем
предполагать следующее.
9*
260
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[гл. in
2°. Существует некоторое h0>0 такое, что для любой гра- •
яичной точки Q любая окружность с центром в Q радиуса h<zhc ’
пересекается с границей.
3°. Функция f(s) непрерывна на замкнутой границе. Вследствие i
этого она равномерно непрерывна, т. е. существует такая положи- *
тельная функция a(/i) (lima(/i) = 0), что |/(Q)—/(Q') | < а(й), как ;
только расстояние между граничными точками Q и Q' будет ’
меньше, чем h.
Будем обозначать через Gh множество внутренних точек, отстоящих
от границы области G
Рис. 68.
не более чем на h, а через DGh (и) — интеграл
Дирихле для функции и(х, у) по 1
этой области.
Лемма 1. Пусть Q —какая- :
нибудь точка границы области Q, |
Тогда для h<ZhQ
Qh
—/(Q)l2 dx dy 8лDQh (u) + 2a2 (h),
где йл— та часть круга радиуса •/
h с центром в точке Q, которая J
лежит в области Q.
Рассмотрим какую-нибудь точку области \
Доказательство.
полярные координаты которой равны г и ф (в качестве начала координат v
взята точка Q) (рис. 68). Так как /z</z0, то окружность радиуса r^h
пересекается с границей. Пусть ближайшая к выбранной точке (г, ф)
точка пересечения с Г имеет координаты г, фх. Тогда
ф
5 ^(г, ф)б/ф
|и(г,
ф)—и(г, фг)| =
(г,ф) Л|> • У\ ф1 — ф |
Ф1
]/ 5пф (г> ф) ^Ф •
Интеграл по углу ф без явного обозначения пределов интегрирования
здесь и далее означает интеграл по всем значениям ф, для которых
точки (г, ф) £ Йл. Так как точка (г, ф^ лежит на границе и отстоит
от Q не более чем на h, то
Следовательно,
|и(г, ФО—/(Q)|^a(/i).
\и(г, ф)—/(Q)|^K2^ К$мф(г’ фИф + а(й),
ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ 261
§ 231
откуда имеем
[w(r, ф)—/(Q)]2s£ 4л^4(г, <р) dtp 4- 2а2 (h).
Проинтегрировав это неравенство по ф, получаем
$ [и (г, ф)—/(Q)]2 dtp ==$ 8л2 $ и* (г, ф) dtp + 4ла2 (/г).
Если умножить обе части неравенства на г и проинтегрировать от 0 до h,
то в левой части получится интеграл по QA, который мы хотим оценить:
[u-fmdxdy= $Д[«(г, ф)-/(С)]2йф)''^<
о
h
«С ( $ и*₽ ^Г’ г + 4ла2 (А) • у sg
л
8л2 \ ( \ *4 яЫ г dr + 2лй2 • а2 (й)
8л2й2
h
5 мф) ^Ф г + 2лй2а2 (й) =
= л/г2 [8л£>ол (и) + 2а2 (й)].
Здесь через Dah(u) обозначен интеграл Дирихле от функции и по об-
ласти Qa, который, очевидно, не превосходит Doh(u). Лемма 1 до-
казана.
Лемма 2. Пусть область G можно заключить в квадрат со
стороной L. Тогда для любой кусочно гладкой непрерывной функ-
ции w(x, у), обращающейся в нуль на границе О, выполнено не-
равенство
Wx + Wy) dxdy.
Прежде чем начинать доказательство, сделаем следующее замечание.
Если мы функцию w(x, у), определенную в G и обращающуюся в нуль
на границе, продолжим вне О нулем на весь квадрат, заключающий G,
то по этому квадрату К
№х + Wy) dx dy = (wl + м*у) dx dy,
262 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
Не ограничивая общности, квадрат можно предполагать заданным нера-
венствами
О
Итак, для функций, определенных в этом квадрате и обращающихся
на границе в нуль, нам достаточно показать, что
L L L L
(* С L2 С (*
\ \ иР dx dy -С -g- \ \ (Wx + dx dy.
Это утверждение следует из очевидной цепочки равенств и неравенств:
= y)d%,
О
\w(x, Wxdx^
s^Vx-y [(rfx + w^dx,
L
a»2 (x> J') < x J (wl + Wy) dx,
0
LL L LL
J J w2 (x, y) dx dy x dx • J J (wx + wy) dx dy =
oo - о oo
L L
= И (wl + w^dxdy.
Сначала мы в этих выкладках ограничивались интегрированием только
по одной прямой у — const, а затем проинтегрировали и по у. Доказа-
тельство леммы 2 закончено.
После этих предварительных лемм мы перейдем к обоснованию прин-
ципа Дирихле. Это обоснование будет проведено в следующие три этапа:
I этап — построение специальной минимизирующей последователь-
ности;
II этап — изучение свойств этой минимизирующей последовательности;
III этап — предельный переход и изучение свойств предела.
Переходим к изложению первого этапа. Рассмотрим множество
Ш1{н(х, у)} всевозможных функций п(х, у), удовлетворяющих предпо-
ложению 1°: а(х,у)— кусочно гладкие, и | г = f и интеграл Дирихле
Dg (и) конечен. Это множество непусто, так как мы предполагаем сущест-
вование хотя бы одной g(x, у), удовлетворяющей требованиям, нало-
§ 23} ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ 263
женным на и (X, у) е Э)1. Из неотрицательности Dq (и) вытекает сущест-
вование нижней грани d 0 для значений Dq (и):
d = inf Dq(u).
Из определения нижней грани следует, что из множества 30? можно
выбрать последовательность uv и2, w3, ...такую, что d = lim Dq (un).
П-+ОЭ
Такую последовательность мы будем называть минимизирующей после-
довательностью. Мы имеем, очевидно, право предполагать эту последо-
вательность выбранной и пронумерованной таким образом, что d
^DG(un)^d+ \/п.
Нам хотелось бы доказать существование предела и (х, у) = lim ип
П-+СО
и убедиться в том, что Однако в проведении такой про-
граммы есть трудность, состоящая в том, что предел lim ип здесь надо
П->00
понимать не в смысле равномерной сходимости (вместе с производными),
а в смысле сходимости хпо норме некоторого специального пространства
Wk, которое мы не изучали и с элементами которого мы не умеем обра-
щаться. (Вспомните, что в § 21 был разобран пример минимизирующей
последовательности, которая в смысле равномерной сходимости не явля-
ется сходящейся.) Оказывается, есть возможность провести доказатель-
ство, не используя каких-либо новых фактов из функционального ана-
лиза. Для этого достаточно рассматривать не произвольные минимизи-
рующие последовательности, а только некоторые специальные. К их по-
строению мы сейчас и перейдем.
Геометрическая лемма. Для каждого достаточно малого
h >> 0 существует такой многоугольник Мп с конечным числом сто-
рон, что он лежит целиком внутри G и содержит внутри себя все
точки G, удаленные от границы на расстояние, не меньшее L
^/г<;^<;2/г.^ Более того, вместе с каждой такой точкой он содер-
жит круг радиуса 2/Зп с центром в этой точке.
Доказательство. Рассмотрим внутри нашей ограниченной об-
ласти G замкнутое множество точек, удаленных от границы не менее,
чем на l/3/z. По теореме Больцано — Вейерштрасса из покрытия этого
множества открытыми круговыми окрестностями радиуса с центрами
в точках множества можно выбрать конечное покрытие. Опишем вокруг
каждой окрестности этого покрытия некоторый квадрат. Все внутрен-
ние и граничные точки квадрата будут удалены от его центра на рас-
стояние, не большее чем ]/2/6п<Ч/Зл и, следовательно, будут лежать
внутри G. Множество точек, каждая из которых лежит внутри или на
границе хотя бы одного из этих квадратов, образует многоугольник
264
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
(ГЛ. in:
с конечным числом сторон, содержащий все точки области G, удален- i
ные от границы не менее чем на 1/Злг. Существование многоугольника
со свойствами, перечисленными в формулировке геометрической леммы, J
доказано. .
Конструкция^ Определим мл(х, у) функцией, совпадающей \
с пл(х, J') вне многоугольника Мп. Внутри же Мп мы определим i
ип(х, у) как гармоническую функцию, совпадающую с йп(х, у) в точ-1
ках границы многоугольника Мп. Существование такой функции выте-
кает из доказанной в § 22 разрешимости задачи Дирихле для много-
угольников при произвольной непрерывной граничной функции. Из
принципа Дирихле для многоугольников, также обоснованного нами, 1
вытекает, что 1
(Уп) DM (Уп)> '
п п
d + '-^Do (а„) 2s De (н„). 1
Очевидно, что функция ип удовлетворяет граничным условиям, имеет <
конечный интеграл Дирихле и, следовательно, как функция из 3)? :
удовлетворяет неравенству j
D0(un)^d. f
Из того, что
~ (мд) , 5
очевидно, следует равенство lim D0(wn)=d, которое означает, что
построенная последовательность иг, и2, и3, ... тоже является минимизи- ,
рующей. Именно с этой минимизирующей последовательностью мы и
будем в дальнейшем иметь дело.' Нам будет очень важно, что все I
члены этой последовательности оказываются гармоническими, |
начиная с достаточно большого номера, в окрестности любой j
внутренней точки G. 3
Переходим ко второму этапу — исследованию свойств построенной >
последовательности ulf и2, и3, .... ;
Свойство 1. Имеют место неравенства
ЭД (и*—и,)2 dx dy < L2 (1 /k +1/0,
а
где L — сторона квадрата, в который можно заключить область G. -
Доказательство. В § 21 при доказательстве единственности ?
экстремальной функции принципа Дирихле мы попутно получили ра- ’
венство 1
DQ(^\=^DQ(u) + ^DQ(y)-^D0(u-v), '
ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ 265
§ 231
которое сейчас будет использовано в следующей форме:
Da = ^Da (uk) + ^Dq (щ) -±Dq (a* -ut).
Функция — на границе G равна f и, следовательно, принадлежит Э)1.
Поэтому Dq (---2--a‘
Из неравенства
-g- Dq (ilk) 4" ~2 Dq (tll)-4 Dq (ilk — III)
следует, что
Dq (Uk-Ud'^ 2 [Do (uk)-d] + 2 [Do (ut)-d] < 2 + 7) •
Первое из нужных нам неравенств доказано. Второе вытекает из
леммы 2, так как uk — wz = 0 на границе Г области G.
Свойство 2. Для всякого 8>0 найдутся такие й > О и
номер N, что для приграничной полоски Qh, состоящей из точек,
удаленных от границы Г области О не более чем на й, имеет
место неравенство
Doh(un)<z
для всех n>N-
Доказательство. Из известного нам для любой области О ут-
верждения
i Dq(u + v) =Do(-^) = | £)о(«) + | Do(v)_|po(K_T,)<
Dq (и) + Dq (d),
если заменить в нем О на Qh и применить к функциям u — uN,
v=un—uN9 следует, что
Dak D° h “Ь ^Qh (Un—
По свойству 1
Doh (lln — UN) sg Dq (un — uN) 2 + 1 j,
откуда
DQfi (цп) 2£>сл (uN) + 4 < ^DQh (uN) +
Для n^>N. Так как для каждого фиксированного lim Dq («лг) = 0,
h
то, выбрав сначала N>16/8, а затем й такое, что (мдг)<8/4,
приходим к окончательному неравенству (кп)’<8.
266
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. uj
Свойство 3.
Для любого 8 > 0 существует такое h{ >> 0, что для любой*
внутренней точки Р, удаленной от ближайшей к ней граничной
точки Q на расстояние h < hlf выполнено неравенство
|Kn(P)-/(Q)|<e
для всех п, начиная с некоторого номера N, зависящего лишь от
& и h.
в
в
точке
точке
Доказательство. Пусть К—круг радиуса /г/2 с центром
Р. Очевидно, что этот круг находится внутри круга с центром
Q и радиуса 2/г (рис. ~
&2h
Рис. 69.
69). Поэтому согласно лемме 1 при
2/г < /г0 среднее значение величины
[мл(х, у)— /(Q)]2 по этому кругу ,
[ип (*> У) dx dy^
<г0[^2Д(Мл) + а2(2/1)],
где с0 — абсолютная постоянная,'
D°2h («^-интеграл Дирихле -функ-
ции ип по множеству Q2h) a a (h)—.
модуль непрерывности граничной
функции f(s) (см. предположение 3°).;
выбрать ht > 0 и номер так, что
Согласно свойству 2 можно
для п > Ni cQDG2hi (ип) < 82/2 (и, следовательно, (ип) < е2/2 для;
всех h<Zhlf n>Nv) Будем считать /гг<;/г0/2 настолько малым, чтобы
с0а2 (2/г) < е2/2 для всех h<Zhv Таким образом, для /г>>Л\, h <Zhi
J J [un (X, у) —f(Q)]2 dx dy < e2. (1)
С другой стороны, для номеров, больших чем 2//г, по построению
функций ип они являются гармоническими в круге К, так как все точки,
этого круга отстоят от границы Г не менее чем на /г/2.
Согласно следствию 1 из теоремы о среднем (§ 20) для гармоничес-
кой в круге К функции ип(х, у)—f(Q) значение ее квадрата в центре
круга (т. е. [ип(Р)—/(Q)]2) не превосходит среднего от квадрата этой
функции по кругу К. Отсюда и из неравенства (1) вытекает, что
\ип(Р)— /(Q)|<8 для /z>max(Np 2//г).
Свойство 3 доказано.
Теперь мы уже можем переходить к третьему заключительному
этапу — к выполнению предельного перехода.
Из неравенства
(«а - И/)2 dx dy < I* (1/k + 1//)
Q
267
ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ
§23J
едует сходимость последовательности uv и2, иа>... в среднем. Внутри
СЛдобласти, полученной из G исключением приграничной полоски Ол,
се элементы ил нашей последовательности при «>1/Л являются гар-
моническими функциями. Поэтому внутри области Hh, полученной из G
вырезанием в два раза более широкой полоски G2ft, сходимость этой
последовательности {и*} будет равномерной вместе с первыми произ-
водными а ее пределом будет некоторая гармоническая функция
ох оу
„ диь дик ди ди гт
и(Х) у). Производные при этом сходятся к Поэтому
DHh (и)=Пш DHh OG(«ft) = rf.
k -> оо k —> 00
Так как ,h произвольно, то и(х, у) определена и гармонична всюду
в G и для нее имеет место наравенство
Da («) = sup DH(ii)^d. 1 2
h
Рассмотрим теперь произвольную точку Qo на границе Г области О
и покажем, что построенная нами функция и(х,у) непрерывна в точке Qo.
Для этого фиксируем произвольное е > 0 и выберем ht > 0 такое, что
согласно свойству 3 для любой внутренней точки Р, удаленной от гра-
ницы на расстояние h<Zhlt выполнено неравенство |ип(Р) — /(Q) | <8/2
для всех п, начиная с некоторого номера, зависящего от 8 и h. Точка Q
здесь —одна из ближайших к Р граничных точек.
Если точка Р отстоит от Qo менее чем на /г, то ее расстояние до
границы и подавно не превосходит h. Следовательно, | ип (Р) —f(Q) | < 8/2.
Переходя здесь к пределу при я оо получаем, что | и (Р) — /(Q) | 8/2.
Так как точки и Q отстоят друг от друга не более чем на 2/z, то
|/(Q) — f (Qo) | а (2/г) и, следовательно,
I и (Р) —f (Qo) I < I + max a (2/0-
2 h<hL
Уменьшив, если это необходимо, h± так, чтобы а(2/г)<<8/2 при h^hlf
получаем, что для всех точек Р £ О, отстоящих от Qo менее чем на hlt
\u(P)-f(QQ)\<e.
Мы доказали существование в Q гармонической функции w(x, у),
принимающей на границе заданные значения и имеющей интеграл Дирихле
D(i(ii)^d. С другой стороны, по определению Da(ti)^d. Равенство
P(j(zz) = (Z доказано.
Тем самым для области Q и для допустимой граничной функции f(s)
Доказана разрешимость задачи Дирихле и обоснован принцип Дирихле.
А именно,, доказано, что если область удовлетворяет условию *2°,
то существует гладкая u(xf д/) £S)l, для которой DG = d = inf D0(v). Эта
Ж
и(х>У) единственна и совпадает с решением задачи Дирихле.
268 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА х [ГЛ. Щ 1
§ 24. Задача Гильберта для уравнений Коши —Римана в круге
Постановка и примеры. Индекс граничного условия. Нормировка (регул яр и,
зация) граничного условия в задаче Гильберта. Теорема существования решения
в случае неотрицательного индекса граничного условия. Исследование неединствен- •
ности при положительном или нулевом индексе граничных условий. Единствен-, i
ность и условия разрешимости при отрицательном индексе. Задача с косой про- \
изводной и ее сведение к задаче Гильберта. Задача Неймана. Индекс задачи и ин- *
деке граничных условий. Понятие об индексе для системы линейных алгебраичес- ’
ких уравнений.
Мы довольно подробно изучили задачу Дирихле для уравнения Ла- .
пласа, как пример типичной задачи, решаемой для уравнений эллипти- J
ческого типа. Сегодня будет разобран несколько более сложный при- |
мер задачи Гильберта для уравнений Коши — Римана.
При изучении задачи Гильберта мы ограничимся только простейшей |
односвязной областью — кругом. Основные факты, которые мы для этой Ч
задачи установим, могут быть получены также для любой односвязной ~
области с достаточно гладкой границей. Более того, они могут/быть по-
лучены из теорем, доказанных для круга, с помощью конформного пре- |
образования. Мы не можем в нашем курсе на таком перенесении оста-
навливаться, так как в нашем распоряжении нет тех тонких теорем J
о граничных свойствах конформных преобразований, которые для этого 1
перенесения нужны. I
Задача Гильберта в единичном круге х2+д>2^1 ставится так, J
Надо найти решение и(х, у), v(x, у), непрерывное вплоть до грани- |
цы Г(х2+ у2 — 1), уравнений Коши — Римана ' |
Чх — vy = o, ‘ «
и> + ^ = 0> i
у довлетворяющее на границе граничному условию
a(s)u + b (s) v=f(s),
Коэффициенты a(s), b(s) предполагаются достаточно гладкими функция-
ми длины дуги s единичной окружности; функция/(s) — тоже достаточно J
гладкая, а2 ($) + Ь2 ($) >> 0.
Изучение задачи Гильберта начнем с разбора двух типичных примеров.
Пример 1. Пусть а ($)== 1, Z? (s) ===== 0, и \T=f(s). Мы получаем здесь z‘
задачу Дирихле для гармонической функции и (х, у). Сопряженная к ней ’’
гармоническая функция v(x, y) = c-}-v0(x, у) определяется с точностью •
до произвольной постоянной. В § 2 было доказано, что v(x, у) будет ,
непрерывной вплоть до границы, если f(s) достаточно гладкая. :
Пример 2. Пусть a(s) = x(s), &($)==—y(s) (х2 +_У2=1)’, '
(ха— yv)|r=/(s). j
Предположим, что нам удалось найти аналитическое в единичном (
круге и непрерывное вплоть до границы решение w (х, j) + Zu (х, J)
г.
ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ 269
§ 24J
этой задачи. Как известно, §(u + iv)(dx-\-ldy)==§(udx—vdy) +
jt-l&(udy + vdx) = Q по любому замкнутому контуру, лежащему в кру-
ге Мнимая часть этого интеграла дает равенство
§udy-}-vdx = Q.
В силу непрерывности и (х, у), v (х, у) контур можно продеформировать,
не изменяя результата, и превратить в границу—единичную окружность.
На этой окружности dy=xds, dx — —yds. Отсюда
2те
<^(ux—vy)ds = J /(s)ds.
о
Из разрешимости задачи Гильберта в этом примере следует, что инте-
грал от правой части равен нулю. Задача оказалась разрешимой не при
всяких правых частях /($).
Приведенные нами простые примеры показывают, что характер задачи
существенно зависит от коэффициентов a(s), b(s) граничного условия.
В дальнейшем выяснится, что разрешимость или неразрешимость задачи
Гильберта, а также условия единственности зависят от некоторого целого
числа N, которое может быть определено по виду функций a(s), b(s).
Это число называется индексом граничного условия.
Пусть $—длина дуги единичной окружности — меняется от 0 до 2 л
при движении точки вдоль окружности против часовой стрелки. При
этом вектор с координатами a(s), b(s) опишет некоторую кривую на
плоскости (а, &). Число оборотов, которое сделает эта кривая вокруг
начала координат, и называется индексом. На рис. 70—74 изображены
такие кривые в случае различных индексов. Стрелкой указано направ-
ление движения вдоль кривой при возрастании $. В разобранных нами
примерах 1 и 2 значения индекса были, соответственно, равны нулю и
минус единице.
Теорема. Задача Гильберта при TV^O всегда имеет неедин-
ственное решение. Это решение зависит от 2N+ 1 постоянной. При
270
Уравнение Лапласа
(гл. Щ I
7V<0, если задача Гильберта разрешима, то она разрешима одно^
значно. Для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы правая^
часть f(s) была ортогональна к любой функции из некоторой линегГ ^
ной конечномерной системы функций. Размерность этой системы 1
2|W| —1==— (2W4-1). I
В разобранном примере (пример 2) задачи с индексом М=—1 пра- J
вая часть f(s) должна быть ортогональна всего лишь к одномерному ?
1
пространству. Это пространство состоит из констант. Отсюда и полу-1
2 к J
чается условие ^/($). 1 ds = 0. Из сформулированной теоремы вытекает, !
что для любой достаточно гладкой/(s), удовлетворяющей этому равен-1
ству, задача Гильберта этого примера разрешима однозначно. i
Доказательство теоремы будет дано немного ниже, а сейчас мы про- (
ведем ряд полезных предварительных построений.
Прежде всего еще раз отметим, что задача Гильберта эквивалентна;
задаче нахождения аналитической внутри круга и непрерывной вплоть до
границы функции w = u(x, + У)> удовлетворяющей граничному"
условию
a (s) и + b (s) v =f(s).
В частном случае Z> = 0 в примере 1 мы показали, что при таком
; (s) '
граничном условии (и |г =fi ($)) задача Гильберта легко исследуется.
Ниже мы покажем, что и в общем случае задача может быть, по су-
ществу, сведена к рассмотренному частному примеру.
Для этого предположим сначала на минуту, что а($) и b(s) —
это граничные значения действительной и мнимой частей некоторой
271
ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ
$ 24J
аналитической в круге и не равной там нулю, функции
с (х + iy) = а (х, у) 4- lb (х, у).
Тогда аналитическая в круге функция
w ц + iv___________________аи + bv । . av — ba__.
7 — 7^75— & + b* a* + & ~u + 1'
rr au-\-bv
имеет вещественную часть U~ значение которой на границе
f (s)
известно: оно равно д2 ^ак мы Уже напоминали в примере 1
(подробное доказательство изложено в § 2), гармонические функции'
U(xt у) и V'Cx, ^восстанавливаются по граничным значениям /7, причем
V определяется с точностью до аддитивной постоянной. Тем самым
определяется w(x + ly) = c(x^ly)[U(x, y)-{-lV(x, у)]. Конечно, наше
предположение о том, что a(s), b(s) — граничные значения действитель-
ной и мнимой частей аналитической в круге функции, вообще говоря,
не выполняется. Однако ясно, что граничное условие
а ($) и + b ($) v=f(s)
эквивалентно любому условию вида
Р О) a (S) ч + Р (S) ь (s) V=р (s)/(s),
какова бы ни была строго положительная функция р ($).
Обозначения
a(s)=p(s)a(s), P(s) = p(s)Z»(s)
позволяют записать его в форме \
a(s)H + p(s)x»=p(s)/(s).
Ясно, что индекс пары (a(s), P(s)) в точности равен индексу исходной
пары, и мы попытаемся подобрать множитель р($) так, чтобы a(s) и
P(s) были граничными значениями действительной и мнимой частей ана-
литической в круге функции а (х, у) + ф (х, у). Посмотрим, можно ли
подобрать множитель так, чтобы функция а-фф не имела нулей внутри
круга. Будем сразу искать эту функцию в виде а(х, + ф (х, у) =
= где p-\-iq — аналитическая в единичном круге функция.
(Легко видеть, что представление в таком виде функции а-|-ф эквива-
лентно требованию, чтобы эта функция не имела нулей, но нам нет на-
добности на этой эквивалентности останавливаться.) Из равенства моду-
лей в представлении функции a-f-ф получаем
еР (х>у) |г = р (5) У а2 ($) 4- b2 (s). (1)
Следовательно,
ei(i <х>у) |г = -а lb_®_ ' (2)
1 V a2 (s) + d2 (s) *
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. П1
272 х
Задача, таким образом, состоит в том, чтобы найти функции р($),
р(х, у) и q(x, у), удовлетворяющие соотношениям (1), (2). Мы будем сна- i
чала искать q(x, у), затем р(х>у) как сопряженную с ней функцию. И, на- =
конец, из равенства (1) определится р($). Итак, попробуем найти q(xt у).
Из определения индекса N пары (a(s), b(s)) видно, что при движении
точки по единичной окружности против часовой стрелки после обхода
всей окружности вектор ~ обойдет окружность N раз. Сле-
у a2 (s) + b2 (s)
довательно, q (х, у) |г (это просто аргумент указанного вектора) полу- :
чит приращение 2nN. Тем самым, при Ny=0 q(x,y) даже на границе *
круга не является однозначной функцией, и наше построение функции ;
а (*, У) + Ф (*> _У) незаконно.
Чтобы построить функцию а (х, у) + /р (х, у), нам придется отка-';
заться от требования, чтобы у этой функции внутри круга не было J
нулей и полюсов. Заметим, что аналитическая функция (х + (у)у при?
обходе аргументом единичной окружности тоже увеличивает свой apry-j.j
мент на 2 nN. Следовательно, после того, как аргумент 5 изменится
от 0 до 2 л, аргумент функции
a (s) + ib (s) 1 ___ a (s)-\-ib (s)__1______
/a2 (s) + b2 (s) (* + iy)N *2_|_j2=i Уа2 + Ь2 cos Vs-|-t sin Vs
возвращается к первоначальному значению. Поэтому этот аргумент?
определяется однозначно. Приняв эти значения аргумента за граничные.^
значения функции q(x, у), построим внутри круга аналитическую^
функцию р (х, j/) + iq (х, у). Построение аналитической функции по!
граничным значениям ее w мнимой части полностью аналогично восста-J
новлению аналитической функции по граничным значениям ее действий
тельной части, так как —+ — ty- Произвольную постоянную^
действительной части р фиксируем каким-либо определенным образом.^
Тем самым мы построили аналитическую внутри круга функцию
е р (х* у\ которую мы обозначим а0 (х, у) ф0 (х, у). На гра-
нице круга
[а0 (х, у) 4- /р0 (х, J0 ]г = е р №l(i <х- у> |г =
= е р(х> »
a (s) + ib (s)
г У~a2 (s) + b2 (s)
1
(* + Й/)ЛГ г’
Следовательно, функция
а (х, у) 4- ф (х, у) = [а 0 (х, у) 4- z0o (х, у) ] (х 4- ly)N
на границе круга равна
a (s) + ib (s)
Va»(s) + ft8(s) •
Множитель p (s) =
еркх,у> |г
— 1 называется регуляризирующим множителем.
~Va2(s} + b2{s) н
При достаточно гладких функциях a (s) и b ($) функция а0 (х, у) +
+ ф0(х, у) будет дважды непрерывно дифференцируемой вплоть до
г
ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ 273
§ 24J
НЙЦЫ (Из рассмотрения способа построения функций р(х, j) +
Г?%(х,*^) в § 2 видно, что для этого достаточно, чтобы a (s) и b(s)
были четырежды непрерывно дифференцируемы.)
Приступим к доказательству сформулированной выше теоремы.
Пусть В этом случае построенная аналитическая функция
а /д. iр (х, у) имеет внутри круга единственный нуль порядка N
в начале координат. Построим аналитическую в круге и непрерывную
вплоть до границы функцию t/(x, у) 4-ZV(x, >) по граничным значениям
ее действительной части:
[/(COSS, 81п$)=-а8р(у^(5).
Тогда функция и (х, у) + iv (х, у) = (а + Ф) (U IV) является искомой
функцией. Действительно, она по построению аналитична в круге и
непрерывна вплоть до границы. Кроме того, она удовлетворяет гранич-
ному условию. Действительно,
аа + ра | __Рр Мх’ + i/) | . p(s)/(s)
а2 + р2 |г а(х, {/) + гр(х, у) |г V > Л|г a2(s) + P2(s)’
Следовательно, аи + ffo |г — р (s) f (s). Существование решения при
доказано.
Исследуем теперь вопрос о его единственности (а точнее, о степени
неединственности). Ясно, что решение задачи Гильберта (как и решение
любой линейной задачи) определяется с точностью до произвольного
решения однородной задачи. Итак, пусть и (х, j) + tv (х, у) — решение
однородной задачи: (аи + bv) |г == 0, а, следовательно, и (ап + Р^)|г = 0.
Поэтому функция
гт । п/ u~\-iv __au + pv av — ^u
+ а2 + Р2 +Za2 + p2
имеет вещественную часть U, обращающуюся в нуль на границе круга.
Так как и(х, y)-\-lv(x, у) регулярна внутри круга, а а(х, >) + ф(х, у)
имеет в начале координат нуль кратности N, то функция {7(х, j/) +
+ /1/(х, у) имеет в начале координат полюс порядка не выше
чем N.
Мы найдем сейчас общий вид аналитической функции име-
ющей в начале координат полюс кратности не выше N и такой, что
£7(х, j/) = 0 на окружности х24-У=1. Пусть U-\-tV имеет в центре
круга полюс с главной частью:
274 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. Щ 1
и --4
Нетрудно проверить, что полином ; <
"S (?fe —hU)(* + d')~* I
. h=~N > -i
имеет вещественную часть, принимающую на границе те же значения/ ?
что и вещественная часть главной части. Поэтому функция * ;
Ф+/Т='^' [(^4-zrk) (* + (#- (gft- Zru)(*+O')~ftJ
k=-N
имеет вещественную часть, обращающуюся на границе в нуль, и ту же
главную часть, что и U-\-tV. Следовательно,
(t/4-H7)-(O4-ZV)
ограничена, и вещественная часть разности принимает на границе нуле- /
вые значения. Отсюда U—Ф = 0, V— Т==C* = const. Итак,
k= — 1
• U+iV=iC* + 2 [^ + irlk)(x + iy)k-(lk-:irik)(x + iy)-,>].
k~—N
С другой стороны, постоянные т]А могут быть выбраны произвольно, л
Функция U-^IV будет при этом аналитической с нулевой вещественной^
частью на окружности и с полюсом порядка не выше N в центре. Этох
решение зависит от 2^4-1 постоянных
i-l> S-2> • • • > ?*'
П-v П-2> •••> П-ДГ, с* 1
Мы показали, что при решение задачи Гильберта определяется*
с точностью до 22V4" 1 линейно независимых решений однородной ••
задачи. (Почему они линейно независимы?)
Рассмотрим теперь случай 7V<0. Пусть и(х, y)^iv(x) у) — реше-
ние задачи Гильберта. Так как построенная выше функция а(х, .
+ Ф(х, _у) имеет полюс порядка |Л7| в начале координат, то функция
U(x, y) + lV(x, y)=u^y\tiv^'y\
V 1 v X) a(X> у)
имеет нуль в начале координат кратности не меньшей чем | N\. Гра-
ничные значения вещественной части с/(х, у) равны -а2^р2
= 2Р, г. Пусть коэффициенты Фурье этой функции равны ап и Ьп.
Ранее, в § 7, было показано, что коэффициенты ряда Тейлора функции
U 4- IV = <оо4- (OjZ Ц- <о3г2 4-... (z — x-\-ly)
275
. лЛ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ
§ 24J
определяются по формулам
®о=^ + /С,
^n = an — ibn (п>0) ‘ (3)
однозначно с точностью до постоянной С. Так как первые |ДГ| коэффи-
циентов обращаются в нуль, то это означает, что все коэффициенты
ряда Тейлора функции U-\-iV (а значит, и сама функция) определяются
однозначно по граничному условию. Следовательно, и 4-/V) х
X (о&Н"Ф) определяется однозначно. Итак, мы доказали, что при ДГ<^0
не существует более одного решения задачи, и если задача разрешима,
то
^ = ^ = ^2= ... =aJAr(1 = ft1==ft2== =/?(ЛГ1_£ = о.
С другой стороны, если эти условия выполнены, то построенная функ-
ция U+iV имеет нуль в начале координат порядка не ниже чем | Л7|
(постоянную С в соотношении (3) полагаем равной нулю). Тогда функ-
ция « + /<и = (а+ Ф) (^+ аналитична в круге и, по построению [7,
удовлетворяет граничным условиям.
Записав явные выражения для коэффициентов Фурье, получим необ-
ходимые и достаточные условия разрешимости задачи Гильберта:
2тс
? —/ ч г~//^Г а27ТГ cos nsds = 0 (n = 0, 1, 2, ..., INI — 1),
j p (s) [a2 (s) + b2 (s)] 4 ’ ’ 9 1 1 p
0
2tc
~'i\ г Z 1 "4. / 4i sin /иds=0 («=1,2......... INI —1).
J p(s)(a2(s) + 62(s)l v 1 1 ’
0
Обозначив
фй (s) =
' sin ks
p (s) [a2 (s) + b2 (s)]
cos (ks — I W I s)
.p(s)[a2(s) + b2(s)]
(A=l, 2, |N| —1),
(k = \N\, |N|+1, •••> 2
мы можем, переписав эти равенства в виде
2те
$/(5)фй(s)ds = o, k = l, 2, 2|N| —1,
О
сказать, что для разрешимости задачи Гильберта при Af<0 необходи-
мо и достаточно, чтобы правая часть f(s) была ортогональна к 2 | Л7|—1--
мерному пространству функций, являющихся линейными комбинациями
Ф1> ф2> • ••> Taljvl-i- (Вопрос: почему функции ср между собой линейно
независимы?) Теорема полностью доказана.
В заключении рассмотрим одну задачу для уравнения Лапласа, тесно
связанную с задачей Гильберта.
276
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
(ГЛ. !П
Задача с косой производной. Найти решение ф (х, у) урав-
нения Лапласа + = 0, непрерывное вплоть до границы вместе
с первыми производными и удовлетворяющее граничному условию:
==/($). Здесь означает производную по некоторому направле-
нию v. Если обозначить направляющие косинусы этого направления через
а($), —b(s), то граничное условие перепишется следующим образом:
Положим и=фх, v = — фг Очевидно, что иу = — vx. Кроме того, их—vy~
==(ф*)л— (— фД, = ф^ + фуу = 0- Мы выяснили, что и(х, J/), V (х, у)
связаны условиями Коши—Римана. Функция u-[-iv — аналитическая. Гра-
ничное условие аух—byy~f перепишется для этой аналитической функ-
ции так:
аи + bv = /.
Таким образом, каждому решению задачи с косой производной соответ-
ствует решение задачи Гильберта по формулам « = фх, v=—<ру. Об-
ратно, по решению задачи Гильберта можно однозначно, с точностью
до произвольной аддитивной постоянной, определить решение ф задачи
с косой производной.
Таким образом, в случае единичного круга было доказано следую-
щее: если индекс граничного условия AZ^O, то по доказанной теореме
задача Гильберта, а с ней и задача с косой производной всегда разре-
шимы. При этом функция ф определяется с точностью до 2N4-2 ли-
нейно независимых решений однородной задачи (одна произвольная пос-
тоянная появляется при переходе от и, v к ф).
Если же индекс AZ<0, то для разрешимости задачи необходимо
н достаточно выполнения 2]АТ|—1 условия, и решение ф определяется
с точностью до одной произвольной постоянной.
В качестве примера можно рассмотреть так называемую задачу Ней-
мана— частный случай задачи с косой производной, когда направление v
совпадает с нормалью. Для круга в этом случае a(s) = coss, b(s) =
= —sins и, следовательно, индекс равен —1. Условие разрешимости,
как это вытекает из теоремы (и из разобранного ранее примера 2),
записывается в виде J/(s)ds=O. Решение задачи Неймана определяется
о
с точностью до произвольной аддитивной постоянной.
На этом мы заканчиваем изучение задачи Гильберта. Сделаем лишь
еще одно терминологическое замечание.
В настоящее время индексом той или иной краевой задачи принято
называть разность между числом решений однородной задачи и числом
условий ортогональности, которые должны выполняться для правой части
в случае разрешимости. В задаче Гильберта эта разность равна 2W4-1
§ 25]
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
277
(а в задаче с косой производной 2N4-2) как в случае положительного,
так и в случае отрицательного N. Именно поэтому мы назвали N ин-
дексом граничного условия, чтобы не путать его с индексом 2N-{-1
задачи.
Упражнение. Докажите, что для разрешимости системы
К
/=1, 2....1, (4)
Л = 1 •
// = / \
необходимо и достаточно, чтобы fa были ортогональны ^Zifa — О любому реше-
\/«1 /
нию однородной сопряженной системы
I
2 ^=0, k=l, 2.........К. (5)
i=l
Разность любых двух решений системы (4) удовлетворяет однородным уравнениям
К
2 а**№=°- (6)
А = 1
Разность размерностей пространств решений у систем (6), (5) называется
индексом системы (4). Докажите, что этот индекс равен
§ 25. Некорректные задачи
Обсуждение возможности решения некорректных задач на примере задачи
Коши для периодических решений уравнения Лапласа. Разложение этих решений
в ряд Фурье. Логарифмически выпуклые функции и получение с их помощью
неравенств для гармонических функций. Условная корректность в классе ограни-
ченных решений. Регуляризация приближений для начальных данных и отыска-
ние решения некорректной задачи, Ограниченного известной константой.
В заключение нашего обзора теории эллиптических уравнений, кото-
рый мы проводим на простейших типичных задачах, остановимся еще
на разборе «некорректной» задачи. Несмотря на постулат Адамара о том,
что реальные физические процессы описываются, как правило, задачами
корректными, есть много научных вопросов, сводящихся к задачам не-
корректным. Обычно эти вопросы бывают связаны с попыткой восста-
новить течение какого-либо процесса, описываемого корректной задачей,
по результатам измерений, которые должны единственным образом опре-
делять решение, но делают это некорректным образом. Так, например,
потенциал поля тяготения может быть получен по заданному распреде-
лению масс решением некоторой корректной задачи для уравнения Пуас-
сона. Однако, если мы постараемся определить это поле по результатам
измерений, сделанных на какой-либо поверхности, например, на поверх-
ности Земли, то мы придем к некорректной задаче Коши, рассмотренной
в примере Адамара. Несмотря на это, задачу восстановления поля тяго-
"278 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА (ГЛ. ПТ
тения по данным Коши часто решают, например, в целях гравиметриче-
ской разведки.
Этот параграф будет посвящен решению задачи Коши для уравнения
Лапласа. Несколько точнее будет сказать, что мы решаем смешанную
краевую задачу, так как и(х, у) мы будем предполагать периодической
по х с периодом 2л. Более того, мы ограничимся предположением, что
и(х, у) ——м(—х, у). Пусть решение определено и непрерывно вместе
с первыми производными в полосе Для простоты еще пред-
положим, что w(x, 0) = 0, и обозначим
Предполагая, что такое решение существует, выпишем его разложение
в ряд Фурье по переменной х. В силу наложенных условий (нечетности
и гладкости функции) этот ряд имеет вид
’ 00
я (X, у) = 2 ьп О) sin пх
п= 1
и сходйтся при каждом равномерно относительно х.
Чтобы вычислить коэффициенты Фурье Ьп (у)> заметим, что Ьп(у) =
= — \ м(х, у) sinzzx dx. Затем умножим уравнение Лапласа
л j
д2и . д2и_р
дх2^ и
почленно на sin пх и проинтегрируем получившееся равенство от 0 до 2л:
2те 2те
С д2и (X, и) . . , С д2и (х, у) . . п
\ —sin их dx 4- \ —- sin nxdx = Q.
J dx2 1 J dy2
о ю
Это равенство справедливо для внутренних точек полосы 0 <;у < 1. Для
этих точек гармоническая функция w(x, _у), как мы знаем, бесконечно
дифференцируема. Поэтому во втором интеграле можно поменять места-
ми операции интегрирования и дифференцирования. А первый интеграл
преобразуем интегрированием по частям два раза и воспользуемся пе-
риодичностью функции и (х, у). В результате получим соотношение
2к 2п
С d2 С
— п2\ u(x}y)sinnxdx + -j-A и(х> y)sinnx dx = O
d йУ J
0 0
или, что то же самое,
-п*Ьп(У) + ^М)=®-
„ НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 279
$ 25]
Общее решение этого уравнения имеет вид:
Ьп О)=Ап sh пу + Сп ch пу.
Из интегрального представления функций Ьп(у) видно, что они непре-
рывны при Следовательно, из условия и(х, 0) = 0 (а следо-
вательно, и М0) = 0) окончательно имеем
bn(y) = Anshny. .
Итак, мы получили, что для функции и(х, у), удовлетворяющей нашим
предположениям, справедливо представление
00
и(х, у) — У 4„sh ray sin rax. (1)
п— 1
оо
В частности, и(х, 1)= J] Xnsh/z sin^x, откуда вытекает, что
п=\
| Ап sh п | ==— | и (х, 1) sin пх dx | 2шах | и (х, 1) |=К.
о
К
Следовательно, | Ап | .
Из этой оценки вытекает, что ряд (1) можно любое число раз диффе-
ренцировать почленно при В частности,
оо
^1 0=ф(х)== 2
т. е. Ап = ~-, где ап—коэффициенты Фурье функции <р(х).
Тем самым получено (при наложенных выше предположениях) реше-
ние задачи Коши для уравнения Лапласа с условиями:.
и (х, 0) = О,
ОО
¥L-0=<p(x)=2a”sin"x-
Мы показали, что если решение существует в полосе то
оо
н (х> У) = 2 sh пу sin rax (2)
n=l
с И
|a„|<const^., (3)
И обратно, если коэффициенты Фурье ап удовлетворяют неравенству (3),
то ряд (2) дает решение задачи Коши. Действительно, легко проверить,
280 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. 1Ц
что каждый член ряда является гармонич'еской функцией и, в силу не-
равенства (3), ряд можно дифференцировать любое число раз при |у | <; 1,
Следовательно, функция и(х, у) тоже гармонична и удовлетворяет на-
чальным условиям.
Пример Адамара показывает, что задача восстановления и(х, у) по
w(х, 0), —не является корректной. Однако если знать, что
°У I
решение существует и удовлетворяет некоторым неравенствам, то ока-
зывается, что его можно приближенно решить, даже если пользоваться
не совсем точными' начальными данными.
Мы расскажем решение задачи о восстановлении
оо
и (х, у) = 2 sh пу. sin пх
п=1
по приближенным значениям
со
ф (*) = 5 Лп sin пх'
п — \
Наш рассказ будет основан на работе М. М. Лаврентьева, опубликованной
в «Известиях Академии наук СССР» за 1956 г. Решаемая задача не-
корректна. Однако если предположить, что мы восстанавливаем решение,
про которое известно, что
тс
и2 (х, у) dx <. Al2 при всех
о
то некорректность исчезает благодаря следующей теореме.
Теорема. Если и (х, у) — непрерывная при 0 у 1 гармониче-
ская функция, удовлетворяющая нашим условиям периодичности и
регулярности: w(x, 0) = 0,
J«2(x, \)dx^M2, J ф2 (х) dx т2
о о
(ф(х)=иДх, 0)),
то
j и2 (х, у) dx у2т2^> М2?.
о
Положительную гладкую функцию /(Z)>0 мы будем называть
логарифмически выпуклой, если ^ln/(O^0. В силу равенства
dt\fdt) f2
для логарифмической выпуклости необходимо и достаточно выполнения
неравенств />0, /"/—/'2^0, что в свою очередь эквивалентно
г
, НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 251
неотрицательности формм^ + Q
281
при произвольных л-
Лемма 1. Сумма логарифмически выпуклых функций является
логарифмически выпуклой.
Доказательство этой леммы вытекает из неравенства
(А+АГ i2 + 2 (А+A)' in+(А+А) п2 - о,
выполненного для
неравенства
любых I, т)> если только для них выполнены
Я£24-2Л'£п+Ап2^о,
AT+2Ain+An2^o,
означающие логарифмическую выпуклость fv /2. Очевидно, что дока-
занный факт имеет место для любого конечного числа слагаемых.
ч sh2 at
Лемма 2. = —— логарифмически выпукла при любом а.
В самом деле,
V sh2^
Лемма 3. lN{y) = £ —является Логарифмически выпуклой
fe = i
функцией. Доказательство вытекает из лемм 1, 2.
Из логарифмической выпуклости вытекают неравенства
\nIN(y)^y\nIN(\) + (\-y)\nIN^
/лг(3/)<[^.(1)Г[/лЧ0)р-“А
Очевидно, что если обозначить
n
и^ (х, у) = 2 ~ sh пу sin пх,
п = 1
q\v(x)=J? ап sin пх,
п = 1
ТО
л
Ь(У)= Л «И*, y)dx,
л
IN(1)= ~ j u*N(x, l)dx,
N л
A(0)=2 an = ~^tpN(x)dx.
л==1 0
282
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. HI
Это позволяет переписать доказанное нами неравенство так:
£
Уа
игы (х, у) dx ag
еру (х) dx
i-j
Л
wy(x, \)dx
При наших предположениях Ну(х, у), фу(х) сходятся равномерно
к w(x, у), ф(х) соответственно. Из этой равномерной сходи-
мости вытекает, что
“ у г л
рг2(х, y)dx^y2 §и2(х, l)dx ^cp2(x)dx
о
У
L О
1- О
Доказательство теоремы закончено.
Пусть теперь {и^(х, у)} — последовательность гармонических
функций
(х, у) = У а п sh пу sin пх,
", п
п — \
ограниченных одной и той же постоянной при 1. Тогда для лю-
бой из этих функций
$[и<*)(х, 1)]Мх^Ж
О
U^{x, 0)=0, У)|^=о = Ф<*> (X).
Пусть и(х,у)—некоторая гармоническая функция того же вида:
00
w= 2 sh пу• sinпх,
п = \
и(х, 0) = 0, _о==ф(х), и2(х, V)dx^M2
и пусть мы знаем, что
$ [ф(Л) (*) “ ф (*)]2 = е! °’
о
Тогда и^ (х, у) сходится к и(х, у) равномерно вместе со всеми
своими производными до любого фиксированного порядка внутри
любой полосы У<1.
2л
j [«<*>(*, 1)]Мх + 2
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 283
S 251
Доказательство. Во-первых, заметим, что
$ [И(*) (х, 1)—и(х, 1)]Мх^
2л . Л
$ и(Л)(х, 1)«(х, l)dx +$w2(x, V)dx^
о о . .
< ж2+2 Ктй2 уж2+ж2=4Л42.
Далее, по предыдущей теореме (заменив М2 на 4УИ2)
J [и(Л) (х, у)—и (х, j/)]2 dx ^у2 (22И)^е2<1 ^у2 • 4Ж2 • е2*1 ~ П,
о
Проинтегрируем это неравенство по у от— Y до Y *):
у л
? ( [и(Л) (х, у)-—и (х, j/)]2 dx dy • 4Л1282 О -
-г о
Мы видим, что (xt у) сходятся к и(х у) в среднем внутри прямо-
угольника |j|<y. Из-за периодичности и(х, у) по х и
благодаря ее нечетности сходимость в среднем имеет место для любой
конечной части полосы |_у|<С У. Как мы знаем, для гармонических
функций из сходимости в среднем вытекает равномерная сходимость
внутри любой внутренней подобласти. Эта сходимость равномерна не
только для самих и (х, у\ но и для их производных любого фиксиро-
ванного порядка.
Множество ограниченных решений нашей задачи непрерывно зависит
от начальных данных. Говорят, что здесь имеет место условная кор-
ректность ~ непрерывная зависимость, если все рассматриваемые функ-
ции удовлетворяют условию ограниченности. Именно эта условная
корректность и позволит нам подступиться к поставленной задаче.
Теперь мы остановимся на приближенном вычислении и(х> у) по
приближенным значениям фдг(х) для ф(х). Не ограничивая общности,
можно предполагать, что фдг(х) является тригонометрическим много-
членом
лг
, 1|>лг(*)= У, aWsinnx.
/1=1
Пусть
Л ЛГ оо
[флг (х)—ф (х)]2 dx = у 2 — ап)2 + у 2 а" 8лг‘
я=1 N+1
*) Очевидно, хотя мы на этОхМ и не остановились, что и (х, у) = — и(х, —у)',
u{k) (х; у) — — (х, ~у).
284 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА (ГЛ. III
Кроме того, предположим, что
л 00 2
(п2(х, l)dx=y 2 %sh*n^M*.
О п—1 4 1
Гармонические функции, построенные по нулевым начальным значениям
и(х, 0) и по значениям фдг(х) для начальных значений производных по у
VI J
ац(х, у)= / -----sh пу • sin пх,
лшл я 1
П=1
не обязаны быть равномерно ограниченными при 1, и поэтому
могут не образовать сходящейся последовательности.
Мы начнем с «регуляризации» приближенных значений фдг(х) для
начальных данных. Положим
_ N
Фаг(*) = У, aW sin пх,
п = 1
где мы выберем так, чтобы они удовлетворяли неравенству
и при этом условии давали минимальное значение выражению
1 2 («Г- »!"').
п = 1
Существование таких не вызывает сомнения, так как речь идет
о минимуме непрерывной функции N переменных в конечной области
N-мерного пространства.
Если бы мы положили а^ — ап (д=1, 2, ..., N), то неравенство
? да511,я<я1
2 п2
п— 1
было бы выполнено и, кроме того, мы имели бы
N N
п—\ п=\
(так поступить на самом деле мы не можем, так как ап нам неизвест-
ны). Отсюда вытекает, что для дающих минимум выражению
285
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
5 251
У
я ________д^р, этот минимум не будет превосходить «#, так как
в допустимой области есть точка, в которой значение минимизируемого
выражения не больше eN. Мы теперь уже знаем, что
n ~
») ^2к¥'-ст«'«.
и —О
ЛГ
Ы | 2 .!’«=«»
/г=0
00
с) 2 а«^8ЛГ-
ЛЧ-1
Из неравенств а), Ь) с помощью элементарного неравенства (Ь — а)2 «С
^2(й2 + а2) выводим
N
/1 = 0
Объединим полученный результат с с):
N оо
12 и"’- 2
д=1 ЛГ+1
5 ft* (-V)—ф (*)]* dx =s£ бсдг.
О
Кроме того, по построению
1
\й^(х, Y)dx^M\
о
Здесь мы обозначили
£
uN (х, у) = > п sh пу • sin пх,
«=1
О 71=1
По доказанному ранее, гармонические функции йдг(х, у) будут при
|^|<1 сходиться к и(х,у), если N~>oo, 8^->0.
286 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. щ
В заключение опишем вкратце, как могут быть найдены значения ;
fiW. Начнем с того, что выясним, какой из случаев:
7 2 ш гг
п = 1
” V «"Т w м.
П) -2 2i^Lsh п>м
п=1
имеет место.
В случае I) достаточно положить
п п
Тогда мы будем иметь
N
л 2 14"’- 4*7=о.
п= 1
а меньших значений это выражение принимать не может.
В случае II ясно, что минимум
/г= 1
будет достигаться для , лежащих на поверхности N-мерного эллип-
соида
4 21Д!ГА.„=Л1.
2 и2
п=1
Для отыскания условного экстремума воспользуемся множителем Ла-
гранжа 1# и, составив выражение
дт
2 {[4" - 4*714*7}.
№ 1
-(N)
приравняем к нулю его производную по ап
2[4*'>-4*',+>.^4д'’]=о-
Отсюда
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
287
§ 251
Параметр KN надо найти как решение уравнения
Я VI СТ’ Ь2 ЛЛ2
~2 2 L>rLsh п=м '
п= 1
Ясно, что существует, и притом единственное, положительное решение,
так как левая часть является монотонно убывающей функцией Хдг и ме-
V1 1в<ЛГ)Г
няется от у У I ”т- sh2 п > Л42 до нуля при изменении Хдг в пределах
п~ 1
от нуля до плюс бесконечности.
Интересующий нас минимум достигается на положительном корне.
Это видно из того, что правые части равенств
N
N
п = 1
N Г (
Л=1
di2 п \ 3
sh4 п
п* 9
N
П*
п=Л
sh2n=M2 =
п
_!______Ш-Sh2 и
sh2 nV п* 8П ”
кЛГ-^-)
уменьшатся, если при отрицательном \N сменить знак.
Мы показали принципиальную возможность решения некорректной
задачи, если нам известно, что интересующее нас решение действитель-
но существует и принадлежит некоторому, множеству решений, для ко-
торого имеет место «условная корректность».
На изложении эффективного технологического процесса решения
некорректных задач мы останавливаться не будем. Отметим только, что
обычно этот процесс состоит в замене исходной задачи близкой к ней,
но уже корректной. Решение этой близкой (регуляризованной) задачи
обычно оказывается мало отличающимся от разыскиваемого решения,
принадлежащего некоторому классу «условной корректности».
Глава IV
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 26. Система обыкновенных дифференциальных уравнений
Изучение формул для решения систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами при помощи соображений, которые будут
использоваться для обоснования метода Фурье. Интеграл Дюамеля и преобразо- J
вание Лапласа. Частотная характеристика. Формулировка теоремы об обращении
преобразования Лапласа и ее применение для представления решения в виде у
суммы экспонент.
Мы приступаем к изучению теории метода Фурье на примере его
приложения к смешанным задачам для гиперболических систем с двумя
независимыми переменными х, t. Этот метод является перенесением на
более сложный случай известного приема Эйлера интегрирования обык-
новенных дифференциальных уравнений. Прием Эйлера состоит в оты-
du Л л » а '
скании у системы — Ап = 0 частных решений и = е ив конструи-
рЬвании произвольного решения из этих частных. Мы сейчас опускаем
некоторые известные видоизменения этого приема, возникающие в слу-
чае, когда характеристическое уравнение det [А — ХЕ || = 0 имеет крат- *
ные корни.
С методом Фурье для уравнений с частными производными мы уже
знакомились во вводной части этой книги (гл. 1, § 7). Там были ра-
зобраны в качестве примеров задача Дирихле для уравнения Лапласа и
простейшая гиперболическая система—уравнения акустики. В этой главе
мы построим теорию метода Фурье для гиперболических систем с двумя
независимыми переменными х, t Подробно будет рассмотрен случай двух
уравнений. В случае систем большего порядка схема теории остается
той же самой, но результаты могут быть несколько другими. Дело
в том, что далеко не всегда любое решение представимо в виде суммы
частных решений типа стоячих волн. Хотя в этой главе будет разобран
только один пример неполноты системы стоячих волн в случае, когда
собственных функций вообще нет, я думаю, что из приведенной теории
должно быть ясно, в каких конкретных случаях полнота имеет место, ?'
а в каких нет.
Мы построим теорию метода Фурье, основываясь на технике преоб-
разования Лапласа. Чтобы сделать все выводы более прозрачными, опи-
шем сначала идею теории в случае обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Прежде чем давать формальное определение, разберем наводящие^
соображения, поясняющие смысл процедуры, с помощью которой опре-\
деляется преобразование Лапласа.
§ 26] " СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 289
Пусть w(f) является решением системы
с не зависящей от времени t матрицей А, удовлетворяющим нулевым
начальным данным w(0) = 0. Наряду с этой системой рассмотрим зави-
сящее от параметра tQ семейство u(t, tQ) решений однородной системы
Аи = 0,
4\t-o=f(io)-
Утверждается, что
t
0
Действительно,
/ t
g=u(0, 0+ J dt0=f(t)+ J AU(t-t0, t0)dt0=
0 0
t
=f(t) + A J и (t -10, t0) dt9=f(t) 4- Aw (0.
0
Уравнение —Aw=f(t) выполнено. Выполнение для w начального
условия w(0)=0 очевидно.
Формула
i
w(t)=^u(t—t0, t0~)dt0,
о
представляющая решение неоднородной задачи через решения однород-
ных, называется интегралом Дюамеля.
Рассмотрим теперь случай специальной правой части вида /(^)=€Лгф
(<р — постоянный вектор). Решение w(£, ^0) однородной задачи
^-Аи=0,
«k-o=/(*o)=*w,<P
зависит от f0 простым явным образом:
н(£, tQ)=eu*u(t, 0).
В дальнейшем мы будем этим пользоваться, опуская в u(t, 0) второй
(нулевой) аргумент и записывая решение w неоднородной задачи
—A^=/Z(p,
at
w |^о = О
10 С. к, Годунов
290 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
формулой
t t
w (t) = и (t —10) ekt<> dt0 — ekt и (t — tQ) dtQ.
о о
Входящая в этот интеграл вектор-функция u(t) удовлетворяет следую-
щим уравнениям и начальным условиям:
^-ДИ=О,
и|м)=Ф-
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что ре-
шение может быть, как правило, представлено в виде линейной комби-
нации экспонент е^, где являются корнями характеристического урав-
нения
det \\kE- А || = 0.
Слова «как правило» означают, что некоторые уточнения должны быть
внесены при наличии кратных корней у этого уравнения. Из представ-
ления решения в виде комбинации экспонент следует, что если
ReX>maxRe&/, то
t 1 tQ=t
\ и(t—t0)e-K^~~to)dtQ = — J и(t —10)е~к^~d(t—10) =
0 /o=0
0 t oo
= — u (t) e~K~ dx=\>u (t) e~K~ dx —> и (t) e~Kt dt = v (X), \
t 0 / —► co 0
т. e. последний интеграл сходится.
(Задача. Докажите сходимость интеграла при том же предположении:
Re X > max Re kL в случае, если среди , корней имеются кратные.)
i
В этом случае говорят, что «вынуждающая сила» г^ф раскачивает
систему со своей «частотой». Через и(Х) мы обозначили устанавливаю-
щуюся при £->оо амплитуду колебаний. Слово «частота» мы взяли
в кавычки, потому что понятие частоты со, строго говоря, определено.?
лишь для чисто мнимых Х = «о. Для простоты и большей наглядности
мы будем некоторое время предполагать, что Х = /со у нас чисто мни-*
мое и что max(Re &/)<;—/><;0. Потом мы покажем, как обобщить ;
z т
нужные нам факты на тот случай, если неравенство max(Re^)<—
* '7
не выполнено. Итак, рассматривая решение системы 4
§ 26, СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИИ 291
мы имеем для него формулу
t
w (t) = е1(Л{ $ и (t — tQ) е~i(O ~ dt0,
о
При t->oo
t 00
J и (t — to) e-ia> V ~ dtQ v (la) = J и (t) е~ы dt,
о 0
Вектор-функция *u(Z(o) от частоты co носит название частотной харак-
теристики системы ~— Дц = О, а представляющий ее интеграл
00
J и (0 е~ы dt называется преобразованием Лапласа от и (t).
о
Рассмотрим сейчас в качестве совсем простого частного примера
случай системы, состоящей всего из одного уравнения
(du l ( dw ,
— ku~Q — — kw== (ре ,
dt J dt T
«1/-о=ф» I ®|(_o = 0.
Для u(t), w(t) могут быть выписаны следующие явные формулы:
и (t) = <pekt, w = -.-ф г el(at — г— г ekt.
т /со — k ия — k
Так как мы предполагаем, что Re^<0, то в формуле для w вто-
рое слагаемое стремится к нулю при t -> оо. Коэффициент при первом
слагаемом — функция v (zco) = . —является частотной характеристи-
кой и может быть вычислена в виде интеграла
v (/со) == С и (t) e~i(Ot dt = ^>ekte~t(33t dt = .
о, о
В этом примере частотная характеристика — это просто скалярная
функция от со или, если угодно—-одномерная вектор-функция. Оказы-
вается, что если для довольно произвольной функции u(t) известна ее
частотная характеристика
v (1(я) = и (t) e~t(Ot dt,
о
то сама функция и (t) может быть восстановлена по этой частотной харак-
теристике. Имеет место следующая теорема об обращении преобразо-
вания Лапласа:
Теорема. Пусть функция и (t), определенная при О t < 00,
Удовлетворяет неравенствам
| и (01 < Me~pt, | иг (01 < Me~pt (р> 0)
10*
{ГЛ. IV
292 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
и пусть, кроме того, при
I«' (<1) - «' &) I М У\Ч-Ч\.
Определим преобразование Лапласа (/со) формулой
v(l<d) — ^e~i,atu(t)dt.
О
Тогда исходная функция u,(t) может быть восстановлена по
с помощью равенства
ъ
— ъ
Оценка константы в О равномерна для всех t из отрезка О <У0<;
и для всех функций u(t), удовлетворяющих неравенствам в ус-
ловии теоремы. Эта теорема лишь деталями формулировки отличается
от общеизвестной теоремы об обращении преобразования Лапласа: здесь
на функцию u(f) накладываются несколько более сильные ограничения
и получается более точная асимптотика для интеграла. Доказательство
теоремы будет приведено в следующем параграфе, а пока вернемся К рас-
смотрению частотной характеристики ^(/со) системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений у—Ам = 0, ц|/я_0 = ф. Оказывается, что каж-
дая компонента этой частотной характеристики и (/со), является рацио-
нальной функцией /со, имеющей полюсы в точках А, удовлетворяющих
характеристическому уравнению
det 1|=0.
Докажем это. Наряду с преобразованием Лапласа u(f)
v (/со) = $ e~l(Otu (f) dt
о
рассмотрим еще преобразование Лапласа от Au(t) и от
f е~мАи (0 dt = A\ e~ia,ttt (t) dt = Av (/co),
0 0
Ге-ы^^ = [и(Ое-‘“П“— 1 u(t)de~imt =
0 *==0
= — и (0) /со и (t) e~l(iit dt = — ф 4“ (M-
о
§ 26] СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 293
Отсюда
5 е~1Ы (*2F — Au^dt = — ф + lew G<°) — Ав (/<»).
о
Так как — Аи = 0> то (Zco) удовлетворяет системе линейных урав-
нений
(А — 1(&Е) v + Ф = О,
которая разрешима, если только /со не является корнем характеристи-
ческого уравнения det |] А — £2?|| = 0. Сформулированное утверждение про
v(ho) следует из вида этой системы. Если все корни характеристиче-
ского уравнения простые, то и (ко), очевидно, допускает представление
в виде
J
Воспользуемся теперь теоремой об обращении преобразования Лап-
ласа (о < t0 t ту
4-&
и(0=2^ \ v(i(s>)eia,td<i) + O^ =
' —ь
\ О/Ц
J uo — kf / 1 \Ь ]
j \ -d 7 /
Немного ниже мы покажем, что при &->оо и Re£y<0,
Л ^bd& = ek)t + o(^-\. (1)
2л J uo — ki ’ \ b I к 7
—ь
Это дает нам право утверждать, что
и(0==2е¥^+°(т)-
В силу произвольности b отсюда получается представление
j
Решения системы в виде комбинации экспонент. Тем самым знание частот-
ной характеристики ‘и(ко) позволяет найти собственные «частоты kp
и вычислить векторные коэффициенты фу разложения решения по этим
частотам, то есть собственные векторы матрицы А,
294
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
Докажем соотношение (1). Для этого рассмотрим
4-ft .
1 Р pt<at
5- \ --------rrfco, где Re&<0.
2 л J ко — k
-ь
Изобразим путь интегрирования в виде отрезка — на ком-
и дополним этот путь полуокружностью
| XI = b (Re X < 0) так, как это сделано на
плексной плоскости X — «о
рис. 75. Интеграл
1 С ei(i*
2л J i(o — k
- —ft
do) +
1 С рм
4~ Q—♦ \ 7---7 rfX
’ 2л1 J X — k
(Aj = ft
Re X<0
люс Х = & лежит внутри
ekt. Следовательно,
может быть вычислен точно с помощью
вычетов. Он отличается от нашего ис-
ходного на интеграл по полуокружности,
про который будет показано, что он при
£->оо является величиной порядка
О . При достаточно большом b по-
контура интегрирования и имеет вычет
P\t
-—-dK = ekt.
А —к
Для оценки интеграла по полуокружности заметим, что
X—b (— sin ф + i cos ф), 0 < ф л,
| d'K | = b [ (Ар |, | eKt | = е~ bt sin ?.
Выбрав достаточно большие Ь, можно считать, что на полуокружности
1/| X —£ | < 2/6.
Поэтому
1 С I 2
2ш J X — k I 2л
IA|=ft
Йе Х<0
тс
ft/sincp
О
тс тс/2
и нам остается показать, что £ е~csin<? с/ф = 2 csin<p (/ф = О
о о
где обозначено с = Ы, Представим этот положительный интеграл
СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
2^5
§ 26]
в виде
к/2 л/4 к/2
С . С csin? С
\ г-csin? йф== \ _------------
J J cos® Y J Y
О 0 к/4
те/4
Р g-gslnyd (sin ф)
J /2/2
о
п/2 уг
е 2 d(p =
п/4
=' - е~ f «“ « = О (1) - О = О (1),
так как по предположению t^tQ">0. Эта оценка в курсе теории функ-
ций комплексного переменного часто носит название леммы Жордана.
Мы разобрали подробно случай, когда характеристическое уравнение
не имеет кратных корней. Случаю кратных корней посвящена следующая
Задача. В случае, если характеристический корень kj матрицы А имеет
кратность г/, функция v (ico) может быть представлена в виде
v (ico)
Вычислите (в предположении, что Refy<0) интегралы
-4-00
1 С el<ijtdd)
2 л J (ica — kjY * '
— оо
Результат используйте для вывода представления решения и (I).
Изучение метода Фурье для уравнений в частных производных будет
проводиться по следующей схеме. Сначала с помощью преобразования
Лапласа решения системы уравнений с частными производными будет
построена «частотная» характеристика этой системы, являющаяся ана-
литической функцией параметра к («частоты»). Затем аналитическая
природа этой «частотной характеристики» будет тщательно изучена,
будут выделены ее полюсы, определены в их окрестности главные части
лорановского разложения. С помощью теоремы об обращении преобра-
зования Лапласа решение будет аппроксимировано контурным интегра-
лом, который в свою очередь будет вычислен в виде конечной суммы
по полюсам. Тщательное выполнение этой программы приведет нас к
теореме о возможности как угодно точной аппроксимации любого ре-
шения смешанной задачи для гиперболической системы конечной суммой
специальных рещений — «стоячих волн».
296
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
(ГЛ. IV
§ 27. Теорема об обращении преобразования Лапласа
Формулировка теорем об обращении преобразования Лапласа и ее обобще-
ние на растущие (не слишком быстро) функции. Первые три леммы и вытека-
ющие из них следствия приводят к важному тождеству с тригонометрическим
интегралом. Обсуждается характер остаточного члена в этом тождестве. Оконча-
ние доказательства теоремы.
Приведем формулировку теорем, которые будут доказаны в этом
параграфе.
Теорема 1. Пусть функция и (/), определенная при 0 t <
< оо, удовлетворяет неравенствам
\u(t)\<Me~pt,
|и' (01 < Ме-Р‘, р>0,
и пусть, кроме того, при Q
Тогда при 0 < f Г выполнено неравенство
+ь
u(t)—± \
-ъ
Ml
b •
Здесь —преобразование Лапласа функции u(t):
v (zco) = e~t<oiu (f) dt,
о
а постоянная зависит лишь от р, tQ, Т, М, N(T).
Теорема 2. Пусть функция и (I), определенная при 0 t < оо,
удовлетворяет неравенствам
| и (t) | < MeKt,
| и' (t) | < MeKt,
I«'&)-«'(Q|<для
Tогда при 0 < t0 t T справедливо неравенство
a-\-ib
a—ib
Mi
b ’
a>K,
00
где ,u(X) = J u(t)e^dt — преобразование Лапласа функции u(f), a no-
о
стоянная Мг зависит лишь от К, tQ, Т, М и N(T).
Легко видеть, что теорема 2 вытекает из теоремы 1. Действительно,
пусть функция и (0 удовлетворяет условиям теоремы 2. Введем
функцию и (t) = e~at и (t). Тогда | й (t) | = | и (t) \e~at<Z Ме~(а-ку_-
= Me~pt, где обозначено р = а—К ">6. Проверим, что функция u(t)
§ 27] ТЕОРЕМА ОБ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 297
удовлетворяет остальным двум неравенствам в условии теоремы 1:
| и' (01 = e~at | и' (0 — аи (01 < М (1 4-1 а |) е~^=Ме~р‘,
|«' (4) — «' (Ъ)I = I e~ati [«' (zi) — «« 04)]—e~at2 [«' (*2) — au (f2)] |
«S | (e~ a/> — e~ a/’) [«' (0)—au (0)] 4-
4- e~ a‘> [ur (tj)—u' (t2) — au (Q 4- au (^)J | <
. <4(7)4^-f2|4-^(D-*2| <^(7')VP1-^I
при 0^^^2T. Функция й(0 удовлетворяет, таким образом, всем
условиям теоремы 1. Следовательно, если положить
v (ico)=f й (0е~ы dt=\u(0 * dt,
О о
то имеет место формула
й (t) = и (t) e~at == \ v (/со) еы dm + О (=
1 \Оj
— ъ
a-j- ib
= £' 5 + O (4).
а — ib
Положим %=a + Z(o, v (X) = v (a + im) = v (im). Так как при tQ^t^T
выражение e~at ограничено как сверху, так и- снизу, то из последней
формулы после сокращения на e~at вытекает заключение теоремы 2.
В дальнейшем мы будем пользоваться той формой обращения
преобразования Лапласа, которая дается в теореме 2.
Приступим к доказательству теоремы 1. Мы начнем с нескольких подготови-
тельных лемм о тригонометрических интегралах.
Лемма !. /7ри/>0, & >0 выполнено неравенство
оо Tsup I Ф (£) I 00 00
----4-?15фИ^+±С |ф'©|^ .
t L t / J
(Про ф (£) предполагается, что она имеет непрерывную производную ф' (£) и ко-
нечную правую часть в выписанном неравенстве.)
Для доказательства леммы преобразуем интегрированием по частям следу-
ющий интеграл (В > t):
в
С sin bl 1 (* Ф © , .о
J —I ФЙ) ^ = — у J 2^dcos&g =
Ф (t) cos bt ф (В) cos ЬВ
В
J COS&^^ +
в
298
. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV'
а затем оценим слагаемые полученной суммы:
в в в '
С sin bl /йч _ 1 . . Г 1 . 1 1 , С I ф (Н) I , 1 С , ,
\ —^-yjsup | ф (g) I • |y+g^J + \ ga~~ ^+7 J I Ф (£)!<*?
t 1;>Z i t >
Если существуют
00 оо
sup I ф (В) l> I Ф' (?) I d?>
J 5 J
то из приведенного неравенства следует, что
sin bl /f>4
-|-кФЙ)^
<e(Bx)
(Ba >Bi).
где e (Bi) —> 0 при Bx —* оо. Это последнее утверждение эквивалентно выполнению
критерия Коши для проверки сходимости интеграла
Итак, этот интеграл сходится. Переходя к пределу при В—*со в обеих частях
неравенства для
С sin bl
Jt-’’
t
Первое следствие
(g) приходим к утверждению леммы.
из леммы 1:
Н
С sin bl „
Н"5-
—t
Действительно, из курса математического анализа известно, что
а из леммы 1, положив ф(£) = 1, получим:
4-00
С sin bl
J Т^“"'
00
С sin bl „
Теперь сформулированное следствие очевидно. ,
Второе следствие из леммы L Если при /^0
| и (0 |
I и' (О I Ме~Р^
§ 27} ТЕОРЕМА ОБ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 299
то для t to z> О
sin .. . _. 11 \
—(/ + 1)^ = 0
с остаточным членом
В самом деле, по лемме
sin bt>
~г~
u(t + №
Ме-^Р‘
t
Ме~Р‘
Ме~Р‘
t.
ОО 1
-Н2г+?-’’']
С
Л2 Ф t
t
Следствие обосновано.
Лемма 2. Пусть при —выполнены неравенства | / (£) | < М,
\Г © К ^=; тогда
V . 27И + ШУ1
J sm bl f® dl < ----.
Доказательство:
+ t
\ sin^/(gMg—~
— t
1 ( f(g)dcos6| =
4“ f
^1/(0-K-01+y J coster (g)dg,
— /
sin bt f(l) dt < -r- + -r- M • 2 \ —‘ .
b b 1 b Jj/g b
Лемма 3. Пусть при | | < t выполнены неравенства'. | ф (g) | < М, | ф' (|) | < *
<М.
I<р' (Ь)-Ф' ©OKAf/ik-ki.
Тогда . .
+? . .. 2М + 4М }/'7+~
Г sin bl _ ,п. • t
\ -^-р- Ф© dg - яф (0) <-----.
— t
Доказательство. Построим функцию
. fg)_T<S-T(O).
300
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
(ГЛ. IV
и докажем, что | f © | < М, | f © | <
Действительно,
/151
f(g)= ф(^ф(0) =ф'(9g). o^e^i.
Отсюда
Далее- IHg) 1 = 1 ф'(9g) I < М
f, ,gy,(g)-[y(g)-q>(0)] g<p'(g)-g<p'(9g) <P'(g)-<P'(9g)
' ™ V g2 g
Поэтому
| f (t} I = 1фЧЮ-ф' (9g) I < ^/(»-9)|g| <_M
|g| " |gl ^/|gr
Применим теперь лемму 2:
у sin by (g) dl
-Л
V sin bl /m C sin bl ...
-д-^ФМ--Ф(О) ^dl
2М+4МУ t
< b
Теперь остается лишь отметить, что по первому следствию из леммы 1
sin bl „ /m
уМ-Л-ф(О)
JL 4М
b ' t '
Доказательство леммы 3 завершено.
Следствие из леммы 3.
Пусть при '/>=0 выполнены неравенства
| и (t) | < Ме~Р* М, \и’ (t) | < Ме~Р* М,
а при 0 /2 2Т оценка непрерывности и' (t):
Тогда для 0 <ZtQ^t имеет место равенство:
С ^Lu(t+^di-nu(t)=o(^\
-t х 7
1 \
с остаточным членом О -т- таким, что
\о J
о(4- <-----------т—
| \ о / I b
(Для вывода следствия из леммы 3 достаточно положить ф(|) =«(/ + !).)
Объединяя это следствие со вторым следствием из леммы 1,! мы получаем для функ-
ций и (/), удовлетворяющих всем сформулированным для них условиям, равенство
— t
§ 27J
ТЕОРЕМА ОБ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
301
где постоянная с в оценке
зависит лишь от М, р, tQ, Т* с=с(М> р, tQ, Т), если (Расширяя
допустимый отрезок изменения /, например, путем приближения tQ к нулю, мы
будем увеличивать постоянную с в этой оценке.)
Мы говорим в таком случае, что оценка остаточного члена О равномерна
по всем функциям и (t), удовлетворяющим оценкам
| и (/) I < Ме~Р*, I и' (/) I < Ме~Р‘, t 0,
I (/2) - ц' (У I М О 2Т,
и для всех t из фиксированного отрезка
В курсах математического анализа часто доказывается, что если функция
g (|) такова, что
II. £(?) непрерывна при g0 —Д<5<5о + Д и имеет в этом интервале огра-
ниченную вариацию, то для нее выполнено предельное соотношение
Я(Ы= Нт 1 ( g®
6 —► со n J
— оо
Из этого утверждения получается, если положить
«(*+£) при g> — t,
О при g < — t,
что
«(0= lim -Д
&->оо n J ъ
— t
Наложив на и (/) более жесткие ус-
ловия, мы сумели показать, что при
& -->оо интеграл в правой части отличается от и (/) на величину порядка 1/д, равно-
мерно для всех функций и (t), удовлетворяющих .этим предположениям, и для
всех t из некоторого фиксированного отрезка 0
Ограничение /0 > 0 необходимо накладывать по следующей причине. Функция
g(£) имеет у нас график такого типа, который изображен на рис. 76. При£ = — t
она, как правило, разрывна. Ясно, что сходимость непрерывных по |0 функций
— оо
singa7go)
к функции g (|о) при b—> оо перестает быть равномерной в окрестности точек
разрыва g. Именно поэтому точка разрыва £ = —t должна быть достаточно уда-
лена от изучаемой точки g = 0, что и обеспечивается неравенством 0</0^Л
302
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
(гл iv
Итак, мы доказали, что
ОО
... . 1 С sin bt .. . _ I 1 \
“(0=^ J —('+£)<*; +
Теперь уже можно переходить к теореме об обращении преобразования Лапласа.
Доказательство теоремы 1.
Чтобы доказать эту теорему, достаточно убедиться в том, что
+ &X оо
~ £ v(i«»^d(0 = -4 -21*1 и(/+£)<£.
-b -t
В интеграле, представляющем щно), удобно в процессе доказательства обозна-
чать переменную интегрирования не буквой /, а какой-либо другой буквой,
например, т. Проведем выкладку, доказывающую нужное нам равенство:
4-£ +Ь /СО ч
Д- ? v (iw) dm = Д- ? ei<at[ \ и (т) е~1шх dx |dco =
2л J 2л J I J
-b -b \o /
+ & oo + b oo
u (r) eiui( f dx d& = ^ C f «(/ + £) e~'^ d^d®.
— b—t
Последний интеграл равномерно сходится и, следовательно, допускает перемену
порядка интегрирования:
+ b 4-& oo
f v (iw) ei(i>t d(o = J- и (t + g) e~ d% da) =
— b -b-t
=— £
~2л j
— t
Внутренний интеграл может быть вычислен:
Н-* \
С e~i^dd)
\—b )
V
\ e~iiS^ddy —
-ь
|(D = & eibl — e ibt, sjn
—г"
Окончательно:
+ь
1 С
2л J
— ь
v (ia) el(ot d($ = -^-
—t
Доказательство теоремы
Лапласа обосновано.
завершено. Правило для обращения преобразования
§ 28}
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ
303
§ 28. Преобразование Лапласа для решений
гиперболической системы
Описание постановки обратимых смешанных задач для гиперболической
системы. Существование решений и оценки для них изучались в § 17. Преобра-
зование Лапласа Vi (х, X) решения при достаточно больших ReX. Его аналитич-
ность. Обыкновенные дифференциальные уравнения, которым оно удовлетворяет.
Оценки. Использование обратимости. Изложение схемы дальнейшего изучения.
Основные свойства V[ (xt X), которые будут обоснованы в следующих параграфах,
и получение с их помощью формулы обращения; содержащей интеграл по замк-
нутому контуру.
Мы будем изучать теорию метода Фурье на примере системы двух
гиперболических уравнений, записанных в каноническом виде
~di + kl ~дх + ти U* = °’
— ^2 + «21 (*) «1 + «22 (*) «2 = 0-
Предполагается, что у этой системы одна характеристика имеет
положительный наклон, а другая отрицательный, что обеспечивается нера-
венствами kT (х) > 0, k2 (х) > 0. Условия ki (х) 0 означают, что у харак-
теристик нет вертикальных касательных. Рассматривая эту систему на
отрезке O^x^Z, мы должны задать еще граничные условия
«1^(0, t) а2и2 (0, Z) —0,
P^JZ, t) + p2w2(Z, o = o
и начальные данные при Z = 0: иг(х, 0) = cp1(x), и2(х, 0) = ф2(х). Если
все коэффициенты (ар а2, Pi, Р2) в граничных условиях отличны от
нуля (04 0, а2 О, Pi Ф 0, р2 0), то при достаточной гладкости
коэффициентов системы и начальных данных возможно построение реше-
ния как «в верхней» полуполос^
Z 0, O^x^Z
плоскости х, Z, так и в нижней
t 0, 0 х Z.
Такие задачи, которые могут решаться как в сторону растущих
t (t > 0), так и в сторону убывающих (t <Z 0), мы называем обратимыми
(см. § 14). Обратимость будет существенно использоваться в дальней-
шем при построении теории. Для необратимых задач не только не про-
ходит схема нашего исследования, но и сами факты теории метода
Фурье совсем другие. Далеко не каждое решение необратимой задачи
может быть аппроксимировано частными решениями вида eKt и(х), исполь-
зование которых лежит в основе метода. В дальнейшем мы убедимся
в этом на примерах.
304
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
Как было показано в § 17, решение поставленной нами задачи
существует (как в полуполосе Z>0, O^x^Z, так и в полуполосе
Z<0, O^x^Z) и удовлетворяет неравенствам
(|М*. 01» |^|. ||)sS constе* 1'1,
В этих нер авенствах С = С (11\ 1t21)—постоянная, зависящая от
интервала времени, в котором заключены tv t2. Рассмотрим решение,
построенное в полуполосе t>0, 0<x<Z, и построим его преобразо-
вание Лапласа
vi (х, X) = щ (х, t) е dt,
о
Интеграл в этой формуле сходится и, следовательно, преобразование
Лапласа определено, если ReX>K. С помощью правил дифференциро-
вания несобственных интегралов по параметру легко убедиться, что
в каждой точке полуплоскости ReX>K существует производная
dv^x, %)
—представляемая сходящимся интегралом:
V М.(Х> t)t-e~l'dt.
Отсюда следует, что ^-(х, X) в полуплоскости Re%>/< являются
аналитическими функциями X, зависящими от вещественного параметра х.
Определим еще преобразования Лапласа от производных
Эти преобразования можно также считать определенными при
ReX>K и нетрудно проверить, что
\ди‘(х’ f)e-Ktdtd Г ( tye-bdt^itx, 1)
J дх дх J ’v 7 дх *
о о
Ж е & 5=5 ^о° ~ 5 М/ =
и
= — щ (х, 0) 4- X щ (х, t) e~Kt dt = — (x) + (*, ^)-
v
§ 28| ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 305
Теперь нетрудно получить для (х, X) обыкновенное дифференциаль-
ное по х уравнение, зависящее от параметра X:
0= j e~Kt + ^iiMi + ^i2M2j dt = — Ф1 (х) +
4-X^Jx, X) + ^1^i^-^4-z»11'u1(x, X) + /n12^2(x, X).
Мы пишем для производной знак обыкновенной производной
так как в дальнейшем дифференцирование по параметру X ни
в каких выкладках до § 31 не будет участвовать и, следовательно,
такое обозначение не сможет привести к недоразумениям.
Аналогично, рассматривая интеграл
о = J — й2 + ot21Hj + m?2u2) dt,
получаем второе уравнение
— ФгС^ + ^гС*, А,) — 4-(х, K) + m22v2(x, Х)*=0.
Система обыкновенных уравнений
+ «и'»» + =Ф1>
^2—k2 + от21т»1 + т22о2 = <р2
будет играть в наших дальнейших исследованиях важную роль. Нетрудно
проверить, что ^(х, X), ^(х, X) удовлетворяют при х = 0 и при х = 1
граничным условиям
a^jJO, X) + a2(u2(0, X) = 0,
М(А X)+^2(4 *)=0.
Их проверка выполняется так (мы ограничиваемся проверкой лишь
одного):
«1^(0, Х) +«^(О, X) —w2(0, 0 dt =
о о
' ^) + a2w2(0, f)]^ = 0.
о
Мы определили преобразование Лапласа в полуплоскости ReX>K.
Если выбрать К* > К >• 0, то оказывается, что в полуплоскости ReX>K*
306
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
может быть получена чрезвычайно важная для дальнейшего оценка:
I / л \ I Const
|^(X, *)l<w.
Выведем ее. Сначала покажем, что (ReX>/<*)
| Vi (х, X) | = J Ui (x, t) e
о
о
< const ( eKix-
Аналогично:
I dvj (хУ X) I _
I dx I
dui (x, t)
dx
const
Из обыкновенных уравнений, которым удовлетворяют ^(х, X), находим:
v^x, A)=l <рг(х)— — т^- m12v2
v2(x, Х) = ^- Ф2(x) + A2-JJ — m21vl — m22v2
Если правую часть этих равенств оценить с помощью только что
полученных неравенств, то мы и придем (при Re X >> К*) к обещанномус
утверждению:
const
“ixT
При каждом фиксированном х функции wz(x, t) удовлетворяют всем
тем условиям, которые обеспечивают применимость теоремы об обраще-
нии преобразования Лапласа, доказанной в предыдущем параграфе.
Поэтому
a-j-ib
Ut(x, \ v‘(x> +
a—ib
В этой формуле интеграл берется по отрезку прямой Re Х = а, парал-
лельной мнимой оси и такой, что При фиксированном а оценка
равномерна по 0 =С х Z, Т t tG > 0. Равномерность по х следует
из того, что оценка
I iti I < const eKt, I I < const eKt,
1 1 1 I dt I
содержит константы, не зависящие от х. Фиксировав К*, мы будем
полагать а==К*.
О1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 307
§ 28]
Итак, теорема существования решения у гиперболической системы
в полуполосе Z>0, О^х^/ позволила нам определить его преобра-
зование Лапласа, компоненты которого являются аналитическими функци-
ями от параметра % в полуплоскости Re и получить оценку
। । в полуплоскости Re К* > К >0. Кроме того, обосно-
вана возможность вычисления щ(х, t) при 0^х</,
через ^(х, %) с помощью приближенной формулы обращения преобра-
зования Лапласа с равномерной оценкой остаточного члена.
Теперь посмотрим, какие выводы можно сделать из обратимости
исходной задачи, т. е. из существования ее решения в полуполосе t < 0,
O^x^Z. Для этого рассмотрим интегралы:
— оо —со
( e-hut(x, t')dt = vl(x, %), \ Х),
*0 о
j e-\tdUi(x, t)dt = [e_Klu^X) j ut(x, t)e-K,dt =
— — ф/ (x, 0) + Kvi (x, X).
Сходимость этих интегралов и законность выполненных преобразований
легко обосновывается при Re — К.
С помощью оценок
IW/ (х, t) | < const • ,
| I < const eK'*', I I < const
I I I ul I
точно так же, как и для преобразования Лапласа при Re К>К, про-
веряется, что S/(x, X) удовлетворяют уравнениям
+ ^1 + ^12^2 ~ Ф1>
(Re Х<-К)
^2 — А2 S + ОТ2151 + ОТа10« =
и граничным условиям
cqS^O, 1) + а2б2(0, 1) = 0,
^) + ₽2S2(4 Х) = 0.
Эти уравнения и граничные условия по своей форме никак не отлича-
ются от тех, которые получены при Re Х>0 для ^(х, X). В дальней-
шем мы этим обстоятельством воспользуемся. Точно так же легко убе-
диться, что б/(х, А,) —аналитические функции X при ReX< — К.
308
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
(ГЛ. IV
Рассмотрим теперь наши функции v, (х, X), — — в полуплоскости
Re X <—/<*<-К:
__ const
щ(х, t)dt sg const \ e~ dt =
|dMx, X)|
e~u dt
dx
const
Записав уравнения для 5/ в форме
* 1 к
И1 = Х <Р1 — ki-^ — muvi~
* 1 Г । i dv%
»2 = Y ф2 + ~g£ — «21 Vi — «22 fa
и используя для правой части полученные оценки, находим, что
|^(х, при ReX< — К*.
I л I
В дальнейшем мы изучим поведение решений обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
^1+ *1^ +«11^1+ «12^2 = Ф1>
b2 — k2^ + m^V-L 4- W22®2 = ф2
с граничными условиями ,
0^(0, %) 4-«2^2(0, Х) = 0,
IW4 %)+₽2М4 *)=о
при изменении X в полосе — 2К* =CReA=C2K*. Во время этого изуче-
ния выяснится, что решение системы единственно для почти всех % из
этой полосы. Более того, все точки, в которых единственность наруша-
ется, лежат дискретно в полосе | Re X | < К (напомним, что К < К*).
Из этой дискретности будет выведено, что существует полоска | Im X —
— а | < (J, внутри которой всюду имеет место единственность. Будет
также показано, что в окрестности каждой точки единственности реше-
ния Vi (х, X) являются аналитическими функциями X.
Из теории функций комплексного переменного известно, что аналити-
ческая функция однозначно определяется своими значениями в любой
сколь угодно малой области. В дальнейшем будет показано, что в полосе
К* =CRe%=c2/<* решение системы обыкновенных уравнений единственно
и, следовательно, совпадает с вектор-функцией {^(x, X), v2(x, X)},
получившейся преобразованием Лапласа из вектор-функции {wx (х, t)f
§ 28} ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 309
zz2(x, 0}- Следовательно, та аналитическая функция от %, зависящая от х
как от параметра, которая определяется в полосе (с выколотыми диск-
ретными точками неединственности) — 2K*^ReX^2K*, является анали-
тическим продолжением этого преобразования Лапласа. В частности, рас-
сматривая аналитическое продолжение вдоль полоски | Im X—а | <; в
левую полуплоскость ReX<<—К*, заметим, что в силу единственности
решения системы обыкновенных уравнений в полосе — 2К* < Re X < — К*
там это аналитическое продолжение будет совпадать с {0Х (х, X), и2 (х, X)}.
Этими рассуждениями обосновывается возможность аналитического
продолжения преобразования Лапласа
(х, X) = J щ (х, t) dt,
о
определенного этим интегралом при ReX>/C, на всю плоскость ком-
плексного переменного К за исключением некоторой дискретной после-
довательности точек, лежащих в полосе | Re X | К. В дальнейшем
выяснится, что точки этой последовательности, как правило, являются
полюсами для т)/(х, X). (Эти полюса общие для всех х.) Оказывается,
что полюса можно занумеровать ... Х_р, Х_р+1,..., Х_х, Хо, Хр ..., Хр,...
так, чтобы при | р | —> оо имела место асимптотическая формула:
Xp^Lje~^v 7 1 \
р к \\р\)
Параметры р, v, х легко вычисляются через коэффициенты kt (х), k% (х),
tnik(x) изучаемой системы и через коэффициенты ах, а2, рх, £2 гранич-
ных условий. Отметим, что параметры х и р вещественны, a v может
быть комплексным, и что все полюса лежат в полосе | Re X | < К*.
Рассмотрим еще горизонтальные прямые
X ’
от каждой из которых полюса Хр и Хр+1 асимптотически (при больших р)
удалены одинаково. Будет показано, что на отрезках, высекаемых из
этих прямых полосой [ Re X | 2К*, имеет место оценка
/
। f л \ । const
I Vt (х, %) I < -у-
равномерно для всех х.
Мы сейчас покажем, как, воспользовавшись этим обстоятельством,
можно замкнуть контур интегрирования в формуле обращения преобра-
зования Лапласа. В последующем интеграл по замкнутому контуру будет
уже нетрудно заменить суммой вычетов по полюсам. Обоснованную
ранее формулу обращения преобразования Лапласа нам теперь удобно
310 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
записать в следующей форме:—
X
Щ (х, = Ч (х, X) e^dX + O (j).
K*~i?p±ln
Напомним, что оценка остаточного члена О {—'j равномерна при 0
<x^Z и для любого фиксированного отрезка времени с нижней гра-
ницей, отделенной от нуля: Нарисуем на плоскости
Х==а + /т следующий довольно ложный контур Р1Р2Р3РАЛААЛА>
изображенный на рис. 77. Уча-
стки Р8Р9, Р3Р4 этого контура
лежат на горизонтальных пря-
мых
1m Х = ±(2р + 1)я-1ту.
X
Рис. 77.
И ВДОЛЬ НИХ I Vi (Х,Х) | < const//?,
| | = | eQt1 ек*т. Отсюда
₽3
р9 .
I 1 С X/ / п \ const
\ е X)rfX|< р .
Константы здесь и во всех
оценках, которые будут сей-
час проводиться, можно вы-
брать не зависящими от Z, х из прямоугольника Z0=cZ=cP,
0<х</. В дальнейшем мы эту равномерность оценок будем все время
подразумевать, не оговаривая особо. Мы уже знаем, что при | Re X | К*,
а следовательно, и при ReX = ±K* имеет место оценка ^/(х, X) = O^|^-J.
Пользуясь этим, мы, очевидно, приходим к тому, что по каждому из
отрезков Р2Р3, Р4Р5, Р7А’ имеющих ограниченную длину, интегралы
| ~ e^vi (х, X) dk |
являются также величинами типа О . Оценим теперь модуль интег-
рала по дуге РбР6Р7 окружности | X |
X
рЛр^ Р^РвР,
§ 28]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ
311
Так как на окружности | X | = — л
А, = | X | (cos ф 4- I sin ф),
то
| eKt | • | dk | = | % | e'-AI'cos<p d<p = 1-Р-+1)л <cos’ d(p.
Поэтому
lit
C i X/I I ЛЛ I 2p + l (* /cosy
\ | eKt 11 dK | < —— л \ e / йф =
J ™ •) 1
iWiPl 4
2
2p + 1 n f —
==-^-л-2 \ e * de,
x J
e^vi (x, %) dk | =C const ? e * /SJn°de = O
Р$РвР7 U
Утверждение, что последний интеграл можно считать величиной типа
0^-^, составляет содержание леммы Жордана, часто используемой
в теории функций комплексного переменного. Ее несложное доказатель-
ство было изложено в § 26.
Итак, мы показали, что
1 С
2л j
Pi РаРзР^РъРв Р7 Р3Р9 Р1
e^fx, X)d%| = 0 (у) •
С, другой стороны,
и( (х, О=(х> X) <& + О (j).
Pl
Значит,
Mi (х, t) = ~ £ eKtVi (х, tydK + O .
РЛР3Р^ЛР7ллР1
Из теории функций комплексного переменного известно, что контурный
интеграл не будет менять своего значения, если мы начнем деформиро-
вать контур так, чтобы он при этой деформации не проходил через
особые точки подынтегральной аналитической функции. Пользуясь тем,
что функция Vi (%, X) может иметь полюса лишь в полосе | Re Z | К*,
мы заключаем, что наш сложный контур без изменения значения интег-
рала может быть продеформирован в границу прямоугольника
312
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
который мы будем обозначать Пр
Пр: {| Re % | К*;
— (2р+1) л — Imу < jm < (2р+1) л —Imvi
х х
Итак, постулировав некоторые асимптотические свойства ^(х, X)
в полосе | Re %|< const и воспользовавшись уже доказанными фактами
про (х, X) (Vi (х, Л)) вне этой полосы, мы получили следующее важ-
ное представление
иг (X, 0 = 2Si <^> (х, k)d% + 0
пр
с оценкой О для остаточного члена, равномерной при 0 х sg I,
O<to^t^T.
Прежде чем пользоваться этой формулой для обоснования метода
Фурье, мы в следующих двух параграфах восполним пробел в нашем
доказательстве. А именно, мы изучим функции Vi(x, %) внутри полосы
| Re X | < const.
§ 29. Асимптотика решений обыкновенных
дифференциальных уравнений
Асимптотические (по X) формулы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений, связанных с преобразованием Лапласа. Эти фор-
мулы получаются из явных представлений решений системы, содержащей два
независимых уравнения. Последующие леммы постепенно приводят к все более и
более сложному характеру зацепления уравнений.
В этом параграфе будет доказана
Теорема об асимптотике решений задачи Коши.
Если ki(x), —функции, непрерывные вместе со своими первыми
производными, то любые решения системы
7” + т11°1 + ^12^2 = Ф1>
^2 — k2 + т21°1 + т22°2 = <₽2
удовлетворяют при |Re Л | < К* на отрезке [О, Z] неравенствам:
1^1 (*) — ^1 (0) е~X>1 (х) ~14 (ДР) I
г 1
m ’max | <pz (x) | + max | <p/ (x) | + max \vi (0) | ,
I Л I L x it x i J
| v2 (x) — v2 (0) ехУ2 W+p-s (*) | -^
[max | ф/ (x) | + max | <p/' (x) | + max | vt (0) 11
IЛI 11, X i, X I J
§ 29J
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ
313
где постоянная М оценивается-через максимум модуля коэффи-
циентов и их производных» a yt (х), р/ (х) определены формулами*.
УЛХ)=1ш'
и
и
Формулировка этой теоремы на первый взгляд кажется довольно
сложной. Но это только кажется. Сейчас поясним, & чем смысл этой
теоремы.
Оказывается, что рассматривая решения нашей системы при боль-
ших по модулю X, лежащих в некоторой узкой полосе около мнимой
оси, мы можем вычеркнуть из системы коэффициенты т12> т2Ъ запу-
тывающие уравнения, и правые чести (p^q^. Решение оставшейся после
этого расцепленной однородной системы
dvi . г_х , । тп(х) *71 —— П
dx ’ ЛИ 1 М*)1 — и3
dv2 ^22 W *71 ——— fl
dx< [л (х) *2 W . v2 — v
выписывается формулами
(х) = 1?! (0) е~ (*) - hi (*),
. *и2 (х) = v2 (0) е*Уг (*)+(*),
которые и представляют собой главный член нашей асимптотики. Члены
порядка в этой асимптотике оценивают влияние отброшенных
членов в уравнениях. Мне кажется, что после этих пояснений формули-
ровку доказываемой теоремы будет нетрудно запомнить.
Приступим к доказательству теоремы. Рассмотрим сначала решение одного
уравнения с постоянным коэффициентом
а , du , х
ц(0)=0.
Это решение может быть выписано формулой
и (У) е_Х(>"71) q (т]) dr].
Очевидно, что ц(0) = 0. Непосредственным дифференцированием легко убедиться
в том, что уравнение выполнено. Интегрированием по частям формулу для
314
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
решения можно привести к другому виду
A A J
= V [<7 (У) ~ <7 (0) e~ly] —T \ e-x <?' (n) *]•
A A )
Предполагая, что | у ( У, Х =
:д ♦, а следовательно,
e~°y^eK*Y,
JOY
и используя формулы для решения, мы можем получить неравенства
I и (у) I const • max | q (у) |,
I « (У) К qjy [max I q (у) Ц-max | q’ (у) | ].
Из этих неравенств следует справедливость леммы 1.
Лемма 1. Решение уравнения
• “(0)=0
ау ь
в предположении, что | Re X | №“, | у | У, допускает оценку
। / \ । ^ const Г । , iii I dq П
|« M 1^~|Тр|_тах 1 q l + max I Я l + ^ax |^|j.
Рассмотрим теперь решение z —г(х) уравнения с переменными коэффициен-
тами:
UX A
Подстановкой
х
У = §
о
z — e^lX)ut q(x) = e^lX}ft
q* (x) =e* f*, у (x) = ( dg,
из которой следует, что
max | q (у) | const • max | f (х) |,
max | q* (у) | const • max | f* (х) |,
max | q' (у) | const [max I f (x) | + max | f (x) | ],
уравнение для г приводится к разобранному в лемме 1 уравнению для и. Нами
доказана
§ 291 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ 31 5
Лемма 2. Если при 0 х / k (х) 7^ 0, k (х) и т (х) ограничены и непре-
рывны и если | Re X | /(*, то решение z (х) уравнения
А>г + й(х)^+т(х)г=/(х)+^-^ ,
г(О)=О
оценивается неравенством
I г (х) | [max | f * (х) | +max | f (х) 14-max | f' (х) |].
I л I
Решение однородного уравнения
d?
Kz + k (х) 2^- + т (х) z = О
выписывается формулой
о о
Представляя решение неоднородного уравнения в виде суммы решения с нуле-
выми начальными данными и решения однородного уравнения, легко заклю-
чаем, чтЪ
I z (х) —г (0) е~Ъ'х' -и. '*> | [max | f* (х) | + max | f (х) Ц-max | f (х) | ].
При доказательстве леммы 2 мы пользовались тем, что k (х) не обращается в нуль
при O^x^Z, но нигде не пользовались положительностью k (х). Это позволяет
нам считать доказанной следующую лемму.
Лемма 3. Если при Q^x^l коэффициенты kt (х) > 0, ki (х) и тц (х)
ограничены и непрерывны и если | ReX|^/<*, то решение системы
Хг!+kj. (х) + тп (х) гх = 4./, (х),
Хг2 - k2 (х) ^ + '”22 (х) г2=+/2 (х)
удовлетворяет неравенствам'.
I Zi (X) - Z! (0) ё~ w -111 <х)! < ЛТТ +/?*)>
Iл I
I г2 (х)-г2 (0) (х) + ’1г W | X- (Г+/•*),
I л I
f = max (| А | + |/; I + IZJI + I/; I),
F’=max(|/f |+|/?|),
Vi = (I) ’ f*i =
а постоянная N зависит от величины коэффициентов, длины отрезка I и от К*.
Производные коэффициентов в эту оценку не входят.
316 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Доказанное неравенство для решений «расцепленной» системы, состоящей
из двух не связанных друг с другом уравнений, мы положим в основу получения
асимптотического представления решений интересующей нас «зацепленной» системы.
Сначала рассмотрим случай слабого (при К—>оо) зацепления:
^1+^1 (х) ^ + «11 (х) ш1 + у [«11 (х, а,) ^1 + «12 (х, X) а>2] =% (х),
А«»2 — k2 (х) ^ + «22 (*) W2 + [4] [«21 (*' х) Wl + nit (X, X) W2] =гр2 (х).
«Зацепляющие» коэффициенты (х, X) предположим непрерывными по х и огра-
ниченными. Рассматривая некоторое решение (х), (х) такой системы,
обозначим
шах | wi (х) | = со,
/, X
max | (0) | = со0>
/? = — + Ш),
$ = — (/ЧА + «sA), h=Ф1.
и, пользуясь тем, что F* = max (| ff | + | ff | )^£со, | | < А1,
| | < А1, мы с помощью леммы 3 приходим к неравенству
л/
со^Мсоо+тгТ (^+Ьсо),
I л I
выполненному для X, лежащих в нашей полосе. Пусть | X | > 2NL. Тогда
дг 1
co==5M(Oo + -pq- f+y ш,
а следовательно,
F + 2Mcoo.
Далее,
F* L(o^ F+2MLco0 sS F+2MLcoo = F + 2MLw0.
I Л I Z/VLr
Опять применим лемму 3 и получим оценку
I ®1 (х)-®1 (0) ё-^' <*> W I < + F*1 ТТГ [2F+2ML®0J,
| w2 (X) - w2 (0) (Л) + w I [2F+2MLcoo].
I Л I
Итак, нами доказана
Лемма 4. Если при O^x^l коэффициенты kt (х) > 0, k[ (х), тц (х) и
пу(х) непрерывны и, следовательно, ограничены и если | ReX|^X*, то для
достаточно больших по модулю X, лежащих в указанной полосе, решение системы
+mut»!+[«ци»1 + n12w2] = ф! (х),
Хсг>2-^ ^- + «22йУ2 + 4 [«21^1+«22^2] =’1’2 (X)
§ 29J АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ 317
удовлетворяет неравенствам
I (X) — (0) ё~ lyi w _ 14 <ж) I [F+max (I а>1 (0) |, | о>а (0) [)],
| и)а (х)—о>2 (0) е1у <*> | sg JL [F+max (| (0) |, | wt (0) |)];
I Л I
здесь постоянная Q зависит лишь от границ для коэффициентов тц, пу, a F
определяется как
F=tnax Цф, | + lt»l+l^l 1 + 1 Фа I ]•
X
Заметим, что пока мы нигде не пользовались гладкостью коэффициентов и поэтому
границы производных от коэффициентов не вошли в наши оценки.
Вот еще один чуть-чуть более общий вид слабо зацепленных систем:
dw, 1 Г Лйь dw» 1
+ ^1 “2^ Ь Р12 + ^11^1 + у [«11^1 + ^12w2] = ф2,
dw9 1 Г dwt dw9 1
— ^2 + у Р21 “2^" “Ь ^22 “b m22^2 + у [n21^1 + ^22^2] — Ф2 •
Предположения про коэффициенты py—такие же, как и про пу—непрерывность
и ограниченность.
гт dWi
Ясно, что если разрешить эту систему относительно что, очевидно, воз-
можно при достаточно больших по модулю К, то мы получим равенства следую-
щего типа:
= X [Дц^1 + Л12и>2] + Я11Ф1 + ^12^2»
К [Л21шх + Л 22^2] + ^21Ф1 + В 22^2
с ограниченными (при X—*оо) непрерывными по х коэффициентами Л^ = Л^ (х, X),
Bik = Bik (%, X). Подставив эти выражения для производных в выражения
1- Г dwi , do/2i
is Рй+ Pf2 “г-*-1> мы избавимся от слагаемых такого типа, несколько изме-
ли |_ ах ах J
нив выражения для (х, К) и для ф/. После этого можно применить лемму 4
и убедиться, что ее формулировка дословно переносится и на системы, имеющие
зацепление порядка 1 /X2 в коэффициентах при производных.
Можно получить похожие оценки и для систем с зацеплением порядка 1/Х
в коэффициентах при производных. Нам, достаточно будет здесь ограничиться
системами вида
л , г doj , р dv2 , , 1 г
Xoi+kx + -у- + тп +у [ИцО! + n12v2] = ф1,
л г । q dvx , , 1 - , ,
Хо2 — k2 + у + т22 v2 + у [n2io2+^22^2] — Фг-
Здесь, однако, в константы оценки войдут еще и производные от некоторых
комбинаций коэффициентов.
Запишем нашу систему в матричной форме
X тхх 0 \
k 0 X т12/ \о2/ \
л \
х \£/иЛ+2
-k2 dxw к
пц п12\/аЛ />'
«21 «22/ W \Ф2,
318
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
|ГЛ IV
и сделаем подстановку
'vl\[ 1
oJ 1 b (X, X)
' 2/ \——
a (x, X)\
r~ \
1 /
с достаточно гладкими по x коэффициентами a (x, 1), b (x, 1), которые вместе
с производными по х предположим ограниченными при X—*оо.
Очевидно, что
d_
dx
а_ \
х
1 / W
1
ь_
i ь
х , 2
Поэтому система уравнений для w2 может
быть записана гак:
/ 1 ± \
М + «и 0 \/ х >Л,
\ 0 X+wWyA 1 j \wi/
Умножим эту систему
еще слева на матрицу
и заметим, что
1 а\ f а \
1 \ А+«и о \ 1 х \
~ 1 / \ 0 + т22/ \ — 1 I
х / \х j
rk+тц 0 \ (mn —m2s)a
\ 0 Х+т22/ t(m22 — «и) b —ab^l+-^
“Г л 2 I Г" 13 Н ~
Л \n2i ^22/ Л \^21 *^22)
Так как /ei+^2>0, то, положив а = — , . ; , { Ь =, z 7-4 , мы при*
12 *1 (X)-f-*2 (X) ^1W+^W
дем после описанного преобразования к уже изученной «слабо зацепленной»,
системе с «зацеплением» порядка 1/Х2 при первых производных. Очевидно, и^
§ 30] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
319,
гладкости р (х), q (х), ki (х) следует гладкость а(х), b (х). Таким образом, приме-
няя известную нам оценку, имеем:
| И»1 (х, М — “'НО, |^~[F+max (|а>! (0)1, 1^2 (0)1)1,
Я) —w2(0, X)e<^ + ^|^-^[f' + max(|te>1(0)|, | о>2 (0) |)J.
|Л |
Вспоминая, что
а
^1 = ^1 + у
b .
»2 = ^^1 + ^2,
мы без труда выводим отсюда, что
I »i (х) —1>! (0) w -1X1 w I < [max | г|>г (x) | + max | <[>; (x) | + max | vt (0) |],
I А I x, i x, i i
I v2 W - (0) екУг w + ’*> I «g £25^- [max | ф,- (x) | + max 11|>; (x) | + max | vt (0) |J.
I A | x, i x, i i
Эти оценки составляют содержание леммы 5. Чтобы теперь привести основную
нашу систему
jT + ^11и1 + ^12У2 — ф1>
, Z • (*)
Хо2 — ^2 + m21ul + т22у2 — ф2
к изученному уже виду, выпишем знакомую нам форму этих же уравнений
1
1 Г , г ии2
У2 = у ф2 + ^2^—т22У2
Ф1 - £1 — ^11^1 - т12^2
dv2
а затем подставим отсюда выражение для ох во второе уравнение (*) вместо того ох,
при котором стоит коэффициент /п21. Выражение для и2 подставляется в первое
уравнение на место того о2, при котором коэффициент обозначен как т12-
На этом приведение системы к изученному виду заканчивается. Ее новые
правые части будут
• ^12 I ^21
Ф1 = ф1--ф2> Ф2=ф2----£-ф.Ъ
Применяя последнюю из наших лемм, мы убеждаемся, что основная теорема этого
параграфа доказана.
§ 30. Собственные функции краевой задачи
Изучение в полосе |ReX|< const аналитических функций от X, зависящих
от параметра х. Эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным
х уравнениям и граничным условиям. Вывод асимптотических формул решения
краевой задачи из формул для решения задачи Коши, полученных в предыдущем
- 320 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
* параграфе. Функция D (X). Ее нули — собственные значения системы. Нулей D (X)
вне полосы | ReXJ^K нет. Асимптотика нулей D (X). Аналитическое продолже-
ние преобразования Лапласа решения гиперболической системы на всю комп-
лексную плоскость с выколотыми полюсами в нулях D (X).
В предыдущем параграфе было доказано, что любое решение си-
стемы уравнений
+ АХ + «ХХ^Х + т12°2 = ФХ .
Н — §- + Wl + = Ф2
(0^x<Z, ki>0, kif tnik ограничены вместе co своими непрерывными
первыми производными, ф;, ф/ непрерывны) удовлетворяет неравенствам
| (х)—1?! (0) И—
pq [max I ф/ (х) I + max | ф/ (х) | + max | (0) |],
I (х)—v2 (9) еХу* (л°+(д?) I
М
< pq [max | ф/ (х) | + max | ф/ (х) | + max | (0) |].
Постоянная 714 оценивается через коэффициенты системы и их произ-
водные, a yi (х), (х) определены равенствами
Д)’
о о
Параметр Л предполагается изменяющимся в некоторой произвольной,
но фиксированной полосе | Re % | < К*.
Изучим с помощью доказанных неравенств некоторые специальные
решения систем изучаемого типа <и*=(,и*, и*), т/1) = (i/11), =
= (х42>, Решения и*, определяются своими начальными
данными и правыми частями системы так:
1) tj*(x, Л), v*(x, X) удовлетворяют начальным данным (0, Х)=0,
(0, Х)==0 и неоднородной системе
ь, + + т12г>2 = Ф1,
^2 — А2 + ОТ21^1 + ^22^2 = Ф2 •
При достаточно больших по модулю % в нашей полосе справедлива
оценка"
W(*.
ОЛ1 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 321
§ 30]
2) М удовлетворяют однородной системе (qjiSszxO,
гп _0) и начальным данным
<р2 7
T//’(0, Х)=1, ^’(0, Х) = 0.
Это решение оценивается так:
| V'/ ’ (х, X)—е~^ W - И. ад | < -%-,
I I
К’МКщ.
3) v'^fx, X), Vt}(x, X) тоже удовлетворяют однородной системе
(ф1 = 0, Начальные данные этого решения
^’(0, Х) = 0, ^22,(0, Х)=1.‘
Для него справедлива оценка
k)l<pq,
| v^' (x, X) — u) +14 (*' | < ГТ,.
I л I
Отметим еще следующее важное свойство функций v* (х, X), (х, X)—
они являются целыми аналитическими функциями параметра X. Эта ана-
литичность является следствием следующей теоремы, которая имеется,
например, в учебнике И. Г. Петровского «Лекции по теории обыкно-
венных дифференциальных уравнений».
Пусть при хь^х^х± коэффициенты aik(x, X) и правые части
fi(x, X) являются достаточно гладкими функциями х и аналитиче-
скими при | X — Хо | < b функциями X. Пусть yiQ (X) тоже аналитичны
при |Х — Хо|<&. Тогда решение системы
тх=^а*Ук+11’
k
У1 (*^0> М = У io (М
при каждом х(х0^х^х1) является аналитической функцией X при
|Х — Хо|<;&. Если aik(x, X), (0, X)—целые функции К то yi(x, X) —
также целая.
Очевидно, что наша система и начальные данные для и*,
удовлетворяют условиям этой теоремы, и поэтому аналитичность и* (х, X),
^2 (х, X), т// (х, X), v2'(x, X), (х, X), v2} (х, X) из нее следует. Пара-
метр X имеет право при этом пробегать всю комплексную плоскость.
Это означает, что все перечисленные сейчас функции — целые.
Решение v2 системы
bj + + "hiVi + ^12^2 = Ф1 ,
Kv — k2 + m21vr + m22v2 = cp2,
11 С. к. Годунов
1
322 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
принимающее при х — 0 начальные значения (Лх, Д2), записывается в
виде |
v^vf + Arf'+A^2', '
^2 = *’* + ' + ^2^ ’• [
Посмотрим, какие должны быть Alt А2, чтобы v2 удовлетворяли *
граничным условиям
(0, Х) + а2т>., (О, Х) = 0, < '
PiM4 4) + ^2(4 Х)=о.
Для этого А2 должны удовлетворять системе
+ а2^2 =
[Р1*Г(4 ЖО ЭДА1 + 1М2’(4 ^) + ₽2*22 (4 ЭД4 =
=-M(4^)-IW>4
Обозначив через D(k) определитель этой системы:
Я1 а2
М1 ’ (4 X) + № ‘ (Z, X) р^2’ (4 X) + р2С (Z, X)
мы приходим к формулам для А2:
л _а2[Р1УТ(/,Л) + р2^(4 X)]_<z2«(X) J
Dpi) D(X) ’ '
2~^ D(X) “ D(X), ‘
Очевидно, что а(Х), D(k)— аналитические, целые функции X. Внутри /
полосы |Rek|<; const выполнена оценка <
•#
Д7 f
|«а)|<^(|₽11+1М- «
Очевидно также, что | D (Л) | < const в нашей полосе. Это позволяет 4
написать, что решение краевой задачи представимо в виде
= V» + А М11 + A 2v'ts ’=—(х, %),
v2 = Vt + ’ 4- A2d‘22’ = v2 (х, X)
аналитическими (по X) (х, X), v2 (х, %), удовлетворяющими
с целыми
при достаточно больших | X | (| Re X | < const) неравенствам | ^ | < .
§ 30] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 323
Для D(h) имеем в той же полосе формулы
п (X)_ 1 2
М1’ (4 X)+IW (4 1) М2’ (4 X) + М” (4 4)
ах а2
Р^6 КУ1 Ш W
= CCjр2^Х^2 Р'2 — а2?1^— А^1 ~14 W
+°Ш-
Напомним, что ах 0, а2 0, рх 0, р2 0.
Будем говорить, что вектор-функция (^Х(х), v2(x)) является соб-
ственной век mop-фу нкцией с собственным значением Хо, если х>х, v2
не равны тождественно нулю, удовлетворяют однородной системе
V1 + kl^ + тН°1 + «12^2 = 0,
V»2 — А2 + т21°1 + т22°2 = 0
и граничным условиям
«1^1 (0) 4-0^2 (0) = 0,
Pi^i (0 ~F“ Р 2*^2 (0—о.
Вектор-функции, тождественно равные нулю, к числу собственных функ-
ций не причисляются. Покажем, что всегда, если £)(Х0) —0, то суще-
ствует собственная вектор-функция с собственным значением KQ.
В самом деле, равенство нулю определителя системы
аха£ + а2й2 —
[Mn(4 М4-Мп(4 ^о)]Я14ЧМ2'(А М + М3’(А
показывает, что у этой системы есть ненулевое решение ах, а2, т. е.
существует вектор-функция
z>i(x) = a1'u'11’(x, Хо) + а2т>;21 (х, %0),
v2(x)=a2v'^(x, X0) + a2^s,(x, Хо),
удовлетворяющая однородной системе, граничным условиям и принимаю-
щая в точке х~0 начальные значения (ах, а2), образующие ненулевой
вектор.
Пусть теперь, наоборот, D (Хо) 0. Любое решение однородной
системы записывается в -виде
т/1 = Л1Т1/’ 4-л2^2;
^2=дх^’4-Л^2>.
11*
324 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Если известно, что это решение удовлетворяет однородным граничным
условиям, то, следовательно, для и А2 выполнены равенства
а1Л1 + а2Л2 = 0,
[Мп(4 и+МЧА *о)М1+[М”(4 М+М2'(4 МА=о.
Так как определитель этой системы £)(Хо)#О, то отсюда вытекает,
что Лх = Л2 = 0. Значит, ^ = ^2 = 0 и Хо не является собственным
значением.
Итак, мы показали, что собственные значения (и только они)
являются нулямц некоторой целой аналитической функции Р(к).
Покажем еще, что при | Re X | > К, а следовательно, и подавно при
| Re % | К* К не может быть нулей D (%), т. е. собственных значе-
ний. Этот вывод будет сделан при помощи следующего рассуждения,
которое можно сделать совсем строгим. У нас . оно будет строгим не до
конца. В чем его нестрогость, мы отметим позднее.
Пусть Х = является нулем D(K). Как было показано, отсюда сле-
дует существование вектор-функции (^(х), хг2(х))> удовлетворяющей
уравнениям
'Vi+ Ai ^7 + ^11^!+ ^12^2 = °>
V2 — k2~ + m^i + = 0
и граничным условиям
«Л (0) + ад2 (0) = 0,
₽i^(O+fl2MO=o.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что функции
щ(х, t) = e^tvi(x') _
удовлетворяют исходной системе уравнений ‘ и его граничным условиям.
Это решение растет при t—^00 как eZRe4 что невозможно при Re%0>K.
Отсюда и выводится, что ReX0^K. Нестрогость этого вывода, впрочем,
устранимая, состоит в том, что оценка роста решений как eKi была
выведена только для достаточно гладких начальных данных, гладко
согласованных с граничными условиями. Для решения, участвующего
в нашем рассуждении, в качестве начальных данных надо выбрать
.q>;(x) = T>i(x, Хо).
Исследование гладкости собственны^ функций и согласования этой глад-
кости с граничными условиями мы не проводили.
Тр, что ReX0> — К, показывается точно так же, если заметить,
что решение
' ехо/(и/(х, Хо)
при — 00 растет не быстрее ек№ — е~к*.
§ 30J СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 325
Таким образом, мы доказали, что все нули D(K) расположены
в полосе | Re X | < К*.
Мы в дальнейшем убедимся, что D(K) не является тождественным
нулем. Отсюда уже можно будет сделать важный вывод, что нули D(l)
лежат на плоскости X дискретно, не имея конечных предельных точек,
и каждый из этих нудей имеет конечную кратность. Если бы это было
не так, то по теореме единственности для аналитических функций О(Х)
было бы тождественным нулем. Итак, в каждой конечной области
полосы % существует конечное число нулей D(k). (Каждый нуль счи-
тается вместе с его кратностью.) То, что £)(Х)^0, вытекает из асимп-
тотической формулы, которую мы получили для больших по модулю X,
лежащих в полосе | Re X | < const. Из нее же будет вытекать асимпто-
тический закон распределения собственных значений, попавших в эту
полосу.
Асимптотическую формулу для Ь(%) мы получили в виде:
D (Л) = ах02еА>> V+н. W — а^е- Ю—ъ Ю + О
(«1 # О, ₽2 # 0, «2 0, р! 0).
Обозначив —
azPi
е" (v вещественно иди комплексна, в зависимости от
знака дроби), можем написать
r>(A,) = a2p1e-A>‘W-‘1>№ {еЛ I-ЫО+л (01+K Ю+М0)+’ — 1} 4-
+ 0(w) = A<%№‘‘+'+’-,, + °(rU
где обозначено -
А(%) = а2р{е-Л>><0-н«>,
0 и
Р - И. W + И, И= j + j
v = Ln2i&.
a2pi
Внутри полосы | Re % | < const множитель A (%) ограничен по модулю
как сверху, так и снизу;
0< До< | А(Х)|< Дх,
Рассмотрим теперь (внутри нащей полосы) уравнение
О(Л) = 0,
D (X) = A (X) (<зА »+!«•+ ’ — 1) + О IгЦ = 0.
\1ЛI/.
326 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
В его корнях, очевидно,
или, что то же самое, |
%х4-р, + у = г2лр + о(-щ-^ = /2лр4-О ), р = 0, ±1.......... |
Иными словами,
1 _21рл-ц-у . п/ 1
---------„+0Шй)- -
Мы показали, что при достаточно больших 111 в нашей полосе нули -
D(X) могут быть лишь вблизи точек 2P?Ti~tt~v
Покажем, что при достаточно большом р действительно существует,
и притом только один, нуль D(h) вблизи такой точки. Выберем неко- ;
торый достаточно маленький радиус р такой, чтобы внутри окружности
-------- - j = p + лежал только один нуль функ-
ции еАх+^+‘^—1. Этот нуль, очевидно, отвечает значению Х=—-—
Очевидно, что внутри каждой из окружностей
4-ре<8
при любом целом р будет тогда содержаться только один нуль 1 f
= —L функции —1}. На этих окружностях выра-
жение в фигурных скобках
eAx+p-+v_1=е*р«/е___1
снизу по модулю поло-
не зависит от р и, следовательно, ограничено
жительной постоянной. Функция Д(1) тоже ограничена снизу по модулю
(| Д (%) | > До)’. Поэтому (на окружностях) все произведение
| Д (X) {eAx+P-+v—
Следовательно, по теореме Руше это произведение, отличающееся от
D (X) на О , будет при достаточно больших р иметь внутри такой
окружности столько же нулей, сколько и Z)(X). Отсюда вытекает суще-
ствование и простота корней Z)(X) внутри этих окружностей при доста-
точно больших по модулю р.
Пусть при | % | = | о + 1% | = )/ о2 + т2 >> R все нули в полосе | Re =
— । о | <С const — простые и лежат по одному внутри окружностей
Х==2рш-Ё-Г+ л
т-
§ 30] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 327
В конечной части полосы, высекаемой неравенством
| %|</?>
имеется конечное число нулей, считаемых столько раз, какова их крат-
ность. Таким образом, число нулей в прямоугольнике
—
—(2р+ 1) л — Im v _ (2p-f-l) л — Im v
X т X
равно (при достаточно больших р) Ър+ръ (Ро— некоторое фиксиро-
ванное целое число).
Пусть теперь % = а -|- Z (— К* о К*), т. е. пусть X
пробегает горизонтальный отрезок, лежащий (при больших р) почти
«по середине» между двумя нулями
2fpn-H-v +0Ш и X 2i(P + l)n-H-v / 1 \
р к \|р|/ р 1 X \|р|/
На этом горизонтальном отрезке
^Хх 4- р. + V | _ ^ах4-p.^Re (2р4-1) те j х + Re v4- р. j
|^Xx4-p.4-v—
|Р(Х)| = |Д(Л)||^+н+’-.1| + о(-±-)>Д0 + о(-]1г)>^
(при достаточно больших |/>|.) Теперь вспомним про представление
’•’=Т71Г'’1^ »1<ТХГ.
u VV IЛI
полученное в начале этого параграфа.
Из этого представления и неравенства для D(k) следует, что на
изучаемых горизонтальных отрезках
(lm% = ^2p + 1)xn~Imv; |ReX|=cK*)
X)|<w. -
На этом мы заканчиваем изучение функций ^(х, %), определенных
в полосе | Re X | К* с помощью системы дифференциальных уравне-
ний, зависящих от параметра X
4- mVlv^ = Ф1,
§ + т^1 + = Фг>
0 sC х I,
а^иДО, Х) + а2и2(0, Х) = 0,
₽^1(Л Х) + рЛ(А Х)=0. '
328
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
ГГЛ. IV
Вспомним теперь, что в § 28, рассматривая решение обратимой гипер-
болической системы
+ kl (*) + тп “1 + ^12 (*) »2 = 0>
(X) + ОТ21 (X) Иг + /И22 (X) U2 = О,
tti(x, 0) = <р, (х),
«!«!((), t) + a2u2(0, t) = 0,
₽i«i(4 0 + ₽2«2(4 0=0,
растущее вместе с производными не быстрее, чем eKt, и его преобразо-
вания Лапласа
Vi(xf X) = jj щ(х, t) e~Kt dt (ReX>K),
0
^•(x, X) — П/(х, t)e~^dt (ReX<— K),
о
мы установили, что эти преобразования (х, X) являются аналитиче-
скими функциями X в указанных полуплоскостях и удовлетворяют там
как раз тем уравнениям, что изучались нами при | Re X [ <; К*. Напом-
ним, что К* выбиралось большим, чем К. Отсюда следует/ что полоса
| Re X | < К* пересекается с каждой из полуплоскостей (Re X > К),
(Re X < — /<). В этих пересечениях решение краевой задачи для обыкно-
венных дифференциальных уравнений единственно и, следовательно,
совпадает с соответствующим преобразованием Лапласа. Так как пре-
образования Лапласа и решение обыкновенных дифференциальных урав-
нений — аналитические функций X, а аналитическая функция однозначно
определяется своими значениями на любом множестве, имеющем хотя
бы одну конечную предельную точку, то и решение обыкновенных диф-
ференциальных уравнений и преобразование Лапласа при ReX< — К
могут рассматриваться как аналитическое продолжение преобразования
Лапласа при ReX>K.
Свойства этого аналитического продолжения нами теперь тщательно
изучены. Мы установили, что при Re X <; — К* это продолжение vi (х, X)
удовлетворяет оценке | vt (x, X) | , а в полосе | Re X [ К* для
I I
Vi (х, X) выведены достаточно точные асимптотические формулы. Из
этих формул, в частности, было показано, что при
]ReX|<K* Im
X
функции Vi(x, Х)==О^щУ Как было ранее доказано, из этих фактов
следует справедливость следующей формулы обращения преобразования
§ 31] ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ функций 329
Лапласа, записанной в виде контурного интеграла
И,- (х, f) = ~ (j e^Vi (х, tydl+O (Д.
"р
Контур Пр здесь является границей прямоугольника
|ReX|^K*,
— (2р+1) л —Im у (2р+1) л— Im у
и и ’
внутри которого, как мы знаем, содержится 2р-|-р0 полюсов ^(х, X).
Оценка остаточного члена О здесь равномерна для всех' Q^x^l
и для любого фиксированного конечного отрезка изменения времени
Оограниченного снизу положительным моментом tQ.
§ 31. Полноту системы собственных функций
Напоминание 'доказанных в предыдущих параграфах фактов о свойствах
Vi (х, ^ — аналитических функций от X и о приближенном представлении решения
смешанной задачи контурным интегралом. Вычисление отдельных вычетов.
Решение приближается суммой конечного числа «стоячих волн». Видоизменения
в случае кратных полюсов. Замечания о возможности распространения теории
на системы, не приведенные к каноническому виду.
Теорема о полноте собственных функций. Примеры, показывающие существен-
ность обратимости задачи для применимости метода Фурье.
Изучив в прошлых параграфах аналитические свойства преобразова-
ния Лапласа решений гиперболических систем, мы получили в свое рас-
поряжение мощный аппарат йля качественного исследования этих реше-
ний. Здесь будет показано, как этот аппарат применяется.
Мы рассматриваем обратимую задачу для системы (с гладкими коэф-
фициентами)
+ К (х) + ти (х) 4- от12 (х) и2 = О,
— А2 (х) + /я21 (х) + /и2? (х) иг = 0.
ki (х) > 0, 0 х А
Эта задача определяется граничными условиями
«1^1(0, ^)4-a2w2(0, ai¥=0,
(/, t) -|- Р2 W2 (А 0 — Р1 #= р2 0
и начальными данными
щ (х, 0) = (р£ (х),
которые предполагаются достаточно гладкими и гладко согласованными
с граничными условиями.
330 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Было показано, что существует некоторое К такое, что при Re X > К
определено преобразование Лапласа ^(х, %) решения щ(х, t):
Vi (х, X) = щ (х, f) е~^ dt.
о
Функции Vi (х, X) допускают, как аналитические функции X, продолже-
ние на всю плоскость комплексного переменного с выколотыми ди-
скретно расположенными полюсами. Все эти полюса расположены в по-
лосе | ReX| ^К; все они, за исключением конечного числа, — простые,
не имеют конечных предельных точек. Они описываются следующей
асимптотической формулой:
-Лр = —------------/7->±оо — целые.
Параметры р, у, х вычисляются через коэффициенты уравнений и
граничных условий. Была доказана следующая «формула обращения»:
Щ (х, 0= JL vi (х> X) d X + V
2лг ' Р'
, Р
в которой через Пр обозначена граница>прямоугольника
—(2р + 1) л — Im у j < (2р-Ц) л —Imy
X X ’
IReXI^ К*,
Внутри каждого такого прямоугольника содержится конечное число
(2р+р0) полюсов функций Vi (х, X). Поэтому интеграл по Пр может
быть заменен на конечную сумму не более чем 2р-Р/7о слагаемых по
контурам 1\, каждый из которых содержит только по одному полюсу
^(х, X):
Щ ^Х> 2S 2 § eKtv‘ +
k rk
Оценка остаточного члена О • равномерна для любого отрезка [70, 7"]
времени такого, что 0 < tQ Г, и при 0 х I.
Для вычисления интегралов по легко применить теорию выче-
тов. Пусть Х = ХА —простой полюс ^(х, X), т. е. D (X^) = 0, D' (Х^)=И= 0.
Как было показано в предыдущем параграфе, решение краевой задачи
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений представимо
в виде
с целыми, аналитическими по X функциями ^(х, X). Так как ty(x, X) 5
удовлетворяют системе уравнений с правыми частями ср, (х), то, €
§ 31]
ПОЛНОТА'СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ
331
следовательно, функции vt (х, X) удовлетворяют системе
+ ki + mi^ = D <Pi>
lua — k2 4- m22v2 = D (%) <p2.
Отсюда видно, что если D(kk) — 0, то пара ^(х, X), v2(x, X) удовле-
творяет однородной системе уравнений и краевым условиям.
В предыдущем параграфе было показано также, что при условии
£)(Х/г)==О существует собственная вектор-функция — ненулевое решение
однородной системы, удовлетворяющее однородным краевым условиям.
Так как по предположению \k — простой корень, то (как нетрудно за-
метить из рассмотрений предыдущего параграфа) существует лишь един-
ственная с точностью до множителя собственная вектор-функция. Мы
будем обозначать ее, нормировав каким-либо образом, через (х),
•и^)(х)). Итак,
kk) = ckv[k)(x).
Теперь нетрудно уже и подсчитать интеграл по 1\:
Обозначим
нулей, то
в виде:
с оценкой
s-(x,
Zrjll J Lr
r*
_ (x, _ ck .
D'M -D'MekVl W
_Таким образом, если D(X) не имеет кратных
решение щ(х, t) нашей задачи может быть представлено
щ(х, У dkvlk} (х)е^
(fy+pQ
слагаемых)
остаточного члена, равномерной по х и t
О х < Z,
О < t0 Т.
Непосредственной подстановкой в систему
ди* , , дил . . л
аГ + *1 -дХ +т11Ц1 + ОТ12Н2 = °’
г ди.2 . I л
~di ~ ^2 а? + + ОТ22«2 = 0
и граничные условия
а1и1 + а2а2|ж_о = О, Pi«i + ₽2«2Uu = 0
легко убедиться, что функции
u\k} = v\k} (х) eKkt
332
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
(ГЛ. IV
являются частными решениями этой системы и удовлетворяют гранич-
ным условиям. Такие частные решения носят название «стоячих волн».
Это название связано с тем, что «форма волны» не зависит
от времени, тогда как ее «амплитуда» определяется зависящим только
от t множителем
Кратко говорят, что решение может быть аппроксимировано конеч-
ной суммой стоячих волн. На простом примере уравнений акустики
представление решения в виде ряда по собственным функциям было
доказано в вводной части (гл. I, § 7).
Мы не будем до конца уточнять формулировки в случае кратных
нулей Z)(X). Ограничимся рассмотрением примера двукратного корня
£)(%л) = 0, Z)'(A,fe) = O, D" (%Л)=0=О. При этом
1 2 1 2D'" (X*) 1 ,
г W7) (H^-3[D"(Xft)]U-Xft + аналитическая функция;
е“ = ек*‘ + (А,—А* ) teKk‘ + Д'
e'ft 2 Д' .Г 2t 2D'" (А*) I Д' .
W)~D" (А*) ’ (А*) 3 [D" (А*)!8 I +
+ аналитическая функция; ?.
Ч(х, K) = ii(x, + +
Перемножим два последних ряда:
g щ (х, Л) 2 Vj (х, kk) е * _l JГ %_____2Dr,r (kk) , i ч -ф ;;
D(X) “ D''(Kk) (X-^)2^l|D'W 3[D'WJWM e
+ — -е^\ —L-------pаналитическая функция от X = .{
- ФУ8+1 fe‘ *'6i>> w + У wl Д7 + j
4- аналитическая функция., 1
Отсюда
1 Z3lt J U yh)
r*
Мы ввели здесь обозначения
2^- (х, М _
Vi W’ 7
___.. . (х %.) _i-------? dv‘ = (х) 5
3[D"(M12 Д J + D"(M dkk Vi ’ э
$ 51]
ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
333
Задача 1. Докажите, что v^ удовлетворяют следующей системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
М»*’ +
2 dx
и граничным условиям:
. ₽ДА)+М14)=0 J. p
Функции опять являются собственными, a
ных собственных функций.
Задача 2. Если Хо —двукратный корень характеристического уравнения
Пц — #12
#21 ^22 —
при
х=0,
х = 1.
носят название присоединен-
D(X)=-
циальных уравнений
= 0,
то любое решение системы обыкновенных дифферен-
•^- = ац«1 + «12«2.
& —^21W1 l #22# 2
представляется в виде
где Vjt щ являются решением линейной системы
— #11^1 + #12У2, ♦
Хо^2 = #21^1 4“^22^2>
У1 + 10#1 — #11^1 + #12^2,
#2 + ^0^2 ~ #21^1 4“ #22^2*
Покажите, что оъ v2 отличны от нуля, лишь если матрица || aik [| не приводится
подобным преобразованием к диагональному виду.
Задачи 1 и 2 позволяют проследить и в случаях кратных „ корней
О(Х) аналогию между нашими гиперболическими системами и системами
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными"
коэффициентами.
Доказанное нами утверждение о возможности как угодно точног.о
приближения решения конечными суммами «стоячих волн», т. е. суммами
334 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА-И МЕТОД ФУРЬЕ (ГЛ. IV
специальных решений, которые в > случае простых корней D (%) имеют
вид Ut = v\k} (x)exk{f представляет собой основной результат этой главы.
Способ отыскания решения краевой задачи в виде суперпозиции
таких специальных решений носит название метода Фурье. Таким обра-
зом, нами обоснован метод Фурье для обратимой гиперболической
системы в случае двух независимых переменных при определенных
ограничениях на коэффициенты и краевые условия. Ради этого мы раз-
вили теорию преобразования Лапласа, которой были посвящены пара-
графы этой главы.
Подробно метод Фурье для системы акустики был разобран
в вводной части. Для этой системы .мы не только доказали, что произ-
вольное колебание можно представить в виде суперпозиции стоячих
волн, но и показали, как, исходя из начальных данных, вычислить
коэффициенты разложения. ,
В следующем параграфе мы сделаем то же самое для специальных
систем более общего вида. А сейчас сделаем ряд замечаний по поводу
доказанной теоремы о разложении.
Напомним, что разбираемая задача предполагается обратимой,
а начальные данные щ (х, 0) = ф, (х) должны быть достаточно глад-
кими и согласованными с граничными условиями.
Система, для которой проводилось доказательство, была записана
в каноническом виде. На самом деле, такое же . утверждение об аппрок-
симации решений стоячими волнами имеет место и для системы, не
приведенной к каноническому виду, лишь бы ее коэффициенты зави-
сели только от х и лишь бы для нее приведение к каноническому виду
(со всеми ограничениями на kr(x\ k2(x) и граничные условия) было
выполнимо. Заметим еще, что если коэффициенты системы зависят тодько
от х, то элементы матрицы преобразования искомых функций, приво-
дящей такую систему к каноническому виду, тоже могут быть выбрдны
зависящими только от х. В этом можно убедиться, если вспомнить про-
цесс приведения, который мы разбирали еще во второй главе. Сейчас мы
подробнее останавливаться на этом не будем.
Теперь мы выведем из теоремы об аппроксимации решений одно
очень важное следствие, которое обычно носит название теоремы, о пол-
ноте множества собственных (и присоединенных) функций. '
Пусть система
(*) + тп (х) Ui + от12 (х) и2 = 0,
—Л2 (х) + от21 (х) и1 4- /я22 (х) и2=0
с граничными условиями
а1М1 (0, 0 + а2п2 (0, 0 = 0, р1М1 (/, t) + p2w2 (Z, t) = 0
удовлетворяет всем условиям применимости предыдущей теоремы.
§ 311 ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ , 335
Во всяком, случае, это значит, что для достаточно гладких <рг (х),
<р2 (х), согласованных с граничными условиями, существует решение
системы (х, t), и2 (х, t)) такое, что
И1 (х, 0) = ф! (х), м2 (х, 0) = ф2 (х).
Такое решение существует как для t > 0, так и для t < 0. При
f = — т (т—некоторое положительное число) это решение принимает
определенные значения
Wi(x, — т)=фх(х),
w2(x,—т)=ф2(х).
Заметим теперь, что если (и1(х) /), «2(х, t)) является решением, то
решением является также
й1 = й1(х, 0 = w1(x, t—т),
й2 —й2(х, Z) = w2(x, t—т).
Это решение удовлетворяет при £ —0 начальным условиям
йх(х, О^ф^х), й2(х, 0) = 'ф2(х)
и при f = x принимает значение
й i (х, т) = (Pi (х), Й 2 (х, т) = ф2 (х).
- Очевидно, что к решению (йр й2), отличающемуся от (wv zz2) только
сдвигом по времени, применима вся разобранная нами теория преобра-
зования Лапласа, со всеми вытекающими из этой теории выводами.
В частности, мы воспользуемся тем, что на любом отрезке времени
решение йр й2 может быть как угодно точно аппрокси-
мировано (равномерно по х и I) линейной комбинацией собственных
(и присоединенных) функций (с коэффициентами, зависящими от вре-
мени). Мы положим /0 = т/2, Т = Зт/2. Тогда из этого утверждения
вытекает, что (йх(х, т), й2(х, т)) может быть как угодно точно аппрок-
симировано линейной комбинацией собственных (и присоединенных)
функций. Теперь вспомним, что йх(х, т) = ф1(х), й2(х, т)==ф2(х).
Итак, какова бы ни была достаточно гладкая вектор-функция
(Ф1(х), ф2(х)), согласованная с граничными условиями, она может
быть как угодно точно (равномерно по х) приближена линейной
комбинацией собственных, вектор-функций (в случае обратимой
задачи). При наличии кратных собственных значений к собственным
Функциям иногда надо добавлять еще и так называемые присоеди-
ненные.
С кратными собственными значениями приходится иметь дело сравни-
тельно редко. Так, например, нами было уже показано, что все доста-
точно большие по модулю собственные значения — простые.
Теперь мы покажем на примере, что в случае, если для гиперболи-
ской системы изучаемая задача — необратимая, то аппроксимации
Р шения «стоячими волнами» нет. (Ее нет не только в этом примере —
336 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. (V
это общий факт.) В качестве примера возьмем простейшую систему,
состоящую всего из одного уравнения
du . du__п
dt ‘ dx “U>
рассматриваемого при £>»0 с граничным условием zz(O, 0 = 0.
Начальные данные зададим при t — О формулой и(х, 0) = х3. Рассмотрев
характеристики х — t — const этой системы, легко заметить, что если
бы мы захотели решать задачу с теми же начальными данными для
£<0, то нам пришлось бы задавать граничные условия уже не при
х=0, а при х=1. Кроме того, ясно, что так как решение имеет вид
u~f(x—0, то при t > х искомая функция будет равна нулю (w (x, 0 = 0
при t>x).
Собственные функции такой задачи должны удовлетворять уравнению
Ъя> + ^ = 0
' dx
и граничному условию т>(0, Х) = 0.
Общее решение уравнения имеет вид
v(x, Х) = се~Ах.
Из граничного условия находим г = 0. Итак, мы показали, что нетри-
виальных собственных функций у нашего уравнения нет.
Представим на некоторое время, что такая, собственная функция
нашлась и что она отвечает собственному значению Хо. Тогда У урав-
нения в частных производных существовало бы решение вида
и (х, 0 = е^ъ (х, Хо),
отвечающее при Z = 0 начальному условию и(х, 0)=<и(х, Хо)^ЁО. Из
поведения характеристик мы видим, что при t>x и(х, 0 = 0 (во вся-
ком случае/ и(х, 0 = 0 при £>1). Но это противоречит представ-
лению w(x, t) = e*otv(x, Хо).
В случае более общих необратимых задач для гиперболических урав-.
нений собственные значения у системы могут быть, но приблизить любое
решение линейной комбинацией «стоячих волн», связанных с этими соб-
ственными значениями, и тогда не удается. t
Этому, в частности, мешает отсутствие оценки
I Ч (*> М | < тут Для Re X < — К.
1л I
Все на том же примере мы покажем, что этой оценки действительно
нет. Функция v(x, X), отвечающая начальным данным и(х, 0) = х3,
является решением уравнения
«(0,.Х) = 0'
§ 32] РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 337
и имеет вид
( п — ~ 3V*2 + 6Хх - 6
Т? (X, А) —
Из этой формулы видно, что при ReX-> — оо функция v(x, X) экспонен-
циально возрастает (у нас х>0), что и доказывает отсутствие оценки
j v (х, %) | < const/1 % |.
§ 32. Ряд Фурье для консервативной системы
Консервативная гиперболическая задача для системы из двух уравнений.
Интеграл энергии для вещественных и комплексных решений. Комплексные
евклидовы пространства, натянутые на собственные вектор-функции. Унитарность
преобразования, связанного со сдвигом времени. Свойства унитарных преобразо-
ваний. Вывод из этих свойств ортогональности собственных функций и доказа-
тельство того, что Хд чисто мнимы. Использование ортогональности при прибли-
жении начальных данных стоячими волнами. Формула для коэффициентов в
разложении решения в ряд Фурье. Пример.
В этом параграфе будут разобраны некоторые замечательные свой-
ства собственных значений и собственных функций в задачах с законом
сохранения энергии. Мы назовем такие задачи консервативными. Крае-
вая задача для системы уравнений акустики, которая рассматривалась
в вводной части (гл. I, § 7) является примером консервативной задачи.
Рассмотрим систему
<*ц (X) + 012 (*) -df + ^11 + ^12 4- 0 • «1 + с (X) и2 = о,
«21 (Х) + Д22 (*) + &21 + b2i д-^ — С (х) + 0 • И2 — О
с симметричными матрицами || aik (х) ||, || bik || (|| aik (х) || — положительно
определенная, ||&^|] не зависит от х, постоянная). Матрицу |k/^(x)ll =
/О с (х)\
= мы предполагаем кососимметрической.
\— с (х) 0 /'
Умножая первое уравнение на второе — на и2 и складывая, мы
приходим к следующей дифференциальной форме закона сохранения
энергии
4“ 2Я12м1^2 4“ #22^2 \ Д { ^11^1 4- 2612^1^2 4“ ^22^2
< 2 / _ц \ : 2 .
д
= 0.
Интегрируя это равенство по прямоугольнику
О х Z, 0 t т,
338 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
мы получаем следующее соотношение
i i
Y § [йц«1 + 2ai2UiH2 + a22us2]t_tdx=^- + +
о о -
т т
— у J (&11М1 + 2^12Н1И2 + М1)х-й^ + у (^11Н1 + 2^12«1И2 + ^2«1)^-0Л-
о о.
Предположим еще дополнительно, что граничные условия +
+ a2w2 — при * = 0 и P1W1 +Р2м2 = 0 при х=Л таковы, что из них
следует обращение в нуль при х = 0, х = 1 квадратичной формы
&цИ1 + 2&i2WiW2 + й22м2- Иными словами, пусть граничные условия обес-
печивают отсутствие потока энергии через границу. Это возможно, если
форма briu\ + + ^22мз может быть разложена на два линейных
множителя и если граничные условия состоят в равенстве нулю того
или иного из этих множителей. Для таких граничных условий
i i
$ [«и«1 + 2«12mih2 + a22i41t-t dx = $ [anw? + 2а12гг1и2 + а22и|]<_0 dx,
о о
т. е. энергия рассматриваемой системы сохраняется. Описанный класс
задач естественно назвать консервативным.
Пусть вектор-функция п2} является комплексным решением на-
шей системы, удовлетворяющим граничным условиям
а1м1 + а2и2 = 0 при х = 0,
PiMi + Ргм2 0 при х = /.
Пусть vk и wk — вещественная и мнимая части функции
uk = vk + iwk.
Мы предполагаем коэффициенты уравнения и коэффициенты граничных
условий вещественными. Следовательно, вместе с решением {мг, и2}
решениями нашей системы будут вектор-функции {т^, 172} и {wlf w2}.
Они также будут удовлетворять рассматриваемым граничным условиям.
Тогда, как мы установили, интегралы
i
$ (an^i + + а22к0 dx
О
и ~
I
(auw’ + 2aX2a>1w2 + a22wl) dx
О
не меняются при изменении времени t
§ 32] РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ: КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 339
Так как сумма этих интегралов равна
i
J (ailMl + Я12 («1Я2 + Ml) + «22«2йг) (1)
/О
то тем самым нами доказано, что на комплексных решениях консерва-
тивных задач с течением времени не меняется эрмитова форма (1), яв-
ляющаяся аналогом интеграла энергии вещественных решений.
Покажем, что из равенства этой формы нулю для непрерывной
вектор-функции {^(х), w2(x)} вытекают равенства Мх) = 0, и2(х) = 0.
Действительно,
^11^1^1 + #12 (К1^2 + М2^1) 4“ ^22к2^2 “ 4" ^^12^1^2 4” fl22^2 4“
+ Mi + 2а1гю1м2 4- a22w|,
где «i=Vi 4- i'Wi- Так как по предположению матрица akt является по-
ложительно определенной, то из равенства нулю формы (1) вытекает
обращение в нуль интегралов энергии для вектор-функций i?2} и
{wp w2}. Следовательно, vk = 0, <wk = 0 и
И* (х)=vk (х) 4- iwk (х) = 0.
Мы показали, что эрмитову форму интеграла энергии для комплексных
решений можно считать положительно определенной, если она положи-
тельно определена на решениях вещественных.
Матрицу bki мы предполагали такой, что из выполнения одного из
граничных условий вытекает обращение в нуль квадратичной -формы
^iiMi + ЪЬ12щи2 + b22u^. Мы отмечали уже, что для этого необходимо,
чтобы указанная форма разлагалась на два сомножителя. Предположим
дополнительно, что эти множители различны и, следовательно, сигнатура
dx dx
квадратичной .формы равна (1, —1). Характеристики —==Л1(х), =
= k2 (х) консервативной системы определяются с помощью уравнения
det||B-M|| = 0 (В=||М> 4=||^||).
Как известно из алгебры, существует такая невырожденная матрица S,
что
(А — положительно определенная),
S*BS=(kl
\°
0\
^2/
Так как сигнатура квадратичных форм при изменении базиса сохраня-
ется, то корни k1 = k1(x), k2 = k2(x) имеют разные знаки. Следовательно,
если коэффициенты достаточно гладкие, консервативная система может
быть приведена к каноническому виду, который использовался при
обосновании метода Фурье. Можно также показать, что граничные ус-
ловия у консервативной задачи удовлетворяют тем требованиям, которые
340 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ ' [ГЛ. IV
нужны для применимости развитой на предыдущих лекциях теории. Мы
не будем на этом останавливаться.
Рассмотрим конечномерное линейное векторное пространство, натя-
нутое на N собственных вектор-функций нашей консервативной системы.
Каждый элемент {фр ф2} этого пространства представим в виде
у
Ф1 = S ckvW(x),
й==1
N
Здесь {^(х), (х)} — собственная вектор-функция, отвечающая соб-
ственному значению Мы будем для простоты предполагать, что си-
стема не имеет кратных собственных значений, хотя кратность по су-
ществу ничему не может здесь помешать.
Сопоставим элементу {фр ф2} элемент {%, ф2} по формуле
N
^1= У, ске'к\^'> (х),
N
^2= У ckekkTv^(x).
k = \
Это сопоставление можно трактовать так. Построим по начальным (при
£ = 0) данным фр ф2 решение изучаемой системы, а затем рассмотрим
значение этогог'решения при f = r. Это значение и будет вектор-функ-
цией {фр ф2}. Нами было доказано, что
t __ __ __ _
5 [а11Ф1ф2 + «12 (Ф1Ф2 + Ф2Ф1) + «22Ф2Ф2] dx =
I _ _ _ _
= $ [ОцЧЛ + «12 ОМг + ’Ms) + «ггЧ’г'Фа]dx-
о
Легко также сообразить, что при достаточно малых т, если
В самом деле, так как Хр Х2, ..., Хдг— конечное число раз-
личных собственных значений, то существует шах | Кр — А^| = Д. Выбе-
рем Тогда | — Хйт|<;2л;, а следовательно,
Ат
4 £ ? — А.т . . Ат , Л и
. ==е р k + [ е р =£е * ,
А,т 1
е k
Преобразование .{фр ф2} -> {фр ф2} является линейным преобразова-
нием, а числа — его собственные значения. Отвечающие им соб-
ственные векторы — это соответствующие собственные вектор-функции.
§ 321 РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 341
Введем в нашем конечномерном векторном пространстве комплексное
скалярное произведение
i _ _ __ _
(6, ф) = 5 [ацб1ф1 + «12(01Ч>2 + 02<Р1) + «2202<P2] dX-
О
Легко убедиться, что
1° (0, Ф) = (фЛ),
2° (Х0, ф) = Х (6, <р),
3ю (9 + 9, Ф) = (0, Ф) + (0, Ф),
4° (9, 9) 0, примем равно нулю, лишь если 9 = 0.
Последнее утверждение мы недавно аккуратно проверяли.
, Свойства 1° — 4° являются аксиомами, которым должно удовлетво-
рять скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве.
Закон сохранения энергии при преобразовании
ф={ф1> ф2}-*Ф={ФрЧ,2}
мы можем теперь толковать как сохранение скалярного квадрата
вектора при рассматриваемом линейном преобразовании: (ф, ф) = (ф, ф).
Преобразование, обладающее таким свойством, называется унитарным.
Легко проверить, что собственные значения унитарного преобразования U
обязательно равны 1 по модулю. В самом деле, пусть [Ap = [jup. Тогда,
в силу унитарности, (t/ф, (Лр)=±=(ф, ф). С другой стороны,
(u<f, Уф) == (рф, рф)=р(ф, рф) = р(рф, Ф) = р • р(фГф).
Скалярный квадрат (ф, ф) веществен и положителен, а следовательно,
(ф, ф)==(ф, ф). Мы видим, что (ф, ф) — р• р(ф, ф), а значит, ц-ц=1,
|p|==L _
В нашем случае собственные значения — это Из условия | екр% |= 1
вытекает, что — чисто мнимое. Очевидно, что Кр тоже будет чисто
мнимым. Мы доказали, что для рассматриваемых консервативных систем
все собственные значения Кр лежат на мнимой оси.
Докажем еще, что собственные функций, отвечающие различным
собственным значениям, ортогональны в смысле введенного скалярного
произведения. Сначала заметим, что из равенств
(t/ф, £/ф) = (ф, ф), (С/ф, [Уф) = (ф, ф)
следует, что
(Уф, Уф) = (ф, ф).
Действительно,
(У(Ф + ф), У(ф + ф)) = (Уф, Уф) + (Уф, Уф) + (Уф, Уф) + (Уф, Уф),
(У(ф + /ф), У(ф + /ф))=(Уф, Уф) + (Уф, Уф)—/(Уф, Уф)*+/(Уф, Уф).
342 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ ‘ [ГЛ. IV
С другой стороны,
(t/(q> Н-'Ф). U (ф + Ф)) = (<р +ф, ф + Ф) = (ф> ф) + (Ф> Ф) + (ф> Ф) + (Ф> ф)>
(U(tp + *Ф), и (ф + ^Ф)) = (ф + *Ф, Ф + /ф) =
=(ф> ф)+(Ф> Ф)—I (ф> Ф) +1 (Ф> ф)>
(t/ф, (7ф) = (ф, ф), (t/ф, t/ф) = (ф, ф).
Сравнивая все эти равенства, находим
(С7ср, £/ф)4-(£/ф, Цр)=(ф> Ф) + (Ф> ф)> (2)
—[/ф) + г((7ф, {7ф) = —/(ф, ф)4-/(ф, <р). . (3)
Прибавляя к тождеству (2) тождество (3), умноженное на /, получим ра-
венство
2 (t/ф, £7ф) = 2 (ф, г|?).
Утверждение (f/ф, £7ф) = (ф, гр) доказано. Пусть теперь ^/ф = р,1ф, £/гр =
=== |х2гр, причем Мы уже знаем, что ^1(1!= 1, р,2р2=^ Неравен-
ство ““=И= 1 можно записать в виде 1- Воспользуемся тождеством
(t/ф, СГф)=(ф, ф).
По условию
(t/ф, С/ф)=(р,ф, ц2ф)=рхр2 (ф, ф) = (ф, ф).
Это равенство возможно лишь, если pip2=l или если (ф, гр) = О. Пер-
вое невозможно по предположению. Следовательно, (ф, гр) = 0. Ортого-
вальность собственных функций доказана.
В случае если консервативная задача имеет кратные собственные значе-
ния, преобразование щ (х, 0) -> щ (х, т) не перестает быть унитарным. С по-
мощью обычных для линейной алгебры приемов можно показать, что в этом
случае никаких присоединенных функций не существует и что каждому
r-кратному собственному значению отвечают г линейно независимых
собственных вектор-функций. Так как любая линейная комбинация соб-
ственных вектор-функций, отвечающих одному и тому же собственному
значению, бпять будет собственной с тем же собственным значением, то
для них может быть выбран ортогональный базис. Напомним, кстати, что
кратные собственные значения будут лишь в конечном числе и. каждое
из них имеет конечную кратность. Собственные вектор-функции, отве-
чающие различным собственным значениям, по-доказанному выше будут
ортогональны автоматически.
Ортогонтальностью базиса из собственных вектор-функций удобно .
пользоваться при приближении начальных данных. Пусть мы хотим на-
чальную вектор-функцию ф — {фДх), ф2(*)} приблизить при помо-
щи конечной линейной комбинации собственных вектор-функций
х
2 ck^k}(x) (v^ — {v[k\ Естественно определить коэффициенты ck
Л = 1
§ 321 РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 343
N
из условия минимума невязки 6 = ф— ckv<k\ Для измерения величи-
k=i
ны А невязки удобно пользоваться нашим скалярным произведением:
Д = || 61|2 = (6, 6) = (<р, ф) — У, Ck (ф, !><*)) —
— У ck ф) + У Ctck (v(i\ =
W АГ __________ N
= (ф> ф)— У Мф> у с*(ф, 1>(А))+ У ckck(v{k\ =
Z? = I Jfe = l 6 = 1
V N
=(ф> ф)+ 2 ^й))-(ф> t/*>)i2- 2
Z? = I ’ £==1
Отсюда видно, что А принимает минимальное значение при
__ (ф, v{kr)
(v(k\ v{k})'
Теперь мы можем вернуться к вопросу о нахождении коэффициентов
в разложении решения в ряд Фурье, полученный в предыдущем параг-
рафе. Там было показано, что для решения справедлива формула
и (х, 0=2 dkvW^ + 0 (у) >
1
где ,n(fe)(x) = {'u^)(x), ^(х)}— собственные функции, a Kk — собствен-
ные значения нашей задачи. Остаточный член, правда, оценивался лишь
для 0 < t0 t Т. Но если учесть обратимость задачи, то можно за
начало отсчета времени взять t = — тс начальными данными w(x,—т),
' так что можно считать оценку равномерной при 0 t Т. В частности,
N
и (х, 0) = ф (х) = 2 (*) + 0 (i) •
1
Если задача консервативна, то умножая это неравенство скалярно на
(в введенном нами скалярном произведении), получаем
(ф> i>(ft))==4(f(4
или, в силу произвольности N,
d (ф, у^)
k ’
Другими словами, коэффициенты dk — это и есть коэффициенты Фурье,
разложения начальной вектор-функции по собственным функциям уни-
тарного преобразования (Л
344
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
В результате получаем окончательную формулу для решения задачи
с гладкими согласованными начальными данными (p(x) = {<pj (х), ф2(х)}:
дт
м(х’о== 2
А? = 1 ' ’ -
Рассмотренный в вводной части пример акустической системы
—п
dt *’ ро дх 9
др . .ди л
dt +Р<А.^ —О,
и (0, t) = u(l, f) = 0
является частным случаем консервативной задачи. Ее собственные вектор-
функции sin , — росо cos , собственные значения = с0,
t
(* / _ , Pl Pn \ .
скалярное произведение равно \ “x> a формула для pe-
J \ Po^q/
шения имеет вид:
№ kn '
z м V • • ksix i-г Cot A / 1 \
zz(x, 0= QZSln“e
ft=i
at . . .kn
P (X, t)=^ck (— po(?o COS e 1 Cei-\-0 ,
£=1
где
i
ck = — \ J sinи(x, 0)+^cos^(x, 0)}dx.
0
§ 33. Самосопряженная система второго порядка
Ее сведение к симметричной системе первого порядка. Эта система консерва-
тивна. «Кинетическая» и «потенциальная» энергия для решений этой системы.
Собственные вектор-функции и собственные значения соответствующей краевой
задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Собственные
функции ортогональны как в «потенциальной» метрике, так и в «кинетической».
Формулы для приближенного решения задачи. Замечания о методе Ритца.
Изучение метода Фурье мы закончим рассмотрением некоторого
класса типичных задач, к которым этот метод применим. Это рассмот-
рение покажет одно из важных направлений, в которых допускает рас-
ширение проиллюстрированная на простом примере теория,
§ 33] САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 345
Мы будем рассматривать симметрическую и так называемую само-
сопряженную систему второго порядка'
2 W £ ( 2 bik W /=1> 2>
Л=1 \А? = 1 / *
Матрицы .||а^(х)||, (|^л(х)[| здесь предполагаются симметричными и
(обе) положительно определенными.
Граничные условия при х = 0 и при х = 1 будем предполагать за-
данными в следующем виде:
2^*(°)^=2агл при х=0,
k . k
при x = Z
k k
с неотрицательно определенными квадратными матрицами о^, е/А.
Начальные данные при £ = 0 должны для этой системы задаваться
так: '
vk{x, 0) = cpfe(x),
дНь I । / \
(x).
dt |/=o 1 v 7
Мы сейчас покажем, как такую задачу можно привести к консерватив-
ной задаче для системы уравнений первого порядка, содержащей в два
раза больше уравнений, чем исходная система второго порядка. Консер-
вативность этой задачи будет гарантией ее обратимости, используя кото-
рую, можно доказать применимость метода Фурье.
Обозначим
2^^)^=®/- (о
k
Матрицу обозначим || cik (х) ||. Легко проверить, что [|с/л|| тоже
будет симметрической и положительно определенной. С ее использова-
нием могут быть записаны тождества
^Crjbjk — bk (символ Кронекера),
^ = Jiclk(x)wk.
k-
346 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Эти последние равенства, будучи продифференцированы по f, приводят
к уравнениям
k
Исходные же уравнения переписываются в следующей форме:
“ift W dt — dx ‘
k
Объединяя уравнения этих двух видов, приходим к симметрической си-
стеме
‘jLi ,k W dt ~ dx ’
k
2, . dwk dvi
k
которая, с учетом замены (1), эквивалентна первоначальной системе. После
умножения уравнений полученной системы на и wf-, соответственно,
сложения и интегрирования по области с кусочно гладкой границей Г
получаем интеграл энергии (см. § 9):
' § 4 (2aikViVk+2CikWiWk}dx+(2 dt=°’
Г V, k , i, k / \ i /
. 1 V 1 V 0U; dllk
Квадратичная форма у ? ^ik^i^k = у /, a'ik ~§t St отвечает’ так сказать,
z, k i, k
«кинетической» энергии, а форма
IV 1 V ‘ / V \ 1 V dui 1 V t. dui duk
t2CikWiWk = 2- 2Wi(2CirWrг2Wi d~x = т 2b* ar
i,.k i \ r / i i,k
— «потенциальной». Мы пишем слова «кинетическая» и «потенциальная»
в кавычках, чтобы подчеркнуть, ‘ что речь идет о некотором общем
классе уравнений, для которого понятия кинетической и потенциальной
энергии могут иметь только условный смысл.
Из граничных условий при х = 0 вытекает, что
2 ** <o)Si*L-»=®‘ L.=
k . k
' 2 L “ 2<w'*» L=« 2 L.
i i, k i, k
Аналогично из граничных условий при x==Z получаем
2^Ч-/=_^2е^-Ч,г-
i i, k
§ 331 САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 347
Используя эти тождества в интеграле энергии для прямоугольника 0^
^x^Z, мы приходим к следующему закону сохранения:
2
z
2 сомик |ж=0 + 4 W2aikViVk+2 dx+
i, k t=t2 0 \i. k i, k )t = t%
+т 2EikUiUk L=i= т 2 °ikUit,k L=o + i 2 е‘кщик L, +
i, k i = t2 i> k t~tv i, k t = ti
I
+ C^amViVk+'^Cik'Wi'wA dx.
0 \i, k i, k I t = ti
В этом законе к «потенциальной» энергии добавлены слагаемые
у °ikuiltk _0, у 2 ^ikUiUk |х - z ’ пРедставляющие собой «запас упру-
i, k
гой энергии» граничных условий.
Полученное тождество можно толковать, как некоторое обобщенное
условие консервативности, обеспечивающее унитарность преобразования
решения при переходе от t = t± к / = /2. Исходя из этого, как и в пре-
дыдущем параграфе, нетрудно доказать, что собственные значения обык-
новенных дифференциальных уравнений
k
k '
при наших граничных условиях оказываются чисто мнимыми, а система
собственных функций ортонормирована в смысле метрики, задаваемой
эрмитовой формулой
i
2 ст‘*кгй* L+И (2 +2dx+4 2L i •
i, k ” 0 V, k i, k / i, k
Однако эта ортогональность обычно не используется при приближении
начальных данных комбинациями собственных функций. Дело в том, что
348
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУР^Е
(ГЛ. IV
собственные функции, оказывается, можно считать ортогональными р бо-
лее простой метрике, связанной лишь с матрицей «кинетической энер-
гии» Сейчас мы покажем, как к такому выводу можно прийти.
Переписав уравнения
k
в форме
k
и подставив отсюда в равенства
k
получаем уравнения второго порядка:
k \ k I
Так как собственные значения X являются чисто мнимыми, то, следова-
тельно, X2 должно быть вещественным и отрицательным. Обозначим
Х2 = — р.
Мы установили, что собственные функции должны удовлетворять урав-
нениям с вещественными коэффициентами
.о
k
Граничные условия
(пРи •г==:0)’
k
(при х==/)
k k
с помощью равенств Kuk — vk могут быть для наших собственных функ-
ций переписаны так:
(ПРИ х==0)’
(при х = /).
k k
Мы видим, что уравнения для собственных вектор-функций {vv v2, ...
..., vn} и граничные услрвия для нцх вещественны. Отсюда следует
возможность считан? 1^} вещественными.
САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА
349
§ 33]
Покажем, что собственные вектор-функции
= 41’, №},
= тг‘„3’},
отвечающие различным собственным значениям рг р,2 (pj р2), орто-
гональны в смысле скалярного произведения
(г»'1’, г/21) = ’) dx.
о /
Для этого выпишем уравнения, которым удовлетворяют х/Ч vl2}:
ац&'=0,
bih~dT
k
Умножим Z-e уравнение для т/1) на vT, a Z-e уравнение для х/2) на
вычтем их друг из друга и просуммируем по всем Z:
2кв(2*®-^(2*^)1^-*>2
i L \ k / \ k /J i,k
wm2,=o-
Выражение в квадратных скобках может быть преобразовано следующим
образом:
После суммирования по I последние две суммы уничтожатся и мы будем
иметь
а^?Ч2, = 0.
Проинтегрируем это равенство по х от 0 до /:
z
С TV^ / dv'i' аВДЛТ
(Hl —Р-?) 3 2iai^-142’^ + =o’
0 i, k \-t^k Jo
350
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. [у
В силу граничных условий при х = 0 .
i,k i k i k i,k
hk i, k
Совершенно так же устанавливается, что
Следовательно,.
i
(р-1—р2) $ У, atkv'i1^ dx=0,
о i,k
I
\^aikv'tvvT dx = Q.
oi,k
Ортогональность собственных функций доказана. Пользуясь этой орто-
гональностью, нетрудно дать формулы, с помощью которых вектор-
функции uk(x, 0) = ф*(х), ~ = Фй(х) могут быть приближены сум-
I/—о
мами вида
к
ф^)= 2 Apvp(x),
Р=1
у
^>= 2 Вр^Чх).
р-1
ди I
Начальные значения uk (х, 0) и производной ~ приближаются неза-
0* и=о
висимо. В нашей записи это подчеркнуто тем, что их коэффициенты
Фурье обозначены разными буквами. Точное решение исходной системы
соответствующее этим приближенным начальным данным, записывается
в виде
у
0= cos
p=i
(КРр 0 + Bp sin (УUp t)
.-/У (*)•
V Нр J
331 САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА ' 351
Упражнение. Убедитесь в этом непосредственной подстановкой в урав-
нения й.в начальные условия.
Мы уже отмечали, что собственные функции нашей задачи ортого-
нальны еще и. в смысле метрики, задаваемой формой
i
f == 4 2aikUiiik I*-»+т W2 aikv^k+2 dx +
i, k 0 \i, k i, k /
+ ~2 bikUfik |x-1 = ~2 GikUi&k |x-0 4“ |x-Z 4“
i,k I, k
+4 Ш a‘kV^k+2bik S w)dx-
о V, k i, k /
Вычислим значение этой формы на собственной вектор-функции, для
которой
= Х=—к —у —ц,
hHk = Vk = Vk, =
Непосредственное использование этих равенств даёт
i
=4 § 2aikViVk dx+142oikViVk I*-»+
О П L i> k
0 i, k i, k
Преобразуем интегрированием по частям интеграл, входящий в квадрат-
ную скобку,
т $ i:-4 $
a i.k itk q i \ k /
l
=-42 aikvivk k-о—4 2eikViVk i*-*+4 $ 2 ai^k dx.
i, k i, k 0 i, k
При получении последней строчки мы еще воспользовались уравне-
ниями
^(2^^+н2а/Аг’А=0
\ k / k
352
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
и граничными условиями
'2ibik^~'xoikltk==0 (при лг=°)>
k k
2/'^^+2е,""л=0 (при х==^-
k k
Окончательно приходим к выводу, что на собственной вектор-функции
рассматриваемая форма равна
z / I
' 4 + т 2 aikViVk dx'
О I. k 0 i, k
Это утверждение эквивалентно утверждению о том, что на собственной
вектор-функции, отвечающей собственному значению р, «потенциальная»
квадратичная форма
О i, k
h. dVi
ik dx dx
i, k
равна «кинетической» квадратичной форме
i
4 § 2 dx‘
о /. k
Задача. Докажите, применяя интегрирование по частям и используя диф-
ференциальные уравнения для собственных вектор-функций ...»
|^2), ^(2)^ * V„'}, отвечающих различным собственным значениям
gi< И2 (Mt 7s Ha),
что
V f V V
+ J 26гл1Г'1Г</х+1ег^,Ч2,^=6-
i, k Q i, k < I, k
Эта ортогональность собственных функций в «потенциальной» мет-
рике вместе с уже доказанной раньше ортогональностью в «кинетиче-
ской» дает их ортогональность в полной энергетической метрике, («кине-
тическая» + «потенциальная»).
Для упрощения записи обозначим:
i
псу, £)=42a,ft-yi^*-o+4 $
. i, k Q i, k i, k
I
K(y, 2)=y § 2 a‘k-yiZk dx-
о /»k
§ 331 САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 353
Пусть v{2\ ..— собственные вектор-функции, отвечающие соб-
ственным значениям Ц1 и пусть
v = + §2г>(2) +... +
является вектор-функцией, лежащей в пространстве, натянутом на эти
собственные.
Тогда
П(р, V) _ SUfcn(vlf',
к (f, 0 s lilk к (Va>, V'k')
(»«>, + (t>(2', ti'2>) + ...+yn (»<'>, p<r))
= a'^ + liK (у'21, V'2’) + ... + £2K (plri, v,ri) =
(t»'1’, v'^J+^IK (p'2>, а12’) + ... + р.Д2К(и"-’> v<")
— g2K(o'i>, o'i>) + ^K(u121, v<2>) + ... + B2К (o(r), vlr>) *
Если предполагать, что собственные функции нормированы так, что
К(т>(4), гД3))= 1, то
П(о, р) И1Й+Н2У+-+М?
КФ, V)- 52 + у + ... + у
Если все собственные значения различны, то минимум
достигается только на вектор-функциях, пропорциональных т. е.
на собственной функции, отвечающей наименьшему собственному зна-
чению.
Это утверждение допускает следующее важное обобщение. Пусть т
пробегает вообще все гладкие вектор-функции, а не только те из них,
которые являются линейными комбинациями конечного числа собствен-
ных. Можно доказать, что для таких v
П (у, у)
К (и, и)
где р,х — наименьшее из собственных значений нашей задачи, причем
минимум достигается только на ^собственной функции, отвечающей |лг
Этот факт служит основанием очень важного для приложений метода
Ритца, предложенного в 1908 г. и применяемого для вычисления собст-
венных функций и собственных значений.
Разберем идею этого метода на примере задачи, в которой одна
искомая функция v(x) и формы К^, v), П(х>, v) задаются формулами
1
К (v, v) = а (х) v2 dx,
о
1
п (v, V) = (х) dx + ц2 (1).
о
12 С. К. Годунов
354 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Будем искать минимум
min 5--^^ = min П (и и) (при условии K(v, хг)=1)
не среди всех 'п(х), а только среди v(x), являющихся полиномами сте-
пени р:
v (х) = а0 + аг х +... + архр.
Для тйких v(x)
р 1
П (v, v)— nik = Ik^b (х) xl+k~2dx + 1,
i. k = 0 о
p 1
K(u, 1?)= У Hikataki nik — \a(x)xl+kdx,
i, k = 0 ,0
и дело сводится к нахождению минимума квадратичной формы
р
У*л Щка1а1г на векторах (а0, ар ..., ар), удовлетворяющих условию
i, £ = 0
р
I, /г = 0
Как известно, этот минимум р равен наименьшему корню характе-
ристического уравнения степени р+1
det || nik — iinik || = 0,
а собственный вектор, на котором этот минимум достигается, удовле-
творяет однородной системе
р
У цигй) а*==0-
/г=0
Таким образом, дело сводится к решению алгебраической задачи.
Естественно ожидать, что, повышая степень р полинома, мы будем все
точнее и точнее приближаться к собственному значению и к собствен-
ной функции.
Практическое удобство метода Ритца состоит в том, что обычно
удается получить хорошие приближения, рассматривая в качестве до-
пустимых лишь функции, лежащие в пространствах не слишком большой
размерности. Эти пространства не обязательно должны быть простран-
ствами полиномов.
Особенно выгодно применять метод Ритца для отыскания собственных
значений и функций в случае задач с двумя или тремя пространственными
переменными, где нет почти ни одного конкурирующего с Ним метода.
§ 33) САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 355
Отметим еще, что обычно метод Ритца дает очень хорошую точность для
собственных значений и несколько худшую для собственных функций.
В заключение главы IV, посвященной методу Фурье, заметим сле-
дующее. Часто изложение этого метода состоит в построении решения
краевой задачи (и тем самым в доказательстве существования решения)
с помощью решений специального вида, «стоячих волн». И во вводной
первой главе, и в настоящей мы предпочли опереться на независимым
образом доказанные теоремы существования решения краевых задач и
затем уже разлагать эти решения по функциям специального вида. Однако
полученные нами формулы для коэффициентов разложения решений
симметричных консервативных задач дают возможность выписать явные
выражения для решений по начальным данным, если известны собст-
венные функции краевой задачи для соответствующей системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений.
12*
Гл а в а V
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 34. Задача Дирихле для уравнения Лапласа
в прямоугольнике
Разностное уравнение, которому удовлетворяет точное решение. Приближенное
разностное уравнение. Мажоранты и неравенства для решения разностного урав-
нения Пуассона. Разрешимость разностной системы. Оценка погрешности.
Мы приступаем к изучению численных методов решения уравнений
с частными производными. Наша цель состоит в том, чтобы понять
основные вопросы, которые возникают при разработке этих методов.
Будут также обсуждены наиболее распространенные в настоящее время
способы разрешения этих вопросов.
Мы начнем с изучения разностного способа решения задачи Дирихле
в прямоугольной области. Задача эта ставится так. На границе прямо-
угольника Q^y^b задается непрерывная функция ф($).
Требуется найти внутри прямоугольника такую, непрерывную вплоть
до границы, гармоническую функцию и(х,у), чтобы и |г = ф ($). В гл. III,
§ 22 было доказано, чта задача Дирихле в прямоугольнике разрешима
при любой непрерывной ф (s).
Мы знаем, что ограниченная в некоторой области гармоническая
функция внутри каждой внутренней подобласти имеет ограниченные про-
изводные любого фиксированного порядка. (При повышении порядка
производных их максимум может расти.) Можно доказать, хотя мы этого
и не делали, что если ф.(«) — достаточно гладкая, то функция и(х,у)
будет иметь ограниченные производные вплоть до некоторого порядка
во всех точках прямоугольника, а не только во внутренних. Порядок
этих ограниченных производных, конечно, зависит от степени гладкости
Ф (s). В понятие гладкости ф ($) вх*одят некоторые условия согласования
ее производных в углах прямоугольника. Мы не будем эти условия
уточнять.
Итак, мы предполагаем, что интересующая нас гармоническая функ-
ция и (х, j,) (и |г ~ ф) имеет в замкнутом прямоугольнике ограниченные
четвертые производные. Мы сейчас дадим приближенный способ восстано-
вить значения и (х, у) на достаточно густой сетке точек внутри области
по граничным значениям ф. Будет также дана оценка погрешности этого
способа.
Разобьем прямоугольник на мелкие прямоугольные ячейки со сторо-
нами \x = a/N, &у = Ь/М так, как это показано на рис. 78. В вершинах
этих прямоугольных ячеек мы будем отыскивать значения решения. Эти
вершины мы выделили на рисунке жирными точками. Граничные точки
§ 34] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ 357
выделены особо. В этих точках значения н = ф известны. Веошины
первоначального прямоугольника ((0, 0), (а, 0), (а, &), (0, &)) мы выделять
не стали, так как в дальнейших наших рассмотрениях они участвовать
не будут.
Аппроксимируем на построенной сетке уравнение Лапласа =
= 0. Вспоминая, что мы предполагаем ограниченность четвертых произ-
водных функции и(х, у), воспользуемся формулой Тейлора:
Д у2
и(х +Дх, у) = и(х, у) + Лх-их(х, _у) + 2 ^хх (х,у) +
Ч UXXX У) 4~ “24" ^ХХХХ (£1> У)»
и (х—Дх, J) = И (х, у) — Дх • их (х, у) + -2- ихх (х, у)—
---Uxxx У) 4“ ~24 Uxxxx Gs2’ -У) >
X х +
X — Дх^^2^Х-
Отсюда
Н(х + Дх, у) — 2и (х, у) + и (х—Дх, «/)__
ДХ2
= ихх (х, у) -f- ~24~ [Uxxxx (il> у) “h Uxxxx (?2’ V)] •
Аналогично,
u(x, у+Д1/) — 2и (х, у) + и (х, у — Лу)___
Лу2
= Uyy (х, у) + -gj- [Иуууу (х, Т]1) + иуууу (х> Лг)]’
Ду^Па^-У-
6(Х, V)
358 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
Мы получили приближенные формулы для вычисления вторых произ-
водных. Сложим их:
а(х + Дх, у) — 2и(х, у) + и(х — Дх, у) .
Дх2 +
, и(х, у+&у)— 2и (х, у) + и(х, у — ку)
Д//2
= Uxx + иуу + Дх2 • у (х, у) + Д_р2б (х, у).
В этом представлении
V (-V V) = ихххх (£1* У) 4~ ихххх (§2> у}
Uyyyy “Ь Uyyyy (^» Лй)
24
— ограниченные функции от х,у. На нашем решении ихх-^иуу = 0. Пред-
положим, что нам каким-либо образом удалось во всех внутренних
точках сетки (х, у) определить значения у и 6. Написав для каждой
такой внутренней сеточной точки уравнение
п(х + Дх, у) — 2и(х, у) + и(х—Дх, у) ,
Дх2 "Г
! «(х, # + Дг/) — 2и (х, у) + и(х, у—ку)
Ьу* "
= Дх2 • у (х, у) + Ду2б (х, у)
и заметив, что значения z/(x, у) в граничных точках (х, у) заданы, мы
приходим к линейной системе алгебраических уравнений. Таких уравнений
столько, сколько у нас внутренних точек сетки, т. е. (N— 1) (М—1).
Число неизвестных, очевидно, совпадает с числом уравнений. В дальнейшем
будет показано, что определитель этой системы отличен от нуля и что,
следовательно, она разрешима. Решив ее, мы получим значения w(x, у)
во всех точках сетки.
На самом деле поступать в точности описанным способом нельзя,
так как у(х, у) и 6(х, у) нам неизвестны. Однако, заметив, что правая
часть Дх2-у(х, у) + Ду2 • S (х, у) может быть сделана как угодно малой,
если выбрать достаточно мелкие шаги, мы можем надеяться получить
довольно точный ответ, приближенно заменив эту правую часть нулем.
Таким образом мы приходим к следующей приближенной системе:
^(х+Дх, y) — 2u(x, y) + u(x—Дх, у) .
- Дх2 Г
, u(x, y+by)—2u(x, у) + и(х, у—ку)п
Д^ '
Мы должны будем исследовать разрешимость этой системы и оценить
погрешность, возникшую от отбрасывания остаточного члена
Дх2 • у (х, у) + Ду2 • 6 (х, у).
§ 34) ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ 359
Такое исследование и будет проведено в этом параграфе. На самом
деле мало доказать разрешимость. Нужно еще суметь указать не слиш-
ком трудоемкий способ решения. Ведь при малых Дх, Ду здесь полу-
чаются системы уравнений очень больших порядков. В одном из следую-
щих параграфов мы изучим употребительные в настоящее время способы
решения таких больших систем, возникающих при разностной аппрокси-
мации дифференциальных уравнений.
Начнем со следующей простой леммы.
Лемма. Функция
/ а\2 , ! д\2
izr X \ 2/ 2) а* + Ь*
V(X, у) = ±------------L----
удовлетворяет уравнениям:
V (х+Дх, у)— 2V (х, y) + V(x—Лх, у) ,
Дх* +
। Iх (А у+Ду)—2У(х, у) + У(х, у —Ду) .
Ду*
и неравенствам
0^V(x,y)^-^.
(0=Сх=Са, О^у^Ь).
Доказательство. Неравенства с очевидностью следуют из фор-
мулы для V (х, >), а уравнения вытекают из того, что по доказанному
У(х + Дх, у) — 2У(х,у) + У(х—&х, у) ,
Дх2
. t/ + Aj/) — 2H(x, t/)+V(x, i/—Ду)
Д*/2 —
__ &У , д2У . Дх2 ,£ ч । i7 Zt M I
---'~ду£ *" ~24\.Vxxxx\Sl> Vxxxxi&p JOJ +
4“ [ Vyyyy Л1) + Vyyyy C%> Ла)] •
В самом деле, для нашей V(x, _у) четвертые производные равны нулю,
а оператор Лапласа
&У . д2И_..
дх2 4"
Лемма доказана.
Теорема 1. Разностная система уравнений, выписанных для
всех точек (х, у) нашей сетки,
Мх-|-Дх, у)—2и(ху у) + и(х~-Дх, у) ,
Дх2 . +
, «(х, у+Ду)—2и(х, у) + и (х, у—Ьу) ( А
П" д^2 ---«IX, У),
^(Х, _у)|г = ф(х, у)
360 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
не может иметь решений и(х, у) таких, чтобы хоть в одной
точке сетки и(х, _у)>0, если только ее правые части ф, а удовле-
творяют неравенствам',
а (х, у) 0, ф (х, у) 0.
Доказательство. Рассмотрим сеточную функцию й (х, у) =
=и(х, y) -}-E,v(x, у), где 8 > 0, a v(x, у) была описана в предыдущей
лемме. Очевидно, что й(х, у) удовлетворяет уравнениям
й(х+Дх, 2й(х, г/) + й(х —Дх, у) . й (х, у + Ду) — 2й (х, у) + й(х, у — Ьу)_
Дх2 ф Ьу* ~ ~
= а(х, у)-\-ь = а(х, ,у)>0»
й(х, у) |Г = Ф(Х, у) = у(х, у) + &и(х, у)^0.
Таким образом, й (х, у) удовлетворяет всем условиям теоремы. Только
неравенство а(х, для правых частей теперь усилилось и стало
строгим
а (х, у) 8 > 0.
Если мы теперь, исходя из полученных условий, установим, что
й (х, у) 0,
то тем самым мы будем иметь:
w(x, у) + е^(х,
w(x, _у)^ —8^(х, .у)^8 в2—--.
В силу произвольности 8 отсюда следует неравенство
и (х, у) 0.
Переходим к доказательству этого утверждения. Уравнение
й(х + Дх, у) — 2й (х, у)-\-й(х — Дх, у)
Дх2 “Г
, й(х, у + &у)-2й(х, у) + й(ху у — Ьу)_ л
‘ Д//2 —
можно переписать так:
д^[й(х + Дх, ^) + й(х—Дх, г/)] + ^[й(х, г/ + Д(/) + й(х,«/-~Д«/)] —а
й (х, у) = j j j j
Дх*+Да? + +Др
д^[й(х + Дх, г/)+й(х—Дх, У)1 + д^2 [й (х, </ + Д{/)+й(х, у — Ду)]
< ттттттх
Дх2^Дх2^Д//2^Д(/2
max [й (х + Дх, _у), й (х — Дх, у), й(х, у 4“ Ду), й (х, у — Ду)].
§341
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
361
Обоснование строгого неравенства
й(х, у)< max [й(х + Дх, у), й(х—-Дх, у), й(х, jz + Ду), й(х, у — Ду)]
представляет собой разностный аналог принципа максимума. Из него
следует, что наибольшее значение сеточной функции й (х, у) принимается
обязательно в какой-либо граничной точке. Но мы знаем, что й |г = ф 0.
Неравенство й(х, у)^$ тем самым доказано. Доказательство теоремы
завершено.
Следствие 1. Разностная система уравнений
м(х+Дх, у) — 2и(х, г/) + «(х—Дх, г/)у + Ьу) — 2и(х, у) + и(х, У~&У)а
№ '
и (X, j/) |г = о
имеет единственное решение и(х, j/) = 0.
Действительно, из доказанной теоремы следует неравенство и(х, j)^0.
Обратное неравенство — и(х, У)=^0 (w(x, _у)^0) получим, если заме-
тим, что сеточная функция —п(х, у) удовлетворяет тем же уравнениям,
что и w(x, у). Из неравенств п(х, >)^0, н(х, _у)^0 следует равен-
ство и(х, j/) = 0. То, что м(х, _у) = 0 удовлетворяет уравнениям, оче-
видно.
Как известно из курса алгебры, система линейных однородных
уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных, только в том
случае имеет лишь нулевое решение, если ее определитель отличен от
нуля. Если же у системы уравнений определитель отличен от нуля, то
она разрешима при любых правых частях, и притом единственным спо-
собом. Отсюда вытекает
Следствие 2. Разностная система уравнений
и(х + Дх, у) — 2и(х, t/) + «(x —Дх, у) j
Дх2 +
, Ч(х, у-\-ку) — 2и(х, у) + и(х, у-Ьу) _ „ , ,д
1 — а(х, у),
и(х, у)\г = <р(х, у) ,
разрешима и имеет единственное решение при любых сеточных
а (х, у), <р (х, у).
Для этого решения мы получим оценку, доказательству которой
посвящена следующая
Теорема 2. Если | а (х, у) | А | ср (х, у) | В, то решение раз
ностных уравнений удовлетворяет неравенству
! «(*> _У)|=С В-\:
а*+Ь* .
16
362
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Доказательство. Сеточная функция й(х, у) = и(х, у) — В+
+ AV (х, у) удовлетворяет разностным уравнениям
й(х+Дх, у) — 2й (х, г/) + й(х —Дх, у) .
ДХ2 "Т"
4-а у± --2а> у}+й (Х’ * ~ = а (х, у) + А О,
й(х, _у)|г = ф(*> J)|r—В4-А-к(х, у) |г Ф (х, _у)|г~Вв^О.
В качестве V(x, у) мы взяли функцию, построенную в лемме. По этой
лемме
j)<0.
Из теоремы 1 имеем неравенство
w(x, >) —t5 + ^V(x, у) — й(х, у)^0.
Иными словами,
и(х, у)^В-А- V(x, у)^В + °-^А.
Сеточная функция —и(х, у) удовлетворяет тем же самым разностным
уравнениям, что и.м(х, _у), только правые части а(х, у), ф(х, у) надо
теперь заменить на —а(х, у), —ф(х, у): неравенства |—а(х,
I — ф (х, у) |г | В опять выполнены. Следовательно,
—и(х, уУ^В+^^-А.
Объединяя это неравенство с доказанным ранее
и(х, у)^В+^^ А,
приходим к утверждению теоремы:
I и(х, у) \ В А.
Свойства разностных уравнений изучены нами теперь достаточно'
подробно. С помощью этих свойств легко оценить погрешность прибли-
женного решения задачи Дирихле. В самом деле, точное решение и (х, _у)
задачи Дирихле удовлетворяет разностным уравнениям
и(х4-Дх, у) — 2и(х, у) + и(х — кх, у).и(х, y + ^y) — ^(xt у) + и(х, у — Ьу)
Дх2 ' Д1/2
= Дх2у (х, у) + Ду26 (х, у),
|у(х, J)|=C^, I6(x,
и(х, J/)|r==<p(x, у),
§34]
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
363
где посредством К обозначен максимум модуля четвертых производных
решения м(х, у). Вместо этих точных уравнений, которые мы решать
не можем, так как точные значения у (х, у), б (х, у) нам неизвестны,
было предложено решать приближенные
й(*4-Дх, у) — 2й(х, #) + «(*—Дх, у)
Дх2
. Ц(х, t/4-Ду) —2Й (X, у) + й(х, у — ку)
Дг/2
«(*> у) |г==ф (х, у).
Разность точного и приближенного решений
w (х, у) = и (х, у)—й (х, у)
удовлетворяет разностным уравнениям
к>(х + Дх, у) — 2и>(х, y)+w(x — Ьх, у) ,
Дх2 +
+°’<* jo+aysfx, л
и однородным граничным условиям
а» (х, _у) [г=0.
По теореме 2
Iй(х, у)—й(х, у) | =
= | w (х, Д') | о + -8^~— шах [ Дх2у (х, у) 4- Ду26 (х, д')]
Мы видим, что при достаточно малых Дх, Ду погрешность прибли-
женного решения будет действительно мала. Тем самым мы обосновали
применимость метода сеток для отыскания приближенных решений
задачи Дирихле с достаточно гладкими'граничными значениями.
На практике, при решении конкретных задач, обычно ограничиваются
обоснованиями принципиального характера, типа проведенного сейчас.
Часто даже такое обоснование проводится более схематично. Конкрет-
ные суждения о погрешности получаются, как правило, не из теорети-
ческих оценок, а из сравнения между собой результатов расчетов,
выполненных с различными сеточными шагами Дх, &у.
После того как разностные уравнения составлены, их надо еще
решить. В разобранном нами примере решение разностных уравнений —
очень сложная и интересная задача, но мы пока не будем ею заниматься.
В ближайших параграфах мы проведем исследование разностных
приближений к решениям нескольких типичных задач для уравнений
различных типов (гиперболических, параболических), аналогично тому,
как это было сделано здесь для задачи Дирихле. Это исследование
364 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
будет проводиться примерно по той же схеме, что и в этом параграфе.
Сначала проверяется, что те или иные разностные уравнения на точном
решении дифференциального уравнения выполнены почти точно (имеют
малые правые части), а затем устанавливается, что малое изменение пра-
вых частей разностных уравнений мало меняет их решение. Первый
этап такой схемы исследования называется изучением аппроксимации,
а второй — исследованием устойчивости разностных уравнений.
§ 35. Разностная схема для гиперболической системы
с двумя независимыми переменными
Схема, которая ранее использовалась нами для доказательства теоремы суще-
ствования, изучается примерно так же, как в прошлом параграфе изучалось
разностное уравнение Лапласа. Необходимость неравенства^^!. Сравнение
областей влияния разностного и дифференциального уравнений и вытекающее из
этого сравнения необходимое условие сходимости. Пример, показывающий, что
это условие не является достаточным. Негибкая схема, решения которой могут
при уменьшении шагов сходиться к решениям различных уравнений.
В предыдущем параграфе мы изучали разностную схему для решения
задачи Дирихле. Здесь мы опять будем заниматься разностными схемами,
но уже для гиперболических уравнений.
Пусть нам надо решать гиперболическую систему
0 «/=/«(*> 0>
j
записанную в каноническом виде. Эту систему мы будем рассматривать
в прямоугольнике O^x^Z, Коэффициенты и правые части
предполагаются достаточно гладкими и, следовательно, ограниченными.
Более того, предположим, что на каждой из границ х = 0, х = 1 ни
одна из характеристических скоростей Л/(0, Z), &z(Z, f) не обращается
в нуль, а значит, каждая из этих скоростей с течением времени не
меняет знака.
В качестве граничных условий на левой границе х = 0 будем пред-
полагать заданными те значения щ (0, Z), для которых kt (0, t) > 0.
На правой границе х — 1 задаются те Z), для которых &t(Z, Z)<^0.
Можно было бы рассмотреть граничные условия более общего вида,
например такие, какие рассматривались при изучении теоремы о сущест-
вовании решения. Мы сейчас на такие усложнения не пойдем, так как
они не принципиальны для разбираемого нами вопроса.
При t — 0 в качестве начальных данных задаются wz(x, 0) для всех
1—1, 2,..., п. Начальные данные предполагаются согласованными с гра-
ничными условиями так, чтобы существовало достаточно гладкое реше-
ние, удовлетворяющее всем сформулированным требованиям. Нам будет
важно, чтобы это решение было ограниченным и имело ограниченные
первые и вторые производные.
§ 35] РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 365
Мы не предполагали сейчас сохранения знака у характеристической
скорости ki(xt t) характеристик l-го семейства
О
во всем прямоугольнике, так что в принципе мы можем себе пред-
ставить такой вид семейства характеристик со скоростью ^(х, t)y какой
показан на рис. 79.
зависимости от
в
Характеристикам, правда, не разрешается касаться горизонтальных
направлений, так как это означало бы неограниченность fy. Поэтому
картина поведения характеристик, изображенная
на рис. 80, нами запрещена.
Выберем в прямоугольнике 0 х /,
O^t^T разностную сетку с шагами /г —Дх,
T = At Такая сетка показана на рис. 81.
Разностную схему построим ту же самую,
что и при доказательстве теоремы существова-
ния у гиперболических систем. Обратим только
серьезное внимание на то, как меняется вид
разностных уравнений при изменении знака у
ki(xt t).
Пусть точка (х, f) является точкой сетки.
Соответствующее ей разностное уравнение будем
знака ki (х, t) по одному из следующих двух правил.
Если (х, t) 0, то напишем:
t+xj-Uj^ t) [ k g ui(x+h, t)-Uj(x, t) ,
писать
h
+ ^ти(х, t)uj(x, f).
Если ki(x) /)>0, то пишем разностное уравнение так:
Uj(xt — t) । Uj(x, t) — Uj(x — h, t) ,
h
+ У mtj (x, t) и J (x, t)=ft (x, t).
т
366
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
.(ГЛ. V
Для каждой точки (х, t) сетки, не лежащей на правой или левой
границах (х #= О, х =/= /), мы такое уравнение выписать сможем. В точ-
ках правой границы, если ki(x, Z)<0, уравнение по этому правилу
написать нельзя, так как точка t) сетке не принадлежит. Но в этом
случае его можно заменить равенством ^ + т) = заданному гранич-
ному значению (случай &f(Z, Z) = 0 мы договорились не рассматривать).
Аналогично, на левой границе х = 0 не может быть выписано разност-
ное уравнение, если ^(0, Z)>0. Его также можно заменить равенством
uf(0, Z4-t) = заданному граничному значению.
К выписанным равенствам надо еще добавить начальные условия:
щ (х, 0) = заданным начальным условиям. Мы предполагаем' выполнен-
ным согласование граничных и начальных значений в угловых точках
(0, 0), (/, 0).
С помощью описанных сейчас правил мы приходим к системе линей-
ных алгебраических уравнений для значений сеточных функций щ (х, Z).
В этой системе число уравнений равно числу неизвестных. Нам нужно
доказать, что эта система уравнений разрешима и что ее решение при
достаточно малых т, h в точках сетки близко к значениям точного
решения дифференциальных уравнений.
Доказательство, которое мы проведем, очень напоминает по своей
схеме аналогичное рассуждение, с помощью которого в предыдущем
параграфе изучалась разностная задача Дирихле.
Пусть ц,(х, t) — точное решение дифференциальных уравнений, кото-
рое имеет первые и вторые ограниченные производные. По формуле
Тейлора
«,(х. < + т) = а,(х, О +
— (*. 0+’ (л >
(0 г] С 1, | аг | < const),
ui(x + h, t)^Ui(x, f) + h ^^^ + Л2р1(х, t, h)
(IM < const),
щ (x—h, t) = щ (x, t)—h+ h2y{ (x, t, h)
(I I < const).
Отсюда
dut _ut(x, <+t) — щ(х, t) , . .
t, c;,
t> h)t
= Ui(x, t)-ui(x-h,Jl _
РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
367
§ 36]
Мы будем предполагать, что шаги т, h всегда выбираются подчи-
ненными неравенству const.
Из выписанных формул ясно, что точное решение дифференциальной
системы удовлетворяет разностным уравнениям с правыми частями, изме-
ненными на величину порядка h. Вместо fi(x, t) мы должны теперь
в правой части писать fi(x, t)=fi(x, t)~[-h^i(x, t, т, h) и предполагать,
что
| Ф/ (х, t, т, h) | < const.
Теперь надо показать, что наши разностные уравнения разрешимы
при любых правых частях и что изменение правых частей на величину
порядка h влечет за собой изменение разностного решения в каждой
точке тоже на величину такого же порядка.
Разрешимость разностных уравнений в разбираемом сейчас случае
тривиальна. В самом деле, легко показать, что граничные условия и
начальные данные при f = 0 позволяют определить решение на первом
временном слое Z = t, которое можно принять за начальные данные при
определении решения на слое t — 2т, и т. д. Предположим, что на слое t=tQ
во всех точках сетки мы уже определили разностное решение щ(х, Zo),
и покажем, как его определить на слое Z==Z04-t.
В точке левой границы (0, Z0-|-t), если Zo)X>O, в СИЛУ гРа“
ничных условий задано Wf(O, Z0 + t). На правой границе, если ^(Z, Z0)<0,
задано W/(Z, Z0 + t). Во всех остальных случаях действуют разностные
уравнения
ММЖ)-М*, /„) + ki (х> to)
Ui(x,t0) — u(x—h,t0) j
h "Г
+ t0)=fi(x, t0)>
J
если ki (x, Zo) > 0, или
Uj (x, /q+т) —(x, /p) [ Uj(x+h, — /0)
h
+ Z>iA'(x> *o) =//(*> *o)>
если ki{x, Zo)=CO.
Из этих уравнений
ui(x, ti+i;)=^l—'^^jui(x, Q +
_|_ l!AL h. ±h> f0) _ T 2 mi/Uj (x, t0) + xfi (x, toy
' 368
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. V
Эта явная формула и доказывает разрешимость. Нам еще будут нужны
оценки разностных решений. Аналогичные оценки мы получали в гл. II
при изучении теоремы существования. Несмотря на это, мы их сейчас
выведем заново, тем более что сейчас оценки нам нужны в ином, суще-
ственно более грубом виде.
Пусть заданные в качестве граничных значения щ (0, t), щ (I, t),
начальные данные щ(х, 0) и правые части оцениваются посто-
янной F:
IЩ (0, t)\<ZF, если ki (0, f) > 0,
IЩ (4 01 < Л если ki (I, t) <Z 0,
\щ(х, 0) | <F,
\М*> 0l<F.
Пользуясь этими оценками и нашей явной формулой для вычисления
щ(х, t) на последовательных временных слоях сетки, мы сейчас полу-
чим неравенство для разностного решения. Давайте только еще потре-
буем, чтобы во всех точках (x, t) сетки выполнялось следующее нера-
венство:
Насколько это ограничение на шаги необходимо, будет выяснено
несколько позже.
Пусть tQ — некоторый временной слой сетки. Обозначим U(t0) =
— max [max | щ (х, £0) |, F1. Из нашей явной формулы для величин на
I х, i J
слое ^о + т и из заданных граничных условий вытекают неравенства
I Щ (0, +1) | < F U (£0), если ki (0, tQ + т) > 0,
| П/(A h + tf\<F если ki(lt ^0 + т)<0,
\udx, f0 + T) I [(1 - UM) [7(fo) + UMt/(fo) + TMf/(^)4-TF] =
= U(t0) + rMU (t0) + tF (1 + тМ + t) U (t0),
\Ui(x, 0|^[1 + t(tW+1)]^(0)^[14-t(41+1)]~F^
[1 +т(Л4+ 1)]- F^M*F
L
(у нас выражение [14~т(М-|-1)р при т->0 стремится
к конечному пределу е<Л1 + 1)г и, следовательно, ограничено). С помощью
полученной оценки легко доказать, что изменение правых частей раз-
ностных уравнений на величину порядка h приводит к изменению реше-
ния на величину того же порядка.
§ 35] РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 369
В самом деле; пусть
щ(х, + = ^) + L!AlH((x±/i, 0-
— T^niijUjtx, t)-\-Tcf{(x, t),
J
Ui{x, ^ + r) = ^l— li£il^Ui(x, t) + ^-^-ui(x±h, t)—
—т У mtju j (x, f) + xft (x, t), | ft — ft\ < const • h,
J
а начальные и граничные значения у сеточных функций щ и Hi совпа-
дают. Тогда разность щ — Hi = 'Wi удовлетворяет аналогичным разност-
ным уравнениям
W/ (х, ^4-т)=(1—т (х, о 4- т ^ ki (х ± й, й)—
—-г У niij-Wj (X, 0 + Т [f (х, t) —ft (х, о].
/
(х, 0) = 0,
wf(0, Z)=.O, если йДО, 0>0,
(Z, t) = 0, если kt (Z, t) <Z 0.
Как мы знаем, всюду
| щ — й{ | = | W/ (х, t) | /И* max \fi (х, t)—fi (x, t) | const й.
X, t
Обоснованием этого неравенства мы закончили исследование разностной
схемы в случае, если на шаги наложено ограничение
Т I k; I _ 1
max 1 1.
й
Теперь на примере схемы для одного уравнения с постоянным коэф-
фициентом k (й>0)
t},
«Ь-о=/о(*). «U-o = A(O- /о(О)=А(О
покажем, что предположение тй/й 1 понадобилось нам не только как
удобный способ упростить доказательство. Оно нужно по существу.
В случае, если это предположение не выполнено, для решений разност-
ной системы ((х, t) пробегают точки сетки)
Ц(х, t+%) — u(x, t) I k u(x, t) — u(x — h, t)
«|i-o=/oW. «|х-0=/1(0 (O<X^Z)
370
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ V
нельзя получить оценки
max | и (х, 01 const max [ | /(х, t) |, I /0 (х) |, | Л (0 ] ]
х, t
с постоянной, не зависящей от h.
В самом деле, положим
f(x, 0=0,
/о(*) =
Й*(— 1)Х/Л
о
Л (О=о,
при
при
I X > О,
х = 0.
Для вычисления решения на слое по Уже известному слою t
находим формулу
и(х, ^ + т) = ^1—^и(х, 0 + ^w(x—/z, f),
Рис. 82.
из которой видно, что значения и(х, t) в точках, лежащих правее пря-
мой х—htl%—09 получаются только с использованием начальных дан-
ных /0 (х) и никак не зависят от грани-
чных значений Чтобы это стало
г наглядным, достаточно посмотреть на
рис. 82. На этом рисунке уголками
объединены точки, входящие в одну
разностную формулу, а прямая х —
— htlx=Q намечена пунктиром.
Оказывается, что разностное реше-
ние правее этой прямой допускает анали-
тическое представление следующего
вида:
«(х, 0 = ^/T/*s(—1)*/Л-
Действительно, эта функция удовлетворяет начальным условиям, а под-
ставляя ее в левую и правую часть разностного уравнения
/ 4~т _ / £ -у , t_ х— h
после сокращения на №xhs(—\y/h найдем, что это уравнение будет
выполнено, если
х=(1-?)+¥(-1)=1-2?-
Итак, мы убедились, что при x>ht/i> решение нашей разностной
---Г
ц(х, 0=(—1)Л г
задачи дается формулой
2 1Г hs.
h J
§ 35] РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 371
Фиксируем теперь отношение x/h так, чтобы xk/h было больше еди-
ницы 1). Тогда 2xk/h—1 >> 1 и
t
xk 1т
2 у—1 hs->co при /г->0,
несмотря на то, что
max[|/(x, t)\, |/0(х)|, |А(0| ] = тах |/0(х)| = /zs-^0.
X
Невозможность получения оценки
max | и (х, t) | const max [ | f(x, t) |, | /0 (х) |, | /j (/) ] ]
X, t
тем самым доказана. Принято говорить, что наша разностная схема при
xkfh > 1 является неустойчивой. Под этим понимается, что, например,
малое изменение начальных данных может повлечь за собой катастро-
фически сильное изменение решения.
Сейчас мы приведем одно очень простое и наглядное соображение,,
которое покажет отсутствие 'Сходимости решений разностных уравнений
к решению дифференциальных при xk/hi>\. Тем самым еще раз будет
показана существенность неравенства
xk/h 1 для применимости описан-
ной разностной схемы.
В самом деле, из рис. 83 видно,
что значение u(xQ) tQ) разностного
решения выражается через значения
и(х, 0) в точках начального, слоя
t = 0, лежащих в основании прямо-
угольного треугольника с катетами,
параллельными осям х, t, и с гипо-
тенузой, тангенс угла наклона кото-
рой к оси х равен x/h. (Если часть
точек основания этого треуголь-
ника окажется левее границы х = 0,
граничные точки при х = 0, лежащие внутри этого треугольника.) Опи-
санный нами треугольник представляет собой разностную область влия-
ния на точку (х0, Q.
Решение дифференциального уравнения
g-4-А JL=O
dt 1 дх
в точке (х0, f0) равно, в силу формулы и~и(х — kt), значению и при
2 = 0 или при х = 0 в точке пересечения с соответствующей границей
характеристики х — kt = xQ— kt0, проходящей через нашу точку (х0, tQ).
Если kx/h<l, то эта характеристика лежит внутри разностной области
372 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ' [Гл v |
зависимости (рис. 83), а если £т//г>1, то вне ее (рис. 84). В . этОм j
последнем случае, меняя начальные данные лишь вне разностной области!
влияния на точку (х0, ^0), мы можем изменить искомое значение и (х0, j
тогда как разностная схема этого изменения не почувствует. Ясно, что
при k%/h^> 1 ни о какой сходимости ре-1
шений разностных уравнений к решениям
дифференциальных не может быть и речи. J
Описанное сейчас рассуждение было /
впервые проведено в статье 1928 года I
Курантом, Фридрихсом и Леви на при- i
мере, близком к разобранному нами. I
Нужно, однако, отметить, что если Л
разностная область влияния содержит J
внутри себя область влияния диффе- /•
ренциального уравнения, то совсем не
обязательно решение разностного урав- J
нения будет сходиться при /г->0 к л
решению дифференциального, которое'
оно приближает.
ственная, казалось бы, схема
Так, например, наиболее
и (х, /+т) — и (х, t) . и (х+Л, t)~u (х —h, t) п
т г 2Л
для уравнения
ди .ди_________________________________п
dF + dx
ни при каком фиксированном r = %lh не может использоваться в случае
достаточно малых h для вычисления приближенного ч решения. Оказы--
вается, для нее можно построить последовательность быстро убывающих \
(при h -> 0) начальных данных, таких, что вычисленные по ним решения
при /г->0 очень быстро растут. Разностная область влияния для этой
схемы содержит характеристику, если т//г^1. (Проверьте это.)
В качестве таких начальных данных возьмем
и (х> 0) = Re I hse 2 п j = hs cos (у ~\.
(В точках начального слоя сетки и(х, 0) принимает последовательно
значения: hs, 0, — hs, 0, hs, 0,...)
Легко убедиться, что приведенная нами схема имеет решение
, • \_£ / £. £
и(х, 0 = [ 1 —/у г hse 2 ’ \
а, следовательно, решением является и его вещественная часть
Г/ \ t ; £ Х'
Re (1—/4-И hse
1\ л /
35j РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 373
принимающая при £ —О заданные начальные значения. Из равенства
(1— hse 2’л =[У * + д2р/г* = (У14-г2)т hs
нетрудно вывести неограниченность этих решений вблизи любой фикси-
рованной точки (х, f) при h -> 0.
Несмотря на то что нами сейчас была показана непригодность схемы
при любом фиксированном т//г = г, ею все же можно пользоваться,,
если вести счет с очень маленьким, по сравнению с /г, временным шагом т.
ди । ди л , л
Сходимость к решениям уравнения + = 0 имеет место, если
и т^/22.
В следующем параграфе будут описаны такие схемы для гиперболи-
ческих уравнений, которые позволяют вести расчет с любым фиксиро-
ванным отношением т//г.
В заключение рассмотрим еще один любопытный пример разностной
ди । ди л х
схемы для уравнения Она пишется так:
и(Х, <+T)_“ W 0.+.“^-^/).
2
u(x-\-h, t) — u(x — h, t)__п
2h
Если предполагать, что w(x, t)—достаточно гладкая функция, имею-
щая ограниченные производные четвертого порядка, то, как обычно^
с помощью формулы Тейлора можно получить равенство
и (х, ,+T)Mx+/t./) + u(x-A, t)
u(x-[-h, i) — u(x—ht t)
2h
X
/?2 т / \
=» ut + ux—uxx + у au + О (т2, Л2, —j..
На решениях уравнения ut + ux—0 остаточный член, имеющий вид
стремится к нулю при й->0, лишь если у~>0, т->0, -^-“^0- Для
этого достаточно, например, связать шаги т, h зависимостью x=rh
(г = const). Если же окажется, что при /г->0, x=Rh2 (R = const), то
остаточный член стремиться к нулю не будет. Можно показать, что
в этом случае решения разностных уравнений будут сходиться к реше-
нию параболического уравнения
ди . ди_ 1 д2и
di + dx~2Rd&
374
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Схемы, которые при разных соотношениях между шагами прибли-
жают разные уравнения, называют негибкими.
В случае, если г = т//г = const, для сходимости необходимо, чтобы г
не превышало единицы. Это следует из рассмотрения областей влияния.
При г 1 сходимость имеет место. Наметим кратко схему соответ-
ствующего доказательства в предположении, что разыскивается решение
т. ди . ди j.,
задачи Коши уравнения f(x, t) по начальным данным, задан-
ным на отрезке при t —
ляют (для f>>0) решение в полуполо<
и. с7ти начальные данные опреде-
:е О^х— 1, £>>0. По нашей
разностной схеме мы можем
надеяться получить его лишь в
920 треугольнике t^x/r,
t (1 — х)/г, лежащем при
г<;1 внутри указанной полу-
полосы. На рис. 85, где изоб-
ражен этот треугольник, точки
разностной сетки отмечены в
шахматном порядке кружочка-
ми или крестиками. Легко про-
верить, что вычисления значе-
ний в кружочках никак не за-
висят от значений и (х, f) в кре-
- стиках, и наоборот. Я изобразил
чтобы отметить этот любопытный,
эти две группы по-разному, для того
хотя и не очень существенный факт.
Записав разностную схему в виде, разрешенном относительно
п(х, ^ + т),
и(х, t-\-i;)=^~^-u(x-[~hf t) + ~^u(x—-h, ty + nffx, t),
и предполагая г^1, легко выводим неравенства:
шах | и (х, 14- т) | шах | и (х, 01 + т max | /(х, t) |,
X X X, t
max [max | и (х, t + т) |, max | f(x, t) |1 (1 + т) max [max | и (х, t) |;
1 х хЛ J L х
max |/(х, 0 П,
X, t J
max | u(x, t) | (1 +t)x max [max \ u(x, 0)|, max |/(x, f) |
[ x x. t
const max [max | и (x, 0) |, max | /(x, t) |1.
Lx X, t J
Объединение этого неравенства, оценивающего решение разностных <
§ 36} НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 375
уравнений через начальные данные и правые части, с оценкой остаточ-
ного члена (f—O(h)) и приводит к доказательству сходимости. Я не
буду останавливаться на этом подробнее, но думаю, что читателю полезно
провести доказательство совсем аккуратно.
§ 36. Неявные разностные схемы
Лемма о разрешимости системы уравнений с трехдиагональной матрицей.
Неявная разностная схема для гиперболического уравнения и оценка ее реше-
ний. Исследование сходимости. Явная и неявная схемы для уравнения тепло-
проводности. Описание метода прогонки для решения разностных уравнений,
возникающих в простейших неявных схемах.
Разностные схемы для гиперболических систем, которые изучались
в предыдущем параграфе, были удобны тем, что никаких затруднений
при решении связанной с ними линейной алгебраической системы не
возникало. Разностные уравнения можно было решать последовательна
от одного временного слоя сеточных точек к следующему, причем для
одного шага этого рекуррентного процесса, т. е. для перехода от слоя t
к слою ^ + т, удавалось выписать явные формулы, по которым и сле-
дует проводить вычисления. В связи с этим такие схемы получили
название явных. Однако у явных схем для .гиперболических уравнений
есть один существенный недостаток. Они допускают счет лишь с не
очень большим шагом по времени. Это ограничение на шаги вытекает
из сравнения точной и разностной областей влияния. Мы останавли-
вались на этом сравнении в предыдущем параграфе.
Здесь будут рассмотрены примеры неявных схем как для гипербо-
лических, так и для параболических уравнений. Разностные уравнения,,
порождаемые этими схемами, не удается разрешить в простом явном
виде относительно временного сеточного слоя £ + ?, если на слое t все
неизвестные уже найдены.
В этом параграфе мы опишем и исследуем некоторые такие схемы,
но сначала не будем останавливаться на том, как фактически решать
возникающие из них уравнения. Несмотря на это, для решений раз-
ностных уравнений будут получены оценки погрешности. После этого
перейдем к вычислительному процессу, который обычно используется
для решения таких уравнений.
Прежде чем описывать построение разностных схем, докажем про-
стую, но важную для дальнейшего лемму о решениях системы линей-
ных уравнений некоторого специального вида.
Лемма. Система уравнений
м0 = ф>
ал«л_1 + &пил + ^ия + 1=5я (w=l, 2,. ...N—1),
коэффициенты которой удовлетворяют неравенствам
I Ь «I 1 + I ап | + I сп |>
376 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
разрешима при любых правых частях {ф, glf g n~ ь ф }> u для
ее решений справедлива оценка
| uk I =< max {I ф I, |£i|, Ш,...,|£лг-г|,Ж}.
Доказательство. Зафиксировав коэффициенты ар, bp, cpi пред-
положим, что (uQ) uv w2, ..., «дг) является решением системы при некото-
рых правых частях. Если среди | и0|, | иг |, | и2|,..| и дад | Ндг| макси-
мальным является либо | м0|, либо [uN |, то неравенство
| | «s max {| ф и н I l>- • v I §N-1 I}
очевидно. Если это не так, то максимальным является один из модулей
| |, | и21,..., | и^_г |. Пусть это будет | us |. Тогда
| и* I < | «5 I
для всех& = 0, 1, 2,..., N—1, N и, в частности,
IЩ I us-i |>
W 5*1 Над |.
Из равенства
bs us=gs as us_i cs us+l
и из предположения о коэффициентах вытекают неравенства
(1 + I as | + | cs [) | us | < | bs\ | us | \g$ | + | as I | us^ | + | cs | | w5+11 <
I gs i + ( I as I + I cs | ) | Hs |.
Из них уже с очевидностью следует, что
\gs I < max {|ф |, Ы, Ы,--->1£лм1> 1Ф1Ь :
Итак, во всех возможных случаях справедливо доказываемое неравенство
\uk\ шах{|ф|, ... , | g^ |, | ф |},
А = 0,1,2,..., N.
Предположив, что при некоторых правых частях решение существует,
^мы доказали, что* это решение не может быть слишком большим. Те-
перь остается доказать, что система уравнений действительно всегда
разрешима. Ясно, что если взять нулевые правые части ф = 0, g1=g2~...
...=gACi = 0, Ф==0, то получающаяся при этом однородная система раз-.. .
решима, так как ей удовлетворяет, например, тривиальное решение
п0 = О,ц1 = 0, м2 = 0,..., un_1 = 09 =
Покажем, что других решений у нее нет. В самом деле, любое реше-
ние щ, Ир..., им этой системы по доказанному удовлетворяет нера-
венству
KI=Cmax {|i|5|, |gi|...Igjv.J,
§ 36) НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 377
Итак, мы показали, что однородная система из N 4-1 линейного урав-
нения с N + 1 неизвестным,
«0 = °’
апип^ + Ьп ип + сп иа^=0, п=\, 2, ... , W — 1,
0,
имеет только нулевое решение. Отсюда вытекает, что определитель этой
системы отличен от нуля. Следовательно, эта система разрешима, и при-
том единственным образом, при любых правых частях. Оценка для ее
решения уже была получена.
Перейдем теперь к описанию конструкции разностной схемы. Для
простоты мы ограничимся рассмотрением одного гиперболического
уравнения
0-|£- + m(*,-0« = /(x, 0
с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью. Уравнение
это будем рассматривать внутри прямоугольника
0 х /.
Предположим, что k (0, t) >> 0, k (/, /)< 0, и будем задавать граничные и
начальные условия в следующем виде:
п(х, 0) = (о(х),
п(0, /) = ф(£),
и(1,
Относительно правых частей, начальных и граничных условий предпо-
лагается, что построенное по ним решение достаточно гладкое, а именно,
имеет всюду внутри и на границе прямоугольника ограниченные вторые
производные.
Временные слои разностной сетки расположим при f = 0, f =
£==2т,... t—ръ, выбрав в качестве сеточных точек на этих слоях
точки с координатами хо = О, x^h, x2 = 2h}..., XN~Nh = l. Шаг этой
сетки &x = h = l/N.
Разностные уравнения для определения и(х, ^ + т) во внутренних
точках сетки (х = Л, 2h,...,(N—i)h) мы зададим в зависимости от знака
k(x, t) одним из следующих двух способов:
+ tn (х> f) и (x, t)=/(x, t)>
378 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
-если k(xy 0^0;
u(xt t + x) — u (х, t) u(x + h, Z + т) — u (x, t + t) j
+m(x, f)w(x, 0=/(x, 0,
если k (x, 0 < 0. Кроме того, предположим заданными начальные и гра-
ничные значения
u(nh, 0) = (о(пй),
и (0, t + т) = ф (t + т),
u(Nhy t + х) — и(1, t 4- т) = ф(£ + т).
Мы покажем, что выписанная разностная система уравнений однозначно
разрешима и поэтому позволяет последовательно определить приближен-
ное решение на всех временных сеточных слоях, лежащих внутри на-
шего прямоугольника. Будет также показано, что значения w(x, 0, вы-
численные из этой системы, во всех точках сетки удовлетворяют оценке
|и(х, 0 К const [max (| <р |, [-ф |, |f|, |®|)] .
х, t
с постоянной, которая при достаточно малых т, h от этих шагов не
зависит.
Сейчас, предполагая обоснованными разрешимость уравнений и
оценку для решения, кратко наметим схему проверки того, что при
достаточно малых шагах т и h приближенное решение близко к точ-
ному. Эта схема — такая же, как и схема, использовавшаяся при рас-
смотрении разностного уравнения Лапласа, и ее аккуратное проведение
не вызовет никаких затруднений.
Наряду с приближенным решением, которое удобно обозначать и(х, 0,
рассмотрим точное решение w(x, 0 дифференциального уравнения. Если
его подставить в разностные уравнения и воспользоваться формулой
Тейлора, нетрудно убедиться, что эти разностные уравнения будут вы-
полнены точно, если только правые части f (х, 0 заменить на/(х, 0ф
+ а(х, 0 т, А), где а(х, 0 т, h) — погрешность аппроксимации
|а(х, 0 т, h) | < const (т + й).
Разность w(x, 0 — м(х, 0=V(x, 0 удовлетворяет уравнениям
V(x, t-\-x)-V(x-h, t-\-x) j
h *
-f- tn (x, 0 V (x, 0 = a (x, 0 r, h),
если k (x, 0^0;
V(x, / + т)-И(х, Q k V(x + ht t + x)^V(xt t + x) +
4-m(x, t)V(x, t)=a(x, t, t, h),
§ 36J
НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
379>
если k(x; 0<О,
V(x, 0) = 0,
1/(0, * + т) = 0,
V(Nh, ^4-т) = 0,
которые отличаются от нашей разностной схемы только правыми
частями. ^Поэтому для V(x, f) допустимо воспользоваться оценкой
разностного решения, которую мы обещаем обосновать:
\и(х, t)—u(x, 01 = 1 V (*, 01^
const [max |а (х, /, Л, т) | ] const (т + Л).
На этом заканчивается доказательство близости точного и приближенного
решений.
Задача. Сравните области влияния дифференциального и неявных раз-
ностных уравнений. Выясните, почему здесь большие kx/h не противоречат
рассуждениям Куранта, Фридрихса, Леви.
Переходим к доказательству разрешимости разностных уравнений
и к оценке решения.
Положив x=nh и обозначив u(nh, t-\-x) = uni уравнения
м(0, /Н-т) = ф,
и (х, / Т) — U (х, /)
+ ^(х, t) “
+ т(х, t)u(x, t)=f(x, t),
если k(x, 03^0,
и(х, /4-т)—»(х, 0
т
)
+ k(x, 0
u(x-}-h, t-±-x) — u(x, <+0
h
+ m(x, t)u(x, t)—f(x,t),
если k(x, 0<^O,
u(Nh,
можно переписать в форме
u0=<p,
алмл-1 "Ь Ьпип -|- спип+1 =gn,
un^,
где
— k (X, t) T если 0^:0,
а„= « 7
0, если k(x, 0<^О,
«, _1 । 1^(х’ 0 К
°п~1 । h *
( 0, если k(x, 0^=0,
cn = 0Т ' если < Q,
gn = ll—xm(x, t)\u(x, t)-\-xf(x, 0.
380 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ (ГЛ. V
При этом, очевидно, выполнены условия
1М=Н-Ы + Ы.
| gn I sg (1 + ТМ) max |и (х, 0|-|-ттах|/(х, 01-
X X. t
Из этих условий вытекает разрешимость уравнений для и(х,_ < + т) и
неравенство
]и(х, t-j-x) | max [ | <р |, (1 тМ) max | и (х, 01 +
+ т max | f (х, t) |].
X, t
Обозначив
F=max [ max | ср (01 > шах | яр (0 I > max | со (х) |, max | / (х, 01 ],
t t X X, t .
t/(0=*^max [F, max | и (x, t) | ],
X
можно написать:
L/(P4-T)^max [F,(1+ xM) U(0 + tF](1 + xM + r) U(0,
U (0 < [1 + t(A4 + 1)]tlx U(Q)^[l+x(M + 1)] r/TF < M *F.
Мы поступаем сейчас точно, так же, как поступали в предыдущем
параграфе при оценке решения, полученного по явной схеме. Так как
здесь t — любое кратное т, но не больше, чем Т, то мы .доказали
нужную нам оценку
| и (х, t) | const [max (| ф |, | ф |, |/1, | со |) ].
х, t 1
Рассмотрим еще две простейшие схемы для уравнения теплопровод-
ности
ди д2и г f ,ч
Мы ограничиваемся здесь случаем постоянного и равного единице
коэффициента температуропроводности.
Решение с начальными и граничными условиями
п(0, 0=ф(£), м(/, 0==ф(/),
и (х, 0) = со (х)
опять будем разыскивать в прямоугольнике
пользуясь той же самой сеткой с шагами т, h = llN, что и в преды-
дущем примере, когда решалось гиперболическое уравнение.
Рассмотрим две разностные схемы: явную
и (х, / + т) — u (х, t) u(x+h, t) — 2u(x, t) + u(x—h, t) _A
т —/(Л 4
§36]
НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
381
и неявную
и(х, t + x) — u(x, t) U(x + h, *+?) —2а(х, t + x) + u(x—h1 *+т) f
j (X, Г).
x h2
Каждая из этих схе^м приближает уравнение теплопроводности в том
смысле, что достаточно гладкое решение дифференциального уравне-
ния, будучи подставлено в разностное, удовлетворит ему, если только
к /(х, f) в правой части добавить а(х, t, т, h) — сеточную функцию,
стремящуюся к нулю при уменьшении т, й. Читатель может проверить
этот факт с помощью формулы Тейлора.
Явная схема, будучи разрешена относительно и(х, f 4"т)»
ф(^4-т), если х=0,
/ х I ч + 0+ f1 — 2 (*> 0 + гг^(х~Л, 04-
и(х, ^4-т)= h2 v 1 \ h2) v 7 1 h2 v ’ 7 1
4~?/(x, 0, если x=nh (л=1,2,N—1),
ф(^4“т)’ если x=Nh,
при x/h2 1/2 без труда приводит к неравенству
max |w (х, 14- т) | max [ | ф (t 4- т) |, | ф (t 4- т) |, max | и (х, t) |
4-ттах|/|].
X, t
Точно такое же неравенство может быть получено и для неявной схемы.
Для этого достаточно обозначить
• u(nh, t-\-x) = un, ап = сп= — &„=14-2^ (х=я/г),
gn = u(x, t) + xf(x, 0 (|6„| = 1-4-|ая|4-|с„|),
переписать уравнения в виде системы
и0 = Ф,
~|“ bnUn 4“ ^пЦп+1= gm Я = 1,2,..., N 1,
и применить лемму, доказанную в начале этого параграфа.
Неявная схема позволяет получить неравенство без какого-либо
ограничения на отношение x/h2.
Итак мы показали, что
max|u(x,/4-т)|^тах[ |ф|, |ф|, max |7г(х, t) | 4-т тах|/| 1.
х L х х, I J
Это неравенство отличается от неравенства, полученного несколько раньше
в случае схемы для гиперболического уравнения
max|w(x,/ + ^)|^niax Г|ф|, |ф|, (1 4-т/И)тах|и(х, /)Ц-ттах|/| L
х L х х. t J
только тем,-что надо положить М = 0.
382
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Как уже было показано, такое неравенство приводит к оценке
max | и (х, ОI М* max [ IФ I, 14* |> I f |, I IL
x,t x,t L J
Из этой оценки и из оценок для погрешностей аппроксимации а (х, t, т, h)
без труда выводится, что при малых т, h разностное решение близко
к точному. Напомним, что для шагов явной схемы предполагалось вы-
полнение неравенства т/й2=С 1/2. На шаги неявной схемы никакого огра-
ничения не накладывается.
Читателю будет полезно провести намеченные здесь рассуждения по-
дробно и получить оценку для погрешности.
Ограничение г = т/й2^1/2 для явной схемы существенно. В этом
легко убедиться, если проверить, что &(х, ^) = (1—4гУ/тй5( — \)x!h явля-
ется решением разностного уравнения
и (х, t -|- т) —- и (х, /) и (х-|-й, t) — 2и (х, t) + «(х — й, t)_л
т й2 °’
удовлетворяющим при t=0 начальным данным
и(х, 0) = hs
С помощью этого решения так же/ как мы это делали для явной схемы
в случае гиперболического уравнения, можно убедиться, что нельзя найти
не зависящую от h постоянную Л4* в оценке разностного решения, если
только при й->0 отношение г = будет оставаться постоянным и боль-
шим ^-(при этом |1—4г | > 1). Гбворят, что при r = X/h2>i/2 явная
разностная схема для уравнения теплопроводности неустойчива.
Приведенные нами примеры показывают, что часто удобнее пользо-
ваться неявными разностными схемами, чем явными. Это, конечно, только
в том случае, если решить неявные разностные уравнения легко. Оказы-
вается, что для систем уравнений вида
и0 = Ф>
«»-i + bn«n + cA+i=^ 2..............N — 1,
un=V
существует простой и удобный метод решения, который во всех случаях,
с которыми мы до сих пор встречались, к тому же еще слабо чустви-
телен к вычислительным погрешностям. Он представляет собой один
из вариантов хорошо известного метода Гаусса исключения неизвестных.
Сейчас мы его опишем, а в дальнейшем в § 38 проведем подроб-
ное исследование.
Уравнение и0 = Ф можно, положив
Li/a = О, =ф,
переписать так:
w0=Li/a «i + Kvt-
§ 361 НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 383
Уравнение
aiWo + ^i«i + ciMa=fifi,
исключив из него и0, можно теперь написать в виде
(«iL./, 4- bj) =gt — a^/,.
Если только 6ZxLi/27^ 0, что мы будем сейчас предполагать, то
и — С1 и ]
a^ + b. + ‘
После введения обозначений
. J ____________С1__ ZZ S1 °1К'/г
/г а^/. + Ьг ’ Л’Л О1£«/, + 61
неизвестное выразится через и2 с помощью соотношения
ut = L»/t и2 4- /С»/2.
Процесс исключения неизвестных можно продолжать дальше. Пусть
мы уже имеем соотношение
— 1= Ln —1/2 ип 4* Кп */« •
Исключив с его помощью ип _ i из уравнения
— I 4“ ЬпП 4“ СпЦп 4~ 1 == Sn>
приходим к соотношению
un==Ln^i/i ип± 14-/G +7Я>
где .
т ___________________________________ сп______
Ln + 'f> anLn-4t + bn'
Для возможности вычисления £д_р/2, /СЛц_1/2 надо, чтобы знаменатель
anLn- v2+&n не был равен нулю.
Получив соотношение
un~ 1 = Ln - */3un 4- Kn - vs
и учитывая, что й№=ф, можно вычислить «дг-i. После этого
определится из неравенства
Un-^^Ln-^^n-x + Kn-
и так далее, пока не будут последовательно определены все
WjV — 3> 1&N — 4>* • •> ^2» Цр U,q*
Интересно отметить, что при описанном сейчас процессе на решение
системы из N +1 уравнения уходит число арифметических операций,
только в конечное число раз большее N, тогда как на решение
384
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
произвольной линейной системы из N уравнений обычно приходится
затрачивать число арифметических операций порядка Л/3. Такого сокра-
щения работы удалось достигнуть благодаря специфике рассматриваемых
уравнений.
Изложенный метод называется прогонкой и разбивается на две части.
Первая из них состоит в последовательном вычислении «прогоночных
коэффициентов» (прямая прогонка), а вторая — в рекуррентном вычисле-
нии неизвестных, начиная с «дг, Цдг-i и кончая и19 w0 (обратная про-
гонка).
В дальнейшем в § 38 мы покажем, что при использовании прогонки
для решения широкого класса разностных уравнений никогда не при-
дется делить на нуль. Кроме того, будет показано, что этот метод мало
чувствителен к ошибкам в промежуточных вычислениях.
§ 37. Аппроксимация и устойчивость
реше-
Схематизация проводившихся исследований погрешности разностных
ний. Понятия аппроксимации и устойчивости. Из аппроксимации и устойчивости
следует сходимость. Пример разностной схемы для уравнения ~ — jf Kq.
торую удобнее считать аппроксимирующей не это уравнение, а следствие из него.
Разбор на примере той же схемы нетривиальности понятия аппроксимации в гра-
ничных точках.
Разбирая разностные схемы для уравнения Лапласа, для гиперболи-
ческих и параболических уравнений, мы всегда проводили исследование,
разбивая его на два этапа.
I этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение и
дифференциального уравнения Lu=f, после подстановки в приближаю-
щее разностное уравнение Lhu=j\ почти точно удовлетворяет этому
уравнению. Как правило, устанавливается справедливость равенств типа
Lhu — Lu-0 (Л),
Lhu—Lu = O (/г2 + т2) и т. п.
(/г, т—шаги разностной схемы). Проверка справедливости такого рода
утверждений называется проверкой аппроксимации,
II этап состоит в проверке так называемой устойчивости. Под
устойчивостью понимают выполнение для решений разностных
уравнений Lhuh=fh неравенства
Здесь ||«л||, ||/л|| — какие-либо нормы, в которых измеряют «величину»
разностного решения uh и правой части Д; Ж — постоянная, не завися-
щая от шагов разностной схемы.
Если разностные уравнения аппроксимируют дифференциальные и
если имеет место устойчивость разностных уравнений, то легко дока-
зывается близость точного и приближенного решений.
§ 37) АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ 385
В самом деле, пусть
Lu=f £лиа=/л> ||/—/л||=ei(й) ХЧ (Л)- 0 при /г — 0).
Здесь через ^{h) обозначена оценка аппроксимации правых частей.
В нее, например, могут быть внесены ошибки, возникающие при приб-
лиженном решении разностных уравнений. Чтобы (/г) —* 0 при h—>0,
необходимо с уменьшением шага увеличивать точность решения раз-
ностных уравнений, увеличивать число десятичных знаков, с которыми
вычисляются значения uh (чтобы уменьшить ошибки округления).
Ошибку аппроксимации \\Lhu—Lu\\ обозначим через е2(Л)
при й->0). Из‘равенств
\\Lhu-Lu\\==e2(h), \\Lu-f\\=O, II 11 = 0,
пользуясь тем, что норма суммы меньше суммы норм, можно получить
оценку ||£А(к — «а)||:
IIЬА (и — иА) ||=|| Ци — Lhuh ||=|| (Lah — Lu) + (Lu — f) + (f — fA) +
+ (fA-LAMA)K||LAM-Lu|| + ||LH-/|| + ||f-/AH||fA-LftHA|| =
= 82(Л) + 81(Й).
Теперь, воспользовавшись устойчивостью:
II И — MA||sgAf||LA(H—WA)||,
приходим к неравенству
IIи — uh||М [Bi(й) + е2(й) 1 -> 0 при й->0.
Близость точного и приближенного решений доказана.
Всё доказательства сходимости в предыдущих параграфах были
проведены именно по этой схеме.
Мы не будем заниматься полной формализацией этой схемы. Заме-
тим только, что в понятие операторов L, нужно включать не только
операторы, действующие внутри области, но и те, с помощью которых
задаются граничные условия. Часто бывает удобным выбирать различ-
ные нормы для оценки и—uh и для оценки правых частей fh.
Надо также отметить, что разделение исследования сходимости на.
изучение аппроксимации и устойчивости является условным, и поэтому
различные авторы при исследовании одной и той же схемы могут поль-
зоваться им по-разному.
Мы сейчас разберем один интересный пример приближенных раз-
du , ди £
ностных уравнений второго порядка точности для уравнения + =/>
на котором можно понять характер тех модификаций описанной выше
схемы исследования, к которым часто приходится прибегать.
лт ди . ди £ .
Уравнение + — = / мы будем рассматривать в прямоугольнике
а решение выделять ’ начальным и граничным
13 С. К. Годунов
386
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. V
условиями
и (х, 0) = ф (х), и (0, t) = ф (t).
Предполагается, что это решение имеет ограниченные производные вплоть
до третьего порядка.
Разделим отрезок [0, 1] на N равных частей длины h=l/N. Каж-
дая из этих частей будет шагом разностной сетки. Шаг по времени
обозначим т. Разностная сетка будет образована точками
( t — пъ, 0 п Г/т,
\x — mht
с целыми т, д.
Выпишем для точек (х, t) разностной сетки разностный оператор
и(х, /4-т) — и(х, /) j u(x-\-h, t) — u(x—ht t)
т + 2h
т \u(x-\-h, t) — 2u(x, t) + u (x — h, t) 1 \
— у [.------------/р--------------] —“ \Lhu)x, f
Ясно, что, значения этого оператора можно вычислить во всех точках
сетки, кроме точек, принадлежащих левой (х = 0) и правой (х=1) гра-
ницам, и кроме точек самого верхнега разностного слоя =
Для исследования аппроксимации воспользуемся, как обычно, фор-
мулой Тейлора:
т^ т3
и (х, 14- т) = и (Х, 0 + TZZ, + у utt + g- иш (х, 14- QjT),
h2 h3
u(x + h, t) — u(x, t) + hux + -^uxx + -^ uxxx(x-\-Q2h, t),
u(x—h,f)=u(x, t)-hux-\-~uxx—~uxxx(x-e8ft, 0.
Подставляя эти разложения в разностный оператор, придем к равенству
и (х, /4-т) — ц (х, /) I u(x + h, t)~u(x~h, t)
т 2h
т u(x + A, /)— 2u (х, /) + «(х — A, t)
~ 2~ * “ А3 “
=И/ + Ux + J- (Utt—Uxx) 4- о (т2 4- h2 4- hi),
из которого виден первый порядок аппроксимации нашим разностным
жж а , д
выражением дифференциального оператора +
Однако можно подойти к вопросу аппроксимации несколько по-дру-
гому. Для этого заметим, что
, , т , ч ди , ди , т / д д \ Iди . ди\
«г+ «x + y(tltt~uxx)— Q-t + 2"^— di) [dt
§ 37] АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ 387
и поэтому на решениях уравнения
dx~~J
можно утверждать, что
и(х, £+?) — «(х, t) , и (х 4-/1, /) —zz (х—A, t)
т + 2h
_т ..(« + >,. 0-2. <», 0+НХ-», 0 =/4. r g_^ + 0(T, + ft, + frl)
Для получения второго порядка аппроксимации нужно в качестве пра-
вой части разностного уравнения в точке (х, t) задавать не /(х, 0,
/(*> 0 + у^—Так построенное разностное уравнение будет
аппроксимировать не исходное уравнение W/ + w*=/, а вытекающее из
него уравнение
Щ + их + у (utt — Uxx) =/4- у (ft — fx).
Если рассматривать решение уравнения с правой частью /(х, 0 = 0, то
/+у(Л—А)=0> и на таких решениях разностное уравнение
и(х, /+т) —и(х, Q . u(x+ht ?) — и (х—Л, Q_
т ' 2h
т «(x + h, /) —2u(x, /)4-и(х—Л, t) А
2” Л2
аппроксимирует уравнение ut 4-^ = 0 со вторым порядком точности.
В дальнейшем мы и ограничимся рассмотрением только этого частного
случая /=0.
Разрешим наше разностное уравнение относительно и(х, ^ + т):
«(X, f + T)=u(x, +
. т2 и(х4-Л, Q — 2u(x, t) + u(x—h,'t)
+ 2 ’ /г2
Если при некотором фиксированном t нам известны значения и (х, 0
во всех точках х сетки, то с помощью этой формулы можно опреде-
лить разностное решение на момент времени во всех сеточных
точках х, кроме самой правой (х=1) и самой левой (х = 0). В этих
точках пользоваться выписанной формулой нельзя, так как для них не
определены либо u(x-\-h, 0, либо и(х — h, t). Однако на левой гра-
нице (х = 0) значения м(0, ^ + т) заданы в качестве граничного условия.
Нам остается указать лишь правило для вычисления п(1, + для
точек х=1 правой границы. Мы предлагаем пользоваться на этой гра-
нице разностным уравнением
и (1, /4-т) — и(1, /) и(1, /) —w(l—/z, t)
13
388 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ • [ГЛ V
С помощью формулы Тейлора нетрудно убедиться, что для гладкой
функции н(х, t) такой, что н/ + «х=0 (а следовательно, utt=uxx), спра-
ведливо соотношение
«(1, *4-Т)-И(1, I) f «(1, 0_„ ) „ । ’ „ h„ t
--------------------1------А------— ttt т «х "г у utt — Uxx
+^««/(1, ^+91Т)+уИххх(1-е2^ 0=^««(1> 0+О(т2+Й2).
Мы видим, что если ft—*0, a x!h = r фиксировано и г 1 (т # ft), то
это граничное разностное соотношение выполнено на решениях только
с первым порядком погрешности 0(h). На первый взгляд может пока-
заться, что это должно привести и к погрешности в решении порядка
О (h). Мы сейчас покажем, что это не так. Погрешность разностного ре-
шения будет порядка О (ft2).
Начнем исследование с некоторых вспомогательных построений* Обо-
значим через S(t) остаточный член разностного граничного условия
5(0=^««(1, 0+y«/«(i, f+61T)+^«^(i-0A о
и заметим, что для функций и(х, t), имеющих ограниченные производ-
ные третьего порядка,
S (t + т) — S (О = О (т2) О (ft2) (г == г ft), S(t) == О (ft).
Построим теперь сеточную функцию
Vh(х, [(т^т)* -(ттрт)"7^]= S(t)-R (х).
Легко проверить следующие свойства Vfi(x, t) для всех сеточных точек
1. УА(0, о = о,
2. Vh(x, t) = S(t)-O(h)==O(h*),
3 Vft(x, t+T)-VA(x, t) = S(t+%)-S(t) ,0(К)==0(fta)
T T
Прежде чем проверять свойства 4 и 5 у Vh(x, f), удобно сначала убе-
диться в том, что входящий в формулу для Vh множитель
удовлетворяет разностным уравнениям
/?(!)-/?(!-ft) J
ft
/?(x + ft)-7?(x-ft) т tf(x+ft)-2/?(x) + /?(x-ft) а
2ft 2 fta
§37]
АППРОКСИМАЦИЯ и УСТОЙЧИВОСТЬ
389
Выполнение этих равенств для /?(х) проверяется непосредственной под-
становкой. Теперь легко убедиться в том, что
УИ1, Н-т)-Уд(1, 0 Ул(1, 0
т ‘ Л
^S(/+t)-S(Q ] 5(/) /?(!)/? (1
= О (h). О (К) + 5 (0; (- 1) = - 5 (0 + О (h*),
Vh (*, /+т)~ Vh (х, t) Vk (x+h, t)-Vh (x—h, t)
2h
- Vh(x+h, Q-2Vft(x, t)+Vh(x-h, QI
Л2 J —
R (x) + S (0 __
т (x+h)-2R (x) + R (x-h) 1
- 2 • № J—
= -s (<+0.~g.(O R(X)=о (h) -0(h)^6 (h‘).
Два последних равенства и составляют содержание свойств 4, 5 функ-
ции V/,(x, 0:
4 . vh (1. <+т)~ VA (1, 0 t Vh (1, t)-Vk(\-h, Q r 0(ft8)>
5 Vft(x, ^+0-VA(x, Q , Vh(x+h, t)-Vh(x-h,t)
2
т
2/г
На рис. 86 изображен график сеточной функции Ул(х, t) при неко-
тором фиксированном t в окрестности точки х=1. (Случай г<1
4^
нам
1
о
только и
строении
. / \ 7-А/
/1-гъ\ ' / 1 5
\ /
V
Рис. 86.
нужно будет рассматривать в дальнейшем, поэтому при
графика Мы пользовались тем, что г<1.) В формуле
VA(X, 0=5(0л J
множитель S(f)h- от x не зависит и определяет «амплитуду»
фика. Он имеет порядок /г2.
по-
для
гра-
390
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Первое слагаемое в квадратных скобках (t—при h—>0 убы-
вает быстрее любой степени /г, а следовательно, при достаточно малых
/г—
h на графике не будет видно. Второе слагаемое — \7+Т/ h является
геометрической прогрессией с отрицательным знаменателем, по модулю
меньшим 1, затухающей влево. Точки этой прогрессии и изображены
при х=1, х=1—/г, х=1 —2/г,... на рис. 86.
Рассмотрим теперь сеточную функцию
Здесь и(х, t)—гладкое решение уравнения.-^ 4"^ = 0, uh(x, t) — реше-
ние разностных уравнений:
^(1, /+т)_Цл(1, 0 t)-uh(\-h> t) = 0
г ‘ h '
uh(x, t+x)^uh(x, t) . uh(x+n, i)-uh(x-ht t)
т ’ 2Л
t \utAx+h> t) — 2uh(x, t) + uh(x—h> 01—n
2L /i2 J ’
удовлетворяющее тем же начальным условиям и принимающее те же
граничные значения при х=0, что и и(х, f). Легко убедиться в том, что
а) 1Гл(0, 0 = 0,
b) Wh(x, 0) = О(/г2),
н Wh(*, * + т)-ГА(х, 0 । Wh(x+h, t)-Wh(x-h, t)
7 т “г 2h
т Wtlx+h, t)-2Wh(x9 t) + Wh(x-h, t)
2 A2 — Л
ф (1, / + т) —(1, Q j TFa (1, Q —(1—Q
Чтобы усвоить идею разбираемого сейчас построения, читатель должен с
карандашом и бумагой проверить, что равенства a), b), с), d) действительно верны.
Можно надеяться, что исходя из этих равенств, получается оценка
Гл(х, 0 = О(й2)
для функции Wh. Отсюда и из того, что Ул=О(/г2), мы приходим
к выводу
w(x, 0 —ил(х, f)=UZA(x, t)—Vh(x, 0=О(/г2).
Таким образом, все проведенное нами исследование можно рассматри-
вать как проверку аппроксимации, а получение оценки Wh(x, t) = O(h?)
из разностных уравнений для Wh— как доказательство устойчивости
схемы. (Это доказательство будет проведено ниже при г^1. При г>1
схема неустойчива, как это следует из соображений об областях вли-
яния, разобранных в § 35.)
§ 37] АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ 391
Проверка аппроксимации, которую мы проводили, очень поучительна.
Во-первых, она показывает, что иногда удобнее считать, что разност-
ная схема аппроксимирует не исходное уравнение Lu=f, а какое-либо
другое, являющееся его следствием. Так, в нашем примере, оказалось
х ди . ди п
удобным рассматривать аппроксимацию не уравнения + а выте-
кающего из него
Щ + т (utt — uxx)^=f+ т (ft —fx).
Во-вторых, проведенное изучение аппроксимации граничных условий
учит тому, что к выводам, получающимся путем формального примене-
ния тейлоровского разложения, надо относиться с осторожностью.
В нашем примере таким формальным путем удалось убедиться лишь
в аппроксимации порядка О (ft), тогда как фактическая точность при-
ближенного решения — О (ft2).
На самом деле и в нашем примере можно ввести понятие аппрокси-
мации, так чтобы она обеспечивала порядок О (ft2). Мы не будем зани-
маться этой формализацией, так как она по существу представляет
некоторое другое изложение проведенного нами исследования. Это изло-
жение нисколько не проще и менее наглядно. Желающие могут с ним
ознакомиться по нашей (совместной с В. С. Рябеньким) книге «Введение
в теорию разностных схем». Переходим к исследованию устойчивости.
Мы докажем, что решение разностных уравнений
w(0, £) = 0, w(x> 0) = <р(х),
w « /+'т) — w (х, /) , до (x-j-ft,/) —и, (л —Л,/)
т 2Л
т w(x + h, t) — 2w(x, t)+w(x—h, t)
2 да —r
/+т)-а/(1, /) &y(l, — t)
удовлетворяет оценке:
max || w (01| =Cconst ГЦ w (0) || 4- max || F (t) || + max | ф (t) | ].
t L t t J
Здесь приняты сокращенные обозначения:
1Н(ои=|/h 2 w2(x’ o+4®,a(1’ о»
У x^\-h
и(oii=-jf~h 2 p(x, 0.
У —Л
Как видно из этих обозначений, мы будем доказывать устойчивость
в разностной евклидовой норме, являющейся аналогом нормы гильбер-
това пространства 12- Доказательство несколько громоздко, и я при-
вожу его только для полноты вывода.
392 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ (ГЛ. V
Очевидно; достаточно доказать, что
II w (t + %) || (0 ||+т • М (|| F (01|+1 ф (0 |).
Действительно, из этого неравенства следует, что
max /||ш (^+т) ||, max||f(0||, шах|ф(/)|\^
, \ i t )
(1 +2тМ) max ^|| w (0 ||, max || F (t) ||, тах|ф(0|у
откуда
£
||^(0||^(1+2тМ)т max (||ay (0)||, max || F (t) ||, шах|ф(0|)
и, следовательно,
max J| w (i) || s= const ГЦ w (0) ||+max || F (() ||+max | ф (0 I] •
[ t t J
Если &y(x, 0) = <9(A2), F (x, 0 — 0 (А2), гр (0 — О (А2), то и w(x, t) будет порядка Л2
в смысле нормы,
max 1 Ла w2(x> 0 + т+г(°./)•
. г Л<х<1-Л
Переходим к доказательству неравенства
IIW (t+Т) II IIw (/) 11+rAf (И (011+1 Ф (/) I).
Разрешим разностные уравнения относительно w (х, <+т):
w (0,/4-т) =0.
w(x, t-]-v) = w(x, t) — -^[w(x+h, t) — w(x — h, <)] +
т2
+^a[“’(*+A- 0 —2®(x, t)+w(x-h, t)]+xF(x, 0
(x=ht 2A, ...» 1—Aj,
w (1, f + r)==t0(l, O — /)]+ТФ(О-
Сеточная функция w (x, на временном слое / + ? может быть представлена
как сумма
w (х, ^+t) = z(x, ?+t)+tF(x, f);
где
г(0, / + т)=0,
г (х, / + т) = иу (х, О — йт (х + ^, 0 — w (х—ht /)] +
т2
+ ^2 (х + ^» 0 —2оу (х> 0 + ^ (^—А, 01 (х==А, 2А, , 1—А),
г(1, <+т) = да(1, i)]>
(0 при х —0,
F (х, t) при A^x^l—А,
гр(/) при х=1.
АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
393
§ 37]
Очевидно, что
е£Гй1|>8(0+|/’ Л-22Р(х, О =Vh I ф (0 1+^2 И (01|.
При достаточно малых h
И(011^Л1(|ф(/)|+И(011) (м=/2>
Отсюда
II ® (i+т) ||=|| z (t 4- т)+tF (01| || г (/+т) ||+т || F (01|
<|г(Н-т)|1+*М(1М>(01+И(0|1).
Нам осталось доказать, что
||г(/+т)||^Н(0||. -
Введем упрощенные обозначения
z(x,'^ + t)=z„, n = xlh,
w(x, t) = wn,
r=x]h.
В этих .обозначениях
zo=O, юо=О,
г г2
Zn=wn- 2 (“'л+1 -wn-i) + ~2 (wn+i—2wn + wn-i), N = \/h,
zN=(\-r)wN+rwN_v
/ЛГ-1
n—\
/N-\
. V о . h
h 2, a'» + '2a’V •
n = l
Весь вопрос, таким образом, привелся к доказательству неравенства (г 1)
лг-1 Лг-1
2 ш»+'т№лг-
я = 1 п=1
При —1 (0<г^1)
г«==(’2‘+'2‘) + O + у+~2'j wn+h
[/ f f^\ / г r2\ 12
[j- + 2J wn-i + (1 — г2) wn + у+уwn+1 j «
Г / Г \ / г 12
I \~2~ ~2Г/ л"1 + (1 ~~ r^wn + —2”^ 2/ и'л+1] +
+ Г2(14~Г2) ~Ч> J2 “'«-I + (1 -fi} +
r2 (J _r\
+ - -2- - н1 - '2) (®,%i - wn-iwn\
394
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Просуммируем неравенства для учитывая при этом, что доо = О:
+ ГГ1(^_Д+(1_гг)+±1Н^^ 2 №’n-r(l-r2)(®V1^-0.^) =
n = l
= - •~12~-Г’ wf - - r 0 -r2) “WA + w"
n = l
v У-1
^_г8112+.Н4_1-r(l-rHA+ 2 wn-
n — \
Далее,
дг_! /V-l
1 V — r8(l+O 1 V ,
y zv+ У г" —2----------2 wN-i~r 0~r2) + 2 Wn
- »=1
Достаточно доказать, что
£1,--И/2
N N
2
г2(1 + И
—2-----“'am “ r (1 “ f2) wn-iwn °-
При этом мы должны использовать равенство
Преобразуем левую часть доказываемого неравенства:
ZN~WK ^(l+H
-2-----------2---“’AT-l -Г (1 “r2) WN-. 1WN =
Г2 (14-Г)
- -- — ---------—-----------~2— WN-1 -т о - r2) =
2
1_./1 r)2 r3
---L—>- - rS (1 - r) WNWN^ - у =
Этим заканчивается доказательство устойчивости схемы при г^1.
§ 38. Метод прогонки
Хорошо обусловленные системы уравнений, возникающие из разностных
схем. Разрешимость и хорошая обусловленность систем с близкими коэффициен-
тами. Получение оценок прогоночных коэффициентов для хорошо обусловленных
систем. Эти оценки выполнены как для исходной системы, так и для всех к ней
МЕТОД ПРОГОНКИ
395
§ 381
близких. Неравенство нулю знаменателя в прогоночных формулах. Схема реаль-
ного вычислительного процесса. Сведение его к точному решению близкой системы.
Ошибка результата зависит от максимума ошибок на каждом из шагов вычисле-
ний, но не зависит от числа шагов.
Нами был описан метод прогонки для решения разностных урав-
нений *
апчП-1 + Ъпип + с„и„+1 =gn (я = 1, 2, ..., N— 1),
И0==ф, ЯЛг = 1[).
Теперь мы займемся исследованием чувствительности этого метода
к вычислительным погрешностям.
Мы будем предполагать, что система разностных уравнений «хорошо
обусловлена». Под этими словами мы понимаем выполнение для решений
системы следующих неравенств
| ип I sg М max [| ф |, |ф|, |gft|], (1)
Обычно при изучении разностных схем приходится рассматривать не
одну систему разностных - уравнений, а целое семейство таких систем,
получающихся при различных шагах сетки. При уменьшении шагов число
N уравнений стремится к оо. В неравенствах (1) предполагается, что
для всех систем, принадлежащих рассматриваемому семейству, постоянная
Л1 одна и та же, иными словами, что при росте N эта постоянная не
возрастает. Мы видели, что для неявных разностных уравнений, по-
лучавшихся при аппроксимации гиперболического и параболического
дифференциальных уравнений, это обстоятельство действительно имело
место.
Наряду с основной системой
^n-i + bnun + cnun+1^gn (я=1, 2,..., ЛЛ—1), ,
н0 = Ф>
мы будем рассматривать также все «урезанные» системы
anun^ + bnun + cnun+1^=gn ^4-2,..., q— 1),
нр = фр, uq=^q (q^p + <2)
и предполагать, что их решения удовлетворяют аналогичной оценке
с той же постоянной М:
|«„|^Л1тах[|фр|, |%|, |gft|].
Нетрудно проверить, что в рассматривавшихся нами системах это пред-
положение выполнено. Не вызывает сомнений в наших примерах и вы-
полнение неравенств для коэффициентов:
|о„|<М |&„|<М
которыми мы также будем пользоваться при исследовании.
Как правило, под хорошей обусловленностью понимают несколько
иное. А именно, обычно система называется хорошо обусловленной, если
396,
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
ее решение мало изменяется при малом изменении коэффициентов и
правых частей. Нами будет показано, что это условие вытекает из
сформулированных выше требований.
Рассмотрим систему
«о = Ф>
апип^ + ЬпЦп + с„и„+1=g„ (я=1, 2,..., N—1),
а всевозможные системы, получающиеся из нее «урезаниями»:
=
апип_! +&„u„ + cnu„+1==g„ (п=р+1, р + 2, ...,9—1),
tt9 = ip, 9^р + 2.
Если предположить, что возмущение коэффициентов не слишком сильное,
а именно, если
I ап ап К 8 < ,
Rn—ьп\<8<ёл1.
\сп—сп\<ъ<щ,
то возмущенная система, так же как и ее «урезания», будут:
1° Разрешимы при любых правых частях.
2° Хорошо обусловлены в смысле неравенства (1) (только постоян-
ную М придется заменить на 2Л4).
3° Иметь ограниченные коэффициенты:
I Ди I < Л4 + рр
Iе" I < + 6Л?
4° Решения и„ и ип будут мало отличаться друг от друга:
|«п—н„ | е • 62И2 шах(| <р |, (ф|, |g*|).
Свойство 3° очевидно. Докажем свойство 2°, $ из него выведем и 1*
Предположим, что система
апЧп-1 + ЬцМп Hr = gw
§ 381 Метод прогонки 397
разрешима при некоторых правых частях. Фиксировав эти правые части,
обозначим
[л== max | ип |
P^n^q
и получим для ц неравенство:
р<2Жтах(|ф|, |ф|,
Оно выводится так. Систему можно переписать следующим образом:
Йр = ф,
ап«я_1+bnun + c„un+1=gn + (ап—~ап) + (Ьп — Ьп) ип + (сп—сп) ип^,
й?=ф
Из этой записи и из хорошей обусловленности первоначальной системы
вытекает неравенство
р. М max (| ф |, |г|>|, |&Ц-3.^йр)<у|* + Мшах(|ф|, | г|> |, | gb |)
и, следовательно,
р < 2Л1 max (| ф |-ф |, | gk |),
max | й„ | < 22И max (| ф | gk |).
Из этого неравенства следует, что однородная система с нулевыми ф,
ф может иметь только нулевое решение. Отсюда ясно, что опреде-
литель этой системы Отличен от нуля и что поэтому она разрешима при
любых правых частях. Свойства 1° и 2° доказаны. Осталось доказать
неравенство 4°, Переписав нашу систему в виде
иР —нр==ф — ф = 0,
(««-I — «п-i) + Ьп (Цп — ип) + сп (нЛ+1 — мЛ+1) =
= [(ап ап) un_i 4“ (Ьп Ьп) ип 4- {сп сп) ий+х] 4~
+ [<wLi + Ьпип + епип+1] — [айия_1 + Ьпип + епип+1] ==
= [(н«—ап) ип_! + (Ьп—Ьп) + (сп -^сп) ий+1] + gn — gn =
5=1 (Ид Пя) Ий_х 4“ (Ьп Т>п) 4' (^п ~ Сп) Un+1>
Uq — = ф = 0
и применив свойство 2°, получим
1’Ид — пя|^Л4-38-2Л1.тах(|ф|, |ф|, |^|).
Неравенство 4° доказано.
398
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Рассмотрим теперь систему
«р=Ч\ _
алнл-1 ~1~Ьпип Ч\слип+1 = &>
Uq = y,
которая отличается от исходной
«р = Ф>
ЯлИл-! + Мл +'СлИЛ+1 = gn>
,Ид = 11)
возмущением не только коэффициентов, но и правых частей. Предпо-
лагая, что
|ал—ая|<е, |ф—<р|<е,
|£л—М<е- |£л—ёл|<8,
|С„ —С„|<8, |ф —ф|<8, 8 < gif ,
нетрудно показать, что
|«л—I ==s 8 • 6Л42 max (I ф|, | ф |, |g„|)4-8-2Af.
Наметим только схему доказательства. Его нетрудно подробно про-
вести по этой схеме.
Изменив сначала только коэффициенты и оставив старые правые части,
с помощью уже доказанного свойства 4° покажем, что каждое из ип
изменится не более, чем на 8 • 6М2 • шах (| ср [, | Ф |> I gn |), а затем, меняя
в системе с возмущенными коэффициентами только правые части, убе-
димся с помощью 2°, что компоненты ип решения при этом изменятся
не больше, чем на 8-2714. Нами доказано, что если изменить коэффи-
циенты и правые части системы
И0 = ф,
^п^п-1 + Ьп11п -|- Сп11п+^ = gn,
«№=Ф
на величину порядка 8, то и решения изменятся на величину порядка 8.
Наряду с самой этой системой доказательство такого же свойства про-
ведено для всех ее «урезаний». Доказанный нами факт обычно и при-
нимается за определение хорошей обусловленности.
Важно отметить, что в постоянные, оценивающие обусловленность,
у нас никак не вошло число N рассматриваемых уравнений.
Теперь мы можем приступать к исследованию метода прогонки, ко-
торый был описан раньше, в § 36. Пусть мы хотим решить систему
и0 = ф>
anUn-i + Ьпип + спил+1 = gn,
uN=^.
§ 38] МЕТОД ПРОГОНКИ 399
Нам будет удобно наряду с этой системой рассмотреть также возму-
щенную систему
w0 = cp,
Ч” Ьп11п 4“ ^/г^П+1 := §П>
UN=$,
| I ® < G/Vf > I t>n I < ®> | <-п Сп | 8
и получить оценки прогоночных коэффициентов, которые годились бы
как для исходной, так и для возмущенной систем. При этом мы вос-
пользуемся тем, что для решений как той, так и другой (вместе со всеми
их урезаниями) выполнена оценка
| w„ I < 2Л4 • max [| ф |, 11|> |, | gk |].
Рассмотрим следующую урезанную систему
н0 = ф>
aniin_i + bnun + cnun+i = gn> п=1, 2,..., Z—1,
Она разрешима. Найдем из нее wz_i. Из формулы Крамера вытекает, что
wz_x представимо в виде:
I — 1
и^-1 = Ь|> + У, Лг& + Лоф = Lut + К.
, i = 1
Коэффициент L и величина К вследствие хорошей обусловленности
удовлетворяют неравенствам
| L | < 2Л4,
| К\< 2Л1 • max (| gk |, |ф|).
Величинам L и К удобно присвоить индекс /—1/2, и полученные со-
отношение и неравенства записывать так:
Mz-i = ^-1/2wz + ^-i/2»
| Lz —»/21 < 2Л4,
| Kz_ i/s | < 2М • max (| |, ! <p |).
Точно такое же соотношение было получено при описании метода про-
гонки. Отметим, что из использованной нами формулы Крамера следует,
что по gn, ап, bn, сп, ф(1 ^n^l— 1) коэффициенты Lz_i/e, Kz-»/,
определяются однозначно, и что для определения Lz —правых частей
ф> §v &>•••> знать не надо. Достаточно пользоваться коэффициен-
тами ап> Ьп, сп. Отсюда вытекает, что коэффициенты со"
впадают с полученными прогоночными коэффициентами, для которых
400
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
в § 36 были выписаны рекуррентные формулы:
Li/, = 0, /С1/2 = ф,
1 + '1’ 1 + '^ + К
Здесь, однако, нужно сделать одну оговорку. Дело в том, что при вы-
воде этих формул мы предполагали, что ни один из знаменателей не
обращается в нуль. Дадим обоснование этого факта. Для Ls/2 мы имеем
формулу
7 ci ______
Ls I „ = — ------ = 7Г-----.
ai^i/2 + ^i Ях-0-f-bi
Покажем, что | | > 1/2М Для этого рассмотрим «урезанную» систему
«о = О,
flitfo + Mi + ci«2== Ь
' п2 = 0.
Из ее разрешимости вытекает, что Ьт 0 и что = \/Ьг С другой
стороны, из хррошей обусловленности следует неравенство | | < 2Л1 • 1.
Сформулированное неравенство тем самым доказано. Отсюда следует
вычислимость по прогоночным формулам величин Ьз/2, Кз/2 и, следова-
тельно, выполнение для них неравенств: -
|Ь/3|<2М
| Кз/21 < 27И max (| gk |, | <р |).
Пусть мы уже показали, что по прогоночным формулам можно вы-
числить
^i/2> ^з/2, .. •, L>i—1/2»
Ki/2, Кя/2,..., Ка-Щ)
и покажем вычислимость bz_f_i/2, Kz-[-i/2« Для этого достаточно пока-
зать, что
lazbz-i/2 + ftz|^2Aj.
Рассмотрим систему уравнений
но = О,
+ biiti + с= 0, z=l, 2, ..., I—1,
^zMz-i + ^zMz + ^z^z+i = 1 >
wz+1==0.
Про решение такой системы мы знаем, что = i/2wz, | uz | <С 22И.
Из единственного неоднородного уравнения следует, что
(flzbz—vt4"^z) Wz= 1.
МЕТОД ПРОГОНКИ
401
§ 381
Разрешимость системы требует неравенства ^zbz-i/2 + ^z=#0 и равен-
ства Wz = =--------Утверждение | azbz-»/2 + ^z I > теперь оче-
aiLi-4t + bi
видно.
При реальных вычислениях мы на каждом шаге вычислительного
процесса делаем вычислительные погрешности, связанные с ошибками
округления. Поэтому реальный вычислительный процесс ведется по фор-
мулам
l./2=o,
Ю/, = ф+ %./,,
Ll+*/«= _ ?, +&.+*/.’
I I—/2 1 I
Kl+1/* a.L, t/ +b. +Xz+,/»>
It — */2 I
«№=’I’4-V№
ui — Li+vfli+i + 4* vz-
Предположим, что для всех вычислительных погрешностей справедливы
оценки
I %*+ч* I < 1^-нд К 8, | vz | < б
с достаточно маленьким б, и попробуем оценить, насколько эти по-
грешности могут исказить результат вычислений.
Очевидно, что приведенная сейчас сводка формул может быть пере-
писана так:
!-./,=0, '
^’/г = Ф + х>/2>
г , —[Ct —(aA-«/.4-ftj)*7+«/t]
+*/!
K‘ + '^ alLl_t/i + bl + xz + >/2 + Vz —
_. gz + aFi-1 + (a A - y2 + ^) (xz +»/, + vz) ~ z -»/2
az^z —»/, + ^z
z«z = ^z4->/2 + K’z+</2>
и рассматриваться теперь как схема вычислительного процесса для ре-
шения системы
zze=<p,
anun-i + bnun + с„нл+1 = g„,
«№ф,
402 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
со следующими возмущенными коэффициентами:
Ф = Ф4-х./г,
ai = аь
bi = bb
ci~ci— (aiLi—'/z-\-bi) K + 'ii (Li/? = 0),
gi = gi + ai^i—i + (aiLi — i/s + bi) (%z 4-1/2 + vz),
ф^ф + Vjy.
Докажем, что | ct—ct M (2214 + 1) 6. Доказательство будем вести ин-
дукцией по Z.
При 1=1
k~i - Q | = | (ахЬЧг + bj К.,, | = | (аг • 0 + Ь,) X./, |< Мб < М (2М + 1) б.
Пусть для k=l, 2, ..., I—1 неравенство
I ск-ck\^ М (2М+ 1)6
доказано. Для вычисления коэффициентов Li/3, L«/s, мы ис-
пользуем только коэффициенты ab bb Ci при /=1, 2, I—1. Поэто-
му, если М(2М-{-!)& <2^, то мы можем утверждать, что \Li — i/3\^
^2М и что, следовательно,
I ct-ct I == I -(atLt _ t/1 + bt) Kt+v, К (M -2M + M) 6 = M (2M + 1) 6.
Этим индукция полностью завершается.
Таким образом, показано, что если 6 < 6^2 р > то Iе/ —
^214(2214+1)6 для всех Z, и для всех прогоночных коэффициентов
выполнены неравенства
| Lz - V J 2yW’ I aiLi - V» + bi I 2ТЙ ‘
Мы видим, что в течение всего нашего вычислительного процесса нам
никогда не придется делить на нуль.
Теперь из наших формул для ср, ф, gt следуют неравенства
|ф—ф i < 6, 1'ф—•ф|<6,
Igt _g[ | < Л16 4- м (2М + 1) • 26 = М (4М + 3) б.
Оказывается, что допуская на каждом шагу вычислительного процесса
ошибки не ббльшие 6, мы тем самым решили систему с возмущенными
коэффициентами и правыми частями. Эти возмущения не превышают
Л4*б, где 214* зависит только от М и не зависит от числа уравнений
системы:
Ж* = шах{1, (4214 4-3)214}.
§ 39] ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 403
Как было показано раньше, такое возмущение коэффициентов и пра-
вых частей приводит к погрешностям в ип не большим, чем /И**б.
(Здесь М** опять-таки зависит лишь от 2И.)
Тем самым показано, что, совершая при вычислениях по методу
прогонки ошибки порядка б на каждом шагу процесса (число таких
шагов N), мы получим в ответе ошибки не больше, чем const • б,
где const не зависит от N. Ошибки не только не нарастают, но даже
не накапливаются. Это замечательное свойство прогонки и послужило
основанием для ёе широкого распространения.
§ 39. Итерационные процессы решения разностной задачи Дирихле
Формальная схема. Сведение вопроса о сходимости к случаю нулевых гра-
ничных условий. Специальный ортонормированный базис в пространстве сеточ-
ных функций, равных нулю на границе. Аналогия с процессом выравнивания
температур и ее использование для «придумывания» итерационных процессов
решения разностного уравнения Лапласа. Выбор параметра т для простейшего
итерационного процесса. Оценка работы, нужной для того, чтобы уменьшить по-
грешность в заданное число раз. Процесс Дугласа—Рэкфорда, использующий
«расщепление» итерационного оператора на одномерные. Циклическое изменение
параметров. Леммы о произведении собственных значений и оценка скорости
сходимости.
В этом параграфе речь пойдет о методах решения задачи Дирихле
для разностного уравнения Лапласа
&ххи 4- \ууи = 0, и |г = (р.
Здесь символами &ххи, \ууи обозначены для краткости разностные ана-
логи вторых производных:
А u&+hx, y) — 2u{xt y) + u(x-hx, у)
^ххи ————————Tg ,
ах
и(х, y+hv) — 2u(x, у} + и(х, y—hv)
^yyU =---------У--------------------У- .
Для простоты ограничимся случаем, когда область, для которой
решается задача, является единичным квадратом 0 у 1
и разностная сетка также квадратная: hx = hy—\/N.
К сожалению, в настоящее время не существует удобного прямого
метода решения такой задачи, который был бы хорош при достаточно
брльшом числе точек сетки, имеющем порядок №. (Аккуратный под-
счет показывает, что наша сетка содержит (N— I)2 внутренних точек
и 4(14—1) граничных; четыре угловых точки в уравнениях не участ-
вуют). Поэтому я ограничусь тем, что разберу два итерационных метода
решения. Один из них очень простой и был известен уже давно. Его
нельзя считать удовлетворительным, так как скорость его сходимости
существенно замедляется при увеличении М Другой метод, который мы
изучим, был предложен в пятидесятые годы уже после широкого рас-
пространения вычислительных машин. Он сходится быстрее. В настоящее
404 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ * [ГЛ. V
время есть целый ряд других методов, сходящихся еще быстрее. Однако
они являются логически более сложными. Кроме того, идея, лежащая
в основе второго метода, получила очень широкое распространение.
Поэтому я остановился на этих двух методах для того, чтобы про-
иллюстрировать вопросы, возникающие при анализе методов решения
двумерных разностных уравнений, и рассказать о том, с помощью
каких ухищрений это решение сейчас обычно проводится.
* Итерационные процессы ведутся по следующей схеме:
1 и^(х, y) — Pmit[m~1\xi у).
Здесь ..., и<т\ ... последовательные приближения к реше-
нию, а Рт—некоторые линейные операторы. В обозначении этих опе-
раторов поставлен значок zzz, чтобы подчеркнуть возможную зависимость
этих операторов от номера итерации. Для того чтобы процесс был
легко осуществим, надо, чтобы эти линейные операторы удавалось при-
менять к сеточным функциям с помощью не слишком большого
числа арифметических операций. Предположим, что Рт удовлетворяют
следующим требованиям:
1) Рти^ принимает в точках сетки на границе квадрата те же
значения, что и
2) Если сеточная функция и(х, у) удовлетворяет уравнениям
A^« + A^w = 0,
то при любом т
Рти = и.
Пусть теперь и(х, у)—точное решение разностной задачи Дирихле
“Ь kyyU = 0
«1г = ?,
которое, как мы знаем, существует при любой граничной сеточной функции
ф. Пусть начальное приближение w(a) (х, _у) для итерационного процесса
удовлетворяет граничным условиям |г = ф. Тогда, по свойству 1)
операторов Рт, на всех итерациях граничное условие м<т>|г==ф будет
выполнено. Вычитая почленно равенства
u = Pmii,
получим —и] = Рт —- и].
Сеточная функция v^==uw—и обращается на границе в нуль
и представляет собой погрешность приближенного решения
Поэтому для изучения скорости сходимости наших итерационных
процессов нам достаточно оценить скорость убывания с ростом т той
или иной нормы функций связанных равенствами
^)|г = 0,
§ 39] ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 405
В качестве такой нормы мы возьмем эвклидову норму
II 4 2 [vW(x, y)]*hxhy.
' х, у
Сумма под корнем берется по всем внутренним точкам разностной сетки
(в граничных точках (х, _у)—0). Пространство сеточных функций,
обращающихся в нуль на границе, имеет размерность (N—I)2. В самом
деле, очевидно, что существует (N— I)2 линейно независимых таких
функций, принимающих в одной из внутренних точек сетки значение
1/2//£/£= N/2, а в остальных точках значение ноль. Норма каждой
из таких функций равна 1, и нетрудно проверить, что они ортогональны
друг другу. Под скалярным произведением функций v(x, у), ю(х, у)
(-v |г = 0, w |г = 0) мы понимаем
(v, w) = 4 У v (х, у) w (х, у) hxhy.
х, у
При изучении тех линейных операторов Рт, которые у нас встретятся,
удобно перейти к другому базису в том же (N—1)2-мерном простран-
стве. Этот базис состоит из функций
(х, у) = sin прх sin nqy
р = 1, 2, ..., ДГ-^1, (/=1, 2, ..., N—\.
Очевидно^ что таких функций точно (N—I)2. Мы докажем, что их вза-
имные скалярные произведения вычисляются по формулам
(1, если
(0 в противном случае.
Тем самым будет показано, что эти функции образуют ортонормиро-
ванный базис. Следовательно, любая сеточная, обращающаяся в нуль на
границе функция ^(х, у) может быть единственным образом представ^
лена в виде
ДГ-1
х»(х, у)= 2 сР.ди(р, 9)>
р, 2=1
причем
/v-i
х,у P>q=\
Операторы Рт будут строиться таким образом, что векторы ® будут
являться их собственными векторами с некоторыми вещественными соб-
ственными значениями кт’ 9)- ПОЭТОМУ
|| Pmv II=УДОМ max I е * I = max | е ?) I b ||
г р, q р» q г р, q р> q
406
РАЗНОСТНЫЕ* МЕТОДЫ
[ГЛ. V
и скорость сходимости можно оценивать с помощью наибольшего по
модулю собственного числа оператора Рт.
Докажем ортонормированность базиса, состоящего из функций и&
с помощью следующих трех лемм.
Лемма 1.
Af, если p/N—целое число,
0, если p/N—нецелое число,
р — целое,
1, если р— полу целое
(p/N при этом нецелое).
Доказательство. Если p/N— целое, то пкратно 2л и, сле-
/ 2лр\ , *
довательно, cos = I. Утверждение леммы I в этом случае оче-
видно. Если p/N—нецелое, то е N I, и поэтому можно воспользо-
ваться следующей выкладкой
V-! /JV—I 2кр\
V 2пр D ( V г«-лг\ n е N —I „ e'ap”— I
2 cos«-?r = Rel 2 e " Me-5----------------= Re“^--------•
"“° \„=o / e N' e N -1
y-l
Если p — целое, то <?12рте=1 и, следовательно, cos ==0. Еслир —
п = 0
полуцелое, то е12рте = —1,
/ z2p \ of 2рл • • 2Р;
Г9П1Г 1 о п —1 —2 cos-C-----1 sm —
__ _2 _ _2\e /v — 1/_________ \ W W
2тер — 2рк ~ j .2pit - \/ 2pn \~ 2рл\
e‘v-_i „.j) 2(l~cos4H
, 2рл . 2рл . 2рл
1 — cos-—- sin -—г- sin
___-2L+i____i+/_________
, 2рл “ , 2рл ‘ , 2рл *
1—COS-^n- 1— COS-^ry- 1— COS -77"
NN N
В этом случае
N— 1
v г» е1*Рп — 1
2cosn-/ = Re-^r-
л=° е 1 N _1
/ • 2ря \
/ sin -у- \
*е !+Z--------fcr =1-
Лемма полностью доказана.
§ 39]
ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
407
Лемма 2. Пусть k, I—любые из целых чисел 1, 2, 3, М—1.
Т огда
N, если k=4,
0, еслп k и I одинаковой четности
лг-1
У cos^.^U ((*-Л /2-Ч^ое),
\ 2 N)
лв° 1, если йфЦ k и I разной четности
((Л — Z) /2 — полуцелоё)\
лг-1 / л .
2/ k+l 2л \ I 0, если k и I одинаковой четности,
cos (n-у— -пгт =<
л==0 \ 2 N ! ( 1, если k и I разной четности.
Эта лемма выводится из леммы 1. Для вывода первого равенства надо
положить p = (k —1)/2 и заметить, что р — (й — может принимать
значения
N । < 2V.3 1 п 1 W 3 2V 1
2 + b 2 + 2 » 2 ’ 2 ’ 2 2’2 Е
Очевидно, что для всех этих р, кроме /7 = 0, отношение p/N—нецелое.
Значение р = 0 получается лишь при k = l. Для обоснования второго
равенства достаточно заметить, что полусумма может прини-
мать только значения р=1, 3/2, 2, 5/2, 3, ..., N—1/2, М—1, ни для
одного из которых отношение p/N не является целым.
Лемма 3. Если k, I—любые из чисел 1, 2, ..., JV—1, то
N-\ ( N
2. / kn\ . / 1л\ Нт, если k = l,
Sin ln-гг Sin\n-vj- =< 2’
\ АГ / \ NJ I
' n^\ V 0, если k=^l.
Для доказательства нам удобно добавить в исследуемую сумму ну-
0/гл , л /л
sin 0 и записывать ее так:
/У-1 лг-1 /V—I
V . kn . In 1 v f k — l2n\ 1 V f k + l2n\
J Sinn-T7 Sinn-ГГ= о" 7 COS П—П—-ТТ —тг Z cos \n Ti-” •
N N 2 7^ \ 2 N/ 2 \ 2 N)
n=0 n=G n =Q
Из этого представления, полученного с помощью элементарного тож-
дества sin а • sin (J = у cos (а—р>-— у cos (а + Р)> и из леммы 2 следует
утверждение леммы 3.
Теперь давайте вспомним, что мы рассматриваем сетку на единичном
квадрате O^x^l, с шагами hx=l/N, hy=l/N. Фиксиро-
вав некоторое у, мы получаем одномерную последовательность точек
xn — n/N. Это позволяет нам переписать лемму 3 в виде
Л^-1 1
2. , . . -кт-, если k = l,
Sin kftXn Sin l7txn == 2/гх
я=1 '‘О, если Ay=Z,
408
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. V
или более символично
1 Z. 7
пт-, если k = l>
%hx'
О, если &#=Z,
I, Л=1, 2, ...» 1—1.
hx
^sin knx • sin Inx ==
Суммирование здесь подразумевается по всем внутренним точкам х, при-
надлежащим сетке.
Аналогично
[ оТГ, еСли
Zj sin kny • sin !лу == < £ny
у I 0, если
k, Z=l, 2,... 1— 1.
hy
Теперь мы уже можем переходить к доказательству того, что функ-
ции zz^’ 4) (х, у) образуют в пространстве сеточных функций ортонорми-
рованный базис. Напомним, что ^~sin(pxn)sin(qyn) и что ска-
лярное произведение ^), вычисляется у нас по формуле
4hxhy 2 (х, У) Qi) (х, У)- Поэтому
х,у
(w<Pi> ?i), «(Ра» 7»)) = 4hxhy 2 sinPiXft sin qryn sin p2xn sin q2yn =
X, у
= /2hx У] sinp-gix sin p2nx\ /2hy sin q&y sin q^y) =
\ * /\ у
( 1, если /h=^2> =
\ 0 в противном случае.
Опишем теперь операторы РтУ которые будут участвовать в наших
итерационных процессах. Те процессы, о которых я буду рассказывать,
были изобретены при помощи следующей элементарной физической ана-
логии.
Представим себе, что мы хотим построить решение уравнения
в некоторой области G, такое, что и |г = ф. Под функцией
и(х,у)> как мы знаем, можно подразумевать стационарное распределе-
ние температуры в цилиндрическом теле, которое там устанавливается,
если на граничной поверхности в течение длительного времени поддер-
живается температура ф. Это толкование решения наталкивает на сле-
дующую мысль. Рассмотрим нестационарное уравнение теплопровод-
ности
ди__д2и . д2и
dt~'dx^ + dy2
в той же области G, с тем же граничным услови-
ем ц|г = ф (ф не зависит от Z). Естественно предполагать, что каково
§ 39) ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 409
бы ни было начальное распределение температуры и(х, у, 0) *=* (х, у),
решение нестационарной задачи будет при £->оо стремиться к стаци-
д2и
онарному распределению, описываемому уравнением Лапласа g^-2- 4- ^==0.
Поэтому, естественно, приходит идея использовать разностные аппрок-
симации уравнения теплопроводности для построения разностных процес-
сов, устанавливающихся к решению разностного уравнения Лапласа.
Простейший из этих процессов получается, если аппроксимировать
„ ди д2и . д2и
уравнение ^ = 5^2+5^2 при помощи следующей схемы
Д(1+,. ,)„(/, х, J,).
Значения и (t, х, у) в граничных точках сетки предполагаются заданными
и не зависящими от t. Если воспользоваться нашими разностными урав-
нениями, обозначить и (0, х, у) через и(0), а и (t, х, у) через ит (х, _у)
(/тг = ^/т), то мы приходим к следующим формулам для определения
через
и{т} (х, = <
uSm (х, j) в граничных точках,
(х, у) + т (Длх 4- Д^) (X, J)
во внутренних точках.
Тем самым мы определили оператор Р, преобразующий и^т~^ в
и(^) = ри(т-1). в данном случае операторы Рт не зависят от номера
итерации /«: Р1==Р2==.. .==Рт==Р.
Очевидно, что так определенный оператор удовлетворяет поставлен-
ным нами в начале параграфа требованиям (1) и (2), т. е. он не меняет
граничных значений и не меняет точного решения уравнения (Ахд. +
+ Д^)и=0.
Посмотрим, как преобразует оператор Р наши базисные функции
w(p»0(x, y)==sinpxn sin qyn(p, q~i, 2, ..., N—1). Эти функции на гра-
нице принимают нулевые значения.
Теперь заметим, что
ДхдЛ^’ я}
= sin qy л Ахх sin рхл =
— Qin л игг sin Р (*+^) зт - 2 sin рхп + sin р (х — hx) л _
“ — dill U у 4 v ’ - -mF.. — - . j-- - . -| ----- i-
2
= sin q у л Tg- [ cos (р/?хл) — 1 ] sin рхп =
Пх
= — £2 sin2 ^9“ w(p’ (•*» У) — — ^N2 sin2 (х, у).
/Ту AriV
Аналогично устанавливается, что
Ayyi№’ = — 47V2 sin2 ~ t№> & (х, у).
410
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Теперь очевидно, что
ри(р, ?) == р — 4tN2 (sin2 ~ 4"sin2 g} (*> У),
т. e. что преобразование P умножает вектор & на множитель
?)=1_ 4т№ (sin2 4- sin2 .
Пусть Cptq—коэффициенты разложения сеточной функции (х, у) ==
= —lt по базисным функциям и^^(х, у)
v(rn 1) = yi QU(p, q) уу так чт0 || v(m 1) ||__ j/"У^Ср, д-
Тогда
.IIH=KS р^]2 max 1I Vx^q = max | & ||}^m-D||.
P« Я p. Я
Из приведенных сейчас формул видно, что постоянная шах | №• ^|
р» я
II vlm} II
в оценке -|| II ®ах IZ<₽’ ” I
не может быть улучшена. Обо-
значив Л (т) = max | № j, мы
р> я
получаем следующую неулуч-
шаемую оценку для скорости
убывания погрешности
при итерациях:
h«K[A(T)rh(0)ll-
Ясно, что если т таково, что
Л(т)>1, то процесс будет расходиться, по крайней мере для некото-
рых начальных данных, и что приЛ(т)<1 скорость сходимости тем
быстрее, чем Л(т) меньше.
Вычислим
Л (т) = max j 1 — 4т№ (sin2 + sin2 | •
?=1’,7.7 W-1
Для этого заметим, что
л _ . лр .
Sin -XV7 sin ~ sin
л (W-1)
2^
(Я Я \ Л “1 / « • о л
'2~2N)~CO32N==V 1—sin 2^,
а следовательно, что
. О Л • . п Л>Р
S^^^sin2^
. п Л
ln ~2N-
§39]
- ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
411
Аналогично
• о Л . л Л О 1 . а Л
sin2sin’ll —sin2
(и верхняя и нижняя границы здесь достигаются).
Очевидно, что Л(т)^1 при т<0, и поэтому достаточно ограни-
читься разбором положительных т. Мы видим, что
1—4т№ 2
— 4T№!(sin2g + sin!
(1 — 8т№) + 8т№ sin2 < I - 8т№ sin2 ~,
8r№sin2-^,
2N9
А(т)=тах
| (1 _ 8tAT2) _|_ 8тД/2 sin2 |
I l-8xA2sin2^|
1 — 8xA2sin2— при 8т№«£2,
2N
— [(1 — 8т№) + 8т№ sin2 при 8т№ > 2.
График Л(т) изображен на рис. 87. Наименьшее значение Л(т) дости-
гается при т=4^, которое следует считать оптимальным. При этом
Л(т)=1 — 8x№sin2-^—1— 2sin2-^.
Таким образом, мы получили рекомендацию вести процесс по формулам
^(^-1) (х, у) в граничных точках,
U(m-D _j_ JL во внутренних точках
и(от>=
и оценку
для убывания погрешности.
Если подставить вместо Дхх, \уу их выражения с кх = Ну=Л/Ы,
то итерационные формулы запишутся для нашего процесса в следую-
щем изящном виде:
и(я,) (х,_у) =
w(/n 1}(х, у) в граничных точках,
у [lit'”-1’ (х—hx, у) + (х, у—Л-у)] +
+ 4 [и("”1) (* + (*’ У + М
во внутренних точках.
412 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
На каждой итерации значение во внутренней точке (х, у) надо заменять
на среднее арифметическое в четырех соседних точках.
Прикинем, какое число т итераций требуется в этом процессе,
чтобы погрешность ||^(w)|| стала меньше, чем е || хА0) ||. Для этого надо
найти т из уравнения
Следовательно,
In 8 In 8-i 2Д/2 , 1
^ = —7---------= ------7-Т-Г^—Б-1П
Число итераций, потребное для одинакового уменьшения погрешности,
растет с увеличением числа точек как N2. Это является серьезным не-
достатком описанного очень простого и удобного процесса. Из-за этого
недостатка целесообразно пользоваться исследованными сейчас итера-
циями лишь при небольшом числе точек сетки.
Теперь мьк перейдем к описанию другого процесса, свободного от
этого недостатка. В этом процессе переход от н(т“1) к осуще-
ствляется в два приема. Сначала находится вспомогательная функция
ц{т—1/2) решением системы разностных уравнений
(m—l/2) (w—1)
Эти уравнения не позволяют сразу выписать формулы для rz(/n“1/2) (х, у),
но могут быть решены с помощью прогонки. В самом деле, каждое из
разностных уравнений связывает значения неизвестных «И—1/2) в трех
точках (х— hx,y), (х, _у), (x^-hx,y). Уравнения «расслаиваются», обра-
зуя независимые друг от друга системы для каждого фиксированного у
Каждая из этих систем — в точности того типа, который нужен для
применения изученного нами варианта метода прогонки.
После того как */2) найдено, функция находится решением
следующей системы: <
Ауу(и^ — ; и^) |г = и<т~>/2).
Эта система для w<OT) опять расслаивается на системы (каждая при фйк-
сированном х), решаемые прогонкой.
Оказывается, что из всех приведенных уравнений можно исключить
и(т—1/2> и получить уравнения, непосредственно связывающие И
О. Введение и^т~~1/2) нужно лишь для того* чтобы свести решение
разностных уравнений к одномерным прогонкам.
Выразим —1/2) из второй системы:
и(т -1/2) и(т) _ (W(m) _ и(т-1))
и подставим это выражение в первую. Получаем равенство
Д^(т) + ^ууи^ = + тД^Д^ )).
§ 39J ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 413
Это во внутренних точках. На границе же Довольно
ясно, что при малых т эти уравнения опять-таки могут рассматриваться
как некоторая аппроксимация уравнения теплопроводности. Так они
и были придуманы. Очень важно для осуществимости процесса,
что эти двумерные уравнения «расщепляются» на независимые одномер-
ные. К настоящему времени такие же расщепляющиеся схемы построены
для всех основных многомерных уравнений математической физики.
При исследовании итерационного процесса, определяемого выписан-
ной системой, мы отвлечемся от физической аналогии с уравнением
теплопроводности и не будем вовсе требовать, чтобы параметр т был
маленьким. Эта аналогия была существенна лишь для того, чтобы под-
толкнуть к изобретению процесса.
Мы будем строить последовательность операторов Plt ... по
одному и тому же правилу, описанному выше, с тем только отличием,
что каждому значению т будет отвечать некоторое вполне определен-
ное значение параметра т=тт, входящего в описание оператора. Итак,
уточним описание оператора Р\
1) В граничных точка* значения функции w — Pu совпадают со
значениями w.
2) Во внутренних точках значения w — Pu находятся как решения
разностного уравнения _
(w—и).
Покажем, что оператор Р этими условиями определен и удовлетворяет
требованиям 1), 2), сформулированным в начале параграфа. Выполнение
1) — совпадение граничных значений — очевидно. Выполнение 2) — т. е.
совпадение w и и в случае, если + &yyU = 0> —мы проверим сей-
час одновременно с доказательством разрешимости уравнений для w
и с единственностью решения.
Обозначим через z- разность W—w. Эта разность обращается в нуль
на границе и удовлетворяет уравнениям
^ХХ% + ^уу^ “ ^^ХХ^УУ^ = (^ХХ^ 4“ ДудД) =-f (Хч у)»
Здесь функция /(х, у) определена только во внутренних точках сетки
и ее можно доопределить нулями в граничных точках. Если мы дока-
жем, что линейный оператор &хх + &уу—?—тД^Д^ невырожден на
(N—1)2-мерном подпространстве равных нулю на границе сеточных
функций в нашем квадрате, то тем самым будет доказана разрешимость
уравнений для z, единственность этого решения и равенство z=0
в случае Хххи + &yyit = 0. Вспомнив, что мы убедимся в вы-
полнении все* проверяемых свойств Р.
Для доказательства невырожденности
^хх 4" &уу ~ тДХл &уу
414 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
достаточно найти у этого оператора (N—I)2 собственных функций
с ненулевыми собственными значениями. Такими собственными функци-
ями являются & (х, _у). В самом деле, из равенств
Д „(Р. ?) = — 4№ Sin2 ££ «<Р- 9\ ки<Р' 9) = — 4№ Sin2 и<Р- 9)
£N £1У1
вытекает, что
^хх + ^уу Т^хх^уу} =
= - (4№ sin2 g + 4N2 sin2 +1 + Т. 16^ sin2 sin2 <».
Это равенство показывает, что t№> —собственный вектор с ненулевым
(при любом конечном т) собственным значением.
Все нужные свойства оператора Р проверены. Вычислим теперь все
его собственные значения на пространстве функций, обращающихся
в нуль на границе. Собственными функциями опять будут ц(р> & (х, у).
Пусть |г = 0, тогда v = Pv определяется следующими равенствами:
i |г = 0, \xxv 4- &yyv = +тДхДу (х> — V).
Положим и постараемся удовлетворить этому уравнению
с помощью
i = fal(P, 9) = МР, &11<Р'
Если это удастся, то из единственности будет следовать, что других
решений нет и что и<Р> &— собственный вектор с собственными значения-
ми ?).
Непосредственной подстановкой с использованием равенств
кххи<р- 9) = — 4№ sin2 и<р- 9), кууи<Р- 9) = — 4№ sin2 «О’- 9)
получаем, что А должно удовлетворять уравнению
- 4№ (sin2 4- sin2 К ==^2 + т(Х- 1)16ДР sin2^ sin2
которое, очевидно, разрешимо и имеет решение
14-т2 • 16W4 sin2 sin2
X=№ ?> =____________™.
1 т. 4№ / sin2 + sin2 ) + т2 • 16№* sin2 sin2
Очевидно, что при положительных т все меньше единицы и про-
цесс будет сходиться вне зависимости от того, какое т выбрано. Однако
детальный анализ зависимости от т позволяет предложить такой
вариант процесса, который будет сходиться существенно быстрее про-
цесса, рассмотренного нами ранее.
§ 391 ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 415
Фиксируем некоторое достаточно большое N и определим убывающую
последовательность параметров т:
_ 1 ________1 1 1
1 4-9* Т2 16-4 9’ Тз“ 162.4.9’ ^16^“.9’
Из этой последовательности мы отберем конечное число k параметров
Тр т2, ...,тл по следующему правилу: xk — первый из нашей после-
довательности, который меньше или равен 1/W2:
Ь>4г при S=l, 2, k— 1,
Из нашего способа построения последовательности вытекает, что
1 1 16^-1^^
* 16^16№’ 16*-1 • 4 • 9 16№ ’ ^9’
т. е. что k = O (In N). Например, для М=100 досгаточно взять k = 4.
Мы докажем, что каковы бы ни были р, q=l, 2, ..., N—1, всегда
имеет место неравенство
0<Р’ф,тх) X ^?)(Мт2) X ... X %^^(Мтл)<0,68. (1)
Из этого факта вытекает следующее следствие. Если выполнить
итерации по описанному нами способу со значениями параметра т:
тр т2, ..., тл, то погрешность после этого цикла будет меньше чем 0,68
от первоначальной погрешности. Повторив этот цикл, мы добьемся по-
грешности не большей чем (0,68)2 от первоначальной и т. д.
Циклически меняя параметры т2, ..., т*, тр т2, ..., т*_р тй, Тр ...
тл, мы будем за тп шагов уменьшать погрешность сильнее, чем
в (0,68)^/* раз. Для убывания погрешности в 1/е раз достаточно,
чтобы (0,68)т/А==е, т. е. чтобы т — k X In ДИп С ростом чи-
сла точек число итераций растет здесь уже не как №, а всего как In N, —
значительно медленнее. Итак, нам осталось доказать неравенство (1).
Введя обозначения = 4N2 sin2 , мы перепишем формулу для в
следующем более компактном виде
<1+ЧР) (1+4,)'
Очевидно, что при достаточно большом М
9 < л2-О |р = 4№sln2<4№.
Итак, мы имеем
9^^4№, 9^^4ДЯ
Числа т^р, Tk-ilPy • ••, при любом фиксированном р образуют
возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем 16. Наиболь-
416
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
шее из них больше, чем у ^т.- к. 9 а наимень-
шее меньше 4 (т. к. 4N2 = 4^. Значит, хотя бы одно из чисел
Т1£р, т2£р, .попадает внутрь отрезка [1/4, 4]. Итак, мы показали,
что для любого р найдется такое, что 1/4 4. Дока-
жем, что 0 < №> р) (N, т5) 0,68. Для этого рассмотрим формулу
где l/4^2' = Ts-gp^4. Во-первых, заметим, что
1±* ц-1
Р/ 1+22 _ 22 _ X /1\
rW-(l+z)2 jl+zy -
Поэтому достаточно убедиться в неравенстве 0 F (z) sg 0,68 при
1 z 4. Но это очевидно из следующего представления:
0 <1<Р(г)=1 + 1(1 - 2 + _1у2 = 0,68.
Воспользуемся теперь тем, что
0< Х<р* ₽)(№ Ti)< 1,
0 <%<₽>₽> (М тг) < 1,
0<1<Р'Р>(Мт4)^0,68,
0<Х Р>(Мтт)<1,
0<A<P'P)(№ts_1)<1, 0<Х(р-р>(Мт*)<1,
и выведем отсюда неравенство
О < А<р- р) (М т,) Х<р- р) (АГ, тг)... Х<р> Р> (ДГ, т*) < 0,68.
Самая трудная часть исследования закончена. Из неравенства
Zlplq^Zp + lg выводим:
(1 +т2у?)2=(1 +т4ОТ + 2т2^Х
(1 + + Т2 (й + й)=(1 + т2й) (1 + тТ?),
Ог, хы? ^1/1+т^р
XI + ^р) (1 +Tgg)^r (l+xgp)2’(l+T^)2 ’
%(p, 9) (T, N)^V №> P) (N, t) X<«- 9) (N, t).
Отсюда уже очевидно, что
0 < %(Р- (N, т,) Х<р- (N, та)... Х<р- ?> (№ тй)
< У Х<р. р) (N, тх) 1<р- Р> (N, т2)... Л<р- р) (М Tft) х
X ?) (М Тх)... %<?' (М тй) < V0j68 V0fi8 = 0,68.
Обещанное доказательство неравенства для собственных значений про-
ведено, а тем самым обоснован циклический итерационный процесс,
предложенный Дугласом и Рэкфордом в работе 1956 г.
j р. 05 н