Text
                    

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие................................... 6 Глава!. Уравнения электромагнитного поля 7 § 1. Основные математические соотношения, используемые в классической электродинамике 7 § 2. Плотность заряда и плотность тока ...... 19 § 3. Физическое обоснование уравнений Максвелла . 22 § 4. Закон сохранения энергии в электродинамике . 37 § 5. Потенциалы электромагнитного поля....... 42 § 6. Калибровочная инвариантность классической электродинамики ............................. 45 § 7. Вывод уравнений для потенциалов......... 48 Глава II. Стационарные электромагнитные поля..................................... 52 § 8. Уравнение для потенциала электростатического поля и его решение .......................... 52 § 9. Разложение потенциала электростатического поля по мультиполям ......................... 59 § 10. Электрический дипольный момент и его поле 68 §11. Электрический квадрупольный момент и его поле .................................. 72 § 12. Энергия электростатического поля....... 76 §13. Энергия и сила взаимодействия двух удаленных систем зарядов............................... 78 § 14. Уравнение для векторного потенциала
4 ОГЛАВЛЕНИЕ статического магнитного поля и его решение - 82 § 15. Векторный потенциал и поле магнитного диполя ...................................... 85 §16. Энергия постоянного магнитного поля . . 91 Глава. III. Электромагнитные волны ... 93 .§ ] 7. Свойства плоских электромагнитных волн . . 93 §18. Запаздывающие потенциалы..................... 97 ’ §19. Потенциалы Лиенара - Вихерта ...............107 § 20. Физические условия применимости мультипольного разложения для излучающих систем.......................................111 §21. Электрическое дипольное излучение ..... 125 § 22. Магнитное дипольное излучение........ 134 § 23. Электрическое квадрупольное излучение ... 136 § 24. Сила радиационного трения в нерелятивистском приближении . . ... 140 § 25. Рассеяние электромагнитной волны на изотропном гармоническом осцилляторе . . 148 Глава IV. Специальная теория относительности ..............................159 § 26. Принцип относительности.....................159 § 27. Преобразования Лоренца . ................. 163 § 28. Преобразование промежутков времени и длин отрезков . . 168 § 29. Релятивистский закон сложения скоростей . . 176 § 30. Преобразование углов................ . 179 §31. Тензоры в пространстве Минковского .... 183 § 32. Четырехвектор плотности тока и четырехпотенциал поля ......................190 § 33. Тензор электромагнитного поля....... . . 195 § 34. Законы преобразования векторов поля.....200
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 35. Инварианты электромагнитного поля .....202 § 36. Ковариантная запись уравнений Максвелла . . 206 § 37. Законы преобразования частоты и волнового вектора .....................................212 § 38. Эффект Доплера и астрономическая аберрация 215 § 39. Четырехвекторы скорости и ускорения....220 Глава V. Принцип стационарного действия 227 § 40. Основные постулаты принципа стационарного действия.....................................227 § 41. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в четырехмерном виде 232 § 42. Уравнения Лагранжа, второго рода для релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле ...........240 § 43. Связь между энергией, импульсом, массой и скоростью релятивистской частицы.............244 § 44. Мощность излучения быстро движущегося заряда в зависимости от скорости и ускорения 247 § 45. Мощность излучения заряда, быстро движущегося во внешнем электромагнитном поле.........................................251 § 46. Плотность функции Лагранжа для электромагнитного поля при заданном движении источников..........................252 § 47. Получение уравнений Максвелла из принципа стационарного действия.......................258 § 48. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля ........................................261 § 49. Законы сохранения энергии и импульса в электродинамике ...........................267
ГЛАВА I УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В первой части нашего курса будут изучаться раз- личные электродинамические процессы, происходящие в вакууме, с участием заряженных частиц. Такое изучение мы будем проводить на основе классической (некванто- вой) электродинамики, основные уравнения которой бы- ли открыты в 1868 г. Максвеллом. § 1. Основные математические соотношения, используемые в классической электродинамике Для описания уравнений электромагнитного поля и решения различных задач в электродинамике широко ис- пользуются векторная алгебра и векторный анализ. На- помним основные сведения из них, необходимые нам для дальнейшего. В первой части курса, вплоть до начала изучения специальной теории относительности, мы будем исполь- зовать, в основном, так называемые, физические компо- ненты векторов в трехмерном евклидовом пространстве, которые можно ввести в любой криволинейной, но ор- тогональной, системе координат. Будем также считать, что все используемые нами системы координат являются правыми. В случае прямоугольных декартовых координат (в
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. I дальнейшем просто декартовы координаты) трехмерный вектор А представляет собой совокупность трех скаляр- ных функций А^, Ау. Az. называемых компонентами век- тора, взятых в определенном порядке: где ег, еу и ez - базисные орты, направленные вдоль осей и z. соответственно. В произвольной ортогональной криволинейной сис- теме координат с осями т1, х2 и т3 вектор А будет иметь компоненты. А — + А‘2^2 + Азвз ~ {А1,А2?Аз}, где ei, е>2 и ез -- базисные орты, т.е. взаимно ортогональ- ные единичные векторы, в каждой точке пространства направленные по касательным к координатным линиям. В физических компонентах любой ортогональной криволинейной системы координат скалярное произведе- ние (АВ) векторов А = {A1.A2.A3} и В ~ {В1.В2.В3} имеет очень простой вид: (АВ) — А1В] + А2В2 + А3В3, Векторное произведение [АВ] этих же векторов можно найти, если раскрыть определитель:
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 9 И, наконец, смешанное произведение трех векторов имеет вид: (А[ВС]) = Л-2 с2 Аз Среди формул векторной алгебры для наших целей боль- шое значение имеет формула двойного векторного произ- ведения [А[ВС]] = В(АС) - С(АВ). (1.4) В произвольной ортогональной криволинейной системе координат основные дифференциальные операторы име- ют вид 1 дф 1 grad ф = ei ——- + е2г- hi дх1 Л2 /iiei а дхх ^2^2 дх3. где hi, h2, Нз - коэффициенты Ламэ: (1-6)
10 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Приведем вид множителей Ламэ (1.6) в наиболее употре- бляемых ортогональных системах координат: hi = h2 — кз = 1 - в декартовых координатах, hi — ha = 1, h2 — г - в цилиндрических координатах (ж1 — г = у'т2 + г/2, ж2 = 9?, ж3 = г), hi — 1, h2 = г, Л3 = г sin# - в сферических координатах (ж1 = г — -у/ж2 + у2 + г2. ж2 — 0, ж3 — 92). Оператор Лапласа от скалярной функции ф в этих координатах вычисляется по формуле А ф = div grad ф = (1.7) Используя выражения (1.6) для множителей Ламэ, не- сложно записать формулы (1.5) и (1.7) в наиболее упо- требляемых системах координат. В цилиндрической си- стеме координат имеем: (1.8) 1 д(гА^) .г дг
§ 1] ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 11 В сферической системе координат формулы (1.5 и (1.7) принимают вид: 5(гА^)-| 1 г5(гА^) дг . 6 г . дг л / - AAf 2^\ , М 1 д/ . дф\ , 1 д2Уд г2 dr V dr / г'2 Lin# дб \ П дО/ sin2#^2-' При проведении практических расчетов в электро- динамике значительное упрощение формул достигается, если использовать оператор ’’набла”, имеющий в декар- товой системе координат вид: С помощью этого оператора можно вывести форму- лы, позволяющие записывать результат действия диф- ференциального оператора на произведение двух скаляр- ных или векторных функций в виде выражений, содержа- щих действие этого оператора только на один сомножи- тель. Запомнить эти формулы достаточно сложно, го- раздо проще запомнить алгоритм вывода этих формул. Он состоит из нескольких этапов.
12 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Продемонстрируй этот алгоритм на примере вычи- сления rot [А В], На первом этапе дифференциальные операторы записываются через оператор набла в соот- ветствии с равенствами: grad гр = V ф, div А = (V A), rot А — [V А]. (1.10) Следует отметить, что помимо операторов grad , div и rot самостоятельное значение имеет и оператор , . д д д (А V) — Ах ——h Ay——Ь Аг —, дх ду dz который представляет собой производную по направле- нию вектора А. В нашем случае rot [А В] принимает вид: rot [А В] = [V[A В]]. На втором этапе переписываем правую часть столько раз, сколько скалярных и векторных функций в нее вхо- ди! , и отмечаем тильдой в первом слагаемом первый со- множитель, во втором слагаемом - второй сомножитель и т.д. В нашем примере это будет выглядеть так: rot [А В] = [V[A В]] + [V[A В]]. После этого используя правила векторной алгебры и свойства скалярных, векторных и смешанных произ- ведений, рассматривая оператор набла, как некоторый обычный вектор, преобразуем правую часть полученно- го соотношения, переставляя сомножители, если требу- ется, так чтобы помеченный сомножитель стоял справа
§ 1] ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 13 от вектора набла, а не помеченные сомножители - слева. В нашем случае, раскрывая двойные векторные произве- дения, получим: rot [А В] = A(V В) - B(V А) + А(V В) - B(VA) = = (В V)A - В(V А) + A(V В) - (A V)B. На последнем этапе необходимо ’’прочитать” результат, переходя от оператора набла к grad , div и rot в соответ- ствии с представлениями (1.10). В нашем случае приходим к соотношению: rot [А В] = (В grad)A — (A grad)B + Adiv В — Bdiv А. Приведем для справки остальные формулы, которые не- сложно получить, действуя по указанному алгоритму: grad (А В) = (В grad)A + (A grad)B+ (1-11) + [В rot А] + [A rot В]. grad ($ • 9?) = ф grad 92 + 92 grad ф, div А) = ф div А 4- (A grad ф), rot (ф А) — ф rot А — [A grad '</-’], div [А В] = (В rot А) — (A rot В), С помощью оператора ” набла” несложно установить ряд важных соотношений для дифференциальных операций второго порядка. В частности, имеем: rot grad ф = [WVd = [W]^ = 0, (1.12)
14 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 так как в силу соотношения (1.2) определитель будет со- держать две одинаковые строки. Совершенно аналогич- но, в силу соотношения (1.3) приходим к равенству div rot А = (V[VA]) = 0. (1-13) И. наконец, используя формулу (1.4) для двойного век- торного произведения и правила действия с оператором ’’набла”, получим соотношение rot rot А = [V[VA]] = (1.14) = grad div A — V2 A = grad div A — Д A. Это соотношение очень часто используется для записи оператора Лапласа от вектора в произвольной ортого- нальной криволинейной системе координат ДА = grad div А — rot rot А. (1-15) Из интегральных соотношений для нас наибольший интерес будут представлять теоремы Стокса и Остро- градского - Гаусса. Рассмотрим некоторый объем про- странства V, ограниченный замкнутой поверхностью S. Теорема Остроградского - Гаусса утверждает, что div AdV — f (AdS) — (An)dS, s s (1.16) где n - единичный вектор внешней нормали в той точке поверхности, где находится элемент площади dS. Рассмотрим теперь некоторый гладкий замкнутый контур L без самопересечений. Введем в каждой точке
§ 1] ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 15 этого контура бесконечно малый вектор Л, касательный к контуру. Пусть S - произвольная поверхность, ограни- ченная этим контуром. В силу теоремы Стокса справед- ливо следующее соотношение (АЛ). (1.17) Интеграл, стоящий в этом соотношении справа, называ- ется циркуляцией вектора А по замкнутому контуру L, причем обход контура L должен проводиться в положи- тельном направлении, когда обходимая область остается слева. При вычислении полной интенсивности излучения произведение двух и более компонент единичного векто- ра п = г/г = = пх ж/г, П2 = Пу = у/т, п3 = nz — z/г} — {sin 0 cos 99, sin 0 sin 9?, cos ff] необходимо ин- тегрировать по сферическим углам. Результат такого интегрирования удобно записывать в тензорном виде, по- лагая, что па — (n)Q. : 4тг 5 О (1-18) 7Г 2тг sin 0(10 dip Т1 аПрПи = 4" , О О где 8av - символ Кронекера. В теоретической физике широкое применение нашла дельта-функция Дирака, являющаяся обобщенной функ- цией. Не претендуя на полноту изложения, приведем
16 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 основные сведения о дельта-функции Дирака, знание ко- торых необходимо для изучения классической электроди- намики. Одномерная дельта-функция Дирака 6(х — т0) определяется требованиями: если х — То, если х То, (1-19) <5(х - То) = если т0 Е если То = а или то — Ь, если хо [а, Ь]. Представление о дельта-функции дает график, приведен- ный на рис.1, если его максимум устремить к бесконеч- ности, сохраняя площадь под графиком равной единице. Рис.1.' График функции, имеющей пределом дельта- функцию Дирака.
§ 1] ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 17 Очевидно, что дельта-функцию S(x — то) можно рас- сматривать как предел целого ряда аналитических функ- ций 6(х — то, се) : 8(х — а?о) = lim 8(х — то, се). а—>оо В частности, всем поставленным требованиям (1.19) удо- влетворяют, например, следующие функции: shice(t — То) о(т — т0) = lim ---z-----г—, о—>оо тг(т — То) 6(х - То) = lim -j—— <WK> 7г[1 4- СЕ2(т — To)2] 6(x - To) = lim " e~“2(*-*o)2 a—>oo л/7Г Их этих примеров непосредственно видно, что размер- ность дельта-функции обратна размерности ее аргумен- та. Легко также заметить, что дельта-функция четна: 6(—т) = <5(т). Кроме того, из определения (1.19) можно установить еще и следующие свойства: ОС У /(т)^(т - т0)^т = /(то), (1.20) — ос N «№)) = £ к=1 6(х - Хк)
18 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 где Хк - корни уравнения F(xk) — 0. Важным частным случаем последней формулы явля- ется соотношение _ о2) = fc£)+£(5_±£)_ 2|а| В ряде приложений бывает необходимо разложить дель- та-функцию в интеграл Фурье. Учитывая свойства (1.20) и определение интеграла Фурье, можно получить следу- ющее разложение: оо оо 8(х - т0) = ~ I dkeik^~^ = i I dk cos k{x - t0). — oo 0 (1-21) Обобщение одномерной дельта-функции на трехмерный случай дает: <5(г - го) = <5(х - х0)8(у - у0)Ф - z0), (1.22) оо <(Г “ Го) = (2?Р / <|3ке'1'<Г’"'°)’ — ОО I dVf(r)6(r - г0) = V ' У(го), если точка Го внутри объема V, = |/(г0), если точка Го на границе объема V, . 0, если точка Го вне объема V.
§2] ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА 19 С использованием дельта-функции Дирака можно дока- зать два соотношения, которые нам потребуются в даль- нейшем: = -- 4тг<5(г — г'), (1.23) В классической электродинамике очень часто встречают- ся функции двух точек - точки наблюдения г = {x,y,z} и точки г' = {x',y',zf}, где находится элемент dV' — dx'dy'dz' объема интегрирования: F = F(r, г', t). Во избе- жание путаницы при действии дифференциальных опера- торов на такие функции мы в качестве векторного индек- са будем указывать тот радиус-вектор, по координатам которого производится дифференцирование: „ х dF dF dF Vr F(r,r ,t) = ег— + ey— +e2 —, dx dy oz „ , dF dF dF Vr< F(r,r,t) = e*—-f-e,,—+ e2—p dx' dy' dz' Совершенно аналогичный смысл будет иметь векторный индекс и у других дифференциальных операторов. § 2. Плотность заряда и плотность тока В классической электродинамике одним из основных объектов является электрический заряд.
20 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Первоначально считалось, что носителями зарядов являются два вида особой электрической жидкости, одна из которых обладает положительным зарядом, а другая - отрицательным. Для количественного описания процес- сов перераспределения этих заряженных жидкостей, по аналогии с гидродинамикой, были введены понятия объ- емной плотности заряда р — р(г, /) и объемной плотности тока j — j(r, t) : />(г, 0 = Jimo , j(r, t) = p(r, i)v, (2.1) где Ag - количество электрического заряда, содержаще- гося в элементе объема А V, v - скорость движения носи- телей электрического заряда. Наряду с объемной плотностью заряда в классиче- ской электродинамике используются поверхностная ps и линейная ръ плотности заряда: r г Ад/, ' as->o AS дь-ю AL где Ags - количество заряда, содержащаяся в элементе площади AS некоторой поверхности, а Ад/, - количество заряда, содержащаяся в элементе длины AL некоторой линии. Введение понятий плотности заряда и плотности то- ка оказало положительное влияние на развитие электро- динамики и использование этих терминов продолжается и в настоящее время. Однако, впоследствии выяснилось, что носителями электрического заряда являются дискретные объекты -
§ 2] ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА 21 элементарные частицы, причем у всех известных заря- женных частиц абсолютная величина заряда одна и та же: е = 4,8- 1О~10 г1/2 см3/2/сек. Так как величина этого заряда чрезвычайно мала, то очевидно, что в случае ма- кроскопических тел, заряженных макроскопическим ко- личеством заряда Q >> е, дискретность распределения зарядов мало сказывается на создаваемом ими поле и в этом случае можно продолжать пользоваться старыми представлениями о непрерывном распределении заряда. Но для описания электромагнитных полей, создавае- мых отдельными элементарными частицами, такое при- ближение оказывается уже не справедливым. Поэтому возникла необходимость построения модели заряженной элементарной частицы. Поскольку в классической теории поля элементар- ные частицы считаются точечными объектами, то такой моделью в электродинамике стало заряженное тело исче- зающе малых размеров, но обладающее не равным нулю зарядом. В силу определения (2.1) плотность электриче- ского заряда должна быть бесконечной в точке г = го(£), где находится заряженная точечная частица, и обращать- ся в нуль в остальных точках. Для описания такого распределения зарядов и то- ков удобно использовать дельта-функцию Дирака, основ- ные свойства которой изложены в предыдущем парагра- фе. Если точечная частица имеет заряд q и движется по закону г — г0(2), то ее плотность заряда р(г,/) и плот- ность тока j (г, t) можно представить в виде: p(r, f) = q6(r - r0(f)), (2.2) j(M) = qv0(t)S(r - r0(i)), r— ’ Г $ ч - i-чк I «•
99 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 где v0(i) = dro(t')/dt - скорость частицы. Для системы, состоящей из N точечных заряженных частиц, имеем: N N Ж 0 = 22Ра(ГЛ) = (2.3) а—1 а—1 TV N JO, *) = = ^P9avaW<4r- Га(/)). а=1 а=1 Таким образом, зная величину каждого заряда qa и закон движения каждой заряженнох! частицы г — ra(t), из соотношений (2.3) несложно найти плотность заряда и плотность тока всей системы. По заданным же p(r,i) и j(r,i), как мы увидим далее, уравнения Максвелла по- зволяют определить создаваемое этой системой электро- магнитное поле. § 3. Физическое обоснование уравнений Максвелла Уравнения электромагнитного поля были выведены Максвеллом на основе четырех законов электромагнетиз- ма, открытых к ’середине XIX века. Это - закон сохра- нения электрического заряда, закон Кулона, закон Био - Савара - Лапласа и закон Фарадея. Покажем как из этих законов можно вывести уравнения Максвелла. а) . Закон сохранения электрического заряда Этот закон был сформулирован к середине XVII века в результате исследований ряда ученых. Согласно суще- ствовавшим в то время представлениям все электриче- ские явления происходили как результат взаимодействия
§ 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 23 двух различных видов электрической жидкости. На осно- ве ряда экспериментов было установлено, что нельзя со- здать один вид электрической жидкости без того, чтобы не возник и другой вид. Отсюда непосредственно сле- довало, что электрический заряд (алгебраическая сумма количеств обоих видов электрической жидкости) в любом явлении не изменяется. Исходя из этих представлений, по аналогии с гидро- динамикой, можно получить дифференциальный закон сохранения заряда - уравнение непрерывности. Действи- тельно, выделим в каком-либо заряженном теле произ- вольных! объем V. Если плотность заряда в точке г обо- значить через р — p(r, Z), то полный заряд Q, содержа- щийся в объеме V, будет равен: Q = y dVp(r,f). (3.1) v Подсчитаем изменение заряда Q в объеме V с течением времени. Так как заряды в силу закона сохранения не исчезают и не появляются, а лишь перераспределяются, то единственной причиной изменения заряда Q в объеме V может быть только перетекание зарядов через поверх- ность S, ограничивающую объем V. Вводя обозначение j(r, t) для вектора плотности тока зарядов, найдем вели- чину полного потока зарядов I через поверхность S : I=f(jdS). (3.2) S Поскольку с физической точки зрения при I > 0 поток I представляет собой количество электрического заряда,
24 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 покидающего объем V в единицу времени {dQ/dt < 0), то мы можем написать интегральный закон сохранения заряда в виде: dt Подставляя в это выражение соотношения (3.1) и (3.2), получим: ~ У* dVp(r, t) + j(jdS) = 0. v ’ s Изменяя порядок следования независимых операций диф- ференцирования по времени и интегрирования по объему, а также используя теорему Остроградского - Гаусса, име- ем: fdV ^^ + divj(r,i) =0- V Так как это равенство справедливо при любом выборе объема интегрирования V, то выражение, стоящее в ква- дратных скобках, должно быть тождественно равно ну- лю: dp(r,t) ..... . . —+ divj(r,/) = 0. (3.3) Это соотношение представляет собой дифференциальный закон сохранения заряда или, как его еще иногда назы- вают, уравнение непрерывности. б) . Закон Кулона для электрических зарядов В 1785 г. Ш.Кулон установил закон взаимодействия для покоящихся точечных зарядов. Как следовало из ре- зультатов экспериментов, сила F, действующая на проб-
§ 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 25 ный точечный заряд q со стороны другого точечного за- ряда. Q. находящегося в покое на расстоянии R от него, равна: qQR Г = — R3 ' (3-4) где R — ri — r2, a iq иг2 - радиусы-векторы зарядов q и Q. соответственно. Используя закон Кулона (3.4), можно определить на- пряженность электрического поля Е, создаваемого заря- дом Q в точке, где находится пробный заряд q. По опреде- лению напряженность электрического поля Е равна силе, с которой это поле действует на единичный пробный за- ряд. Поэтому в рассматриваемом случае: Если теперь считать, что заряд Q находится в начале координат, то выражение (3.5) будет описывать напря- женность электрического поля в произвольной точке с радиусом-вектором R. Используя выражение (3.5), мы можем получить од- но из уравнений Максвелла. Для этого рассмотрим не- которую произвольную замкнутую поверхность S, охва- тывающую заряд Q. Найдем величину потока вектора напряженности электрического поля Е через эту поверх- ность. Поток d&E вектора Е через элемент площади dS по определению может быть записан в виде d$E = (EdS) = (En)dS, где и - вектор внешней нормали к элементу поверхности dS.
26 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Подставляя в правую часть этого соотношения вы- ражение (3.5), имеем: (EdS) = Q^^-dS = -^dScos(n R). /Г (З.в) Учитывая, что dS cos(n R) представляет собой проекцию элемента площади dS на сферу радиуса R. мы можем за- писать: dS cos(n R) = dSaph- где dSsph - элемент площа- ди сферы радиуса R. (см.рис. 2). Рис. 2. Элемент сферической поверхности. Как следует из рис. 2, элемент поверхности сферы dSSph с точностью до бесконечно малых высшего поряд- ка может быть представлен в виде: dSsph ~ АВ AD. Учитывая, что АВ = AD --- RA6. легко найти,
§ 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 27 что dSgph = R2 sin edddtp. Если теперь ввести обозначе- ние dQ -- sin OdO dtp для элемента г) телесного угла dQ, то получим окончательно: dSaph = P2d£l. Поэтому соотношение (3.6) принимает вид: d$E = (EdS) = QdQ. Интегрируя это равенство по всей поверхности S, имеем: Воспользовавшись теоремой Остроградского - Гаусса, преобразуем интеграл по замкнутой поверхности S в ин- теграл по охватываемому данной поверхностью объему V. Тогда, учитывая определение (3.1), получим: У dVdiv Е = 4ttQ = 4тг J dV pipe). V v Так как данное соотношение справедливо при произволь- ном выборе объема интегрирования V, то div Е(г) — 4тгр(г). (3.7) 2) Элемент телесного угла определяется как эле- мент поверхности сферы единичного радиуса, образован- ный дифференциалами сферических углов d3 и dtp.
28 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Таким образом, из закона Кулона непосредственно следует, что в электростатическом случае вектор Е(г) удовлетворяет уравнению (3.7). Однако, при создании своей теории Максвелл пошел дальше и в качестве по- стулата предположил, что вектор Е удовлетворяет это- му же уравнению и в самом общем случае, когда Е и р зависят от времени: div Е(г,/) = 4тгр(г,£). (3.8) Это предположение, как оказалось, не противоречит остальным уравнениям Максвелла и правильно отража- ет действительность. Используя уравнения (3.3) и (3.8), мы можем полу- чить еще одно полезное соотношение. Для этого продиф- ференцируем уравнение (3.8) по времени и учтем, что dp/dt — —div j. В результате получим: Sdiv Е/dt = —4?rdiv j. Переставляя местами независимые операции частного дифференцирования по времени и координатам в левой части данного равенства, имеем: div fc® , д о {аГ+4’г-,} = °- Поскольку дивергенция вектора, стоящего в фигурных скобках, равна нулю, то согласно векторному анализу данный вектор является соленоид ал ьным. Поэтому сум- ма ЗЕ/сЙ + 4тг j всегда может быть выражена через ротор некоторого пока неизвестного вектора X : — + 47г j = rot X. <4+ (3.9)
; 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 29 в) . Закон Био - Савара - Лапласа В результате ряда исследований Ж.Био, Ф.Савара, И.Лапласа и других ученых к 1820 г. было установле- но, что напряженность магнитного поля, создаваемого в вакууме элементом постоянного тока Id\ (см. рис. 3), определяется выражением: </Н(г) = I[dl R] cR3 (3.10) где R — г — г', а г = {ж, у, г} и г' = {х', у', z'} - радиусы- векторы точки наблюдения и элемента тока (Л, соответ- ственно, с - электродинамическая постоянная, совпада- ющая со скоростью света в вакууме, которую в нашем курсе будем считать равной: с — 3 • 1О10 см/сек. Рис. 3. Проводник с током.
30 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Интегрируя выражение (3.10) по всей линии тока L, получим: Н(г) = j dH(r). (3.11) L Учтем теперь, что ток в линейном проводнике (т.е. в про - воднике, длина которого значительно превышает мак- симальный линейный размер его поперечного сечения) можно представить в виде: 1 = I S где S - сечение проводника. Так как векторы j(r') и Ш в линейном проводнике коллинеарны, то j(r')dl = j(r')tiZ. Учитывая, что dSdl — dV, выражение (3.11) перепишем в виде: V Данное соотношение позволяет получить еще одно уравнение Максвелла. Для этого воспользуемся равен- ством: [j(r')(r - г')] _ j(r') (г — Г'|3 rOtr |r_r/|’ где индекс г у оператора rot означает, что ротор берется по координатам вектора г = \x.:y.:z}. Поэтому соотношение (3.12) можно записать в виде: H(r) = -rot [ ^dV'. с J |г — r'j V
j 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 31 Возьмем ротор от правой и левой частей равенства. Ис- пользуя известное соотношение rot rot а = V div а - Д а, получим: rot H(r) - -{v div / -^~dV — Д [ ' J cl J |r-r'| J |r-r'| J V V (3.13) Рассмотрим каждое слагаемое, стоящее в правой части этого выражения, по отдельности. Поскольку операция взятия дивергенции по коорди- натам вектора г и интегрирования по координатам век- тора г' независимы, то мы можем поменять их местами. Поэтому div j —— тб?Т'1 = (3.14) J |г- г'| V Учтем теперь, что где индекс г' у оператора набла означает, что градиент берется по координатам вектора г' — {ж', у1, г'}. Тогда соотношение (3.14) можно переписать в виде: div / “ - J л" (8ЛБ) У ’ V
32 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО поля [ГЛ. 1 Легко убедиться, что (ЖХУг'т-Цг) = divr. (7^7) \ |г — г'|/ \ |г — г'|/ —“pdivr, (j(r')) • г — rz| 4 " Так как в рассматриваемом нами случае токи не зависят от времени, то заряды в проводниках совершают стаци- онарное движение, а поэтому в каждой точке проводника плотность зарядов не зависит от времени: dpjdt = 0. В силу дифференциального закона сохранения заряда (3.3) это означает, что divr»j(rz) — 0. Поэтому соотношение (3.15) принимает вид: V Преобразуем интеграл, стоящий в правой части, по те- ореме Остроградского - Гаусса в поверхностный. В ре- зультате будем иметь: J |г — r'| J lr — rl ' V Soo где Soo означает, что интегрирование ведется по беско- нечно удаленной поверхности, охватывающей все про- странство. Так как на пространственной бесконечности токи от- сутствуют, то j(r') — 0 на Soo- Следовательно, div dV - 0. v
§ 31 ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 33 Далее учтем известное соотношение математической фи- зики (1.23): Д У = ~^7Г /~ r')dV' = —47rj(r). v ' v В результате выражение (3.13) примет вид: 4тг rot Н(г) = —j(r). (3.16) с Это соотношение представляет собой сдно из уравнений Максвелла для случая стационарных токов. Можно было бы предположить, как это мы сделали в случае уравне- ния (3.8), что данное уравнение применимо для изучения не только стационарных, но и любых, в том числе и зави- сящих от времени, процессов. Однако, такое предполо- жение противоречило бы дифференциальному закону со- хранения заряда (3.3). Действительно, взяв дивергенцию от правой и левой частей уравнения (3.16), мы получили бы: „ 4тг .. О = —div j(r,t). Но, согласно дифференциальному закону сохранения за- ряда (3.3), div j(r,t) - - — ~ и dp/dt 0 в самом общем случае. Поэтому уравнение (3.16) должно быть дополнено еще одним слагаемым, ко- торое Максвелл назвал плотностью тока смещения: rot H(r,t) = —- [j(r,i) + jd;s(r,t) (3-17)
34 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Так как ток смещения в стационарном случае должен ав- томатически обращаться в нуль, то очевидно, что вектор может быть представлен в виде частной производной по времени от некоторого вектора Y : = дХ jdt. То- гда уравнение Максвелла (3.17) примет вид: 4тг г 1 rot H(r,i) = — j(r,t) + . cl at J Сравнивая это уравнение с уравнением (3.9), легко убе- диться, что, если ограничиться только частными произ- водными первого порядка, то для их совместности необ- ходимо положить X = сН, Y = Е/4тг. Поэтому, уравнение Максвелла, применимое в самом общем случае, должно иметь вид: . 1<ЭЕ 4тг.. . rot Н(г,/) = + —j(r,i). с at с Следовательно, плотность тока смещения определяется скоростью изменения вектора Е с течением времени: 1 5Е 47: at г). Закон Фарадея К 1831 г. в результате исследований М.Фарадея был установлен закон электромагнитной индукции. Согласно этому закону электродвижущая сила индукции, возника- ющая в замкнутом контуре L, оказывается связанной с изменением потока вектора Н через любую поверхность
§ 3] ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 35 S, опирающуюся на контур L. Если считать контур L не- подвижным и использовать современные обозначения, то закон Фарадея примет вид: ^(Еа) =-1^/(н<®). L S Перенесем все члены налево и применим теорему Стокса. В результате получим: / ([rotE+=°- s Так как данное выражение должно быть равным нулю при любом выборе контура L и поверхности S. то в силу основной леммы вариационного исчисления имеем: 1 дН , rot Е —---— - (3.18) с dt v 7 Это соотношение представляет собой еще одно уравнение Максвелла. Для получения последнего уравнения Максвелла вы- числим дивергенцию от обеих частей равенства (3.18). В результате получим: —div Н — 0. dt Так как в общем случае вектор Н зависит от времени, то наиболее просто обеспечить выполнение этого соотноше- ния, если положить div И = 0.
36 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Данное соотношение и является последним из уравнений Максвелла. С физической точки зрения оно эквивалентно утверждению об отсутствии в природе магнитных заря- дов. Система полученных уравнений 1 дЕ 47г rot И +-~j(r,t), (3.19) С ОТ с rot Е —-----— с dt ’ div Н = О, div Е = 4тгр(г, t) называется системой уравнений Максвелла для электро- магнитного поля в вакууме. Сила, действующая в электромагнитном поле Е — E(r, t) и Н = H(r, t) на частицу с зарядом е, имеет вид: F = еЕ + -[vH]. (3.20) Это выражение в научной литературе получило название силы Лоренца. В случае, когда рассматривается система распреде- ленных зарядов с плотностью заряда р = р(г, £)и плот- ностью тока j = j(r, t), вместо силы Лоренца необходи- мо использовать плотность силы Лоренца f, равную си- ле. действующей со стороны электромагнитного поля на единицу объема. Она имеет вид: f = pE + |[jH]. (3.21)
§ 4] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 37 Система уравнений Максвелла (3.19), дополненная выражениями для силы Лоренца (3.20) и плотности си- лы Лоренца (3.21), дает возможность решать широкий круг задач о движении и излучении заряженных частиц в вакууме. § 4. Закон сохранения энергии в электродинамике Рассмотрим систему уравнений Максвелла: , тт 1Ж 47V. rot Н = - + —j, с dt с (4.1) rot Е = — IgH С dt div H = 0, div Е — 4ттр. Умножим первое уравнение данной системы скалярно на вектор Е, а. второе уравнение - на. вектор Н. Вычитая из первого уравнения второе, получим: (Е rot И) - (Н rot Е) = 1 { (Ef) + (Hf) } + ^(Ej). (4-2) Воспользовавшись известными соотношениями div [ЕН] = (Н rot Е) - (Е rot Н), — 1 J F2 j- W21 - 2аДЕ +н !
38 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 и разделив равенство (4.2) на 4тг/с, приведем его к виду: дгЕ2 + Н2-> с гг,тт1 , ч ч }+d,v-|EH] + (Fj) = °. (4.3) Выясним теперь физический смысл каждого слагае- мого в данном выражении. Для этого выделим некото- рый фиксированный объем V, содержащий всю систему заряженных частиц, и проинтегрируем соотношение (4.3) по всему объему: д f (Е2 + Н21 Г с Г V V V Так как после интегрирования по объему величина f {Е2 + H2]dV будет зависеть только от t, то в первом V слагаемом частную производную по времени можно за- менить на полную. Кроме того, преобразуем по теореме Остроградского - Гаусса второе слагаемое. В результате получим: i I {?-5~}dv+ /“([EHMS)+ Де))Л' = о, at J < отг > J 4тг J V S V (4-4) где S - поверхность, ограничивающая объем V. Используя выражение (2.3) для плотности тока, по- следнее слагаемое этого соотношения можно преобразо- •* вать к виду: г \ /' / (Ej)oT = У^с1а / S(r - ra(f))(vaE(r))dV = v v
§ 4] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 39 N Лг = 52 Qg (v°E(r«)) = 52 { (Е(г«)v«) + с=1 а=1 с=1 где Еа - сила Лоренца (3.20), действующая на частицу с номером а со стороны поля. Таким образом, последнее слагаемое в соотношении (4.4) представляет собой мощность сил электромагнит- ного поля, действующих на систему заряженных частиц. Согласно уравнениям механики эта величина равна про- изводной по времени от суммарной кинетической энергии системы частиц: ^Екгп dt Поэтому соотношение (4.4) принимает вид: = -/£(№) («) V S Из этого выражения непосредственно следует, что величина {Ех + Н2}/8тг имеет размерность плотности энергии (энергии, содержащейся в единице объема), а ве- личина с[ЕН]/4тг - размерность плотности потока энер- гии (энергии, проходящей в единицу времени через по- верхность единичной площади). Поскольку эти величи- ны зависят только от характеристик элекромагнитно- го поля, то естественно предположить, что плотность
40 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 энергии w и вектор плотности потока энергии сг для электромагнитного поля имеют вид: Е2 + Н2 с w = —я-----' а = /НЕНЬ (4-6) О7Г 47Г Это предположение находится в полном согласии с тео- ремой Умова, в которой впервые было введено понятие плотности потока, энергии и в общей форме проведено изучение локализации и движения в пространстве любых видов энергии. Так как впоследствии аналогичный во- прос применительно к электромагнитному полю исследо- вал Пойнтинг. то вектор <т в электродинамике называют вектором Пойнтинга. Соотношения (4.3) и (4.5) представляют co6oii закон сохранения энергии электромагнитного поля и заряжен- ных частиц в дифференциальной и интегральной формах, соответственно. Вводя обозначение V для энергии электромагнитного поля, содержащейся в объеме V, мы можем переписать их в виде: ~~ = div cr + (Ej), (4.8) Ekm + Е/1 = У (<rdS). s Согласно первому из этих соотношений уменьшение плотности электромагнитного поля в какой-либо точке
§ 4] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 41 пространства с течением времени приводит в общем слу- чае к появлению в данной точке отличной от нуля дивер- генции вектора Пойнтинга и к совершению полем работы над заряженными частицами. Таким образом, данное дифференциальное соотно- шение описывает баланс энергий в каждой точке про- странства. Однако, в большинстве случаев детальное знание такого баланса оказывается ненужным. Обычно возникает необходимость исследовать движение и распре- деление энергии электромагнитного поля интегрально. Для этой цели служит второе из соотношений (4.8). Согласно этому интегральному соотношению суммарное уменьшение энергии поля и кинетической энергии ча- стиц в некотором объеме V происходит только из-за на- личия потока энергии электромагнитного поля через по- верхность, ограничивающую данный объем. Используя выражение (4.4), это соотношение можно записать и в несколько иной форме: ~~ = I («л») + У (Ej)dV. (4.9) S V Эта форма записи интегрального закона сохранения энергии означает, что изменение энергии поля в некото- ром объеме V происходит из-за наличия потока энергии через поверхность, ограничивающую объем V, и умень- шения энергии частиц (или совершения полем работы над заряженными частицами, находящимися в данном объеме). Помимо плотности энергии w электромагнитное по- ле имеет плотность импульса Р : Р=? = 4^ЕН1- <4'10>
42 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Таким образом, электромагнитное поле, как и остальные формы материи, обладает энергией и импульсом. Это означает, что оно является не каким-то удобным, но бес- предметным понятием, а представляет собой объектив- ную физическую реальность. § 5. Потенциалы электромагнитного поля Характеризуя с математической точки зрения систе- му уравнений Максвелла тт 1 5Е 4тг. rot Н = ----- + —J, с от, с (5.1) rot Е = 15Н с dt ’ div Н = О, div Е = 4тгр, необходимо прежде всего отметить, что она состоит из восьми линейных дифференциальных уравнений в част- ных производных первого порядка. При заданных р — р(г, t) и j = j(r, t) эта система содержит шесть независи- мых функций по числу компонент векторов Е и Н. От- сюда непосредственно следует, что система (5.1) либо пе- реопределена и поэтому в ряде случаев может не иметь решения, либо содержит линейно зависимые уравнения. Легко убедиться, что в действительности реализу- ется вторая из этих возможностей. Для этого возьмем дивергенцию от правой и левой частей первого из век- торных уравнений (5.1). В результате получим: 15 47г О = -—div Е -I--div j. с at с
§ 5] ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 43 Используя уравнение div Е = 4тгр системы (5.1), прихо- дим к соотношению 4тг f др .•} 1я7 diV j 1 = О, с I dt ) которое выполняется в силу дифференциального закона сохранения заряда (3.3). Поэтому первое и последнее уравнения системы (5.1), называемые первой парой урав- нений Максвелла, не являются независимыми друг от друга. Совершенно аналогично можно убедиться в зави- симости и второй пары уравнений Максвелла - второго и третьего уравнений системы (5.1). Таким образом, система уравнений Максвелла (5.1) фактически содержит лишь шесть линейно независимых уравнений относительно шести независимых функций Е и Н и при заданных начальных и граничных условиях имеет единственное решение. Однако непосредственное определение векторов Е и Н из системы (5.1) в большинстве случае чрезвычайно затруднено, поскольку каждое из уравнений Максвелла содержит несколько неизвестных компонент векторов Е и Н. Поэтому для практических целей обычно требуется сначала свести систему уравнений первого порядка (5.1) к системе уравнений высшего порядка, каждое из кото- рых содержит только одну неизвестную функцию. Это можно осуществить несколькими способами. Один из них состоит в введении вспомогательных не- известных функций, которые в научной литературе по- лучили название потенциалов электромагнитного поля. Так как этот способ чаще всего используется, то изу- чим его подробнее. Рассмотрим последнее из уравнений
44 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Максвелла (5.1): div Н — 0. Оно утверждает, что вектор напряженности магнитного поля всегда имеет соленоидальный характер. Поэтому данный вектор может быть представлен в виде ротора от некоторого вспомогательного вектора А, называемого векторным потенциалом электромагнитного поля: H(r,t) = rot A(r, f). Подставляя это соотношение во второе из векторных уравнений (5.1) и переставляя местами независимые опе- рации взятия ротора и частного дифференцирования по времени, получим: Так как это равенство должно выполняться тождествен- но, то выражение, стоящее в фигурных скобках, всегда можно представить в виде градиента от некоторой ска- лярной функции. В силу исторической традиции этот градиент обычно записывают со знаком минус: Е+ = “grad <p(r,t), с at а вспомогательную скалярную функцию ^(.r,t) в этом случае называют скалярным потенциалом. Таким обра- зом, векторы напряженностей электрического и магнит- ного полей можно выразить через потенциалы электро- магнитного поля H(r, f) — rot А, (5.2)
§ 6] КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 45 Е —grad 9? — IgA с dt и, тем самым, обеспечить тождественное выполнение второй пары уравнений Максвелла. § 6. Калибровочная инвариантность класси- ческой электродинамики Выясним теперь, насколько однозначно могут быть выбраны потенциалы электромагнитного поля. Как сле- дует из выражений (5.1), (3.20) и (3.21), скалярный <p(r,t) и векторный A(r, t) потенциалы явным образом не вхо- дят ни в уравнения Максвелла, ни в уравнения движе- ния заряженных частиц. Эти уравнения зависят от по- тенциалов 9? и А только косвенно: через напряженности электрического Е и магнитного Н полей. Поэтому ника- ким физическим экспериментом1) нельзя, например, из- мерить значения потенциалов и А в какой-либо точке пространства. Отсюда следует, что в классической электродинами- -1) В квантовой теории ситуация выглядит иначе, по- скольку ее уравнения формально содержат скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля. В ре- зультате волновая функция (точнее, ее фаза) зависит от потенциалов (эффект Ааронова-Бома). Поэтому кали- бровочные преобразования потенциалов приводят к неод- нозначному виду волновой функции. Однако, в квантовой теории ни сама волновая функция, ни ее фаза измерены быть не могут. Более того, волновая функция обычно определяется с точностью до произвольного комплексно- го множителя ехр(ш).
46 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 ке потенциалы и А сами по себе не имеют непосред- ственного физического смысла, а играют вспомогатель- ную роль. В то же время напряженности электрического и магнитного полей всегда могут быть измерены по ве- личине силы, действующей на пробный заряд, а, следо- вательно, они имеют реальный физический смысл. Таким образом, классическая электродинамика до- пускает возможность преобразований потенциалов, кото- рые не изменяют значений полей Е и Н. Такие преобра- зования в научной литературе получили наименование калибров очных или градиентных преобразований. Найдем эти преобразования. Для этого обратим вни- мание прежде всего на первое из равенств (5.2). Так как для любой функции координат и времени /(г, Я справед- ливо соотношение rot grad /(г,t) = 0, то очевидно, что вектор напряженности электромагнитного поля не изме- нится, если к векторному потенциалу А добавить гради- ент от произвольной скалярной функции У(г,<), называ- емой калибровочной функцией: А = А' + grad /(г, /). (6-1) В этом случае Н = rot А = rot А1 — Н' и вектор Н' ока- зывается независящим от выбора калибровочной функ- ции Однако такое преобразование, вообще говоря, изменяет вектор Е. Действительно, подставляя соотно- шение (6.1) во второе из равенств (5.2), получим выра- жение, в которое калибровочная функция /(г, /) входит явно: тг я 1 ^А г 1 д ) 1 дА Е = -grad — = -gradjv + - 0} - ~ (6.2)
§ 6] КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 47 Для того, чтобы обеспечить независимость вектора Е' от калибровочной функции при преобразовании (6.1), необходимо, чтобы скалярный потенциал также изменял- ся по закону. , 1 a/(r, t) v = v-------—• с dt Тогда выражение (6.2) примет вид: „ 1 19А л ' 1ЭА' Е = -grad у-----— = -grad у------— = Е . сот ст Отсюда следует, что только совместное преобразование потенциалов 1 df<r t.} А = А' + grad /(г,t), tp = ^ - -—— (6.3) обеспечивает независимость векторов Е' и Н' от выбора калибровочной функции /(г,/). В математике выражение, остающееся неизменным при определенном преобразовании переменных, входящих в это выражение, называется инвариантом. Таким обра- зом, напряженности электрического Е и магнитного Н полей являются инвариантами при проведении калибро- вочных преобразований (6.3) потенциалов <р и А, а само свойство этих напряженностей не изменяться при кали- бровке потенциалов называется калибровочной инвари- антностью. Так как входящая в выражения (6.3) скалярная функ- ция /(г, t) является совершенно произвольной функцией координат и времени, то мы можем использовать эту не- однозначность в выборе потенциалов в дальнейшем для существенного упрощения уравнений.
48 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ГЮЛЯ [ГЛ. 1 § 7. Вывод уравнений для потенциалов У становии теперь уравнения, которым должны удо- влетворять потенциалы в микроскопической электроди- намике. Для этого подставим выражения (5,2) в первое из уравнений (5.1). Используя известное соотношение rot rot А = grad div А — A А, где А - оператор Лапласа: д2 д2 д2 д^ + д^ + а^2 ’ и переставляя местами независимые операции частного дифференцирования по времени и взятия градиента, при- ведем первое уравнение (5.1) к виду: А А- 1 а2 А с2 dt2 (7.1) Совершенно аналогично, подставляя выражение (5.2) в четвертое из уравнений (5.1) и учитывая, что div grad — А <£>, получим: Л 1 а2^ . 1 а г 1 dip _ + d,vAr l'-2’ Рассматривая структуру уравнений (7.1) и (7.2). лег- ко заметить, что они легко упрощаются в том случае, когда выражения, стоящие в фигурных скобках, обраща- ются в нуль. Поэтому возникает естественный вопрос: а нельзя ли, воспользовавшись неоднозначностью (6.3) в
§7] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ 49 определении потенциалов, добиться существенного упро- щения уравнений (7.1) и (7.2)? Ответ на этот вопрос, как мы увидим далее, положительный. Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что ка- либровочное преобразование (6.3) не изменяет вида урав- нений (7.1) и (7.2). Действительно, подставляя соотно- шения (6.3) в уравнения (7.1) и (7.2), получим: 1 <Э2А' 47Г. с с2 dt2 1 д\ с2 dt2 -j + e:rad ) —-—|- div А' >. (7.3) I с dt J —-—I- div А.' >. с dt ) Таким образом, калибровочная функция J(r, t) в эти уравнения не вошла и единственное изменение по срав- нению с уравнениями (7.1) и (7.2) состоит в появлении штрихов у скалярного и векторного потенциалов. Предположим теперь, что в первоначальной кали- бровке потенциалов величина -^ + div А = F(r,t) (7.4) с dt не равна нулю, а является некоторой функцией координат и времени. Выясним, можно ли так подобрать калибро- вочную функцию f(r,t), чтобы откалиброванные потен- циалы (/ и А' уже удовлетворяли условию --тот + div А' = 0. (7.5) СОТ Для этого подставим соотношения (6.3) в выражение (7.4). В результате получим: 1 1- A I XI 1 ^2/ ”-ЧГ + div А + А / - “г с dt с2 dt2 = F(rj).
50 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 Отсюда следует, что для выполнения дополнительного условия (7.5) калибровочная функция f(r, t) должна удо- влетворять условию: 1 d2f Так как это уравнение всегда имеет решение, а иных ограничений на выбор функции /(г, t) нет, то в резуль- тате калибровочного преобразования (6.3) всегда можно добиться выполнения условия (7.5). При таком выборе потенциалов уравнения (7.3) значительно упрощаются. Опуская несущественные для дальнейшего штрихи в вы- ражении (7.5) и используя оператор Даламбера получим следующие уравнения для потенциалов: 4тг □ A(r,i) =—~j(r,t), (7.6) □ ^(r,t) = -47rp(r,t). Входящие в уравнения (7.6) потенциалы должны удовле- творять дополнительному условию 1 dtp + div А — 0. (7.7) с dt которое называется условием Лоренца. Следует отметить, что условие Лоренца (7.7) не фик- сирует однозначно калибровку потенциалов у? и А, по- зволяя проводить калибровочные преобразования (6.3) с
§7] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ 51 функцией У (г, t), удовлетворяющей уравнению □ f — 0. Эти преобразования иногда используются для того, что- бы наложить на потенциалы более жесткое условие: div А = 0. Это дополнительное условие в научной литературе полу- чило название условия Кулона (кулоновская калибровка). Уравнения для потенциалов (7.1) и (7.2) в калибров- ке Кулона принимают вид: Д р> = —4лр, . 4тг. □ А =-------j + grad с (7-8) 1 др> с dt ‘ Калибровка Кулона наиболее часто используется в кван- товой электродинамике, а также при изучении процессов с участием электромагнитных волн вне источника излу- чения (т.е. в тех областях пространства, где р(г, /) = 0, j(r, t) = 0). В последнем случае в формулах (7.8) не- обходимо положить </5 = 0. Это позволяет существенно уменьшить число неизвестных в уравнениях для потен- циалов.
ГЛАВА II СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ § 8. Уравнение для потенциала электростатического ноля и его решение Электростатическая часть уравнений Максвелла (3.19) имеет вид: rot Е(г) = 0, (8-1) .» div Е(г) = 4тгр(г). Так как плотность заряда р(г), входящая в эту систе- му, не должна зависеть от времени, то все заряды, со- здающие электростатическое поле, обязаны находиться в покое. Изучим характер распределения электростати- ческих полей в пространстве. Из первого уравнения системы (8.1) следует, что в вакууме электростатическое поле всегда потенциально. Вводя скалярный потенциал в соответствии с определе- нием (5.2), мы можем записать: Е = —grad (8-2) Подставим теперь это соотношение во второе уравнение системы (8.1). В результате мы получим уравнение, свя- зывающее потенциал электростатического поля с плот- ностью заряда: А ^(г) = —4тгр(г). (8-3)
§ 8] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 53 Это уравнение в научной литературе получило назва- ние уравнения Пуассона. С математической точки зре- ния оно представляет собой уравнение в частных про- изводных второго порядка эллиптического типа. Как из- вестно из математической физики, для обеспечения един- ственности решения таких уравнений необходимо зада- вать тем или иным способом граничные условия. В ми- кроскопической электродинамике, предполагающей, что во всем пространстве имеются только источники поля и вакуум и отсутствуют какие-либо среды, наиболее часто используются так называемые естественные граничные условия, определяющие поведение потенциала (иногда и его производных) на пространственной бесконечности. В частности, если источники поля сосредоточены в области пространства островного типа, то естественное гранич- ное условие принимает вид: lim </?(г) = 0. (8.4) С физической точки зрения это означает, что коль скоро источниками поля являются заряды, а они сосредоточе- ны в ограниченной области пространства, то нет ника- ких оснований для роста абсолютной величины потенци- ала по мере удаления от этой области. Кроме того, при решении задач электродинамики мы также часто будем явно использовать условие ограниченности напряженно- стей во всех точках пространства, в которых плотности заряда и тока конечны. Предположим, что рассматриваемая нами система зарядов полностью сосредоточена в области простран- ства островного типа та р — р(г) является заданной функ- цией координат. Используя метод функции Грина, най- дем решение уравнения Пуассона (8.3), удовлетворяющее
54 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II естественному граничному условию (8.4). Для этого по- тенциал, создаваемый системой зарядов, представим в виде: <£>(r) = / dV'G(r, r')p(r'), (8-5) где dV — dx dy dz и интегрирование производится по объему, занимаемому системой зарядов. Функция Грина G(r,r'). входящая в это соотноше- ние, должна удовлетворять уравнению: ArG(r, г') — — 4тг£(г — г'). (8-6) Действительно, подействуем оператором Лапласа на обе части равенства (8.5). Так как операции интегрирования по координатам г' и дифференцирования по координатам точки наблюдения г независимы, то получим: A <p(r) = dV'ArG(r, r')p(r'). Если теперь потребовать, чзобы функция Грина удовле- творяла уравнению (8.6), то это соотношение примет вид уравнения Пуассона: А 9?(г)- - —4тг j dV'8(r — rz)p(r/) = —4ттр(г). Для решения уравнения (8.6) и нахождения, тем са- мым, функции Грина воспользуемся методом интеграла
§ 8] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 55 Фурье. Представим функцию Грина в виде интеграла Фурье с некоторым неизвестным ядром G'(k, г'') : оо G(r,r') = 7—-т / d3fce^kr-'G(k,r'), (8.7) (2тг)3 j ' где d3k — dkidkidk^. Используя известное представление <К(г - г') = -1—- [ d3kei(k(r~r'^ V ? (27Г)3 J — ОО (8.8) для дельта-функции Дирака, разложим в интеграл Фурье и правую часть уравнения (8.6). Подставим теперь соот- ношения (8.7) и (8.8) в уравнение (8.6). Учитывая, что действие оператора Лапласа Д на интеграл Фурье (8.7) эквивалентно умножению подынтегрального выражения на —к2, получим: к2С(к,г') + 47ге-г(кг'*} =0. В силу единственности разложения функции в интеграл Фурье выражение, стоящее в фигурных скобках, должно быть равно нулю. Отсюда следует, что G'(k,r') = -г(кг') k2
56 стационарные электромагнитные поля [ГЛ. II Таким образом, соотношение (8.7) для функции Грина принимает вид: (8.9) Следует отметить, что подынтегральное выражение это- го соотношения сингулярно при к —> 0 Однако, из-за наличия в правой части соотношения (8.9) трехкратного интегрирования интеграл сходится и, притом, абсолют- но. Проинтегрируем выражение (8.9). Для этого при каждых фиксированных векторах г и г' введем в фазо- вом пространстве, определяемом вектором к. сфериче- скую систему координат с полярной осью, направленной вдоль вектора г — г' : к]~ к sin 0 cos Ф, к% = к sin 0 sin Ф, к$ = к cos 0. В этом случае элемент объема d?k — к2 sin Qdkd®d$, скалярное произведение (k(r — г')) = fcjr — r'| cos 0 и вы- ражение (8.9) принимает вид: оо тг 2тг G(r,r') = Jdk I Sin0d0 у ^e^|r-r'icOSe 0 0 о
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 57 § 8] Интегрирование по углу Ф даст множитель 2тг, а при ин- тегрировании по 0 удобно сделать подстановку cos 0 = £. Тогда sin 0<70 = —В результате получим: ОО 0(г>г ) = ~1----77 / ------7------• тг|г — г'| J к о И, наконец, последний интеграл при |г — г'| / 0 равен тг/2. Поэтому М Sgn|r-r'| G(r,r где sgn(T’) - знаковая функция: sgn(i’) = 1 при х > 0 и sgn(a:) = — 1 при х < 0. Подставляя это соотношение в равенство (8.5), полу- чим следующее выражение для потенциала электроста- тического поля: , ч f dV'p(r') V Анализируя интегральное выражение (8.10) с физи- ческой точки зрения, следует отметить (см. рис. 4), что вклад некоторого текущего элемента объема dV, центр которого помещен в точку с радиусом-вектором г', в величину потенциала, измеряемого в точке с радиусом- вектором г, определяется законом Кулона: он пропорци- онален величине заряда dq — p(r')dV, содержащегося в этом элементе объема dV, и обратно пропорционален ве- личине расстояния R = |г — г'| между центром объема
58 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II и точкой наблюдения. Полное значение потенциала в си- лу линейности электродинамики, очевидно, должно пред- ставлять сумму вкладов всех частей объема, занятого ис- точником. Интегрирование в выражении (8.10) еще раз подтверждает это свойство электродинамики. Рис. 4. Интегрирование по объему источника. Легко убедиться, что потенциал (8.10) удовлетворя- ет естественному граничному условию (8.4) и, тем са- мым, обеспечивает единственность решения задач элек- тростатики для безграничного пространства с источни- ками островного типа. Следует однако напомнить, что для некоторых задач к решению (8.10) неоднородно- го уравнения (8.3) - уравнения Пуассона - необходимо добавить общее решение однородного уравнения Д 92 = 0 - уравнения Лапласа.
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 59 § 9. Разложение потенциала электростатического поля по мультиполям Интегральное соотношение типа (8.10) между плот- ностью заряда и создаваемым потенциалом в ряде случа- ев оказывается неудобным для проведения практических расчетов. Поэтому для детального анализа поля, созда- ваемого заданным распределением зарядов, довольно ча- сто приходится привлекать те или иные методы прибли- женного вычисления потенциала. Всякий метод приближенного вычисления, как из- вестно, обычно состоит из выявления безразмерных ма- лых параметров, которые встречаются в задаче, и после- дующем разложении всех выражений с заданной степе- нью точности по этим малым параметрам. В рассматриваемом нами случае островного распре- деления покоящихся зарядов одним из малых параметров может быть отношение максимального линейного разме- ра L области, занятой источником, к расстоянию от ис- точника до точки наблюдения. Разложение потенциала (9-ц V по степеням этого отношения в научной литературе по- лучило название мультипольного разложения. Поместим начало координат прямоугольной декар- товой системы отсчета, в какую-либо точку источника (см. рис. 4). Обозначим в этой системе отсчета радиус- вектор точки наблюдения через г, а радиус-вектор цен- тра некоторого текущего элемента объема интегрирова- ния dV через г'. Вполне очевидно, что расстояние |г'| от
60 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II начала отсчета до центра этого элемента в рассматри- ваемой нами системе координат никогда не превысит ве- личины L - максимального линейного размера области, занятой источником: |r'| < L. Найдем приближенное выражение для потенциала (9.1) на достаточно больших (по сравнению с L) расстоя- ниях от источника: |r| >> L. Для этого нам прежде всего необходимо разложить величину l/|r — r'j, стоящую под знаком интеграла (9.1), в бесконечный ряд по степеням малого параметра г /г < L/г << 1. Как известно, любая функция /(R), бесконечно дифференцируемая в некото- рой окрестности точки R = г, может быть представлена в этой окрестности в виде степенного ряда: /(R) = /(r)+i((R-r)v)/(r) + l ((R-r)v)2/(r)+.... Воспользовавшись этим разложением и полагая в нем R = г — г', /(R) = 1/|г — г'|, получим: 1 |г-г'| C-ir 1 ^-/-(r'grad)’1-. n! г (8-2) Легко убедиться, что этот ряд представляет собой имен- но разложение по степеням малого параметра г /г. Дей- ствительно, так как операция дифференцирования функ- ции 1/г по порядку величины эквивалентна умножению дифференцируемой функции на 1/г, то каждое действие оператора
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 61 по порядку величины соответствует умножению диффе- ренцируемого выражения на г /г << 1. Поэтому фак- тически по сравнению с предыдущим членом этого ряда каждый последующий член ряда (9.2) содержит на еди- ницу большее число малых сомножителей г /г. Подставим теперь разложение (9.2) в выражение для потенциала (9.1). В результате оно примет вид: ОО <т’(г) = (р’п(г)> (9-3) п=0 где ^п(г) = 1) - / dV'p(r')(r'grad)n-. (9.4) 72. J Т V Выражения (9.3) и (9.4) представляют собой мультиполь- ное разложение скалярного потенциала для системы за- рядов островного типа. Рассмотрим несколько первых слагаемых этого бес- конечного ряда и выясним их физический смысл. При п = 0 из выражения (9.4) имеем: У’о(г) = f dV'p(r')- = —, J г г v где Q - полный заряд системы: Q = j dV'p(r'\ (9.5) v Для системы, состоящей из N точечных частиц, заряды которых qa и радиусы-векторы га заданы, можно запи- сать N p(r') = qa^r' ~ г“)- (9-6) а=1
62 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ НОЛЯ [ГЛ. II Поэтому выражение (9.5) для полного заряда системы примет вид: Q — j Ча а=1 Таким образом, в нулевом приближении потенциал си- стемы зарядов островного типа на больших расстояниях от нее совпадает с кулоновским потенциалом точечной частицы, имеющей заряд, равный полному заряду Q си- стемы. Учитывая, что (г grad)- = следующий член ряда. (9.3) можно записать в виде: Так как вектор г не зависит от переменных интегриро- вания, то его можно вынести из-под знака интеграла. В результате выражение для <^i(r) примет вид: где введено обозначение d = / dV'p(r') (9-8)
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 63 для вектора электрического дипольного момента систе- мы зарядов. В научной литературе потенциал /’i(r) получил на- звание потенциала электрического диполя. В случае системы, состоящей из N точечных частиц, вектор электрического дипольного момента d в силу вы- ражений (9.6) и (9.8) принимает вид: А d = (9.9) а=1 И, наконец, подействовав оператором (r'V) на функ- цию 1/г два раза, будем иметь: , , jx2 1 ' f л\(Г<Г) Г> 1 З(г'г)2 (г grad) - = -(г grad)^- = ----- + Подставляя это соотношение в выражение (9.4), для по- тенциала ip-2 (г) получим: «Ю = =f dV'p(r’) . (9.10) J L 1 1-1 V Потенциал ^2 (г) и все последующие потенциалы ря- да (9.3) принимают наиболее компактный вид, если ис- пользовать индексную форму записи векторов г и г', при- нятую в тензорном анализе. При такой форме записи компоненты радиуса-вектора некоторой точки г предста- вляют в виде ха = {.т],.г2,.г’3}-, неявно предполагая, что индекс, обозначенный любой греческой буквой (а, /?, р и т.п.), может принимать три значения: 1, 2, 3. В декарто- вых координатах обычно полагают а:1 = х, х2 — у, х3 =
64 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. И Совершенно аналогично и любой трехмерный вектор А можно записать в виде Аа = {А1, А2, А3}, причем в де- картовых координатах его компоненты будут иметь сле- дующий смысл: А1 = Аж, А2 = Aj;, А3 = Аг. Необходимо отметить, что наряду с вектором А°, ин- декс у которого расположен вверху (контравариантный индекс), мы можем использовать и вектор Ао, индекс у которого расположен внизу (ковариантный индекс). В об- щем случае компоненты этих двух векторов не совпада- ют: А1 Ах, А2 Аг, А3 A3. Однако, в применении к нашей задаче такая степень общности является излиш- ней, поэтому вплоть до § 31, где будут введены более строгие представления о тензорах, условимся не делать различия между контравариантными и ковариантными индексами у всех тензорных величин: А" = Ао, = х$. Для того, чтобы это соглашение не приводило к каким- либо ошибкам, компоненты всех трехмерных тензоров не- обходимо записывать только в декартовых координатах. Индексная форма записи и принятое соглашение по- зволяют представить скалярное произведение двух век- торов А и В несколькими эквивалентными способами: зззз (АВ) = 52 А“Ва = у А°в° = У А-ва = У А°ва- а—1 се—1 а—1 а=1 Для упрощения записи подобных выражений, в тензорном анализе обычно широко используется правило суммиро- вания Эйнштейна: по индексам, обозначенным одной и той же буквой и стоящими один вверху, а другой внизу, предполагается суммирование по всей совокупности при- нимаемых данными индексами значений. В соответствии с этим правилом скалярное произведение векторов А и В
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 65 может быть записано без использования знака суммиро- вания: (АВ) = АаВа = АаВа. Следующим по сложности геометрическим объектом, ко- торый нам потребуется, является тензор второго ранга - тензор, имеющий два индекса AqA Примерами таких тензоров служат, например, тензор инерции тел в меха- нике абсолютно твердого тела, тензор скоростей дефор- маций в механике сплошных сред и ряд других тензоров. Так как индексы о и /3 у тензора второго ранга Аар мо- гут принимать независимо друг от друга значения 1, 2, 3, то в общем случае данный тензор имеет девять не- зависимых компонент и его можно представить в виде матрицы, строки которой нумеруются первым индексом, а столбцы - вторым индексом: А11 А12 А13 Аар = А21 А22 А23 А31 А32 А33 (9-11) Важным частным случаем тензора второго ранга явля- ется символ Кронекера 8ар, который имеет вид: 8а/з = 8а-в = 1, если а — /3, О, если а =4 (3. (9-12) Тензор Кронекера позволяет представить скалярное произведение двух векторов А и В еще и в виде: (АВ) - 6а/3АаВр = 8^АаВр.
66 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II Кроме того, с помощью тензора 6ар обычно определяется и след любого тензора. Аа0 второго ранга: з з = f,^Aae = Sa„A^ = £ £ SallA^. а=1 0=1 Из соотношений (9.11) и (9.12) следует, что след тензо- ра AQ 7 в декартовых координатах является суммой его диагональных компонент: = Аа^ 8ар — А} + А| + A3. Используя тензорную форму записи, представим вхо- дящее в выражение (9.10) скалярное произведение векто- ров г и г' в виде: (г'г) = хаха, г2 = 8af)xax0, (г'г)2 = х^хаХрх0. Подставляя эти соотношения в выражение (9.10), полу- чим: га 0 г Ы*) = j dV'p(r') [Зт^ - г'Чар . v Вводя обозначение Dap = У dV р(х')(3х'ах1в - г,28пв] (9.13) V для тензора электрического квадрупольного момента си- стемы, выражение (9.10) мы можем записать в достаточ- но компактном виде: й(г) = (9-И)
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 67 Потенциал <,02 О’) в научной литературе получил название потенциала электрического квадруполя. В случае системы, состоящей из N точечных частиц, тензор электрического квадрупольного момента Dap в силу выражений (9.6) и (9.13) принимает вид: N Da!) = - <W(20)}- а — 1 Из выражений (9.7) и (9.14) следует, что на боль- ших расстояниях от системы зарядов (г —> ос) потенциал электрического квадруполя уДг) убывает быстрее, чем потенциал электрического диполя ^i(r), а тот, в свою очередь, убывает быстрее потенциала кулоновского поля ^о(г) : /1 1 7 1 <Мг)~;, Ыг)~^, Для сравнения потенциалов ^o(r), 971(г) и ‘/’г (г) по по- рядку величины учтем, что |(rd)|~r|d|, \xax^Dap\r2max Da/3. Оценки величин |d| и max Dag можно получить из вы- ражений (9.8) и (9.13): dV'p(r')(r'| < L\ J' dV'pl')\ ~ \Q\L, V V max Da/s = max f dV'p(r')[3x'ax'^ — r'"6ap] ~ lQi-Ь2- v
68 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II Тогда при Q 0 и d О Таким образом, определяющий вклад в потенциал (9.3) системы зарядов в общем случае дает кулоновский потенциал <ро(г) — Q/r- Физический смысл этого утвер- ждения достаточно очевиден: на больших расстояниях от системы детали распределения зарядов оказываются мало существенными и в начальном приближении всю систему можно рассматривать как точечный заряд Q = J dV' р(г'), помещенный в начато координат. V Напряженность электрического поля Е = —V^o(r), обусловленная этой частью потенциала, с ростом г убы- вает как 1/г2 : .з ‘ Это хорошо известное выражение для поля кулоновского центра. § 10. Электрический дипольный момент и его поле Если полный заряд системы равен нулю, то веду- щую роль в разложении (9.3) начинает играть потенциал !pi(r) — (rd)/г3. Он совпадает с потенциалом точечного диполя, дипольный момент которого равен дипольному моменту рассматриваемой системы зарядов.
§ 10] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 69 Используя известные соотношения 1 пт grad— =---—, grad(rd) = d, найдем напряженность поля электрического диполя: Е1 = 3(r<t)v-r; <1 Таким образом, поле электрического диполя не является центральным, так как [Ег] 0. На больших расстояниях от диполя оно убывает как 1/г3. Представление о сило- вых линиях поля электрического диполя дает рис. 5. Изучим теперь свойства вектора электрического ди- польного момента системы d. Как следует из выражения (9.8), этот вектор зависит не только от распределения за- рядов в системе (что обеспечивается наличием плотности заряда р(г') под знаком интеграла (9.8)), но и от выбо- ра начала отсчета декартовой системы координат (из-за присутствия вектора г' в выражении (9.8)). Поэтому возникает вполне естественный вопрос: в какой мере вектор d характеризует симметрию в распре- делении зарядов внутри рассматриваемой системы, а в какой мере отражает, может быть, не совсем удачный вы- бор начала отсчета декартовой системы координат. Или, говоря иными словами, если мы в какой-либо системе ко- ординат, измеряя поле Ei(r) определим величину вектора d, то можно ли на основании этих данных судить о на- личии какой-либо симметрии в распределении зарядов в системе. Или же эта величина настолько зависит от вы- бора координат, что не позволяет делать таких выводов?
70 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II Для ответа на этот вопрос вычислим электрический дипольный момент одной и той же системы точечных за- рядов в двух декартовых системах координат, начала от- счета которых не совпадают, а координатные оси парал- лельны, и сравним полученные результаты. Рис. 5. Силовые линии поля электрического диполя. Обозначая радиус-вектор заряда с номером а (а = 1,2..АГ) в первой системе координат через га, плотность рассматриваемой совокупности точечных зарядов мы мо- жем записать в виде: N р(г) = ^qaS(r - Га). а—1 Подставляя это выражение в соотношение (9.8), опреде-
§ 10] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 71 лим вектор d в первой системе координат: N d = 9ага. а=1 (Ю.2) Предположим теперь, что начало отсчета второй систе- мы координат помещено в точку, радиус-вектор которой Ro- Обозначая в этой системе координат радиус-вектор заряда с номером и через га, будем иметь: N р(г) = 52 t?a^r - г«)- а=1 Поэтому во второй системе координат d' = У*дага'. а=1 (10.3) Выразим теперь радиус-вектор г'„ через га: r'a = ra -Ro Подставляя это соотношение в равенство (10.3), получим: N d' = d - Ro qa = d - R0Q, a=l где Q - полный заряд системы. Отсюда непосредственно следует, что в общем слу- чае, когда полный заряд системы Q отличен от нуля, электрический дипольный момент существенно зависит
72 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II от того, в какой точке помещено начало отсчета. В част- ности, если начало отсчета декартовой системы коорди- нат при Q f 0 поместить в точку с радиусом-вектором Но — d/Qi то электрический дипольный момент обра- тится в нуль независимо от характера распределения за- ряда в системе. Система координат, в которой вектор d равен нулю, в научной литературе получила название системы центра заряда. Таким образом, при Q / 0 вектор d не может слу- жить характеристикой, отражающей наличие или отсут- ствие какой-либо симметрии в распределении зарядов в рассматриваемой системе. Если же полный заряд систе- мы равен нулю, то ее электрический дипольный момент становится независимым от выбора начала отсчета, в ре- зультате чего по величине и направлению вектора d мож- но делать некоторые предположения о характере распре- деления зарядов в системе. В частности, учитывая, что для двух разноименных точечных зарядов ±д, располо- женных на расстоянии I друг от друга, d = с;1, мы можем любую нейтральную систему зарядов представить себе как состоящую из двух подсистем: положительной и от- рицательной, центры зарядов которых смещены на вели- чину 1 пропорциональную d : I — d/q. Следует однако отметить, что знание вектора d не позволяет однозначно судить о расределении плотности заряда в системе. § 11. Электрический квадрупольный момент и его поле Перейдем теперь к изучению поля электрического квадруполя (9.14). Простейшим примером электрическо- го квадруполя является система, состоящая из четырех
§ 11] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КВАДРУПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 73 равных по абсолютной величине зарядов, расположенных в вершинах квадрата, причем знаки зарядов должны че- редоваться. Следует отметить, что эквивалентным пред- ставлением квадруполя может служить также и систе- ма из двух равных по величине и противоположных по направлению электрических диполей, смещенных на не- большое расстояние. Поле электрического квадруполя имеет ярко выра- женный нецентральный характер и его удобно предста- влять, используя тензорную форму записи: 9^2 SxaDp^xPx11 Da/3xP = (ПЛ) Из этого выражения следует, что при г —> оо поле убыва- ет как 1/г4. Поэтому учет поля электрического квадру- поля обычно производится в том случае, когда электри- ческий заряд и дипольный момент системы равны нулю. Следует, однако, отметить, что потенциал ^(г) и соответствующее ему поле Ео являются предметом ис- следования даже тогда, когда полный заряд системы не равен нулю и основная роль в создании поля принадле- жит кулоновской части потенциала. Это связано с тем, что измерение поля Ео позволяет установить величину компонент тензора электрического квадрупольного мо- мента Da'3, которые характеризуют степень несферично- сти в распределении заряда в изучаемой системе. Имен- но таким путем была измерена величина электрического квадрупольного поля у атомных ядер и на этой основе сделан вывод об отсутствии сферической симметрии в распределении заряда у некоторых из них. Выясним теперь, сколько независимых компонент
74 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II может иметь тензор электрического квадрупольного мо- мента в случае произвольной системы зарядов. Как известно, трехмерный тензор второго ранга в общем случае содержит З2 = 9 независимых компонент. Тензор Da&. хотя и является тензором второго ранга, в силу присущих ему свойств имеет значительно меньшее число компонент. Во-первых, из определения этого тен- зора (9.13 ) следует, что он симметричен по индексам а и /3: при перестановке этих индексов он не изменяется, т.е. Da/3 = J P(r)[3x'ax'p - 8a0r!2]dV = = / P(r)[3a’^'4 - 8ai3rl2]dV = £Да. Это означает, что матрица -DJ2 D22 Du D12 D2i D22 D31 d32 D]3 D23 D33 элементами которой являются компоненты этого тензо- ра, совпадает с транспонированной матрицей: D = DT. Следовательно компоненты тензора Dap должны удовле- творять трем соотношениям: D12 — D2i, D\3 — Р31, D‘23 = D32- Таким образом, симметрия тензора £>Ci|g уменьшает число его независимых компонент до шести. Но это еще не все. Из определения (9.13) легко убедиться, что дан- ный тензор является бесследовым: его след равен нулю. Действительно, учитывая, что = г12, 6^6^ = 3,
§ 11] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КВАДРУПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 75 получим: В“ = Dap8a0 = 0. Расписывая это выражение покомпонентно, имеем: £>п + -D?2 ~Ь Дзз — Д Данное соотношение еще на единицу уменьшает число независимых компонент. И, наконец, производя преобразование поворота де- картовой системы координат, мы можем обратить в нуль еще три (по числу независимых углов поворота) компо- ненты этого тензора. Таким образом, тензор электриче- ского квадрупольного момента имеет всего две независи- мые компоненты. Проще всего в этом убедиться следующим образом. Рассмотрим некоторую квадратичную форму, коэффици- ентами которой являются компоненты тензора Dap-. I = Daijxax0. Как и всякую квадратичную форму, ее всегда можно пу- тем преобразований поворота привести к главным осям, в результате чего все перекрестные слагаемые исчезнут и она примет вид: / — £)цж2 4- Д22У" + -Озз^2- Поскольку след тензора Daij сохраняет свое значение при преобразованиях поворота, то D33 — — Д] — D-22-
76 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. П Таким образом, после перехода к системе координат, оси которой ориентированы вдоль главных осей, отличными от нуля компонентами тензора электрического квадру- польного момента в общем случае могут быть только компоненты Рп, Аг и Аз = -(А1 + Аг)- § 12. Энергия электростатического поля Найдем теперь энергию электростатического поля, создаваемого некоторой системой покоящихся зарядов. В соответствии с общей формулой (4.7) плотность энергии электрического поля в вакууме определяется выражени- ем: w — Е2/(8тг). Поэтому энергию поля, содержащуюся в некотором объеме V, можно найти, интегрируя плот- ность w по данному объему V: £ = ~[dVE2. (12.1) 8 -7Г J V В типичных задачах классической электродинамики в ка- честве объема V иногда выступают конечные области пространства, но чаще же интересуются энергией поля, заключенной во всем пространстве. В последнем случае использование выражения (12.1) может оказаться не со- всем удобным по целому ряду причин. Поэтому наряду с выражением (12.1) в электростатике используется и дру- гое выражение для определения энергии поля. Для его получения учтем, что Е — —grad tp. Подставляя это со- отношение в выражение (12.1), найдем: £ = I dV(E grad у>). v
§ 12] ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 77 Преобразуем теперь подынтегральное выражение. Ис- пользуя известное соотношение div (<^Е) — div Е + (Е grad<^>), получим: £ = - — [ dVdiv (<^Е) + ~ [ dV^div Е. (12.2). ОТТ J О7Г J V V Первый из этих интегралов по теореме Остроградского - Гаусса представим в виде поверхностного интеграла, а во втором учтем, что в силу уравнений Максвелла div Е = 4-тгр. В результате выражение (12.2) примет вид: £ = “ S /(dSE)v + 2 / ₽<ГИГЖ <12-3) S V где S - поверхность, ограничивающая объем интегриро- вания V. Эта формула для вычисления энергии электроста- тического поля полностью эквивалентна формуле (12.1) и может применяться как для конечных, так и для беско- нечных областей пространства, причем в последнем слу- чае она существенно упрощается. Действительно, если по условиям задачи электрические заряды сосредоточе- ны только в области островного типа и на бесконечности отсутствуют, то скалярный потенциал <^>(г) и напряжен- ность электрического поля Е(г) на достаточном удалении от системы (г —> оо) убывают не медленнее, чем v(r)~l Е~1
78 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II Элемент же поверхности интегрирования |cZS| ~ r2d£l ра- стет только квадратично с ростом расстояния от систе- мы. Поэтому при достаточно больших значениях г по- верхностный интеграл в выражении (12.3) убывает не — 1 медление, чем г : У (dSE)y> < У dS|E|^ ~ | У dfi, s s h в результате чего в пределе при г —> оо он обращается в нуль (j> dQ = 4тг). Таким образом, в случае бесконечной S2 области интегрирования V, выражение для энергии элек- тростатического поля, создаваемого островной системой зарядов, принимает вид: £ = 2 / v (12.4) § 13. Энергия и сила взаимодействия двух удаленных систем зарядов Рассмотрим две системы заряженных частиц, зани- мающих объемы V i и 1'2 и находящиеся на расстоянии, превышающем их линейные размеры. В соответствии с постановкой данной задачи полную плотность заряда р(г) можно разбить на две части Р(Г) = + РгМ, («О где плотность pi(r) отлична от нуля в объеме Ц, а плот- ность р2 - в объеме 1'2.
§ 13] ЭНЕРГИЯ И СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 79 В силу линейности электродинамики потенциал (/’(г), создаваемый этими системами, также может быть пред- ставлен в виде суммы потенциалов, создаваемых каждой из систем ^(r) = ^i(r) + ^2(г), (13.2) Подставляя соотношения (13.1) и (13.2) в выражение (12.4), будем иметь: £ = У Pi (r)^i (r)dV +1 У dV [pi (r)y>2 (г) + p2(r)^i (г)] + V V +| У Л>2(г)'^2(г). (13.3) Проанализируем каждое из слагаемых полученного выражения. Первое из них, очевидно, представляет собой энергию собственного поля первой системы. Эта величи- на не зависит от того, имеются ли еще другие частицы и где они расположены, и в этом смысле является постоян- ной аддитивной добавкой в выражении (13.3). Совершен- но аналогично можно убедиться, что и последнее слагае- мое в правой части выражения (13.3) представляет собой энергию собственного электростатического поля второй системы, обладающей теми же свойствами, что и энергия первой системы. Оставшиеся два слагаемых выражения
80 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II (13.3) содержат как характеристики первой системы, так и характеристики второй системы: £12 - g У pi(r)^2(r)dV , £21 = | / p2(r)^i(r)JV. (13.4) V V Используя выражения для потенциалов (13.2) и подста- вляя Их в соотношения (13.4), легко убедиться, что они равны £2i = | [dV I = 2 J J |r-r'| 2 J J jr - r'| V V и существенно зависят от величины расстояния между двумя системами. В результате энергию взаимодействия двух удален- ных друг от друга систем зарядов можно записать в виде: £int = / р1(г)<^2 (г) dV. Если первая система состоит из точечных зарядов, то N Р1(г) = дяд(г — га). В результате получим: а—1 N £int — ^аг’гС^’а)- а=1 Данное выражение существенно упрощается, если поле ^2(1*0) медленно изменяется на расстояниях порядка раз- мера первой системы. Для этого радиус-вектор каждой
ЭНЕРГИЯ И СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 81 § 13] частицы первой системы представим в виде га = г + г'а, где г - радиус-вектор центра масс первой системы за- рядов, г'а - вектор, проведенный из центра масс первой системы к а-ой частице. В результате получим: N Sint = 22 <W2(r + га). (13.5) а=1 Разложим теперь потенциал 9?2(г+га) в ряд Тейлора в окрестности точки с радиусом-вектором г: ¥>г(г + г'о) = р2(г) + «grad )^2(г) + ... (13.6) Так как величина вектора г'; по определению не превы- шает размеров первой системы, а внешнее поле в преде- лах системы изменяется медленно, то каждое слагаемое в данном разложении будет значительно меньшим, чем предыдущее, в результате чего сходимость этого ряда будет обеспечена. Подставляя разложение (13.6) в выра- жение (13.5) и вводя обозначения N N Qi = 52 di = 52 й —1 й—1 для полного заряда Qi первой системы и ее электриче- ского дипольного момента d], получим окончательно: Sint = Qi^(r) - (E2(r)di) + ... (13.7) Соотношение (13.7) позволяет достаточно легко по- лучить выражения для силы и момента силы, действую- щих на систему заряженных частиц со стороны внешнего
82 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II поля в статическом состоянии. Для этого в соответствии с алгоритмом аналитической механики мы должны по- строить функцию Лагранжа L рассматриваемой системы и продифференцировать ее по обобщенным координатам ai. Тогда обобщенная сила Ft, соответствующая обоб- щенной координате а,, будет иметь вид: dai' Как будет показано в § 46, функция Лагранжа (46.8) для системы зарядов, покоящейся во внешнем электростати- ческом поле, может быть выражена через энергию взаи- модействия: L — £int COTtst где const - постоянная величина, не зависящая от обоб- щенных координат. Поэтому выражение для обобщенной силы, действу- ющей на такую систему, принимает вид: d8int dai (13.8) § 14. Уравнение для векторного потенциала статического магнитного поля и его решение В случае магнитостатики уравнения Максвелла (3.19) принимают вид: 4тг. rot Н = —j, с div Н = 0. (14-1)
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА 83 § И] Изучим эти уравнения подробнее. Возьмем дивергенцию от первого уравнения системы (14.1). Учитывая, что для любого вектора а справедливо соотношение div rot а = О, получим: divj = 0. (14.2) Таким образом, в рассматриваемом случае как вектор j, так и вектор Н, являются соленоидальными векторами. Используя второе уравнение системы (14.1), напряжен- ность магнитного поля можно выразить через векторный потенциал: Н = rot А. (14-3) В этом случае второе из уравнений (14.1) будет удовле- творяться тождественно. Подставляя соотношение (14.3) в оставшееся уравнение системы (14.3) и учитывая, что rot rot А = grad div А — Д А, получим: 4тг, ДА — grad div А =-------j. (14-4) с Для упрощения вида этого уравнения воспользуем- ся калибровочным условием Лоренца (7.7). Поскольку в случае стационарных полей скалярный потенциал не за- висит от времени, оно принимает вид: div А = 0. Учи- тывая это соотношение, из выражения (14.4) получим: 4тг ДА =------j. (14.5) с В декартовых координатах решение этого уравнения для системы островного типа можно записать по аналогии с
84 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II решением циала: 9? = f dV p(r')/|r — г'| для скалярного потен- (14-6) Легко убедиться, что выражение (14.6) удовлетворя- ет условию Лоренца: div А = Учитывая, что div А = dV' и- V -----г divr> j(r ). Поскольку divr. j(r') = 0, то второй интеграл в этом вы- ражении равен нулю. Преобразуя первый интеграл в по- верхностный по теореме Остроградского - Гаусса и учи- тывая, что для островных систем токи на бесконечно уда- ленной поверхности Sc<1 отсутствуют, получим: div А = — / (dS'r^-b с J \ |г — г'| = 0. s.
§ 15] ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ МАГНИТНОГО диполя 85 Таким образом, выражение (14.6), удовлетворяя уравне- нию (14.1) и условию Лоренца, дает возможность по из- вестному распределению плотности тока j — j(r) найти создаваемый этим током векторный потенциал. § 15. Векторный потенциал и поле магнитного диполя Для определения напряженности магнитного поля, создаваемого системой токов островного типа, подставим соотношение (14.6) в выражение (14.3): = lrot I С J |r-r'| Так как операции интегрирования по координатам век- тора г' и дифференцирования по координатам вектора г независимы, то их можно поменять местами. Учитывая, что rotr в результате получим Это равенство представляет собой обобщение закона Био - Савара - Лапласа на случай произвольной островной системы стационарных токов. Следует отметить, что в большинстве практически важных случаев провести точное интегрирование в вы- ражениях (14.6) и (15.1) зачастую не удается, поэтому
§ 15] ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ МАГНИТНОГО диполя 87 левой части также равен нулю. Поэтому для системы островного типа соленоидальный вектор независимо от выбора функции /(г) должен удовлетворять условию: У (j(r)grad)/(r)dV =0. (15.2) Наибольший интерес для наших целей это соотноше- ние представляет лишь при двух частных выборах вида функции /(г). В первом из них положим последовательно /(г) — Учитывая, что (j(r) grad)r = j(r), из выражения (15.2) будем иметь: I j(r)dV = У j(r')dV' = 0. (15.3) В другом случае, выбирая /(г) = г(гг'), где г - некото- рый вектор, не зависящий от г', и используя соотношение (j(r)grad)(rr/)r = (r'j(r))r + (rr')j(r), получим: У dV{(r'j(r))r + (r)(rr')j} = 0. Заменяя в этом выражении г на г', г' на г и dV на dV', будем иметь окончательно: У dV'{(rj(r'))r' + (rr')j(r')} = 0. (15.4) v
§ 15] ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ МАГНИТНОГО ДИПОЛЯ 87 левой части также равен нулю. Поэтому для системы островного типа соленоидальный вектор независимо от выбора функции /(г) должен удовлетворять условию: У G(r)grad)/(r)dV =0. (15.2) Наибольший интерес для наших целей это соотноше- ние представляет лишь при двух частных выборах вида функции /(г). В первом из них положим последовательно /(г) — ж, у, я. Учитывая, что (j(r)grad)r = j(r), из выражения (15.2) будем иметь: f j(r)dH = J j(rz)dVz = 0. (15.3) В другом случае, выбирая /(г) — г(гг'), где г - некото- рый вектор, не зависящий от г', и используя соотношение (j(r)grad)(rr')r = (rzj(r))r + (rr')j(r), получим: У dV{(r'j(r))r + (rr')j(r)} = 0. V Заменяя в этом выражении г на г', г' на г и dV на dV', будем иметь окончательно: У dV'{(rj(r'))r' + (rrz)j(r')} = 0. (15.4) v
88 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II Рассмотрим некоторую систему стационарных токов j = j(r) островного типа. Поместив начало отсчета декар- товой системы координат в какую-либо точку источни- ка, обозначим радиус-вектор точки наблюдения через г, а радиус-вектор центра текущего элемента объема инте- грирования - через г'. Полагая, что |г'| <£и L/r < 1, воспользуемся разложением (9.2). Подставляя его в вы- ражение (14.6), будем иметь: ОО А(г) = У? Ап(г), (15.5) п=0 где An(r) = [ ^V'j(r')(r'grad)n-. (15.6) СП. J Т Выражение (15.5) и представляет собой мультипольное разложение векторного потенциала в стационарном слу- чае. Рассмотрим несколько первых слагаемых этого бес- конечного ряда. При п = 0 из выражения (15.6) имеем: А0(г) = - [ dV'j(r')i = - [ dV'j(r'). С J г ст J В силу соленоидальности вектора j, интеграл (15.3), как мы видели, равен нулю, поэтому и потенциал Ао(г) = 0. Таким образом, в магнитостатике, в отличие от элек- тростатики, у векторного потенциала отсутствует моно- польная часть: А ~ 1/г. Учитывая, что ( ' ДА1 (ГГ') (г grad)-= -—5-,
§ 15] ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ МАГНИТНОГО диполя 89 следующий член ряда (15.5) можно записать в виде: Проводя тождественные преобразования, это соотноше- ние запишем в виде + (rr')j(r') + (rj(r'))r}. Легко убедиться, что первые два члена в подынтеграль- ном выражении представляют собой двойное векторное произведение [г [j(r') г']], а интеграл от оставшихся двух членов в силу условия (15.4) равен нулю. Поэтому, вводя обозначение т = ~ [ dV [r'j(r')] (15.8) 2с J для вектора магнитного дипольного момента системы, выражение (15.7) приведем к виду: . , fmrl А,(г) = ГЛ. (15.9) Это выражение в научной литературе получило название потенциала магнитного диполя. Из выражения (15.9) следует, что на больших расстояниях от системы токов векторный потенциал убывает не медленнее, чем А ~ 1/г2. Исследуем поле магнитного диполя. Учитывая, что вектор m является постоянным вектором, из общих фор- мул векторного анализа получим: г г г Н — rot [m— ] = — (mgrad)—- + mdiv —. (15.10)
90 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II Воспользовавшись известным из электростатики соотно- шением ,. -<гх т <?Г л с/ , div и, = div —- — —47Г§с(г), легко установить, что г div — — —4тг£(г). Но так как наше разложение применимо при выполнении условия L/r < 1, то последний член в выражении (15.10) будет всегда равен нулю. В результате выражение для поля магнитного диполя примет вид: 3r(mr) — г2т (15.11) Отсюда следует, что поле магнитного диполя на боль- ших расстояниях убывает: Н ~ 1/г3. Сравнивая выражения (15.11) и (10.1), видим, что они имеют аналогичный вид. Следовательно, уравнение магнитных силовых линий и их график для поля маг- нитного диполя будет совпадать с уравнением силовых линий и графиком для поля электрического диполя (см. рис. 5). § 16. Энергия постоянного магнитного поля Предположим, что в некоторой области простран- ства островного типа находится система стационарных токов. Вычислим энергию постоянного магнитного по- ля, содержащегося в некотором объеме V. Для этого нам, как и в случае электростатики, необходимо проинтегри- ровать выражение для плотности энергии w = Н2/(8тг)
§ 16] ЭНЕРГИЯ ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ 91 ’Л. и ТИО- по объему: Н2Ж (16.1) НИИ .10) цля г ак как в большинстве случаев в качестве объема инте- грирования выбирается все пространство, то прямое ис- пользование этой формулы оказывается не совсем удоб- ным. В этих случаях может оказаться полезным дру- гое выражение для энергии магнитного поля, физически эквивалентное выражению (16.1). Для его получения вы- разим вектор Н через векторный потенциал: Н = rot А. Тогда, используя известное соотношение И) НЬ- ЕТО те аг- ых м. (Hrot А) = div [А Н] + (Arot И) и учитывая, что в стационарном случае , „ 4тг . rot Н = —j, из выражения (16.1) будем иметь: £ = /rfy{^:div I4 + ^0 А)}- Преобразовав интеграл от первого слагаемого в поверх- ностный, получим: н- IX о- и, 'и- г = “ / (|A H]dS) + 1 I (A j) Л'. S V (16.2) Таким образом, для вычисления энергии магнитного по- ля нет необходимости интегрировать по всему объему V.
92 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II Для этого согласно выражению (16.2) достаточно вычи- слить поток вектора [А Н]/8тг через поверхность S, огра- ничивающую объем V, и прибавить к нему интеграл от функции (A j)/2c по области, занимаемой токами. Наи- более же простой вид выражение (16.2) принимает в том случае, когда область V совпадает со всем простран- ством. Поскольку при г ч ос векторы А, Нис/S имеют асимптотику |а|~1 |н|~4’ то очевидно, что при интегрировании по бесконечно уда- ленной поверхности первый интеграл в выражении (16.2) обращается в нуль. Тогда £ = < [а а)л< 2с J (16.3) Следует еще раз отметить, что хотя интеграл в этом выражении формально берется по всему пространству, фактически же, из-за того, что j О только в отдельных областях пространства островного типа, интегрирование производится по области, занимаемой токами. Как будет показано в § 46, функция Лагранжа в слу- чае магнитостатики (46.9) для системы стационарных токов, помещенной в постоянное внешнее магнитное по- ле, совпадает с ее энергией: L — Етад. Поэтому обоб- щенная сила Fi — dL/'doi. соответствующая обобщенной координате в магнитостатике имеет вид: dEint (16.4) отличаясь знаком от выражения (13.8), справедливого в электростатике.
Глава III ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ § 17. Свойства плоских электромагнитных волн Наиболее просто уравнения Максвелла могут быть решены в том случае, когда заряды и токи в рассма- триваемой области пространства отсутствуют и решение ищется в виде плоских волн. Рассмотрим систему уравнений Максвелла (3.19) без источников: (17.1) div Е =0, div Н =0. Будем искать решение этой системы уравнений в виде плоской электромагнитной волны: Е —Ео ехр{—г [wt — (к г)]}, Н =Но ехр{—г [wi — (к г)]}. (17.2) В полной аналогии с механикой векторы Ео и Но назо- вем амплитудами электрического и магнитного полей, ш - круговой (или циклической) частотой, к - волновым вектором, а саму величину оЯ — (к г) - фазой волны. В
94 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III соответствии с этими определениями мы можем ввести понятие длины волны Л, как расстояния между двумя по- верхностями постоянной фазы, колебания в которых в ка- ждый момент времени отличаются по фазе на.2тг, а также периода колебаний Т - как промежутка времени, в тече- ние которого фаза волны изменяется на 2тг. В силу этих определений имеем, как обычно: кХ = 2тг, шТ =- 2тг Следует заметить, что векторы напряженностей магнит- ного и электрического полей, как и всякие другие фи- зически измеряемые величины, всегда должны быть ве- щественными. Поэтому компоненты электромагнитной волны, строго говоря, необходимо было бы искать в яв- но вещественном виде, взяв, например, только реальную часть от выражений (17.2). Однако, во всех линейных (по векторам Е и Н) соотношениях мы можем исполь- зовать комплексное представление волны (17.2), имея в виду, что после осуществления всех операций в качестве результата будет рассматриваться лишь действительная часть полученных выражений. Найдем условия, которым должны удовлетворять все входящие в соотношения (17.2) величины в силу уравне- ний Максвелла. Подставляя соотношения (17.2) в урав- нение (17.1) и учитывая, что в рассматриваемом случае rot Н = г[к Н], —— = — гшН, div Н — г(к Н), получим после сокращения на несущественный множи-
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ волн 95 тель г : (17.3) [k Н] = - -Е, с [к Е] =-Н, с (к Е) =0, (к И) =0. Из последних двух уравнений (17.3) следует, что у плос- кой электромагнитной волны векторы Е и Н перпенци кулярны к волновому вектору к. Так как волновой век- тор определяет направление распространения волны, то плоская электромагнитная волна оказывается попереч- ной волной. Выясним теперь, как связан волновой вектор с ча- стотой волны. Для этого выразим из первого соотноше- ния (17.3) вектор Е и подставим его во второе. После несложных преобразований получим: 2 .2 И = 0. Совершенно аналогично, выражая из второго соотноше- ния (17.3) вектор Н и подставляя его в первое, имеем: 2 . к2------ )Е = 0. Так как у электромагнитной волны векторы Е и Н не могут быть тождественно равными нулю, то для выпол- нения двух последних равенств необходимо, чтобы к2 = ^. С-
96 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III Отсюда легко найти закон дисперсии плоских электро- магнитных волн в вакууме — зависимость частоты от волнового вектора: о? = ск. Используя известные соотношения легко установить, что А = сТ. Вводя единичный вектор п, направленный вдоль вектора к, из выражения (17.4) получим: к = — п. (17.5) В этом случае первые два. соотношения (17.3) примут вид: Е = -[п Н], Н = [п Е]. (17.6) Таким образом, векторы и, Е, Н образуют правую трой- ку взаимно ортогональных векторов. Взяв модуль от со- отношений (17.6), легко убедиться, что у плоской элек- тромагнитной волны, кроме того, модули векторов Е и Н должны быть равными: |Е| = |Н|. (17.7) До сих пор мы рассматривали монохроматическую элек- тромагнитную волну, т.е. волну, у которой векторы Е и Н являлись гармоническими функциями времени с опре- деленной и строго постоянной частотой ш. Однако, на практике всякая электромагнитная волна, как правило, имеет не одну определенную частоту, а содержит целый
§ 181 ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 97 спектр частот. Такую волну можно описать, представив ее в виде волнового пакета - совокупности монохромати- ческих волн, амплитуды которых зависят от частоты: СО Е=У Eo(w)e“^-(k "Z (17.8) Н -- J Н0(щ)е“г^-(к г)^щ. —оо Выражения (17.8) в научной литературе получили наиме- нование спектрального разложения полей Е и Н. Так как при каждом фиксированном значении и? в силу (17.5) и (17.6) должны выполняться соотношения к = ^п, Е0(щ) = —[п Н0(щ)], H0(w) = [и Е0(щ)], то и волна (17.8) будет удовлетворять аналогичным со- отношениям: к = |n, Е = -[и Н], Н = [и Е]. Таким образом, в случае плоской немонохроматической волны напряженности электрического и магнитного по- лей равны по модулю и векторы n, Е, Н составляют пра- вую тройку взаимно ортогональных векторов. § 18. Запаздывающие потенциалы Теперь нам необходимо найти решения уравнений (7.6) для потенциалов в общем случае, когда плотности заряда, и тока зависят от времени: □ (г, t) - -4яр(г, 0, (18.1)
98 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. ш 4тг □ A(r,t) =----j(r,t). с Как известно из математической физики, общее ре- шение неоднородного уравнения состоит из частного ре- шения неоднородного уравнения и общего решения од- нородного уравнения. Если такое решение будет найде- но, то используя начальные и граничные условия, мож- но установить значения констант интегрирования, вхо- дящих в общее решение однородного уравнения, и обес- печить, тем самым, единственность решения задачи. Предположим, что рассматриваемая нами система зарядов и токов является островной, т.е. плотности заря- да p(r, t) и тока] = j(r, t) отличны от нуля только лишь в ограниченной области пространства, максимальный ли- нейный размер которой конечен. Определим электромаг- нитное поле, создаваемое этой островной системой. Так как уравнения (18.1) для потенциалов <р и А име- ют одинаковый вид, то построим сначала решение для скалярного потенциала <р, а соответствующее решение для векторного потенциала А запишем по аналогии. В случае, когда плотность заряда не зависит от вре- мени р = р(г), решение уравнения (8.3), как мы устано- вили в § 8, имеет вид (8.10): dV'piy) Однако, если предположить, что и в общем случае, когда плотность заряда зависит от времени р = p(r,t), реше- ние первого уравнения системы (18.1) имеет аналогии-
ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 99 § 18] ный вид ^,0=дадо, 7 J |г- Г'| V (18.2) то несложно убедиться, что уравнение (18.1) не выполня- ется, так как в общем случае б?2р(г', 2)/Д£2 0. Действи- тельно, подставляя выражение (18.2) в первое уравнение системы (18.1), получим: . . . . 1 [ dV 52р(г'Д) ММ) = -47гр(гД)--у / -<ММ). V Поэтому частное решение неоднородного уравнения (18.1) в общем случае, когда р = p(r.t), будем искать в виде , х f dV'p(v\S(t,v^ , х V где S(t, г, г') - некоторая неизвестная функция времени f, радиуса-вектора г точки наблюдения и радиуса-вектора г' элемента объема интегрирования dV. Отметим прежде всего, что функция S(t, г, г') долж- на включать радиусы-векторы г и г' только в виде их разности г — г'. Действительно, рассмотрим некоторую систему зарядов из двух систем координат, начала отсче- та которых расположены в двух различных точках трех- мерного пространства. Тогда при произвольной зависи- мости функции S(t. г, г') от г и г' выражение в правой части соотношения (18.3) будет различным в этих двух системах координат и потенциал i/>(r, i), создаваемый од- ной и той же системой зарядов в одной и той же точке
100 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III наблюдения г, будет различен при его вычислении в раз- личных системах координат. И лишь в том случае, когда радиусы-векторы г и г' входят в функцию S(t,r,r') в ви- де разности г — г', потенциал ф(г, f) не будет зависеть от того, в какой точке пространства помещено начало от- счета системы координат, а будет определяться только взаимным расположением системы зарядов и точки на- блюдения. Учтем также, что функция S(t,R) является скаля- ром. Так как в инерциальных системах отсчета в трех- мерном пространстве нет выделенных направлений, то функция S должна зависеть не просто от разности век- торов г — г', а от модуля этой разности: S = £(£, |г — г'|). Таким образом, частное решение неоднородного уравне- ния (18.1) следует искать в виде: z ч Г dV'ptr'.Sft.R')) y(r,t) = j —СШ...' , (18.4) V где для удобства дальнейших вычислений введено обо- значение R — (г — г'|. Подставим выражение (18.4) в первое уравнение си- стемы (18.1). Учитывая, что Д = div grad ф, найдем сначала grachp : p(r',S(/,2?))grad i It it О j Utt ) V Взяв дивергенцию от этого выражения и добавив вторые производные по времени, получим: □ V = I {p(r',S(t,R^ l + ^^gradBgrad 1) + V (18.5)
§ 18] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 101 1 d2S i a2si 2 1 8S А К + лакл (?Rdt2 w-Mr)2» R дБ2 1 д2р цдБ +r as2 Как Используя вспомогательные формулы grad R — 1 (г к = ~|7 AjR = div grad R = A — = —4тг$(г — г'), 2 2 выражение (18.5) приведем к ваду: □ </> = j | — 4тгЛ(г — r')p(r', S(t, -R)) + v idprd2s ia2s-i 1а2Рг/0Ку2 i r^syn +BasLaR2 c2 dt2 j R dS2 tvdRJ c2\dt ) j Интегрируя первое слагаемое в этом выражении и под- ставляя полученное соотношение в левую часть первого уравнения системы (18.1), будем иметь: fdV'[dprd2S 1 02S1 а2рг/55\2 1 /asy-n J R \dsldR2 C2 dt2 J + ds2 [как/ j JJ (18.6) —4?rp(r, S(t, 0)) = — 4?rp(r, f). Проанализируем это равенство. Отметим прежде всего, что для совпадения внеинтегральных членов необходимо потребовать выполнения условия
102 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Тогда соотношение (18.6) примет вид: dv (др ra2s R t dS L&R2 1 02 Si c2 5^1 d2p r/c?S\2 + dS2 1лак7 c2\dt ) JJ = 0. Так как это равенство должно выполняться для всех си- стем зарядов и при произвольном соотношении между ве- личиной производных др/dS и д2 р/dS2, то в силу основ- ной леммы вариационного исчисления выражения в ква- дратных скобках должны тождественно обращаться в нуль: д2 S 1 д2 S dR2 с2 dt2 (18.8) 0S\2 or) c2 \dt ) = 0. Из курса математической физики известно, что первое уравнение системы (18.8) представляет собой волновое уравнение, решение которого имеет вид: S(t,7?) - /1 (t - -) + /2 (t + --Y (18.9) \ с J \ с / где /1 и /2 - произвольные функции своих аргументов: функция /1 зависит от t — R/с. а функция /2 ~ от t + R/c. Функция /i(i — R/c) при t > 0 описывает сфериче- скую волну, распространяющуюся из точки г' в напра- влении пространственной бесконечности (расходящаяся сферическая волна), а функция f2(f + Я/с) при t < 0
§18] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 103 сферическую волну, распространяющуюся из простран- ственной бесконечности в точку г' (сходящаяся сфериче- ская волна). Подставляя выражение (18.9) во второе уравнение системы (18.8), получим: где штрих обозначает производную по аргументу функ- ции. Из этого уравнения следует, что возможны два слу- чая: /{(i - R/c) ± 0. /'(f + Л/с) = 0 и /{(t- Л/с) = 0, /'(г + Л/с)^0. Рассмотрим первый из них. В этом случае функция /i(t — R/c) может быть произвольной функцией своего аргумента, а функция /2(£ + Л/с) обязана быть равной некоторой константе Cq. Тогда функция S(t, R) примет вид: S(t,R) = f1(t-R) + C0. (18.10) Из условия (18.7) и выражения (18.10) следует, что /i(t) = t — Со при Л = 0. Поэтому при Л 0 R}-t R Г W -----) — t-------------Со- с с В результате из выражения (18.10) имеем: S^t ,R ) = t- (18.11) В этом случае частное решение неоднородного уравнения (18.1) в силу соотношений (18.3) и (18.11) принимает вид: ^г’*) = [ (18-12) J Iх х I х ° '
104 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ш Совершенно аналогично можно убедиться, что в слу- чае — R/c) = 0, fz(t + R/с) 0 приходим к выраже- нию: Г dV' / lr-r'lx <p(r.t) = / .---др(г'Л+ -------П. (18.13) J |r — r'| X с / Таким образом, исходному уравнению (18.1) удовлетво- ряют два различных частных решения (18.12) и (18.13). Исследуем эти решения. Отметим прежде всего, что при "выключении” зависимости р от времени оба выражения (18.12) и (18.13) переходят в выражение (8.10) для потен- циала статического поля. Далее, из выражения (18.12) следует, что скалярный потенциал в точке наблюдения с радиусом-вектором г и в момент времени t определяется распределением за- ряда., взятым в предшествующий момент времени т = t — |г — г'|/с < t. Поэтому выражение (18.12) в научной ли- тературе получило название запаздывающего потенциа- ла, а величина |г—г'|/с, равная времени распространения электромагнитного сигнала от элемента объема dV (см. рис. 4) до точки наблюдения, называется временем за- паздывания. Это решение удовлетворяет принципу при- чинности, поскольку здесь причина (наличие нестацио- нарных зарядов в какой-либо точке) всегда предшествует следствию появлению электромагнитного излучения в других точках. Рассмотрим теперь выражение (18.13). Из этого вы- ражения следует, что скалярный потенциал в точке на- блюдения с радиусом вектором г и в момент времени t определяется распределением заряда, взятым в последу- ющий момент времени т — £ + |г — г'\/с > t. Поэтому вы- ражение (18.13) в научной литературе получило название
§ 18] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 105 опережающего потенциала, а величина |г — г'|/с, равная времени распространения электромагнитного сигнала от элемента объема dV до точки наблюдения, называется временем опережения. Это решение не удовлетворяет принципу причинности, поскольку здесь следствие (по- явление электромагнитного излучения) опережает при- чину (наличие нестационарных зарядов в какой-либо точ- ке). Опережающие потенциалы иногда используются в квантовой теории поля. В нашем курсе классической (неквантовой) электро- динамики мы будем считать, что принцип причинности является фундаментальным физическим принципом, по- этому в задачах об излучении электромагнитных волн нестационарными системами зарядов и токов в качестве частных решений неоднородных уравнений (18.1) будем использовать только запаздывающие потенциалы: Прямым вычислением несложно убедиться, что запазды- вающие потенциалы (18.14) удовлетворяют условию Ло- ренца (7.7). Запаздывающие потенциалы находят широкое при- менение при решении задач на определение электромаг- нитного излучения, создаваемого островными системами с заданным распределением плотностей заряда р — р(г, /) и тока j = j(r, t) . В заключение этого параграфа обсудим важный во- прос об уравнении фронта электромагнитной волны в электродинамике Максвелла.
106 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III Рассмотрим некоторую покоящуюся систему заря- дов. Поле такой системы является статическим во всем пространстве. Предположим теперь, что в некоторый момент времени t = to заряды пришли в неинерциальное движение и система начала излучать электромагнитные волны. Так как в электродинамике Максвелла, как мы видели, излучение распространяется с конечной скоро- стью, то все пространство будет разделено на две обла- сти некоторой зависящей от времени поверхностью, та- кой что впереди нее все компоненты поля излучения бу- дут равны нулю, а позади нее могут быть отличны от нуля. Поэтому на самой поверхности компоненты поля будут терпеть разрыв. Эту поверхность в научной ли- тературе и называют фронтом волны, а дифференциаль- ное уравнение, которому она удовлетворяет, - уравнени- ем фронта волны. Как показывает более детальный анализ, уравне- нием фронта волны является второе уравнение системы (18.8), которое в научной литературе иногда называют уравнением эйконала или даже уравнением Гамильтона - Якоби. В простейшем случае излучения зарядами, содержа- щимися в элементе объема dV и находящимися в точке г', фронтом волны, как мы видели, является сфера ради- ус которой линейно возрастает с течением времени: / 7?\ (г- г'| Sit----)=f-i--------- = t0. 18.15) X с / с В общем же случае фронт волны в результате сложения вкладов от различных частей излучающей системы мо- жет иметь более сложную форму.
§ 19] ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИЕНАРА - ВИХЕРТА 107 Таким образом, фронт волны представляет собой движущуюся в пространстве поверхность, координаты которой связаны со временем некоторой зависимостью S(t,R), удовлетворяющей уравнениям (18.8). § 19. Потенциалы Лиенара - Вихерта Одним из немногих примеров точных решений урав- нений Максвелла, получаемых с помощью запаздываю- щих потенциалов, являются потенциалы произвольно движущейся заряженной частицы. В научной литерату- ре это решение получило название потенциалов Лиенара - Вихерта. Предположим, что точечная частица, имеющая за- ряд е, движется по некоторому заданному закону г = Го(^). Скорость этой частицы v0(t) = dr^/dt, естественно, будем предполагать меньшей скорости света в вакууме: |v0| < с. Определим потенциалы и напряженности электро- магнитного поля, создаваемого данной частицей. Для этого воспользуемся выражениями (18.14), сделав в них замены: p(r',t ОО I dt'p(rz —оо t' ОО ЦА = / f —oo
108 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ш В результате будем иметь: (19.1) Используя трехмерную дельта-функцию Дирака, плотно- сти заряда и тока рассматриваемой частицы можно за- писать в виде: p(r,t) = e<S(r-r0(f)), j(r,t) = pv0(i) = ev0(t)5(r - r0(t)). (19.2) Подставляя выражения (19.2) в соотношения (19.1), по- лучим: —ею — - t' оо A(r,t) = | У dt' I .—2^(г' -r0(f'))<$(*-*' —оо V С Учитывая, что dV — dx'dy'dz', проинтегрируем эти вы- ражения по объему источника. Используя свойства (1.22) трехмерной дельта-функции Дирака, в результате будем
ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИЕНАРА - ВИХЕРТА 109 § 19] иметь: _____dt'_____ |г “ г0(£')1 |г — r0(tz)! с со а<г’(>=17 -г< - — ос (19.3) Аргумент дельта-функции, входящей в эти выражения, в общем случае произвольного закона движения частицы представляет собой некоторую довольно сложную функ- цию от переменной интегрирования t' : F(f) = t - t' - Исследуем свойства этой функции, считая г и t фиксиро- ванными величинами. Для этого сначала продифферен- цируем функцию F(f') по f. Вводя обозначение R(f') = г — получим: dF (vo(*')R(/')) -— = —1 + А------------L dt' cR(t') Так как |vo(t/)l < <4 а |R(^)/-^(^)I ~ то легко убедить- ся, что данная производная всегда отрицательна. Это означает, что функция F(t') при фиксированны?-: значе- ниях /иг монотонно убывает с ростом t'. Поэтому в ин- тервале —ос, < t' < ос, функция F(t'} имеет только один корень t1 = т и он является однократным. Следовательно,
по ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III в рассматриваемом нами случае можно воспользоваться известным свойством дельта-функции Дирака: {(F(r)) = = — 1гг((' = г)! [cR(T) - (v0(r)R(r))] Подставляя это соотношение в равенства (19.3) и инте- грируя их по t', получим окончательные выражения для потенциалов Лиенара - Вихерта: = -—---------г----------х-т, сЛ(т) - Qr,(t)v0(t)J I А(М) = ------ = ДИ cR(r) ~ ^R(t)v0(t)J | (19.4) где R(r) = г- г0(т). Корень уравнения F(r) — 0. входящий в выражения (19.4), удобно представить в виде, определяющем его как неявную функцию г и t : т(г,г) = (_|щд«1. с (19.5) Таким образом, значения потенциалов электромагнитно- го поля в точке наблюдения с радиусом-вектором г и в момент времени t в силу выражений (19.4) определяют- ся не положением заряда ги(£) в тот же самый момент времени, а положением заряда Го(г) в некоторый пред- шествующий момент времени г, отличающийся от мо- мента наблюдения t на величину времени запаздывания |г —Го(т)]/с необходимого для прохождения возмущением электромагнитного поля расстояния J?(r) = |г — го(т)|.
§20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 111 § 20. Физические условия применимости мультипольного разложения для излучающих систем Рассмотрим некоторую систему заряженных частиц, движение которых происходит в области пространства островного типа, причем зависимости плотностей заряда и тока от координат и времени будем считать известны- ми: р = p(r,i), j = j(r,t). Потенциалы электромагнит- ного поля, создаваемого данной системой, как мы уже знаем, могут быть записаны в виде запаздывающих по- тенциалов: (20.1) Согласно этим выражениям для нахождения скаляр- ного и векторного потенциалов электромагнитного по- ля в некоторой точке пространства с радиусом-вектором г в любой момент врехиени t необходимо проинтегриро- вать по объему, занимаемому источником, произведение характерной весовой функции |г — г'}-1 на плотность за- ряда и, соответственно, на плотность тока, взятые в раз- личные для каждой точки источника предшествующие моменты времени t! — t — |r — г'|/с. Однако, точное инте- грирование в подавляющем большинстве случаев произ- вести как раз и не удается. Поэтому в электродинамике широкое распростране- ние получили различные методы приближенного опре-
112 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ill деления электромагнитных полей, создаваемых система- ми заряженных частиц. С одним из них, получившим наибольшее распространение при исследовании излуче- ния островных систем, мы сейчас и познакомимся. Как известно, практически любой метод приближен- ного вычисления основан на разложении точных выра- жений в ряды по одному или нескольким малым пара- метрам, которые встречаются в задаче. Таким образом, первым этапом на этом пути является отыскание малых параметров, наличие или отсутствие которых целиком предопределяется постановкой задачи. Очевидно, что в рассматриваемом нами случае, как и в электростатике, одним из малых параметров может служить отношение максимального линейного размера источника L к расстоянию г от источника до точки на- блюдения. Это означает, что мы будем интересоваться электромагнитным полем только на далеких расстояни- ях от источника, значительно превышающих его макси- мальный линейный размер. Используя это обстоятельство, произведем разложе- ние выражений г' — |г — г'|/с и |г — входящих в со- отношения (20.1). Помещая начало отсчета системы ко- ординат в какую-либо точку источника и учитывая, что в этой системе координат г' г г выражения для т' и |г — г'1 1 мы можем записать в виде
113 § 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ абсолютно сходящихся бесконечных рядов: (20.2) Однако, в отличие от электростатики, для исследования поля излучения в данных разложениях достаточно огра- ничиться всего одним-двумя членами. Для определения требуемой точности разложения величин т' и |r — r'l"1 нам необходимо конкретизировать понятие излучения. Электромагнитным излучением мы будем называть ту часть электромагнитного поля, которая способна пе- реносить энергию от источника поля до пространствен- ной бесконечности. Для количественного описания про- цесса переноса любого вида энергии, как известно, слу- жит вектор потока энергии. В электродинамике этот век- тор называется вектором Пойнтинга а и он представляет собой простейшую комбинацию векторов Е и Н : or — с[ЕН]/(4т). Используя вектор or, можно определить ин- тенсивность электромагнитного излучения сП через эле- мент площади dS : di = (<tcZS) = (tr n)dS, где n - вектор внешней нормали к элементу площади dS. С физической точки зрения di представляет собой ко- личество энергии электромагнитного поля, протекающей в единицу времени через площадь dS. При проведении практических расчетов интенсивность электромагнитно- го излучения di удобно относить не к элементу площади
114 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ill dS. а к элементу телесного угла c/Q, определяемого как элемент сферической поверхности единичного радиуса и образованного дифференциалами сферических углов d() и d<fi (см. рис. 2). Как было показано в § 3, dCl = sin 6d6 dip, <\dS = r2dfi. При таком выборе элемента поверхности вектор ее внеш- ней нормали совпадает с единичным вектором, напра- вленным из источника в точку наблюдения п — г/г, по- этому интенсивность электромагнитного излучения, от- несенная к элементу телесного угла, принимает вид: dfi = r = 4^(rtEHD- (20-3) Из этого выражения следует, что перенос энергии электромагнитным полем от источника островного ти- па до бесконечно удаленных от него точек пространства lim di/dQ =4 0^ возможен только в том случае, когда вектор О’ при г -> оо убывает не быстрее чем 1/г2. По- этому при исследовании электромагнитного излучения от островных систем заряженных частиц все поправки к вектору о-, убывающие быстрее чем 1/г2 при г —> со, могут быть отброшены. Заметим теперь, что потенциалы (20.1), а, следова- тельно, и напряженности полей Е и Н, создаваемые си- стемами островного типа, на больших расстояниях убы- вают не медленнее чем 1/г. Так как вектор ст пропор- ционален произведению векторов Е и Н, то отсюда непо- средственно следует, что для изучения электромагнитно- го излучения системами островного типа в выражениях для потенциалов и А должны быть оставлены только те члены, которые при г -> ос убывают как 1/г. Это озна- чает, что с достаточной для наших целей точностью в
§ 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 115 соотношениях (20.1) вместо второго из разложений (20.2) можно положить: 1 1 По этой же причине в разложении для т' нам следует ограничиться лишь двумя членами: (20.4) Действительно, записывая первое из разложений (20.2) в виде легко убедиться, что отброшенные члены в соотношении (20.4) имеют следующий порядок малости: г'2 _ г' — tprop-l СТ Г где tprop — г'/с ~ L/с - собственное запаздывание в си- стеме - время, необходимое электромагнитному возмуще- нию для распространения в пределах излучающей систе- мы. Так как г'/г 1 и при г —> оо это отношение стре- мится к нулю, то очевидно, что величиной r'tproplr мож- но пренебречь по сравнению с tprop. Поэтому с достаточ- ной для дальнейшего точностью полное время запазды- вания т' можно представить в виде (20.4). Следует от- метить, что каждое слагаемое в этой сумме имеет свой определенный физический смысл: первое слагаемое пред- ставляет время рапространения электромагнитного сиг- нала из центра источника до точки наблюдения (в силу
116 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ш чего величина tayst — г/с может быть названа временем запаздывания всей системы), а второе - описывает соб- ственное запаздывание в системе. Подставляя полученные разложения в выражения (20.1) и учитывая, что г не зависит от переменных инте- грирования , получим: , 1 f . г (гг') <p(r, f) = - / dV р { г ,t-----Ь ---- г J \ с ст А(г,0 - — [ dV'j (r',t - - + cr. \ с сг (20.5) Следует отметить, что в отличие от электростатики пер- вый из полученных интегралов, вообще говоря, не совпа- дает с полным зарядом системы, а второй - не равен ну- лю. Основной причиной этого является зависимость р и j от времени, в результате чего плотность заряда и плот- ность тока в разных точках источника должны быть взя- ты в различные моменты времени, зависящие от времени запаздывания в системе (г г')/(ст) ~ г'/с. Легко понять, что данное обстоятельство существен- но осложняет интегрирование в выражениях (20.5). По- этому возникает необходимость в устранении зависимо- сти величин р и j от времени запаздывания в системе. Очевидно, что проще всего это сделать, разложив функ- ции р и j в ряды Тейлора в окрестности точки т — t—r/c : (, г (гг')\ / , ч г Л - - + ----- = р(г ,т)+ с cr J (20.6) Напомним, что dV — dx'dy'dz1 и г' = {ж', у1, z1, } .
§20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 117 1 5р(г',т) 1! дт 1 д2р(г',т) 2! дт2 . / z Г J г ,t-- + \ С = j(r', г) + • 1 Qj(rZ, 7-) 1! дт Для того, чтобы данные разложения имели смысл и их можно было почленно интегрировать, необходимо нало- жить на функции р и j ряд ограничений. С математиче- ской точки зрения эти ограничения эквивалентны требо- ванию сходимости рядов (20.6) во всех точках источника и во все моменты времени. Это требование заведомо может быть обеспечено, ес- ли члены этих рядов будут достаточно быстро убывать, т.е. ряды (20.6) будут представлять собой разложения по степеням некоторого малого безразмерного параметра. Так как величина (г г')/(ст) ~ г'/с, степени которой фи- гурируют в разложениях (20.6), является размерной ве- личиной, то она не может служить таким параметром. Для выяснения вида этого параметра возьмем отноше- ние некоторого члена ряда к предыдущему члену: 1 дпР 7(г г')У п! дтп I cr J 1 дп~1 р ( (г г') \ п (п—1)! дтп~1 у cr J дпр дтп дп~1р Пдтп~1 Полагая, что дпр/дтп ~ шпр, где iv - некоторая характер- ная частота излучения системы, отсюда будем иметь: fn fn-1 <v (г г') ivr' a>L L п cr с с А
118 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III Таким образом, безразмерным параметром в разло- жениях (20.6) служит отношение максимального линей- ного размера системы L к длине волны, излучаемой этой системой. Поэтому для обеспечения сходимости рядов (20.6) достаточно потребовать выполнения условия: L А. (20.7) С физической точки зрения это условие означает, что раз- ложения (20.6) будут иметь смысл, если за время, равное периоду волны Т, распределение зарядов и токов в систе- ме изменится несущественно и смещение зарядов за. это время будет значительно меньше длины волны А. Обо- значая характерную скорость движения зарядов в систе- ме через V, смещение зарядов за время Т можно пред- ставить в виде I = vT. Так как /\ = сТ, то из условия Z/A << 1 следует, что характерные скорости зарядов в системе должны быть значительно меньше скорости све- та: V с. (20.8) Полагая, что условия (20.7) и (20.8) выполнены, под- ставим разложения (20.6) в выражения (20.5). В резуль- тате получим: A(r,t) = l Л(г»л" + ~~ f dv'j(r', <)“+••• сг J сг от J сг (20.9)
119 § 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ Вводя удобные для дальнейшего обозначения 9?o(r,^)= | [ dV'p(r'r), (20.10) / x 1 & I ^T^r&^J 1 d2 2 Ai(r,r A f X - 1 0 2^’' ) 2cr dr cr 1(г'ы ) - cr г и ограничиваясь только выписанными в разложении (20.9) членами, будем иметь: <£>(r, t) = 95О(г, г) + 9?i(r, т) + 0 + <р3(г, г), A(r, t) = Al (г, г) + А2(г, г) + Аз (г, т). (20.11) Используя обозначения (9.5), (9.8), (9.13) и (15.8), вы- разим встречающиеся в данных разложениях интегралы через мультипольные моменты системы. Начнем с разложения скалярного потенциала. Учи- тывая, что входящая в эти выражения функция р(г', т) должна быть взята в один и тот же момент времени т = t — г/с для всех точек системы, первое из соотношений (20.10) можно записать в виде: г
120 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III где Q(t) - полный заряд системы в момент времени г. Очевидно, что в силу закона сохранения заряда эта величина не зависит от времени, в результате чего по- тенциал описывает постоянное кулоновское поле и не дает вклад в поле излучения. Поэтому в дальнейшем мы его будем опускать. Обозначая производную по времени т точкой и учи- тывая, что единичный вектор и — r/г, направленный из источника в точку наблюдения, не зависит от перемен- ных интегрирования, второе из соотношений (20.10) при- ведем к виду: ^1(г,т) = (20.12) сг где d = d(z) - вектор электрического дипольного момен- та. Рассмотрим теперь потенциал срз. Вспоминая опре- деление 0“» = 3 / SV'р(т')х'ах'^ для тензора электрического нвалрупольного момента систе- мы Qa@, этот потенциал можно записать в виде: ^(г,^) =-^-пап^фа/3(т), (20.13) ос4 г где использована тензорная форма записи и учтено, что согласно принятому нами (вплоть до изучения специаль- ной теории относительности) соглашению па ~ па = {?Ц = Пх, П2 = Пу, Пз — пг} и по дважды повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование от 1 до 3.
§ 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 121 Совершенно аналогично и все оставшиеся члены в разложении (20.9) скалярного потенциала t) могут быть выражены через производные по времени т от муль- типольных моментов системы высших порядков. Переходя к анализу разложения векторного потенци- ала А, следует отметить, что в рассматриваемом нами случае, в отличие от случая стационарных магнитных полей, плотности заряда и тока явно зависят от времени, в результате чего дифференциальный закон сохранения заряда (3.3) можно записать и в терминах запаздываю- щего времени т : -J^-p(r', г) + div г/ j(r', г) = 0, (20.14) ОТ где радиус-вектор г', стоящий внизу у дифференциаль- ного оператора, означает, что дифференцирование про- изводится по штрихованным переменным: div r> j(r', т) = , djy(r',т) , djz(r',r) dx1 ду' dz' Поэтому соотношение (15.3) здесь уже не выполняется и потенциал Ai в общем случае оказывается не равным нулю. Для того, чтобы записать его в терминах мульти- польных моментов, рассмотрим вспомогательное соотно- шение: d(r) = f Умножая это равенство скалярно на произвольный по- стоянный вектор а и учитывая дифференциальный закон сохранения заряда (20.14), будем иметь: (ad) = - [ dV'(ar')div r-- j(r',z).
122 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ш Проводя тождественное преобразование под знаком инте- грала с использованием соотношения (ar')div r. j = div r<{(ar')j} - (j(r',T) gradr,)(ar') = = div r.{(a/)j} - (aj(r',r)), получим Так как поверхность интегрирования в этом выражении предполагается целиком находящейся вне источника из- лучения, то плотность тока j(r', г) на ней тождественно равна нулю. Это обстоятельство позволяет утверждать, что скалярное произведение a,d - / dV j(r',r) ) = О (20.15) при любом выборе постоянного вектора а. Легко убедить- ся, что это условие может быть выполнено лишь в том случае, когда d = ydV/j(r». (20.16) Действительно, выбирая, например, вектор а = {а, 0,0} , приведем соотношение (20.15) к виду:
§ 20] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 123 При с 0 из этого равенства следует, что (Як --- dV'jx(r',r). Выбирая вектор а параллельным другим осям координат, можно убедиться в справедливости и оставшейся части соотношения (20.16). Учитывая равенство (20.16), потенциал Ах можно записать в виде: A1(r,0 = СТ (20.17) Перейдем теперь к векторному потенциалу Аг- Лег- ко заметить, что подынтегральное выражение у этого потенциала представляет собой двойное векторное про- изведение [r[j r/]]/(cr). Воспользовавшись тем, что еди- ничный вектор п = г/?’ не зависит от переменных инте- грирования и учитывая определение (15.8) т(т) = У dV'[r'j(r', г)], будем иметь: а2(м) = (20.18) сг И, наконец, рассмотрим потенциал A3. Для приведения его к более компактному виду, выведем сначала одно по- лезное соотношение. Продифференцируем произведение n/3Qal3(T) по времени т. Используя определение для Qa/3, получим: з [ От J от
124 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III Учитывая соотношение (20.14), легко убедиться, что ~^Qal3np = -Чпр <£ (dSj(r',r))T/aa;//3 + +3пр f dVf(j(r',r) gradr,^ х'° хг/3. Так как на границах объема интегрирования заряды и токи отсутствуют, то первый интеграл в этом соотноше- нии равен нулю. Преобразуем теперь второй интеграл. Учитывая тривиальное равенство (j gradr<),T/a = = Г, будем иметь: Сравнивая это соотношение с последним из выражений (20.10) и учитывая, что (пг') — прх'13, получим: А* = (20.19) 6czr Таким образом, потенциалы, входящие в разложение (20.11), естественным образом разбились на отдельные группы, в каждую из которых входят производные по времени только от одного из мультипольных моментов системы: <pj и At содержат электрический дипольный момент, А2 - магнитный дипольный момент, а <р3 и А3 - электрический квадрупольный момент.
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 125 Поэтому в научной литературе потенциалы и Ai получили наименование потенциалов электрического ди- польного приближения, потенциал А2 - потенциала маг- нитного дипольного приближения, а потенциалы и Аз - потенциалов электрического квадрупольного прибли- жения. Такое деление, кроме чисто внешнего, имеет и более глубокий физический смысл, так как эти группы потенциалов представляют собой разные порядки разло- жения по степеням малых параметров Т/А и г/с. Поэтому основной вклад в излучение, как правило, вносят потен- циалы электрического дипольного приближения. Излу- чение же в магнитном дипольном приближении, а тем бо- лее в электрическом квадрупольном приближении, обыч- но имеет характер малой добавки к электрическому ди- польному и учитывается не всегда. В заключение еще раз перечислим физические усло- вия применимости полученных разложений (20.11) для потенциалов электромагнитного поля в случае излучаю- щих систем: а) малость линейных размеров излучающей системы L по сравнению с расстоянием г от системы до точки наблюдения; б) малость линейных размеров излучающей системы L по сравнению с длиной волны А излучаемых электро- магнитных волн; в) малость длины волны излучения А по сравнению с расстоянием г от системы до точки наблюдения (вол- новая зона). § 21. Электрическое дипольное излучение Изучим теперь характерные особенности излучения
126 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III в электрическом дипольном приближении. Как следует из выражений (20.12) и (20.17), потенциалы электромаг- нитного поля в этом приближении целиком предопреде- ляются первой производной по запаздывающему времени т — t — r/c от вектора электрического дипольного момен- та системы: A(r,t) =Ж сг (21.1) Используя эти выражения, мы можем найти векто- ры Н и Е для поля излучения. Учитывая, что grad т ~ —г/сг — —п/с, для напряженности магнитного поля бу- дем иметь: г <Д(т11 г 1 Н(г,П rot А = V = V — d(r) + (21.2) L cr cr J + Fgrad т —~ • [n d(r)J - — [nd(-r)]. cr 1 cr1 с2-г Рассмотрим полученное выражение. Легко заметить, что первое слагаемое в правой части этого соотношения не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к полю из- лучения, так как при г —> ос оно убывает быстрее, чем 1/г, и поэтому не принимает участия в переносе энергии от источника на пространственную бесконечность. Вто- рое же слагаемое имеет требуемую асимптотику и при г —> оо представляет собой поле излучения. Однако, вы- делить поле излучения из общего поля можно не при всех значениях г, а лишь в той области пространства, где пер- вое слагаемое выражения (21.2) пренебрежимо мало по
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 127 сравнению со вторым слагаемым. Выясним, при каких значениях г это условие выполняется. Для этого разде- лим первое слагаемое, взятое по модулю, на модуль вто- рого слагаемого. Полагая, что |[nd]| ~ u?|[nd]|, где о? — 2~с/Х - характерная частота излучения систе- мы, легко получить, что данное отношение по порядку величины равно А/г. Это означает, что второе слагаемое в выражении (21.2) вносит основной вклад в общее поле лишь в тех точках пространства, расстояние от которых до излуча- ющей системы значительно больше длины излучаемой волны: г А. Эта область пространства в научой ли- тературе получила название волновой зоны или дальней зоны. Если же расстояние от излучающей системы до точ- ки наблюдения сравнимо с длиной волны (г ~ А), то переменное поле имеет сложный характер, выделить из которого поле излучения практически невозможно. По- этому область пространства, удовлетворяющая соотно- шению г ~ А, в научной литературе получила название ближней зоны или неволновой зоны. Так как основной интерес для нас будет предста- влять поле излучения, то в дальнейшем будем предпо- лагать, что точка наблюдения находится в волновой зо- не, в результате чего условие г А всегда выполняется. В силу этого условия при дифференцировании потенциа- лов множитель ]./? и вектор и мы будем считать посто- янными величинами, так как их дифференцирование в рассматриваемой нами области пространства приводит к
128 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III появлению так называемых неволновых слагаемых (убы- вающих быстрее, чем 1/г), которыми мы должны пре- небрегать по сравнению со слагаемыми, описывающими поле излучения. Таким образом, единственной величиной, которая в области г > А может быть подвергнута дифференцирова- нию, является запаздывающее время т = I — г/с. Учиты- вая это обстоятельство, для напряженностей полей Н и Е в электрическом дипольном приближении будем иметь: E(r,i) С2 Г Н(г,1)=М. С1 Г (21-3) Проанализируем полученные выражения. Покажем, пре- жде всего, что в рассматриваемом нами случае электро- магнитная волна является сферической. Действитель- но, замечая, что напряженности полей электромагнит- ной волны (21.3) зависят от времени лишь в комбинации т = I — г/с, убедимся, что поверхность постоянного ар- гумента (или постоянной фазы в случае монохроматиче- ской волны) для вектора d имеет вид: t—r/c — тс, = const. Разрешая это уравнение относительно г. получаем урав- нение сферы: г2 — c2(f—то)2, что и оправдывает название волны. Далее, из выражений (21.3) следует, что векторы Е и Н этой волны ортогональны направлению ее распро- странения - вектору п. Это означает, что данная волна является поперечной. Подставляя второе из соотноше- ний (21.3) в первое, легко убедиться, что векторы Е и Н
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ортогональны и друг другу: 129 Е = -[пН]. (21-4) Отсюда следует, что векторы Е, Н и п, входящие в выражение (21.3), взаимно ортогональны и образуют правую тройку. И, наконец, взяв модуль от равенства (21.4) и учитывая, что |nl = 1, получим: |Е| = |Н|. Таким образом, в электрическом дипольном при- ближении поле излучения представляет собой сфериче- скую электромагнитную волну, которая обладает мно- гими свойствами, присущими плоской электромагнитной волне: векторы Е и Н этой волны в любой точке вол- новой зоны равны по модулю и ортогональны друг дру- гу и направлению распространения. Именно это обсто- ятельство и позволяет любую сферическую волну в ма- лой области (точнее, в области пространства, линейные размеры которой малы по сравнению с расстоянием от этой области до излучающей системы) рассматривать как плоскую электромагнитную волну. Определим теперь интенсивность излучения в эле- мент телесного угла d£l в рассматриваемом нами случае электрического дипольного приближения. Исходя из об- щей формулы (20.3), будем иметь: Так как |Е| = |Н| и все три вектора, входящие в это выра- жение, взаимно ортогональны, то его можно переписать и в двух других эквивалентных формах: di сг2Н2 сг2Е2 . dsi = ~ (2Lo)
130 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ill Отсюда непосредственно следует, что интенсивность из- лучения в любой элемент телесного угла является функ- цией знаконеотрицательной (di/dQ > 0), причем в нуль она обращается только в отсутствие электромагнитного поля. Это, в частности, означает, что электромагнит- ные волны переносят положительную энергию, умень- шая, тем самым, энергию источника излучения. Подставляя второе из выражений (21.3) в соотноше- ние (21.5), получим: di [d(r)n]2 dQ, 4тгс3 (21.6) Из этого выражения следует, что интенсивность излу- чения в элемент телесного угла существенно зависит от взаимно!! ориентации векторов d(r) и п: при n || d она равна нулю, в то время как для точек наблюдения, вектор п которых ортогонален вектору d(r), она максимальна. Вводя обозначение 0 для угла между векторами d(r) и п и учитывая, что [dn]2 = |d|2 sin2 0, мы можем построить диаграмму направленности электрического дипольного излучения, откладывая в определенном масштабе из на- чала отсчета отрезки, пропорциональные интенсивности излучения в данном направлении. В результате мы получим поверхность, симметрич- ную относительно вращений вокруг оси, определяемой вектором d(r), одно из сечений которой показано на рис. 6. Следует отметить, что как величина вектора d, так и его ориентация в пространстве, может изменяться с течением времени, в результате чего и угол 0 в общем случае будет функцией времени. Поэтому и вся диаграмма направленности излуче- ния, представленная на рис. 6, может с течением времени
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 131 Рис. 6. Диаграмма направленности излучения в электрическом дипольном приближении. Найдем теперь количество энергии, излучаемой си- стемой в единицу времени по всем направлениям в элек- трическом дипольном приближении. Эта величина в на- учной литературе получила название полной интенсив- ности излучения и ее обычно обозначают буквой I. Для ее определения мы должны проинтегрировать выражение (21.6) по всему телесному углу: (21.7) Учитывая, что ориентация вектора d(r) может изменять- ся с течением времени, это можно сделать двумя способа-
132 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. п: ми. Во-первых, можно, зафиксировав некоторый момент времени, ввести сферическую систему координат, поляр ную ось которой удобно направить вдоль направления вектора d в данный момент времени, после чего проинте- грировать выражение (21.7) по всем направлениям. Tai. как в выбранный момент времени [d n]2 = d2 sin2 6Ь то выражение (21.7) примет вид: тг 2~ I = [ sin Odd i d<p si11-2 0 c Интегрируя это выражение, получим: 2d2 Зс3 ’ (21-8) Однако, с нашей точки зрения, более последовательным является второй способ, который, к тому же, оказывается единственно возможным при вычислении полной интен- сивности излучения в высших мультипольных приближе- ниях. Для его использования подставим первое из выра- жений (21.3) в соотношение (21.5). В результате будем иметь: Запишем теперь скалярное произведение, входящее в это выражение, в явно тензорном виде: (nd) = nQdQ, (nd)2 = nan.r}da d@.
§ 21] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 133 Проинтегрируем выражение (21.9) по телесному углу Q. Учитывая, что d£l = Г 4% / rtanpdi'l = — 8ар, после интегрирования выражения (21.9) по углам в и </>, получим: I ~ 1 - 3^‘ В случае, когда рассматриваемая нами излучающая система состоит из одной частицы с зарядом q, движу- щейся со скоростью v с по закону г — r(t), выражения для интенсивности и полной интенсивности существен- но упрощаются. Действительно, так как для одной заря- женной частицы d(r) = §г(т), то d(r) = $а(т), где а(т) - ускорение частицы в момент времени т. Поэтому выра- жения (21.6) и (21.8) в этом случае принимают вид: di q2 dQ, 4тгс3 2q2a2 = ~3rT" (21.10) Из этих выражений непосредственно следует, что излу- чение частицы в электрическом дипольном приближении возникает только при ее ускоренном движении. Учиты- вая уравнения движения m а = F = q{E + -[vH]}, с
134 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ {ГЛ. III выразим ускорение частицы через внешнюю силу, дей- ствующую на нее. В результате получим: I = ГтД’ = Дтг {Е + l[vH]}2. Таким образом, интенсивность излучения частиц, движу- щихся в одном и том же внешнем поле, оказывается про- порциональна четвертой степени величины их зарядов и обратно пропорциональна квадрату массы. Поэтому из- лучение протона, масса которого примерно в тысячу раз больше массы электрона, а заряд равен заряду электро- на, при движении в одном и том же поле оказывается в 106 раз менее интенсивным. § 22. Магнитное дипольное излучение Основной вклад в поле излучения для большинства излучающих систем, как уже упоминалось, вносит из- лучение в электрическом дипольном приближении, в ре- зультате чего магнитным дипольным излучением обыч- но пренебрегают. Но в тех случаях, когда система по тем или иным причинам не излучает в электрическом дипольном приближении, или оно сильно подавлено, маг- нитное дипольное излучение начинает играть ведущую роль. В этом приближении скалярный потенциал элек- тромагнитного поля равен нулю, а векторный зависит от изменений магнитного момент а системы с течением времени: . . ч |т(т),п1 A(r, £) = i—. (22.1) cr Используя выражения (5.2) и (22.1), легко найти напря- женность электрического поля магнитного дипольного
§22] МАГНИТНОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 135 излучения: E(r,f) = (22.2) Пренебрегая неволновыми слагаемыми, напряженность магнитного поля в этом приближении можно найти по формуле: Н — rot А = сг = — [V т[т,п]] = сг [п, [т, п]] с2 г V (22.3) Подставляя соотношение (22.2) в выражение (22.3), полу- чим: Н = [п, Е]. (22.4) Из выражений (22.2) - (22.4) следует, что в магнитном дипольном приближении векторы Е и Н ортогональны вектору и и друг другу и образуют правую тройку. Учи- тывая это обстоятельство, интенсивность излучения в элемент телесного угла мы, как и в случае электрическо- го дипольного излучения, можем представить в любой из двух форм (21.5). Вторая из них приводит к соотноше- нию, аналогичному соотношению (21.6): di 1 г -• / 12 = 7---о |П1(т),П]\ dQ, 4тгс3' v ' J (22.5) Таким образом, диаграмма направленности магнит- ного дипольного излучения аналогична диаграмме на- правленности электрического дипольного излучения (см. рис. 6), только вектор d(-r) в рассматриваемом нами слу- чае необходимо заменить на вектор ш(т). Полную интенсивность излучения можно найти, проинтегрировав выражение (22.5) по телесному углу. В
136 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. К (22.6 результате будем иметь: _ 2m2 = ~з^”’ Сравнивая это выражение с выражением (21.8), видим, что они полностью аналогичны и отличаются только век- торами дипольных моментов. Так как отношение модуля вектора магнитного дипольного момента к модулю век- тора электрического дипольного момента по порядку ве- личины равно v/c << 1, то интенсивность магнитного дипольного излучения, как правило, меньше интенсив- ности электрического дипольного излучения. § 23. Электрическое квадрупольное излучение Проведенный в предыдущих параграфах анализ по- казал, что существуют системы, которые не излучают ни в электрическом, ни в магнитном дипольных приближе- ниях. Поэтому низшим ненулевым приближением явля- ется электрическое квадрупольное излучение, к изуче- нию которого мы и приступаем. Потенциалы электромагнитного поля в этом прибли- жении, как следует из выражений (20.13) и (20.19), зави- сят от вторых производных по запаздывающему времени т от компонент тензора электрического квадрупольного момента: _ Qa^n^l& ла _ QaPn0 9^ о 1 9 Oczr ОС2Г Проведем калибровочное преобразование (6.3) лов (23.1) с калибровочной функцией потенциа- 18сг (23.2)
§23] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 137 Подставляя выражение (23.2) в соотношения (6.3) и оста- вляя после дифференцирования только волновые слагае- мые, получим: <^(r,f) = AQ(r,t) = PQ^(r)nftn^ 6с2 г Ьа0(т)пр 6с2г (23.3) Так как при исследовании полей излучения вектор п не дифференцируется, то эти тензорные соотношения обыч- но переписывают в трехмерном векторном виде, вводя вспомогательный вектор D, компоненты которого соста- влены из тензора Da0 и вектора пр = (п)^ по правилу: (D)Q = Da0np. (23.4) Учитывая, что (Dn) = DC(0nanp, выражения (23.3) мож- но переписать в формально векторном виде: (пР) 6с2 г ’ D 6с2г (23.5) Следует особо подчеркнуть, что в отличие, скажем, от вектора d, вектор D определяется не только свойства- ми излучающей системы (в силу зависимости от тензора Da0), но и расположением точки наблюдения (в силу за- висимости от вектора п^). Поэтому при интегрировании по телесному углу выражений, включающих вектор D, его нельзя, например, выносить за знак интеграла.
138 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ill Найдем теперь напряженности полей Е и Н электри- ческого квадрупольного излучения. Дифференцируя вы- ражения (23.5), получим: n[D п] 6с3г (23.6) н = [D п] 6с3г Сравнивая выражения (21.3) и (23.6), видим, что фор- мально они аналогичны, если не обращать внимания на различия в коэффициентах и в числе производных. В си- лу этой аналогии очевидно, что векторы Е, Н и п вза- имно ортогональны и образуют правую тройку. Также легко убедиться, что векторы Е и Н сферической вол- ны (23.6) равны по модулю. Однако, выражения (23.6) дают более сложное распределение энергии излучения в пространстве, чем электрическое дипольное приближе- ние. Для того, чтобы в этом убедиться, подставим пер- вое из выражений (23.6) в соотношение (21.5). Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая, что D2 =Da^n0Davn\ получим: ~ = —J—-Dapnan0DtlvntlnI/}. (23.7) dSl 1447ГС5 Для получения полной интенсивности излучения си- стемы в электрическом квадрупольном приближении нам
§ 23] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 139 необходимо проинтегрировать равенство (23.7) по телес- ному углу. Воспользовавшись формулами (1.18) /4тг Г 4тг / d\l nvnp = а также учитывая, что Da0DvaS0v =Da0Da$, D^8aP = О, Da0D^6afi6Pv =Da0Da^, получим: Da0DQ/3 180c5 ‘ Анализируя это выражение, следует отметить, по край- ней мере, три обстоятельства. Во-первых, предполагая, что по порядку величины выполняется соотношение.©^5 ~ uj3Da/3, легко заметить, что интенсивность электрического квадрупольного излу- чения, в отличие от интенсивности электрического и маг- нитного дипольных излучений, оказывается пропорцио- нальной шестой степени частоты. Во-вторых, как показывает детальный анализ, элек- трическое квадрупольное излучение имеется практиче- ски у любой излучающей системы, в результате чего по- иск таких физических ситуаций, при реализации кото- рых система не излучает в электрическом квадрупольном приближении, представляет собой непростую задачу.
140 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III И, наконец, третьей характерной чертей электри- ческого квадрупольного приближения является то, что частота излучаемых волн в большинстве случаев равна удвоенной частоте электрического дипольного излучения этой же системы (если оно есть). § 24. Сила радиационного трения в нерелятивистском приближении Как известно, в механике Ньютона уравнения дви- жения заряженной частицы под действием внешней силы F, как и любой материальной точки, имеют вид: ^=F’ (24.1) d£ ч а -(Fv)’ где р = mv - импульс частицы, а 8 = mv2/2 - ее кине- тическая энергия. Согласно этим уравнениям при наличии внешней си- лы частица должна двигаться неинерциально. Однако, любая заряженная частица, движущаяся неинерциально, в силу уравнений Максвелла излучает электромагнит- ные волны, в результате чего она должна постоянно те- рять свою энергию. Потеря энергии частицей, очевид- но, должна сопровождаться и потерей импульса, так как уходящие электромагнитные волны обладают не только энергией, но и импульсом. Уравнения же (24.1) эго обсто- ятельство не учитывают. Поэтому для согласования ме- ханики Ньютона с электродинамикой Максвелла в этом вопросе в правые части уравнений (24.1) необходимо до- бавить слагаемые, которые должны отражать обратное
§24] СИПА РАДИАЦИОННОГО.ТРЕНИЯ 141 влияние создаваемого электромагнитного излучения на частицу, уменьшающее ее энергию и импульс: d „ „ з-р =F + Fro(f, at =(Fv) + (Frodv). at Сила Fro<i, стоящая в этих уравнениях, в соответствии с придаваемым ей смыслом, в научной литературе по- лучила название силы радиационного трения или силы лучистого трения. Таким образом, для реализации этой идеи нам оста- ется найти явное выражение для силы Fro(| в виде функ- ции от кинематических и, возможно, иных характери- стик излучающей частицы. Однако, последовательное решение этой задачи оказалось невозможным. Действи- тельно, для правильного описания потерь энергии части- цей на излучение произведение (Frodv), равное работе сил радиационного трения, совершаемой в единицу вре- мени, в соответствии с его физическим смыслом нам не- обходимо приравнять полной интенсивности излучения частицы, взятой с обратным знаком: (Fradv) = (24.3) После этого, рассматривая данное соотношение как урав- нение относительно силы Fro(j, следует определить ее яв- ный вид. Но интенсивность излучения заряженной ча- стицы даже в низшем электрическом дипольном прибли- жении не содержит зависимости от скорости частицы, а определяется квадратом ее ускорения: 2^ 2 = 2f 2 Зс3 Зс3 ' (24.4)
142 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III Отсюда непосредственно следует, что при произвольном законе движения заряженной частицы уравнение (24.3) не может быть решено. Обсуждение этого обстоятельства и поиск наиболее приемлемого с физической точки зрения выражения для силы Frod явились предметом многочисленных исследо- ваний, не утративших своего значения и в наше время. Одно из первых предложений по решению этой про- блемы было высказано еще Лоренцем в 1892 г. Его смысл состоял в следующем. Так как соотношение (24.3) не позволяет в обшем случае найти явное и строгое выра- жение для силы радиационного трения, то вместо него нам необходимо сконструировать некоторое приближен- ное выражение, которое можно было бы использовать хо- тя бы в ряде важнейших частных случаев, например, при квазипериодическом движении. Для этого, вместо усло- вия (24.3), обеспечивающего равенство (Frodv) и — I в каждый момент времени, потребуем, чтобы это соот- ношение выполнялось в среднем за некоторый характер- ный для рассматриваемого движения промежуток време- ни. Таким образом, предположим, что заряженная ча- стица под действием внешних сил совершает квазипери- одическое движение, при котором ее скорость и ускоре- ние через определенный промежуток времени принима- ют исходные значения. Обозначая два последовательных промежутка времени, в которые частица возвращается в исходное состояние, через ti nt?, будем иметь: v(*i)=v(*2), а(*1) =.a(t2), (24.5) Очевидно, что такое движение может быть осуществле- но, если внешняя сила за рассматриваемый период полно-
§24] СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ 143 стью компенсирует потери энергии и импульса частицей на излучение. Потребуем теперь, чтобы соотношение (24.3) выпол- нялось в среднем за период: *2 *2 У (Fredv)dt = - у Idt. (24.6) ‘i «1 Подставляя в правую часть этого соотношения выраже- ние (24.4), проведем в нем тождественные преобразова- ния, учитывая, что , dv d . . da * =a* = 3i(av)-vS- В результате будем иметь: Легко убедиться, что в силу условий (24.5) внеинтеграль- ный член в этом выражении равен нулю и соотношение (24.6) принимает вид: Сравнивая сомножители, стоящие при векторе v в этом соотношении, можно утверждать, что для его выполне- ния достаточно положить _ 2<j2 da 2<}2г rad ” 3? dt ~ IZ®-’ (24.8)
144 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III Таким образом, в случае квазипериодического дви- жения частицы воздействие на нее силы (24.8) в сред- нем за период приводит к тем же самым потерям, что и на излучение. Следует отметить, что при ином законе движения частицы такое соответствие из-за Неравенства нулю внеинтегрального члена в соотношении (24.7) уже не выполняется. Однако, из-за отсутствия другого, бо- лее последовательного описания реакции излучения, вы- ражение (24.8) приходится использовать в качестве силы радиационного трения и при отсутствии квазиперисдич- ности в движении частицы. С учетом этого выражения уравнения движения нерелятивистских (у << с) заряжен- ных частиц во внешнем поле следует записать в виде: - „ 292г mr=F+3^’ £с _fPv^ , 2g2(vr ) d^-(Fv)+ Зс3 (24.9) Характеризуя эти уравнения с математической точ- ки зрения, следует отметить, что они представляют со- бой систему из четырех обыкновенных дифференциаль- ных уравнений относительно трех координат частицы. Как и в механике Ньютона, можно показать, что четвер- тое уравнение системы (24.9) - уравнение для энергии - является следствием трех первых уравнений и поэтому может быть опущено. Важнейшим отличием уравнений системы (24.9) от уравнений механики Ньютона является их порядок: они представляют собой систему уравнений не второго, а тре- тьего порядка. Согласно обшей теории обыкновенных
§ 24] СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ 145 дифференциальных уравнений для получения единствен- ного решения этих уравнений необходимо задавать не шесть начальных условий, как в механике Ньютона, а девять, например, значения координат, скорости и уско- рения частицы в некоторый начальный момент времени. Последнее обстоятельство оказалось (в определенной степени) в противоречии с существовавшими в ньюто- новской механике представлениями о детерминизме, со- гласно которым ускорение частицы в любой момент вре- мени должно определяться ее положением и скоростью, взятыми в тот же момент времени. Как следствие на- рушения этого условия, уравнения (24.9) при неудачном выборе начальных условий (в основном, для начального ускорения) в ряде случаев приводят к физически абсурд- ным предсказаниям. Особенно ярко это можно увидеть в том случае, ко- гда на заряженную частицу не действуют внешние силы. Уравнения (24.9) в этом случае принимают вид: тпг — 2д2г Зс3 (24.10) Общее решение этого однородного уравнения будем, как обычно, искать в виде: г = Re“‘. Подставляя это выражение в уравнение (24.10), будем иметь: а2 [тп — ^т-а] г = 0. L Зс3 J
146 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ш Для получения нетривиальных (г / 0) решений этого уравнения необходимо потребовать, чтобы выполнялось равенство: "’I”1 Отсюда следует, что параметр а шжг принимать три значения: Зтс3 «1 =0, а2 = 0, а3 = —— 292 Поэтому общее решение уравнения (24.10) будет иметь ВИД: _ _ r3mc3t] г = Ri + vi t + R2 exp . I Zq* J Согласно этому соотношению, если частица в момент времени t — 0 имела начальное ускорение а(0) = ао (на- пример, выходила из области действия внешних сил и далее на нее внешние силы не действовали), то при t > 0 она будет двигаться по следующему закону: г = Ro - (5—3) ао + (vo - ^-£ao)t+ \3mcd/ \ 3mc3 / / 2q2 \2 ГЗтс3£1 где Ro и Vo - положение и скорость частицы при t — 0. Таким образом, мы приходим к физически неприем- лемому результату: после прекращения действия внеш- ней силы любая заряженная частица согласно уравнени- ям (24.10) должна ускоряться по экспоненциальному за- кону, причем показатель экспоненты очень велик (для
§24] СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ 147 электронов mc3/g2 sb 1023 сек*1, а для других заряжен- ных частиц еще больше). Как показывает более детальный анализ, существу- ет несколько путей, позволяющих избежать получение таких физически абсурдных результатов. Один из них предполагает, что выражение (24.8) для силы радиаци- онного трения может быть использовано лишь в том слу- чае, когда внешняя сила F, действующая на нереляти- вистскую частицу, значительно больше силы Frat/: |F| » |Frad|- (24.11) В этом случае силу Fro<i можно рассматривать как ма- лую добавку к внешней силе и учитывать ее по методу последовательных приближений. Если же условие (24.11) не выполняется, то должны использоваться более слож- ные методы решения задачи о движении заряженной ча- стицы с учетом потерь энергии и импульса на излучение. Выясним, какие ограничения накладывает условие (24.11). Для этого, считая, что условие (24.11) выполня- ется, ускорение частицы мы можем представить в следу- ющем приближенном виде: F г S3 —, т (24.12) Подставляя это соотношение в выражение (24.8), полу- чим: Зс3 Зтпс9 П слагая, что по порядку величины |F| ss ui|F|, где ы -
148 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III характерная частота излучения, из условия (24.11) и со- отношения (24.12) будем иметь: <12и , тс3 Используя обозначение го = д2/(тс2) и переходя от ча- стоты излучения к длине волны А = 2irc/w, это неравен- ство мы можем записать в виде: А » г0. Так как для заряженных частиц го < 10~12 см, то условие (24.11) применимости метода последовательных прибли- жений в случае частиц, движущихся со скоростью значи- тельно меньшей скорости света в вакууме, оказывается выполненным для широкого диапозона электромагнитно- го излучения, вплоть до жестких рентгеновских лучей, где вступают в действие квантовые закономерности и классическая электродинамика оказывается непримени- мой. Тем не менее, при решении задач с участием силы радиационного трения (24.8) всегда необходимо прове- рять выполнение условия (24.11) и, по возможности, осво- бождаться в выражении (24.8) от трех производных по времени с помощью приближенного соотношения (24.12). § 25. Рассеяние электромагнитной волны на изотропном гармоническом осцилляторе При падении внешней электромагнитной волны на систему заряженных частиц они в результате действия
§ 25] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 149 силы Лоренца приходят в движение. Это движение, есте- ственно, сопровождается излучением частицами вторич- ных электромагнитных волн. Этот процесс в научной ли- тературе получил название рассеяния электромагнит- ной волны на системе заряженных частиц. Для изучения характерных особенностей этого про- цесса рассмотрим рассеяние плоской линейно поляризо- ванной электромагнитной волны на одном заряде, входя- щем в состав изотропного гармонического осциллятора с собственной частотой и>о- Найдем закон движения это- го заряда под действием линейно поляризованной элек- тромагнитной волны. Напряженности электрического и магнитного полей падающей волны в рассматриваемом случае можно записать в виде: Е = Ео cos [wt - (kR)], Н = Носов [wt —(kR)], 1 ‘ ’ где вещественные векторы Ео, Но и к взаимно перпен- дикулярны и удовлетворяют соотношениям: |Е0| = |Но|, |к| = ы/с. Считая, что скорость заряда во все моменты времени значительно меньше скорости света в вакууме, запишем уравнение его движения с учетом силы радиационного трения: - 2e2R mR + mw£(R-Ro) = -—-+ (25.2) +е Ео + ~[RHo] сов [wt — (kR)], где т - масса частицы, Ro - радиус-вектор положения равновесия осциллятора, R - радиус-вектор заряженной частицы.
150 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. Ш Вводя вектор смещения частицы относительно по- ложения равновесия г = R — Ro, уравнение движения (25.2) мы можем записать в более удобной для наших целей форме: тг + тгш^г = й|е0 + -[гН0]| X х cos [art - (kr) - (kRo)] + Для дальнейшего упрощения этого уравнения учтем, что в изотропном гармоническом осцилляторе возвращающая сила по модулю дал.* на превосходить остальные силы, так как в противном случае осциллятор был бы разру- шен. Поэтому приближенно можно считать, что г sa —WqF. Используя это соотношение, понизим порядок про- изводных в. силе радиационного трения (в соответствии с рекомендациями формулы (24.12)): Уравнение движения частицы в этом случае примет вид: . О В (w-. lr-w» 1) г + чг + о^г = — < Ео + -[гН0] > х т с J х cos [art — (kr) — (kRo)], (25.3) где ч = 2e2wg/(3mc3) = 2a$r0/(3c) > 0. Таким образом, мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Реше- ние ее в приведенном виде встречает определенные ма- тематические трудности. Поэтому рассмотрим условия,
§251 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 151 при которых это векторное уравнение может быть лине- аризовано и выясним их физический смысл. Учтем сначала, что у нерелятивистской заряженной частицы скорость движения мала по сравнению со ско- ростью света: v << с. Так как |Ео| = |Но|, то это до- пущение позволяет пренебречь магнитной частью силы Лоренца по сравнению с ее электрической частью: |-[гНо]| ~ -|Н0| « |Ео|- с с И, наконец, для окончательной линеаризации уравнения (25.3) необходимо исключить зависимость фазы электро- магнитной волны от скалярного произведения (кг). Учи- тывая соотношение ш — 2кг/X, мы можем записать: (кг)~кг = Из этого соотношения следует, что величина (кг) мала лишь в том случае, когда длина волны падающего излу- чения значительно больше величины смещения заряжен- ной частицы от положения равновесия. Полагая, что и это условие выполняется уравнение движения (25.3) в начальном приближении по указанным малым параме- трам принимает вид: г + 7г 4- ШцГ = cos [wt — (kRo)]. (25.4) В случае атомов, например, максимальная величи- на смещения зарядов по порядку величины совпадает с размером первой боровской орбиты г ~ 10~8см, поэто- му условие г С А достаточно хорошо выполняется для всего диапоэона электромагнитного излучения вплоть до рентгеновского.
152 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III Решение этого линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами не представляет особого труда. Согласно теории, его общее решение равно сумме общего решения соответствующего однородного уравне- ния и любого частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения г + 7Г + wgr = О будем, как обычно, искать в виде: г = Гое , где а - неизвестный параметр. Подставляя это выражение в однородное уравнение, получим: [а2 + «7 + о$г = 0. Для того, чтобы это уравнение имело нетривиальные ре- шения (г / 0), необходимо, чтобы выражение в квадрат- ных скобках равнялось нулю. Отсюда следует, что пара- метр а может принимать два значения: (25.5) Так как обычно -у2 « Wq, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид: roffw = rieoi‘ + г2е°3*, (25.6)
§ 25] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 153 где Г1 и г2 — произвольные постоянные векторы. Для нахождения частного решения неоднородно- го уравнения (25.4) удобно воспользоваться его линей- ностью и перейти к комплексной форме записи: г + 7Г + WqF = exp { - i[wt - (kRo)]}, предполагая в окончательном результате взять только вещественную часть от решения этого уравнения. Под- ставляя вектор г в виде Гчвсш — г3 exp { - ifort - (kRo)]}, сведем данное дифференциальное уравнение к алгебраи- ческому: г 2 2 ! еЕд М5 - ы* - tw7]r3 =----- Отсюда следует, что ^част — Г 2 2 —:—у exp { — *[wt — (kRo)]}. mlwo — — tu>7] Взяв вещественную часть от этого выражения и добавив общее решение однородного уравнения, получим оконча- тельно: г = [ив01* + г2е“а‘] + еЕо cos [wt — (kRo) + V'] m[(w®-w2)2+w272]i/2 ’ где V’=-arctg[7w/(wg — w2)]. Для определения постоянных интегрирования ri и г2 необходимо использовать начальные условия, задав,
154 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ (ГЛ. III например, смещение и скорость заряженной частицы е момент времени t = 0. Однако, как следует из соотно- шений (25.5), вещественная часть показателей экспонент обоих независимых решений (25-6) однородного уравне- ния является отрицательной. Поэтому при любых на- чальных условиях (при любых векторах и и rj) вектор Говц, с течением времени будет экспоненциально убывать и при t » 1/7 он становится исчезающе малым. Поэто- му, начиная с некоторого момента времени, им можнс пренебречь. О таком состоянии, когда влиянием началь- ных условий на изучаемый процесс можно пренебречь, обычно говорят как об установившемся режиме. Таким образом, установившиеся колебания заряжен- ной частицы будут описываться выражением: eEocosp-(kRo) + V>] т[(ш2-ш2)2+ш272]1/2 ’ Сравнивая это выражение с соотношением (25.1), легко увидеть, что колебания заряженной частицы отстают от колебаний полей Е и Н падающей волны в точке, где находится положение равновесия, на угол Используя закон движения (25.7) заряженной части- цы, найдем теперь ее излучение. Так как в рассматри- ваемом нами случае скорость движения частицы предпо- лагается малой по сравнению со скоростью света, то для вычисления ее излучения можно воспользоваться форму- лами электрического дипольного приближения. Учиты- вая, что для одной частицы d = ег, будем иметь: _ e2w2E0cos [шт - (kRo) + V] ~ ~ т[(ш2 - ш2)2 4- ш272р/2 •
§25] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ волны 155 Так как напряженности полей излучаемой частицей элек- тромагнитной волны в электрическом дипольном при- ближении линейно зависят от вектора d(r), то отсюда не- посредственно следует, что при рассеянии на одном изо- тропном осцилляторе рассеянная электромагнитная вол- на в этом приближении имеет ту же частоту, что и па- дающая, и, кроме того, она является также линейно по- ляризованной. Для интенсивности этого излучения в элемент телес- ного угла будем иметь: di _ e4u>4[E0n]2 cos2 [tvr - (kRp) + V>] dQ 4тгт2с3[(ш2 — w2)2 + w272] ’ где n - единичный вектор, направленный из начала ко- ординат в точку наблюдения. Таким образом, интенсивность рассеянного излуче- ния оказывается зависящей как от свойств рассеивате- ля - значений т, е, о>о, 7, так и от интенсивности I (амплитуды Е) и частоты ш падающей волны. Поэтому для количественной оценки рассеивающих свойств той или иной системы зарядов необходимо использовать не интенсивность рассеянной волны, а иную характеристи- ку, которая не зависела бы от интенсивности падающей волны. Для этих целей обычно используют величину da, которая определяется соотношением da = =, (25.9) где di - усредненное по периоду количество энергии, из- лучаемой системой в данном направлении, а /о - среднее
156 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. III за период значение плотности потока энергии падающей на систему электромагнитной волны. Так как это соотношение имеет размерность площа- ди, то величину do называют дифференциальным сечени- ем рассеяния. Найдем дифференциальное сечение рассеяния рас- сматриваемого нами изотропного гармонического осцил- лятора. Для этого вычислим сначала Iq. Согласно опре- делению 1о совпадает с модулем вектора Пойнтинга па- дающей волны (25.1), усредненным по периоду: Io=-~; J dr|<r|. Так как в плоской электромагнитной волне (25.1) |Е| = |Н| и вектор Е ортогонален вектору Н, то отсюда полу- чим: 1о = / drE§cos2[wr - (kr)]. Интегрируя это соотношение, будем иметь: Совершенно аналогично, усредняя соотношение (25.8) по периоду Т = 2тг/ш, после подстановки в выражение (25.9) найдем: _ e4w4sin20 ~ тп2с4[(«2 -w2)2 4-72w2] ’ (25.10)
§ 25] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 157 где 0 - угол между векторами п и Eq. Ориентируя ось z декартовой системы координат вдоль постоянного вектора Ео, проинтегрируем соотно- шение (25.10) по телесному углу. В результате получим полное эффективное сечение рассеяния а : ° ~ Tm2C«[(wg-w2)2+72w2] • I25"11) Используя определение классического радиуса заряжен- ной частицы го = е2/(тс2), это выражение можно запи- сать и иначе : _ _ 87гго_____1 3 [(w2 -W2)2 +72W2]‘ (25Л2) Проанализируем полученные соотношения. Заметим, прежде всего, что дифференциальное сечение рассеяния (25.10), как и полное сечение рассеяния (25.11), пропор- ционально четвертой степени заряда частицы и обрат- но пропорционально квадрату ее массы. Это означает, что более легкие заряженные частицы являются лучши- ми рассеивателями электромагнитных волн, чем тяже- лые. В частности, так как заряды протона и электрона равны по абсолютной величине, а масса протона почти в две тысячи раз больше массы электрона, то и рассеива- ющие способности протона при прочих равных условиях оказываются более чем в 106 раз худшими, чем у электро- на. Поэтому при изучении рассеяния электромагнитных волн атомами и молекулами вкладом протонов обычно пренебрегают по сравнению с рассеянием на электронах. Следует также отметить характерную резонансную зависимость величин da и а от частоты падающей вол- ны. В частности, если частота оказывается значительно
158 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [гл. ш меньше характерной частоты осциллятора w0, то сечение (25.12) будет пропорционально четвертой степени отно- шения ш/«о : 8лт2 / w \ 4 — 1 3 \«о/ Это сечение в научной литературе получило название сечения Рэлея по имени английского ученого, впервые экспериментально установившего эту зависимость при W С Wo- Другой предельный случай реализуется, когда ча- стота падающей волны оказывается значительно боль- шей характерной частоты осциллятора w w0. В этом случае сечение рассеяния зависит лишь от классического радиуса частицы: Эта формула в научной литературе получила название формулы Томсона.
ГЛАВА IV СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 26. Принцип относительности Исторически сложилось так, что начальные предста- вления о теории относительности возникли задолго до создания электродинамики Максвелла. Именно наблюде- ние различных механических явлений впервые показало выделенность инерциальных систем отсчета, т.е. систем отсчета, в которых тела в отсутствие внешних сил со- храняют состояние покоя или равномерного и прямоли- нейного движения, В таких системах отсчета описание движения тел осуществляется наиболее простыми урав- нениями. Так как инерциальных систем отсчета имеется бесчисленное множество, то у ученых того времени воз- ник вопрос: а есть ли среди них какая-нибудь выделенная система отсчета или все они полностью равноправны? Изучение механических явлений показало, что все инер- циальные системы являются полностью равноправными. Этот экспериментальный факт нашел свое отраже- ние в формулировке принципа относительности Галилея. Согласно этому принципу законы механики будут одина- ковыми как для покоящегося наблюдателя, так и для на- блюдателя, находящегося в состоянии равномерного по- ступательного движения. Поэтому результаты любого механического эксперимента, проведенного в двух раз-
160 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV личных инерциальных системах отсчета, при соответ- ственных начальных условиях (т.е. одинаковых для ка- ждой системы отсчета) будут одинаковыми и скорость относительного движения систем отсчета не может быть определена из результатов этих экспериментов. Принцип относительности Галилея, сформулирован- ный впервые на основе результатов экспериментальных исследований, оказывается, может быть установлен и при математическом анализе уравнений механики. С математической точки зрения этот принцип экви- валентен утверждению о форминвариантности (неизмен- ности формы) уравнений механики при преобразовани- ем коор динат и времени, описывающих переход от одной liner чой системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета. Поэтому закон преобразования коорди- нат и времени, описывающих этот переход, может быть установлен непосредственно из анализа уравнений меха- ники. Чтобы в этом убедиться, запишем уравнения Нью- тона в некоторой инерциальной системе отсчета для си- стемы, состоящей из двух взаимодействующих матери- альных точек: mi = (и - г2)/(|гх - г2|), (26.1) = (г2 - rj/dn - г2|), гд е Г) и г2 - радиусы-векторы первого и, соответственно, второго тела, a mi и т2 - их массы. Функция /(|ri — г2|) зависит от физической приро- ды действующей между телами силы. Это, например,
§26] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 161 может быть сила упругости /(|ri — г2|) = — к или тяго- тения Л|г,~Гг|) = кГ^Р’ где G — гравитационная постоянная, к - коэффициент жесткости упругого элемента, соединяющего тела. Легко убедиться, что вид этих уравнений не изменя- ется при осуществлении преобразований Галилея: t = t', (26.2) г = г' + V*', где V - некоторая постоянная скорость. Действительно, так как при этих преобразованиях ускорения тел не изменяются <fr cP , , dV df2-df«^r+ dt12 и в выражения для разности векторов П — г2 = rj — вектор V не входит, то уравнения (26.1) при любом зна- чении V переходят в уравнения: = ~ Г2^(1Г1 “ = (г2 - r'i)/(lrJ ~ r2l)- Таким образом, единственное отличие у уравнений дви- жения в штрихованной системе отсчета - это наличие штрихов у всех входящих в них величин.
162 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Несложно установить и физический смысл преобра- зований Галилея, выяснив закон движения начала отсче- та одной системы координат относительно другой. Для этого положим в выражении (26.2) г' = 0. В результате получим; ГО> = vt Это соотношение означает, что начало отсчета О' штри- хованной системы координат движется относительно не- штрихованной системы с постоянной по величине и на- правлению скоростью. А так как в силу соотношений (26.2) оси координат все время остаются сонаправлен- ными, то можно сделать вывод, что преобразования Га- лилея в механике Ньютона описывают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета, движущейся относительно исходной с постоянной скоростью V. Взяв дифференциалы от правых и левых частей ра- венств (26.2), несложно получить закон сложения скоро- стей в механике Ньютона: dr dr' + Vdf dt ~ dt' (26.3) Кроме того, из выражений (26.2) следует, что в ме- ханике Ньютона длина одного и того же отрезка и про- межуток времени между двумя событиями, измеряемые из лабораторной (’’неподвижной” системы отсчета) и из движущейся инерциальной системы отсчета, будут оди- наковыми: |г2 - Г1| = |Г2 - rj I, t2 - ti = t'2 - t'i. (26.4)
§27] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 163 Последующее развитие физики показало, что инер- циальные системы отсчета являются равноправными для описания и других физических явлений. Поэтому прин- цип относительности в настоящее время принял сле- дующую форму: законы физических явлений одинаковы для "неподвижного” наблюдателя и для наблюдателя, со- вершающего равномерное поступательное движение, так что мы не имеем и не можем иметь способа определить, находимся ли мы в подобном движении или нет. Таким образом, классический принцип относитель- ности, утверждающий равноправие всех инерциальных систем отсчета для описания физических явлений, экви- валентен требованию форминвариантности (неизменно- сти формы) уравнений физики при преобразованиях ко- ординат и времени от одной инерциальной сйстемы от- счета к другой инерциальной системе отсчета. Это, в свою очередь, означает, что для нахождения соотноше- ний, связывающих координаты и время в двух физиче- ски равноправных, с точки зрения какого-нибудь фунда- ментального уравнения физики, системах отсчета, мож- но воспользоваться условием форминвариантности дан- ного уравнения относительно искомого преобразования систем отсчета. § 27. Преобразования Лоренца Предположим, что у нас есть исходная лаборатор- ная инерциальная система отсчета, в которой уравнения Максвелла имеют вид (3.19). Поставим задачу опреде- лить закон преобразования координат и времени при пе- реходе от исходной системы отсчета К к другой инер- циальной системе отсчета К', которую условно назовем
164 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГП. IV штрихованной системой отсчета. Так как все инерциальные системы отсчета должны быть эквивалентными, то уравнения Максвелла в систе- мах отсчета К и К' должны иметь одинаковый вид, т.е. быть форминвариантными. Но уравнения Максвелла, в отличие от механики Ньютона, помимо производных по координатам и времени содержат еще и векторы Е и Н, законы преобразования которых нам пока не известны. Поэтому для решения поставленного вопроса удобно ис- пользовать не уравнения Максвелла, а уравнение фронта (18.15) электромагнитной волны, которое является пря- мым следствием уравнений Максвелла и не содержит по- лей Е и Н. Преобразуем уравнение (18.15), описывающее рас- пространение фронта электромагнитной волны, к виду: c2(t — t0)2 — (г — г')2 = 0. Полагая в этом соотношении t = to + dt, г = г* 4- dr, не- сложно убедиться, что в исходной лабораторной системе отсчета, в которой мы сформулировали систему уравне- ний Максвелла (3.19), уравнение, описывающее распро- странение фронта волны, примет вил: c2dt2 — dr2 — c2dt2 — da:2 — dy2 — dz2 = 0. Так как это уравнение содержит только координаты и время и не содержит, в отличие от уравнений Максвел- ла, из которых оно получено, векторов Е и Н, то его мы и будем использовать для анализа представлений о пространстве и времени, с которыми согласуется элек- тродинамика Максвелла.
§27j ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 165 Обозначая координаты и время исходной системы от- счета К буквами х, у, z, t, а системы отсчета К' - штри- хованными буквами х', у', z', t1, уравнения, определяю- щие распространение фронтов в этих системах отсчета, мы можем записать в виде: c2dt2 —dx2 — dy2 — dz2 = О, Jd^-dx12 - dyn - dzn = 0. (27.1) Таким образом, наша задача определения закона пре- образования координат и времени при переходе от систе- мы К к системе К' сводится к поиску такой зависимости t = t(t',x',y,'z'), х = x(t',x',y,' z'), у = y(t',x',y,' z'), z = z(t',x',y'z'), которая после подставки в первое из выражений (27.1) переведет его во второе из этих выражений. Предположим, что искомые преобразования являют- ся преобразованиями Галилея с относительной скоростью V, параллельной оси X. Обозначая координаты и время системы отсчета, получаемой из исходной путем преобра- зований Галилея, заглавными буквами, будем иметь: х =Х + VT, t =Т, у = Y, z = Z. (27.2) Взяв дифференциалы от этих соотношений и подставив в первое из выражений (27.1), получим: JdT2(l-^-2VdTdX-dX2 - dY2 - dZ2 = 0. (27.3)
166 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Сравнивая это равенство с соотношениями (27.1), видим, что преобразования Галилея не обеспечивают формин- вариантности интервала (27.1), поскольку в него явным образом вошла относительная скорость V и появился пе- рекрестный член 2VdTdX. Для приведения выражения (27.3) к виду (27.1) выделим в нем полный квадрат так, чтобы исчез перекрестный член. В результате будем иметь: г Vdx V с? ---------ттт-dY2 -dZ2 = 0. 1УЛ Теперь для приведения этого выражения к виду (27.1) нам достаточно ввести штрихованные координаты в со- ответствии с равенствами: f = Т (27.4) у' = У, / = Z. Тогда выражение (27.3) принимает требуемый вид (27.1): ds2 = c2dtn — dx12 — dyn — dz12 = ds12 — 0. Таким образом, два последовательных преобразова- ния (27.2) и (27.4) перевели первое выражение (27.1) во второе. Следовательно, мы совершили переход из лабора- торной системы отсчета К в эквивалентную ей, с точки
§27] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 167 зрения электродинамики, систему отсчета К'. Исключая с помощью выражений (27.2) из соотношений (27.4) про- межуточные переменные X, Y, Z, Т, получаем связь ко- ординат и времени систем отсчета К и К': , — 71х , х ~ Vi , t = х = у = у, У = z. (27.5) Эти преобразования в научной литературе получи- ли название обратных преобразований Лоренца. Пря- мые преобразования Лоренца получаются, если соотно- шения (27.5) разрешить относительно нештрихованных переменных: t' + х' + Vt' y = y',z = z>. (27.6) Обсудим теперь преобразования (27.5) и (27.6). Во-пер- вых, заметим, что преобразования Лоренца, также как и преобразования Галилея, описывают переход от исход- ной лабораторной инерциальной системы к другой инер- циальной системе. Для того чтобы в этом убедиться, найдем закон движения начала отсчета О' системы К' с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе от- счета К. Подставляя х' = у' = z' = 0 в выражения (27.5), получим следующий закон движения точки О' по часам наблюдателя К: x = Vt. Это означает, что система отсчета К' движется равно- мерно и прямолинейно относительно инерциальной си- стемы отсчета К, т.е. и сама является инерциальной.
168 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Во-вторых, следует отметить, что преобразования Лоренца существенно отличаются от преобразований Га- лилея, переходя в них с некоторой точностью при V << с. Так как первые из них описывают переход между двумя инерциальными системами отсчета, оставляющий фор- минвариантными уравнения электродинамики, а вторые - тот же переход между двумя инерциальными система- ми отсчета, но оставляющий форминвариантными урав- нения механики Ньютона, то возникает вопрос, как со- гласовать между собой это противоречие между требо- ваниями электродинамики Максвелла и механики Нью- тона. Как мы увидим далее, данное противоречие меж- ду требованиями электродинамики и механики решается в пользу электродинамики, в результате чего механика Ньютона будет заменена релятивистской механикой, пре- дельным случаем которой при V « с является механика Ньютона. И, наконец, анализ соотношений (27.5) и (27.6) по- казывает, что они имеют смысл только при V < с. Это означает, что преобразования Лоренца (27.5) и (27.6) со- гласуются с принципом предельности скорости света, со- гласно которому любой физический объект не может дви- гаться со скоростью, большей скорости с, причем пре- дельную скорость V = с могут иметь только безмассовые частицы. § 28. Преобразование промежутков времени и длин отрезков В качестве непосредственных кинематических след- ствий преобразований Лоренца рассмотрим как в специ-
§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ И ДЛИН 169 альной теории относительности происходит преобразова- ние промежутков времени и длин отрезков при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инер- циальной системе отсчета. Для сравнения напомним, что при преобразованиях Г млея (26.2) ни промежутки времени, ни длины отрез- ков (26.4) не изменяются. Это свойство является прямым следствием абсолютности времени и независимости про- странства от времени в механике Ньютона. Предположим, что мы имеем две инерциальные си- стемы отсчета: лабораторную К и движущуюся отно- сительно нее вдоль оси X со скоростью V систему К'. Оси этих систем отсчета будем считать параллельными и сонаправленными. Предположим далее, что в системе отсчета К' в одной и той же течке происходят какие-либо два события в моменты времени и <£, разделенные про- межутком времени т0 = — f2 по часам наблюдателя, покоящегося в системе отсчета К'. Определим, какой промежуток времени между этими событиями измерит людатель, находящийся в системе отсчета К. Для этого воспользуемся преобразованиями Лоренца (27.6) и найдем моменты времени и <2, соответствующие этим Ц: ум событиям по часам наблюдателя, находящегося в рстеме Кг <2 = Гак как в системе К* оба события произошли в одной той же точке, то — х2 и промежуток времени т = !з — ti между этими событиями, измеренный по часам
170 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV наблюдателя системы К, будет равен: (28.1) Отсюда непосредственно следует, что согласно спе- циальной теории относительности промежуток времени между двумя событиями, в противовес механике Нью- тона, уже не является абсолютной величиной, а зависит от выбора инерциальной системы отсчета и достигает минимального значения в той системе отсчета, в кото- рой оба события происходят в одной точке пространства. Этот эффект, при всей его внешней парадоксальности, нашел свое экспериментальное подтверждение и в насто- ящее время широко используется в физике высоких энер- гий для транспортировки пучков короткоживущих ча- стиц на значительные расстояния, для увеличения сред- него времени жизни этих частиц и постановки экспери- ментов по изучению их свойств. Действительно, если рассматриваемые нами два со- бытия представляют собой рождение и, соответственно, распад нестабильной частицы, то в системе отсчета, где эти два события происходят в одной точке пространства, это время, как правило, чрезвычайно мало (например, то » 2,6 - 10~® сек для пионов и т0 ~ 2,2 • 106 сек для мюонов). Поэтому, если бы промежуток времени меж- ду событиями не удовлетворял релятивистскому соотно- шению (28.1), то даже в случае движения со скоростью V — с, частица не улетела бы от места своего рожде- ния на расстояние большее, чем L = сто, что составляет L ~ 7,8 метров для пионов и L ~ 600 метров для мюонов.
§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОМЕЖУТКОВ БРЕМЕНИ И ДЛИН 171 Однако, в действительности такое предсказание ока- зывается неверным, и частицы, движущиеся со скоро- стью V, от точки своего рождения до точки распада про- летают расстояние которое при скорости V, приближающейся к с, может до- стигать сколь угодно больших значений. В частности, упоминавшиеся выше пионы, рожда- ющиеся на высоте 20 - 30 км в широких атмосферных ливнях космических частиц, благополучно достигают по- верхности Земли и регистрируются научной аппарату- рой. И хотя этот факт убедительно подтверждает форму- лу (28.1), иногда можно встретить скептическое замеча- ние о том, что в этих опытах измеряется путь, пройден- ный пионом, но не измеряется его скорость. А поскольку преобразования Галилея не запрещают движение частиц со сверхсветовыми скоростями, то и пионы в этом случае могут иметь скорость больше, чем с. Однако, формула (28.1) проверялась в эксперимен- тах неоднократно и в различных условиях, когда измеря- ется не только путь, пройденный частицей, но и ее ско- рость. Так, например, в знаменитом церновском экспе- рименте ”g - 2” мюоны вводились в кольцо радиусом 5 м и удерживались там на почти круговых орбитах магнит- ным полем. Целью эксперимента было точное измерение магнитного момента мюона, но попутно была проверена и формула (28.1). Измерения средней длины пробега и скорости мюонов показало, что время их жизни в соот- ветствии с формулой (28.1) возрастало в 12 раз.
172 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. IV Поэтому в настоящее время нет никаких сомнений в правильности предсказаний специальной теории относи- тельности о релятивистском эффекте замедления време- ни. Чтобы глубже понять природу этого эффекта, полез- но провести его вычисление несколько иным способом, учитывающим, что в системе К события происходят в разных точках. Для этого воспользуемся обратными пре- образованиями Лоренца (27.5) и составим разности t2 —t\ и х2 - х^. В результате получим T0=t' -tj = <2 — *1 — ~g(g2 — Х1) (28.2) Так как в системе К' события происходят в одной и той же точке (х'2 = ®i), то из второго из этих равенств най- дем: Х2 - Х1 = V(<2 — h) = Vr. Подставляя это соотношение в первое из равенств (28.2), приходим к формуле (28.1). Другим кинематическим следствием специальной те- ории относительности является эффект сокращения дли- ны движущегося отрезка. Предположим, что в инерци- альной системе отсчета К' покоится отрезок длины /0, параллельный оси X и координаты его концов равны х{ я х'2 (см, рис. 7). Определим длину этого отрезка при измерении его в лабораторной системе отсчета К. Так как в системе отсчета К отрезок движется, то процедура измерения его длины должна состоять в опре- делении (считывании) координат его концов Xi и х? > a?i
§2 , :11д : ' wh 173 в един и тот же момент времени = ti по часам наблю- дателя системы К. Тогда длиной движущегося отрезка принимается величина I = х? — #1 • Рис. 7. Измерение длины движущегося отрезка. Таким образом, используя преобразования Лоренца (27.6), мы можем записать: г ~ ~ х2 ~xi + ^(*2 *1 I = Х2 — Ti = ----------------:--- . А _ (28.3) Разность #2 ~ tit входящая в это выражение, не равна нулю, так как согласно специальной теории относитель- ности два события, одновременные в какой-либо инерци- альной системе отсчета, но происходящие в разных ее точках, будут неодновременными в любой другой инер- циальной системе отсчета. Чтобы в этом убедиться, вое-
174 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV пользуемся формулами (27.5) и вычислим разность <2~tj: t2 tj t2 $1 р(д;2 — Д1) Так как <2 = tj, a xz — =1, то отсюда имеем: *2 — — (28.4) Таким образом, с точки зрения наблюдателя систе- мы отсчета К1 ’’считывание” координат тг и Xi в системе отсчета К происходит не одновременно. Образно говоря, наблюдатель системы отсчета К' увидит процесс изме- рения отрезка в системе отсчета К следующим образом: наблюдатель системы отсчета К в некоторый момент времени t2 считал координату х? отрезка, потом выждал некоторый промежуток времени, зависящий от длины от- резка (а отрезок движется все это время относительно не- го в положительном направлении оси X!), и после этого считал координату другого конца отрезка з?1 < Уже одно это обстоятельство позволяет утверждать, что в результате такого измерения длина отрезка в си- стеме К окажется меньше его длины, измеренной в систе- ме покоя К'. И формулы это подтверждают. Действи- тельно, подставляя выражение (28.4) в (28.3) и проводя несложные алгебраические преобразования, получим: / V2 I = к)\11----Л" < ^0- V с2 (28.5)
§ 29] РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 175 Этот эффект в научной литературе получил название эф- фекта сокращения длины движущегося отрезка. Следу- ет отметить, что никакого реального сокращения отрез- ка, появления в нем каких-либо напряжений или дефор- маций не происходит. Во всех инерциальных системах отсчета физическое состояние отрезка одно и то же. ’’Сокращение” (28.5) длины отрезка происходит во многом в силу принятого способа измерения длины дви- жущегося отрезка, как процесса одновременного считы- вания значений координат концов отрезка. Поэтому дан- ный эффект, как мы видели, возникает из-за того, что в специальной теории относительности одновременность двух событий, происходящих в разных точках простран- ства, является не абсолютным фактом, а относительным, зависящим от выбора системы отсчета: два события, происходящие одновременно в разных точках одной си- стемы отсчета, обязательно будут неодновременными в любой другой системе отсчета. Абсолютное значение в специальной теории относи- тельности имеют только два события, происходящие од- новременно в одной и той же точке, так как они будут одновременными и происходящими в одной точке в лю- бой системе отсчета. В заключение следует отметить, что результат изме- рения длины отрезка, расположенного перпендикулярно направлению относительного движения, в обоих систе- мах отсчета К и К' будет одним и тем же. Так как поперечные размеры тел при преобразовании Лоренца не изменяются, а продольные сокращаются, то объем тела, покоящегося в некоторой инерциальной системе отсчета, при переходе к другой инерциальной системе отсчета со-
176 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV кращается в ^/1 — V2/c2 раз. § 29. Релятивистский закон сложения скоростей Полученные формулы (27.5) и (27.6) преобразований Лоренца позволяют установить закон сложения скоростей в специальной теории относительности. Для этого рас- смотрим две инерциальные системы отсчета: лаборатор- ную К и инерциальную систему отсчета К', квяжушу- юся относительно системы К со скоростью V вдоль оси X. Предположим, что наблюдатели, находящиеся в этих системах отсчета, измеряют скорость одной и той же ма- териальной точки. Так как компоненты трехмерной ско- рости в любой системе отсчета определяются чисто кине- матически как отношения дифференциалов соответству- ющих координат к дифференциалу времени, то мы можем записать: • dx dy dz V-=di’ (29-1) , dx1 , dy' , dz' V* = Vy = ~dV' V* = dt>' Таким образом, для получения закона сложения ско- ростей нам необходимо найти связь между дифференци- алами координат и времени в обоих системах отсчета. Для этого возьмем дифференциалы от правых и левых частей соотношений (27.5): ,, dt — %dx . dx — Vdt , , , , , , df* — —, - --, dx* = — dy1 = dy. dz1 = dz. где /3 = V/c.
§ 29] РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 177 Подставим теперь эти выражения в последние три равенства (29.1). Учитывая первые три равенства (29.1), будем иметь: , dx - Vdt v£ - V Ут = 4 V j = 1 ’ V V ’ (29.2) dt —-?dx 1 *4- t - dyVl - _ v&Vi ~62 vy- dt-Vdx " ’ , dzy/l-p2 _Vzy/1~62 V*- dt-^dx ’ 1-^ ' c Эти соотношения и представляют собой релятивист- ский закон сложения скоростей. Совершенно аналогично, взяв дифференциалы от правых и левых частей соотно- шений (27.6), мы можем получить формулы, позволяю- щие определить скорость частицы V в системе отсчета К по известным компонентам скорости этой же частицы у' в системе отсчета К1 : (29.3) 1 + ^- v„ -— ,, , , vz = , У 1 i Vv' , i । Vv' 1 4 г- 1 4 5s- 1 c3 c3 Сравнивая выражения (29.2) и (29.3), легко отметить характерную черту перехода от формул, описывающих зоямые преобразования, к обратным и наоборот: для мого во всех формулах достаточно провести взаимную замену штрихованных величин на нештрихованные и за- :енить V на —V.
178 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Таким образом, закон сложения скоростей в специ- альной теории относительности существенно отличается от закона сложения скоростей Галилея (26.3). Однако, в нерелятивистском случае, когда скорость материальной точки и скорость относительного движения систем от- счета малы по сравнению со скоростью света, формулы (29.2) и (29.3) переходят в хорошо известные формулы га- лилеевского закона сложения скоростей (26.3). Действи- тельно, считая, что V2/c2 « 1, Vvx/c2 << 1 и прене- брегая этими величинами по сравнению с единицей, из выражений (29.2) и (29.3) получим: v'x = «X - v, v'y = Vy, и' = vz. В случае же релятивистского движения отношения V2/c2 и Упх/с2 могут уже быть сравнимыми с едини- цей, в результате чего преобразования компонент ско- рости описываются нелинейными выражениями (29.2) и (29 3}, которые показывают, что относительное движе- ние систем отсчета вдоль одной из осей координат (на- пример, вдоль оси X, как в нашем случае) изменяет не только компоненту скорости, параллельную данной оси, но и перпендикулярные к ней компоненты, если они не равны нулю. ' Следует также отметить, что скорость кванта элек- тромагнитного поля - фотона, равная v — с в какой-либо одной инерциальной системе отсчета, в силу законов сло- жения скоростей (29.2) и (29.3) будет равна v' = с и в любой другой инерциальной системе отсчета. Для то- го, чтобы в этом убедиться, предположим, что скорость фотона в нештрихованной системе отсчета лежит в плос- кости ХОУ и составляет угол а с осью X: vx = ccosa, vy = csina.
§30] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УГЛОВ 179 Подставляя эти выражения в соотношения (29.2), после несложных вычислений легко получить: И, наконец, релятивистские формулы сложения ско- ростей (29.2) и (29.3) позволяют элементарно доказать, что скорость v — с является предельной скоростью для всех материальных тел. Действительно, составляя раз- ность vrl — с2 и используя выражения (29.2), несложно получить: v'2 -с2 (1 -$)(!-$) с2. Так как 1 — V2/с2 > 0 и 1 — г2/с2 > 0, то v'2 — с2 < 0. Это означает, что если в одной системе отсчета (например, нештрихованной) скорость материального тела v < с, то в любой другой системе отсчета, движущейся отно- сительно исходной со скоростью V < с, скорость этого материального тела также будет меньше с. А так как все системы отсчета создаются из материальных тел, то никаким переходом к другим системам отсчета нельзя превысить скорость света. § 30. Преобразование углов Рассмотрим теперь вопрос о преобразовании углов при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета. Следует сразу же отметить, что какого-то единого закона преобразования углов не существует, так как в
ISO СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV зависимости от того, чем ооразован угол, применяются те или иные формулы преобразования. Рассмотрим не- сколько наиболее важных частных случаев. Предположим, что в лабораторной системе отсчета К вдоль оси X со скоростью V движется штрихованная инерциальная система отсчета К'. Пусть в системе от- счета К1 покоится прямоугольный треугольник, один из катетов которого параллелен оси Х\ а другой - оси Y'. Тогда тангенс угла в', составляемого гипотенузой это- го треугольника с осью Аг/, в системе отсчета К' будет равен: tg е' = 14 ~41 14 - 4 Г где |4 — 41 ~ длина первого катета, а !4 ~ 41 ~ длина второго катета, измеренные наблюдателем штрихован- ной системы отсчета. В лабораторной системе отсчета тангенс этого же угла будет определяться аналогичным выражением: tg 0 = IZ/2 ~^1| 1^2 ~ Т] I' При преобразованиях Лоренца (27.5) и (27.6), как мы видели в § 28, длина движущегося отрезка, параллельно- го вектору скорости V штрихованной системы отсчета, и измеряемая из лабораторной системы отсчета, сокра- щается в v'l — V2 /с1 раз, а длина отрезка, перпендику- лярная вектору V, не изменяется: |тг — Т’1 j 14 ~ 41 V2 1 ~ |г/2 —2/1| = 14-41-
§30] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УГЛОВ 181 Поэтому тангенсы этих углов треугольника оказываются связанными соотношением: / V2 tg 0' = V1 —2 tg V с (30.1) Предположим теперь, что в системе отсчета К' дви- жется частица со скоростью v' под некоторым углом к оси X*. Не ограничивая общности, будем считать, что век- тор скорости v' частицы расположен в плоскости X'O'Y' в составляет угол ff с осью X*. Тогда обозначая угол между вектором скорости этой частицы v и осью X в системе отсчета К через в, будем иметь: vx = v cos в, vv = v sin в, v' = у* cos O’, v* - v‘ sin O'. Подставляя эти соотношения в выражения (29.3) для ре- лятивистского закона сложения скоростей, получим: и cos 6 = у’ cos О’ — V 1 +• cos О' ’ v sin О = где (3 = V/c. г/sin ву/1 — (З2 1 + cos ’ (30.2) Исключим из этих равенств скорость v. Для этого разделим второе соотношение (30-2) на первое. В резуль- тате будем иметь: tg 6 = у'sin 6'у/Г^2 v‘ cos О' — V (30.3)
182 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. Г. Совершенно аналогично можно получить и формулы обратного преобразования: , vsin 0х/1~/32 tge = ------- v cos 8 — V (30.4' Таким образом, в этом случае законы преобразова- ния углов (30.3) и (30.4) зависят от скорости частицы v! и отличаются от закона преобразования (30.1). Поэтому две частицы, движущиеся в штрихованной системе от- счета с различными скоростями rj и под одним и тем же углом 8' к вектору V, в лабораторной системе отсчета в общем случае будут двигаться под разными углами 8-L и 8%: sin 8'^/1 — Pl tg 8х = . Д - ^2 0 У 2 г?2 cos 8'2 4- V Исключение составляет тривиальный случай движения частиц вдоль вектора V : при 0* = имеем: 0( — 02 = 0. Формулы преобразования углов (30.3) и (30.4) спра- ведливы для любых частиц, включая и фотоны. В по- следнем случае в выражениях (30.3) и (30.4) следует по- ложить: v = г/ = с. В результате будем иметь: COS 8' 4- р (30.5) sin 8y/l — p?' tg 8' = . COS 8 — Р
§ 31] ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 183 Позднее мы эти формулы получим и из закона преобра- зования частоты и волнового вектора электромагнитной волны. Совпадение формул, получаемых двумя разными способами, лишний раз свидетельствует о непротиворе- чивости специальной теории относительности. § 31. Тензоры в пространстве Минковского Изучение уравнений электродинамики показало, что пространство и время представляют собой единое целое - четырехмерное пространство-время. В этом четырех- мерном пространстве мы можем ввести четыре взаимно ортогональные оси: х° = ct, ж1 — ж, ж2 = г/, ж3 — z. То- гда радиус-вектор некоторой точки этого пространства будет иметь четыре компоненты и его можно записать в виде: хк = {ж0, ж1, ж2, ж3} = {cf,r} . При такой записи обычно считают, что любой ин- декс, обозначенный буквой латинского алфавита (г, J, к и т.д.), может принимать четыре значения: г, J, к — 0,1,2,3, а индекс, обозначенный буквой греческого алфа- вита (а, /3, 7 и т.д.), может принимать три значения: а, /3, 7 = 1,2,3. Любой четырехвектор Ак можно спроецировать на четыре координатные оси и определить его проекции сле- дующим образом: Ак = {.4°, А1, А2, А3}. По аналогии с компонентами хк компоненту .4° называют временной компонентой, а компоненты А1, А2, А3 - пространствен- ными компонентами. В прямоугольных декартовых ко- ординатах компонентам А1, А2, А3 соответствуют ком- поненты Ах, Ау, Az. Четырехвектор Ак, у которого индексы расположены вверху, называется контравариантным. Наряду с кон
184 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 1\ травариантными четырехвекторами существуют и кова- риантные четырехвекторы, у которых индексы располо- жены внизу: Ак = {Ао, Ai, А2, Аз}. Следующим по сложности объектом является конта- еариантный тензор второго ранга, имеющий два индек- са: Тгк. Так как индексы г и к у этого тензора могут принимать независимо друг от друга значения 0,1,2,3. то данный тензор можно представить в виде матрицы, строки которой нумеруются индексом i (первый индекс), а столбцы - индексом к (второй индекс). При этом сле- дует учесть, что в отличие от обычной матрицы здесь нумерация начинается не с единицы, а с нуля: сначала идет нулевая строка, за ней первая и т.д.: , j~O0 j->01 rp02 gn03 rpik 1 j-io j-i'20 Jill g-i21 j->12 -p 22 gnl3 у 31 y32 rp33 Наряду с контравариантными тензорами в электро- динамике употребляются ковариантные тензоры второ- го ранга, у которых индексы расположены внизу: Tik = / ?оо Toi Тог ТЬз \ Tic Til 712 7’13 j Тго Т21 7’22 723 I V Тзо 7з1 Тз2 Тзз / Кроме того, используются и смешанные тензоры второ- го ранга, у которых один индекс является ковариантным (расположен внизу), а другой - контравариантным (рас- положен вверху).
§31] ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 185 Тензор называется симметричным, если он не изме- няется при перестановке индексов Тгк — 7'кг и антисим- метричным, если при такой перестановке он изменяет знак: Т‘к = —Ткг. Любой тензор второго ранга Тгк все- гда можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров: rpik ___ rp^ik) । где Т^гк’ = — [Тгк +Т*г]/2 - симметричная часть тензора Тгк, а — —ТМ _ — Ть]/2 - антисим- метричная. Одним из наиболее важных тензоров второго ранга является ковариантный метрический тензор gtk. Пред- полагается, что этот тензор является симметричным и определитель матрицы gik всегда отличен от нуля, по- этому по данной матрице gik мы всегда можем построить ей обратную. Тензор дгк соответствует матрице, обрат- ной к матрице gik', его называют метрическим тензором с контравариантными индексами (или, просто, контрава- риантным метрическим тензором). В декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдоевклидова пространства-времени матри- цы, соответствующие тензорам gik и дгк, совпадают: /1 0 0 0 \ 1 0 9гк — I р -1 0 0 -1 0 1 0 / = л (31.1) \0 0 0 -1/ гетырехмерное пространство-время, у которого метри- :^:кий тензор в декартовых координатах инерциальной
186 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX системы отсчета имеет вид (31.1), называется простран- ством Минковского. Так как матрицы дгк и дгк взаимно обратны, то вы- полняется соотношение з Vni гг , 9кп д — 0к п—О О при i / к, 1 при i — к. В тензорном анализе обычно принимают правило сумми- рования Эйнштейна: по индексам, обозначенным одной и той же буквой и стоящими один вверху (контравари- антный индекс), а другой внизу (ковариантный индекс) предполагается суммирование по всей совокупности при- нимаемых данными индексами значений. В силу этого правила, записывая выражение дгпАпк^ мы подразумева- ем, что по индексу п происходит суммирование от 0 до 3: з дпк — Дпк дгп /1 — ? дгп /г п=0 Это правило позволяет в ряде случаев значительно упро- щать запись сложных тензорных выражений. Используя метрический тензор, мы можем опускать и поднимать индексы и у других тензоров, и, тем самым, находить связь между контра- и ковариантными компо- нентами одного и того же тензора. По определению име- ем: Tik = ginTnk, Тгк = дгп9ктТпт, (31.2) = ginTnk, Тгк = gingkmTnm.
§ 31] ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 187 Так как в определение тензора входит расположение и порядок следования индексов, то рекомендуется вакан- сии для индексов обозначать точками, чтобы при мно- гократном поднятии и опускании каждого индекса было наглядно видно его место среди других индексов. В пространстве Минковского из-за чрезвычайно про- стого вида метрического тензора (31.1) существует про- стая связь между ковариантными и контравариантными компонентами в декартовых координатах инерциальной системы отсчета: при поднятии или опускании индексов 1,2 и 3 компонента тензора изменяет знак на противопо- ложный, а при поднятии и опускании индекса 0 компо- нента тензора не изменяет знак: TGk=TG\ TiG = ТМ, (31.3) у к __ ylfe у- 2 __ _Т‘2 Т & __ _ Поэтому, если Ап = {.4°. А}, то Ап = {-40 = А°, —А}. С помощью метрического тензора gik можно полу- чить обобщение понятия расстояния между двумя точ- ками на случай четырехмерного пространства-времени. Соответствующее ” расстояние” в этом случае называет- ся интервалом ds. По определению квадрат интервала ра- вен: ds2 = gikdxldxk. (31.4) В декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдоевклидова пространства-времени квадрат интервала имеет вид: ds2 — c2dt2 — (dr)2 — c2dt2 — dx2 — dy2 — dz2. (31.5)
188 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Отсюда уже видно, что в четырехмерном пространстве- времени квадрат интервала ds2 не является знакоопреде- ленным: в зависимости от величин dt и dr он может быть меньше, равен или больше нуля. Метрический тензор используется и для построения скалярного произведения двух четырехвекторов Аг и Вк : (АВ) = gikA'Bk = A'Bi = АкВк. (31.6) При А1 = В' из этого выражения получаем квадрат че- тырехвектора В* : (В)2 = gikB'Bk — В'В,. (31.7) В пространстве Минковского при использовании декар- товых координат инерциальной системы отсчета это вы- ражение принимает вид: (В)2 = (В0)2 - (В1)2 - (В2)2 - (В3)2. (31.8) Таким образом, в этом случае квадрат четырехвектора равен разности квадратов его временной компоненты и пространственных компонент. Четырехвектор, квадрат которого больше нуля, на- зывается времениподобным, при равенстве нулю четы- рехвектор называется изотропным и, наконец, если ква- драт четырехвектора меньше нуля, то он называется про- странственноподобным. При любых преобразованиях координат четырехмер- ного пространства-времени х'1 = х'г(хп) (переход от не- штрихованных координат хп к штрихованным коорди-
31] ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 189 затем хп) якобиан преобразования 8х'° а»*1 &Х1 бха &Х1 &х'я 8х'° 'ах*' 8хп Ьх* 8хп Их* 8х,я аёг должен удовлетворять условиям: J / О, J / ±оо. Тогда преобразования х1' = хп(хп) будут взаимно однозначны г для них будут существовать обратные преобразования = хп(хн). Тензоры являются выделенными системами функций роди других систем функций тем, что удовлетворяют трого определенным законам преобразований при пре- образованиях координат четырехмерного пространства- зремени. Простейшим тензором является скаляр - одна функ- ция S(x°, х1, х2, х3) = S(x), которая при преобразованиях координат преобразуется по закону: S'(x’0,x'1,x,2,x,3) = S(x°(xH),x1(x'i),x2(x'i),x3(x’i)). (31.9) Поэтому скаляр иногда называют инвариантом. Четырехвекторы имеют по одному тензорному ин- дексу и преобразуются по закону: Частными случаями четырехвекторов являются бес- конечно малый контравариантный четырехвектор dx* и
190 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. : ковариантный четырехвектор - градиент dS/dxk от ск- лярной функции S- И, наконец, тензоры второго ранга преобразуются г. закону: Т[к дхп дхт дх* ’ дх'к 'Тпт rplik __ грпт /о, , - дхп'дхт' ’ 131‘ * Сравнивая выражения (31.9) - (31.11), несложно пс нять принцип построения закона преобразования тензора при преобразовании координат: сначала у каждой компо- ненты тензора нештрихованные аргументы заменяются на штрихованные с помощью соотношений х* = х'(х'" Затем на каждый ковариантный индекс следует добг вить множителем производную от нештрихованных ко- ординат по штрихованным, а на каждый контравари антный индекс следует добавить множителем произвол ную от штрихованных координат по нештрихованныз. после чего провести суммирование индексов преобраз;- емого тензора с индексами нештрихованных координат входящих в производные. § 32. Четырехвектор плотности тока и четырехпотенциал поля Установив геометрию пространства-времени и выя : нив законы преобразования тензорных величин при пре образованиях координат, мы оказались подготовленным., к переформулированию электродинамики на четырехме: ный тензорный язык. Это, с одной стороны, позволит нам установить тек зорную природу входящих в уравнения Максвелла велп чин, зная которую, достаточно легко построить законы
§ 32] ЧЕТЫРЕХВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА 191 преобразования их при любых преобразованиях коорди- нат и времени и, прежде всего, при преобразованиях Ло- ренца. С другой стороны, запись основных уравнений и со- отношений электродинамики в четырехмерном виде, как мы увидим далее, даст возможность уточнить уравнения механики. И, наконец, в качестве дополнительного аргу- мента в пользу четырехмерного языка укажем, что мно- гие парадоксы и задачи, возникающие в специальной те- ории относительности, могут быть непротиворечиво раз- решены только на основе использования такого языка. Перевод выражений и соотношений электродинами- ки на четырехмерный тензорный язык начнем с одного из наиболее фундаментальных законов электродинамики - дифференциального закона сохранения заряда (3.3). В подробной записи он имеет вид: др , djx , djv djz п dt dx dy dz Заменяя в этом выражении координаты и время их четы- рехвекторными эквивалентами х° -= ct, х1 = х, х2 — у, х3 = z и учитывая, что jx — j3,jv = j2, jz = j3, получим: d di3 di2 di3 ТТоМ + Йг + ё? +&=0- (32Л) dx° dx1 dx2 dx3 Рассмотрим это уравнение. Легко заметить, что по- следние три члена в левой его части представляют собой трехмерную часть свертки по индексам, стоящим у век- торов j и г, и не имеют свободных индексов. Так как в любом тензорном равенстве все слагаемые должны иметь одинаковую тензорную природу, то и первое слагаемое в
192 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. IV выражении (32.1) не должно иметь свободных индексов и также представлять собой часть четырехмерной свертки. Эти два требования могут быть удовлетворены, если и только если, плотность заряда, умноженная на скорость света, является временной компонентой j° = ср некото- рого четырехвектора тока: jn = {j° = cp, j}. (32.2) Тогда соотношение (32.1) принимает вид: din ^=0. (32.3) В четырехмерном пространстве-времени выражения та- кого типа, по аналогии с соответствующим сражени- ем в трехмерном случае, называют четырехдивергенци- ей. Таким образом, плотность заряда р и вектор плотно- сти тока j с точки зрения четырехмерного пространства- времени представляют собой разные проекции единого четырехвектора тока (32.2). Это обстоятельство дает возможность достаточ- но просто получить закон преобразования р и j при пре- образованиях Лоренца. Для этого запишем общий закон (31.10) преобразования контравариантого вектора а’ : a'V) = ^an(^'))- (32.4) Для простоты-предположим, что движение штрихован- ной системы отсчета относительно лабораторной совер- шается вдоль оси X. В этом случае обратные преобразо- вания Лоренца (27.S) в индексной форме записи примут
§32] ЧЕТЫРЕХВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА 193 вад: _д1 @х° - т13 - тз vT^-’ " 0^2’ х х ~х- Составим всевозможные производные от штрихованных координат по нештрихованным. Ненулевыми из них бу- дут: дх'° дхп 1 дх° ~ дх1 ~ ^/1 - у32 ’ Эх70 = дх^_ _ 0 дх12 дха дх1 дх° у/\- р2' дх2 ~ дх3 Полагая в выражении (32.4) i = 0 и раскрывая суммиро- вание по индексу п, получим: а'° дхЮ п дх'° 0 дх10 ! дхЮ 2 дхЮ , -^а = -я~оа + 7ГТ° + + 7TTG дхп дха Эх1 дх2 дх3 Подставляя в это выражение производные (32.5), будем иметь: а , о _ «° ~ Ра1 (32.6) Совершенно аналогично при г = 1,2,3 получим: / 1 Д рСр У 2 2 Z 3 3 а' = £—, а' 2 = а2, а' 3 = а3. Обратные преобразования имеют вад: л/Г^ (32.7)
194 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV х a^+ZJa'0 ° — 7==—5 а2 = а ' 2, а3 = а ' 3. Из этих выражений легко заметить характерное свойство преобразования компонент любого четырехвектора: при преобразованиях Лоренца изменяются только временная компонента и компонента, параллельная вектору отно- сительной скорости, компоненты же, перпендикулярные вектору скорости, остаются неизменными. Полагая, что аг — j1, из выражений (32.7) найдем . Зх + Ур' (32.8) Зх Зя = Зу> 3* ~ 3z- Рассмотрим теперь другое важное дифференциаль- ное соотношение, использованное нами в электродинами- ке - условие Лоренца: 4-div А = 0. с сП Повторяя почти дословно ход приведенных выше рассу- ждений, можно утверждать, что скалярный потенциал <р и векторный потенциал А представляют собой разные проекции четырехпотенциала А' = {А° = у, A}, A, = {Ао = <р, -А} (32.9)
§ 33] ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ и условие Лоренца принимает вид: 195 dAi дх* = 0. Следовательно, при преобразованиях Лоренца (27.6) ска- лярный и векторный потенциалы преобразуются по за- кону: Ау — Ар, Аг — A'z. А' +№' Из этих выражений видно, что скалярный потенциал и компонеты векторного потенциала являются величинами относительными, зависящими от выбора системы отсче- та. § 33. Тензор электромагнитного поля Перейдем теперь к выяснению геометрической при- роды трехмерных векторов Е и Н, рассматриваемых с точки зрения четырехмерного пространства-времени. Для этого мы должны выбрать какие-либо уравне- ния или соотношения электродинамики, в которые наря- ду с известными уже нам геометрическими четырехмер- ными объектами входили бы и эти векторы, и, изучая которые, можно было бы выяснить тензорную природу векторов Е и Н. В качестве таких соотношений наи- более естественно выбрать выражения, связывающие на- пряженности полей Е и Н с потенциалами электромаг- нитного поля: ISA Е = (зз1) Н = rot А.
Действительно, так как в выражения (33.1) входят потен- циалы электромагнитного поля, тензорная природа ко- торых нами уже установлена А’ = {А0 = А}, Ап = {Ao — у>, —А}, а также операторы дифференцирования по координатам и времени, то, представив правые части в явных тензорных обозначениях, мы, тем самым, уста- новим тензорную природу и левых частей. Запишем, используя определения (33.1), выражение для компоненты Нх: гт _ ЭАг __ ЭАУ х ~ ду dz' Учитывая, что у = х2, z = х3, Ау = А2 = —Аг, Az = А3 = —Аз, это соотношение мы можем представить в двух видах: _ 5А2 ДАз ЭА3 дА2 дх3 дх2' И Ux дх2 дх2’ Но с точки зрения тензорной алгебры последнее из этих соотношений является неправильным, так как содержит два члена, индексы которых имеют существенно разное расположение: у первого члена индекс 3 является контра- вариантным, а индекс 2 - ковариантным1 \ в то время как Индексы, стоящие у дифференциалов координат в выражениях для частных производных, для всего выра- жения являются ковариантными. Это непосредственно следует из того, что при преобразованиях координат вы- ражение д/дх*, в силу принятых правил дифференциро- вания, преобразуется по закону ковариантного 4-вектора.
§ 33] ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 197 у второго члена они расположены наоборот. Так как в определение тензора входит порядок и расположение ин- дексов, то эти два члена имеют разную геометрическую природу и производить их алгебраическое сложение не- льзя, также как нельзя, например, производить сложе- ние двух тензоров А* + В*. Поэтому для Нх остается единственное представление, согласующееся с правила- ми тензорной алгебры: _ дА2 _ дАз 1 ~ дх3 дх2 ’ Так как справа имеются два свободных (по ним нет сум- мирования!) ковариантных индекса 3 и 2, то компонента Нх, очевидно, должна быть компонентой некоторого ко- вариантного тензора второго ранга. Обозначая этот тен- зор буквой F, мы можем записать: Нх — F32. Поступая аналогично, несложно установить, что Ну — J13, Hz = Р21. Таким образом, компоненты вектора Н не являют- ся пространственной частью какого-либо четырехвекто- ра, а представляют собой пространственные компоненты тензора второго ранга: =В - В- <зз-2> В этой связи возникают два вопроса: в какой геометриче- ский объект входят напряженности электрического поля и что дают компоненты тензора Fik, когда один из ин- дексов равен нулю. Оказывается, что на эти два вопроса ответ один: компоненты тензора Fit при i = 0, к = а и г = a, fc = О дают как раз все компоненты вектора Е.
198 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Для того, чтобы в этом убедиться, запишем выражение (33.2) при г = 0, к = 1: F = dA1 - 01 “ дх° дх1 ’ Учитывая соотношения а:0 = ct, х1 — х, х2 = у, х3 — z и А„ = {Ао — <р, —А}, отсюда получим: F01 — dtp 1 дАх дх с dt Совершенно аналогично можно установить, что F02 = Еу, F03 = Ег. Таким образом, компоненты векторов Е и Н с точки зрения четырехмерного пространства-времени не являются независимыми друг от друга величинами, а представляют собой различные компоненты тензора вто- рого ранга (33.2). Этот тензор в научной литературе получил название тензора электромагнитного поля. Изучим тензор электромагнитного поля подробнее. Из определения (33.2) следует, что этот тензор является антисимметричным, поскольку при перестановке индек- сов ink он изменяет знак: Fik = —Ft,, причем при i = к соответствующие компоненты его равны нулю. Отсюда следует, что из шестнадцати компонент тензора электро- магнитного поля независимыми являются только шесть, по числу компонент векторов Е и Н. Если представить тензор Fik в виде матрицы, строки которой нумеруются первым индексом тензора поля, а столбцы - вторым, то будем иметь: О Ех Еу Ег —Ех 0 -Нг Ну -Еу Нг О —Нх —Ег -Ну Нх О (33.3) Fik .=
§33] ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 199 Поднимая индексы у этого тензора с помощью устано- вленного в § 31 правила: поднятие нулевого индекса не изменяет знак у этой компоненты, а поднятие простран- ственного индекса изменяет знак на противоположный, несложно установить, что (О Ех Еу Ег \ Ех О Н, -Ну I Еу -Нг 0 Нх I’ Ег Ну -Нх 0 / (33.4) / О -Ех -Еу —Ez\ pit _ I Ех 0 ~Нг Ну | I Еу Нг О -Нх I • \ЕХ -Ну Нх 0 / Соотношение (33.2), связывающее тензор поля Ец, с че- тырехпотенциалом Ai, также как и соотношения (33.1), допускает проведение калибровочного преобразования, оставляющего тензор электромагнитного поля инвари- антным (неизменным). Это преобразование имеет вид: Ai = A'i- дх' ’ где f (г, t) - произвольная дважды дифференцируемая по своим аргументам функция. Используя это преобразование, всегда можно добить- ся, чтобы четырехпотенпиал удовлетворял условию Ло- ренца ^.0, дх'
200 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV позволяющему существенно упростить решение многих задач электродинамики. § 34. Законы преобразования векторов поля У становие тензорную природу компонент векторов Е и Н, мы, тем самым, получили возможность находить за- коны их преобразования при различных преобразованиях координат и времени. Для нас наибольший интерес, есте- ственно, представляет закон преобразования векторов Е и Н при преобразованиях Лоренца. Найдем этот закон. Для этого запишем сначала общий закон преобразования тензора второго ранга: дхп г)тт F-=d^d^F- (34Л) Так как и лабораторная, и штрихованная инерциальные системы отсчета являются физически эквивалентными, то в штрихованной системе отсчета связь компонент тен- зора F-k с компонентами векторов Е' и Н' может быть представлена матрицей, аналогичной матрице (33.3): / 0 Е'х \ Fik = 1 1 0 -и' 0 Н'у -Я' (34.2) \-Е'г И; 0 / Поэтому для получения законов преобразования векторов Е и Н необходимо произвести перебор шести значений индексов i и к в выражении (34.1), соответствующих ше- сти компонентам векторов Е и Н. Для этого чаттиптем преобразования Лоренца (27.6) в индексной форме: Xю + /Зх'1 ДД&' хл + (Зхл уД^'
§ 34] ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ ПОЛЯ 201 Составим всевозможные производные от нештрихован- ных координат по штрихованным. Ненулевыми из них будут: =____1_ {343) дх*> ~ дх* у/\-р' 1 ’ дх° дх1 _ ft дх2 дх3 дха дх'0 дхп дх’3 Полагая в выражении (34.1) i = 0, к = 1, будем иметь: . _ дхп дхт 01 дхю дх11 пт‘ Раскроем суммирование по индексу т в правой части этого равенства и учтем соотношения (34.3). В резуль- тате получим: , дхп гдх° дх1 дх2 дх3 _ ] 01 ~ 'вргFn0 + аргFnl + 3PrFn2 + aPrF"3J = _ Р дхп 1 дх" ^Г^дх* п0+^&« п1’ Раскрывая оставшееся суммирование по индексу п, при- ходим к равенству: Fgj = FOi- Из выражений (33.3) и (34.2) для матриц Fik и F-k следует, что Fgj = Ех, FOi = Ех. Поэтому при i = 0, к = 1 имеем: Ех = Ех. Совершенно аналогично можно найти формулы пре- образования и для остальных компонент векторов Е и Н. В результате будем иметь: Е'х = ЕХ, Н'х = Нх, F' Еу, ~ п' - Н» + у у/1 - 02 ’ ’ у/1 - /Р ’ (34.4) _ Нг - pEv г у/Г^' Ж~ у/Г^-
202 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Соотношения (34.4), связывающие компоненты по- лей в системах К и К', несложно записать в векторном виде, позволяющем рассматривать инерциальное движе- ние в произвольном направлении. Обозначая компонен- ты полей Е и Н, параллельные вектору относительной скорости V. через Ец и Нц соответственно, а перпенди- кулярные компоненты - через Ех и Hj_, будем иметь: Е|| =Ец, Ну = Нц, _Ei+l[VH] _Hx-HVEl (МБ) ’ Н±" 0-/^ ’ Обратные преобразования получаются из этих формул по общему правилу: Ец =Е||, Нц = Нц, Е'± - 1[VH'] Н'± + 1[VE'] (34.6) Kj I — , • in. « X"i I . । । • Из этих выражений видно, что, подбирая соответствую- щим образом инерциальную систему отсчета, в ряде слу- чаев можно значительно упростить выражения для полей Е и Н в этой системе отсчета. § 35. Инварианты электромагнитного поля Как следует из выражений (34.5) и (34.6), при пре- образованиях Лоренца величина и направление векторов Е и Н могут существенно изменяться. В этой связи воз- никает вопрос: а есть ли какие-то величины, построен- ные из полей Е и Н, которые при преобразованиях ко- ординат и времени не изменяются, т.е. являются ин- вариантными (неизменными) во всех системах отсчета?
§35] ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 203 Оказывается, что такие величины есть и их бесконечно много. В качестве таких инвариантов может быть взят любой скаляр, построенный из тензоров поля. Введем некоторые определения. V-ой степенью тен- зора Fjjt мы будем называть тензор второго ранга F-^+i, построенный из тензоров Fik, все индексы которых после- довательно свернуты за исключением первого индекса у первого тензора и последнего индекса у последнего тен- зора: Р^) = р. р. . pin-iiN р. . riltN+l ГЧ*3Г r«S»4 rIJV»N+l • N Сворачивая оставшиеся индексы в этом выражении, получим скаляр, который будем называть инвариантом электромагнитного поля N-ro порядка: = С2+У1,л,+1- Легко убедиться, что из-за антисимметрии тензора Fik = —Fa, четные степени этого тензора будут симметрич- ными t ), а нечетные степени - анти- симметричными (F$™+V = -Fi™+V). Так как тензор д,к является симметричным, то несложно убедиться, что инварианты электромагнитного поля нечетных порядков тождественно равны нулю. Поэтому отличными от то- ждественного нуля могут быть только инварианты элек- тромагнитного поля четных порядков: Ь = Fik Fki, I4 = Fik Fkl Flm Fmi, (35.1) le = Fik Fkl Flm FmnFnp F^, ....
204 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. IV Все эти инварианты не зависят от выбора не только инер- циальной, но и неинерциальной системы отсчета: в лю- бой из них каждый инвариант остается неизменным. Од- нако не все из них являются независимыми. Как можно показать, среди бесконечного числа инвариантов элек- тромагнитного поля четного порядка несколько инвари- антов являются независимыми, а все остальные могут быть выражены через них. Число независимых инвари- антов для произвольного тензора зависит от числа из- мерений N пространства-времени, совпадая с ним для случая симметричного тензора и равняясь [2V/2] - целой части от половины размерности пространства-времени в случае антисимметричного тензора. Так как тензор элек- тромагнитного поля является антисимметричным, а раз- мерность пространства-времени равна четырем, то неза- висимых инвариантов электромагнитного поля всего два. И даже если бы вдруг обнаружилось пятое измерение, это число не изменилось бы, что свидетельствует об опреде- ленном ’’запасе прочности ” электродинамики по отноше- нию к изменению размерности пространства-времени. Таким образом, в качестве независимых инвариан- тов тензора электромагнитного поля можно выбрать лю- бые два из бесконечной совокупности (35.1) инвариан- тов. Очевидно, что наиболее простой случай реализу- ется, если в качестве независимых инвариантов выбрать инварианты низшего порядка I2 и Ц: h = Fik Fki, Ц = Fik Fk,Flm Fmi. (35.2) Используя представления (33.3) и (33.4), раскрывая сум- мирование в этих выражениях, после несложн- ;х, но весь- ма громоздких вычислений можно найти явную зависи- мость инвариантов I2 и Ц от векторов полей Е и Н в
§ 35) ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 205 декартовых координатах инерциальной системы отсче- та: h = 2(Е2 - Н2), Д = 2(Е2 - Н2)2 + 4(ЕН)2. Сравнивая эти выражения, легко заметить, что инвари- ант Ц содержит инвариант 12 как свою составную часть: А = |/22 + 4(ЕН)2. Поэтому в декартовых координатах инерциальной систе- мы отсчета в качестве независимых инвариантов элек- тромагнитного поля можно взять более простые выра- жения: Ji = Е2 - Н2, J2 = (ЕН)2. (35.3) Подставляя в эти инварианты выражения (34.6), непо- средственной проверкой можно убедиться, что Л = Е2 - Н2 = Ett - Н'2, J2 = (ЕН)2 = (Е'Н')2. Существование инвариантов электромагнитного по- ля (35.3) накладывает определенные ограничения на воз- можности изменения полей при преобразованиях Лорен- ца, позволяя установить ряд утверждений, имеющих аб- солютный характер, независящий от выбора системы от- счета. В частности, если в какой-либо точке простран- ства одной из инерциальных систем отсчета |Е| = |Н|, то и в любой другой инерциальной системе отсчета в этой точке в силу условия Ji = 0 поля Е' и Н' будут удовле- творять соотношению |Е'| = |Н'|, хотя, возможно, они будут и изменяться: |Е| |Е'|.
206 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. IV Другим важным частным случаем является случай взаимно перпендикулярных векторов электрического и магнитного полей. В этом случае если в какой-либо точ- ке пространства в одной из инерциальных систем отсчета Е ± Н, то в силу того, что J2 = 0, и в любой другой инер- циальной системе отсчета в этой точке векторы поля бу- дут либо взаимно перпендикулярными (при Ji = 0), либо один из них обратится в нуль (при «Д 0.) В последнем случае Е' = 0, Н' 0 при J\ < 0 и Е' / 0, Н' = 0 при J1 > 0. Поэтому при Ji / 0 мы можем исключить либо электрическое, либо магнитное поле, переходя в одну из указанных систем отсчета. Если же Jj 0, Ji 0, то всегда можно найти инерциальную систему отсчета, в которой векторы Е' и Н' будут параллельными. В заключение этого параграфа отметим, что поле излучения в электродинамике занимает привилегирован- ное положение, так как для всех электромагнитных волн в вакууме выполняются соотношения: Jj =, J2 = 0. Это означает, что в любой системе отсчета поля Е и Н элек- тромагнитной волны при ее распространении в вакууме должны быть взаимно перпендикулярными и равными друг другу по модулю. § 36. Ковариантная запись уравнений Максвелла Поставим теперь задачу записать уравнения Макс- велла в четырехмерном виде, или, как иногда говорят, в ковариантной форме. Уравнения Максвелла (3.19) пред- ставляют собой систему уравнений в частных производ- ных первого порядка относительно векторов Е и Н. По- этому и их четырехмерный аналог должен также содер-
§ 36] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 207 жать только частные производные первого порядка от тензора электромагнитного поля Fik. Но так как систе- ма уравнений Максвелла содержит две существенно раз- ные группы уравнений - однородные и неоднородные, то и четырехмерное обобщение этих групп осуществляется по-разному. Рассмотрим сначала однородные уравнения: rot Е = — 1ЭН с dt ’ divH=0. (36.1) Из этих уравнений, как показано в § 5, однозначно следу- ет связь между полями Е и Н и потенциалами и А : Е = — grad tp IdA с dt ’ (36.2) Н = rot А. Сейчас же возникает обратная задача: зная четырех- мерное обобщение Р - дАк - dAi ик Fik ~ dx* dx* (36,3) соотношений (36.2), необходимо найти четырехмерный аналог уравнений (36.1). В качестве руководящей идеи при решении этой задачи воспользуемся тем обстоятель- ством, что уравнения (36.1) обращаются в тождество при подстановке в них соотношений (36.2). Поэтому нам не- обходимо построить такую комбинацию частных произ- водных dFik Idxn, которая автоматически обращалась бы в нуль при подстановке в нее выражения (36.3). Для по- лучения такого соотношения запишем верное равенство: dFik _ d г5А* сМ,1 dxn dxn I dx* dxk J
208 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Так как в классической электродинамике вторые частные производные непрерывны, то переставим их местами. В результате будем иметь: = _ Ar^il (364) дхп дх' I дхп J дхк 13а:" J ' Учтем теперь, что в силу определения (36.3) справедливы равенства: 3Ajt 3An дА' - дАп f дхп дхк кп' дхп дх' т Подставляя эти равенства в правую часть соотношения (36.4), приводя подобные члены и перенося все слагаемые налево, получим: dFik dFkn dFni дхп дх' дхк (36.5) Таким образом, тензорное уравнение (36.5) при подста- новке в него соотношений (36.3) удовлетворяется тожде- ственно в силу своей математической конструкции. Подсчитаем теперь число уравнений в выражении (36.5) и выясним, при каких наборах значений индексов г, к и п эти уравнения дают уравнения (36.1). Так как в равенстве (36.5) любой из индексов может принимать четыре значения независимо от других индексов, то од- но тензорное уравнение (36.5) оказывается эквивалент- ным, вообще говоря, 43 = 64 покомпонентным уравне- ниям. Однако, независимых и нетривиальных среди них всего четыре. Чтобы в этом убедиться, заметим прежде всего, что выражение, стоящее в левой части уравнения
§ 36] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 209 (36.5), является абсолютно антисимметричным, так как оно изменяет знак при перестановке любых двух индек- сов. Поэтому, при совпадении хотя бы двух индексов, уравнение (36.5) превращается в тривиальное тождество 0 = 0. Несложно подсчитать, что среди всевозможных наборов значений индексов в уравнении (36.5) имеется сорок таких случаев. Таким образом, нетривиальные уравнения можно по- лучить из уравнения (36.5) только в тех случаях, когда все три индекса», к и п принимают разные значения. Но так как эти индексы входят равноправно, то все их пере- становки дают с точностью до знака одно и тоже урав- нение. Следовательно, из 24 нетривиальных уравнений независимых только 4. Эти уравнения удобно классифи- цировать по тому значению индексов, которое не содер- жится в индексах уравнения (36.5). Пусть, например, ни один из индексов этого уравнения не равен нулю. Тогда с точностью до перестановки индексы г, к и п могут при- нимать значения i = 2, к = 1, п = 3 и уравнение (36.5) дает: ЭЕц 5-F13 д-Рзз _ дх3 + дх2 + дх1 - ’ Заменяя в этом выражении компоненты тензора F,k ком- понентами векторов электромагнитного поля с помощью соотношения (33.3), получим: divH = 0. Полагая г — 0, к '= 2, п = 3, будем иметь: 5Jq2 ЭГ23 5Рзо _ дх3 дх° дх2
210 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV В силу соотношения (33.3) это равенство принимает вид: дЕ± _ dE, _ 1ЭЯ» dz dy с dt Это уравнение представляет собой проекцию на ось X векторного уравнения „ 1<ЭН rot Е =----—- с dt Несложно убедиться, что выбор значений i = 0, к — 1, п = 3 и: = 0, к = 1, п — 2 приведет к получению оставшихся проекций уравнения (36.6). Рассмотрим ^теперь неоднородные уравнения Макс- велла: (36.6) 4тг. V (36.7) „ 1<ЭЕ rotH =-д- с т div Е = 4тгр. Поскольку в правую часть этих уравнений входят компо- ненты четырехвектора тока j* = {J° = ср, j}, то очевид- но, что четыре уравнения (36.7) должны представлять из себя четыре проекции одного четырехвекторного соотно- шения. Несложно убедиться, что вид этого соотношения, включающего только частные производные первого по- рядка от тензора Fit, практически единственнен: dFik . . = aj , дхк J rjxe а - некоторый постоянный множитель. Полагая в этом уравнении i = 0,1,2,3, видим, что компоненты уравнения (36.8) совпадают с уравнениями (36.7) при а — — 4тг/с. (36.8)
§ 36] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 211 Таким образом, система уравнений Максвелла в че- тырехмерных тензорных обозначениях принимает вид: dFni _ дх” дх' дх* ’ (369) dx* с Эти уравнения мы будем использовать при дальней- ших исследованиях, в частности, при построении тензора энергии-импульса электромагнитного поля и при изуче- нии некоторых других вопросов. Найдем теперь уравнение, которому удовлетворяет четырехпотенциал А’. Для этого, учитывая определение (36.3) и используя правило поднятия индексов, запишем: -9 9 Fnm= g — - g Подставляя это соотношение в последнее из уравнений (36.9) и учитывая, что компоненты метрики псевдоев- клидова пространства-времени в декартовых координа- тах инерциальной системы отсчета постоянны, получим: к„ д2А' in &А* 4тг. дх*дхп дхпдх* с Если теперь воспользоваться калибровочной инвариант- ностью тензора Fik, а следовательно, и данного уравне- ния и потребовать выполнения условия Лоренца дА* дх* = О,
212 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV то это уравнение существенно упрощается: _ 92 = _ •». 5 дхкдхп с3 ' Раскрывая суммирование в этом уравнении по индексам к и п, несложно убедиться, что в декартовой системе ко- ординат инерциальной системы отсчета частные произ- водные второго порядка образуют даламбертиан: . 4тг л* = -т3'- Очевидно, что это уравнение при i — 0,1,2,3 дает четыре уравнения (7.6) для потенциалов, которые мы использо- вали ранее. ПЛ‘ = c2dt2 § 37. Законы преобразования частоты и волнового вектора Полученные нами законы преобразования электро- магнитных полей (34.6) при преобразованиях Лоренца по- зволяют доказать утверждение об инвариантности фазы электромагнитной волны и установить тензорную приро- ду ее частоты и волнового вектора. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: ла- бораторную К и штрихованную К', движущуюся со ско- ростью V относительно лабораторной. Предположим, что в пространстве распространяется плоская монохро- матическая волна. Тогда из-за равноправия всех инерци- альных систем отсчета, напряженности электромагнит- ного поля этой волны в системах отсчета К и К' будут иметь аналогичный вид: .2 Е = Еоexp{i[wt — (кг)]}, к2 = —,
§37] ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТЫ 213 Н = Но ехр {»[wt — (к г)] } = —[к Е], Е' = Е'ехр{i[U't' - (к' г')]}, fc« = , Н' = Но exp {» [wY - (к' г')]} = ^,[к' Е'], различаясь только наличием или отсутствием штрихов. В силу преобразований Лоренца для полей (34.6) эти векторы будут связаны соотношениями: Еоцехр{{[ы*-(к г)]} =E^exp{i[w't'-(k'r')]}, (37.1) Но|| ехР {• [w< ~ (k г)]} = но|| ехР {* Р*' ~ (к' г')] }> Еоле{4“,-(к ')]} = ЕРЛ..~ НОхе{‘[“'-(ь '>) = jSttsE=5s!e{i[“''’-<,‘v>]} где. как обычно, знаки || и ± означают компоненты векто- ра параллельные и, соответственно, перпендикулярные к вектору относительной скорости. Так как соотношения (37.1) должны выполняться во все моменты времени t и в любой точке пространства, то показатели экспонент в правых и левых частях равенств (37.1) должны быть равны друг другу независимо от ве- личины и направления относительней скорости: ut — (к г) = uj't' — (к'г'). (37.2)
214 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Сравнивая это выражение с законами преобразова- ния (31.9) - (31.11) тензоров, несложно убедиться, что при преобразованиях Лоренца фаза плоской электромаг- нитной волны преобразуется как скаляр. Поэтому она и является скаляром при преобразованиях Лоренца. Это обстоятельство позволяет нам установить геометриче- скую природу частоты и волнового вектора. Пусть, например, вектор относительной скорости V направлен вдоль оси X. Тогда подставляя соотношения (27.5) в правую часть равенства (37.2), получим : ut — (к г) = u' + Vk1 у । Vt£ ----- х — kvy — kzz. Так как это равенство должно выполняться в любой мо- мент времени t и в любой точке г, то отсюда следует, что при выбранных нами преобразованиях Лоренца частота ш и компоненты волнового вектора к плоской электро- магнитной волны должны преобразовываться по закону: _^ + Vk'x _k'x + Vw'/c2 , ,, , к*~ л/гг^2 ’ *«--*»’ к’-к>- (37.3) Разделив правую и левую части первого из равенств 'X — (37.3) на скорость света с и сравнивая полученные соот- ношения с законом (32.7) преобразования четырехвекто- ра, несложно убедиться, что частота и волновой вектор образуют волновой четырехвектор кп, компоненты кото- рого имеют вид: к° = кх = кх, к2 = ку, к3 = кг.
§ 38] ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА И АСТОНОМИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ 215 Опуская тензорный индекс у этого вектора, имеем: кп = {fco = w/c, —к}. Используя это выражение, соотношение (37.2) в декартовых координатах инерциальной системы отсчета можно переписать в виде скалярного произведе- ния векторов кп и хп: wt — (к г) = кпхп = w't' — (к' г') = к'пх'п = inv. Построим теперь квадрат волнового четырехвекто- ра: кпкп = -у - к2. с2 Так как в вакууме к2 = w2/c2, то кпк„ = 0. Таким образам, волновой четырехвектор является изотропным четырехвектором. § 38. Эффект Дешлера и астрономическая аберрация Законы преобразования (37.3) частоты и волнового вектора позволяют исследовать ряд релятивистских эф- фектов. Одним из них является эффект Доплера. Для ис- следования его характерных особенностей предположим, что в штрихованной системе отсчета К' помещен ис- точник электромагнитных волн с собственной частотой ш' = а)0. Будем считать, что вектор относительной ско- рости V направлен вдоль оси X, а вектор к' расположен в плоскости XOY. Тогда из последнего соотношения (37.3) следует, что kz = k'z — 0. Поэтому и вектор к будет рас- положен в плоскости XOY. Обозначим углы, которые составляют векторы к и к' с вектором V, через в и, со-
216 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV ответственно, О': кх = к cos в, fcB = fcsm0, к'—к'созв', к'=к'ып6'. (38.1) Запишем формулы, обратные формулам (37.3): v< f и> Vkx t кх гт 1/ , W = ,----- , К = —, к. = к„. у/Г^ Х у/Г-Р* У v Подставляя сюда выражения (38.1) и учитывая, что к = w/c, к' = w'/c, получим: , (1-/7 COS б) /оогл “-“уиН’ (38-2> t -r (cos 6 — /3) . . Л. COS V =W------ cv sin# =u? sin 6. Первая из этих формул дает эффект Доплера - из- менение частоты электромагнитных волн при движении приемника относительно их источника. Предположим, что в движущейся инерциальной системе отсчета покоит- ся источник электромагнитного излучения, частота кото- рого в этой системе отсчета равна ш ' — w0. Подставляя и ' = wo в выражение (38.2), найдем частоту ы, измеря- емую в лабораторной системе отсчета в зависимости от направления распространения электромагнитной волны: a> = w0 (38.3) 1 — р cos в Исследуем эту формулу. Для наблюдателей, находящих- ся в лабораторной системе отсчета, на оси X угол в = О
§ 38] ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА И АСТОНОМИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ 217 или к, в зависимости от того, приближается к ним или удаляется от них источник излучения. В первом случае (0 = 0) измеряемая в лабораторной .системе отсчета ча- стота w будет больше частоты ш' = w0: Wj = Wo 1+0 1-0 > Wo, а во втором (в = тг) - меньше wq: U>2 ~ CUq 1-0 1+0 Это так называемый продольный эффект Доплера. При малых скоростях (0 1) выражения для wj и W2 в ли- нейном приближении по 0 совпадают с соответствующи- ми выражениями для эффекта Доплера, установленного в нерелятивистской физике: W1 = Wo(l + 0), W2 = Wq(1 — 0). Однако, в отличие от нерелятивистской физики, специ- альная теория относительности предсказывает существо- вание и поперечного доплеровского эффекта, когда вол- новой вектор к электромагнитной волны перпендикуля- рен вектору V. В этом случае в = тг/2 и из выражения (38.3) имеем w — Wo \/1 — 02 < Wq. Так как для наблюдения поперечного эффекта До- плера требуется скорость движения источника, сравни- мая со скоростью света, то этот эффект после его пред- сказания достаточно долго не имел экспериментального
218 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV подтверждения. И лишь в 1938 году в экспериментах с каналовыми лучами американских физиков Айвса и Сти- уэлла этот эффект был обнаружен и исследован. Найдем теперь при каких значениях угла 9о изме- ряемая в лаборатории частота w совпадет с собственной частотой а>о излучения движущегося источника: w = о?о- Подставляя в это равенство выражение (38.3), получим: COS^g — “ [1 — \/1 —/?2] = --у----- < 1. Р L J 1 + - Таким образом, при (3 0 частота w измеряемая на- блюдателями, находящимися на поверхности конуса 9 = Оо = arccos [/3/(1 + х/Г^)] < тг/2, ось которого совпа- дает с направлением вектора V, будет совпадать с соб- ственной частотой wo движущегося источника электро- магнитных волн. Для наблюдателей, попавших внутрь конуса 9 = Оо, измеряемая частота w будет превышать wo, в то время как для наблюдателей, находящихся вне этого конуса, измеряемая частота w < wq. Доплер-эффект в настоящее время считается надеж- но проверенным предсказанием специальной теории от- носительности. Поэтому он нашел широкое применение для измерения скорости движения различных объектов от автомобилей и самолетов до звезд и галактик. Соотношения (38.2) позволяют установить и закон преобразования углов, составляемых волновым вектором электромагнитной волны и вектором относительной ско- рости V двух инерциальных систем отсчета. Так как в вакууме поток энергии электромагнитной волны распро- страняется вдоль волнового вектора этой волны, то этот угол совпадает с углом между электромагнитным лучом и вектором V.
§ 38] ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА И АСТОНОМИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ 219 Для нахождения законов преобразования этих углов при переходе из одной инерциальной системы отсчета к другой подставим первое соотношение (38.2) во второе и третье. Тогда после сокращения общих множителей получим: сое» = ----------, sint? = ——\------—. (38.4) 1 —/3cos0 1—/3cos0 Обратные преобразования можно получить из этих вы- ражении по общему правилу, заменив V на —V, убрав штрихи там, где они есть, и поставив там, где их нет: сов 9 = сов (У +/3 1 +/?созв'’ sin 0 = sin О'-^/1 —/З2 14-/3 сое 6' (38.5) Из формул (38.4) и (38.5) следует, что один и тот же луч света в разных инерциальных системах отсчета будет на- блюдаться под разными углами к вектору относительной скорости V. Этот эффект в научной литературе получил название астрономической аберрации, так как впервые был замечен при астрономических измерениях углового положения звезд на небесной сфере еще в XVIII веке. Углом аберрации принято называть изменение угла, под которым наблюдается луч, при переходе от одной инерциальной системы к другой. Земля с большой точно- стью представляет собой инерциальную систему отсчета, вектор скорости которой относительно центра масс Сол- нечной системы очень медленно изменяет свое направле- ние. Через полгода этот вектор изменяет свое направле- ние на противоположное. Поэтому угловые положения звезд на небесной сфе- ре, измеряемые с Земли, через каждые полгода должны
220 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ._ IV изменяться на некоторую величину. Действительно, рас- смотрим, например, Полярную звезду. Ее лучи в инерци- альной системе отсчета, связанной с центром масс Сол- нечной системы, составляют с вектором скорости Земли V угол в « тг/2. Этот угол, измеряемый на Земле, бу- дет отличаться от угла в = тг/2 на угол аберрации Д0. Поэтому выражения (38.4) в рассматриваемом случае да- дут: cos — Д$) — sin Д0 = —0, sin — Д$) = сое Д0 = у/1 — 02. Так как Земля движется по орбите со скоростью v « 30 км/с, то отсюда получается, что Д в » 10~* радиан » 2Q угловых секунд. § 39. Четырехвекторы скорости и ускорения В механике Ньютона одними из важнейших кинема- । тических величин являются скорость v и ускорение а ма- I териальной точки. Переходя к изучению релятивистской механики, выясним, как можно обобщить эти понятия на ; четырехмерный случай. Начнем с четырехвектора ско- рости. Отметим прежде всего, что три компоненты вектора V не могут быть объявлены трехмерными компонентами четырехвектора и* = {и0, и1, и2, и3}. Действительно, если бы выполня- лись соотношения u1=vx, u2 = vy, u3 = vz, (39.1)
§ 38] ЧЕТЫРЕХВЕКТОРЫ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ 221 то при переходе из одной инерциальной системы отсчета к другой в силу закона (39.1) преобразования четырех- вектора ы0=п^ и3 ыз = ы13 v/Г^г ’ у/Г^’ компоненты трехмерной скорости v преобразовывались бы по закону: vx = и1 = Vv = vjp vz = v'z. (39.2) V1 — P Сравнивая эти законы с релятивистским законом сложе- ния скоростей (29.3), несложно убедиться, что никаким выбором ию в выражениях (29.3) и (39.2) не свести одно к другому. Поэтому соотношения (39.1) не могут свя- зывать компоненты трехмерной скорости с трехмерными компонентами четырехвектора скорости. Более последовательным способом построения четы- рехвектора скорости и* является следующий. Рассмо- трим дифференциал dx*. Как показано в § 31, он пред- ставляет собой бесконечно малый контравариантный че- тырехвектор. Для получения из него конечного четырех- вектора нам необходимо разделить dx* на дифференци- ал какого-то универсального скаляра. Как мы видели, в пространстве Минковского таким дифференциалом явля- ется интервал ds. Поэтому с геометрической точки зрения и* = dx'/ds будет представлять собой четырехвектор. Однако ква- драт интервала может быть отрицательным, равным ну- лю и положительным, в зависимости от рассматривае- мых событий. Четырехвектор и* будет вещественным
222 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV вектором, компоненты которого принимают конечные значения, если и только если ds2 > 0. Используя опреде- ление (31.5), это условие в декартовых координатах инер- циальной системы отсчета запишем в виде: / v2\ ds2 = c2dt2 — dr2 = с2 (1--7- ) dt2 > 0. \ c*} Отсюда непосредственно следует, что четырехвек- тор и' — dx'/ds можно использовать только для описа- ния частиц, скорость движения которых не превышает скорость света: v < с. В дальнейшем мы, не оговаривая особо, будем предполагать выполнение этого условия. Выразим компоненты четырехвектора и* через ком- поненты трехмерной скорости v = dr/dt в инерциальной системе отсчета. Для этого учтем соотношения __________ I ^2 ds = у/c2dt2 — dr2 = су 1 — dt, dx* = {da;0 = cdt, dr}. В результате получим: ,• dx' f n dx° 1 dr v , «* = — = {t*u = — = —t=, u - у = —.-------------}• ds 1 ds К v3 ds „ /, v3 v1-^ cv1-^ (39.3) Этот четырехвектор в научной литературе получил на- звание четырехвектора скорости. Следует отметить, что четырехвектор и' безразмерен. Поэтому для получе- ния величины с размерностью скорости, его необходимо умножить на скорость света. При малых скоростях движения, когда можно пре- небречь величиной v2/c2, соотношение (39.3) принимает вид: и* — {ц° = 1, и --- — С
§ 39] ЧЕТЫРЕХВЕКТОРЫ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ 223 Отсюда следует, что только при v2 <sC с2 трехмерная часть четырехвектора си’ переходит в три компоненты вектора V. Найдем теперь квадрат четырехвектора и*. Исполь- зуя определения (31.4) и (39.3), несложно установить, что в любой системе отсчета = 9ik dx* dxk gu,dx*dxk ds ds ds2 - ~ ds2 = 1. Таким образом, квадрат четырехвектора скорости для любой массивной частицы не зависит от величины ее трехмерной скорости (при условии, что v < с) и равен единице. В справедливости соотношения д^и’и* = 1 в инер- циальной системе отсчета можно убедиться и непосред- ственно, подставляя в выражение дци*ик = (и0)2 — и2 яв- ный вид (39.3) компонент четырехвектора скорости. Так как квадрат четырехвектора скорости положителен, то он является времениподобным вектором. При переходе из одной инерциальной системы отсче- та в другую инерциальную систему отсчета, движущу- юся относительно первой со скоростью V, направленной вдоль оси X, компоненты четырехвектора скорости, как и компоненты любого четырехвектора, преобразуются по закону: д u1 — Vu°/с U = ----, ' V2 U '3 = U3 1 -
224 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV Разделим последние три равенства на первое. В резуль- тате получим: _ и * 1 и1 — Уй°/с ~ - ~ vP-Vu'/c с и л ы° — Vu^/c с и10 ifi—Vv^jc Приставляя в правые части соотношений (39.4) выраже- ния для компонент четырехвектора скорости (39.3), при- ходим к релятивистскому закону сложения скоростей: Этот результат еще раз свидетельствует о том, что спе- циальная теория относительности является самосогласо- ванной теорией й внутренне не противоречивой. Построим теперь четырехвектор ускорения w*. Для этого продифференцируем четырехвектор скорости по da и рассмотрим подученное выражение w* = du*/ds. Учи- тывая, что в декартовых координатах инерциальной си- стемы отсчета справедливо соотношение d = d_____________1 d da y/(?dt2 — dr2 С.Д _ «= dt
§ 38] ЧЕТЫРЁХВЕКТОРЫ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ 225 и используя явный вид (39.3) компонент четырехвектора скорости, будем иметь: (39.5) где а = dv/dt - трехмерный вектор ускорения. При малых скоростях движения, когда величиной г/с можно пренебречь, этот четырехвектор принимает вид: w* = {w° = 0,w = а/с2}. Найдем квадрат четырехвектора ускорения. В де- картовых координатах инерциальной системы отсчета из выражения (39.5) получим: (39.6) Так как квадрат четырехвектора ускорения отрицателен, то этот четырехвектор является пространственноподоб- ным. При малых скоростях v с выражение (39.6) лает: i а WjW = — с4 (39.7) И, наконец, построим скалярное произведение четырех- векторов скорости ы* и ускорения w*. Для этого продиф- ференцируем выражение диси'и* = 1 по ds. Учитывая, что метрический тензор (31.1) является симметричным и в декартовых координатах инерциальной системы от- счета его компоненты не зависят от координат и времени,
226 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IV будем иметь: = 2ffntu‘wk = 0. as Таким образом, четырехвекторы скорости и* и уско- рения ш* являются взаимно ортогональными векторами. Это свойство аналогично известному свойству трехмер- ных векторов: если квадрат трехмерной скорости v по- стоянен по величине, то вектор ускорения а ортогонален вектору скорости: (va) = 0. Следует отметить, что в справедливости соотноше- ния Pjju’w* — u°w° — (uw) = 0. (39.8) можно убедиться и непосредственно, подставляя в выра- жение (39.8) компоненты (39.3) и (39.5) четырехвекторов и* и wk.
ГЛАВА V ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ § 40. Основные постулаты принципа стационарного действия В настоящее время вариационный принцип стаци- онарного действия стал основным способом построения теорий различных физических полей и уравнений дви- жения частиц. Ключевыми моментами этого принципа являются два утверждения: а) каждая физическая система может быть охаракте- ризована некоторой функцией от обобщенных координат q(t) и их производных от времени, так называемой функ- цией Лагранжа L = L(qi(t),qi(t), •••,<), с помощью кото- рой можно построить функцию действия S (или просто, действие): S = J Ldt, (40.1) *1 б) истинное движение системы в промежутке време- ни от ti до <2 соответствует такому виду обобщенных функций qi(t), для которого функция действия (40.1) при- нимает стационарное значение, в результате чего вариа- ция функции действия должна обращаться в нуль: <55 = 0. (40.2)
228 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V Размерность действия S равна произведению размер- ностей энергии и времени. С точки зрения математики действие представляет собой функционал, ставящий в со- ответствие каждой зависимости определенное число, Поэтому, если мы имеем два состояния системы: началь- ное, характеризуемое значениями обобщенных координат системы и конечное Qi(<a), то каждой из зависи- мостей qi(t). переводящей начальное состояние системы в конечное, допускаемое связями, будет соответствовать свое вполне определенное число. Среди всех возможных зависимостей qi(t) имеется одна, которая реализуется при действительном движении системы. Согласно интегральному вариационному прин- ципу Гамильтона эта зависимость выделена среди дру- гих тем, что действие S при действительном движении принимает стационарное значение. Это означает, что если мы рассмотрим действитель- ное движение Qi(t) и движение ^(t) +5§,-(£), отличающееся от действительного на малую вариацию 6qi, то разность соответствующих им функционалов S[q,- + в первом порядке малости относительно 6q, всегда должна обращаться в нуль: 6S = 0. Таким образом, для получения уравнений движения механической системы необходимо задать функцию Ла- гранжа L исследуемой системы частиц и провести ва- рьирование функции действия. В случае, когда функ- ция Лагранжа зависит только от обобщенных координат qi, обобщенных скоростей q, и, быть может, от време- ни L = L(qi,qi,t), применение вариационного принципа стационарного действия, как известно, приводит к следу- ющим уравнениям движения, называемым уравнениями
- 40] ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ ПРИНЦИПА 229 .хагранжа 2-го рода: 4(£)-£=°-' w dt J Поэтому, зная явный вид функции Лагранжа, уравнения движения можно получить непосредственно из соотноше- ния (40.3), не обращаясь каждый раз к принципу стаци- энарного действия (40.2). Производная от функции Лагранжа по обобщенной скорости Pi = (40.4) Oqi в научной литературе получила название обобщенного чмпульса системы, а производная по обобщенной коор- динате Fi = ~ (40.5) uqi обобщенной силы. Использование функции Лагранжа L для получения уравнений движения не исчерпывает область ее приме- нения. Как показывает практика, функция Лагранжа играет большую роль при поиске законов сохранения (ин- тегралов движения) обобщенной энергии и обобщенного импульса системы. Таким образом, задание явного вида функции Ла- гранжа однозначно предопределяет вид уравнений движе- ния и позволяет указать интегралы движения системы. Поэтому одной из важнейших задач механики является установление вида функции Лагранжа для различных ти- пов взаимодействий. В результате проведенных исследо- ваний в настоящее время установлены общие принципы,
230 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ.. V позволяющие облегчить нахождение функции Лагранжа при построении новых теорий. Одним из этих принципов является принцип соот- ветствия, согласно которому все уравнения и соотноше- ния новой теории в предельных случаях должны приво- дить к уже известным уравнениям и соотношениям. В применении к рассматриваемому нами случаю механики этот принцип требует, чтобы функция Лагранжа L для заряженной частицы, движущейся во внешнем электро- магнитном поле, при малых скоростях движения v «с переходила в хорошо известную функцию Лагранжа не- релятивистской механики: 2 L=^L._ev, + Z(vA). (40.6) 2 с Принцип стационарного действия широко применяется и в теориях различных физических полей. Так как физи- ческое поле представляет собой не дискретный объект, как в механике точки, а распределено в пространстве, то функцию действия S записывают в виде интеграла по некоторой произвольной четырехмерной области Vt пространства-времени: S = - [£<Рх, (40.7) С J V4 где = dx°dx1dx2dx3 - элемент четырехмерного объ- ема. Функцию £ по аналогии с классической механикой называют плотностью функции Лагранжа или плотно- стью лагранжиана. Она связана с функцией Лагранжа L простым соотношением: L — f £dx1 dx2dx3.
§40] ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ ПРИНЦИПА 231 Выбор явного вида плотности лагранжиана осуще- ствляется исходя из ряда требований. Основными из них являются общетеоретические требования. К их числу, в первую очередь, относятся условия вещественности и ковариантности, включая и релятивистскую инвариант- ность, функции £. Вещественность плотности лагран- жиана гарантирует, что динамические характеристики физического поля, такие, например, как четырехвектор энергии-импульса поля, будут вещественными. Требование ковариантности плотности лагранжиа- на £ приводит к ковариантным уравнениям поля, обес- печивая тем самым их релятивистскую инвариантность. В силу этого требования выражение для £ не должно содержать явной зависимости от координат и времени, поскольку такая зависимость нарушает релятивистскую инвариантность. Кроме того, функция £ должна быть плотностью скаляра веса +1. Это означает, что плот- ность лагранжиана £ должна представлять собой произ- ведение весовой функции у/—д, где д — определитель ме- трического тензора, на некоторую скалярную функцию, построенную из функций поля, метрического тензора и их производных. Более специфическими требованиями являются тре- бования локальности и линейности получаемых уравне- ний поля и ограничение их порядка не выше второго. Эти требования обеспечиваются тем, что лагранжиан строится лишь из квадратичных комбинаций функций поля и их первых производных. Однако данные требова- ния не являются обязательными и существуют теории, уравнения поля которых не удовлетворяют одному или нескольким из них. Так, например, в настоящее время
232 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V изучаются различные модели теории поля, основанные на нелокальных или нелинейных уравнениях поля; очень часто рассматриваются теории поля с высшими произ- водными (порядка выше второго). Таким образом, лагранжиан теории должен являться некоторой скалярной плотностью веса +1, построенной из изучаемых физических полей, метрического тензора gik и их частных производных по координатам. § 41. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в четырехмерном виде В аналитической механике уравнения движения не- релятивистской заряженной частицы во внешнем элек- тромагнитном поле можно получить, потребовав, чтобы функция действия *в S = У Ldt (41.1) 1л была стационарна на истинных уравнениях движения: 8S = 0. Вполне естественно, что для построения уравнений движения релятивистской механики мы также должны использовать принцип стационарного действия, соответ- ствующим образам изменив выражение (41.1) для функ- ции действия. Отметим прежде всего, что движение частицы по не- которой траектории, начавшееся в момент времени f = tx из точки с трехмерными координатами х = гд, у =
§ 41] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЧВТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ 233 уд, г = za и проходящее в момент времени t — te че- рез точку с координатами х — хв, у = ув, г - гдв четырехмерном пространстве-времени представляет со- бой линию, начинающуюся в точке А с координатами тд = {х°А = <Ла,ха,Уа,^а} и проходящую через точку г‘в = {жд = УВ-1гв}- Эта линия в научной лите- ратуре называется мировой линией частицы. Если использовать понятие мировой линии, то ин- теграл, стоящий в правой части выражения (41.1), мож- но интерпретировать как интеграл по проекции мировой линии на ось времени. Однако, время согласно специаль- ной теории относительности хотя и является выделенной переменной, тем не менее представляет собой только од- ну из четырех координат четырехмерного пространства- времени. Поэтому для обеспечения равноправия всех четырех координат функцию действия мы будем представлять как криволинейный интеграл по мировой линии частицы от некоторой начальной точки А до конечной точки В. Для того, чтобы этот интеграл был инвариантом при пре- образованиях Лоренца, интегрирование в функции дей- твия будем осуществлять по интервалу ds : В А (41-2) Скалярная функция /, входящая в выражение (41.2), должна зависеть от характеристик частицы и внешнего электромагнитного поля. В качестве характеристик ча- тицы, очевидно, могут выступать ее масса и заряд, а также четырехвектор скорости и* и ускорения w* (если
234 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. у ограничиться, как это обычно делают, уравнениями дви- жения, содержащими производные от координат по вре- мени не выше второго порядка). Тензорными величи- нами, характеризующими электромагнитное поле, явля- ются четырехпотенциал Ai и тензор электромагнитного ПОЛЯ File- Так как функция f является скаляром, то она долж- на зависеть только от скалярных величин, построенных из четырехмерных векторов u*, w', Ai и тензора F^. Та- ких скаляров можно построить очень много: u‘ui, u*u>i, w'wi, AiU*, A*wi, A‘Ai, Fiku'u*, Fikv>*uk, FikFknu'un и т.п. Все эти возможности в теоретической физике были изучены и выяснилось, что не все из них могут использо- ваться при построении функции /. В частности, явно не подходят скаляры н’щ, u'wi и Fucu'uk, так как ii’uj = 1, = 0 и FikU*uk = 0. Далее, если бы функция f за- висела от скаляра A'wi, то уравнения движения частиц не были бы калибровочно инвариантными. Так как ка- либровочная инвариантность электродинамики является очень важным свойством, то функция f не должна зави- сеть от скаляра А'иц. Скаляр Fikw'uk также должен быть отброшен, так как приводит к уравнениям движения частицы, содержа- щим третьи производные от координат по времени. Следует также отметить, что скаляры, содержащие характеристики электромагнитного поля в квадратич- ной и выше комбинациях, приводят к уравнениям дви- жения, зависящим от внешнего поля нелинейно. Это свойство электромагнитных полей, возможно, и адекват- но природе, но при достижимых в лабораторных услови-
§ 41] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ 235 ях полях не проявляется. Поэтому, в качестве первого приближения к истине, мы будем считать, что функция f должна быть линейной функцией внешнего электро- магнитного поля. Это с неизбежностью приводит нас к выражению: f = ао + aiAiu', (41.3) где а® и «1 - некоторые константы. Функция f должна удовлетворять также и принципу соответствия: при нерелятивистских скоростях v « с функция действия (41.3) должна переходить в нереляти- вистскую функцию действия с лагранжианом (40.6). Так как L = fds/dt, то из выражений (31.5), (32.9) и (39.3) следует, что в релятивистском случае L = аос\/1----х + aic[v?-(v А)]. (41.4) V с* с При v « с это выражение можно разложить в ряд Тей- лора. Ограничившись первыми двумя членами этого ря- да, получим: L = о0е — — -(v А)]. (41-5) ZC с Так как добавление константы к лагранжиану не изменя- ет уравнений движения, то отбросим в выражении (41.5) константу Оос. Сравнивая оставшуюся часть выражения (41.5) с нерелятивистским лагранжианом (40.6), найдем константы: «о = —тс, ai — —е/с. В результате лагранжиан для релятивистской заря- женной частицы во внешнем электромагнитном поле при- мет вид: / g £ = —mc2i/1----- — е<р I —(v А). (41.6) V cz с
236 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. у Подставляя выражение (41.3) в соотношение (41.2), полу- чим функцию действия для релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном 'поле В в (41-7) Построив действие (41.7), давайте выведем уравне- ния движения частицы в четырехмерном виде непосред- ственно из принципа стационарного действия iS — 0. Для этого проварьируем функцию действия (41.7). По- скольку при таком варьировании все мировые линии, ис- тинные и пробные, должны проходить через две задан- ные точки А и В, то пределы интегрирования в выраже- нии (41.7) не изменяются и операция варьирования может быть переставлена местами с операцией интегрирования: 6S = 0 = —me I ids — - [ J с J (41-8) Учтем, что -« ids2 с 1 i , , с л dAi _ l , <Ms = -r-r-, idx = dix , 6Ai = yr-rix. (41.9) 2ds ож* Используя эти соотношения, выведем вспомогательные формулы. Начнем с ids : SdS = = = Zas Zus = ^[dx'dxl!igii! + 2ffitdx'dixk].
§ 41] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ 237 В декартовых координатах инерциальной системы от- счета метрический тензор имеет постоянные компоненты •31.1). Поэтому 8дц, = 0. В результате будем иметь: ids = d(gik^8xl,y) - 8xkd(g,k~). (41.10) Совершенно аналогично найдем, что Ai8dx* = - Sx'dAi = d\Ai8xJ - ^dxk6xi. (41-11) Подставляя выражения (41.10), (41.11) и последнее из со- отношений (41.9) в равенство (41.8), приведем его к виду: > l-В .\В 8S ——mcgik-^—6xk\------+ ds 1а с \а (41.12) в e\dAidxiSxk с 19т* ds Будем считать, что вариации четырехмерных координат точек мировой линии, оставаясь произвольными внутри области интегрирования, на границах этой области, т.е. в точках А и В, должны обращаться в нуль: 6хп(А) = 6хп(В) = 0. (41.13) Таким образом, для вывода уравнений движения в четырехмерном виде мы имеем, так называемую, вари- ационную задачу с закрепленными концами. Так как в
238 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ-V точках А и В вариации координат частицы удовлетворя- ют условию (41.13), то внеинтегральные члены в выра- жении (41.12) обратятся в нуль. Переобозначая индесы суммирования в выражении (41.12), получим: е с А (41.14) dAj дх* дх* J ds ) Так как внутри области интегрирования вариации ко- ординат частицы 6хк произвольны, то в силу основной леммы вариационного исчисления выражение, стоящее в фигурных скобках под интегралом (41.14), должно быть равным нулю: d г е [dAi jTJ “ clfe* дАк I dx* дх* J ds Учитывая определения (33.2), (39.3) и поднимая свобод- ный индекс к в этом выражении, получим окончательно: = -F^ui. (41.15) ds с Рассмотрим теперь уравнение (41.15) при частных значениях индекса к. Положим в нем к = 0 : du° е _п,- тс— = -Р" и,-. ds с
§ 41] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ВИДЕ 239 Подставляя в полученное уравнение выражения (33.4.) и (39.3), умножая его на с и учитывая, что в нашем случае J 1 d ds су/1 - ft2 dt' в результате будем иметь: d / тс2 \ . -с( (41.16) где Р обозначает уже иную величину: Р — v/c. Совершенно аналогично можно убедиться, что при к = а = 1,2,3 уравнение (41.15) дает: d / mv \ dt eE+-(v Н]. С (41-17) Так как уравнения (41.16) и (41.17) при v « с пе- реходят в уравнения для изменения энергии и импульса механики Ньютона, то величину тс2 (41.18) следует назвать энергией релятивистской частицы, а век- тор mv (41.19) - вектором имцульса этой частицы.
240 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V § 42. Уравнения Лагранжа второго рода для релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитЬом поле . Получим теперь уравнения движения релятивист- ской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле на основе уравнения Лагранжа второго рода — - —-о dt \ dq J dq Как следует из выражения (41.4), функция Лагранжа для релятивистской заряженной частицы во внешнем элек- тромагнитном поле имеет вид: L = —тс2 у/! — /З2 — etp + ^(А v), (42.1) где (3 = v/c, a А = A(r,t) - потенциалы внешнего электромагнитного поля. Выбирая в качестве обобщенных координат декарто- вы координаты я1 = х, х2 — у, х3 = z частицы, уравне- ния Лагранжа второго рода можно записать в виде: ~Р - grad L = 0, (42.2) dt где Р - обобщенный импульс: „ dL mN е Р = — = —===== + - dv д/1— /З2 с Используя явный вид (42.1) функции Лагранжа, при- ведем уравнение (42.2) к виду: d I ту е , I , е . — < —-----+ - А > + е grad tp-grad (v A) = 0. dtlyi3jj2 c J 6 c6 v (42.3)
§ 42] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА .241 Преобразуем это уравнение. Начнем с последнего сла- гаемого. Учитывая, что v не зависит от координат и используя формулы векторного анализа (1.11), получим: grad (v А) = (v grad)А + [vrot А]. Запишем теперь полную производную по времени от век- торного потенциала А. Так как вектор А зависит не только от времени, но и от координат, то эта производная будет равна сумме частной производной и конвективной производной: dA дА , dT= sT + (vgrad)A- Подставляя эти соотношения в уравнение (42.3) и исполь-. зуя выражения (5.2) для напряженности электромагнит- ного поля, будем иметь: где mv ₽- Сравнивая уравнение (42.4) с уравнением dv _ е .________________________. т— = еЕ + - [vH] at с нерелятивистской механики Ньютона, несложно убедить- ся, что единственным различием между ними является вид выражения для импульса частицы: в нерелятивист- ской механике используется соотношение р — ту, в то (42.4) (42.5)
242 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V время как в уравнении (42.4) используется релятивист- ское выражение (42.5) для импульса. Как и в нерелятивистской механике, из уравнения (42.4) можно получить и уравнение для энергии реляти- вистской частицы. Для этого умножим уравнение (42.4) скалярно на вектор V. Расписывая производную по вре- мени от вектора импульса релятивистской частицы р, приходим к соотношению: m(av) х/(1-/?2)3 = e(Ev), (42.6) где а = dv/dt - ускорение частицы. Возьмем теперь производную по времени от энергии релятивистской частицы (41.18): d£ d ( тс2 dt dt I y/1 — (p m(av) ч/(1-Ж Используя это соотношение, перепишем уравнение (42.6) в виде: ^=e(Ev). (42.7) at Это означает, что и в релятивистской механике действие магнитной части силы Лоренца не изменяет энергию ча- стицы. Таким образом, как и следовало ожидать, уравнения Лагранжа второго рода (42.4) и уравнения движения за- ряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в четырехмерном виде (41.15) представляют собой просто различные формы записи одних и тех же уравнений.
§ 42] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 243 Наличие корня \/1 — /З2 в знаменателях выражений (41.18) и (41.19) для энергии и импульса приводит к тому, что релятивистская частица под действием любой конеч- ной по величине внешней силы не в состоянии достичь скорости v = с. Это наиболее просто понять из следу- ющих вычислений. Запишем уравнения для энергии и импульса частицы в виде: = п.(.у) - ) ( dt ^1-03)3 dp ma m(av)v _ — = —===== 4------===== = F. dt c2^/(l-/32)3 где F - сила, действующая на рассматриваемую частицу. Используя первое из уравнений (42.8), приведем вто- рое уравнение (42.8) к виду: ma , (vF)v „ Отсюда следует, что ускорение частицы зависит не толь- ко от величины действующей на нее силы F, но и от ее скорости v: (vF)v ml с2 (42.9) Наличие множителя у/1 —/З2 в правой части выражения (42.9) показывает, что при приближении скорости части- цы к скорости света приобретаемое ею ускорение под дей- ствием одной и той же силы F стремится к нулю.
244 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ (ГЛ. V Фактически же, при действии силы вдоль вектора v, когда (vF) = vF и Fv = vF, зависимость от множителя i/l — Р2 много сильнее: й У(Г^г т Поэтому релятивистская частица под действием любой конечной по величине силы не в состоянии достичь ско- рости v = с. § 43. Связь между энергией, импульсом, массой и скоростью релятивистской частицы Рассмотрим четырехвектор рк — тсик. Используя выражения (39.3), несложно найти его компоненты: (43.1) Построим разложения этих компонент в нерелятивист- ском случае г2 << с2. В результате получим: n mv2 р = тс + ——, р = mv. (43.2) Из этих выражений следует, что компонента р° в нереля- тивистском пределе содержит некоторую константу тс и кинетическую энергию частицы, деленную на скорость света. Исходя из этого разложения, компоненту р° мы мо- жем связать с энергией частицы £ соотношением £ — ср°. Тогда ее нерелятивистское (у2 «с2) разложение бу- дет содержать два члена: £ = тс2 + mv2/2. Первый из
§ 43] СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭНЕРГИЕЙ, ИМПУЛЬСОМ, МАССОЙ 245 них не обращается в нуль при v = 0 и представляет со- бой энергию покоя частицы тс2. Именно для того, чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в Научной литературе иногда используют особое обозначение для массы покоя частицы т = то- Мы же в дальнейшем во всех выраже- ниях и соотношениях релятивистской механики для мас- сы покоя будем употреблять обозначение т. Второй член является выражением для кинетической энергии нереля- тивистской механики. Пространственные компоненты вектора рк в нереля- тивистском приближении (43.2) совпадают с импульсом нерелятивистской частицы: р = mv. Таким образом, че- тырехвектор р* можно назвать четырехимпульсом сво- бодной частицы и записать в виде: рк = тсик = {р° = £/с, р}, где энергия £ частицы и ее импульс р в общем случае имеют вид: mv Р = (43.3) Энергия и импульс частицы не являются независи- мыми величинами, а в силу равенства дци*ик = 1 связа- ны соотношением: £ t С- ъ 2 2 gikpp = - р = сл (43-4) Именно это соотношение в современной физике использу- ется для определения масс различных частиц. Для этого в эксперименте измеряется энергия и импульс частицы и полученные значения подставляются в выражение (43.4).
246 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V Из выражений (43.3) следует, кроме того, что при v —> с энергия и импульс массивной частицы неограни- ченно возрастают. Поэтому скорость' любой массивной (т / 0) частицы не может достигнуть скорости света. Безмассовые же частицы (т == 0) могут двигаться со скоростью света, но для них вместо формулы (43.3) спра- ведливо соотношение 8 — ср, вытекающее из равенства (43.4). Следует отметить, что для ультрарелятивистских частиц, для которых полная энергия значительно превы- шает энергию покоя 8 тс2, также приближенно спра- ведлива формула 8 ~ ср. Кинетической энергией Т релятивистской частицы обычно называется разность между ее полной энергией 8 и энергией покоя тс2: (43.5) При малых скоростях v с из выражения (43.5) имеем: 77W2 Зтпг>4 ~1Г + 8с2 Рассмотрим теперь закон преобразования энергии и импульса частицы при преобразовании Лоренца. Так как энергия и импульс являются компонентами четырехим- пульса рк, то в случае относительного движения двух инерциальных систем отсчета вдоль оси X со скоростью V будем иметь 8' + Ур'х (43.6)
§ 44]МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ УСКОРЕНИЯ 247 Р» ~ Ру’ где, как обычно, Pz = р'г, (43.7) Полученные формулы (43.6) позволяют еще раз убедить- ся во внутренней самосогласованности уравнений и со- отношений специальной теории относительности. Дей- ствительно, если подставить выражения (43.7) в правую часть равенств (43.6) и выразить v’ через v по форму- лам (29.2) релятивистского закона сложения скорости, то придем к соотношениям (43.3). § 44. Мощность излучения быстро движущегося заряда в зависимости от скорости и ускорения Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в ла- бораторной системе отсчета со скоростью v, сравнимой со скоростью света: г> ~ с. Найдем количество энергии, излучаемой этой частицей в единицу времени, т.е. пол- ную интенсивность I. Для этого перейдем сначала в мгновенно сопутству- ющую инерциальную систему отсчета, т.е. в штрихо- ванную систему отсчета, в которой в интересующий нас момент времени частица покоится в начале координат. Так как частица предполагается движущейся с ускоре- нием, то в следующий момент времени в штрихованной системе отсчета она приобретет малую скорость v' « с и покинет начало координат. Очевидно, что в этой си- стеме отсчета движение частицы некоторое время будет
248 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V нерелятивистским. Поэтому основной вклад в ее излуче- ние будет вносить электрическое дипольное приближение и выражение для полной интенсивности будет иметь вил , = dE' = 2d' 2 = 2q2r' 2 2g2a' 2 “ dt' “ Зс3 ~ Зс3 “ Зс3 ‘ Преобразуем эту формулу, чтобы наиболее наглядно вы- явить ее тензорную природу d£'f = где £'? - энергия, уносимая электромагнитным излучени- ем. Так как d£j = cdpm, cdt' = dx10, то получим dp10 = 2q2a' 2 Зс5 dx10. (44.1) Из этого равенства следует, что общая формула должна иметь вид dpa = |^а' 2dx,i. (44.2) Зс5 Действительно, при i — 0 отсюда получим выражение (44.1), а при г — 1,2,3 соотношение даст закон изменения импульса электромагнитного поля dpy = 2 g2 а' 2 Зс5 dr' = 2g2a' 2 Зс® v'di'. где ру - импульс, уносимый электромагнитным излуче- нием.
§ 44]МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ УСКОРЕНИЯ 249 Так как при нерелятивистском движении v' « с, то c|dp'| « dE' и величиной уносимого импульса можно пренебречь, что мы и делали в § 21 при расчете элек- трического дипольного излучения. Однако признать вы- ражение (44.2) четырехмерным тензорным пока нельзя, поскольку в него входит квадрат трехмерного ускорения. Поэтому перепишем выражение (44.2) в виде j ii_ (Ат1* dp - 3Jfdx ’ (44.3) где неизвестная скалярная функция f должна быть по- строена нами из кинематических характеристик частицы и при v' « с иметь пределом f -> а' 2. Составляя различные инварианты (скаляры) из че- тырехскорости частицы и'к, четырехускорения w'k, че- тырехвекторов dw'k/ds, <Pw'k/ds2 тл т.д., несложно убе- диться, что скалярная функция f может иметь только единственный вид: f = —c4w'kw'k. Действительно, так как при v' « с функция f не со- держит производных выше второй (/ —> а' 2), то для по- строения скаляра f использовать можно только четырех- векторы и,к и w'k (dw'k/ds и <Pw'k/ds2 содержат da'/dt' и другие высшие производные). Из четырехвекторов и'к и w'k можно построить три скаляра: w'ku'k и w'kw'k. Но так как для любой мас- сивной частицы — 1, = 0, то нетривиальным является только третий из них. При v* « с, как следует из выражений (39.5) и (39.7), w'kw'k = —а' 2/с4. Поэтому скаляр w'ku'k должен входить в функцию f линейно и с коэффициентом —с4. Таким образом, формула, определяющая энергию и
250 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V импульс, уносимые электромагнитными волнами, долж- на иметь следующий четырехмерный вид dp" = _ ^w^w'kdx4. (44.4) Зс Теперь воспользуемся физической эквивалентностью раз- личных инерциальных систем отсчета: так как в штри- хованной системе отсчета искомая формула записывается в четырехмерном тензорном виде (44.4), то в нештрихо- ванной (лабораторной) системе отсчета, где скорость ча- стицы уже может быть сравнимой со скоростью света, эта формула должна иметь тот же тензорный вид, толь- ко у всех входящих в нее величин будет отсутствовать штрих: 2g2 dp' = ——wkwkdx'. (44.5) Зс Используя это выражение, исследуем потери энергии и импульса релятивистской заряженной частицей на элек- тромагнитное излучение. Учитывая соотношение (39.6), при i — 0 из выражения (44.5) получим 2g2 г a2 (av)2 1 3c3t(l—/?2)2 с2(1 —/?2)3 J ’ При i = 1,2,3 имеем dp/_2g2r a2 (a v)2 iv "dF “ &F I (I-/?2)2 + c2(l - 02)3 J 7’ Из этих выражений следует, что при движении ча- стицы с заданным ускорением а потери энергии и им- пульса на электромагнитное излучение максимальны при d£f (44.6) (44.7)
§ 45] мощность излучения во внешнем поле 251 параллельных векторах скорости и ускорения и оказыва- ются пропорциональными шестой степени лоренцевского фактора Г = 1/^/1 — /З2 : d£/dt ~ Г®, dp/dt ~ Г®. Если векторы скорости и ускорения перпендикуляр- ны, то d£/dt и dp/dt оказываются пропорциональными только четвертой степени лоренцевского фактора Г. § 46. Мощность излучения заряда, быстро движущегося во внешнем электромагнитном поле Предположим, что частила с зарядом q и массой т движется в заданном электромагнитном поле Е и Н. То- гда на нее со стороны этого поля действует сила Лоренца F = дЕ + «[у Н]. (45.1) С Под действием силы F релятивистская частица, как мы видели в § 42, приобретает ускорение (42.9): a = J^l^{F~7(F v)}‘ Подставляя это выражение в соотношения (44.6) и (44.7), после несложных преобразований получим d£f у)2} dt 3m2c5(l-/?2) ’ dpf _ 2g2v{c2F2 - (F v)2} dt Зпг2с®(1 —/?2) Из этих выражений следует, что под действием заданной внешней силы излучательная способность частиц обрат- но пропорциональна квадрату массы частицы. Поэтому
252 принцип стационарного действия (гл. v излучательная способность электронов при движении в одном и том же внешнем электромагнитном поле в 4 • 10е раз выше, чем у протонов. Исследуем теперь зависимости d£f/dt и dpf/dt от лоренцевского фактора Г. Если релятивистская части- ца движется перпендикулярно вектору внешней силы, то (F v) = 0 и из выражений (45.2) следует, что потери ею энергии и импульса на излучение оказываются пропор- циональны квадрату лоренцевского фактора. Если релятивистская частица движется вдоль векто- ра внешней силы, то (F v)2 = F2v2 и из выражений (45-2) следует, что потери энергии и импульса на излучение не зависят от лоренцевского фактора. § 46. Плотность функции Лагранжа для электромагнитного поля при заданном движении источников Действие S для заряженной частицы, находящейся в заданном электромагнитном поле, как мы видели ранее, состоит из двух частей: S = Sp + Sint, где Sp - часть действия, зависящая только от свойств частицы (ее массы, скорости), a Sint - часть действия, описывающая взаимодействие между полем и частицей и зависящая как от характеристик частицы, так и от четырехпотенциала А,- электромагнитного поля. При наличии нескольких заряженных частиц, нахо- дящихся во внешнем электромагнитном поле, их общее
§ 46J ПЛОТНОСТЬ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 253 действие равно сумме действий для каждой частицы: S — — ^rnc ids — ~ f-A^dx11. (46-1) Если теперь рассматривать электромагнитное поле не в качестве заданного поля, то в выражение (46.1) следует добавить член Sj — — У £ fdx°dx1dx2dx3, (46.2) Vt описывающий свободное электромагнитное поле. При по- лучении уравнений движения заряженных частиц в за- данном внешнем электромагнитном поле этот член нас не интересовал, так как он не зависел от характеристик заряженных частиц. Однако, для вывода уравнений элек- тромагнитного поля он становится одним из централь- ных объектов. Так как в декартовой системе координат инерциаль- ной системы отсчета >/—д = 1 и метрический тензор имеет вид (31.1), то плотность лагранжиана свободно- го электромагнитного поля £/, входящая в выражение (46.2), может зависеть только от функций поля Л,- и их частных производных. В теоретической физике все эти возможности были исследованы и полученные результаты можно сформули- ровать следующим образом. Если мы хотим получить калибровочно инвариант- ные уравнения для электромагнитного поля, содержащие частные производные не выше второго порядка, то плот- ность лагранжиана должна быть функцией только
254 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V двух независимых инвариантов Ц = FikFknFnmFmt ss. h=FikFki. При произвольной зависимости £/ от I2 и уравне- ния электромагнитного поля будут нелинейными. Как известно, электродинамика Максвелла в отсут- ствие вещества является линейной теорией. Ее предска- зания по самому широкому кругу вопросов, не затрагива- ющих субатомный уровень, постоянно подтверждаются со все возрастающей точностью. Построенная на основе электродинамики Максвелла и дополненная процедурой перенормировок квантовая электродинамика также хоро- шо описывает различные субатомные процессы и, по об- щему мнению, представляет собой одну из наиболее до- бротных физических теорий. Г Соэтому, казалось бы, нет никаких оснований рас- сматривать нелинейные варианты электродинамики в ва- кууме. Однако из фундаментальных физических сообра- жений следует, что электродинамика в вакууме должна быть нелинейной теорией. Эксперименты по неупругому рассеянию лазерных фотонов на гамма-квантах, выпол- ненные в 1997 г. в Стэнфорде, подтвердили этот вывод. Поэтому различные модели нелинейной электродинамики вакуума и их предсказания, доступные проверке, заслу- живают самого серьезного внимания. Однако, при достижимых в земных лабораториях по- лях В, Е ~ 106 Гс, которые значительно меньше харак- терного квантовоэлектродинамического значения Bq, nsg^ линейные поправки к уравнениям Максвелла настолько малы, что наблюдать эффекты, вызываемые ими в ваку- уме, очень и очень непросто. Наиболее ярко нелинейно-электродинамические эф-
§ 46] ПЛОТНОСТЬ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 255 фекты должны проявляться в астрофизических условиях, при полях В ~ 1012 — 1016 Гс, характерных для пульса- ров и магнетаров. В этом случае должны происходить расщепление фотонов на два фотона, генерация второй гармоники, нелинейно-электродинамическое искривление лучей электромагнитных волн в магнитном дипольном поле, а также вызываемое двулучепреломлением ваку- ума нелинейно-электродинамическое запаздывание элек- тромагнитного сигнала, переносимого одной нормальной волной, по сравнению с электромагнитным сигналом, пе- реносимым другой нормальной волной. Однако экспе- риментальных программ по изучению проявлений таких эффектов в сильных магнитных полях пульсаров и маг- нетаров пока нет. Таким образом, при электромагнитных полях, до- стижимых в лабораторных условиях, нелинейные члены в уравнениях электромагнитного поля чрезвычайно ма- лы и ими можно пренебречь. Поэтому для описания та- ких электромагнитных явлений мы можем использовать линейную электродинамику Максвелла, функция £/ ко- торой имеет вид: £f = bFikFki, где b — некоторая постоянная, которая зависит от выбора системы единиц. В гауссовой системе единиц она равна: b — 1/(16тг). Таким образам, в качестве плотности лагранжиана свободного электромагнитного поля £/ будем рассматри- вать выражение: £/ = (46.3)
256 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V Поэтому в декартовой системе координат инерциальной системы отсчета, где у/—д = 1, действие для системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля, принимает вид: S = — тс I ds — - J Akdxk+ (46.4) +—^— [ l2dx°dx1dx2dx3. 16тгс J Vt Это выражение мы и будем использовать для получения уравнений электромагнитного поля с помощью принципа стационарного действия. Раскрывая суммирование в выражении (46.3) и учи- тывая соотношения (33.3) и (33.4), плотность лагранжи- ана в декартовой системе координат инерциальной систе- мы отсчета можно записать и в виде: Г/ = ^(Е2 - Н2) - р у, + (j А). (46.5) Используя плотность лагранжиана (46.5), найдем выра- жения для функции Лагранжа в случаях электростатики и магнитостатики. Для этого нам необходимо проинте- грировать Lf по всему трехмерному пространству: L ! Cfdxdydz = У LfdV. V V (46.6) В случае электростатики j = О, Н = 0. Подставляя эти равенства в плотность лагранжиана (46.5), функцию
§ 46) ПЛОТНОСТЬ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА Лагранжа (46.6) запишем в виде: 257 (46.7) V Так как в выражении (46.7) интегрирование производит- ся по всему пространству, то мы можем использовать соотношения (12.1) и (12.4): У р <pdV = v = 2£е.„ где Ее.я - энергия электростатического поля. Поэтому функция Лагранжа (46.7) для электроста- тики принимает вид: L = (46.8) Рассмотрим теперь случай магнитностатики: <р = О, Е = 0. В этом случае из выражения (46.6) имеем: r—/E-|oA>k- V При интегрировании по всему пространству выражения (16.1) и (16.3) дают: 17 Г Н2 -y(jA),IV = y— = V V где £т.а - энергия магнитостатического поля.
258 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО действия [ГЛ. V Поэтому в магнитостатике функция Лагранжа при- нимает вид: L = +Ет.а- (46.9) § 47. Получение уравнений Максвелла из принципа стационарного действия Рассмотрим некоторую систему заряженных частиц, движущихся заданным образом. В этом случае первое слагаемое в выражении (46.4) не будет изменяться при варьировании функции поля А, и его мы можем отбро- сить. Преобразуем второе слагаемое выражения (46.4) к виду, аналогичному виду третьего слагаемого. Для этого учтем, что в используемых нами координатах е = J pdxxdx2dx3, где р - плотность заряда. Кроме того, из соотношений dxk dx° dr ,fc о . . ~dT = {-л =c’dt=v}’ 3 ={J =C^J = ^ следует, что ^2pdxk/dt = jk, где jk - полная плотность четырехвектора тока. В результате выражение (46.4) приведем к виду: S = — [ Izdx°dxldx2dx3 —-j [ Akjkdx°dx1dx2dx3. 1О7ГС J с* J V* V» (47.1) Для получения уравнений электромагнитного поля при заданном движении источников проварьируем функцию действия (47.1) и учтем, что в силу принципа стационар- ного действия 6S = 0. В результате будем иметь: 6S = 0 = —-— f ilzdx(>dxldx2dx3— (47.2) 16тгс J V»
§ 47) ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 259 —J + jfc5A*]da:0da:1da:2da:8. vt Преобразуем подынтегральные выражения в этом соот- ношении. Учтем, что при заданном движении заряжен- ных частиц четырехвектор плотности тока jk будет являться некоторой известной функцией координат и вре- мени, не зависящей от функции поля Ак и ее частных производных. Поэтому 6jk = 0. Найдем вариацию 612, входящую в это соотношение: 6I2 = Fik6Fki + Fki6Fik. (47.3) Учтем теперь, что метрический тензор не зависит от функции поля Ак и его можно выносить из-под знака ва- риации: 6Fki = gimgkn6Fnm. Поэтому, переобозначая немые индексы в первом слага- емом выражения (47.3), получим: 6I2 = 2Fk,SFik. Опе- ратор частной производной по координатам и времени переставим с операторам вариации. Поэтому в силу вы- ражения (33.2) можно записать: дАк dAi _ dSAk d6Ai ik дх< дхк~ дх* дхк' Приведем соотношение (47.3) к виду: cr _9FkidSAk npki^Ai Sh-2F ~te~-2F toF- Переобозначая немые индексы i к я к -> » во втором Слагаемом и учитывая, что тензор Fk* = —F*k является
260 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ (ГЛ. V антисимметричным, приходим к соотношению: W2 = 4Ffci^-. Ох* Выделим в правой части этого соотношения четырехмер- ную дивергенцию: №=4^[*'“Ч--4^5Д‘- <47Л> Подставляя соотношение (47.4) в выражение (47.2), при- ведем его к виду: SS = 0 = /14А1**^J - (47.5) 16тгс J I от’ I J V« ~4^ . + — |cLr°da:1da:2da;3. Преобразуем интеграл по четырехмерному объему Vi от четырехмерной дивергенции в интеграл по поверх- ности S<, ограничивающей данный объем: / f dSiFkiSAk. (47.6) V4 St Вариацию четырехпотенциала 6Ак выберем так, чтобы она была произвольна внутри четырехмерного объема Vi и обращалась в нуль на поверхности S4. Тогда правая часть соотношения (47.6) будет равна нулю и выражение (47.5) примет вид: SS — 0 = ——— [ + —jfc]^A*dz0<tr1da:2<ir3. Акс J L Ox' c J v4 (47.7)
§ 48JTEH3OP ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 261 Так как внутри четырехмерного объема четыре функции SAk = {SAo = S<p, —А} произвольны, то в силу основной леммы вариационного исчисления выражение, стоящее в квадратных скобках под знаком интеграла (47.7), должно равняться нулю. Поэтому уравнения электромагнитного поля, полученные из принципа стационарного действия, имс от вид: dFki _ 4тг t дх* с 3 Эти уравнения совпадают с уравнениями (36.9), получен- ными в § 36 при четырехмерном обобщении уравнений Максвелла (3.19). § 48. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля Рассмотрим в некоторой инерциальной системе от- счета и в декартовых координатах плотность лагранжи- ана свободного электромагнитного поля £f = -F’kFik/(16n). Продифференцируем эту плотность по некоторой коорди- нате х”. В результате получим: д£г 1 г_ dF'k ^ikdFik] „ -r-i = - Pifc-д—+F'k—-^- . (48.1) дх” 16тг L дх” дх” J Учитывая, что в рассматриваемом нами случае компо- ненты метрического тензора постоянны, можем записать следующее равенство: nrtfc Л
262 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ (ГЛ. V — Fitairndkp^^rn- = Fmp^^ ,кЯ 9 дхп дх" Переобозначая в этом выражении индексы суммирования т —t i, р —> к и подставляя его в соотношение (48.1), получим: d£f _ 1 FikdFik дхп 8тг дхп ' Воспользуемся теперь первой парой уравнений Максвел- ла (36.9), записанных в тензорном виде: dFik dFkn dFni дхп дх* дхк Подставляя это выражение в соотношение (48.2), будем иметь: _ J_ Г pik dFkn , pik dFnj 1 дхп 8л- ( дх* дхк ) (48.3) Учитывая, что тензор электромагнитного поля анти- симметричный (F,k = — Fkl, Fni — —Fin), преобразуем последнее слагаемое, стоящее в фигурных скобках равен- ства (48.3): pik dFnj _ „о, dFjn _ „ki dFjn dxk dxk dxk’ Переобозначая индексы суммирования i —> к, к —> г в правой части этого соотношения, получим: pik dFnj _ pik dFkn дхк дх*
§ 48JTEH3OP ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 263 d£f дхп Следовательно, выражение (48.3) можно переписать в ви- де: 1 гаЖп/ ' 4тг дх* Выделим теперь в правой части этого соотношения пол- ную четырехмерную дивергенцию: pik^nk _ д fjjrikjp \ F (да F ~d^~~d^{F Fkn}~Fkn~d^' {48’5) Воспользуемся теперь второй парой уравнений Максвел- ла (36.9) в четырехмерной форме: dFik 4тг .j -дТ = —3 дх* с В результате соотношение (48.5) примет вид: Поэтому в рассматриваемом нами случае из выражения (48.4) имеем: S = O^(FikFkn) “ ^Fknjt- (48‘6) Учитывая, что d£f/dxn — d{£f8'n)ldx' и перенося все члены в одну сторону, получим: A -йг/| = -Fknjk. аг* 4тг с
264 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [гл. v Введя обозначение 7’ = ~FikFkn - 6‘n£f = ± [-FifcFnx+ , (48.7) это соотношение можно переписать в более компактном виде: /ур» 1 ~ = ~Fknjk. (48.8) дх' с Поднимая в выражении (48.7) индекс п, будем иметь экви- валентное соотношение «Г* - 1 ₽*%• ~d^~cF Зк' (48.9) где 1 rpin 4тг -FikF"k + ^ginFkpFkp . (48.10) Прежде чем двигаться дальше, исследуем свойства тензора Тт. Легко показать, что этот тензор симметри- чен: Т'п = Тп*. Действительно, учитывая, что gtn — gni, имеем: 4тг -FikFnk + |<7n<FfcprJ . Преобразуем теперь первое слагаемое, стоящее в правой части: Следовательно, 4тг -FnkF\ + ^gniFkpFkp
§ 48]ТЕНЭОР энергии-импульса электромагнитного поля 265 Далее, найдем след этого тензора Т? = р,п7,п. Учитывая, что gmgin = 6} = 4, F,kF£gin — F,fcFit, также легко убедиться, что Т? = 7j* + Т} ++ Т% ='6. Таким образом, шестнадцать компонент тензора Тк должны удовлетворять шести соотношениям, отражаю- щим свойство симметрии этого тензора Ttk = Тк'(г > к), и одному соотношению, являющемуся условием его бесследовости Т- = 0. Поэтому данный тензор обладает лишь девятью независимыми компонентами. Выясним теперь физический смысл каждой из ком- понент тензора (48.10). При i = п — 0, имеем: 4тг Учитывая, что Ftp = 2(Н2-Е2), aF°kF?k = F0oF°o = —Е2, получим: Т00 = -!-(Е2 + Н2) = w. Это выражение показывает, что компонента 7100 тензора 7’" представляет собой плотность энергии электромаг- нитного поля. Полагая далее » = 1, п — 0, из выражения (48.10) будем иметь: Раскрывая суммирование по индексу к и учитывая, что F11 = F%) = 0, приведем это соотношение к виду: 110 —_LffIZfC I F13F°1
266 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V Воспользовавшись представлениями (33.4) для тензора электромагнитного поля, имеем: Т10 = ±-[EyHz - EzHy] = 4тг с Отсюда следует, что компонента Т10 тензора Т'п пропор- циональна проекции вектора Пойнтинга на ось х. Совершенно аналогично можно убедиться, что Т20 = (<r)„/c, 730 = (<г)«/с. Таким образом, компоненты Т*° = Т°‘ тензора Т'п описывают энергетически-импульсные характеристики электромагнитного поля: 7°° = w, (48.11) Именно поэтому тензор Т’" и получил наименование тензора энергии-импульса. Рассмотрим теперь пространственную часть тензо- ра Т,п. При n = i = 1 имеем: Т11 = ~(Е2 + Е2 + Я2 + Я2 - Е2 - Я2). Совершенно аналогично при * = 1, п = 2 получим: 712 = -^-(ЕХЕУ + НХНУ). 4тг Выписывая оставшиеся компоненты трехмерной ча- сти тензора Тгп, можно показать, что ТаР = -оар = Г-ЕаЕр - НаНр + |<5ojg(E2 + Н2) . 47Г Z (48.12)
§49J ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 267 Тензор aafl в научной литературе получил наименование максвелловского тензора натяжений. § 49. Законы сохранения энергии и импульса в электродинамике Выясним теперь, что означает дифференциальное тождество (48.9), утверждающее, что четьфехмерная ди- вергенция тензора энергии-импульса Тт выражается че- рез четырехвектор Fknjk- Для этого запишем выражение (48.9) при п = 0. Вы- деляя в суммировании по индексу i значение 0, получим: 19Т00 дТм с dt дха ~FaOja- С Учитывая, что в силу соотношений (48.11), (32.2) и (33.4) F°®ja = — (Е j), Т°° — w, Та0 = (с) °/с после умножения на с будем иметь: + div <r = -(Е j). Это дифференциальное тождество полностью совпадает с дифференциальным законом сохранения энергии, полу- ченным в § 4. Поэтому при п = 0 соотношение (48.9) дает дифференциальный закон сохранения энергии системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля. Запишем теперь выражение (48.9) при значении ин- декса п — а = 1,2,3 : 1 дТ°° дТ°0 с dt дх& -F 3k.
268 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V Раскрывая суммирование в правой части этого соотноше- ния с учетом выражений (32.2) и (33.4), а также проведя замену = (сг)“/с, Тар = — сгаР, получязл: с at с где введено обозначение (f)° = дстар/дхр. Таким образом, при п = а = 1,2 и 3 соотношение (48.9) дает в дифференциальной форме закон сохранения импульса системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля. Получим теперь законы сохранения в интегральной форме. Для этого проинтегрируем соотношение (48.9) по некоторому объему V : J 1с at v дтпр дхр ]dV = (49-1) Преобразуем полученное равенство. Введем трехмерный вектор dSp, компоненты которого в декартовой системе координат совпадают с компонентами вектора (dS)p в соответствии с равенством: dSp = (dS)p. Тогда интеграл по объему от трехмерной дивергенции дТпР/хр в силу теоремы Остроградского - Гаусса можно переписать в виде: /дТпР [ й -~-dV = / TnpdSp. дх? J v s Так как границы объема V не зависят от времени, то в первом слагаемом соотношения (49.1) мы можем выне- сти частную производную по времени за знак интеграла
§ 49] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 269 и заменить ее на полную производную. В результате со- отношение (49.1) примет вид: (49.2) Рассмотрим каждое слагаемое этого равенства. Так как при п = 0 компонента Тп0 совпадает с плотностью энергии электромагнитного поля, а при п = а — 1,2,3 - с компонентами вектора Пойнтинга, деленными на ско- рость света, то интеграл §TnOdVlc является четырех- v вектором импульса электромагнитного поля: pnf = 11 TnOdV. (49.3) V Поверхностный интеграл f Tn^dSp представляет собой S поток компонент тензора Тп0 через поверхность S, уно- симый электромагнитными волнами из объема V. При п = 0 последнее слагаемое в соотношении (49.2) согласно выражениям (4.4) и (4.5) описывает изменение энергии заряженных частиц: I Fkojkdv = - Де j)dv = V V При п = а — 1,2,3 последнее слагаемое выражения (49.2) принимает вид: J FkajkdV =- - j [F°Qcp + F^] dV = v v
270 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. V = -/ ([CpE + [jH]])“dV. V • Подставляя в правую часть этого равенства выражения (2.3) для системы точечных частиц, получим: (49.4) Выразим теперь силу Лоренца, действующую на ка- ждую отдельную частицу, через изменение ее импульса: ^ = 9aE+^-[veH]. at с Тогда равенство (49.4) примет вид: N где pPart = 13 Pa - импульс системы частиц. а=1 Таким образом, интегральное соотношение (49.2) утверждает, что изменение четырехимпульса электро- магнитного поля (49.3) в любом объеме V происходит из-за наличия потока компонент Tnfi тензора энергии- импульса через поверхность, ограничивающую объем V, и из-за изменения четырехимпульса заряженных частиц, содержащихся в объеме V : ^[p?+p;ert] = -/T”W S
§ 49] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 271 Следует отметить, что из дифференциального зако- на (48.9) можно получить и закон изменения момента импульса для системы, состоящей из электромагнитно- го поля и заряженных частиц.
Учебное пособие Виктор Иванович Денисов ЛЕКЦИИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ Издательство УНЦ ДО ИД № 00545 ОТ 06.12.1900 117246, Москва, ул. Обручева, 55А Тел./фекс (005) 718-6868, 718-7767, 718-7785 . e-mail: lzdat0abtturcenter.ru http://abtturcenter.ru/lzdat Подписано в печать 12.05.2005 г. Формат 60x90/16 Бумага типографская. Усл.печ.л. 17 Тираж 300 экз. Заказ № 810 Отпечатано в Мини-типографии УНЦ ДО http://ablturcenter.ru/print в полном соответствии с качеством представленного оригинал-макета