В.И. Денисов
Введение в электродинамику
материальных сред
Отсканировано и обработано в 2006 году
студентом 313 группы Михаилом Орловым, orloffm@gmail.com
Будучи крайне меркантильной тварью, он также на всякий случай
публикует здесь номер своего Яндекс. Кошелька: 4100161299456
ББК 22*313
Д II
УДК 53(038)
Рецензенты:
доктор физ.-мат.наук, профессор В.Г.Ьагров
доктор физ .-мат.наук, профессор В.Р.Халит|ов
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Денисов В.И*
Д II Введение в электродинамику материальных сред: Учеойое
пособие. - М.: Изд-во Моск.ун-та, 1989. - 166 и.
В учебное пособие включен материал, составляющий основу
лекционного курса по макроскопической электродинамику* Со-
держание и последовательность изложения соответствую^ дей-
ствующей программе общего курса "Электродинамика" и читае-
мым лекциям на третьем курсе физического факультета ЛУ*
Для студентов физического факультета МГУ.
077(О2)-89 - Заказное
ISBN >-211-0X371-9
ББК 22*313
Издательство Московского
университета, 1989 г.
- 3 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .............................................
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ
СРЕД.................................................. 6
§ I.	Микроскопическая и макроскопическая электроди-
намика и их связь.................................... 6
§ 2.	Усреднение уравнений Максвелла по физически
бесконечно малым объему и промежутку времени .•	8
§ 3.	Векторы поляризации и намагниченности вещества I?
§ 4.	Материальные уравнения .......................
§ 5.	Потенциалы электромагнитного поля и их калиб-
ровка в макроскопической электродинамике ........... 27
§ 6.	Уравнения для потенциалов .........».......... 29
§ 7.	Уравнения макроскопической электродинамики в
интегральном виде ..................................
§ а.	Граничные условия для векторов электромагнитно-
го поля............................................. 55
§ 9.	Закон сохранения энергии в макроскопической
электродинамике ..................................?.	41
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ....... 43
§ 10.	Основные уравнения и соотношения электроста-
тики ............................................... 43
§ II.	Электростатика проводников ................... 48
§ 12.	Силы, действующие на диэлектрик во внешнем
электростатическом поле ...........................9	52
§ 13.	Разреженный нейтральный газ во внешнем элект-
ростатическом поле ................................. 58
§ 14.	Тензор натяжений Максвелла для диэлектрической
среды во внешнем электростатическом	поле ..... 60
ГЛАВА* 3.	МАГНИТОСТАТИКА ....л.......................... 66
§ 1-5	. Основные уравнения и соотношения магнитостати-
ки ...............................................   66
§ 16.	Поле линейных проводников с током..........	68
§ 17.	Закон Ома для линейных проводников о током ... 78
§ 18.	Силы в магнитном поле......................... 79
ГЛАВА 4. КВ АЗ ИСТА ЦИОН АРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ..... 80
§ 19.	Уравнения электромагнитного поля в квазиста-
ционарном приближении...............................	80
- 4 -
§ 20.	Скин-эффект................................... 83
§ 21.	Квазиотационарные процессы в линейных провод-
никах ............................................   90
ШВА 5. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДВИЮЛДИХСЯ СРЕД............ 95
§ 22»	Уравнения макроскопической электродинамики в
ковариантном виде .................................. 95
§ 23.	Законы преобразования векторов поля в макроско-
пической электродинамике ........................... 102
§ 24.	Материальные уравнения для движущегося веще-
ства .........................................  ....	105
§ 25.	Основы магнитной гидродинамики .............. III
§ 26.	Некоторые эффекты магнитной гидродинамики .... 115
§ 27.	Магнитогидродинамические волны .............. 121
ШВА 6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МАТЕРИ-
АЛЬНЫХ СРЕДАХ........................................... 128
§ 28.	Комплексная диэлектрическая проницаемость раз-
реженного нейтрального газа ....................... 130
§ 29.	Физический смысл мнимой части £...............137
§ 30.	Формулы Крамерса-Кронига ...................  140
§ 31.	Фазовая и групповая скорости электромагнитной
волны в диспергирующих средах ..................... 148
§ 32.	Распространение плоских электромагнитных волн
в прозрачных средах ............................... 190
§ 33.	Отражение и преломление электромагнитных волн
на границе раздела сред ........................... 195
- 5 -
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие написано на основе курса лекций
по электродинамике, читаемого автором в течение ряда лет сту-
дентам Ш курса физического факультета МГУ. Тематически данное
пособие охватывает основные вопросы, традиционно относящиеся ко
второй части курса - электродинамике материальных сред и совер-
шенно не затрагивает электродинамику вакуума. Такой выбор мате-
риала обусловлен тем, что, как показывает многолетний опыт чте-
ния лекций и ведения семинарских занятий, изучение вопросов,от-
носящихся к электродинамическим процессам в вакууме,не вызывает
у студентов особых затруднений. При изучении же электродинамики
материальных сред возникают известные затруднения, связанные с
многообразием рассматриваемых явлений и использованием при этом
более сложных приемов и методов решения краевых задач. Поэтому
если данное пособие будет способствовать лучшему овладению сту-
дентами материалом второй части курса электродинамики, то автор
будет считать свою задачу выполненной.
Следует также отметить, что ограничившись только вопросами,
входящими в программу общего курса лекЦий, автор был вынужден
оставить почти без обсуждения такой интересный в научном плане
и важный для практических приложений раздел электродинамики ма-
териальных сред, как нелинейную оптику. Поэтому для более деталь-
ного изучения идей и методов нелинейной электродинамики и её эф-
фектов хотелось бы порекомендовать либо прослушать соответствую-
щие специальные курсы, читаемые на физическом факультете МТУ, ли-
бо самостоятельно познакомиться с этим разделом по имеющейся в
настоящее время довольно обширной научной и учебной литературе.
- 6 -
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕД
§ I. Микроскопическая и макроскопическая электроди-
намика и их связь
В первой части курса электродинамики, основываясь на
уравнениях Максвелла
div Н = О,
(I.I)
divtz =
и уравнениях Лоренца
мы изучали различные электродинамические процессы, происходя-
щие в вакууме и обусловленные наличием в некоторых областях
пространства электрических зарядов и токов. Развитый аппарат
позволял нам решать достаточно широкий круг задач: изучать дви-
жение заряженная частиц во внешних полях, определять напряжен-
ности полей Е , Н , интенсивность и поляризацию излучаемых
и рассеиваемых частицами электромагнитных волн и т.п.
Эту часть курса электродинамики -традиционно называют мик-
роскопической электродинамикой. Характерной особенностью микро-
скопической электродинамики является то,что'предметом рассмотри
ния в ней обычно служат либо электромагнитные поля в вакууме,ли
бо движение и излучение небольшого числа электрических зарядов.
Однако,в принципе,микроскопическая электродинамика применима и
- 7 -
для описания процессов,происходящих в вакууме с участием сколь
/годно большого числа заряженных частиц. Поэтому на первый
взгляд кажется естественной попытка использовать ее для изуче-
ния электромагнитных процессов, происходящих в веществе, рас-
сматривая каждый атом как систему точечных зарядов, находящих-
ся в вакууме. Но такой подход к описанию электродинамических
процессов в веществе встречает непреодолимые трудности.
Действительно, в единице объема вещества содержится чрез-
вычайно большое число (порядка 10^) атомов, каждый из которых
представляет собой сложную квантовомеханическую систему. По-
этому выражения для плотностей зарядов и токов в уравнениях
максвелла (1.1) в этом случае должны состоять также из очень
большого числа слагаемых, далее, каждый атом вещества находит-
ся в непрекращающемся тепловом движении. Поэтому, чтобы задать
выражения для £) и J , нам, в принципе, необходи-
ма детальная информация о положении и движении каждого атома
и всех его составных частей. Соответствующая задача в теорети-
чиско!: механике, как известно, не может быть решена, в резуль-
тате чего описание систем с большим числом частиц в ней пошло
по статистическому пути. В нашем же случае эта задача осложне-
на еще и тем, что задачу о движении всех частиц вещества и оп-
ределении создаваемого ими электромагнитного поля необходимо
решать совместно, так как это поле существенно влияет на дви-
жение создающих его частиц.
Уже эти причины наглядно свидетельствуют о бесперспектив-
ности прямолинейного использования микроскопической электроди-
намики для определения электромагнитных полей в веществе и по-
казывают неооходимость разработки статистического подхода к
этому вопросу. Но существуют еще и другие веские основания для
отказа от микроскопического подхода. В честности, предположим,
что мы все же сумели преодолеть все стоящие на нашем пути пре-
пятствия и математические сложности и получили некоторое гипо-
тетическое точное решение для электромагнитного поля в вещест-
ве. Так как напряженности полей в пределах каждого атома очень
существенно изменяются от точки к точке (в сотни миллионов раэ)9
то заведомо ясно, что это решение представляло бы ербой очень
неоднородное по пространству поле, которое, ко всему прочему,
зависело оы еще и от времени из-за весьма замысловатого тепло-
вого движения атомов. Поэтому, с одно? стороны, данное решение
- 8 -
описывалось бы очень громоздким математическим выражением, что
существенно затрудняло бы его математический анализ. С другой
стороны, полученная информация о поле в веществе в громадном
большинстве случаев была бы избыточной, так как для изучения
процессов в веществе зачастую достаточно знать усредненные по
некоторому малому объему величины» Более того, любой макроско-
пический прибор в связи с конечными размерами датчиков, да и
любая квантовая система, не в состоянии измерить напряженность
поля в некоторой точке и в некоторый момент времени и дают ин-
формацию только о величине поля, усредненного по некоторым бо-
лее или менее малым объемам пространства и малым промежуткам
времени. Поэтому для большинства практических приложений полу-
ченное точное решение все равно пришлось бы огрублять, усред-
няя по характерным малому объему и малому промежутку времени.
Все это наглядно свидетельствует о том, что для описания элект-
родинамических процессов в веществе уравнения (I.I) микроскопи-
ческой электродинамики, содержащие точные значения полей, долж-
ны быть заменены другими уравнениями, которые бы содержали не
значения напряженностей полей в данной точке и в данный момент
времени, а некие средние напряженности, получаемые усреднени-
ем точных значений по характерным малому объему и малому про-
межутку времени. Раздел электродинамики, оперирующий уравнени-
ями, полученными на основе такого подходами называется макро-
скопической электродинамикой.
§2. Усреднение уравнений Максвелла по физически
бесконечно малым объему и промежутку времени
Основные уравнения макроскопической электродинамики, как
мы выяснили, могут быть получены из уравнений Максвелла (I.I)
путем усреднения всех входящих в них величин по некоторому дос-
таточно ’малому объему пространства и характерному промежутку
времени. Такой переход от~микроскопических уравнений к макро-
скопическим впервые был осуществлен в 1902 г. Г.А.Лоренцем.
Существенным моментом при получении уравнений макроскопи-
ческой электродинамики является определение понятий физически
бесконечно малого объема и характерного промежутка времени. Эти
величины должны быть выбраны так, чтобы после усредненияjisl ним
исчезли все быстрые изменения напряженностей электромагнитных
-.9 -
полей в пространстве и времени, обусловленные атомно-молекуляр-
ным строением вещества и,вместе с тем,сохранились все характер-
ные черты изучаемого электродинамического явления. Отсюда не-
посредственно следует, что линейный размер £0 физически бес-
конечно малого объема должен быть значительно больше величины
среднего межатомного расстояния <х и значительно меньше вели-
чины L , характеризующей макроскопические условия задачи
(см.рис.1):	___ ______________'--д
) cl «	. 1
(________---------- }
В качестве макроскопического параметра L , в зависимости от
контекста решаемой задачи, может выступать наименьшая из следу-
ющих величин: длина волны электромагнитного излучения, линей-
ный размер области, занятой веществом, характерное расстояние,
на котором проявляется неоднородность внешнего поля и т.п.
Рис. I. Соотношение между макроскопическим парамет-
ром задачи L , длиной ребра с0 физически
бесконечно малого куба и средним межатомным
расстоянием d в веществе
Совершенно аналогично в качестве физически бесконечно ма-
лого промежутка времени X выберем величину, которая была бы
10 -
значительно больше периода То изменения микрополей, обуслов-
ленных атомно-молекулярным строением и тепловым движением ве-
щества и значительно меньше характерного макроскопического пе-
риода Т , например, периода изменения внешнего поля:

Операцию усреднения некоторой микроскопической величины
по физически беоконечно малым объему пространства (например,
кубу, как на рис.1) и промежутку времени будем обозначать ло-
маными скобками Cfy •
fdVf(f.l), (2.1)
t0-r И
причем центр физически бесконечно малого объема V (например,
куба или шара)'для определенности будем считать помещенным в
точку -г «	. В результате такого усреднения все резкие изме-
нения микроскопической величины f в пространстве и времени,
обусловленные атомно-молекулярным строением вещества,взаимно
компенсируются, в результате чего усредненная функция
будет характеризовать макроскопическое (сглаженное) состояние
этой величины. Следует отметить, что в макроскопической теории
после усреднения всех величин по физически бесконечно малым
объему и промежутку времени мы уже не вправе интересоваться
деталями электродинамических явлений на расстояниях меньше
и отстоящих друг от друга на время меньшее, чем Т* . Говоря
иными словами, в макроскопической теории £0 и являются ми-
нимально возможными расстоянием и промежутком времени.
Выясним теперь, что происходит, если мы усредняем по физи-
чески бесконечно малым объему и промежутку времени производные
от некоторой микроскопической величины f . Усредним,
например,	. В соответствии с принятым определением
(2.1)	имеем
- X fdv.	>
v K-z
- II -
вычислим теперь производную по времени tQ от :
L уС
°	° t0-T И
С^пшивая дно последних выражения, видим, что
Совершенно аналогично можно показать, что
(2.2)
(2.3)
Таким образом, операции взятия частных производных по координа-
там и времени переставимы с операцией (2.1) усреднения. Следует
отметить, что определение (2.1) операции усреднения не является
универсальным и применимо только при изучении простейших задач
макроскопической электродинамики, когда величина слабо
зависит от выбора формы физически бесконечно малого объема и
не изменяется при смещении центра этого объема на расстояние
порядка межатомного расстояния. Если эти условия не выполняют-
ся, то усреднение по физически бесконечно малым объему и промея-
жутку времени производят, используя некоторую весовую функцию
W(r ) :
12 -
В качестве весовой функции обычно выбирается функция Гаусса.
Но в нашем курсе, при изучении общих закономерностей макроско-
пической электродинамики, такая степень общности не потребует-
ся и мы будем использовать определение (2.1)
Таким образом, операции взятия частных производных по координа-
там и времени в макроскопической электродинамике переставимы с
операцией усреднения.
Проведем усреднение микроскопических уравнений Максвелла
по физически бесконечно малым объему и промежутку времени. Для
этого уравнения (I.I) удобно записать^ несколько ином виде,
вводя для напряженностей микрополей Е и Й новые обозначе-
ния:
В результате получим следующую систему уравнений:
7 Эе , -г
rot к - с	с J >
div к = 0 ,	(2.4)
dive -	.
- 13 -
впишем также и дифференциальный закон сохранения заряда
который является следствием системы уравнений (2.4).
Учтем теперь, что в любом веществе заряженные частицы мо-
гут находиться как в свободном состоянии, так и в связанном
(«ходить в состав атома или молекулы). Первые из них под дейст-
вием внешних полей могут перемещаться на значительные расстоя-
ния, в то время как движение вторых ограниченно пределами до-
пускаемыми полем атома или молекулы. В соответствии с этим пол-
ную плотность заряда в веществе мы можем разделить на две час-
ти, выделив явно
ммрадов ?связ :
плотности свободных зарядов ^cg и связанных
зарядов предполагает, что мы полностью исклю-
'[ЦШ11 |НГ. 1ДПЛО11ИО
ином из рассмотрения электродинамические процессы, при которых
инрнды переходят из одной группы в другую (например, пробой
дизликтрика и т.п.). Так как всякое движение свободных и свя-
шпных зарядов сопровождается появлением плотности тока
Полную плотность тока
Суммы плотностей токов свободных и связанных зарядов:
то
мы также можем представить в виде
Следует отметить, что разделение зарядов на свободные и связан-
ные в ряде случаев произвести достаточно сложно, так как при
определенных условиях (особенно при наличии высокочастотных
внешних
дорндов
нонин и
задачам
полей) различие между поведением свободных и связанных
может практически отсутствовать. Поэтому применять урав-
соотношения макроскопической электродинамики к таким
следует крайне осторожно.
Поскольку дифференциальный закон сохранения заряда (2.5)
и микроскопической электродинамике применим, вообще говоря, к
каждой отдельно взятой частице, то очевидно, что-он будет вы-
полняться-независимо как для свободных, так и.для связанных за-
|ч1дов:
- 14 -
Вполне очевидно, что соответствующие усредненные величины, в
силу правил дифференцирования (2.2) и (2.3), будут удовлетво-
рять аналогичным соотношениям
+ Jlv<Jc6> “ °’
CJT	(2.9)
+ dLv<)cg«> = °"
Проведем теперь усреднение выражения (2.6) по физически беско-
нечно малым объему и промежутку времени
<<?> = <?с6> +
Последнее слагаемое в этом соотношении удобно представить в ви-
де
<?связ> = -JiLvP»
где Р - некоторый вектор, называемый макроскопическим векто-
ром поляризации среды. Подставляя это выражение во второе из
соотношений (2.9) и изменяя порядок следования независимых опе-
раций взятия дивергенции и частного*дифференцирования по време-
ни, получим	_
div[<T. > -	= 0.
Так как это равенство должно выполняться тождественно, то, как
следует из векторного анализа., выражение, стоящее в фигурных
скобках,представляет собой ротор от некоторого вектора, который
удобно выфать в виде
- 15 -
где М ~ вектор» называемый (макроскопическим) вектором на-
ымгниченности_£реды._В соответствии с принятой терминологией
дли векторов Р и М , величину
обычно называют плотностью тока поляризации среды» а величину
Т = с rot М
J г!
(2.9а)
плотностью тока намагничения. Таким образом» усредненные зна-
чения плотностей связанных зарядов и токов могут быть выражены
через два вектора Р и М :
<?связ> =
<2.10)
(i /? а ~	с го^ •
Следует особо подчеркнуть, что, хотя векторы Р и М и не
01 риделяются однозначно соотношениями (2.10)» мы в дальнейшем
будем считать» что вне вещества они обращаются в нуль, посколь-
ку своим существованием они обязаны исключительно нали-
чию вещества.
Теперь в нашем распоряжении имеется все необходимое для
получения уравнений макроскопической электродинамики.
Усредним микроскопические уравнения Максвелла (2.4) по
физически бесконечно малым объему и промежутку времени. Тогда»
учитывая соотношения (2.2), (2.3)» (2.6) и (2.7); получим

<е >
4-хк
с~ 7связ ' ’

(2.II)
JLv<e> = 4x<pcg>
+ 4^<?свдз>-
= О,
- 16 -
Введем теперь следующие обозначения^для усредненных микропо-
лей е и TZ :
В выражениях
и индекс св
мико под
> = Е ,
<к> = в.
для > и	опустим знак усреднения
, понимая далее в макроскопической электродина-
и J соответствующие усредненные величины свой
ных зарядов:
<?св
<)с£ У
(2.1
= ?>
Тогда система уравнений (2.II) примет вид
rot В
(2.1
div В = О ,
ЛиЕ = /'®<Рс6»з> + 47Ч*-
Дальнейшие преобразования коснутся лишь первого и последнего
уравнений этой системы. В частности, учитывая соотношение
(2.10), последнее уравнение системы (2.12) мы можем привести
к виду:
Вводя обозначение
Е + 4ilP
для вектора электрической индукции Т)
dtv D -	«
отсюда имеем
^Исторически сложилось так, что вектор Е называют напряжен-
ностью макроскопического электрического поля_1или просто на»
ряженноотью электрического поля), а вектор В - индукцией
магнитного поля.
- 17 -
Совершенно аналогично, первое из уравнений системы (2.12) о
учетом соотношения (2.10) можно записать в виде

Шюдя обозначение
/7 = В - ЬтсМ
вектора напряженности (макроскопического) магнитного поля
И Г' Кз этого 'Уравнения имеем
rotH =	+
с at с J
Таким образом, система уравнений Максвелла в макроскопической
электродинамике принимает вид
div В = 0 ,
c/cvD =	,
где
D = Е + 4хР, В = Н (2.14)
и р , - усредненные плотности заряда и тока свободных но-
сителей зарядов.
§ 3. Векторы поляризации и намагниченности
вещества
Выясним теперь физический смысл и свойства векторов Р и
М , введенных в предыдущем параграфе. Рассмотрим некоторый
диэлектрик бесконечных размеров, ‘находящийся 1о внешнем элект-
ромагнитном полец Под действием этого поля атомы и молекулы
- 18 -
вещества поляризуются, в результате чего усредненные значения
связанных зарядов и токов в различных точках тела могут, вооб-
ще говоря, быть отличными от нуля» Вычислим векторы электриче-
ского и магнитного дипольных моментов тела, создаваемых связан-
ными зарядами и их токами» Согласно определению вектора элект-
рического дипольного момента имеем
d - fdV <	> F.	(ЗЛ)
Используя первое из соотношений (2.10), выразим усредни je
значение плотности связанных зарядов через дивергенцию векто-
ра Р . В результате получим
d = -JdV F dev P.
(v)
Умножим теперь скалярно это равенство на некоторый произвольный
постоянный вектор :
efrd = -JdV (гу) dtv Р •	(3.2)
Проводя в подынтегральном выражении тождественное преобразова-
ние
div Р= dlv[(r^)P] - Pvfr^) =	Р] - P^,
соотношение (3.2) приведем к виду:
c^d = - (D(rc^) Р dS + JdVPc^. (3.3)
(V)
Поскольку границы области интегрирования 8 в выражении (3.1)
предполагаются находящимися вне телд_, где <^Pcg43^> . а следо-
вательно, и вектор Р, равны нулю Р_ = О , то первый интеграл
в правой части соотношения (3.5) тождественно равен нулю. Тогда
соотношение (3»3) принимает вид
- 19 -
Тек как это равенство должно выполняться независимо от выбора
произвольного постоянного вектора , то
<7 « yjv р.	(з.4)
Отсюда следует, что приближенно
гГ
Р •
V _
Таким образом, вектор поляризации Р представляет собой плот-
ность электрического дипольного момента связанных зарядов ве-
щества (или дипольный момент единицы объема диэлектрика). Имен-
но установление связи (3.4) между вектором Р и величиной
электрического дипольного момента вещества и позволяет устра-
нить неоднозначность в определении (2.10) вектора
Вычислим теперь магнитный дипольный момент тела, создавае-
мый током намагничения тела. Используя известное определение,
и мп ОМ
fdV ,
eiC У
причем, как и в случае вычисления электрического дипольного мо-
мента, будем считать, что интегрирование в этом выражении осуще-
ствляется по области пространства, границы которой расположены
пне рассматриваемого тела. Выражая jM через вектор М , по-
лучим
т =

Умножим это равенство скалярно на произвольный постоянный век-
Воспользовавшись известным свойством смешанного произведения
[г rot м 3 =	м
И применяя формулы
— 20 *“
div [м ~	- M rot Rr] ,
векторного анализа, это соотношение перепишем в виде
j	+ М 4 •	(3.5)
s	(V)
Так как на границах объема интегрирования вектор М = 0, то
первый член в правой части этого равенства равен нулю, в ре-
зультате чего из соотношения (3.5) имеем
(т. -JdVM) = 0.
В силу произвольности постоянного вектора отсюда имеем
m. « (dV М.	(3.6)
Таким образом, макроскопический вектор намагниченности среды
представляет собой плотность магнитного дипольного момента,
создаваемого токами намагниченности вещества (или магнитный
момент единицы объема вещества).
Во избежание недоразумений следует отметить, что в полное
значение вектора магнитного дипольного момента среды дает вкла;
и ток поляризации j } = -ЪР/31.
§ 4. Материальные уравнения
Выпишем еще раз всю систему полученных уравнений макроско-
пической электродинамики
at
(4.1)
Ы
и чис-^,
‘'вектор-
- 21 -
div £> - 0,
div Ъ = kicq ,
।да ф и J ^стоящие в правых частях этих уравнений в отли-
чие от 9 и J уравнений (1Л) микроскопической электродина-
мики! представляют собой плотность заряда и плотность электри-
ческого тока одних только свободный частиц.
В ряде типичных задач макроскопической электродинамики 9
и обычно считаются заданными функциями координат и времени,
и требуется определить создаваемое ими электромагнитное поле.
)1лн получения однозначного решения такой задачи прежде всего
необходимо иметь достаточное число уравнений» Поэтому давайте
подсчитаем число неизвестных, входящих в систему (4.1),
до уравнений. Легко убедиться, что уравнений восемь (дв
Мых урпинонин системы (4.1) и два скалярных), а неизвестных -
Д1ИН1ПДЦОТ1» (по три компоненты векторов Е , Н , В , D ).
Унким образом, уравнений меньше, чем неизвестных, и поэтому
йотема (4»1) недоопределена. То что система уравнений (4.1)
hoдоопределена,видно и из физических соображений, поскольку
|1олное описание явления в макроскопической электродинамике тре-
бует и конкретизации свойств среды, в котором данное явление
иэуцается» Поэтому мы должны дополнить систему уравнениями, ко-
ТорыВ'ТОздрляют^это сделать. Для этого мы должны учесть, что
Лекторы Р и М , а следовательно, и векторы
Г = Е + 4яР,
В = Н +
Jn являются в полной мере независимыми векторами. Действитель-
о, по своему определению эти векторы, характеризуя отклик ве-
щества на наличие внешних электромагнитных полей., должны зави-
ееть как от свойств вещества, так и от условий эксперимента
(температуры, давления, освещенности, величины днеюних полей
И Т»п.).
Таким образом,в самом общем случае мы можем записать, что
- 22 -
5 = 5(E,H,Si),
В = Б(Е, Si),
(4.2)
где St обозначает совокупность параметров, характеризующих
условия эксперимента - давление, температуру и т.п.
Уравнения (4.2) представляют собой так называемые матери-
альные уравнения (или уравнения связи). Используя полукласси-
ческие представления о строении вещества в каждом конкретном
случав можно с той или иной степенью точности установить явный
вид этих уравнений. Вполне очевидно, что какой-то общей законо-
мерности, применимой во всех случаях жизни, для всех веществ
нет и не может быть. Поэтому все многообразие электродинамиче-
ских явлений в природе мы должны разбить на ряд больших групп
в зависимости от электрических и магнитных свойств вещества и
внешних условий.
Будем считать, что/все внешние условия, при которых проис-
ходят изучаемые электродинамические явления, если и изменяются,
то несущественно, так что всю совокупность внешних параметров
£SLУ можно считать постоянной в пространство и времени. В
этом случае материальные уравнения (4.2) принимают вид
К = Г ( Е, Н )
В(Е, И)
ВСЕ,И).
(4.3)
Из общих соображений следует, что поляризуемость и намагничи-
ваемость одного и того же вещества задисят от соотношения между
напряженностям^внеищих полей Е и Н и напряженностями внут-
ренних полей Еа и Нл, характерными для атомов данного веще-
ства. Действительно, поляризация вещества может, вообще говоря,
происходить тремя путями. Для веществ, молекулы которых имеют
отличный от нуля дипольный электрический момент (полярные моле-
кулы), основной вклад в поляризуемость, как правило, вносит час-
тичное упорядочение ориентации диполей под действием внешнего
поля. Это упорядочение тем большее, чем сильнее внешнее поле.
Для неполярных диэлектриков, молекулы и атомы которых в отсут-
ствие внешнего поля не имеют электрического дипольного момента,
- 23 -
поляризацию вещества качественно можно представить себе как
появление электрического дипольного момента у каждого атома
или молекулы под действием внешнего поля. Обычно это происхо-
дит за счет деформации электронных оболочек атомов и молекул
вещества (электронная поляризация), в результате чего центры
зарядов электронных оболочек всех атомов смещаются относитель-
но ядра атома более или менее единообразно (для изотропных ди-
электриков против направления внешнего поля, для анизотропных
диэлектриков - в определенных направлениях, определяемых векто-
ром внешнего поля и кристаллографическими осями), каждый атом
приобретает дипольный момент и в веществе возникает более или
гэнее упорядоченное расположение дипольных моментов. ^Третий
тлп поляризации вещества, характерный для ионных кристаллов,
происходит за счет смещения зарядов различного знака в молеку-
ла под действием внешнего поля* в результате чего кристалл при-
обретает нескомпенсированный электрический дипольный момент.
Следует отметить, что в большинстве случаев перечисленные
три типа поляризации вещества могут осуществляться одновремен-
но и взаимно дополнять друг друга. Поляризация вещества сущест-
ля Eg и напряженностью поля атома Е^ : если |Eg|«|E<1l ,
вэнщ^ зависит от соотношения между напряженностью внешнего по-
«ч i_g и напряженностью поля атома Е^ : если |Eg|«|£<1l , то
внешнее поле лишь поляризует вещество; при |Egl сравнимом с
IEJ , оно может приводить к разрушению вещества (пробою ди-
электрика). Так как нашей целью не является изучение электро-
динамических явлений, происходящих при экстремальных условиях,
то бу^ем считать, что внешние поля являются относительно слабы-
ми: | Eg I« |Ej . Так как в большинстве случаев Е~10еЪ CSSE,
то это условие выполняется в достаточно широком диапазоне явле-
ний® Считая характерную величину единицей измерения, соот-
ношение |Eg|« lE^I можно трактовать как малость напряженнос-
тей внешних полей по сравнению с единицей. Поэтому материальные
уравнения (4.3) в этом случае ^джно разложить в ряд по малым
параметрам |El /IEJ и liTi/iej . Ограничиваясь лишь линей-
ным гриближением, мы, вообще говоря, можем получить следующие
^дажения:
1>“'=	+ «""’Нр,
(4.4)
- 24 -
Так^как векторы Н и В являются аксиальными, а векторы Е
и 2D - полярными, то из общих соображений следует, что а? -
полярный вектор, и - аксиальный; 8°^ и - обычные тен;
ры, a и аксиальные тензоры.
Проанализируем каждое слагаемое этих выражений и выяснил
их физический смысл. Предположим сначала, что внешнее поле от
сутствует: Е^Н = 0 • Тогда соотношения (4.4) принимают вид
\	® В « в . j
Следовательно, векторы cl* ia 8^ имеют смысл векторов остаточ
ных индукций электрического и магнитного полей.
Отличие от нуля векторов 8°^ (аксиального) и аУ (полярн
го) характерно для ряда веществ. Так, например, ферромагнитны
материалы при определенных условиях в отсутствие внешних поле
могут обладать неравной нулю величиной и* . Как известно, им
но это свойство позволяет использовать их в качестве постоянн
магнитов.
Существуют и вещества, которые в отсутствие внешних поле1
обладают неравным нулю вектором остаточной электрической инду|
ции. Это так называемые электреты или сегнетоэлектрики (сегне-
товая соль, фосфат <алия, титанат бария и ряд других веществ)
Определенный*физический смысл имеет и неравенство нулю а
сиальных тензоров^сО0*^
ную зависимость 2D от
ства, либо, как мы увидим позднее, свидетельствуют о движении
вещества относительно наблюдателя.
Тензоры	описывают диэлектрические и магнит;
ные свойства среды. В общем случае недиагональных тензоров £j!
и мы имеем дело с анизотропными средами, диэлектрически!
и магнитные свойства которых различны в разных направлениях. J
В случае изотропных диэлектриков 8^= и величина 8 зр
зывается диэлектрической проницаемостью среды. Совершенно Mw
логично для изотропного магнетика о и ju называете \
магнитной проницаемостью.	'
Следует отметить, что в случае слабых внешних полей все
входящие в разложения (4.4) величины могут существенно зависет
црни ли£р описывают перекрест
или В от Е для покоящегося вещ
- 25 -
4f Чйототы внешнего поля и при определенных частотах, близких
н ееОотвенным частотам вещества, разложения (4.4) могут стать
неприменимыми. Поэтому, если это не оговаривается особо, будем
нцишь, что область частот внешнего поля достаточно далека от
•вЦКТВрных собственных частот вещества. Как мы видели, разло-
«еМЯ (4.4) позволяют охватить достаточно широкий круг различ-
Г веществ. Однако в этом случае зависимость векторов D и
от векторов ЧЕ и'Н оказывается достаточно сложной, что
чреввычайно усложняет изучение различных электродинамических
ШОНИЙ.
Наиболее же простой вид материальные уравнения приобрета-
ет В случае покоящихся однородных и изотропных диэлектриков и
М9РН0ТМКОВ, для которых справедливы соотношения	— 
D X бЕ, в = JU-H ,	(4.5)
где £ и уи не зависят от времени и кусочно-постоянны в про-
странство (т.о. постоянны в пределах некоторых областей прост-
ранство, скачкообразно изменяясь лишь на границах этих облас-
тей). Именно с такими материальными уравнениями мы и будем, в
шовном,иметь дело.
Таким образом, условиями применимости полученных нами ма-
юривльных уравнений (4.5) являются: неподвижность вещества,
поитоянство внешних параметров {Sl} в пространстве и временк,
мйдооть напряженностей внешних полей по сравнению с внутриатом-
ными полями, однородность и изотропность, а также постоянство
до .времени электрических и магнитных свойств рассматриваемого
вещества и некоторые другие. Вполне очевидно, что при сделан-
ных допущениях мы охватываем только узкий класс веществ В изу-
чаемых электродинамических явлений.
Так, например, ограничение лишь линейными членами в разло-
Миинх (4е4) полностью исключает из рассмотрения один из самых
молодых разделов электродинамики - нелинейную оптику. Представ-
ления о том, что электродинамические эффекты в веществе должны
выть нелинейными, как известно, возникли в начале нашего столе-
гип. Исходя из этих представлений, советские ученые С.И.Вави-
лон и В.Л.Левшин в 1923 г. обнаружили один из первых эффектов
нелинейной оптики - уменьшение поглощения света веществом
- 26 -
при увеличении его интенсивности. Однако бурное развитие нели-
нейной оптики началось фактически лишь после создания мощных
источников излучения - квантовых генераторов (Н.Г.Басов,
А.М.Прохоров, Ч.Таунс). Именно в это время в работах профессо-
ров МГУ Р.В.Хохлова, С.А.Ахманова и американского ученого
Н.Бломбергена были заложены теоретические основы нелинейной
оптики. Впоследствии многие из эффектов нелинейной электроди-
намики были обнаружены на опыте. Одним из них, в частности,
является эффект самофокусировки лазерного излучения, за пред-
сказание и обнаружение которого коллектив авторов (Аскарян,
Коробкин, Луговой, Пилипецкий, Сухоруков, Таланов) был удосто-
ен Ленинской премии 1988 г. Более детально познакомиться с
идеями и методами нелинейной оптики и ее эффектами можно по
имеющейся в настоящее время довольно обширной научной литера-
туре. В нашем же курсе, оставаясь в рамках сделанных ранее до-
пущений, мы постараемся, по возможности, отразить все характер-
ные черты электродинамических явлений в веществе с тем, чтобы
изучение более сложных ситуаций (переменность внешних парамет-
ров, неоднородность или анизотропия электрических или магнитных
свойств веществ и т.п.) можно было бы проводить в соответствии
с алгоритмом, разработанным для рассматриваемых здесь достаточ-
но простых ситуаций.
В результате мы приходим к следующей системе уравнений
макроскопической электродинамики:
ЕГ f и.
с st с / ’
rotE = -
cAvB = O,	; J
dtv ТУ = 4л о,
D = еЕ , В = ju-H
и, кроме того, в случае проводящих сред j = бЕ , где <о -
проводимость.
В типичных задачах макроскопической электродинамики плот-
ности заряда и тока обычно являются' заданными ^известными)
функциями координат и времени P =	J и т₽®~
- 2? -
оуетоя определить векторы напряженностей и индукции электро*
мигиитного поля. Так как система (4.6) состоит из четырнадцати
уравнений относительно двенадцати неизвестных, то она теперь
уме либо переопределена и в ряде случаев может вообще не иметь
|>енний, либо среди уравнений (4.6) должны быть линейно зави-
ОИМЫв.-
Легко убедиться, что в действительности реализуется вто-
рой случай. Для этого возьмем дивергенцию от правой и левой
честей первого уравнения системы (4.6). В результате получим
«	=0.
С	с J
Используя четвертое уравнение системы c/lvD = 4x9, приходим
к соотношению, которое автоматически выполняется в силу диффе-
ренциального закона сохранения заряда:
Поэтому данные уравнения не являются независимыми. Совершенно
«нелогично можно убедиться в зависимости и другой пары уравне-
ний Максвелла.
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля и их калибровка
в макроскопической электродинамике
Таким образом, система (4.6) фактически содержит лишь две-
надцать линейно независимых уравнений относительно двенадцати
неизвестных и, следовательно, при соответствующих граничных и
начальных условиях имеет единственное решение. Однако решать
систему уравнений (4.6) в представленном виде, когда в нее вхо-
дит двенадцать неизвестных, не совсем удобно. Поэтоцу в макро-
скопической электродинамике, как и в микроскопической, очень
чисто вводят вспомогательные величины - потенциалы электромаг-
нитного Ш)Ля, с помощью которых система (4.6) сводится всего
лишь к четырем уравнениям относительно четырех неизвестных.
Для введения потенциалов рассмотрим^второе и третье урав-
нения системы (4.6). Первое из них c/ivB - 0 утверждает, что
менстор индукции магнитного поля имеет соленоидальный характер,
п результате чего он всегда может быть представлен в виде
- 28 -
В = rx>i А ,
где А - векторный потенциал электромагнитного поля. Подстав-
ляя это выражение во второе уравнение системы (4.6) и изменяя
порядок следования независимых операций взятия ротора и частно-
го дифференцирования по времени, получим
Согласно векторному анализу, выражение, стоящее в фигурных
скобках этого соотношения,должно являться градиентом от некото-
рого скаляра - только в этом случае ротор от вектора тождест-
венно обращается в нуль. В силу традиции этот градиент записы-
вают со знаком минус
где - скалярный потенциал электромагнитного поля. Таким об-
разом, векторы В и Е можно выразить через потенциалы (р
и А
(5.1)
и тем самым удовлетворить второе и третье уравнения системы
уравнений Максвелла (4.6). Векторы Н и D также выражаются
через эти потенциалы
Н = 4: го£ Д ,
(5.2)
поэтому оставшиеся уравнения системы (4.6) могут быть использо-
ваны для получения уравнений, которым должны удовлетворять по-
тенциалы.
Следует отметить, что потенциалы <р и А соотношениями
- 29 -
(hl) и (5.2) задаются неоднозначно» Как и в микроскопической
ШКФродинамике калибровочно^-преи^разование потенциалов
/	\	Г I
-
¥ ~ \с -dty ®	(5.3)
,	д = А' + г/ ,
»™7=	- произвольная калибровочная функция, не _из-
М|ряет векторов 8 и Е , а следовательно, и векторов Н и
J) • Этот произвол в определении потенциалов широко использу-
ется в классической и квантовой электродинамике для упрощения
встречающихся соотношений»
§6» Уравнения для потенциалов
Установим теперь уравнения, которым должны удовлетворять
Потенциалы в макроскопической электродинамике в случае непро-
водящих сред. Для этого подставим сначала соотношения (5.2) в
Первое уравнение системы (4.6). Учитывая, что в и ju - пос-
|оннные величины, получим
ДА - —
ло Д - оператор Лапласа.
Совершенно аналогично,
гое уравнение системы (4.6)
ние, найдем
8ju. £>%> fa
подставляя выражение (5.2) в четвер-
и проводя тождественное преобразова-
досматривая структуру уравнений (6.1) и (6.2) легко заметить,
}<ЙГ5нй "значительно упрощаются в том случае, когда выражения,
<)т!оящиё^~в^Фигурных скобках^обращаются в нуль. Поэтому возника-
ет 'естественный вопрос: а нельзя-ли, воспользовавшись неодно-
значностью (5.3) в определении потенциалов, добиться существен-
ного упрощения уравнений (6.1) и (6.2)? Ответ на этот вопрос,
кек мы увидим далее, положительный.
- 30 -
'Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что калибровочное
преобразование-^^) изменяет вида уравнений (6*1) и (6.2).
Действительно, подставляя соотношения (5.3) в уравнения (6.1)
и (6.2), получим
ДА'- £ <= -	??'* di»A’\,
С2 ЪЬг с J Iе St	J’
Д^_	ЛЛ}.
т сг ^2 е v с Э£ ( с Эг	J
Таким образом, калибровочная функция £(т\£) в эти уравнения
не вошла и единственное изменение по сравнению с уравнениями
(6.1) и (6.2) состоит в наличии штрихов у векторного и скаляр-
ного потенциалов.
Предположим теперь, что в первоначальной калибровке потен-
циалов величина
+ сЫ = Ff-T.i) Й °	(6Л)
не равна нулю. Выясним, можно ли так подобрать калибровочную
функцию	, чтобы откалиброванные потенциалы уже удов-
летворяли условию
+	=	(в.5)
(5.3) в выражение (6.4). В ре-
Для этого подставим соотношения
зультате получим
Отсюда следует, что для выполнения условия (6.5) калибровочная
функция	должна удовлетворять уравнению
2
Так как это уравнение всегда имеет решение, а иных ограничений
на выбор функции /(7е, О нет, то в результате калибровочного
преобразования условие (6.5) будет обеспечено. При таком выосро
калибровки уравнения (6.3) значительно упрощаются. Опуская не-
- 31 -
н|М<)Т»енные для дальнейшего штрихи, получим следующие уравне
имя дли потенциалов:
(6.6)
н дополнительным условием
О
(6.7)
которое но аналогии с соответствующим условием микроскопической
елоктродинамики называется условием Лоренца.
Следует отметить, что условие Лоренца (6.7) не фиксирует
однозначно калибровку потенциалов, позволяя проводить калибро-
ночные преобразования (5.3) с функцией	, удовлетво-
рен
1'пющей уравнению д/ -	— О • Эти преобразования
иногда используются для того, чтобы вне источника излучения
положить на потенциалы условие Кулона <р = □, div А-О' (ку-
лоновская калибровка).
Таким образом, многие вопросы в макроскопической электро-
динамике решаются аналогично случаю микроскопической электроди-
намики. Поэтому полезно сравнить вид некоторых уравнений и со-
отношений для потенциалов в этих двух случаях (см.табл.I). Та-
кие сравнение показывает, что характерной скоростью распростра-
нения электромагнитного излучения в однородных и Изотропных
средах является не С , a c/i/ejI < с , эффективным источником
дли векторного потенциала в макроскопической электродинамике
ивляется не j , a	и для скалярного потенциала не
ф * а	• Эта аналогия позволяет сразу записать ре-
шение уравнений (6.6) для запаздывающих потенциалов в макроско-
пической электродинамике. Действительно, в случае островного
Источника электромагнитного поля, помещенного д безграничную
однородную и изотропную среду с диэлектрической и магнитной
Проницае^остями Е и ju. соответственно, нам следует в выра-
жениях для запаздывающих потенциалов микроскопической электро-
динамики сделать лишь следующие изменения: заменить с на
- 52 -
замены j
в выражении для запаздывающего времени и произвести
В результате получим
В том случае, когда 8 и ju не являются постоянными во всем
пространстве, полученные формулы (6.8) становятся неприменимы-
ми и для определения потенциалов необходимо использовать иные
методы. В частности, в простейшем случае кусочно-непрерывных
сред большую роль играет учет граничных условий. Для получения
последних нам потребуются уравнения Максвелла в интегральном
виде.
Таблица I
Сравнение уравнений и соотношений для потенциалов в
микроскопической и макроскопической электродинамике
Уравнения, соотношения	Микроскопическая электродинамика	Макроскопическая электродинамика
Оператор, действующий на потенциалы в урав- нениях для потенциалов	А	1 с2 ы2	д_ сг at2
Источник в правой час- ти этих уравнений	с J	Q Jc&oS - —0
Условие Лоренца	с at	c St
- 33 -
§7* Уравнения макроскопической электродинамики в
интегральном виде
Уравнения Максвелла
гр

(7.1)
представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных
производных. Однако в ряде приложений полезно использовать
^равнения макроскопической электродинамики, записанные не в
дифференциальном, а в интегральном виде. Для их получения по-
ступим следующим образом.
Рассмотрим некоторый неподвижный относительно наблюдателя
замкнутый контур. L , не имеющий самопересечений, и выберем
какую-либо гладкую двустороннюю поверхность S , опирающуюся
на этот контур (ОД.рис.2). Положительное направление обхода
контура L (показано на рис.2
стрелкой) и вектор внешней норма-
ли гг к произвольной точке по-
2. Ориентация кривой
L и вектора внеш-
ней нормали к по-
верхности S
верхности выберем в соответствии
с принятыми в математическом ана-
лизе правилами. Умножим скалярно
второе из уравнений (7.1) Had?
и проинтегрируем его по поверх-
ности S . В результате получим
S
(7.2)
Воспользовавшись теоремой Стокса,
соотношение (7.2) приведем к виду:
- 34 -
Таким _дб раз ом, циркуляция вектора напряженности электрического
поля Е по произвольному, замкнутому контуру L пропорщгональ-
на уменьшению (с течением времени! потока вектора магнитнойин-
дукции В через любую поверхность S , опирающуюся на кон-
тур L.	’
Умножим теперь скалярно первое из уравнений (7.1) на dS
и проинтегрируем по поверхности S . в результате получим
где1=^)с/8 - ток свободных зарядов через поверхность S.
Из выражения (7.3) сдедует, что циркуляция вектора напряженнос-
ти магнитного поля Н по замкнутому контуру определяется не
только изменением с течением времени потока вектора электричес-
кой индукции D через поверхность S , но и величиной тока
свободных зарядов через эту поверхность.
Рассмотрим теперь некоторый объем V , ограниченный,замк-
нутой гладкой поверхностью S • Проинтегрируем по этому объему
третье уравнение системы (7.1):
IdV div В - О .
Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получим
^BdS 0.
s
Отсюда следует, что поток вектора магнитной индукции через лю-
бую замкнутую поверхность равен нулю.
Совершенно аналогично, интегрируя оставшееся уравнение
системы (7.1) по объему 1/ , найдем, что поток вектора элект-
рической индукции через любую замкнутую поверхность S пропор-
- 35 -
ционален заряду Q - f
(V)
ченном поверхностью S :
содержащемуся в объеме, ограни-
/
Dds = 4%Q.
Таким образом, система уравнений макроскопической электродина-
мики в интегральной форме имеет вид
(7.4)


где использованы следующие обозначения:
Q = f<?dV,
V
5
§ 8. Граничные условия для векторов электромагнитного
поля
Найдем теперь условия, которым должны удовлетворять компо-
ненты электромагнитного поля на границе раздела двух сред» Бу-
Дем считать, что такой границей является гладкая поверхность,
при переходе через которую электрические и магнитные свойства
вещества изменяются скачком. Вполне естественно, что такое
представление о границе раздела двух сред является идеализиро-
ванным, поскольку из-за процессов диффузии или несовершенства
технологии изготовления между двумя средами всегда реально су-
- 36 -
шествует некоторый переходный слой, который сглаживает скачок
электрических и магнитных свойств. Поэтому в тех случаях, ког-
да толщина переходного слоя оказывается значительно большей,
чем величина , характеризующая линейные размеры физически
бесконечно малого объема, полученные здесь соотношения теряют
свою силу и использовать их при решении краевых задач нельзя.
Если же толщина переходного слоя составляет несколько межатом-
ных расстояний и оказывается значительно меньшей, чем величина
£0 , то такую границу раздела двух сред в рамках макроскопиче-
ской электродинамики мы обязаны считать резкой, иначе у нас
опять произошел бы переход к микроскопическому описанию.
Рассмотрим достаточно малый участок поверхности раздала
двух сред, такой, что его можно считать плоским (см.рис.3).
Рис. 3. Выбор цилиндрического объема на границе
раздела двух сред
Обозначим диэлектрическую и магнитную проницаемости первой сре-
ды через 81 и fa , а второй среды - через и . Вектор
нормали 7г к данному участку поверхности направим из второй
среды в первую. Введем также для данного участка поверхности
локальную декартову систему координат так, чтобы плоскость^
совпадала с поверхностью раздела сред, а ось Z была ей орто-
гональна. Построим теперь на границе раздела двух сред доста-
точно малый прямой круговой цилиндр радиуса R и высотой 2к
(см.рис.3). Используя третье уравнение системы (7.4), вычислим
- 37 -
поток вектора магнитной индукции В через поверхность, огра-
ничивающую данный цилиндр, устремив после этого величину к
к нулю» Так как при этом площадь боковой поверхности цилиндра
Sr = S,*SO = Z ZtlRK также обращается в нуль, а площади верх-
OOIC *2	>	__\
ной и нижней "крышечек*1 остаются конечными (Ьк=х/< ), то в
результате получим СГ3^МtJ &
гс^(втл - в_£) = о.
Обозначая нормальные составляющие вектора В в первой и вто-
рой средах через В^ и В£ а соответственно, отсюда имеем
В1 - В? = О.	(8.1)
п	п.
Таким образом,нормальные составляющие вектора магнитной индук-
ции на границе раздела двух сред непрерывны. Если каждая из
пред является изотропной, то соотношение (7.1) принимает вид
Лнп - гЛ'-
Иёпользуя тот же самый цилиндр, из четвертого уравнения систе-
му (7.4) совершенно аналогично получим
-2
ftR (Dj
А- 2х К
К 4зС tun. idz /с/у> 1г Jrofr, ifyZyt) .
к-* О J	J	/
-к	О	О	(8.2)
Т|ц как свободные заряды, содержащиеся в веществе, моцут нахо-
диться и на границе раздела двух сред, то правая часть этого
ооотношения, вообще говоря, не равна нулю при к—* О . Если
плотность этих зарядов записать в виде ? = ?пов	• где
VrtiB " поверхностная плотность свободных зарядов, то из соот-
ношения (8.2) получим
A. -	-	(8.3)
’дфовательно, единственной причиной разрыва нормальной состав-
•дцней вектора электрической индукции на границе раздела двух
•ред является наличие на ней свободных зарядов. В случае двух
фтропных сред соотношение (8.3) принимает вид
- 38 -
’ e-i? = 47С?'“8’ <fc-”
где = п V . Используя оставшиеся два уравнения системы
(7.4), мы можем подучить еще два граничных условия. Для этого
в плоскости XZ локальной декартовой системы координат (вво-
димой в некоторой окрестности рассматриваемого участка поверх-
ности раздела двух сред) построим достаточно малый прямоуголь-
ный контур A BCD , полагая	ВС=2£а (см.рис.4). Еди-
ничные векторы вдоль осей X , у и z локальной системы
координат обозначим через , тГ и Ft соответственно.
Положительное направление обхода контура A BCD выберем так,
как показано на рис.4.

Рис. 4. Выбор прямоугольного контура на границе
раздела двух сред
Рассмотрим теперь второе уравнение системы (7.4). Будем
считать, что в качестве контура L в этом уравнении использу-
ется контур A BCD , а в качестве поверхности, ограниченной
данным контуром - прямоугольник A BCD . После вычисления
всех интегралов, входящих в данное уравнение, величину уст-
ремим к нулю, оставляя конечной. Так как площадь прямоугол]
ника S ® и длины сторон AD = ВС = при этом обра-
щаются в нуль, то из второго уравнения системы (7.4) получим
е,(Е^г Е‘).О.
- 39 -
Отсюда следует, что касательные составляющие вектора Е на
границе раздела двух сред непрерывны:
Е1 = Е\	(8
Поступая совершенно аналогично, из первого уравнения системы
(7.4) найдем
^2	2
- Hi) - ^z k/с/\F-77x,y,z,£)
' L t L-o J J
(8.6 )
Гак как на границе раздела двух сред плотность тока свободных
нарядов может иметь дельтообразный характер
>
где - поверхностная плотность пока свободных зарядов, то
интеграл, стоящий в правой части этого соотношения при
вообще говоря, не обращается в нуль. В результате из соотноше-
ния (8.6 ) имеем:
нЕ
Н
L„ »	•
поо
Ориентируя прямоугольник ABCD
«О самые рассуждения, имеем
в плоскости X Z и проводя те
- н
ПО’
6
(8.8 )
Объединим соотношения (8.7 ) и (8.8 ) в одно векторное:
[7г(Нг- Нг)] =
(8.9)
поВ “
На этого выражения следует, что при наличии поверхностных токов
им дранице раздела двух сред касательные составляющие вектора
Н терпят на ней разрыв.
Таким образом, на поверхности раздела двух сред должны вы-
полняться следующие граничные условия:
ei ’
[Я (Й, - Й,)] = £ rno8.
(8.10)
Следует отметить, что в ряде задач (например, в случае беско-
нечных областей пространства) граничных условий (8.10) либо
недостаточно, чтобы полностью конкретизировать решение, либо
некоторые из них не совсем удобно использовать. В этом случае
наряду с граничными условиями (8.10) довольно часто использу-
ются и так называемые естественные физические условия, которые
накладываются на решения уравнений Максвелла. Эти условия обыч-
но вытекают из физической постановки задачи и дозволяют уточ-
нить вид решения в окрестности некоторых особых точек, в'каче-
стве которых достаточно часто выступают точки г = 0 и г-в со.
В частности, согласно естественным физическим требованиям,
решение уравнений Максвелла должно быть ограниченным по модулю
во всех точках, где появление сингулярности не может быть обос-
новано достаточно веской физической причиной. Так, например,
напряженности полей Е и Н в какой-либо точке г = г* . про-
странства могут обращаться в бесконечность только в том случае,
если в данной точке имеются бесконечные плотность заряда дай,
соответственно,, плотность тока. Совершенно аналогично, естест-
венные физические условия требуют, чтобы потенциалы и напряжен-
ности электромагнитного поля, создаваемого системой зарядов и
токов, локализованных в ограниченной области пространства (ис-
точник островного типа), стремились к нулю при удалении точки
наблюдения от этой области (если среда не является антидиссипи-
рующей).
При изучении различных излучающих систем важная роль при-
надлежит условиям излучения Зоммерфельда, которые являются ма-
тематическим выражением физического требования о переносе энер-
гии электромагнитными волнами от источника излучения к бесконе-
- 41 -
но удаленным точкам» При учете всех этих требований единствен-
ность решения уравнений Максвелла будет полностью обеспечена»
§9. Закон сохранения энергии в макроскопической
электродинамике
Используя уравнения макроскопической электродинамики
(2»13), мы можем получить дифференциальный закон сохранения
энергии» Для этого умножим скалярно первое иэ уравнений (2.13)
на Е , а второе на (- Н) и сложим полученные выражения. В ре-
зультате будем иметь
7^	1 "г 3D , 1 и ЭВ .	7-
= £-Е^ +СНЪ1 Е* (9Л)
Воспользовавшись известной формулой векторного анализа
4	±Х
div Сен] = v[em] + ?[Ён] х
£	- £	-	-А/-»
- Н Сг Е ] - Е Сv Н ] - Н rot Е - Е rot Н ,
и учитывая материальные уравнения
справедливые для покоящихся изотропных рред, соотношение (9.1)
можно привести к виду:
У1/ДФ Р-
В случае, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости среды#
не зависят от времени, отсюда получим дифференциальный закон
сохранения энергии:
О

введены обозначения
- 42 -
(9.3)

для плотности энергии электромагнитного поля в веществе Uf и
вектора Пойнтинга G • Таким образом, уменьшение с течением
времени плотности энергии электромагнитного поля в некоторой
точке согласно закону сохранения энергии (9.2) приводит к по-
явлению отличной от нуля дивергенции вектора Пойнтинга и к со-
вершению полем работы над свободными зарядами. Однако в боль-
шинстве случаев детальное знание баланса энергии в каждой точ-
ке оказывается ненужным, так как обычно интересуются интеграль-
ными соотношениями, относящимися к некоторым конечным объемам
пространства. Для получения такого соотношения проинтегрируем
дифференциальный закон сохранения (9.2) по некоторому объему»
Так как операции взятия частной производной по времени и интег-
рирования по пространству перестановочны, то полученное выраже-
ние можно записать в виде
- [dV vj = [dV divG +[dv7E.
btj J J J
V
Преобразуя первый интеграл, стоящий в правой части, в поверх-
ностный и учитывая, что для покоящегося вещества
получим следующий интегральный закон сохранения энергии макро-
скопической электродинамики:
где 8 - энергия электромагнитного поля, содержащаяся в рассмат
риваемом объеме:
- 43 -
g	(9.5)
Согласно закону сохранения (9.4) уменьшение энергии электромаг-;
нитного поля зишкоторам объемаразно-еуммеп^
энергии через поверхность» ограничивающую данный объём, и рабо-
ты поля, совершаемой в единицу времени, над свободными заряда-
ми, содержащимися в объеме V,
ГЛАВА 2
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
§10. Основные уравнения и соотношения электростатики
Одним из наиболее простых частных случаев электромагнитно-
го поля в макроскопической электродинамике является случай
электростатического поля, т.е. поля, которое возникает в покоя-
щемся веществе при отсутствии□сегнитнога поди и-независящей от.
времени плотности свободных зарядов. Эти условия означают, что
во всех уравнениях и соотношениях электродинамики мы должны
опустить все слагаемые, в которых содержатся частные производ-
ные по времени и положить = 0 . Уравнения Максвелла в этом
случае принимают вид
rot Н = О,
rot Е = О,
div В ® О,
(ЮЛ)
divD =	,
причем условие независимости плотности зарядов от времени требу-
ет, чтобы все свободные заряды находились в покое.
Рассмотрим эти уравнения по очереди. Первое и третье из
них эквивалентны утверждению, что Н =8 = 0 во всем пространстве.
Действительно, учитывая, что в_случае однородной и изотропной
среды К = ju.H , получим rotH = 0, ju. div Н - О .Из первого
- 44 -
уравнения следует, что в отсутствие токов вектор Н является
потенциальным, а, следовательно, не соленоидальным вектором во
всем пространстве. Второе же уравнение утверждает, что этот
вектор является соленоидальным, а не потенциальным вектором.
Эти два взаимоисключающих требования для Н , зависящего от
координат, очевидно, могут быть удовлетворены лишь в единствен-
ном случае Н = О . Далее, из второго уравнения системы (10.1)
следует, что вектор^? в случае электростатики является потен-
циальным вектором Е - -Vtp • Подставим это соотношение в чет-
вертое уравнение системы (IO.I). Учитывая, что D =еЕ , полу-
чим
v£	iLjr
+ ~ =  Т?-	(10-2)
Для однородного диэлектрика ( Е == 0) это уравнение принима-
ет вид
~	•	(Ю-З)
Уравнение (10.3) необходимо дополнить граничными условиями:
Так как в электростатике Е, то эти соотношения оказыва-
ются эквивалентными следующей системе граничных условий:
₽! * Ъ’
- 6. зг -	
(10.4)
где П - координата в направлении нормали к границе раздела
двух сред. Следует отметить, что условие непрерывности потенциа-
ла (первое из условий (10.4)) при решении задач электростатики
следует использовать крайне осторожно, так как в ряде случаев
оно может быть нарушено . Простейшим примером такого случая яв-
ляется граница раздела двух сред, на которой имеется двойной
электрический слой. В этом случае, как известно, потенциал на
границе испытывает скачок, а напряженность электрического поля
- 45 -
бесконечна»
Уравнение (10.3) и граничные условия (10.4) позволяют оп-
ределить потенциал, напряженность и индукцию электрического по-
ля во всем пространстве, если известно распределение свободных
зарядов в пространстве и на каждое границе раздела различных
диэлектриков»
Вычислим теперь энергию статического электрического поля,
создаваемого некоторой островной системой свободных зарядов,
находящихся в диэлектрической среде» По определению (9.5) имеем
6 =
J 8х
ще интегрирование производится по всему пространству» Так как
Е -	, то это соотношение принимает вид
6 - -	У(<рТ>) - чр c/cvD У.
Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса и учитывая,
что dlvD =?	, отсюда найдем
g = __LZ<^5c/S +	(10.5)
Так как интегрирование в первом, слагаемом происходит по сфере
радиуса R ( R —-оо) , то полезно оценить асимптотику подын-
тегрального выражения» Как известно, потенциал статического по-
ля и вектор индукции достаточно далеко от островной системы за-
рядов убывают не медленнее, чем
Величина dS при интегрировании по сфере радиуса R пропор-
циональна R2 (dS - R2stn&dQ dip) поэтому подынтегральное выра-
жение в первом слагаемом равенства (10»5) убывает с ростом R
не медленнее, чем 1/R и при R-^oo первое слагаемое обре-
кается в нуль. Следовательно,
S = j
(10.6)
- 46 -
Таким образом, в случае островной системы свободных зарядов,
находящихся в диэлектрике, энергия электростатического поля,
определяется интегрированием произведения потенциала на плот-
ность зарядов.
В случае объемных зарядов, когда плотность заряда ни в
одной точке не обращается в бесконечность, полная энергия
электростатического поля конечна. При наличии же хотя бы одно-
го точечного заряда полная энергия электростатического поля,
вычисляемая
ствительно,
по формуле (10.6), обращается в бесконечность. Дей-
так как в этом случае	<р(г)
в (10.6) очевидным образом разойдется. Вместе с тем

то интеграл
из опыта хорошо известно, что любая заряженная частица имеет
конечную собственную энергию. Это противоречие между предсказа-
ниями классической электродинамики и опытными данными в научной
литературе получило название проблемы собственной энергии (или
собственной массы m = S/c2 ) электростатического прля элемен-
тарной частицы. Поскольку эта проблема имеет большее значение
для микроскопической электродинамики, то здесь мы ее не рассма”
риваем. Отметим только, что в макроскопической электродинамике
выражение (10.6) при наличии точечных зарядов используют для
вычисления энергии
собственные вклады
плотность заряда и
записать в виде
их взаимодействия, отбрасывая бесконечные
каждой точечной частицы. В данном случае
создаваемый этой системой потенциал можно
N
(ЮЛ)
где	“ плотность заряда частицы с номером а
и создаваемый ею потенциал. Если эта частица имеет заряд и
находится в точке, радиус-вектор которой Г = С,
- 47 -
Подставляя соотношения (10.7) в выражение (10.6), получим
JV-
Вполне очевидно* что первая сумма этого равенства в силу соот-
ношений (10.8) содержит расходящиеся интегралы; интегралы же
второй суммы конечны* причем каждый из них представляет полови-
ну энергии электростатического взаимодействия частиц о номерами
<х и 6 • Поэтому полную энергию взаимодействия можно опреде-
лить из выражения
N Г	N г
<x^6	cl>0	(10.9)
Энергия взаимодействия играет важную роль при расчете сил и
моментов сил* действующих на заряженные частицы и заряженные
тела. Из теоретической механики известно* что в случае статики
функция Лагранжа равна L = Так как в электростатике
то обобщенная сила, соответствующая обобщенной коор-
динате может быть найдена из соотношения
Р _ _	.	(10.10)
£
Поэтому* выбирая в качестве обобщенной координаты В компоненты
радиус-вектора cl-й частицы и используя соотношение (10.9),
мы можем определить силу* действующую на данную частицу со сто-
роны поля* создаваемого другими частицами; выбирая в качестве
f углы ориентации заряженного тела или мультипольного момента
оистемы частиц* мы определим проекции момента сил* действующих
па них.
- 48 -
§ II. Электростатика проводников
В случае проводников, помещенных в диэлектрическую среду,
уравнения и соотношения Электростатики приобретают ряд характер
ных черт, позволяющих выделить эти явления в самостоятельный
раздел. Основным отличием проводников от диэлектриков,.как из-
вестно, является наличие в н их свободных электронов,^которые
под действием внешнего электрического поля могут перемещаться
в проводнике на значительные расстояния. В результате такого
перемещения в проводнике начинается перераспределение заряда,
и оно происходит до тех пор, пока поле индуцированных поверх-
ностных зарядов не скомпенсирует действие внешнего поля. Поэто<-
му напряженность электрического поля, так же как и электрическая
индукция, внутри проводника всегда равны кулю. Так как E=-vy>,
то отсюда непосредственно следует, что потенциал всех точек
проводника должен быть одинаковым.
Следует отметить, что на поверхности раздела проводника и
диэлектрика первое граничное условие (10.4) электростатики
=	сохРаняет °яой статус граничного условия, в
то время как второе служит для определения поверхностной
ности свободных зарядов, индуцированных на проводнике,
с Эи?
где £ - диэлектрическая проницаемость среды. Поэтому, зная
нормальную составляющую градиента потенциала среды в точках на
поверхности проводника, можно вычислить полный заряд проводни-
ка
Определив полный заряд, мы можем найти емкость уединенного про-
водника
с = — = -	us. (пл)
Ч*	J у Эн.
Вычислим теперь энергию электростатического поля, создаваеиога
системой из N заряженных проводников, находящихся в диэлектри
ке. Будем считать, что линейные размеры каждого проводника ко-
- 49 -
нечны и все они расположены в некоторой области пространства,
островного типа (см.рис.5). Так как электрическое поле внутри
проводников равно нулю, то энергию поля нам следует вычислять,
выбрав в качестве объема интегрирования V в выражении (9.5)
Рис. 5. Система заряженных провод-
ников в диэлектрической
сое де
за вычетом объемов, занимаемых
проводниками. В этом случае
поверхность S , ограничи-
вающая объем V, будет сос-
тоять из поверхности
сферы радиуса	и
суммы поверхностей провод-
ников, причем вектор внеш-
ней нормали к поверхности
S будет направлен по ради-
усу на SR и внутрь каждого
проводника на их поверхнос-
тях. Обозначая через Va ,
5а. ’	’ %. ОбЪвМ’
поверхность, заряд и потен-
циал cl—го проводника со-
/V
писать:
л/
ответственно, мы можем на-
В результате для энергии электростатического поля получим
Поскольку внутри объема интегрирования^ V по постановке задачи
свободные заряды отсутствуют, то divTS—O и в правой части
этого выражения остается только одно слагаемое. Используя теоре-
му Остроградского-Гаусса, преобразуем интеграл по объеду V в
интеграл
зультате
по поверхности S , ограничивающей данный объем. В ре-
получим
Так как в случае островной системы заряженных проводников потен-
циал и индукция злектрического поля при /? ^оо убывают не мед-
леннее, чем	|i£|-
очевидно, что при /?~^оо
кого соотношения обратится в нуль. Учтем также
? ct|d S| = Scn.0 с/вс/у> , TO
первый интеграл в правой части дан-
что потенциал
каждого проводника один и тот же для всех точек его поверх-
ности; это позволяет вынести его из-под знака интеграла. Тогда
будем иметь
Рассмотрим теперь поверхностный интеграл
где вектор rv направлен внутрь cl-го проводника и, следова-
тельно, отличается знаком от вектора внешней нормали 7га к
этоцу проводнику:	. Поэтому
(О.) Т CL CL <Х
Отсюда непосредственно следует, что -чяс], , поскольку
поток вектора индукции электрического поля через поверхность,
ограничивающую объем а-го проводника, равен	. Таким
образом, имеем окончательно	а

(ПЛ)
В силу линейности электродинамики потенциал электрического поля
линейно зависит от величины свободных зарядов. Поэтому и,потен-
циал, приобретаемый а-м проводником,является линейной (и од-
нородной) функцией, зависящей от величины зарядов всех провод-
ников:
- 51 -
Коэффициенты пропорциональности S^g , называемые потенциальны-
ми, можно представить в виде квадратной матрицы N х Л/ , при-
чем первый индекс S^g нумерует строки, а второй - столбцы дан-
ной матрицы» Потенциальные коэффициенты зависят от геометричес-
ких размеров, формы и взаимного расположения проводников, а так-
же от диэлектрических свойств окружающей среды и не зависят от
величины зарядов проводников и их потенциалов» Численно потен-
циальный коэффициент S^g совпадает с потенциалом, приобретен-
ным cl—м проводником в том случае, когда заряд в-го провод-
ника равен единице, а все остальные проводники незаряжены» Со-
вершенно аналогично, в силу линейности электродинамики и заряд,
которым обладает <х-й проводник в электростатике, должен быть
линейной и однородной функцией приобретаемых всеми проводниками
потенциалов:

Величины
CL = В - ЭТО
называются емкостными коэффициентами, причем при
собственные емкости проводников, а при -
взаимные емкости. Так же,как и потенциальные коэффициенты, ем-
костные коэффициенты определяются формой, геометрическими раз-
мерами, взаимным расположением проводников и диэлектрическими
свойствами окружающей среды: они не зависят от величины зарядов
проводников и их потенциалов. Численно величина C^g при а. = 6
совпадает с зарядом, который необходимо сообщить cl-му провод-
нику при заземленных остальных проводниках (<pc=Oi с
для того, чтобы он приобрел положительный потенциал = I.
Так как проводник приобретает положительный потенциал (если счи-
тать, что на бесконечности потенциал равен нулю) только в том
случае, когда его заряд положителен, то отсюда следует, что
Cag>0 при о. = 6 . При <х £ & C^g совпадает с величиной
заряда, приобретаемого а-м проводником, когда потенциал 6-го
проводника равен единице, а все остальные проводники заземлены
- 52 -
<%=°> С * 8	). Поэтому ЛОГКО IIOKH.UlTb, что при	все
±0 . Действительно, так как питинципл в-го проюдника
положителен, то и его заряд положитилон. Положительный же заряд
в-го проводнике может индуцировать на каждом заземленном про-
воднике только отрицательный или равный нулю заряд. Так как
“ CaS 4 °-
cl—Й проводник заземлен, то cz < О , а поэтому
•2L
§ 12о Силы, действующие на диэлектрик во внешнем
электростатическом поле
При помещении диэлектрических тел во внешние электростати-
ческие поля они поляризуются - внутри объема диэлектрика и на
ограничивающих его поверхностях может возникнуть в общем случае
не равная нулю плотность связанных зарядов. Поэтому в результа-
те взаимодействия связанных зарядов между собой и с внешним
электростатическим полем возникает объемная электростатическая
сила, которая стремится как деформировать диэлектрическое тело,
так и вызвать перемещение его в пространстве. Если, кроме того,
с веществом диэлектрика жестко связана и некоторая избыточная
плотность объемных зарядов, которую в данном случае следует
рассматривать как плотность свободных зарядов, то картина расп-
ределения объемных сил, действующих ня вещество диэлектрика,
существенно усложняется. Однако существуют и другие пути вычис-
ления объемной силы, действующей на диэлектрики, помещенные в
электростатическое поле. Один из них, основанный на вариацион-
ном методе, разработанном в теоретической механике и термодина-
мике, мы сейчас и изучим.
Рассмотрим жидкий (или газообразный) диэлектрик, помещен-
ный во внешнее электростатическое поле. Считая процесс взаимо-
действия поля с диэлектриком изотермическим, изменение энергии
рассматриваемой системы при виртуальной деформации Set элемен-
тов объема диэлектрика мы можем записать в виде
где Р - объемная плотность обобщенной силы, соответствующая
обобщенной координате cl . Очевидно, что если в качестве обоб-
щенных координат выбрать декартовы компоненты радиуса-вектора
некоторой точки диэлектрика, то обобщенная сила F будет сов,-
- 53 -
падать с плотностью объемной силы, действующей в этой точке на
диэлектрик» Таким образом, выражение для силы,- действующей со
стороны внешнего поля на элемент объема диэлектрика, можно най-
ти, если изменение энергии поля 8S при виртуальном перемеще-
нии 8-г сопоставить с работой силы при данном виртуальном
перемещении

(I2.I)
Выражение для энергии поля в присутствии диэлектрика с находя-
щимися в нем свободными зарядами, как мы видели в § 10, можно
представить в двух эквивалентных формах:
8 = 4 fpvdV = 4- fe. E^dV.
£ J > Т 8х J
V	И
Воспользуемся этой неоднозначностью для того, чтобы значительно
упростить последующие выкладки. Запишем энергию электростатиче-
ского поля в виде
8 =	- ^Ё2]сЛЛ	(12.2),
Виртуальное изменение внешнего параметра	очевидно,должно
привести к изменению всех входящих в это соотношение величин.
С точностью до бесконечно малых первого порядка соотношение
(12.2) дает
-|?Л-	(12.3)
Так как в случае электростатики Е	, то мы можем значи-
тельно упростить это выражение, если учтем, что
6 ESE =-i> vS<p = -dev ('Б	divl>.
'Гак как divl) = 4хо , то отсюда имеем
£Е SE - - div (D	+ 4хр .
Подставляя это соотношение в выражение (12.3), получим
- 54 -
56 = /[? s? -	* ±d« (В s?)] dv.
Преобразуем теперь интеграл по объему от последнего слагаемого
в интеграл по бесконечно давленной поверхности. Учитывая, что
при	величина dS D Sip убывает не медленнее, чем
убеждаемся, что вклад этого слагаемого равен нулю. Поэтому
S6 - /[Т s¥ - X S£] dV.
(12.4)
Найдем выражения для Sq и 3£ при виртуальном перемещении
• Изменение плотности свободных зарядов в некоторой точке
с радиусом-вектором Т при виртуальном перемещении 8i* может
проистекать из-за двух причин (см.рис.6): из-за простого переме-
щения всех элементов объема на расстояния, определяемые вектором
Sr5*, и за счет расширения каждого элемента объема, в результате
которого все линейные размеры их увеличиваются на величину, оп-
ределяемую тем же самым вектором 8? • Таким образом, с точно-
стью до бесконечно малых первого порядка по 8т5 изменение
плотности свободных зарядов в точке с радиусом-вектором л оп-
ределяется соотношением
(12.5)
где 8^ - изменение плотности свободных зарядов в точке 7\
вызванное одним только перемещением всех элементов объема на
вектор 8г , а 8^ - изменение, вызванное одним толвко рас-
ширением линейных размеров элемента объема на величину, опреде-
ляемую вектором Sf*.
Найдем эти величины. По определению величина равна
разности между плотностями свободных зарядов в точке с радиусом-
вектором после виртуального перемещения 8<г и до него:
~ Рпосле 9“до ”
Так как до виртуального перемещения плотность совпадает
со значением в точке 7^ , то	После виртуально-
го перемещения это значение плотности переместится в точку
г + 8^ , а в точку Vs перейдет элемент объема, который до
- 55 -
перемещения находился в точке г*- Srr . Поэтому ^после
Таким образом*
5,9 = <?(?- sf) - 90*).
Раскладывая первое слагаемое, стоящее в правой части этого ра-
венства в ряд Тейлора по бесконечно малому виртуальному переме-
щению Sr** и ограничиваясь лишь линейным приближением,получим
^9 = - 8г v 9 (г).	(12.6)
Найдем теперь 8^ • Очевидно, что и в этом случае
= ?после V?>o • ГДе ?Эо И ?noc№^raOTHOC™ Свободных 88-
рядов в точке с радиусом-вектором г* до и, соответственно,
после виртуального расширения элемента объема диэлектрика.
Рис.6. Изменения в диэлектрике, порождаемые виртуаль-
ным перемещением &г:
а) виртуальное смещение элемента объема ди-
электрика вместе с находящимися в нем свобод-
ными зарядами на вектор Si* ; б) виртуаль-
ное расширение элемента объема диэлектрика
Так как при виртуальном расширении величина заряда, содержаще-
гося в данном элементе объема, не изменяется (по нашему предполо-
жению, сделанному в начале, свободные заряды жестко связаны о
веществом диэлектрика), то для нахождения 8^ воспользуемся
соотношением

после
- 56 -
Обозначая величину рассматриваемого элемента объема через Ц,
а приращение элемента объема в результате виртуального расшире-
ния через , имеем
р V = р	(12.7)
УЪо 1 Г после ( 1	1'
Легко убедиться (см.рис.6,6), что
= ф8гс/<Г = jdv div Sr = V^ivSr-^ O(Sr*').
Поскольку div Sr является бесконечно малой величиной, то в
линейном приближении из соотношения (12.7) получим
Рпосле= ?ЪО(1~ Ж*8?) - (' -dcv8^^(^.
Поэтому выражение для S2o принимает следующий вид:
SZO = - (^) div Sr.	(12.8)
Таким образом, виртуальное изменение плотности заряда (12.5) в
некоторой точке г диэлектрика, возникающее при виртуальном
смещении Sr , в силу выражений (12.6) и (12.8) равно
Sb = - Sr V^)(r) - p(r) JtvSr = - div [^(f*) Sr] .
(12.9)
Совершенно аналогично, виртуальное изменение диэлектрической
проницаемости 8е мы можем представить в виде суммы изменений
£ , обусловленных перемещением всех элементов объема диэлект-
рике и их расширением:
Se = 8,е г 8,8.
Величину Sle можно найти, повторяя почти дословно весь ход рас-
суждений, использованный при определении 8, о .В результате
будем иметь
S'е = - Sr .
Определим теперь величину 8^6 ♦ Так как при расширении элемен-
та объема диэлектрика его диэлектрические свойства изменяются в
основном из-за изменения плотности вещества Т f то эту величи-
ну мы можем записать в виде
- 57 -
где S^T - изменение плотности веществе при-виртуальном расши-
рении элемента объема, Т= Curt , Strt - масса диэлектрика,
Sv-* о ™
содержащаяся в объеме 5 И.
Учтем теперь, что масса вещества диэлектрика, содержащего-
ся в любом элементе объема, при виртуальном расширении не изме-
няется» Поэтому, по аналогии с определением величины	,
мы можем записать
= - Т div Sr.
Следовательно,полное виртуальное изменение диэлектрической про-
ницаемости при виртуальном перемещении сРг равно
Se = - S'-г	div 8г .	(12.Ю)
Подставляя выражения (12.9) и (12.10) в соотношение (12.4), по-
лучим
8£ = dtvfipS^r)
8х
du/ d VC
(К,П)
Теперь нам следует привести подынтегральное выражение этого ра-
венства к виду (I2.I). Для этого воспользуемся соотношениями
Подставляя их в правую часть равенства (12.II) и применяя теоре-
му Остроградского-Гаусса, получим
- 58 -
Так как поверхностный интеграл в этом соотношении берется по
сфере бесконечного радиуса, где 6=1, ^> = 0, то
Pf} -°-
Поэтому виртуальное изменение энергии принимает вид
Сопоставляя это выражение с соотношением (I2.I) и учитывая,
что все величины независимы, получим окончательно
Первая часть этой силы р Е равна силе, действующей со стороны
внешнею поля на свободные заряды диэлектрика; второе слагаемое
£ описывает часть силы, возникающей из-за неодно-
8х
родности диэлектрической проницаемости вещества. И, наконец,
последнее слагаемое выражения (12.12) описывает силу, обязанную
своим возникновением стрикционным свойствам вещества О)
и неоднородности в пространстве напряженности внешнего поля и
диэлектрических свойств вещества (произведение Е	)
§13. Разреженный нейтральный газ во внешнем
электростатическом поле
В качестве примера на применение выражения (12.12) опреде-
лим объемную силу, действующую со стороны внешнего электростати
ческого поля на разреженный нейтральный ( р = 0) газ. Такой вы
бор объекта исследования обусловлен тем, что разреженный нейт-
ральный газ представляет собой наиболее простой пример диэлект-
рика, позволяющий получить выражение для объемной силы и на oohi
ве силы Лоренца. Это дает возможность провести в некотором смыо<
ле проверку выражения (12.12) на конкретной модели диэлектрика^
Из общих соображений следует, что диэлектрическая проницав!
- 59 -
мость разреженного нейтрального газа должна быть функцией его
плотности: 6 = 6(т). Разлагая ату функцию в ряд по степеням Т
и ограничиваясь линейным приближением, получим Е = где
коэффициент пропорциональности , зависящий от химического
состава газа, его температуры и давления, мы будем предполагать
постоянным* В этом случае V6= 8-1.
оТ
Поэтому выражение (12*12) дает
(£-Л
8х
vE2
то исполь-
Так как в случае электростатического поля rotE^O
зуя известную форь^лу векторного анализа
из этого соотношения получим
Таким образом, при помещении разреженного нейтрального газа во
внешнее электростатическое поле объемные силы, действующие со
стороны поля, будут отличны от нуля только в том случае, когда
внешнее поле неоднородно.
Вычислим теперь эту силу на основе выражения для силы Ло-
ренца* Заметим прежде всего, что во внешнем электростатическом
поле разреженный нейтральный газ поляризуется, в результате че-
го его можно считать системой электрических дипольных моментов.
Так как электрический диполь представляет собой два равных по
величине и противоположных^по знаку заряда ±	, расположенных
на некотором расстоянии £ , то сила Лоренца, действующая со
стороны поля на каждую молекулу газа будет иметь вид.(см*рио*7)
у = <^Е (-Г+ е.) -	.
Разлагая первое слагаемое этой разности в ряд Тейлора в окрест-
ности точки 1* и ограничиваясь лишь линейным приближением, по-
лучим
У = <}(£?} E(F).	(13.2)
Для нахождения объемной силы, действующей со стороны внешнего
электростатического поля на разреженный нейтральный газ нам
60 -
следует просуммировать силу (13.2) по всем молекулам, содержа-
щимся в единице объема газа. Обозначая число молекул газа, со-
держащихся в единице объема газа через Л/ , получим
F = N f = Ny(fv) Efr) = N(d v) Е (г), (13.3)
Рис. 7. Электрический диполь во
внешнем поле
момент одной молекулы газа.
Так как Nd представляет
собой средний электрический
дипольный момент единицы
объема газа, то этот вектор
совпадает с вектором^поляри-
зации среды Net = Р . Для
разреженных нейтральных га-
зов, как и для других изотроп-
ных диэлектриков, справедливо
соотношение
NJ,p = SX<^£.
Подставляя это соотношение в
выражение (13.3), получим
Г -	(??)£.
(13.4)
Таким образом, как и следовало ожидать, выражение для объемной
силы (13Л), вычисленное по общей формуле (12.12) в случае раз-
реженного нейтрального газа, находящегося во внешнем электроста-
тическом поле, полностью совпадает с соответствующим выражением
(13.4), полученным на основе силы Лоренца. Проведенные вычисле-
ния показали также, что использование выражения (12.12) являет-
ся более простым способом решения поставленной задачи, чем спо-
соб, основанный на использовании микроскопического выражения
для силы Лоренца.
§ 14. Тензор натяжений Максвелла для диэлектрической
среды во внешнем электростатическом поле
При решении ряда задач электростатики проводников и диэлект-
риков часто требуется определить силу, действующую на то или
- 61 -
инее тело в том случае^, когда известны условия на поверхности
этого тела: векторы Е , D и диэлектрические свойства само-
го тела и окружающей его среды. Конечно, в этом случае можно
поставить соответствующую краевую задачу, определить все необ-
ходимые величины внутри тела и интегрируя выражение (12.12),
найти суммарную силу, действующую со стороны поля на данное
тело. Но в этом случае решение задачи получается достаточно
длинным и сложным. Привлечение понятия тензора натяжений Макс-
велла позволяет существенно упростить решение^данной задачи и
использовать для определения силы величины Е и £ , относя-
щиеся только к точкам поверхности тела, совершенно не интере-
суясь величинами £ и Е внутри него. Чтобы понять суть ме-
тода, запишем выражение для какой-либо проекции полной силы,
действующей на тело, в виде
Г, ^fp^dV,
(M.I)
где греческие индексы, как обычно, пробегают значения 1,2,3.
Мы также считаем, что всюду, если это не оговорено особо, ис-
пользуются декартовы координаты инерциальной системы отсчета,
в результате чего X , Х2~ у , Х3= z . Аналогичный смысл
имеют и соответствующие проекции векторов	, F^ = Fy ,
F = Fz • Кроме того, при наличии двух одинаковых индексов, од-
ного верхнего, а другого нижнего, будем предполагать суммирова-
ние по ним в пределах принимаемых ими значений у
= ц ч «24’ 'з * ^Т0 пРавило было введено еще Эйнштейном и позво-
ляет существенно упрощать запись громоздких выражений.
Объемную силу , действующую со стороны поля, можно по-
лучить и иначе - из дифференциального закона сохранения тензора
энергии-импупьса. В этом случае сила F^ записывается в виде
трехмерной дивергенции от пространственной части тензора энер-
гии-импульса (тензора натяжений Максвелла)
F. = Т/ •	(W.2)
Ъх^ '
Коли теперь подставить это соотношение в выражение (14.I), то
интеграл по объему от трехмерной дивергенции мы можем по теореме
Остроградского-Гаусса преобразовать в интеграл по поверхности,
- 62 -
ограничивающей рассматриваемое тело. В индексной записи это бу-
дет выглядеть так:
где CISft - проекция вектора dS на ось с номером уз
скольку7вектор dS всегда параллелен вектору внешней
ru к поверхности тела, w)d$=n dS и выражение для
принимает вид
. По-
нормали
силы
(14.3)
в данном случае для определения силы, действую-
стороны дю ля, нет необходимости привлекать ка-
, относящуюся к внутренним точ-
Таким образом,
щей на тело со
кую-либо информацию о
кам тела; для этого достаточно определить значения тензора на-
тяжения Максвелла во всех точках поверхности
проинтегрировать его по данной поверхности.
Поэтому возникает задача восстановления
по известному выражению (12.12) для объемной
записи эта сила имеет вид
_2	-
тела и после этого
вида тензора
силы. В индексной
« V * 8хЭх* Эх-ЧвЯ Эт J.
Наиболее просто осуществляется преобразование к дивергенционно-
му виду последнего слагаемого
- символ Кронекера
fl, если
Преобразуем теперь к требуемому виду и остальные слагаемые
выражения (14.4). Используя уравнения Максвелла, первое слагае-
мое этого выражения мы можем записать следующим образом:
- 63 -
рЕ = ^Е duv5= ХеX	2?	. (Н.6)
Y о/ 4х	Ц-к 4я ЭхР1 * J 4х ^>х'
Второе слагаемое выражения (14.4) приведем к виду:
-►2 Л JS^E^
где учтено, что Е =Е и £	Подставляя соот-
ношения (14.5)-(14.6) в выражение (14.7), получим
(14.8)
и значений
Учтем теперь, что при пробегании индексами с/ 1
1,2,3, величина —- - —дает различные проекции rott,
ЪхГ
который в случае электростатики равен нулю. Иначе говоря, так
ст
как в статическом случае t , -------то —— *
Поэтому выражение (14.7) принимает вид

Сравнивая это соотношение с определением (14.2), имеем
(14.9)
Следует отметить, что соотношение (14.2) дает неоднозначное оп-
ределение тензора натяжений Максвелла; если к тензору Максвелла
- 64 -
добавить трехмерную дивергенцию от антисимметричного тензора
третьего ранга, то полученный тензор
(14.10)
где =
Действительно,
подставляя его
, будет удовлетворять тоцу лее определению (14.2),
выражая из соотношения (14.10) тензор и
в определение (14.2),имеем
J в	"З2, ~д
То гак как = - б/ , а —-— = --ч-............- , то очевидно, что
~ О • Следовательно, р _ ЪТ/* и добавление
к тензору натяжений Максвелла дивергенцийооГ антисимметрическо-
го тензора третьего ранга не изменило величины
Давайте теперь выясним, изменяется ли при этом величина
полной силы, определяемая выражением (14.3). Для этого выразим
из соотношения (14.10) тензор Т? и подставим в (14.3). В ре-
зультате получим
ъ - А, V = ^11“.
Преобразовав последний интеграл в объемный

и учитывая, что
легко убедиться, что и полная сила, определяемая из выражения
(14.3), не изменяется при преобразовании (14.10):
- 65 -
Поэтому указанная неоднозначность в определении тензора натяже-
ний Максвелла является несущественной при вычислении сил, дей-
ствующих на тела во внешнем электростатическом поле. Используя
выражение (14.9) и учитывая, что = reacts , выражение
(14.3) для силы, действующей на некоторое тело, помещенное во
внешнее электростатическое поле, мы можем записать в векторном
виде
где п- - вектор внешней нормали к поверхности тела.
В случае проводника, находящегося в диэлектрической среде,
выражение (14.II) для силы, действующей на него со стороны внеш-
него поля,существенно упрощается. Действительно, так как на по-
верхности проводника тангенциальные составляющие вектора напря-
женности электрического поля равны нулю, то на^границе раздела
диэлектрика и проводника вектор Е имеет вид Е = Егь , где
7г - вектор внешней нормали к поверхности проводника. Учтем
также, что стрикционный член Е2 Эб 5;f достигающий в
Эт °*
отдельных случаях больших значений, после интегрирования по
замкнутой поверхности обычно не дает вклада в равнодействующую
всех сил. Следовательно, тензор натяжений Максвелла, используе-
мый для вычисления полной силы, действующей на проводник, при-
нимает вид
_	. О' ft
Поскольку rtгь , то отсюда имеем
Р	р ы ы
Подставляя это соотношение в выражение (14.3) и переходя к век-
торной записи, получим
Т - fj-dS 1	(14.12)
где
- 66 -
J 8tl	_
Так как на поверхности проводника S.E = ^>rL= 4^pnog
тор у можно записать в виде
/ = i pnog £ и- = 2 <?nog £ •
то век-
Таким образом, при вычислении силы, действующей со стороны по-
ля на проводник, находящийся в диэлектрической среде, вместо
выражения (14.3) мы можем пользоваться эквивалентным ему соотно-
шением (14.12).
ГЛАВА 3
МАГНИТОСТАТИКА
§ 15. Основные уравнения и соотношения магнитостатики
Следующим шагом по пути усложнения изучаемых электродина-
мических процессов является переход к магнитостатике - разделу
электродинамики, в котором изучаются электромагнитные поля,
возникающие в веществе при наличии независящих от времени токов.
В этом случае, так же как и в электростатике, отсутствует какая-
либо зависимость всех величин от времени и уравнения электромаг-
нитного поля принимают вид
rot Н - J,
Koi Е - О
(I5.I)
div В = О,
divD - 4^ .
Плотность тока свободных зарядов j , входящая в эти уравнения,
в силу дифференциального закона сохранения заряда (2.9), являет-
ся соленоидальным вектором
div/ = 0 . (15.2)
Как показывает опыт, в проводящих средах этот вектор зависит от
свойств среды, от напряженности электромагнитного поля и от ря-
да внешних условий: температуры, давления, освещенности и т.п.
Из физических соображений очевидно, что для поддержания постоян-
ного во времени тока свободных зарядов, необходимо наличие ис-
точника сторонних электродвижущих сил. В качестве таких источ-
ников могут выступать гальванические элементы, генераторы, тер-
мопары, фотоэлементы и ряд других устройств. Поэтому в случае
однородных и изотропных сред и при наличии относительно слабых
полей вектор плотности тока мы можем записать в виде
где (Р,ТГ- проводимость среды, ЕСТОр - напряженность
поля сторонних сил. Обычно источники сторонних сил бывают лока-
лизованы в отдельных ограниченных областях пространства, вне
которых уравнение связи (15.3) принимает наиболее простой вид
Соотношения (15.3) и (15.4) показывают, что в магнитостатике
вектор напряженности электрического поля внутри проводников
может быть не равен нулю.
Система уравнений Максвелла (I5.I) вместе с материальными
уравнениями дает единственное решение задачи лишь при наличии
соответствующих граничных условий. Характерной особенностью
магнитостатики является то, что наряду с обычными граничными
условиями (8.10) в ней довольно часто приходится использовать
граничное условие, вытекающее из уравнения (15.2)
Учитывая материальное уравнение (15.3), полную систему граничных
условий запишем в виде
(15.6)
Использование этих уравнений (совместно с естественными гранич-
ными условиями в особых точках) позволяет не только выделить
единственное решение уравнений Максвелла (I5.I), но и опреде-
лить плотности поверхностных токов и зарядов на границе раздела
различных сред.
§16. Поле линейных проводников с током
В ряде важных для приложений случаев длина проводника бы-
вает значительно больше его поперечных размеров. Такие провод-
ники мы будем называть линейными, подразумевая при этом, что
всегда, когда это требуется, поперечные размеры данных провод-
ников можно считать равными нулю. Изучим характерные особеннос-
ти электромагнитного поля, создаваемого одним или несколькими
линейными проводниками с токами, помещенными в непроводящую
среду. Рассмотрим,прежде всего, какой-либо участок линейного
проводника и выясним,какие соотношения имеются в данном случае
между плотностью тока, величиной поперечного сечения проводника
и бесконечно малым вектором , касательным к проводнику в
некоторой точке (см.рис.8). Для этого построим вокруг данного
проводника цилиндрическую поверхность, полностью охватывающую
рассматриваемый участок проводника, и ограниченную поперечными
сечениями А и В.
Проинтегрируем теперь соотношение (15.2) по объему подучен
кого цилиндра. Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусоа,
имеем
- 69 -
j^ds = Jjds + fps 4-JJds = о, <I6-«
s s, s2 s3
где St и о, - поверхности поперечных сечений проводника, про-
ходящие через точки А и, соответственно, В , а $3 - боко-
вая поверхность цилиндра• Так как линейный проводник находится
в непроводящей среде, то на поверхности 53так же,как и на бо-
ковой поверхности самого проводника, jn = 0 в силу граничного
условия (15.5). Поэтому	- О . Учитывая теперь, что
5з
Рис. 8, Участок линейного проводника
вектор внешней нормали в сечении А антипараллелен вектору
внешней нормали в сечении В , соотношение (I6.I) приведем к
Таким образом, величина тока, протекающего через любое попереч-
ное сечение линейного проводника,постоянна. Так как величина
поперечного сечения линейного проводника мала, то эффекты, свя-
занные с неоднородностью плотности тока J в различных точках
сечения также будут малы. Поэтому в первом приближении по вели-
чине отношения поперечного размера, проводника l/S" к его харак-
терной длине 8 мы имеем все основания считать, что плотность
вектора тока в различных точках^поперечного сечения линейного
Проводника постоянна:	I	=const • А поскольку на боко-
- 70 -
= 0), то с той же
вой поверхности проводника вектор у
составляющую (J
тор во всех толках рассматриваемого
считать параллельным вектору с/с ,
ника:
имеет только касательную
степенью точности этот век-
поперечного сечения можно
касательному к оси провод-
Используя полученные соотношения, определим поле, создаваемое
вне линейного проводника. Так как в данном случае уравнение
(6.6) для вектор-потенциала принимает вид
дА =---------— / ,
то считая, что линейный проводник имеет конечную длину, полу-
чим. как обычно.
JV
производится по объему, занимаемому линейным
где интегрирование
проводником. Представляя элемент объема рассматриваемого провод-
ника в виде c/U = JS с/£
упростим выражение (16.4):
и используя соотношение (16.3)/
jdsde
в подынтегральном выражении этого
Величина |Г-Г'Г’ , стоящая
равенства, вообще говоря, изменяется не только при переходе от
одного поперечного сечения проводника к другому, но и при про-
бегании вектором t*' точек одного и того же поперечного сечения.
Однако при достаточно малых размерах поперечного сечения линейно
го проводника изменение величины |
будет очень мало, в результате чего мы можем считать эту величи-
ну постоянной при интегрировании по каждому из поперечных сече-
ний проводника. Это дает основание записать данное выражение в
виде
в последнем случае
- 71 -
A (г} = — (L - fjdS.
Используя соотношение
(16.2), отсюда имеем


(16.5)
причем интегрирование здесь производится по точкам вдоль оси
линейного проводника.
Определим теперь вектор магнитной индукции. В силу соотно-
шения (5.1) получим
Так как операция взятия ротора в
по координатам вектора г , то
данном выражении производится
Тогда для вектора магнитной индукции имеем
Если это соотношение представить в виде
в = Гс/в,
то мы получим известный закон Био-Савара-Лапласа
СУВ =
]•
В ряде случаев точное интегрирование в выражениях (16.4) и
(16.5) осуществить не удается, в результате чего возникает не-
обходимость нахождения приближенных выражений для векторов А
и В • Для этого, как обычно, подынтегральное выражение в со-
отношении (16.4) нам следует разложить в ряд по некоторому ма-
лому параметру с треоуемой точностью, после чего проинтегриро-
- 72 -
вать его почленно. Наиболее часто в качестве малого параметра
используют отношение характерного размера в области, занимае-
мой источником поля к расстоянию от этой области до точки наб-
людения. В системе координат, начало отсчета которой помещено
в какую-либо точку источника поля,[г*'| — £ и условие малости
данного отношения принимает вид
Разлагая
ваясь лишь линейным приближением, получим
в ряд по этому малому параметру и ограничи
Подставляя это разложение в выражение (16.4), будем иметь
й + <й-‘>
Для упрощения данного выражения воспользуемся тем, что в магни-
тостатике вектор плотности тока является соленоидальным
div j ~ О * Поэтому для произвольной дифференцируемой
функции у/т*) будет справедливо соотношение
Проинтегрируем это соотношение по всему пространству. Восполь-
зовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получим
Так как в случае островных систем вектор плотности тока
на бесконечности тождественно равен нулю, то и интеграл в левой
части этого соотношения Танжера вен нулю. Поэтому для островных
систем соленоидальяый вектор j (г) должен удовлетворять условие
fc/x Jy dz (j~(r} v)	= 0	(16.7)
независимо от выбора дифференцируемой функции • Для наши<
целей это соотношение представляет наибольший интерес лишь при
- 73 -
двух частных выборах виде функции ) • В первом из них поло
жим последовательно	• Учитывая,, что
из выражения (16,7) будем иметь
= О.
Таким образом, первое слагаемое в соотношении (16,6) равно ну-
лю в силу соленоидальности вектора J.
В другом случае, выбирая , где <3 -
произвольный постоянный вектор, аг*'- некоторый вектор, не
зависящий от , и используя соотношение


получим
(zjdxdyck (jWr'r) + FfF'j (Tj)}) = О.
Поскольку постоянный вектор gl является полностью произволь-
ным, то это равенство может быть выполнено только в том случае
когда
Jdx dy dz	+ Tr('r'j Г^))^ = О»
Заменяя в этом выражении F на , Г на г и dxdydz
на dV = dx'dy'dz'9 получим
jdv	+р:?') (??')} = о.
Используя это соотношение и проводя тождественные преобразова-
ния в выражении (16.6), будем иметь
Легко убедиться, что в фигурных скобках этого выражения стоит
двойное векторное произведение
Поэтому вводя обозначение
для вектора
можем
магнитного дипольного момента, векторный потенциал
записать в достаточно простом виде:
Д(П =
Для вектора магнитной индукции в дипольном приближении имеем
в =
(16.8)
Вычислим теперь свободную энергию магнитного поля, создаваемого
системой проводников с токами. По определению (9.3) имеем
8 = 4- [bHcJV.
Так как В = rot А , то используя соотношение
c/cv^XhJ = Н ^rol А — A'rotH,
это выражение приведем к виду:
+ A rot Н j-„
Преобразуем интеграл по объему от первого слагаемого в поверх-
ностный, а во втором слагаемом учтем, что в магнитостатике
rot Н = J . В результате получим
6 . A /pnjds +
Поскольку при R ОО векторы А , Н и dS имеют асимпто-
тику |Х|~	~ 1/R3 , то очевидно, что при интегриро-
вании по бесконечно удаленной поверхности первый интеграл обра-
щается в нуль. Тогда
- 75 -
Учитывая выражение (16.4), имеем
(16.10)
Рассмотрим теперь систему из N непересекающихся проводников,
в каждом из которых имеется отличная от нуля плотность тока
). Тогда полную плотность тока j (г*) можно
записать в виде
(16.II)
В силу линейности электродинамики, создаваемый этой системой
токов векторный потенциал мы можем записать в аналогичном ви-
А(П =
/ о
-	8=1
где - вектор-потенциал, создаваемый током 6-го провод-
ника. Подставляя эти соотношения в выражения (16.9) и (16.10),
получим
где введено обозначение
I?- ?'i

(К. 12)
При <х»8 величина представляет собой собственную сво-
бодную энергию магнитного поля, создаваемого током сх-го
проводника; присх/8 величина	является энергией взаи-
- 76 -
модействия токов cl-го и 6-го проводников. Очевидно, что
при прочих равных условиях плотность тока	<х-го провод-
ника (cl = 1,2,..5 N ) должна быть линейной функцией полного
тока, протекающего через поперечное сечение этого проводника.
Поэтому свободная энергия магнитного поля, создаваемого систе-
мой из Л/ проводников с токами, является некоторой однородной
квадратичной формой относительно токов в этих проводниках:
s = A У~ Ъ k • (клз:
2с 4—~
fc/
Коэффициенты этой формы Z-^при сх=:8 называются коэффициен-
тами самоиндукции cl-го проводника, а при cl ^8 - коэффици-
ентами взаимной индукции проводников с номерами cl и 8 . Они
существенно зависят от геометрической формы, размеров и взаим-
ного расположения проводников и от jul .
Нахождение этих коэффициентов в общем случае представляет
собой довольно сложную задачу, так как для этого требуется про-
вести полное решение уравнений электромагнитного поля, опреде-
лить свободную энергию этого поля и представить ее в виде квад-
ратичной формы относительно токов в проводниках. После этого
сопоставление полученного выражения с соотношением (16.13) даст
возможность определить величину каждого из коэффициентов L^g
рассматриваемой системы проводников. Для линейных проводников
эта задача существенно упрощается. В этом случае коэффициенты
взаимной индукции L^g	могут быть получены проще. Для
этого запишем выражение для S с в виде
Учитывая соотношение (16.12), имеем
Иопользуя выражения
Хен с/3*' « Ja с*?». )
- 77 -
dsr' = ;g c/Sg
справедливые только для линейных проводников,-и учитывая, что
|r-rTf несущественно изменяется при интегрировании по точкам
любого поперечного сечения линейных проводников, получим

(16.14)
Вычисление же коэффициента самоиндукции линейного проводника
(при & ) /пртгавОдится несколько сложнее, так как в этом
случае пренебрегать наличием поперечного сечения у линейного
проводника на некоторых этапах приведенного выше расчета уже
нельзя.
Величину свободной энергии магнитного поля, создаваемого
системой линейных проводников с токами, можно представить и в
ином виде. Для этого подставим соотношение (16.II) в выражение
(16.9). В результате получим
Ь	iTaCr) A(r)dV. (16.15)
2с Z—— у
Гак как величина отлична от нуля только в объеме, зани-
жаемом cl-м линейным проводником, то используя соотношение
(16.3), мы можем сделать следующее преобразование:
dV - Л dS» '
;читая, что величина вектор-потенциала полного поля Д fr) несу-
щественно изменяется при пробегании вектором точек каждого
а.-го проводника, из выра-
фиксированного поперечного сечения
юния (16.15) найдем
[спользуя формулу Стокса
Ав*).
JC А (г ) - fdS ттИ А - J В> dS
а %	Sa
ЯР
а.
- 78 -
где Sa - любая поверхность, опирающаяся на контур cl-го про-
водника , получим
N
CL=1
Сопоставляя это выражение с выражением (16Л5), видим, что в
случае линейных проводников поток вектора магнитной индукции
через любую поверхность, опирающуюся на контур cl-го проводни-
ка, может быть представлен в виде
§ Г?• Закон Ома для линейных проводников с током
Разделив обе части соотношения (15.3) на проводимость А
мы получаем закон Ома в дифференциальной форме:
Это равенство связывает в каждой точке проводящей среды напря-
женность электрического поля и напряженность поля сторонних сил
с плотностью возникающего под их действием тока и проводимостью
среды. Используя его, мы можем получить и интегральный закон
Ома. Для этого умножим скалярно соотношение (17.I) на d8 и
проинтегрируем вдоль линейного проводника с током от точки А
ДО ТОЧКИ В g	6	в
/-!£ , [ем + ДТО(Х-	(1,.г)
А	А	а
Преобразуем теперь каждый интеграл в этом равенстве. Учитывая,
что для линейных проводников справедливы соотношения j dC =
= jdt, = % “ cofbsl, интеграл, стоящий в левой части, при-
ведем к виду: в
(	— Т f	ТО	/ Т7
/	— 1 / ~-- = 1	,	(17.3)
- 79 -
где R = / -—	- электрическое сопротивление участка линей-
Ав A S
ного проводнику, заключенного между точками А и В , Подстав-
ляя выражение Е = в первый интеграл, стоящий в правой
части равенства (17.2), имеем
~	' Та ~ дв’
А ,, А	А
где Чв=1<Рв- *а1- разность потенциалов (падение напряжения)
на участке АВ» И, наконец, последнее слагаемое равенства
(17.2) можно записать в виде
В
Дтор^ =	>
□
гдес7Ав - сумма сторонних электродвижущихся сил, содержащихся
на участке АВ • В результате из соотношения (17.2) получаем
закон Кирхгофа для участка цепи:
= U + Э	(17.4)
АВ ad ad
Если интегрирование в соотношении (17.2) производится по замкну-
тому контуру, то оно принимает вид
= (f>Ecie +
Так как в магнитостатике rot Е = О , то циркуляция BgKTgpa Е
по любому замкнутому контуру равна нулю ^Ес/£»У^££с/$=О.
Поэтому для замкнутого контура закон Кирхгофа имеет вид
TR = Э,
где & - электрическое сопротивление контура, Э - алгебраи-
ческая сумма сторонних электродвижущихся сил, содержащихся в
рассматриваемом контуре.
§ 18. Силы в магнитном поле
Для определения обобщенной силы , действующей на по-
коящиеся проводники с токами, величину свободной энергии
(16.13) мы должны продифференцировать по соответствующей обоб-
- 80 -
ценной координате q, при постоянных значениях токов:
При этом в зависимости от выбора обобщенной координаты мы можем
получить как силу ~ Iе ), так и моменты сил = 0 ), дей-
ствующих на тот проводник, по обобщенным координатам которого
мы производим дифференцирование»
Следует также отметить, что в случае магнетиков (кроме
ферромагнетиков), помещенных во внешнее магнитное поле* выраже-
ния длд объемной силы и тензора натяжений Максвелла могут быть
получены по аналогии со случаем электростатики диэлектриков»
В частности, имеем
Для ферромагнетиков
зис) связи векторов-
дз-за нелинейной и неоднозначной (гистере-
В и п эти выражения оказываются непри-
менимыми»
ГЛАВА 4
КВАЗИСТАЩ10НАРН0Е ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§19. Уравнения электромагнитного поля в квазистацио-
нарном приближении
Следующим по сложности типом электромагнитнох’о поля в про-
водящих средах я^ляетдя квазистационарное поле. В этом случае
векторы Е , А/ » В и D могут зависеть от времени, но на
эту зависимость накладываются некоторые ограничения, составляю-
щие условия применимости квазистационарного приближения. Таких
условий три»
Во-первых, необходимо чтобы характерный линейный размер С
области, в которой изучаются квазистационарные процессы, был
значительно меньше соответствующей длины волны электромагнитного
поля, имеющего ту же частоту СО :
- 81 -
*****
g «	.	(19.I)
При выполнении этого условия электромагнитное поле во всех точ-
ках рассматриваемой области будет иметь одну и ту же фазу, что
позволяет существенно упростить анализ различных электродинами-
ческих явлений# Т?к как при наличии вещества скорость распрост-
ранения электромагнитных волн С = с/^Суй., ю первое условие
квазистационарности можно записать еще и в виде
где Т - период электромагнитных колебаний# Оно означает, что
время запаздывания поля в различных точках рассматриваемой об-
ласти значительно меньше периода электромагнитной вол-
ны Т и им можно пренебречь по сравнению с величиной
Второе условие применимости квазистационарного приближения
требует, чтобы частоты электромагнитных колебаний были достаточ-
но малыми, позволяющими использовать те же значения для диэлект-
рической' £ , магнитной ju. проницаемости и проводимости Л,
что и в случае постоянных полей# Детальный анализ, проводимый
с привлечением статистической физики, показывает, что данное
условие может быть выполнено только в том случае, когда время
свободного пробега электронов в проводящей среде значительно
меньше периода Т изменения электромагнитного поля# Для боль-
шинства типичных проводников, находящихся в нормальных условиях,
это требование допускает частоты вплоть до инфракрасной области
спектра#
И, наконец, третье^слов^е к^зистационарности требует
малости тока смещения jCM~	по сравнению с током прово-
димости j ~'Х(Е + Ест } в проводящей среде:
IX« Ые + естор)\.
I dt 1	crop/ ।
Полагая |De[E | и считая, что в рассматриваемом объеме отсут-
ствуют источники сторонних э.д.с., для случая гармонической за-
висимости поля от времени (3^. ~ со) это равенство можем пере-
писать в виде
- 82 -
сл « — ИЛИ Т» ~ . (19.2)
е А
При одновременном выполнении перечисленных условий квазистацио-
нарности, уравнения макроскопической электродинамики существенно
упрощаются:
(19.3)
div D =

Следует отметить, что в силу первого уравнения системы (19.3)
j - О , что, в свою очередь, требует выполнения условия
= О • Таким образом, по сравнению с магнитостатикой, новым
моментом в изучении квазистационарного поля является учет эффек-
та электромагнитной индукции Фарадея. Уравнения поля (19.3) не-
обходимо, как обычно, дополнить материальными-уравнениями и сис-
темой граничных и начальных условий. В случае однородных и изот-
ропных сред и при отсутствии сторонних э.д.с. в рассматриваемой
области пространства материальные уравнения принимают достаточно
простой вид:
D = еЕ,	j - ХЕ .
(19.4)
При проведении практических расчетов уравнения поля (19.3) час-
то бывает удобно представить в несколько ином виде. Для этого
возьмем ротор от первого уравнения системы (19.3). Учитывая со-
отношения (Д9.4^ и используя известную формулу векторного анали-
за rot rot H-V dev Н~ДН, имеем
Д Н = - rot Е + ip div Н .
с
В силу второго и третьего уравнений системы (19.3) отсюда полу-
чим
- 83 -
аН =
4тг.Л/а
2
ън
Ъ1
(19.5)
Совершенно аналогично, полагая, что в рассматриваемой области
пространства (Э = 0, из второго уравнения системы (19.3) имеем
- _ 4xlju. -ЪЕ	(19>б)
сг bt ‘
Умножая правую и левую стороны этого равенства на X и учиты-
вая последнее из соотношений (19.4), получим
—	4-х 1/л Э/
Ч ’ ъГ '	(19'7>
Таким образом, векторы Е » Н и j в случае квазистапленар-
ного приближения удовлетворяют одинаковым уравнениям (19.5)-
(19.7). Поэтому при проведении Практических расчетов достаточно
определить^один из этих ^векторов,
шения ~ - с rot £
Т - ~~ го1Нъ
J ктс
после чего, используя соотно-
(19.8)
£ =
с Л
можно найти и остальные векторы.
§20. Скин-эффект
Одним из наиболее характерных эффектов в случае квазиста-
ционарного электромагнитного поля является скин-эффект. Для то-
го чтобы понять наиболее существенные моменты данного эффекта
рассмотрим следующие две задачи.
Первая из них состоит в изучении распределения квазистацио-
нарного электромагнитного поля в проводящей диссипирующей среде
при наличии плоской границы раздела двух сред. Предположим, что
плоскость у = 0 является границей разделе вакуума (полупрост-
ранство у < О ) и покоящейся проводящей среды (полупространст-
во У > о ). Считая данную среду однородной^ изотропной, изу-
чим характер распределения векторов Е , г/ и J в ней, если
в вакууме создано квазистационарное электромагнитное поле, век-
- 84 -
тор Н которого имеет вид
Tj _ lT
г!	i9q	J
где Ио - {Но,0,0} = con-sf.
Следует отметить, что векторы электромагнитного поля, так
же как и всякие другие физические величины, всегда должны быть
вещественными» Поэтому компоненты поля А7 следовало бы зада-
вать в явно вещественном виде, взяв, например, только реальную
часть от этого дыражения. Однако поскольку в рассматриваемой
задаче вектор Н входит линейно в уравнение (19.5), то мы мо-
жем использовать более удобное для расчетов комплексное предста-
вление этого вектора, имея в виду, что после осуществления всех
операций в качестве результата следует взять лишь действитель-
ную часть (или только мнимую) полученных выражений.
Таким образом, данная задача сводится к нахождению решения
уравнения (19.5) в полупространстве у > О с векторным гранич-
ным условием
Н » Но	(2в.®
при у
= 0, которое объединяет сразу несколько условий:
Как следует из граничного условия (20.1), решение уравнения
(19.5) удобно искать в аналогичном виде:
г* । f
Н = Н(у) е ех.
Подставляя это выражение в уравнение
(19.4), получим
Wfy).	(2Ф.2)
Граничное условие (20.1) в этом случае примет вид
/7(0) = Но.
(Л. 5)
В соответствии с правилами, принятыми в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, решение уравнения (20.2) будем ис-
кать в виде , .	.
- 85 -
Подставляя это соотношение в уравнение (20.2), найдем, что
2	АуисО
С2
Если ввести обозначение
S' =	/	I	(20.4)
то это соотношение примет достаточно простой вид:
,2_________________________2L
~8Г‘
Отсюда следует, что
,	. о
Таким образом, общее решение уравнения (20.2), как и следовало
ожидать, содержит две произвольные константы:
Н(у)= Cfexp	•
Поэтому одногоVp§HH4Horo условия (20.3) недостаточно
(20.5)
для опре-
деления величины постоянных и . Это означает, что для
получения однозначного решения уравнений поля мы должны привлечь
естественные граничные условия, вытекающие из физической поста-
новки задачи. Для их нахождения рассмотрим структуру решения
(20.5). Легко заметить,что первое слагаемое этого решения экспо-
ненциально возрастает с ростом у , а второе - экспоненциально
убывает, ^аким образом, первое слагаемое описывает электромагнит-
ное поле в антидиссипирующей среде, которая усиливает его за счет
уменьшения собственной энергии; второе слагаемое описывает пере-
менное электромагнитное поле в диссипирующей среде,которая, нао-
борот, поглощает его энергию, уменьшая тем самым амплитуду поля.
Так как рассматриваемая нами проводящая среда является дис-
сипирующей, то диссипационные свойства однозначно определяются
величиной S » зависящей от проводимости среды, магнитной прони-
цаемости JU. и частоты электромагнитного поля. Поскольку в дисси-
пирующей среде амплитуда квазистационарного электромагнитного по-
ля по крайней мере не возрастает, то в данном случае естествен-
ное граничное условие должно иметь вид|Ц(у)|<©о при у > 0 «Так
кад в рассматриваемой нами задаче проводящая среда предполагает-
- 86 -
ся диссипирующей, то для определения постоянных С* и имеем
два условия:
HfO) = I Hfy)| < со, где О у < оо.
Первое из них дает
С, * с, - но,
а второе может быть обеспечено при	только лишь тогда,
когда С1 = 0. Отсюда следует, что
Нбу> = Н,ехр	•
Таким образом, вектор Н в проводящей среде имеет вид
Н = Мо е s е <	(20.6)
Считая, что напряженность магнитного поля определяется реальной
частью этого выражения, рассмотрим график, показывающий распре-
деление поля в проводящей среде в некоторый момент времени
х /
t = % = (см.рис. 9). Из этого графика следует, что
мгновенное значение напряженности квазистационарного магнитного
Re Н <
Н
Рис.9 . Мгновенное значение компоненты Н в
проводящей среде х
поля в данной среде является периодической функцией у , ампли-
туда которой экспоненциально убывает с ростом у , причем ха-
рактерной длиной, на которой амплитуда убывает в е раз,являет»
- 87 -
ся величина S • Поэтому поле Н оказывается практически рав-
ным нулю уже на расстоянии равном нескольким S • В силу этого
величина 5 получила наименование глубины проникновения поля
или толщины скин-слоя. Используя^ соотношения (19.7) и (20.6)
найдем выражения для векторов Е и j :

4xAS
Из этих выражений следует, что ^амплитуды векторов Е и j от-
личаются от амплитуды вектора Н
(20.7)
4% А 8	7
а их фазы отстают от фазы колебаниями на величину
В остальном ж^поведение векторов Е и j
нию вектора Н.
равную £.
аналогично поведе-
Таким образом, характер распределения векторов Н , ?
в проводящей среде существенно зависит от значений 5 и
В предельном случае О электромагнитное поле и токи
проводимости оказываются сосредоточенными на поверхности прово-
дящей среды, не проникая внутрь ее. Так как свойства материаль-
ных сред при S—O оказываются подобными свойствам идеально
проводящих сред ( А-♦* со ), то их называют идеальными провод-
никами. Как следует из выражения (20.4), проводящая среда может
считаться идеальным проводником не только тогда, когда ее про-
водимость велика (А -►оо , со О ), но ив случае больших
частот при небольших значениях проводимости (со-*оо, А^ О),
Другой предельный случай реализуется при О и доста-
точно больших значения^ проводимости А . Этот случай соответ-
ствует проводнику, помещенному в статическое магнитное поле.
Как следует йз выражения (20.4), в этом случае 8-* со и маг-
нитное поле проникает в проводящую среду без какого-либо ослаб-
ления. Векторы £ и j , в силу соотношений (20.7), в рассмат-
риваемом случае будут равны нулю.
Изучим теперь характерные особенности скин-эффекта при на-
личии неплоской границы между проводящей средой и вакуумом. Для
этого рассмотрим проводящий бесконечно длинный круговой цилиндр
рздиуса R , находящийся в вакууме. Предположим, что на поверх-
- 88 -
ности этого цилиндра (при
времени плотность тока:
= R ) поддерживается зависящая от
(20.8)
Найдем распределение вектора j
по сечению проводника.
Если обозначить проводимость цилиндра через X , а его
магнитную проницаемость через jtx , то вектор j во внутренних
точках цилиндра будет удовлетворять уравнению (19.7):
(20.9)
В силу симметрии задачи, решение уравнения (20.9), удовлетворя-
ющее граничному условию (20.8), будем искать в виде
Подставляя это выражение в уравнение (20.9) и учитывая, что в
цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет вид
получим уравнение Бесселя нулевого порядка:
где	, а величина § определяется выражением
(20.4). Решение этого уравнения имеет вид
у fr) = ct No(«r} +	,
где Л/Дх) и ~ функции Неймана и, соответственно, Бессе-
ля. 2Ьк же как и в первом случае, для определения постоянных
и С2 к граничноцу условию (20.8) добавим естественное гранич-
ное условие |J (г)| < со , вытекающее из постановки задачи.
Учитывая, что |/Vo(kt') | —*- оо при ° ’а	<о°
при любых значзниях г 4 а , находим, что С. = 0. Используя
граничное условие (20.8), получим

(20.10)
- 89 -
Изучим распределение плотности тока по сечению проводника в двух
предельных случаях при 8»R (слабый скин-эффект) и пр觫/?
(сильный скин-эффект).
В случае слабого скин-эффекта справедливы неравенства
в результате чего аргументы у обеих бесселевых функций, входя-
щих в выражение (20.10), по модулю оказываются близкими к нулю.
Поэтому, используя известное разложение функции Бесселя
Лоо = 1 -
из выражения (20.10) получим
Таким образом, в случае слабого скин-эффекта плотность тока
распределяется по сечению проводника равномерно. При5« /?
величина | к R (= \/2	» 1 , и мы можем воспользоваться асимп-
тотическим разложением
значениях мо
справедливым при больших
Бесселя. Так ка
модуля аргумента функции
сХ/*и R/8»1 , то величиной
сравнению с величиной С
по
В резуль-
тате получим
J ~ /	"-е5 е 6 4 .	(20.ii)
"	]/ 2^2Rn
Поэтому соотношение (20.10) в случае сильного скин-эффекта при-
нимает вид
) = jo	S &	8	4	-	(20.12)
Исследуем это выражение при различных значениях радиуса точки
наблюдения О £ г & R. • На периферии цилиндра R и для
| кг | справедлива оценка |к<г|= & ~ » 1	. Это дает
- 90 -
возможность воспользоваться асимптотическим разложением, ана-
логичным (20.II):
“1 /	\	/ $ S	'
1 (кт-} = \ ———е	е
ч2.х[2ш
Подставляя это выражение в соотношение (20.12), получим
j = ; „ /£ е ® е	J е^'
Таким образом, в области значений	8 вектор плотности
тока представляет собой периодическую функцию т и £ , ампли-
туда которой убывает практически по экспоненциальному закону.
Поэтому на расстоянии от поверхности цилиндра, равном несколь-
ким S , вектор плотности тока резко стремится к нулю. В част-
ности, при Г^/?-108 амплитуда вектора j уменьшается прибли-
зительно в Ю5 раз по сравнению со значением амплитуды на по<-
верхности цилиндра. В окрестности оси цилиндра (f-« S ),
|кг| »	1 и мы можем положить (кг) * 1 « В ре-
зультате получим	°
J _ j Ьу/2 ₽Яс~ 8	~ f +
—R/S
Очевидно, что из-за наличия в этом выражении множителя е~ '
амплитуда плотности тока в окрестности оси проводника чрезвы-
чайно близка к нулю. Как показывает анализ, в области значений
т-~ 8 амплитуда плотности тока.принимает промежуточные значе-
ния между амплитудами вектора j при Г« 8 и г* » S.
Таким образом, решение данных задач показывает, что хотя
форма и геометрические размеры проводящих сред и оказывают свое
влияние, квазистационарное электромагнитное поле^в них имеет^
одни и те же характерные особенности: векторы Е , Ц и j в
проводящих средах экспоненциально убывают при прохождении их в
глубь проводника. Характерной глубиной, на которой эти векторы
уменьшаются в е раз, во всех случаях является величина 8.
§ 21. Квазистационарные процессы в линейных проводниках
Рассмотрим некоторую систему, состоящую из конечного числа
линейных проводников, помещенную в однородную и изотропную
- 91 -
среду с диэлектрической и магнитной проницаемостями £ и ju
соответственно. Для изучения квазистационарных процессов, проис-
ходящих в этих проводниках, воспользуемся дифференциальным за-
коном сохранения энергии (9.2):
А £ Е*+ j-rtt +ТЕ= о.	(21.1)
вл:	Ц--К. *- J J
Проинтегрируем это уравнение по всему трехмерноцу пространству.
Так как в диэлектрической среде, по условию задачи, отсутствуют
свободные заряды, то первое слагаемое уравнения (21.I), соглас-
но* (ПЛ) и (II.6), можно записать в виде
fdV 8^~ = 1 £-;СЧ Vi Vj >
где L — - емкостные коэффициенты системы проводников, - по-
тенциал i-го проводника. Однако в случае одних только линейных
проводников, без наличия конденсаторов, эта сумма, во-первых,
оказывается чрезвычайно малой величиной, и, во-вторых, очень
слабо зависящей от времени, так что ею можно пренебречь по срав-
нению с остальными слагаемыми уравнения (21.I). Если же в систе-
му линейных проводников включены и конденсаторы (которые в дан-
ном случае следует представлять в виде достаточно тонких идеаль-
но -проводящих поверхностей, соединенных с линейными проводника-
ми), то основной вклад в первое слагаемое уравнения (2I.I) дают
именно конденсаторы и в силу соотношения (II.5) оно принимает
вид
-zL SLJ \ Ъ >	(21.2)
где SLj - потенциальные коэффициенты конденсаторов, - аб-
солютная величина заряда обкладки с-го конденсатора.
Совершенно аналогично, в силу соотношения (16.13) второе
слагаемое уравнения (2I.I) запишем в виде
- 92 -
A IU.H2 /Л, т т	(21.3)
JdV8T	’
где L;j - коэффициенты взаимной индукции (i. j ) и самоин-
дукции ( с - j ), I- - ток в l-m проводнике*
Интеграл по объему от дивергенции вектора Пойтинга по тео-
реме Остроградского-Гаусса преобразуем в интеграл по бесконечно
удаленной поверхности

Этот поверхностный интеграл, вообще говоря, не равен нулю, хотя
и очень мал в нашем случае. Так как при квазистационарных про-
цессах потери энергии на излучение электромагнитных волн очень
малы, то ими можно пренебречь,в результате чего этот интеграл
мы можем положить равным нулю.
Рассмотрим теперь последнее слагаемое уравнения (21.I).
Используя уравнение связи (15.3), его можно записать в виде
.	(21.4)
где	- плотность тока и проводимости t-ro проводника,
^стори*’’’ ыапРяженность сторонних источников. Так как вектор
отличен от нуля только внутри проводников, то это выражение мы
должны проинтегрировать по объему всех линейных проводников.
Интегрируя первое слагаемое равенства (21.4), учитывая соотноше-
ние /• S; = I. , справедливое для линейных проводников, полу-
чим
? Аг У Al УЛЛ 1
(21.5)
- сопротивление t-ro линейного проводника*
- 93 -
Сов£ршенно аналогично, используя соотношение
= J - найдем, что
i&m.
(2Ъ6)
Таким образом, закон сохранения энергии (2I.I) после интегриро-
вания по пространству и учета соотношений (21.2)-(21.6) примет
вид
Будем считать, что форма линейных проводников и конденсаторов,
их взаимное расположение и внешние условия (давление, темпера-
тура и т.п.) не изменяются с течением времени. В этом случае
частную производную по времени в уравнении (21.7) можно заме-
нить на полную производную и считать, что
Учтем теперь, что изменение заряда на- обкладке конденсатора,
соединенной с L-м линейным проводником, связано с током
в этом проводнике соотношением ^4ri _ j 9 Тогда уравнение
(21.7) можно переписать в виде

Гак как это соотношение должно выполняться при любых значениях,
тока в l-м проводнике, то выражение, стоящее в фигурных скоб-
ках, должно равняться нулю:
dQ.
= ЯМ-
(21.8)
- 94 -
Таким образом, мы получили систему, состоящую из N линейных
уравнений относительно N неизвестных у. ( l = 1,2,...,Л/ )•
Эту систему уравнений необходимо дополнить системой из 2N на-
чальных условий, которую чаще всего реализуют, задавая в неко-
торый начальный мбмент времени заряды на обкладках кон-
денсаторов и токи всех проводников:
В этом случае система уравнений (21.8) при заданной правой час-
ти будет давать единственное решение, описывая в квазистацио-
нарном приближении изменение с течением времени зарядов и токов
в каждом из линейных проводников. В случае одного проводника
оно принимает вид хорошо известного уравнения вынужденных коле-
баний:
»
обозначения
г - индуктивность, сопротивление
и
где L = L , <? = /?
11 1
и емкость цепи. Вводя
это уравнение можно переписать в более привычном виде:
* 2 for +
dt	at
Дополняя данное уравнение начальными условиями
= То»
4<о) = 4 »
(21.II)
задающими начальный заряд на одной из обкладок конденсатора и
величину тока в цепи в начальный момент, мы при заданной,зави-
симости э.д.с. источника от времени получим единственное решение
этого уравнения.
- 95 -
ГЛАВА 5
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД
§22» Уравнения макроскопической электродинамики в
ковариантном виде
В случае покоящихся сред, как мы установили, уравнения мак-
роскопической электродинамики имеют вид
.15?
с at
rot Е - - р-
~ЭВ
at ’	(22.D
Эти уравнения могут быть дополнены материальными уравнениями,
которые для однородных и изотдопных^сред дают наиболее простую
связь между векторами Ь и Е , В и Н
В = еЕ , В = JU.H .	(22.2)
Используя уравнения (22.1) и (22.2) с соответствующими начальны-
ми и граничными условиями, мы можем исследовать различные элект-
родинамические процессы, происходящие в покоящихся средах, т.е.
в средах, которые находятся в покое относительно наблюдателя.
Однако в ряде случаев такая постановка задачи по тем или иным
причинам оказывается неудобной и изучение электродинамических
явлений иногда необходимо производить в той инерциальной систе-
ме отсчета, в которой вещество среды движется. Следует сразу же
отметить, что при наличии сплошной среды (вещества) различные
инерциальные системы, вообще говоря, не.являются равноправными,
так как среди них имеется очевидным образом выделенная (глобаль-
ная или мгновенно сопутствующая) инерциальная система отсчета -
та, которая покоится относительно вещества среды, в остальных
системах отсчета вещество движется. Так как электродинамические
процессы в движущейся среде (при соответственных начальных и
граничных условиях) могут происходить по-иному, чем в покоящейся
среде, то заранее не очевидно, что уравнения макроскопической
- 96 -
электродинамики (22.1) и материальные уравнения (4,5), должны
сохранять свой вид при переходе к инерциальной системе отсчета,
движущейся относительно сплошной среды или, что то же самое,
сохранять свой вид в случае движущейся среды.
Таким образом, возникает вопрос: какой вид примут уравне-
ния макроскопической электродинамики и материальные уравнения
в случае движущихся сред. Для ответа на этот вопрос давайте
проанализируем этап за этапом вывод этих уравнений и установим
в чем может состоять различие, вносимое движением вещества.
Начнем с уравнений Максвелла. Микроскопические уравнения
Максвелла
очевидным образом имеют одинаковый вид в любой инерциальной
системе отсчета. Поэтому данные уравнения, как исходный пункт
нашего исследования, остаются одинаковыми и для покоящихся, и
для движущихся сред. После этого мы ввели определения физически
бесконечно малого объема, как объема, линейный размер которого
в0 значительно меньше, чем некоторое характерное макрорасстоя-
ние L и значительно больше, чем микроскопическая длина
(среднее межатомное расстояние) cl«£o«L. Легко убедиться,
что такое определение сохраняет свою силу в любой инерциальной
системе отсчета. Действительно,так как щипреобразованиях Лоренца
все линейные размеры в направлении движения сокращаются, а в
поперечных направлениях не изменяются, то характер этих нера-
венств не изменится; если мы определим £0 в какой-либо системе
отсчета как величину, удовлетворяющую неравенствам а« CQ« L,
то она будет удовлетворять этим неравенствам и в любой другой
инерциальной системе отсчета. Совершенно аналогично можно убе-
диться, что определение физически бесконечно малого промежутка
времени, принятое для покоящихся сред, справедливо и для движу-
щихся сред. Далее, используя атомно-молекулярные представления
•Ъ
- 97 -
о строении вещества мы разделили плотности полного заряда ^полн
и тока }попн на две Ч8СТИ *“ ка свободные и связанные заряды и
токи. Вполне очевидно, что такое деление является инвариантным
относительно преобразований Лоренца - в движущейся среде связан-
ные заряды так и останутся связанными, а свободные - свободными.
Следующий этап вывода уравнений макроскопической электродинами-
ки состоял в усреднении всех входящих в уравнения (22.3) вели-
чин по физически бесконечно малым промежутку времени и объему.
Так как такое усреднение состоит в простом интегрировании по
физически бесконечно малым объему и промежутку времени и после-
дующем делении на величины этого объема и промежутка, то ту же
самую операцию без какого-либо изменения мы можем осуществить
и в случае движущихся сред.
Заключительным этапом вывода уравнений макроскопической
электродинамики для покоящихся сред было сопоставление
с дивергенцией некоторого вектора <9с6я3> — dLv р , после
чего дифференциальный закон сохранения связанных зарядов привел
нас к соотношению
+ с rot М -
Легко заметить, что и в случае движущихся сред ничто не мешает
нам отождествить величину^^с^язХ с дивергенцией некоторого
вектора <?связ>="с/^Р , после чего в силу дифференциально-
го закона сохранения заряда, имеющего одинаковый вид в любой
инерциальной системе отсчета, мы получим
CTX>tM „
Таким образом, в случае движущихся сред уравнения Максвелла сов-
падают с уравнениями макроскопической электродинамики для покоя-
щихся сред:
if* 1 ЪТ)	-л
rotW ’cbt	’
rot 1z - - —	>
rot С С Ъ1
- 98 -
div В =• О ,
divD =

Это означает, что их можно записать и в ковариантном четырех-
мерном виде (и наоборот)» Поэтому давайте проведем вывод этих
уравнений в последовательно ковариантном виде, начиная с четы-
рехмерных микроскопических уравнений Максвелла» Для этого, вво-
дя тензор микроскопического поля
/ О еу е\
-ек 0 -kz ky '
Ак= -еу kz О -кх	(22Л)
\-ег "^ы кх 0 у/,
запишем микроскопические уравнения Максвелла в виде
т.
Ъх
(22.5)
Ъхс
; L f .о	\
J ’V	}
где
- плотность полного четырехвектора то-
ка, которая удовлетворяет ковариантному закону сохранения:
(22.6)
Будем считать, что среда (вещество) движется относительно наблю-
дателя. Введем, как и в § 2, физически бесконечно малые проме-
жуток времени и объем пространства, а также операции усреднения
всех величин по ним. Эта операция,так же как и в случае покоя-
щейся среды, переставима с операцией взятия частной производной
по координате кЛ Поэтому усредняя вторую систему уравнений
(22.5) по физически бесконечно малым объему и промежутку вре-
мени и учитывая, что<е>£ Е?<к>ж В » эту систему уравнений
можно представить в виде
- 99 -
(22.7)
где Fck = <Ak>
- тензор электромагнитного макрополя:
Е	Е	Е
О А »а
Вг	О	А
А	В,	О
(22.8)
Легко убедиться, что система четырехмерных уравнений (22.7) эк-
вивалентна уравнениям
rot Е
div В = О .
Проведем теперь разделение плотности четырехвектора полного то-
ка на сумму плотностей четырехвекторов токов свободных и свя-
занных зарядов
lL -	±	I*-
)г\Ъ(\Н Jc£oS Jct>83 *	(22.9)
В силу их определения, они удовлетворяют тому же самому ковари-
антному уравнению сохранения (22.6), что и четырехвектор полно-
го тока:
к
° J с8о8
(22.10)
Усредним теперь соотношения (22.9) и (22.10) по физически беско-
нечно малым объему и промежутку времени. Вводя обозначения
)* = < Jc8oS>’получим
У -К	s j К ц. У • < ч.
J полн /	/	J связ.хл
- TOO -
Так как четырехмерная дивергенция от вектора тождествен-
но обращается в нуль, то это означает, что вектор всег-
да можно представить в виде антисимметричного тензора второго
ранга:
(22.11)
к*. 1к
где т. ?= - пг .
Действительно, дифференцируя правую и левую части соотноше-
ния (22.П) по , учитывая, что
и переобозначая потом индексы суммирования к

получим
Следовательно, в силу соотношения (22.11)
= Q
Ъхк
Найдем связь компонент антисимметричного тензора т. с
векторами Р и И • Так как
-J.V < ?с8яз> » £ <С}с&язУ ’
то из выражений (2.10) и (22.11) следует равенство
- сьЛ Ът°° 'W” Элгг02 W3
-ЭхО +	+ Эхг + Эх3 •
Учитывая, что/п.°° = 0 в силу антисимметрии тензора тЛ*, отсюда
получим
- 101 -
пгоы= -<рЛ
Совершенно аналогично, сопоставляя
найдем» что пу1^ = М пх = - M^rrt = МХ. Следователь-
но, тензор ntLK имеет вид
/ 0 -рх -%
I	х
Рх о м2
LK	*
т - I 1> -мг о
\ а м9 -м,
где Р и М - векторы поляризации
и намагниченности вещества-
в рассматриваемой инерциальной системе отсчета (не обязательно
покоящейся относительно среды). Усредним теперь первое из урав-
нений (22.5) по физически бесконечно малым объему и промежутку
времени. Вводя обозначение
(22.13)
в результате получим:
Ъжк
(22.14)
Учитывая определение (22.13), а также выражения (22.8) и (22.I2X
можно установить связь между компонентами тензора и векто-
рами D и Н
Используя это соотношение,
"Я “Д, 'ДА
о -нг hsI
нг о -н,
-Hs нх Оу.
(22.15)
легко убедиться, что четырехмерное
уравнение (22.14) эквивалентно следующей системе уравнений:
Чк Л
Таким образом, уравнения Максвелла макроскопической электродина*
мики (22Л) в произвольной инерциальной системе отсчета действи-
тельно могут быть представлены в четырехмерном виде:
(22.16)
а следовательно, система трехмерных уравнений (22.1) сохраняет
свой вид и в случае электродинамики движущихся сред.
§23. Законы преобразования векторов поля в макроскопи-
ческой электродинамике
Получение макроскопических уравнений Максвелла в четырех-
мерном виде не только позволяет нам утверждать о неизменности
их вида в случае двизкущихся сред, но и дает возможность ^стащ-
вдть закон преобразования трехмерных векторов 5 , Е , D
Р и М при переходе к другим системам отсчета.
Действительно, при выводе уравнений (22Л6) было показано,
что эти векторы попарно составляют антисимметрические тензоры
R « Q' и in-. .
Поскольку тензорная природа этих величин установлена, то
получение соответствующих формул не составляет труда. Найдем,
например» законы преобразования данных векторов при переходе к
некоторой инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью
V относительно исходной инерциальной системы отсчета. При та-
ком переходе координаты г ' и время t новой системы отсчета
связаны с координатами г* и временем t исходной системы отсче
та соотношениями
- юз -
^х = гх 1
где значок II (1} у любого вектора означает, что берутся только
составляющие этого вектора, параллельные (перпендикулярные) век-
тору ско.рости V • Так как при преобразовании координат и вре-
мени XZL= тензор второго ранга преобразуется по закону
то, взяв в качестве тензора АсК тензор QL* (22.15) и поступая
аналогично проделанному в микроскопической электродинамике, по-
лучим
—►/’	—*
D = 3) ,
к и *
Я, - Н,',
Совершенно аналогично, выбрав в качестве тензора
и используя закон преобразования (23.2), получим
(23.3)
LK
тензор пг
р' s р
и гк >
м' - И
2
м =
(23.4)
Таким образом, если некоторое тело в собственной системе отсчета
имеет отличный от нуля вектор поляризации ( М =0,	/ 0), то
при движении данного тела у него может появиться и отличный от
нуля вектор намагниченности: л?'- -JLvJBl • Появление этого
х с /l -а*
вектора легко понять из следующих простых соображений: всякое
- 104 -
поляризованное тело имеет на поверхности отличную от нуля плот-
ность связанных зарядов. При движении тела возникает ток этих
зарядов, который и приводит к появлению вектора намагниченности
тела. В случае, когда тело в собственной системе отсчета облада-
ет одним только вектором намагниченности ( М / О, Р = 0), при
движении оно, в силу соотношения (23.4), может приобрести не рав-
ный нулю вектор поляризации
Появление вектора поляризации у движущегося намагниченного тела
является сугубо релятивистским эффектом и может быть объяснено
тем, что плотность заряда и вектор плотности тока j не яв-
ляются независимыми величинами, а представляют собой различные
компоненты 4-вектора тока:	{7°=СР>Т* У • в СИЛУ инвари-
антности квадрате этого 4-вектора мы можем записать:
/сбяз }Сс6яз~ С Рсвяз” Jсвяз~ с	Усвяз- С23»5)
Поскольку в собственной системе отсчета О,О и при
переходе к другой системе отсчета плотность тока у^вяз » вооб-
ще говоря, не будет равна » то из выражения (23.5) одно-
значно следует, что плотность не всегДа будет равна нулю.
Наличие же неравной нулю плотности связанных зарядов приведет,
в свою очередь, к появлению вектора поляризации у движущегося
намагниченного тела. Закон преобразования векторов В и Е
можно получить и иначе. Для этого запишем закон преобразования
микрополей в и Я при преобразованиях Лоренца:
и усредним их по физически бесконечно маль^ объему и промежутку
времени. Учитывая, что Е = В « имеем
105 -
Полученные соотношения (23.3) и (23.6) позволяют не только про-
изводить преобразования векторов электромагнитного поля к дру-
гой инерциальной системе отсчета, но и дают возможность устано-
вить вид материальных уравнений для движущихся сред.
§ 24. Материальные уравнения для движущегося вещества
Перейдем теперь к определению вида материальных уравнений
в случае движущихся сред. Будем сначала считать, что вещество
движется равномерно и прямолинейно относительно некоторого наб-
людателя, находящегося в инерциальной системе отсчета /С (см.
рис.ID). В этом случае система отсчета К'» связанная с вещест-
Рис.10. Движение вещества отно-
сительно лабораторной
системы отсчета
вом, также является инерциаль-
ной. В данной системе отсчета
материальные уравнения для
изотропных сред и в отсутствии
сторонних э.д.с. имеют, как из-
вестно, вид (4.5) и (15.4).
Сохраняя для диэлектрической
и магнитной проницаемостей, а
также для проводимости среды,
измеренных в системе отсчета,
покоящейся относительно вещест-
ва, обозначения £ , ju и А
соответственно, запишем эти уравнения, отметив явно, что они
справедливы только в системе отсчета К :
(24.1)
- 106 -
Рассмотрим сначала первые два из этих соотношений. Используя
законы преобразования (23.3) и (23.6), выразим векторы Е ,'
« /7' системы отсчета К* через векторы £ , В д д
измеряемые в системе отсчета К • В результате получим
Легко убедиться, что система (24.2) после умножения последних
двух уравнений на _ V? и учета того, что векторное произ-
ведение [V R1 при любом векторе R имеет только перпендику-
лярную составляющую к вектору у » может быть записана в виде
Г +	- е{Е +	= О,
'	(24.3)
В- ^[v£] -ju{4-£[V5]} = 0.
Наша задача состоит в нахождении из этих^уравнений векторов ин-
дукций электрического и магнитного В полей как функций от
напряженностей Е и JJ . Для этого выразим из последнего урав-
нения вектор магнитной индукции
и подставим его в первое уравнение. В результате будем иметь:
5 + £-[уП] - е(Ё‘ ^г[?[7Е]] *
* £l?H] - £[v[VDI]}.
Используя подставлениеj)«	, Е = Е, + Ех и учитывая, что
ОД,]’ [уЕ„]-0, VBx.vg-x' = О , отсюда имеем
- 107 -
5« <1 - ЧМ - $ Q [v й].
Вводя обозначение n?sSju. и проецируя это равенство на направле-
ние вектора \7 и на направления, ему ортогональные, получим
Д. = £Е||)
(24.5)
Подставляя эти выражения в соотношение (24.4) и поступая анало-
гично, имеем

(24.6)
Таким образом, среда, являющаяся однородной и изотропной в сис-
теме отсчета К1 * где она покоится, становится анизотропной в
любой другой системе отсчета, движущейся относительно системы.
Уравнения (24.5) и (24.6) в научной литературе обычно рассматри-
ваются в качестве материальны^ у ранений для движущихся
позволяющих связать векторы D и^Вл с векторами Е
Легко убедиться, что при / -
образом теряют свой смысл. Эта
и
-О эти уравнения
с2
особенность материальных
с^ед,
явным
уравне-
ний в форме (24.5) и (24.6) не вызывала бы опасений,если бы уда-
лось показать, что величина	не достигает значения равно-
го единице. Так как < 1 , то для этого необходимо, чтобы
для всех веществ и для всего спектра электромагнитных волн вели-
чина показателя преломления покоящейся среды по модулю не превос-
ходила бы единицу: Irvl1 . Однако спыт со всей убедительностью
- 108 -
относительно вещества, величина 1- 	7
свидетельствует о наличии широкого диапазона частот, в котором
все известные вещества обладают показателем преломления заведо-
мо превышающим единицу. Поэтому при достижении наблюдателем ско-
рости V = ~<C относительно вещества, величина 1- £Ь-У.7 ,
к.	с2
стоящая в знаменателе выражений (24.5) и (24.6), обратится в нуль
и сделает бессмысленными эти уравнения. Для того чтобы пенять
причину такого свойства материальных уравнений в форме (24.5)-
(24.6) и найти уравнения, не теряющие свой смысл и при
1 -	О, необходимо, прежде всего, вспомнить как первона-
с2
чально выводились материальные уравнения.
Исторически сложилось так, что в научной литературе незави-
симыми векторами стали считать векторы
и В обычно выражали через них с помощью уравнений, которые и
получили название материальных уравнений. Для покоящихся сред
такой выбор независимых переменных не приводит к каким-либо зат-
руднениям, хотя, в принципе, возможен и другой выбор. В частнос-
ти, полагая, что независимыми переменными являются векторы /Г
и Е , материальные уравнения (4.5) для покоящейся изотропной
среды мы можем записать и в виде
, а векторы!)

В случае движущихся сред четыре вектора В , Е , D и Н
оказываются связанными между собой системой уравнений (24.3),
которая, вообще говоря, не позволяет проводить произвольный вы-
бор пары независимых векторов.» Действительно, если рассматривать
уравнения (24.3) как систему из шести линейных алгебраических
уравнений относительно двенадцати_неизвестных (по числу компо-
нент векторов D , Е , Н и В ), то очевидно, что ддя ре-
шения этой системы мы должны определить,какие неизвестные мы мо-
жем считать независимыми, после чего их необходимо перенести
направо и разрешить полученные уравнения относительно оставшихся
слева неизвестных. Вполне очевидно,что полученное решение будет
иметь смысл только в том случае, когда определитель оазисного
минора не равен нулю. В нашем случае, если в_к
мых неизвестных выбрать компоненты векторов Е
делитель базисного минора будет пропорционален
Поэтому такой выбор независимых неизвестных можно производить
ачестве независи-
и Н , то опре-
(’ - 
- 109 -
2, 2.
только в то?’, случае, когда 1 - у О * Следовательно, уело-
сь
вием применимости материальных уравнфш# в форме (24.5) и
(24.6) является соотношение 1 - —/ О.
n2Lv2	q*
Если же 1 — —3— = О , то в качестве независимых пере-
ев
менных следует избрать другую пару векторов. Как показывает де-
тальный анализ, ранг матрицы коэффициентов системы (24.3) равен
шести и среди ее миноров шестого порядка имеются не равные нулю
при любых значениях п • Выбор одного из дих вдачестве базисно-
го минора соответствует выбору векторов в и Е в качестве не-
зависимых векторов. Найдем вид материальных уравнений в данном
случае. Для этого выразим из последнего уравнения системы (24.3)
вектор Н
(24-7)
и подставим его в первое уравнение той же системы. После тожде-
ственных преобразований, аналогичных проделанным выше, получим
Материальные уравнения (24.8)-(24.9) можно записать и в более
компактном виде:
(24.10)
- no -
Так как v2/c2 < 1 , то материальные уравнения в формах (24.8)
(24»10) сохраняют свой смысл при любых значениях показателя
преломления среды. Ими мы, в основном, и будем пользоваться.
Найдем теперь уравнение для плотности тока проводимости
движущейся среде. Считая среду в собственной системе отсчета
К' электронейтральной Pz = 0, будем иметь

Используя третье из уравнений (24.1), приведем эти соотношения
к виду:
часть этих соотношений выражения (23.6),,
Подставляя в правую
получим
Легко убедиться, что первые два соотношения могут быть записан
в виде одного векторного, в результате чего материальные ypasw
(24*11)
- Ill -
ния примут вид
Таким образом, при движении относительно электронейтральной сре-
ды с током в последней возникают неравные нулю плотности объем-
ного и поверхностного зарядов. Этот эффект является кинематиче-
ским и его объяснение полностью аналогично приведенному в § 23
объяснению появления плотности связанных зарядов у движущегося
тела с неравной нулю плотностью тока связанных зарядов.
§ 25. Основы магнитной гидродинамики
Уравнения и соотношения электродинамики движущихся сред
находят свое применение в различных областях физики. Одной из
таких областей является магнитная гидродинамика, изучающая про-
цессы, происходящие в хорошо проводящих жидких или плазменных
средах при их гидродинамических движениях.Обычно такое изучение
проводят на основе достаточно сложных моделей среды, позволяю-
щих охватить широкий круг проводящих сред, начиная от жидких
металлов и кончая плазмой межзвездного пространства.
В настоящем курсе мы ограничимся изучением простейшей моде-
ли проводящей среды - случаем идеальной жидкости. Это означает,
что мы будем пренебрегать всеми диссипативными процессами в про-
водящей жидкости, считая ее сжимаемой. Как известно, состояние
идеальной жидкости^полностью описывается заданием поля скорос-
тей ее элементов V =	распределением давления
р = Р( и плотности моссы Т =	. Эти величины
удовлетворяют следующей системе гидродинамических уравнений:
уравнению непрерывности
и нерелятивистским уравнениям движения
(25.2)
- 112 -
субстанциальная производная по времени,
где
£ - плотность объемных сил, действующих на идеальную жид-
кость. В магнитной гидродинамике в качестве таких сил обычно
выступает сила Лоренца
где ф - плотность свободных зарядов, находящихся в жидкости,
j - плотность тока проводимости, хотя иногда рассматривают и
другие силы, например, гравитационные. В
ких уравнений также должно быть включено
идеальной жидкости
систему гидродинамичес-
и уравнение состояния
как функцию плотности
Уравнения (25.1)-(25.4) при за
дают возможность определить эво-
Р и if с течением времени в каждой точке
позволяющее представить давление в среде
ее массы Т и температуры^!
данном выражении для силы
люцию величин т , Р и
идеальной жидкости.
В магнитной гидродинамике эти уравнения дополняются систе-
мой уравнений Максвелла. При условии пренебрежения токами сме-
щения по сравнению с токами проводимости данная система принима-
ет вид
Н
1 гв
Для получения замкнутой системы динамических уравнений нам необ
ходимо прежде всего установить связь вектора j” с векторами в
и Е • Если считать идеальную жидкость электронейтральной
( ф = 0) и нерелятивистски движущейся, то из соотношения
(24.11), получим
- из -
Строго говоря, соотношения (24.Ц), а следовательно и данное
выражение, применимы только в случае равномерного и прямолинейно-
го движения всех элементов идеальной жидкости. Однако в боль-
шинстве практически важных случаев, эффекты, обусловленные не*
инерциальноетью движения жидкости, оказываются настолько малыми,
что всегда можно использовать соотношения, полученные в рамках
мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчета. Существен-
ным моментом , выделяющим магнитную гидродинамику в электро-
динамике движущихся сред, является предположение о бесконечно
большой проводимости идеальной жидкости:	Так как
плотность тока j в этом случае должна оставаться конечной, то
из выражения (25.6) следует, что
Е = - [v В] .	(25.7)
Поэтому вектор Е в магнитной гидродинамике однозначно опреде-
ляется через векторы V и 1Г . В этом случае первое из уравне-
ний (25.5) теряет^свой статус уравнения полдни служит для опре-
деления вектора j по известному вектору Н :
Т = t-oi И ,	(25.8)
а второе уравнение принимает вид
Подставляя соотношение (25.7) в материальные уравнения (24.10)
и учитывая, что для всех сред, о которыми имеет дело магнитная
гидродинамика, jil = I с точностью до линейных по v/c членов,
получим
н.к, 5 =
Таким образом, полная система уравнений магнитной гидродинамики
идеальной проводящей жидкости в изотермическом случае (Т= const)
имеет вид
- 114 -
Ъ€
+ div-tu = О,
Р = Р(т) ,
(гХэ)
Эта система содержит^восемь уравнений и позволяет определить
восемь неизвестных Н , v • Т < Р при наличии заданных на-
чальных и граничных условий* Остальные электродинамические вели-
чины могут быть получены после этого из соотношений (25.7) -
(25.8). Условиями применимости системы уравнений (25.9) являют-
ся:
а)	малость скорости движения среды по сравнению со ско-
ростью света
V/C « 1 у
б)	достаточно большая величина проводимости среды Х-^оо,
в) малость величины токов смещения по сравнению с токами
проводимости
Используя соотношения (25.7) и обозначая характерный пери-
од изменения величин V и Н через t0 , это неравенство мож-
но переписать в следующем виде:
|7| у> •	(25.10)
Так как по порядку величины справедливы оценки
— | dv |	I -? I |-*| Н
то из уравнения (25.2) имеем
г-г. ^тсТис
- 115 -
Поэтому условие (25.10) дает
(25.ID
Это неравенство требует, чтобы плотность энергии магнитного по-
ля была значительно меньше плотности энергии покоя идеальной
жидкости. Как мы увидим в дальнейшем, данное соотношение огра-
ничивает также и скорость распространения магнитогидродинамичес-
ких волн: иг ~ -tL- « с2.
4хт
§ 26. Некоторые эффекты магнитной гидродинамики
Магнитная гидродинамика, в силу своей общности, достаточно
широко используется для анализа процессов, происходящих в раз-
личных жидких и газообразных средах, обладающих высокой прово-
димостью. Особенно важное значение она приобретает в физике
плазмы. Как известно, плазма представляет собой частично или
полностью ионизированный газ, в котором тепловое движение пре-
пятствует рекомбинации ионов и свободных электронов. Вещество
в состоянии плазмы достаточно широко распространено в природе.
Так, например, Солнце и звезды состоят из высокотемпературной
плазмы; вещество в межпланетном пространстве и особенно во внеш-
ней оболочке Земли - в ионосфере - типичный пример низкотемпе-
ратурной плазмы. Б земных условиях с плазмой мы встречаемся при
прохождении электрических разрядов в различных среда? и в про-
цессах горения (языки пламени).
Из-за высокой степени ионизации плазма обладает чрезвычай-
но большой проводимостью, в результате чего внешние электричес-
кие и магнитные поля могут оказывать на нее существенное воздей-
ствие. Движение же электронов и ионов плазмы, в свою очередь,
сопровождается генерацией собственного электромагнитного поля
плазмы, иногда значительно ослабляющего действие внешних полей.
Поэтому-анализ поведения плазмы во внешних полях и исследование
других электродинамических эффектов следует производить с уче-
том взаимного влияния поля и движения плазмы. Использование
уравнений и соотношений магнитной гидродинамики в ряде случаев
позволяет провести такой учет с достаточной для практических
приложений степенью точности.
В настоящее время, в связи с проводимыми 'исследованиями
- lie -
по осуществлению реакции управляемого термоядерного синтеза
легких ядер,наиболее многообещающим разделом физики плазмы яв-
ляется физика высокотемпературной плазмы. Поскольку при темпе-
ратурах, необходимых для проведения реакций синтеза, изоляцию
плазмы от окружающего пространства и ее удержание невозможно
осуществить иначе как с помощью электромагнитных полей, то маг-
нитная гидродинамика и ее обобщения служат основным рабочим
инструментом для теоретического анализа состояния и поведения
высокотемпературной плазмы при таких исследованиях.
Рассмотрим некоторые из характерных эффектов, предсказан-
ных магнитной гидродинамикой и используемых в физике плазмы.
Одним из них является эффект магнитной изоляции плазмы, идея
которого была впервые предложена в 1950 г. в СССР и США.
Предположим, что цилиндрический столб полностью ионизован-
ной плазмы окружен сильным магнитным полем Н , параллельным
оси цилиндра. Не ограничивая общности, будем считать, что ось
цилиндра совпадает с осью z декартовой систему координат и
напряженность магнитного поля не зависит от z: H(*,y)ez.
Найдем условие равновесия плазмы в этом магнитном поле. Так как
при равновесии скорость должна быть равна нулю, то первое из
уравнений (25.9) дает
О - -vP - 7“-LнrotНQ.	(26.Г)
Используя известное соотношение
ГН2= 2fWv)M +
и учитывая, что в рассматриваемом нами случае
(Н v) Н =	(Х,у) • О ,
V «Эй
выражение (26.1) мы можем переписать в виде
Отсюда следует, что плазма будет находиться в равновесии (v= О)
если сумма газокинетического давления Р немагнитного давления1
•^Используя тензор натяжений Максвелла можно показать, что в рас-
сматриваемом случае магнитное давление Р = н2/8тг
- II? -
го столба:
будет величиной постоянной в любой точке плазменно-
Н 6g у)
(26.2)
Таким образом, газокинетическое давление, а следовательно и
плотность плазмы,уменьшается в тех областях пространства, где
напряженность магнитного поля увеличивается* Это означает, что
плазма в магнитном поле ведет себя как диамагнетик - выталкива-
ется полем в область более слабых полей. Поэтому создавая неод-
нородное магнитное поле, увеличивающееся к периферии цилиндра
(сморис.II) и достигающее там значения /8хРо , можно обес-
печить изоляцию плазмы от окружающего пространства.
Рис. II. Распределение магнитного поля и давления
в плазме при ее равновесии
Этот способ удержания плазмы широко используется в различных
плазменных устройствах. Однако следует отметить, что равновесие
плазменного столба в постоянном и неоднородном магнитном поле
- 118 -
является неустойчивым, в результате чего малые возмущения плаз-
менного столба с течением времени возрастают, приводя к разру-
шению магнитной изоляции и утечке плазмы. Поэтому изучение раз-
личных типов неустойчивостей в замагниченной плазме и разработ-
ка эффективных способов их подавления является одной из наибо-
лее важных задач физики высокотемпературной плазмы.
Другим эффектом, характерным для магнитной гидродинамики,
является эффект "вмороженности” магнитных силовых линий в иде-
ально проводящую среду. Для того чтобы нагляднее себе предста-
вить суть этого эффекта, найдем уравнение, которому удовлетво-
ряют магнитные силовые линии. Это можно сделать^ используя все-
го лишь два уравнения из системы (25.9):
[vff] ,
|Х + div(Tu) = О.
(26.3)
Так как
то учитывая, что divH » 0 ,
мы можем переписать в виде
ЪЦ /Г7-Х-
первое из уравнений (26.3)
Второе уравнение системы (26.3) дает
Отсюда следует, что
Подставляя это выражение в правую-часть соотношения (26.4), по-
лучим
25 =	- (vv)H ♦	* (V
- 119 -
Разделим теперь это уравнение на Т и перенесем второе и пос-
ледующие слагаемые справа налево• В результате будем иметь
Учитывая, что
Ъ1 т - - г2 at ’ VT ="	’ di ’ at \
Ц
отсюда получим следующее уравнение "движения’1 для вектора —:
= (г*)7-	<26-5>
Рассмотрим теперь какие-либо две достаточно близкие частич-
ки идеальной жидкости (см,рис»Ц). Обозначим радиус-вектор од-
ной из них: в некоторый момент времени £ через г , а другой -
через 'г Т . Найдем уравнение "движения” для вектора £ (£).
По определению имеем
— С = CUTt ----------7-------
di	At-* 0	Ai
(26.6)
Нам необходимо определить величину £ ff + At) . Так как ско-
рость первой частиц в момент времени t равна 17(гэ£) , а
второй - V (г + в, £)	, то за достаточно малый промезцуток
времени а£ первая частица сместится на вектор д£,
а вторая - на вектор Tjfr+C	. Поэтому, как следует из
рис.12,
fft+Af) = l(t} <- v(^e,t)At - v(F,£)a*.
Так как по нашему предположению вектор £ является малым, то
с точностью до членов второго порядка малости справедливо раз-
ложение
V(r+eyi) = тх(гу£) -f-
Поэтому
e(t+*t}= e(t) +
- 120 -
Подставляя это соотношение в определение (26.6), получим иско-
мое уравнение:
= (£v)v.	(26.?)
at
Сравнивая выражения (26.5) и (26.7), легко заметить, что вэкто-
ры Н/т и t удовлетворяют одному и тому же уравнению. Та-
ким образом, если в
некоторый начальный
момент времени t~0
выполнялось соотноие-
Н
ние — , где
р - некоторый пос-
тоянный коэффициент
пропорциональности,
то и в любой момент
времени t будет спра»
ведливо равенство
Рис.12. Эволюция вектора t (t)
Z(i\ = n
Это означает, что если в начальный момент
времени две какие-ли-
бо достаточно близкие частички вещества находились на одной и
той же силовой линии магнитного поля, то и в дальнейшем они бу-
дут находиться на той же силовой линии. Этот эффект, получивший
в научной литературе название эффекта "вмороженности" магнитных
силовых линий,строго выполняется только в случае идеально
( X --*-оо) проводящей среды. Для сред, обладающих конечными
значениями проводимости, он выполняется тем точнее, чем выше
проводимость среды.
Следует отметить, что эффект "вмороженности" является пря-
мым следствием закона эл_екрромагнитной индукции Фарадея, в силу
которого поток вектора Н через любой замкнутый жидкий контур-
сохраняется. Поэтому ’’вмораживание” магнитных силовых линий в_ч
проводящее вещество может не происходить, если поток вектора Н
через любой замкнутый контур сохраняется с течением времени и
без него.
Прямым следствием эффекта "вмороженности” магнитных силрвых
линий в вещество при X °° является магнитная иумыуляния
- 121 -
возможность генерации сверхсильных магнитных полей при быстром
обжатии (например, с помощью ударной волны, образующейся при
взрыве) проводящей среды в присутствии магнитного поля. Дейст-
вительно, так как силовые линии магнитного поля в хорошо прово-
дящих средах следуют за частичками среды, то вынуждая их дви-
гаться в направлении, перпендикулярном к линиям магнитного поля,
мы можем добиваться сгущения силовых линий в некоторых областях
пространства. А всякое сгущение силовых линий, как известно,
означает увеличение напряженности магнитного поля в данной об-
ласти.
§ 27, Магнитогидродинамические волны
Одним из наиболее важных следствий теоремы о "вмороженнос-
ти” магнитных силовых линий в идеально проводящие жидкие или
газообразные среды является утверждение, что неоднородные дви-
жения частичек среды в направлениях, перпендикулярных вектору
Н9 могут вызвать изменение напряженности магнитного поля. По-
этому всякое возмущение скорости среды в этом направлении неиз-
бежно должно сопровождаться и возмущениями электромагнитного
поля в среде. Эти взаимосвязанные возмущения скорости среды и
напряженности магнитного поля, как мы увидим, будут иметь вол-
нообразный характер, в результате чего в научной литературе они
получили наименование магнитогидродинамических волн.
Для изучения характерных особенностей, свойственных магни-
тогидродинамическим волнам, рассмотрим следующую модельную за-
дачу. Предположим, что покоящаяся однородная_.лроводящая.-жид=-
кость находится во внешнем постоянном и однородном магнитном
поле Ро • Считая жидкость идеальной, т.е. пренебрегая всеми
диссипативными процессами, изучим распространение в ней малых
возмущений.
В магнитной гидродинамике уравнения, определяющие эволюцию
идеальной жидкости в электромагнитном поле, имеют, как известно,
вид
т
di
£ + div(LV) = О,
(27.1)

- 122 -
Р = РЮ,
. rot[vH].
ОТ
Эта система содержит восемь уравнений относительно восьми неиз-
вестных Т , Р , и , Н , входящих в них. Определив ректо-
ры Н и V из системы (27.1), мы можем найти и вектор Е :
Е = - X [к Н] .	(27.2)
Разложим все входящие в систему (27.1) величины в ряды по мало-
му параметру, характеризующему рассматриваемое малое возмущение:
н= Я0 + н,+ нг + ... ,
Z ' % + Ч +	+  »
p^=p^v^w...,
(27.3)
где индексом О обозначены исходные невозцущенные величины, ин-
дексом I - величины, линейные по малому параметру возмущения,
индексом 2 - величины, квадратичные по этому параметру и т.д.
Так как в невозмущенном состоянии скорость идеальной жидкости
равна нулю, то в соотношениях (27.3) мы должны положить О.
Кроме того, введем принятые в гидродинамике обозначения
где LLO - скорость звука в сре^е.
(27.3) в систему уравнений (27.1)
нения в виде рядов. Приравнивая к
Подставим теперь соотношения
и представим полученные урав-
нулю выражения, играющие роль
коэффициентов этих рядов, мы можем получить уравнения магнитной
гидродинамики в приближении любого порядка по малому параметру
возмущения. Так как rot Но- О , Ц, = 0, то в нулевом порядке
имеем
- 123 -

Отсюда следует, что в невозмущенном состоянии давление во всех
точках жидкости одинаково, а плотность жидкости не только одно-
родна, но и не зависит от времени.
В первом приближении по малому параметру возмущения систе-
ма уравнений (27.1) примет вид
Т - -ufvr - — Г rot М.1
° at °	1	° tJ’
(27.4)
---- + Т div V - О .
Ъ1 °	1
В силу (27.2) вектор Е в атом приближении определяется следу-
ющим соотношением:
-KU]-
(27.5)
Решения этих уравнений будем искать в виде плоских волн ^предпо-
лагая, что возмущение плотности вещества и векторы
зависят от координат и времени только через экспоненциальный
множитель	cot)}. В этом случае действие оператора
на любую из перечисленных величин эквивалентно умножению
этой величины на	-ссо , а действие оператора V - эквивалент-
но умножению на Lit . Поэтому система уравнений (27.4) может
быть записана в виде
t ок =	+ тт~ С^о (X^TI,
сгЦ = ИЦ]] ,
corf - lok vj = О.
(27.6)
Как следует из последнего уравнения данной системы, волна ско-
рости идеальной жидкости при наличии возмущений плотности
- 124 -
среды ( Tt /0) всегда имеет продольную составляющую: ки^О.
Волне магнитного поля, в силу второго из уравнений (27.6), всег-
да является поперечной ( к Н1 =0); волна электрического поля
(27.5) в общем случае может иметь и продольную составляющую:
кЕ^ О.
В силу последнего из соотношений (27.6) волна плотности
проводящей жидкости непосредственно связана с распрост-
ранением продольной волны скорости:
(27.7)
Используя это равенство, векторные уравнения (27.^) можно запи-
сать в виде
= Ho(«vf) - VJKHJ.
Для конкретного анализа данных уравнений нам неооходимо перепи-
сать их покомпонентно. Не ограничивая общности,выберем систему
координат так, чтобы ось у была направлена вдоль вектора i<\
а вектор ГТО лежал в плоскости yz (см.рис. 13):
К={0,К,0}, Но = {О.Н Н }.	(27.9)
Тогда векторы ц и Н1 в силу соотношений	О,
могут иметь следующие компоненты:
Ч={Н1Х>О>М» Ч e-K,a3.vzh <27ло>
Спроецируем теперь уравнения (27.7) на ось
ношения (27.9) и (27.10), имеем
Учитывая соот-
(27.11)
со И + V к Н = О .
IX X Оу
Проецируя уравнения (27.8) на оси у и Z
, получим
- 125 -
о
2
— НЛ„Н
—^Н.
4т
(27.12)
oHiz = KHozVy - RHoyVz-
Рис.13. Выбор системы коор-
динат для изучения
распространения маг-
нит огидродина мич ес-
ких волн
Таким образом, векторные уравнения (27.8) распались на уравне-
ния (27.11), содержащие только компоненты V* и Цк,и на уравне-
ния (27.12)^содержащие остальные компоненты неизвестных векто-
ров Vt и . Поэтому следует ожидать, что и распространение
этих двух групп компонент векторов
и Н в виде волн будет проис-
ходить различно. Изучим свойства
этих волн.
С математической точки зрения
уравнения (27.11) представляют со-
бой однородную систему из двух ли-
нейных алгебраических уравнений
относительно двух неизвестных Vx
и • Как следует из линейной
алгебры,для того, чтобы эта систе-
ма имела нетривиальные решения (а
нас интересует именно этот случай Vx / О, 0), необходимо
и достаточно, чтобы определитель системы (27Л1Г) был равен нулю
Это уравнение показывает, что частота и волновой вектор компо-
нент и связаны следующим дисперсионным соотношением:
х|Нр91
(27.13)
Зная дисперсионное соотношение, мы можем определить фазовую Цф
и групповую иГр скорости распространения волн Vx и Н<х • По оп-
ределению имеем
- 126 -
тг — — тг
% " к ’ Т5 ’ Эк ‘
Используя выражение (27.13), получим, что в данном случае обе
скорости совпадают:
|Н0 I
V = V = ----------------—— .	(27.14)
г > л. и.о
В силу соотношения (25.11) фазовая и групповая скорости распро-
странения возмущений Vx , Н1х всегда значительно меньше, чем С.
Таким образом, возмущения vx и Н1К в проводящей жидкости расп-
ространяются в виде поперечных волн, амплитуды которых в силу
выражений (27.10) и (27.12) связаны соотношением
Эти волны в научной литературе получили название альфвеновских
волн, а скорость (27.14) - альфвеновской скоростью.
Следует отметить, что распространение волны if сопровожда-
ется распространением волны напряженности электрического поля
(27.5), которая в общем случае (Н02 / 0) не является попереч-
ной:
Ноу
с/^т0
Перейдем теперь к исследованию волн, описываемых уравнениями
(27.12). Эти волны в научной литературе называют магнитозвуковы-
ми волнами. Для того чтобы система уравнений (27.12) имела не-
тривиальные решения, определитель ее должен быть равен нулю.
Это условие дает следующее дисперсионное уравнение:
- 127 -
Разрешая его относительно со , получим (оЭ>0):
Таким образом, в проводящей жидкости могут распространяться два
типа магнитозвуковых волн: быстрые магнитозвуковые волны, фазо-
вая и групповая скорости которых определяются соотношением
(27.15)
и медленные магнитозвуковые волны, фазовая и групповая,скорости
которых меньше, чем у быстрых волн
(27.16)
Легко убедиться, что скорость распространения быстрой магнито-
звуковой волны всегда превышает скорость звука в среде
Urpf = ио • в то врэмя как скорость распространения
медленной магнитозвуковой волны может быть и меньше, чем <хо.
В силу выражений (27.14)-(27.16) скорости распространения быст-
рой и медленной 1ГМ магнитозвуковых волн связаны со ско-
ростью альфвеновских волн и скоростью звука соотноше-
нием
Как следует из соотношений (27.14)-(27.16), причиной распростра-
нения г в итоги-;-о динамических золи в проводящей среде является
- 128 -
не только механическая упругостьсреды
Н z
"магнитная4 упругость среды ( у-- —
вкладом магнитного поля PN = Hz/ fix'
-) Or
( u-o = 5ZT ), НО И
7>РМ
)> обусловленная
в полное давление F^P*PM
Из выражений (27.5), (27.7) и уравнений (27.12) следует,
что амплитуды магнитозвуковой волны связаны соотношениями
и
н
К
Е
и*

кгН
O-Z
Ьл (со2- U2№)
Таким образом, в магнитозвуковой волне волна скорости может
иметь продольную составляющую (при А/02 i 0), с наличием которой
непосредственно связано распространение волн плотности идеально!
проводящей жидкости Т* ; возмущения же остальных величин в маг
нитозвуковой волне распространяются в виде поперечных волн.
ГЛАВА 6
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МАТЕРИАЛЬНЫХ
СРЕДАХ
Следующим шагом по пути к достижению большей степени общна
ти рассматриваемых электродинамических явлений в материальных
средах является учет тока смещения в уравнениях Максвелла и по
реход тем самым к так называемой области высоких частот. Сущест-
венной особенностью в этой области является зависимость электро
динамических характеристик среды (8 , JUL ) от частоты и наира»
ления распространения электромагнитного излучения. Кроме того,
в рассматриваемой области частот колебания вектора электричесжо!
- 129 -
индукции jD и вектора напряженности электрического поля Е про-
исходят, вообще говоря, не синфазно, причем разность фаз этих
колебаний зависит как от частоты волны, так и от свойств^среды.
П]эи использовании комплексной формы записи колебаний ( Е ,
В	) это свойство приводит к тому, что диэлектричес-
кая проницаемость среды становится величиной комплексной.
Следует отметить, что комплексное выражение для диэлектри-
ческой проницаемости среды в макроскопической электродинамике
может быть получено и формально математическим путем, при объе-
динении тока проводимости среды с током смещения.
Действительно, если в проводящей покоящейся среде рассмат-
ривается процесс распространения монохроматических электромаг-
нитных волн
£ = ЕДг) е , И = Ho(F)e
то первое из уравнений Максвелла (2.13) после учета материальных
уравнений
Ъ = еЕ,	j
мы можем записать в виде
rotH = -	+ ^ХЕ .
С	с
Объединяя слагаемые, стоящие в правой части этого выражения и
вынося общим множителем -ccO/fc , получим
где введены следующие обозначения:
D = 6 t ,	6 = 6 +
для обобщенного вектора индукции D и комплексной диэлектриче-
ской проницаемости E = £(iS) среды. Из этого выражения следует,
что для проводящей среды не только комплексна, но и име-
ет особенность при со = 0.
Таким образом, в рассматриваемом примере появление мнимой
чести у диэлектрической проницаемости проводящей среды произош-
ло в результате формально математического включения тока прово-
- 130 -
димости среды в ток смещения.
Но существуют и более глубокие физические причины, которые
приводят к тому, что диэлектрическая проницаемость среды стано-
вится комплексной величиной, зависящей от частоты. Нагляднее
всего это можно показать на примере расчета диэлектрической
проницаемости разреженного нейтрального газа.
§ 28. Комплексная диэлектрическая проницаемость
разреженного нейтрального газа
Рассмотрим простейшую модель материальной среды - систему,
состоящую из разреженного нейтрального одноатомного газа. Пред-
положим, что в ней распространяется плоская монохроматическая
электромагнитная волна с частотой со и волновым вектором к .
Исйользуя комплексную форму записи, напряженности электрическо-
го и магнитного полей этой волны можно представить в следующем
виде:
(28.1)
Под действием электромагнитной волны происходит поляризация ато-
мов среды и в ней возникает переменный электрический дипольный
момент, функционально зависящий от полей Е и Н волны и
свойств атомов среды.
Появление электрического дипольного момента у атомов среды
означает^что среда обладает не равным нулю вектором поляриза-
ции р = p(t) . Если обозначить электрический дипольный момент
одного атома через и считать, чтов единице объема среды
содержится /V атомов, то для вектора Р будем иметь
Р = А/7(f).
Поэтому для монохроматической волны (в отсутствие пространствен-
ной дисперсии) .D = £(со) Е уравнение-, определяющее зависи-
мость е -& (оД можно представить в виде
6(со) Е ~ Е + ^7cNcf(t},	(28.2)
- 131 -
Таким образом, для решения поставленной задачи нам необхо-
димо найти явную зависимость электрического дипольного момента
атима от вектора Е 9 В классической теории это обычно делают
на основе осцилляторной модели атома. Согласно этой модели,
атом представляют в виде неподвижного ядра*) и нерелятивистски
движущегося вокруг него точечного электрона, уравнение движения
которого под действием возмущающей силы F , имеет вид
m_R +	+ rrLto^R - /?о) - F ,	(28.3)
где т. - масса электрона, f - коэффициент, характеризующий
диссипативные (при / >_О ) или антидиссипативные (при У<0)
свойства осциллятора, R - радиус-вектор электрона в отсутст-
вие возмущающей силы ("положение равновесия"), R - радиус-век-
тор электрона при^наличии возмущений, <оо - собственная часто-
та осциллятора, F - внешняя вынуждающая сила.
В рассматриваемом нами случае в качестве вынуждающей силы
выступает сила Лоренца электромагнитной волны:
_/ г*- —> —> л с — к' R }
F = НЕо * С
Вводя вектор смещения электрона г» относительно положе-
ния равновесия, уравнение движения (28.3) мы можем записать в
виде
где введены обозначения
Уравнение (28.4) является существенно нелинейным уравнением и
в общем виде пока не решено. Поэтому обычно его линеаризуют,
используя малость тех или иных входящих в него параметров. В
частности, если учесть, что электрон совершает нерелятивистское
Вклад ядра атома в переменную часть электрического дипольно-
го момента даже при учете его движения оказывается чрезвычай-
но малым по сравнению с вкладом электрона, поэтому данное
допущение вполне оправдано.
- 132 -
движение, то одним из таких малых параметров окажется отноше-
ние |v(/c«1 . Так как в электромагнитной волне, распрост-
раняющейся вгдиэлектрической среде, | Но| по порядку величины
сравним с | Ео | , то магнитной частью силы Лоренца в рассматри-
ваемом нами случае можно пренебречь по сравнению с ее электри-
ческой частью. Однако одного только этого предположения недос-
таточно для того, чтобы линеаризовать уравнение (28.4). Учтем
также, что смещение электрона в атоме lr | значительно меньше
среднего межатомного расстояния, а следовательно, и меньше дли-
ны t0 , характеризующей линейный размер физически бесконечно
малого объема. Поэтому с точки зрения макроскопической^электро-
динамики произведение = 0 , в результате чего eLKn= 1.
Поэтому уравнение (28.4) принимает вид
—►	-ч -	2 —►	«г— — с. "£
т'г +	+ /тъсаот* = еЕое
Умножая его на заряд электрона и учитывая, что er= d , отсю-
да получим уравнение, определяющее эволюцию вектора электричес-
кого дипольного момента атома
d + ?d + сао d = — Ео е .	(28.5)
Таким образом, при сделанных нами допущениях вектор электричес-
кого дипольного момента подчиняется линейному уравнению колеба-
ний осциллятора, где в качестве вынуждающей силы выступает век-
тор напряженности электрического поля, умноженный на постоянный
множитель е2/т . Общее решение этого уравнения, как известно,
равно сумме общего решения соответствующего однородного уравне-
ния и любого частного решения неоднородного, причем константы
интегрирования, содержащиеся в общем решении однородного урав-
нения, определяются исходя из начальных условий. Однако, если
Г > О , то оба линейно независимых решения однородного урав-
нения будут содержать экспоненциально убывающий с течением вре-
мени множитель	, поэтому при любых начальных условиях
их вклад в величину d при t -*• оо экспоненциально убывает
и им можно пренебречь. О таком состоянии, когда влиянием началь-
ных условий на изучаемый процесс можно пренебречь, обычно гово-
рят как об установившемся режиме.
Таким образом, для нахождения установившихся колебаний
- 133 -
вектора d нам необходимо найти любое частное решение неодно-
родного уравнения (28.5). Поскольку правая часть этого уравне-
ния пропорциональна exp(-tcof) , то его решение удобно
искать в виде
Подставляя это выражение в уравнение (28.5), получим следующее
линейное алгебраическое уравнение для определения вектора cf:
Отсюда следует, что
2
d - --------------------------—-------------- .	(28.6)
Проанализируем это соотношение.
Отметим,_прежде всего, что вектор d оказался пропорциона-
лен вектору £ , но множитель пропорциональности является комп-
лексной величиной» Это означает, что колебания этих векторов в
той точке, где находится атом, происходят jie в фазе. Действи-
тельно, если учесть, что в этой точке E=Eoe‘t<*J^ и ввести
обозначения
СО 5 у =
Гео
то выражение (28.6) можно записать в эквивалентном виде
___________________________=
ггс[/а>2- со2)- i-Уч]
е2^о-<л>2+сусд]Е е Ео
Таким образом, разность фаз между колебаниями векторов d и Е
зависит как от частоты падающей волны, так и от характеристик
и G0o атома
- 134 -
V = CL-rct^		(28-7)
Юо - со
Это свойство, как известно, является характерным для всех коле-
бательных процессов и физической причиной его являются диссипа-
тивные (^>0) свойства системы, в результате чего ее отклик
на внешнее воздействие запаздывает по фазе от вынуждающего ко-
лебания# Из выражения (28.7) легко заметить, что как и в случае
механических колебаний осциллятора, разность фаз между колеба-
ниями векторов Е и J в дорезонансной области частот (о <сао)
заключена в пределах О £ ср < л/2 , при резонансе равна х/2
и в области соо < со < со изменяется от х/2 до X . Умно-
жая равенство (28.6) на N , найдем вектор поляризации среды:
-*	е*Л/£[со*-q?+ёз'со]
Р - Nd = ----------—---------—— .
Подставляя это соотношение в выражение (28.2) для вектора индук-
ции, получим
= 1 +

(28,8)
Это выражение часто записывают в несколько ином виде, вводя
обозначение соа= ^g.2 для комбинации величин, характеризуй
Р	tTL
ющих среду. Частота сОр играет особенно важную роль при описа-
нии плазмы и плазмоподобных сред, в результате чего в научной
литературе она получила название частоты плазменных колебаний
или ленгмюровской частоты. С учетом этого обозначения выражение
для 8(0’) принимает вид
= 4

Таким образом, диэлектрическая проницаемость разреженного нейт-
рального газа зависит не только от среды, но и от частоты падаю-
- 135 -
щего электромагнитного излучения и в общем случае оказывается
величиной комплексной* Вводя обозначения Е^со) для действитель-
ной и E'Yco) для мнимой частей диэлектрической проницаемости,
соотношение (28.8) можно записать в виде
е = е' + le",
, 4xA/e*(of- go2)
trv[(G32-C02)2 +
(28.9)

и
8
иг [(со2 - со2)2 +
Наличие мнимой частиу_диэле.ктрической проницаемости свидетель-
ствует о том-, чтб''колебания^вектора индукции В происходят не.
в фазе с колебаниями поля Е * причем разность фаз отличается
от чр (см. (28.7))
где определяется соотношением
4xA/eVco
h = <xrс tn — - arc ta-----------------
^^.cD2)2+^2]+4xNe2(<^)
Проанализируем теперь зависимость величины е' и е" от частоты
(рм.рис.14). Как следует из этих графиков, всю область частот
условно можно разделить на три области в зависимости от того
возрастает или убывает величина Е' с ростом частоты. В соответ-
ствии с этим области I и Ш, где >0 в научной литерату-
ре получили названия областей нормальной дисперсии, а область
П, где 'Эе'/Эсо < О -ч области аномальной дисперсии.
Из рис. 14 видно, что значения функции £/z(o>) во П области
существенно больше, чем в I и 111 областях. Так как в данной моде-
ли функция Е" непосредственно связана с диссипационным членом
в< уравнении движения (28.3), то это означает, что в данной об-
ласти частот поглощение энергии электромагнитных волн средой
- 136 -
значительно больше, чем в областях 1и 11!. Поэтому области час-
тот, где £" велико, иногда называют областью непрозрачности,
а области, где мало - областями прозрачности»
Важным частным случаем выражений (28.£) является диэлект-
рическая проницаемость разреженной плазмы (полностью ионизиро-
ванный газ) или плазмоподобных сред. Так как в таких средах
электроны и ядра не связаны в атомы, то возвращающая сила в
уравнении движения электронов (28,5, будет равна нулю: (Оо=0
Тогда при отсутствии поглощения (	* 0) выражение (28.8) при-
нимает вид
Иэ этой формулы следует, что при совпадении частоты со падаю-
щей электромагнитной волны с ленгмюровской частотой С0р ди-
электрическая проницаемость плазмоподобных сред обращается в
нуль.
137 -
§ 29. Физический смысл мнимой части £
Непосредственная связь мнимой части комплексной диэлектри-
ческой проницаемости с диссипацией (или антидиссипацией) энер-
гии электромагнитных волн в среде является общим свойством,
присущим не только разреженному нейтральному газу, но и другим
материальным средам. В частности, наличие е" / 0 у комплекс-
ной диэлектрической проницаемости свидетельствует, что среда
либо поглощает энергию электромагнитных волн, переводя ее в
другие виды энергий, главным образом, в тепло (диссипирующие
среды), либо передает запасенную в ней энергию электромагнитной
волне (антидиссипирующие среды, лазерные среды). Для доказа-
тельства этого утверждения рассмотрим некоторый объем V , за-
нимаемый средой, через который распространяется электромагнит-
ная волна. Подсчитаем суммарный поток энергии этой волны через
поверхность, ограничивающую данный объем 1/ :
П = J) G dS = Ф GrZdS ,	(29.1)
г	5	5
где п. - вектор внешней нормали к поверхности S.
Очевидно, что в случае диссипирующей среды часть энергии
электромагнитных волн, распространяющихся через данный объем,
будет поглощаться средой, переходя в другие виды энергии, глав-
ным образом, в тепло. Поэтому для таких сред величина потока
энергии электромагнитной волны, входящей в объем I/ , будет
больше, чем величина потока энергии выходящей волны, в резуль-
тате чего суммарный поток энергии П через поверхность S будет
отрицателен: П < 0 • В случае же антидиссипирующей среды
энергия, запасенная в данной среде (например, энергия возбужде-
ния электронов, находящихся на метастэбильных уровнях атомов
лазерных сред), при прохождении электромагнитного излучения пере-
ходит в электромагнитную энергию, увеличивая поток энергии вы-
ходящих электромагнитных волн. Поэтому для антидиссипирующих
сред суммарный поток электромагнитной энергии будет положите-
лен : П > О.
Таким образом, задача состоит в том. чтобы определить, как
знак величины П связан с мнимой частью комплексной диэлектриче-
ской проницаемости. Для этого перепишем выражение (29.1) в эк-
- 138 -
Бивалентном виде
П = fdiv<5 dV.	(29.2)
v -а
Используя определение вектора G , легко убедиться» что
div(5 = ~~ c/суГЕ Н1 =	( HrotE ~ Erot Н
а I
В силу уравнений Максвелла (2.13) это выражение можно привести
к виду:
Следует отметить, что в правой части этого выражения, как и во
всяком квадратичном выражении, векторы Е , Й , £ и !) долж-
ны быть вещественными векторами* Поэтому, если мы хотим исполь-
зовать удобное для практических расчетов комплексное представ-
ление данных векторов, то должны переписать его в виде
dcv0 =_ XbcH-^-Ree > RefLg-ReSk
4% I Ъ1
Учитывая, что для любого вектора Re А « ^(А + А*) , получим
div б = - —[(Н + н*) ^-(В+8*
16тс V Ъ1'
at	J
(29.3)
Предположим теперь, что электромагнитная волна, распространяю-
щаяся дерез вещество, является монохроматической и векторы £,
Н ,8 пропорциональны	• Тогда комплексно соп-
ряженные векторы Е* , Н* , и D* будут зависеть от време-
ни по закону е • В этом случае выражение (29.3) примет
вид
du/б =	В*) + (Е+Е*)(£-£*)}.
Воспользуемся теперь материальными уравнениями
Ь = е (4У) Е = (е'+ i£") Е , В = ухН ,
- 139 -
В результате получим
(29.4)
Однако это выражение не совсем удобдр^для^анализа* так как со-
держит быстро осциллирующие члены Н » Е » Н* » Е* , с
частотой, равндй удвоенной частоте волны. Поэтому для определе-
ния знака dLv<o в каждый фиксированный момент времени £ не-
обходима более детальная информация о зависимости векторов Е
и Н от координат и времени. Для того чтобы избежать излишней
детализации этих векторов, усредним выражение (29.2) по периоду
волны. Вводя обозначения
О
div (о
<а
О
выражение запишем в виде
Учитывая, что
= О
о
легко убедиться,
пропорциональные
что после
е"2£^и
~ в выражении (29.4)
такого усреднения величины Е , Н
Е*2, р-/* , пропорциональные
будут отсутствовать:
- 140 -
dLvG =-^££*=-
oe,z
8 тс
|£ I2.
Так как co |E |2 О , то из этого равенства непосредствен-
но следует, что знак cJlv<3 и знак Пзависит от знака мнимой
части £ : еслиа)£"> О ^_то divG> <0 в каждой точке объема
V (в результате чего и П < 0 ) и наоборот.
Таким образом, неравенство нулю мнимой части комплексной
диэлектрической проницаемости среды является прямым следствием
ДИССМП8ЦИ0ННЫХ свойств этой среды.
§ 30. Формулы Крамерса-Кронига
Из результатов, полученных в § 28, следует-, что даже в
случае простейшей материальной среды - в разреженном нейтраль-
ном газе, - колебания вектора поляризации Р под действием
внешней электромагнитной, волны запаздывают по фазе по сравнению
с колебаниями вектора Е в волне на величину (28.7), зависящую
от частоты. Это означает, что вектор D в каждый фиксированный
момент времени определяется не только значением поля Е взя-
тым в тот же самый момент времени, но и значениями поля в пред-
шествующие моменты времени. Поэтому при изучении переменных^по-
лей в средах зависимость вектора индукции D от вектора Е ,
вообще говоря, должна быть записана в интегральном виде
со
= Е(£) + Лг~) E(t-z) dr, (30л)
О
где функция {(т) зависит от свойств среды и отражает влияние
поля Е в предшествующие моменты времени на состояние вектора
D в данный момент времени ("память” системы). В соответствии
с таким физическим смыслом функция f(x) , очевидно, должна
быть ограниченной функцией при всех значениях Т и достаточно
быстро и гладко стремиться к нулю при х —* °о.
Разложим правую и левую части соотношения (30.1) в интег-
ралы Фурье по времени. Полагая, что
- 141 -
I>(t) =
dco Dfca) e
E(t) =
получим
EM
(r)e
о
В силу теоремы о единственности разложения функции в интеграл
Фурье мы можем утверждать, что подынтегральные выражения в этом
соотношении равны
С	°°	‘ ~
В(М = E(a>J 1 + JdGf(T) е
О
В^случа^е изотропных сред связь между фурье-образами векторов
В и £ при каждом фиксированном значении частоты, должна
иметь вид
Dfo>) = £(^0) Е(со).
Сравнивая это соотношение с предыдущим, получим
оо
е (со) = 1 + у /(т) е 1'“>т с1т.	(зо.2)
о
Так как это равенство получено без излишней детализации свойств
среды, а только исходя из самых общих соображений, аналогичных
принципу причинности, то оно должно быть справедливым для широ-
кого класса материальных сред*
Используя данное соотношение, выясним свойства функции
• Учитывая, что функция fft) является вещественной и
подставляя в правую часть равенства (30*2) выражение
£(аУ) =	» будем иметь
- 142 -
e'(u>) =
£"(^) =
oo
1 + fyfc / /fr) COSCOT
0
о
Из этих соотношений непосредственно следует, что действительная
часть комплексной диэлектрической проницаемости является четной
функцией, а мнимая часть - нечетной функцией своих аргументов:
€'(-аУ) =	,

(30.3)
Переписывая соотношение (30.2) в виде
С dl э	(30.4)
О	, х
выясним теперь аналитические свойства функции £(z) при комплекс
них значениях аргумента Z = X+Ly . Легко убедиться, что Функ-
ция ECz4) не имеет особых точек в верхней полуплоскости (при
у >0 ). Действительно, подставляя z=X + uy в выражение
(30.4), получим
со
Е (х + Су) = f(v) е. * е иу dr.
о
Поскольку функция ffr) ограниченная, то этот интеграл сходится
при всех у > О с Более того, в случае диэлектрических сред
функция f(T) достаточно быстро стремится к нулю при Г—►оо,
поэтому данный интеграл сходится и при у = 0. Все это означа-
ет, что функция E(z) не имеет никаких особенностей в верхней
полуплоскости. Кроме того, можно показать, что в верхней полу-
плоскости (у > О) функция
со
- 143 -
стремится к нулю при х оо-
Используя эти свойства функции £(z) , мы можем вывести
формулы Крамерса-Кронига. Для этого рассмотрим интеграл
SHbldz ,
2 — СО
взятый по контуру Г , изображенному на рис.15. Поскольку
функция £(z) в верхней полуплоскости не имеет особых точек, то
в силу теоремы о вычетах этот интеграл равен нулю.
Рис. 15. Контур интегрирования Г
Таким образом, мы можем записать
где
(30.5)
- 144 -
Легко убедиться, что последний из этих интегралов равен нулю»
Действительно, так как в верхней полуплоскости функция
стремится к нулю, то во всех точках полуокружности радиуса R
подынтегральное выражение в интеграле I убывает быстрее, чем
при |Z| —► со о Согласно соответствующей теореме матема-
тического анализа этого достаточно, чтобы утверждать, что 1^-0
при R -*• оо в Вычислим теперь интеграл 12 • Для этого перей
дем от переменной Z к новой переменной - углу
Учитывая, что c/z = c^) ес^с/<р , перепишем этот Интеграл в ви-
де
о
= L Cdy? Се6° + ?eU₽) ~ J •
%
Устремляя радиус полуокружности (3-^0 , получим
12 = -Хё(ес<а) - 1).
Заметим, также, что при	сумма интегралов +13 дает
интеграл в смысле главного значения, взятый по всей веществен-
ной оси:
со
В результате соотношение (30.5) можно переписать в виде
- 145 -
Выделяя действительные и мнимые части этого равенства, получим
окончательно
-со
е"(^ = -1dx .
ТЕ 7 х - со
€.'(<•>) - 1
(30.6)
Эти формулы и называются формулами Крамерса-Кронига. Они пока-
зывают, что действительная и мнимая части комплексной диэлект-
рической проницаемости не являются независимыми друг от друга,
а в силу принципа причинности связаны между собой интегральными
соотношениями. Поэтому, зная одну из частей (действительную или
мнимую), другую часть можно определить, проводя интегрирование
в одном из соотношений (30.6). Это свойство б' и Е" достаточ-
но широко используется на практике. Наиболее удобной для изме-
рения является мнимая часть £ , так как она непосредственно
связана с поглощением энергии электромагнитных волн в среде.
Поэтому для определения зависимости £ = 8 (со) некоторой среды
обычно проводят измерение поглощения электромагнитных волн в
этой среде в достаточно широком интервале частот, находят зави-
симость £"= £"6о) , а затем проводя интегрирование в первом из
выражений (30.6), определяют £,<со')«.
Следует отметить, что в случае проводников формулы Крамер-
са-Кронига имеют несколько иной вид. Действительно, как уже
указывалось в начале главы 6, функция £(со) для проводников
имеет в точке со = 0 особенность. Учитывая эту особенность и
проводя вычисления, аналогичные проделанным, легко убедиться,
что для проводников первая из формул (30.6) остается неизменной,
а вторая принимает вид
ТЕ J X - СО	СО
— со
Соотношениям (30.6) можно придать и несколько иной вид,
если учесть свойства (30.3) функций и £"(а>) • Для этого
запишем, например, первое из выражений (30.6), явно разделив
146 -
интервал интегрирования на две части:
Произведем теперь замену х - - х переменной интегрирования в
первом из этих интегралов. Объединяя его со вторым интегралом,
получим
= 1 + j
о
Совершенно аналогично можно
О
Учитывая равенства (30.3), будем иметь
dx. (50.,)
X - со2
показать, что
J х -со
о
Для большинства материальных сред функция £/zfco) имеет один или
несколько резких максимумов в окрестности некоторых характерных
частот и достаточно быстро спадает к нулю при со —► схэ и
со—> О (см., например,рис. 15). Это свойство функции £/zfco)
позволяет изучить поведение функции £'(со) в области малых и
больших частот. Предположим, что функция 6"(х) принимает доста-
точно большие значения только лишь в области, заключенной между
некоторыми двумя частотами <of и соа ( 0 < cof < X < со2 \
и стремится к нулю вне этого интервала. Тогда выражение (30.7)
можно записать в следующем приближенном виде:
* 1 + х	(30.8)
Так как интегрирование в этом выражении производится по интерва-
лу <Of X * со2 , то при со >><J^ в подынтегральном выраже-
- 147 -
нии возникает малый параметр х/со « 1 и мы можем записать
Ограничиваясь несколькими членами этого, вообще говоря, беско-
нечного ряда, получим
А А
е'Ссо) « 1 -	| ,	(зо.9)
сс оу*
где
А =	— /хе7х)с/х	,	Л,	= i / х3е7х).
1	X /	*	2 JC)
Как свидетельствуют опытные данные, эта формула достаточно хо-
рошо передает качественное поведение £'(<*>) в области больших
частот. Другой предельный случай возникает, когда go <<a)f.
В этом случае малым параметром является отношение со/хи^иэ выра-
жения (30.8) мы имеем
£'(<*>) =® f + В, + В^со2,	(30.Ю)
где

со.
2
Используя соотношения (28.9), легко убедиться, что выражения
(30.9) и (30.10) правильно передают качественное поведение б'(со)
и для рассмотренного нами ранее случая простейшей материальной
среды - разреженного нейтрального газа.
- 148 -
§ 31. Фазовая и групповая скорости электромагнитной
волны в диспергирующих срезах
В случае распространения электромагнитных волн в дисперги-
рующих средах встает вопрос об определении их скорости. Очевид-
но, что в случае распространения монохроматической волны в ка-
честве ее скорости может быть принята скорость распространения
поверхности постоянной фазы. Эта скорость в научной литературе
получила название фазовой скорости. Так как для монохроматичес-
кой волны положение поверхности постоянной фазы в любой момент
времени определяется соотношением
то дифференцируя это равенство по времени, имеем
со - к = О .
Учитывая, что вектор фазовой скорости направлен вдоль векто-
ра К , получим
Таким образом, зная закон дисперсии К =	, мы всегда можем,
найти фазовую скорость любой монохроматической волны. Очевидно,
что в самом общем случае эта скорость будет зависеть от частоты
волны. Если все монохроматические волны, составляющие некоторый
волновой пакет, распространяются с одной и той же фазовой ско-
ростью, то данный пакет будет распространяться в пространстве
как единое целое, без изменения его формы. Поэтому скорость не-
монохроматической волны (волнового пакета) в данном случае бу-
дет совпадать с фазовой скоростью любой из составляющих ее мо-
нохроматических волн. В том же случае, когда различные монохро-
матические волны распространяются с различными фазовыми скорос-
тями, волновой пакет при своем движении будет деформироваться
и вопрос о скорости его распространения становится более слож-
ным. Если изменения формы волнового пакета происходят достаточ-
но медленно, то в качестве скорости его распространения можно
принять скорость движения максимума этого пакета. В научной ли-
тературе эта скорость получила название групповой скорости не-
монохроматической волны.
- 149 -
Для ее нахождения рассмотрим некоторую группу монохромати-
ческих волн, частоты которых содержатся в некотором достаточно
узком интервале частоты соо , так чтобы фазовые скорости этих
волн лишь незначительно отличались друг от друга
8 « соо .
-8 6 to < соо + 8,
Не конкретизируя заранеее природу этих волн, имеем
<o0-S
Произведем замену переменной интегрирования + в этом
выражении, В результате получим
5
-8
в ряд Тэйлора
Разложим теперь волновой вектор

V
2.1
dco2
(31.3)
В том случае, когда фазовые скорости монохроматических волн в
рассматриваемом интервале частот отличаются друг от друга дос-
таточно мало, волновой вектор К в силу соотношения (3I.I) бу-
дет также достаточно медленно изменяющейся функцией частоты»
Поэтому в разложении (31.3) можно ограничиться лишь линейным
приближением. Тогда, подставляя это разложение в выражение
(31.2), будем иметь

Функция
8
’А еЧ_ } 
-5
входящая в это выражение из-за малости 8 и	явля-
- 150 -
ется медленно изменяющейся функцией координат и времени и пред-
ставляет собой огибающую волнового пакета. Скорость движения
точек этой огибающей! очевидно, и будет групповой скоростью
волнового пакета. Так как радиус-вектор г «= R(i), определяющий
положение максимума огибающей, в любой момент времени удовлет-
воряет уравнению
t - R(t)
da)
= const,
то для
шение:
групповой скорости V.
dR
dt
получим следующее
соотно-
= 0.
В том случае, когда векторы и
коллинеарны и
направ-
лены в одну сторону, получим
Таким образом, если известен закон дисперсии к= к(о>), то соот-
ношение (31.4) дает возможность определить групповую скорость
волновых пакетов.
§ 32. Распространение плоских электромагнитных волн в
прозрачных средах
Наличие мнимой части у комплексной диэлектрической прони-
цаемости среды и отличие ее действительной части от единицы
приводят к тому, что распространение электромагнитных волн в
средах существенно отличается от их распространения в вакууме.
Для того, чтобы в этом убедиться, рассмотрим некоторую об-
ласть пространства, в которой находится покоящаяся однородная
и изотропная среда. Предположим далее, что свободные заряды и
токи в среде отсутствуют. Тогда уравнения Максвелла для данной
области будут иметь вид
С OL
(32.1)
- 151 -
rot £
1 ЪВ
с Ъ1
div 8 = 0,
div D = 0 .
В самом общем случае эти уравнения описывают переменное во вре-
мени и изменяющееся в пространстве электромагнитное поле, оп-
ределяемое начальными и граничными условиями. Наиболее прост
тым примером такого поля является плоская монохроматическая
электромагнитная волна. В этом случае входящие в уравнения
(32.1) векторы можно представить в виде
-с(а){-кг)
Ео *
(32.2)
D =	, В = yu(co) Н ,
где со - частоты и К - волновой вектор электромагнитной вол-
ны. Поскольку для большинства сред магнитная проницаемость оста-
ется практически постоянной величиной в широком интервале час-
тот, то, не ограничивая общности, мы будем считать, что
Подставляя выражения (32.2) в уравнения (32.1), получим
[кЁ] =
eTt Е =0,
RH = 0.
(32.3)
Дальнейший анализ распространения плоской монохроматической
электромагнитной волны в материальной среде существенно зави-
сит от того, равна или не равна нулю комплексная диэлектрическая
проницаемость среды на данной частоте. Рассмотрим эти две воз-
можности последовательно.
I. Пусть на частоте электромагнитной волны €(со)=0. В
этом случае уравнения (32.3) принимают вид
[кН] - О,
[кЕ] ,£н,
кН = О.
Первое из них утверждает, что вектор Н коллинеарен вектору
К , в то время как из последнего уравнения данной системы
следует, что эти два вектора ортогональны. Вектор, удовлетворя-
ющий этим требованиям, единствен: FT — 0. Таким образом, из
всей системы уравнений (32.3) остается только одно: СкЕ] = 0.
Оно утверждает, что при £(О) = 0 в среде может быть возбужде-
на продольная волна электрического поля. Электродинамика вакуу-
ма, как известно, такую возможность не допускает.
2. Предположим теперь, что на частоте электромагнитной
волны 8(o') / 0. В этом случае два последних уравнения системы
(32.3) будут следствиями первых двух и их можно опустить. В ре-
зультате система (32.3) примет вид
Из первого уравнения этой системы следует, что вектор _Е , про-
порциональный векторному произведению векторов К и М , бу-
дет им ортогонален. Совершенно аналогично, из второго уравнения
системы (32.4) можно убедиться, что вектор FT ортогонален век-
торам К и Е • Таким образом, в данном случае, как и в вакуу-
ме, электромагнитная ^олна является поперечной волной, причем
векторы К , Е и Н образуют правую тройку векторов. Выра-
зим теперь из второго уравнения системы (32.4) вектор Н и
подставим его в первое уравнение. Раскрывая двойное векторное
произведение и учитывая, что к Е =0, получим
со2ЕГсо)\
С2 )
Е = 0 .
Длд, того, чтобы данное
( £ / 0),необходимо,
уравнение имело нетривиальные решения
чтобы выполнялось следующее равенство:
- 153 -
кг _ a egg} = 0
(32.5)
Это уравнение в научной литературе получило название дисперсион-
ного соотношения. Следует отметить, что в отличие от электроди-
намики вакуума, данное соотношение является комплексным, так
как входящая в него величина Е(о))-	комплексна.
Поэтому комплексным должен быть и волновой вектор
Подставляя, его в дисперсионное соотношение и отделяя действи-
тельную и мнимую части, получим
к'2 - к"2
С
с
(32.6)
2к'к" =
Отсюда следует, что волновой вектор при Е„ / О всегда имеет
комплексную часть; более того, как мы увидим далее, возможны
ситуации, когда К" / 0 (к" ± к' ) даже при б" = 0.
Используя представления (32.2), легко убедиться, что нали-
чие неравного нулю вектора к п приводит к экспоненциальному
убыванию (в антидиссипирующих средах -.к экспоненциальному воз-
растанию) электромагнитной волны в направлении, определяемом
—►//
вектором к : в = е • е • Рассматривая же систему
(32.6) с математической точки зрения, можно констатировать, что
эта система из двух уравнений, содержащая три неизвестных: к"
и угол между векторами к' и К" . Поэтому в общем случае дан-
ная система позволяет определить только две неизвестные величи-
ны (например, к' и к" ), а третья неизвестная будет играть
роль параметра. При решении практических задач, тем не менее,
она не остается произвольной, а полностью конкретизируется пос-
ле учета начальных и граничных условий.
В дальнейшем для простоты будем предполагать, что начальные
и граничные условия обеспечивают параллельность векторов к' и
1<" . Тогда записывая вектор к в виде К »	t где
- вещественный единичный вектор, совпадающий по направлению с
векторами к и , из соотношения (32.5) получим следующее
- 154 -
уравнение для определения комплексного показателя преломлениям:
п-2 = е' + L£>Z.
Полагая /г = сп." , где и/ - показатель преломления,
и/7 - коэффициент поглощения, отсюда будем иметь
/г'2 - ft"2 = е',
2.П.' • п." = Е".
Разрешая эту систему уравнений относительно п! и nJ* , полу-
чим
Эти выражения существенно упрощаются в двух важных случаях. Пер-
вый из них характерен для сред в областях иХ прозрачности, т.е.
при тех частотах, при которых £'(со)>>|е''(со | . В этом случае
из выражений (32.7) будем иметь
Г,	Q.
(32.8)
Другой предельный случай реализуется в основном для сред с
большой диссипацией (антидиссипацией) в области их непрозрачнос-
ти, т.е. в той области частот, где
В области прозрачности, когда диссипация (или антидиссипацйя)
электромагнитных волн мала,можно использовать понятия фазовой
и групповой скорости. Используя выражения (31.I), (31.4) и
(3SL8), получим
Таким образом, в диспергирующей среде (с//г'/с/со О ) фазовая
и групповая O^PPQWL распространения электромагнитных волн не
совпадают.
Выясним теперь как связаны между собой колебания векторов
Е к Л в волне. Для этого возьмем по модулю второе из соот-
- 155 -
ношений (32.4) и учтем, что векторы Ё и К ортогональные
В результате получим
Следовательно, при распространении электромагнитной волны в сре-
де амплитуда электрического поля, в отличие от электродинамики
вакуума, в	раз меньше амплитуды магнитного поля. Кро-
ме того, колебания векторов Е и И в волне происходят не в фа-
зе. Чтобы в этом убедиться, учтем, что
где = cu-rct^ — • этом слУчае второе уравнение системы
(32.4) можно записать в виде
Таким образом, при распространении электромагнитных волн в ма-
териальных cpe^gx колебание вектора Е опережает по фазе коле-
бание вектора Н на угол
§ 53. Отражение и преломление электромагнитных волн
йа границе раздела сред
Изучим теперь, исходя из уравнений Максвелла, законы отра-
жения и преломления плоских электромагнитных волн на границе
раздела двух прозрачных сред.
Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред, показатели
преломления которых вещественны и равны rtf= и
соответственно (yUy ). Предположим далее, что из первой
среды на эту границу падает плоская монохроматическая электро-
магнитная волна. На границе раздела сред она, естественно, долж-
на частично пройти во вторую среду, а оставшаяся часть - отра-
- 156 -
зиться обратно в первую среду (ом.рис.16). Для того чтобы разли-
чать эти три волны, условимся все величины, относящиеся к пада-
ющей волне, снабжать индексом "О", к отраженной - индексом "I”
и преломленной - индексом "З". Тогда решения уравнений Максвел-
ла в виде плоских монохроматических волн для данного случая
придут вид
Ё(°’.Ё е	, н“- -£• Lko£W
о	>	q)o о
Волновой вектор Ко падающей электромагнитной волны будем счи-
тать величиной вещественной ( KQ =0), вектора же Ki и в
целях достижения максимальной степени общности будем считать
комплексными:
S = S + с\ ,	= К2 + ^2. •
Так как обе среды являются прозрачными, то £t и - вещест-
венные величины. Поэтому дисперсионные соотношения (32.6) для
этих волн примут вид
(33.2)

Ориентируем систему координат так, чтобы векторы Ко и К1 лежа-
ли в плоскости £/z . Зту плоскость в дальнейшем будем называть
плоскостью падения. В этой системе координат векторы Ко и К1
- 157 -
не будут иметь х-компоненты: кох = к' = О,
Кроме уравнений Максвелла, компоненты электромагнитной
волны при 2=0 должны удовлетворять и граничным условиям:
еЗ = Е1 ,	Н*. = н*	(33.3)
с	L	С	*-
В рассматриваемом нами случае первое из этих условий принимает
вид
Так как данное соотношение должно выполняться в любой момент
что
Рис.16. Ориентация падающего,отра-
женного и преломленного
лучей
времени и во всех точках
плоскости Z = 0, то для
этого необходимо, чтобы при
Z =0 фазы всех экспонент
зависели одинаковым образом
от х , у и t . Отсюда
непосредственно следует,
Таким образом, в силу граничных условий все три волны должны
иметь одинаковую частоту (в дальнейшем обозначаемую просто СО )
и их волновые векторы обязаны лежать в одной плоскости. Учиты-
вая соотношения (33.4) и первое из уравнений (33.2), мы можем
теперь записать данные векторы покомпонентно:
СО г	_	_ л
К = -с1 {о, Scn.0o, COS0o},
(33.5)
{0> К1у>
- 158 -
й;- {о,о, <z},
кг = {0» к2у> ’
кг". {о, о, KjJ,
где п. =	, 0о - угол падения. Подставляя эти соотноше-
ния во второе и третье уравнения (33.2), получим
К,'* + K'Z - К"* =	,
1у 1z. 1z С 1
К' К" = О.
«г 1z	,
Так как в силу граничных условий к' = Ко -	» то
данные уравнений принимают вид у у
= ° -
Легко убедиться, что эти два соотношения удовлетворяются только
в том случае, когда комплексная часть вектора равна нулю
K1Z = £)• Поэтому вектор можно представить в виде
зём.еи -cose,},
где 0, - угол отражения. В силу граничного условия к
этот угол равен углу падения 6, = 60.
1У
Рассмотрим теперь оставшиеся
два уравнения системы (33.2):
Совершенно аналогично, учитывая граничное условие
преобразуем их к виду:
к' к" = О .
2z 2z
к' = —n.si.n.0,
% с ♦
(33.6)
- 159 -
Последнее из этих уравнений удовлетворяется в том случае, когда
хотя бы один из сомножителей равен нулю. Пусть K^z = 0* Т°гда
первое уравнение системы (33.6) дает
< = 4 fe, - е2) .
К*
Так как величина к" должна быть вещественной, то легко убе-
диться, что это уравнение имеет решение только при выполнении
условия
£<2
Предположим теперь, что K2z / 0, а К*2 = 0. В этом случае пер-
вое уравнение системы (33.6) примет вид
Очевидно, что это уравнение имеет действительные решения только
при выполнении условия
-fi sinte & 1.
Таким образом, в зависимости от того больше или меньше единицы
величина	, распространение волны во второй
среде будет иметь качественно разный характер. Поэтому рассмот-
рим эти два случая по очереди.
I. Пусть
SCM.2eo & 1.	(33.7)
Легко убедиться, что данное условие выполняется независимо от
величины угла падения 6 £ во - j в том случае, когда вторая
среда является оптически более плотной по сравнению с первой
средой:	. Если же > гг2 , то условие (33.7)
будет выполнено не для всех значений угла падения, а только для
тех, которые удовлетворяют неравенству
О £ Qo £ cure, sin— .
- 160 -
В этих случаях волновые векторы всех трех волн будут действи-
тельными и их можно записать в виде
= ^пДО, SLH.0O> cos0oj,
К «	{0, sin. 0oTcos е0 } ,	(33.*
= *rn-2{0, sun02, cos02 j-,
где 02 - угол преломления» Это означает, что в рас сматривав мем
случае все три волны распространяются без изменения амплитуды*
В силу граничного условия (33.4)	угол преломления
связан с углом падения соотношением
sttte2 = — sut.eo.	(33.95
Легко убедиться, что при изменении угла падения б0 в пределах^,
допускаемых условием (33.7), угол преломления изменяется от
02 = 0 до в2 = у.
Найдем теперь зависимость амплитуд отраженной и преломлен-
ной волн от амплитуды падающей волны. Для этого нам необходимо
воспользоваться граничными условиями (33.3).
Разложим вектор Е каждой из волн на две составляющих, од-
на из которых Еи лежит_в плоскости падения, а другая Ех пер-
пендикулярна к ней*: Е = ЕиЕх . Так как на границе раздела
двух сред вектор Еи имеет нормальную составляющую к плоскости
Z = 0, а вектор Ех^Е1^ех целиком лежит в этой плоскости, то
законы их отражения и преломления, естественно, будут отличать-
ся. Поэтому рассмотрим эти две поляризации поодиночке.
Предположим, что падающая электромагнитная волна поляризо-
вана так, то вектор Е всегда перпендикулярен плоскости паде-
ния: £: =Ex^x • в этом случае первое из граничных условий
(33.3) примет вид
Г7 (о) ,	_ рС^У
tx + Ех ~	-	(33.iq
Вектор Н этой волны в силу выражений (33.1) и (33.8) лежит в
плоскости падения. Поэтому касательной составляющей его на гра-
нице раздела двух сред является компонента Ну = jj- Kz Ех.
Таким образом, второе из граничных условий (33.3) можно
- 161 -
записать в виде
Объединяя это уравнение с (33.10) и используя соотношения (33.8),
(33.9), легко найти, что.
^Рассмотрим теперь другую поляризацию. В^этом случае вектор
Е = ЕМ лежит в плоскости падения, а вектор Н перпендикулярен
ей. Поэтому для данной поляризации все вычисления дробно произ-
водить не в терминах поля Ем , а в терминах поля Нх=“
Действительно, учитывая, что	, граничные ус-
ловия (33.3) можно записать в достаточно простом виде:
±4 Н<“' + К,	И™
Р V Ог X	fz X У £ 2z х >
^2.
н ? + н = н±<г>.
Используя соотношения (33.8) и (33.9), отсюда получим
Н1° =
cos&а - гц /п.*- n*stft*eo
n22coseo + гъ, /^^st^Qo
(2)
2 п.^ cos 0О
п.^ cos 9О +	|/- п* Sen.2 0О
н(0>
(33.12)
Выражения (33.11) и (33.12) в научной литературе получили назва-
ние формул Френеля. При опытной проверке формул Френеля обычно
имеют дело не с напряженностями полей, а с интенсивностями, про-
порциональными усредненным по периоду квадратам напряженностей
полей. Поэтому, имея в виду применение данных формул на практи-
- 162 -
ке, удобно ввести коэффициент отражения от границы раздела двух
сред» равный отношению усредненных по периоду волны нормальных
(к границе раздела) компонент векторов Умова-Пойтинга отражен-
ной и падающей волн:
Используя соотношения (33.11) и (33.12), легко найти коэффици-
енты отражений обеих рассмотренных поляризаций волны:
cos0o - /гь* - n.fsinZ6o
n,tcoseo^ /rt.^-n./sin.aeo
(33.14)
R.,=
|н<”|г
2
Выражения (33.II), (33.12) и (33.14) при соблюдении условий
(33.1) полностью определяют все количественные характеристики
процесса отражения и преломления плоской электромагнитной волны
на границе раздела двух прозрачных сред. Проанализируем их.
Заметим,прежде всего, что коэффициент отражения в силу
определения (33.13) заключен в пределах 0 £ R £ I. Поэтому
первый вопрос, возникающий при анализе выражений (33.14), свя-
зан с выяснением условий, приводящих к равенству коэффициента
отражения предельным значениям R = 0 и R = I. Полагая
R± » 0, после несложных вычислений найдем, что коэффициент
отражения волны с первой поляризацией обращается в нуль только
при	независимо от угла падения. Так как равенство
Л означает простое отсутствие границы раздела двух сред,
то этот случай особого интереса не представляет. Примем
теперь R" = 0. В результате легко получить, что коэффициент
отражения электромагнитной волны, имеющей вторую поляризацию,
обращается в нуль, если угол падения удовлетворяет соотношению
SUt2ee = “1 г 2 •	(33.151
ГЦ * Н-2
- 163 -
Этот угол падения в научной литературе получил название угла
Брюстера. Легко убедиться, что угол Брюстера удовлетворяет ус-
ловию (33.7). Таким образом, если электромагнитная волна, со-
держащая обе поляризации, падает на границу раздела двух сред
под углом Брюстера, то отраженная волна в силу соотношений
/?и = 0 и /?х / 0 будет линейно поляризованной и вектор Е ее
будет перпендикулярен плоскости падения. Поэтому угол Брюстера
иногда еще называют углом полной поляризации. Следует отметить
также, что в силу соотношений (33.8) и (33.9) и (33.15) отражен-
ный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны
в том только случае, если угол падения равен углу Брюстера.
Действительно, так как 91 = 9? , то из условия 0f + 02 =
перпендикулярности отраженного и преломленного лучей имеем
5СИ. 0р = COS 0 .
с»
Используя закон преломления (33.9), отсюда получаем (33.15).
Положим теперь /?х = I. Легко убедиться, что это может
быть достигнуто, если выполняется следующее равенство:
cos 6О	= О .
Следует отметить, что коэффициент отражения /?м волны с другой
поляризацией обращается в единицу при том же самом условии. Так
как распространение падающей электромагнитной волны вдоль грани-
цы раздела двух сред ( 0о = 5 ) для наших целей особого интере-
са не представляет, то для достижения значений	необ-
ходимо, чтобы выполнялось следующее соотношение:
пг ~ ni s^n-a®0 = 01	(33.16)
Легко убедиться, что это может быть обеспечено только в том слу-
чае, когда вторая среда является оптически менее плотной, чем
первая () и угол падения равен О
Этот угол в научной литературе получил название угла полного
внутреннего отражения, так как в этом случае волна любой поля-
ризации полностью отражается от границы раздела двух сред.
Здесь необходимо сделать одно замечание. Если мы подставим со-
отношение (33.16) в выражения (33.11) и (33.12), то увидим, что
напряженности полей преломленной волны не только не обращаются
- 164 -
в нуль, но оказываются равными удвоенным значениям соответству-
ющих напряженностей полей падающей волны:
= 2 = 2Н1О) •
Возникает вопрос: о каком, собственно говоря, полном внутреннем
отражении может идти речь, если амплитуда преломленная волны
во второй среде не обращается в нуль? Ответ на этот вопрос дос-
таточно простой: при выполнении условия (33.16) угол преломле-
ния (33.9) волны равен х/2 и преломленная волна не попадает
во вторую среду, распространяясь вдоль границы раздела двух
сред. Поэтому никакого нарушения закона сохранения энергии
здесь не происходит. В связи с этим закономерен вопрос: а что
произойдет, если при п.2<гъ1 угол падения сделать больше угла
полного внутреннего отражения: ^>0О > crrc slh-—2 ? Однако при
таких значениях угла падения не выполняется условие (33.7), в
результате чего анализ процесса отражения и преломления при
0О > cLrcstn придется отложить да изучения случая
о	**"1
£ SLK4 > 1 .
* Таким образом, в зависимости от угла падения 0О и величи-
ны п* 1А коэффициенты отражения /?и и Rx изменяются в пре-
делах от нуля до единицы. Так как в общем случае	, то
при отражении электромагнитной волны, содержащей обе поляриза-
ции, ее состояние поляризации,вообще говоря, изменяется. Однако
существует физически выделенный случай нормального падения
1(tv 12
----------------------------------------- , в результате че-
го состояние поляризации отраженной волны полностью совпадает
с состоянием поляризации падающей волны.
Изучим теперь фазовые соотношения для падающей, отраженной
и преломленной волн на границе раздела двух сред. Легко убедить-
ся. что в силу условия (33.7) подкоренное выражение
/г* ~n.*Sc/xa0o , входящее в соотношения (33.11) и (33.12), в
рассматриваемом случае неотрицательно. Поэтому коэффициенты про-
порциональности в соотношениях (33.П)-(33.12), связывающих нап-
ряженности полей отраженной и преломленной волн с напряженнос-
тями падающей волны, являются вещественными. Это означает, что
фазы этих полей на границе раздела двух сред либо совпадают,
- 165 -
либо отличаются друг от друга на £ , в зависимости от того,
положителен или отрицателен соответствующий коэффициент пропор-
циональности в выражениях (33.11)-(33.12). Легко убедиться, что
при всех значениях угла падения 0О , удовлетворяющих условию
(33.7), и любых значениях величин гц и , коэффициенты про-
порциональности, связывающие Е^с Е{°^и с Неположи-
тельны. Поэтому на границе раздела двух сред фаза преломленной
волны всегда совпадает с фазой падающей волны. Фаза же отражен-
ной волны может отличаться от фазы падающей волны на ТС о В част*
ности, используя первое из выражений (33.11), легко убедиться,
что и £(х будут иметь разные знаки только в том случае,
когда	т.е. когда отражение происходит от оптически
плотной среды. Аналогичное исследование показывает, что на гра-
нице раздела двух сред фазы £„ и Е^также могут отличаться
на ТГ.
Рассмотрим теперь процесс отражения и преломления плоской
электромагнитной волны в том случае, когда имеет место условие
sin2eo > е2.
2. Пусть
^-sLn.2eo > 1.
(33.17)
Так как 5йъ0о^ 1 , то для выполнения этого условия,прежде
всего,необходимо, чтобы первая среда была оптически более плот-
ной по сравнению со второй средой £ >	• Кроме того, для вы-
полнения условия (33.17) необходимо также, чтобы угол падения
превышал угол полного внутреннего отражения
> <xrc sin.
В этом случае решение уравнений (33.2) с учетом соотношений
(33.4) принимает вид
Ко =	созб0}
К =	tx {o, SlnA, ~со50о}
(33.18)
- 166 -
г"-. {°. 5^0о,о},
= г {°’ °’	- ~1 }
Используя выражения (33.1), легко убедиться, что амплитуда пре-
ломленной волны по мере роста z убывает экспоненциально:
Так как вторая среда является прозрачной, то поглощение в ней
должно отсутствовать. Поэтому представляется чрезвычайно инте-
ресным выяснить, что означает в этих условиях экспоненциальное
убывание амплитуды преломленной волны во второй среде. Для это-
го, как мы делали ранее, разложим вектор £ на сумму двух по-
ляризаций
Е Е + ЕГ
± и
и используя граничные условия (33.3), найдем связь между ампли-
тудами отраженной, преломленной и падающей волн.
Рассмотрим сначала поле Ех • Для этой поляризации волны
граничные условия (33.3) принимают вид
Е10) + Е1П =
«п е£о) +	ЕГ°-
Oz X 1z X 2z х
Учитывая выражения (33.8), отсюда получим
Е(°} + Е™ = Е?\
(Ef’-E^^cos^ = i
Разрешая эту систему уравнений относительно Е^ и Ер , будем
иметь
- 167 -
Е.<2’
2ntcos6o (n^SUo - l/п.; sin. 6o-n-z )
Наличие комплексного коэффициента пропорциональности между
амплитудами этих волн означает, что на границе раздела двух
сред фазы отраженной и преломленной волн отличаются от фазы па-
дающей волны. Легко также убедиться, что при н.* особеннос-
ти, стоящие в знаменателях выражений (33.19),взаимно сокращают-
ся с особенностями числителей этих выражений. Найдем теперь ко-
эффициент отражения волны в рассматриваемом случае. Используя
определение (33.13), получим, что = I независимо от величин
и угла падения (при выполнении условия (33.17), есте-
ственно). Таким образом, при отражении электромагнитных волн от
менее плотной, в оптическом смысле, среды, коэффициент отраже-
2 ‘
ния равен единице для всего интервала углов падения, заключен-
ного между углом полного внутреннего отражения (33.16) до
•	^-2 л X
ccrcscrL — -	. Для того чтобы выяснить физическую при-
г.
чину экспоненциального убывания амплитуды преломленной волны
при z > О , построим вектор Пойнтинга-Умова в этой области
<5 = — ГЯеЕ ЯеН] .
J
Для рассматриваемой поляризации данное соотношение, с учетом
выражений (33.1) и (33.18), дает
6 = cosY<ot -	^/n.fs£n.4-4 *
Из этого выражения следует, что поток энергии во второй среде
может быть разбит на две составляющие: вдоль плоскости раздела
сред (	) и перпендикулярно ей ( €>z ). Обе составляющие
убывают по одинаковому закону по мере роста Z , но одна из
них - €>у всегда неотрицательна, в то время как вторая периоди-
чески изменяет свой знак. Поэтому среднее значение по периоду
- 168 -
волны составляющей отлично от нуля, а для составляющей 6Z
равно нулю. Это означает, что средний по времени поток энер-
гии из первой среды во вторую отсутствует и преломленная волна
из второй среды возвращается из тонкого поверхностного слоя в
окрестности границы раздела двух сред.
Как показывает анализ, аналогичная ситуация имеет место и
в случае электромагнитной волны, вектор Е которой лежит в
плоскости падения.
Виктор Иванович Денисов
Введение в электродинамику материальных сред
Редактор	Чикова Э.П.
Н/К
Подписано к печати 24.03.89г. Л- 19096. Заказ № 4395
Печать офсетная. Бумага для множительных аппаратов.
Формат 60x84/16. Усл.печ.л. - 10,5. Уч.-изд.л.- 9,34
Заказное	Тираж 400 экз. Цена Ор.ЗО коп.
Ордена "Знак Почета" издательство Московского университета
103009, Москва, ул.Герцена, 5/7
	.II	I.I	II	Г		-	--			।	I' Г'  .	-	I ~	1Ж1	.	-	С  -Т
Отпечатано в НИИЯФ МГУ
П9899, Москва, Ленинские горы, НИИЯФ МГУ