Теоретическая физика. Том 8. Электродинамика сплошных сред - Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.

Author: Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М.
Tags: физика электродинамика
ISBN: 5-9221-0123-4
Year: 2005
Similar
Теоретическая физика. Том 4. Квантовая электродинамика
Теоретическая физика. Том 10. Физическая кинетика
Теоретическая физика. Том 9. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния.
Теоретическая физика. Том 7. Теория упругости
Text
                    УДК 530.1@75.8)
Л22
ББК 22.31
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплош-
сплошных сред. —4-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —656 с.—
ISBN 5-9221-0123-4 (Т. VIII).
Восьмой том «Теоретической физики» посвящен теории электро-
электромагнитных полей в материальных средах и теории макроскопических
электрических и магнитных свойств вещества.
3-е изд., исправленное, вышло в 1992 г.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников, специализирующихся в
области теоретической физики.
Ил. 65
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский
ISBN 5-9221-0123-4 (Т. VIII)
ISBN 5-9221-0053-Х	©ФИЗМАТЛИТ, 1992, 2005.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию		9
Предисловие ко второму изданию		9
Предисловие к первому изданию		10
Некоторые обозначения 		11
Глава I. Электростатика проводников
1.	Электростатическое поле проводников		13
2.	Энергия электростатического поля проводников		16
3.	Методы решения электростатических задач		23
4.	Проводящий эллипсоид		38
5.	Силы, действующие на проводник		51
Глава П. Электростатика диэлектриков
6.	Электростатическое поле в диэлектриках		59
7.	Диэлектрическая проницаемость		61
8.	Диэлектрический эллипсоид		66
9.	Диэлектрическая проницаемость смеси		71
10.	Термодинамические соотношения для диэлектриков в элек-
электрическом поле		73
11.	Полная свободная энергия диэлектрического тела		79
12.	Электрострикция изотропных диэлектриков		83
13.	Диэлектрические свойства кристаллов 		87
14.	Положительность диэлектрической восприимчивости ....	93
15.	Электрические силы в жидком диэлектрике		96
16.	Электрические силы в твердых телах		102
17.	Пьезозлектрики		108
18.	Термодинамические неравенства		118
19.	Сегнетозлектрики 		123
20.	Несобственные сегнетозлектрики		133
Глава III. Постоянный ток
21.	Плотность тока и проводимость		136
22.	Эффект Холла		141
23.	Контактная разность потенциалов		144
24.	Гальванический элемент		147
25.	Электрокапиллярность		149
26.	Термоэлектрические явления 		151

ОГЛАВЛЕНИЕ
27.	Термогальваномагнитные явления		156
28.	Диффузионно-электрические явления		158
Глава IV. Постоянное магнитное поле
29.	Постоянное магнитное поле		162
30.	Магнитное поле постоянных токов		166
31.	Термодинамические соотношения в магнитном поле		174
32.	Полная свободная энергия магнетика		177
33.	Энергия системы токов		180
34.	Самоиндукция линейных проводников 		185
35.	Силы в магнитном поле		192
36.	Гиромагнитные явления 		195
Глава V. Ферромагнетизм и антиферромагнетизм
37.	Магнитная симметрия кристаллов		197
38.	Магнитные классы и пространственные группы 		201
39.	Ферромагнетик вблизи точки Кюри		206
40.	Энергия магнитной анизотропии		209
41.	Кривая намагничения ферромагнетиков		214
42.	Магнитострикция ферромагнетиков		218
43.	Поверхностное натяжение доменной стенки		223
44.	Доменная структура ферромагнетиков		231
45.	Однодоменные частицы		237
46.	Ориентационные переходы		239
47.	Флуктуации в ферромагнетике		243
48.	Антиферромагнетик вблизи точки Кюри		249
49.	Бикритическая точка антиферромагнетика 		254
50.	Слабый ферромагнетизм		257
51.	Пьезомагнетизм и магнитоэлектрический эффект		262
52.	Геликоидальная магнитная структура		265
Глава VI. Сверхпроводимость
53.	Магнитные свойства сверхпроводников		268
54.	Сверхпроводящий ток		271
55.	Критическое поле		275
56.	Промежуточное состояние		281
57.	Структура промежуточного состояния		287
Глава VII. Квазистационарное электромагнитное поле
58.	Уравнения квази стационарного поля 		293
59.	Глубина проникновения магнитного поля в проводник . . .	297
60.	Скин-эффект		307
61.	Комплексное сопротивление		309
62.	Емкость в цепи квази стационарного тока		315

ОГЛАВЛЕНИЕ
63.	Движение проводника в магнитном поле		319
64.	Возбуждение тока ускорением		325
Глава VIII. Магнитная гидродинамика
65.	Уравнения движения жидкости в магнитном поле		329
66.	Диссипативные процессы в магнитной гидродинамике . . .	333
67.	Магнитогидродинамическое течение между параллельными
плоскостями 		337
68.	Равновесные конфигурации		339
69.	Магнитогидродинамические волны		344
70.	Условия на разрывах 		350
71.	Тангенциальные и вращательные разрывы		351
72.	Ударные волны		357
73.	Условие зволюционности ударных волн		361
74.	Турбулентное динамо		368
Глава IX. "Уравнения электромагнитных волн
75.	Уравнения поля в диэлектриках в отсутствие дисперсии . .	375
76.	Электродинамика движущихся диэлектриков		380
77.	Дисперсия диэлектрической проницаемости		386
78.	Диэлектрическая проницаемость при очень больших частотах	390
79.	Дисперсия магнитной проницаемости		391
80.	Энергия поля в диспергирующих средах		397
81.	Тензор напряжений в диспергирующих средах		402
82.	Аналитические свойства функции s(uj)		406
83.	Плоская монохроматическая волна		413
84.	Прозрачные среды		417
Глава X. Распространение электромагнитных волн
85.	Геометрическая оптика		421
86.	Отражение и преломление волн		425
87.	Поверхностный импеданс металлов 		434
88.	Распространение волн в неоднородной среде		441
89.	Принцип взаимности		446
90.	Электромагнитные колебания в полых резонаторах		449
91.	Распространение электромагнитных волн в волноводах . . .	455
92.	Рассеяние электромагнитных волн на малых частицах . . .	462
93.	Поглощение электромагнитных волн на малых частицах . .	466
94.	Дифракция на клине 		468
95.	Дифракция на плоском экране		472
Глава XI. Электромагнитные волны в анизотропных средах
96.	Диэлектрическая проницаемость кристаллов 		477
97.	Плоская волна в анизотропной среде 		480

ОГЛАВЛЕНИЕ
98.	Оптические свойства одноосных кристаллов		488
99.	Двухосные кристаллы		491
100.	Двойное преломление в электрическом поле		498
101.	Магнитооптические эффекты		499
102.	Динамооптические явления 		509
Глава XII. Пространственная дисперсия
103.	Пространственная дисперсия 		514
104.	Естественная оптическая активность 		520
105.	Пространственная дисперсия в оптически неактивных сре-
средах 		525
106.	Пространственная дисперсия вблизи линии поглощения .	527
Глава XIII. Нелинейная оптика
107.	Преобразование частот в нелинейных средах		532
108.	Нелинейная проницаемость 		534
109.	Самофокусировка 		540
110.	Генерация второй гармоники		548
111.	Сильные электромагнитные волны		555
112.	Вынужденное комбинационное рассеяние		559
Глава XIV. Прохождение быстрых частиц через вещество
113.	Ионизационные потери быстрых частиц в веществе. Нере-
Нерелятивистский случай		563
114.	Ионизационные потери быстрых частиц в веществе. Реля-
Релятивистский случай		570
115.	Излучение Черенкова		579
116.	Переходное излучение		582
Глава XV. Рассеяние электромагнитных волн
117.	Общая теория рассеяния в изотропных средах		588
118.	Принцип детального равновесия при рассеянии		597
119.	Рассеяние с малым изменением частоты		601
120.	Рзлеевское рассеяние в газах и жидкостях		610
121.	Критическая опалесценция		617
122.	Рассеяние в жидких кристаллах		620
123.	Рассеяние в аморфных твердых телах		621
Глава XVI. Дифракция рентгеновых лучей в кристаллах
124.	Общая теория дифракции рентгеновых лучей		625
125.	Интегральная интенсивность 		633
126.	Диффузное тепловое рассеяние рентгеновых лучей ....	636
127.	Температурная зависимость сечения дифракции		640
Приложение. Криволинейные координаты 		644
Предметный указатель		646

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании «Электродинамики сплошных сред»
исправлены замеченные опечатки и сделан ряд поясняющих до-
дополнений. Кроме того, добавлена задача к § 126.
Я благодарен А.Ф. Андрееву, И.Е. Дзялошинскому и
М.И. Каганову за обсуждение вопросов, возникших при подго-
подготовке книги к печати.
Июль 1990	Л.П. Питаевский
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Для первого издания этот том был написан 25 лет назад.
Естественно, что такой большой срок привел к необходимости
довольно значительной переработки и дополнения книги для на-
настоящего, второго, издания.
Отбор материала был произведен в свое время таким обра-
образом, что фактически он (за весьма незначительными исключе-
исключениями) не устарел и к настоящему времени. В этой части произ-
произведены лишь сравнительно небольшие дополнения и улучшения.
Потребовалось, однако, существенное дополнение книги но-
новым материалом. Особенно это относится к теории магнитных
свойств вещества и теории оптических явлений; добавлены но-
новые главы о пространственной дисперсии и о нелинейной оптике.
Глава об электромагнитных флуктуациях исключена, по-
поскольку этот материал изложен теперь, в измененном виде, в
другом томе этого курса — томе IX.
Неоценимую помощь при работе по переработке этого, как
и других, томов оказали замечания наших товарищей по нау-
науке — слишком многих, чтобы всех здесь перечислить; всем им
мы искренне благодарны. Особенно много замечаний было сде-
сделано В.Л. Гинзбургом, Б.Я. Зельдовичем и В.П. Крайневым.
Очень ценна для нас была возможность постоянного обсуждения
возникавших вопросов с А.Ф. Андреевым, И.Е. Дзялошинским

10	ПРЕДИСЛОВИЕ
и И.М. Лифшицем. Особую благодарность мы хотим выразить
СИ. Вайнштейну и Р.В. Половину за большую помощь, оказан-
оказанную ими при переработке главы о магнитной гидродинамике.
Наконец, мы благодарны А.С. Боровику-Романову, В.И. Гри-
Григорьеву и М.И. Каганову, прочитавшим книгу в рукописи и сде-
сделавшим ряд полезных замечаний.
Июль 1981	Е.М. Лифши% Л.П. Питаевский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемый том «Теоретической физики» посвящен тео-
теории электромагнитных полей в материальных средах и теории
макроскопических электрических и магнитных свойств веще-
вещества. Сюда относится, как это можно видеть из оглавления, весь-
весьма широкий круг вопросов.
При написании этой книги мы встретились со значительны-
значительными трудностями, связанными с необходимостью какого-то отбора
из имеющегося огромного материала, а также с тем, что обыч-
обычное изложение многих относящихся сюда вопросов не обладает
должной степенью физической ясности, а зачастую даже содер-
содержит ошибки. Мы отдаем себе отчет в том, что и в предлагаемом
изложении имеется еще много дефектов, которые мы рассчиты-
рассчитываем исправить в дальнейшем, в следующих изданиях книги.
Мы багодарны проф. В.Л. Гинзбургу, прочитавшему книгу в
рукописи и сделавшему ряд полезных замечаний. Мы благодар-
благодарны также И.Е. Дзялошинскому и Л.П. Питаевскому за большую
помощь, оказанную ими при чтении корректуры.
Москва, октябрь 1956 г.	Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Напряженность и индукция электрического поля: Е и D.
Напряженность и индукция магнитного поля: Н и В.
Напряженность внешнего электрического и магнитного поля:
векторы <?, 9}\ абсолютные значения (?, i}.
Диэлектрическая поляризация: Р.
Намагниченность: М.
Полные электрический и магнитный моменты тела: & и *М.
Диэлектрическая проницаемость: е.
Диэлектрическая восприимчивость: к.
Магнитная проницаемость: \i.
Магнитная восприимчивость: \.
Плотность тока: j.
Проводимость: а.
Абсолютная температура (в энергетических единицах): Т.
Давление: Р.
Объем: V.
Термодинамические величины, отнесенные к единице объема:
энтропия S,
внутренняя энергия С/,
свободная энергия F\
термодинамический потенциал Ф.
Те лее величины для тела в целом: 5?, ^, ^, Ф.
Химический потенциал: ?.
Комплексный периодический (по времени) множитель берет-
берется везде в виде e~tujt.
Элементы объема: dV или dsx] элемент поверхности: di.
Везде принято правило суммирования по дважды повторяю-
повторяющимся векторным и тензорным трехмерным (латинские буквы)
и двумерным (греческие буквы) индексам.

12	ПРЕДИСЛОВИЕ
Ссылки на параграфы и формулы других томов этого кур-
курса снабжены римскими цифрами: I — «Механика», 1989; II —
«Теория поля», 1988; III — «Квантовая механика», 1989; IV —
«Квантовая электродинамика», 1989; V — «Статистическая фи-
физика, часть 1», 1995; VI — «Гидродинамика», 1988; VII — «Теория
упругости», 1987; IX — «Статистическая физика, часть 2», 2000;
X — «Физическая кинетика», 1979.

ГЛАВА I
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
§ 1. Электростатическое поле проводников
Предмет макроскопической электродинамики составляет изу-
изучение электромагнитных полей в пространстве, заполненном ве-
веществом. Как и всякая макроскопическая теория, электроди-
электродинамика оперирует физическими величинами, усредненными по
«физически бесконечно малым» элементам объема, не интере-
интересуясь микроскопическими колебаниями этих величин, связанны-
связанными с молекулярным строением вещества. Так, вместо истинного
«микроскопического» значения напряженности электрического
поля е мы будем рассматривать ее усредненное значение, обо-
обозначив его как
ё=Е.	A.1)
Основные уравнения электродинамики сплошных сред полу-
получаются путем усреднения уравнений электромагнитного поля в
пустоте. Такой переход от микро- к макроскопическим уравне-
уравнениям был впервые произведен Лоренцем (Н.А. Lorentz, 1902).
Вид уравнений макроскопической электродинамики и смысл
входящих в них величин существенно зависят от физической
природы материальной среды, а также от характера изменения
поля со временем. Поэтому представляется рациональным про-
производить вывод и исследование этих уравнений для каждой ка-
категории физических объектов в отдельности.
Как известно, в отношении электрических свойств все тела
делятся на две категории — проводники и диэлектрики, причем
первые отличаются от вторых тем, что всякое электрическое по-
поле вызывает в них движение зарядов — электрический ток 1).
Мы начнем с изучения постоянных электрических полей, соз-
создаваемых заряженными проводниками (электростатика про-
проводников). Из основного свойства проводников, прежде всего,
следует, что в электростатическом случае напряженность элек-
электрического поля внутри них должна быть равной нулю. Дейст-
Действительно, отличная от нуля напряженность Е привела бы к воз-
*) Проводник предполагается здесь однородным (по своему составу, тем-
температуре и т. п.). В неоднородном проводнике, как мы увидим в дальнейшем,
могут существовать поля, не вызывающие движения зарядов.

14	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
никновению тока; между тем распространение тока в проводнике
связано с диссипацией энергии и потому не может само по себе
(без внешних источников энергии) поддерживаться в стационар-
стационарном состоянии.
Отсюда в свою очередь следует, что все заряды в провод-
проводнике дол лены быть распределены по его поверхности: наличие
зарядов в объеме проводника непременно привело бы к возник-
возникновению электрического поля в нем 2); распределение же зарядов
по поверхности может быть осуществлено таким образом, чтобы
создаваемые ими внутри проводника поля взаимно компенсиро-
компенсировались.
Тем самым задача электростатики проводников сводится к
определению электрического поля в пустоте, вне проводников, и
к определению распределения зарядов по поверхности провод-
проводников.
В точках, не слишком близких к поверхности тела, среднее
поле Е в пустоте фактически совпадает с истинным полем е. Эти
две величины отличаются друг от друга лишь в непосредствен-
непосредственной близости к телу, где еще сказывается влияние нерегулярных
молекулярных полей. Последнее обстоятельство, однако, не от-
отражается на виде усредненных уравнений поля. Точные микро-
микроскопические уравнения Максвелла в пустоте имеют вид:
dive = 0,	A.2)
rote = ——	1.3
с at
(h — микроскопическая напряженность магнитного поля). По-
Поскольку среднее магнитное поле предполагается отсутствующим,
то и производная дЪ/dt обращается в результате усреднения в
нуль, и мы находим, что постоянное электрическое поле в пусто-
пустоте удовлетворяет обычным уравнениям
divE = 0, rotE = 0,	A.4)
нным
A.5)
т. е. является потенциальным полем с потенциалом <р, связанным
с напряженностью соотношением
и удовлетворяющим уравнению Лапласа
А<р = 0.	A.6)
Граничные условия для поля Е на поверхности проводника
следуют из самого уравнения rot E = 0, справедливого (как и ис-
исходное уравнение A.3)) и вне, и внутри тела. Выберем ось z по
Это ясно видно из приведенного ниже уравнения A.8).

§ 1	ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРОВОДНИКОВ	15
направлению нормали п к поверхности проводника в некоторой
его точке. Компонента Ez поля в непосредственной близости к
поверхности тела достигает очень больших значений (ввиду на-
наличия здесь конечной разности потенциалов на очень малых рас-
расстояниях — см. ни лее, § 23). Это большое поле является свойством
самой поверхности и зависит от ее физических свойств, но не
имеет отношения к рассматриваемой нами электростатической
задаче, так как быстро спадает уже на расстояниях, сравнимых с
атомными. Существенно, однако, что если поверхность однород-
однородна, производные dEz/dx, dEz/dy вдоль поверхности остаются
конечными, несмотря на обращение самого Ez в бесконечность.
Поэтому из
ду oz
следует, что дЕу/dz конечно. Это значит, что Еу непрерывно на
поверхности (так как скачок Еу означал бы обращение производ-
производной dEy/dz в бесконечность). То же самое относится и к Ех, а
поскольку внутри проводника вообще Е = 0, то мы приходим к
выводу, что касательные компоненты внешнего поля на его по-
поверхности дол лены обращаться в нуль:
Е* = 0.	A.7)
Таким образом, электростатическое поле должно быть нормаль-
нормальным к поверхности проводника в каждой ее точке. Поскольку
Е = — grad (p, то это значит, что потенциал поля должен быть
постоянным вдоль всей поверхности каждого данного провод-
проводника. Другими словами, поверхность однородного проводника
представляет собой эквипотенциальную поверхность электроста-
электростатического поля.
Нормальная лее к поверхности компонента поля весьма прос-
просто связана с плотностью распределенного по поверхности заряда.
Эта связь получается из общего электродинамического уравне-
уравнения div e = 4тг/9, которое после усреднения принимает вид
divE = 47rp,	A.8)
где ~р — средняя плотность заряда. В интегральном виде это
уравнение означает, как известно, что поток электрического поля
через замкнутую поверхность равен полному заряду, находяще-
находящемуся в ограниченном этой поверхностью объеме (умноженному
на 4тг). Применив эту теорему к элементу объема, заключенно-
заключенному между двумя бесконечно близкими единичными площадка-
площадками, примыкающими с обеих сторон к поверхности проводника,
и учитывая, что на внутренней площадке Е = 0, найдем, что
Еп = 4тгсг, где а — поверхностная плотность заряда, т. е. заряд
на единице площади поверхности проводника. Таким образом,

16	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
распределение зарядов по поверхности проводника дается фор-
формулой	г,
4тг	4тг дп
(производная от потенциала берется в направлении внешней нор-
нормали п к поверхности). Полный заряд проводника
4тг J on
где интеграл берется по всей его поверхности.
Распределение потенциала во всяком электростатическом по-
поле обладает следующим замечательным свойством: функция
(p(x^y^z) может достигать максимального или минимального
значения лишь на границах области поля. Эту теорему молено
сформулировать и как утверждение о невозможности устойчи-
устойчивого равновесия внесенного в поле пробного заряда е, так как
нет такой точки, в которой бы его потенциальная энергия ар
имела минимум.
Доказательство теоремы весьма просто. Допустим, например,
что в некоторой точке А (не находящейся на границе поля) по-
потенциал имеет максимум. Тогда можно окружить точку А такой
малой замкнутой поверхностью, на которой везде производная
по нормали д(р/дп < 0. Следовательно, и интеграл по этой по-
поверхности / — df < 0. Но в силу уравнения Лапласа
в противоречии с предположением.
§ 2. Энергия электростатического поля проводников
Вычислим полную энергию ^/ электростатического поля за-
заряженных проводников 1):
<% = — [E2dV,	B.1)
где интеграл берется по всему объему пространства вне провод-
проводников. Преобразуем этот интеграл следующим образом:
У/ = -— [EgradipdV = -— Г div((pE)dV + —
8тг J	8тг J	8тг
2) Квадрат Е2 не совпадает со средним квадратом е2 истинного поля вбли-
вблизи поверхности проводника, а также и в объеме последнего (где Е = 0, но,
разумеется, е2 ф 0). Вычисляя интеграл B.1), мы тем самым отвлекаемся
от не интересующей нас здесь внутренней энергии проводника как такового
и от энергии сродства зарядов к его поверхности.

§ 2	ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПРОВОДНИКОВ	17
Второй интеграл обращается в нуль в силу A.4), а первый преоб-
преобразуется в интеграл по ограничивающим поле поверхностям про-
проводников и по бесконечно удаленной поверхности. Но последний
интеграл обращается в нуль в силу достаточно быстрого убыва-
убывания поля на бесконечности (предполагается, что произвольная
постоянная в <р выбрана таким образом, что <р = 0 на бесконеч-
бесконечности). Нумеруя проводники индексом а и обозначая постоянные
значения потенциала вдоль каждого из них через (ра, получим *)
Наконец, вводя полные заряды проводников еа согласно A.10),
получим окончательно выражение
B-2)
аналогичное выражению для энергии системы точечных заря-
зарядов.
Заряды и потенциалы проводников не могут быть заданы
одновременно произвольным образом; между ними существует
определенная связь. В силу линейности и однородности уравне-
уравнений поля в пустоте эта связь тоже должна быть линейной, т. е.
выражаться соотношениями вида
B.3)
где величины Саси Саь имеют размерность длины и зависят от
формы и взаимного расположения проводников. Величины Саа
называют коэффициентами емкости, а величины Саь (а ф Ъ) —
коэффициентами электростатической индукции. В частности,
если имеется всего один проводник, то е = С(р, где С — емкость;
порядок величины емкости совпадает с линейными размерами
тела. Обратные выражения для потенциалов через заряды:
<Ра =
где коэффициенты С~^ составляют матрицу, обратную матрице
коэффициентов Саь-
г) При преобразовании объемного интеграла в поверхностный здесь и ни-
ниже надо иметь в виду, что Еп есть составляющая поля по направлению
нормали, внешней по отношению к проводнику; это направление противо-
противоположно направлению нормали, внешней по отношению к области объемно-
объемного интегрирования, т. е. пространства вне проводников. В связи с этим при
преобразовании изменен знак интеграла.

18	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
Вычислим изменение энергии системы проводников при бес-
бесконечно малом изменении их зарядов или потенциалов. Варьи-
Варьируя исходное выражение B.1), имеем
= -1 [ESEdV.
Это выражение можно преобразовать далее двумя эквивалент-
эквивалентными способами. Подставив Е = — gradc^ и имея в виду, что
варьированное поле, как и исходное, удовлетворяет уравнениям
A.4) (так что div SE = 0), пишем
= -— Г
4тг J
-L / div (ч>6Е) dV = j-Y,Va§ SEn df,
или окончательно
>aSea,	B.5)
т. е. получаем изменение энергии, выраженное через изменения
зарядов. Этот результат, впрочем, заранее очевиден как работа,
которую необходимо произвести над бесконечно малыми заряда-
зарядами #еа, чтобы перенести их к заданным проводникам из беско-
бесконечности, где потенциал поля равен нулю.
С другой стороны, молено написать
= -— f Egra
4тг J
= ~ f div (E6<p)dV = ±У2б<ра ? Endf,
4тг J	4тг *-^ J
а
ИЛИ
6W = ^ea6<pa,	B.6)
а
т. е. изменение энергии выражено через изменения потенциалов
проводников.
Формулы B.5), B.6) показывают, что, дифференцируя энер-
энергию ^/ по величинам зарядов, мы получаем потенциалы про-
проводников, а производные от ^/ по потенциалам дают значения
зарядов:
7j- = ?><*, ^— = еа.	B.7)
оеа	difa
С другой стороны, потенциалы и заряды являются линейными
функциями друг друга. С помощью B.3) имеем
д2^ деь

§ 2	ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПРОВОДНИКОВ	19
а изменив порядок дифференцирования, мы получили бы Саь-
Отсюда видно, что
Саь = Съа	B.8)
(и, аналогично, С~ъ = С^а ). Энергия °i/ может быть представ-
представлена в виде квадратичной формы потенциалов или зарядов:
^ = \ Е СаЫРаЧ>Ъ = \ Е Cabeaeb.	B.9)
a,b	a,b
Эта квадратичная форма, как и исходное выражение B.1),
должна быть существенно положительной. Из этого условия воз-
возникают определенные неравенства, которым удовлетворяют ко-
коэффициенты Саь- В частности, все коэффициенты емкости поло-
леи те льны:
Саа > 0	B.10)
(а также и С~а1 > ОI).
Напротив, все коэффициенты электростатической индукции
отрицательны:
СаЬ<0 {афЬ).	B.11)
Это обстоятельство очевидно уже из следующих простых сооб-
соображений. Представим себе, что все проводники, за исключением
лишь одного (а-го), заземлены, т. е. их потенциалы равны нулю.
Тогда заряд, индуцированный заряженным (а-м) проводником
на каком-либо проводнике 6, равен е& = Сьа(ра- Знак индуци-
индуцированного заряда противоположен знаку индуцирующего потен-
потенциала, а потому Саь < 0. В этом молено убедиться, исходя из
того, что потенциал электростатического поля не может дости-
достигать максимального и минимального значений вне проводников.
Пусть, например, потенциал единственного незаземленного про-
проводника ifa > 0. Тогда потенциал будет положителен и во всем
пространстве, так чтобы его наименьшее значение (нуль) дости-
достигалось только на заземленных проводниках. Отсюда следует, что
на поверхности последних нормальная производная потенциала
д(р/дп будет положительной, а их заряд согласно A.10) — отри-
отрицательным.
С помощью аналогичных рассуждений можно убедиться в
том, что С~ъ > 0.
Энергия электростатического поля проводников обладает
свойством экстремальности, имеющим, правда, не столько физи-
физический, сколько формальный характер. Для вывода этого свой-
свойства представим себе, что распределение зарядов в проводни-
2) Укажем также, что среди условий положительности формы B.9) фигу-
фигурируют и неравенства

20	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
ках подвергается бесконечно малому изменению (при неизмен-
неизменном полном заряде каждого проводника), в результате которого
заряды могут попасть и внутрь проводников; при этом мы отвле-
отвлекаемся от того, что в действительности такое распределение за-
зарядов не может быть стационарным. Рассмотрим соответствую-
соответствующее изменение интеграла
= — Г Е2 dV,
8тг J	'
который надо представлять себе теперь распространенным по
всему пространству, включая объем самих проводников (так как
после смещения зарядов поле Е будет, вообще говоря, отличным
от нуля и внутри проводников). Пишем
= - — Г
4тг J
= —L Г div(<p5E)dV + —
4тг J	4тг
Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по бесконечно
удаленной поверхности, исчезает. Во втором в силу уравнения
A.8) имеем div^E = 4тг?р, так что
= J
Но этот интеграл обращается в нуль, если <р соответствует истин-
истинному электростатическому полю: в этом случае внутри каждого
проводника (р = const, а интегралы J 5~pdV по их объемам равны
нулю, поскольку полные заряды проводников остаются неизмен-
неизменными.
Таким образом, энергия истинного электростатического по-
поля минимальна1) по сравнению с энергией полей, которые были
бы созданы всяким другим распределением зарядов по объему
проводников (теорема Томсона).
Из этой теоремы вытекает, в частности, такое следствие: вве-
введение незаряженного проводника в поле заданных зарядов (за-
(заряженных проводников) уменьшает полную энергию поля. Для
того чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить энергию ис-
истинного поля, которое установится после введения проводника, с
энергией фиктивного поля, соответствующего отсутствию инду-
индуцированных зарядов на введенном проводнике. Первая, будучи
минимально возможной, меньше второй, которая в то же вре-
время совпадает с энергией первоначального поля (так как при от-
отсутствии индуцированных зарядов поле «проникло» бы внутрь
г) Мы не будем приводить здесь простых рассуждений, показывающих,
что речь идет именно о минимуме, а не об экстремуме вообще.

§ 2	ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПРОВОДНИКОВ	21
проводника, не изменившись). Этот результат молено сформу-
сформулировать и другим образом: незаряженный проводник, располо-
расположенный вдали от системы заданных зарядов, притягивается к
ним.
Наконец, молено показать, что проводник (заряженный или
незаряженный), внесенный в электростатическое поле, вообще не
может находиться в устойчивом равновесии под влиянием одних
только электрических сил. Это утверждение обобщает указан-
указанную в конце предыдущего параграфа аналогичную теорему для
точечного заряда и может быть получено путем совместного при-
применения последней и теоремы Том сон а; мы не станем приводить
здесь соответствующих рассуждений.
Формула B.9) удобна для вычисления энергии системы про-
проводников, находящихся на конечных расстояниях друг от друга.
Особого рассмотрения, однако, требует энергия незаряженного
проводника, находящегося в однородном внешнем поле <?, кото-
которое молено представлять себе созданным зарядами, находящи-
находящимися на бесконечности. Согласно B.2) эта энергия равна ^ =
= е<р/2, где е — удаленный заряд, создающий поле, а (р — потен-
потенциал поля, создаваемого рассматриваемым проводником в точ-
точке нахождения заряда е (из ^ исключена энергия заряда е в
его собственном поле, как не имеющая отношения к интересую-
интересующей нас энергии проводника). Заряд проводника равен нулю, но
под влиянием внешнего поля проводник приобретает дипольный
электрический момент, который мы обозначим через &. Потен-
Потенциал поля электрического диполя на большом расстоянии г от
него есть, как известно, <р = <^г/г3. Поэтому
2г3
Но —ег/г3 является в то же время напряженностью <? поля, со-
создаваемого зарядом е. Таким образом,
<% = --^€.	B.12)
В силу линейности всех уравнений поля очевидно, что компо-
компоненты дипольного момента &* являются линейными функциями
компонент напряженности <?. Коэффициенты пропорционально-
пропорциональности между 9 и <? имеют размерность куба длины и поэтому
пропорциональны объему проводника:
&{ = Усцк<?к,	B.13)
где коэффициенты a^fc зависят только от формы тела. Совокуп-
Совокупность величин Van* составляет тензор поляризуемости тела.
Этот тензор симметричен: a^fc = а^ (доказательство этого утвер-
утверждения дано в § 11). Соответственно, энергия B.12) представит-
представится в виде
^CiCfc.	B.14)

22	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
Задачи
1.	Выразить взаимную емкость С системы из двух проводников (с за-
зарядами ±е) через коэффициенты Саъ-
Решение. Взаимная емкость двух проводников определяется как
коэффициент в соотношении е = С(ф2 — ipi), а энергия системы выражается
через С через % = е2/2С. Сравнив с B.9), получим
1 _ r»-l o^Y-l | ^y-1 _ ^11 + 2Cl2 + С22
	 — Oil	•19 ~Т~ ^99 — 	•
С	CiiC22-C?2
2.	Точечный заряд е расположен в точке О вблизи системы заземленных
проводников и индуцирует на них заряды еа. Если бы заряд е отсутствовал,
а один из проводников (а-й) имел потенциал ipa (остальные по-прежнему
заземлены), то потенциал поля в точке О был бы <р'о. Выразить заряды еа
через йий.
Решение. Если заряды еа на проводниках сообщают им потенциалы
(ра, а заряды еа — потенциалы <р'а, то из B.3) следует, что
а	a,b	a
Применим это соотношение к двум состояниям системы, составленной из
всех проводников и точечного заряда е (рассматривая последний как пре-
предельный случай проводника малого размера). В одном состоянии имеется
заряд е, проводники имеют заряды еа и потенциалы ipa = 0. В другом со-
состоянии заряд е = 0, а один из проводников имеет потенциал (р'а ф 0. Тогда
получим ер'о + еа(р'а = 0, откуда
_ е<р'о
е
Так, если заряд е находится на расстоянии г от центра заземленного про-
проводящего шара радиуса а (г > а), то (р'о = ip'aa/r и заряд, индуцированный
на шаре,
* '	еа
еа =	•
г
В качестве другого примера рассмотрим заряд е, находящийся между
двумя заземленными концентрическими сферами радиусов а и Ъ на расстоя-
расстоянии г от центра (а < г < Ь). Если наружная сфера заземлена, а внутренняя
заряжена до потенциала <р'а, то потенциал на расстоянии г равен
1 /а — 1/6
Поэтому заряд, индуцированный на внутренней сфере зарядом е, равен
а(Ъ - г)
г(Ъ — а)
Аналогично, заряд, индуцированный на внешней сфере,
Ъ(г — а)
г(Ъ — а)
3. Два проводника с емкостями С\ и С2 помещены на расстоянии г друг
от друга, большом по сравнению с их собственными размерами. Определить
коэффициенты Саь-

§ 3	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ	23
Решение. Если проводник 1 несет заряд е\, а проводник 2 не
заряжен, то в первом приближении <^i = ei/C, <f2 = ei/r; при этом мы
пренебрегаем изменением поля вдоль проводника 2 и его поляризацией. Та-
Таким образом, С-^1 = 1/Ci, С-^1 = 1/г и, аналогично, С^1 = I/C2. Отсюда
находим для коэффициентов Саъ 1):
1 Н	— , Ci2 =	, О22 = О2 1 Н
2 )
, Ci2 =	, О22 = О2 1 Н	— .
)	г	\	г2 J
4. Определить емкость С кольца из тонкого провода кругового сечения
(радиус кольца 6, радиус сечения провода а; Ь^> а).
Решение. Ввиду тонкости кольца поле вблизи его поверхности сов-
совпадает с полем, которое создавалось бы тем же зарядом, распределенным по
осевой линии кольца (это было бы точным для прямого цилиндра). Поэтому
потенциал самого кольца
е Г dl
<?а = —- Ф —,
2тгЪ J r
где г — расстояние от данной точки поверхности кольца до элемента dl его
осевой линии, по которой производится интегрирование. Разобьем интеграл
на две части по областям г < А и г > А, где А — некоторое расстояние,
такое, что а < А < Ь. Тогда при г < А можно считать участок кольца
прямым и потому
А>г	-А
В области лее г > А молено пренебречь толщиной провода, т. е. считать г
просто расстоянием между двумя точками осевой линии кольца. Тогда
26 sin (if/2)
где if — центральный угол, на который опирается хорда г, а нижний предел
интегрирования определяется из 2bsin(<?o/2) = А, откуда (ро « А/6. При
сложении обеих частей интеграла величина А выпадает, и окончательно
получаем для емкости кольца С = е/(ра следующее выражение:
с= *ь
In (Sb/a)
§ 3. Методы решения электростатических задач
Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных
граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются
в соответствующем разделе математической физики, и полное
их изложение не является нашей целью. Мы ограничимся здесь
) Следующие члены разложения имеют в общем случае порядок (по 1/г)
на 1 более высокий, чем выписанные. Если, однако, отсчитывать г как рас-
расстояние между «центрами зарядов» обоих тел (для сфер — между их гео-
метричесхими центрами), то порядок следующих членов будет выше на 2.

24	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
лишь указанием некоторых более простых приемов и решением
ряда типичных задач, имеющих самостоятельный интерес1).
Метод изображений. Определение поля, создаваемого то-
точечным зарядом е, расположенным вне проводящей среды, за-
заполняющей полупространство, является простейшим примером
применения так называемого метода изображений. Идея этого
метода состоит в подборе таких дополнительных фиктивных то-
точечных зарядов, которые вместе с данными зарядами создавали
бы поле, для которого поверхность заданного проводника сов-
совпадала бы с одной из эквипотенциальных поверхностей поля.
В данном случае это достигается введением фиктивного заряда
е1 = —е, расположенного в точке, представляющей собой зер-
зеркальное отражение точки е в граничной плоскости проводящей
среды. Потенциал поля заряда е и его «изображения» е1 равен
C.1)
где г и г1 — расстояния точки наблюдения от зарядов еие'. На
граничной плоскости г = г1 и потенциал имеет постоянное значе-
значение (f = 0, так что необходимое граничное условие действительно
выполняется и C.1) дает решение поставленной задачи. Отме-
Отметим, что заряд е притягивается к проводнику с силой е2/BаJ
(сила изображения), а энергия взаимодействия равна —е2/Dа).
Распределение на граничной плоскости поверхностных заря-
зарядов, индуцированных точечным зарядом е, дается формулой
а = ——
4тг дп
C.2)
где а — расстояние от заряда до плоскости. Легко убедиться в
том, что полный заряд на этой плоскости равен
Г a df = —е,
как и должно быть.
Общий заряд, индуцированный посторонними зарядами на
первоначально не заряженном изолированном проводнике, разу-
разумеется, остается равным нулю. Поэтому, если в данном случае
проводящая среда (в действительности — проводник больших
размеров) изолирована, то надо представлять себе, что одновре-
одновременно с зарядом —е индуцируется заряд +е, который, однако,
2) Решение значительного числа более сложных задач можно найти в
книгах: Смайт В. Электростатика и электродинамика. — М.: ИЛ, 1954.
(Smythe W.R. Static and dynamic electricity. — N.Y.: McGraw-Hill, 1950);
Гринберг Г.Л. Избранные вопросы математической теории электрических
и магнитных явлений. — М.: Изд. АН СССР, 1948.

§ 3	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ	25
будучи распределен по поверхности большого тела, имеет исче-
исчезающую плотность.
Далее, рассмотрим более сложную задачу о поле, создавае-
создаваемом точечным зарядом е, находящимся вблизи шарового про-
проводника. Для решения этой задачи воспользуемся следующим
результатом, который легко проверить непосредственными вы-
вычислениями. Потенциал поля, создаваемого двумя точечными за-
зарядами е и —е',
г г'
обращается в нуль на сферической поверхности радиуса Л, центр
которой лежит на продолжении прямой, соединяющей точки е и
е', на расстоянии / и V от этих точек, причем /, Г, R удовлетво-
удовлетворяют равенствам 1/1' = (е/е'J, R2 = IV.
Предположим сначала, что шаровой проводник поддержива-
поддерживается при постоянном потенциале (р = 0 (шар заземлен). Тогда
поле, создаваемое вне шара точечным зарядом е, находящимся
на расстоянии / от центра шара (в точке А на рис. 1), будет сов-
совпадать с полем, создаваемым системой двух зарядов — данным
зарядом е и фиктивным зарядом —е', помещенным внутри шара
(точка А') на расстоянии / от его центра, причем
i eR	/Q Q\
p e = T'	( '
Потенциал этого поля
e eR	/o a\
ш = - — —	C.4)
Y r lr'	v )
(см. рис. 1). На поверхности шара индуцируется при этом отлич-
отличный от нуля полный заряд, равный — е1. Энергия взаимодействия
заряда с шаром равна
^ = - ее' = -———,
2A-V)	2(/2-Д2)'
и заряд притягивается к шару с силой
F&%	e2lR
R
C.5)
V )
di (p-r2J
Если же проводящая сфера поддерживается при равном ну-
нулю полном заряде (изолированный незаряженный шар), то надо
ввести еще один фиктивный заряд таким образом, чтобы полный
индуцированный на поверхности шара заряд оказался равным
нулю, причем не должно нарушаться постоянство потенциала
на этой поверхности. Это достигается помещением заряда +е' в
центр шара. Потенциал искомого поля определится тогда фор-
формулой
= 1- е- + ^
г г' го

26
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
Энергия взаимодействия в этом случае будет
2 V/ l-l'
e2R3
OA=l
ОА'=Г
Рис. 1
заземлен проводник или изолирован):
C.7)
Наконец, если заряд е находит-
находится в сферической полости в прово-
проводящей среде (в точке А', рис. 1), то
поле внутри полости совпадает с по-
полем, которое создавалось бы заря-
зарядом е и его «изображением» в точ-
точке А вне сферы (независимо от того,
C-8)
Метод инверсии. Существует простой метод, который в ря-
ряде случаев позволяет по известному решению одной электроста-
электростатической задачи находить решение другой задачи. Основанием
этого метода является инвариантность уравнения Лапласа по от-
отношении к определенному преобразованию переменных.
В сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид
1 д ( 2д<р\ , 1
-тг Kir +-
г2 дг \ дг / г2
где посредством Aq обозначена угловая часть оператора Лапла-
Лапласа. Легко убедиться в том, что это уравнение сохраняет свою
форму, если вместо переменной г ввести новую переменную г1
согласно	2
г = —	C.9)
г'
{преобразование инверсии) и одновременно заменить неизвест-
неизвестную функцию (f согласно
ч> = V.	(зло)
Здесь R — некоторая постоянная с размерностью длины {радиус
инверсии). Таким образом, если функция <р(г) удовлетворяет
уравнению Лапласа, то функция
lfr')	(ЗЛ1)
тоже есть решение этого уравнения.
Предположим, что нам известно решение задачи об электро-
электростатическом поле, создаваемом некоторой системой проводников,
которые находятся при одном и том же потенциале <^о? и систе-
системой точечных зарядов. Потенциал <р(т) обычно определяют так,
чтобы он обращался в нуль на бесконечности. Здесь, однако, мы

§ 3	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ	27
определим <р(т) так, чтобы на бесконечности эта функция стре-
стремилась к —(^о; тогда на проводниках <р = 0.
Выясним теперь, какая электростатическая задача будет ре-
решаться преобразованной функцией C.11). Прежде всего, меня-
меняются фигуры всех протяженных проводников и их взаимное
расположение. Граничное условие постоянства потенциала на
поверхности проводников автоматически выполняется, так как
при (р = 0 будет и (рг = 0. Далее, меняются расположение и
величины всех точечных зарядов. Заряд, находящийся в точке
го, переходит в точку г'о = (Я2/г^)го и приобретает величину е',
которую можно определить следующим образом. При г —»> го по-
потенциал <р (г) обращается в бесконечность по закону <р = е/|<$г|,
где 6т = г — го- С другой стороны, дифференцируя соотношение
г = (i?2/r/2)r', найдем, что абсолютные значения малых разно-
разностей 6т и 6т' = г' — t'q связаны друг с другом соотношением
Поэтому при г' —)> Tq функция if1 стремится к бесконечности по
закону	„	.
Y r'0\8v\ Д|*г'|'
соответствующему заряду
e=er^=e_R	(ЗЛ2)
R го
Наконец, рассмотрим поведение функции ^'(г') вблизи начала
координат. Точке г' = 0 соответствует г —»> ос. Но при г —)> ос
функция (р(г) стремится к —<ро. Поэтому при г' —»> 0 функция <рг
обращается в бесконечность по закону
Это значит, что в точке г' = 0 находится заряд ео = —R(fo.
Укажем, как преобразуются при инверсии некоторые геомет-
геометрические фигуры. Сферическая поверхность радиуса а с центром
в точке го дается уравнением
(г-гоJ = а2.
Произведя инверсию, получим уравнение
которое после умножения на г12 и перегруппировки членов может
быть приведено к виду (г' — г'оJ = а/2, где
/ R го / aR	/q iq\
ro = -^	j> a = Г~о	г-	C.13)

28	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
Таким образом, мы снова получаем сферу другого радиуса а1
и с центром в точке Tq. Если первоначальная сфера проходила
через начало координат (а = го), то а' = ос; в этом случае сфера
преобразуется в плоскость, перпендикулярную к направлению го
и проходящую на расстоянии
Тп — CL —
и
R2 _Д2
	 —
а + г0 2а
от начала координат.
Метод конформного отображения. Поле, зависящее
только от двух декартовых координат (ж, у), называют плоским.
Мощным средством для решения плоских задач электростатики
является теория функций комплексного переменного. Основания
для применения этой теории заключаются в следующем.
Электростатическое поле в пустоте удовлетворяет двум урав-
уравнениям: rotE = 0 и divE = 0. Первое из них позволяет ввести
потенциал поля согласно Е = — gradc^. Второе же уравнение
показывает, что наряду с (р можно ввести также и «векторный
потенциал» поля А согласно Е= rot А. В плоском случае век-
вектор Е лежит в плоскости ху и зависит только от этих двух ко-
координат. Соответственно, вектор А можно выбрать так, чтобы
он был везде направлен перпендикулярно к плоскости ху. Тогда
компоненты напряженности выражаются в виде производных от
(f или А согласно
д^ = дА	*р = _дА	(зл4)
дх ду' у ду дх	v J
Но такие соотношения между производными функций <р и А с
математической точки зрения совпадают с известными услови-
условиями Коши-Римана, выражающими тот факт, что комплексное
выражение	w = v-iA	C.15)
является аналитической функцией комплексного аргумента z =
= х + гу. Это значит, что функция w(z) имеет в каждой точ-
точке определенную производную, не зависящую от направления, в
котором она берется. Так, дифференцируя в направлении оси ж,
найдем, что
dw 	 dip -дА
dz дх дх
или
d^ = -Ex+iEy.	C.16)
&Z
Функция w называется комплексным потенциалом.
Силовые линии поля определяются уравнением
dx 	 dy
Ех Еу

§ 3	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ	29
Выражая Ех и Еу через производные от Л, перепишем это урав-
уравнение в виде	дЛ	дЛ
dx— + dy— = dA = О,
дх	ду
откуда -А(ж, у) = const. Таким образом, линии постоянных зна-
значений мнимой части функции w(z) представляют собой силовые
линии поля. Линии лее постоянных значений ее вещественной
части являются эквипотенциальными линиями. Взаимная орто-
ортогональность этих двух семейств линий обеспечивается уже ис-
исходными соотношениями C.14), согласно которым
д<рдА dtpdA. _ Q
дх дх ду ду
Как вещественная, так и мнимая части аналитической функ-
функции w(z) в равной степени удовлетворяют уравнению Лапласа.
Поэтому с тем же успехом молено принять Im w в качестве потен-
потенциала поля. Соответственно силовые линии будут тогда даваться
уравнениями Hew = const. Вместо C.15) будем при этом иметь
w = А + i(p.
Поток напряженности электрического поля через какой-либо
отрезок эквипотенциальной линии дается интегралом
где dl есть элемент эквипотенциальной линии, an — направление
нормали к ней. Согласно соотношениям C.14) имеем д(р/дп =
= —dA/dt, причем выбор знака предполагает, что если смот-
смотреть в направлении п, то положительное направление / — влево.
Поэтому
J Endl= f^dl = A2-
где А2 и А\ — значения А на обоих концах отрезка. В частности,
поток электрического поля через замкнутый контур равен 4тге,
где е — полный заряд, охватываемый этим контуром (отнесенный
к единице длины проводников вдоль оси z). Поэтому
е = -^ДД	C.17)
где АА — изменение А при обходе замкнутой эквипотенциальной
линии в направлении против часовой стрелки.
Простейшим примером комплексного потенциала является
потенциал поля заряженной прямой нити (совпадающей с осью z).
Напряженность этого поля дается формулами
Ег = —, Ее = О,
г

30
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
где г, в — полярные координаты в плоскости ху, а е — заряд
единицы длины нити. Соответствующий комплексный потенциал
w = —2elnz = —2elnr — 2гев.
C.18)
Если же заряженная нить проходит не через начало координат,
а через точку (жо,уоM то комплексный потенциал
w = —2eln (z —
C.19)
где zo = хо + гуо-
С математической точки зрения функциональное соотноше-
соотношение w = w(z) осуществляет конформное отображение плоскости
комплексного переменного z на плоскость комплексного пере-
переменного w. Пусть С есть контур сечения проводника в плоскости
ху, а <ро — потенциал этого проводника. Из всего сказанного вы-
выше ясно, что задача об определении поля, создаваемого этим про-
проводником, сводится к нахождению такой функции w(z), которая
отображала бы контур С в плоскости z на линию w = <ро, парал-
параллельную оси ординат в плоскости w\ тогда вещественная часть
Kew даст потенциал рассматриваемого поля (если же функция
w(z) отображает контур С на линию, параллельную оси абсцисс,
то потенциал дается функцией Im w).
Задача о клине. Приведем здесь для справок формулы,
определяющие поле, создаваемое точечным зарядом е, распо-
расположенным в пространстве между дву-
е мя пересекающимися проводящими по-
полуплоскостями. Пусть ось z цилиндриче-
цилиндрической системы координат г, б, z совпадает
с линией края угла, причем угол в отсчи-
тывается от одной из его сторон; заряд е
пусть находится в точке а, 7> 0 (рис. 2).
Угол раствора а между плоскостями мо-
может быть как меньше, так и больше тг; в
последнем случае мы имеем дело с зарядом, расположенным вне
проводящего клина.
Потенциал поля дается формулой
У///////////////,
Рис. 2
ч> =
/
sh
ch	cos
а
7г@-7)
chrj =
2ar
?7>0;

§ 3	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ	31
на поверхности проводника, т. е. при 0 = 0, а, потенциал (р = О
(Н.М. Macdonald, 1895J).
В частности, при а = 2тг получается проводящая полуплос-
полуплоскость в поле точечного заряда. В этом случае интеграл C.20)
вычисляется в конечном виде и дает
I		 e
\a=2n — —
7Г
C.21)
R = [a2 + r2 + z2 - lar cos G - 6>)]1/2,
R> = [a2 + r2 + z2- 2ar cos G + в)]1'2.
В пределе, когда точка наблюдения поля стремится к точке на-
нахождения заряда е, потенциал C.21) принимает вид
C.22)
sin 7
Первый член есть чисто кулоновский потенциал, обращающий-
обращающийся в бесконечность при R —> 0, а <рг — изменение потенциала
в точке нахождения заряда под влиянием проводника. Энергия
взаимодействия заряда с проводящей полуплоскостью есть
C.23)
2	4тга у	sin 7 J
Задачи
1. Определить поле вокруг проводящего незаряженного шара (радиу-
(радиуса R), находящегося во внешнем однородном электрическом поле (?.
Решение. Пишем потенциал в виде (р = <ро + (pi, где <ро = — <?г — по-
потенциал внешнего поля, a (pi — искомое изменение потенциала, вызываемое
шаром. Ввиду симметрии шара функция (pi может зависеть лишь от одно-
одного постоянного вектора С Единственное такое решение уравнения Лапласа,
обращающееся в нуль на бесконечности, есть
(pi = —const • <?V- = const • —
г	г3
(начало координат выбираем в центре шара). На поверхности шара (р дол-
должно быть постоянным; отсюда находим const = R , так что
• = -?rcos<9 [ 1 - —
гз
2) Вывод этой формулы можно найти в книгах: Ватпыгин В.В., Топты-
Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. — М.: Наука, 1970 (задачи 205,
206); Macdonald H.M. Electromagnetism. — L.: Bell, 1934.

32	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
(9 — угол между векторами Сиг). Распределение зарядов по поверхности
шара дается формулой
а = —
1 dip
4тг дг
ж
= — cost?;
4тг
полный заряд е = 0.
Дипольный момент шара проще всего найти путем сравнения ip\ с по-
потенциалом &г/г3 поля электрического диполя; найдем
& = Rs<?.
2. То же для бесконечного цилиндра в поперечном однородном поле.
Решение. Вводим полярные координаты в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к оси цилиндра. Решение двумерного уравнения Лапласа, зависящее
только от одного постоянного вектора, есть
<pi = const • (?V In r = const • —.
г2
Складывая с <ро = — г(? и положив const = R2, получим
(р = -<?r cos в ( 1
V г2
Поверхностная плотность зарядов
С
а = — cos0.
2тг
Дипольный момент 0* единицы длины цилиндра молено найти путем
сравнения (р с потенциалом двумерного дипольного поля. Последний имеет
вид
так что & = <?R2/2.
3. Определить поле вблизи клиновидного края на проводнике.
Решение. Выбираем полярные координаты г, в в плоскости, пер-
перпендикулярной к краю клина, и с началом в вершине образуемого им угла
#о (рис. 3). Угол в пусть отсчитывается от одной из сторон клина; области
вне проводника соответствуют значения О $С в $С 2тг — во. Вблизи края угла
потенциал молено разложить по степеням г, причем нас интересует первый
(после постоянного) член этого разложения, содержащий наиболее низкую
степень г. Решения двумерного уравнения Лапласа, пропорциональные гп,
суть rn cos пв и rnsmn0. Решение с наименьшим п, удо-
удовлетворяющее условию (р = const при 9 = 0ив = 2тг — во
(на поверхности проводника), есть
(р = const • rn sin пв,
2тг-6>о
Напряженность поля, соответственно, зависит от г как
гп~г. При 0о < тг (п < 1), следовательно, напряженность
обращается вблизи края угла в бесконечность. В частно-
рис з	СТИ5 Для очень тонкого клина (#о *С 1, п « 1/2) Е растет
при уменьшении г как г/2. Вблизи же края клиновидной вогнутости на
поверхности проводника (#о > тг, п > 1) поле стремится к нулю.
Значение const может быть определено только из решения задачи для
всего поля в целом. Так, для очень тонкого клина в поле точечного заряда е

§ 3	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ	33
предельный переход к малым г в C.21) подтверждает закон
<р = const • ^
причем
const = 	sin —.
Слова «вблизи клиновидного края» означают в этом случае условие г <С a,
при выполнении которого можно пренебречь членом d2(p/dz2 в уравнении
Лапласа.
4. Определить поле вблизи конца тонкого конического острия на по-
поверхности проводника.
Решение. Выбираем сферические координаты с началом в вершине и
с полярной осью вдоль оси конического острия. Угол раствора конуса пусть
будет 20о <С 1, так что области вне проводника соответствуют значения по-
полярного угла 0о ^ 0 ^ тг. Аналогично тому, как это делалось в предыдущей
задаче, ищем решение (для переменной части потенциала), симметричное
относительно оси конуса, в виде
(p = rnfF)	A)
с наименьшим возможным п. Уравнение Лапласа
]_д_ [2с
г2 дг \ дг ,
после подстановки этого выражения дает
sin 0 dO V dO J
Условие постоянства потенциала на поверхности острия означает, что дол-
должно быть /@о) = 0.
При малом 0о ищем решение, сделав предположение, что п <С I, a /@)
имеет вид / = const • [1 + ф@)], где ф <С 1 (при 0о —>¦ 0, т. е. для бесконечно
тонкого острия, естественно ожидать, что <р стремится к постоянной почти
во всей области вокруг острия). Для ф получаем уравнение
—	I sin 0 — 1 = —п.	C)
sin 0 d6 \ d6 J
Решение, в котором ф не имеет особенностей в области вне острия (в част-
частности, при 0 = тг), есть
ф(в) = 2nlnsin-.
При 0 ~ 0о ^С 1 функция ф(в) перестает быть малой. Тем не менее
полученное выражение остается применимым, так как в этой области в си-
силу малости 0 можно вообще пренебречь вторым членом уравнения B). Для
определения постоянной п в первом приближении надо потребовать обраще-
обращения в нуль найденной выше функции / = 1 + ф при 0 = 0о. Таким образом,
найдем 2)
п =	.
2 In 0о
2) Более точная формула, п = 1/[21п B/0о)], содержащая коэффициент
в большом логарифме, в действительности не может быть получена ука-
указанным простым методом. Более точное вычисление, однако, по случайным
причинам приводит именно к этой формуле.
2 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

34
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
Напряженность поля неограниченно возрастает при приближении к концу
острия как г~(<1~п\ т. е. в основном как \/г.
5. То же для тонкого конического углубления на поверхности провод-
проводника.
Решение. Области вне проводника теперь соответствуют значения
О $С в $С #о- Как и в предыдущей задаче, ищем (р в виде A), но теперь будет
п ^> 1. Поскольку по всей области поля теперь в <С 1, то уравнение B) можно
написать в виде
l
Это — уравнение Бесселя, и его решение, не имеющее особенностей в об-
области поля, есть Jo(n6). Значение п определяется как наименьший корень
уравнения Jo(n9o) = 0, откуда
п = 2,4/0о.
6. Определить энергию притяжения электрического диполя к плоской
поверхности проводника.
Решение. Выбираем ось х перпендикулярной к поверхности про-
проводника и проходящей через точку нахождения диполя; вектор дипольного
момента & пусть лежит в плоскости ху. «Изображение» диполя находится
в точке —х и имеет дипольный момент &'х = ^ж, &'у = —&у. Искомая
энергия притяжения вычисляется как энергия взаимодействия диполя с его
«изображением» и равна
Sx3
7. Определить взаимную емкость единицы длины двух параллельных
бесконечных цилиндрических проводников (радиусов а и 6, расстояние меж-
между осями с) 1).
Решение. Поле, создаваемое обоими цилиндрами, совпадает с полем,
которое создавалось бы (в пространстве вне цилиндров) двумя заряжен-
заряженными нитями, проходящими через соответствующим образом подобранные
точки А и А' (рис. 4). Нити несут
(на единице длины) заряды ±е, равные
зарядам цилиндров, а точки А и А'
должны быть расположены на линии
ОО' так, чтобы поверхности цилин-
цилиндров совпадали с эквипотенциальными
поверхностями. Для этого расстояния
О А и О' А' должны удовлетворять со-
соотношениям
+е
ОО'=с
OA=d1
O'A'=d2
ОА-ОА' = а2, О'А'
т. е.
Рис. 4
d1(c-d2) = a2,
= Ь2
) Аналогичная задача для двух сфер не решается в конечном виде. Раз-
Разница связана с тем, что в поле двух заряженных (равными и противополож-
противоположными зарядами) параллельных нитей все эквипотенциальные поверхности
являются круговыми цилиндрами, а в поле двух точечных зарядов ±е эк-
эквипотенциальные поверхности не являются сферами.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
35
Тогда на каждой из окружностей отношение г' /г расстояний от точек Аи А'
постоянно: на окружности 1
г
V1
*
а
)A' c-d2
а на окружности 2 г /г = d^jb. Соответственно, потенциалы цилиндров:
= —2eln — = —2eln —,
r'	a
Ci2
= 2eIn —,
b
-(/?i =2eln
ab
Отсюда находим для искомой взаимной емкости С = е/(ф2 — ipi):
1 01 d,d2 од ^ с2 - а2 - Ъ2
— = 2 In	 = 2 Arch	.
С	ab	2ab
В частности, для цилиндра радиуса а, находящегося на расстоянии h > a
от проводящей плоскости, надо положить с = Ъ + h и перейти к пределу
6—>¦ оо; это дает
1 rt . _ /1
— = 2 Arch -.
С	a
Если два полых цилиндра находятся один внутри другого (с < b — a), то
поле снаружи отсутствует, а поле в пространстве
между цилиндрами совпадает с полем, которое соз-
создавалось бы двумя нитями с зарядами +е и —е,
проходящими через точки А и А' (рис. 5). Тем же
способом получим результат:
— = 2 Arch
a2+b2-c2
2ab
8. Граница проводника представляет собой
неограниченную плоскость с выступом в виде по-
полушария. Найти распределение зарядов на поверх-
поверхности.
Рис. 5
Решение. В найденном в задаче 1 поле с потенциалом вида
ш = const • z ( 1
плоскость z = 0 с выступом г = R является эквипотенциальной поверхно-
поверхностью (на которой (f = 0). Поэтому она может быть и поверхностью проводни-
проводника, а написанная формула определяет поле вне проводника. Распределение
зарядов на плоской части поверхности дается формулой
(л R3
= (То 1 - —
4тг dz
(мы положили const = —4тгсго, где его — плотность зарядов вдали от высту-
выступа). На поверхности же выступа
4тг дг
= 3G0-.
r=R
9. Определить дипольный момент тонкого проводящего цилиндрическо-
цилиндрического стержня (длины 2/, радиуса a; a ^ I) в электрическом поле С, параллель-
параллельном его оси.

36	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
Решение. Пусть r(z) — индуцированный на поверхности стержня
заряд, отнесенный к единице длины; z — координата вдоль оси цилиндра,
которую будем отсчитывать от его середины. Условие постоянства потен-
потенциала на поверхности проводника имеет вид:
0 -I
((f — угол между плоскостями, проходящими через ось цилиндра и через
точки на его поверхности, расстояние между которыми равно R). Разобьем
интеграл на две части, написав в нем тождественно t(z') = t(z) + [t(z;) —
— t(z)]. Учитывая, что / ^> а, и рассматривая точки, не слишком близкие к
концам стержня, имеем
2тг J a2sm
2тг JJ R	2тг J a2sm%/2) ^ V )	a2
(использовано известное значение fin sirup dtp = —тг1п2]. В интеграле, со-
^	о	^
держащем разность r(z') —t(z), можно пренебречь членом с а2 в R, так как
это не повлечет за собой расходимости интеграла. Таким образом,
Зависимость т от z в основном сводится к пропорциональности z\ в этом
приближении стоящий здесь интеграл дает —2т(z), и в результате получаем
r(z) =
ln[4(/2 -z2)/a2] -2
Это выражение непригодно вблизи концов стержня, но для вычисления ис-
искомого дипольного момента эта область значений z несущественна. С при-
принятой нами здесь точностью имеем
3L [ L\3
(где L = In B1/а) — 1 — большое число), или, с той лее точностью,
3[1п {41/а) - 7/3]
10. Определить емкость полого сферического проводящего сегмента.
Решение. Выберем начало координат О в какой-либо точке края сег-
сегмента (рис. 6) и произведем преобразование инверсии г = I2/г' (I — длина
хорды в главном сечении сегмента). При этом сегмент переходит в полу-
полуплоскость (штриховая прямая на рис. 6), перпендикулярную к радиусу АО

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
37
сегмента и проходящую через точку В его края; угол 7 = я" — 05 где 20 —
угол раствора сегмента.
Если потенциал сегмента, несущего на себе заряд е, принять за нуль, то
при г —>¦ оо потенциал поля стремится к
е
(f tt —(ро -\- —.
г
Соответственно, в преобразованной задаче при г' —»> 0 потенциал стре-
стремится к
/ 1(р 1<*ро с
Ш = — 1~	h —
Г1	Г1	I
(первый член соответствует заряду е = — 1<ро в начале координат).
С другой стороны, согласно C.22) имеем
^ г' 2тг1
—)
sin0/
ОВ=1
R
Рис. 6
(потенциал вблизи заряда е', находящегося
на расстоянии / от края проводящей полу-
полуплоскости с потенциалом нуль). Сравнив оба
выражения, получим для искомой емкости
С = е/(ро следующую формулу:
If	в \ R
С = — 1 Н	= —(sin 0 + 0)
2тг V sin0/ тг
(R — радиус сегмента).
11. Определить связанную с краевыми
эффектами поправку к значению С = S/Dnd) для емкости плоского кон-
конденсатора (S — площадь поверхности обкладки, d — расстояние между об-
обкладками; d <^i y/S).
Решение, Наличие у обкладок свободных краев нарушает рав-
равномерность распределения зарядов на них. Для определения искомой по-
поправки в первом приближении рассматриваем точки обкладок, удаленные
от края на расстояния х такие, что dCa; < y/S. Рассматривая, например,
верхнюю обкладку (с потенциалом (р = <?о/2; рис. 7 а) и пренебрегая ее рас-
расстоянием d/2 до средней плоскости (эквипотенциальная поверхность (р = 0),
мы получаем задачу о поле вблизи грани-
границы двух частей плоскости, имеющих раз-
различные потенциалы (рис. 7 6). Эта зада- а
ча решается элементарно 1), и в результате
для избыточной (по сравнению с а вдали от
края) плотности зарядов получается выра-
выражение
Ф= 0
4тг
так что полный избыточный заряд
т Г a j
L \ Act dx =
J
1 ^
In
8тг2 d
Рис. 7
2) См. § 23; в формуле B3.2) для потенциала надо положить в данном
случае (раъ = <Ро/2, а = тг.

38	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
(L — длина периметра обкладки); при вычислении логарифмически расхо-
расходящегося интеграла в качестве верхнего и нижнего пределов подставляем
границы области AСж С y/S.
Отсюда находим емкость:
4nd 8тг2 d
Более точное вычисление (определение коэффициента в аргументе ло-
логарифма) требует применения значительно более сложных методов, причем
результат зависит от формы обкладок. Для круговых (радиуса R) обкладок
получается
(формула Кирхгофа).
§ 4. Проводящий эллипсоид
Задача об определении поля заряженного проводящего эл-
эллипсоида и задача об эллипсоиде во внешнем однородном поле
решаются с помощью так называемых эллипсоидальных коор-
координат.
Связь эллипсоидальных координат с декартовыми дается
уравнением
^ ^ ^ = \ (а>Ъ>с).	D.1)
V	J	V J
а2+и Ъ2+и с2+и
Это уравнение, кубическое относительно и, имеет три различ-
различных вещественных корня (и = ?, 7/, С), лежащих в следующих
интервалах:
? ^ -с2, -с2^г)^ -Ъ2, -Ъ2 ^ С ^ -о2-	D.2)
Эти три корня и являются эллипсоидальными координатами
точки ж, у, z. Их геометрический смысл явствует из того, что
поверхности постоянных значений ?, 77, С представляют собой со-
соответственно эллипсоиды, однополостные гиперболоиды и двух-
полостные гиперболоиды, причем все они софокусны с эллип-
эллипсоидом
Через каждую точку пространства проходит по одной поверх-
поверхности этих трех семейств, причем эти поверхности взаимно ор-
ортогональны. Формулы преобразования от эллипсоидальных ко-
координат к декартовым получаются путем совместного решения

§ 4	ПРОВОДЯЩИЙ ЭЛЛИПСОИД	39
трех уравнений типа D.1) и имеют вид
х = ±
(Ъ2 -а2)(с2 -а2)
(с2 — Ь2)(а2 — Ъ2)
D.4)
(а2 - с2)(Ъ2 - с2)
Элемент длины в эллипсоидальных координатах имеет вид
2Д„
D.5)
где введено обозначение
Соответственно, уравнение Лапласа в этих координатах есть
= 0. D.6)
Если две из полуосей а, 6, с становятся равными, то эллип-
эллипсоидальная система координат вырождается. Пусть а = Ъ > с.
Тогда кубическое уравнение D.1) вырождается в квадратное:
Р _|_ z — i р2 — х2 +v2	D.7)
с двумя корнями, пробегающими значения в интервалах
? ^ -с2, -с2 ^ г? ^ -а2.
Координатные поверхности постоянных ? и 77 превраща-
превращаются соответственно в софокусные сплюснутые эллипсоиды
вращения и однополостные гиперболоиды вращения (рис. 8). В
качестве третьей координаты молено ввести полярный угол <р в
плоскости ху (х = pcos (р^у = psm 99). Что же касается эллипсои-
эллипсоидальной координаты ?, то при а = Ъ она вы роле дается в постоян-
постоянную —а2. Ее связь с углом if заключена в законе, по которому ?

40
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
стремится к —а2, когда Ъ стремится к а:
D.8)
в чем легко убедиться из D.4) или непосредственно из уравнения
D.1). Связь координат z, p с координатами ?, т\ дается согласно
D.4) равенствами
ЩЩУ\ Р=\ЩЩЩ. D.9)
— а? J	L о? — с2 А
Координаты ?, 77, <р называют сплюснутыми сфероидальными
координатами г).
Рис. 8
Рис. 9
Аналогичным образом, при а > Ъ = с эллипсоидальные ко-
координаты вырождаются в так называемые вытянутые сферои-
сфероидальные координаты. Две координаты ? и ? задаются корнями
уравнения
-lT- + l/r = li Р2 = У2 + *\	D-10)
а2 + и о2 + и
причем ? ^ —Ъ , — Ь ^ С ^ —а . Поверхности постоянных ? и
? представляют собой вытянутые эллипсоиды и двухполостные
гиперболоиды вращения (рис. 9). Координата же г\ вырождается
при с —>• Ъ в постоянную —Ь2 по закону
где
Ъ2 - с2'
— полярный угол в плоскости у?.
D.11)
2) Мы принимаем здесь такое определение сфероидальных координат, при
котором они являются предельным случаем эллипсоидальных. В литературе
пользуются и другими определениями, легко сводящимися к нашему.

ПРОВОДЯЩИЙ ЭЛЛИПСОИД	41
Связь координат ?, ? с координатами ж, /9 дается формулами
В сплюснутой сфероидальной системе фокусы координатных
поверхностей (эллипсоидов и гиперболоидов) лежат на окружно-
окружности радиуса \/а2 — с2 в плоскости ху (на рис. 8 АА' есть диаметр
этой окружности). Проведем плоскость, проходящую через неко-
некоторую точку Р и ось z. Она пересечет фокальную окружность в
двух точках; пусть г\ и r<i — расстояния от этих точек до точ-
точки Р. Если /э, z — координаты точки Р, то
Сфероидальные координаты ?, г] выражаются через п, т^ по сле-
следующим формулам:
J (J-а2- DЛЗ)
В вытянутой лее сфероидальной системе фокусами являются
две точки х = ±\Лг2 — Ъ2 на оси х (точки А, А1 на рис. 9). Если
П, Г2 — расстояния от этих фокусов до точки Р, то
а сфероидальные координаты ?, ^ выражаются через п, Г2 по
тем же формулам D.13) (с заменой 77 на Q.
Вернемся к задаче о поле заряженного эллипсоида, поверх-
поверхность которого задана уравнением D.3). В эллипсоидальных ко-
координатах это — координатная поверхность ? = 0. Поэтому яс-
ясно, что если искать потенциал поля в виде функции только от ?,
то автоматически будут эквипотенциальными все эллипсоидаль-
эллипсоидальные поверхности ? = const, в том числе поверхность проводника.
Уравнение Лапласа D.6) сводится тогда к уравнению
откуда
Верхний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы
обеспечить исчезновение поля на бесконечности. Постоянную А
проще всего определить из условия, что на больших расстоя-
расстояниях г поле должно стремиться к кулоновскому: (р « е/r, где

42
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
е — полный заряд проводника. Стремлению г —>-ос соответству-
соответствует ?—>-ос; при этом г2 ~ ?, как это следует из уравнения D.1)
с и = ?. С другой стороны, для больших ? имеем i?? « ?3/2 и
(f « 2А/л/fl = 2А/г. Отсюда имеем, что 2Л = е, так что оконча-
окончательно получим
D.14)
Стоящий здесь интеграл — эллиптический первого рода. Поверх-
Поверхности проводника соответствует значение ? = 0, поэтому для ем-
емкости эллипсоида имеем
± = 1 [ *L
С 2J Щ'
о
D.15)
Распределение плотности заряда по поверхности эллипсоида
определяется нормальной производной потенциала
4тг дп t_n	4тг \h\ d^ J >_q
С помощью уравнений D.4) легко убедиться в том, что при ? = О
с4 а2Ь2с2
Поэтому
а =
4тгаЬс \а4 Ь4 с4
D.16)
Для двухосного эллипсоида интегралы D.14) и D.15) выра-
выражаются через элементарные функции. Для вытянутого эллипсо-
эллипсоида (а > b = с) потенциал поля дается формулой
<Р =
: Arth
а его емкость
С =
Arch (а/Ъ)
Для сплюснутого лее эллипсоида (а = Ъ > с) имеем
ri.2 _
Ч> =
: arctg
С =
/а?—с2	у ? + с2	arccos (с/а)
В частности, для круглого диска (а = 6, с = 0)
D.17)
D.18)
D.19)
D.20)

§ 4	ПРОВОДЯЩИЙ ЭЛЛИПСОИД	43
Перейдем к задаче о незаряженном проводящем эллипсоиде,
находящемся во внешнем однородном электрическом поле <?. Без
ограничения общности достаточно рассмотреть внешнее поле <?,
направленное вдоль одной из осей эллипсоида. В противном слу-
случае молено разложить <? на три составляющие вдоль осей эллип-
эллипсоида и искать результирующее поле как суперпозицию полей,
получающихся от каждой из этих составляющих в отдельности.
Потенциал однородного поля <?, направленного вдоль оси х
(ось а эллипсоида), в эллипсоидальных координатах имеет вид
Представим потенциал поля вне эллипсоида в виде <р = <р$ + у/,
где <рг определяет искомое искажение внешнего поля эллипсои-
эллипсоидом, и будем искать <рг в виде
D.22)
В функции (рг зависящие от т\ и ? множители совпадают с таковы-
таковыми в <ро] такой вид функции позволит удовлетворить граничному
условию при ? = 0 и произвольных 77, С (на поверхности эллипсо-
эллипсоида). Подставив D.22) в уравнение Лапласа D.6), получим для
уравнение
Одно из решений этого уравнения есть F = const, а другое имеет
вид
f^si-	D'23)
Верхний предел интегрирования выбран так, чтобы на бесконеч-
бесконечности (? —> ос) потенциал <рг стремился к нулю. Стоящий здесь
интеграл — эллиптический второго рода.
На поверхности эллипсоида должно быть (р = const. Чтобы
это условие могло выполняться при ? = 0 и произвольных 77, С
надо положить const = 0. Выбирая соответствующим образом
коэффициент А в F(?) (так, чтобы было F@) = —1), получим
окончательно следующее выражение для потенциала поля во-
вокруг эллипсоида:
<«•">

44	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
Найдем вид потенциала <рг на больших расстояниях г от эл-
эллипсоида. Большим г соответствуют большие значения коорди-
координаты ?, причем г2 « ?, как это следует непосредственно из урав-
уравнения D.1). Поэтому
ds
Г ds _ 2
У s5/2 ~ Зг3'
и для потенциала <рг получаем
V
, = ~~
^ г3 4тт(ж)
где V = 4тгаЬс/3 — объем эллипсоида, а величина п^ и анало-
аналогичные фигурирующие ниже величины п^у\ п^ определяются
формулами
CXD	CXD
(ж) 	 abc I ds	(у) 	 abc I ds
~^~У (s + a2)Rs' П ~^~У (s + 62)i?s'
0	D.25)
	 abc I
~^ J
0
Выражение для (р\ как и должно быть, имеет вид потенциала
поля электрического диполя:
,J в® х
г
3
причем дипольныи момент эллипсоида
л-«"г=5>-	D-26)
Аналогичными выралсениями определяются дипольные момен-
моменты при поле С, направленном вдоль оси у или z.
Положительные постоянные п^х\ п^у\ п^ зависят только от
формы эллипсоида, но не от его объема; они называются коэф-
коэффициентами деполяризации1). Если не предрешать выбор осей
координат вдоль осей эллипсоида, то формулу D.26) надо писать
в тензорном виде:
^	€i.	D.27)
2) Эти же коэффициенты фигурируют в задачах о диэлектрическом эл-
эллипсоиде во внешнем электрическом поле или магнитном эллипсоиде в маг-
магнитном поле (§ 8). Таблицы и графики этих коэффициентов для эллип-
эллипсоидов вращения и для трехосных эллипсоидов можно найти в статьях:
Stoner Е.С. II Phil. Mag. 1945. V. 36. P. 803; О shorn J.A. // Phys. Rev.
1945. V. 67. P. 351.

§ 4	проводящий эллипсоид	45
Величины п^х\ п^у\ пл2' являются главными значениями сим-
симметричного тензора второго ранга щ^. Сравнение с определением
B.13) показывает, что а^ = п^1/4тг есть тензор поляризуемости
проводящего эллипсоида.
В общем случае произвольных значений а, 6, с из определений
п^х\ п^у\ п^ следует прежде всего, что
п(ж) < п^у) < n(z), если а>Ъ> с.	D.28)
Далее, сложив интегралы п^х\ п^у\ п^ и введя в качестве пере-
переменной интегрирования и = i?^, найдем
	 abc I du
~ ~Т J ^'
.п(у)
2 J
(abcJ
откуда
n(*)+n(y)+n(z) = i.	D.29)
Сумма трех коэффициентов деполяризации равна единице (в
тензорном виде это значит, что пц = 1). Поскольку, с другой
стороны, эти коэффициенты положительны, каждый из них не
может превышать единицы.
Для шара (а = Ъ = с) из соображений симметрии ясно, что
„(*)=„(») =„« = !.	D.30)
Для цилиндра (с осью вдоль оси ж, а —»> ос) имеем 1)
(х\ 	 Г\	(l/) 		(z) 	 -I	(Л Q-j \
п — и, п — п — -.	l4-^1;
Предельному же случаю а, Ъ —»> ос (плоская пластинка) отвечают
очевидные значения
Эллиптические интегралы D.25) выралсаются через элемен-
элементарные функции для всех эллипсоидов вращения. Для вытяну-
вытянутого эллипсоида вращения (а > Ъ = с) с эксцентриситетом е =
= д/l — Ъ2 /а1 имеем
п(х) = !^!	1
2) Эти значения для шара и цилиндра находятся, разумеется, в соответ-
соответствии с результатами, полученными в задачах 1 и 2 § 3.

46
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
Если эллипсоид близок к шару (е ^С 1), то приближенно
пЫ = „W =
е; п	„	+
3 15	3 15
Для сплюснутого же эллипсоида (а = Ъ > с):
- arctge),
= -A -
D_33)
D.34)
где е = ^Ja2/с2 — 1. Если е <С 1, то
15
15
D.35)
Задачи
1. Найти поле заряженного проводящего круглого диска (радиуса а),
выразив его в цилиндрических координатах. Найти распределение заряда
на диске.
Решение. Распределение заряда полу-
получается путем перехода в формуле D.16) к пре-
пределу с —»> 0, z —>¦ 0, причем отношение z/c =
= д/1 — г2/а2 (где г2 = х2 + у2) в соответствии
с D.3). Это дает
Z
а
у
а
/
/
/
/
/
Р
г
4тт2
Потенциал поля во всем пространстве определя-
определяется D.19), в которой полагаем с = 0 и выража-
выражаем ? через гик помощью уравнения D.1) при с = 0, и = ?, а = Ь:
рис -|q
(f = — arctg
а
2а2
- а2
[(г2
- а2J
а2J
1/2
Вблизи края диска вводим вместо г и z координаты р и в согласно z =
= р sin в, г = а — р cos в (р Са) (рис. 10) и находим
е /тг /2р . в
ш «	W — sin -
а у2 V а 2
в согласии с общим результатом задачи 3 § 3.
2. Определить квадрупольный электрический момент заряженного эл-
эллипсоида.
Решение. Тензор квадрупольного момента заряженного проводника
определяется как Dik = eCxiXk — r25ik), где е — его полный заряд, а черта
означает усреднение по закону
~Щх~к~= - ? Xi
е J
Очевидно, что оси эллипсоида являются в то же время главными осями
тензора Dik. Воспользовавшись для а формулой D.16), а для элемента по-

проводящий эллипсоид	47
верхности эллипсоида выражением
=
\a4 b4 c4
vz	z/c2 \a4 b4 c4j
[у — единичный вектор нормали к поверхности эллипсоида), получим
z2 = 	 Г zdxdy = —
4тгаЪ J	3
(интегрирование по dx dy производится дважды по площади сечения эллип-
эллипсоида плоскостью ху). Таким образом,
Dxx = e-{2a2-h2-c2), Dyy=e-Bb2-a2-c2), Dzz = \{2c2 - а2 - б2).
О	О	О
3. Найти распределение зарядов на поверхности незаряженного прово-
проводящего эллипсоида во внешнем однородном поле.
Решение. Согласно формуле A.9) имеем
_^
4тг дп
(элемент длины вдоль направления нормали к поверхности эллипсоида есть
согласно D.5) hi d?). С помощью D.24) и учитывая, что
_ 1 дх
hi д^
получим
При произвольном направлении внешнего поля относительно осей ж, у, z
эллипсоида
а = 1-щп?Ъ =
4тг	4
4. То же для незаряженного круглого плоского диска (радиуса а), рас-
расположенного параллельно полю 2). Определить дипольный момент диска.
Решение. Рассматриваем диск как предел эллипсоида вращения
при стремлении полуоси с к нулю. При этом коэффициент деполяризации
вдоль этой оси (ось z) стремится к 1, а вдоль осей хну — к нулю по закону
(z) 1 7ГС (ж) (у) -КС
TV ) = 1	, 7V ) = ПУУ) = 	,
2а	4а
следующему из D.34). Компонента их единичного вектора нормали к по-
поверхности эллипсоида вращения стремится к нулю по закону
z
*	Л
2) Для диска, расположенного перпендикулярно к полю, вопрос был бы
тривиален; поле остается однородным во всем пространстве, а на двух сто-
сторонах диска индуцируются заряды а = ±С/Dтг).

48
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
Поэтому плотность зарядов
а = С-
= ?-
pCOS(f
где р, (р — полярные координаты в плоскости диска.
Дипольный момент диска определяется по формуле D.26) и равен
& *.
Зтг
Отметим, что он пропорционален а3, а не «объему» диска а2 с.
5. Определить потенциал поля вне незаряженного проводящего эллип-
эллипсоида вращения, расположенного своей осью симметрии параллельно внеш-
внешнему однородному полю.
Решение. Для вытянутого эллипсоида вращения (а > Ь = с, поле С
в направлении оси х) получим, вычислив интеграл в формуле D.24),
Arth
1 -
Координата ? связана с координатами х и р = у у2 + z2 соотношением
= 1,
причем в пространстве вне эллипсоида О $С ? <С оо.
Для сплюснутого эллипсоида (а = Ь > с) поле С направлено вдоль оси z.
В связи с этим в интегралах в D.24) надо заменить s + а2 на s + с2 и взять
(fo = — <?z. В результате получим
1 -
причем координата ? связана с координатами z и р = а/ж2 + т/2 посредством
+ ¦
= 1.
6. То же, если ось симметрии эллипсоида перпендикулярна к внешнему
полю.
Решение. Для вытянутого эллипсоида (поле в направлении оси z)
1
: Arth
1 -

ПРОВОДЯЩИЙ ЭЛЛИПСОИД
49
Для сплюснутого эллипсоида (поле в направлении оси х)\
-. arctg
1 -
1
: arctg ч
7. Однородное поле С, направленное вдоль оси z (в полупространстве
2 < 0), ограничено заземленной проводящей плоскостью z = 0 с круглым
отверстием. Определить поле и распределение зарядов на плоскости.
Решение. Плоскость ху с круглым отверстием радиуса а с центром
в начале координат рассматриваем как предельный случай однополости ого
гиперболоида вращения
-7.2 -
ы
при |77| —>• 0. Эти гиперболоиды представляют собой одно из семейств ко-
координатных поверхностей сплюснутой сфероидальной системы координат с
с = 0. Декартова координата z выражается согласно D.9) через ? и rj че-
через z = л/?М/а' причем корень у^ должен быть взят со знаком + или —
соответственно в верхнем или нижнем полупространствах.
Ищем решение в виде (р = — (tzF^) и для функции F(?) получаем
= const
I
= const
fa	a
(постоянную интегрирования полагаем равной нулю в соответствии с усло-
условием if = 0 при z —>- +оо, т. е. при у^ —>• +оо). При этом arctg отрицательного
аргумента надо понимать как
а	а
arctg	— = тг - arctg —-,
- v 5	v 5
а не как — arctg(a/\/?)- В противном случае потенциал испытывал бы разрыв
непрерывности на плоскости отверстия (? = 0). Постоянный коэффициент
выбираем так, чтобы при z —>¦ — оо (т. е. при у/? —>> —схэ, arctg(a/\/?) —>¦ тг)
было <р = — Сг, и окончательно получаем
= -^Z- Lctg ^ - ^1 = -
L Vf ?J
^ arctg JL - Л .
Ha проводящей поверхности 77 = 0 и потенциал, как и следовало, обращается
в нуль.
На больших расстояниях г = -\/z2 + р2 от отверстия имеем ? « г2 и
потенциал (в верхнем полупространстве) приобретает вид
* Зтг ?	Зтгг3'
т. е. поле — дипольного типа, соответствующее дипольному моменту & =
Напряженность поля убывает как г~3, и потому поток поля через бес-
бесконечно удаленную поверхность (в полупространстве z > 0) обращается в

50	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
нуль. Это значит, что все силовые линии, проходящие через отверстие, за-
замыкаются на верхней стороне проводящей плоскости.
Распределение зарядов на проводящей плоскости вычисляется следую-
следующим образом:
1 dtp
а = =F	-
4тг dz
Wf dV=v
dtp	1 Г	а а
где верхние и нижние знаки относятся к верхней и нижней сторонам плос-
плоскости. Согласно формуле
связывающей ? с р, г, на плоскости г = 0 имеем у^ = ±д/р2 — а2. Таким
образом, распределение зарядов на нижней стороне проводящей плоскости
дается формулой
^ \ (	.а
сг = —С	 тг — arcsin —Ь
4тг2 у	р ^ р2 - а2 ^
При р —»> оо имеем сг = —С/4тг, как и должно быть. На верхней же стороне
а
Полный индуцированный заряд на верхней стороне плоскости конечен и
равен
е = I сг • 2тг р dp =	С
8. То же, если отверстие в проводящей плоскости представляет собой
прямую щель ширины 26.
Решение. Плоскость ху со щелью вдоль оси х рассматриваем как
предельный случай гиперболического цилиндра
Ь2 - \ц\ \г}\
при |77| —>¦ 0. Эти гиперболические цилиндры представляют собой одно из
семейств эллипсоидальных координатных поверхностей при а —>¦ оо, с —>¦ 0.
Декартова координата г = a/^I^I/^-
Как и в задаче 7, ищем решение в виде tp = — ?;г.Р(?) и для функции
F(?) получаем
F = const • /
Здесь коэффициент и постоянная интегрирования определяются условиями
F = 0 и F = 1, соответственно, при z —>¦ +оо и г —>¦ —оо (т. е. при у^ —>> +оо
и у^ —>¦ — оо), и окончательно получаем
где мы теперь понимаем корень у^ как положительную величину, а верхний
и нижний знаки соответствуют областям z > 0 и z < 0.

СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОВОДНИК	51
На больших расстояниях от щели в верхнем полупространстве имеем
2 2 2
у2 + z2 = г2 и потенциал
4г2
т. е. поле двумерного дипольного типа с дипольным моментом (?Ъ2/8 на еди-
единицу длины щели (см. формулу в задаче 2 § 3).
Распределение зарядов на проводящей плоскости дается формулой
Полный индуцированный заряд на верхней стороне плоскости (отнесенный
к единице длины щели) равен
сю	,
е =2 Г ady= -?—.
1	4тг
о
Вблизи края щели в выражении для ip(?,rj) можно положить ^Ои
rj « — 2bpsin2 -,
где р, 0 — полярные координаты в плоскости yz, отсчитываемые от края
щели (у = Ъ + р cos 0, z = p sin в). Тогда
¦ в
sin2'
в согласии с результатом задачи 3 § 3 для случая Oq ^1.
§ 5. Силы, действующие на проводник
В электрическом поле на поверхность проводника действуют
со стороны поля определенные силы. Их легко вычислить сле-
следующим образом.
Плотность потока импульса в электрическом поле в пусто-
пустоте определяется известным максвелловским тензором напряже-
напряжений ):
_ _ J_
Gik ~ 4^
Сила же, действующая на элемент di поверхности тела, есть не
что иное, как поток «втекающего» в него извне импульса, т. е.
равна (Jikdfk = (Jik^kdf (знак изменен в связи с тем, что вектор
нормали п направлен наружу от тела, а не внутрь него). Вели-
Величина О{кЦк есть, следовательно, сила FnOB, отнесенная к 1 см2
2) См. II, § 33. Напоминаем, что тензор напряжений а^ равен взятому с
обратным знаком трехмерному тензору потока импульса.

52	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
на площади поверхности. Учитывая, что у поверхности метал-
металла напряженность Е имеет только нормальную составляющую,
получим
FTO = ng,	E.1)
или, вводя поверхностную плотность зарядов <т,
о	1 -щ-ч
FnoB — 2тгсг п = -сгЕ.
Таким образом, на поверхности проводника действуют силы «от-
«отрицательного давления», направленного по внешней нормали к
поверхности и по величине равного плотности энергии поля.
Полная сила F, действующая на проводник, получается ин-
интегрированием силы E.1) по всей его поверхности 1):
F = ф —df.	E.2)
Обычно, однако, более удобно вычислять эту величину, согласно
общим правилам механики, путем дифференцирования энергии
ty/. Именно, сила, действующая на проводник вдоль координат-
координатной оси д, есть —d%/dq, где под производной надо понимать из-
изменение энергии при параллельном смещении данного тела как
целого вдоль оси q. При этом энергия должна быть выражена
через заряды проводников (источников поля), и дифференциро-
дифференцирование производится при постоянных зарядах. Отмечая это об-
обстоятельство индексом е, напишем
*=-(?).- <»>
Аналогично, проекция на какую-либо ось полного действующего
на проводник момента сил равна
где ф — угол поворота тела как целого вокруг данной оси.
Если же энергия выражена как функция потенциалов, а не
зарядов проводников, то вопрос о вычислении с ее помощью сил
требует особого рассмотрения. Дело в том, что для поддержа-
поддержания у проводника (при его перемещении) постоянного потенциа-
потенциала необходимо прибегнуть к помощи посторонних тел. Можно,
) В данном случае мы применяем эту формулу к поверхности, не сов-
совпадающей буквально с поверхностью тела, а несколько смещенной относи-
относительно нее, чтобы исключить влияние структуры поля вблизи поверхности
тела (ср. с. 15).

§5	СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОВОДНИК	53
например, поддерживать постоянный потенциал проводника пу-
путем соединения его с другим проводником, обладающим очень
большой емкостью («резервуар зарядов»). Заряжаясь зарядом
еа, проводник отнимает его из резервуара, потенциал (ра которо-
которого при этом не меняется ввиду его большой емкости. Меняется,
однако, энергия резервуара, уменьшаясь на eaipa. При заряже-
заряжении всей системы проводников зарядами еа энергия соединенных
с ними резервуаров изменится в сумме на —^2еа(ра. В величи-
величину лее ^/ входит только энергия рассматриваемых проводников,
но не энергия резервуаров. В этом смысле молено сказать, что
^/ относится к энергетически незамкнутой системе. Таким обра-
образом, для системы проводников, потенциалы которых поддержи-
поддерживаются постоянными, роль механической энергии играет не ^,
а величина
^2а<ра.	E.5)
Подставив сюда B.2), находим, что ty/ и ty/ отличаются только
знаком:
^ = -<&\	E.6)
Сила Fq получается дифференцированием ^/ по q при постоян-
постоянных потенциалах, т. е.
(?)(?),•
Таким образом, действующие на проводник силы можно полу-
получить дифференцированием Щ как при постоянных зарядах, так
и при постоянных потенциалах, с той лишь разницей, что про-
производную надо брать в первом случае со знаком минус, а во вто-
втором — со знаком плюс.
Этот лее результат молено было бы получить и более фор-
формальным путем, исходя из дифференциального толедества
а dea - Fq dq,	E.8)
в котором °i/ рассматривается как функция зарядов проводни-
проводников и координаты q\ этим толедеством выражается тот факт, что
производные равны д%/деа = ipa, д^//dq = —Fq. Переходя к
переменным (ра вместо еа, получим отсюда
d& = -J2ead(fa-Fqdq,	E.9)
а
откуда и следует E.7).
В конце § 2 была рассмотрена энергия проводника во внешнем
однородном электрическом поле. Полная сила, действующая на

54	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
незаряженный проводник в однородном поле, равна, разумеет-
разумеется, нулю. Но выражением энергии B.14) молено воспользоваться
для определения силы, действующей на проводник в квазиод-
квазиоднородном поле <?, т. е. в поле, мало меняющемся на протяжении
размеров тела. В таком поле в первом приближении все еще моле-
молено вычислить энергию по формуле B.14), а сила F определится
как градиент этой энергии:
F = -grad^ = -aikVgrad€i(tk.	E.10)
Что лее касается полного момента сил К, то он, вообще го-
говоря, отличен от нуля у лее и в однородном внешнем поле. По
общим правилам механики К молено определить, рассматривая
бесконечно малый виртуальный поворот тела; изменение энергии
при таком повороте связано с К соотношением 89/ = — K#i/?, где
8*ф — угол поворота. Поворот тела на угол 8*ф в однородном по-
поле эквивалентен повороту поля относительно тела на угол — 8гр.
Изменение поля при этом есть 8? = — [8гр • <?], а изменение энер-
энергии
= —8? = -8гр <?— .
Но 89/ /д<? = —<^, как это видно из сравнения формул B.13) и
B.14). Поэтому 89/ = -[&>€\5г1), откуда
К = [^?],	E.11)
в соответствии с обычным выражением, известным из теории
поля в пустоте.
Если полные сила и момент, действующие на проводник, рав-
равны нулю, то проводник в поле остается неподвижным и на пер-
первый план выдвигаются эффекты, связанные с деформированием
тела (так называемая электрострикция). Силы E.1), действую-
действующие на поверхность проводника, приводят к изменению его фор-
формы и объема. При этом, ввиду растягивающего характера сил,
объем тела увеличивается. Полное определение деформации тре-
требует решения уравнений теории упругости с заданным распре-
распределением сил E.1) на поверхности тела. Если, однако, интересо-
интересоваться только изменением объема, то задача может быть решена
весьма просто.
Для этого надо учесть, что если деформация слаба (как это
фактически имеет место при злектрострикции), то влияние из-
изменения формы на изменение объема является эффектом второ-
второго порядка малости. Поэтому в первом приближении изменение
объема можно рассматривать как результат деформирования без
изменения формы, т. е. как всестороннее растяжение под влия-
влиянием некоторого эффективного избыточного давления АР, рав-
равномерно распределенного по поверхности тела и заменяющего

§5	СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОВОДНИК	55
собой точное распределение согласно E.1). Относительное изме-
изменение объема получается умножением АР на коэффициент все-
всестороннего растяжения вещества. Давление АР определяется,
согласно известной формуле, как производная от электрической
энергии тела У/ по его объему: АР = —d%/dV 1).
Пусть деформирующее поле создается самим заряженным
проводником. Тогда энергия °i/ = e2/BC) и давление
2 д\
При заданной форме тела его емкость (как величина, имеющая
размерность длины) пропорциональна его линейным размерам,
т. е. пропорциональна F1/3. Поэтому находим
АР= — = ?*-.	E.12)
6CV 6V	V ;
Если лее незаряженный проводник находится в однородном
внешнем поле <?, то его энергия дается формулой B.14). Поэтому
в этом случае растягивающее давление будет
АР = \aik<ti?k.	E.13)
Задачи
1. Маленький проводник с емкостью С (порядка величины его разме-
размеров) находится на расстоянии г от центра сферического проводника боль-
большого радиуса а (а ^> С). Расстояние г — а от проводника С до поверхности
шара предполагается большим лишь по сравнению с С, но не по сравне-
сравнению с а. Оба проводника соединены друг с другом тонким проводом, так
что находятся при одинаковом потенциале (р. Определить силу взаимного
отталкивания проводников.
Решение. Ввиду малости проводника С можно считать, что его
потенциал складывается из потенциала <ра/г, который создается на рассто-
расстоянии г большой сферой, и собственного потенциала е/С, создаваемого за-
зарядом е, находящимся на самом проводнике. Отсюда имеем ip = (pa/r + е/С
или е = С(рA — о>/г)- Искомая сила взаимодействия F определяется как ку-
кулон овская сила отталкивания между зарядом е проводника С и зарядом а<р
сферы:
(это выражение справедливо с точностью до членов более высокого по-
порядка по С). Эта сила максимальна при г = За/2 (где она равна Fmay: =
= 4С(р2/B7а)) и убывает в обе стороны от этой точки.
2) Определенная таким образом величина есть растяжение, действующее
на поверхность со стороны самого тела; давление же, действующее на нее
извне, получается изменением знака.

56	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
2.	Заряженный проводящий шар разрезан пополам. Определить силу, с
которой оба полушария отталкиваются друг от друга1).
Решение. Представляем себе полушария разделенными бесконечно
узкой щелью и определяем действующую на каждое из них силу F путем
интегрирования по их поверхности силы (Е2/Sir) cosO (проекция силы E.1)
на направление, перпендикулярное к плоскости раздела полушарий). В ще-
щели Е = 0, а на наружной поверхности Е = е/а2, где а — радиус шара, а е —
полный заряд на нем. В результате получим
3.	То же для незаряженного шара, находящегося во внешнем однород-
однородном поле С, перпендикулярном к плоскости разреза.
Решение аналогично предыдущей задаче, с той лишь разницей, что
на поверхности шара Е = 3?cos0 (согласно задаче 1 § 3). Искомая сила
~ 1ба
4.	Определить изменение объема и изменение формы проводящего шара
во внешнем однородном электрическом поле.
Решение. Изменение объема AV/V = АР/К, где К — модуль
всестороннего растяжения вещества, а АР определяется формулой E.13).
Для шара а^ = абгк = 3?ifc/D7r) (а из задачи 1 § 3), так что
АУ_ _ _3^_
~V~ ~ ~8^К'
В результате деформации шар превращается в вытянутый эллипсоид.
Для определения эксцентриситета этого эллипсоида можно рассматривать
деформацию как однородную вдоль объема тела деформацию сдвига, ана-
аналогично тому, как для изменения общего объема мы рассматривали одно-
однородную деформацию всестороннего растяжения.
Условие равновесия деформированного тела молено сформулировать
как условие минимальности суммы электростатической и упругой энергии.
Первая из них согласно формулам B.12), D.26) равна
8тгп	8тг	Ютг R
где R — первоначальный радиус шара, а и Ь — полуоси эллипсоида, а
1 4 а-Ь
п «
3 15 R
— коэффициент деполяризации (см. D.33)).
В силу аксиальной симметрии деформации (вокруг направления поля —
оси х) отличны от нуля лишь компоненты ихх и иуу = uzz тензора деформа-
деформации. Поскольку мы рассматриваем равновесие по отношению к изменению
формы, можно считать при этом объем неизменным, т. е. иц =0. Поэтому
упругую энергию можно написать в виде
V	V
Щ/пр = —UikCTik = —(gxx — (Tyy)(uxx — иуу),
?	о
2) В задачах 2 и 3 предполагается, что оба полушария находятся при оди-
одинаковом потенциале.

§5	СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОВОДНИК	57
где (Tik — тензор упругих напряжений (см. VII, § 4). Имеем
(Тхх ~ (Туу = 2ц(ихх - Uyy),
где II — модуль сдвига вещества, а ихх — иуу = (а — b)/R. Поэтому
Минимизируя сумму ^упр + ^4л по а — 6, получим
R
5. Найти связь между частотой и длиной волны, распространяющейся
по заряженной плоской поверхности жидкого проводника (в поле тяжести).
Получить условие устойчивости этой поверхности (Я.И. Френкель, 1935).
Решение. Пусть волна распространяется вдоль оси ж, ось z направле-
направлена вертикально вверх. Вертикальное смещение точек поверхности жидкости
? = aexp[i(kx — out)]. При неподвижной поверхности напряженность поля
над ней Ez = Е = 4тгсго, а его потенциал <р = —A-kctqz, где его — поверхност-
поверхностная плотность зарядов. Потенциал поля над колеблющейся поверхностью
пишем в виде
<р = — Attcfqz + (fi, (fi = const • e	e г,
где (fi — малая поправка, удовлетворяющая уравнению A(fi = 0 и обращаю-
обращающаяся в нуль при z —>¦ оо. Вдоль самой поверхности проводника потенциал
должен иметь постоянное значение, которое принимаем за нуль; отсюда
<fi \z=o = 4тгсго?.
Согласно E.1) на заряженную поверхность жидкости действует допол-
дополнительное отрицательное давление, равное, с точностью до членов первого
порядка по (pi,
8тг ~ 8тг '
Постоянный член 2тгсго несуществен (его можно включить в постоянное
внешнее давление).
Рассмотрение гидродинамического движения в волне вполне аналогично
теории капиллярных волн (см. VI, § 62), отличаясь лишь наличием указан-
указанного выше дополнительного давления. На поверхности жидкости получаем
граничное условие
дФ
pgC + p~dt
где а — коэффициент поверхностного натяжения, р — плотность жидкости,
а Ф — потенциал ее скорости; Фи( связаны друг с другом еще и соотноше-
соотношением
д( дФ
dt dz
z=0
Подставив в эти два соотношения
( = aei{kx-wt\ Ф = Aei{kx-wt)e-kz

58	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ	ГЛ. I
(Ф удовлетворяет уравнению АФ = 0) и исключив а и Л, получим искомую
связь между к и ш:
2 к(	2	2Л
Р
Для того чтобы поверхность жидкости была устойчивой, частота ш дол-
должна быть вещественной при всех значениях к (в противном случае будут су-
существовать комплексные ш с положительной мнимой частью и множитель
е~гшг будет неограниченно возрастать). Условие положительности правой
части равенства A) гласит: Dтга%J — 4gpa < 0, откуда
Это и есть условие устойчивости.
6. Найти условие устойчивости заряженной сферической капли
(Rayleigh, 1882).
Решение. Сумма электростатической и поверхностной энергии капли
где а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, С — емкость
капли, S — площадь ее поверхности. Неустойчивость возникает (при увели-
увеличении е) по отношению к вытягиванию шара в эллипсоид и определяется
моментом, когда % становится убывающей функцией эксцентриситета (при
заданном объеме капли). Шарообразная форма всегда соответствует экстре-
экстремуму ^; поэтому условие устойчивости гласит:
д(а -
а = Ъ
где а, Ь — полуоси эллипсоида, а дифференцирование производится при
ah2 = const. Воспользовавшись известной формулой для поверхности эллип-
эллипсоида и формулой D.18) для его емкости, получим после довольно длинного
вычисления
е < 16тт а.
Это условие обеспечивает устойчивость капли относительно малых де-
деформаций. Оно оказывается более слабым, чем условие устойчивости отно-
относительно большой деформации — деления на две одинаковые части (капли
с зарядами е/2 и радиусами а/21'3):
21/3 _ 1
е2 < 16тт3а	 = 0,35 • 16тт3а.
2-2V3

ГЛАВА II
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 6. Электростатическое поле в диэлектриках
Перейдем теперь к изучению постоянного электрического по-
поля в другой категории материальных сред — в диэлектриках.
Основное свойство диэлектриков заключается в невозмож-
невозможности протекания в них постоянного тока. Поэтому, в отличие
от проводников, напряженность постоянного электрического по-
поля в диэлектриках отнюдь не должна быть равной нулю, и мы
должны получить уравнения, которыми это поле описывается.
Одно из них получается путем усреднения уравнения A.3) и по-
прежнему гласит:
Р	J	rotE = 0.	F.1)
Второе же получается усреднением уравнения div е = 4тгр:
divE = 47rp.	F.2)
Предположим, что внутрь вещества диэлектрика не внесено из-
извне никаких посторонних зарядов; это есть наиболее обычный и
важный случай. Тогда полный заряд во всем объеме диэлектри-
диэлектрика остается равным нулю и после внесения его в электрическое
поле:
JpdV = 0.
Это интегральное соотношение, которое должно выполняться
для тела любой формы, означает, что средняя плотность зарядов
может быть написана в виде дивергенции некоторого вектора,
который принято обозначать как —Р:
р = -divP,	F.3)
причем вне тела Р = 0. Действительно, интегрируя по объему,
ограниченному поверхностью, охватывающей тело и проходящей
везде вне его, получим
J p dV = - J div P dV = - § Р df = 0.
Величина Р называется вектором диэлектрической поляри-
поляризации (или просто поляризации) тела; диэлектрик, в котором Р
отлично от нуля, называют поляризованным. Наряду с объемной
плотностью F.3), вектор Р определяет также и поверхностную
плотность а зарядов, распределенных по поверхности поляризо-
поляризованного диэлектрика. Если проинтегрировать формулу F.3) по

60	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
элементу объема, заключенному между двумя бесконечно близ-
близкими единичными площадками, примыкающими с обеих сторон
к поверхности диэлектрика, и учесть, что на наружной площадке
Р = 0, то мы получим (ср. вывод формулы A.9)):
и = Рп,	F.4)
где Рп — составляющая вектора Р по внешней нормали к по-
поверхности.
Для выяснения физического смысла самой величины Р рас-
рассмотрим полный дипольный момент всех внутренних зарядов в
диэлектрике; в отличие от полного заряда, эта величина не дол-
должна быть равной нулю. По определению дипольного момента это
есть интеграл
JrpdV.
Подставив ~р в виде F.3) и снова интегрируя по объему, выходя-
выходящему за пределы тела, получим
JrpdV = - JrdivPdV = -fr(dfP)+ J (PV)rdV
Интеграл по поверхности исчезает, а во втором имеем (PV)r =
= Р, так что
JrpdV = fPdV	F.5)
Таким образом, вектор поляризации представляет собой диполь-
дипольный момент (или, как говорят, электрический момент) едини-
единицы объема диэлектрика1).
Подставив F.3) в F.2), получим второе уравнение электро-
электростатического поля в виде
divD = 0,	F.6)
где введена новая величина D, определяемая как
D = Е + 4тгР	F.7)
и называемая электрической индукцией. Уравнение F.6) было
получено путем усреднения плотности зарядов, входящих в со-
состав диэлектрика. Если же в диэлектрик внесены извне посторон-
посторонние по отношению к его веществу заряды (мы будем называть их
г) Следует заметить, что соотношение F.3) внутри диэлектрика и условие
Р = 0 вне его сами по себе еще не определяют величину Р однозначным
образом; в области внутри диэлектрика можно прибавить к Р любой вектор
вида rot f. Лишь установление связи с дипольным моментом окончательно
определяет Р.

§ 7	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ	61
сторонними), то к правой части уравнения F.6) должна быть
добавлена их плотность:
divD = 47rpCT.	F.8)
На поверхности раздела двух различных диэлектриков дол ле-
лены выполняться определенные граничные условия. Одно из этих
условий является следствием уравнения rot E = 0. Если поверх-
поверхность раздела однородна по своим физическим свойствам1), то
это условие требует непрерывности тангенциальной составляю-
составляющей напряженности поля:
F.9)
(ср. вывод условия A.7)). Второе же условие следует из уравне-
уравнения div D = 0 и требует непрерывности нормальной к поверхно-
поверхности составляющей индукции:
А* = Dn2.	F.10)
Действительно, скачок нормальной составляющей Dn = Dz озна-
означал бы обращение производной dDz/dz (а с нею и div D) в бес-
бесконечность.
На границе между диэлектриком и проводником Е^ = 0, а
условие для нормальной компоненты получается из F.8):
F.11)
где аст — плотность зарядов на поверхности проводника (ср.
A.8), A.9)).
§ 7. Диэлектрическая проницаемость
Для того чтобы уравнения F.1) и F.6) составляли полную
систему уравнений, определяющих электростатическое поле, к
ним надо еще присоединить соотношение, связывающее индук-
индукцию D и напряженность поля Е. В огромном большинстве случа-
случаев эту зависимость молено считать линейной. Она соответствует
первым членам разложения D по степеням Е и связана с мало-
малостью внешних электрических полей по сравнению с внутренними
молекулярными полями.
Линейная зависимость D от Е приобретает особенно простой
вид в важнейшем случае изотропных диэлектриков. Очевидно,
что в изотропном диэлектрике векторы D и Е должны иметь
1) Т. е. по составу соприкасающихся тел, температуре и т. п. Если диэлек-
диэлектрик является кристаллом, то поверхность должна быть кристаллической
плоскостью.

62	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
одинаковое направление. Поэтому их линейная зависимость сво-
сводится к простой пропорциональности 1):
В = еЕ.	G.1)
Коэффициент е называется диэлектрической проницаемостью
вещества и является функцией его термодинамического состоя-
состояния.
Вместе с индукцией пропорциональна полю также и поляри-
поляризация:
р = ХЕ = —Е.	G.2)
4тг
Величина к называется коэффициентом поляризуемости веще-
вещества (или его диэлектрической восприимчивостью). Ниже (§ 14)
будет показано, что диэлектрическая проницаемость всегда боль-
больше единицы; поляризуемость, соответственно, всегда положи-
положительна. Поляризуемость разреженной среды (газ) можно считать
пропорциональной ее плотности.
Граничные условия F.9) и F.10) на поверхности раздела двух
изотропных диэлектриков принимают вид
Ей = Е*2, s\En\ = ?2ЕП2.	G.3)
Таким образом, нормальная составляющая напряженности поля
испытывает скачок, меняясь обратно пропорционально диэлек-
диэлектрическим проницаем остям соответствующих сред.
В однородном диэлектрике е = const, и тогда из уравнения
div D = 0 следует, что и divP = 0. Ввиду определения F.3) это
значит, что объемная плотность зарядов в таком теле отсутству-
отсутствует (поверхностная лее плотность F.4), вообще говоря, отлична
от нуля). Напротив, если диэлектрик не однороден, то имеем от-
отличную от нуля объемную плотность
р = — divP = — div	D = —— grad	= ——Vs.
4тг?	4тг	г	4тг?
Если ввести потенциал электрического поля согласно Е =
= — grad (p, то уравнение F.1) удовлетворяется автоматически,
а уравнение div D = div eE = 0 дает
div (eV<p) = 0.	G.4)
г) Такая зависимость, предполагающая обращение D в нуль одновременно
с Е, справедлива, строго говоря, лишь в однородных по своим физическим
свойствам (составу, температуре и т. п.) диэлектриках. В неоднородных те-
телах D может иметь отличные от нуля значения и при Е = 0, определяясь
при этом градиентами меняющихся вдоль тела термодинамических величин.
Эти члены, однако, весьма малы и мы будем пользоваться в дальнейшем со-
соотношением G.1) и в неоднородных телах.

§ 7	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ	63
Это уравнение переходит в обычное уравнение Лапласа лишь
в однородной диэлектрической среде. Граничные условия G.3)
молено переписать в виде следующих условий для потенциала:
?>i?>2, ei^е2^	G.5)
дп	дп
(условие непрерывности тангенциальных производных потенциа-
потенциала эквивалентно условию непрерывности самого ф).
В кусочно-однородной диэлектрической среде уравнение G.4)
сводится в каждом однородном участке к уравнению Лапла-
Лапласа А<р = О, так что диэлектрические проницаемости входят в
решение задачи только через посредство условий G.5). Но эти
условия содержат лишь отношение диэлектрических проницае-
мостей двух соприкасающихся сред. Поэтому, в частности, ре-
решение электростатической задачи для диэлектрического тела с
проницаемостью е<1-> окруженного средой с проницаемостью
сводится к такой же задаче для тела с проницаемостью /
находящегося в пустоте.
Рассмотрим вопрос о том, как меняются полученные в пре-
предыдущих параграфах результаты для электростатического поля
проводников, если последние находятся не в пустоте, а погруже-
погружены в однородную и изотропную диэлектрическую среду. В обо-
обоих случаях распределение потенциала описывается уравнением
A(f = 0 с граничным условием постоянства (р на поверхности
проводника, и все отличие заключается в том, что вместо свя-
связи Еп = —д(р/дп = 4тгсг с поверхностной плотностью зарядов
теперь будет:
Dn = -ef? = 47га.	G.6)
on
Отсюда видно, что решение задачи о поле заряженного про-
проводника в пустоте переходит в решение той же задачи в диэлек-
диэлектрической среде путем формальной замены потенциалов и заря-
зарядов: либо (f —»> ?(р, е —»> е, либо (р —»> <р, e —»> е/е. При заданных
зарядах проводников потенциал и напряженность поля убывают
в е раз по сравнению с их значениями для поля в пустоте; это
ослабление поля может быть наглядно истолковано как резуль-
результат частичной экранировки заряда проводника поверхностными
зарядами прилегающего к нему поляризованного диэлектрика.
Если же поддерживаются постоянными потенциалы проводни-
проводников, то поле остается неизменным, но увеличиваются в е раз за-
заряды проводников -1).
Наконец, отметим, что в электростатике молено формально
рассматривать проводник (незаряженный) как тело с бесконеч-
г) Отсюда следует, в частности, что при заполнении конденсатора диэлек-
диэлектриком, его емкость увеличивается в е раз.

64
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ
ной диэлектрической проницаемостью — в том смысле, что влия-
влияние, оказываемое им на внешнее электрическое поле, такое лее,
какое оказывал бы диэлектрик (той лее формы) с е —>• ос. Дейст-
Действительно, в силу конечности граничного условия для индукции
D она дол лена оставаться конечной внутри тела и при е —>• ос;
но это означает, что в таком поле будет Е = 0, в соответствии со
свойствами проводника.
Задачи
1. Определить поле, создаваемое точечным зарядом е, расположенным
на расстоянии h от плоской границы раздела двух различных диэлектриче-
диэлектрических сред.
Решение. Назовем точку, в которой находится заряд е в среде i,
точкой О, а ее зеркальное отображение по другую сторону плоскости раз-
раздела (в среде 2) - точкой О' (рис. 11). Будем искать поле в среде 1 как
поле, создаваемое двумя точечными зарядами, — зарядом е и фиктивным
зарядом е в точке О' (ср. метод изображений, § 3):
О
h
El
?\Г
е
?2
где г, г' — расстояния точки наблюдения соответ-
соответственно отОиО'. Поле же в среде 2 ищем в виде
поля, создаваемого фиктивным зарядом е", нахо-
находящимся в точке О:
Рис. 11	^ ?2г'
На граничной плоскости (г = г') должны выполняться условия G.5), из
которых получаем уравнения
е — е = е
отсюда
е = е-
е -t
?
е"
¦ в
1
в —
е
?2
+S2 '
?i +?2
При ?2 —>¦ оо имеем е = —е, ф% = 0, т. е. мы возвращаемся к результату,
полученному в § 3 для поля точечного заряда вблизи проводящей плоскости.
Сила, действующая на заряд е {сила изображения), равна
F =
2h
ei - ?2
.F > 0 соответствует отталкиванию.
2. То же для бесконечной прямой заряженной нити, расположенной па-
параллельно плоскости раздела на расстоянии h от нее.
Решение вполне аналогично решению предыдущей задачи, с той
лишь разницей, что потенциалы поля в обеих средах:
2е 2е' ,
=	т г	ш г ,
2^_
62
где е, е;, е/; — заряды на единице длины нити и ее «изображений», а г, г' —

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
65
расстояния в плоскости, перпендикулярной к нитям. Для е, е', е" получа-
получаются те же выражения A), а сила, действующая на единицу длины нити,
_
г =
2ее'
he1(e1+e2)
ОО'=Ъ
АО'=а2/Ъ
3. Определить поле, создаваемое бесконечной прямой заряженной
нитью, расположенной (в среде с диэлектрической проницаемостью е\) па-
параллельно цилиндру (с ? = ?2) радиуса а на расстоянии Ъ (Ъ> а) от его оси *).
Решение. Поле в среде 1 будем искать как поле, которое создавалось
бы в однородном диэлектрике е\ реальной заряженной нитью (проходящей
через точку О, рис. 12) с заря-
зарядом е на единице длины и двумя
фиктивными нитями с зарядами е
и — е', проходящими соответствен-
соответственно через точки А и О'. Точка А
расположена на расстоянии АО' =
= а2/Ъ от центра окружности;
тогда для всех точек окружности
расстояния г и г' соответственно
до точек О и А находятся в пос-
постоянном отношении г'/г = а/Ь,
в результате чего окажется воз-
возможным удовлетворить гранич-
граничным условиям на этой окружно-	Рис. 12
сти. Поле же в среде 2 будем ис-
искать как поле, которое создавали бы в однородной среде ?2 фиктивные за-
заряды е" на нити, проходящей через О.
Граничные условия на поверхности раздела удобно сформулировать с
помощью потенциала (р (Е = — grad ф) и векторого потенциала А (ср. § 3),
определенного из D = rot А (в согласии с уравнением div D = 0); в плос-
плоской задаче вектор А направлен вдоль оси z (перпендикулярно к плоскости
рисунка). Условия непрерывности касательных компонент Е и нормальной
компоненты D эквивалентны условиям
^Р\ ~~ ^Р2 1 А.\ == J\-2 •
Для поля заряженной нити имеем в полярных координатах г, в:
2е
if =	In r + const, A = 2ев + const
?
(ср. C.18)). Поэтому граничные условия гласят:
2 / 2е"
— (—elnr — е In г' + е In а) =	In r + const,
?1	?2
2[ев + е'б' -e'F + 6')\ = 2е"в
(обозначение углов дано на рис. 12; использовано подобие треугольников
ОО'В и ВО'А). Отсюда ?2(е + е) = ?ге"", е - е = е", и для е;, е" снова
получаются выражения A) из задачи 1.
2) Аналогичная задача о точечном заряде вблизи диэлектрической сферы
не решается в конечном виде.
3 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

66
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ
Сила, действующая на единицу длины заряженной нити, параллельна
ОО' и равна
= eE =
2ее'
1
ОО1
= 2е2(?1 -е2)а2
- а2)
h это
(F > 0 соответствует отталкиванию). В пределе а, Ь —»> оо, Ь — а
выражение переходит в результат задачи 1.
4. То лее, если нить проходит внутри цилиндра с диэлектрической про-
проницаемостью ?2 (Ь < а).
Решение. Поле в среде 2 ищем как поле реальной нити е (точка О
на рис. 13) и фиктивной нити е', проходящей через точку А, расположенную
теперь вне цилиндра. Поле же в среде 1 ищем как поле нитей с зарядами е"
и е — е", проходящих соответственно через О и О'. Тем же способом, как и
в предыдущей задаче, получим
?\ +S2
Нить отталкивается (при 62 > ?i)
от цилиндра с силой
F =
2ее 1
2e2(e2-?i)b
82 О A e2(ei +?2)(а2-Ь2)
5. Показать, что потенциал поля
рис 23	У^а(гв), создаваемый в точке г в про-
произвольной неоднородной диэлектричес-
диэлектрической среды точечным зарядом е, находящимся в точке га, равен потенциалу
<Рв(та), создаваемому в точке г^ тем же зарядом, находящимся в точке гв-
Решение. Потенциалы <^д(г) и (рв(т) удовлетворяют уравнениям
div (sV(fA) = — 4тге?
Умножив первое из них на
другого, найдем
div {^P
— div
— г^), div
, а второе на
= — 4тге?(г —
и вычтя почленно одно из
+ 4тгеE(г —
Интегрирование этого равенства по всему пространству дает искомое
соотношение: (рл(гв) = Ф)
§ 8. Диэлектрический эллипсоид
Поляризация диэлектрического эллипсоида, помещенного во
внешнее однородное электрическое поле, обладает некоторыми
своеобразными особенностями, придающими этому примеру осо-
особый интерес.
Рассмотрим предварительно простой частный случай — ди-
диэлектрический шар во внешнем поле <?. Обозначим его диэлек-
диэлектрическую проницаемость через е^г\ а диэлектрическую прони-
проницаемость внешней среды, в которую он погружен, — через е^е\
Выберем начало сферической системы координат в центре шара

§ 8	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭЛЛИПСОИД	67
(полярный угол в отсчитывается от направления <?) и будем ис-
искать потенциал поля вне шара в виде
первый член есть потенциал приложенного внешнего поля, а вто-
второй член, обращающийся на бесконечности в нуль, дает искомое
изменение потенциала, вызываемое шаром (ср. решение задачи 1
§ 3). Потенциал же поля внутри шара ищем в виде
это есть единственная функция, удовлетворяющая уравнению
Лапласа, остающаяся конечной в центре шара и зависящая толь-
только от постоянного вектора <? — единственного параметра, входя-
входящего в данную задачу.
Постоянные А и В определяются граничными условиями на
поверхности шара. Но уже сразу отметим, что поле внутри шара
EW = В<? оказывается однородным, отличающимся от прило-
приложенного поля <? лишь своей абсолютной величиной.
Граничное условие непрерывности потенциала дает
(R — радиус шара), а условие непрерывности нормальной сос-
составляющей индукции —
Исключая из этих двух равенств Д получим
з( + е ) -?	( • )
или, подставив DW = ^WeW,
Е« = (e3g(e) ( (?.	(8.2)
Аналогичным способом решается задача о диэлектрическом
бесконечном цилиндре во внешнем поле, перпендикулярном к его
оси (ср. задачу 2 § 3). Поле внутри цилиндра, как и внутри шара
в предыдущем примере, оказывается однородным. Оно удовлет-
удовлетворяет соотношению
-(Dw + ?(e)Ew) = ?(e)<?,	(8.3)
или
E« = 2g(e) g.	(8.4)
?(г) _|_ ?(e)

68	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Соотношения (8.1) и (8.3), в которые диэлектрическая прони-
проницаемость еМ шара или цилиндра не входит в явном виде, особен-
особенно важны потому, что их справедливость не связана с линейной
зависимостью между Е и D внутри тела; они имеют место при
любом виде этой зависимости (в том числе для анизотропных
тел). Такой же характер имеют аналогичные соотношения:
Е^ = ?	(8.5)
для цилиндра в продольном поле, и
для плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней
поле; эти равенства очевидны из граничных условий.
Свойство создавать внутри себя однородное поле (будучи по-
помещенным во внешнее однородное поле) присуще, оказывается,
вообще всякому эллипсоиду с произвольным соотношением полу-
полуосей а, 6, с. Задача о поляризации диэлектрического эллипсоида
решается с помощью эллипсоидальных координат, подобно то-
тому, как была решена в § 4 аналогичная задача для проводящего
эллипсоида.
Потенциал поля вне эллипсоида ищем снова в виде D.22)
<р'е = <poF(?) с функцией F(?) из D.23). В потенциал же поля
внутри эллипсоида (pi функция такого вида войти не может, так
как она не удовлетворяет условию конечности поля во всем объ-
объеме внутри эллипсоида. Действительно, рассмотрим поверхность
? = —с2, представляющую собой часть плоскости жу, ограничен-
ограниченную эллипсом с полуосями (а2 — с2I/2 и (Ъ2 — с2I/2, лежащим
внутри объема эллипсоида. При ? —> —с2 интеграл D.23) ведет
себя как д/? + с2. Напряженность поля, т. е. градиент потенциа-
потенциала, будет вести себя, следовательно, как (?+с2)/2 и обращается
в бесконечность при ? = —с2. Таким образом, для поля внутри
эллипсоида пригодно лишь решение F(?) = const, т. е. щ надо
искать в виде
(fi = В(р0.
Мы видим, что потенциал <pi отличается от потенциала одно-
однородного поля <ро только постоянным множителем. Другими сло-
словами, поле внутри эллипсоида будет однородным.
Мы не станем выписывать здесь формулы для поля вне эл-
эллипсоида. Однородное же поле внутри эллипсоида можно найти
без фактического выписывания граничных условий, воспользо-
воспользовавшись вместо этого некоторыми уже известными нам резуль-
результатами.

§ 8	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭЛЛИПСОИД	69
Предположим сначала, что эллипсоид находится в пустоте
(e(e) = 1). Тогда между векторами ЕМ, DW, <? (которые все име-
имеют одинаковое направление — вдоль оси х) должна существовать
линейная связь вида
где коэффициенты а, Ъ зависят не от диэлектрической проница-
проницаемости eW эллипсоида, а только от его формы. Наличие такой
связи следует из вида граничных условий, в чем мы уже убеди-
убедились выше на примерах шара и цилиндра.
Для определения а и Ъ замечаем, что в тривиальном частном
случае eW = 1 было бы просто Е = D = <?; отсюда а + Ъ = 1.
Другой уже известный нам частный случай — проводящий эл-
эллипсоид. В проводнике Е^ = 0, а индукция DW не имеет непо-
непосредственного физического смысла, но может рассматриваться
как формальная величина, связанная с полным дипольным мо-
моментом эллипсоида соотношением
D« = 4тгР = — 9.
Согласно D.26) при этом будет
т. е. коэффициент Ъ = п^х\ а потому а = 1 — п^х\
Таким образом, мы приходим к соотношению
= €х,	(8.7)
ИЛИ	гл	, ^
Е^ = €х-4тгп^Рх.	(8.8)
Величину 4тгп^Рх называют деполяризующим полем1).
Такие же соотношения (с коэффициентами п^у\ п^) спра-
справедливы для поля вдоль осей у и z. Как и частные формулы
(8.1), (8.3), они справедливы при любом виде зависимости меж-
между Е и D внутри эллипсоида.
Для напряженности поля внутри эллипсоида получим из
(8.7), положив Dxi] = e^Exi]:
: ,)„<
2) Аналогичные формулы справедливы для намагничивающегося эллип-
эллипсоида во внешнем однородном магнитном поле (см. § 29). В этой связи ко-
коэффициенты 7vx', n™', 7V*' называют коэффициентами размагничивания.

70	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
а полный дипольный момент эллипсоида
= f i+A@: !)„(¦) g- (8Л°)
Если поле С имеет составляющие по всем трем осям, то поле
внутри эллипсоида по-прежнему будет однородным, но, вообще
говоря, не параллельным <?. Не предрешая выбор системы коор-
координат, можно написать в общем случае соотношение (8.7) в виде
- Е%>) = U	(8.11)
Переход к случаю диэлектрической проницаемости среды, от-
отличной от 1, совершается просто путем замены eW Ha е^ /е^е\
При этом формула (8.7) принимает вид
= е(е)?ж.	(8.12)
Эта формула может быть применена, в частности, к полю внутри
эллипсоидального отверстия в неограниченной диэлектрической
среде: для этого надо положить eW = 1.
Задачи1)
1. Определить момент сил, действующих на эллипсоид вращения в од-
однородном электрическом поле.
Решение. Согласно общей формуле A6.13) момент сил, действующих
на эллипсоид, равен К = [^(?], где & — дипольный момент эллипсоида. В
эллипсоиде вращения вектор & лежит в плоскости, проходящей через ось
симметрии и направление (?. Момент же сил направлен перпендикулярно
к этой плоскости, а для его абсолютной величины вычисление с помощью
формул (8.10) приводит к результату
к=	(e-lJ\l-3n\Vsm2a ^
(	)[( )
? + 1 - п)[A - п)е + 1 + п] '
где а — угол между направлением (? и осью симметрии эллипсоида, an —
коэффициент деполяризации вдоль этой оси (так что коэффициент деполя-
деполяризации в перпендикулярных к этой оси направлениях есть A/2)A — п)).
Момент сил направлен так, что он стремится повернуть ось симметрии вы-
вытянутого (п < 1/3) и сплюснутого (п > 1/3) эллипсоидов в положение, со-
соответственно параллельно и перпендикулярно к полю.
Для проводящего эллипсоида (е —>¦ оо) имеем
К= |1 V€2Sm2a.
8ттA — п)
2. Диэлектрический полый шар (диэлектрическая проницаемость е, вну-
внутренний и внешний радиусы Ъ и а) находится в однородном внешнем элек-
электрическом поле С Определить поле в полости шара.
г) В задачах этого параграфа предполагается, что эллипсоид находится в
пустоте.

§ 9	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ СМЕСИ	71
Решение. Аналогично тому, как было сделано в тексте для сплошного
шара, ищем потенциал поля в пустоте снаружи шара (область 1) и внутри
полости (область 3) соответственно в виде
(pi = -Ccos0 I r	, (ps = -B?rcos6,
V г2)
а потенциал поля в диэлектрическом слое (область 2) — в виде
<р2 = -C?cos<9 (г- —
\ г2
где А, В, С, .D — постоянные, определяющиеся из условий непрерывности
(f и ед(р/дг на границах 1—2 и 2—3. Таким образом, поле Ез = В<? внутри
полости оказывается однородным (поле же Е2 в шаровом слое неоднородно).
Вычисление постоянных приводит к результату:
3. То же для полого цилиндра в поперечном однородном поле *).
Решение аналогично предыдущей задаче и приводит к результату:
Ез = С, „ 4? „	¦
§ 9. Диэлектрическая проницаемость смеси
Если вещество представляет собой мелкодисперсную смесь
(эмульсия, порошкообразная смесь и т. п.), то молено рассмат-
рассматривать электрическое поле, усредненное по объемам, большим
по сравнению с масштабами неоднородностей. По отношению к
такому среднему полю смесь является однородной и изотропной
средой и как таковая может характеризоваться определенным
эффективным значением диэлектрической проницаемости, кото-
которое мы обозначим есм. Если Е и D — усредненные указанным
образом напряженность и индукция поля, то, по определению
В = есмЁ.	(9.1)
Если все частицы смеси изотропны, а разности между их ди-
диэлектрическими проницаем остям и малы по сравнению с самими
?, то оказывается возможным вычислить в общем виде есм с точ-
точностью до членов второго порядка по указанным разностям.
Напишем местное значение напряженности поля в виде Е =
= Е + 5Е, а местное значение диэлектрической проницаемости —
как е + <$?, где
±f	(9.2)
В продольном поле ответ очевиден: Ез =

72	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
получается усреднением по объему. Тогда среднее значение ин-
индукции
D = (ё + бе) (Е + SE) = ёЕ + бе 6Е	(9.3)
(так как, по определению бе и 6Е, их средние значения равны ну-
нулю). В нулевом приближении есм = ё; первый отличный от нуля
поправочный член будет, естественно, второго порядка по бе, как
это видно и из (9.3).
Из неусредненного уравнения div D = 0, с точностью до ма-
малых членов первого порядка, имеем
div (ё + 6е)(Ё + 6Е) = ёdiv 6E + EV6e = 0.	(9.4)
Усреднение произведения бебЕ в (9.3) проводим в два этапа.
Прежде всего, усредняем по объему частиц одного и того же
вещества, т. е. при заданном значении бе. Усредненное таким
образом значение 6Е легко получить из уравнения (9.4). Именно,
ввиду изотропии смеси в целом имеем
О г- 7~~?	О г- 7~~?	О г- 7~~?	-I 1 • Г"ТЧ
Если, скажем, вектор Е направлен по оси ж, то из (9.4) имеем
откуда
Ввиду произвольности выбора направления оси ж, это равенство
молено написать в векторном виде:
8Ё=--6е.
Зё
Умножив на Se и произведя окончательное усреднение по всем
компонентам смеси, получим
Е
Наконец, подставив это выражение в (9.3) и сравнив с (9.1),
получим искомый результат:
есм=ё-^_FеГ.	(9.5)
Эта формула может быть представлена и в другом виде, если
заметить, что с точностью до членов второго порядка

§10	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ	73
Поэтому
еЩ = Ж\	(9.6)
Таким образом, молено сказать, что в рассматриваемом прибли-
приближении оказывается аддитивным кубический корень из е.
Другой предельный случай, допускающий точное рассмотре-
рассмотрение, — диэлектрическая проницаемость эмульсии с произвольной
разницей между диэлектрическими проницаемостями среды (е\)
и диспергированной фазы (?2)? но малой концентрацией послед-
последней; частицы диспергированной фазы предполагаются сфериче-
сферическими.
В интеграле
- Г (D - е{Е) dV = D - е{Ё
V J
подынтегральное выражение отлично от нуля только внутри ча-
частиц эмульсии. Поэтому он пропорционален объемной концен-
концентрации эмульсии с и при его вычислении молено считать, что
частицы эмульсии находятся во внешнем поле, совпадающем со
средним полем Е. Воспользовавшись для сферических частиц
формулой (8.2), получим для коэффициента пропорционально-
пропорциональности между D и Е:
3()	(9.7)
?2
Эта формула справедлива с точностью до членов первого поряд-
порядка по с. При близких е\ и 82 она совпадает (с точностью до чле-
членов первого порядка по с и второго — по 82 — ?\) с результатом,
даваемым при малых с формулой (9.5).
§ 10. Термодинамические соотношения
для диэлектриков в электрическом поле
Вопрос об изменении термодинамических свойств благодаря
наличию электрического поля не возникает для проводников. По-
Поскольку электрическое поле внутри проводника отсутствует, то
все изменение его термодинамических величин сводится прос-
просто к добавлению энергии создаваемого им в окружающем про-
пространстве поля к его полной энергии1). Эта величина вообще
не зависит от термодинамического состояния (в частности, от
температуры) тела и потому, например, не сказывается на его
энтропии.
г) Мы отвлекаемся здесь от энергии связи заряда с веществом проводника;
эта энергия будет рассмотрена в § 23.

74	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Напротив, на термодинамические свойства диэлектриков
электрическое поле, проникая внутрь тела, оказывает глубокое
влияние. Для изучения этих свойств, прежде всего, определим
работу, производимую над теплоизолированным диэлектриком
при бесконечно малом изменении поля в нем.
Электрическое поле, в котором находится диэлектрик, на-
надо представлять себе как создаваемое некоторыми посторонни-
посторонними заряженными проводниками, а изменение поля молено тогда
рассматривать как результат изменения зарядов проводников 1).
Предположим для краткости, что имеется всего один проводник
с зарядом е и потенциалом (р. Работа, которую надо произвести
для того, чтобы увеличить его заряд на бесконечно малую вели-
величину ?е, равна
SR = cpSe;	A0.1)
это есть механическая работа, производимая заданным полем
над зарядом ?е, переносимым из бесконечности (где потенциал
поля равен нулю) к поверхности проводника и проходящим, сле-
следовательно, разность потенциалов, равную (р. Преобразуем SR к
виду, выраженному через значения поля в окружающем провод-
проводник пространстве, заполненном диэлектриком.
Если Dn — проекция вектора электрической индукции на на-
направление нормали к поверхности проводника, внешней по от-
отношению к диэлектрику (и внутренней по отношению к провод-
проводнику), то поверхностная плотность зарядов на проводнике равна
—Дп/Dтг), так что
~ § ndf
4тг J	4тг
= -±- ? Ddf.
4тг J
Имея в виду, что потенциал (р постоянен вдоль всей поверхности
проводника, пишем
SR = (pSe = -— [ <p5Bdf = -— f div((p5B)dV.
4тг J	4тг J
Последний интеграл справа берется по всему объему вне про-
проводника. Поскольку варьированное поле, как и первоначальное,
удовлетворяет уравнению поля, то div^D = 0, так что
div (if SB) = (р div SB + SB grad <p = -E SB.
2) Окончательные выражения, которые будут нами получены, содержат
только значения поля внутри диэлектрика и потому не зависят от происхож-
происхождения поля. Ввиду этого нам не нужно особо оговаривать случаи, когда поле
создается не заряженными проводниками, а, например, внесенными в самый
диэлектрик сторонними зарядами или же его пироэлектрической (см. § 13)
поляризацией.

§10	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ	75
Таким образом, получаем окончательно следующую важную
формулу:
SR= ^^dV.	A0.2)
J 4тг
Подчеркнем, что интегрирование в этой формуле производится
по всему полю, в том числе и по области вакуума, если диэлек-
диэлектрическая среда занимает не весь объем пространства вне про-
проводника.
Работа, произведенная над теплоизолированным телом, есть
не что иное, как изменение энергии тела при постоянной его эн-
энтропии. Поэтому выражение A0.2) должно быть добавлено к тер-
термодинамическому соотношению, определяющему бесконечно ма-
малое изменение полной энергии тела, включающей в себя также и
энергию электрического поля. Обозначив эту энергию через ^,
имеем, следовательно,
5W =Т5У+— [ESBdV	A0.3)
(Г — температура, У — энтропия тела) -1). Соответственно для
полной свободной энергии & = ty/ — ТУ*2) имеем
Д^ = -У ST + — Г Е (Ш dV.	A0.4)
Аналогичные термодинамические соотношения могут быть
написаны и для величин, относящихся к единице объема тела.
Пусть С/, S и р — внутренняя энергия, энтропия и масса единицы
объема тела. Как известно, обычное термодинамическое соотно-
соотношение (в отсутствие поля) для внутренней энергии в заданном
объеме гласит:
dU =
где ? — химический потенциал вещества3). При наличии поля в
диэлектрике сюда должен быть добавлен член, взятый из подын-
подынтегрального выражения в A0.3):
(dp+—EdD.	A0.5)
4тг
*) Объем тела предполагается в A0.3), A0.4) постоянным. Следует, одна-
однако, иметь в виду, что в электрическом поле тело становится, вообще говоря,
неоднородным, и потому объем не характеризует его состояния.
2)	Эту величину имеет смысл рассматривать лишь при постоянной вдоль
тела температуре.
3)	См. V, § 24. Вместо плотности массы мы пользовались там числом ча-
частиц N в единице объема: р = Nm, где m — масса молекулы. Химический
потенциал ?, отнесенный к единице массы, отличается множителем от хи-
химического потенциала //, отнесенного к одной частице: ? = fi/m.
Обозначение плотности массы вещества той же буквой р, что и плотность
зарядов, не может привести к недоразумению, так как эти величины нигде
не будут фигурировать вместе.

76	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Для свободной энергии F = U—TS единицы объема диэлектрика
имеем соответственно
dF = S dT + ( dp + —ЕсЮ.	A0.6)
4тг
Полученные соотношения представляют собой основу термоди-
термодинамики диэлектриков.
Мы видим, что величины U и F являются термодинамически-
термодинамическими потенциалами соответственно по отношению к переменным
5, р, D и Т, р, D. В частности, молено получить напряженность
поля путем дифференцирования этих потенциалов по компонен-
компонентам вектора D:
Е = 47Г (™) = 4п (**) .	A0.7)
Свободная энергия в этом отношении удобнее, так как ее диф-
дифференцирование должно производиться при постоянной темпе-
температуре, между тем как внутренняя энергия должна при этом
быть выражена через менее удобную величину — энтропию.
Наряду с U и F полезно ввести термодинамические потен-
потенциалы, в которых роль независимых переменных играют компо-
компоненты вектора Е, а не D. Таковыми являются величины
jj = U-—, F = F-—,	A0.8)
4тг	4тг
для дифференциалов которых имеем
dU = TdS + (dp- — DdE,
А\	A0.9)
dF = -SdT + Cdp- — DdE.
4тг
Отсюда, в частности, имеем
Обратим внимание на то, что связь между термодинамиче-
термодинамическими величинами, которые мы обозначаем буквами со знаком ~
и без него, как раз соответствует той, которая уже была введена
в § 5 для энергии электростатического поля проводников в пу-
пустоте. Действительно, интеграл J ED dV молено преобразовать
совершенно аналогично тому, как мы это делали в начале § 2,
используя при этом уравнение div D = 0 в объеме диэлектрика
и граничное условие Dn = 4тга на поверхности проводников:
= -±- f gradср--DdV = ^- V UaDndf= У>аеа.
4тг J	4тг *-^J	*-^*
a	a
A0.11)

§10	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ	77
Поэтому, например, для внутренней энергии:
ttea,	A0.12)
а
в соответствии с определением E.5).
Полезно сопоставить также формулы для бесконечно малых
изменений этих величин, выраженных через заряды и потенциа-
потенциалы проводников (источников поля). Так, для вариации свободной
энергии (при заданной температуре) имеем
Y^ a$ea.	A0.13)
а
Для вариации же & получим
<0)т = (8&)т ~ S J24>аеа = -J2e*S^a'	A0Л4)
а	а
Можно сказать, что величины без знака ~ являются термодина-
термодинамическими потенциалами по отношению к зарядам проводников,
а величины со знаком ~ — по отношению к их потенциалам.
Как известно из термодинамики, различные термодинами-
термодинамические потенциалы обладают свойством достигать в состоянии
теплового равновесия минимума по отношению к различным из-
изменениям состояния тела. При формулировании этих условий
равновесия в электрическом поле необходимо указывать, рас-
рассматриваются ли изменения состояния при неизменных зарядах
или потенциалах проводников — источников поля. Так, & или &
имеют в равновесии минимум по отношению к изменениям сос-
состояния, происходящим при постоянной температуре и, соответ-
соответственно, постоянных зарядах или потенциалах проводников (то
же самое для У/ и ^// справедливо при постоянной энтропии те-
тела).
Если в теле могут происходить какие-либо процессы, не
имеющие прямого отношения к электрическому полю (напри-
(например, химические реакции), то условие равновесия по отношению
к этим процессам дается минимумом F при заданных плотности
и температуре тела и индукции D в нем либо минимумом F при
постоянных плотности, температуре и напряженности поля Е.
До сих пор мы не делали никаких предположений о зависи-
зависимости D от Е, так что все полученные термодинамические соот-
соотношения справедливы при любом характере этой зависимости.
Применим их теперь к изотропному диэлектрику с линейной за-
зависимостью D = еЕ. В этом случае интегрирование соотношений
A0.5) и A0.6) дает
U = U0{S,p) + ^, F = F0(T\p) + f-,	A0.15)

78	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
где С/о и Fq относятся к диэлектрику в отсутствие поля. Таким
образом, в данном случае величина
A0.16)
8тг? 8тг	8тг
представляет собой связанное с наличием поля изменение внут-
внутренней энергии (при заданных значениях энтропии и плотности)
или изменение свободной энергии (при заданных температуре и
плотности) единицы объема диэлектрической среды.
Аналогичные выражения для потенциалов U и F:
U = U0(S,p)-e-f, F = F0(T,p)-e-f.	A0.17)
Мы видим, что разности U — Uqh U — Uq отличаются в этом слу-
случае только знаком, как это имело место и для электрического
поля в пустоте (§ 5). В диэлектрической среде, однако, такое про-
простое соотношение справедливо только при линейной связи между
D и Е.
Выпишем также для дальнейших справок формулы для плот-
плотности энтропии S и для химического потенциала вещества ?, сле-
следующие из A0.15):
A0.18)
Обе эти величины отличны от нуля, разумеется, только внутри
диэлектрика.
Полная свободная энергия получается интегрированием A0.15)
по всему пространству. Ввиду A0.11) имеем
а<ра.	A0.20)
а
Последнее выражение формально совпадает с формулой для
энергии электростатического поля проводников в пустоте. К это-
этому же результату можно прийти и непосредственно, исходя из
вариации 6^ A0.13) при бесконечно малом изменении зарядов
проводников. В данном случае, при линейной связи D с Е, все
уравнения поля и граничные условия к ним тоже линейны. По-
Поэтому потенциалы проводников должны быть (как и для поля в
пустоте) линейными функциями их зарядов, и интегрирование
равенства A0.13) приводит к A0.20).
Подчеркнем, что в этих рассуждениях отнюдь не предпо-
предполагалось, что диэлектрик заполняет все пространство вне про-
проводников. Если же последнее имеет место, то можно пойти еще

§ 11	ПОЛНАЯ СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТЕЛА	79
дальше и, используя изложенные в конце § 7 результаты, утвер-
утверждать следующее. При заданных зарядах проводников введение
диэлектрической среды уменьшает в е раз вместе с потенциалами
проводников также и энергию поля (по сравнению со значения-
значениями этих величин для поля в пустоте). Если же поддерживаются
постоянными потенциалы проводников, то энергия поля увели-
увеличивается в е раз (вместе с зарядами проводников).
Задача
Определить высоту h поднятия уровня жидкости, втягиваемой в верти-
вертикальный плоский конденсатор.
Решение. При заданных потенциалах обкладок конденсатора дол-
должна быть минимальной F\ в которой надо учесть также и энергию pgh /2
столба жидкости в поле тяжести. Из этого условия легко получается
hE\
Snpg
§ 11. Полная свободная энергия диэлектрического тела
Полная свободная энергия & (или полная внутренняя энер-
энергия ^), как она была определена в предыдущем параграфе,
включает в себя также и энергию внешнего электрического поля,
поляризующего диэлектрик; это поле можно представлять себе
как создаваемое определенной совокупностью проводников с за-
заданными полными зарядами на них. Наряду с этой величиной &
имеет смысл рассмотреть полную свободную энергию, из кото-
которой исключена энергия поля, которое существовало бы во всем
пространстве в отсутствие тела. Обозначим напряженность по-
последнего через <?. Тогда «полная» в указанном смысле свободная
энергия равна интегралу
-^)dV,	A1.1)
где F — плотность свободной энергии. Мы будем здесь обозна-
обозначать эту величину той же буквой ^*, которой в § 10 обозначал-
обозначался интеграл f FdV. Следует подчеркнуть, что разница между
обоими определениями ^ сводится к величине, не зависящей от
термодинамического состояния и свойств диэлектрика, и пото-
потому вообще не отражается на основных термодинамических диф-
дифференциальных соотношениях, которые имеют место для этой
величины 1).
) Отметим, что вычитать из F величину Е /8тг не имело бы смысла,
так как Е есть поле, уже измененное присутствием диэлектрика, и потому
разность F — (Е2/8тг) отнюдь нельзя было бы рассматривать как плотность
свободной энергии диэлектрика как такового.

80	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Вычислим изменение ^ в результате бесконечно малого из-
изменения поля, происходящего при постоянной температуре и без
нарушения термодинамического равновесия среды.
Поскольку SF = —E?D, то имеем
4тг
= -f
4тг J
Это выралеение молено толедественно переписать в виде
53? = — Г (D-?M?dV +
4тг J
+ — [EFT>-6€)dV -— [CD-EN€;dV. A1.2)
4тг J	4тг ^
В первом интеграле пишем ?<? = — grad 8щ ((ро — потенциал
поля <?) и преобразуем его по частям:
Г grad 5щ(Т> -<t)dV= ? StpoCD - С) df - Г 5щ div (D - <?) dV.
Легко видеть, что оба интеграла в правой части равенства об-
обращаются в нуль. Для объемного интеграла это следует непо-
непосредственно из уравнений div D = 0 и div <? = 0, которым удо-
удовлетворяют соответственно поле в диэлектрике и поле в пустоте.
Первый же интеграл берется по поверхности создающих поле
проводников и по бесконечно удаленной поверхности. Послед-
Последний интеграл обращается, как обычно, в нуль, а на каждом из
проводников 6(fo = const, так что
? 6щ(В - <?) df = 5щ ? CD-€) df.
Но поле С, по определению, создается теми лее источниками, что
и поле Е с индукцией D (т. е. одними и теми лее проводниками с
заданными полными зарядами е на них). Поэтому оба интегра-
интеграла § Dn df и § (?п df равны одной и той лее величине 4тге, а их
разность равна нулю.
Аналогичным образом убеледаемся в том, что равен нулю и
второй член в A1.2) (для этого подставляем в нем Е = — grad <р и
производим такое лее преобразование). Окончательно получается
53? = -— [ CD-EM?dV = - [P5?dV.	A1.3)
4тг J	J
Замечательно, что в этом выражении интеграл берется только
по объему, занятому диэлектрической средой, так как вне тела
Р = 0.

§ 11	ПОЛНАЯ СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТЕЛА	81
Подчеркнем, однако, что подынтегральное выражение Р 5(?
не может быть истолковано как вариация «плотности» свобод-
свободной энергии тела, подобно тому, как это было сделано в связи с
формулами A0.3), A0.4). Прежде всего, эта «плотность» должна
существовать и вне тела, так как его наличие искажает поле и в
окружающем пространстве. Ясно также, что плотность энергии
в каждой точке тела может зависеть лишь от реально сущест-
существующего в ней поля, а не от поля, которое имелось бы здесь в
отсутствие тела.
Если внешнее поле <? однородно, то
dV = -&5<?,	A1.4)
где & — полный электрический дипольный момент тела. Поэто-
Поэтому термодинамическое тождество для свободной энергии можно
написать в данном случае как
d& = -У dT - &d<L.	A1.5)
Полный электрический момент тела молено, следовательно, по-
получить путем дифференцирования полной свободной энергии:
() .	(п.6)
\deJT	v ;
Отметим, что последнюю формулу молено получить и непосред-
непосредственно из общей статистической формулы
д\
где J4? — гамильтониан тела как системы составляющих его ча-
частиц, а Л — какой-либо параметр, характеризующий внешние
условия, в которых находится тело (см. V, A1.4), A5.11)). Для
тела, находящегося во внешнем однородном поле <?, гамильтони-
гамильтониан содержит член — (С^1, где & — оператор дипольного момента,
и, выбрав <? в качестве параметра Л, мы получим искомую фор-
формулу.
Если D и Е связаны друг с другом линейной зависимостью
D = еЕ, то аналогичным путем можно вычислить в явном виде
не только вариацию 8^', но и саму &. Имеем
-*,=/
8тг
Это выражение тождественно переписываем в виде
& - ??0 = _L Г (Е + ?)(D - <?) dV - — Г ?(D - Е) dV.
8тг J V	А	;	8тг J V	;
Первый член в правой части равенства обращается в нуль, в
чем можно убедиться, положив в нем Е + <? = — grad (99 + ^0) и

82	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
произведя преобразование, вполне аналогичное произведенному
выше. Поэтому получаем
= ~ [<?PdV.	A1.7)
2 J
2
В частности, в однородном внешнем поле
& - &o(V, T) = --<?&>.	A1.8)
Последнее равенство молено было бы получить и путем непо-
непосредственного интегрирования соотношения A1.3), если заме-
заметить, что в силу линейности всех уравнений поля (при D = еЕ)
электрический момент & должен быть линейной функцией <?.
Линейную зависимость между компонентами ^иС можно
написать в виде
&i = Vaik?k,	A1.9)
подобно тому, как это было сделано нами для проводников (§ 2).
В отличие от проводников, однако, «поляризуемость» диэлек-
диэлектрического тела зависит не только от его формы, но и от его ди-
диэлектрической постоянной. Симметричность тензора а^ (упомя-
(упомянутая уже в § 2) непосредственно следует из соотношения A1.6);
достаточно заметить, что вторая производная
= ~ = -Vaik
не зависит от порядка дифференцирования.
Формула A1.7) еще более упрощается в важном случае, ког-
когда е близко к 1, т. е. диэлектрическая восприимчивость к =
= (е — 1)/Dтг) мала. В этом случае при вычислении энергии моле-
молено пренебречь вызываемым наличием тела искажением поля, т. е.
положить
Р = хЕ « х<?.
Тогда
^ _ <%гп — _ff Г (Г2 Й\Г	A1 ЛС\\
2 J	v	y
где интеграл берется по объему тела. В однородном поле диполь-
ный момент & = Fx<?, а свободная энергия
В общем случае произвольной зависимости D от Е простые
формулы A1.7) и A1.8) не имеют места. Для вычисления ^
здесь может быть полезной формула

§ 12	ЗЛЕКТРОСТРИКЦИЯ ИЗОТРОПНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ	83
вывод которой после произведенных выше вычислений очевиден.
Действительно, подынтегральные выражения в обоих интегра-
интегралах отличаются на величину
_ED_CP €^ = _±(D_ )(E }
8тг	2 8тг	8тг	А	h
после подстановки Е = — Vy, <? = — V(^o и интегрирования по
всему пространству это выражение обращается в нуль. Обратим
внимание на то, что в A1.12) (как и в A1.7)) подынтегральное
выражение (во втором интеграле) обращается в нуль вне тела
(где Р = О, F = — ), так что интегрирование производится
V	8тг /
только по его объему.
Задача
Получить формулу, заменяющую A1.7), для тела, находящегося не в
пустоте, а в среде с диэлектрической проницаемостью ?^е'.
Р е ш е н и е. Повторяя для этого случая произведенные в тексте
преобразования, получим
= -— Г ?(D - ?(е)Е) dV.
8тг J
§ 12. Злектрострикция изотропных диэлектриков
Для твердого диэлектрика в электрическом поле нельзя вве-
ввести понятие давления так, как это делается для изотропного тела
в отсутствие поля, потому что действующие в таком диэлектри-
диэлектрике силы (они будут определены в § 15, 16) меняются вдоль тела
и анизотропны, даже если тело само по себе изотропно. Точное
определение деформации (электрострикции) такого тела требу-
требует решения сложной задачи теории упругости.
Дело обстоит, однако, гораздо проще, если нас интересует
только изменение полного объема тела. Как уже было указано в
§ 5, при этом молено считать форму тела неизменной, т. е. рас-
рассматривать деформацию как равномерное всестороннее сжатие
или растяжение.
Будем пренебрегать диэлектрическими свойствами внешней
среды (например, атмосферы), в которой находится рассматри-
рассматриваемое тело, т. е. будем считать, что ее е = 1. Роль среды сво-
сводится только к созданию равномерного давления, действующего
на поверхность тела. Именно это внешнее давление мы будем
обозначать ниже буквой Р. Если & — полная свободная энергия
тела, то согласно известному термодинамическому соотношению

84	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
и соответственно в выражении для дифференциала d^ должен
быть добавлен член —PdV. Так, в однородном внешнем поле
имеем вместо (П.5)
Введем полный термодинамический потенциал тела согласно
обычному термодинамическому определению:
ф = & + PV.	A2.1)
Для дифференциала этой величины (в однородном внешнем по-
поле) имеем соотношение
dO = -ydT + VdP-&d<?.	A2.2)
Изменение термодинамических величин во внешнем электри-
электрическом поле является обычно относительно малой величиной.
Согласно теореме о малых добавках (см. V, A5.12)), малое из-
изменение свободной энергии (при заданных Г и V) и малое из-
изменение термодинамического потенциала (при заданных Г и Р)
равны друг другу. Поэтому наряду с A1.8) молено написать ана-
аналогичное соотношение
ф= ф0- L?&>	A2.3)
для термодинамического потенциала тела во внешнем однород-
однородном поле. Здесь Фо относится к телу в отсутствие поля при за-
заданных значениях Р, Г (в то время как ^о в (П.8) есть свобод-
свободная энергия тела в отсутствие поля при заданных значениях V
и Г).
Выразив в явном виде зависимость дипольного момента от V
и <? согласно A1.9), перепишем A2.3) в виде
Ф = Ф0(Р,Г) - Waik?i?k,	A2.4)
причем поправочный член должен быть выражен в функции от
температуры и давления согласно уравнению состояния тела в
отсутствие поля. Эта формула особенно упрощается в случае ма-
малой диэлектрической восприимчивости вещества:
Ф = Ф0(Р,Т) - ^<?2	A2.5)
(ср. A1.11)).
Искомое изменение объема V — Vo во внешнем поле можно
получить теперь непосредственно путем дифференцирования Ф
по давлению (при постоянных Г и (?). Так, из A2.5) найдем
V-Vq = --

§ 12	ЗЛЕКТРОСТРИКЦИЯ ИЗОТРОПНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ	85
Эта величина может быть как положительной, так и отрицатель-
отрицательной (в противоположность злектрострикции проводников, объем
которых в поле всегда возрастает).
Аналогичным образом можно вычислить также и количество
тепла Q, поглощаемое в диэлектрике при изотермическом вклю-
включении внешнего электрического поля (причем внешнее давление
поддерживается постоянным) 1).
Дифференцирование Ф — Фо по температуре даст изменение
энтропии тела, а умножив его на Г, получим искомое количество
тепла. Так, из A2.5) получается
e=l(!
&П) ^	( 7)
дт ) р	v J
Положительные значения Q соответствуют поглощению тепла.
Задачи
1. Определить изменение объема и злектрокалорический эффект для
диэлектрического эллипсоида в однородном электрическом поле, параллель-
параллельном одной из его осей.
Решение. Согласно формулам A2.3) и (8.10) имеем
8тг пе + 1 — п
Для изменения объема находим ):
У-Уо _ $?_ Г ?-1	1	/ 0е_
У ~ ы\{пе + \-п)К (пе + \-пJ\дР/т
а для злектрокалорического эффекта:
ГУ С2 Г g(g-l)	1	(де
8тг [ne + 1-n (пе + 1 - пJ \дТ)Р\_ '
1	1 /аУ\	1 /<9У\
где — = — — I "тгтт ) — коэффициент сжимаемости тела, а а = — I —— 1 —
К	V \dP)т	V \OTJp
коэффициент теплового расширения.
В частности, для плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном
к ней поле п = 1, так что
У-Уо _ е_ Ге-1 _ \_ (де\
V ~ 8тг L еК е2 \дР)G
ГУ С2 Га(е-1) 1 (де
4 8тг I ?	е2 \дТ
г) Если же тело теплоизолировано, то наложение поля приведет к измене-
изменению температуры, равному АГ = —Q/^p, где ffp — теплоемкость тела при
постоянном давлении.
) Положив е —>¦ оо, получим для изменения объема проводящего эллип-
эллипсоида (V — Vo)/V = С2/(8тгКп). Для шара п = 1/3, и мы возвращаемся к
результату задачи 4 § 5.

86	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Для такой же пластинки (или любого цилиндрического тела) в продольном
поле п = 0 и
V
2. Определить разность теплоемкости ^ плоскопараллельной пластин-
пластинки в перпендикулярном к ней поле при постоянной разности потенциалов
между ее сторонами и теплоемкости % при постоянной индукции; в обоих
случаях внешнее давление поддерживается постоянным 1).
Решение. Согласно результатам задачи 1 энтропия пластинки
Р,е	' 8тг	Р
Индукция поля внутри пластинки совпадает с внешним полем: D = С По-
Поэтому для вычисления теплоемкости %> надо дифференцировать 5? при
постоянном С Разность потенциалов между сторонами пластинки ip = El =
= (?//е, где / — толщина пластинки. При равномерном сжатии или рас-
расширении тела / меняется пропорционально V1'3. Поэтому для вычисления
теплоемкости ^ надо дифференцировать 5? при постоянном произведении
?V ' /e. В результате найдем для искомой разности:
3. Определить злектрокалорический эффект в однородном диэлектрике,
полный объем которого поддерживается постоянным.
Решение. Строго говоря, при наложении внешнего поля плот-
плотность тела меняется (становясь неоднородной вдоль тела), даже если его
полный объем поддерживается постоянным. Однако при вычислении изме-
изменения полной энтропии этим обстоятельством можно пренебречь и считать
плотность р постоянной в каждой точке тела ).
Согласно A0.18) полная энтропия тела
где интегрирование распространяется по объему тела. Поглощаемое коли-
количество тепла
4. Определить разность ^ — %> (см. задачу 2) при постоянном полном
объеме пластинки.
2) &Ф является теплоемкостью пластинки, помещенной между обкладками
плоского конденсатора, включенного в цепь с постоянной ЭДС. В разомкну-
разомкнутом же конденсаторе с постоянными зарядами на обкладках пластинка будет
иметь теплоемкость ^d-
2) Изменение плотности 8р — величина второго порядка по полю (~ Е2),
а связанное с ним изменение полной энтропии — четвертого порядка. Дейст-
Действительно, линейное по др изменение полной энтропии есть —— / SpdV, но
op J
интеграл Г SpdV = 0 в силу неизменности общей массы тела.

§13	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ	87
Решение. При неизменном объеме (а потому и толщине) пластин-
пластинки дифференцирование при постоянной разности потенциалов эквивалентно
дифференцированию при постоянной напряженности Е.
С помощью полученной в задаче 3 формулы для энтропии находим
_ТУЕ2 (де\2 _ TVe fde\
5. Конденсатор состоит из двух проводящих поверхностей, находящихся
на расстоянии h друг от друга, малом по сравнению с размерами обкладок;
пространство между обкладками заполнено веществом с диэлектрической
проницаемостью е\. В конденсатор вводится шарик радиуса а <С h с ди-
диэлектрической проницаемостью еч- Определить изменение емкости конден-
конденсатора.
Решение. Пусть шарик вводится в конденсатор так, что разность
потенциалов ip между его обкладками остается неизменной. Роль свободной
энергии при постоянных потенциалах проводников играет &. В отсутствие
шарика & = — Со<?2/2, где Со — первоначальная емкость конденсатора.
Ввиду малых размеров шарика можно считать, что он вводится в однородное
поле с напряженностью С = ip/h, а изменение & мало. Малое изменение &
при постоянных потенциалах равно малому изменению & при постоянных
зарядах источников поля. С помощью формулы, полученной в задаче §11,
и формулы (8.2) находим
2h2
откуда искомая емкость
Ь? 2ег + е2
§ 13. Диэлектрические свойства кристаллов
В анизотропной диэлектрической среде (монокристалл) ли-
линейная связь между индукцией и напряженностью электриче-
электрического поля имеет более сложный вид, не сводящийся к простой
пропорциональности.
Наиболее общий вид такой зависимости дается выражением
Di = DOi + eikEk,	A3.1)
где Do — постоянный вектор, а совокупность величин е^ состав-
составляет тензор второго ранга — тензор диэлектрической проницае-
проницаемости (или, короче, диэлектрический тензор). Свободный член
Do в соотношении A3.1) существует, однако, не во всяком кри-
кристалле. Большинство типов кристаллографической симметрии не
допускает существования постоянного вектора (см. ни лее), и тог-
тогда имеем соотношение
Di = sikEk.	A3.2)
Тензор ?jfc симметричен:
eik = eki.	A3.3)

ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ
Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться термоди-
термодинамическим соотношением A0.10) и заметить, что вторая произ-
производная
л d<2F - dD -
**	~ дЕк ~?ik
не зависит от порядка дифференцирования.
Для самой величины F имеем (при выполнении A3.2)) выра-
выражение
= F0-—-	.	A3.4)
О7Г
Свободная энергия F равна
F = F + ^ = F0 + ?^DiDk.	A3.5)
4тг	8тг
Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор е^
путем надлежащего выбора осей координат может быть приве-
приведен к диагональному виду. В общем случае, следовательно, тен-
тензор Sik определяется тремя независимыми величинами — тремя
главными значениями е^\ е^2\ е^. Все эти величины всегда
больше единицы, подобно тому как е > 1 у изотропного тела
(см. § 14).
В зависимости от той или иной симметрии кристалла чис-
число различных главных значений тензора e^fc может оказаться и
меньшим трех.
В кристаллах триклинной, моноклинной и ромбической си-
систем все три главных значения различны; эти кристаллы называ-
называются двухосными 1). При этом в кристаллах триклинной системы
направления главных осей тензора e^fc не связаны однозначным
образом с какими-либо кристаллографическими направлениями.
В кристаллах моноклинной системы заранее определенным яв-
является направление одной из главных осей — она должна сов-
совпадать с осью симметрии второго порядка или быть перпенди-
перпендикулярной к плоскости симметрии кристалла. В кристаллах же
ромбической системы кристаллографически определены все три
главные оси тензора е^.
Далее, в кристаллах тетрагональной, ромбоэдрической и гек-
гексагональной систем два из трех главных значений совпадают, так
что имеются всего две независимые величины; такие кристаллы
называют одноосными. Одна из главных осей совпадает при этом
с кристаллографической осью симметрии четвертого, третьего
или шестого порядка, а направление двух других главных осей
молено выбрать произвольным образом.
*) Это название связано с оптическими свойствами кристаллов — см.
98, 99.

§13	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ	89
Наконец, в кристаллах кубической системы все три главных
значения тензора е^ одинаковы, а направления главных осей
произвольны. Это значит, что тензор е^ имеет вид ебц^ т. е.
определяется одним скаляром е. Другими словами, в отношении
своих диэлектрических свойств кристаллы кубической симмет-
симметрии не отличаются от изотропных тел.
Все эти довольно очевидные свойства симметрии тензора е^
становятся особенно наглядными, если воспользоваться извест-
известным из тензорной алгебры понятием тензорного эллипсоида,
длина полуосей которого пропорциональна главным значениям
симметричного тензора второго ранга. Симметрия эллипсоида
должна соответствовать при этом симметрии кристалла. Так, в
одноосном кристалле тензорный эллипсоид вырождается в эл-
эллипсоид вращения, полностью симметричный относительно про-
продольной оси; подчеркнем, что для физических свойств кристал-
кристалла, определяющихся симметричным тензором второго ранга, на-
наличие оси симметрии уже третьего порядка эквивалентно полной
изотропии в плоскости, перпендикулярной к этой оси. В кристал-
кристаллах кубической симметрии тензорный эллипсоид вырождается в
сферу.
Остановимся теперь на особенностях диэлектрических
свойств кристаллов с постоянным членом Do в A3.1). Наличие
этого члена означает, что диэлектрик спонтанно поляризован и в
отсутствие внешнего электрического поля; такие тела называют
пироэлектрическими. Величина этой спонтанной поляризации,
однако, фактически всегда очень мала (по сравнению с моле-
молекулярными полями). Это обстоятельство связано с тем, что
большие значения Do приводили бы к существованию сильных
полей внутри тела, что энергетически весьма невыгодно и
потому не могло бы соответствовать термодинамическому
равновесию. Малость Do обеспечивает в то же время законность
разложения D по степеням Е, первыми двумя членами которого
и является выражение A3.1).
Термодинамические величины пироэлектрического тела на-
находим, интегрируя соотношение
откуда
— Г() — 	 — 	rjiJjQi.	[16.0)
Свободная энергия
-Dok).
A3.7)

90	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Отметим, что из F выпадает имевшийся в F член, линейный
по Я;1).
Полную свободную энергию пирозлектрика можно вычислить
по формуле A1.12), подставив в нее A3.7) и A3.1). В отсутствие
внешнего поля, <? = 0, получается простой результат:
= I (Fo ~ 1г)dv-
Отметим, что свободная энергия пирозлектрика в отсутствие
внешнего поля зависит (вместе с полем Е) не только от его объ-
объема, но и от формы.
Как уже было указано, явление пироэлектричества возмож-
возможно не при всякой симметрии кристалла. Поскольку при любом
преобразовании симметрии все свойства кристалла должны оста-
оставаться неизменными, то ясно, что пироэлектрическим может
быть лишь такой кристалл, в котором существует направление,
остающееся неизменным (в том числе не меняющееся на обрат-
обратное) при всех преобразованиях симметрии; в этом направлении
и будет лежать постоянный вектор Dq.
Этому условию удовлетворяют лишь те группы симметрии,
которые складываются из одной оси и проходящих через нее
плоскостей симметрии.
В частности, пироэлектрическими заведомо не могут быть
кристаллы, обладающие центром симметрии. Перечислим те из
32-х кристаллических классов, в которых существует пироэлек-
пироэлектричество:
триклинная система: С\,
моноклинная система: С5, С*2,
ромбическая система: С^ч
тетрагональная система: С*4,
ромбоэдрическая система: Сз,
гексагональная система: Cg, Cqv.
Среди кубических классов пироэлектрических, разумеется, вооб-
вообще нет. В кристалле класса С\ направление пироэлектрического
вектора Do не связано с каким-либо кристаллографически выде-
выделенным направлением, а в кристалле класса Cs должно лежать
в плоскости симметрии. Во всех же остальных из перечислен-
) Следует отметить, что в этих формулах мы в действительности пре-
пренебрегаем пьезозффектом (т. е. влиянием внутренних напряжений на элек-
электрические свойства тела, см. § 17). Поэтому они, строго говоря, применимы
лишь в случае однородных по объему тела полей, когда напряжения в теле
могут отсутствовать.

13	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ	91
ных выше классов направление Do совпадает с направлением
оси симметрии 1).
Следует указать, что в обычных условиях пироэлектрические
кристаллы не имеют полного электрического дипольного момен-
момента, хотя поляризация в них и не равна нулю. Дело в том, что
внутри спонтанно поляризованного диэлектрика имеется отлич-
отличная от нуля напряженность поля Е. Благодаря тому, что фак-
фактически образец обычно обладает некоторой, хотя и малой, но
все же не равной нулю проводимостью, наличие поля вызовет
появление тока, который будет течь до тех пор, пока образую-
образующиеся на поверхности тела свободные заряды не приведут к ис-
исчезновению поля в образце. В том же направлении действуют
ионы, оседающие на поверхность образца из воздуха. На опыте
пироэлектрические свойства наблюдаются при нагревании тела,
когда величина его спонтанной поляризации меняется и обнару-
обнаруживается это изменение.
Задачи
1.	Определить поле, создаваемое в пустоте пироэлектрическим шаром.
Решение. Внутри шара имеется однородное поле, в котором напря-
напряженность и индукция связаны соотношением 2Е = —D (как это следует из
(8.1) при С = 0, т. е. в отсутствие внешнего приложенного поля). Подстав-
Подставляя в A3.1), получим уравнение 2Ei+SikEk = —Dqi. Выберем оси координат
вдоль главных осей тензора Sik- Тогда найдем из этого уравнения
р — -Рог	р _ Dj — Ej _ 3Dqj
2+ е(*)' г	4тт	4тгB + ?<*))'
Поле вне шара есть поле электрического диполя с электрическим моментом
2.	Определить поле точечного заряда в однородной анизотропной
среде2).
Решение. Поле точечного заряда описывается уравнением div D =
= 4тге?(г) (заряд находится в начале координат). В анизотропной среде Di =
= SikEk = —Sikdtp/dxk', выбирая оси ж, у, z вдоль главных осей тензора Sik,
получим для потенциала уравнение
их	иу	uz
г) Говоря об условиях симметрии, мы рассматриваем кристаллическую
среду как неограниченную. Для конечного кристалла точное значение его
полного дипольного момента может зависеть (в ионном кристалле) от того,
по каким кристаллическим плоскостям проходят его грани — содержат ли
эти плоскости ионы одного знака или лее они электрически нейтральны. Но в
рамках макроскопической электродинамики, подразумевающей усреднение
по физически бесконечно малым объемам, естественно понимать как усред-
усредненное также и положение граней относительно кристаллической решетки.
В результате такого усреднения значение Do окажется равным нулю в лю-
любом непирозлектрическом конечном кристалле и не зависящим от огранки —
в пироэлектрическом.
2) В задачах 2-6 диэлектрическая анизотропная среда предполагается
непирозлектрической.

92	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Путем введения новых переменных согласно
x = x'VeW, y = y'Vs&>, z = z'Vs&	A)
оно приводится к виду
д/	4тге	f ,л
А ш =		— Sir ),
который формально отличается от уравнения для поля в пустоте лишь за-
заменой енае' = e[s(x) s(y) s(z)] ~1/2. Поэтому
В тензорных обозначениях, не предрешающих выбор системы координат,
е
Ч> =
где \е — определитель тензора е%к-
3. Определить емкость проводящего шара (радиуса а), погруженного в
анизотропную диэлектрическую среду.
Решение. Путем преобразования A) определение поля шара с
зарядом е в анизотропной среде сводится к определению поля в пустоте,
создаваемого зарядом е', распределенным по поверхности эллипсоида
eikxWk = е(х)х'2 + ему'2 + ем z'2 = а2.
Воспользовавшись формулой D.14) для потенциала поля эллипсоида,
получим для искомой емкости:
2	2	Г V /	~2\/	Л2 \ /	„2 \1 -1/2
I I С _L	I I С _L	I	AC
si ~ Г~П\ 77л 77л I I \ ^ ' _^> /\^ _/",,> /\^ _^> I I	^'
4. Определить поле в плоскопараллельной анизотропной пластинке, на-
находящейся во внешнем однородном поле (?.
Решение. Из условия непрерывности касательной составляющей
напряженности следует, что
Е = ? + Ап,
где Е — напряженность однородного поля внутри пластинки, п — единичный
вектор нормали к ее поверхности и А — постоянная. Последняя определяется
из условия непрерывности нормальной компоненты индукции: nD = п(?или
Отсюда
л _
В частности, если внешнее поле направлено по нормали к пластинке (ось z), то
Szz
Если поле параллельно пластинке и направлено по оси х\

§14	ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ	93
5. Определить момент сил, действующих на анизотропный диэлектри-
диэлектрический шар, находящийся (в пустоте) во внешнем однородном поле С
Решение. Согласно (8.2) имеем для напряженности поля внутри
шара
Ех = -\-?х
(и аналогично для Еу, Ez), причем оси ж, у, z выбраны вдоль главных осей
тензора Sik- Отсюда для компонент дипольного момента шара (радиуса а)
Компонента лее действующего на шар момента сил
Л*) _ Лу)
З3??
Kz =
+2)(е(») +2)
и аналогично для Кх, Ку.
6. В неограниченной анизотропной среде имеется сферическая полость.
Выразить поле в полости через однородное поле Е^ в среде вдали от поло-
полости.
Решение. Преобразованием A) задачи 2 уравнение для потенциала
поля в среде приводится к уравнению Лапласа для поля в пустоте. Уравне-
Уравнение же для потенциала поля в полости, напротив, превращается в уравнение
для потенциала в среде с диэлектрическими проницаемостями 1 /е^х\ 1 /е^у\
\/e^z\ Кроме того, шар (радиуса а) превращается в эллипсоид с полуосями
а/у/е(х\ а/у/е(у\ а/у/е^. Пусть п^х\ п^у\ rrz> — коэффициенты деполяри-
деполяризации такого эллипсоида (определяемые по формулам D.25)). Применяя к
полю этого эллипсоида формулу (8.7), получим соотношение
A п)	+
дх1 sW дх1	дх1
(и аналогичные — вдоль осей у' и z). Возвращаясь к прежним координатам,
имеем
дх1 дх
так что для поля в полости получаем окончательно
?«> = 	S—	Е{е).
§ 14. Положительность диэлектрической
восприимчивости
Для выяснения характера зависимости термодинамических
величин диэлектрика в поле от его диэлектрической проницае-
проницаемости рассмотрим формальную задачу об изменении электриче-
электрической части полной свободной энергии тела при бесконечно малом
изменении е.

94	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Для изотропного (но не обязательно однородного) диэлектри-
диэлектрика имеем согласно A0.20)
При изменении е изменяется также и индукция поля. Поэтому
рассматриваемая вариация свободной энергии равна
Первый член в правой части равенства совпадает с выражением
A0.2) для работы, совершаемой при бесконечно малом измене-
изменении источников поля (зарядов проводников). Но в данном случае
мы рассматриваем изменение поля при неизменных его источни-
источниках; поэтому этот член обращается в нуль, и мы получаем
= - [6-^^dV = - [ss—dV.	A4.1)
J ?2 8тг	J 8тг	V J
Из этой формулы следует, что всякое увеличение диэлектри-
диэлектрической проницаемости среды хотя бы в некотором ее участке
(при неизменных источниках поля), приводит к уменьшению ее
полной свободной энергии. В частности, молено утверждать, что
свободная энергия всегда уменьшается при внесении в диэлек-
диэлектрическую среду незаряженных проводников, поскольку послед-
последние могут рассматриваться (в электростатике) как тела с бес-
бесконечно большой е. Это утверждение обобщает высказанную в
§ 2 теорему об уменьшении энергии электростатического поля в
пустоте при внесении в него незаряженного проводника.
Полная свободная энергия уменьшается и когда какой-либо
заряд подносится к диэлектрическому телу из бесконечности
(что молено воспринимать как увеличение ? в некотором объ-
объеме поля вокруг заряда). Чтобы сделать отсюда заключение о
том, что всякий заряд притягивается к диэлектрику, надо бы-
было бы, строго говоря, доказать еще, что ^ не может достигнуть
минимума ни при каком конечном расстоянии между зарядом и
телом. Мы не станем останавливаться здесь на доказательстве
этого утверждения, тем более, что появление сил притяжения
между зарядом и диэлектриком можно рассматривать как до-
довольно очевидный результат взаимодействия этого заряда с ди-
польным моментом поляризуемого им диэлектрика.
Непосредственно из формулы A4.1) можно сделать заклю-
заключение о направлении движения диэлектрического тела в квази-
квазиоднородном поле, т. е. в поле, которое можно считать постоян-
постоянным на протяжении размеров тела. В этом случае Е2 выносится
из-под знака интеграла и разность ^ — ^о есть отрицательная
величина, пропорциональная Е2. Стремясь занять положение, в

§15	ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ	95
котором его свободная энергия минимальна, тело будет, следо-
следовательно, перемещаться в направлении увеличения Е.
Независимо от формулы A4.1) молено показать, что полное
изменение свободной энергии диэлектрического тела при внесе-
внесении его в электрическое поле отрицательно1). Это можно сде-
сделать с помощью термодинамической теории возмущений, рас-
рассматривая изменение свободной энергии тела как результат воз-
возмущения его квантовых уровней энергии внешним электриче-
электрическим полем. Согласно этой теории имеем
Tl ТП
A4.2)
(см. V, C2.6)). Здесь Еп — невозмущенные уровни, Vmn — мат-
матричные элементы возмущающей энергии, а черта обозначает ста-
статистическое усреднение с помощью распределения Гиббса
wn =ехр	.
Член Vпп в формуле A4.2), линейный по полю, отличен от нуля
только в пироэлектрических средах. Интересующее же нас квад-
квадратичное по полю изменение свободной энергии дается осталь-
остальными членами этой формулы; их отрицательность очевидна.
С другой стороны, из самого вывода формулы A4.2) ясно,
что полная свободная энергия ^ должна пониматься в ней в
указанном в § 11 смысле — из нее исключена энергия поля, кото-
которое существовало бы в отсутствие тела. Поэтому разность ^ —
— ^о дается термодинамической формулой A1.7). Рассмотрим
тело в виде длинного цилиндра, расположенного вдоль однород-
однородного внешнего поля <?. Тогда поле внутри цилиндра совпадает с
<?, а его поляризация Р = (е — 1)<?/Dтг), так что
^^0
8тг
Отсюда следует, что разность ^—^о будет отрицательна, только
если е > 1. Мы приходим к упомянутому в § 7 и использованно-
использованному уже ранее утверждению, что диэлектрическая проницаемость
всякого тела больше единицы, т. е. его диэлектрическая воспри-
восприимчивость к = (е — 1)/Dтг) положи тел ьн а.
Таким же образом доказываются неравенства eW > 1 дЛЯ
главных значений тензора e^fc анизотропной диэлектрической
среды. Для этого достаточно рассмотреть энергию поля, направ-
направленного вдоль каждой из трех главных осей.
г) Имеется в виду изменение, пропорциональное квадрату поля. Напом-
Напомним, что в пироэлектрических телах изменение свободной энергии содержит
также и линейный по полю член, который нас здесь не интересует.

96	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
§ 15. Электрические силы в жидком диэлектрике
Вопрос о вычислении сил (их называют пондеромоторными),
действующих на диэлектрик в произвольном неоднородном элек-
электрическом поле, довольно сложен и требует раздельного рассмот-
рассмотрения для жидких (или газообразных) и твердых тел. Мы начнем
с более простого случая жидких диэлектриков.
Будем обозначать через f dV силу, действующую на элемент
объема среды dV, вектор f молено назвать объемной плотностью
сил.
Как известно, силы, действующие на какой-либо конечный
объем тела, могут быть сведены к силам, приложенным к по-
поверхности этого объема (см. VII, § 2). Это обстоятельство явля-
является следствием закона сохранения импульса. Сила, действую-
действующая на вещество в объеме dV, представляет собой изменение его
импульса в единицу времени. Это изменение должно быть равно
количеству импульса, втекающего в течение того же времени в
этот объем через его поверхность. Если обозначить тензор пото-
потока импульса через — сг^, то
JfidV=faikdfk,	A5.1)
где интегрирование в правой части равенства производится по
поверхности объема V. Тензор а^ называют тензором напря-
напряжений. Очевидно, что
есть г-я компонента силы, действующей на элемент поверхности
df (n — единичный вектор нормали к поверхности, внешней по
отношению к данному объему).
Аналогичным образом сводится к интегралу по поверхности
также и полный момент сил, действующих на данный объем, чем
обеспечивается выполнение закона сохранения момента импуль-
импульса. Как известно, возможность этого сведения связана с сим-
симметричностью тензора напряжений (а^ = <уы)\ последняя яв-
является, таким образом, выражением закона сохранения момента
импульса.
Преобразуя интеграл по поверхности в A5.1) в интеграл по
объему, получим
~7-^dV
дхк
и отсюда, ввиду произвольности объема интегрирования,
fi = |^.	A5.2)
Это — известная формула, выражающая объемные силы через
тензор напряжений.

§ 15	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ЖИДКОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ	97
Приступим теперь к вычислению тензора напряжений. Каж-
Каждый малый участок поверхности молено рассматривать как плос-
плоский, а тело и электрическое поле вблизи него — как однородные.
Поэтому для упрощения вывода мы можем, без всякого огра-
ограничения общности, рассмотреть однородный (по составу, плот-
плотности и температуре) плоскопараллельный слой вещества (тол-
(толщины /г), находящийся в однородном электрическом поле1). Это
поле можно представлять себе как создаваемое приложенными
к поверхности слоя проводящими плоскостями (обкладками кон-
конденсатора).
Следуя общему методу определения сил, подвергнем одну из
обкладок («верхнюю») параллельному виртуальному смещению
на бесконечно малую величину ?; направление ? произвольно
и не обязательно совпадает с направлением нормали п. Будем
считать, что потенциал проводника (в каждой его точке) оста-
остается при смещении неизменным, а вызываемая этим смещением
однородная деформация слоя диэлектрика — изотермична.
На единицу площади поверхности действует со стороны само-
самого тела (слоя) сила —а^п^. При виртуальном смещении эта сила
производит работу —(Jik^kii- С другой стороны, работа, произво-
производимая при изотермической деформации и постоянных потенциа-
потенциалах проводников, равна убыли величины J F dV или (на единицу
площади поверхности слоя) величины hF. Таким образом,
viktifik = S(hF) = hSF + F6h.	A5.3)
Термодинамические величины жидкости зависят (при дан-
данных температуре и напряженности поля) только от ее плотно-
плотности; деформации, не меняющие плотности (деформации сдвига),
не отражаются на термодинамическом состоянии. Поэтому для
изотермической вариации SF в жидкости пишем
SF = (°l) SE+(°l) 6Р = -™ + (°1) 6Р. A5.4)
Изменение плотности слоя вещества связано с изменением его
толщины соотношением 6р = —p6h/h. Вариация же поля вычис-
вычисляется следующим образом.
В данную точку пространства (с радиус-вектором г) попадает
при смещении вещество из точки г— и, где и — вектор смещения
г) Тем самым мы отбрасываем в тензоре напряжений члены, которые мог-
могли бы зависеть от градиентов температуры, поля и т. п. Эти члены, однако,
исчезающе малы по сравнению с членами, не содержащими производных, в
том же смысле, как малы члены с производными, которые могли бы при-
присутствовать в зависимости D от Е.
4 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ
частиц в объеме слоя. Поскольку в рассматриваемых условиях
(однородная деформация и постоянство потенциала на обклад-
обкладках) каждая частица вещества перемещается вместе со своим
значением потенциала, то изменение последнего в данной точ-
точке пространства есть
S(p = (р(т - и) - <р(г) = —uV<p = иЕ,
где Е — однородное поле внутри недеформированного слоя. Но
ввиду однородности деформации имеем
где z — расстояние от нижней поверхности. Поэтому вариация
напряженности поля
ЯЕ = -±п(Е?).	A5.6)
h
Подставляя все полученные выражения в A5.4) и учитывая
также, что 6h = ?z = ?n, получим
¦{
EiDk dFx , nr
4тг	dp
Отсюда окончательно находим следующее выражение для тен-
тензора напряжений:
A5.7)
E,TJ	47Г
В изотропных средах, которые здесь и рассматриваются, направ-
направления Е и D совпадают. Поэтому E{Dk = ЕкЪ{ и тензор A5.7),
как и должно быть, симметричен 1).
При линейной связи D = еЕ имеем
F = F0(p,T) - ^	A5.8)
(см. A0.17)); Fq есть свободная энергия единицы объема веще-
вещества в отсутствие поля. Согласно известному термодинамическо-
термодинамическому соотношению, производная от свободной энергии 1 г вещества
2) Тот факт, что в изложенном выводе направление Е совпадает с п, несу-
несуществен, так как заранее очевидно, что стгк может зависеть лишь от направ-
направления Е, но не п.

§ 15	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ЖИДКОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ	99
по удельному объему есть давление:
д F
Pq = Pq(p^T) есть то давление, которое имелось бы в среде в
отсутствие поля при данных значениях р и Г. Поэтому при под-
подстановке A5.8) в A5.7) получим
^ Ч ' 'гк + Щ^.	A5.9)
В пустоте это выражение переходит в известный максвелловский
тензор напряжений электрического поля 1).
Силы, с которыми действуют на поверхность раздела две со-
соприкасающиеся различные среды, должны быть равны и проти-
противоположны: (JikUk = —^'ik4'^ гДе величины со штрихом и без него
относятся к двум средам. Векторы нормали п и п' имеют взаим-
взаимно противоположные направления, так что молено написать
(УгкПк = &'гкпк-	A5.10)
На границе двух изотропных сред равенство тангенциальных
составляющих сил соблюдается тождественно. Действительно,
подставив A5.7) в A5.10) и взяв тангенциальную компоненту,
получим
EtDn = E'tD'n.
Но это равенство удовлетворяется уже в силу граничных усло-
условий непрерывности Е^ и Dn. Условие же равенства нормальных
составляющих сил дает нетривиальное условие, налагаемое на
разность давлений в обеих средах.
Рассмотрим, например, границу между жидкостью и атмо-
атмосферой (для последней можно положить е = 1). Отмечая штри-
штрихом величины, относящиеся к атмосфере, и пользуясь для а^
формулой A5.9), получим
Учитывая граничные условия Et = E[, Dn = sEn = D'n = Efn,
перепишем это равенство в виде
См. примеч. на с. 51.

100	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Это соотношение надо понимать как уравнение, определяющее
плотность р жидкости вблизи ее поверхности по напряженности
электрического поля в ней.
Определим теперь действующие в диэлектрической среде
объемные силы. Дифференцируя согласно A5.2) выражение
A5.9), получим
_ Е^д^ +
8тг дхг
4тг L 2 дхг	дхк
При учете уравнения div D = dD^/dx^ = 0 выражение в скобках
в последнем члене сводится к сумме
_еЕ dE± + D дЕ± = -D (?** - dEi)
дхг	дхк	V дхг дхк /
обращающейся в нуль ввиду того, что rot E = 0. Таким образом,
получаем
f = -gradP0(p,r) + i.grad^2p(g)J "^grads A5.12)
(Я. Helmholiz, 1881).
Если в диэлектрике имеются сторонние заряды с объемной
плотностью рст, то к силе f добавится еще член Ediv D/Dtt);
поскольку div D = 4тг/эст, то этот член равен
РстЕ;	A5.13)
не следует, однако, думать, что этот результат самоочевиден (ср.
задачу 3 § 16).
В газе, как уже было указано в § 7, можно считать разность
е — 1 пропорциональной его плотности. Тогда рде/др = е — 1 и
формула A5.12) принимает более простой вид:
f = -VP0 + — grad?2.	A5.14)
8тг
Формула A5.12) справедлива для сред как однородных, так
и неоднородных по своему составу. В неоднородной среде е яв-
является функцией не только р и Г, но и меняющейся вдоль среды
концентрации смеси. В однородной же по составу среде е есть
функция только /9, Г, и grad e молено раскрыть как

§ 15	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ЖИДКОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ	101
Тогда A5.12) приобретает вид:
|)]?(|?)	(шв)
Если и температура постоянна вдоль тела, то третий член обра-
обращается в нуль, а в первом можно заменить VPo на pV?b (согласно
известному термодинамическому соотношению для химического
потенциала в отсутствие поля: pd^o = dPo — S$dT) и
где ? — химический потенциал вещества в электрическом поле
(см. A0.19)).
В частности, условие механического равновесия f = 0 при
постоянной температуре гласит:
в согласии с общим термодинамическим условием равновесия.
Обычно это условие может быть написано в еще более простом
виде. Изменение плотности среды под влиянием поля само про-
пропорционально -Е2. Поэтому, если в отсутствие поля среда одно-
однородна по своей плотности, то и при наличии поля в последних
двух членах в A5.15) следует полагать р = const; учет изменения р
в формулах, предполагающих линейную связь D = еЕ, был бы
превышением их точности. Тогда, приравнивая нулю f из A5.15),
получим при постоянной температуре условие равновесия в виде
)-^(^)г = const,	A5.18)
отличающемся от A5.17) тем, что вместо (о в нем стоит о/р
В заключение этого параграфа покажем, каким образом мож-
можно вывести непосредственно выражение для силы A5.12) из фор-
формулы A4.1), — если не ставить себе целью вычисление тензора
напряжений.
Рассмотрим неограниченную неоднородную диэлектриче-
диэлектрическую среду, подвергаемую изотермической малой деформации,
обращающейся в нуль на бесконечности. Вариация бе складыва-
складывается из двух частей: 1) из изменения
е(т - и) - е(г) = —uVe,
связанного с тем, что в результате деформации в заданную точку
г приходит частица вещества из точки г — и, и 2) из изменения

102	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
связанного с изменением плотности вещества в точке г: как из-
известно (см. VII, § 1), div u есть относительное изменение элемента
объема и потому изменение плотности есть 5р = — р div u. Таким
образом, вариация свободной энергии:
5& = S^o- f 5e—dV =
J 87Г
= - [PodivudV+ Г— \иХ/?+ (— ) pdivul dV A5.19)
J	J 8тг [	\9pJt	\
(первый член — вариация свободной энергии в отсутствие поля).
Проинтегрировав в A5.19) члены с div u по частям и сравнив
результат с выражением 8^ = — J uf dV вариации свободной
энергии через работу сил f, получим A5.12).
§ 16. Электрические силы в твердых телах
Диэлектрические свойства твердого тела меняются не только
при изменении его плотности (как у жидкости), но и при дефор-
деформациях, не меняющих плотности (сдвигах). Мы рассмотрим сна-
сначала тела, которые в отсутствие поля изотропны. Деформация
нарушает, вообще говоря, изотропию тела; в результате стано-
становятся анизотропными также и его диэлектрические свойства, и
скалярная диэлектрическая проницаемость ? заменяется диэлек-
диэлектрическим тензором Eik-
Состояние слабо деформированного тела описывается, как
известно, тензором деформации
1(8_щ ЗиЛ
1к	2 \дхк	dXi) '
где и(ж, у, z) — вектор смещения точек тела. Ввиду малости этих
величин в изменении компонент e^fc достаточно ограничиться
лишь членами первого порядка по щ^. Соответственно этому
представим диэлектрический тензор деформированного тела в
виде
^	8.	A6.1)
Здесь sq — диэлектрическая проницаемость недеформированно-
го тела, а последние два члена (с двумя скалярными постоян-
постоянными ai, CL2) представляют собой наиболее общий вид тензора
второго ранга, который молено составить линейным образом из
компонент тензора щк.
Посмотрим теперь, в каком пункте должен быть изменен
вывод, изложенный в предыдущем параграфе. Поскольку в твер-
твердом теле F зависит от всех компонент тензора деформации,

§ 16	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	103
то вместо A5.4) надо писать
SF = -—TiSE+—
4тг	дщк
При рассматриваемом виртуальном смещении вектор и дается
формулой A5.5), так что тензор деформации
Щк = —(&пк + €кЩ)-
2п
Подставив это в 6F и учитывая симметрию тензора щ\~ (а потому
и производных dF/дщк), получим
J	JI|^nfe.	A6.2)
h дщ
Теперь ясно, что для тензора напряжений мы получим вместо
A5.7) следующее выражение1):
%х / dF \	EiDk	(Ла q\
aik = Fdik + -—	+ ——.	A6.3)
V 0Щк /TE 4тг
Формула A6.3) применима при любой зависимости D от Е.
Для непиро- (и непьезо-) электрического тела, в котором Di =
= SikEki F дается формулой A3.4), и для нужных нам производ-
производных получаем
dF dFo 1
дщк дщк 8тг
+
После этого везде в A6.3) полагаем e^fc — eo^ik и находим сле-
следующую формулу для тензора напряжений:
(°) 2	+я .	(ла л\
°гк Vik + оbibk	^Ь °ik^
О7Г	О7Г
@)
а^к есть тензор напрялсении в отсутствие электрического поля,
определяющийся через тензор деформации и модули сдвига и
сжатия по обычным формулам теории упругости.
2) Величина F в этой формуле, как и везде выше, есть свободная энер-
энергия, отнесенная к единице объема тела. В теории упругости, однако, обыч-
обычно принимается несколько иное определение: термодинамические величины
относят к количеству вещества, заключенному в единице объема недефор-
мированного тела, которое после деформирования может занять несколько
иной объем. Переход от одного определения к другому легко произвести, вы-
выражая относительное изменение объема при деформации через тензор Щк
(ввиду наличия в A6.3) производной по Щк это надо сделать с точностью
до членов второго порядка). В результате оба первых члена в A6.3) сведут-
сведутся к одному члену вида dF/дщк, в согласии с обычной формулой теории
упругости.

104	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Перейдем теперь к аналогичным вычислениям для анизо-
анизотропных твердых тел 1). Изменения, которые должны быть при
этом внесены в изложенный выше вывод, заключаются в следую-
следующем. При виртуальной деформации слоя вещества его кристал-
кристаллографические оси испытывают поворот, в результате чего меня-
меняется их ориентация по отношению к электрическому полю. Ввиду
анизотропии диэлектрических свойств кристалла это обстоятель-
обстоятельство приводит к дополнительному изменению F\ не учтенному
в A6.2). При вычислении этого изменения безразлично считать,
оси ли кристалла поворачиваются на некоторый угол Sip отно-
относительно поля Е или поле поворачивается относительно осей на
угол — S(f] второй способ более удобен.
Таким образом, к вариации поля A5.6), рассматривавшей-
рассматривавшейся нами ранее, надо прибавить изменение Е при повороте на
угол — Sip:
5Е = -!n(E?)- [Stp-E].
h
Угол Sip связан с вектором смещения и при деформации посред-
посредством Sip = A/2) rot u (это равенство легко получить, заметив,
что при повороте тела на угол Sip его точки смещаются на и =
= [Sip • г]). Подставив сюда и из A5.5), получим
а затем
«5Е = -i
Первый член в A6.2) принимает вид
Отсюда видно, что в A6.3) произведение E^D^ должно быть за-
заменено стоящей здесь в скобках полусуммой:
^ ^	.	A6.5)
Отметим, что полученное выражение автоматически оказывает-
оказывается, как и должно быть, симметричным по индексам г и к.
г) Мы увидим в § 17, что явление злектрострикции в кристаллах может
при определенных типах симметрии весьма существенно отличаться от злек-
злектрострикции изотропных тел. Такие кристаллы называют пьезоэлектриче-
пьезоэлектрическими. Здесь же будет идти речь об злектрострикции в непьезозлектриче-
ских кристаллах.

§ 16	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	105
Что касается диэлектрического тензора деформированного
кристалла, то вместо выражения A6.1) с двумя скалярными по-
постоянными мы будем иметь в общем случае выражение вида
Sik = ?$ + 0>%ЫтЩт,	A6.6)
где Щк1т — постоянный тензор четвертого ранга, симметричный
по парам индексов г, к и /, т (но не симметричный по отношению
к перестановке пары г, к с парой /, т). Число отличных от ну-
нуля независимых компонент этого тензора зависит от симметрии
кристалла, а именно от его кристаллического класса.
Мы не станем выписывать здесь формулы для тензора напря-
напряжений (аналогичной A6.4)), получающейся при использовании
A6.6).
Полученные формулы определяют напряжения внутри твер-
твердого диэлектрика. Они, однако, не нужны, если мы хотим опре-
определить полную силу F или полный момент сил К, действующие
на тело со стороны внешнего поля. Рассмотрим тело, погружен-
погруженное в жидкую (или газообразную) среду и удерживаемое в ней
неподвижно. Полная действующая на него сила равна интегра-
интегралу § cFiknk df, взятому по его поверхности. В силу непрерывности
сил OikUk безразлично, вычисляется ли этот интеграл по значе-
значениям Oik из A6.4), или из формулы A5.9), относящейся к ок-
окружающей тело среде. Предположим, что эта среда находится
в механическом и тепловом равновесии. Тогда вычисление еще
более упрощается, если учесть условие равновесия A5.18). В си-
силу этого условия часть тензора напряжений A5.9) оказывается
постоянным вдоль среды равномерным сжимающим (или рас-
растягивающим) давлением, не дающим никакого вклада в полные
действующие на тело силу F и момент сил К. Для вычисления
последних молено, следовательно, писать а^к в виде
uik = f (EiEk - Щ-бЛ ,	A6.7)
где Е — поле в жидкости, as — ее диэлектрическая проницае-
проницаемость.
Это выражение отличается от максвелловского тензора на-
напряжений электрического поля в пустоте лишь множителем е.
Таким образом:
F = — / |е(пЕ) - -Е2п\ dj,	A6.8)
К = |-^{[гЕ](пЕ) - ^2[rn]} df.	A6.9)
Отметим также, что поскольку жидкость находится в равно-
равновесии, то в этих формулах можно производить интегрирование

106	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
по любой замкнутой поверхности, охватывающей рассматрива-
рассматриваемое тело (но, разумеется, не заключающей в себе заряженных
тел, являющихся источниками поля).
К вопросу о вычислении полной силы, действующей на ди-
диэлектрик в электрическом поле (в пустоте), можно подойти и
с другой точки зрения, выражая ее не через фактически су-
существующее поле, а через то поле <?, которое создавалось бы
заданными источниками в отсутствие диэлектрика; это есть то
«внешнее поле», в которое вносится тело. При этом предполага-
предполагается, что распределение зарядов, создающих поле, не меняется
при внесении тела в поле. Это условие может фактически не вы-
выполняться, например, если заряды распределены по поверхности
протяженного проводника и диэлектрик подносится на конечное
расстояние к нему.
При виртуальном параллельном переносе тела как целого на
бесконечно малое расстояние и полная свободная энергия тела
изменится согласно A1.3) на
где
$<? = <?(r + u) - <?(r) = (uV)<?
есть изменение поля <? по отношению к заданной точке тела.
Поскольку u = const и rot <? = 0, имеем
P(uV)? = (PV)(u?) = u(PV)?,
так что
С другой стороны, 8^ = — uF, и мы приходим к следующей
формуле для искомой силы -1):
F = J (PV)CdV.	A6.10)
Аналогичным образом молено определить полный момент
сил, действующих на тело. Не останавливаясь на соответствую-
соответствующих вычислениях, укажем результат:
К = J [P?] dV + J [r • (PV)?] dV.	A6.11)
г) Подчеркнем, однако, что подынтегральное выражение в этом интегра-
интеграле нельзя интерпретировать как объемную плотность сил. Дело в том, что
местные силы в диэлектрике связаны не только с полем С, но и с собственны-
собственными внутренними полями в нем, которые, в силу закона сохранения импульса,
не дают никакого вклада в полную силу, но влияют на распределение сил
по объему тела.

§ 16	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	107
В квазиоднородном поле, которое молено считать постоянным
на протяжении размеров тела, формула A6.10) в первом прибли-
приближении дает
f=
где & — полный дипольный момент поляризованного диэлектри-
диэлектрика, что, разумеется, молено было бы получить и прямым диффе-
дифференцированием & из A1.8). В формуле A6.11) в первом при-
приближении вообще пренебрегаем вторым членом по сравнению с
первым и приходим к естественному результату:
К = [&><?].	A6.13)
Задачи
1. Диэлектрический шар (радиуса а), находящийся во внешнем одно-
однородном поле С, разрезан на две половины плоскостью, перпендикулярной к
направлению поля. Определить силу притяжения между полушариями.
Решение. Представляем себе полушария разделенными бесконечно
тонкой щелью и определяем силу по формуле A6.8) (с г = 1), производя в
ней интегрирование по поверхности полушария, причем Е — напряженность
поля в пустоте у поверхности. Согласно (8.2) поле внутри шара однородно
и равно Е^ = 3?/B + ?) (е — диэлектрическая проницаемость шара). Поле
в щели перпендикулярно к поверхности и равно
Е = D«> = -^-С.
2 + ?
На внешней лее поверхности шара
Ег = D(ri] = -^—?cos<9, Ев = Е%] =	— ?sin0,
А ~\~ S	А "Т" S
где в — угол между радиус-вектором и направлением (?.
Вычисление интеграла приводит к силе притяжения, равной )
2. Определить изменение формы диэлектрического шара во внешнем
однородном электрическом поле.
Решение вполне аналогично решению задачи 4 § 5. При определении
изменения формы предполагаем объем шара неизменным 2). Для упругой
части свободной энергии имеем то лее выражение, что и в задаче 4 § 5.
Электрическая часть дается выражением
8тг1 +n(sW -1)
г) Совпадение предела этого выражения при г —>¦ оо с результатом зада-
задачи 3 § 5 для проводящего шара случайно (в действительности даже знак
этих сил различен). Физическая неэквивалентность обоих случаев ясна из
того, что в щели между двумя проводящими полушариями (находящимися
при одинаковом потенциале) нет поля, а в данной задаче — есть.
2) Изменение объема определяется в задаче 1 § 12.

108	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
(см. (8.9)), причем диэлектрическая проницаемость вдоль оси х согласно
A6.1)
(х)	2cli .	ч	2di а — Ъ
гк = го + а\ихх = го -\	(ихх — иУу) = so H	.
3	о R
Из условия минимума полной свободной энергии найдем (с учетом малости
искомой величины):
а-Ъ _ 9С2 (go-lJ + 5ai/2
R ~ 40тг/л (?0 + 2J
При ?о —>• оо это выражение переходит в результат для проводящего шара.
3. Определить объемные силы в изотропном твердом диэлектрике при
наличии в нем сторонних зарядов; тело предполагается однородным.
Решение. Предполагая ео, а\, a<i постоянными и используя уравнения
rot Е = 0, div D « so div E = 4тгрСт,
получим из A6.4)
J дхк дхк 8тг V2	) дхг V 2so)
§ 17. Пьезозлектрики
Внутренние напряжения, появляющиеся в изотропном ди-
диэлектрике в электрическом поле, представляют собой эффект,
квадратичный по полю. Такой же эффект имеет место и в кри-
кристаллах, относящихся к ряду кристаллографических классов. Но
при определенных типах симметрии злектрострикционные свой-
свойства кристаллов имеют существенно иной характер. Внутренние
напряжения, возникающие в электрическом поле, в этих телах
(пъезоэлектриках) пропорциональны первой степени поля. Со-
Соответственно имеет место и обратный эффект — деформирова-
деформирование пьезозлектрика сопровождается появлением в нем поля, про-
пропорционального величине деформации.
Интересуясь в пьезозлектрике лишь основным, линейным эф-
эффектом, мы можем пренебречь в общей формуле A6.5) квадра-
квадратичными по полю членами. Тогда
duik
Ниже в этом параграфе мы будем пользоваться термодинамиче-
термодинамическими величинами, отнесенными к количеству вещества, заклю-
заключенному в единице объема недеформированного тела (см. при-
примеч. на с. 103). Понимая F в этом смысле, будем иметь

§ 17	ПЬЕЗОЗЛЕКТРИКИ	109
Соответственно термодинамическое соотношение для дифферен-
дифференциала dF будет
dF = -SdT + aikduik - — DdE.	A7.2)
4тг
По поводу последнего члена надо сделать следующее замечание:
в таком виде этот член (перенесенный сюда из A0.9)) относит-
относится, строго говоря, к единице объема деформированного тела. Не
учитывая этого, мы допускаем ошибку, которая, однако, в дан-
данном случае (для пьезозлектрика) является величиной более вы-
высокого порядка малости, чем остальные члены в A7.2).
В A7.2) роль независимых переменных играют компоненты
тензора щк. Иногда бывает удобно пользоваться в качестве та-
таковых компонентами сг^. Для этого надо ввести термодинамиче-
термодинамический потенциал, определяемый как
$ = F-uikaik.	A7.3)
Для дифференциала этой величины будем иметь
с?Ф = -SdT - uikdaik - — D dE.	A7.4)
4тг
Подчеркнем, что введение в электродинамике термодинамиче-
термодинамического потенциала Ф согласно формулам A7.3) и A7.4) связано со
справедливостью соотношения A7.1) и потому возможно лишь
для пьезоэлектрических тел.
Определив таким образом нужные нам термодинамические
величины, перейдем к описанию пьезоэлектрических свойств
кристаллов. Выбрав величины <j{k и Ек в качестве независи-
независимых переменных, мы должны рассматривать индукцию D как
их функцию, а в разложении этой функции надо сохранить чле-
члены первого порядка по ним. Линейные члены разложения ком-
компонент вектора по степеням компонент тензора второго ранга в
наиболее общем случае могут быть написаны в виде 4тг7г,/с/сг/с/5
где совокупность постоянных 7г,/с/ составляет тензор третьего
ранга (множитель 4тг введен для удобства). Поскольку тензор
aki симметричен по своим индексам, то ясно, что и тензор 7г,/с/
можно считать симметричным по соответствующим двум индек-
индексам:
Ъ,м = 7г,//с;	A7.5)
для наглядности мы отделяем запятой симметричную пару ин-
индексов Ы от третьего индекса. Будем называть тензор 7г,/с/ пье-
пьезоэлектрическим. Его заданием полностью определяются пьезо-
пьезоэлектрические свойства кристалла.
Добавив пьезоэлектрические члены к выражению A3.1) для
электрической индукции в кристалле, напишем
Di = Di0 + sikEk + 4тглмак1.	A7.6)

110	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Соответствующие дополнительные члены появятся и в термо-
термодинамических величинах. У непьезозлектрического кристалла в
отсутствие поля термодинамический потенциал
ф = ф = ф0 - -HiklmGikGlm,
где Фо относится к недеформированному телу, а второй член
представляет собой обычную упругую энергию, определяющу-
определяющуюся тензором упругих постоянных /^г/с/ш1)- Для пьезозлектрика
же будем иметь
Ф = Фо - lfJ,ikim<7ik<7im ~ ^-?ikEiEk - ^-EiDi0 - ъ,ыЕ%°ы- A7.7)
Z	О7Г	4ТГ
Вид последних трех членов определяется тем, что производные
от Ф по Е{ (при заданных внутренних напряжениях и темпера-
температуре) согласно формуле
дол лены дать выражения A7.6).
Зная Ф, молено получить согласно A7.4) формулу, выражаю-
выражающую тензор деформации через напряжения а^ и поле Е:
я	 )	= ViklmVlm + %ikEl.	A7.8)
daik J
Следует отметить, что смысл величин \iik\m и eik как упругих
постоянных и диэлектрической проницаемости в пьезозлектри-
ке в определенном смысле условен. При выбранном нами опре-
определении они дают соответственно зависимость деформации от
2) Тензор fiikim определяет связь между напряжениями и деформацией
согласно	оф
Щк = — "Г	 = l^iklmCTlm-
OCTik
В VII, § 10 мы писали обратную зависимость
О"гк = ^гЫтЩт-
Ясно, что все свойства симметрии тензора fiikim полностью совпадают со
свойствами симметрии тензора Xikim-
В свободную энергию F упругая энергия входит со знаком плюс:
i^ynp = -^iklmUikUlm-
Термодинамический же потенциал получается из F вычитанием сТгкЩк, и
потому
Фупр = -^упр — CTikUik =	^iklmUikUlm =	l^iklmCTikCTlm-

§ 17	ПЬЕЗОЗЛЕКТРИКИ	111
упругих напряжений при заданной напряженности поля и зави-
зависимость индукции от напряженности при заданных напряжени-
напряжениях. Если лее деформирование происходит при заданной индукции
поля или лее мы рассматриваем зависимость индукции от на-
напряженности при заданной деформации, то роль упругих коэф-
коэффициентов и диэлектрической проницаемости будут играть дру-
другие величины, которые могут быть выражены (хотя и довольно
сложным образом) через компоненты тензоров /i, e и 7.
Определение поля в пьезоэлектрическом теле должно про-
производиться одновременно с определением его деформации и
представляет собой совместную задачу электростатики и теории
упругости. Именно, следует искать совместное решение электро-
электростатических уравнений
divD = 0, rotE = 0	A7.9)
с D из A7.6) и уравнений упругого равновесия
^ = 0	A7.10)
ох к
с соответствующими граничными условиями на поверхности те-
тела и с учетом связи между а^ и деформацией, даваемой фор-
формулами A7.8). В общем случае такая постановка задачи весьма
сложна.
Задача очень упрощается для тела эллипсоидальной формы
со свободной поверхностью (т. е. к которой не приложены ника-
никакие внешние механические силы). В этом случае (§ 8) поле вну-
внутри тела, а потому и его деформация однородны, а все упругие
напряжения а^ = 0.
Наконец, займемся вопросом о том, какие типы кристалличе-
кристаллической симметрии допускают существование пьезоэлектричества.
Другими словами, надо рассмотреть ограничения, накладывае-
накладываемые условиями симметрии на компоненты тензора 7z,fcZ- В общем
случае этот тензор (симметричный по индексам к и I) имеет 18
отличных от нуля независимых компонент, фактически же число
независимых компонент обычно значительно меньше.
При всех преобразованиях симметрии данного кристалла все
компоненты его тензора 7г,/с/ должны оставаться неизменными
по величине. Отсюда сразу следует, что во всяком случае не мо-
может быть пьезозлектриком тело, обладающее центром симмет-
симметрии (в том числе, конечно, изотропное тело). Действительно, при
отражении в центре (изменение знака всех трех координат) ме-
меняют знак все компоненты тензора третьего ранга.
Из 32-х кристаллических классов допускают пьезоэлектриче-
пьезоэлектричество всего 20. Сюда относятся, прежде всего, 10 перечисленных
в § 13 классов, допускающих пироэлектричество (все пирозлек-

112	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
трики являются в то же время и пьезозлектриками). Кроме того,
пьезоэлектрическими являются кристаллы следующих 10 классов:
ромбическая система: 1?2,
тетрагональная система: D4, -Е^ ?4,
ромбоэдрическая система: D^,
гексагональная система: D$, С3Л0 -^з/и
кубическая система: Т, Т^.
Перечисление отличных от нуля компонент пьезоэлектрического
тензора для всех классов дано в задачах к этому параграфу.
Упомянем здесь еще о родственном пьезоэлектричеству яв-
явлении, возникающем при «деформировании» жидкого кристал-
кристалла; при этом мы будем иметь в виду нематические кристаллы.
Напомним (см. V, § 140), что эти жидкие среды характеризу-
характеризуются существованием некоторого выделенного направления пре-
преимущественной ориентации молекул. Это направление задается
в каждой точке среды единичным вектором d — директором
кристалла. В недеформированном жидком кристалле направле-
направление d постоянно вдоль всего его объема, в деформированном —
функция координат. Разложению A7.6) соответствует в жидком
кристалле выражение индукции в виде
Di = ?ikEk + Aireidi divd + 47re2[rot d • d]*,	A7.11)
где ei, в2 — скалярные коэффициенты (R.B. Meyer, 1969) 1).
Два последних члена, описывающие рассматриваемый эффект,
представляют собой наиболее общий полярный вектор, который
можно составить из вектора d и его первых производных по ко-
координатам. Отметим, что выражение A7.11) автоматически ока-
оказывается инвариантным относительно изменения знака d.
Что касается тензора диэлектрической проницаемости нема-
тического кристалла, то по своей симметрии он совпадает с та-
таковым для одноосных кристаллов, причем роль оси симметрии
играет местное (в каждой точке среды) направление директора.
Тензор Sik может быть представлен в виде
?%k = ?o8ik + ?adidk	A7.12)
с двумя независимыми постоянными sq n sa.
Задачи
1. Определить отличные от нуля компоненты 7г,м для непирозлектри-
ческих кристаллических классов, допускающих пьезоэлектричество.
Решение. Класс Di содержит три взаимно перпендикулярные оси
симметрии второго порядка, которые выбираем в качестве осей ж, у, z. По-
Повороты на 180° вокруг этих осей меняют знаки каждых двух из трех коор-
координат. Поскольку компоненты 7г,м преобразуются как произведения
2) Пироэлектричество в нематических кристаллах фактически неизвестно,
поэтому полагаем Do = 0.

§ 17	ПЬЕЗОЗЛЕКТРИКИ	113
то отличными от нуля могут быть только те из них, все три индекса которых
различны:
^x^yz-s ^z^xys ^Уу,гх]
остальные отличные от нуля компоненты равны этим в силу свойства 7г,ы =
= 7«,^- Соответственно пьезоэлектрическая часть термодинамического по-
потенциала *)
Фпьезо = -2(jX:yzEx(TyZ + Jy:xzEy(Txz + Jz,xyEz(TXy).	A)
Класс D2d получается добавлением к осям класса Di еще двух плоско-
плоскостей симметрии, проходящих через одну из осей (пусть ось z) и делящих
пополам углы между осями х и у. Отражение в одной из этих плоскостей
означает преобразование х —»> у, у —»> ж, z —»> z. Поэтому компоненты 7г,м?
отличающиеся перестановкой индексов х и у, должны быть одинаковыми,
так что из трех коэффициентов в A) остаются независимыми лишь два:
Класс Т получается из класса Т>2 путем добавления четырех диаго-
диагональных осей симметрии третьего порядка, повороты вокруг которых осу-
осуществляют циклическую перестановку осей ж, у, z, например: х —»> z, у —>¦ ж,
z —>¦ у. Поэтому становятся равными все три коэффициента в A):
lfx,yz = lfy,zx = lfz,xy
Такой лее результат получается для кубического класса Т^.
Класс Х?4 содержит ось симметрии 4-го порядка (ось z) и четыре оси 2-
го порядка, лежащие в плоскости ху. В дополнение к элементам симметрии
класса Г>2 достаточно рассмотреть здесь поворот на 90° вокруг оси z, т. е.
преобразование х —»> у, у —»> —ж, z —>¦ г. В силу этого преобразования один
из коэффициентов в A) обращается в нуль (jz,xy = —Jz,xy = — Jz,xy, откуда
jZfXy = 0), а два других отличаются только знаком:
Такой же результат получается для класса Dq.
Класс $4 содержит преобразования х —»> у, у —>¦ —ж, г —>¦ —2; и ж —>> —ж,
у —>¦ —у, г —>¦ г. Отличны от нуля компоненты
7z,xyi Jx,yz = 7у,ж2, 72,азя; = —^z,yy, ^x,zx ~> —^y.zy
Соответствующим выбором направлений осей ж, у одна из этих величин
может быть обращена в нуль.
Класс Ds содержит ось симметрии 3-го порядка (ось z) и три оси симмет-
симметрии 2-го порядка в плоскости ху, одна из которых пусть будет направлена по
оси х. Для выяснения ограничений, налагаемых наличием оси третьего по-
порядка, удобно произвести формальное преобразование, вводя комплексные
«координаты»
? = х + iy, г) = х -%у\
2) Во избежание недоразумений напомним, что если вычислять компонен-
компоненты тензора деформации щи непосредственным дифференцированием кон-
конкретного выражения для Ф по сг^, то производные по компонентам аи с
i ф k дадут удвоенные значения соответствующих компонент Щк- Это свя-
связано с тем, что выражения Щк = —дФ/дсггк имеют по существу смысл лишь
как выражающие тот факт, что <9Ф = — Щк dcrik] но в сумму Щк dcrik члены
с дифференциалами недиагональных компонент симметричного тензора crik
входят дважды.

114	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
координату z оставляем без изменений. К этим новым координатам преоб-
преобразуем также и тензор 7г,м- В его компонентах индексы пробегают теперь
значения ?, rj, z. При повороте на 120° вокруг оси z эти координаты подвер-
подвергаются преобразованию
При этом остаются неизменными и потому могут быть отличными от нуля
лишь следующие компоненты тензора jifki: Ъм> ЪМ> la^vi 7?,??5 Ъ^гп
jz^zz. Поворот же на 180° вокруг оси х есть преобразование х —»> ж, у —»>
—>- — у, z —>- —г, т. е. ? —>- 7?, ^ —>• $5 z —>• —^- При этом 7^,^^ и 7z,zz изменяют
знак и потому должны обратиться в нуль, а остальные из перечисленных
выше компонент попарно переходят друг в друга, что приводит к равенствам
ivM = —7?,zt7, 7?,?? = lv,vv Для того чтобы написать выражение для ФПьезо,
надо составить сумму —"fi,kiEi(Jkii в которой индексы пробегают значения ?,
Здесь надо еще выразить компоненты Е{ и спк в координатах ^, г), z через
компоненты в исходных координатах ж, у, z. Это легко сделать, восполь-
воспользовавшись тем, что компоненты тензора преобразуются как произведения
соответствующих координат. Поэтому, например, из
?? = хх - уу + 2гху
следует, что
°"??. = °"хх — о-уу + 2i<jxy.
В результате получим
Фпьезо = 2a(Ey(Jzx — Exazy) + b[2Eyaxy — Ех(ахх — cryy)],	B)
где а = 2г7т7,;г?5 b = 27?,?? — вещественные постоянные. Соотношения между
компонентами 7г,ы в координатах ж, у, z гласят, как это видно из B) 1):
^Уу,гх = 7ж,гу = Q>i ^fy,xy = ^fx,xx = ^fx,yy = О.
Класс Dsh получается добавлением к классу Ds плоскости симметрии,
перпендикулярной к оси третьего порядка (плоскость ху). Отражение в этой
плоскости есть изменение знака z, а потому и 7^,г^ = 05 так что в B) остается
только член с одним коэффициентом Ь.
Класс Csh содержит, помимо оси третьего порядка, перпендикулярную
к ней плоскость симметрии. Отражение в последней есть изменение знака z,
а потому должны быть равными нулю все компоненты 7г,ы? в индексах кото-
которых z встречается нечетное число раз. Учитывая также рассмотренные вы-
выше ограничения, налагаемые осью симметрии третьего порядка, найдем, что
отличны от нуля только две компоненты 7^,^77 и 7?,??- ^ти величины долж-
должны быть комплексно-сопряженными для того, чтобы Ф было вещественным.
2) В неортогональных координатах, каковыми являются ?, г], z, надо, как
известно, различать ко- и контравариантные компоненты тензоров. Это об-
обстоятельство должно было бы учитываться и при переходе к исходным ко-
координатам ж, у, z: если компоненты Е{ и аы преобразуются как контра-
контравариантные, то компоненты тензора 7«,&2 должны преобразовываться как
ковариантные. Мы, однако, обходим этот вопрос, определяя связь между
различными компонентами 7г,ы в координатах ж, у, z непосредственно на
основании вида скалярной комбинации B).

§ 17	ПЬЕЗОЗЛЕКТРИКИ	115
Обозначив
27?,?? = a + ib, 2^,^ = a-ib,
получим
Фпьезо = а[2Еу<7ху — Ех(ахх — <тУу)] + Ь[2Ехаху + Еу(ахх — сгуу)]- C)
Соответствующим выбором направления осей ж, у можно обратить а или Ъ
в нуль.
2.	То же для кристаллических классов, допускающих пироэлектри-
пироэлектричество.
Решение. Пусть ось z совпадает с осью симметрии второго, третьего,
четвертого или шестого порядка, а в классе Cs перпендикулярна к плоскости
симметрии. В классах Cnv плоскость xz совпадает с одной из плоскостей
симметрии.
Ниже указаны все отличные от нуля компоненты 7г,м для каждого из
классов:
Класс Су. все 7г,м-
Класс Cs: все компоненты, не содержащие индекса z или содержащие
его два раза.
Класс Civ\
^fz,xxj ^fz,yy> ^fz,zzj *fx,xz-) *fy,yz-
Класс Ci\ те же что в Civ, а также
^fx,yzj ^fy,xzj ^fz,xy
Класс Cav'-
Jz,xx = Jz,yyi Jz,zzi Jx,xz = Jy,yz-
Класс Са\ те же, что в du, а также
lx,yz = -7y,xz-
Класс Сзу'-
^(z,zzi ^fx,xz = ^(y,yzi 'Jx,xx = ^fx,yy = ^iy,xyi ^fz,xx = ^fz,yy
Класс Сз- те же, что в Сзу, а также
lfx,yz = —^(y,xzi lfy,xx = ~lfy,yy = Ifx,xy
Класс Cqv\
^(z,zzi ^fx,xz = ^(y,yzi ^fz,xx = ^fz,yy
Класс Cq\ те же, что в Cqv, а также
^fx,yz = ^(y,xz-
Соответствующим выбором направления осей ж, у, z в классе С\ мож-
можно обратить в нуль еще три компоненты, а выбором осей ж, у в клас-
классах Cs, C2, Сз — одну компоненту (в классах же С а и Cq выражение
^i^kiEiCTki инвариантно относительно поворотов на любой угол вокруг оси z,
и потому дальнейшее уменьшение числа отличных от нуля компонент 7г,ы
невозможно).
3.	Определить модуль Юнга (коэффициент пропорциональности между
растягивающим напряжением и относительным удлинением) для плоскопа-
плоскопараллельной пластинки непирозлектрического пьезозлектрика в следующих
случаях: а) пластинка растягивается обкладками закороченного конденсато-
конденсатора; б) пластинка растягивается обкладками незаряженного конденсатора; в)
пластинка растягивается параллельно своей плоскости в отсутствие внеш-
внешнего поля.
Решение, а) В этом случае напряженность поля внутри пластинки
Е = 0. Единственная отличная от нуля компонента тензора аы — растяги-

116	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
вающее напряжение crzz (ось z перпендикулярна к плоскости пластинки 1)).
Из A7.8) имеем uzz = iizzzzcrzz, откуда для модуля Юнга Е\
б)	В этом случае в пластинке Ех = Еу = О, Dz = 0. Из A7.6) и A7.8)
имеем
Dz = szzEz + 4njZ:ZZazz = 0, uzz = ^izzzzcrzz + jz,zzEz.
Исключая из этих двух равенств Ez, найдем
1 -	_ i?l 2
_-, — ^zzzz	Iz.zz'
Е	szz
в)	В этом случае также Ех = Еу = 0, Dz = 0, растяжение же пусть
происходит вдоль оси х. Имеем
Dz = SZZEZ + 47Г7г,хх0"хх = 0, Uxx = JJLXXXX(TXX + JZ,ZZEZ.
Исключая Ez, получим
1 -	_ ill 2
Е	ezz
4. Получить уравнение, определяющее скорость звука в пьезоэлектри-
пьезоэлектрической среде.
Решение. В этой задаче удобнее пользоваться как независимыми
переменными величинами Щк вместо сг^. Пишем F в виде
F = Fq -\	XiklmUikUlm	SikEiEk	EiDiQ + /3{ klE{Ukl,
2	8тг	4тг
откуда
dF
(Тгк	^iklmUlm + Pl,ikEl-
ОЩк
Уравнения движения теории упругости имеют вид
д(Тгк	л	дЩт	8Ei
рщ = —	 = Xiklm—	V Pl,ik-	,	DJ
OXk	OXk	OXk
где p — плотность среды, u — вектор смещения, связанный с Щк соотноше-
соотношением
1	(дщ , дик\
2	\дхк uxi J
Уравнение div D = 0 дает
дЕк л Q диы n	/K.
4тг/3г —— = 0,	E)
OX
а напряженность поля выражаем через его потенциал:
w д^
OXi
чем удовлетворяется уравнение rot E = 0.
2) Она не предполагается совпадающей с каким-либо избранным кристал-
кристаллографическим направлением.

§ 17	ПЬЕЗОЗЛЕКТРИКИ	117
В плоской звуковой волне и и <р пропорциональны ег(<кг~ш1\ и из напи-
написанных уравнений получаем
(f + 4тт/3i,kikikkui = 0.
Исключив отсюда ip, пишем условие совместности получающихся для щ
уравнений
det
2
poj Sik — ^iikmkikm — 4тг-
Srskrks
= 0.
При каждом заданном направлении волнового вектора к это уравнение опре-
определяет три, вообще говоря, различных, фазовых скорости звука ио/к. Ха-
Характерной для пьезоэлектрической среды особенностью является сложная
зависимость скорости от направления волны.
5. Пьезоэлектрический кристалл, относящийся к классу Cqv, ограни-
ограничен плоской поверхностью (плоскость xz), проходящей через ось симметрии
(ось z). Найти скорость поверхностных волн, распространяющихся перпен-
перпендикулярно оси симметрии (вдоль оси х)\ в волне испытывают колебания сме-
смещение uz и потенциал электрического поля (р (J.L. Bleustein, 1968; Ю.В. Гу-
Гуляев, 1969).
Решение. В рассматриваемых условиях в системе уравнений D)
и E) отделяются два уравнения, содержащие только uz и (р; эти величины
зависят от координат ж, у (и от времени ?), но не от z. Отличные от нуля
компоненты тензора напряжений и вектора индукции:
azx = /ЗЕХ + 2\uzx,	azy = /ЗЕУ
Dx = -8тг /3uzx + sEx,	Dy = -8тг /3uzy
причем
_\duz	_\duz	_ dip	_ dip
2 ox	2 dy	ox	dy
и для краткости обозначено
Px,xz = Hy,yz = Pj Axzxz = Лугуг = A, ?xx = Eyy = ?]
постоянная пироэлектрическая индукция Dz = Do в уравнения и граничные
условия не входит.
Уравнение E) и ^-компонента уравнения D) дают для области, занятой
пьезоэлектрической средой (полупространство у > 0):
4tt/3Auz + ?A(p(i) = 0, puz = -f3A(p(i) + XAuz,
где А = d2/dx2 + d2/dy2] перепишем эти уравнения в виде
puz = AAi^, Аф = 0,	F)
где
А = А Н	—, ф = —-uz + (рК ].
е	е
В пустоте лее (полупространство у < 0) потенциал ^е' удовлетворяет урав-
уравнению
Д<^(е) = 0.	G)

118	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Эти уравнения должны решаться при граничных условиях на поверхности
среды:
()()	#> ^	= 0,	(8)
Г ,	~»	-,	у	ду
и при условиях
uz ^ 0 при у —»> оо; (р —»> 0 при у —>• =Ьоо
вдали от поверхности. Ищем решение в виде
uz = Ас 6	, ф ^ Вс 6	, (^ ^ С/6 6	,
причем
pcj2 = A(fc2-x2).	(9)
Уравнения F), G) и условия на бесконечности уже удовлетворены, а усло-
условия (8) дают три линейных однородных уравнения для А, В, С, условие
разрешимости которых приводит к соотношению
ЛеA+е)
Наконец, подставив в (9), найдем фазовую скорость волн
и -	'1/2
к
Поверхностное распространение этих волн специфично для пьезоэлектри-
пьезоэлектрической среды. При /3 —> 0 глубина проникновения 1/х —>> схэ, т. е. волна
становится объемной.
§ 18. Термодинамические неравенства
По формулам § 10 полная свободная энергия представляется
в виде интеграла
&= fF(T,p,-D)dV,	A8.1)
взятого по всему пространству. Будем рассматривать входящую
в подынтегральное выражение функцию D(r) как удовлетворяю-
удовлетворяющую только уравнению
divD = 0	A8.2)
внутри диэлектрика и условию
Ddf = 4тге	A8.3)
на поверхности проводника, несущего заданный заряд; этими
равенствами устанавливается связь поля с его источниками. В
остальном же функцию D(r) считаем произвольной, в частно-
частности, не требуем заранее, чтобы она удовлетворяла второму урав-
уравнению поля rot Е = 0 (где Е = 4тг dF/dT)) и граничному усло-
условию (р = const на поверхности проводников. Покажем, что эти

§18	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА	119
недостающие уравнения могут тогда быть получены из усло-
условия минимальности интеграла A8.1) по отношению к изменени-
изменениям функции D(r), удовлетворяющим уравнениям A8.2) и A8.3).
Подчеркнем, что возможность такого вывода a priori не очевид-
очевидна, так как конкурирующие при определении минимума инте-
интеграла A8.1) распределения поля не соответствуют физически
возможным состояниям (поскольку для них не удовлетворяются
все уравнения поля); в термодинамическом же условии мини-
минимальности свободной энергии сравниваются друг с другом лишь
различные физически возможные состояния.
Задача о нахождении минимума интеграла A8.1) при допол-
дополнительных условиях A8.2) и A8.3) решается методом множите-
множителей Лагранжа. Следуя этому методу, умножим вариацию усло-
условия A8.2) на некоторую, пока неопределенную функцию коор-
координат (обозначим ее через — у?/4тг), а вариацию условия A8.3) —
на неопределенный постоянный м нолей тел ь (обозначим его как
/тг), после чего приравниваем нулю сумму вариаций:
Г SFdV- — [ <pdivSBdV+^- ? SBdi = 0.
В первом члене пишем 1)
SF = (—) SB = —ESB,
а второй преобразуем по частям:
J <p div SB dV = <f) cpSB di - J SB grad <p dV.
В результате получаем
J (E + grad ф) SB dV + <? (<p0 - ф) SB di = 0.
Отсюда делаем вывод, что во всем объеме должно быть Е =
= — grad <p (и потому rotE = 0), а на поверхности проводника
(р = (pQ = const. Это — правильные уравнения для напряженно-
напряженности поля, причем лагранжев множитель (р оказывается его по-
потенциалом.
2) Свободная энергия имеет минимум при заданной температуре. Варьи-
Варьирование должно производиться по двум независимым величинам: D и р.
Нас интересует здесь лишь результат варьирования по D. Варьирование лее
интеграла A8.1) по плотности (при дополнительном условии постоянства
полной массы тела) дает одно из обычных условий теплового равновесия —
постоянство химического потенциала ?.

120	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Аналогичным образом молено показать, что уравнения для
электрической индукции получаются из условия максимально-
максимальности интеграла
^= jF(T,p,-E)dV,
в котором варьируется функция Е(г) при дополнительных усло-
условиях, что Е = — grad 99, а ip = const на поверхности провод-
проводника -1).
Действительно, имеем
6&= Г —SEdV = — Г DVSipdV =
= — ? StpBdf-— Г SipdivDdV = 0.
4тг J	4тг J
Первый интеграл равен нулю, поскольку Sip = 0 на поверхно-
поверхности, а из второго находим, ввиду произвольности Sip в объеме,
искомое уравнение divD = 0.
Если тело не находится во внешнем электрическом поле (в
частности, нет заряженных проводников), то может оказаться
возможным формулировать условие термодинамического равно-
равновесия как условие абсолютного (безусловного) минимума полной
свободной энергии A8.1). Это условие сводится к условию мини-
минимальности плотности свободной энергии F как функции незави-
независимой переменной D:
0,
3D 4тг
т. е. напряженность поля должна быть равна нулю во всем про-
пространстве. Если при этом может быть указано распределение
2) То обстоятельство, что термодинамический потенциал & имеет именно
максимум по отношению к переменной Е (или D), а не минимум как &,
имеет общий характер и объясняется следующими рассуждениями. Пусть
равновесное значение некоторой переменной х (пусть это будет х = 0) опре-
определяется условием термодинамического равновесия. Тогда свободная энер-
энергия & имеет при заданных Т и V минимум при х = 0. Другими словами, в
точке х = 0 имеем X = (д&/дх)у,т = 0, а вблизи этой точки
Х = ах, & = J*o + -z2, a>0.
Если теперь ввести термодинамический потенциал & = & — хХ, то
т. е. & имеет в равновесии максимум по х или X. По отношению же к каким-
либо другим переменным у, не зависящим от ж, минимум имеют как &, так

§18	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА	121
индукции, удовлетворяющее условию divD = 0, то тем самым
найденное состояние будет соответствовать термодинамическо-
термодинамическому равновесию 1).
Приравнивая нулю первую вариацию свободной энергии, мы
находим только необходимые, но не достаточные условия ее ми-
минимальности. Выяснение же достаточных условий требует иссле-
исследования второй вариации. Эти условия имеют вид определенных
неравенств (так называемые термодинамические неравенства)
и являются, как известно, условиями, обеспечивающими устой-
устойчивость состояния тела (см. V, § 21).
При D = еЕ все соотношения очень упрощаются и инте-
интересующее нас термодинамическое неравенство (связанное с ди-
диэлектрическими свойствами тела) становится очевидным. Пол-
Полная свободная энергия есть
J 8тг?(
Ясно, что она может иметь минимум только, если е > 0; в про-
противном случае можно было бы неограниченно уменьшать интег-
интеграл, давая индукции D сколь угодно большие значения. Таким
образом, в этом случае мы по существу не узнаем ничего ново-
нового, так как мы уже знаем, что диэлектрическая проницаемость
должна быть в действительности не только положительной, но
и больше единицы (см. § 14).
В общем лее случае произвольной связи между D и Е необхо-
необходимо рассмотреть вторую вариацию интеграла A8.1), причем ва-
варьировать надо одновременно D и р (оставляя постоянной лишь
температуру). В изотропном теле F(T\ p, D) зависит только от
абсолютной величины вектора D, варьируются же три его компо-
компоненты независимо. Выберем направление неварьированного век-
вектора D в качестве оси z. Тогда изменение абсолютной величины
вектора D выразится через изменения его компонент, с точно-
точностью до членов второго порядка, следующим соотношением:
SD = $Dz + ± [FDxf + FDyf] .
Первая и вторая вариации интеграла A8.1) вместе содержатся в
выражении
^'^* #*L	^А dV.
Sp+SD + 6D6p+
dp H 2 dD*	ODSp H 2 Op
*) Здесь имеются в виду тела, в которых может быть D ф 0 при Е = 0 (см.
следующий параграф). В противном случае мы имели бы просто тривиаль-
тривиальный результат Е = 0, D = 0 во всем пространстве.

122	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Подставив сюда SD и собрав члены второго порядка, найдем вто-
вторую вариацию:
2DdD
i^sA dV. A8.4)
2 dp2 H J	V J
2 3D2 z ODSp	H 2 dp
Оба написанных здесь члена независимы друг от друга. Пер-
1 OF п „ OF E
выи из них положителен, если	> и. Но — = —, так что
DdD	<9D 4тг
производная dF/dD положительна или отрицательна, смотря по
тому, направлен ли вектор D по или против вектора Е. Таким
образом, векторы D и Е должны быть одинаково направлены.
Условия положительности второго члена в A8.4) заключены
в неравенствах
0 > 0,	A8.5)
\dpdDj
Поскольку OF/dp = ?, dF/dD = E/Dir), то первое из них дает
?Ч >0,	A8.7)
1/ D,T
а второе можно переписать в виде якобиана:
>' др
_ 1 д(Е,С) >Q
4 d(D)
d(D,p)	4тг d(D,p)
Переходя от переменных Z), р к переменным Z), (", имеем
,о _ (ое\ (д(\ 0.
) KdDJcKdJD
d(D,p)
ввиду A8.7) это неравенство равносильно условию
Таким образом, мы нашли искомые термодинамические нера-
неравенства. В отсутствие поля неравенство A8.7) переходит в обыч-
обычное условие положительности изотермической сжимаемости:

§ 19	СЕГНЕТОЗЛЕКТРИКИ	123
(дР/др)т > О1). Неравенство же A8.8) дает е > О, так как при
Е —»> 0 индукция D —»> е.Е.
Из двух неравенств A8.5), A8.6) второе является более силь-
сильным: оно может нарушаться раньше, чем нарушится первое,
между тем как обратное невозможно. Равенство
д^?д^? _ / a2F V = 1 д(Е,С) =
Зр2 3D2 \dpdDJ ~ 4тг d(D,p) ~
соответствует критическому состоянию (см. V, § 83). Это усло-
условие удобнее записать в другом виде, умножив его на отличный
от нуля множитель d(D,p)/d(E,p):
=0.	A8.9)
()
д(Е,р) \др)ЕТ
На плоскости ЕТ критические состояния заполняют некото-
некоторую линию. Эта линия является особой для термодинамических
функций тела, подобно тому как является особой критическая
точка в отсутствие поля.
§ 19. Сегнетозлектрики
Среди различных кристаллических модификаций одного и
того же вещества могут быть как пиро-, так и непирозлектриче-
ские. Если переход между такими двумя модификациями совер-
совершается путем фазового перехода второго рода, то вблизи точки
перехода вещество обнаруживает ряд своеобразных свойств, от-
отличающих его от обычного пирозлектрика. Такие тела называют
сегнетпоэлектприческими (или ферроэлектприческими).
В обычном пироэлектрическом кристалле изменение направ-
направления спонтанной поляризации связано с существенной пере-
перестройкой кристаллической решетки. Даже если окончательный
результат такой перестройки и был бы энергетически выгодным,
его осуществление все равно может оказаться невозможным, так
как это требовало бы преодоления очень высоких «энергетиче-
«энергетических барьеров».
г) Напомним, что в отсутствие поля ? есть термодинамический потенциал
единицы массы вещества и согласно обычным термодинамическим соотно-
соотношениям его дифференциал
d?=-dP-- dT,
Р	Р
так что (д?/др)т = (дР/др)т/р- В изложенном выводе остается в стороне
второе из обычных термодинамических неравенств — условие положитель-
положительности теплоемкости.

124	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
В сегнетозлектрическом же теле положение существенно ме-
меняется благодаря тому, что вблизи точки фазового перехода вто-
второго рода расположение атомов в кристаллической решетке пи-
пироэлектрической фазы мало отличается от их расположения в
непирозлектрической решетке (в силу чего мала и спонтанная
поляризация). По этой причине изменение направления спонтан-
спонтанной поляризации требует здесь лишь небольшой перестройки ре-
решетки и может сравнительно легко произойти.
Конкретный характер сегнетозлектрических свойств тела су-
существенно зависит от его кристаллографической симметрии.
Направление спонтанной поляризации пироэлектрической фа-
фазы (мы будем говорить о нем как о сегнетозлектрической оси)
предопределяется уже структурой непирозлектрической фазы
по другую сторону точки перехода. В некоторых случаях это
предопределение однозначно в том смысле, что сегнетозлектри-
ческая ось возникает лишь в одном вполне определенном кри-
кристаллографическом направлении; направление спонтанной поля-
поляризации в этом случае предопределено с точностью до знака,
так как в непирозлектрической фазе оба взаимно противопо-
противоположных направления, параллельных сегнетозлектрической оси,
при этом должны быть эквивалентны (в противном случае и
эта кристаллическая модификация допускала бы пироэлектри-
пироэлектричество). В других лее случаях симметрия непирозлектрической
фазы может оказаться такой, что допускает возникновение спон-
спонтанной поляризации в нескольких кристаллографически экви-
эквивалентных направлениях1). Возникновение поляризации всегда
связано с понижением симметрии кристалла. Поэтому можно го-
говорить (в соответствии с терминологией, введенной в V, § 142)
о непирозлектрической фазе как о симметричной, а о пироэлек-
пироэлектрической — как о несимметричной.
Покажем, каким образом строится теория сегнетозлектриче-
ства в рамках общей теории фазовых переходов второго рода
Ландау (такая теория была впервые построена В.Л. Гинзбургом,
1945) 2).
*) Пример первого типа представляет сегнетова соль, непирозлектриче-
ская фаза которой обладает ромбической симметрией. Сегнетозлектриче-
ская ось возникает в ней во вполне определенном кристаллографическом
направлении (одна из осей 2-го порядка), причем решетка становится моно-
моноклинной.
Пример второго рода представляет титанит бария. Его непирозлектриче-
ская модификация имеет кубическую решетку, а сегнетозлектрической мо-
может стать любая из трех кубических осей. После того, как в точке пере-
перехода возникает спонтанная поляризация, эти три направления, разумеется,
перестают быть эквивалентными: осью четвертого порядка остается лишь
сегнетозлектрическая ось и решетка становится тетрагональной.
2) Теория Ландау заведомо становится неприменимой в достаточной бли-
близости к точке перехода. Вопрос о том, когда это наступает, в случае сегне-

§ 19	СЕГНЕТОЗЛЕКТРИКИ	125
Примем вектор диэлектрической поляризации вещества Р в
качестве параметра порядка, величина которого определяет сте-
степень отклонения структуры кристаллической решетки несим-
несимметричной фазы от симметричной. Это значит, что Р будет рас-
рассматриваться как независимая термодинамическая переменная,
фактическое значение которой (как функции температуры, по-
поля и т. п.) определяется затем условием теплового равновесия —
минимальностью термодинамического потенциала.
Рассмотрим сначала случай однозначного расположения се-
гнетозлектрической оси, которую примем за ось z. Диэлектриче-
Диэлектрические свойства кристалла в направлениях осей х и у при этом не
обнаруживают никаких аномалий, а для исследования свойств
вдоль оси z достаточно рассмотреть в термодинамическом по-
потенциале только члены, содержащие Pz. Вблизи точки перехо-
перехода параметр порядка Pz мал и термодинамический потенциал Ф
может быть разложен по его степеням. Ввиду эквивалентности
обоих направлений оси ?, разложение не может зависеть от зна-
знака Pz, т. е. содержит только четные его степени. С точностью до
членов четвертой степени:
Ф = Ф0 + АР* + ВР*.	A9.1)
В симметричной фазе А > 0 и минимуму термодинамическо-
термодинамического потенциала отвечает Pz = 0. Для того чтобы могла появиться
спонтанная поляризация, коэффициент А должен стать отрица-
отрицательным; в точке фазового перехода, следовательно, он обраща-
обращается в нуль. В теории Ландау принимается, что функция А(Т)
разложима по целым степеням Г —Гс, где Тс — температура точ-
точки перехода; в окрестности этой точки полагаем А = а(Т — Гс),
где а — постоянная (не зависящая от температуры) величина;
для определенности будем считать, что а > 0, так что несиммет-
несимметричной фазе отвечают температуры Т < Тс. Условие устойчи-
устойчивости состояния в самой точке Т = Тс требует положи тел ьн ости
коэффициента В в этой точке, а потому и везде в ее окрестности;
ни лее под В будет пониматься его значение В(ТС).
Если электрическое поле в теле отлично от нуля, в термо-
термодинамическом потенциале появляются дополнительные члены.
Для их нахождения исходим из соотношения
4тг— = -D = -Е - 4тгР.	A9.2)
Интегрируя его при заданном значении независимой перемен-
тозлектриков требует конкретного анализа экспериментальных данных и
выходит за рамки этой книги. Отметим, что фактически многие из сегнето-
злектрических переходов фактически являются не переходами второго рода,
а переходами первого рода, близкими ко второму. Это, по-видимому, связано
с флуктуационным эффектом, упомянутым в конце V, § 146.

126	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
ной Р (и учитывая, что при Е = 0 потенциалы Фи Ф совпадают),
находим	2
Ф(Р,Е) = Ф(Р,0)-ЕР- —.
8тг
Рассматривая электрическое поле, направленное вдоль оси ?, и
взяв Ф(Р,0) из A9.1), имеем
Ф = Фо + а(Т - TC)P2Z + ВР$ - EZPZ - М.	A9.3)
Наличие члена —EZPZ приводит к тому, что уже в сколь угод-
угодно слабом поле Ez параметр порядка Pz становится отличным
от нуля во всей области температур; поле поляризует непиро-
злектрическую фазу, тем самым понижая ее симметрию. Таким
образом, качественная разница между обеими фазами исчезает;
соответственно исчезает также и дискретная точка фазового пе-
перехода — переход «размывается» 1).
Термодинамический потенциал Ф должен иметь в равновесии
минимум при заданном значении напряженности Е. Дифферен-
Дифференцируя A9.3) при постоянном Ez, находим
2Pza(T - Тс) + АВР* = Ez.	A9.4)
Это — основное соотношение, определяющее связь между напря-
напряженностью поля и поляризацией сегнетозлектрика2).
При Г > Тс (в непирозлектрической фазе) Pz обращается в
нуль вместе с Ez. При возрастании Ez поляризация возрастает
сначала по линейному закону Pz = hEz с восприимчивостью
х=	-	, Г>ГС,	A9.5)
2а{Т-ТсУ	С'	V )
неограниченно возрастающей при Г —»> Тс. Вместе с Pz линейно
возрастает также и индукция Dz = A + 4ir>c)Ez. В окрестности
точки перехода к велико и, с той же точностью, имеем
A9.6)
а(Т - Тс)
В достаточно же сильных полях поляризация возрастает по за-
закону Pz =
ч1/3
) Ср. V, § 144. Последующее изложение в значительной степени повторяет
сказанное там.
2) Выразив Р(Е) из A9.4) и подставив в A9.3), мы получим потенциал
Ф(Е) как функцию только от Е. Отметим, что в силу условия <9Ф(Р, Е)/<9Р =
= 0, равенство D = — 4тг<9Ф/<9Е имеет место как для функции Ф(Е), так и
для функции Ф(Р,Е) (дифференцируемой при постоянном Р).

19
СЕГНЕТОЗЛЕКТРИКИ
127
При Т < Тс (пироэлектрическая фаза) значение Pz = 0 во-
вообще не может соответствовать устойчивому состоянию. При
Ez = 0 находим из A9.4) спонтанную поляризацию пироэлектри-
пироэлектрической фазы:
а(Тс - Т)
2В
A9.7)
Диэлектрическую восприимчивость этой фазы молено опреде-
определить как значение производной dPz/dEz при Ez —»> 0. Из A9.4)
имеем
[-2(ГС - Т)а + 12ВР2] ^ = 1	A9.8)
dEz
и, подставив сюда A9.7), получим
К =
dpz
dEz
Ez=0
4а(Тс - Т)'
т < тс.
A9.9)
Обратим внимание на то, что эта величина в два раза меньше
восприимчивости непирозлектрической фазы при том лее зна-
значении \ТС — Т\. В достаточно слабых полях поляризация Pz =
= Pzo + kEz, индукция Dz = Dzo + eEz, где Dzo = 4ttPzo, a
диэлектрическая проницаемость
A9.10)
a(Tc - T)
На рис. 14 изображен график функции
PZ(EZ), определяемой уравнением A9.4) (при
Г < Тс). Прежде всего отметим, что участок
кривой ее1 (изображенный штриховой линией)
вообще не соответствует устойчивым состояни-
состояниям; действительно, из равенства A9.8), напи-
написанного в виде
dPz
dEz
видно, что при dPz/dEz < 0 будет и д2Ф/дР2 <
< 0, т. е. термодинамический потенциал Ф имеет максимум, а
не минимум. Ординаты точек сие' определяются равенством
dEz/dPz = 0, и мы приходим к выводу, что возможные значения
\PZ\ в пироэлектрической фазе ограничены снизу условием
о2^ (Тс-Т)а
6Б
A9.11)
Если рассматривать состояния сегнетозлектрика при задан-
заданном значении ?z, то в области между абсциссами точек сие'
все еще остается двузначность в возможном значении Pz, и воз-
возникает вопрос о физическом смысле обеих возможностей. Будем

128	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
при этом представлять себе сегнетозлектрик как плоскопарал-
плоскопараллельную однородную пластинку (с сегнетозлектрической осью,
перпендикулярной к плоскости пластинки), находящуюся меж-
между обкладками конденсатора, поддерживаемыми при заданных
потенциалах, т. е. создающими однородное поле с заданной на-
напряженностью Е = Ez.
При заданных потенциалах проводников условие устойчиво-
устойчивости требует минимальности именно термодинамического потен-
потенциала Ф. В частности, при Е = 0 имеются два состояния, отли-
отличающиеся знаком Pz (точки а и а' на кривой), но отвечающие
одному и тому же значению Ф (= Ф). Эти два состояния, следо-
следовательно, в равной степени устойчивы, т. е. представляют собой
две фазы, которые могут существовать одновременно, соприка-
соприкасаясь друг с другом.
Уже отсюда ясно, что участки ас и aid на кривой соответ-
соответствуют состояниям не абсолютно устойчивым, а лишь метаста-
бильным. Не представляет труда убедиться и непосредственно в
том, что значения Ф на отрезках ас и а1 с1 действительно боль-
больше, чем на ветвях а1 У и ab при тех же значениях Ez. Ординаты
точек а и а' даются формулой A9.7). Таким образом, область
метастабильности лежит в интервале
(Тс-Т)а	,, (Гс-Г)а	(	}
6Б	z	2В	V	J
Существование двух фаз с Е = 0 весьма существенно, так
как приводит к возможности распадения сегнетозлектрического
тела на ряд отдельных областей (или доменов), отличающих-
отличающихся направлением поляризации. На поверхностях раздела между
этими областями должны выполняться условия непрерывности
нормальной компоненты D и касательной компоненты Е. Второе
из них выполняется тождественно (поскольку вообще Е = 0).
Из первого лее следует, что границы между доменами должны
быть параллельными оси z. Конкретные форма и размеры доме-
доменов определяются условием абсолютной минимальности полного
термодинамического потенциала тела ).
г) Подчеркнем, что речь идет о полном термодинамическом равновесии.
Оно может осуществляться у сегнетозлектриков, но фактически никогда не
осуществляется у обычных пирозлектриков в связи с упоминавшейся выше
трудностью переориентации поляризации (а потому и образования доменов)
в них. Вопрос о форме и размерах доменов будет рассмотрен в § 44 для
(во многом аналогичного) случая ферромагнетиков. На специфических осо-
особенностях доменной структуры сегнетозлектриков мы останавливаться не
будем. Эти особенности обусловлены, прежде всего, жесткостью связи на-
направления поляризации сегнетозлектрика с определенными кристаллогра-
кристаллографическими осями, с большой диэлектрической восприимчивостью (по срав-
сравнению с магнитной восприимчивостью ферромагнетика) и с большей ролью
явлений стрикции.

§ 19	СЕГНЕТОЗЛЕКТРИКИ	129
Если не интересоваться деталями этой структуры и рассмат-
рассматривать участки тела, большие по сравнению с размерами доме-
доменов, то можно ввести поляризацию Р, усредненную по объему
таких участков. Ее составляющая Pz может, очевидно, пробе-
пробегать значения в интервале между ординатами точек а и а', т. е.
р
2В
Другими словами, если понимать на диаграмме рис. 14 под Pz
усредненное в указанном смысле значение поляризации, то об-
области доменной структуры будет соответствовать вертикальный
отрезок аа'', а изображенная жирной линией кривая Ъаа'Ъ1 будет
относиться ко всем стабильным состояниям, пробегаемым телом.
Перейдем к сегнетозлектрикам, относящимся (в непирозлек-
трической фазе) к кубической системе 1). Кубическая симметрия
допускает два независимых инварианта четвертого порядка, со-
составленных из компонент вектора Р; в качестве них выберем
Тогда разложение термодинамического потенциала вблизи точки
перехода имеет (при Е = 0) вид
Ф = Фо + а(Т - Tc)(Pl + Pi + Pi) +
+ B{Pl + ?l + P22J + C{PlPl + Pxpz + PyPz), A9-14)
где а, В, С — постоянные, а оси ж, у, z направлены вдоль трех
осей симметрии четвертого порядка.
Совокупность членов четвертого порядка в A9.14) дол ле-
лена представлять собой существенно положительное выражение.
Для этого дол лен о быть
Б>0, ЗБ + ОО.	A9.15)
Спонтанная поляризация сегнетозлектрика (при Е = 0) опре-
определяется условием абсолютного минимума потенциала Ф как
функции от Р. В частности, поскольку член второго порядка
и первый из членов четвертого порядка не зависят от направ-
направления Р, то направление спонтанной поляризации определяется
2) Имеются в виду кристаллические классы Тн и Он- Кубические классы
Т и Та допускают также и инвариант третьего порядка PxPyPz\ в таких
условиях состояние с Р = 0 заведомо не могло бы удовлетворять условию
устойчивости (минимуму Ф), так что фазовый переход второго рода невоз-
невозможен. Симметрия же класса О (а также класса Т) допускает линейный по
производным инвариант ProtP; это приводит к появлению несоразмерной
структуры (ср. § 52).
5 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

130	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
условием минимальности последнего члена в A9.14) при задан-
заданной абсолютной величине Р. При этом возможны два случая.
Если С > 0, то наименьшему значению этого члена отвечают
направления Р вдоль осей ж, у, z, т. е. вдоль какого-либо из трех
ребер куба. Если лее С < 0, то наименьшему значению отвечают
направления вдоль пространственных диагоналей куба, т. е. ког-
когда Pj = Ру = Р% = Р2/3. В первом случае пироэлектрическая
фаза сегнетозлектрика обладает тетрагональной, а во втором —
ромбоэдрической симметрией.
Рассмотрим более подробно, например, первый случай (С > 0)
и примем направление спонтанной поляризации ниже точки пе-
перехода за ось z. Величина Pq спонтанной поляризации определя-
определяется (при Е = 0) минимумом выражения
-а(Тс - Т)Р2 + ВР4,
откуда
р2 = а(Тс-Т)	(ig 16)
0	2Б	V	J
Для определения зависимости между поляризацией и полем Е
надо добавить к A9.14) член —РЕ (перейдя тем самым к потен-
потенциалу Ф) и приравнять нулю производную дФ/дР.
Для слабого поля Е малы также и Рж, Ру, Pz — Pq. Опустив
в уравнениях члены второго и более высоких порядков малости
и подставив в них Pqz = Pq из A9.16), получим для продольной
поляризации:
р--р°=^т>Е-	AEU7)
и для поперечной:
Рх = * Т)ЕХ	A9.18)
аС (Тс - Т)
(и аналогично для Ру). Выше точки перехода, в непирозлектри-
ческой фазе, диэлектрическая восприимчивость кубического се-
сегнетозлектрика во всех направлениях одинакова:
Р =	^	Е.	A9.19)
2а(Т -Тс)	V	}
Остановимся кратко на упругих свойствах сегнетозлектриков.
В зависимости от своего кристаллического класса непиро-
злектрическая фаза может как обладать, так и не обладать пье-
пьезоэлектрическими свойствами1). Рассмотрим сначала первый
г) Непирозлектрическая фаза сегнетозлектрика, обладающая пьезоэлек-
пьезоэлектрическими свойствами, может относиться к восьми из перечисленных на
с. 112 десяти классов:
S4, D3, D6, C3h, D3h.

§ 19	СЕГНЕТОЗЛЕКТРИКИ	131
случай, причем будем считать, что симметрия допускает пьезо-
пьезоэлектрическую (линейную) связь между деформациями и поля-
поляризацией вдоль сегнетозлектрической оси (ось z). Сюда относят-
относятся кристаллические классы 1?2, D2d? ^45 во всех этих случаях
поляризация Pz входит в пьезоэлектрическую часть термодина-
термодинамического потенциала в виде члена
В упругую же энергию кристаллов указанной симметрии ком-
компонента аху тензора напряжений входит в виде члена
2
Таким образом, для термодинамического потенциала вблизи точ-
точки перехода имеем (для краткости обозначим jz ху = 7, /лхуху —
)
Ф = Фо + а(Т - TC)P
'ху - fJ-oL - EZPZ - ^i. A9.20)
Членами с остальными компонентами Р и а^ мы не интересу-
интересуемся, так как они не приводят к аномалиям пьезоэлектрических
свойств вблизи точки перехода.
Приравняв нулю производную дФ/дРг при Ez = const, полу-
получим уравнение
Ez = 2а(Т - TC)PZ + ABPl - jaxy.	A9.21)
Компоненты же тензора деформации получаются дифференци-
дифференцированием термодинамического потенциала A9.20) по соответ-
соответствующим компонентам а^ (см. A7.4)) 2):
иху = ]pPz + naxy.	A9.22)
В непирозлектрической фазе при слабом поле Е молено пре-
пренебречь в A9.21) членом с Р^\
Ez = 2a(T-Tc)Pz-1axy.
Подставив отсюда Pz в A9.22), получим
2) Ввиду другого характера разложения, определения тензоров 7г,ы и
fJ'ikim здесь не совпадают с обозначенными теми лее буквами тензорами, вве-
введенными в § 17, но их свойства симметрии, разумеется, одинаковы.
2) О дифференцировании по компонентам тензора — см. примеч. на с. 113.

132	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
Коэффициент при аху в этой формуле играет роль упругого мо-
модуля для деформаций, при которых поддерживается постоянной
напряженность поля Ez, в то время как в формуле A9.22) \i есть
упругий модуль для деформации при постоянной поляризации
Pz. Поэтому молено написать
Р	Р	4а(Т -
где верхние индексы указывают характер деформации. Мы ви-
видим, что оба эти коэффициента ведут себя различным образом:
в то время как \i^ есть постоянная конечная величина, модуль
\i^ > неограниченно растет при приближении к точке перехода -1).
В пироэлектрической фазе формула A9.22) показывает, что
спонтанная поляризация приводит к определенной деформации
тела. В отсутствие внутренних напряжений и при Е = 0 дефор-
деформация иху пропорциональна Pzq, т. е. меняется с температурой
как л/Гс - Г.
Если симметрия (например, кубическая) непирозлектриче-
ской фазы сегнетозлектрика не допускает линейного пьезозф-
фекта, то первые неисчезающие члены разложения термодина-
термодинамического потенциала по степеням а^ и Р квадратичны по ком-
компонентам Р, т. е. имеют вид
-HklmPiPkVlm,	A9.24)
где jikim — тензор четвертого ранга, симметричный по парам
индексов гк и lm. В таких случаях деформация, возникающая в
пироэлектрической фазе под влиянием спонтанной поляризации,
представляет собой квадратичный (по Ро) эффект, соответствен-
соответственно чему меняется с температурой как Тс — Т.
Может возникнуть сомнение в законности использования вы-
выражения A9.24) в термодинамическом потенциале, поскольку в
§ 17 было указано, что последним молено пользоваться лишь
при условии пренебрежения квадратичными эффектами. Сегне-
тозлектрики, однако, являются в этом смысле исключением вви-
ввиду малости (вблизи точки перехода) напряженности Е по срав-
сравнению с поляризацией Р (или индукцией D) — как следствие
неограниченного возрастания диэлектрической восприимчиво-
восприимчивости. Введение термодинамического потенциала было связано с
пренебрежением величинами порядка EDu^ (или, что то же,
)] выражение лее A9.24) — порядка Р
г) Постоянной величиной является также и модуль /i'"°' = fi -\	, опре-
8тг
деляющий деформацию при постоянной индукции Dz.

§ 20	НЕСОБСТВЕННЫЕ СЕГНЕТОЗЛЕКТРИКИ	133
§ 20. Несобственные сегнетозлектрики
Изложенная в предыдущем параграфе теория сегнетозлек-
тричества основана на отождествлении вектора поляризации
кристалла с параметром порядка, определяющим изменение сим-
симметрии кристалла при фазовом переходе. Это предположение,
однако, не всегда допустимо; может оказаться, что факт воз-
возникновения спонтанной поляризации сам по себе не определяет
полностью характер изменения кристаллической структуры.
Напомним (см. V, § 145), что параметр порядка в фазовом
переходе второго рода является величиной или совокупностью
величин, преобразующихся согласно какому-либо из неприводи-
неприводимых (неединичному) представлений группы симметрии исходной
(«симметричной») фазы. Именно трансформационные свойства
параметра порядка определяют характер изменения (пониже-
(понижения) симметрии при фазовом переходе. Конкретный же физи-
физический смысл его несуществен; в качестве параметра порядка
можно выбрать различные физические величины, если только
они связаны друг с другом линейными соотношениями и потому
одинаковы по своим трансформационным свойствам.
Выбор вектора Р в качестве параметра порядка равносилен
предположению, что последний преобразуется по тому же пред-
представлению, что и компоненты вектора (полярного). Если фа-
фазовый переход совершается без изменения элементарной ячей-
ячейки решетки (точнее — лишь с ее деформацией), то речь идет
о неприводимых представлениях точечных групп симметрии —
кристаллических классов. В кристаллических классах, относя-
относящихся к категории двухосных (§ 13), каждая компонента вектора
преобразуется по одному из одномерных представлений. То же
самое относится и к компоненте вектора вдоль главной C-го, 4-го
или 6-го порядков) оси симметрии одноосных кристаллов. Для
всех этих представлений параметром порядка может служить со-
соответствующая компонента вектора Р, и к ним относится теория,
основанная на термодинамическом потенциале A9.1). Компонен-
Компоненты Р в плоскости, перпендикулярной главной оси симметрии од-
одноосного кристалла, преобразуются по двумерному неприводи-
неприводимому представлению и для этого представления могут служить
параметром порядка. Наконец, в кристаллах кубической симмет-
симметрии все три компоненты вектора преобразуются по одному трех-
трехмерному представлению; к этому случаю относится теория сегне-
тозлектричества, основанная на термодинамическом потенциале
A9.14).
Но существуют также и такие сегнетозлектрические пере-
переходы, в которых параметр порядка преобразуется по неприво-
неприводимому представлению «симметричной» фазы, не отвечающе-
отвечающему компонентам вектора. В таких случаях параметром порядка

134	ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ	ГЛ. II
является не поляризация, а величина другой физической при-
природы; спонтанная лее поляризация возникает в известном смыс-
смысле как вторичный эффект (предполагается, конечно, что сим-
симметрия «несимметричной» фазы допускает пироэлектричество).
Такие сегнетозлектрики называют несобственными] они суще-
существенно отличаются по характеру диэлектрических аномалий от
обычных сегнетозлектриков 1). Сюда относятся все сегнетозлек-
трические переходы с изменением элементарной ячейки, т. е. с
изменением трансляционной симметрии решетки (соответствую-
(соответствующие неприводимые представления заведомо не могут осуще-
осуществляться векторными величинами, инвариантными относитель-
относительно трансляций) 2), но это могут быть и переходы без изменения
трансляционной симметрии (параметр порядка преобразуется по
неприводимому представлению точечной группы, не отвечающе-
отвечающему компонентам вектора).
В обычном сегнетозлектрическом переходе, когда изменение
симметрии полностью определяется вектором поляризации, пе-
переход происходит в высшую (из числа допускающих пироэлек-
пироэлектричество) подгруппу пространственной группы исходной (непи-
розлектрической) фазы. При несобственном же сегнетозлектри-
сегнетозлектрическом переходе пироэлектрическая фаза относится к подгруппе
более низкой симметрии.
Конкретные термодинамические свойства несобственных се-
сегнетозлектриков могут быть многообразны в соответствии с мно-
многообразием трансформационных свойств величин, преобразую-
преобразующихся по различным неприводимым представлениям простран-
пространственных групп. Рассмотрим здесь (снова в рамках теории фазо-
фазовых переходов Ландау) лишь один формальный пример с целью
иллюстрации некоторых существенных принципиальных момен-
моментов.
Рассмотрим переход (без изменения элементарной ячейки)
из непирозлектрического кристалла класса Csh B класс Ci, до-
допускающий спонтанную поляризацию, причем параметр поряд-
порядка двухкомпонентен G71, 772) и преобразуется по неприводимому
представлению Еи группы C^h] компоненты же Рж, Ру вектора
поляризации (в плоскости, перпендикулярной оси Сз) преобра-
преобразуются по представлению Eg.
Термодинамический потенциал Ф вблизи точки перехода дол-
должен быть разложен по степеням параметра порядка 771,772 и поля-
поляризации Рж, Ру. При этом для возникновения сегнетозлектриче-
ства требуется существование смешанных инвариантов, состав-
г) Возможность существования таких сегнетозлектриков была указана
В. Л. Инденбомом A960).
2) Таковы фактически все известные несобственные сегнетозлектрики.

§ 20	НЕСОБСТВЕННЫЕ СЕГНЕТОЗЛЕКТРИКИ	135
ленных из тех и других величин, причем линейно по вектору
Р. Таких инвариантов в данном случае существует два: веще-
вещественная и мнимая части произведения G71 +irj2J(Px + iPy)- В
результате приходим к разложению вида
Ф = Ф0+а(Т-Тс)г}2+Вг}4+>сР2+С1г}2 [Px(rf - 7|)
[РуG2 - 722) + 2РхЪ12] - ЕР - g B0.1)
(rj2 = rj2 + 77I, 7г — W7?; векторы Е, Р — в плоскости ху).
Параметр порядка и поляризация определяются условием ми-
минимальности Ф (при Е = const). Отметим лишь характерные
результаты, очевидные и без фактического проведения соответ-
соответствующих вычислений. Параметр порядка в несимметричной фа-
фазе оказывается, как и при всяком переходе второго рода (в теории
Ландау), пропорциональным (Гс —ГI/2. Поляризация же возни-
возникает как эффект второго порядка по 77 и потому оказывается
пропорциональной Тс — Т. Диэлектрическая восприимчивость не
стремится при Г —»> Тс к бесконечности (как в обычных сегнето-
злектриках), поскольку она не определяется теперь стремящимся
к нулю коэффициентом при rj2. Она испытывает, однако, в точке
перехода конечный скачок. Это связано с тем, что в симметрич-
симметричной фазе параметр порядка 77 = 0 и не меняется под действием
поля Е, а в несимметричной — меняется, что и дает дополни-
дополнительный вклад в восприимчивость.
Отметим, что несобственный сегнетозлектрический переход
возможен только при многокомпонентных параметрах порядка.
Действительно, при однокомпонентном параметре 77 смешанный
инвариант, линейный по Р, мог бы быть лишь 77^5 где Pz — одна
из компонент вектора Р (поскольку для одномерного представ-
представления квадрат 772 уже сам является инвариантом). Но это озна-
означало бы, что 77 и Pz совпадают по своим трансформационным
свойствам, так что Pz и само могло бы быть выбрано в качестве
параметра порядка.

ГЛАВА III
ПОСТОЯННЫЙ ТОК
§ 21. Плотность тока и проводимость
От изучения электрических полей, создаваемых неподвиж-
неподвижными зарядами, мы перейдем теперь к рассмотрению стационар-
стационарного движения зарядов в проводниках (постоянный электриче-
электрический ток).
Будем обозначать среднюю плотность потока зарядов бук-
буквой j; ее называют плотностью электрического тока1). В по-
постоянном токе пространственное распределение j не зависит от
времени и подчиняется уравнению
divj = 0,	B1.1)
выражающему собой постоянство полного среднего заряда, за-
заключенного в любой части объема проводника.
Электрическое поле, существующее внутри проводника, по
которому течет постоянный ток, тоже постоянно, а потому удов-
удовлетворяет уравнению
rotE = 0,	B1.2)
т. е. имеет потенциал.
К уравнениям B1.1) и B1.2) должно еще быть присоединено
уравнение, связывающее между собой величины j и Е. Эта связь
зависит от свойств вещества проводника. В огромном большин-
большинстве случаев ее молено считать линейной (закон Ома).
Если проводник однороден и изотропен, то линейная зависи-
зависимость сводится к простой пропорциональности
j = <rE.	B1.3)
Коэффициент а зависит от рода и состояния проводника; его на-
называют коэффициентом электропроводности, или просто прово-
проводимостью тела.
В однородном проводнике а = const и подстановка B1.3) в
B1.1) дает divE = 0. Поэтому в этом случае потенциал электри-
электрического поля удовлетворяет уравнению Лапласа Аср = 0.
) В этой главе мы не рассматриваем создаваемого током магнитного поля
и соответственно не учитываем обратного влияния этого поля на ток. Учет
этого влияния потребует уточнения определения плотности тока, что будет
сделано в § 30.

§ 21	ПЛОТНОСТЬ ТОКА И ПРОВОДИМОСТЬ	137
На границе раздела двух проводящих сред нормальная ком-
компонента плотности тока дол лена, очевидно, быть непрерывной.
Кроме того, согласно общему условию непрерывности тангенци-
тангенциальной компоненты напряженности (следующему из уравнения
rotE = 0, ср. A.7) и F.9)) должно быть непрерывно отноше-
отношение j/cr. Таким образом, граничные условия для плотности тока
имеют следующий вид:
U=3n2, ^ = ^	B1.4)
или для напряженности поля
&\Eni = o<iEni, Eji = E$2.	B1.5)
На границе же проводника с непроводящей средой имеем просто
)
дп	п
Электрическое поле, поддерживающее ток, производит над
перемещающимися в проводнике заряженными частицами (но-
(носителями тока) механическую работу; работа, производимая в
1 с в единице объема, равна, очевидно, произведению JE. Эта
работа диссипируется в веществе проводника, переходя в тепло.
Таким образом, количество тепла, выделяющегося в 1 с в 1 см3
однородного проводника, равно
jE = cr?2 = 3-	B1.6)
{закон Джоуля-Ленца).
Выделение тепла приводит к возрастанию энтропии тела.
При выделении тепла dQ = jEdV энтропия данного элемента
объема увеличивается на dQ/T. Поэтому скорость изменения
полной энтропии тела равна
dy_ = /* jE
dt J T
dV.	B1.7)
В силу закона возрастания энтропии эта производная должна
быть положительной. Подставив в нее j = сгЕ, мы видим, что из
этого требования можно сделать заключение о положительности
проводимости а.
г) Обратим внимание на то, что уравнения rotE = 0, div (сгЕ) = 0 и
граничные условия B1.5) к ним обнаруживают формальную аналогию с
уравнениями электростатического поля в диэлектриках, отличаясь от них
лишь заменой е на а. Это обстоятельство позволяет находить решения задач
о распределении тока в неограниченной проводящей среде непосредственно
по решениям аналогичных электростатических задач. При наличии границ
проводника с непроводящей средой эта аналогия не приводит к цели, так
как в электростатике нет сред с е = 0.

138	постоянный ток
В анизотропном теле (монокристалле) направления векторов
j и Е, вообще говоря, не совпадают и линейная связь между ними
выражается формулами вида
ji = aikEk,	B1.8)
где величины а^ составляют симметричный (см. ни лее) тензор
второго ранга (тензор проводимости).
Здесь необходимо сделать следующее замечание. Сама по се-
себе симметрия кристалла могла бы допустить наличие свободного
члена в линейной связи между j и Е, т. е. формулу вида
ji = <TikEk+jP)
с постоянным вектором j(°). Наличие такого члена означало бы
«пирозлектричность» проводника — в отсутствие тока (j = 0) в
нем существовало бы отличное от нуля поле. В действительно-
действительности, однако, это невозможно в силу закона возрастания энтропии:
член j(°)E в подынтегральном выражении в B1.7) заведомо мог
бы иметь оба знака, в результате чего dy/dt не могла бы быть
существенно положительной величиной.
Подобно тому как в изотропной среде условие dy/dt > 0
приводит к положительности сг, так в анизотропном теле из этого
условия следует положительность главных значений тензора а^.
Зависимость числа независимых компонент тензора от сим-
симметрии кристалла такая же, как у всякого симметричного тен-
тензора второго ранга (см. § 13): у двухосных кристаллов все три
главных значения различны, у одноосных — два из них одинако-
одинаковы, а у кубических — все три одинаковы, т. е. кубический кри-
кристалл в отношении своих свойств проводимости ведет себя как
изотропное тело.
Симметричность тензора проводимости
<rik = °ki	B1.9)
является следствием принципа симметрии кинетических коэф-
коэффициентов. Формулировка этого общего принципа, принадле-
принадлежащего Л. Онсагеру, удобная для применения здесь и ни лее
(в § 26-28), заключается в следующем (ср. V, § 120).
Пусть Ж1, #2, ••• — некоторые величины, характеризующие
состояние тела в каждой его точке. Наряду с ними вводим вели-
величины
где S — энтропия единицы объема тела, а производная берет-
берется при постоянной энергии этого объема. В состоянии, близком
к равновесному, величины ха близки к своим равновесным зна-
значениям, а величины Ха малы. При этом в теле будут проис-
происходить процессы, стремящиеся привести его в состояние равно-
равновесия. О скоростях изменения величин ха при этих процессах

§ 21	ПЛОТНОСТЬ ТОКА И ПРОВОДИМОСТЬ	139
молено обычно утверждать, что они являются в каждой точке
тела функциями только значений величин ха (или Ха) в тех лее
точках. Разлагая эти функции в ряд по степеням Ха и ограничи-
ограничиваясь линейными членами в разложении, получим соотношения
вида
^г = -?%***•	Bi.li)
Тогда молено утверждать, что коэффициенты 7а& (кинетические
коэффициенты) симметричны по индексам а и Ъ ^):
1аЪ = 1Ъа.	B1.12)
Для фактического использования этого принципа необходи-
необходимо, выбрав тем или иным способом величины ха (или прямо их
производные ха), определить соответствующие Ха. Эта задача
обычно может быть весьма просто решена с помощью формулы,
определяющей скорость изменения со временем полной энтропии
тела:
где интегрирование производится по всему объему тела.
В данном случае при прохождении тока через проводник для
этой скорости мы имеем формулу B1.7). Сравнивая ее с B1.13),
мы видим, что если в качестве величин ха выбрать компоненты
вектора плотности тока j, то соответствующими величинами Ха
будут компоненты вектора —Е/Г. Сравнение же формул B1.8) и
B1.11) показывает, что роль кинетических коэффициентов игра-
играют при этом умноженные на Г компоненты тензора проводимо-
проводимости, симметрия которого следует, таким образом, непосредствен-
непосредственно из общих соотношений B1.12).
Задачи
1. В проводящую среду погружена система электродов, поддерживае-
поддерживаемых при постоянных потенциалах <ра. С каждого из электродов стекает ток
Ja- Определить полное джоулево тепло, выделяющееся в среде в 1 секунду.
Решение. Искомое тепло Q дается интегралом
Q= JiBdV = -Ji\/(fdV = -J div(<pj)dV,
взятым по объему среды. Преобразуем этот интеграл в интеграл по поверх-
поверхности, учитывая, что на внешней границе среды jn = 0, а на поверхностях
электродов (f = const = ipa. В результате получим
2) Подразумевается, что величины ха и хъ ведут себя одинаковым образом
по отношению к изменению знака времени.

140
постоянный ток
2. Определить распределение потенциала в проводящей сфере, в которую
ток J входит через один полюс и выходит через противоположный.
Решение. Вблизи полюсов О и О' (рис. 15) потенциал соответственно
должен иметь вид
J	J
<р = 	 и <р =
2R
где Ri, R2 — расстояния до полюсов. Эти функции удовлетворяют урав-
уравнению Лапласа, а интегралы —aJV(fdf по бесконечно малым полусферам
вокруг точек О и О' равны ±J. Ищем потенциал
в произвольной точке Р сферы в виде
1 R2
где ф есть решение уравнения Лапласа, не имею-
имеющее полюсов внутри сферы и на ее поверхности.
Из симметрии очевидно, что ф (как и ф) есть
функция только сферических координат гиб.
На поверхности сферы (г = а) должно быть
dif/dr = 0. Произведя дифференцирование, най-
найдем отсюда для ф следующее граничное условие:
дф 1/1	1 \
— = —	при г = а.
Or 2а Vfli R2J
Если f(r,0) есть какое-либо решение уравнения
г
Лапласа, то функция J r f(r,0) dr тоже есть решение1). Сравнивая с на-
о
писанным граничным условием, легко прийти к заключению, что ему удов-
удовлетворяет решение
ф
_ I Г /J	1_\ dr
~ 2J \R, R2) r'
Подставив #1,2 = (а2 + г2 =р 2arcos0I/2 и произведя интегрирование, полу-
получим окончательно
J Г 1 1 1 Л . a + rcos6 . . a-rcos6\\
ш = 	<	1	Arsh	Arsh	 >
2тга IR1 R2 2а \	г sin в	г sin в ) J
((р отсчитывается от значения ip = 0 при г = 0).
3. Показать, что распределение тока в проводящей среде отвечает ми-
минимуму диссипации энергии.
Решение. Речь идет о минимуме интеграла
/I2
— dV
) В этом легко убедиться как непосредственной проверкой, так и на осно-
основании того, что искомое решение /(г, в) уравнения Лапласа, зависящее толь-
только от переменных г, 0, может быть представлено в виде
где сп — постоянные, аР„ — полиномы Лежандра.

§ 22	ЭФФЕКТ ХОЛЛА	141
при дополнительном условии divj = 0, выражающем сохранение заряда.
Варьируя по j интеграл
г / «2	\
dV
B(р — лагранжев неопределенный множитель) и приравнивая вариацию ну-
нулю, получим уравнение j = — а\7(р или
rot - = О,
СГ
совпадающее с уравнениями B1.2) и B1.3).
§ 22. Эффект Холла
Если проводник находится во внешнем магнитном поле Н, то
связь между плотностью тока и напряженностью электрического
поля по-прежнему дается соотношениями
3% = &ikEk,
но компоненты тензора проводимости а^ являются функциями
Н и, что особенно существенно, уже не симметричны по индек-
индексам %к. Симметрия этого тензора была доказана в § 21, исхо-
исходя из принципа симметрии кинетических коэффициентов. Но в
магнитном поле, как известно, формулировка этого принципа
несколько меняется: одновременно с перестановкой индексов у
кинетических коэффициентов должно быть изменено на обрат-
обратное также и направление магнитного поля (см. V, § 120). Поэтому
для компонент тензора а^(Н) будем теперь иметь соотношения
*ki(-H).	B2.1)
Величины же сг^(Н) и сг^(Н) отнюдь не равны друг другу.
Как и всякий общий тензор второго ранга, тензор c^fc можно
разделить на симметричную и антисимметричную части, кото-
которые мы обозначим соответственно как s^/c и а^\
&ik = Sik + a>ik-	B2.2)
По определению,
sik(H) = ski(U), о*(Н) = -аы(Н),	B2.3)
a из B2.1) следует, что
sik(H) = зк(-Н) = sik(-H),
= адя(-Н) = -а^(-Н).
Таким образом, компоненты тензора s^ являются четными, а
тензора щк — нечетными функциями магнитного поля.

142	постоянный ток
Как известно, всякий антисимметричный тензор второго ран-
ранга щк эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору, с
которым его компоненты связаны следующим образом:
С помощью этого вектора компоненты произведения щкЕк могут
быть написаны в виде компонент векторного произведения [Еа]:
ji = aikEk = sikEk + [Еа];.	B2.6)
Джоулево тепло, выделяющееся при прохождении тока, опре-
определяется произведением jE. В силу перпендикулярности векто-
векторов [Еа] и Е их произведение обращается тождественно в нуль,
так что
jE = sikEiEk,	B2.7)
т. е. джоулево тепло определяется (при заданной напряженности
Е) одной лишь симметричной частью тензора проводимости.
Если магнитное поле достаточно слабое, можно разложить
компоненты тензора проводимости по его степеням. Ввиду нечет-
нечетности функции а(Н), в разложение этого вектора войдут только
члены нечетных степеней. Первые члены разложения линейны
по полю, т. е. имеют вид
сц = aikHk.	B2.8)
Векторы а и Н оба аксиальны; поэтому постоянные ос{к составля-
составляют обычный (полярный) тензор. В разложение же четных функ-
функций Sik(H) входят только члены с четными степенями. Первый
@)
член разложения есть проводимость а^к в отсутствие поля, а
первые поправочные члены квадратичны по полю:
Sik = ^l] + PiklmHiHm.	B2.9)
Тензор ${к\ш симметричен как по индексам г&, так и по индек-
индексам 1т.
Таким образом, основной, линейный по полю, эффект влия-
влияния магнитного поля заключен в члене [Еа] (эффект Холла). Он
состоит, как мы видим, в появлении тока, перпендикулярного к
электрическому полю и по величине пропорционального напря-
напряженности магнитного поля. Следует, однако, иметь в виду, что
в общем случае произвольной анизотропной среды холловский
ток не является единственным, перпендикулярным к Е; такие
составляющие может иметь и не холловский ток SikEk.
Эффект Холла имеет и другой аспект, явствующий из обрат-
обратных формул, выражающих поле Е через плотность тока:
Ег =
l

§ 22	ЭФФЕКТ ХОЛЛА	143
Обратный тензор а^. , как и прямой, молено разложить на сим-
симметричную часть (которую мы обозначим как р^) и антисиммет-
антисимметричную, дуальную некоторому аксиальному вектору Ь:
Ei = Pikji + Шг-	B2Л0)
Тензор pik и вектор b обладают такими лее свойствами, как и s^
и а. В частности, в слабых полях вектор b линеен по магнитному
полю. В формулах B2.10) эффект Холла представляется членом
[jb], т. е. появлением электрического поля, перпендикулярного
к току и по величине пропорционального магнитному полю (и
току j).
Все написанные выше соотношения очень упрощаются, если
проводник изотропен. В этом случае из соображений симметрии
очевидно, что вектор b (или а) может быть направлен только
вдоль магнитного поля. Единственными же отличными от нуля
компонентами тензора р^ являются рхх = руу и pzz, где ось z
выбрана вдоль направления поля. Обозначив эти две величины
через р± и рц и выбрав плоскость xz проходящей через направ-
направление тока, будем иметь
Ех = p±jx, Еу = -hjx, Ez = ppz.	B2.11)
Отсюда видно, что в изотропном проводнике холловское поле
есть единственное электрическое поле, перпендикулярное одно-
одновременно току и магнитному полю.
В слабых магнитных полях связь векторов b и Н дается (в
изотропном теле) просто соотношением
b = -КН.	B2.12)
Постоянная R (постоянная Холла) может быть как положитель-
положительной, так и отрицательной. Что касается квадратичных по Н чле-
членов в зависимости между Е и j (входящих через тензор /э^), то их
вид ясен из того, что единственными векторами, которые моле-
молено составить из j и Н (линейными по j и квадратичными по Н)
являются H(jH) и ji/2. Поэтому общий вид зависимости между
Е и j в изотропном теле с учетом квадратичных по Н членов
дается формулой
Е = p(°)j + i?[Hj] + (ЗиН2 + /32H(Hj).	B2.13)
Задача
Выразить компоненты обратного тензора сг^,1 через компоненты Sik и а.
Решение. Проще всего производить вычисления, выбрав систему
координат ж, у, z, в которой тензор Sik приведен к главным осям, после чего
по виду получающихся выражений легко заключить об их общей форме в

144	постоянный ток
произвольной системе координат. Определитель тензора:
а =
CLZ
Ly
2	2	2
2	2
\ Sxx&x Н~ ^УУ^у ~г
CLy	&х	&ZZ
Очевидно, что в общем случае
I | 	 | | .
Составляя также миноры этого определителя, найдем компоненты обратно-
обратного тензора
-1 syyszz+ax _!	ахау — azszz
°"хх = Рхх = 	:—:	, сгху = рху + oz =
Общие выражения, переходящие в эти при нашем выборе системы коорди-
координат:
Ргк = — {sik \s\ + пгпк} , hi = — —-SikCLk,
\cr\	\cr\
чем и решается поставленная задача.
§ 23. Контактная разность потенциалов
Для того чтобы удалить из проводника через его поверхность
заряженную частицу, необходимо произвести над ней определен-
определенную работу. Работой выхода называют работу, которая должна
быть произведена над частицей, если ее удаление совершается
термодинамически обратимым образом. Эта величина всегда по-
положительна, как это следует непосредственно из того, что то-
точечный заряд притягивается ко всякому нейтральному телу, в
том числе ко всякому проводнику (см. § 14). Обозначим эту ра-
работу как eVF, где е — заряд частицы; знак определенного таким
образом потенциала выхода W совпадает со знаком заряда уда-
удаляемой частицы.
Работа выхода зависит как от рода проводника (и его тер-
термодинамического состояния — температуры, плотности), так и
от рода заряженной частицы. Например, у одного и того лее
металла работа выхода различна при удалении заряда в виде
электрона проводимости или при удалении иона с его поверхно-
поверхности. Необходимо также подчеркнуть, что работа выхода явля-
является величиной, характеризующей поверхность проводника. По-
Поэтому она зависит, например, и от способа обработки и степени
«загрязнения» поверхности. Если проводник представляет со-
собой монокристалл, то работа выхода различна и для разных его
граней.
Для уяснения физической природы зависимости работы вы-
выхода от свойств поверхности установим ее связь с электрической
структурой поверхностного слоя вещества. Понимая под р(х)
плотность зарядов, не усредненную по физически бесконечно ма-

§ 23	КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ	145
лым элементам длины вдоль оси х (перпендикулярной к плоско-
плоскости слоя), пишем уравнение Пуассона в поверхностном слое:
dV =
dx2
Пусть области проводника соответствуют х < 0. Интегрируя
один раз, получим	х
— = —4тг / pdx,
dx	-oo
после чего следующее интегрирование производим по частям:
X	X
<р — ф-оо = — 4тгж J pdx + 4n J xpdx.
X
При х —>• ос интеграл J pdx весьма быстро стремится к нулю
—оо
(ввиду злектронейтральности поверхности незаряженного про-
проводника). Поэтому
+ ОО
ср(+оо) — ср(—оо) = 4тг J xpdx.
—оо
Интеграл, стоящий в правой части равенства, представляет собой
дипольный момент зарядов, распределенных вблизи поверхности
тела. Это распределение имеет характер двойного слоя, в кото-
котором заряды противоположного знака разделены так, что диполь-
дипольный момент системы отличен от нуля. Структура двойного слоя,
разумеется, зависит от свойств по-
поверхности (ее кристаллографиче-
кристаллографического направления, загрязнений и
т. п.). Разность же потенциалов
выхода с различных поверхностей
данного проводника определяется
разницей их дипольных моментов.
Если два различных проводни-
проводника приведены в соприкосновение
друг с другом, то между ними мо-
может происходить обмен заряжен-
заряженными частицами. При этом заряды
будут переходить от тела с мень-	рис 1б
шей к телу с большей работой вы-
выхода до тех пор, пока между обоими проводниками не установит-
установится разность потенциалов, препятствующая переходу зарядов —
так называемая контактная разность потенциалов.
На рис. 16 изображен поперечный разрез двух соприкасаю-
соприкасающихся проводников (а и Ъ) вблизи их свободных поверхностей АО
и ОВ. Потенциалы этих поверхностей обозначим соответствен-
соответственно как <ра и <ръ; контактная разность потенциалов есть разность
= <ръ — Фа- Количественная связь между этой разностью и

146	постоянный ток
работами выхода устанавливается условием термодинамического
равновесия. Рассмотрим работу, которая дол лена была бы быть
произведена над частицей с зарядом е для того, чтобы удалить
его из проводника а через поверхность АО, затем перенести его
к поверхности О В и, наконец, ввести внутрь проводника Ъ\ в
состоянии термодинамического равновесия эта работа должна
быть равна нулю 1). Работы, производимые над частицей на каж-
каждом из указанных трех этапов пути, равны соответственно eWa,
е((ръ — (fa) и —е\?ъ. Приравняв их сумму нулю, найдем искомое
соотношение
<РаЬ = Wb- Wa.	B3.1)
Таким образом, контактная разность потенциалов между сосед-
соседними свободными поверхностями двух соприкасающихся провод-
проводников равна разности их потенциалов выхода.
Наличие контактной разности потенциалов приводит к появ-
появлению электрического поля в пространстве вне проводников. Не
представляет труда определить это поле вблизи места соприкос-
соприкосновения. В небольшой области вблизи линии соприкосновения
(точка О на рис. 16) пересекающиеся стороны проводников моле-
молено рассматривать как плоские. Потенциал поля вне проводников
удовлетворяет уравнению
г дг \ дг
{г, в — полярные координаты с началом в точке О), а на сторо-
сторонах АО и О В должен принимать заданные постоянные значения.
При этом нас интересует решение, содержащее наиболее низкую
степень г: оно будет представлять собой главный член разложе-
разложения потенциала по степеням малого расстояния г. Таким реше-
решением является <р = const • 9. Отсчитывая угол в от стороны АО
и приняв ее потенциал условно равным нулю, получим
<р = ^0,	B3.2)
а
где а — угол АО В. Таким образом, эквипотенциальными линия-
линиями (в плоскости рисунка) являются прямые лучи, расходящиеся
от точки О. Соответственно силовые линии представляют собой
семейство дуг окружностей с центром в точке О. Напряженность
поля равна
jp	I d(f	(fab I	/Q9 о\
ь = ~~^Е = ~	'	{^6.6)
г дв	а г
т. е. убывает обратно пропорционально расстоянию от точки О.
г) Разумеется, в действительности переход частицы из одного проводника
в другой может произойти только через поверхность их контакта, а не через
окружающее пространство. Мы, однако, пользуемся тем, что работа этого
перехода не зависит от его пути.

§ 24	ГАЛЬВАНИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ	147
Как уже указывалось, «контактные» разности потенциалов
существуют и между различными гранями металлического мо-
монокристалла. Поэтому электрическое поле описанного выше ха-
характера должно существовать и вблизи ребер кристалла1).
Если имеется ряд последовательно соединенных металличе-
металлических проводников (находящихся при одинаковой температуре),
то разность потенциалов между крайними проводниками равна
(как это легко заключить на основании формулы B3.1)) просто
разности их потенциалов выхода, как и для двух непосредствен-
непосредственно соприкасающихся проводников. В частности, если на обоих
концах цепи находятся одинаковые металлы, то разность потен-
потенциалов между ними равна нулю. Это обстоятельство, впрочем,
уже заранее очевидно: если бы между одинаковыми проводника-
проводниками существовала разность потенциалов, то при замыкании цепи
в ней возник бы ток, в противоречии со вторым началом термо-
термодинамики.
§ 24. Гальванический элемент
Сделанное в конце предыдущего параграфа замечание теря-
теряет свою силу, если в цепи участвуют проводники с носителями
тока различной природы (металлы и растворы электролитов).
В связи с различием работ выхода одного и того лее проводника
по отношению к различным заряженным частицам (электронам
и ионам) сумма всех контактных разностей потенциалов в це-
цепи здесь отлична от нуля даже при одинаковых проводниках на
обоих ее концах. Эту сумму называют действующей в цепи элек-
электродвижущей силой (ЭДС); она представляет собой не что иное,
как разность потенциалов между двумя одинаковыми проводни-
проводниками, находящимися на концах разомкнутой цепи. При замыка-
замыкании такой цепи в ней возникает ток; на этом основана работа
гальванических элементов. Источником энергии, поддерживаю-
поддерживающим прохождение тока в цепи, являются при этом химические
превращения, происходящие в элементе.
При полном обходе по любому замкнутому контуру, проходя-
проходящему внутри замкнутой цепи, потенциал поля должен, разумеет-
разумеется, вернуться к исходному значению, т. е. его суммарное измене-
изменение равно нулю. Рассмотрим, например, контур, проходящий по
поверхности проводников. При переходе с одного проводника на
другой потенциал испытывает скачок <раъ. Падение же потенциа-
потенциала вдоль длины каждого проводника при наличии тока J (пол-
(полный ток через сечение) равно RJ, где R — сопротивление про-
проводника. Поэтому суммарное изменение потенциала вдоль цепи
*) В реальных условиях все эти поля обычно компенсируются полем ионов,
«налипающих» из атмосферы на поверхность.

148	постоянный ток
равно
Приравняв это выражение нулю и заметив, что ток J постоянен
вдоль всей цепи, а сумма ^2^раь есть электродвижущая сила §,
найдем:
J2 = <?,	B4.1)
так что ток, возникающий в цепи с гальваническим элементом,
равен ЭДС, деленной на полное сопротивление всех проводников
в цепи (в том числе, разумеется, и внутреннее сопротивление
самого элемента).
Хотя ЭДС гальванического элемента и может быть выраже-
выражена в виде суммы контактных разностей потенциалов, но очень
валено подчеркнуть, что в действительности это есть термоди-
термодинамическая величина, определяющаяся исключительно объем-
объемными состояниями проводников и совершенно не зависящая от
свойств их поверхностей раздела. Это ясно уже из того, что S
есть не что иное, как работа (отнесенная к единичному заря-
заряду), которая была бы произведена над заряженной частицей при
обратимом проведении ее вдоль всей замкнутой цепи.
Для иллюстрации этого обстоятельства рассмотрим гальва-
гальванический элемент, составленный из двух металлических электро-
электродов (металлы А и В\ погруженный в раствор электролитов АХ
и ВХ (Х~ — какой-либо анион). Пусть Са™ Св — химические по-
потенциалы металлов А и В, а CaXi Свх — химические потенциалы
электролитов в растворе1). Проведение элементарного заряда е
вдоль замнутой цепи означает переход иона Л+ из электрода А
в раствор, переход иона В+ из раствора на электрод, причем
изменение зарядов электродов компенсируется переходом элек-
электрона от электрода А к электроду В по внешней части цепи.
Результат этих процессов сводится к тому, что электрод А теря-
теряет, а В приобретает по одному нейтральному атому, а в растворе
электролита одна молекула ВХ заменяется на АХ. Поскольку
работа, производимая при обратимом процессе (при постоянных
температуре и давлении), равна изменению термодинамического
потенциала системы, то находим соотношение
eSAB = ((в - Свх) - (Сл - Сах),	B4.2)
выражающее ЭДС элемента через объемные свойства электродов
и раствора электролита.
Форма записи B4.2) позволяет сделать также и следующий
вывод. Если в растворе находятся три электролита (АХ,
г) В этом параграфе подразумевается обычное определение химического
потенциала на одну частицу.

§ 25	ЗЛЕКТРОКАПИЛЛЯРНОСТЬ	149
СХ) и в него погружены металлические электроды Л, 5, С, то
ЭДС между каждыми двумя из них связаны соотношением
?ав + ?вс = #ас.	B4.3)
С помощью общих термодинамических соотношений можно
связать ЭДС гальванического элемента с тепловым эффектом,
сопровождающим прохождение тока по цепи, которое в реальных
условиях происходит, разумеется, необратимым образом. Пусть
Q есть количество тепла, выделяющегося (как в самом элементе,
так и во внешней части цепи) при прохождении единичного заря-
заряда; это есть не что иное, как термохимическая теплота реакции,
происходящей внутри гальванического элемента при прохожде-
прохождении тока. Согласно известной термодинамической формуле (см.
V, § 91) она связана с работой S следующим соотношением:
B4.4,
Определение стоящей здесь частной производной по температуре
зависит от того, в каких условиях происходит процесс; так, если
прохождение тока совершается при постоянном давлении (как
это обычно и имеет место), то дифференцирование производится
при постоянном давлении.
§ 25. Злектрокапиллярность
Наличие зарядов на границе между двумя проводящими сре-
средами влияет на поверхностное натяжение на ней; это явление
называют электрокапиллярностью. Фактически речь идет при
этом о двух жидких средах — обычно о границе между жидким
металлом (ртуть) и раствором электролита.
Обозначим через <р\ и ф2 потенциалы обоих проводников, а
через ei и в2 — заряды, расположенные у их поверхности сопри-
соприкосновения. Последние равны по величине и противоположны
по знаку, образуя, таким образом, вдоль этой поверхности так
называемый двойной слой.	_
Для дифференциала потенциала Ф системы двух проводни-
проводников, с учетом их поверхности раздела, при заданных давлении и
температуре, имеем
dO = adS — e\ d(pi - е2 d<p2-	B5-1)
Член a dS представляет собой работу обратимого измерения пло-
площади S поверхности раздела (а — коэффициент поверхностного
натяжения; см. V, § 154).

150	постоянный ток
Вместо термодинамического потенциала Ф в B5.1) молено пи-
писать только его поверхностную часть Ф5, так как объемная часть
при заданных давлении и температуре все равно постоянна и не
интересует нас здесь. Обозначив е\ = —е2 = е и вводя разность
потенциалов <р = (р\ — (^2, перепишем B5.1) в виде
d<Ps = adS-ed(p.	B5.2)
Отсюда следует, что
причем а выражено в функции от (р. Интегрируя это соотно-
соотношение, найдем, что Ф5 = aS. Подставив это обратно в B5.2),
получим d(aS) = adS — edip или S da = —edip, откуда
) -	B5-4)
Р/ P,T
где a = e/S — заряд, приходящийся на 1 см2 поверхности. Со-
Соотношение B5.4) (G. Ырртапп, J.W. Gibbs) является основной
формулой теории злектрокапиллярных явлений.
В состоянии равновесия термодинамический потенциал Ф
должен быть минимален при заданных значениях электрических
потенциалов проводников. Рассматривая его как функцию поверх-
поверхностных зарядов е, напишем необходимые условия минимума:
f	ф>0,	B5.5)
де2
f 0, ф>0,
де	де2
где производные подразумеваются взятыми при постоянной пло-
площади S. Для вычисления производных выразим Ф8 через термо-
термодинамический потенциал Ф3 = Ф5(е) согласно
Ф8 = Ф5(е) - ei<pi - е2(^2 = Фв(е) - е<р.	B5.6)
Условие равенства нулю первой производной дает
де де *
после чего условие положительности второй производной прини-
принимает вид
д2Ф3 = д2Ф3 = дер = 1_дср 0
де2 ~ де2 ~ де ~ S За
или
^ > 0.	B5.7)
д(р

§ 26	ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ	151
Это условие естественно было ожидать, если рассматривать двой-
двойной слой у поверхности как «конденсатор» с емкостью де/д(р.
Продифференцировав равенство B5.4) по (р и используя
B5.7), мы находим, что
?? < о.	B5-8)
Это значит, что в точке, в которой да/д(р = —а = 0, кривая
зависимости а от <р имеет максимум.
§ 26. Термоэлектрические явления
Условие отсутствия тока в металле заключается в наличии
термодинамического равновесия по отношению к электронам
проводимости. Оно требует, как известно, наряду с постоянством
(вдоль тела) температуры также и постоянства суммы ес^+Со, где
(о — химический потенциал электронов проводимости в металле
(при (р = 0I). Если мы имеем дело с металлом, не однородным
по своему составу, то ?о меняется вдоль него далее при посто-
постоянной температуре. Поэтому постоянство электрического потен-
потенциала <р в этом случае отнюдь не приводит к отсутствию тока
в металле, хотя напряженность Е = — grad <p и равна нулю. Это
обстоятельство делает неудобным обычное определение <р (как
результата усреднения истинного потенциала), если мы хотим
включить в рассмотрение также и неоднородные проводники.
Естественно принять в качестве нового определения потен-
потенциала сумму <р + Со/е5 которую мы и будем обозначать ни лее
просто как (^2). В однородном металле такое изменение сво-
сводится к добавлению к потенциалу несущественной постоянной.
Соответственно «напряженность» Е = — grad <р (которой мы и
будем пользоваться) совпадает с истинной средней напряженно-
напряженностью лишь в однородном металле, а в общем случае отличается
от нее градиентом некоторой функции состояния3).
) См. V, § 25; мы понимаем здесь под ? химический потенциал, отнесен-
отнесенный обычным образом к одной частице (электрону).
2)	Это определение можно сформулировать и иначе: новое значение eip
есть изменение свободной энергии при введении (изотермическом) в металл
одного электрона; другими словами, (р = dF/dp, где F — свободная энергия
металла, ар — заряд электронов проводимости, отнесенные к единичному
объему.
3)	Подчеркнем, что при этом произведение еЕ уже не будет силой, дей-
действующей на заряд е. Это обстоятельство может сделать такое определе-
определение Е (целесообразное в феноменологической теории) неудобным в микро-
микроскопической теории, при вычислении кинетических коэффициентов (ср. X,
§44).

152	постоянный ток
При таком определении ток обращается в нуль вместе с на-
напряженностью в термодинамически равновесном (по отношению
к электронам проводимости) состоянии, и связь между j и Е
будет даваться формулой j = сгЕ (или ji = сгц^Е^) даже в неод-
неоднородном по своему составу металле.
Рассмотрим теперь неравномерно нагретый металл, в кото-
котором, во всяком случае, нет (электронного) термодинамическо-
термодинамического равновесия. Тогда напряженность Е отлична от нуля даже и
в отсутствие тока. В общем случае, когда отлична от нуля как
плотность тока j, так и градиент температуры VT, связь между
этими величинами и напряженностью поля может быть написана
в виде
Е= ij+ceVT.	B6.1)
а
Здесь а — обычная проводимость, а а — еще одна величина, ха-
характеризующая электрические свойства металла. Мы предпола-
предполагаем здесь для простоты, что вещество изотропно (или обладает
кубической симметрией), в связи с чем пишем коэффициенты
пропорциональности в виде скалярных величин. Линейная зави-
зависимость Е от VT представляет собой, разумеется, лишь первый
член разложения, достаточный ввиду малости градиента темпе-
температуры (фактически всегда имеющей место).
Та же формула B6.1), написанная в виде
j = cr(E-aVT),	B6.2)
показывает, что в неравномерно нагретом металле может течь
ток и при равной нулю напряженности Е.
Наряду с плотностью электрического тока j рассмотрим так-
также и плотность потока энергии, которую обозначим буквой q.
Прежде всего, из этого потока следует выделить величину <pj,
связанную с тем, что каждая заряженная частица (электрон)
переносит с собой энергию е<р. Разность q — <pj, однако, уже не
зависит от самого потенциала и может быть представлена, в об-
общем случае, в виде линейной функции градиентов V<p = —Е и
VT, аналогично формуле B6.2) для плотности тока. Напишем
пока эту формулу в виде
q - уц = /ЗЕ - 7VT.
Принцип симметрии кинетических коэффициентов позволяет
связать коэффициент /3 с коэффициентом а в выражении B6.2).
Для этого вычислим скорость изменения полной энтропии
проводника. Количество тепла, выделяющееся в единицу време-
времени в единице объема тела, есть — div q. Поэтому можно написать
-/
div q
dt ~

§ 26	ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ	153
Далее, пишем, используя уравнение divj = 0,
^	^	iv<pj} = idiv(q-<pj) - Щ.
Интеграл от первого члена преобразуем по частям и в результате
получаем
*? = f^dV- [Ь- ^УГ dV.	B6.3)
dt J T	J	T2	V J
Эта формула показывает, что, если выбрать в качестве вели-
величин дха/д1 (см. § 21) компоненты векторов j и q — <pj, то соответ-
соответствующими величинами Ха будут компоненты векторов —Е/Г и
. Соответственно этому, в соотношениях
должны быть равными коэффициенты ааТ2 и /ЗТ.
Таким образом, /3 = ааТ\ и мы имеем
q - <pj = сгсеГЕ - 7VT.
Наконец, выразив здесь Е через j и VT согласно B6.1), получим
окончательно следующее выражение:
q = (<р + aT)j - xVT,	B6.4)
где введено обозначение к = ^ — Та2а. Величина к является
не чем иным, как обычным коэффициентом теплопроводности,
определяющим поток тепла в отсутствие электрического тока.
Следует указать, что условие положительности производной
dS^/dt не накладывает каких-либо новых ограничений на термо-
термоэлектрические коэффициенты. При подстановке B6.1) и B6.4) в
B6.3) получается
^ = Г (^ + «УЩ dV > 0,	B6.5)
dt J \аТ	Т* J	'	V )
откуда следуют лишь условия положи тел ьн ости коэффициентов
тепло- и электропроводности.
В написанных выше формулах молчаливо подразумевалось,
что неоднородность давления (или плотности) при постоянной
температуре не может привести к возникновению поля (или то-
тока) в проводнике; на этом основании в B6.2) и B6.4) не были
написаны члены, пропорциональные Vp. В действительности на-
наличие таких членов противоречило бы закону возрастания энтро-
энтропии: в подынтегральном выражении в B6.5) появились бы члены

154	постоянный ток
со знакопеременными произведениями j Vp и VTVp, в результате
чего интеграл не смог бы быть существенно положительным.
Соотношения B6.1) и B6.4) содержат в себе различные тер-
термоэлектрические эффекты. Рассмотрим тепло — divq, выделяю-
выделяющееся ежесекундно в единице объема проводника. Дифференци-
Дифференцируя выражение B6.4), найдем
Q = - div q = div (xVT) + Ej - j V(olT),
или, подставив сюда B6.1),
Q = div (xVT) + 3-- TjVa.	B6.6)
a
Первый член в этой сумме связан с чистой теплопроводностью, а
второй член, пропорциональный квадрату тока, молено назвать
джоулевым теплом. Нас интересует здесь третий член, содержа-
содержащий специфические термоэлектрические эффекты.
Предположим, что проводник однороден по составу, а давле-
давление, как это обычно имеет место, постоянно вдоль него. Изме-
Изменение величины а связано только с градиентом температуры, и
можно написать Va = (da/dT)VT. Таким образом, интересую-
интересующее нас выделение тепла (эффект Томсона) равно
pjVT, где Р = ~Т^.	B6.7)
Величину р называют коэффициентом Томсона. Отметим, что
этот эффект пропорционален первой степени тока, а не его квад-
квадрату, как джоулево тепло. Поэтому он меняет знак при измене-
изменении направления тока на обратное. Коэффициент р может быть
как положительным, так и отрицательным. Если р > 0, то том-
соновское тепло положительно (тепло выделяется) при течении
тока в направлении возрастания температуры, а при течении то-
тока в противоположном направлении — тепло поглощается; при
р < 0 соотношения обратны.
Другой тепловой эффект (эффект Пельтье) возникает при
прохождении тока через контакт (спай) двух различных метал-
металлов. На поверхности контакта непрерывны температура, потен-
потенциал, а также нормальные компоненты векторов плотности тока
и плотности потока энергии. Отмечая индексами 1 и 2 значения
величин, относящиеся к двум металлам, и приравнивая значения
нормальных компонент q B6.4) по обеим сторонам контакта, по-
получим ввиду непрерывности ^, Г, jx:
2
= -jxT(a2 -ai);
ось х направлена по нормали к поверхности. Если положитель-
положительное направление оси х есть направление от металла 1 к метал-

§ 26	ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ	155
лу 2, то выражение, стоящее в левой части равенства, есть коли-
количество тепла, отводимое в 1 с с 1 см2 поверхности контакта пу-
путем теплопроводности. Этот отвод компенсирует выделяющееся
в контакте тепло, представляемое выражением в правой части
равенства. Таким образом, на единице площади контакта выде-
выделяется (в 1 с) тепло, равное
n12j, где П12 = -Т(а2 - ai).	B6.8)
Величину ITi2 называют коэффициентом Пельтье. Как и эф-
эффект Томсона, этот эффект пропорционален первой степени тока
и меняет знак при изменении направления тока на обратное. От-
Отметим, что коэффициент Пельтье обладает свойством аддитив-
аддитивности, выражающимся равенством П13 = П12 + П23, где индексы
1, 2, 3 относятся к трем различным металлам.
Сравнение формул B6.7) и B6.8)
показывает, что коэффициенты Том- а	ъ	с	d
сона и Пельтье связаны соотношени-	l \ 2 \ l ~
ем	Tl	т2
P2-Pl =T±Ihl,	B6.9)
н н	dT T	v }	Рис. 17
Далее, рассмотрим разомкнутую цепь с двумя контактами,
причем два крайних проводника представляют собой одинако-
одинаковые металлы (металл i, рис. 17). Предположим, что спаи (точки Ъ
и с) находятся при различных температурах Т\ и Г2, а темпера-
температуры обоих концов цепи (точки and) одинаковы. Тогда между
этими концами существует разность потенциалов, называемая
термоэлектродвижущей силой] обозначим ее через St. Для вы-
вычисления этой силы полагаем в B6.1) j = 0 и интегрируем на-
напряженность Е = а\7Т вдоль всей длины цепи (ось х):
d
ST= [ a—dx= fadT.
J dx	i
а
Интегрирование от с до d и от а до Ъ означает интегрирование
по температуре от Т2 до Т\ в первом металле, а интегрирование
от Ъ до с есть интегрирование по dT в пределах от Т\ до Т2 во
втором металле. Поэтому находим
т2
gT = f(a2 -a\)dT.	B6.10)
Сравнивая с B6.8), мы видим, что термозлектродвижущая сила
связана с коэффициентом Пельтье следующим соотношением:
т2
ldT.	B6.11)

156	постоянный ток
Формулы B6.9) и B6.11) называют соотношениями Томсона
(W. Thomson, 1854).
В заключение этого параграфа выпишем формулы для тока
и потока тепла в анизотропном проводнике. Эти формулы вы-
выводятся с помощью принципа симметрии кинетических коэффи-
коэффициентов аналогично выводу формул B6.1), B6.4) и имеют вид
—1	дТ
%	B6.12)
Чг ~ Ч>3% = ТаыЗк ~ Щк — •
дхк
Здесь сг^1 — тензор, обратный тензору проводимости а^\ тензо-
тензоры dik и Hik симметричны. Термоэлектрический же тензор а^ в
общем случае несимметричен.
§ 27. Термогальваномагнитные явления
Еще более разнообразны явления, возникающие при протека-
протекании тока при одновременном наличии электрического и магнит-
магнитного полей и градиента температуры.
Исследование этих явлений вполне аналогично произведенно-
произведенному в предыдущем параграфе для термоэлектрических явлений.
Будем производить его сразу в тензорном виде, применимом и
к анизотропным проводникам. Пишем плотность электрического
тока j и потока тепла q в виде
h д
Ек
3% =CLik— + Oik — -,
к
Qi ~ Ч>3% = cik— + dik — -,
T	oxk T
где все коэффициенты являются функциями магнитного по-
поля. Согласно принципу симметрии кинетических коэффициентов
имеем
= аы(-Н), difc(H) = dw(-H), bik(H) = сы(-Н).
B7.2)
Выразив из B7.1) Е и q — уу через j и VT, получим
7
. R .	дТ
Чг ~ 4>3г = РгкЗк ~ ^гк^~,
дхк
где тензоры се, се, /3, к определенным образом выражаются че-
через тензоры а, 6, с, d и обладают следующими свойствами сим-

§ 27	ТЕРМОГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	157
метрии, возникающими в силу соотношений B7.2):
(Н) = яы(-Н),
Н)
Это и есть искомые соотношения в наиболее общем виде. Они
обобщают связи, найденные в § 26 для случая отсутствия маг-
магнитного поля и в § 22 для случая отсутствия градиента темпера-
температуры. Подчеркнем, что тензоры а^ и /3^ в анизотропном провод-
проводнике, вообще говоря, не симметричны и в отсутствие магнитного
поля.
Тензоры сг, х, а + /ЗТ молено разложить на симметричную
и антисимметричную части, подобно тому, как это было сдела-
сделано в § 22. В слабом магнитном поле симметричные части молено
считать постоянными, не зависящими от Н величинами, а ан-
антисимметричные линейны по Н. Для изотропного проводника
получим с этой точностью следующие выражения:
Е = i + aS/T + i?[Hj] + iV[HVT],	B7.5)
cr
q - ад = aTj - xVT + NT\Hj] + L[HVT].	B7.6)
Здесь сг, к — обычные коэффициенты электро- и теплопроводно-
теплопроводности, а — термоэлектрический коэффициент, фигурировавший в
B6.1), R — коэффициент Холла, a iV, L — новые коэффициенты.
Член iV[HVT] можно рассматривать как влияние магнитного по-
поля на термозлектродвижущую силу {эффект Нернста), а член
L[HVT] — как влияние магнитного поля на теплопроводность
(эффект Ледюка-Риги).
На границе двух сред непрерывны нормальные составляю-
составляющие векторов j и q, а потому и вектора
-xVT + aTj + JVT[Hj] + L[HVT].
Член iVT[Hj] описывает влияние магнитного поля на эффект
Пельтье (эффект Эттингсхаузена).
Количество тепла, выделяющееся в 1 с в единице объема про-
проводника, есть Q = — divq. Сюда надо подставить q из B7.6),
после чего заменить — V(p = Е выражением из B7.5). Если про-
проводник однороден по своему составу, то величины се, N', L, ...
являются функциями только температуры, так что их градиен-
градиенты пропорциональны VT. При вычислении пренебрегаем всеми
членами второго порядка по Н; в этом приближении можно счи-
считать, что rot (j/cr) « rotE = 0. Кроме того, замечаем, что для

158	постоянный ток
внешнего поля Н (источники которого находятся вне рассмат-
рассматриваемого проводника) имеем rotH = О1). Наконец, как всегда
для постоянного тока, divj = 0. Имея все это в виду, получим
после вычисления
t
Q = t + div (xVT) - TjVa + — — (<riVT2)[jH]VT.
cr	crT dT
Третий член в этом выражении описывает эффект Томсона
B6.7), а последний член дает изменение этого эффекта благо-
благодаря наличию магнитного поля.
§ 28. Диффузионно-электрические явления
Наличие диффузии приводит к возникновению в раство-
растворах электролитов специфических явлений, не наблюдающихся
в твердых проводниках.
Будем предполагать для упрощения, что температура по-
постоянна вдоль всего раствора. Тем самым мы ограничиваемся
рассмотрением чисто диффузионно-электрических явлений, не
усложненных термоэлектрическими эффектами.
Вместо давления Р и концентрации с раствора удобнее поль-
пользоваться в качестве независимых переменных давлением и хи-
химическим потенциалом ?. Последний мы определяем здесь как
производную от термодинамического потенциала единицы мас-
массы раствора по его концентрации с (при постоянных Р и Г); при
этом под концентрацией мы будем понимать отношение массы
электролита к полной массе жидкости в данном элементе объ-
объема2). Напомним, что постоянство химического потенциала яв-
является (наряду с постоянством давления и температуры) одним
из условий термодинамического равновесия.
Определение потенциала электрического поля, данное в § 26,
должно быть несколько видоизменено в данном случае, посколь-
поскольку носителями тока являются теперь не электроны проводимости,
а ионы растворенного электролита. Именно, рациональное опре-
определение (ср. примеч. на с. 151) дается формулой (р = (д/д)
2) Тем самым мы пренебрегаем слабым эффектом — влиянием на выделе-
выделение тепла собственного магнитного поля рассматриваемых токов.
2) Обычные химические потенциалы определяются как ?i = дФ/дп^, ?2 =
= дФ/дп2, где Ф — термодинамический потенциал некоторого произволь-
произвольного количества раствора, а щ, пч — числа частиц растворенного вещества
и растворителя в нем. Если теперь отнести Ф к 1 г раствора, то п\ и n<i
будут связаны соотношением п\тп\ -\-n2m2 = 1 (mi, rri2 — массы частиц обо-
обоего рода), а концентрация с = пгтпг. Поэтому имеем для введенного здесь
химического потенциала:
дФ_ _ дФ_дп!_ дФ дп2 _ Q C2
дс дпг дс дп2 дс mi m2

§ 28	ДИФФУЗИОННО-ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ	159
где Ф — термодинамический потенциал, ар — сумма зарядов
ионов в единице объема раствора (после дифференцирования
надо, разумеется, положить р = 0 ввиду злектронейтральности
раствора). Производная берется при постоянной массовой кон-
концентрации, т. е. при заданной сумме масс ионов обоих знаков в
единице объема1).
При наличии градиента химического потенциала в выраже-
выражении для плотности тока появляется пропорциональный ему до-
дополнительный член:
j = a(E-/3VC),	B8.1)
аналогичный дополнительному члену в B6.2). Ниже мы убедим-
убедимся в том, что при заданном градиенте химического потенциала
(и температуры) j не может зависеть от градиента давления, и
потому члена с VP в выражении B8.1) нет2).
Наряду с электрическим током необходимо рассматривать
так лее и одновременно происходящий перенос массы электроли-
электролита. При этом надо иметь в виду, что прохождение тока через рас-
раствор может сопровождаться макроскопическим движением жид-
жидкости. Плотность потока массы электролита, переносимого этим
движением вместе со всей жидкостью, равна pew (v — скорость,
р — плотность раствора). Кроме того, электролит переносится
молекулярным, диффузионным путем. Плотность этого диффу-
диффузионного потока обозначим буквой i, так что полная плотность
потока есть pev + i. Необратимые процессы диффузии тоже при-
приводят к возрастанию энтропии; скорость изменения полной эн-
энтропии определяется формулой 3)
**= f^dV- f^dV.	B8.2)
dt J Т	J Т	V J
Как и плотность электрического тока, диффузионный поток
может быть написан в виде линейной комбинации Е и V? или,
что то лее, j и V?. С помощью симметрии кинетических коэффи-
коэффициентов один из коэффициентов в этом выражении может быть
г) В сильном электролите растворенное вещество целиком диссоциировано,
так что массовая концентрация может быть представлена в виде с = тп-\-П-\- +
+ гп-П-, где т+, т_ — массы катионов и анионов, а п+, п- — плотности
их числа. При указанном определении потенциала равенство <р = 0 отвечает
соотношению ?_|_/т+ = ?_/т_ между химическими потенциалами катионов
и анионов; потенциалы ?+ и ?_ связаны с ?i равенством ?+ + ?_ = ?i •
2) Подчеркнем, однако, что при заданном градиенте концентрации j зави-
зависит от градиента давления:
дР/С:Т
3) Вывод второго члена в этой формуле см. в VI, § 58.

160	постоянный ток
связан с коэффициентом /3 в формуле B8.1), вполне аналогич-
аналогично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для j и
q — <эд. В результате получаем:
?VC + ^j.	B8.3)
Р,Т
Коэффициент при V? выражен через обычный коэффициент
диффузии (здесь р — плотность вещества). При j = 0 и при
постоянном давлении (и температуре) имеем обычный диффу-
диффузионный поток i = —pDVc.
Невозможность существования в выражениях B8.1) и B8.3)
членов, пропорциональных градиенту давления, снова (как и в
§ 26) следует из закона возрастания энтропии: такие члены сде-
сделали бы производную полной энтропии B8.2) не существенно
пол о леи те л ьн ой ве л и ч и н ой.
Формулы B8.1) и B8.3) содержат в себе все диффузионно-
электрические явления; на более подробном их рассмотрении мы
не будем здесь останавливаться.
Задача
Две параллельные плоские пластинки (из одинакового металла А) по-
погружены в раствор электролита АХ. Найти зависимость плотности тока от
приложенной к пластинкам разности потенциалов.
Решение. При прохождении тока металл растворяется с одного
электрода и осаждается на другом. При этом растворитель (вода) покоится,
а через раствор проходит поток массы металла с плотностью pv = jm/e (j —
плотность электрического тока, m и е — масса и заряд ионов А+) 1). С дру-
другой стороны, этот поток дается выражением г-\- pvc с г из B8.3); предполагая
давление постоянным вдоль жидкости 2), получим уравнение
pD— = \/3- — A -c)\j	A)
(х — координата в направлении между электродами). Поскольку j = const
вдоль раствора, то имеем отсюда
31
=1
-^A-с)
где с\, С2 — концентрации у поверхности пластинок, а / — расстояние между
ними.
2) Напомним, что определение гидродинамической скорости v в растворе
заключается в том, что р\ есть импульс единицы объема жидкости (см.
VI, § 58). Поэтому тот факт, что в данном случае движется (относительно
электродов) только растворенный металл, несуществен при вычислении pv.
2) Учет изменения давления, вызванного движением жидкости, привел бы
к малым величинам высшего порядка.

§28	ДИФФУЗИОННО-ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ	161
Разность потенциалов $ между пластинками проще всего определить по
полной диссипации энергии Q (в 1 с), которая должна быть равна (будучи
отнесена к 1 см2 поверхности пластинок) j<o. Согласно B8.1), B8.2) имеем
и, воспользовавшись A), получим
С2
s= C( pDdc
Формулы B) и C) решают (в неявном виде) поставленную задачу.
Если ток j мал, то мала также и разность концентраций c<i — с\. Заменив
интегралы произведениями подынтегральных выражений на с^— с\, получим
для эффективного удельного сопротивления раствора
Первый член в C) дает падение потенциала Г j —, связанное с про-
J a
хождением тока. Второй же член есть электродвижущая сила, обязан-
обязанная разности концентраций в растворе (в известном смысле аналогичная
термо-ЭДС). Это последнее выражение не связано далее с условиями дан-
данной конкретной одномерной задачи и представляет собой общее выражение
для ЭДС «концентрационного элемента».
6 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

ГЛАВА IV
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 29. Постоянное магнитное поле
Постоянное магнитное поле в материальных средах описыва-
описывается двумя уравнениями Максвелла, которые получаются путем
усреднения микроскопических уравнений
divh = 0, roth = -— + —pv.	B9.1)
Среднюю напряженность магнитного поля принято называть
магнитной индукцией и обозначать как
h = B.	B9.2)
Поэтому результат усреднения первого из уравнений B9.1) будет
иметь вид
divB = 0.	B9.3)
Во втором же уравнении производная по времени при усредне-
усреднении исчезает, поскольку среднее поле предполагается постоян-
постоянным, так что имеем
rotB = — pv.	B9.4)
Среднее значение микроскопической плотности тока, вообще
говоря, отлично от нуля как в проводниках, так и в диэлектриках.
Разница между этими двумя категориями тел заключается лишь
в том, что в диэлектриках всегда
vdf = 0,	B9.5)
где интеграл берется по полной площади любого поперечного
сечения тела; в проводниках же этот интеграл может быть от-
отличным от нуля. Предположим сначала, что в теле (если оно
является проводником) отсутствует полный ток, т. е. справедли-
справедливо соотношение B9.5).
Равенство нулю интеграла B9.5) по любому сечению тела
означает, что вектор ~pv может быть написан в виде ротора неко-
некоторого другого вектора, который принято обозначать как сМ:
pv = crotM,	B9.6)
причем величина М отлична от нуля только внутри тела (ср.
аналогичные рассуждения в § 6). Действительно, интегрируя

§ 29	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	163
по поверхности, ограниченной контуром, охватывающим тело и
проходящим везде вне его, получим
J pv df = с J rot M df = с § М d\ = 0.
Вектор М называют намагниченностью тела. Вводя его в урав-
уравнение B9.4), получим
гоШ = 0,	B9.7)
где вектор Н связан с магнитной индукцией В соотношением
В = Н + 4тгМ,	B9.8)
аналогичным соотношению между электрической индукцией D
и напряженностью Е. Хотя вектор Н, по аналогии с Е, называ-
называют обычно напряженностью магнитного поля, следует помнить,
что в действительности истинное среднее значение напряженно-
напряженности есть В, а не Н.
Для выяснения физического смысла величины М рассмот-
рассмотрим полный магнитный момент, создаваемый всеми движущи-
движущимися внутри тела заряженными частицами. По определению маг-
магнитного момента (см. II, § 44), это есть интеграл 1)
-J[r-pv]dV=-J [г rot M] dV.
Поскольку вне тела pv = 0, то интеграл молено брать по лю-
любому объему, выходящему за пределы тела. Преобразуем интег-
интеграл следующим образом:
J [r[VM]] dV = § [r[df M]] - J [[MV]r] dV.
Интеграл по поверхности, проходящей вне тела, обращается в
нуль. Во втором же члене имеем
[[МV]r] = -М div г + М = -2М.
Таким образом, получаем в результате
- f[r-pv]dV = [MdV.	B9.9)
2с J	'	J
Мы видим, что вектор намагниченности представляет собой маг-
магнитный момент единицы объема тела2).
) Для ясности подчеркнем, что в этой формуле г — бегущая координата
(переменная интегрирования), а не координата отдельной микроскопической
частицы; поэтому она не входит под знак усреднения.
2) Лишь после установления этого соответствия величина М становится
полностью определенной. Соотношения лее B9.6) внутри и М = 0 вне те-
тела сами по себе еще не определяют эту величину однозначным образом: в
области внутри тела можно было бы прибавить к М любой вектор вида
grad/, не нарушив равенства B9.6) (см. аналогичное замечание по поводу
электрической поляризации на с. 60).

164	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
К уравнениям B9.3) и B9.7) должно быть присоединено со-
соотношение, связывающее между собой величины Н и В; лишь
после этого система уравнений станет полной. В неферромаг-
неферромагнитных телах, в не слишком сильных магнитных полях, В и Н
связаны друг с другом линейным соотношением. У изотропных
тел линейная связь сводится к простой пропорциональности
В = //Н.	B9.10)
Коэффициент \i называется магнитной проницаемостью, а ко-
коэффициент пропорциональности
Х=^р~	B9.11)
4тг
в соотношении М = %Н — магнитной восприимчивостью.
В противоположность диэлектрической проницаемости е, ко-
которая у всех тел превышает 1, магнитная проницаемость может
быть как больше, так и меньше единицы. Можно только утвер-
утверждать, что всегда \i > 0 (о причине этого отличия между /1ие
см. § 32; доказательство неравенства [i > 0 будет дано в § 31).
Соответственно магнитная восприимчивость \ может быть как
положительной, так и отрицательной.
Другое отличие — количественное — состоит в том, что маг-
магнитная восприимчивость огромного большинства тел очень мала
по сравнению с их диэлектрической восприимчивостью. Это от-
отличие связано с тем, что намагничение вещества (не ферромаг-
ферромагнитного) является релятивистским эффектом второго порядка
по v/c (v — электронные скорости в атомах) ^).
В анизотропных телах, кристаллах, простая пропорциональ-
пропорциональность B9.10) заменяется линейными соотношениями
Bi=fiikHk.	B9.12)
Тензор магнитной проницаемости /i^ симметричен. Это следует
из термодинамических соотношений, которые будут выведены в
§ 31, точно так же, как в § 13 была доказана симметричность
тензора ?^.
Из уравнений divB = 0, rotH = 0 следует (ср. § 6), что на
границе двух различных сред должны выполняться условия
Вы = В2п, Hit = H2?.	B9.13)
Эта система уравнений и граничных условий к ним формально
совпадает с системой уравнений, определяющих злектростатиче-
г) Один раз отношение v/c входит вместе с Н в гамильтониан, описываю-
описывающий взаимодействие тела с магнитным полем, второй раз оно входит через
элементарные атомные или молекулярные магнитные моменты.

§ 29	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	165
ское поле в диэлектриках в отсутствие свободных зарядов, отли-
отличаясь от них лишь заменой Е и D соответственно на Н и В. Вви-
Ввиду уравнения rot Н = 0 молено искать Н в виде Н = — grad ф, и
для потенциала ф получаются те лее уравнения, что и для элек-
электростатического потенциала.
Решения ряда задач, рассмотренных в гл. II для электроста-
электростатического поля, непосредственно переносятся, таким образом, на
постоянное магнитное поле. В частности, полученные в § 8 фор-
формулы для диэлектрического эллипсоида в однородном электри-
электрическом поле полностью справедливы (с соответствующим изме-
изменением обозначений) и для магнитного эллипсоида в однородном
магнитном поле. Так, напряженность Н^ и индукция В^ маг-
магнитного поля внутри эллипсоида связаны с напряженностью 9}
внешнего поля соотношением
H^+nik(B^-H^)=SJi,	B9.14)
где Щк — тензор коэффициентов размагничивания. Напомним,
что это соотношение справедливо при любой связи между В и Н.
Тангенциальные компоненты магнитной индукции, в проти-
противоположность ее нормальной компоненте, испытывают скачок
на поверхности раздела двух сред. Величину этого скачка мож-
можно связать с плотностью токов, протекающих по поверхности.
Для этого проинтегрируем обе части уравнения B9.4) по малому
отрезку А/, пересекающему поверхность раздела в направлении
нормали. Длину А/ устремляем затем к нулю; интеграл fjrvdl
может стремиться, однако, при этом к конечной величине. Опре-
Определенную таким образом величину
g= Jpvdl	B9.15)
можно назвать поверхностной плотностью тока; она определя-
определяет заряд, протекающий в единицу времени через единицу длины
линии, проведенной на поверхности. Выберем направление g в
данной точке поверхности в качестве оси у, а направление нор-
нормали — в качестве оси ж, направленной от среды 1 к среде 2.
Тогда интегрирование уравнения B9.4) дает
ЛдВх дВ
4тг	4тг
Ввиду непрерывности Вх производная dBx/dz ограничена, и по-
потому интеграл от нее стремится к нулю при стремлении к нулю
длины отрезка А/. Интеграл лее от dBz/dx дает разность значе-
значений Bz на обеих сторонах поверхности. Таким образом,
B2z-Bu =	g.
с

166	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Это равенство молено написать в векторном виде как
—g = [п, В2 - Bi] = 4тг[п, М2 - Mi],	B9.16)
с
где п — единичный вектор нормали, направленной внутрь сре-
среды 2\ при последнем преобразовании учтена непрерывность тан-
тангенциальной компоненты Н.
§ 30. Магнитное поле постоянных токов
Если в проводнике течет отличный от нуля полный ток, то
средняя плотность тока в нем может быть представлена в виде
суммы
~pv = с rot М + j.
Первый член, связанный с намагниченностью среды, не дает
вклада в полный ток, так что полный перенос заряда через по-
поперечное сечение тела определяется интегралом /jdf только от
второго члена. Величину j называют плотностью тока проводи-
проводимости 1). Именно к ней относится все сказанное в § 21, в частно-
частности, энергия, диссипируемая в единицу времени в единице объ-
объема, равна Ej.
Распределение тока j по объему проводника определяется
указанными в § 21 уравнениями, в которые не входит создавае-
создаваемое этими же токами магнитное поле (при условии пренебреже-
пренебрежения влиянием поля на свойства проводимости самого металла).
Поэтому задача об определении магнитного поля токов долж-
должна решаться по заданному распределению последних. Уравнения
этого поля отличаются от полученных в § 29 уравнений наличием
члена 4тг]/с вместо нуля в правой части B9.7):
divB = 0,	C0.1)
rotH = —j.	C0.2)
с
Плотность тока проводимости j, пропорциональная напряженно-
напряженности электрического поля, является величиной ограниченной, не
обращающейся в бесконечность, в частности и на границе разде-
раздела двух сред. Поэтому наличие правой части в уравнении C0.2)
не отражается на граничном условии непрерывности тангенци-
тангенциальных компонент Н.
г) Величину же crotM иногда называют плотностью молекулярных то-
токов. Это название, однако, не вполне соответствует истинной физической
картине движения зарядов в проводнике. Так, в металле вклад в намаг-
намагниченность дают не только электроны, движущиеся внутри атомов, но и
электроны проводимости.

§ 30	МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ	167
Для решения уравнений (ЗОЛ), C0.2) удобно ввести вектор-
векторный потенциал А, положив
В = rot A,	C0.3)
в результате чего уравнение C0.1) удовлетворяется тождествен-
тождественно. Равенством C0.3) векторный потенциал еще не определяется
однозначно. К нему можно прибавить, не нарушая C0.3), любой
вектор вида grad /. Ввиду этой неоднозначности можно наложить
на А одно дополнительное условие, в качестве которого выберем
divA = 0.	C0.4)
Уравнение для А получается подстановкой C0.3) в C0.2). При
линейной связи В = /jH имеем
rot f-rot А) = —j.	C0.5)
\jjL	/С
В таком виде это уравнение справедливо для любой неоднород-
неоднородной среды.
В однородной среде \± = const, и поскольку rot rot A =
= grad div A — ДА = — ДА, то уравнение C0.5) приводится к виду
ДА = -—д].	C0.6)
с
Если лее мы имеем дело с совокупностью двух или более раз-
различных соприкасающихся сред, каждая из которых обладает сво-
своей магнитной проницаемостью //, то общее уравнение C0.5) сво-
сводится к уравнению вида C0.6) внутри каждого из однородных
тел, а на их границах должно выполняться условие непрерыв-
непрерывности тангенциальных компонент вектора (l//i) rot А. Кроме то-
того, должны быть непрерывными касательные компоненты само-
самого вектора А, так как их скачок означал бы наличие на границе
бесконечной индукции В.
Уравнения поля упрощаются для плоской задачи определе-
определения магнитного поля в среде, не ограниченной и однородной в
одном направлении (которое мы примем в качестве направле-
направления оси z), причем создающие поле токи тоже направлены везде
вдоль оси z, аих плотность jz = j есть функция только от ж, у.
Сделаем естественное (подтверждающееся результатом) предпо-
предположение, что векторный потенциал такого поля тоже направлен
вдоль оси z: Az = A(x, у) (условие C0.4) удовлетворяется при
этом автоматически), а магнитное поле соответственно везде па-
параллельно плоскости ху. Обозначив через к единичный вектор
вдоль оси ?, имеем
rot A = rot Ak = [grad A • k],

168	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Поэтому уравнение C0.5) приводится к виду
divJ^ = -^j(*,y),	C0.7)
fl	С
т. е. мы действительно получаем одно уравнение для одной ска-
скалярной величины А(х,у). Для кусочно-однородной среды C0.7)
сводится к уравнению
АА = -^-м(х,у)	C0.8)
л 1 дл
с граничным условием непрерывности А и	на поверхности
/мдп
раздела ).
Магнитное поле определяется совсем элементарно, если рас-
распределение токов симметрично относительно оси z: jz = j(r) (r —
расстояние до оси z). Очевидно, что в этом случае магнитные си-
силовые линии являются окружностями г = const. Абсолютная же
величина поля непосредственно определяется из формулы
df,	C0.9)
являющейся интегральной формулой уравнения C0.2). Именно,
Н(г) = Ш&,	C0.10)
сг
где J(r) — полный ток, протекающий внутри окружности г =
= const.
Сведение векторного уравнения C0.5) к одному скалярному
уравнению возможно также и при аксиально-симметричном рас-
распределении круговых токов, т. е. при распределении, которое в
цилиндрических координатах г, <р, z имеет вид
Зт =3z = 0, j(p=j(r,z).
Векторный потенциал ищем в виде Аг = Az = 0, А^ = A(r,z).
При этом компоненты магнитной индукции В = rot A
ЗА	1 д
dz'	г дг ' ^
2) Обратим внимание на то, что плоская задача о постоянном магнитном
поле оказывается эквивалентной плоской задаче электростатики об опреде-
определении электрического поля, создаваемого сторонними зарядами, распреде-
распределенными в диэлектрической среде с плотностью рст(х,у). Последняя задача
требует решения уравнения
div (г grad ф) = —4тгрСт
((р — потенциал поля), отличающегося от C0.7) лишь заменой A, j/c, fi
соответственно на <?, рСт, 1/?5 совпадают также граничные условия для А и
для (f. Разница, однако, возникает при определении соответственно Е или
В по <р или А. Векторы Е = — grad pB = rot А в каждой точке одинаковы
по абсолютной величине, но взаимно перпендикулярны по направлению.

§ 30	МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ	169
и (?-компонента уравнения C0.2) дает
д(\дА\ , д (\ д Л	4тг ./ ч	/on i ^
^-(-^- +^-(— 1ГгА) = —3(r,z).	C0.11)
dzKjjLdz/ drKfirdr J	с
Уравнения магнитного поля токов могут быть решены в об-
общем виде в важном случае, когда магнитными свойствами сре-
среды молено пренебречь, т. е. молено положить везде \i = 1. Для
векторного потенциала тогда во всем пространстве имеет место
уравнение
д »	4тг «
АА = -—j
с
без каких бы то ни было условий на границах раздела различных
сред (в том числе на границе проводника, по которому течет
ток). Решение этого уравнения, обращающееся на бесконечности
в нуль, есть
1J±	C0.12)
где R — расстояние от точки, в которой мы ищем А (точка на-
наблюдения), до элемента объема dV (см. II, § 43). При применении
операции rot к этому выражению следует помнить, что диффе-
дифференцирование j/i? под знаком интеграла должно производиться
по координатам точки наблюдения, от которых j не зависит, так
что
mti-^I.j]—i[BJl,
где радиус-вектор R направлен из dV в точку наблюдения. Та-
Таким образом,
В = Н = - f [^dV.	C0.13)
Если проводник, по которому течет ток, достаточно тонок
(тонкий провод) и мы интересуемся лишь полем в окружающем
его пространстве, то толщиной проводника молено пренебречь. В
дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать такие, как
говорят, линейные токи. Интегрирование по объему проводни-
проводника заменяется в этом случае интегрированием по его контуру.
Именно, формулы для линейных токов получаются из формул,
относящихся к объемным токам, заменой в последних
где J — полный ток, протекающий по проводнику. Так, из фор-
формул C0.12), C0.13) получим
cj R1	с J В?	У
Вторая из этих формул выражает собой закон Био и Савара.

170	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Такие простые формулы для магнитного поля линейных то-
токов не связаны далее с требованием \i = 1. Поскольку толщи-
толщиной проводника мы пренебрегаем, то никаких граничных усло-
условий на его поверхности писать не надо и магнитные свойства его
вещества вообще несущественны (оно может далее быть ферро-
ферромагнитным). Решение уравнения C0.6) для поля в окружающей
проводник среде будет поэтому
1[Ш	C0Л5)
В	[
R	с J В?
для любого значения магнитной восприимчивости среды. Таким
образом, наличие среды приводит лишь к изменению магнитной
индукции в \i раз; напряженность же Н = В/// вообще не изме-
изменится.
Задача об определении магнитного поля линейных токов мо-
может решаться и как задача теории потенциала. Поскольку объ-
объемом проводников мы пренебрегаем, то фактически речь идет об
определении поля в пространстве, во всем объеме которого (за
исключением только особых линий — линейных токов) токи от-
отсутствуют. Но в отсутствие токов постоянное магнитное поле об-
обладает скалярным потенциалом, удовлетворяющим (в однород-
однородной среде) уравнению Лапласа. Между потенциалом магнитного
поля и электрическим потенциалом имеется, однако, существен-
существенное различие. Потенциал электрического поля всегда является
однозначной функцией. Это есть следствие того, что rotE = 0
во всем пространстве (в том числе и там, где имеются заряды), и
потому изменение потенциала при обходе по любому замкнуто-
замкнутому контуру (т. е. циркуляция Е по этому контуру) равно нулю.
Циркуляция лее магнитного поля по контуру, охватывающему
собой линейный ток, отлична от нуля и равна 4ttJ/c. Поэтому
значение потенциала меняется на эту величину при всяком обхо-
обходе вокруг линии тока, т. е. потенциал магнитного поля является
многозначной функцией.
Если система токов сосредоточена в конечной области про-
пространства (a /i = 1 как в проводниках, так и в среде), то вдали
от нее векторный потенциал магнитного поля имеет вид
А = 1^1,	C0.16)
где
^ = -f [rj] dV	C0.17)
есть полный магнитный момент системы -1).
1) См. II, § 44. В приведенном там выводе использовано в явном виде пред-
представление токов как результата движения отдельных заряженных частиц.

30	МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ	171
Для линейного тока это выражение принимает вид
и может быть преобразовано в интеграл по поверхности, огра-
ограниченной контуром тока. Произведение df = [rdl]/2 равно по
абсолютной величине площади треугольного элемента поверхно-
поверхности, построенного на векторах г и ей. Векторный же интеграл
J df не зависит от того, по какой именно поверхности (натяну-
(натянутой на заданный контур) он берется. Таким образом, магнитный
момент замкнутого линейного тока равен
JK=- [ df.	C0.18)
с J
В частности, для плоского замкнутого линейного тока магнит-
магнитный момент равен просто JS/c, где S — площадь ограниченной
током части плоскости.
В заключение этого параграфа остановимся еще на вопросе
о потоке энергии в проводнике. Диссипируемая в проводнике (в
виде джоулева тепла) энергия черпается из энергии электромаг-
электромагнитного поля. В стационарном случае уравнение непрерывности,
выражающее собой закон сохранения энергии, имеет вид
-divS=jE,	C0.19)
где S — плотность потока энергии. Последняя дается внутри про-
проводника выражением
S = —[EH],	C0.20)
4тг
формально совпадающим с выражением для вектора Пойнтинга
для поля в пустоте. В этом легко убедиться прямой проверкой:
вычисление div S с использованием уравнений rot E = 0 и C0.2)
приводит к C0.19).
Независимо от этого вывода, формула C0.20) однозначно сле-
следует из очевидного условия непрерывности нормальной компо-
компоненты S на поверхности тела, если при этом учитывать непре-
непрерывность Е^ и Н| и тот факт, что формула C0.20) справедлива
в пустоте вне тела.
Задачи1)
1. Определить скалярный потенциал магнитного поля замкнутого ли-
линейного тока.
Такой вывод обладает, конечно, полной общностью, но формулу C0.16) мож-
можно получить и чисто макроскопическим путем (см. задачу 4 к этому пара-
параграфу).
г) В задачах 1-4 полагаем везде ц = 1.

172	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охваты-
охватываемой им поверхности, получим
(при преобразованиях надо учесть, что A(l/R) = 0). Сравнивая с В =
= — grad^, найдем, что скалярный потенциал
R
Стоящий здесь интеграл представляет собой, геометрически, телесный угол
Q, под которым виден контур из точки наблюдения поля. Упомянутая в тек-
тексте многозначность потенциала проявляется в том, что, когда точка наблю-
наблюдения описывает замкнутый путь, охватывающий провод, угол Q, достигнув
значения 2тг, меняет знак, становясь равным —2тг.
2. Определить магнитное поле линейного кругового тока (радиуса а).
Решение. Выбираем начало цилиндрической системы координат
г, <р, z в центре окружности, причем угол (р отсчитывается от плоскости,
проходящей через ось z и точку наблюдения поля. Векторный потенциал
имеет только компоненту А<р = A(r, z), и согласно формуле C0.14) пишем
7Г
J ? cos (pdl 2J f	a cos <p dtp
_ 2? Г
с J (a2
R	с J (a2+r2 + z2 -2arcos(py/2'
о
Вводя новую переменную в согласно ip = тг + 20, можно привести это выра-
выражение к виду
где
к2	4аг
(a + rJ + z2 '
а К и Е — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода:
тг/2	тг/2
К= f . d6 ^, Е= [ л/1 - k2 sin2 в dO.
Jq л/l " к2 sin2 в	Jq
Для компонент индукции находим
±<р _ J	2z
В & — 0, Вг — —
dz с гу/(а + гJ + z2
1 д / , ч J 2 Гт^ а2 -г2 -z2 Г1,
Bz =	(гА»,) =		— \К -{	Е\ .
Мы воспользовались здесь легко проверяемыми формулами
8К _ Е	К 8Е _ Е-К
дк ~ к(\-к2) к' дк~ к
На оси (г = 0)
Dr == О, DZ == —
с{а* -\- z*yi*
что можно получить и непосредственным элементарным расчетом.

30
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
173
3. Определить магнитное поле в цилиндрическом отверстии в цилиндри-
цилиндрическом (бесконечно длинном) проводнике, вдоль которого течет ток, равно-
равномерно распределенный по его сечению (рис. 18).
Решение. Если бы отверстия не было, поле внутри цилиндра было
бы равно
/	2-Kjy	, 2-kjx
с ' У	с
(обозначения размеров и осей координат даны на рисунке).
Если бы по внутреннему цилиндру протекал ток с плотностью —j, он
создавал бы в той же точке наблюдения поле
27г?У
Н" = -
2-KJx
Искомое поле в отверстии получается нало-
наложением этих двух полей. Заметив, что х —
— х = ОО' = h, у = у', найдем
Нх =0, Ну =
2тгjh
2hJ
т. е. однородное поле в направлении оси у.
4. Вывести формулу C0.16) для вектор-
векторного потенциала поля вдали от токов из фор-
формулы C0.12)
Решение. Пишем R = Ro —r, где Ro	рис }g
иг — радиус-векторы из начала координат,
расположенного где-либо в области токов, до точки наблюдения и до элемен-
элемента dV соответственно. Разлагая подынтегральное выражение по степеням г
и учитывая, что JjdV = 0, получим
(индекс 0 у R опускаем). Интегрируя по частям тождество
J XiXk divjdV = 0,
получим
f (ji
Поэтому можно переписать А{ в виде
2cR3
J (xkji -Xijk)dV,
что совпадает с C0.16).
5. Определить магнитное поле, создаваемое линейным током в
магнитно-анизотропной среде (А.С. Виглищ 1954).
Решение. В анизотропной среде, окружающей проводник, имеем
уравнение
divB = ^^ = 0,	A)
О X i
где fiik — тензор магнитной проницаемости среды. Вместо того чтобы вво-
вводить векторный потенциал согласно В = rot А, введем другой вектор, С,
определяемый равенством
ox
B)

174	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
(ciki — антисимметрический единичный тензор); выражением B) уравнение
A) тоже удовлетворяется тождественно. На определенный таким образом
вектор С можно еще наложить дополнительное условие:
^ = 0.	C)
4тг.
Подставив B) в уравнение rot Н = —j, получим
с
UX k	UXkC/Xp	С
(при преобразовании использовано равенство
и условие C)). Полученное таким образом уравнение для С совпадает по
форме с уравнением для потенциала электрического поля, создаваемого за-
зарядами в анизотропной среде (задача 2 § 13). Его решение имеет вид
С= -
(\fi\ — определитель тензора fiik, R — радиус-вектор между точкой наблю-
наблюдения и dV). Переходя к линейному току, получим окончательно
с= J I	d\
V?\J
§ 31. Термодинамические соотношения в магнитном поле
Термодинамические соотношения для магнетика в магнит-
магнитном поле в своей окончательной форме, как мы увидим, весь-
весьма сходны с аналогичными соотношениями для диэлектрика в
электрическом поле. Их вывод, однако, существенным образом
отличается от того, который был произведен в § 10. Это отличие
связано, в конечном итоге, с тем, что магнитное поле, в проти-
противоположность электрическому, не производит работы над дви-
движущимися в нем зарядами (так как действующая на заряд сила
перпендикулярна к его скорости). Поэтому для вычисления из-
изменения энергии среды при включении магнитного поля надо
рассматривать электрические поля, индуцирующиеся при изме-
изменении магнитного поля, и определять работу, производимую ими
над токами (источниками магнитного поля).
Таким образом, необходимо привлечь уравнение, определяю-
определяющее связь между электрическим и переменным магнитным по-
полями. Это уравнение,
rotE = -lf,	C1.1)
является непосредственным результатом усреднения микроско-
микроскопического уравнения A.3).

§ 31	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	175
В течение времени St поле Е производит над токами j работу,
равную
StfjEdV.
Эта же величина, взятая с обратным знаком, есть работа SR,
произведенная «над полем» со стороны той внешней электродви-
электродвижущей силы, которая является источником, поддерживающим
протекание токов. Подставив j = —rotH, получим
An
SR = —St— / E rot H dV =
An J
= St— [ div [EH1 dV - St— Г H rot E dV.
An J	L J	An J
Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по бесконеч-
бесконечно удаленной поверхности, обращается в нуль. Во втором же
подставляем rotE из C1.1) и, вводя изменение SB = StdB/dt
магнитной индукции, получаем окончательно
SR= — [HSBdV.	C1.2)
An J
Эта формула по виду вполне аналогична выражению A0.2)
для работы при бесконечно малом изменении электрического по-
поля. Следует, однако, заметить, что физическая аналогия между
этими двумя формулами в действительности не так глубока, по-
поскольку Н, в противоположность Е, не есть среднее значение
истинной микроскопической напряженности поля.
После получения формулы C1.2) все термодинамические со-
соотношения для магнетика в магнитном поле могут быть написа-
написаны аналогично тому, как были написаны в § 10 соотношения для
диэлектрика в электрическом поле; достаточно заменить в них
обозначения Е и D соответственно на Н и В. Выпишем здесь
для дальнейших ссылок некоторые из этих формул. Для диф-
дифференциалов полных свободной и внутренней энергий имеем
= -У5Т+— [USBdV,
An J
=Т5У+— [USBdV,
An J
4ж"	C1.3)
An
а для этих же величин, отнесенных к единице объема:
dF = -SdT + (dp+ — Н dB,
\*	C1.4)
dU = TdS + (dp + — Н dB.
An
Наряду cF, [/ нам понадобятся также термодинамические по-
потенциалы
U = U-—, F = F-—,	C1.5)
An	An	v )

176	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
для которых
dF = -SdT + (dp- —
,47Г	C1.6)
—BdH.
4тг
При линейной связи В = //Н можно написать выражения для
всех величин в конечном виде:
U = U0(S,p) + f-, F = F0(T,p) + f-,
Работу 6R (или, что то лее, изменение 8^ при постоянной
температуре) молено выразить в другом виде, через плотность
токов и векторный потенциал магнитного поля. Для этого пола-
полагаем #В = rot 6А и пишем
F&)т = — Г Н rot SA dV =
4тг J
= __L Г div [H 5A] dV + — f^ArotHdF.
4тг J	L	J	4тг J
Первый интеграл снова обращается в нуль, а второй дает
F.	C1.8)
Аналогичным преобразованием можно получить
= ~ Г ASjdV.	C1.9)
с J
Полезно отметить, что в математическом формализме макро-
макроскопической электродинамики токи — источники магнитного по-
поля — играют роль, аналогичную роли потенциалов (а не зарядов)
источников электрического поля. Это правило ясно проявляется
при сопоставлении формул C1.8) и C1.9) с аналогичными фор-
формулами в электрическом поле
(S^)T = -f pSipdV	C1.10)
(см. A0.13), A0.14)). Мы видим, что заряды и потенциалы рас-
расположены в этих формулах обратным образом по сравнению с
токами и потенциалами в формулах C1.8), C1.9I).
Ввиду полного формального совпадения термодинамических
соотношений (выраженных через напряженность и индукцию) в
Подробнее о смысле этого различия — см. примеч. 2 на с. 184.

§ 32	ПОЛНАЯ СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ МАГНЕТИКА	177
электрическом и магнитном полях непосредственно переносятся
на магнитное поле также и полученные в § 18 термодинамиче-
термодинамические неравенства. Мы видели, в частности, что из них следует
неравенство е > 0. В электрическом случае это неравенство не
представляло интереса, поскольку оно слабее условия е > 1, сле-
следовавшего из других соображений. Но в магнитном случае ана-
аналогичное неравенство
fJL>0
весьма существенно, так как оно является единственным огра-
ограничением, накладываемым на возможные значения магнитной
проницаемости.
§ 32. Полная свободная энергия магнетика
В § 11 были получены выражения для полной свободной энер-
энергии ^ диэлектрика в электрическом поле. Один из термодинами-
термодинамических аспектов этой величины заключается в том, что ее изме-
изменение определяет работу, произведенную электрическим полем
над телом при неизменных источниках (зарядах), создающих это
поле. В магнитном же поле аналогичную роль играет свободная
энергия ^, так как при заданных источниках (токах) поля имен-
именно ее изменение дает произведенную над телом работу.
Следующий ниже вывод полностью аналогичен тому, кото-
который был произведен в § П. «Полную» величину & мы опреде-
определяем как
где *В — магнитное поле, которое создавали бы данные источ-
источники в отсутствие намагничивающейся среды. Знак + в скобке
(вместо знака — в A1.1)) связан с тем, что значение & для маг-
магнитного поля в пустоте есть
8тг
(см. C1.7)). Интегрирование в C2.1) производится по всему про-
пространству, включая объем проводников, несущих токи, которые
создают поле 1).
1) В § 11 мы считали, что интегрирование в A1.1) производится по всему
пространству, исключая объем заряженных проводников, создающих поле.
Там молено было так делать, поскольку внутри заряженного проводника
электрическое поле все равно отсутствует. Магнитное же поле имеется и
внутри проводников, несущих токи, и исключать его при вычислении полной
свободной энергии нельзя.

178	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Вычислим изменение ^ (при заданной температуре и без на-
нарушения термодинамического равновесия среды) при бесконечно
малом изменении поля. Поскольку 8F = ——В#Н, то имеем
4тг
8^ = - — J (В JH - 23 523) dV =
= -— f (H-23)?23dF- — f B(8H - 8<В) dV -
4тг J	4тг J
- — Г (В - H)E*B dV. C2.2)
4тг J
Вводя векторный потенциал il поля *8 пишем в первом члене
(Н - *ВN?В = (Н - ®) rot SiX =
= div [Ш(Н - *8)] + <5Hrot(H - *8).
Но поля Н и 23 создаются, по определению, одними и теми лее
токами j, распределение которых по объему проводников не за-
зависит (см. § 30) от создаваемого ими лее поля, т. е. не зависит от
наличия или отсутствия магнетиков в окружающем простран-
пространстве. Поэтому Н и 23 удовлетворяют одинаковым уравнениям
rot Н = —j, rot 23 = —j,
с	с
так что rot(H — 23) = 0. Интеграл же от div [<$iI(H — 23)] пре-
преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и
обращается в нуль.
Аналогичным образом убеждаемся в том, что равен нулю и
второй член в C2.2), так что
= -— Г (В - НM23 dV = - Г М523 dV.	C2.3)
4тг J	J
Таким образом, мы получили для 8^ выражение, аналогичное
выражению A1.3) для 8^ в электрическом случае. В частности,
в однородном внешнем магнитном поле 23 имеем для d^ выра-
выражение, аналогичное A1.5):
d& = -У dT - Ж dfB,	C2.4)
где Ж — полный магнитный момент тела.
Не повторяя дальнейших вычислений, напишем следующие
формулы по аналогии с формулами в § 11. При линейной связи
В = //Н имеем
= - J -*8M dV.	C2.5)

§ 32	ПОЛНАЯ СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ МАГНЕТИКА	179
В частности, в однородном внешнем поле
, T) = --V&JK.	C2.6)
В общем же случае произвольной зависимости В от Н для вы-
вычисления & можно пользоваться формулой
JHb) dV= [(f- — - -JZ*&) dV, C2.7)
8тг 2	/	J V	8тг2	/'V;
аналогичной формуле A1.12) для диэлектриков.
В § 11 были указаны также упрощенные формулы, относя-
относящиеся к случаю малой диэлектрической восприимчивости. Ана-
Аналогичный случай для магнитного поля особенно существен ввиду
упоминавшейся уже малости магнитной восприимчивости боль-
большинства тел. При этом имеем
^ - J?o = _х J *B2 dV.	C2.8)
Для магнитного поля можно получить также и результаты,
аналогичные результатам § 14. Речь идет об изменении термоди-
термодинамических величин магнетика при бесконечно малом изменении
его магнитной проницаемости //; источники поля предполагают-
предполагаются при этом неизменными. После всего сказанного выше заранее
ясно, что вместо изменения & (как в § 14) надо рассматривать
теперь изменение &. Мы не станем повторять здесь вывода, ана-
аналогичного выводу формулы A4.1). Он приводит к тому же ре-
результату:
= - Г Sfi—dV.	C2.9)
J 8тг
В § 14 на основании формулы A1.7), аналогичной формуле
C2.5), было сделано заключение о положительности электри-
электрической восприимчивости вещества. В магнитном случае, одна-
однако, такой вывод не может быть сделан, и магнитная восприим-
восприимчивость может иметь оба знака. Причина этого существенного
различия заключается в том, что гамильтониан системы дви-
движущихся зарядов в магнитном поле содержит не только члены,
линейные по полю (как в электрическом случае), но и квадра-
квадратичные члены. Поэтому при определении изменения свободной
энергии тела в магнитном поле с помощью теории возмущений
по формуле A4.2) вклад будут давать не только члены второго,
но и первого приближения. Никаких общих заключений о знаке
изменения при этом нельзя сделать; у парамагнитных тел оно
положительно, у диамагнитных — отрицательно.
В § 14 были сделаны заключения о направлении движения
тел в электрическом поле. Аналогичные выводы следуют также

180	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
и из формулы C2.9). Однако ввиду того, что \i может быть как
больше, так и меньше 1, направление движения тел в магнитном
поле не универсально. Так, в квазиоднородном поле парамагнит-
парамагнитные тела (/i > 1) перемещаются в направлении увеличения на-
напряженности, а диамагнитные тела (/i < 1) — в направлении
уменьшения Н.
§ 33. Энергия системы токов
Рассмотрим систему проводников с текущими по ним тока-
токами. Предположим, что ни сами проводники, ни среда, в которой
они находятся, не ферромагнитны, так что везде В = /jH. Сог-
Согласно § 31 полная свободная энергия системы выражается через
создаваемое токами магнитное поле следующим соотношением:
= — [HBdV.	C3.1)
8тг J	V J
Мы опустили здесь постоянную (при заданной температуре тел)
величину ^о? не имеющую отношения к токам. Интегрирование
в C3.1) производится по всему пространству, как внутри, так и
вне проводников.
Эту же энергию молено выразить и через токи интегралом
= - J AjdV	C3.2)
(ср. переход от C1.2) к C1.8)). Интегрирование производится
здесь у лее только по объему проводников, так как вне их j = 0.
В силу линейности уравнений поля магнитное поле молено
представить в виде суммы полей, которые создавались бы каж-
каждым током в отдельности, если бы в остальных проводниках токи
отсутствовали Н = $^На. Тогда полная свободная энергия C3.1)
примет вид
а	а>Ъ
где
= - Г НаВа dV, &аЪ = — Г UaBb dV	C3.4)
8тг J	4тг J
Г НаВа dV, &аЪ
8тг J	4тг
(в &аЪ = ^Ъа учтено, что HaBb = /dHaHb = НьВа, где /л — маг-
магнитная проницаемость в каждой данной точке пространства).
Величину ^аа можно назвать собственной свободной энергией
токов а-го проводника, а ^аъ — энергией взаимодействия про-
проводников а и Ъ. Надо, впрочем, иметь в виду, что такие названия
имеют буквальный смысл, лишь если пренебречь магнитными

§ 33	ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ТОКОВ	181
свойствами вещества как самих проводников, так и среды. В про-
противном случае поле (а потому и энергия) каждого тока зависит
также и от расположения и магнитной проницаемости остальных
проводников.
Величины C3.4) молено выразить также и через токи ja в
каждом из проводников, в соответствии с формулой C3.2),
^аа = — J jaAa dVa, &аЪ = ~ J ЗаМ dVa = - J j&Aa dVb.
C3.5)
Интеграл в ^аа берется здесь только по объему а-го проводника,
а ^аъ представляется в виде любого из двух выражений, в ко-
которых интегрирование производится соответственно по объему
проводника а или Ъ.
При заданном законе распределения плотности тока по объ-
объему проводника значение ^аа зависит только от полной силы
тока Ja, протекающего через его поперечное сечение. При этом
величине Ja будут пропорциональны как плотность j, так и со-
создаваемое током поле. Поэтому весь интеграл ^аа пропорциона-
пропорционален J^. Его пишут в виде
^аа — T-^L/aaJa.J	C3.6)
где Laa называют коэффициентом самоиндукции проводника.
Аналогичным образом энергия взаимодействия двух токов про-
пропорциональна произведению JaJb:
&аъ = \LabJaJb.	C3.7)
с2
Величину Lab называют коэффициентом взаимной индукции
проводников. Таким образом, полная свободная энергия систе-
системы токов
* = h?LaaJ° + 7^LabJaJb = h^^LabJaJb- C3-8)
a	a>b	a b
Условие положительной определенности этой квадратичной
формы накладывает ряд ограничений на значения коэффициен-
коэффициентов. В частности, все Laa > 0, а
Вычисление энергии токов в общем случае произвольных мас-
массивных проводников требует полного решения уравнений поля и
представляет собой сложную задачу. Она упрощается, если маг-
магнитную проницаемость как самих проводников, так и среды мож-
можно положить равной единице. Отметим, что при этом энергия то-
токов вообще перестает зависеть от термодинамического состояния
(в частности, от температуры) тел, а потому во всех написанных

182	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
выше формулах молено с одинаковым правом говорить как о сво-
свободной энергии, так и просто об энергии.
При /jj = l векторный потенциал поля, создаваемого токами j,
дается формулой C0.12). Поэтому для собственной энергии про-
проводника получим
±JJ^	C3.9)
где оба интегрирования производятся по объему данного про-
проводника, a R есть расстояние между dV и dV1. Аналогичным
образом, взаимная энергия двух проводников
C3.10)
где dVa и dVb элементы объема каждого из проводников.
Особенно просто вычисляется взаимная энергия двух линей-
линейных токов. Переход от объемных токов к линейным в формуле
C3.10) осуществляется заменой \adVa и hdVb соответственно на
Jadla и Jbdlb, и мы находим, что коэффициент взаимной индук-
индукции есть
В этом приближении, следовательно, Ьаъ зависит только от фор-
формы, размеров и взаимного расположения обоих контуров и не за-
зависит от распределения тока по сечению проводов. Подчеркнем,
что для получения такой простой формулы в случае линейных
проводников не требуется даже предположения о том, что везде
\i = 1. В приближении, в котором мы пренебрегаем толщиной
проводов, магнитные свойства их материала вообще не влияют
на создаваемое ими поле, а потому и на их взаимную энергию.
Отличная же от 1 магнитная проницаемость \i среды, окружаю-
окружающей провода, согласно C0.15) просто увеличивает в \i раз век-
векторный потенциал (а с ним и индукцию) магнитного поля. Во
столько же раз увеличится, следовательно, и коэффициент вза-
взаимной индукции, так что будет
п п
LI I d\a dlb	/о о -1 -1 \
аЪ = М Ф Ф —^—-	C3.11)
J J H
Что касается коэффициента самоиндукции линейных провод-
проводников, то его вычисление представляет значительно большие
трудности; этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе.
Полную энергию системы линейных токов можно написать
еще и в другом виде. Для этого вернемся к интегралу C3.2),
который для линейных токов принимает вид
^в\а,	C3.12)

§ 33	ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ТОКОВ	183
где А — векторный потенциал полного поля в точке d\a а-то
проводника. Основная погрешность, которую мы допускаем при
переходе от C3.2) к C3.12), заключается в пренебрежении изме-
изменением поля (в том числе собственного поля данного тока) вдоль
поперечного сечения провода. Каждый из стоящих в C3.12) кон-
контурных интегралов преобразуется в интеграл по поверхности:
f A d\a = J rot A dta = J В dfa,
т. е. представляет собой поток магнитной индукции (или, как
говорят, магнитный поток) через контур а-го тока. Будем обо-
обозначать этот поток через Фа. Таким образом,
Аналогичным образом выражается через магнитный поток
свободная энергия & линейного тока J во внешнем магнитном
поле, т. е. энергия, в которую не включается собственная энергия
источников поля. Очевидно, что
& = -J®,	C3.14)
с
где Ф есть поток внешнего поля через контур тока J. Если внеш-
внешнее поле однородно (а у среды /i = 1), то Ф = 93/df. Вводя
магнитный момент тока согласно C0.18), получим & = ./#93.
Зная энергию системы токов как функцию их размеров, фор-
формы и взаимного расположения, можно определить действующие
на проводники силы просто путем дифференцирования по соот-
соответствующим координатам. При этом, однако, возникает вопрос
о том, какие характеристики токов надо при дифференцирова-
дифференцировании полагать постоянными. Наиболее удобно производить вычис-
вычисления при постоянных токах. Но в этом случае роль свободной
энергии играет величина ^. Поэтому обобщенная сила Fq , дей-
действующая «вдоль» обобщенной координаты д, есть
dq J J,T
Индексы у производной означают, что дифференцирование про-
производится при постоянных силах тока и постоянной температу-
температуре тел. Поскольку мы опускаем в свободной энергии постоянную
часть, не зависящую от токов, то ^ и ^ различаются только
знаком, так что
C3.15)
Fq () ()	TjaJb
Q	\dq J J \dq Jj 2c2 ^	Oq
ab
(индекс Т у производных здесь и ниже для краткости опускаем).

184	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
В частности, силы, действующие на проводник со стороны
его собственного магнитного поля, определяются по формуле
где L — самоиндукция проводника. Характер действия этих сил
заранее очевиден из следующих соображений. При заданном зна-
значении силы тока (и температуры) величина & стремится к мини-
минимуму. Поскольку в данном случае & = —LJ2/2c2, то это значит,
что действующие на проводник силы будут стремиться увели-
увеличить его коэффициент самоиндукции. Но последний как величи-
величина с размерностью длины пропорционален размерам проводника.
Таким образом, под влиянием магнитного поля объем проводни-
проводника увеличивается.
Для тока во внешнем магнитном поле имеем 1)
& = -& = -JZ*&.	C3.17)
Во всех написанных выше формулах для энергии предполага-
предполагается линейная связь между индукцией и напряженностью маг-
магнитного поля. В общем же случае произвольной связи молено
установить аналогичные дифференциальные соотношения. Из-
Изменение свободной энергии при бесконечно малом изменении по-
поля (при постоянной температуре) есть согласно C1.8)
6^ = - fiSAdV
с J
или, для системы линейных токов,
с
Поступая далее так же, как при переходе от C3.12) к C3.13),
получим 2)
^26Фа.	C3.18)
с
а
*) Отсутствие здесь (по сравнению с формулой C2.6)) множителя 1/2 свя-
связано с тем, что магнитный момент тока в C3.17) есть постоянная величина,
не зависящая от поля, между тем как фигурирующий в C2.6) магнитный
момент магнетика сам возникает только под действием поля.
2) Отметим очевидную аналогию между формулами C3.18) в магнитном и
A0.13) в электрическом случаях. При этом роль зарядов в магнитном случае
играют потоки индукции. Эта аналогия имеет наглядное физическое истол-
истолкование. Подобно тому, как электрическое поле может поддерживаться без
затраты энергии извне зарядами на изолированных проводниках, магнит-
магнитное поле можно поддерживать без подвода энергии извне сверхпроводящи-
сверхпроводящими соленоидами, магнитные потоки через которые остаются постоянными.
Естественно поэтому, что изменение свободной энергии & в электрическом и
магнитном случаях определяется соответственно изменениями зарядов или
потоков индукции.

§ 34	САМОИНДУКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДНИКОВ	185
Аналогичным образом найдем из C1.9)
aSJa-	C3.19)
Молено сказать, что для системы линейных токов ^ является
термодинамическим потенциалом по отношению к магнитным
потокам, а & — по отношению к силам токов, причем эти два
потенциала связаны друг с другом соотношением
б? 	 б?	*¦ \ 7 ЛЧ	/QQ ОГЛ
с ^—'
а
Таким образом, при любых магнитных свойствах вещества спра-
справедливы термодинамические соотношения
Если применить эти формулы к случаю линейной связи, ког-
когда & дается формулой C3.8), то мы получим
C3.22)
ь'
Таким образом, коэффициенты индукции оказываются коэффи-
коэффициентами пропорциональности между магнитным потоком и си-
силами токов, создающих магнитное поле. Произведение LabJb/c
есть магнитный поток, создаваемый током J^ (Ъ ф а) через кон-
контур тока Ja, a LaaJa/c — поток через тот же контур, создаваемый
самим током Ja.
§ 34. Самоиндукция линейных проводников
При вычислении коэффициента самоиндукции линейного
проводника нельзя полностью пренебречь его толщиной, как мы
это делали для вычисления взаимной индукции двух проводни-
проводников. Сделав так, мы получили бы из C3.9) самоиндукцию в виде
где оба интеграла берутся по одному и тому же контуру; но этот
интеграл логарифмически расходится при R —»> 0.
Точное значение самоиндукции проводника зависит от распре-
распределения тока в нем, которое может быть различным в зависимо-
зависимости от способа возбуждения тока, т. е. от того, каким образом
приложена к нему электродвижущая сила. Но для линейного

186	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
провода самоиндукция оказывается не зависящей от закона рас-
распределения тока по его сечению 1) с довольно большой степенью
точности.
Представим самоиндукцию в виде суммы L = Le + Li, где Le
и Li связаны с энергией магнитного поля соответственно вне и
внутри проводника. У линейного провода основную часть само-
самоиндукции составляет «внешняя» часть Le. Это связано с тем, что
основная часть магнитной энергии замкнутого линейного конту-
контура заключена в поле вне провода на больших (по сравнению с его
толщиной) расстояниях. Действительно, энергия, приходящаяся
на единицу длины неограниченно длинного прямого провода, да-
дается интегралом
fH2?rrdr
8тг J	8тг
(г — расстояние от оси провода, \ie — магнитая проницаемость
внешней среды). Этот интеграл логарифмически расходится при
больших г. Для замкнутого линейного контура эта расходимость,
разумеется, исчезнет — интеграл «обрежется» на расстояниях
порядка величины размеров контура. Мы получим приближен-
приближенное значение энергии, умножив написанный интеграл на полную
длину провода / и взяв для верхнего предела значение / (нижний
же предел равен радиусу а провода):
Отсюда самоиндукция
L = 2fielln-.	C4.1)
а
Это выражение обладает, как говорят, логарифмической точ-
точностью] его относительная погрешность — порядка величины
l/ln(//a), a отношение l/а предполагается настолько большим,
что и его логарифм велик2).
*) Точнее, от распределений, при которых плотность тока существенно
меняется лишь на расстояниях, сравнимых с толщиной а провода. Если же
распределение таково, что плотность тока заметно меняется на расстояниях,
малых по сравнению с а (как это имеет место в силу специальных причин
при так называемом скин-зффекте или у сверхпроводников), то самоиндук-
самоиндукция провода меняется.
2) Сделанное выше утверждение о независимости самоиндукции от рас-
распределения тока относится в действительности не только к приближенному
выражению C4.1), но и к следующему приближению, в котором учитыва-
учитываются члены, не содержащие большого логарифма (что эквивалентно учету
в аргументе логарифма коэффициента при //а); см. задачи к этому пара-
параграфу.

§ 34	САМОИНДУКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДНИКОВ	187
Особым случаем линейных проводников является катушка
(соленоид), в которой провод намотан по спирали с очень близко
расположенными друг к другу витками. Пренебрегая толщиной
провода и расстояниями между витками, мы получим просто ци-
цилиндрическую проводящую поверхность, по которой течет «по-
«поверхностный» ток проводимости. Уравнение rotH = 4тг]/с вну-
внутри проводника заменяется при таком рассмотрении граничным
условием
[n,H2-H1] = ^g,	C4.2)
где g — поверхностная плотность тока, Hi и Н2 — напряжен-
напряженности поля по обе стороны поверхности соленоида, а нормаль п
направлена внутрь среды 2 (ср. вывод формулы B9.16)).
Если соленоид представляет собой бесконечный цилиндр, то
создаваемое им магнитное поле определяется совсем просто. По-
Поверхностные токи циркулярны, а их плотность g = nJ, где J —
ток текущий по проводу, а п — число витков на единицу дли-
длины соленоида. Поле вне цилиндра равно нулю, а внутри имеется
однородное поле, направленное вдоль оси цилиндра и равное
тт 4?Г т
Н = —nJ.
с
Действительно, такое поле очевидным образом удовлетворяет
уравнениям div H = 0, rot H = 0 во всем пространстве вне прово-
проводящей поверхности, а также граничному условию C4.2) на ней.
Соответственно, энергия поля, отнесенная к единице длины
цилиндра, есть
8тг	~ с2
(Ъ — радиус цилиндра, [ie относится к среде, заполняющей соле-
соленоид). Пренебрегая искажением поля на концах, молено приме-
применить эту формулу и к соленоиду конечной большой (по сравне-
сравнению с Ъ) длины h. Тогда для самоиндукции получим
L = 47r2n2b2hfie = 2-кЦепЫ,	C4.3)
где / = 2nbnh — полная длина провода в катушке. Увеличение
самоиндукции соленоида по сравнению с самоиндукцией нена-
витого провода той же длины (ср. C4.3) с C4.1)) является есте-
естественным следствием взаимной индукции между близко распо-
расположенными витками.
Задачи1)
1. Определить самоиндукцию замкнутого тонкого провода с круговой
формой сечения.
В задачах 1-6 полагаем магнитную проницаемость среды це = 1.

188	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Решение. Магнитное поле внутри провода можно принять таким,
как внутри бесконечно прямого цилиндра:
са2
(г — расстояние от оси провода, а — его радиус). Отсюда находим внутрен-
внутреннюю часть самоиндукции:
J2 8тг J	2 '	V J
где / — длина рассматриваемого замкнутого провода.
Для вычисления Le замечаем, что поле вне тонкого провода не зависит
от распределения тока по его сечению. В частности, энергия J^*e внешнего
магнитного поля не изменится, если предположить, что ток течет только
по поверхности провода. Но тогда внутри провода будет Н = 0 и молено
вычислять энергию J^e5 как полную энергию, по формуле C3.2).
Ввиду предположенного поверхностного распределения токов интеграл
в этой формуле фактически сводится к линейному интегралу по контуру
осевой линии провода, так что внешняя часть самоиндукции
т 2с2 J
L
где значение А в подынтегральном выражении берется на поверхности про-
провода. При переходе к этой формуле учтено также, что в рассматриваемом
приближении поле постоянно вдоль контура кругового сечения провода.
После того, как задача оказалась сведенной к вычислению А |г=а, сде-
сделаем другое предположение о распределении тока: пусть весь ток J течет
вдоль осевой линии провода. Значение поля на поверхности провода в рас-
рассматриваемом приближении от этого не изменится (оно не изменилось бы
вовсе у прямого провода кругового сечения). Тогда согласно формуле C0.14)
имеем
А
г=а
i
с Т В
где R — расстояние от элемента d\ осевой линии провода до данной точки
его поверхности. Разобьем интеграл на две части, в которых соответственно
R > А и R < А, где А — некоторая длина, малая по сравнению с размерами
контура тока, но большая по сравнению с радиусом а провода1). В инте-
интеграле по области R > А можно пренебречь а и понимать R как расстояние
между двумя точками контура тока. Интеграл же по области R < А можно
считать направленным по касательной к данной точке контура. Обозначив
единичный вектор в этом направлении через t, пишем
R
R<A
а	а
Это выражение можно снова переписать в виде интеграла
2tln
2А _ Г ей
A>R>a/2
2) Аналогичный метод был применен в задаче 4 § 2 для вычисления ем-
емкости тонкого кольца.

§ 34	САМОИНДУКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДНИКОВ	189
где теперь уже R снова понимается как расстояние между точками контура
тока. Таким образом, складывая с интегралом по области R > А, получим
выражение
1г=а с J R'
R>a/2
из которого произвольный параметр А, как и должно быть, выпадает.
Таким образом, окончательно имеем
Ье = И ^.	B)
R>a/2
Интегрирование распространяется здесь по всем парам точек контура, рас-
расстояние между которыми превышает а/2.
2. Определить самоиндукцию тонкого кольца (радиуса Ь) из провода
кругового сечения (радиуса а).
Решение. Подынтегральное выражение в формуле B) задачи 1 за-
зависит только от центрального угла (р, на который опирается хорда R окруж-
окружности кольца, причем R = 26sin (<?>/2), a d\d\' = dl • dl' cos<?. Поэтому имеем
т	. cos <р • 2тгЬ • Ъ dip	Г	<р0	<р0
Le = 2 /	— = 4тгЬ — In tg	2 cos —
1	in	I	4	2
2
Нижний предел интегрирования определяется из 26sin(<?o/2) = а/2, отку-
откуда <ро « а/26. Подставив это значение и сложив с Li = тгб/^г, получим с
/
требуемой точностью L = 4тгЬ (in	2 -\	 1 . В частности, при /^ = 1
V а	4 У
L = 4тгЬ In
V а 4
3. Определить растяжение кольцевого провода (с fii = 1) под действием
магнитного поля протекающего по нему тока.
Решение. Внутренние напряжения, действующие вдоль оси провода
и перпендикулярно к ней, определяются согласно C3.16) формулами
2	J2 0L	о ,	J2 8L
2тгаоа± =	.
22 д
11 2с2 дBтгЪ)	2с2
Подставив L из предыдущей задачи, получим
J2 /86 3
1п	7
4
тга2 с2 \ а 4;
Отсюда искомое относительное удлинение кольца
— - —(а -2(Т(т )- ^ (\п — --
Ъ ~ Е ll а<7± ~ тга2с2Е \ а 4
(Е — модуль Юнга, а — коэффициент Пуассона материала провода; см. VII,
§5).
4. Определить самоиндукцию единицы длины двойного провода, состоя-
состоящего из двух параллельных прямых проволок (с fii = 1) кругового сечения
(радиусов а и 6), отстоящих на расстояние h между их осями, причем по
этим проволокам текут равные и противоположные токи J (рис. 19).

190
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Решение. Векторный потенциал магнитного поля каждого из то-
токов направлен параллельно осям проводов, и потому векторные потенциалы
обоих полей складываются прос-
просто алгебраически. Для магнитного
поля провода 1 с равномерно рас-
распределенным током +J имеем (в
цилиндрических координатах)
Az = — I С	1 при г < а,
с \ а2 )
j (	г\
Az = — С - 1 - 2 In - при г> а,
с V	а/
Рис. 19	где С — произвольная постоянная;
на границе провода Az непрерыв-
непрерывно. Аналогичные формулы для поля провода 2 получаются заменой а на Ь
и изменением знака J. Интегрирование по площади сечения провода 1 в
формуле C3.2) дает
j2
2с2тт2
2с2тга2
+ г\ — 2hri cos (p 1
dip dr\ =
Интегрирование же по сечению провода 2 дает такое же выражение с а
вместо Ь. Поэтому искомая самоиндук-
самоиндукция единицы длины двойного провода
21п —
5. Определить самоиндукцию торо-
тороидального соленоида.
Решение. Рассматриваем со-
рис 20	леноид как тороидальную проводящую
поверхность, по которой циркулируют
поверхностные токи с плотностью
g 2тгг
(N — полное число витков провода, J — ток в нем; координаты и размеры
показаны на рис. 20). Магнитное поле вне соленоида Не =0, а внутри
Hir — Hiz — 0,
2NJ
сг
(г, z, (р — цилиндрические координаты). Действительно, это решение удов-
удовлетворяет уравнениям div Н = 0, rotH = 0 и граничному условию C4.2) 2).
2) Оно справедливо и для кольцеобразного соленоида с произвольной,
некруговой формой сечения.

§ 35	САМОИНДУКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДНИКОВ	191
Энергия магнитного поля внутри соленоида
8тг	с2 J г '
интегрирование производится по контуру сечения тора и легко осуществля-
осуществляется путем введения угла в согласно z = asm 0, г = b + acosO. В результате
получаем для самоиндукции:
L = 4тгАГ2(Ь - л/Ъ2 -а2).
6. Определить поправку первого порядка по l/h к выражению C4.3) (с
j2e = 1) для самоиндукции цилиндрического соленоида, связанную с иска-
искажением поля вблизи его концов.
Решение. Самоиндукция соленоида вычисляется как двойной ин-
интеграл по его поверхности:
где g — поверхностная плотность тока (g = nJ). В цилиндрических коорди-
координатах
L = \
h h 2тг	h тг
" (h — ?) cos if dip d(,
о о о J{z2-z1J+4b2sm2^	о о JB+4b2sm2^
((f — угол между диагональными плоскостями, проходящими через
Интегрируя по а1^, получим при h^> Ь
L « 8тгЬ п /mm	h -\- 2b sin —
J [ Ь sin (if/2)	2
о
и окончательно
L = 4тг2Ъ2п2 (h - —Ъ
V Зтг
7. Определить, во сколько раз изменится самоиндукция плоского линей-
линейного контура, если поместить его на плоскую поверхность полубесконечной
среды с магнитной проницаемостью fie. Внутренней частью самоиндукции
провода пренебрегаем.
Решение. Из соображений симметрии очевидно, что в отсутствие
среды магнитное поле тока симметрично относительно плоскости контура, а
магнитные силовые линии пересекают эту плоскость нормально к ней; назо-
назовем это поле Но- Мы удовлетворим уравнениям поля и граничным условиям
на поверхности полубесконечной среды, если положим в пустом полупро-
полупространстве Н = 	— Но, а в среде В = //еН = 	— Но- Действительно,
Це + 1	Не + 1
этим обеспечивается непрерывность Вп и Н* на граничной плоскости, а цир-
циркуляция Н по любой силовой линии будет равна циркуляции Но по той же
линии. Отсюда легко заключить, что при введении среды полная энергия
поля, а следовательно, и самоиндукция контура, умножается на

192	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
§ 35. Силы в магнитном поле
Для определения сил, действующих на вещество в магнит-
магнитном поле, нам почти не понадобится производить новых вычисле-
вычислений ввиду полной аналогии с электрическим случаем. Аналогия
связана, прежде всего, с тем, что выражения для термодинами-
термодинамических величин в магнитном поле отличаются от выражений в
электрическом поле лишь заменой букв Е, D соответственно на
Н, В. При вычислении тензора напряжений в § 15 была исполь-
использована потенциальность электрического поля, являющаяся след-
следствием уравнения rotE = 0. Магнитное лее поле удовлетворяет
уравнению
rotH = — j,	C5.1)
с
сводящемуся к rot H = 0 лишь в отсутствие токов проводимости.
Но при вычислении тензора напряжений вообще следует всегда
полагать j = 0. Поскольку j связано с производными от магнит-
магнитного поля, то учет токов при вычислении напряжений означал бы
введение в тензор напряжений а^ исчезающе малых поправок,
связанных с неоднородностью поля (ср. примеч. на с. 97).
Таким образом, все полученные в § 15 и 16 формулы для
тензора напряжений непосредственно переносятся на магнитное
поле. Так, в жидкой среде при линейной связи В = //Н имеем
aik = -P0(p,TNik -^fL-p(^) 1 Sik + ^^. C5.2)
8тг [_	\дРУт1	47Г
Объемные силы вычисляются отсюда согласно fi = /
Если среда является проводящей и в ней течет ток, то вычисле-
вычисление отличается от произведенного в § 15 тем, что вместо уравне-
уравнения rotH = 0 имеем уравнение C5.1).
Дифференцируя C5.2) и учитывая при этом равенство
divB = div (/iH) = 0, находим
f=-Vfl,+ ?'
H2	fi	2 At
8тг	8тг	4тг
Но, согласно известной формуле векторного анализа
(HV)H = - grad Я2 - [Н rot Н) = - grad Я2 + — [JH],
А	АС
и окончательно
f = -VP0 + ±- grad [я2р [дЛ | - fv» + ^jH]. C5.3)
О7Г	|	у Op J |	О7Г	С

§ 35	СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	193
По сравнению с аналогичной формулой A5.12) здесь добав-
добавляется еще один (последний) член. Было бы, однако, неправиль-
неправильным думать, что появление этого члена означает физическую
возможность отделить в f силу, связанную с током проводимо-
проводимости, от других эффектов. Дело в том, что ввиду уравнения C5.1)
ток j неотделим от неоднородности поля, а производные от поля
по координатам входят и в другие члены в C5.3). При заметно
отличной от 1 магнитной проницаемости вещества все члены в
C5.3), вообще говоря, одного порядка величины.
Но если, как это обычно бывает, [i близко к 1, то при нали-
наличии тока проводимости последний член в C5.3) дает основной
вклад в силу, по сравнению с которым остальные члены являют-
являются лишь несущественной малой поправкой. Тогда при вычисле-
вычислении сил молено полагать \i = 1, и мы имеем просто
f=i[jH]	C5.4)
(член —VPo здесь и ниже нас не интересует, и мы его опуска-
опускаем). При [I = 1 свойства вещества вообще никак не отражаются
на магнитных явлениях и выражение C5.4) для силы в равной
степени относится как к жидким, так и твердым проводникам.
Полная сила, действующая в магнитном поле на проводник с
током, дается интегралом
i f№}dV.	C5.5)
Формулу C5.4) можно, разумеется, весьма просто получить
и непосредственно на основании известного выражения лорен-
цевой силы. Макроскопическая сила, действующая в магнитном
поле на неподвижное тело, есть не что иное, как усредненное
значение лоренцевых сил, действующих на составляющие тело
заряженные частицы со стороны микроскопического поля h:
Но при \i = 1 поле h совпадает со средним полем Н, а среднее
значение pv совпадает с плотностью тока проводимости.
При движении проводника силы C5.4) производят над ним
некоторую механическую работу. На первый взгляд может по-
показаться, что здесь имеется противоречие с тем, что лоренцевы
силы не производят над движущимися зарядами никакой рабо-
работы. В действительности, конечно, никакого противоречия нет,
так как в движущемся проводнике в работу лоренцевых сил вхо-
входит не только механическая работа, но и работа электродвижу-
электродвижущих сил, индуцированных в проводнике при его движении. Эти
две работы равны по величине и противоположны по знаку (см.
примеч. на с. 320).
7 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

194	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
В выражении C5.4) Н есть истинное значение магнитного по-
поля, создаваемого как посторонними источниками, так и самими
токами, на которые эта сила действует. Однако при вычислении
полной силы согласно C5.5) молено понимать под Н лишь внеш-
внешнее поле 9), в которое вносится проводник с током. Собственное
поле, производимое данным проводником, в силу закона сохра-
сохранения импульса не может дать вклад в действующую на него
самого полную силу.
Вычисление сил особенно просто для линейного проводника.
Магнитные свойства его вещества вообще несущественны, а ес-
если в среде \i = 1, то полная действующая на него сила дается
линейным интегралом
•%}.	C5.6)
Это выражение молено представить и в виде интеграла по по-
поверхности, охватываемой контуром тока. Заменяя согласно тео-
теореме Стокса d\ оператором [df • V], получим
Далее пишем
+ V(df
Ho div^ = 0, а в пространстве вне токов также и rot^ = 0.
Таким образом,
F = - f (dfV)ij.	C5.7)
В частности, в квазиоднородном внешнем поле можно вы-
вынести 9} вместе с оператором V из-под знака интеграла. Вводя
также магнитный момент тока согласно C0.18), мы придем тогда
к естественному результату:
F = (JtV)jQ.	C5.8)
Поскольку jM в этой формуле есть постоянная величина, то мож-
можно написать F также и в виде
F = grad {JKSji)	C5.9)
(что находится в соответствии с выражением C3.17) для энергии
тока). Момент же сил, действующих на ток в квазиоднородном
поле, как легко убедиться, равен обычному выражению
К = [Jt&].	C5.10)

§ 36	ГИРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	195
Задача
Определить силу, действующую на линейный прямой провод с током J,
расположенный параллельно бесконечному круговому цилиндру (с магнит-
магнитной проницаемостью jjl) радиуса а на расстоянии / от его оси.
Решение. Ввиду указанного на с. 168 соответствия между плос-
плоскими задачами электро- и магнитостатики, поле тока определяется путем
изменения обозначений в решении задачи 3 § 7. Поле в пространстве вокруг
цилиндра совпадает с полем, которое создавалось бы в пустоте током J и
токами +J7 и —J7, проходящими соответственно через точки Л и О' (см.
рис. 12), причем
^1
Поле же внутри цилиндра совпадает с полем, которое создавалось бы током
г = j—,
проходящим через точку О. Сила, действующая на единицу длины провод-
проводника,
Tji 	 _ J TD
с	с2 \ОЛ ОО
Аналогичным образом найдем (см. задачу 4 § 7), что линейный про-
проводник, проходящий внутри цилиндрического отверстия в магнитной среде,
притягивается к ближайшей части поверхности отверстия с силой
2J26(/,-l)
§ 36. Гиромагнитные явления
Равномерное вращение тела (не имеющего магнитной струк-
структуры) приводит к его намагничению, линейно зависящему от уг-
угловой скорости ft (эффект Барнетта). С феноменологической
точки зрения, линейная связь между магнитным моментом тела
j$ и вектором ft возможна, поскольку оба они меняют знак при
обращении времени. Поскольку же оба являются аксиальными
векторами, то такая зависимость возможна и в изотропном теле
(где она сводится к простой пропорциональности между jM и ft).
Наряду с этим эффектом должен существовать и обратный:
свободно подвешенное тело при намагничении начинает вра-
вращаться (эффект Эйнштейна-де Хааса). Между обоими эффек-
эффектами имеется простая термодинамическая связь. Ее можно полу-
получить следующим образом.
Как известно (см. V, § 26), термодинамическим потенциалом
по отношению к угловой скорости (при заданных температуре
и объеме тела) является свободная энергия &1 тела во вращаю-
вращающейся вместе с ним системе координат. При этом момент им-

196	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. IV
пульса тела L равен
Ь=-§.	C6.1)
Гиромагнитные явления описываются введением в свободную
энергию дополнительного выражения, представляющего собой
первый член ее разложения по степеням S1 и намагниченности М
в каждой точке тела, содержащего одновременно как S1, так и М.
Этот член линеен по S1 и по М, т. е. имеет вид
м = - J \к^гМк dV = -Xikui^k,	C6.2)
где \ь — постоянный тензор, в общем случае не симметричный.
Согласно C6.1) и C6.2) момент импульса, приобретаемый те-
телом в результате намагничения, связан с его полным магнитным
моментом соотношением
Обычно пользуются вместо А^ обратным тензором, определен-
определенным согласно
2тс л —1
&к = —\к
(е и т — заряд и масса электрона); безразмерные величины g^
называют гиромагнитными коэффициентами. Тогда
^г = T^gik(LT.M)k-	C6.3)
2тс
С другой стороны, выражение C6.2) показывает, что в от-
отношении своего влияния на магнитные свойства вращение те-
тела эквивалентно воздействию внешнего поля с напряженностью
Йг = Afofifc ИЛИ
Я<=*^П*.	C6.4)
Тем самым мы имеем принципиальную возможность вычислить
вызываемое вращением намагничение. Так, если магнитная вос-
восприимчивость тела Xik мала, то приобретаемый им магнитный
момент не зависит от его формы и равен
уу	~	2тс	-1О
<Mi = Xikfik =	Xikgik *V
Формулы C6.3) и C6.4) отвечают соответственно эффектам
Эйнштейна-де Хааса и Барнетта. Мы видим, что оба эффекта
определяются одним и тем же тензором g^.

ГЛАВА V
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
§ 37. Магнитная симметрия кристаллов
Между электрическими и магнитными свойствами кристал-
кристаллов существует глубокое отличие, связанное с разницей в поведе-
поведении зарядов и токов по отношению к изменению знака времени.
Как известно, ввиду инвариантности уравнений движения по
отношению к изменению знака времени, формальная замена t
на — ?, примененная к какому-либо термодинамически равновес-
равновесному состоянию тела, должна приводить к состоянию, которое
тоже является одним из возможных равновесных состояний. В
связи с этим возникают две возможности: состояния, переходя-
переходящие друг в друга при замене i на —t, либо совпадают, либо не
совпадают.
Будем обозначать в этом параграфе через р(ж, у, z) и j(x, у, z)
истинную (микроскопическую) плотность зарядов и плотность
токов в каждой точке кристалла, усредненную только по времени
(но не по «физически бесконечно малым» объемам, как это де-
делается в макроскопической теории). Это — те функции, которые
определяют собой соответственно электрическую и магнитную
структуру кристалла.
Замена i на —ъ меняет знак j. Если в результате этого преоб-
преобразования состояние тела не меняется, то это значит, что j = — j,
т. е. j = 0. Таким образом, имеется причина, в силу которой мо-
могут существовать тела со строго равной нулю функцией j(x, у, z).
Вместе с плотностью тока в таких телах строго обращаются в
нуль средние (по времени) значения магнитного поля и магнит-
магнитных моментов в каждой точке тела (разумеется, речь идет везде
о состояниях тела в отсутствие внешнего магнитного поля). О
таких телах можно сказать, что они не обладают никакой маг-
магнитной структурой. Фактически к этой категории относится
огромное большинство тел.
Плотность же зарядов р при преобразовании t—t — t вооб-
вообще не меняется. Поэтому нет никаких причин, в силу которых
эта функция могла бы тождественно обратиться в нуль. Други-
Другими словами, не существует кристаллов, которые не обладали бы
«электрической структурой». В этом заключается упомянутое
выше существенное отличие между электрическими и магнит-
магнитными свойствами кристаллов.

198	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Обратимся к кристаллам, у которых замена i на —ъ меняет
состояние и потому j ^ 0. О таких телах мы будем говорить, как
о телах с магнитной структурой.
Прежде всего отметим, что хотя j и не равно нулю, но никако-
никакого полного тока (в равновесном состоянии тела) не может быть,
т. е. интеграл \ \dV", взятый по объему элементарной ячейки,
должен всегда обращаться в нуль1). В противном случае этот
ток создавал бы макроскопическое магнитное поле и кристалл
обладал бы магнитной энергией (на единицу объема), быстро
возрастающей с увеличением размеров тела. Ввиду энергетиче-
энергетической невыгодности такого состояния оно, очевидным образом, не
может соответствовать термодинамическому равновесию.
В то же время токи j могут создавать отличный от нуля
макроскопический магнитный момент, т. е. интеграл Г [rj] dV
(снова взятый по объему элементарной ячейки) может быть от-
отличен от нуля. Соответственно этому, среди тел, в которых j ^ 0,
молено различать два типа: тела с отличным от нуля макроско-
макроскопическим магнитным моментом и тела, в которых такой момент
отсутствует. Первые называются ферромагнитными, а вторые —
антиферромагнитными.
Возникает вопрос о возможных типах (группах) симмет-
симметрии распределения токов }(x,y,z). Эта симметрия складывает-
складывается, прежде всего, из обычных элементов — поворотов, отраже-
отражений и трансляций, соответственно чему среди возможных групп
симметрии j во всяком случае имеется 230 обычных кристал-
кристаллографических пространственных групп. Этим, однако, далеко
не исчерпывается список искомых групп. Как у лее было ука-
указано, замена i на —ъ меняет знак вектора j. В связи с этим
возникает новый возможный элемент симметрии — симметрии
по отношению к преобразованию, заключающемуся в измене-
изменении направления всех токов на обратное; обозначим условно
это преобразование буквой R. Если распределение токов об-
обладает элементом симметрии R самим по себе, то это значит,
что j = — j, т. е. j = 0, и тело вообще не обладает маг-
магнитной структурой. Отличная от нуля функция j(x,y, ?) мо-
может, однако, обладать симметрией по отношению к различным
комбинациям преобразования R с другими элементами симмет-
симметрии — поворотами, отражениями и трансляциями. Таким обра-
образом, задача об определении возможных типов симметрии рас-
распределения токов {магнитных пространственных групп) за-
*) Подчеркнем, что речь идет об истинной элементарной ячейке, учиты-
учитывающей магнитную структуру кристалла. Эта «магнитная ячейка» может
отличаться от чисто кристаллографической, учитывающей лишь симмет-
симметрию распределения зарядов в решетке (ср. ниже, § 38).

§ 37	МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ	199
ключается в построении всех возможных групп, составленных
как из преобразований, имеющихся в обычных пространствен-
пространственных группах, так и из преобразований, получающихся комби-
комбинированием преобразований обычного типа с преобразовани-
преобразованием R.
Если симметрия распределения токов задана, то тем самым
будет определена и кристаллографическая симметрия располо-
расположения частиц в данном кристалле, совпадающая с симметрией
функции p{x,y,z). Она будет определяться той пространствен-
пространственной группой, которая получится из группы симметрии j, если
формально считать преобразование R тождественным (каковым
оно и является в применении к функции р).
Знание полной группы симметрии функции j(x,y, ?), однако,
не нужно, если мы интересуемся лишь макроскопическими
свойствами тела. Эти свойства зависят только от направле-
направления в кристалле, а трансляционная симметрия кристалличе-
кристаллической решетки не имеет к ним отношения. С чисто структурной
кристаллографической точки зрения «симметрия направлений»
в кристалле дается, как известно, 32 кристаллическими класса-
классами. Это есть группы симметрии, составленные из одних толь-
только чистых поворотов и отражений; они получаются из про-
пространственных групп, если в последних считать все трансляции
тождественным преобразованием, а винтовые оси и плоско-
плоскости скольжения рассматривать как простые оси и плоскости
симметрии. С точки зрения же магнитных свойств макро-
макроскопическая симметрия должна классифицироваться по груп-
группам, составленным из поворотов, отражений и их комбина-
комбинаций с элементом R. Эти группы молено назвать магнитными
кристаллическими классами. Они находятся в таком лее от-
отношении к магнитным пространственным группам, как обыч-
обычные кристаллические классы к обычным пространственным
группам.
К их числу относятся, прежде всего, 32 обычных класса,
дополненных элементом i?, и те лее 32 класса без элемента R.
Первые являются, в частности, группами макроскопической сим-
симметрии всех тел, не обладающих магнитной структурой. Но эти-
этими лее классами симметрии могут обладать и тела с магнитной
структурой. Для этого надо, чтобы в магнитную пространствен-
пространственную группу симметрии этого тела сам элемент R входил не как
таковой, а только в комбинации с трансляциями.
Кроме того, имеется 58 классов, в которые элемент R входит
только в комбинации с поворотами или отражениями. Каждый
из них, если заменить в нем операцию R тождественным преоб-
преобразованием, превращается в один из обычных кристаллических
классов.
Следует отметить, что возникновение магнитной структуры
(ферро- или антиферромагнитной) всегда связано со сравнитель-

200	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
но слабыми взаимодействиями -1). Поэтому кристаллографиче-
кристаллографическая структура магнитного тела представляет собой небольшое
искажение по сравнению со структурой немагнитной фазы, из
которой магнитная фаза обычно возникает при понижении тем-
температуры. В этом отношении ферромагнетик, в частности, отли-
отличается от обычных пироэлектрических тел, но аналогичен сегне-
тозл ектрикам.
Заданием магнитного кристаллического класса определяется
характер всех макроскопических магнитных свойств тела. Наи-
Наиболее важным из них является наличие или отсутствие макроско-
макроскопического магнитного момента, т. е. спонтанной (без внешнего
поля) намагниченности. Магнитный момент М есть векторная
величина, которая при поворотах и отражениях ведет себя как
аксиальный вектор (векторное произведение двух полярных век-
векторов), а при применении операции R меняет знак. Кристалл
будет обладать спонтанной намагниченностью, если в нем есть
хотя бы одно такое направление, что лежащий в нем вектор М
с указанными свойствами остается инвариантным при всех пре-
преобразованиях данного магнитного кристаллического класса.
Снова подчеркнем отличие от электрических (на этот раз —
макроскопических) свойств. Характер последних полностью
определяется обычным кристаллографическим классом. В част-
частности, для того чтобы тело было пироэлектрическим, достаточ-
достаточно, чтобы его кристаллический класс допускал существование
полярного вектора Р (электрический момент). В то же время бы-
было бы совершенно неправильным делать заключения о существо-
существовании или отсутствии макроскопического магнитного момента
на основании поведения аксиального вектора М по отношению
к преобразованиям чисто структурного кристаллического клас-
класса данного тела, отвечающего симметрии функции р(ж, у, z) (мы
вернемся еще к этому вопросу в следующем параграфе, после
фактического построения магнитных классов).
Вместо симметрии функции j(x,y, ?) можно говорить о сим-
симметрии распределения микроскопической плотности магнитно-
магнитного момента М(ж,у, ?) = [rj(x,y, z)\. В свою очередь, последнюю
обычно молено рассматривать как симметрию расположения и
ориентации средних (по времени) значений магнитных момен-
моментов атомов (ионов) /х в кристаллической решетке. В теле без
магнитной симметрии эти средние значения равны нулю. В фер-
ферромагнетике сумма атомных моментов в каждой элементарной
ячейке отлична от нуля, а в антиферромагнетике — равна нулю.
г) Обычно обменное взаимодействие между магнитными моментами ато-
атомов приводит к насыщению валентных связей и образованию немагнитных
структур. К возникновению магнитной структуры приводит только отно-
относительно слабое обменное взаимодействие глубоко расположенных d- и /-
электронов атомов элементов переходных групп системы Менделеева.

§ 38	МАГНИТНЫЕ КЛАССЫ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ	201
О совокупности атомов в кристаллической решетке, обла-
обладающих одинаковыми значениями /х, говорят как о магнит-
магнитной подрешетке. Очевидно, что антиферромагнетик содержит
по крайней мере две подрешетки со взаимно антипараллельны-
антипараллельными и равными по величине значениями /х. Если направления мо-
моментов /1 всех подрешеток параллельны или антипараллельны,
антиферромагнетик называют коллинеарным\ в противном слу-
случае говорят о неколлинеарном антиферромагнетике.
Ферромагнетик тоже может содержать несколько подреше-
подрешеток. В узком смысле под ферромагнетиками понимают тела, у
которых все средние атомные магнитные моменты параллельны.
Если же кристалл содержит две или более подрешеток с несовпа-
несовпадающими по направлению (или величине) атомными моментами,
его называют ферримагнетиком] в отличие от антиферромаг-
антиферромагнетиков, векторная сумма М магнитных моментов подрешеток
в этих телах отлична от нуля. Ферромагнетик может быть как
коллинеарным (если магнитные моменты всех подрешеток в нем
параллельны или антипараллельны), так и неколлинеарным.
До сих пор мы говорили о магнитной симметрии твердых
кристаллов. Что касается жидких тел, то, разумеется, возможно
существование однородных ферромагнитных жидкостей. Отме-
Отметим также возможность существования жидкости, не обладаю-
обладающей средним магнитным моментом, но имеющей анизотропную
корреляционную функцию спинов составляющих ее частиц. Такая
жидкость являлась бы спиновым аналогом нематических жидких
кристаллов, о которых шла речь в V, § 140 (А.Ф. Андреев, 1984.)
§ 38. Магнитные классы и пространственные группы
Покажем, каким образом фактически строятся магнитные
группы симметрии; начнем с магнитных классов.
Как уже указывалось в предыдущем параграфе, магнитные
классы молено разделить на три типа. К типу I относятся 32 обыч-
обычных кристаллических класса, не содержащих элемента R вовсе.
К типу II относятся те же 32 класса, дополненных элементом R.
Каждый такой класс содержит все элементы обычного класса
(точечной группы G), а также все эти же элементы, умноженные
на Щ обозначив магнитный класс символом М, можно написать
М= G + RG	C8.1)
(преобразование Л, разумеется, коммутативно со всеми про-
пространственными поворотами и отражениями; поэтому RG = GR,
где G — любой элемент группы G).
Эти два типа классов являются, в известном смысле, триви-
тривиальными. К нетривиальному типу III относятся 58 магнитных
классов, в которые элемент R входит только в комбинациях с

202
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
поворотами или отражениями. Каждый из них, если заменить в
нем операцию R тождественным преобразованием, переходит в
один из обычных кристаллических классов G. Построение всех
магнитных классов этого типа осуществляется на основании сле-
следующих соображений.
Обозначим символом Н совокупность элементов группы G,
которые остаются (при построении магнитного класса М) не
умноженными на R. По самому определению такой совокупно-
совокупности, она содержит единичный элемент Е (в противном случае М
содержала бы элемент R сам по себе, т. е. относилась бы к типу
II), а произведения любой пары ее элементов дают элементы той
лее совокупности. Другими словами, Н есть подгруппа группы
G. Все остальные элементы группы G входят в М умноженны-
умноженными на Щ поскольку R2 = Е, то все попарные произведения этих
элементов группы являются элементами группы Н. Отсюда сле-
следует, что Н — подгруппа группы G (и тем самым группы М)
индекса 2 1). Другими словами, структура магнитного класса М
типа III может быть представлена в виде
M=H+RG1H,	C8.2)
где G\ — какой-либо элемент группы G, не входящий в Н. Оче-
Очевидно, что группа Ми группа G = Н+ G\Hизоморфны.
Таким образом, задача о построении всех магнитных классов
сводится к нахождению подгрупп индекса 2 всех кристалличе-
кристаллических классов. В свою очередь, последняя задача легко решается
с помощью таблиц характеров неприводимых представлений то-
точечных групп. Каждое неединичное одномерное представление
группы содержит равное число характеров +1 и —1; элементы с
характерами +1 составляют подгруппу индекса 2. При переходе
к магнитному классу эти элементы остаются неизменными, а все
остальные умножаются на R.
Проиллюстрируем эту процедуру на примере точечной груп-
группы Сфу- Таблица характеров ее неприводимых представлений
(см. III, § 95) имеет следующий вид:
А2
в,
в2
Е
Е
1
1
1
1
2
с2
1
1
1
1
-2
2С4
1
1
-1
-1
0
2<7„
1
-1
1
-1
0
2a'v
1
-1
-1
1
0
2) Это значит, что подгруппа if содержит вдвое меньше элементов, чем
группа G. Указанное утверждение — следствие общей довольно очевидной
теоремы: подгруппа if группы G имеет индекс 2, если и только если произ-
произведение любых двух элементов группы G, не входящих в if, есть элемент
из Н.

38
МАГНИТНЫЕ КЛАССЫ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
203
Неединичные одномерные представления: Ач, -Bi, В^. В пред-
представлении A<i элементы с характерами +1 образуют подгруп-
подгруппу С4. Соответствующий магнитный класс, который обозначим
символом СфгДС^), составлен из элементов
2С4?
2>Ro~v-
В представлениях В\, B<i элементы с характерами +1 образуют
подгруппы C<ivi отличающиеся лигпь расположением плоскостей
av по отногпению к фиксированной системе координат. Эти под-
подгруппы кристаллографически неразличимы, и им отвечает один
и тот лее магнитный класс C^^C^v) c элементами
Е, С*}-, 2RC4, 2>o"v) 2>Ro~v-
Перебрав таким образом все 32 кристаллических класса, по-
получим 58 магнитных классов типа III, перечисленных в табл. 1.
Магнитные классы
Таблица 1.
did)
Gi(Ci)
C^ (C^ C^ \
D2(C2)
Л^2Н\^2-) y^>2hi ^>1v)
C4(C2)
s4ic2)
-^2d^45 IJ2, y^2v)
D4(C4,D2)
O4v(v>'4 5 *s2v )
ls4h\ W, b2ft, *4J
D4h(D4, C4h, D2h, C4v, D2d)
SelC3)
DltS)
D3dlD3 S6, C3v)
Ce(Cs)
-Озь(Сзь, Сзг1,-Оз)
С6Л(Сб!5б,С7з^
СбВ(Сб, Сз«)
DelCe,D3)
DehlDe, Ceh, C6v,D3d, D3h)
ThlT)
OIT)
Td(T)
OhlO, Th, Td)
Каждый класс G(H) определяется исходной точечной группой G
и ее подгруппой Н — одной из перечисленных в скобках после
символа группы G. Кристаллические классы Ci, C3, Т не име-
имеют подгрупп индекса 2, и потому нет построенных на их базе
магнитных классов. Отметим также, что поворот Cs никогда не
входит в магнитный (нетривиальный) класс умноженным на Щ
поворот CsR после трехкратного повторения привел бы к преоб-
преобразованию Л, отсутствующему в классах этого типа1).
2) В абстрактной теории симметрии о магнитной симметрии говорят
как об антисимметрии. Идея антисимметрии была выдвинута независимо
Хеешем (Н. Heesh, 1929) и Л.В. Шубниковым A945). Классы антисимметрии
были найдены Шубниковым A951) как группы симметрии геометрических

204	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
В предыдущем параграфе уже отмечалось, что о возможно-
возможности существования ферромагнетизма нельзя судить по кристал-
кристаллографическому классу. Для иллюстрации рассмотрим тетраго-
тетрагональную решетку из одинаковых атомов с магнитными момента-
моментами, направленными вдоль тетрагональной оси1). Ее магнитный
кристаллический класс: D^D^)^ содержащий преобразования 2)
/, сг/j,, 254, 2<jvR, 2<jvR.
Все эти преобразования оставляют инвариантным аксиальный
вектор М, направленный вдоль оси четвертого порядка. Между
тем, кристаллический класс D^h сам по себе не допускал бы су-
существования аксиального вектора: все его компоненты Мж, Му,
Mz меняли бы знак, например, при повороте вокруг той или иной
оси второго порядка.
Перейдем к пространственным магнитным группам. Они на-
находятся в таком же отношении к обычным кристаллическим про-
пространственным группам, как магнитные классы к кристалли-
кристаллическим классам: первые сводятся к последним, если заменить
преобразование R тождественным преобразованием. Простран-
Пространственных магнитных групп имеется всего 1651; как и магнитные
классы, они подразделяются на три типа.
К типу I относятся 230 групп, совпадающих с кристаллогра-
кристаллографическими и не содержащих преобразования R вовсе, а к типу
II — те же 230 групп, дополненных элементом R.
К нетривиальному типу III относятся 1191 групп, содержа-
содержащие преобразование R лишь в комбинации с какими-либо пово-
поворотами, отражениями или трансляциями. Они имеют структуру
C8.2), где Н— какая-либо подгруппа индекса 2 кристаллической
пространственной группы G, a G\ — элемент из G, не входящий
фигур (многогранников) с гранями, окрашенными в два цвета; элементу R
соответствует при этом операция изменения цвета граней. Как группы маг-
магнитной симметрии, эти классы были получены Б.А. Тавгером и В.М. Зай-
Зайцевым A956). Изложенный здесь способ их вывода принадлежит В.Л. Ин-
денбому A959).
г) Такова, например, решетка ферромагнитной фазы железа. В кристал-
кристаллографическом отношении она представляет собой слабо искаженную (вдоль
одной из осей четвертого порядка) кубическую решетку. Искажение — ре-
результат магнитострикции, возникающей в силу самого наличия магнитной
структуры.
2) Обозначения элементов симметрии аналогичны обозначениям, приня-
принятым в III, § 93, 94. В частности, С/г, С/г — повороты на 180° вокруг гори-
горизонтальных осей, перпендикулярных оси 4-го порядка, ан — отражение в
горизонтальной плоскости, <rv, a'v — отражения в вертикальных плоскостях,
проходящих через оси С а и С/2, С/^. Символы UiK^ crR и т. п. обозначают
плоскости и оси симметрии, которые входят в данный класс в комбинации
с преобразованием R.

§ 38	МАГНИТНЫЕ КЛАССЫ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ	205
в Н. Очевидно, что подгруппа Н должна совпадать с исходной
пространственной группой G либо по своей трансляционной сим-
симметрии, либо по своему классу; в первом случае она имеет вдвое
меньше «поворотных» элементов (поворотов и отражений), чем
группа Gr, а во втором — вдвое меньше трансляций. Соответ-
Соответственно этому, тип III молено подразделить еще на два подтипа.
К подтипу Ша отнесем магнитные пространственные группы,
для которых G\ в C8.2) есть какое-либо «поворотное» преобра-
преобразование кристаллической группы G = Н + G\H, не входящее в
Н. Трансляционная симметрия (решетка Бравз) пространствен-
пространственной группы Мэтого типа совпадает с трансляционной симметри-
симметрией группы G\ другими словами, элементарная ячейка магнитной
структуры совпадает с чисто кристаллографической элементар-
элементарной ячейкой. Эти пространственные магнитные группы (их всего
674) относятся к магнитным классам типа III.
К подтипу Шб отнесем магнитные пространственные группы,
для которых в качестве G\ в C8.2) может быть выбрана чистая
трансляция на один из основных периодов группы G. Элементар-
Элементарная ячейка магнитной структуры по объему вдвое больше кри-
кристаллографической элементарной ячейки. Совокупность чистых
трансляций и трансляций, умноженных на i?, образует магнит-
магнитную решетку Бравэ\ всего имеется 22 различных таких решетки.
Пространственные магнитные группы типа Шб (их имеется все-
всего 517) относятся к магнитным классам типа II -1).
Задача
Перечислить магнитные классы, допускающие ферромагнетизм.
Решение. Классы типа II не допускают ферромагнетизма. Подчерк-
Подчеркнем, что тем самым не допускают ферромагнетизма все пространственные
группы типов II и Шб, содержащие в себе умноженные на Д трансляции
(эти преобразования заведомо меняют знак М); другими словами, для суще-
существования ферромагнетизма во всяком случае необходимо, чтобы магнитная
элементарная ячейка совпадала с кристаллографической 2).
Из классов типа I (совпадающих с обычными кристаллическими клас-
классами) существование аксиального вектора М допускается классами:
Ci, d — М в любом направлении;
Cs — Mb плоскости симметрии;
С2, C2h, C4, S4, Сан, Сз, Св, Sq, Сзь, C6h — М вдоль оси симметрии.
г) Построение всех магнитных пространственных групп (как групп ан-
антисимметрии) осуществлено A.M. Заморзаевым A953) и Н.В. Беловым,
Н.Н. Нероновой, ТС. Смирновой A955); составленные последними автора-
авторами таблицы этих групп — см. Труды Института кристаллографии. 1955.
Т. 11. С. 33 (английский перевод — в книге Shubnikov A.V., Belov N.V.
Coloured symmetry. — N.Y.: Pergamon Press, 1964). Наиболее полные та-
таблицы магнитных пространственных групп и их свойств — Копцик В.А.
Шубниковские группы. — М: Изд-во МГУ, 1966.
2) Снова напомним (ср. примеч. 1 на с. 204), что речь идет о симметрии
решетки, уже искаженной самим существованием магнитной структуры.

206	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Для существования ферромагнетизма в классах типа III во всяком слу-
случае необходимо, чтобы они не содержали элемента IR, меняющего знак век-
вектора М при любом его направлении. Из числа этих классов допускают фер-
ферромагнетизм следующие:
C2(Ci), C2h(Ci) — М перпендикулярен оси C2R\
Cs(Ci) — Mb плоскости сгЩ
C2v(Cs) — Mb плоскости cfvR перпендикулярно оси C2R\
D2(C2), C2v(C2), D2h(C2h) - M вдоль оси С2;
D4(C4), C4v(C4), D2d(S4), D4h(C4h), Ds(Cs), Сз«(Сз), Дю(&),
D3h{Csh), -Об(Св), GbuCGb), D6h(C6h) — М вдоль оси С4, Сз или С6.
§ 39. Ферромагнетик вблизи точки Кюри
Между магнитными свойствами ферромагнетиков и электри-
электрическими свойствами сегнетозлектриков имеется далеко идущая
аналогия. Те и другие обладают, в макроскопических объемах,
спонтанной поляризацией — магнитной или электрической. Ис-
Исчезновение этой поляризации при изменении температуры в обо-
обоих случаях происходит путем фазового перехода второго рода
(точку перехода между ферро- и парамагнитной фазами назы-
называют точкой Кюри).
В то лее время между ферромагнитными и сегнетозлектриче-
скими явлениями имеются и существенные отличия, связанные
с разницей в характере микроскопических сил взаимодействия,
приводящих к установлению спонтанной поляризации. У сегнето-
сегнетозлектриков взаимодействие молекул в кристаллической решетке
существенно анизотропно, в результате чего вектор спонтанной
поляризации относительно прочно связан с определенными на-
направлениями в кристалле.
Возникновение же магнитной структуры, в том числе фер-
ферромагнитной, связано в основном с обменным взаимодействием
атомов, которое вообще не зависит от направления суммарно-
суммарного магнитного момента относительно решетки 1). Правда, наря-
наряду с обменным существует также и непосредственное магнитное
взаимодействие между атомными магнитными моментами. Это
взаимодействие, однако, представляет собой эффект ~ v2/с2 (v —
атомные скорости), поскольку сами магнитные моменты атомов
2) Обменное взаимодействие является, как известно, специфическим кван-
квантовым эффектом, возникающим в связи с той или иной симметрией волно-
волновых функций системы частиц по отношению к их перестановкам. Перестано-
Перестановочная симметрия волновых функций, а с нею и обменное взаимодействие,
зависит только от полного спина системы, но не от его направления (см. III,
§ 60). Роль обменного взаимодействия в ферромагнетиках была впервые от-
отмечена Я.И. Френкелем, Я.Г. Дорфманом и В. Гейзенбергом A928).

§ 39	ФЕРРОМАГНЕТИК ВБЛИЗИ ТОЧКИ КЮРИ	207
содержат множители 1/с. К этой лее категории относится и вза-
взаимодействие магнитных моментов атомов с электрическим по-
полем кристаллической решетки. Все эти взаимодействия (которые
молено назвать релятивистскими ввиду наличия в них множи-
множителя 1/с2) являются слабыми по сравнению с обменным взаимо-
взаимодействием и, таким образом, приводят лишь к сравнительно сла-
слабой зависимости энергии кристалла от направления намагничен-
намагниченности. Такое соотношение между обменными и релятивистски-
релятивистскими взаимодействиями будет предполагаться везде ниже в этой
главе 2).
Следовательно, намагниченность ферромагнетика является
величиной, которая в первом приближении, т. е. по отношению
к основному (обменному) взаимодействию, сохраняется. Это об-
обстоятельство придает более глубокий физический смысл термо-
термодинамической теории, в которой намагниченность М рассматри-
рассматривается как независимая переменная, фактическое значение кото-
которой (как функции температуры, поля и т. п.) определяется затем
соответствующими условиями теплового равновесия2).
Обозначим через Ф(М,Н) термодинамический потенциал
единицы объема вещества, рассматриваемый как функция неза-
независимой переменной М (наряду с другими термодинамическими
переменными). Будем пока пренебрегать релятивистскими взаи-
взаимодействиями, т. е. учитывать лишь основное, обменное взаимо-
взаимодействие. Тогда Ф(М,0) может быть функцией только абсолют-
абсолютной величины, но не направления вектора М.
Для того чтобы найти термодинамические величины при от-
отличном от нуля поле Н, поступаем точно так, как при выводе
A9.3): исходим из соотношения дФ/дН = —В/4тг и находим
Ф(М, Н) = Ф(М, 0) - МН - —.	C9.1)
8тг
г) Порядок величины отношения релятивистских взаимодействий к об-
обменному характеризуется отношением Uan/NTCj где Uan — энергия магнит-
магнитной анизотропии (см. следующий параграф), N — число атомов в единице
объема, Тс — температура точки Кюри. Для ферромагнетиков оно состав-
составляет обычно 10~2 — 10~5. В ряде ферромагнетиков (редкоземельных ме-
металлах и их соединениях), однако, это отношение может оказаться значи-
значительно больше и даже достигать значений порядка единицы, — как ввиду
«аномально» большой энергии анизотропии, так и ввиду относительной сла-
слабости обменных взаимодействий. Возможности макроскопической теории в
применении к таким магнетикам, разумеется, более ограничены. Деталь-
Детальное обсуждение микроскопических механизмов различных взаимодействий
в конкретных магнетиках выходит за рамки этой книги.
2) По своей макроскопической магнитной симметрии и по своему пове-
поведению в не слишком сильных магнитных полях коллинеарные ферримаг-
нетики неотличимы от ферромагнетиков в узком смысле этого слова (см.
конец § 37). Излагаемая ниже теория относится к обеим этим категориям
магнетиков.

208	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Для потенциала Ф имеем отсюда
Ф(М, В) = Ф + — = Ф(М, 0) + — = Ф(М, 0) + — (В - 4тгМJ.
4тг	8тг	8тг
C9.2)
При пренебрежении магнитной анизотропией ферромагнетика
направления векторов М и Н, разумеется, совпадают; поэтому
в формулах C9.1), C9.2) можно писать вместо векторов их аб-
абсолютные величины.
Вблизи точки Кюри намагниченность М мала. Рассмотрим
свойства ферромагнетика в этой области в рамках общей теории
фазовых переходов второго рода Ландау 1). Следуя этой теории,
разложим Ф(М, 0) в ряд по степеням вектора М, играющего роль
параметра порядка. Разложение изотропной функции по степе-
степеням векторной величины может содержать лишь члены четных
степеней:
Ф = Фо + AM2 + ВМ4 - МН - —,	C9.3)
8тг
где Фо, А, Б, — функции только температуры и давления 2).
Точка Кюри Г = ТС(Р) определяется обращением в нуль ко-
коэффициента А, причем А > 0 при Г > Тс и А < 0 при Т < Тс
(такое температурное расположение фаз имеет место во всех из-
известных ферромагнетиках, хотя и не является термодинамически
обязательным). Вблизи точки Кюри имеем
А = а(Т-Тс),	C9.4)
где а > 0 — не зависящая от температуры постоянная. Выра-
Выражение C9.3), C9.4) отличается от A9.3) лишь смыслом величин:
М вместо Pz и Н вместо Ez. Поэтому приведем следующие из
C9.3), C9.4) выводы, не повторяя всех изложенных в § 19 рас-
рассуждений.
Спонтанная намагниченность в ферромагнитной фазе меня-
меняется с температурой по закону
М = J±(TC-T).	C9.5)
Выше точки Кюри спонтанная намагниченность отсутствует, а
г) Свойства ферромагнетика во флуктуационной области вблизи точки
Кюри будут рассмотрены в § 47.
2) Тот факт, что разложение содержит члены только четных степеней
по компонентам вектора М, имеет и другую, более глубокую, причину, не
связанную с обменным приближением: величина М нечетна по отношению к
обращению времени, между тем как термодинамический потенциал должен
быть, разумеется, инвариантен по отношению к этому преобразованию.

§ 40	ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОЙ АНИЗОТРОПИИ	209
магнитная восприимчивость равна
т. е. имеет место парамагнетизм с восприимчивостью, обратно
пропорциональной Т — Тс (закон Кюри-Вейсса). Ниже точки Кю-
Кюри имеем
(дМ\	1	,QO ^
)	C9-7)
Напомним, однако, что эта величина не является здесь воспри-
восприимчивостью в обычном смысле слова (т. е. коэффициентом про-
пропорциональности между М и i7), так как М^Ои при Н = 0.
Фактически восприимчивость C9.7) может достигать значе-
значений порядка единицы лишь в непосредственной близости к точке
Кюри. Отвлекаясь от этой области, мы можем считать, что на-
намагниченность М весьма слабо меняется под влиянием магнит-
магнитного поля и может рассматриваться при заданной температуре
как постоянная величина, что и будет предполагаться в следую-
следующих параграфах.
И в этом отношении имеется различие между ферромагнети-
ферромагнетиками и сегнетозлектриками, у которых дР/дЕ, вообще говоря,
не мало даже вдали от точки Кюри. Причина снова лежит в
малости атомных магнитных моментов по сравнению с электри-
электрическими дипольными моментами молекул.
В § 19 было отмечено, что наложение электрического поля
размывает дискретную точку фазового перехода второго рода
в сегнетозлектриках. То же самое относится, конечно, и к фер-
ферромагнетику в магнитном поле. Поскольку в обменном прибли-
приближении направления М и Н совпадают, то в этом приближении
размытие перехода имеет место при любом кристаллографиче-
кристаллографическом направлении Н.
§ 40. Энергия магнитной анизотропии
Как уже было указано, анизотропия магнитных свойств фер-
ферромагнетика связана со сравнительно слабыми релятивистски-
релятивистскими взаимодействиями между его атомами. В макроскопической
теории эта анизотропия описывается путем введения в термоди-
термодинамический потенциал соответствующих членов — энергии маг-
магнитной анизотропии, зависящей от направления намагничения.
Вычисление энергии анизотропии, исходя из микроскопиче-
микроскопической теории, требовало бы применения квантовомеханической
теории возмущений, в которой роль возмущающей энергии игра-
играют члены в гамильтониане кристалла, описывающие релятивист-
релятивистские взаимодействия. Но общий вид искомых выражений может

210	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
быть установлен и без проведения этих вычислений, на основа-
основании простых соображений симметрии.
Гамильтониан релятивистских взаимодействий содержит
члены первой и второй степени по операторам векторов спина
электронов (спин-орбитальное и спин-спиновое взаимодействия).
Малость тех и других определяется отношением г>2/с2, где v —
порядок величины скоростей атомных электронов, а с — ско-
скорость света. Ряд теории возмущений для энергии анизотропии
есть разложение по этой малости, но ввиду указанной зависимо-
зависимости оператора возмущения от операторов спина, энергия ани-
анизотропии автоматически получается в виде ряда по степеням
направляющих косинусов вектора намагниченности, т. е. компо-
компонент единичного вектора m в направлении М. С другой стороны,
энергия анизотропии [7ан, как и сам потенциал Ф (ср. примеч. на
с. 208), инвариантна по отношению к обращению времени, меж-
между тем как намагниченность М при этом преобразовании меня-
меняет знак. Отсюда следует, что энергия анизотропии должна быть
четной функцией компонент т.
Для одно- и двухосных кристаллов разложение энергии ани-
анизотропии начинается с членов второй степени по компонентам т.
Представим эти члены в виде
С/ан = Kikmimk,	D0.1)
где Kik — симметричный тензор второго ранга, компоненты ко-
которого имеют (как и сама С/ан) размерность плотности энергии.
В одно- и двухосных кристаллах такой тензор имеет соответ-
соответственно две и три независимые компоненты. Однако в данном
случае надо еще иметь в виду, что одна квадратичная комби-
комбинация, именно га2 + т2 + т2 = 1, не зависит от направления
вектора m и потому может быть исключена из энергии анизо-
анизотропии. Следовательно, выражение D0.1) для одно- и двухосных
кристаллов содержит соответственно всего один или два незави-
независимых коэффициента.
Так, для одноосных кристаллов энергию анизотропии молено
написать в виде
С/ан = К(т2х + т2у) = К sin2 в	D0.2)
или в эквивалентном виде *)
С/ан = -Km2z = -К cos2 0,
) Эти два выражения отличаются друг от друга не зависящей от направ-
направления величиной К. Переход от одного из них к другому означает включение
этой величины в изотропную часть Ф; в частности, меняется коэффициент
А в разложении C9.3).

§ 40	ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОЙ АНИЗОТРОПИИ	211
где в — угол между m и осью ?, выбранной вдоль главной оси
симметрии кристалла. Если коэффициент (функция температу-
температуры) К > 0, то энергия анизотропии минимальна при намагниче-
намагничении вдоль оси z\ эта ось будет, как говорят, направлением легкого
намагничения, а о таком ферромагнетике говорят, что он отно-
относится к типу «легкая ось». Если же К < 0, то направление лег-
легкого намагничения лежит в плоскости ху (базисная плоскость
кристалла); такой ферромагнетик относится, как говорят, к ти-
типу «легкая плоскость» 1). Выражение D0.2) изотропно в плоско-
плоскости ху. Эта изотропия, однако, нарушается в членах более высо-
высокого порядка в разложении ?7ан, которыми и определяется (при
К < 0) направление легкого намагничения в плоскости ху. Вид
этих членов зависит от конкретной кристаллической системы, к
которой относится кристалл.
Для тетрагональных кристаллов члены четвертого порядка
содержат два независимых инварианта (гп%.+туJ и гп^гПу (оси х
и у выбраны вдоль двух осей 2-го порядка в базисной плоскости).
К анизотропии в базисной плоскости приводит второй из них.
В гексагональном кристалле энергия анизотропии содержит
в четвертом порядке всего один член, пропорциональный (т^ +
+ га^J; в этом приближении энергия анизотропии записывается
как
С/ан = Ki sin2 в + К2 sin4 в	D0.3)
(коэффициент К из D0.2) обозначен здесь как К\). Анизотропия
в базисной плоскости, однако, появляется лишь в членах 6-го
порядка; анизотропным инвариантом этого порядка является
- [{тпх + irriyN + (тх - ггпуN} = sin4 в cos 6<р	D0.4)
(ось х выбрана вдоль одной из осей 2-го порядка в базисной плос-
плоскости; от нее лее отсчитывается азимутальный угол ф).
Наконец, ромбоэдрическая симметрия допускает два члена
четвертого порядка с инвариантами
D0.5)
D0.6)
(ось у — вдоль одной из осей 2-го порядка; угол <р отсчитывает-
-mz [(тх + irriyK + (тх — imy)s] = cos в sin3 в cos 3(p D0.6)
) Примером одноосного ферромагнетика является гексагональный ко-
кобальт. У него К меняет знак при температуре ~ 530 К, причем К > 0 и
К < 0 соответственно ниже и выше этой температуры. Экстраполированное
к О К значение К « 0,8 • 107 зрг/см3. Значение же NTC ~ 2 • 1010 зрг/см3.

212
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
ся от оси х). Наличие множителя mz во втором из инвариантов
приводит к выходу направления легкого намагничения на малый
угол из базисной плоскости; ввиду малости mz, определение на-
направления легкого намагничения требовало бы одновременного
учета членов как 4-го, так и 6-го порядков (среди которых есть
член с инвариантом D0.4)).
Перейдем к ферромагнитным кристаллам кубической систе-
системы. Их свойства существенно отличаются от свойств одноосных
(и двухосных) кристаллов. Дело в том, что единственной комби-
комбинацией второго порядка, инвариантной по отношению к преоб-
преобразованиям кубической симметрии, которую молено составить из
компонент вектора т, является квадрат т2 = 1. Поэтому пер-
первым неисчезающим членом в разложении энергии анизотропии
у кубического кристалла является член не второго, а четверто-
четвертого порядка. В связи с этим эффекты магнитной анизотропии
у кубических кристаллов, вообще говоря, слабее, чем в одно- и
двухосных кристаллах.
Кубическая симметрия допускает всего один независимый
инвариант четвертого порядка, зависящий от направления т.
Энергия анизотропии кубического ферромагнетика может быть
представлена в виде
UaH = К(т2хт2у + т\т\ + m2ym2z)	D0.7)
ИЛИ
эквивалентность обоих выражений очевидна из того, что их раз-
разность есть не зависящая от направления величина К/2.
При К > 0 (например, у железа) энергия анизотропии дости-
достигает одинаковых по величине минимальных значений при трех
расположениях вектора m — параллельно трем ребрам куба (оси
ж, у, z\ кристаллографические направления [100], [010], [001]). Та-
Таким образом, в этом случае кристалл имеет три эквивалентные
оси легкого намагничения.
Если же К < 0 (например, у никеля), то энергия анизотро-
анизотропии минимальна при га2 = га2 = га2 = 1/3, т. е. когда вектор m
направлен вдоль какой-либо из четырех пространственных диа-
диагоналей куба (кристаллографические направления [111], [111] и
т. д.). Они и являются в этом случае направлениями легкого на-
намагничения 1).
) Для примера укажем, что у железа и никеля значение К/3 (разность
UaH для наиболее легкого и наиболее трудного направлений намагничения),
экстраполированное к 0 К, составляет около 2 • 105 зрг/см3.

§ 40	ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОЙ АНИЗОТРОПИИ	213
Следующему после D0.7) приближению в энергии анизотро-
анизотропии кубического кристалла отвечают члены шестого порядка.
Исключив из их числа не зависящий от направления инвариант
(т2K и выражение, отличающееся от D0.7) лишь множителем
т2, мы останемся всего с одним инвариантом, в качестве кото-
которого можно выбрать га2га2га2. Тогда
[/ан = Ki (т2хт2у + т\т\ + га2га2) + K2rn2xm2ym2z. D0.8)
Следует отметить, что ферромагнитный кубический кри-
кристалл, спонтанно намагниченный вдоль какой-либо из своих осей
легкого намагничения, теряет, строго говоря, кубическую сим-
симметрию (в связи с чем происходит и соответствующее смещение
атомов, т. е. искажение кристаллической решетки). Кристалл,
намагниченный вдоль направления ребра куба, становится сла-
слабо тетрагональным, а при намагничении вдоль пространствен-
пространственной диагонали куба — ромбоэдрическим. В этом отношении ку-
кубические кристаллы отличаются от одноосных кристаллов с на-
направлением легкого намагничения вдоль главной оси симметрии;
очевидно, что намагничение в этом направлении не меняет сим-
симметрии кристалла.
Подчеркнем снова, что рассмотренное в этом параграфе раз-
разложение энергии анизотропии ферромагнетика по степеням ком-
компонент единичного вектора m не есть разложение по самой на-
намагниченности М (которая, вдали от точки Кюри, отнюдь не
мала) — сходимость ряда связана лишь со слабостью релятивист-
релятивистских взаимодействий. Но вблизи точки Кюри, где величина М
мала, оно становится разложением по М. В рамках теории Лан-
Ландау отсюда следовало бы, что в одноосном кристалле отношение
К/М2 {К из D0.2)) должно стремиться при Г —»> Тс к отличному
от нуля конечному значению. Для пояснения этого утверждения
рассмотрим, например, переход из парамагнитной фазы в фер-
ферромагнитную типа легкая ось. Согласно C9.3) и D0.2), квадра-
квадратичные члены разложения термодинамического потенциала по
степеням компонент М имеют вид
Точка перехода определяется обращением в нуль коэффициента
при М2\ коэффициент же при М2 + М2 остается конечным.
Аналогичным образом, в кубическом ферромагнетике долж-
должно было бы стремиться к конечному значению отношение К/М4
(К из D0.7)).
Во флуктуационной области, однако, указанное поведение ко-
коэффициентов анизотропии, вообще говоря, нарушается.

214
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
§ 41. Кривая намагничения ферромагнетиков
Рассмотрим связь между намагниченностью одноосного фер-
ферромагнетика и магнитным полем в нем; для определенности бу-
будем считать, что ферромагнетик относится к типу «легкая ось».
Энергию анизотропии будет удобно переписать здесь в виде
^sm4	D1.1)
введя безразмерный коэффициент /3 > 0 (согласно К = /ЗМ2/2J).
Напомним, что абсолютную величину намагниченности М
мы считаем не зависящей от Н, так что речь идет только о пово-
поворотах этого вектора2). Из соображений симметрии очевидно, что
вектор М будет лежать в плоскости, проходящей через ось z и
направление Н (постольку, поскольку в энергии анизотропии не
учитываются члены высших порядков, анизотропные в плоско-
плоскости ху)\ выберем эту плоскость в качестве плоскости xz. Термо-
Термодинамический потенциал с учетом энергии анизотропии равен 3)
Ф = Ф0(М) + ^М2 - НМ - — =
2	8тг
= Ф0(М) + ^- sin2 в -М(НХ sin 6 + Hz cos в) - —. D1.2)
2	8тг
Зависимость М от Н определяется условием равновесия дФ/дв =
= 0, откуда
(ЗМ sin в cos в = Нх cos e-Hzsine.	D1.3)
По отношению к неизвестной ? = sin б это есть алгебраическое
уравнение четвертой степени
2) Излагаемое ниже исследование основано на выражении D1.1) для энер-
энергии анизотропии. Следует, однако, указать, что разложение, первым членом
которого является это выражение, в реальных случаях обычно обладает
довольно плохой сходимостью. Поэтому для удовлетворительного количе-
количественного описания явлений приходится учитывать еще и член следующего
(четвертого) порядка.
2)	Помимо рассматриваемого здесь процесса вращения вектора М, в фер-
ферритах в очень сильных полях возможен еще и другой процесс: антипарал-
антипараллельные магнитные моменты поворачиваются навстречу друг другу, стано-
становясь параллельными. Это происходит, однако, лишь в «обменных» полях
Н ~ Тс/[л; так, для феррита FeO-Fe2O3 (Тс ~ 580 К, /л ~ цв) эти поля
Я~1073.
3)	Включив t/ан в термодинамический потенциал Ф, мы тем самым под-
подразумеваем, что константы анизотропии определены при заданных упругих
напряжениях.

41
КРИВАЯ НАМАГНИЧЕНИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ
215
с отличными от нуля коэффициентами при нечетных степенях ?.
Это уравнение имеет либо два, либо четыре вещественных кор-
корня (причем все они < 1). Поскольку все эти корни соответству-
соответствуют экстремумам функции Ф(#), то ясно, что в первом случае
эта функция имеет один минимум и один максимум, а во вто-
втором — два минимума и два максимума. Другими словами, в пер-
первом случае заданному значению поля Н соответствует одно на-
направление намагничения. Во втором лее случае при заданном Н
возможны два различных направления М, из которых одно (со-
(соответствующее меньшему из минимумов Ф) термодинамически
вполне устойчиво, а второе (соответствующее большему из ми-
минимумов Ф) термодинамически метастабильно.
Тот или другой случай имеет место в зависимости от значе-
значений Нх и Hz. При постепенном изменении этих параметров один
случай переходит в другой в момент, когда один из максимумов
сливается с одним из минимумов. При этом кривая Ф(в) имеет
вместо экстремума точку перегиба, т. е. вместе с дФ/дв обра-
обращается в нуль также и вторая производная д2Ф/дв2. Написав
уравнение D1.3) в виде
-рм
sin 0 cos О
и продифференцировав его еще раз
по 0, получим
Нх 	 	 Hz
sin3 в ~ cos3<9*
Исключив в из этих двух уравнений,
получим
тт2/3 _|_ гг2/3 	 //3 Ду/Л^/З	/д-| д\
На диаграмме Нх, Hz уравнение D1.4) определяет изобра-
изображенную на рис. 21 замкнутую кривую (астроида). Она делит
плоскость HXHZ на две части, из которых в одной возможно, а
в другой невозможно существование метастабильных состояний.
Уже без дополнительного исследования очевидно, что областью
отсутствия метастабильных состояний является область, внеш-
внешняя по отношению к кривой. Это ясно из того, что при Н^оо
устойчивым может быть только одно направление М вдоль
поля Н.
Наличие метастабильных состояний приводит к возможности
существования гистерезиса — проходящему через эти состояния
необратимому изменению намагниченности при изменении внеш-
внешнего магнитного поля. Поэтому изображенная на рис. 21 кривая

216	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
представляет собой абсолютную границу гистерезиса, — при зна-
значениях поля, лежащих вне этой кривой, гистерезис во всяком
1)
1).
случае невозможен
Особого рассмотрения требуют состояния, в которых напря-
напряженность Н перпендикулярна к оси легкого намагничения (Нх =
= Н, Hz = 0). Термодинамический потенциал
ф = ф0 - ?*. + PMl sin2 в - ЯМ sin в.	D1.5)
8тг	2	v J
Если Н > /ЗМ, то Ф имеет лишь один минимум — при в = тг/2,
т. е. намагниченность направлена вдоль поля. Если же Н < /ЗМ,
то Ф имеет минимум при
Мх = Msin<9= -,	D1.6)
чему соответствуют два возможных расположения вектора М
(под углами в и тг — б), симметричные относительно оси х. Та-
Таким образом, в этом случае имеются два равновесных состояния,
причем с одинаковыми значениями Ф и потому в равной степени
устойчивые.
Это обстоятельство весьма существенно, так как приводит к
возможности существования двух соприкасающихся фаз, в кото-
которых напряженность Н одинакова, а намагниченность М (а по-
потому и индукция В) различна. В результате появляется новая
возможность для уменьшения полного термодинамического по-
потенциала тела: его объем можно разбить на ряд отдельных обла-
областей, в каждой из которых намагниченность имеет одно из своих
двух допустимых направлений; эти области называют областя-
областями спонтанной намагниченности или доменами. Фактическое
определение термодинамически равновесной структуры ферро-
ферромагнетика требует рассмотрения тела в целом, с учетом его кон-
конкретной формы и размеров; мы вернемся еще к этому вопросу в
§ 44.
Рассмотрим участок тела, малый по сравнению с его полным
объемом, но большой по сравнению с размерами доменов. Напря-
Напряженность Нх можно считать постоянной вдоль всего этого участ-
участка; а через М и В обозначим значения М и В, усредненные по
его объему. Вместе с Нх постоянна и поперечная составляющая
Мх = Нх/C намагниченности. Продольная же составляющая Mz
2) Во всем изложении в этой главе мы ограничиваемся рассмотрением
только термодинамически равновесных состояний ферромагнетиков и, со-
соответственно, обратимых процессов в них. В частности, мы совершенно не
касаемся механизма гистерезисных явлений, которые могут быть связаны с
дефектами кристалла, внутренними напряжениями в образце, поликристал-
поликристалличностью и т. п. причинами.

§ 41	КРИВАЯ НАМАГНИЧЕНИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ	217
в различных доменах отличается знаком, так что ее среднее зна-
значение во всяком случае не превосходит \MZ\. Учитывая также,
что везде Hz = 0, имеем для средней индукции:
+ ^, Bz < 4тгу/м2 - |?.	D1.7)
Этими формулами определяется область значений средней ин-
индукции, соответствующая доменной структуре одноосного фер-
ферромагнетика.
Исследование зависимости М от Н для кубического кристал-
кристалла может быть в принципе произведено аналогично тому, как это
было сделано выше для одноосного кристалла. Однако, ввиду
большей сложности уравнений, получение явных аналитических
формул оказывается здесь невозможным, и мы не будем больше
останавливаться на этом вопросе.
Задачи
1. Одноосный ферромагнитный кристалл имеет форму эллипсоида вра-
вращения (причем его ось легкого намагничения совпадает с осью вращения)
и помещен во внешнее магнитное поле ij. Определить область значений ij,
при которых тело будет обладать доменной структурой.
Решение. Согласно общим свойствам эллипсоидальных тел в одно-
однородном внешнем поле (§ 8), усредненные по доменной структуре индукция
В и напряженность Н = Н связаны с ij соотношением
nBz + (l-n)Hz=$)z, 1-^Bx+1-±^Hx=$)x,
где п — коэффициент размагничивания вдоль главной оси эллипсоида
(ось z). Положив Hz = 0 и используя формулы D1.7), получим
п
Исключив отсюда Нх, найдем искомое неравенство
DтгпJ [/3 + 2тгA - п)]2
определяющее область существования доменной структуры.
2. Для поликристаллического тела в сильном (Н ^> 4тгМ) магнитном
поле определить усредненную по кристаллитам намагниченность; кристал-
кристаллиты обладают одноосной симметрией.
Решение. Пусть в пределах одного кристаллита 9 и ф — углы меж-
между его направлением легкого намагничения и соответственно векторами М
и Н. Заранее очевидно, что в сильном поле направление М будет близким к
направлению Н, т. е. угол $ = 9 — ф мал. Написав в D1.2) МН = МН cos (9 —
— ф) и приравняв нулю производную дФ/д9, получим
$ « sin $ =	sin 9 cos 9.
Н

218	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Средняя намагниченность направлена, очевидно, вдоль Н и равна
М = Mcostf = М A - -№] = М И - ^ М sin2 в cos2 в] ,
V 2 )	L 2Я2	|
где черта означает усреднение по кристаллитам. Предполагая все направле-
направления оси легкого намагничения кристаллитов равновероятными, получим
М = М[1-
V
Таким образом, средняя намагниченность приближается к насыщению по
закону М — М ог>Н~2.
3. То же при кубической симметрии кристаллитов.
Решение. Условия минимальности выражения
~{Mt + МАу + MAZ) - (НХМХ + НуМу + HZMZ)
(в D0.7) положено К = /ЗМ4/2) при дополнительном условии М2 + My +
+ Mf = const гласят:
= ХМХ, PMy +НУ = ХМу, CMZ +HZ = XMZ,
нн
1
где Л — лагранжев неопределенный множитель. При большом Я имеем от-
отсюда
а складывая квадраты этих равенств, найдем М ~ Я /Л , т. е. Л ~ Н/М.
Угол i9 между М и Н находим как
м2н2 я10 ^-^
где суммирование производится по циклическим перестановкам индексов ж,
у, z. Усреднение этого выражения по ориентациям кристаллитов эквива-
эквивалентно усреднению по направлениям вектора Н. Последнее производится
путем интегрирования по сферическим углам, определяющим направление
Н, и в результате получается:
105Я2
§ 42. Магнитострикция ферромагнетиков
Изменение намагниченности ферромагнетика в магнитном
поле приводит к его деформированию (магнитострикция). Это
явление может быть связано как с обменными, так и с реляти-
релятивистскими взаимодействиями в теле. Поскольку обменная энер-
энергия зависит лишь от абсолютной величины намагниченности, то
и ее изменение может быть связано лишь с изменением величи-
величины М в магнитном поле. Хотя последнее, вообще говоря, относи-
относительно весьма мало, но, с другой стороны, сама обменная энергия
велика по сравнению с энергией анизотропии. Поэтому эффекты

§ 42	МАГНИТОСТРИКЦИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ	219
магнитострикции, связанные с обоими видами взаимодействий,
могут оказаться сравнимыми.
Такое положение имеет место в одноосных кристаллах. За-
Заметные деформации, возникающие от изменения направления М,
имеют место в полях Н ~ /ЗМ] изменение лее величины М ста-
становится существенным при полях Н ~ 4тгМ. Если эти области
практически совпадают, то при рассмотрении магнитострикции
одноосных ферромагнетиков необходимо, вообще говоря, учиты-
учитывать оба эффекта вместе. Мы не станем останавливаться здесь
на получении соответствующих, довольно сложных формул.
В кубических кристаллах положение иное в связи с относи-
относительной малостью энергии анизотропии (как величины четверто-
четвертого порядка). Существенная магнитострикция, связанная с изме-
изменением направления М, имеет место уже в сравнительно слабых
полях, в которых изменением абсолютной величины М молено
еще полностью пренебречь. Рассмотрим эти эффекты.
Изменение энергии релятивистских взаимодействий в дефор-
деформированном теле описывается введением в термодинамический
потенциал Ф дополнительных магнитпоупругих членов, завися-
зависящих от компонент тензора упругих напряжений а^ и от направ-
направления вектора М (Н. С. Акулов, 1928). Первые неисчезающие
члены такого рода линейны по а^ и квадратичны по направляю-
направляющим косинусам вектора М (последнее — снова в силу симметрии
по отношению к изменению знака времени). В общем случае име-
имеем, следовательно, для магнитоупругой энергии выражение вида
С^м.у = -aiklmVikmimm,	D2.1)
где dikim ~~ безразмерный тензор четвертого ранга, симметрич-
симметричный по парам индексов ik и lm (но не по отношению к переста-
перестановке пары ik с парой lm). Вблизи точки Кюри, где разложение
по степеням направляющих косинусов вектора М эквивалент-
эквивалентно разложению по степеням его компонент, величины	2
стремятся к постоянным пределам.
При подсчете числа независимых компонент тензора Щыт
снова следует иметь в виду, что члены в D2.1), содержащие ком-
компоненты m в комбинации т^, + т2 + ттт^, не зависят от направ-
направления m и потому могут быть исключены из магнитоупругой
энергии -1). Имея это в виду, найдем, что у кубического кристал-
кристалла магнитоупругая энергия содержит два независимых козффи-
) Возникающий в связи с этим некоторый произвол в выборе сцы-т выра-
выражает собой условность выбора направления т, при котором (в отсутствие
приложенных извне механических сил) мы считаем кристалл недеформиро-
ванным.

220	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
циента; запишем ее в виде
2 + crm2
(Jyym2y + crzzm2z) -
утхту + crxzmxmz + ayzmymz). D2.2)
Тензор деформации получается дифференцированием Ф по
соответствующим компонентам а^\
дФ
Щк = ~—^
причем в Ф надо включить (с обратным знаком — см. примеч.
на с. 104) также и обычную упругую энергию. У кубического
кристалла последняя содержит три независимых упругих коэф-
коэффициента и может быть представлена, например, в виде
2 \ J1 | Jl
^упр	\?хх + уу + azz) +
+ ^(стхх + ауу + azzf + ^{а2ху + a2xz + a2yz), D2.3)
где /ij, //2, Мз — положен тельные величины. Для тензора дефор-
деформации получаем 1)
ихх = (mi + М2)сгжж + fi2((Tyy + azz) + aim2x,
D2.4)
иху = №(Jxy + a2mxmy
и аналогично для остальных компонент.
Эти формулы содержат в себе все магнитострикционные эф-
эффекты (в рассматриваемой области полей). В частности, в отсут-
отсутствие внутренних напряжений формулы
иху = а2гпхгпу, ...	D2.5)
определяют изменение деформации при изменении направления
намагниченности. Напомним, что абсолютная величина дефор-
деформации в известном смысле условна ввиду условности выбора того
направления т, для которого деформация принимается отсут-
отсутствующей .
Тензор напряжений, определенный в результате решения
конкретной задачи (например, для зажатого кристалла), по по-
порядку величины а ~ а///, где аи// — порядки величины соот-
соответственно коэффициентов а^/ш и упругих коэффициентов. В
этом смысле магнитоупругая энергия (как всегда, на единицу
2) При дифференцировании Ф надо иметь в виду замечание, сделанное в
примеч. на с. 113.

§ 42	МАГНИТОСТРИКЦИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ	221
объема) — величина порядка о?/\i. Коэффициенты а — величи-
величины первого порядка по релятивистскому спин-спиновому взаи-
взаимодействию, так что магнитоупругая энергия — второго порядка
по нему. В одноосном кристалле энергия анизотропии — первого
порядка по релятивистскому взаимодействию, и потому, как пра-
правило, велика по сравнению с магнитоупругой энергией. В кубиче-
кубических лее кристаллах энергия анизотропии — второго порядка по
указанному взаимодействию, и в этом смысле сравнима, вообще
говоря, с магнитоупругой энергией1). В этой связи может воз-
возникнуть необходимость одновременного учета обоих видов энер-
энергии (например, при исследовании кривой намагничения), что су-
существенно усложняет задачу.
Рассмотрим теперь магнитострикцию магнетика в таких
сильных полях (Н ^> 4тгМ), при которых несущественна энер-
энергия анизотропии и доменная структура уже отсутствует, так что
направление М можно считать совпадающим с направлением Н.
Ввиду пренебрежения энергией анизотропии конкретная сим-
симметрия кристалла становится несущественной, так что следую-
следующие ниже формулы в равной мере применимы к любому ферро-
ферромагнетику.
Пусть тело находится в однородном внешнем магнитном по-
поле 9}. Его полный термодинамический потенциал Ф2) дается
формулой
ф = -JUS* = -MVS),	D2.6)
где Ж = MV — полный магнитный момент тела, однородно
намагниченного в направлении, совпадающем с направлением
поля; мы опустили здесь член Фо, не связанный с магнитным
полем. Тензор деформации, усредненный по объему тела, опре-
определяется формулой
_	1 дФ
Щк = ~^я—'
откуда
g	.	D2>7)
Таким образом, деформация определяется зависимостью намаг-
намагниченности от внутренних напряжений.
При кубической симметрии кристалла всякий характеризую-
характеризующий его свойства симметрический тензор второго ранга сводится
*) Но и в кубических кристаллах магнитоупругая энергия может оказаться
малой по сравнению с энергией анизотропии. Так, у железа (при комнатной
температуре) их отношение ~ 10~2.
2) Здесь подразумевается то определение Ф, о котором шла речь в § 12.
Им нельзя пользоваться для существенно неоднородно деформированных
тел.

222
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
к скаляру, из которого он получается умножением на Sik- Это от-
относится и к тензору d(VM)/dGiki так что магнитострикционная
деформация сводится в этом случае к всестороннему сжатию или
растяжению.
Если мы интересуемся только изменением SV полного объема
тела, то его молено получить просто дифференцированием Ф по
давлению:	_
SV = — = — SS—	-,	D2.8)
дР	дР '	v J
где Р надо понимать как равномерно приложенное к телу все-
всестороннее давление.
Задачи
1.	Найти относительное растяжение ферромагнитного кубического кри-
кристалла в зависимости от направления намагниченности m и направления
измерения п.
Решение. Относительное растяжение в направлении единичного
вектора п выражается через тензор деформации формулой
6_1 _
I ~игкПгПк-
Подставив сюда Щк (в отсутствие внутренних напряжений) из D2.5), полу-
получим
— = а\ (mini + mini + m2zn2z) + ai{mxvnynxny + mxmznxnz + mymznynz).
Напомним, что безусловный смысл имеет не сама эта величина, а лишь раз-
разности ее значений при различных направлениях тип. Так, если т направ-
направлено вдоль оси ж, то разность значений 61/1 вдоль осей хну равна а\. Если m
направлено вдоль одной из пространственных диагоналей, то разность зна-
значений 61/1 в этом же направлении и вдоль трех других пространственных
диагоналей равна 4<22/9.
2.	Определить изменение объема при магнитострикции ферромагнитно-
ферромагнитного эллипсоида во внешнем поле ij ~ 4тгМ, параллельном одной из его осей;
ферромагнетик предполагается кубическим г).
Решение. При пренебрежении энергией анизотропии область суще-
существования доменной структуры определяется неравенством В < 4ттМ при
Н = 0 (черта означает усреднение по объему тела: ср. § 41). В эллипсоиде
пВ + A — п)Н = ij, и, положив Н = 0, найдем, что доменная структура
существует при
fj < 4тгпМ.
При этом пВ = 4-кпМ = ij, т. е. средняя намагниченность
4тгп
Отсюда термодинамический потенциал
= -У Г
87Ш
A)
2) В одноосном ферромагнетике при ij ~ 4тгМ надо было бы учитывать
энергию анизотропии, чего не надо делать в кубическом кристалле.

§ 43	ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ ДОМЕННОЙ СТЕНКИ	223
Если же ij > 4тгпМ, то эллипсоид намагничен целиком вдоль поля
М = М. При этом
ф = -MfiV + 2nM2Vn	B)
(при ij = 4тгМп выражения A) и B) совпадают).
Искомое изменение объема получается дифференцированием Ф по дав-
давлению:
SV =		при ij < 4тгпМ,
8тгп ЭР
dp
При ij ^> 4-кпМ мы возвращаемся к приведенной в тексте формуле D2.8).
§ 43. Поверхностное натяжение доменной стенки
Как уже было указано в § 41, существует широкая область
состояний, в которых ферромагнетик должен иметь доменную
структуру, т. е. распадаться на участки с различными направле-
направлениями намагниченности. Это относится, в частности, к ферро-
ферромагнитному телу, не находящемуся во внешнем магнитном поле.
С термодинамической точки зрения соприкасающиеся доме-
домены представляют собой различные фазы ферромагнетика, от-
отличающиеся направлением своей спонтанной намагниченности.
Рассмотрим, прежде всего, свойства межфазных границ (или,
как говорят, доменных стенок) как таковых и определим их по-
поверхностное натяжение {Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, 1935).
Межфазные границы представляют собой в действительно-
действительности сравнительно узкие переходные слои, в которых направле-
направление намагниченности непрерывно меняется от направления в
одном к направлению в другом домене. «Ширина» такого слоя
и ход изменения М в нем определяются условиями термодина-
термодинамического равновесия. При этом дол лена быть учтена дополни-
дополнительная энергия, связанная с неоднородностью намагничения.
Наибольший вклад в эту энергию неоднородности дает обмен-
обменное взаимодействие. С макроскопической точки зрения она мо-
может быть выражена через производные от М по координатам.
Это можно сделать в общем виде, предполагая градиент на-
направления М сравнительно малым; это условие означает, что
существенное изменение направления магнитных моментов про-
происходит лишь на расстояниях, больших по сравнению с меж-
межатомными расстояниями. Его выполнение в данном случае оче-
очевидно, так как существенное различие в направлениях соседних
атомных магнитных моментов привело бы к весьма большому
увеличению обменной энергии и потому термодинамически не-
невыгодно.

224
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Обозначим плотность энергии неоднородности через [/неОдн-
Линейных по первым производным членов вида щ^(М)дМг/дх^
в ее разложении не может быть — уже в силу требования сим-
симметрии по отношению к обращению времени (эта операция меня-
меняет знак вектора М, энергия лее дол лена оставаться неизменной).
Симметрия кристалла могла бы допустить существование чле-
членов, содержащих произведения производных дМ{/'дх^ на компо-
компоненты самого вектора М. Нас интересует здесь обменная энергия
неоднородности; соответствующие члены в С/неОдн дол лены быть
инвариантны по отношению к одновременному одинаковому по-
повороту векторов М во всем пространстве (при неизменной си-
системе координат) -1). Тогда члены с указанными произведениями
могут иметь лишь вид
^ = -a(M)VM2.
dxi 2
Такие члены, однако, не могут иметь реального смысла энергии
неоднородности, даже если допустить изменение вдоль кристал-
кристалла не только направления, но и величины вектора М. Дело в том,
что реальный термодинамический смысл имеет не сама величина
Е^неодн, а лишь ее интеграл по объему тела; но при таком инте-
интегрировании члены написанного вида свелись бы к выражениям,
зависящим только от значений намагниченности на поверхности
тела, но не от хода ее изменения в объеме2).
По этой лее причине молено не писать в [/неОдн среди членов
следующего порядка малости членов, линейных по вторым про-
производным от М по координатам: при интегрировании по объему
они преобразуются в выражения, квадратичные по первым про-
производным. Именно квадратичные выражения и являются глав-
главными неисчезающими членами в разлолеении обменной энергии
неоднородности. Наиболее общий вид этих членов:
,	D3.1)
где с^/с — симметричный тензор; для устойчивости ферромагнит-
ферромагнитного упорядочения это выражение доллено быть существенно по-
положительным, т. е. главные значения тензора а^ должны быть
положительными. В кубическом кристалле тензор а^ сводится
г) Это значит, что скалярное выражение С/Неодн должно быть составлено
таким образом, чтобы «магнитные» и «координатные» векторные индексы
сворачивались бы каждые только между собой, но не друг с другом.
2) Симметрия кристалла может, однако, допускать существование членов
вида dikiMidMk/dxi не обменной природы. Это приводило бы к изменению
характера ферромагнитного упорядочения в кристалле — см. § 52.

§ 43	ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ ДОМЕННОЙ СТЕНКИ	225
к скаляру {otik = о^г/с? ос > 0), так что *)
В одноосном кристалле тензор с^/с имеет две независимые ком-
компоненты и энергия неоднородности имеет вид
дх J ' V ду ) J ' 2 V dz J '	D3'3>
Подчеркнем, что вдали от точки Кюри выражения D3.1)-
D3.3) следует рассматривать как первые члены разложения по
степеням производных от единичного вектора m = М/М, а не
самой намагниченности М. Лишь вблизи этой точки оно стано-
становится разложением по производным именно от М. Соответствен-
Соответственно этому, в рамках теории Ландау коэффициенты a^fc в этих вы-
выражениях должны были бы стремиться при Г —»> Тс к отличным
от нуля конечным значениям (о роли флуктуации в этом отно-
отношении — см. § 47).
Рассмотрим в качестве примера границу раздела между фа-
фазами в одноосном кристалле типа «легкая ось», предполагая при
этом, что вектор М параллелен (или антипараллелен) оси лег-
легкого намагничения (оси z).
Структура переходного слоя определяется условием мини-
минимальности его полной свободной энергии2). При этом обменная
энергия действует в направлении увеличения толщины слоя (т. е.
более плавного изменения направления М в нем). В противо-
противоположном лее направлении действует энергия анизотропии, по-
поскольку всякое отклонение М от направления легкого намагни-
намагничения увеличивает ее.
Выберем ось х в направлении, перпендикулярном к плоско-
плоскости слоя; распределение М зависит только от этой координаты.
Поворот вектора М вдоль толщины слоя должен происходить в
плоскости yz, т. е. везде Мх = 0. Это ясно из следующих простых
соображений. Энергии неоднородности и анизотропии в одноос-
г) По порядку величины (например, для железа) а ~ 10 12 см.
) В пренебрежении магнитострикцией нет необходимости различать сво-
свободную энергию & и термодинамический потенциал Ф. Если же иметь в
виду учет упругой и магнитоупругой энергий неоднородной деформации
(что может оказаться необходимым в некоторых случаях — см. задачу 2),
то следует говорить о полной свободной энергии. Напомним в этой связи,
что уравнения равновесия среды получаются путем варьирования именно
ее полной свободной энергии по компонентам вектора деформации и (ср.
вывод, изложенный в конце § 15 для жидкости; уравнение равновесия f = 0
получается приравниванием нулю вариации 8&
8 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

226	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
ном кристалле вообще не зависят от того, в какой плоскости про-
происходит поворот намагниченности. Наличие лее отличной от нуля
составляющей Мх неизбежно привело бы к возникновению маг-
магнитного поля, что заведомо термодинамически невыгодно ввиду
связанной с ним дополнительной магнитной энергии. Действи-
Действительно, из уравнения divB = dBx/dx = 0 следует, что вдоль
переходного слоя Вх = const, а поскольку в глубине доменов
Мх = О, Нх = 0, то Вх = 0 везде. Поэтому вместе с компонентой
Мх ф 0 должно появиться и поле Нх = —4тгМх. В свободной же
энергии F соответственно появляется член 1)
Пусть в — угол между М и осью z. Тогда компоненты М:
Мх = О, Му = М sin в, Mz = M cos в.
Сумма энергий неоднородности D3.3) и анизотропии D1.1) да-
дается интегралом
2 °°
D3.4)
(штрих означает дифференцирование по х). Остальные члены в
свободной энергии не зависят от структуры слоя и потому могут
быть опущены.
Для определения функции в (ж), минимизирующей этот ин-
интеграл, запишем соответствующее уравнение Эйлера
Предполагая толщину переходного слоя малой по сравнению с
шириной самих доменов, можно писать граничные условия к это-
этому уравнению в виде
0(+оо) = О, 0(-ос) = тг, 0;(±оо) = О.	D3.5)
Они выражают собой тот факт, что соседние домены намагниче-
намагничены во взаимно противоположных направлениях. Первый интег-
) Точнее говоря, в данном случае следует рассматривать термодинами-
термодинамический потенциал ^' — ср. конец § 44. При заданном значении Вп = Вх
этот потенциал должен иметь минимум по отношению к Мх или Нх. Но при
Вх = 0 потенциалы F и F' совпадают.

§ 43	ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ ДОМЕННОЙ СТЕНКИ	227
рал уравнения Эйлера, удовлетворяющий этим условиям1):
в'2 - ?- sin2 в = 0.	D3.6)
Интегрируя еще раз, находим
cos в = th (\ —х) ,	D3.7)
VV °* J
чем и определяется ход изменения намагниченности в переход-
переходном слое. Его ширина 8 ~ y/ai//3.
С учетом равенства D3.6) интеграл D3.4) становится равным
/ el2dx =
Если рассматривать границу раздела между доменами как гео-
геометрическую поверхность, то эта величина есть поверхностное
натяжение, которое должно быть приписано границе для уче-
учета энергии, необходимой для ее образования. Обозначим поверх-
поверхностное натяжение доменной стенки как М2А, где А имеет раз-
размерность длины. Тогда
А = 2V^/3.	D3.8)
Задачи
1. Определить поверхностное натяжение доменной стенки в кубическом
ферромагнетике с осями легкого намагничения вдоль ребер куба (оси ж, у,
z). Домены намагничены параллельно и антипараллельно оси z, а домен-
доменная стенка расположена: а) параллельно плоскости A00); б) параллельно
плоскости (ПО) [ЕМ. Лифшиц, 1944; L. Neel, 1944).
Решение, а) Доменная стенка параллельна плоскости yz, все величи-
величины в ней зависят только от координаты ж, а поворот вектора М происходит
в плоскости yz (к аргументации, приведенной в тексте параграфа для одно-
одноосных кристаллов, добавляется еще и то, что отклонение М из плоскости
yz привело бы в данном случае к увеличению энергии анизотропии). Пре-
Пренебрегая энергией магнитострикции и воспользовавшись для энергии неод-
неоднородности формулой D3.2) и формулой D0.7) для энергии анизотропии
(обозначив в ней К = /ЗМ2/2), найдем свободную энергию стенки в виде
— / (ав12+/3 sin2 в cos2 в) dx
— СЮ
2) Это выражение можно, конечно, написать сразу (не выписывая урав-
уравнения Эйлера), если заметить, что интеграл в D3.4) имеет вид интеграла
действия для одномерного движения частицы в поле с потенциальной энер-
энергией —/3 sin2 в (причем в играет роль координаты, а х — роль времени). Тогда
D3.6) выражает собой «сохранение энергии частицы».

228	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
@ — угол между М и осью z). Первый интеграл уравнения Эйлера задачи
о минимизации этого функционала, удовлетворяющий граничным условиям
D3.5):
ав'2 - /3 sin2 0 cos2 0 = 0,
или
0' = W^ sin2 01 cos 01
V а
(написав | cos 0|, мы обеспечиваем монотонное изменение угла 0 в переходном
слое). Это уравнение не имеет решения, которое могло бы описывать струк-
структуру доменной стенки конечной толщины (для этого необходим учет энер-
энергии магнитострикции — см. задачу 2), но оно достаточно для вычисления
поверхностного натяжения, оказывающегося конечным уже при сделанных
пренебрежениях:
тг/2
А(юо) = \/<Ф • 2 J sin 0 cos 0 d0 = s/оф.
О
б) Доменная стенка проходит через ось z под углом 45° к осям хну.
Необходимость избежать появления значительного магнитного поля по-
прежнему стремится удержать вектор М в плоскости стенки. Но магнитная
анизотропия в этом случае несколько выводит М из указанной плоскости.
Тем не менее, ввиду предполагаемой малости энергии анизотропии в куби-
кубическом кристалле, это отклонение будет малым и им можно, с достаточной
точностью, пренебречь. Тогда
М
Мх = Му = — sin 0, Mz = М cos 0
@ — снова угол между М и осью z) и энергия анизотропии:
ию	sin2 0Ccos2 0 + 1).
8
Выпишем сразу первый интеграл уравнения Эйлера вариационной задачи:
0/2 = Asin20(cos20 + ?),	A)
где А = 3/3/Dа), В = 1/3, а штрих означает дифференцирование по коорди-
координате, нормальной плоскости стенки (обозначим ее буквой ?). Отсюда, снова
с учетом условий D3.5), находим уравнение структуры стенки
B)
a
Для поверхностного натяжения находим
А = aVAlVYTB + BArsh -^=1 ,	C)
т. е. при указанных значениях А и В:
2. Найти структуру доменной стенки в плоскости A00), поверхностное
натяжение которой вычислено в задаче la (E.M. Лифшиц, 1944).

§ 43	ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ ДОМЕННОЙ СТЕНКИ	229
Решение. Как уже было упомянуто, конечное значение шири-
ширины данной стенки получается только при учете энергии магнитострикции.
Структура стенки определяется условием минимальности свободной энер-
энергии J^*, плотность которой F дол лена быть выражена через Щк (ср. примеч.
на с. 225). Соответствующие выражения магнитоупругой и упругой энергий
имеют вид, аналогичный D2.2), D2.3) (с другими коэффициентами):
тт		 i / /m ^ _|_ /j ггт^\ —I— Oh i fm fm
Uynp = y (u™ + ulv + и**) + y^Uxx + Uyy + Uzz^ + Лз ^ху + Uxz + Uyz}
(здесь уже положено mx = 0).
Вместе с распределением намагниченности может зависеть только от х
также и деформация в переходном слое. Отсюда следует, что у-, ^-компо-
^-компоненты вектора смещения и должны иметь вид: иу = const • у, uz = const • z\
если бы вместо const стояли функции ж, то иху, uxz оказались бы зависящими
от у или z. Таким образом, иуу, uzz, uyz, — постоянные. Далее, из общих
уравнений упругого равновесия дстгк/дхк = 0 следует, что а\к — 0; поскольку
при х = ±оо, где деформация отсутствует, должно быть crik = 0, то <тхх =
= (Уху = (Ухг = 0 везде. Вычислив эти компоненты тензора напряжений как
производные сг^ = dF/дщк, найдем, что иху = uxz = 0, ихх = const. Таким
образом, все Щк действительно постоянны. Поэтому достаточно вычислить
их значения на бесконечности, где все crik = 0, а ту = 0, mz = ±1. Из
равенств <jyz = 0, <jzz — <jyy = 0 найдем
UyZ = 0,	Uyy — Uzz = 	 .
Опустив в UM.y и t/упр постоянные члены, найдем, что к сумме ?/Неодн + UaH
надо добавить еще член	2
UM.y = — sin в.
Ai
В результате определение зависимости в(х) сведется к реп1ению уравнения
вида A), в котором теперь
Л	в
а	Xi/ЗМ2'
Константа В, характеризующая отношение энергии магнитострикции к
энергии анизотропии, мала 2). Положив в C) В = 0, получим уже известное
из задачи 1а значение ДA00). Из B) находим для распределения намагни-
намагниченности в стенке
а
Ширина этого распределения
-]Ц^
существенно зависит от константы магнитострикции '
2) Так, для железа при комнатной температуре В « 2 • 10 3.
2) При 6i —>> 0 рассматриваемая ISO-градусная (по углу поворота векто-
вектора М в ней) стенка как бы распадается на две 90-градусные, разделенные
стремящейся к бесконечности областью с в = тг/2.

230	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
3. В таком же кристалле найти поверхностное натяжение доменной стен-
стенки, разделяющей домены, намагниченные в направлениях [001] и [010] (оси
z и у) в случаях: а) стенка параллельна плоскости A00), б) стенка парал-
параллельна плоскости @11) (СВ. Вонсовский, 1944; L. Neel, 1944) г).
Решение. В обоих случаях магнитоупругой энергией молено прене-
пренебречь.
а) В этом случае вектор М поворачивается, оставаясь в плоскости стен-
стенки — плоскость yz. Отличие от задачи 1а состоит лишь в граничных усло-
условиях:
6>(-оо) = 0, 0(+оо) = -, 0'(±оо) = О.
Структура стенки описывается решением
tg0 = ехр ( \ -х
\\ а
а поверхностное натяжение составляет
— половину значения для 180-градусной стенки.
б) Наряду с кристаллографическими осями ж, у, z вводим оси ж, rj, ?,
как показано на рис. 22 (ось х перпендикулярна плоскости рисунка; стрелки
показывают направления М в доменах, разделен-
разделенных плоскостью г] = 0). В переходном слое век-
вектор М вращается, описывая половину кругового
/ ^ конуса с осью вдоль оси 77; при этом Mv = const =
/	= 1/>/2, так что div М = М^ = 0, как и должно
N x^/NN	быть (штрих — дифференцирование по rj). Обозна-
_ф	чуу ">\		чим через (р угол между проекцией М на плоскость
|	^s \	У	х^ и осью ^ (<р пробегает значения от 0 до тг). Тогда
'45е
1	cos (p	sin (p
1 — cos ю 1 + cos ю
ту =	, mz =	.
^	Рис. 22
Энергии неоднородности и анизотропии:
~. Л/f2
4 ' ' - ~ 4
Для поверхностного натяжения находим
тт	",^" /9 тт	/ЗМ ( . о	3.4
(унеолн = 	ш иан = 	 sm ш	sm <
2
о
1-ьЛАгаьЛ =1,73-^
2V6	V5	' 2
) В кубическом кристалле (в отличие от одноосных — см. примеч. на
с. 233) 90-градусная стенка — настоящая межфазная граница, поскольку
оба домена представляют собой устойчивые фазы, каждая из которых на-
намагничена в одном из легких направлений.

§ 44	ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ	231
4. Найти поверхностное натяжение доменной стенки в одноосном кри-
кристалле, если переход между доменами осуществляется путем изменения ве-
величины вектора М без его поворота — направление М меняется на противо-
противоположное при прохождении М через нуль. Зависимость свободной энергии
от М (при Н = 0) берется в виде разложения C9.3), отвечающего близости
к точке Кюри (В.А. Жирное, 1958).
Решение. Во всем переходном слое Mz равно М и меняется вдоль
оси х, перпендикулярной плоскости стенки. Плотность свободной энергии с
учетом энергии неоднородности
F = Fo - \А\М2 + ВМ4 + — М'2.	A)
Равновесное значение намагниченности в толще доменов обозначим здесь
как Мо: Mq = |А|/2Б (см. C9.5)). Введя вектор m = М/Мо (т / 1), напи-
напишем свободную энергию стенки в виде
оо
\\A\Ml
(аддитивная постоянная в F выбрана так, чтобы F обращалось в нуль в
глубине доменов). Минимизация этого интеграла должна производиться при
граничных условиях
т(+оо) = 1, т{—оо) = —1, т'(±оо) = 0.
Первый интеграл уравнения Эйлера этой вариационной задачи:
/2
т =
Отсюда находим
а вычисление интеграла дает для поверхностного натяжения Мо А значение
Д = \ ^\А\.	B)
Рассмотренная структура стенки может, в принципе, иметь место в доста-
достаточной близости к точке Кюри (если отношение /3/|Л| стремится при Т —>¦ Тс
к бесконечности), где изменение величины вектора М становится энергети-
энергетически более выгодным, чем его отклонение от направления легкого намаг-
намагничения.
§ 44. Доменная структура ферромагнетиков
Обратимся теперь к выяснению фактической формы и раз-
размеров доменов -1).
Некоторые заключения о форме поверхностей раздела между
доменами молено сделать непосредственно из граничных условий
для магнитного поля. Поскольку напряженность Н в соседних
2) Понятие о доменах было впервые введено Вейссом (P. Weiss, 1907). Тер-
Термодинамическая теория доменов была дана Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицем
A935).

232
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
доменах одинакова, то условие непрерывности нормальной сос-
составляющей индукции Вп сводится к условию непрерывности Мп.
В одноосных кристаллах намагниченность различных доменов
отличается знаком Mz при одинаковых Мх, Му. В этих услови-
условиях непрерывность Мп означает, что поверхность раздела должна
быть параллельна оси z, т. е. оси легкого намагничения.
Форма и размеры термодинамически равновесных доменов
определяются условием минимальности полной свободной энер-
энергии. Они существенно зависят от конкретных форм и размеров
тела. В простейшем случае ферромагнетика в виде плоскопа-
плоскопараллельной пластинки домены могут иметь, в принципе, форму
параллельных слоев, проходящих сквозь тело от одной его по-
поверхности до другой. Мы будем говорить ни лее именно о такой
структуре.
Возникновение всякой новой границы между доменами при-
приводит к увеличению полной энергии поверхностного натяжения.
Этот фактор, следовательно, действует в направлении уменьше-
уменьшения числа доменов, т. е. увеличения их толщины.
В обратном направлении действует избыточная энергия, воз-
возникающая вблизи внешней поверхности тела, к которой выходят
домены. В толще тела магнитное поле Н = 0; равна нулю также
энергия анизотропии, поскольку вектор М лежит в направле-
направлениях легкого намагничения. Но вблизи поверхности положение
меняется.
Характер выхода доменов к поверхности тела различен в пре-
предельных случаях большой и малой магнитной анизотропии. При
этом естественной мерой этой ве-
величины является в данном случае
не сам коэффициент /3 в D1.1), а
/3/Dтг). Это видно уже из выраже-
выражения поперечной магнитной проница-
проницаемости одноосного ферромагнетика
fixx = l+4Tr//3(cM. D1.7)).
При большой магнитной анизо-
анизотропии слои должны выходить к по-
поверхности тела с неизменным на-
направлением М (рис. 23 а; мы будем
предполагать, для простоты, что
поверхность пластинки перпендику-
u	лярна к направлению легкого на-
намагничения). Но при этом вбли-
ис#	зи поверхности возникает магнитное
поле, проникающее в окружающее пространство и в глубь тела
на расстояния порядка величины толщины слоев а.
В обратном же случае слабой анизотропии более выгодным
является такое распределение намагниченности, при котором ис-
исключается возникновение магнитного поля, ценой отклонения М
145°

§ 44	ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ	233
от направления легкого намагничения. При Н = 0 должно быть
всюду div В = 47rdivM = 0, и на всех границах доменов и на
свободной поверхности тела Мп должно быть непрерывным. Это
достигается возникновением замыкающих доменов треугольного
сечения (рис. 23 5), в которых намагниченность параллельна по-
поверхности тела. Полный объем этих областей, а с ним и энергия
анизотропии в них пропорциональны той же толщине слоев а1).
Таким образом, во всех случаях выход доменов к поверхно-
поверхности тела связан с возникновением избыточной энергии — тем
большей, чем больше ширина доменов. Тем самым этот эффект
действует в направлении «утончения» доменов.
Устанавливающаяся ширина доменов определяется игрой
этих двух противоположных тенденций — поверхностной энер-
энергии доменных стенок и энергии выхода доменов к поверхности
тела. Число доменов (плоскопараллельных слоев) в пластинке
пропорционально I/a, a энергия поверхностного натяжения про-
пропорциональна полной площади разделяющих их границ, т. е.
пропорциональна l/а (где / — толщина пластинки). Энергия же
выхода пропорциональна а. Сумма этих двух энергий как функ-
функция от а минимальна при некотором значении а, пропорциональ-
пропорциональном \Д.
Так, для случая слабой анизотропии (рис. 23 а) энергия вы-
выхода (отнесенная к единице площади пластинки с обеих ее сто-
сторон) ~ а/ЗМ2] поверхностная же энергия равна М2А1/а (толщи-
(толщина пластинки / предполагается, конечно, большой по сравнению
с шириной доменов). Отсюда
^	D4.1)
Таким образом, толщина доменов растет с увеличением раз-
размеров тела. Но количественный закон а со/1/2 этого возрастания,
связанный с предположением о постоянстве толщины доменов,
заведомо не может быть справедливым при любых значениях /.
1) Следует подчеркнуть, что граница между основными и замыкающи-
замыкающими доменами, разделяющая области с повернутыми на 90° направлениями
М, не является в данном случае (т. е. в одноосных кристаллах) межфазной
границей в буквальном смысле этого слова. Это ясно уже из того, что сос-
состояние намагничения перпендикулярно легкой оси (при Н = 0) само по себе
неустойчиво и не является возможной фазой вещества. Строго говоря, изоб-
изображенная на рис. 23 б картина распределения намагниченности относится
лишь к пределу /3 —»¦ 0. Уже в первом приближении по малой величине /3/4тг
появляются отклонения от этой картины и переход между основными и за-
замыкающими доменами происходит на расстояниях, малых по сравнению с
шириной доменов а лишь в меру малости /3/4тг; при этом появляются по-
поля ~ /ЗМ (что не отражается, однако, на оценке энергии выхода доменов к
поверхности образца).

234
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Дело в том, что толщина доменов при их выходе в поверхности
тела не может превышать некоторого предельного значения а/~,
зависящего от свойств самого ферромагнетика, но не от формы
и размеров тела как целого. Оно определяется моментом, когда,
по мере увеличения а, термодинамически выгодным становится
расщепление домена вблизи поверхности тела на глубину ~ а.
Такой момент неизбежно наступает, поскольку энергия выхода
одного домена растет как а2, а избыточная энергия поверхност-
поверхностного натяжения, возникающая при расщеплении домена, — всего
как а.
Мы приходим к выводу, что по мере увеличения размеров
тела, а с ним и толщины доменов, должно наступать прогресси-
прогрессирующее разветвление доменов при их подходе к поверхности тела
(Е.М. Лифши% 1944) 1). В принципе, при достаточном возраста-
возрастании размеров / ветвление продолжается до тех пор, пока толщи-
толщина образовавшихся у самой поверхности тела ветвей не станет
сравнимой с толщиной доменной стенки 6.
Определим зависимость аA) для такого пре-
предельного случая. При оценках будем, для опреде-
определенности, считать анизотропию слабой.
На рис. 24 изображена схема разветвления до-
домена. Энергия выхода доменов складывается те-
теперь из дополнительной поверхностной энергии
«клиновидных» доменов и из энергии анизотро-
анизотропии, связанной с отклонением вектора М от оси z
в результате разветвления; треугольных же замы-
замыкающих доменов теперь нет. Предполагая быструю
сходимость суммы по последовательным ветвлени-
ветвлениям, достаточно рассмотреть первый клин; обозна-
Рис. 24 чим его длину через h. Из соображений энерге-
энергетической выгодности легко видеть, что длина клина h вели-
велика по сравнению с его толщиной (или, что то же по порядку
величины, по сравнению с а), т. е. угол наклона его границы
к оси z\ д ~ a/h <С 1. Действительно, поверхностная энер-
энергия клина ~ /гМ2А, а связанная с ним энергия анизотропии
~ haCM2fd2 ~ asCM2/h\ сумма этих двух энергий (энергия вы-
выхода) минимальна при h? ~ а3^/А, т. е.
D4.2)
1
ч—
г
1)
а
y
t
1
h
2) Критическое значение длины /, при котором начинается ветвление,
сильно зависит от характера магнитной анизотропии и от расположения
поверхности образца по отношению к его кристаллографическим осям. Ис-
Исследование начальных стадий разветвления доменов — см. Лифшиц Е.М.
II ЖЭТФ. 1945. Т. 15. С. 97; J. Phys. USSR. 1944. V. 8. P. 337.

§ 44	ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ	235
(предполагается, конечно, что а ^> S). При этом энергия вы-
выхода (отнесенная к единице площади поверхности пластинки):
~ а3/2М2 у7?Д/ а. Поверхностная лее энергия основных домен-
доменных границ: ~ M^/Sl/a. Минимизируя сумму обоих этих выра-
выражений, находим искомую зависимость:
у3 „(^1/3	D4.з)
{И.А. Привороцкий, 1970)-1).
В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос об усло-
условиях равновесия фаз ферромагнетика с несколько более общей
точки зрения, чем это было нужно для изложенного выше: не
будем предполагать теперь равенства всех компонент вектора Н
в обеих фазах (такая постановка вопроса может понадобиться,
например, при рассмотрении искривленных доменных границ).
Прежде всего, должны выполняться общие магнитостатиче-
ские условия B9.13):
Bnl = Bn2, Htl = Н,2,	D4.4)
являющиеся следствием уже самих уравнений Максвелла
div В = 0, rot H = 0. Но помимо этих равенств должно вы-
выполняться еще и термодинамическое условие, выражающее собой
равновесие по отношению к сдвигу поверхности раздела (в нор-
нормальном к себе направлении), т. е. по отношению к переходу
вещества из одной фазы в другую. Это условие выражается ра-
равенством в обеих фазах величин, являющихся термодинамиче-
термодинамическими потенциалами по отношению к переменным Вп и Н^2).
Для нахождения этих величин достаточно переписать в выра-
выражении дифференциала dF C1.6) (магнитострикцией снова пре-
пренебрегаем) произведение —В dH в виде
-В dH = -Bt dUt - Bn dHn = -d(BnHn) - Bt dUt + Hn dBn.
Отсюда ясно, что требуемый термодинамический потенциал
(обозначим его через F1) есть
F' = F + ±ВПНП,	D4.5)
4тг
Идея о разветвлении доменов и заключение о предельном законе
/ были впервые высказаны Л.Д. Ландау в применении к промежу-
промежуточному состоянию сверхпроводников (§ 57).
) Обоснование этого утверждения аналогично выводу обычного условия
фазового равновесия — равенства химических потенциалов обеих фаз, в ко-
которых независимыми переменными являются температура и давление, оди-
одинаковые в обеих фазах (см. V, § 81).

236	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
а искомое граничное условие
F[ = Ff2	D4.6)
(И.А. Привороцкищ М.Я. Азбелъ, 1969).
Задача
Определить энергию магнитного поля вблизи поверхности ферромаг-
ферромагнетика, к которой выходят перпендикулярные к ней плоскопараллельные
домены без изменения направления своей намагниченности (рис. 21 а).
Решение. Задача об определении магнитного поля вблизи такой
поверхности эквивалентна электростатической задаче о поле, создаваемом
плоскостью, чередующиеся полосы которой заряжены положительными и
отрицательными зарядами с поверхностной плотностью а = ±М.
Пусть поверхность тела совпадает с плоскостью z = 0, а ось х выбрана
в направлении, перпендикулярном к плоскости доменов. «Поверхностная
плотность зарядов» сг(х) есть периодическая функция с периодом 2а (а —
ширина домена), равная на одном из периодов
а = — М при — а < х < 0, а = +М при 0 < х < а.
Ее разложение в ряд Фурье:
, ч ^> . Bп + 1)тпг	AM
() 2
т^о	а	тгBп + 1)
Потенциал поля удовлетворяет уравнению Лапласа
дх2 dz2
Ищем его в виде ряда
/ \ V^i. • Bп + 1)тпг г	1чЯ 1
(f(x,z) = > Ьп sin ^	—ехр^=рBп + 1)— \
(два знака в показателе соответствуют полупространствам z > 0 и z < 0).
Коэффициенты Ьп определяются граничным условием
dz
=+0
dz
= 4тгсг,
z=-0
откуда
h	2a
On = 	Сп.
2n + l
Искомую энергию поля можно вычислить как интеграл - Г crtpdf по
«заряженной поверхности». Относя энергию к 1 см2 площади поверхности,
имеем
— а
,. _ _ # _ 		# \-з
2 2а ' {СТШ] U"L~ У C"U" ~	У 'Z/l + J
п=0	Ж п=0
Со значением ^-функции ?C) = 1,202 получаем
0,852М2а.

§ 45	ОДНОДОМЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ	237
Ширина доменов в пластинке получается минимизацией суммы
2	2 А/
а
где первый член — энергия выхода доменов к обеим сторонам пластинки, а
второй — поверхностная энергия. Отсюда а = 0,8л/А1 (Ch. Kittel, 1946).
§ 45. Однодоменные частицы
По мере уменьшения размеров тела образование доменов ста-
становится в конце концов термодинамически невыгодным, так что
достаточно малые ферромагнитные частицы представляют собой
«однодоменные» однородно намагниченные образования. Крите-
Критерий для их размеров / получается путем сравнения магнитной
энергии однородно намагниченной частицы с энергией неодно-
неоднородности, которая возникла бы при наличии существенной неод-
неоднородности в распределении намагниченности по объему части-
частицы. Первая — порядка величины M2V, а вторая ~ aM2V/l2.
Поэтому размеры однодоменных частиц1)
I < VS.	D5.1)
Для выяснения поведения однородно намагниченной части-
частицы во внешнем магнитном поле надо рассмотреть ее полную сво-
свободную энергию, подставив в формулу C2.7) для F сумму выра-
выражения C9.1) и энергии анизотропии2):
'^	D5.2)
причем интегрирование производится только по объему тела;
несущественная постоянная VFq опущена. Пусть частица име-
имеет форму эллипсоида. Тогда поле Н внутри нее определяется
равенством B9.14) или
Hi=fii- 4тгщкМк1	D5.3)
здесь второй член — создаваемое телом «размагничивающее по-
поле». Таким образом, находим
.	D5.4)
1)	О свойствах ансамблей таких частиц иногда говорят как о микромаг-
микромагнетизме.
2)	Пренебрегая магнитострикцией, мы не делаем различия между термо-
термодинамическим потенциалом и свободной энергией, рассматривая последнюю
при заданном объеме тела V.

238	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Первый член называют собственной магнитостатической энер-
энергией намагниченной частицы, а второй представляет собой ее
энергию во внешнем поле.
Направление намагниченности частицы во внешнем поле 9}
определяется условием минимальности & как функции направ-
направления М. Для кубического кристалла можно пренебречь в D5.4)
энергией анизотропии. Для одноосных кристаллов, написав энер-
энергию анизотропии в виде CikMiMk/2, имеем
^ = У-Dпщк + Cik)MiMk - VftM.	D5.5)
Поставленная таким образом задача в математическом отно-
отношении совпадает с рассмотренной в § 41 задачей о зависимости
местного М от местного поля Н, отличаясь лишь заменой Н на
9} и /3ik на 4ттщк или 4тгщк + /3ik.
Наконец, выведем уравнение, которому должно удовлетво-
удовлетворять распределение намагниченности в однодоменном образце в
условиях, когда это распределение еще нельзя считать однород-
однородным. Для этого надо потребовать минимальности полной свобод-
свободной энергии тела, которую напишем в виде интеграла
= f
FdV= |F0(M) + С/неодН + С/ан - MH - |_| с/У,
D5.6)
берущемуся по всему пространству. Варьирование производит-
производится по М (теперь — функции координат) при заданном в каждой
точке значении Н; абсолютная величина М полагается заданной,
так что варьируется лишь направление М. Опустив в подынте-
подынтегральном выражении члены, зависящие только от М и от Н,
варьируем интеграл
п
-aikMz — — + С/ан - МтН \ dV,
2	OXi OXk	)
который берется теперь только по объему тела (где М ф 0).
Произведя (после варьирования) в первом члене интегрирование
по частям, находим
^6m.<tfi] D5.7)
дхк
второй интеграл берется по поверхности тела. Поскольку т2 = 1,
то т($т = 0, т. е. вариация имеет вид 5т = [Soj • m], где Soj —
произвольная (малая) функция координат. Из условия 8^ = 0

§ 46	ОРИЕНТАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ	239
находим, приравняв нулю множитель при Scj в подынтегральном
выражении объемного интеграла, искомое уравнение1)
[т ЦМ2-^- - §^ + МнI = 0.	D5.8)
L V	dxidxk dm	/J
Из равенства же нулю интеграла по поверхности находим гра-
граничное условие к этому уравнению; так, при а^ = аёц^ это усло-
условие имеет вид
[т?]=0,	D5.9)
где п — направление нормали к поверхности тела.
Наряду с уравнением D5.8) должны, разумеется, удовлетво-
удовлетворяться во всем пространстве уравнения Максвелла:
div (H + 4тгМт) = 0, rot H = 0	D5.10)
с обычными граничными условиями к нему на поверхности тела
и с условием Н —»> 9} на бесконечности 2).
Для однородно намагниченного тела (эллипсоида) первый
член в круглых скобках в D5.8) исчезает. Оставшееся уравнение
(с Н из D5.3)) совпадает с условием минимальности свободной
энергии D5.5).
§ 46. Ориентационные переходы
Константа анизотропии ферромагнетика является функцией
температуры и как таковая может изменить в некоторой точке
знак. При этом меняется направление спонтанной поляризации,
а тем самым и симметрия магнитной структуры. Возникающие
таким образом переходы между различными фазами магнети-
магнетика называют ориентационными. Проследим, как осуществляют-
осуществляются такие переходы в одноосном гексагональном ферромагнитном
кристалле (Н. Homer, CM. Varma, 1968).
Поскольку мы имеем в виду рассмотреть окрестность точки,
в которой константа анизотропии К\ обращается в нуль, то необ-
необходимо учесть также и следующий член в разложении энергии
г) Оно совпадает, естественно, с уравнением движения (прецессии) маг-
магнитного момента в ферромагнетике, если положить в нем скорость dM/dt
равной нулю (см. IX, § 69).
2) Может возникнуть вопрос о правомерности варьирования интеграла
D5.6) по m при постоянном Н, несмотря на то, что они связаны между
собой первым из уравнений D5.10). Дело, однако, в том, что если положить
Н = — V<? (ввиду второго уравнения) и вычислить вариацию интеграла по <?,
то она обратится в силу первого уравнения в нуль, так что варьирование по
Н не дает вклада в д^'.

240	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
анизотропии; для гексагонального ферромагнетика такое выра-
выражение С/ан дается формулой D0.3).
Предположим сначала, что К2 > 0. Тогда в зависимости от
значений К\ и К2 минимуму С/ан отвечают следующие фазы:
I) 0 = 0, тг при Кг > 0;
II) sin0 = ±у/-К1/BК2) при - 2К2 < Ki < 0;	D6.1)
III) 0 = тг/2при Ki < -2К2.
Фазы I и III — соответственно типов «легкая ось» и «легкая плос-
плоскость». В фазе II вектор намагниченности не имеет фиксирован-
фиксированной ориентации (как в фазах I и II), а при изменении темпе-
температуры его направление меняется непрерывным образом между
значениями угла 0 = 0 (или 0 = тг) и 0 = тг/2; симметрия этой
фазы (ее иногда называют угловой) ниже симметрии как фазы I,
так и фазы III. Переходы между фазами I и II и между фаза-
фазами II и III происходят как фазовые переходы второго рода при
температурах Т\ и Т2, определяемых условиями
Кг (Тг) = 0, Кг (Г2) + 2К2(Т2) = 0.	D6.2)
Ниже будем считать, для определенности, что Кj > 0 при Г >
> Гь Тогда Т2 < Тг (если К2 > 0).
При наличии магнитного поля термодинамический потенциал
Ф = Кг sin2 в+К2 sin4 0 - НМ;	D6.3)
здесь выписаны только члены, зависящие от направления М.
Вблизи точки перехода между фазами I и II роль параметра
порядка играет малая величина sin0 ~ 0 = г). В этой области
термодинамический потенциал в слабом поперечном магнитном
поле Н = Нх:
причем К\ = const- (T — Т\). Обычным образом (ср. § 39) найдем
отсюда, что в точке перехода обращается в бесконечность (по за-
закону, аналогичному C9.6), C9.7)) поперечная восприимчивость
\dHxJHx-,0	\дНх)Нх
Аналогичным образом, вблизи точки перехода между фазами
II и III роль параметра порядка играет малый угол т\ = тг/2 —
— 0. В продольном поле Н = Hz термодинамический потенциал
содержит член —MHzrj^ и в точке перехода обращается в беско-
бесконечность продольная восприимчивость х\\-

§ 46	ОРИЕНТАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ	241
Изложенные рассуждения лежат в рамках теории фазовых
переходов Ландау. Отметим, что для ориентационных переходов
эта теория применима практически без ограничений. Допусти-
Допустимая для теории Ландау близость к точке перехода определяется
критерием (см. ни лее D7.1)), в знаменатель которого входит куб
коэффициента а в члене D3.1) термодинамического потенциала,
связанном с неоднородностью распределения параметра поряд-
порядка. В данном случае этот член связан с обменными взаимодей-
взаимодействиями в ферромагнетике, между тем как члены разложения
по самому параметру г] связаны с релятивистскими взаимодей-
взаимодействиями. Именно это обстоятельство приводит к чрезвычайной
узости температурного интервала вокруг точки перехода, в ко-
которой теория Ландау оказывается неприменимой.
Пусть теперь K<i < 0. Тогда угловая фаза II вообще неустой-
неустойчива (С/ан имеет максимум, а не минимум), так что легкоосная
фаза I должна переходить непосредственно в легкоплоскостную
фазу III. Заранее ясно, что это не может быть переход второго
рода: ни одна из групп симметрии фазы I или III не являет-
является подгруппой группы симметрии другой фазы. Переход осуще-
осуществляется как фазовый переход первого рода в точке Г = Tq,
определяемой условием равенства термодинамических потенци-
потенциалов обеих фаз (сводящимся к равенству значений С/ан):
К1(Т0) + К2(Т0) = 0.	D6.4)
Точка Го лежит между точками Т\ и Г2, определяемыми урав-
уравнениями D6.2) (причем теперь Т\ > Т\). В этом случае темпе-
температуры Т\ и Т\ определяют границы метастабильности соответ-
соответственно фаз I и II (за этими границами С/ан имеем при в = 0 или
в = тг/2 максимум, а не минимум).
Ориентационные переходы могут иметь место не только при
изменении температуры (в таких случаях говорят о спонтанных
переходах), но и при изменении наложенного на тело магнитного
поля (индуцированные полем переходы). Точки этих переходов
заполняют линии на фазовых диаграммах в координатах i7, Г
(при заданной кристаллографической ориентации вектора Н).
Для примера рассмотрим фазовые диаграммы того же одноосно-
одноосного ферромагнетика в поле Hz, параллельном гексагональной оси.
Продольное поле не меняет симметрии легкоосной фазы
(ЛОФ на рис. 25). Легкоплоскостная лее фаза становится угловой
(УФ), поскольку поле выводит намагниченность М из базисной
плоскости.
Рассмотрим сначала случай, когда К<± > 0. Области обеих
фаз разделены линиями фазовых переходов второго рода, начи-
начинающимися от точки Т\ на оси абсцисс (штриховые линии на
рис. 25 а). Верхняя и нижняя части диаграммы отвечают двум
взаимно противоположным направлениям продольного поля и,

242
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
соответственно, двум разным знакам продольной компоненты
Mz. Вблизи линии АТ\ угол в мал (вблизи линии А!Т\ мал угол
тг — в). С точностью до членов четвертого порядка по в имеем из
D6.3):
Ф
= (К, + \MHzH2 + (К2 - 1кг - y4
D6.5)
Уравнение линии АТ\ определяется равенством нулю коэффи-
коэффициента при #2:
= O	D6.6)
(напомним, что К\ < 0 при Г < Т\)\ линия А'Т\ определяется,
очевидно, таким же уравнением с другим знаком во втором члене
и симметрична по отношению к линии АТ\.
А—-
УФ
УФ
X
у
ЛОФ
ч
ч
\
\
\
\
\
T2/Ti Тс Т
/
ЛОФ
а
ЛОФ
А' ---
Рис. 25
Отрезок Т2ТС на оси абсцисс — линия фазовых переходов пер-
первого рода; на ней находятся в равновесии друг с другом две фазы
с различными знаками Mz. Фазовый переход второго рода, кото-
который в отсутствие поля имеет место в точке Г2, при наличии поля
исчезает; точка же Г2 является на фазовой диаграмме i7, Г кри-
критической точкой — точкой окончания линии переходов первого
рода. Другой точкой окончания этой линии оказывается точка
Кюри Тс (в которой, при Hz = 0, исчезает намагниченность).
В случае, когда К<± < 0 (рис. 25 5), начальная часть гра-
границы ABTq, разделяющей области обеих фаз на диаграмме i7, Г
(и аналогично для границы A'B'Tq), - линия фазовых перехо-
переходов первого рода (сплошная линия BTq)\ по обе стороны от нее
расположены области метастабильности двух фаз, ограниченные
штриховыми линиями ВТ\ и BT<i1). В точке В (трикритическая
2) Подразумевается, что поверхность раздела между сосуществующими
фазами параллельна магнитному полю, так что Hz на этой границе непре-
непрерывна.

§ 47	ФЛУКТУАЦИИ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ	243
точка) линия переходов первого рода переходит в линию перехо-
переходов второго рода (штриховая линия В А] ее уравнение — D6.6)).
Координаты этой точки определяются одновременным обраще-
обращением в нуль коэффициентов при #2 и в4 в термодинамическом
потенциале D6.5), т. е. равенствами 1)
MHZ = 2\Кг(ТI Кг(Т) = 4К2(Т).	D6.7)
Наконец, отрезок Т$ТС — линия переходов первого рода между
фазами с противоположно направленными намагниченностями
Мг = ±М.
§ 47. Флуктуации в ферромагнетике
Теория фазовых переходов Ландау, на которой основано из-
изложение в § 39, не учитывает флуктуации параметра порядка, в
связи с чем она становится неприменимой в достаточной близо-
близости к точке Кюри. Область применимости этой теории опреде-
определяется критерием
Ь>тй'	D71)
где ъ = Т—Тс, аи В — коэффициенты в разложении C9.3), C9.4),
а се — порядок величины компонент тензора а^ в D3.1). В то же
время должно быть, конечно, |t| <С Тс как условие близости к
точке Кюри 2).
При обратном знаке неравенства в D7.1), во флуктуационной
области, флуктуации параметра порядка играют определяющую
роль. Строгая статистическая теория для точки Кюри ферромаг-
ферромагнетика в этой области должна была бы быть основана на эффек-
эффективном гамильтониане
= [ \
J {
atM2 + Б(М2J + ^^! _ НМ) dV. D7.2)
2 дх{ oxi	)
Функция М(г) предполагается при этом меняющейся медленно
в том смысле, что в ее фурье-разложение входят лишь волновые
векторы, малые по сравнению с характерным обратным атомным
2) К трикритической точке на фазовой диаграмме Н, Т относится все то,
что было получено в V, § 150 (в рамках теории Ландау) для трикритической
точки в плоскости РТ.
2) Здесь и ниже в этом параграфе используются результаты, изложен-
изложенные в V, § 146-149. Они предполагаются известными читателю и частично
упоминаются вновь лишь для большей связности изложения. Мы не будем
делать каждый раз соответствующих ссылок.

244
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
расстоянием. Коэффициенты а, В, а совпадают с коэффициента-
коэффициентами разложения теории Ландау, т. е. являются не зависящими от
температуры постоянными (член с производными написан, для
простоты, в предположении кубической симметрии кристалла;
коэффициент в нем обозначен здесь как а в отличие от истин-
истинного коэффициента а — см. ни лее). Эффективный гамильтониан
D7.2) отвечает обменному приближению — в нем пренебреже-
но энергией анизотропии; в этом же приближении следует пре-
пренебрегать флуктуациями магнитного поля, возникающими в ре-
результате флуктуации намагниченности (т. е. магнитостатической
энергией флуктуации — ср. IX, § 70). Для обменного приближе-
приближения характерна «вырожденность» задачи: параметр порядка М
имеет три компоненты, но эффективный гамильтониан инвари-
инвариантен относительно поворотов этого вектора на один и тот же
угол во всем пространстве.
Для описания поведения термодинамических величин вбли-
вблизи точки фазового перехода второго рода вводят критические
индексы (или критические показатели) согласно определениям,
которые мы повторим здесь применительно к точке Кюри фер-
ферромагнетика. Индекс а определяет температурную зависимость
теплоемкости Ср по обе стороны точки Кюри в отсутствие маг-
магнитного поля 1):
Cpoo\t\-a при Н = 0.	D7.3)
Индекс /3 определяет температурную зависимость спонтанной
намагниченности ни лее точки Кюри:
М оо (-tf при t < 0, Н = 0.	D7.4)
Индекс 7 определяет зависимость от i магнитной восприимчиво-
восприимчивости парамагнитной фазы:
Xoot при t> 0, Н = 0	D7.5)
(о ее поведении при i < 0 — см. ниже). Зависимость же намаг-
намагниченности от поля в самой точке Кюри записывается в виде
МооН1'5, * = 0.	D7.6)
Температурная зависимость корреляционного радиуса флук-
флуктуации намагниченности определяется индексом v\
rcco\t\-" при Н = 0.	D7.7)
*) При этом имеется в виду «особая» часть теплоемкости. Это значит, что
при а < 0 теплоемкость ведет себя как Ср = Сро +const • |?|'а'. Не смешивать
индекс а с коэффициентом а в D7.1), D7.2) и ниже!

§ 47	ФЛУКТУАЦИИ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ	245
В самой же точке Кюри корреляционная функция спадает с рас-
расстоянием по степенному закону 1)
Gik(r) = FМ{@NМк(т)) счэг-A+^ при t = О, Н = 0. D7.8)
Критические индексы связаны друг с другом определенны-
определенными соотношениями, некоторые из которых являются следствием
гипотезы масштабной инвариантности. Эти соотношения име-
имеют универсальный характер и не зависят, в частности, от числа
компонент параметра порядка; они позволяют выразить все пе-
перечисленные индексы через любые два из них. Значения крити-
критических индексов для переходов с различным числом компонент
параметра порядка п приведены в V, в конце § 149. Трехмерному
ферромагнетику в обменном приближении отвечает п = 3.
В парамагнитной фазе корреляционная функция на расстоя-
расстояниях г ^ гс убывает по экспоненциальному закону. В ферро-
ферромагнитной же фазе надо различать флуктуации с изменением и
без изменения абсолютной величины вектора М. Именно здесь
проявляется вырожденность задачи о точке Кюри в обменном
приближении.
Это различие отсутствует, когда изменение вектора М, в
том числе его направления, происходит на малых расстояни-
расстояниях, г <С гс; корреляционная функция всех флуктуации следу-
следует здесь одному и тому же закону D7.8). На расстояниях же
г ^ гс (волновые векторы кгс <С 1) флуктуации направления
М «аномально» возрастают ввиду уменьшения затрат энергии
при таком отклонении от равновесия (при однородном по все-
всему кристаллу повороте намагниченности, к —»> 0, энергетические
затраты вообще отсутствуют). Корреляционную функцию флук-
флуктуации направления М на этих расстояниях можно найти тер-
термодинамическим путем.
Медленность изменения М позволяет выделить в термоди-
термодинамическом потенциале члены, связанные с этим изменением,
написав
/|!|1^	,47.9)
где 0q относятся к однородно намагниченному телу2). Подчерк-
Подчеркнем, что здесь имеется в виду истинный термодинамический по-
потенциал; при этом коэффициент а (функция температуры) не
совпадает с коэффициентом а в эффективном гамильтониане.
г) Мы рассматриваем везде лишь обычные, трехмерные тела.
2) Строго говоря, здесь надо было бы говорить не о Ф, а о термодинами-
термодинамическом потенциале Q (ср. V, § 146). Поскольку, однако, в силу теоремы о
малых добавках интересующий нас член с производными имеет одинаковый
вид в обоих потенциалах, мы будем писать потенциал Ф.

246	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
При малом повороте вектора М (без изменения его величи-
величины) член Фо(Т, М) не меняется. Если некоторое заданное на-
направление М выбрать в качестве оси ?, то малое отклонение от
этого направления можно описывать малым двумерным векто-
вектором 6ЪЛ± = ЪЛ± в плоскости ху. Соответствующее изменение
термодинамического потенциала1):
6ф=а /WMiWMi^	D710)
2 J dXi	dXi	V	'
Представив 6ЪЛ± в виде ряда Фурье
получим
к
и далее для среднего квадрата флуктуации:
ар,	D7.11)
где а, /3 — векторные индексы в плоскости ху. Соответствующая
координатная корреляционная функция2):
Gap(r) = -^6ар.	D7.12)
4тгаг
Таким образом, корреляционная функция флуктуации на-
направления М в ферромагнитной фазе убывает на расстояниях
г ^ гс по медленному степенному закону 1/г — в противопо-
противоположность корреляции флуктуации величины М, убывающей бо-
более быстро.
Воспользовавшись гипотезой масштабной инвариантности,
можно теперь определить температурную зависимость термо-
термодинамической величины се, выразив эту зависимость через уже
2) Последующие вычисления полностью аналогичны произведенным в V,
§ 146.
2) Формула D7.12) может быть получена также в рамках микроскопиче-
микроскопической спин-волновой теории. Она справедлива независимо от близости к точ-
точке Кюри, причем вдали от последней требуется лишь, чтобы г было велико
по сравнению с атомными размерами (см. IX, § 71, задача 4; в последних
двух формулах решения этой задачи допущена опечатка — выражения (fik
должны быть увеличены вдвое). В то же время пренебрежение энергией маг-
магнитной анизотропии ограничивает области применимости формулы D7.12)
сверху. Так, для одноосного кристалла с энергией анизотропии D1.1) долж-
должно быть г

§ 47	ФЛУКТУАЦИИ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ	247
введенные критические индексы. Как уже было отмечено, при
г <С гс корреляционные функции всех флуктуации намагничен-
намагниченности, в том числе его направления, следуют одному и тому лее
закону D7.8). Один из аспектов масштабной инвариантности со-
состоит как раз в том, что характерное расстояние, разделяющее
оба предельных закона, совпадает именно с гс. Другими слова-
словами, при г ~ г с оба закона дол лены давать одинаковый порядок
величины функции G. При г ~ гс ее температурная зависимость,
определенная согласно D7.7), D7.8), есть
Согласно же D7.12) имеем
Сравнив оба выражения, найдем
а со (-4)"^	D7.13)
(Р. С. Hohenberg, Р. С. Martin, 1965). Таким образом, при
величина а медленно (ввиду малости индекса ?) стремится к
бесконечности. Напомним, что в теории Ландау а стремится к
отличной от нуля конечной величине1).
При Н^Ов термодинамический потенциал D7.9) надо доба-
добавить член — J HMZ dV (при наличии поля среднее направление
М, ось ?, совпадает, конечно, с направлением Н). При флуктуа-
флуктуации направления М из условия М2 = const имеем
2M5MZ + 5М\ = 0.
Поэтому к выражению D7.10) для изменения Ф при флуктуации
добавится член
- J HSMZ dV = -—J (SM±J dV.
Очевидно, что это приведет к замене в D7.11) ак2 на ак2 + Н/М,
так что
FМа6М0) =	6а0.	D7.14)
N а Р' V(a№ + H/M) ^	v J
2) Подчеркнем, что возможность определения зависимости a(t) связана
именно с вырожденностью задачи. По такой же причине возможно опре-
определение температурной зависимости сверхтекучей плотности, ps, жидкого
гелия вблизи его А-точки; в этом случае задача вырождена с кратностью
п = 2 (см. IX, § 28). Аналогичную роль в этих случаях играют соответствен-
соответственно аМ2 и ps.

248	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Эти формулы позволяют найти восприимчивость ферромаг-
ферромагнитной фазы, т. е. производную
= —(SMZ) = - — А/(Ш±J).	D7.15)
Подставив сюда ((S'M±J) из D7.14) и перейдя от суммирования
по к к интегрированию, найдем
Т [	1	Vd3k
Х =
J (ак2+1
VM2 J (ак2 + Н/МJ BтгK '
и после вычисления интеграла окончательно1):
Мы видим, что в обменном приближении флуктуации направ-
направления М лишают восприимчивость \ в ферромагнитной фа-
фазе своего буквального смысла — она неограниченно возрастает
при Н —>0. Формула D7.16) применима не только вблизи точки
Кюри2).
Под М в знаменателе D7.16) надо понимать его значение при
Н = 0. Во флуктуационной области (вблизи точки Кюри), взяв
температурные зависимости М и а из D7.4) и D7.13), найдем,
что в ферромагнитной фазе
Хсо(_г)-з(^С)/2я-1/2] t<0	D7.17)
В области же (температурной) применимости теории Лан-
Ландау имеется такая область значений i7, где обычный член в вос-
восприимчивости, C9.7), преобладает. Действительно, подставив в
D7.16) М rsj (—at/БI/2, получим условие этого преобладания в
VH » Тс
С другой стороны, в теории Ландау поле Н молено считать сла-
слабым, если МН < AM2, т. е.
Я « (a\i\fl2B-1'2.
Условие совместности обоих написанных неравенств совпадает с
условием D7.1) применимости теории Ландау.
г) Интеграл определяется областью значений к2 ~ Н/Ма, что при до-
достаточно малых Н совместимо с условием применимости формулы D7.14):
кгс < 1.
) Она может быть получена также и из спин-волновой теории (см. IX, § 71,
задача 2). Пренебрежение магнитной анизотропией и магнитостатической
энергией флуктуации ограничивает, однако, ее применимость условием (для
одноосных кристаллов) Н ^> /ЗМ или Н ^> 4тгМ.

§ 48	АНТИФЕРРОМАГНЕТИК ВБЛИЗИ ТОЧКИ КЮРИ	249
Обменное приближение становится неприменимым в доста-
достаточной близости к точке Кюри, когда (ввиду уменьшения об-
обменной энергии) становится существенной энергия анизотропии.
При этом меняется число компонент параметра порядка; так, в
одноосном ферромагнетике типа легкая ось он становится одно-
компонентным (Mz вместо М; ср. конец § 40). В рамках теории
Ландау это обстоятельство не отражается на законах темпера-
температурной зависимости спонтанной намагниченности и магнитной
восприимчивости. Во флуктуационной же области оно суще-
существенно: неограниченно возрастают флуктуации лишь компонен-
компоненты Mz, флуктуации лее Мх и Му остаются конечными. Это при-
приводит к изменению значений критических индексов, а также к
возникновению температурной зависимости коэффициентов ани-
анизотропии. Задача осложняется еще и тем, что может оказаться
необходимым учитывать также и магнитостатическую энергию
флуктуации магнитного поля; на рассмотрении этой сложной си-
ситуации мы здесь останавливаться не будем.
§ 48. Антиферромагнетик вблизи точки Кюри
Как и ферромагнетизм, антиферромагнитная структура уста-
устанавливается в основном изотропным обменным взаимодействи-
взаимодействием электронов, а более слабые релятивистские взаимодействия
устанавливают кристаллографическую ориентацию намагничен-
ностей подрешеток 2). Уже известные к настоящему времени ан-
антиферромагнетики чрезвычайно разнообразны по своей струк-
структуре, а потому и по своим конкретным магнитным свойствам.
Мы ограничимся, для иллюстрации, характерным простей-
простейшим (и в то лее время важным) случаем одноосного антифер-
антиферромагнетика с двумя антипараллельными магнитными подре-
шетками. Атомы этих подрешеток занимают эквивалентные уз-
узлы кристаллической решетки (т. е. среди элементов симметрии
магнитной пространственной группы существуют повороты или
отражения, переставляющие друг с другом атомы различных
подрешеток); в противном случае симметрия не требовала бы
строгого равенства абсолютных величин магнитных моментов
подрешеток и кристалл был бы ферромагнитным.
г) Идея о том, что обменное взаимодействие может привести к состоя-
состоянию с подрешетками с антипараллельными магнитными моментами, была
впервые высказана Неелем (L. Neel, 1932). Независимо от него, такая же
идея была высказана Л. Д. Ландау A933), причем им было сформулировано
представление об анти ферромагнитном состоянии как о термодинамической
фазе, отличной от парамагнитной фазы, и о необходимости существования
точки фазового перехода между ними. Мы будем говорить о такой точке
как об антиферромагнитной точке Кюри.

250	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Обозначим через Mi и М2 отнесенные к единице объема маг-
магнитные моменты двух подрешеток. В качестве параметра поряд-
порядка, равного нулю в парамагнитной фазе и отличного от нуля в
антиферромагнитной фазе, выберем разность
L = Mi - М2,	D8.1)
так называемый антиферромагнитный вектор. Намагничен-
Намагниченность лее, равная нулю в отсутствие магнитного поля, есть сумма
М = Mi +М2.
По отношению к вектору L все преобразования симметрии
делятся на две категории: одни переставляют только атомы вну-
внутри «своей» подрешетки, а другие переставляют атомы различ-
различных подрешеток. В первом случае L преобразуется просто как
аксиальный вектор, а во втором случае — еще дополнительно
меняет знак.
Вблизи точки Кюри вектор L мал. В рамках теории Ландау в
этой области термодинамический потенциал Ф разложим по сте-
степеням L и М (такое разложение впервые рассматривалось Лан-
Ландау, 1933). Поскольку, однако, намагничение появляется толь-
только при наличии поля Н, более правильно проводить разложение
сразу по L и Н. Для одноосного кристалла оно имеет вид
Ф = Фо + AL2 + BL4 + ?>(HLJ + D'H2L2 -
\2 \l l 12 + Щ) - f?. D8.2)
Первые пять (после Фо) членов не зависят от кристаллографи-
кристаллографической ориентации векторов Н и L; эти члены имеют обменное
происхождение. Следующие два члена связаны с релятивистски-
релятивистскими взаимодействиями; ось z выбрана, как обычно, вдоль главной
оси симметрии кристалла. Линейный по Н член вида HL запре-
запрещен требованием инвариантности относительно преобразований,
меняющих знак L.
Если C > 0, то антиферромагнитный вектор L направлен
вдоль оси z (антиферромагнетик типа легкая ось). Если же /3 < 0,
то L лежит в базисной плоскости (антиферромагнетик типа лег-
легкая плоскость). В первом случае появление антиферромагнетиз-
антиферромагнетизма определяется обращением в нуль функции А(Т) — коэффи-
коэффициента при L2, а во втором случае — обращением в нуль суммы
А + /3/2 — коэффициента при I?x + L2.
Ниже мы будем рассматривать антиферромагнетик типа лег-
легкая ось (/3 > 0). Вблизи точки Кюри обычным образом полагаем
А = а(Т — Гс), а коэффициент В считаем равным его значению
при Г = Гс; при этом В > 0 — как условие устойчивости состоя-
состояния с L = 0 при Г = Тс. В парамагнитной фазе А > 0 и L = 0.

§ 48	АНТИФЕРРОМАГНЕТИК ВБЛИЗИ ТОЧКИ КЮРИ	251
В антиферромагнитной фазе А < 0 и минимизация потенциала
Ф при Н = 0 дает обычную для теории Ландау зависимость L
от температуры:
L = y^L(Tc-T).	D8.3)
Дифференцируя потенциал D8.2) с учетом формулы
дН	4тг	4тг
находим при L = О, т. е. в парамагнитной фазе ^):
Мх = (хР + l)Hx, Му = (хР + i)Hy, Mz = XpHz. D8.4)
Наличие постоянной 7 ведет к анизотропии магнитной воспри-
восприимчивости в этой фазе. Ввиду своего релятивистского происхо-
происхождения, |7| ^С Хр- Ниже этой постоянной пренебрегаем, так что
ХР будет изотропной восприимчивостью при Г > Гс2).
В антиферромагнитной же фазе при Н —»> 0 (т. е. пренебрегая
зависимостью равновесного значения L от поля) имеем
М = хРН - 2?>L(LH) - 2D'L2H.	D8.5)
Если поле направлено перпендикулярно L, то
М = х±Н, x± = Xp-2D'L2 = Xp-^(Tc-T). D8.6)
В продольном же поле:
М = Х||Н, Х|| =Х±~ 2DL2 = Xp-{D +BD> (Тс ~ Т). D8.7)
Обратим внимание на анизотропию восприимчивости, остающу-
остающуюся даже при пренебрежении релятивистскими взаимодействи-
взаимодействиями, т. е. имеющую обменное происхождение.
Подчеркнем также, что восприимчивость остается в самой
точке Кюри конечной и непрерывной, а ее первые производные
испытывают скачок. В этом существенное отличие от ферро-
ферромагнетика, где восприимчивость обращается в точке перехода
2) Член —Н2/8тг в выражении D8.2) выделен для того, чтобы дифферен-
дифференцирование остальных членов по Н прямо давало бы М.
) Фактически во всех известных случаях в антиферромагнитной точке
Кюри вещество становится парамагнитным, т. е. \р > 0. Знак \р не может,
однако, быть обоснован одними только термодинамическими соображения-
соображениями.

252	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
в бесконечность. Это различие между ферро- и антиферромаг-
антиферромагнитными точками Кюри тесно связано с различием в характере
их изменения под влиянием магнитного поля. В ферромагнети-
ферромагнетике уже сколь угодно слабое поле размывает переход, посколь-
поскольку, намагничивая парамагнитную фазу, оно устраняет различие
в симметрии обеих фаз. Антиферромагнитное лее упорядочение
не может быть создано магнитным полем; разница в симметрии
между обеими фазами сохраняется и в присутствии поля, и пе-
переход остается резким.
С точностью, допустимой разложением D8.2), коэффициенты
D и D1 в D8.6), D8.7) следует считать равными их значениям в
точке Т = ТС. Поэтому скачки производных восприимчивости ^):
dxE_d2u=_aD[ дХр 0ХЦ _ ajP + D1)
дт дт в ' дт дт	в
Вернемся к выражению D8.2) для Ф. От направления векто-
вектора L зависят члены с коэффициентами D и /3. Будем считать, что
D > 0 (т. е. х± > Х\\) и по-прежнему /3 > 0 — антиферромагнетик
типа легкая ось. Если магнитное поле перпендикулярно к оси z,
то из вида этих членов ясно, что минимуму Ф отвечают значения
Lx = Ly = 0, т. е. вектор L направлен всегда по оси z. Если же
поле направлено по оси z, то видно, что когда магнитная энергия
в поле (первый из указанных членов) сравнивается по величине
с энергией анизотропии, должно произойти изменение направ-
направления L — он должен повернуться в базисную плоскость. Этот
поворот (опрокидывание подрешеток) 2) происходит скачком при
определенном значении поля Н = Hf (L. Neel, 1936).
Действительно, указанные члены в D8.2) молено записать в
виде
H2ZDL2 + L2 (-DH2 + ?\ sin2 в,
где в — угол между L и осью z. Очевидно, что минимуму Ф
отвечает значение 9 = 0, если Hz < i7j, где
H2f = ^ = -Л?—.	D8.9)
' 2D х±-Х\\
Если лее поле Hz > Hf, то равновесию отвечает значение в =
= тг/2 — вектор L перпендикулярен к оси z. Такая лее ситуация
2) Чисто термодинамические соображения не позволяют сделать общие
заключения о знаках D и D'. Фактически скачок производной д\\\/дТ всегда
отрицателен; это значит, что D + Df> 0. Обычно отрицателен также и скачок
дх±/дТ, причем вблизи точки Кюри х± > Х||5 зто значит, что D > 0, D' > 0.
2) По английской терминологии — spin flop.

§ 48	АНТИФЕРРОМАГНЕТИК ВБЛИЗИ ТОЧКИ КЮРИ	253
сохраняется и вдали от точки Кюри. Поле опрокидывания Hf
зависит от температуры, и проведенные рассуждения показыва-
показывают, что линия Н = Hf(T) на плоскости ТН является линией
фазовых переходов первого рода 2).
В достаточно сильных магнитных полях антиферромагнит-
антиферромагнитная структура заведомо не может быть термодинамически устой-
устойчивой; энергетически выгодной становится параллельная ориен-
ориентация магнитных моментов обеих подрешеток вдоль поля. Раз-
Разрушение антиферромагнитной структуры связано с изменени-
изменением симметрии и происходит путем фазового перехода второго
рода. Таким образом, на плоскости ТН область существования
антиферромагнитной фазы ограничена некоторой кривой Н =
= НС(Т). Разрушение антиферромагнетизма должно наступить,
когда магнитная энергия в поле сравнивается с обменной энерги-
энергией. Вдали от точки Кюри порядок величины критического поля
дается оценкой \iHc ~ Тс (ц — атомный магнитный момент). С
приближением к точке Кюри Нс убывает, обращаясь в нуль в са-
самой этой точке. Зависимость НС(Т) в этой области легко найти
с помощью того же выражения D8.2) для термодинамического
потенциала.
Выше было показано, что если поле Н перпендикулярно к
оси z, то вектор L всегда параллелен той же оси. Зависящие от L
члены термодинамического потенциала:
AL2 + BL4 + D'H2L2.	D8.10)
Отсюда видно, что наличие магнитного поля приводит к замене
коэффициента А суммой А + D'H2, равенство нулю которой и
определяет новую точку перехода. Из этого условия находим
критическое поле
Hc = -i = ^Tc-T)-	D8Л1)
Если поле Н параллельно оси z, то при Н < Hf вектор L
по-прежнему направлен вдоль оси z, но зависящие от L члены в
D8.2) отличаются от D8.10) заменой D' на D + D'. Таким обра-
образом, в этом случае
Н2 = а ;(ГС - Г).	D8.12)
2) Как уже неоднократно подчеркивалось, вдали от точки перехода ани-
анизотропные члены выражений типа D8.2) сохраняют смысл независимо от
малости L — как члены разложения релятивистских взаимодействий по сте-
степеням компонент единичного вектора 1 = L/L. Поэтому формула D8.9) име-
имеет смысл и вдали от точки перехода, если понимать в ней /3L2 именно как
коэффициент в члене с A^ +1у)/2 в термодинамическом потенциале.

254
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Наконец, если Н > Hf, вектор L перпендикулярен к оси z\ ана-
аналогичным образом получим в этом случае для критического поля
выражение
1)
яс2 = ^ (тс - т - А V
с D' V С	2а/
D8.13)
На рис. 26 изображена фазовая диаграмма в координатах Т,
Н2 антиферромагнетика вблизи точки Кюри для обоих рассмот-
рассмотренных направлений поля. Штриховые линии — переходы вто-
второго рода, сплошная линия — переходы первого рода; П — па-
парамагнитная фаза, АФ\\ и АФ± — антиферромагнитные фазы
с вектором L, соответственно параллельным или перпендику-
перпендикулярным оси z. В рамках теории Ландау (в которых произведено
все рассмотрение) все линии на диаграммах — прямые. В случае
я2
АФ„
Н2
a H±z
Тс Т
Тг Т
б Н\\г
Рис. 26
продольного поля на диаграмме имеется бикритическая точка (Ь
на рис. 26 5), в которой линия фазовых переходов первого рода
оканчивается на линии переходов второго рода. Эта точка ана-
аналогична бикритической точке на плоскости РТ (показанной на
рис. 67 в V, § 150). Координаты этой точки:
2а
D + D'
(/3, D, D1 — значения коэффициентов при Г =
D8.14)
§ 49. Бикритическая точка антиферромагнетика
Использованная в предыдущем параграфе теория Ландау
становится, как обычно, неприменимой в достаточной близости
к линиям точек перехода второго рода, во флуктуационной об-
области. Рассмотрим эту область вблизи бикритической точки на
2) Вывод формул D8.11)—D8.13) в рамках теории Ландау дан А.С. Боро-
Боровиком-Романовым A959).

§ 49	БИКРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА	255
фазовой диаграмме одноосного антиферромагнетика (типа лег-
легкая ось) в продольном магнитном поле.
Эффективный гамильтониан этой задачи имеет вид
[Т-ТЬ-
BL4 + DL\HJ - Щ) sin2 e+"^^\dV. D9.1)
Подынтегральное выражение составлено из зависящих от L чле-
членов разложения D8.2), в которых положено А = (Т — Тс)а, введе-
введены обозначения Тъ и Hf из D8.9) и D8.14) и добавлен градиент-
градиентный член. Этот гамильтониан по форме совпадает с эффектив-
эффективным гамильтонианом одноосного ферромагнетика (не находяще-
находящегося в магнитном поле!), отличаясь от него лишь обозначениями:
L вместо М, выражение в квадратных скобках вместо Г — Тс и
величина
u = 2D(H2f-H2z)	D9.2)
вместо константы анизотропии /3 ферромагнетика. При Hz = Hf
эта константа обращается в нуль и D9.1) сводится к интегралу
aL2(T - ТЪ) + BL4 + f gg} dV,	D9.3)
формально совпадающему с эффективным гамильтонианом фер-
ферромагнетика в обменном приближении D7.2). Эти аналогии поз-
позволяют выяснить ряд свойств антиферромагнетика вблизи би-
критической точки путем использования известных результатов
для ферромагнетика (М.Е. Fisher, D.R. Nelson, 1974).
Равенство Hz = Hf отвечает линии фазовых переходов
первого рода (опрокидывание подрешеток). Указанная анало-
аналогия позволяет заключить, что термодинамические свойства ан-
антиферромагнетика на этой линии вблизи бикритической точки
совпадают (с соответствующим изменением смысла величин) со
свойствами чисто обменного ферромагнетика вблизи его точки
Кюри. В частности, при приближении к бикритической точке
вдоль этой линии величина антиферромагнитного вектора стре-
стремится к нулю по закону
Loo(Tb-Tf,	D9.4)
где /3 совпадает с показателем /3 в D7.4I).
) Индекс лее j в данном случае не имеет прямого физического смысла,
поскольку он связан с не существующим реально для антиферромагнетика
полем h, которое входило бы в эффективный гамильтониан в виде члена
—hL.

256	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
В окрестности бикритической точки, но не на линии перехо-
переходов первого рода, параметр и мал, но отличен от нуля. Сколь
бы этот параметр ни был мал, его роль возрастает при прибли-
приближении к линии переходов второго рода (ср. замечание в конце
§ 47): параметр порядка становится однокомпонентным (Lz в фа-
фазе ЛФц) или двухкомпонентным (Lz, Ly в фазе АФ±). Чем мень-
меньше значение и, тем меньше размеры окрестности, в которой его
роль существенна. Переход от поведения с п = 3 к поведению с
п = 1 или п = 2 совершается через некоторую промежуточную
область. Представляется правдоподобным предположение о мас-
масштабной инвариантности в этой области: по мере приближения
к бикритической точке меняется только масштаб измерения и. В
связи с этим появляется новый критический промежуточный 1)
показатель (р: при изменении масштаба переменной t = Т — Т\
масштаб переменной и меняется как |?|^. Показатель (р должен
быть положительным, так как уже сколь угодно малое значение и
меняет характер перехода.
Приняв эту гипотезу, надо считать, что линии фазовых пере-
переходов вблизи бикритической точки определяются постоянными
значениями отношения х = u/\i\^. Ли-
Линии переходов первого рода отвечает
значение х = 0, линии переходов второ-
второго рода между фазами 77 и А Фц — неко-
некоторое значение х\ > 0, линии переходов
между фазами 77 и АФ± — некоторое
значение Х2 < 0. Под Hf в определении
D9.2) надо, конечно, понимать теперь
истинную функцию 77j(T), которую
Тъ	т дало бы точное решение статистиче-
статистической задачи с эффективным гамильто-
Рис. 27	нианом D9.1). Разложив ее по степеням
i и опустив в и постоянный множитель 277^,, определим перемен-
переменную и в окрестности бикритической точки как
u = Hb-Hz + c(T-Tb),	D9.5)
где с — постоянная. Уравнение линии переходов первого рода:
Hz-Hb = c(T-Tb),
а двух линий переходов второго рода:
Hz-Hb = с(Т - Ть) ± с1J(Г - Тьу,	D9.6)
где с\, С2 — положительные постоянные. При <р > 1 (численные
оценки дают значение <р ~ 1,25) эти линии выглядят во флук-
туационной области, как показано на рис. 27; в точке Ъ все они
имеют общую касательную.
нъ
Crossover — по английской терминологии.

§ 50	СЛАБЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИЗМ	257
Гипотеза о масштабной инвариантности в окрестности бикри-
тической точки позволяет также сделать ряд заключений о зако-
законах изменения величины антиферромагнитного вектора L при
приближении к этой точке вдоль различных направлений в плос-
плоскости THZ\ на этом мы останавливаться не будем 1).
§ 50. Слабый ферромагнетизм
Существуют кристаллы, в которых обменное взаимодействие
устанавливает антиферромагнитную структуру, но сравнительно
слабые релятивистские взаимодействия приводят к небольшому
искажению этой структуры, в результате чего появляется намаг-
намагничение М — «аномально» малое в меру малости релятивист-
релятивистских взаимодействий по сравнению с обменными. Это явление
называют слабым ферромагнетизмом2).
Обменное взаимодействие само по себе допускает произволь-
произвольную ориентацию антиферромагнитного вектора L в кристалле.
Определенная его кристаллографическая ориентация устанавли-
устанавливается лишь релятивистскими взаимодействиями, описываемы-
описываемыми анизотропными по L членами разложения термодинамиче-
термодинамического потенциала. Может оказаться, что симметрия возникаю-
возникающей таким образом структуры сама по себе допускала бы и
существование ферромагнитного момента М3). Именно в таких
случаях и возникает слабый ферромагнетизм: среди релятивист-
релятивистских членов разложения термодинамического потенциала при-
присутствуют такие, которые приведут к требуемому искажению ан-
антиферромагнитной структуры4). Покажем это на характерном
примере.
Рассмотрим ромбоэдрические кристаллы, относящиеся к про-
пространственной группе D^d- Напомним (см. III, § 93), что кристал-
кристаллический класс Dsd содержит следующие элементы симметрии:
ось симметрии 3-го порядка Сз (тригональная ось), три перпен-
перпендикулярных ей оси 2-го порядка (которые обозначаем символами
С/2), центр инверсии /; как следствие появляются три плоскости
симметрии сг^, каждая из которых проходит через ось Сз и пер-
перпендикулярна одной из осей XJ<i (тем самым делит пополам угол
г) См. Fisher M.E., Nelson D.R. // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 32. P. 1350.
2)	Если придерживаться указанной в конце § 37 терминологии, то пра-
правильнее было бы говорить о слабом ферримагнетизме.
3)	Напомним, что для этого во всяком случае необходимо, чтобы магнит-
магнитная элементарная ячейка совпадала с кристаллографической — см. конец
§38.
4)	Теория слабого ферромагнетизма принадлежит И.Е. Дзялошинскому
A957).
9 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

258
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
между двумя другими осями С/2). В пространственной группе
D®d плоскости О& становятся плоскостями скольжения с пере-
переносом на 1/2 периода вдоль тригональной оси. Это приводит
к расположению осей и центра инверсии в каждой элементар-
элементарной ячейке, как показано на рис. 28. Изображенный вертикаль-
вертикальный отрезок — один период вдоль тригональной оси (простран-
(пространственная диагональ ромбоэдрической ячейки); его длина принята
условно за 1. Оси второго порядка проходят через точки 1/4
и 3/4. Центр лее инверсии находится в точках 0 и 1/2 (крестики на
рисунке). Вертикальные плоскости а^ на рисунке не показаны.
В антиферромагнетиках
FeCO3 и МпСОз каждая
элементарная ячейка содер-
содержит по два магнитных иона
(Fe++ или Мп++), занимаю-
занимающих положения в эквива-
эквивалентных точках 0 и 1/2
3/4 ' U2	|	i	на тригональной оси. Обмен-
Обменах	!	!	ное взаимодействие устанав-
1>
и2
^У
— х
Рис. 28
^	ливает магнитную структу-
структуру /•	У	!	РУ? в которой моменты этих
'	'	'	двух ионов антипараллель-
ны. При этом в FeCOs MO~
о >	менты ионов Fe++ распо-
лолсены вдоль тригональной
Рис. 29 Рис. 30	оси (рис- 29)- Легко видеть,
что такая структура инвари-
инвариантна относительно всех преобразований класса D^d и потому
не допускает ферромагнетизма (существование вектора М вдоль
тригональной оси исключается наличием осей С/2, а вектора М
в базисной плоскости — наличием оси Сз).
В антиферромагнетике же МпСОз магнитные моменты ионов
лежат в базисной плоскости (плоскость ху), перпендикулярной
тригональной оси (оси z\ как показано на рис. 30. Если при этом
моменты лежат в одной из плоскостей а^ (которую выберем тог-
тогда за плоскость xz), то магнитная структура имеет элементы
симметрии (помимо единичного)
тт
U
ы
(xz)
т. е. относится к магнитному классу, совпадающему с обычным
классом C2h\ он допускает существование вектора М в направ-
направлении оси у. Если же моменты расположены по одной из осей
С/2 (которую выберем тогда за ось ж), то магнитная структура

§ 50	СЛАБЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИЗМ	259
имеет элементы симметрии
т. е. относится к магнитному классу C2h{Ci)\ OH тоже допускает
существование вектора М в направлении оси у. В обоих случа-
случаях возникновение М происходит путем поворота моментов двух
ионов в каждой элементарной ячейке навстречу друг другу в
плоскости ху, как показано на рис. 31.
Переходя к количественной теории, введем снова векторы
М = Mi + М2 и L = Mi — М2, где индексы 1 и 2 относятся
к двум магнитным подрешеткам. Единичный вектор в направ-
направлении L обозначим через 1.
Рассмотрим разложение термодинамического потенциала Ф
(при Н = 0) по степеням М и 1. Разложение по М допустимо
уже в силу самой малости этой величины
в слабом ферромагнетике. Разложение же	|
энергии анизотропии по степеням 1 осно-	im
вано, как всегда, на относительной мало- 	^^L^fZ.—>—
сти релятивистских взаимодействий. Та-	х
ким образом, здесь отнюдь не предпола-
гается близость к точке фазового перехода
второго рода (малость L), и поэтому излагаемая теория не под-
подвержена ограничениям, свойственным теории Ландау.
Члены разложения должны быть инвариантны по отноше-
отношению ко всем преобразованиям группы D\^. Первые члены такого
разложения:
Ф = Ф0(Ь) + ВМ2 + D(IMJ - Ы1 - ^Ч2 + СЦМх1у - МУ1Х),
E0.1)
где Ф$(Ь) — изотропная по L функция. Первые два (после Фо)
члена имеют обменное происхождение; при этом В > 0 (в про-
противном случае существовало бы не связанное с антиферромаг-
антиферромагнетизмом спонтанное намагничение, т. е. тело было бы обычным
обменным ферромагнетиком). Следующие три члена разложе-
разложения — первого порядка (~ v2/с2) по релятивистским взаимо-
взаимодействиям 1). Последний из них может быть представлен в виде
L(?[M1]), где ( — вектор, направленный по оси z2).
2) Множители L2 и L в определениях последних двух членов введены
лишь с целью сделать все коэффициенты в E0.1) безразмерными и не озна-
означают разложения по степеням величины L.
2) Микроскопическое происхождение члена такого вида связано с анти-
антисимметричным по спинам взаимодействием, возникающим как эффект вто-
второго порядка теории возмущений — смешанных членов, билинейных по об-
обменному и по релятивистскому спин-орбитальному взаимодействиям. См. Т.
Моггуа в книге Magnetism. Vol. I/Ed. G.T. Rado and H. Suhl. — N.Y.: Acad.
Press, 1963.

260	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Инвариантность всех членов в E0.1), кроме последнего, —
очевидна. Для проверки инвариантности последнего члена до-
достаточно сделать это по отношению к оси Сз, одной из осей XJi
и инверсии /. Инвариантность относительно поворотов вокруг
тригональной оси (ось z) очевидна из записи в виде ^-компо-
^-компоненты вектора [Ml] (при этом существенно, что повороты не
переставляют друг с другом атомы из разных подрешеток, и
потому М и 1 преобразуются одинаково). Инвариантность отно-
относительно инверсии следует из инвариантности каждого из векто-
векторов М и 1: для М это следует уже из самой аксиальности вектора,
а для 1 надо учесть также, что в рассматриваемой структуре ин-
инверсия переставляет друг с другом атомы лишь внутри каждой
из подрешеток. Преобразование лее Е/^ переставляет атомы с
противоположно направленными моментами; поэтому при таком
повороте Мх.Му -л Мх, —Му и 1х,1у —>• —1х,1у, откуда очевидна
инвариантность разности Мх1у — Му1х.
Будем считать, что постоянная 7 < 0; тогда вектор 1 уста-
устанавливается в базисной плоскости (lz = 0). Выбрав в качестве
плоскости xz ту, в которой лежит 1, и минимизируя Ф по М при
заданном L, найдем для ферромагнитного момента:
y = ?-Lx, Mz = 0.	E0.2)
LSD
Поскольку \С\ <С 5, то М действительно мало. Мы видим, что
возникновение слабого ферромагнетизма связано с последним
членом в E0.1) — билинейным по М и 1. Характерна для слабого
ферромагнетизма тесная связь направления М с антиферромаг-
антиферромагнитной структурой; в данном случае М лежит в той же базисной
плоскости и перпендикулярен вектору L1).
При наличии поля зависимость намагниченности от Н по-
получается из условий минимальности термодинамического потен-
~	Н2
циала Ф = Ф—МН — —. Минимизация должна производиться по
8тг
ориентации структуры в базисной плоскости и по компонентам
вектора М. Очевидно, что в пренебрежении магнитной анизо-
анизотропией в базисной плоскости намагниченность повернется так,
чтобы ее компонента в этой плоскости М^ стала вдоль поля H_l,
г) В приближении, отвечающем термодинамическому потенциалу E0.1),
магнитная анизотропия в базисной плоскости отсутствует и направление L
в ней остается произвольным. Анизотропия (а с ней и определенная ори-
ориентация L) в базисной плоскости появляется лишь при учете членов более
высокого (вплоть до 6-го) порядка. При этом возникают также и члены,
смешанные по z- и х, у-компонентам векторов, в результате чего магнитные
моменты отклоняются на малый угол от базисной плоскости.

§ 50	СЛАБЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИЗМ	261
а вектор L — соответственно перпендикулярно Н^ -1). После это-
этого минимизация Ф по Mi и Mz приведет к результату
MZ = X\\HZ, М± = Х±(НД + Н±),	E0.3)
где восприимчивости
хм = ^> x^ = h	E0-4)
и введено обозначение
Яд = №	E0.5)
для «эффективного поля», определяющего спонтанную намагни-
намагниченность слабого ферромагнетика (его называют полем Дзяло-
шинского). Поскольку \C\ <С 5, то х\\ ~ Х_ь
Упомянем еще об одном свойстве рассматриваемых веществ,
возникающем при наложении поля Н и проявляющемся вблизи
точки перехода в парамагнитную фазу. В рамках теории Ландау
разлагаем функцию Фо(Ь) в этой области в ряд по степеням L:
Фо(?) = Фо(О) +.4L2+ CL4.
Пусть вектор L направлен в положительном направлении оси
х. Примем, для определенности, что ? > О2); тогда вектор М
направлен в положительном направлении оси у; поле Н полагаем
направленным туда лее. Термодинамический потенциал:
ф = фо(о) + AL2 + CL4 + ВМ2 - (LM - ЯМ - —; E0.6)
8тг
вблизи точки Кюри разложение энергии анизотропии по степе-
степеням единичного вектора 1 становится разложением по самому
вектору L. В отсутствие поля М = ?L/2B и разложение E0.6)
принимает вид
Ф = Фо + (А - ?) L2 + CL4.
2) Предполагается, что D > 0; при D < 0 наличие члена — |D|AMJ с боль-
большим коэффициентом \D\ может нарушить взаимную перпендикулярность 1
И H_L-
Пренебрежение анизотропией в базисной плоскости означает определен-
определенные ограничения снизу на величину рассматриваемых полей.
2) Отметим, что знак коэффициента ? условен в том смысле, что зависит
от определения вектора L = Mi — M2: какие именно магнитные атомы в
кристалле приняты за подрешетки 1 и 2. Но после того, как такой выбор
в заданном кристалле сделан, знак ? приобретает определенный смысл: от
него зависит направление М по отношению к направлению L и кристалло-
кристаллографическим осям.

262	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Точка Кюри определяется обращением в нуль коэффициента при
L2, так что вблизи нее
(а > 0): остальные коэффициенты полагаем равными их значе-
значениям при Т = Тс (при этом С > 0).
При наличии поля уравнения дФ/dL = 0, дФ/дМ = 0 после
исключения из них М дают следующее уравнение, определяю-
определяющее L:
2CL3 + а(Т - ТС)Ь - ifi = 0.	E0.7)
4В
Уже отсюда видно, что в слабом ферромагнетике (как и в
обычном) магнитное поле размывает фазовый переход1). При
этом оказывается отличным от нуля по обе стороны от точ-
точки Т = ТС и антиферромагнитный вектор; магнитное поле вызы-
вызывает в парамагнитной фазе антиферромагнитное упорядочение,
устраняя тем самым различие в свойствах симметрии обеих фаз
(А.С. Боровик-Романов, В.И. Оэюогин, 1960). При Г > Тс на
некотором расстоянии от этой точки L убывает по закону
L= <H
4аВ(Т-Тс)
§ 51. Пьезомагнетизм и магнитоэлектрический эффект
Тесно связаны с магнитной симметрией пьезомагнетизм и
магнитоэлектрический эффект в антиферромагнетиках.
Первый из них состоит в возникновении намагниченности
при наложении на кристалл упругих напряжений — аналогично
пьезоэлектричеству. Он описывается появлением в термодина-
термодинамическом потенциале кристалла члена, линейного как по полю,
так и по тензору упругих напряжений:
Фпм = -\,ыН&ы,	E1.1)
где X^ki — тензор, симметричный по индексам Ы (ср. A7.7)).
Этот член приводит к появлению в индукции Bi = —4пдФ/дНг
дополнительного члена 4тгЛ^/с/сг/с/. Другими словами, при Н = 0
возникает линейная по деформации намагниченность:
Mi = \i,kl<7kl-	E1.2)
2) Уравнение E0.7) — того же вида, что и уравнение A9.4) для сегнето-
злектрика в электрическом поле или аналогичное уравнение для обычного
ферромагнетика в магнитном поле.

§ 51 ПЬЕЗОМАГНЕТИЗМ И МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 263
Другим проявлением того лее свойства является линейная
магнитострикция — возникновение деформации, линейной по
наложенному на кристалл полю:
др = \ыЩ.	E1.3)
Операция обращения времени меняет знак поля Н (и на-
намагниченности М), оставляя неизменным тензор ак\\ должен,
разумеется, оставаться неизменным и термодинамический по-
потенциал. Поэтому пьезомагнитный тензор \^i меняет знак при
обращении времени. В свою очередь, отсюда следует, что пье-
зомагнетизм возможен лишь в телах с магнитной структурой;
в отсутствие последней свойства тела инвариантны по отноше-
отношению к преобразованию R и потому было бы \^\ = —\^1 = 0.
Пьезомагнетизм возможен в антиферромагнетиках, относящих-
относящихся к определенным классам магнитной симметрии, содержащим
преобразование R лишь в комбинациях с поворотами или отра-
отражениями или не содержащим R вовсе (Б.А. Тавгер, В.М. Зайцев,
1956).
Магнитоэлектрический эффект состоит в линейной связи
между магнитным и электрическим полями в веществе; она при-
приводит, например, к появлению в электрическом поле пропор-
пропорциональной ему намагниченности {Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц,
1956). Этот эффект описывается членом в термодинамическом
потенциале, линейном как по электрическому, так и по магнит-
магнитному полям:
E1.4)
где o>ik — несимметричный тензор. При Н = 0 электрическое
поле создает в веществе намагниченность
E1.5)
а при Е = 0 магнитное поле создает электрическую поляризацию
E1.6)
Как и пьезомагнетизм, магнитоэлектрический эффект допус-
допускается лишь определенными классами магнитной симметрии;
магнитоэлектрический тензор o>ik нечетен по отношению к об-
обращению времени и обращается в нуль в телах без магнитной
структуры. Поскольку Е — полярный, а Н — аксиальный векто-
векторы, то тензор o>ik во всяком случае обращается в нуль, если сим-
симметрия кристалла содержит инверсию /; для существования маг-
магнитоэлектрического эффекта инверсия допустима лишь в комби-
комбинации IR.

264	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
Задачи1)
1. Найти отличные от нуля компоненты пьезомагнитного тензора в ан-
антиферромагнетике FeCCb (структура, изображенная на рис. 29).
Решение. Как уже было упомянуто в § 50, магнитный класс данной
структуры совпадает с кристаллографическим классом Dsd и не содержит
элемента R вовсе. Преобразования этого класса оставляют инвариантным
выражение
Фпм = —^l[\O"xx — СГуу)Нх — 2<7хуНу] — \2\O"xzHy — <JyzHx),
где ось z направлена вдоль оси симметрии 3-го порядка, ось х — по одной из
горизонтальных осей 2-го порядка (такое выражение для класса D3 в пье-
пьезоэлектрическом случае было найдено в задаче 1 к § 17; в пьезомагнитном
случае оно остается справедливым и для класса Dsd = -D3 х С», посколь-
поскольку пространственная инверсия / оставляет неизменным как тензор второго
ранга (Tik, так и аксиальный вектор Н). Отсюда для намагничен-
намагниченности имеем
'х-
Мх = Ai (crxx — СГуу) — \2&yz-i My = — 2\\Gxy + ,
2. To же для кристалла, относящегося к магнитному классу
3/4\	jj ,jj s2\
Решение. Указанный класс содержит элементы (помимо
единичного)
О2э 2O4-ft5 2U2-j 2U2R1 * 5 &hi 2(TVj 2(TVR
(обозначение элементов симметрии везде по III, § 95). Эти преоб-
преобразования оставляют инвариантным выражение
1/4 4-	~
Фпм = — Al ((TxzHy + (TyZHx) — \2<JxyHz
1(ось z — по оси симметрии 4-го порядка, оси ж, у — по двум го-
и ризонтальным осям 2-го порядка). Отсюда для намагниченности
находим
Рис. 32
= Ai сгу;г, My = Aicr^z, Mz =
3. Найти отличные от нуля компоненты магнитоэлектрическо-
магнитоэлектрического тензора для антиферромагнетика СГ2О3. Этот кристалл относится к кри-
кристаллографической пространственной группе D®d (см. § 50) и содержит в
каждой элементарной ячейке 4 атома Сг, занимающих положения в эквива-
эквивалентных точках и, 1/2 — и, 1/2 + и, 1 — и(и < 1/4) на тригональной оси; их
магнитные моменты лежат вдоль этой же оси, как показано на рис. 32.
Решение. Данный антиферромагнетик относится к магнитному
классу Dsd{Ds), содержащему элементы
2С3, ЗС/2, IR, 2SQR, SadR.
Эти преобразования оставляют неизменным выражение
Фмз = —ol\\EzHz — а±(ЕхНх + ЕуНу)
(ось z — вдоль тригональной оси), т. е. отличны от нуля компоненты ахх =
= Oiyy = a_i_, Oizz — сиц.
г) Приведенные ниже примеры указаны И.Е. Дзялошинским A957, 1959).
2) Таковы анти ферромагнетики M11F2, C0F2.

§ 52	ГЕЛИКОИДАЛЬНАЯ МАГНИТНАЯ СТРУКТУРА	265
§ 52. Геликоидальная магнитная структура
Особую категорию составляют магнитные структуры, в кото-
которых периоды «магнитной решетки» несоизмеримы с периодами
основной, кристаллографической решетки. Возможны различ-
различные механизмы возникновения таких структур; мы рассмотрим
здесь один из них (указанный И.Е. Дзялошинским, 1964), до-
допускающий простую формулировку в макроскопических терми-
терминах. Сделаем это на конкретном примере: рассмотрим кристалл,
относящийся к кубическому классу Т, причем обменное взаи-
взаимодействие в нем само по себе устанавливало бы чисто ферро-
ферромагнитное упорядочение магнитных моментов [В.Г. Баръяхтар,
Е.П. Стефановский, 1969; P. Bak, M.H. Jensen, 1980)г).
Для того чтобы структура могла фактически существо-
существовать, она должна быть устойчива по отношению к малым воз-
возмущениям, нарушающим макроскопическую пространственную
однородность кристалла. Везде выше это условие молчаливо
подразумевалось выполненным. Дополнительная «энергия неод-
неоднородности», возникающая при возмущении, давалась выраже-
выражением D3.1), существенная положи тел ьн ость которого и означает
требуемую устойчивость.
Выражение D3.2) было установлено в § 43 как первый неис-
чезающий член разложения энергии неоднородности в кубиче-
кубическом кристалле по степеням производных от намагниченности
М. При этом, однако, мы интересовались энергией лишь об-
обменного происхождения. Там же было отмечено, что симметрия
кристалла может допускать существование членов не обменной
(релятивистской) природы, содержащих произведения производ-
производных dMi/dxk на компоненты М\\ для этого симметрия во вся-
всяком случае не дол лена содержать центра инверсии. Именно таков
кристаллический класс Т; он допускает существование инвари-
инвариантного по отношению к его операциям симметрии члена ви-
вида MrotM. Таким образом, энергия неоднородности принимает
вид
[/неодн = 7MrotM + ^[(VMXJ + (VMyf + (VMZJ}. E2.1)
Условие а > 0 не обеспечивает теперь устойчивости однород-
однородного состояния.
Учтем, однако, что член первого порядка по производным
в E2.1) содержит по сравнению со вторым дополнительную
малость (~ v2/с2) в связи со своим релятивистским происхо-
г) Таковы кристаллы MnSi и FeGe с магнитными ионами Мп и Fe, от-
относящиеся к пространственной группе Т^ с простой кубической решеткой
Бравз.

266	ФЕРРОМАГНЕТИЗМ И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ	ГЛ. V
ждением *); это значит, что коэффициент 7 <С а/а (гДе а — по-
постоянная решетки). Это обстоятельство позволяет найти новое
устойчивое состояние, оставаясь в пределах применимости раз-
разложения E2.1) — простая ферромагнитная структура искажает-
искажается неоднородным образом, но лишь на расстояниях, больших по
сравнению с а, так что производные остаются малыми.
Величина М устанавливается основными обменными взаи-
взаимодействиями (не связанными с неоднородностью). «Крупно-
«Крупномасштабная» же структура определяется минимизацией энергии
E2.1). При заданном М эта структура состоит в медленном из-
изменении направления вектора М 2).
Будем искать М(г) в виде периодической функции
М(г) = ^(me!kr + m*e-ikr),	E2.2)
v2
причем для постоянства квадрата М2 = М2 квадрат комплекс-
комплексного единичного (mm* = 1) вектора m должен быть равен
нулю: т2 = 0. Такой вектор молено представить в виде m =
= (mi + irri2) /\/2, где mi, rri2 — два взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных вещественных единичных вектора. Тогда
М(г) = M(mi coskr - m^sinkr).	E2.3)
Подставив E2.2) в E2.1), получим
[/неодн = iM27k[mm*] + -аМ2к2 = M27k[mim2] + -aM2k2.
Как функция к, это выражение минимально, если векторы к и
г) Первый член в E2.1) не инвариантен по отношению к одновременному
одинаковому повороту векторов М во всех точках пространства — в нем не
удовлетворено требование, сформулированное в примеч. на с. 224.
Релятивистские члены могут быть также и в числе квадратичных; так,
кубическая симметрия допускает член вида
ol_ \(ШЛ2 (дМЛ2 (дМЛ2~\
2 [V дх ) \ ду ) \ dz ) \ '
) Во избежание непринципиальных усложнений, предполагаем, что ?/Неодн
мала по сравнению с энергией С7обм (так что величина М определяется лишь
последней), но в то же время велика по сравнению с релятивистской энерги-
энергией анизотропии UaH (так что последней можно пренебречь при определении
хода изменения направления М). Эти условия могут выполняться в окрест-
окрестности точки Кюри — не слишком близко к ней (для выполнения первого
неравенства), но и не слишком далеко от нее (для соблюдения второго нера-
неравенства). Мы не станем выписывать явных критериев, определяющих эту
окрестность.

§ 52	ГЕЛИКОИДАЛЬНАЯ МАГНИТНАЯ СТРУКТУРА	267
[гщгп^] коллинеарны (параллельны при 7 < 0 или антипарал-
лельны при 7 > 0), а по величине
к = 1 < -.	E2.4)
а а
Таким образом, наличие малого линейного по производным
члена в 11неодн приводит к возникновению геликоидальной маг-
магнитной сверхструктуры, налагающейся на основную ферромаг-
ферромагнитную структуру: магнитные моменты атомов лежат в плоско-
плоскостях, перпендикулярных к направлению к, причем направления
моментов в последовательных атомных слоях медленно повора-
поворачиваются относительно друг друга; концы векторов (атомных
моментов), расположенных вдоль прямой, параллельной направ-
направлению к, описывают винтовую линию. Шаг этой линии, равный
2тг//с, есть период сверхструктуры; он велик по сравнению с кри-
кристаллографическими периодами и, вообще говоря, несоизмерим с
ними -1). Фазы с такого рода сверхструктурами называют вообще
несоизмеримыми2). О них упоминалось в V, § 133.
В рамках рассмотренного приближения направление к отно-
относительно кристаллографических осей остается неопределенным.
Оно определяется минимизацией суммы энергии анизотропии
D0.7) и релятивистской части энергии неоднородности. Мы не
будем останавливаться на этом.
г) Рассмотренная ситуация вполне аналогична той, которая имеет место
в холестерических жидких кристаллах (см. V, § 140). В последних наличие
члена вида n rot n в энергии (п — единичный вектор «директора» кристалла)
также приводит к возникновению геликоидальной структуры.
2) По английской терминологии — incommensurate.

ГЛАВА VI
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§ 53. Магнитные свойства сверхпроводников
Многие металлы при температурах, близких к абсолютному
нулю, переходят в особое состояние, наиболее наглядным свой-
свойством которого (открытым Камерлинг-Оннесом] Н. Kamerlingh
Onnes, 1911) является сверхпроводимость — полное отсутствие
электрического сопротивления постоянному току. Возникнове-
Возникновение сверхпроводимости происходит при определенной для каж-
каждого металла температуре — в точке сверхпроводящего перехода,
являющегося фазовым переходом второго рода.
С точки зрения феноменологической теории, однако, более
фундаментальную роль играет изменение магнитных, а не элек-
электрических свойств при переходе в сверхпроводящее состояние;
мы увидим ниже, что электрические свойства сверхпроводника
являются неизбежным следствием его магнитных свойств.
Магнитные свойства сверхпроводящего металла можно опи-
описать следующим образом. Магнитное поле никогда не проника-
проникает в толщу сверхпроводника; поскольку средняя напряженность
магнитного поля в среде есть, по определению, магнитная ин-
индукция В, то можно иначе сказать, что в толще сверхпроводника
всегда
В = 0	E3.1)
(W. Meissner, R. Ochsenfeld, 1933). Это свойство имеет место
независимо от того, в каких условиях фактически произошел
переход в сверхпроводящее состояние. Так, если охлаждение об-
образца происходит в магнитном поле, то в момент перехода маг-
магнитные силовые линии «выталкиваются» из тела.
Подчеркнем, однако, что равенство В = 0 не относится к
тонкому поверхностному слою тела. В действительности, маг-
магнитное поле проникает в сверхпроводник на некоторую глубину,
большую по сравнению с межатомными расстояниями (обычно
~ 10~5 см), зависящую от рода металла и от температуры. По
этой же причине равенство В = 0 вообще не имеет места в тон-
тонких металлических пленках или малых частицах, толщина или
размеры которых порядка величины глубины проникновения.
Ниже мы рассматриваем только массивные сверхпроводни-
сверхпроводники достаточно больших размеров, полностью отвлекаясь от фак-

§ 53	МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ	269
та проникновения магнитного поля в тонкий поверхностный
слой 1).
Как мы знаем, на границе между всякими двумя средами
должна быть непрерывной нормальная составляющая индукции
(это условие является следствием всегда справедливого уравне-
уравнения divB = 0). Поскольку внутри сверхпроводника В = 0, то на
его поверхности нормальная составляющая внешнего поля тоже
равна нулю, т. е. поле снаружи сверхпроводника везде касатель-
касательно к его поверхности; магнитные силовые линии огибают сверх-
сверхпроводник.
Учитывая это обстоятельство, легко найти силы, действую-
действующие на сверхпроводник в магнитном поле. Подобно тому, как это
было сделано в § 5 для обычного проводника в электрическом по-
поле, вычисляем силу (отнесенную к 1 см2 поверхности) как o°i
2
= — \HiHk	2~
есть максвелловский тензор напряжений для магнитного поля в
пустоте. Поскольку в данном случае пНе = 0 (Не — поле снару-
снаружи тела у его поверхности), то мы получаем
FnOB = -n^-,	E3.2)
т. е. на поверхность тела действует сжимающее давление, по ве-
величине равное плотности энергии поля.
Согласно уравнению B9.4)
rotB= — pv;	E3.3)
из равенства В = 0 следует, что внутри сверхпроводника сред-
средняя плотность тока тоже везде равна нулю. Другими словами, в
сверхпроводнике невозможны никакие объемные макроскопиче-
макроскопические токи. В этой связи подчеркнем, что в сверхпроводнике не
имеет смысла выделять из pv токи проводимости, как это де-
делается в обычных проводниках. По этой же причине не имеет
г) Мы не излагаем здесь теории явлений, связанных с глубиной проник-
проникновения магнитного поля в сверхпроводник (теория Ф. и Г. Лондонов и
Гинзбурга-Ландау). Хотя эти теории имеют макроскопический характер,
но смысл фигурирующих в ней величин становится ясным только на осно-
основе микроскопической теории. Эти теории излагаются в другом томе этого
курса (том IX).
Подчеркнем также, что в данной главе рассматриваются так называе-
называемые сверхпроводники первого рода, к которым относятся чистые металли-
металлические элементы и соединения стехиометрического состава. В сверхпровод-
сверхпроводниках второго рода (к которым относятся сверхпроводящие сплавы) эффект
Мейснера выражен полностью лишь в достаточно слабых полях. Достаточ-
Достаточно сильное поле проникает в сверхпроводник второго рода, не уничтожая
полностью его сверхпроводящих свойств (см. IX, гл. 5).

270	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. VI
физического смысла вводить в рассматриваемой теории намаг-
намагничение М, а с ним и вектор Н.
Таким образом, всякий электрический ток, текущий в сверх-
сверхпроводнике, является поверхностным током. Поверхностная
плотность токов g определяется согласно B9.16) скачком каса-
касательной компоненты индукции на границе тела. Поскольку вну-
внутри сверхпроводника В = 0, а сн ару леи В и Н совпадают, то
g = f[nHe].	E3.4)
47Г
Само по себе наличие поверхностных токов не является ха-
характерной особенностью одних только сверхпроводников. Такие
лее токи возникают и в любом обычном намагничивающемся те-
теле, где их плотность
g=f[n,He-Bl.
Поскольку на поверхности нормального (несверхпроводящего)
тела непрерывны касательные составляющие вектора Н = В///,
то имеем [nHe] = [nB]//i, так что выражение для g молено на-
написать в виде
g=f[nBll^.	E3.5)
Принципиальная разница между сверхпроводниками и обыч-
обычными телами выявляется, однако, при рассмотрении полного то-
тока, протекающего через поперечное сечение тела. В несверхпро-
несверхпроводящем теле поверхностные токи всегда взаимно компенсиру-
компенсируются, так что никакого полного тока не возникает. Эта компен-
компенсация обеспечивается условием E3.5), связывающим плотность
токов g с магнитной индукцией внутри тела, а посредством нее —
токи g в разных местах поверхности. В сверхпроводниках усло-
условие E3.5) теряет смысл. Действительно, переход от обычного те-
тела с магнитной проницаемостью [i к сверхпроводнику формаль-
формально означает, что надо одновременно положить В —»> 0 и [i —»> 0.
Но при этом правая часть равенства E3.5) становится неопреде-
неопределенной, так что никакого условия, ограничивающего возможные
значения тока, по существу нет.
Таким образом, мы приходим к результату, что текущие по
поверхности сверхпроводника токи могут приводить к протека-
протеканию по нему отличного от нуля полного тока. Разумеется, это
возможно лишь в многосвязном теле (например, в кольце) или
же в односвязном сверхпроводнике, составляющем часть замкну-
замкнутой цепи с источником электродвижущей силы, необходимой для
поддержания тока в несверхпроводящих участках цепи.
Очень существенно, что стационарное протекание по сверх-
сверхпроводнику полного тока оказывается возможным без электри-
электрического поля. Это значит, что оно не сопровождается диссипа-
диссипацией энергии, для восполнения которой требовалась бы работа

§ 54	СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ ТОК	271
внешнего поля. Это свойство сверхпроводника и может быть опи-
описано как отсутствие у него электрического сопротивления, кото-
которое оказывается, таким образом, необходимым следствием его
магнитных свойств.
§ 54. Сверхпроводящий ток
Рассмотрим более подробно некоторые свойства сверхпровод-
сверхпроводников, зависящие от их формы.
Если сверхпроводник представляет собой односвязное тело,
то в отсутствие внешнего магнитного поля в нем вообще невоз-
невозможно существование каких-либо стационарно протекающих по-
поверхностных токов. В этом молено убедиться путем следующих
рассуждений. Поверхностные токи создавали бы в окружающем
тело пространстве постоянное магнитное поле, исчезающее на
бесконечности. Как всякое постоянное магнитное поле в пустоте,
оно было бы потенциальным, причем в силу граничных условий
на сверхпроводнике нормальная производная д(р/дп потенциала
на поверхности тела должна обращаться в нуль. Но из теории
потенциала известно, что если dip/dn = 0 на поверхности одно-
связного тела и на бесконечности, то <р = 0 во всем пространстве
(вне тела). Таким образом, такое магнитное поле, а с ним и по-
поверхностные токи не могут существовать.
Внешнее же магнитное поле индуцирует на поверхности од-
носвязного сверхпроводника токи, что молено воспринимать как
появление у тела как целого определенного магнитного момен-
момента. Это «намагничение» легко вычислить для сверхпроводника,
имеющего эллипсоидальную форму1).
Пусть 9} — внешнее поле, параллельное одной из главных
осей эллипсоида. Для магнитного поля внутри несверхпроводя-
несверхпроводящего эллипсоида имеет место соотношение
A -п)Н + пВ = Я,
где п — коэффициент размагничивания вдоль данной оси (см.
B9.14)). В сверхпроводнике «напряженность» Н не имеет, как
уже было указано, физического смысла, а вместе с нею не
имеет своего обычного смысла также и намагниченность М =
= (В — H)/Dir). Тем не менее, в данном случае удобно ввести
Н и М чисто формальным образом как вспомогательные вели-
величины, служащие для вычисления полного магнитного момента
Ж = MV (V — объем эллипсоида), имеющего свой буквальный
*) В этом параграфе везде подразумевается, что магнитное поле не превос-
превосходит тех значений, при которых происходит разрушение сверхпроводящего
состояния (см. § 55).

272	сверхпроводимость	гл. vi
физический смысл. Положив для сверхпроводящего эллипсоида
В = О, находим
Я = -А_	E4.1)
и затем
^ = _уя =	vs^	E42)
4тг	4тгA - п)
В частности, для длинного цилиндра в продольном поле п = О,
так что Н = $) тл Ж = — V$)/Dtt) 1). Эти значения ./# таковы,
как если бы тело обладало объемной диамагнитной восприимчи-
восприимчивостью — 1/Dтг).
Магнитное поле Не вне эллипсоида у его поверхности направ-
направлено везде по касательным, и поэтому его величина непосред-
непосредственно определяется условием непрерывности тангенциальных
составляющих Н. Внутри эллипсоида Н = $/A — n); проецируя
этот вектор на касательное направление, получим
Не = -JLsin0,	E4.3)
1 — п
где в — угол между направлением внешнего поля 9} и нормалью
в данной точке поверхности эллипсоида. Наибольшее значение
Не имеет на экваторе эллипсоида, где оно равно #/A — п).
Подчеркнем еще раз, что между токами, ответственными за
«намагничение» сверхпроводника и создающими полный ток в
нем, нет никакой принципиальной разницы: они имеют одинако-
одинаковую физическую природу. Это обстоятельство позволяет, в част-
частности, непосредственно определить гиромагнитные коэффици-
коэффициенты для любого сверхпроводника. Действительно, плотность
импульса частиц (электронов), создающих намагничивающие
токи, отличается от плотности этих токов лишь множителем т/е
(е и т — заряд и масса электрона). Ввиду определения гиромаг-
гиромагнитных коэффициентов (см. C6.3)) отсюда сразу следует, что у
сверхпроводника всегда
gik = $ik-
Перейдем к многосвязным сверхпроводникам. Их свойства
существенно отличаются от свойств односвязных тел — преж-
прежде всего потому, что к ним не относится вывод о невозможно-
невозможности стационарного протекания поверхностных токов в отсутствие
внешнего магнитного поля. Более того, поверхностные токи не
должны здесь взаимно компенсироваться и могут приводить к
стационарному протеканию по телу полного сверхпроводящего
тока в отсутствие приложенной извне электродвижущей силы.
2) Эти соотношения для цилиндра являются непосредственным следстви-
следствием условия непрерывности Н и потому справедливы для цилиндра с любой
(не обязательно круговой) формой сечения.

§ 54	СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ ТОК	273
Рассмотрим двусвязное тело (кольцо) в отсутствие внешнего
магнитного поля и покажем, что его состояние вполне опреде-
определяется заданием полного протекающего по нему тока J. Задача
об определении создаваемого кольцом поля тоже может решать-
решаться как задача теории потенциала, но только потенциал (р будет
теперь многозначной функцией, меняющейся на 4тгJ /с при об-
обходе по любому замкнутому пути, проходящему через отверстие
кольца (ср. § 30). Для того чтобы поставить задачу математи-
математически точно, надо произвести «разрез» пространства по какой-
либо поверхности, закрывающей отверстие кольца. Тогда задача
заключается в решении уравнения Лапласа с граничным услови-
условием dip/dn = 0 на поверхности кольца, <р = 0 на бесконечности и с
условием (f2 — (fi = 4тг J /с на поверхности разреза, где ^ и^ —
значения потенциала на двух сторонах последней. Такая задача,
как известно из теории потенциала, имеет однозначное решение
(не зависящее от формы выбранной поверхности разреза). По
распределению же поля вблизи поверхности кольца однозначно
определяется и распределение в нем поверхностных токов.
Вместе с распределением токов вполне определенной величи-
величиной оказывается коэффициент самоиндукции сверхпроводяще-
сверхпроводящего кольца. В этом отношении имеется существенное отличие от
обычных проводников, в которых распределение токов, а с ним
и точное значение самоиндукции, зависит от способа, которым
был возбужден ток (§ 34I).
В § 33 было введено понятие о магнитном потоке Ф через кон-
контур линейного проводника и было показано, что Ф = LJ/c, где
L — самоиндукция проводника. Для сверхпроводящего же коль-
кольца понятие о магнитном потоке имеет смысл и при любой, не
обязательно малой, толщине кольца. Действительно, в силу тан-
генциальности магнитного поля его поток через любую часть по-
поверхности самого кольца равен нулю; поэтому величина магнит-
магнитного потока через поверхность, закрывающую отверстие сверх-
сверхпроводящего кольца, не зависит от выбора этой поверхности.
Более того, остается в силе также и формула
Ф = -LJ	E4.4)
с
с самоиндукцией L, по-прежнему определенной по полной знер-
г) Самоиндукция тонкого сверхпроводящего кольца (радиуса Ь) из прово-
провода круглого сечения (радиуса а) совпадает с внешней частью самоиндукции
несверхпроводящего кольца и дается формулой
(см. задачу 2 § 34).
Точное решение задачи о сверхпроводящем круговом токе дано В.Л. Фо-
Фоком (Phys. Zs. d. Sowjetunion. 1932. Bd 1. S. 215).

274	сверхпроводимость	гл. vi
гии магнитного поля тока. Полная энергия магнитного поля
/Н2
— dV', взятым по всему
8тг
пространству вне тела. Производя, как указано вы где, «разрез»
пространства по некоторой поверхности С, вводим потенциал по-
поля и пишем
= f
J
V	[V fV ff
8тг	J 8тг	J 8тг	J 8тг
Первый интеграл равен нулю, так как divH = 0. Второй лее ин-
интеграл берется по бесконечно удаленной поверхности, по поверх-
поверхности кольца и по обеим сторонам поверхности разреза; на пер-
первых двух подынтегральное выражение обращается в нуль, так
что остается
-if
с	с
где Ф — магнитный поток через поверхность С. Сравнивая это
выражение с LJ2/2с2 (по определению самоиндукции), получим
искомое равенство E4.4).
Если кольцо находится во внешнем магнитном поле, то пол-
полный магнитный поток Ф складывается из собственного потока
LJ/c и потока Фе от внешнего поля. Важное свойство сверхпро-
сверхпроводящего кольца состоит в том, что при любом изменении внеш-
внешнего поля и тока полный магнитный поток через кольцо остается
постоянным:
-LJ + Фе = const = Фо.	E4.5)
с
Это следует непосредственно из интегральной формы уравнения
Максвелла в пространстве вне тела:
;f/Hdf = -fEdL
Если производить интегрирование по поверхности С, закрываю-
закрывающей отверстие кольца, то контуром интегрирования в правой ча-
части равенства будет линия, проходящая по поверхности кольца.
Но на поверхности сверхпроводника тангенциальная составляю-
составляющая Е равна нулю (так как внутри сверхпроводника Е = 0, а Е^
непрерывна на поверхности). Поэтому правая часть равенства
обращается в нуль, и мы находим, что d<&/di = 0.
Соотношением E4.5) определяется изменение тока в кольце
при изменении внешнего поля. Так, если кольцо было переведено
в сверхпроводящее состояние во внешнем поле, создававшем по-
поток Фо, и затем это поле выключается, то в кольце индуцируется
стационарный ток, равный J = сФо/L.

§ 55	КРИТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ	275
Постоянство магнитного потока через сверхпроводящее коль-
кольцо имеет место не только при изменении внешнего поля, но и при
любом изменении формы кольца или его перемещении в про-
пространстве1). Можно сказать, что силовые линии никогда не мо-
могут пересекать поверхности сверхпроводника, а потому не могут
«выйти» из отверстия сверхпроводящего кольца.
Изложенные результаты непосредственно обобщаются на
случай сверхпроводящих тел любой степени связности, в том
числе на совокупность любого числа колец. Состояние п-связной
системы в отсутствие внешнего поля полностью определяется за-
заданием п — 1 значений полных токов Ja. Соотношение же E4.5)
обобщается в систему уравнений
,abJb + <S>{ae)=<S>a0.	E4.6)
ь
Эти уравнения справедливы не только при любом изменении
внешнего поля, но и при изменениях формы или взаимного рас-
расположения тел.
Задача
Определить магнитный момент сверхпроводящего диска в перпендику-
лярном к нему внешнем магнитном поле ).
Решение. Задача о сверхпроводнике в постоянном магнитном поле
формально совпадает с электростатической задачей для диэлектрика с ди-
диэлектрической проницаемостью е = 0. Рассматривая диск как предел эллип-
эллипсоида вращения при с —»> 0 (ср. задачу 4 § 4) и воспользовавшись формулой
(8.10) с соответствующим изменением обозначений (поле 9} вдоль оси z),
получим
уу 2а3 с
Зтг
§ 55. Критическое поле
Цилиндрический сверхпроводник в продольном магнитном
поле обладает дополнительной магнитной энергией, равной
Ж9)
2	8тг
В нормальном же (несверхпроводящем) состоянии полная
энергия цилиндра практически не изменилась бы при включении
) Доказательство этого утверждения прямо следует из связи между элек-
электродвижущей силой индукции и связанного с перемещением проводника из-
изменением магнитного потока через его контур (§ 63).
2) Эта задача рассматривается здесь главным образом в целях примене-
применений по другому поводу (см. задачу 2 § 95). Для сверхпроводящего диска
фактически может идти речь лишь о весьма слабых магнитных полях, так
как в этих условиях легко наступает разрушение сверхпроводимости (см.
§ 55).

276	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. VI
внешнего поля (слабым дна- или парамагнетизмом несверхпро-
несверхпроводящего металла мы здесь и ни лее пренебрегаем, т. е. полагаем
для него \i = 1). Уже отсюда ясно, что в достаточно сильных
магнитных полях сверхпроводящее состояние металла должно
оказаться термодинамически менее выгодным, чем нормальное,
и потому должно произойти, как говорят, разрушение сверхпро-
сверхпроводимости.
Значение напряженности продольного магнитного поля, при
котором наступает разрушение сверхпроводимости в цилиндри-
цилиндрическом теле, зависит от рода металла, а также от его темпера-
температуры (и давления). Это значение называют критическим полем
(Не)] оно является одной из важнейших характеристик сверх-
сверхпроводника1).
Разрушение сверхпроводимости в цилиндре при достижении
полем критического значения наступает во всем его объеме, что
связано с однородностью поля вдоль всей поверхности такого те-
тела. В телах лее другой формы разрушение сверхпроводимости
представляет собой более сложный процесс, в котором объем,
занятый веществом в нормальном состоянии, постепенно возрас-
возрастает в целом интервале значений $) (об этом будет идти речь
подробнее в следующем параграфе).
Таким образом, при всякой температуре (ниже точки пере-
перехода) металл может существовать как в сверхпроводящем (s),
так и в нормальном (п) состоянии. Обозначим через ^sq(V,T)
и ^niy^T) полные свободные энергии сверхпроводящего и нор-
нормального тел в отсутствие внешнего магнитного поля; эти вели-
величины, характеризуя вещество как таковое, зависят, разумеется,
только от объема, но не от формы тела. Свободная энергия в
п-состоянии вообще не меняется при включении внешнего поля
(поэтому мы не пишем индекса 0 у ^п 2). В s-состоянии же маг-
магнитное поле существенно меняет свободную энергию. Для сверх-
сверхпроводящего цилиндра при заданных Г и V свободная энергия
в продольном внешнем поле ft равна
) + fv.	E5.1)
г) Резкий переход из сверхпроводящего в нормальное состояние имеет ме-
место только в сверхпроводниках первого рода (см. примеч. на с. 269), ко-
которые мы только и рассматриваем. В сверхпроводниках же второго рода
разрушение сверхпроводимости и проникновение магнитного поля в обра-
образец происходят постепенно, в сравнительно широком интервале полей, так
что критического поля в указанном в тексте смысле для них не существует.
2) Напомним, что по определению «полных» величин J^*, Ф, из них ис-
исключена энергия магнитного поля, которое существовало бы в отсутствие
тела.

§ 55	КРИТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ	277
Отсюда молено найти все остальные термодинамические ве-
величины. Дифференцируя E5.1) по объему, найдем действующее
на тело давление	2
Р = Po(V,T) - %-,	E5.2)
где Pq(V,T) — давление (при заданных V и Г) в отсутствие по-
поля. Равенство E5.2) определяет зависимость между Р, V и Т,
т. е. представляет собой уравнение состояния сверхпроводяще-
сверхпроводящего цилиндра во внешнем магнитном поле. Мы видим, что объем
V(P, Г) при наличии магнитного поля такой же, каким был бы
в отсутствие магнитного поля при давлении Р + Й2/(8тг). Этот
результат находится, естественно, в согласии с формулой E3.2)
для силы, действующей на поверхность сверхпроводника в маг-
магнитном поле.
Термодинамический потенциал 1) сверхпроводящего цилин-
цилиндра равен
Ф8 = &s + PV =
причем объем V должен быть выражен здесь через Р и Г соглас-
согласно E5.2). Поэтому молено написать Ф5(Р,Г) в следующем виде:
E5.3)
где Ф5о(Р, Т) — термодинамический потенциал в отсутствие по-
поля. Дифференцируя это равенство по Г и по Р, получим анало-
аналогичные соотношения для энтропии и объема:
,	E5.4)
E5.5)
Теперь можно написать условие, определяющее критическое
поле. Переход цилиндра из s- в n-состояние произойдет тогда,
когда (при заданных Р и Г) Фп станет меньше Ф5. В момент же
перехода должно быть Ф5 = Фп, т. е.
Ф
з°
(р+ё'г)= Фп(р'г)-	E5-6)
Это — точное термодинамическое соотношение2). Обычно изме-
изменение термодинамического потенциала в магнитном поле пред-
представляет собой небольшую поправку к Ф5о(Р, Т). Тогда левую
г) Здесь подразумевается то определение Ф, о котором шла речь в § 12.
2) Мы приводим здесь вычисления с большей точностью, чем это обычно
требуется, имея в виду выявить более ясно взаимоотношение между различ-
различными термодинамическими величинами.

278	сверхпроводимость	гл. vi
часть уравнения E5.6) молено разложить в ряд, и первые члены
разложения дают:
Ф80(Р,Т) + tfvs0(P,T) = Фп(Р,Т),	E5.7)
где Vsq(P,T) = дФ8о(Р,Т)/дР — объем сверхпроводящего ци-
цилиндра в отсутствие поля. Таким образом, в этом приближении
молено сказать, что термодинамический потенциал вещества (от-
(отнесенный к единице объема) в нормальном состоянии на Н^/8тг
больше, чем в сверхпроводящем.
Обозначим через Тс = ТС(Р) температуру перехода в отсут-
отсутствие магнитного поля. Переход в этой точке является фазовым
переходом второго рода. Поэтому, в частности, обращение НС(Т)
в нуль при Т = Тс должно происходить непрерывным образом.
Из общей теории фазовых переходов второго рода известно1),
что изменение термодинамического потенциала вблизи точки пе-
перехода пропорционально квадрату разности температур Т — Тс.
Из E5.7) можно поэтому заключить, что вблизи Тс критическое
поле меняется с температурой по линейному закону
Нс = const • (Гс - Г).	E5.8)
Продифференцируем обе части E5.6) по температуре вдоль
кривой зависимости Нс от Г (при заданном давлении). Учитывая
при этом формулы E5.4), E5.5), получим
)	E5.9)
где все величины 5?п, <5^5, Vs относятся к моменту перехода меж-
между обоими состояниями тела (т. е. к полю Н = Нс). Умножив эту
разность на Г, получим теплоту перехода
Q = Т(Уп - У8) = -YiM. («p-)p	E5.10)
(W.H. Keesom, 1924). При переходе в точке Г = Тс (в отсутствие
магнитного поля) эта величина обращается в нуль вместе с i7c,
в соответствии с тем, что здесь мы имеем фазовый переход вто-
второго рода. Переход лее, происходящий при Т < Тс (в магнитном
поле), сопровождается поглощением или выделением тепла, т. е.
является фазовым переходом первого рода. Фактически Нс мо-
монотонно растет с понижением температуры во всем интервале от
Тс до 0. Поэтому производная дНс/дТ всегда отрицательна и из
2) Для сверхпроводящего перехода теорию Ландау можно считать фак-
фактически применимой без каких-либо ограничений, вплоть до самой точки
перехода (см. IX, § 45).

§ 55	КРИТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ	279
E5.10) видно, что Q > 0, т. е. тепло поглощается при переходе
(изотермическом) из сверхпроводящего в нормальное состояние.
При Г —»> 0 энтропия всякого тела согласно теореме Нернста
должна обращаться в нуль. Поэтому из E5.9) видно, что при
Г = 0 должно быть дНс/дТ = 0, т. е. кривая Нс = НС(Т) пере-
пересекает ось Н под прямым углом.
Продифференцируем разность 5^n — 5^s E5.9) еще раз по тем-
температуре, снова используя при этом равенства E5.4), E5.5). Учи-
(dS\	fdV\
тывая также, что — = — — , получим в результате
' \др)т \дт)р' J	F J
дУп_дУ1 = _у_д^_ /я?\ _ 2ov1_d_ (нГ\ _ov1(_d_ (ElW
ОТ ОТ	S ОТ2 V 8тг /	ОТ дТ\8тг) 8Р \дТ \ 8п ))
E5.11)
Умножив обе части этого равенства на Г, получим разность
теплоемкостей (при постоянном давлении) обеих фаз. Члены,
содержащие коэффициент теплового расширения и коэффици-
коэффициент сжимаемости вещества, обычно очень малы по сравнению с
остальными членами; пренебрегая ими, получим
vsT4 д2нс vst (днл2	, х
Я + 1	E5Л2)
Эту формулу молено получить и путем непосредственного диф-
дифференцирования приближенного соотношения E5.7). В этом
приближении разница между Vs и Vsq несущественна; молено так-
также считать одинаковыми ^s и ^q.
При Т = Тс первый член в E5.12) обращается в нуль, и мы
получаем следующую формулу, связывающую скачок теплоем-
теплоемкости при фазовом переходе второго рода в отсутствие внешнего
магнитного поля с температурной зависимостью Нс:
E5ЛЗ)
(A. J. Rutgers, 1933). Отсюда видно, что в этом случае ^s > ^п.
При понижении температуры (т. е. когда сверхпроводимость раз-
разрушается магнитным полем), разность ^5 — ^п меняет свой знак
в соответствии с тем, что разность 5^п — S?Si обращаясь в нуль
при Г = 0 и при Г = Гс, дол лена проходить в этом интервале
через максимум.
Аналогичным образом молено рассмотреть эффекты, связан-
связанные с изменением объема при переходе. Для этого дифферен-
дифференцируем уравнение E5.6) по давлению вдоль кривой зависимости
Нс от Р (при заданной температуре); это дает
8тг

280	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. VI
или
Vn~v' = y^^	E5Л4)
чем и определяется изменение объема в момент перехода 1). В
точке Т = Тс эта разность, как и разность энтропии, обращается
в нуль. Переход лее при температурах Т <ТС сопровождается из-
изменением объема, которое может иметь оба знака в зависимости
от знака производной (дНс/дР)т- При Т = ТС изменение объема
отсутствует, но имеется скачок коэффициента сжимаемости, ко-
который легко определить путем дифференцирования равенства
E5.14).
Заметим, что если подставить в E5.14)
(днл = _ (днл (дт\
\др)т \дт )р\др)н
(что получается дифференцированием уравнения НС(Р,Т) =
= const), то получим «уравнение Клапейрона-Клаузиуса»:
(дР\ _ q	,„ lgv
\ar)Ha-T(vn-v.y	E5Л5)
где производная (дР/дТ)цс определяет изменение давления,
необходимое для того, чтобы приложенное внешнее поле как раз
оставалось критическим при изменении температуры.
Критическое поле Нс имеет значительно более широкий фи-
физической смысл, чем это отражено в его определении по пове-
поведению сверхпроводящего цилиндра. Равенство Н = Нс являет-
является условием равновесия, которое должно выполняться в каждой
точке поверхности раздела между нормальной (п) и сверхпрово-
сверхпроводящей (s) фазами вещества в одном и том же теле. Это очевидно
уже из следующих простых соображений. Если цилиндр нахо-
находится в продольном магнитном поле, как раз равном i7c, то как
граничные условия для магнитного поля, так и условия термо-
термодинамической устойчивости в равной степени выполняются для
всех состояний, в которых любая внутренняя цилиндрическая
часть объема образца находится в сверхпроводящем, а нижняя —
в нормальном состоянии. При этом на их границе поле Н = Нс.
Таким образом, поверхность раздела, на которой Н = Нс, нахо-
находится в безразличном равновесии по отношению к месту своего
расположения. Это и есть свойство, характеризующее фазовое
равновесие.
2) Эту разность следует, разумеется, отличать от изменения объема (маг-
нитострикции) сверхпроводника при изменении поля от нуля до Нс. Послед-
Последнее можно найти из E5.5):
V.(P,T)-VM{P,T) я !?(??

§ 56	ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ	281
В переменном магнитном поле граница между сверхпрово-
сверхпроводящей и нормальной фазами перемещается. Кинетика этого
перемещения представляет собой довольно сложный процесс,
рассмотрение которого требует одновременного решения элек-
электродинамических уравнений и уравнения теплопроводности с
учетом тепла, выделяющегося при фазовом переходе. Не оста-
останавливаясь здесь на этом исследовании 2), укажем лишь гранич-
граничное условие, которое должно выполняться на движущейся гра-
границе между п- и 5-фазами.
Для его вывода рассмотрим систему координат К'', движу-
движущуюся со скоростью v — скоростью перемещения границы меж-
между фазами. Согласно известной формуле преобразования полей
электрическое поле Е' в системе К выражается через поля Е и
В в неподвижной системе К согласно
E' = E+-[vB]
с
(см. F3.1)). Поскольку в системе К' граница раздела покоится,
то на ней справедливо обычное условие непрерывности танген-
тангенциальной компоненты Е', т. е. величины
[пЕ;] = [пЕ] - -В
с
(п — единичный вектор нормали к поверхности, направленный
вдоль скорости v). В сверхпроводящей фазе Е = О, В = 0, а в
нормальной (на границе) В = Нс. Мы находим, следовательно,
что на движущейся поверхности раздела появляется тангенци-
тангенциальное электрическое поле, перпендикулярное к магнитному и
по величине равное
Е = -Нс.	E5.16)
§ 56. Промежуточное состояние
Если сверхпроводящее тело произвольной формы находится
во внешнем магнитном поле, напряженность $) которого посте-
постепенно увеличивается, наступает в конце концов момент, когда
в каком-либо месте поверхности тела величина поля достигает
критического значения Нс, между тем как само # еще меньше
Нс. Так, на поверхности эллипсоида (в поле #, параллельном
одной из его осей) поле имеет наибольшее значение на экваторе
(см. E4.3)); оно достигает значения Нс уже при $) = Нс{\ — п).
2) См. Лифшиц ИМ. II ЖЭТФ. 1950. Т. 20. С. 834; ДАН СССР. 1953.
Т. 90. С. 363.

282	сверхпроводимость	гл. vi
При дальнейшем увеличении $) тело уже не может находить-
находиться целиком в сверхпроводящем состоянии. Оно не может перейти
целиком и в нормальное состояние, так как при этом поле ста-
стало бы везде равным $). Поэтому должно наступить частичное
разрушение сверхпроводимости.
На первый взгляд молено было бы представить себе это раз-
разрушение следующим образом. По мере увеличения $) сверхпрово-
сверхпроводимость разрушается в постепенно увеличивающейся части объ-
объема тела, в то время как соответственно уменьшающаяся часть
остается сверхпроводящей; тело целиком переходит в нормаль-
нормальное состояние при i} = Нс. Легко, однако, видеть, что такие
состояния тела термодинамически неустойчивы. Для этого вспо-
вспомним, что на поверхности раздела между сверхпроводящей и
нормальной фазами магнитное поле касательно к поверхности
(а по величине равно Нс). Другими словами, силовые линии по-
поля лежат на этой поверхности. Если граница выпукла в сторо-
сторону нормальной фазы, то эквипотенциальные поверхности поля,
перпендикулярные к его силовым линиям, будут расходиться в
глубь нормальной области (как это пока-
показано на рис. 33 а штриховыми линиями).
Но в направлении расхождения эквипо-
эквипотенциальных поверхностей величина по-
поля убывает, так что в заштрихованной об-
области было бы Н < Нс, в противоречии
с предположением о существовании здесь
нормального состояния. Если же граница
сверхпроводящей фазы вогнута, то запол-
заполняющие ее силовые линии при переходе
Рис зз	на свободную поверхность сверхпроводя-
сверхпроводящей области (к которой поле тоже каса-
касательно) будут иметь излом (точка О на рис. 33 б). Но в точке из-
излома силовой линии поле обращается в бесконечность, что снова
находится в противоречии с граничными условиями на поверх-
поверхности сверхпроводника.
Изложенные соображения представляют собой, по существу,
другой аспект того же положения, которое приводит к возник-
возникновению доменной структуры в сегнетозлектриках и ферромаг-
ферромагнетиках. И здесь условия термодинамической устойчивости при-
приводят к тому, что после достижения магнитным полем значения
Нс хотя бы в одном месте поверхности тела последнее разби-
разбивается на большое число параллельных тонких чередующихся
нормальных и сверхпроводящих слоев (Л.Д. Ландау, 1937). Это
своеобразное состояние сверхпроводника называется промежу-
промежуточным. По мере увеличения ^ общий объем нормальных слоев
возрастает, пока при ft = Нс тело не перейдет целиком в нор-
нормальное состояние.

§ 56	ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ	283
В общем случае тела произвольной формы не обязательно
весь его объем должен находиться в промежуточном состоянии.
В нем могут оставаться так лее и области чисто сверхпроводяще-
сверхпроводящего и чисто нормального состояний, соприкасающиеся с областью
промежуточного состояния, но только не непосредственно друг
с другом. В этом отношении более прост упомянутый выше слу-
случай эллипсоидальной формы тела. В поле, параллельном его оси,
промежуточное состояние имеет место в интервале
ЯсA -п) <# <ЯС,	E6.1)
причем в этом состоянии находится весь объем эллипсоида. Так,
для шара п = 1/3 и область промежуточного состояния про-
простирается на интервал B/3)Нс < $) < Нс. Для цилиндра в по-
поперечном поле п = 1/2 и интервал промежуточного состояния
есть A/2)Нс < $) < Нс. В продольном лее поле для цилиндра
п = 0, промежуточное состояние вообще отсутствует и сверх-
сверхпроводимость разрушается целиком при $) = Нс. Наконец, для
плоскопараллельной пластинки в поперечном поле п = 1, и она
находится в промежуточном состоянии в любом поле $) < Нс.
Промежуточное состояние допускает также и усредненное
описание, если интересоваться участками тела, большими по
сравнению с толщиной слоев (R. Peieris, F. London, 1936). В этом
описании принимается, что внутри тела имеется магнитное поле
с индукцией В, пробегающей значения от нуля (в чисто сверх-
сверхпроводящем состоянии) до Нс (в чисто нормальном состоянии).
Приписывая веществу в промежуточном состоянии отличную от
нуля индукцию, мы должны приписать ему также и определен-
определенное значение магнитной «напряженности» Н. Для определения
связи между этими двумя величинами надо обратиться к истин-
истинной структуре промежуточного состояния.
Магнитное поле в нормальном слое на его границе со сверх-
сверхпроводящим равно Нс, а в силу предположенной тонкости слоев
можно считать, что это значение поле имеет и по всему объ-
объему слоя. В сверхпроводящих же слоях В = 0. Поэтому, усред-
усредняя магнитное поле по объему, большому по сравнению с тол-
толщиной слоев, мы найдем, что средняя индукция В = хпНс, где
хп — доля объема, приходящаяся на нормальное состояние. Да-
Далее, определим термодинамический потенциал единицы объема
тела, причем будем отсчитывать его от значения, соответствую-
соответствующего чисто сверхпроводящему состоянию. В отсутствие магнит-
магнитного поля единица объема нормальной фазы обладает избыточ-
избыточным термодинамическим потенциалом Н^/(8тг) -1). При наличии
*) Мы пренебрегаем здесь всеми стрикци«энными эффектами. В этих усло-
условиях можно было бы говорить, вместо изменения термодинамического по-
потенциала, о совпадающем с ним изменении свободной энергии.

284	сверхпроводимость	гл. vi
в ней магнитного поля сюда добавляется еще такая лее магнитная
энергия, так что всего получаем Я2/Dтг). Средний термодинами-
термодинамический потенциал единицы объема в промежуточном состоянии
равен, следовательно,
Ф = ^хп = Щ*.	E6.2)
4тг	4тг
Согласно общему правилу зависимость между В и Н полу-
получается из термодинамического соотношения
Н = 4тг**.
дв
В данном случае мы находим, что вектор Н параллелен В, а
его абсолютная величина
Я = Яс,	E6.3)
т. е. имеет постоянное значение, не зависящее от величины ин-
индукции.
Если изобразить зависимость В от Я графически (рис. 34), то
сверхпроводящему состоянию будет соответствовать отрезок О А
оси абсцисс, нормальному — прямая ВС (В = Я). Вертикальный
лее отрезок АВ (Я = Нс) отвечает промежуточному состоянию.
Пусть п — единичный вектор в направлении силовых линий
усредненного магнитного поля. Написав Н = Ясп и подставив в
г уравнение rot H = 0 (справедливое в отсутствие
объемного тока), найдем, что rot n = 0. С другой
стороны, поскольку п2 = 1, то
gradn2 = 2(nV)n + 2[nrotn] = 0,
откуда заключаем, что и (nV)n = 0. Но это зна-
значит, что вектор п постоянен по направлению на
		_- силовых линиях среднего поля. Таким образом,
А	н эти линии прямолинейны.
рис 34	Применим полученные результаты к эллип-
эллипсоиду, находящемуся в промежуточном состоя-
состоянии. Для однородного поля внутри эллипсоида имеет место со-
соотношение
A )Н
справедливое при любой зависимости В от Я. Положив здесь
Я = Яс, получим
В = * - —Яс.	E6.4)
п	п
Таким образом, средняя индукция в эллипсоиде меняется с на-
напряженностью внешнего поля по линейному закону от нуля при
Я = A - п)Нс до Яс при ^ = Яс.

§ 56	ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ	285
Напишем также выражение для полного термодинамическо-
термодинамического потенциала Ф эллипсоида в промежуточном состоянии. Для
этого исходим из общей формулы
J L	8тг	8тг J
(ср. C2.7)), также справедливой при любой зависимости В от Н.
Подставив сюда значения Ф, i7, В из E6.2)-E6.4), получим
(V — объем эллипсоида); это значение отсчитывается от термо-
термодинамического потенциала чисто сверхпроводящего эллипсоида
в отсутствие магнитного поля. Для сверхпроводящего эллипсои-
эллипсоида во внешнем поле $) имеем
Фа = _**= у*2	E6.6)
2	8тгA -п)	V J
(согласно C2.6) и E4.2)). При i} = Нс{\ — п) термодинамиче-
термодинамический потенциал и его первая производная по температуре непре-
непрерывны; в этом смысле переход из сверхпроводящего состояния в
промежуточное аналогичен фазовому переходу второго рода1).
Подчеркнем, что точность изложенного усредненного опи-
описания промежуточного состояния фактически невелика ввиду
сравнительно большой величины толщины слоев. По той же при-
причине из этого описания вообще ускользают некоторые явления,
связанные с особенностями слоистой структуры. Сюда относит-
относится тот факт, что переход из сверхпроводящего в промежуточное
состояние при увеличении внешнего поля происходит в действи-
действительности не точно при й = A — п)Нс, а несколько позже. Про-
Происхождение этого «запаздывания» заключается в следующем.
Переход в промежуточное состояние происходит, когда это сос-
состояние становится термодинамически устойчивым, т. е. в момент,
когда Ot=Os- H° слоистая структура, помимо чисто «объем-
«объемной» энергии E6.5), приписываемой ей в усредненном описании,
связана также с дополнительной энергией, обусловленной нали-
наличием границ между слоями и изменениями их формы вблизи
поверхности тела. Это обстоятельство и приводит к некоторому
сдвигу точки перехода в сторону больших полей.
Как было отмечено в примеч. на с. 269, в этой главе речь идет
о сверхпроводниках первого рода. Тем не менее, сделаем здесь
г) В связи с этим не следует удивляться тому, что 0t(fi) < ^s(ij) по обе
стороны от точки ij = НсA — п). Напомним, что при фазовом переходе
второго рода каждая из фаз вообще не существует по другую сторону от
точки перехода, и потому не имеет смысла сравнивать термодинамические
потенциалы обеих фаз.

286	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. VI
небольшое замечание о термодинамике «кривой намагничения»
цилиндрического сверхпроводника второго рода. Для этих сверх-
сверхпроводников характерно постепенное проникновение в них маг-
магнитного поля. Так, в длинный цилиндрический сверхпроводник в
продольном магнитном поле $) проникновение начинается, ког-
когда поле достигает некоторого значения НС\(Т), и лишь в поле
НС2 > Нс\ сверхпроводник непрерывным образом переходит в
нормальное состояние1).
Исходим из соотношения дФ/дН = —Ж (ср. C2.4)). Проин-
Проинтегрировав обе части равенства по Н в пределах от 0 до Н
получим
- J JKdft = Фп -
о
где Ф5о относится к сверхпроводнику в отсутствие поля, а Фп от
внешнего поля вообще не зависит (поэтому над обеими буквами
молено опустить знак ~). Но в интервале полей 0 ^ Н ^ Нс\
поле не проникает в цилиндр, и потому его магнитный момент
Ж = — VS^/Dtt). Выделив эту часть интеграла, получим
яс2
Г
Если ввести, чисто формальным образом, величину Нс для сверх-
сверхпроводника второго рода по прежнему определению2)
Фп - ФэО = V^-,
О7Г
то полученное соотношение можно записать окончательно в виде
яс2
/^^ = -^(Яс2-Яс21).	E6.7)
Задача
Определить теплоемкость эллипсоида в промежуточном состоянии.
Решение. Энтропию, а затем теплоемкость находим дифференциро-
дифференцированием термодинамического потенциала E6.5) по температуре. Пренебрегая
членами, содержащими коэффициент теплового расширения тела, получим
Ъ-Ъ = ^[A - п)(Н'с2 + HCH'J) -
4тгп
2) См. IX, § 47, 48. Состояние сверхпроводника в интервале полей между
Нс\ и НС2 называют смешанным. Подчеркнем, что оно отнюдь не совпадает
с промежуточным состоянием сверхпроводников первого рода. В смешан-
смешанном состоянии магнитное поле проникает в образец в виде так называемых
вихревых нитей.
2) Значение Нс лежит между Лс\ и Нсч- Само по себе, однако, оно для
сверхпроводника второго рода ничем не замечательно.

§ 57	СТРУКТУРА ПРОМЕЖУТОЧНОГО СОСТОЯНИЯ	287
(штрих означает дифференцирование по Т); ^s — теплоемкость тела в сверх-
сверхпроводящем состоянии (ее слабой зависимостью от ij мы здесь пренебрега-
пренебрегаем). Отсюда видно, что при изменении ij (при постоянной температуре) в
точке ij = A — п)Нс теплоемкость меняется скачком от ^fs до
VT(l-n) ,2
Ж5 Н	г±с ,
4тгп
затем меняется с ij по линейному закону до значения (при 9) = Нс)
©в	"	{-Пс + -"c -He) -T	tlc — Wn +	tlc ,
4тг	4тгп	4тгп
откуда падает скачком до %.
§ 57. Структура промежуточного состояния
Форма и размеры п- и s-слоев в промежуточном состоянии
определяются условиями термодинамического равновесия тела
в целом, аналогично тому, как определяется форма доменов
в ферромагнетике (§ 44). Как и там, устанавливающаяся толщина
слоев является результатом двух противоположных тенденций.
Поверхностное натяжение на границах п- и s-фаз стремится
уменьшить число слоев, т. е. увеличить их толщину. В обрат-
обратном направлении действует энергия выхода слоев к свободной
поверхности тела. Толщина слоев возрастает при увеличении раз-
размеров тела, в результате чего (по тем же причинам, что и для
ферромагнитных доменов) в конце концов должно наступить их
разветвление при подходе к поверхности тела1).
Задача об определении формы и размеров неразветвленных
слоев в промежуточном состоянии в плоскопараллельной пла-
пластинке может быть решена точно; сделаем это, предполагая
внешнее поле $) перпендикулярным пластинке {Л.Д. Ландау,
1937).
Слои расположены вдоль поля, и их плоскопараллельность
нарушается лишь вблизи поверхности пластинки.
Силовые линии магнитного поля (штриховые линии на
рис. 35) проходят только через n-слои, причем границы s-слоев
тоже являются силовыми линиями (в силу условия Вп = 0 на
них). Учитывая также, что на границе п- и s-фаз должно быть
Н = Нс, пишем следующие условия на границах s-слоя:
на отрезке ВС: Нх = О,
на В А и CD: Hi + Н* = Н2С
а,	у	L,
E7.1)
2) В определенных условиях (внешние поля, близкие к нулю или к Нс) тер-
термодинамически более выгодной может оказаться не слоистая, а нитевидная
структура. См. Andrew E.R. // Proc. Roy. Soc. 1948. V. 194A. P. 98.

288
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
У
(оси координат выбраны указанным на рис. 35 образом). Вдали
от пластинки поле Н должно совпадать с
внешним полем, т. е.
при х -> -ос Нх = fi, Щ = 0. E7.2)
Введем скалярный и векторный потенциа-
потенциалы поля согласно формулам
а*
в
А
ап
ч — —®!? — —
Ч — -®?. — дА
Рис. 35
и комплексный потенциал w = (р — г А (ср. § 3).
Вдоль каждой силовой линии А = const.
Положим А = 0 на силовой линии, подходя-
подходящей к точке О и затем разветвляющейся на
линии OCD и ОБА, образуя границу одного
из 5-слоев. Разность значений А на границах
двух последовательных s-слоев равна потоку
магнитного поля через отрезок а = as + ап,
т. е. равна fia. Поэтому значения А на гра-
границах всех 5-слоев будут целыми кратными fia. Вводя также
«комплексную напряженность»
г) = Нх- гНу = --^, z = x + iy,
dz
напишем условия E7.1) в виде
на ВС: Re г] = 0,	E7.3)
на В А и CD : \q\ = Нс.
Введем новую величину
- 1	E7.4)
и будем рассматривать т\ как функцию от ?. На всех граничных
силовых линиях (вместе с их продолжениями вне пластинки) ве-
величина С вещественна:
Поскольку (f определено с точностью до постоянной, то мож-
можно произвольно выбрать значение (р в одной точке. Пусть (р = 0
в точке О. Тогда в этой точке и ? = 0. На рассматриваемой гра-
граничной силовой линии вдали от пластинки ? = — 1 (так как при
х —)> — ос имеем (р —»> — fix —» + ос). Значение ( в точке В (или С),
где силовая линия входит внутрь пластинки, обозначим как (о-
На ветвях CD и В А ? меняется от (о Д° °о. Тогда условия E7.1)

57
СТРУКТУРА ПРОМЕЖУТОЧНОГО СОСТОЯНИЯ
289
и E7.3) молено написать в виде:
при С = -1 V = Й,	E7.5)
при 0 < С < Со Rer7 = 0,
при Со < С \v\ = hc.	[b7'b)
Кроме того, функция rj(Q должна быть везде конечной.
Условиям E7.6) удовлетворяет функция
с v <г	E7'7)
При вещественных отрицательных значениях С оба корня веще-
вещественны и берутся с написанными здесь знаками. При 0 < С < Со
оба корня мнимы, причем берутся корни
со знаками — или + соответственно на отрезках ОС и ОВ. При
С > Со надо писать
со знаками — и + соответственно на CD и В А. Значение Со опре-
определяется из условия E7.5) и равно
h\ ,	E7.8)
где введено обозначение h = $)/Hc.
Форма слоя, т. е. уравнение граничной силовой линии, полу-
получается интегрированием соотношения dz = —dw/rj по веществен-
вещественным С:
	 / dw 	 ah I c?C
J I 2тг J 77(С + 1)'
Подставив сюда г/(С)? отделив вещественную и мнимую части и
выбрав соответствующим образом постоянные интегрирования,
получим следующее параметрическое уравнение линии CD:
'12
1)
E7.9)
X
ha I L Co dC ha Л , С /7 ГТ л i /С(Со +
= — / \ /1 - — —— = — Arch л / — - л/Со + 1 Arch л / svs
Со
оо
/I—
/Со dC лг ha пг /тг	,
(Y = as/2 — значение координаты у при х —»> ос; см. рис. 35).
10 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

290	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. VI
Период слоистой структуры а связан с толщинами as и ап s-
и n-слоев равенствами а = as + ап, а$) = апНс. Второе из них
является следствием непрерывности магнитного потока, прохо-
проходящего целиком в п-слоях. Отсюда
as = а(\ — /i), an = ha.
Период а определяется условием минимальности полного тер-
термодинамического потенциала пластинки. Наличие поверхностно-
поверхностного натяжения на границе п- и s-фаз приводит к члену
фг = ILelA	E7.10)
а 8тг
в термодинамическом потенциале, отнесенном к 1 см2 поверхно-
поверхности пластинки. Здесь / — толщина пластинки, а коэффициент
поверхностного натяжения обозначен как Н2А/(8тг) (А имеет
размерность длины). При вычислении этой части энергии за-
закруглением слоев вблизи поверхности пластинки можно, конеч-
конечно, пренебречь.
Энергию выхода слоев к поверхности пластинки можно пред-
представить в виде суммы двух частей. Во-первых, само по себе уве-
увеличение объема n-слоев по сравнению с объемом, который они
имели бы при сохранении плоскопараллельности на всем протя-
протяжении, приводит к дополнительной энергии
[^(y)	E7.11)
a J 8тг
0
(множитель 4 учитывает наличие четырех углов — таких, как В
и С на рис. 35 — с обеих сторон каждого из \/а s-слоев).
Во-вторых, выход слоев к поверхности пластинки меняет
энергию системы во внешнем поле, т. е. энергию —^S^/2. Маг-
Магнитный момент пластинки обусловлен токами на поверхностях
5-слоев. При скачке тангенциальной компоненты индукции от Н
до 0 поверхностная плотность токов g = ±cH/Dтг). Поэтому на
единицу длины оси z на каждую граничную поверхность s-слоя
приходится магнитный момент
— / —yds (ds = V' dx1 + dy2).
J 4тг
OCD
Если бы слой не выходил к поверхности, отрезок ОС отсут-
отсутствовал бы, а на CD было бы везде у = Y. Поэтому избыток
магнитного момента для каждого из четырех углов равен
_ / —yds+ Г ^-Y dx.
J 4тг	J 4тг
OCD	0

57
СТРУКТУРА ПРОМЕЖУТОЧНОГО СОСТОЯНИЯ
291
Соответственно, избыточная энергия
Ф3 = -§ i
2 а
f^-Ydx- f ^
J 4тг	J 4тг
.0	ОСГ>
= -5- \НС Г (-Ydx + yds)+ f Hydy
CD
ОС
E7.12)
Координаты ж и у, выраженные через ?, пропорциональны а.
Поэтому все интегралы в Ф\ + Ф^ пропорциональны а2, так что
эта часть термодинамического потенциала пропорциональна а.
Сумма же Ф\ + Ф<1 + Фз имеет, следовательно, вид
Ф = ?\1А + af(h)} .
Условие ее минимальности дает
Г /А
а =
E7.13)
E7.14)
Интегралы в E7.11), E7.12) могут быть вычислены до конца1),
и для функции f(h) получается следующее выражение:
f(h) = —{A + hL In A + h) + A - hL In A - h) -
4тг
- A + h2J In A + h2) - Ah2 In 8/i}. E7.15)
Предельные выражения этой функции:
= — In —— при h
7Г	h
1;
-^1A_ЛJ при1-/К1.
E7.16)
На рис. 36 изображен график функции о
f(h).
Отметим, что в n-слоях вблизи поверх-
поверхности пластинки магнитное поле может
быть существенно меньшим, чем i7c, т. е. здесь имеет место
ситуация, соответствующая изображенной на рис. 33 а2). Ее
Рис. 36
2) См. Fortini Л., Paumier Е. // Phys. Rev. В. 1972. V. 5. Р. 1850.
2) Так, при h = 1/2 поле на поверхности в средней точке n-слоя составляет
всего 0,73Нс, а при h —>- 0 стремится к 0,65Яс.
10*

292	сверхпроводимость	гл. vi
термодинамическая невыгодность компенсируется в данном слу-
случае энергией поверхностного натяжения, препятствующей даль-
дальнейшему уменьшению толщины слоев.
Как уже указывалось, при увеличении толщины пластинки
должно наступить разветвление слоев. Это приводит, в свою оче-
очередь, к изменению зависимости периода структуры а от /; в пре-
предельном случае многократного разветвления а со/2/3. Фактиче-
Фактические численные соотношения показывают, однако, что разветв-
разветвление должно начаться сравнительно поздно1).
г) Расчет модели с многократным разветвлением слоев — см. Ландау Л.Д.
II ЖЭТФ. 1943. Т. 13. С. 377 (Собрание трудов, статья 47, «Наука», 1969).

ГЛАВА VII
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ
ПОЛЕ
§ 58. Уравнения квазистационарного поля
До сих пор мы рассматривали постоянные электрические и
магнитные поля, а уравнение Максвелла
rotE = -!^	E8.1)
с dt	v J
применялось (в § 31) лишь со вспомогательной целью при выводе
выражения для энергии магнитного поля.
Характер переменных электромагнитных полей в материаль-
материальных средах существенно зависит от рода этих сред и от поряд-
порядка величины частоты поля. В этом параграфе мы рассмотрим
явления, происходящие в массивных проводниках, помещенных
во внешнее переменное магнитное поле. Мы будем предполагать
при этом, что скорость изменения поля не слишком велика, буду-
будучи ограничена рядом условий, сформулированных ни лее. Элек-
Электромагнитные поля и токи, удовлетворяющие этим условиям, на-
называют квазистационарными.
Прежде всего, будем считать, что длина волны Л ~ с/о;, со-
соответствующая (в пустоте или диэлектрической среде, окружаю-
окружающей проводник) частоте поля c<j, велика по сравнению с размера-
размерами тела /:
cj< -
Тогда распределение магнитного поля вне проводника в каж-
каждый момент времени можно описывать уравнениями статическо-
статического поля
divB = 0, rotH = 0,	E8.2)
пренебрегая всеми эффектами, связанными с конечностью скоро-
скорости распространения электромагнитных возмущений. Разумеет-
Разумеется, такое пренебрежение возможно лишь на не слишком больших
(малых по сравнению с Л) расстояниях от тела (что во всяком
случае достаточно для целей определения поля внутри него).

294	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
Полная же система уравнений поля внутри проводника скла-
складывается из уравнения E8.1) и уравнений
divB = 0,	E8.3)
rotH = — j, 1 = аЕ	E8.4)
с
(в электрически анизотропном — не кубическом — кристалле на-
надо писать ji = <JikEk). Второе из этих уравнений было выведено,
строго говоря, для постоянных токов и магнитных полей. Поэто-
Поэтому необходимо указать критерий, позволяющий с достаточной
точностью использовать это уравнение для переменных полей. В
уравнении E8.4) существенно, что связь тока с напряженностью
электрического поля дается соотношением j = <тЕ с постоянным
значением <т, относящимся к стационарному случаю. Это имеет
место, если период изменения поля велик по сравнению с време-
временами, характерными для микроскопического механизма прово-
проводимости. Другими словами, частота поля дол лена быть мала по
сравнению с обратным временем свободного пробега электронов
в проводнике. Для типичных металлов (при комнатной темпера-
температуре) предельные допускаемые этим условием частоты лежат в
инфракрасной области спектра1).
Кроме того, однако, есть и другое условие, ограничивающее
в данном случае применимость уравнений. Уравнение E8.4) под-
подразумевает, что связь между током и полем является локальной,
т. е. что плотность тока в некоторой точке проводника опреде-
определяется значением поля только в этой точке. Это, в свою оче-
очередь, предполагает малость длин свободного пробега электронов
по сравнению с расстояниями, на которых заметно меняется по-
поле. К этому условию мы вернемся в § 59.
В уравнениях E8.1) и E8.4) Е есть напряженность индукци-
индукционного электрического поля, возникающего благодаря перемен-
переменности магнитного поля. По известному Н поле Е определяется
непосредственно уравнением E8.4). Уравнение лее для Н полу-
получается путем исключения Е из E8.1) и E8.4):
4тг<9В	, rotH	/ко сч
	= —rot	.	E8.5)
с2 Ot	a	K J
г) Для плохих проводников (например, полупроводников) применимость
уравнения E8.4) требует соблюдения еще одного условия, которое может
оказаться далее более сильным. У таких тел может иметь смысл одновре-
одновременное введение проводимости и диэлектрической проницаемости. Тогда в
правой части уравнения E8.4) добавляется член	и условие его мало-
с dt
сти по сравнению с 4тгсгЕ/с гласит: ct/uj ^> е. У хороших же проводников —
металлов — фактически а/ои > 1 во всей области частот, для которых еще
можно говорить о постоянной проводимости (см. также примеч. на с. 298).

§ 58	УРАВНЕНИЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ	295
В однородной среде с постоянными проводимостью а и маг-
магнитной проницаемостью \i множитель 1/<т молено вынести из-под
знака rot, а согласно E8.3) имеем divB = /idivH = 0. Поэтому
rot rot H = —АН, и мы получаем уравнение
Вместе с уравнением div H = 0 оно составляет полную систе-
систему, достаточную для определения магнитного поля. Отметим,
что уравнение E8.6) имеет вид уравнения теплопроводности,
причем роль «коэффициента температуропроводности» \ играет
c2/Dttct/i).
Граничные условия для магнитного поля на поверхности про-
проводника очевидны из вида самих уравнений:
Bni — Вп2, Нц = Н^2-	E8.7)
Выражение в правой части уравнения E8.4) не влияет на второе
из этих условий в силу своей ограниченности. При \i = 1 молено
H2 = Н2.	E8.8)
В силу уравнения E8.4) имеем divj = 0; граничное условие
к последнему уравнению: jn = 0 на поверхности проводника. В
электрически изотропном проводнике отсюда следует (в силу j =
= сгЕ), что на границе и Еп = 0, где индекс (г) отличает поле
внутри проводника (в общем лее случае анизотропного проводни-
проводника нормальная компонента поля в нем на границе, вообще говоря,
отлична от нуля).
Граничное условие E8.8) недостаточно для полной формули-
формулировки задачи, если проводник представляет собой составное тело,
состоящее из участков с различными проводимостями. На грани-
границах раздела этих участков наряду с непрерывностью Н необхо-
необходимо учесть также и условие непрерывности Е^; для магнитного
поля это условие означает, что
(rotH)n _ (rotH)t2
<J\
E8.9)
) Для обычных диа- и парамагнитных тел fi очень близко к 1 и учет
fi в следующих ниже формулах был бы не имеющим смысла превышением
точности. Заметно отличные от 1 значения fi могут существовать у фер-
ферромагнитных металлов, магнитные свойства которых (в достаточно слабых
полях) можно описывать с помощью большой постоянной проницаемости.
У этих веществ, однако, уже сравнительно рано наступает дисперсия fi (по-
(появление зависимости ее от частоты о;), сопровождающаяся уменьшением fi
практически до 1. Имея в виду эти обстоятельства, ниже в этой главе мы
полагаем ц = 1.

296	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
Предположим, что проводник помещен в магнитное поле, ис-
источники которого в некоторый момент времени выключаются.
Поле в проводнике (и вокруг него) не исчезнет при этом мгно-
мгновенно, а ход его затухания со временем определяется уравнением
E8.6). Для решения такого рода задач надо, следуя общим ме-
методам математической физики, поступить следующим образом.
Ищем решения уравнения E8.6), имеющие вид
с постоянными 7т- Для функций Нт(ж, у, z) получим уравнения
-^АНт = -7шНт.	E8.10)
4тгсг
При заданной форме проводника эти уравнения имеют отлич-
отличные от нуля решения (удовлетворяющие необходимым гранич-
граничным условиям) лишь при определенных 7т? составляющих на-
набор его собственных значений. Все эти значения вещественны
и положительны *), а соответствующие им функции Ит(х^у^ z)
составляют полную систему взаимно ортогональных векторных
функций. Пусть распределение поля в начальный момент време-
времени дается функцией Но (ж, у, z). Разлагая ее по системе функций
Нш,
Н0(ж, у, z) = 2^ сшНш(ж, у, z),
т
мы получим решение поставленной задачи о затухании поля в
виде
H(x,y,z,t) = J2cme~7mtltim(x,y,z).	E8.11)
т
Скорость затухания поля определяется в основном тем чле-
членом этой суммы, который соответствует наименьшему из 7т 5
пусть это будет 71 • Время затухания поля молено определить как
г = 1/71- Порядок величины этого времени очевиден из самого
уравнения E8.10). Поскольку АН ~ H/Z2 (где / — размеры про-
проводника), то
г-4тгсг/2/с2.	E8.12)
2) В этом легко убедиться следующим образом. Для того чтобы избежать
необходимости учитывать граничные условия на поверхности тела, исходим
из уравнения E8.5), в котором молено представить себе, что а обращается в
нуль вне тела непрерывным образом. Умножив уравнение
4тг	rotHm
-—mHm = -t
2
7
с2	а
с обеих сторон на Н^ и проинтегрировав по всему пространству, получим
% f||	/	/|
С2 J	J	G	J СГ
откуда вещественность и положительность 7т очевидны.

§ 59	ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ	297
§ 59. Глубина проникновения магнитного поля
в проводник
Рассмотрим проводник, помещенный во внешнее переменное
магнитное поле с заданной частотой ио. Магнитное поле, прони-
проникая внутрь проводника, индуцирует в нем переменное электриче-
электрическое поле, а последнее в свою очередь вызывает появление токов
(так называемые токи Фуко). Общее представление о характере
проникновения поля в проводник молено получить, у лее исходя
из указанной выше аналогии между уравнением E8.6) и уравне-
уравнением теплопроводности. Из теории теплопроводности известно,
что величина, удовлетворяющая такому уравнению, за интервал
времени i распространяется в пространстве на расстояние по-
порядка y/xt. Поэтому мы сразу можем прийти к заключению, что
магнитное поле проникает в глубь проводника на расстояние 6
порядка величины
То лее самое относится, конечно, и к индуцируемым им электри-
электрическому полю и токам.
В переменном поле с частотой ио зависимость всех величин от
времени дается множителем e~tujt. Уравнение E8.6) принимает
при этом вид
ДН = -^^Н.	E9.1)
Рассмотрим два предельных случая. Если глубина проникно-
проникновения 6 велика по сравнению с размерами тела (малые часто-
частоты), то в первом приближении можно заменить правую часть
уравнения E9.1) нулем. Тогда распределение магнитного поля в
каждый момент времени будет таким, каким оно было бы в ста-
стационарном случае при заданном значении внешнего поля вдали
от тела. Обозначим это решение как Нст; оно не зависит от час-
частоты (точнее, содержит ее лишь во временном множителе e~tujt).
Индуцированное лее электрическое поле появляется лишь в сле-
следующем приблилеении по c<j, так как в стационарном случае оно
вообще отсутствовало бы. Этому соответствует тот факт, что,
вычисляя Е по Нст согласно уравнению E8.4), мы получили бы
нуль, так как rot Нст = 0. Поэтому для вычисления Е надо обра-
обратиться к уравнению E8.1), согласно которому
rotE = i-HCT.	E9.2)
с
Это уравнение вместе с уравнением div E = 0 (следующим из
E8.4) при постоянной вдоль тела а) полностью определяет рас-
распределение электрического поля. Отметим, что оно оказывается
пропорциональным частоте ио.

298	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
Обратимся к обратному предельному случаю S <С / (боль-
(большие частоты). Условие локальности уравнений поля, о котором
упоминалось в § 58, требует, чтобы 6 было все же велико по срав-
сравнению с длиной свободного пробега электронов проводимости 1).
При 6 <С / магнитное поле проникает лишь в тонкий поверх-
поверхностный слой проводника. Для вычисления поля вне проводника
можно пренебречь толщиной этого слоя, т. е. считать, что внутрь
тела магнитное поле вообще не проникает. В этом смысле про-
проводник в высокочастотном магнитном поле ведет себя так же,
как сверхпроводник в постоянном поле, и для вычисления поля
вне его надо решить соответствующую стационарную задачу для
сверхпроводника той же формы.
Исследование истинного распределения поля в поверхност-
поверхностном слое проводника можно произвести в общем виде, рассмат-
рассматривая небольшие участки поверхности как плоские. Речь идет
тогда о решении уравнения E9.1) для проводящей среды, огра-
ограниченной плоской поверхностью, вне которой поле имеет задан-
заданное значение, которое обозначим как Hoe~lujt. Этот вектор полу-
получается указанным выше образом в результате решения внешней
задачи и параллелен поверхности проводника. В силу гранично-
граничного условия E8.8) магнитное поле в проводнике у его поверхности
равно тому же Иое~ги>г.
Выберем поверхность проводника в качестве плоскости жу,
причем проводящая среда заполняет полупространство z > 0.
Ввиду однородности условий задачи по направлениям хну ис-
искомое поле Н зависит только от координаты z (и времени). По-
Поэтому имеем div Н = dHz/dz = 0, и так как на границе Hz = 0,
то и везде Hz = 0. Согласно E9.1) имеем для Н уравнение
*2н 2н = о,
dz2
где
к = J——i = У.	A+г).
ус2	с
Решение этого уравнения, обращающееся в нуль вдали от по-
поверхности (z —)> ос), пропорционально elkz.
Учитывая таклсе граничное условие при z = 0, получим
Н = Ноехр (-|) ехр [г (| - о;*)] ,	E9.3)
) В металлах фактически именно это условие нарушается (при увели-
увеличении частоты) первым. Условие же ш <С 1/т, где т — время свободного
пробега, может оказаться более сильным для полупроводников с небольшой
проводимостью.

§ 59	ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ	299
где глубина проникновения S определяется как
8=-^=, * = !±i.	E9.4)
Электрическое же поле определится теперь с помощью урав-
уравнения E8.4). Введя единичный вектор п в направлении оси z,
получим
Е=,Дц1-г)[Нп].	E9.5)
у О7ГG
Отметим, что Е ~ F/Х)Н.
Если поле Hoe~lujt линейно поляризовано, то надлежащим
выбором начала отсчета времени можно добиться вещественно-
вещественности Но- Выберем тогда направление этого вектора в качестве на-
направления оси у. Отделив в E9.4) и E9.5) вещественную часть,
получим
Ну = Н = Hoe-Z/S cos (- - out) ,
,	x	E9.6)
EX = E = tfoJ-^e-*/*cos (l-u,t-TL)
4	\д	4
Вместе с электрическим полем по такому же закону будет рас-
распределена плотность токов Фуко j = <тЕ.
Соотношение E9.5) в рассмотренном случае справедливо для
поля во всем полупространстве z > 0. В более общих случаях
соотношение вида
Е* = С[Н*п]	E9.7)
справедливо, вообще говоря, лишь на самой поверхности провод-
проводника для тангенциальных к ней составляющих полей (поскольку
эти составляющие непрерывны на поверхности, то соотношение
E9.7) относится к полю по обе стороны поверхности). Коэффи-
Коэффициент ? называют поверхностным импедансом проводника (к
более общим аспектам этого понятия мы вернемея в § 87I). В
данном случае
J^	E9.8)
Возникновение токов Фуко сопровождается диссипацией
энергии поля, выделяющейся в виде джоулева тепла. Средняя
2) В электрически анизотропных средах поверхностный импеданс являет-
является двумерным тензором:
Е^ = C^[Htn]^	E9.7а)
(a, /3 — тензорные индексы в плоскости, перпендикулярной п). Отметим, что
на этот тензор могут оказывать влияние тепловые потоки, возникающие в
силу термоэлектрического эффекта (см. задачу 4).

300	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
(по времени) энергия Q, диссипируемая в проводнике в 1 с, рав-
равQ= JjEdV= f aE2dV.
на
Ее можно вычислить и как среднее количество энергии поля,
втекающей в 1 с извне внутрь проводника, т. е. как интеграл
Q = ?sdf=— Г [ЁН] df,	E9.9)
взятый по поверхности проводника1).
Мы видели выше, что в предельном случае 6 ^> I амплиту-
амплитуда магнитного поля внутри проводника не зависит от частоты,
а амплитуда электрического поля пропорциональна ио. Поэтому
диссипация энергии Q при малых частотах пропорциональна иР1.
В случае же 6 <^i l магнитное и электрическое поля на по-
поверхности проводника даются формулами E9.3) и E9.5) с z = 0.
Вектор Пойнтинга нормален к поверхности, а его среднее значе-
значение	,
с С / и |тт ,2
ь = т^~\/^—н° '
16тг у 2тгсг
причем изменение Hq вдоль поверхности определяется указан-
указанным вы где образом решением задачи о поле вне сверхпроводника
той лее формы. Диссипация энергии
Отметим, что при больших частотах она оказывается пропорцио-
пропорциональной у/п.
Диссипация энергии может быть выражена и через полный
магнитный момент ^^, приобретаемый проводником в магнит-
2) Если какие-либо две величины a(t) и b(t) пишутся в комплексном ви-
виде (пропорциональном е~гшг), то при образовании их произведения надо,
разумеется, сначала отделить вещественную часть. Но если нас интересу-
интересует только среднее (по времени) значение этого произведения, то его можно
вычислить как
Действительно, члены, содержащие множители е lU}t, при усреднении об-
обращаются в нуль, и потому имеет место равенство
-(a + a*)F + 6*) = -(ab* + а*Ъ).
4	4
В частности, S можно вычислить как вещественную часть «комплексного
вектора Пойнтинга» согласно
— -[EH*]1.
4тг 2	J
E9.9а)

§ 59	ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ	301
ном поле. В периодическом поле магнитный момент тоже есть
периодическая функция времени с той лее частотой. Согласно
формуле C2.4) изменение свободной энергии тела со временем
дается производной
9} — внешнее однородное поле, в которое помещен проводник.
Это выражение не дает еще непосредственно искомую дис-
диссипацию, так как энергия тела изменяется не только благодаря
диссипации, но и благодаря периодическому ее мигрированию
между телом и окружающим полем. Если же произвести усред-
усреднение по времени, то последняя часть исчезнет и, таким образом,
средняя диссипация энергии в единицу времени
Q = -Jj(^.	E9.11)
Если jtft и 9} выражены в комплексном виде, то 9} = —гио9} и Q
молено вычислять как
Q = --Re{iou^^} = -lm{JZ%*}.	E9.12)
Компоненты магнитного момента ~М являются линейными
функциями внешнего поля:
Jti = Vaikfik,	E9.13)
где безразмерные коэффициенты а^(оо) зависят от формы тела
и его ориентации во внешнем поле (но не от его объема V); Л&
и $) в этой формуле предполагаются написанными в комплекс-
комплексном виде, так что и величины а^, вообще говоря, комплексны.
Тензор Votik можно назвать тензором магнитной поляризуемости
тела как целого. Этот тензор относится к категории величин, из-
известных как обобщенные восприимчивости, и обладает всеми их
свойствами. В частности, он симметричен (см. V, § 125):
otik = otki.	E9.14)
Воспользовавшись этим свойством, молено написать
Если, кроме того, написать комплексные величины a^fc B виде
агк = a'ik +iaiki
то для диссипации энергии E9.12) получим
^!	E9.15)

302	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
Таким образом, диссипация энергии определяется мнимой ча-
частью магнитной поляризуемости тела. Мы видели выше, что при
малых частотах Q пропорциональна cj2, а при больших у/п. От-
Отсюда следует, что величины а"к в этих двух предельных случа-
случаях пропорциональны соответственно ио и cj/2. Убывая как при
о; —^ 0, так и при ио —> ос, они проходят в промежуточной области
через максимум.
Магнитный момент проводника в переменном магнитном по-
поле создается в основном возникающими в теле токами проводи-
проводимости; он отличен от нуля далее при \i = 1, когда статический мо-
момент обращается в нуль. Последний должен получаться из j${uj)
в пределе при с<; —>> 0. Отсюда следует, что вещественная часть
магнитной поляризуемости a'ik стремится при шчОк постоян-
постоянному значению (к нулю при \i = 1), соответствующему намагни-
намагничению в постоянном поле. В пределе же ио —>• ос, когда магнит-
магнитное поле не проникает внутрь тела, величины a'ik стремятся к
другому постоянному пределу, соответствующему статическому
намагничению сверхпроводника той же формы.
Задачи
1. Определить магнитную поляризуемость изотропного проводящего
шара радиуса а в однородном периодическом внешнем поле.
Решение. Поле Н'г' внутри шара удовлетворяет уравнениям
AH(i)+fc2H(i) =0, divH(i)=0, fc=—.
s
Ищем его в виде Н^ = rot А, причем А удовлетворяет уравнению А А +
+ к2А = 0; поскольку Н — аксиальный вектор, А — полярный. Ввиду
симметрии шара единственным постоянным вектором, от которого может
зависеть искомое решение, является напряженность внешнего поля $). Обо-
Обозначим через / сферически симметричное решение скалярного уравнения
sin кг
г
Тогда полярный вектор А, удовлетворяющий векторному уравнению
АА -\-к2А = 0 и зависящий линейно от аксиального постоянного вектора $),
молено написать в виде
А = /3rot (f$5)
(/3 — постоянная). Таким образом, ищем Н'г' в виде
-—Ь к2 f ) Si — /3 ( ——h к2 f ) n(i}n),
г	)	V г	)
где п — единичный вектор в направлении г (вторая производная /" исклю-
исключена с помощью уравнения А/ + к2 f = 0).
Поле Н(е) вне шара удовлетворяет уравнениям rot H^ = 0, div H^ = 0.
Ищем его в виде Н^е^ = — grad<? -\- S$, причем ip удовлетворяет уравнению
А(р = 0, а на бесконечности обращается в нуль. Такая функция (р, зависящая

§ 59	ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ	303
линейно от постоянного вектора i3, имеет вид
ip = -aVftV-
r
(V = 4тга3/3). Таким образом, ищем Н^ в виде
Н(е) = VaV
Очевидно, что aVS) есть магнитный момент шара, так что Va — его магнит-
магнитная поляризуемость (в силу симметрии шара тензор aik сводится к скаляру:
aik = aSik).
На поверхности шара (г = а) непрерывны все компоненты Н. Приравняв
отдельно компоненты, параллельные и перпендикулярные к п, получим два
уравнения для определения а и /3. Для интересующей нас поляризуемости
(отнесенной к единице объема) получаем
а = а+га = - — И	— + — ctg ак
8тг L а к ак
, _ _3_ Г _ 3^ sh Bа/8) - sin Ba/8)
8тг L 2а ch Bа/8) - cos Ba/8)
982 Г a sh Bа/8) + sin Ba/8)
16тт2 L S ch Bа/8) - cos Ba/8)
В предельном случае малых частот (8 ^> а)
а\4
105тг \8J	105c4
1 /а^2
а =
20тг V^y 10с2
Для больших же частот (8 ^ а)
3 Г 3E1 3 Г	Зс
8тг |_ 2а J	8тг
98	9с
16тга 1 бтга у 27гсго;
Предельное значение Va' = —а3/2 соответствует магнитному моменту
сверхпроводящего шара, а значение а" можно было бы найти с помощью
формулы E9.10), воспользовавшись формулой E4.3) для поля у поверхно-
поверхности сверхпроводящего шара.
Напомним, что внешнее поле предполагается записанным в комплексном
виде 9} = $Эъе~ги>г, с произвольным постоянным комплексным вектором i3o-
Тем самым в рассмотрение включены как «линейно поляризованное» пере-
переменное поле с постоянным направлением, так и эллиптически или цирку-
лярно поляризованные поля, вращающиеся в некоторой плоскости.
2. То же для проводящего цилиндра (радиуса а) в однородном периоди-
периодическом магнитном поле, перпендикулярном к его оси.
Решение. Задача является «двумерным аналогом» задачи 1; ниже
все векторные операции являются двумерными операциями в плоскости,

304	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
перпендикулярной к оси цилиндра, а г есть радиус-вектор в этой плоскости.
Поле внутри цилиндра ищем в виде
Н« = 0 rot rot (/в) = p(j + к2 А %-р(^ + к2 А п(пЗ),
где / = Jo(kr) — симметричное решение двумерного уравнения Af-\-k2f = 0,
конечное при г = 0. Поле же вне цилиндра ищем как
Н(е) = -
„3\
(V = тга ). Магнитный момент единицы длины цилиндра есть VaS} (см.
задачу 2 § 3). Из условия Н^ = Н^ при г = а, как и в задаче 1, получаем
2тг |_ ak Jo(ka)
(использовано соотношение Jo(kr) = —kJ\(kr)).
При 8 ^> а, разлагая функции Бесселя по степеням ка, получим
1
а = — -
// 1 /а
а =
24тг V^y	6с4
2	2
а аи)
8тг \8J	4c2
При 8 <С а. используем асимптотические выражения функций Бесселя и
находим
E	С
a =
2тга 2-кау2-ксгио
3. То же для цилиндра в магнитном поле, параллельном его оси.
Решение. Магнитное поле параллельно оси цилиндра во всем
пространстве. Вне цилиндра Н^ = i3, а внутри Н^ = /^, где / — сим-
симметричное решение двумерного уравнения А/+ к2 f = 0, обращающееся в 1
при г = а:
н« =.
Токи Фуко в цилиндре циркулярны (т. е. j имеет в цилиндрических коорди-
координатах только компоненту j^ = j) и определяются по полю Hz = Н согласно
4ttj _ ЭН
с ~ дг'
Магнитный момент единицы длины цилиндра Ж = 7m2ctfj, создаваемый
токами проводимости, направлен вдоль его оси и равен
Ж = — / jrdV =	/ 	г dr.
2с J	A J дг
Вычислив интеграл, получим
4тг |_ ^^ Jo(ka)

§ 59	ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ	305
Таким образом, продольная поляризуемость цилиндра в два раза меньше
поперечной поляризуемости, найденной в задаче 2.
4. Определить наименьший из коэффициентов затухания магнитного
поля в проводящем шаре.
Решение, Среди решений уравнений E8.10) для шара имеются
функции различной симметрии. Наиболее симметричным было бы решение,
определяющееся заданием произвольного постоянного скаляра. Оно, одна-
однако, не может существовать по следующей причине. Такое решение было бы
сферически-симметричным: Н = Нг(г), и в силу уравнения
divH = - — (rH) =0
г дг
(которое справедливо как вне, так и внутри шара) было бы Н = const/r. Но
эта функция не удовлетворяет условию конечности в центре шара.
Наименьшему значению 7 соответствует одно из решений, определяю-
определяющихся заданием произвольного постоянного вектора. Вид этих решений сов-
совпадает, очевидно, с найденным в задаче 1, с той лишь разницей, что в поле
Н'е' надо опустить постоянный член, так как на бесконечности должно быть
Н = 0. При этом к есть теперь вещественная величина (к2 = 4тгсг7/с2), а
вектор Н играет роль произвольного постоянного вектора. Из граничного
условия Н^ = Н^ при г = а получаем два уравнения, исключая из кото-
которых а и /3, найдем sin ка = 0. Наименьший отличный от нуля корень этого
уравнения есть ка = тг, так что наименьшее значение 7 есть
' 4<та2
5. Плоская поверхность одноосного металлического кристалла вырезана
таким образом, что нормаль к ней образует угол в с главной осью симметрии
кристалла. Определить поверхностный импеданс с учетом термоэлектриче-
термоэлектрического эффекта (М.И. Каганов, В.М. Цукерник, 1958).
Решение. Выбираем поверхность кристалла в качестве плоскости ху,
ось z — внутренняя нормаль к поверхности, и пусть главная ось симметрии
кристалла расположена в плоскости хz под углом 9 к оси z. Магнитное поле
у поверхности кристалла пусть направлено вдоль оси у: Ну = Ное~гшг] тогда
и везде внутри металла оно направлено так же. Учитывая, что все величины
зависят только от координаты z (и от времени как е~гшг), находим, что
уравнения Максвелла E8.1), E8.4) принимают вид
-Н1 - —1 7-7-0 Е' - —Н	A)
11у —	Jx-s Уу — Jz — U, Л/х —	Пу,	[1)
С	С
а также Е'у = 0, откуда Еу = 0 (штрих означает дифференцирование по z).
Для учета термоэлектрического эффекта сюда надо добавить уравнение теп-
теплопроводности С дТ/dt + div q = 0 или
-гиСт + qz = 0,	B)
где т — переменная добавка к средней температуре (Т = Т + т), С — теп-
теплоемкость единицы объема металла, q — плотность теплового потока; j и q
связаны с полем Е и градиентом температуры соотношениями B6.12).
Тензоры pik = сг^,1 и Kik симметричны; будем считать, что симметрия
кристалла такова, что и тензор aik симметричен. При сделанном выборе

306	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
осей ж, у, z имеем
Рхх = р\\ sin2 в + р± cos2 0, руу = р±, pzz = рц cos2 0 + /?_l sin2 0,
ржу = руг = 0, pxz = (рц - pj_) sin 0 cos 0,
где рц, pj_ — главные значения тензора pik вдоль оси кристалла и в пер-
перпендикулярной к ней плоскости; аналогичные формулы имеют место для
тензоров j€ik, oi-ik- С этими тензорами имеем из B6.12)
Ех = pxxjx + olxzt , qz = Tazxjx - kzzt\	C)
Ez = pzxjx +azzr'.	D)
Исключив Ну из уравнений A)-C), получим
A + а)Е'т + к2[(Ъ - а)Ет - аЕх] = 0,
где введено обозначение Ет = —olxzt и параметры
72 4ttzcj Talz (?Cpxx
к =—	, а= 	, Ъ=-	.
С2рхх	Pxx^zz	47TXZZ
Реп1ение этой системы двух уравнений для полупространства (z > 0), заня-
занятого металлом:
Ех = Aeikiz + Beik2Z,
где
причем мнимые части кг и кч должны быть положительными.
Связь между коэффициентами Л и В устанавливается из граничных
условий для температуры, а формула D) определяет поле Ez в металле (на-
(напомним, что непрерывность нормальной компоненты поля Е на поверхности
проводника не требуется). Для поверхностного импеданса имеем, согласно
определению E9.7а):
ЕХ
А+В с -0
z=0
Приведем окончательные выражения импеданса в предположении а<С 1
(как это фактически имеет место для обычных металлов) в двух случаях:
при граничном условии т = 0 (изотермическая граница):
С&зот) = Со [i +	°-^
при граничном условии qz = 0 (адиабатическая граница):
Схх = Со
2A + л/6J J '

60	скин-эффект	307
причем ?о = (oopyy/SirI^2^ —г) — импеданс без учета термоэлектрического
эффекта. Параметр а, а с ним и поправка в импедансе обращаются в нуль
при в = тг/2 и в = 0, т. е. когда главная ось кристалла лежит в плоскости
его поверхности или перпендикулярна к ней.
Если поле Н направлено по оси ж, то Ех = 0, jx = jz = 0 и градиент
температуры не возникает. Поэтому ?уу = ?о-
§ 60. Скин-зффект
Рассмотрим распределение плотности тока по сечению про-
проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный
ток. На основании полученных в предыдущем параграфе резуль-
результатов мы заранее можем ожидать, что при увеличении часто-
частоты ток будет в основном концентрироваться вблизи поверхности
проводника. Это явление называют скин-эффектом1).
Точное решение задачи о скин-эффекте зависит, вообще гово-
говоря, не только от формы проводника, но и от способа возбуждения
в нем тока, т. е. от характера внешнего переменного магнитного
поля, индуцирующего ток. Есть, однако, важный случай, когда
распределение тока можно считать не зависящим от способа его
возбуждения. Это — ток в тонком проводе, толщина которого
мала по сравнению с его длиной.
При вычислении распределения тока по сечению тонкого про-
провода последний молено считать прямолинейным. При этом элек-
электрическое поле параллельно оси провода, а магнитный вектор Н
лежит в плоскости, перпендикулярной к оси.
Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особен-
особенно прост в связи с тем, что вид поля вне провода заранее ясен.
Действительно, в силу симметрии на поверхности провода Е =
= const (в каждый данный момент времени). Но при таком гра-
граничном условии уравнения div E = 0, rot E = 0 в пространстве
вне провода имеют решением лишь Е = const во всем простран-
пространстве. По аналогичным причинам и магнитное поле вокруг прово-
провода будет таким лее, каким оно было бы вокруг провода с постоян-
постоянным током, равным данному мгновенному значению переменного
тока.
Внутри провода электрическое поле удовлетворяет уравне-
уравнению
с2 dt'
совпадающему с уравнением E8.6) для Н (оно получается путем
исключения Н из уравнений E8.1) и E8.4) так лее, как уравнение
*) В более общем смысле о скин-эффекте говорят во всех ситуациях, когда
переменное электромагнитное поле (а с ним и вызываемые им токи) прони-
проникает лишь на относительно небольшую глубину в проводник.

308	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
E8.6) было получено путем исключения Е). В цилиндрической
системе координат с осью z вдоль оси провода поле Е имеет лишь
^-компоненту и зависит только от координаты г; для периодиче-
периодического поля с частотой ио получаем уравнение
^ = o, k = ^ = l±i, (вол)
8	8
где 6 есть введенная в предыдущем параграфе глубина проник-
проникновения E9.4). Решение этого уравнения, остающееся конечным
при г = 0, есть
E = EZ = const • J0(kr)e-iujt	F0.2)
(Jo — функция Бесселя). По такому же закону распределена
плотность тока j = аЕ.
Магнитное же поле Н^ = Н находим по электрическому сог-
согласно уравнению E8.1):
l-H^ = (rotEU = -^.	F0.3)
с	дг
Имея в виду, что Jq(u) = —J\(u), получим
Я = Н^ = -г • const • W—^(Ые"^	F0.4)
у оо
с той же const, что и в F0.2). Эту постоянную легко определить
из условия, что на поверхности провода должно быть Н = 2//са,
где а — его радиус, а / — полный ток, протекающий по проводу.
В предельном случае малых частот (а/6 <С 1) на всем протя-
протяжении сечения провода можно ограничиться первыми членами
разложения функции Бесселя:
4. 2тг<7 Г, г (r\2 I fr\4]
= const •	г И - - ( - -__
с [ 4 \8J 48 \8J
F0.5)
е"*"*.
Амплитуда ?, ас нею и амплитуда плотности тока, возрастает
при удалении от оси пропорционально [1 + (г/25L].
В обратном предельном случае больших частот (а/6 ^ 1) на
большей части сечения провода можно воспользоваться извест-
известной асимптотической формулой
J0(uV2i) - ^e^1-^,	F0.6)
у/и
применимой при больших значениях аргумента функции Бессе-
Бесселя. Сохраняя лишь наиболее быстро меняющийся зкспоненци-

§ 61	КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ	309
альный множитель, получим
¦п	j.	{а —г.. fa —г	Л~|
Ez = const • exp —	+ г I	— u)t)\ ,
L S V S	/ J
F0.7)
тт j. /1 i л /27гсг Г а —г . .(a — r	ЛI
if = const • A +*)W	exp —	+ % (	— ootjl .
Эти формулы, естественно, совпадают с формулами E9.3)—
E9.5), которые при сильном скин-эффекте применимы вблизи
поверхности проводника любой формы.
В общем случае провода с некруговым сечением точный рас-
расчет скин-эффекта представляет значительно более сложную за-
задачу, так как требует одновременного определения поля как
внутри, так и снаружи провода. Лишь в предельном случае силь-
сильного скин-эффекта задача снова упрощается, поскольку поле вне
провода может быть заранее определено как статическое поле во-
вокруг сверхпроводника той же формы.
§ 61. Комплексное сопротивление
До тех пор, пока частота переменного тока достаточно мала,
мгновенное значение силы тока J(t) в линейном контуре опреде-
определяется значением электродвижущей силы $(i) в тот же момент
времени, согласно
?(t) = RJ(t),	F1.1)
где R — сопротивление провода постоянному току.
Но при произвольных частотах нет никаких оснований ожи-
ожидать существования прямой связи между значениями S и J в
один и тот лее момент времени. Молено лишь утверждать, что
значение J(i) должно зависеть линейным образом от значений
$(i) во все предыдущие моменты времени. Запишем символиче-
символически эту связь в виде J = Z~lS или, для обратной связи,
F1.2)
где Z — некоторый линейный оператор1). Если функции J(t) и
$(i) разложены в интегралы Фурье, то для каждой из их моно-
монохроматических компонент (зависящих от времени посредством
множителя e~lujt) результат действия оператора Z сводится, в
силу линейности последнего, к умножению на некоторую вели-
2) Мы не останавливаемся здесь на обсуждении общих свойств этого опе-
оператора, так как они вполне аналогичны свойствам оператора е", которые
будут подробно изложены в § 77, 82.

310	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
чину Z, зависящую от значения частоты:
S = Z(u))J.	F1.3)
Функция Z((jj), вообще говоря, комплексна. Она называется ком-
комплексным сопротивлением или импедансом проводника.
Из сравнения F1.3) с F1.1) ясно, что обычное сопротивление
R представляет собой нулевой член разложения функции Z{uS)
по степеням си. Для определения следующего члена надо учесть
наряду с R также и самоиндукцию L проводника1).
Рассмотрим линейный контур, в котором действует перемен-
переменная электродвижущая сила $(t). По определению последней ра-
работа, производимая в 1 с электрическим полем над движущи-
движущимися в проводе зарядами, дается произведением SJ. Эта работа
частично переходит в джоулево тепло, а частично затрачивается
на изменение энергии магнитного поля тока. По определению R
и L джоулево тепло, выделяющееся в проводе в 1 с, есть RJ^, a
магнитная энергия тока есть LJ2/2c2. Поэтому закон сохранения
энергии выражается уравнением
SJ = RJ2 + ±±? = RJ2 + iLJ^
dt 2с2	с2 dt
или
g = RJ+\L—.	F1.4)
Оперируя с квадратичными выражениями (S'J, J2), надо пи-
писать величины S и L в виде вещественных функций. Но после
того как получено линейное уравнение F1.4), можно перейти к
монохроматическим компонентам в комплексном представлении:
S = ?ъе~гш1, J = Joe~tujt. Тогда уравнение F1.4) сводится к ал-
алгебраическому соотношению
Z = R--uoL.	F1.5)
с2
Отделив в соотношении J = $/Z вещественную часть, полу-
получим
j(t) =	^	cos (cot - <р), tg<p = —,	F1.6)
V ;	/#2+u2L2/c4 V	^}> Ь^ с2Д'	V ;
чем определяется амплитуда тока и сдвиг фаз между током и
электродвижущей силой.
Вещественная часть выражения F1.5) совпадает с сопротив-
сопротивлением i?, определяющим диссипацию энергии в контуре. Легко
видеть, что и в общем случае произвольной зависимости Z(uo)
г) Здесь и ниже мы понимаем под Ru L величины, относящиеся к посто-
постоянному току.

§61	КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ	311
имеется аналогичная связь между Re Z и диссипацией энергии
(при заданной силе тока).
Усреднив по времени мощность §J, потребляемую в конту-
контуре при протекании в нем периодического тока, мы найдем ту ее
часть, которая систематически затрачивается на покрытие дис-
сипативных потерь. Таким образом, отнесенная к 1 с диссипация
энергии Q в контуре:
Q R
где $ w J выражены в комплексном виде (ср. примеч. на с. 300).
Подставив сюда S = ZJ и обозначив вещественную и мнимую
части Z соответственно как Z' и Z" ^):
Z = Z' + iZ",	F1.7)
получим
Q = \z'\J?
или, с помощью вещественной функции J(t):
Q = Z'(u))J*,	F1.8)
чем и устанавливается искомая связь.
Отметим, что поскольку Q — существенно положительная ве-
величина, то и Z1 всегда положи тел ьн о:
Z'>0.	F1.9)
Вычислим Z(lu) для провода кругового сечения при про-
произвольных (но, разумеется, удовлетворяющих условиям квази-
квазистационарности) частотах, т. е. не пренебрегая при этом скин-
эффектом. Для этого снова воспользуемся законом сохранения
энергии, представив его в другом виде.
Разобьем мощность SJ {$ и J — вещественные выражения)
на два члена, из которых один представляет теперь изменение
энергии магнитного поля вне провода, а другой — полную энер-
энергию, потребляемую внутри провода (как на изменение энергии
поля в нем, так и на выделение тепла). Вторую часть можно
вычислить как полный поток энергии, втекающий в 1 с внутрь
проводника через его поверхность. Таким образом, получим
= *± J— + -cEHal,
2 dt 2	'
+ 2тга1	J +
dt 2с2	4тг	с2 dt 2
где Le — внешняя часть самоиндукции провода, Е и Н — напря-
напряженности электрического и магнитного поля на его поверхности,
а — его радиус, / — длина. Поле Н связано с током J соотноше-
соотношением Н = 2 J/ca. Поэтому, разделив написанное равенство на J,
называют иногда активным и реактивным сопротивлениями.

312	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
получим
с2 dt
Это уравнение линейно, и потому молено перейти к комплексно-
комплексному представлению величин. Тогда
откуда
у	iuj T IE	iuj T 2EI	(ал 1Пч
Z = ~^Le + — = -—Ье + —=•	F1.10)
с2	J	с2	саН
При произвольных частотах сюда надо подставить Е и Н из
F0.2) и F0.4):
Z	L +R	F111)
9	ОТ/74	V	/
с2	2 Ji(ak)
(R = 1/(тга2а)). При слабом скин-эффекте пользуемся разложе-
разложениями F0.5); произведя вычисления с точностью до членов по-
порядка (а/6L и отделив вещественную часть, получим
В обратном случае сильного скин-эффекта с помощью выраже-
выражений F0.7) получим
28 „_ . _...
F1.12)
Из F1.11а) видно, что можно полагать Z' = R при
(тгаоиа2/с2J < 12. В то же время
2
B in -
Z' c2R \ с2 ) П а
(Le взято из C4.1)). Сравнив с предыдущим неравенством, мы
видим, что область частот, в которой следует пользоваться вы-
выражением F1.5), не пренебрегая в нем самоиндукцией, зависит
от отношения l/а и сравнительно узка.
На практике, однако, наиболее важен случай, когда основ-
основным носителем самоиндукции в цепи являются включенные в
нее катушки, обладающие повышенной, по сравнению с растя-
растянутым проводом, самоиндукцией (см. § 34). В таких контурах
область частот, в которой должна применяться формула F1.5)
(т. е. уравнение F1.4) с постоянными R и L), достаточно широка.

§ 61	КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ	313
Рассмотрим контур, находящийся во внешнем переменном
магнитном поле Не, которое может иметь любое происхожде-
происхождение. Обозначим через Ее электрическое поле, которое индуциро-
индуцировалось бы переменным полем Не в отсутствие проводников. Как
Не, так и Ее очень слабо меняются на протяжении толщины тон-
тонкого провода (в противоположность собственному полю текущих
по проводу токов). Поэтому можно рассматривать циркуляцию
Ее по контуру тока, не уточняя, где именно внутри провода этот
контур проведен. Эта циркуляция есть не что иное, как электро-
электродвижущая сила S', индуцируемая в контуре переменным внеш-
внешним магнитным полем. Согласно интегральной форме уравнения
Максвелла имеем
?= ? Eedl=—? fuedf=-1-^,	F1.13)
J	с at J	с dt
где Фе — поток внешнего поля через рассматриваемый контур.
Подставив это выражение в уравнение F1.4), получим
с2 dt	с dt
Если перенести член с самоиндукцией в правую часть равен-
равенства, то это уравнение запишется в виде
(б114)
с dt с2 dt	с dt'	V	J
где Ф = Фе + LJ/c — полный магнитный поток, как от внешнего
магнитного поля, так и от собственного поля тока. В таком виде
это уравнение выражает собой закон Ома для цепи в целом, т. е.
равенство между RJ и полной электродвижущей силой в цепи.
Формулировка уравнения F1.14), как выражающего собой за-
закон Ома, позволяет обобщить его на случай, когда с течением
времени меняется также и форма самого проводящего контура.
При этом функцией времени будет и самоиндукция L и вместо
F1.14) надо писать
RJ = ---(LJ) - -^.	F1.15)
с2 dV ) с dt	V	У
При выводе же из закона сохранения энергии необходимо было
бы учитывать еще работу, затрачиваемую на деформацию про-
проводника.
Если имеется несколько расположенных вблизи друг от друга
контуров с токами Ja, то для каждого из них роль Фе в уравне-
уравнении F1.14) играет сумма магнитных потоков от других конту-
контуров (и от внешнего постороннего поля, если таковое имеется).
Магнитный поток, создаваемый током <Д через контур тока Ja,
есть LabJb/c, где Ьаъ — коэффициент взаимной индукции обоих
контуров. Поэтому получаем следующую систему уравнений для

314	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
переменного тока в контурах:
ab^ = ga.	F1.16)
с '	dt
Ъ
В сумму по Ъ включен также и член с самоиндукцией (b = a), a §a
есть электродвижущая сила, создаваемая в а-м контуре источни-
источниками, посторонними по отношению к рассматриваемой системе
токов.
Для периодических (монохроматических) токов система диф-
дифференциальных уравнений F1.16) сводится к системе алгебраи-
алгебраических уравнений:
Y	= ^	F1.17)
где величины
Zab = SabRa ~ ЦьЛ	F1.18)
С2
составляют матрицу импеданса. Подобно F1.5) выражения
F1.18) представляют собой первые члены разложения функций
bio) по степеням частоты.
Отметим, что в этом приближении отсутствует взаимное
влияние контуров на вещественную часть импеданса. Такое
влияние осуществляется тем, что магнитное поле переменного
тока в одном проводнике создает токи Фуко (а с ними и допол-
дополнительную диссипацию энергии) в другом проводнике. Для ли-
линейных проводников этот эффект ничтожен. Он может, однако,
стать заметным при наличии расположенных вблизи них массив-
массивных проводников.
Наконец, остановимся на вопросе о том, каким образом связа-
связаны полученные в этом параграфе уравнения переменных токов
в линейных контурах с общими уравнениями переменного маг-
магнитного поля в произвольных проводниках. Проследим за этой
связью на простейшем примере тока, возникающего в контуре
при выключении действовав глей в нем до момента времени i =
= 0 постоянной электродвижущей силы Sq. Из уравнения F1.4)
имеем -1):
J = ^	при t < О,
/> ? г*п \	F1.19)
J=^exp(-^?) при ?>0.
г) Строго говоря, эти формулы непригодны для очень малых значений ?,
когда в спектральном разложении функции существенны компоненты с
большими частотами и потому нельзя пользоваться уравнением F1.4). Но
за этот малый промежуток времени ток J успевает измениться лишь весь-
весьма незначительно, и поэтому формула F1.19) достаточно точно определяет
величину тока в дальнейшие моменты времени.

§ 62	ЕМКОСТЬ В ЦЕПИ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ТОКА	315
Мы видим, что после выключения электродвижущей силы ток за-
затухает со временем по экспоненциальному закону с декрементом
7 = ^р	F1-20)
С точки зрения точной формулировки задачи эта 7 является наи-
наименьшей из величин 7тэ получающихся в результате решения
точного уравнения E8.10) для данного проводника. Среди зна-
значений 7т для линейного проводника есть одно (наименьшее из
всех), которое по порядку величины в In (I/a) раз меньше осталь-
остальных; это и есть значение F1.20).
§ 62. Емкость в цепи квазистационарного тока
В отличие от постоянного тока переменный ток может течь
не только в замкнутой, но и в разомкнутой цепи. Рассмотрим
линейный контур, концы которого присоединены к обкладкам
конденсатора, находящимся на малом расстоянии друг от дру-
друга. При распространении по контуру переменного тока обклад-
обкладки конденсатора будут периодически заряжаться и разряжаться,
тем самым играя роль «источников» и «стоков» тока в разомкну-
разомкнутой цепи.
Ввиду малости расстояния между обкладками конденсатора
магнитную энергию тока молено по-прежнему положить равной
LJ2/Bc2), где L — самоиндукция замкнутого контура, который
получился бы из данного путем соединения обкладок коротким
отрезком провода 1). После этого единственное изменение в урав-
уравнении F1.4) будет состоять в добавлении к падению напряжения
на сопротивлении, RJ, разности потенциалов на обкладках кон-
конденсатора: е/С, где С — емкость конденсатора, а ±е(?) — заряды
на его обкладках. Таким образом,
С с2 dt
Но сила тока J равна убыли заряда одной или приращению за-
заряда другой обкладки:
т	 ае
J ~Jt
Выразив в уравнении J через е, получим
L_#e+Rde+e_ = gm	,621х
с2 dt2	dt С	V )
Это и есть искомое уравнение для переменного тока в цепи с
емкостью.
1) В этом параграфе скин-зффектом пренебрегаем.

316	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
Если S — периодическая функция времени с частотой c<j, то
уравнение F2.1) сводится к алгебраическому соотношению меж-
между ^ и зарядом е, или, что то лее, между § и током J = —гиое.
Именно, имеем JZ = S', где импеданс Z определяется согласно
Отделив в соотношении J = $/Z вещественную часть, получим
, F2.3)
чем определяется сила тока в цепи с приложенной извне элек-
электродвижущей силой S = Sq cos cot.
Если же S = 0, то ток в цепи представляет собой свободные
электрические колебания. Частота (комплексная) этих колеба-
колебаний определяется условием Z = 0, откуда
.Re2 , / с2 Rc2y	,м лл
со = —г	±\ — — (	 .	F2.4)
2L V LC \ 2L J	У }
В зависимости от знака подкоренного выражения мы будем
иметь затухающие (с декрементом Re2 /2L) колебания или же
чисто апериодически затухающий разряд. В предельном случае
R —)> 0 имеем незатухающие колебания с частотой, выражающей-
выражающейся формулой Томсона:
ио = -^=	F2.5)
Vie	v )
(W. Thomson, 1853).
Уравнение F2.1) непосредственно обобщается на систему
нескольких индуктивно связанных контуров с конденсаторами.
Ток Ja в а-м контуре связан с зарядами ±еа на обкладках соот-
соответствующего конденсатора:
т _ dea
Ja~ dt'>
а вместо F2.1) имеем систему уравнений
Для периодических (монохроматических) токов эти уравнения
сводятся к алгебраической системе
abJb = <?a,	F2.7)

62	ЕМКОСТЬ В ЦЕПИ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ТОКА	317
причем элементы матрицы Z^ даются формулами
F2-8)
Собственные частоты системы токов даются условием совмест-
совместности уравнений F2.7) при §а = 0, т. е. условием равенства нулю
определителя:
det|Za6|=0.	F2.9)
Если сопротивления R отличны от нуля, то все «частоты» имеют
мнимую часть, т. е. электрические колебания затухают.
Обратим внимание на то, что уравнения F2.6) формально
совпадают с механическими уравнениями движения системы с
несколькими степенями свободы, совершающей затухающие ма-
малые колебания. При этом роль обобщенных координат играют
заряды еа, роль обобщенных скоростей — токи Ja = ёа. Функция
Лагранжа системы есть
^	J2 ^ Е *&'	F2Л°)
а,Ъ	а	а	а
Роль кинетической и потенциальной энергии механической си-
системы играют в ней соответственно магнитная и электрическая
энергии системы токов, а величины $а соответствуют приложен-
приложенным извне силам, возбуждающим вынужденные колебания си-
системы. Величины же Ra входят в диссипативную функцию
UK-	F2.11)
a
Уравнения F2.6) совпадают с уравнениями Лагранжа
d
= - —.	F2.12)
dt дёа деа	дёа
Задачи
1. Определить собственные частоты электрических колебаний в двух
индуктивно связанных контурах, содержащих самоиндукции L\ и L2 и ем-
емкости С\ и С2\ сопротивлениями R\ и R2 пренебрегаем.
Решение. Искомые частоты определяются из условия
det \Zab\ — Z\\Z22 — Z^2 = О,
где
Zn = -г i-Li - —- , Z22 = -it -L2 -
\c2	ujCiJ	\c2
Вычисление дает
- L2C2 =p [(LiCi — L2C2) +
1С С (L L 	L2 1

318
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Обе частоты вещественны, что является следствием пренебрежения Ri и R2.
При Li2 —>¦ 0 частоты ел и uj2 стремятся к значениям c/y/LiCi и с
соответствующим раздельным колебаниям в каждом из контуров.
2. То же для цепи из параллельно соединенных сопротивления R, емко-
емкости С и самоиндукции L.
Решение. Импедансы трех ветвей цепи равны
7 - Т? 7 - { 7 - iU Г
Zii —К, Zi2 — ——, Z13 —	-Ь,
C	2
ujC
а токи в них связаны соотношениями
Ji + J2 + J3 = 0, Z
Отсюда находим уравнение
= Z2 J2 = Z3 J3.
решение которого дает
2RC
с
Тс
1
4R2C2
3. Рассмотреть распространение электрических колебаний по цепи, со-
составленной из бесконечной последовательности одинаковых ячеек, содержа-
содержащих импедансы
Zl = -i (-U -
\ 2
оиС2
как это показано на рис. 37. Найти область частот колебаний, которые могут
распространяться вдоль цепи без затухания 2).
Решение. Токи г а определим как контурные токи в каждой из ячеек
цепи (рис. 37). Уравнение Кирхгофа для а-го контура гласит:
Ziia + Z2Bia — ia-i — ia+i) = 0.
Это есть линейное разностное уравнение (по целочисленной переменной а)
с постоянными коэффициента-
коэффициентами. Ищем его решение в виде
ia = const • qa
и для параметра q получаем ха-
характеристическое уравнение
-(-I)
1=0. A)
Рис. 37	Пусть -4 ^ Z1/Z2 ^ 0, че-
чему соответствуют значения о;2, лежащие между меньшей и большей из ве-
величин
4L2
2) Условие применимости квазистационарной теории к такой периодиче-
периодической цепи заключается в малости размеров отдельной ее ячейки по сравне-
сравнению с «длиной волны» с/ш.

§ 63	ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	319
Тогда уравнение A) имеет два комплексно сопряженных корня с модулями
\q\ = 1. Это значит, что при переходе от одной ячейки цепи к следующей
амплитуда тока не убывает, т. е. электрические колебания распространя-
распространяются по цепи без затухания. Если обозначить в этом случае q = егЫ (I —
длина одной ячейки цепи), то к играет роль «волнового вектора» распро-
распространяющихся вдоль цепи колебаний. Скорость лее распространения молено
вычислить по общим правилам как производную и = duj/dk.
Если же uj лежит вне указанных пределов, то уравнение A) имеет два
вещественных корня q\ и q<i\ поскольку q\qi = 1, то один из них (пусть q\) по
абсолютной величине меньше, а другой (#2) больше 1. Легко видеть, что это
означает невозможность незатухающего распространения колебаний вдоль
цепи. Для уяснения причины этого рассмотрим цепь большой, но конечной
длины. Начальный колебательный импульс вносится в начале цепи, а на
конце цепь тем или иным способом замкнута. Математически замкнутость
конца цепи описывается определенным граничным условием, с помощью ко-
которого в общем решении
(Л — «координата» конца цепи) определяется отношение коэффициентов
Ci/c2, которое при написанной форме решения будет порядка 1. Но тогда по
мере увеличения А — а второй член (в котором \q2\ < 1) быстро станет очень
малым по сравнению с первым. Таким образом, почти по всей длине цепи,
за исключением лишь малого ее участка вблизи конца, решение имеет вид
-(А-а)
qy J
в котором \га\ убывает по направлению от начала цепи к ее концу.
Следует подчеркнуть, что это затухание не имеет характера диссипа-
тивного поглощения (для которого нет причин ввиду отсутствия сопротив-
сопротивлений в цепи); оно может быть наглядно описано как результат отражений
колебательного импульса от каждой последующей ячейки цепи.
§ 63. Движение проводника в магнитном поле
Во всем предыдущем изложении молчаливо подразумевалось,
что проводники в электромагнитном поле покоятся (относитель-
(относительно системы отсчета К, в которой определены все величины Е, Н
и т. д.). В частности, и связь j = сгЕ между током и полем спра-
справедлива, вообще говоря, лишь для неподвижных проводников.
Для определения связи между током и полем в движущемся
проводнике перейдем от системы отсчета К к другой системе,
Kf', в которой проводник (или его отдельный участок) в дан-
данный момент времени покоится. В этой системе имеем j = сгЕ',
где Е' — напряженность электрического поля в К'. Но согласно
известной формуле преобразования полей Е' выражается через
поле в системе К через *)
E' = E+-[vB],	F3.1)
) См. II, § 24. Микроскопические значения напряженностей электрического
и магнитного полей заменены их усредненными значениями ё= Е, h = В.

320	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
где v — скорость системы К1 относительно системы К, т. е. в
данном случае — скорость проводника (которую мы предполага-
предполагаем, естественно, малой по сравнению со скоростью света). Таким
образом, находим
(i	F3.2)
Это и есть формула, определяющая связь между током и
полем в движущихся проводниках. По поводу ее вывода надо
сделать еще следующее замечание. Произведя переход от одной
системы отсчета к другой, мы преобразовали поле, но остави-
оставили величину j неизменной. Преобразование плотности тока при-
привело бы, при v <С с, к появлению добавочных членов высшего
порядка малости. В формуле же F3.2) второй член, появивший-
появившийся в результате преобразования поля, вообще говоря, не мал по
сравнению с первым, хотя и содержит множитель v/c. Так, если
электрическое поле само обусловлено электромагнитной индук-
индукцией от переменного магнитного поля, то его порядок величи-
величины содержит лишний множитель 1/с по сравнению с магнитным
полем.
Диссипация энергии в проводнике при протекании в нем за-
заданного тока не может, разумеется, зависеть от движения про-
проводника. Поэтому плотность выделения (в 1 с) джоулева тепла
в движущемся проводнике, выраженная через плотность тока,
дается той же формулой j2/cr, как и в неподвижном проводнике.
Но вместо произведения jE теперь имеем *)
Таким образом, в движущемся проводнике сумма Е+ [vB]/c
играет роль «эффективной» напряженности электрического по-
поля, создающей ток проводимости. Поэтому электродвижущая си-
сила, действующая в замкнутой линейной цепи С, дается интегра-
интегралом
S = ([ (e+-[vB}) d\.	F3.3)
с
Преобразуем его следующим образом. Согласно уравнению Мак-
) Из этой формулы видно, что дополнительное тепло, выделяющееся (в те-
течение времени St) в проводнике при его движении в магнитном поле, есть
St- / j[vB] dV = --f ?u[jB] dV,
где Su = \St — смещение за время St. Эта величина равна и противоположна
по знаку работе, произведенной за то же время над проводником объемны-
объемными силами f = [jB]/c; тем самым разъясняется кажущееся противоречие,
упомянутое на с. 193.

§ 63	ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	321
свелла rot hi = —	имеем
с dt
?Edl= f rotEdf =-±- f Bdf,
J	J	cdt J
С	S	S
или, обозначив через Ф магнитный поток через поверхность 5,
опирающуюся на контур тока,
с \dtJv=0
Производная по времени с индексом v = 0 означает изменение
магнитного потока, обусловленное изменением во времени самого
магнитного поля при неизменном положении контура С.
Во втором же члене пишем v = du/dt, где du — бесконечно
малое смещение элемента контура. Тогда
f [vB] d\ = Г
с	I
[duB] d\ _ fBdf
dt ~	dt '
где df = [du • d\\ — элемент площади «боковой» поверхности
между двумя бесконечно близкими положениями С и С" контура
тока, занимаемыми им в моменты времени i и i + dt (рис. 38).
Поскольку полный магнитный поток через
всякую замкнутую поверхность равен ну-
нулю, то ясно, что поток через боковую по-
поверхность равен разности потоков через по-
поверхности, опирающиеся на С и С. Таким
образом,
, _ , B=const
С	Рис 38
где производная по времени означает изменение магнитного пото-
потока, связанное с перемещением проводника при неизменном поле.
Складывая оба члена, получим окончательно
S = -- — ,	F3.4)
с dt
где производная по времени означает теперь полное изменение
магнитного потока через движущийся контур. Таким образом,
выражаемый формулой F3.4) закон Фарадея справедлив неза-
независимо по какой причине происходит изменение магнитного по-
потока — или от изменения самого поля (о чем уже шла речь в § 61,
формула F1.13)) или от движения проводника.
В постоянном магнитном поле изменение потока может быть
связано только с перемещением контура. Если контур движется
так, что все его точки перемещаются вдоль силовых линий поля,
11 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

322	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
никогда не пересекая их, то поток поля через контур не меня-
меняется. Это обстоятельство является очевидным следствием того,
что магнитный поток через всякую замкнутую поверхность ра-
равен нулю, а поток через «боковую» поверхность, описываемую
движущимся контуром, в этом случае равен нулю тождествен-
тождественно (так как на ней Вп = 0). Таким образом, молено сказать, что
для возникновения индукционной электродвижущей силы про-
проводник во всяком случае должен пересекать при своем движении
магнитные силовые линии.
Электромагнитное поле в движущихся проводниках опреде-
определяется системой уравнений:
rotE = -!**,
с dt
rot H = ^j = ^ (Е + 1 [vB]) ,	F3.5)
с	с V	с	/
divB = 0.
Выразив из второго уравнения Е через Н и подставив в первое,
получим
дВ	, г -Dl	с2 , /rotH\	(ao a\
— - rot vB = —— rot 	 .	F3.6)
В однородном проводнике с постоянными проводимостью а и
магнитной проницаемостью [i
— - rot [vHl = -*— АН, div H = 0.	F3.7)
Эти уравнения обобщают те, которые были получены в § 58.
Следует, однако, указать, что если имеется всего один про-
проводник, движущийся как целое (не деформируясь) во внешнем
магнитном поле, то решение задачи значительно упрощается при
использовании системы координат, жестко связанной с телом. В
этой системе проводник неподвижен, а внешнее поле меняется со
временем по заданному закону, так что мы возвращаемся к типу
задач о токах Фуко, рассмотренных в § 59. Возможность такого
перехода связана, однако, не с галилеевским (или эйнштейнов-
эйнштейновским) принципом относительности, так как новая система ко-
координат, вообще говоря, неинерциальна. Эквивалентность обеих
задач есть следствие отмеченной выше независимости электро-
электромагнитной индукции от причины, вызывающей изменение маг-
магнитного потока. В ней можно убедиться и чисто математическим
путем. Для этого раскроем выражение rot[vB], учитывая при
этом, что div В = 0, а при движении тела как целого также и
divv = 0 (это равенство выражает собой несжимаемость тела).

63
ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
323
Тогда левая часть уравнения F3.6) примет вид
№ + (W)B - (BV)v.
F3.8)
Но эта сумма есть не что иное, как производная от В по време-
времени, определяющая изменение В по отношению к вращающемуся
телу. Действительно, сумма первых двух членов есть «субстан-
«субстанциональная» производная по времени dB/dt, дающая изменение
В в точке, перемещающейся со скоростью v. Третий же член учи-
учитывает изменение ориентации В по отношению к телу: он равен
нулю при чисто поступательном движении (v = const) и равен
— [ОВ] при вращении тела (v = [Sir], где SI — угловая скорость).
В заключение этого параграфа рассмотрим своеобразное яв-
явление (униполярную индукцию), возникающее при вращении на-
намагниченного проводника. Оно заключается в том, что если при
помощи двух скользящих контактов (А и В на рис. 39) присо-
присоединить к вращающемуся магниту неподвижный провод, то по
последнему потечет ток. Не представляет труда вычислить элек-
электродвижущую силу, создающую этот ток. Для этого проще все-
всего перейти к системе координат, вращающейся вместе с магни-
магнитом. Если S1 — угловая скорость вращения магнита, то в новой
системе провод вращается с угловой скоростью — Ct (а магнит
неподвижен). Таким образом, мы имеем те-
теперь дело с проводником, движущимся в за-
заданном постоянном магнитном поле В, созда-
создаваемом неподвижным магнитом; искажением
поля самим проводником мы пренебрегаем.
Согласно формуле F3.3) электродвижущая
сила, действующая между концами провода,
дается интегралом
S=- Г [vBl<fl=! Г ГВГгПЦсД, F3.9)
с J	'	с J
АСВ	АСВ
„	Рис. 39
взятым вдоль длины провода. Эта формула и решает поставлен-
поставленную задачу.
Задачи
1. Определить магнитный момент проводящего шара (с fi = 1), равно-
равномерно вращающегося в однородном постоянном магнитном поле; определить
действующий на шар момент сил.
Решение. Пусть в неподвижной системе координат (с осью z вдоль
вектора угловой скорости ft) внешнее поле имеет составляющие fix, 0, fiz.
В системе координат ?, rj, z, вращающейся вместе с шаром, составляющие
поля:
fit=fixCOsQt, fin = -fix sin Ш, fiz
или, в комплексном виде,
Я* = S)xe~int, fin = -iS)xe~int, fiz.

324	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
Таким образом, вдоль осей ? и г} действует переменное поле с частотой
Q и индуцируемый им магнитный момент
^ = VRe{a$)t} = V$)x(a costtt + a" sinttt),
= VS)x(-a sin Ш + a" cosQt),
где Vol — комплексная магнитная поляризуемость шара, определенная в
задаче 1 § 59. Вдоль же оси z магнитное поле постоянно и потому не со-
создает (при j2 = 1) магнитного момента. Составляющие магнитного момента
относительно неподвижной системы координат:
Таким образом, в этой задаче а и а" определяют составляющие магнитного
момента шара соответственно в плоскости векторов Л, 9} и перпендикулярно
к ней.
Действующий на шар момент сил К = [~dfS$]. Его составляющие отно-
относительно неподвижных осей:
Кх = Va"?)x?)z, Ку = -Va'fixfiz, Kz = -Va"rfx.
Использованное здесь сведение задачи о вращающемся в поле шаре к
задаче о неподвижном шаре в переменном поле вполне естественно в свете
замечания, сделанного в конце решения задачи 1 § 59. Обратим внимание
на интересный аспект этой аналогии: при увеличении частоты ш переменно-
переменного магнитного поля оно «выталкивается» из шара — в пределе ш —>¦ оо все
силовые линии «обтекают» шар, не проникая внутрь его; таким лее образом
из быстро вращающегося шара выталкивается магнитное поле, перпендику-
перпендикулярное к оси вращения.
2. Определить электродвижущую силу униполярной индукции, возни-
возникающую между полюсом и экватором (см. рис. 39) однородно намагничен-
намагниченного шара, равномерно вращающегося вокруг оси, совпадающей с направ-
направлением намагничения.
Решение. При вращении шара вокруг направления его намагни-
намагничения создаваемое им поле постоянно; учитывая также, что внутри шара
нет токов, найдем из F3.6), что rot [vB] = 0. Поэтому интеграл от [vB] по
замкнутому контуру О АС ВО (рис. 39) обращается в нуль и, следовательно,
интегрирование по пути АСВ в формуле F3.9) можно заменить интегриро-
интегрированием по пути АОВ, проходящему внутри шара. Интеграл вдоль отрезка
АО оси вращения обращается в нуль ввиду совпадения направлений П и г,
а интегрирование вдоль радиуса ОВ дает (с учетом совпадения направле-
направлений В и Г2 внутри шара):
S = - Г B0Qr dr = п
с{	2с
(а — радиус шара, Во — магнитная индукция в нем). В однородно намагни-
намагниченном шаре (в отсутствие приложенного внешнего поля) связь индукции с
намагничением определяется уравнениями Во + 2Н = 0 (ср. (8.1)) и Во -
— Н = 4тгМ, откуда Во = 8тгМ/3. Вводя полный магнитный момент шара
^, получим окончательно
ас
3. Определить полный заряд, протекающий по линейному замкнутому
контуру при изменении (по любой причине) магнитного потока через него
от одного постоянного значения (Фа) до другого (Фг)-

§ 64	ВОЗБУЖДЕНИЕ ТОКА УСКОРЕНИЕМ	325
ос
Решение. Искомый полный заряд есть интеграл f J dt, где J(t) —
— ос
возникающий в контуре индукционный ток. С математической точки зрения
этот интеграл представляет собой компоненту Фурье функции J(t) с часто-
частотой ио = 0. Поэтому он связан с такой лее компонентой электродвижущей
силы соотношением
сю	сю
J S'dt = Z@) J Jdt
— сю	—сю
(см. F1.3)). Подставив Z(fi) = R (R — сопротивление контура для постоян-
постоянного тока) и $ = — A/с) dQ/dt, получим
СЮ	_,
Г Jdt= — (Ф1 -
Ф2
§ 64. Возбуждение тока ускорением
Рассматривая в предыдущем параграфе движение проводни-
проводника, мы пренебрегли возможным влиянием ускорения (если тако-
таковое имеется). Между тем ускоренное движение металла эквива-
эквивалентно появлению дополнительных инерционных сил, действую-
действующих на электроны проводимости. Если v — ускорение проводни-
проводника, а га — масса электрона, то эта сила равна —rav. Она оказыва-
оказывает на электрон такое же действие, какое произвело бы электриче-
электрическое поле с напряженностью rav/e, где —е есть заряд электрона.
Таким образом, эффективное электрическое поле, действующее
на электроны проводимости в ускоренно движущемся металле,
есть
E' = E+-v.	F4.1)
е
Соответственно для плотности тока имеем
j = сгЕ' = а (Е + -v) .	F4.2)
V	е /
Выразим из F4.1) Е через Е' и подставим в уравнение
rot E =
с dt
(полагаем везде \i = 1). Тогда
rotE' = --— + - rot v.	F4.3)
с dt e
Напишем v в виде суммы
где и — скорость поступательного движения, a ft — угловая
скорость вращения тела. Дифференцируя по времени, найдем

326	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
ускорение
v = и + [ftv] + [ftr] = и + [uft] + [ft[ftr}}_ + [fir].
Первые два члена не зависят от г и потому дают нуль при диф-
дифференцировании по координатам. Третий член может быть на-
написан в виде
[ft[ftr}}_ =--grader]2
и потому его rot тоже обращается в нуль. Наконец, rot [Sir] = 2ft.
Таким образом, подставив v в F4.3), получим
rotE' = -l^i + ^n
с dt	e
или
где введено обозначение
Н' = Н - ^О.	F4.5)
е
Поскольку ft от координат не зависит, то уравнение
j. тт 4тг .
rot Н = —j
с
сохраняет свой вид, если выразить в нем Н через Н':
rotH' = — сгЕ'.	F4.6)
с
Исключив Ег из уравнений F4.4) и F4.6), мы получим для Н'
уравнение
dt '	v ;
совпадающее с уравнением, которому удовлетворяет Н в непо-
неподвижном проводнике.
Вне тела поле удовлетворяет уравнению АН = 0 (длина вол-
волны предполагается большой по сравнению с размерами тела);
такому же уравнению будет удовлетворять и ЕГ.
Наконец, на поверхности проводника вместе с Н будет непре-
непрерывным и ЕГ. Различно лишь условие на бесконечности: Н стре-
стремится к нулю, аН'-к конечному пределу —2mcft/e.
Таким образом, задача об определении переменного магнит-
магнитного поля Н вокруг неравномерно вращающегося тела эквива-
эквивалентна задаче об определении поля ЕГ вокруг неподвижного тела,
находящегося в однородном внешнем магнитном поле с напря-
напряженностью
2H^	F4.8)

§ 64	ВОЗБУЖДЕНИЕ ТОКА УСКОРЕНИЕМ	327
По решению Н' этой задачи искомое поле Н^е^ вне проводника
получается вычитанием 9}.
Возникающее таким образом магнитное поле, как и всякое
переменное поле, индуцирует в самом проводнике электрические
токи. В односвязном теле эти токи проявляются в виде приоб-
приобретаемого телом магнитного момента. В неравномерно вращаю-
вращающемся кольце эффект проявляется как возникновение электро-
электродвижущей силы {эффект Стюарта-Толмэна).
Тот факт, что в формулу F4.8) входит сама угловая ско-
скорость, а не ее производная по времени, может дать повод к
недоразумению. Поэтому напомним, что все рассмотрение, а с
ним и указанный выше смысл величины F4.8), относится толь-
только к неравномерному вращению. Действительно, при постоян-
постоянном S1 уравнение F4.7) с требуемым условием на бесконечности
тождественно удовлетворяется значением Н' = 9}\ тогда в силу
определения F4.5) имеем Н = 0. Что касается магнитного поля,
возникающего при равномерном вращении благодаря гиромаг-
гиромагнитному эффекту (§ 36), то оно является малой величиной, не
учитываемой нами здесь.
Отметим также, что при выводе мы отвлекались от дефор-
деформации тела, возникающей при неравномерном вращении. Оче-
Очевидно, что учет этой деформации не отразился бы на эффек-
эффекте — если характерное время изменения угловой скорости вели-
велико по сравнению со временем релаксации электронов проводи-
проводимости при деформации (что и предполагается). Действительно,
электрический ток в проводнике вызывается градиентом суммы
<р + Со/е5 гДе ?? — потенциал поля, а ?о — химический потенци-
потенциал электронов проводимости (см. § 26). Неоднородная деформа-
деформация создает градиент ?сь но он компенсируется электрическим
полем, возникающим в силу условия термодинамического равно-
равновесия е<р + Со — const.
Задачи
1. Определить магнитный момент неравномерно вращающегося шара
(радиуса а). Скорость вращения предполагается настолько малой, что глу-
глубина проникновения S ^> а.
Решение. Магнитный момент, приобретаемый шаром в поле Si(t)
F4.8), есть
Л ЗД
где а — оператор, действие которого на компоненты Фурье функции S)(t)
определяется формулами, полученными в задаче 1 § 59. Для компонент с
частотами ш такими, что 5 ^> а, имеем
. Л	. 4тгта5сг
\Ъсе
Эта формула, переписанная в виде
уу 4тгта5сг dQ
Ж =	,
1Ъсе dt

328	КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. VII
не содержит в явном виде о;, а потому справедлива и для не разложенных
по Фурье функций П(?), Ж(?) (предполагаем, что в их разложение входят в
основном лишь частоты, удовлетворяющие поставленному условию).
2. Определить полный заряд, который протечет по тонкому круговому
кольцу при остановке его равномерного вращения вокруг оси, перпендику-
перпендикулярной к его плоскости.
Решение. В формуле, полученной в задаче 3 § 63, надо понимать
под Ф поток поля $) F4.8). Полный заряд, протекающий при изменении
угловой скорости от Q до 0, есть
7 Jdt=^
J	eRc
u*b	u
eRc	2тге
— сю
F — радиус кольца, V — объем провода).
3. Определить ток, возникающий в сверхпроводящем круговом кольце
при остановке его равномерного вращения.
Решение. Из условия постоянства полного магнитного потока через
кольцо (см. E4.5)) найдем
т 2тс2 _ l2	mc2bQ
J = 	ilnb =
eL	2e[ln (8b/a) - 2]
(значение L — см. примеч. на с. 273).

ГЛАВА VIII
МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
§ 65. Уравнения движения жидкости в магнитном поле
Если проводящая жидкая (или газообразная) среда находит-
находится в магнитном поле, то при ее гидродинамических движени-
движениях в ней индуцируются электрические поля и возникают элек-
электрические токи. Но на токи в магнитном поле действуют силы,
которые могут существенно повлиять на движение жидкости.
С другой стороны, эти токи меняют и само магнитное поле.
Таким образом, возникает сложная картина взаимодействия маг-
магнитных и гидродинамических явлений, которая должна рассмат-
рассматриваться на основе совместной системы уравнений поля и урав-
уравнений движения жидкости.
В область применений магнитной гидродинамики входят
очень разнообразные физические объекты — от жидких метал-
металлов до космической плазмы. Мы не будем обсуждать специфи-
специфические условия, существующие в различных конкретных объек-
объектах. Укажем лишь, что для буквальной применимости магнитной
гидродинамики необходимо, разумеется, чтобы для рассматрива-
рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени
были велики по сравнению соответственно с длиной пробега и
временем пробега носителей тока (электронов, ионов). В некото-
некоторых случаях, однако, уравнениями, совпадающими формально
с уравнениями магнитной гидродинамики идеальной жидкости,
может описываться и движение среды с большой длиной пробега.
Такая ситуация имеет, например, место в неравновесной плазме
с температурой электронов, много большей температуры ионов
(ср. X, § 38).
Магнитная проницаемость сред, о которых фактически идет
речь в магнитной гидродинамике, мало отличается от единицы,
и это отличие не имеет значения для изучаемых здесь явлений.
Поэтому везде в этой главе мы будем полагать \i = 1 -1).
Составим, прежде всего, систему магнитогидродинамических
уравнений в условиях, когда можно пренебречь всеми диссипа-
*) В литературе по магнитной гидродинамике магнитное поле в этих усло-
условиях часто обозначают как В, подчеркивая тем самым, что речь идет имен-
именно об усредненной микроскопической напряженности h = В. Мы, однако,
будем пользоваться здесь обозначением Н для единообразия с другими гла-
главами этой книги, где рассматриваются немагнитные среды.

330	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
тивными процессами — для идеальной жидкости. Это значит,
что не учитываются как процессы вязкости и теплопроводности,
так и конечность электрической проводимости среды <т; послед-
последняя рассматривается как сколь угодно большая.
Положив в уравнениях F3.7) а —>• ос, пишем
divH = 0,	F5.1)
^	F5.2)
Гидродинамические уравнения содержат уравнение непрерыв-
непрерывности
^ + divpv = 0	F5.3)
(р — плотность жидкости) и уравнение Эйлера
где f — объемная плотность сторонних, в данном случае элек-
электромагнитных, сил. Согласно C5.4) имеем
f[jHl
с ' 4тг
Таким образом, уравнение движения жидкости принимает вид
— + (vV)v = --VP - — [HrotH].	F5.4)
dt	p	4тгр
К этим уравнениям надо еще присоединить уравнение состояния
Р = Р(р,Т),	F5.5)
связывающее между собой давление, плотность и температуру
жидкости, и уравнение сохранения энтропии, выражающее адиа-
батичность движения в отсутствие диссипации:
*=!+„*.=о, (в5.в)
где s — энтропия единицы массы жидкости, а
— = — + vV
dt dt
обозначает «субстанциональную» производную, определяющую
изменение величины при перемещении вместе с движущейся ча-
частицей жидкости. Уравнения F5.1)—F5.6) и составляют полную
систему магнитогидродинамических уравнений идеальной жид-
жидкости.

§ 65	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	331
Как известно, уравнение Эйлера может быть приведено (с
использованием также и уравнения непрерывности) к виду, вы-
выражающему закон сохранения импульса:
о^ = _т*	(б5 7)
dt	дхк
где П^ — тензор плотности потока импульса (см. VI, § 7). В
отсутствие сторонних сил
Преобразовав последний член в уравнении F5.4) с помощью ра-
равенства
[HrotH] = -VH2 - (HV)H
и учтя также, что div Н = дН^/дх^ = 0, найдем, что в магнитной
гидродинамике
nifc = риы + PSik - ± (ЩЩ - \НЧ^ .	F5.8)
Как и должно быть, к тензору П^ добавляется максвелловский
тензор напряжений.
Закон сохранения энергии в обычной гидродинамике выра-
выражается уравнением
где s и w = s + Р/р — внутренняя энергия и тепловая функция
единицы массы жидкости; оно автоматически следует из уравне-
уравнений движения § 6 т. VI. При наличии в проводящей среде магнит-
магнитного поля к плотности энергии добавляется магнитная энергия
i/2/(87r), а к плотности потока энергии — вектор Пойнтинга S =
= с[ЕН]/Dтг). В последнем надо при этом выразить Е через Н
согласно формуле
E = -![vH],	F5.9)
с
получающейся из F3.2) при а —»> ос (и конечном jI). Таким
образом, сохранение энергии в магнитной гидродинамике выра-
выражается уравнением
2) Это выражение отвечает равному нулю полю Е; F3.1) в системе отсче-
отсчета, движущейся вместе с данным элементом объема жидкости: в идеально
проводящей среде происходит полная экранировка электрического поля.

332	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
где плотность потока энергии
)i	F5.11)
Легко проверить это уравнение и прямым вычислением.
В основе написанной системы магнитогидродинамических
уравнений лежит пренебрежение током смещения в уравнениях
Максвелла. Это значит, что предполагается
— < |rotH|.	F5.12)
dt
Выразив Е через Н согласно F5.9), получим отсюда условие
4~ < h	F5.13)
где /иг — характерные для данного движения параметры дли-
длины и времени. Из F5.2) имеем оценку l/т ~ v и тогда из F5.13)
находим условие v <С с — движение должно быть нерелятивист-
нерелятивистским (что и предполагалось нами с самого начала). Из уравнения
лее F5.4) имеем оценку pv/т ~ Н2//; в совокупности с F5.13) это
дает условие для величины магнитного поля:
Н2 <^рс2.	F5.14)
Обратим внимание на то, что в левой части уравнения F5.10)
нет электрической энергии -Е2/(8тг), а в левой части уравнения
F5.7) нет импульса электромагнитного поля S/c2. Это — авто-
автоматическое следствие пренебрежения током смещения. Малость
электрической энергии по сравнению с магнитной соответствует
неравенству Е ~ vH/c <С Я, а малость S/c2 ~ ЕН/с ~ vH2/с2
по сравнению с pv — неравенству F5.14).
Вернемся к уравнению F5.2); ему может быть дано важное
наглядное истолкование (Н. Alfven, 1942). Раскроем rot в правой
части уравнения, учтя при этом, что divH = 0:
— = (НV)v - (vV)H - Н div v.
Подставив сюда согласно уравнению непрерывности F5.3)
,.	\др v^
divv = ——- — -Vp,
pdt p
получим после простой перегруппировки членов:
(I + vV) - = тг- = (~v) v-	F5Л5)
\ot	J р dt р \ р J
С другой стороны, рассмотрим какую-либо «жидкую ли-
линию», т. е. линию, перемещающуюся вместе с составляющими

§ 66	ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ	333
ее частицами жидкости. Пусть 61 — элемент длины этой линии;
определим, как он меняется с течением времени. Если v есть
скорость жидкости в точке на одном конце элемента <$1, то ее
скорость на другом конце есть v + E1V)v. Поэтому в течение
времени dt элемент 61 изменится на d?(<$lV)v, т. е.
it61 =(Elv)v-
Мы видим, что изменение векторов 61 и Н/р со временем опре-
определяется одним и тем же уравнением. Отсюда следует, что если
в начальный момент эти векторы совпадают по направлению, то
они останутся параллельными и в дальнейшем, а их длины будут
меняться пропорционально друг другу. Другими словами, если
две бесконечно близкие частицы жидкости находятся на одной
и той же силовой линии, то они будут находиться на одной и
той же силовой линии и в дальнейшем, а величина Н/р будет
меняться пропорционально расстоянию между ними.
Переходя от бесконечно близких точек к точкам, находящим-
находящимся на любом конечном расстоянии друг от друга, мы приходим
к выводу, что каждая силовая линия перемещается вместе с на-
находящимися на ней жидкими частицами. Молено сказать, что
(при а —>• ос) магнитные силовые линии как бы вморожены в ве-
вещество жидкости, перемещаясь вместе с ним. Величина же Н/р
меняется в каждой точке пропорционально растяжению соответ-
соответствующей «жидкой линии». Если движущуюся жидкость можно
считать несжимаемой, то р = const и тогда пропорционально
растяжению силовых линий меняется сама напряженность Н.
Эти результаты имеют и другой наглядный аспект. Из них
следует, что при перемещении со временем какого-либо замкну-
замкнутого жидкого контура он не будет пересекать силовых линий.
Это значит (ср. § 63), что поток магнитного поля через всякую
поверхность, опирающуюся на жидкий контур, остается неизмен-
неизменным во времени.
§ 66. Диссипативные процессы
в магнитной гидродинамике
В обычной гидродинамике диссипативные процессы опреде-
определяются тремя величинами — двумя коэффициентами вязкости и
коэффициентом теплопроводности. В магнитной гидродинами-
гидродинамике это число значительно возрастает: как ввиду появления но-
новых величин электрической природы, так и вследствие наличия
в каждой точке выделенного направления — направления Н, чем
нарушается изотропия жидкости. Мы ограничимся, однако, про-
простейшим случаем, когда все кинетические коэффициенты можно
считать постоянными вдоль среды, в частности — не зависящими

334	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
от величины и направления магнитного поля. Тогда к обычным
коэффициентам вязкости 77, С и теплопроводности к добавляется
всего одна величина - электрическая проводимость а1).
Предположение о независимости кинетических коэффици-
коэффициентов от магнитного поля подразумевает выполнение опреде-
определенных условий, существенно сужающих область применимости
уравнений по сравнению с уравнениями магнитной гидродина-
гидродинамики идеальной жидкости. Именно, длина пробега носителей
тока должна быть мала по сравнению с радиусом кривизны их
траектории в магнитном поле; другими словами, частота столк-
столкновений должна быть велика по сравнению с ларморовской ча-
частотой носителей тока. Это условие нарушается в слишком раз-
разреженной среде или в слишком сильном магнитном поле2).
При учете вязкости и электропроводности уравнение F5.2)
заменяется полным уравнением F3.7),
^ = rot [vH] + АдН>	F6.1)
at	4тгсг
а магнитогидродинамическое уравнение Эйлера F5.4) заменяет-
заменяется уравнением Навье-Стокса
^L + (vV)v = --VP + ^Av + - U + *) Vdiv v -
dt v '	p	p	p V 3/
-^[HrotH]. F6.2)
4тгр
Отметим, что уравнение F6.1) не содержит вязкости; поэтому
свойство «вмороженности» силовых линий при а —>• ос остается
и в вязкой идеально проводящей жидкости.
Уравнение адиабатичности F5.6) заменяется уравнением пе-
переноса тепла. В обычной гидродинамике оно гласит
(см. VI, § 49). Выражение в левой части равенства представляет
собой количество тепла (отнесенное к 1 см3), выделяющееся в 1 с
в движущемся элементе жидкости. Выражение же в правой ча-
части равенства есть энергия, диссипируемая в том же объеме за
то же время. Первый член в нем связан с вязкостью; crfik есть
*) Связь между током и электрическим полем в термодинамически неод-
неоднородной, но изотропной в каждой точке среде содержит еще и термоэлек-
термоэлектрический коэффициент а (§ 26). Но если этот коэффициент постоянен, он
выпадает из уравнений движения.
2) Вопрос об уравнениях магнитной гидродинамики для плазмы при нару-
нарушении этих условий рассмотрен в другом томе этого курса — см. X, § 58, 59.

§ 66	ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ	335
вязкий тензор напряжений
°'ik = v(p- + pL- 2Лк div v) + Fik div v.
\OXk	UXi	6	J
Второй же дает диссипацию, связанную с теплопроводностью. В
проводящей жидкости сюда должно быть добавлено джоулево
тепло. Отнесенное к единице объема, оно равно
Поэтому уравнение переноса тепла в магнитной гидродинамике
гласит
+ vVs) <4 + хДТ+(гоШ). F6.3)
dt	)	гкдхк	16tt2<7V	J	V J
В тензоре плотности потока импульса добавляется вязкий
тензор напряжений:
nik = pvivk + P5ik -о\к-± (ЩЩ - \H25ik) . F6.4)
Плотность же потока тепла дается теперь выражением
? + w) - (va')
2	/
q = pv (? + w) (va) xVT +	^
F6.5)
(где (vaf) — вектор с составляющими a'ikVk). Здесь добавляются
члены, связанные как с вязкостью и теплопроводностью, так и
с электрической проводимостью; последний получается при под-
подстановке в вектор Пойнтинга напряженности Е из F3.2):
Е = i - l[vHl = — rotH - i[vHl.	F6.6)
а с } 4тта	с J	V J
Уравнения несколько упрощаются, если движущуюся жид-
жидкость можно считать несжимаемой. Уравнение непрерывности
сводится тогда к div v = 0, а в уравнении F6.2) исчезает предпо-
предпоследний член. Выпишем еще раз соответствующую систему урав-
уравнений (в уравнениях F6.1), F6.2) удобно при этом преобразовать
члены rot [vH] и [Н rot H] с помощью известных формул вектор-
векторного анализа):
divH = 0, divv = 0,	F6.7)
— + (vV)H = (HV)v + ^AH,	F6.8)
^ + (vV)v = -Iv (P + —) + — (HV)H + vAv	F6.9)
dt v )	о \	8тг/ 4тгрч )	V J

336	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
[у = г}/р — кинематическая вязкость). Что касается уравнения
F6.3), то для решения задач о движении несжимаемой жидко-
жидкости оно не нужно, если только мы не интересуемся специально
распределением температуры в ней.
В обычной гидродинамике вводится, как известно, число Рей-
нольдса, характеризующее роль вязких членов в уравнениях
движения по сравнению с конвекционными: R = ul/v, где / и
и rsj 1/т — характерные параметры длины и скорости для дан-
данного движения жидкости. Наряду с этим числом, в магнитной
гидродинамике можно ввести магнитное число Рейнольдса
У	4	F6Л0)
характеризующее роль члена с проводимостью в уравнении
F6.1). Этот член аналогичен члену vAv в уравнении Навье-
Стокса, и величина уш играет роль «коэффициента диффузии»
магнитного поля. При Rm ^> 1 может оказаться возможным пре-
пренебрежение этим членом. Однако, вопрос о том, в каких случа-
случаях фактически можно пренебречь диссипативными процессами
в жидкости, не имеет общего ответа, так как соответствующие
условия существенно зависят от конкретного характера движе-
движения; например, они совершенно различны для стационарных и
нестационарных движений.
В обратном предельном случае плохо проводящей жидкости,
Rm <С 1, система магнитогидродинамических уравнений допус-
допускает существенное упрощение (СИ. Брагинский, 1959).
Дело в том, что в этом случае возмущение магнитного поля
движением жидкости мало. Если невозмущенное поле $} не за-
зависит от времени (что и предполагается ниже), то его изменение
Н' в движущейся жидкости можно оценить из сравнения двух
членов в правой части уравнения F6.1):
rot [via] - %АН',
откуда Н1 ~ Rmi} и при Rm <С 1 действительно Н1 <С #. Прене-
Пренебрегая этим изменением, молено считать магнитное поле Н сов-
совпадающим с тем ($з), которое было бы создано внешними ис-
источниками в пустоте. При этом, ввиду постоянства $}, имеем
rotE = —c~ld9)/di = 0, т. е. электрическое поле потенциаль-
потенциально: Е = — Х/(р. Уравнение для потенциала (р можно получить
из равенства divj = 0, удовлетворяющегося тождественно при
пренебрежении током смещения (т. е. в силу уравнения rot H =
= 4ttj/c). Подставив сюда плотность тока в виде

§ 67	МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ	337
и заметив, что для невозмущенного поля rot^ = 0, получим (при
а = const) уравнение
F6.11)
с
Вторым уравнением является уравнение Навье-Стокса
— + (vV)v = --VP + vAv + f	F6.12)
(выписываем его для несжимаемой жидкости), в котором объем-
объемная плотность сторонних сил
Чт с
Уравнения F6.11)—F6.13) и составляют искомую систему.
§ 67. Магнитогидродинамическое течение
между параллельными плоскостями
Поучительный пример магнитогидродинамического движе-
движения вязкой проводящей жидкости представляет стационарное те-
течение в пространстве между двумя параллельными твердыми
плоскостями, причем в перпендикулярном плоскостям направ-
направлении приложено однородное магнитное поле 9} (J. Harimann,
1937). Это движение — простейший аналог пуазейлевого тече-
течения в обычной гидродинамике.
Естественно предположить, что скорость жидкости имеет вез-
везде одинаковое направление (которое выберем в качестве оси х)\
она зависит только от координаты z в направлении, перпенди-
перпендикулярном к твердым плоскостям. То же относится и к возни-
возникающему благодаря движению жидкости продольному полю Нх.
Давление же Р зависит так лее и от ж, так как в направлении
движения имеется градиент давления, поддерживающий стацио-
стационарное течение. Уравнение div v = 0 выполняется тождественно,
а из уравнения divH = 0 следует, что Hz = const = 9). В силу
^-компоненты уравнения F6.9) сумма
8тг
является функцией только х. Поскольку в то же время Нх от х
не зависит, то градиент давления dP/dx мог бы быть функцией
только ж, а фактически (ввиду однородности вдоль оси х) ра-
равен постоянной величине —АР/1 (АР — падение давления на
длине /).

338	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
Далее, ж-компоненты уравнений F6.8), F6.9) дают
? ^^ = 0'	F7.1)
z2
Л, ^Ш^ _	= _АР	, ,
dz2 4тг dz	I
Граничные условия на твердых поверхностях требуют равенства
нулю скорости вязкой жидкости, а также непрерывности танген-
тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля:
v = О, НХ = 0 при z = ±а,
где 2а — расстояние между твердыми плоскостями, а плоскость
z = 0 расположена посередине между ними. Удовлетворяющее
этим условиям решение уравнений F7.1), F7.2) есть
_ ch (a/5) - ch (z/S)
ch (a/S) - 1 :
rLx = —Vq — 1
Постоянная г>о есть скорость жидкости в средней плоскости z = 0.
Ее связь с градиентом давления можно получить, подставив
F7.3) в F7.2). Средняя (по сечению) скорость жидкости
а
- 1 Г j АР аб ( ,, а 5\	,пп лЛ
v = — / vdz =	cth - — - 1 .	F7.4)
2а J	I rj V S a)	V J
—а
Критерием степени влияния магнитного поля на течение
жидкости по сравнению с влиянием вязкости оказывается ве-
величина
S с у г]
(ее называют числом Гартпманна). При G ^С 1 получается
(л ^2>\ _ АР a2	(an а\
v = vo[l--), v = ——,	67.6
\ а? J	I 3rj
т. е. обычное пуазейлево течение. Если же G ^ 1, то
F7-7)
Увеличение магнитного поля делает профиль скоростей более
плоским на большей части сечения и уменьшает среднюю ско-
скорость движения (при заданном градиенте давления); основное
падение скорости происходит в пристеночных слоях с толщи-
толщиной rsj S.

§ 68	РАВНОВЕСНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ	339
Движение жидкости приводит к появлении электрического
поля в направлении оси у. В силу стационарности движения
rot Е = 0, откуда Еу = const. В жидкости текут токи с плот-
плотностью
Зу =
Но полный ток через сечение жидкости должен быть равен нулю;
действительно, поскольку в то же время jy = (c/47r)(rotH)y, то
^dz = ±[Hx(a) - Нх(-а)\ = 0.
Поэтому имеем
а	а
Г jy dz = 2aaEy — —ft Г v dz = 0,
—а
откуда
—а
Еу = ЙД.	F7.8)
с
§ 68. Равновесные конфигурации
Равновесие идеально проводящей жидкости (будем говорить
здесь для определенности о плазме), покоящейся в постоянном
магнитном поле, описывается уравнениями
i	F8.1)
j = — rotH,	F8.2)
4тг
divH = 0.	F8.3)
Первое из них — уравнение F5.4), в котором положено v = 0 и
введена, для наглядности, плотность электрического тока, свя-
связанная с магнитным полем уравнением Максвелла F8.2). Мы
рассмотрим в этом параграфе некоторые общие свойства равно-
равновесных конфигураций, являющиеся следствием этих уравнений,
совершенно не вдаваясь в сложные и многообразные вопросы об
их устойчивости -1).
Умножив уравнение F8.1) скалярно на Н или на j, найдем,
что
(HV)P = 0, (jV)P = 0,	F8.4)
2) Основные результаты, относящиеся к этому вопросу (в рамках магнит-
магнитной гидродинамики), можно найти в статье Б.Б. Кадомцева «Гидромагнит-
«Гидромагнитная устойчивость плазмы» в сб. «Вопросы теории плазмы». В. 2. — М.: 1963.

340	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
т. е. равны нулю производные давления вдоль магнитных сило-
силовых линий и вдоль линий тока. Другими словами, те и другие
лежат на поверхностях
P[x,y,z) = const;	F8.5)
их называют магнитными поверхностями. В принципе, каж-
каждая магнитная поверхность могла бы быть границей равновесной
конфигурации 2).
Уравнение равновесия F8.1), F8.2) молено представить так-
также и в виде
— = 0, П^ = PSik - — (ЩНк - -Н 6ik I ,	F8.6)
дхк	4тг
если исходить из уравнения движения, записанного в виде урав-
уравнения сохранения импульса F5.7), F5.8). Умножив это урав-
уравнение на ж/с, проинтегрируем его по некоторому объему, огра-
ограниченному замкнутой поверхностью. Преобразовав интеграл по
частям и заметив, что дхк/дх{ = 5ц^ получим2)
f Uu dV = § Uikxk dfi.	F8.7)
После подстановки выражения П^ из F8.6) это равенство при-
принимает вид
тт9 \	Г S /	-г-гО. \	/-Ш--Ж \ -Ш--Ж N
If F8.8)
E. Chandrasekhar, E. Fermi, 1953).
Пусть плазма занимает некоторый конечный объем, вне ко-
которого давление Р = 0, и пусть вне ее нет никаких заданных
источников поля (жестких проводников с током). Тогда вдали
от плазмы поле убывает как 1/г3, и если распространить инте-
интегрирование по всему пространству, то интеграл по поверхности
обращается в нуль. Но интеграл от заведомо положительной ве-
величины ЗР+Н2/(8тг) не может обратиться в нуль. Отсюда следу-
следует невозможность существования ограниченной в пространстве
равновесной конфигурации, не поддерживаемой магнитным по-
полем от внешних источников; при наличии же таких источников
правая часть равенства F8.8) сведется к интегралу по их поверх-
поверхности и условие может, в принципе, быть удовлетворено (В.Д.
Шафранов, 1957).
2) Давление Р определяется уравнениями F8.1), F8.2) лишь с точностью
до произвольной аддитивной постоянной. Поэтому любая из магнитных по-
поверхностей может быть поверхностью Р = 0.
2) Этот вывод подобен известному выводу теоремы вириала — см. II, § 34.

§ 68	РАВНОВЕСНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ	341
Рассмотрим простейшую неограниченную конфигурацию —
неограниченно длинный цилиндрический плазменный шнур
(или пинч 2)), однородный вдоль своей длины; в цилиндрической
системе координат г, <р, z с осью z вдоль оси шнура все величины
в нем зависят только от радиальной координаты г. Радиальная
компонента Нг должна быть равна нулю; в противном случае в
силу уравнения
const
divH = - — (rHr) = О, Нг =
г dr
о
После этого уравнения F8.1) принимает вид
dp jdJ4r1 + jdm
(rHr) О, Нг	,
г dr	г
она обращалась бы в бесконечность при г —>• 0. То лее самое отно-
относится к jr в силу уравнения div j = 0, автоматически следующего
из F8.2).
Равенство F8.2), написанное в компонентах, дает
. _ _ с dHz . _ с d , н ч
4тг аг	4тгг аг
Из второй формулы имеем
г
= fjz.2Trrdr.	F8.9)
+	(б810)
dr 2тгс2г2 dr	8тг dr
Здесь возмолены два существенно различных частных слу-
случая. В одном из них (его называют z-пинчем) Hz = 0, j^ = 0.
Умножив уравнение F8.10) на г2 и проинтегрировав его по г от 0
до радиуса шнура а (с граничным условием Р(а) = 0), получим
условие равновесия в виде
Г P(r)'27rrdr= ^^,	F8.11)
о	2с2
где J(a) — полный ток вдоль шнура (W. Bennett, 1934). Удер-
Удержание равновесной конфигурации осуществляется в этом случае
полем продольного тока.
В другом случае (тэта-пинч2)): Н^ = 0, jz = 0. Из F8.10)
имеем в этом случае	2 2
Р+^ = 1~,	F8.12)
где й — продольное магнитное поле вне шнура. Удержание плаз-
плазмы осуществляется здесь внешним продольным полем.
) От английского слова to pinch — сжимать.
2) Название происходит от угла в цилиндрических координатах, часто обо-
обозначаемого буквой в.

342	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
В произвольной ограниченной в пространстве аксиально-
симметричной конфигурации радиальные компоненты Нг и jr
могут быть отличны от нуля (в тороидальной конфигурации).
Кроме того, все величины могут теперь зависеть не только от г,
но и от z.
Уравнения F8.1)-F8.3), записанные в компонентах, прини-
принимают вид
ТТ	• ТТ 	 &±	• TJ	тт 	 &±	• тт 	 ' ТТ	(U.O 1 О\
JcpJ^z Jz^cp — С——, JrIlln Jcn-Lir — С——, JzIlr — Jr±lz, уОоЛо)
or	oz
с dHp . с d , rj \ ¦ с fdHr dHz\ /ЛО1>1ч
Jr = ~	-, Jz =	\rHm), Jcn = 	 	- — 	-I, F8.14)
4тг dz	4тгг dr	4тг V dz dr У
1_^_(ГЯГ) + ^ = 0.	F8.15)
Очевидное (уже из векторной записи F8.1)) следствие этих
уравнений: если плотность тока распределена азимутпально
(jr=jz = ®i Л?7^0)? то магнитное поле меридионально (Др = 0).
Если же магнитное поле азимутально, то можно сделать и более
сильное утверждение: плотность тока не только меридиональна,
но и вся равновесная конфигурация может быть только z-пинчем
(jr = 0, Нр и jz не зависят от z)\ в этом легко убедиться, исклю-
исключив Р из первых двух уравнений F8.13) и воспользовавшись за-
затем остальными уравнениями.
Систему уравнений F8.13)—F8.15) можно свести всего к од-
одному уравнению {В.Д. Шафранов, 1957; Н. Grad, 1958).
Для этого введем величины
г	г
ф(г, z)= J Hz- 2тгг dr, J(r, z) = J jz • 2тгг dr	F8.16)
о	о
— магнитный поток и полный ток через круг радиуса г, перпен-
перпендикулярный к оси z. Из этих определений и уравнений div Н = 0
и div j = 0 находим меридиональные компоненты поля и плотно-
плотности тока:
Я — - — ^ Я — — ^
2тгг dz ' Z 2тгг dr '	,^Q 17,
Jr	2тгг dz' Jz 2nr dr'
Эти выражения показывают, что градиенты ф и J ортогональны
соответственно магнитной силовой линии и линии тока. Вспом-
Вспомнив сказанное в начале параграфа о поверхностях F8.5), заклю-
заключаем отсюда, что величины ф и J постоянны на магнитных по-
поверхностях, а тем самым — каждые две из величин ф, J, P могут
быть выражены в функции только от третьей. В частности,
F8.18)

§ 68	РАВНОВЕСНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ	343
Азимутальные компоненты поля и тока выражаются через ф и
J с помощью уравнений F8.14)
сг
Наконец, подставив полученные выражения в первое из урав-
уравнений F8.13), найдем искомое уравнение
Задаваясь конкретной (произвольно выбранной) зависимостью
Р(ф) и Jfy) и решив это уравнение, получим некоторую, в прин-
принципе возможную равновесную конфигурацию; распределение по-
поля и токов в ней определяется формулами F8.17) и F8.19), а
магнитные поверхности даются равенствами ф(г,г) = const.
Для иллюстрации приведем выражение
(bR + r2)z2 + ?-±(r2-R2J,	F8.21)
фо 2	8
являющееся решением уравнения F8.20) при AР/с1ф = const и
dJ2/с1ф = const; фо, а, 6, R — постоянные, причем
dP	,	8тг2 dJ2	, D2 ,
dip	с2 dip
Это регпение описывает тороидальную конфигурацию, состоя-
состоящую из вложенных друг в друга тороидальных магнитных по-
поверхностей ф = const; любая из них может быть принята за гра-
границу плазмы, Р = 0. Самая внутренняя поверхность вырожда-
вырождается в линию — в окружность г = i?, z = 0 (эту линию называют
магнитной осью). Вблизи магнитной оси
Так, если Ь+1>0, а>1, то сечения магнитных поверхностей
вблизи оси — эллипсы. При удалении от оси ф возрастает, а дав-
давление падает. Снаружи от поверхности с Р = 0 (граница плаз-
плазмы) необходимое для поддержания равновесия магнитное поле
определяется уравнением F8.20) без правой части, с граничны-
граничными условиями непрерывности функции ф и ее нормальной про-
производной.

344	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
§ 69. Магнитогидродинамические волны
Рассмотрим распространение малых возмущений в однород-
однородной проводящей среде, находящейся в однородном постоянном
магнитном поле Но- При этом будем рассматривать жидкость
как идеальную, т. е. пренебрежем всеми процессами диссипации
в ней 1).
Исходим из системы магнитогидродинамических уравнений
F5.1)-F5.4). Уравнение же адиабатичности F5.6) означает
лишь, что если невозмущенная среда однородна, то и в возму-
возмущенной среде будет s = const, т. е. движение иззнтропично.
Полагаем
Н = Но + h, р = ро + р', Р = Ро + Р\
где индексом 0 отмечены постоянные равновесные значения ве-
величин, a h, /У, Р1 — их малые изменения в волне. Малой того же
порядка является и скорость v, равная нулю в равновесии. Вви-
Ввиду иззнтропичности движения изменения плотности и давления
связаны друг с другом равенством
Р> =
где и$ = (dP/dp)s — квадрат обычной скорости звука в данной
среде. Пренебрегая в уравнениях F5.1)-F5.4) малыми величи-
величинами порядка выше первого, получим следующую систему ли-
линейных уравнений:
divh = 0, ^ = rot[vh], ^ + pdivv = O,
Cft	Cft	/nCi -л \
3v	u* , 1 ш . ь1	F9Л)
— = ——Vp - —[H rot hi.
Здесь и ниже для краткости обозначений индекс 0 у равновесных
значений величин опускается.
Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны
ooez(kr-u;t) Тогда система F9.1) сводится к системе алгебраичес-
алгебраических уравнений
-ouh= [k[vH]], o;p;
"	F9.2)
o;v + Vk	[
p	4тгр
(равенство же kh = 0, следующее из divh = 0, выполняется
автоматически и может отдельно не рассматриваться).
2) Условие допустимости такого пренебрежения состоит в малости коэф-
коэффициента затухания волн, который вычислен в задаче к этому параграфу.

§ 69	МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	345
Первое из уравнений F9.2) показывает, что вектор h перпен-
перпендикулярен к волновому вектору, направление которого выберем
в качестве оси х. Плоскость лее, проходящую через к и Н, выбе-
выберем в качестве плоскости ху. Кроме того, введем фазовую ско-
скорость волны и = ио/к. Исключив р1 из третьего уравнения с по-
помощью второго и переписав уравнения в компонентах, получим
следующую систему:
тт
uhz = —vzHx, uvz = —^hz,	F9.3)
4тгр
тт
uhy = vxHy — vyHx, uvy = —h
и
u — — ) vx = —-hy.
и /	4тгр
Мы разбили здесь уравнения на две группы, из которых пер-
первая содержит только переменные hz, vz, а вторая — только hy, vx,
vy. Отсюда следует, что возмущения этих двух групп перемен-
переменных распространяются независимо друг от друга. Что касается
возмущений плотности (а с нею и давления), то они распростра-
распространяются вместе с возмущениями /iy, vx, vy, будучи связаны с vx
соотношением
р' = ~vx.	F9.5)
и
Условие совместности двух уравнений F9.3) дает
U = Jp: ЕЕ UA	F9.6)
(ниже будем считать, что Нх > 0 и опускать знак модуля). В этих
волнах испытывает колебания компонента hz магнитного поля,
перпендикулярная к направлению распространения волны и на-
направлению постоянного поля Н. Вместе с hz колеблется скорость
vz, связанная с hz посредством
Связь между ио и к {закон дисперсии), даваемая формулой
F9.6), существенно зависит от направления волнового вектора
Физической лее скоростью распространения волн является груп-
групповая скорость — производная дио/д\и. В данном случае она
равна
Ж = =	F9-9)
дк л/4тгр

346	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
и не зависит от направления к; направление распространения
волны, понимаемое как направление ее групповой скорости, сов-
совпадает с направлением поля Н. Эти волны называют альвенов-
скими (Н. Alfven, 1942), а скорость F9.6) — алъвеновской скоро-
скоростью.
Обратимся к волнам, описываемым уравнениями F9.4); их
называют магнитозвуковыми. Составив определитель уравне-
уравнений F9.4) и приравняв его нулю, получим квадратное по и2 урав-
уравнение, корни которого:
* I*2 . 2 , \(Н* . 2\2 Hi 21
= - < 	 + TJq ± 	 + ио\ - —U0
2 I 4тгр	[у4тгр	у	тгр
> . F9.10)
Таким образом, мы получаем еще два типа волн; волны, отвечаю-
отвечающие знакам + и — в формуле F9.10), называют соответственно
быстрой и медленной магнитозвуковыми.
В предельном случае, когда Н2 <^4тгри^ имеем щ~щ, а из
уравнений F9.4) следует, что vy <^vx. Другими словами, быстрые
магнитозвуковые волны в пределе переходят в обычные звуко-
звуковые волны, распространяющиеся со скоростью щ. Слабое попе-
поперечное магнитное поле в волне связано с vx соотношением
liqi ^ 	 .
В том же предельном случае скорость медленной магнитозвуко-
вой волны совпадает с альвеновской скоростью up,. При этом
7
Vx ~ 0, Vy « -
как и в волне первого типа, но только с другой поляризацией:
векторы v и h лежат в плоскости, проходящей через к и Н, а не
перпендикулярно к ней.
В несжимаемой жидкости (чему формально соответствует
предельный переход щ —>• ос) остается всего один тип волн —
альвеновские с двумя независимыми направлениями поляриза-
поляризации. Закон дисперсии для этих волн дается формулой F9.8), а
векторы v и h перпендикулярны к волновому вектору и связаны
соотношением	,
^	F9-11)
Тот факт, что при наличии продольного магнитного поля по-
поперечные смещения жидкости распространяются в ней в виде
волн, может быть наглядно истолкован. Ввиду «вмороженности»
силовых линий, поперечное смещение частиц жидкости приводит
к их искривлению и тем самым к растяжению и, в некоторых ме-
местах, сгущению. Но характер действующих в магнитном поле сил

69
МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
347
(выражаемых максвелловским тензором напряжений) таков, как
если бы магнитные силовые линии стремились сокращаться и в
то же время отталкиваться друг от друга1). Поэтому при их ис-
искривлении появляются квазиупругие силы, стремящиеся вновь
выпрямить их, что и приводит к возникновению колебаний.
Обратимся снова к формулам F9.4) и F9.10) и рассмотрим
обратный предельный случай, когда Н2 ^> 4тгри$. Для щ имеем
тогда в первом приближении
Н
Поскольку это выражение не зависит от к, то групповая скорость
совпадает по величине с щ и направлена
вдоль к. Вектор v в этой волне перпенди-
перпендикулярен к Н (рис. 40) и его абсолютная
величина связана с h = \hy\ соотношением
h
v =
Для им имеем в этом случае
н
При этом групповая скорость
ди н
Рис. 40
Вектор v в этой волне антипараллелен Н, а по величине связан
с h соотношением
v = а	.
4тгриоНу
При произвольном соотношении между Н2 и ри§ как щ, так и
им зависят от направления волнового вектора. При увеличении
угла между к и Н, щ монотонно возрастает, а им монотонно
убывает. Легко видеть, что всегда имеют место неравенства
им ^ua ^ Щ, щ ^ г^о, им ^ щ.	F9.12)
Если к || Н, то щ и им равны соответственно больгпей и меньшей
из величин зд и и а = Н/^/4тгр. Если же к 1 Н, то имеем
F9.13)
) Действительно, пусть силовая линия совпадает с осью z. Тогда про-
продольное напряжение Uzz F5.8) содержит отрицательный член —Н2/(8тг), а
поперечные Пжж, Пуу — положительный член Н2/(8тг).

348	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
а и а и им обращаются в нуль, т. е. остаются лишь быстрые маг-
нитозвуковые волны.
Наконец, рассмотрим два точных решения уравнений маг-
магнитной гидродинамики в виде плоской волны произвольной (не
обязательно малой) амплитуды.
Одно из них — плоская альвеновская волна в несжимаемой
жидкости, распространяющаяся со скоростью up,, т. е. являю-
являющаяся функцией х и i только в комбинации х — u^i. Действи-
Действительно, обратимся к точным уравнениям F5.1)-F5.4). Уравне-
Уравнение непрерывности F5.3) в несжимаемой жидкости сводится к
diw = 0, откуда vx = const; без ограничения общности можно
положить vx = 0, что сводится к надлежащему выбору системы
отсчета. Из уравнения же divH = 0 следует, что Нх = const.
Обозначив поперечные компоненты Н через h, получим из урав-
уравнений F5.2) и F5.4)
dh _ н Зу_ dv _ Нх Oh
dt ~ x dt' dt ~ y/щ-р дх'
т. е. точные уравнения автоматически сводятся к линейным
уравнениям, описывающим плоскую волну с фазовой скоростью
F9.6), причем v и h связаны соотношением F9.11); профиль вол-
волны, т. е. зависимость Ъ(х — u^i), произволен. Для ж-компоненты
уравнения F5.4) имеем
I^ + J_hf = 0,
р дх 4тгр дх
откуда
Р+^_ = const,	F9.14)
8тг
чем определяется ход изменения давления в волне.
Другой случай — простая волна, распространяющаяся пер-
перпендикулярно к магнитному полю (С.А. Каплан, К.П. Станю-
Станюкович, 1954). Пусть поле направлено вдоль оси у; ось х — по-
прежнему в направлении распространения волны. Тогда Нх = 0,
Ну = Н и уравнение divH = 0 удовлетворяется автоматически.
Уравнения же F5.2)-F5.4) дают
дн + а^я) =	(б9Л5)
dt	дх
др + ем = 0	(б9Лб)
dt	дх
^+^ + _L^ = _I^.	F9Л7)
dt	дх 8тгр дх	р дх	v	J
Из первых двух уравнений следует, как легко убедиться, что
отношение Н/р = Ъ удовлетворяет уравнению
дЬ , дЬ п
dt	дх

§ 69	МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	349
или db/dt = 0, где полная производная означает изменение ве-
величины при перемещении данного элемента жидкости. Отсюда
следует, что если в начальный момент отношение Ъ было посто-
постоянно, то и в дальнейшем будет Ъ = const. Подставив Н = рЪ в
третье уравнение, получим
^ + ^	f (P + fp).	F9.18)
at	ox	p ox \ 8тг /
Таким образом, магнитное поле исключается из уравнений, и за-
задача сводится к решению уравнений F9.16) и F9.18). Но эти
уравнения отличаются от уравнений одномерного движения в
обычной гидродинамике лишь изменением уравнения состояния
газа; вместо истинного уравнения Р = Р(р) (при заданной эн-
энтропии s) надо пользоваться уравнением
Это обстоятельство позволяет перенести на рассматриваемый
случай магнитогидродинамического движения все результаты
обычной гидродинамики. В частности, переносятся формулы
точного решения для одномерных бегущих волн (риманово ре-
решение — простые волны; см. VI, § 101), причем роль скорости
звука в них будет играть
1 dp J s	V	4тг	V
в соответствии с формулой F9.13).
Задача
Определить коэффициент поглощения альвеновской волны (предпола-
(предполагая его малым) в несжимаемой жидкости.
Решение. Коэффициент поглощения волны определяется как
где Q — среднее (по времени) значение энергии, диссипируемой в 1 с в 1 см ,
а ^ — средняя плотность потока энергии в волне; амплитуда волны убывает
по мере ее распространения пропорционально е~1Х. Диссипация Q дается
правой частью уравнения F6.3); в несжимаемой жидкости для волны, рас-
распространяющейся вдоль оси х (соответственно чему vx =0), имеем
В плотности лее потока энергии F6.5) малые диссипативные члены опускаем
и имеем
qx = -—Hxh\.
4тг

350	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
Используя формулы F9.6) и F9.11), получим в результате
2 /	2 >
0J / Т)	С
2и\ \р 4тгсг,
§ 70. Условия на разрывах
Как и в обычной гидродинамике, уравнения движения иде-
идеальной магнитогидродинамической среды допускают разрывные
течения. Для выяснения условий, которые должны выполнять-
выполняться на поверхности разрыва, рассмотрим какой-либо элемент этой
поверхности и воспользуемся системой координат, движущейся
вместе с ним 1).
Прежде всего на поверхности разрыва должен быть непреры-
непрерывен поток вещества: количество газа, входящего с одной стороны,
должно быть равно количеству газа, выходящему с другой сто-
стороны поверхности. Это значит, что
где индексы 1 и 2 относятся к двум сторонам разрыва, а индекс п
означает нормальную к поверхности составляющую вектора. Ни-
Ниже мы будем обозначать разность значений какой-либо величи-
величины с обеих сторон поверхности разрыва фигурными скобками.
Таким образом,
{pvn} = 0.
Далее, должен быть непрерывен поток энергии. Воспользо-
Воспользовавшись выражением F5.11), получим
Ш = {pvn (у + w) + ^[vnH2 - #n(vH)]} = 0.
Должен быть непрерывен также и поток импульса. Это условие
означает, что {П^п/-} = 0, где П^ — тензор плотности потока
импульса, an — единичный вектор нормали к поверхности. С
помощью F5.8) получим отсюда уравнения
= о,
где индексом i отмечены тангенциальные к поверхности состав-
составляющие векторов.
2) Этим условием система координат фиксируется лишь в отношении сво-
своей скорости в направлении, нормальном к поверхности. К касательной же
ее скорости может еще быть добавлен произвольный постоянный вектор.

§ 71	ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ	351
Наконец, непрерывны нормальная составляющая магнитного
поля и тангенциальная составляющая электрического поля. При
бесконечной проводимости среды индукционное электрическое
поле Е = — [vH]/c. Поэтому условие {Е^} = 0 дает
{Hnvt - Utvn} = 0.
Ниже нам будет часто удобнее пользоваться вместо плотно-
плотности газа его удельным объемом V = 1//э. Плотность лее потока
массы через разрыв обозначим через j:
j = pvn = Vf.	G0.1)
Учитывая непрерывность j и Нп, остальные граничные усло-
условия молено написать в следующем виде:
j-{H2t} = 0,	G0.3)
ДМ = f4Ht},	G0.4)
47Г
G0.5)
Это и есть основная система уравнений, описывающих разрывы
в магнитной гидродинамике.
§ 71. Тангенциальные и вращательные разрывы
В обычной гидродинамике возможны, как известно, разры-
разрывы двух различных типов — ударные волны и тангенциальные
разрывы. Возникновение двух типов разрывов связано матема-
математически с тем, что некоторые из граничных условий оказывает-
оказывается возможным представить в виде равенства нулю произведения
двух множителей; приравнивая нулю каждый из множителей в
отдельности, мы получаем два независимых решения.
В магнитной же гидродинамике уравнения G0.2)-G0.5) не
имеют такого вида, и на этом основании можно было бы думать,
что имеется всего один единый тип разрывов, охватывающий все
возможные частные случаи. В действительности, однако, ока-
оказывается, что и здесь существуют различные типы разрывов,
не являющиеся частными случаями один другого (F. Hoffmann,
Е. Teller, 1950).
Рассмотрим прежде всего такие разрывы, в которых j = 0.
Это значит, что и v\n = V2n = 0, т. е. жидкость движется па-
параллельно поверхности разрыва. Если при этом Нп ф 0, то из
уравнений G0.2)-G0.5) видно, что должны быть непрерывны

352	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
скорость, давление и магнитное поле. Произвольный лее скачок
может испытывать плотность (а также энтропия, температура
и т. п.). Такой разрыв, который можно назвать контактным,
представляет собой просто границу раздела между двумя непо-
неподвижными средами с различными плотностями и температура-
температурами.
Если же при j = 0 также и Нп = 0, то из четырех уравнений
G0.2)-G0.5) тождественно удовлетворяются сразу три; уже от-
отсюда ясно, что этот случай является особым. Таким образом, мы
находим тип разрывов, которые можно назвать, как и в обычной
гидродинамике, тангенциальными. На таком разрыве скорость
и магнитное поле касательны к его поверхности и испытывают
произвольные по величине и направлению скачки:
j = 0, Hn = 0, {vt}^0, {Ht}^0.	G1.1)
Произволен также скачок плотности, а скачок давления связан
со скачком Н^ уравнением G0.3):
g}0.	G1.2)
Скачки же других термодинамических величин (энтропии, тем-
температуры и т. д.) определяются по скачкам V и Р с помощью
уравнения состояния газа.
Другим типом разрывов являются разрывы, в которых плот-
плотность газа не испытывает скачка. Ввиду непрерывности потока
j = vn/V из отсутствия скачка плотности сразу следует, что бу-
будет непрерывной и нормальная составляющая скорости:
ЗФО, {V} = 0, {vn} = 0.	G1.3)
Далее, в правой части уравнения G0.5) выносим V за фигур-
фигурные скобки и, разделив почленно уравнения G0.5) и G0.4) друг
на друга, получаем
#
После этого уравнение G0.4) или G0.5) дает
{Н«}.	G1.5)
В уравнении G0.2) пишем w = e + PV\ учитывая непрерывность
У, заменив Нп согласно G1.4) и произведя перегруппировку чле-
членов, перепишем его в виде
= 0.

§ 71	ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ	353
Второй член здесь обращается в нуль в силу равенства G0.3),
а третий — в силу G1.5), так что остается {ё} = 0, т. е. наря-
наряду с плотностью непрерывна также и внутренняя энергия. Но
всякая другая термодинамическая величина однозначно опреде-
определяется заданием двух величин — е и V. Поэтому непрерывны и
все остальные термодинамические величины, в том числе давле-
давление. Из уравнения же G0.3) следует тогда, что непрерывен также
квадрат Н^ т. е. абсолютная величина вектора Н$:
{Р} = 0, {Щ} = 0.	G1.6)
Одновременная непрерывность Щ и Нп означает, что остаются
неизменными также полная абсолютная величина вектора Н и
угол, образуемый им с нормалью к поверхности.
Формулы G1.3)—G1.6) определяют все свойства рассматри-
рассматриваемых разрывов. На них непрерывны термодинамические вели-
величины газа, а магнитное поле поворачивается вокруг направления
нормали, оставаясь неизменным по своей абсолютной величине.
Вместе с вектором Ht испытывает скачок касательная состав-
составляющая скорости (согласно G1.5)), а нормальная составляющая
скорости vn = jV непрерывна и равна
±	G1.7)
Разрывы этого типа называют вращательными или алъвенов-
скими.
Заметим, что путем соответствующего выбора системы коор-
координат всегда молено добиться, чтобы с обеих сторон поверхности
вращательного разрыва скорость газа была параллельна полю.
Для этого достаточно перейти к новой системе координат (см.
примеч. на с. 350), движущейся относительно исходной со ско-
скоростью, равной
2t 2г\
4тг	у 4тг
В этой новой системе координат с обеих сторон разрыва отно-
отношения всех трех составляющих v к соответствующим компонен-
компонентам Н одинаковы:
/77	/77
G1.8)
Другими словами, скорость поворачивается вместе с магнитным
полем, оставаясь неизменной по величине и по углу, образуемому
ею с нормалью.
Скорость г>п, взятая с обратным знаком, есть в то же вре-
время скорость распространения разрыва относительно жидкости.
12 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

354	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
Она совпадает с фазовой скоростью (иа) альвеновских волн. Тот
факт, что это совпадение имеет место для любого вращательного
разрыва, до известной степени случаен, но при малых скачках ве-
величин на разрыве такое совпадение обязательно. Действительно,
такой разрыв представляет собой слабое возмущение, в котором
скорость v и магнитное поле Н получают малые приращения,
перпендикулярные к плоскости, проходящей через Н и нормаль
к поверхности п. Это возмущение относится как раз к тому типу,
который обладает фазовой скоростью и а- Физической скоростью
распространения поверхности фронта малого возмущения явля-
является проекция групповой скорости на нормаль к ней, т. е. на
волновой вектор к. Но ввиду линейности связи ио с к имеем
—к = ш,
дк
и потому указанная проекция совпадает с фазовой скоростью
00 /к = UA-
Хотя тангенциальные и вращательные разрывы представля-
представляют собой различные типы разрывов, но существуют разрывы,
которые обладают одновременно свойствами тех и других. Тако-
Таковы разрывы, на которых v и Н тангенциальны и лишь повора-
поворачиваются, не меняясь по абсолютной величине.
Как известно, в обычной гидродинамике тангенциальные
разрывы всегда неустойчивы по отношению к бесконечно ма-
малым возмущениям, что приводит к их быстрому размыванию
в турбулентные области. Магнитное же поле оказывает ста-
стабилизирующее влияние на движение проводящей жидкости, и
тангенциальные разрывы в ней могут оказаться устойчивыми.
Это обстоятельство является естественным следствием того, что
поперечные (по отношению к полю) смещения жидкости при воз-
возмущении связаны с растяжением «вмороженных» магнитных си-
силовых линий и тем самым приводят к возникновению сил, стре-
стремящихся восстановить невозмущенное движение.
Выясним условия устойчивости для тангенциального разры-
разрыва в несжимаемой жидкости (СИ. Сыроватский, 1953).
Пишем
V = Vl,2 + V', Р = Р1>2 + Р', Н = Н1>2 + Н',
где vi 52, -Pi ,2? Hi52 — постоянные (с каждой из сторон разры-
разрыва) невозмущенные значения величин, a v', Р', Н' — их малые
возмущения. Подставив в уравнения F6.7)-F6.9), получим для
идеальной жидкости:
divu' = 0, divv' = 0,	G1.9)
^ = (Uv)v' - (vV)u',	G1.10)

71	ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ	355
fW. + (vv)v; = --VP' - [urotu;] =
(' + puuf) + (uV)u'; G1.11)
P
для краткости здесь и ниже опускаем индексы 1, 2 и вводим обо-
обозначение u = H/y/4irp. Применив к уравнению G1.11) операцию
div и учитывая G1.9), получим
A(Pf + puuf) = 0.	G1.12)
Пусть х = 0 есть плоскость разрыва; векторы v и и парал-
параллельны ей. В каждом из полупространств х > 0 и х < 0 ищем
все величины v', и' рв виде, пропорциональном ехр {г(кг — out) +
+ хж}, где к — двумерный вектор в плоскости уz. Из уравнения
G1.12) найдем, что к2 = х2, так что надо положить к = к на
стороне х < 0 и >с = —к на стороне х > 0. Далее, из ж-компонент
уравнений G1.10), G1.11) исключаем v'x и находим
Р' + pW = -и'х-^-[(ш - kvJ - (kuJ]	G1.13)
(случай, когда выражение в квадратных скобках обращается в
нуль, нас не интересует, так как при этом ио вещественно, а
неустойчивость может быть связана лишь с комплексными зна-
значениями си).
Пусть ?(ж,у, ?) есть смещение вдоль оси х поверхности раз-
разрыва при возмущении. На смещенной поверхности дол лены вы-
выполняться условия G1.1), G1.2):
+ р(и + и'J} « {Р1 + рии'} = 0,
и'2п ~ и'2х - (u2 V)C = 0
(условие отсутствия потока жидкости через поверхность разрыва
выполняется при этом автоматически). Положив
С = const . e'<kp-w*)
и исключив С, щх, U2X из написанных трех уравнений, получим
уравнение, определяющее возможные значения си:
(ш - kVlJ + (ш- kv2J = (kUlJ + (ku2J.
Это квадратное уравнение не имеет комплексных корней, если
2(kUlJ + 2(ku2J-(kvJ>0
12*

356	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
ИЛИ
k > О,
где v = V2 — vi — скачок скорости на разрыве.
Эта квадратичная форма положительна, если положительны
след и определитель тензора второго ранга, стоящего в квад-
квадратных скобках. Отсюда получаются искомые условия устойчи-
устойчивости *)
Н\ + Щ > 2ttPv2, [Н!Н2]2 ? 2ттр ([HlV]2 + [H2v]2). G1.14)
Фактически, однако, благодаря наличию у жидкости малых,
но все лее конечных вязкости и электрического сопротивления
тангенциальный разрыв не будет оставаться таковым в течение
неограниченно долгого времени, далее если условия G1.14) вы-
выполнены. Хотя турбулентность при этом и не возникает, но вме-
вместо резкого разрыва получается постепенно расширяющаяся пе-
переходная область, в которой скорость и магнитное поле плавно
меняются от одного своего значения к другому.
В этом легко убедиться на основании уравнений движения
F6.8), F6.9), сохранив в них диссипативные члены. Выберем на-
направление нормали к разрыву в качестве оси х. Предполагая все
величины зависящими только от координаты х (и, возможно, от
времени), напишем поперечные составляющие этих уравнений:
dt 4тг<т дх2 dt
(жидкость предполагаем несжимаемой). Если предположить
движение стационарным, то левые части этих уравнений заме-
заменяются нулями. Но тогда единственное решение, остающееся ко-
конечным при х —»> ±ос, есть просто Н^ = const, v^ = const,
в противоречии с предположением о наличии скачка значений
этих величин. Таким образом, тангенциальный разрыв не мо-
может иметь стационарной ширины (как ее имеет, например, слабая
ударная волна). Уравнения G1.15) имеют вид уравнения тепло-
теплопроводности. Как известно из теории теплопроводности, разрыв
величины, описываемый этим уравнением, с течением времени
размывается в переходную область, ширина которой растет про-
пропорционально квадратному корню из времени. Ввиду различия
коэффициентов в двух уравнениях G1.15), ширины Sv и 6н об-
областей изменения скорости и поля будут различны:
I/2.	G1.16)
г) Если плотности несжимаемых сред с двух сторон разрыва различны,
то в этих условиях р заменяется на 2pip2/(pi	)

§ 72	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	357
Что касается вращательных разрывов, то они оказываются
устойчивыми (в несжимаемой жидкости) по отношению к бес-
бесконечно малым возмущениям при любых значениях магнитного
поля (СИ. Сыроватский, 1953). Однако, как и тангенциальные
разрывы, они не могут иметь стационарной ширины и под влия-
влиянием вязкости и электрического сопротивления среды расширя-
расширяются со временем (см. задачу).
Задача
Найти закон расширения со временем вращательного разрыва.
Решение. Предполагая все величины зависящими только от ко-
координаты х (и времени), найдем из уравнений divv = 0 и div H = 0, что
vx = const, Hx = const. Пусть система координат выбрана так, что значения
v и Н по обеим сторонам разрыва (т. е. вдали от переходного слоя) свя-
связаны соотношениями G1.8); тогда vx = их (с тем же обозначением и, что
и в G1.9)—G1.11)). Для поперечных составляющих и* и v* имеем из F6.8),
F6.9) уравнения
dut	dut _ d\t с2 d2ut
~dT Ux~dT ~Ux~dx~ 4^~dx^'
d\t	d\t	d\\t d \t
	h Ux	 = Ux	h v	.
dt	dx	dx dx2
Поскольку при х = ±oo разность v* — Ut обращается в нуль в силу соотно-
соотношений G1.8), то внутри переходного слоя она мала по сравнению с суммой
\t + Ut. Сложив уравнения A), мы можем поэтому пренебречь членом с
\t — Ut и получим
— (v	- -
Отсюда видно, что ширина разрыва меняется по закону
2
8'
§ 72. Ударные волны
Перейдем к следующему типу разрывов, в котором
о.	G2.1)
Эти разрывы, как и в обычной гидродинамике, называют удар-
ударными волнами. Они характеризуются наличием скачка плотно-
плотности и тем, что газ движется сквозь них (vn\ и vn2 отличны от
нуля). Что касается нормальной компоненты магнитного поля,
то она, вообще говоря, отлична от нуля, но в частном случае
может быть и Нп = 0.
Сравнив уравнения G0.4) и G0.5), мы видим, что (при
Нп^0) векторы Ht2 — Нц и V^H^ — ViH^i параллельны одно-
одному и тому же вектору v^2 — v^i и потому параллельны между

358	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
собой. Отсюда в свою очередь следует коллинеарность H^i и Н^2,
т. е. векторы Hi, H2 и нормаль к поверхности разрыва лежат в
одной плоскости — в противоположность тангенциальным и аль-
веновским разрывам, в которых плоскости Hi, n и Н2, п, вооб-
вообще говоря, не совпадают. Этот результат справедлив и в случае
Нп = 0, когда из G0.5) следует, что ViH^i = V^H^ (этот случай
будет более подробно рассмотрен в конце параграфа).
Скачок vt2 — Vti расположен в той же плоскости, что и Hi,
Н2. Не ограничивая общности, можно считать, что и сами век-
векторы vi и V2 лежат в той же плоскости, так что движение в
ударной волне является по своей природе плоским. Более того,
легко видеть, что путем соответствующего преобразования си-
системы координат, молено (при Нп ф 0) добиться того, чтобы с
обеих сторон поверхности разрыва векторы v и Н были кол-
линеарны. Для этого надо перейти к новой системе координат,
движущейся относительно первоначальной со скоростью
v4 - ^Н* = vt - f Н,
(значения этой величины с обеих сторон разрыва одинаковы в
силу граничного условия G0.5)). В следующих ниже формулах
мы, однако, не будем предполагать этого специального выбора
системы координат.
Выведем соотношение, играющее для ударных волн в магнит-
магнитной гидродинамике роль адиабаты Гюгонио обычной гидродина-
гидродинамики. Исключив {v^} из двух уравнений G0.4), G0.5), получим
соотношение
j2{VHt} = ^{Ht};	G2.2)
мы пишем здесь Щ вместо Н^, имея уже в виду коллинеарность
H^i и Н^2 1). Для того чтобы исключить v^ из уравнения G0.2),
переписываем его тождественно в следующем виде:
Третий член обращается в нуль в силу уравнения G0.4) и, та-
таким образом, vt выпадает. В последнем члене подставляем j2 из
г) При этом, однако, векторы H*i и Н*2 могли бы быть направлены как
в одну и ту лее, так и в противоположные стороны, и в этом смысле Нц
и Ht2 могли бы иметь как одинаковые, так и различные знаки. Лишь в
дальнейшем (§ 73) мы увидим из других соображений, что фактически эти
знаки должны быть одинаковыми.

§ 72 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	359
G2.2), а в первом — из	G0.3), т. е.
•2 =	P2-Pi+(H?2-H?1)/Stt	G2 3)
J	{ }
G2 3)
После простых вычислений получим тогда окончательно
(e2-e1) + UP2+P1)(V2-V1) + -^(V2-V1)(Ht2-HtlJ = 0. G2.4)
Это и есть искомое уравнение ударной адиабаты в магнитной
гидродинамике. Оно отличается от обычного уравнения третьим
членом.
Выпишем здесь еще раз также уравнение G0.4):
vt2-vtl = ^;(Ht2-Htl),	G2.5)
определяющее скачок v^ по скачку Ht. Уравнения G2.2)-G2.5)
составляют полную систему уравнений, описывающих ударные
волны. Ниже мы условимся приписывать индекс 1 той среде, в
сторону которой волна распространяется; другими словами, сам
газ проходит со стороны 1 перед ударной волной на сторону 2
позади нее. Напомним также, что мы условились пользоваться
системой координат, в которой данный элемент поверхности раз-
разрыва покоится, а газ движется через него.
В обычной гидродинамике справедлива теорема Цемплена
(см. VI, § 87), согласно которой в ударной волне давление и плот-
плотность увеличиваются:
Р2>Ри Р2>Р1\	G2.6)
другими словами, ударная волна — волна сжатия. При этом пред-
предполагается, что
хотя это неравенство — не термодинамическое, оно выполняет-
выполняется практически всегда. Теорема Цемплена является следствием
закона возрастания энтропии.
Легко видеть, что теорема Цемплена остается справедливой
и в магнитной гидродинамике для ударных волн слабой интен-
интенсивности — при одном только условии G2.7). В слабой ударной
волне скачки всех величин малы. Разложив уравнение G2.4) по
степеням скачков давления и энтропии, получим
P2.8)

360	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
первый член отвечает обычной гидродинамике (см. VI, § 86). По-
Поскольку — {dV/dP)s > 0 согласно одному из термодинамических
неравенств, то согласно требованию 52 — si > 0 из G2.8) следует
неравенство P<i > Pi и, соответственно, У*ъ < V\.
Если помимо G2.7) положителен также и коэффициент теп-
теплового расширения, (dV/dT)p > 0, то теорему Цемплена в
магнитной гидродинамике можно доказать сведением к доказа-
доказательству в обычной гидродинамике, без предположения о мало-
малости скачков всех величин (Р.В. Половин, Г.Я. Любарский, 1958;
СВ. Иорданский, 1958).
Пусть Pi, Vi — заданное начальное состояние газа, и пусть
@)
«§2 — энтропия в конечном состоянии газа при заданном зна-
значении V~2 в отсутствие магнитного поля. Энтропию же в конеч-
конечном состоянии газа при тех же значениях Pi, Vi, V2 в присут-
присутствии магнитного поля обозначим как s2 .В обычной гидроди-
гидродинамике из V2 > Vi следует s2 < si, что означает невозможность
волны разрежения. Покажем, что (в указанных выше условиях)
(Я) @)	g.	(Н)	g.
S2 < S2 ? так что тем 6°лее s2 < 515 тем самым будет доказана
невозможен ость волн разрежения и в магнитной гидродинамике.
Дифференцируем уравнение G2.4) по ?2 при постоянном V2.
Используя равенство \де/дР)у = T(ds/dP)y, получим
где обозначено
Ввиду термодинамических соотногпений
~dl)v ~ Vv \дт)у' \дт)у~ \ду)т\~дт)р
знак первого члена в G2.9) совпадает со знаком (dV/dT)p и,
по предположению, положителен. Поэтому если V2 > Vi, то
(dQ/dP2)v2 < 0. Наличие магнитного поля вызывает увеличе-
увеличение Q (без поля Q = 0, а с полем Q > 0) и, следовательно, —
уменьшение Р2 (при заданном V2). Поскольку, по предположе-
предположению, (ds/dP)v > 0, то отсюда, в свою очередь, следует s^2 < «4 ?
что и требовалось доказать.
Наконец, рассмотрим уже упомянутый в начале параграфа
случай, когда магнитное поле с обеих сторон поверхности раз-

§ 73	УСЛОВИЕ ЗВОЛЮЦИОННОСТИ УДАРНЫХ ВОЛН	361
рыва л елей т в тангенциальной к ней плоскости Нп = 0 (пер-
(перпендикулярная ударная волна). Из G2.5) имеем в этом случае
vt2 = v^i, т. е. тангенциальная составляющая скорости остает-
остается непрерывной. Соответствующим выбором системы координат
можно поэтому всегда добиться, чтобы с обеих сторон разрыва
было Vt — 0, т. е. газ двигался бы перпендикулярно к разрыву;
будем считать это сделанным. Далее, из уравнения G2.2) имеем
Имея в виду это соотношение, легко убедиться в том, что урав-
уравнения G2.3), G2.4) могут быть написаны в виде
7-2_Pa'-Pi*
- V2
e2e1 +
отличающемся от обычных уравнений для ударных волн в от-
отсутствие магнитного поля лишь изменением уравнения состоя-
состояния; вместо истинного уравнения Р = P(V, s) надо пользоваться
уравнением Р* = P*(V,s), где
а буквой Ъ обозначено постоянное произведение HV. Соответ-
Соответственно, ?* дол лен о быть определено так, чтобы выполнялось
термодинамическое соотношение (ds*/dV)s = —Р*, откуда
е*=е
§ 73. Условие зволюционности ударных волн
Для возможности реального существования гидродинамиче-
гидродинамический разрыв должен быть устойчив относительно расщепления
на два или более других разрывов. Это условие можно иначе
сформулировать как требование, чтобы любое бесконечно малое
возмущение начального состояния приводило бы лишь к беско-
бесконечно малым же изменениям разрыва; удовлетворяющие этому
требованию разрывы называют эволюционными. Подчеркнем,
что свойство зволюционности отнюдь не совпадает с устойчи-
устойчивостью в обычном смысле этого слова. Обычная неустойчивость
означает постепенное возрастание начального малого возмуще-
возмущения, приводящее в конце концов к разрушению данного режи-
режима движения; но даже при экспоненциальном (как е7*, 7 > 0)
возрастании в течение достаточно малого промежутка време-
времени (t < I/7) возмущение остается малым. В незволюционном

362	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
лее разрыве возмущение сразу делается большим (хотя при ма-
малых t оно и занимает еще малую область пространства). Это
иллюстрируется рисунком, на котором изображено расщепление
скачка плотности р{х) на два последовательных скачка (рис. 41);
возмущение 6р не мало, хотя и занимает
при малых i (когда оба разрыва еще не '
разошлись на заметное расстояние) лишь
малый интервал 8х.
Критерий зволюционности можно по-
получить путем подсчета числа независи-
независимых параметров, определяющих произ- -
вольное начальное (при i = 0) малое
возмущение разрыва, и числа уравне-	Рис. 41
ний (линеаризованных граничных усло-
условий на разрыве), которым они должны удовлетворять. Разрыв
зволюционен, если оба числа одинаковы; тогда граничные усло-
условия однозначно определяют дальнейшее развитие возмущения,
которое при малых i > 0 останется малым1). Если лее число
уравнений больше или меньше числа неизвестных параметров,
то задача о малом возмущении разрыва не имеет решения вовсе
или имеет их бесконечное множество. Ни то, ни другое невоз-
невозможно, и такая ситуация будет свидетельствовать о неправомер-
неправомерности исходного допущения (малость возмущения при малых t);
разрыв незволюционен.
В обычной гидродинамике требование зволюционности удар-
ударных волн не приводит к каким-либо дополнительным ограни-
ограничениям по сравнению с условием возрастания энтропии: удар-
ударные волны, допускаемые теоремой Цемплена, автоматически
зволюционны (см. VI, § 88). В магнитной гидродинамике это не
так, и требование зволюционности налагает новые существенные
ограничения на характер изменения величин в ударной волне
{А.И. Ахиезер, Р.Я. Любарский, Р.В. Половин, 1958).
Приступая к фактическому выяснению условия зволюци-
зволюционности магнитогидродинамических ударных волн, подсчитаем
прежде всего число уравнений, которым должно удовлетворять
произвольное малое возмущение на поверхности разрыва.
Будем представлять себе ударную волну как плоскую и вы-
выберем ее плоскость в качестве плоскости yz. Положительное на-
направление оси х выберем в сторону движения газа через поверх-
поверхность разрыва. Невозмущенные поля Н\, Н2 и скорости газа v\,
V2 по обе стороны разрыва пусть лежат в плоскости ху.
г) При этом волна может быть как неустойчивой (если среди собственных
частот уравнений имеются комплексные с пол ожи тельной мнимой частью),
так и устойчивой (если таких частот нет).

§ 73	УСЛОВИЕ ЗВОЛЮЦИОННОСТИ УДАРНЫХ ВОЛН	363
С каждой стороны поверхности разрыва подвергаются возму-
возмущению семь величин: три компоненты скорости жидкости (г?ж,
vy, vz\ две компоненты магнитного поля (Ну, B.z\ плотность
р = 1/V и энтропия s. Возмущения остальных термодинамиче-
термодинамических величин (Р, w) определяются возмущениями р и s. В силу
уравнения divH = дНх/дх = 0 продольная компонента поля Нх
постоянна вдоль оси х и возмущению не подвергается. Кроме то-
того, возмущению подвергается скорость распространения самой
ударной волны, т. е. у нее появляется малая скорость (обозна-
(обозначим ее через 8U) по отношению к выбранной системе коорди-
координат (в которой невозмущенный разрыв покоится). Эта скорость,
однако, может быть сразу выражена через возмущения р и vx из
условия непрерывности плотности потока массы j через разрыв.
Действительно, скорость газа относительно разрыва есть
VxO + Svx - SU,
где vxo — невозмущенная скорость, 6vx — ее возмущение; написав
также р = ро + 8р, линеаризовав граничное условие {j} = 0 и
опустив затем индекс 0 у невозмущенных величин, получим
{6j} = {p6vx} + {vx6p} - 6U{p} = О,
откуда определяется SU.
Линеаризация граничных условий непрерывности компонен-
компоненты Uzx потока импульса и компоненты Еу электрического поля
(т. е. ^-компонент уравнений G0.4), G0.5)) дает два уравнения
I pvx6vz - —HXSHZ \ = 0, {HxSvz - vx6Hz} = 0
(напомним, что невозмущенные значения vz = 0, Hz = 0). Эти
уравнения содержат возмущения только двух величин:
Svz, 5HZ.	G3.1)
Граничные же условия непрерывности потока энергии qx, компо-
компонент Пжж, Иух потока импульса и компоненты Ez электрического
поля (т. е. уравнения G0.2), G0.3) и у-компоненты уравнений
G0.4), G0.5)) дают четыре линейных уравнения, которые содер-
содержат возмущения
8vx, 8vy, 8Ну, 8р, 8s]	G3.2)
мы не будем выписывать их здесь.
Подсчитаем теперь число параметров, определяющих возму-
возмущение ударной волны. Возмущения, зависящие от времени как
e~lujt, распространяются в обе стороны от разрыва в виде магни-
тогидродинамических волн трех видов (альвеновские, быстрые

364
МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
и медленные магнитозвуковые) и в виде энтропийной волны; по-
последняя представляет собой малое возмущение энтропии, кото-
которое (в силу адиабатичности течения газа) переносится вместе с
самим газом, с его скоростью. При этом все эти волны дол лены,
конечно, быть уходящими — распространяться влево или впра-
вправо от разрыва. В каждой волне изменения всех величин связаны
друг с другом определенными соотношениями (как это было по-
показано в § 69); поэтому каждая волна определяется всего одним
параметром — амплитудой какой-либо одной величины.
Магнитозвуковые и энтропийные волны переносят возмуще-
возмущения G3.2), а альвеновские волны — возмущения G3.1). Посколь-
Поскольку уравнения для этих двух групп возмущений разделяются, то
условие зволюционности дол лен о быть выполнено для каждой из
них в отдельности (СИ. Сыроватский, 1958); это обстоятельство
еще усиливает возникающие ограничения.
Рассмотрим сначала условия зволюционности относительно
альвеновских возмущений. Оно требует, чтобы число уходящих
волн равнялось двум — по числу уравнений. Фазовые скоро-
скорости альвеновских волн относительно поверхности разрыва могут
быть равны
их\ ±г/Аь vx2 ±^А2,
где ua — фазовая скорость F9.6) волны относительно газа. По ус-
условленному выбору направления оси х скорости газа vxi, vX2 > 0.
В области 1 перед разрывом волна уходит от него, если ее фа-
фазовая скорость (относительно разрыва) отрицательна, а в облас-
области 2 позади разрыва — если она положительна. Волна со ско-
скоростью vx\ + uai этому условию никогда не удовлетворяет (она
всегда приходящая), а волна со скоростью vx\ — uai — уходя-
уходящая при vx\ < uai- Аналогичным образом волна со скоростью
vX2 + ^А2 всегда уходящая, а со скоростью vX2 — UA2 — уходящая
при vX2 > UA2- Поэтому существуют
две области зволюционности относитель-
относительно альвеновских волн:
vn2
U62
<
VX2
UA2,
UA2-
U-61 Vni
Эти области отмечены на рис. 42 верти-
вертикальной штриховкой; рисунок построен с
учетом неравенств
им <иА < Щ.	G3.3)
Условие зволюционности по отноше-
отношению к магнитозвуковым и энтропийным
возмущениям требует, чтобы число уходящих волн было равно
четырем. Уходящая энтропийная волна, перемещающаяся вме-
вместе с газом, всегда существует, но только со стороны 2. Число
Рис. 42

§ 73	УСЛОВИЕ ЗВОЛЮЦИОННОСТИ УДАРНЫХ ВОЛН	365
уходящих магнитозвуковых волн должно поэтому быть равно
трем. Рассуждения, подобные проведенным выше для альвенов-
ских волн, приводят к двум областям зволюционности по отно-
отношению к рассматриваемой группе возмущений, показанных на
рис. 42 горизонтальной штриховкой 1).
Пересечение обеих штриховок определяет две области зволю-
зволюционности относительно всех возмущений: 1) быстрые ударные
волны, для которых
Vnl > Щ1, Щ2 > Vn2 > UA2-)	G3.4)
и 2) медленные ударные волны, для которых
им > vnl > гхмЬ им2 > vn2	G3.5)
(мы вернулись к обозначению нормальной компоненты скорости
газа как vn вместо vx). В предельном случае слабой интенсивно-
интенсивности волны (малые скачки всех величин) быстрые и медленные
ударные волны распространяются со скоростью соответственно
Щ2 ~ Щ1 И им2 « им\ .
Применим полученные условия зволюционности к выяснению
характера изменения магнитного поля в ударной волне. Исходим
из равенства G2.2)
^{Ht}	{} KHJ
4тг?2	I р ) 3
или
(^	)	(^	)t2.	G3.6)
\4ttj	/	\4ttj
Заметив, что Н^/Dтгр) = и\, молено иначе переписать его в виде
С учетом неравенств G3.4), G3.5) из G3.7) видно, что тангенци-
тангенциальные поля по обе стороны ударной волны не только коллине-
арны, но и направлены в одну сторону.
В медленных ударных волнах с обеих сторон разрыва
Заметив также, что из непрерывности потока массы, pivni =
= P2Vn2i и из неравенства р\ < р2 следует, что
G3.8)
2) Отметим, что среди областей незволюционности существуют случаи,
когда число параметров как больше, так и меньше числа уравнений, — по
каждой из двух групп возмущений.

366	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
из G3.6) приходим к заключению, что Ht2 < -ffti, т. е. в мед-
медленной ударной волне тангенциальное магнитное поле ослабля-
ослабляется. В быстрой же волне vn > H^/Dnj) и из G3.6) следует, что
Ht2 > Hti, т. е. тангенциальное магнитное поле усиливается.
Отметим частный случай ударных волн, в котором магнитное
поле с обеих сторон поверхности разрыва параллельно нормали
к ней. Как было указано в начале § 72, всегда можно выбрать
систему координат таким образом, чтобы с обеих сторон векторы
v и Н были параллельны друг другу. Тогда в рассматриваемом
случае будет
Иц = Ut2 = 0, Vtl =Vt2 = ®
(параллельная ударная волна). Для такой волны граничные усло-
условия вообще не содержат магнитного поля, т. е. совпадают с гра-
граничными условиями для ударной волны в обычной гидродина-
гидродинамике. Наличие магнитного поля приводит, однако, к тому, что
в определенном интервале значений параметров волны наруша-
нарушаются условия зволюционности и такие волны становятся невоз-
невозможными (см. задачу).
Что касается рассмотренных в конце предыдущего парагра-
параграфа перпендикулярных ударных волн, то все такие волны сжатия
зволюционны, причем они являются быстрыми волнами. Послед-
Последнее очевидно уже из того, что при Нп = 0 скорости up, = им = 0.
Рассмотрев различные типы разрывов в магнитной гидроди-
гидродинамике, остановимся еще на вопросе о возможности существо-
существования переходных случаев между этими типами, т. е. разрывов,
которые обладали бы одновременно свойствами двух типов. Та-
Такие возможности сильно ограничены условиями, вытекающими
из требования зволюционности.
Прежде всего альвеновский разрыв не может непрерывно пе-
перейти в ударную волну. Действительно, в ударной волне нормаль
к поверхности разрыва и магнитное поле по обе ее стороны лежат
в одной плоскости. Такая ударная волна может совпасть с альве-
новским разрывом, только если в нем вектор Н поворачивается
на 180°. Но тогда тангенциальная компонента поля меняет знак,
между тем как в эволюционной ударной волне она не меняет
знака.
Между быстрой и медленной ударными волнами непрерыв-
непрерывный переход был бы возможен только при Нц = Ht2 = 0, так как
в быстрой волне поле Н$ (если оно отлично от нуля) усиливает-
усиливается, а в медленной — ослабляется; другими словами, непрерывный
переход мог бы быть только между параллельными быстрой и
медленной волнами. Но области зволюционности этих волн со-
соприкасаются только при uai = ЗДь когда медленная волна исче-
исчезает (см. задачу 1). Таким образом, непрерывный переход между
быстрыми и медленными ударными волнами невозможен.

73
УСЛОВИЕ ЗВОЛЮЦИОННОСТИ УДАРНЫХ ВОЛН
367
Быстрая волна не может непрерывно перейти в тангенциаль-
тангенциальный разрыв в силу неравенств G3.4).
Таким образом, возможны непрерывные переходы лишь меж-
между тангенциальным разрывом, с одной стороны, и контактным
разрывом, альвеновским разрывом или медленной ударной вол-
волной — с другой.
Задачи
1. Найти область значений vi, в которой нарушается зволюционность
параллельной ударной волны в идеальном (в термодинамическом смысле)
одноатомном газе с отношением теплоемкостей cp/cv = 5/3.
Решение. Для указанного газа тепловая функция w = ЬР/Bр) и
система граничных условий G0.1)-G0.3) принимает вид
Отсюда находим
^ = „2+ 5^.
(где ио = EР/3/?I'2 — обычная скорость звука) и далее:
[-иА1,
v\ + Зг/§!
U62 = max
При uai < uqi условия зволюционности всегда выполняются, причем
ударная волна является быстрой. На рис. 43 изображен примерный вид за-
зависимостей V2(vi) (жирная линия) и ixa2(^i), 1*62(^1) = 1*02(^1) в этом случае;
наклонная штрихпунктирная прямая — биссектриса прямого угла.
U61=U01
Рис. 43
Рис. 44
На рис. 44 изображена аналогичная диаграмма для случая uai > txoi •
Тонкие линии — снова зависимости iaa2(^i) и 1*02(^1); на различных участ-
участках этих линий указано, какая из скоростей, ив2 или itM2, с ними совпадает.

368	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
Жирная сплошная линия — зависимость V2(vi) в областях зволюционности,
причем левая ее часть отвечает медленным, а правая — быстрым ударным
волнам. Жирная штриховая кривая — незволюционный участок, занимаю-
занимающий интервал
uai < v
он ограничен справа точкой, в которой г>2 = UA2 1).
2. Впереди ударной волны тангенциальное магнитное поле H*i = 0, а
позади Н^2 ф 0 (такую ударную волну называют волной включения). Найти
интервал значений скорости vni, которой может обладать такая волна в газе
с теми лее термодинамическими свойствами, как и в задаче 1.
Решение. Из G2.2) следует, что при H*i = 0 скорость волны
относительно газа позади нее:
Нп
Vn2 = /л	= UA2,
а относительно газа впереди:
Vnl = 	Vn2 =
Это волна — быстрая; vni и vn2 связаны друг с другом соотношением
2 2\
VnlVn2 = ^Al /•
Для волны включения в газе с указанными термодинамическими свой-
свойствами из граничных условий можно получить
Я 2
t2	Pi f 2	2 \/л 2	о 2	2 \
— = т-^-Kii - иА1)DиА1 - Зи01 -vnl).
8тг ЗиА1
Поскольку правая часть равенства должна быть положительна и поскольку
vni > uai, то ясно, что возможные значения vni в волне включения ограни-
ограничены интервалом
uai ^ vni
Как видно из этих неравенств, волны включения возможны только при
uai > ^oi • На рис. 44 этим волнам отвечает отрезок тонкой сплошной линии,
отмеченной буквами ВВ.
§ 74. Турбулентное динамо
Турбулентное движение проводящей жидкости обладает за-
замечательным свойством: оно может приводить к самопроизволь-
самопроизвольной генерации сравнительно больших магнитных полей; об этом
явлении говорят как о турбулентном динамо. В проводящей
г) Об отрезке линии ВВ — см. задачу 2.
2) Волной выключения называют ударную волну, в которой H*i ф О,
Н^2 = 0. Она относится к медленным волнам; ее скорости
Vnl = UAI, Vn2 = у Pi / P2UA2 < UA2, VniVn2 = ^A2-
Может возникнуть сомнение в зволюционности волн включения и выклю-
выключения; так, в волне включения vni > ^ai5 и потому, казалось бы, от нее
может отходить только одна альвеновская волна возмущений — со скоро-
скоростью vn2 + UA2 = 2itA2 назад. Не надо забывать, однако, что при наложении
возмущения тангенциальное магнитное поле становится отличным от нуля.

§ 74	ТУРБУЛЕНТНОЕ ДИНАМО	369
жидкости всегда существуют малые возмущения, вызванные
факторами, посторонними по отношению к самому движению
жидкости, и сопровождающиеся появлением очень слабых элек-
электрических и магнитных полей (так, возмущения могут быть свя-
связаны с магнитомеханическим эффектом во вращающихся участ-
участках жидкости или далее с тепловыми флуктуациями). Вопрос
заключается в дальнейшем поведении этих возмущений — будут
ли они в результате турбулентного движения в среднем усили-
усиливаться со временем или лее затухнут.
Ход изменения со временем раз возникнувших возмущений
магнитного поля определяется игрой различных физических
факторов. В направлении усиления поля действует специфиче-
специфический магнитогидродинамический эффект растяжения силовых
линий. В § 65 было показано, что при движении жидкости (с до-
достаточно большой проводимостью) магнитные силовые линии то-
тоже перемещаются как «вмороженные» в нее, причем напряжен-
напряженность магнитного поля меняется пропорционально растяжению
силовой линии в каждой ее точке. Но при турбулентном движе-
движении любые две близкие частицы жидкости с течением времени в
среднем расходятся. В результате силовые линии растягиваются,
а магнитное поле усиливается.
В направлении уменьшения поля действует диссипация маг-
магнитной энергии, выделяющейся в виде джоулева тепла индукци-
индукционных токов. Поскольку диссипация энергии пропорциональна
(rotHJ, т. е. квадратична по пространственным производным
поля, ясно, что для движения с достаточно большими простран-
пространственными масштабами изменения поля диссипация будет ма-
мала. Это еще отнюдь не означает, что поле на таких масштабах
будет усиливаться. Дело в том, что упомянутое растяжение си-
силовых линий сопровождается их «запутыванием», что приводит
к уменьшению пространственного масштаба. Поэтому возможна
ситуация, когда вместо усиления поля с данным масштабом воз-
возникает лишь поток энергии от турбулентных пульсаций с боль-
большими масштабами к пульсациям с меньшими масштабами; дойдя
до достаточно малых масштабов, энергия диссипируется.
Именно такая ситуация имела бы место в случае «двумерной»
турбулентности, когда скорость движения жидкости v везде па-
параллельна одной и той же плоскости ху (Я.Б. Зельдович, 1956);
подчеркнем, что генерируемое поле Н при этом не предполага-
предполагается двумерным. Покажем это.
Рассмотрим, прежде всего, эволюцию перпендикулярной по
отношению к движению жидкости компоненты поля Hz. С уче-
учетом равенств div H = 0 и div v = 0 (в этом параграфе жидкость
считаем несжимаемой!) ^-компонента уравнения F6.1) принима-
принимает вид
^ = -(vV)tf2 + ^АЯ,;	G4.1)
at

370	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
в него входит только Hz. Первый член описывает просто перенос
данного значения Hz вместе с элементом жидкости, к которому
оно относится. Второй лее член описывает «диффузионное» вы-
выравнивание значений Hz в разных точках жидкости. Очевидно,
что ни тот, ни другой эффекты не могут привести к возраста-
возрастанию Hz. Если начальное возмущение Hz занимает конечную об-
область пространства, то вследствие «диффузии» с течением вре-
времени оно затухнет.
При доказательстве затухания компонент поля Нх, Ну моле-
молено положить Hz = 0, поскольку нам надо исключить именно
возможность того, что эти компоненты останутся после затуха-
затухания Hz^). Сделаем это при дополнительном ограничении, что
все величины (v и Н) не зависят от координаты z2). Тогда век-
вектор rot H направлен по оси z\ то же самое относится к вектору
[vH], а потому (как это видно из выражения F6.6)) по оси z
направлено и электрическое поле Е. В таком случае можно опи-
описать электромагнитное поле с помощью векторного потенциала
А, направленного по оси гине зависящего от координаты z:
п dAz ч	dAz w	1 8AZ , A 8AZ
iix = ——, Hy = -——, bz =	—, divA = —— = U.
ду	дх	с dt	dz
Подставив эти выражения в F6.6), получим, после простого пре-
преобразования, уравнение для Az:
ит
ААг,	G4.2)
точно совпадающее по виду с уравнением G4.1). Отсюда снова
следует, что с течением времени возмущения Az, а с ними и Нх,
Ну, затухают.
Таким образом, турбулентное динамо представляет собой су-
существенно трехмерное явление. Для иллюстрации этого обсто-
обстоятельства укажем следующий пример движения, приводящего
к усилению поля без изменения его пространственного масш-
масштаба. Рассмотрим совокупность замкнутых магнитных сило-
силовых линий, вмороженных внутри некоторого тора в жидкости
(рис. 45 а). Пусть при движении жидкости этот тор растянется
по длине, скажем, вдвое (рис. 45 5); во столько лее раз уменьшит-
уменьшится площадь его сечения и увеличится величина магнитного поля.
Далее, пусть при движении тор «скрутится» (рис. 45 в), а затем
петли наложатся друг на друга (рис. 45 г). В результате получит-
получится конфигурация примерно тех же размеров, что и вначале, но
г) Последующими рассуждениями не исключается возможность возраста-
возрастания поля на начальной стадии процесса.
2) Это предположение делается здесь только для упрощения и не име-
имеет принципиального характера. Несколько более сложными рассуждениями
можно доказать тот же результат и без этого ограничения.

§ 74	ТУРБУЛЕНТНОЕ ДИНАМО	371
с удвоенным значением поля в торе. Многократное повторение
такого цикла приводит к неограниченному экспоненциальному
усилению поля. Очевидно, что такое движение принципиально
трехмерно.
Рис. 45
Конечно, эта иллюстрация не является доказательством дей-
действительного существования турбулентного динамо; существуют
еще и движения, дробящие масштабы поля. Для выяснения это-
этого вопроса необходимо прямое исследование устойчивости турбу-
турбулентного движения проводящей жидкости относительно малых
начальных возмущений магнитного поля. На этом пути были
получены веские указания на то, что при достаточно больших
значениях магнитного числа Рейнольдса генерация магнитного
поля действительно происходит1). Мы не будем излагать этих,
достаточно сложных, исследований, а остановимся лишь на об-
общем описании установившейся картины магнитогидродинами-
ческой турбулентности в предположении существования турбу-
турбулентного динамо.
Как известно, турбулентное движение молено рассматривать
как совокупность «турбулентных пульсаций» разных масшта-
масштабов — начиная от основного, «внешнего», масштаба / до наи-
наименьшего, «внутреннего», масштаба До- Первый совпадает с ха-
характеристическими длинами, определяющими размеры области,
в которой происходит турбулентное движение. Второй лее опре-
определяет порядок величины расстояний, на которых становится
существенной диссипация энергии (см. VI, § 33). Говоря о ста-
стационарной турбулентности, мы имеем в виду постоянство ее
средних характеристик: усредненных по промежуткам време-
времени порядка величины периодов соответствующих пульсаций, но,
конечно, малых по сравнению со всем временем наблюдения. Мы
будем отличать индексом А средние характеристики пульсаций
масштаба А; так, г^д, Н\ — средние изменения скорости и поля
на расстояниях ~ А.
Утверждение о существовании турбулентного динамо озна-
означает, что на основном масштабе / существуют магнитные поля
i7/, плотность энергии которых Н^/(8тг) сравнима с плотностью
кинетической энергии жидкости pvf /2. Другими словами, альве-
См. Вайнштейн СИ. // ЖЭТФ. 1980. Т. 79. С. 2175; 1982. Т. 83. С. 161.

372	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
новская скорость в поле Н^
%	G4.3)
сравнима с основным масштабом гидродинамической скорости
vi = и (изменение средней скорости на расстояниях ~ /). Для
масштабов же Л <С / поля Н\ <С Щ1).
Сразу же подчеркнем главное отличие магнитогидродина-
мической турбулентности от обычной. В последней движение с
основным масштабом не сказывается существенным образом на
свойствах мелкомасштабных пульсаций — оно приводит лишь
к конвективному «сносу» последних. В магнитогидродинамиче-
ском же случае, напротив, поле Hi основного масштаба влияет
на движения всех меньших масштабов.
Поскольку для масштабов Л <С / поле Hi можно считать ло-
локально однородным, а Н\ <С Д/, то мелкомасштабное движение
в этом случае есть не что иное, как совокупность магнитогид-
родинамических волн малой амплитуды с волновыми векторами
к rsj 1/Л и скоростями rsj ua- Согласно F9.11) в этих волнах ки-
кинетическая энергия жидкости и магнитная энергия одинаковы.
Другими словами, в мелкомасштабных пульсациях с большой
точностью соблюдается равнораспределение между магнитной
и кинетической энергиями:
pv\ ~ g.	G4.4)
По порядку величины это соотношение молено экстраполировать
к основному масштабу, где оно дает и ~ up, — в согласии с пред-
пол ожен и ем.
Рассмотрим область значений масштабов Л в интервале
/ > Л > Ло.	G4.5)
Следует иметь в виду, что вязкостная диссипация и джоулева
диссипация могут, вообще говоря, становиться существенными
при различных значениях Л, и в этом смысле в магнитогидроди-
намической турбулентности могут существовать два внутренних
масштаба; под Ло в G4.5) подразумевается больший из них, так
что в области G4.5) (ее называют инерционной) нет никакой дис-
диссипации.
г) Мы интересуемся здесь генерацией турбулентного магнитного поля с ха-
характерными размерами пространственного изменения < /. Генерация «круп-
«крупномасштабного» поля с характерными размерами ^> /, как оказывается, воз-
возможна, лишь если усредненные характеристики турбулентного движения не
инвариантны относительно пространственной инверсии (этот случай здесь
не рассматривается). Изложение соответствующей теории можно найти в
книгах: Вайнштейн СИ., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное
динамо в астрофизике. — М.: Наука, 1980; Моффат Г. Возбуждение магнит-
магнитного поля в проводящей среде. — М.: Мир, 1980.

§ 74	ТУРБУЛЕНТНОЕ ДИНАМО	373
Введем, как и в теории обычной турбулентности, среднее ко-
количество энергии (обозначим ее через е), диссипируемой в еди-
единицу времени в единице массы жидкости. Эта энергия черпается
из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается
во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в пульсаци-
пульсациях масштабов А< Ао- Очевидно, что в инерционной области, где
диссипация отсутствует, величина е представляет собой в то лее
время постоянный (не зависящий от А) поток энергии в направле-
направлении уменьшающихся масштабов. В обычной, чисто гидродинами-
гидродинамической турбулентности молено было утверждать, что локальные
(т. е. на длинах А ^С /) свойства турбулентности должны опреде-
определяться только величинами /э, е и, разумеется, самими расстояни-
расстояниями А, но не масштабами / и и размеров и скорости в целом; этого
было достаточно для того, чтобы найти зависимость v\ от А уже
из соображений размерности. В магнитогидродинамической лее
турбулентности локальные свойства могут зависеть и от поля Hi
(или, что то же, от скорости и а)- Для определения г^д сообра-
соображения размерности теперь уже недостаточны и надо привлечь к
делу соображения о фактическом механизме установления пото-
потока энергии.
Этим механизмом является взаимодействие магнитогидроди-
намических волн малой амплитуды друг с другом, описываемое
нелинейными членами в уравнениях движения. Поэтому поток
энергии е должен разлагаться по степеням малых амплитуд г?д,
причем это разложение должно начинаться с членов более вы-
высокой степени, чем вторая (квадратичные члены соответствова-
соответствовали бы обычной диссипации, отсутствующей здесь). Члены тре-
третьей степени зависели бы от фаз взаимодействующих волн и
выпадают при усреднении по этим случайным фазам. Поэто-
Поэтому е со Vy Теперь уже коэффициент пропорциональности можно
определить из соображений размерности (е имеет размерность
эрг/(г-с) =см2/с3):
e~v4x/(uA\),	G4.6)
или
г;А - (nAeA)V4	G4.7)
(R.H. Kraichnan, 1965). Это выражение заменяет собой закон
Колмогорова-Обухова (v\ ~ (еАI/3) обычной гидродинамиче-
гидродинамической турбулентности. Экстраполируя G4.6) к основному масшта-
масштабу, получим для е оценку
е rsj u4/(uaI) ~ us/l
— такую же, как в обычной гидродинамике.
Внутренний масштаб турбулентности Ао можно оценить, ис-
исходя из представления о мелкомасштабных пульсациях как о маг-
нитогидродинамических волнах на фоне крупномасштабного по-
поля Щ. Вязкость и проводимость среды приводят к поглощению

374	МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. VIII
этих волн; соответствующий коэффициент поглощения 7 был
найден в задаче к § 69. Диссипация становится существенной,
когда длина поглощения I/7 сравнивается с длиной волны, т. е. с
масштабом Л. Поскольку магнитогидродинамические волны рас-
распространяются со скоростью и а (не зависящей от их длины), то
частота ио ~ ир,/\. Для коэффициента поглощения имеем оценку
1
\2иА '
Из условия 7 ^ 1/^ ПРИ ^ ^ ^0 находим внутренний масштаб:
Л0 ~ V-±^L „ Ч+J^L.	G4.8)
UA	U
Если v ^ уш, то Ло ~ v/u rsj //R5 где R ~ ul/v — число Рей-
нольдса для основного движения. Аналогично, при уш ^ v име-
имеем Ло ~ l/Rm-
В заключение отметим еще одно интересное свойство тур-
турбулентного движения сильно проводящей среды: магнитное по-
поле выталкивается из турбулентной области. Действительно, рас-
рассмотрим занятую турбулентностью конечную область, вне кото-
которой имеется магнитное поле. Силовые линии этого поля, входя в
турбулентную область, запутываются в ней в силу своей «вмо-
роженности»; магнитное поле становится хаотичным по направ-
направлениям. Это и означает обращение в нуль среднего по времени
значения напряженности Н, причем с тем большей точностью,
чем выше проводимость среды (конечная проводимость приво-
приводит к «проскальзыванию» силовых линий, так что хаотизация
поля оказывается неполной). Другими словами, при наложении
не слишком сильного магнитного поля на турбулентно движу-
движущуюся (в ограниченной области) жидкость последняя будет ве-
вести себя как диамагнитная среда с малой магнитной проница-
проницаемостью (/i <; 1) — тем меньшей, чем больше магнитное число
Рейнольдса Rm.
Достаточно же сильное магнитное поле не может не про-
проникнуть в жидкость. Это, однако, не означает, что сильное по-
поле должно полностью подавить турбулентность. В сколь угодно
сильном однородном внешнем магнитном поле (направленном по
оси z) возможна двумерная турбулентность, в которой скорость
жидкости везде параллельна плоскости ху и не зависит от коор-
координаты z. Действительно, в этом случае
rot [vH] = (HV)v = 0
и из F5.2) следует, что движение жидкости не возмущает внеш-
внешнее поле, оно остается однородным. Не возникает поэтому и то-
токов, и сила Лоренца равна нулю. Молено сказать, что двумер-
двумерное движение вообще «не чувствует» однородного поля. Именно
в такую двумерную турбулентность, по-видимому, вырождается
турбулентность в сильном внешнем поле.

ГЛАВА IX
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 75. Уравнения поля в диэлектриках
в отсутствие дисперсии
В § 58 были написаны уравнения переменного электромаг-
электромагнитного поля в металлах:
гоШ = — <тЕ, rotE = -i —,	G5.1)
с	с dt
справедливые при достаточной медленности изменения поля:
частоты поля должны быть такими, чтобы оставались справед-
справедливыми зависимости j от Е и В от Н (если отличие В от Н
вообще существенно), относящиеся к стационарному случаю1).
Теперь мы обратимся к аналогичному вопросу для перемен-
переменного электромагнитного поля в диэлектрической среде и сфор-
сформулируем уравнения, справедливые для таких частот, при кото-
которых связь между D и Е и между В и Н остается еще такой же,
как в постоянных полях. Если, как это обычно бывает, эта связь
сводится к простой пропорциональности, то указанное условие
означает, что можно полагать
D = еЕ, В = //Н	G5.2)
со статическими значениями е и \i.
Эти соотношения нарушаются (или, как говорят, появляется
дисперсия ? и /i) при частотах, сравнимых с собственными ча-
частотами тех молекулярных или электронных колебаний, с кото-
которыми связано появление электрической или магнитной поляри-
поляризации вещества. Порядок величины этих частот зависит от рода
вещества и меняется в очень широких пределах. Он может быть
также совершенно различным для электрических и магнитных
явлений ).
г) Что касается условия / <С А, то оно не имеет отношения к примени-
применимости уравнений G5.1) как таковых. Роль этого условия для вопросов, рас-
рассматривавшихся в гл. VII, заключалась в том, что оно позволяло пренебречь
эффектами запаздывания в поле вне проводника.
2) Так, в алмазе электрическая поляризация имеет электронное происхо-
происхождение и дисперсия е начинается лишь в ультрафиолетовой области спек-
спектра. В такой лее полярной жидкости, как вода, поляризация связана с ори-
ориентацией молекул с жесткими дипольными моментами и дисперсия г насту-
наступает при частотах ио ~ 1011 (т. е. в сантиметровом диапазоне длин волн).
Еще раньше может начаться дисперсия ц в ферромагнитных веществах.

376	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Уравнения
div В = О,	G5.3)
rotE = -i—	G5.4)
с dt	v J
получаются непосредственно путем замены е и h в точных ми-
микроскопических уравнениях Максвелла их усредненными значе-
значениями Е и В. Поэтому эти уравнения ни при каких условиях не
нуждаются в изменении. Что касается уравнения
divD = 0,	G5.5)
то оно получается (см. § 6) путем усреднения точного микро-
микроскопического уравнения div e = 4тг/э, причем используется лишь
то обстоятельство, что полный заряд тела равен нулю. Очевид-
Очевидно, что этот вывод ни в какой степени не зависит от предпола-
предполагавшейся в § 6 стационарности поля, и потому уравнение G5.5)
сохраняет свой вид и в переменных полях.
Еще одно уравнение должно быть получено путем усреднения
точного уравнения
roth =	+ —pv.	G5.6)
с dt с
Непосредственное усреднение дает
rotB = -7^ + ~^v-	75-7
с at с
Однако при зависящем от времени макроскопическом поле уста-
установление связи среднего значения ~pv с ранее введенными вели-
величинами довольно затруднительно. Проще произвести требуемое
усреднение не непосредственно, а следующим более формальным
путем.
Предположим временно, что в диэлектрик введены посторон-
посторонние по отношению к его веществу заряды с объемной плотностью
рст. При своем движении эти заряды создают «сторонний» ток
jCT, а сохранение этих зарядов выражается уравнением непре-
непрерывности
Вместо уравнения G5.5) будем иметь
div D = 4тгрст
(см. F.8)). Продифференцировав это равенство по времени и вос-
воспользовавшись уравнением непрерывности, получим

§ 75	УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ	377
ИЛИ
div(f + 47rjCT)=0.
Отсюда следует, что вектор, стоящий под знаком div, может быть
представлен в виде ротора некоторого другого вектора, который
обозначим как сН; тогда
rotH = —jCT +	•	G5.8)
с	с dt
Вне тела это уравнение должно совпадать с точным уравне-
уравнением Максвелла для поля в пустоте, соответственно чему век-
вектор Н совпадает с напряженностью магнитного поля. Внутри
же тела в статическом случае ток jCT связан с магнитным полем
уравнением
rotH = —jCT,
с
где Н — величина, введенная в § 29 и определенным образом
связанная со средней напряженностью В. Отсюда следует, что
в пределе стремящейся к нулю частоты вектор Н в уравнении
G5.8) совпадает со статической величиной Н(В), а предполага-
предполагаемая нами здесь «медленность» изменения поля означает, что
и для этих переменных полей сохраняется та же зависимость
Н(В). Таким образом, Н становится вполне определенной вели-
величиной, и, опуская вспомогательную величину jCT, мы приходим
окончательно к уравнению
rotH = --.	G5.9)
Величину D/Dtt) называют током смещения.
Это уравнение заменяет собой для диэлектриков первое из
уравнений G5.1), описывающих поле в металлах. Может возник-
возникнуть мысль о том, что и в металлах в этом уравнении для пере-
переменного поля следует учитывать член с производной 9Е/9?, т. е.
писать
rotH = ^<jE+-—	G5.10)
с	с dt
с постоянным коэффициентом е. Однако для хороших провод-
проводников (истинных металлов) введение такого члена было бы бес-
бессмысленным. Два члена в правой части уравнения G5.10) пред-
представляют собой по существу первые два члена разложения по
степеням частоты поля. Поскольку последняя предполагается до-
достаточно малой, то учет второго члена мог бы, в лучшем случае,
означать введение малой поправки. В действительности он не
может иметь даже этого смысла, так как фактически в метал-
металлах поправки от влияния пространственной неоднородности по-

378	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
ля становятся заметными раньше, чем поправка по частоте (см.
примеч. на с. 298).
Есть, однако, особая категория тел (плохие проводники), для
которых уравнение G5.10) может иметь смысл. В силу особых
причин (малое число электронов проводимости в полупроводни-
полупроводниках, малая подвижность ионов в растворах электролитов) про-
проводимость этих веществ аномально мала, и потому второй член
в правой части уравнения G5.10) может сравниться с первым
или далее превысить его у лее при таких частотах, для которых
молено еще считать а и е постоянными. В монохроматическом
поле отношение второго члена к первому есть еш/Dтга). Если
это отношение мало, то тело ведет себя как обычный проводник
с проводимостью а. При частотах лее ио ^> 4тга/е оно ведет себя
как диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е.
В однородной среде с постоянными е и \i уравнения G5.3)-
G5.5) и G5.9) принимают вид
divE = 0, divH = 0,	G5.11)
rotE = -^, rotH = *^.	G5.12)
с dt '	с dt	v J
Исключая из этих уравнений обычным образом Е (или Н), по-
получим
rot rot H =	rot E = -
cdt	с2 dt2
и поскольку rot rot H = graddivH —АН = —АН, то мы прихо-
приходим к волновому уравнению
с2 dt2 ~
Отсюда видно, что скорость распространения электромагнитных
волн в однородной диэлектрической среде есть
G5.13)
Плотность потока энергии складывается из потока энергии
электромагнитного поля и потока энергии, переносимой непо-
непосредственно движущимся веществом. В неподвижной среде (ко-
(которую мы и рассматриваем) последняя часть отсутствует и плот-
плотность потока энергии в диэлектрической среде дается той же
формулой C0.20)
S = f [EH],	G5.14)
что и в металлах. В этом легко убедиться, вычислив divS.

§ 75	УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ	379
Используя уравнения G5.4) и G5.9), получим
divS = ^(HrotE - ErotH) = -1- (е™ +Н™) = -™,
4тг	;	4тг V Ot	dt J	dt
G5.15)
в соответствии с выражением
dU= — (EdB + UdB)
4тг
для дифференциала внутренней энергии диэлектрика при задан-
заданных плотности и энтропии.
Как известно, требование симметричности четырехмерного
тензора энергии-импульса всякой замкнутой системы (в данном
случае — диэлектрика в электромагнитном поле) приводит к ра-
равенству (с точностью до множителя с2) плотности потока энер-
энергии и пространственной плотности импульса системы (см. II,
§ 32, 94). Поэтому последняя равна
JL[EH].	G5.16)
Это обстоятельство должно быть, в частности, учтено при
определении сил, действующих на диэлектрическое вещество в
переменном электромагнитном поле. Силу f (отнесенную к еди-
единице объема) молено вычислять по тензору напряжений а^ как
" дхк
При этом, однако, необходимо учесть, что а^ есть плотность по-
потока импульса, который идет на изменение импульса как веще-
вещества, так и электромагнитного поля. Если понимать под f силу,
действующую лишь на среду, то из написанного выражения надо
вычесть изменение импульса единицы объема поля:
G5.17)
В постоянном поле последний член равен нулю, и потому этот
вопрос раньше не возникал.
Медленность изменения поля позволяет воспользоваться для
тензора напряжений прежними выражениями, полученными для
постоянного поля. Так, для жидкой диэлектрической среды а^
дается суммой электрической A5.9) и магнитной C5.2) частей.
Но при дифференцировании этих выражений по координатам
надо учесть, что вместо уравнений rot E = 0, rot H = 0 для по-
постоянного поля (в отсутствие токов) мы имеем теперь уравнения

380	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
G5.12). Это приводит к появлению новых членов
которые теперь равны не нулю, а
- — [ErotE]-^[HrotH],
4тг	4тг
[EHl	[НЁ1
4тгс J 4тгс J 4тгс<9
Таким образом, искомая сила:
f = -VP0(p,T) - fvs - f^
7Г	7Г
*\eJ±=±°.\EH\- G5Л8)
4тгс dtl J V	J
др/Т8тг Н\др/Т8тг
Последний член в этом выражении называют силой Абрагама
(М. Abraham, 1909).
§ 76. Электродинамика движущихся диэлектриков
Движение среды приводит к возникновению явлений взаим-
взаимного влияния электрических и магнитных полей. Для проводни-
проводников эти явления были рассмотрены в § 63, теперь же мы обра-
обратимся к изучению этого вопроса для диэлектриков. При этом
фактически идет речь о явлениях, возникающих в движущихся
телах при наличии внешнего электрического или магнитного по-
полей. Подчеркнем, что они не имеют ничего общего с явлениями
возникновения полей в результате самого движения тел (которые
рассматривались в § 36, 64).
Отправным пунктом в § 63 являлись формулы преобразова-
преобразования поля при переходе от одной системы отсчета к другой. При
этом нам было достаточно знать обычные формулы преобразова-
преобразования электрической и магнитной напряженности поля в пустоте,
усреднение которых непосредственно дает формулы преобразо-
преобразования Е и В. В диэлектриках вопрос значительно более сложен,
в связи с наличием большего числа величин, описывающих элек-
электромагнитное поле.
При движении макроскопических тел речь идет обычно о ско-
скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Однако полу-
получить соответствующие приближенные формулы преобразования
проще всего на основе точных релятивистских формул, справед-
справедливых при любых скоростях.
Как известно, в электродинамике поля в пустоте компонен-
компоненты векторов е и h электрической и магнитной напряженности в
действительности являются компонентами антисимметрического
четырехмерного тензора D-тензора) второго ранга (см. II, § 23).

76
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ
381
Поскольку Е и В являются средними значениями е и h, то лее
самое относится и к ним. Таким образом, имеется 4-тензор F^v
со следующими компонентами 1):
/ 0
-Ех
-Еу
\-Ez
Ех
0
Bz
-By
С помощью этого
Еу ЕЛ
-Bz By
0 -Bx
вх о /
тензора первая
div В = 0,
rot
flu
F
пара
Е =
( °
Ех
Еу
-^х
0
Bz
-By
уравнений
— ¦
1 SB
с 9t
-Еу
-bz
0
вх
-^\
By
-вх
о )
G6.
Максвелла
G6.
1)
2)
может быть написана в четырехмерном виде как
= 0.
dxv
дхх
дх»
G6.3)
Тем самым выявляется релятивистская инвариантность этих
уравнений. Подчеркнем, что сама по себе применимость уравне-
уравнений G6.2) к движущимся телам очевидна, поскольку эти урав-
уравнения получаются непосредственно путем замены е и h в точ-
точных микроскопических уравнениях Максвелла и их усредненны-
усредненными значениями Е и В.
Но и вторая пара уравнений Максвелла,
div D = 0,
, тт 1 дТ>
rotH =	,
с dt'
G6.4)
тоже сохраняет свой формальный вид и в движущихся средах.
Это очевидно из приведенных в предыдущем параграфе рассуж-
рассуждений, в которых были использованы лишь такие общие свойства
тел (например, равенство нулю полного заряда), которыми дви-
движущиеся тела обладают в той же степени, как и неподвижные.
При этом, однако, связи величин D и В с величинами Е и Н
уже отнюдь не должны совпадать с теми, которые имеют место
в неподвижных средах.
Будучи справедливыми как для неподвижных, так и для дви-
движущихся тел, уравнения G6.4) должны сохранять свой вид при
преобразовании Лоренца. Для поля в пустоте векторы D и Н
совпадают с Е и В и релятивистская инвариантность второй па-
пары уравнений Максвелла проявляется в том, что и они могут
быть написаны в четырехмерном виде с помощью того же тензо-
тензора Fxp. дЕх^/дх^ = 0 (см. II, § 30). Поэтому ясно, что для обес-
2) В этом параграфе четырехмерные тензорные индексы, пробегающие
значения 0, 1, 2, 3, обозначаются греческими буквами Л, /i, v.

382
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
печения релятивистской инвариантности уравнений G6.4) необ-
необходимо, чтобы компоненты векторов D и Н в действительно-
действительности преобразовывались как компоненты 4-тензора, построенного
аналогично тензору F^v\ обозначим этот тензор как H^v\
/
V
0
-Dx
-Dy
-Dz
Dx
0
Hz
~Hy
Dy
-hz
0
Hx
Dz\
Ну
—Hx
0 )
i H =
1 °
Dx
Dy
-Dx
0
Hz
-Ну
-Dy
-hz
0
Hx
-Dz\
Ну
—Hx
0 /
G6.5)
С его помощью уравнения G6.4) записываются в виде
дх»
= 0.
G6.6)
Выяснив четырехмерный тензорный характер величин Е, D,
Н, В, мы тем самым узнали закон их преобразования при пере-
переходе от одной системы отсчета к другой. Нас, однако, интересу-
интересует здесь не столько закон этого преобразования, сколько связь
между этими величинами в движущейся среде, обобщающая со-
соотношения D = еЕ и В = //Н, справедливые в неподвижных
телах.
Обозначим через и11 4-вектор скорости среды; его компоненты
связаны с трехмерной скоростью v соотношением
y/1 - V2/C2 Cy/1 -V2/C2
Составим из этого 4-вектора и 4-тензоров F^v и H^v такие комби-
комбинации, которые в неподвижной среде переходят в Е и D. Таковы-
Таковыми являются 4-векторы F^u^, Нх^и^ при v = 0 их временные
компоненты обращаются в нуль, а пространственные — соответ-
соответственно в Е и D. Поэтому ясно, что четырехмерным обобщением
равенства D = sE является 1)
ггА/л _ гтр\^1	(па п\
Аналогичным образом у беле даемся в том, что обобщением со-
соотношения В = /jH является четырехмерное равенство
G6.8)
) Следует заметить, что, написав соотношения, содержащие лишь мест-
местное значение скорости, мы тем самым пренебрегаем слабыми эффектами,
связанными с возможностью существования градиента скорости (например,
гиромагнитными эффектами; см. § 36).

§ 76	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ	383
Переходя от четырехмерных обозначений снова к трехмер-
трехмерным величинам, получим из этих двух уравнений векторные со-
соотношения 1):
D + ![vH]=e(E+![vB]V
1С " ) 1 \	G6.9)
B + I[Ev]=MH + ![Dv]).
с '	\	с '/
Эти формулы, полученные Минковским (Н. Minkowski, 1908),
являются точными в том смысле, что еще не сделано никаких
предположений о величине скорости. Считая же отношение v/c
малым и решая эти уравнения относительно D и В с точностью
до членов первого порядка, получим
D = eE+^^-[vH],	G6.10)
с
B = AiH + ^_ll[Ev].	G6.11)
С
Эти формулы, вместе с уравнениями Максвелла G6.2) и G6.4),
составляют основу электродинамики движущихся диэлектриков.
Граничные условия к уравнениям Максвелла тоже претерпе-
претерпевают некоторое изменение. Из уравнений div D = 0, div В = 0
по-прежнему следуют условия непрерывности нормальных ком-
компонент индукции:
Dnl =Dn2, Bnl =Bn2.	G6.12)
Условия же для тангенциальных компонент поля проще всего
молено получить путем перехода от неподвижной системы отсчета
К к новой системе К1', движущейся вместе с данным элементом
поверхности тела; скорость последнего (направленную вдоль нор-
нормали п) обозначим как vn. В системе К' справедливы обычные
условия непрерывности Щ и HJ. Согласно релятивистским фор-
формулам преобразования (см. II, § 24), эти требования эквивалент-
эквивалентны условию непрерывности тангенциальных компонент векторов
E+i[vB], H-l[vD].
с	с
Проецируя их на плоскость, перпендикулярную к п, и учитывая
равенства G6.12), получим искомые граничные условия:
[п,Е2-Е1] = ^(В2-В1),
с7)	G6.13)
[HH] ^(DD)
2) Если какое-либо из соотношений D = еЕ или В = //Н в неподвиж-
неподвижной среде не имеет места, то и соответствующее из соотношений G6.9) за-
заменяется другой функциональной зависимостью между двумя векторными
суммами, стоящими в обеих частях равенства.

384	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Если подставить сюда выражения G6.10), G6.11) и прене-
пренебречь членами высшего порядка по v/c, то мы получим
G6.14)
[n,H2-Hi] = -^(e2-ei)Et.
С
В этом приближении в правой части равенств можно не разли-
различать значения Н и Е на обеих сторонах поверхности раздела.
Если тело движется так, что его поверхность не смещается
в перпендикулярном к самой себе направлению (например, при
поворачивании тела вращения вокруг оси), то vn = 0. Только в
этом случае граничные условия G6.13) или G6.14) сводятся к
обычным условиям непрерывности Е^ и Н^.
Задачи
1. Диэлектрический шар равномерно вращается (в пустоте) в однород-
однородном постоянном магнитном поле 9}. Определить возникающее вокруг шара
электрическое поле.
Решение. При вычислении возникающего электрического поля маг-
магнитное поле надо принимать таким же, как при неподвижном шаре, так как
учет обратного влияния изменения магнитного поля привел бы к поправкам
более высокого порядка малости. Внутри шара магнитное поле однородно и
равно
(ср. (8.2)).
Ввиду стационарности вращения возникающее электрическое поле по-
постоянно и, как всякое постоянное электрическое поле, обладает потенциа-
потенциалом: Е = —Vip. Вне шара потенциал удовлетворяет уравнению А(р^ = 0, а
внутри шара — уравнению
А(р^ = 2	ПЕГ*-',	A)
се
где fi — угловая скорость вращения (это уравнение получается из div D = О
подстановкой для D выражения G6.10) с v = [fir]). Условие непрерывности
нормальной составляющей D на поверхности шара гласит:
дг
дг
B)
(а — радиус шара, п — единичный вектор в направлении г).
Ввиду симметрии шара искомое электрическое поле определяется всего
двумя постоянными векторами: Пи^, Из их компонент можно составить
линейным по $} и П образом скаляр $}П и тензор
о
с равной нулю суммой диагональных членов. Соответственно этому ищем
потенциал поля вне шара в виде
°2 f1^ !n UiUk	/ол
D	C)

§ 76	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ	385
где Dik — постоянный тензор (причем Da = 0); Dik есть тензор квадруполь-
ного электрического момента шара (см. II, § 41). Члена же вида const/r в
уге' не может быть, так как он давал бы отличный от нуля полный поток
электрического поля через поверхность, охватывающую шар (между тем как
шар не заряжен). Потенциал поля внутри шара ищем в виде
f	1	- а2).	D)
^	Diknink + ^
2а5	Зсе
Первый член есть решение однородного уравнения А(р = 0, а выбор коэф-
коэффициента в нем обеспечивает непрерывность потенциала (а тем самым и Е*)
на поверхности шара. Подставляя C) и D) в B), найдем
Dik = -- , 3(?^~1) (&Пк +ЯкПг- -SikSiil) .	E)
с C + 2e)B + j) V	3/
Таким образом, вокруг вращающегося шара возникает электрическое по-
поле квадрупольного характера, причем квадрупольный момент шара дается
формулой E). В частности, если шар вращается вокруг направления внеш-
внешнего поля (ось z), то Dik имеет лишь диагональные компоненты
Аналогично, вокруг шара, вращающегося в однородном электрическом
поле, возникает квадрупольное магнитноое поле. Квадрупольный магнит-
магнитный момент шара дается при этом формулой, получающейся из E) измене-
изменением знака и заменой е, //, 9} соответственно на //, е, (?.
2. Намагниченный шар равномерно вращается (в пустоте) вокруг своей
оси, параллельной направлению намагничения. Определить возникающее
вокруг шара электрическое поле г).
Решение. Магнитное поле внутри шара однородно и выражается
через постоянную намагниченность М согласно уравнениям В^ +2Н^г^ = 0
(ср. (8.1)) и B(i) - H(i) = 4ттМ, откуда
в@ 8тгМ н(г)
Вторая из формул G6.9) в данном случае не имеет места (ввиду несправед-
несправедливости формулы В = //Н для неподвижного ферромагнетика), а из первой
имеем внутри шара
D = sE + -[vB] - -[vH] = sE + 47rB? + 1)[vM].
с	с	Зс
Потенциал возникающего электрического поля вне шара удовлетворяет
уравнению А(р^ = 0, а внутри шара
@ = M2S + 1)
^	Зсе
2) Если направления намагниченности и оси вращения не совпадают, то
постановка задачи существенно меняется, так как возникает излучение элек-
электромагнитных волн от шара в окружающее пространство.
13 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

386	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Граничное условие непрерывности Dn на поверхности шара:
— ?
dip
(О
дг
4тгBе ¦
0 =
aQMsm 0
Зс	дг
где 0 — угол между нормалью п и направлением ft и М (ось z). Ищем
и (р(г' в виде
(е)	DikTliUk	Dzz .	2д л\
^(Scos (9 1) +
4а5	9сг
- a2)
и из граничного условия получаем следующее выражение для квадруполь-
ного электрического момента, возникающего у вращающегося шара:
[^ — полный магнитный момент niapa). Для металлического шара надо
положить г —»> схэ и тогда
D - -—
Зс
§ 77. Дисперсия диэлектрической проницаемости
Мы переходим теперь к изучению важнейшего вопроса о бы-
стропеременных электромагнитных полях, частоты которых не
ограничены условием малости по сравнению с частотами, харак-
характерными для установления электрической и магнитной поляри-
поляризации вещества.
Переменное во времени электромагнитное поле необходимо
является переменным также и в пространстве. При частоте ио
пространственная периодичность определяется длиной волны,
порядок величины которой Л ~ с/со. При дальнейшем увеличе-
увеличении частоты Л становится в конце концов сравнимой с атомными
размерами а. В таких условиях становится невозможным макро-
макроскопическое описание поля.
В связи с этим может возникнуть вопрос о том, существует ли
вообще область значений частот, в которой, с одной стороны, уже
существенны дисперсионные явления, а с другой стороны, еще
допустимо макроскопическое рассмотрение. Легко видеть, что
такая область непременно должна существовать. Наиболее быст-
быстрый механизм установления электрической или магнитной поля-
поляризации в веществе — электронный. Его время релаксации —
порядка величин атомных времен a/v, где а — атомные разме-
размеры, a v — электронные скорости в атоме. Но поскольку v <ic с, то
даже соответствующая таким временам длина волны Л ~ ac/v
все еще велика по сравнению с а. Ниже мы предполагаем условие

§ 77	ДИСПЕРСИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ	387
А ^> а выполненным1). Следует, однако, иметь в виду, что это
условие может оказаться недостаточным: у металлов при низких
температурах существует область частот, в которой макроскопи-
макроскопическая теория неприменима, несмотря на выполнение неравен-
неравенства с/со ^> а (см. § 87).
Излагаемая ниже формальная теория в равной степени отно-
относится как к металлам, так и к диэлектрикам. При частотах лее,
соответствующих внутриатомным электронным движениям (оп-
(оптические частоты) и более высоких, фактически исчезает даже
количественное отличие в свойствах металлов и диэлектриков.
Уже из приведенных в § 75 рассуждений ясно, что формаль-
формальный вид уравнений Максвелла
divD = 0, divB = 0,	G7.1)
rotE = -I™, rotH = I^	G7.2)
с at	с at	v J
остается таким же в произвольных переменных электромагнит-
электромагнитных полях. Но эти уравнения в значительной степени беспред-
беспредметны до тех пор, пока не установлена связь между входящими
в них величинами D, В и Е, Н. При рассматриваемых нами те-
теперь больших частотах эта связь не имеет ничего общего с той,
которая справедлива в статическом случае и которой мы поль-
пользовались в переменных полях при отсутствии дисперсии.
Прежде всего нарушается даже имевшееся ранее основное
свойство этой связи — однозначная зависимость D и В от зна-
значений Е и Н в тот же момент времени. В общем случае произ-
произвольного переменного поля значения D и В в некоторый момент
времени отнюдь не определяются одними только значениями Е
и Н в тот же момент времени. Напротив, можно утверждать,
что значения D и В в данный момент времени зависят, вообще
говоря, от значений функций Е(?), Н(?) во все предыдущие мо-
моменты времени. Это обстоятельство является выражением того,
что установление электрической или магнитной поляризации ве-
вещества не успевает следовать за изменением электромагнитного
поля. (При этом частоты, при которых возникают дисперсион-
дисперсионные явления в электрических и магнитных свойствах вещества,
могут быть совершенно различными.)
В этом параграфе мы будем говорить о зависимости D от Е;
специфические же особенности дисперсии магнитных свойств ве-
вещества будут обсуждены в § 79.
В § 6 вектор поляризации Р был введен согласно определению
р = — div P, где р — истинная (микроскопическая) плотность за-
зарядов в веществе. Это равенство выражало собой электрическую
г) Эффекты, связанные с членами следующих порядков по малому отно-
отношению а/Л, будут рассмотрены в § 104-106.
13*

388	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
нейтральность тела в целом, и его (вместе с условием Р = 0 вне
тела) было достаточно для того, чтобы показать, что полный
электрический момент тела равен интегралу fPdV. Очевидно,
что этот вывод относится к переменным полям в той же степени,
как и к постоянным. Таким образом, в любом переменном поле,
в том числе при наличии дисперсии, вектор Р = (D — Е)/Dтг)
сохраняет свой физический смысл электрического момента еди-
единицы объема вещества.
В быстропеременных полях обычно приходится иметь дело
со сравнительно малыми напряженностями, тогда связь D с Е
можно считать линейной 1). Наиболее общий вид линейной зави-
зависимости между D(t) и значениями функции Е(?) во все предыду-
предыдущие моменты времени может быть написан в виде интегрального
соотношения
оо
D(t) = Е(?) + f /(r)E(t - г) dr	G7.3)
о
(выделение члена Е(?) удобно по причинам, которые выяснятся
в дальнейшем). Здесь /(г) — функция времени, зависящая от
свойств среды. По аналогии с электростатической формулой D =
= ?Е будем писать соотношение G7.3) в символической форме
где е~ — линейный интегральный оператор, действие которого
определяется согласно G7.3).
Всякое переменное поле может быть сведено (путем разло-
разложения Фурье) к совокупности монохроматических компонент, в
которых зависимость всех величин от времени дается множите-
множителем e~lujt. Для таких полей связь G7.3) между D и Е приобретает
вид
D = е(ш)Е,	G7.4)
где функция е(ио) определяется как
е(ш) = 1+ J f(r)eiujTdr.	G7.5)
о
Таким образом, для периодических полей может быть введено
понятие о диэлектрической проницаемости как о коэффициенте
г) Мы подразумеваем здесь, что D зависит линейно только от Е, но не
от Н. В постоянном поле линейная зависимость D от Н исключается тре-
требованием инвариантности по отношению к изменению знака времени. В пе-
переменном поле это условие уже не имеет места и линейная зависимость D
от Н оказывается возможной при определенных типах симметрии вещества.
Она относится, однако, к тем самым малым эффектам ~ а/А, которые были
упомянуты в примечании на предыдущей странице.

§ 77	ДИСПЕРСИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ	389
пропорциональности между D и Е, причем, однако, этот коэф-
коэффициент зависит не только от свойств среды, но и от частоты
поля. О зависимости е от частоты говорят как о законе ее дис-
дисперсии.
Функция е(ш), вообще говоря, комплексна. Будем обозначать
ее вещественную и мнимую части как е1 и е11'.
е(ш) = е'(ш)+ге"(ш).	G7.6)
Из определения G7.5) непосредственно видно, что
e(-W) = e».	G7.7)
Отделяя в этом соотношении вещественную и мнимую части, по-
получим
е'(-ш) = е'(ш), е"(-ш) = -е"(ш).	G7.8)
Таким образом, е'{ио) является четной, а е"{ио) — нечетной функ-
функцией частоты.
При малых (по сравнению с границей начала дисперсии) час-
частотах функцию s(uo) молено разложить в ряд по степеням си.
Разложение четной функции е'{ио) содержит члены лишь чет-
четных степеней, а разложение нечетной функции sff(co) — члены
нечетных степеней. В пределе ио —»> 0 функция е(ш) в диэлектри-
диэлектриках стремится, разумеется, к электростатической диэлектричес-
диэлектрической проницаемости (которую обозначим здесь как so). Поэтому
в диэлектриках разложение ?r(w) начинается с постоянного чле-
члена sq] разложение лее srr(cj) начинается, вообще говоря, с члена,
пропорционального ио.
Функцию s{uo) при малых частотах молено рассматривать и
в металлах, если условиться определять ее так, чтобы в пределе
ио —»> 0 уравнение
, тт 1 0D
rot H =
с dt
переходило бы в уравнение
гоШ = — сгЕ
с
для постоянного поля в проводниках. Сравнив оба уравнения,
мы видим, что при ио —)> 0 производная dT>/dt должна перехо-
переходить в 4тгсгЕ. Но в периодическом поле дТ>/дъ = —гси^Е, и мы
приходим к следующему предельному выражению для е(ио) при
малых частотах:
е(о;) = г^.	G7.9)
Таким образом, в проводниках разложение функции е(ш) на-
начинается с мнимого члена, пропорционального 1/cj, который вы-

390	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
ражается через обычную проводимость а по отношению к пос-
постоянным токам1). Следующий член разложения е{ш) является
вещественной постоянной. Эта постоянная, однако, не имеет у
металлов того электростатического смысла, которым она обла-
обладает у диэлектриков 2). Кроме того, надо снова указать, что этот
член разложения может оказаться не имеющим никакого вообще
смысла, если эффекты пространственной неоднородности поля
электромагнитной волны появляются раньше, чем эффекты его
временной периодичности.
§ 78. Диэлектрическая проницаемость
при очень больших частотах
В пределе ио —»> ос функция е(ио) стремится к единице. Это
очевидно уже из простых физических соображений: при доста-
достаточно быстром изменении поля процессы поляризации, приво-
приводящие к установлению отличной от Е индукции D, вообще не
успевают происходить.
Оказывается возможным установить справедливый для лю-
любых тел (безразлично — металлов или диэлектриков) предельный
вид функции s(lu) при больших частотах. Именно, частота поля
должна быть велика по сравнению с частотами движения всех
(или, по крайней мере, большинства) электронов в атомах дан-
данного вещества. При соблюдении этого условия можно при вы-
вычислении поляризации вещества рассматривать электроны как
свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с
ядрами атомов.
Скорости v движения электронов в атомах малы по сравне-
сравнению со скоростью света. Поэтому расстояния v/lj, проходимые
ими в течение периода волны, малы по сравнению с длиной вол-
волны с/си. Ввиду этого при определении скорости, приобретаемой
электроном в поле электромагнитной волны, можно считать по-
последнее однородным.
Уравнение движения гласит:
ш— = еЕ = еЕое-^
dt
(е, т — заряд и масса электрона, v' — дополнительная скорость,
приобретаемая электроном в поле волны); отсюда v' = ieE/(тш).
) Иногда представляют мнимую часть функции е(ш) при всех частотах
в виде G7.9), что сводится к введению вместо е" (ш) новой функции (т(ш)\
этим переобозначением исчерпывается физический смысл этой функции.
2) Во избежание недоразумений обратим внимание на некоторое изме-
изменение обозначений по сравнению с § 75. В уравнении G5.10) для плохих
проводников величиной е(ш) является сумма Аша/ш + е.

§ 79	ДИСПЕРСИЯ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ	391
Смещение лее г электрона под влиянием поля связано с v7 посред-
посредством г = v7; поэтому г = — еЕ/(тс<;2). Поляризация Р вещества
есть дипольный момент единицы его объема. Суммируя по всем
электронам, находим
где N — число электронов во всех атомах единицы объема ве-
вещества. С другой стороны, по определению электрической ин-
индукции, D = еЕ = Е + 4тгР. Поэтому окончательно получаем
следующую формулу:
Фактическая область применимости этой формулы начина-
начинается от далекого ультрафиолета у самых легких элементов или
от рентгеновских частот у более тяжелых элементов.
Для сохранения у величины s(uo) буквального смысла, с ко-
которым она входит в уравнения Максвелла, частота должна еще
удовлетворять условию ио <С с/а. Мы, однако, увидим в дальней-
дальнейшем (§ 124), что выражению G8.1) может быть приписан опре-
определенный физический смысл и при больших частотах.
§ 79. Дисперсия магнитной проницаемости
В отличие от s(uo) магнитная проницаемость /л(ш) при уве-
увеличении частоты сравнительно рано теряет свой физический
смысл; учет отличия /л(ш) от 1 при таких частотах был бы неза-
незаконным уточнением. Чтобы показать это, проанализируем, в ка-
какой мере сохраняется в переменном поле физический смысл вели-
величины М = (В —Н)/4тг как магнитного момента единицы объема.
Магнитный момент тела есть, по определению, интеграл
±V.	G9.1)
Среднее значение микроскопической плотности тока связано со
средним полем уравнением G5.7):
rotB = — pv + - —.	G9.2)
с	с dt
Вычитая из него почленно уравнение
, тт 1 0D
rotH =	,
с dt'
получим
—.	G9.3)

392	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Между тем, интеграл G9.1) может быть приведен к виду J M dV
лишь при условии /jv = с rot М (и М = 0 вне тела), как это было
показано в § 29.
Таким образом, физический смысл величины М (а с нею и
магнитной восприимчивости) связан с возможностью пренебре-
пренебрежения членом дР/dt в формуле G9.3). Выясним, в какой мере
могут быть осуществлены условия, допускающие такое пренебре-
пренебрежение.
При заданной частоте наиболее благоприятные условия для
измерения восприимчивости требуют по возможности малых
размеров тела (для увеличения пространственных производных
в rotM) и по возможности слабого электрического поля (для
уменьшения Р). Поле электромагнитной волны не удовлетворяет
последнему условию, так как в нем Е ~ Н. Поэтому рассмотрим
переменное магнитное поле, скажем, в соленоиде, причем иссле-
исследуемое тело помещено на его оси. Электрическое поле возникает
только в результате индукции от переменного магнитного поля.
Порядок величины его напряженности внутри тела можно полу-
получить путем оценки обеих частей уравнения
откуда — rsj — или Е ~ —i7, где / — размеры тела. Полагая
1с	с
е — 1 ~ 1, будем иметь
uoh/ —Н.
dt	с
Для пространственных же производных магнитного момента
М = %Н имеем
crotM rsj -xH.
Сравнив оба выражения, найдем, что первое мало по сравнению
со вторым, если
/2
2
Г < ^-.	G9.4)
UJ
Ясно, что понятие о магнитной восприимчивости может
иметь смысл, лишь если это неравенство допускает (хотя бы с не
очень большим запасом) макроскопические размеры тела, т. е.
если оно совместимо с неравенством / ^ а, где а — атомные
размеры. Это условие заведомо нарушается уже в области опти-
оптических частот. Действительно, магнитная восприимчивость при

§ 79	ДИСПЕРСИЯ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ	393
этих частотах является величиной ~ г?2/с2 *) (v — электронные
скорости в атоме); сами же оптические частоты со ~ v/a и потому
правая часть неравенства G9.4) ~ а2.
Таким образом, не имеет смысла пользоваться магнитной
проницаемостью уже начиная с оптической области частот, и при
рассмотрении соответствующих явлений надо полагать \i = 1.
Учет отличия между В и Н в этой области был бы явным пре-
превышением точности. Фактически же учет отличия // от 1 явля-
является превышением точности для большинства явлений уже при
частотах, гораздо более низких, чем оптические2).
Наличие существенной дисперсии магнитной проницаемости
приводит к возможности существования квазистационарных ко-
колебаний намагниченности в ферромагнитных телах; чтобы ис-
исключить возможное влияние проводимости вещества, будем ни-
ниже иметь в виду неметаллические ферромагнетики — ферриты.
Квазистационарность означает, как всегда (§ 58), что частота
предполагается удовлетворяющей условию ио <С с//, где / — ха-
характерные размеры тела (или «длина волны» колебаний). Кроме
того, будем пренебрегать обменной энергией, связанной с возни-
возникающей при колебаниях неоднородностью распределения намаг-
намагниченности (другими словами, предполагается несущественной
пространственная дисперсия — см. § 103 — магнитной проницае-
проницаемости). Для этого размеры / должны быть велики по сравнению
с длиной, характерной для энергии неоднородности:
/ > у/а,
где а — порядок величины коэффициентов в выражении D3.1).
Представим Н и В в виде Н = Но + Н', В = Во + В', где Но
и Во — напряженность и индукция в статически намагниченном
теле, Н' и В' — переменные части напряженности и индукции
при колебаниях. При пренебрежении током смещения последние
удовлетворяют уравнениям
rotH' = 0, divB' = 0,	G9.5)
отличающимся от уравнений магнитостатики лишь тем, что маг-
магнитная проницаемость теперь (для монохроматического поля,
г) Эта оценка соответствует диамагнитной восприимчивости; времена ре-
релаксации каких-либо пара- или ферромагнитных процессов заведомо вели-
велики по сравнению с оптическими периодами. Подчеркнем, однако, что оценки
произведены для изотропного тела и к ферромагнетикам их надо применять
с осторожностью. В частности, медленно (как 1/cj) убывающие с увеличени-
увеличением частоты гиротропные члены в тензоре fiik (см. задачу 1) могут оказаться
существенными и при достаточно высоких частотах.
2) С несколько другой точки зрения это обстоятельство обсуждается ниже,
в § 103 — см. примеч. на с. 516.

394	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
оое-го;^ — функция частоты, а не постоянная1). Ферромагнит-
Ферромагнитная среда магнитно анизотропна и потому ее проницаемость —
тензор Hik(uo)\ им определяется линейная связь между перемен-
переменными частями индукции и напряженности.
В силу первого из уравнений G9.5) магнитное поле потенци-
потенциально: Н' = —\7ф. Подставив затем
во второе уравнение, получим уравнение для потенциала внутри
тела:
№*H&St=0- G9-6)
Вне тела потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = О,
а на границе тела обычным образом должны быть непрерывны
HJ и В'п. Первое условие сводится к непрерывности самого по-
потенциала ф, а второе означает непрерывность выражения
д<ф
где п — единичный вектор нормали к поверхности тела. Вдали
от тела должно быть ф —> 0.
Сформулированная таким образом задача имеет нетривиаль-
нетривиальные решения лишь при определенном соотношении между вели-
величинами /i^.j рассматриваемыми как параметры. Используя это
соотношение в качестве уравнения для c<j, найдем частоты соб-
собственных колебаний намагниченности тела; их называют часто-
частотами неоднородного ферромагнитного резонанса.
Простейший вид магнитостатических колебаний однородно
намагниченного эллипсоида — колебания, не нарушающие од-
однородности; намагниченность эллипсоида колеблется как целое.
Нахождение их частот не требует нового решения уравнений
поля и может быть осуществлено непосредственно с помощью
соотношений B9.14):
&,	G9.7)
где щь — тензор коэффициентов размагничивания эллипсоида,
Н и В относятся к полю внутри эллипсоида, а 9} — внешнее
магнитное поле. Последнее предполагается однородным, а в Н и
В снова выделяем колеблющиеся части Н' и В' - на этот раз
однородные по объему тела. Для них получаем соотношение
Н< + щк(В'к-Н'к) = 0
2) Рассматриваемые колебания называют поэтому магнитостатически-
ми. Теория однородных (см. ниже) магнитостатических колебаний дана
Киттелем (Ch. Kittel, 1947), а неоднородных — Уокером (L. Walker, 1957).

§ 79	ДИСПЕРСИЯ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ	395
или
(Sik + 4тгпцХ1к)Н'к = О,
где введен тензор магнитной восприимчивости Хгк{^) согласно
определению /i^ = 8^ + 4тгХг/с- Приравняв нулю определитель
этой системы однородных линейных уравнений, получим урав-
уравнение
det \Sik + 4ттцХ1к(и)\ = 0,	G9.8г)
корни которого определяют частоты собственных колебаний. Их
называют частотами однородного ферромагнитного резонанса.
Задачи
1. В рамках макроскопического уравнения движения магнитного мо-
момента (уравнения Ландау-Лифшица, см. IX, F9.9)), в отсутствие диссипа-
диссипации, найти тензор магнитной проницаемости для однородно намагниченного
одноосного ферромагнетика типа легкая ось (Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц,
1935).
Решение. Уравнение движения намагниченности в ферромагнетике:
где 7 = g|e|/Bmc) (g — гиромагнитное отношение), /3 > 0 — коэффициент
анизотропии, v — орт оси легкого намагничения (ось z). Представим поле Н
в виде Н = Но + Н', где Н' — малое переменное произвольно направленное
поле, а Но — постоянное поле, которое будем считать направленным вдоль
оси z ). Вместе с полем Н' мала также и создаваемая им поперечная намаг-
намагниченность Мж, Му, a Mz « М = const. Пренебрегая малыми величинами
второго порядка, находим уравнения
-шМх = -
-гшМу = 7(#о + РЩМХ - >уМН'х.
Определив отсюда Мх, Му, найдем восприимчивость (как коэффициенты в
соотношениях М[ = ХгкН'к), а по ней — проницаемость:
4тг им(шм +шн)	1
»ХХ =11уу = 1- ——	"	¦	— = /i,	\lZZ = 1,
_ _	_ . 47Г 	UXJM		_	_ п	^ }
fJ>xy — fJ>yx — I	.	ч j	fJ>xz — fJ>yz —
p uj2 - (ujm + ojY
где ujm = j/3M, ujh = 7#o- Обратим внимание на гиротропию ферромаг-
ферромагнитной среды (определение этого понятия см. в § 101).
2. Найти частоты однородного ферромагнитного резонанса эллипсоида,
одна из главных осей которого совпадает с осью легкого намагничения. В
этом же направлении приложено внешнее поле (Ch. Kittel, 1947) 2).
Решение. Внутри эллипсоида вдоль оси z (ось легкого намагничения)
имеется поле
Но =S)-4irn(z)M
2) Это поле вводим здесь, имея в виду применение результатов в следую-
следующих задачах.
2) В задачах 2-4 предполагается, что магнитная проницаемость вещества
дается формулами A).

396	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
(pSx\ п^у\ п^ — коэффициенты размагничивания вдоль главных осей эл-
эллипсоида). Простое вычисление определителя G9.8) приводит к уравнению
(шм + ojhJ -
где
ш{х) = 7[М/3 + S) + 4тгМ(п(ж) - n(z))],
оо(у) = 7[М/3 + fi + 4тгМ(п(у) - n(z))].
Отсюда для частоты однородного резонанса:
ш = (ш^ш™I'2.
Так, для шара имеем п^ = п^ = п^ = 1/3 и резонансная частота
Для плоскопараллельной пластинки, поверхность которой перпендикулярна
к оси легкого намагничения, имеем rvx* = п^ = 0, п^ = 1, и резонансная
частота
Я - 4тгМ)
(пластинка намагничена, если М/3 + ij > 4тгМ).
3. Найти закон дисперсии магнитостатических колебаний в неограни-
неограниченной среде.
Решение. С тензором fiik из A) уравнение G9.6) принимает вид
Положив фооегкг, найдем
где в — угол между к и осью легкого намагничения (осью z). С fJ>(w) из A)
(fj = 0) получим частоту колебаний
Она зависит только от направления, но не от величины волнового вектора.
Этот результат совпадает, как и должно быть, с предельным (при к —»> 0)
законом дисперсии спиновых волн в ферромагнетике (см. IX, § 70).
4. Найти частоты неоднородного резонанса в неограниченной плоскопа-
плоскопараллельной пластинке, поверхность которой перпендикулярна к оси легкого
намагничения; вдоль этой же оси направлено внешнее поле ij.
Решение. Надо найти решение уравнения B) для потенциала ф(г'
внутри пластинки и уравнения Аф^ = 0 для потенциала вне пластинки с
граничными условиями
@ (е) v	v	,т
oz	oz
<?(е) -»> 0 при \z\ -»> оо
(ось z перпендикулярна к поверхности пластинки, плоскость z = 0 проходит
через ее середину, 2L — толщина пластинки). Такое решение может быть

§ 80	ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	397
четным или нечетным по z. В первом случае
причем fikx = — k2z (волновой вектор лежит в плоскости xz)\ граничные усло-
условия приводят к соотношению
) = ^.	C)
Во втором случае
ip{i) = Asm (kzz) • eikxX, ip{e) = ±Be~kMeikxX,
и из граничных условий получаем
= -^.	D)
к
Размагничивающий коэффициент пластинки rvz> = 1, так что размагничи-
размагничивающее поле: —4ттМ. С выражением /i(cj) из A) находим частоту колебаний:
J1 = 72(М/3 + S) - 4тгМ)(М/3 + $ - 4тгМcos2 в),	E)
где в — угол между к и осью z. При каждом произвольном значении кх име-
имеется бесконечное множество дискретных значений kz, определяемых услови-
условиями C) и D). Соответствующие частоты даются выражением E) и зависят
только от отношения kx/kz. Все возможные значения частоты лежат в ин-
интервале
Я - 4тгМ) ^ oj ^ 1[{МР + $ - 4ттМ)(М/3 + ?)]1/2.
При kz —»> 0 возможны только симметричные колебания и из C) видно,
что kxL rsj (kzLJ, т. е. является малой величиной второго порядка. Поло-
Положив соответственно этому в E) в = 0, найдем частоту, совпадающую, как и
должно быть, с частотой однородного резонанса.
§ 80. Энергия поля в диспергирующих средах
Формула
S = —[EH]	(80.1)
4тг
для плотности потока энергии остается справедливой в любых
переменных электромагнитных полях, в том числе и при нали-
наличии дисперсии. Это вполне очевидно из указанных уже в конце
§ 30 соображений: ввиду непрерывности тангенциальных состав-
составляющих Е и Н формула (80.1) однозначно следует из условия
непрерывности нормальной составляющей S на границе тела и
из того, что она справедлива в пустоте вне тела.
Изменение (в 1 с) энергии, сосредоточенной в единице объема
тела, вычисляется как divS. С помощью уравнений Максвелла
это выражение приводится к виду
(E + H)	(80.2)

398	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
(см. G5.15)). В диэлектрической среде в отсутствие дисперсии,
когда е и \i являются вещественными постоянными величинами,
эту величину молено рассматривать как изменение электромаг-
электромагнитной энергии
U = — (еЕ2 + ^Н2),	(80.3)
8тг
имеющей точный термодинамический смысл: это есть разность
между внутренней энергией 1 см3 вещества при наличии поля и
энергией в отсутствие поля при тех же плотности и энтропии.
При наличии дисперсии такое простое толкование уже невоз-
невозможно. Более того, в общем случае произвольной дисперсии ока-
оказывается невозможным какое-либо разумное определение элек-
электромагнитной энергии как термодинамической величины. Это
обусловлено тем, что наличие дисперсии связано, вообще говоря,
с одновременным наличием диссипации энергии: диспергирую-
диспергирующая среда в то лее время является поглощающей.
Для определения этой диссипации рассмотрим монохрома-
монохроматическое электромагнитное поле. Усреднив по времени величину
(80.2), мы тем самым найдем систематический приток энергии
(в единицу времени в единицу объема среды) от внешних источ-
источников, поддерживающих поле. Поскольку амплитуда монохрома-
монохроматического поля предполагается постоянной, вся эта энергия идет
на покрытие ее диссипации. Таким образом, в рассматриваемых
условиях усредненная по времени величина (80.2) и дает среднее
количество тепла Q, выделяющегося в 1 с в 1 см3 среды.
Поскольку выражение (80.2) квадратично по полю, то при
его вычислении все величины должны быть написаны в веще-
вещественном виде. Если же понимать под Е и Н, как это удобно для
монохроматического поля, комплексные представления величин,
то в (80.2) надо подставить для Е и dT>/dt соответственно выра-
выражения
±(Е + Е*) и -(-шеЕ + ше*Е*)
2	2
и аналогично для Н и дЛ/dt. При усреднении по времени произ-
произведения ЕЕ и Е*Е* , содержащие множители eT2tujt^ обращаются
в нуль; остается:
Q = ^Ч(?*-?)ЕЕ*+(м*-/х)НН*} = f (?"|E|2+//'|Н|2). (80.4)
1О7Г	О7Г
Это выражение молено написать также в виде
^"E /'iP	(80.5)
4тг
где Е и Н — вещественные напряженности поля, а черта означает
усреднение по времени (ср. примеч. на с. 300).

§ 80	ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	399
Легко получить также формулу, определяющую диссипацию
энергии в немонохроматическом поле, достаточно быстро обра-
обращающемся в нуль при i —> ±00. В этом случае имеет смысл
рассматривать диссипацию не в единицу времени, а за все время
существования поля.
Разложив поле E(t) в интеграл Фурье, пишем
flD(t)
. f
—оо	—оо
причем Е-^ = Е?. Написав произведение этих величин в виде
двойного интеграла и проинтегрировав затем по времени, имеем
оо	оо
-1 [ E^-dt = --L
4тг J dt	4тг
BтгJ
—оо	—оо
Интегрирование по i осуществляется формулой
оо
—оо
после чего ^-функция устраняется интегрированием по а/. В ре-
результате получим
4тг у	2тг
—оо
После подстановки е = е' + is" член с е\ио) обращается в нуль
при интегрировании ввиду нечетности подынтегрального выра-
выражения как функции си. Вместе с аналогичным выражением для
магнитного поля окончательно находим
оо	°5
Г Qdt=— / ш[е'Чш)\Еш\2 + fi"(w)\HJ2]—	(80.6)
J	4тг J	' 2тг
~°°	—оо
(интеграл по о; от —ос до ос может быть заменен удвоенным
интегралом от 0 до ос).
Полученные формулы показывают, что поглощение (дисси-
(диссипация) энергии определяется мнимыми частями е и \i\ о двух
членах в (80.5) говорят соответственно как об электрических и
магнитных потерях. В силу закона возрастания энтропии эти
потери имеют вполне определенный знак: диссипация энергии
сопровождается выделением тепла, т. е. всегда Q > 0. Отсюда
следует, что мнимые части е и [i всегда положительны:
е" > 0, ц" > 0	(80.7)

400	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
для всех веществ и при всех (положительных) частотах1). Знак
же вещественных частей е и [i (при ио ф 0) не ограничен ника-
никакими физическими условиями, так что е1 и \J могут быть как
положительными, так и отрицательными.
Всякий нестационарный процесс в реальном веществе всегда
в той или иной степени термодинамически необратим. Поэтому
электрические и магнитные потери в переменном электромагнит-
электромагнитном поле всегда в какой-то (хотя бы и малой) степени имеются.
Другими словами, функции en{uj) и ц11\ш) не обращаются стро-
строго в нуль ни при каком отличном от нуля значении частоты.
Мы увидим в следующем параграфе, что это утверждение имеет
существенное принципиальное значение, хотя им ни в какой ме-
мере не исключается возможность существования таких областей
частот, при которых потери становятся относительно весьма ма-
малыми.
Области частот, в которых е" и ц" очень малы (по сравнению
с е' и //), называют областями прозрачности вещества. Прене-
Пренебрегая поглощением, в этих областях оказывается возможным
ввести понятие о внутренней энергии тела в электромагнитном
поле в том же смысле, какой она имеет в постоянном поле.
Для определения этой величины недостаточно рассматривать
чисто монохроматическое поле, так как благодаря его строгой
периодичности в нем не происходит никакого систематического
накопления электромагнитной энергии. Поэтому мы рассмотрим
поле, представляющее собой совокупность монохроматических
компонент с частотами в узком интервале вокруг некоторого
среднего значения щ. Напряженности такого поля можно на-
написать в виде
Е = E0(t)e-iuJot, H = H0(t)e-iuJot,	(80.8)
где Ео(?), Но(?) — медленно (по сравнению с множителем
ехр (—iu}Qt)) меняющиеся функции времени. Вещественные ча-
части этих выражений должны быть подставлены в правую часть
(80.2), после чего мы произведем усреднение по времени по пе-
периоду 2тг/сс>о, малому по сравнению со временем изменения мно-
множителей Ео и Hq.
г) Это утверждение относится к телам, находящимся (в отсутствие пере-
переменного поля) в термодинамически равновесном состоянии, что мы везде и
подразумеваем. Если тело уже само по себе не находится в тепловом равно-
равновесии, то Q могло бы быть, в принципе, и отрицательным. Второй закон
термодинамики требует лишь суммарного возрастания энтропии как под
влиянием переменного электромагнитного поля, так и от термодинамиче-
термодинамической неравновесности, не имеющей отношения к наличию поля. Примером
такого тела может являться вещество, атомы которого искусственно (т. е. не
под влиянием самопроизвольного теплового возбуждения, а внешним «по-
«полем накачки») приведены в возбужденные состояния.

§ 80	ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	401
Первый член в (80.2) после перехода к комплексному пред-
представлению Е принимает вид
1 Е + Е* D + D*
4^ 2	2
(и аналогично для второго члена). Произведения ED и E*D*
исчезнут при указанном усреднении по времени, и потому их
вообще не надо рассматривать. Таким образом, остается лишь
— О
16тг V
Напишем производную dT>/dt в виде /Е, где / обозначает
оператор
Т д
и выясним, к какому результату приводит действие этого опера-
оператора на функцию вида (80.8). Если бы Eq была постоянной, то
мы имели бы просто
/Е = /НЕ, /И = -ше(ш).
В нашем же случае произведем разложение Фурье функции
Eo(t), представив ее в виде наложения компонент вида Еоае~га*
с постоянными Еоа. Медленность изменения Eg(t) означает, что
в это разложение войдут лишь компоненты с a <С loq. Имея это
в виду, пишем
= /(а + ио)
Произведя теперь обратное суммирование компонент Фурье, по-
получим
fEo(t)e	f(u0)E0e + je.
duo dt
Опуская ниже индекс 0 у с^о, имеем, таким образом:
^	*№?Яш.	(80.10)
v )
dt	v ) dou at
Подставив это выралсение в (80.9) и помня, что мнимой частью
функции e{lS) мы пренебрегаем, получим
*Жо Е OTS\ = _^
° dt	dt ) 16т
Е	Е
16тг duo V ° dt	dt ) 16тг de dt
(произведение EqEq совпадает с ЕЕ*). Прибавив аналогич-
аналогичное выражение с магнитным полем, приходим к выводу, что

402	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
скорость систематического изменения энергии 1 см3 среды да-
дается производной dU/dt, где
V=J_ Г^?)ЕЕ* + ^нн*1	(80Л1)
16тг L duo	duo	\	К	J
С помощью вещественных напряженностей Е и Н это выра-
выражение напишется в виде
8тг
(L. Brillouin, 1921).
Это и есть искомый результат: U есть среднее значение элек-
электромагнитной части внутренней энергии единицы объема про-
прозрачной среды. При отсутствии дисперсии е и [i постоянны и
(80.12) переходит, как и должно быть, в среднее значение выра-
выражения (80.3).
Если подвод электромагнитной энергии к телу извне прекра-
прекращается, то фактически всегда имеющееся хотя бы очень малое
поглощение приведет в конце концов к переходу всей энергии U
в тепло. Поскольку, согласно закону возрастания энтропии, это
тепло должно именно выделяться, а не поглощаться, то должно
быть U > 0. Согласно формуле (80.11) для этого должны выпол-
выполняться неравенства
d(cus) n d(u}fi) n	/Qn -, q\
	 > и, 	 > и. [o\J. 1о)
В действительности эти условия автоматически выполняются
как следствие более сильных неравенств, которым всегда удо-
удовлетворяют функции е(ш) и /i(o;) в областях прозрачности (см.
примеч. на с. 418).
Подчеркнем лишний раз, что выражение (80.12) получено в
первом приближении по частотам а изменения амплитуды Ео(?).
Поэтому оно справедливо только для полей, амплитуда которых
меняется со временем достаточно медленно (это замечание отно-
относится также и к вычислению тензора напряжений в следующем
параграфе).
§ 81. Тензор напряжений в диспергирующих средах
Представляет существенный интерес также и вопрос о сред-
среднем (по времени) тензоре напряжений, определяющем силы, дей-
действующие на вещество в переменном электрическом поле. Пока-
Покажем, что и при наличии дисперсии (но по-прежнему в отсут-
отсутствие поглощения) выражение для этого тензора не содержит,
в отличие от выражения (80.12) для энергии, производных по

§ 81	ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	403
частоте. В частности, для прозрачной диспергирующей изотроп-
изотропной жидкости в монохроматическом электрическом поле среднее
значение Ттц* получается из A5.9) просто заменой е на s(uj) и про-
произведений EiEk, Е2 их средними значениями Е^Е^^ Е2 {Л.П. Пи-
таевский, 1960).
Для доказательства этого утверждения вернемся к изло-
изложенному в § 15 выводу, несколько переформулировав его. Мы
рассматривали там заполненный диэлектриком плоский конден-
конденсатор и определяли тензор напряжений из условия равенства
работы пондеромоторных сил при смещении обкладки измене-
изменению соответствующего термодинамического потенциала. Напи-
Напишем здесь это условие для полных (а не на единицу площади)
величин, представив его в виде
AaikCink = (S^)y,e	(81.1)
(А — площадь обкладки конденсатора). Вместо потенциала &
здесь использована обычная энергия ^, изменение которой рас-
рассматривается при заданных значениях энтропии 5? диэлектрика
и полных зарядов ±е на обкладках конденсатора (вместо задан-
заданного потенциала ф)\ использовано, что согласно теореме о малых
добавках
В виде (81.1) это условие имеет особенно простой смысл: теп-
теплоизолированный конденсатор с заданными зарядами на обклад-
обкладках представляет собой электрически замкнутую систему; если
лее внешний источник производит над ним механическую работу
(смещая обкладки), то вся эта работа идет на увеличение энергии
конденсатора. Энергия конденсатора:
где ^Ь — энергия диэлектрика в отсутствие поля (при том же
значении энтропии 5^\ а С — емкость конденсатора; для плос-
плоского конденсатора С = еА/Dтгк)^ где h — расстояние между
обкладками. Отсюда:
^.	(81.3)
Выразив 6С через смещение обкладок ? (с учетом зависимости е
от плотности диэлектрика, меняющейся при смещении), легко
получить формулу A5.9) 1)\ ввиду очевидности результата, не
будем на этом останавливаться.
2) При этом она окажется выраженной через другие переменные: вместо
изотермических производной де/др и функции Pq в ней будут фигурировать
адиабатические. Оба выражения, разумеется, эквивалентны.

404	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
При наличии дисперсии выражение для энергии ^ меняется.
Покажем, что тем не менее соотношение (81.3) остается в силе
для средней по времени вариации bty/', тем самым будет доказано
и сделанное выше утверждение об усредненном тензоре напря-
напряжений.
Пусть заряд на обкладках конденсатора меняется по моно-
монохроматическому закону с частотой си. Тогда конденсатор сам по
себе уже не будет электрически замкнутой системой, ввиду необ-
необходимости подводить и отводить заряд. Такой системой, однако,
является колебательный контур с собственной частотой c<j, со-
состоящий из конденсатора и должным образом подобранной само-
самоиндукции *); поэтому для его энергии справедливо соотношение
(81.1).
В отсутствие сопротивления разность потенциалов (р на об-
обкладках конденсатора равна сумме внешней электродвижущей
силы и электродвижущей силы самоиндукции:
?> = /-?*?,	(81.4)
а ток J связан с зарядом е на обкладках конденсатора равен-
равенством J = de/di. Для величин, меняющихся со временем по мо-
монохроматическому закону, по определению емкости С(ио) имеем
<р = e/C(cj). Положив в (81.4) S = 0, J = —гсие, прежде все-
всего найдем, что и при наличии дисперсии емкости собственная
частота контура по-прежнему удовлетворяет соотношению Том-
сона F2.5):
ш = / с .	(81.5)
Далее, умножив равенство (81.4) на J = de/di и рассматри-
рассматривая (как при выводе (80.12)) «почти монохроматические» вели-
величины, без труда получим
= d [LJ2 I d(u>C)<p*\
dt \ 2	duo 2 J '
Из вида этого равенства ясно, что выражение в фигурных скоб-
скобках представляет собой энергию ^/ колебательного контура. Пер-
Первый член в этом выражении преобразуем, подставив J = — гиое и
используя (81.5):
—LJ2 = —Ьш е2 = —LC и> <р2 = ——.
2с2	2с2	2с2	^	2
) Для выполнения условий квазистационарности необходимо, чтобы раз-
размеры контура были малыми по сравнению с длиной волны с/ш. Это ограни-
ограничение, однако, не имеет принципиального характера и не умаляет общности
излагаемого вывода.

§ 81	ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	405
Окончательно запишем энергию контура в виде1)
w=id(w>o^	(81б)
Lj duo 2
Нам надо вычислить вариацию этой энергии при малом сме-
смещении обкладок конденсатора, т. е. при малом изменении его
емкости. В переменном поле это смещение надо представлять се-
себе как происходящее бесконечно медленно. Но при таком изме-
изменении остается постоянным адиабатический инвариант, равный
(как и для всякой линейной колебательной системы) отношению
энергии колебаний к частоте2). Таким образом, 6(%f /ш) = 0, т. е.
SW = W—.	(81.7)
Из равенства (81.5) имеем, при малом изменении емкости
конденсатора:
^ = -*?.	(81.8)
Но изменение емкости складывается из двух частей:
SC = FС)СТ + — 8и.	(81.9)
duj
Первый член есть «статическая» часть изменения, связанная с
деформацией так лее, как и в статическом случае (здесь суще-
существенно, что при наличии дисперсии емкость С(ш) выражается
через е(ио) так же, как в статическом случае). Второй же член
связан просто с изменением частоты. Из (81.8), (81.9) находим
для «статической» части
= -^^1бш.	(81.10)
oj2 duo
При подстановке (81.6) в (81.7) с учетом (81.10) производная
dC/duo выпадает и вариация энергии получается в виде
SW = -^FС)СТ = ~(SC)m,	(81.11)
действительно совпадающем с усредненным вторым членом в
(81.3).	_
Заметим, что выпадение членов с производной по ио в b°i/ име-
имеет совершенно общий характер и не связано с конкретным спосо-
способом изменения состояния тела (в данном случае — конденсатора).
2) Здесь и ниже для упрощения записи формул опускаем в энергии ее
«незлектромагнитную» часть %.
2) Ср. I, § 49. Инвариантность указанной величины особенно наглядна в
терминах квантовой теории: отношение %/tvuj есть номер квантового сос-
состояния, не меняющийся при адиабатическом изменении условий.

406	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
В частности, для среды с дисперсией остается справедливой (с
заменой Е2 на Е2) формула A4.1) для изменения свободной энер-
энергии при малом изменении е\
= - 18e{u))—dV,	(81.12)
причем под бе следует понимать «статическое» изменение е при
заданной частоте.
Зная тензор напряжений, можно по формуле G5.17) найти
силу, действующую на единицу объема диэлектрика. При этом
члены, содержащие пространственные производные, совпадут с
соответствующими членами усредненного по времени выраже-
выражения G5.18) (в котором надо положить \i = 1). Член же с произ-
производной по времени (сила Абрагама) оказывается другим.
Действительно, этот член возникает как разность
dtl
которая должна быть теперь усреднена по времени. Для этого
выражаем D, Е, Н в комплексном виде (т. е. заменяем их на
(D + D*)/2 и т. д.), после чего для производной dT>/dt используем
формулу (80.10). В результате получим силу Абрагама в виде
— (е - 1) Re ^-[ЕН*1 + — и— Re Г^Н*1	(81.13)
8тгс	J dtl	J 8тгс duo Idt \	V	J
(X. Ватина, В.И. Карпман, 1976).
Вопрос о тензоре напряжений в переменном поле имеет смысл
не только для прозрачной, но и для поглощающей среды, — в
противоположность вопросу о внутренней энергии, который мо-
может быть сформулирован лишь в пренебрежении диссипацией.
Есть, однако, основания полагать, что в поглощающей среде тен-
тензор напряжений не может быть выражен через одну лишь ди-
диэлектрическую проницаемость, а потому вообще не может быть
найден в общем виде макроскопическим путем.
§ 82. Аналитические свойства функции ?(ш)
Функция /(т) в G7.3) конечна при всех значениях своего ар-
аргумента, в том числе и при г = 0 1). У диэлектриков эта функция
стремится при г —>• ос к нулю. Это обстоятельство является про-
просто выражением того факта, что на значение D(t) в заданный
Именно для этой цели в интегральной зависимости G7.3) выделен член
(); в противном случае функция /(т) имела бы при т = 0 особенность
типа E-функции.

§ 82	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ е(ш)	407
момент времени не могут заметно влиять значения E(t) в очень
давние моменты. Физический механизм, лежащий в основе интег-
интегральной зависимости вида G7.3), заключается в процессах уста-
установления электрической поляризации. Поэтому интервал значе-
значений, в котором функция /(т) заметно отличается от нуля, —
порядка величины времени релаксации, характеризующего ско-
скорость этих процессов.
Сказанное относится и к металлам, с той только разницей,
что стремится к нулю при г —>• ос не сама функция /(т), а раз-
разность /(г) — 4тгсг. Это отличие связано с тем, что уже прохож-
прохождение стационарного тока проводимости, хотя и не приводит к
какому-либо реальному изменению физического состояния ме-
металла, но в наших уравнениях формально означает появление
индукции D согласно
l°R = 4JLaE
с dt с
или
t	оо
D(t) = J 4тгсгЕ(т) dr = 4тгсг J Е(? - г) dr.
-оо	0
Функция е(ш) была определена согласно G7.5):
е(ш) = 1+ JeiujTf(r)dr.	(82.1)
о
Оказывается возможным выяснить некоторые весьма общие
свойства этой функции, рассматривая ио как комплексную пере-
переменную [ш = си +гиоп). Эти свойства можно было бы сформули-
сформулировать здесь сразу, заметив, что электрическая восприимчивость
[s{u)) — 1]/Dтг) относится к категории величин (обобщенных вос-
приимчивостей), рассмотренных уже в V, § 123. Тем не менее,
мы частично повторим здесь соответствующие рассуждения и
результаты — как с целью облегчения чтения, так и с целью под-
подчеркнуть некоторые различия между случаями диэлектриков и
металлов.
Из определения (82.1) и из указанных выше свойств функции
/(г) следует, что во всей верхней полуплоскости е(ш) есть одно-
однозначная функция, нигде не обращающаяся в бесконечность, т. е.
не имеющая никаких особых точек. Действительно, при ои" > 0
в подынтегральном выражении в формуле (82.1) имеется экспо-
экспоненциально убывающий множитель е~и т, а поскольку и функ-
функция /(г) конечна во всей области интегрирования, то интеграл
сходится. Функция е(ио) не имеет особенностей и на самой веще-
вещественной оси {ш11 = 0), за исключением, возможно, лишь начала
координат (у металлов е(ш) имеет в этой точке простой полюс).
В нижней же полуплоскости определение (82.1) непримени-
неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция s(lu) в ниж-

408	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
ней полуплоскости может быть определена лишь как аналитиче-
аналитическое продолжение формулы (82.1) из верхней полуплоскости. В
этой области функция е{ш) имеет, вообще говоря, особые точки.
Функция е(ио) в верхней полуплоскости имеет не только фор-
формальный математический, но и физический смысл: ею опреде-
определяется связь между D и Е для полей с возрастающей (как еи *)
амплитудой. В нижней же полуплоскости такое физическое ис-
истолкование невозможно уже хотя бы потому, что наличие зату-
затухающего (как ехр (— |сс/'|?)) поля предполагает его бесконечную
величину при i —> —ос.
Обратим внимание на то, что вывод об отсутствии особых
точек у функции s(lu) в верхней полуплоскости является с фи-
физической точки зрения следствием принципа причинности. По-
Последний проявляется в том, что интегрирование в G7.3) произво-
производится лишь по времени, предшествующему данному моменту t,
в результате чего в формуле (82.1) область интегрирования и
распространяется от 0 до ос (а не от —ос до +ос).
Из определения (82.1) очевидно, далее, что
е(-ш*) = е*(ш).	(82.2)
Это есть обобщение соотношения G7.7), относящегося к веще-
вещественным значениям ио. В частности, для чисто мнимых значе-
значений си имеем
е(ш") = e*(iw").	(82.3)
Это значит, что на верхней мнимой полуоси функция s(lu) веще-
вещественна -1).
Подчеркнем, что свойство (82.2) выражает собой просто тот
факт, что операторная связь D = ?Е должна обеспечивать ве-
вещественность D при вещественном Е. Если функция Е(?) дается
вещественным выражением
Е = Eoe~iujt + Eje™**,	(82.4)
то, применяя оператор г? к каждому из двух членов, получим
D = e(uj)Eoe-iujt + е(-со*)Е*0е{шЧ;
условие вещественности этой величины совпадает с (82.2).
Согласно результатам § 80 мнимая часть s(uo) положитель-
положительна при положительных вещественных значениях ио = а/, т. е.
г) Для нижней мнимой полуоси такое заключение было бы, вообще гово-
говоря, несправедливо. Функция е(ш) может иметь здесь точки ветвления, и для
ее определения в нижней полуплоскости как аналитической функции может
оказаться необходимым разрез по полуоси. Тогда равенство (82.2) означа-
означает лишь комплексную сопряженность значений е{ш) на противоположных
берегах разреза.

§ 82	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ е(ш)	409
на правой части вещественной оси. Поскольку, согласно (82.2),
Ims(— си') = — 1т?@0'), то на левой части этой оси мнимая часть
s(uj) отрицательна. Таким образом,
Im s > 0 при си = ио1 > 0,	/Я9 -ч
1те<0 при w = w'<0.	[ }
В точке же ио = 0 функция Im e меняет знак, проходя через нуль
(у диэлектриков) или через бесконечность (у металлов). Это —
единственная точка на вещественной оси, в которой 1те(ио) мо-
может обратиться в нуль.
При стремлении ио к бесконечности по любому пути (в верх-
верхней полуплоскости) функция s(lu) стремится к единице. Это об-
обстоятельство было указано уже в § 78 для случая, когда ио —»> ос
вдоль вещественной оси. В общем случае это видно из той же
формулы (82.1): если ио —»> ос так, что ио" —»> ос, то интеграл в
(82.1) обращается в нуль благодаря наличию в подынтегральном
выражении множителя ехр (—то/'); если же ио" остается конеч-
конечным, а \ио'\ —»> ос, то обращение интеграла в нуль происходит
благодаря наличию осциллирующего множителя ег(Х>Т.
Перечисленных свойств функции е(ио) достаточно для того,
чтобы доказать следующую теорему: функция s(lu) не принима-
принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней
полуплоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на по-
последней же s{uo) монотонно убывает от значения sq > 1 (у ди-
диэлектриков) или от +ос (у металлов) при ио = гО до 1 при ио = гос.
Отсюда следует, в частности, что функция s(uo) не имеет нулей
в верхней полуплоскости. Мы не будем повторять здесь дока-
доказательство этих утверждений, приведенное в V, § 123; нужно
помнить лишь, что роль обобщенной восприимчивости играет не
сама функция е(ш), а разность е(ш) — 1.
Мы не будем повторять также вывода соотношений, связы-
связывающих друг с другом мнимую и вещественную части функции
е(ио). Выпишем лишь окончательные формулы с соответствую-
соответствующим образом измененными обозначениями.
Напишем функцию s{uo) вещественной переменной c<j, как и в
§ 77, в виде е(ш) = ?r(w) + ie"{uo). Если функция е{ш) относится
к диэлектрику, указанные соотношения имеют вид
±dx,	(82.6)
е"(ш) = -1 / ?-^±dx,	(82.7)
7Г J	X — UJ
7Г
—оо
+ ОО

410	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл от по-
полюсного выражения понимается в смысле его главного значения
{Н.А. Kramers, R.L. Kronig, 1927). Напомним, что единствен-
единственным существенным свойством функции е(ио), использованным
при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в
верхней полуплоскости. Поэтому можно сказать, что формулы
Крамерса-Кронига (как и указанное свойство функции е(ш)) яв-
являются прямым следствием физического принципа причинности.
Воспользовавшись нечетностью функции еп(ш), можно при-
привести формулу (82.6) к виду ^
}
е\и>)-\=2-}
7Г J
44
X2 — 0J2
0
Если речь идет о проводнике, то в точке ио = 0 функция s(uo)
имеет полюс, вблизи которого е = Anai/cu G7.9). Это приводит
к появлению в формуле (82.7) дополнительного члена (ср. V,
A23.18)):
= -I / ?M dx + ^	(82.9)
7Г J X — UJ	UJ
формула же (82.6) или (82.8) остается неизменной. Кроме то-
того, в случае металлов надо сделать еще следующее замечание. В
конце § 77 было указано, что у металлов могут существовать об-
области частот, в которых функция е(ио) теряет свой физический
смысл в связи с эффектами пространственной неоднородности
поля. Между тем, в рассматриваемых формулах интегрирова-
интегрирование должно вестись по всем частотам. В таких случаях под е(ио)
в соответствующих областях частот надо понимать функцию,
получающуюся в результате решения формальной задачи о по-
поведении тела в фиктивном пространственно однородном перио-
периодическом электрическом поле (а не в неизбежно неоднородном
поле электромагнитной волны).
Особенно существенна формула (82.8). Она дает возмож-
возможность вычислить функцию е'(ио), если известна хотя бы прибли-
приближенным (например, эмпирическим) образом функция s"{oo) для
данного тела. При этом существенно, что для любой функции
е"(ио), удовлетворяющей физически необходимому требованию
е" > 0 при си > 0, формула (82.8) дает функцию е'{ио), не про-
противоречащую никаким необходимым физическим требованиям,
т. е. принципиально возможную (знак и величина е' не ограничи-
ограничиваются никакими общими физическими условиями). Это обстоя-
обстоятельство и дает возможность использовать формулу (82.8) далее
по приближенной функции е"(ио). Напротив, формула (82.7) не
дает (в общем случае произвольной функции е'{ио)) физически

§82	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ е(ш)	411
возможной функции еп(ио), так как не обеспечивает автоматиче-
автоматическим образом положи тел ьн ость последней.
В теории дисперсии принято записывать выражение для s1 (ио)
в виде
^	оо
(82.10)
dx,
uj2 — х2
0
где е, т — заряд и масса электрона, a f(uo)duo называется си-
силой осцилляторов в интервале частот duo. Согласно (82.8) эта
величина связана с е"{ио) соотношением
/М = ^г^?»-	(82Л1)
У металлов f(uo) стремится к конечному пределу при ио —»> 0.
При достаточно больших значениях ио в подынтегральном вы-
выражении в (82.8) можно пренебречь х по сравнению с ио. Тогда
оо
е'(ш) - 1 = —^ J xe"(x) dx.
о
С другой стороны, для диэлектрической проницаемости при
больших частотах мы имеем формулу G8.1). Сравнение обоих
выражений приводит к правилу сумм
оо	оо
т
J ие"(ш) dw= f f(u) dw = N,	(82.12)
где N — полное число электронов в единице объема вещества.
Если е"{ио) не имеет особенности при ио = 0, то в формуле
(82.8) молено перейти к пределу си —>• 0, и мы получим
оо
е;@)-1 = - f ?-^dx.	(82.13)
7Г J	X
о
Если же точка ио = 0 является особой для функции ?п(оо) (ме-
(металлы), то предел, к которому стремится интеграл (82.8) при
си —)> 0, не совпадает со значением, получающимся путем просто-
простого вычеркивания в нем ио. Для вычисления указанного предела
необходимо предварительно заменить в подынтегральном выра-
выражении еп(х) на
е"{Х) - *f-
эта замена не меняет значения интеграла, поскольку тождест-
тождественно

412
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Формулу (82.13) для диэлектриков молено переписать в виде
1 47Гв W о"	/слп 1 л\
?о - 1 =	ш~2,	(82.14)
т
где черта обозначает усреднение с помощью силы осцилляторов:
N J и2
о
Это выражение может быть полезным при различных оценках
величин ?q.
Наконец, молено получить формулу, выражающую значения
s{uo) на верхней мнимой полуоси через значения sn{uo) на веще-
вещественной оси (соответствующие вычисления тоже приведены в
V, § 123). Эта формула имеет вид
е{гш)-\ = 2- flp&dx.	(82.15)
7Г J X2 + UJ2
О
Если проинтегрировать это соотношение с обеих сторон по c<j, то
получается
J [е{гио) -1]ёш= J е"(ш) duo.	(82.16)
о	о
Все изложенные результаты (с небольшим лишь видоизме-
видоизменением) относятся и к магнитной проницаемости /i(o;). Отличие
связано прежде всего с тем, что при увеличении частоты функ-
функция /i(o;) сравнительно рано теряет физический смысл. Поэтому,
например, применять формулы Крамерса-Кронига к /л(ш) надо
следующим образом. Вместо бесконечного рассматриваем конеч-
конечный интервал значений ио (от 0 до ш\\ простирающийся до та-
таких частот, при которых \i еще имеет смысл, но уже перестает
меняться и ее мнимую часть молено считать равной нулю; соот-
соответствующее вещественное значение \± обозначим как \±\). Тогда
формула (82.8) будет иметь вид
/^4^.	(82.17)
2 UJ2
О
В противоположность ?сь значение fiQ = /л@) может быть как
меньше, так и больше 1. Изменение лее [л(ш) вдоль мнимой оси
2) Фактически ел должно удовлетворять условию uj\t ^> 1, где т — наи-
наименьшее из времен релаксации ферро- или парамагнитных процессов в маг-
магнетике.

§ 83	ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА	413
по-прежнему является монотонным убыванием — на этот раз от
Мо до mi < мо-
Наконец, отметим, что аналитическими свойствами, установ-
установленными в этом параграфе для функции е(ш), в равной сте-
степени обладает и функция г](ио) = \/е(ш). Так, аналитичность
г)(ио) в верхней полуплоскости следует из аналитичности и отсут-
отсутствия нулей у функции е(ио) в этой полуплоскости. Для функции
г){ио) справедливы те же соотношения Крамерса-Кронига (82.6),
(82.7), что и для е(ш).
§ 83. Плоская монохроматическая волна
Уравнения Максвелла G7.2) для монохроматического поля
имеют вид
IК = crot E, гиое(ио)Е = -crot H.	(83.1)
Эти уравнения сами по себе составляют полную систему, так как
уравнения G7.1) следуют из них автоматически, и потому не дол-
жны рассматриваться отдельно. Предполагая среду однородной
и исключив из этих уравнений Н (или Е), получим уравнение
второго порядка
ДЕ + ?М—Е = 0	(83.2)
с2
(и такое же уравнение для Н).
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распростра-
распространяющуюся в неограниченной однородной среде. В плоской волне
в пустоте зависимость поля от координат дается множителем
вида ? с вещественным волновым вектором к. При рассмотре-
рассмотрении лее распространения волн в материальных средах в общем
случае оказывается необходимым вводить также и комплексные
значения:
k = k/ + ik//,
где к', к" — вещественные векторы.
Положив Е и Н пропорциональными егкг и произведя в урав-
уравнениях (83.1) дифференцирование по координатам, получим
= c[kE], cosE = -с[кН].	(83.3)
Исключив из этих двух соотношений Е или Н, найдем следую-
следующее выражение для квадрата волнового вектора:
с2
Мы видим, что к может быть вещественным, только если е и \i
вещественны и положительны. Но даже и в этом случае к может

414	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
все же быть комплексным, причем только должно быть k'k^^O
(с таким случаем мы встретимся при рассмотрении полного от-
отражения, см. § 86).
Следует иметь в виду, что в общем случае комплексных к
волна может быть названа «плоской» лишь в условном смысле.
Написав
eikr = еЛ'ге-к»г>
мы видим, что плоскости, перпендикулярные к вектору к', явля-
являются плоскостями постоянной фазы. Плоскостями же постоян-
постоянной амплитуды являются плоскости, перпендикулярные к век-
вектору к", в направлении которого происходит затухание волны.
Что же касается поверхностей постоянного значения самого по-
поля, то они в общем случае вообще не будут плоскими. Такие
волны называют неоднородными плоскими волнами, в отличие
от обычных однородных плоских волн.
Связь между компонентами электрического и магнитного по-
полей в общем случае дается формулами (83.3). В частности, умно-
умножив эти формулы скалярно на к, получим
кЕ = 0, кН = 0,	(83.5)
а возводя какую-либо из них в квадрат и используя (83.4), найдем
Е2 = ^Н2.	(83.6)
Следует, однако, помнить, что ввиду комплексности всех трех
векторов k, E, H эти соотношения в общем случае не имеют того
наглядного смысла, который они имели бы для вещественных
величин.
Не останавливаясь на громоздких соотношениях, получаю-
получающихся в общем случае, рассмотрим наиболее важные частные
случаи.
Особенно простые результаты получаются для волны, рас-
распространяющейся без затухания в непоглощающей (прозрачной)
однородной среде. Волновой вектор в этом случае веществен и
по величине равен
к = у/ёЦ- = гс-,	(83.7)
с с
где п = у/еЦ называется показателем преломления среды. Как
электрическое, так и магнитное поля лежат в плоскости, пер-
перпендикулярной к вектору к (чисто поперечная волна), причем
перпендикулярны друг к другу и связаны соотношением
Н = J?-[IE]	(83.8)
у А*
A — единичный вектор в направлении к). Отсюда следует, что

§ 83	ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА	415
это, однако, не означает равенства электрической и магнитной
энергий в волне (как в отсутствие дисперсии), поскольку по-
последние даются другими выражениями (два члена в форму-
формуле (80.11)). Суммарную плотность электромагнитной энергии в
этом случае можно привести к виду
U = _!_ JL(o^)EE* = -Ц /^^ЕЕ*.	(83.9)
16тгfjujj du	J	8тгу fidou	v )
Скорость и распространения волны в среде определяется из-
известным выражением групповой скорости 1):
и=^ = 	с-	.	(83.10)
dk d(nuj)/duj	V	;
При этом и = S/С/, в соответствии с ее смыслом как скорости пе-
переноса энергии в волновом пакете; здесь U — плотность энергии,
даваемая формулой (83.9), а
5= — W-EE*	(83.11)
8тг у fi
— среднее значение вектора Пойнтинга. В отсутствие дисперсии,
когда показатель преломления не зависит от частоты, выраже-
выражение (83.10) сводится просто к с/п (ср. G5.13)).
Далее, рассмотрим более общий случай распространения
электромагнитной волны в поглощающей среде, причем волно-
волновой вектор имеет определенное направление, т. е. к' и к" парал-
параллельны друг другу. Такая волна является плоской в буквальном
смысле, так как поверхностями постоянных значений поля в ней
являются плоскости, перпендикулярные к направлению распро-
распространения (однородная плоская волна).
В этом случае можно ввести комплексную «длину» к волно-
волнового вектора согласно к = к\ (где 1 — единичный вектор в на-
направлении к' и к") и из (83.4) имеем к = у/еЦш/с. Комплексную
величину у/Щ1 обычно пишут в виде п + гк с вещественными п и
х, так что
к = у/ёЦЧ = (п + Ы)-.	(83.12)
с	с
Величину п называют показателем преломления, ах— коэф-
коэффициентом поглощения среды; последний определяет скорость
затухания волны по мере ее распространения. Подчеркнем, од-
однако, что затухание волны не обязательно связано с наличием
2) При наличии существенного поглощения введение понятия групповой
скорости вообще невозможно, так как в поглощающей среде волновые паке-
пакеты не распространяются, а подвергаются быстрому размазыванию.

416	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
истинного поглощения; диссипация энергии имеет место лишь
при комплексных е или //, а коэффициент к может быть отлич-
отличным от нуля и при вещественных (отрицательных) е и \i.
Выразим величины п и к через вещественную и мнимую
части диэлектрической постоянной, предполагая при этом, что
/i = 1. Из равенства п2 — к2 + 2гпк = е = е' + %еп имеем
п2 - к2 = е1, 2пк = е".
Решая эти уравнения относительно п и х, получим 1)
	, к=\ 	.	(80. Id)
В частности, для металлов в области частот, где справедлива
формула G7.9), мнимая часть е велика по сравнению с веще-
вещественной частью и связана с проводимостью посредством еп =
= 4тга/ио\ пренебрегая е1 по сравнению с еп, найдем, что п и к
совпадают и равны (в согласии с E9.4))
(83.14)
Для связи между полями Е и Н в рассматриваемой однород-
однородной плоской волне снова получаем формулу (83.8), но только с
комплексными е и \i. Она снова показывает, что оба поля пер-
перпендикулярны к направлению распространения волны и друг к
другу. Если /i = 1, то, написав л/ё в виде
y/s = у п2 + к2 ехр г arctg ( — j L
мы видим, что магнитное поле по абсолютной величине превы-
превышает электрическое в у/ш? + к2 раз, а по фазе отстает от него на
угол arctg (х/n); в случае (83.14) сдвиг фаз равен тг/4.
Задача
В заданный момент времени (t = 0) в некоторой области пространства
имеется электромагнитное возмущение. Не поддерживаемое внешними ис-
источниками, оно будет затухать со временем. Найти условия, определяющие
декремент этого затухания.
Решение. Разложим начальное возмущение в интеграл Фурье по
координатам и рассмотрим какую-либо компоненту с волновым вектором
к (вещественный вектор!). Ее дальнейшая зависимость от времени дается
(при достаточно большом t) множителем е~гшг с комплексной частотой о;,
которую надо определить; декремент затухания есть — Imo;.
) Поскольку е" > 0, то знаки п и к дол лены быть одинаковыми, в соот-
соответствии с тем, что волна затухает в направлении своего распространения.
Выбор в (83.13) положительных знаков соответствует волне, распростра-
распространяющейся в положительном направлении оси х.

§ 84	ПРОЗРАЧНЫЕ СРЕДЫ	417
Из уравнений
-c^U =rotE = z[kE], cD = rotH = г[кН]
имеем, исключив Н,
с-26 = [к[кЕ]].	A)
Выберем направление к в качестве оси х. Для продольной части возмущения
имеем отсюда Dx = 0, а потому и Dx = 0.
С другой стороны, связь между Dx и Ех дается интегральным оператором
t
Ex{t) = е-гВх = J F(t- t)Dx{t) dr.	B)
— ос
Поскольку в данном случае Dx(t) = 0 при t > 0 (чем выражается отсутствие
источников поля при t > 0), то
о
Ex(t) = J F(t- t)Dx(t) dr.	C)
— сю
Отсюда видно, что при больших t зависимость Ех от времени определяется
в основном временной зависимостью функции F(t).
Для монохроматического поля имеем из C):
±]Р{т)е™ dr
Ф)
и, обратно,
7 j_
J e{u)
e.
e{u) 2тг
— ОС
Для оценки этого интеграла при больших значениях t смещаем путь инте-
интегрирования в нижнюю полуплоскость о;, где подынтегральное выражение
быстро убывает. При этом надо обходить все особые точки функции 1/s(uj),
т. е. нули функции s(o;) и ее точки ветвления. В результате интеграл будет
в основном пропорционален е~гш°г, где ujq — ближайшая к вещественной
оси из указанных особых точек. Этим и решается поставленный вопрос для
продольной части возмущения.
Для поперечных компонент имеем из A)
2
\l)y,z + k2Ey,z = 0.
с2
)y,z
Аналогичное исследование приводит к заключению, что искомая частота ujq
является в данном случае ближайшим к вещественной оси нулем или точкой
ветвления функции
222
§ 84. Прозрачные среды
Применим полученные в § 82 общие формулы к слабопогло-
щающим (в данной области частот) средам, т. е. будем пред-
предполагать, что для этих частот мнимой частью диэлектрической
проницаемости можно пренебречь.
14 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

418	УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
В таком случае в формуле (82.8) взятие главного значения
становится излишним, так как точка х = ио фактически выпа-
выпадает из области интегрирования. После этого интеграл молено
дифференцировать по параметру c<j, как обычный интеграл, не
имеющий особенностей в подынтегральном выражении. Произ-
Произведя такое дифференцирование, получим
оо
xs"(x) dx
О
Ввиду положи тел ьн ости подынтегрального выражения во всей
области интегрирования мы приходим к выводу, что
de _ 4ои i
duj	7Г J
*Н > 0,	(84.1)
duo
т. е. в области отсутствия поглощения диэлектрическая прони-
проницаемость — монотонно возрастающая функция частоты.
Аналогичным образом, в той же области частот получается
еще и другое неравенство:
d г 2/ 1 м 4ои f хъе"(
— [ш (е-1) = _ / _—
du	' тг J (х2 —
и2J
О
или	, о/1 ч
duo	ш	V }
Если е < 1 или даже отрицательна, то это неравенство сильнее
неравенства (84.1) -1).
Отметим, что неравенства (84.1) и (84.2) (и аналогичные —
для fi(u))) автоматически гарантируют выполнение неравенства
и < с для скорости распространения волн. Так, при [i = 1 имеем
п = л/е и, вводя п вместо е в (84.1) и (84.2), получим
Поэтому для скорости и (83.10) получаются два неравенства:
и < с/п и и < сп, откуда видно, что и<с как при п > 1, так и
при п<1. Эти неравенства показывают также, что г^>0, т. е.
групповая скорость направлена в ту лее сторону, что и волновой
вектор. Это ее свойство вполне естественно, хотя с чисто логи-
логической точки зрения отнюдь не обязательно.
Предположим, что область слабого поглощения простирает-
простирается в некотором широком интервале частот от loi до Ш2 (причем
2) Взяв полусумму неравенств (84.1) и (84.2), найдем, что d(ujs)/duj > 1 —
неравенство более сильное, чем (80.13).

84	ПРОЗРАЧНЫЕ СРЕДЫ	419
) и рассмотрим частоты ио такие, что ио\ <Сс<; <Cc<J2- Об-
Область интегрирования в (82.8) разбивается на две части: х < ш\ и
х > U02- В первой из них можно пренебречь в знаменателе подын-
подынтегрального выражения х по сравнению с cj, а во второй — ио по
сравнению с х:
°2
е(ш) = 1 + - / е"(х)— - — Г хе"(х) dx,	(84.4)
7Г J	X	7T0J2 J
т. е. функция s(ou) в рассматриваемой области имеет вид а — Ъ/и?1,
где а и Ъ — положительные постоянные. Вторую из них молено
выразить через силу осцилляторов N\, ответственных за погло-
поглощение в области от 0 до ио\ (ср. (82.12)), и тогда
Из этого выражения следует, что в достаточно широкой об-
области слабого поглощения диэлектрическая проницаемость, во-
вообще говоря, проходит через нуль. Напомним в этой связи, что
прозрачной в буквальном смысле слова является среда, в кото-
которой е(ио) не только вещественно, но и положительно; при отри-
отрицательном е волна затухает в глубь среды, хотя в ней и не про-
происходит истинной диссипации энергии.
Для частоты, при которой е = 0, индукция D тождествен-
тождественно обращается в нуль и уравнения Максвелла допускают суще-
существование переменного электрического поля, удовлетворяющего
одному лишь уравнению rot E = 0 при равном нулю магнитном
поле. Другими словами, в этом случае возможно существование
продольных электрических волн. Для определения скорости их
распространения необходимо учитывать дисперсию диэлектри-
диэлектрической проницаемости не только по частоте, но и по волновому
вектору; мы вернемся к этому вопросу в § 105.
Пусть, наконец, в широкой области прозрачности имеется уз-
узкая область («линия») поглощения вокруг некоторой частоты со>о-
Рассмотрим окрестность этой частоты, удовлетворяющую усло-
условию
7< |^-^о| <^о,	(84.6)
где 7 — ширина линии. В этой области в подынтегральном вы-
выражении в (82.6) молено заменить х на loq везде, кроме быстро-
быстроменяющейся функции еп{х). Тогда получим
е(и) «е'(ш) « 1 Г е"(х) dx,	(84.7)
7r(cJo — Ш) J
где интегрирование производится по линии поглощения.
14*

420
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Задача
На границу полупространства (х > 0), заполненного прозрачной средой
(jjt = 1), падает в нормальном направлении плоская электромагнитная волна
с резко обрывающимся передним фронтом. Определить структуру фронта
волны, прошедшей внутрь среды (A. Sommerfeld, L. Brillouin, 1914).
Решение. Пусть волна падает на границу среды в момент t = 0, так
что при х = 0 поле падающей волны (Е или Н)
при t < О Е = 0; при t > О
Разлагая это поле в интеграл Фурье по времени, сведем задачу к падению
бесконечно протяженных волн различной частоты на ту лее границу. Ам-
Амплитуда компоненты Фурье с частотой ио пропорциональна
сю
f ei(w-wo)T dr.
о
При падении волны с частотой ш прошедшая в среду волна имеет вид
а{ш) ехр ( — iout + i—nx) ,
где амплитуда а(си) — медленно меняющаяся функция частоты. Поэтому в
данном случае поле волны в среде
р	СЮ
Еоо / du>a(w)exp(-iwt + i-nx) f ei{w~wo)T dr.
— оо
В области вблизи фронта волны в этом интервале играют роль значе-
значения о;, близкие к ujq. Введя новую переменную ? = ш — cjo, заменим а(ш) на
а(о;о), а показатель разлагаем по степеням ?. Опуская все несущественные
постоянные и фазовые множители, получим
ОО +ОО
. Произ-
Произdu
где и = u(ujq) — скорость распространения (83.10), а и = —
du
ведя интегрирование по с??, легко привести Е к следующему виду:
сю
Еоо J e±ir]2 drj, г
X-Ut
(знак в показателе зависит от знака и). Интенсивность же волны вблизи ее
фронта распределена по закону
о	2
/оо
eir^ drj
Эта формула по виду совпадает с формулой, определяющей распределе-
распределение интенсивности вблизи края тени при дифракции Френеля (см. II, § 60).
При w > 0 интенсивность монотонно падает с увеличением ги, а при w <
< 0 совершает осцилляции с убывающей амплитудой вокруг постоянного
значения, к которому стремится при w —»> — оо.
На больших расстояниях впереди рассмотренного фронта ему пред-
предшествуют так называемые «предвестники», распространяющиеся со скоро-
скоростью с. Они соответствуют компонентам Фурье с большими частотами, для
которых г —>¦ 1.

ГЛАВА X
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 85. Геометрическая оптика
Условие применимости геометрической оптики заключается,
как известно, в малости длины волны Л по сравнению с харак-
характеристическими размерами задачи / (см. II, § 53). Связь геомет-
геометрической оптики с волновой устанавливается тем, что при Л <С /
всякая величина <р, описывающая поле волны (любая из компо-
компонент Е или Н), выражается формулой вида
где амплитуда а — медленно меняющаяся функция координат
и времени, а фаза ф — большая величина, являющаяся «почти
линейной» функцией координат и времени. Последняя называет-
называется в геометрической оптике эйконалом и играет в ней основную
роль. Ее производная по времени определяет частоту волны:
д-± = -и,	(85.1)
ot
а производные по координатам — волновой вектор:
\7ф = k	(85.2)
и тем самым — направление лучей в каждой точке пространства.
У монохроматической волны в стационарных условиях часто-
частота есть постоянная величина и зависимость эйконала от времени
дается слагаемым —out. Введем тогда вместо ф другую функцию
ф\ (которую тоже будем называть эйконалом) согласно
<ф = -шг+-'ф1(х,у,г);	(85.3)
с
ф\ есть функция только координат, а ее градиент
V^i = n,	(85.4)
где п — вектор, связанный с к посредством
к = -п.	(85.5)
С

422
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Абсолютная величина вектора п равна показателю преломле-
преломления п среды 1). Поэтому уравнение эйконала для распростране-
распространения лучей в среде с показателем преломления п(ж,у, z), являю-
являющимся заданной функцией координат, есть
Уравнение распространения лучей (в стационарных услови-
условиях) может быть получено также из принципа Ферма, согласно
которому для траектории луча между двумя заданными точка-
точками пространства А и В минимален интеграл
в	в
ф\ = /ndl = J ndl.
Л	Л
Приравнивая нулю вариацию этого интеграла, имеем
в
6ф1 = J (Sn-dl + nS dl) = 0.
л
Пусть Sr — смещение траектории луча при варьировании. Тогда
имеем
Sn = Sr • Vn, S dl = 1 dSr,
где 1 — единичный вектор касательной к лучу. Подставив в 8ф\ и
произведя во втором члене интегрирование по частям (учитывая,
что в точках А и В Sr = 0), получим
в	в	в„
6ф1 = J Sr-Vndl+ J nldSr = / hn - ^1) Sr-dl = 0.
л	л	A
Отсюда
^ = Vn.	(85.7)
dl
Раскрыв производную и подставив — = lVn, перепишем это
dl
уравнение в виде
| = I[Vn-l(lVn)].	(85.8)
dl n
Это и есть уравнение, определяющее форму лучей.
Как известно из дифференциальной геометрии, производная
dl/dl вдоль луча равна N/Д, где N — единичный вектор глав-
главной нормали, a R — радиус кривизны луча. Умножив уравнение
В геометрической оптике рассматриваются лишь прозрачные среды.

§ 85	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА	423
(85.8) с обеих сторон на N и учитывая взаимную перпендику-
перпендикулярность N и 1, получим
1 = N^.	(85.9)
R	n	V J
Луч изгибается в сторону увеличения показателя преломления.
Скорость распространения лучей в геометрической оптике
направлена вдоль 1 и дается производной
п-|.	(85.10)
Эту скорость называют также групповой, а отношение со/к — фа-
фазовой скоростью. Последняя не соответствует скорости реально-
реального физического распространения какой бы то ни было величины.
Легко написать также уравнение, определяющее изменение
интенсивности света вдоль луча. Интенсивность / представляет
собой абсолютную величину усредненного (по времени) вектора
Пойнтинга. Последний направлен вместе с групповой скоростью
вдоль 1:
S = Л.
В стационарных условиях средняя плотность энергии поля в
каждой точке пространства не меняется со временем. Поэтому
уравнение сохранения энергии гласит: div S = 0, или
(Иу(Л) = 0.	(85.11)
Это и есть искомое уравнение.
Наконец, рассмотрим вопрос о том, как меняется вдоль лу-
луча направление поляризации линейно поляризованного света
(СМ. Рытое, 1938).
Как известно из дифференциальной геометрии, простран-
пространственная кривая (в данном случае луч) характеризуется в каж-
каждой своей точке тремя взаимно перпендикулярными единичны-
единичными векторами касательной 1, главной нормали N и бинормали b
(так называемый естественный трехгранник). В силу поперечно-
сти электромагнитных волн вектор Е (или Н) лежит всегда в
нормальной плоскости — плоскости Nb.
Пусть в некоторой точке луча направление Е совпадает с на-
направлением N, т. е. лежит в соприкасающейся плоскости (плос-
(плоскость N1). Как известно, отклонение кривой на длине dl от
соприкасающейся плоскости является бесконечно малой величи-
величиной высшего (третьего) порядка. Поэтому можно утверждать,
что при перемещении вдоль луча на расстояние dl вектор Е оста-
остается в первоначальной соприкасающейся плоскости. Новая же
соприкасающаяся плоскость поворачивается относительно ста-
старой на угол dtp = dl/T\ где Г — радиус кручения кривой. Этому

424
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
же будет равен, следовательно, угол поворота вектора Е по от-
отношению к вектору N в нормальной плоскости. Таким образом,
при перемещении вдоль луча направление поляризации враща-
вращается в нормальной плоскости так, что его угол с направлением
главной нормали меняется согласно уравнению
^ = I.	(85.12)
dl T	V	J
В частности, в отсутствие кручения, т. е. когда луч является
плоской кривой, направление вектора Е в нормальной плоскости
остается неизменным, как это и заранее очевидно из соображе-
соображений симметрии.
Задачи
1. Найти закон преобразования скорости распространения света в среде
(групповой скорости) при преобразовании системы отсчета.
Решение. По определению групповой скорости и,
doo = udk, dJ = u'dk;;
величины со штрихом относятся к системе отсчета К\ движущейся со ско-
скоростью v относительно системы К (величины без штриха). Согласно фор-
формулам преобразования Лоренца для волнового 4-вектора имеем
Кх = Т I Кх	^ ~ 1 5	ГЪу = ГЪу)	fbz = Kz ,
и = j(oj' + vk'x),
где 7 = 1/д/1 — v2/с2 (оси х, х — в направлении v). Из формулы во второй
строке имеем
1 vdk'x) = 7(u/ dk' + v dk'x).
Подставив сюда dk', выраженное через dk и doj, из формул первой строки
и собрав вместе члены с doj, получим
7
A + —vv'x I duo = j(ux + v) dkx + и' dky + uz dkz.
\ c2 J
Сравнив с duj = u dk, найдем, что скорости u; и v складываются в и по обыч-
обычным релятивистским формулам сложения скоростей — как это и следовало
ожидать.
2. Определить скорость распространения света в движущейся (относи-
(относительно наблюдателя) среде.
Решение. Пусть шик — частота и волновой вектор световой волны
в неподвижной системе отсчета X, а а/, к; — те же величины в системе К\
движущейся относительно К вместе с жидкостью со скоростью v. В системе
К' жидкость неподвижна, и потому а/ и к; связаны соотношением
СК = LJ n{UJ ).	A)
Согласно формулам преобразования Лоренца для волнового 4-вектора,
имеем, с точностью до членов первого порядка по v/c:
ш = ш — kv, k = k	v, k = k	vl

§ 86	ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН	425
A = к/А;). Подставив эти выражения в A) и разложив функцию n(ujf) по
степеням v, получим с той же точностью *):
оо uj Г d(nuj)~\ ,	/rt4
fc=-n+- l-n-^-—i vl.	B)
Скорость распространения (групповая скорость) в неподвижной среде
получается дифференцированием соотношения ск = ojti(oj) и равна
"о = С. 1.	C)
()/
В движущейся среде она получается дифференцированием соотношения B),
которое предварительно переписываем в виде
ио / 1 1 \
к = — п + kv (	1 .
Снова с точностью до членов первого порядка находим
) Uq поо duo
+v A1 .	D)
cn с2 с duj J \ cnj
При распространении света в направлении движения среды (v || 1) имеем
отсюда2)
/ ио\ vnuj duo	, л
u = uo+v[l- — ]	—.	E)
\ с2 J с duo
Первые два члена могут быть получены просто путем применения реляти-
релятивистской формулы сложения скоростей. Если же v и 1 взаимно перпендику-
перпендикулярны:
f^	F)
cnj
Фазовая скорость волны получается из B) в виде
uj с _ / 1 uj dn
- = -+vll	1
к п	V п2 п du J
При v 11 эффект первого порядка в ней отсутствует.
§ 86. Отражение и преломление волн
Рассмотрим отражение и преломление монохроматической
плоской электромагнитной волны на плоской границе раздела
между однородными средами. Падение происходит из прозрач-
прозрачной среды (среда 1)\ для второй же среды предположения о
2) Отметим, что второй член в B), ас ним и все дальнейшие эффекты
первого порядка тождественно обращаются в нуль при п2 = е = 1 —const-о;.
2) Эта формула описывает так называемый эффект Физо, впервые пред-
предсказанный Френелем (A. Fresnel, 1818). Влияние дисперсии на этот эффект
рассмотрено Лорентцем (Н.А. Lorentz, 1895).

426
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
прозрачности пока делать не будем. Будем отмечать величины,
относящиеся к падающей и отраженной волнам, соответственно
индексами 0 и 1, а к преломленной волне
— индексом 2 (рис. 46). Направление нор-
нормали к плоскости раздела выберем в ка-
качестве оси z (с положительным направле-
направлением в глубь среды 2).
Ввиду полной однородности в плоско-
плоскости жу, зависимость решения уравнений
поля от этих координат во всем простран-
пространстве дол лена быть одинаковой.
Это значит, что компоненты кх, ку вол-
волнового вектора для всех трех волн одина-
одинаковы. Отсюда следует прежде всего, что
направления распространения всех волн
лежат в одной плоскости; выберем ее в ка-
Рис. 46
честве плоскости xz.
Из равенств
"'О ж — *^1ж —
следует для ^-компонент этих векторов:
7	/W
foz = \ —?2 -
с2
= ~ V ?2 -
(86.1)
(86.2)
S\
в обеих средах полагаем /i=l. Вектор ко, по определению, ве-
веществен. Вместе с ним веществен также ki. Величина же k^z
в поглощающей среде комплексна, причем корень должен быть
взят с таким знаком, чтобы было Im k^z > 0 в соответствии с тем,
что преломленная волна затухает в глубь среды 2.
Если прозрачны обе среды, то из равенств (86.1) следуют из-
известные законы отражения и преломления
01 = в0,
sin #2
sin #o
ViL
(86.3)
Для определения амплитуд отраженной и преломленной волн
надо обратиться к граничным условиям на поверхности раздела
(z = 0). При этом мы рассмотрим отдельно два случая — когда
электрическое поле Eq лежит в плоскости падения или перпен-
перпендикулярно к ней; тем самым мы рассматриваем и общий случай,
когда Eq может быть разложено на две такие компоненты.
Предположим сначала, что Eq перпендикулярно к плоскости
падения; из соображений симметрии очевидно, что то же будет
относиться и к полям Е] и Е2 в отраженной и преломленной
волнах. Вектор же Н лежит в плоскости xz. Граничные условия

§ 86	ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН	427
требуют непрерывности Еу = Е и Нх1)\ согласно (83.3) Нх =
= —ckzEy/Lu.
Поле в среде 1 есть сумма полей падающей и отраженной
волн, так что мы получаем два уравнения:
Ео + Е1= Е2, kOz(Eo -Eh) = k2zE2.
Экспоненциальные множители в Е сокращаются в обеих частях
равенства ввиду одинаковости кх (а так лее частоты си) во всех
трех волнах; ниже под Е подразумеваются везде комплексные
амплитуды волн. Решение написанных уравнений приводит к
следующим формулам Френеля:
kOz - k2z гп	y/s^COS во - \/б2 - Si Sin2 0o
W2-e]S1n*o	(864)
7-,	2koz jp	2a/?7cos0o	t-,
H/2 — 	-C/0 — 		-C/Q.
koz + k2z	y^cos 0o + у ?2 — ?1 sin2 0o
Если прозрачны обе среды, то с помощью соотношений (86.3)
можно представить эти формулы в виде
тр	8ш(в2-во)с1	тр	2 COS 00 8Ш 02 el	(QK K\
m = . ;. , . [Eq, E2 = .	„До-	(86.5)
Sin @2 + 00 )	Sin @2 + 00 )
Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда Е
лежит в плоскости падения; при этом удобнее производить вы-
вычисления для магнитного поля, перпендикулярного к плоскости
падения. В результате получаются еще две формулы Френеля:
Яб2к02 - ?i k2z тт ?2 COS 0О - <\/?1 (?2 ~ ?\ Sm2 0О) тт
1 = 	-"О == 		r7Q;
?2k0z + ?i /ь2г	?2 COS 0o + A/ ?i (S2 ~ S\ Sm2 0O)	•_ ^ч
гг 2g2feoz ^ 2g2 cos 0о	„
¦ = 	-"О == 		"р-
?l ^2г + ^2^0г	?2 COS 00 + у Е\ (б2 ~ €l Sm2 во)
Если прозрачны обе среды, то эти формулы можно представить
в виде
= g()ff Н = 	p^		(86/г)
tg @о + 02)	sin @о + 02) cos @о-02)	V ;
Коэффициент отражения R определяется как отношение
среднего (по времени) отраженного от поверхности потока энер-
энергии к падающему потоку. Каждый из этих потоков дается сред-
2) Граничные условия для нормальных компонент В и D не дают в дан-
данном случае ничего нового, в соответствии с тем, что уравнения div В = О,
div D = 0 являются следствием уравнений (83.1).

428	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
ним значением ^-компоненты вектора Пойнтинга (83.11) соответ-
соответствующей волны:
.. . 	 _ |2 1-е* |2
R =
л/ёг COS 00
Е
l
Ео|2 |Е0|2
При нормальном падении (во = 0) оба случая поляризации
эквивалентны и коэффициент отражения дается формулой
(86.8)
Эта формула справедлива как для прозрачной, так и для по-
поглощающей отражающей среды. Если ввести n<i и k<i согласно
л/в2 = П2 + гх2, то, например, при падении из пустоты (si = 1)
получим
Дальнейгпее обсуждение полученных формул произведем в
предположении прозрачности обеих сред. Предварительно сде-
сделаем следующее общее замечание. Граница раздела между дву-
двумя различными средами представляет собой в действительно-
действительности не геометрическую поверхность, а тонкий переходный слой.
Справедливость формул (86.1) не связана с какими бы то ни было
предположениями о характере этого слоя. Вывод же формул
Френеля, основанный на использовании условий на границе раз-
раздела, предполагает малость толщины переходного слоя 6 по срав-
сравнению с длиной волны Л. Обычно толщина 6 сравнима с меж-
междуатомными расстояниями, во всяком случае малыми по срав-
сравнению с Л (в противном случае было бы вообще невозможным
макроскопическое рассмотрение поля); поэтому и условие Х^>6
обычно выполняется. В обратном же предельном случае явление
преломления имело бы совсем другой характер. При 6 ^> Л выпол-
выполнены условия применимости геометрической оптики (Л мало по
сравнению с размерами неоднородностей среды). Поэтому в таком
случае молено было бы рассматривать распространение волны
как распространение лучей, испытывающих в переходном слое
рефракцию, но проходящих через него без всякого отражения.
Другими словами, коэффициент отражения был бы равен нулю.
Вернемся к формулам Френеля. При отражении от прозрач-
прозрачной среды коэффициенты пропорциональности между Ei, E2
и Ез в этих формулах вещественны1). Это значит, что фаза
волны либо остается неизменной, либо испытывает скачок на тг,
2) Мы оставляем пока в стороне случай так называемого полного отраже-
отражения (см. ниже).

§ 86	ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН	429
смотря по знаку этих коэффициентов. В частности, фаза прелом-
преломленной волны всегда совпадает с фазой падающей волны. Отра-
Отражение же может сопровождаться изменением фазы 1). Так, при
нормальном падении фаза волны не меняется, если е\ > 82- Если
же 82 > ?i, то векторы Ei и Ео имеют противоположные знаки,
т. е. происходит изменение фазы волны на тг.
Коэффициенты отражения при наклонном падении даются
согласно (86.5) и (86.7) формулами
О _ Sm @2 — 9р)	о _ tg @2 — 9р)	/gg jqx
± ~ 8Ш2@2+0О)'	" " tg2@2+0o)'	'
Здесь и ни лее индексы _L и || отмечают случаи, когда поле Е со-
соответственно перпендикулярно или параллельно плоскости паде-
падения. Отметим следующую симметрию: выражения (86.10) не ме-
меняются при взаимной замене 02 и 6q (фазы лее отраженных волн
при этом меняются, согласно формулам (86.5) и (86.7), на тг).
Другими словами, коэффициент отражения для волны, падаю-
падающей из среды 1 под углом во, равен коэффициенту отражения
для волны, падающей из среды 2 под углом #2-
Замечательным свойством обладает отражение света, падаю-
падающего под таким углом во, при котором #о + #2 = тг/2 (отражен-
(отраженный и преломленный лучи при этом взаимно перпендикулярны).
Обозначим это значение через вр\ написав sin вр = sin (тг/2 — 62) =
= cos #2 и воспользовавшись законом преломления (86.3), получим
(86.11)
При #о — 0р имеем tg(#o + #2) = ос и Щ обращается в нуль.
Поэтому при любом направлении поляризации света, падающе-
падающего под этим углом, отраженный свет будет поляризован так, что
электрическое поле в нем перпендикулярно к плоскости паде-
падения. Таким лее поляризованным будет отраженный свет и при
падении естественного света; все компоненты с другой поляри-
поляризацией при этом вообще не отразятся. Угол 9Р называют углом
полной поляризации или углом Брюстера. Отметим, что, в то
время как отражение может приводить к полной поляризации
естественного света, в преломленном свете полная поляризация
не достигается ни при каком угле падения.
2) Отражение от поглощающей среды приводит, вообще говоря, к возник-
возникновению эллиптической поляризации. Явные выражения для амплитудных
и фазовых соотношений между тремя волнами при этом очень громоздки.
Их можно найти в книге Стрэттона Дж.А. Теория электромагнетизма, гл.
IX. — М.: ГТТИ, 1948 (Stratton J.A. Electromagnetic Theory, ch. IX. — N.Y.:
McGraw-Hill, 1941).

430	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
Отражение и преломление поляризованного света всегда при-
приводит снова к плоскополяризованному свету, но с направлением
поляризации, вообще говоря, не совпадающим с таковым у па-
падающего света. Пусть 70 — угол между направлением Ео и плос-
плоскостью падения, а 71 и 72 — аналогичные углы для отраженной
и преломленной волн. С помощью формул (86.5) и (86.7) легко
получить соотношения
tg7i = -COS^T^tg7o, tg72 = cos@o-02)tg7o. (86.12)
COS @0 + 02 j
Углы 7о, 71, 72 совпадают при всех углах падения лишь в оче-
очевидных случаях 7о — 0 и 7о — ^/2; они совпадают также при
нормальном (9q = #2 = 0) и скользящем (во = тг/2) падениях
(в последнем случае преломленная волна вообще отсутствует).
Во всех же остальных случаях из (86.12) следуют (учитывая, что
0 < во, #2 < тг/2 и полагая, что 0 < 70 < ^г/2; 0 < 7ь 72 < ?г) нера-
неравенства
71 > 70 > 72-
Таким образом, направление Е при отражении поворачивается
от плоскости падения, а при преломлении — к ней.
Сравнение двух формул (86.10) показывает, что при всех
углах падения (за исключением только во — 0 и во — тг/2)
Дм <С R_l.
Поэтому, например, при падении естественного света отражен-
отраженный свет оказывается частично поляризованным с преимуще-
преимущественным направлением электрического поля, перпендикулярным
к плоскости падения. Преломленный же свет будет частично по-
поляризованным с преимущественным направлением Е в плоско-
плоскости падения.
Характер зависимости Дц и R± от угла падения существенно
различен. Коэффициент R± монотонно возрастает по мере уве-
увеличения во, начиная от значения (86.8) при во — 0. Коэффициент
же Дц, равный тому же значению (86.8) при в = 0, по мере уве-
увеличения #о сначала убывает, обращается в нуль при во = вр и
лишь затем начинает монотонно возрастать.
При этом надо различать два случая. Если отражение про-
происходит, как говорят, от оптически более плотной среды, т. е.
?2 > ?ь то возрастание Дц и R± продолжается вплоть до во — тг/2
(скользящее падение), когда оба достигают значения 1. Если же
отражающая среда оптически менее плотная, е^ < ?i, TO °ба
коэффициента обращаются в 1 уже при угле падения во = вТ,
где вт определяется равенством
sin0r = к[^- = —	(86.13)
V ^	гы

§ 86	ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН	431
и называется предельным углом полного отражения. При во — ®г
угол преломления 02 = тг/2, т. е. преломленная волна распростра-
распространяется параллельно поверхности раздела.
Отражение под углами 6q > 6г от оптически менее плотной
среды требует особого рассмотрения. В этом случае k^z (см.
(86.2)) чисто мнимо, т. е. поле в преломляющей среде затухает.
Затухание волны в глубь среды при отсутствии в ней истинного
поглощения (диссипации энергии) означает, что поток энергии
из первой во вторую среду в среднем отсутствует (путем про-
простого вычисления легко непосредственно убедиться в том, что
вектор S среднего потока энергии во второй среде действитель-
действительно имеет лишь ж-компоненту). Другими словами, вся падающая
на границу раздела энергия отражается обратно в первую среду,
т. е. коэффициенты отражения
R± = Дц = 1.
Это явление называется полным отражением1). В последнем
равенстве для R± и Дц можно убедиться, разумеется, и непо-
непосредственно с помощью формул Френеля (86.4) и (86.6).
При #о > Or коэффициенты пропорциональности между Ei и
Eq становятся комплексными величинами вида (а — ib)/(a + ib).
Величины же R± и Дц даются квадратами модулей этих коэф-
коэффициентов, равными единице. Эти формулы, однако, позволяют
определить не только отношение абсолютных значений поля в
отраженной и падающей волнах, но и разницу в их фазах. Для
этого надо представить их в виде
Имеем2)
, 6±_ _ л/ei sin2 в0 - ?2 , $\\_ _ a/si (si sin2 во - e2)	/o^ -. .\
g 2 ~ y/slcose0 '	2 ~	e2 cos0o	'	'
Таким образом, полное отражение сопровождается изменением
фазы волны, различным, вообще говоря, для компонент поля,
параллельной и перпендикулярной к плоскости падения. Поэто-
Поэтому при отражении волны, поляризованной в плоскости, наклон-
наклонной к плоскости падения, отраженная волна будет эллиптически
поляризована. Для разности фаз 5 = 5± — 5\\ легко получается
2) Коэффициент отражения всегда равен единице при отражении от среды
с вещественным, но отрицательным е. В такой среде тоже нет истинного
поглощения, но волна не может проникнуть в глубь ее.
2\ т. а — ib _iS	6 b
) Если 	= е , то tg - = -.
а + ib	2 a

432	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
выражение
6 _ COS^qa/si Sm26>0 - 62
2
Эта разность обращается в нуль лишь при 9q = вг и 9q = тг/2.
Задачи
1.	Найти закон обращения коэффициента отражения в 1 вблизи угла
полного отражения.
Решение. Полагаем во = вг — 6, где 8 — малая величина, и разлагаем
в формулах (86.10) sin во и cos#0 по степеням 6. В результате получаем
R± = 1 - 4V2S(n2 - 1)~1/4, Щ = 1 - rV2Sn2(n2 - 1)~1/4,
где п2 = ei/ег > 1- Производные dR/dS обращаются при S —»¦ 0 в бесконеч-
бесконечность как д~1'2.
2.	Найти коэффициент отражения при почти скользящем падении света
из пустоты на поверхность тела с близким к 1 значением е.
Решение. Формулы (86.10) дают одинаковый коэффициент отра-
отражения:
~	"	(?-1J
где (ро = тг/2 — во.
3. Определить коэффициент отражения при падении волны из пустоты
на границу среды с отличными от единицы ? и ц.
Решение. Вычисления, полностью аналогичные произведенным в
тексте, приводят к результату:
R± =
li cos 0о —
li cos во + \/eii — sin2 (
Дм =
г cos во — \/eii — sin2 (
г cos во +
4. Плоскопараллельный слой вещества 2 находится между вакуумом
(среда 1) и произвольной средой 3. Из вакуума на слой падает свет, поля-
поляризованный в плоскости падения (или перпендикулярно к ней). Выразить
коэффициент отражения от слоя R через коэффициенты отражения при
падении света на полубесконечную среду 2 или 3.
Решение. Обозначим через Aq и А\ амплитуды поля (Е или Н —
смотря по тому, какой из этих векторов параллелен плоскости слоя) в па-
падающей и отраженной волнах. Поле в слое складывается из преломленной
волны (амплитуда A<i) и волны, отраженной от границы 2-3 (амплитуда
А2). Граничное условие на поверхности 1-2 дает равенство вида
Ail=a(A1 -r12A0),	A)
где а и г 12 — постоянные. При отражении от полубесконечной среды 2 вол-
волна А'2 отсутствует, так что A) дает пг = Ai/Ao, т. е. г\ъ есть амплитуда
отражения для этого случая. Еще одно уравнение получается из A) пере-
перестановкой А\ с Ао и заменой А2 на Аг, что соответствует просто изменению
знака z-компоненты волнового вектора:
А2 = а(А0 -г12А1).	B)
В среде 3 имеется только одна (прошедшая) волна. Для ее амплитуды As
имеем условия
А2е** = аА3, А'2е~^ = -аг32А3	C)

§ 86	ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН	433
(аналогичные условиям A), B) с ii =0); экспоненциальные множители
учитывают изменение фазы волны на толщине слоя h, причем
ф = -hVs2 -sin2 6>o.	D)
с
Исключая из уравнений C) As, имеем
А'2е~^ = Г2зА2<?+	E)
(?3 = —?2).
Из уравнений A), B), E) найдем амплитуду отражения от слоя:
Аг п2е-2^+г23	((кл
г = — = 		F)
А е-2^+ГГ
(коэффициент отражения R = |г|2). Смысл постоянной Г23 выясняется из
того, что при h = 0 г должно совпадать с амплитудой отражения пз от
полубесконечной среды 3\ отсюда находим
П2 - ПЗ	1Г7\
Г23 = 	•	G)
П2ПЗ - 1
формулы F), G) решают поставленную задачу. Подчеркнем, что их вывод
не связан с какими-либо предположениями о свойствах сред 2 и 3, которые
могут быть как прозрачными, так и поглощающими.
Если среды 2 и 3 прозрачны, то величины ф, пг, Пз вещественны, а Г23
представляет собой амплитуду отражения на границе между полубесконеч-
полубесконечными средами 2 и 3. Из F) имеем при этом
(П2+г23J -4ri2r23sin2'0
(П2Г23 + IJ — 4Г12Г23 Sin2 ф
При изменении ф эта величина меняется в пределах между
П2 + ?3 \	/ П2 — ^23
П-[ — П2
При нормальном падении света пг = 	, и аналогичные соотношения
П1 + П2
имеют место для пз и Г2з- Если п| = п-[Пз, то г\2 = ^23 и при соответствую-
соответствующем выборе толщины слоя R может обратиться в нуль.
Если среда 3 является вакуумом, то пз = 0, Г23 = — П2 и из F) имеем
Если при этом среда 2 прозрачна, то
4Ri2 sin2 ф
R=
Коэффициент прохождения D через слой (из вакуума в вакуум) совпа-
совпадает с 1 - Д, лишь если среда 2 прозрачна. В противном случае для вы-
вычисления D надо исходить из уравнений A)—C), положив в них Г32 = Иг-
«Амплитуда прохождения» d равна:
(ю)
а коэффициент прохождения D = \d\2.

434	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
5. Определить коэффициенты отражения и прохождения при нормаль-
нормальном падении света на пластинку с очень большой комплексной диэлектри-
диэлектрической проницаемостью е.
Решение. В этом случае
1+ .
и согласно формуле (9) предыдущей задачи
1	и; г-
г =	, ф = —hys.
Если пластинка настолько тонка, что huo/c <С l/y/jij, то можно написать
_	1
~ 1 + Bic/euoh)'
При этом молено еще различать два случая:
1 , w. . 1 „ . 4с ?/;
при — < -й«
с
Для коэффициента прохождения имеем согласно формуле A0)
oj1	1	2
при -/*< -^ d=-
ш	1	1
при — д ~ —т^ а =
1 — ieujh/2c
В последнем случае можно еще различать
1 ш,	1	4с2
§ 87. Поверхностный импеданс металлов
Диэлектрическая проницаемость металлов по своей абсолют-
абсолютной величине при не слишком больших частотах велика по срав-
сравнению с 1 (при о; —^ 0 она стремится к бесконечности как 1/cj).
В этих условиях длина волны S ~ с/ои^/Щ в металле мала по
сравнению с длиной волны Л ~ с/со в пустоте -1). Если при этом S
2) Большие значения у/е(ш) практически всегда являются комплексны-
комплексными. При этом электромагнитное поле затухает в глубь тела, так что длина
волны в нем является в то же время глубиной проникновения поля. Если
е{ш) выражается через проводимость а (согласно G7.9)), то эта величина
совпадает с глубиной проникновения, введенной в § 59.

§ 87	ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС МЕТАЛЛОВ	435
(но не обязательно Л) мала также и по сравнению с радиусами
кривизны поверхности металла, то этим обстоятельством молено
воспользоваться для существенного упрощения задачи об отра-
отражении произвольных электромагнитных волн от металла.
Малость S означает, что производные от компонент поля вну-
внутри металла в направлении нормали к поверхности велики по
сравнению с производными в тангенциальных направлениях. По-
Поэтому поле внутри металла вблизи поверхности молено рассмат-
рассматривать как поле плоской волны и, соответственно, поля Е^ и Н^
связаны друг с другом соотношением
(87.1)
где п — нормаль к поверхности, направленная внутрь металла.
Поскольку, с другой стороны, Е^ и Н^ непрерывны, то таким же
соотношением должны быть связаны их значения для поля вне
металла у его поверхности. Равенством (87.1) можно восполь-
воспользоваться (как было указано М.А. Леонтовичем, 1948) в каче-
качестве граничного условия при определении поля вне проводника.
Таким образом, внешнюю электромагнитную задачу можно ре-
решать, совершенно не рассматривая поля внутри металла.
Величину у//л/е называют поверхностным импедансом ме-
металла; обозначим ее через С — С + К" ^
(87.2)
В области частот, для которых е выражается через обычную про-
проводимость металла, имеем
/
(87.3)
(эта формула с \i = 1 была уже указана в § 59).
Среднее (по времени) значение потока энергии через поверх-
поверхность металла есть
S = — Re [EtH*] = ^|Ht|2n.	(87.4)
8тг	8тг
Этот поток представляет собой энергию, втекающую извне
внутрь металла и диссипирующуюся в нем. Отсюда видно, что
дол лен о быть
С' > 0.	(87.5)
Этим неравенством устанавливается знак корня (87.2).
*) В литературе используется также определение, отличающееся от (87.2)
множителем 4тг/с.

436	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
При увеличении частоты глубина проникновения S сравнива-
сравнивается по порядку величины с длиной свободного пробега / электро-
электронов проводимости1). В таком случае пространственная неодно-
неоднородность поля делает невозможным его макроскопическое описа-
описание с помощью диэлектрической проницаемости е. Но граничное
условие вида
Е* = С[Н*п]	(87.6)
справедливо и при таких частотах. При этом поле внутри метал-
металла вблизи его поверхности можно по-прежнему рассматривать
как плоскую волну, хотя она и не описывается теперь обычны-
обычными макроскопическими уравнениями Максвелла. В такой волне
поля Е и Н должны быть связаны друг с другом линейным со-
соотношением, а единственно возможный вид линейного соотно-
соотношения между аксиальным вектором Н и полярным вектором Е
есть (87.6). Коэффициент ? в этом соотношении есть единствен-
единственная величина, характеризующая свойства металла, которую надо
знать для решения внешней электромагнитной задачи. Его вы-
вычисление требует, однако, применения кинетической теории (оно
изложено в другом томе этого курса — см. X, § 86).
При дальнейшем увеличении частоты (обычно в инфракрас-
инфракрасной области) вновь становится возможным макроскопическое
описание поля и понятие е вновь приобретает смысл. Причи-
Причина этого явления заключается в том, что, поглощая большой
квант Нои, электрон проводимости приобретает большую энер-
энергию, в результате чего длина его пробега уменьшается, так что
снова выполняется неравенство I <^i 6. Импеданс ? снова стано-
становится величиной, обратно пропорциональной л/ё 2). В этой об-
области частот е(ио) имеет большую отрицательную вещественную
и малую мнимую части. Неравенство / <С 6 является услови-
условием того, что имеют макроскопический смысл обе величины е'
и е". Для того чтобы имела макроскопический смысл лишь боль-
большая величина е\ достаточно, однако, выполнения более слабо-
слабого условия v/lu <^i ?, где v — скорость электронов проводимо-
проводимости в металле (его соблюдение позволяет рассматривать движе-
г) Длина пробега существенно зависит от температуры металла. Факти-
Фактически речь идет обычно об очень низких температурах в гелиевой области,
а рассматриваемые явления возникают в диапазоне ультракоротких радио-
радиочастот.
2) Следует, однако, помнить, что пользоваться равенством (87.6) в каче-
качестве граничного условия молено лишь до тех пор, пока \е велико (т. е. ?
мало); это условие, во всяком случае, не удовлетворяется уже при оптиче-
оптических частотах. Мы предполагаем, что /л ~ 1; тогда большим |б:| соответству-
соответствуют малые ?. Укажем, что если fi ^> 1, то неравенство 8 <С А, необходимое
для применимости граничного условия (87.6), означает, что должно быть
1; при этом ? = л/ц/s может и не быть малым.

§ 87	ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС МЕТАЛЛОВ	437
ние электронов, пренебрегая пространственной неоднородностью
поляI).
Неравенство ?' > 0 справедливо для вещественной части им-
импеданса в любом случае. Если же имеет место формула (87.2), то
можно высказать некоторые суждения и о знаке мнимой части ?.
Так, если дисперсия е более существенна, чем дисперсия [i (т. е.
\i молено считать вещественной величиной), то из еп > 0 следует
('(" < 0, а поскольку всегда (' > 0, то
(" < 0.
Это — наиболее обычный случай. Если лее дисперсия ? опреде-
определяется дисперсией //, то тем лее путем найдем, что ?" > 0.
Понятие об импедансе может быть применено и к сверхпро-
сверхпроводникам. Характерной особенностью последних является суще-
существование в них малой глубины проникновения S и в статическом
случае (ио = 0). При не слишком больших частотах молено при-
принять, что распределение магнитного поля совпадает со статичес-
статическим. Для определения лее электрического поля имеем уравнение
rotE = *-H.
С
Направим ось z по внешней нормали к поверхности сверхпро-
сверхпроводника. Пренебрегая производными в тангенциальных направ-
направлениях по сравнению с большими производными по z, имеем
^ = гш-Ну
Oz	с
(и аналогично для Еу). Интегрируем это равенство по глубине z
внутрь тела:
0
Ех@>) — — / Hv dz:
—оо
Де@) — значение ЕХ при z = 0, т. е. на поверхности тела. Опреде-
Определим глубину проникновения количественно следующим образом:
о
J
J dz = Hy(G)S.	(87.7)
—оо
Тогда
Ех@) = {^Ну@N.
Сравнив с граничным условием вида (87.6), находим, что импе-
импеданс сверхпроводника (в рассматриваемой области не слишком
Более подробно эта ситуация рассмотрена в X, § 87.

438	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
больших частот1)) дается формулой
С = -г-5.	(87.8)
С
Это выражение представляет собой первый член разложения
С{ш) по степеням частоты, которое, таким образом, начинается
у сверхпроводников с члена, пропорционального ш. Следующий
член разложения пропорционален со2 и веществен; это есть пер-
первый член разложения (/2).
Импеданс С(о;), рассматриваемый как функция комплексного
переменного ш, обладает свойствами, во многом аналогичными
свойствам функции е(ио) {В.Л. Гинзбург, 1954). Граничное усло-
условие, которое для монохроматической волны имеет вид (87.6), в
общем случае надо понимать как операторное соотношение
Е* = С [Н*п],	(87.9)
выражающее значение Е^ в некоторый момент времени через
значения Ht во все предыдущие моменты времени (ср. § 77). Так
же как и в § 82, отсюда следует, что функция С(ш) не имеет осо-
особых точек в верхней полуплоскости cj, включая вещественную
ось (кроме точки ио = 0). Далее, условие вещественности Е^ при
вещественном Н^ приводит к соотношению
Наконец, поскольку диссипация энергии определяется веще-
вещественной (а не мнимой, как у s(lj)) частью функции С{°°)^ то
С(ш) положительно и не обращается в нуль ни при каком веще-
вещественном значении ш, за исключением только значения ио = 0.
Рассуждения, аналогичные проведенным в § 82, позволяют за-
затем сделать вывод, что
Re СИ >0
также и во всей верхней полуплоскости. Отсюда следует, в част-
частности, что С{°°) не имеет нулей в верхней полуплоскости.
Отсутствие у С(^) особых точек в верхней полуплоскости сно-
снова приводит к формулам Крамерса-Кронига. При этом особенно
существенна формула
7Г
—оо
2) Фактически речь идет о частотах примерно до сантиметрового диапа-
диапазона радиоволн.
2) Микроскопическая теория показывает, что пропорциональный о;2 член
в импедансе содержит также и логарифмический по ш множитель — см. X,
§ 96, 97.

§ 87	ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС МЕТАЛЛОВ	439
Воспользовавшись четностью функции C(x)i ee молено перепи-
переписать в виде
-к J х — uj	-к J x + ш
0	0
ИЛИ
оо
О) = _^/ -p?Ldx	(87.10)
7Г J X2 — UJ2
0
(единицу в числителе подынтегрального выражения можно опу-
опустить, поскольку главное значение интеграла от 1/(ж2 — с<;J все
равно есть нуль).
Все сказанное о функции ((оо) в той же степени относится и
к обратной функции 1/((ио)\ оператор (~1 выражает [Н^п] через
Е$. В частности, вместо (87.10) будем иметь
1х.	(87.11)
ж .......
о
При малых ( эта формула может быть более удобной для исполь-
использования, чем (87.10). В написанном виде, однако, она неприме-
неприменима к сверхпроводникам, у которых (-1 имеет согласно (87.8)
при си = 0 полюс. Простое видоизменение вывода (ср. переход от
(82.7) к (82.9)) приводит при этом к формуле
оо
[/-—\(. л] г г 	 2cj L [С \х)\ j^ _|_ с	/О7 io>
[С, \Ш)\ — ~~—А 	UX-\- —.	[ot.iZ)
-К J X2 — UJ2	LOO
0
В заключение этого параграфа в качестве примера использо-
использования понятия импеданса рассмотрим отражение плоской элек-
электромагнитной волны, падающей из пустоты на плоскую поверх-
поверхность металла с поверхностным импедансом ?. Если вектор Е
поляризован перпендикулярно к плоскости падения, то гранич-
граничное условие (87.6) дает
Eq + Ei = ((Но — Hi) cos #o — ((Ео — Ei) cos #o
(обозначения те же, что и в § 86). Отсюда имеем, учитывая ма-
малость с,
и коэффициент отражения
R± = I -4C'cos<90.	(87.13)

440
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Если же Ео лежит в плоскости падения, то граничное условие
пишем в виде ?Н^ = [пЕ^], т. е.
o = (Но -
С(Н0 + Н{) = (Ео -
откуда коэффициент отражения
cos 0о - С
COS 00 + С
При углах падения, не слишком близких к тг/2,
Если же угол щ —
R\\ ~]
-0O«
R\\ ~
1,
Vc
V(
COS во
TO
)-C
) + C
2
(87.14)
(87.15)
(87.16)
Это выражение имеет при (fo = \(\ минимум, равный
За исключением особого случая (87.16), коэффициент отра-
отражения от поверхности с малым ? близок к единице. Поверхность
? —>• 0 (или, как говорят, идеально проводящая поверхность) яв-
является в то лее время идеально отражающей. Граничное условие
на такой поверхности: Е^ = 0 аналогично условию для электро-
электростатического поля на поверхности проводника. Но в отличие от
случая постоянного поля, в переменном поле это условие автома-
автоматически влечет за собой выполнение также и определенного усло-
условия для магнитного поля. Именно, в силу уравнения (гои/с)Н =
= rot E из равенства Е^ = 0 на поверхности следует равенство
Нп = 0. Таким образом, на идеально проводящей поверхности
в переменном электромагнитном поле обращается в нуль нор-
нормальная составляющая магнитного поля. В этом смысле такая
поверхность аналогична поверхности сверхпроводника в посто-
постоянном магнитном поле.
Задача
Определить интенсивность теплового излучения (заданной частоты) от
плоской поверхности с малым импедансом.
Решение. Согласно закону Кирхгофа, интенсивность dl теплового
излучения (в элемент телесного угла do) от произвольной поверхности свя-
связана с интенсивностью излучения от поверхности абсолютно черного тела
dlo соотношением dl = A — R)dlo, где R — коэффициент отражения от
данной поверхности для естественного света. Вычисляя R = A/2)(R± + R\\)
с помощью формул (87.13) и (87.14) и учитывая изотропию излучения с

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ	441
поверхности абсолютно черного тела (dlo = /о с?о/2тг), получим
тг/2
I = 2/оС; / 11 +	\ cos б sin в dO.
J { cos2 в + 2С cos 6> + С2 + С J
о
Произведя интегрирование и опустив члены высшего порядка по ?, находим
С2 + С С" С
В частности, для металла с импедансом, определяемым формулой (87.3),
имеем (fi = 1)
/ / ш ('. 4тгсг	тг \
/о V 8тг<т V w	2 /
§ 88. Распространение волн в неоднородной среде
Рассмотрим распространение электромагнитных волн в элек-
электрически неоднородной (но изотропной) среде. В уравнениях
Максвелла
rot Е = ^Н, rot H = -ге-Е
с	с
(полагаем везде \i = 1) е есть функция координат точки. Подста-
Подставив Н из первого уравнения во второе, получим для Е уравнение
АЕ + — Е - grad div E = 0.	(88.1)
с
,2
Исключение же Е дает для Н уравнение
АН + —Н + -[Ve • rot H] = 0.	(88.2)
Эти уравнения существенно упрощаются в одномерном слу-
случае, когда е меняется лишь в одном направлении в пространстве.
Выберем это направление в качестве оси z и рассмотрим волну,
направление распространения которой лежит в плоскости xz. В
такой волне все величины не зависят вовсе от координаты у, а
ввиду однородности пространства вдоль оси х можно рассмат-
рассматривать зависимость от ж, даваемую множителем elytx с постоян-
постоянным к. При х = 0 поле зависит только от z, т. е. речь идет о
нормальном прохождении волны через слой вещества с е = s(z).
Если же х^О, то говорят о наклонном прохождении волны.
При этом надо различать (при к ф 0) два независимых слу-
случая поляризации. В одном из них вектор Е перпендикулярен к
плоскости распространения волны (т. е. направлен вдоль оси у),
а магнитное поле Н соответственно лежит в этой плоскости.

442
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Уравнение (88.1) принимает вид
0+D-х») В-а	(88.3)
В другом случае вдоль оси у направлено поле Н, а Е лежит в
плоскости распространения. В этом случае удобнее исходить из
уравнения (88.2), которое дает
4-^)я-0.	(88.4)
с2 е /
Будем условно называть эти два типа волн соответственно Е- и
Н- волнами.
Уравнения могут быть решены в общем виде в важном слу-
случае, когда условия распространения близки к условиям геомет-
геометрической оптики; функцию s(z) предполагаем ниже веществен-
вещественной 1). В уравнении (88.3) величина 2тг/\/7, где
/<*)=4 - *2>
играет роль длины волны в направлении оси z. Приближению
геометрической оптики соответствует неравенство
у^н « 1,	(88-5)
а два независимых решения уравнения (88.3) имеют вид
(88.6)
Условие (88.5) заведомо нарушается вблизи точки отраже-
отражения (если таковая имеется), в которой / = 0. Пусть это есть
точка z = 0, причем / > 0 при z < 0 и / < 0 при z > 0. На
достаточно больших расстояниях по обе стороны от точки z = 0
решение уравнения (88.3) имеет вид (88.6), но для того чтобы
установить соответствие между коэффициентами в этом реше-
решении в областях z > 0 и z < 0, надо исследовать точное решение
уравнения (88.3) вблизи z = 0. В окрестности этой точки функ-
функцию f(z) молено разложить по степеням z и представить в виде
/ = — olz. Решение уравнения
2) Уравнение (88.3) имеет формальное сходство с уравнением Шредингера
для одномерного движения частицы в квантовой механике, а приближению
геометрической оптики соответствует квазиклассический случай. Ниже мы
приводим окончательные результаты, отсылая за выводом их к другому то-
тому этого курса — см. III, гл. VII.

§ 88	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ	443
конечное при всех ?, есть
Л/ — 	Ч?[(Х ZJ)	(OO.I )
/-yl /6
где
Ф(?) = — / cos ( — + и?) du
уД J	V3	V
о
— функция Эйри (множитель ехр (—iuoi + гкх) в Е везде опуска-
опускаемI). Асимптотический лее вид решения уравнения (88.3) при
больших Ы есть
(88.8)
y/J dz + — J при z < О,
= ^n7iexp(-/\/i7Idz) ПРИ z>0'
с тем лее коэффициентом Л, что и в (88.7). Первое из этих выра-
выражений представляет собой стоячую волну, получающуюся в ре-
результате наложения падающей (в положительном направлении
оси z) волны и волны, отраженной от плоскости z = 0. Ампли-
Амплитуды этих волн одинаковы (и равны Л/2/1/4), т. е. коэффициент
отражения равен единице. В область z > 0 проникает лишь экс-
экспоненциально затухающее поле.
При приближении к точке отражения амплитуда волны воз-
возрастает, как это видно уже из наличия /-1/4 в знаменателе в
(88.8). Для определения величины поля в непосредственной бли-
близости этой точки надо, однако, воспользоваться выражением
(88.7). Эта функция монотонно убывает в глубь области z > 0 и
имеет осциллирующий характер в области z < 0, причем вели-
величина максимумов \Е\ постепенно убывает. Первый, наибольший
из максимумов, достигается при al^z = —1,02 и равен
Е = 0,949-
До сих пор мы писали решения для S-волн. Легко видеть,
что в приближении геометрической оптики вполне аналогичные
формулы могут быть написаны и для Н-волв. Если сделать в
2) Мы пользуемся здесь тем же определением функции Эйри, что и в
других томах этого курса. В настоящее время, однако, более употребительно
определение

444
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
уравнении (88.4) подстановку Н = Uy/E, то производные от е вой-
войдут умноженными только на и (но не на г/); пренебрегая затем
членами, содержащими эти производные (малыми в силу усло-
условия (88.5)), получим для функции u(z) уравнение
dz2
совпадающее с уравнением (88.3). Поэтому все формулы для Н
отличаются от формул (88.6)—(88.8) лишь множителем у/е.
Своеобразное отличие в поведении обоих типов волн возника-
возникает при отражении наклонно (к ф 0) падающей волны от слоя ве-
вещества, в котором e(z) проходит через нуль. Отражение происхо-
происходит при этом от плоскости, на которой f(z) = еио2/с2 — х2 = 0, т. е.
«не доходя» до точки е = 0. Е-волва проникает за эту плоскость
лишь в виде экспоненциально затухающего поля. При отражении
же ^-волны на общем фоне такого затухающего поля вблизи точ-
точки е = 0 возникает резкое усиление поля (К. Forsterling, 1949) 1).
Рассмотрим это явление.
Пусть s = 0 в точке z = 0. Вблизи этой точки пишем
е = -az, a > 0,	(88.9)
и уравнение (88.4) принимает вид
л + х2) Н = 0.	(88.10)
dz2 z dz \ с2	/
Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений,
одно из решений этого уравнения (назовем его Hi) не имеет осо-
особенности при z = 0, а его разложение при малых z начинается
cz2:
Второе независимое решение обладает логарифмической особен-
особенностью и его разложение имеет вид
i/2 (z) = Hi (z) In hz + — + ...
(параметр а появляется лишь в более высоких членах разложе-
разложения). Для определения поля вблизи точки z = 0 нет необходимо-
необходимости анализировать вопрос о выборе линейной комбинации из Hi
и i^2, удовлетворяющей условиям на бесконечности. Достаточно
) Отметим, что эта точка является особой для уравнения (88.4), и потому
вблизи нее приближение геометрической оптики становится неприменимым,
несмотря на то, что f(z) не обращается в нуль и условие (88.5) может не
нарушаться.

§ 88	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ	445
заметить, что она стремится при z^Ok постоянной (обозначим
ее Но) и имеет логарифмическую особенность:
Я « Но (l + —z2 In hz\ ;
наряду с постоянной здесь выписан также главный член с осо-
особенностью. Электрическое поле определяется по полю Ну = Н
уравнениями Максвелла
j-,	ic дН „ ic дН
SUJ OZ	SUJ ОХ
Вспомнив, что зависимость Н от х дается множителем ег>€Х, на-
находим главные члены в Ех и Ez:
Ех « Но— \iiHz, Ez « Hq — -.	(88.11)
Они обращаются при гчОв бесконечность.
В действительности, разумеется, благодаря непременному
наличию в среде хотя бы малого поглощения поле достигает
лишь относительно (по сравнению с окружающим слабым фоном)
больших, но конечных значений. Интересно, однако, что уже
сколь угодно малая мнимая часть в е приводит к конечной дис-
диссипации энергии. Положим е = —az+i8, ? —)> +0. Тогда аналити-
аналитическое продолжение логарифма в (88.11) с правой полуоси z на
левую должно производиться в комплексной плоскости z снизу,
и при z < 0 будет
t,x = Но	(ш kz — гтг).
аи
Средний (по времени) поток энергии вдоль оси z,
(см. E9.9а)), равен нулю при z > 0, а при z < 0 появление в Ех
вещественной части приводит к отличному от нуля потоку энер-
энергии по направлению к плоскости z = 0, где эта энергия диссипи-
руется1):	_	2 2
Sz = ^-Hl	(88.12)
(В.Б. Гильденбург, 1963).
2) Этот результат можно получить и исходя из выражения (80.4) для энер-
энергии, дисси пируем ой в единице объема:
8тг	8ttcj s^o a2z2 + S2	8
интегрирование по z приводит к (88.12).

446	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
Задача
По границе раздела между двумя средами соответственно с положи-
положительной и отрицательной диэлектрическими проницаемостями (вг и — |ез |)
может распространяться поверхностная 77-волна, затухающая в глубь обеих
сред. Определить связь между ее частотой и волновым вектором.
Р е ш е н и е. Выберем границы раздела в качестве плоскости ху,
причем волна распространяется вдоль оси ж, а поле Н параллельно оси у.
Пусть полупространство z > 0 заполнено средой с положительной (ei), a
полупространство z < 0 — средой с отрицательной (?2) проницаемостью.
Ищем поле в затухающей при z —>¦ ±00 волне в виде
2
#! = H0eikx~^z, xj = Jk2 - —ei при z > 0,
/
H2=Hoeikx+*2Z, x2 = Wp + ^|e2| при z < О,
причем fc, xi, Х2 вещественны. Граничное условие непрерывности Ну = Н
уже удовлетворено, а условие непрерывности Ех дает
1 дНг 1 8Н2
	— =	^— при г = 0,
?l OZ	62 OZ
или ус\ IS\ = хг/|е21- Это равенство может быть выполнено лишь при условии
(и подразумевающемся S\S2 < 0). При этом связь между к и ш дается урав-
уравнением
2
Распространение лее поверхностных ?^-волн, как легко убедиться, вооб-
вообще невозможно.
§ 89. Принцип взаимности
Излучение монохроматических электромагнитных волн от
источника, представляющего собой тонкий провод, расположен-
расположенный в произвольной среде, описывается уравнениями
rot E = г-В, rot H = -г-D + —jCT,	(89.1)
с	ее
ГДе Лет — плотность протекающих по проводу «сторонних» (по
отношению к среде) периодических токов.
Пусть в среде расположены два различных источника (оди-
(одинаковой частоты); будем отмечать индексами 1 и 2 поля, созда-
создаваемые каждым из этих источников в отдельности. Среда мо-
может быть произвольным образом неоднородна и анизотропна.
Единственное, что предполагается ниже о ее свойствах, это —

§ 89	принцип взаимности	447
линейные соотношения Di = е^Е]^ В{ = \1{кНк с симметричны-
симметричными тензорами е^ и \i{k. В этих условиях оказывается возможным
получить определенное соотношение, связывающее между собой
поля обоих источников и сторонние токи в них.
Умножим оба уравнения
rot Ei = ifcBi, rot Hi = -ifcDi + —j^
с
соответственно на Н2 и Е2, а такие же уравнения для поля Е2,
Н2 — на —Hi и —Ei Сложив почленно все эти уравнения, полу-
получим
(Н2 rot Ei - Ei rot H2) + (E2 rot Hi - Hi rot E2) =
^(BHHB)+^(EDDE) + ^(j^E
Ho BiH2 = iiikHikH2i = HiB2, EiD2 = DiE2, так что два пер-
первых члена в правой части равенства обращаются в нуль. Левая
же часть преобразуется по известной формуле векторного ана-
анализа, и мы находим
div{[E1H2] - [EaHj]} = ^(j^E2 - j^Ej).
Проинтегрируем это равенство по всему пространству; интеграл
в левой части равенства преобразуется в интеграл по бесконечно
удаленной поверхности и исчезает. Поэтому получим
(89.2)
Интегралы в левой и правой частях берутся соответственно
лишь по объемам первого и второго источников, так как только
.A) .B) о
в них отличны от нуля токи Jct и Jct . ^виду тонкости проводов
влиянием каждого из них на поле другого провода молено прене-
пренебречь, и, таким образом, Ei и Е2 в формуле (89.2) представляют
собой поля излучений первого и второго источников, создавае-
создаваемые кале дым из них в месте нахождения другого источника, как
если бы последнего не было. Формула (89.2) и является искомым
соотношением, известным под названием теоремы взаимности.
Если размеры источников малы по сравнению с длиной вол-
волны, а также по сравнению с их взаимным расстоянием, то вы-
выражение теоремы взаимности можно упростить. Поле каждого
источника слабо меняется на протяжении размеров другого ис-
источника, и в (89.2) можно вынести Ei и Е2 из-под знаков инте-
интеграла, написав их просто как EiB) и Е2A), где 1 и 2 обозначают
точки нахождения обоих источников:

448	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
Интеграл /JCt<^ есть не что иное, как производная по времени
от полного дипольного момента источника &. Поскольку & =
= —iuo&, то окончательно имеем
Е2A)^1=Е1B)^2.	(89.3)
Такая форма теоремы взаимности применима, разумеется, лишь
к дипольному излучению. Если же дипольный момент источника
равен нулю (или аномально мал), то приближение, сделанное
при переходе от общей формулы (89.2) к (89.3), недостаточно
(см. задачу 1 к этому параграфу).
Задачи
1. Вывести теорему взаимности для квадрупольных и магнитно-
дипольных излучателей.
Решение. Если J jCT dV = 0, то в интегралах (89.2) надо взять
следующие члены разложения:
JlE2 т я ^7 /Хк3ит = 4 {-Ъ^ + ^7J
4 {-Ъ^ + ^7J
(индекс «ст» у j для краткости опускаем). Вводим тензор квадрупольного
момента и вектор магнитного момента согласно
= J {S(xijk + Xkji) - 28ikri} dV,
Воспользовавшись уравнением rotE = iou'B/c и считая, что вблизи источни-
источников е = const (в силу чего div E = 0), получим
Отсюда видно, что для квадрупольных излучателей теорема взаимности
гласит:
(dE2i(\) 8E2k(\)\ A) (дЕиB) 8Е1кB)\ B)
I —	1	 I Dik = I —	1	 1 Dik ,
V дхк	dXi J	\ дхк	dXi J
а для магнитно-дипольных
2. Определить зависимость интенсивности излучения дипольного источ-
источника, погруженного в однородную изотропную среду, от проницаемостей е
и II среды.
Решение. В результате подстановки
Hj — \ —Hj , ±1 — ±1 , LU — ——

§ 90	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРАХ	449
уравнения (89.1) принимают вид
rotE' = ^H', rotH' = -^E' + -jcTI
С	С	С
не содержащий е и fi. Решение этих уравнений для дипольного излучения
приводит к векторному потенциалу поля в волновой зоне (см. II, § 67):
А; = J- f^dV-
cR0 J
Ro — расстояние от источника; здесь и ниже мы опускаем несущественные
для вычисления интенсивности фазовые множители. Отсюда видно, что при
заданном jCT можно написать А' = Ао, где индекс 0 отличает поле источника
в пустоте. Для величин Н;, Е; имеем
Н' = г[к'А'] = {у/ёЦ\кА0] = ^/^но, Е; = Н'.
Отсюда
и для интенсивности:
чем и решается поставленная задача.
§ 90. Электромагнитные колебания в полых резонаторах
Рассмотрим электрическое поле в пустом пространстве, огра-
ограниченном идеально проводящими стенками. Уравнения монохро-
монохроматического поля в пустоте гласят:
rot E = г-Н, rot H = -г-Е.	(90.1)
с	с
Граничные же условия на поверхности идеально проводящего
тела (тела с импедансом ? = 0):
Е* = 0, Нп = 0.	(90.2)
Для решения задачи достаточно рассматривать одну из величин
Е или Н. Исключив, например, Н из уравнений (90.1), получим
для Е волновое уравнение
АЕ+— Е = 0,	(90.3)
с2
к которому надо также присоединить уравнение
divE = 0,	(90.4)
не вытекающее автоматически из (90.3). Решая эти уравнения
с граничным условием Е^ = 0, определим поле Е, после чего
вычисляем Н непосредственно по первому из уравнений (90.1),
причем граничное условие Нп = 0 выполняется автоматически.
15 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

450	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
При заданных размерах и форме полости уравнения (90.3)
и (90.4) имеют решения лишь при вполне определенном наборе
значений ио. Эти значения называют собственными частота-
частотами электромагнитных колебаний данного резонатора. При ? = 0
электромагнитное поле не проникает в глубь металла и потери в
нем отсутствуют. Поэтому все собственные колебания не затуха-
затухают, т. е. все собственные частоты вещественны. Число различных
собственных частот резонатора бесконечно. Порядок величины
наименьшей из них есть ш\ ~ с//, где / — линейные размеры по-
полости. Это очевидно уже непосредственно из соображений раз-
размерности, поскольку / есть единственный размерный параметр,
характеризующий условия задачи (при заданной форме резона-
резонатора). Большие же собственные частоты {ш ^> с/1) расположены
очень близко друг к другу, причем их число, приходящееся на
единичный интервал значений c<j, равно Усс;2/Bтг2с3); оно зависит
только от объема резонатора V, но не от его формы (см. II, § 52).
Средние (по времени) значения электрической и магнитной
энергии поля в резонаторе даются соответственно интегралами
1	[ Е2 ,т/ 1 [Н2 ,т/
- / J—l- dV и - / J	dV.
2	J 8тг	2 J 8тг
Покажем, что эти две величины равны друг другу. С помощью
первого из уравнений (90.1) пишем
Г НН* dV = — Г rot Erot E* dV.
Второй интеграл преобразуем по частям:
J rot E rot E* dV = j rot E* [df E] + J E rot rot E* dV.
Поскольку на границе объема Е^ = 0, то интеграл по поверхности
обращается в нуль и остается
[\H\2dV = — fErotrotE*dF = -— Г
или, ввиду (90.3),
f\H\2dV= J \E\2dV,	(90.5)
что и требовалось доказать -1).
2) Мы понимаем везде под Е и Н напряженности поля, соответствующего
одной определенной собственной частоте. Не представляет также труда по-
показать, что поля, соответствующие двум различным собственным частотам
иоа и CJ&, удовлетворяют соотношениям ортогональности:
J ЕаЕь dV = J НаНь dV = 0.

§ 90	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРАХ	451
Незатухающие колебания в резонаторе получаются в предпо-
предположении равного нулю импеданса его стенок. Выясним теперь,
какое влияние на собственные частоты оказывает наличие у сте-
стенок малого, но все лее конечного импеданса.
Среднюю (по времени) энергию, диссипируемую в 1 с в стен-
стенках резонатора, молено вычислить как поток энергии, втекаю-
втекающей в стенки из электромагнитного поля в полости. Учитывая
граничное условие (87.6) на поверхности тела с импедансом ?,
напишем нормальную составляющую плотности потока энергии:
(?' — вещественная часть ?). В этом выражении, которое уже
содержит малый множитель ?', в первом приближении молено
понимать под Н поле, получающееся при решении задачи с ? = 0.
Полная диссипируемая энергия дается интегралом
'|H|2d/,	(90.6)
взятым по внутренней поверхности резонатора. Декремент за-
затухания амплитуды поля со временем получится делением этой
величины на удвоенную полную энергию поля, равную
ком-
ком2
Декремент затухания совпадает с мнимой частью
плексной частоты ио = ио1 + гшп 1). Написав формулу в комплекс-
комплексном виде
2
(со и loq — значения частоты с учетом и без учета ?), мы мо-
можем с ее помощью определить не только декремент затухания,
но и сдвиг самих собственных частот. Последний, как мы видим,
определяется мнимой частью ?. В § 87 было указано, что обычно
?" < 0; при этом сдвиг собственных частот происходит в сторону
их уменьшения.
Для фактического вычисления может оказаться удобнее пре-
преобразовать стоящий в знаменателе (90.7) объемный интеграл в
интеграл по поверхности.
Ввиду тан ген ци ал ьн ости вектора Н к поверхности пишем
тождественно
f (HH*)(rdf) = f (HH*)(rdf)-^ (Hr)(H*df)-^ (H*r)(Hdf).
) В радиотехнике обычно вводят вместо декремента затухания ш'
так называемую добротность резонатора, определяемую как отношение
u'/2\u"\.
15*

452	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
Стоящие справа интегралы преобразуем в объемные заменой
df —>• dV • V; используя при этом уравнения (90.1), получим
f (HH*)(rdf) = ik J r([HE*] - [H*E]) dV + J HH* dV.
Аналогичным образом, учитывая тождество [r[Edf]] = E(rdf) —
— (rE) di = 0 (являющееся следствием граничного условия
Е$ = 0), получим
§ (EE*)(rdf) = -§ (EE*)(rdf) + § (Er)(E*df) +
+ f (E*r)(Edf) = ik J r([HE*] - [H*E]) dV - J ЕЕ* dV.
Вычитая почленно друг из друга оба полученных равенства и
учитывая (90.5), получим формулу
|H|2-|E|2)(rdf).	(90.8)
Все формулы для резонатора, полость которого заполнена
непоглощающей диэлектрической средой с отличными от 1 зна-
значениями е и //, получаются из формул для пустого резонатора
путем замены в них:
и, Е, H^cj^/ёД, у^Е, y/jlH.	(90.9)
Это ясно из того, что при таком преобразовании уравнения (90.1)
переходят в правильные уравнения Максвелла в среде
rot E = i-цН, rot H = -г-еЕ.
с	с
В частности, наличие среды уменьшает все собственные частоты
в луё]2 раз.
Задачи
1. Определить частоты собственных колебаний в резонаторе с идеально
проводящими стенками, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда.
Решение. Оси ж, у, z выбираем по трем ребрам параллелепипеда,
имеющим длины аи, а2, аз. Решения уравнений (90.3) и (90.4), удовлетво-
удовлетворяющие граничному условию Е* = 0:
Ех = А\ cos kxx sin kyy sin kzz • e~lU}t	A)
и аналогично для Еу, Ez, где
_ ттг	_ ггзтг	_
O-l	O-2	О-З
(ni, П2, пз — целые положительные числа); постоянные Ai, Л2, A3 связаны
соотношением
Аг кх + А2ку + A3kz = 0,	C)
а собственные частоты
oj2=c2(k2x+k2y+k2z).

90	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРАХ	453
Магнитное поле вычисляется из A):
Нх = — г — (Азку — A2kz) sin kxx cos kyу cos kzz • e~lU}t
UJ
и аналогично для Ну, Hz.
Если все три или два из чисел п\, тт-2, тт-з равны нулю, то Е = 0. Поэтому
первой (наименьшей) частоте соответствует колебание, в котором одно из
этих чисел равно нулю, а два — единице.
Ввиду наличия связи C) решение A) (с заданными отличными от ну-
нуля 77-1, 77-2, 77-3) содержит всего две независимые произвольные постоянные,
т. е. каждая собственная частота двукратно вырождена. Частоты же, для
которых одно из чисел tt-i, 77-2, тт-з равно нулю, не вырождены.
2.	Определить частоты дипольно-злектрических и дипольно-магнитных
колебаний в сферическом резонаторе (радиуса а).
Решение. В стоячей сферической волне дипольно-злектрического
типа поля Е и Н имеют вид
тл	-7 -iojt , ( sinfcr \
Н = —гке rot 	b ,
V г )
где b — постоянный вектор, а к = uj/c (см. II, § 72). Граничное условие
[пЕ] = 0 при г = а приводит к уравнению
ctgka =	ка.
ка
Его наименьший корень есть ка = 2,74. Частота uj = 2,74c/a есть наимень-
наименьшая из всех собственных частот сферического резонатора.
В стоячей сферической волне дипольно-магнитного типа
¦г. -7 -iojt , ( smfcr_\ T1 _iut	f sin kr. \
Е = гке rot 	b , Н = е rot rot 	b .
\ r J	V r )
Граничное условие для Е приводит к уравнению
tgka = ка.
Его первый корень: ка = 4,49.
3.	В резонатор внесен маленький шарик с электрической и магнитной
поляризуемостями ае и ат. Определить вызванный этим сдвиг собственной
частоты резонатора.
Решение. Пусть Е, Н — напряженности поля в резонаторе без ша-
шарика, a Ei, Hi — в его присутствии. Поля Е и Н удовлетворяют уравнениям
(90.1), a Ei и Hi — уравнениям
с	се
где ji — плотность тока в шарике. Умножим первое уравнение A) на Н*,
второе на — Е*, произведем комплексное сопряжение над уравнениями (90.1)
и умножим первое из них на Hi, а второе на —Ei. Сложив затем все четыре
уравнения, получим
div{[E1H*] + [E*H1]}=i — (НпН*+ЕпЕ*)-— ЬЕ*,
С	С
где дои = uJi — uj — искомый сдвиг частоты. Проинтегрируем это равен-
равенство по объему резонатора. Левая часть преобразуется по теореме Гаусса и

454	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
исчезает, так как на стенке Е* = 0, Ей = 0. Ввиду малых размеров шарика
основной вклад в интеграл от первого члена справа возникает на больших
расстояниях от него; с другой стороны, на этих расстояниях производимое
шариком возмущение поля мало, так что молено положить Ei ~ E, Hi ~ Н.
Интеграл лее от второго члена преобразуется подобно тому, как это делалось
в § 89 (и в задаче 1 к нему), и дает
|2)
/ jiE* dV = -ш(&К + ЛН*0) = -гшУо(ае|Ео|2 +am|H0
где Ео = Е(го), Но = Н(го); го — координаты шарика, Vo — его объем; под-
подразумевается, что размеры шарика настолько малы, что изменением полей
Е, Н на них можно пренебречь.
Таким образом, с учетом (90.5), находим для искомого сдвига частоты:
8uj аеЕо|2 + атНо|2Т7
	 VQ.
00	J_
2тг
Если поляризуемости комплексны, эта формула дает как сдвиг частоты соб-
собственных колебаний, так и их затухание.
4. Резонатор заполнен прозрачным диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью е. Определить изменение собственной частоты при малом
изменении де(г) диэлектрической проницаемости.
Решение. Невозмущенное поле Ео, Но в резонаторе удовлетворяет
уравнениям
rotEo = —Но, rot Но =	Ео,
с	с
а возмущенное поле Е, Н — уравнениям
, _ i(oj + Soj) T,	i.
rot E = —	 Н, rot H = — (
с	с
(членом с доиде пренебрегаем). Поступив с этими четырьмя уравнениями,
как в предыдущей задаче, получим
div {[EHJ] + [EJH]} = -(ооде + едои)ЕЕ*о + -дооНЩ «
с	с
с
и затем:
При переходе к последней формуле учтено, что для заполненного диэлек-
диэлектриком резонатора соотношение (90.5) приобретает вид
/
U0\2dV
как это ясно из (90.9).
При наличии дисперсии диэлектрическая проницаемость меняется не
только за счет изменения параметров, но и за счет изменения частоты, так
что
бе = 8еСт -\	Slj,
duj
где 8еСт — изменение диэлектрической проницаемости при заданной частоте

91	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ	455
(ср. (81.9)). Подставляя в A) и решая относительно Soj, получаем оконча-
B)
тельно:
дои _ f\E0\2SeCTdV
J|Eo|w
duj
§ 91. Распространение электромагнитных волн
в волноводах
В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе резо-
резонаторов, имеющих конечный объем, волновод представляет со-
собой полость неограниченной длины — бесконечно длинную полую
трубу1). В то время как собственные колебания в резонаторе
представляют собой стоячие волны, в волноводе волна являет-
является стоячей лишь в поперечных направлениях, а в направлении
вдоль длины трубы возможно распространение бегущих волн.
Рассмотрим прямолинейный волновод с произвольной (од-
носвязной) формой поперечного сечения, неизменной вдоль его
длины. Будем считать сначала, что стенки волновода являются
идеально проводящими. Направление длины волновода выберем
в качестве оси z. В волне, бегущей вдоль оси ?, зависимость всех
величин от z дается множителем вида exp (ikzz) с постоянным kz.
Все возможные в таком волноводе электромагнитные волны
можно разбить на два типа: в одном из них Hz = 0, а в другом
Ez = 0 (Rayleigh, 1897). Волны первого типа, с чисто поперечным
магнитным полем, называют волнами электрического типа или
Е-волнами. Волны же с чисто поперечным электрическим полем
называют волнами магнитного типа или Н-волнами2).
Рассмотрим сначала .Е-волны; х- и у-компоненты уравнений
(90.1) дают
dEz ., ,
~ ln>zl
ду
% -
iuj тт
с
dEz
дх
i 1с Т?,
ifbZ±JZ
iuj
с
ikzHy = —Ех, ikzHx = -—Еу.
с	с
Отсюда
kdE
_ ik^dE^	w _ ikz 8EZ
Х ~ ^2 Вт '	у ~ х? 8и '
к ох	к оу , v
_ _ш_8Е±	н _ uj_3E^ У ' }
сн1 ду '	сх2 дх
г) Ниже мы пишем все формулы для пустого волновода. Переход к фор-
формулам для волновода, заполненного непоглощающим диэлектриком, осуще-
осуществляется преобразованием (90.9).
2) Е- и 77-волны называют также соответственно ТЫ- и ТЕ- (поперечно-
магнитными и поперечно-электрическими) волнами.

456	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
где введено обозначение
у? - ^ к2
Таким образом, в Е-волве все поперечные компоненты Е и Н
могут быть выражены через продольную компоненту электриче-
электрического поля. Последняя же дол лена быть определена путем реше-
решения волнового уравнения, сводящегося к двумерному уравнению
A2Ez + x2Ez = 0	(91.2)
(А2 — двумерный оператор Лапласа). Граничные условия к это-
этому уравнению заключаются в обращении в нуль касательных
составляющих Е на стенке волновода. Для этого достаточно по-
потребовать
Ez = 0 на контуре сечения.	(91.3)
Согласно формулам (91.1) двумерный вектор с составляющими
Ех, Еу пропорционален двумерному градиенту величины Ez. По-
Поэтому при выполнении условия (91.3) автоматически обратится
в нуль также и тангенциальная составляющая Е в плоскости ху.
Аналогичным образом, в Н-волне поперечные составляющие
Е и Н могут быть выражены через продольную компоненту маг-
магнитного поля согласно формулам
tj ikz dHz jj ikz dHz
H	H
dHz w iu> dHz
ti
сх2 ду	etc2 дх
Продольное же поле Hz дается решениями уравнения
A2Hz + x2Hz = 0	(91.5)
с граничным условием
—- =0 на контуре сечения.	(91.6)
дп
Это условие обеспечивает согласно формулам (91.4) обращение
в нуль нормальной компоненты Н.
Таким образом, задача об определении электромагнитного
поля в волноводе сводится к нахождению решений двумерного
волнового уравнения вида A2f + к2f = 0 с граничным услови-
условием / = 0 или df/дп = 0 на контуре сечения. Для заданного
контура такие решения имеются лишь при вполне определенных
собственных значениях параметра х2.

§ 91	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ	457
Каждому собственному значению х2 соответствует своя за-
зависимость
ш2 = с2(к2 + х2)	(91.7)
между частотой ио и волновым вектором kz. Скорость распро-
распространения волны вдоль длины волновода дается производной
д^= ckz = с^,	(918)
dkz	V '
При заданном к она пробегает значения от 0 до с, когда kz ме-
меняется от 0 до ос.
Средняя (по времени) плотность потока энергии вдоль дли-
длины волновода дается ^-компонентой вектора Пойнтинга. Простое
вычисление с помощью формул (91.1) дает для S-волны
Полный поток энергии q получается путем интегрирования Sz
по площади сечения волновода. Имеем
\V2Ez\2df = <j>E*z^dl- fE*zA2Ezdf.
Первый интеграл берется по контуру сечения и обращается в
нуль в силу граничного условия Ez = 0. Во втором же интеграле
заменяем A2EZ на —h2Ez и окончательно получаем
bEz\2df.	(91.9)
Для ^-волны получается такое же выражение с Hz вместо Ez.
Аналогичным образом можно вычислить плотность электро-
электромагнитной энергии W (отнесенную к единице длины волновода).
Проще, однако, получить W непосредственно из д, поскольку
должно быть q = Wuz. Так из (91.8) и (91.9) получим
Из (91.7) следует, что для каждого типа волн (соответствую-
(соответствующих определенному значению к1) существует минимальное воз-
возможное значение частоты, равное ск. При меньших частотах рас-
распространение данного типа волн становится невозможным. Но
среди всех собственных значений к есть наименьшее, xmin, тоже
отличное от нуля (см. ниже). Поэтому мы приходим к выводу,
что существует нижняя граница частот, cjmin = cxmin, за кото-
которой вообще невозможно распространение вдоль волновода каких
бы то ни было волн. По порядку величины cjmin ~ с/'а, где а —
поперечные размеры трубы.

458	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
Это утверждение, однако, справедливо лишь для волноводов
с односвязной формой сечения, которые мы до сих пор и име-
имели в виду. Положение совершенно меняется при многосвязной
форме сечения 1). В таких волноводах, наряду с описанными вы-
выше Е- и /^-волнами, оказывается возможным распространение
еще одного типа волн, частота которых не ограничена никакими
условиями.
Этот тип волн — так называемая главная волна — характе-
характеризуется тем, что kz = ±к (т. е. н = 0); скорость ее распро-
распространения совпадает со скоростью света с. Выясним основные
свойства этой волны; одновременно мы увидим, почему этот тип
волн невозможен при односвязной форме сечения волновода.
Все компоненты поля в главной волне удовлетворяют дву-
двумерному уравнению Лапласа А2/ = 0. При граничном условии
f = 0 единственное решение этого уравнения, регулярное во всей
области (одно- или многосвязной), есть / = 0. Поэтому в главной
волне Ez = 0.
При граничном же условии df/dn = 0 регулярное решение
/ = const. Легко, однако, видеть, что для f = Hz эта const может
быть только нулем (напомним, что const означает величину, не
зависящую от ж, у). Действительно, проинтегрировав уравнение
divH	+
дх ду
по площади сечения, получаем
§ Hndl + l^f Hzdf = 0;
ввиду равенства Нп = 0 на контуре сечения и постоянства Hz по
его площади отсюда следует, что Hz = 0.
Таким образом, главная волна чисто поперечна. При Ez =
= Hz = 0 х- и у-компоненты уравнений (90.1) дают
Hx = -Ez, Hy = Ex,	(91.11)
т. е. поля Е и Н взаимно перпендикулярны и равны друг другу
по величине. Для определения этих полей имеем уравнения
divE = ^ + ^ = 0, (rotE)z = ^ - ^ = 0
дх ду	v } дх ду
с граничным условием Е^ = 0.
Мы видим, что зависимость Е (а с ним и Н) от ж, у дает-
дается решением двумерной электростатической задачи: Е = — V2<?,
где потенциал <р удовлетворяет уравнению А2^ = 0 с граничным
2) Речь может идти как о пространстве между двумя вставленными одна
в другую трубами, так и о пространстве вне двух параллельных проводов.

§ 91	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ	459
условием (р = const. В односвязной области это граничное усло-
условие приводит к (р = const (а потому Е = 0) как единственному
решению, регулярному во всей области. Тем самым доказывает-
доказывается невозможность распространения этого типа волн по волново-
волноводам с односвязным сечением. В многосвязной лее области значе-
значение const в граничном условии не обязано быть одним и тем лее
на различных граничных контурах, и тогда уравнение Лапласа
имеет нетривиальные решения. При этом распределение элек-
электрического поля в поперечном сечении волновода соответствует
плоскому электростатическому полю между обкладками конден-
конденсатора, находящимися при заданной разности потенциалов.
До сих пор мы предполагали стенки волновода идеально про-
проводящими 1). Наличие же у стенки малого, но все же конечного
импеданса приводит к появлению потерь и тем самым к затуха-
затуханию волны при ее распространении вдоль волновода. Коэффи-
Коэффициент затухания может быть вычислен аналогично тому, как в
предыдущем параграфе было вычислено затухание со временем
электромагнитных колебаний в резонаторе.
Количество энергии, диссипируемой в 1 с в стенках волновода
(отнесенное к единице его длины), дается интегралом
взятым по контуру сечения; Н есть магнитное поле, вычислен-
вычисленное в предположении ? = 0. Разделив эту величину на удвоенный
поток энергии q вдоль волновода, мы получим искомый коэффи-
коэффициент затухания а. При таком определении а дает скорость за-
затухания амплитуды волны, убывающей вдоль длины волновода,
как e~az.
Выражая все величины через Ez или Hz согласно формулам
(91.1) или (91.4), получим следующие формулы для коэффици-
коэффициента поглощения .Е-волны:
и для ^-волны:
а= < /IW,	(91.12)
2x2kzc f\Ez\2df '	V	;
а =
2кяш	J\Hz\2df
Для фактического вычисления может оказаться удобным пре-
преобразовать стоящие в знаменателях поверхностные интегралы в
интегралы по контуру. Приведем получающиеся таким образом
г) В частности, лишь при этом условии вообще возможно строгое разде-
разделение на волны с Ez = 0 и волны с Hz = 0.

460	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
формулы, вывод которых аналогичен выводу формулы (90.8):
f \EZ\2 df = ^ ? (nr)\V2Ez\2 dl,
я	(91 14)
\Hz\2df = ±^ f (nr){x2\Hz\2 - \V2Hz\2}dl.
Когда kz —»> 0 (т. е. частота со —»> ex), выражения (91.12), (91.13)
стремятся к бесконечности. При этом, однако, эти формулы пе-
перестают быть применимыми, так как их вывод предполагает ма-
малость к по сравнению с kz.
Формулы (91.12), (91.13) не относятся к главной волне (в вол-
волноводе с многосвязным сечением), в которой равны нулю все ве-
величины Ez, Hz и к. В этом случае можно выразить все компо-
компоненты поля через скалярный потенциал (р. Учитывая взаимную
перпендикулярность и равенство по величине полей Н и Е =
= — V2V? B главной волне, получим для ее коэффициента погло-
поглощения следующее выражение:
1*.	(91.15)
Распространение главной волны вдоль волновода может быть
сравнительно просто рассмотрено и в тех случаях, когда ее ко-
коэффициент поглощения не мал (так что формула (91.15) непри-
неприменима), если при этом длина волны с/ио велика по сравнению с
поперечными размерами волновода.
Как было указано выше, поперечное электрическое поле в
главной волне (в каждый момент времени) соответствует элек-
электростатическому полю в конденсаторе, образованном стенками
волновода, заряженными равными и противоположными заря-
зарядами. Обозначим эти заряды, отнесенные к единице длины вол-
волновода, через ±e(z). Они связаны с токами ±J(z), текущими по
стенкам волновода, уравнением непрерывности
де_ _ _д?
~dt ~ ~dz~*'
или, для монохроматического поля,
дЗ
гоие = —.
dz
Пусть, далее, С — емкость единицы длины волновода. «Разность
потенциалов» между его стенками <р2 — Ч>\ = е/С; дифференци-
дифференцируя ее по z, мы получим ЭДС, поддерживающую протекание то-
тока по стенкам (напомним, что при наличии поглощения поле не
является чисто поперечным). Приравняв ее ZJ (Z — импеданс
единицы длины волновода), получим
dzc

91	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ	461
ИЛИ
Подставив сюда Z = R — iouL/c2 (где R и L — сопротивление
и самоиндукция единицы длины волновода), мы можем перей-
перейти от монохроматических компонент тока обратно к произволь-
произвольной функции времени. Предполагая также емкость С постоянной
вдоль длины волновода, получим так называемое телеграфное
уравнение:
L#J_R8J_L#J=Qm	(9117)
с dz2 dt с2 dt2	v J
В отсутствие поглощения (R = 0) это уравнение, как и долж-
должно быть, сводится к волновому уравнению со скоростью распро-
распространения волн, равной c/VLC = с. Равенство LC = 1 следует из
математической эквивалентности задач об определении 1/G и L
при заданной форме контуров. Электрическое и магнитное поля
между поверхностями идеальных проводников перпендикуляр-
перпендикулярны по направлению и равны по величине (см. (91.11)), причем
значение последней на самих поверхностях определяет в первом
случае плотность зарядов, а во втором случае — плотность токов.
Поэтому совпадают и коэффициенты пропорциональности A/С
и L) между энергией поля и квадратами соответственно заряда
или тока.
Задачи
1. Найти значения ус для волн, распространяющихся по волноводу пря-
прямоугольного сечения (длины сторон а, Ь). Найти коэффициенты затухания
этих волн.
Решение. В ^-волнах г)
Ez = const • sin kxx sin kyy,
где
_ ГЦ7Г	_ П27Г
Кх 		, Ку 		,
а	о
а 77-1, 77-2 — целые числа, начиная от единицы. В Н-волн&х
Hz = const • cos kxx cos kyy,
причем одно из чисел ni, п<2, может быть равно нулю. В обоих типах волн
Наименьшее значение ус соответствует волне Hiq (индексы указывают зна-
значения rii, пъ) и равно xmin = тг/а (полагаем, что а> Ъ).
2) Множитель exp{i(kzz — u)t)} везде опускаем.

462	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
Коэффициенты затухания вычисляются по формулам (91.12), (91.13) и
равны: для .Е-волн
f
для волн НП1о
а-\
ckzab \ к2
и для волн НП1П2 (щ, п2 ф 0)
ujkzab
2. То же для волновода кругового сечения (радиуса а).
Решение. Решая волновое уравнение в полярных координатах г, <р,
получим в ^-волнах
Ez = const • Jn(ycr) rup,
cos
с условием Jn(yca) = 0, определяющим значения ус. В ^-волнах такая же
формула дает Hz, а значения ус определяются условием J'n(yca) = 0. Наи-
Наименьшим значением ус обладает первая из волн Н\\ оно равно усш-ш = 1,84/а.
Коэффициенты затухания вычисляются по формулам (91.12)—(91.14) и
равны: для .Е-волн
а для
ujkza
§ 92. Рассеяние электромагнитных волн
на малых частицах
Рассмотрим рассеяние электромагнитных волн на макроско-
макроскопических частицах, размеры которых малы по сравнению с дли-
длиной рассеиваемой волны Л ~ с/ои (Rayleigh, 1871). При выполне-
выполнении этого условия электромагнитное поле вблизи частицы молено
считать однородным. Находясь в однородном периодическом по-
поле, частица приобретает определенные электрический и магнит-
магнитный моменты & и ^^, зависимость которых от времени дается
множителем e~lujt. Рассеянная волна может быть описана как ре-
результат излучения этими переменными моментами. На больших
(по сравнению с Л) расстояниях R от частицы в волновой зоне
поле рассеянной волны дается формулами (см. II, § 71):
Н' = ^{[п^] + [п[иГп]]}, Е' = [Н'п],	(92.1)
где единичный вектор п указывает направление рассеяния, а зна-
значения & и jM должны быть взяты в момент времени ъ — R/c\

§ 92	РАССЕЯНИЕ ВОЛН НА МАЛЫХ ЧАСТИЦАХ	463
поле рассеянной волны будем обозначать буквами со штрихом, а
поле падающей волны — буквами без штриха. Средняя (по вре-
времени) интенсивность излучения, рассеянного в телесный угол do,
равна
dI=l-^\R'\2R2do,
2 4тг '	'
а разделив на плотность потока энергии в падающей волне
|Н|
8тг' ' 8тг
получим сечение рассеяния.
Вычисление & и jtft особенно просто, если размеры частицы
малы не только по сравнению с Л, но и по сравнению с «длиной
волны» 6, соответствующей частоте ио в веществе частицы. В
этом случае молено вычислять поляризуемость частицы по фор-
формулам, относящимся к внешнему однородному статическому по-
полю, разумеется, с той разницей, что для е и \i берутся не статиче-
статические значения, а значения, соответствующие данной частоте си.
Если, как это обычно имеет место, \i близко к единице, то в фор-
формуле (92.1) молено опустить магнитно-дипольный член.
Так, для сферической частицы радиуса а имеем (см. (8.10))
a=—e—	(92.2)
4тг? + 2	V )
и сечение рассеяния
da= —\a\2V2sin2 в do,	(92.3)
с4
где в — угол между направлением п рассеяния и направлением
электрического поля Е линейно поляризованной падающей вол-
волны. Полное сечение
а = 8^'W.	(92.4)
Зс4	V )
Зависимость сечения от частоты заключена как в множителе
со4, так и в поляризуемости. Если частоты настолько малы, что
дисперсия а отсутствует, то рассеяние пропорционально ои4. От-
Отметим также, что сечение рассеяния пропорционально квадрату
объема частицы.
Если падающая волна не поляризована (естественный свет),
то для получения дифференциального сечения надо усреднить
(92.3) по всем направлениям вектора Е в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к направлению распространения падающей волны (т. е.
к ее волновому вектору к). Обозначив через д и <р полярный
угол и азимут направления п по отношению к к (причем (р от-
отсчитываем от плоскости кЕ), имеем cos в = sin д cos <p (рис. 47),

464
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
так что
аа = —
с4
а
2т/2
V2(l - sin2 1} cos2 ^) do.
(92.5)
Усреднив по <р, получим следующую формулу для сечения
рассеяния неполяризованной волны:
da = —V2
24
а
A + cos2 д) do, (92.6)
V	/	V	/
н
рис 47
где д — угол между направления-
направлениями падения и рассеяния. Обратим
внимание на симметрию углового
распределения (92.6) относительно
плоскости д = тг/2: рассеяния вперед
и назад одинаковы.
Из формулы (92.5) легко найти
также степень деполяризации рас-
сеянного света. Для этого замеча-
замечаем, что при заданном направлении Е
направление Е' лежит в плоскости En. Поэтому направление
электрического поля Е' в рассеянной волне будет лежать в плос-
плоскости kn (плоскость рассеяния) или перпендикулярно к ней со-
соответственно в случаях, когда азимут вектора Е по отношению
к плоскости kn равен <р = 0 или тг/2. Пусть /ц и 1± — интенсив-
интенсивности рассеяния с этими двумя поляризациями; степень деполя-
деполяризации определяется как отношение меньшей из этих величин
к большей. Согласно (92.5) получим
Ц/1± = cos2tf.	(92.7)
Если рассеивающая частица обладает большой диэлектричес-
диэлектрической проницаемостью, то S ~ с/ш^/Щ ^С Л. Размеры частицы
могут при этом быть малыми по сравнению с Л и в то же вре-
время не малыми по сравнению с 6. В первом приближении по \/е
электрический момент частицы можно при этом вычислять про-
просто как момент проводника (s —»> ос) в однородном постоянном
внешнем поле. При вычислении же магнитного момента в этих
условиях существенны возникающие в частице индукционные то-
токи и задача не сводится к статической; вместо этого надо искать
решение уравнения (83.2)
(92.8)
АН + —Н = О
с2
(полагаем \i = 1), обращающееся вдали от частицы в поле падаю-
падающей волны. Магнитный и электрический моменты оказываются
при этом одного порядка величины, и в формуле (92.1) должны
быть сохранены оба члена. Угловое распределение и величина
рассеяния при этом существенно меняются по сравнению с рас-
рассмотренным выше случаем (см. задачу 2).

§ 92	РАССЕЯНИЕ ВОЛН НА МАЛЫХ ЧАСТИЦАХ	465
Задачи
1. Линейно поляризованный свет рассеивается на хаотически ориенти-
ориентированных малых частицах, имеющих три различных главных значения тен-
тензора электрической поляризуемости. Определить коэффициент деполяриза-
деполяризации рассеянного света.
Решение. Пренебрегая, как и в тексте, магнитным моментом, имеем
из (92.1)	2
Искомый коэффициент деполяризации дается отношением главных зна-
значений двумерного тензора
1ар = (КЕр),
где угловые скобки означают усреднение по ориентациям рассеивающей ча-
частицы при заданном направлении рассеяния п, а индексы а и /3 пробегают
два значения в плоскости, перпендикулярной п (см. II, § 50). Удобнее, од-
однако, усреднить трехмерный тензор ^^, после чего спроецировать его на
плоскость, перпендикулярную к п; эти компоненты тензора (&i^k) про-
пропорциональны соответствующим компонентам 1ар.
Подставив &i = aikEk, имеем
Для проведения усреднения пользуемся формулой
Это есть наиболее общий вид тензора четвертого ранга, симметричного по
парам индексов И и кт и содержащего лишь скалярные постоянные. По-
Последние определяются из двух равенств, получающихся путем упрощения
тензора один раз по парам г = /, к = т, а другой раз — по г = fc, / = т; они
равны
А = —Bаца*кк + о^а**,), В = —(Загк^к ~
10	oU
В линейно поляризованной волне амплитуда поля Е (временной мно-
множитель е~гшг опускаем) всегда может быть определена как вещественная
величина. Тогда получим
(&>г&>*к) = {А + В)ЕгЕк+ВЕ26гк.	A)
Пусть ось z направлена вдоль п, а плоскость xz проходит через векторы п
и Е; эти оси являются главными осями тензора 1ар. Взяв соответствующие
компоненты тензора A), получим коэффициент деполяризации
iy	В
1Х (А + В) sin2 в + В
@ — угол между Е и п).
2. Определить сечение рассеяния на шарике (радиуса а), обладающем
большим е; предполагается, что Л ^> а ~ S.
Решение. Задача о вычислении магнитного момента, приобретаемого
в переменном магнитном поле Н шариком с данным значением ? (и /л =
= 1), совпадает с решенной в § 59 (задача 1), с той лишь разницей, что в

466	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
полученных там формулах надо положить к = ооу/г/с. Поэтому имеем
' ' ' 2 V ка °	(каJ
Отметим, что при \ка\ <С 1: 7 ~ ~~(каJ/30, а при \ка\ ^> 1 имеем ctg ка —»>
—»> —г, 7~~A	)•
Электрический же момент вычисляется в первом приближении по 1/е
просто как момент проводящего (е —»> оо) шара в постоянном однородном
электрическом поле:
& = а3Е.
Учитывая взаимную перпендикулярность Е и Н, получим после просто-
простого вычисления с помощью (92.1) следующую формулу для сечения рассеяния:
6 4
da = 	[|7|2 cos2 <р + sin2 <р — G + 7*) cos$ +
с4
+ cos2 $(cos2 if + |7|2 sin2 ip)\ do,
где if и i9 — углы, показанные на рис. 47. При рассеянии неполяризованного
da - №. Г1 ! + ^ l +Cos2^ - + * costfl rfo
с4 1.2	7	COS	7 7 cos J
а степень деполяризации рассеянного света
2
/,
7 — cos $
1—7 cos ft
Полное сечение рассеяния
В пределе ка ^ оо (т. е. когда Л ^> а ^> E) имеем 7 = 1/2; этот предел со-
соответствует рассеянию на идеально отражающем шарике, в глубь которого
вообще не проникают ни электрическое, ни магнитное поля. Для дифферен-
дифференциального сечения рассеяния имеем
„6, ,4 /	Q	\
da = ^1. ! + cos- ^ _ - cos ^ do.
8с4 V	5	7
Обратим внимание на резкую асимметрию углового распределения относи-
относительно плоскости $ = тг/2: рассеяние происходит в основном назад (отно-
(отношение интенсивности света, рассеянного вперед, к интенсивности рассеяния
назад составляет 1:9).
§ 93. Поглощение электромагнитных волн
на малых частицах
Рассеяние электромагнитных волн сопровождается одновре-
одновременным их поглощением на частицах. Сечение этого процесса
дается отношением средней диссипируемой (в 1 с) в частице
энергии Q к плотности падающего потока энергии. Для вычис-

§ 93	ПОГЛОЩЕНИЕ ВОЛН НА МАЛЫХ ЧАСТИЦАХ	467
ления Q молено при этом воспользоваться формулой
""" ^~	(93.1)
где & и jtft — полные электрический и магнитный моменты ча-
частицы, а роль внешних полей <? и 9} играют электрическое Е и
магнитное Н поля рассеиваемой волны (ср. E9.11)).
Пользуясь комплексным представлением величин, пишем
(см. примеч. на стр. 300)
Q = -iRe{^E* +лШ*} = |У(о? + <J|E|2,
где ае, otm — электрическая и магнитная поляризуемости части-
частицы. Разделив на падающий поток энергии, получим
f': + a'^V.	(93.2)
Применим эту формулу к поглощению на шарике радиуса а
(а «С А), предполагая его вещество немагнитным (/i = 1). Харак-
Характер поглощения существенно зависит от величины диэлектричес-
диэлектрической проницаемости.
Если е невелико, то наряду са< А имеем также и а <С 6. В
этом случае магнитной поляризуемостью можно пренебречь по
сравнению с электрической. Взяв последнюю из (92.2), получим
а = 12Wg" .	(93.3)
с[(е' + 2J + е]	V }
Если же \е\ ^> 1, то электрическая часть поглощения стано-
становится малой и магнитное поглощение может стать существен-
существенным, даже если все еще 5 ^> а. При 6 ^> а (т. е. \ка\ ^С 1) маг-
магнитная поляризуемость (см. задачу 2 § 92)
ат 40тг 40тгс2
и сечение поглощения
(9з-4)
При дальнейшем увеличении е электрическая часть поглоще-
поглощения становится малой по сравнению с магнитной. В предельном
случае 6 ^С а (т. е. \ка\ ^ 1) имеем
3 Л ЗА 3 Л Зге Л
8тт V ка/	8тг V uja /
где С = 1/у/е — поверхностный импеданс шарика. Отсюда
а = 6тга2С'.	(93.5)

468	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
Заметим, что эту формулу молено было бы получить и более пря-
прямым путем, без использования общего выражения для магнитной
поляризуемости шарика аш(ио). При малом ? диссипация энер-
энергии Q может быть вычислена интегрированием среднего вектора
Пойнтинга (87.4) по поверхности шарика, причем распределение
магнитного поля на поверхности дается решением E4.3) задачи
о сверхпроводящем (? = 0) шаре в однородном магнитном поле.
Зная сечение поглощения шариком, можно непосредственно
определить интенсивность испускаемого им самим теплового из-
излучения. Согласно закону Кирхгофа (см. V, § 63) интенсивность
dl (в интервале частот duo) выражается через сг(ио) формулой
dl = 4тгса(ио)е0(ио) duo,	(93.6)
где
3
е°^Ш) 4тг3с3(ел"/т-1)
— спектральная плотность черного излучения, отнесенная к еди-
единице объема и к единичному интервалу телесных углов.
§ 94. Дифракция на клине
Обычная приближенная теория дифракции (см. II, § 59-61)
основана на предположении о малости отклонений от геометри-
геометрической оптики. Тем самым предполагается, во-первых, что все
размеры велики по сравнению с длиной волны; это относится как
к размерам тел (экранов) или отверстий в них, так и к расстоя-
расстояниям от тел до точек испускания и наблюдения света. Во-вторых,
рассматриваются лишь малые углы дифракции, т. е. распреде-
распределение света по направлениям, близким к направлению границы
геометрической тени. В этих условиях конкретные оптические
свойства вещества тел вообще несущественны; существен лишь
самый факт непрозрачности экранов.
Если же указанные условия не выполнены, то решение задачи
дифракции требует точного решения волнового уравнения с уче-
учетом соответствующих граничных условий на поверхности тел, за-
зависящих от их конкретных свойств. Нахождение таких решений
представляет исключительные математические трудности и про-
произведено лишь для сравнительно небольшого числа задач. При
этом обычно делается определенное упрощающее предположение
о свойствах тела, на котором происходит дифракция: оно пред-
предполагается идеально проводящим (и тем самым, с оптической
точки зрения, идеально отражающим).
Отметим в этой связи следующее обстоятельство. Могло бы
показаться естественным решать задачу дифракции, предпола-
предполагая поверхность тела «черной», т. е. полностью поглощающей

§ 94	ДИФРАКЦИЯ НА КЛИНЕ	469
падающий на нее свет. В действительности, однако, в постанов-
постановке точной задачи дифракции такое предположение о свойствах
тела было бы внутренне противоречивым. Дело в том, что ес-
если само вещество тела является сильно поглощающим, то ко-
коэффициент отражения от его поверхности не мал, а, напротив,
близок к единице (см. § 87). Поэтому осуществление близкого
к нулю коэффициента отражения требует слабо поглощающего
вещества, но зато достаточно большой (по сравнению с длиной
волны) толщины тела. В точной же теории дифракции неизбеж-
неизбежно играют существенную роль участки поверхности тела вблизи
(на расстояниях порядка длины волны) его края; но толщина
тела вблизи его края во всяком случае мала, так что предполо-
предположение о его «черноте» здесь заведомо не будет справедливым.
Существенный теоретический интерес представляет точное
решение задачи о дифракции света от края идеально проводя-
проводящего клина, ограниченного двумя пересекающимися полуплос-
полуплоскостями (A. Sommerfeld, 1894). Полное изложение этой сложной
математической теории, требующей применения особых матема-
математических приемов, выходит за рамки настоящей книги. Мы из-
изложим здесь для справочных целей лишь окончательные резуль-
результаты 1).
Выберем край клина за ось z цилиндрической системы ко-
координат г, <р, z. Передней поверхности клина (ОА на рис. 48)
соответствует <р = 0, а задней (ОВ) (р = 7, где 2тг — 7 — угол рас-
раствора клина; области вне клина соответствуют углы 0 ^ <р ^ 7-
Пусть плоская монохроматическая волна с равной единице ам-
амплитудой падает в плоскости г(р на переднюю поверхность клина
под углом <ро к ней (ввиду симметрии клина достаточно рассмат-
рассматривать значения <ро < 7/2). Будем различать два независимых
случая поляризации падающей (а с нею и дифрагированной) вол-
волны: когда краю клина (оси z) параллелен вектор Е или вектор Н.
Буквой и обозначается в этих случаях соответственно Ez или Hz.
Электромагнитное поле во всем пространстве дается тогда
формулой (временной множитель e~t(Jjt везде опускаем)
u(r, cp) = v(r, <p-<po)T v(r, <p + <р0),	(94.1)
где верхний и нижний знаки отвечают соответственно поляри-
поляризациям с Е и Н вдоль оси z, а функция v(r,ip) определяется
г) Подробное проведение вычислений можно найти в книгах: Зоммер-
фельд А. Оптика. — М.: ИЛ, 1953; Франк Ф. и Мизес Р. Дифференциальные
и интегральные уравнения математической физики. — М.: ОНТИ, 1937, ч. 2,
гл. XX. Другой метод решения, принадлежащий М.И. Конторовичу и Н.Н.
Лебедеву, изложен в книге: Гринберг Г.А. Избранные вопросы математиче-
математической теории электрических и магнитных явлений. — М.: Изд-во. АН СССР,
1948, гл. XXII.

470
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
комплексным интегралом
ъ(г,ф) = ^ / i
,—ikr cos
(94.2)
(А; = си/с). Путь интегрирования С = С\ +С2 в плоскости ? состо-
состоит из двух петель (рис. 49). Концы этих петель уходят на беско-
бесконечность в тех частях плоскости ? (заштрихованных на рис. 49),
в которых Im(cos?) < 0, и потому множитель ехр (—ikr cos С)
стремится к нулю на бесконечности. Подынтегральное выраже-
qp+qpo=Jt
\	1/1
Ф~Фо=л;
Рис. 48
Рис. 49
ние в (94.2) имеет полюсы, лежащие на вещественной оси ? в
точках ? = —ф + 2п7, где п — целые числа. Вместо пути С моле-
молено производить интегрирование по пути D = D\ + D2 (рис. 49),
добавив к интегралу вычеты подынтегрального выражения в по-
полюсах, расположенных на отрезке —тг ^ ? ^ тг, если таковые
имеются. Представим у в виде
где Уй — интеграл (94.2), взятый по пути Z), a vq — вклад, проис-
происходящий от вычетов в указанных полюсах. От каждого полюса
возникает в vo член, равный
ехр [—ikr cos (ф — 2п7)],
изображающий собой либо падающую волну, либо одну из волн,
отраженных от поверхности клина по законам геометрической
оптики. Функция же у^ описывает собственно дифракционное
искажение волн. Наибольший интерес представляет поле на боль-
больших (по сравнению с длиной волны) расстояниях от края клина.

§ 94	ДИФРАКЦИЯ НА КЛИНЕ	471
При кг ^> 1 справедлива асимптотическая формула1)
(94.4)
если только угол ф удовлетворяет условию
.	(94.5)
7	7
Зависимость функции Vd, а с нею и поля
ud(r, ф) = vd(r, <р-<ро)т v<i(r, Ч>
от г дается множителем егкг/у/г, т. е. это поле имеет характер
цилиндрической волны, как бы излучаемой краем клина.
В написанном виде формулы (94.1)-(94.5) справедливы при
любых значениях углов 7 и (р$. Более подробное обсуждение этих
формул мы для определенности произведем при таком соотно-
соотношении между углами 7 и ??о G > ^ + ^о)? которое приводит, с
точки зрения геометрической оптики, к возникновению двух гра-
границ: границы Ob полной тени (область /// на рис. 48) и границы
Оа «тени» волны, отраженной от поверхности ОА. На рис. 48
(ро < тг/2; если же <р$ > тг/2, то граница Оа лежит справа от на-
направления падающей волны. При j < тт + (ро область полной тени
вообще отсутствует, а отражение (одно- или даже многократное)
происходит от обеих сторон клина.
В областях /, //, /// функция
г, ф) = vQ(r, р
имеет следующий вид:
в области I щ = ехр [—ikr cos (ip — ipo)} =р exp [—ikr cos (99 + <?o)]?
в области // г^о = exp [—ikr cos (99 — <?o)]?	(94.6)
в области /// г^о = 0.
Эти выражения, не обращающиеся в нуль при fcr—)-ос, описыва-
описывают не искаженные дифракцией падающую (в области II) или со-
совокупность падающей и отраженной (в области /) волн. Дифрак-
Дифракционное же искажение поля дается формулой (94.4), но условие
(94.5) нарушается при значениях ф, слишком близких к тт (когда
разность \ф — тг| перестает быть малой по сравнению с 1/у/кг).
Значения ф = тг соответствуют геометрическим границам те-
тени; при ф = <р — <ро это есть граница полной тени, а при ф =
= <р + <р$ — граница тени отралсенной волны. В непосредственной
2) Следующие члены этого асимптотического разложения — см. Pauli W.
И Phys. Rev. 1938. V. 54. P. 924.

472	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
близости этих значений надо применять другое асимптотическое
выражение, справедливость которого требует лишь соблюдения
неравенства \ф — тг| <С 1. Это условие вместе с условием кг ^> 1 как
раз обеспечивает применимость обычной приближенной теории
дифракции Френеля. В соответствии с этим, вблизи границы Ob
полной тени получается следующее асимптотическое выражение:
W
u(r, ф) = ехр [—ikr cos (<р — <ро)] —=L I егг] drj,
~^	(94.7)
—оо
w = -((p -<po-
Аналогично вблизи границы Оа тени отраженной волны
г/(г, <р) = ехр [—ikr cos (<р — <ро)] +
W
+ ехр [—ikr cos ((p + <ро)] —=L Г егт] drj,
(94.8)
w = — ((р + (ро — тг) yfcr/2.
В этом приблилсении дифракционная картина не зависит от на-
направления поляризации волны и от угла раствора клина.
Области применимости формул (94.4) и (94.7), (94.8) частич-
частично перекрываются. Так, вблизи границы полной тени совместная
область применимости дается неравенствами
и в ней
-<ро -7Г
i(kr+n/4)
и(г, ср) = щ (г, ср) + —j==		(94.9)
(с щ из (94.6)). Из (94.7) это выражение получается с помощью
известных асимптотических формул для интеграла Френеля при
больших \w\\
w
Г
drj = (
W
drj
- 1 P™2
— о
при
при
w
w
>
<
0.
§ 95. Дифракция на плоском экране
Точная формула (94.2) для дифракции на клине может быть
приведена к сравнительно простому виду в частном случае ди-
дифракции на полуплоскости (чему соответствует 7 = 2тт). Именно,

§ 95	ДИФРАКЦИЯ НА ПЛОСКОМ ЭКРАНЕ	473
комплексный интеграл в (94.2) может быть сведен к интегралу
Френеля:
W
„,(г 7/Л _ 1 -i(kr cosф+тт/4) Г i-q2 j
v{r,yj) — ——е	i e arj,
w = V 2kr cos —.
2
Эта формула справедлива при любых значениях гиф. При кг^>\
и углах \ф — тг| ^> \j\fkr пригодно асимптотическое выражение
vd(r, ф) = -е^кг+*'^ /	!		(95.2)
2v27rfcrcos (ф/2)
(формула (94.4) с j = 2тг).
С помощью формулы (95.2) может быть получено в замкну-
замкнутом виде решение задачи о дифракции на плоском идеально про-
проводящем экране любой формы. При этом предполагается лишь,
что размеры экранов и расстояния до них велики по сравнению с
длиной волны, а углы дифракции не слишком малы (причем эта
область перекрывается с областью малых углов, в которой при-
применимы обычные формулы дифракции Френеля). Результат вы-
выражается в виде интеграла по контуру края экрана, аналогично
тому, как в обычной приближенной теории дифракционное поле
выражается в виде интеграла по поверхности, закрывающей от-
отверстие в экране. Мы не станем останавливаться здесь на этих
вычислениях.
В точной теории дифракции на плоских идеально проводящих
экранах молено высказать теорему (принадлежащую Л.И. Ман-
Мандельштаму и М.А. Леонтовичу), в известном смысле аналогич-
аналогичную теореме Бабинз в приближенной теории дифракции.
Рассмотрим плоский экран с отверстием произвольной фор-
формы; выберем плоскость экрана в качестве плоскости z = 0, и
пусть электромагнитная волна падает со стороны z < 0. Пусть
Ео, Но — суммарное поле падающей волны и волны, отражен-
отраженной от экрана (так, как если бы отверстие отсутствовало); будем
представлять его продолженным по другую сторону от экрана
(z > 0). Поскольку Hz = 0, Е^ = 0 при z = 0 (в силу граничных
условий на идеально проводящей поверхности), то значения Ео,
Но при z > 0 и z < 0 будут связаны соотношениями
EOz(x, у, z) = EOz(x, у, -z), Е0Дж, у, z) = - Eot(x, у, -z),
HOz(x, y.)Z) = - HOz(x, у, -z), Н0Дж, у, z) = Hot(x, у, -z).
(95.3)
Пусть, далее, Er, И' — поле, которое получилось бы при по-
помещении в поле Ео, Но плоской пластинки, по форме, величине
и положению совпадающей с отверстием в экране и обладающей

474	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
магнитной проницаемостью \i = ос. Тогда решение дифракцион-
дифракционной задачи на отверстие в экране дается выражениями
(95.4)
Е'), Н = ±(Н0-Н') приг>0.
Для доказательства этого утверждения замечаем, что поле
Е', Н' обладает той лее симметрией (выражаемой формулами
(95.3)), что и поле Eg, Hq. Поэтому на плоскости z = 0 оно удов-
удовлетворяет условиям
Ej = О, H'z = 0 вне отверстия,
Е'п = — Ej2, ^i = —H'z2 на отверстии
(индексы 1 и 2 соответствуют ? —> ±0). Кроме того, оно удовлет-
удовлетворяет условиям
E'z = 0, Hj = 0 на отверстии,
так как граничные условия на поверхности тела с [i = ос обратны
(в смысле замены Е, Н на Н, Е) условиям на идеально прово-
проводящей (е = ос) поверхности. Отсюда ясно, что поле (95.4) удов-
удовлетворяет необходимым условиям Е^ = 0, Hz = 0 на поверхности
экрана (z —»> — 0) вне отверстия и непрерывно на отверстии. На-
Наконец, поскольку поле Ег, ЕГ стремится на бесконечности к Eg,
Hg, то поле (95.4) стремится к Eg, Hg при z —» — ос и к ну-
нулю при z —» +ос. Тем самым оно удовлетворяет всем условиям
поставленной дифракционной задачи, и теорема доказана.
Таким образом, задача о дифракции на отверстии в экране
с е = ос эквивалентна задаче о дифракции на дополнительном
экране с \i = ос.
Задачи
1. Плоская монохроматическая волна падает нормально на прорезан-
прорезанную в идеально проводящем плоском экране щель ширины 2а, большой по
сравнению с длиной волны. Определить распределение интенсивности света
за щелью на больших расстояниях от нее для больших углов дифракции.
Решение. При а ^> Л дифракционное поле за щелью можно рассмат-
рассматривать как наложение полей, происходящих от независимой дифракции на
каждом из двух краев щели и определяющихся с помощью асимптотической
формулы (95.2) г). Когда расстояния АР = п и ВР = г2 от краев щели до
точки наблюдения (рис. 50) велики по сравнению с а, в множителях егктг и
егкГ2 пишем:
ri = г — a sin х, Г2 = ri + a sin x;
2) Это предположение становится, однако, несправедливым при углах ди-
дифракции, достаточно близких к тг/2 (при тг/2 — X

95
ДИФРАКЦИЯ НА ПЛОСКОМ ЭКРАНЕ
475
во всех же других местах полагаем п ~ гч « г, а все углы между АР, ОР,
ВР и осью z — равными одному и тому же углу дифракции х-
В результате получаем
ei(fcr+7r/4) rsm(fcasmx) ± . cos (fca sin x) ]
\/2тгЬ- [ sin (x/2) Z cos (x/2) J '
Отсюда интенсивность света, дифрагировавшего в интервал углов d\ (отне-
(отнесенная к полной интенсивности падающего на щель света):
dl
_ 1 Г Г sin
4тгак \ |_ si
(ак sin х) 1 Г cos (ак sin
I + [
sin (x/2) I
ак ( Г si
тг \ [
cos (x/2)
sin (ak sin х) 1'
cosx ¦
2afccos-
ак sin x J
При малых х это выражение переходит в формулу для дифракции Фраун-
гофера на щели:
1Т 1 sin (akx) f
dl =	—— dx-
-как х2
2. Плоская волна падает на идеально проводящую плоскость с круг-
круглым отверстием радиуса а, малого по сравнению с длиной волны. Опреде-
Определить интенсивность дифрагированного света, прошедшего через отверстие
(Rayleigh, 1897).
Решение. Согласно изложенному в тексте, данная задача приводится
к задаче о дифракции на круглой пластинке с /л = оо, а поскольку а С А,
то мы имеем дело с рассеянием на малой ча-
частице. Согласно § 92 для решения задачи о
таком рассеянии надо определить статические
электрическую и магнитную поляризуемости
диска. Поле Ео перпендикулярно к плоскости
диска, а граничное условие E'z = 0 формально
совпадает с условием, которое имело бы место	А а О а В
в электростатике на поверхности тела с г = 0.
Поле же Но параллельно диску, а граничное
условие Hj = 0 соответствует магнитостатиче-
магнитостатической задаче с fi = оо. Поэтому электрический
и магнитный моменты диска (см. задачу 4 § 4
и задачу к § 54):
^ = -— Ео ЛГ=— Но
Зтг °'	Зтг °"	Рис. 50
При переходе к задаче о дифракции на отвер-
отверстии эти выражения надо умножить, в соответствии с формулами (95.4), на
1/2 и затем подставить в формулу рассеяния (92.1).
Таким образом, интенсивность дифрагированного излучения в телесном
угле do г)
4тг 9тг2с4
Л , ,4 6
Множители е гшг предполагаем опущенными, так что Е и Н веществен-

476	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. X
Полная интенсивность дифракции получается интегрированием по полусфе-
полусфере и равна
27тг2с3 v
Сечение дифракции определим как отношение интенсивности дифрагиро-
дифрагированного излучения к плотности потока энергии в падающей волне (с^2/Dтг);
буквы без индекса относятся к полю падающей волны). Различаем два слу-
случая поляризации падающей волны:
а)	вектор Е в падающей волне перпендикулярен к плоскости падения
(плоскости xz), т. е. параллелен плоскости экрана (плоскость ху). Сумма
полей падающей и отраженной волн у поверхности экрана
Ео = 0, НОх = 2Н cos а = 2Е cos a
(а — угол падения). Отсюда
da = 	cos2 a • A — sin2 $ cos2 ip) do.
9тг2с4
Здесь $ — угол между направлением дифракции п и нормалью к экрану
(ось z), а (р — азимут вектора п по отношению к плоскости падения. Полное
сечение
а = 	cos2 a.
27тгс4
б)	вектор Е в плоскости падения. Тогда
Е = EOz = -2?sin а, Но = НОу = 2Н = 2Е.
Дифференциальное сечение
da = 	< cos2 $ + sin2 $ ( cos2 ш -\— sin2 a ) — sin $ sin a cos ш > do.
9тг2с4 I	V	4	/	J
полное сечение
1 -\— sin2 a
27тгс4
Для естественного света имеем
27тгс4
1	sin2 a

ГЛАВА XI
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
§ 96. Диэлектрическая проницаемость кристаллов
Свойства анизотропной среды по отношению к электромаг-
электромагнитным волнам определяются тензорами ецъ(оо) и //^(о;), устанав-
устанавливающими связь между индукцией и напряженностью согласно
формулам 1)
Di = sik(ou)Ek, В{ = Hik(u)Hk.	(96.1)
Ниже мы для определенности говорим об электрическом поле и
тензоре Е{к\ все получаемые результаты полностью справедливы
и для тензора \1{к.
При о; —^ 0 величины Е{к принимают свои статические значе-
значения, для которых в § 13 была доказана симметричность по ин-
индексам г, к. Это доказательство имело чисто термодинамический
характер и поэтому относилось лишь к термодинамически равно-
равновесным состояниям. В переменном же поле состояние вещества,
разумеется, не равновесно, и потому указанное доказательство
неприменимо. Для выяснения свойств тензора Е{к надо теперь
обратиться к обобщенному принципу симметрии кинетических
коэффициентов (см. V, § 125).
Напомним, что фигурирующие в формулировке этого прин-
принципа обобщенные восприимчивости ааъ(ои) определяются по от-
отклику системы на возмущение вида
V = -Xafa(t)
(где ха — ряд величин, характеризующих систему) и представ-
представляют собой коэффициенты в линейной связи между фурье-
компонентами средних значений xa(t) и обобщенных сил /а(?):
Хаи = OLab{i0)fbuj.
Изменение энергии системы со временем под влиянием возмуще-
возмущения выражается формулой
) Напомним, что все величины относятся к переменному полю в волне.
Возможное же наличие постоянной индукции (в пироэлектрическом или
ферромагнитном кристалле) не имеет отношения к рассматриваемым здесь
вопросам.

478	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
Согласно принципу симметрии,
если система не находится во внешнем магнитном поле и не об-
обладает магнитной структурой; в противном случае ааъ(ио) надо
взять для «обращенной по времени» системы.
Легко связать компоненты тензора 8ik{uo) с обобщенными вос-
приимчивостями. Для этого замечаем, что скорость изменения
энергии диэлектрического тела в переменном электрическом по-
поле дается интегралом
-IE— dV.	(96.2)
4тг dt	у J
Сравнив с написанными выше формулами, мы видим, что если
выбрать в качестве величин ха значения компонент вектора Е
в каждой точке тела, то соответствующими величинами fa бу-
будут компоненты D (причем индекс а пробегает непрерывный ряд
значений, нумеруя как компоненты векторов, так и точки тела).
Роль коэффициентов ааь будут играть компоненты тензора е^к ;
но все свойства симметрии обратного и прямого тензоров, разу-
разумеется, совпадают. Поскольку в интеграле (96.2) перемножаются
значения Е и D лишь в одинаковых точках тела, то перестановка
индексов а и Ъ фактически сводится к перестановке только тен-
тензорных индексов. Таким образом, мы приходим к выводу, что
тензор Eik симметричен ^):
?гк(ш) = ?ki(oo).	(96.3)
Заметим, что под определение обобщенных восприимчиво-
стей подпадают также и компоненты тензора поляризуемости
тела как целого, т. е. коэффициенты в равенствах
&i = Vaik?k.
Действительно, изменение энергии тела, внесенного во внешнее
переменное поле <?, дается формулой
-& — .	(96.4)
dt	v J
Отсюда видно, что если величинами ха являются три компо-
компоненты вектора ^, то соответствующими величинами fa будут
компоненты вектора С, так что коэффициенты ааь совпадают
с Vaik.
2) Свойства тензора вгк при наличии внешнего магнитного поля будут
рассмотрены в § 101.

§ 96	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КРИСТАЛЛОВ	479
Ряд формул, полученных ранее для изотропной среды, непо-
непосредственно обобщается на анизотропный случай. Повторив про-
произведенный в § 80 вывод, найдем, что диссипация энергии в мо-
монохроматическом электромагнитном поле дается формулой
9 = ?t{i?* ~ ?^EiE*k + ^ - №)НгЩ},	(96.5)
аналогичной формуле (80.5). Условие лее отсутствия поглощения
состоит в равенстве е*к = e^i = ?{кч т- е- в вещественности всех
Sik (и то лее самое для цц*)-
В отсутствие поглощения может быть определена, как было
показано в § 80, электромагнитная внутренняя энергия единицы
объема тела. Для анизотропной среды она дается формулой
аналогичной (80.11).
В § 87 было введено понятие о поверхностном импедансе ?,
с помощью которого могут быть сформулированы граничные
условия на поверхности металла далее в тех случаях, когда поня-
понятие диэлектрической проницаемости теряет смысл. На поверхно-
поверхности анизотропного тела граничное условие, аналогичное (87.6),
должно быть написано в виде
Еа = Са/зЕНп]^	(96.7)
гДе (а/з(ш) — двумерный тензор на поверхности тела. Следует
иметь в виду, что значения этого тензора, вообще говоря, зависят
и от кристаллографического направления грани кристалла.
Поток энергии, втекающий внутрь тела, есть
f [EH]n = f E[Hn] = f Ea[Hn]a
4тг	'	4тг	4тг
(здесь Е и Н вещественны). Отсюда видно, что если при приме-
применении принципа выбрать в качестве величин ха компоненты Еа,
то соответствующими fa будут — [Нп]а, т. е. (возвращаясь к ком-
комплексному представлению) величинами fa будут — (i/w)[Hn]a.
Поэтому коэффициенты ааъ совпадают, с точностью до множи-
множителя, с компонентами Ca/3i и мы приходим к выводу, что
СаC = С/За	(96.8)
(в отсутствие внешнего магнитного поля).

480	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
Задача
Выразить компоненты тензора ?ар через компоненты тензора г}ар = ?~р
(предполагая, что последний существует); тело немагнитно (fiik = Sik)-
Решение. В анизотропном случае равенство (87.2) ?2 = 1/е заменится
следующим:
СС
В компонентах:
Cll +C12C2I = ^11?	С22
Cl2 (Cll + C22) = ??12, С21 (Cll + C22) = Щ1-
Решение этих уравнений:
C21 = 7721/?,
[т711=Ь\/^11^22 ^12^21 ], С22 = -[
(?2 = 7711 + Г}22 ±
Выбор знаков определяется условием положительности поглощения энер-
энергии. Мы не предполагаем равенства С12 = C215 допуская тем самым также и
применение к случаю наличия внешнего магнитного поля.
§ 97. Плоская волна в анизотропной среде
При изучении оптики анизотропных тел — кристаллов — мы
ограничимся наиболее важным случаем, когда среду молено счи-
считать (в данной области частот) немагнитной и прозрачной. В со-
соответствии с этим связь между напряженностями и индукциями
электрического и магнитного полей дается равенствами
Di = eikEk, B = H,	(97.1)
причем все компоненты диэлектрического тензора е^ веществен-
вещественны, а его главные значения положительны.
Уравнения Максвелла для поля монохроматической волны
гласят:
iouH = crot E, iouB = -crot H.	(97.2)
В плоской волне, распространяющейся в прозрачной среде, все
величины пропорциональны е с вещественным волновым век-
вектором к. Произведя дифференцирование по координатам, полу-
получим
-Н = [kE], -D = -[кН].	(97.3)
с	'с
Отсюда прежде всего видно, что три вектора k, D и Н вза-
взаимно перпендикулярны. Кроме того, вектор Н перпендикуля-
перпендикулярен к Е. Поскольку вектор Н перпендикулярен одновременно к
трем векторам D, Е, к, то последние лежат в одной плоскости.

§ 97	ПЛОСКАЯ ВОЛНА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ	481
На рис. 51 иллюстрируется взаимное расположение всех векто-
векторов. По отношению к направлению волнового вектора поперечны
D и Н, ноне Е. На рисунке указано так лее направление потока
энергии S в волне. Оно определяется векторным произведением
[ЕН], т. е. перпендикулярно к Е и Н. В отличие от волны в изо-
изотропной среде, здесь направление потока энергии не совпадает с
направлением волнового вектора. Очевид-
Очевидно, что вектор S компланарен с векторами
Е, D, k и составляет с вектором к угол,
равный углу между Е и D.
Выделим из абсолютной величины
вектора к множитель ио/с и будем писать
к = -п.	(97.4)
с
с
Абсолютная величина определенного та-
таким образом вектора п в анизотропной
среде зависит от его направления, в отличие от изотропной сре-
среды, в которой п = л/ё зависит только от частоты 1). С помощью
обозначения (97.4) основные формулы (97.3) напишутся в виде
H = [nE], D = -[nH].	(97.5)
Выпишем также выражение для вектора потока энергии в
плоской волне:
S = — [ЕН] = — {пЕ2 - Е(Еп)}	(97.6)
4тг	' 4тг
(в этой формуле Е и Н вещественны).
До сих пор мы не использовали еще соотношения (97.1), со-
содержащего материальные константы е^. Совместное использова-
использование этого соотношения и уравнений (97.5) позволяет определить
зависимость со (к).
Подставив первую из формул (97.5) во вторую, получим
D = [п[Еп]] = п2Е - п(пЕ).	(97.7)
Если приравнять компоненты этого вектора выражениям ?{кЕк
согласно (97.1), мы получим три однородных линейных уравне-
уравнения для трех составляющих вектора Е:
n2Ei - щпкЕк = ?ikEk
или
(n26ik - щпк - eik)Ek = 0.	(97.8)
*) О величине п и здесь принято говорить как о показателе преломления,
хотя она теперь не имеет такого простого отношения к закону преломления,
как в изотропных телах.
16 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

482	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
Условие совместности этих уравнений требует обращения в нуль
определителя, составленного из их коэффициентов:
det \n26ik — ЩПк — ?ik\ = 0.	(97.9)
Фактическое вычисление этого определителя удобно произ-
производить, воспользовавшись в качестве декартовых осей координат
ж, у, z главными осями тензора e^fc (называемыми в этой связи
главными диэлектрическими осями). Главные значения тензора
обозначим через е^х\ е^у\ e^z\ Простое вычисление приводит к
следующему уравнению:
+ n2ze(z\eW + еЩ + е^е^е^ = 0. (97.10)
Отметим, что старшие члены (шестой степени по щ) при рас-
раскрытии взаимно сокращаются; это обстоятельство, разумеется,
не случайно и связано в конечном счете с тем, что волна имеет
всего два, а не три независимых направления поляризации.
Уравнение (97.10) — так называемое уравнение Френеля —
одно из основных уравнений кристаллооптики1). Оно опреде-
определяет в неявном виде закон дисперсии, т. е. зависимость между
частотой и волновым вектором (функциями частоты являются
главные значения eW, а в некоторых случаях — см. § 99 — так-
также и направления главных осей тензора е^). Обычно при рас-
рассмотрении монохроматических волн частота, а с нею и все еМ
являются заданными постоянными величинами, и тогда уравне-
уравнение (97.10) определяет абсолютную величину волнового вектора
по его направлению. При заданном направлении п (97.10) есть
квадратное уравнение для т? с вещественными коэффициента-
коэффициентами. Поэтому каждому направлению п соответствуют в общем
случае два различных абсолютных значения волнового вектора.
Уравнение (97.10) (с постоянными коэффициентами eW)
определяет в координатах пх, пу, nz некоторую поверхность —
поверхность волновых векторов2). В общем случае это есть по-
поверхность четвертого порядка; ее подробное исследование бу-
будет произведено в следующих параграфах. Здесь же мы укажем
лишь некоторые ее важные общие свойства.
г) Основы кристаллооптики были заложены Френелем (A. Fresnel) в 1820-х
годах, исходя из механических аналогий, задолго до построения электромаг-
электромагнитной теории.
2) Используемое в литературе другое построение — поверхность норма-
нормалей (или поверхность индексов), получающаяся путем откладывания вдоль
каждого направления отрезка 1/п (вместо п), — представляется менее удоб-
удобным.

§ 97	ПЛОСКАЯ ВОЛНА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ	483
Предварительно введем еще одну величину, характеризую-
характеризующую свет, распространяющийся в анизотропной среде. Направ-
Направление световых лучей (в геометрической оптике) определяется
вектором групповой скорости дио/дк. В изотропной среде его на-
направление всегда совпадает с направлением волнового вектора;
в анизотропной же среде это, вообще говоря, не так. Для харак-
характеристики лучей введем вектор s, по направлению совпадающий
с групповой скоростью, а по абсолютной величине определяю-
определяющийся равенством
ns = 1.	(97.11)
Будем называть s лучевым вектором. Смысл этой величины вы-
выясняется следующим образом.
Рассмотрим пучок лучей (с одинаковой частотой), распро-
распространяющихся во все стороны из некоторого центра. Значение
эйконала ф (совпадающего с точностью до множителя си/с с фа-
фазой волны; см. § 85) в каждой точке луча дается интегралом
J n ей, взятым вдоль луча. Введя вектор s, определяющий на-
направление луча, напишем
г	г
-.	(97.12)
В однородной среде s постоянно вдоль луча, так что ф = L/s, где
L — длина данного отрезка луча. Отсюда видно, что если вдоль
каждого радиуса, выходящего из центра пучка лучей, отложить
отрезок, равный (или пропорциональный) s, то мы получим по-
поверхность, во всех точках которой лучи имеют одинаковую фазу.
Эту поверхность называют лучевой.
Введенные таким образом поверхность волновых векторов и
лучевая поверхность находятся в определенном взаимном отно-
отношении друг с другом. Напишем уравнение поверхности волновых
векторов условно в виде /(о;, к) = 0. Тогда групповая скорость
— = ~~ — /—?	(97.13)
т. е. пропорциональна вектору df/dk или, что то же (поскольку
производная берется при постоянном cj), — вектору df /дп. Ему
же, следовательно, пропорционален лучевой вектор. Но вектор
df /дп направлен по нормали к поверхности / = 0.
Таким образом, мы приходим к результату, что направление
лучевого вектора волны с заданным значением п определяется
нормалью к соответствующей точке поверхности волновых век-
векторов.
Легко видеть, что справедливо и обратное утверждение: нор-
нормали к лучевой поверхности определяют направления соответ-
соответствующих волновых векторов. Действительно, перпендикуляр-
16*

484	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
ность s к поверхности волновых векторов выражается соотноше-
соотношением
sSn = О,
где 6п — любое бесконечно малое изменение п (при заданном cj),
т. е. вектор бесконечно малого смещения поверхности. Но, диф-
дифференцируя (тоже при заданном ио) равенство ns = 1, получим
n#s + s#n = 0, откуда видно, что и
nSs = О,
чем и доказывается сделанное утверждение.
Описанная связь между поверхностями п и s может быть еще
уточнена. Пусть по есть радиус-вектор какой-либо точки поверх-
поверхности волновых векторов, a so — соответствующий ей лучевой
вектор; напишем уравнение (в координатах пх, пу, nz) касатель-
касательной в этой точке плоскости. Это есть
so(n - п0) = О,
чем выражается перпендикулярность so к любому вектору п — по,
лежащему в данной плоскости. Поскольку so и по связаны соот-
соотношением sono = 1, то это уравнение можно записать в виде
son = 1.	(97.14)
Отсюда видно, что 1/sq есть длина перпендикуляра, опущенного
из начала координат на плоскость, касательную к поверхности
волновых векторов в точке щ.
Обратно: если к некоторой точке So лучевой поверхности по-
построена касательная плоскость, то длина перпендикуляра, опу-
опущенного (из начала координат) на эту плоскость, равна 1/щ.
Выясним расположение лучевого вектора по отношению к
векторам напряженности поля в волне. Для этого замечаем,
что направление групповой скорости совпадает с направлением
среднего (по времени) вектора потока энергии. Действительно,
рассмотрим волновой пакет, заключенный в малом участке про-
пространства. При перемещении пакета сосредоточенная в нем энер-
энергия перемещается вместе с ним, а это и значит, что направление
ее потока совпадает с направлением скорости пакета, т. е. груп-
групповой скорости. Совпадение направлений групповой скорости и
вектора Пойнтинга можно доказать также и непосредственно из
формул (97.5). Дифференцируя эти формулы (при заданном cj),
получим
SB = [<Ш . п] + [Шп], JH = [п5Е] + [6п • Е].	(97.15)
Умножим первое равенство скалярно на Е, а второе на Н; с уче-
учетом (97.5) имеем
ESB = НШ + [ЕН]?п, ШН = BSE + [ЕН]?п.

97	ПЛОСКАЯ ВОЛНА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ	485
Но D?E = EikE^SEi = Е(Ш; поэтому, складывая оба равенства,
получим
[ЕН]8п = 0,	(97.16)
т. е. вектор [ЕН] нормален поверхности волновых векторов, что
и требовалось доказать 1).
Поскольку вектор Пойнтинга перпендикулярен Н и Е, то то
же самое относится и к вектору s:
sH = 0, sE = 0.	(97.17)
Непосредственное вычисление с помощью формул (97.5),
(97.11) и (97.17) приводит к соотношениям
H = [sD], E = -[sH].	(97.18)
Так,
[sH] = [s[nE]] = n(sE) - E(ns) = -E.
Если сравнить формулы (97.18) с формулами (97.5), то мы уви-
увидим, что они получаются друг из друга заменой
E^D, n^s, eik<->e7*	(97.19)
(причем не нарушается, разумеется, и соотношение ns = 1). По-
Последняя из этих трех замен должна быть введена для того, чтобы
не нарушалась также и связь (97.1) между D и Е. Таким обра-
образом, молено высказать следующее правило, полезное при различ-
различных вычислениях: если имеется какое-либо уравнение, справед-
справедливое для одного ряда перечисленных величин, то замена (97.19)
приводит к правильному аналогичному уравнению для другого
ряда величин.
В частности, применив это правило к уравнению (97.10), сра-
сразу же получим аналогичное уравнение для вектора s:
y1=0. (97.20)
Этим уравнением определяется форма лучевой поверхности. Как
и поверхность волновых векторов, это есть поверхность четвер-
четвертого порядка. При заданном направлении s (97.20) дает квадрат-
квадратное уравнение для s2, имеющее в общем случае два различных
г) Полученный таким образом результат относится к мгновенному (а не
только к среднему) значению потока энергии. Однако в приведенном доказа-
доказательстве существенным образом использована симметричность тензора вгк-
Поэтому в таком виде результат не будет справедлив для сред с несиммет-
несимметричным вгк (гиротропные среды — см. § 101). Утверждение же для среднего
значения вектора Пойнтинга справедливо и в этом случае (задача 1 к § 101).

486	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
вещественных корня. Таким образом, вдоль каждого направле-
направления в кристалле могут распространяться два луча с различными
волновыми векторами.
Перейдем к вопросу о характере поляризации волн, распро-
распространяющихся в анизотропной среде. Уравнения (97.8), из кото-
которых было получено уравнение Френеля, для этой цели неудобны,
так как в них входит напряженность Е, в то время как попереч-
поперечной в волне (по отношению к заданному п) является индукция
D. Для того чтобы с самого начала учесть поперечность век-
вектора D, выберем временно новую систему координат, одна из
осей которой направлена вдоль волнового вектора волны. Две
лее поперечные оси будем отмечать греческими индексами, про-
пробегающими значения 1, 2. Поперечные составляющие равенства
(97.7) дают Da = п2Еа\ подставив сюда Еа = ?~pDp (где е~р —
компонента тензора, обратного тензору ?ар), получим
(п-26аР-6-^ = 0.	(97.21)
Условие совместности этих двух (а = 1, 2) уравнений с двумя
неизвестными D\, D2 заключается в равенстве нулю их опреде-
определителя:
det\n-26a^-?-^\ = 0.	(97.22)
Это условие совпадает, разумеется, с написанным в исходной си-
системе координат ж, у, z уравнением Френеля. Мы видим теперь,
однако, что соответствующие двум значениям п векторы D на-
направлены вдоль главных осей двумерного симметричного тензо-
тензора второго ранга е~1. Согласно общим теоремам отсюда следу-
следует, что эти векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом,
в двух волнах с одинаковым направлением волнового вектора
векторы электрической индукции линейно поляризованы в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях.
Уравнения (97.21) допускают простую геомет-
геометрическую интерпретацию. Построим в системе
координат ж, у, z (снова возвращаемся к главным
диэлектрическим осям) тензорный эллипсоид, со-
соответствующий тензору е^к , т. е. поверхность
*****=i+1+i=i (9723)
(рис. 52). Пересечем эллипсоид плоскостью, про-
проходящей через его центр и перпендикулярной к
Рис. 52 заданному направлению п. Фигурой сечения бу-
будет в общем случае эллипс; длины его главных
осей определяют значения п, а их направления — соответствую-
соответствующие направления колебаний (векторы D).

§ 97	ПЛОСКАЯ ВОЛНА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ	487
Из этого построения (в общем случае различных е^х\ е^у\
е^) очевидно, что если волновой вектор направлен, скажем,
вдоль оси ж, то направлениями поляризации D будут оси у я z.
Если же вектор п лежит в одной из координатных плоскостей,
например в плоскости жу, то одно из направлений поляризации
лежит тоже в плоскости жу, а другое — перпендикулярно к ней.
Аналогичными свойствами обладают поляризации двух волн
с одинаковым направлением лучевого вектора. Вместо направ-
направлений индукции D здесь надо рассматривать направления попе-
поперечного к s вектора Е, причем вместо уравнений (97.21) будем
иметь аналогичные уравнения
(з~26ар - еар)Ер = 0.	(97.24)
Геометрическое построение осуществляется в этом случае с по-
помощью тензорного эллипсоида
eikxixk = ?{х)х2 + е^у2 + s^z2 = 1,	(97.25)
соответствующего прямому тензору Ец~ {эллипсоид Френеля).
Следует подчеркнуть тот факт, что распространяющиеся в
анизотропной среде плоские волны оказываются линейно поля-
поляризованными в определенных плоскостях. В этом отношении оп-
оптические свойства анизотропных сред существенно отличаются
от свойств изотропных сред. Распространяющаяся в изотропной
среде плоская волна в общем случае поляризована эллиптиче-
эллиптически, и лишь в частных случаях эллиптическая поляризация сво-
сводится к линейной. Это существенное отличие связано с тем, что
случай полной изотропии среды является в известном смысле
вырожденным: двум направлениям поляризации соответствует
здесь один и тот же волновой вектор, вместо двух различных
(с одинаковым направлением) в общем случае анизотропной сре-
среды; распространяясь с одним и тем же значением п, две линейно
поляризованные волны складываются в эллиптически поляризо-
поляризованную.
Задача
Выразить компоненты лучевого вектора s через компоненты п в глав-
главных диэлектрических осях.
Решение. Продифференцировав левую часть уравнения /(п) = 0
(97.10) по Пг и определив затем коэффициент пропорциональности между
si и df/drii, из условия ns = 1, получим следующие формулы для связи
между векторами s и п:
?<*>(?<"> + е^) - 2e^nl - (е<*> + е^)п2у - (е<*> + е^)п\
пх ~ 2?
и аналогично — для sy, sz.

488	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
§ 98. Оптические свойства одноосных кристаллов
Оптические свойства кристалла зависят в первую очередь от
симметрии его диэлектрического тензора е^- В этом отношении
все кристаллы делятся на три категории — кубические, одноос-
одноосные и двухосные (см. § 13).
В кристалле кубической системы е^ = ебц^ т. е. три главных
значения тензора совпадают, а направления главных осей вполне
произвольны. Поэтому в отношении своих оптических свойств
кубические кристаллы вообще не отличаются от изотропных тел.
К одноосным относятся кристаллы ромбоэдрической, тетра-
тетрагональной и гексагональной систем. Одна из главных осей тен-
тензора Sik совпадает здесь с осью симметрии соответственно тре-
третьего, четвертого или шестого порядка; эту ось называют в оп-
оптике оптической осью кристалла (ниже мы выбираем эту ось
в качестве оси z, а соответствующее главное значение е^ обо-
обозначаем как ?ц). Направления же двух других главных осей (в
плоскости, перпендикулярной к оптической оси) произвольны,
а соответствующие главные значения диэлектрического тензора
совпадают (ниже они обозначены ?j_).
Если в уравнении Френеля (97.10) положить е^ = е^ = е±,
?\*> = ?ц? то выражение в его левой части распадается на два
квадратичных множителя:
(п2 - e±)[e\\n2z + е±(п* + п\) - е±ец] = 0.
Другими словами, уравнение четвертого порядка распадается на
два уравнения второго порядка:
п2=е±,	(98.1)
Геометрически это означает, что поверхность волновых векторов
(в общем случае — поверхность четвертого порядка) распадается
на две раздельные поверхности — сферу и эллипсоид. На рис. 53
изображен продольный разрез этих поверхностей. Здесь возмож-
возможны два случая: если е±_ > ?ц, то сфера лежит вне эллипсоида,
а если е±_ < ?ц — то внутри его (в первом случае одноосный
кристалл называют отрицательным, а во втором — положи-
положительным] рис. 53). Обе поверхности касаются друг друга в двух
точках — противоположных полюсах, лежащих на оси nz. Ина-
Иначе говоря, направлению оптической оси соответствует всего одно
значение волнового вектора.

98
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНООСНЫХ КРИСТАЛЛОВ
489
Аналогичный вид имеет лучевая поверхность. Согласно пра-
правилу (97.19) ее уравнение получается из (98.1), (98.2) в виде
s2 = —,	(98.3)
e±s2z + e\\(s2x + s2y) = 1.	(98.4)
В положительном кристалле эллипсоид лежит внутри сферы, а
в отрицательном — наоборот.
Пг
Рис. 53
Таким образом, мы видим, что в одноосном кристалле мо-
могут распространяться волны двух типов. По отношению к одно-
одному из этих типов волн (так называемые обыкновенные волны)
кристалл ведет себя как изотропное тело с показателем прелом-
преломления п = л/?±. Абсолютная величина волнового вектора равна
иоп/с вне зависимости от его направления, а направление луче-
лучевого вектора совпадает с направлением п.
В волнах же второго типа {необыкновенные волны) величина
волнового вектора зависит от угла в его наклона к оптической
оси. Согласно (98.2)
(98.5)
1
sin26> cos26>
Что касается лучевого вектора необыкновенной волны, то его на-
направление не совпадает с направлением волнового вектора, но
лежит в той же проходящей через оптическую ось плоскости
(эту плоскость называют принадлежащим данному п главным
сечением). Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью xz\ про-
продифференцировав левую часть равенства (98.2) по nz и по пх и
взяв отношение этих производных, найдем направление лучевого
вект°Ра:	sx = е±пх
sz e\\nz
Другими словами, угол в' между лучевым вектором и оптической
осью связан с углом в простым соотношением:
(98.6)

490	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
Направления п и s совпадают лишь для волн, распространяю-
распространяющихся вдоль оптической оси и перпендикулярно к ней.
Вопрос о направлении поляризации обыкновенной и необык-
необыкновенной волн решается очень просто. Для этого достаточно за-
заметить, что четыре вектора Е, D, s, n во всякой волне компла-
компланарны. В необыкновенной волне направления s и п не совпадают,
но лежат в одном и том лее главном сечении. Поэтому эта волна
поляризована так, что векторы Е и D лежат в этом лее сечении.
С другой стороны, векторы D в обыкновенной и необыкновен-
необыкновенной волнах с одинаковым направлением п (или векторы Е при
одинаковом направлении s) взаимно перпендикулярны. Поэтому
поляризация обыкновенной волны такова, что Е и D лежат в
плоскости, перпендикулярной к главному сечению.
Исключением являются лишь волны, распространяющиеся в
направлении оптической оси. В этом направлении различие меж-
между обыкновенной и необыкновенной волнами исчезает, их поля-
поляризации соответственно складываются, давая в общем случае
эллиптически поляризованную волну.
Явление преломления плоской волны, падающей на поверх-
поверхность кристалла, существенно отличается от преломления на
границе двух изотропных сред. Закон преломления (и отраже-
отражения) и здесь получается из условия непрерывности касательной к
плоскости раздела составляющей щ волнового вектора. Поэтому
волновой вектор преломленной (как и отраженной) волны лежит
в плоскости падения. При этом, однако, в кристалле возника-
возникают одновременно две различные преломленные волны (двойное
преломление) соответственно двум возможным значениям нор-
нормальной компоненты пп, даваемым уравнением Френеля при за-
заданном щ. Кроме того, необходимо помнить, что наблюдаемое
направление распространения лучей определяется не волновым,
а лучевым вектором s; оно отличается от направления пив об-
общем случае лежит вне плоскости падения.
В одноосном кристалле при преломлении возникают обыкно-
обыкновенная и необыкновенная преломленные волны. Первая полно-
полностью аналогична обычным преломленным волнам в изотропных
телах; в частности, ее лучевой вектор (совпадающий по направ-
направлению с ее волновым вектором) лежит в плоскости падения. На-
Направление лее лучевого вектора необыкновенной волны лежит,
вообще говоря, не в плоскости падения.
Задачи
1. Найти направление необыкновенного луча при преломлении света
(падающего из пустоты) на поверхности одноосного кристалла, перпенди-
перпендикулярной к его оптической оси.
Решение. Преломленный луч в данном случае остается в плоскости
падения (которую выберем в качестве плоскости xz с осью z по нормали к
поверхности). При преломлении сохраняется ж-компонента волнового векто-
вектора пх = sm$ ($ — угол падения); компоненту nz для преломленной волны

§ 99	ДВУХОСНЫЕ КРИСТАЛЛЫ	491
находим по (98.2):
/ ex . 2 /
пz = s±	sm
\	?||
Направление преломленного луча($'—угол преломления) находим по (98.6):
t 0/ - ?±Пх
2. Найти направление необыкновенного луча при нормальном падении
света на поверхность одноосного кристалла с произвольно направленной оп-
оптической осью.
Решение. Преломленный луч лежит в плоскости xz, проходящей
через нормаль к поверхности (ось z) и оптическую ось; угол между оптичес-
оптической осью и нормалью пусть будет а. Лучевой вектор (компоненты которого
пропорциональны производным от левой части уравнения (98.2) по соответ-
соответствующим компонентам п) пропорционален
где 1 — единичный вектор в направлении оптической оси. В данном случае
волновой вектор п направлен по оси z, так что
/1 1 \	sin2 a cos2 a
sx со cos a sm а	, szoo ¦
Отсюда находим для угла преломления $':
sz e\\ + е± + (е\\ - s±) cos 2a
§ 99. Двухосные кристаллы
У двухосных кристаллов все три главных значения тензо-
тензора Sik различны. Сюда относятся кристаллы триклинной, мо-
моноклинной и ромбической систем. В кристаллах триклинной си-
системы положение главных диэлектрических осей не связано с
какими бы то ни было определенными кристаллографическими
направлениями; в частности, оно меняется с изменением часто-
частоты, от которой зависят все компоненты e^fc- В кристаллах мо-
моноклинной системы кристаллографически фиксирована одна из
главных диэлектрических осей (она совпадает с осью симметрии
второго порядка или перпендикулярна к плоскости симметрии);
положение же двух других главных осей зависит от частоты.
Наконец, в кристаллах ромбической системы фиксировано поло-
положение всех трех главных осей — они должны совпадать с тремя
взаимно перпендикулярными осями симметрии второго порядка.
Изучение оптических свойств двухосных кристаллов связано
с исследованием уравнения Френеля в его общем виде.

492
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Примем в дальнейшем для определенности, что
?(х) <?(У) <?(z).	(99.1)
Для выяснения характера формы поверхности четвертого поряд-
порядка, определяемой уравнением (97.10), прежде всего найдем фор-
форму ее сечений координатными плоскостями. Положив в уравне-
уравнении nz = 0, найдем, что его левая часть распадается на два
множителя:
(„2 _
+
= 0.
Отсюда видно, что контур сечения в плоскости ху состоит из
круга
п2 = ?(г)	(99.2)
и эллипса
1Ьх , 1ЬУ _ 1
(v) (*) '
(99.3)
причем согласно условию (99.1), эллипс лежит внутри круга.
Аналогично найдем, что сечения плоскостями yz и xz тоже со-
состоят из эллипса и круга, но в плоскости yz эллипс лежит вне
круга, а в плоскости xz они пе-
пересекают друг друга. Таким обра-
образом, поверхность волновых векторов
есть самопересекающаяся поверхность
изображенного на рис. 54 типа (на ри-
рисунке изображена поверхность в од-
одном октанте).
Эта поверхность имеет четыре
особые точки — четыре точки самопе-
самопересечения, лежащие по одной в каж-
каждом квадранте плоскости xz. Особые
точки поверхности, заданной уравне-
уравнением вида f(nx,ny,nz) = 0, опреде-
определяются, как известно, равенством нулю всех трех первых произ-
производных функции /. Дифференцируя выражение в левой части
уравнения (97.10), получим следующие уравнения:
Пу
Рис. 54
Пх
пу
= 0, (99.4)
[?(z) (?
+ ?
(У)) _
+ ?
(у)п2
(причем должно удовлетворяться, конечно, и само уравнение
(97.10)). Заранее зная, что искомые направления п лежат в плос-
плоскости xz, полагаем пу = 0, а из двух остающихся уравнений после

§ 99	ДВУХОСНЫЕ КРИСТАЛЛЫ	493
простого вычисления находим -1):
2 _ е^{е^-е^) 2 _ е<'У>-е<»>)	( ,
Направления этих векторов п наклонены к оси z под углом /3,
для которого
^tel	(99.6)
Этой формулой определяются две оси (два направления) в плос-
плоскости ж?, каждая из которых проходит через две противополож-
противоположные особые точки и наклонена под углом /3 к оси z. Они называ-
называются оптическими осями (или бинормалями) кристалла; на рис.
54 штриховой линией показана одна из них. Направления оптиче-
оптических осей являются, очевидно, единственными направлениями,
в которых волновой вектор может иметь всего одно значение2).
Аналогичными свойствами обладает лучевая поверхность.
Для получения соответствующих формул достаточно заменить п
на s и е на 1/е. В частности, имеются две оптические оси лучей
(или бирадиали), расположенные тоже в плоскости xz и накло-
наклоненные к оси z под углом 7:
ау) (*о /Too"
(99-7)
Так как е^ < e^z\ то 7 < /?•
Направления п и s совпадают лишь для волн, распростра-
распространяющихся в направлениях координатных осей (т. е. главных ди-
диэлектрических осей). Если п лежит в какой-либо из координат-
координатных плоскостей, то s лежит в той же плоскости. Из этого правила
имеется, однако, одно замечательное исключение — для волно-
волновых векторов, направленных вдоль оптических осей.
Общие формулы, определяющие вектор s по вектору п (см.
задачу к § 97), при подстановке в них значения п из (99.5) дают
неопределенность вида 0/0. Происхождение и смысл этой неопре-
неопределенности вполне понятны из следующих геометрических со-
соображений. Вблизи особой точки внешняя и внутренняя поло-
полости поверхности волновых векторов представляют собой конусы
г) Легко непосредственно убедиться в том, что найденное таким образом
решение есть единственное вещественное решение уравнений (99.4). Если
все три компоненты пж, ny, nz отличны от нуля, то три уравнения (99.4)
противоречат друг другу (в них, по существу, входят всего две неизвестные:
п2 и е^'п^.+е^'п^+е^'гЁ). Если же пх = 0 или nz = 0, то уравнения имеют
мнимые решения.
2) На тензорном эллипсоиде (97.23) бинормали определяются как направ-
направления, перпендикулярные к которым сечения эллипсоида являются окруж-
окружностями. Как известно, трехосный эллипсоид имеет два таких сечения.

494	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
с общей вершиной. В этой вершине (особой точке) направление
нормали к поверхности становится неопределенным; между тем
указанные формулы определяют направление s именно как на-
направление нормали. В действительности волновому вектору, на-
направленному вдоль оптической оси (бинормали), соответствует
бесконечное множество лучевых векторов, направления которых
заполняют определенную коническую поверхность (конус внут-
внутренней конической рефракции) г).
Для нахождения этого конуса лучей молено было бы исследо-
исследовать направления нормалей в окрестности особой точки. Более
нагляден, однако, путь, основанный на геометрическом построе-
построении с помощью лучевой поверхности.
На рис. 55 изображено в одном квадранте (сплошными кри-
кривыми) сечение лучевой поверхности плоскостью xz. В этих же
осях координат изображено (в произвольно измененном масшта-
масштабе) сечение поверхности волновых векторов. Прямая OS есть
бирадиаль, a ON — бинормаль; волновой
вектор, соответствующий точке N, обо-
обозначим как пд/\ Легко видеть, что осо-
особой точке N поверхности волновых век-
векторов соответствует на лучевой поверх-
поверхности особая касательная плоскость —
плоскость, перпендикулярная к направ-
направлению ON и касающаяся поверхности не
в отдельной точке, а по целой кривой
	.	(как оказывается, — по окружности). На
0	х рис. 55 сечение этой плоскости изображе-
изображено отрезком ab. Это непосредственно сле-
Рис. 55	дует из указанного в § 97 геометрического
соответствия между поверхностью волно-
волновых векторов и лучевой поверхностью: если к какой-либо точке
s лучевой поверхности провести касательную плоскость, то пер-
перпендикуляр, опущенный из начала координат на эту плоскость,
совпадает по направлению с п и по величине равен 1/п, где п
— волновой вектор, соответствующий данному s. В нашем слу-
случае должно иметься бесконечное множество векторов s, соответ-
соответствующих одному и тому же n = n^v; поэтому отвечающие всем
им точки лучевой поверхности должны лежать на одной и той же
касательной плоскости, причем эта плоскость перпендикулярна
к n^v- Таким образом, на рис. 55 треугольник ОаЪ есть след се-
сечения конуса внутренней конической рефракции плоскостью xz.
Количественный расчет описанной геометрической картины
не представляет особых трудностей, но мы не будем излагать его
г) Описываемое ниже явление конической рефракции было предсказано
Гамильтоном (W.R. Hamilton, 1833).

§ 99	ДВУХОСНЫЕ КРИСТАЛЛЫ	495
здесь, ограничившись приведением окончательных формул. Урав-
Уравнение окружности, по которой конус рефракции пересекает луче-
лучевую поверхность, дается совокупностью следующих двух формул:
_?{У)	?(у) _ ?{х)
= 0, (99.8)
Первое из этих уравнений, если понимать в нем 5Ж, sy, sz как три
независимые переменные, есть уравнение самого конуса рефрак-
рефракции. Второе же дает уравнение касательной (к лучевой поверхно-
поверхности) плоскости. В частности, при sy = 0 первое уравнение (99.8)
распадается на два уравнения
которые определяют направления крайних лучей (соответствен-
(соответственно Оа и Ob на рис. 55) в плоскости сечения xz. Первое из них
совпадает с направлением бинормали (ср. (99.6)), которое в то
же время перпендикулярно к касательной ab.
Аналогичное положение имеет место для волновых векторов,
соответствующих заданному лучевому вектору. Вектору s, на-
направленному по бирадиали, соответствует бесконечное множе-
множество волновых векторов, направления которых заполняют так
называемый конус внешней конической рефракции (на рис. 55
треугольник Оа'Ь' есть след сечения этого конуса плоскостью xz).
Соответствующие формулы получаются, как всегда, заменой
s —)> п, ? —)> 1/е в формулах (99.8) и гласят:
Е(У) (е« _ е(*) )nJ + ^ ^/?(Z) _ ?(у) _
^ & ) = 0,
(99.9)
:У/е(у)-е(х)+
Для фактического наблюдения внутренней конической реф-
рефракции1) молено воспользоваться плоскопараллельной пластин-
пластинкой, вырезанной из кристалла перпендикулярно к бинормали
Следующее ниже описание весьма схематично.

496	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
(рис. 56). Поверхность пластинки закрыта узкой диафрагмой,
выделяющей из перпендикулярно падающей на пластинку плос-
плоской волны (волны с определенным направлением волнового век-
вектора) узкий пучок. Волновой вектор в прошедшем в пластинку
свете будет иметь это же направление, сов-
совпадающее с бинормалью, и потому его лучи
распределятся по поверхности конуса внут-
внутренней рефракции. Свет же, выходящий из
другой поверхности пластинки, имея тот
же волновой вектор, что и падающий свет,
распределится по поверхности кругового
цилиндра.
Для наблюдения лее внешней кониче-
конической рефракции пластинка должна быть
вырезана перпендикулярно к бирадиали, а ее обе поверхности —
закрыты диафрагмами с малыми отверстиями, расположенными
точно одно против другого. При освещении пластинки сходя-
сходящимся пучком света (т. е. пучком, содержащим лучи со всевоз-
всевозможными направлениями п) диафрагмы выделят внутри плас-
пластинки лучи с направлением s вдоль бирадиали и, соответственно,
с направлениями п, заполняющими поверхность конуса внешней
конической рефракции. Выходящий из второго отверстия свет
распределится поэтому тоже по конической поверхности (кото-
(которая, однако, вследствие преломления на выходе не точно совпа-
совпадает с конусом внешней рефракции).
Законы преломления на поверхности двухосного кристалла
при произвольном направлении падения чрезвычайно громоздки,
и мы не будем останавливаться на них 1). Укажем лишь, что в от-
отличие от одноосного кристалла обе преломленные волны являют-
являются «необыкновенными» и их лучи не лежат в плоскости падения.
Как условлено в § 97, мы рассматриваем оптику прозрачных
кристаллов. Упомянем здесь, однако, об одном свойстве двух-
двухосных кристаллов, которое может возникнуть при учете погло-
поглощения.
Рассмотрим распространяющуюся в кристалле однородную
плоскую волну; в ней п — комплексный вектор, причем, однако,
его вещественная и мнимая части имеют одинаковое направле-
направление: n = nv;, где v — вещественный единичный вектор, а п =
= п(ои) — комплексная величина. При заданном v дисперсионное
уравнение (97.21) в раскрытом виде гласит:
П~4 - П~2(г)п + Г/22) + Г)ПГJ2 ^?
где rjik = е^, а индексы 1,2 — тензорные индексы в плоскости,
г) Изложение соответствующих вычислений можно найти в статье Szivessy
G. Kristaloptik в кн.: Handbuch der Physik. Bd XX. — Berlin, 1928.

§ 99	ДВУХОСНЫЕ КРИСТАЛЛЫ	497
перпендикулярной и. Это квадратное по п~2 уравнение имеет
кратный корень, если
rJ2-mi =±2гт712;	(99.10)
при этом п~2 = (г/п + 7722)/2. При наличии поглощения тензор
г)гк = Vik + Wik комплексен.
В двухосных кристаллах эллипсоиды тензоров rjfik и г}"к трех-
осны, причем отноп1ения длин их полуосей (а в кристаллах три-
клинной и моноклинной систем также и их направления) различ-
различны для обоих тензоров. В этих условиях двумерные тензоры rjfao
и T]f^o не приводятся, вообще говоря, одновременно к главным
осям. Угол $ между главными осями обоих тензоров — функ-
функция двух независимых переменных (углов, задающих направле-
направление I/). Поэтому при заданной частоте ио может существовать
однопараметрическое множество направлений I/, для которых
<# = тг/4. При таком значении д мнимая часть комплексного
уравнения (99.10) удовлетворяется тождественно, а веществен-
вещественная часть принимает вид
Vi),	(99-11)
где индексы 1 и 2 указывают главные значения соответствующих
тензоров 1). При любом выборе осей xi, X2 уравнения (97.21) да-
дадут теперь
Ь>2 	 ?722 — ?7l 1	|_ •
?>1 ~ 27712	~	'
где два знака в правой части равенства отвечают двум знакам
в (99.10). Таким образом, условия $ = тг/4 и (99.11) совместно
выделяют для каждого значения ио определенное направление i^,
в котором может распространяться лишь волна с круговой по-
поляризацией одного знака — левой или правой, смотря по тому,
с каким знаком выполняется условие (99.10) (W. Voigt, 1902).
Такое направление в кристалле называют сингулярной или кру-
круговой оптической осью.
В соответствии с общей теорией линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, второе независимое решение уравнений поля
содержит в этом случае наряду с экспоненциальным множителем
exp (mi/r) (содержащим в себе и затухание) еще и линейный по
координатам множитель вида а+Ъиг 2). Поляризация этой волны
г) В сказанном легко убедиться, выбрав оси sci, хч в направлении глав-
главных осей тензора 77а/з и выразив компоненты тензора 77а/з через его главные
значения.
2) Это решение должно учитываться, например, в задачах об отражении
и преломлении света, распространяющегося вдоль сингулярной оси.

498	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
меняется вдоль луча, но в конце концов по мере увеличения w
устанавливается такая лее круговая поляризация, как и в первой
волне (это становится очевидным, если заметить, что в указан-
указанном пределе при подстановке решения в уравнения поля диф-
дифференцированию следует подвергать только экспоненциальный
множитель; разница между обоими решениями тогда исчезает).
Подчеркнем отличие сингулярной оси от случая, когда двой-
двойной корень дисперсионного уравнения возникает автоматически
в силу симметрии кристалла. Для света, распространяющегося
вдоль оптической оси одноосного кристалла, двумерный тензор
rja^ имеет вид rja^ = т/^а/З и условие (99.10) удовлетворяется тож-
тождественно. При этом уравнения (97.21) допускают два независи-
независимых решения с различными поляризациями.
§ 100. Двойное преломление в электрическом поле
Изотропное тело в постоянном электрическом поле становит-
становится оптически анизотропным. Появление этой анизотропии может
быть описано как результат изменения диэлектрической прони-
проницаемости под влиянием постоянного поля. Хотя это изменение
является относительно слабым, но в данном случае оно суще-
существенно, так как приводит к качественному изменению оптиче-
оптических свойств тела.
Будем обозначать в этом параграфе через Е напряженность
постоянного электрического поля в теле *) и произведем разло-
разложение диэлектрического тензора е^ по степеням этой величи-
величины. В изотропном теле в нулевом приближении e^fc — ^^гк-
Членов первого порядка по полю в e^fc не может быть, так как
в изотропном теле не существует никакого постоянного векто-
вектора, с помощью которого можно было бы составить линейный
по Е тензор второго ранга. Поэтому следующие члены разло-
разложения Sik будут квадратичными по полю. Из компонент векто-
вектора можно составить два симметричных тензора второго ранга:
E26ik и EiE^. Из них первый не меняет симметрии тензора е^8ц^
и прибавление к последнему члена вида const-Е^бц- сводится про-
просто к малой поправке к скалярной постоянной е^\ эта поправка
не приводит, очевидно, к появлению какой-либо оптической ани-
анизотропии и потому не представляет интереса. Таким образом, мы
приходим к следующему виду зависящего от поля диэлектриче-
диэлектрического тензора:
eik = e{0Mik + aEiEk,	A00.1)
где а — скалярная постоянная.
г) Не смешивать с напряженностью слабого переменного электрического
поля волны!

§101	МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ	499
Одна из главных осей этого тензора совпадает с направле-
направлением электрического поля, и соответствующее главное значение
равно
е\\ =?т+аЕ2.	A00.2)
Остальные два главных значения равны друг другу,
?±=?{°\	A00.3)
а положение соответствующих главных осей в плоскости, пер-
перпендикулярной к полю, произвольно. Таким образом, изотропное
тело в электрическом поле ведет себя в оптическом отношении
как одноосный кристалл (эффект Керра).
Изменение оптической симметрии в электрическом поле мо-
может иметь место и у кристалла (так, оптически одноосный кри-
кристалл может превратиться в двухосный, оптически изотропный
кубический кристалл может стать оптически анизотропным). В
отличие от соответствующего явления у изотропных тел, здесь
эффект может быть и первого порядка по полю. Этому линей-
линейному эффекту соответствует диэлектрический тензор вида
eik = е\1] + ашЕи	A00.4)
где совокупность коэффициентов ащ составляет тензор третьего
ранга, симметричный по индексам ink. Симметрия этого тензо-
тензора совпадает с симметрией пьезоэлектрического тензора. Поэто-
Поэтому рассматриваемый эффект существует у кристаллов тех лее 20
классов, которые допускают пьезоэлектричество.
§ 101. Магнитооптические эффекты
При наличии постоянного магнитного поля Н1) тензор
?ifc(a;;H) перестает быть симметричным. Обобщенный принцип
симметрии кинетических коэффициентов связывает компоненты
?ik и ?/сг в различных полях:
е*(Н) = еы(-Н).	A01.1)
Условие отсутствия поглощения требует лишь зрмитовости
этого тензора:
(как это видно из (96.5)), а не его вещественности. Из A01.2)
следует только, что вещественная и мнимая части e^fc должны
быть соответственно симметричной и антисимметричной:
4 = 4, 4 = -4-	(Ю1.3)
Не смешивать с периодическим слабым полем электромагнитной волны!

500	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
Учитывая A01.1), имеем
4(н) = е/„(н) = 4(-н),
4(н) = -в'^(н) = -4(-н),	1 • J
т. е. в непоглощающей среде величины e'ik являются четными, а
е"к — нечетными функциями Н.
Такими же свойствами симметрии обладает, очевидно, и
обратный тензор е^к . В дальнейших вычислениях будет удобнее
пользоваться именно этим тензором. Во избежание многочислен-
многочисленных индексов введем для него специальное обозначение ^):
?7k=r]ik = v'ik + Wik	A01-5)
(которым мы пользовались уже и ранее).
Как известно, всякий антисимметричный тензор второго ран-
ранга эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору; для
тензора г]"к обозначим этот вектор через G. С помощью антисим-
антисимметричного единичного тензора e^i связь между компонентами
тензора г]"к и вектора G записывается в виде
Vik = eikiGi,	A01.6)
а в компонентах:
rfly = Gz, r,'L = Gy, VyZ = Gx.
Связь Е{ = rjikDk между электрической индукцией и напряжен-
напряженностью принимает при этом вид:
Ег = Ык + ieuaGi)Dk = rj'ikDk + i[DG]i.	A01.7)
Аналогичным образом выглядит прямая зависимость D от Е:
Di = s'ikEk + i[Eg]i.	A01.8)
Связь между коэффициентами в A01.7) и A01.8) дается форму-
формулами:
*4 = ^Kr*V|-ft«J, Gi = -±6>ikgk,	A01.9)
где \е\ и \е'\ — определители тензоров е^ и е\к (ср. задачу к
§ 22). Среду с такой формой зависимости между D и Е называ-
называют гиротропной. Вектор g называют вектором гирации, a G —
вектором оптической активности.
Произведем общее исследование характера волн, распростра-
распространяющихся в произвольной гиротропной среде, считая при этом
2) Разумеется, rj'ik и г]"к сами не являются тензорами, обратными e'ik и е"к.

101	МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ	501
среду анизотропной и не делая никаких предположений о вели-
величине магнитного поля 1).
Выберем направление волнового вектора в качестве оси z и
напишем уравнение (97.21):
^) ? = 0>	A01Л0)
где индексы а, /3 пробегают значения ж, у. Направления осей х
и у выберем вдоль главных осей двумерного тензора т/^, а соот-
соответствующие главные значения этого тензора обозначим как п^
и Щ2 ; тогда уравнения примут следующий вид:
(ioi.il)
Условие равенства нулю определителя этой системы дает квад-
квадратное по п? уравнение:
корни которого определяют два значения п, относящиеся к за-
заданному направлению п2):
+а'" <10МЗ)
Подставляя эти значения обратно в уравнения A01.11), найдем
соответствующие отношения:
) Мы по-прелснему считаем среду немагнитной по отношению к пере-
переменному полю электромагнитной волны (т. е. полагаем /iifc(^) = $ik)- Этим,
однако, не исключается возможность намагничения среды постоянным по-
полем (т. е. статическая проницаемость может быть отлична от 1).
Все излагаемые свойства Sik(u) в той же степени относятся к тензору
Hik(uj)i когда в данной области частот существенна дисперсия магнитной
проницаемости.
2) В отсутствие поля G = 0 и п = noi или по2- Следует, однако, иметь
в виду, что при наличии поля величины noi и по2 в уравнении A01.12) не
имеют, вообще говоря, смысла значений п при Н = 0, так как от поля зависит
не только вектор G, но и компоненты тензора rj'ik.

502	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
Чисто мнимое отношение Dy/Dx означает, что волны эллип-
эллиптически поляризованы, причем главные оси эллипсов поляриза-
поляризации совпадают с осями ж, у. Произведение двух значений этого
отношения равно, как легко видеть, единице. Другими словами,
если в одной волне
Dy = ipDx
(где вещественное число р есть отношение длин осей эллипса
поляризации), то во второй волне
Dy- —.
Это значит, что эллипсы поляризации двух волн имеют одина-
одинаковое отношение осей, но повернуты относительно друг друга на
90°; направление вращения в них противоположно (рис. 57).
Если обозначить векторы D в обеих вол-
волнах как Di и D2, то полученные соотношения
могут быть записаны в виде
D^ = DlxD*2x + DlyD*2y = 0.
Такое соотношение является общим свойст-
свойством собственных векторов, возникающих при
приведении к главным осям зрмитового тен-
тензора (в данном случае — тензора ?7а/з)-
Рис. 57	Компоненты вектора G и тензора rjfik яв-
являются функциями напряженности магнит-
магнитного поля. Если (как обычно имеет место) магнитное поле яв-
является сравнительно слабым, то молено произвести разложение
по его степеням. Вектор G равен нулю в отсутствие поля; поэто-
поэтому в слабом поле молено положить
Gi = fikHk,	A01.15)
где fik — тензор второго ранга, в общем случае несимметрич-
несимметричный. Такая форма зависимости находится в согласии с общим
правилом, согласно которому в прозрачной среде компоненты
антисимметричного тензора г)"к (как и тензора е"к) должны быть
нечетными функциями Н. Что лее касается симметричного тен-
тензора r)'ik, то его компоненты являются четными функциями маг-
магнитного поля. Поэтому первые поправочные, по сравнению со
значениями в отсутствие поля, члены в г)^к — второго порядка
по полю (в пренебрежении этими членами из A01.9) имеем про-
1
В общем случае произвольного направления волнового век-
вектора магнитное поле сравнительно мало влияет на распростра-
распространение света в кристалле, вызывая лишь появление слабой эллип-
эллиптичности колебаний с малым (первого порядка по полю) отно-
отношением длин осей эллипса поляризации.

§101	МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ	503
Исключение в отношении характера магнитооптического эф-
эффекта представляют направления оптических осей (и близкие к
ним), вдоль которых оба значения п в отсутствие поля совпада-
совпадают. Корни уравнения A01.12) отличаются тогда от этих значений
на величины первого порядка малости1) и возникают эффек-
эффекты, аналогичные эффектам в изотропных телах, к рассмотрению
которых мы теперь и перейдем. Магнитооптический эффект в
изотропных телах (а также в кристаллах кубической системы)
представляет особый интерес ввиду его своеобразного характера
и сравнительно большой величины.
Пренебрегая величинами второго порядка малости, имеем
rj'ik = ?~^5iki где ? — диэлектрическая проницаемость изотроп-
изотропной среды в отсутствие магнитного поля. Зависимость между D
и Е дается формулами
Е = -В + i[DG], D = sE + i[Eg],	A01.16)
причем векторы g и G связаны, в том же приближении, соотно-
соотношением
G = -lg.	A01.17)
Зависимость g (или G) от внешнего поля сводится в изотропной
среде к простой пропорциональности:
A01.18)
скалярная постоянная может быть как положительной, так и от-
отрицательной.
В уравнении A01.12) имеем теперь щ\ = Щ2 = Щ — \f^\
это — коэффициент преломления в отсутствие поля. Отсюда
1
или, с той же точностью,
n% = n%± n\Gz = п20т gz-	A01.19)
Вспоминая, что ось z выбрана вдоль вектора п, молено написать
эту формулу с той же точностью в следующем векторном виде:
= n^.	A01.20)
) Обратим внимание на то, что оба корня уравнения A01.12) при этом
несколько отличаются друг от друга. Геометрически это означает, что обе
полости (внутренняя и внешняя) поверхности волновых векторов оказыва-
оказываются полностью разделенными.

504	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
Отсюда видно, что поверхность волновых векторов представ-
представляет собой в данном случае совокупность двух сфер радиуса по,
центры которых смещены вдоль направления G на расстояние
±g/2no от начала координат.
Каждому из двух значений п соответствует своя поляризация
волны; именно,
A01.21)
где знаки соответствуют знакам в A01.19). Равенство абсолют-
абсолютных значений Dx и Dy при сдвиге фаз между ними =F7r/2 означа-
означает круговую поляризацию волны с направлением вращения век-
вектора D соответственно против и по часовой стрелке, если смот-
смотреть вдоль направления волнового вектора (или, как принято
говорить, соответственно право- и левополяризованные волны).
Разница между показателями преломления лево- и правопо-
ляризованных волн приводит к тому, что при преломлении на
поверхности гиротропного тела возникают две поляризованные
по кругу преломленные волны (так называемое двойное круговое
преломление).
Пусть линейно поляризованная плоская волна падает в нор-
нормальном направлении на плоскопараллельный слой вещества
(толщины /). Направление падения выберем в качестве оси z,
а направление вектора Е = D в падающей волне — в качестве
оси х. Линейное колебание можно представить в виде суммы
двух круговых колебаний с противоположными направлениями
вращения, которые будут затем распространяться в слое веще-
вещества с различными волновыми векторами к± = ит±/с. Положив
амплитуду волны условно равной единице, будем иметь
Dx = ±(eik+z + eik~z), Dy = l-(-eik+z + eik~z),
или, введя к = (fc+ + fe_)/2, x, = (fc+ — fe_)/2,
Dx = l-eikz(ei>(Z + e~i>(Z) = eikz cosx^,
Dy = ieikz(-ei>cz + е~Ыг) = eikz sin xz,
при выходе волны из слоя будем иметь
).	A01.22)
Вещественность этого отношения означает, что волна остается
линейно поляризованной, но с повернутым относительно перво-
первоначального направлением поляризации (эффект Фарадея). Угол
поворота плоскости поляризации пропорционален пройденному

§101	МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ	505
волной пути; на единице длины вдоль направления волнового
вектора он составляет
-^cosfl,	A01.23)
2сп0	V	;
где в — угол между п и g.
Следует отметить, что при заданном направлении магнитно-
магнитного поля направление вращения плоскости поляризации (по от-
отношению к направлению п) при изменении знака п меняется на
обратное — правое вращение переходит в левое и наоборот. По-
Поэтому, если луч проходит один и тот же путь дважды (туда и
обратно), то суммарное вращение плоскости поляризации будет
вдвое больше, чем после одного прохождения.
При в = тг/2 (волновой вектор перпендикулярен к магнитно-
магнитному полю) линейный по полю эффект, описывающийся формула-
формулами A01.19), исчезает (в соответствии с указанным выше общим
правилом, что из всех компонент вектора g на распространение
света влияет лишь его проекция на направление п). Поэтому при
углах 0, близких к тг/2, должны учитываться также и члены,
пропорциональные квадрату поля. В частности, дол лены быть
учтены члены второго порядка и в тензоре rjrik. В силу аксиаль-
аксиальной симметрии вокруг направления поля два главных значения
симметричного тензора rjrik будут одинаковы (как у одноосного
кристалла). Мы выбираем ниже ось х вдоль направления поля
и обозначаем главные значения rfik в направлениях параллельно
и перпендикулярно к магнитному полю через 77ц и rj±] разность
Щ — V± пропорциональна Н2.
Рассмотрим квадратичный эффект, возникающий при вза-
взаимно перпендикулярных п и g (эффект Коттона-Мутона). В
уравнениях A01.11), A01.12) имеем в этом случае Gz = 0, а щ2
и Щ2 равны соответственно 77ц и 77^. Таким образом, в одной из
волн
2
эта волна линейно поляризована с вектором D, направленным
параллельно оси х. В другой же волне
п~2 = г)±, Dx = 0,
т. е. D направлен вдоль оси у. Пусть линейно поляризован-
поляризованный свет падает в нормальном направлении на плоскопарал-
плоскопараллельный слой вещества, находящийся в параллельном ему маг-
магнитном поле. Две компоненты прошедшего в вещество света (с
векторами D в плоскостях xz и yz) распространяются с раз-
различными значениями п. В результате этого свет, выходящий через
противоположную сторону слоя, оказывается эллиптически по-
поляризованным.

506	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
Наконец, остановимся еще на одном своеобразном эффекте,
возникающем в среде с линейным по (постоянному) магнитно-
магнитному полю вектором оптической активности A01.15): намагниче-
намагничение немагнитной прозрачной среды переменным электрическим
полем {Л.П. Питаевский, 1960).
Будем исходить из общей формулы C1.6)
_в_ _ ди_
причем учтем вклад в U от переменного электрического поля,
даваемый формулой (80.11). Согласно теореме о малых добав-
добавках к термодинамическим величинам, изменение 6U этого вкла-
вклада при малом изменении диэлектрической проницаемости сов-
совпадает (будучи выражено через соответствующие переменные) с
изменением свободной энергии 6F. Для последнего можно вос-
воспользоваться формулой A4.1), обобщив ее очевидным образом
на анизотропные среды (о том, что эта формула остается спра-
справедливой для переменного — а не постоянного, как в § 14, — поля
в прозрачной среде с дисперсией, было упомянуто в § 81 1)). Та-
Таким образом, имеем
SU = -6eik^ = дт^	A01.24)
(лишний множитель 1/2 учитывает представление Е в комплекс-
комплексном виде); последнее равенство в A01.24) — следствие того, что
в силу определения surjik — $ik имеем suSrjik = —TjikSsu^).
Понимая теперь варьирование диэлектрической проницаемо-
проницаемости как результат изменения постоянного магнитного поля, пишем
,
4тг 8Н ОН 16тг '
где Uq относится к среде в отсутствие электрического поля. Если
среда сама по себе немагнитна (/i = 1), то дЩ/дН = —Н/Dтг).
Тогда намагниченность М = (В — Н)/Dтг) равна
дН 16тг
) Напомним, что знак ~ над U относится здесь к магнитным, а не элек-
электрическим переменным! Для упрощения записи опускаем знак усреднения
по времени над U.
2) Для прямого вывода формулы A01.24) следовало бы рассмотреть запол-
заполненный диэлектриком резонатор — вместо рассмотренного в § 81 колебатель-
колебательного контура. Вычислив изменение частоты при малом изменении диэлек-
диэлектрической проницаемости (ср. задачу 4 к § 90) и воспользовавшись теоремой
об адиабатическом инварианте, найдем изменение энергии резонатора.

§101	МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ	507
В отсутствие внешнего магнитного поля значение производ-
производной dr]ik/dll надо взять при Н = 0. С гц}~ из A01.6) и A01.15)
получим окончательно следующее выражение для намагничен-
намагниченности, создаваемой переменным электрическим полем:
Mi = --^etkmf^DiDl;	A01.25)
16тг
она квадратична по электрическому полю. Если в отсутствие
магнитного поля среда изотропна, то /m/ = fSmi и тогда
М = —^-[DD*].	A01.26)
Для линейно поляризованного поля вектор D может отли-
отличаться от вещественного лишь фазовым множителем; тогда D
и D* коллинеарны и выражение A01.25) или A01.26) обращает-
обращается в нуль. Таким образом, намагничение возникает только под
действием вращающегося электрического поля. Этот эффект в
некотором смысле обратен эффекту вращения плоскости поля-
поляризации в магнитном поле и выражается через тот же тензор /^;
его называют поэтому обратным эффектом Фарадея.
Задачи
1. Показать прямым расчетом, что направление среднего (по времени)
вектора Пойнтинга в волне, распространяющейся в прозрачной гиротропной
среде, совпадает с направлением групповой скорости.
Решение. Согласно E9.9а)
S= — Re[E*H],
причем Е и Н выражены в комплексном виде. Поступая аналогично выводу
(97.16), умножаем равенства (97.15) соответственно на Е* и Н*:
Е*(Ш = Н*(Ш + [Е*Н]?п,
Сложив их и заметив, что в силу зрмитовости тензора Sik'- Е*(Ш = D*?E,
найдем требуемый результат:
<5n.Re[E*H] = 0.
2. Определить направления лучей при преломлении падающего из пу-
пустоты луча на поверхности изотропного тела в магнитном поле.
Решение. Направление лучевого вектора s определяется нормалью
к поверхности волновых векторов; дифференцируя левую часть уравнения
A01.20) по компонентам вектора п, найдем, что вектор s пропорционален
n ± g/2no- Квадрат этого выражения равен По; поэтому единичный вектор
в направлении луча дается формулой
Обозначим угол падения через в. Преломленные лучи не лежат, вооб-
вообще говоря, в плоскости падения, и их направление определяется углом 6'

508	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
с направлением нормали к поверхности и азимутом ip', отсчитываемым от
плоскости падения. Выберем последнюю в качестве плоскости xz с осью z,
перпендикулярной к преломляющей поверхности. При преломлении оста-
остаются постоянными компоненты пх, пу волнового вектора. В падающем луче
они равны пх = sin#, пу = 0. Подставив эти значения в A), найдем х-
и у-компоненты единичного вектора s/s, непосредственно дающие направ-
направление преломленных лучей:
sin в' cos ip' = — sin 9 ±
no	2rr
gx,
0
= ± —— gy.
При не слишком малых углах падения малым является азимут if' и
можно написать
2по sin в	по 2щ
При нормальном падении @ = 0) выбираем плоскость xz, проходящей
через вектор g; тогда ip' = 0, а для в' имеем
Хотя в эту формулу и не входит gz, но она неприменима, если gz = 0, так как
при взаимно перпендикулярных п и g недостаточно линейное приближение
по полю.
3. Определить поляризацию отраженного света при нормальном паде-
падении линейно поляризованной волны из пустоты на поверхность изотропного
тела в магнитном поле.
Решение. При нормальном падении направление волнового вектора
остается неизменным при переходе волны во вторую среду. Поэтому во всех
волнах (падающей, отраженной и преломленной) векторы Н параллельны
поверхности раздела (плоскость ху). Что лее касается электрического векто-
вектора Е, то в падающей и отраженной волнах он тоже параллелен плоскости ху,
а в преломленной волне, хотя Ez ф 0, связь между х- и ^-компонентами Е
и Н такая же, как в изотропном теле (Нх = —пЕу, Ну = пЕх). Если поля-
поляризация падающей волны совпадает с поляризацией одного из двух типов
волн, которые могут распространяться в данной анизотропной (преломляю-
(преломляющей) среде в данном направлении п, то возникает всего одна преломленная
волна с этой же поляризацией. В таких условиях задача формально не от-
отличается от задачи об отражении от изотропного тела, и поля Ei и Ео в
отраженной и падающей волнах связаны друг с другом равенством
1 —	i^O,	\1)
где п — соответствующий данной поляризации коэффициент преломления.
Линейную поляризацию можно рассматривать как результат сложения
двух круговых поляризаций с противоположными направлениями враще-
вращения; если в падающей волне Ео направлен по оси х, то пишем Ео = Ej +Eq~,
где
+ _+_1	-_ -_1
Eqx = i^oy = ~^о, ЕОх = —iEOy = -Eq.

§102	ДИНАМООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ	509
Воспользовавшись для каждой из волн Eq~, E^ формулой A) с соответ-
соответствующим п± из A01.19), получим
- п+ 1 - ге
.+n+ l+n_J	1+no
1 — П- 1— n+1	gcos#
+n_ 1+n+J	no(l+noJ
(в — угол между направлением падения и вектором g). Отсюда видно, что
отраженная волна эллиптически поляризована, причем большая ось эллипса
расположена по оси ж, а отношение малой оси к большой равно
gcosfl
4. Определить предельный закон зависимости вектора гирации от час-
частоты при больших значениях последней.
Решение. Вычисления аналогичны произведенным в § 78, с той раз-
разницей, что в уравнение движения электрона (заряд е = — |е|) надо добавить
лоренцеву силу от внешнего постоянного магнитного поля Й:
ш— = eEoe-iu;t + -[VH].
dt	с
При соблюдении условия ш ^> \е\Н/(тс) это уравнение можно решать по-
последовательными приближениями. С точностью до члена первого порядка
по Н получим	2
после чего найдем индукцию в виде
D = e(w)E
где е(ш) совпадает с G8.1), а
	 _|ej_rf?
cm2cj3 2mc duo
(H. Becquerel, 1897).
§ 102. Динамооптические явления
Наряду с электро- и магнитооптическими эффектами, суще-
существуют и другие случаи изменения оптической симметрии среды
под влиянием внешних воздействий.
Сюда относится прежде всего влияние упругих деформаций
на оптические свойства твердых тел. В частности, в результа-
результате деформации изотропное твердое тело может стать оптически
анизотропным. Эти явления описываются введением в ?ik(u) до-
дополнительных членов, пропорциональных компонентам тензора
деформации. Соответствующие формулы имеют вид, совпадаю-
совпадающий с формулами A6.1) и A6.6), которые были написаны для
статической диэлектрической проницаемости, с той лишь разни-

510	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
цей, что стоящие в них коэффициенты являются теперь функ-
функциями частоты. Так, при деформации изотропного тела
eik = ?@Ч/с + агщк + a2uu5ik.	A02.1)
Коэффициенты а\(ш) и 0,2@0) называют упругооптическими по-
постоянными.
Другой случай — это возникновение оптической анизотропии
в неоднородно движущейся жидкости. Соответствующее общее
выражение диэлектрического тензора
представляет собой первые члены разложения e^fc по степе-
степеням производных скорости v(r). Условие отсутствия поглоще-
поглощения (зрмитовость Sik) требует вещественности коэффициентов
Ai(cj) и A2(cj). Величина же е°(ш) — диэлектрическая прони-
проницаемость неподвижной жидкости. В несжимаемой жидкости
dvi/dxi = divv = 0, и два последних члена в A02.2) дают при
упрощении нуль.
При изучении электромагнитных свойств движущейся жид-
жидкости следует использовать совместно формулы электродинами-
электродинамики движущихся диэлектриков G6.9)-G6.11) (со скоростью v, за-
зависящей от координат) и выражение A02.2). При этом, однако,
членами, содержащими одновременно скорость и ее производ-
производные, надо пренебрегать как лежащими за пределами точности
формул.
Второй и третий члены в A02.2) соответственно симметричен
и антисимметричен по индексам г, к. При вращении жидкости
как целого v = [Sir] (ft — угловая скорость вращения) и симмет-
симметричный член обращается в нуль. Антисимметричный же член
принимает вид ^e^/fi/, т. е. среда становится гиротропной с
вектором гирации
g = \2П.	A02.3)
В величину А2 вносят вклад два эффекта — дисперсия диэлек-
диэлектрической проницаемости и влияние на нее кориолисовых сил.
В системе отсчета, движущейся вместе с данным элементом
жидкости, амплитуда Ео монохроматической (в лабораторной
системе) волны вращается с угловой скоростью — S1, т. е. ста-
становится функцией времени, удовлетворяющей уравнению
В этом смысле волна становится квазимонохроматической, и
связь D и Е в ней дается формулой
D = s(lu)E + i^M*e-y	A02.4)
v )	dou dt	v	)

§102	ДИНАМООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ	511
(вывод которой отличается от вывода формулы (80.10) лишь тем,
что теперь f(uo) = e(w)). Подставив сюда значение производной
дЕо/dt и сравнив результат с определением вектора гирации g в
A01.16), найдем, что дисперсия дает в А2 вклад, равный de^/duo
(М.А. Player, 1976).
Если теперь представить А2 в виде
А2 = А« + d-f,	(Ю2.5)
duo
то А2 будет связано только с кориолисовыми силами (линейны-
(линейными по ft).
Как известно, во вращающейся системе отсчета роль гамиль-
гамильтониана системы играет разность
где Ж и */#мех — обычные операторы энергии и механического
момента системы (см. V, § 34); диэлектрическая проницаемость
вращающейся среды должна, в принципе, вычисляться по это-
этому гамильтониану. Но это выражение аналогично гамильтониану
системы в магнитном поле, написанному с точностью до линей-
линейных по Н членов:
Ж = J&Q — <Ж Н,
где Ж — оператор магнитного момента (см. III, § 113). Анало-
Аналогия становится буквальной, если в данной области частот вклад
в проницаемость возникает только от орбитального движения
электронов в атомах. Тогда Ж = е/Bтс)^мех (е = |е| — за-
заряд электрона) и оба гамильтониана отличаются друг от друга
только заменой ft на еН/Bгас). Ясно поэтому, что в таком слу-
случае будет
а?°(о;) = —/(w),	A02.6)
где f(uo) определено формулой A01.18) {Н.Б. Баранова,
Б.Я. Зельдович, 1978I).
Эффекты, связанные с коэффициентом Aj, имеют заметную
величину в таких объектах, как суспензии и коллоидальные рас-
растворы с анизотропными по форме частицами. При этом эффект
г) Подчеркнем в этой связи, что отличный от нуля коэффициент А^
может существовать уже в классической (не квантовой) теории. Известное
утверждение о независимости, в рамках классической теории, термодинами-
термодинамических свойств тел от кориолисовых сил при равномерном вращении (см. V,
§ 34) относится только к статистически равновесным свойствам. Диэлектри-
Диэлектрическая же проницаемость при ш ф 0 характеризует неравновесные, кинети-
кинетические свойства тел.

512	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	ГЛ. XI
связан с ориентирующим воздействием градиентов скорости на
взвешенные в жидкости частицы. Равномерное вращение таким
ориентирующим действием не обладает, поэтому в данном случае
А2 ^C Ai и последний член в A02.2) может быть опущен. Описы-
Описываемый лее членом с Ai эффект называют эффектом Максвелла.
В заключение обратим внимание на то, что член с Ai в A02.2)
не удовлетворяет обобщенному принципу симметрии кинетиче-
кинетических коэффициентов, согласно которому должно было бы быть
Sik(jjo\ v) = ?/сг(с<;; — v) (поскольку v — параметр, меняющий знак
при обращении времени). В этом, однако, нет необходимости.
Дело в том, что вывод этого принципа предполагает, что процес-
процессы, описываемые рассматриваемыми коэффициентами, являют-
являются единственным источником диссипации энергии в системе. Но
в данном случае наряду с диссипацией в переменном электромаг-
электромагнитном поле волны имеется еще и другой источник диссипации,
не имеющий никакого отношения к полю — внутреннее трение в
неоднородном потоке жидкости. С точки зрения теории обобщен-
обобщенных восприимчивостей член с Ai описывает отклик системы на
нелинейное взаимодействие — вклад в индукцию одновременно
от поля Е и от градиентов скорости 1). Равномерное же вращение
жидкости как целого не связано с дополнительной диссипацией;
поэтому член с А2 в A02.2), существующий и для такого враще-
вращения, удовлетворяет принципу симметрии: ^(о;; О) = Skii^', —ft).
Задача
Определить вращение плоскости поляризации волны, распространяю-
распространяющейся параллельно оси вращающегося диэлектрического тела.
Решение. Задача сводится к определению вектора гирации, кото-
который складывается аддитивно из двух частей: вклада A02.3) от изменения
диэлектрической проницаемости и ее дисперсии и из «кинематической» ча-
части, связанной с присутствием скорости в соотношениях G6.10), G6.11); эту
последнюю часть и надо вычислить.
В уравнениях Максвелла
rotE=—В, rotH = - —D, divB = 0, divD = 0	A)
с	с
выражаем Е и В через D и Н согласно соотношениям G6.10), G6.11) (с
II = 1), после чего преобразуем их, применив к первому уравнению операцию
rot и используя остальные уравнения. Получим:
AD + —D + ^—^ rot rot [vH] + га;(?~1) rot [Dv] = 0	B)
г) Существуют, в принципе, и другие эффекты подобного рода. Так, в
проводящей среде без центра инверсии допустимо существование в sik псев-
псевдотензорных членов вида ?ifcEH или HiEk -\-HkEi, где Е и Н — внешние по-
постоянные поля (Н.Б. Баранова, Ю.В. Богданов, Б.Я. Зельдович, 1977). Важ-
Важно, что эти члены, формально нарушающие принцип симметрии, возможны
лишь в проводящей среде, где постоянное электрическое поле приводит к
дополнительной диссипации.

§102	ДИНАМООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ	513
(пишем здесь е вместо ?^\ как это надо было бы писать в соответствии с
обозначениями в тексте параграфа); поскольку все формулы справедливы
лишь с точностью до членов первого порядка по v, члены более высокого
порядка опущены.
Два последних члена в уравнении B) дают искомый эффект. Раскрыва-
Раскрываем их, подставив v = [Пг]; тогда
rot [vH] = -[НП], rot [Dv] = [DO].
После осуществления этих дифференцирований координатная зависимость
всех оставшихся величин сводится к множителям егкг, причем к || ft (по усло-
условию задачи). Наконец, заметив, что в нулевом приближении по v имеем
обычные соотношения Н = с\кЩ/ш, к2 = еио2/с2, после вычисления приве-
приведем уравнение B) к виду
—D + 2ioj^-[T>Q] = 0
с2	с2
[] 0)
?	us2
где Uq = s, an — коэффициент преломления во вращающемся теле. Сравнив
C) с A01.11) и A01.17), найдем, что искомый «кинематический» вклад в
вектор гирации равен
(Е. Fermi, 1923). Вращение плоскости поляризации волны определяется сум-
суммарным вектором
oj duo
Отметим, что в пределе больших частот, когда атомные электроны в веще-
веществе можно считать свободными, г дается выражением G8.1), и первые два
члена в скобках взаимно сокращаются.
17 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

ГЛАВА XII
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ
§ 103. Пространственная дисперсия
До сих пор при обсуждении диэлектрических свойств веще-
вещества мы предполагали, что значение индукции D(?, г) определя-
определяется значениями напряженности электрического поля E(t', r) в
той же точке пространства г, хотя (при наличии дисперсии) и не
только в тот же, но и во все предшествующие моменты време-
времени tf ^ ъ. Такое предположение справедливо не всегда. В общем
случае значение D(t, г) зависит от значений E(t/,r/) в некоторой
области пространства вокруг точки г. Линейная связь D с Е
записывается тогда в виде, обобщающем выражение G7.3):
Di{t, г) = Ei(t, r) + JJ fik(r; r, r')Ek(t - т, г') dV dr; A03.1)
она представлена здесь сразу в форме, относящейся и к анизо-
анизотропной среде. Такая нелокальная связь является проявлением,
как говорят, пространственной дисперсии (в этой связи обыч-
обычную — рассмотренную в § 77 — дисперсию называют временной
или частотной). Для монохроматических компонент поля, зави-
зависимость которых от i дается множителями e~lujt, эта связь при-
принимает вид
А(г) = Ei(r) + J fik(u; v, г')Як(г') dV.	A03.2)
Отметим сразу, что в большинстве случаев пространствен-
пространственная дисперсия играет гораздо меньшую роль, чем временная.
Дело в том, что для обычных диэлектриков ядро /^ интеграль-
интегрального оператора существенно убывает уже на расстояниях |г — г'|,
больших только по сравнению с атомными размерами а. Между
тем макроскопические поля, усредненные по физически беско-
бесконечно малым элементам объема, по определению должны мало
меняться на расстояниях ~ а. В первом приближении можно тог-
тогда вынести Е(г') « Е(г) из-под знака интеграла по dVf в A03.1),
в результате чего мы вернемся к G7.3). В таких случаях про-
пространственная дисперсия может проявиться только в качестве

§ 103	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	515
малых поправок. Но эти поправки, как мы увидим, могут приво-
приводить к качественно новым физическим явлениям и потому быть
существенными.
Другая ситуация может иметь место в проводящих средах
(металлы, растворы электролитов, плазма): движение свободных
носителей тока приводит к нелокальности, простирающейся на
расстояния, которые могут быть велики по сравнению с атомны-
атомными размерами. В таких случаях существенная пространственная
дисперсия может иметь место уже в рамках макроскопической
теории 1).
Проявлением пространственной дисперсии является и допле-
ровское уширение линии поглощения в газе. Если неподвижный
атом имеет на частоте coq линию поглощения с пренебрежимо ма-
малой шириной, то для движущегося атома эта частота сдвигается,
в силу эффекта Доплера, на величину kv, где v — скорость ато-
атома (и «С с). Это приводит в спектре поглощения газа как целого к
появлению линии ширины Асо ~ kvj^ где vt — средняя тепловая
скорость атомов. В свою очередь, такое уширение означает, что
диэлектрическая проницаемость газа имеет существенную про-
пространственную дисперсию при k > \ш — ujq\/vt-
В связи с формой записи A03.1) необходимо сделать следую-
следующее замечание. Никакие соображения симметрии (простран-
(пространственной или временной) не могут исключить возможности элек-
электрической поляризации диэлектрика в переменном неоднородном
магнитном поле. В связи с этим может возникнуть вопрос о том,
не следует ли дополнить правую часть равенства A03.1) или
A03.2) членом с магнитным полем. В действительности, однако,
в этом нет необходимости. Дело в том, что поля Е и В нельзя
считать полностью независимыми. Они связаны между собой
(в монохроматическом случае) уравнением rotE = —В. В си-
с
лу этого равенства зависимость D от В можно рассматривать
как зависимость от пространственных производных Е, т. е. как
одно из проявлений нелокальности.
При учете пространственной дисперсии представляется целе-
целесообразным, не умаляя степени общности теории, писать урав-
г) Для изотропной проводящей среды условия пренебрежения простран-
пространственной дисперсией могут оказаться различными для поперечной и про-
продольной проницаемостей. В первом случае характерным расстоянием го, на
котором ядро интеграла в A03.2) отлично от нуля, является меньшая из
величин v/uj или /, где v — средняя скорость носителей тока, / — их длина
свободного пробега. Для продольной проницаемости го совпадает с меньшей
из величин v/uo или (Iv/ljI'2 (последняя длина есть расстояние, которое но-
носители тока проходят вдоль поля за счет диффузии за время ~ 1/^5 коэф-
коэффициент диффузии D rsj [vy Пространственная дисперсия несущественна,
если кго <С 1.
17*

516	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	ГЛ. XII
нения Максвелла в виде
rotE = -1^1, divB = 0,	A03.3)
с ot
rotB = - —, divD = 0,	A03.4)
не вводя наряду со средней напряженностью магнитного поля
h = В еще и другую величину Н. Вместо этого все члены, возни-
возникающие в результате усреднения микроскопических токов, пред-
предполагаются включенными в определение D. Использовавшееся
ранее разделение среднего тока на две части согласно G9.3), во-
вообще говоря, не однозначно. В отсутствие пространственной дис-
дисперсии оно фиксируется условием, чтобы Р было электрической
поляризацией, локальным образом связанной с Е. В отсутствие
такой связи удобнее полагать М = 0, В = Н и
PV = f^	(Ю3.5)
чему и отвечает представление уравнений Максвелла в виде
A03.3), A03.4J).
Компоненты тензора /^(о;;г, г') — ядра интегрального опе-
оператора в A03.2) — удовлетворяют соотношениям симметрии
fik(GU-r,rf) = fki(ou-rf,r).	A03.6)
Это следует из таких же рассуждений, которые были проведены
в § 96 для тензора Ецъ(оо). Разница состоит только в том, что
перестановка индексов а, о в обобщенных восприимчивостях ааъ,
означающая перестановку как тензорных индексов г, А;, так и
точек гиг', приводит теперь к перестановке соответствующих
аргументов в функциях /^(о;; г, г') 2).
Ниже мы будем рассматривать неограниченную макроскопи-
макроскопически однородную среду. В таком случае ядро интегрального опе-
) В свете сказанного молено с несколько иной точки зрения взглянуть на
сделанное в § 79 утверждение о потере смысла проницаемостью fi в области
оптических частот. В этой области эффекты, связанные с отличием магнит-
магнитной проницаемости от 1, вообще говоря, неотличимы от эффектов простран-
пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости. Вместе с тем следует
иметь в виду, что принятое здесь определение Р, при котором М = 0, не
является единственным. Оно удобно в случае неограниченной однородной
среды, о которой идет речь ниже в этой главе. В других случаях может
оказаться целесообразным вводить Р и М одновременно.
2) Как всегда при применении обобщенного принципа симметрии кине-
кинетических коэффициентов, если тело находится во внешнем магнитном поле
или обладает магнитной структурой, правая часть соотношения A03.6) дол-
должна быть взята при измененном знаке поля или для обращенной по времени
структуры.

§ 103	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	517
ратора в A03.1) или A03.2) зависит только от разности р = г —
— г'. Функции D и Е целесообразно разложить тогда в интеграл
Фурье не только по времени, но и по координатам, сведя их к
совокупности плоских волн, зависимость которых от г и i да-
дается множителем ехр [г(кг — out)}. Для таких волн связь D и Е
принимает вид
()	A03.7)
где
eik(u>, k) = Sik+ J J fik(r, p)e*(WT-k') Spdr.	A03.8)
о
В таком описании пространственная дисперсия сводится к появ-
появлению зависимости тензора диэлектрической проницаемости от
волнового вектора.
«Длина волны» \/к определяет расстояния, на которых поле
существенно меняется. Молено сказать поэтому, что простран-
пространственная дисперсия является выражением зависимости макро-
макроскопических свойств вещества от пространственной неоднород-
неоднородности электромагнитного поля, подобно тому, как частотная
дисперсия выражает зависимость от временного изменения по-
поля. При к —>• 0 поле стремится к однородному, соответственно
чему ?^(о;,к) стремится к обычной проницаемости ?ik(ooI).
Из определения A03.8) видно, что
eifc(-w,-k)=e3k(w,k)	A03.9)
— соотношение, обобщающее G7.7). Симметрия лее A03.6), вы-
выраженная в терминах функций ?^(о;,к), дает теперь
eik(u, к; $з) = еы(ш, -к; -Sj),	A03.10)
где в явном виде выписан параметр 9} — внешнее магнитное по-
поле, если таковое имеется. Если среда обладает центром инверсии,
компоненты ?{к являются четными функциями вектора к; акси-
аксиальный лее вектор при инверсии не меняется и потому равенство
A03.10) сводится к
eik(uJ,k;Sj) = eki(uJ,k;-Sj).	A03.11)
Пространственная дисперсия не сказывается на выводе фор-
формулы (96.5) для диссипации энергии. Поэтому условие отсут-
отсутствия поглощения по-прежнему выражается зрмитовостью тен-
тензора ?ik((j0,k).
г) Более точно — зависимость от к исчезает при kro <^i 1, где tq — размеры
области, в которой fik(u),p) существенно отлично от нуля.

518	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	ГЛ. XII
При наличии пространственной дисперсии диэлектрическая
проницаемость является тензором (а не скаляром) далее в изо-
изотропной среде: выделенное направление создается волновым век-
вектором. Если среда не только изотропна, но обладает также и
центром инверсии, тензор е^ может быть составлен только из
компонент вектора к и единичного тензора Sik (при отсутствии
центра симметрии может стать возможным также и член с еди-
единичным антисимметричным тензором е^/; см. § 104). Общий вид
такого тензора молено записать как
eik(u,k) = et(u,k) (Sik - ^) +ei(u,k)^,	A03.12)
где St и s\ зависят только от абсолютной величины волнового век-
вектора (и от си). Если напряженность Е направлена по волновому
вектору, то индукция D = ?/Е; если лее Е _L k, то D = ?^Е. Соот-
Соответственно, величины е\ и St называют продольной и поперечной
проницаемостями. При к —»> 0 выражение A03.12) должно стре-
стремиться к значению E(cj)Sik, не зависящему от направления к; ясно
поэтому, что
ei(w,0) = et(w,0)=e(w).	A03.13)
Описание электромагнитных свойств изотропной среды с помо-
помощью проницаемостей е\ и St отвечает уравнениям Максвелла,
представленным в виде A03.3), A03.4). С другой стороны, при
к —> 0, когда пространственная дисперсия исчезает, молено вер-
вернуться к описанию с помощью проницаемостей е и \i. Поэто-
Поэтому меледу теми и другими величинами существует определенная
связь (см. задачу 1).
Аналогия меледу формулами A03.8) и G7.5) позволяет пе-
перенести на каледую из компонент е^(о;,к) как функцию ком-
комплексной переменной ио результаты исследования аналитических
свойств, произведенного в § 77, 82. Они являются аналитически-
аналитическими функциями, не имеющими особенностей в верхней полуплос-
полуплоскости c<j, и удовлетворяют (при каледом фиксированном значе-
значении к) дисперсионным соотношениям Крамерса-Кронига. То лее
самое относится и к функциям ei(uj,k) и Et(w,k) в A03.12). При
этом надо иметь в виду, что функция е\ при к ф 0 не стремится
при шчОк бесконечности далее в проводящей среде, и потому
вычитание (которое было необходимо при выводе (82.9)) здесь
не требуется; обращение e{lS) в проводнике в бесконечность при
ио —»> 0 связано с однородностью (к = 0) статического поля.
Средняя по времени (в объясненном в § 80 смысле) плотность
энергии электромагнитного поля в прозрачной среде с простран-
пространственной дисперсией выражается прежней формулой (96.6); по-

§ 103	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	519
скольку теперь \i = 1, то
\^UEiEl + |В|2]	A03.14)
U
(Е и В предполагаются представленными в комплексном виде).
В плотности же потока энергии в такой среде появляется допол-
дополнительный член:
S = f-Re[E*B] - rf ^ВД-	A03.15)
8тг	1 бтг дк
Эта формула выводится путем обобщения вывода формулы
(80.11): теперь надо рассматривать волну, размытую как по
небольшому интервалу частот, так и по направлениям волнового
вектора (см. задачу 2).
Задачи
1. Найти связь между функциями s(o;), /i(cj) и предельными значениями
функций et((jj,k), et(uj,k) при к —»> 0.
Решение. Сравним выражения усредненного микроскопического
тока jov в виде A03.5) и G9.3). Для монохроматического поля имеем в первом
случае
а во втором:
	[
4тг
4тг	4тг
Подставив в первое выражение ?г&(^5к) из A03.12), а во второе Н =
= (c/cj/i) [кЕ] согласно уравнению Максвелла и приравняв оба выражения
друг другу, получим равенство
et(w,k) = е(и>) + к2(с2/и2) A - 1/VH), ez(w,k) = е(и>).
Из этой формулы видно, что наличие магнитной восприимчивости приводит
к появлению пропорционального к2 члена в St- Существенно, однако, что
в St и si имеются, вообще говоря, и другие члены порядка к2. Введение
магнитной восприимчивости имеет смысл, если содержащий fi член является
основным. Ввиду наличия ои2 в знаменателе, это заведомо имеет место при
lj —>¦ 0. На высоких частотах, напротив, введение ц не имеет смысла, как это
уже было объяснено в § 79.
2. Вывести формулу A03.15) для средней (по времени) плотности потока
энергии в среде с пространственной дисперсией.
Решение. Исходим, как и в § 80, из равенства (80.2), положив в
нем Н = В (в соответствии с описанием поля уравнениями A03.3), A03.4)),
представив все величины в комплексном виде и усреднив по времени:
-div — Re[EH*] = — Re^E*— + B*— ] .	A)
8тг L J 8тг V dt	dt J	У J
Рассматриваем почти монохроматическую плоскую волну, в которой
где Ео(?, г) — функция, медленно меняющаяся в пространстве и во времени.
Производную dDi/dt пишем в виде fikEk, введя оператор
fik = ^-eik;	B)
at

520	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	ГЛ. XII
при воздействии на строго монохроматическую во времени и пространстве
волну:	^
fikEk = fikEk = -iweik(w,k)Ek.
Разложив Eo(?5r) в интеграл Фурье по времени и координатам, представим
ее в виде наложения компонент вида
¦g	z(qr-at)
причем a ^C cjo, q ^C ко- Далее поступаем, как при выводе формулы (80.10).
Воздействуя оператором B) на функцию
Ea;0+Q;,k0+q = Eoaq 6Хр [г(к0 + q)r - i(oJO + a)t],
пишем:
= /ifc(wo + a,k0 ¦
hq	—	 Ewo+a>ko+q.
ak0 J
Произведя теперь обратное суммирование компонент Фурье, подставив
/ifc(a;,k) = — iou?ik(ujjK) и опустив индекс 0 у ujq и ко, получим
o.		*"'—™ ' I	о	о.	" oi ' —"^ I ~	V /
Второй член в квадратных скобках отличает это выражение от (80.10). Под-
Подставив C) в равенство A), приведем последнее к виду закона сохранения
энергии
^ = "dlVS
с пи S из A03.14), A03.15).
§ 104. Естественная оптическая активность
Если пространственная дисперсия слаба, тензор e^(a;,k)
можно разложить по степеням к. Для обычных конденсирован-
конденсированных диэлектрических сред это есть разложение по степеням а/А,
где а — атомные размеры, Л — длина волны поля.
С точностью до членов первого порядка малости такое раз-
разложение имеет вид
где е\к = Sik((jo,0), а 7г/с/ ~~ некоторый тензор третьего ранга,
зависящий от частоты (при ио —)> 0 компоненты этого тензора,
не связанного с каким-либо разложением по cj, стремятся к пос-
постоянным значениям). Отвечающая проницаемости A04.1) связь
между D и Е в монохроматическом (coe~lujt) поле в координат-
координатном представлении имеет вид
A04.2)

§ 104	ЕСТЕСТВЕННАЯ ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ	521
Применив к A04.1) требование симметрии A03.10), найдем
(в отсутствие внешнего поля):
7шИ = -7ыИ-	(Ю4.3)
Условие лее зрмитовости в отсутствие диссипации дает 7*/~/ —
— ~lkil\ вместе с A04.3) отсюда находим, что 7*&/ — 7ш- Таким
образом, условие отсутствия поглощения требует вещественно-
вещественности тензора 7ш-
Если, следуя введенным в § 97 обозначениям, представить
волновой вектор плоской волны в виде к = cjn/с, выражение
A04.1) запишется в виде
sik = s^+i^iklni.	A04.4)
Введем вместо антисимметричного тензора второго ранга
Ъып1 дуальный ему аксиальный вектор гирации g согласно
-ЪыЩ = еша,	A04.5)
с
т. е. напишем е^ в виде
4l)	A04.6)
формально совпадающем с использованной в § 101 формой запи-
записи. Разница заключается в том, что там вектор g зависел только
от свойств среды (и приложенного магнитного поля), между тем
как здесь вектор гирации зависит и от волнового вектора поля.
Согласно A04.5) компоненты этого вектора являются линейны-
линейными функциями компонент п:
gi = giknk.	(Ю4.7)
Подставив A04.7) в A04.5), найдем
откуда ввиду произвольности п
-likl = eikmgml,	A04.8)
с
чем устанавливается связь между компонентами истинного тен-
тензора третьего ранга 7ш и псевдотензора второго ранга gik1)-
Конкретная кристаллографическая симметрия тела накла-
накладывает определенные ограничения на компоненты тензора
компонентах
0J	0J	0J
gxx = ^(yzx-j gxy = ^(yzyi gyx = 'Jzxx И Т. Д.
С	С	С

522	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ
(или gik) и, в частности, может приводить к тождественному
равенству нулю всех компонент. Так, тензор 7ш не может суще-
существовать у тел, обладающих центром симметрии. Действительно,
при изменении знака всех трех координат (инверсии) все компо-
компоненты тензора третьего ранга (и соответственно псевдотензора
второго ранга) меняют знак, между тем как симметрия тела тре-
требовала бы их неизменности при этом преобразовании.
О телах с отличным от нуля тензором g^ говорят, что они
обладают естественной оптической активностью или есте-
естественной гиротропией. Таким образом, существование оптичес-
оптической активности во всяком случае требует отсутствия у тела цент-
центра симметрии.
Рассмотрим сначала естественную оптическую активность
изотропных тел. Если жидкость (или газ) состоит из вещества,
не имеющего стереоизомеров, то она симметрична не только по
отношению к любому повороту, но и по отношению к отраже-
отражению (инверсии) в любой точке, и естественная активность в ней
исключена. Оптически активными являются лишь жидкости из
веществ с двумя стереоизомерными формами, причем оба изоме-
изомера должны содержаться в жидкости в различных количествах;
такая жидкость не обладает центром симметрии.
В изотропном теле (а также в кристаллах с кубической сим-
симметрией) псевдотензор g^ сводится к псевдоскаляру:
gik = А/с, Ъы = -feiki-	A04.9)
Псевдоскаляр есть величина, меняющая знак при инверсии ко-
координат. Два стереоизомерных вещества формально переходят
друг в друга в результате операции инверсии; поэтому их значе-
значения величины / имеют противоположные знаки.
Таким образом, у оптически активного изотропного тела век-
вектор гирации g = /n, и связь между индукцией и напряженно-
напряженностью электрического поля волны дается формулой
.	A04.10)
Так как Dn = 0, то отсюда следует, что и En = 0. Другими сло-
словами, в такой волне поперечна (по отношению к направлению п)
не только индукция D, как во всякой среде, но и напряжен-
напряженность Е.
Изменение показателя преломления п при учете естественной
активности вещества является малой величиной. Поэтому при
ее определении молено положить в малом члене [Eg] в A04.10)
п = щ = VeW. Тогда задача о вычислении разности п — щ
формально совпадает с рассмотренной в § 101 задачей об изме-
изменении п под влиянием магнитного поля, отличаясь от нее лишь
смыслом вектора g и тем, что он всегда параллелен направлению

§ 104	ЕСТЕСТВЕННАЯ ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ	523
п (ось z в § 101). Поэтому по аналогии с формулой A01.19) мы
можем сразу написать
nl = nl±g = nl±fn0.	A04.11)
Этим двум значениям соответствуют (ср. A01.21)) следующие
отношения обеих компонент вектора Е (или D):
Ex = ±iEy,	A04.12)
т. е. круговая левая и правая поляризация волн. Отметим также,
что величина вектора п не зависит от его направления; поэтому
направления п и лучевого вектора s совпадают.
Таким образом, мы видим, что оптические свойства естест-
естественно-активного изотропного тела имеют сходство со свойства-
свойствами, приобретаемыми неактивным телом в магнитном поле: оно
обладает двойным круговым преломлением, а при распростране-
распространении в нем линейно поляризованной волны происходит вращение
ее плоскости поляризации. Угол вращения на единицу длины пу-
пути луча равен oof /2с.
У двух стереоизомерных модификаций вещества знак посто-
постоянной /, а с нею и направления вращения, противоположен; в
связи с этим говорят о право- и левовращающих стереоизомерах.
В отличие от вращения плоскости поляризации в магнитном
поле, в естественно-активных веществах величина и знак враще-
вращения не зависят от направления распространения луча. Поэтому,
если линейно поляризованный световой луч проходит дважды —
туда и обратно — один и тот же путь в естественно-активной
среде, то в результате он окажется поляризованным в первона-
первоначальной плоскости.
Перейдем к естественно-активным кристаллам. Не входя
здесь в систематический разбор всех возможных случаев сим-
симметрии (см. задачу к этому параграфу), отметим, что есте-
естественная активность исключается наличием центра симметрии,
но она возможна при существовании плоскости симметрии или
зеркально-поворотной оси. Подчеркнем, что условия существова-
существования естественной активности у кристаллов не совпадают, следо-
следовательно, с условиями, допускающими существование кристал-
кристаллов в двух зеркально-изомерных (энантиоморфных) формах;
последние являются более жесткими и требуют отсутствия не
только центра, но и плоскостей симметрии. Таким образом, кри-
кристалл может быть оптически активным и в то же время совпа-
совпадать со своим зеркальным изображением.
В естественно-активном кристалле (одно- или двухосном) при
распространении света с произвольным направлением волнового
вектора мы имеем дело практически с обычным двойным пре-
преломлением линейно поляризованных волн; учет активности сво-
сводится в основном к замене строго линейной поляризации на зл-

524	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	ГЛ. XII
липтическую с малым (первого порядка малости) отношением
осей.
Исключение составляют лишь направления оптических осей,
вдоль которых, без учета активности, оба корня уравнения Фре-
Френеля совпадают. В этих направлениях явление естественной ак-
активности кристаллов аналогично активности изотропных тел:
имеет место двойное круговое преломление первого порядка и
соответственное вращение плоскости поляризации линейно по-
поляризованных волн. При отклонении волнового вектора от на-
направления оптической оси эти явления быстро спадают.
Для количественного расчета явлений естественной активно-
активности в кристаллах удобнее пользоваться не выражением D через
Е, а обратными формулами, выражающими Е через D (как мы
это делали и в § 101). С точностью до величин первого порядка
эти формулы гласят:
A04.13)
где вектор G связан с ранее введенным вектором g соотношением
(см. A01.9)). Ввиду формального совпадения этого выражения с
выражением A01.7) остаются без изменения также и уравнения
A01.11), A01.12). В этих уравнениях Gz есть проекция вектора
G на направление п. Если представить G в виде
Gi = Giknk	A04.14)
(аналогичном A04.7)), то эта проекция пропорциональна
nG = Gikriink.	A04.15)
Этой квадратичной формой определяются оптические свойс-
свойства естественно-активного кристалла. Сам по себе тензор G{k не
должен обязательно быть симметричным, но если разделить его
на симметричную и антисимметричную части, то при образова-
образовании формы A04.15) антисимметричная часть выпадает. Поэто-
Поэтому при исследовании оптических свойств естественно-активных
кристаллов можно считать тензор Gik симметричным.
Задача
Найти ограничения, налагаемые кристаллической симметрией на ком-
компоненты тензора Gik-
Решение. При всяком повороте псевдотензор Gik ведет себя как
истинный тензор; в частности, наличие оси симметрии выше второго поряд-
порядка приводит, как и для истинного симметричного тензора второго ранга, к
полной изотропии в плоскости, перпендикулярной к оси. Поведение же псев-
псевдотензора Gik при отражениях определяется тем, что он дуален истинному
тензору третьего ранга: при всяком отражении, меняющем знак компоненты

§ 105	ДИСПЕРСИЯ В ОПТИЧЕСКИ НЕАКТИВНЫХ СРЕДАХ	525
истинного тензора второго ранга, такая же компонента Gik остается неиз-
неизменной, и наоборот. Так, при отражении в плоскости yz компоненты Gxx,
Gzz, Gyz меняют знак, a Gxy, Gxz остаются неизменными.
Ниже указаны неисчезающие компоненты тензора Gik для всех кристал-
кристаллических классов, допускающих естественную активность. Ось z выбрана
вдоль оси симметрии третьего, четвертого или шестого порядка или вдоль
единственной оси второго порядка (в классах С2, С^), а в классе Cs —
перпендикулярно к плоскости симметрии; при наличии трех взаимно пер-
перпендикулярных осей симметрии координатные оси совпадают с ними.
Класс С\: все компоненты Gik-
Класс Сч\ Gxx, Gyy, Gzz, Gxy\ надлежащим выбором осей ж, у можно
обратить Gxy в нуль.
Класс Cs: Gxz, Gyz\ надлежащим выбором осей ж, у можно обратить
одну из этих величин в нуль.
Класс Civ'- Gxy (плоскости xz и yz совпадают с плоскостями симметрии).
Класс D2: Gxx, Gyy, Gzz.
Классы Сз, С4, Св, D3, D4, D6: Gxx = Gyy, Gzz.
Класс &: Gxx = —Gyy, Gxy\ надлежащим выбором осей ж, у можно
обратить одну из этих величин в нуль.
Класс Did- Gxy (оси ж, у лежат в вертикальных плоскостях симметрии).
Классы Т, О: Gxx = Gyy = Gzz.
Отметим, что в одноосных кристаллах классов & и Did скаляр A04.15)
обращается в нуль, если вектор п направлен вдоль оси z, поскольку Gzz = 0.
Это значит, что в этих кристаллах отсутствуют эффекты естественной ак-
активности вдоль оптической оси.
В двухосном кристалле класса Civ оптические оси лежат в одной из
плоскостей симметрии. Но для векторов п, лежащих в плоскостях xz или yz,
скаляр A04.15) в данном случае тоже обращается в нуль, так что и здесь эф-
эффекты вдоль оптических осей отсутствуют. Единственным кристаллическим
классом, допускающим явление вращения плоскости поляризации вдоль оп-
оптической оси и в то же время не допускающим знантиоморфизм, является
моноклинный класс Cs-
§ 105. Пространственная дисперсия
в оптически неактивных средах
В кристаллах, симметрия которых не допускает естественной
оптической активности, первые (после нулевого) члены разложе-
разложения проницаемости ?^(о;,к) по степеням к оказываются квадра-
квадратичными.
Как обычно в кристаллооптике, для дальнейшего использова-
использования удобнее писать это разложение для обратного тензора тц^ =
= е^к . Напишем его в виде
.	A05.1)
Тензор ftikim молено считать симметричным по второй паре ин-
индексов, поскольку он умножается на симметричное произведение
к\кш. В силу же A03.10) (с 9у = 0) тензор flikim симметричен и
по первой паре индексов:
Piklm — Pkilm = A/cm/-	A05.2)

526	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	ГЛ. XII
Он, однако, не должен быть симметричным по отношению к пе-
перестановке обеих пар. В отсутствие поглощения из зрмитовости
тензора т\{к и его симметричности следует, что тензор /Зшш ве-
веществен, что и предполагается ни лее.
В изотропной среде тензор /Зшш должен выражаться только
через единичный тензор, т. е. имеет вид
Piklm = PlSikSlm + -^{SilSkm + hl$im)]
он содержит только две независимые компоненты. В изотроп-
изотропном теле также и гцк = ?7 $г/с и? таким образом, тензор A05.1)
принимает вид
Vik = (v{0) + Cik2Mik + C2kikk,	A05.3)
в соответствии с общим выражением A03.12) диэлектрическо-
диэлектрического тензора в изотропной среде с пространственной дисперсией.
Распространение волн в среде определяется уравнениями (97.21).
Но при подстановке A05.3) в эти уравнения анизотропный член
с /?2 выпадает ввиду ортогональности векторов D и к в плос-
плоской волне, т. е. среда остается, как и должно быть, оптически
изотропной.
Но уже в кубических кристаллах тензор ft/c/m не сводится к
единичному тензору; в зависимости от кристаллического клас-
класса он имеет для этих кристаллов 3 или 4 независимые компо-
компоненты. Без учета пространственной дисперсии кубические крис-
кристаллы оптически изотропны; учет квадратичной по к дисперсии
приводит к появлению в них нового свойства — оптической ани-
анизотропии (Н.A. Lorentz, 1878).
В кубическом кристалле тц^ = Sik?^ и разложение A05.1)
принимает вид
Vik = -^jSik + Sikimkkm.	A05.4)
Подставив это выражение в уравнения (97.21), получим
р = 0,	A05.5)
где 71q = ?^°\ а ось хз декартовой системы координат xi, X2,
хз направлена вдоль волнового вектора. По смыслу разложения
A05.4), второй член в квадратных скобках в этих уравнениях на-
надо рассматривать как малую поправку (об особом случае обраще-
обращения 1/tvq в нуль см. § 106). Тогда в нем молено заменить п? на п§\
)р = 0.	A05.6)

§ 106	ДИСПЕРСИЯ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ПОГЛОЩЕНИЯ	527
Эти уравнения — такого же вида, как и для волн в неку-
некубическом кристалле без учета пространственной дисперсии. Их
определитель представляет собой квадратное по п~2 уравнение,
определяющее показатели преломления двух волн с одинаковым
направлением к и различными поляризациями. Таким образом,
пространственная дисперсия в кубическом кристалле снимает
«вырождение по поляризации» — скорости двух волн становятся
различными и зависящими от направления.
В конце § 84 была упомянута возможность существования
продольных электромагнитных волн в прозрачной изотропной
среде. Последовательная формулировка условия, определяюще-
определяющего связь между частотой и волновым вектором (закон диспер-
дисперсии) этих волн, требует учета пространственной дисперсии; оно
гласит
ei(w,k) = 0.	A05.7)
При малых к решение этого уравнения имеет вид
ш(к) = оию + -ак2,	A05.8)
где а — постоянная, a cj/q — значение частоты, обращающее в
нуль проницаемость е(ш) = ?/(о;,0). При этом скорость распро-
распространения волны
и = — = ак	A05.9)
дк	v )
пропорциональна первой степени волнового вектора.
Задача
Найти соотношения между компонентами тензора РгЫт в негиротроп-
ных кристаллах кубической системы.
Решение. Естественная гиротропия отсутствует в кристаллических
классах Td, Th, Oh-
В классах Td и Th выбираем оси х, у, z по трем осям симметрии 2-го
порядка. Отличные от нуля компоненты тензора:
Р\ = Рхххх — Руууу — Pzzzz-s Pi = Pxxzz — Руухх — Pzzyys
РЗ = Рхуху = Pyzyz = Pzxzxt РА = Pzzxx = Рххуу = Pyyzz-
В классе Oh три оси Съ становятся осями С4, в результате чего допол-
дополнительно становится /З2 =/34-
§ 106. Пространственная дисперсия
вблизи линии поглощения
В двух предыдущих параграфах эффекты пространственной
дисперсии рассматривались как малые поправки, как это обычно
и имеет место. Ситуация меняется, однако, вблизи узкой линии
поглощения в кристалле, где согласно (84.7) е^(ш) резко возрас-

528	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ	ГЛ. XII
тает. В этой области учет пространственной дисперсии меняет
картину далее качественно.
Дело в том, что добавление в диэлектрическую проницае-
проницаемость членов со степенями к повышает порядок алгебраическо-
алгебраического дисперсионного уравнения, определяющего зависимость к(ио).
Поэтому при формальном его решении возникают дополнитель-
дополнительные корни. Вдали от линии поглощения эти корни лежат в облас-
области больших &, т. е. вне области применимости теории, и потому
должны быть отброшены. Но вблизи линии поглощения прони-
проницаемость меняется существенно уже при малых к и могут воз-
возникнуть дополнительные корни, имеющие реальный физический
смысл, т. е. возникают новые поперечные волны.
Мы ограничимся, для простоты, рассмотрением изотропных
сред и начнем со случая, когда среда не гиротропна — не об-
обладает естественной оптической активностью {СИ. Пекар, 1957;
В.Л. Гинзбург, 1958).
Как уже было указано в предыдущем параграфе, изотроп-
изотропная среда остается оптически изотропной и при учете простран-
пространственной дисперсии. Это значит, что закон дисперсии попе-
поперечных электромагнитных волн в такой среде дается обычным
уравнением п2 = е, причем под е надо понимать поперечную
проницаемость et:
n2 = et(w,k).	A06.1)
В § 103 было указано, что как функции частоты Et(uo,k)
и ei(uo,k) удовлетворяют тем же соотношениям Крамерса-Кро-
нига, что и функция е(ио) без пространственной дисперсии. По-
Поэтому можно утверждать, что вблизи линии поглощения функ-
функция st(cj, k) имеет такой же вид, как и в (84.7), но с постоянными,
зависящими от к] запишем ее в виде
et(u,k)= f(fc) , A(k)>0.
Если величина А относительно мала1), то может иметь смысл
учесть, наряду с полюсным членом, также и постоянный (не за-
зависящий от си) член в Et\ обозначим его через а(к) и будем счи-
считать, что а > 0, т. е. вдали от линии поглощения среда оптически
прозрачна. Теоретическая допустимость одновременного учета
постоянного и полюсного членов в St требует, чтобы они сравни-
сравнивались друг с другом в области частот \ш — uot\ <С о^, где только
и применимо полюсное выражение; другими словами, должно
быть А <С
2) Например, в силу каких-либо приближенных правил отбора, уменьшаю-
уменьшающих матричные элементы, определяющие значение А.

§ 106	ДИСПЕРСИЯ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ПОГЛОЩЕНИЯ	529
Поскольку к по-прежнему предполагается малым, молено раз-
разложить функции по его степеням. При этом достаточно заменить
а(к) и А(к) постоянными значениями а = а@) > 0, А = А@) > 0,
оставив поправочный член лишь в разложении функции u)t(k) в
малой разности uot — ш\
Тогда проницаемость:
et(u,k) = a+—^-	.	A06.2)
(jJq + VK1 — UJ
Отметим, что это выражение как функция частоты проходит че-
через нуль в области ио > uot. При к = 0 это происходит при ио =
= c<j/q = ujq + А/а. Поскольку при к = 0 проницаемости et и е\
совпадают, то c<j/o есть предельная (при к -л 0) частота продоль-
продольной волны (ср. A05.8)). Корень же функции Et(<jo,k) при к ф 0
прямого физического смысла не имеет.
Дисперсионное уравнение A06.1) принимает теперь вид
(п2 - а)(/3п2 - ш + шо) = А,	A06.3)
где введено обозначение /3 = иш2/с2 « z/cjq/c2; эта величина
может иметь оба знака. Решения этого уравнения можно рас-
рассматривать как результат пересечения двух ветвей спектра —
обычный световой волны с п2 = а и волны с п2 = (ио — c<jo)//3,
связанной с полюсом диэлектрической проницаемости; эти ветви
показаны на рис. 58 штрихпунктирными прямыми. «Взаимодей-
«Взаимодействие» этих ветвей, сила которого определяется величиной Л,
приводит к раздвижению линий 1).
На рис. 58 сплошными линиями схематически показаны зави-
зависимости п2(с<;), определяемые корнями уравнения A06.3); штри-
штриховые линии — функции п2(ои) без учета пространственной дис-
дисперсии (/3 = 0). Распространяющимся в среде волнам отвечают,
конечно, лишь положительные2) корни п2. При /3 > 0 (рис. 58 а)
верхняя сплошная кривая проникает в область ио > с<;о, тем са-
самым создавая здесь дополнительную волну, которой не было
г) В микроскопической теории полюс диэлектрической проницаемости от-
отражает существование бозевских элементарных возбуждений в диэлектри-
диэлектрике — жеитонов] знак постоянной /3 совпадает со знаком эффективной массы
зкеитона (см. IX, § 66). Соответствующую ветвь спектра волн называют эк-
ситонной. Область спектра вблизи виртуального пересечения обеих ветвей
называют поляритонной.
) Для наглядности на рисунке изображены также и отрицательные кор-
корни. Напомним, что чисто мнимые значения п отвечают волнам, для которых
среда непрозрачна (хотя в ней и нет поглощения); можно сказать, что волна
полностью отражается от среды.

530
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ
бы без учета пространственной дисперсии; при ио > сою в среде
возможно распространение двух различных электромагнитных
волн. На рис. 58 5 изображены кривые зависимости п2(ш) для
случая /3 < 0. Левее точки т с координатами
= а
щ, и>т-и>о = -\Р\ (а + 2W^
(точка, в которой dn?/duo = ос и два корня сливаются) имеет-
имеется два положительных корня и в среде могут распространяться
/f Щ0 CD-Wq
Рис. 58
две различные волны. То же самое относится к области между
точкой т' с координатами
и точкой
U0 =
Если величина А недостаточно мала, сохранение постоянного
члена в A06.2), строго говоря, не последовательно. Опустив этот
член (т. е. положив в написанных формулах а = 0), мы придем к
картине, отличающейся от рис. 58 тем, что горизонтальной асимп-
асимптотой всех кривых становится сама ось абсцисс (вместо линии
п2 = а). Область ио ^ оию оказывается при этом вне рассмотрения.
Обратимся к изучению ситуации вблизи линии поглощения в
гиротропной среде (В.Л. Гинзбург, 1958).
Диэлектрическую проницаемость е^ без учета простран-
пространственной дисперсии представим в виде полюсного выражения
) = ^_.	(Ю6.4)

106
ДИСПЕРСИЯ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ПОГЛОЩЕНИЯ
531
у
= е^.1. В изо-
изоМы не будем теперь предполагать специальной малости коэффи-
коэффициента А и соответственно этому не пишем постоянного члена.
Для связи между Е и D следует пользоваться формулой вида
A04.13), выраженной через обратный тензор	1
тропной среде
E=-±B + iF\Dn],	A06.5)
где вектор оптической активности записан в виде G = Fn. Вбли-
Вблизи линии поглощения компоненты тензора тц^ проходят просто
через нуль и нет оснований для нарушения сходимости его раз-
разложения по волновому вектору.
Дисперсионное уравнение име-
имеет вид
fV, (Ю6.6)
(ср. A01.12)) Подста-
где щ =
вив сюда ?
уравнение
(о)
\п2
из A06.4), получим
A06.7)
W-COq
Рис. 59
кп*	Л
На рис. 59 сплошными линия-
линиями схематически показана зависи-
зависимость корней п2 этого уравнения от ио — ио$. Один из них суще-
существует как при ио < с^о, так и при ио > с^о, где без учета простран-
пространственной дисперсии вещественнных значений п нет (штриховая
кривая на рисунке — функция п$(и))). Два других существуют
лишь при си < иош — левее точки га, в которой
Кривые функций п^ио) и п%(ио) проходят над линией Пц{ш), а
кривая функции п\(ио) — под ней. Поэтому (как это ясно из урав-
уравнений A01.11), определяющих индукцию D в волне) волны 2 и 3
обладают круговой поляризацией одного, а волна 1 — другого
знака.
Подчеркнем в заключение, что сами формулы A06.2) и A06.4)
для проницаемости, а потому и основанные на них результаты,
относятся лишь к частотам, достаточно далеким от центра ли-
ли\	|	П \	\ <
нии:
ио —
, д	д	цр
\	| 7? гДе 7 ~~ ширина линии. При \ио — ио$\ < 7
необходимо учитывать поглощение, т. е. мнимую часть проница-
проницаемости. Это может существенно изменить картину.

ГЛАВА XIII
НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
§ 107. Преобразование частот в нелинейных средах
Изложенная в предыдущих главах теория распространения
электромагнитных волн в диэлектрических средах основана на
предположении о линейной связи индукции электрического по-
поля D с его напряженностью Е. Это приближение справедливо с
достаточной точностью, если (как это фактически имеет место)
напряженность Е мала по сравнению со значениями, характер-
характерными для внутриатомных полей. Но даже в этих условиях су-
существующие малые нелинейные поправки в зависимости D(E)
приводят к качественно новым эффектам и потому могут быть
существенны.
Наиболее важной особенностью нелинейной среды является
генерация в ней колебаний с новыми частотами. Так, если на та-
такую среду падает монохроматическая волна с частотой o;i, то по
мере ее распространения в среде генерируются волны с часто-
частотами тш-[ (где га — целые числа); если первоначально имеется
совокупность монохроматических сигналов с частотами loi и c<J2,
то с течением времени возникнут также и комбинационные час-
частоты тио\ + тио2 и т. п.
Если среда бездиссипативна, то процесс преобразования
частот подчиняется некоторым весьма общим соотношениям —
помимо очевидного условия сохранения суммарной энергии ко-
колебаний на всех частотах. При этом предполагается, что нели-
нелинейность является слабой; смысл понятия этой слабости будет
уточнен ниже.
Происхождение и смысл искомых соотношений наиболее ясен
с квантовой точки зрения, из которой мы и будем исходить. Для
упрощения рассуждений будем считать, что все частоты системы
можно представить как линейные комбинации двух несоизмери-
несоизмеримых ОСНОВНЫХ ЧаСТОТ Ш\ И 002'-
Штп = ТПШ1 + TIU02,	A07.1)
где га, п — положительные или отрицательные целые числа.
Полную энергию излучения в среде можно представить как
сумму энергий всех квантов:

§ 107	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ	533
где Nmn — число квантов с частотой иошп. Суммирование произ-
производится по всем числам т, п, для которых иошп > 0 (поскольку
физическим смыслом обладают, конечно, только положительные
частоты).
Процессы преобразования частот приводят к изменению чи-
чисел Nrnn со временем при сохранении полной энергии. Поэтому
™ =0.
dt	^ dt	^ dt
Но ввиду предположенной несоизмеримости loi и Ш2 и целочис-
ленности чисел квантов и их изменений это равенство требует
обращения в нуль каждой из двух сумм в отдельности 1):
dN	^ o.	A07.2)
v )
dt	' ^ dt
771,72	771,72
Введем вместо чисел квантов соответствующие интенсивно-
интенсивности — полные энергии ^mn, заключенные в излучении соответ-
соответствующих частот:
fmn = huOmnNmn.	A07.3)
Тогда соотношения A07.2) примут вид
run dt
Здесь надо отметить обстоятельство, особенно ясное с точки зре-
зрения классической картины колебаний. Говоря об изменении 9/шп
со временем, мы имеем в виду только систематический ход этого
изменения; другими словами, рассматривается энергия, усред-
усредненная по интервалам времени, большим по сравнению с пе-
периодами 1/cji, \/uo2 (что и отмечено чертой над %шп в A07.4)).
Именно здесь требуется слабость нелинейных эффектов: харак-
характерное время г вызванного ими систематического нарастания
возбуждающихся колебаний должно быть велико по сравнению
с указанными периодами. Только в таких условиях может иметь
смысл рассмотрение временного хода величин, усредненных по
интервалам At, таким, что
1 1
Равенства A07.4) и представляют собой искомые соотно-
соотношения; они известны как теорема Мэнли-Роу {J.M. Manley,
2) Запись скоростей изменения целочисленных величин в виде производ-
производных имеет, конечно, условный характер.

534	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Н.Е. Rowe, 1956) 2). Остается придать им более определенный
вид, избавившись от ограничения иошп > 0 при суммированиях.
Это легко сделать, заметив, что каждой паре чисел га, п, для
которой иошп > 0, отвечает пара чисел — га, —п, для которой ча-
частота отрицательна при том лее |c<jmn|. Положив по определению
W-m,-n = Wmn	A07.5)
и распространив суммирование по всем целым числам от —ос
до ос, мы, следовательно, удвоим суммы, что не нарушит их
равенства нулю. После этого молено произвести еще одно упро-
упрощение. В первом равенстве A07.4) разбиваем сумму по га на две
суммы — от 0 до ос и от —ос до 0, и во второй заменяем га,
п —>• — га, —п; аналогичное преобразование во втором равенстве
A07.4) производим в сумме по п. В результате получим оконча-
окончательно:
?
т
,.„„± ,	^ dt	' ^ ' ^ TTUjJ\ -\~ TIL02 dt
m=Qn=—oo	п=От=—оо
A07.6)
Обобщение теоремы на случай большего числа исходных несоиз-
несоизмеримых частот очевидно.
Конкретные свойства колебательной системы могут запре-
запрещать те или иные процессы преобразования частот. Суммиро-
Суммирования в A07.6) производятся фактически лишь по разрешенным
процессам.
Так, в простейшем случае системы, допускающей лишь гене-
генерирование комбинационной частоты со-[ + с^2, числа га, п пробе-
пробегают значения 0, 1 и мы находим
1 dww I dwm i dw» A077)
cji dt	UJ2 dt	uoi + UJ2 dt
Смысл этих равенств очевиден: убыль чисел квантов
равна прибыли числа генерируемых квантов Н{ио\ +002)-
§ 108. Нелинейная проницаемость
При слабой нелинейности первая поправка к линейной зави-
зависимости D от Е квадратична по полю. При наличии временной
дисперсии 2) она может быть представлена в произвольной ани-
г) Ее квантовая интерпретация указана Вейссом (М.Т. Weiss, 1957).
2) Пространственной дисперсией везде в этой главе мы пренебрегаем.

§ 108	НЕЛИНЕЙНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ	535
зотропной среде выражением
Df\t) = JJ fiM(n,T2)Ek(t - n)S,(t - r2) dn dr2, A08.1)
о
аналогичным G7.3). Разумеется, существование такого члена на-
налагает определенные ограничения на допустимую симметрию
среды; в частности, он отсутствует, если среда инвариантна от-
относительно инверсии.
Хотя ниже мы будем рассматривать как типичный именно
квадратичный по Е член вида A08.1), необходимо отметить, что
в квадратичном приближении электрическая индукция D может
содержать также и билинейные по компонентам Е и Н и квад-
квадратичные по Н члены; эти члены обычно играют меньшую роль
и мы не будем их рассматривать. Мы не будем также обсуждать
нелинейную зависимость магнитной индукции В от Н ввиду ана-
аналогии с вопросом о зависимости D(E).
Введем величину
оо
= ff
A08.2)
которую естественно назвать нелинейной проницаемостью вто-
второго порядка (по аналогии с линейной проницаемостью ^(о;),
определяемой выражением вида G7.5)). Она лишь множителем
отличается от величин Xikl — ?ш/Dтг), которые называют нели-
нелинейной восприимчивостью. Ввиду симметрии, с которой вхо-
входят Ек и Ei в определение A08.1), тензор Д&/ симметричен по
индексам Ы при одновременной перестановке его аргументов:
/г,/с/(гьг2) = fi,ik(T2,Ti). Поэтому такой же симметрией обладает
и тензор е^ы-
A08.3)
В частности, при ш\ = со2 тензор симметричен по последней паре
индексов:
eiiki(u,u) = е^гк(ш,ш).	A08.4)
Кроме того, в силу вещественности функций Д&/ (в свою оче-
очередь следующей из определения A08.1) с вещественными Е и D)
имеем
e^ki(-uji,-uj2) =е*м(шиш2).	A08.5)
Проницаемость A08.2) естественно появляется при рассмотре-
рассмотрении монохроматических полей или их суперпозиций. В нелиней-
нелинейных выражениях такие поля должны, конечно, быть представлены

536	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
в вещественном виде. Так, если Е — монохроматическое поле
с одной частотой cj, то надо писать Е(?) = Re{Eoe~zu;t}, и его
подстановка в A08.1) приводит к выражению
A08.6)
Оно содержит колебания с удвоенной частотой (наряду с пос-
постоянным членом, отвечающим разности частот со — со = 0). В
общем случае ?г,/с/(^ь^2) описывает вклад в индукцию, пропор-
пропорциональный exp (—icjsi), cos — ш\ + ^2 •
Мы будем рассматривать ниже лишь бездиссипативные сре-
среды и будем называть их прозрачными, хотя они и не являют-
являются таковыми в буквальном смысле (для волн заданной частоты)
ввиду возможности перехода энергии в другие частоты. Будем
также считать, что среда не обладает магнитной структурой.
Прежде всего покажем, что в таких условиях нелинейная
проницаемость вещественна. Это молено было бы увидеть непо-
непосредственно, если выразить компоненты тензора нелинейной
восприимчивости через матричные элементы электрического ди-
польного взаимодействия среды с полем, играющего роль мало-
малого возмущения; восприимчивость второго порядка появляется в
третьем приблилеении теории возмущений1). Но понять проис-
происхождение вещественности результата такого вычисления молено
и без его фактического проведения. Действительно, полную сис-
систему волновых функций, по которым вычисляются матричные
элементы, молено выбрать (для среды без магнитной структу-
структуры и потому инвариантной по отношению к обращению време-
времени!) вещественной. Веществен таклее и оператор взаимодействия
поля с электрическим дипольным моментом среды. Поэтому мни-
мнимые члены могли бы появиться лишь в результате обходов полю-
полюсов энергетических знаменателей теории возмущений. Но отсут-
отсутствие диссипации в среде означает, что ни одна из частот поля
не совпадает с разностью энергетических уровней системы (или
же, что вычеты в полюсах равны нулю в силу тех или иных
правил отбора); поэтому фактически обходить полюса не прихо-
приходится.
Прозрачность среды приводит также к появлению определен-
определенных соотношений симметрии для тензора е^ы- И эти соотноше-
соотношения можно было бы усмотреть из конкретных выражений, по-
полученных по теории возмущений. Но и здесь можно прийти к
требуемому результату более простым путем.
*) Эти вычисления аналогичны (хотя и значительно более громоздки) вы-
вычислению линейной обобщенной восприимчивости во втором порядке теории
возмущений (см. V, § 126).

§ 108	НЕЛИНЕЙНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ	537
Для этого предположим, что поле в среде есть сумма трех
почти монохроматических полей с несоизмеримыми частотами
Е = E!+E2+E3 = Ие{Е01е-^+Е02е-^2г+Е03е-^}, A08.7)
причем с^з = ш\ + 002- Будем считать, что поля на частотах c^i,
с^2, с^з были созданы внешними источниками, впоследствии вы-
выключенными; под влиянием же слабой нелинейности среды их
амплитуды Eoi, ... становятся медленно меняющимися функ-
функциями времени.
Эта медленность позволяет писать уравнения Максвелла для
полей каждой из основных частот в отдельности. В свою очередь,
из этих уравнений обычным образом следует закон сохранения
энергии в виде
f (EjDj + HjHj) + div ±- [EjHj] = 0
4тг	4тг
(и аналогично для величин с индексами 2 и 3); Dj обознача-
обозначает ту часть индукции D, которая содержит множители e±t(JJlt^ a
черта — усреднение по времени (нужное для дальнейшего). При
интегрировании по всему объему поля член с дивергенцией ис-
исчезает и остается
— f
4тг J
4тг
Если теперь в явном виде выделить в Di линейные и нели-
нелинейные по Е члены,
то первые, вместе с Hi Hi, дадут dty/ \/di — изменение со време-
временем энергии поля на частоте ио\. Это изменение, таким образом,
определяется уравнением
^! = -— Г Re{E0ie-^}I)S2W.	A08.8)
dt	4тг J
dt	4тг
Здесь производную дТ>\ /dt следует выразить через напряжен-
напряженность поля с помощью A08.1), A08.2). Усреднение по времени
обращает в нуль все члены, кроме тех, в которых экспоненци-
экспоненциальные множители взаимно сокращаются. Повторяя вычисления
для остальных частот, находим окончательно:
~dt~ = ~%Ш: § ?кА-из,и2)Е^Е01кЕ021 dV + к. с,
dt	16тг J '
dt	16тг J '

538	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
где к. с. означает комплексно-сопряженное выражение. При вы-
вычислении использовано свойство A08.3).
Суммарное изменение энергии на всех трех частотах равно
dt	dt	dt	dt
В нелинейной среде эта сумма, вообще говоря, не дол лена точ-
точно обращаться в нуль ввиду возможности перехода энергии еще
и в другие комбинационные частоты: c<Ji — c<J2, 003+002 и т. д.
Но величина полей на частотах o;i, c<J2, 003, созданных внешни-
внешними источниками, не имеет отношения к степени нелинейности;
она не должна быть малой в противоположность полям на дру-
других частотах, появляющихся лишь в силу нелинейности среды.
Поэтому вклад последних в баланс энергии молено считать от-
отсутствующим и потребовать обращения суммы A08.10) в нуль.
Более того, поскольку такая среда представляет собой нелиней-
нелинейную систему всего с тремя частотами, молено применить к ней
теорему Мзнли-Роу в ее простейшей форме A07.7). В используе-
используемых нами здесь обозначениях эти соотношения гласят:
1 <ШЪ _ 0 1 dW2 , 1
dt	dt
cji dt CJ3 dt	UJ2 dt CJ3 dt
Подставив сюда A08.9), найдем, что нелинейная проницае-
проницаемость удовлетворяет следующим важным соотношениям симмет-
симметрии 1)\
A08.11)
(J.A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, P.S. Pershan, 1962).
Выражаемая этими равенствами симметрия становится более на-
наглядной, если приписать компонентам тензора еще и третий ар-
аргумент так, чтобы сумма всех трех была равна нулю:
(последнее равенство — A08.3)). Если условиться связывать три
последовательных аргумента (частоты) с тремя последователь-
последовательными индексами тензора, то можно произвольным образом пе-
переставлять эти индексы при условии одновременной такой же
перестановки аргументов.
Отметим, что само по себе требование отсутствия диссипации
привело бы лишь к более слабому условию — равенству нулю
г) Существенно, что комплексные амплитуды произвольны; поэтому
комплексно-сопряженные члены в A08.9), A08.10) независимы и их мож-
можно приравнивать по отдельности.

§ 108	НЕЛИНЕЙНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ	539
суммы A08.10), т. е.
(^b ~^з) = 0. A08.22)
Изложенный вывод неприменим непосредственно при ио\ =
= ио2 = cj, поскольку соотношения Мзнли-Роу сводятся при этом
к одному лишь сохранению полной энергии. Но о равенстве
?i,kl(w, и) = ^/с,г/(-2^, ш) = ?l,ki(w, ~2^)	A08.13)
можно заключить просто из соображений непрерывности при
предельном переходе из A08.11).
Если обе частоты, ио\ и с^2, стремятся к нулю, тензор Si^i
оказывается полностью симметричным. Эта симметрия выража-
выражает собой просто тот факт, что в статическом случае индукция D
может быть получена дифференцированием свободной энергии
по Е:
п	л dF
Di = -4тг	,
так что
dDi _ dDk
~dK ~ ~dEl'
Отсюда следует симметричность тензора ?^,/с/ по индексам ifc, a
тем самым — по всем трем индексам.
Если лее равна нулю лишь одна из частот, то соотношения
A08.11) приводят к равенству
а таклее
егМш> °) = skA-Ui °) = ?М(^^ °)	A08.15)
(в силу A08.5) вещественные функции ?&,^(^?0) четны по си).
Тензор ?г,^(^?0) описывает линейный злектрооптический эф-
эффект — изменение проницаемости кристалла под влиянием по-
постоянного электрического поля, и, следовательно, совпадает с
определенным в A00.4) тензором
как и должно быть, в силу A08.15) он симметричен по индексам
ik. Тензор же ?z,fcz(^? ~^0 описывает другой эффект — появле-
появление в среде статической диэлектрической поляризации, пропор-
пропорциональной квадрату приложенного слабого переменного пери-
периодического поля (ср. второй член в A08.6)). Равенство A08.14)
устанавливает, таким образом, связь между этими двумя эффек-
эффектами.

540	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Аналогичными соображениями, используя нелинейную вос-
восприимчивость, «перекрестную» между электрическими и маг-
магнитными величинами, молено было бы вновь прийти к связи
между магнитооптическим эффектом Фарадея и намагничени-
намагничением среды вращающимся по направлению электрическим полем;
это — связь, устанавливаемая формулами A01.15) и A01.25).
Как уже было указано, для сред, инвариантных относитель-
относительно пространственной инверсии, нелинейность второго порядка
отсутствует. В таких случаях нелинейные эффекты начинают-
начинаются с кубических членов в разложении зависимости D(E). Соот-
Соответствующая нелинейная проницаемость третьего порядка есть
тензор четвертого ранга, зависящий от трех независимых частот:
Его свойства симметрии полностью аналогичны свойствам тензо-
тензора проницаемости второго порядка: если ввести еще и четвертую
частоту
и записать тензор в виде
то можно любым образом переставлять индексы вместе с такой
же перестановкой четырех аргументов.
Нелинейность третьего порядка может быть существенна да-
даже при наличии квадратичной нелинейности ввиду специфично-
специфичности вызываемых ею эффектов.
§ 109. Самофокусировка
Как уже говорилось, везде в этой главе напряженность элек-
электрического поля будет предполагаться достаточно малой, так что
будут относительно малы соответствующие нелинейные члены в
уравнениях. В таких условиях представляют интерес те нелиней-
нелинейные эффекты, которые «накапливаются» с течением времени и
за достаточно большое время приводят к существенному измене-
изменению характера явления. В качестве первого примера такого ро-
рода в этом параграфе будут рассмотрены оптические эффекты,
связанные с нелинейным изменением поля на частоте первичной
волны. Другими словами, рассматривается нелинейный вклад в
D той же частоты ш, которую имеет монохроматическое поле Е.
В квадратичных членах такой вклад отсутствует: они содержат
только частоты 2ои и 0. Первый отличный от нуля эффект воз-
возникает от кубической нелинейности и содержится в членах вида
ЕЕЕ* (частота ио + и — ио = ио).

§ 109	САМОФОКУСИРОВКА	541
Ни лее в этом параграфе будем считать среду изотропной
(жидкость или газ). Тогда интересующие нас члены третьего по-
порядка в индукции имеют в общем случае вид
= а(ои)\Е\2Е + /3(cj)E2E*;	A09.1)
они содержат два независимых коэффициента; в прозрачной сре-
среде эти коэффициенты — вещественные четные функции частоты.
Такое число независимых коэффициентов находится в соответ-
соответствии со свойствами симметрии тензора ?i,klm(— ш\ —cu, c<j, о;). При
указанных значениях аргументов этот тензор симметричен по
парам индексов гк и /га; в изотропной среде такой тензор име-
имеет две независимые компоненты. В пределе малых частот, как
указано в предыдущем параграфе, тензор должен быть симмет-
симметричен по всем индексам, т. е. в изотропной среде пропорционален
комбинации
SikSlm + SuSkm + dimhi-
Это означает, что
а@) = 2/3@).	A09.2)
Выражение A09.1) упрощается для линейно поляризованного
поля Е. При такой поляризации комплексный вектор Е сводит-
сводится к вещественному вектору, умноженному на общий фазовый
множитель; тогда выражения |Е|2Е и Е2Е* совпадают и
В^ = (а + /3)\Е\2Е.	A09.3)
Такое лее упрощение возникает при круговой поляризации поля
Е; в этом случае Е2 = 0 и A09.1) сводится к
DC) = a|E|2E.	A09.4)
В обоих случаях индукция поляризована так лее, как и Е. В об-
общем лее случае эллиптической поляризации направления и отно-
отношения главных осей эллипсов Е и D^3) не совпадают.
Связь
D = DA) + DC) = sE + DC)
(s(u)) — обычная, линейная проницаемость) должна быть под-
подставлена в уравнения Максвелла, которые при этом следует за-
записать (исключив из них магнитное поле Н) в виде
rot rot E+ — — = 0,	A09.5)
с2 dt2
divD = 0.	A09.6)
Существенно, что эта нелинейная система уравнений допус-
допускает точное решение в виде монохроматической плоской волны
Ег ,o*(kr—out)	(л по ч\
= И/ое	AиУ. ()

542	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
с линейной или круговой поляризацией. Действительно, для та-
таких волн |Е|2 = |Eq|2, так что формулы A09.3) или A09.4) име-
имеют тот же характер, что и в линейном случае с проницаемостью,
зависящей от амплитуды поля; поэтому можно брать веществен-
вещественную часть после решения уравнений. Связь D и Е в этих случаях
будем записывать в виде
(^),	A09.8)
введя удобное для дальнейшего обозначение: г\ = си2(а + C)/Bс2)
для линейно поляризованной или т\ = ш2а/Bс2) для поляризо-
поляризованной по кругу волны.
Подстановка A09.8) в A09.6) дает divE = 0 — поле остается
поперечным, как в линейной теории. С учетом этого подстановка
A09.7) в A09.5) приводит к дисперсионному соотношению
k2 = ^-e + 2v\E0\2.	A09.9)
С2
Фазовая скорость со/к оказывается зависящей теперь не толь-
только от частоты, но и от амплитуды волны. Если т\ > 0, фазовая
скорость убывает с увеличением амплитуды; такую среду назы-
называют фокусирующей (смысл этого названия выяснится ниже).
Если лее т\ < 0, то фазовая скорость растет при увеличении ам-
амплитуды, и среду называют дефокусирующей.
Использование нелинейной связи A09.1) предполагает, конеч-
конечно, лишь слабую нелинейность — члены более высоких порядков
должны быть малы по сравнению с членами D'3). При этом каче-
качественно новые явления могут возникнуть в результате «накопле-
«накопления» эффектов нелинейности за большие промежутки времени и
на больших расстояниях. Естественной постановкой вопроса яв-
является при этом рассмотрение почти монохроматической волны
вида
Е = Е0(?,г)е^оЖ-^,	A09.10)
где Ео(?, г) — медленно меняющаяся функция времени и коор-
координат (мало ее относительное изменение на интервалах времени
~ \/ш и расстояниях ~ 1/&о). Входящие в фурье-разложение
этого поля волновые векторы распределены в небольшом интер-
интервале значений вокруг вектора ко, направленного вдоль оси х\ его
величину условимся считать связанной с ио равенством
k2Q = ?e(w),	A09.11)
отвечающим линейной теории. Выведем уравнение для функции
Е0(*,г).

§ 109	САМОФОКУСИРОВКА	543
Прежде всего замечаем, что в уравнении A09.5) в члене
rot rot E = grad div E - АЕ
молено пренебречь величиной grad div E. Действительно, в силу
уравнения A09.6) дивергенция напряженности
div Е « -7i^-Eo grad |E0|2,
S0J2
т. е. отлична от нуля только за счет производных от медленно
меняющейся функции Eq и дополнительно мала в силу мало-
малости нелинейных членов; такими величинами мы пренебрегаем.
Таким образом, имеем
rot rot Е « -АЕ « [jfegEo - 2г&0— - А±Е0
L	дх
где А± = д2 /ду2 + д2/dz2 (опущен член со второй производной
д2Ео/дх2, не имеющий большого множителя &о; поперечные лее
производные могут быть велики по сравнению с продольными).
Вычисление d2~D^/dt2 производится аналогично выводу
формулы (80.10) и дает1)
= _ f jfegEo + 2г^^-
\	и dt
где введена групповая скорость и по определению
1_ = dko_ = 1 д(иу/ё) ^	A09.12)
и duo с дио
В производной лее от D^3^ достаточно оставить член
пренебрегая здесь членом с малой производной
Подставив полученные выражения в A09.5), получим окон-
окончательно следующее уравнение:
|- + 1|-) Ео = -^А±Е0 - г/Н|Е0|2Е0.	A09.13)
дх и at/	2
Отличие от вывода (80.10) лишь в том, что теперь / = d2s^/dt2, f(cj) =
2

544	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Комбинация производных в левой части равенства выражает со-
собой тот факт, что возмущения амплитуды переносятся в направ-
направлении распространения волны с групповой скоростью.
С помощью этого уравнения молено исследовать устойчи-
устойчивость неограниченной плоской волны, описываемой точным ре-
решением A09.7), A09.8) (В.И. Беспалов, В.И. Таланов, 1966). Мы
увидим, что в фокусирующей среде волна оказывается неустой-
неустойчивой 1).
Согласно A09.9) в точном решении A09.7)
к « к0 + ^
ко
с ко из A09.11); в линейно поляризованной волне амплитуда Eq
может быть определена как вещественный вектор. Поэтому если
записать волну A09.7) в виде A09.10), в последнем надо поло-
положить
Это выражение играет роль амплитуды невозмущенной волны.
Мы будем рассматривать стационарную задачу о пространствен-
пространственном развитии возмущений вдоль направления распространения
волны. Соответственно, амплитуду волны, подвергнутой малому
возмущению, пишем как
Ео(г) = {Ео + <SE(r)} ехр (ъх^) .	A09.14)
V ко /
Будем считать, что 6Е направлено вдоль Eq.
Подстановка A09.14) в A09.13) приводит к уравнению
6Е*).	A09.15)
дх	2
Положим
6Е = Ае^г+^ + Б*е-^Г+7Ж\	A09.16)
где q — вектор в плоскости yz. Подставив это выражение в
A09.15) и собрав по отдельности члены с ехр { ±i(qr + jx)}, по-
получим два уравнения
? - rjEl - /е07) В = 0.
2) Это обстоятельство было еще ранее отмечено Р.В. Хохловым A965).

§ 109	САМОФОКУСИРОВКА	545
Условие равенства нулю их определителя дает
При т\ > 0 и
q2 < Аг)Е1	A09.17)
7 мнимо, так что 6Е из A09.16) содержит экспоненциально воз-
возрастающий член, т. е. волна неустойчива. Отметим, что макси-
максимальный инкремент неустойчивости оказывается порядка вели-
величины нелинейной поправки к волновому вектору.
Одно из проявлений этой неустойчивости — самофокусировка
ограниченного по ширине светового пучка, распространяющего-
распространяющегося в фокусирующей среде. Происхождение этого явления связа-
связано с тем, что если амплитуда поля убывает от оси пучка к его
периферии, то зависящая от этой амплитуды диэлектрическая
проницаемость среды тоже убывает (при т\ > 0) в том же направ-
направлении и среда ведет себя как фокусирующая линза (Г.А. Аска-
ръян, 1962). Поведение пучка определяется игрой двух проти-
противоположных тенденций — такой фокусировкой и расширением
пучка из-за дифракции.
Покажем, прежде всего, что эти тенденции могут взаимно
компенсироваться в том смысле, что уравнение A09.13) допуска-
допускает (при 77 > 0) решение в виде стационарного нерасширяющегося
пучка. Такое самоканалирование — специфический нелинейный
эффект. В линейной теории всякий ограниченный по сечению
пучок расходится из-за дифракции. Мы ограничимся одномер-
одномерным случаем, когда поле Е зависит только от одной поперечной
координаты у, будучи поляризовано вдоль оси z\ волна распро-
распространяется вдоль оси х 1). В этом случае можно получить анали-
аналитическое решение задачи (В.И. Таланов, 1965). При этом мы от-
отвлекаемся от того обстоятельства, что пучок бесконечной (в нап-
направлении оси z) ширины заведомо неустойчив, поскольку в нем
возможны возмущения с малыми значениями qz, неустойчивые
согласно A09.17).
Положим
EOz = F(y)el>€X	A09.18)
с малой величиной х, играющей роль поправки к волновому век-
вектору &о; функция F(y) вещественна. Подстановка в A09.13) дает
для этой функции уравнение
.___ -rjF6.	A09.19)
2 dy2
г) Отметим, что в этих условиях член graddiv Е, которым мы пренебрегли
выше как малым, обращается в нуль тождественно.
18 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

546	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Оно имеет первый интеграл
/ Л2
1 [ — | - к^кР2 + ^F4 =
2\dyJ	U	2
Нас интересует решение, в котором F и dF/dy стремятся к нулю
при \у\ —> ос. Соответственно этому полагаем const = 0, после
чего простое интегрирование дает
F = (^Л'	1		A09.20)
(начало отсчета у выбрано в центре пучка). Ширина пучка по
оси у:
J	y/fjF(O)
Поскольку протекающий по пучку поток энергии W ~ Е2@N,
то 6 пропорционально 1/W — пучок тем уже, чем больше пере-
переносимая им мощность.
Такой самоканалированный пучок представляет особый слу-
случай, когда фокусирующие свойства среды точно компенсиру-
компенсируются дифракцией. Другие пучки будут либо расходиться, либо
сходиться. Напишем, прежде всего, качественный критерий
самофокусировки для реального пучка ограниченного сечения
(R.Y. Chiao, E. Garmire, C.H. Townes, 1964). Это можно сразу
сделать исходя из условия неустойчивости A09.17). В пучке с ха-
характерным радиусом R возможны возмущения с поперечными к
оси пучка длинами волн, меньшими Л, т. е. с q > 1/R. Условие же
A09.17) определяет верхнюю границу значений д, приводящих к
неустойчивости. Поэтому пучок будет неустойчив относительно
фокусировки при
E$R2T)>1.	A09.21)
Переносимая вдоль пучка мощность определяется произведени-
произведением EqR . Отметим, что критическое значение этой мощности, за
которым начинается самофокусировка, не зависит от площади
сечения пучка.
Оказывается возможным также установить точный (не по по-
порядку величины) достаточный критерий самофокусировки пучка
{С.Н. Власов, В.А. Петрищев, В.И. Таланов, 1971).
Для стационарного линейно поляризованного светового пуч-
пучка, но без предварительных предположений о характере зависи-
зависимости от х, уравнение для функции Е$(х,р) имеет вид
^- = -];А±Ео - г)\Е0\2Е0	A09.22)
ох	2

109
САМОФОКУСИРОВКА
547
(р — двумерный радиус-вектор в плоскости уz\ в этой же плоско-
плоскости действуют дифференциальные операторы А± и V_l). Легко
проверить, что из этого уравнения следует равенство
ОХ
A09.23)
где
Отсюда, в свою очередь, следует «сохранение» (т. е. независи-
независимость от х) интеграла
N= f \E0\2d2p.
Сохраняется также и интеграл
A09.24)
A09.25)
в чем легко убедиться прямым дифференцированием по ж с ис-
использованием уравнения A09.22). Предполагается, конечно, что
Eq достаточно быстро убывает при р —»> ос, так что оба интеграла
(равно как и интеграл A09.26) ни лее) сходятся -1).
Покажем, что поведение пучка определяется знаком интегра-
интеграла $\ при S > 0 пучок в среднем расходится, а при S < 0 —
фокусируется. Доказательство основано на простом уравнении,
которое можно получить для среднего радиуса пучка Л, опреде-
определенного согласно
оо
R2(x) = - f p2\E0\2d2p.	A09.26)
N J
—оо
Для вывода этого уравнения пишем, используя A09.23):
Дифференцируя еще раз по ж, подставив OEq/Ox из A09.22) и
интегрируя два раза по частям, получим в результате уравнение
dx2
2) По характеру входящих в него производных уравнение A09.22) анало-
аналогично двумерному уравнению Шредингера (причем роль времени играет ко-
координата х). В этой аналогии интегралы N и $ играют роль «числа частиц»
и «энергии»; нелинейность уравнения на выводе этих законов сохранения не
отражается.
18*

548	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Отсюда
R2(x) = —(х - х0J + Д§,	A09.27)
где жо, Ro — постоянные. Мы видим, что при § < 0 на конеч-
конечном расстоянии вдоль направления распространения достигается
полная фокусировка пучка — его радиус R обращается в нуль 1).
Этот результат, полученный в рамках приближенного урав-
уравнения A09.13), не может иметь буквального физического смысла
вблизи самого фокуса, где нарушаются предположения, сделан-
сделанные при выводе уравнения. Достаточно сказать, что при неогра-
неограниченном увеличении плотности энергии поля при точной фо-
фокусировке уже нет оснований ограничиваться низшей степенью
нелинейности — кубической. Но существенна уже самая возмож-
возможность самофокусировки пучка до такой степени, когда нелиней-
нелинейность перестает быть малой. Подчеркнем, что установленный
критерий носит достаточный, но не необходимый характер. Пу-
Пучок с § < 0 заведомо фокусируется целиком, но расходимость
пучка в среднем при § ^ 0 не противоречит тому, что некоторая
внутренняя его часть сфокусируется.
§ 110. Генерация второй гармоники
В § 107 были рассмотрены лишь некоторые общие соот-
соотношения, относящиеся к характерным для нелинейной оптики
процессам преобразования частот. Теперь мы изложим количе-
количественную теорию типичного такого процесса — генерации второй
гармоники, т. е. возбуждения электромагнитного поля с часто-
частотой 2cj полем частоты ио {Р.В. Хохлов, 1960; J.A. Armstrong,
N. Bloembergen, J. Ducuing, P.S. Pershan, 1962).
Генерация второй гармоники — нелинейный эффект второго
порядка. Он содержится в тензоре нелинейной восприимчивости
siM(-2ou;ou,ou)	A10.1)
и потому отсутствует в средах, допускающих пространственную
инверсию. Тензор A10.1) симметричен по индексам Ы\ его свой-
свойства симметрии в различных кристаллах — те лее, что и у пье-
пьезоэлектрического тензора (§ 17). Мы будем считать среду непо-
глощающей, так что ?^,/с/ — вещественные величины.
Задача о генерации второй гармоники может быть постав-
поставлена следующим образом. Пусть на плоскую поверхность кри-
) Отметим, что если распределение \Ео\ по сечению пучка не меняется
вдоль его длины, то R2 = const и $ = 0. Обратное, однако, не обязатель-
обязательно: могут существовать решения, в которых $ = 0, так что R = const, но
распределение зависит от х.

§ 110	ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ	549
сталлической среды падает плоская монохроматическая волна
с частотой ио. Наряду с отраженной и двумя преломленными
(в двупреломляющем кристалле) волнами той же частоты воз-
возникают также отраженная и преломленные волны частоты 2ш.
Волны этой частоты в кристалле представляют собой решение
уравнений A09.5), A09.6), в которых нелинейный член в индук-
индукции, DB), должен быть выражен через поле основной волны. Ам-
Амплитуды всех этих волн выражаются через амплитуду падающей
волны с помощью граничных условий, на которых мы не будем
останавливаться. Разумеется, амплитуда волн частоты 2ио будет
мала в меру малости нелинейной восприимчивости -1).
Преломленные волны распространяются далее в глубь кри-
кристалла как в неограниченной среде. По мере их распространения
эффекты нелинейности накапливаются и интенсивность гармо-
гармоник может достичь больших значений — происходит перекачка
энергии из основной частоты в гармонику. Именно этот процесс
и будет интересовать нас здесь. Условия же на поверхности кри-
кристалла играют при этом лишь роль «начальных» условий, задаю-
задающих некоторую малую, но отличную от нуля, амплитуду поля
второй гармоники. Эти же условия задают (для данного направ-
направления падающей волны) волновые векторы первой к} и второй
1с2 гармоник в кристалле.
Как будет видно из дальнейшего, эффективная перекачка
энергии происходит, только если выполняется условие синхро-
синхронизма основной волны и гармоники2):
k2^2kb	A10.2)
Подчеркнем, что для самой постановки задачи о генерации од-
одной лишь второй гармоники принципиальное значение имеет на-
наличие дисперсии. В отсутствие дисперсии условие A10.2) выпол-
выполняется при преломлении автоматически вместе с аналогичными
условиями и для более высоких гармоник (кз ~ Зк} и т. п.).
При наличии дисперсии это уже не так и молено считать, что
условие синхронизма, выполняясь для второй гармоники, не вы-
выполняется для других. Подчеркнем, что уже само условие A10.2)
фактически может быть выполнено, только если основная волна
и гармоника относятся к различным поляризационным типам и,
соответственно, имеют различные законы дисперсии.
) Расчет условий отражения и преломления на границе нелинейной среды
для некоторых частных случаев — см. статью Bloembergen N., Pershan P.S.
II Phys. Rev. 1962. V. 128. P. 606 (русский перевод в кн. Бломберген Н.
Нелинейная оптика. — М.: Мир, 1966).
2) Природа этого условия особенно ясна с квантовой точки зрения, когда
генерация второй гармоники рассматривается как «слияние» двух фотонов в
один. Равенство №2 = 2ftki выражает сохранение импульса в этом процессе.

550	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Запишем поле в среде как суперпозицию двух волн:
Е = Ei + Е2 = Re (ei?iOe^kir-^ + е2Е^е1^г~2и% A10.3)
причем, в силу условия A10.2)
q,	A10.4)
где q <С &i. Амплитуды волн представлены в виде произведений
Eq = е??о, где е — единичный (ее* = 1) вектор поляризации. В
линейном приближении эти амплитуды были бы постоянны, а с
учетом нелинейности они — медленно (т. е. мало на расстояниях
~ 1/fei) меняющиеся функции координат.
Уравнения для амплитуд обеих волн получаются путем под-
подстановки A10.3) в уравнения Максвелла A09.5), A09.6) и отде-
отделения в них членов с одинаковой зависимостью от времени. Мы
не станем подробно приводить здесь эти простые, но громоздкие
вычисления и ограничимся лишь некоторыми принципиальными
указаниями.
Мы будем искать решения уравнений, описывающие стацио-
стационарную генерацию второй гармоники в кристалле бегущей основ-
основной волной; такие решения не зависят от времени. При точном
синхронизме (q = 0) уравнения для амплитуд не содержали бы
вовсе координат в явном виде; при неточном синхронизме ко-
координаты входят в уравнение только в комбинации qr (в мно-
множителе ехр(—iqr)). Выбрав направление вектора q в качестве
оси z, можно поэтому искать решения уравнений, зависящие
только от z. Если исходить из указанной выше постановки во-
вопроса о падении волны ио на поверхность кристалла, то задача
однородна в плоскостях, параллельных этой поверхности. По-
Поэтому ось z ей перпендикулярна (перпендикулярность вектора q
поверхности кристалла выполняется автоматически в силу гра-
граничных условий).
В линейном приближении волны в анизотропной (негиро-
тропной) среде линейно поляризованы (см. § 97); для них е мо-
может быть определен как вещественный вектор, и именно эти зна-
значения для обеих волн будут подразумеваться ниже под ei и е2.
Если разложить амплитуду Ео каждой волны по направлениям
е, к, [ек], то составляющие вдоль двух последних направлений
будут малы в меру малости производных dE$/dz, появляющих-
появляющихся как эффект нелинейности. Составляющие же вдоль е прибли-
приближенно совпадают с абсолютными величинами Eq векторов Eg.
Уравнения для них получаются умножением уравнения A09.5)
на вектор ei или е2. Поскольку волны с Eq = const предпола-
предполагаются точными решениями уравнений Максвелла в линейном
приближении, то все линейные члены в уравнениях, не содер-
содержащие производных по z, взаимно сокращаются. Члены же с

§ 110	ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ	551
составляющими Ео по направлениям к и [ек] (которые могли бы
быть того лее порядка величины, что и члены с производными
dEo/dz), как оказывается, выпадают при указанном умножении;
это обстоятельство связано с ортогональностью индукции D на-
направлениям как к, так и [ек] (см. (97.3)).
Ввиду предполагаемой медленности зависимости амплитуд
от координат, в уравнениях молено пренебречь вторыми произ-
производными от Eg no z. Поэтому, например, имеющееся в уравнении
для Е2 (умноженном на е2) выражение
e2i {(rotrot)ifc - ^-eik{2u
с учетом всего сказанного приближенно сводится к
(где 1 — орт оси z\ и аналогично для Ei.
Окончательные уравнения, получающиеся в результате опи-
описанных действий, гласят:
где введены обозначения 1):
2
V = 7^^ы(Ш1Ш)е2ге1кеЦ,	A10.6)
2с
а, = l[eipciei]], а2 = \ 1[е2[к2е2]] « Цеарс^а]]. A10.7)
Умножив первое уравнение A10.5) на Е^, а второе — на
и слолсив их, найдем первый интеграл этой системы:
a^E^l2 + а2\Е20\2 = const = Р.	A10.8)
Он выражает собой постоянство суммарного (в обеих волнах)
потока энергии вдоль оси z2).
г) Первое из уравнений A10.5) получается из членов с е 2%UJt, а второе — из
членов с elU}t. В правых частях этих уравнений использованы соотношения
A08.13).
2) Усредненная по времени плотность потока энергии в волне Ei:
Slz = ^Re 1[Е;оН1О] = -^-llEJop
и аналогично для волны Ег.

552	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
От комплексных величин удобно перейти к вещественным —
абсолютным значениям и фазам величин -Ею и Е20. Для мак-
максимального упрощения уравнений введем новые неизвестные р\,
Pit ??ь ^2 как безразмерные величины, определив их согласно
Р	х[р	A10.9)
СИ]	у O
Система уравнений A10.5) инвариантна относительно преобра-
преобразования
Ч>\ -> Ч>\ + с, (f2 -> ^2 + 2с.
Поэтому фактически в ней отделяются уравнения для функций
pi, P2 и для инвариантной комбинации 2<pi — (f2? образующие
вместе замкнутую систему уравнений:
^ = -Р1Р2БШ0, ^ = р?8Ш0,	(ПОЛО)
) ,	A10.11)
где
(9 = 2(pi -(p2-s(	A10.12)
и введены безразмерная переменная
и безразмерный параметр
^ а &7	(Ц0.14)
Первый интеграл A10.8) в этих переменных принимает вид
р? + р| = 1.	A10.15)
Рассмотрим случай точного синхронизма: q = 0, т. е. s = 0. Тог-
Тогда уравнения A10.10), A10.11) имеют еще один первый интеграл:
= const = 6	A10.16)
(причем постоянная S2 ^ 4/27; это следует, как легко убедиться,
из равенств A10.15), A10.16) в силу условия |cos0| ^ 1). С ис-
использованием обоих этих интегралов решение уравнений A10.10)
приводится к квадратурам — к эллиптическому интегралу
A10.17)
1	I ГЪ1
2	J [иA — иJ —
р!(о)

§ 110	ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ	553
выбор знака перед интегралом определяется знаком начального
(при С — 0) значения sin#. Кубическое уравнение
и{\ -иJ -б2 = 0	A10.18)
имеет (при S2 ^ 4/27) три вещественных положительных корня,
из которых два меньше единицы; обозначим последние как р^ и
pi, причем (?а < р2 1). Определяемая формулой A10.17) функция
уо| (С) периодически меняется в пределах между этими значени-
значениями с периодом, равным интегралу
/
и(\ -иJ -
du	A10.19)
Аналогичным образом меняется и функция р2(С) — 1 —
причем, когда одна из них максимальна, другая минимальна.
Величину р\ надо отождествить со значением интенсивности
второй гармоники, /^(О)? задаваемой граничными условиями на
поверхности кристалла (z = 0). Мы видим, что в направлении
оси z в глубь кристалла происходит периодическая перекачка
энергии из основной частоты во вторую гармонику и обратно.
При уменьшении Р2(О) период этого процесса возрастает, и при
Р2@) —> 0 стремится к бесконечности по логарифмическому за-
закону. Предельному значению Р2(О) = ра = 0 отвечает решение
4	A10.20)
получающееся из A17.17) при 6 = 0 элементарным интегрирова-
интегрированием; в нем амплитуда второй гармоники монотонно возрастает
и асимптотически при ? —»> ос вся энергия переходит из основной
частоты в гармонику.
Рассмотрим теперь обратный случай, когда амплитуда р<±
остается везде малой по сравнению с р\. Мы увидим, что этот
случай отвечает значительной расстройке синхронизма волн.
При р2 ^С р\ молено, в первом приближении, считать р\ пос-
постоянным {р\ = pi@)), а уравнения для pi и в записать в виде
dp2	2/n\ • п <№	, Pi@)
г) Между этими корнями полином в левой части A10.18) имеет максимум
в точке и = 1/3, равный 4/27 — ?2; при 82 = 4/27 этот максимум обращается
в нуль, два вещественных корня сливаются, а затем исчезают.

554	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Решение этих уравнений, равное нулю в начальной точке ? = 0:
р2(() = -p\(Q) sin ^, в = - - ^.	A10.21)
Эти формулы определяют изменение поля на протяжении од-
одного интервала 0 ^ ( ^ 2tt/s (т. е. 0 ^ х ^ 2тг/д), после чего
процесс повторяется периодически -1). Условие р2 <С р\ означает,
что должно быть p\{jd)/s <С pi@), т. е. s ^> pi@) или
qzo ^> 1, zo rsj 	—.
r}pi@)VP
Это — условие сравнительно больпюй расстройки синхронизма.
Вообще, величина параметра q определяет, какой эффект огра-
ограничивает генерацию гармоники (т. е. рост амплитуды р2) — ли-
линейный эффект нарушения синхронизма при qz$ ^> 1 или нели-
нелинейные эффекты при qzo <C 1 2).
Выше в этом параграфе мы говорили везде о генерации вто-
второй гармоники за счет основной частоты. Но рассмотренные
уравнения описывают и обратное явление: усиление (его назы-
называют параметрическим) слабого сигнала частоты ио в поле ин-
интенсивного излучения частоты 2ио\ этот процесс, рассмотрением
которого мы здесь ограничимся, представляет собой простейший
случай более общего явления — усиления сигналов с различны-
различными частотами ио2 и ио\ — ио2 в поле интенсивной волны с частотой
ш\ {С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов, 1962; R.H. Kingston, 1962).
Прежде всего, подчеркнем следующее отличие этого процес-
процесса от генерации второй гармоники. Последняя могла начинаться
с нулевой интенсивности гармоники. Возможность же усиления
основной частоты во всяком случае требует хотя бы малой ее
начальной интенсивности: если в начальной точке pi@) = 0, то
так останется везде; из уравнений A10.10) видно, что вместе с
р\ обращаются в нуль также и производные всех порядков от р\
и р2.
Снова рассмотрим случай точного синхронизма и, сверх то-
того, пусть начальное значение фазовой переменной 6F) = — тг/2;
при точном синхронизме это значение будет сохраняться. Тогда
параметр 6 = 0 в силу равенства cos в = 0, хотя начальные зна-
значения р\ и р2 отличны от нуля. Решение уравнений A10.10) в
г) В каждом последующем периоде к постоянному члену в фазовой пере-
переменной в надо добавлять по тг. В точке, где рч = 0, фаза ф% теряет смысл и
разность фаз в может испытывать скачок.
) Напомним, что все проведенное рассмотрение основано на предположе-
предположении q<^ik\. Это условие уже полностью использовано при выводе уравнений
A10.5) и малого параметра q/ki в них не осталось. Говоря о случае qzo ^> 1,
мы предполагаем, конечно, что он совместим с условием q <^k^.

§111	СИЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	555
этом случае есть
pi = , * ,ч, P2 = -th(C-Co),	A10.22)
ch (? — Со)
где ?о > 0 — постоянная. При большом значении этой постоянной
начальное значение pi@) = l/ch?o мало. Мы видим, что вдоль
оси z в глубь кристалла происходит усиление волны основной
частоты за счет интенсивности гармоники. Последняя убывает
до нуля (при ? = ?о)? а затем снова возрастает, пока асимптоти-
чески вся интенсивность не окажется сосредоточенной в ней ).
§ 111. Сильные электромагнитные волны
Возможность постановки рассмотренной в предыдущем па-
параграфе задачи о генерации всего одной определенной гармо-
гармоники была связана с наличием дисперсии. Теперь мы рассмот-
рассмотрим обратный случай, когда во всем существенном интервале
частот дисперсию молено считать отсутствующей, так что ин-
индукция D(t) в каждой точке определяется значением E(t) в тот
лее момент времени 2). Мы будем считать среду изотропной; тог-
тогда направления D и Е совпадают. Нелинейность лее в этом па-
параграфе не предполагается малой, так что зависимость D(E) —
произвольная функция.
Пренебрежение поглощением и дисперсией имеет принципи-
принципиальное значение в том отношении, что после этого из уравнений
поля исчезают какие-либо параметры размерности частоты (или,
тем самым, размерности длины). Это обстоятельство делает воз-
возможным построение точного решения, обобщающего обычную
одномерную плоскую волну линейного приближения (А.В. Гапо-
нов, Г.И. Фрейдман, 1959) 3).
Пусть волна распространяется в направлении оси ж, электри-
электрическое поле направлено по оси у, а магнитное — по оси z (Ey
и Hz обозначаем просто как Е и Н). Уравнения Максвелла
rotH =	, rotE = —
с dt	с dt
г) При С > Со фазовой переменной надо приписать значение в = тг/2 и
изменить знак перед th в р2(С)-
2)	Для единообразия изложения в этой главе мы и здесь будем говорить
о нелинейной связи между D и Е, предполагая среду немагнитной. В дей-
действительности о рассматриваемых явлениях обычно идет речь для сред с
нелинейной зависимостью В от Н.
3)	Это решение аналогично так называемым простым волнам одномерной
гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости (см. VI, § 101).

556	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
on _ l ои _ г on	on _ l on	,+ -.-. . ч
принимают вид
ОН _
дх ~
где по определению
1
с
дв
dt
_ едЕ
~ с dt
е(Е) =
•>
дЕ
дх
_ 1
с
дн
dt'
A11.2)
(при Е —)> 0 функция е(??) стремится к значению ?о ~~ обычной
диэлектрической проницаемости).
Ищем решение, в котором функции E(t,x) и H(t,x) могут
быть выражены как функция одна другой: Н = Н(Е). Тогда
уравнения A11.1) молено переписать как
s_dE_ <Ш_дЕ_ = 0 1^^,^ = о	A11 3)
с dt dE дх	' с dE dt дх
Для того чтобы эти два уравнения могли удовлетворяться отлич-
отличными от нуля значениями неизвестных дЕ/dt и дЕ/дх, должен
быть равен нулю их определитель. Это условие дает
(?)'=«*>¦
откуда
о
Подставив теперь dH/dE из A11.4) в одно из уравнений A11.3),
имеем
(dE/dt)x = fdx\ =±Л_
(dE/dx)t ~ \dt)E~ у/е'
Отсюда следует, что
может быть произвольной функцией от Е. Обозначив обратную
функцию как /, имеем
/	\
A11.5)
два знака здесь отвечают двум направлениям распространения
волны. После выбора функции / формула A11.5) определяет в
неявном виде зависимость E(t,x). В слабых полях, когда молено
положить е = ?о> AП.5) переходит в обычную плоскую волну
с фазовой скоростью с/'л/sq. Отметим, что полученное решение

§111	СИЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	557
существует только при е > 0 — в соответствии с условием устой-
устойчивости A8.8J).
По мере распространения волны заданный в начальный мо-
момент ее профиль искажается, поскольку разные участки бегут
с различными скоростями. Обычно е(Е) убывает с ростом Е
(функция s(E) стремится к насыщению). Тогда точки профи-
профиля с большими значениями Е бегут с большими скоростями, в
результате чего увеличивается крутизна переднего фронта про-
профиля (как это иллюстрирует рис. 60, на котором показана форма
профиля в несколько последовательных моментов). В некоторый
момент возникает перегиб профиля, после чего он должен был
Рис. 60
бы стать неоднозначным. В действительности, в этот момент в
волне возникает электромагнитная ударная волна — разрыв ве-
величин Е и Н. Граничные условия на разрыве имеют тот же вид
G6.13), что и на любой движущейся поверхности. Для плоской
поперечной волны имеем:
Я2- #! = -(?>2 -
v	A11.6)
ЯД (ЯЯ)
где индексы 1 и 2 относятся к значениям величин соответственно
впереди и позади фронта. Перемножив эти два равенства, най-
найдем для скорости ударной волны:
В ударной волне происходит диссипация энергии. Пусть Q —
скорость диссипации, отнесенная к единице площади поверхно-
поверхности разрыва. Для ее вычисления пишем закон сохранения энер-
энергии, примененный к цилиндрическому элементу объема среды,
одно основание которого находится позади, а другое — впереди
разрыва:
f (Е2Н2 - ЕгНг) = v(U2 - C/i) + Q.	A11.8)
Слева стоит разность потоков энергии через оба основания, а
справа — сумма скорости изменения внутренней энергии за счет
) В изложенном выводе предполагается, что плотность, температура и
т. д. среды не затрагиваются колебаниями поля. Это оправдывается как ма-
малостью стрикционных эффектов, так и большой (по сравнению со скоростью
звука) скоростью распространения волн.

558	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
перемещения границы между областями 1 и 2 и диссипируемой
в ней энергии. Разность внутренних энергий (при неизменных
плотности и температуре):
D2
U2 - U, = 1- Г EdD + Uh2 - Н2).
4тг и	отг
Используя также равенства A11.6), A11.7), молено привести
A11.8) к виду
Если ударная волна слабая (т. е. скачки величин в ней малы),
то при вычислении Q можно представить связь D с Е в виде
разложения
D(E) = D,+ e{E{){E - Е{) + \е\Е{){Е - Е,J,
где ef(E) = d2D/dE2. Простое вычисление приводит к резуль-
результату
Q = --^-ve'(E1)(E2 - Е,K.	A11.9)
48тг
48тг
Таким образом, диссипация энергии в слабой электромагнитной
ударной волне — третьего порядка по величине скачка поля в
ней. Поскольку должно быть Q > 0, то при е1 < 0 будет Е2> Е\ —
в соответствии с рис. 60.
Появление ударной волны нарушает применимость получен-
полученного решения: выражения A11.4), A11.5) для поля противоречат
граничным условиям A11.6). Существенно, однако, что волна
остается приближенно (с точностью до величин второго поряд-
порядка включительно) простой, пока ударную волну молено считать
слабой1). С этой точностью выражение для скорости разрыва
может быть представлено в виде
^)Г1/2 <шло>
В этом же приближении положение разрыва на профиле волны
определяется условием равенства двух площадей между верти-
вертикальной прямой и штриховой кривой на рис. 60.
2) Ситуация здесь вполне аналогична возникновению обычных гидроди-
гидродинамических ударных волн в сильной звуковой волне (см. VI, § 102), и мы не
будем повторять всех соответствующих рассуждений.

§112	ВЫНУЖДЕННОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ	559
Задача
Из вакуума на границу среды падает нормально плоская волна вида
Е = fi(t — х/с). Определить отраженную волну (L.J. Вгоег, 1963).
Решение. Поле в вакууме (полупространство х < 0) складывается
из падающей и отраженной (индекс г) волн:
(в вакууме уравнения поля линейны и два решения можно складывать!). В
среде, х > 0, имеется лишь прошедшая волна, в которой
Из условия непрерывности при х = 0 электрического поля имеем
ft(t) = fi(t)+fr(t).
Условие же непрерывности Н на той же границе дает затем соотношение
/<(*)-/г (*)=
о
которым и определяется, в неявном виде, функция fr.
§ 112. Вынужденное комбинационное рассеяние
К числу нелинейных эффектов третьего порядка относится
влияние, оказываемое излучением некоторой частоты ио\ [волна
накачки) на распространение в той же среде волны другой час-
частоты c<J2- Эти эффекты заключены в нелинейной проницаемости
дающей вклад в индукцию с частотой с^2 1).
) Условие вещественности для проницаемости третьего порядка
?i,kim(ui,^2,с*;з) требует, чтобы с разностями энергетических уровней си-
системы не совпадали не только частоты cji, CJ2, с^з и их сумма CJ4, но и их
попарные суммы; для восприимчивости A12.1) это: uoi + 002 и \uj\ — с^21- В
этом можно убедиться, проследив за происхождением энергетических зна-
знаменателей в упомянутом на с. 536 выражении нелинейной восприимчивости
через матричные элементы взаимодействия среды с полем; это выражение
приведено в статье Armstrong J.An Bloembergen N., Ducuing J., Pershan P.S.
II Phys. Rev. 1962. V. 127. P. 1918 (русский перевод в кн. Бломберген Н.
Нелинейная оптика. — М.: Мир, 1966).

560	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
В изотропной среде индукция D2 на частоте с<;2 с учетом ука-
указанного вклада дается выражением
D2 = ?2E2 + ce2(EiEi)E2 +^2Ei(EiE2) + 72Ei(EiE2), A12.2)
где
Ei = Eioe'<klp-Wl*\ E2 = Е2Ое^г-^г\	A12.3)
В первом члене в A12.2) ?2 = ?2(с<;2) — обычная линейная про-
проницаемость; в остальных членах ск2, /32, 72 — ТРИ независимые
компоненты тензора A12.1) (их число очевидно из самого спосо-
способа построения выражения A12.2) из трех векторов Ei, E*, Е2).
Мы видим, что нелинейное воздействие поля Ei на поле с ча-
частотой U02 может быть описано путем введения анизотропной ди-
диэлектрической проницаемости
S2ik = (е2 + a2E1E*1)Sik + f32EuE*lk + j2E*uElk.	A12.4)
В недиссипативной среде коэффициенты ск2, /32, 72 (к&к и ?2)
вещественны и тензор A12.4) эрмитов. Как частный случай, при
c<ji —>• 0 и соответственно вещественном Ej, он содержит в себе
двойное преломление в статическом электрическом поле, описы-
описываемое формулой A00.1). При cji т^ 0 выражение A12.4) описы-
описывает также наведенную полем Ej гиротропию среды. Сравнив
A12.2) со A01.8), найдем вектор гирации
g = ^2-72)[EjE1].	A12.5)
Он обращается в нуль, если поле Ej линейно поляризовано.
Более разнообразные явления могут происходить, если нели-
нелинейные взаимодействия поля со средой сопровождаются дисси-
диссипацией. В таком случае коэффициенты се2, /32, 72 комплексны
(линейную же проницаемость по-прежнему будем считать веще-
вещественной). Оказывается, что такая диссипация может приводить
как к ослаблению, так и к усилению поля Е2. В последнем случае
говорят о вынужденном комбинационном рассеянии1).
Вещественность линейных проницаемостей ?(cji), ?(cj2) озна-
означает, что на самих частотах cji и cj2 в среде нет диссипации: кван-
кванты f\jjj\ и Нш2 сами по себе не поглощаются средой. Пусть в об-
области частот, где среда способна к поглощению, лежит разность
ш\ — cj2, но не сумма ш\ + cj2. Диссипация осуществляется лишь
путем превращения квантов большей энергии в кванты меньшей
2) С квантовой, микроскопической, точки зрения речь идет об испускании
фотона fvjj2 при падении фотона huji на атомы, находящиеся в поле фото-
фотонов fajj2- При этом энергия Н(ш\ — U2) передается среде — рождается эле-
элементарное возбуждение среды определенного типа (фонон, зкситон и т. п.).
В специальной литературе существуют особые названия для процессов рас-
рассеяния различных типов. В нашем чисто феноменологическом описании мы
используем указанный в тексте термин как условное общее название.

§112	ВЫНУЖДЕННОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ	561
энергии с отдачей освобождающегося избытка среде. Таким об-
образом, при c<ji > U02 волна накачки усиливает волну меньшей
частоты U02- Усредненная по времени энергия, получаемая полем
Е2 (в единицу времени в единице объема) за счет слабых нели-
нелинейных эффектов, непосредственно дается взятым с обратным
знаком выражением (96.5):
at	8тг
= -^К|Е1|2|Е2|2 + ^'|Е1Е2|2 + 7^|Е1Е^|2} A12.6)
(ср. вывод формул A08.9)). Аналогичным выражением дается
изменение энергии поля Ei:
at	4тг
где cei, /3i, 71 — независимые компоненты тензора проницаемости
описывающей влияние поля частоты Ш2 на поле частоты loi .
Сообралсения, подобные использованным в § 107 при выводе
теоремы Мзнли-Роу, позволяют утверждать, что
	 1 dUi	(лло %Л
uji dt	Ш2 dt
— на каждый рождающийся квант Нсо2 приходится по одному
исчезающему кванту Huji . Отсюда следует, что
аЧ = -а1 #' = -#', -ft = 41	(П2.9)
Диссипируемая энергия определяется по убыли суммарной
энергии обоих полей:
о = -Ш1 _dih =
dt	dt
dt	dt	uj2 dt
При ш\ > UJ2 из условия Q > 0 следует, что dl/2/dt > 0 — вол-
волна меньшей частоты усиливается в соответствии со сказанным
выше. Условие положи тел ьн ости выражения A12.6) дается нера-
неравенствами -1)
a'2'<0, a? + $'<0, «2 + 72 < 0, а% + /% + Ц < 0. A12.11)
2) В этом можно убедиться, рассмотрев значения выражения A12.6) при
различных поляризациях полей Ei = eiEi и Е2 = е2^2: линейные поляри-
поляризации совпадающих или взаимно перпендикулярных направлений, круговые
поляризации одинакового или разных знаков. В первых двух случаях ei и
е2 вещественны, причем eie2 = 1 или eie2 = 0. Во вторых двух случаях ei,
е2 комплексны, причем eie2 = 0, eiej = 1 или eie2 = 1, eiej = 0.

562	НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Обратим внимание на то, что рассмотренный эффект не зави-
зависит от фазовых соотношений между полями. Это связано с тем,
что поле волны накачки входит в уравнения в виде билинейных
Ei и Е| выражений, из которых фазовые множители выпадают.
В конечном счете это приводит к тому, что для усиления по-
поля U02 не требуется синхронизма полей — в противоположность
рассмотренным в § 110 явлениям генерации гармоники и пара-
параметрического усиления сигнала.
Оказывается возможным связать характеристики вынужден-
вынужденного комбинационного рассеяния с характеристиками обычного
(спонтанного) рассеяния, о котором будет идти речь в гл. XV.
Соответствующие вычисления приведены в задаче к § 118.
Приведенные выше соотношения справедливы, как уже было
указано, если поглощение энергии средой происходит лишь на
разностной частоте ио\ — ио2- Другая ситуация имеет место, если
в области поглощения лежит не разностная, а суммарная часто-
частота ио\ +002- В этом случае на каждый поглощенный квант Нсо2
поглощается также квант faji, и среде отдается энергия, равная
H((jJi +002) (двухфотонное поглощение). Естественно, что в этом
случае ослабляются волны обеих частот.

ГЛАВА XIV
ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО
§ 113. Ионизационные потери быстрых частиц
в веществе. Нерелятивистский случай
Быстрая заряженная частица, проходя через вещество, иони-
ионизует его атомы и тем самым теряет свою энергию1). В газах
ионизационные потери могут быть определены как результат
столкновений быстрой частицы с отдельными атомами. В кон-
конденсированной же среде во взаимодействие с пролетающей ча-
частицей может вовлекаться одновременно много атомов. Влияние
этого обстоятельства на потерю энергии частицей является, с
макроскопической точки зрения, результатом диэлектрической
поляризации среды ее зарядом. Мы рассмотрим этот эффект
сначала для случая нерелятивистских скоростей частицы. Как
выясняется из результатов, в этом случае поляризация среды
мало отражается на величине потерь. Соответствующий вывод,
однако, представляет методический интерес ввиду дальнейших
применений аналогичного метода.
Выясним прежде всего условия, допускающие макроскопи-
макроскопическое рассмотрение этого явления. В спектральное разложение
поля, создаваемого движущейся (со скоростью v) частицей на
расстоянии г от ее пути, входят главным образом частоты по-
порядка v/г (обратное «время столкновения»). Ионизацию лее ато-
атома могут производить компоненты поля с частотами ио > с^о, где
luq — некоторая средняя частота, отвечающая движению боль-
большинства электронов в атоме. Поэтому частица будет взаимодей-
взаимодействовать одновременно со многими атомами, если длина v/luq
велика по сравнению с междуатомными расстояниями; в конден-
конденсированных телах последние совпадают (по порядку величины) с
размерами а самих атомов. Таким образом, мы приходим к усло-
условию v ^> ac<Jo, т. е. скорость ионизующей частицы дол лена быть
велика по сравнению со скоростями атомных электронов (или по
крайней мере большинства из них) 2).
г) Мы говорим, как это принято, об «ионизационных» потерях, но в них
включаются, разумеется, также и потери на возбуждение дискретных атом-
атомных уровней.
2) Для энергии Е частицы отсюда получается условие Е ^> 1М/т, где
М — масса частицы, т — масса электрона, / — некоторая средняя энергия
ионизации для большинства электронов в атоме.

564	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
Определим поле, создаваемое заряженной частицей, движу-
движущейся в материальной среде. В нерелятивистском случае доста-
достаточно рассмотреть лишь электрическое поле, определяющееся
одним только скалярным потенциалом (р. Последний удовлетво-
удовлетворяет уравнению Пуассона
еА<р = -4тге?(г - vt),	A13.1)
в котором диэлектрическая проницаемость понимается в опера-
операторном смысле, а выражение е6(т — vt) в правой части равенства
есть плотность, создаваемая точечным зарядом е, движущимся
с постоянной скоростью v 1).
Разложим (р в интеграл Фурье по координатам:
ч> =
Применив к обеим частям этого равенства оператор Лапласа,
найдем, что компонента Фурье от А(р равна
С другой стороны, взяв компоненту Фурье от обеих частей урав-
уравнения A13.1), имеем
= — I 4тге?(г — vt)e гкг dV = —4тгее
Сравнив обе формулы, получаем
Отсюда видно, что (р^ зависит от времени посредством мнолсите-
ля ехр (—itvk). Но оператор ?, действуя на функцию ехр (—iout),
умнолсает ее на е(ио). Поэтому окончательно имеем для (р^. сле-
следующее выралсение:
Компонента Фурье напряженности поля связана с компонен-
компонентой Фурье потенциала соотношением
Ekeikr = -gra(%keikr) = -^к
) Предполагая движение частицы прямолинейным, мы тем самым пре-
пренебрегаем рассеянием, что в рассматриваемой задаче всегда законно.
Если частица обладает зарядом ze, то все формулы для торможения в
этом и следующем параграфах должны быть умножены на z2.

§ 113	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ДЛЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОГО СЛУЧАЯ	565
Таким образом,
^i*	A13.3)
Полная напряженность поля получается обратным суммирова-
суммированием ее компонент Фурье:
Интересующая нас потеря энергии движущейся частицей
есть не что иное, как работа, производимая обратной силой тор-
торможения еЕ, действующей на частицу со стороны создаваемо-
создаваемого ею поля. Взяв значение поля в той точке г = vt, в которой
находится частица, мы получим в подынтегральном выражении
в A13.4) множитель exp(itvk), который сокращается с множи-
множителем ехр (—itvk) в выражении A13.3) для Е^. Поэтому сила
торможения F дается следующим интегралом:
^	л . 2 f k d3k
F = -4тгге /	.
J k2s(kv) BттK
—оо
Заранее очевидно, что сила F направлена против скорости v;
направление последней выберем в качестве оси х. Введя обозна-
обозначения kxv = cj, q = \1Щ + к% и заменив dkydkz на 2тгдс?д, пере-
перепишем абсолютную величину F в виде
s(oj)(q2v2
-оо О
(о выборе верхнего предела интегрирования по q см. ни лее).
Необходимо сделать еще следующее замечание по поводу ин-
интегрирования по duo в формуле A13.5). При ио —> ос функция
е(ио) -> 1 и интеграл расходится (логарифмически). Это обстоя-
обстоятельство связано с тем, что из поля Е в действительности надо
было бы вычесть то поле, которое имелось бы при движении ча-
частицы в пустоте (т. е. при е = 1); ясно, что это поле не имеет
отношения к торможению частицы в веществе. Такое вычитание
привело бы к замене в подынтегральном выражении A13.5) 1/е
на 1/е — 1, после чего интеграл будет сходиться. Можно, однако,
достичь того же результата без указанной замены, если усло-
условиться понимать интегрирование в пределах от —ос до ос как
интегрирование в симметричных пределах от — fi до fi, после че-
чего fi —»> ос. Ввиду четности функции е'{ио) вещественная часть

566	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
подынтегрального выражения есть нечетная функция частоты
и при таком способе интегрирования дает нуль; интеграл лее от
мнимой части подынтегрального выражения сходится.
Ниже нам будет иногда удобно пользоваться обозначением
-^¦ = vH = v' + W,	(пз.6)
е(ш)
где //(с*;), г]п(ио) — соответственно четная и нечетная функции,
причем г)п = — е"/\е\2 < 0. Формулу A13.5) можно переписать в
явно вещественном виде:
оо qo
тг J J q2v2 + и
0 0
Потери энергии частицей на единице длины ее пути есть работа
силы торможения на этом пути, т. е. как раз совпадает с вели-
величиной F.
Согласно общим правилам квантовой механики фурье-
компонента поля с волновым вектором к передает ионизацион-
ионизационному электрону (E-злектрону) импульс Кк. При достаточно боль-
больших значениях q (q^> uoo/v) имеем к2 = q2 + ио2/v2 « g2, так что
передаваемый импульс приближенно совпадает с Нс\. Заданному
значению q соответствуют столкновения с прицельным расстоя-
расстоянием rsj 1/q. Поэтому условие применимости рассматриваемого
макроскопического метода требует 1/q ^> а. В соответствии с
этим выберем в качестве верхнего предела интегрирования зна-
значение qo, удовлетворяющее условию ujq/v <C go ^ 1/а5 величина
F(qo) есть торможение быстрой частицы с передачей атомному
электрону импульса, не превышающего Щ$.
Произведя в A13.7) интегрирование по dq, получим
F(go) = ^ /WHI
7TV2 J	0J
о
Эта формула в своем общем виде уже не может быть преобра-
преобразована дальше, но ее молено представить в более удобной форме
путем введения соответствующих обозначений.
Предварительно вычислим интеграл
I иог)"(ио) duo = —- / — duo.
Для этого замечаем, что если производить интегрирование в ком-
комплексной плоскости ио по контуру, состоящему из вещественной

§ 113	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ДЛЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОГО СЛУЧАЯ	567
оси и бесконечно удаленной верхней полуокру лености <т, то ин-
интеграл обратится в нуль, так как подынтегральное выражение не
имеет полюсов в верхней полуплоскости. При больших значениях
аргумента функция s(uo) определяется формулой G8.1):
e(w) = l_^.	A13.9)
Интегрирование по бесконечно удаленной полуокружности а
производится с помощью этой формулы, и в результате полу-
получаем *)
°°	ЛГ о Г ,	2лг 2
//// \ 7 .2nNe I duo 2тг Ne	/11O 1П\
uorj (uo)duo = —г	 / — = 	.	A13.10)
т J uj	m
О"
Введем некоторое среднее значение частоты движения атом-
атомных электронов, определяемое равенством
оо	I оо
lncJ= / uorj"(uo) In uo duo I \ uorf1 {uo) duo =
oo
J uo\r)"(uo)\lnuoduo. A13.11)
0
oo
m
0
С помощью этого обозначения формула A13.8) будет иметь вид
i^.	A13.12)
Сделаем в этом месте следующее замечание. По виду фор-
формулы A13.7) или A13.11) молено было бы думать, что заметный
вклад в ионизационное торможение A13.12) вносят только те об-
области частот, в которых имеется существенное поглощение. Это,
однако, необязательно, и в указанных формулах может содер-
содержаться заметный вклад также от областей, в которых е" мало.
Дело в том, что в таких областях функция е{ио) « ^{^) может
проходить через нуль, а нули е(ио) являются полюсами подын-
подынтегрального выражения в A13.5). В действительности, конечно,
е"(ио) не равно нулю строго, и потому нуль функции е(ио) распо-
расположен не на самой вещественной оси, а чуть ни лее ее. Это значит,
что при использовании проходящего через нуль вещественного
выражения для s(uo) полюс подынтегрального выражения дол-
должен быть обойден сверху, и это дает соответствующий вклад в
интеграл. Так, если функция е(ио) дается формулой (84.5), то
2) Этот результат совпадает с (82.12), как и должно было быть, поскольку
при |си| —>- оо имеем |е| —>> 1, и потому rj" —>¦ — е".

568	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
вклад в торможение A13.12), возникающий от обхода полюсов
dzo;i (где e(u)i) = 0), равен, как легко убедиться прямым вычис-
вычислением по A13.7),
4nNe4 ¦, qov
mv2a2 uji
Для того чтобы найти торможение F(q\) с передачей им-
импульса, не превышающего некоторого значения q\ > qo, надо
«сшить» формулу A13.12) с формулой квантовомеханической
теории столкновений, соответствующей торможению при столк-
столкновениях с отдельными атомами. Это можно сделать благодаря
тому, что области применимости обеих формул перекрываются.
Как известно из теории столкновений, торможение с передачей
импульса в интервале Hdq есть
причем эта формула применима (в нерелятивистском случае)
для любых значений q ^> coq/v^ допускаемых законами сохране-
сохранения импульса и энергии, при условии лишь, чтобы передаваемая
энергия была мала по сравнению с первоначальной энергией бы-
быстрой частицы 1). Торможение же со всеми значениями q между
до и q\ есть соответственно
При прибавлении этой величины к формуле A13.12) в последней
до просто заменяется на gi, так что
1п^.	A13.14)
Если атомному электрону передается большой (по сравнению с
атомными) импульс Hqi, то получаемая им энергия равна Е\ =
= fj?q^/Bm). Введя эту величину, напишем
A13.15)
) См. Ill, § 149; величина F отличается от введенного там «эффективного
торможения» множителем Na = N/Z — плотностью числа атомов. Форму-
Формула A13.13) отвечает столкновениям со свободными электронами. Однако
ее область применимости (q ^> ujq/v) начинается от таких значений q, при
которых атомные электроны фактически еще нельзя рассматривать как сво-
свободные. Последнее требовало бы значений q ^> ujq/vq (vq — порядок величи-
величины скоростей большинства атомных электронов), когда энергия (^-электрона
H2q2/Bт) была бы велика по сравнению с атомными энергиями.

§ 113	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ДЛЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОГО СЛУЧАЯ	569
Формулы A13.14), A13.15) определяют торможение быстрой
частицы путем ионизации с передачей энергии, не превышаю-
превышающей определенного значения Е\, малого по сравнению с перво-
первоначальной энергией частицы. Подчеркнем, что при таком усло-
условии формулы справедливы в равной степени для торможения
как быстрых электронов, так и быстрых тяжелых частиц.
Формула A13.15) отличается от результата микроскопиче-
микроскопической теории, не учитывающей взаимодействия между атомами
(см. III, § 149, формула A49.14)), лишь определением «энергии
ионизации» /, роль которой играет теперь fuJJ. Однако средняя
(по электронам) энергия ионизации атома обычно вообще мало
зависит от его взаимодействия с другими атомами, так как основ-
основную роль в ней играют электроны внутренних оболочек, почти не
затрагиваемых этим взаимодействием. К тому же в данном слу-
случае эта величина входит под знаком логарифма, и потому способ
ее точного определения тем более слабо сказывается на величине
торможения.
При столкновении тяжелой частицы с электроном далее мак-
максимальный передаваемый импульс hqmax мал по сравнению с им-
импульсом частицы Mv. Поэтому изменение энергии тяжелой ча-
частицы равно v-/iq; приравнивая эту величину энергии электрона,
получим
— Ч— = Hqv ^ Hqv,
2т
откуда Hqm3iX = 2mv и затем Е-[тах = 2mv2. Подставив это зна-
значение в A13.15) вместо Е\, получим полное ионизационное тор-
торможение тя же л ой частицы:
mv2	fko
Эта формула отличается от обычно используемой (см. III,
A50.10)) лишь определением ионизационной энергии fuJJ.
Проследим, каким образом определенная согласно A13.11)
величина fuJJ переходит в разреженной среде в среднюю энер-
энергию ионизации отдельного атома, определенную согласно фор-
формуле III, A49.11). Для этого замечаем, что в разреженном газе
(который для простоты полагаем состоящим из одинаковых ато-
атомов) диэлектрическая проницаемость
€ = 1 +47rNaa(ou),
где Na — число атомов в единице объема, а(ио) — поляризуемость
одного атома; при этом \е — 1| ^С 1. Для мнимой части величины
г) = \/е имеем
\q"\

570	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
Поляризуемость атома дается формулой IV, (85.13); отделив в
ней мнимую часть (с помощью формулы IV, G5.19)), получим
при ио > 0:
\V"\ = fN* E \d0n\2S(En -Ео- Пш),
где Eq и Еп — энергии основного и возбужденных состояний
атома. Подставив это выражение в A13.11), произведя интегри-
интегрирование и заменив N = NaZ, придем к определению III, A49.11).
§ 114. Ионизационные потери быстрых частиц
в веществе. Релятивистский случай
При скоростях, сравнимых со скоростью света, влияние по-
поляризации среды на торможение быстрой частицы может стать,
как мы увидим, весьма существенным, причем не только в кон-
конденсированных веществах, но далее и в газах1).
Для вывода соответствующих формул применим метод, ана-
аналогичный использованному в предыдущем параграфе. При этом,
однако, надо исходить из полных уравнений Максвелла. При на-
наличии сторонних зарядов (с пространственной плотностью рст) и
сторонних токов (с плотностью jCT) эти уравнения имеют вид2):
divH = 0,	rotE = -1^1,	A14.1)
с dt
divsE = 4тгрст, rotH = 1— + —jCT.	A14.2)
с dt	с
В данном случае распределение сторонних зарядов и токов да-
дается формулами
рст = её(т - vt), jCT = ev6(r - vt).	A14.3)
Вводим скалярный и векторный потенциалы согласно обыч-
обычным определениям:
Н = rot А, Е = --— - grad^,	A14.4)
С Оь
в результате которых уравнения A14.1) удовлетворяются тож-
тождественно. На потенциалы А и <р накладываем дополнительное
2) Этот эффект был указан Ферми (Е. Fermi, 1940) и рассчитан им для
специальной модели газа из атомов, рассматриваемых как гармонические
осцилляторы. Излагаемый ни лее общий вывод принадлежит Л. Ландау.
2) Мы полагаем везде fi(cj) = 1, так как при тех частотах, которые суще-
существенны для ионизационных потерь, вещество ведет себя как немагнитное.

§ 114	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО СЛУЧАЯ	571
условие
divA + !^ = 0,	A14.5)
с dt
являющееся обобщением налагаемого в теории излучения усло-
условия Лоренца. Тогда подстановка A14.4) в A14.2) приводит к сле-
следующим уравнениям для потенциалов:
д А s д2А	4тг г/
АА " Т^ = -—ev8 Г "
(П4.6)
Разложим А и ц> в интегралы Фурье по координатам. Взяв
компоненты Фурье от обеих частей уравнений A14.6), получим
-*«-*"•
Отсюда видно, что зависимость Ак и (р^ от времени дается мно-
множителями ехр (—itkv). Снова вводим обозначение со = kv = kxv
и получаем
4
е(ш) к2 — oj2e\
Компонента Фурье напряженности электрического поля
Ек = — Ак - гкс^к-	A14.8)
С помощью полученных формул действующая на частицу си-
сила торможения F = еЕ 1) находится так же, как это было сдела-
сделано в предыдущем параграфе. С теми же обозначениями получим
теперь для величины этой силы следующую формулу:
оо qo /I	S \ J,
**=-	41	Ч-,	гтт	(.9)
(при с —)> ос эта формула переходит, разумеется, в A14.5)).
) Что касается магнитной силы e[vH]/c, то из соображений симметрии
очевидно, что она обращается в нуль (не говоря уже о том, что эта сила,
будучи перпендикулярна к скорости частицы, вообще не производила бы
над ней работы).

572
ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО
Начнем с интегрирования по частотам. Имея в виду про-
производить интегрирование в комплексной плоскости c<j, выясним
предварительно, в каких точках верхней полуплоскости подын-
подынтегральное выражение имеет полюсы. Функция s(uo) не имеет в
этой области ни особых точек, ни нулей; поэтому искомыми по-
полюсами могут быть только нули выражения
Покажем, что при всяком значении положительного веществен-
вещественного числа q2 это выражение обращается в нуль только при од-
одном значении ио.
Для доказательства *) воспользуемся известной теоремой тео-
теории функций комплексной переменной, согласно которой интеграл
2тгг/
С
df(oj) duj
duo f(<jj) — a
A14.10)
взятый по замкнутому контуру С, равен
разности между числом нулей и числом по-
полюсов функции f(w) —а в области, ограни-
ограниченной контуром С. Пусть
а = q2 — положительное вещественное чис-
число, а в качестве С выберем контур, состоя-
состоящий из вещественной оси и бесконечно уда-
удаленной полуокружности (рис. 61). Функция
f(ui) не имеет полюсов нигде в верхней
полуплоскости (и на самой вещественной
оси2)); поэтому интеграл A14.10) прямо
дает число нулей функции f(uo) — а в верхней полуплоскости.
Для вычисления запишем этот интеграл в виде
Рис. 61
2ш]
df
A14.11)
причем интегрирование производится по контуру С1 в плоскости
комплексной переменной /, являющемуся отображением конту-
контура С из плоскости ио. При ио = 0 функция / = 0. При положи-
положительных вещественных ио имеем Im/ > 0, а при отрицательных
г) Следующие ниже рассуждения аналогичны доказательству отсутствия
нулей у функции s(oo) в верхней полуплоскости, изложенному в V, § 123.
2) У металлов е{ил) имеет полюс при ио = 0, но ио2е все равно стремится к
нулю.

§ 114	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО СЛУЧАЯ	573
Im/ < 0. На бесконечности же / —»> — ио2(у~2 — с~2); поэтому /
пробегает бесконечно удаленную окру леность, когда ио пробега-
пробегает полуокру леность. Отсюда видно, что контур интегрирования
С1 в плоскости / выглядит так, как это схематически показано
на рис. 61. При положительном вещественном а (как на рис. 61)
при обходе вдоль С1 аргумент комплексного числа / — а меня-
меняется на 2тг и интеграл A14.11) равен единице. Тем самым наше
утверждение доказано1).
Более того, легко видеть, что единственный корень уравне-
уравнения f(uo) — q2 = 0 лежит на мнимой оси ш. Действительно, при
чисто мнимых си функция f(w) (вместе с функцией s(ou)) веще-
вещественна и пробегает все значения от 0 до ос, в том числе все
положительные значения q2.
Вернемся к интегралу по duo в A14.9)
/
[l/(sv2)-l/c2]ojdoj
q2 -ш2(е/с2 -\/v2)'
Его можно представить в виде разности между интегралом по
контуру С и интегралом по бесконечно удаленной полуокружно-
полуокружности. Второй из них равен / — = гтг, а первый равен умножен-
ному на 2тгг вычету подынтегрального выражения относительно
его единственного полюса. Будем понимать под ио(с[) функцию,
определяемую равенством
Тогда согласно известному правилу нахождения вычетов2) най-
найдем, что интеграл по С равен
1 1 \	/ 1 1
= 2тгг-
Собрав полученные выражения и подставив в A14.9), найдем
F = e
0
2) Если же а — отрицательное число, то при обходе вдоль С' аргумент
/ — а меняется на 4тг, так что интеграл A14.11) равен 2; другими словами,
уравнение /(cj) = —\а\ имеет два нуля в верхней полуплоскости.
2) Вычет выражения f(z)/<p(z) относительно полюса z = zq равен
f(zoW(zo).

574	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
или, заменив в первом члене интегрирование по dq интегрирова-
интегрированием по gLj,
= e2
«@)
A14.13)
Больгпим значениям g соответствуют больгпие по абсолютной
величине ио корни уравнения A14.12). Воспользовавшись соот-
соответственно этому выражением A13.9) для е(о;), найдем
где введено обозначение
Подставив в A14.13), получим
ivqo^f
F=e- f [_L-lL^-^-^M	A14.14)
v2 J \_?{ш)	|	тс2	2г>272
(в интеграле достаточно оставить в cj(go) главный член i
Интегрирование в A14.14) производится по мнимым значени-
значениям си. Введем вещественную переменную согласно ио = шп, обо-
обозначим нижний предел интеграла через ш@) = i? и снова введем
обозначение A13.6) 1/е = т\. Мы должны вычислить интеграл
- J [фио") - 1}ио" duo".
Значения функции г](ои) на мнимой оси могут быть выражены
через значения ее мнимой части на вещественной оси по формуле
с п\ 1 2 f хг)"(х)
Ulu ) — 1 = - / —' v ;

§ 114	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО СЛУЧАЯ	575
(ср. формулу (82.15)). Поэтому для рассматриваемого интеграла
получаем (пренебрегая х по сравнению с )
oovqQ
п J J
Подставим этот результат в A14.14), причем для упрощения за-
записи введем обозначение
lnfi = -ln(u>2 + ?2),	A14.15)
где черта обозначает усреднение с весом ио\г]"{ио)\, как это было
сделано в A13.11). Тогда получим
* It	(Ц4.16)
При дальнейшем исследовании этой формулы надо отдельно
рассмотреть два случая. Предположим сначала, что среда явля-
является диэлектриком, а скорость частицы удовлетворяет условию
v2 < -,	A14.17)
где sq = е@) — электростатическое значение диэлектрической
проницаемости. На мнимой оси функция е(ш) монотонно убывает
от значения е^ > \ при ио = 0 до 1 при ио = гос. Выражение лее в
левой части уравнения A14.12) при этом монотонно возрастает
от 0 до ос. Поэтому при q = 0 уравнение A14.12) дает и со = 0.
Таким образом, в A14.16) надо положить ? = 0; при этом fi
переходит в среднюю атомную частоту Ш A13.11):
(П4.18)
(при v <^ с эта формула, как и должно быть, переходит в
A13.12)).
Значение qo удовлетворяет условию qo <^ 1/а, где а — поря-
порядок величины межатомных расстояний (в конденсированной сре-
среде — размеров атомов). Для того чтобы продлить эту формулу
в область больших значений передачи импульса и энергии, надо
произвести ее «сшивку» с формулами обычной теории столкно-
столкновений, подобно тому, как это было сделано в предыдущем па-
параграфе. Здесь, однако, сшивка должна быть произведена в два
этапа. Сначала с помощью формулы A13.13) переходим к облас-
области значений д, соответствующих передачам энергии, большим по
сравнению с атомными энергиями, но все еще нерелятивистским.

576	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
Вид формулы A14.18) при этом не изменится, но в нее молено
будет ввести энергию E-злектрона, как H2q2/Bm). Обозначив ее
через Е\, получим
^[2§??41	(П4.19)
Далее, молено перейти в область релятивистских значений
Е\, воспользовавшись формулой релятивистской теории столк-
столкновений, согласно которой торможение с передачей энергии в
интервале между Е1 и Е1 + dE1 равно
mv2 Е1 '
если Е1 мало по сравнению с максимальной передачей Е\ тах5 Д°~
пускаемой законами сохранения импульса и энергии при столк-
столкновении данной быстрой частицы со свободным электроном1).
Поскольку при интегрировании выражение A14.20) дает ХпЕ1,
то ясно, что вид формулы A14.19) в результате не изменится,
так что она относится ко всем значениям Е\ <С ?imax.
При торможении быстрой тяжелой частицы (с массой
М^>т и энергией Е хотя и релятивистской, но такой, что
Е <С М2с2/га) максимальная передача энергии электрону состав-
составляет ^imax ~ 2mv2/y2 и все еще мала по сравнению с Е (см. IV,
§ 82, формула (82.23)). Для таких частиц дифференциальное вы-
выражение торможения на свободных электронах имеет вид
,Е' 2шс272>
при любых значениях Е' (см. IV, § 82, формула (82.24)). Допол-
Дополнительное (по отношению к A14.19)) торможение с передачей
энергии от Е\ до Е\ тах (причем Е\ <С Е\ тах) составляет в этом
случае
2тг7Уе4 Л fflmax _ Ег тах \ _ 2тг7Уе4 Л 2mv2j2 _ v^_\
mv2 V Е\	2mc272 /	77iv2 V	E\	c2)
Прибавив это выражение к A14.19), найдем полное торможение
быстрой тяжелой частицы:
р = 4nNe^ Л fIuv_L_ _v_*	A14.22)
mv2 \	huj	с2 J
Эта формула отличается от результата обычной теории лишь
определением «энергии ионизации» fuJJ (ср. IV, формула (82.26)).
2) См. IV, формулы (81.15) и (82.24). Торможение F получается умножени-
умножением этих выражений для сечения рассеяния на потерю энергии тА и на N.

§ 114	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО СЛУЧАЯ	577
Перейдем теперь ко второму случаю, когда скорость частицы
удовлетворяет условию
v2 > -	A14.23)
(этот случай, в частности, всегда имеет место для металлов, так
как у них s@) = ос). Выражение ио2(е/с2 — 1/v2) в левой части
уравнения A14.12) в этом случае проходит (на мнимой оси си)
через нуль дважды — при ио = 0 и при ио = г?, где ? определяется
равенством	2
е(гО = с-.	A14.24)
В интервале между 0 и г? это выражение отрицательно, а при
|с<;| > ? принимает все положительные значения от 0 до ос. Поэто-
Поэтому при q —> 0 корень уравнения A14.12) стремится в этом случае
к значению ?, которое и должно быть подставлено в A14.15) и
A14.16).
Здесь можно различать два предельных случая. Если значе-
значение ? оказывается малым по сравнению с атомными частотами
с^о, то в A14.16) можно пренебречь последним членом, a fi « Ш.
В результате мы снова приходим к формуле A14.18). В особен-
особенности же интересен обратный предельный случай, когда ? ^> ljq.
Поскольку при больших значениях ? функция е(г?) стремится
к 1, то из A14.24) ясно, что этот случай соответствует ультра-
ультрарелятивистским скоростям частицы. Воспользовавшись для s(uo)
формулой A13.9), найдем из A14.24):
тс2	т
При увеличении скорости частицы условие ^ > ^о в кон-
конце концов выполнится в любой среде, т. е. при любом значении
электронной плотности N (в том числе и в газе). Однако необ-
необходимые скорости тем выше, чем меньше N, т. е. чем более раз-
разрежена среда.
Из A14.15) имеем теперь просто Q « ?; положив также v « с,
найдем, что последние два члена в A14.16) взаимно сокращаются
и остается
1П.
тс2 4irNe2
Продлив эту формулу в область больших значений передачи им-
импульса и энергии таким же образом, как это было сделано вы-
выше, найдем следующее выражение для торможения ультрареля-
ультрарелятивистской частицы с передачей энергии, не превышающей Е\
(причем Ei < ?imax):
'^^ VE	A14.25)
me2 2nNe2n2
19 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

578	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
Этот результат существенно отличается от даваемого обыч-
обычной теорией, не учитывающей поляризации среды. Согласно по-
последней (см. IV, § 82) в ультрарелятивистском случае торможе-
торможение F(Ei) продолжает возрастать при увеличении энергии ча-
частицы, хотя и сравнительно медленно — по логарифмическому
закону 1)
Поляризация же среды приводит к такому экранированию за-
заряда, в результате которого рост торможения в конце концов
прекращается и оно стремится к конечному пределу, даваемому
формулой A14.25), не содержащей 7-
Для тяжелых частиц молено написать формулу и для пол-
полного торможения с любой передачей энергии вплоть до Е\ тах
(при условии, что -Ei тах мало по сравнению с энергией самой
частицы). Используя снова выражение A14.21) (в котором моле-
молено теперь положить v = с), найдем
F =
2тгЛГе4
тс2 L nNe2H2
.Л	(П4.26)
I	V	)
Мы видим, что полное торможение все лее продолжает возрас-
возрастать со скоростью частицы — за счет близких столкновений с
большой передачей энергии, в которых экранирующее влияние
поляризации среды не проявляется. Это возрастание, однако,
несколько более медленное, чем согласно теории, не учитываю-
учитывающей поляризацию. Согласно последней
F =
4irNe4
тс*
[in Щ? -1]
(см. IV, формула (82.28)); коэффициент при члене с In7 здесь
вдвое больше, чем в A14.26).
Отметим также, что наличие электронной плотности N в ар-
аргументе логарифма в формулах A14.25), A14.26) приводит к сле-
следующему свойству торможения ультрарелятивистских частиц:
при прохождении такой частицей слоев различных веществ, со-
содержащих одинаковое число электронов (на 1 см2 их поверхно-
поверхности), торможение оказывается меньшим в веществе с большим N.
г) Эта формула получается сложением выражений IV, (82.20) и IV, (82.25),
причем в последнем под 7тгАтах надо понимать Е\. Напомним, что при малой
передаче энергии Е\ формулы относятся к быстрым как электронам, так и
тяжелым частицам.

§115	ИЗЛУЧЕНИЕЧЕРЕНКОВА	579
§ 115. Излучение Черенкова
Заряженная частица, движущаяся в прозрачной среде, в
определенных условиях испускает своеобразное излучение; оно
было впервые наблюдено СИ. Вавиловым и П.А. Черенко-
Черенковым и теоретически истолковано и рассчитано И.Е. Таммом и
И.М. Франком A937). Подчеркнем, что это излучение не имеет
ничего общего с фактически всегда имеющим место (при дви-
движении быстрого электрона) тормозным излучением. Последнее
испускается самим движущимся электроном при его столкнове-
столкновениях с атомами. В явлении же Черенкова мы имеем по существу
дело с излучением, испускаемым средой под влиянием поля дви-
движущейся в ней частицы. Различие между обоими типами излу-
излучений особенно ясно проявляется при переходе к пределу сколь
угодно большой массы частицы: тормозное излучение при этом
исчезает вовсе, а излучение Черенкова вообще не меняется.
Волновой вектор и частота электромагнитной волны, распро-
распространяющейся в прозрачной среде, связаны соотношением к =
= пои/с, где п = л/е — вещественный показатель преломле-
преломления; мы по-прежнему считаем среду немагнитной и изотропной.
С другой стороны, мы видели, что частота фурье-компоненты
поля равномерно движущейся в среде частицы связана с ж-ком-
понентой волнового вектора (ось х — в направлении скорости
частицы) соотношением ио = kxv. Для того чтобы такая компо-
компонента представляла собой свободно распространяющуюся волну,
соотношения к = пои/с и кх = lu/v не должны противоречить
друг другу. Поскольку должно быть к > кх, то необходимо вы-
выполнение условия
v>^-.	A15.1)
п(ш)
Таким образом, излучение с частотой ио происходит, если ско-
скорость частицы превосходит фазовую скорость волн этой частоты
в данной среде 1).
Пусть в — угол между направлением движения частицы и
направлением излучения. Имеем кх = к cos в = (nuo/c)cos6 и,
сравнив с равенством кх = w/v, найдем, что
cos<9 = —.	A15.2)
nv
Таким образом, излучению данной частоты соответствует вполне
определенное значение угла в. Другими словами, излучение каж-
каждой частоты происходит вперед по направлению движения ча-
*) До появления теории относительности формальная задача об излучении
электроном, равномерно движущимся в пустоте со скоростью v > с, была
рассмотрена Зоммерфельдом (A. Sommerfeld, 1904).
19*

580	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
стицы и распределяется по поверхности конуса с углом раство-
раствора 0, определяемым формулой A15.2). Угловое распределение
излучения и его распределение по частотам находятся, следова-
следовательно, в определенной связи друг с другом.
Излучение электромагнитных волн (в тех случаях, когда оно
имеет место) связано с определенной потерей энергии движу-
движущейся частицей. Эта потеря составляет часть, хотя и незначи-
незначительную, того полного торможения, которое было вычислено в
предыдущем параграфе (тормозное излучение в него не входит).
В этом смысле название полных потерь «ионизационные» в дан-
данном случае не вполне точно. Выделим теперь эту часть из пол-
полных потерь; тем самым мы определим интенсивность излучения
Черенкова.
Согласно A14.9) потеря энергии в интервале частот duo дается
выражением
dF =-du^Yш (^ - ±-) [
тг ^ \с2 v2sJ J
J
2 2 ( е 1
я.2 -и2 — - —
\2 V2
где знак ^ означает, что надо взять сумму выражений с ио = =Ь
Введем новую переменную
ТогДа
о;|
2тг ^ \с2 v2e) J ?
При интегрировании вдоль вещественной оси ? особая точка ? = О
(как раз соответствующая выполнению соотношения q^+k^, = к2)
дол лена быть обойдена определенным образом. Направление об-
обхода определяется тем, что хотя мы и считаем е(ио) вещественной
величиной (среда прозрачна!), но в действительности она обла-
обладает некоторой, хотя и малой, мнимой частью, положительной
при ио > 0 и отрицательной при ио < 0. Соответственно ? обла-
обладает малой отрицательной (положительной) мнимой частью, и
интегрирование должно было бы производиться по пути, прохо-
проходящему под (над) вещественной осью. Это значит, что, когда мы
сместим путь интегрирования на вещественную ось, особая точ-
точка должна быть обойдена снизу (сверху). Именно эти обходы и
дают вклад в dF\ а вещественные части полностью аннулируют-
аннулируются при взятии суммы. Произведя обходы по бесконечно малым
полуокружностям, получим
sr [<* ( М [<%\ о-
> из / — = из\ / — — / — = 2гтгиз.
^ J i \J i J i)

§115	ИЗЛУЧЕНИЕЧЕРЕНКОВА	581
Таким образом, приходим к окончательной формуле
du,	A15.3)
определяющей интенсивность излучения в частотном интервале
duo. Согласно A15.2) это излучение сконцентрировано в интерва-
интервале углов
d0=_E_^da;.	A15.4)
vn2 sin 0 doj
Полная интенсивность излучения дается интегралом от выраже-
выражения A15.3), взятым по всем частотам в области прозрачности
среды.
Легко выяснить также вопрос о поляризации излучения
Черенкова. Как видно из A14.7), векторный потенциал поля
излучения направлен вдоль оси скорости v. Магнитное поле
Нк = г[кАк] направлено, следовательно, перпендикулярно к
плоскости, проходящей через v и направление луча к. Электри-
Электрическое же поле (в волновой зоне излучения) перпендикулярно к
магнитному и потому лежит в указанной плоскости.
Задача
Найти конус волновых векторов черенковского излучения частицей, рав-
равномерно движущейся в одноосном немагнитном кристалле: а) в направлении
оптической оси; б) перпендикулярно к оптической оси (В.Л. Гинзбург, 1940).
Решение, а) При движении заряда в одноосном кристалле излучение
Черенкова происходит, вообще говоря, по двум конусам, отвечающим обык-
обыкновенной и необыкновенной волнам. Но при движении вдоль оптической оси
обыкновенная волна не излучается (хотя условие типа A15.1) могло бы быть
выполнено!): обыкновенная волна всегда линейно поляризована с вектором
Е, перпендикулярным главному сечению (т. е. плоскости, проходящей че-
через оптическую ось — ось z — и направление данного к); невозможность
испускания такой волны в данном случае очевидна уже из того, что работа
eEv = 0, т. е. потеря энергии частицей отсутствует. Конус необыкновенного
излучения получается подстановкой в G8.5) значения п из равенства A15.2),
справедливость которого не связана с изотропией среды (угол в между к и v
совпадает в данном случае с углом между к и оптической осью). Находим
s±
причем должно быть v > с/у/ё±. Этот конус — круговой, с равномерным
распределением интенсивности по его образующим (как это заранее очевид-
очевидно из соображений симметрии). Раствор $ конуса лучевых векторов связан
с 9 равенством tg$ = e±tgO/e\\.
б) В этом случае существует два черенковских конуса. Направление v
выбираем в качестве оси ж, оптическую ось — в качестве оси z\ в — угол меж-
между к и осью ж, (f — азимут направления к, отсчитываемый от плоскости ху
(рис. 62). Раствор конуса обыкновенных волн дается равенством
COS0 =

582	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
причем должно быть v > с/у/г~±. Этот конус — круговой, но интенсив-
интенсив1);
ность излучения зависит от азимута ;; в частности, излучение отсутствует в
х	плоскости xz, (р = тг/2 (в силу равенства vE = 0). Конус
необыкновенных волн не круговой и его раствор зависит
к
от
(е\\ - e±)sm2 ip
причем должно быть v > с/ у/Щ. Необыкновенное излу-
z чение поляризовано с вектором D в главном сечении,
перпендикулярно к к. Если к лежит в плоскости ху
(<? = 0), то вектор D, а с ним и Е направлены вдоль оси
z\ при этом vE = 0, так что интенсивность необыкновен-
Рис. 62	ного излучения в плоскости ху обращается в нуль.
§ 116. Переходное излучение
Излучение Черенкова характерно тем, что оно имеет место
при равномерном движении заряженной частицы (между тем
как заряд, равномерно движущийся в пустоте, не излучает). Дру-
Другую категорию аналогичных в этом смысле явлений представля-
представляет переходное излучение — излучение при равномерном движе-
движении заряженной частицы в пространственно неоднородной среде,
в том числе при переходе из одной среды в другую (В.Л. Гинз-
Гинзбург, И.М. Франк, 1945). Оно принципиально отличается от из-
излучения Черенкова в том отношении, что оно имеет место при
любых скоростях частицы, а не только при скоростях, превы-
превышающих фазовую скорость света в среде. Как и излучение Че-
Черенкова, оно не имеет ничего общего с тормозным излучением
(которое тоже возникает при падении заряженных частиц на по-
поверхность раздела двух сред). Как и для излучения Черенкова,
разница особенно наглядна при переходе к пределу сколь угодно
большой массы частиц — тормозное излучение при этом исчеза-
исчезает, а переходное остается.
Рассмотрим переходное излучение при прохождении заря-
заряженной частицы (с постоянной скоростью v) через границу
между вакуумом и диэлектрической (немагнитной) средой с
комплексной проницаемостью е. Движение происходит вдоль
оси ж, перпендикулярной к плоскости раздела (плоскость ж = 0,
рис. 63).
) Нахождение распределения интенсивности требовало бы вычисления
силы торможения, аналогичного произведенному в § 114 для изотропной
среды. Изложение этих вычислений (а также некоторых других вопросов,
связанных с излучением Черенкова) можно найти в обзорных статьях Во-
лотовского Б.М. // УФН. 1957. Т. 62. С. 201; 1961. Т. 75. С. 295.

116
ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
583
Электромагнитное поле определяется уравнениями A14.1)—
A14.3) или эквивалентными им A14.6). Все величины в уравне-
уравнениях разлагаем в интегралы Фурье по времени и по координатам
у, ?, по которым среда однородна:
Е =
A16.1)
?1=1
и т. д., где q — волновой вектор в плоскости yz.
В каждом из двух полупространств ищем поле
в виде суммы частного решения неоднородных
уравнений A14.6) (поле заряда, индекс (е)) и об-	рис. 63
щего решения однородных уравнений — уравне-
уравнений A14.6) без правых частей (поле свободного излучения, ин-
индекс (г)). Первое дается формулами, аналогичными A14.7):
4тге
SV L	V*
д(е) _ ?V,»
-rY^q — —
с
-1
A16.2)
Отсюда напряженность электрического поля
A16.3)
(выражение для H^q нам не понадобится и мы его не выписы-
выписываем).
Вторую часть решения, отвечающую полю свободного излу-
излучения, пишем сразу в виде напряженности. Продольную компо-
компоненту напряженности E^q записываем как
\AU(jjQi}x 	 6С6О
с неизвестным пока коэффициентом а; для кх имеем теперь
SUJ
A16.4)
Поперечная компонента (о которой заранее известно, что она на-
направлена вдоль q — единственного выделенного в этой плоско-
плоскости направления) определяется затем уравнением div D = 0, т. е.
e(q ± кхп)Еиа = 0 (п — орт оси х)\
= га
SUJ
-г
ехр ±гх
A16.5)

584	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
Знаки + и — в показателях относятся соответственно к полупро-
полупространствам х > 0 и х < 0: волны распространяются в направле-
направлениях от границы раздела1).
Постоянные а\ и a<i в обоих полупространствах определяются
из условий непрерывности на границе раздела нормальных ком-
компонент индукции, enE^q, и тангенциальных компонент напря-
напряженности электрического поля, qEwq (условие же непрерывно-
непрерывности напряженности магнитного поля не дает, разумеется, ничего
нового). Выпишем результат для коэффициента в области х < 0
(вакуум):
ал _	Wx (е - 1) A - /З2 + /3VF^^)	,	,
где /3 = v/c, к = qc/uo.
Вычислим теперь полную энергию °}/\, излучаемую частицей
в вакуум, т. е. назад по направлению движения электрона. Про-
Простой способ сделать это состоит в том, чтобы рассматривать из-
излученный волновой цуг при больших временах t, когда он уже
ушел далеко налево; поле излучения и собственное поле заряда
оказываются при этом уже разделенными. Энергия °}/\ получает-
получается интегрированием плотности энергии поля излучения по всему
пространству. Если перенести начало координат вдоль оси х в об-
область волнового цуга, то ввиду затухания его поля в обе стороны
по х интегрирование по этой координате молено распространить
от —ос до ос.
В волновой зоне плотности электрической и магнитной энер-
энергии одинаковы. Поэтому
= rJdydzS
Подставив сюда Ei в виде разложения A16.1), пишем квадрат
интеграла в виде двойного интеграла:
г-г / /\ ±( /\n duo duo' d2qd2q
х exp {z[r(q - q') - t{u - a/)]}	 *
Интегрирование этого выражения по dydz дает ^-функцию
B7rJ5(q — qr), которая затем устраняется интегрированием по
d2qr. Таким образом,
«Г, = 1- I Лх1^шч{х)Кф)е-и{ш-ш1)^^. (П6.7)
г) В формулах A16.2)—A16.5) под е надо понимать е\ = 1 в области х < 0
и е = ?2 в области х > 0. В последующих формулах везде е = Еъ-

§116	ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	585
Подставив сюда для E^q выражение A16.5) (с е = 1, а = а\)
и произведя интегрирование по ж, получим
здесь уже учтено, что ввиду наличия ^-функции будет со = а/;
по этой же причине в произведении а\{ш, q)a*(a/, q) исчезают
фазовые множители, возникающие в ai при смещении начала
координат в A16.5). Интегрирования по ио и ио1 производятся от
—ос до ос; устранив ^-функцию интегрированием по а/, получим
(П6.8)
ввиду четности подынтегрального выражения по ио интеграл по
ио представлен как удвоенный интеграл от 0 до ос.
Интегрирование по d2q должно производиться по области
q2 < со2/с2, в которой кх вещественно, так что поле A16.5) дейст-
действительно описывает распространяющуюся волну -1). Введем угол
в между волновым вектором излучения k = (kx,q) и направ-
направлением вектора —v (так что 9 = 0 отвечает излучению строго
назад по отношению к направлению движения частицы). Тогда
q = (ио/с) sin в\ перейдя от интегрирования по d2q к интегриро-
интегрированию по 2'Kqdq = {2/кио2/с2) sin6cos6d6, имеем
% = —!— \ \ \ai\2uo2^^-deduo= Г Г Шш,6)' 2тг sin в d9duo.
сBтг)зу J ' и sin0	J J п }
0 0	° °
Функция ^i (cj, в) дает спектральное и угловое распределение
излучения. Взяв а\ из A16.6), получим окончательно:
(s-l)(l-f32+f3Vs-sin26)
A + /3 \Js - sin2 в) (e cos 6 + y/e - sin2 в)
A16.9)
= e2/32sm2ecos2e
тг2сA — р2 cos2 вJ
(В.Л. Гинзбург, И.М. Франк, 1945). Переходное излучение ли-
линейно поляризовано, причем электрический вектор лежит (как
2) При q2 > uo2/c2 экспоненциальные множители в выражении A16.5)
должны быть написаны как ехр (±жд/д2 — uj2/с2), что соответствует зату-
затухающим от границы поверхностным волнам. Такие волны обязательно при-
присутствуют при переходном излучении; мы их здесь не рассматриваем.

586	ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО	ГЛ. XIV
это видно из A16.5)) в плоскости, проходящей через к и v. Для
нерелятивистских скоростей интенсивность излучения пропор-
пропорциональна г>2, т. е. энергии частицы.
На границе с идеальным проводником (е = ос) формула
A16.9) сводится к
,0) Т1.
7Г2С3 A — /З2 COS2 вJ
В ультрарелятивистском случае (/3 ~ 1) излучение имеет мак-
максимум в области малых углов, в ~ д/l — (З2. Действительно, фор-
формула A16.9) принимает здесь вид
у/ё+1
[6>2 + A -/З2)]2
С логарифмической точностью имеем отсюда для полной спек-
спектральной плотности излучения
о
Щш,0)-2чгвсЮ& —
тгс
л/г+1
A16Л0)
Если воспользоваться, при достаточно больших частотах, пре-
предельным выражением диэлектрической проницаемости G8.1),
e = l--|, w5 =	,	(Il6.ll)
то мы найдем, что при ио ^> ио$ спектральное распределение из-
излучения убывает как со~4. Это значит, что в действительности
основной вклад в переходное излучение (в направлении назад)
дают частоты ш < ujq.
Наконец, остановимся на переходном излучении при прохож-
прохождении частицы из среды в вакуум. Эта задача отличается от
предыдущей лишь изменением знака скорости v. Поэтому диф-
дифференциальная интенсивность излучения в вакуум при выходе
заряженной частицы из среды дается формулой, получающейся
из A16.9) заменой v —» — v, причем в будет теперь углом между
направлением к и v (так что 9 = 0 отвечает излучению строго
вперед по движению частицы) 1):
) Для прозрачной среды (е молено считать вещественной) ограничиваем-
ограничиваемся скоростями v < с/у/г. В противном случае возникает вопрос об отделении
вклада черенковского излучения, испускаемого частицей в среде вперед по
направлению ее движения и выходящего через границу в вакуум. Этому
выходу отвечает полюс интенсивности A16.12) в точке, где у s — sin2 0 = 1.
Определяемый этим равенством угол 0 есть как раз угол выхода преломлен-
преломленного на границе луча черенковского конуса в среде.

116
ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
587
г sin2 в cos2 в
тг2сA -/32cos2<9J
(е - 1)A - /Г - Ру/е - sin2 в)
A-
- sin2 0) (e cos 6> + V ? - sin2 6>)
A16.12)
В ультрарелятивистском случае излучение имеет максимум
интенсивности в области малых углов, #~yl— /32. Формула
A16.12) принимает здесь вид
е202	1лД-1|2
тг2с A - /З2 + 6>2J|1 -
-6>2|2
A16.13)
Если е не слишком близко к единице, последний множитель в
знаменателе заменяется на |1 — л/е\2 и для спектрального рас-
распределения получается, с логарифмической точностью,
V ) -кс 1 - /З2
Для больших частот снова используем выражение A16.11) и за-
заменяем в A16.13)
Интегрирование по углам дает
^2	, ,2
7ГС
1
2 / \ 41
~ бтгс V и ) A -/З2J
Из этих формул видно, что основной вклад в излучение вперед
дают высокие частоты, со ~ щ/у/1 — (З2 (Г.М. Гарибян, 1959).
Интегральная по частотам энергия излучения оказывается при
этом пропорциональной энергии частицы1):
A16.14)
) Более подробное изложение связанных с переходным излучением вопро-
вопросов можно найти в обзорных статьях: Басе Ф.Г., Яковленко В.М. // УФН.
1965. Т. 86. С. 189. Гинзбург В.Л., Цытович В.Н. // УФН. 1978. Т. 126.
С. 553; Phys. Rep. 1979. V. 49. P. 1.

ГЛАВА XV
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 117. Общая теория рассеяния в изотропных средах
В изложенной в предыдущих главах теории распростране-
распространения электромагнитных волн в прозрачных средах совершенно не
рассматривалось сравнительно слабое, но в то же время принци-
принципиально важное явление рассеяния. Это явление заключается в
возникновении слабых (рассеянных) волн с частотами и направ-
направлениями, отличающимися от частоты и направления распростра-
распространения основной волны.
Происхождение рассеяния сводится к изменению движения
входящих в состав среды зарядов под влиянием поля падающей
волны; это изменение приводит к излучению новых — рассеян-
рассеянных — волн. Исследование микроскопического механизма рассея-
рассеяния должно производиться на основе квантовой механики; оно,
однако, не требуется для развития излагаемой ниже макроскопи-
макроскопической теории. Поэтому мы ограничимся лишь краткими замеча-
замечаниями о характере процессов, приводящих к изменению частоты
волн при рассеянии.
Основной тип элементарных актов рассеяния заключается в
поглощении первоначального кванта Ноо рассеивающей системой
с одновременным испусканием ею другого кванта Нои'. Часто-
Частота оо' рассеянного кванта может быть как меньше, так и боль-
больше частоты оо (эти случаи называют соответственно стоксо-
вым и антистоксовым). В первом случае энергия Н(оо — оо')
поглощается системой, а во втором энергия Н(оо' — оо) отдает-
отдается ею за счет перехода в энергетически более низкое состоя-
состояние. Так, в простейшем случае газа рассеяние происходит на
отдельных молекулах, и изменение частоты может произойти
как за счет перехода молекулы на другой уровень энергии, так
и за счет изменения кинетической энергии ее движения как
целого.
Другой тип элементарного акта заключается в том, что пер-
первоначальный квант Ноо остается неизменным, но под его вли-
влиянием рассеивающая система излучает сразу два кванта: еще
один квант Ноо с неизменной частотой и направлением и «рас-
«рассеянный» квант Ноо'. Энергия Н(оо + оо') отбирается при этом у
рассеивающей системы. Процессы этого типа, однако, в обычных

117	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	589
условиях чрезвычайно редки по сравнению с процессами второго
типа1).
Переходя к изложению макроскопической теории рассеяния,
прежде всего необходимо уточнить смысл производимых в ней
усреднений. Усреднение величин в макроскопической электро-
электродинамике можно представить как совокупность двух операций.
Если исходить, для наглядности, из классической точки зрения,
то можно различать усреднение по физически бесконечно ма-
малому объему при заданном расположении всех частиц в нем и
затем усреднение полученной величины по движению частиц.
В теории рассеяния, однако, такое усреднение с самого начала
не может быть произведено, так как усреднение по движению
частиц приведет к исчезновению самого интересующего нас яв-
явления. Поэтому, например, фигурирующие в теории рассеяния
напряженность и индукцию поля рассеянной волны надо пони-
понимать как результат лишь первой стадии усреднения.
Следует заметить, что при квантовом рассмотрении говорить
об усреднении по объему можно, разумеется, не для самой фи-
физической величины, а лишь для ее оператора; вторая же стадия
усреднения заключается в определении математического ожида-
ожидания этого оператора с помощью квантовомеханических вероят-
вероятностей. Поэтому, строго говоря, фигурирующие ни лее электро-
электромагнитные величины надо понимать как квантовомеханические
операторы. Это обстоятельство, однако, не отражается на окон-
окончательных результатах излагаемой в этом параграфе теории, и
для упрощения записи формул мы рассматриваем все величины
как классические.
Монохроматические компоненты понимаемых в указанном
смысле величин поля рассеянной волны мы будем обозначать
ниже через Е', Н', D', В'. Поле же падающей волны будем обо-
обозначать буквами Е, Н без штриха. Везде в этой главе падающая
волна предполагается монохроматической с частотой ио.
Для самого процесса распространения рассеянной волны по
среде имело бы место соотношение D' = е^ио1)^/ между индук-
индукцией и напряженностью электрического поля (предполагаем рас-
рассеивающую среду изотропной). Это соотношение, однако, не со-
содержит в себе явления рассеяния, т. е. возникновения рассеянной
волны под влиянием падающей. Для его описания надо учесть
в выражении для D' дополнительные малые члены. В первом
приближении такие члены должны быть линейны по полю па-
падающей волны; наиболее общий вид такой зависимости:
A17.1)
) Мы увидим ниже (§ 118), что эффект вынужденного излучения очень
мал при температурах Т <С й(ш + ш). Он может стать существенным в лишь
области радиочастот.

590	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
Здесь е1 обозначает е(а/), а с^/с, fiik — тензоры, характеризую-
характеризующие рассеивательные свойства среды. В общем случае они не
обладают никакими свойствами симметрии, а их компоненты
являются функциями как частоты а/ рассеянной волны, так и
первоначальной частоты ио. Подчеркнем, что тензорный харак-
характер величин а и /3, разумеется, не противоречит предполагае-
предполагаемой изотропии среды. Изотропными являются лишь полностью
усредненные свойства среды; местные лее отклонения от средних
свойств, к которым и относятся дополнительные члены в A17.1),
не обязаны быть изотропными.
Последний член в A17.1) связан с той частью рассеяния, ко-
которая осуществляется элементарными актами вынужденного ис-
испускания. Действительно, все члены в правой части равенства
A17.1) дол лены соответствовать той лее частоте а/, что и D' в
его левой части равенства. Поскольку Е* имеет частоту —c<j, то
частота величин C^ должна быть lu + lu'', чтобы частота произве-
произведений PikEfr была а/. Но ио + ио' есть частота, характерная как раз
для актов вынужденного излучения. Ввиду упомянутой выше
малости этого эффекта пренебрежем соответствующим членом
в A17.1) и будем писать ни лее
D'i = efE'i + aikEk.	A17.2)
Аналогичными формулами выражается также и связь меж-
между В' и Н'. Мы, однако, будем пренебрегать магнитными свой-
свойствами среды, обычно несущественными для явления рассеяния
света, и потому положим В' = Н'.
Уравнения Максвелла для поля рассеянной волны имеют вид:
rot Е' = i-H', rot H' = -г-D'.
с	с
Исключив Н' из этих уравнений, найдем
rotrotE' = — D'.
с2
Подставив сюда согласно A17.2)
Е' = -Bf --(аЕ)
е'	е'
((аЕ обозначает вектор с составляющими ац^Е^) и учитывая,
что divD' = 0, получим следующие уравнение для D':
AD' + ^D^-rotrot^E),	A17.3)
где к1 = uJyfe1/с — волновой вектор рассеянной волны.
Для точной формулировки условий, в которых должно быть
решено уравнение A17.3), разделим рассеивающую среду на ма-
малые участки (размеры которых, однако, велики по сравнению

§ 117	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	591
с молекулярными расстояниями). В силу молекулярного харак-
характера процессов рассеяния корреляция между этими процесса-
процессами в различных точках среды (не кристаллической!) распро-
распространяется, вообще говоря, лишь на расстояния порядка моле-
молекулярных1). Поэтому рассеянный свет, исходящий из различ-
различных участков среды, некогерентен. Мы можем, следовательно,
рассматривать рассеяние от одного из участков так, как если
бы в остальном объеме среды свет распространялся без рассея-
рассеяния. Поступая таким образом, вычислим поле рассеянной вол-
волны на большом расстоянии от рассеивающего участка тела. Вос-
Воспользовавшись известным приближенным выражением для за-
запаздывающих потенциалов на большом расстоянии от источника
(см. II, § 66), можно сразу написать требуемое решение уравне-
уравнения A17.3):
D' = —rotrot ^^ Г (aE)e-*k'r dV.	A17.4)
4тг	i^o J
Здесь Rq — радиус-вектор от какой-либо точки внутри рассе-
рассеивающего объема (по которому производится интегрирование)
до точки наблюдения поля, а вектор к' имеет направление Ro-
Стоящий здесь интеграл не зависит от координат точки наблю-
наблюдения; произведя дифференцирование и сохранив, как обычно,
лишь члены с 1/До? получим
Поскольку в точке наблюдения мы рассматриваем среду как
нерассеивающую, то связь между D' и Е' в этой точке дается
просто соотношением D' = е'Е'. В поле падающей волны вы-
выделим пространственный периодический множитель, представив
напряженность в виде
Е = Eoeikr = ?oeeikr;	A17.5)
во втором выражении комплексная амплитуда Ео записана как
Е$е, где Eq — вещественная величина (Eq = |Eq|2), a e — единич-
единичный комплексный вектор (ее* = 1), определяющий поляризацию
волны. Введя затем обозначение
G = f (ae)-ic*rdV, q = k' - k,	A17.6)
) Исключение могут представлять особые случаи рассеяния, о которых
будет идти речь в § 120. В этих случаях размеры рассеивающих участков
должны предполагаться большими также и по сравнению с длиной волны
света или еще большими.

592	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
напишем
Вектор Е' перпендикулярен к направлению к' рассеянной волны
и определяется перпендикулярной к к' проекцией G^.
Определив таким образом неусредненное поле рассеянной
волны, мы можем теперь перейти к исследованию интенсивно-
интенсивности и поляризации рассеянного света. Для этого надо образовать
тензор
Iik = {E>E>0,	A17.8)
где угловые скобки означают не производящееся до сих пор окон-
окончательное усреднение по движению частиц в теле; усреднение
квадратичного выражения дает, естественно, отличный от нуля
результат. Поскольку Е' _L к', то тензор Ц^ имеет отличные от
нуля компоненты лишь в плоскости, перпендикулярной к к'; эти
компоненты составляют (в этой плоскости) двумерный тензор
1ар (греческими буквами обозначаем индексы, пробегающие два
значения). Тензор 1ар, по определению, эрмитов: Ipa = I^p- Он
может быть приведен к главным осям, причем отношение его
двух главных значений дает степень деполяризации, а их сумма
пропорциональна полной интенсивности света1).
В произведения Е[Е'? входят произведения интегралов Gi\
они-то и должны быть подвергнуты усреднению. Написав про-
произведение двух интегралов в виде двойного интеграла, имеем
(GiGt) = еге*т JJ {ctf а^)е~^-^ dVi dV2.	A17.9)
Верхние индексы A), B) указывают, что значения а берутся в
двух различных точках пространства.
При усреднении подынтегрального выражения надо учесть,
что корреляция между значениями а в разных точках тела рас-
распространяется, вообще говоря, лишь на расстояния порядка мо-
молекулярных. Это значит, что после усреднения подынтеграль-
подынтегральное выражение будет существенно отлично от нуля лишь при
|ri — Г21 ~ а, где а — порядок величины молекулярных расстоя-
расстояний. Показатель степени в экспоненциальном множителе ~ а/А,
*) См. II, § 50. Приведение эрмитова тензора к главным осям означает
представление его в виде
где ni, П2 — в общем случае комплексные единичные взаимно ортогональ-
ортогональные векторы:
П1П! = П2П2 = 1, П1П2 = 0.
Главные значения Ai, A2 эрмитова тензора вещественны.

§ 117	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	593
где Л — длина рассеиваемой волны; но а/Л <С 1 уже в силу необхо-
необходимого условия применимости макроскопической теории вообще.
Мы можем, следовательно, заменить экспоненциальный множи-
множитель единицей 1).
Далее, интегрирование по координатам ri и Г2 можно заме-
заменить интегрированием по (ri + Г2)/2 и г = ri — Г2. Поскольку
подынтегральное выражение зависит (после усреднения) только
от г, то
(О4СГк) = Veie*m J (с^ЧЬ dV,	A17.10)
где V — объем рассеивающего участка тела; тот факт, что рас-
рассеяние должно быть пропорциональным V, очевиден и заранее.
Отметим, что из формулы A17.10), а потому и из всех следую-
следующих ниже формул выпадает направление волнового вектора к
падающей волны.
Стоящие в A17.10) интегралы образуют тензор четвертого
ранга, зависящий только от свойств рассеивающей среды. Ввиду
изотропии среды этот тензор может выражаться только через
единичный тензор 8{к (и скалярные постоянные). Прежде чем
написать соответствующее выражение, заметим, что тензор a^fc?
как и всякий тензор второго ранга, можно представить в общем
случае в виде суммы трех независимых частей:
aik = a8ik + sik + aik,	A17.11)
где а — скаляр, Sik — неприводимый (т. е. с равным нулю следом)
симметричный тензор, щк — антисимметричный тензор:
а s	(a + a	a8Jaik = -(aik - aki).
A17.12)
тт	(!) B)*
При усреднении произведения а\г акг^ могут оказаться от-
отличными от нуля только произведения компонент каждой из
указанных трех частей тензора ос{к по отдельности; ясно, что с
помощью единичного тензора нельзя составить выражение, ко-
которое по своим свойствам симметрии могло бы соответствовать
перекрестным произведениям. Эти соображения позволяют на-
написать искомый тензор четвертого ранга в виде
а = ~ац, sik = - (aik + aki - -u8ikJ, ik
—Gs\
а) dv = @о8ц8к + G\8ikSim + 8гШ8к1 — -8ц8к
+ 1-Ga(8ik8lrn-8im8kl), A17.13)
6
где три члена по своей симметрии как раз отвечают произве-
произведениям скалярных, симметричных и антисимметричных частей
2) Допустимость этого пренебрежения требует, однако, специальных ого-
оговорок при так называемом рзлеевском рассеянии (см. § 120).

594	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
A)	B) Л7
тензоров ог^ и о^кг^- Упрощая это выражение по различным па-
парам индексов, получим три равенства, из которых выясняется
смысл коэффициентов в A17.13):
Go = J(a^a^)dV, Gs = J (,$*%») dV, Ga = f(a$a%»)dV.
A17.14)
Эти величины вещественны и положительны J).
Таким образом, тензор Цк принимает вид
Iik = const • \Goeie*k + ^Gs[Sik + e*ek - \eiek) +
+ \Ga{8ik-e*ek)\, A17.15)
где const не зависит от направления рассеяния и от поляризации
падающей волны. Этот тензор, разумеется, еще не поперечен на-
направлению к'. Искомый же тензор /а^ получится путем проеци-
проецирования тензора A17.15) на плоскость, перпендикулярную к к'
(для чего достаточно выбрать систему координат с одной из осей
вдоль к' и взять компоненты тензора по двум другим осям).
Обратим внимание на то, что в общем случае рассеяние мо-
может быть представлено в виде наложения трех независимых про-
процессов — рассеяний скалярного, симметричного и антисиммет-
антисимметричного типов, которым отвечают три члена в A17.15) 2).
Если не интересоваться этим разбиением, может оказаться
удобным представить выражение A17.15) в другом виде, приве-
приведя в нем подобные члены:
Iik = const • {^eie*k + a-^e*ek + Ь«Ц ,	A17.16)
г) Вещественность тензора A17.13), а тем самым и коэффициентов в нем,
видна уже из того, что этот тензор автоматически оказывается симметрич-
симметричным относительно перестановки пары индексов И с парой km, а такая пере-
перестановка равнозначна переходу к комплексно-сопряженной величине (ввиду
эквивалентности точек 1 и 2). Положительность коэффициентов следует из
того, что они могут быть представлены в виде квадрата модуля (или суммы
квадратов модулей) путем преобразования, обратного тому, которое было
произведено при переходе от A17.9) к A17.10). Так,
*<]> dv2N
) Формула A17.15) и последующие выводы из нее отличаются лишь опре-
определением величин Go, Gs, Ga от формул квантовой теории Плачека рассея-
рассеяния на отдельных свободно ориентирующихся молекулах, изложенной в IV,
§ 60.

§ 117	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ	595
где
0 30 s 6 а'	10 s 6 а'	° 6 s 6 а'
A17.17)
Формула A17.15) или A17.16) определяет угловое распреде-
распределение и поляризационные свойства рассеянного света. В частно-
частности, спроецировав этот тензор на некоторый поляризационный
вектор е' (определяющий направление Е'), мы получим интен-
интенсивность определенным образом поляризованной компоненты
рассеянного света, которая могла бы быть выделена соответ-
соответствующим поляризационным анализатором:
Iike'*e'k = const • \g0 |ee'*|2 + -Gs(l + |eef - -|ee'*|2) +
I.	1 и \	о	/
+ lGa(l-|ee'|2)} A17.18)
или
Iike'*e'k = const • (^±?|ee'*|2 + —- ee'l2 + b\ . A17.19)
Рассмотрим рассеяние линейно поляризованной волны. Такой
поляризации отвечает вещественный вектор е (см. II, § 48, 50).
Вместе с ним будут вещественны и все компоненты тензора /а^
рассеянного света. Это значит, что рассеянный свет частично по-
поляризован, причем он может быть разложен на две независимые
(некогерентные) волны, каждая из которых линейно поляризо-
поляризована. Ввиду наличия в перпендикулярной к к' плоскости всего
одного избранного направления (выделяемого проекцией векто-
вектора е на эту плоскость), заранее очевидно, что одна из этих волн
поляризована с вектором е' в плоскости ек7 (ее интенсивность
обозначим через /i), а другая — перпендикулярно к этой плос-
плоскости (интенсивность /2I).
При вещественном е выражение A17.16) сводится к
Iik = const . (ае{ек + bSik).	A17.20)
Сразу же отметим, что оно содержит всего две, а не три незави-
независимые постоянные. Соответственно, имеем
7"	/ /	/ /	/ \ 2	7\
/.7 р.р, — РОПЧ'1' • [ П [ (*(* 1 —I— Л 1
и, взяв е' в двух указанных выше направлениях, найдем угловые
распределения двух некогерентных составляющих рассеянного
) Подчеркнем лишний раз необходимость отличать поляризационное сос-
состояние рассеянного света как такового от поляризации е;, выделяемой де-
детектором!

596	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
света:
h = const • (a sin2 в + b), /2 = const • b,	A17.21)
где в — угол между е и направлением рассеяния к'. Отметим,
что второе из распределений оказывается изотропным.
При прохождении через среду естественного света рассеян-
рассеянный свет будет частично поляризован. Соответствующий тензор
Iik получается из A17.16) усреднением по всем направлениям е
в плоскости, перпендикулярной к к. Оно осуществляется фор-
формулой
^ \	A17.22)
(п = к/А;); это — тензор второго ранга, зависящий только от
направления п, обращающийся в 1 при упрощении и удовлетво-
удовлетворяющий условию
щеге\ = (пе)е? = 0.
Таким образом, при рассеянии естественного света
Iik = const • \-Eik - щпк) + b5ik\ .	A17.23)
Из соображений симметрии очевидно, что две некогерентные
компоненты рассеянного света будут линейно поляризованы с
вектором е' в плоскости kk' (плоскость рассеяния) и перпенди-
перпендикулярно к ней; обозначим интенсивности этих компонент соот-
соответственно как /и и ij_. Из формулы
получим
/ц = const. f | cos2 д + b\, I± = const • f | + b\ , A17.24)
где $ — угол рассеяния (угол между кик').
Выпишем еще формулы для углового распределения и поля-
поляризационных свойств каждого из трех типов рассеяния по от-
отдельности. Они получаются из A17.21) и A17.24) просто путем
подстановки в них для а и Ъ соответствующих членов из A17.17).
При скалярном рассеянии линейно поляризованного света
рассеянный свет тоже полностью поляризован, а угловое рас-
распределение интенсивности дается формулой
J= -sin2 в	A17.25)
(здесь и ниже выражения для / нормированы так, что их усред-
усредненное по направлениям значение равно 1). При рассеянии же

§ 118 ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ПРИ РАССЕЯНИИ 597
естественного света угловое распределение интенсивности и ко-
коэффициент деполяризации (отношение меньшего из /ц, 1± к
большему) даются формулами *)
/ = 1± + /и = ЁA + cos2 0), i = cos2 i9.	A17.26)
Для симметричного рассеяния поляризованного света имеем
/ = /1+/, = ±(в + .ш»«), | = ^,	A17.27)
а при рассеянии естественного света:
/ = A(i3 + cos2 0), i = -F + cos2 i9).	A17.28)
40	I± 7
Наконец, для антисимметричного рассеяния поляризованно-
поляризованного света
/ = -A + cos2 0), ^ = cos2 0,	A17.29)
4	/2
а при рассеянии естественного света:
/ = -B + sin2 0), ^ =	Ц-.	A17.20)
8V	у' /и 1+sin2 79	v	у
§ 118. Принцип детального равновесия при рассеянии
Общий квантовомеханический принцип детального равнове-
равновесия (см. III, § 144) позволяет получить определенное соотноше-
соотношение, связывающее между собой интенсивности различных про-
процессов рассеяния.
Обозначим через dw2i вероятность (на единице пути) процес-
процесса рассеяния кванта fvuj\ с возникновением кванта Ноо2, распро-
распространяющегося в элементе телесного угла do2 2), через dw-[2 обо-
обозначим вероятность обратного процесса рассеяния кванта Нсо2 с
возникновением кванта fvuj\ в телесном угле do\. Принцип деталь-
детального равновесия устанавливает следующую связь между этими
2) Переход от формул для 1F) к формулам для /($) отвечает усреднению
согласно
sin2 в = -A+ cos2 #)
(ср. переход от (92.3) к (92.6)).
) Имеются в виду также и определенные поляризации обоих квантов;
поляризационные индексы для краткости не выписываем. Порядок распо-
расположения индексов в обозначении duJi соответствует принятому в квантовой
механике: справа налево от начального состояния к конечному.

598	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
двумя вероятностями:
Щ do2 Щ doi '
где fei, &2 — волновые векторы обоих квантов. Подставив kf =
l2 k\ = Е2^\1(? (где е\ = e(u>i), ?2 = efa)), получим
A18.1)
do\
В этом соотношении предполагается, что начальное и конеч-
конечное состояния рассеивающей системы соответствуют дискрет-
дискретным уровням энергии ?] и ?2, связанным друг с другом ра-
равенством
= Е2
Такая постановка вопроса не вполне соответствует реальному по-
положению вещей, поскольку спектр уровней энергии макроскопи-
макроскопического тела чрезвычайно густ и должен рассматриваться как
квазинепрерывный.
Поэтому вместо вероятности dw2\ рассеяния со строго опре-
определенным изменением частоты надо ввести вероятность рассея-
рассеяния в интервале частот duj2i T- е. с переходом тела в состояние
с энергией в интервале (IE2 = fiduJ- Обозначив эту вероятность
(снова на 1 см пути) как б?/&2Ъ имеем
где б?Г2 — число квантовых состояний тела в интервале энергий
dE- Вместо A18.1) получим теперь
do\ dui
Но согласно известной связи между статистическим весом ма-
макроскопического состояния тела и его энтропией & производная
dT/dE в основном совпадает с ехрE, так что отношение
Поскольку изменение энергии тела в результате рассеяния
одного кванта ничтожно мало по сравнению с самой энергией, то
относительно мало также и изменение энтропии, которое можно
поэтому положить равным
Уг-У2 = g(?i - Eh) = |Н - Ш1).

§ 118	ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ПРИ РАССЕЯНИИ	599
Учитывая это обстоятельство, напишем окончательно выра-
выражение принципа детального равновесия для рассеяния в следую-
следующем виде:
еГ^1те^\-^- = е-^те2ш1^^.	A18.2)
do2 duj2	do\ di>j\
Величину d/i2i (имеющую размерность см) называют диф-
дифференциальным коэффициентом экстинкции света при рассея-
рассеянии. Его определение можно сформулировать также и следую-
следующим образом: это есть отношение числа квантов, рассеянных (в
элемент телесных углов с?О2, в интервале частот duo2) в единицу
времени в единице объема среды, к плотности потока фотонов
в падающем свете. Проинтегрировав dh по всем направлениям
и всем частотам рассеянного света, мы получим полный коэф-
коэффициент экстинкции, который представляет собой декремент
затухания плотности потока фотонов при его распространении в
рассеивающей среде.
Пусть LU2 < оо-[. Соотношение A18.2) связывает между собой
интенсивности (коэффициенты зкстинкции) стоксова A —>• 2) и
обратного, антистоксова B —> 1) рассеяний. Мы видим, что вто-
вторая, вообще говоря, меньше первой, в основном в отношении мно-
множителя	/ */
expv ^—
Это обстоятельство имеет довольно общий характер и соот-
соответствует тому, что передача энергии от тела к электромаг-
электромагнитному полю затрудняет процесс, ослабляя его в отношении
ехр(—АЕ/Т), где АЕ — передаваемая энергия. В частности,
по этой причине обычно весьма слабым является эффект вы-
вынужденного испускания, при котором тело отдает в единичном
акте рассеяния энергию Н{ш\ + ^2)- Вероятность такого процесса
при Н(ио\ + 002) ^> Т содержит малый множитель
т J
Общее соотношение A18.2) сильно упрощается в важном
случае рассеяния с относительно малым изменением частоты.
Обозначим ш\ просто как ш, а малую разность Ш2 — шг как ft
(\ft\ <C oj). Кроме того, введем обозначение
I(co,u).	A18.3)
В незкспоненциальных множителях еио2 в A18.2) можно прене-
пренебречь разностью fi, после чего они сокращаются в обеих сторонах
равенства, так что остается
1	+ п, -fi)e-R

600	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
В первом из аргументов функции 1{ш + Л, — Л), указывающем
начальную частоту света, молено пренебречь Л, т. е. относить
интенсивность рассеяния к несколько смещенному значению час-
частоты падающего света. Тогда
1(ои, П) = 1(ои, -п)е-ш'т.	A18.4)
В этом приближении / в обеих частях равенства относится к
одинаковой частоте падающего света. Другими словами, соотно-
соотношение A18.4) устанавливает простую связь между стоксовым и
антистоксовым рассеянием одного и того же света с одинаковы-
одинаковыми абсолютными значениями сдвига частоты fi.
Задача
Связать интенсивность вынужденного комбинационного рассеяния (см.
§ 112) с интенсивностью обычного {спонтанного) рассеяния.
Решение. Вероятность вынужденного рассеяния получается из
вероятности спонтанного рассеяния умножением на 7Vk2 — число фотонов
в квантовом состоянии с волновым вектором кг- Для того чтобы связать
это число с напряженностью поля Е2 рассеянной волны, надо рассматри-
рассматривать последнюю как почти монохроматическую и приравнять друг другу
выражения энергии поля (в единице объема) через число квантов или через
напряженность:
Г к at d k<2 <V^ dk2 |^ ,2	m
/ rkj2N^27Z-^ = —	— IE2|	A)
J	BтгK 8тг duJ
(правая часть написана согласно (83.9)). В левой части можно вынести из-
под знака интеграла множители, мало меняющиеся в узком интервале ча-
частот, предварительно заменив
U К2 = гь2	 "°2 dUJ2 =	dO2
dtO2	С2 dtO2
Тогда
dsk2 fvuly/ei dk2
—— =	-—
BтгK 8тг3с2 duj2
и из A) имеем
Г Nb2 duj2 do2
Плотность же потока падающих фотонов есть (см. (83.11)):
Таким образом, энергия, передаваемая полю Е2 за счет вынужденного
рассеяния фотонов Hlji, есть (вводим обозначение A18.3)):
^ = fko2 |L/(W], fi) J ivk2 dc2 do2 = ^f7 |E, |2 |E2 \2I(ui, fi) B)
(Q = CJ2 — cji). Но в то же время поле Е2 теряет энергию за счет вынужден-
вынужденного рассеяния фотонов Huj2 с их превращением в фотоны Hlji. Энергия,

§ 119	РАССЕЯНИЕ С МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЧАСТОТЫ	601
получаемая путем этих процессов полем Ei, дается формулой, отличающей-
отличающейся от B) лишь перестановкой индексов 1 и 2. Энергия же, отдаваемая полем
Е2, получится отсюда еще умножением на — k^/tJi (ср. с 112.8)) и равна
-П).	C)
Сложив оба выражения и выразив 7(о;2,—П) через 7(o;i,Q) с помощью
A18.2), получим суммарное изменение энергии поля частоты oj2'-
dU2	тгс4
dt 8fkjj-iuj% у ?2
Введя инкремент (при UJ2 < cji ) возрастания интенсивности рассеянного из-
излучения с частотой CJ2 на единице пути
1 dU2
q
(величина размерности 1/см), перепишем это соотношение в окончательном
где &2 = Ш2л/б2/с, a »Si — плотность потока энергии падающего света с
частотой uji .
§ 119. Рассеяние с малым изменением частоты
Развитая в § 117 теория обладает полной общностью и при-
применима ко всем случаям рассеяния в изотропной среде вне зави-
зависимости от их конкретного механизма. Естественно, однако, что
при такой степени общности вычисления могут быть продвинуты
лишь сравнительно недалеко, и дальней глее исследование явле-
явления рассеяния возможно лишь при более частных предположе-
предположениях.
Рассеяние света сопровождается обычно относительно малым
изменением частоты U = ио' — ио. Следующие ниже вычисле-
вычисления относятся именно к таким случаям, причем, помимо условия
|П| ^С cj, мы будем также предполагать, что изменение коэффи-
коэффициента преломления среды в интервале частот ft относительно
мало. Последнее условие означает, что частота со не должна быть
расположена слишком близко к какой-либо из областей (или ли-
линий) поглощения рассеивающей среды.
Если си относится к оптической области спектра, то микро-
микроскопический механизм рассеяния с малыми ft может быть связан
с различного рода движениями атомов и молекул как таковых
(т. е. с перемещением атомных ядер в противоположность чисто

602	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
электронным движениям, ответственным за оптические перехо-
переходы). Ими могут быть внутримолекулярные колебания атомов,
вращения или колебания молекул как целого и т.п.1).
Пусть q = q(t) условно обозначает совокупность координат,
описывающих движение, ответственное за рассеяние (для про-
простоты проводим рассуждения сначала с классической точки
зрения). Относительная медленность этого движения позволяет
подойти к макроскопическому описанию рассеяния по-новому.
Именно, можно ввести тензор диэлектрической проницаемости
?ik(q)? компоненты которого (в каждый момент времени) зави-
зависят как от параметров лишь от значений координат q в этот же
момент времени. Последнее связано именно с предполагаемой от-
относительной медленностью изменения е. Введенная таким обра-
образом диэлектрическая проницаемость относится к полю, усреднен-
усредненному по электронному движению при заданном расположении
ядер. Для полностью усредненного (в том числе и по движению
ядер) поля диэлектрическая проницаемость сводится к скаляру
е = е(ио). Отклонение е^ от этого значения обозначим как
A19.1)
Тензором Sik определяется связь между напряженностью и
индукцией поля как функциями времени. Подчеркнем, что па-
падающая волна по-прежнему предполагается монохроматической
(с частотой c<j), но поле Е' рассеянной волны рассматривается
теперь как функция времени, не разложенная на монохромати-
монохроматические компоненты. Полное поле складывается из поля Е падаю-
падающей и поля Е' рассеянной волн; таким образом,
Сократив, по определению, члены D и еЕ и опустив член 8sikE'k
как малый второго порядка, получим
D'^eEl + Sei^Ek.	A19.2)
Соотношение A19.2) того же вида, что и формула A17.2).
Разница, однако, заключается в том, что при изложенном подхо-
подходе к вопросу ясно, что в данном случае тензор а^ = бец^ симмет-
симметричен. Это следует непосредственно из общей теоремы о симмет-
симметричности тензора диэлектрической проницаемости. Кроме того,
в соответствии с вещественностью диэлектрической проницаемо-
проницаемости прозрачной среды молено утверждать, что тензор бец^ веще-
веществен.
) При этом предполагается, что соответствующие значения Q малы по
сравнению с частотами электронных переходов. Это условие может нару-
нарушиться в газе, состоящем из молекул с вырожденным основным электрон-
электронным состоянием.

§ 119	РАССЕЯНИЕ С МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЧАСТОТЫ	603
Отсутствие у тензора а^ антисимметричной части означает,
что из указанных в § 117 трех видов рассеяния один (антисим-
(антисимметричный) при рассеянии с малым изменением частоты отсут-
отсутствует.
Вычислим полную (со всеми сдвигами частот ft = ио1 — ио <С ш)
интенсивность рассеяния. В рассматриваемом случае это легко
сделать следующим образом. В уравнении A17.3) для рассеянной
волны можно заменить к1 на к = иол/ё/с (а также взять значение
а,{]~ = Seik при а/ = cj), после чего оно вообще не будет содер-
содержать а/, т. е. будет одинаковым для всех спектральных компо-
компонент поля. Поэтому то же уравнение будет справедливым и для
не разложенного по Фурье поля рассеянной волны, которое мы
обозначаем здесь той же буквой Е'. Воспользовавшись решением
уравнения в форме A17.7), получим
?г\2\ Ерк4 sin2 в ЛГч|2\ Ер sin2 в лг, ,2\
' } =	(|G| } =	A ' }'
где в — угол между к и G, а угловые скобки обозначают, как и
в § 117, окончательное усреднение по движению частиц.
Введем коэффициент зкстинкции h как отношение полной ин-
интенсивности света, рассеянного по всем направлениям в единице
объема среды, к плотности потока падающего света1):
^o'	A19.3)
(здесь уже положено е{ио') « ?г(о;)).
По указанной уже в § 117 причине заменим при вычислении
среднего значения (|G|2) экспоненциальный множитель в подын-
подынтегральном выражении G единицей; тогда
(ср. A17.9), A17.10)). Выражение в угловых скобках представ-
представляет собой тензор второго ранга и ввиду изотропии среды дает
после усреднения:
Тогда средний квадрат
) Это определение отличается от данного в § 118 определения по числу
квантов множителем ш'/ш. В данном случае этот множитель можно считать
равным единице, и тогда оба определения эквивалентны.

604	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
не зависит от направления рассеяния и интегрирование в A19.3)
приводит к результату
Подынтегральное выражение здесь — корреляционная функция
флуктуации диэлектрической проницаемости в различных точ-
точках среды Г] и Г2 в один и тот же момент времени; интегри-
интегрирование производится по разности координат г = ri — Г2. Если
перейти обратно к интегрированию по dV\ и dV2, то формула
A19.4) запишется в виде
^)v,	A19.5)
где символ (... )у означает средний квадрат флуктуации в объ-
объеме V. Отметим, что полный коэффициент зкстинкции не зави-
зависит от поляризации падающего света.
Полученные формулы позволяют рассматривать рассеяние с
макроскопической точки зрения как происходящее на флукту-
ационных неоднородностях среды. В такой трактовке угловое
распределение и спектральный состав рассеянного света опреде-
определяются пространственно-временными характеристиками флук-
туации — корреляционной функцией )
между флуктуациями в различных точках пространства в раз-
различные моменты времени.
Чтобы убедиться в этом, разложим зависящие от времени
величины Seik в интеграл Фурье:
Seik(t)= Seikne-int^ 8sikn = Г Ssik(t)eintdt.
Каждая из компонент #?гШе~гШ будет теперь играть роль вели-
величин aik в связи A17.2) между монохроматическими компонента-
компонентами Ей D', причем а/ = си + Л. Представляя теперь квадратич-
квадратичные по полю выражения в виде двойных интегралов (аналогично
A17.9)), без труда получаем для дифференциального по часто-
частотам и направлению коэффициента зкстинкции:
dh = ^ {eSV^e^feifetonta} A/g,	(П9.6)
) Эта функция зависит, конечно, только от разности t = t\ — ti- Вто-
Вторую стадию усреднения (обозначаемую угловыми скобками) в применении
к стоящему здесь произведению флуктуации можно понимать как усредне-
усреднение по «начальному» моменту времени t<i при заданном t.

§ 119	РАССЕЯНИЕ С МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЧАСТОТЫ	605
где (в соответствии с обозначениями, принятыми в IX, гл.
8, 9) введена компонента пространственно-временного фурье-
разложения корреляционной функции
Feu6ekm)uq =J f {6eil(tuv1Nekm(t2,v2))ei^t-^dtdV A19.7)
— ОО
(t = t\ — ?2, г = ri — Г2). Формула A19.6) относится к регистри-
регистрируемой поляризационным анализатором компоненте рассеянного
света с поляризацией е'. Говоря о спектральном распределении,
мы имеем в виду сильную зависимость от ft внутри линии рассея-
рассеяния; медленно лее меняющийся множитель а/4 заменен на w4. В
подынтегральном выражении A19.6) оставлен множитель е~щг.
Замена его единицей в формуле для спектрального распределе-
распределения может оказаться недопустимой, далее если это допустимо
для интегрального по частотам рассеяния (см. следующий пара-
параграф).
До сих пор изложение велось в терминах классической меха-
механики. При переходе к квантовому описанию координаты д, а с
ними и величины 8ец^ заменяются соответствующими квантово-
механическими операторами в гейзенберговском представлении.
Молено показать (см. конец параграфа), что при этом формула
A19.6) остается справедливой, если под (<$?iZ<fefcm)ftq понимать
величину
/ /	^^. A19.8)
Теперь угловые скобки означают полное (как квантовомеханиче-
ское, так и статистическое) усреднение по состоянию среды. Вви-
Ввиду некоммутативности операторов <$e^fc B разные моменты вре-
времени в разных точках среды, порядок следования операторов в
A19.8) существен. Именно с этой некоммутативностью связана
выражаемая соотношением A18.4) зависимость интенсивности
рассеяния от знака ft] в классическом пределе эта зависимость
исчезает. Квантовая лее формула удовлетворяет указанному со-
соотношению автоматически.
Интегральный по частотам коэффициент зкетинкции получа-
получается интегрированием по ft] ввиду быстрой сходимости вне линии
поглощения интегрирование может быть распространено от —ос
до ос (напомним, что ft есть разность а/ — ио и потому ее по-
положительные и отрицательные значения физически различны).
Интеграл
2тг

606	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
после чего ^-функция устраняется интегрированием по i и разно-
разновременная корреляционная функция становится одновременной.
Дифференциальный по направлениям коэффициент зкстинкции
дается формулой
dh =	— {e^*e^e/e^l(E?^E?/cm)q| do\	A19.9)
где
{06ц0?кт)ц= \ \°?%1°?кт)е	dV	A19.10)
— фурье-компонента одновременной корреляционной функции.
При q = 0 угловое распределение связано лишь с поляризацион-
поляризационными множителями, и мы возвращаемся к уже известным нам
формулам.
Сохранение в интеграле A19.10) отличного от единицы мно-
множителя е~ЩТ существенно усложняет угловое распределение и
поляризационные свойства рассеянного света1). В частности,
несправедливо разделение рассеяния на две части (скалярную
и симметричную), которые давались бы двумя первыми члена-
членами в A17.18). Существенно при этом, что тензор (SeuSekrnjq Уже
не обязательно является истинным тензором, как это автомати-
автоматически имеет место при q = 0; в нем могут присутствовать псевдо-
псевдотензорные слагаемые (см. задачу 2). Эти слагаемые допустимы,
если изотропная среда состоит из право-левосимметричных мо-
молекул и потому не инвариантна относительно инверсии.
В заключение остановимся кратко на квантовомеханическом
выводе формул A19.6), A19.8).
Роль оператора возмущения в гамильтониане системы «сре-
«среда + поле» играет интеграл
V = - f Seik^^dV,	A19.11)
где Е — оператор квантованного электромагнитного поля (после
усреднения по стационарным состояниям системы и статисти-
статистического усреднения по распределению Гиббса оператор A19.11)
дает изменение 8^ свободной энергии при медленном изменении
диэлектрической проницаемости — см. A01.24)).
Оператор Е выражается через операторы уничтожения и ро-
рождения фотонов в состояниях cj, к, е:
Ё = г?(^р)/ {скеее^кг-^ + ск+е*е-(к-^)} , A19.12)
ке
г) В § 121-123 мы встретимся со случаями, когда полагать q = 0B A19.10)
нельзя даже для интегрального по частотам рассеяния.

§ 119	РАССЕЯНИЕ С МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЧАСТОТЫ	607
где и = dui/dk (нормировочный объем полагаем равным 1). Это
выражение отличается от такового для поля в пустоте (см. IV,
§ 2) множителем (iz/^/eI'2 в нормировочных коэффициентах;
его происхождение связано со множителем у/е/и в плотности
энергии (83.9) плоской электромагнитной волны в среде1).
Вероятность перехода с поглощением фотона к и испускани-
испусканием фотона к', причем среда переходит из некоторого заданного
начального состояния (отметим его индексом п) в любое конеч-
конечное состояние (/), дается формулой (ср. III, D0.5))
/
- J (Vf\V\kn)dt
— ОО
2 d3k'
Bтг)з
A19.13)
где матричный элемент
fi = а/ — cj, q = k' — к.
Интеграл в A19.13) пишем в виде двойного интеграла по
dV\ dV2 di\ dt2 и замечаем, что
41))/n(^42i)/, = (fe?41} w
Подынтегральное выражение зависит только от разностей ri —Г2,
ъ\—Ъ2- Поэтому вероятность dw содержит множитель t — полное
время наблюдения. Искомый коэффициент зкстинкции опреде-
определяется как dh = dw/tu. После окончательного статистического
усреднения по состояниям среды получим требуемый результат.
Задачи
1. Найти общий вид поляризационной зависимости рассеяния в изотроп-
изотропной среде с учетом передаваемого среде импульса q (Б.Я. Зельдович, 1972).
Решение. Задача сводится к нахождению всех независимых
тензорных четвертого ранга комбинаций, обладающих симметрией тензора
Fецб?кт)пя, которые можно составить из единичного тензора Sik, единич-
единичного антисимметричного тензора еш и компонент вектора v = q/g; они дол-
должны быть симметричны по каждой из пар индексов И и km и инвариантны
г) Нормировочный коэффициент в A19.12) получается из условия, что
собственные значения оператора плотности энергии поля должны быть рав-
равны ^GVke + 1/2Itlj, где TVke — числа заполнения квантовых состояний фо-
фотона. Энергия фотона в среде есть fta;, а импульс Кк (к = Шл/е/с): эти вели-
величины фигурируют в показателях экспоненциальных множителей в A19.12).
Во избежание недоразумений подчеркнем, что импульс Ш. включает в себя
не только вклад от поля как такового, но и импульс, приобретаемый средой
в процессе излучения фотона.

608	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
по отношению к перестановке пары И с парой km (эквивалентной переста-
перестановке точек ri и Г2 и тем самым изменению знака г) при одновременном
изменении знака и.
Этим требованиям удовлетворяют комбинации:
1) SilSkmi	2)
3) SilVkVm + SkmVifl,	4) Sik^l^m + • •
5) ViVkViVm,	6) ypepikSim +
7) vv
(в 4, 6, 7 опущено по три члена, получающихся симметризацией написанно-
написанного члена). Совокупности этих комбинаций отвечает угловое распределение
вида
/i lee'* |2 + /2{1 + |eef} + /3{(ee'*)(i/e*)K) + к. с.}+
+/4{|i/e|2 + |i/e'|2 + ((ee')(i/e*) + к. с.)} + M(^e)(i/e')|2 +
+i/6i/{[ee*] + [e'V] + ([ee'](e*e'*) - к. c.)}+
+z/7i/{[e'*e'](i/e)(i/e*) + [ee*](ve')(ve'*) + ([ee;](i/e*)(i/e;*) + к. с.)}.
(/l? • • • 5 /7 — вещественные функции Q и g). В среде, допускающей инвер-
инверсию, имеются только первые пять членов (первые два из них эквивалентны
первым двум членам в A17.18)). В среде без центра инверсии существуют
также и два последних члена; они, однако, обращаются в нуль, если обе по-
поляризации е и е — линейные. Если пренебречь в q разницей в частотах ио
и а/, то будет v = (n; — n)/|n' — п|, где п = k/fc, n; = k'/fc. В этом прибли-
приближении член с /7 обращается тождественно в нуль (убедиться в этом можно
путем довольно длинного вычисления, разложив каждый из векторов еие'
на две компоненты — в плоскости рассеяния и перпендикулярную к ней).
2. Определить излучение при движении быстрой частицы со скоростью,
меньшей скорости света, в рассеивающей свет среде (С.77. Капица, 1960).
Решение. Излучение в этом случае можно рассматривать как рассе-
рассеяние поля частицы на флуктуациях диэлектрической проницаемости среды.
Запишем энергию, излучаемую в единицу времени из единицы объема, для
монохроматического рассеиваемого поля как
8тг
(S из (83.11)); h — коэффициент зкстинкции света). В таком виде эта фор-
формула годится для поля Е любого происхождения.
Поле движущейся частицы имеет непрерывный частотный спектр. По-
Поэтому, чтобы получить излучение в интервале частот duo (из единицы объ-
объема, но за полное время пролета), надо заменить
|Е|2-^2|Еш(г)|2^
(см. II, § 66), где ~ЕШ — временная фурье-компонента поля. Интегрируя по
объему, получим спектральное распределение полного излучения:
/ |Еш(г)|2 dV.
Для применимости этой формулы нужно, чтобы поле мало менялось
на атомных расстояниях, точнее — на радиусе корреляции флуктуации

§ 119	РАССЕЯНИЕ С МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЧАСТОТЫ	609
проницаемости г среды. Кроме того, для пренебрежения сдвигом частоты
при рассеянии скорость молекул среды должна была мала по сравнению со
скоростью частицы v.
Поле движущейся частицы дается формулами A14.7), A14.8). Имеем
Е = УЕке
Но частота поля при движении частицы	есть ш = vkx. Поэтому d3к =
= dkx d2q = v'1 duo d2q, так что
Е(\ -iut i / тл	гкг Q Q
ш(г)е = - Еке -—i"'
v J	BттJ
причем кг = ujx/v + qr. Отсюда
j|E| dV=-jEkEk/e	~ЩГЛУ
Интеграл по dx дает просто длину пути частицы /, а интеграл по dydz
E-функцию B?rJE(q — q;). Таким образом,
Ski2-
В этом интеграле существенна область сравнительно больших значений q:
(а — атомные размеры). Действительно, в этой области выражение для Ек
сводится к	.
Ек ~ —гк(^к ~ —гс\	е
eq2
и интеграл логарифмически расходится. С логарифмической точностью ин-
интеграл следует обрезать на пределах, отвечающих границам указанной об-
области. В результате получим следующее окончательное выражение для спек-
спектрального распределения интенсивности (dF = dW/l) излучения с единицы
пути:
,л he с	vc	...
dF =	In ——	——	1
7rv2?3/2 аш(с2 - sv2yl2
с коэффициентом зкстинкции из A19.5).
Рассмотренное излучение аналогично переходному в том смысле, что не
зависит от массы частицы. При сопоставимых значениях скорости (находя-
(находящихся, однако, по разные стороны от граничного значения с/у/г) интенсив-
интенсивность этого излучения мала по сравнению с интенсивностью черенковского
излучения. Так, для газов при v ~ с, сравнив выражения A) и A15.3), в
грубой оценке находим, что
dF	а2	а6
dF4ep
где d — межмолекулярные расстояния; Л ~ ш/с (для h использовано выра-
выражение A20.4), в котором положено п — \ ~ Na, где ol ~ a — поляризуемость
молекулы). Оценку для жидкости можно получить, положив d ~ а; тогда
dF/dF4ep ~ (а/АK.
20 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

610	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
§ 120. Рзлеевское рассеяние в газах и жидкостях
По характеру изменения частоты света различают два ти-
типа рассеяния: 1) комбинационное рассеяние (эффект Рамана-
Ландсберга-Манделъштама), приводящее к возникновению в
рассеянном свете линий, смещенных (по частоте) относительно
возбуждающего света, и 2) рэлеевское рассеяние, происходящее
без существенного изменения частоты.
Механизм комбинационного рассеяния в газах заключается в
изменении под влиянием падающего света колебательного, вра-
вращательного или электронного состояния молекулы. Рзлеевское
же рассеяние не связано ни с каким изменением внутреннего сос-
состояния молекулы. В предельном случае разреженного газа (дли-
(длина пробега молекул / велика по сравнению с длиной волны све-
света Л) рассеяние происходит независимо на каждой молекуле; это
явление может рассматриваться чисто микроскопическим, кван-
товомеханическим образом.
Мы будем рассматривать здесь обратный случай, когда
Z^CA1). В этом случае рзлеевское рассеяние в газе можно раз-
разделить на две части. Одна из них связана с нерегулярностя-
ми в ориентации молекул (флуктуации анизотропии). Другая
же представляет собой рассеяние на флуктуациях плотности га-
газа. Ориентация молекулы полностью изменяется в результате
нескольких столкновений, т. е. за время порядка величины сво-
свободного пробега т. Поэтому рассеяние на флуктуациях анизо-
анизотропии приводит к возникновению сравнительно размытой ли-
линии с максимумом при а/ = си и шириной ~ Н/т. Рассеяние же
на флуктуациях плотности приводит к появлению на этом фоне
значительно более резкой линии. Как мы увидим ниже, для рас-
рассеяния света с длиной волны А существенны флуктуации плотно-
плотности, происходящие в объемах А3. Ввиду большой величины этих
объемов изменение флуктуации в них происходит сравнительно
медленно, с чем и связана узость соответствующей линии рас-
рассеяния. Мы условимся называть ни лее несмещенной именно эту
резкую линию.
Рассеяние на флуктуациях плотности относится к скалярно-
скалярному типу; поскольку плотность р есть скалярная величина, то
скалярным будет и связанное с изменением р изменение ди-
диэлектрической проницаемости 6s. Изменение же диэлектричес-
диэлектрической проницаемости при флуктуациях анизотропии описывается
симметричным тензором 8е^ с равным нулю следом; последнее
ясно из того, что при усреднении по всем направлениям этот
*) Точнее, необходимое условие гласит / <С A sin ($/2), где •д — угол рас-
рассеяния. Дело в том, что в интеграл A19.7) частота света входит лишь в
комбинации q A20.5) с углом рассеяния.

§ 120	РЗЛЕЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ	611
эффект дол леей вообще исчезать. Таким образом, рассеяние на
флуктуациях анизотропии относится к симметричному типу.
В жидкостях ситуация более сложна. Комбинационное рассе-
рассеяние здесь может быть связано лишь с изменением колебатель-
колебательного (или электронного) состояния молекул. Вращательных лее
комбинационных линий при рассеянии в жидкости не возникает.
Дело в том, что ввиду сильного взаимодействия молекул в жид-
жидкости не существует их свободного вращения, которое обладало
бы дискретными уровнями энергии. Поэтому вращение молекул,
как и всякое другое движение с изменением их взаимного распо-
расположения, вносит в жидкости свой вклад лишь в создание общей
сравнительно широкой линии рассеяния вокруг а/ = c<j, кото-
которую целиком в этом случае естественно назвать рзлеевской. Вре-
Время релаксации указанных движений связано с вязкостью жид-
жидкости .
Возможность выделения из общего рзлеевского рассеяния в
жидкости части, связанной с термодинамическими флуктуация-
ми (плотности, температуры), зависит от величины различных
времен релаксации. Необходимо, чтобы времена релаксации всех
процессов установления равновесия в жидкости были малы по
сравнению со временем изменения указанных флуктуации. В
таких условиях будет наблюдаться узкая несмещенная линия,
окруженная более размытым фоном (его называют крылом ли-
линии Рзлея). Рассеяние, приводящее к несмещенной линии, ска-
лярно. Что лее касается крыла, то при рассеянии в жидкостях
(в отличие от газов) нельзя, вообще говоря, утверждать, что оно
будет чисто симметричным, без примеси скалярной части.
Угловое распределение в несмещенной линии дается общи-
общими формулами A17.25), A17.26), относящимися к скалярному
рассеянию. Поэтому достаточно вычислить полный коэффици-
коэффициент зкетинкции. Положив в формуле A19.5) eeik = ёеёц^ нахо-
находим
^)v.	A20.1)
Если ёр и ёТ — изменения плотности и температуры, то
) 6р+(*) ST.
др)т	\дт) р
Согласно известным формулам (см. V, § 112), флуктуации плот-
плотности и температуры статистически независимы ((ёрёТ) = 0), а
средние квадраты каждой из них:
«яг) v = —, «ад v =р- W
u ) /v Pcvv' u Н) /v v \др)т
(cv — теплоемкость единицы массы среды). Таким образом, на-
20*

612	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ходим формулу
к2
A20.2)
бтгс4 |_ \дР/т\др/т pcv\dTJp_
она была впервые получена Эйнштейном A910).
Эту формулу молено представить и в другом виде, выразив
ее через другие термодинамические производные. Выбрав в каче-
качестве независимых переменных другую пару статистически неза-
независимых величин — давление Р и энтропию s (отнесенную к
единице массы), — запишем
6s = [ — ёР + ( — 6s
и используем известные выражения для флуктуации этих вели-
величин:
(и — адиабатическая скорость звука в среде: и2 = (дР/др)8).
Заменив также
Ё1) = (EL) (W) = Т (де\	(де\ = (де\ J_
dsJp \dTJp\dsJp ср\дт)р' \dPJs \dPJsu2'
получим формулу Эйнштейна в виде
h =
Т2 (ds\2 рТ(де\2
бтгс4
Для газов формула A20.3) сильно упрощается. Диэлектриче-
Диэлектрическая проницаемость газа (в оптической области частот) почти не
зависит от температуры; поэтому первым членом в квадратных
скобках можно пренебречь. Зависимость же от плотности сво-
сводится к прямой пропорциональности между е — 1 и р\ поэтому
(п = л/ё — коэффициент преломления). Учитывая также, что
согласно уравнению состояния идеального газа
р \дР)т ~ 7VT
(N — число частиц в 1 см3), получим
Зтгс4 N
Эта формула была впервые получена Рэлеем A881).

§ 120	РЗЛЕЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ	613
Далее перейдем к вопросу о тонкой структуре несмещенной
линии. Для этого надо рассмотреть временной ход флуктуации.
В этом отношении термодинамические флуктуации делятся на
две категории. Адиабатические флуктуации давления в жидко-
жидкости (или газе) распространяются в виде незатухающих волн со
скоростью звука и (от поглощения звука мы здесь отвлекаемся,
так как оно приводит лишь к некоторому уширению линии; см.
ниже). Флуктуации же энтропии при постоянном давлении вооб-
вообще не распространяются относительно жидкости (затухая лишь
постепенно под влиянием теплопроводности).
В силу волнового характера распространения звуковых воз-
возмущений временной ход флуктуации давления коррелирован да-
даже на расстояниях, больших по сравнению с межмолекулярны-
межмолекулярными. Это обстоятельство было несущественно при вычислении
полной (интегральной по частотам) интенсивности линии рас-
рассеяния: она определяется корреляцией между флуктуациями в
различных точках пространства в один и тот же момент време-
времени, а такая корреляция простирается лишь на близкие расстоя-
расстояния. Спектральное же распределение интенсивности рассеяния
определяется разновременной корреляционной функцией флук-
флуктуации, и наличие дальней корреляции делает необходимым со-
сохранение множителя е~щг в A19.7).
В незатухающей звуковой волне частота ft и волновой век-
вектор q связаны соотношением ft2 = u2q2. Соответственно этому
спектральное разложение корреляционной функции флуктуации
давления (а тем самым и соответствующих флуктуации прони-
проницаемости) будет состоять из двух резких линий при частотах
ft = ±qu.
Но величина вектора q = к' — к, отвечающего рассеянию света,
связана с углом рассеяния д (угол между к и к') равенством
q= |к'-к| ^2n-sin-	A20.5)
с 2
(ввиду малости разности ft = ио1 — ио здесь положено а/ ~ ио).
Обозначая соответствующее значение ft как fto, имеем, следова-
следовательно,
ft0 = ±2mj-sin-.	A20.6)
с 2
Таким образом, рассеяние на флуктуациях давления приво-
приводит к возникновению дублета с расстоянием между компонен-
компонентами 2|fio|? зависящим от угла рассеяния — так называемый

614	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
дублет Мандельштама-Бриллюэна (Л.И. Мандельштам, 1918;
L. ВгШоищ 1922J).
Флуктуации же энтропии обладают, в соответствии со ска-
сказанным, нулевой частотой. Поэтому рассеяние на них приво-
приводит к возникновению еще одной, центральной линии с ft = О
(Л.Д. Ландау, G. Placzek, 1933) 2).
Выясним, как распределяется интенсивность несмещенного
рассеяния между дублетом и центральной линией. Под интен-
интенсивностью дублета будем понимать сумму интенсивностей обеих
его компонент, т. е. удвоенную интенсивность каждой из них3).
Тогда полный коэффициент зкстинкции, даваемый формулой
A20.2) или A20.3), h = /гдубл + /гц. л.
Поскольку линии дублета обусловлены рассеянием на адиа-
адиабатических флуктуациях давления, то их интенсивность дается
вторым членом в A20.3), обязанным как раз этим флуктуациям.
Адиабатическую производную (ds/dp)s можно связать с изотер-
изотермической производной, преобразовав ее к переменным р, Г:
) () +() () .
dpJs \дР)т cvP^\dTJ р\дт) р
Если пренебречь изменением е с температурой при неизменной
плотности, то (де/др)8 = (де/др)т- С этой лее точностью в пол-
полной интенсивности, представленной в виде A20.2), молено прене-
пренебречь вторым членом (вычисление, свободное от этих пренебре-
пренебрежений, — см. задачу 1). Наконец, воспользовавшись известной
термодинамической формулой для отношений адиабатической и
изотермической сжимаемостей (см. V, A6.14))
№) = ^(^-) ,	A20.7)
др)s ср \др)т	v J
получим формулу Ландау-Плачека для приходящейся на дублет
2)	Укажем, для иллюстрации, что при типичных значениях и =
= 1,5 • 105 см/с, п = 1,5, длине волны рассеиваемого света Л « 5 • 10~5 см,
угле рассеяния $ = 90° имеем для ширины дублета Qo/Bttc) = 0,05 см.
Ширина же крыла линии Рзлея достигает 200-150 см.
) В сверхтекучем жидком гелии (изотоп Не) возмущения энтропии рас-
распространяются в виде слабозатухающих колебаний — волн второго звука,
скорость U2 которого, однако, существенно меньше скорости обычного звука.
Поэтому центральная линия рассеяния в сверхтекучем гелии в свою очередь
расщепляется в узкий дублет; его ширина дается той же формулой A20.6)
с U2 вместо и {В.Л. Гинзбург, 1943).
3)	Разница в интенсивностях обеих компонент согласно формуле A18.4)
обычно совершенно несущественна, поскольку HQq <^i T.

§ 120	РЗЛЕЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ	615
доли полной интенсивности несмещенной линии:
йдубл = с^	A20.8)
h	cp
Для определения формы линий надо рассмотреть разновре-
разновременную корреляционную функцию с учетом тех диссипатив-
ных процессов, которые приводят к затуханию флуктуации. Для
флуктуации давления это — процессы вязкости и теплопровод-
теплопроводности. Фурье-компоненты корреляционной функции адиабатиче-
адиабатических флуктуации давления:
(Q =F quJ + ia27
где
7=^[^ + C + x(l-l)|	A20.10)
2ри |_3	\cv Cp/ \
(cm. IX, § 89). Величина 7 — коэффициент поглощения звука на
единице длины; в нем 77, С ~~ коэффициенты вязкости, к — коэф-
коэффициент теплопроводности среды (см. VI, § 79). Распределение
интенсивности в линии (в каждой из компонент дублета) при
заданном направлении рассеяния пропорционально выражению
A20.9). Пронормировав его на единицу, получим
dl =	dft,	A20.11)
где Г = 2wy. Такую форму линии называют дисперсионной, а
величину Г — шириной линии. Взяв q из A20.5), находим для
этой ширины:
A20.12)
Изобарические флуктуации энтропии затухают только за
счет теплопроводности. Для их корреляционной функции имеем
где х — К1'Рср — коэффициент температуропроводности. Форма
центральной линии дается такой же дисперсионной формулой
A20.11), где теперь надо положить $7q = 0, а ширина линии
Г = 2Xq2 = 4х—A - costf).	A20.14)
с2
Как уже было указано в начале этого параграфа, изложенная
здесь теория применима к рассеянию в жидкости при условии,

616	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
что все времена релаксации в ней малы по сравнению со време-
временем изменения флуктуации. Следует иметь в виду, что у всякой
жидкости имеются времена релаксации различного порядка ве-
величины. Наиболее быстрым релаксационным процессом являет-
является, по-видимому, рассасывание упругих напряжений в жидкости.
Соответствующее (максвелловское) время релаксации тм ~ ??/G,
где G — модуль сдвига. Более медленно происходит перераспре-
перераспределение молекул по их ориентациям, т. е. рассасывание флуктуа-
флуктуации анизотропии. Соответствующее (так называемое дебаевское)
время релаксации td ~ т]а3/Г, а — размеры молекулы; разница
между тм и td особенно велика в жидкостях с большими моле-
молекулами. Наконец, возможны различного рода другие медленные
релаксационные процессы, приводящие к дисперсии звука (на-
(например, химические реакции, замедленная передача энергии в
колебательные степени свободы молекулы и др.). Существенны
для рассеяния те процессы, для которых 1/т сравнимо с часто-
частотой тех звуковых возмущений, на которых происходит рассеяние.
Не вникая в детали, укажем лишь, что при достаточно большой
вязкости жидкости, когда тм ^ \/(qu), жидкость ведет себя в
отношении рассеяния света как аморфное твердое тело.
Задачи
1. Найти точную формулу для отношения интенсивностей центральной
линии и дублета в несмещенной линии рассеяния {И.Л. Фабелинскищ 1956).
Решение. Как уже было указано в тексте, второй член в формуле
A20.3) дает интенсивность дублета. Первый же член связан с изобариче-
изобарическими флуктуациями энтропии и потому дает интенсивность центральной
линии. Таким образом,
К.л. _ Т (де\2 / (dsV (др_
dp)s \дР
Из термодинамических соотношений A20.7) и
/др\ _ (др_\ _ JT_
\дР)s ~ \др)т ~ ~^ \дт) 1
(см. V, A6.15)) находим
cp-cvcpp2 \дт)Р'
Окончательно:
дт)Р/ \dp)s \дт
В приближении Ландау-Плачека выражение в квадратных скобках обраща-
обращается в единицу.
2. Свет рассеивается в газе из молекул линейной формы с поляризуемо-
стями а у и а± в направлениях соответственно вдоль и поперек оси. Опре-
Определить интенсивности различных типов рассеяния.

§ 121	КРИТИЧЕСКАЯ ОПАЛЕСЦЕНЦИЯ	617
Решение. Полная интенсивность рассеяния (при заданных колеба-
колебательных и электронных состояниях молекул) включает в себя все рзлеевское
и вращательную часть комбинационного рассеяния. Поскольку рассеяние
происходит независимо на каждой из молекул газа, то полный коэффициент
зкстинкции проще всего получить по формуле (92.4), умножив ее на число
N частиц в 1 см3 и заменив квадрат |аУ|2 на A/S)afk = A/3)(ajj + 2а\):
^D+2al)	A)
(определения поляризуемости здесь и в § 92 отличаются множителем V).
Несмещенная рзлеевская линия связана со скалярной частью поляризу-
поляризуемости, т. е. происходит так, как если бы тензор поляризуемости молекулы
был равен A/3)ацдцс- По той же формуле (92.4) найдем поэтому
Г (ац + 2ахJ	...
Лнесм~ 9с*	3	'	[)
Разность /1полн — Л-несм содержит в себе фон несмещенной линии (рас-
(рассеяние на флуктуациях анизотропии) и вращательное комбинационное рас-
рассеяние. Для того чтобы выделить первое, надо предварительно усреднить
тензор поляризуемости молекулы по ее вращению вокруг некоторой опре-
определенной оси (перпендикулярной к оси молекулы). Очевидно, что усреднен-
усредненная таким образом поляризуемость вдоль оси вращения совпадает с а±, а
вдоль любого направления в плоскости, перпендикулярной к оси вращения,
равна 1/2(<х± + сиц). Другими словами, вращающуюся вокруг заданной оси
молекулу надо рассматривать как частицу с главными значениями тензора
поляризуемости, равными
а±, (а± + ац)/2, (а± + ац)/2.
С их помощью должен быть вычислен симметричный тензор otik — A /3)ctu8ik
с равным нулю следом, после чего вычисление, аналогичное выводу формул
A) и B), дает
Наконец, интенсивность вращательного комбинационного рассеяния по-
получится вычитанием B) и C) из A):
_ 8тги4N(a± -ацJ
"-комб —	"	•
9с4	2
§ 121. Критическая опалесценция
Как известно, изотермическая сжимаемость вещества
(др/дР)т неограниченно возрастает при приближении к кри-
критической точке. Вместе с ней возрастает и выражение A20.2)
для полной интенсивности рзлеевского рассеяния. Это свиде-
свидетельствует о резком усилении рассеяния вблизи критической
точки (критическая опалесценцияI). Однако сама формула
) Идея о связи этого явления с возрастанием флуктуации плотности бы-
была высказана Смолуховским (М. Smoluchowsky, 1908). В рамках ван-дер-
ваальсовой теории критической точки (см. V, § 152) оно было рассмотрено
Орнштейном и Цернике (L.S. Ornstein, F. Zernicke, 1914).

618	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
A20.2) становится, вообще говоря, неприменимой. Дело в том,
что вблизи критической точки одновременная корреляция
между флуктуациями плотности (а с нею и диэлектрической
проницаемости) в разных точках пространства простирается
на расстояния порядка величины корреляционного радиуса гс,
неограниченно возрастающего при приближении к критиче-
критической точке (см. V, § 152, 153). Поэтому здесь нельзя, вообще
говоря, заменять множитель е~щг в A19.9) единицей даже при
вычислении полной интенсивности рассеяния (а не только его
спектральной тонкой структуры).
Такая замена во всей области углов рассеяния допустима
лишь при условии
Атс<1,	A21.1)
где к = пио/с — волновой вектор рассеиваемого света. В таком
случае можно по-прежнему воспользоваться формулой A20.2)
для полного коэффициента зкстинкции, причем достаточно оста-
оставить в ней только возрастающий первый член (возрастают только
флуктуации плотности, но не температуры). При приближении
к критической точке по любому направлению в плоскости р, Г,
за исключением критической изотермы Г = Гс, сжимаемость
возрастает по закону 2)
ЕЕ.) счэ|Г-Г
)
дР)т
Г7
7
Поскольку нет никаких причин для обращения в нуль или в бес-
бесконечность производной (де/др)тч то по такому же закону будет
меняться и интенсивность рассеяния:
Гс|-7.	A21.2)
Это возрастание связано с увеличением интенсивности не всех
компонент тонкой структуры рзлеевской линии, а лишь ее цен-
центральной компоненты. Действительно, согласно A20.8) /ъДубл —
= hcv/cp. Множитель ср в знаменателе компенсирует множитель
(др/дР)т в /г, поскольку оба возрастают по одинаковому закону.
Поэтому интенсивность дублета возрастает лишь как с^, т. е. по
гораздо более медленному закону2):
со |Г - Тс\~а, а « 0,1.	A21.3)
*) Все используемые в этом параграфе сведения о характере изменения
термодинамических величин в окрестности критической точки можно найти
в V, § 153. Используются те же, что и там, обозначения для критических
индексов.
2) Все эти рассуждения подразумевают, конечно, что неравенство A21.1)
совместимо с предположением, что вещество находится уже во «флуктуаци-
онной области» окрестности критической точки.

§ 121	КРИТИЧЕСКАЯ ОПАЛЕСЦЕНЦИЯ	619
В достаточной близости к критической точке неравенство
A21.1) при заданном к заведомо нарушится и замена множителя
е~щг единицей станет недопустимой, — тем позлее, чем меньше
угол рассеяния 1). Пусть dh — дифференциальный коэффициент
зкетинкции для рассеяния в элемент телесного угла do1', т. е. для
заданного значения q = к' — к. Ограничимся, для определен-
определенности, рассеянием естественного света. Учитывая, что угловая
зависимость, связанная с поляризационным состоянием света,
при рассеянии на скалярных флуктуациях дается множителем /
A17.26), имеем
dh= ^(&2)q- |A + cos2tf)g,	A21.4)
причем
В непосредственной близости к критической точке, где
Атс»1,	A21.5)
при не слишком малых углах рассеяния будет и qrc^>l. В
этой области углов в интеграле Eр2) существенны расстояния
г ~ 1/q ^> гс, где корреляционная функция флуктуации плотно-
плотности имеет степенной характер2):
Fp^8pW)oor-A+<\ С-0,04.
При этом фурье-компонента корреляционной функции
Fp\coq-2^	A21.6)
с не зависящим от температуры коэффициентом. Таким образом,
мы приходим к следующей угловой и частотной зависимости ко-
коэффициента зкетинкции в рассматриваемой области:
dhooou2^ 1+cos^ do1.	A21.7)
A -costfI^/2	V	)
Мы видим, что при фиксированном угле рассеяния в облас-
области qrc ^> 1 возрастание интенсивности по мере приближения к
критической точке прекращается. В самой этой точке формула
A21.7) справедлива для всех углов.
2) Отметим, однако, что рассеяние как таковое имеет смысл рассматривать
лишь до углов порядка величины угла дифракции ~ A/L, где L — линейные
размеры тела.
2) См. V, A48.7). В силу формальной эквивалентности задач о критиче-
критической точке и о фазовых переходах второго рода (с одномерным параметром
порядка) эта формула относится и к окрестности критической точки.

620	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
§ 122. Рассеяние в жидких кристаллах
Интенсивное рассеяние света, в ряде отношений напоминаю-
напоминающее критическую опалесценцию, происходит в жидких кристал-
кристаллах. Мы ограничимся здесь рассмотрением этого явления в жид-
жидких кристаллах нематического типа (P.G. de Gennes, 1968).
Такие кристаллы уже упоминались в конце § 17 и там лее
было написано выражение их тензора диэлектрической прони-
проницаемости:
eik = ?o(u)Sik + ea(u)didk\	A22.1)
коэффициенты sq и ?а теперь — функции частоты.
Флуктуации проницаемости связаны, в первую очередь, с
флуктуациями направления директора d и являются, таким об-
образом, флуктуациями анизотропии. Одновременный одинаковый
поворот направления директора во всем объеме вообще не меня-
меняет энергии тела; поэтому длинноволновые флуктуации связаны
лишь с малыми энергетическими затратами и потому велики. В
свою очередь, большие флуктуации проницаемости приводят к
сильному рассеянию света.
Представим флуктуирующую величину d в виде
d = do + ^	A22.2)
где do — ее постоянное среднее значение, a v — малое изменение
при флуктуации; поскольку d2 = dg = 1, то ввиду малости v\
i/d0 = 0.	A22.3)
Изменение диэлектрической проницаемости при флуктуации вы-
выражается через v согласно
8eik = ?a(doiVk + dokvi).	A22.4)
Влиянием же на 6бгк флуктуации плотности и температуры мож-
можно пренебречь.
С учетом A22.4) выражаем одновременную корреляцион-
корреляционную функцию флуктуации проницаемости через корреляцион-
корреляционную функцию флуктуации директора:
(8ец5ект)ц = el{d
Vm)q + do^Om(^/c)q}. A22.5)
Функция же (щъ>к)ц была найдена в V, § 141. В силу A22.3) этот
тензор имеет отличные от нуля компоненты только в плоскости,
перпендикулярной к do- Обозначив тензорные индексы в этой

§ 123	РАССЕЯНИЕ В АМОРФНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	621
плоскости буквами ск, /3, имеем
q± T q±	A22.6)
9 *
где ai, a2, аз — положительные модули, определяющие зависи-
зависимость свободной энергии нематического кристалла от производ-
производных директора; дц и q± — проекции q на направление do и на
перпендикулярную к нему плоскость.
Если считать, что анизотропия диэлектрической проницае-
проницаемости относительно мала, т. е. \еа\ <С ?сь то молено воспользо-
воспользоваться для дифференциального по направлениям коэффициента
зкетинкции формулой A19.9), полученной для изотропных сред
(при этом нельзя, конечно, полагать q = 0!). Мы не станем выпи-
выписывать получающейся таким образом громоздкой формулы для
углового распределения и поляризационных зависимостей.
Характерным свойством рассматриваемого рассеяния явля-
является возрастание его интенсивности при малых углах рассеяния
по закону
dhco—.	A22.7)
q2
Такое сильное возрастание (как и возрастание по формуле A21.7)
в критической точке) связано с медленным — степенным — убы-
убыванием корреляционной функции флуктуации с увеличением
расстояния. Интеграл по углам логарифмически расходится на
нижнем пределе. Он должен быть обрезан на значениях q ~ 1/Ь,
отвечающих дифракции на теле в целом (ср. примеч. на стр. 619),
и, таким образом, полная интенсивность рассеяния логарифми-
логарифмически зависит от размеров тела L.
Наконец, отметим, что внешнее магнитное поле ограничива-
ограничивает возрастание корреляционной функции (^^/c)q ПРИ малых q
(см. V, § 141) и тем самым подавляет рассеяние — «просветля-
«просветляет» жидкий кристалл.
§ 123. Рассеяние в аморфных твердых телах
Рзлеевское рассеяние в аморфных твердых телах ^) суще-
существенно отличается от рассеяния в жидкостях и газах. В изо-
изотропном твердом теле имеются, как известно, не одна, а две ско-
скорости распространения звука — продольная щ и поперечная щ.
В связи с этим тонкая структура рзлеевской линии содержит не
1) Значительно более громоздкая теория рассеяния в твердых кристаллах
в этой книге не излагается.

622	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
один дублет Мандельштама-Бриллюзна, а два. Они связаны с
рассеянием на поперечных и на продольных «звуковых волнах»
и отстоят от центра линии соответственно на
flt = ±utq.
Поскольку всегда щ > щ, то |fi/| > |Г^|. Центральная же ком-
компонента линии снова связана с рассеянием на тех флуктуациях,
которые не распространяются относительно среды. Среди этих
флуктуации основную роль играют в данном случае флуктуации
структуры. В аморфном теле, с его беспорядочным расположе-
расположением атомов, эти флуктуации сравнительно велики и практи-
практически не меняются со временем (ввиду чрезвычайной медлен-
медленности диффузионных процессов в твердом теле). Рассеяние на
них приводит к возникновению интенсивной линии с практиче-
практически равной нулю шириной. По своей поляризации и угловому
распределению это рассеяние представляет собой совокупность
скалярного и симметричного типов.
Обратимся к дублетным компонентам рзлеевской линии в
аморфных твердых телах. В твердом теле влияние всякой (в дан-
данном случае флуктуационной) деформации распространяется на
значительные расстояния. Поэтому даже одновременные флук-
флуктуации в различных точках тела коррелированы на больших (по
сравнению с 1/q) расстояниях. Таким образом, мы снова имеем
дело с ситуацией, когда даже при вычислении полной интенсив-
интенсивности (и поляризации) рассеянного света нельзя положить q = О
в корреляционной функции флуктуации.
Поле рассеянной световой волны дается формулой
где
Gi= f 6sike-^r dV • ek,	A23.2)
an' — единичный вектор в направлении рассеяния. Изменение
диэлектрической проницаемости при деформации изотропного
тела дается формулой
6sik = а\щк + а2иц5гк,	A23.3)
где щк — тензор деформации (см. A02.1)). Поскольку интеграл
A23.2) выделяет из Seik пространственную компоненту Фурье с
волновым вектором q, то и в A23.3) надо понимать под щк де-
деформацию в звуковой волне с этим волновым вектором. Поэтому
запишем вектор смещения при деформации в виде
u = Re{uoe*»r} = %oeiqr + и^г),	A23.4)

§ 123	РАССЕЯНИЕ В АМОРФНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	623
откуда тензор деформации
2 \oxk
а интеграл по объему
= l(jr + ir)= Re \
2 \oxk oxi /12
f
dV = ^-{uOiqk + uOkqi).	A23.5)
4
Рассмотрим сначала рассеяние на поперечных звуковых вол-
волнах. Поскольку в поперечной волне u _L q и щ\ = О, то
Seik =
Используя A23.5), находим поэтому
A23.6)
Поперечная звуковая волна может иметь два независимых
направления поляризации: вектор и может лежать в плоскости
kk' или перпендикулярно к ней. Учитывая также, что Elk,
легко видеть, что в первом случае проекция G на плоскость,
перпендикулярную к к , равна нулю. Таким образом, попереч-
поперечные звуковые волны, поляризованные в плоскости kk', вообще
не рассеивают свет.
Если же вектор смещения и перпендикулярен к плоскости
kk', то простое вычисление с помощью A23.1) и A23.6) дает для
поля рассеянной волны следующие выражения:
II	4nR0c* 4	2
±	4тгД0с2 4 Ч U 2 II
($, как везде, — угол между к и к', а индексы || и _L обознача-
обозначают составляющие векторов в плоскости рассеяния и перпендику-
перпендикулярно к ней). Коэффициенты пропорциональности в обеих этих
формулах содержат одну и ту же флуктуирующую величину щ.
Это значит, что при рассеянии не происходит деполяризации —
линейно поляризованный свет остается линейно поляризованным
(хотя и в другой плоскости).
Ввиду полного совпадения коэффициентов в формулах
A23.7) коэффициент зкстинкции dh не зависит от состояния по-
поляризации падающего света и равен
dh = (S^lJ V\uo\2 cos2 * do.	A23.8)
V 16тгс2 /	2
Остается определить средний квадрат амплитуды флуктуацион-
ного смещения щ.

624	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. XV
С точки зрения общей теории термодинамических флуктуа-
флуктуации, звуковую волну A23.4) молено рассматривать как совокуп-
совокупность двух (волны, распространяющиеся вправо и влево) класси-
классических осцилляторов, каждый из которых должен обладать сред-
средней кинетической энергией Г/2. Поскольку частота колебаний в
данном случае есть ft = utq, то средняя кинетическая энергия
\v{pv?) = \Vp{utqf{\UQ\2).
Приравняв это выражение 2 • Г/2, получим
Наконец, подставив A23.9) в A23.8), получим окончательно:
dh = aWTo cos2 - do.	A23.10)
Обратим внимание на своеобразную угловую зависимость рас-
рассеяния, совершенно отличную от той, которую мы имели в жид-
жидкостях и газах.
Перейдем к рассеянию на продольных звуковых волнах. В
этих волнах u || q, и с помощью A23.3) и A23.4) находим
Простое вычисление дает для поля рассеянной волны:
Е± =
A23.11)
И в этом случае при рассеянии нет деполяризации. Но угловое
распределение и величина коэффициента зкетинкции зависят от
состояния и направления поляризации падающего света. Мы не
станем выписывать здесь соответствующих, довольно громозд-
громоздких формул; вычисления аналогичны произведенным выше, при-
причем выражение для (|i?o|2) отличается лишь заменой щ на щ в
A23.9).

ГЛАВА XVI
ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ
В КРИСТАЛЛАХ
§ 124. Общая теория дифракции рентгеновых лучей
Явление дифракции рентгеновых лучей в кристаллах зани-
занимает особое место в электродинамике материальных сред, так
как их длина волны сравнима с междуатомными расстояниями.
По этой причине обычный макроскопический подход к веществу
как сплошной среде здесь совершенно неприменим, и мы должны
исходить из рассмотрения рассеяния на отдельных заряженных
частицах (электронах) 1).
Частоты движения электронов в атоме порядка величины
с^о ~ v/a, где v — их скорость, а а — атомные размеры. Если
Л rsj а, то ввиду v <С с эти частоты малы по сравнению с часто-
частотой рентгеновых лучей ио ~ с/Л. Это обстоятельство позволяет
написать уравнение движения электрона в поле электромагнит-
электромагнитной волны в виде
mv' = eE,	A24.1)
т. е. рассматривать электроны как свободные (см. § 78).
Из уравнения A24.1) находим для скорости, приобретаемой
электроном под влиянием поля волны:
у, геЕ
Обозначим через п(т) плотность числа электронов в кристал-
кристалле, усредненную по квантовомеханическому электронному состо-
состоянию и по статистическому распределению теплового движения
ядер в решетке. Подчеркнем, однако, что здесь не производится
обычного в макроскопической теории усреднения по физиче-
физически бесконечно малым элементам объема, т. е. п(г) есть истин-
истинная квантовомеханическая электронная плотность в кристалли-
кристаллической решетке. Соответствующая плотность тока, создаваемого
полем волны, есть
j' = env' = *^Е.	A24.2)
г) Рассеяние на ядрах ввиду большой массы последних, разумеется, несу-
несущественно.

626	ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ	ГЛ. XVI
Введем этот ток в микроскопические уравнения Максвелла:
rot E = г-Н,	A24.3)
с
rotH = -™Е + ^j' = -™ (l - ^Л Е.	A24.4)
с	с	с \	muj2 /
Тем самым мы учтем его обратное влияние на поле, т. е. эф-
эффект рассеяния. При этом, разумеется, предполагается, что этот
эффект мал, т. е. что справедливо неравенство
4пе2п
1.	A24.5)
Путем введения обозначения D = еЕ, где
е = 1- ^,	A24.6)
muj2
соответствующего обычному определению индукции, уравнение
A24.4) приводится к обычному виду rotH = — (io;/c)D. В этом
смысле выражение A24.6) для диэлектрической проницаемости
(ср. G8.1)) может применяться и при длинах волн А ~ а. При
этом, разумеется, следует помнить, что буквальный смысл фи-
фигурирующих здесь величин Е, D не совпадает с прежним, по-
поскольку они относятся к полю, не усредненному по физически
бесконечно малым объемам. Соответственно, е является теперь
функцией координат.
При рассеянии рентгеновых лучей на тяжелых атомах мо-
может иметь место случай, когда условие ио ^> ио$ выполняется для
внешних электронных оболочек и в то же время не выполняется
для внутренних электронов, для которых ио < ио$ и соответствен-
соответственно справедливо неравенство Л ^> а. В таком случае тоже может
быть введено понятие о диэлектрической проницаемости (как ко-
коэффициенте пропорциональности между D и Е), но формулой
вида A24.6) определяется при этом лишь вклад в нее со стороны
внешних электронов. Вклад же внутренних электронов должен,
в принципе, вычисляться путем усреднения по объему этих обо-
оболочек. Таким образом, если писать в общем виде D = eE с зави-
зависящей от координат е, мы автоматически учтем все возможные
случаи. Для определенности мы будем пользоваться ни лее везде
выражением A24.6).
Произведя в A24.2) усреднение электронной плотности и по-
получив в результате не зависящую от времени функцию п(г), мы
тем самым исключаем возможное изменение частоты при рассе-
рассеянии. Другими словами, мы рассматриваем строго когерентное
рассеяние без изменения частоты.

124	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ	627
Исключив Н из двух уравнений A24.3) и A21.4), получим
Подставим сюда
rot rot E= — D.
с2
muj2
и раскроем выражение rot rot Е, учитывая, что divD = 0 (как
это следует из A24.4)). Тогда получим
AD + —D = rot rot f^E.	A24.7)
с2	moj2
В правой части этого уравнения, уже содержащей малую вели-
величину 4тге2п/(тсс;2), следует понимать под Е заданное поле па-
падающей волны. Найдем решение уравнения A24.7) в простран-
пространстве вне рассеивающего кристалла на больших расстояниях от
него. Поскольку это уравнение совпадает по форме с уравнением
A17.3), то мы можем сразу написать искомое решение по анало-
аналогии с A17.4) 1):
Е = ^^[k'[k'E0]] fne-^rdV.	A24.8)
muj2 Rq	" J
Здесь Rq — расстояние от начала координат, расположенного
внутри кристалла, до точки наблюдения поля; q = к' — к; к =
= к1 = со/с] Ео — амплитуда падающей волны; в левой части
равенства мы пишем Е вместо D, так как в пустоте вне тела
D = E.
Для характеристики интенсивности дифракции рентгеновых
лучей введем эффективное сечение (или просто сечение) сг, опре-
определяемое как отношение интенсивности излучения, дифрагиро-
дифрагировавшего в телесный угол do1', к плотности потока энергии в па-
падающей волне. Согласно A24.8) имеем
da = (—) sin2 в I Г ne~iqr dV ^ do1,	A24.9)
V тс2 J	I J
где в — угол между Eq и к'. Если падающие лучи «естествен-
«естественны» (а не поляризованы), то множитель sin в в этой формуле
заменяется на A/2) A + cos2(#), где $ — угол между кик' (см.
1) В § 117 при решении уравнения A17.3) нельзя было рассматривать поле
вне тела, так как это потребовало бы учета граничных условий на его поверх-
поверхности, поскольку левая часть уравнения содержала величину е'', различную
внутри и вне тела. Левая же часть уравнения A24.7) не меняет своего вида
во всем пространстве.

628	ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ	ГЛ. XVI
примеч. на стр. 597):
da=- (-^-Л A + cos2 i9) I J ne~iqr dV ^ do'.	A24.10)
Ни лее мы будем, для определенности, предполагать везде именно
этот случай.
Мы видим, что интенсивность лучей, дифрагировавших в за-
заданном направлении, в основном определяется квадратом моду-
модуля интеграла
" ne~ic*rdV,	A24.11)
т. е. пространственной компоненты Фурье электронной плотно-
плотности. При q —> 0 этот интеграл сводится просто к усредненной по
объему кристалла (т. е. по его элементарной ячейке) электронной
плотности п. Но если в уравнениях A24.3), A24.4) заменить п на
п, то мы получим обычные макроскопические уравнения Макс-
Максвелла с диэлектрической проницаемостью
е(ш) = 1 -
4тге2п
Согласно этим уравнениям при прохождении рентгеновых лучей
через кристалл произойдет их преломление по обычным законам
(с показателем преломления y/s). Таким образом, дифракция на
малые углы сводится к не интересующему нас здесь обычному
преломлению. Ни лее мы будем везде подразумевать, что q замет-
заметно отлично от нуля.
Электронная плотность (как и всякая другая функция точки
в кристаллической решетке) может быть разложена в ряд Фурье
вида
n = ^nbeibr,	A24.12)
ь
где суммирование производится по всем периодам b обратной
решетки (см. V, § 133). При подстановке A24.12) в A24.11) и ин-
интегрировании по объему кристалла заметно отличный от нуля
результат получается лишь при значениях q, близких к какому-
либо из Ь. В промежутках лее между этими значениями интен-
интенсивность практически равна нулю. В связи с этим молено рас-
рассматривать каждый из дифракционных максимумов отдельно,
полагая при этом п = пьегЬг с заданным значением Ь. Подста-
Подставив это выражение в A24.10), получим
da=- (—) (l + cos2tf)|nb|2 I Г e-W-^-^dV * dof. A24.13)
2 V тс2 J	I J

124
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ
629
Наиболее интенсивные максимумы возникают в направлени-
направлениях, в которых выполняется точное равенство
к' - k = b
A24.14)
(уравнение Лауэ)\ эти максимумы называют главными. При за-
заданном b главный максимум может, однако, осуществляться от-
отнюдь не при произвольном направлении (и частоте) падающих
лучей. Написав равенство A24.14) в виде к' = к + b, возведя его
2 2
в квадрат и учитывая, что к2 = А/2, получим
2bk = -Ъ2.
A24.15)
Этим уравнением определяются те значения волнового вектора
к, для которых возможны главные максимумы с заданным зна-
значением Ь. Геометрически A24.15) есть уравнение плоскости в к-
пространстве, перпендикулярной к вектору b и расположенной
на расстоянии 6/2 от начала координат. Мы видим, в частности,
что непременно должно быть к ^ 6/2.
•д
-, то из
Поскольку |к' — k
A24.14) следует, что
2к sin - =
A24.16)
Рис. 64
чем определяется угол дифракции в
главном максимуме (уравнение Брэгга-
Вульфа).
Как известно, каждый вектор b
обратной решетки определяет семей-
семейство кристаллических плоскостей по
уравнениям rb = 2тгт, где число т про-
пробегает целые значения. Эти плоскости перпендикулярны к на-
направлению вектора Ь, и по отношению к ним векторы кик' (от-
(отвечающие условию A24.14)) направлены под одинаковыми угла-
углами «падения» и «отражения» (рис. 64). В связи с этим о дифрак-
дифракции в главном максимуме иногда говорят как об отражении от
соответствующих кристаллических плоскостей.
Полная интенсивность бифуркационного пятна вблизи
какого-либо максимума получается интегрированием A24.13) по
телесным углам вблизи соответствующего направления к'. Опре-
Определим полную интенсивность вблизи главного максимума.
Обозначим через kg значение к', соответствующее точному
выполнению условия Лауз (при заданном к): к^ = к + b. Введем
также к = kr — kg. В области вблизи максимума к мало, а по-
поскольку к' и kg различаются только направлением, то х 1 kg.

630	ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ	ГЛ. XVI
Поэтому элемент телесного угла молено написать в виде
do1 = — dnx dny = — dnx dny^	A24.17)
к'2	к2
где ось z выбрана в направлении kg. Таким образом, имеем
2
В объемном интеграле можно произвести интегрирование по dz,
поскольку e~lytT от этой координаты не зависит:
где df = dxdy, a Z = Z(x^y) — длина тела в направлении kg.
Наконец, воспользуемся известной формулой теории интегралов
Фурье:
/ \ф>с\ —-—- — / У dxdy.t	A24.18)
где
= f (p(x,y)e %>tvdxdy
— компоненты двумерного разложения Фурье. В результате по-
получим следующую окончательную формулу:
= %¦ DJsin2 % ¦ A + cos^)\nb?fz4f. A24.19)
о2 \ тс2 /2	J
Стоящий здесь интеграл — порядка величины L4, где L — ли-
линейные размеры тела. Таким образом, полное сечение дифрак-
дифракции (или, что то лее, полная интенсивность пятна) пропорцио-
пропорционально F4/3, где V — объем тела. Отметим, что интенсивность в
самом максимуме пропорциональна другой степени объема: при
к' — к = b интеграл в A24.13) есть просто У, так что da пропор-
пропорционально У2:
)	(iJ*.	A24.20)
Тот факт, что интенсивность в максимуме пропорциональна бо-
более высокой степени V, чем полная интенсивность, наглядно ил-
иллюстрирует резкость максимума. Ширина последнего пропор-
пропорциональна, очевидно, V4/3/V2 = V~2/3.

§ 124	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ	631
Развиваемая здесь теория применима лишь при условии,
что весь эффект дифракции мал. Это требование налагает, как
мы теперь видим, определенное условие на размеры кристалла.
Именно, а должно быть мало по сравнению с геометрической
площадью сечения тела (~ L2), откуда
-^?|пь|<1.	A24.21)
ТПС К/
Если это условие нарушается, то становится неприменимым ис-
использованное при выводе A24.8) приближение теории возмуще-
возмущений1).
Задачи
1. Определить распределение интенсивности в дифракционном пятне
вокруг главного максимума при дифракции на кристалле, имеющем форму
прямого параллелепипеда с длинами сторон Lx, Ly, Lz.
Решение. Вводим, как и в тексте, вектор ус = к' — ко, а систему
координат выбираем с осями, параллельными ребрам параллелепипеда, и
началом в его центре.
Интеграл / е~гз<г dV разбивается на произведение трех интегралов вида
Т -^А 2 . xL
/ е dx = — sin	.
-L/2	H
Таким образом,
2 ч 2	, ,2
i	.. / 6 \/-i	2 п\ r^b	• 2 ^tx-l-Jx • 2 ^¦'u^J'u • 2 ^z^z j /
da = 32 	 A + cos V)	sm 	sm 	sin 	do .
D)"
\тс2 )
Следует помнить, что компоненты вектора ус не независимы, а связаны усло-
условием хк0 = 0.
2. То же при дифракции на шарообразном кристалле радиуса а.
Решение. Снова вводим ус = к; — к0, а систему координат выбираем
с осью z вдоль направления х(ис началом в центре шара). Имеем
fe-ii€ZdV= f тг(а2 - z2)e-ixz dz = — (sin xa - xa cos yea).
Таким образом,
2
	 ) A + cos2 $)|пь|2 — (sin на — xacosxaJ do .
me2 J	x6
3. Определить полную интенсивность дифракционного пятна вокруг по-
побочного максимума.
г) Изложение свободной от ограничения A24.21) динамической теории
рассеяния можно найти в книге: Пинскер З.Г. Динамическая теория рассея-
рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах. — М.: Наука, 1974. Изложенную же
выше теорию называют кинематической.

632
ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ
Решение. В данном случае волновой вектор к падающей волны не
удовлетворяет условию A24.15). Как было указано в тексте, A24.15) есть
уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору Ь; обозначим малое сме-
смещение конца вектора к от этой плоскости через 77b, где rj <C 1. Другими
словами, представим к в виде к = ко + 77b, где ко
удовлетворяет уравнению A24.15) (рис. 65).
Максимуму интенсивности в пятне соответ-
соответствует такое направление к', при котором раз-
разность к' — (к + Ь) имеет минимальное значение
(так что интеграл в A24.13) максимален). Но аб-
абсолютная величина разности двух векторов (из
которых один имеет произвольное направление)
достигает наименьшего значения, когда направ-
направления этих векторов совпадают. Поэтому имеем
"^ (учитывая, что к' = к)
Рис. 65
к+
Поскольку к близко к ко и мы рассматриваем область вблизи максимума,
то к' « к + b и знаменатель написанного выражения можно заменить на 2к.
В числителе лее раскрываем скобки и получаем
-2kb - b2 = (-2kob - b2) - 277b2 = -2ф2.
Таким образом,
Ik' k bl - ^
|К	К U|min «~o	- .
k
Далее, вводим н согласно
и, выбрав ось z вдоль направления к + Ь, сводим задачу к вычислению
интеграла (ср. вывод формулы A24.19))
/dxx d>cy I exp (i	z — Ыг 1 dV
J \ к	J
I
= / d>cx d>cy
_Ыг sm(r)b2Z/2k)
ф2/2к
Наконец, воспользовавшись формулой A24.18), получим окончательно:
df.
При 77 —>- 0 эта формула переходит в A24.19). Если же rjb2Z/2k ^> 1 (что
не противоречит условию rj <^i 1), то квадрат синуса заменяется его средним
значением 1/2 и получается
А 2( е2 Vl+cos2fl, ,2C
\тс2 J rj2b4
где S — площадь проекции («тени») тела на плоскость ху.

§ 125	ИНТЕГРАЛЬНАЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ	633
§ 125. Интегральная интенсивность
Формулы, полученные в предыдущем параграфе, определя-
определяют интенсивность дифракции при падении на кристалл строго
монохроматической и строго плоской волны. Рассмотрим теперь
ряд случаев, в которых эти условия не выполнены.
Начнем со случая, когда падающая волна является плоской,
но не монохроматической 1). Другими словами, ее спектральное
разложение содержит волны с волновыми векторами к, одина-
одинаковыми по направлениям, но различными по величине к = со/с.
Обозначим через р(к) плотность распределения интенсивности
падающего излучения по частотам, нормированную на единицу
условием J p(k) dk = 1.
Полная интенсивность дифракционного пятна определяется
сечением, получающимся интегрированием выражения A24.13)
по do' и по р(к) dk:
2
\пъ
2
() \пъ\ [[\[е<1У A+ cos2 tf)p(jfe) do' dk.
2 V me2 /	J J \ J
A25.1)
Введем временно обозначение К = k' - k - b и напишем
квадрат модуля в виде двойного интеграла:
е"Жг dV
= JJ еж(Г2"Г1) Щ dV2.
Введя вместо ri и Г2 переменные A/2) (ri + Г2) и г = Г2 — ri и
произведя интегрирование по первым по объему тела, получим
2
ежр dV
= V J ежр dV.
В оставшемся интеграле можно теперь производить интегриро-
интегрирование по всем переменным в бесконечных пределах2), в резуль-
результате чего находим
= BttKV6(K).	A25.2)
Подставив этот результат в формулу A25.1), переписываем по-
последнюю в виде
i JJ 6(к' - к - Ь)р(к) do1 dk',
A25.3)
г) Этот случай соответствует известному методу Лауэ рентгеноструктур-
ного анализа кристаллов.
2) Это можно сделать постольку, поскольку мы имеем целью вычислить
лишь полную интенсивность дифракционного пятна, а не его ширину.

634	ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ	ГЛ. XVI
ввиду наличия ^-функции в подынтегральном выражении мы
вынесли множитель 1 +cos2 $, заменив его значением при д = $$,
где $о — угол между векторами кик', удовлетворяющими усло-
условиям Лауз (обозначим их как ко и к^ = ко + Ь).
Интегрирование по do1 удобно произвести, заметив, что оно
эквивалентно интегрированию по
d3k' = к'2 dk' do' = -к' d{k'2) do'
при условии введения в подынтегральное выражение дополни-
дополнительного множителя B/кM(к/2 — к2). Таким образом, интеграл в
A25.3) заменяется на
-6(к' - к - ЪN(к'2 - к2)р(к) dsk' dk.
к
Произведя интегрирование по d?k' с помощью первой ^-функции,
мы должны заменить во второй к12 на (k + bJ, в результате чего
получаем
— J |nb|2F(l + cos2tf0) / -SBbk + b2)p(k)dk.
тс2 J	J к
A25.4)
Наконец, произведем последнее интегрирование по dk (при
заданном направлении п = к/к). Аргумент ^-функции обраща-
обращается в нуль при к = ко, и интеграл равен
р(кр) 1 _ р(к0) _ р(кр)
2к0 |bn| ~ 2|bko| ~ Ь2
Таким образом, получаем окончательно:
а = BтгK (—) |nb|2F(l+cos2^0)^^.	A25.5)
Рассмотрим теперь другой случай, в котором падающая волна
монохроматична, но содержит компоненты с различными направ-
направлениями к, получающимися друг из друга вращением вокруг
некоторой оси 1). Единичный вектор вдоль направления послед-
последней обозначим через 1, а угол поворота вокруг нее через ф. Пусть
функция р(ф) дает распределение интенсивности падающего из-
излучения по углам, нормированное на единицу:
2тг
fp{tl>)dtl> = l.
0
2) Этот случай соответствует известному методу Брэгга (или методу вра-
вращения) рентгеноструктурного анализа, причем фактически речь идет не о
повороте направления к, а о вращении самого кристалла вокруг оси 1.

§ 125	ИНТЕГРАЛЬНАЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ	635
Все вычисления, приведшие к формуле A25.4), полностью
относятся и к этому случаю, с той лишь разницей, что интегри-
интегрирование по р(к) dk надо заменить интегрированием по р(ф) di\)\
3 (^J \nb\2V(l + cos2
а = BтгK (^-) \nb\2V(l + cos tf0) /
\ mcz /	J к
A25.6)
Снова обозначим через ко значение к, для которого обращается
в нуль аргумент ^-функции, и будем отсчитывать ф от плоскости
1, kg. Для малых ф имеем
к = к0 + [1ко]ф.
Тогда интеграл в A25.6) принимает вид
k v l ujr/rvr/ r 2fc|b[lko]| 2fc2|b[ln0]|	62|b[ln0]
Таким образом,
а = *№- D)^2 Т • A +coS^o)|nb|2F-fl-. A25.7)
о2 \тс2 /	2	|Ь[1по]|
Наконец, рассмотрим дифракцию монохроматической плос-
плоской волны от тела, представляющего собой совокупность хаоти-
хаотически ориентированных кристалликов1).
Обозначим через kg и bo векторы к' и Ь, направленные так,
чтобы удовлетворялось условие Лауз kg = k + bo- Направления
kg и bo неоднозначны, так как условие Лауз, разумеется, про-
продол жает выполняться при любом повороте треугольника kbokg
вокруг направления к. Таким образом, главному максимуму от-
отвечают направления к', заполняющие коническую поверхность с
углом 2$о при вершине; вместо дифракционного пятна мы будем
иметь теперь дифракционное кольцо.
Искомое полное сечение определится формулой, отличаю-
отличающейся от A25.4) лишь заменой интегрирования по р(к) dk усред-
усреднением по направлениям Ь:
2 fU	b2)^ A25.8)
— элемент телесного угла в направлении Ь). Обозначив угол
между к и b через се, запишем интеграл в A25.8) в виде
-SBbkcosa
2\ 2?r<icosa	1	1 . 2 #0
_v	 , _ J	 = 	 = —Sin —.
к ч	) 4тг	46fc2 Ь3	2
2) Этот случай соответствует рентгеноструктурному методу порошков
{метод Дебая-Шеррера).

636	ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ	ГЛ. XVI
Таким образом,
а = BтгK (^J |nb|2U\ + cos2 ^o) sin2 ?.	A25.9)
Каждый из трех рассмотренных случаев соответствует опре-
определенному способу усреднения дифракционной картины. Отме-
Отметим, что зависимость полной усредненной интенсивности дифрак-
дифракции от объема тела сводится при этом, как и следовало ожидать,
к простой пропорциональности. Напомним, что в неусредненной
картине зависимость интенсивности и ее распределения по пятну
от объема более резкая.
§ 126. Диффузное тепловое рассеяние
рентгеновых лучей
В двух предыдущих параграфах мы понимали под п(ж, у, z)
электронную плотность в кристалле, усредненную по времени.
Тем самым из нее выпадали вызываемые различными причи-
причинами колебания плотности, а с ними и соответствующая (неко-
(некогерентная) часть рассеяния рентгеновых лучей. Одним из ис-
источников некогерентного рассеяния являются тепловые флукту-
флуктуации плотности. Это рассеяние диффузно распределено по всем
направлениям, но его характерной особенностью является срав-
сравнительно большая интенсивность вблизи направлений, соответ-
соответствующих резким линиям структурного рассеяния, рассмотрен-
рассмотренного в предыдущих параграфах. Мы рассмотрим теперь именно
эти максимумы теплового рассеяния (W.H. Zachariasen, 1940).
Тепловые колебания кристаллической решетки будем пред-
представлять разложенными на отдельные звуковые волны. Как бу-
будет видно из дальнейшего, в создании интересующих нас мак-
максимумов теплового рассеяния участвуют волны с большими (по
сравнению с постоянной решетки) длинами. Вызываемое такой
волной изменение электронной плотности можно рассматривать
в каждой точке пространства как результат простого сдвига ре-
решетки на величину, равную местному значению вектора смеще-
смещения и в волне. Таким образом, изменение плотности (не усред-
усредненной по времени!) при прохождении заданной звуковой волны
молено выразить через среднюю плотность с помощью соотно-
соотношения
ёп = п(г — и) — п(т) « —и —.
Рассматривая диффузное рассеяние вблизи определенной линии,
надо заменить п2 на пьегЬг с заданным Ь, так что
6п= -i(bu)nbe*br.	A26.1)

§126	ДИФФУЗНОЕ ТЕПЛОВОЕ РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ	637
Рассеяние на флуктуациях плотности, разумеется, некоге-
некогерентно с рассеянием на средней плотности и потому не интер-
интерферирует с ним. Поэтому сечение диффузного рассеяния молено
найти по формуле A24.10), подставив в нее 5п вместо п и про-
произведя затем статистическое усреднение по флуктуациям:
da=- (—J |ггь|2A +cos2t9) /1 Г (ub)e^KrdF ) do',
2 V тс2 /	\\ J	I
A26.2)
где введено обозначение К = к' — к — Ь. Интенсивность рассеяния
велика в тех направлениях, для которых вектор К мал (К <С Ь).
Интеграл J ие~гКг dV выделяет из и пространственную ком-
компоненту Фурье с волновым вектором К; поэтому мы можем по-
понимать под и просто вектор смещения в звуковой волне с этим
волновым вектором. Неравенство К <С Ъ означает, следователь-
следовательно, что длина рассеивающей звуковой волны велика по сравне-
сравнению с размерами элементарной ячейки кристалла.
Таким образом, имеем
u = -(line + une ),	A26.6)
2
так что
J (Ьи)е-Жг dV = -Fbu0
и сечение
da = - (—) |nb|2(l + cos2 ti)bibk{uoiU%k)V2 do'. A26.4)
8 V тс2 /
Усреднение произведений компонент un производится анало-
аналогично тому, как это было сделано в § 123 для звуковой волны в
изотропном теле. Упругая энергия единицы объема деформиро-
деформированного кристалла дается выражением
!_
2*
где щ^ — тензор деформации, а \ыт ~ тензор модулей упру-
упругости (см. VII, § 10). Поэтому средняя упругая энергия всего
кристалла равна
-УгЫгпЫкЩгп)-
Подставим сюда
Щк = ~
Члены с множителями е±2гКг при усреднении обращаются в
нуль. Учитывая также свойства симметрии тензора \ыт (сим-

638	ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ	ГЛ. XVI
метрия по индексам гк и 1т и по перестановке пары гк с па-
парой 1т), получим
—\ШгпКкКт(щ{иы) = —
где введено обозначение
gik = \ikmKiKm.	A26.5)
Согласно общей теории термодинамических флуктуации,
можно теперь сразу написать для искомых средних значений 1)
(W*ok) = fgrj	A26.6)
(eik ~ тензоР? обратный тензору g^), а для сечения рассеяния
окончательно имеем
AG = 1 (^JТУ\пъ\2A+соъ2д)ЪгЪ^7-к1 .do1.	A26.7)
Таким образом, интенсивность диффузного рассеяния, как
и следовало ожидать, пропорциональна объему кристалла. Ха-
Характерной особенностью этого рассеяния является распределе-
распределение его интенсивности по площади пятна. Отвлекаясь от множи-
множителя A + cos2fd), практически постоянного для заданного пятна,
мы видим, что распределение интенсивности определяется вы-
выражением g1^ Ъфк. Последнее представляет собой произведение
К~2 на довольно сложную функцию направления вектора К от-
относительно кристаллографических осей. При рассеянии вблизи
главного максимума интенсивность диффузного рассеяния тоже
максимальна в точке К = 0 (само выражение A26.7), обращаю-
обращающееся при К = 0 в бесконечность, разумеется, становится при
этом неприменимым). Если же условие A24.15) 2bk = — Ъ2 не
выполняется, то равенство К = 0 невозможно и максимум ин-
интенсивности диффузного рассеяния расположен при некотором
отличном от нуля К, вообще говоря, не совпадающем с положе-
положением максимума структурного рассеяния. В обоих случаях диф-
диффузное рассеяние создает фон, интенсивность которого спадает
в основном как I/if2, т. е. значительно медленнее, чем интенсив-
интенсивность в более резкой линии структурного рассеяния, которую он
окружает.
г) См. V, § 111. Если распределение вероятностей для флуктуирующих
величин xi, X2, ••• имеет вид
гкг
то ХгХк = А^,1. Лишний множитель 2 в формуле A26.6) связан с тем, что
каждое из комплексных г^ог представляет собой совокупность двух незави-
независимых величин.

§126	ДИФФУЗНОЕ ТЕПЛОВОЕ РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ	639
В заключение параграфа остановимся на вопросе о рассеянии
рентгеновых лучей в жидкости. Поскольку жидкость в среднем
однородна, когерентное рассеяние в этом случае, разумеется, от-
отсутствует. Для вычисления лее некогерентного рассеяния следует
снова подставить 8п вместо п в A24.10) и усреднить по флукту-
ациям. В результате получаем
da = I(j!_Vl+cosi9) < |?nq|2 >daf,	A26.8)
где ?nq = f 6пещг dV. Среднее (|?nq|2) выражается через компо-
компоненту Фурье корреляционной функции флуктуации электронной
плотности. С учетом однородности жидкости имеем
= V J
r = г2 -
(Ср. вывод формулы V, A16.13).)
Интересными особенностями обладает рассеяние рентгено-
рентгеновых лучей на двумерных кристаллических пленках. Как было
показано в V, § 138, тепловые флуктуации «размывают» кри-
кристаллический порядок в таких системах. Поэтому когерентное
рассеяние отсутствует. Вместе с тем, корреляционные функции
флуктуации убывают с расстоянием в таких системах по медлен-
медленному степенному закону. Это приводит к тому, что диффузное
рассеяние имеет резкие максимумы в тех направлениях, в ко-
которых при Г = 0 лежали бы максимумы упругого рассеяния
на «неразмытой» структуре. (См. задачу к этому параграфу.)
Аналогичные особенности имеют место при рассеянии на слои-
слоистых смектических жидких кристаллах, структура которых так-
также размывается тепловыми флуктуациями. (См. V, § 139.)
Задача
Определить угловое распределение рассеяния на двумерной кристалли-
кристаллической пленке при q ~ b (b — вектор обратной решетки при Т = 0).
Решение. Корреляционную функцию флуктуации электронной
плотности {дп(г-[)дп(г2)) двумерной системы можно определить так же, как
это было сделано в V, § 138 для корреляционной функции флуктуации плот-
плотности. Член, ответственный за рассеякие с q « b, имеет вид
i^cosbr,	A)
где пъ — компонента Фурье электронной плотности при Т = 0, аъ — показа-
показатель, зависящий от упругих модулей кристалла (см. V, A38.7)). Вычисляя
фурье-компоненту функции A), находим для среднего квадрата флуктуации
~ 2-Так »	V2)
где хц — проекция вектора >с = q — b на плоскости пленки. Формула B)
решает поставленную задачу.

640	ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ	ГЛ. XVI
§ 127. Температурная зависимость сечения дифракции
Обратимся теперь к выяснению температурной зависимости
сечения когерентного рассеяния рентгеновых лучей. Вопрос сво-
сводится к определению температурной зависимости микроскопиче-
микроскопической электронной плотности в кристалле, усредненной с учетом
теплового движения атомов.
Будем считать атомы достаточно тяжелыми, так что большая
часть их электронов локализована в неперекрывающихся оболоч-
оболочках, которые лишь слабо деформируются при колебаниях решет-
решетки. Будем также считать, что решетка состоит из атомов лишь
одного сорта, по одному в элементарной ячейке; подчеркнем, что
это последнее предположение не имеет принципиального харак-
характера и делается исключительно для упрощения записи формул.
Тогда молено точную (не усредненную) микроскопическую
электронную плотность представить в виде
п(г) = ?>(г - гп) = J>(r - rn0 - un),	A27.1)
П	П
где F(r) — плотность электронов в отдельном атоме (атомный
формфактор)] суммирование производится по всем атомам в ре-
решетке, гп — радиус-векторы атомных ядер, нумеруемых вектор-
векторным (с целочисленными компонентами) индексом п. Обозначив
радиус-векторы равновесных положений ядер (т. е. узлов решет-
решетки) как гпо, а векторы смещений атомов из этих положений по-
посредством un, имеем rn = rno + un, что и использовано в послед-
последнем равенстве A27.1).
Разложив плотность A27.1) в ряд Фурье A24.12) в объеме V
решетки, представим коэффициенты разложения в виде
где
Fh= f F(r)e-ihr dV	A27.2)
— фурье-компоненты атомного формфактора. Все произведе-
произведения rnob равны целым кратным от 2тг. Поэтому все множители
ехр(—ггПоЬ) = 1, так что
" " ~™пЪ.	A27.3)
п
Усредним это выражение по движению атомов. Очевидно, что
средние значения членов суммы не зависят от номера п. Поэтому
(пь) = ^(e-ibu),	A27.4)
где и — вектор смещения атома (безразлично какого), a v = V/N —
объем элементарной ячейки (N — число ячеек в объеме V).

§ 127	ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СЕЧЕНИЯ ДИФРАКЦИИ	641
Усреднение в A27.4) следует понимать как полное статистиче-
статистическое усреднение, т. е. усреднение по волновым функциям стаци-
стационарных состояний с последующим усреднением по распределе-
распределению Гиббса.
Для выполнения этого усреднения следует рассматривать и
как квантовомеханический оператор
ka
(см. V, § 72). Суммирование производится по всем значениям
волнового вектора к фононов (в объеме V) и по их независимым
поляризациям, нумеруемым индексом а = 1,2,3; c<ja(k) — час-
частоты фононов, е^а — их поляризационные векторы; М — масса
атома. Операторы с^а и с^, — операторы уничтожения и рожде-
рождения фононов в состояниях ксе.
Для операторов вида A27.5) выполняется теорема Вика, сог-
согласно которой среднее от произведения любого четного числа
операторов равно сумме всевозможных произведений попарных
средних (среднее же от произведений нечетного числа операто-
операторов равно нулю) *). Здесь будет существенно равенство
= exp(l(L2)),	A27.6)
справедливое для всякого оператора L, удовлетворяющего этой
теореме; в его справедливости легко убедиться, разложив expL
в ряд и усредняя каждый член разложения 2).
Применив A27.6) к A27.4), получим
Сечение дифракции пропорционально квадрату этой величины
и потому его температурная зависимость отделяется в виде мно-
множителя
D = exp{-((buJ)}.	A27.7)
Его называют множителем Дебая-Валлера (P. Debye, 1912;
I. Waller, 1925).
*) Доказательство теоремы в «макроскопическом пределе» GV—>-оо), со-
соответствующем ее применению в статистике, — см. IX, § 13.
2) Произведение четного числа 2п множителей L можно разбить на пары
Bп — i)Bn — 3)... 1 способами (выбрав один из 2п множителей, можно «спа-
«спарить» его с любым из 2п — 1 остальных множителей; выбрав каждый раз
один из остающихся 2п — 2 операторов, можно спарить его 2п — 3 способами,
и т. д.). Поэтому
?2	?2
21 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VIII

642	ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ	ГЛ. XVI
Остается вычислить средний квадрат ((buJ). Из всех попар-
попарных произведений операторов Ска, с^ имеют отличные от нуля
средние значения лишь
где iVka — средние числа заполнения фононных состояний в рав-
равновесии. Поэтому
ka
|beka|2 fiVka + -) . A27.8)
1 ka| V ka 2/ V	}
ka
При этом числа iVka даются распределением Бозе
При подстановке в A27.7) член с нулевыми колебаниями да-
дает не зависящий от температуры множитель, который следует
опустить (точнее — включить в определение -Рь)- Наконец, пе-
перейдя от суммирования по к к интегрированию по Уб?3Л/BтгK,
получим окончательно
При Г —> 0 функция iVka обращается в нуль и соответственно
D — в единицу; с увеличением температуры D убывает. Отме-
Отметим, что влияние температуры сводится к общему понижению
интенсивности линии рассеяния без изменения ее формы (в том
числе ширины).
Среднее тепловое смещение атомов от узлов кристаллической
решетки обычно (даже при высоких температурах) мало по срав-
сравнению с постоянной решетки. Тогда показатель экспоненты в D
для линий рассеяния с небольшими значениями b мал по срав-
сравнению с единицей и температурный эффект представляет собой
малую поправку. Подавление интенсивности становится однако
значительным для линий рассеяния, отвечающих большим зна-
значениям Ь.
При высоких (по сравнению с дебаевской) температурах
средний квадрат (и2) со Г и вместе с ним пропорционален Г по-
показатель экспоненты в D. При низких температурах тепловые
фононы относятся в основном к акустическим ветвям спектра,
для которых частота cjoofc; интегрирование по^в A27.9) может
быть распространено в этом случае до ос и показатель экспонен-
экспоненты оказывается пропорциональным Г2.

§ 127	ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СЕЧЕНИЯ ДИФРАКЦИИ	643
Отметим, наконец, что при низких температурах, когда су-
существенны лишь длинноволновые фононы, для справедливости
формул A27.7)—A27.9) не обязательна возможность представить
плотность п(т) в виде суммы по атомам A27.1): как уже было
отмечено в начале предыдущего параграфа, в длинноволновых
колебаниях большие участки решетки смещаются как целое со
своими значениями электронной плотности, что только и важно
для вывода указанных формул.
Задача
Определить интенсивность диффузионного рассеяния вблизи линии
структурного рассеяния с учетом квантовых флуктуации плотности.
Решение. Классическая формула A26.6) для средних значений
произведений компонент вектора смещения справедлива при условии
Т^НсК,	A)
где с — порядка величины скорости звука в кристалле. Если это условие
не выполняется, то следует считать амплитуду ио оператором и вычис-
вычислять средние по формулам настоящего параграфа. Сравнивая определение
A26.3) с A27.5) и собирая члены с волновым вектором К, находим
1/2
+
Усреднение производится, как при выводе A27.8). Имеем
1)	B)
Подстановка B) в A26.4) решает задачу.
При Т = 0 в B) остается только член с нулевыми колебаниями. Для ма-
малых К сечение оказывается пропорциональным 1/ооа(К) ~ \/К. В обратном
предельном случае, при условии A), можно приближенно положить
так что правая часть B) переходит в
4Г у. |ЬеаК|2
MN ^ cj2(K) '
Теперь воспользуемся уравнением распространения колебаний теории упру-
упругости VII, B3.1), которое для плоских волн можно переписать в виде
1	-1
причем векторы поляризации еа можно считать вещественными. Оконча-
Окончательно с помощью тождества
2_je<xieak = Sik,	C)
а.
справедливого для трех взаимно-перпендикулярных единичных векторов,
приводим B) к виду, соответствующему формуле A26.6).

ПРИЛОЖЕНИЕ
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Ниже приведен для справок ряд формул, относящихся к векторным опе-
операциям в криволинейных координатах в общем и в некоторых специальных
случаях.
В произвольной ортогональной системе криволинейных координат ui,
и2, us квадрат элемента длины имеет вид
dl = hi Aщ + h2 du2 + h% Aщ,
где hi — функции координат. Элемент объема в тех лее координатах
dV = h^h2hs du\ du2 dus.
Различные векторные операции выражаются с помощью функций hi по
нижеследующим формулам. Векторные операции со скаляром:
( л*\ ! °f	л*	1 у^ д fh2h3df
hi дщ	hih2hz дщ \ hi дщ
где суммирование производится по круговым перестановкам индексов 1, 2, 3.
Векторные операции с вектором:
divA =	^(hhA)
rot A)j = -L- \^-(h3A3) - ^-(
h2hs lou2	диз
(остальные компоненты rot А получаются круговой перестановкой индексов).
Цилиндрические координаты г, (р, z. Элемент длины:
dl2 = dr2+ r2d(p2+ dz2, hr = l, h(p=r, hz = l.
Векторные операции:
r dr \ dr ) r2 d(p2 dz2
, ! дА<р , дА*
divA = ~Б~^ —' ¦
r or	r
, . ч 1 dAz dA<n , . ч dAr dAz
(rot A)r =	-, (rot A)^ =	,
r dip dz	dz dr
( , A, 1 d	\dAr
(rot A)z =	\?Aip)	5
r dr	r dip
A 2 f)A
(AA)r = AAr- — -——~,
r2 r2 d<p
Аф ,2 dAr

ПРИЛОЖЕНИЕ	645
В выражениях для компонент вектора АА под AAi понимается резуль-
результат действия оператора А на величину Ai, рассматриваемую при этом как
скаляр.
Сферические координаты г, в, (р. Элемент длины:
dl2 = dr2 + r2 dO2 + r2 sin2 в dip2,
hr = 1, he = r, h^ = r sin в.
Векторные операции:
1 а /. Qdf\ , 1 а2/
г2 0г \ 0г / г2 sin 6 дв
div А =	О,
Г2
infl д<р'
(rot A)r = -?— f^(sin6l • Av) - ^1 ,
rsmO \_дв	dip \
...	1 8Ar 1 0
(rot A)e = ^r-7^	7-Ю»
(АА)Г =
_0_	_ 0Л."
г [дг	дв
1	0 , . „ , х .	1
(sm6 Ao) \
sin вдв	smO dip

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1)
Абрагама сила 380, 406
Адиабатический инвариант 405, 506
Азимутальные и меридиональные
токи 342
Альвеновская скорость 346
Альвеновские волны 346
	, поглощение 349
—	разрывы 353
—, расширение 357
Барнетта эффект 195
Бинормаль 493
Био и Савара закон 169
Бирадиаль 493
Брегга-Вульфа уравнение 629
Брегга метод 634
Брюстера угол 429
Быстрая ударная волна 365
Вектор гирации 500
	, высокочастотная асимптотика
509
—	оптической активности 500
—	Пойнтинга в гиротропной среде
507
—	—, в среде с пространственной
дисперсией 519
Вмороженность магнитного поля
333, 369
Волна включения 368
Волны в круглом, прямоугольном
волноводе 461, 462
—	электрического и магнитного ти-
типов 442
	в волноводе 455
Вращательный разрыв 353
Вращение плоскости поляризации
во вращающемся теле 512
Вынужденное излучение 589, 599
—	комбинационное рассеяние 560,
600
Высота поднятия жидкости в кон-
конденсаторе 79
Гартмана число 338
Гиромагнитные коэффициенты 196
Гиротропная среда 500
Гистерезис 215
Главная волна 458
Главное сечение 489
Главные диэлектрические оси 482
Глубина проникновения в сверхпро-
сверхпроводник 269, 297, 437
Граничные условия Леонтовича 435
	на границе диэлектриков 64
	доменов 235
	магнетиков 164, 165
	сверхпроводников 270, 282
	движущейся границе диэлек-
диэлектрика 384, 557
	при отражении света 428
Групповая скорость 423
Двойное круговое преломление 504
— преломление 490
Двойной слой 149
Двухосные кристаллы 88
Двухфотонное поглощение 562
Дебая-Валлера множитель 641
	Шеррера метод 635
Деполяризующее поле 69
Дефокусирующая среда 542
Джоуля-Ленца закон 137, 142
Дзялошинского поле 261
Дипольный момент 60
Директор жидкого кристалла 112
Дисперсионная форма линии 615
Диссипация энергии в диэлектри-
диэлектриках 399, 480
	 системой электродов в прово-
проводящей среде 139
) Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В ука-
указатель включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в
оглавлении.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
647
Дифракционное пятно 629
—	— вокруг главного максимума
631
	— побочного максимума 631,
632
Дифракция на дополнительном
экране 474
	круглом отверстии 475
	щели 474
Диэлектрики 13, 59
Диэлектрическая восприимчивость
62
—	поляризация 59
—	проницаемость 62
Диэлектрический тензор 87
Доменная стенка в кубическом кри-
кристалле 227-230
	одноосном кристалле 231
Домены 216
—	замыкающие 233
—, область существования в эллип-
эллипсоиде 217
—	сегнетозлектрические 128
Емкость 17
—	взаимная двух проводников 22,
23
	 цилиндров 34
—	кольца 23
—	конденсатора, краевые эффекты
37
—	шара в анизотропной среде 91
—	сферического сегмента 36
Естественная гиротропия 522
—	оптическая активность 522
	, связь с симметрией тела 524
Заряд, протекающий по кольцу при
остановке вращения 328
—,	контуру при изменении маг-
магнитного потока 324, 325
Излучение диполя в среде с е и /л
448, 449
—	при движении частицы в рассеи-
рассеивающей среде 608
Изменение емкости при внесении
диэлектрического шарика 87
—	знака времени 198
—	объема и формы проводящего
шара в поле 56
—	— и злектрокалорический эф-
эффект диэлектрического эллипсо-
эллипсоида в поле 85
Изменение объема ферромагнитно-
ферромагнитного эллипсоида в поле 222
—	теплоемкости диэлектрической
пластины в поле 86
—	формы диэлектрического шара в
поле 107
Импеданс 310
Индукция магнитная 162
—	электрическая 60
Инерционная область 372
Квадрупольный момент заряжен-
заряженного эллипсоида 46
Керра эффект 499
Кинетические коэффициенты 139
Комбинационное рассеяние 610
Комплексный потенциал 28
Коническая рефракция 494, 495
Контактный разрыв 352
Конформное отображение 30
Коттона-Мутона эффект 505
Коэффициент взаимной индукции
17
—	деполяризации 44
—	емкости 17
—	затухания поля в проводящем
шаре 305
—	отражения 427
	вблизи угла полного отраже-
отражения 432
	пластинки 432
	с большим s 434
	при скользящем падении 432
	, связь с поверхностным импе-
импедансом 439
—	поглощения 415
—	размагничивания 69
—	самоиндукции 181
	двойного провода 189, 190
	замкнутого провода 187, 188
	в магнитной среде 191
	тороидального соленоида 190
—	— цилиндрического соленоинда
191
—	зкстинкции 599, 603
—	электропроводности 136
—	электростатической индукции 17
	удаленных проводников 22,
23
Крамерса-Кронига формулы 410
Критические индексы (показатели)
244, 618
Критическое состояние 123

648
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Круговая оптическая ось 500
Крыло линии 611
Ландау-Плачека формула 614, 616
Лауз метод 633
—	уравнение 629
Легкая ось, плоскость 211
Ледюка-Риги эффект 157
Линейные токи 169, 170
Лучевой вектор 483
Магнитная восприимчивость 164
—	поляризуемость 302, 467
	проводящего цилиндра в пере-
переменном магнитном поле 303, 304
	шара в переменном магнит-
магнитном поле 302
—	решетка Бравз 205
—	структура 287
Магнитное поле вокруг вращающе-
вращающегося в электрическом поле шара
384
—	— в полости цилиндрического
проводника 173
	замкнутого тока 171, 172
	в анизотропной среде 173
	кругового замкнутого тока 172
Магнитные кристаллические клас-
классы 199
—	поверхности 340
—	пространственные группы 198
Магнитный момент неравномерно
вращающегося проводящего ша-
шара 327
	проводящего шара, вращающе-
вращающегося в магнитном поле 303
	сверхпроводящего диска 275
Магнитозвуковые волны 346
Магнитостатическая энергия 237,
238
Магнитостатические колебания 394
Магнитострикция линейная 263
Магнитоупругая энергия 219
Максвелла эффект 512
Максвелловское время релаксации
616
Манделыптамма-Бриллюзна дуб-
дублет 614, 622
Масштабная инвариантность 245
Медленная ударная волна 365
Метод изображений 24
—	инверсии 26
—	порошков 635
Микромагнетизм 237
Минимальность диссипации энер-
энергии в проводящей среде 140, 141
Момент сил, действующих на ани-
анизотропный диэлектрический шар
93
	,	диэлектрический эллип-
эллипсоид 70
Мзнли-Роу теорема 533, 538, 561
Накачка 559
Наклонное прохождение 441
Намагниченность 163
—	поликристаллического ферро-
ферромагнетика 216
Направление легкого намагничения
211
Напряженность магнитного поля
163
—	электрического поля 13
Нелинейная восприимчивость 535
Нелокальная связь 514
Нематические жидкие кристаллы
112, 620
Необыкновенная волна 489, 490, 491
Неоднородные волны 414
Несмещенная линия 610
Несоизмеримые структуры 267
Нернста эффект 157
Нормальное прохождение 441
Область прозрачности 400, 418
—	спонтанной намагниченности 216
Обменное взаимодействие 206, 207
Обобщенные восприимчивости 301,
477, 516
Обыкновенная волна 489
Одноосные кристаллы 88
Ома закон 136
	в движущемся проводнике 136
Онсагера принцип 138
Опрокидывание подрешеток 252
Оптическая ось 488, 493
	лучей 493
	 сингулярная 497
Оптически более (менее) плотные
среды 430
Отрицательные кристаллы 488
Параллельные ударные волны 366
Параметрическое усиление 554

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
649
Пельтье эффект 154
Перпендикулярная ударная волна
361
Пинч 341
Пироэлектрические тела 89
Плазменный шнур 341
Плотность электрического тока 166
Поверхностные волны в пьезозлек-
триках 116
	на границе диэлектриков 117
—	— — заряженной проводящей
жидкости 57
Поверхностный импеданс 299, 434,
435
	с учетом термоэлектричества
305
Поверхность волновых векторов
482
—	индексов 482
—	лучевая 483
—	нормалей 482
Показатель преломления 414, 415
Поле плоское 28
—	вблизи клиновидного края про-
проводника 32
—	вблизи конического острия 33
—	на поверхности проводника 33
	углубления 34
—	внутри анизотропной пластинки
92
—	в полом диэлектрическом цилин-
цилиндре 71
	шаре 70, 71
—	в сферической полости в анизо-
анизотропной среде 93
—	вокруг пироэлектрического шара
91
—	точечного заряда в анизотропной
среде 91
—	заряда у границы двух сред 64
—	заряженного проводящего диска
46
—	заряженной нити у границы двух
сред 64
	, параллельной диэлектриче-
диэлектрическому цилиндру 65
—	проводящего цилиндра во внеш-
внешнем поле 32
	шара во внешнем поле 31, 32
—	— эллипсоида во внешнем поле
44, 47, 48
—	проводящей плоскости с отвер-
отверстием 49
	со щелью 50
Полная свободная энергия тела в
диэлектрической среде 83
Положительные кристаллы 488
Поляризационная зависимость рас-
рассеяния с учетом передаваемого
импульса 607
Поляризация при отражении от ги-
ротропной среды 508
Поляритонная область спектра 529
Поперечно-магнитные волны 455
—	электрические волны 455
Потенциал выхода 144
Правило сумм 411
Предельный угол полного отраже-
отражения 431
Преломление света на поверхности
гиротропного тела 507
	одноосного кристалла 490,
491
Принцип взаимности в электроста-
электростатике 66
	для квадрупольных и магнито-
дипольных излучений 448
Продольная и поперечная проница-
проницаемости 518
	, связь с е и II 519
Продольные волны 420, 527, 529
Промежуточный показатель 256
Проницаемость магнитная 164
—	диэлектрическая 62
Пьезомагнитный тензор 264
Работа выхода 144
Распределение зарядов на полуша-
полушаровом выступе 35
	проводящем диске во внеш-
внешнем поле 47
—	— — — эллипсоиде во внешнем
поле 48
	цилиндрическом стержне
во внешнем поле 35, 36
—	потенциала при прохождении то-
тока через сферу 140
Рассеяние антисимметричное 594,
602, 603
—	на анизотропных частицах 465,
616, 617
	шарике с большим е 465, 466
—	симметричное 594
—	скалярное 594
—	стоксово и антистоксово 587
Растяжение кольца собственным

650
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
магнитным полем 189
Растяжение ферромагнетика в за-
зависимости от направления намаг-
намагниченности 222
Рейнольдса число магнитное 336
Релятивистские взаимодействия
207
Самоканалирование 545
Сверхпроводники первого и второ-
второго рода 269, 276, 285, 286
Сверхпроводящий переход 268
Связь прямого и обратного тензо-
тензоров проводимости в магнитном
поле 143, 144
Сечение рассеяния 627
Сила взаимодействия 24
	токонесущего провода с магне-
магнетиком 195
—	изображения 24
—	осциллятора 411
—	отталкивания двух проводников
55
	половин заряженного проводя-
проводящего шара 56
	шара во внешнем поле 56
—	притяжения половин заряженно-
заряженного диэлектрического шара 107
Силы, действующие на сторонние
заряды в твердом диэлектрике
108
—	пондемоторные 96
Симметрии кинетических коэффи-
коэффициентов принцип 138
	обобщенный 477, 499, 512,
516
Скорость света в движущейся среде
424, 425
Сложение скоростей распростране-
распространения 424
Смешанное состояние 286
Собственные частоты резонатора
прямоугольного 452
	, сдвиг при внесении шарика
453
	сферического 453
	связанных контуров 317, 318
Средние значения квадратичных
выражений 300
Стереоизомеры 523
Стоксово рассеяние 587, 600
Сторонние заряды 60, 61, 100, 108,
376
Структура фронта волны в диспер-
диспергирующем диэлектрике 418, 419
Стюарта-Тол мен а эффект 327
Сфероидальные координаты 40
Тангенциальный разрыв 352
	устойчивость 354
Телеграфное уравнение 461
Тензор деформации 102
—	диэлектрической проницаемости
87, 477
—	магнитной проницаемости 477
—	магнитоэлектрический 264
—	напряжений 51, 96, 103, 192
—, определяющий пространствен-
пространственную дисперсию 528
—	поверхностного импеданса 480
	, связь с проницаемостью 479
—	проводимости 138
—	пьезомагнитный 263
Тензор пьезоэлектрический 110
	, свойства симметрии 112—115
Тензорный эллипсоид 89
Тепловое излучение поверхности с
малым импедансом 440, 441
	поглощающего шарика 468
Теплоемкость эллипсоида в проме-
промежуточном состоянии 286, 287
Термодинамические неравенства
121, 177
Ток смещения 377
Томсона соотношение 155, 156
—	формула 316
—	эффект 154
Точка Кюри 206
	антиферромагнитная 249
—	отражения 442
"Угол полной поляризации 429
Униполярная индукция 323
	при вращении намагниченного
шара 324
Упругооптические явления 509, 510
Условие синхронизма 549, 554
Устойчивость заряженной проводя-
проводящей капли 58
Фазовая скорость 423
Фарадея закон 321
—	эффект 504
	обратный 507, 540
Ферма принцип 422
Ферримагнетики 201

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
651
Ферромагнетики 198
Ферромагнитный резонанс в пла-
пластинке 396
	эллипсоиде 395, 396
	неоднородный 394
	однородный 395
Феррозлектричество 123
Физо эффект 425
Флуктуации анизотропии 610
Флуктуационная область 618
Фокусирующая среда 542
Формфактор атомный 640
Френеля уравнение 482
—	формула 427
—	эллипсоид 487
Фуко токи 297
Химический потенциал в электри-
электрическом поле 78
Холла постоянная 143
Цемплена теорема 359
Черенковский конус 579, 580
Эйконал 421, 483
Эйнштейна-де Хааса эффект 195
Экситоны 529
Электрическая индукция 60
—	поляризуемость 467
Электрический момент 60
Электрическое поле вращающегося
намагниченного шара 323
Электродвижущая сила 147
—	— концентрационного элемента
161
Электрокалорический эффект в ди-
диэлектрике 86
Электромагнитная ударная волна
557
Эллипсоидальные координаты 38
Энантиоморфные формы 523
Энергия выхода доменов 233
—	— плоскопараллельных доменов
236
—	в анизотропной среде с дисперси-
дисперсией 479
	 пространственной дис-
дисперсией 518, 519
—	притяжения диполя к проводя-
проводящей плоскости 34
Эттингсхаузена эффект 157
Юнга модуль пьезоэлектрической
пластины 115, 116

Учебное издание
ЛАНДАУ Лев Давидович
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
(Серия: «Теоретическая физика», том VIII)
Редактор: Д. А. Миртова
Оригинал-макет: Ст. Ю. Мельников
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 14.01.05. Формат 60x901/i6
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 41,0. Уч.-изд. л. 40,4. Заказ №
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
E-mail: fizmat@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/^pfpv
ISBN 5-9221-0123-4
9785922 101233