В.И. Денисов
Введение в электродинамику
материальных сред
Отсканировано и обработано в 2006 году
студентом 313 группы Михаилом Орловым, orloffm@gmail com
Будучи крайне меркантильной тварью, он также на всякий случай
публикует здесь номер своего Яндекс Кошелька 4100161299456

ББК 22.313
Д II
УДК 53@38)
Рецензенты:
доктор физ.-мат.наук, профессор В.Г.Багрсш
доктор физ.-мат.наук, профессор В.Р.Халилов
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Денисов В.И»
Д II Введение в электродинамику материальных сред: Учебное
пособие. - tt.: Изд-во Моск.ун-иа, 1989. - 166 и.
В учебное пособие включен материал, составляющий основу
лекционного курса по макроскопической электродинамика Со-
Содержание и последовательность изложения соответствую* дей-
действующе;: программе общего курса "Электродинамика" и читае-
читаемым легцйлм на третьем курсе физического факультета ЛУо
Для схудентиБ физического факультета МГУ.
G77@2)-89 - Заказное ББК 22.313
ISBN ^-211-01^71-9 © Издательство Московского
университета, 1989 г.

- 3 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I, ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ
СРЕД 6
§ I. Микроскопическая и макроскопическая электроди-
электродинамика и их связь 6
§ 2. Усреднение уравнений Максвелла по физически
бесконечно малым объецу и промежутку времени .. 8
§ 3. Векторы поляризации и намагниченности вещества I?
§ 4. Материальные уравнения 20
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля и их калиб-
калибровка в макроскопической электродинамике 27
§ 6. Уравнения для потенциалов 29
§ 7. Уравнения макроскопической электродинамики в
интегральном виде &
§ а. Граничные уел era я дай векторов электромагнитно-
электромагнитного поля 35
§ 9. Закон сохранения энергии в макроскопической
электродинамике ,. ^ I
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ ^3
§ 10. Основные уравнения и соотношения электроста-
электростатики 43
§ II. Электростатика проводников 48
§ 12. Силы, действующие на диэлектрик во внешнем
электростатическом поле ¦ 52
§ 13. Разреженный нейтральный газ во внешнем элект-
электростатическом поле , » , 58
§ 14. Тензор натяжений Максвелла длядиэлокт^ч^'х^й
среды во внешнем электростатическом поле 60
ГЛАВА 3. МАГНИТОСТАТИКА 66
§ 15. Основные уравнения и соотношения магнитостати-
магнитостатики ,,. 66
§ 16. Поле линейных проводников с током *с... 68
§ 17. Закон Ома для линейных проводников с током ... 78
§ 18. Силы в магнитном поле 79
ГЛАВА 4. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 80
§ 19. Уравнения электромагнитного поля в квазиста-
квазистационарном приближении 80

§ 20. Скин-аффект 83
§ 21* Ква8истационарные процессы в линейных провод-
проводниках 90
ГЛАВА 5. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 95
§ 22# Уравнения макроскопической электродинамики в
ковариантном виде 95
§ 23. Законы преобразования векторов поля в макроско-
макроскопической электродинамике 102
§ 24* Материальные уравнения для движущегося веще-
вещества 105
§ 25* Основы магнитной гидродинамики III
§ 26. Некоторые эффекты магнитной гидродинамики .... 115
§ 27• Магнитогидродинвмические волны 121
ГЛАВА 6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МАТЕРИ-
МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ 128
§ 28. Комплексная диэлектрическая проницаемость раз-
разреженного нейтрального газа 130
§ 29 • Физический смысл мнимой чаоти ? 13?
§ 30. Формулы Крамерса-Кронигв 140
§ 31. Фаговая и групповая скорости электромагнитной
волны в диспергирующих средах «••• 148
§ 32* Распространение плоских электромагнитных волн
1 прозрачных средах 150
§ 33* Отражение и преломление электромагнитных волн
на границе раздела сред

- 5 -
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие написано на основе курса лекций
по электродинамике, читаемого автором в течение ряда лет сту-
студентам Ш курса физического факультета МГУ. Тематически данное
пособие охватывает основные вопросы, традиционно относящиеся ко
второй части курса - электродинамике материальных сред и совер-
совершенно не затрагивает электродинамику вакуума. Такой выбор мате-
материала обусловлен тем, что, как показывает многолетний опыт чте-
чтения лекций и ведения семинарских занятий, изучение вопросов,от-
вопросов,относящихся к электродинамическим процессам в вакууме,не вызывает
у студентов особых затруднений. При изучении же электродинамики
материальных сред возникают известные затруднения, связанные с
многообразием рассматриваемых явлений и использованием при этом
более сложных приемов и методов решения краевых задач. Поэтому
если данное пособие будет способствовать лучшему овладению сту-
студентами материалом второй части курса электродинамики, то автор
будет считать свою задачу выполненной.
Следует также отметить, что ограничившись только вопросами,
входящими в программу общего курса лекций, автор был вынужден
оставить почти без обсуждения такой интересный в научном плане
и важный для практических приложений раздел электродинамики ма-
материальных сред, как нелинейную оптику. Поэтому для более дпаль-
ного изучения идей и методов нелинейной электродинамики и её эф-
эффектов хотелось бы порекомендовать либо прослушать соответствую-
соответствующие специальные курсы, читаемые на физическом факультете МГУ, ли-
либо самостоятельно познакомиться с этим разделом по имеющейся в
настоящее время довольно обширной научной и учебной литературе.

- б -
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕД
§ I. Микроскопическая и макроскопическая электроди-
электродинамика и их связь
В первой части курса электродинамики, основываясь на
уравнениях Максвелле
dlvH = О,
div ff =
и уравнениях Лоренца
— = еЕ + c-
мы изучали различные электродинамические процессы, происходя-
1дие в вакууме и обусловленные наличием в некоторых областях
пространства электрических зарядов и токов. Развитый аппарат
позволял нам решать достаточно широкий круг задач: изучать дви-
движение заряженн^ос частиц во внешних полях, определять напряжен-
напряженности полей Е , Н , интенсивность и поляризацию излучаемых
и рассеиваемых частицами электромагнитных волн и т.п.
Эту часть курса электродинамики -традиционно называют мик-
микроскопической электродинамикой. Характерной особенностью микро-
микроскопической электродинамики является то,что предметом рассмотри
ния в ней обычно служат либо электромагнитные поля в вакууме,ы
бо движение и излучение небольшого числа электрических зэрядои.
Однако,в принципе,микроскопическая электродика-микз применима и

- 7 -
для описания яроцессов,происходящих ъ вакууме с участием сколь
/годпс оолыаого числа заряженных частиц. Поэтому на первый
лзгляд кажется естественной попытка использовать ее для игуче-
иия электромагнитных процессов, происходящих в ььществе, рас-
рассматривая каждый атом как систему точечных зарядов, находящих-
находящихся в вакууме. Но такой подход к описанию электродинамических
процессов в веществе встречает непреодолимые трудности.
Действительно, в единице объема вещества содержится чрез-
пычайно большое число (порядка Ю23) атомов, каждый из которых
представляет собой сложную квантовомеханическую систему. По-
Поэтому выражения для плотностей зарядов и токов в уравнениях
Цчксвелла A.1) в этом случае должны состоять также из очень
сольного числе: слагаемых. Далее, каждый атом вещества находит-
находится в непрекращающемся тепловом движении. Поэтому, чтобы задать
щп&ления для pft^t) и Ji^t} , нам, в принципе, необходи-
необходима детальная информация о положении и движении каждого атома
и всех его составных частей. Соответствующая задача в теорети-
чиско!: м«;хшшке, как известно, не может быть решена, в резуль-
результате чего описание систем С большим числом частиц в ней пошло
пи статистическому пути. В нашем же случае эта задача осложне-
осложнена еще и тем, что задачу о движении всех частиц вещества и оп-
определении создаваемого ими электромагнитного поля необходимо
решать совместно, так как это поле существенно влияет на дви-
движение создающих его частиц.
Уже эти причины наглядно свидетельствуют о бесперспектив-
бесперспективности прямолинейного использования микроскопической электроди-
электродинамики для определения электромагнитных полей в веществе и по-
показывают необходимость разработки статистического подхода к
этому вопросу. Но существуют еще и другие веские основания для
отказа от микроскопического подхода. В частности, предположим,
что мы Бее ке сумели преодолеть все стоящие на нашем пути пре-
препятствия и математические сложности и получили некоторое гипо-
гипотетическое точное решение для электромагнитного поля в вещест-
веществе. Так как напряженности полей в пределах каждого атома очень
существенно изменяются от точки к точке (в сотни миллионов раз),
то заведомо ясно, что это решение представляло бы сфбой очень
неоднородное по пространству поле, которое, ко всему прочему,
Зависело бы еще и от времени из-за весьма замысловатого тепло-
теплового движения атомов. Поэтому, с одно:: стороны, данное решение

- 8 -
ошюывалооь бы очень громоздким математическим выражением, что
оущеотвенно затрудняло бы его математический анализ, С другой
отороны, полученная информация о поле в веществе в громадном
большинстве олучаев была бы избыточной, так как для изучения
процессов в веществе зачастую достаточно знать усредненные по
некоторому малому объему величины» Более того, любой макроско-
макроскопический прибор в связи с конечными размерами датчиков, да и
любая квантовая система, не в состоянии измерить напряженность
поля в некоторой точке и в некоторый момент времени и дают ин-
информацию только о величине поля, усредненного по некоторым бо-
более или менее малым объемам пространства и малым промежуткам
времени* Поэтому для большинства практических приложений полу-
полученное точное решение все равно пришлось бы огрублять, усред-
усредняя по характерным малому объему и малому промежутку времени.
Все это наглядно свидетельствует о том, что для описания элект-
электродинамических процессов в веществе уравнения (I.I) микроскопи-
микроскопической электродинамики, содержащие точные значения полей, долж-
должны быть заменены другими уравнениями, которые бы содержали не
значения напряженностей полей б данной точке и в данный момент
времени, а некие средние напряженности, получаемые усреднени-
усреднением точных значений по характерным малому объему и малоцу про-
промежутку времени. Раздел электродинамики, оперирующий уравнени-
уравнениями, полученными на основе такого подходами называется макро-
макроскопической электродинамикой.
§ 2» Усреднение уравнений Максвелла по физически
бесконечно малым объему и промежутку времени
Основные уравнения макроскопической электродинамики, как
мы выяснили, могут быть получены из уравнений Максвелла AЛ)
путем усреднения всех входящих в них величин по некоторому дос-
достаточно малому объему пространства и характерному промежутку
времени* Такой переход от микроскопических уравнений к макро-
макроскопическим впервые был осуществлен в 1902 г. Г.А.Лоренцем.
Существенным моментом при получении уравнений макроскопи-
макроскопической электродинамики является определение понятий физически
бесконечно малого объема и характерного промежутка времени. Эти
величины должны быть выбраны так, чтобы после усреднения по ним
исчезли все быстрые изменения напряженностей электромагнитных

полей в пространстве и времени, обусловленные атомно-молекуляр-
атомно-молекулярным строением вещества и,вместе с тем,сохранились все характер-
характерные черты изучаемого электродинамического явления. Отоюда не-
непосредственно следует, что линейный размер в0 физически бес-
бесконечно малого объема должен быть значительно больше величины
среднего межатомного расстояния ol и значительно меньше вели-
величины L , характеризующей макроскопические условия задачи
(см.рис.Х):
CL « Со « L. .
В качестве макроскопического параметра L , в зависимости от
контекста решаемой задачи, может выступать наименьшая из следу-
следующих величин: длина волны электромагнитного излучения, линей-
линейный размер области, занятой веществом, характерное расстояние,
на котором проявляется неоднородность внешнего поля и т.п.
Zi
0
• - -" •
у'У^'ч
Рис. I. Соотношение между макроскопическим парамет-
параметром задачи L , длиной ребра с0 физически
бесконечно малого куба и средним межатомным
расстоянием а. в веществе
Совершенно аналогично в качестве физически бесконечно ма-
малого промежутка времени X выберем величину, которая была бы

- ID -
значительно больше периода TQ изменения микрополей, обуслов-
обусловленных атомно-мо л окулярным строением и тепловым движением ве-
вещества и значительно меньше характерного макроскопического пе-
периода Т , например, периода изменения внешнего поля:
г « т « Т.
о
Операцию усреднения некоторой микроскопической величины fffit)
по физически бесконечно малым объему пространства (например,
кубу, как на рисЛ) и промежутку времени будем обозначать ло-
ломаными скобками
- ? fdt ^fdv^l) • BЛ)
причем центр физически бесконечно малого объема V (например,
куба или шара) для определенности будем считать помещенным в
точку г ** t^ • В результате такого усреднения все резкие изме-
изменения микроскопической величины f в пространстве и времени,
обусловленные атомно-молекулярным строением вещества,взаимно
компенсируются, в результате чего усредненная функция </>
будет характеризовать макроскопическое (сглаженное) состояние
этой величины. Следует отметить, что в макроскопической теории
после усреднения всех величин по физически бесконечно малым
объему и промежутку времени мы уже не вправе интересоваться
деталями электродинамических явлений на расстояниях меньше ?0
и отстоящих друг от друга на время меньшее, чем Т . Говоря
иными словами, в макроскопической теории Ео и Хо являются ми-
минимально возможными расстоянием и промежутком времени.
Выясним теперь, что происходит, если мы усредняем по физи-
физически бесконечно малым объему и промежутку времени производные
от некоторой микроскопической величины f(r\i) . Усредним,
например, Э^/Э? . В соответствии с принятым определением
B.1) имеем

- II -
1 //у
2т
вычислим теперь производную по времени t от
ъ
2т
v
С^пшииля ди» последних выражения, видим, что
Совершенно аналогично можно показать, что
B#3)
Таким образом» операции взятия честных производных по координа-
координатам и времени переставимы с операцией BЛ) усреднения. Следует
отметить, что определение (Z.I) операции усреднения не является
универсальным и применимо только при изучении простейших задач
макроскопической электродинамики, когда величина К4У слабо
зависит от выбора формы физически бесконечно малого объема и
не изменяется при смещении центра этого объема на расстояние
порядка межатомного расстояния. Если эти условия не выполняют-
выполняются, то усреднение по физически бесконечно малым объецу и проме-*-
жутку времени производят, используя некоторую весовую функцию

12 -
В качестве весовой функции обычно выбирается функция Гаусса*
Но в нашем курсе, при изучении общих закономерностей макроско-
макроскопической электродинамики, такая степень общности не потребует-
потребуется и мы будем использовать определение BЛ)
Таким образом, операции взятия частных производных по координа-
координатам и времени в макроскопической электродинамике переставимы с
операцией усреднения.
Проведем усреднение микроскопических уравнений Максвелла
по физически бесконечно малым объему и промежутку Бремени* Для
этого уравнения (Ы) удобно записать^ несколько ином виде,
вводя для напряженностей микрополей Е и п новые обозначе-
обозначения:
В результате получим следующую систему уравнений:
1 Эе , 4х -г
-~ + —у,
rot е « - ^

- 13 -
также и дифференциальный закон сохранения заряда
~? + divT = О , B.5)
мпторый является следствием системы уравнений B.4).
Учтем теперь, что в любом веществе заряженные частицы мо-
могут находиться как в свободном состоянии, так и в связанном
(«ходить б состав атома или молекулы). Первые из них под дейст-
иием внешних полей могут перемещаться на значительные расстоя-
расстоянии! в то время как движение вторых ограниченно пределами до-
допускаемыми полем атома или молекулы. 6 соответствии с этим пол-
полную плотность заряда в веществе мы можем разделить на две час-
части, выделив явно плотности свободных зарядов О g и связанных
ипрндов О * :
л = л + о д . {2..в)
'[.шип |11г.)дпл1П1ио эирндом предполагает, что мы полностью исклю-
чмом ии рооомотрения электродинамические процессы, при которых
.«мриди переходят из одной группы в другую (например, пробой
/шмлоктрика и т.п.). Так как всякое движение свободных и свя-
wiiihux зарядов сопровождается появлением плотности тока, то
Пилную плотность тока j мы также можем представить в виде
Оумыы плотностей токоб свободных и связанных зарядов:
Т - Та + Та** • B-7)
Следует отметить, что разделение зарядов на свободные и свяэан-
ные в ряде случаев произвести достаточно сложно, так как при
определенных условиях (особенно при наличии высокочастотных
ииошних полей) различие между поведением свободных и связанных
дпридов может практически отсутствовать. Поэтому применять урав-
мония и соотношения макроскопической электродинамики к таким
подачам следует крайне осторожно.
Поскольку дифференциальный закон сохранения заряда B.5)
и микроскопической электродинамике применим, вообще говоря, к
ниждой отдельно взятой частице, то очевидно, что он будет вы-
выполниться независимо как для свободных, так и для связанных за-
гидом:

= 0,
B.8)
Вполне очевидно, что соответствующие усредненные величины, в
силу правил дифференцирования B,2) и B.3), будут удовлетво-
удовлетворять аналогичным соотношениям
B.9)
Проведем теперь усреднение выражения B.6) по физически беско-
бесконечно малым объему и промежутку времени
Последнее слагаемое в этом соотношении удобно представить в ви-
виде
где Р - некоторый вектор, называемый макроскопическим векто-
вектором поляризации среды. Подставляя это выражение во второе из
соотношений B.9) и изменяя порядок следования независимых опе-
операций взятия дивергенции и частного дифференцирования по време-
времени, получим
Так как это равенство должно выполняться тождественно, то, как
следует из векторного анализа, выражение, стоящее в фигурных
скобках,представляет собой ротор от некоторого вектора, который
удобно выфать в виде

- 15 -
где М - вектор» называемый (макроскопическим) вектором на-
ммгмиченности_?реды._В соответствии с принятой терминологией
дли векторов Р и М , величину
называю! плотностью тока поляризации среды, а величину
7" = crotM B.9а)
J М
плотностью тока намагничения. Таким образом, усредненные зна~
«мжия плотностей свдзанных^зарядов и токов могут быть выражены
чороэ два вектора Р и 14 :
<2Л0)
особо подчеркнуть, что, хотя векторы Р и М и не
оприделнются однозначно соотношениями B.10), мы в дальнейшем
Д,удем считать, что вне вещества они обращаются в нуль, посколь-
поскольку своим существованием они обязаны исключительно нали-
наличию вещества»
Теперь в нашем распоряжении имеется все необходимое для
получения уравнений макроскопической электродинамики.
Усредним микроскопические уравнения Максвелла B.4) по
физически бесконечно малым объему и промежутку времени» Тогда,
учитывая соотношения B.2), B.3), B.6) и B.7), получим
<*г>, С2Л1)
= О,
c/Lv<e> =

- 16 -
Введен тепевь следующие обозначения*'для усредненных микропо-
лей е" и к : _^
<?> = ? э
<?> = в. ^
В выражениях для <?>св^ и (§сВъа> ОПУСТИМ знак усреднения
и индекс сб , понимая далее в макроскопической электродина-
электродинамике под q и JT соответствующие усредненные величины свобг
ных зарядов:
в> s 9> <Тсв> ¦/• B-J
Тогда система уравнений B.II) примет вид
= О,
Дальнейшие преобразования коснутся лишь первого и последнего
уравнений этой системы. В частности, учитывая соотношение
BЛ0)9 последнее уравнение системы B.12) мы можем привести
к виду:
div{E +
Вводя обозначение
Ъ = Е
для вектора электрической индукции D , отсюда имеем
^^Исторически сложилось так, что вектор Е называют напряжен-
напряженностью макроскопического электрического поля^или просто на»
ряженноотью электрического поля), а вектор d - индукцией
магнитного поля*

- 17 -
Совершенно аналогично, первое из уравнений системы B.12) о
учетом соотношения B,10) можно записать в виде
илодя обозначение
н* = в -
вектора напряженности (макроскопического) магнитного поля
9 из этого уравнения имеем
Таким образом» система уравнений Максвелла в макроскопической
электродинамике принимает вид
Tot И =¦ -2
= ~ с" at ' B.I3)
guv's = о,
где
5 = Е + 4л:Р, В - ff + 4хМ B.14)
и Р ' i ~ усредненные плотности заряда и тока свободных но-
оителей зарядов.
§ 3, Векторы поляризации и намагниченности
вещества
_^ Выясним теперь физический смысл и свойства векторов Р и
М , введенных в предыдущем параграфе* Рассмотрим некоторый
диэлектрик бесконечных размеров, "находящийся во внешнем элект-
электромагнитном поле* Под действием этого поля атомы и молекулы

- 18 -
вещества поляризуются, в результате чего усредненные значения
связанных зарядов и токов в различных точках тела woгут, вооб-
вообще говоря, быть отличными от нуля* Вычислим векторы электриче-
электрического и магнитного дипольных моментов тела, создаваемых связан-
связанными зарядами и их токами» Согласно определению вектора элект-
электрического дипольного момента имеем
3 =fd\/<?c69i>F. C.1)
Используя первое ид соотношений B.10), выразим усреднс je
ЗН8Ч2ЦШ6 плотности связанных зарядов через дивергенцию векто-
вектора Р . В результате получим
М
Умножим теперь скалярно это равенство на некоторый произвольный
постоянный вектор <Т :
V($lp C.2)
Проводя в подынтегральном выражении тождественное преобразова-
преобразование
соотношение C.2) приведем к виду:
fdVP$. C.3)
fdV
(V)
Поскольку границы области интегрирования о в выражении C.1)
предполагаются находящимися вне телд, где ^сбяз^ » а слеД°""
вательно, и вектор Р, равны нулю f^ = О , то первый интеграл
в правой чаоти соотношения C.3) тождественно равен нулю. Тогда
соотношение C.3) принимает вид
p(d-fdVP) = О,

- 19 -
Тек как это равенство должно выполняться независимо от выбора
произвольного постоянного вектора с? 9 то
Р. C.41
fjv
Отсюда следует, что приближенно
V _
Таким образом, вектор поляризации Р представляет собой плот-
плотность электрического дипольного момента связанных зарядов ве-
вещества (или дипольный момент единицы объема диэлектрика). Имен-
Именно установление связи C.4) между вектором Р и величиной
электрического дипольного момента вещества и позволяет устра-
устранить неоднозначность в определении B.10) вектора Р.
Вычислим теперь магнитный дипольный момент тела, создавае-
создаваемый током намагничения тела. Используя известное определение,
И МП ММ
причем, как и в случае вычисления электрического дипольного мо-
монта, будем считать, что интегрирование в этом выражении осуще-
отвляется по области пространства, границы которой расположены
пне рассматриваемого тела. Выражая jM через вектор М , по-
получим
Умножим это равенство скалярно на произвольный постоянный век-
вектор с? :
—*-* 1
Воспользовавшись известным свойством смешанного произведения
И применяя формулы

- 20 -
rot
векторного анализа, это соотношение перепишем в виде
()
(з.5)
(v)
Так как на границах объема интегрирования вектор М = 0, то
первый член в правой части этого равенства равен нулю, в ре-
результате чего из соотношения C.5) имеем
= о.
В силу произвольности постоянного вектора сэ отсюда имеем
Trl ^ fdVM. (З.б)
Таким образом, макроскопический вектор намагниченности среды
представляет собой плотность магнитного дипольного моментаэ
создаваемого токами намагниченности вещества (или магнитный
момент единицы объема вещества).
Во избежание недоразумений следует отметить, что в полное
значение векторе магнитного дщюльного момента среды дает вкла,
и ток поляризации j = -ЪР/Ъ'Ь.
§ 4. Материальные уравнения
Выпишем еще раз всю систему полученных уравнений макроско-
макроскопической электродинамики:
ту 1
Н
f Э6
Г

- 21 -
c/lv 6=0,
|Дй О vl ) ^стоящие в правых частях этих уравнений в отли-
отличи* ОТ ^ и J уравнений A*1) микроскопической электродина-
электродинамики § представляют собой плотность заряда и плотность электри-
нюкого тока одних только свободных! частиц*
В ряде типичных задач макроскопической электродинамики (Э
и Т обычно считаются заданными функциями координат и времени,
и требуется определить создаваемое ими электромагнитное поле.
Дли получения однозначного решения такой задачи прежде всего
необходимо иметь достаточное число уравнений* Поэтому давайте
подсчитаем число неизвестных, входящих в систему D-Л), и чис-
число уравнений. Легко убедиться, что уравнений восемь (два^вектор-
Имх урпииоиии системы D.1) и два скалярных), а неизвестных -
дтжидцпть (по три компоненты векторов ? , Н , В , D ),
|мким образом, уравнений меньше, чем неизвестных, и поэтому
Тотема D»1) недоопределена. То что система уравнений D,1)
Мдоопределена,видно и из физических соображений, поскольку
||олиое описание явления в макроскопической электродинамике тре-
Оуот и конкретизации свойств среды, в котором данное явление
иаууаетсяГ11оэто1щГмы^олжны дополнить систему уравнениями, ко-
уорЫб'ТПУзщрляют^это сделать. Для этого мы должны учесть, что
Лекторы Р и М , а следовательно, и векторы
is являются в полной мере независимыми векторами. Действитель-
Действительно, по своему определению эти векторы, характеризуя отклик ве-
вещества на наличие внешних электромагнитных полей, должны зави-
зависать как от свойств вещества, так и от условий эксперимента
^температуры, давления, освещенности, величины внешних полей
ИЧг.п.).
Таким образом, в самом общем случае мы можем записать, что

- 22 -
t =
где S'l обозначает совокупность параметров, характеризующих
условия эксперимента - давление, температуру и т.п.
Уравнения D.2) представляют собой так называемые матери-
материальные уравнения (или уравнения связи). Используя полукласси-
полуклассические представления о строении вещества в каждом конкретном
случав можно с той или иной степенью точности установить явный
вид этих уравнений.» Вполне очевидно, что какой-то общей законо-
закономерности, применимой во всех случаях жизни, для всех веществ
нет и не можеи быть* Поэтому все многообразие электродинамиче-
электродинамических явлений в природе мы должны разбить на ряд больших групп
в зависимости от электрических и магнитных свойств вещества и
внешних условий*
Будем считать, что/все внешние условия, при которых проис-
происходят изучаемые электродинамические явления, если и изменяются,
то несущественно, так что всю совокупность внешних параметров
•TSlV можно считать постоянной в пространство и нремени. В
этом случае материальные уравнения (*f.2) принимают иид
_». — -* -»ч (*.з)
Из общих соображений следует, что поляризуемость и намагничи-
ваемость одного и того же вещества задисят от соотношения между
напряженностяш^ внешних полей Е и Н и налряженностями внут-
внутренних полей Еа и Н^, характерными для атомов данного веще-
вещества. Действительно, поляризация вещества мо^сет, ьообце говоря,
происходить тремя путями* Для веществ, молекулы которых имеют
отличный от нуля дипольный электричесжий момент (полярные моле-
молекулы), основной вклад в поляризуемость, как правило, вносит час-
частичное упорядочение ориентации диполей под действием внешнего
поля. Это упорядочение тем большее, чем сильнее внешнее поле.
Для неполярных диэлектриков, молекулы и атомы которых в отсут-
отсутствие внешнего поля не имеют электрического диполького момента,

- 23 -
поляризацию вещества качественно можно представить себе как
появление электрического дипольного момента у каждого атома
или молекулы под действием внешнего поля. Обычно это происхо-
происходит за счет деформации электронных оболочек атомов и молекул
вещества (электронная поляризация), в результате чего центры
зарядов электронных оболочек всех атомов смещаются относитель-
относительно ядра атома более или менее единообразно (для изотропных ди-
диэлектриков против направления внешнего поля, для анизотропных
диэлектриков - в определенных направлениях, определяемых векто-
вектором внешнего поля и кристаллографическими осями), каждый атом
приобретает дипольный момент и в веществе возникает более или
гзнее упорядоченное расположение дипольных моментов. )Третий
тдп поляризации вещества, характерный для ионных кристаллов,
происходит за счет смещения зарядов различного знака в молеку-
лз под действием внешнего поля* в результате чего кристалл при-
приобретает нескомпенсированный электрический дипольный момент.
Следует отметить, что в большинстве случаев перечисленные
три типа поляризвции вещества могут осуществляться одновремен-
одновременно и взаимно дополнять друг друга. Поляризация вещества сущест-
щ^ зависит от соотношения между надряженностью внешнрго по-
Eg и напряженностью поля атома Ел : если |Eg|«lE<xl , то
ииешнее поле лишь поляризует вещество; при lEgl сравнимом с
IEqJ , оно может приводить к разрушению вещества (пробою ди-
диэлектрика). Так как нашей целью не является изучение электро-
электродинамических явлений, происходящих при экстремальных условиях,
то бу^ем считать, что внешние поля являются относительно слабы-
слабыми: |ЕЛ« IEqJ . Так как в большинстве случаев Е~Ю едCQSE,
то это условие выполняется в достаточно широком диапазоне явле-
явлений. Считая характерную величину Ел единицей измерения, соот-
соотношение |Ел|« IEqJ можно трактовать как малость напряженнос-
напряженности внешних полей по сравнению с единицей. Поэтому материальные
уравнения D.3) в эфом случае щжно разложить в ряд по малым
параметрам |El /lEoJ и IHI/IEqJ . Ограничиваясь лишь линей-
линейным приближением, мы, вообще говоря, можем получить следующие

Таскан векторы Н и В являются аксиальными, а векторы ?
и JD - полярными, то из общих соображений следует, что а1* -
полярный вектор, 0^ - аксиальный; в Р и ft P - обычные тен.
ры, а СО^ и S*A- аксиальные тензоры.
Проанализируем каждое слагаемое этих выражений и выяснил
их физический смысл. Предположим сначала, что внешнее поле о?
сутствует: ?=»Н =г 0 • Тогда соотношения D.4) принимают вид
Следовательно, векторы а и О имеют смысл векторов остаточ
ных индукций электрического и магнитного полей.
Отличие от нуля векторов Вы (аксиального) и а (поляри
го) характерно для ряда веществ. Так, например, ферромагнитны
материалы при определенных условиях в отсутствие внешних поле
могут обладать неравной нулю величиной 6 • Как известно, иы
но это свойство позволяет использовадо их в качестве постоянн
магнитов.
Существуют и вещества, которые в отсутствие внешних поле!
обладают неравным нулю вектором остаточной электрической инду|
ции. Это так называемые электреты или сегнетоэлектрики (сегне*
товая соль, фосфат #алия, титанат бария и ряд других веществ)
•Определенный*физический смысл имеет и неравенство нулю а;
сиальных тензоро^сО Р vl S ' црни ли^р описывают перекрест
ную зависимость D от п или В от ? для покоящегося вещ-:
ства, либо, как мы увидим позднее, свидетельствуют о движении
вещества относительно наблюдателя.
Тензоры ?*^ и /и.ыР описывают диэлектрические и магнит-
магнитные свойства среды. Б общем случае недиагональных тензоров С Л
и fJ^P мы имеем дело с анизотропными средами, диэлектрически^
и магнктные свойства которых различны в разных направлениях.
В случае изотропных диэлектриков ? Г= ES ^и величина 6
зывается диэлектрической проницаемостью среды. Совершенно
логично для изотропного магнетика ^ir *sp.S Jh ju называете \
магнитной проницаемостью.
Следует отметить, что в случае слабых внешних полей все
входящие в разложения D.4) величины могут существенно зависев

- 25 -
н| иёототы внешнего поля и при определенных частотах, близкие
и §Я)отвенным частотам вещества, разложения D.4) могут стать
й§И|ИШ§нимыми* Поэтому, если это не оговаривается особо, будем
efHtlVbt что область частот внешнего поля достаточно далека от
•10|КТдрных~собстввнных частот вещества. Как мы видели, разло-
iSMlA DЛ) позволяют охватить достаточно широкий круг щзлич-
Гюществ. Одна_ко в этом случае зависимость векторов D и
от векторов ЧЕ и J? оказывается достаточно сложной, что
чрфнычайно усложняет изучение различных электродинамических
имений.
Наиболее же простой вид материальные уравнения приобрела-
И 1 олучае покоящихся однородных и изотропных диэлектриков и
шэрнотлков, для которых справедливы соотношения
В * еЕ, В =/tH, D.5)
? и yu не зависят от времени и кусочно-постоянны в про-
Tno (т.о. постоянны в пределах некоторых областей преет-
й, скачкообразно изменяясь лишь на границах этих облас-
*иЙ). Именно с такими материальными уравнениями мы и будем, в
щшолном,иметь дело.
Таким образом, условиями применимости полученных нами ма-
шриальных уравнений D,5) являются: неподвижность вещества,
пиутоянство внешних параметров {Sl}^ _b п^острвне^иб „и, времени,
мйнооть напряженностей внешних полей по сравнению с внутриатом-
внутриатомными полями, однородность и изотропность, а также постоянство
щи .времени электрических и магнитных свойств рассматриваемого
рещботва к некоторые другие; Вполне очевидно, что при сделан-
нде допущениях мы охватываем только узкий класс веществ & изу-
ц«*мых электродинамических явлений*
Так, например, ограничение лишь линейными членами в разло-
Нникх D.Л) полностью исключает из рассмотрения один из самых
милодых разделов электродинамики - нелинейную оптику. Представ-
Представления о том, что электродинамические эффекты в веществе должны
быть нелинейными, как известно, возникли в начале нашего столе-
гип. Исходя из этих представлений, советские ученые С.И.Вави-
ппп и ВЛ.Левшин в 1923 г. обнаружили один из первых эффектов
нелинейной оптики - уменьшение поглощения света веществом

- 26 -
при увеличении его интенсивности. Однако бурное развитие нели-
нелинейной оптики началось фактически лишь после создания мощных
источников излучения - квантовых генераторов (Н.Г.Басов,
А.М.Прохоров, Ч.Таунс)о Именно в это время в работах профессо-
профессоров МГУ Р.ВДохлова, С.А.Ахманова и американского ученого
Н.Бломбергена были заложены теоретические основы нелинейной
оптики. Впоследствии многие из эффектов нелинейной электроди-
электродинамики были обнаружены на опыте. Одним из них, в частности,
является эффект самофокусировки лазерного излучения, за пред-
оказание и обнаружение которого коллектив авторов (Аскарян,
Коробкин, Луговой, Пилипецкий, Сухоруков, Таланов) был удосто-
удостоен Ленинской премии 1988 г. Более детально познакомиться с
идеями и методами нелинейной оптики и ее эффектами можно по
имеющейся в настоящее время довольно обширной научной литера-
литературе. В нашем же курсе, оставаясь в рамках сделанных ранее до-
допущений, мы постараемся, по возможности, отразить все характер-
характерные черты электродинамических явлений в веществе с тем, чтобы
изучение более сложных ситуаций (переменность внешних парамет-
параметров, неоднородность или анизотропия электрических или магнитных
свойств веществ и т.п.) можно было бы проводить в соответствии
с алгоритмом, разработанным для рассматриваемых здесь достаточ-
достаточно простых ситуаций.
В результате мы ггриходим к следующей системе уравнений
макроскопической электродинамики:
rotE = ~
dlvB = О,
div D =
и, кроме того, в случае проводящих сред j = &Е , где E -
проводимость.
В типичных задачах макроскопической электродинамики плот-
плотности заряда и тока обычно являются^ заданными (дзв<зстными)
функциями координат и времени Q = ^О^**)* jN j ^^

- 27 -
Оувтоя определить векторы напряженностей и индукции электро-
м«гиихного поля. Так как система D*6) состоит из четырнадцати
уришений относительно двенадцати неизвестных, то она теперь
уН либо переодределена и в ряде случаев может вообще не иметь
либо среди уравнений D*6) должны быть линейно зави-
Легко убедиться, что в действительности реализуется вто-
риИ олучай. Для этого возьмем, дивергенцию от правой и левой
чшотей первого уравнения системы D*6)* В результате получим
Иопользуя четвертое уравнение системы c/tvD = 4x?, приходим
к соотношению, которое автоматически выполняется в силу диффе-
дифференциального закона сохранения заряда:
г-V + divj = О.
Поэтому данные уравнения не являются независимыми* Совершенно
аналогично можно убедиться в зависимости и другой пары уравне-
уравнений Максвелла*
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля и их калибровка
в макроскопической электродинамике
Таким образом, система D.6) фактически содержит лишь две-
двенадцать линейно независимых уравнений относительно двенадцати
неизвестных и, следовательно, при соответствующих граничных и
начальных условиях имеет единственное решение* Однако решать
оиотецу уравнений D*6) в представленном виде, когда в нее вхо-
входит двенадцать неизвестных, не совсем удобно* Поэтоцг в макро-
оконической электродинамике, как и в микроскопической, очень
чисто вводят вспомогательные величины - потенциалы электромаг-
электромагнитного. НЭТя, с помощью которых система D*6) сводится всего
лишь к четырем уравнениям относительно четырех неизвестных*
Для введения потенциалов рассуотрим^второе и третье урав-
шшия системы D.6). Первое из них divB » О утверждает, что
мпктор индукции магнитного поля имеет соленоидальный характер,
и результате чего он всегда может быть представлен в виде

- 28 -
—*
где А - векторный потенциал электромагнитного поля. Подстав-
Подставляя это выражение во второе уравнение системы D*6) и изменяя
порядок следования независимых операций взятия ротора и частно-
частного дифференцирования по времени, получим
Согласно векторному анализу, выражение, стоящее в фигурных
скобках этого соотношения,должно являться градиентом от некото-
некоторого скаляра - только в этом случае ротор от вектора тождест-
тождественно обращается в нуль. В силу традиции этот градиент записы-
записывают со знаком минус
где <р - скалящый потенциал электромагнитного поля. Таким об-
образом, векторы В и ? можно выразить через потенциалы <р
и А
E.D
В = rot A
и тем самым удовлетворить второе и третье уравнения системы
уравнений Максвелла D.6). Векторы Н и D также выражаются
через эти потенциалы
Н = jz rot A ,
поэтому оставшиеся уравнения системы D.6) могут быть использо-
использованы для получения уравнений, которым должны удовлетворять по-
потенциалы. ' _
Следует отметить, что потенциалы <р и А соотношениями

- 29 -
(itl) и E*2) задаются неоднозначно* Как и в микроскопической
ММФродинамикб калибровочное-приийразование дотенциалов
(
V = V ^ Цу E.3)
А = А'+ vf ,
где 4= /Г^7^) ^произвольная калибровочная функция, не _из-
WntT векторов в и Е • а следовательно, и векторов Н и
• Этот произвол в определении потенциалов широко использу-
•1ол в классической и квантовой электродинамике для упрощения
встречающихся соотношений
§ 6» Уравнения для потенциалов
Установим теперь уравнения, которым должны удовлетворять
Ютенциалы в макроскопической электродинамике в случае непро-
|Ьдящих сред. Для этого подставим сначала соотношения E,2) в
|врвое уравнение системы D«6). Учитывая, что в и XI - пос-
|оннные величины, получим
F.1)
где А - оператор Лапласа.
Совершенно аналогично, подставляя выражение E,2) в четвер-
гие уравнение системы D.6) и проводя тождественное преобразова-
преобразование, найдем
F.2)
досматривая структуру уравнений F.1) и F.2) легко заметить,
бни значительно упрощаются в "тенпглучае, когда выражения,
ё^Т1^ обращаются в нуль. Поэтому ипаникя-
естественный вопрос: а нельзя-ли, воспользовавшись неодно-
неоднозначностью E.3) в определении потенциалов, добиться существен-
существенного упрощения уравнений F.1) и F.2)? Ответ на этот вопрос,
к«к мы увидим далее, положительный.

- 30 -
Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что калибровочное
преабраооааиие E,3) на и^ценяет вида уравнений F.1) и F.2).
Действительно, подставляя соотношения E.3) в уравнения F*1)
и F.2), получим
F-3)
Таким образом, калибровочная функция f(j\i,) в эти уравнения
не вошла и единственное изменение по сравнению с уравнениями
F,1) и F.2) состоит в наличии штрихов у векторного и скаляр-
скалярного потенциалов.
Предположим теперь, что в первоначальной калибровке потен-
потенциалов величина
не равна нулю* Выясним, можно ли так подобрать калибровочную
функцию /C^t) 9 чтобы откалиброванные потенциалы уже удов-
удовлетворяли условию
^ + A^-o. F.S)
Для этого подставим соотношения E.3) в выражение F.4). В ре-
результате получим
3
Отсюда следует, что для выполнения условия F.5) калибровочная
функция -f(^i) должна удовлетворять уравнению
Так как это уравнение всегда имеет решение, а иных ограничений
на выбор функции f(j*^t) нет, то в результате калибровочного
преобразования условие F.5) будет обеспечено. При таком выборе
калибровки уравнения F.3) значительно упрощаются. Опуская не-

- 31 -
для дальнейшего штрихи, получим следующие уравне-
уравнений дли потенциалов:
F.6)
н дополнительный условием
EJ-^g- + dLvA = О, F.7)
Kiivopoe -по аналогии с соответствующим условием микроскопической
илоктродинамики называется условием Лоренца.
Следует отметить, что условие Лоренца F.7) не фиксирует
мднизначно калибровку потенциалов, позволяя проводить калибро-
рочные преобразования E.3) с функцией /O^i) t удовлетво-
f f п
|>лющей уравнению Дт - —т Г7Т — и • Эти преобразования
с 3t
|ишгда используются для того, чтобы вне источника излучения
положить на потенциалы условие Кулона vp = о, dLvA-СУ (ку-
/юиовская калибровка)»
Таким образом» многие вопросы в макроскопической электро-
Iииомике решаются аналогично случаю микроскопической электроди-
электродинамики. Поэтому полезно сравнить вид некоторых уравнений и со-
соотношений для потенциалов в этих двух случаях (см.табл.1). Та-
коо сравнение показывает, что характерной скоростью распростра-
распространения электромагнитного излучения в однородных и изотропных
чредах является не С ? a c/^eju. < с , эффективным источником
для векторного потенциала в макроскопической электродинамике
ипляется не у , a jLLjcgog и для скалярного потенциала не
о , а р ?og /е • Эта аналогия позволяет сразу записать ре-
решение уравнений F.6) для запаздывающих потенциалов в макроско-
макроскопической электродинамике. Действительно, в случае островного
Источника электромагнитного поля, помещенного $ безграничную
однородную и изотропную среду с диэлектрической и магнитной
Проницае^остями ? и jll соответственно, нам следует в выра-
выражениях для запаздывающих потенциалов микроскопической электро-
электродинамики сделать лишь следующие изменения: заменить с на

- 32 -
_^в выражении для запаздывающего времени и произвести
замены j — fJ-j % 9—**Р/е • В результате получим
/
F.8)
В том случае, когда & и ju не являются постоянными во всем
пространстве, полученные формулы F.8) становятся неприменимы-
неприменимыми и для определения потенциалов необходимо использовать иные
методы. В частности, в простейшем случае кусочно-непрерывных
сред большую роль играет учет граничных условий. Для получение
последних нам потребуются уравнения Максвелла в интегральном
виде.
Таблица I
Сравнение уравнений и соотношений для потенциалов в
микроскопической а макроскопической электродинамике
Уравнения, соотношения
Оператор, действующий
на потенциалы в урав-
уравнениях для потенциалов
Источник в правой час-
части этих уравнений
Условие Лоренца
Микроскопическая
электродинамика
Hit-?
с J
с Bt
Макроскопическая
электродинамика
" ¦"?-¦ JcBoS
~ ? Гсво?
с Ы

- 33 -
§ 7* Уравнения макроскопической электродинамики в
интегральном виде
Уравнения Максвелла
- 1 ЭВ
в"с5Г
c/tv В = 0 7
G.1)
представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных
производных. Однако в ряде приложений полезно использовать
/равнения макроскопической электродинамики, записанные не в
дифференциальном» а в интегральном виде. Для их получения по-
поступим следующим образом.
Рассмотрим некоторый неподвижный относительно наблюдателя
замкнутый контур L » не имеющий самопересечений, и выберем
какую-либо гладкую двустороннюю поверхность 5 , опирающуюся
на этот контур (од*рис.2)« Положительное направление обхода
контура L (показано на рис.2
стрелкой) и вектор внешней норма-
нормали гг к произвольной точке по-
поверхности выберем в соответствии
с принятыми в математическом ана-
анализе правилами. Умножим скалярно
второе из уравнений G*1) на do
и проинтегрируем его по поверх-
поверхности S • В результате получим
BdS.
ic. 2. Ориентация кривой
12 и вектора внеш-
внешней нормали к по-
поверхности S
s s
G.2)
Воспользовавшись теоремой Стокса,
соотношение G.2) приведен к виду:

<- S
Такимjj6j?a3o.Mj .циркуляция вектора напряженности электрического
поля_Е по произвольному, замкнутому контуру L пропорциональ-
на_умензьдению (с течением времени)_.1юто.К8 вектора магнитнойИш-
дукции . В~через любукГповерхность S , опирающуюся^на^сдн-
тур XT
Умножим теперь скалярно первое из уравнений G.1) на aS
и проинтегрируем по поверхности S . В результате получим
} JS - ток свободных зарядов через поверхность S.
Из выражения G.3) сдедует, что циркуляция вектора напряженнос-
напряженности магнитного поля Н по замкнутому контуру определяется не
только изменением с течением времени потока вектора электричес-
электрической индукции D через поверхность S , но и величиной тока
свободных зарядов через эту поверхность.
Рассмотрим теперь некоторый объем V , ограниченный,замк-
ограниченный,замкнутой гладкой поверхностью S • Проинтегрируем по этому объему
третье уравнение системы G.1):
Ш dis/ В = О.
Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получим
bdS » 0.
S
Отсюда следует, что поток вектора магнитной индукции через лю-
любую замкнутую поверхность равен нулю.
Совершенно аналогично, интегрируя оставшееся уравнение
системы G.1) по объему V , найдем, что поток вектора элект-
электрической индукции через любую замкнутую поверхность S пропор-
- 34

- 35 -
ционален заряду Q « /9^^ » с°Дер*ащемуся в объеме, ограни-
(v>
ченном поверхностью S :
Таким образом, система уравнений макроскопической электродина-
электродинамики в интегральной форме имеет вид
/ G.4)
<?>Bcis = о,
где использованы следующие обозначения:
§ 8. Граничные условия для векторов электромагнитного
поля
Найдем теперь условия, которым должны удовлетворять компо-
компоненты электромагнитного поля на границе раздела двух сред. Бу-
Аем считать, что такой границей является гладкая поверхность,
при переходе через которую электрические и магнитные свойства
вещества изменяются скачком. Вполне естественно, что такое
представление о границе раздела двух сред является идеализиро-
идеализированным, поскольку из-за процессов диффузии или несовершенства
технологии изготовления между двумя средами всегда реально су-

- 36 -
шествует некоторый переходный слой, который сглаживает скачок
электрических и магнитных свойств. Поэтому в тех случаях, ког-
когда толщина переходного слоя оказывается значительно большей,
чем величина ?0 , характеризующая линейные размеры физически
бесконечно малого объема, полученные здесь соотношения теряют
свою силу и использовать их при решении краевых задач нельзя.
Если же толщина переходного слоя составляет несколько межатом-
межатомных расстояний и оказывается значительно меньшей, чем величина
€0 , то такую границу раздела двух сред в рамках макроскопиче-
макроскопической электродинамики мы обязаны считать резкой, иначе у нас
опять произошел бы переход к микроскопическому описанию.
Рассмотрим достаточно малый участок поверхности раздела
двух сред; такой, что его можно считать плоским (см.рис.З).
Zi
—-dS= Z dS
Рис» З. Выбор цилиндрического объема на границе
раздела.двух сред
Обозначим диэлектрическую и магнитную проницаемости первой сре-
среды через 61 в jttt, а второй среды - через ?2 и ju2 . Вектор
нормали 7г к данному участку поверхности направим из второй
ореды в первую* Введем также для данного участка поверхности
локальную декартову систецу координат так, чтобы плоскостьУ^
совпадала с поверхностью раздела сред, а ось Z была ей орто-
ортогональна. Построим теперь на границе раздела двух сред доста-
достаточно малый прямой круговой цилиндр радиуса R и высотой 2к
(см.рис.З). Используя третье уравнение системы G.4)9 вычислим

- 37 -
но*ок вектора магнитной индукции В через поверхность, огра-
ограничивающую данный цилиндр, устремив после этого величину к
к нулю* Так как при этом площадь боковой поверхности цилиндра
к также обращается в нуль, а площади верх-
верх5~ -S1^S2^ 2'2тсЯк также обращается в нуль, а площ
не-и нижней "крышечек*1 остаются конечными (SK=x/? ), то в
результате получим р
) = О.
Обозначая нормальные составляющие вектора в в первой и вто-
второй средах через В^ и в?л соответственно, отсюда имеем
в1 - 6Я г: О. (8Л)
п. л-
Тиким образом,нормальные составляющие вектора магнитной индук-
индукции на границе раздела двух сред непрерывны. Если каждая из
пред является изотропной, то соотношение G.1) принимает вид
Ивяользуя тот же самый цилиндр, из четвертого уравнения систе-
систему G.4) совершенно аналогично получим
/c/z
-к О О (8#2)
Т|нц как свободные заряды, содержащиеся в веществе, могут нахо-
находиться и на границе раздела двух сред, то правая часть этого
ооотношения, вообще говоря, не равна цулю .при Я-^О . Если
плотность этих зарядов записать в виде ?> = ^>nog %(Z) » где
- поверхностная плотность свободных зарядов, то из соот-
ршя (8.2) получим
Dr, " \ = ^fnoB - (8.3)
Зовательно, единственной причиной разрыва нормальной состав-
ей вектора электрической индукции на границе раздела двух
Гд является наличие на ней свободных заредов* В случае двух
тропных сред соотношение (8.3) принимает вид

- 38 -
(8.4)
где ^^" = п V . Используя оставшиеся два уравнения системы
G.4), мы можем'поручить еще два граничных условия. Для этого
в плоскости XZ локальной декартовой системы координат (вво-
(вводимой в некоторой окрестности рассматриваемого участка поверх-
поверхности раздела двух сред) построим достаточно малый прямоуголь-
прямоугольный контур ABCD , полагая АВ = ?О 6С=2?а (см.рис,4)« Еди-
Единичные векторы вдоль осей X , у и z локальной системы
координат обозначим через ~$ , т* и п соответственно.
Положительное направление обхода контура A BCD выберем так,
как показано на рис«4*
А
ett/Ut
D
/
/
/
п.,
0
A
.1- «
Л
с
/d
ds=vds
Рисо 4* Выбор прямоугольного контура на границе
раздела двух сред
Рассмотрим теперь второе уравнение системы G.4)• Будем
считать, что в качестве контура L в этом уравнении использу-
используется контур A BCD f а в качестве поверхности, ограниченной
данным контуром - прямоугольник A BCD . После вычисления
всех интегралов, входящих в данное уравнение, величину tz уст-
устремим к нулю, оставляя ?f конечной. Так как площадь прямоугол]
ника S ^ 2в1€1 и длины сторон AD = ВС = 2?а при этом обра-
обращаются в нуль, то из второго уравнения системы G.4) получим

- 39 -
Отсюда следует, что касательные составляющие вектора ? на
границе раздела двух сред непрерывны:
Е * ^ Е*. (8.5)
Поступая совершенно аналогично, из первого уравнения системы
GЛ) найдем
е,
(8.6 )
Тик как на границе раздела двух сред плотность тока свободных
нарядов может иметь дельтообразный характер
где ?по& - поверхностная плотность пока свободных зарядов, то
интеграл, стоящий в правой части этого соотношения при /?а-*О,
вообще говоря, не обращается в нуль. В результате из соотноше-
соотношения (8.6 ) имеем:
Нт " Нт = — Lno6^ (8.7)
Ориентируя прямоугольник A BCD в плоскости XZ и проводя те
10 самые рассуждения, имеем
Н- Н\ =-^Тпо6Т. (8.8)
Объединим соотношения (8,7 ) и (8,8 ) в одно векторное:
o6. (8.9)
И;» э&ого выражения следует, что при наличии поверхностных токов
им границе раздела двух сред касательные составляющие вектора
Н терпят на ней разрыв.
Таким образом, на поверхности раздела двух сред должны вы-
меняться следующие граничные условия:

К
т Е (8Л0)
[*(*,-*Л -?"*•.
Следует отметить, что в ряде задач (например, в случве беско-
бесконечных областей пространства) граничных условий (8.10) либо
недостаточно, чтобы полностью конкретизировать решение, либо
некоторые из них не совсем удобно использовать. В этом случае
наряду с граничными условиями (8.10) довольно часто использу-
используются и так называемые естественные физические условия, которые
накладываются на решения уравнений Максвелла. Эти условии обыч-
обычно вытекают из физической постановки задачи и позволяют уточ-
уточнить вид решения в окрестности некоторых особых точек, б'каче-
б'качестве которых достаточно часто выступают точки г = о и гвоо.
В частности, согласно естественным физичедким требованиям,
решение уравнений Максвелла должно быть ограниченным по модулю
во всех точках, где появление сингулярности не может быть обос-
обосновано достаточно веской физической причиной. Так, например*
напряженности полей ? я И в какой-либо точке t*= t*o про-
пространства могут обращаться в бесконечность только в том случае,
если в данной точке имеются бесконечные плотность заряда$ли,
соответственноь плотность тока. Совершенно аналогично, естест-
естественные физические условия требуют, чтобы потенциалы и напряжен-
напряженности электромагнитного поля, создаваемого системой зарядов и
токов, локализованных в ограниченной области пространства (ис-
(источник островного типа), стремились к нулю при удалении точки
наблюдения от этой области (если среда не является антидисслпи-
рующей).
При изучении различных излучающих систем важная роль при-
принадлежит условиям излучения Зоммерфельда, которые являются ма-
математическим выражением физического требования о переносе энер-
энергии электромагнитными волнами от источника излучения к бесконе<-

но удаленным точкам* При учете всех этих требований единствен-
единственность решения уравнений Максвелла будет полностью обеспечена.
§ 9. Закон сохранения энергии в макроскопической
электродинамике
Используя уравнения макроскопической электродинамики
B.13), мы можем получить дифференциальный закон сохранения
энергии. Для этого умножим скалярно первое из уравнений B.13)
на Е i в второе на (- И) и сложим полученные выражения* В ре-
результате будем иметь
;l?f + ifff * ?/Е. (9Л)
Воспользовавшись известной форыулйй векторного анализа
1 EtJ?
и учитывая материальные уравнения
Ъ = е?, В = ju.H ,.
справедливые для покоящихся изотропных ?ред, сротношение (9.1)
можно привести к виду:
В случае, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости среды'
не зависят от времени, отсюда получим дифференциальный закон
сохранения энергии:
j^j-W + dlvG + ТЕ - О, (9.2)
сЬ J
viSk введены обозначения

ев2- * /U.H2
для плотности энергии электромагнитного поля б веществе UI и
вектора Пойнтинга (о • Таким образом, уменьшение с течением
времени плотности энергии электромагнитного поля в некоторой
точке согласно закону сохранения энергии (9.2) приводит к по-
появлению отличной от нуля дивергенции вектора Пойнтинга и к со-
совершению полем работы над свободными зарядами. Однако в боль-
большинстве случаев детальное знание баланса энергии в каждой точ-
точке оказывается ненужным, так как обычно интересуются интеграль-
интегральными соотношениями, относящимися к некоторым конечным объемам
пространства* Для получения такого соотношения проинтегрируем
дифференциальный закон сохранения (9.2) по некоторому объему.
Так как операции взятия частной производной по времени и интег-
интегрирования по пространству перестановочны, то полученное выраже-
выражение можно записать в виде
UVw = idVJ
V
Преобразуя первый интеграл, стоящий в правой части, в поверх-
поверхностный и учитывая, что для покоящегося вещества
V v
получим следующий интегральный закон сохранения энергии макро-
макроскопической электродинамики:
(9-4)
где S - энергия электромагнитного поля, содержащаяся в рассмат
риваемом объеме:

(9.5)
V
Согласно закону сохранения (9.4) уменьшение энергии электромаг-;
некотором объема V ]
анергии через поверхность, ограничивающую данный объём, и~рабо-
и~работы поля, совершаемой в единицу времени, над свободными заряда-
зарядами, содержащимися в объеме V.
ГЛАВА 2
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 10. Основные уравнения и соотношения электростатики
Одним из наиболее простых частных случаев электромагнитно-
электромагнитного поля в макроскопической электродинамике является случай
электростатического поля» т.е. поля, которое возникает а покоя-
покоящемся веществе при пФпуФгурнии мзгнитнрт^ поля
времени плотности свободных зарядов» Эти условия означают, что
во всех уравнениях и соотношениях электродинамики мы должны
опустить все слагаемые, в которых содержатся частные производ-
производные по времени и положить 7-0 . Уравнения Максвелла в этом
случае принимают вид
rotH = О,
rotE = О,
c/lvB =* О,
причем условие независимости плотности зарядов от времени требу-
требует, чтобы все свободные заряды находились в покое*
Рассмотрим эти уравнения по очереди. Первое и третье из
них эквивалентны утверждению, что Н =6 = 0 во всем пространстве.
Действительно^, учитывая, что в_?лучае однородной и изотропной
среды В = ju-H , получим rotW = 0, jmclLvH = 0 . Из первого

уравнения следует, что в отсутствие токов вектор Н является
потенциальным, а9 следовательно, не соленоидальньш вектором во
всем пространстве. Второе же уравнение утверждает, что этот
вектор является ооленоидальным, а не потенциальным вектором.
Эти два взаимоисключающих требования для Н , зависящего от
координат, очевидно, могут быть удовлетворены лишь в единствен-
единственном случае HsO • Далее, из второго уравнения системы (ЮЛ)
следует, что вектор^с в^олучае электростатики является потен-
потенциальным вектором Е = ~\7кр . Подставим это соотношение в чет-
четвертое уравнение системы (ЮЛ), Учитывая, что D =еЕ , полу-
получим
4л:
s - -Г?- (Ю.2)
Для однородного диэлектрика ( V ? = 0) это уравнение принима-
принимает вид
Р ГР- {10#3)
Уравнение (Ю.З) необходимо дополнить граничными
Так как в электростатике Е=-Ъц> , то эти соотношения оказыва-
ютоя эквивалентными следующей системе граничных условий:
где П. - координата в направлении нормали к границе раздела
двух сред. Следует отметить, что условие непрерывности потенциа-
потенциала (первое из условий A0.4)) при решении задач электростатики
следует использовать крайне осторожно, так как в ряде случаев
оно может быть нарушено • Простейшим примером такого случая яв-
является граница раздела двух сред, на которой имеется двойной
электрический слой* В этом случае, как известно, потенциал на
границе испытывает скачок, а напряженность электрического поля

- 45 -
бесконечна.
Уравнение (Ю.З) и граничные условия A0.4) позволяют оп-
определить потенциал, напряженность и индукцию электрического по-
поля во всей пространствб9 если известно распределение свободных
нарядов в пространстве и на каждой границе раздела различных
диэлектриков.
Вычислим теперь энергию статического электрического поля,
создаваемого некоторой островной системой свободных зарядов,
находящихся в диэлектрической среде» По определению (9.5) имеем
где интегрирование производится по всему пространству» Так как
? то это соотношение принимает вид
б - - —
Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса и учитывая,
что dls/Ъ я 4xj> , отсюда найдем
g я --^
Так как интегрирование в первом, слагаемом происходит по сфере
радиуса R (R ~»оо) , то полезно оценить асимптотику подын-
подынтегрального выражения» Как известно, потенциал статического по-
поля и вектор индукции достаточно далеко от островной системы за-
зарядов убывают не медленнее, чем
8#дичина dS при интегрировании по сфере радиуса R пропор-
пропорциональна R2 (dS = R%LnBcle с/у) поэтому подынтегральное выра-
щше в первом слагаемом равенства A0.5) убывает с ростом R
т медленнее, чем 1/R и при R—-со первое слагаемое обра-
•оается в нуль. Следовательно,

- 46 -
Таким образок, в случае островной системы свободных зарядовt
находящихся в диэлектрике, энергия электростатического поля,
определяется интегрированием произведения потенциала на плот-
плотность зарядов.
В случае объемных зарядов, когда плотность заряда ни в
одной точке не обрагцается в бесконечность, полная энергия
электростатического поля конечна. При наличии же хотя бы одно-
одного точечного заряда полная энергия электростатического поля,
вычисляемая по формуле (IQ.6), обращается в бесконечность. Дей-
Действительно, так как в этом случае о =0.^G^-^), ф?г)~—-^—*
то интеграл в A0.6) очевидным образом разойдется. Вместе с тем
из опыта хорошо известно, что любая заряженная частица имеет
конечную собственную энергию. Это противоречие между предсказа-
предсказаниями классической электродинамики и опытными данными в научной
литературе получило название проблемы собственной энергии (или
собственной массы m. = S/c2 ) электростатического поля элемен-
элементарной частицы. Поскольку эта проблема имеет большее значение
для микроскопической электродинамики, то здесь мы ее не распмат
риваем. Отметим только, что в макроскопической электродинамике
выражение A0.6) при наличии точечных зарядов используют для
вычисления энергии их взаимодействия, отбрасывая бесконечные
собственные вклады каждой точечной частицы. В данном случае
плотность заряда и создаваемый этой системой потенциал можно
записать в виде
= XL
где р^С**) ! Vo/**^ " плотность заряда частицы с номером d
и создаваемый ею потенциал. Если эта частица имеет заряд а. к
находится в точке, радиус-вектор которой г = f^ ~a

Подставляя соотношения A0.7) в выражение A0.6), получим
Вполне очевидно, что первая сумма этого равенства в силу соот-
соотношений A0*8) содержит расходящиеся интегралы; интегралы же
второй суммы конечны, причем каждый из них представляет полови-
половину энергии электростатического взаимодействия частиц о номерами
се и о • Поэтому полную энергию взаимодействия можно опреде-
определить из выражения
ы с N
L l
а.>
П
1 а
CL>0
Энергия взаимодействия играет важную роль при расчете сил и
моментов сил, действующих на заряженные частицы и заряженные
тела. Из теоретической механики известно, что в случае статики
функция Лагранжа равна L = -O. Так как в электростатике
U=6g » то обобщенная сила, соответствующая обобщенной коор-
координате с, может быть найдена из соотношения
Поэтому, выбирая в качестве обобщенной координаты ? компоненты
РИДиус-вектора <х-й частицы 7^ и используя соотношение A0«9)9
т можем определить силу, действующую на данную частицу со сто-
стороны поля, создаваемого другими частицами; выбирая в качестве
t углы ориентации заряженного теле или ыультипольного момента
«истемы частиц, мы определим проекции момента сил, действующих
W) НИХ.

- 48 -
§ II. Электростатика проводников
В случае проводников, помещенных в диэлектрическую среду!
уравнения и соотношения Электростатики приобретают ряд характер
ных черт, позволяющих выделить эти явления в самостоятельный
раздел. Основным отличием проводников от диэлектриков,„как из*
веотио, является наличие в них свободных электронов^-лшторые
под^(бййвйём внешнего электрического поля могут перемещаться
в проводнике не значительные расстояния. В результате такого
перемещения в проводнике начинается перераспределение заряда,
и оно происходит до тех пор, пока поле индуцированных поверх-
поверхностных зарядов, не скомпенсирует действие внешнего поля. Поэто-
Поэтому напряженность электрического поля, так же как и электцическац
индукция, внутри проводника всегда равны нулю* Так как E=-Vy>,
то отсюда непосредственно следует, что потенциал всех точек
проводнике должен быть одинаковым.
Следует отметить, что на поверхности раздела проводника и
диэлектрика первое граничное условие A0.4) электростатики
*Pl= 4>jr=con.si сохраняет свой статус граничного условия, в
то время как второе служит для определения поверхностной быт-
бытности свободных зарядов, индуцированных на проводнике,
где ? - диэлектрическая проницаемость среды. Поэтому, зная
нормальную составляющую градиента потенциала среды в точках на
поверхности проводника, можно вычислить полный заряд проводни-
проводника
f - - ~
Определив полный заряд, мы можем найти емкость уединенного про-
проводника
С ш± =* cfe
Вычислим теперь энергию электростатического поля, создаваемого,
системой из N заряженных проводников, находящихся в диэлектри-
диэлектрике • Будем считать, что линейные размеры каждого проводника ко-

нечны и все они расположены в некоторой области пространства»
островного типа (см.рис.5). Так как электрическое поле внутри
проводников равно нулю, то энергию поля нам следует вычислять,
выбрав в качестве объема интегрирования V в выражении (9.5)
объем всего пространства
за вычетом объемов, занимаемых
проводниками. 6 этом случае
поверхность 5 , ограничи-
ограничивающая объем I/, будет сос-
состоять из поверхности S^
сферы радиуса ?-*»оо и
суммы поверхностей провод-
проводников, причем вектор внеш-
внешней нормали к поверхности
S будет направлен по ради-
радиусу на SR и внутрь каждого
проводника на их поверхнос-
поверхностях. Обозначая через V^ ,
Рис. 5« Система заряженных провод-
проводников в диэлектрической
среде
писать:
ы
c а. л
поверхность, заряд и потен-
потенциал cl-го проводника со-
соответственно, мы можем на-
В результате для энергии электростатического поля получим
о
I
v
V V v
Поскольку внутри объема интегрирования V по постановке задачи
свободные заряды отсутствуют, то c/tv2>»0 и в правой части
этого выражения остается только одно слагаемое* Используя теоре-
теорему Остроградского-Гаусса, преобразуем интеграл по объему V в
интеграл по поверхности S , ограничивающей данный объем* В ре-
результате получим
/V
CLSZ1

- 50 -
Так как в случае островной системы заряженных проводников потен-
потенциал и индукция электрического ноля при fl-^oo убывают не мед-
медленнее, чем <р~ Б"> 1^1 ~ 4з* ^|dS| =: f?2 SLn.0 c/fldy> f то
очевидно, что при /?-*оо первый интеграл в правой части дан-
данного соотношения обратится в нуль. Учтем также, что потенциал
каждого проводника срл один и тот же для всех точек его поверх-
поверхности; это позволяет вынести его из-под знака интеграла. Тогда
будем иметь
N
Ъж Z—Га
CL
Рассмотрим теперь поверхностный интеграл
где вектор /х направлен внутрь а.-го проводника и, следова-
следовательно, отличается знаком от вектора внешней лормали 7гл к
этоцу проводнику: г?--гг • Поэтому
) п.
CL CL M.
Отсюда непосредственно следует, что 1(а\=:"^71<^ • поскольку
поток вектора индукции электрического поля через поверхность,
ограничивающую объем а-го проводника, равен 4я:с^ . Таким
образом, имеем окончательно а
N
В силу линейности электродинамики потенциал электрического поля
линейно зависит от величины свободных зарядов. Поэтоцу и потен-
потенциал, приобретаемый а-м проводником, является линейной (м од-*
нородной) функцией, зависящей от величины зарядов всех провод-
проводников:

- 51 -
8 = 1
Коэффициенты пропорциональности S^g , называемые потенциальны-
потенциальными, можно представить в виде квадратной матрицы N * Л/ , при-
причем первый индекс S^g нумерует строки, а второй - столбцы дан-
данной матрицы. Потенциальные коэффициенты зависят от геометричес-
геометрических размеров, формы и взаимного расположения проводников, а так-
также от диэлектрических свойств окружающей среды и не зависят от
величины зарядов проводников и их потенциалов. Численно потен-
потенциальный коэффициент S^g совпадает с потенциалом, приобретен-
приобретенным GL-м проводником в том случае, когда заряд 8-го провод-
проводника равен единице, а все остальные проводники незаряжены. Со-
Совершенно аналогично, в силу линейности электродинамики и заряд,
которым обладает gl-й проводник в электростатике, должен быть
линейной и однородной функцией приобретаемых всеми проводниками
потенциалов:
Величины С^ называются емкостными коэффициентами, причем при
cl s 6 - это собственные емкости проводников, а при cl^B -
взаимные емкости* Так же,как и потенциальные коэффициенты, ем-
емкостные коэффициенты определяются формой, геометрическими раз-
размерами, взаимным расположением проводников и диэлектрическими
свойствами окружающей среды: они не зависят от величины зарядов
проводников и их потенциалов* Численно величина C^g при а = в
совпадает с зарядом, который необходимо сообщить <х-цу провод-
проводнику при заземленных остальных проводниках (^=0, с Феи)
для того, чтобы он приобрел положительный потенциал *ра = I*
Так как проводник приобретает положительный потенциал (если счи-
считать, что на бесконечности потенциал равен нулю) только в том
случае, когда его заряд положителен, то отсюда следует, что
Cag>0 при cl = 6 # При ct^e C^g совпадает с величиной
заряда, приобретаемого о.-м проводником, когда потенциал 6-го
проводника равен единице, а все остальные проводники заземлены

- 52 -
(«^=0, с Ф В ). Поэтоцу логко ишсгг.шть, что при а^б все
С в & О • Действительно, так кик нитинциил 0-го проюдника
положителен, то и его заряд положитилон. Положительный же заряд
б-го проводника может индуцировать на каждой заземленном про-
проводнике только отрицательный или равный нулю заряд. Так как
(Х-й проводник заземлен, то а, < О 9 а поэтому и С » ? 0.
§ 12. Силы, действующие на диэлектрик во внешнем
электростатическом поле
При помещении диэлектрических тел во внешние электростати-
электростатические поля они поляризуются - внутри объема диэлектрика и на
ограничивающих его поверхностях может возникнуть в общем случае
не равная нулю плотность связанных зарядов. Поэтому в результа-
результате взаимодействия связанных зарядов между собой и с внешним
электростатическим полем возникает объемная электростатическая
сила» которая стремится как деформировать диэлектрическое тело,
так и вызвать перемещение его в пространстве. Если, кроме того,
с веществом диэлектрика жестко связана и некоторая избыточная
плотность объемных зарядов, которую в данном случае следует
рассматривать как плотность свободных зарядов, то картина расп-
распределения объемных сил, действующих не вещество диэлектрика,
существенно усложняется. Однако существуют и другие пути вычис-
вычисления объемной силы, действующей на диэлектрики, помещенные в
электростатическое поле. Один из них, основанный на вариацион-
вариационном методе, разработанном в теоретической механике и термодина-
термодинамике, мы сейчас и изучим.
Рассмотрим жидкий (или газообразный) диэлектрик, помещен-
помещенный во внешнее электростатическое поле» Считая процесс взаимо-
взаимодействия поля с диэлектриком изотермическим, изменение анергии
рассматриваемой системы при виртуальной деформации Sex элемен-
элементов объема диэлектрика мы можем записать в виде
где F^ - объемная плотность обобщенной силы, соответствующая
обобщенной координате cl o Очевидно, что если в качестве обоб-
обобщенных координат выбрать декартовы компоненты радиуса-вектора
некоторой точки диэлектрика, то обобщенная сила F будет сов-

- 53 -
падать с плотностью объемной силы, действующей в этой точке на
диэлектрик* Таким образом, выражение для силы,- действующей со
стороны внешнего поля на элемент объема диэлектрика, можно най-
найти, если изменение энергии поля 88 при виртуальном перемеще-
перемещении Sir сопоставить с работой силы при данном виртуальном
перемещении
SS = -
Выражение для энергии поля в присутствии диэлектрика с находя-
находящимися в нем свободными зарядами, как мы видели в § Ю, можно
представить в двух эквивалентных формах:
8 = ±
V V
Воспользуемся этой неоднозначностью для того, чтобы значительно
упростить последующие выкладки. Запишем энергию электростатиче-
электростатического поля в виде
Виртуальное изменение внешнего параметра 8г% очевидно,должно
привести к изменению всех входящих в это соотношение величин.
С точностью до бесконечно малых первого порядка соотношение
A2.2) дает
SS «|0&p + <pS? - Ssa - || *?]<1V. A2.3)
Так как в случае электростатики Е = — *7<р , то мы можем значи-
значительно упростить это выражение, если учтем, что
?f= 8Е =~
Так как dtvl> = 4xo , то отсюда имеем
?? 8Е - -div(l>8\p)
Подставляя это соотношение в выражение A2,3), получим

se =
Преобразуем теперь интеграл по объему от последнего слагаемого
в интеграл по бесконечно щаленной поверхности. Учитывая, что
при R-^oo величина dS7)S\p убывает не медленнее, чем j~y
убеждаемся, что вклад этого слагаемого равен нулю* Поэтому
8В =
Найдем выражения для So и §? при виртуальном перемещении
tS'r • Изменение плотности свободных зарядов в некоторой точке
с радиусом-вектором Т^ при виртуальном перемещении 8i* может
проистекать из-за двух причин (см,рис*6): из-за простого переме-
перемещения всех элементов объема на расстояния, определяемые вектором
St*, и за счет расширения каждого элемента объема, в результато
которого все линейные размеры их увеличиваются на величину, оп-
определяемую тем же самым вектором Sir . Таким образом, с точно-
точностью до бесконечно малых первого порядка no Sir изменение
плотности свободных зарядов в точке с радиусом-вектором т* оп-
определяется соотношением
где SljO - изменение плотности свободных зарядов в точке г\
вызванное одним только перемещением всех элементов объема на
вектор 8*г f a S^o - изменение, вызванное одним толвко рас-
расширением линейных размеров элемента объема на величину, опреде-
определяемую вектором Sir.
Найдем эти величины,, По определению величина Sfn равна
разности между плотностями свободных зарядов в точке с радиусом-
вектором f^ после виртуального перемещения 8г* и до него:
1? ~~ у после Т7>о %
Так как до виртуального перемещения плотность О^ совпадает
со значением ф в точке -г 9 то foo~9fi*)* После виртуально-
виртуального перемещения это значение плотности переместится в точку
j*+ Sj* , а в точку f* перейдет элемент объема, который до

- 55 -
перемещения находился в точке г*- Sir . Поэтому ^П0СЛ|*
Таким образом^
Раскладывая первое слагаемое, стоящее в правой части этого ра-
равенства в ряд Тейлора по бесконечно малому виртуальному переме-
перемещению Sir и ограничиваясь лишь линейным приближением,получим
Найдем теперь $2р • Очевидно, что и в этом случае
52?"?посл*?*о» ГД6 9го И froc/ie^™0»00™ СВОбОДНЫХ 38-
рядов в точке с радиусом-вектором г* до и, соответственно»
после виртуального расширения элемента объема диэлектрика*
Гис.6. Изменения в диэлектрике, порождаемые виртуаль-
виртуальным перемещением &г:
а) виртуальное смещение элемента объема ди-
диэлектрика вместе с находящимися в нем свобод-
свободными зарядами на вектор St* ; б) виртуаль-
виртуальное расширение элемента объема диэлектрика
Так как при виртуальном расширении величина заряда, содержаще-
содержащегося в данном элементе объема, не изменяется (по нашему предполо-
предположению, сделанному в начале, свободные заряды жестко связаны о
веществом диэлектрика), то для нахождения 82о воспользуемся
соотношением
^ после *

- 56 -
Обозначая величину рассматриваемого элемента объема через Ц,
а приращение элемента объема в результате виртуального расшире-
расширения через SV1 , имеем
)Ъо I У после If
Легко убедиться (см.рис.6,6), что
SV1 =
f
Поскольку div 8r является бесконечно малой величиной, то ?
линейном приближении из соотношения A2.7) получим
Поэтому выражение для 82q принимает следующий вид:
Таким образом, виртуальное изменение плотности заряда A2.5) в
некоторой точке т* диэлектрика, возникающее при виртуальном
смещении Sir , в силу выражений A2,6) и A2.8) равно
So
A2.9)
Совершенно аналогично, виртуальное изменение диэлектрической
проницаемости §8 мы можем представить в виде суммы изменений
? , обусловленных перемещением всех элементов объема диэлект-
диэлектрика и их расширением:
Величину S^t можно найти9 повторяя почти дословно весь ход рас-
рассуждений, использованный при определении S^o • В результате
будем иметь
Определим теперь величину SZB ¦ Так как при расширении элемен-
элемента объема диэлектрика его диэлектрические свойства изменяются в
основном иа~за изменения плотности вещества Т f то эту величи-
величину мы можем записать в виде

- 57 -
где SpT - изменение плотности вещества при-виртуальном расши-
расширении элемента объема, Г= Bint §2~, 8пъ - масса диэлектрика,
содержащаяся в объеме SI/.
Учтем теперь, что масса вещества диэлектрика, содержащего-
содержащегося в любом элементе объема, при виртуальном расширении не изме-
изменяется* Поэтому» по аналогии с определением величины 8го ,
мы можем записать
SaT = -Т divSr.
Следовательно,полное виртуальное изменение диэлектрической про-
проницаемости при виртуальном перемещении S-r равно
5е - - Sirve - — г JivSr. A2.10)
Подставляя выражения A2,9) и A2.10) в соотношение (I2.4)f по-
получим
Sfi ./[-
(К,П)
Теперь нам следует привести подынтегральное выражение этого ра-
равенства к виду (I2.I). Для этого воспользуемся соотношениями
Подставляя их в правую часть равенства A2,11) и применяя теоре-
теорему Остроградского-Гаусса, получим
gg .

- 58 -
Так как поверхностный интеграл в этом соотношении берется по
сфере бесконечного радиуса, где ? =1, о = 0f то
Поэтому виртуальное изменение энергии принимает вид
SS . -
Сопоставляя это выражение с соотношением A2*1) и учитывая,
что все величины 8г независимы, получим окончательно
-9?-?
Первая часть этой силы р? равна силе, действующей со стороны
внешщро поля на свободные заряды диэлектрика; второе слагаемое
JL. ^? описывает часть силы, возникающей из-за неодно-
неоднородности диэлектрической проницаемости веществао И, наконец,
последнее слагаемое выражения A2.12) описывает силу, обязанную
своим возникновением стрикционным свойствам вещества (^§# О)
и неоднородности в пространстве напряженности внешнего поля и
диэлектрических свойств вещества (произведение ? ч^-t )•
§ И* Разреженный нейтральный газ во внешнем
электростатическом поле
В качестве примера на применение выражения A2.12) опреде-
определим объемную силу, действующую со стороны внешнего электростати
ческого поля на разреженный нейтральный ( ? = 0) газ. Такой вы
бор объекта исследования обусловлен тем, что разреженный нейт-
нейтральный газ представляет собой наиболее простой пример диэлект-
диэлектрика, позволяющий получить выражение для объемной силы и на оон!
ве силы Лоренца. Это дает возможность провести в некотором смдо
ле проверку выражения A2.12) на конкретной модели диэлектрика.
Из общих соображений следует, что диэлектрическая проницав

- 59 -
мость разреженного нейтрального газа должна быть функцией его
плотности: 6 = ?(т). Разлагая эту функцию в ряд по степеням Т
и ограничиваясь линейным приближением, получим E==1+<Jz, где
коэффициент пропорциональности о/ f зависящий от химического
состава газа, его температуры и давления, мы будем предполагать
постоянным. В этом случае 7?«^T*^-f),l^
Поэтому выражение A2*12) дает
Так как в случае электростатического поля rot ?*0 % то исполь-
используя известную формулу векторного анализа
из этого соотношения получим
F = (^d)(E?)E. (I3.D
4
Таким образом, при помещении разреженного нейтрального газа во
внешнее электростатическое поле объемные силы, действующие со
стороны поля, будут отличны от нуля только в том случае, когда
внешнее поле неоднородно»
Вычислим теперь эту силу на основе выражения для силы Ло-
Лоренца. Заметим прежде всего, что во внешнем электростатическом
ноле разреженный нейтральный газ поляризуется, в результате че-
чего его можно считать системой электрических дипольных моментов.
Так как электрический диполь представляет собой два равных по
величине и противоположных^по знаку заряда ± о 9 расположенных
на некотором расстоянии ? , то сила Лоренца, действующая со
стороны поля на каждую молекулу газа будет иметь вид.(см.рис.7)
Разлагая первое слагаемое этой разности в ряд Тейлора в окрест-
окрестности точки 1Г и ограничиваясь лишь линейным приближением, по-
получим
/ T
/
Для нахождения объемной силы, действующей со стороны внешнего
электростатического поля на разреженный нейтральный газ нам

- 60 -
следует просуммировать силу A3*2) по всем молекулам, содержа-
содержащимся в единице объема газа. Обозначая число молекул газа, со-
содержащихся в единице объема газа через Л/ , получим
где с/
- электрический дипольный момент одной молекулы газа*
Так как Net представляет
собой средний электрический
дипольный ыомент единицы
объема газа, то этот вектор
совпадает с вектором^поляри-
вектором^поляризации среды Net - Р . Для
разреженных нейтральных га-
газов, как и для других изотроп-
изотропных диэлектриков, справедливо
соотношение
Рис. 7. Электрический диполь во
знешнем поле
Подставляя это соотношение в выражение A3*3), получим
A3.4)
Таким образом, как и следовало ожидэть, выражение для объемной
силы A3Л), вычисленное по общей формуле A2* 12) в случае раз-
разреженного нейтрального газа, находящегося во знешнем электроста-
электростатическом поле, полностью совпадает с соответствующим выражением
A3.4), полученным на основе силы Лоренца. Проведенные вычисле-
вычисления поквзали также, что использование выражения A2.12) являет-
является более простым способом решения поставленной задачи, чем спо-
способ, основанный на использовании микроскопического выражения
для силы Лоренца*
§ W» Тензор натяжений Максвелла для диэлектрической
среды во внешнем электростатическом поле
При решении ряда задач электростатики проводников и диэлект-
диэлектриков часто требуется определить силу, действующую на то или

- 61 -
иное тело в том случа^, когда известны условия на поверхности
этого тела: векторы Е , ]5 и диэлектрические свойства само-
самого тела и окружающей его среды. Конечно, в этом случае можно
поставить соответствующую краевую задачу, определить все необ-
необходимые величины внутри тела и интегрируя выражение A2.12),
найти суммарную силу, действующую со стороны поля на данное
тело. Но в этом случав решение задачи получается достаточно
длинным к сложным. Привлечение понятия тензора натяжений Макс-
Максвелла позволяет существенно упростить решение^данной задачи и
использовать для определения силы величины ? и ? , относя-
относящиеся только к точкам поверхности тела, совершенно не интере-
интересуясь величинами ? и ? внутри него. Чтобы понять суть ме-
метода, запишем выражение для какой-либо проекции полной силы,
действующей на тело, в виде
ъ ¦
где греческие индексы, как обычно, пробегают значения 1,2,3.
Мы также считаем, что всюду, если это не оговорено особо, ис-
используются декартовы координаты инерциальной системы отсчета,
в результате чего Xf» X , X = у , X = 2 • Аналогичный смысл
имеют и соответствующие проекции векторов F - Гх ,/v = Fy ,
F = F • Кроме того, при наличии двух одинаковых индексов, од-
одного верхнего, а другого нижнего, будем предполагать суммирова-
суммирование по ним в пределах принимаемых ими значений Т, ~
= Т + 7^+71. Это правило было введено еще Эйнштейном и позво-
позволяет существенно упрощать запись громоздких выражений»
Объемную силу F^ , действующую со стороны поля, можно по-
получить и иначе - из дифференциального закона сохранения тензора
энергии-импуиьса. В этом случае сила F^ записывается в виде
трехмерной дивергенции от пространственной части тензора энер-
энергии-импульса (тензора натяжений Максвелла)
F = ~^_ Т^ A4.2)
Ецли теперь подставить это соотношение в выражение A4.I), то
интеграл по объему от трехмерной дивергенции мы можем по теореме
Остроградского-Гаусса преобразовать в интеграл по поверхности,

- 62 -
ограничивающей рассматриваемое тело. В индексной записи это бу-
будет выглядеть так:
где c/S- - проекция вектора uS на ось с номером 6 • По-
Поскольку вектор dS всегда параллелен вектору внешней нормали
ft к поверхности тела, Toc/S^ft dS и выражение для силы
принимает вид "
Таким образом, в данном случае для определения силы, действую-
действующей на тело со стороны поля, нет необходимости привлекать ка-
какую-либо информацию о с и ? , относящуюся к внутренним точ-
точкам тела; для этого достаточно определить значения тензора на-
натяжения Максвелла во всех точках поверхности тела и после этого
проинтегрировать его по данной поверхности,,
Поэтов возникает задача восстановления вида тензора ТГ
по известно^ выражению A2*12) для объемной силы. В индексной
записи эта сила имеет вид
Наиболее просто осуществляется преобразование к дивергенционно-
му виду последнего слагаемого
Я Е2
где 6^ - символ Кронекера
I, если
если
Преобразуем теперь к требуемому виду и остальные слагаемые
выражения C4.4). Используя уравнения Максвелла, первое слагае-
слагаемое этого выражения мы можем записать следующим образом:

Второе слагаемое выражения A4.4) приведем к виду:
?2р/у _Л^ рЭ?^ п ^
где учтено, что t =с tft и Ь ч * СА v» Подставляя соот-
ношения A4.5)-A4.6) в выражение (I4.7)t получим
()
Учтем теперь, что при пробегании индексами о/ и в значений
1,2,3, величина —г - —^т дает различные проекции rotE%
'Ъхг Ъх '
который в случае электростатики равен нулюо Иначе говоря, так
ЕЪу> ЪЕи ~ЬЕл п
, ss 1- , ТО —— — ^ = U.
^ d^ ЪР Ъ**
Поэтому выражение A^.7) принимает вид
Сравнивая это соотношение с определением (I4-.2), имеем
Следует отметить, что соотношение A4*2) дает неоднозначное оп-
определение тензора натяжений Максвелла: если к тензору Максвелла
- 63

- 64 -
добавить трехмерную дивергенцию от антисимметричного тензора
третьего ранга, то полученный тензор
р 1&
где &*=-<оы , будет удовлетворять Toity же определению A4,2)»
Действительно, выражая из соотношения A4Л0) тензор Т^ и
подставляя его в определение A4.2),имеем
очевидно, что
= О . Следовательно, р _ *ЭТ'J/1 и добавление
к тензору натяжений Максвелла дивергенции от антисимметрическо-
антисимметрического тензора третьего ранга не изменило величины Р^щ
Давайте теперь выясним, изменяется ли при этом величина
полной силы, определяемая выражением A4.3)• Для этого выразим
из соотношения A4*10) тензор Т? и подставим в A4.3)в В ре-
результате получим
$Jsf Г/, fils
Преобразовав последний интеграл в объемный
и учитывая, что
0
"Эх''Эх'
легко убедиться, что и полная сила, определяемая из выражения
A4.3), не изменяется при преобразовании A4,10):

- 65 -
Поэтому указанная неоднозначность в определении тензора натяже-
натяжений Максвелла является несущественной при вычислении сил, дей-
действующих на тела во внешней электростатическом поле. Используя
выражение A4.9) и учитывая, что dSp^tbpctS , выражение
A4.3) для силы, действующей на некоторое тело, помещенное во
внешнее электростатическое поле, мы можем записать в векторном
виде
где /х - вектор внешней нормали к поверхности тела.
В случае проводника, находящегося в диэлектрической среде,
выражение A4. II) для силы, действующей на него со стороны внеш-
внешнего поля,существенно упрощается. Действительно, так как на по-
поверхности проводника тангенциальные составляющие вектора напря-
напряженности электрического поля равнд нулю, то надранице раздела
диэлектрика и проводника вектор Е имеет вид Е = ЕК , где
Тг - вектор внешней нормали к поверхности проводника. Учтем
также, что стрикционный член JE_ ^Е^ gfi t достигающий в
8 Эт ы
отдельных случаях больших значений, после интегрирования по
замкнутой поверхности обычно не дает вклада в равнодействующую
всех сило Следовательно, тензор натяжений Максвелла, используе-
используемый для вычисления полной силы, действующей на проводник, при-
принимает вид
ы ~ 8ж \ ы °
Поскольку rt п.Лг| , /г S^= ггы $ то отсюда имеем
Подставляя это соотношение в выражение A4*3) и переходя к век-
векторной записи, получим
где

- 66 -
Так как на поверхности проводника ?? = 13^= 4xpnog • то век~
тор Т можно записать в виде
J "~ 2 VnoS ~ 2 УпоВ
Таким образом, при вычислении силы, действующей со стороны по-
поля на проводник, находящийся в диэлектрической среде, вместо
выражения A4.3) мы можем пользоваться эквивалентным ему соотно-
соотношением A4.12).
ГЛАВА 3
МАГНИТОСТАТИКА
§ ^5. Основные уравнения и соотношения магнитостатики
Следующим шагом по пути усложнения изучаемых электродина-
электродинамических процессов является переход к магнитостатике - разделу
электродинамики, в котором изучаются электромагнитные поля,
возникающие в веществе при наличии независящих от времени токов.
В этом случае, так же как и в электростатике, отсутствует какая-
либо зависимость всех величин от времени и уравнения электромаг-
электромагнитного поля принимают вид
rot И « — j ,
rotE - О,
- A5.1)
dlvB = О,
Плотность яока свободных зарядов j , входящая в эти уравнения,
в силу дифференциального закона сохранения заряда B.9), являет-
является соленоидальным вектором

- 6? -
divj
- 0. A5.2)
Как показывает опыт, в проводящих средах этот вектор зависит от
свойств среды, от напряженности электромагнитного поля и от ря-
ряда внешних условий: температуры, давления, освещенности и т.п.
7 = j
Из физических соображений очевидно, что для поддержания постоян-
постоянного во времени тока свободных зарядов, необходимо наличие ис-
источника сторонних электродвш^ущих сил. В качестве таких источ-
источников могут выступать гальванические элементы, генераторы, тер-
термопары, фотоэлементы и ряд других устройств. Поэтому в случае
однородных и изотропных сред и при наличии относительно слабых
полей вектор плотности тока мы можем записать в виде
A5-3)
где Л=Д (Y^Tr..) - проводимость среды, ?стор - напряженность
поля сторонних сил. Обычно источники сторонних сил бывают лока-
локализованы в отдельных ограниченных областях пространства, вне
которых уравнение связи A5.3) принимает наиболее простой вид
Соотношения A5.3) и A5.4) показывают, что в магнитостатике
вектор напряженности электрического поля внутри проводников
может быть не равен нулю.
Система уравнений Максвелла (I5.I) вместе с материальными
уравнениями дает единственное решение задачи лишь при наличии
соответствующих граничных условий. Характерной особенностью
магнитостатики является то, что наряду с обычными граничными
условиями (8.Ю) в ней довольно часто приходится использовать
граничное условие, вытекающее из уравнения A5.2)
Учитывая материальное уравнение A5.3), полную систему граничных
условий запишем в виде

- 68 -
Использование этих уравнений (совместно с естественными гранич-
граничными условиями в особых точках) позволяет не только выделить
единственное решение уравнений Максвелла A5Л), но и опреде-
определить плотности поверхностных токов и зарядов на границе раздела
различных сред*
§ *?• Поле линейных проводников с током
В ряде важных для приложений случаев длина проводника бы-
бывает значительно больше его поперечных размеров. Такке провод-
проводники мы будем называть линейными, подразумевая при этом, что
всегда, когда это требуется, поперечные размеры данных провод-
проводников можно считать равными нулю. Изучим характерные особеннос-
особенности электромагнитного поля, создаваемого одним или несколькими
линейными проводниками с токами, помещенными в непроводящую
среду. Рассмотрим,прежде всего, какой-либо участок линейного
проводника и выясним,какие соотношения имеются ? данное случае
между плотностью тока, величиной поперечного сечения проводника
и бесконечно малым вектором dt , касательным к проводнику в
некоторой точке (см.рис.8). Для этого построим вокруг данного
проводника цилиндрическую поверхность, полностью охватывающую
рассматриваемый участок проводника, и ограниченною поперечными
сечениями А и В.
Проинтегрируем теперь соотношение A5.2) по объему помчан-
помчанного цилиндра. Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гауоса,
имеем

- 69 -
<f>fds - fjds + fJJs -f fjd? = о,
s c sf 5a s3
и пон й
<16Л>
где of и o^ - поверхности поперечных сечений проводника, про-
проходящие через точки А и, соответственно, В , a S_ - боко-
боковая поверхность цилиндра* Так как линейный проводник находится
в непроводящей среде, то на поверхности S3TaK же,как и на бо-
боковой поверхности самого проводника, L = 0 в силу граничного
условия A5.5). Поэтому ffdS'« О « Учитывая теперь, что
Рис. 8. Участок линейного проводника
вектор внешней нормали в сечении А антипараллелен вектору
внешней нормали в сечении В , соотношение A6Л) приведем к
виду:
S1
dS s I « cortsf
A6.2)
Таким образом, величина тока, протекающего через любое попереч-
поперечное сеченио лщшйного проводника,постоянна. Так как величина
поперечного сечения линейного проводника мала, то эффекты, свя-
связанные с неоднородностью плотпости тока / в различных точках
сечения также будут малы. Поэтоцу в первом приближении по вели-
величине отношения поперечного размера, проводника vS к его харак-
характерной длине В мы имеем все основания считать, что плотность
вектора тока в различных точках поперечного сечения линейного
Проводника постоянна: J(t^ I ^J*=con$t. А поскольку на боко-

- 70 -
• •»
вой поверхности проводника вектор j имеет только касательную
составляющую (j^ = 0), то с той же степенью точности этот век-
вектор во всех то шах рассматриваемого поперечного сечения можно
считать параллельным вектору с/с f касательному к оси провод-
проводника:
Jdt = jdl . (I6-3)
Используя полученные соотношения, определим поле, создаваемое
вне линейного проводника. Так как в данном случае уравнение
F.6) для вектор-потенциала принимает вид
то считая, что линейный проводник имеет конечную длину, полу-
получим, как обычно у
где интегрирование производится по объему, занимаемому линейным
проводником. Представляя элемент объема рассматриваемого провод-
проводника в виде dV = dS dt и используя соотношение A6.3),*
упростим выражение A6.4):
/и Г \dSdt
Величина |t^-f^yP , стоящая в подынтегральном, выражении этого
равенства, вообще говоря, изменяется не только при переходе от
одного поперечного сечения проводника к другому, но и при про-
бегании вектором ?*' точек одного и того же поперечного сечения*
Однако при достаточно малых размерах поперечного сечения линейн,
го проводника изменение величины |fr-rt>/| в последнем случае
будет очень мало, в результате чего мы можем считать эту величи-
величину постоянной при интегрировании по каждому из поперечных сече-
сечений проводника. Это дает основание записать данное выражение в
виде

- 71 -
Используя соотношение A6.2), отсюда имеем
^ ,»„ > A6.5)
причем интегрирование здесь производится по точкам вдоль оси
линейного проводника.
Определим теперь вектор магнитной индукции. Б силу соотно-
соотношения E.1) получим
в = rot А
Так как операция взятия ротора в данном выражении производится
по координатам вектора г" , то
71 =
J
Тогда для вектора магнитной индукции имеем
if*. 1*1
Если это соотношение представить в виде
то мы получим известный закон Био-Савара-Лапласа
Б ряде случаев точное интегрирование в выражениях A6.4) и
A6.5) осуществить не удается, в результате чего возникает не-
необходимость нахождения приближенных выражений для векторов А
и в • Для этого, как обычно, подынтегральное выражение в со-
соотношении A6.4) нам следует разложить в ряд по некоторому ма-
малому параметру с требуемой точностью, после чего проинтегриро-

- 72 -
вать его почленно. Наиболее часто а качестве малого параметра
используют отношение характерного размера Z области, занимае-
занимаемой источником поля к расстоянию от этой области до зочки наб-
наблюдения. В системе координат, начало отсчета которой помещено
J3 какую-либо точку источника поля,П~'| ~ ? и условие малости
данного отношения принимает вид
Ir'l 4
Разлагая |t*-T*'|~ в ряд по этому малому параметру и ограничи-
ограничиваясь лишь линейным приближением, получим
1 х ± + к?\
\Г-Г'\ v г3
Подставляя это разложение в выражение A6.4), будем иметь
Для упрощения данного выражения воспользуемся тем, что в магни-
магнитостатике вектор плотности тока является соленоидзльным
c/tvT ~ О • Поэтому для произвольной дифференцируемой
функции -f(t*) будет справедливо соотношение
Проинтегрируем это соотношение по Bcei^y пространству. Восполь-
Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получим
f) f() ctx c/^ Jz .
V
Так как в случае островных систем вектор плстиости тока
на бесконечности тождественно равен нулю, то и интеграл в левой
части этого соотношения также равен нулю. Поэтому для островных
систем соленоидальный вектор f (f*") должен удовлетворять условч!
fdx c(y c/z (J(r) V) f(t*) = О A6.7)
независимо от выбора дифференцируемой Функции /(г) . Для нзшт
целей это соотношение представляет наибольший интерес лишь при

- 73 -
двух частных выборах виде функции fCr) • В первом из них поло-
положим последовательно *f(t*) = *>У>^ • Учитывая,, что
из выражения A6,7) будем иметь
fjxdyclzj(i*) = О.
Таким образом, первое слагаемое в соотношении A6,6) равно ну-
нулю в силу соленоидальности вектора j.
В другом случае, выбирая j-Qr} = (^rt)(irrr/) , где al -
произвольный постоянный вектор, а т*' - некоторый вектор, не
зависящий от f , и используя соотношение
получим
{ J}) = о.
Поскольку постоянный вектор cl является полностью произволь-
произвольным, то это равенство может быть выполнено только в том случае,
когда
fcJx db J
r) + rTr'/ft*))} = 0.
Заменяя в этом выражении ? на f^' , Г на г и dxdyaz
на dV= dx'dy'dz', получим
} = 0.
Используя это соотношение и проводя тождественные преобразова-
преобразования в выражении A6.6), будем иметь
Легко убедиться, что в фигурных скобках этого выражения стоит
двойное векторное произведение

- 74 -
Поэтому вводя обозначение
для вектора магнитного дипольного момента, векторный потенциал
можем записать в достаточно простом виде:
Для вектора магнитной индукции в дипольном приближении имеем
/Г _ 3:r(trlr:)-'trL'r* (I6.8)
-Г0
Вычислим теперь свободную энергию магнитного поля, создаваемого
системой проводников с токами. По определению (9.3) имеем
Так как В « vot А э то используя соотношение
Jcv[Xh] = H-rotA - ArotH,
это выражение приведем к виду:
Преобразуем интеграл по объему от первого слагаемого в поверх-
поверхностный, а во втором слагаемом учтем, что в магнитостатике
6 -±
ный, а во втором
\Л = ^ Т . В результате получим
Поскольку при R -*> со векторы А , Н и dS имеют асимпто-
асимптотику | А|~ —jj iHl ^ 1/R^ , то очевидно, что при интегриро-
интегрировании по бесконечно удаленной поверхности первый интеграл обра-
обращается в нуль. Тогда
f*7dV CI6.9)

- 75 -
Учитывая выражение A6.4), имеем
ТтТсъ(К.Ю)
Рассмотрим теперь систему из Л/ непересекающихся проводников,
в каждом из которых имеется отличная от нуля плотность тока
^(т*)(а=1,2,...э N ). Тогда полную плотность тока j fr*) можно
записать в виде
В силу линейнрсти электродинамики, создаваемый этой системой
токов векторный потенциал мы можем записать в аналогичном ви-
N
где Ап(т) - вектор-потенциал, создаваемый током 0-го провод-
проводника* Подставляя эти соотношения в выражения A6.9) и A6.10),
получим
N
¦? Т А/
где введено обозначение
При cl»o величина G^g представляет собой собственную сво-
свободную энергию магнитного поля, создаваемого током cz-ro
проводника; при о,/8 величина 2S^g является энергией взаи-

- 76 -
модействия токов Ct-ro и 6-го проводников. Очевидно, что
при прочих равных условиях плотность тока y^fr) <х-го провод-
проводника ( gl = 1,2,..9 А/ ) должна быть линейной функцией полного
тока, протекающего через поперечное сечение этого проводника.
Поэтому свободная энергия магнитного поля, создаваемого систе-
системой из А/ проводников с токами, является некоторой однородной
квадратичной формой относительно токов в этих проводниках:
А/
8 * 2?
Коэффициенты этой формы /_ «при cl=to называются коэффициен-
коэффициентами самоиндукции сх-го проводника, а при сиф& - коэффици-
коэффициентами взаимной индукции проводников с номерами си и о . Они
существенно зависят от геометрической формы, размеров и взаим-
взаимного расположения проводников и от jll .
Нахождение этих коэффициентов в общем случае представляет
собой довольно сложную задачу, так как для этого требуется про-
провести полное решение уравнений электромагнитного поля, опреде-
определить свободную энергию этого поля и представить ее в виде квад-
квадратичной формы относительно токов з проводниках. После этого
сопоставление полученного выражения с соотношением A6.13) даст
возможность определить величину каждого из коэффициентов L^g
рассматриваемой системы проводников. Для линейных проводников
эта задача существенно упрощается. В этом случае коэффициенты
взаимной индукции L^g (<х^6) могут быть получены проще* Для
этого запишем выражение для 6 D B виДе
OLD
!_ / Г Т
glB 2с °^ ^ ^
Учитывая соотношение A6.12), имеем
L
Используя выражения
Г С**> d V

- 77 -
справедливые только для линейных проводниковой учитывая, что
(r-г'Г* несущественно изменяется при интегрировании по точкам
любого поперечного сечения линейных проводников, получим
L .- j
Вычисление же коэффициента самоиндукции линейного проводника
(при а. = 8 ) /пртжэтОдится несколько сложнее, так как в этом
случае пренебрегать наличием поперечного сечения у линейного
проводника на некоторых этапах приведенного выше расчета уже
нельзя.
Величину свободной энергии магнитного поля, создаваемого
системой линейных проводников с токами, можно представить и в
whom виде* Для этого подставим соотношение A6.11) в выражение
(I6.9). В результате получим
А/
8
Гек как величина j^ft*) отлична от нуля только в объеме, зани-
занижаемом cl-m линейным проводником, то используя соотношение
A6,3), мы можем сделать следующее преобразование:
Считая, что величина вектор-потенциала полного поля A Or) несу-
цественно изменяется при пробегании вектором г** точек каждого
фиксированного поперечного сечения gl-го проводника, из выра-
выражения A6.15) найдем
1спользуя формулу Стокса
А(г) =

- 78 -
где S - любая поверхность, опирающаяся на контур а-го про-
проводника, получим
f
if Г Ф
Jo
GL=1
Сопоставляя это выражение с выражением A6.1$), видим, что в
случае линейных проводников поток вектора магнитной индукции
через любую поверхность, опирающуюся не контур а-го проводни-
проводника, может быть представлен в виде
А/
§ *7« Закон Ома для линейных проводников с током
Разделив обе части соотношения A5.3) на проводимость А
мы получаем закон Ома в дифференциальной форме:
X = Е + ^стор • A7Л)
Это равенство связывает в каждой точке проводящей среды напря-
напряженность электрического поля и напряженность поля сторонних сил
с плотностью возникающего под их действием тока и проводимостью
среды* Используя его, мы можем получить и интегральный здкон
Ома, Для этого умножим скалярно соотношение (I7.I) на dB и
проинтегрируем вдоль линейного проводника с током от точки А
до точки 6 в^ ^ & в
jg.f^dt (I,.2)
А ^ Л
Преобразуем теперь каждый интеграл в этом равенстве. Учитывая,
что для линейных проводников справедливы соотношения / с/6 =
~ Jc/?, jS=rI= con,s?, интеграл, стоящий в левой части, при-
приведем к виду: д
/

в -79-
^~ - электрическое сопротивление участка линей-
- a *S
ного проводнику, заключенного между точками Див. Подстав-
Подставляя выражение ? =-^<р в первый интеграл, стоящий в правой
части равенства A7.2), имеем
& Ь В
\ А А
где Чав^^в" ^ftvl" Разность потенциалов (падение напряжения)
на участке АВ • И, наконец, последнее слагаемое равенства
A7.2) можно записать в виде
Б
гдеЭдо " сумма сторонних электродвизкущихся сил, содержащихся
на участке А В • В результате из соотношения A7.2) получаем
закон Кирхгофа для участка цепи:
IRAB = UA6 + ЭАЬ- W
Если интегрирование в соотношении A7,2) производится по замкну-
замкнутому контуру, то око принимает вид
j
Так как в магнитостатике ТхА. Е = О , то циркуляция BgKTgpa E
по любому замкнутому контуру равна нулю ФЕс/Ег* (rot EdStz O%
П Кф
Поэтому для замкнутого контура звкон Кирхгофа имеет вид
ir = э,
где R - электрическое сопротивление контура, Э - алгебраи-
алгебраическая сумма сторонних электродвижущихся сил, содержащихся в
рассматриваемом контуре,
§ 18. Силы в магнитном поле
Для определения обобщенной силы ? • действующей на по-
покоящиеся проводники с токами, величину свободной энергии
A6.13) мы должны продифференцировать по соответствующей обоб-

При этом в зависииости от выбора обобщенной координаты мы можем
получить как силу (с^ ~ f^ ), так и моменты сил (cj, = 0 ), дей-
действующих на тот проводник, по обобщенным координатам которого
мы производим дифференцирование*
Следует также отметить, что в случае магнетиков (кроме
ферромагнетиков), помещенных во внешнее магнитное поле* выраже-
выражения длц объемной силы и тензора натяжений Максвелла могут быть
получены по аналогии со случаем электростатики диэлектриков*
В частности, имеем
Г
Для ферромагнетиков jjs-за нелинейной и неоднозначной (гистере-
(гистерезис) связи векторов- б и п эти выражения оказываются непри-
неприменимыми*
ГЛАВА 4
КВАЗИСТАЦИ0НАРН0Б ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ *9. Уравнения электромагнитного поля в квазисташо-
нарном приближении
Следующим по сложности типом электромагнитного поля в про-
проводящих следах ^ляетдя ква^истационарное поле. В этом случае
векторы Е • Н * б и 25 могут зависеть от времени, но на
эту зависимость накладываются некоторые ограничения, составляю-
составляющие условия применимости квазистационарного приближения. Таких
условий три.
Во-первых, необходимо чтобы характерный линейный размер t
области, в которой изучаются квазистационарные процессы, был
значительно меньше соответствующей длины волны электромагнитного
поля, имеющего ту же частоту СО :
-во-
-вощенной координате а, при постоянных значениях токов:

- 81 -
? « -?- • (i9.i)
При выполнении этого условия электромагнитное поле во всех точ-
точках рассматриваемой области будет иметь одну и ту же фазу, что
позволяет существенно упростить анализ различных электродинами-
электродинамических явлений. Т?к как при наличии вещества скорость распрост-
распространения электромагнитных волн c's c//?/u-, то первое условие
квазист8цион8рности можно записать еще и в виде
т»
где Т - период электромагнитных колебаний. Оно означает, что
время запаздывания поля в различных точках рассматриваемой об-
области Т~&/с значительно меньше периода электромагнитной вол-
волны Т и им можно пренебречь по сравнению с величиной Т1
Второе условие применимости кв8зист8ционарного приближения
требует, чтобы частоты электромагнитных колебаний были достаточ-
достаточно малыми, позволяющими использовать те же значения для диэлект-
диэлектрической ? , магнитной 9Х проницэемостдй и проводимости Л,
что и в случае постоянных полей. Детальный энализ, проводимый
с привлечение!.' статистической физики, показывает, что данное
условие может быть выполнено только в том случае, когда время
свободного пробега электронов в проводящей среде значительно
меньше периоде Т изменения электромагнитного поля* Для боль-
большинства типичных проводников, находящихся в нормальных условиях,
это требование допускает частоты вплоть до инфракрасной области
спектра.
И, наконец, третье^гслоБие кд^зистационарности требует
малости тока смещения j -' Т~ -zrp по сравнению с током прово*
дшости j ~'XfE+'ECT } в проводящей среде:
Полагая |1)|~ б|Е | и считая, что в рассматриваемом объеме отсут-
отсутствуют источники сторонних э.д.с, для случая гармонической за-
зависимости поля от времени (I^L ~ со) это равенство можем пере-
переписать я виде

- 82 -
CO « А или Т» — . A9.2)
? A
При одновременном выполнении перечнеленных условий квазистацио-
нврности, уравнения макроскопической электродинамики существенно
упрощаются:
rot И = Z? /
^?="Э1' A9.3)
divb^O,
di-vb =
Следует отметить, что в силу первого уравнения системы A9*3)
divj ~ 0 , что, в свою очередь, требует выполнения условия
2? =s О • Таким образом, по сравнению с магнитостатикой, новым
моментом в изучении квазистационэрного поля является учет эффек-
эффекта электромагнитной индукции Фэрадея. Уравнения поля A9.3) не-
необходимо, как обычно, дополнить материальными-уравнениями и сис-
системой граничных и начальных условий. В случае однородных и изот-
изотропных сред и при отсутствии сторонних э.д.с. в рассматриваемой
облэсти пространства материальные уравнения принимают достаточно
простой вид:
При проведении практических расчетов уравнения поля A9.3) час-
часто бывает удобно представить в несколько ином виде» Для этого
возьмем ротор от первого уравнения системы A9.3). Учитывая со-
соотношения Ц9«^О и используя известную формулу векторного анали-
анализа rot rot H =s V dCv H-ah ¦ имеем
rotE + VcJcv И .
В силу второго и третьего уравнений системы A9.3) отсюда полу-
получим

- 83 -
Совершенно аналогично, полагая, что в рассматриваемой области
пространства (У - 0, из второго уравнения системы A9.3) инеем
?>Е (I96)
сг
Умножая правую и левую стороны этого равенства на Л и учиты-
учитывая последнее из соотношений A9.4), получим
Ч - -^~ 5Г
Таким образом, векторы ? f H и j в случае квазистационар-
квазистационарного приблиаения удовлетворяют одинаковым уравнениям A9.5)-
A9»7). Поэтому при проведении практических расчетов достаточно
определить^один из этих векторов, после чего, используя соотно-
соотношения ЦП г- - с i
t
можно найти и остальные векторы»
§ 20. Скин-эффект
Одним из наиболее характерных эффектов в случае квазиста-
квазистационарного электромагнитного поля является скин-эффект. Для то-
того чтобы понять наиболее существенные моменты данного эффекта
рассмотрим следующие две задачи.
Первая из них состоит в изучении распределения квазистацио-
варного электромагнитного поля в проводящей диссипирующей среде
при наличии плоской границы раздела двух сред. Предположим, что
Плоскость у = 0 является границей раздела ввкуума (полупрост-
(полупространство у < О ) и покоящейся проводящей среды (полупространст-
(полупространство у > О )* Считая данную среду одно^одной^и изотропной, изу-
изучим характер распределения векторов Е , И и j в ней, если
в вакууме создано квазистационарное электромагнитное поле, век-

- 84 -
тор И которого имеет вид
Я - Но е-
гае (Г,- {Ho,0,0}= «.«.st.
Следует отметить, что векторы электромагнитного поля, так
же как и всякие другие физические величины, всегда должны быть
вещественными* Поэтому компоненты поля Н еле довело бы зада-
задавать в явно вещественном виде, взяв, например, только реальную
часть от этого дыражения» Однако поскольку в рассматриваемой
задаче вектор Н входит линейно в уравнение A9.5), то мы мо-
можем использовать более удобное для расчетов комплексное предста-
представление этого вектора, имея в виду, что после осуществления воех
операций в качестве результата следует взять лишь действитель-
действительную часть (или только мнимую) полученных выражений.
Твким образом, данная задача сводится к нахождению решения
уравнения A9.5) в полупространстве у > О с векторным гранич-
граничным условием
при у =0, которое объединяет сразу несколько условий:
в:-в.1, н?-н;.
Как следует из граничного условия B0.1), решение уравнения
A9.5) удобно искать в аналогичном виде:
Я-
Подставляя это выражение в уравнение (I9.&), получим
dy2 с2
Граничное условие B0.1) в этом случае примет вид
Н(О) = Но. (».»
В соответствии с правилами, принятыми в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, решение уравнения B0.2) будем ис-
искать в виде

- 85 -
Подставляя эхо соотношение в уравнение B0.2), найдем, что
2.
с*
Если ввести обозначение
S" = , » B0.4)
\Z2Xu
j
то это соотношение примет достаточно простой вид:
Отсюда следует, что
Таким образом, общее решение уравнения B0.2), как и следовало
ожидать, содержит две произвольные константы:
= С,е,ррЬ%у] + С,е*/>[- %Ь)У] - B0.5)
Поэтому одного граничного условия B0*3) недостаточно для опре-
определения величины постоянных Cf и С2 «» Это означает, что для
получения однозначного решения уравнений поля мы должны привлечь
естественные граничные условия, вытекающие из физической поста-
постановки задачи. Для их нахождения рассмотрим структуру решения
B0.5)* Легко заметить,что первое слагаемое этого решения экспо-
экспоненциально возрастает с ростом у , а второе - экспоненциально
убывает* Хаким образом, первое слагаемое описывает электромагнит-
электромагнитное поле в антидиссипирующей среде, которая усиливает его за счет
уменьшения собственной энергии; второе слагаемое описывает пере-
переменное электромагнитное поле в диссипирующей среде,которая, нао-
наоборот, поглощает его энергию, уменьшая тем самым амплитуду поля.
Так как рассматриваемая нами проводящая среда является дис-
диссипирующей, то диссипационные свойстве однозначно определяются
пеяичиной S i зависящей от проводимости среды, магнитной прони-
проницаемости и. и частоты электромагнитного поля* Поскольку в дисси-
гшрующей среде амплитуда квазистационарного электромагнитного по-
ля по крайней мере не возрастает, то в данном случае естествен-
естественное граничное условие должно иметь вид|Н(уI<оо при у > 0 «Так
вд« ъ рассматриваемой нами задаче проводящая среда предполагает-

- 86 -
ся диссипирующей, то для определения постоянных С^ и С^ имеем
два условия:
|| О у < со.
Первое из них дает
а второе может быть обеспечено при у-^оо только лишь тогда,
когда С1 = 0. Отсюда следует, что
Таким образом, вектор W в проводящей среде имеет вид
п = ное - е . Bо.б)
Считая, что напряженность магнитного поля определяется реальной
честью этого выражения, рассмотрим график, показывающий распре-
распределение поля в проводящей среде в некоторый момент времени
? - ?о = ф (см.рис, 9)# Из этого графика следует, что
мгновенное значение напряженности квазистационарного магнитного
Но
0
-Но
V--
s
2.тсЪ _ _
e
Рис,9 . Мгновенное значение компоненты Н в
проводящей среде
поля в данной среде является периодической функцией у , ампли-
амплитуда которой экспоненциально убывает с ростом у , причем ха-
характерной длиной, на которой амплитуда убывает б в раз, являет-

- 87 -
ся величина 8 • Поэтому поле И оказывается практически рав-
равным нулю уже на расстоянии равном нескольким S • В силу этого
величина 5 получила наименование глубины проникновения поля
или толщины скин-слоя, Используд соотношения A9.7) и B0*6),
найдем выражения для векторов Ей/ :
Из этих выражений следует, что^амплитуды векторов Е и j от-
отличаются от амплитуды вектора Н
а юс фазы отстают от фазы колебаниями на величину равную j-.
В остальном ж^поведение векторов Е и j аналогично поведе-
поведению вектора Н. _^
^ Таким образом, характер распределения векторов Н , ?
и j в проводящей среде существенно зависит от значений 5 и
*А • В предельном случае 8-+* О электромагнитное поле и токи
проводимости оказываются сосредоточенными на поверхности прово-
проводящей среды, не проникая внутрь ее. Так как свойства материаль-
материальных сред при 8—+-0 оказываются подобными свойствам идеально
проводящих сред (Я-^оо ), то их называют идеальными провод-
проводниками* Как следует из выражения B0,4), проводящая среда может
считаться идеальным проводником не только тогда, когда ее про-
проводимость велика (А-^ао$со^0 ), но ив случае больших
частот при небольших значениях проводимости (со-*-оо, X Ф О).
Другой предельный случай реализуется при со-*- О и доста-
достаточно больших значения^ проводимости Я • Этот случай соответ-
соответствует проводнику, помещенному в статическое магнитное поле.
Как следует из выражения B0Л), в этом случае &-*оо и маг-
магнитное поле проникает в проводящую среду без какого-либо ослаб-
ослабления. Векторы ? и ] , в силу соотношений B0.7), в рассмат-
рассматриваемом случае будут равны нулю*
Изучим теперь характерные особенности скин-эффекта при на-
наличии неплоской границы между проводящей средой и вакуумом* Для
этого рассмотрим проводящий бесконечно длинный круговой цилиндр
р.дауса R % находящийся в вакууме. Предположим, что не поверх-

- 88 -
ности этого цилиндра (при r= R ) поддерживается зависящая от
времени плотность тока:
JYr= /?) = j0e"LO> ez. B0.8)
Найдем распределение вектора ~^ по сечению проводника»
Если обозначить проводимость цилиндра через А , а его
магнитную проницаемость через ju~ , то вектор j во внутренних
точках цилиндра будет удовлетворять уравнению A9.7):
B0.9)
В силу симметрии задэчи, решение уравнения B0.9), удовлетворя-
удовлетворяющее граничному условию B0.8), будем искать в виде
-+ -Lcoi ^
j = j(r)e e.-^
Подставляя это выражение в уравнение B0.9) и учитывая, что в
цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет вид
получим уравнение Бесселя нулевого порядка:
где К= A+L)/S , а величина § определяется выражением
B0.4). Решение этого уравнения имеет вид
где NQ(x) и 10(х) - функции Неймана и, соответственно, Бессе-
Бесселя. Ък же как и в первом случае, для определения постоянных Cf
и Сг к граничному условию B0.8) добавим естественное гранич-
граничное условие | / (г) j < оо , вытекающее из постановки задачи.
Учитывая, что \Мо(к-г) J —»- оо при т-* О , a I^C^^)! < °°
при любых значениях г ^ cl , находим, что С. = 0. Используя
граничное условие B0.8), получим
ez. B0. Ю)

- 89 -
Изучим распределение плотности тока по сечению проводника в двух
предельных случаях при S»R (слабый скин-эффект) и при5«#
(сильный скин-эффект).
В случае слабого скин-эффекта справедливы неравенства
|кг| ^ |kR| = & ~ « Ь
в результате чего аргументы у обеих бесселевых функций, входя-
входящих в выражение B0.10), по модулю оказываются близкими к нулю*
Поэтому, используя известное разложение функции Бесселя
из выражения B0.10) получим
Таким образом, в случае слабого скин-эффекта плотность тока
распределяется по сечению проводника равномерно. При S« R
величина | к R | = v^T -? » f , и мы можем воспользоваться асимп-
асимптотическим разложением
справедливым при больших значениях модуля аргумента функции
Бесселя. Так как K=/f^?)/S=v^/Set'x'^H R/S»1 , то величиной
в ч ^ysre5e^ 4' в этом выражении можно пренебречь по
сравнению с величиной С ~5^ = е^е. 'в* 4/ . в резуль-
результате получим
B0.11)
Поэтому соотношение B0.10) в случае сильного скин-эффекта при-
принимает вид
7=1
Исследуем это выражение при различных значениях радиуса точки
наблюдения 0 ^ т ? R . На периферии цилиндра т~* R и для
|кг| справедлива оценка |ki~|= v^^- » 1 . Это дает

- 90 -
возможность воспользоваться асимптотическим разложением, ана-
аналогичным B0.11):
1о<«* - |/i
е * е
Подставляя это выражение в соотношение B0,12), получим
Таким образом, в области значений к»**4» о вектор плотности
тока представляет собой периодическую функцию т и ? , ампли-
амплитуда которой убывает практически по экспоненциальному закону*
Поэтому на расстоянии от поверхности цилиндра, равном несколь-
нескольким 8 , вектор плотности тока резко стремится к нулю, В част-
частности, приГ-tf-fOS амплитуда вектора j уменьшается прибли-
приблизительно в Ю раз по сравнению со значением амплитуды на по-
поверхности цилиндра* В окрестности оси цилиндра С^« S ),
|КГ| аг ^2 7Г < 1 И МЫ МОЖеМ ПОЛОЖИТЬ Т (КТ) 9т 1 . В
зультате получим °
J =)
Очевидно, что из-за наличия в этом выражении множителя еГ
амплитуда плотности тока в окрестности оси проводника чрезвы-
чрезвычайно близка к нулю* Как показывает анализ, в области значений
Т*~ S амплитуда плотности токе принимает промежуточные значе-
значения между амплитудами вектора J при Г<с 8 й г » 8.
Таким образом, решение данных задач показывает, что хотя
форма и геометрические размеры проводящих сред и оказывают свое
влияние, квазистационарное электромагнитное поле^в них имеет
одни и те же характерные особенности: векторы ? , j-j и j в
проводящих средах экспоненциально убывают при прохождении их в
глубь проводника* Характерной глубиной, на которой эти векторы
уменьшаются в е рез, во всех случаях является величина 8.
§ 21# Квазиотащюнарные процессы в линейных проводниках
Рассмотрим некоторую систему, состоящую из конечного числа
линейных проводников, помещенную в однородную и изотропную

- 91 -
среду с диэлектрической и иагнитной проницаемостями 6 и jll
соответственно. Для изучения квазистационарных процессов, проис-
происходящих в этих проводниках» воспользуемся дифференциальный за-
законом сохранения энергии (9.2):
J
Проинтегрируем это уравнение по всему трехмерноцу пространству.
Так как в диэлектрической среде, по условию задачи, отсутствуют
свободные заряды, то первое слагаемое уравнения B1.I), соглас-
согласно* (ИЛ) и (II.6), можно записать в виде
/ У
где Lr • - емкостные коэффициенты системы проводников, <р. - по-
потенциал 1-го проводника. Однако в случае одних только линейных
проводников, без наличия конденсаторов, эта сумма, во-первых,
оказывается чрезвычайно малой величиной, и, во-вторых, очень
слабо зависящей от времени, так что ею можно пренебречь по срав-
сравнению с остальными слагаемыми уравнения B1.I). Если же в систе-
систему линейных проводников включены и конденсаторы (которые в дан-
данном случае следует представлять в виде достаточно тонких идеаль-
идеально -проводящих поверхностей, соединенных с линейными проводника-
проводниками), то основной вклад в первое слагаемое уравнения B1Л) дают
именно конденсаторы и в силу соотношения (II.5) оно принимает
вид
где О?/ - потенциальные коэффициенты конденсаторов, Q^ - аб-
абсолютная величина заряда обкладки ?-го конденсатора.
Совершенно аналогично, в силу соотношения A6.13) второе
слагаемое уравнения {21 Л) запишем в виде

- 92 -
/Л, т , B1.3)
Ч11
где L^: - коэффициенты взаимной индукции (L Ф j ) и самоин-
самоиндукции ( L — j ), Г^ - ток в L-м проводнике»
Интеграл по объему от дивергенции вектора Пойтинга по тео-
теореме Остроградского-Гаусса преобразуем в интеграл по бесконечно
удаленной поверхности
Этот поверхностный интеграл, вообще говоря, не равен нулю, хотя
и очень мал в нашем случае. Тек как при квазистационарных про-
процессах потери энергии на излучение электромагнитных волн очень
малы, то ими можно пренебречь,в результате чего этот интеграл
мы можем положить равным нулю.
Рассмотрим теперь последнее слагаемое уравнения B1.I).
Используя уравнение связи A5.3), его можно записать в виде
- О
где у , А^ - плотность тока и проводимости ?-го проводника,
Е^ - - напряженность сторонних источников. Так как вектор^
отличен от нуля только внутри проводников, то это выражение мы
должны проинтегрировать по объеи^т всех линейных проводников.
Интегрируя первое слагаемое равенства B1Л), учитывая соотноше-
соотношение ji$i = I- t справедливое для линейных проводников, полу-
получим
где К- ¦• / с—^г - сопротивление t-го линейного проводника*
* J Л S

- 93 -
CoBgpmeHHo аналогично, используя соотношение ji
-= j. d?L найден, что
f
J
t ZclvJi^sjE: d?L=ILfEL dl= 1.9.A).
B1.6)
Таким образом, закон сохранения энергии B1Л) после интегриро-
интегрирования по пространству и учета соотношений B1.2)-B1.6) примет
вид
J=1 B1.7)
Будем считать, что форма линейных проводников и конденсаторов,
их взаимное расположение и внешние условия (давление, темпера-
температура и т.п.) не изменяются с течением времени. В этом случае
частную производную по времени в уравнении B1.7) можно заме-
заменить на полную производную и считвть, что
Учтем теперь, что изменение заряда на-обкладке конденсатора,
соединенной с L-м линейным проводником, связано с током Г^
в этом проводнике соотношением ^ЯгС _ j. „ Тогда уравнение
B1.7) можно переписать в виде
Так как это соотношение должно выполняться при любых значениях.
тока в L-м проводнике, то выражение, стоящее в фигурных скоб-
скобках, должно равняться нулю:

- 94 -
Таким образом, мы получили систему, состоящую из N линейных
уравнений относительно N неизвестных о. ( с= 1,2, ••„, Л/ )•
Эту систему уравнений необходимо дополнить системой из 2N на-
начальных условий, которую чаще всего реализуют, задавая в неко-
некоторый начальный мбмент времени t = ~to заряды на обкладках кон-
конденсаторов и токи всех проводников:
В этом случае система уравнений B1,8) при заданной правой час-
части будет давать единственное решение, описывая в квазистацио-
квазистационарном приближении изменение с течением времени зарядов и токов
в каждом из линейных проводников. В случае одного проводника
оно принимает вид хорошо известного уравнения вынужденных коле-
колебаний:
d*Q dQ Q
cffca * dt С
где L~L1»R = /?1 |C=r - индуктивность, сопротивление
и емкость цепи. Вводя обозначения 0до=~, tf= -^гг^Цф
это уравнение можно переписать в более привычном виде:
dtz
Дополняя данное уравнение начальными условиями
гв> B1.II)
задающими начальный заряд на одной из обкладок конденсатора и
величину тока в цепи в начальный момент, мы при заданной,зави-
заданной,зависимости э.д.с* источника от времени получим единственное решение
этого уравнения.

- 95 -
ГЛАВА 5
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД
§ 22» Уравнения макроскопической электродинамики в
ковариантном виде
В случае покоящихся сред, как мы установили, уравнения мак-
макроскопической электродинамики имеют вид
roiH =сэГ + -r
х~?
roiE ^
dLvB = О,
divD =
Эти уравнения могут быть дополнены материальными уравнениями,
которые для однородных^ изозцюпных^сред дшют наиболее простую
связь между векторами D и ? , Б и н
D
SE , 6 = jllH . B2.2)
Используя уравнения B2.1) и B2.2) с соответствующими начальны-
начальными и граничными условиями, мы можем исследовать различные элект-
электродинамические процессы, происходящие в покоящихся средах, т.е.
в средах, которые находятся в покое относительно наблюдателя.
Однако в ряде случаев такая постановка задачи по тем или иным
причинам оказывается неудобной и изучение электродинамических
явлений иногда необходимо производить в той инерциальной систе-
системе отсчета, в которой вещество среды движется. Следует сразу же
отметить, что при наличии сплошной среды (вещества) различные
лнерциальные системы, вообще говоря, не являются равноправными,
так как среди них имеется очевидным образом выделенная (глобаль-
1ая или мгновенно сопутствующая) инерциальная система отсчета -
га, которая покоится относительно вещества среды, в остальных
?истёмах отсчета вещество движется- Так как электродинамические
процессы в движущейся среде (при соответственных начальных и
:раничиых условиях) могут происходить по-иному, чем в покоящейся
:реде, то заранее не очевидно, что уравнения макроскопической

- 96 -
электродинамики B2Л) и материальные уравнения D,5), должны
сохранять свой вид при переходе к инерциальной системе отсчета,
движущейся относительно сплошной среды или, что то же самое,
сохранять свой вид в случае движущейся средьи
Таким образом, возникает вопрос: какой вид примут уравне-
уравнения макроскопической электродинамики и материальные уравнения
в случае движущихся сред. Для ответа на этот вопрос давайте
проанализируем этап за этапом вывод этих уравнений и установим
в чем может состоять различие, вносимое движением вещества*
Начнем с уравнений Максвелла. Микроскопические уравнения
Маковелла
1
= С
ЪЕ B2-3)
очевидным образом имеют одинаковый вид в любой инерциальной
системе отсчета, Поэтоцу данные уравнения, как исходный пункт
нашего исследования, остаются одинаковыми и для покоящихся, и
для движущихся сред* После этого мы ввели определения физически
Йесконечно малого объема, как объема, линейный размер которого
?0 значительно меньше, чем некоторое характерное макрорасстоя-
макрорасстояние L и значительно больше, чем микроскопическая длина
(среднее межатомное расстояние) cl« to« L • Легко убедиться,
что такое определение сбхраняет свою силу в любой инерциальной
системе отсчета. Действительно,так как ipi преобразованиях Лоренца
все линейные размеры в направлении движения сокращаются, а в
поперечных направлениях не изменяются, то характер этих нера-
неравенств не изменится; если мы определим Ео в какой-либо системе
отсчета как величину, удовлетворяющую неравенствам а«tQ« L ,
то она будет удовлетворять этим неравенствам и в любой другой
инерциальной системе отсчета. Совершенно аналогично можно убе-
убедиться, что определение физически бесконечно малого промежутка
времени, принятое для покоящихся сред, справедливо и для движу-
движущихся сред* Далее, используя атомно-молекулярные представления

- 9? -
о строении вещества мы разделили плотности полного заряда <Рп
и тока jnonH на Две Ч8СТИ - на свободные и связанные заряды и
токи. Вполне очевидно» что такое деление является инвариантным
относительно преобразований Лоренца - в движущейся среде связан-
связанные заряды так и останутся связанными, а свободные - свободными.
Следующий этап вывода уравнений макроскопической электродинами-
электродинамики состоял в усреднении всех входящих в уравнения B2*3) вели-
величин по физически бесконечно малым промежутку времени и объему.
Так как такое усреднение состоит в простом интегрировании по
физически бесконечно малым объему и промежутку времени и после-
последующем делении на величины этого объема и промежутка, то ту же
сацую операцию без какого-либо изменения мы можем осуществить
и в случае движущихся сред.
Заключительным этапом вывода уравнений макроскопической
электродинамики для покоящихся сред было сопоставление ((?<?#?>
с дивергенцией некоторого вектора (О » y^^divP , после
чего дифференциальный закон сохранения связанных зарядов привел
нас к соотношению
D > = — + crotM .
СОЯЗ /
Легко заметить, что и в случае движущихся сред ничто не мешает
нам отождествить величин^С^с^й3Ч с дивергенцией некоторого
вектора ^Рсвя<3^в "^Lv P , после чего в силу дифференциально-
дифференциального закона сохранения заряда, имеющего одинаковый вид в любой
инициальной системе отсчета, мы получим
Таким образом, в случае движущихся сред уравнения Максвелла сов-
совпадают с уравнениями макроскопической электродинамики для покоя-
покоящихся сред:
rotH = ±
TotE = - -

- 98 -
c/tvB = О,
div D =
Это означает, что юс можно записать и в ковариантном четырех-
четырехмерном виде (и наоборот)* Поэтому давайте проведем вывод этих
уравнений в последовательно ковариантном виде, начиная с четы-
четырехмерных микроскопических уравнений Максвелла* Для этого, вво-
вводя тензор микроскопического поля
JlK~
о
О -kz ку
К о -К
-кы кх О
B2.4)
запишем микроскопические уравнения Максвелла в виде
Ч,
Ъх'
Ъ
B2.5)
tTbt
"Эх1
= 0,
О .
B2.6)
где jL-{j0?* СР) j } " плотность полного четырехвектора то-
тока, которая удовлетворяет ковариантному закону сохранения:
Ъхк
Будем считать, что среда (вещество) движется относительно наблю-
наблюдателя* Введем, как и в § 2, физически бесконечно малые проме-
промежуток времени и объем пространства, а также операции усреднения
всех величин по ним* Эта операция,так же как и в случае покоя-
покоящейся среды, переставима с операцией взятия частной производной*
по координате xL. Поэтому усредняя вторую систему уравнений
B2.5) по физически бесконечно малым объему и промежутку вре-
времени и учитывая, что<е>г Е><1ъ>ж ?J t эту систему
можно представить в виде

- 99 -
«cm.
ъь
I1VL
где F.
?>VL Ъх" ' B2.7)
~ тензор электромагнитного макрополя:
/О
Еу Ez\
F. =
-ех о А %
-Е. В. О -в.
\
-Е2 -
B2*8)
вх о/-
Легко убедиться, что система четырехмерных уравнений B2»7) эк-
эквивалентна уравнениям
= О .
Проведем теперь разделение плотности четырехвектора полного то-
тока на сумму плотностей четырехвекторов токов свободных и свя-
связанных зарядов
snow ~ JdboS 'сбяз
B2,9)
В силу юс определения, они удовлетворяют тому же самоцу ковари-
антному уравнению сохранения B2.6), что и четырехвектор полно-
полного тока:
Ъхк
Усредним теперь соотношения B2.9) и B2.10) по физически беско-
бесконечно малым объему и промежутку времени. Вводя обозначения
= О.
B2.10)

- ню -
Так как четырехмерная дивергенция от вектора ()с?,^ тождествен-
тождественно обращается в нуль, то это означает, что вектор (]&я^у всег-
всегда можно представить в виде антисимметричного тензора второго
ранга:
kL Ik
где fn. = - т. .
Действительно, дифференцируя правую и левую части соотноше-
соотношения B2.11) по Хк , учитывая, что
и переобозначая потом индексы суммирования L— к , к-*- L ,
получим -
э1^ ^
Следовательно, в силу соотношения B2*11)
L> = О.
Найдем_?вязь^компонент антисимметричного тензора п. с
векторами Р и А? • Так как LK
то из выражений B.IO) и B2.11) следует равенство
otrt от.
Учитывая, чтот- = 0 в силу антисимметрш! тензора truLK f отсюда
оолучш

- 101 -
оы
m0
Совершенно аналогично, сопоставляя
найдем, что
но, тензор пг1
2
имеет вид
/о -рх
Я о
пСК - П
'х*
-М„ О
Следователь-
B2.12)
где Р и N1 - векторы поляризации и намагниченности веществе-
в рассматриваемой инерциальной системе отсчета (не обязательно
покоящейся относительно среды). Усредним теперь первое из урав-
уравнений B2.5) по физически бесконечно малым объему и промежутку
времени. Вводя обозначение
в результате получим:
B2.13)
Учитывая определение B2.13), а также выражения B2.8) и B2.I2X
можно установить связь между компонентами тензора QLK и векто-
векторами D и Н
о"-
/ О -Dv -Д
н^ о -н
¦EL
B2.15)
Используя это соотношение, легко убедиться, что четырехмерное
уравнение B2.14) эквивалентно следующей системе уравнений:

- 102 -
J
div D = Uicq .
Таким образом, уравнения Максвелла макроскопической электродина^
мики B2Л) в произвольной инерциальной системе отсчета действи-
действительно могут быть представлены в четырехмерном виде:
а следовательно, система трехмерных уравнений B2.1) сохраняет
свой вид и в случае электродинамики движущихся сред,
§ 23. Законы преобразования векторов поля в макроскопи-
макроскопической, электродинамике
Получение макроскопических уравнений Максвелла в четырех-
четырехмерном виде не только позволяет нам утверждать о неизменности
их вида в случае двшкущихся сред, но и дает возможность
вдть закон преобразования трехмерных векторов о , Е ,
Р и М при переходе к другим системам отсчета.
Действительно, при выводе уравнений B2.16) было показано,
что эти векторы попарно составляют антисимметрические тензоры
р?к • QU и »Чк-
Поскольку тензорная природа этих величин установлена, то
получение соответствующих формул не составляет труда. Найдем,
например, законы преобразования данных векторов при переходе к
некоторой инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью
\/ относительно исходной инерциальной системы отсчета. При та-
таком переходе координаты F^' и время f новой системы отсчета
связаны с координатами 7* и временем t исходной системы отсче»
та соотношениями

Т".
- 103 -
- vt
% Z
'
II
X2 B3Л)
где значок H (l4) у любого вектора означает, что берутся только
составляющие этого вектора, параллельные (перпендикулярные) век-
вектору скорости \/ • Так как при преобразовании координат и вре-
времени X/L= х'Ч* ) тензор второго ранга преобразуется по закону
*Гск Ъх'1 Ъх'к Л*.
А = 1 — А , B3.2)
то, взяв в качестве тензора Ас тензор Q B2»15) и поступая
аналогично проделанному в микроскопической электродинамике, по-
получим
Совершенно аналогично, выбрав в качестве тензора Л тензорпгк
и используя закон преобразования B3,2), получим
Я,
i
Таким образом, если некоторое тело в собственной системе отсчета
имеет отличный от нуля вектор поляризации ( М =0, Р / 0), то
при движении данного тела у него может появиться и отличный от
нуля вектор намагниченности: jy '- CvKJ # Появление этого
с/Гв
вектора легко понять из следующих простых соображений: всякое

поляризованное тело имеет на поверхности отличную от нуля плот-
плотность связанных зарядов. При движении тела возникает ток этих
зарядов, который и приводит к появлению вектора намагниченности
тела, В случае, когда тело в собственной системе отсчета облада*
ет одним только вектором намагниченности ( М ф О, Р = 0), при
движении оно, в силу соотношения B3.4), может приобрести не рав-
равный нулю вектор поляризации
Появление вектора поляризации у движущегося намагниченного тела
является сугубо релятивистским эффектом и может быть объяснено
тем, что плотность заряда (р и вектор плотности тока j не яв-
являются независимыми величинами, а представляют собой различные
компоненты 4-вектора тока: jb= {j°=coyT } . В силу инвари-
инвариантности квадрата этого 4-вектора мы можем записать:
,- B3.5)
Поскольку в собственной системе отсчета q g == О,jcga^О и при
переходе к другой системе отсчета плотность тока Тс&яз « вооб-
вообще говоря, не будет равна ]с$я$ > то из выражения B3.5) одно-
однозначно следует, что плотность р?&?з Н6 всегДа бУД6т равна нулю.
Наличие же неравной нулю плотности связанных зарядов приведет,
в свою очередь, к появлению вектора поляризации у движущегося
намагниченного тела» Закон преобразования векторов 8 и f
можно получить и иначе. Для этого запишем закон преобразования
микрополой €? и гг при преобразованиях Лоренца:
Г' Г -*<
К = К > еи
J
я усредним их по физически бес^онечдр тпщ объему и промежутку
времени. Учитывая, что (в^з ? f^^= В, имеем

- 105 -
B3.6)
Полученные соотношения B3.3) и B3,6) позволяют не только про-
производить преобразования векторов электромагнитного поля к дру-
другой инерциальной системе отсчета, но и дают возможность устано-
установить вид материальных уравнений для движущихся сред.
§ 24. Материальные уравнения идя движущегося веаеот^а
Перейдем теперь к определению вида материальных уравнений
в случае движущихся сред. Будем сначала считать, что вещество
движется равномерно и прямолинейно относительно некоторого наб-
наблюдателя, находящегося в инерциальной системе отсчета К (см,
рис.Ю). В этом случае система отсчета К\ связанная с вещест-
веществом, также является инерциаль-
инерциальной. 6 данной системе отсчета
материальные уравнения для
изотропных сред и в отсутствии
сторонних э.д.с. имеют, как из-
известно, вид Dо5) и A5.4).
Сохраняя для диэлектрической
и магнитной проницаемостей, а
также для проводимости среды,
измеренных в системе отсчета,
У1'
к'
or
х'
Рис.Ю. Движение вещества отно-
относительно лабораторной
системы отсчета
покоящейся относительно вещест-
вещества, обозначения ? , Д иА
соответственно, запишем эти уравнения, отметив явно, что они
справедливы только в системе отсчета К :
В' = ?Е',
B4.1)

- 106 -
Рассмотрим сначала первые два из этих соотношений. Используя
законЪмгсреобразования B3.3) и B3.6), выразим векторы ?' J)'
/Г' , $' системы отсчета К' через векторы ? ,35 ,3, Н,
измеряемые в системе отсчета К • В результате получим
7* 1Г_>-
B4.2)
С
Легко убедиться» что система B^.2) после умножения последних
двух уравнений на Jj _ v? и учета того, что векторное произ-
произведение Cv^^l ПРИ любом векторе R имеет только перпендику-
перпендикулярную составляющую к вектору \/ , может быть записана в виде
Наша задача состоит в нахождении из этих^уравнений векторов ин-
индукций электрического Х> и магнитного 6 полей как функций от
напряженностей ? и jj • Для этого выразим из последнего урав-
уравнения вектор магнитной индукции
6 =
и подставим его в первое уравнение, В результате будем иметь:
[
Используя п^дставление^р^ DH+DX>E = EU+ E^ и учитывая, что
CDl [^El 0 ^Dj. = \/tx = О , отсюда имеем

- 107 -
Вводя обозначение cl2= Etx и проецируя это равенство на направле-
направление вектора V/ и на направления, ему ортогональные, получим
А. « ?^,п
1 -
Подставляя эти выражения в соотношение B4.4) и поступая анало-
аналогично, имеем
B4.6)
Таким образом, среда, являющаяся однородной и изотропной в сис-
системе отсчета К * где она покоится, становится анизотропной в
любой другой системе отсчета, движущейся относительно системы.
Уравнения B4.5) и B^.6) в научной литературе обычно рассматри-
рассматриваются в качестве материальны^ уравнений для движуищхся сшд,
позволяющих связать векторы D и Б с векторами Е и Н.
Легко убедиться, что при / - И1У^^о эти уравнения явным
с2
образом теряют свой смысл. Эта особенность материальных уравне-
уравнений в форме B4.5) и B4.6) не вызывала бы опасений,если бы уда-
лооь показать, что величина Л^ЬУ\ не достигает значения рэвно-
, Л д р
го единице. Так как — < 1 , то для этого необходимо, чтобы
для всех веществ и для всего спектра электромагнитных волн вели-
величина показателя преломления покоящейся среды по модулю не превоо-
ходила бы единицу: iixl ^ 1 . Однакоспыт со всей убедительностью

- 108 -
свидетельствует о наличии широкого диапазона частот, в котором
все известные вещества обладают показателем преломления заведо-
заведомо превышающим единицу¦ Поэтому при достижении наблюдателем ско-
скорости V-~ <С относительно вещества, величина 1- 1х- У" ,
к. с2
стоящая в знаменателе выражений B4,5) и B4.6), обратится в нуль
и сделает бессмысленными эти уравнения. Для того чтобы пенять
причину такого свойства материальных уравнений в форме B4.5)-
B4.6) и найти уравнения, не теряющие сбой смысл и при
/ _ а У ~ О, необходимо,прежде всего,вспомнить как иервона-
сг
чально выводились материальные уравнения».
Исторически сложилось так, что в научной литературе незави-
независимыми векторами стали считать векторы Е и И , а векторы!)
и В обычно выражали через них с помощью уравнений, которые и
получили название материальных уравнений. Для покоящихся сред
такой выбор независимых переменных не приводит к каким-либо зат-
затруднениям, хотя, в принципе, возможен и другой выбор. В частнос-
частности, полагая, что независимыми переменными являются векторы о
и Е , материальные уравнения D.5) для покоящейся изотропной
среды мы можем записать и в виде
В = ьЕ , Н =-?&•
В случае движущихся сред четыре вектора 6 , Е , D и hi
оказываются связанными между собой системой уравнений B4.3),
которая, вообще говоря, не позволяет проводить произвольный1 вы-
выбор пары независимых векторов» Действительно, если рассматривать
уравнения B4.3) как систему из шести линейных алгебраических
уравнений относительна двенэдцати_неизвестных (по числу компо-
компонент векторов D , Е , И и В ), то очевидно, что д#я ре-
решения этой системы мы должны определить,какие неизвестные мы мо-
можем считать независимыми, после чего их необходимо перенести
направо и разрешить полученные уравнения относительно оставшихся
слева неизвестных. Вполне очевидно,что полученное решение будет
иметь смысл только в том случае, когда определитель оазисного
минора не равен нулю. В нашем случае, если в_^ачестве независи-
независимых неизвестных выбрать компоненты векторов ? и Ц , то опре-
определитель базисного минора будет пропорционален п - ?-?. \.
Поэтому такой выбор независимых неизвестных можно производить

- 109 -
2, 2.
только в том случае, когда 1 ~ ** У ^ О <> Следовательно, усло-
условием применимости материальных уравнении в форме B4.5) и
B^.6) является соотношение 1 - ^—^ Ф О.
Если же 1 — ~ J^ =0 , то в качестве независимых пере-
с
менных следует избрать другую пару векторов. Как показывает де-
детальный анализ, ранг матрицы коэффициентов системы B4.3) равен
шести и среди ее миноров шестого порядка имеются не равные нулю
при любых значениях /г • Выбор одного из дих вдачестве базисно-
базисного минера соответствует выбору векторов 6 и Е в качестве не-
независимых векторов. Найдем вид материальных уравнений в данном
случае^ Для этого выразим из последнего уравнения системы B4.3)
вектор Н
?{ i[]} l[5] B4.7)
и подставим его в первое уравнение той же системы* После тожде-
тождественных преобразований, аналогичных проделанным выше, получим
:Ё
Подставляя эти выражения в соотношение B4.7), будем иметь
ПИ ЛХ II »
Материальные уравнения B4.8)-B4.S) можно записать и в более
компактном виде:
B4.10)

- но -
Так как v /cz < f , то материальные уравнения в формах B4.8)
B4Л0) сохраняют свой смысл при любых значениях показателя
преломления среды. Ими мы, в основном, и будем пользоваться.
Найдем теперь уравнение для плотности тока проводимости
движущейся среде. Считая среду в собственной системе отсчета
К' электронейтральной у' = О, будем иметь
Используя третье ив уравнений B4.1), приведем эти соотношения
к виду:
Подставляя в правую часть этих соотношений выражения B3.6),
получим
-г * Г, -
f "
''' с-
Легко убедиться, что первые два соотношения могут быть записей1
в виде одного векторного, в результате чего материальные 5

- HI -
ния примут вид
?GTS]\ AvE
J =
,
/f - ?
с
Таким образом, при движении относительно электронейтральной сре-
среды с током в последней возникают неравные нулю плотности объем-
объемного и поверхностного зарядов. Этот эффект является кинематиче-
кинематическим и его объяснение полностью аналогично приведенному в § 23
объяснению появления плотности связанных зарядов у движущегося
тела с неравной нулю плотностью тока связанных зарядов.
§ 25. Основы магнитной гидродинамики
Уравнения и соотношения электродинамики движущихся сред
находят свое применение в различных областях физики. Одной из
таких областей является магнитная гидродинамика, изучающая про-
процессы, происходящие в хорошо проводящих жидких или плазменных
средах при их гидродинамических движениях.Обычно такое изучение
проводят на основе достаточно сложных моделей среды, позволяю-
позволяющих охватить широкий круг проводящих сред, начиная от жидких
металлов и кончая плазмой межзвездного пространства.
Б настоящем курсе мы ограничимся изучением простейшей моде-
модели проводящей среды - случаем идеальной жидкости. Это означает,
что мы будем пренебрегать всеми диссипативными процессами в про-
проводящей жидкости, считая ее сжимаемай. Как известно, состояние
идеальной жидкости_полностыо описывается заданием поля скорос-
скоростей ее элементов V = Vfi~, ?)* распределением давления
р = Pft^i) и плотности массы Т = Т(t^yi) о Эти величины
удовлетворяют следующей системе гидродинамических уравнений:
уравнению непрерывности
и яерелятивистским уравнениям движения
cJiy/Zv = О B5.1)

- 112 -
где -jt ~ ""Т*^^)"" субстанциальная производная по времени,
с/с Э?
+ - плотность объемных сил, действующих на идеальную жид-
жидкость, В магнитной гидродинамике в качестве таких сил обычно
выступает сила Лоренца
где О - плотность свободных зарядов, находящихся в жидкости,
/ - плотность тока проводимости, хотя иногда рассматривают и
другие силы, например, гравитационные, В систецу гидродинамичес-
гидродинамических уравнений также должно быть включено и уравнение состоянии
идеальной жидкости
Р = Р(Т,Т) , <25'4>
позволяющее представить давление в среде как функцию плотности
ее массы Т и температуры_Т о Уравнения B5Л)-B5<Л) при за-
заданном выражении для силы j. дают возможность определить эво-
эволюцию величин X , Р и v о течением времени в каждой точке
идеальной жидкости.
В магнитной гидродинамике эти уравнения дополняются систе-
системой уравнений Максвелла * При условии пренебрежения токами сме-
смещения по сравнению с токами проводимости данная система принимз-
ет вид
B3.5)
div В = О,
dlv В = 4%? .
Для получения замкнутой системы динамических уравнений нам необ-
необходимо прежде всего установить связь вектора Т с векторами в
и Е . Если считать идеальную жидкость электронейтральной
(о = 0) и нервлятивистски движущейся, то из соотношения
B4.11), получим

- из -
Строго говоря, соотношения B4*П), а следовательно и данное
выражение, применимы только в случае равномерного и прямолинейно-
прямолинейного движения всех элементов идеальной жидкости. Однако в боль-
большинстве практически важных случаев, эффекты, обусловленные не-
инерциальностью движения жидкости, оказываются настолько малыми,
что всегда можно использовать соотношения, полученные в рамках
мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчета. Существен-
Существенным моментом , выделяющим магнитную гидродинамику в электро-
электродинамике движущихся сред, является предположение о бесконечно
большой проводимости идеальной жидкости: \—^оо с Так как
плотность тока j в этом случае должнв оставаться конечной, то
из выражения B5«6) следует, что
[?В] B5.7)
Поэтому вектор ? в магнитной гидродинамике однозначно опреде-
определяется через векторы V и В • В этом случае первое из уравне-
уравнений B5,5) теряет^свой статус уравнения пол^и служит для опре-
определения вектора j по известному вектору Н :
"* "* > B5.8)
а второе уравнение принимает вид
ЪЬ L J. B5.8)
Подставляя соотношение B5.7) в материальные уравнения B4.Ю)
и учитывая, что для всех сред, о которыми имеет дело магнитная
гидродинамика, ill = I с точностью до линейных по гг/с членов,
получим
Таким образом, полная система уравнений магнитной гидродинамики
идеальной проводящей жидкости в изотермическом случав Cr=cortst)
имеет вид
B5.9)

5? + divTu ж О,
Р = Pfc) ,
[] =0.
Эта системе содержит восемь уравнений и позволяет определить
восемь неизвестных Н % \r , t ,Р при наличии заданных на-
начальных и граничных условий. Остальные электродинамические вели
чины могут быть получены после этого из соотношений B5.7) -
B5.8). Условиями применимости системы уравнений B5.9) являют-
являются:
а) малость скорости движения среды по сравнению со ско-
скоростью света
М/С « 1 у
б) достаточно большая величина проводимости среды Х-^ео,
в) малость величины токов смещения по сравнению с токами
проводимости
Используя соотношения B5.7) и обозначая характерный пери-
перименения величин я? и Н через t0 , это неравенство мож-
можB5.10)
од изменения
но переписать в следующем виде:
cto
Так как по порядку величины справедливы оценки
то из уравнения B5.2) имеем

- 115 -
Поэтоцу условие B5.Ю) дает
Л « Тс . B5.11)
Это неравенство требует, чтобы плотность энергии магнитного по-
поля была значительно меньше плотности энергии покоя идеальной
жидкости. Как мы увидим в дальнейшем, данное соотношение огра-
ограничивает также и скорость распространения магнитогидродинамичес-
ких волн: г/ 2 ~ -Р— « сА
4т
§ 26* Некоторые эффекты магнитной гидродинамики
Магнитная гидродинамика, в силу своей общности, достаточно
широко используется для анализа процессов, происходящих в раз-
различных жидких и газообразных средах, обладающих высокой прово-
проводимостью» Особенно важное значение она приобретает в физике
плазмы. Как известно, плазма представляет собой частично или
полностью ионизированный газ, в котором тепловое движение пре-
препятствует рекомбинации ионов и свободных электронов. Вещество
в состоянии плазмы достаточно широко распространено в природе.
Так, например, Солнце и звезды состоят из высокотемпературной
плазмы; вещество в межпланетном пространстве и особенно во внеш-
внешней оболочке Земли - в ионосфере - типичный пример низкотемпе-
низкотемпературной плазмы* В земных условиях с плазмой мы встречаемся при
прохождении электрических разрядов в различных среда? и в про-
процессах горения Сязыки пламени).
Из-за высокой степени ионизации плазма обладает чрезвычай-
чрезвычайно большой проводимостью, в результате чего внешние электричес-
электрические и магнитные поля могут оказывать на нее существенное воздей-
воздействие. Движение же электронов и ионов плазмы, в свою очередь,
сопровождается генерацией собственного электромагнитного поля
плазмы, иногда значительно ослабляющего действие внешних полей.
Поэтому-анализ поведения плазмы во внешних полях и исследование
других электродинамических эффектов следует производить с уче-
учетом взаимного влияния поля и движения плазмы. Использование
уравнений и соотношений магнитной гидродинамики в ряде случаев
позволяет провести такой учет с достаточной для практических
приложений степенью точности.
В настоящее время, в связи с проводимыми "исследованиями

- 116 -
по осуществлению реакции управляемого термоядерного синтеза
легких ядер,наиболее многообещающим разделом физики плазмы яв-
является физика высокотемпературной плазмы. Поскольку при темпе-
температурах, необходимых для проведения реакций синтеза, изоляцию
плазмы от окружающего пространства и ее удержание невозможно
осуществить иначе как с помощью электромагнитных полей, то маг-
магнитная гидродинамика и ее обобщения служат основным рабочим
инструментом для теоретического анализа состояния и поведения
высокотемпературной плазмы при таких исследованиях.
Рассмотрим некоторые из характерных эффектов, предсказан-
предсказанных магнитной гидродинамикой и используемых в физике плззмьи
Одним из них является эффект магнитной изоляции плазмы, идея
которого была впервые предложена в 1950 г* в СССР и США,
Предположим, что цилиндрический столб полностью ионизован-
ионизованной плазмы окружен сильным магнитным полем Н , параллельным
оси цилиндра. Не ограничивая общности, будем считать, что ось
цилиндра совпадает с осью z декартовой систему координат и
напряженность магнитного поля не зависит от z: W= H(*,c/)ez.
Найдем условие равновесия плазмы в этом магнитном поле. Так как
при равновесии скорость должна быть равна нулю, то первое из
уравнений B5,9) дает
О ^ -vP - -L[Hro?H]. B6.Г)
Используя известное соотношение
и учитывая, что в рассматриваемом нами случае
выражение B6*1) мы можем переписать в виде
Отсюда следует, что плазма будет находиться в равновесии (if = О),
если сумма газокинетического давления Р немагнитного давления1'
•^Используя тензор натяжений Максвелла можно показать, что в рас-
рассматриваемом случае магнитное давление Рм^ нг/&х

- 117 -
JT2
P s ^L будет величиной постоянной в любой точке плазменно-
*1 ОХ
го столба:
const = Ро .
B6.2)
Таким образом, газокинетическое давление, а следовательно и
плотность плазмы,уменьшается в тех областях пространства, где
напряженность магнитного поля увеличивается. Это означает, что
плазма в магнитном поле ведет себя как диамагнетик - выталкива-
выталкивается полем в область более слабых полей. Поэтому создавая неод-
неоднородное магнитное поле, увеличивающееся к периферии цилиндра
(см.рис.II) и достигающее там значения \/8*кРо , можно обес-
обеспечить изоляцию плазмы от окружающего пространства.
Рис. II. Распределение магнитного поля и давления
в плазме при ее равновесии
Этот способ удержания плазмы широко используется в различных
плазменных устройствах. Однако следует отметить, что равновесие
плазменного столба в постоянном и неоднородном магнитном поле

- 118 -
является неустойчивым, в результате чего малые возмущения плаз-
плазменного столба с течением времени возрастают, приводя к разру-
разрушению магнитной изоляции и утечке плазмы. Поэтому изучение раз-
различных типов неустойчивостей в замагниченной плазме и разработ-
разработка эффективных способов юс подавления является одной из наибо-
наиболее важных задач физики высокотемпературной плазмы»
Другим эффектом, характерным для магнитной гидродинамики,
является эффект "вмороженности" магнитных силовых линий в иде-
идеально проводящую среду* Для того чтобы нагляднее себе предста-
представить суть этого эффекта, найдем уравнение, которому удовлетво-
удовлетворяют магнитные силовые линии. Это можно сделать* используя все-
всего лишь два уравнения из системы B5.9):
B6.3)
|f + div(Xxr) = О.
Так как
( )? xrdivH ->
= (Н
то учитывая, что divH» 0 » первое из уравнений B6.3)
мы можем переписать в виде
Второе уравнение системы B6.3) дает
i^- + Xdivir + VVT = 0.
Отсюда следует, что
Подставляя это выражение в правую-часть соотношения B6Л), по-
получим
Ш

- 119 -
Разделим теперь это уравнение на Г и перенесем второе и пос-
последующие слагаемые справа налево. В результате будем иметь
Учитывая, что
Ъ 1 1 Ът -$1 1 -¦ d
отсюда получим следующее уравнение "движения" для вектора ~:
Рассмотрим теперь какие-либо две достаточно близкие частич-
частички идеальной жидкости (см.рисЛ!)* Обозначим радиус-вектор од-
одной из нюс в некоторый момент времени ? через ?" , а другой -
через *г + Т . Найдем уравнение "движения" для вектора E(t).
По определению имеем
t -
dt At0
Нам необходимо определить величину t (t + &?) . Так как ско-
скорость nepBot*jiacTmjy в момент времени t равна IS (ryt) , a
второй - is(r+ 6%t) , то за достаточно малый промежуток
времени д? первая частица сместится на вектор v(f^?) a? ,
а вторая - на вектор Tf(ir+e,t)&t . Поэтому, как следует из
рисЛ2э
t(t+*t) = T(t) + v(r+eyt)At - \г(гл1)аЬ.
Так как по нашему предположению вектор ? является малым, то
с точностью до членов второго порядка малости справедливо раз-
разложение
Поэтому

- 120 -
Подставляя это соотношение в определение B6.6), получим иско-
искомое уравнение:
4L = (e v)u.
at
B6.7)
Сравнивая выражения B6*5) и B6.7), легко заметить, что
И/ t
удовлетворяют одноцу и
Рис.12. Эволюция вектора
же уравнению. Та-
Таким образом, если в
некоторый начальный
момент времени t = 0
выполнялось соотноие-
ние ? « п — , где
р - некоторый пос-
постоянный коэффициент
пропорциональности,
то и ? любой момент
времени t будет сира*
ведливо равенство
Это означает, что если в начальный момент времени две какие-ли-
какие-либо достаточно близкие частички вещества находились на одной и
той же силовой линии магнитного поля, то и в дальнейшем они бу-
будут находиться на той же силовой линии. Этот эффект, получивший
в научной литературе название эффекта "вмороженности" магнитных
силовых линий,строго выполняется только в случае идеально
( А —-»*оо) проводящей среды. Для сред, обладающих конечными
значениями проводимости, он выполняется тем точнее, чем выше
проводимость среды.
Следует отметить, что эффект "вмороженности11 является пря-
прямым следствием закона эл_екрромагнитной индукции Фарадея, в сил/
которого поток вектора Н через любой замкнутый жидкий контур-
сохраняется. Поэтому "вмораживание" магнитных силовых линий в^
проводящее вещество может не происходить, если поток вектора Н
через любой замкнутый контур сохраняется с течением времени и
без него.
Прямым следствием эффекта "вмороженности11 магнитных силрвьй
линий в вещество при *Х —*- оо является магнитная

- 121-
возможность генерации сверхсильных магнитных поле!) при быстром
обжатии (например, с помощью ударной волны, образующейся при
взрыве) проводящей среды в присутствии магнитного поля. Дейст-
Действительно, так как силовые линии магнитного поля в хорошо прово-
проводящих средах следуют за частичками среды, то вынуждая их дви-
двигаться в направлении, перпендикулярном к линиям магнитного пола,
мы можем добиваться сгущения силовых линий в некоторых облаотях
пространства. А всякое сгущение силовых линий, как известно,
означает увеличение напряженности магнитного поля в данной об-
области»
§ 27» Магнитогидродинамические волны
Одним из наиболее важных следствий теоремы о "вмороженнос-
ти" магнитных силовых линий в идеально проводящие жидкие или
газообразные среды является утверждение, что неоднородные дви-
движения частичек среды в направлениях, перпендикулярных вектору
Нч могут вызвать изменение напряженности магнитного поля* По-
Поэтому всякое возмущение скорости среды в этом направлении неиз-
неизбежно должно сопровождаться и возмущениями электромагнитного
поля в среде. Эти взаимосвязанные возцущения скорости среды и
напряженности магнитного поля, как мы увидим, будут иметь вол-
волнообразный характер, в результате чего в научной литературе они
получили наименование магнитогидродинамических волн.
Для изучения характерных особенностей, свойственных магни-
тогидродинамическим волнам, рассмотрим следующую модельную за-
задачу. Предположим, что покоящаяся
кость находится во внешнем постоянном и рд|юродй.ом_-магшисном
поле Но * Считая жидкость идеальной, т.е. пренебрегая всеми
диссипативными процессами, изучим распространение в ней малых
возмущений.
В магнитной гидродинамике уравнения, определяющие эволюцию
идеальной жидкости в электромагнитном поле, имеют, как известно,
вид

- 122 -
Р = PfT),
Эта система содержит восемь^ уравнений относительно восьми неиз-
неизвестных Т , Р , и , Н , входящих в них. Определив_векто-
ры /-/ и я/ из системы B7О1), мы можем найти и вектор ? :
? = -i[Z&]. С27-2)
Разложим все входящие в систему B7.1) величины в ряды по мало-
ку параметру, характеризующему рассматриваемое малое возмущение:
где индексом О обозначены исходные невозмущенные величины, ин-
индексом I - величины, линейные по малоцу параметру возмущения,
индексом 2 - величины, квадратичные по этому параметру и т.д.
Так как в невозмущенном состоянии скорость идеальной жидкости
равна нулю, то в соотношениях B7.3) мы должны положить Х/о= О.
Кроме того, введем принятые в гидродинамике обозначения
) - ut > О,
где LLO - скорость звука в среде. Подстввим теперь соотношения
B7.3) в систему уравнений B7.1) и представим полученные урав-
уравнения в виде рядов. Приравнивая к нулю выражения, играющие роль
коэффициентов этих рядов, мы можем получить уравнения магнитной
гидродинамики в приближении любого^порядка по малому параметру
возмущения. Так как rat Но- О , ifo = 0, то в нулевом порядке
имеем
О = -

- 123 -
25.0.
at
Отсюда следует, что в невозмущенном состоянии давление во всех
точках жидкости одинаково, а плотность жидкости не только одно-
однородна, но и не зависит от времени.
В первом приближении по малому параметру возмущения систе-
система уравнений B7*I) примет вид
| ^ = 0.
В силу B7в2) вектор ? в этом приближении определяется следу
ющим соотношением:
Решения этих уравнений будем искать в виде плоских волн ^предпо-
^предполагая, что возмущение плотности вещества Хл и векторы Hi f г?
зависят от координат и времени только через экспоненциальный
множитель ехр{с(*Гг- cot)}. В этом случае действие оператора
-^- на любую из перечисленных величин эквивалентно умножению
этой величины на -lco , а действие оператора V - эквивалент-
эквивалентно умножению на Iff . Поэтому система уравнений B7.4) может
быть записана в виде
B7-6)
f о f = о.
Как следует из последнего уравнения данной системы, волна ско-
скорости идеальной жидкости, т} при наличии возмущений плотности

среды ( Tt т* 0) всегда имеет продольную составляющую: ^
Волна магнитного поля, в силу второго из уравнений B7.6), всег-
всегда является поперечной ( *с Н1 = 0); волна электрического поля
B7.5) в общем случае может иметь и продольную составляющую:
В силу последнего из соотношений B7.6) волна плотности
Т, проводящей жидкости непосредственно связана с распрост-
распространением продольной волны скорости:
Г « ±? к гл . B7.7)
Используя это равенство, векторные уравнения B7.#) можно запи-
записать в виде
Для конкретного анэлиза данных уравнений нам неооходимо перепи-
переписать их покомпонентно. Не ограничивая общности,выберем систему
координат так, чтобы ось у была направлена вдоль вектора К*,
а вектор FTO лежал в плоскости у2 (см.рис.13):
^ B7.9)
Тогда векторы t^ и Hf в силу соотношений 1<И^ОУ ки^ ^ О,
могут иметь следующие компоненты:
-tlfx,Uy,Uz>. B7.I0)
Спроецируем теперь уравнения B7.7) на ось X . Учитывая соот-
соотношения B7*9) и B7.10), имеем
к Н
B7.11)
и хОу= О.
Проецируя уравнения B7.8) на оси у и Т , получим

- 125 -
кН„
к
1Z »
1
B7.12)
Таким образом, векторные уравнения B7.8) распались на уравне-
уравнения B7*11), содержащие только компоненты \fK и Н1хУи на уравне-
уравнения B7.12)wcoдержащие остальные компоненты неизвестных векто-
векторов Vf и Hi . Поэтому следует ожидать, что и распространение
Z| этих двух групп компонент векторов
U и Н в виде волн будет проис-
происходить различно. Изучим свойства
этих волн*
С математической точки зрения
уравнения B7.11) представляют со-
собой однородную систему из двух ли-
линейных алгебраических уравнений
относительно мта неизвестных \г
относительно двух неизвестных vx
п1
Рис
,13.
Выбор системы коор-
координат для изучения
распространения маг- и HtJC.. Как следует из линейной
ких°волн°ДИН8МИЧеС~ элгебры,для того, чтобы эта систе-
система имела нетривиальные решения (а
нас интересует именно этот случай их Ф О, Н^ф 0), необходимо
и достаточно, чтобы определитель системы B7ЛТ) был равен нулю
и2 И2
I = 0.
Это уравнение показывает, что частота и волновой вектор компо-
компонент \SX и Н1Х связаны следующим дисперсионным соотношением:
со =
B7.13)
Зная дисперсионное соотношение, мы можем определить фазовую 1Г
и групповую V скорости распространения волн яг и Н
ределению имеем
.
По оп-

оп- 126 -
Используя выражение B7.13), получим, что в данном случае обе
скорости совпадают:
В силу соотношения B5.11) фазовая и групповая скорости распро-
распространения возмущений 1/х , Н1х всегда значительно меньше, чем С.
Таким образом, возцущения vx и Н1Х в проводящей жидкости расп-
распространяются в виде поперечных волн, амплитуды которых в силу
выражений B7»10) и B7.12) связаны соотношением
Эти волны в научной литературе получили название альфвеновских
волн, а скорость B2.14) - альфвеновской скоростью*
Следует отметить, что распространение волны у сопровожда-
сопровождается распространением волны напряженности электрического поля
B7.5), которая в общем случае (Н02 Ф 0) не является попереч-
поперечной:
и и
F - - _?У7г - оу Н
с с/4хто
Перейдем теперь к исследованию волн, описываемых уравнениями
B7.12). Эти волны в научной -яитвратуре называют магнитозвуковы-
ми волнами. Для того чтобы система уравнений B7.12) имела не-
нетривиальные решения, определитель ее должен быть равен нулю.
Это условие дает следующее дисперсионное уравнение:
4 2 2\
оз - к со L ,
'Г-Е-*

- 127 -
Разрешая его относительно со , получим
HoS2 Н°Уи*У/
Таким образом, в проводящей жидкости могут распространяться два
типа магнитозвуковых волн: быстрые магнитозвуковые волны, фазо-
фазовая и групповая скорости которых определяются соотношением
к
B7.15)
и медленные магнитозвуковые волны, фазовая и групповая,скорости
которых меньше, чем у быстрых волн
B7.16)
Легко убедиться, что скорость распространения быстрой магнито-
звуковой волны всегда превышает скорость звука в среде
vr g^ <xo , в то время как скорость распространения
р r g
медленной магнитозвуковой волны может быть и меньше, чем и*о»
В силу выражений B7Л4)~B7.16) скорости распространения быст-
быстрой ЯГ$ и медленной 1SM магнитозвуковых волн связаны со ско-
скоростью if альфвеновских волн и скоростью звука (ло соотноше-
соотношением
Как следует иь соотношений B7Л4)-B7.16), причиной распростра-
распространения :.:згнтлтогил^одинамических ^олн в праводящей среде является

- 128 -
не только механическая упругост^среды ( и.* = ^— ), но и
"магнитная" упругость среды ( ~ .г-^1 ), обусловленная
вкладом магнитного поля Рм = T3Z/ &ic в полное давление fJfP+'n
Из выражений B7.5), B7.7) и уравнений B7.12) следует,
что амплитуды магнитозвуковой волны связаны соотношениями
к<*НОг
Н12 >
г иг Hzl
г =
(со2-
Таким образоы, в магнитозвуковой волне волна скорости может
иметь продольную составляющую (при HQz Ф 0), с наличием которой
непосредственно связано распространение волн плотности идеальног
проводящей жидкости Xtf ; возмущения же остальных величин в маг*
нитозвуковой волне распространяются в виде поперечных волн.
ГЛАВА б
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МАТЕРИАЛЬНЫХ
СРЕДАХ
Следующим шагом по пути к достижению большей степени
ти рассматриваемых электродинамических явлений в материальных
средах является учет тока смещения в уравнениях Максвелла и яе
реход тем самым к так называемой области высоких частот. Сущест-
Существенной особенностью в этой области является зависимость электро-
электродинамических характеристик среды ( S , и. ) от частоты и напр8(
ления распространения электромагнитного излучения. Кроме того,
в рассматриваемой области частот колебания вектора электричеши

- 129 -
индукции jD и вектора напряженности электрического поля ? про-
происходят, вообще говоря, не синфазно, причем разность фаз этих
колебаний зависит как от частоты волны, так и от свойств^среды.
При использовании комплексной формы записи колебаний ( ? ,
? -** е"^ ) это свойство приводит к тому, что диэлектричес-
диэлектрическая проницаемость среды становится величиной комплексной.
Следует отметить, что комплексное выражение для диэлектри-
диэлектрической проницаемости среды в макроскопической электродинамике
может быть получено и формально математическим путем, при объе-
объединении тока проводимости среды с током смещения.
Действительно, если в проводящей покоящейся среде рассмат-
рассматривается процесс распространения монохроматических электромаг-
электромагнитных волн
И
то первое из уравнений Максвелла B.13) после учета материальных
уравнений
мы можем записать в виде
Объединяя слагаемые, стоящие в правой части этого выражения и
вынося общим множителем -Lod/z » получим
где введены следующие обозначения:
для обобщенного вектора индукции 2) и комплексной диэлектриче-
диэлектрической проницаемости E^€(tS) среды. Из этого выражения следует,
что для проводящей среды ?(со) не только комплексна, но и име-
имеет особенность при со = о.
Таким образом, в рассматриваемом примере появление мнимой
части у диэлектрической проницаемости проводящей среды произош-
произошло в результате формально математического -вюшчвиия. ,токе прово-

- 130 -
димости среды в ток смещения.
Но существуют и более глубокие физические причины, которые
приводят к тому, что диэлектрическая проницаемость среды стано-
становится комплексной величиной, зависящей от частоты. Нагляднее
всего это можно показать на примере расчета диэлектрической
проницаемости разреженного нейтрального газа*
§ 28. Комплексная диэлектрическая проницаемость
разреженного нейтрального газа
Рассмотрим простейшую модель материальной среды - систему,
состоящую из разреженного нейтрального одноатомного газа. Пред-
Предположим, что в ней распространяется плоская монохроматическая
электромагнитная волна с частотой со и волновым вектором к .
Исйользуя комплексную форму записи, напряженности электрическо-
электрического и магнитного полей этой волны можно представить в следующем
виде:
B8.1)
Под действием электромагнитной волны происходит поляризация ато-
атомов среды и в ней возникает переменный электрический дипольный
момент, функционально зависящий от полей Е и Н волны и
свойств атомов среды.
Появление электрического дипольного момента у атомов среды
означает^что среда обладает не равным нулю вектором поляриза-
поляризации Р = P(t) * Если обозначить электрический дипольный момент
одного атома через 3(t^ и считать, чтов единице объема среды
содержится N этомов, то для вектора Р будем иметь
р = h/7(t).
Поэтому для монохроматической волны (в отсутствие пространствен-
пространственной дисперсии) J) = ?fu>) E уравнение-, определяющее зависи-
зависимость ? - ? (иД можно представить в виде
?(со)Е - ? + 4xNJ(€). B8.2)

- 131 -
Таким образом, для решения поставленной задачи нам необхо-
необходимо найти явную зависимость электрического дипольного момента
атома от вектора Е • В классической теории это обычно делают
на основе осцилляторной модели атома. Согласно этой модели,
атом представляют в виде неподвижного ядра*) и нерелятивистски
движущегося вокруг него точечного электрона, уравнение движения
которого под действием возцущэющей силы F , имеет вид
rruR + rruJ-R + m.co0Y?-J?0) - F, B8.3)
где nv - масса электрона, у - коэффициент, характеризующий
диссипативные (при у >_О ) или антидиссипативные (приу<0)
свойства осциллятора, RQ - радиус-вектор электрона в отсутст-
отсутствие возмущающей силы ("положение равновесия"), R - радиус-век-
радиус-вектор электрона при наличии возмущений, <оо - собственная часто-
частота осциллятора, F - внешняя вынуждающая сила»
В рассматриваемом нэму случае в качестве вынуждающей силы
выступает сила Лоренца электромагнитной волны:
о С
Вводя вектор смещения электрона г = R- ко относительно положе-
положения равновесия, уравнение движения B8.3) мы можем записать в
виде
о» • 2 f-~ 4riril -l fat-iff*)
B8.4)
где введены обозначения
Уравнение B8.4) является существенно нелинейным уравнением и
в общем виде пока не решено. Поэтому обычно его линеаризуют,
используя малость тех или иных входящих в него параметров. В
частности, если учесть, что электрон совершает нерелятивистское
Вклад ядра атома в переменную часть электрического дипольно-
дипольного момента даже при учете его движения оказывается чрезвычай-
чрезвычайно малым по сравнению с вкладом электрона, поэтоцу данное
допущение вполне оправдано.

- 132-
движение, то одним из таких малых параметров окажется отноше-
отношение |я/|/с«1 . Так как в электромагнитной волне, распрост-
распространяющейся в^диэлектрической среде, \HQ\ по порядку величины
сравним с | Ео | t то магнитной частью силы Лоренца в рассматри-
рассматриваемом нами случае можно пренебречь по сравнению с ее электри-
электрической частью. Однако одного только этого предположения недос-
недостаточно для того, чтобы линеаризовать уравнение B8.4)• Учтем
также, что смещение электрона в атоме |r | значительно меньше
среднего межатомного расстояния, а следовательно, и меньше дли-
длины t0 , характеризующей линейный размер физически бесконечно
малого объема» Поэтому с точки зрения макроскопической электро-
электродинамики произведение "к-г = 0 , в результате чего eL*^= 7.
Поэтому уравнение B8.4) принимает вид
Умножая его на заряд электрона и учитывая, что ег= с/ , отсю-
отсюда получим уравнение, определяющее эволюцию вектора электричес-
электрического дипольного момента атома
27 е2!? -Lu>t
сдо d = — to e . B8.5)
Таким образом, при сделанных нами допущениях вектор электричес-
электрического дипольного момента подчиняется линейному уравнению колеба-
колебаний осциллятора, где в качестве вынуждающей силы выступает век-
вектор напряженности электрического поля, умноженный на постоянный
множитель е2/т. • Общее решение этого уравнения, как известно,
равно сумме общего решения соответствующего однородного уравне-
уравнения и любого частного решения неоднородного, причем константы
интегрирования, содержащиеся в общем решении однородного урав-
уравнения^ определяются исходя из начальных условийо Однако, если
JT > О , то оба линейно независимых решения однородного урав-
уравнения будут содержать экспоненциально убывающий с течением вре-
времени множитель в"^ , поэтому при любых начальных условиях
их вклад в величину а при t -+¦ оо экспоненциально убывает
и им можно пренебречь. О таком состоянии, когда влиянием началь-
начальных условий на изучаемый процесс можно пренебречь, обычно гово-
говорят как об установившемся режиме.
Таким образом, для нахождения установившихся колебаний

- 133 -
вектора d нам необходимо найти любое частное решение неодно-
неоднородного уравнения B8,5)* Поскольку правая часть этого уравне-
уравнения пропорциональна exp(-tu>?) э то его решение удобно
искать в виде
Подставляя это выражение в уравнение B8.5), получим следующее
линейное алгебраическое уравнение для определения вектора а :
? е2 ? -Loot e2- -+
С
Отсюда следует, что
Проанализируем это соотношение. -+
Отыетим,дрежде всего, что вектор d оказался пропорциона-
пропорционален вектору ? , но множитель пропорциональности является комп-
комплексной величиной* Это означает, что колебания этих векторов в
той точке, где находится атом, происходят _не в фазе. Действи-
Действительно, есл <°
обозначения
т _не ф
тельно, если учесть, что в этой точке Е«=Еое~<*<° и ввеоти
соо2 -
cos у s
то выражение B8.6) можно записать в эквивалентном виде
0
Таким образом, разность фаз между колебаниями векторов с/ и ?
зависит как от частоты падающей волны, так и от характеристик
и с0о атома

- 134 -
B8.7)
Это свойство, как известно, является характерным для всех коле-
колебательных процессов и физической причиной его являются диссила-
тивные ((jf>0) свойства системы, в результате чего ее отклик
на внешнее воздействие запаздывает по фазе от вынуждающего ко-
колебания* Из выражения B8.7) легко заметить, что как и в случае
механических колебаний осциллятора, разность фаз между колеба-
колебаниями векторов Е и с/ в до резонансной области частот (а><с*)о)
заключена в пределах О ? у < %/2 , при резонансе равна тс/2
и в области соо < to <с со изменяется от х/2 до X . Умно-
Умножая равенство B8»6) на N » найдем вектор поляризации среды:
Подставляя эхо соотношение в выражение B8.2) для вектора индук-
индукции, получим
B8,8)
Это выражение часто записывают в несколько ином виде, вводя
обозначение со*-г ^x^g Для комбинации величин, характеризу-
ющих среду» Частота сор играет особенно важную роль при описа-
описании плазмы и плазмоподобных сред, в результате чего в научной
литературе она получила название частоты плазменных колебаний
или ленгмюровской частоты. С учетом этого обозначения выражение
Для 6(ссО принимает вид
Таким образом, диэлектрическая проницаемость разреженного нейт-
нейтрального газа зависит не только от среды, но и от частоты падаю-

- 135 -
щего электромагнитного излучения и в общем случае оказывается
величиной комплексной Вводя обозначения в'(со) для действитель-
действительной и ?'W) Для мнимой частей диэлектрической проницаемости,
соотношение B8.8) можно записать в виде
? = ?.' + te",
m. [(ui2 - a>2f+ J-2^] B8.9)
е" =
Наличие мнимой части^диэл&кярической проницаемости свидетель-
свидетельствует о том, ~чтО""колебания_вектора индукции D происходят не
в фазе с колебаниями поля ? f причем рвзность фаз отличается
от у (см* B8.7))
3 = (s'+is»)E = f7^^ Eo
где tp определяется соотношением
Проанализируем теперь зависимость величины ?' и ?" от частоты
(рм".рис»14). Как следует из этих грзфиков, всю область частот
условно можно разделить на три области в зависимости от того
возрастает или убывает величина ?' с ростом частоты, В соответ-
соответствии с этим области I и Ш, где *5*L > О в научной литерату-
"дсо
ре получили названия областей нормальной дисперсии, а область
П» где ЭеУЭсо < О -% области аномальной дисперсии.
Из рис.14 видно, что значения функции в^Ссо) во П области
существенно больше, чем в I и Ш областях. Так как в данной моде-
модели функция ?" непосредственно связана с диссипационным членом
в<уравнении движения B8.3), то это означает, что в данной оо~
лйсти частот поглощение энергии электромагнитных волн средой

- 136 -
значительно больше, чем в областях I и HL Поэтому области час-
частот» где ?" велико, иногда называют областью непрозрачности,
а области, где е" мало - областями прозрачности*
i
i
i
1 yS
1 S^
\
1
1 \
1 \
1
1
1 ^
1
1
1
\l
I
¦^—-
О со
Рис. 14* Графики зависимостей ?' и ?" от частоты
Важным частным случаем выражений B8,90 является диэлект-
диэлектрическая проницаемость разреженной плазмы (полностью ионизиро-
ионизированный газ) или плазмоподобных оред* Так как в таких средах
электроны и ядра не связаны в атомы, то возвращающая сила в
уравнении движения электронов B8,5У будет равна нулю: соо=0
Тогда при отсутствии поглощения ( у * 0) выражение B8.8) при-
принимает вид
4
е = 1 - -f .
со
Из этой формулы следует, что при совпадении частоты со падаю*
щей электромагнитной волны с ленгмюровской частотой СОр ди-
диэлектрическая проницаемость плазмоподобных сред обращается в
нуль.

- 13? -
§ 29. Физический смысл мнимой части S
Непосредственная связь мнимой части комплексной диэлектри-
диэлектрической проницаемости с диссипацией (или антидиссипацией) энер-
энергии электромагнитных волн в среде является общим свойством,
присущим не только разреженному нейтральному газу» но и другим
материальным средам. В частности, наличие е" } 0 у комплекс-
комплексной диэлектрической проницаемости свидетельствует, что среда
либо поглощает энергию электромагнитных волн, переводя ее в
другие виды энергий, главным образом, в тепло (диссипирущие
среды), либо передает запасенную в ней энергию электромагнитной
волне (антидиссипирующие среды, лазерные среды). Для доказа-
доказательства этого утверждения рассмотрим некоторый объем V , за-
занимаемый средой, через который распространяется электромагнит-
электромагнитная волна. Подсчитаем суммарный поток энергии этой волны через
поверхность, ограничивающую данный объем V :
П = U>GdS = (pGnidS , B9Л)
^ 5 5
где /г - вектор внешней нормали к поверхности S.
Очевидно, что в случае диссипирующей среды часть энергии
электромагнитных волн, распространяющихся через данный объем,
будет поглощаться средой, переходя в другие виды энергии, глав-
главным образом, в тепло. Поэтому для таких сред величина потока
энергии электромагнитной волны, входящей в объем V , будет
больше, чем величина потока энергии выходящей волны, в резуль-
результате чего суммарный поток энергии П через поверхность S будет
отрицателен: П < 0 • В случае же антидиссилирующей среды
энергия, запасенная в данной среде (например, энергия возбужде-
возбуждения электронов, находящихся на метастабильных уровнях атомов
лазерных средM при прохождении электромагнитного излучения пере-'
ходит в электромагнитную энергию, увеличивая поток энергии вы-
выходящих электромагнитных волн. Поэтому для антидиссипирующих
сред суммарный поток электромагнитной энергии будет положите-
положителен : П > 0.
Таким образом, задача состоит в том. чтобы определить.как
знак величины П связан с мнимой частью комплексной диэлектриче-
диэлектрической проницаемости. Для этого перепишем выражение B9.1) в эк-

- 138 -
Бивалентном виде
П = fdivGdV. B9.2)
v
Используя определение вектора G , легко убедиться, что
dive = f- div[EР] = f-{ HrotE - ErotH) .
В силу уравнений Максвелла B*13) это выражение можно привести
к виду:
Следует отметить, что в правой части этоп) выражения, как и во
всяком квадратичном выражении, векторы Е , Н , в и 2) долж-
должны быть вещественными векторами. Поэтому, если мы хотим исполь-
использовать удобное для практических расчетов комплексное представ-
представление данных векторов, то должны переписать его в виде
eH \ Re 6 + ReE3
Учитывая, что для любого вектора /?е А « у (А + А*) , получим
Предположим теперь, что электромагнитная волна, распространяю-
распространяющаяся jjepe3 вещество, является монохроматической и векторы ?,
Н > В и D пропорциональны е~^ • Тогда комплексно соп-
сопряженные векторы Е* , Н* , S* и D^ будут зависеть от време-
времени по закону е с • В этом случае выражение B9.3) примет
вид
Воспользуемся теперь материальными уравнениями
5 = ^?'+с€и)?, В ~JU-H

- 139 -
В результате получим
/6х>
B9.4)
Однако это выражение не совсем удобдр для^анализа. так как со-
содержит быстро осциллирующие члены Н , ? > Н* , ?* , с
частотой, равной удвоенной частоте волны. Поэтому для определе-
определения знака dLvG в каждый фиксированный момент времени i не-
необходима более детальная информация о зависимости векторов ?
и Н от координат и времени. Для того чтобы избежать излишней
детализации этих векторов, усредним выражение B9.2) по периоду
волны. Вводя обозначения
т
о
т
dive = ~
о
где T=r ~ , это выражение запишем в виде
со
П = JdV divG . B9.5)
Учитывая, что
(die
J
Id
° -2 -г
легко убедиться, что после такого усреднения величины ? . Н .
— 2.СсйТ. 7^'ы2. 7^*2. '
пропорциональные в , и t , н , пропорциональные
е2с"и>|>в выражении B9.4) будут отсутствовать:

- 140 -
Так как со 1Е I "^ О э то из этого равенства непосредствен-
непосредственно следует, что знак dlv<b и знак Пзависит от знака мнимой
части ? : еслио)Е"> О ^то divG <O в каждой точке объема
V (в результате чего и П < 0 ) и наоборот.
Таким образом, неравенство нулю мнимой части комплексной
диэлектрической проницаемости среды является прямым следствием
дисомпационных свойств этой среды.
§ 30. Формулы Крамерсэ-Кронига
Из результатов, полученных в § 28, следует,, что даже в
случае простейшей материальной среды - в разреженном нейтраль-
нейтральном газе, - колебания вектора поляризации Р под действием
внешней электромагнитной волны запаздывают по фазе по сравнению
с колебаниями вектора Е в волне на величину B8.7), зависящую
от частоты. Это означает, что вектор I) в каждый фиксированный
момент времени определяется не только значением поля Е , взя-
взятым в тот же самый момент времени, но и значениями поля в пред-
предшествующие моменты времени. Поэтому при изучении переменны^По-
переменны^Полей в средах зависимость вектора индукции D от вектора Е ,
вообще говоря, должна быть записана в интегральном виде
3(t) = E(t) + UjcjfCt) E(t -r) dx , (зол)
о
где фудкция /(т) зависит от свойств среды и отражает влияние
поля Е в предшествующие моменты времени на состояние вектора
D в данный момент времени ("память11 системы). Б соответствии
с таким физическим смыслом функция f(x) , очевидно, должна
быть ограниченной функцией при всех значениях X и достаточно
быстро и гладко стремиться к нулю при Т —^ со.
Разложим правую и левую части соотношения (ЗОЛ) в интег-
интегралы Фурье по времени. Полагая, что

/dco
co
-co
CO
E(t) = Гс
с/со Е(со) е~сс°
получим
oo -co 0 ^
0
В силу теоремы о единственности разложения функции в интеграл
Фурье мы можем утверждать, что подынтегральные выражения в этом
соотношении равны
^ -* (
Е(и>) j 7
IdGf(z) e \ .
о
В случае изотропных сред связь между фурье-образами векторов
D и ? при каждом фиксированном значении частоты, должна
иметь вид
2)fco) - ?(u>) ?(co).
Сравнивая это соотношение с предыдущим, получим
о
Так как это равенство получено без излишней детализации свойств
среды, а только исходя из самых общих соображений, аналогичных
принципу причинности, то оно должно быть справедливым для широ-
широкого класса материальных сред*
Используя данное соотношение, выясним свойства функции
?(co> • Учитывая, что функция ?(т) является вещественной и
подставляя в правую часть равенства C0»2) выражение
=r e'(<o} + L?a(«>) , будем иметь
- i<u -

оо
б'(со> = 1 + Цтс IJ-(v) coscot dz у
О
со
(x) Sen.COT dx .
О
Из этих соотношений непосредственно следует, что действительная
часть комплексной диэлектрической проницаемости является четной
функцией, а мнимая часть - нечетной функцией своих аргументов:
е'(-со) = е'(ш) , е"(-<*0 - -?"(со). (зо.з)
Переписывая соотношение C0.2) в виде
со
о
выясним теперь аналитические свойства функции S(z) при комплекс
ных значенияк аргумента Z = v^cy . Легко убедиться, что функ-
функция E(z) не имеет особых точек в верхней полуплоскости (при
у >О ). Действительно, подставляя z=X + uy в выражение
C0.4), получим
оо . _
? (х н- iy) = i+^wffCc) eL * еГ су с/т .
Поскольку функция /(г) ограниченная, то этот интеграл сходится
при всех у у О с Более того, в случае диэлектричеЬких сред
функция 4(т) достаточно быстро стремится к нулю при Г-*-оо,
поэтому данный интеграл сходится и при у = 0. Все это означа-
означает, что функция ?(z) не имеет никаких особенностей в верхней
полуплоскости. Кроме того, можно показать, что в верхней полу-
полуплоскости (у > О) функция
оо
- 142 -

- 143 -
стремится к нулю при X -^ оо -
Используя эти свойства функции ?(z) , мы-можем вывести
формулы Крамерса-Кронига. Для этого рассмотрим интеграл
г ,
взятый по контуру Г , изображенному на рисЛ5р Поскольку
функция ?(z) в верхней полуплоскости не.имеет особых точек, то
в силу теоремы о вычетах этот интеграл равен нулю.
где
Рисо 15. Контур интегрирования Г
Таким образом, мы можем записать
I. + I, + I, ¦ 1Д = О ,
1 J Х-СО '
C0.5)

х - to
Легко убедиться, что последний из этих интегралов равен нулюв
Действительно, так как в верхней полуплоскости функция €(z)-f
стремится к нулю, то во всех точках полуокружности радиуса R
подынтегральное выражение в интеграле I убывает быстрее, чем
JL при | z I —^ со • Согласно соответствующей теореме матема-
математического анализа этого достаточно, чтобы утверждать, чтоГ^-О
при R -*• оо # Вычислим теперь интеграл lz . Для этого nejpefr*
дем от переменной Z к новой переменной - углуср^ z^co+pe1"^
Учитывая, что с/г = срес^с/у> f перепишем этот интеграл в ви-
виде
о
Устремляя радиус полуокружности О -*~ О , получим
I2 = -xcfecoa)- -I).
Заметим, также, что при 9"^^ сумма интегралов It +13 дает
интеграл в смысле главного значения, взятый по всей веществен-
вещественной оси:
1 -ОО -СО
В результате соотношение C0.5) можно переписать в виде
TCJ Х-сО
-оо

Выделяя действительные и мнимые части этого равенства, получим
окончательно
C0.6)
Эти формулы и называются формулами Крамерса-Кронига. Они пока-
показывают, что действительная и мнимая части комплексной диэлект-
диэлектрической проницаемости не являются независимыми друг от друга,
а в силу принципа причинности связаны между собой интегральными
соотношениями* Поэтому, зная одну из частей (действительную или
мнимую), другую часть можно определить, проводя интегрирование
в одном из соотношений C0.6). Это свойство ?' и ?" достаточ-
достаточно широко используется на практике* Наиболее удобной для изме-
измерения является мнимая часть ? , так как она непосредственно
связана с поглощением энергии электромагнитных волн в среде.
Поэтому для определения зависимости ? = ?(<*>) некоторой среды
обычно проводят измерение поглощения электромагнитных волн в
этой среде в достаточно широком интервале частот, находят зави-
зависимость ?"= ?"(<*>) * а затем проводя интегрирование в первом иэ
выражений C0.6), определяют ?'(и))*
Следует отметить, что в случае проводников формулы Крамер-
са-Кронига имеют несколько иной вид. Действительно, как уже
указывалось в начале главы 6, функция ?(иь) для проводников
имеет в точке а> = 0 особенность. Учитывая эту особенность и
проводя вычисления, аналогичные проделанным, легко убедиться,
что для проводников первая из формул C0.6) остается неизменной,
а вторая принимает вид
7С J X -СО СО
-со
Соотношениям C0*6) можно придать и несколько иной вид,
если учесть свойства C0.3) функций ?'(W) и ?"(<о) • Для этого
запишем, например, первое из выражений C0.6), явно разделив

- 146 -
интервал интегрирования на две части:
6'(cS)-i - -^
--co 0
Произведем теперь замену х ~ - х переменной интегрирования в
первом из этих интегралов. Объединяя его со вторым интегралом,
получим
eW>-* = ±^x|-^ + f
О
Учитывая равенства C0,3), будем иметь
со
= 1 + ?¦
J X - сог
о
Совершенно аналогично можно показать, что
о
Для большинства материальных сред функция ?"(о>) имеет один или
несколько резких максимумов в окрестности некоторых характерных
частот и достаточно быстро спадает к нулю при со —*• сх> и
со-* 0 (см., например,рис. 15)• Это свойство функции 6"fco)
позволяет изучить поведение функции &'(cS) в области малых и
больших частот. Предположим, что функция 8"(х) принимает доста-
достаточно большие значения только лишь в области, заключенной между
некоторыми двумя частотами O3f и соа @<cof<x<co2 ),
и стремится к нулю вне этого интервала. Тогда выражение C0,7)
можно записать в следующем приближенном виде:
(зо.8)
Так как интегрирование в этом выражении производится по интерва-
интервалу о), ? X ^ со2 f то при со »со^ в подынтегральном выраже-

- 147 -
нии возникает малый пераметр х/со « 1 и мы можем записать
Ограничиваясь несколькими членами этого, вообще говоря, беско-
бесконечного ряда, получим
А А
{1
{ 1 , (зо.9)
СО СдУ1^
где
Как свидетельствуют опытные данные, эта форв^ла достаточно хо-
хорошо передает качественное поведение ?'(<*>) в области больших
частот. Другой предельный случай возникает, когда аз «cof.
В этом случае мзлым параметром является отношение со/х и иэ выра-
выражения C0.8) мы имеем
* 7 + D1 -ь D^CO , C0Л0)
где
Используя соотношения B8.9), легко убедиться^ что выражения
C0.9) и C0.10) правильно передают качественное поведение е'(со)
и для рассмотренного нами ранее случая простелили материальной
среды - разреженного нейтрального газа.

- 148 -
§ 31. Фазовая и групповая скорости электромагнитной
водны в диспергирующих средах
В случав распространения электромагнитных волн в дисперги-
диспергирующих средах встает вопрос об определении их скорости, Очевид-
Очевидно, что в случае распространения монохроматической волны в ка-
качестве ее скорости может быть принята скорость распространения
поверхности постоянной фазы. Эта скорость в научной литературе
получила название фазовой скорости. Так как для монохроматичес-
монохроматической волны положение поверхности постоянной фазы в любой момент
времени определяется соотношением
cot - кУсо)г = const,
то дифференцируя это равенство по времени, имеем
со - i< u = О .
Учитывая, что вектор фазовой скорости у направлен вдоль векто-
вектора f< t получим
Чр - f • Ci.i)
Таким образом, зная закон дисперсии к = К(ьь) , мы всегда можем,
найти фазовую скорость любой монохроматической волны. Очевидно,
что в самом общем случае эта скорость будет зависеть от частоты
волны* Если все монохроматические волны, составляющие некоторый
волновой пакет, распространяются с одной и той же фазовой ско-
скоростью, то данный пакет будет распространяться в пространстве
как единое целое, без изменения его формы. Поэтов скорость не-
монохромвтической волны (волнового пакета) в данном случае бу-
будет совпадать с фазовой скоростью любой из составляющих ее мо-
монохроматических волн. В том же случае, когда различные монохро-
монохроматические волны распространяются с различными фазовыми скорос-
скоростями, волновой пакет при своем движении будет деформироваться
и вопрос о скорости его распространения становится более слож-
сложным. Если изменения формы волнового пакета происходят достаточ-
достаточно медленно, то в качестве скорости его распространения можно
принять скорость движения максимума этого пакета. В научной ли-
литературе эта скорость получила название групповой скорости не-
монохроматической волны.

Для ее нахождения рассмотрим некоторую группу монохромати-
монохроматических волн, частоты которых содержатся в некотором достаточно
узком интервале частоты соо , так чтобы фазовые скорости этих
волн лишь незначительно отличались друг от друга
соо - S ± со ^ соо + S, S « и>о .
Не конкретизируя заранеее природу этих волн, имеем
в г
Произведем замену переменной интегрирования оо=^ + со0 в этом
выражении, В результате получим
e
Разложим теперь волновой вектор К(соо+^) в ряд Тэйлора
В том случае, когда фазовые скорости монохроматических волн в
рассматриваемом интервале частот отличаются друг от друга дос-
достаточно мало, волновой вектор К в силу соотношения C1Л) бу-
будет также достаточно медленно изменяющейся функцией частоты»
Поэтому в разложении C1.3) можно ограничиться лишь линейным
приближением* Тогда, подставляя это разложение в выражение
C1.2), будем иметь
Функция
S
входящая в это выражение из-за малости S

- 150 -
ется медленно изменяющейся функцией координат и времени и пред-
представляет собой огибающую волнового пакета. Скорость движения
точек этой огибающей* очевидно, и будет групповой скоростью
волнового пакета. Так как радиус-вектор Р=/?ft), определяющий
положение максимума огибающей, в любой момент времени удовлет-
удовлетворяет уравнению
t - 4?
то для групповой скорости VL» -гг получим следующее соотно-
соотношение: Т dt
4 - о.
В том случае, когда векторы \f и -т^ коллинеарны и направ-
Г С/СЗ
лены в одну сторону, получим
Таким образом, если известен закон дисперсии к= к(о)), то соот-
соотношение C1.4) дает возможность определить групповую скорость
волновых пакетов.
§ 32, Распространение плоских электромагнитных доли в
пеозрвчвьрс средах
Наличие мнимой части у комплексной диэлектрической прони-
проницаемости среды и отличие ее действительной части от единицы
приводят к тому, что распространение электромагнитных волн в
средах существенно отличается от их распространения в вакууме.
Для того, чтобы в этом убедиться, рассмотрим некоторую об-
область пространства, в которой находится покоящаяся однородная
и изотропная среда. Предположим далее, что свободные заряды и
токи в среде отсутствуют• Тогда уравнения Максвелла для данной
области будут иметь вид

- 151 -
v
dlv В = 0 ,
0.
В самом общем случае эти уравнения описывают переменное во вре-
времени и изменяющееся в пространстве электромагнитное поле, оп-
определяемое начальными и граничными условиями. Наиболее прост
тым примером такого поля является плоская монохроматическая
электромагнитная волна. В этом случае входящие в уравнения
C2.1) векторы можно представить в виде
В = Ео е
т* Г? -i(^t-Kir) C2.2)
6 = /и.(ь>) Н ,
где со - частоты и К - волновой вектор электромагнитной вол-
волны. Поскольку для большинства сред магнитная проницаемость оста-
остается практически постоянной величиной в широком интервале час-
частот, то, не ограничивая общности, мы будем считать, что /л= 7.
Подставляя выражения C2.2) в уравнения C2.1), получим
Csff] .-as.?,
[кЕ]
СО и
С И ' C2.3)
?К? =0,
НН - 0.
Дальнейший анализ распространения плоской монохроматической
электромагнитной волны в материальной среде существенно зави-
зависит от того, равна или не равна нулю комплексная диэлектрическая
проницаемость среды на данной частоте. Рассмотрим эти две воз-
возможности последовательно.
I* Пусть на частоте электромагнитной волны ?(со)»0. В

- 152 -
этом случав уравнения C2.3) принимают вид
-0f
[к?] .fiff,
7ГИ - 0.
Первое из них утверждает, что вектор И коллинеарен вектору
к" , в то время как из последнего уравнения данной системы
следует, что эти два вектора ортогональны. Вектор, удовлетворя-
удовлетворяющий этим требованиям, единствен: FT — 0. Таким образом, из
всей системы уравнений C2.3) остается только одно:?кЕЦ = 0.
Оно утверждает, что при ?(со) = 0 в среде может быть возбужде-
возбуждена продольная волна электрического поля. Электродинамика вакуу-
вакуума, как известно, такую возможность не допускает.
2. Предположим теперь, что на частоте электромагнитной
волны 6(go} ^ 0. В этом случае два последних уравнения системы
C2.3) будут следствиями первых двух и их можно опустить. В ре-
результате система C2.3) примет вид
C2 Л)
Из первого уравнения этой системы следует, что вектор ? , про-
пропорциональный векторному произведению векторов К и Н , бу-
будет им ортогонален. Совершенно аналогично, из второго уравнения
системы C2.4) можно убедиться, что вектор п ортогонален век-
векторам f< и ? . Таким образом, в данном случае, как и в вакуу-
вакууме, электромагнитная долнэ является поперечной волной, причем
векторы К , ? и Н образуют правую тройку векторов^ Выра-
Выразим теперь из второго уравнения системы C2.4) вектор Н и
подставим его в первое уравнение^. Раскрывая двойное векторное
произведение и учитывая, что к ? =0, получим
2 Сд?(сА) Л с Л
к _ — t = и.
с2 )
Для того, чтобы данное уравнение имело нетривиальные решения
( ? ^ 0),необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:

- 153 -
с2
C2.5)
Это уравнение в научной литературе получило название дисперсион-
дисперсионного соотношения. Следует отметить, что в отличие от электроди-
электродинамики вакуума, данное соотношение является комплексным, так
как входящая в него величина ?(о))= ?'(со)+се"(Ц комплексна.
Поэтому комплексным должен быть и волновой вектор 'к=к'+и<".
Подставляя, его в дисперсионное соотношение и отделяя действи-
действительную и мнимую части, получим
к'2 -
C2.6)
Отсюда следует, что волновой вектор при Е" Ф 0 всегда имеет
комплексную часту более того, как мы увидим далее, возможны
ситуации, когда /<" Ф 0 (к" ± к' ) даже при б" = 0.
Используя представления C2.2), легко убедиться, что нали-
наличие неравного нулю вектора нГ" приводит к экспоненциальному
убыванию (в антидиссипирующих средах -.к экспоненциальному воз-
возрастанию) электррдагнитной^волны^в^аправлении, определяемом
вектором к*": е^^-е^'^ • е"*" . Рассматривая же систему
C2.6) с математической точки зрения, можно констатировать, что
эта система из двух уравнений,^содержащая три неизвестных: к', к"
и угол между векторами if' и к" • Поэтому в общем случае дан-
данная система позволяет определить только две неизвестные величи-
величины (например, к/ та к" ), а третья неизвестная будет играть
роль параметра. При решении практических задач, тем не менее,
она не остается произвольной, а полностью конкретизируется пос-
после учета начальных и граничных условий.
В дальнейшем для проототы будем предполагать, что начальные
и граничные условия обеспечивают параллельность векторов К*' и
J?" . Тогда записывая вектор /Г в виде К* = ^± п.с? t где с?
- вещественный единичный вектор, совпадающий по направлению с
векторами *Г' и ~к" , из соотношения C2.5) получим следующее

- 154 -
уравнение для определения комплексного показателя преломлениям:
п* = е' + is".
Полагая п = п/ + in." , где п/ - показатель преломления,
nJ' - коэффициент поглощения, отсюда будем иметь
At'2 - fL = е',
2п.' . п!' = ?".
Разрешая эту систецу уравнений относительно п! и «-" , полу-
получим
2 I/ 2
C2.7)
Эти выражения существенно упрощаются в двух важных случаях. Пер-
Первый из них характерен для сред в областях и? прозрачности, т.е.
при тех частотах, при которых ?/(со)»|в//(с^| . В этом случае
из выражений C2.7) будем иметь
и/ - /в7, Л"« О. C2.8)
Другой предельный случай реализуется в основном для сред с
большой диссипацией (антидиссипацией) в области их непрозрачное-
ти, %?*>».Л той облаоти частот, где ifc'Vcofrl^E'ftaV ri^figj/lfc'Vuft) .
В области прозрачности, когда диссипация (или антидиссипацйя)
электромагнитных волн мала,можно использовать понятия фазовой
и групповой скорости. Используя выражения C1.I), CI.4) и
C2-8), получим
Таким образом, в диспергирующей среде (с//г'/с/а) ^ О ) фазовая
и групповая_9^р^РДЖЛ-Р8лаространелия электромагнитных волн не
совпадают.
^ Выясним теперь как связаны между собой колебания векторов
Е и В .в волне* Для этого возьмем по модулю второе из соот-

- 155 -
ношений C2.4) и учтем, что векторы Е и К ортогональны*
В результате получим
Т8КК8К 1К| = /К'2* К" = f
и | Е | = ?0 , IЙI = Но, отсюда будем иметь
Следовательно, при распространении электромагнитной волны в сре-
среде амплитуда электрического поля, в отличие от электродинамики
вакуума, в j^e'2+6'2 раз меньше амплитуды магнитного поля» Кро-
Кроме того, колебания векторов Е и П в волне происходят не в фа-
фазе. Чтобы в этом убедиться, учтем, что
П ш п.'+ in" =
где vp = erne to — . в этом случае второе уравнение системы
C2.4) можно записать в виде
Таким образом, при распространении электромагнитных волн в ма-
материальных средах колебание вектора Е опережает по фазе коле-
колебание вектора Н на угол чр.
§ 53. Отражение и преломление электромагнитных волн
йа границе раздела сред
Изучим теперь, исходя из уравнений Максвелла, законы отра-
отражения и преломления плоских электромагнитных воли на границе
раздела двух прозрачных сред.
Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред, показатели
преломления которых вещественны и равны rtf= ^?i и П-^/ё^
соответственно (ju~f -j^z-1)• Предположим далее, что из первой
среды на эту границу падает плоская монохроматическая электро-
электромагнитная волна. На границе раздела сред она, естественно, долж-
должна частично пройти во вторую среду, а оставшаяся часть - отра-

- 156 -
зиться обратно в первую среду (см.рис,16)• Для того чтобы разли-
различать эти три волны, условимся все величины, относящиеся к пада-
падающей волне, снабжать индексом "О", к отраженной - индексом "Г1
и преломленной - индексом ". Тогда решения уравнений Максвел-
Максвелле в виде плоских монохроматических волн для данного случая
примут вид
Волновой вектор Ко падающей электромагнитной волны будем счи-
считать величиной вещественной ( К^ =0), вектора же f^ и /^ в
целях достижения максимальной степени общности будем считать
комплексными:
Так как обе среды являются прозрачными, то ?f и ?2 - вещест-
вещественные величины. Поэтому дисперсионные соотношения C2.6) для
этих волн примут вид
к/ i</ - О, (зз.2)
* с
I?' Zr* - П
Ориентируем систему координат так, чтобы векторы Ко и 'к1 лежа-
лежали в плоскости t/z . Зту плоскость в дальнейшем будем называть
плоскостью падения. В этой системе координат векторы /со и К%

- 157 -
= О.
не будут иметь х-компоненты:
волны при z = 0 должны удовлетворять и граничным условиям:
ко = к
Кроме уравнений Максвелла, компоненты электромагнитной
е1 =
C3.3)
В рассматриваемом нами случав первое из этих условий принимает
вид
Так как
данное соотношение должно выполняться в любой момент
времени и во всех точках
плоскости Z = 0,
t*
= f
Рис.16. Ориентация падающего,отра-
падающего,отраженного и преломленного
лучей
Z = 0, то для
этого необходимо, чтобы при
Z = 0 фазы всех экспонент
зависели одинаковым образом
от х , у и Ь . Отсюда
непосредственно следует,
что
4 e
2к
К
= к' =
= 0 ,
— IV
f x
o.
Таким образом, в силу граничных условий все три волны должны
иметь одинаковую частоту (в дальнейшем обозначаемую просто со )
и их волновые векторы обязаны лежать в одной плоскости» Учиты-
Учитывая соотношения C3<Л) и первое из уравнений C3*2), мы можем
теперь записать данные векторы покомпонентно:
C3.5)
S'= {о. S' ,<

- 158-
г;, {о, о, кг«г},
где /г =• |/б^ 9 0О - угол падения. Подставляя эти соотноше-
соотношения во второе и третье уравнения C3.2), получим
КГ/а + кг'1 k"Z - ^Е
К1у + К1х ~ K7z ~ с2 * *
/ СО
Так как в силу граничных условий к{ =KQ - -p"^^lf^o ¦ то
данные уравнений принимают вид ь у
<1ч
Легко убедиться, что эти два соотношения удовлетворяются только
в тон случае, когда комплексная часть вектора И<1 равна нулю
K'iz ш 0Ф Поэтому вектор Kf можно представить в виде
S = f п., {О, аЬив,, -cose,},
ия кл
где 9f - угол отражения. В силу граничного условия к'л = К
этот угол равен углу падения 6f = Qo. у
Рассмотрим теперь оставшиеся два уравнения системы C392):
- < • ?
< - <
Совершенно аналогично, учитывая граничное условие К * —
преобразуем их к виду: ^
C3.6)

- 159 -
Последнее из этих уравнений удовлетворяется в том случае, когда
хотя бы один из сомножителей равен нулю. Пусть к^г = 0. Тогда
первое уравнение системы C3.6) дает
Так как величина к^ должна быть вещественной, то легко убе-
убедиться, что это уравнение имеет решение только при выполнении
условия
Предположим теперь, что k'2z / 0, а к'?2 = 0. В этом случае пер-
первое уравнение системы C3.6) примет вид
Очевидно, что это уравнение имеет действительные решения только
при выполнении условия
Таким образом, в зависимости от того больше или меньше единицы
величине E1sin2Qo / ?2 , распространение волны во второй
среде будет иметь качественно разный характер. Поэтоцу рассмот-
рассмотрим эти два случая по очереди.
I. Пусть
b-sln.*6o ± 1. C3.7)
Легко убедиться, что данное условие выполняется независимо от
величины угла падения 0 ? 0О ^ ? в том случае, когда вторая
среда является оптически более плотной по сравнению с первой
средой: Пу=^ < ru2= /е^ . Если же Mf > п~г , то условие C3.7)
будет выполнено не для всех значений угла падения, а только для
тех, которые удовлетворяют неравенству
О ? & ^ <хтч: Sin,— .
ГЦ

- 160 -
В этих случаях волновые векторы всех трех волн будут действи-
действительными и их можно записать в виде
где 62 - угол преломления. Это означает, что в рододохдаавмсш
случае все три волны распространяются без изменения амплитуды*
В силу граничного условия C3,4) *'±=К0 угол преломления
овязан с углом падения соотношением
2 =
Легко убедиться, что при изменении угла падения О0 в пределах^
допускаемых условием C3*7), угол преломления изменяется от
©2= 0 до в2= f.
Найдем теперь зависимость амплитуд отраженной и преломлен-
преломленной волн от амплитуды падающей волны* Для этого нам необходимо
воспользоваться граничными условиями C3.3)#
Разложим вектор Е каждой из волн на две составляющих, од-
одна из которых Еи лежит^в плоскости падения, а другая Ех пер-
перпендикулярна к неД: Е =?U + Ej. • Тек как на границе раздела
двух сред вектор Еи имеет нормальную составляющую к плоскости
Z « 0, а вектор ЕАвЕх"ех целиком лежит в этой плоскости, то
законы их отражения и преломления, естественно, будут отличать-
отличаться* Поэтому рассмотрим эти две поляризации поодиночке.
Предположим, что падающая электромагнитная волна поляризо-
поляризована так,^то^вектор ? воегда перпендикулярен плоскости паде-
падения: Е вЕхех . В этом случае первое из граничных условий
C3*3) примет вид
Вектор И этой волны в силу выражений C3.1) и C3.8) лежит в
плоскости падения. Поэтому касательной составляющей его на гра-
границе раздела двух сред является компонента W,. = jj- Kz E±.
Таким образом, второе из граничных условий C3.3) можно

- 161 -
записать в виде
Объединяя это уравнение с C3.10) и используя соотношения C3.8),
C3.9), легко найти, что
(Я ^ atcos0o - /nl - n.fsLn2eo
tx — - / ^¦
-»-,4
?
C3.11)
n-^os©,, + J*^l-n^%lt^QQ
^ ^Рассмотрим теперь другую поляризацию. В^этом случае вектор
Е = Е1% лежит в плоскости падения, а вектор Н перпендикулярен
ей. Поэтоцу для данной политизации все вычисления дробно произ-
производить не в терминах поля Ен , а в терминах поля Н^—^ЕЗ^Н^.
Действительно, учитывая, что Ef~?g C^HX] , граничные ус-
условия C3.3) можно записать в достаточно простом виде:
Используя соотноиения C3.8) и C3.9), отсюда получим
(О)
н
C3-12)
го)
Выражения C3.11) и C3.12) в научной литературе получили назва-
название формул Френеля. При опытной проверке формул Френеля обычно
имеют дело не с напряженностями полей, а с интенсивностями, про-
пропорциональными усредненным по периоду квадратам напряженностей
полей. Поэтому, имея в виду применение данных формул на практи-

- 162 -
ке, удобно ввести коэффициент отражения от границы раздела двух
сред, равный отношению усредненных по периоду волны нормальных
(к границе раздела) компонент векторов Умова-Пойтинга отражен-
отраженной и падающей волн:
IgXot | ie°Y iftAV
^ = ~ = -—* = |jj(o)|2. e C3.13)
Используя соотношения C3.11) и C3.12), легко найти коэффици-
коэффициенты отражений обеих рассмотренных поляризаций волны:
C3.»)
R -
« "" 17Г(о>|2
cos во -
- n.f s
Выражения C3.11), C3.12) и C3.14) при соблюдении условий
C3.1) полностью определяют все количественные характеристики
процесса отражения и преломления плоской электромагнитной волны
на границе раздела двух прозрачных сред. Проанализируем их.
Заметюцпрежде всего, что коэффициент отражения в силу
определения C3.13) заключен в пределах 0 ? R ? !• Поэтому
первый вопрос, возникающий при анализе выражений C3.»), свя-
связан с выяснением условий, приводящих к равенству коэффициента
отражения предельным значениям R = 0 и R = I. Полагая
Rx = 0, после несложных вычислений найдем, что коэффициент
отражения волны с первой поляризацией обращается в нуль только
при /xf = rt.2 независимо от угла падения. Так как равенство
л^-^а. означ8вт простое отсутствие границы раздела двух сред,
то этот случай особого интереса не представляет. Примем
теперь R = О» В результате легко получить, что коэффициент
отражения электромагнитной волны, имеющей вторую поляризацию,
обращается в нуль, если угол падения удовлетворяет соотношению
5игЛ =
C3.HI

- 163 -
Этот угол падения в научной литературе получил название угла
Брюстера. Легко убедиться, что угол Брюстера удовлетворяет ус-
условию C3.7), Таким образом, если электромагнитная волна, со-
содержащая обе поляризации, падает на границу раздела двух сред
под углом Брюстера, то отраженная волна в силу соотношений
RH = 0 и /?х Ф 0 будет линейно поляризованной и вектор Е ее
будет перпендикулярен плоскости падения. Поэтому угол Брюстера
иногда еще называют углом полной поляризации. Следует отметить
также, что в силу соотношений C3.8) и C3*9) и C3*15) отражен-
отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны (в^ + б^ "к)
в том только случае, если угол падения равен углу Брюстера*
Действительно, так как 9| = 0. , то из условия 0f + Qz = ^
перпендикулярности отраженного и преломленного лучей имеем
Используя закон преломления C3.9), отсюда получаем (ЗЗЛ5).
Положим теперь /?х = I. Легко убедиться, что это может
быть достигнуто, если выполняется следующее равенство:
90
cos90 /ttf^njsuJeo = О.
Следует отметить, что коэффициент отражения /?и волны с другой
поляризацией обращается в единицу при том же самом условии. Так
как распространение падающей электромагнитной волны вдоль грани-
границы раздела двух сред ( 6О = j ) для наших целей особого интере-
интереса не представляет, то для достижения значений /?n=:/?x-f необ-
необходимо, чтобы выполнялось следующее соотношение:
/г* - п.* sLn*eo = О. C3.16)
Легко убедиться, что это может быть обеспечено только в том слу-
случае, когда вторая среда является оптически менее плотной, чам
первая (/хг <с /xt ) и угол падения равен О ^0о=агс5с/г^< ?.
Этот угол в научной литературе получил название угла полного
внутреннего отражения, так как в этом случае волна любой поля-
поляризации полностью отражается от границы раздела двух сред*
Здесь необходимо сделать одно замечание. Если мы подставим со-
соотношение C3.16) в выражения C3.11) и C3.12), то увидим, что
напряженности полей преломленной волны не только не обращаются

в нуль, но оказываются равными удвоенным значениям соответству-
соответствующих напряжеыностей полей падающей волны:
Возникает вопрос: о каком, собственно говоря, полном внутреннем
отражении может идти речь, если амплитуда преломленная волны
во второй среде не обращается в нуль? Ответ на этот вопрос дос-
достаточно простой: при выполнении условия C3.16) угол преломле-
преломления C3.9) волны равен тс/2 и преломленная волна не попадает
во вторую среду, распространяясь вдоль границы раздела двух
сред* Поэтому никакого нарушения закона сохранения энергии
здесь не происходит. В связи с этим закономерен вопрос: г что
произойдет, если при n.z<h-1 угол падения сделать больше угла
полного внутреннего отражения: 2?>во > сьгс sl«. —2 ? Однако при
таких значениях угла падения не выполняется условие C3.7), в
результате чего анализ процесса отражения и преломления при
'0 > cltcsuv — придется отложить до изучения случая
1
z Таким образом, в зависимости от угла падения 0О и величи-
величины n.f и п.? коэффициенты отражения /?н и Rx изменяются в пре-
пределах от нуля до единицы. Так как в общем случае Rn? Rx , то
при отражении электромагнитной волны, содержащей обе поляриза-
поляризации, ее состояние поляризации,вообще говоря, изменяется. Однако
существует физически выделенный случай нормального падения
( ба ~ О )> при котором./?., = /?.= I———I , в результате че-
11 х I ГЦ*П I
го состояние поляризации отраженной волны полностью совпадает
с состоянием поляризации падающей волны.
Изучим теперь фазовые соотношения для падающей, отраженной
и преломленной волн на границе раздела двух сред. Легко убедить-
убедиться, что в силу условия C3.7) подкоренное выражение
п* -«-*sinzeo , входящее в соотношения C3.П) и C3.12),в
рассматриваемом случае неотрицательно. Поэтому коэффициенты про-
пропорциональности в соотношениях (ЗЗ.И)-(ЗЗ. 12), связывающих нап-
напряженности полей отраженной и преломленной волн с напряженнос-
тями падающей волны, являются вещественными. Это означает, что
фаэы этих полей на границе разделе двух сред либо совпадают,

- 165 -
либо отличаются друг от друга на Ж , в зависимости от того,
положителен или отрицателен соответствующий коэффициент пропор-
пропорциональности в выражениях (ЗЗ.П)-C3.12). Легко убедиться, что
при всех значениях угла падения 0О , удовлетворяющих условию
C3.7), и любых значениях величин гц и n.z , коэффициенты про-
пропорциональности, связывающие Е? о ?^°*и Н± о Неположи-
Неположительны. Поэтому на границе раздела.двух сред фаза преломленной
волны всегда совпадает с фазой падающей волны. Фаза же отражен-
отраженной волны может отличаться от фазы падающей волны на 7Г * В част-
частности, используя первое из выражений C3.11), легко убедиться,
что Ех и ?х будут иметь резные знаки только в том случае,
когда п.1<п.?, т.е. когда отражение происходит от оптически
плотной среды. Аналогичное исследование показывает, что на гра-
границе раздела двух сред фазы Е,, и Ef[ также могут отличаться
на X.
Рассмотрим теперь процесс отражения и преломления плоской
электромагнитной волны в том случае, когда имеет место условие
2. Пусть
-?- sLn-ZQo > 1 • C3.17)
Так как sitvBo^ 1 , то для выполнения этого условия,прежде
всего,необходимо, чтобы первая среда была оптически более плот-
плотной по сравнению со второй средой ? > Е^ • Кроме того, для вы-
выполнения условия C3.17) необходимо также, чтобы угол падения
превышал угол полного внутреннего отражения
9О > сиге
В этом случае решение уравнений C3.2) с учетом соотношений
C3.4) принимает вид

- 166 -
f
XI = f {о, о,
Используя выражения C3.1), легко убедиться, что амплитуда пре-
преломленной волны по мере роста z убывает экспоненциально:
Так как вторая среда является прозрачной, то поглощение в ней
должно отсутствовать. Поэтоцу представляется чрезвычайно инте-
интересным выяснить, что означает в этих условиях экспоненциальное
убывание амплитуды преломленной волны во второй среде. Для это-
этого, как мы делали ранее, разложим вектор ? на сумму двух по-
поляризаций
и используя граничные условия C3.3), найдем связь между ампли-
амплитудами отраженной, преломленной и падающей волн0
Рассмотрим сначала поле Ех • Для этой поляризации волны
граничные условия C3.3) принимают вид
Е(о) + E(i) = Elz)
Учитывая выражения C3.8), отсюда получим
Разрешая эту систему уравнений относительно Е± и ?х $ будем
иметь _________
L 9 C3.19)

- 167 -
B) _ 2 п., cos во (tt, cos 9O - I /a? s in.z9o -n.\) (o)
< - «i
Наличие комплексного коэффициента пропорциональности между
амплитудами этих волн означает, что на границе раздела двух
сред фазы отраженной и преломленной волн отличаются от фазы па-
падающей волныв Легко также убедиться, что при Л.2-** М- особеннос-
особенности, стоящие в знаменателях выражений C3.19),взаимно сокращают-
сокращаются с особенностями числителей этих выражений. Найдем теперь ко-
коэффициент отражения волны в рассматриваемом случае» Используя
определение C3.13), получим, что /?х = I независимо от величин
tti , м2 и угла падения (при выполнении условия C3.17), есте-
естественно). Таким образом, при отражении электромагнитных волн от
менее плотной, в оптическом смысле, среды, коэффициент отраже-
отражения равен единице для всего интервала углов падения, заключен-
заключенного между углом полного внутреннего отражения C3.16) до ^:
• И-г п тс 2
ccrcSLn.— ? ио± ^ • Для того чтобы выяснить физическую при-
причину экспоненциального убывания амплитуды преломленной волны
при z > О , построим вектор Пойнтинга-Умова в этой области
Для рассматриваемой поляризации данное соотношение, с учетом
выражений C3Л) и C3.18), дает
[-2 a5/«*$
Из этого выражения следует, что поток энергии во второй среде
может быть разбит на две составляющие: вдоль плоскости раздела
сред ( ?у ) и перпендикулярно ей ( €>z ). Обе составляющие
убывают по одинаковому закону по мере роста 2 , но одна из
них - €>у всегда неотрицательна, в то время как вторая периоди-
периодически изменяет свой знак. Поэтоцу среднее значение по периоду

- 168 -
волны составляющей <о^ отлично от нуля, а для составляющей 6Z
равно нулю. Это означает, что средний по времени поток энер-
энергии из первой среды во вторую отсутствует и преломленная волна
из второй среды возвращается из тонкого поверхностного слоя в
окрестности границы раздела двух средо
Как показывает анализ, аналогичная с^уация имеет место и
в случае электромагнитной волны, вектор Е которой лежит в
плоскости падения*
Виктор Иванович Денисов
Бведение в электродинамику материальных сред
Редактор Чикова Э.П.
Н/К
Подписано к печати 24.03.89г. Л- 190%, Заказ № 4395
Печать офсетная. Бумага для множительных аппаратов.
Формат 60x84/16* Усл.печ.л. - 10,5. Уч.-изд.л.- S.34
Заказное Тираж 400 экз. Цена Ор.ЗО коп.
Ордена "Знак Почета" издательство Московского университета
103009, Москва, ул.Герцена, 5/7
Отпечатано в НИИЯФ МГУ
II9899, Москва, Ленинские горы, НИИЯФ МГУ