Введение в физику открытых систем - Климонтович Ю.Л.

Author: Климонтович Ю.Л.

Tags: аэродинамика теория полёта физика монография естественные науки физика открытых систем

ISBN: 5-8037-0101-7

Year: 2002

Similar

Введение в физику поверхности

Теория горения

Конструктивная физика

Справочник по физике

Text

Ю.Л. Климонтович
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ
ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ
Для студентов, аспирантов, научных сотрудников
изучающих и ведущих работы в областях,
связанных с физикой открытых систем
Москва
«Янус-К»
2002

Издание осуществлено при финансовой поддержке:
Американского фонда гражданских исследований
и развития (CRDF)
Научно-образовательного фонда «Нелинейная динамика
и биофизика» Саратовского государственного университета
INTAS 000-0847.
ББК 22.317
К 49
УДК 533.6
Ю.Л. Климонтович. Введение в физику открытых систем — М.:
«Янус-К», 2002. — 284 с.
ISBN 5-8037-0101-7
Цель книги - краткое изложение основных идей, методов и результатов трех-
трехтомной монографии «Статистическая теория открытых систем» («Янус-К», Мос-
Москва, Т.1, 1995; Т.2, 1999; Т.З, 2001), представляющей первое в мировой литературе
систематическое изложение «Физики открытых систем». Тем самым открывается
единый подход к широкому кругу разнообразных актуальных вопросов современ-
современного естествознания, социологии и экономике на уровне, доступном специалистам
разного профиля.
Представление о круге рассматриваемых проблем дается в Перечне основных
слов и понятий, который помещен в предисловии. Все эти ключевые слова и поня-
понятия рассматриваются во многих случаях с частных позиций. Связанное их пред-
представление на основе единого метода поможет, несомненно, решению ряда актуаль-
актуальных проблем.
В вводной главе «Физика открытых систем без формул» основные идеи из-
излагаются без использования математического аппарата. В ней также совершен и
краткий экскурс в историю зарождения научного направления «Физика открытых
систем».
Редактор Борисова Т.Г.
Оригинал макет изготовлен с применением издательского
пакета
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Климонтович Юрий Львович
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ
Сдано в набор 15.08.2002. Подписано в печать 30.09.2002.
Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 18. Физ. п. л. 17,75. Тираж 1000. Заказ № 2132.
«Янус-К».
Лицензия на издательскую деятельность № 05875 от 21.09.2001.
Москва, Кооперативная ул. 3-6-128
Отпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»,
140010, г. Люберцы, Октябрьский пр-т, 403. т. 554-21-86
(?) Ю.Л. Климонтович, 2002
ISBN 5-8037-0101-7

Оглавление
Предисловие 7
Глава 1. Физика открытых систем без формул 10
§1.1. Чарльз Дарвин и Людвиг Больцман. Путь к Физике открытых
систем 10
§1.2. Хаос и порядок. Эволюция. Деградация и самоорганизация .... 14
§1.3. Норма хаотичности. Самоорганизация и «самовыздоровление».
Диагностика медико-биологических объектов по 5-теореме 17
§1.4. Что же такое самоорганизация? 19
§1.5. Диссипативные структуры. Синергетика 21
§1.6. Динамический хаос. Позитивная (конструктивная) роль
динамической неустойчивости 24
§1.7. Неравновесные фазовые переходы 29
§1.8. Критерий относительной степени упорядоченности
открытых систем. 5-теорема 31
§1.9. Является ли турбулентное движение более хаотическим,
чем ламинарное? 33
§1.10. Уменьшение производства энтропии при переходе от ламинарного
течения к турбулентному. Принцип минимума производства
энтропии в процессах самоорганизации 34
§1.11. Скорость изменения энтропии по средней энергии в открытых
системах 36
§1.12. Информация и энтропия открытых систем. Закон сохранения
суммы информации и энтропии 36
§1.13. Физика открытых систем для социологов и экономистов 40
§1.14. От восприятия к мысли 41
§1.15. К вопросу Эрвина Шредингера: Что такое Жизнь? 41
§1.16. Геометрия и физика фракталов 45
§1.17. Заключение к первой главе 47
Глава 2. Критерии упорядоченности 48
§2.1. Разреженный газ. Энтропия Больцмана. Внутренняя незамкнутость 48
§2.2. Функционал Ляпунова Л 5 для газа Больцмана 49
§2.3. Энтропия и теорема Гиббса 50
§2.4. Информация Шеннона 53
§2.5. Информация открытых систем. Закон сохранения
суммы информации и энтропии 54
§2.6. 5-теорема на примере генератора Ван дер Поля 57
§2.7. 5-информация и информация Шеннона 58
§2.8. Информация о броуновском движении 60
§2.9. Информация и относительная степень упорядоченности
по экспериментальным данным 61
§2.10. Определение относительной степени упорядоченности по спектрам 62
§2.11. Самоорганизация в медико-биологических системах 65
§2.12. Сравнительный анализ критериев хаотичности 67
§2.13. Статистический аналог характеристик К", Kni 69
§2.14. Скорость изменения энтропии по средней энергии
в открытых системах 71

Оглавление
§2.15. Определение производной энтропии по средней энергии
по экспериментальным данным 75
§2.16. 5-теорема. «Технические» трудности 75
Глава 3. Энтропия Реньи 81
§3.1. Введение 81
§3.2. Энтропия Реньи 82
Глава 4. Геометрия и физика фракталов 86
§4.1. Введение 86
§4.2. Размерность Хаусдорфа. Пример — кривая Коха 88
§4.3. Фрактальная размерность множества Кантора 91
§4.4. Энтропийная (информационная) размерность 94
§4-5- Размерность Реньи 95
§4.6. Заключение к главе 96
Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум 98
§5.1. Введение. Степенные и логарифмические распределения.
Фликкер-шум 98
§5.2. Диффузионная природа естественного фликкер-шума 100
§5.3. Флуктуации при диффузии в бесконечной среде Г ... 101
§5.4. Учет структуры сплошной среды при расчете флуктуации 103
§5.5. Остаточные временные корреляции 106
§5.6. Фликкер-шум при фазовых переходах. Реакционно-диффузионные
процессы 113
§5.7. Фликкер-шум и квантовые когерентные явления —
сверхпроводимость и сверхтекучесть 116
§5.8. Сверхтекучесть—безвязкое течение в вязкой среде 122
§5.9. Заключение к параграфу о сверхтекучести 125
Глава 6. Аномальное броуновское движение на кинетическом
уровне описания 127
§6.1. Введение 127
§6.2. Теория броуновского движения с нестоксовым коэффициентом
трения 128
§6.3. Задача Стокса при переменной скорости броуновской частицы . . 132
§6.4. Дробные производные и дробные интегралы 135
§6.5. Распределения Гаусса, Коши и Леви 139
%в.в. Заключение к главам 4-6 144
Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых
переходах 147
§7.1. Введение 147
§7.2. Фазовые переходы первого и второго рода 149
§7.3. Простейшая модель сегнетоэлектрика 149
§7.4. Уравнение для вектора поляризации 150
§7.5. Функции распределения Ландау и Больцмана 152
§7.6. Термодинамика Ландау 153
§7.7. Энтропия и теплоемкость в термодинамике Ландау 155
§7.8. Расчет теплоемкости по распределению Больцмана 155
§7.9. Теплоемкость неравновесных состояний 155
§7.10. Кинетическое уравнение для сегнетоэлектриков 157
§7.11. Самосогласованное приближение для первого момента 158
§7.12. Приближение вторых моментов. Поли доменные сегнетоэлектрики 160
§7.13. Быстрые флуктуации 162

Оглавление 5
§7.14. Медленные флуктуации 163
§7.15. Теплоемкость полидоменных сегнетоэлектриков 165
§7.16. Изменение степени упорядоченности в процессе фазового перехода
по критерию «5-теорема» 166
§7.17. «Неклассические» критические индексы 168
§7.18. Предельный переход Т -? Тс 171
§7.19. Улучшенное приближение второго момента для сплошной среды . 171
§7.20. Критерий применимости приближения самосогласованного поля в
критической точке 173
§7.21. Переход от неклассических индексов к классическим. «Параметр
Вильсона» 174
§7.22. Заключительные замечания к главе 174
Глава 8. Эволюция упорядоченности при неравновесных фазовых
переходах 176
§8.1. Введение 176
§8.2. Кинетическое описание двухуровневых систем 183
§8.3. Стационарный режим генерации в лазере 186
§8.4. Флуктуационные процессы в лазерах 189
§8.5. Спектр излучения квантового генератора. Флуктуации
амплитуды и фазы 192
§8.6. Взаимное влияние равновесных и неравновесных фазовых переходов 194
Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении 199
§9.1. Введение 199
§9.2. Характерные черты турбулентного движения 201
§9.3. Турбулентное движение несжимаемой жидкости 202
§9.4. Гидродинамическая неустойчивость и возникновение
турбулентности 203
§9.5. Развитая турбулентность. Теория Колмогорова 206
§9.6. Производство энтропии и турбулентная вязкость для развитой
турбулентности 208
§9.7. Полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля-Кармана . . 209
§9.8. Уменьшение энтропии при переходе от ламинарного течения
к турбулентному 213
§9.9. Уменьшение производства энтропии при переходе от ламинарного
течения к турбулентному 216
§9.10. Принцип минимума производства энтропии в стационарных
состояниях 217
§9.11. Принцип минимума производства энтропии в процессах
самоорганизации 218
§9.12. Ограничения гидродинамического описания турбулентного
движения 218
§9.13. Кинетическое описание турбулентного движения 221
§9.14. Некоторые математические аспекты теории турбулентности . . . . 224
§9.15. Некоторые итоги теории гидродинамической турбулентности . . . 227
Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем 229
§10.1. Введение 229
§10.2. Микроскопические и макроскопические уравнения Шредингера . . 232
§10.3. Приближение сплошной среды в квантовой теории 234
§10.4. Атом — открытая система. Установление основного состояния . . 236
§10.5. Уравнение Фоккера-Планка для атомов-осцилляторов в тепловом
поле 239

Оглавление
§10.6. Два «выхода» из области квантовой теории 241
§10.7. Чистый ансамбль 242
§10.8. «Скрытые переменные». Смешанный ансамбль 243
§10.9. Скрытые параметры (масштабы) в квантовой теории 245
§10.10. Проявление скрытых масштабов при рассеянии света на атомах . 246
§10.11. Парадоксы квантовой теории 248
§10.12. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена 250
§10.13. Неравенства Белла. Скрытые параметры 251
§10.14. Квантовые корреляции — запутанные состояния и скрытые
параметры 253
§10.15. Измерение в квантовой теории. Коллапсы волновых функций . . . 254
§10.16. Броуновское движение 256
§10.17. Дуализм волна-частица 259
Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга с точки зрения
физики открытых системах 261
§11.1. Введение 261
§11.2. Статистическое представление соотношения неопределенности . . 264
§11.3. Соотношение неопределенности Гейзенберга 265
§11.4. Принцип Гейзенберга с точки зрения физики открытых систем . . 266
§11.5. Квантовая функция распределения при знаке «=» 270
§11.6. Соотношение неопределенности Гейзенберга для отличной от нуля
температуры 270
§11.7. Относительная упорядоченность состояний при знаках «=», «>»... 272
§11.8. Энтропия и информация квантовых открытых систем 273
§11.9. Итоги главы 275
Заключение 277
Список литературы 278
Предметный указатель 283

Предисловие
Важно не то, что строго
а то, что верно.
А.Н. Колмогоров (легенда)
Когда вышел из печати третий том монографии «Статистическая
теория открытых систем» меня спрашивали, иногда в шутку, но чаще
всерьез: Будет ли следующий том? Хотя в Заключении к последнему
тому и указан некоторый перечень нерешенных проблем, я отвечал
без тени сомнения, что продолжение не планируется. Однако знаком-
знакомство с недавно опубликованными монографиями по ряду актуальных
научных проблем утвердило меня во мнении, что такое продолжение
необходимо. Чтобы очертить, хотя бы и очень условно, круг актуаль-
актуальных проблем, приведу (в алфавитном порядке) далеко неполный спи-
список монографий, изданных на русском языке в 2001 году.
Галимов Э.М. Феномен жизни. Между равновесием и нелинейнос-
нелинейностью. Происхождение и принципы эволюции. («УРСС», Москва, 2001).
Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. (Постмаркет,
Москва, 2001).
Дойч Д. Структура реальности. (R and С Dynamics, Москва-
Ижевск, 2001).
Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем,
Т.III. Физика квантовых открытых систем. (Москва, «Янус-К»
2001).
Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. («Физмат-
лит», Москва, 2001)
Хакен Г. Принципы работы головного мозга (PerSe, Москва, 2001).
Чернавский Д.С. Синергетика и информация. («Наука», Москва,
2001)
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы (Миниатюры из
бесконечного Рая). (R and С Dynamics, Ижевск, 2001).
Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции.
(«УРСС», Москва, 2001).
Ряд книг, опубликованных до и после 2001 года, приведен в списке
литературы.
Уже беглое знакомство с новыми книгами показывает сколь широк
диапазон научных интересов авторов и, в тоже время, сколь необъя-
необъятен объем содержащейся в этих книгах информации. Существенно,

8 Предисловие
что буквально все рассматриваемые вопросы актуальны и интересны
для читателей разных специальностей, но охватить одному человеку
столь разнообразный материал очень трудно. И дело не только и не
столько в разнообразии материала, но в том, что изложение ведется
на разных уровнях и с разных позиций и что, порой, выводы разных
авторов противоречивы.
В связи с этим естественны попытки единого подхода к столь раз-
разнообразным проблемам, выделения основных и, вместе с тем, общих
идей и методов. При всем том это это должно быть сделано на уров-
уровне, доступном специалистам разного профиля. Такого рода попытки
делаются и они во многом, несомненно, успешны. О них речь пойдет
ниже.
Опираясь на эти работы, нами была предпринята попытка поло-
положить эти идеи и методы в основу нового научного направления, кото-
которое естественно назвать «Физика открытых систем». Они представ-
представлены в трех томах монографии «Статистическая теория открытых
систем». Принятый в ней уровень изложения отвечает уровню совре-
современной теоретической физики. Такое изложение необходимо. Оно, од-
однако, вызывает, естественно, трудности у многих специалистов.
В связи с этим возникают две задачи. Во-первых, изложить основы
«Физики открытых систем» на уровне доступном научным сотрудни-
сотрудникам разного профиля. Во-вторых, показать, что методы и результа-
результаты «Физики открытых систем» дают возможность единого подхода к
решению самых разнообразных проблем. Чтобы продемонстрировать
многообразие этих проблем приведем соответствующий краткий спи-
список ключевых слов и понятий.
Открытые системы. Модели сплошной среды. Хаос и поря-
порядок. if-энтропия и показатели Ляпунова. Динамический хаос.
Конструктивная роль динамической неустойчивости. Эволю-
Эволюция. Управляющие параметры. Принцип подчинения. Деграда-
Деградация и самоорганизация. Критерии относительной степени упо-
упорядоченности состояний открытых систем на основе модельных
уравнений и экспериментальных данных. Норма хаотичности и
«самовыздоровление». Два вида самоорганизации. Функциона-
Функционалы Ляпунова. Равновесные и неравновесные фазовые переходы.
Энтропия и информация. Ценность информации. Производство
энтропии. Принцип минимума энтропии при фазовых перехо-
переходах и в процессах самоорганизации. Самоорганизация в медико-
биологических системах. Норма хаотичности. Самоорганизация
— процесс стремления к норме хаотичности (процесс «само-
«самовыздоровление»). Диагностика открытых систем. Степенные и
логарифмические закономерности. Равновесный и неравновес-
неравновесный фликкер-шум. Диффузионная природа фликкер-шума. Роль

Предисловие 9
фликкер-шума в явлениях сверхпроводимости и сверхтекучес-
сверхтекучести. Фрактальные структуры. Геометрия и физика фракталов.
Роль структуры сплошной среды при определении размерности
фрактальных структур. Физика квантовых открытых систем.
Распределения Гаусса и распределения Леви. Модель сплошной
среды в квантовой теории. Принцип неопределенности Гейзен-
берга с позиций физики открытых систем. Измерения в кванто-
квантовой теории. Квантовые флуктуационно-диссипационные соот-
соотношения. Скрытые параметры и скрытые масштабы. Два выхо-
выхода из области квантовой теории. Парадоксы квантовой теории.
Измерения в квантовой теории.
Все эти ключевые понятия лежат в русле интересов исследовате-
исследователей разного профиля, но рассматриваются во многих случаях с част-
частных позиций. Связанное их представление на основе единого метода
поможет, несомненно, решению ряда актуальных проблем.
Естественно, что предлагаемое представление «Физики отрытых
систем» не может заменить исследования по разным научным направ-
направлениям, отраженные в представленной здесь литературе. Задача ав-
автора гораздо более скромная — способствовать связи различных на-
научных направлений и, в какой-то мере, способствовать поднятию те-
теоретического уровня научных исследований.
Естественно, что при изложении здесь используются идеи, методы
и некоторые результаты трех предыдущих томов монографии «Ста-
«Статистическая теория открытых систем». Основная же цель настоящей
книги — демонстрация эффективности единого подхода «Физики от-
открытых систем» в решении проблем, указанных в списке ключевых
слов и понятий. Многие из затронутых здесь вопросов либо совсем
не освещались в предыдущих томах, либо освещались недостаточно
полно. При этом большее внимание будет уделено физическому тол-
толкованию, чем математическому аппарату. Для ознакомления с мате-
математическими деталями будут даны соответствующие ссылки.
В следующей главе «Физика открытых систем без формул» основ-
основные идеи Физики открытых систем будут изложены без использования
математического аппарата. Будет также совершен и краткий экскурс
в историю зарождения этого нового научного направления.

Физика открытых систем без формул
§1.1. Чарльз Дарвин и Людвиг Больцман.
Путь к Физике открытых систем
Людвиг Больцман назвал XIX столетие веком Дарвина. Он
полагал, тем самым, что теория эволюции Дарвина, основанная на
принципе естественного отбора, является наиболее значительным от-
открытием XIX века. Такой вывод может показаться неожиданным.
Действительно, XIX век был богат великими открытиями в ес-
естествознании, в частности, в физике. Ведь XIX век это — век тер-
термодинамики, созданной в значительной мере трудами Сади Карно,
Рудольфа Клаузиуса и Вильяма Томсона. Это век электромагнитной
теории Майкла Фарадея и Джеймса Максвелла.
В XIX веке были заложены и основы современной молекулярно-
кинетической теории материи. Одним из ее основателей, наряду с
Джеймсом Максвеллом, был сам Людвиг Больцман. Именно он пред-
предложил первое кинетическое уравнение для описания необратимых
процессов в газах. Оно описывает, в частности, установление равно-
равновесного состояния в газе.
При этом Больцман, фактически, радикально изменил модель мак-
макроскопической среды — разреженного газа. Вместо модели частиц га-
газа, движение которых описывается системой обратимых уравнений
Гамильтона, он использовал модель сплошной среды в шестимерном
фазовом пространстве координат и компонент импульса.
Больцман также ввел впервые и статистическое определение од-
одной из основных характеристик термодинамики — энтропии. Он до-
доказал знаменитую «iJ-теорему Больцмана» о возрастании энтропии
во внешне замкнутой системе.
В связи с формулировкой «if-теоремы» сделаем одно существенное
для дальнейшего замечание.
В литературе бытует мнение, что Я-теорема Больцмана справед-
справедлива лишь при условии замкнутости рассматриваемой системы. Та-
Такое утверждение не является, однако, точным. Действительно, следу-
следует различать замкнутость системы от окружающих тел — «внешнюю
замкнутость» и «внутреннюю незамкнутость». Только внешняя замк-
замкнутость предполагается при доказательстве возрастания энтропии в
процессе эволюции к равновесному состоянию. Мы еще не раз будем
возвращаться к этому вопросу.

§1.1. Чарльз Дарвин и Людвиг Больцман... 11
Итак, Больцман не ставил себе задачу точного (с точки зрения ме-
механики) описания движения частиц газа. Он прекрасно понимал, что
такое решение невозможно. Ведь нет точного решения даже задачи
трех тел.
Больцман пошел по пути радикального изменения модели рассмат-
рассматриваемой системы. Вместо описания движения частиц на основе об-
обратимых уравнений Гамильтона он представил газ в виде сплошной
среды, но не в обычном трехмерном, а в б-мерном фазовом простран-
пространстве координат и импульсов.
Таким образом, Больцман характеризует систему не заданием ко-
координат и импульсов частиц газа, а функцией распределения частиц
в шестимерном пространстве координат и импульсов.
Больцман установил уравнение для этой функции распределения.
Теперь это кинетическое уравнение Больцмана. Оно и по сей день
является одним из основных уравнений для описания неравновесных
процессов в различных системах.
«Точка» сплошной среды, хотя ее размер и считается пренебрежи-
пренебрежимо малым по сравнению с характерными масштабами рассматривае-
рассматриваемых в кинетической теории процессов, содержит большое число час-
частиц. При переходе от уравнений для частиц системы к кинетическо-
кинетическому уравнению сплошной среды теряется вся информация о движении
частиц в пределах «точек» сплошной среды.
По этой причине описание неравновесных процессов на уровне
сплошной среды является приближенным. Это проявляется, в част-
частности, в том, что при описании временной эволюции к равновесному
состоянию при условии «внешней замкнутости» сохраняется не точ-
точное значение энергии, а лишь ее среднее значение (Е). Тем самым не
учитывается роль флуктуации энергии.
Именно благодаря внутренней незамкнутости, становится возмож-
возможным доказательство теоремы Больцмана о возрастании энтропии в
процессе эволюции к равновесному состоянию. Это обстоятельство бу-
будет использовано в дальнейшем, в частности, при формулировке кри-
критерия относительной степени упорядоченности состояний открытых
систем.
С учетом внутренней незамкнутости удается переформулировать
Я-теорему Больцмана с использованием функционала Ляпунова, ко-
который определяется разностью энтропии равновесного и неравновес-
неравновесного состояний. Наличие функционала Ляпунова показывает, что рав-
равновесное состояние, отвечающее максимуму энтропии является устой-
устойчивым.
Переоценить научные заслуги самого Больцмана просто невозмож-
невозможно. И все же именно Больцман определил XIX век, как век Дарвина.

12 Глава 1. Физика открытых систем без формул
Тем самым на первое место он поставил теорию биологической эво-
эволюции.
В чем же дело?
Во времена Больцмана не существовало каких-либо математичес-
математических моделей биологической эволюции. Больцман, однако, был уверен,
что развитая им теория временной эволюции газа будет обобщена и
на открытые системы.
Теория эволюции Дарвина была первым шагом в теории эволю-
эволюции открытых систем. Больцман был одним из немногих, кто понял
важность этого «первого шага». Это и определило его оценку теории
Дарвина как величайшего открытия XIX века.
Таким образом, уже на пороге XX столетия стало ясно, что зада-
задача развития теории неравновесных процессов в физических и биоло-
биологических системах является одной из важнейших в естествознании.
Оказалось, однако, что от понимания важности проблемы до ее даже
далеко неполного решения потребовалось почти целое столетие.
Во времена Больцмана его точку зрения разделяли не многие. Да
и сама теория Больцмана вызвала возражения у большинства ученых
того времени. Вокруг теории Больцмана бушевали страсти. Среди его
оппонентов был и величайший математик того времени Анри Пуан-
Пуанкаре. Он полностью отвергал теорию Больцмана.
Для иллюстрации приведем небольшой отрывок из книги И. При-
гожина «От существующего к возникающему»:
«Пуанкаре в одной из своих работ открыто не рекомендо-
рекомендовал изучать труды Больцмана на том основании, что посылки
в рассуждениях Больцмана противоречат его, Пуанкаре, выво-
выводам!»
А. Пуанкаре, основываясь на обратимых уравнениях меха-
механики, пришел к выводу, что теория необратимых процессов и
механика несовместимы. Основанием служило, в частности, то,
что в механике нет функции, играющей роль энтропии.
Известно и другое высказывание А. Пуанкаре, приведенное
в одной из статей И. Пригожина:
«В этой связи забавно вспомнить слова Пуанкаре о том,
что рекомендовать кому-либо прочитать работу Больцмана он
не может, так как не может рекомендовать изучение доказа-
доказательств, в которых выводы противоречат предпосылкам».
Как разительно отличается от оценки А. Пуанкаре оценка работ
Людвига Больцмана, данная представителем следующего поколения
ученых, одним из основателей квантовой механики и автором заме-
замечательной книги «Что такое жизнь?» — Эрвином Шредингером. На
с. 161 той же книги Пригожина приведено высказывание Шредингера:

§1.1. Чарльз Дарвин и Людвиг Больцман... 13
«Его (Больцмана) направление мышления можно было бы
назвать моей первой любовью. Никакие идеи не захватывали
меня столь глубоко и вряд ли смогут захватить меня в буду-
будущем».
Повторим, что уже на пороге XX столетия стало ясно, что разви-
развитие теории неравновесных процессов в физических и биологических
системах является одной из важнейших задач естествознания.
Естественно, что возникновение Физики открытых систем было
подготовлено трудами многих выдающихся исследователей. В их чис-
числе физик Людвиг Больцман, математики Анри Пуанкаре и Александр
Ляпунов и, конечно, биолог Чарльз Дарвин.
Принципиальным шагом в этом направлении была развитая Аль-
Альбертом Эйнштейном, Марианом Смолуховским и Полем Ланжевеном
теория броуновского движения — хаотического движения малых, но
все же макроскопических, частиц в жидкости. Его причиной являются
толчки со стороны молекул жидкости. Средняя энергия броуновских
частиц, в отличие от газа Больцмана, не остается неизменной. Систе-
Система броуновских частиц представляет, таким образом, пример откры-
открытой системы.
По этой причине в теории броуновского движения не удается ввес-
ввести функционал Ляпунова As, который определяется разностью энтро-
энтропии. Я-теорема Больцмана для броуновского движения не может быть
использована. Здесь на сцену выступает другой функционал Ляпуно-
Ляпунова Л.р, который определяется не разностью энтропии, а разностью
свободных энергий. Это тоже очень важная характеристика, но все
же, как мы увидим, роль функционала Ар является существенно бо-
более скромной по сравнению с «энтропийным» функционалом Ляпунова
As. Это обусловлено тем, что только энтропия обладает совокупнос-
совокупностью свойств, позволяющих использовать ее в качестве меры неопре-
неопределенности при статистическом описании.
Теория броуновского движения была развита в начале двадцато-
двадцатого столетия и сразу стала рабочим инструментом при рассмотрении
многих физических явлений. Однако лишь по прошествии более по-
полувека в статистической теории открытых систем были сделаны по-
последующие принципиальные шаги, необходимые для использования
теории броуновского движения в физике открытых систем. При этом
были введены и использованы новые идеи, новые образы и понятия.
Об этом и пойдет речь ниже. Здесь же отметим следующее.
Большую роль в теории открытых систем играют работы
A.M. Ляпунова — одного из создателей теории устойчивости дви-
движения, математика А.Н. Колмогорова, физиков Л.И. Мандельшта-
Мандельштама, А.А. Андронова, Н.С. Крылова, Л.Д. Ландау, Я.Б. Зельдовича,
Н.Н. Боголюбова, И. Пригожина, Г. Хакена и многих других. К чис-

14 Глава 1. Физика открытых систем без формул
лу основоположников теории самоорганизации в открытых системах
относится, несомненно, Владимир Иванович Вернадский — создатель
учения о ноосфере (сфере разума).
Приступим к определению основных понятий «Физики открытых
систем».
§1.2. Хаос и порядок. Эволюция.
Деградация и самоорганизация
1.2.1. Хаос и порядок. Хаос и порядок — понятия, которые
играют существенную роль в Физике открытых систем. Понятие «ха-
«хаос» играло существенную роль уже в мировоззрении философов Древ-
Древности, в частности, представителей школы Платона.
Не вдаваясь в детали, отметим лишь два сформулированных ими
положения, которые сохраняют свое значение и по сей день.
По представлениям философов Древности хаос — состояние мате-
материи, которое остается по мере устранения возможностей проявления
ее свойств.
С другой стороны, из хаоса возникает все, что составляет содержа-
содержание мироздания, т.е. из хаоса может рождаться порядок.
В физике понятия «хаос» и «хаотическое движение» являются фун-
фундаментальными, но все же недостаточно четко определенными. Дейст-
Действительно, согласно Больцману, наиболее хаотическим является дви-
движение в состоянии равновесия. Хаотическим, однако, называют и дви-
движения, далекие от равновесного. Это, например, «движения» в генера-
генераторах шума, предназначенных для подавления сигналов.
С точки зрения многих специалистов хаотическими, по сравнению
с ламинарными, являются и различного рода турбулентные движе-
движения в газах и в жидкостях. Примером служит турбулентное движение
в трубах. Оно возникает из ламинарного движения при достаточно
большом перепаде давления на концах трубы. Представление о тур-
турбулентном движении как более хаотичном, чем ламинарное, кажется,
как бы, само собой разумеющимся. Такой вывод основан, однако, на
смешении понятий сложности и хаотичности. При наблюдении тур-
турбулентного движения проявляется именно сложность движения. Во-
Вопрос же о степени хаотичности требует дополнительного анализа и
для количественных оценок необходим соответствующий критерий, о
котором речь пойдет ниже.
1.2.2. Управляющие параметры. При анализе и сравнении
сложных движений важен выбор управляющих параметров, измене-
изменение которых и определяет характер процесса. Выбор управляющих
параметров представляет зачастую особую проблему. Обычно этот
выбор делается либо на основе уже имеющихся данных о системе, ли-
либо на основе специального исследования, например бифуркационных
диаграмм.

§1.2. Хаос и порядок. Эволюция. Деградация и самоорганизация 15
Естественно, что не исключены ошибки выбора управляющих па-
параметров. Поэтому критерий относительной степени упорядоченности
должен давать возможность проверки правильности выбора. Управ-
Управляющие параметры могут быть весьма различны по своей природе.
Приведем несколько примеров.
В классических и квантовых генераторах в качестве управляюще-
управляющего параметра используется обратная связь или накачка. В мультиста-
бильных системах, например, выбор одного из стационарных состоя-
состояний может быть определен выбором начальных условий. Медленное
время также может играть роль управляющего параметра.
В гидродинамике, в зависимости от типа потока, управляющими
параметрами могут служить число Рейнольдса (при переходе от ла-
ламинарного течения к турбулентному), число Рэлея (при развитии кон-
конвективной неустойчивости), число Тейлора (при течении жидкости
между вращающимися цилиндрами).
Если имеется несколько управляющих параметров, то возможна,
в зависимости от цели, оптимизация процессов самоорганизации или,
напротив, процессов деградации.
Спектр открытых нелинейных диссипативных систем, для кото-
которых полезно знание относительной степени упорядоченности различ-
различных состояний, очень широк: от физического вакуума, которому от-
отвечает наибольшая степень хаотичности, до Вселенной; от газа бес-
бесструктурных частиц до биологических и социальных систем.
1.2.3. Физический хаос. Обозначим через а совокупность пара-
параметров, выбранных в качестве управляющих. Рассмотрим два стацио-
стационарных состояния рассматриваемой системы, которые отвечают двум
разным значениям управляющих параметров: ао, ао + Да. Предполо-
Предположим, что значению ао + Аа отвечает более упорядоченное стояние.
Менее упорядоченное состояние при ао назовем состоянием «физи-
«физического хаоса». При сравнении относительной степени упорядоченнос-
упорядоченности двух выбранных состояний состояние «физического хаоса» можно
принять за начало отсчета изменения относительной степени хаотич-
хаотичности.
Заметим следующее.
Состояние физического хаоса может существенно отличаться от
равновесного. При биологических исследованиях физический хаос от-
отвечает «норме хаотичности».
1.2.4. Деградация и самоорганизация в процессах эволю-
эволюции. Эволюция это процесс изменения, развития в природе и общест-
обществе. Такое понятие является очень общим. В физических внешне замк-
замкнутых системах эволюция во времени приводит к равновесному состо-
состоянию. Ему отвечает максимальное значение энтропии и максимальная

16 Глава 1. Физика открытых систем без формул
степень хаотичности. Это дает основание в таком случае говорить о
деградации.
В открытых системах, наряду с деградацией, происходят и процес-
процессы самоорганизации. При этом характер процесса зависит от значе-
значений внешних управляющих параметров. При наличии одного управ-
управляющего параметра для систем, в которых существует равновесное
состояние, можно приписать ему нулевое значение. Тогда увеличению
управляющего параметра будет отвечать процесс самоорганизации и,
напротив, уменьшению — процесс деградации.
Ситуация становится более интересной, когда рассматриваемая
система не может существовать в состоянии статистического равно-
равновесия. Это характерно для биологических, социальных и экономичес-
экономических систем. В этих случках равновесное состояние следует заменить
на состояние, принятое за «норму хаотичности». Ниже мы конкрети-
конкретизируем это понятие на примере медико-биологической системы.
Итак, самоорганизация не является единственным результатом
эволюции. Ни в физических, ни даже в биологических системах не за-
заложено «внутреннее стремление» к самоорганизации. Эволюция мо-
может вести и к деградации. При этом возникает один из основных во-
вопросов Физики открытых систем: Чем определяется выбор одного из
двух возможных видов процесса эволюции?
1.2.5. Два специальных вида процессов эволюции. В от-
открытых системах можно выделить два специальных вида процессов
эволюции:
1). Управляющие параметры заданы и имеет место временная эво-
эволюция к соответствующему стационарному состоянию. В частности,
при отсутствии управляющих параметров внешне замкнутая система
релаксируют к равновесному состоянию.
2). Управляющие параметры меняются настолько медленно, что
при каждом их значении успевает устанавливаться отвечающее им
стационарное состояние.
Можно сказать, что в этих случаях имеет место эволюция ста-
стационарных состояний в пространстве управляющих параметров. Та-
Такие процессы можно назвать квазистационарными. Их частным слу-
случаем являются обратимые квазистатические процессы в термодина-
термодинамике, когда эволюция происходит через последовательность равновес-
равновесных состояний.
Эволюцию по Дарвину можно отнести скорее ко второму классу,
когда происходит настолько медленное изменение внешних парамет-
параметров, что при каждом их значении успевает устанавливаться новое ста-
стационарное состояние системы.
В качестве изменений внешних параметров могут выступать му-
мутации. Они могут быть как «положительными», так и «отрицатель-

§1.3. Норма хаотичности. Самоорганизация и «самовыздоровление»... 17
ными». В первом случае новое стационарное состояние является более
упорядоченным. Последовательность таких изменений и будет состав-
составлять процесс самоорганизации. При «отрицательных мутациях» но-
новое стационарное состояние будет более хаотическим. Цепочка таких
изменений и будет представлять процесс деградации.
Здесь снова возникают вопросы.
Во-первых, по какому критерию определять изменение относитель-
относительной степени упорядоченности? Иными словами: Что является крите-
критерием самоорганизации?
Возможный критерий относительной степени упорядоченности бу-
будет рассмотрен ниже. Он назван «5-теорема». Буква S от слова
Selforganization. В связи с этим отметим, что в названии Я-теорема
Больцмана буква Н происходит от английского слова Heat — тепло.
Второй вопрос. Благодаря чему в природе устанавливается баланс
изменений, отвечающих превалированию «положительных» мутаций
над «отрицательными»? Ведь существуют же в Природе процессы
самоорганизации!
Изложенное, казалось бы, дает основание считать, что процесс са-
самоорганизации — переход от более хаотического к более упорядочен-
упорядоченному состоянию — «переход от хаоса к порядку».
Такое определение принято многими исследователями и кладется
в основу теории самоорганизации.
Оно оправдано, несомненно, для класса физических систем, когда
в качестве «начала отсчета» можно использовать равновесное состо-
состояние — наиболее хаотическое состояние. Для таких систем любое не-
неравновесное состояние более упорядочено, чем равновесное. Поэтому
по мере увеличения значений управляющего параметра степень упо-
упорядоченности, хотя, быть может, и не монотонно, возрастает. В этом
понимании определение: «самоорганизация есть переход от хаоса к по-
порядку», оправдано.
Однако, для многих систем, как физических, так, особенно биоло-
биологических, социальных и экономических, равновесные состояния не яв-
являются реальными. Для этого класса систем приведенное определение
самоорганизации не является оправданным. В этих случаях необходи-
необходимо пересмотреть определение понятия самоорганизации.
§1.3. Норма хаотичности. Самоорганизация
и «самовыздоровление». Диагностика
медико-биологических объектов по 5-теореме
Рассмотрим некоторые приложения 5-теоремы для целей медико-
биологической диагностики. Такого рода исследования начали прово-
проводиться с 1990 года в Киеве и в Москве как на основе математических

18 Глава 1. Физика открытых систем без формул
моделей, так и по экспериментальным данным. В 1994 г. в лаборато-
лабораториях нелинейной динамики Саратовского и Потсдамского университе-
университетов получены результаты диагностики по кардиограммам на основе
5-теоремы. Работы выполнялись совместно с биологами и медиками.
Анализ относительной степени упорядоченности для целей медико-
биологической диагностики проводился как для отдельных испытуе-
испытуемых, так и для отобранных групп пациентов.
В биологических исследованиях Т.Г. Анищенко было обнаружено
существенное различие в откликах на стрессы для мужских и женских
особей. Опыты проводились на крысах. Это послужило толчком для
проведения сравнительного анализа откликов на стрессы для мужчин
и женщин по критерию 5-теорема.
Для каждого испытуемого были получены две кардиограммы —
одна до стресса и вторая после стресса. В качестве последнего исполь-
использовался резкий звуковой сигнал.
Поскольку каждая пара кардиаграмм принадлежала одному испы-
испытуемому, то на основании 5-теоремы имелась возможность определе-
определения относительной степени упорядоченности состояния каждого ис-
испытуемого до и после стресса.
Проведенные эксперименты показали, что отклики на стрессы
мужчин и женщин противоположны. Для мужчин при действии стрес-
стресса степень порядка увеличивалась, а для женщин — уменьшалась. В
обоих случаях отклонение от «нормы хаотичности» представляет «бо-
«болезнь».
Возврат к норме хаотичности может происходить самопроизволь-
самопроизвольно (спонтанно). Тогда «выздоровление» (само-выздоровление) проис-
происходит без какого-либо вмешательства — время играет роль управля-
управляющего параметра.
Если состояние пациента нормализуются под действием того или
иного лечения, то эффективность лечения можно оценить на основе
того же критерия.
Естественно, что кардиологи расшифровывают кардиограммы по
своим критериям, не связанным с критерием «5-теорема». Однако,
дополнительная информация на основе относительной степени упоря-
упорядоченности различных состояний пациентов может быть, несомненно,
полезной.
Эффективность медицинской диагностики может быть повышена,
если наряду с информацией о состояниях одного пациента использо-
использовать статистические данные, полученные при исследовании групп па-
пациентов.
1.3.1. Первые выводы. Из изложенного следует, что не всегда
уменьшение степени хаотичности означает наличие процесса само-
самоорганизации и наоборот — увеличения степени хаотичности означает

§1.4. Что же такое самоорганизация? 19
наличие деградации. Такие выводы правомерны только в тех физи-
физических системах, когда за начало отсчета степени хаотичности мож-
можно принять состояние теплового равновесия.
В тех случаях, когда равновесное состояние не может служить
«точкой отсчета» степени хаотичности, результаты такого сравни-
сравнительного анализа дают дополнительную информацию. Она состоит в
установлении некоторой «нормы хаотичности», а также в установле-
установлении отклонений от нормы (в ту или иную сторону) под влиянием тех
или иных воздействий. В биологии это могут быть различные стрес-
стрессы, которые и вызывают отклонения степени хаотичности от нормы.
Отклонение от нормы хаотичности означает «болезнь» и, следова-
следовательно, представляет собой процесс деградации. При этом «самовы-
«самовыздоровление» — самоорганизация, может идти двумя путями: как со
стороны большей (по отношению к норме), так и со стороны меньшей
(по отношению к норме) хаотичности.
Таким образом, далеко не всегда констатация (по выбранному кри-
критерию) уменьшения степени хаотичности («от хаоса к порядку» или
«порядок из хаоса»), означает наличие самоорганизации и наоборот —
увеличения степени хаотичности означает наличие деградации. Такие
выводы правомерны только в тех физических системах, в которых за
начало отсчета степени хаотичности можно принять состояние теп-
теплового равновесия.
Нормальное функционирование организма, а также социальных и
экономических систем, возможно лишь при некоторой норме хаотич-
хаотичности. Она, в общем случае отвечает существенно неравновесному
состоянию. Отсчет от равновесного состояния здесь не существует.
По этой причине в биологии, а также, конечно, в экономике и социо-
социологии, информация об изменении степени хаотичности еще недоста-
недостаточна, чтобы делать вывод о наличии процесса самоорганизации или
деградации.
Более естественной является классификация, при которой самоор-
самоорганизация соответствует самовыздоровлению. При этом можно конт-
контролировать выбор методики «лечения». Здесь снова вступает в игру
критерий относительной степени упорядоченности. По нему можно
судить об эффективности «лечения» — отвечает ли оно самооргани-
самоорганизации или ведет к дальнейшей деградации.
§1.4. Что лее такое самоорганизация?
Естественно полагать, что самовыздоровление представляет собой
(при отсутствии лечебных воздействий) процесс самоорганизации. Но
тогда имеются два вида процессов самоорганизации. Для женщин он
отвечает «переходу от хаоса к порядку». Напротив, для мужчин са-
самоорганизация — «переход от порядка к хаосу».

20 Глава 1. Физика открытых систем без формул
Наличие двух противоположных процессов самоорганизации ука-
указывает на то, что должна быть какая-то общая причина для этих двух
противоположных процессов. Ее теперь легко усмотреть. Общим для
двух разных процессов самоорганизации является то, что в обоих слу-
случаях для каждого испытуемого как женщины, так и мужчины проис-
происходит переход от неустойчивых «болезненных» состояний к устойчи-
устойчивому состоянию — к норме хаотичности.
Описанное существенно меняет наше определение процесса само-
самоорганизации. Его первопричина — неизбежный переход от возбужден-
возбужденного «болезненного» неустойчивого состояния к устойчивому, отвеча-
отвечающему норме хаотичности.
Таким образом на вопрос: Что такое самоорганизация? можно дать
иной, чем обычно, ответ.
Выше было отмечено, что лишь в некоторых случаях наличие са-
морганизации представляется очевидным. Одним из примеров может
служить развитие генерации в генераторе Ван дер Поля по мере уве-
увеличения обратной связи.
Другим очень популярным примером служит появление структу-
структуры — ячеек Бенара на поверхности слоя жидкости при подогреве сни-
снизу, а также вихрей Тейлора между вращающимися коаксиальными ци-
цилиндрами. Используя замечательный термин «диссипативные струк-
структуры», введенный И. Пригожиным, можно сказать, что процесс са-
самоорганизации представляет самопроизвольное (спонтанное) возник-
возникновение устойчивых структур в нелинейных диссипативных откры-
открытых системах. В генераторе Ван дер Поля это временные диссипатив-
диссипативные структуры. Ячейки Бенара и вихри Тейлора представляют со-
собой примеры пространственных диссипативных структур. Примером
пространственно-временной структуры может служить знаменитая
химическая реакция Белоусова-Жаботинского. Во всех этих случаях
при выключении управляющих параметров (обратной связи, гради-
градиента температуры, ...) система находится в состоянии покоя — в со-
состоянии термодинамического равновесия.
Такое понимание термина «самоорганизацация» является основой
теории образования диссипативных структур. Первое систематичес-
систематическое изложение этого круга вопросов дано в известных работах И. При-
гожина и Г. Николиса. Отправным пунктом здесь служат идеи и ре-
результаты И. Пригожина по термодинамике необратимых неравновес-
неравновесных процессов.
В работах Г. Хакена в основу теории самоорганизации положе-
положены идеи возникновения структур при коллективных взаимодействи-
взаимодействиях. Таким образом на первый план выдвигается роль кооперативных
процессов. По этой причине Г. Хакен предложил для этого нового
междисциплинарного научного направления название «Синергетика».

§1.5. Диссипативные структуры. Синергетика 21
Базовыми уравнениями синергетики также являются нелинейные дис-
диссипативные уравнения, например, реакционно-диффузионные уравне-
уравнения или временные уравнения Гинзбурга-Ландау.
В более сложных ситуациях, например, при переходе от одного
турбулентного движения к другому, в биологических системах, раз-
различить процессы деградации и самоорганизации можно лишь на ос-
основе критерия относительной степени упорядоченности состояний от-
открытых систем. При этом представление о самоорганизации, как об
образовании структур, или как о процессе от менее упорядоченного к
более упорядоченному состоянию становится недостаточным.
Такой вывод относится ко всем системам, для которых равновесное
состояние не может служить «точкой отсчета» относительной степе-
степени хаотичности. Здесь на первый план выходит понятие «нормы хао-
хаотичности», которое, разумеется относится, в общем случае, к нерав-
неравновесному состоянию. При этом процессу саморганизации отвечает
переход от «болезни» к «нормальному состоянию». Поскольку откло-
отклонение от нормы имеет два направления — в сторону большей и мень-
меньшей степени хаотичности, то два направления имеет, в общем случае,
и процессы самоорганизации.
Таким образом, традиционное определение процесса самоорганиза-
самоорганизации, как самопроизвольного (спонтанного) образования структур в
динамических нелинейных диссипативных открытых системах ста-
становится слишком «узким». Для более полного описания процессов са-
самоорганизации, и даже только для их выявления, нужно обратиться
к методам Статистической теории открытых систем (Климонтович,
1995, 1999, 2001).
Ее базовыми уравнениями являются кинетические уравнения для
функций распределения значений наиболее важных для рассмат-
риваемй проблемы внутренних параметров в пространстве и во вре-
времени. На их основе может быть получен широкий класс динами-
ческик нелинейных диссипативных уравнений для моментов функ-
функции распределения. Их примером служат, в частности, реакционно-
диффузионные уравнения для первых моментов — базовые уравнения
современной теории самоорганизации — синергетики.
В следующих разделах мы обнаружим аналогию изложенному в
теории равновесных и неравновесных фазовых переходов.
§1.5. Диссипативные структуры. Синергетика
1.5.1. Диссипативные структуры. Рассматриваемые макро-
макроскопические открытые системы состоят из многих объектов, принима-
принимаемых за элементы структуры. Эти элементы могут быть микроскопи-
микроскопическими, например, атомы или молекулы в физических и химических
системах. Они, однако, могут быть малыми, но все же макроскопичес-

22 Глава 1. Физика открытых систем без формул
кими. Это, например, макромолекулы в полимерах. Они могут быть и
не малыми телами, например, «элементарные» объекты в социологии.
Именно благодаря сложности открытых систем в них возможно
образование различного рода структур, возможны процессы самоор-
самоорганизации. При этом диссипация играет при образовании структур
конструктивную роль.
Это кажется, на первый взгляд, удивительным, так как понятие
диссипации ассоциируется с затуханием различного рода движений, с
рассеянием энергии, с потерей информации. Однако, и это чрезвычай-
чрезвычайно существенно, диссипация необходима для образования структур в
открытых системах.
Чтобы подчеркнуть это обстоятельство Илья Пригожий — один
из создателей теории самоорганизации, ввел термин «диссипативные
структуры». Это чрезвычайно емкое и точное название объединяет
все виды структур: временные, например автоколебания в генераторе,
пространственные, например ячейки Бенара на поверхности жидкос-
жидкости, и, наконец, наиболее общие пространственно-временные структу-
структуры. Примером последних могут служить автоволны на поверхности
жидкости.
Отметим общие условия, небходимые для возникновения неравно-
неравновесных фазовых переходов, которые приводят к образованию новых
диссипативных структур.
1. Диссипативные структуры могут образовываться только в от-
открытых системах. Только в них возможен приток энергии, компенси-
компенсирующий потери за счет диссипации и обеспечивающий существование
более упорядоченных состояний.
2. Диссипативные структуры возникают в макроскопических сис-
системах, т.е. в системах, состоящих из большого числа элементов (ато-
(атомов, молекул, макромолекул, клеток и т.д.). Благодаря этому возмож-
возможны коллективные — синергетические взаимодействия, необходимые
для перестройки системы.
3. Диссипативные структуры возникают лишь в системах, опи-
описываемых нелинейными уравнениями для макроскопических функ-
функций. Примерами могут служить кинетические уравнения: уравнение
Больцмана, уравнения газовой динамики и гидродинамики, уравнения
Максвелла в электродинамике для напряженностей электромагнитно-
электромагнитного поля и т.д.
4. Для возникновения диссипативных структур нелинейные урав-
уравнения должны при определенных значениях управляющих параметров
допускать изменение симметрии решения. Такое изменение выража-
выражается, например, в переходе от молекулярного теплопереноса к конвек-
конвективному теплопереносу по ячейкам Бенара.

§1.5. Диссипативные структуры. Синергетика 23
1.5.2. Синергетика. Сложность открытых систем представля-
представляет широкие возможности для существования в них коллективных яв-
явлений. С целью подчеркнуть роль коллектива, роль кооперации при
образовании диссипативных структур Герман Хакен ввел термин Си-
Синергетика. Это название происходит от греческого слова, означающе-
означающего совместное или кооперативное действие.
По-видимому, этот термин был впервые введен, и именно в этом
смысле, английским физиологом Шеррингтоном более ста лет тому
назад в ходе исследований мышечных систем и управления ими со
стороны спинного мозга.
Теперь синергетика — новое междисциплинарное научное направ-
направление. Цель синергетики — выявление общих идей, общих методов и
общих закономерностей в самых разных областях естествознания, а
также социологии. Более того в рамках синергетики происходит ко-
кооперирование различных специальных дисциплин.
Из изложенного может сложиться впечатление, что столь важ-
важное для многочисленных приложений междисциплинарное научное на-
направление синергетика очень молодо. В большой мере это действи-
действительно так. Однако корни происхождения термина «самоорганизация»
уходят в глубь веков. Это очень интересный вопрос. Отметим лишь
следующее.
В 1966 на русском языке были издана книга «Принципы самоорга-
самоорганизации». Это сборник докладов на Симпозиуме в университете Ил-
Иллинойса (США) в 1961 году. Приведем выдержку из Предисловия ре-
редактора русского издания А.Е. Лернера:
«Несмотря на огромную распространенность самоорганизу-
самоорганизующихся систем и настойчивые попытки ученых понять явления,
происходящие в таких системах, самоорганизация остается на
протяжении многих веков, пожалуй самым загадочным явлени-
явлением, самой сокровенной тайной природы.»
Далее читаем:
«...читатель не найдет в нем (в сборнике — Ю.К.) ни одной
работы, которая претендовала бы на раскрытие тайн самоорга-
самоорганизации».
Редактор американского издания Heinz von Foerster во Введении к
книге, ссылаясь на рассказ знаменитого греческого философа Платона,
пишет:
«В доме Агафона было положено начало бессмертному пер-
первому симпозиуму по проблемам, стоящим на стыке нескольких
наук, в котором приняли участие философы, государственные
деятели, драматурги, поэты, социологи, лингвисты, врачи и
студенты различных специальностей.»

24 Глава 1. Физика открытых систем без формул
В докладе известного специалиста У.Р. Эшби имеется высказыва-
высказывание, что слово «самоорганизация» может также означать «переход от
плохой организации к хорошей». Здесь, однако, не указывается как от-
отличить «плохую» организацию от «хорошей». Так при анализе состо-
состояния по кардиограммам «переходу от плохого к хорошему» соответ-
соответствует умение различать состояния «больного» и «здорового» орга-
организма. Такое различие может быть выявлено, в частности, на основе
рассмотренного ниже критерия относительной степени хаотичности
состояний открытых систем.
В последние годы теория самоорганизации и синергетика испы-
испытали как бы новое рождение, но теперь уже на базе термодинамики
и статистической физики. Выше было показано, что сложившееся в
последнее время понимание термина «самоорганизация» как процес-
процесса перехода от более хаотического состояния к более упорядоченному
оправдано лишь, если возможен отсчет степени хаотичности от рав-
равновесного состояния. В противном случае, например, в биологических
системах, отсчет производится от состояния, отвечающего норме ха-
хаотичности. При этом, как мы видели, понятие процесса самооргани-
самоорганизации существенно меняется.
§1.6. Динамический хаос. Позитивная
(конструктивная) роль динамической
неустойчивости
1.6.1. Динамический хаос. В последние годы стало широко
использоваться понятие «динамический хаос» для характеристики
сложных движений в сравнительно простых динамических системах.
Слово «динамический» означает, что отсутствуют источники флук-
флуктуации — источники беспорядка.
По этой причине понятие «динамическая система» отвечает опре-
определенной идеализации. Более реальное хаотическое движение с уче-
учетом и случайных источников можно назвать «физический хаос». Его
примером и является, в частности, хаотическое движение атомов и
молекул в состоянии равновесия.
В формировании понятия «динамический хаос» основополагаю-
основополагающую роль сыграли работы А. Пуанкаре, Н.С. Крылова, А.Н. Колмо-
Колмогорова, Д.В. Аносова, Я.Г. Синая, Д. Рюэля, Д. Такенса и ряда других
математиков и физиков.
Особо следует отметить роль Н.С. Крылова A950). Именно он свя-
связал неизбежность перехода от обратимых движений частиц — уравне-
уравнений Гамильтона, к необратимым уравнениям статистической теории.
Необходимость такого перехода обусловлена динамической неустойчи-
неустойчивостью движения частиц системы — экспоненциальным расхождени-

§1.6. Динамический хаос... 25
ем траекторий при малых изменениях начальных условий. Развитие
этой неустойчивости и ведет к «динамическому хаосу».
Из-за наличия динамической неустойчивости движения потенци-
потенциальные возможности обратимых уравнений механики Гамильтона не
могут быть использованы в полной мере. Ненеизбежным становится
переход к хотя и приближенным, но обозримым необратимым уравне-
уравнениям кинетической теории.
Исторически первый пример явного проявления динамической не-
неустойчивости движения атомов — возникновение состояния динами-
динамического хаоса был установлен при численных расчетах в работе Эд-
Эдварда Лоренца в 1963 году. Лоренц исследовал решение уравнений,
которые служат математической моделью конвективного движения в
газах и жидкостях.
Исследование соответствующей математической модели конвек-
конвективного движения проводилось численными методами. Какова же эта
модель?
Конвективное движение в атмосфере описывается весьма сложны-
сложными уравнениями газовой динамики. Для математического моделирова-
моделирования этого движения Лоренц использовал весьма упрощенную модель
— систему трех обыкновенных, но нелинейных уравнений. Такого ро-
рода уравнения не имеют аналитических решений. Характер их реше-
решения может быть проведен лишь с помощью компьютеров.
Проведенный анализ показал, что при достаточно больших значе-
значениях градиента температуры поведение решения является настолько
сложным, что соответствующие движения воспринимаются как хао-
хаотические. Это и дало основание ввести новое понятие «динамический
хаос». Первое слово в названии подчеркивает, что речь идет о реше-
решении динамических уравнений при отсутствии случайных источников,
которые могли бы вызывать хаотическое движение.
Было также установлено, что малейшие изменения начальных
условий радикально меняют характер движения. Тем самым движе-
движение оказывается динамически неустойчивым. Поскольку начальные
условия могут быть заданы лишь с конечной точностью, предсказание
вида движения по заданным начальным условиям становится практи-
практически невозможным.
Уравнения Лоренца представляют простейшую модель уравнений
газовой динамики. Последние являются основой для описания поведе-
поведения атмосферы с целью, например, предсказания погоды. При нали-
наличии же динамической неустойчивости движения в атмосфере задача
долгосрочного прогноза погоды становится чрезвычайно трудной. Это
является одной из основных причин частых ошибок в предсказаниях
метеорологов.

26 Глава 1. Физика открытых систем без формул
При конвективном движении, происходящем при подогреве снизу,
по мере увеличения градиента температуры происходит неравновес-
неравновесный фазовый переход. В результате сначала возникает пространст-
пространственная диссипативная структура в виде ячеек Бенара. При дальней-
дальнейшем увеличении градиента температуры возникают более сложные
пространственно-временные структуры.
1.6.2. Различие динамического и статистического хаоса.
Выделим два класса систем: динамические и стохастические (или ста-
статистические) . Такое разделение является условным, так как во многих
случаях трудно провести различие между динамическим и статисти-
статистическим хаосом. Его, однако, можно провести на основе численного экс-
эксперимента. Это оправдано, поскольку практически все представляю-
представляющие интерес математические модели не имеют аналитических реше-
решений.
В основу классификации положим свойство воспроизводимости
движения по заданным начальным условиям. Тогда по определению к
динамическим относятся воспроизводимые, а к стохастическим — не-
невоспроизводимые по начальным данным движения в нелинейных дис-
сипативных системах.
Естественно, что в реальном эксперименте, когда наличие шума
неизбежно, все процессы в той или иной мере являются стохастически-
стохастическими. При численном же эксперименте возможно точное (при заданной
разрядности компьютера) повторение начальных условий. Воспроиз-
Воспроизводимость решения зависит лишь от структуры математической мо-
модели.
Если уравнения не содержат случайных источников, то процесс
воспроизводим и, следовательно, движение является динамическим,
хотя оно и может быть при этом очень сложным и, практически, не-
непредсказуемым. В противном случае (при наличии тех или иных ис-
источников), когда движение невоспроизводимо по начальным данным,
мы имеем дело, следовательно, со статистическим движением.
При исследовании стохастических процессов путем численного экс-
эксперимента существенно, что источники случайных чисел в компьюте-
компьютерах построены по определенному алгоритму и являются поэтому фак-
фактически детерминированными. Они могут рассматриваться как слу-
случайные, если характерные времена повторения для них значительно
больше характерных времен релаксации рассматриваемой системы.
1.6.3. Динамическая неустойчивость движения. Итак, ос-
основной особенностью динамического хаоса служит динамическая не-
неустойчивость движения. Она выражается в сильной (экспоненциаль-
(экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий. Следст-
Следствием ее является перемешивание траекторий, наличие которого и поз-
позволяет перейти от полного описания на основе уравнений движения

§1.6. Динамический хаос... 27
всех частиц к более простым уравнениям для функций, сглаженных
по объему перемешивания. Тем самым радикально меняется способ
описания. Система частиц заменяется сплошной средой.
В результате такого радикального изменения меняется и времен-
временная симметрия уравнений. Именно, система обратимых уравнений ме-
механики для системы частиц заменяется необратимым уравнением для
макроскопической плотности сплошной среды — кинетическим урав-
уравнением Больцмана, например. Как следствие этого возникают новые
характеристики, которых нет в механике частиц. Важнейшей из них
является энтропия.
После классических работ А. Пуанкаре можно выделить два этапа
развития динамической теории в диссипативных системах. Первый
связан с возникновением радиотехники, с необходимостью развития
для этих целей теории автоколебаний. Замечательные физические и
математические результаты в этой области принадлежат Ван дер По-
Полю, Л.И. Мандельштаму, А.А. Андронову, А. Витту, Л.С. Понтряги-
ну, Н.М. Крылову, Н.Н. Боголюбову и многим другим. Особое место в
установлении связи динамического и статистического описания слож-
сложных движений принадлежит очень рано ушедшему из жизни Николаю
Сергеевичу Крылову.
Второй этап развития динамической теории стимулировался проб-
проблемами теории турбулентности и трудностями решения задачи о дол-
долгосрочном прогнозе погоды. Фактическим его началом явилась работа
Эдварда Лоренца. Значение этой работы было понято, однако, значи-
значительно позже после появления статьи математиков Д. Рюэля и Ф. Та-
кенса, опубликованной в 1971 году. В ней был введен новый матема-
математический образ сложного движения в нелинейных диссипативных ди-
динамических системах — странный аттрактор.
Слово «странный» подчеркивает два свойства аттрактора.
Во-первых, необычность его геометрической структуры. Она не
может быть представлена в виде кривых или плоскостей, т.е. геомет-
геометрических элементов целой размерности. Размерность странного ат-
аттрактора является дробной или, как принято говорить, фрактальной.
Во-вторых, странный аттрактор это притягивающая область для
траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри
странного аттрактора динамически неустойчивы.
Странный аттрактор существует только в нелинейных диссипа-
диссипативных системах с числом переменных больше двух. Так уравне-
уравнения Лоренца представляют систему трех нелинейных диссипативных
уравнений. Странный аттрактор для уравнений Лоренца называется
гиперболическим.
Напомним, что автоколебания, в генераторе Ван дер Поля описыва-
описываются системой двух уравнений. В этом случае имеются лишь простые

28 Глава 1. Физика открытых систем без формул
аттракторы — состояние покоя (точка) и предельный цикл (замкну-
(замкнутая кривая). Для возможности существования странного аттрактора
необходимо усложнение генератора Ван дер Поля. Оно может быть
осуществлено различными способами.
Один из них принадлежит B.C. Анищенко и В.В. Астахову. Они
предложили так называемый генератор с инерционной нелинейнос-
нелинейностью. Такой генератор описывается системой трех дифференциальных
уравнений, которые содержат два управляющих параметра: параметр
обратной связи и характерный временной параметр, определяющий
степень запаздывания.
Результаты физического и численного экспериментов показали
следующее. При фиксированном времени запаздывания по мере уве-
увеличения параметра обратной связи в генераторе возникает последо-
последовательность бифуркаций удвоения периода колебаний — бифуркаций
Фейгенбаума. Так происходит до некоторого критического значения
параметра обратной связи. При значениях больше критического воз-
возникает странный аттрактор со сложным чередованием областей дина-
динамического хаоса и порядка. При этом в широкой области значений па-
параметров наблюдалась достаточная близость результатов физическо-
физического и численного анализа. Это соответствие нарушается, однако, вбли-
вблизи критических точек — точек бифуркации, где математическая мо-
модель генератора оказывается недостаточной.
1.6.4. Конструктивная (позитивная) роль динамической
неустойчивости. Подведем некоторые итоги. Мы видели, что в
сравнительно простых динамических системах существуют чрезвы-
чрезвычайно сложные движения, которые воспринимаются как хаотические.
Это и дало основание для введения новых понятий: странный аттрак-
аттрактор и динамический (или детерминированный) хаос.
Слово «хаос» является, как правило, негативным как в физике и
биологии, так, например, и в экономике. Это понятие, однако, как уже
отмечалось выше, очень многогранно. Так жизнь невозможна как при
полном хаосе, так и при полном порядке. Для нормального организма
нужна некоторая норма степени хаотичности.
Покажем, что динамическая неустойчивость может играть в фи-
физике открытых систем и конструктивную роль.
Начнем с иллюстративного примера из социологии.
Представим себе, что происходит лекция по курсу «Физика от-
открытых систем» для слушателей, которые съехались из различных
областей России. Предположим, что лекция подошла к концу, исчер-
исчерпаны все вопросы. Примем это состояние слушателей за начальное.
Рассмотрим два возможных варианта их дальнейшего движения.
1. Слушатели после окончания лекции перемещаются вместе, не
удаляясь друг от друга на значительные расстояния.

§1.6. Динамический хаос... 29
2. Слушатели разъезжаются по местам работы и жительства —
«разбегаются экспоненциально». Иными словами движение слушате-
слушателей становится «динамически неустойчивым». Какой из этих двух ва-
вариантов движения в большей мере способствует использованию полу-
полученных во время лекции знаний? Первый вариант полезен, в опреде-
определенной мере, так как позволяет продолжить обсуждение затронутых
в лекции вопросов. Несомненно, вместе с тем, что лишь второй ва-
вариант движения, когда «экспоненциальное расхождение траекторий»,
т.е. «динамическая неустойчивость» траекторий слушателей, позво-
позволяет широко распространить полученные на лекциях знания и, тем
самым, способствует научному прогрессу.
Этот пример демонстрирует, что динамическая неустойчивость
движения может и не вести к «хаосу», а играть позитивную и кон-
конструктивную роль.
Вернемся после этого иллюстративного примера к физической сис-
системе.
Рассмотрим разреженный газ. Это означает, что объем атома или
молекулы газа гораздо меньше среднего объема, который приходится
на одну частицу. Представим атомы в виде абсолютно упругих шари-
шариков. Такая модель во многих случаях оказывается вполне оправдан-
оправданной.
С точки зрения механики для описания эволюции газа надо ис-
использовать систему уравнений для всех его атомов. Такая задача не-
непосильна даже для самых мощных компьютеров. В чем же выход?
Как же найти способ описания неравновесных процессов в газе — в
системе, состоящей из огромного числа частиц? Приближенное реше-
решение такой задачи возможно именно благодаря конструктивной роли
динамической неустойчивости движения атомов газа.
Действительно, благодаря динамической неустойчивости движе-
движения — экспоненциальному разбеганию траекторий, происходит пере-
перемешивание траекторий в фазовом пространстве. Это открывает воз-
возможность ввести понятие «сплошная среда» и использовать вмес-
вместо микроскопических уравнений движения частиц газа приближен-
приближенные уравнения для макроскопических функций. Атомарная структу-
структура системы принимается во внимание при определении понятия «точ-
«точка сплошной среды». Для этого необходимо конкретное определение
физически бесконечно малых масштабов времени и длины и соответ-
соответствующего физически бесконечно малого объема, который и играет
роль объема «точки» сплошной среды. Естественно, что такое опре-
определение должно быть согласовано с определением минимальной облас-
области перемешивания и минимального времени развития динамической
неустойчивости.

30 Глава 1. Физика открытых систем без формул
§1.7. Неравновесные фазовые переходы
1.7.1. Управляющие параметры. Итак, термином «хаос» ха-
характеризуют самые различные виды сложных движений. Во многих
случаях, как мы видели, хаотическое движение очень трудно отли-
отличить от упорядоченного, но очень сложного движения. По этой при-
причине возникает необходимость в критериях относительной степени
упорядоченности или хаотичности различных движений в открытых
системах. При этом оказывается очень важным выбор управляющих
параметров.
Выше уже было отмечено, что выбор управляющих параметров
представляет во многих случаях самостоятельную задачу. При этом
возможны, естественно, ошибки. В связи с этим критерии степени упо-
упорядоченности должны содержать и возможность контроля правиль-
правильности сделанного выбора управляющих параметров.
Приведем примеры. В лазерах управление может осуществляться
путем изменения уровня накачки, т.е. вклада энергии, за счет кото-
которой создается инверсная заселенность. В классических генераторах
накачке соответствует так называемый параметр обратной связи.
При конвективном движении управляющим параметром служит
градиент температуры. При переходе от ламинарного течения к тур-
турбулентному управление может осуществляться путем изменения раз-
разности давления на концах трубы,
В медицине роль управляющих параметров могут выполнять ле-
лекарства. Наблюдение за состоянием больного позволяет контролиро-
контролировать правильность выбора лекарства. Роль управляющего параметра
играет и скальпель хирурга. Управляющим параметром может слу-
служить и время выздоровления — время, в течение которого организм
без внешнего вмешательства возвращается к норме.
1.7.2. Примеры неравновесных фазовых переходов. Пред-
Представим себе снова слой жидкости, который подогревается снизу. Кон-
Конвективное движение выражается в том, что более нагретые элементы
жидкости перемещаются вверх, а более холодные — вниз. Происхо-
Происходит, тем самым, передача тепла снизу вверх. При достаточно малых
градиентах температуры перенос тепла определяется за счет тепло-
теплопроводности. Это молекулярный —неорганизованный процесс переда-
передачи тепла. Он не сопровождается упорядоченным гидродинамическим
движением, которое могло бы, подобно регулировке уличного движе-
движения, управлять переносом тепла.
Ситуация существенно меняется, когда градиент температуры
превышает некоторое критическое значение. Изменение проявляется в
том, что в жидкости возникает упорядоченное макроскопическое дви-
движение. Оно и называется конвективным. В результате происходит са-
саморегулировка теплового потока — по одним каналам (по осевым об-

§1.8. Критерий относительной степени упорядоченности... 31
ластям ячеек Бенара) более нагретые элементы перемещаются вверх,
а по другим (по краям ячеек) более холодные элементы перемещают-
перемещаются вниз. Таким образом, распределение встречных тепловых потоков
становится упорядоченным.
Эта ситуация напоминает регулировку встречных потоков при
уличном движении. Есть, однако, и существенная разница. Действи-
Действительно, регулировка уличного движения регламентируется правила-
правилами уличного движения. При конвективном же движении имеет мес-
место процесс самоорганизации. Задается лишь градиент температуры.
Перестройка же движения происходит благодаря внутренним свойст-
свойствам самой системы. Внешне результат этой перестройки проявляется
в том,что на поверхности жидкости появляется диссипативная прос-
пространственная структура — ячейки Бенара.
Внутри ячеек жидкость поднимается вверх, а по краям опускается
вниз. Благодаря такой перестройке обеспечивается большая пропуск-
пропускная способность, чем при молекулярном — неупорядоченном теплопе-
реносе. Появление новой структуры можно рассматривать как нерав-
неравновесный фазовый переход.
Другим примером неравновесного фазового перехода может слу-
служить возникновение когерентного электромагнитного излучения в
квантовых оптических генераторах — лазерах.
Наконец, еще один пример неравновесного фазового перехода — пе-
переход от стационарного ламинарного течения к стационарному турбу-
турбулентному течению. Об этом уже кратко упоминалось выше. Для полу-
получения более обоснованных ответов и нужны, как уже говорилось, ко-
количественные критерии относительной степени упорядоченности (или
хаотичности) различных состояний открытых систем.
Неравновесные фазовые переходы гораздо разнообразней, чем рав-
равновесные. Они играют огромную роль не только в физических, но и в
химических и биологических процессах. Все больше осознается роль
неравновесных фазовых переходов и в социальных системах и в эко-
экономике.
§1.8. Критерий относительной степени
упорядоченности открытых систем. 5-теорема
Среди различных макроскопических функций только энтропия
S обладает совокупностью свойств, позволяющих использовать ее
в качестве меры неопределенности (хаотичности) при статистичес-
статистическом описании процессов в макроскопических системах. Энтропия пер-
первоначально была введена в термодинамике, как функция состояния,
изменение которой определяет количество переданного системе тепла
dQ = TdS. Это равенство выражает второй закон термодинамики для
квазистатических, т.е. обратимых процессов. При обратимом адиаба-
адиабатическом процесс энтропия неизменна.

32 Глава 1. Физика открытых систем без формул
Больцман дал статистическое определение энтропии как для рав-
равновесных, так и неравновесных (необратимых) процессов и доказал
Н- теорему.
Она гласит: При временной эволюции к равновесному состоянию
энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неиз-
неизменной при достижении равновесного состояния. Поскольку энтро-
энтропия является мерой неопределенности (хаотичности), то по теореме
Больцмана при временной эволюции к равновесному состоянию сте-
степень хаотичности монотонно возрастает и имеет максимальное зна-
значение в состоянии равновесия.
В процессе эволюции к равновесному состоянию во внешне замкну-
замкнутой системе по уравнению Больцмана средняя энергия < Е > остает-
остается неизменной. Сохранение средней энергии в процессе эволюции не
является, однако, общим свойством всех кинетических уравнений.
Так для броуновского движения она меняется в процессе эволюции
к равновесному состоянию. По этой причине //"-теорема Больцмана
неприменима непосредственно для этого случая. Роль энтропии при
броуновском движении играет функция, которая является аналогом
термодинамической свободной энергии при неравновесных процессах.
Однако свободная энергия не обладает набором свойств, позволяющих
ей служить мерой неопределенности состояния системы. Таким набо-
набором свойств обладает только энтропия.
Естественно, что критерий относительной степени упорядоченнос-
упорядоченности должен быть общим. Нет оснований ограничиться лишь классом
систем, для которых в процессе эволюции средняя энергия сохраняет-
сохраняется. Как же решить эту проблему?
Поскольку энтропия — единственная функция, обладающая свой-
свойствами меры хаотичности, остается лишь одна возможность. На-
Надо провести переопределение энтропии так, чтобы средняя энергия
оставалась в процессе эволюции неизменной.
Сформулируем критерий относительной степени хаотичности на
примере эволюции стационарных состояний открытой системы при
медленном изменении значений управляющих параметров. Впервые
этот критерий был сформулирован на конкретных примерах (Кли-
монтович, 1983, 1984) и получил название «5-теорема». Позже была
дана общая формулировка этого критерия для сравнения относитель-
относительной степени упорядоченности непосредственно по экспериментальным
данным.
Формулировка и физическое содержание критерия «5-теорема» бу-
будет дано в следующей главе. Здесь же лишь еще раз отметим, что
этот критерий может быть использован как на основе уравнений рас-
рассматриваемой модели, так и непосредственно по экспериментальным
данным. Его эффективность была, в частности, продемонстрирована

§1.9. Является ли турбулентное движение более хаотическим... 33
на примере исследования изменения кардиограмм при стрессовом воз-
воздействии.
§1.9. Является ли турбулентное движение более
хаотическим, чем ламинарное?
Понятие «турбулентное движение» было введено в науку более ста
лет назад. Однако, до недавнего времени не было убедительного от-
ответа на вопрос: какое из двух движений ламинарное или турбулент-
турбулентное является более хаотическим? Подавляющему числу исследовате-
исследователей представляется почти очевидным ответ: ламинарное движение яв-
является более упорядоченным. При этом, однако, происходит смешение
понятий «сложность» и «упорядоченность».
Большая сложность турбулентного течения видна, как говорят, и
невооруженным глазом. Однако, для определения относительной сте-
степени упорядоченности необходимо использование критерия относи-
относительной степени упорядоченности. Расчет на основе S-теоремы поз-
позволил конкретизировать общие результаты на случай перехода от ла-
ламинарного течения в трубе к стационарному турбулентному течению.
При этом за состояние физического хаоса по предположению при-
принимаем ламинарное течение. Это будет оправдано ниже. Роль эффек-
эффективной функции Гамильтона играет средняя кинетическая энергия
при ламинарном течении. Для выполнения равенства этой энергии
при ламинарном и турбулентном течениях ламинарный поток надо
«подогреть».
При этом разность температур определяется суммой квадратов
диагональных элементов тензора напряжений Рейнольдса. Поскольку,
напряжения Рейнольдса характеризуют коллективные степени свобо-
свободы, возможна следующая трактовка последнего равенства. Оно пока-
показывает, что часть теплового (хаотического) движения ламинарного
течения при переходе к турбулентному движению заменяется коллек-
коллективными степенями свободы. Это и оправдывает выбор напряжений
Рейнольдса в качестве параметра порядка при турбулентном течении.
Все сказанное оправдывает выбор ламинарного потока в качестве
состояния физического хаоса.
Таким образом, по мере развития турбулентности доля хаотичес-
хаотического движения уменьшается, а доля более упорядоченного — растет.
Это, как мы увидим, и отражается в уменьшении энтропии.
Таким образом, энтропия турбулентного течения меньше, чем ла-
ламинарного. Это и означает, что турбулентное течение более упорядо-
ченно. Роль управляющего параметра играет здесь разность давлений
на концах трубы. Она связана с числом Рейнольдса.
При нулевом значении разности давлений жидкость находится
в состоянии теплового равновесия, когда степень хаотичности мак-

34 Глава 1. Физика открытых систем без формул
симальна. Это еще один важный пример физической системы, когда
за точку отсчета степени хаотичности можно принять равновесное со-
состояние. Другим примером служит генератор Ван дер Поля.
Все состояния при отличной от нуля разности давления более
упорядочены. Это и дает основание, в соответствии с изложенным,
считать процесс перехода от ламинарного состояния к турбулентно-
турбулентному примером процесса самоорганизации. Это, однако, не означает, что
степень упорядоченности по мере увеличения числа Рейнольдса рас-
растет монотонно.
Заметим, что большая организованность турбулентного течения
по сравнению с ламинарным проявляется также в следующем.
При ламинарном течении перенос импульса в потоке от слоя к слою
осуществляется молекулярным механизмом — независимыми измене-
изменениями импульса отдельных частиц газа.
В противоположность этому, при турбулентном течении передача
импульса от слоя к слою является процессом коллективным. Это мож-
можно выразить словами: индивидуальное, неорганизованное движение
при ламинарном течении сменяется при переходе к турбулентному те-
течению коллективным и, следовательно, более высокоорганизованным
сопротивлением.
Это выражается в том, что коэффициент турбулентной вязкос-
вязкости много больше соответствующего коэффициента вязкости при ла-
ламинарном потоке.
Большая упорядоченность турбулентного движения подтверж-
подтверждается также расчетом производства энтропии.
§1.10. Уменьшение производства энтропии
при переходе от ламинарного течения
к турбулентному. Принцип минимума
производства энтропии в процессах
самоорганизации
1.10.1. Принцип минимума производства энтропии в ста-
стационарных состояниях. В работах И. Пригожина по неравновес-
неравновесной термодинамике сформулирован «Принцип минимума производст-
производства в стационарных состояниях». Это несомненно очень ценный ин-
инструмент исследования термодинамических процессов. Однако, спра-
справедливость этого Принципа была доказана лишь в рамках линейных
необратимых процессов. Оставался открытым вопрос: Можно ли об-
обобщить Принцип Пригожина на случай нелинейной термодинамики
необратимых процессов. Проведенные исследования показали (см., на-
например, Стратонович, 1985), что такой возможности в общем случае
нет.

§1.10. Уменьшение производства энтропии при переходе... 35
При формулировке Принципа Пригожина рассматривается случай
временной эволюции. Выше было показано, что в открытых системах
существенную роль играет и другой вид эволюции. Речь шла об эво-
эволюции стационарных состояний нелинейной диссипативной открытой
системы при достаточно медленных изменениях управляющих пара-
параметров. Именно для такого вида эволюционного процесса был уста-
установлен критерий относительной степени упорядоченности состояний
открытой системы — критерий 5-теорема.
На основе этого критерия была продемонстрирована большая ор-
организованность стационарного турбулентного течения по сравнению с
ламинарным. Переход от ламинарного к турбулентному течению мож-
можно рассматривать как фазовый переход второго рода. Роль параметра
порядка в этом переходе играет сумма диагональных элементов тен-
тензора напряжений Рейнольдса. Оказалось, что заключение о возраста-
возрастании степени упорядоченности от ламинарного течения к турбулент-
турбулентному можно установить и по характеру изменения соответствующего
производства энтропии.
Именно при переходе от ламинарного течения к турбулентному
при одинаковых значениях напряжения на стенках (при одинаковых
значениях динамического числа Рейнольдса) производство энтропии
уменьшается (Климонтович, Энгель-Херберт, ЖТФ, 1984; см. в Кли-
монтович, 1990, 1995). Выбор такого дополнительного условия обу-
обусловлен тем, что в отличие от энтропии, которая зависит от гидроди-
гидродинамической скорости, производство энтропии определяется производ-
производными гидродинамической скорости.
Сравнение производства энтропии проводится при значениях Рей-
Рейнольдса больших критического, т.е. при условии, когда стационарное
турбулентное движение устойчиво, а ламинарное течение неустойчи-
неустойчиво — оно не существует при значениях чисел Рейнольдса, больших
критического значения.
Проведенные расчеты показали, что производство энтропии при
том же закритическом значении числа Рейнольдса при турбулентном
— устойчивом течении, меньше производства энтропии воображаемо-
воображаемого неустойчивого ламинарного течения.
Этот результат служит еще одним признаком большей упорядо-
упорядоченности устойчивого турбулентного движения по сравнению с не-
неустойчивым при этих числах Рейнольдса ламинарным течением. Это
еще один признак того, что процесс перехода от ламинарного тече-
течения к турбулентному представляет собой пример процесса самоорга-
самоорганизации, при котором условие устойчивости открывает Природе более
экономный путь развития — при устойчивом турбулентном движении
скорость превращения упорядоченного движения в хаотическое - теп-
тепловое имеет наименьшее значение.

36 Глава 1. Физика открытых систем без формул
1.10.2. Принцип минимума производства энтропии в про-
процессах самоорганизации. В работе (Климонтович, 1990) на основе
конкретного процесса — перехода от ламинарного течения к турбу-
турбулентному был сформулирован «Принцип минимума производства эн-
энтропии в процессах самоорганизации». Он состоит в следующем.
Процесс самоорганизации представляется как фазовый переход
(или последовательность фазовых переходов). В результате происхо-
происходит переход в более упорядоченное, отвечающее более низкой сим-
симметрии. Принцип утверждает, что производство энтропии в новом —
менее симметричном состоянии, возникшем в результате очередного
фазового перехода, меньше производства энтропии старого состояния,
которое мысленно продолжено в неустойчивую область.
Мы вернемся к этому вопросу в следующей главе.
§1.11. Скорость изменения энтропии по средней
энергии в открытых системах
Естественно, что критерий «5-теорема» не является единствен-
единственным критерием степени упорядоченности. В следующей главе будут
обсуждаться и другие критерии. Можно, однако, заранее сказать, что
критерий «5-теорема» является наиболее общим критерием относи-
относительной степени упорядоченности состояний открытых систем, по-
поскольку основан, фактически, на энтропийном функционале Ляпунова
и, тем самым, тесно связан с условием устойчивости стационарных
состояний рассматриваемой открытой системы.
Здесь отметим еще один критерий, который основан на определе-
определении скорости изменения энтропии системы по ее средней энергии. Из
второго закона термодинамики для квазистатических процессов сле-
следует, что в равновесном состоянии производная энтропии по средней
энергии определяется температурой. Ниже на примере генератора Ван
дер Ваальса будет определено изменение этой фундаментальной ха-
характеристики для эволюции стационарных состояний — по мере уве-
увеличения значения параметра обратной связи от нулевого значения, от-
отвечающего равновесному состоянию, состоянию развитой генерации.
В этом случае по мере развития генерации производная энтропии
(степени хаотичности) по средней энергии уменьшается. Это и слу-
служит демонстрацией процесса самоорганизации.
Производная энтропии системы по средней энергии может быть
определена непосредственно по экспериментальным данным, в част-
частности, по кардиограммам. Это позволяет по характеру изменения
этой производной выявить два вида самоорганизации, отвечающих
самовыздоровлению при двух «противоположных» заболеваний, вы-
вызванных стрессовым воздействием.

§1.12. Информация и энтропия открытых систем... 37
§1.12. Информация и энтропия открытых систем.
Закон сохранения суммы информации
и энтропии
1.12.1. Статистическое определение по Шеннону. Опреде-
Определение понятия «информация» не менее сложно, чем определение по-
понятий: хаос и порядок. В книге (Чернавский, 2001) в начале главы
«Основные понятия динамической теории информации» приведено бо-
более двадцати определений информации. Среди них есть, несомненно,
очень интересные. Отметим, лишь определение Генри Кастлера:
«Информация есть случайный и запомненный выбор одного
варианта из нескольких возможных и равноправных».
Однако, ни в этом определении, ни в других нет указания ни на
способ количественной оценки информации, ни на определение ее цен-
ценности. Все определения в той или иной мере основаны на интуиции.
Ясно лишь, что количественное определение информации может быть
дано лишь на основе статистической теории.
Основы количественной теории информации заложены в класси-
классических работах Клода Шеннона.
Шеннон предложил два количественных способа определения ин-
информации. Первое соответствует определениям энтропии по Больц-
ману и Гиббсу. Большая общность определения Шеннона в том, что
оно не связано с механической моделью вещества как это имеет мес-
место в статистической теории Больцмана и Гиббса. Шеннон использует
распределения значений величин, которые не имеют физических ана-
аналогов. Именно такие величины существенны, в частности, в теории
связи, одним из основоположников которой был Клодт Шеннон.
Энтропия, введенная Шенноном, получила название «5-информа-
ция». Как и энтропия Больцмана-Гиббса 5 она служит мерой степени
неопределенности при выбранном уровне статистического описания
рассматриваемой системы. По этой причине и оправдан термин 5-
информация.
Такое определение, хотя и широко используется в литературе, все
же не является достаточным в теории информации и, тем более, при
исследовании информативности открытых систем. На примере кри-
критерия «5-теорема» было показано, что относительная мера степени
упорядоченности состояний открытых систем определяется (с учетом
описанной выше перенормировки к заданному значению средней энер-
энергии) разностью энтропии.
В связи с этим для открытых систем более предпочтительным яв-
является другое, также предложенное К. Шенноном, определение инфор-
информации. Суть его состоит в следующем.
Информация выражается разностью безусловной и условной энтро-
энтропии и связана, тем самым, с соответствующим изменением степени

38 Глава 1. Физика открытых систем без формул
неопределенности при статистическом задании состояний рассматри-
рассматриваемой системы.
Научное значение работ К. Шеннона в теории информации пре-
прекрасно охарактеризовал А.Н. Колмогоров в предисловии к русскому
изданию сборника: К. Шеннон «Работы по теории информации и ки-
кибернетики», 1963. А.Н. Колмогоров писал:
«Значение работ Шеннона для чистой математики не сразу
было достаточно оценено. Мне вспоминается, что еще на между-
международном съезде математиков в Амстердаме (в 1951 г.) мои аме-
американские коллеги, специалисты по теории информации, счита-
считали мой интерес к работам Шеннона несколько преувеличенным,
так как это более техника, чем математика. Сейчас такие мне-
мнения вряд ли нуждаются в опровержении.
Правда строгое математическое «обоснование» своих идей
Шеннон в сколь-либо трудных случаях предоставлял своим про-
продолжателям. Однако его математическая интуиция изумитель-
изумительно точна.»
Работы К. Шеннона послужили стимулом для проведения исследо-
исследований, заложивших прочный математический фундамент теории ин-
информации. Отметим лишь первые работы А.Я. Хинчина, Ф.Н. Кол-
Колмогорова и М. Гельфанла, которые были опубликованы на страницах
журнала «Успехи математических наук» и в ДАН СССР. В первой
из них дано доказательство основных теорем теории информации для
дискретного случая, а во второй — наиболее общее определение эн-
энтропии и информации для непрерывных распределений.
В последующем потоке работ по теории информации выделяет-
выделяется книга Р.Л. Стратоновича A975). В ней, наряду с традиционным
к тому времени изложением основных результатов теории информа-
информации Шеннона, излагается и разработанная Р.Л. Стратоновичем тео-
теория ценности информации. Известны и другие, чем у Стратоновича,
способы определения ценности информации. Один из них предложен в
работах М.М. Бонгарда и А.А. Харкевича, а другой в работе В.И. Ко-
рогодина (см. Чернавский, 2001). Существенно при этом, что коли-
количественная оценка ценности информации существенно зависит от до-
достижимости (полной, вероятной или невероятной) поставленной цели.
В этом отношении понятие: «ценность информации» является, конеч-
конечно, субъективным.
При достижении поставленной цели роль получаемой информации
может быть двоякой. Условно можно считать информацию «положи-
«положительной», если она облегчает достижение поставленной цели. Напри-
Например, получение отраженного сигнала при радиолокации. Естественно,
что информация об отраженном сигнале при отражении налета явля-
является ценной.

§1.12. Информация и энтропия открытых систем... 39
Напротив, информация «отрицательна», если наличие ее затруд-
затрудняет достижение поставленной цели. «Отрицательную», в этом смыс-
смысле, информацию можно назвать и «дезинформацией». Примером мо-
может служить шумовое подавление полезного сигнала при радиолока-
радиолокации. При этом для налетчиков дезинформация является ценной.
Из изложенного следует, что понятие ценности информации не
является однозначным. Это существенно затрудняет формализацию
этого понятия. За примерами количественных определений ценности
информации отсылаем к книгам Р.Л. Стратоновича и Д.С. Чернав-
ского. В этих книгах, а также в книгах Г. Хакена «Информация и
самоорганизация» и Б.Б. Кадомцева «Динамика и информация», про-
прослеживается также глубокая аналогия математического аппарата те-
теории информации и статистической термодинамики. Значение этих
книг прежде всего в том, что они содержат существенный вклад в
разъяснение ряда принципиальных вопросов и понятий как класси-
классической, так и квантовой физики. В число основных входит и понятие
информации.
При этом, все же, остается открытым вопрос специфики определе-
определения информации открытых систем, в частности зависимости инфор-
информации от значений управляющих параметров. Количественное опре-
определение информации открытых систем и является одной из задач на-
настоящей книги.
Отправным пунктом при этом будет служить второе определение
информации по Шеннону, когда она выражается разностью безуслов-
безусловной и условной энтропии и связана, тем самым, с соответствующим
изменением степени неопределенности при статистическом задании
состояний рассматриваемой системы. Однако, для определения инфор-
информации открытых систем с целью выявления зависимости информации
от управляющих параметров будет необходимо существенное измене-
изменение формулы Шеннона.
При этом снова будут выделены два класса открытых систем. К
первому относятся системы, для которых, как, например, для газа
Больцмана, постоянство средней энергии в процессе эволюции являет-
является свойством системы. Для таких систем, как будет показано в следу-
следующей главе, выражение для информации совпадает с функционалом
Ляпунова, который определяется разностью безусловной (например,
для равновесного состояния) и условной (например, для неравновес-
неравновесных состояний в процессе временной эволюции) энтропии. Для такого
рода систем имеет место закон сохранения информации и энтропии.
Для систем второго класса средняя энергия меняется как в процес-
процессах временной эволюции, так и при эволюции стационарных состоя-
состояний в пространстве управляющих параметров. В этих случаях име-
имеются два способа определения информации. Первый, который широко

40 Глава 1. Физика открытых систем без формул
используется в настоящее время как для физических, так и для биоло-
биологических систем, основан на использовании критерия относительной
степени упорядоченности — критерия «5-теорема». Второй — для
систем броуновского типа, когда рассматриваемая система находит-
находится в флуктуирующей среде с заданной интенсивностью шума. В этом
случае информацию можно определить как функционал Ляпунова, ко-
который, однако, определяется не разностью энтропии, а разностью сво-
свободных энергий.
Особое рассмотрение проводится для систем, например, биологи-
биологических, которые не существуют в состоянии статистического равнове-
равновесия. Для систем этого класса, как и выше, за начало отсчета степени
упорядоченности, теперь и степени информативности, принимается
состояние, которое отвечает норме хаотичности.
§1.13. Физика открытых систем для социологов
и экономистов
Одно из первых приложений физики открытых систем к социо-
социологии принадлежит Г. Хакену в его книге «Синергетика». Основой
применения синергетики для этих целей служит несомненный факт,
что коллективные эффекты играют существенную роль в социальных
процессах. Они в значительной степени определяют, например, фор-
формирование общественного мнения, несмотря на то, что отдельные ак-
акты выбора являются, конечно индивидуальными. На основе синерге-
синергетики широкие исследования моделей социальных систем проводились
группой В. Вайдлиха. Были, в частности, предложены простейшие
модели для описания формирования общественного мнения, миграции
населения, роста городов.
Методы Физики открытых систем в последние годы все шире ис-
используются и для моделирования процессов в экономике. Экономика
одна из страрейших социальных наук с глубокими традициями и1
развитыми методами не только качественного, но и количественного
описания различных процессов. Несмотря на это остается еще много
нерешенных проблем, представляющих широкое поле для приложений
физики открытых систем.
Значительная их часть связана с поиском оптимальных путей раз-
развития связей производства, распределения и потребления. Основой по-
поиска могут служить рассмотренные выше критерии относительной
степени упорядоченности открытых, но теперь уже социальных или
экономических систем. Это может дать дополнительную информацию
для контроля эффективности параметров, принимаемых за управляю-
управляющие, определения «нормы хаотичности», а также «лечения болезней»
— отклонений от «нормы хаотичности» в ту или иную сторону.

§1.14. От восприятия к мысли 41
Если процессы «лечения» происходят спонтанно, т.е. без внеш-
внешних вмешательств — без «лекарств», то и здесь процессы «выздоров-
«выздоровления» представляют собой примеры самоорганизации. Естественно,
что, как и для биологических систем, равновесное состояние не мо-
может здесь служить точкой отсчета при определении относительной
степени хаотичности состояний социальных и экономических систем.
Точкой отсчета может служить для них лишь состояние, отвечающее
«норме хаотичности». Выявление такого состояния и составляет одну
из основных задач, которая может быть решена на основе критериев
относительной степени упорядоченности в физике открытых систем.
§1.14. От восприятия к мысли
Несколько лет назад появилась популярная книга итальянского
исследователя Джузеппе Кальоти «Динамика неоднозначности». Она
издана на итальянском A982, 1986), на немецком A990) и англий-
английском A992) языках. Английское издание вышло с предисловием Г. Ха-
кена. К готовящемуся изданию на русском языке предисловие написал
И. Пригожий. И тот и другой очень высоко оценивают книгу. О чем
же эта книга, заслужившая столь высокую оценку?
Эта книга прежде всего о связи и соотношении в современном мире
науки и искусства или, как теперь говорят, о связи «двух культур».
Отметим лишь трактовку автором перехода от восприятия к мысли.
На одной из первых страниц книги он пишет:
«При исследовании восприятия могут проявиться объединя-
объединяющие факторы. Именно, неупорядоченные в начале сенсорные
стимулы, начинают коррелировать и организуются в мозгу в
упорядоченные когерентные структуры, которые затем и пре-
превращаются в мысль».
Короче это можно выразить словами: переход от восприятия к
мысли — это переход от менее упорядоченного состояния мозга к бо-
более упорядоченному его состоянию.
Конечно, это очень красивая схема рождения мысли. Остается,
однако, открытым вопрос, насколько эта картина отвечает реальнос-
реальности. В книге такого ответа нет, поскольку в ней Несомненно, что неко-
некоторая информация об изменении степени упорядоченности в ходе рож-
рождения мысли может быть получена на основе анализа энцефалограмм
по приведенным выше критериям физики открытых систем, в част-
частности, по 5-теореме.
При этом возможен целый комплекс экспериментальных исследова-
исследований: «скорости рождения мысли», различия этого процесса, например,
для мужчин и женщин, о степени воздействия на людей искусства
и т.д. Естественно, что решение такой сложной проблемы возможно
лишь при объединении усилий исследователей разного профиля.

42 Глава 1. Физика открытых систем без формул
§1.15. К вопросу Эрвина Шредингера: Что такое
Жизнь?
1.15.1. О роли энтропии по Эрвину Шредингеру. Невоз-
Невозможно, в связи с изложенным выше, не вспомнить о знаменитой книге
Эрвина Шредингера «Что такое жизнь». Впервые она была опубли-
опубликована на английском языке в 1944 году. Ее первое русское издание
было осуществлено в 1947 году. Наиболее полное (без купюр) издание
этой книги на русском языке осуществлено в 1999 году под редакцией
Ю.А. Данилова.
Из этой замечательной книги выделим лишь то, что непосредст-
непосредственно связано с темой настоящей работы. Для Эрвина Шредингера
в этом разделе сделаем, вопреки названию главы «Физика откры-
открытых систем без формул», приятное исключение — приведем несколько
простых формул.
Предпоследняя глава книги Эрвина Шредингера носит название:
«Упорядоченность, неупорядоченность и энтропия». В ней ставится
вопрос: «Что является характерной чертой жизни?» Ответ на этот
вопрос находим на с. 105 первого русского издания:
«Как можно было бы выразить в терминах статистической
теории ту удивительную способность живого организма, с по-
помощью которой он задерживает переход к термодинамическому
равновесию (смерть)?
Мы выше сказали: «Он питается отрицательной энтропи-
энтропией», как бы привлекая на себя ее поток, чтобы компенсировать
этим увеличение энтропии, производимое им в процессе жизни,
и, таким образом, поддерживать себя на постоянном и доста-
достаточно низком уровне энтропии.
Если D есть мера неупорядоченности, то обратная ей вели-
величина 1/D может рассматриваться как прямая мера упорядочен-
упорядоченности.
Поскольку логарифм от 1/D есть то же, что отрицательный
логарифм .D, мы можем написать формулу Больцмана таким
образом:
(энтропия)=&в In I -=г j . A.15.1)
Теперь неуклюжее выражение «отрицательная энтропия»
может быть заменено лучшим: энтропия, взятая с отрицатель-
отрицательным знаком, есть сама по себе мера упорядоченности.
Таким образом, средством, при помощи которого организм
поддерживает себя постоянно на достаточно высоком уровне
упорядоченности (достаточно низком уровне энтропии), в дей-
действительности состоит в непрерывном извлечении упорядочен-
упорядоченности из окружающей среды.»

§1.15. К вопросу Эрвина Шредингера: Что такое Жизнь? 43
Представленная в этом отрывке позиция чрезвычайно интересна,
поскольку отражает точку зрения, которая в течение многих лет раз-
разделялась не только многими биологами, но и многими физиками. Из-
Изложенное в настоящей работе позволяет сопоставить представления
Шредингера с представленными выше результатами.
1.15.2. О спонтанном увеличении упорядоченности в от-
открытой системе. Согласно критерию «S-теорема» энтропия мо-
может быть использована в качестве меры относительной степени упоря-
упорядоченности состояний открытой системы лишь при дополнительном
условии одинаковости средней эффективной энергии рассматривае-
рассматриваемых состояний.
Одно из сравниваемых состояний с энтропией So принимается
за физический хаос. Для выполнения условия одинаковости средних
энергий систему в этом состоянии следует «подогреть». При этом осу-
осуществляется перенормировка энтропии: So —>• So. Разность перенор-
перенормированной энтропии и энтропии S более упорядоченного состояния:
So-S>0 A.15.2)
служит мерой количества беспорядочного движения состояния физи-
физического хаоса, которое во втором состоянии становится более упоря-
упорядоченным.
Это было продемонстрировано на физических примерах. Первым
из них был генератор Ван дер Поля. В нем состоянию физического
хаоса отвечали тепловые колебания в электрическом контуре при от-
отсутствии обратной связи. Вторым — служило состояние развитой ге-
генерации. Для выравнивания средних энергий «первое состояние по-
подогревалось». В результате выражение вида A.15.2) служило мерой
количества энергии тепловых колебаний в контуре, которая в режи-
режиме генерации переходит в энергию упорядоченных колебаний. Такая
трансформация характера движения и служит простейшим примером
спонтанного (!) перехода в более упорядоченное состояние — приме-
примером процесса самоорганизации.
Вторым подобным примером служил переход от ламинарного те-
течения к турбулентному. За состояние физического хаоса принималось
ламинарное течение. Для выравнивания средних энергий «подогрева-
«подогревалось ламинарное течение». В результате перехода часть хаотического
движения ламинарного потока переходит в более упорядоченное (кол-
(коллективное) движение турбулентного течения. Этот переход служит
также примером процесса самоорганизации.
Было показано, что для биологических систем определение про-
процесса самоорганизации не является столь однозначным. На первый
план выходит определение нормы хаотичности (или упорядоченнос-
упорядоченности). Процесс самоорганизации представляется как процесс спонтан-

44 Глава 1. Физика открытых систем без формул
ного (без действия «лекарств») возвращения к норме хаотичности —
спонтанный процесс «самовыздоровления».
При этом «организм», как открытая система, поддерживает свое
существование благодаря создаваемой возможности преобразовывать
энергию более хаотического движения в энергию более упорядоченно-
упорядоченного движения. Естественно, что этот процесс возможен лишь в откры-
открытой системе, когда имеется источник энергии. Неизбежность перехода
в более упорядоченное движение обусловлена наступающей неустой-
неустойчивостью исходного более хаотического ламинарного течения.
1.15.3. Почему Природа в качестве строительных элемен-
элементов выбирает апериодические кристаллы? Очень интересно
еще одно утверждение Шредингера, приведенное в последней главе
его книги. На с. 108 первого русского издания:
«Удивительная способность организма концентрировать на
себе «поток порядка», избегая таким образом перехода к атом-
атомному хаосу, — способность «пить упорядоченность» из подхо-
подходящей среды, по-видимому, связана с присутствием «аперио-
«апериодических твердых тел», хромосомных молекул. Последние, без
сомнения, представляют наивысшую степень упорядоченности
среди известных нам ассоциаций атомов (более высокую, чем у
обычных периодических кристаллов)».
Это, поистине, замечательная идея о роли апериодических крис-
кристаллов в организме. При этом Шредингер полагает, что апериоди-
апериодические кристаллы более упорядоченны, чем обычные кристаллы. На
первый взгляд такое утверждение кажется парадоксальным. Ведь, ка-
казалось бы, идеальный кристалл представляется нам, как высшая сте-
степень упорядоченности.
Подробное обсуждение этого вопроса не может быть здесь проведе-
проведено. Поставим лишь следующий вопрос: Является ли апериодический
кристалл по приведенному выше критерию более упорядоченным, чем
обычный периодический кристалл? У нас уже есть основания предпо-
предполагать, что это действительно так — апериодический кристалл —
более высоко упорядоченное, лучше сказать, более высокоорганизо-
высокоорганизованное состояние, чем идеальный кристалл.
Действительно, проведем аналогию с определением относительной
степени упорядоченности ламинарного и турбулентного течений. Ес-
Естественно сопоставить ламинарному потоку периодический кристалл,
а турбулентному — апериодический.
Без учета теплового движения идеальный кристалл характеризу-
характеризуется одной периодической модой. В этом отношении есть аналогия с
наличием одной пространственной моды при ламинарном течении Пу-
азейля. Тепловое движение атомов в периодическом кристалле естес-
естественно принять за состояние физического хаоса.

§1.16. Геометрия и физика фракталов 45
Апериодический же кристалл характеризуется большим числом
коллективных пространственных мод. В этом отношении имеется ана-
аналогия с турбулентным движением. Вопрос о том можно ли, подобно
переходу от ламинарного течения к турбулентному, рассматривать
переход от идеального кристалла к апериодическому как пример фа-
фазового перехода, в результате которого рождается более сложная апе-
апериодическая структура, может быть рассмотрен отдельно. Здесь же
лишь отметим, что по критерию «5-теорема» степень упорядоченнос-
упорядоченности апериодического кристалла выше, чем периодического. Это дает
основание заключить, что Природа и здесь выбирает более сложные и
более устойчивые структуры в качестве «строительных кирпичиков»
— выбирает более высокоорганизованные устойчивые структуры.
Здесь отмечены лишь отдельные пункты книги Эрвина Шредин-
гера. Она неизмеримо богаче идеями и результатами, чем это следует
из изложенного выше.
После опубликования книги Эрвина Шредингера «Что такое
жизнь» прошло более полувека. За это время получены, порой неокон-
неокончательные, ответы на многие вопросы, затронутые в этой замечатель-
замечательной книге. Из всего многообразия новых книг, посвященных биологи-
биологической эволюции и, в конечном счете, возникновению Жизни, можно
выделить три книги, изданные в 2001 году на русском языке:
Галимов Э.М. Феномен жизни. Между равновесием и нелинейное-
шью. Происхождение и принципы эволюции. («УРСС», Москва, 2001).
Чернавский Д.С. Синергетика и информация. («Наука», Москва,
2001)
Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции.
(«УРСС», Москва, 2001).
§1.16. Геометрия и физика фракталов
Хотя в заголовке настоящей главы стоит слово «фрактал», такое
понятие, введенное в геометрию Бенуа Мандельбротом, не имеет и по
сей день строгого определения. Это, однако, не должно нас смущать.
Дело в том, что и понятие «упорядоченность», также как и понятие
«хаотичность», не имеют строгого определения. В этом и нет, факти-
фактической, необходимости. Важно не абсолютное определение терминов,
например «порядок» и «хаос», а умение сравнивать относительную
степень хаотичности (или упорядоченности) различных состояний от-
открытых систем. Этой цели и служит, в частности, представленный
выше критерий «5-теорема».
Отметим здесь лишь две особенности фрактальных структур.
Это, во-первых, их самоподобие. В большой мере именно это свой-
свойство определяет красоту этих структур. Богатая коллекция фракталь-
фрактальных структур представлена в книге Пайтгена и Рихтера «Красота

46 Глава 1. Физика открытых систем без формул
фракталов». Надо, однако, иметь в виду, что самоподобие имеет мес-
место на ограниченной области масштабов. Оно проявляется до тех пор,
пока не начнут играть роль внешние (размер тела) или внутренние
(физически бесконечно малые) масштабы сплошной среды. Но само
определение сплошной среды зависит от принятого уровня описания.
Действительно, размер точки сплошной среды при гидродинамичес-
гидродинамическом описании значительно больше размера точки сплошной среды в
кинетической теории. При переходе от классической теории к кванто-
квантовой возникают новые и значительно меньшие масштабы, например,
радиус Бора. Соответственно этому возникают и новые масштабы,
ограничивающие применимость уравнений квантовой теории со сто-
стороны малых масштабов (Климонтович, 1983, 2001).
Во-вторых, геометрия фракталов разрушает представление гео-
геометрии Евклида о гладкости рассматриваемых в ней объектов. Одна-
Однако отсутствие гладкости фрактальных объектов имеет свои границы,
которые обусловлены уже физической структурой рассматриваемых
объектов.
Понятие «фрактал» проясняется лишь при сопоставлении геомет-
геометрического и физического описания сложных пространственных, вре-
временных и пространственно-временных структур. В отличие от дис-
сипативных структур, введенных в современной теории самооргани-
самоорганизации Ильей Пригожиным, в теории фракталов рассматриваются и
недиссипативные структуры. Примерами классической теории фрак-
фракталов служат структура береговой линии, форма снежинки или об-
облака. Существенно при этом, что мельчайшие наблюдаемые детали,
например, снежинки описываются все же на основе модельных урав-
уравнений сплошной среды.
Фрактальные структуры возможны и на квантовом уровне описа-
описания. Для их выявления нужно развивать соответствующую кванто-
квантовую теорию фракталов.
Итак, классическая геометрия Эвклида, основанная на понятии
точки, не имеющей размера, на понятиях линии, плоскости и объем-
объемных фигур, которым приписываются размерности, соответственно, 0,
1, 2, 3, недостаточна для описания фрактальных структур. Оказался
необходимым переход к геометрии фракталов — переход к геомет-
геометрии дробных размерностей, основы которой и были заложены Бенуа
Мандельбротом.
Фрактальная геометрия, в свою очередь, оказывается во многих
случаях излишне формальной и возникает необходимость развития
физики фракталов. Необходимость такого обобщения, станет ясной
при рассмотрении конкретных примеров. При этом изложение некото-
некоторых элементов геометрии и физики фракталов будет проводиться на

§1.17. Заключение к первой главе 47
альтернативной основе. Естественно начать с примеров простейших
и наглядных фрактальных структур.
§1.17. Заключение к первой главе
В заключение напомним, что один из величайших физиков — Люд-
Людвиг Больцман был первым, кто отчетливо понимал общность и важ-
важность понятия «эволюция». Именно поэтому на гране двух веков он
назвал XIX столетие веком Дарвина. Потребовался почти век, чтобы
осознать, хотя и далеко не в полной мере, глубину этого утверждения
и понять и принять его как предвидение того, что грядущий XXI век
будет веком Физики открытых систем.
Именно физики, поскольку ее законы являются фундаментом всех
разделов науки и именно открытых систем, поскольку лишь в таких
системах возможно развитие Науки, Экономики и Общества.
На этом завершается глава «Физика открытых систем без фор-
формул». Представленные в этой главе идеи и методы теперь будут рас-
рассматриваться на более высоком уровне — с необходимыми формула-
формулами, но без деталей математических расчетов. Основные усилия будут
направлены на раскрытие физического содержания рассматриваемых
результатом.
Такой характер изложения сделает эту книгу доступной для ши-
широкого круга специалистов разного профиля, которые в своей научной
и педагогической работе опираются на Физику открытых систем. К
их числу относится, несомненно, большинство исследователей.
Автор считает, что назрела необходимость создания и чтения кур-
курсов лекций по различным проблемам Физики открытых систем с уче-
учетом, разумеется, специфики той или иной специализации. Можно вы-
выразить не только надежду, но и уверенность, что предлагаемая кни-
книга и трехтомная монография «Статистическая теория открытых сис-
систем» послужат сближению подходов специалистов разного профиля к
проблемам физики открытых систем и, как неизбежное следствие, бу-
будут способствовать подъему уровня подготовки молодых специалис-
специалистов.

I JIAJJ A Z Критерии упорядоченности
§2.1. Разреженный газ. Энтропия Больцмана.
Внутренняя незамкнутость
При установлении кинетического уравнения для одноточечной
функции распределения разреженного газа Больцман радикально из-
изменил модель системы. Именно, он заменил модель газа — систему N
частиц газа, совершающих движение в 6ЛГ-мерном фазовом простран-
пространстве координат и импульсов всех частиц, на модель б-мерной сплош-
сплошной среды координат и импульсов
х = г,р. B.1.1)
При этом состояние газа характеризуется не набором частиц, а
распределением их в 6-мерной сплошной среде. Введем обозначение
dx = drdp для бесконечно малого объема, охватывающего точку среды
х = г,р. Тогда выражение
nf(r,p,i}drdp, n I f(r,p,t)drdp=N B.1.2)
определяет долю частиц из общего их числа iV, которые в момент t
находятся в объеме drdp, включающем точку х = г, р.
В 1873 году Больцман предложил уравнение для функции распре-
распределения /(г, р, t) частиц разреженного газа в шестимерной сплошной
среде координат и импульсов — кинетическое уравнение — уравнение
Больцмана. При условии внешней замкнутости системы оно описы-
описывает установление равновесного состояния, которое характеризуется
распределением Максвелла-Больцмана
H(r,p) = ?- + U(r). B.1.3)
Постоянная С определяется из условия нормировки.
Для описания изменения степени хаотичности в процессе времен-
временной эволюции Больцман ввел определение энтропии неравновесного
процесса:
S(t) = - kBn JIn (nf(r,p,t}) f(r,p,t}drdp. B.1.4)
Здесь n = N/V — среднее число частиц газа в единице объема.

§2.2. Функционал Ляпунова As для газа Больцмана 49
Основываясь на кинетическом уравнении Больцман доказал зна-
знаменитую Я-теорему. Она выражается неравенством
Ш>_, „и,
Таким образом, при временной эволюции внешне замкнутой сис-
системы к равновесному состоянию энтропия возрастает и остается не-
неизменной при достижении равновесного состояния. Энтропия облада-
обладает набором свойств (Климонтович, 1982, 1995), необходимых для ме-
меры степени неопределенности (хаотичности). Поэтому по Я-теореме в
процессе временной эволюции (при условии внешней замкнутости) к
равновесному состоянию степень хаотичности монотонно возрастает
и достигает максимального значения в состоянии равновесия.
При этом, однако, надо уточнить понятие «замкнутая система».
При описании временной эволюции в замкнутой (изолированной
от внешних тел) системе на основе уравнения Больцмана остается
неизменной не полная энергия Е системы, а лишь ее среднее значение
< Е >. Возможны, тем самым, флуктуации энергии, т.е. отклонения
от среднего значения. Это означает, что во внешне замкнутой системе
имеет место «внутренняя незамкнутость». Она возникает благодаря
тому, что в теории Больцмана газ представляется в виде сплошной
среды. При этом теряется информация о движении частиц на мас-
масштабах меньше или порядка размера «точки». Этим и обусловленно
проявление «внутренней незамкнутости» при описании неравновес-
неравновесных процессов в газах на основе уравнения Больцмана.
Сохранение средней энергии в процессе эволюции не является, од-
однако, общим свойством всех кинетических уравнений. Так, например,
при броуновском движении средняя энергия в процессе эволюции ме-
меняется. По этой причине if-теорема Больцмана здесь неприменима.
Роль энтропии при броуновском движении играет другая термодина-
термодинамическая функция — свободная энергия. Она, однако, не обладает на-
набором необходимых свойств, чтобы служить мерой неопределенности
состояний открытых систем.
§2.2. Функционал Ляпунова As для газа Больцмана
Внутренняя незамкнутость проявляется, в частности, в том, что в
процессе эволюции к равновесному состоянию остается неизменной не
сама энергия системы, как это следует из механики, а лишь ее среднее
(в расчете на одну частицу) значение:
= (^) = const. B.2.1)
С учетом этого условия if-теорему Больцмана можно переформу-
переформулировать на языке функционала Ляпунова. Для функционала Ляпу-
Ляпунова необходимо выполнение двух противоположных неравенств. Для
газа Больцмана они выглядят следующим образом.

50 Глава 2. Критерии упорядоченности
Искомый функционал Ляпунова представляется в виде разности
энтропии равновесного состояния So и энтропии неравновесного со-
состояния в некоторый момент t при временной эволюции S(t). Таким
образом, по определению функционал Ляпунова
As = So-S(t). B-2.2)
Нижний индекс «5» отмечает, что функционал Ляпунова выража-
выражается именно через разность энтропии, а не каких-либо других термо-
термодинамических функций.
Подставим в последнее соотношение выражения для энтропии
So,S(t), используем условие постоянства средней энергии, а также
известное неравенство In а > 1 — 1/а при а = ///о- В результате при-
приходим к неравенству (Климонтович, 1995)
/^^ > 0. B.2.3,
Второе неравенства
<0 B.2.4)
есть следствие — Я-теоремы в форме B.5).
Таким образом, величина As удовлетворяет двум противополож-
противоположным неравенствам. Это дает основание называть As функционалом
Ляпунова.
В соответствии с теорией устойчивости Ляпунова наличие такого
рода функционала означает, что состояние равновесия является гло-
глобально устойчивым. Это означает, что при любом отклонении внешне
замкнутой системы от равновесного состояния система возвращается
к равновесию, которому отвечает максимум энтропии и, следователь-
следовательно, максимум степени хаотичности.
Итак, энтропия может служить мерой хаотичности (неопределен-
(неопределенности) при статистическом описании процессов в макроскопических
телах.
Такого рода вывод был сделан на примере идеального газа. Пока-
Покажем, что он остается справедливым при любом взаимодействии между
частицами, но лишь для равновесного состояния. Этот результат при-
принадлежит Гиббсу и может быть сформулирован как «теорема Гиббса».
§2.3. Энтропия и теорема Гиббса
В знаменитом трактате одного из основоположников статистичес-
статистической физики Д.В. Гиббса «Основные принципы статистической меха-
механики», опубликованном в 1902 году, дано общее определение функции
распределения значений полного набора переменных N частиц. При
заданной температуре окружающих тел это — функция /дг(А", а, Т).

§2.3. Энтропия и теорема Гиббса 51
Она определена при произвольном взаимодействии между частицами,
но лишь для равновесного состояния, когда задана температура окру-
окружающих тел. Задан и набор внешних параметров а, например, объем
системы или внешнее давление. Энтропия при этом также выражает-
выражается через равновесное распределение Гиббса /дг(Х) полного набора X
всех координат и импульсов частиц.
Итак, в общем случае имеется функция распределения полного на-
набора переменных системы N частиц в равновесном состоянии
fN{X), JfN(X)X = l, X = rur2,...rN,pljp2,...pN. B.3.1)
Конкретный вид функции распределения Дг(-Х") был опреде-
определен Гиббсом при двух разных физических условиях. Одно из них
fiv(X,a,E) — микроканоническое распределение Гиббса. Оно спра-
справедливо при условии замкнутости рассматриваемой системы, когда
задано не только полное число частиц ЛГ, но и значение полной энер-
энергии Е всех частиц системы. Буквой а здесь и ниже определяется набор
заданных внешних параметров.
Второе, приведенное выше распределение Дг(Л", а, Т) — канони-
каноническое распределение Гиббса. Оно справедливо для системы в термо-
термостате с заданной температурой Т. Именно это распределение будет
использоваться ниже.
Каноническое распределение Гиббса можно записать в виде
J
fN(X,a,T)dX = 1. B.3.2)
Зависимость величины С от внешних параметров а и температуры
Т определяется условием нормировки.
На основе канонического распределения Гиббса можно дать ста-
статистическое определение основных термодинамических функций, ко-
которые используются при математической формулировке первого и
второго законов термодинамики. Приведем лишь необходимые для
дальнейшего соотношения.
Внутренняя энергия определяется как среднее значение функции
Гамильтона
U{a, T)= f H{X, a)fN{X, a, T)dX. B.3.3)
Свободная энергия определяется следующим интегралом
F(a,T) = - kBTJexp (-^^) dX. B.3.4)
Это позволяет записать каноническое распределение Гиббса в фор-
форме:

52 Глава 2. Критерии упорядоченности
Энтропия — энтропия Гиббса, определяется средним значением
логарифма функции распределения
SG{a,T) = - кв j ln{fN{X,a,T)) fN(X,a,T)dX. B.3.6)
Будем использовать также дискретный набор переменных, харак-
характеризующих состояние системы. Пусть п — набор квантовых чисел и
Еп — собственные значения энергии — собственные значения опера-
оператора Гамильтона рассматриваемой системы. Тогда квантовое кано-
каноническое распределение Гиббса имеет вид
= 1. B.3.7)
Запишем и соответствующее выражение для энтропии
B.3.8)
Сформулирует теперь теорему Гиббса. Она сводится к утвержде-
утверждению, что при заданном значении средней энергии равновесное состо-
состояние отвечает максимуму энтропии и является, тем самым, наиболее
хаотическим.
В равновесном состоянии справедливо каноническое распределе-
распределение Гиббса /j\r(A*, a, T). Через fjy(X,t) обозначим некоторое распреде-
распределение переменных рассматриваемой системы. Оно нормировано, как
и распределение Гиббса, на единицу. Сравнение значений энтропии
равновесного и неравновесного состояний проводится при одинаковых
значениях средней энергии (Н(Х, а)}. Тем самым выбор неравновес-
неравновесного распределения ограничен условием, что средняя энергия такова
же, что и для равновесного состояния:
f H{X,a)fN{X,a,T)dX= f H(X,a)fN(X,t)dX. B.3.9)
Одинаковы и условия нормировки введенных функций распределе-
ния: JfN(X,a,T)dX = f fN(X,t)dX = 1.
Теорема Гиббса состоит в утверждении, что при одинаковости нор-
нормировки и средней энергии энтропия равновесного состояния Sc?(a, T)
максимальна, т.е.
SG(a,T)-S(t) = kB f\n-fi^}--fN(X,t)dX > 0. B.3.10)
J fN(X,a,T) ~
Знак равенства отвечает случаю, когда распределение fw(X,t)
совпадает с каноническим распределением Гиббса Дг(Х, а, Т).

§2.4. Информация Шеннона 53
Итак, при условии одинаковости средней энергии энтропия макси-
максимальна для равновесного состояния. Поскольку энтропия служит ме-
мерой степени неопределенности при статистическом описании, то рав-
равновесное состояние по теореме Гиббса является наиболее хаотическим.
Повторим, что сравнение производится при условии одинаковости
средних энергий, а в остальном для системы частиц с произвольным
взаимодействием.
Отличие от результата Больцмана состоит в том, что для уравне-
уравнения Больцмана условие постоянства средней энергии является естес-
естественным свойством этого уравнения. При доказательстве же теоремы
Гиббса постоянство средней энергии (Н(Х,а)} есть дополнительное
условие, ограничивающее класс «произвольных» функций fw(X,t).
§2.4. Информация Шеннона
Основы количественной теории информации заложены в класси-
классических работах Клода Шеннона. В них даны два определения ин-
информации. Первое совпадает, фактически, с определением энтропии
Больцмана. По этой причине используется термин 5-информация.
Для открытых систем более адекватным является другое, также
предложенное Шенноном, определение информации. Суть его состоит
в следующем.
Пусть имеется функция распределения двойного набора перемен-
переменных /(-X", У) рассматриваемой системы. Это открывает возможность
для определения информации об объекте «X» относительно «У» и на-
наоборот.
В этом случае информация определяется разностью безусловной
и условной энтропии. Она связана, тем самым, с соответствующим
изменением степени неопределенности задания выделенной системы.
Работы К. Шеннона послужили стимулом для появления работ, в
которых был дан прочный математический фундамент теории инфор-
информации. Об этом уже было сказано в предыдущей главе. Здесь полезно
все же напомнить следующее.
Первые две работы такого рода, которые были опубликованы на
страницах журнала «Успехи математических наук» и в ДАН СССР.
В первой из них дано доказательство основных теорем теории инфор-
информации для дискретного случая, а во второй — наиболее общее опре-
определение энтропии и информации для непрерывных распределений.
В последующем потоке книг по теории информации выделяется
книга Р.Л. Стратоновича A975). В ней, наряду с традиционным к
тому времени изложением основных результатов теории информации
Шеннона, излагается и разработанная Р.Л. Стратоновичем теория
ценности информации. Прослеживается также глубокая аналогия ма-
математического аппарата теории информации и статистической термо-

54 Глава 2. Критерии упорядоченности
динамики. Необходимо отметить книгу Бориса Борисовича Кадомце-
Кадомцева «Динамика и информация», а также недавно опубликованную кни-
книгу Д.С. Чернавского B001).
Итак, пусть /(-X") есть некоторая безразмерная функция распреде-
распределения значений безразмерной случайной величины X. В качестве по-
последней может выступать и набор величин, составляющих некоторый
вектор. 5-информация и энтропия определяются формулами
I[X] = S[X] = -1 f(X) In f(X)dX; I f(X)dX = 1. B.4.1)
Соответствующее определение для случая дискретной переменной
имеет вид
/[»] = S[n] = - "? fn In/„; ?/„ = 1. B.4.2)
n n
Более естественно, следуя Шеннону и Стратоновичу, в качестве
определения количества информации использовать разностную харак-
характеристику — разность безусловной энтропии (энтропии Больцмана)
и условной энтропии (Климонтович, 1982, 1996, 2001; Klimontovich
A998))
/[X, У] = S[X] - S[X\Y]. B.4.3)
Здесь S[X] есть обычная (безусловная) энтропия Больцмана-
Шеннона
S[X] = -J f(X) In f{X)dX, B.4.4)
а 5[Х|У] — условная энтропия. Она определяется через соответ-
соответствующую условную функцию распределения /[Х|У] (f(X, Y) =
f[X\Y]f(Y)) следующим образом:
S[X\Y] = - f f{X,Y)lnf{X\Y)dXdY. B.4.5)
Выражение B.4.3) можно переписать в явно симметричном виде
, Y] = I[Y, X] = Jln ^1/A, Y)dXdY > 0. B.4.6)
Знак равенства относится к случаю, когда величины X, У статис-
статистически независимы. По этой причине функцию 1[Х, У] можно на-
назвать: «корреляционная информация». Она определяет информацию о
состоянии с двойным набором переменных X, У, которая определяется
их статистической корреляцией.

§2.5. Информация открытых систем... 55
§2.5. Информация открытых систем. Закон
сохранения суммы информации и энтропии
Конкретизируем общее выражение Шеннона для корреляционной
информации с целью выявления зависимости от управляющих пара-
параметров. Простейший способ решения этой задачи состоит в следую-
следующем.
Нарушим симметрию формулы Шеннона. Именно, предположим,
что функция распределения f(Y) набора переменных Y полностью
характеризуется соответствующим набором первых моментов
f(Y) = S(Y-a), {Y) = a, f(X,Y) = f[X\a]S(Y - a). B.5.1)
Примем набор параметров а или хотя бы один из них в качест-
качестве управляющих параметров. Подставим последнее выражение в фор-
формулу Шеннона и выполним интегрирование по У. Конкретизируем,
наконец, понятие безусловной энтропии. Предположим, что управля-
управляющий параметр положителен и его минимальное значение равно ну-
нулю. Тогда естественно определить безусловную энтропию равенством
S[X] — S[X\a = 0]. В результате получим выражение для информации
о совокупности X при заданном значении управляющих параметров а
I[X\a) = S[X\a = 0] - S[X\a] =
ЕЕ S[X\a = 0] + f f(X\a)lnf(X\a)dX. B.5.2)
Заметим, что такое определение информации не может быть, од-
однако, использовано во всех случаях. Действительно, по определению
информация всегда положительная величина. Последнее же выраже-
выражение может быть в общем случае и отрицательным.
Чтобы обеспечить его положительность, т.е. обеспечить выполне-
выполнение неравенства 1[Х|а] > 0, необходимо скорректировать приведенное
определение и ввести дополнительное условие, обеспечивающее поло-
положительность информации. Суть этого дополнительного условия про-
проще всего выяснить на конкретном примере открытой системы. Выбе-
Выберем в качестве примера разреженный газ бесструктурных частиц —
газ Больцмана.
Вернемся к выражению B.5.2).
По сделанному допущению управляющий параметр а может при-
принимать лишь положительные значения и безусловная энтропия S[X]
отвечает его нулевому значению S[X]
а>0 и S[X] = S[X\a = 0]. B.5.3)
Если нулевому значению управляющего параметра отвечает рав-
равновесное состояние, то для него информация равна нулю:
J[X|a = 0] = 0 B.5.4)
и энтропия 5[Х|а = 0] совпадает с энтропией равновесного состояния.
Последнее равенство следует из определения B.5.2) при а = 0.

56 Глава 2. Критерии упорядоченности
Используем общее равенство B.5.2) для определения информации
газа Больцмана. В этом случае роль управляющего параметра можно
«возложить» на текущее время t. Значения управляющего парамет-
параметра заключены в пределах 0 < t < оо. Значение t = оо соответствует
равновесному состоянию. Тогда информация газа Больцмана опреде-
определяется выражением
I[r,p,t] = As = S0- S(t) = kBJln^M/(r,p,<}^^ > 0,B.5.5)
/o(r,p)—функция распределения для равновесного состояния.
Согласно изложенному условие положительности информации
обеспечивается условием постоянства средней энергии (Е) = const
в процессе временной эволюции внешне замкнутой системы к равно-
равновесному состоянию. Условие (Е) = const есть следствие структуры
интеграла столкновений Больцмана и, следовательно, является естес-
естественным (не дополнительным) условием.
Мы видим, что в процессе временной эволюции газа Больцмана
к равновесному состоянию сумма информации и энтропии остается
постоянной
I[r,p\t] + S{t) = S0 = const. B.5.6)
При этом константа определяется энтропией равновесного состоя-
состояния. Информация равновесного состояния
I[r,p\t = оо] = As(t = оо) = 0. B.5.7)
Итак, для газа Больцмана положительность информации есть ес-
естественное свойство системы. В общем же случае для выполнения не-
неравенства /[А"|а] > 0 потребуется, как мы увидим, выполнение неко-
некоторого дополнительного условия.
Итак, при выполнении условия одинаковости значений средней
энергии сравниваемых состояний энтропия Шеннона является поло-
положительной. Если же это условие не выполняется, то возможны два
способа определения относительной степени упорядоченности и ин-
информации выделенных состояний рассматриваемой открытой систе-
системы.
1. Для выполнения равенства значений средней энергии сравни-
сравниваемых состояний необходимо произвести соответствующую перенор-
перенормировку одного из них. Это будет сделано в следующем разделе на
примере эволюции стационарных состояний генератора Ван дер По-
Поля при изменении управляющего параметра — параметра обратной
связи. Соответствующий критерий относительной степени упорядо-
упорядоченности назван в (Климонтович, 1983) «5-теорема». В предыдущей
главе было отмечено, что этот критерий эффективен не только для
физических, но и для биологических систем.

§2.6. 5-теорема на примере генератора Ван дер Поля 57
2. При невыполнении условия одинаковости значений средней энер-
энергии возможно определение информации через разность иных, чем эн-
энтропия, термодинамических потенциалов. Так, при описании времен-
временной эволюции в генераторе Ван дер Поля информацию (при заданной
интенсивности источника шума) можно определить через разность
значений неравновесной свободной энергии.
§2.6. 5-теорема на примере генератора Ван дер Поля
Среди всех термодинамических функций только энтропия 5 обла-
обладает набором свойств, благодаря которым она может быть использо-
использована в качестве неопределенности (хаотичности) при статистическом
описании процессов в макроскопических системах.
Чтобы использовать эту возможность необходимо перенормиро-
перенормировать энтропию более хаотического состояния так, чтобы сопоставле-
сопоставление состояний открытой системы в процессах эволюции производи-
производилось при одинаковых значениях средней эффективной энергии.
Рассмотрим в качестве относительно простого примера процесс
эволюции стационарных состояний генератора Ван дер Поля при из-
изменении параметра обратной связи а (Стратонович, 1961; Малахов
A968); Климонтович, 1982, 1995; Ланда A980)). Сравнение относи-
относительной степени упорядоченности будем производить по критерию «5-
теорема».
Выделим два состояния, отвечающие следующим значениям пара-
параметра обратной связи: а = 0 (равновесное состояние колебательного
контура), а — а\ для некоторого стационарного, но неравновесного со-
состояния генерации.
Обозначим через X выделенную характеристику стационарного
состояния. Для генератора роль X будет играть здесь энергия коле-
колебаний Е. Введем соответствующие обозначения для функций распре-
распределения /о, Д и соответствующих энтропии So, S±.
Ренормализация к заданному значению средней энергии сводится
здесь к замене температуры равновесного состояния Т ее эффектив-
эффективным значением Т. Эффективная температура Т определяется путем
решения уравнения
kBf
= f Efo(E,a = 0)dE= f Ef1(E,a = a1)dE. B.6.1)
Оно и служит дополнительным условием, обеспечивающим поло-
положительность информации. Решение этого уравнения удовлетворяет
неравенству:
Т(а) > Т. B.6.2)
Знак равенства относится к случаю а = 0.
Отсюда следует, что для выравнивания значений средней энергии
состояние 0 надо «подогреть».

58 Глава 2. Критерии упорядоченности
Обозначим через So соответствующее перенормированное значе-
значение энтропии. Поскольку теперь оба состояния имеют одинаковые зна-
значения средней энергии, то разность энтропии 5о, Si может служить
мерой относительной степени упорядоченности выделенных состоя-
состояний. С учетом условия
(Е) = const B.6.3)
выражение для разности энтропии можно записать в виде:
50 - Si = / fin ^-) h(E)dE > 0. B.6.4)
J V fo(E)J
Итак, расчет относительной степени упорядоченности выделенных
состояний выражается двумя формулами. Формула B.6.2) подтверж-
подтверждает правильность выбора состояния равновесия 0 в качестве наибо-
наиболее хаотического. Формула же B.6.4) дает количественную меру их
относительной степени упорядоченности.
Используя общую формулу B.5.2), мы можем определить инфор-
информацию 1(Е) стационарных состояний генератора при всех значениях
параметра порядка выражением
I(E) = 50 - Si = / fin 4^ ) h(E)dE > 0. B.6.5)
J \ fo(E)J
Отсюда следует, что при нулевом значении параметра обратной
связи состояние совпадает с равновесным и информация равна нулю.
В предыдущей главе уже было отмечено, что по той же схеме на
основе «S-теоремы» можно определить информацию стационарных
состояний при переходе от ламинарного течения к турбулентному.
Управляющим параметром служит число Рейнольдса. Расчет пока-
показывает, что по мере увеличения числа Рейнольдса информация воз-
возрастает. Это служит еще одним подтверждением, что стационарное
турбулентное движение является более упорядоченным и более инфор-
информативным по сравнению с соответствующим ламинарным течением.
§2.7. 5-информация и информация Шеннона
Итак, на примере генератора Ван дер Поля было показано, как ме-
меняется информация в открытой системе в процессе эволюции стацио-
стационарных состояний при достаточно медленном изменении параметра
обратной связи a,f. При этом оценка относительной степени упорядо-
упорядоченности состояний проводилась по критерию «S-теорема».
Покажем, что имеется принципиальное отличие проведенного рас-
расчета информации открытых систем по формуле B.5.2) и по S-
информации Шеннона.

§2.7. 5-информация и информация Шеннона 59
Рассмотрим для этого модель симметризованного по нелинейнос-
нелинейности генератора. Для него уравнение Фоккера-Планка для функции рас-
распределения значений энергии f(E,t) имеет вид (Климонтович, 1982,
1995).
Здесь D — интенсивность шума; а = a,f — 7? o>f — параметр об-
обратной связи, а и b — коэффициенты, соответственно, линейного и
нелинейного трения. Стационарное решение /о(#), справедливое при
всех значениях параметра обратной связи, запишем по аналогии с ка-
каноническим распределением в виде:
F(a) - HeS(E)
f(E, a, D) = exp
квТ
B.7.2)
7
Здесь использовано обозначение для эффективной функции Га-
Гамильтона Hef[(E); F(a,), S(a) —соответствующие свободная энергия
и энтропия. Предположим, что источником шума являются тепловые
колебания в электрическом контуре. Тогда величина D определяется
формулой Эйнштейна
D = jkBT. B.7.3)
Выражение следует дополнить условием нормировки
f{E,a,T)dE=l. B.7.4)
/о
Выделим снова два характерных стационарных состояния.
1. Параметр обратной связи а/ = 0. В этом случае распределение
B.7.2) совпадает с равновесным распределением Больцмана.
2. Режим развитой генерации: a,f ^> 7- В этом случае из формулы
B.7.2) следует распределение Гаусса
I; (SEJ = ^. B.7.5)
Г
./о
^expff)
Для выделенных состояний получим выражения для значений «5-
информации» — энтропии Больцмана. Из них следует, что энтропия
и «5-информация» возрастают по мере перехода от равновесного со-
состояния к режиму развитой генерации:
So < Si; /о < Д. B.7.6)
Первое неравенство можно интерпретировать как уменьшение сте-
степени упорядоченности по мере развития генерации. Однако интуитив-
интуитивно ясно, что степень упорядоченности должна, напротив, возрастать
при переходе к режиму генерации.

60 Глава 2. Критерии упорядоченности
В то же время второе неравенство показывает, что «5-
информация» в процессе развития генерации возрастает. Эти резуль-
результаты противоречат закону сохранения энтропии и информации. Та-
Таким образом, расчеты энтропии и «5-информации» не могут служить
для определения относительной степени упорядоченности и информа-
информативности выделенных состояний.
В чем же причина противоречия?
Суть в том, что, по мере развития генерации, средняя энергия ко-
колебаний возрастает
В то же время по критерию «5-теорема» сравнение энтропии долж-
должно производится при одинаковых значениях средней энергии. Для это-
этого, как мы знаем, необходимо произвести соответствующую перенор-
перенормировку.
Из изложенного следует, что более адекватные результаты о ха-
характере изменения информации открытых систем при изменении
управляющих параметров могут быть получены лишь на основе при-
приведенного определения информации открытой системы B.5.2). При
таком определении, как и во второй формуле Шеннона, информация
представляется как разностная характеристика. Расчеты на основе
«5-информации», как мы убедились на конкретном примере, не при-
приводят при анализе относительной степени упорядоченности состояний
открытых систем к физически оправданным результатам.
§2.8. Информация о броуновском движении
Используем приведенное выше уравнение Фоккера-Планка для
функции распределения значений энергии f(E,t). Величина D играет
роль эффективной температуры.
Введем определения для неравновесной свободной энергии и энтро-
энтропии через функцию распределения в текущий момент времени f(E,t)
(/ fdE = J fodE = 1)
F(t) = (H(E))t-DS(t). B.8.1)
Теперь мы имеем возможность ввести функционал Ляпунова для
броуновского движения. Он определяется разностью свободных энер-
энергий F(t), Fo и удовлетворяет двум неравенствам (Климонтович, 1982,
1995):
AF = F(t) - Fo = D Г In Щ^-/{Е, t)dE > 0, B.8.2)
= ^ BA3)
dz do
Получен, тем самым, результат, аналогичный if-теореме Больц-
мана с использованием функционала Ляпунова As = Sq — S(t).

§2.9. Информация и относительная степень упорядоченности... 61
При временной эволюции по уравнению Фоккера-Планка (при за-
заданной интенсивности шума — эффективной температуре) средняя
энергия не сохраняется. По этой причине роль As теперь выпол-
выполняет функционал Ляпунова Ар, определяемый разностью свободных
энергий.
По аналогии с B.5.2) можно ввести меру информации через функ-
функционал Ляпунова Ар
IF[E\t] = AF = F[E\t] - F0[E] =
r°
= D
JO
In Щг^-fiE, t)dE > 0. B.8.4)
Величина /p[i?|tf] служит мерой информации о степени удаленнос-
удаленности неравновесного состояния в текущий момент от стационарного со-
состояния при заданном значении параметра обратной связи. Так, опре-
определенная информация растет по мере приближения к стационарному
состоянию и остается постоянной при его достижении.
Из последнего выражения следует своеобразный закон сохранения:
разность свободной энергии неравновесного состояния jF[i?|tf] и инфор-
информации /j?[i?|tf] в процессе временной эволюции при заданном значении
параметра обратной связи остается неизменной
F[E\t] - IF[E\t] = F0[E] = const. B.8.5)
Константа при любом заданном значении параметра обратной свя-
связи определяется величиной свободной энергии равновесного состояния.
Она минимальна при нулевом значении параметра обратной связи,
т.е. в равновесном состоянии. Этот результат аналогичен полученно-
полученному ранее закону сохранения B.5.6).
§2*9* Информация и относительная степень
упорядоченности по экспериментальным
данным
Для практического использования 5-теоремы необходимо знать эф-
эффективную функцию Гамильтона. Ее определение не представляет
принципиальных трудностей, если известна математическая модель
процесса. Во многих случаях, однако, даже для физических систем не
удается найти адекватную математическую модель рассматриваемой
открытой системы. Эта задача является еще более сложной при ис-
исследовании биологических, социальных и экономических объектов.
В связи с этим надо иметь возможность определения относитель-
относительной степени упорядоченности открытых систем непосредственно по
экспериментальным данным. Необходимая для этого последователь-
последовательность действий такова:
1. Проводим для рассматриваемой системы выбор управляющих
параметров. Выбираем два состояния системы при значениях управ-
управляющих параметров uq и по + Да.

62 Глава 2. Критерии упорядоченности
2. Для выбранных параметров системы экспериментально получа-
получаем достаточно длинные временные реализации
Xo(t,ao), X(t,ao + Aa). B.9.1)
Вводим эти данные в компьютер и по ним строим соответствую-
соответствующие функции распределения:
/о(-У,оо), /(-У, ао +Да). B.9.2)
Оба распределения нормированы на единицу.
Далее действуем по известному уже рецепту.
3. Принимаем одно из состояний, например, «О» за состояние фи-
физического хаоса и определяем эффективную функцию Гамильтона:
HeS = -lnfo(X,ao). B.9.3)
Тем самым, она определяется непосредственно по эксперименталь-
экспериментальным данным. Название «эффективная функция Гамильтона» оправда-
оправдано тем, что перенормированная к заданному значению (Не$) функция
распределения имеет форму канонического распределения Гиббса:
B.9.4)
Здесь Т — эффективная температура. Для состояния физического
хаоса Т = 1.
Эффективная свободная энергия как функция Т определяется из
условия нормировки функции /о. Зависимость эффективной темпера-
температуры от изменения управляющего параметра Аа находим, как и вы-
выше, из условия постоянства средней эффективной энергии:
[ ffeff/o(-X, ao)dX = f Hef{f(X, a0 + Да) АХ. B.9.5)
Если решение этого уравнения имеет вид B.6.2), то выбор состоя-
состояния физического хаоса оправдан. Расчет относительной степени упо-
упорядоченности снова проводится по формуле B.6.4).
За начало отсчета информации примем состояние физического ха-
хаоса — состояние с а = ао. Тогда «избыточная информация», возника-
возникающая при переходе к более упорядоченному состоянию с а — ао + Аа
при том же значении средней эффективной энергии определяется вы-
выражением
= So - 5 = / (In №^ + АаЛ № ао + Aa)dx > О.B.9.6)
J \ fo(X) )
Знак равенства относится к случаю Аа = 0.
Из последней формулы следует, что разность энтропии, характе-
характеризующая относительную степень упорядоченности, зависит от отно-
отношения функций распределения логарифмически. Тем более интересно,
что наблюдаемая разность энтропии достигает 30-40%.

§2.10. Определение относительной степени упорядоченности по спектрам 63
§2.10. Определение относительной степени
упорядоченности по спектрам
Вместо временных рядов B.9.1) можно использовать соответству-
соответствующие временные спектры, отвечающие тем же значениям управляю-
управляющих параметров
Io(a;,ao), Ii(u>,ao + Да). B.10.1)
Введем соответствующие функции распределения значений интен-
сивностей
/o(J,ao), f(I,ao+Aa). B.10.2)
Предположим снова, что более хаотическим является состояние «0» и
определим эффективную функцию распределения уравнением
ffeff(J,ao) = -ln/o(J,ao). B.10.3)
Следуем далее изложенному в предыдущем разделе. Производим
перенормировку к заданному значению эффективной функции Га-
Гамильтона (Heff(
J
, ao, Aa)dl = j tfeff(/, ao)/(J, а0 + Aa)dl. B.10.4)
Перенормированная функция распределения определяется теперь
выражением
/о(/,ао,Да) = ехр li5Alf?l^L_^pLM. B.10-5)
Эффективную свободную энергию Feff(Teffa0) находим из условия
нормировки
/о(/,ао,Да)а7=1. B.10.6)
В результате уравнение B.10.4) превращается в трансцендентное
уравнение для определения эффективной температуры Tef[(Aa). Если
решение этого уравнения таково, что
Тея(Аа) > 1, B.10.7)
то выбор состояния «0» в качестве физического хаоса оправдан и от-
относительная степень упорядоченности состояний «0», «1» определяет-
определяется выражением
So - S = [ (In У;°О + ^°Л /(/, ао + Aa)dl > 0. B.10.8)
Знак равенства имеет место при условии Да, т.е. при совпадении
состояний «0», «1».

64 Глава 2. Критерии упорядоченности
Имеется, наконец, еще одна возможность определения относитель-
относительной степени хаотичности состояний открытой системы по критерию
«S-теорема».
Вместо распределений «координат» /(-X", а) и интенсивностей
спектров /(/, а) можно использовать соответствующие распределения
значений частоты и — функцию /(о;, а). Она вводится следующим об-
образом.
Из всего спектра /(о;, а) выделяем «наиболее интересный» интер-
интервал частот их < и < и2 и определяем функцию распределения равен-
равенством
/(<">«) = 7 1{Ш\п). ,чА.» / /(«,o)dw = l. B.10.9)
Примем снова одно из состояний «0», «1», например, «0» за состо-
состояние физического хаоса и введем эффективную функцию Гамильтона
#eff(w,a) = -h/(a;,a), B.10.10)
которая теперь является функцией частоты. Далее для сравнения от-
относительной степени хаотичности снова используем описанный выше
метод.
Итак, критерий «5-теорема» позволяет проводить сравнение отно-
относительной степени упорядоченности любых состояний открытой сис-
системы непосредственно по экспериментальным данным. При этом ко-
количественной мерой относительной степени упорядоченности служит
разность значений энтропии выделенных состояний, отнесенных к за-
заданному значению средней эффективной энергии (Нея).
Последняя также определяется по экспериментальным данным.
При этом удается определить, является ли процесс при изменении
значений управляющих параметров процессом самоорганизации или
процессом деградации.
Напомним, что традиционно процесс самоорганизации — переход
от беспорядка к более упорядоченному состоянию. Это определение
оправдано для открытых систем, когда за начало отсчета степени
упорядоченности можно принять равновесное состояние.
Примером может служить генератор Ван дер Поля. При нулевом
коэффициенте обратной связи процесс сводится в нем к тепловым ко-
колебаниям в линейном электрическом контуре. Это состояние является
наиболее хаотическим. При этом открывается возможность сравнения
любого неравновесного состояния (с любым значением коэффициен-
коэффициента обратной связи) с наиболее хаотическим равновесным состоянием.
Согласно 5-теореме при этом любое неравновесное состояние будет
более упорядоченным.
Это, разумеется, не означает, что степень упорядоченности воз-
возрастает монотонно по мере увеличения коэффициента обратной связи.

§2.11. Самоорганизация в медико-биологических системах 65
Величина упорядоченности может возрастать с увеличением коэффи-
коэффициента обратной связи немонотонно. Можно лишь утверждать, что
все неравновесные состояния будут более упорядоченными по срав-
сравнению с равновесным состоянием, для которого параметр обратной
связи равен нулю. Аналогичные выводы можно сделать и для процес-
процесса перехода от стационарного ламинарного течения к стационарному
турбулентному движению. Об этом уже кратко говорилось в первой
главе.
В качестве параметра порядка можно выбрать, например, пере-
перепад давления Ар на концах трубки, по которой течет жидкость. При
отсутствии перепада давления гидродинамическое движение отсут-
отсутствует и имеет место лишь хаотическое движение атомов, отвечаю-
отвечающее состоянию теплового равновесия. На основании 5-теоремы мож-
можно утверждать, что состояние при любом отличном от нуля значе-
значении перепада давления Ар будет более упорядоченным. Имея такого
рода результаты для ламинарного и турбулентного течений, можно
убедиться, что турбулентное течение является более упорядоченным,
чем ламинарное.
Ситуация существенно меняется, когда для рассматриваемой сис-
системы состояние теплового равновесия не может быть реализовано.
Именно так обстоит дело для многих физических систем, например,
для атмосферы Земли, для биологических, экономических и социаль-
социальных систем. В этих случаях невозможно для сравнения степени упо-
упорядоченности различных состояний открытых систем использовать
равновесное — наиболее хаотическое, состояние.
Сравнение может производиться с состоянием, отвечающим «нор-
«норме хаотичности» для рассматриваемой системы. Установление степе-
степени упорядоченности, отвечающей «норме хаотичности», также может
проводиться по экспериментальным данным. При этом, однако, ме-
меняется определение самоорганизации. Действительно, отклонение от
нормы хаотичности, в зависимости от изменения значений управляю-
управляющих параметров, может происходить в обе стороны. Если отклонение
от нормы хаотичности принять за «болезнь», то спонтанное, без «ле-
«лекарств», возвращение к норме можно назвать «самовыздоровлением».
Естественно назвать самов*ыздоровление процессом самоорганиза-
самоорганизации. Поскольку отклонения от нормы могут происходить как в сторо-
сторону большей, так и меньшей упорядоченности, то возможны два рода
соответствующих заболеваний и следовательно два пути самовыздо-
самовыздоровления — два вида процессов самоорганизации.
Рассмотрим пример самоорганизации в биологических системах.
После этого проведем краткий сравнительный анализ различных кри-
критериев хаотичности движения в различных системах.

66 Глава 2. Критерии упорядоченности
§2.11. Самоорганизация в медико-биологических
системах
Напомним сказанное об этом в первой главе, но с некоторыми до-
дополнениями.
Итак, при расчетах как энтропии, так и информации можно выде-
выделить два класса явлений в открытых системах. К первому относятся
системы, которые существуют и в состоянии теплового равновесия. В
этих случаях отсчет информации, как мы видели, можно производить
от наиболее хаотического (равновесного) состояния.
Например, в генераторе Ван дер Поля по мере увеличения значения
параметра порядка происходит переход от состояния тепловых коле-
колебаний в электрическом контуре к режиму развитой генерации. Если
сравнение состояний производится при одинаковых значениях сред-
средней энергии колебаний, то в процессе развития генерации — в про-
процессе удаления от равновесного состояния, энтропия уменьшается, а
информация возрастает. Это и дает основание рассматривать процесс
развития генерации как процесс самоорганизации.
Имеется, таким образом, основание определить процесс самоорга-
самоорганизации в таких системах как переход от более хаотического к менее
хаотическому состоянию или как переход от состояния с нулевой ин-
информацией (равновесного состояния) в неравновесное состояние — в
состояние с отличной от нуля информацией. Таким образом, по мере
развития генерации происходит рождение информации — рождение
более высокоорганизованного состояния.
Подобное же увеличение информации происходит и при переходе
от ламинарного течения в трубе к турбулентному по мере увеличения
перепада давления (увеличения числа Рейнольдса).
Здесь также за начало отсчета равновесного состояния можно при-
принять равновесное состояние жидкости при нулевом перепаде давления
— при нулевом значении управляющего параметра. В этом случае
гидродинамическое движение отсутствует и имеет место лишь хао-
хаотическое движение молекул жидкости. Оно и является наиболее хао-
хаотическим — наименее информативным.
Понимание термина «самоорганизация» как перехода от более хао-
хаотического к более упорядоченному состоянию является основой теории
образования диссипативных структур. Первое систематическое изло-
изложение этого круга вопросов дано в известных работах И. Пригожина
и Г. Николиса. Отправным пунктом служат при этом идеи и резуль-
результаты И. Пригожина по термодинамике необратимых неравновесных
процессов.
Ставшее уже традиционным определение самоорганизации не яв-
является, однако, общим. Действительно, существует широкий класс
систем — это, прежде всего, биологические системы, для которых со-

§2.12. Сравнительный анализ критериев хаотичности 67
стояния как полного хаоса (тепловое равновесие), так и полного по-
порядка не могут быть реализованы. При этих условиях их функциони-
функционирование просто невозможно.
Для таких систем более фундаментальным является понятие «нор-
«нормы хаотичности», которое уже неоднократно использовалось выше.
Его можно сопоставить понятию «здоровье». Тогда процессом само-
самоорганизации можно назвать процесс выздоровления.
Обратимся в связи с этим к исследованиям откликов на стрессы
для мужчин и женщин. Состояние после стресса мы условились назы-
называть «болезнью». Проведенные исследования показали, что в резуль-
результате действия стресса для женщин степень хаотичности возрастает,
а для мужчин — уменьшается. Но тогда для женщин переход к нор-
норме хаотичности — выздоровление, которое мы и условились называть
процессом самоорганизации, — есть переход от более хаотического
состояния к менее хаотическому состоянию.
Напротив, для мужчин состояние после стресса — «болезнь» от-
отвечает более упорядоченному состоянию.
Процесс самоорганизации можно определить как выздоровление.
Для женщин процессу самоорганизации отвечает переход от более ха-
хаотического состояния к более упорядоченному. Для мужчин же про-
процесс выздоровления, а следовательно и самоорганизация, идет при уве-
увеличении степени хаотичности.
Обозначим через 1\у и 1м отнормированные к некоторому значе-
значению средней эффективной энергии значения информации, полученные
для женщин и мужчин на основе анализа соответствующих кардио-
кардиограмм. Из описанных экспериментов следует, что для женщин более
хаотическими являются состояния после (after) стресса, а для муж-
мужчин более хаотическим является состояние до (before) стресса. В соот-
соответствие с этим «Softer есть перенормированная энтропия для женщин
после стресса, a ??efore есть перенормированная энтропия для муж-
мужчин до стресса (в состоянии с нормой хаотичности). С учетом этих
обозначений имеем следующие определения информации
iw = §™ - SSL > о; 1м = %?L ~ 4fel > о. B.И.1)
Эти формулы позволяют провести количественную оценку по кар-
кардиограммам изменения информативности после стресса для женщин
и мужчин в процессе самрвыздоровления.
Изложенное, разумеется, не исчерпывает предмет, обозначенный в
заголовке настоящей главы.
Остался «за бортом», например, очень интересный и практичес-
практически важный вопрос о ценности информации. Он требует специального
рассмотрения (Р.Л. Стратоновича A975), Д.С. Чернавский B001)).

68 Глава 2. Критерии упорядоченности
§2.12. Сравнительный анализ критериев хаотичности
Наряду с критерием «5-теорема», определяющим относительную
степень упорядоченности состояний открытых систем, существует
ряд других критериев упорядоченности или хаотичности. Рассмот-
Рассмотрим некоторые из них.
2.12.1. К-энтропия и показатели Ляпунова. Основной отли-
отличительной чертой динамического хаоса — сложного движения в дис-
сипативных нелинейных системах, является динамическая неустойчи-
неустойчивость движения. Она проявляется в экспоненциальной расходимости
близких в начальный момент траекторий. Мерой экспоненциальной
расходимости траекторий служит К-энтропия (энтропия Крылова-
Колмогорова-Синая) . Она связана с показателями Ляпунова, которые
также характеризуют расхождение (при неустойчивости движения)
или, напротив, сближение (при устойчивом движении) траекторий,
имеющих близкие начальные условия.
Для широкого класса систем К-энтропия выражается через сумму
положительных показателей Ляпунова (Песин, 1977) по формуле:
,-, At>0. B.12.1)
Если положительные показатели Ляпунова отсутствуют и, следо-
следовательно, движение устойчиво, то lf-энтропия равна нулю. Общее
число показателей Ляпунова совпадает с числом степеней свободы ди-
динамической системы.
Рассмотрим для примера одномерное движение, которое характе-
характеризуется одним показателем Ляпунова. Если движение неустойчиво,
то К = А > 0. Для непрерывного процесса эти величины выража-
выражаются через логарифм отношения расстояний в текущий и начальный
моменты времени (см., например, (Schuster, 1988)) :
К = X = lim lim 7ln rwf^L- B.12.2)
Здесь использованы обозначения для расстояний между траекто-
траекториями в текущий t и начальный t — 0 моменты времени. Из этого
определения следует, что К-энтропия положительна лишь при усло-
условии экспоненциальной расходимости траекторий.
Для нелинейной диссипативной системы величины К, X могут
быть найдены лишь путем численного эксперимента. При переходе
к дискретному времени предельный переход D(t = 0) —>• 0 не может
быть осуществлен из-за конечности Dmm. По этой причине использу-
используется другое определение величин К, X.

§2.13. Статистический аналог характеристик K,Kni 69
Покажем это на примере логистического уравнения
Xn+i = (а - хп)хп = /(»„), 0 < ж < 4; 0 < а < 4. B.12.3)
Показатель Ляпунова определяется выражением:
К(х0) = Х(хо) = nli^i?ln|gu. B.12.4)
Оно характеризует (в среднем по траектории) линейное отклоне-
отклонение для каждого отдельного шага рассматриваемого процесса. Резуль-
Результат имеет конечное значение при экспоненциальном расхождении тра-
траекторий.
Характерным для линейного показателя неустойчивости являет-
является обращение показателя Ляпунова в нуль в точках бифуркации. Это
отвечает бесконечному значению соответствующего времени релакса-
релаксации. Детали перехода через точку бифуркации в таком приближении
не могут быть описаны. Рассмотрим соответствующую нелинейную
характеристику Кп\ (Климонтович, 1990, 1995)
2.12.2. Нелинейная характеристика расхождения траекто-
траекторий. Кп/-энтропия. Вместо B.12.2) используем среднее по време-
времени значение логарифма отношения расстояний между траекториями
в текущий и начальный моменты
Щ B.12.5)
Условие D(k) > -D(O) исключает отрицательные вклады и, тем
самым, учитывается только расходящиеся траектории. В выражении
для К-энтропии это условие удовлетворяется, фактически, благодаря
предельному переходу D@) —> 0.
Существенно, что при расчете lf-энтропии не принимается во вни-
внимание роль флуктуации. Из критерия же «5-теорема» следует, что
при определении относительной степени хаотичности состояний от-
открытых систем — при описании процессов самоорганизации, флуктуа-
флуктуации играют принципиальную роль. Более того, критерий «5-теорема»
может быть основан непосредственно на экспериментальных данных.
Это обеспечивает его применимость и в тех случаях, когда затрудни-
затруднительно установить вид диссипативных динамических уравнений.
§2.13. Статистический аналог характеристик К,Кп\
Используем в качестве исходной двухточечную функцию распреде-
распределения /(ж1,Ж2?а?^)- Она стандартным путем при условии локальной
эргодичности и соответствующего усреднения по ансамблю Гиббса

70 Глава 2. Критерии упорядоченности
получается на основе временных реализаций двух траекторий (Кли-
монтович, 1995). С помощью функции f(xi, ж2,«,^), в свою очередь
находим функцию распределения расстояний между траекториями
/(D, a,t)= I 6{D - у/(хг - x2J)f(xu x2, a, t)dx1dx2. B.13.1)
С помощью этого распределения находим две статистические ха-
характеристики — среднее расстояние между траекториями D(a,t) и
эффективное расстояние между траекториями AD(a,t):
D{a,t)= [ Df(D,a,t)dD; Д?>(а,*) =-J—. B.13.2)
J f(D,a,t)
Вторая характеристика следует из условия нормировкипри под-
подстановке в него распределения /(.D, a, t) при значении D = D.
Используем определение энтропии
S(a, t) = - f /(D, a, t) In /(Д a, t)dD. B.13.3)
Проведем под интегралом разложение по параметру D — D. В ре-
результате получим аналог формулы Больцмана
S{a,t)=\nAD(a,t). B.13.4)
Отсюда следует выражение для разности энтропии в текущий и
начальный моменты времени
S(a,t) - S(a,to) = 1Пдп/"'Д- B.13.5)
При возрастании расстояния между траекториями энтропия воз-
возрастает. С помощью последнего выражения находим выражение для
статистического аналога lf-энтропии — величины Kst
_ S(a,t) - S(a,t0) _ 1 AD(a,t)
K« ГТ ГТЬ BЛЗб)
Имеется аналогия с iiC-энтропией. Чтобы выявить эту аналогию,
рассмотрим это выражение в пределе нулевых начальных расстояний:
= \at= lim lim j-ln ^j\\. B.13.7)
At>oo AD(,tQ)->0 At AD(t0)
Имеется, однако, и принципиальное различие.
iiC-энтропия характеризует решение динамических уравнений. На-
Напротив, при определении величины Kst исходными служат временные
реализации, полученные в эксперименте. Учитывается, тем самым, не
только сложность динамического движения — динамический хаос, но
и флуктуации, отражающие атомарную структуру рассматриваемой
макроскопической системы.

§2.14. Скорость изменения энтропии по средней энергии... 71
Из последней формулы следует, что величина Kst — аналог эн-
энтропии Крылова-Колмогорова-Синая, характеризует не саму энтро-
энтропию, но производство энтропии. При этом знак производства энтро-
энтропии зависит от характера движения. Так, если в процессе временной
эволюции эффективное расстояния между траекториями увеличива-
увеличивается — аналог динамической неустойчивости, то производство энтро-
энтропии положительно — энтропия возрастает. Напротив, при AD(a,t) <
AZ)(a, to) производство энтропии уменьшается.
Однако увеличение энтропии не означает в общем случае увели-
увеличения относительной степени хаотичности текущего и начального со-
состояний, поскольку в процессе эволюции не выполняется, в общем слу-
случае, условие постоянства средней эффективной энергии. На вопрос об
изменении относительной степени хаотичности следует использовать
на принятом уровне описания критерий «5-теорема».
2.13.1. «Нормированная энтропия». В последние годы в ка-
качестве характеристики степени хаотичности используется величина,
которая названа: «нормированная энтропия» (Анищенко, Сапарин,
1993). Она определяется отношением
S. B.13.8)
Здесь S(a) — энтропия, определенная по временной реализа-
реализации жB, а), отнесенная к средней энергии. Последняя представляется
усредненным по времени квадратом временной реализации
Ё- — I x2(t,a)dt. B.13.9)
Таким образом, обе величины в приведенном соотношении опреде-
определяются по экспериментальным данным.
Соотношение B.13.8) не имеет ясной физической трактовки. Оно,
однако, все же полезно для качественного анализа изменения времен-
временных реализаций, например, кардиограмм, при изменении управляю-
управляющего параметра (при включении некоторого стресса). Подробный ана-
анализ экспериментальных данных приведен в работах (Анищенко Т.,
Сапарин П., Анищенко В., 1993). На примере генератора Ван дер По-
Поля обе величины 5(а), (Е) могут быть рассчитаны на основе матема-
математической модели. Однако, отношение S(a)/E в режиме развитой гене-
генерации становится отрицательным!
Вместо отношения S(a)/E с физической точки зрения более естес-
естественно использовать производную энтропии системы по средней энер-
энергии. При условии термодинамического равновесия эта производная
определяется температурой. Для открытой системы она заменяется на
эффективную температуру. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Глава 2. Критерии упорядоченности
§2.14. Скорость изменения энтропии по средней
энергии в открытых системах
Из второго закона термодинамики для квазистатических процессов
имеем следующее выражение для производной энтропии системы по
энергии
= f > 0. B.14.1)
Таким образом, с увеличением температуры скорость изменения
энтропии по энергии уменьшается. Естественно, что приведенное со-
соотношение имеет место для средних термодинамических характерис-
характеристик, когда флуктуации пренебрежимо малы Е = (Е) = U.
Рассмотрим примеры
2.14.1. Идеальный газ. Для идеального газа из N частиц внут-
внутренняя энергия определяется выражением:
E = U=\NkBT. B.14.2)
Температурный вклад в энтропию определяется формулой:
S{=)^NkB\nkBT. B.14.3)
С учетом первого равенства можно выделить зависимость энтро-
энтропии от внутренней энергии:
S(=)-NkBlnU. B.14.4)
В результате получаем искомое выражение:
8S 1
B-14-5)
Скорость изменения энтропии по средней энергии может служить
важной характеристикой и для неравновесных открытых систем. По-
Покажем это на конкретных примерах.
2.14.2. Генератор Ван дер Поля. Учет наличия естествен-
естественных флуктуации, отражающих «атомарную» структуру электричес-
электрического тока, приводит к необходимости использования статистического
описания. Для генератора с симметричной нелинейностью статисти-
статистическое описание проводится на основе замкнутого уравнения Фоккера-
Планка B.7.1) для функции распределения значений энергии f(E, a, t)
(Климонтович, 1982, 1995). В стационарном состоянии решение имеет
вид:

§2.14. Скорость изменения энтропии по средней энергии... 73
B.14.6)
Это решение здесь удобно представить в форме канонического рас-
распределения Гиббса:
= с, {-
/ f(E,a,T)dE=l. B.14.7)
./о
Постоянная С определяется из условия нормировки.
Коэффициент а здесь связан с коэффициентом обратной связи ау и
коэффициентом линейного трения 7 соотношением:
а = 7-«/, а/>0. B.14.8)
Если флуктуации являются естественными — определяются лишь
«атомарной» структурой тока в контуре, то интенсивность шума D
определяется формулой Эйнштейна:
D = ikBT, B.14.9)
/3 — коэффициент нелинейного трения.
Сделанный выбор выражения для эффективной функции Гамиль-
Гамильтона (ср с B.14.6)) оправдан при выполнении неравенств
—/?«1, И «7- B.14.10)
Энтропия генератора определяется выражением:
S[E, a] = -кв J f(E, a, T) In f(E, a, T)dE =
-кв \*C + kBJ аЕ + {1?2)(ЗЕ/(Е,a,T)dE. B.14.11)
Чтобы найти производную энтропии по средней энергии, надо
знать функцию S((E), а) — зависимость энтропии от средней энер-
энергии. Определение такой зависимости — сложная задача. Она сущест-
существенно упрощается в приближении второго момента, эффективность

74 Глава 2. Критерии упорядоченности
которого установлена как для генератора Ван дер Поля (Климонто-
вич, 1982, 1995), так и в теории фазовых переходов второго рода (Кли-
монтович, 1999). В этом приближении функция распределения имеет
вид:
/(Я, а, Т) = С6(Е - (#», С = 1. B.14.12)
При этом средняя энергия (Е) при всех значениях параметра об-
обратной связи определяется решением алгебраического уравнения:
р(ЕJ + a(E) = D, D = 7*вГ. B.14.13)
Подставим распределение B.14.12) в формулу для энтропии
B.14.11) и выполним интегрирование по энергии. В результате по-
получим связь энтропии и средней энергии:
mml. ,2Л4.14)
Отсюда следует выражение для производной энтропии по средней
энергии:
^±ш BЛ,15,
С учетом уравнения для (Е) последнее выражение можно предста-
представить в виде:
Рассмотрим три характерных случая.
1. Равновесное состояние: параметр обратной связи а/ = 0. В этом
случае с учетом неравенства B.14.10) (Е) = квТ и производная эн-
энтропии по средней энергии определяется термодинамическим выра-
выражением
?- BЛ4Л7)
которое совпадает, естественно, с термодинамической формулой
B.14.1).
2. Порог генерации: а=7~"а/ = 0.В этом случае средняя энергия
определяется выражением:
B.14.18)
В результате для производной энтропии по средней энергии полу-
получаем следующее выражение:
OS ,_. . . B.14.19)
Здесь снова использовано первое неравенство B.14.10).

§2.15. Определение производной энтропии по средней энергии... 75
Таким образом, по мере перехода от равновесного состояния к по-
порогу генерации производная энтропии по средней энергии уменьша-
уменьшается. Покажем, что эта тенденция сохраняется по мере развития ге-
генерации.
3. Режим развитой генерации: \а\ //3 ^> fcjjT. Средняя энергия и
производная энтропии определяются формулами:
(Е) = ^ > квТ, B.14.20)
±<<:±- B 14 21)
т<<Г B'14'21)
Монотонное уменьшение, по мере развития генерации, производ-
производной энтропии по средней энергии служит еще одним указанием на
увеличение степени упорядоченности при развитии генерации. Одна-
Однако этот критерий, в отличие от критерия «5-теорема» не дает коли-
количественной оценки относительной степени упорядоченности различ-
различных состояний открытой системы.
§2.15. Определение производной энтропии по средней
энергии по экспериментальным данным
Основываемся на достаточно длинной временной реализации
X(t, а). Строим по ней функцию распределения /(X, а). С ее помощью
находим распределение значений «энергии» Е = X2
f{E, a)= f 8{Е - Х2)/(Х, a)dX. B.15.1)
По ней определяем энтропию
S[E,a] = - f f{E,a)]nf{E,a)dE. B.15.2)
По распределению f(E, а) находим среднюю энергию в зависимос-
зависимости от управляющего параметра а:
(Е)= f Ef{E,a)dE. B.15.3)
Для энтропии снова используем приближение второго момента:
f{E,a)=S(E-(E)). B.15.4)
В этом приближении энтропия
S((E),a) = -laf((E),a). B.15.5)
Производная энтропии по средней энергии определяется выраже-
выражением:
s\ 1 (У№*)\ 215б)
=(
д(Е))а f((E),a){ д(Е)
Таким образом, искомая производная энтропии по средней энер-
энергии при всех значениях управляющего параметра а выражается через
найденное по экспериментальным данным распределение f(E,a) при
значении Е — (Е).

76 Глава 2. Критерии упорядоченности
§2.16. 5-теорема. «Технические» трудности
2.16.1. Дискретные переменные. Напомним, что при исполь-
использовании критерия «5-теорема» необходимо сравнение выделенных со-
состояний открытой системы при одинаковых значениях средней эффек-
эффективной функции Гамильтона. При численном эксперименте исполь-
используются дискретные переменные. Введем соответствующую функцию
распределения щ (а) для дискретного набора переменных г
N NR
p;(a)EEexp(-#eff), X> = X> = 1. B.16.1)
В условии нормировки Nr < N — число точек при выбранном раз-
разбиении, для которых pi ф 0. В точках pi = 0 для эффективной функ-
функции Гамильтона возникают слабые (логарифмические) бесконечные
значения. В выражении для энтропии Шеннона
a) B.16.2)
при pi — 0 произведение р,- In р,- =0.
Рассматриваем снова два состояния при значениях управляющих
параметров uq и по + Да. По временным реализациям строим соот-
соответствующие функции распределения:
Pi{a0 + Да), Х^'Ы = Х^^'(а° + Аа) = L B.16.3)
i i
Принимаем снова состояние «0» за состояние физического хаоса и
определяем эффективную функцию Гамильтона выражением:
#eff(t,ao) = - lnpe(ao). B.16.4)
Как и выше, название «эффективная функция Гамильтона» оправ-
оправдано тем, что перенормированная к заданному среднему значению
(ifeff) функция распределения р,(ао) имеет форму канонического рас-
распределения Гиббса:
, 5>(«о,Дв). B.16.5)
f.
Здесь Тея(Да) — эффективная температура. Для состояния физи-
физического хаоса.
Да=0, й(ао,Да)=р«(ао), ТеЯ(Да = 0) = 1. B.16.6)
Эффективная свободная энергия ,Ре#(Т), как функция Те#(Да),
определяется из условия нормировки функции р$'(«о? Да). Зависимость

§2.16. 5-теорема. «Технические» трудности 77
эффективной температуры от Да находим снова из условия постоян-
постоянства средней эффективной энергии:
? tfeffp,-(ao, Да) = ? #effP,(ao + Да). B.16.7)
i %
Если решение этого уравнения имеет вид
Teff(Aa) > 1, ТеД(Да)|Да=0 = 1, B.16.8)
то выбор состояния физического хаоса оправдан.
Используем условие одинаковости как нормировки, так и средней
эффективной энергии. В результате приходим к выражению для раз-
разности энтропии:
S{a, Да) - S(a + Да) = У>,(а + Да) In т"ТГ^ > 0, B.16.9)
которая и служит мерой относительной степени хаотичности (ср.с
B.10.8)).
Итак, содержание критерия «5-теорема» выражается двумя ре-
результатами.
Это, во-первых, решение B.16.8) уравнения B.16.7).
Во-вторых, формула B.16.9), которая определяет уменьшение эн-
энтропии и, следовательно, степень хаотичности в процессе эволюции от
состояния физического хаоса — состояния а к состоянию при а + Да.
2.16.2. «Технический» вопрос. При использовании критерия
«5-теорема» возникает «технический» вопрос: Как вычислять суммы
в уравнении B.16.8)?
Пусть функция распределения непрерывной переменной /(ж, а)
определена на материальном отрезке 0 < х < ?, содержащем N
«атомов». Обозначим через lph физически бесконечно малый интер-
интервал. Число атомов в элементе 1рк обозначим через Nph- По определе-
определению «точки» сплошной среды имеет место условие Nph ^> 1. Отсюда
следует число «точек» сплошной среды
7\ГСОП = А = _?L » 1. B.16.10)
При численном счете образец, представляющий сплошную среду,
разбивается на макроскопические элементы Дж, поэтому
Ах > lph B.16.11)
и число элементов N
Nax = JL< Ncon = JL. B.16.12)
Ах lph
Учтем структуру сплошной среды в приведенных в начале этого
раздела формулах.

78 Глава 2. Критерии упорядоченности
Начнем с условия нормировки. В нем надо произвести двойную
замену.
Во-первых, N —> Nax, так как в сплошной среде можно говорить
лишь о числе макроскопических элементов, каждый из которых зна-
значительно больше точки сплошной среды.
Во-вторых, следует исключить «пустые» элементы, вероятность
которых равна нулю. Это можно сделать путем введения фона
(background)
РЬд = -U B.16.13)
-**соп
Обозначим через Noc = N&x— Nemp (occuppy and empty) числа
«занятых» и «пустых» элементов. Предположим, что их число iVemp
мало по сравнению с
B.16.14)
тогда условие нормировки можно записать в виде
ЛГДа; Noc д,
? Pi(a) = ?>(<>) + тР = 1. B.16.15)
Рассмотрим для примера случай однородного распределения по
макроскопическим элементам Ах. В этом случае pi(a) = l/N^x и чис-
число пустых элементов равно нулю. Тогда из последнего выражения
следует:
75 BЛ6-16)
Условие нормировки выполняется тождественно.
Рассмотрим соответствующее выражение для энтропии.
В формуле Шеннона сумма распадается на два вклада, соответ-
соответственно, по занятым (их число JV"OC) и свободным состояниям (их чис-
число iVemp)- Распределение вероятности представляется в виде суммы
Pi + tjJ-. B.16.17)
Эти слагаемые относятся к множествам, соответственно, занятых
и свободных состояний. С учетом этого имеем выражение для энтро-
энтропии
( ?I \ / 1 \
^Sj^^H'^)- B1618)
С учетом того, что множество пересекающихся элементов равно
нулю получаем выражение:

§2.16. 5-теорема. «Технические» трудности 79
S = -J2pilnPi + ^p lni\Tcon. B.16.19)
Второй член учитывает дополнительный вклад в энтропию, кото-
который определяется числом пустых состояний и структурой сплошной
среды.
Снова рассмотрим случай однородного распределения по макро-
макроскопическим элементам Ах по всему отрезку. В этом случае р%{а) =
1/^Дам -Noc = N&x is. число пустых элементов iVemp = 0. Тогда из по-
последнего выражения следует формула Больцмана:
S = lnNAx. B.16.20)
В общем случае положения нулей функций распределения р,(а),
Р»(а)м Рг{а + Аа) не совпадают. Рассмотрим возможный способ пре-
преодоления этой трудности.
В уравнении B.16.7), определяющем условие равенства средней
энергии для двух состояний, рассмотрим сначала член, стоящий в ле-
левой части этого уравнения:
N N
Не{[р{(а) = - ?AпЛ)Й(«)- B.16.21)
Структура функции р,-, а следовательно и эффективной функции
Гамильтона #eff> нам уже известна. Положения нулей исходной функ-
функции распределения pi и перенормированной функции распределения
Pi (а) в общем случае не совпадают. В связи с этим для функции
Pi {а) имеются свои числа заполнения i\Toc, ЛГетр, отличные от чисел
¦Nocj-Nemp для функции распределения р{. Учет этого позволяет пред-
представить сумму, содержащую разные функции распределения, в виде:
BЛ6'22)
Знак «iVoc» у скобок под знаком In указывает, что число Noc для
функции pi уже известно. Аналогичным образом трактуется и правая
часть уравнения B.16.7), а также выражение B.16.9) для разности
энтропии.
Отработанная программа численного расчета по критерию «S-
теорема» на основе временных рядов пока отсутствует.
Напомним в заключение этого раздела, что для критерия «5-
теорема» можно характеризовать рассматриваемые состояния раз-
различными функциями распределения. Выше были отмечены три та-
таких возможности: распределения построенные на основе временных
рядов, распределения значений интенсивностей спектров и, наконец,

80 Глава 2. Критерии упорядоченности
функции распределения значений частот, принадлежащих выделенно-
выделенному участку спектра.
В настоящее время предпочтительным является второй вариант.
Именно на этом пути к настоящему времени получены результаты
численного эксперимента по определению относительной степени упо-
упорядоченности состояний открытых систем. Они наиболее полно изло-
изложены в диссертации П. Сапарина и в ряде цитированных в ней статей.

ГЛАВА 3 Энтропия Реньи
§3.1. Введение
В современной нелинейной динамике существенную роль играет
определение энтропии, введенное венгерским математиком Альфредом
Реньи. По сравнению с энтропией Больцмана-Шеннона энтропия Ре-
Реньи содержит некоторый свободный параметр /?, физический смысл
которого остается невыясненным. Покажем, что его можно тракто-
трактовать как эффективную температуру, которая была введена при фор-
формулировке критерия «5-теорема».
Напомним, что при формулировке критерия «5-теорема» исполь-
использовались два вида функций распределения и два соответствующих
выражения для энтропии. Это, во-первых, исходная функция распре-
распределения р»(а), через которую вводится эффективная функция Гамиль-
Гамильтона
N NR
л(а) = ехр(-Яе*Ь ?> = ?> = 1. C.1.1)
Соответствующая энтропия Шеннона определяется выражением
> C.1.2)
*
Для обеспечения условия равенства средних энергий выделенных
состояний пришлось ввести перенормированную функцию распреде-
распределения
F^f)^fa\ C.1.3)
Эффективная свободная энергия
= -Teff(Aa)ln|>p ("^g
|
как функция Teff(Aa), определяется из условия нормировки функции
распределения p,(a0, Aa).

82 Глава 3. Энтропия Реньи
Соответствующая формула для энтропии перенормированного со-
состояния имеет вид:
S{a,Aa) = -J2pi(ao,Aa)lnpi(ao,Aa). C.1.5)
*=i
Напомним, что при Аа = О
feff (Аа = 0) = 1; Feff(T) = Q
и, следовательно,
р>(ао,Аа) = р{(ао). C.1.6)
Таким образом, перенормированное распределение отличается от
Pi {о>о) благодаря изменению управляющего параметра Аа и соответ-
соответствующего повышения температуры Teff (Аа) > 1.
Таким образом в открытой системе для состояния физического ха-
хаоса играют роль два распределения р»(а), р»(ао, Аа) и два соответ-
соответствующих выражения для энтропии. Интересно провести сопостав-
сопоставление двух энтропии (S(a)-энтропии Шеннона и перенормированной
энтропии 5(а, Аа) = 5 (а, Teff(Аа)) с формулой для энтропии Реньи.
Выше уже было отмечено, что энтропия Реньи содержит свобод-
свободный параметр /3 и, тем самым, определяет целый класс энтропии.
Установим связь параметра /3 распределения Реньи с управляющим
параметром и, следовательно, с эффективной температурой Те«(Аа).
§3.2. Энтропия Реньи
Венгерский математик Альфред Реньи ввел следующее обобщен-
обобщенное (по сравнению с энтропией Шеннона) определение энтропии
1 NR NR
/3 — параметр энтропии Реньи.
Покажем, что в пределе /3 —} 1 она совпадает с энтропией Шеннона.
Пусть е = /3 — 1. Тогда
NR NR NR
t t t
NR NR
C.2.2)
Подставляем последнее выражение в формулу для энтропии Реньи
= 5. C.2.3)
p=1 = - lim - In I
\
* } %
3
\ * } %
Это и доказывает, что при /3 -> 1 энтропия Реньи действительно
переходит в энтропию Шеннона.
Установим теперь связь свободного параметра энтропии Реньи с
эффективной температурой распределения р»(ао, Аа) — перенормиро-
перенормированного распределения физического хаоса.

§3.2. Энтропия Реньи 83
3.2.1. Сопровождающее распределение. Введем, наряду с
распределением р,-, так называемое сопровождающее распределе-
распределение (Beck and Schlogl, 1993). Оно определяется выражением
= 1. C.2.4)
у
В общем случае Nr ф Nr.
Чтобы придать выражению C.2.4) вид канонического распределе-
распределения Гиббса, выразим параметр Реньи через эффективную температу-
температуру и введем снова эффективную функцию Гамильтона:
/3 = ^ РгЫ = ехр (-#*(»,<»)). C.2.5)
Тогда сопровождающее распределение принимает вид каноничес-
канонического распределения Гиббса для перенормированной функции распре-
распределения:
Pi = РгЫ = ехр ^ * J_ 1 LJ ?
Nr
i
Запишем еще раз выражение для эффективной свободной энергии:
Feff(Teff,a0) = -Teffbf>p (-Я;^)) • C.2.7)
При Teff = 1 свободная энергия JFeff(Teff,oo) = 0. C.2.8)
Теперь оказывается возможным связать энтропию Реньи с пара-
параметром/? = 1/Teff со свободной энергией i?eff(^eff)ao) перенормирован-
перенормированного состояния: Это соотношение имеет вид:
5/3=1 /Т-п
Teff-1
Nr
= - =-Ц-1Ъг(Те1г, a0, Да). C.2.9)
Таким образом, связь энтропии Реньи и свободной энергии пере-
перенормированного состояния физического хаоса определяется равенст-
равенством:
i?(TA) C-2'10)
При Teff —> 1 снова раскрываем неопределенность. В результате
при Teff = 1 свободная энергия равна нулю, а энтропия Реньи совпа-
совпадает с энтропией Шеннона.

84 Глава 3. Энтропия Реньи
Итак, при Teff > 1 энтропия Реньи лишь множителем Teff — 1 отли-
отличается от свободной энергии перенормированного распределения. При
этом свободный параметр энтропии Реньи связан с эффективной тем-
температурой Teff равенством Teff = 1//3.
Формально эффективную температуру Teff также можно рассмат-
рассматривать как свободный параметр. Ситуация существенно меняется,
когда ставится вопрос о критерии относительной степени упорядочен-
упорядоченности состояний открытой системы — о критерии «^-теорема». При
этом эффективная температура определяется решением уравнения,
выражающего равенство средней эффективной энергии. В результате
устанавливается зависимость эффективной температуры Teff(Aa) и,
следовательно, устанавливается связь параметра Реньи /3 с изменени-
изменением управляющего параметра Аа. Таким образом «пассивный» пара-
параметр /3 распределения Реньи становится «активным». Он зависит от
изменения значения управляющего параметра, в результате которого
меняется состояние открытой системы. Мы вернемся к этому вопросу
в следующей главе в связи с анализом понятия «размерность Реньи».
Понятия «энтропия Реньи» и «сопровождающее распределение»
используются в литературе при анализе сложных движений в дина-
динамических и статистических системах. Однако физический смысл эн-
энтропии Реньи оставался все же не вполне ясным.
§3.3. Свойства энтропии Реньи
Общие свойства энтропии Реньи рассмотрены в разделе 5.3 книги
(Beck and Schlogl, 1993). Они выражаются неравенствами E.3.15), ко-
которые определяют знаки производных от произведений информации
Реньи с множителями, зависящими от параметра /3.
Рассмотрим для иллюстрации неравенство E.3.2) этой книги. За-
Запишем его в принятых выше обозначениях. Именно, здесь информация
I связана с энтропией 5 равенством I = — 5; параметр /3 = 1/Teff; со-
сопровождающее распределение Р = р»(ао). В результате неравенство
E.3.2) книги (Beck and Schlogl, 1993) принимает вид:
>0, Teff>l. C.3.1)
При этом выводе учтено, что члены под знаком суммы при всех
значениях г положительны. Условие Teff > 1 — следствие того, что
распределения Pi(a0), pi(a0) характеризуют состояния физического ха-
хаоса.

§3.3. Свойства энтропии Реньи 85
Используем соотношение C.2.9), связывающее энтропию Реньи и
свободную энергию. В результате неравенство C.3.1) принимает вид
<0, Teff > I. C.3.2)
Интерес к энтропии Реньи в последние годы возрос в связи с иссле-
исследованием информации и энтропии при степенных законах распределе-
распределения. При этом используется критерий «5-теорема» и соответствую-
соответствующее его обобщение для степенных законов распределения (Башкиров
и Витязев, 2000).
Отметим также, что в последние годы стало весьма популярным
определение энтропии, введенное в работе (Tsallis, 1988). Его можно
рассматривать в качестве аппроксимации энтропии Реньи при выпол-
выполнении неравенства pf <? 1. Это указывает на наличие связи энтропии
(Tsallis, 1988) с энтропией, определяемой перенормированным распре-
распределением физического хаоса.

ГЛАВА 4 Геометрия и физика фракталов
§4.1. Введение
Хотя в заголовке настоящей главы стоит слово «фрактал», такое
понятие, введенное в геометрию Бенуа Мандельбротом, не имеет стро-
строгого определения. Это, однако, не должно нас смущать. Дело в том,
что и понятие «упорядоченность» в заголовке одной из глав, также как
и понятие «хаотичность», не имеют строгого определения. В этом и
нет фактической необходимости, так как важно не абсолютное опреде-
определение терминов, например, «порядок» и «хаос», а умение сравнивать
относительную степень хаотичности (или упорядоченности) различ-
различных состояний открытых систем. Этой цели и служит, в частности,
представленный выше критерий «5-теорема». В геометрии фракталов
возможно сравнение размерности фрактальных объектов с размернос-
размерностью объектов геометрии Эвклида.
Отметим одну особенность фрактальных структур. Это, во мно-
многих случаях, их самоподобие. В большой мере именно это свойство
определяет красоту фрактальных структур. Богатая коллекция таких
структур представлена в книге Пайтгена и Рихтера «Красота фрак-
фракталов» A993).
Подобно понятиям геометрии Эвклида — понятиям точка, линия,
поверхность, понятия геометрии фракталов это также абстракция —
теоретическая модель реальности, результат недостижимых в дейст-
действительности предельных переходов.
Геометрия фракталов разрушает представление геометрии Евкли-
Евклида о гладкости рассматриваемых в ней объектов. Однако, отсутствие
гладкости фрактальных объектов имеет свои границы, которые обу-
обусловлены уже физической структурой рассматриваемых объектов.
На неформальном уровне понятие «фрактал» проясняется лишь
при сопоставлении геометрического и физического описания сложных
пространственных, временных и пространственно-временных струк-
структур. В отличие от диссипативных структур, введенных в современ-
современной теории самоорганизации Ильей Пригожиным, здесь будут рас-
рассматриваться наряду с ними также и недиссипативные структуры,
например, кристаллы. Классическими примерами фракталов служат
структура береговой линии, форма снежинки или облака.
Итак, классическая геометрия Эвклида, основанная на понятии
точки, не имеющей размера, на понятиях линии, плоскости и объ-
объемных фигур, которым приписываются размерности, соответственно,

§4.1. Введение 87
О, 1, 2, 3, а также на понятии гладкости рассматриваемых объектов,
недостаточна для описания фрактальных структур. Необходимо пе-
перейти к новой геометрии — к геометрии фракталов. Ее основы, как
отмечено выше, и были заложены Бенуа Мандельбротом A982). При
этом оказалось необходимым и введение соответствующей фракталь-
фрактальной — дробной, размерности.
Фрактальная геометрия в свою очередь оказывается во многих слу-
случаях излишне формальной и возникает необходимость развития Фи-
Физики фракталов. Необходимость такого обобщения, станет ясной при
рассмотрении конкретных примеров. При этом изложение некоторых
элементов геометрии и физики фракталов будет проводиться на аль-
альтернативной основе. Естественно начать с простейших наглядных
примеров фрактальных структур.
Прежде чем приступить к описанию конкретных фрактальных
структур, для четкого представления о месте «фрактальной геомет-
геометрии» в современной геометрии отметим следующее.
Бенуа Мандельброт предложил, по существу, новую неевклидову
геометрию. В отличии Н.И. Лобачевского и Я. Бояии, когда отказ от
геометрии Эвклида основывался на отказе от аксиомы о параллель-
параллельности, Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких
объектов.
Негладкость может определяться самыми разными причинами:
шероховатостями, порами, трещинами, а также и сложностью геомет-
геометрической структуры, например, рассмотренной ниже кривой Коха.
Очевидно, что именно такие «негладкие» объекты являются ре-
реальными объектами природы. По словам Мандельброта (см. Данилов,
2001): «... Многие объекты в Природе настолько нерегулярные и фраг-
ментированные, что по сравнению с Евклидом — термин, который в
этой работе означает всю стандартную геометрию — Природа обла-
обладает не просто большой сложностью, а сложностью совершенно иного
уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для
всех практических целей бесконечно велико».
Некоторые коррективы в эту позицию вносит «Физика фракта-
фракталов», которая как и все макроскопические теории основана на соответ-
соответствующих моделях сплошной среды. Это соответствует введению по-
понятия «точки» сплошной среды, которая мала по сравнению со всеми
масштабами фрактальных структур (например, снежинок, облаков,
береговой линии, поверхностей твердых тел) и физически бесконечно
малых временных и пространственных масштабов.
Таким образом, «Физика фракталов» — физика макроскопических
объектов, для которых более адекватной, чем геометрия Эвклида, яв-
является Фрактальная геометрия. При этом основные как кинетические,
так и гидродинамические уравнения и уравнения электродинамики и

88 Глава 4. Геометрия и физика фракталов
физики твердого тела меняют свою структуру в соответствии с фрак-
фрактальной структурой рассматриваемых систем.
После несколько затянувшегося Введения можно приступить к рас-
рассмотрению конкретных объектов Геометрии и Физики фракталов.
§4.2. Размерность Хаусдорфа. Пример — кривая Коха
На примере кривой Коха покажем, что введение дробной — фрак-
фрактальной размерности означает радикальное изменение геометрии рас-
рассматриваемого объекта.
Генератором кривой Коха служит равносторонний треуголь-
треугольник периметра ?о, со стороной г о = ?о/3. Число элементов «генера-
«генератора» No = 3. Естественно, что имеет место равенство
Lo = Noro. D.2.1)
Треугольник — объект геометрии Эвклида, стороны которого
определяются бесконечно тонкими отрезками прямых линий.
Проведем построение Коха: каждый прямолинейный отрезок де-
делим на три части и на среднем участке строим равносторонний тре-
треугольник. Внешний периметр такого построения и представляет кри-
кривую — ломаную линию Коха.
Продолжим такое построение и определим длину кривой Коха на
n-м шаге (п = 0,1,2, ...,nmax). Будут рассмотрены два возможных
определения nmax.
1.Математическое определение. По мере роста номера шага п
длина кривой Коха растет и в пределе п -» оо стремится к бесконеч-
бесконечности. Поскольку толщина линии в геометрии Евклида изначально
равна нулю, то объем бесконечной кривой Коха — бесконечно длин-
длинной линии в геометрии Евклида также равен нулю.
В геометрии фракталов вместо объекта из набора прямолинейных
отрезков вводится кривая с размерностью больше единицы. Ее мож-
можно представить состоящей из «размазанных» элементов. Таким путем
производится переход в «фрактальное пространство». В данном слу-
случае размерность будет в пределах между единицей и двойкой, поэто-
поэтому вместо слова «пространство» можно говорить о размазывании по
некоторой «площади». Будем все же использовать термин «простран-
«пространство».
Размерность такого «неевклидова фрактального объекта», как мы
увидим, не зависит от номера шага при построении кривой Коха. Тем
самым остается неизменным при построении кривой Коха и объем
этого фрактального объекта. Он может быть введен уже на нулевом
шаге, когда исходным объектом служит треугольных. Суммарный
объем сторон треугольника равен в геометрии Эвклида нулю. При

§4.2. Размерность Хаусдорфа. Пример — кривая Коха 89
переходе к фрактальной геометрии он заменяется «размазанным тре-
треугольником». Соответствующий «объем» определяется выражением
Vo = No {ro)DH . D.2.2)
Dh — размерность Хаусдорфа-Безиковича (по имени математи-
математиков, которые ввели эту характеристику). В литературе чаще исполь-
используется более короткое название: размерность Хаусдорфа. В формуле
D.2.2) No — 3 — число отрезков, составляющих треугольник; г0 —
длина стороны треугольника.
Геометрии Евклида отвечает размерность, равная единице. В ре-
результате из формулы D.2.2) следует выражение D.2.1) для периметра
треугольника. Таким образом, объем заменяется линией.
Чтобы определить размерность Хаусдорфа, поступим следующим
образом.
Обозначим число отрезков кривой Коха на n-шаге через
Nn = N04n = 3 4n, n = О,1,2... D.2.3)
Длина отдельного отрезка на n-шаге определяется выражением:
г„ = ?, п = 0,1,2... D.2.4)
«Объем» соответствующей размазанной кривой Коха на п-шаге
определяется выражением:
Vn = Nn (rnfH . D.2.5)
Итак, имеются два выражения D.2.2), D.2.5), содержащие величи-
величину D#. При этом выражение D.2.2) следует из D.2.5) при п = 0.
Для определения размерности Хаусдорфа предполагаем, что
«объем» размазанной кривой не зависит от номера шага и
равен постоянной С. В результате приходим к уравнению:
Nn (rn)D" = No (to)Dh = С. D.2.6)
Таким образом, константа С определяется «объемом размазанного
треугольника».
Перепишем это уравнение в виде:
D тт D жх
л Nn (rn\ /ro\ Nn //)Ом
1 = — — или — = —. D.2.7)
No \roj \rnj No
Отсюда и следует искомое выражение для размерности Djj:
D.2.8)
В отличие от стандартной записи размерности Хаудсдорфа
, D.2.9)
где N — число отрезков (элементов) на кривой Коха, а г — длина
элемента, в формуле D.2.8) содержатся безразмерные величины — ло-
логарифмы относительных величин. Более того, в формуле D.2.8) нет

90 Глава 4. Геометрия и физика фракталов
предельного перехода г -» 0. С точки зрения физики такой предель-
предельный переход не может быть реализован, так как минимальное значе-
значение гп ограничено длиной физически бесконечно малого элемента lph.
По определению lph это есть минимальный отрезок, на котором сохра-
сохраняются еще следы свойств сплошной среды (Климонтович, 1995).
Предельный переход г -» 0 для кривой Коха не имеет физического
содержания и по другой причине. Размерность Хаусдорфа для кривой
Коха не требует предельного перехода г —> 0, так как величина D^
не зависит от номера шага п.
Подставим в D.2.8) выражения для Nnirn из D.2.3), D.2.4). За-
Заметим, что отношение логарифмов не зависит от номера шага! В ре-
результата получаем следующее выражение для размерности Хаусдор-
Хаусдорфа кривой Коха:
In 4
Яя = —= 1,26... D.2.10)
2.Физическое определение размерности Хаусдорфа.
Заменим математическую кривую реальным одномерным с физи-
физической точки зрения объектом — тонкой нитью. Условие «тонкой
нити» означает, что диаметр нити пренебрежимо мал по сравнению
с ее длиной. При этом нить рассматривается как макроскопический
объект, который служит примером сплошной среды. Обозначим через
lph соответствующий физически бесконечно малый масштаб. С уве-
увеличением номера шага п длина элемента кривой Коха г уменьшает-
уменьшается. Она, однако, не может быть меньше физически бесконечно малого
элемента длины:
rmin>JPfc. D.2.11)
Это условие и определяет верхнюю границу nmax. Для кривой Коха из
формулы D.2.4) следует выражение для максимального номера шага:
Определим соответствующее минимальное значение элементов
кривой Коха. С помощью формулы D.2.4) находим:
?- D2ЛЗ)
Вернемся к выражению D.2.8), определяющему размерность Хаус-
Хаусдорфа. При учете структуры сплошной среды его следует записать:
DH] = fc^lb ПРИ * = 0, 1, -"max, rmin = ГПтах = lph. D.2.14)

§4,3. Фрактальная размерность множества Кантора 91
Примем за определение размерности величину
In ^
DH = ь ?° • D.2.15)
Для кривой Коха это выражение для размерности принимают вид:
что совпадает с D.2.10). Это естественно, так как для кривой Коха
размерность не зависит от числа шагов. Более того, независимость
от номера шага предполагалась (см. D.2.6)) и при выводе общего вы-
выражения D.2.8) для размерности Хаусдорфа. Именно благодаря этому
в формуле D.2.8) фигурируют лишь относительные величины. Этим
она отличается от традиционной формулы D.2.9) для размерности
Хаусдорфа, в которой величина 1пA/г) и предельный переход г-чОс
физической точки зрения не являются определенными.
Итак, учет структуры сплошной среды не влияет на размерность
кривой Коха. Однако, максимальное число элементов Nnmax и мини-
минимальная длина элемента rmin = гПтах на максимальном шаге птах ко-
конечны. Конечна, тем самым, и максимальная длина кривой Коха. При
этом предельный переход г —> 0 в формуле D.2.9) не оправдан, так как
минимальный размер элемента кривой Коха определяется физически
бесконечно малым масштабом 1рн. Именно этот масштаб и определяет
величины iVnmax,rmin = гПтах, птах.
§4.3. Фрактальная размерность множества Кантора
4.3.1. Канторово множество. Генератором множества Кантора
служит прямолинейный отрезок длины L. С физической точки зрения
отрезок — тонкий стержень, представляющий сплошную среду. Это
отражается неравенствами
rav = — <&lph <L. D.3.1)
пь
Напомним, что по определению lph — минимальный отрезок, на
котором сохраняются следы свойств сплошной среды. Здесь пь — ли-
линейная плотность числа частиц, составляющих тонкий стержень, Nl
— соответствующее число частиц, для полного числа атомов в тонком
стержне, Nph — число частиц на физически бесконечно малом отрезке
стержня. С учетом введенных обозначений имеем неравенства:
N = nLL; KNph<?NL; ^- » 1 > -?-. D.3.2)
¦Nph Wph
Построение множества Коха происходит по следующей схеме.
Стержень длины L разбивается на три отрезка и средний отрезок
исключается. Оставшиеся отрезки делятся каждый на три отрезка и

92 Глава 4. Геометрия и физика фракталов
средние отрезки исключаются и так далее. Как и выше, номера шагов
обозначаем через
n = 0,l,2,...,nmax. D.3.3)
Процесс деления прекращается, когда длина отрезка сравнивается
с длиной физически бесконечно малого масштаба длины:
/1\п _ /1\Птм
Гп=\ЗУ L' r° = L> rmin = гПшлх = lPh - ( g J Ц
In—= nln3. D.3.4)
Из последнего равенства следует определение nmax :
D>3-5)
Длина каждого из оставшихся отрезков на n-шаге деления опреде-
определяется первой из формул D.3.4). Число элементов на n-шаге опреде-
определяется выражением
Nn = 2n; NQ = 1, JVmax = 2"— D.3.6)
и, следовательно,
In iVn = n In 2; In iVmax = nmax In 2. D.3.7)
Отсюда следует, что для канторова разбиения отношение логариф-
логарифмов
не зависит от величины nmax и, как следствие, и от текущего номера
п. Таким образом, отношение логарифмов не зависит от величины
бесконечно малого масштаба. Фрактальная размерность множества
Кантора, в отличие от кривой Коха, меньше единицы.
От величины бесконечно малого масштаба lph зависят максималь-
максимальное число элементов множества Кантора iVmax и минимальный размер
элемента птах.

§4.3. Фрактальная размерность множества Кантора 93
4.3.2. Размерность множества Кантора. Вернемся к равен-
равенству D.2.6)
Nn (rn)DH = No (ro)DH = С, D.3.9)
которое служит исходным для определения размерности Хаусдорфа.
Поскольку при построении множества Кантора iVo = 1, r0 = L, то
равенство D.3.9) принимает вид
Nn {rn)D« = {L)D* . D.3.10)
Заметим, что при п = 0, т.е. для исходного отрезка, когда JVo = 1,
Го = .?, уравнение D.3.9) удовлетворяется при всех значениях размер-
размерности D#, в частности, при D# = 1. Эта неопределенность снимется,
если размерность определяется пределом:
rn-f0 Ь ^
Здесь снова есть отличие от определения размерности по Хаусдор-
ФУ формулой D.2.9) — под знаком логарифма теперь входит относи-
относительная величина L/rn.
При традиционном определении размерности — при пренебреже-
пренебрежении структурой сплошной среды — нет ограничения снизу на мини-
минимальную длину отрезка гп — в пределе гп —> 0 размерность опреде-
определяется формулой Хаусдорфа D.27).
Остается, однако, следующий вопрос:
В формуле D.3.11) выражение под знаком limrn —> 0 не зависит
от номера шага, так как для множества Кантора величины Nn, гп
определяются формулами D.3.6), D.3.4). В результате размерность
множества Кантора определяется выражением
Dh = ?f < 1, D.3.12)
при получении которого, формально, нет необходимости совершать
предельный переход. При этом, однако, нет перехода к значению Djj =
1, которое отвечает исходному отрезку.
Дадим теперь определение размерности при учете структуры
сплошной среды, когда минимальный размер элемента при построе-
построении Кантора, определяется физически бесконечно малым масштабом
среды.
4.3.3. Нетрадиционное определение размерности множес-
множества Кантора. С учетом приведенных выше определений находим
выражение для размерности Хаусдорфа множества Кантора

94 Глава 4. Геометрия и физика фракталов
?»я = -i^_ = hi < 1, „ = о, 1,2...7W, гПю.х = lph. D.3.13)
In —-— In i
"ftmsx
При максимальном шаге разбиения, когда
L L
а число «удаленных элементов», имеющих минимальные возмож-
возможные длины,
^»m.» = B)"m"; гПшм = ^. D.3.14)
Конкретизация физически бесконечно малого интервала lph произ-
производится по схеме статистической теории открытых систем.
Определение D.3.13) совпадает с определением Хаусдорфа в преде-
пределе гПтах —>• 0, т.е при условии пренебрежения конечностью физически
бесконечно малых масштабов.
Рассмотрим другие возможные определения размерности.
§4.4. Энтропийная (информационная) размерность
4.4.1. Энтропийная размерность. Вернемся к разделу «5-
теорема. «Технические» трудности».
Пусть снова функция распределения непрерывной переменной
/(ж, а) определена на материальном отрезке 0 < х < L, содержа-
содержащем N «атомов». Обозначим через 1рн физически бесконечно малый
интервал. Число атомов в элементе lph обозначим через Nph> По опре-
определению «точки» сплошной среды имеет место условие Nph ^> 1. От-
Отсюда находим число «точек» сплошной (continuous) среды
JVcon = -^ = -?- » 1. D.4.1)
При численном счете образец, представляющий сплошную среду,
разбивается на макроскопические элементы Дж, поэтому
Ах > lph D.4.2)
и число элементов N
Энтропию будем определять формулой Больцмана-Шеннона и
сглаженной энтропией Больцмана Sb'.
Noc
S = -^Шр,-; SB = \nNAx. D.4.4)
t=i
Во втором случае распределение считается равномерным по всем
макроскопическим элементам Дж, число которых N&x и сглаженное
распределение Больцмана
?: -^соп — 1 • D.4.3)

§4.5. Размерность Реньи 95
D.4.5)
С помощью двух формул для энтропии определяем разность
Noc Noc Noc
SB-S = J2PilnPi + In ЛГд* Y,Pi = ?j* h I*- > 0. D.4.6)
Этот результат подтверждает увеличение степени неопределен-
неопределенности при переходе от энтропии Больцмана-Шеннона к сглаженной
энтропии Больцмана. Однако в общем случае средняя эффективная
функция Гамильтона по двум распределениям pi и рв различна. По
этой причине введенная разность энтропии не определяет относитель-
относительную степень хаотичности двух соответствующих систем. Однако мы
увидим, что этот результат полезен для сравнения размерностей при
разных определениях этой характеристик
Двум определениям энтропии отвечают и два возможных опреде-
определения энтропийной размерности. Первое выражается через энтропию
Больцмана-Шеннона:
Ds = jj- D.4.7)
con
Во втором случае распределение считается равномерным по всем
макроскопических элементам Дж, число которых N&x и р,- = 1/N^X.
Энтропия заменяется на сглаженную энтропию Больцмана. В резуль-
результате энтропийная энтропия определяется формулой:
L <4-4-8»
Знак равенства отвечает разбиению с минимальным (в рамках мо-
модели сплошной среды) значением Ах — lph. При этом размерность
DsB = 1.
Из неравенства D.4.3), а также определения размерностей Ds и
неравенства D.4.8) следует, что сглаживание приводит к увеличению
размерности, т.е.
DS>DS. D.4.9)
На примере множества Кантора установим соответствие между эн-
энтропийной размерностью ^5 и фрактальной размерностью ?>#. Числу
элементов множества Кантора Nn соответствует число заполненных
(с отличной от нуля вероятностью) состояний -/Уда:, точек Nr в дис-
дискретном пространстве, с отличной от нуля вероятностью. Числу же
длин отрезков на полной длине — отношению L/rnmex, соответствует
число физически бесконечно малых элементов для модели сплошной
среды iVcon- При учете такого соответствия имеет место двойное со-
соотношение:
Ds<Ds=DH. D.4.10)
Продолжим рассмотрение других размерностей.

96 Глава 4. Геометрия и физика фракталов
§4.5. Размерность Реньи
Размерность Реньи может быть определена по аналогии с энтро-
энтропийной размерностью D.4.7):
5, -ДДГЫ
= щ:= —ш—• D5Л)
Напомним, что /3 — свободный параметр распределения Реньи. В
физике открытых систем параметр /3 связан с эффективной темпера-
температурой ( /3 = 1/Teff) перенормированного распределения р,-.
Рассмотрим некоторые частные случаи размерности Реньи.
1. /3 — 1 (Teff = 1). В этом случае энтропия Реньи совпадает с
энтропией Больцмана-Шеннона и, следовательно,
2. При равномерном распределении по значениям г, когда pi =
» размерность
in ivcon
Это размерность при сглаженном распределении Больцмана. Она
соответствует размерности Хаусдорфа.
3. /3 = 2. Размерность Реньи определяется выражением:
Это так называемая корреляционная размерность. Она мо-
может быть определена непосредственно по соответствующим времен-
временным рядам (Crassberger and Procaccia, 1983).
§4.в. Заключение к главе
Приведенные в этой главе определения фрактальной размерности
могут показаться несколько искусственными. Слишком уж привыч-
привычны и, как кажется, естественны целочисленные 0, 1, 2, 3 размерности
геометрии Эвклида. Наличие в Природе сложных структур (кривая
Коха и множество Кантора, форма снежинок и структура турбулент-
турбулентного движения, временные ряды характеризующие процессы в биоло-
биологических системах и структура стекол и т.д.), описание которых в
рамках геометрии Эвклида оказывается невозможным, побудило ма-
математиков Феликса Хаусдорфа и Абрама Безиковича ввести дробные
размерности. Это и послужило основанием Бенуа Мандельброту для
создания геометрии фракталов — нового направления в математике.
Однако при описании реальных открытых систем образы чистой
математики порой противоречат физическим представлениям. Так,

§4.6. Заключение к главе 97
например, бесконечность длины кривой Коха и бесконечная малость
элементов множества Кантора, бесконечная длина береговой линии и
самоподобие структуры турбулентного движения во многом противо-
противоречат физическим представлениям. Действительно, как геометрия Ев-
Евклида, так и геометрия фракталов основываются на моделях сплош-
сплошной среды. При этом математическое понятие точки, которая не имеет
размера, заменяется физическим понятием точки сплошной среды. Ее
размеры малы по сравнению с характерными масштабами рассмат-
рассматриваемой системы, однако, точка содержит много элементов, в част-
частности, атомов или молекул.
Минимальные объекты геометрии фракталов не могут быть мень-
меньше физически бесконечно малых масштабов сплошной среды. Это от-
относится как к кривой Коха и множеству Кантора, так и к физическим
объектам, например, к снежинкам и турбулентному движению. Ведь
несмотря на тонкую структуру снежинок их минимальные масшта-
масштабы являются макроскопическими, т.е. значительно превышают физи-
физически бесконечно малые масштабы. Минимальный масштаб в разви-
развитой турбулентности в теории Колмогорова не может быть меньше со-
соответствующего физически бесконечно малого масштаба длины. Это
ограничивает сверху значение числа Рейнольдса при гидродинами-
гидродинамическом описании (Климонтович, 1995).
Изложенное дает основание, наряду с Геометрией фракталов, раз-
развивать и Физику фракталов. Одним из важным моментов последней
является учет структуры сплошной среды. Это позволяет, в частнос-
частности, исключить бесконечности, возникающие, например, в теории фа-
фазовых переходов второго рода, ограничить принцип самоподобия в те-
теории турбулентности и т.д. В этом отношении физика фракталов, ос-
основанная на идеях и методах физики открытых систем, является аль-
альтернативой геометрии фракталов. Естественно, однако, что успешное
развитие теории сложных пространственно-временных структур мо-
может проводиться на основе сочетания результатов как геометрии, так
и физики фракталов.
Именно на этой основе будет построено дальнейшее изложение.
При этом новые идеи, понятия и методы будут вводиться на конкрет-
конкретных физических примерах. Именно так, на примере низкочастотных
шумов, будет оправдано введение степенных и, более того, логарифми-
логарифмических законов. Именно так, будет установлена необходимость пере-
перехода от классических дифференциальных и интегральных уравнений
к уравнениям с дробными производными и дробными интегралами.

ГЛАВА 5 Степенные и логарифмические
законы. Фликкер-шум
§5.1. Введение. Степенные и логарифмические
распределения. Фликкер-шум
Одним из первых степенных законов Природы является открытый
Ньютоном закон всемирного тяготения, согласно которому для двух
произвольных масс сила гравитационного притяжения
F~~. E.1.1)
Такого же рода зависимость силы взаимодействия от расстояния
имеет место и для точечных электрических зарядов — закон Кулона.
Эти степенные зависимости были выявлены на основе экспериментов
Кавендиша и Кулона.
Последующие исследования показали, что степенные зависимости
имеют место для функций распределения самых разных характерис-
характеристик в самых разных системах. Например, они обнаружены в экономи-
экономике. В частности, распределение людей по доходам (Вильфред Парето)
подчиняется степенному закону. Одним их удивительных степенных
законов служит закон Ципфа для распределения слов в тексте. Темпе-
Температурные степенные зависимости для термодинамических и гидроди-
гидродинамических функций возникают при фазовых переходах второго рода
и при турбулентных течениях.
Существенно, что показатели степени не обязательно являются це-
целочисленными. Они часто оказываются дробными. В таких случаях,
которые отнюдь не являются редкими, говорят о фрактальных сте-
степенных зависимостях.
В этой главе будем рассматривать степенные зависимости времен-
временных спектральных плотностей от частоты
/И ~ ^- E-1-2)
Такие зависимости могут быть и фрактальными. Можно выделить
четыре характерных степенных зависимости со значениями (Шредер,
2001):
а = 0, 1, 2, а > 2. E.1.3)
Они называются, соответственно, белый шум (а = 0), розовый
шум (а = 1), коричневый шум (а = 2) и, наконец, черный шум

§5.1. Введение. Степенные и логарифмические распределения... 99
(а > 2). Розовый шум (а = 1) принято называть: «фликкер-шум» (от
английского слова flicker — мерцание). Он был впервые обнаружен
Джонсоном более семидесяти лет тому назад при исследовании мер-
мерцания интенсивности свечения катода в первых электронных лампах.
Фликкер-шум наблюдается в системах самой различной природы.
Широко распространены также и степенные зависимости времен-
временных корреляций. Более того, возможны и более медленные зависимос-
зависимости, когда корреляционная функция зависит от времени по логариф-
логарифмическому закону (Коган, 1985; Климонтович, 1983, 1995).
Степенные зависимости проявляются, как правило на ограничен-
ограниченных участках значений, например, частоты. При этом для фликкер-
шума, а также и для других низкочастотных шумов, можно выделить
два класса. Это, во-первых, естественный фликкер-шум в равновес-
равновесных условиях. Он обусловлен дискретной («атомарной») структу-
структурой рассматриваемой системы. Например, фликкер-шум в электри-
электрических цепях отражает дискретность электрического заряда и элек-
электрического тока. Естественный фликкер шум не может быть устранен
путем совершенствования аппаратуры.
Естественный фликкер-шум может наблюдаться как в равновес-
равновесных, так и в неравновесных условиях. В последнем случае, как прави-
правило, фликкер-шум имеет место для области частот, ограниченной как
снизу, так и сверху. Путем изменения параметров системы можно ме-
менять область фликкер-шума.
Для равновесного фликкер-шума ограничение области частот име-
имеет место лишь со стороны высоких частот. Минимальная частота рав-
равновесного фликкер-шума не определяется параметрами системы. Это
означает, что она не может быть выявлена путем увеличения времени
наблюдения. Это свидетельствует о неэргодичности фликкер-шума.
Ограничение со стороны низких частот определяется лишь временем
жизни рассматриваемой установки.
В противоположность естественному фликкер-шуму наблюдаются
и так называемые «технические» низкочастотные шумы. Их область
по частоте и интенсивность может быть уменьшена путем усовершен-
усовершенствования аппаратуры. Здесь будут рассматриваться лишь естествен-
естественные шумы.
Хотя фликкер-шум наблюдается в системах самой различной при-
природы — является почти универсальным, до сих пор нет общепри-
общепринятого объяснения этого замечательного явления. Будем здесь осно-
основываться на «диффузионной теории фликкер-шума», развитой в ра-
работах (Климонтович, 1982, 1990, 1995). При этом оказывается, что
фликкер-шум представляет собой пространственно-временную коге-
когерентную структуру. В гл.20 книги (Климонтович, 1995) рассматри-
рассматриваются примеры фликкер шума в разных физических системах. В гла-

100 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
вах 14-17 книги (Климонтович, 2001) рассматривается возможность
связи фликкер-шума с явлениями сверхпроводимости и сверхтекучес-
сверхтекучести
§5.2. Диффузионная природа естественного
фликкер-шума
Исходным служит уравнение диффузии некоторой физической ха-
характеристики. В теории броуновского движения это распределение
средней плотности числа невзаимодействующих частиц в простран-
пространстве в зависимости от времени — функция п(Я, t).
Уравнения диффузионного типа встречаются и при описании
пространственно-временного распределения температуры при мед-
медленных процессах, а также «диффузии» вихревой компоненты скорос-
скорости в жидкости. В качестве примеров может быть рассмотрена диффу-
диффузия флуктуации скорости сверхпроводящих электронов, а также диф-
диффузия флуктуации скорости сверхтекучей компоненты в жидком ге-
гелии.
Основы теории естественного фликкер-шума будут изложены здесь
на примере диффузии плотности числа частиц n(R^ t). Соответствую-
Соответствующий коэффициент диффузии будем обозначать через D. Через L обо-
обозначим характерный размер системы. Характерное время диффузии
определяется выражением
то = ^- E.2.1)
Наличие характерных параметров времени и длины позволяет при
расчете временных (по частоте а;) и пространственных (по волновому
числу к) спектров выделить два предельных случая:
1. Высокочастотные и мелкомасштабные флуктуации:
wrD » 1; kL^> 1. E.2.2)
Нулевое приближение по малым параметрам 1/utd; 1/kL отвечает
приближению безграничной системы.
2. Низкочастотные и крупномасштабные флуктуации:
ojtd < 1; kL < 1. E.2.3)
Нулевое приближение по малым параметрам u>td; kL отвечает
приближению, когда объем рассматриваемой системы (по сравнению
с объемом диффузии) пренебрежимо мал — систему можно рассмат-
рассматривать как точку и, следовательно, размерность системы равна нулю.
При этом число частиц в системе N остается заданным. Термодина-
Термодинамический предел, когда число частиц N -> оо и объем V = L3 ->• оо,
плотность числа частиц п = N/V остается постоянной, невозможен.
Невозможность термодинамического предельного перехода означа-
означает и отсутствие эргодичности, когда средние по времени совпадают

§5.3. Флуктуации при диффузии в бесконечной среде 101
со средними по объему. Мы увидим, что нулевое приближение по ма-
малым параметрам шт& <S 1; kL <? 1 выделяет область естественного
фликкер-шума.
§5.3. Флуктуации при диффузии в бесконечной среде
5.3.1. Расчет флуктуации для модели сплошной среды.
Метод Ланжевена
В равновесном состоянии при диффузионном процессе в безгранич-
безграничной среднее значение
<п(Л, *)> = !»=?. E.3.1)
Уравнение же для флуктуации с учетом случайного источника
Ланжевена у (Я, ?), отражающего «атомарную» структуру системы,
имеет следующий вид:
=D
В приближении Гаусса статистические свойства источника опре-
определяются двумя первыми моментами:
(y(R,t)) = 0, (y(R,t)y(R',t')) = ^
Выражение для второго момента записано здесь для системы не-
невзаимодействующих частиц. При учете взаимодействия атомов фак-
фактор п заменится на соответствующий корреляционный фактор.
Использование ^-коррелированного случайного источника и функ-
функции S(R-R') отвечает неявному учету структуры сплошной среды, ко-
которая характеризуется соответствующими физически бесконечно ма-
малыми масштабами трн и lph . Они определяют «ширины» функций
(')(#)
S(R - R')Vph = 1, S(t - t')rph = 1; Nph = nVph. E.3.4)
Из выражения E.3.3) следует формула для пространственно-
временной спектральной плотности источника Ланжевена:
{уу)ш%к = 2Dk2n. E.3.5)
С учетом этой формулы получаем хорошо известное выражение
для пространственно-временной спектральной плотности флуктуации
числа частиц:
(л л ^ (wL,fc 2Dk2
(дпдп),, и = ¦ « = оп' (О.О.О)
Ш'К W2 + (Dk2) и2 + (Dk2)
Интегрированием по частоте находим соответствующее выраже-
выражение для пространственной спектральной плотности и двухточечного
коррелятора:

102 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
Fп6п)к = n, {SnSn)RRI = nS(R- R'). E.3.7)
Отсюда (с учетом определения ширины функции S(R — R')) нахо-
находим выражение для относительной дисперсии системы невзаимодей-
невзаимодействующих частиц
Запишем соответствующее выражение для пространственно-
временной корреляционной функции
'=|й¦ "-EМ)
Отсюда следует выражение для одноточечного двухвременного
коррелятора:
Fп6п)г_0 т = ш-\ъ- E.3.10)
4 /г-°'г [2тгBЯ|т|)]3/2|т|3/2
Это пример степенной зависимости по времени.
Соответствующее выражение для одновременного двухточечного
коррелятора имеет вид:
Fп6п)г>г=0 = nS(r). E.3.11)
С учетом определения ширины функции 5 (г) для относительной
дисперсии следует выражение E.3.8).
Вернемся к формуле E.3.9). При фиксированном значении волно-
волнового числа функция (8п8п)ш к — распределение Коши по частоте и.
В отличие от распределения Гаусса, для которого моменты всех по-
порядков конечны, для распределения Коши второй и высший моменты
(здесь частоты) бесконечны. Разумеется этот результат не имеет фи-
физического смысла. Он лишь указывает на то, что при больших часто-
частотах распределение Коши перестает «работать». Для корректировки
распределения Коши на больших частотах надо принять во внима-
внимание структуру сплошной среды — ввести явно физически бесконечно
малые масштабы. Это и будет сделано в следующем разделе.
Метод моментов
Наряду с методом Ланжевена, для расчета флуктуации в статис-
статистической теории широко используется метод моментов. Основы этого
метода были заложены в работах Онзагера. Метод моментов позво-
позволяет, в частности, провести расчет интенсивности источника Ланже-
Ланжевена не только для равновесных, но и для неравновесных процессов
(Климонтович, 1982, 1995).

§5.3. Флуктуации при диффузии в бесконечной среде 103
Для диффузионного процесса при расчете равновесных флуктуа-
флуктуации на основе гипотезы Онзагера используется уравнение, совпадаю-
совпадающее по виду с динамическим уравнением
dSn(R,t) _ d2Sn(R,t)
dt ~D a*R • E'3-12)
Отсюда следует уравнение для двухвременного коррелятора про-
пространственной компоненты Фурье
-?- + DkA (8n8n)Tk = 0. E.3.13)
Это уравнение надо дополнить «начальным условием» — значени-
значением коррелятора (8п8п)т к при т = 0:
{8п5п)тк |г=0 = {5п5п)к = п. E.3.14)
Решение уравнения для коррелятора {SnSn)rk при этом «началь-
«начальном» условии имеет вид:
Fn6n)rk = nexp (-Dk2 \т\) . E.3.15)
Выражение для коррелятора (SnSn)Tk можно представить в виде
интеграла Фурье
1 Г
{6nSn)rk =2^J_ (SnSn)^ exp (-iwr) &a. E.3.16)
Обратное преобразование
ЛОО
{6nSn)w k= Fn6n)T k exp (iwr) dr E.3.17)
Jo
при подстановке в него выражения E.3.15) приводит к формуле E.3.6)
для пространственно-временной спектральной плотности, полученной
методом Ланжевена.
Рассмотрим еще два примера степенных зависимостей при диффу-
диффузионном процессе. Из формулы E.3.6) для пространственно-временной
спектральной плотности на нулевой частоте для функции {SnSn)u)_ok
следует степенная зависимость по волновому числу:
E-3-18)
После фурье-преобразования по волновому числу находим:
Из изложенного следует, что степенные зависимости при диффузи-
диффузионном процессе имеют место для различных характеристик, но лишь
на ограниченных отрезках соответствующих переменных.

104 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
§5.4. Учет структуры сплошной среды при расчете
флуктуации
Считаем по-прежнему систему неограниченной, поэтому нет огра-
ограничений со стороны низких частот и малых волновых чисел. Ближай-
Ближайшая задача — уточнение расчета флуктуации на высоких частотах и
при больших волновых числах, которые связаны с учетом структуры
сплошной среды.
Используем, как и выше обозначения трн и lph для физически бес-
бесконечно малых масштабов. Вернемся к выражению E.3.11), которое
определяет пространственную корреляцию флуктуации Sn в «началь-
«начальный» (при т = 0) момент. Проведем сглаживание в «начальный»
момент по «точке» сплошной среды. Сглаживающую функцию F(p)
представим в виде распределения Гаусса, в котором дисперсия опре-
определяется размером «точки» сплошной среды lph* Это отвечает следу-
следующей замене функции 8(г) в формуле E.3.11):
\ (H F<) Н = \R-R'\. E.4.1)
В результате происходит и соответствующая замена выражения
для одновременного двухточечного коррелятора:
Eп8п)г>т=0 -)• Eп$п)%=0 = П.3/2ехР (-?-) . E.4.2)
Проведем соответствующее сглаживание в формуле E.3.9) для
пространственно временной корреляционной функции (SnSn)r T :
¦/
В результате интегрирования по р получаем выражение для
пространственно-временной спектральной плотности с учетом сгла-
сглаживания по объему точки сплошной среды:
№ ехр | -, г-I .E.4.4)
2 I 2BD\\ P))(
При г = 0 возвращаемся к «начальному» условию E.4.2).
Итак, проведен расчет пространственно-временных спектральных
функций при условии двойных неравенств:
1 L2 1
Tph < - < rD = —; lph < - < L. E.4.5)
U) U к
Левые неравенства учитывают структуру сплошной среды, а пра-
правые принятое условие неограниченной системы.

§5.4. Учет структуры сплошной среды при расчете флуктуации 105
Рассмотрим следствия выражения E.4.4).
Оно совпадает с формулой E.3.9) в пределе lph -> 0, когда не при-
принимается во внимание конечность «точки» сплошной среды. При г = 0
вместо E.3.10) имеет место более общая степенная зависимость
& E46)
Это выражение остается конечным и при т = 0.
Проведем в E.4.4) преобразование Фурье по г. В результате вместо
E.3.15)
(SnSn)Ttk = nexp{-Dk2\r\) E.4.7)
получим следующее выражение для временного коррелятора про-
пространственной спектральной плотности:
Fn6n)Tk = nexp ( -(D \т\ + -l;h)k2 ) . E.4.8)
Из этого выражения следует, что временная корреляция имеет мес-
место лишь на временах, больших физически бесконечно малого интер-
интервала трн
Т > — Tph. \Э.Ъ.У)
При таком определении rph в пределах точки сплошной среды при
диффузионном процессе сохраняются следы макроскопического диф-
диффузионного процесса.
При анализе временных спектров это условие ограничивает спектр
со стороны больших значений частоты:
ш < ? = —. E.4.10)
lph Tph
Рассмотрим теперь выражение для пространственно-временной
спектральной плотности флуктуации плотности числа частиц —
функции Fп6п)ш к . Без учета структуры сплошной среды она опреде-
определялась формулой E.3.6), которая была получена методом Ланжевена.
При этом спектральная плотность источника Ланжевена в приближе-
приближении Гаусса для значений у определялась формулой E.3.5). Воспроиз-
Воспроизведем ее:
(уу)ш,к = Ык2п. E.4.11)
Правая часть не зависит от частоты. Тем самым, временной
спектр представляет белый шум — интенсивность спектра одинакова

106 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
для всех частот. С учетом структуры сплошной среды и неограничен-
неограниченности системы область белого шума ограничена двумя неравенства-
неравенствами:
¦1 = ¦? « ш « В. = -L. E.4.12)
td L2 l2ph rph
Роль конечности физически бесконечно малого масштаба lph учи-
учитывается заменой E.26). Воспроизведем ее еще раз
V 2W
После фурье-преобразования приходим к замене:
E.4.14)
2
\
В результате учета структуры сплошной среды происходит следу-
следующая замена спектральной плотности источника Ланжевена:
(уу)и,к -)• 2?»fc2nexp I-f-й2 I exp (-rphw). E.4.15)
Экспоненциальный фактор ехр (—трнш) обеспечивает справедли-
справедливость предположения о приближении Гаусса.
С учетом этой структуры источника Ланжевена имеем выражение:
^fc2 ехр(-грЛо;).
E.4.16)
При заданном значении волнового числа приходим, таким образом,
к модернизированному распределению Коши. Наличие обрезающего
фактора (—Tphw) обеспечивает конечность моментов для функции рас-
распределения значений частоты. Можно было бы, казалось, использо-
использовать и другой способ регуляризации по времени и, соответственно, по
частоте. Именно, по аналогии с E.4.1) возможна замена
8(т) -> — ехр (-—) . E.4.17)
Tph \ Tph )
Это также приводит к регуляризации распределения Коши по час-
частоте. Однако, она обеспечивает конечность лишь второго момента.
Высшие же моменты по-прежнему бесконечны. Это нарушает усло-
условие применимости принятого здесь распределения Гаусса.
Рассмотрим теперь другой предельный случай — случай больших
времен и больших характерных длин. Убедимся, что в этой области
происходит радикальное изменение пространственного и временного
спектров флуктуации Sn.

§5.5. Остаточные временные корреляции 107
§5.5. Остаточные временные корреляции
Расчет временных корреляций выше проведен без учета конечнос-
конечности системы. Это ограничивает область полученных результатов силь-
сильным неравенством:
L2
t<&td = —. E.5.1)
Соответствующее ограничение на верхнюю границу частотного
спектра:
"» — = j2 = "*>' E-5-2)
Теперь рассмотрим обратный случай больших времен корреляции
и низких частот, что соответствует неравенствам:
г2 1 тл
г > rD = —-; ш < — = — = wD. E.5.3)
Естественный фликкер-шум — спектр вида 1/и наблюдается в
области частот, ограниченной со стороны высоких частот временем
диффузии то = L2/D. Нет, однако, внутреннего параметра, который
определял бы минимальную частоту фликкер-шума. Она ограничена
лишь временем жизни рассматриваемой системы 7iife.
Таким образом область существования фликкер-шума по частотам
определяется неравенствами:
< w < — = -го • E-5-4)
Tlife TD L
Есть еще одна частота, которая определяется временем наблюде-
наблюдения Tobs- Для области фликкер-шума она заключена в пределах:
-Hife > Tobs >T?>. E.5.5)
Из приведенных формул следует, что в области фликкер-шума су-
существуют новый масштаб длины и соответствующий объем
>1, V» = Ll » V. E.5.6)
Таким образом, фликкер-шум — отражение наличия многократной
диффузии. Это означает, что на частоте спектра и диффузионный
объем Vu, много больше объема системы V.
При исследовании временных корреляций флуктуации Sn новая ха-
характерная длина на времени г = 1/w удовлетворяет неравенству
L. E.5.7)
Согласно излагаемым представлениям равновесный фликкер-шум
возникает при многократной диффузии в ограниченном объеме.

108 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
Для расчета пространственно-временного спектра флуктуации в
области фликкер-шума методом Ланжевена необходимо знать соот-
соответствующую пространственно-временную спектральную плотность
случайного источника.
Напомним, что для высокочастотных и мелкомасштабных флук-
флуктуации для безграничной системы она определялась формулой E.3.5).
Воспроизведем ее еще раз:
(уу)Шук = 2Dk2n. E.5.8)
Пространственно-временная спектральная плотность флуктуации
выражается через спектральную плотность (уу)ш к:
(SnSn\ k = (УУ)"'* ,. E.5.9)
V >w'k w2 + (?>fc2J V '
При заданном значении волнового числа это выражение определя-
определяет функцию распределения по частоте. Однако, моменты этого распре-
распределения принимают бесконечные значения. По этой причине наруша-
нарушается принятое приближение Гаусса, для которого первые два момента
конечны, а высшие моменты пренебрежимо малы. Для преодоления
этой трудности, были введены физически бесконечно малые масшта-
масштабы. Это дало возможность произвести регуляризацию (сглаживание)
по физически бесконечно малым масштабам и получить распределе-
распределение, удовлетворяющее необходимым требованиям. При этом диспер-
дисперсия распределения по волновым числам определяется размером точки
сплошной среды lph- Она пропорциональна l/lph и, следовательно, ве-
велика.
При учете конечности объема системы V = L3 открывается воз-
возможность для дальнейшего сглаживания. При этом дисперсия распре-
распределения волновых чисел пропорциональна 1/L2. В силу неравенства
L ^> lph после такого сглаживания распределение по волновым чис-
числам становится существенно более узким.
При переходе в область фликкер-шума возникает новый характер-
характерный объем — объем диффузии Уш = 1/^ S> У, Ьш = \fD~fw ^ L. Это
позволяет путем сглаживания по объему Уш получить распределение
с дисперсией, пропорциональной D/ш S> L2. Этому сглаживанию от-
отвечает замена (ср. с E.4.1)):
6(г)
3/2
При записи выражения для спектральной плотности источника
Ланжевена надо принять во внимание следующее.

§5.5. Остаточные временные корреляции 109
Область фликкер-шума отвечает условию многократной диффу-
диффузии. В результате эффективная плотность числа частиц пропорцио-
пропорциональна отношению объемов:
гЗ
п -> neff = A-n^jr. E.5.11)
В результате для области фликкер-шума интенсивность источника
Ланжевена определяется выражением
гЗ / Г 2 i.2 \ Гтл
+{^-y Lu = ^- » L. E.5.12)
Постоянный множитель А будет определен ниже из условия нор-
нормировки.
Из последней формулы следует, что имеет место сильная зависи-
зависимость от частоты и от волнового числа. При этом дисперсия по вол-
волновым числам пропорциональна частоте ш
^ E-5.13)
поэтому в области фликкер шума имеет место очень резкое распре-
распределение по волновым числам — своеобразная бозе-конденсация. Это
говорит о том, что в области фликкер-шума возникает пространст-
пространственная когерентность.
Итак, пространственно-временная спектральная плотность в об-
области фликкер-шума определяется следующим выражением:
2Dk2n L* ( l2\
2 V
?. E.5.14)
Напомним, что проведенные расчеты сделаны для модели идеаль-
идеального газа. Для учета взаимодействия надо произвести замену
?2, или ^^^. E-5.15)
Здесь введено обозначение для для дисперсии флуктуации <$п, сгла-
сглаженной по объему системы
Snv = Jsn{R,t)^, V<Vu=L*. E.5.16)
В свою очередь, относительная дисперсия связана с двухточечной кор-
корреляционной функцией соотношением:
{^ E-5'17)
Для области фликкер-шума дисперсия распределения значений
волновых чисел
< №2) = ъ<Ь- E'5-18)
Это выражение играет роль формулы Эйнштейна для облас-
области фликкер-шума. Поскольку в области фликкер-шума дисперсия

110 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
очень мала, в правой части формулы E.5.14) для пространственно-
временной спектральной плотности возможна замена
Dk2 -> и. E.5.19)
В результате (с учетом замены E.5.19)) для пространственно-
временной корреляционной функции для области фликкер-шума по-
получаем следующее выражение:
(SnSn)U)h = A±L* exp (-^) ((SnvJ) . E.5.20)
Отсюда после интегрирования по волновым числам, находим вре-
временную спектральную плотность
(onJn)^ = / (дпдп)шк = з71"~ \("Пу) /• E.5.21)
Постоянную находим из условия
TD Fп6п)ш — = (FnvJ). E.5.22)
Предполагаем, тем самым, что основной вклад в дисперсию, при-
приходится на область фликкер-шума, когда 1/тц?е < w < I/tq. Тогда
^"± ' ~ E-5-23)
В (Климонтович, 1982) имеется обобщение этой формулы на всю
область частот.
В результате в принятом условии получаем искомое выражение
для временной спектральной плотности в области фликкер-шума:
Ее можно предстсшить в стандартной форме (Коган, 1985, Кли-
Климонтович, 1995)
/ ((У- E-5.25)
Для идеального газа последний сомножитель равен единице. Здесь
введено а обозначение для так называемой константы Hooge.
Итак, для области частот
— < « < — = ^ E.5.26)
наблюдается степенная зависимость временного спектра флуктуации
от частоты.
Из формулы для временной спектральной плотности следует, что
интенсивность фликкер-шума пропорциональна JV". По этой причи-
причине он достаточно интенсивен либо в системах малых размеров (кон-
(контакты, в системах из зерен или доменов), либо в нитях и пленках, в
которых хотя бы один характерный размер является малым.

§5.5. Остаточные временные корреляции 111
5.5.1. Уравнение Ланжевена для области фликкер-шума.
Выражение E.5.25) может быть естественно получено и на основе
соответствующего уравнения Ланжевена. В компонентах Фурье урав-
уравнение для флуктуации впш запишем в виде:
{-ш> + \и\Nп(л/ = уш. E.5.27)
Спектральная плотность источника Ланжевена определяется вы-
выражением
(W)« = ^H. E-5.28)
Из приведенных формул следует, что интенсивность источника
Ланжевена пропорциональна частоте. В пределе ш —> О она равна ну-
нулю. При конечном времени установки минимальное значение интен-
интенсивности определяется временем жизни riif€. Сказанное относится и
к ширине спектральной линии, так как она также пропорциональна
модулю частоты.
5.5.2. Фликкер-шум по волновым числам. В разделе 20.5
книги (Климонтович, 1995) показано, что существует степенная зави-
зависимость l/k и в пространстве волновых чисел.
5.5.3. Фликкер-шум в колебательном контуре. Фликкер-
шум может быть сосредоточен не только около нулевой частоты, но,
например, около собственной частоты электрического контура. Если
о>о собственная частота контура, то при конечном времени жизни, в
приведенных выражениях для пространственной спектральной плот-
плотности надо произвести замену (Климонтович, 1982):
Г , 1 11/2
М-» (w-wo^ + t- • E.5.29)
L rHfeJ
5.5.4. Остаточные временные корреляции в области
фликкер-шума. Временная корреляция связана с временной спек-
спектральной плотностью соотношением
/ dw
{8п8п)ш coswt—. E.5.30)
7Г
Fn6n)r= f
h
7Г
Отсюда следует, что
(SnSn)T =(с- Л/^М (SnSn)v при td<?t
\ In (Tlife/Td)J
E.5.31)
с=1' 7=0'577-
Здесь использованы постоянные Эйлера Сиу.

112 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
В области фликкер-шума зависимость от г очень слабая — лога-
логарифмическая при большом значении аргумента. Это дает основание
говорить о наличии остаточных корреляций.
Возникает вопрос: Как определить соответствующее характерное
время корреляции?
Одно из определений времени корреляции состоит в следующем:
интеграл от временной корреляции (или от ее модуля, если она зна-
знакопеременная) делится на дисперсию (на временную корреляцию при
нулевой разности времен).
Специфика для фликкер-шума состоит в следующем.
Интегрирование по г проводится в пределах Tj} < т < тще. По-
Поскольку значение г отсчитывается от г = т#, то при определении
характерного времени корреляции надо делить не на дисперсию, а на
временной коррелятор при наименьшем значении т, т.е. при т = тр.
Каков же верхний предел интегрирования?
Достоверные результаты для конкретного образца могут быть по-
получены лишь на временах, не превышающих время наблюдения тоь8-
Однако, увеличение времени наблюдения не приводит к изменению
зависимости временной спектральной плотности от частоты. Это да-
дает основание предполагать, что такого рода частотная зависимость
существует в пределах времени жизни установки 7iife и дает возмож-
возможность определить характерное время корреляции, не связанное со вре-
временем наблюдения, следующим выражением:
= Г* (SnSn)T dr/ (SnSn)TD . E.5.32)
'cor
Для оценки времени корреляции проводим интегрирование при
условиях:
То < Т < Tlife. E.5.33)
В результате находим, что
' E5И»
Таким образом, время корреляции при неограниченном времени
жизни Tiife стремится к бесконечности.
Изложенное в настоящем разделе показывает, что в области
фликкер-шума имеет место как пространственная, так и временная
когерентность. Это и дает основание попытаться установить связь
между разными когерентными явлениями, например, фликкер-шумом
и сверхтекучестью (Климонтович, 2001).

§5.6. Фликкер-шум при фазовых переходах... 113
§5.6. Фликкер-шум при фазовых переходах.
Реакционно-диффузионные процессы
5.6.1. Динамическое описание. Рассмотрим простейшую мо-
модель сегнетоэлектрического фазового перехода типа смещения в ион-
ионной плазме твердого тела. Ионы разных знаков расположены в уз-
узлах двух подрешеток (Струков, Леванюк, 1995).
Из-за действия эффективного поля Лоренца жесткость ион-ионных
осцилляторов при некоторой температуре может обратиться в нуль.
Это и приводит к сегнетоэлектрическому фазовому переходу, в ре-
результате которого возникает спонтанная электрическая поляризация
Р(Л, t) = enX(R,t). Для локального относительного смещения ио-
ионов -Х"(Л, t) при низких частотах, которые наиболее существенны
в области фазового перехода, используется уравнение реакционно-
диффузионного типа (Климонтович, 1999)
¦ О (л I L^^2\ ~\г __ т^ т^ Р /С /? 1 \
——— -{- ( 1 — d* -j- оЛ. ) Л. — U r-J U ^ —. @.О.1)
dt T oR "у
Оно следует из соответствующего кинетического уравнения для
локальной функции распределения /(X, Л, t) значений смещения X в
точке R в момент времени t:
l,t) _ д
" дХ
В самосогласованном приближении по первому моменту, когда
,t) = 6(X-X(R,t,)), (X) = X(R,t), E.6.3)
из кинетического уравнения для первого момента и следует приведен-
приведенное уравнение реакционно-диффузионного типа.
Кинетическое уравнение содержит два диссипативных члена.
Один из них описывает диффузию по значениям макроскопического
внутреннего параметра с коэффициентом диффузии D(x) — квТ/ту.
Второй диссипативный член определяет рассасывание неоднородного
распределения центров диполей. Соответствующий коэффициент про-
пространственной диффузии в простейшем случае определяется тем же
выражением. Таким образом, здесь D(x) = D. Приведенные уравне-
уравнения справедливы для детерминированных функций X(R, t), f(X, Л, t).
Можно сказать, что они описывают «ламинарные течения» — процес-
процессы без учета флуктуации.
В кинетическом уравнении использовано обозначение для эффек-
эффективной потенциальной энергии нелинейного осциллятора
E-6.4)
Параметр эффективного поля Лоренца а/ зависит от температуры.
С понижением температуры при некотором ее критическом значении

114 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
Тс- Он становится равным единице. При этом линейная жесткость
обращается в нуль. При дальнейшем понижении температуры разви-
развивается неустойчивость. Ее развитие ограничивается нелинейным чле-
членом. В результате может установиться новое стационарное состоя-
состояние. В частности, пространственно-однородное решение кинетическо-
кинетического уравнения имеет структуру распределения Больцмана
/(X, Л) = Сер (-?§;),
] E-6.5)
с эффективным потенциалом.
Это распределения является в общем случае негауссовым и его
вид зависит от значения управляющего параметра. Значение а/ = 1,
как уже было отмечено, отвечает критической температуре Тс, при
которой происходит перестройка функции распределения. Выше кри-
критической точки функция распределения имеет один максимум и сред-
среднее значение поляризации равно нулю. Напротив, при а/ > 1, т.е.
ниже критической точки, функция распределения имеет два макси-
максимума, которым соответствуют два наиболее вероятных состояния:
-Хтах = ±^/A — df)b. Они разделены потенциальным барьерам. Ми-
Минимумы потенциальной энергии отвечают двум квазистационарным
состояниям с отличным от нуля вектором поляризации Р.
В результате возникает более упорядоченное состояние, которое
характеризуется коллективной характеристикой Р. По терминологии
Ландау вектор поляризации играет роль параметра порядка. Вдали
от критической точки время жизни в состоянии с Р ф О много больше
остальных характерных времен.
Вблизи критической точки высота потенциального барьера стано-
становится очень малой, поэтому время перехода между двумя наиболее ве-
вероятными состояниями становится много меньше остальных времен
релаксации. При этих условиях состояние системы становится близ-
близким к равновесному и приближение первого момента становится ма-
малоэффективным, так как среднее значение вектора может считаться
равным нулю.
Лучшим при этом является самосогласованное приближение по
второму моменту (X2}. В самой критической точке второй момент
имеет конечное, но малое значение и существенно возрастает при по-
понижении температуры.

§5.6. Фликкер-шум при фазовых переходах... 115
Самосогласованное приближение по второму моменту можно ис-
использовать уже при определении нелинейной жесткости. В результате
кинетическое уравнение E.6.2) принимает вид:
dt т дХ
При этом средний квадрат (X2) определяется при всех темпера-
температурах решением алгебраического уравнения
— *« __ "V" L угу* 1 /С /? Т\
= -72", ет = Ат6<1. E.6.7)
Здесь введено обозначение для отношения интенсивности тепловых
вибраций к квадрату максимального значения смещения при низких
температурах.
Выделим решение для трех характерных состояний.
1. Температуры значительно выше критической: (X2) = Х\. В
этой области температур основной вклад дают тепловые флуктуации.
2. В критической точке: {X2} = Х^/^/вт»
3. Температуры значительно ниже критической: (-Х) = 1/Ь =
Xj,/st- Таким образом, при низких температурах квадрат поляриза-
поляризации не зависит от температуры и имеет наибольшее значение.
Кинетическое уравнение описывает фазовый переход и при нуле-
нулевом значении вектора поляризации. В равновесном состоянии его ре-
решение имеет вид распределения Гаусса
f(X) = Bтг(Х2»-1/2ехр (-^2)) • E-6-8)
Величина дисперсии при всех значениях управляющего параметра
определяется решением уравнения E.6.7).
5.6.2. Расчет флуктуации. Как и при расчете флуктуации для
диффузионного процесса, выделим два класса флуктуации. К перво-
первому относятся быстрые и мелкомасштабные флуктуации. Для них ха-
характерные времена много меньше времени диффузии, а характерные
длины много меньше размера системы.
Ко второму классу относятся медленные (низкочастотные) и круп-
крупномасштабные флуктуации. Это означает, что характерные времена
много больше времени диффузии, а характерные длины много больше
размера системы. Временной спектр этих флуктуации представляет
собой, как установлено выше, фликкер-шум.
Напомним, что для фликкер-шума максимальная частота опреде-
определяется обратным временем диффузии, а нижняя граница спектра не
имеет естественного (связанного с параметрами системы) ограниче-
ограничения. Она определяется лишь временем жизни установки.

116 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
Итак, при температурах, значительно меньших критической,
функция распределения в стационарном состоянии имеет два макси-
максимума. Это означает наличие двух квазистатических состояний с от-
отличным от нуля вектором поляризации. Эти состояния разделены по-
потенциальным барьером. Переходы из одного наиболее вероятного со-
состояния в другое характеризуются временем перехода rtr, которое на-
называют часто временем Крамерса.
При достаточно высоком барьере время перехода значительно пре-
превышает время диффузии. Это позволяет выделить область частот,
которая ограничена со стороны высоких частот обратным временем
диффузии, а со стороны низких частот — обратным временем пере-
перехода:
— = "min < « < "max = —. E.6.9)
Пг TD
Левая граница может определяться и эффективным коэффициен-
коэффициентом трения.
Как и для диффузионного процесса правое неравенство допуска-
допускает процесс многократной диффузии. Это и открывает возможность
существования фликкер-шума. Левая же граница области фликкер-
шума определяется теперь процессом релаксации в бистабильной сис-
системе.
Расчет пространственного и временного спектров низкочастот-
низкочастотных и крупномасштабных флуктуации приводит для временной спек-
спектральной плотности флуктуации смешения в сегнетоэлектрике к вы-
выражению (Климонтович, 1999):
*?+Ы, «<?. E.6.10)
Постоянная А определяется и здесь условием нормировки для об-
области фликкер-шума. Область фликкер-шума ограничена условиями
E.6.9). При частотах ш <С rt~x рост спектральной плотности прекра-
прекращается — спектр выходит на «полку».
§5.7. Фликкер-шум и квантовые когерентные явления
— сверхпроводимость и сверхтекучесть
5.7.1. Сверхпроводимость и сверхтекучесть. Явления сверх-
сверхпроводимости и сверхтекучести относятся, несомненно, к числу самых
замечательных и, в то же время, самых загадочных явлений. Пер-
Первое из этих явлений было открыто голландским физиком Камерлином
Оннесом в 1911 году, а второе — Петром Леонидовичем Капицей в
1938 году. Многие замечательные ученые (Ф. Лондон, Л.Д. Ландау,
Дж. Бардин, Л. Купер, Дж. Шриффер, Н.Н. Боголюбов, Р. Фейнман)
внесли существенный вклад в построение теории сверхпроводимости

§5.7. Фликкер-шум и квантовые когерентные явления... 117
и сверхтекучести Многое прояснилось в природе этих явлений, одна-
однако, ряд принципиальных вопросов все же остается без ответа.
Сверхпроводимость описывается уравнениями сплошной среды —
уравнениями Максвелла и уравнением для эффективной волновой
функции — уравнением Гинзбурга-Ландау. Сверхтекучесть (соглас-
(согласно теории Тиссы и Ландау) описывается системой гидродинамичес-
гидродинамических уравнений, соответственно, для нормальной и сверхтекучей ком-
компонент жидкого гелия и, следовательно, также уравнениями сплошной
среды.
Однако, уравнения сплошной среды по самой своей сути являются
диссипативными уравнениями. В связи с этим возникают два вопроса:
Как объяснить существование незатухающего электрического тока
— сверхпроводимости, в диссипативной среде?
Как объяснить существование бездиссипативного течения —
сверхтекучести, в вязкой среде?
До настоящего времени на эти принципиальные вопросы нет яс-
ясного физического ответа.
В работах (Климонтович, 1990,1999, 2002) возможность существо-
существования «незатухающего» электрического тока и «бездиссипативного»
потока в жидком гелии возникает благодаря радикальной перестрой-
перестройки диссипации в области низких частот — в области фликкер-шума.
Такая возможность открывается благодаря тому, что фликкер-шум
представляет собой пространственно-временную когерентную струк-
структуру. Покажем это на примере сверхтекучести.
Связь фликкер-шума и сверхтекучести, на первый взгляд, пред-
представляется совершенно невозможной. Действительно, какова может
быть связь шума (фликкер-шума) и такого когерентного явления,
каким является сверхтекучесть. Выше уже отмечено, что проти-
противоречие снимается тем, что сам фликкер-шум представляет собой
пространственно-временную когерентную структуру.
Начнем с краткого описания некоторых экспериментов П.Л. Капи-
Капицы.
5.7.2. Открытие сверхтекучести. Первое аномальное свойст-
свойство жидкого гелия при низких температурах было обнаружено в ра-
работе (Кеезом и Клазиус, 1932) при измерении температурной зависи-
зависимости теплоемкости (рис.1). Аномальное поведение теплоемкости ука-
указывало на наличие фазового перехода второго рода при температуре
Тс ~ 2,19К.
Об открытии сверхтекучести — безвязкого течения гелия при низ-
низких температурах П.Л. Капица сообщил в двух кратких сообщениях
(ДАН СССР, 1938 и Nature, 1938). В том же выпуске журнала Nature
вслед за статьей Капицы было помещено и сообщение канадских фи-

118
Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
3,0
2,5
2,0
1,5
S
«г
0,5
if
Г
о
У
/
с
/
S
о
ДО-о
А
1,2 1,4 1,6 1,8
2,0 2,2
Рис. 1.
2,4 2,6 Г, К
зиков Аллена и Майзнера об открытии ими сверхтекучести гелия. Их
статья поступила в редакцию журнала позже, чем статья Капицы.
Схема первых опытов Капицы очень проста (рис.2). Две распо-
расположенных горизонтально кварцевых пластинки пришлифованы одна
к другой. Ширина зазора равнялась приблизительно 5 • 10~5 см. В
центре верхней пластины имелось отверстие, в которое была впая-
впаяна тонкая стеклянная трубка. Через нее в зазор между пластинками
поступал жидкий гелий. Вязкость измерялась по разности давлений.
Капица установил, что ниже критической температуры (Тс ~ 2,19К)
вязкость жидкого гелия становится исчезающе малой (примерно в 10
тысяч раз меньше вязкости газообразного водорода).
В работе (Капица, ЖЭТФ, 1941) сверхтекучесть гелия II в тонком
капилляре была продемонстрирована на реактивной установке типа
сегнерова колеса. Схема устройства изображенного на рис.3 дана в
работе (Капица, Советская наука, 1941, 1, с.ЗЗ).
Стеклянная бульбочка наполнена жидким гелием. К ее нижней
части припаян горизонтально расположенный стеклянный капилляр.
В бульбочке находится слабый нагреватель. Напротив свободного кон-
конца капилляра на легком коромысле подвешено крылышко в форме дис-
диска. Коромысло подвешивается на тонкой стеклянной палочке. Вся сие-

§5.7. Фликкер-шум и квантовые когерентные явления...
119
—
V/////
—
—
Г" О
Рис. 2.
Рис. 3.
тема — бульбочка и коромысло помещались в гелий И. При нагрева-
нагревании гелия в бульбочке из свободного конца капилляра выходит струя
гелия. Она давит на крылышко, которое отклоняется. Сила давления
измеряется по закручиванию нити подвеса. Опыт показал, что гелий
из капилляра вырывается в виде хорошо сформированной струи. При
этом оказалось, что количество гелия в бульбочке не убывало!!!
Было, тем самым, установлено наличие двух встречных движений:
нормального из бульбочки, которое вызывалось подогревом гелия в
бульбочке, и встречного сверхтекучего, которое компенсирует убыль
гелия в бульбочке.
Обратимся, наконец, к итоговой работе этой серии (Капица, УФН,
1944). Приведем некоторые выдержки из этой работы. Лучше Капицы
все равно не скажешь!
«Открытие сверхтекучести в жидком гелии, таким образом,
всесторонне обсуждалось, и теперь можно, я думаю, считать
признанным существование сверхтекучего состояния в гелии
II»...

120 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
«Рассказ о том, как развивались наши взгляды на этот во-
вопрос дальше, представляет некоторые трудности. ... Все-таки я
постараюсь рассказать, с какими противоречиями мы сталки-
сталкивались, как менялись наши взгляды и как постепенно склады-
складывались у нас представления, которые выглядели бы ни с чем не
сообразной фантастикой, если бы их изложить вне связи с ре-
реальными опытами».
Проследим за развитием некоторых теоретических представлений
о явлении сверхтекучести.
В теории Ландау движение сверхтекучей компоненты отличается
от движения нормальной компоненты не только отсутствием вязкос-
вязкости, но и тем, что сверхтекучее движение потенциально. Сверхтекучая
компонента при течении не испытывает вязкого трения ни со стенка-
стенками капилляра, ни с нормальной компонентой и имеет нулевую энтро-
энтропию.
В связи с двухжидкостной моделью Ландау в своей основной рабо-
работе по теории сверхтекучести специально отмечает:
«Еще раз подчеркнем, что понятия «сверхтекучей» и «нор-
«нормальной» жидкости является лишь удобным способом нагляд-
наглядного описания явления. В действительности надо было бы гово-
говорить об одновременно происходящих в одной и той же жидкос-
жидкости двух движениях, из которых одно переносит тепло, а другое
нет».
Вернемся в связи с этим к итоговой работе Капицы (Капица, 1944).
Он пишет:
«Объяснение этого явления, данное Ландау, заключается в
следующем. Жидкий гелий представляет собой как бы смесь
двух жидкостей. Эти две компоненты жидкого гелия находятся
в двух разных квантовых состояниях. Благодаря этому он пока-
показал, что могут существовать одновременно встречные течения
одной и той же жидкости, которые мы наблюдаем в капилляре.
Если бы это теоретическое положение не было так полно под-
подкреплено экспериментальными доказательствами, оно звучало
бы как идея, которую очень трудно признать разумной».
В этом же ключе звучат и следующие слова Капицы:
«Все эти явления, для объяснения которых требуется пред-
представить себе сложные взаимодействия между двумя различны-
различными состояниями одной и той же жидкости и том же объеме с
трудом укладываются в наши привычные рамки даже физичес-
физического мышления».
Таким образом, двухжидкостная модель даже для физиков столь
высокого уровня, как П.Л. Капица, не представляется достаточно яс-
ясной. Использование двухжидкостной модели оправдано тем, что на ее

§5.7. Фликкер-шум и квантовые когерентные явления... 121
основе удается описать наблюдаемые закономерности... Из нее следу-
следует существование второго звука. Она объясняет результаты опытов
Андроникашвили с вращающимися дисками.
Явление сверхтекучести всегда вызывало удивление у очевидцев
опытов Капицы (из книги Э.Л. Андроникашвили «История жидкого
гелия»):
«Сам не пойму: из маленькой бульбочки бьет струя беспре-
беспрерывно, а бульбочка не пустеет».
«И опять, сколько ни свети, паучок вращается, из его изо-
изогнутых ножек бьет невидимая струя, но бульбочка не пустеет.
Чудо и чудо!»
«Во всех этих опытах оставалось непонятным только од-
одно: почему бульбочки и паучок, из которых все время вытека-
вытекает струя жидкого гелия-П, никогда не пустели? Каким образом
туда проникал жидкий гелий?»
Таким образом, несмотря на несомненную плодотворность двух-
жидкостной модели сверхтекучего гелия, физическое содержание этой
модели едва ли можно считать достаточно ясным.
В связи с этим интересна и современная точка зрения на приро-
природу сверхтекучести. Так, например, В.П. Минеев — один из ведущих
специалистов по теории сверхтекучести, пишет (статья «Сверхтеку-
«Сверхтекучесть» в Соросовской энциклопедии, т.4, 2000)):
«Таким образом, бездиссипативное течение в жидком гелии
имеет ту же квантовую природу (us пропорциональна постоян-
постоянной Планка), что и вечное бездиссипативное движение электро-
электронов в атомах».
Такое сравнение указывает лишь на отсутствие физического объ-
объяснения явления сверхтекучести — бездиссипативного движения в
вязкой среде. Ведь в реальных атомах все возбужденные состояния
являются неустойчивыми и переходят из-за спонтанного излучения в
основное состояние с нулевым средним значением тока. По этой при-
причине аналогия сверхтекучести и движения электронов атомах не име-
имеет какого-либо основания.
Это дает основание и, более того, делает необходимым изучение
основ существующей теории сверхтекучести. Лишь после этого можно
будет подытожить вопросы, на которые до настоящего времени нет
ответа.
5.7.3. Волновая функция сверхтекучих частиц — конден-
конденсата. В бозе-системе в одном состоянии находится много частиц.
По этой причине соответствующая локальная эффективная волновая
функция является классической и наблюдаемой. В общем случае эта
функция является комплексной и зависит от координат и времени

122 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
«(г,<) = |*|в*. E.7.1)
Эффективная волновая функция конденсата была введена в 1950 г.
в теории сверхпроводимости Гинзбурга и Ландау. При этом |Ф|2 = ns
— плотность числа сверхтекучих частиц (конденсата).
Одна из возможностей описания временной эволюции — переход
от стационарного уравнения Гинзбурга-Ландау к квантовому уравне-
уравнению типа уравнения Хартри. Тогда плотность потока вещества опре-
определяется известным выражением квантовой теории. Оно следует из
соответствующего уравнения непрерывности. В результате гидроди-
гидродинамическая скорость сверхтекучих частиц определяется выражением
tis(r,t) =-grader, t) E.7.2)
га
и, следовательно, поле скорости является потенциальным. При этом
потенциал скорости с точностью до постоянного множителя совпадает
с фазой волновой функции конденсата.
В связи с приведенным выражением для скорости конденсата дела-
делается заключение. На с. 132 книги (Лифшиц-Питаевский, 1978) читаем:
«Поскольку это движение может иметь место в термоди-
термодинамическом равновесии (характеризуемом волновой функцией
Ф(г,2) = |Ф|е*^), то оно бездиссипативно, так что E.7.2) опре-
определяет скорость сверхтекучего движения».
Для такого вывода нет, однако, достаточных оснований. Ситуа-
Ситуация подобна той, которая имеет место для сверхпроводников в тео-
теории Лондона и в теории Гинзбурга-Ландау. Действительно, уравне-
уравнения Лондона и Гинзбург а-Ландау отвечают приближению сплошной
среды, но без учета диссипации. Подобно этому и квантовое уравне-
уравнение Хартри для волновой функции конденсата отвечает самосогласо-
самосогласованному приближению для сплошной среды без учета диссипации. В
этом отношении оно аналогично уравнению Эйлера в гидродинамике
или уравнению Власова в теории плазмы.
Тем самым, отсутствие вязкости (диссипации) заложено уже в ис-
исходные уравнения. Временная эволюция по уравнению Хартри не ве-
ведет к равновесному состоянию.
§5.8. Сверхтекучесть — безвязкое течение в вязкой
среде
Итак, одна из основных задач состоит в том, чтобы дать объясне-
объяснение возможности существования сверхтекучести в диссипативной сре-
среде. Утверждение, что вязкость сверхтекучей компоненты равна нулю,
поскольку «конденсат» представляет собой единое квантовое состоя-
состояние, не может служить физическим объяснением этого явления.
Корни диссипации очевидны. Уравнение Хартри отвечает самосо-
самосогласованному приближению для сплошной среды. На этом фоне не-
неизбежно существуют флуктуации эффективной волновой функции и,

§5.8. Сверхтекучесть — безвязкое течение в вязкой среде 123
как следствие флуктуационно-диссипационного соотношения, система
является диссипативной. Таким образом, в теории наличие сверхте-
сверхтекучего движения через тонкие капилляры является, фактически, не-
объясненным допущением.
Отметим еще раз, что одним из принципиальных нерешенных во-
вопросов теории сверхтекучести является объяснение самой возможнос-
возможности существования сверхтекучести в диссипативной среде, которой яв-
является жидкий гелий. В процессе поиска ответа на этот вопрос будут
использованы представления о фликкер-шуме.
5.8.1. Быстрые и медленные флуктуации в жидком гелии.
В книге (Климонтович, 2001) показано, что при температурах ниже
критической в жидком гелии имеются два флуктуационных процесса
— «быстрый» и «медленный». Поведение быстрых флуктуации близ-
близко к тому, которое предписывается теорией фазовых переходов вто-
второго рода, развитой Ландау. Термодинамические и флуктуационные
характеристики быстрых процессов демонстрируют аномальные за-
зависимости от температуры — закон Кюри для изотермической сжи-
сжимаемости, статической восприимчивости и квадрата радиуса корре-
корреляции. При этом, однако, отличие от теории Ландау и более общей
так называемой «флуктуационной теории фазовых переходов» состо-
состоит в отсутствии «проблемы бесконечностей». Изотермическая сжи-
сжимаемость, статическая восприимчивость и радиус корреляции имеют
конечные значения в самой критической точке!
При удалении от критической точки как в сторону высоких тем-
температур, так и в сторону низких температур значения этих характе-
характеристик убывают по закону Кюри до их микроскопических значений.
Радиус корреляции становится порядка среднего расстояния между
атомами.
Таким образом, аномальный рост, например, радиуса корреля-
корреляции быстрых флуктуации имеет место лишь в окрестности крити-
критической точки. По этой причине корреляции быстрых флуктуации не
могут обеспечить пространственную и временную когерентность бо-
более упорядоченного несимметричного состояния, которое существует
при температурах Т <Тс-
Напротив, поведение медленных флуктуации при температурах
Т <Тс существенно иное. По мере удаления вниз от критической тем-
температуры значение радиуса корреляции продолжает нарастать и стре-
стремиться к макроскопическому значению. Лишь в нефизическом тер-
термодинамическом пределе термодинамические функции в критической
точке становятся бесконечными.
Флуктуационный процесс на низких частотах — фликкер-шум от-
отвечает «обратному термодинамическому предельному переходу» —

124 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
объем системы бесконечно мал по сравнению с объемом диффузии в
области фликкер-шума.
5.8.2. Сверхтекучесть — безвязкое течение в вязкой среде.
Основные особенности явления сверхтекучести проявляются все же
не в термодинамике, а в гидродинамике. Это подчеркивается и самим
термином, который ввел Капица — сверхтекучесть. Основная зада-
задача гидродинамики сводится к вопросам: Почему возможно безвязкое
течение в диссипативной среде? Каково физическое различие сверхте-
сверхтекучей и нормальной компонент в гидродинамике гелия?
Уравнение для флуктуации скорости сверхтекучей компоненты
проще, чем для сверхпроводника, поскольку отсутствует аналог маг-
магнитного поля.
Примем во внимание, что временной спектр флуктуации скорости
со стороны низких частот ограничен лишь временем жизни установки
ПИе- Эта величина определяет и полуширину спектра фликкер-шума.
Постоянный поток гелия — предельное состояние, отвечающее усло-
условию Tlife —>• ОО.
Согласно принципу Онзагера полуширина спектра определяет и
время релаксации среднего значения рассматриваемой характеристи-
характеристики. С учетом этого для скорости сверхтекучей компоненты получаем
релаксационное уравнение
В нулевом приближении по безразмерному параметру
при Tiifc »robs »To E.8.2)
приходим к уравнению
^¦ = 0, us= const. E.8.3)
Величина постоянной скорости определяется граничными условия-
условиями на концах капилляра, например, перепадом плотности. Время диф-
диффузии т„. определяет верхнюю по частотам границу области фликкер
шума: штах ~ 1/т„. Диаметр капилляра в опытах Капицы порядка
10'4-10'5см. Коэффициент диффузии можно оценить по одной из двух
формул: D « ft/2ra; vtI {I — эффективная длина свободного пробе-
пробега томов гелия). Из этих формул следует, что коэффициент диффузии
D ~10'3-10'4см/с2. Отсюда находим, что нижняя граница значений
времени наблюдения фликкер-шума и сверхтекучести
(Tobs)min >Ъ= d2/v ~ 10-10c. E.8.4)
Таким образом, возможность наблюдения сверхтекучести в капил-
капиллярах начинается с очень малых временных интервалов. В нулевом

§5.9. Заключение к параграфу о сверхтекучести 125
приближении по отношению времен тоъя/тте наблюдение на конечных
временных интервалах не дает возможности заметить изменение ско-
скорости сверхтекучего гелия.
Итак, безвязкое — сверхтекучее движение в вязкой среде возможно
благодаря возникновению на низких частотах когерентного распреде-
распределения по волновым числам. Дисперсия этого распределения пропор-
пропорциональна частоте. Это приводит к перестройке гидродинамической
диссипации — в уравнениях для компонент Фурье происходит замена
гидродинамического трения и к2 —> ш. Соответственно этому возни-
возникают «остаточные» (долгоживущие) временные корреляции, ограни-
ограниченные по длительности лишь временем жизни установки.
Становится, тем самым, возможной физическая трактовка двух-
жидкостной модели, введенной в работах Тиссы и Ландау. Выделе-
Выделение двух движений оправдано лишь в линейном приближении. При
этом нормальное движение описывается уравнением Навье-Стокса, в
котором диссипация определяется вязкостью. Сверхтекучее движение
существует благодаря возникновению при фазовом переходе отличной
от нуля плотности атомов сверхтекучей компоненты и при их течении
радикальному изменению диссипативного члена на низких частотах:
vk2 -+w.
На основании изложенного можно отметить две черты понятия
«сверхтекучести». Одна из них — «измерительная». Она связана с
временем наблюдения тоь8- За пределами времени наблюдения нельзя
гарантировать постоянство скорости сверхтекучей компоненты. Од-
Однако, поскольку по мере увеличения времени наблюдения не удается
обнаружить уменьшения скорости, то естественно предположить, что
постоянство скорости имеет место в пределах наибольшего временно-
временного интервала THfe, т.е. «времени жизни» установки.
§5.9. Заключение к параграфу о сверхтекучести
С точки зрения термодинамики гелия-И основная задача — вы-
выяснение физической природы фазового перехода через критическую
точку — А-точку. Детали развиваемой теории приведены в гл.16, 17
(Климонтович, 2001).
Для описания этого фазового перехода существенно наличие двух
типов релаксационных и флуктуационных термодинамических про-
процессов: быстрых и медленных.
Для быстрых термодинамических процессов радиус корреляции и
изотермическая сжимаемость при приближении к критической точке
растут по закону Кюри, но в самой критической точке имеют конеч-
конечные значения! Быстрые флуктуации не могут обеспечить когерент-
когерентность несимметричной фазы на макроскопических масштабах. Напро-
Напротив, медленные флуктуации при Т < Тс становятся макроскопичес-

126 Глава 5. Степенные и логарифмические законы. Фликкер-шум
кими. Обеспечивается, тем самым, пространственная когерентность
сверхтекучей компоненты в опытах Капицы.
Для объяснения гидродинамики сверхтекучего гелия необходимо
принять во внимание наличие в линейном приближении двух типов
гидродинамического движения. Одно из них отвечает нормальному
течению и определяется быстрыми и мелкомасштабыми диссипатив-
ными процессами, удовлетворяющими уравнению Навье-Стокса.
Сверхтекучее течение определяется, напротив, низкочастотными
A/ш много больше времени вязкой диффузии L2/i/)y гидродинамичес-
гидродинамическими движениями. Безвязкое — сверхтекучее — движение в вязкой
среде возможно благодаря возникновению на низких частотах и малых
волновых числах когерентного распределения по волновым числам.
Дисперсия этого распределения пропорциональна частоте. Это при-
приводит к радикальной перестройке гидродинамической диссипации —
в уравнениях для компонент Фурье происходит замена гидродинами-
гидродинамического трения vk2 —>• ш. Соответственно этому возникают «остаточ-
«остаточные» (долгоживущие) временные корреляции, ограниченные по дли-
длительности лишь временем жизни установки.
Для низкочастотных и крупномасштабных движений меняется
структура диссипативного члена — и к2 —>• ш.
Естественно, что нормальное и сверхтекучее движения независи-
независимы лишь при малых скоростях, когда справедливо линейное прибли-
приближение. По мере увеличения скорости сверхтекучего движения при кри-
критической скорости ис ~ fh/md сверхтекучее движение становится не-
невозможным.
Можно надеяться, что представленная в этих параграфах физи-
физическая трактовка сверхтекучести позволяет лучше понять сущность
этого замечательного явления, открытого Капицей.

ГЛАВА 6 Аномальное броуновское движение
на кинетическом уровне описания
§6.1. Введение
Вернемся к Предисловию к настоящей книге. Там был приведен
перечень основных ключевых слов и понятий Физики открытых сис-
систем. Целый ряд вопросов, охватываемых этим перечнем уже рассмот-
рассмотрен в предыдущих главах. В частности, одна из глав была посвящена
теории аномальной пространственной диффузии. Одним из ее наибо-
наиболее ярких проявлений является фликкер-шум — низкочастотный шум
со спектром «l/о;». Был рассмотрен ряд физических примеров роли
фликкер-шума. Другие примеры, можно найти, в частности, в гл.20
книги (Климонтович, 1995).
Фликкер-шум представляет пример степенного закона для области
многократной пространственной диффузии. Степенные законы очень
распространены в Природе и Обществе и по этой причине привлекают
все большее внимание. Свидетельством тому служит, например книга
М. Шредера. Заголовок гл.4 этой книги гласит: «Степенные законы
— неисчерпаемый источник самоподобия».
Многие степенные законы устанавливаются на основе эксперимен-
экспериментальных данных. Имеются и примеры, когда они выявляются на ос-
основе теоретического исследования. Прекрасной иллюстрацией этого
служит теория однородной и изотропной турбулентности А.Н. Кол-
Колмогорова, в частности закон «2/3» Колмогорова-Обухова. Степенные
законы имеют место лишь для ограниченной области масштабов. В
теории турбулентности это область, ограниченная основным и вязким
(наименьшим) масштабами — инерционный интервал.
На примере естественного фликкер-шума было показано, что
область частот фликкер-шума ограничена сверху обратным вре-
временем пространственной диффузии тр. Для систем реакционно-
диффузионного типа область фликкер-шума может быть ограничена
и со стороны малых частот временем, обратным времени «химичес-
«химической релаксации».
Напомним, что само уравнение пространственной диффузии спра-
справедливо лишь для области частот:
«ты = w/7 « I- F.1.1)
Здесь 7 — коэффициент трения для скорости броуновской частицы
— коэффициент Стокса, тте\ — соответствующее время релаксации.

128 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
Возникает естественный вопрос: Что же происходит в области вы-
высоких частот — при условии обратного неравенства, wy ^> 1? Оказы-
Оказывается, что в этой области структура диссипативного члена сущест-
существенно усложняется и мы попадаем снова, но теперь уже для боль-
больших частот, в область степенных зависимостей. Здесь вместо уравне-
уравнения пространственной диффузии используется более общее уравнение
Фоккера-Планка или соответствующая система уравнений Ланжеве-
на для координат и скорости броуновской частицы.
Степенная зависимость будет установлена в этом случае не на ос-
основе экспериментальных данных, а на основе расчета движения бро-
броуновской частицы. При этом существенно меняется и динамическое
(без учета источника Ланжевена) уравнение для скорости броуновской
частицы. Вместо традиционного релаксационного уравнения с посто-
постоянным трением возникает интегро-дифференциальное уравнение. Яд-
Ядро интегрального члена имеет степенную зависимость (t — т)/2, ха-
характерную для интегрального уравнения Абеля. Возникновение тако-
такого рода уравнений привело известных математиков Абеля и Лиувил-
ля к целесообразности новых математических понятий дробной про-
производной и дробного интеграла.
Результаты соответствующего расчета флуктуации при броунов-
броуновском движении, которые в традиционной теории основываются на
приближении Гаусса, стимулировали введение функций распределе-
распределения нового класса — распределений Леви.
Перечисленные новые фундаментальные понятия математики ос-
основаны на некоторых идеализированных представлениях и аксиомах.
Физика открытых систем и здесь вводит свои коррективы, позволяю-
позволяющие развивать теорию на более реальной физической основе. Демон-
Демонстрация этого является одной из задач настоящей главы.
§6.2. Теория броуновского движения с нестоксовым
коэффициентом трения
в.2.1. Задача Стокса. Уравнение Ланжевена. Начнем с по-
повторения некоторых результатов классической теории броуновского
движения, когда сила трения определяется формулой Стокса. Это поз-
позволит лучше понять необходимость перехода к теории аномального
броуновского движения в кинетической области.
Представим броуновскую частицу в виде шарика радиуса а и мас-
массы М, а через v(t) — скорость броуновской частицы относительно
неподвижной жидкости. Тем самым не учитывается обратное воздей-
воздействие броуновского движения на движение среды. Ниже убедимся, что
это условие ограничивает область степенного закона со стороны боль-
больших частот.

§6.2. Теория броуновского движения с нестоксовым коэффициентом... 129
При движении в жидкости броуновская частица испытывает тре-
трение. Возникает, тем самым, задача гидродинамики о движении ша-
шарика в жидкости при заданной функции v(t). Результат существенно
зависит от выбора этой функции. Стоке предположил, что скорость
постоянна. Для этого случая сила трения определяется формой Сток-
са:
^ V = Р"- F.2.1)
Здесь использованы обозначения для коэффициента трения 7> ди-
динамической 7) и кинематической v вязкости.
Для записи уравнения движения шарика учет лишь силы трения
недостаточен. Он отвечает приближению сплошной среды. Для учета
атомарной структуры жидкости Поль Ланжевен ввел в уравнение дви-
движения броуновской частицы соответствующую дополнительную силу
— силу Ланжевена
FL = My(t). F.2.2)
В результате уравнения движения броуновской частицы в непо-
неподвижной среде имеют вид:
Tt=V' % + -iP = Fo + My{t), Fo = ~. F.2.3)
Fo — внешняя сила, например, сила тяжести.
Сила Ланжевена отражает наличие теплового неконтролируемого
движения атомов среды и по этой причине является случайной функ-
функцией времени. Поскольку все направления силы Ланжевена являются
равноправными, ее среднее значение (первый момент) (y{t)) = 0.
Заметные изменения движения броуновской частицы происходят в
результате многократных воздействий (ударов) атомов, поэтому при
расчете высших моментов силы Ланжевена можно использовать при-
приближение Гаусса. В этом приближении, наряду с первым моментом,
достаточно знать лишь второй двухвременной момент (yi{t)yj(t')).
Более того, естественно предположить, что время корреляции силы
Ланжевена тсог много меньше времени релаксации за счет силы Сток-
са. Таким образом имеет место неравенство:
Тсог < ТГ61 = К F.2.4)
В нулевом приближении по малому параметру тсот/тте\ можно счи-
считать, что время корреляции силы Ланжевена равно нулю. Это дает ос-
основание ввести во временной коррелятор силы Ланжевена J-функцию.
С учетом равноправия всех направлений силы Ланжевена получаем
следующее выражение для двухвременного коррелятора:
Здесь введено обозначение 2D(V) — для средней интенсивности
толчков со стороны атомов среды. Величина D^ будет играть роль

130 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
коэффициента диффузии в пространстве скоростей. Он связан с коэф-
коэффициентом пространственной диффузии D соотношением
Величина коэффициента диффузии D(v) определяется из усло-
условия, что для ансамбля броуновских частиц устанавливается тепло-
тепловое равновесие броуновских частиц и окружающей среды. Это извест-
известная формула Эйнштейна. Она представляет пример флуктуационно-
диссипационного соотношения, которое связывает флуктуационный
фактор — коэффициент диффузии Z), с диссипативным фактором —
коэффициентом трения 7 и температурой среды.
Рассмотрим пример решения уравнений Ланжевена.
Заметим, что система уравнений F.2.3)—F.2.6) является линейной.
В этом случае от дифференциального уравнения движения со случай-
случайным источником (от стохастического дифференциального уравнения)
можно перейти к соответствующим уравнениям для временных ком-
компонент Фурье. Прямое и обратное преобразования Фурье, на примере
скорости, задаются формулами:
v(t) = — / уш exp (-iut) du>, уш = / v(t) exp (iut) <ft.F.2.7)
Из уравнений F.2.3)-F.2.6) следуют соответствующие уравнения
для компонент Фурье:
-ггц, = Vo,, (-iw + 7) уш = уш. F.2.8)
Используем преобразование Фурье для двухвременного коррелято-
коррелятора флуктуации в состоянии теплового равновесия. На примере корре-
коррелятора флуктуации скорости имеем:
(Ы{1)у, (t - т)> = ± J_ J {vtvj)u exp (-шт) do. F.2.9)
Соответствующее обратное преобразование имеет вид:
(vi(t)vj(t - r)> exp (гит) dr. F.2.10)
'—oo
Функция (viVj)^ — тензор временной спектральной плотности
флуктуации скорости.
Используя это преобразование, с помощью выражения F.2.5) для
временного коррелятора силы Ланжевена, получим выражение для
тензора временной спектральной плотности источника Ланжевена:
2D(v)SijS(T) exp (шт) <1т = 2ZWtj. F.2.11)
f — оо
Временная спектральная плотность не зависит от частоты. Такой
шум называют белым шумом.

§6.2. Теория броуновского движения с нестоксовым коэффициентом... 131
С помощью уравнений F.2.8) и последней формулы находим выра-
выражение для тензора временной спектральной плотности скорости бро-
броуновской частицы
Суммируем диагональные элементы тензора и интегрируем по
частоте и. В результате устанавливаем связь средней кинетической
энергии броуновской частицы, температуры и интенсивности источ-
источника Ланжевена:
Это равенство обеспечивает тепловое равновесие броуновской час-
частицы среды. Из последнего равенства в F.2.13) следует формула Эйн-
Эйнштейна F.2.6).
Вернемся к формуле F.2.12) для спектральной плотности скорос-
скорости. Из нее следует, что компоненты Фурье лежат в основном в области
частот
О < и < 7. F.2.14)
Области низких частот (и ~ 1/td <C 7 )» как было установлено
выше, отвечает приближение пространственной диффузии. При этом
система уравнений Ланжевена упрощается — сводится к уравнениям
для координат.
Область пространственной диффузии, в свою очередь, была под-
подразделена по частоте на две подобласти:
1). Область относительно высоких частот при пространственной
диффузии
1/тд<и><7- F.2.15)
При этом можно считать, что среда неограничена.
2). Область низких частот
w < 1/td. F.2.16)
Это область фликкер-шума.
Теперь нас будет интересовать кинетическая область, когда
w ~ 7- F.2.17)
Для расчета флуктуации надо использовать полную систему урав-
уравнений Ланжевена и соответствующее ей кинетическое уравнение
Фоккера-Планка.
Уравнения Ланжевена F.2.3)-F.2.6) установлены на примере бро-
броуновского движения малой макроскопической частицы. Эта система

132 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
уравнений Ланжевена, хотя и широко используется при расчетах, но
она все же внутренне противоречива. Это проявляется в следующем.
Расчет коэффициента трения — результат решения задачи о дви-
движении шарика с постоянной скоростью в покоящейся жидкости. Но
условие постоянства скорости несовместимо с броуновским движени-
движением, поэтому для расчета силы трения возникает необходимость реше-
решения более сложной задачи гидродинамики — движения шарика с пере-
переменной скоростью v(t). Решение такой задачи известно (см. Bedeaux,
MazurA974); Ландау и Лифшиц, 1988, с.130; Mainardi, Pironi, 1996).
В результате приходим к существенно более сложному выражению
для коэффициента трения. Соответствующим образом усложнится и
система уравнений Ланжевена. Они будут рассмотрены в следующем
разделе.
6.2.2. Кинетическое уравнение в теории броуновского дви-
движения. Уравнение Фоккера-Планка. Проведем переход от урав-
уравнений Ланжевена для случайных функций r(t), v(t) к уравнению для
функции распределения /(г, v, t) в 6-мерном фазовом пространстве ко-
координат и скорости. Детали такого перехода представлены в кни-
книгах (Стратонович, 1961; Ланда, 1982; Климонтович, 1982, гл.11; 1995,
гл.15). Приведем сразу установленное там уравнение — уравнение
Фоккера-Планка:
Здесь D(v) — коэффициент диффузии в пространстве скоростей.
Он связан с коэффициентом пространственной диффузии приведен-
приведенным выше соотношением.
В равновесном состоянии при ify) = 0 функция / зависит только
от скорости и определяется распределением Максвелла:
При наличии потенциальной силы в равновесном состоянии функ-
функция / — распределение Максвелла-Больцмана.
§6.3. Задача Стокса при переменной скорости
броуновской частицы
6.3.1. Обобщенная задача Стокса. Задача решается в линей-
линейном приближении по скорости, поэтому зависимость скорости броу-
броуновской частицы от времени можно представить в виде:

§6.3. Задача Стокса при переменной скорости броуновской частицы 133
V = V» exp (-iwt). F.3.1)
Компоненту Фурье силы, действующей со стороны среды на броу-
броуновскую частицу, можно представить в виде:
f(w) = - Jlf7(w)V(w), F.3.2)
Здесь введено обозначение для функции 7(w)> связывающей компо-
компоненты Фурье силы и скорости:
F.3.3)
Коэффициент 7 определяется приведенной выше формулой Стокса.
Используем обозначения для времени вязкой диффузии т„ и соответ-
соответствующий безразмерный параметр броуновского движения ев*
иа2 1 иа2 и /Л Л ,ч
т„ = , ев = = urv ~ -. F.3.4)
С учетом этих обозначений формулу для 7(w) можно переписать
в виде
И = 7 1 + A - г)\ -7Г7 ~ Ь>7Г. Ь 7 =
F.3.5)
Таким образом, дополнительные члены определяются степенями
безразмерного параметра у/ев.
Отсюда следует, что на стадии пространственной диффузии
(при использовании уравнения Эйнштейна-Смолуховского) параметр
ев <С 1 и коэффициент трения определяются формулой Стокса G(^) =
7). Напротив, для области кинетических масштабов (при использова-
использовании уравнения Фоккера-Планка) параметр ев не мал. По этой причи-
причине формула Стокса перестает «работать». Функция т{&) комплексна,
поэтому на кинетической стадии процесса, меняется не только дисси-
пативный, но и недиссипативные коэффициенты.
Как и в традиционной теории броуновского движения будем ис-
использовать метод Ланжевена.
6.3.2. Уравнение Ланжевена. С учетом источника Ланжевена
уравнение движения компоненты Фурье имеет вид:

134 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
(-tw + 7И) у(ш) = у{ш). F.3.6)
Используем функцию 7(w)» которая определяется формулой F.3.5).
Объединим члены, пропорциональные —га;. В результате уравнение
F.3.6) примет вид:
[-га, (l + 1^) «(«) +7 (l + A - *))/Щ] <») = УН- (б-3-
По сравнению с соответствующим уравнением традиционной тео-
теории здесь имеются два дополнительных члена. Это, во-первых, второй
член в первых круглых скобках. Его можно представить в виде:
3- F-3-8)
Здесь р — плотность жидкости. Этот член характеризует увлече-
увлечение жидкости броуновской частицей и, тем самым, определяет добав-
добавку к массе броуновской частицы. Это позволяет ввести эффективную
массу
Meff = М + у pa3 = M (l + | j^j F.3.9)
и переписать уравнение F.27) в виде:
-iuMettv(w) + tor)av(u) + 6щаA - г)^^-у{и) = Му(ш). F.3.10)
С помощью полученного уравнения движения можно описать ди-
динамическое движение (при у = 0), а также провести расчет флуктуа-
флуктуации скорости броуновской частицы. Начнем с первой задачи.
6.3.3. Динамическое уравнение для броуновской частицы.
Выполним теперь обратное преобразование Фурье. Сделаем это сна-
сначала для первых двух членов. Это приводит в выражению:
Meff^ + toriavit). F.3.11)
Смысл этих вкладов ясен. Первый — произведение эффективной
массы на ускорение, а второй — сила трения с коэффициентом Стокса.

§6.4. Дробные производные и дробные интегралы 135
Осталось преобразовать последний член. Для этого используем из-
известные выражения для интегралов:
f°° 1 Г°° 1
/ —= cos u(t — r)du = / —=sinu;(tf — r)du =
Jo у/и Jo V^
t > т. F.3.12)
F.3.13)
Это выражение можно представить в виде двух вкладов, отвечаю-
отвечающих, соответственно, диссипативному и недиссипативному вкладам.
В результате вместо дифференциального уравнения движения
2(t-r)'
В результате после преобразования Фурье имеем
dt , „„.,_,.,= О F.3.14)
приходим к интегро-дифференциальному уравнению
F.3.15)
При этом дополнительный член учитывает временное запаздыва-
запаздывание. Его можно представить в виде суммы двух вкладов, обладающих,
соответственно, временной симметрией обратимого и необратимого
процесса. Это уравнение можно найти в современных курсах гидроди-
гидродинамики (например, Ландау и Лифшиц, 1988). Однако, впервые оно бы-
было установлено в конце XIX столетия (Boussinesq, 1985; Basset, 1888).
Оно интересно, в частности, тем, что подынтегральное выражение
определяется степенной зависимостью, которая характерна для класса
интегралов, которые по Абелю и Лиувиллю называются дробными
интегралами.
Прежде чем продолжить обсуждение этого уравнения с учетом
флуктуации, покажем, что уравнение F.35) сводится к уравнению
Абеля — уравнению с дробными производными.
§6.4. Дробные производные и дробные интегралы
6.4.1. Интегральное уравнение Абеля. Интегральное урав-
уравнение Абеля относительно неизвестной функции (p(t) имеет вид:
х > а.
При этом указана область возможных значений параметра /3. Ин-
Интегральный член в уравнении F.3.15) отвечает значению /3 = 1/2 и
области интегрирования x>t> — со.

136 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
Решение Абеля имеет вид:
Существенно, что уравнение Абеля имеет место лишь для ядра,
задаваемого степенной функцией для ограниченной области значений
показателя степени. В реальных системах эти требования могут быть
удовлетворены лишь на определенной стадии процесса, в частности,
на кинетической стадии броуновского движения. К тому вопросу вер-
вернемся в следующих параграфах. Сейчас же продолжим знакомство с
новыми для нас математическими понятиями.
6.4.2. Дробные интегралы и дробные производные. Рас-
Рассмотрим интервал [ab]. Введем два определения дробного интеграла,
соответствующие левому и правому участкам интервала [ab]
* (х-ty-*®*' 0<а<1, *>а F.4.3)
— для левого участка интервала,
1 °а1у хь (б'4>4)
— для правого участка интервала [ab].
Два соответствующих определения дробных производных
— для левого участка интервала,
— для правого участка интервала [ab].
Используя первое определение дробного интеграла, уравнение Абе-
Абеля можно представить в виде:
О < а < 1, х > а. F.4.7)
Используя же первое определение дробной производной, решение
уравнения Абеля можно записать в виде:
Частный случай а = 1/2 отвечает структуре интегрального члена
в уравнении для скорости броуновской частицы при нестоксовском

§6.4. Дробные производные и дробные интегралы 137
коэффициенте трения. Есть, однако, и отличие. Оно состоит в выборе
нижней границы интегрирования. Мы еще вернемся к этому вопросу.
Из изложенного следует, что введение понятий дробного интегра-
интеграла и дробной производной не меняет, естественно, сути операций ин-
интегрирования и дифференцирования. Использование новых понятий
стимулируется формальным упрощением операций для выделенного
класса степенных функций. Приведенная краткая информация об этих
математических операциях, предложенных Абелем и Лиувиллем более
ста пятидесяти лет тому назад, оправдана тем, что в последние годы
эти понятия стали весьма популярными и помогают решать многие
конкретные задачи теории фракталов.
В этом отношении одна из задач Физики открытых систем — вы-
выявление областей значений переменных и характерных параметров,
при которых выделенные выше степенные закономерности играют су-
существенную роль. В предыдущем пункте это было установлено на
примере уравнения для скорости броуновской частицы. В следующем
пункте при расчете флуктуации скорости броуновской частицы воз-
возникнут новые математические проблемы, для решения которых по-
появится необходимость в использовании новых методов статистическо-
статистического описания, в частности, использования распределения Леви.
6.4.3. Флуктуации скорости в равновесном состоянии. Для
определения моментов источника Ланжевена снова используем при-
приближение Гаусса. Первый момент в силу равноправия всех направле-
направлений воздействия среды на броуновскую частицу равен нулю ((у) = 0).
Второй в традиционной теории броуновского движения определяется
выражениями F.2.5), F.2.6). Эти формулы не могут быть здесь ис-
использованы, так как вместо постоянного коэффициента трения теперь
выступает функция 7 (<*>)• Рассмотрим сначала выражение для спек-
спектральной плотности источника Ланжевена.
Представим комплексную функцию ^(ш) в виде действительной и
мнимой частей:
7(о>) = Rey(u) +ilm*y(u). F.4.9)
Соответствующее выражение для спектральной плотности источ-
источника Ланжевена определяется формулой:
(ViVj)u = 2 Re-YHSij ^. F.4.10)
Здесь Meff — масса броуновской частицы с учетом увлечения сре-
среды. Она определена формулой F.4.10). Из формул 6.3.3 следует, что
интеграл от функции {у%у^ш на больших частотах расходится. Для
исключения расходимости надо учесть структуру сплошной среды —
ввести физически бесконечно малые масштабы времени rph и длины

138 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
Iph* При этом максимальное возможное значение частоты в спектре
F.4.10) о;тах~1/тр/|.
Однако ланжевеновский источник является вспомогательной (про-
(промежуточной) характеристикой. Необходимо, чтобы конечными бы-
были интегралы по частотам от наблюдаемых спектральных харак-
характеристик, например, спектральной плотности флуктуации скорости
(t>ity)w . Из формул F.3.6),F.3.10) следует, что она определяется вы-
выражением:
квТ с /e A ,,ч
?й- F.4.11)
V 3)ш (и - 1т7И)
Здесь введены определения функций Re 7(<*>), Im^(ш):
Re7(«) = 7 (l +?^Щ ; Ьп7И = (^+ ^) -F.4.12)
?
Используем здесь определение F.3.9) для эффективной массы и
уравнение F.3.11) для компоненты Фурье v(u) для скорости с учетом
источника Ланжевена. В результате получим выражение:
eff
Величина 7eff отличается от коэффициента Стокса у заменой М —>¦
Meff.
Из последней формулы следует, что при больших частотах спек-
спектральная плотность
Это обеспечивает конечность интеграла J (viV^^du. Выполним
интегрирование по о;. В результате получим равенство
X-Weff / («ityL — = -Meff (v2) = ~kBT, F.4.15)
2 J v J/a> 2тг 2 x ' 2 v y
которое выражает условие равновесия броуновской частицы с учетом
эффективной массы и окружающей среды.
При этом, однако, интеграл
<*>2 MiL <*<*>> F.4.16)
определяющий второй момент частоты по распределению (fJity)w» яв-
является расходящимся. Это указывает на нарушение применимости

§6.5. Распределения Гаусса, Коши и Леви 139
приближения Гаусса для расчета флуктуации скорости броуновской
частицы при больших частотах. Попробуем выяснить возможные при-
причины такого нефизического результата.
Выше было отмечено естественное ограничение со стороны боль-
больших частот, которое обусловлено структурой сплошной среды
Wmax- 1/Tph. F.4.17)
Есть, однако, и еще одно физическое ограничение для области
больших частот. Оно обусловлено следующим. Время релаксации 1/7
порядка времени диффузии скорости по объему шарика (т„ ~ I/7 ~
а2/и). Выше при описании броуновского движения предполагалось,
что жидкость неподвижна. Это означает, что нет обратного воздейст-
воздействия броуновского движения на состояние среды.
Это, несомненно, оправдано при частотах о;, когда время 1/и боль-
больше времени диффузии г„. В обратном случае больших частот жид-
жидкость не успевает заполнить «пустоты», которые остаются за бро-
броуновской частицей. При этом принятое при расчетах условие непо-
неподвижной жидкости не может быть выполненным. Учет же обратного
воздействия броуновских частиц на среду меняет результаты расчета.
Описанная степенная зависимость по частотам со стороны больших
частот ограничена условием:
7 F.4.18)
/
Jo
v
Это ограничение снимает, естественно, расходимость интеграла,
определяющего второй момент:
/ w2 {viVj)^ du> < 00. F.4.19)
Jo
и снимает отмеченное противоречие с приближением Гаусса при ра-
расчете флуктуации скорости броуновских частиц. Остается, естествен-
естественно, вопрос о поведении высших моментов. Он возникает в теории не-
нелинейного броуновского движения. Об этом будет речь в главах, по-
посвященных теории равновесных и неравновесных фазовых переходов.
Теперь же подведем итоги глав 5 и 6, посвященных расчету флук-
флуктуации на диффузионных и кинетических стадиях эволюции. На на-
нашем пути возникали как математические, так и физические труднос-
трудности. При этом предпочтение отдавалось физическим способам преодо-
преодоления трудностей. Мы старались работать на уровне математической
строгости, принятой в физике. Оценка такого подхода выражена сло-
словами эпиграфа, которые приписывают замечательному математику
Андрею Николаевичу Колмогорову:
«Важно не то, что строго, а то, что верно».
Изложенное содержит значительный материал для сопоставления
«строгости» и «правильности». Сопоставление этих позиций и явля-
является заключительным параграфом настоящей главы.

140 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
§6.5. Распределения Гаусса, Коши и Леви
6.5.1. Распределение Гаусса. Известны два пути установле-
установления распределения Гаусса. Первый — математический. Он основан
на Центральной предельной теореме Колмогорова и Гнеденко. Если
имеется N независимых переменных asi,... , ждг с одинаковым законом
распределения с дисперсией <т, то любое распределение суммы X =
xi + ... + .xn этих переменных в пределе N -* оо сходится к распре-
распределению Гаусса — нормальному распределению. Оно задается двумя
первыми моментами (средним значением и дисперсией).
Гауссово приближение - приближение двух первых моментов (пер-
(первого момента и дисперсии) широко использовалось гл.5 при описании
пространственной диффузии броуновских частиц. Примером служит
распределение по координатам для пространственно-временной кор-
корреляционной функции
г=|Я-Д'|, г>0. F.5.1)
При этом основой вывода этой формулы служило уравнение Лан-
жевена E.2.3). Случайный источник определялся двумя первыми мо-
моментами, что отвечало приближению Гаусса. В силу линейности урав-
уравнения диффузии двумя первыми моментами характеризуются и флук-
флуктуации плотности. Дисперсия в формуле F.5.1) определяется форму-
формулой Эйнштейна <т = 2Dt.
Распределением Гаусса по волновым числам определяется про-
пространственная спектральная плотность для двухвременного распре-
распределения флуктуации плотности (формула E.4.7)):
{8п8п)тк = nexp {-Dk2r) , г > 0. F.5.2)
По мере увеличения значений аргументов (г или к) соответствую-
соответствующие распределения убывают экспоненциально. При этом в экспонен-
экспонентах стоят значения квадратов аргументов (г2 или к2). Это отвечает
экспоненциально малым «хвостам» распределений. В этом отношении
распределения Гаусса являются «узкими».
К вопросу о роли распределения Гаусса мы вернемся в следующей
главе, посвященной степенным закономерностям при фазовых перехо-
переходах второго рода.
Рассмотрим теперь пример «широкого» распределения.
6.5.2. Распределение Коши. Первым примером распределения
Коши в гл.5 была формула E.3.6) для пространственно-временной
спектральной плотности

§6.5. Распределения Гаусса, Коши и Леви 141
(дпдп),, t = 1—т> = г-п. F.5.3)
V )ш'к u* + (Dk*J u* + (Dk*J V ;
В физике такие распределения называют распределениями Рэлея.
Они встречаются, например, в теории молекулярного рассеяния, а
также представляют спектры медленно меняющихся флуктуации в
гидродинамике. Ширина линии пропорциональна коэффициенту про-
пространственной диффузии и квадрату волнового числа.
Для распределения Коши характерно относительно медленное
(степенное, как 1/ш2) убывание с ростом частоты и. По этой причине
такие распределения называют «широкими».
Медленное убывание распределения Коши сказывается на поведе-
поведении моментов: нулевой момент конечен
первый момент в силу симметрии распределения равен нулю, а второй
момент
u<k^ = oo. F.5.5)
Таким образом, второй момент бесконечен. С этим мы уже встре-
встречались в этой главе при расчете флуктуации броуновского движения.
Такой результат с точки зрения физики является существенным недо-
недостатком, поэтому для его устранения надо искать в нарушение усло-
условий применимости проведенного расчета.
Дело в том, что приближение пространственной диффузии соот-
соответствует ограниченному сверху интервалу частот:
<*>тах < 7- F.5.6)
По этой причине интегрирование в формуле F.5.5) надо проводить
по области частот, ограниченной сверху значением u;max. С учетом
этого получаем конечное значение для второго момента.
В области низких частот имеет место фликкер-шум и минимальное
значение частоты определяется обратным временем жизни.
Таким образом, для области пространственной диффузии второй
момент для распределения Коши конечен.
Распределение Коши возникает и при расчете более высокочастот-
высокочастотных флуктуации скорости броуновской частицы. Примером служит

142 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
выражение F.4.13) для временной спектральной плотности флуктуа-
флуктуации скорости {viVj)u . При этом снова второй момент является беско-
бесконечным:
ш2 {viVj) du) = оо. F.5.7)
чны
Такой нефизический результат, как уже было отмечено выше,
следствие неучета существенных масштабов — либо физически беско-
бесконечно малого временного интервала грл, либо влияния движения броу-
броуновской частицы на распределение окружающей среды (характерного
времени вязкой диффузии г„).
Возникает вопрос: Какое из этих двух ограничений является более
существенным. Это зависит от соотношения объема броуновской час-
частицы Vb и физически бесконечно малого объема жидкой среды Vph-
При Vb < Vph верхняя граница интегрирования в F.5.7) определяется
величиной a;max ~ т~?. В противном случае o;max ~ т~г.
Есть еще одно существенное отличие в свойствах распределений
Гаусса и Коши. Распределения Гаусса F.5.1), F.5.2) являются анали-
аналитическими функциями, соответственно, г2 и к2.
В противоположность этому, характеристическая функция (ком-
(компонента Фурье) распределения Коши, например F.5.3), имеет вид
2Dk2 du
-п =
_2 Г
'«Jo
и>2 + (Dk2J 2тг
cos (Dk2rx) -^—rdx = exp (-Dk2 \т\). F.5.8)
o V ' X2 + 1 V 1У V
В отличие от характеристической функции распределения Гаусса
(например, характеристической функции F.5.2) распределения Гаусса
F.5.1)) функция F.5.8) не является аналитической функцией своего
аргумента.
Можно ли предложить единое выражение для характеристичес-
характеристической функции, зависящее от некоторого параметра /3, которое при его
частных значениях совпадало бы, соответственно, с характеристичес-
характеристическими функциями Гаусса и Коши. Такая характеристическая функция
существует. Соответствующая функция и есть упомянутое выше рас-
распределение Леви.
6.5.3. Устойчивые распределения. Распределение Леви.
Обозначим через /(г) произвольную функцию распределения d-мерной
переменной г. Введем соответствующую характеристическую функ-
функцию — компоненту Фурье распределения /(г):
Л / я*)ехр (ikr) dk- <6-5-9)
В качестве примера рассмотрим случай, когда функции /(г), f(k)
зависят лишь от абсолютных значений соответствующих векторов.
Примером служат распределения Гаусса F.5.1), F.5.2).

§6.5. Распределения Гаусса, Коши и Леви 143
Распределение f(k) называют устойчивым, если функция f(k)
удовлетворяет уравнению:
f(ak) = /(a!*)/(a2*), F.5.10)
в котором положительные постоянные а, ах, аг связаны соотношением,
зависящим от одного параметра /? :
«=(«?
F.5.11)
Уравнениям F.5.10), F.5.11) удовлетворяет функция распределе-
распределения — характеристическая функция, вида
./>(?) = ехр (-СА^) при О 0, 0</?<2. F.5.12)
При /? > 2 функция /(г) в F.5.9) становится отрицательной, поэ-
поэтому не может играть роль функции распределения. Подстановка ха-
характеристической функции F.5.12) в разложение Фурье F.5.9) и при-
приводит к распределению Леви
•»(г) = 7Г^ /ехр (~Ск*)) ехР (ikr)dk- F-5ЛЗ)
Bтг) J
Характерным для распределения Леви /^ (г) является наличие па-
параметра /3. При значении /3 = 2 оно совпадает с распределением Гаус-
Гаусса, а при /3=1 переходит в распределение Коши. При этом функция
fp=1(k) в отличие от распределения F.5.2) является неаналитической
функцией г.
Таким образом, при переходе от/? = 2к/?=1 происходит пере-
переход от «узкого» распределения Гаусса к «широкому» распределению
Коши. Это, однако, лишь начала такого перехода.
Распределение Леви нельзя в общем случае представить в анали-
аналитическом виде. Можно лишь продолжить перечисление частных слу-
случаев. При /? = 2/3 функция Леви связана с функцией Уиттекера, а
при /3 = 1/2 с функцией Френеля. При C < 0,5 функция Леви рез-
резко сужается и стремится к функции вида J-функции, но с длинными
степенными хвостами. В этом можно убедится на частном примере
функции Леви:
^A) F.5.14)
Эта функция мало меняется в интервале B - 0,5), но резко стре-
стремится к бесконечности при C < 0,5.
Заметим, наконец, что на основании распределения Леви устойчи-
устойчивые распределения можно разбить на два класса. К первому относит-
относится распределение Гаусса, для которого дисперсия конечна. Ко второму
принадлежат все распределения Леви с параметром /3 < 2.

144 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
Распределения Леви составляют целый класс распределений с бес-
бесконечными значениями вторых моментов. Однако, системы с бесконеч-
бесконечными вторыми моментами не отвечают требованиям физики. В связи
с этим всегда имеются дополнительные физические факторы, учет ко-
которых снимает нефизические бесконечности. Об этом уже говорилось
выше. Этот вопрос будет продолжен в следующей главе посвящен-
посвященной теории фазовых переходов второго рода. Особое внимание будет
уделено степенным температурные зависимостям термодинамических
функций вблизи критической точки.
Отметим еще, что в гл.5, посвященной теории фликкер-шума рас-
рассматривался по мере уменьшения частоты и переход от «широкого»
распределения Гаусса для распределения по волновым числам к узко-
узкому распределению с дисперсией пропорциональной частоте и.
§6.6. Заключение к главам 4 — 6
Основная цель последних глав — демонстрация физических явле-
явлений в открытых системах, которые описываются степенными и даже
логарифмическими законами. Это повлекло за собой использование
нетрадиционного математического аппарата — фрактальных размер-
размерностей, дробных интегралов и производных, нестандартных функций
распределения с бесконечными моментами — распределений Леви. Хо-
Хотя дробные производные и дробные интегралы были введены знаме-
знаменитыми математиками Абелем и Лиуввилем много лет тому назад
(это замечание относится, хотя и в меньшей мере, и к распределени-
распределениям Леви) значение и популярность «новых» математических понятий
стало стремительно возрастать лишь в последние десятилетия. Этот
стремительный рост интереса стимулировался, несомненно, внедре-
внедрением Геометрии фракталов.
В результате, наряду с геометрией Эвклида — геометрией цело-
целочисленных размерностей и гладких кривых и поверхностей, возникла,
благодаря в основном работам Бенуа Мандельброта, Геометрия фрак-
фракталов — геометрия негладких кривых и поверхностей.
Однако, как и в геометрии Эвклида, основные понятия Геометрии
фракталов — такие как точка, линия, поверхность, также абстрак-
абстракции — теоретические модели, основанные на предельных переходах,
недостижимых в действительности. Примером могут служить беско-
бесконечные значения при распределении Леви. Выше на конкретных при-
примерах было показано, что область степенных закономерностей, по тем
или иным причинам, ограничена. Благодаря этому бесконечные зна-
значения моментов не могут иметь места.
Примем во внимание, что все используемые в Геометрии фрак-
фракталов реальные объекты являются макроскопическими — состоят из
большого числа элементарных объектов — «атомов». Они описывают-

§6.6. Заключение к главам 4-6 145
ся уравнениями соответствующих сплошных сред. Это, в частности,
означает наличие понятия точки сплошной среды — малого объекта,
в котором, однако, находится большое число минимальных объектов
— «атомов».
Абстрактность используемых в геометрии фракталов математи-
математических образов проявляется прежде всего в полном пренебрежении
структурой сплошной среды — объем точки равен нулю, а длины,
например, кривой Коха или береговой линии бесконечны.
Таким образом, излишняя абстрактность приводит, зачастую, к
выводам, которые не согласуются с физическими представлениями о
рассматриваемых в Физике открытых систем объектах. Это и побу-
побудило автора попытаться строить теорию фракталов в согласии с фи-
физическими представлениями о сплошной среде, что, в свою очередь,
привело к введению, наряду с понятием Геометрия фракталов, поня-
понятия Физика фракталов. На этом пути удается избежать появления
бесконечностей, возникающих при неоправданных с физической точ-
точки зрения предельных переходах.
С аналогичными проблемами мы встретимся и в следующей главе,
посвященной некоторым аспектам теории фазовых переходов второ-
второго рода. Здесь также возникают степенные законы, в частности, для
температурных зависимостей термодинамических функций, которые
характеризуются соответствующими дробными (фрактальными) ин-
индексами.
Замечательно, что в теории фазовых переходов формально возмож-
возможны два математических предельных перехода. Один из них - термо-
термодинамический предельный переход, когда число частиц в системе и ее
объем стремятся к бесконечности, а плотность числа частиц конечна.
Другой — предельный переход по температуре к ее значению в кри-
критической точке.
В связи с этим возникает вопрос о последовательности этих пре-
предельных переходов. Традиционно первым выполняется термодинами-
термодинамический предельный переход, но при этом мы сталкиваемся с «пробле-
«проблемой бесконечности» значений термодинамических функций в крити-
критической точке, что находится в явном противоречии как с эксперимен-
экспериментальными данными, так и с физической интуицией.
Для физического обоснования последовательности выполнения
двух указанных предельных переходов нужно базироваться на мето-
методах Физики открытых систем (Климонтович, 1985,1989, 2001). В при-
приложении к теории фазовых переходов это означает следующее.
1. Явное использование модели сплошной среды.
2. Определение, хотя бы грубое, «неклассических» критических
индексов не на основе формального принципа масштабной инвариант-
инвариантности, а на основе ясных физических условий.

146 Глава 6. Аномальное броуновское движение...
3. Установление на основе физических принципов последователь-
последовательности двух предельных переходов: первым совершается предельный
переход по температуре к ее критическому значению. Термодинами-
Термодинамический переход совершается либо в окончательных результатах, ли-
либо вообще не совершается. В гл.4 было установлено, что для области
фликкер-шума термодинамический предельный переход вообще невоз-
невозможен - система не является эргодической.
Таким образом, удается снять «проблему бесконечности» — тер-
термодинамические функции конечны при всех значениях температуры,
что находится в согласии с имеющимися экспериментальными дан-
данными.
Естественно, что фазовый переход является примером процесса
эволюции в открытой системе. При этом возникает вопрос о харак-
характере изменения степени упорядоченности и, следовательно, о возмож-
возможности трактовать фазовый переход второго рода как пример процесса
самоорганизации.
Приступим к реализации намеченной программы.

ГЛАВА 7 Температурные степенные
зависимости при фазовых переходах
§7.1. Введение
Цель настоящей главы — продемонстрировать возможности Физи-
Физики открытых систем в теории фазовых переходов второго рода. Рас-
Рассмотрение проводится на простейшем примере фазового перехода в
сегнетоэлектриках. Показано следующее:
1. Степенные температурные зависимости термодинамических и
статистических функций в критической области с постоянными кри-
критическими индексами возможны лишь на ограниченных участках
температурной шкалы. Выделяются две области температур — об-
область теории Ландау с соответствующими критическими индексами
и «флуктуационная область» (Паташинский, Покровский, 1982). По-
Последняя расположена ближе к критической точке.
2. В нулевом приближении по «малым критическим индексам» вы-
выясняется физическая целесообразность смены критических индексов
Ландау на критические индексы «флуктуационной теории фазовых
переходов».
3. В развитой здесь теории фазовых переходов термодинамические
и флуктуационные характеристики конечны при всех температурах,
включая и критическую точку. Это означает, в частности, что крити-
критические индексы степенных зависимостей не могут быть постоянными
— они являются функциями температуры.
4. Снимается, таким образом, «проблема бесконечности» термо-
термодинамических и флуктуационных характеристик в критической точ-
точке. Это становится возможным благодаря явному введению физически
бесконечно малых масштабов, что позволяет ввести наиболее естес-
естественный малый параметр для всех случаев модели сплошной среды.
Он определяется отношением физически бесконечно малой длины lph,
определяющей размер «точки» сплошной среды, к характерному раз-
размеру системы L. Величина параметра lph/L зависит как от выбора
задачи, так и от принятого уровня описания. Однако, этот параметр
всегда мал, если в основу теории положена модель сплошной среды.
Введение структуры сплошной среды позволяет избежать как
«проблемы бесконечно малых» (математическая точка), так и «проб-
«проблемы бесконечности», которая возникает при термодинамическом пре-
предельном переходе. Будут фигурировать лишь отношения «малого к
большому» или, напротив, «большого к малому».

148 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
Такой подход может служить иллюстрацией точки зрения Д. Гиль-
Гильберта. Приведем некоторые выдержки из его замечательной статьи
«О бесконечном» (Гильберт, 2000, с.431-448).
«И аналогично тому, как оперирование с бесконечно малы-
малыми (здесь размерами «точки» сплошной среды, Ю.Л. К.) бы-
было заменено операциями с конечными, дающими в точности
те же самые результаты и приводящими к абсолютно тем же
самым элегантным формальным соотношениям, рассуждения
с использованием бесконечного должны быть вообще заменены
оперированием конечными операциями....»
«Математическая литература, если повнимательнее при-
присмотреться к ней, изобилует бессмыслицами и нелепостями, в
которых в большинстве случаев повинна бесконечность.»
Далее Д. Гильберт обращается к теории Кантора и к некоторым
аспектам физики и химии. Приведем лишь некоторые выводы. На
с.448 читаем:
«И напоследок давайте еще раз вспомним о нашей исходной
теме и подведем итог всем нашим рассуждениям о бесконечном.
Наш общий вывод таков: в реализованном виде бесконечное не
встречается нигде. Его нет в природе, и оно также недопусти-
недопустимо и в качестве основы нашего разумного мышления....для воз-
возможности научного познания необходимы некоторые нагляд-
наглядные представления и благоразумие и что одной только логики
для этого недостаточно....»
Итак, исключение «проблемы бесконечности» в теории фазовых
переходов второго рода — одна из задач настоящей главы.
5. Конечность термодинамических и флуктуационных характерис-
характеристик в критической точке становится возможной лишь при опреде-
определенной последовательности двух предельных переходов: сначала пе-
перехода в критическую точку (Т -» Тс), а затем термодинамического
предельного перехода (Т -» ос, V -» оо, но плотность числа частиц
n = N/V = const).
6. На основе критерия «5-теорема» проводится сравнение относи-
относительной степени упорядоченности состояний «до» (Т > Тс) и «после»
(Т <Тс) фазового перехода. Тем самым, на простейшем примере бу-
будет иллюстрировано общее положение Ландау об увеличении степени
упорядоченности при переходе от симметричной (Т > Тс) к несим-
несимметричной (Т < Тс) фазе.
7. При расчете флуктуации выявляются два вида случайных дви-
движений — быстрые и медленные. Именно наличие медленных флукту-
флуктуации обеспечивает существование менее симметричного — более упо-
упорядоченного, состояния, которое возникает при фазовом переходе для
температур ниже критической.

§7.2. Фазовые переходы первого и второго рода 149
Поскольку фазовые переходы служат элементами процессов эволю-
эволюции, установление характера изменения степени упорядоченности при
фазовых переходах играет принципиальную роль в теории эволюции.
Приводится минимум необходимых здесь сведений из теории фазо-
фазовых переходов. Все детали имеются в указанной литературе. Начнем
с общего вопроса о двух типах равновесных фазовых переходов.
§7.2. Фазовые переходы первого и второго рода
По принятой классификации при фазовых переходах первого рода
удельные энтропия и объем резко меняются от одной фазы к другой.
По этой причине переход сопровождается выделением или поглощени-
поглощением тепла. Испарение, плавление, кристаллизация и сублимация слу-
служат примерами фазовых переходов первого рода.
При фазовых переходах второго рода первые производные химичес-
химического потенциала меняются непрерывно. Это означает, что нет скачка
энтропии S и объема v = 1/п. Резкие изменения — «скачки», претер-
претерпевают вторые производные химического потенциала: теплоемкость,
тепловое расширение, изотермическая сжимаемость /Зу.
Фазовые переходы второго рода весьма разнообразны. Многие осо-
особенности этих переходов присущи и фазовому переходу газ-жидкость
вблизи критической точки.
Разделение фазовых переходов на переходы первого и второго рода
основано на термодинамике и носит в большой мере условный харак-
характер. При этом не учитывается роль флуктуационных явлений. Более
детальное и, вместе с тем, более физически обоснованное описание фа-
фазовых переходов может быть получено лишь на основе кинетической
теории. Ниже роль кинетической теории будет продемонстрирована
на простейшей модели фазового перехода в сегнетоэлектриках.
В сегнетоэлектриках в результате фазового перехода спонтанно
при изменении температуры возникает состояние с отличным от ну-
нуля вектором электрической поляризации Р (Струков, Леванюк, 1995).
Поляризация однородна, как правило, лишь в малых макроскопичес-
макроскопических областях образца — доменах. Направления вектора поляризацци
в разных доменах неупорядочены. В результате усреднения оказыва-
оказывается, что вектор всего образца, в котором много доменов, равен, прак-
практически, нулю. Возможны и монодоменные состояния, когда вектор
поляризации имеет одинаковые значения по всему образцу.
Известно большое число разнообразных веществ, обладающих се-
гнетоэлектрическими свойствами. Соответственно этому используют-
используются различные микроскопические модели для описания фазовых пере-
переходов. Особое значение имеет феноменологическая теория фазовых пе-
переходов второго рода, развитая Ландау. Она иллюстрируется на прос-
простейшем примере.

150 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
§7.3. Простейшая модель сегнетоэлектрика
Рассмотрим ионный кристалл из двух подрешеток, в узлах кото-
которых находятся ионы разных знаков. При температурах, меньших не-
некоторой критической температуры Тс, возникает спонтанная (без дей-
действия внешнего поля) поляризация. В приближении сплошной среды
электрическое состояние системы в точке R в момент времени t ха-
характеризуется вектором электрической поляризации P(R, t).
Вектор поляризации связан со средним значением относительного
смещения ионов двух подрешеток кристалла X(R,t). Предположим,
что имеется выделенное направление наилегчайшей поляризации, по
которому и направлен вектор P(R,t) = enX(R,t). Введем, наряду с
обычным пространством «фазовое пространством переменных -X", Л.
Тогда можно ввести одноточечную функцию распределения :
f{X,R,t); Jf{X,R,t)dx™ = l G.3.1)
и выразить вектор поляризации через среднее значение относитель-
относительного смещения
Р(Д, t) = en f Xf(X, Л, t)dx = enX(R, t). G.3.2)
Здесь е — величина заряда иона, n = N/V — средняя плотность числа
ионов, N — число ионов одной из подрешеток, V — объем образца,
X(R)t) — среднее локальное значение относительного смещения.
§7.4. Уравнение для вектора поляризации
7.4.1. Пространственно-однородное состояние. В уравнении
для вектора поляризации P(R,i) = enX(R,t) учитываются два вкла-
вклада, обусловленные корреляцией положений диполей. Это эффективное
поле Лоренца JEeff и эффективный коэффициент трения 7- В резуль-
результате в линейном приближении имеет место следующее уравнение для
вектора поляризации (Климонтович, 1982, 1999):
@)P(JM)) G-4.1)
(Jo — собственная частота относительных колебаний ионов подреше-
подрешеток, E(R,t) — среднее электрическое поле, ^г(О) — двухчастичная
пространственная корреляция положений ионов на расстояниях, мень-
меньших остальных характерных масштабов (корреляция «в нуле»). Вто-
Второй член в правой части этого уравнения и определяет эффективное
поле Лоренца Е&. Оно зависит от поведения корреляционной функ-
функции на малых расстояния и, как следствие, и от температуры.

§7.4. Уравнение для вектора поляризации 151
С учетом определения вектора P(R,t) = enX(R^t) приходим к
уравнению для среднего смещения X(R,t) :
d2X dX „
Ш~аЧ*~ + m7"rfT " eff =
1 - а/ + ЬХ2)Х. G.4.2)
Здесь, введено обозначение для «параметра эффективного поля Ло-
Лоренца»
При af = 1 жесткость осциллятора обращается в нуль. Это озна-
означает, что необходим учет нелинейности — ангармонизма колебаний.
Соответствующий коэффициент нелинейности обозначен через Ь.
Итак, уравнение для среднего смещения -Х"(Л, t) представляет со-
собой уравнение для осциллятора с нелинейной жесткостью. При этом
линейная часть жесткости через параметр а/ зависит от температу-
температуры. Температуру, при которой линейная часть жесткости обращается
в нуль, будем называть критической температурой и обозначать че-
через Тс.
Следуя теории Ландау, в критической области при достаточном
удалении от критической точке температурную зависимость парамет-
параметра 1 — af представляем в виде:
Т-Тг
1-af = -jT?- GА4)
В уравнении для осциллятора эффективная сила может быть вы-
выражена через соответствующую эффективную функцию Гамильтона
(эффективный потенциал)
dhee ушЪх* г ь 2]
] h [!« +г* J' GA5)
— энергия в расчете на одну частицу. В приведенных формулах
зависимость от координат R входит лишь через среднее поле Макс-
Максвелла #(Д,?),что отвечает дипольному приближению.
В статическом случае, когда нет зависимости от времени, уравне-
уравнение для среднего смещения принимает вид:
+ ЬхА X = 0; Р = епХ. G.4.6)
)
Его решение имеет вид:
Х = 0 при Т>ТС; X = ±JTcL J при Т<ТС. G.4.7)
V -Leu
При температурах выше критической среднее смещение равно ну-
нулю и, следовательно, спонтанная поляризация не возникает. Напро-
Напротив, при температурах ниже критической существуют два отличные
от нуля значения вектора спонтанной поляризации.

152 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
7.4.2. Учет пространственной неоднородности. С учетом
пространственной неоднородности центров диполей уравнение для
функции X(R, t) содержит соответствующий дополнительный член:
д X дХ о /. _, «ч __ о д2Х
+ +8A + «»)Х ^
). G.4.8)
Здесь введено обозначение для квадрата скорости волны поляри-
поляризации
Итак, для вектора поляризации получено уравнение с учетом про-
пространственной корреляции положений диполей. Она определяет эф-
эффективное поле Лоренца и диссипативный член.
Используем полученное уравнение для описания фазового перехода
типа смещения в сегнетоэлектриках.
Поскольку основную роль при этом играют низкие частоты, то в
уравнении для функции X(R,i) можно опустить член со второй про-
производной по времени. Будем рассматривать процессы при отсутствии
среднего поля. Выделяем, тем самым, лишь процессы спонтанной по-
поляризации. В результате для функции X(R,t) получаем для вектора
поляризации уравнение реакционно-диффузионного типа:
™=-T(l-af+bX>)X + Dd^§; T=f, Л = ?. G.4.9)
В нем D — коэффициент пространственной диффузии, которая ве-
ведет к рассасыванию пространственной неоднородности распределения
центров диполей.
В приведенное ниже кинетическое уравнение для функции распре-
распределения /(X, Л, t) войдет второй коэффициент диффузии D(x) • Он
определяет роль перераспределения расстояний между парами ионов,
обладающих дипольными моментами. Уравнение G.4.9) может слу-
служить примером релаксационного уравнения Гинзбурга-Ландау.
§7.5. Функции распределения Ландау и Больцмана
Для характеристики равновесного состояния можно ввести два
альтернативных распределения (Климонтович, 1999). Оба распреде-
распределения определяются эффективной функцией Гамильтона в расчете на
одну частицу — выражением G.4.5).
7.5.1. Распределение Ландау. Функция распределения Ландау
определяется выражением
/L(JT,a,,T) = exp квТ
fL(X,af,T)dX = l, G.5.1)
Ф и hef[ — свободная энергия и эффективная функция Гамильтона в
расчете на одну частицу. Здесь в экспоненте стоит фактор N, поэтому

§7.6. Термодинамика Ландау 153
распределение Ландау является когерентным. Флуктуации по распре-
распределению Ландау равны нулю в термодинамическом пределе.
7.5.2. Распределение Больцмана. Функция распределения
Больцмана определяется выражением
MX а, Т) - exD
jB\*,af,± ) — ехр
квТ
fL(X,af,T)dX = L G.5.2)
В экспоненте фактор N теперь отсутствует. По этой причине по
распределению Больцмана можно производить расчеты флуктуации
и при условии локальной неоднородности.
§7.6. Термодинамика Ландау
7.6.1. Наиболее вероятные значения. В отличие от термоди-
термодинамики Больцмана-Гиббса, когда термодинамические функции явля-
являются моментами функции распределения, в теории Ландау термоди-
термодинамические функции определяются наиболее вероятными значениями,
которые в рамках теории Ландау характеризуют квазистационарные
(неравновесные) состояния. Это дает основание говорить о термоди-
термодинамике Ландау.
Обратимся к распределению Ландау. Найдем соответствующие
наиболее вероятные значения смещения X:
ХтуР = 0 при Т> Тс;
G.6.1)
При наиболее вероятных значениях Хт>р эффективная функция
Гамильтона
NheS{Xm,p, Т) = О при Т > Тс,
Отсюда следует, что высота потенциального барьера, разделяю-
разделяющего два наиболее вероятных состояния пропорциональна N и, сле-
следовательно, бесконечна в термодинамическом пределе. Оценим вели-
величину времени перехода через барьер от одного наиболее вероятного
состояния к другому — время Крамерса.

154 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
7.6.2. Формула Крамерса для распределений Ландау и
Больцмана. Представим распределения Ландау и Больцмана в ви-
виде:
G.6.3)
Здесь введено обозначение для соответствующих потенциалов
UL(X,T) = NUB(X,T) = N^- [Ц2?. + Ь-Х^ , G.6.4)
а также обозначение для дисперсии тепловых вибраций Х\ и безраз-
безразмерного малого параметра е
ее = Х$Ъ < 1. G.6.5)
Рассмотрим область температур Т <Тс , когда два наиболее веро-
вероятных состояния разделены потенциальным барьером. Введем обозна-
обозначение для высоты потенциального барьера AU = U(XmSLX) — U(Xmin).
Поскольку -Х"тах = 0, Xm{n = ±y/(Tc — T)/Tcb, то высота барьера
для распределений Ландау и Больцмана определяется выражением:
2
. G.6.6)
В теории Ландау высота барьера пропорциональна числу N и, сле-
следовательно, бесконечна в термодинамическом пределе.
Воспользуемся известной формулой Крамерса, определяющей
быстроту (rate) перехода через барьер
Тк = Т = h (l^w|tf"(*n«n)I/2exp (-*f\ , г = ^(
Ttr Z7T \ Xj, J 7
Здесь rtr — соответствующее время перехода. В результате для рас-
распределений Ландау и Больцмана получаем следующие выражения для
быстроты перехода через барьер
В критической точке барьер исчезает.
Для распределения Ландау в термодинамическом пределе время пе-
перехода через барьер бесконечно. Напротив, для распределения Больц-
Больцмана оно конечно и зависит существенно от величины безразмерного
параметра ее = Х\Ъ.

§7.7. Энтропия и теплоемкость в термодинамике Ландау 155
§7.7. Энтропия и теплоемкость в термодинамике
Ландау
Итак, в теории Ландау рассматривается состояние системы, от-
отвечающее одному из наиболее вероятных состояний. Если время на-
наблюдения меньше времени перехода Крамерса, то второе состояние
практически не реализуется. Это означает, что система находится в
неравновесном (квазистационарном) состоянии.
По теории Ландау энтропия определяется выражением
Соответствующее выражение для теплоемкости по Ландау имеет
вид:
G-7-2)
Поскольку при Т > Тс эффективная функция Гамильтона
ур) = 0, то и Сь = 0. Это означает, что в критической точке
имеет место скачок теплоемкости:
ACL = ^kNJ-; ес = х2ТсЬ<1. G.7.3)
Из изложенного и следует, что термодинамические функции тео-
теории Ландау не являются обычными термодинамическими функциями,
так как характеризуют лишь наиболее вероятное значение функции
распределения. Они относятся к неравновесному (квазиравновесному)
состоянию. Это оправдано лишь при условии, что время наблюдения
много меньше времени Крамерса — времени перехода через барьер и,
следовательно, вдали от критической точки.
Экспериментальные данные по температурной зависимости тепло-
теплоемкости С(Т), наряду со скачком АС, показывают также и наличие
пика функции С(Т).
§7.8. Расчет теплоемкости по распределению
Больцмана
На основе распределения Больцмана при больших временах на-
наблюдения можно произвести расчет теплоемкости в критической об-
области при всех значениях температуры. Теплоемкость конечна и при
критической температуре. В результате возникает пик с максимумом,
смещенным относительно Тс в сторону низких температур. Это соот-
соответствует экспериментальным данным по температурной зависимос-
зависимости теплоемкости в критической области.

156 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
§7.9. Теплоемкость неравновесных состояний
Расчет теплоемкости по Ландау относится к монодоменному со-
состоянию, которое является неравновесным. При достаточном удале-
удалении от критической точки его можно рассматривать как квазистацио-
квазистационарное. Однако, по мере приближения к критической точке, условие
квазистационарности перестает выполняться, так как высота барье-
барьера уменьшается. В критической точке барьер исчезает и при Т >Тс
становится оправданным использование равновесного распределения
Больцмана.
Таким образом, как уже было отмечено, формулы теории Ландау
относятся, строго говоря, к неравновесным состояниям, достаточно
удаленным от критической точки. Поскольку, однако, по мере при-
приближения к критической точке условие квазистационарности наруша-
нарушается, то возникает проблема определения понятия теплоемкости для
неравновесных состояний.
Такое определение можно ввести следующим образом.
Приведенное ниже кинетическое уравнение содержит температуру
как параметр и дает возможность, в принципе, найти неравновесное
распределение значений поляризации — функцию /(-X", Д,?), при раз-
различных значениях температуры. Это позволяет ввести понятие сво-
свободной энергии неравновесного состояния (Климонтович, 1982, 1999):
F(t\T) = (HeS)t-TS(t). G.9.1)
Средняя эффективная энергия и энтропия при произвольных не-
неравновесных состояниях, отвечающих заданному значению темпе-
температуры, определяются через решение кинетического уравнения для
функции распределения /(-X", Д,?).
Используя определения свободной энергии равновесного и неравно-
неравновесного состояния, можно ввести соответствующий функционал Ля-
Ляпунова:
= kBTn I In ^'ff /(*, Я, t)dX g? > 0. G.9.2)
С помощью кинетического уравнения устанавливаем второе нера-
неравенство
^ = ^ (?9з)
Наличие этих двух неравенств и показывает, что Ар есть функци-
функционал Ляпунова. Это обеспечивает устойчивость равновесного состоя-
состояния.

§7.10. Кинетическое уравнение для сегнетоэлектриков 157
Введенное определение неравновесной свободной энергии, включа-
включающее зависимость от температуры как от параметра, позволяет ввес-
ввести и определение теплоемкости неравновесного состояния
G.9.4)
Естественно, что для использования этого определения надо знать
решение кинетического уравнения.
§7.10. Кинетическое уравнение для сегнетоэлектриков
Для описания пространственно неоднородных и нестационарных
процессов используем кинетическое уравнение для функции распре-
распределения /(X, Л, t) не только относительного смещения -X", но также и
положений диполей R (Климонтович, 1999)
df(X,R,t) д\ df I dhefC(X,af) ,1 nd2f
—di—=dx[D™dx + ^—ex—f\+DW {7Ж1)
Это уравнение содержит два диссипативных члена, которые опре-
определяются, соответственно, перераспределением бистабильных элемен-
элементов в пространстве R с коэффициентом диффузии D и, перераспреде-
перераспределением в пространстве X с коэффициентом диффузии D(x) • Коэффи-
Коэффициент D(x) определяется тепловыми вибрациями и может быть опре-
определен формулой Эйнштейна-Смолуховского D(x) = квТ/mj. Ниже
полагаем D = D(x) • Пространственно однородное равновесное реше-
решение кинетического уравнения совпадает с распределением Больцмана.
Для расчета кинетических флуктуации введем в кинетическое
уравнение источник Ланжевена:
df , 1 дК«{Х,а})
mn ЭХ J
G.10.2)
Его интенсивность определяется диссипативными членами кине-
кинетического уравнения (Климонтович, 1995, 1999).

158 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
§7.11. Самосогласованное приближение для первого
момента. Расчет флуктуации
В приближении первого момента распределение f(X, Д, t) можно
представить в виде:
f(X,R,t)=6(X-X(R,t)), (X) = X(R,t). G.11.1)
В этом приближении кинетическое уравнение сводится к уравне-
уравнению реакционно-диффузионного типа для первого момента — функ-
функции X(R, t) :
Используя теорию кинетических флуктуации для открытых сис-
систем, можно определить моменты источника Ланжевена в кинетичес-
кинетическом уравнении G.10.2). Это, в свою очередь, дает возможность опре-
определить моменты источника Ланжевена в реакционно-диффузионном
уравнении G.11.2). При этом интенсивность источника определяется
суммой двух диссипативных вкладов: «реакционного» и диффузион-
диффузионного.
Проводим расчет флуктуации в линейном приближении по от-
отклонениям SX(R,t) = JXSf (X,R,t)dX. В результате для области
Т > Тс, получим следующее выражение для спектральной плотности
флуктуации SX(R, t):
Здесь использованы обозначения для диссипативного коэффициен-
коэффициента 7(а?) при Т > Тс и для дисперсии ((8ХJ) распределения Больцмана
в приближении Гаусса
Тс _ 2 Тс ( ,
^Гтъ = ХтТ^ъ- GЛ1-4)
В формуле G.11.4) учтены оба диссипативных вклада. Выражения
для пространственной спектральной плотности (интеграл по о;) и про-
пространственной корреляционной функции определяются формулами:
(SXSX)k = I ((SXJ); (SXSX)RtRI = I ((SXJ)S(R-R').G.U.b)
Пространственная корреляция отлична от нуля лишь в пределах
объема точки сплошной среды (физически бесконечно малого объема

§7.11. Самосогласованное приближение для первого момента 159
Vph), так как функция 5(R- R') \r=r* = V"^1. Для одноточечного кор-
коррелятора (йХ8Х)Я:=я, имеем, следовательно, выражение:
J. G.11.6)
Здесь Nph = nVph — число частиц в физически бесконечно малом
объеме. Последняя формула показывает, что дисперсия флуктуации,
сглаженных по объему «точки» «сплошной среды» в Nph раз меньше,
чем по распределению Больцмана.
Рассмотрим теперь вместо интеграла по частотам — равновесной
термодинамической характеристики, значение спектральной линии на
нулевой частоте. Из формулы G.11.3) следует, что оно определяется
равенством:
7(а?) 1 + TqK1 П
л _ Y2 Ъ__ GЛ1>7)
Здесь использовано обозначение для радиуса корреляции г с*
После преобразования Фурье по волновым числам получаем выра-
выражение
FX6X)u=0,r = -jL± ((«)>> ^ «р(-?). G.Ц.8)
Правая часть этого выражения пропорциональна известной фор-
формуле Орнштейна-Цернике (О-Ц) для пространственного коррелятора
флуктуации.
Приведенные результаты справедливы лишь вдали от критичес-
критической точки. Чтобы получить результаты для самой критической точки,
необходимо использовать более общее решение кинетического уравне-
уравнения G.10.1).
7.11.1. Промежуточный итог. Приведены примеры расчета
термодинамических функций в приближении Ландау, когда основой
расчета служит значение функции распределения для одного из двух
наиболее вероятных состояний. Такое приближение оправдано лишь
при некотором удалении от критической точки. При этом температур-
температурные зависимости термодинамических функций являются степенными
с «индексами Ландау». Критическая точка и ее ближайшая окрест-
окрестность недоступны для теории Ландау. При Т -*Тс статическая вос-
восприимчивость и радиус корреляции становятся бесконечными.
В связи с этим возникают два вопроса:
1. Можно ли в рамках степенных зависимостей, но с иными сте-
степенными («неклассическими») индексами продвинуться ближе к кри-
критической точке, чем это допускает теория Ландау?

160 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
2. Можно ли на основе кинетического уравнения провести расче-
расчеты термодинамических и статистических функций, справедливые при
всех значениях температуры, включая и критическую точку, и, тем
самым, снять «проблему бесконечности»?
Ответ на первый вопрос дает так называемая «флуктуационная те-
теория фазовых переходов» (Паташинский, Покровский, 1982). Она рас-
расширяет возможную область степенных зависимостей. Однако остает-
остается нерешенной «проблема бесконечности». Об этом пойдет речь в од-
одном из следующих параграфов.
На второй вопрос ответ также положителен. На основе кинетичес-
кинетического уравнения можно произвести расчет термодинамических и ста-
статистических функций, остающихся конечными и в критической точ-
точке. Это будет продемонстрировано в следующем параграфе. Вдали от
критической точки результаты в области Т > Тс совпадают с соот-
соответствующими результатами теории Ландау.
При этом, однако, выпадает из рассмотрения промежуточная об-
область степенных зависимостей с «неклассическими» индексами. Бу-
Будет показано, что с физической точки зрения степенные зависимости
с неклассическими индексами более оправданы. В результате крити-
критическая область по температуре подразделяется на три подобласти:
1). Значительное удаление от критической точки — область тео-
теории Ландау.
2). По мере приближения к критической точке зависимости теории
Ландау сменяются степенными зависимостями с «неклассическими»
индексами.
3). При дальнейшем движении к критической точке степенные за-
зависимости с постоянными критическими индексами невозможны. Для
перекрытия всей области температур необходимо ввести индексы, ко-
которые сами зависят от температуры.
Вопрос об области степенных зависимостей с «неклассическими»
индексами отложим до следующих параграфов. Прежде покажем, что
в приближении второго момента можно проводить расчеты термо-
термодинамических и флуктуационных характеристик при всех значениях
температур, включая и критическую точку. Последующий же учет
области «неклассических» индексов позволит провести описание фа-
фазового перехода с большим согласием с физическими принципами.
§7.12. Приближение вторых моментов. Полидоменные
сегнетоэлектрики
Для монодоменных образцов, когда среднее значение вектора по-
поляризации в несимметричной фазе (при Т < Тс) отлично от нуля,
эффективным оказывается самосогласованное приближение по пер-
первому моменту. Рассмотрим образцы, в которых вектор поляризации

§7.12. Приближение вторых моментов. Полидоменные сегнетоэлектрики 161
в несимметричной фазе (X) = 0. В этом случае более естествен-
естественным является самосогласованное приближении для второго момен-
момента (X2) = {Е) = E(R,t). Соответствующее распределение значений
«энергии» Е определяется выражением:
f(E,R,t) = fs(E-X2)f(X,R,t)dX = 6(E-E(R,t)). G.12.1)
Уравнение для функции Е(Д, t) находим с помощью кинетического
уравнения. Оно имеет вид:
• G.12.2)
В дальнейшем важную роль будет играть частное решение
этого уравнения, отвечающее стационарному и пространственно-
однородному состоянию. При принятом выше условии на коэффици-
коэффициенты диффузии D(x) = D = квТ/mj оно определяется уравнением:
22 Ч <* T E(Ri) = (X2)- G.12.3)
Используя безразмерный малый параметр е = х\Ь <g 1, запишем
решение последнего уравнения для трех выделенных состояний:
при
при
при
т
Т
Т
>
=
<
Тс,
Тс,
ТС.
i
*т(яЦI/3 при Т = ТС, G-12.4)
Т
Таким образом, второй момент для несимметричной фазы поли-
полидоменного образца играет роль параметра порядка. Однако теперь в
самой критической точке «параметр порядка» имеет конечное значе-
значение. Выше критической точки функция (-Х) совпадает с дисперсией
по распределению Больцмана.
Итак, самосогласованное приближение по второму моменту сно-
снова приводит к уравнению реакционно-диффузионного типа, но теперь
«реакционный» член имеет другую структуру. Вследствие этого ме-
меняется, как мы увидим ниже, характер пространственно-временных
корреляций и температурная зависимость основных характеристик
фазового перехода.
Если в объеме измерения число доменов велико, то открывает-
открывается возможность использования самосогласованного приближения уже

162 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
при определении нелинейной жесткости. В этом приближении в кине-
кинетическом уравнении G.10.1) в члене с упругой силой проводим замену:
= Г
^ + ЬХ^ X -> Г (Ц?° + Ь <*2>) . G.12.5)
После этого кинетическое уравнение принимает вид:
df(X,R,t)
dt
= ш К>ш+г№+'ад")Х!\+ °ш GЛ26)
Совместно с уравнением G.12.2) оно составляет замкнутую систе-
систему уравнений для функции распределения f(X, Л, t) и средней энергии
E(R,t).
Таким образом, в процессе эволюции к равновесному состоянию
имеются «быстрые» и «медленные» движения. Процесс эволюции
средней энергии является быстрым. Он описывается замкнутым урав-
уравнением G.41). Кинетическое уравнение G.45) будем использовать для
описания лишь медленных процессов. В нем в качестве функции
E(R,t) можно использовать решение уравнения G.42). С учетом этого
при описании «медленных» процессов кинетическое уравнение G.45)
можно переписать в виде:
№+&']+D&- GЛ2-7)
Его равновесным решением является распределение Гаусса
/(*) = B* (Х2)У1/2 ехр (-щУ • G-12.8)
Теперь можно перейти к расчету флуктуации.
§7.13. Быстрые флуктуации
Время релаксации флуктуации энергии и соответствующая шири-
ширина спектральной линии определяются формулами:
— = А(Е)(к) = 2Г fe^ + 26(X2)) + Dk\ G.13.1)
Т(Е) \ J-C )
Средняя энергия (X2) = (Е) определяется путем решения уравне-
уравнения G.12.3) для всех значений температуры. Для температуры Т <Тс
время релаксации отвечает теории Ландау. Для неограниченной сис-
системы (к = 0) в области теории Ландау при приближении к крити-
критической точке сверху время релаксации стремится к бесконечности по

§7.14. Медленные флуктуации 163
закону Кюри. Теперь имеется общее выражение G.13.1), которое опре-
определяет время релаксации при всех значениях температуры.
Выражение для отклика на источник Ланжевена y(E)(R^) также
определено для всех значений температуры в критической области.
В частности, для статического (ш = 0) отклика в бесконечной среде
(к = 0) имеем выражение:
1 2
Г=^. G.13.2)
7
Вдали от критической точки отклик меняется по закону Кюри, а
в критической точке он имеет конечное значение:
§7.14. Медленные флуктуации
При расчете медленных флуктуации можно предполагать, что
процесс, определяемый быстрыми флуктуациями уже установился.
Это дает основание использовать установившееся решение уравнения
G.12.2) — уравнение G.12.3) для среднего значения «энергии».
Для расчета медленных флуктуации обратимся к кинетическому
уравнению G.12.3). Из него следует уравнение для функции X(R,t):
dX(R,t)
i
JxvjX(R^> - D dR2— + У(Х)[Я,*)- G.14.1)
diJj
Среднее значение {X(R, t)) = 0 и, следовательно, SX(R, t) =
X(R,t).
Время релаксации флуктуации X(R, t) и соответствующая ширина
спектральной линии определяются теперь формулами:
Здесь учтено равенство D(x) = D и введено обозначение для квад-
квадрата радиуса корреляции г2с — (X2). Соответствующий отклик на
источник 2/(о;, к) определяется выражением:
*<¦><-•*> = .^а^, <"«>
и, следовательно,
(Х2\ 1 (Х2\
X(x)(w = o,k = O) = ^l = il^. G.14.4)
С помощью решения уравнения G.12.3), все приведенные харак-
характеристики могут быть определены в критической области и в самой

164 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
критической точке. Их поведение в симметричной фазе (выше крити-
критической температуры) качественно такое же, как и в теории Ландау.
Однако в несимметричной фазе (ниже критической температуры) оно
существенно иное. Покажем это.
Как и в G.12.4), выделим три характерных состояния:
2 при Т>Тс>
2 пРи Т = ТС, G.14.5)
при Т<Тс
Статическая восприимчивость для медленных флуктуации растет
по закону Кюри лишь при приближении к критической точке со сто-
стороны симметричной фазы. При приближении же к ней со стороны низ-
низких температур она, напротив, падает.
Можно говорить, таким образом, и о наличии «скачка восприим-
восприимчивости». Он определяется выражением:
Х(х)|тс-т>дт - Х(х)|т-тс»дт = р j^T^ > f- G.14.6)
Оно по структуре подобно формуле для скачка теплоемкости в тео-
теории Ландау. Подобное поведение диэлектрической проницаемости на-
наблюдается в несобственных сегнетоэлектриках.
При приближении к критической точке со стороны высоких темпе-
температур время релаксации растет по закону Кюри, оно конечно в крити-
критической точке и увеличивается по мере дальнейшего понижением тем-
температуры. Тем самым и здесь имеет место «скачок времени релакса-
релаксации»:
ъ » р G.14.7)
Наконец, радиус корреляции определяется выражением
T^ G.14.8)
Соответственно этому можно определить (качественно) и «скачок
квадрата радиуса корреляции».
Для «медленных» флуктуации, радиус корреляции остается мак-
макроскопической характеристикой и при сколь угодно низких темпера-
температурах. Это означает, что в несимметричной фазе взаимодействие при
температурах Т <Тс носит коллективный характер.

§7.15. Теплоемкость полидоменных сегнетоэлектриков 165
Соответствующий безразмерный корреляционный параметр для
всех значениях температуры определяется формулой:
* 2 (*2)
пг
с
G.14.9)
В симметричной фазе (Т > Тс):
* = -4, г2с=Х*.-Ц- G.14.10)
utq 1 — 1с
и, следовательно, совпадает с результатом для «быстрых» флуктуа-
флуктуации. В самой критической точке корреляционный параметр определя-
определяется выражением:
1/2
• <7Л4Л1>
Наконец, для «медленных» флуктуации в несимметричной фазе по-
получаем следующее выражение:
к=4- ^-^тгж G1412)
Таким образом, при фазовом переходе (по мере понижения тем-
температуры) корреляционный параметр монотонно уменьшается, что и
означает уменьшение роли флуктуации и, следовательно, увеличение
степени когерентности при переходе в несимметричную фазу. Улуч-
Улучшается, тем самым, при понижении температуры условие примени-
применимости рассматриваемого самосогласованного приближения.
§7.15. Теплоемкость поли доменных сегнетоэлектриков
Использование распределения Больцмана позволило выявить на-
наличие немонотонного поведения теплоемкости — слабо выраженный
пик. Значение теплоемкости в самой критической точке является ко-
конечным. В связи с этим полезно привести слова из известной книги
Стенли. На с.246 русского издания читаем:
«Конечно, вполне возможно, что теплоемкость многих реальных
жидкостей и магнитных систем конечна в точке Тс- Ряд недавних
экспериментов подтверждает это...»
Рассмотрим теперь другой класс систем (несобственные сегнето-
электрики и антисегнетоэлектрики), для которых среднее и наиболее
вероятные значения вектора поляризации совпадают и равны нулю,
т.е. P{R,t) = enX(R,t) = 0; Xm# = 0. Для описания таких систем
будем использовать приведенные уравнения самосогласованного при-
приближения для второго момента.

166 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
Для определения температурной зависимости теплоемкости ис-
используем распределение Гаусса G.12.8). Свободная энергия определя-
определяется выражением
F{T) = -NkBTln у/2ж{Х2). G.15.1)
Соответствующая зависимость теплоемкости от температуры
представляет собой симметричный пик с конечным значением в кри-
критической точке. Основной вклад в высоту пика по параметру 1/е опре-
определяется формулой
ес = Х*сЬ. G.15.2)
Величина пика температурной зависимости теплоемкости того же
порядка, что и величина скачка в теории Ландау для однодоменных
состояний.
Тем самым для систем выделенного класса скачок имеет место не
для теплоемкости, а для восприимчивости и связанных с ней характе-
характеристик, например, для радиуса корреляции. Для антисегнетоэлктри-
ков для температурной зависимости теплоемкости наблюдается сим-
симметричный пик — скачок отсутствует. В критической точке теплоем-
теплоемкость имеет конечное значение.
На конкретном примере мы убедились, что теория фазовых перехо-
переходов, основанная на кинетическом уравнении, позволяет провести рас-
расчет характеристик фазового перехода при всех значениях температу-
температуры. Снимается, тем самым, «проблема бесконечности» восприимчи-
восприимчивости, теплоемкости и радиуса корреляции в критической точке.
В кинетической теории фазовых переходов выделены два предель-
предельных случая. В первом из них «параметр порядка» связан с первым
моментом. Во втором же случае используется самосогласованное при-
приближение по второму моменту. При этом проявляется «нестандарт-
«нестандартное поведение» основных характеристик фазового перехода — воспри-
восприимчивость и связанные с ней характеристики испытывают скачок, а
теплоемкость скачка не имеет. Она симметрична и конечна в крити-
критической точке.
§7.16. Изменение степени упорядоченности в процессе
фазового перехода по критерию «5-теорема»
Согласно идее Ландау фазовый переход в сторону понижения тем-
температуры представляет собой переход от более симметричного — бо-
более хаотического состояния, к менее симметричному — более упоря-
упорядоченному состоянию. При этом, однако, остается открытым вопрос о
критерии относительной степени упорядоченности, на основе которо-
которого можно не только качественно, но и количественно подтвердить эту

§7.16. Изменение степени упорядоченности... 167
точку зрения Ландау. Количественная оценка изменения относитель-
относительной степени упорядоченности по критерию «5-теорема», рассмотрен-
рассмотренному в гл.2 и составляет задачу настоящего раздела.
Вернемся к кинетическому уравнению, которое описывает установ-
установление распределения Больцмана:
• G.16.1)
Управляющим параметром здесь является температура. Она вхо-
входит через параметр а/. Для качественного описания фазового перехо-
перехода для широкой области температур зависимость параметра 1 — df от
температуры можно представить в виде
1 - а/ = th ^|^; ДТ « Тс. G.16.2)
Рассмотрим фазовый переход в монодоменное состояние. Выделим
три характерных состояния:
1. Температура Т значительно превышает критическую и поле Ло-
Лоренца пренебрежимо мало:
af = 0 при Т - Тс » ДТ. G.16.3)
При этих условиях распределение Больцмана совпадает с распре-
распределением Гаусса
Ш ()?? < L G-16'4)
Состояние «1» отвечает равновесному состоянию.
2. Система находится при критической температуре. В этом случае
af = l при Г = Тс, G.16.5)
и распределение Больцмана принимает вид:
^) G.16.6)
3. Система находится при температуре То, значительно ниже кри-
критической:
о/ = 2 при Тс-Т^> ДТ. G.16.7)
При столь низких температурах система находится в одном из
двух наиболее вероятных состояний — монодоменное состояние, —

168 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
поэтому распределение Больцмана можно заменить распределением
Гаусса с отличным от нуля средним значением
J
При вычислении моментов в силу малости параметра е = х%,Ь это
распределение можно заменить еще более простым:
/з(Х, То) = 8(Х - у/Щ). G.16.9)
Определим, например, относительную степень упорядоченности
двух из приведенных трех состояний — состояний «1» и «3». Соглас-
Согласно гипотезе Ландау «1» — состояние физического хаоса. Далее дейст-
действуем по схеме гл.2. Получим два результата.
Первый из них показывает, что для выравнивания средних энергий
рассматриваемых состояний систему «1» надо «подогреть», тем са-
самым подтверждается правильность выбора состояния «1» в качестве
состояния физического хаоса. При фазовом переходе «1»—>«3» это до-
дополнительно введенное хаотическое движение переходит в более упо-
упорядоченное.
Вторым результатом служит выражение для разности соответ-
соответствующих энтропии, которое и является количественной мерой уве-
увеличения степени упорядоченности при фазовом переходе от более сим-
симметричного состояния к менее симметричному однодоменному состо-
состоянию сегнетоэлектрика.
§7.17. «Неклассические» критические индексы
Для теории Ландау и более совершенной «Флуктуационной теории
фазовых переходов» (Паташинский, Покровский, 1982) характерно на-
наличие «проблемы бесконечности». Это означает, что по мере прибли-
приближения температуры к ее критическому значению многие термодина-
термодинамические и флуктуационные характеристики стремятся к бесконеч-
бесконечности.
С физической точки зрения для «проблемы бесконечностей» нет
каких-либо физических оснований.
С математической же точки зрения расходимости есть следствие
неоправданного выбора последовательности двух фазовых переходов:
первым (до проведения расчета термодинамических функций) совер-
совершается термодинамический предельный переход, а вторым предель-
предельный переход Т -*Тс- Такая процедура не является последовательной
по двум связанным, причинам.
1. На заключительном этапе релаксации к равновесному состоянию
процесс описывается диффузионными уравнениями. Это означает, что

§7.17. «Неклассические» критические индексы 169
время релаксации тр = L2 /D в термодинамическом пределе (при по-
постоянном D) равно бесконечности. Тем самым равновесное состояние,
наличие которого предполагается в теории фазовых переходов, после
проведения термодинамического предельного перехода становится не-
недостижимым.
2. Вторая причина связана с использованием модели сплошной сре-
среды. На диффузионном этапе релаксации физически бесконечно малый
масштаб, определяющий размер «точки», растет с увеличением раз-
размера системы. В термодинамическом пределе он также становится
бесконечным. Это лишает основы теорию флуктуации при фазовых
переходах.
Наряду с линейным масштабом L в полидоменных системах име-
имеется еще характерная длина — размер домена L& или кластера. Ми-
Минимальный объем домена не может быть меньше размера «точки»
сплошной среды. Физически бесконечно малый объем Vph, хотя и мал,
но все же настолько велик, что число частиц в нем Nph много больше
единицы. По этой причине средняя плотность числа частиц в «точке»
сплошной среды п = NPh/Vph «почти постоянна» — относительные
флуктуации порядка 1/\/Nph <C 1.
С точки зрения физики открытых систем естественной является
следующая последовательность двух предельных переходов (Климон-
тович, 1982, 1999):
1. Предельный переход Т -*Тс-
2. Использование неравенства l/y/Nph <^С 1 — «локальный термо-
термодинамический предельный переход».
В зависимости от близости к критической точке можно выделить
три температурных интервала.
1). Критическая точка и ее ближайшая окрестность. В этой
области степенные закономерности по относительной температуре
(Т — Тс) /Тс не имеют места.
2). Флуктуационная область. Соответствующие температурные
зависимости «неклассических» индексов отличаются от соответству-
соответствующих индексов теории Ландау.
3). Область применимости самосогласованного приближения, от-
отвечающего теории Ландау.
Согласно «флуктуационной теории фазовых переходов», в крити-
критической области, но при Т фТс, температурная зависимость парамет-
параметра порядка ?7, восприимчивости х и радиуса корреляции г с представ-
представляются в виде:
Показатели степени — «критические индексы» — в общем случае
не совпадают с соответствующими индексами теории Ландау

170 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
Р \ 1
\ 2 G.17.2)
В флуктуационной теории фазовых переходов общее число кри-
критических индексов равно восьми. Между ними имеется пять общих
соотношений. Шестое соотношение устанавливается на основе гипо-
гипотезы масштабной инвариантности Каданова—Паташинского—
Покровского. Оно выражается равенством
vd=2-a (или i/d = 7 + 2/3). G.17.3)
Здесь d — размерность пространства. Сущность гипотезы мас-
масштабной инвариантности состоит в следующем:
При приближении к критической точке существует область
температур, в которой единственным характерным размером
является радиус корреляции гс»
Таким образом, восемь критических индексов связаны шестью со-
соотношениями. Для расчета двух оставшихся индексов в работах Виль-
Вильсона и Фишера был развит специальный метод теории возмущений —
«^-разложение». Проведенные расчеты показали, что значения двух
индексов из восьми значительно меньше единицы. Это дает некото-
некоторое основание рассмотреть более грубую картину, когда «малые ин-
индексы» а и ? считаются равными нулю. Тогда оставшиеся шесть ин-
индексов можно определить на основе пяти общих (термодинамических)
соотношений и равенства G.17.3), которое основано на гипотезе мас-
масштабной инвариантности.
Выделим из пяти общих соотношений лишь два, которые в «при-
«приближении малых индексов» (а = 0, ? = 0) содержат индексы /?,7, у —
индексы, которые входят в формулы G.17.1). Они имеют вид:
2i/ = 75 2/3 + 7 = 2. G.17.4)
Тогда при учете равенства G.17.4) есть три соотношения для трех
«температурных» индексов г/, 7> /?• Для трехмерной системы, когда
d = 3, они имеют следующие значения:
/?4 ?=!• Н- <7лт-5>
Эти индексы существенно отличаются от соответствующих ин-
индексов теории Ландау.
В чем же физическая причина этого различия?
Согласно гипотезе масштабной инвариантности
существует область температур, в которой единственным
характерным размером является радиус корреляции гс-
Однако, даже в монодоменных образцах, кроме основного масшта-
масштаба L имеется еще масштаб /рд, характеризующий размер «точки»
сплошной среды. В полидоменных состояниях существует еще харак-
характерный размер домена (кластера).

§7.18. Предельный переход Т -*ТС 171
В связи с этим возникает вопрос о том, как согласовать наличие
нескольких характерных масштабов с гипотезой масштабной ин-
инвариантности.
Для справедливости термодинамического описания, которое ба-
базируется на приближении сплошной среды, надо потребовать, что-
чтобы корреляционный радиус не превосходил размер «точки» сплошной
среды.
§7.18. Предельный переход Т -*Тс
Покажем, что «неклассические» критические индексы могут быть
найдены при учете наличия наименьших масштабов сплошной сре-
среды lph. Тогда ограничение на размер радиуса корреляции можно вы-
выразить условием: при приближении к критической точке и в самой
критической точке радиус корреляции не превосходит размер точки
сплошной среды, т.е.
т15тс -^- = const - 1; Vph ~ (lphf . G.18.1)
Это означает, что правая часть при пренебрежении флуктуация-
ми не зависит от значений Vph, Nph и, следовательно, остается неиз-
неизменной в «локальном термодинамическом пределе» — в нулевом при-
приближении по малому параметру l/y/Nph <^C 1. Это условие будет вы-
выполняться и для промежуточных масштабов, которые характеризуют,
например, размер доменов. При этом флуктуации будут существенно
меньше, поскольку домены являются макроскопическими объектами.
В результате гипотеза масштабной инвариантности Ка-
данова-Паташинского-Покровского остается справедливой, но
лишь с точностью до флуктуации, и является тем самым приближен-
приближенной. Степень приближенности при этом возрастает по мере умень-
уменьшения характерного масштаба до размера «точки» сплошной среды,
когда относительные флуктуации становятся порядка l/y/Nph»
§7.19. Улучшенное приближение второго момента для
сплошной среды
Выше было использовано приближение второго момента для ки-
кинетического уравнения G.10.1). На этой основе был проведен расчет
термодинамических и флуктуационных характеристик при всех зна-
значениях температуры, включая и саму критическую точку. Этот рас-
расчет по температуре охватывал две области: область в непосредст-
непосредственной близости к критической точке и область теории Ландау. Тем
самым выпала из рассмотрения область флуктуационной теории фа-
фазовых переходов, которая описывает степенные закономерности с «не-
«неклассическими» критическими индексами.

172 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
Можно показать (Климонтович, 1999, гл.22), что в рамках такого
приближения «скорость» роста корреляционного радиуса при прибли-
приближении к критической точке недостаточна — корреляция в процессе
Т -> Тс не охватывает всего объема «точки» сплошной среды.
Это проявляется в том, что в теории Ландау вместо равенства
G.18.1) имеем соотношение
ph
Таким образом, в локальном термодинамическом пределе, когда
Nph -> оо, Vph -> оо, но n — константа, отношение объемов в по-
последней формуле стремится к нулю. Тем самым условие G.18.1) не
выполняется.
Для полной реализации условия G.18.1) надо усовершенствовать
описание фазового перехода. Один из путей вместо зависимости тео-
теории Ландау гс = М'2 найти зависимость гс = М"" с таким «кри-
«критическим индексом», индексом i/, при котором обеспечивается опти-
оптимальный по критерию G.18.1) рост корреляционного радиуса по ме-
мере предельного перехода Т -ьТс. Это обеспечит конечность радиуса
корреляции и в самой критической точке.
Теперь уже все подготовлено, чтобы определить индекс v.
Найдем соотношение между радиусом корреляции в теории Лан-
Ландау г с и перенормированным радиусом корреляции г?. Для этого со-
сопоставим две зависимости от ДТ' = (Т — Тс) /Тс для теории Ландау
и после перенормировки. Для безразмерных переменных
ё % 3 3 G.19.2)
имеем оценки:
° '3 GЛ9-3)
Отсюда с учетом условия G.18.1) следуют соотношения
»$~Л#3~г21'. G.19.4)
Для определения индекса v подставим в последний член вместо г с
второе соотношение из G.88)
Приравнивая степени при Nph, находим искомое значение индекса
v = |. G.19.6)
Имеется, таким образом, возможность заменить «гипотезу мас-
масштабной инвариантности» условиями ограничения роста корреляци-
корреляционного объема, которое определяется условием локальной масштаб-
масштабной инвариантности — равенством G.18.1). Это условие будет вы-
выполняться и для промежуточных масштабов, которые характеризуют,

§7.20. Критерий применимости приближения самосогласованного поля... 173
например, размер доменов. При этом флуктуации будут существенно
меньше, поскольку домены являются макроскопическими объектами.
В этом и проявляется «масштабная инвариантность», наличие кото-
которой и предполагалось в основополагающих работах Каданова, Пата-
шинского и Покровского.
Итак, перенормировка критического индекса v обеспечивает на
всех масштабах сплошной среды согласование корреляционного объ-
объема с соответствующими характерными объемами. Условие G.18.1)
обеспечивает, тем самым, возможность термодинамического описания
и в самой критической точке.
Два других «температурных индекса» 7 и /3 можно найти с помо-
помощью соотношений G.17.4). Они имеют значения 7 = 4/3 и C = 1/3.
Определены, тем самым, значения всех трех «неклассических» индек-
индексов G.17.5).
§7.20. Критерий применимости приближения
самосогласованного поля в критической точке
Задача состоит, чтобы найти условие малости корреляций — усло-
условие применимости приближения самосогласованного поля, в крити-
критической области при любых температурах, в том числе и при Т = Тс-
Используем выражение G.14.10) для корреляционного параметра
полученного в приближении второго момента.
Отсюда следует, что даже в самой критической точке для фазово-
фазового перехода в сегнетоэлектриках корреляционный параметр являет-
является малым. Это и обеспечивает эффективность использованных выше
приближений самосогласованного поля, соответственно, для первого
и второго момента.
Оценим роль области с «неклассическими» индексами. Было пока-
показано, что именно благодаря введению неклассических индексов удает-
удается добиться большей согласованности рассматриваемой теории с ис-
используемой моделью сплошной среды. Эти условия выражаются тре-
требованием G.18.1).
Результат G.20.1) показывает, что корреляционный параметр об-
обратно пропорционален числу частиц в корреляционном объеме. Естес-
Естественно, что аналогичный результат в критической точке сохраняется
и для параметра А"*, т.е.
/Г ~ -Is. G.20.2)
пгс
С учетом первого соотношения G.19.4) приходим к следующей
оценке корреляционного параметра:

174 Глава 7. Температурные степенные зависимости при фазовых переходах
К* ~ -!-. G.20.3)
Таким образом, малость корреляционного параметра, определяю-
определяющего относительную роль флуктуации в критической точке есть след-
следствие того, что число частиц в «точке» сплошной среды велико. Это и
делает оправданным приведенное выше термодинамическое и кинети-
кинетическое описание фазового перехода, при котором все характеристики
конечны и в критической точке.
§7.21. Переход от неклассических индексов к
классическим. «Параметр Вильсона»
Из изложенного следует, что в общем случае критические индексы
меняются с температурой. Попробуем сконструировать формулы для
индексов, зависящих от температуры, которые связывали бы индексы
Ландау с «неклассическими» индексами. Используем для этого вспо-
вспомогательный, зависящий от температуры корреляционный параметр
К(Т).
Напомним, что корреляционный параметр К растет с приближени-
приближением к критической точке по закону \/у/\Т — Тс\ и в критической точке
становится бесконечным. Напротив, по мере удаления от критической
точки он стремится к нулю. Следуя разделу 21.8 книги (Климонтович,
1982) введем «параметр Вильсона»
<721Л)
у
В «области Ландау» этот параметр близок к нулю, а в «облас-
«области Вильсона», где используются «неклассические» значения индексов,
корреляционный параметр К(Т) велик и параметр Вильсона близок
к единице. Он заключен, таким образом, в пределах 0 < Sw{T) < 1.
В современной «флуктуационной теории фазовых переходов» вы-
выделенным значением размерности пространства является d = 4. Для
этого случая температурные зависимости с индексами Ландау спра-
справедливы (в критической области) при любых температурах.
Это подсказывает следующий способ введения зависящих от тем-
температуры критических индексов, которые в области температур при
К(Т) ^> 1 совпадают с «неклассическими» индексами, а в области
температур К(Т) <^С 1 — с индексами Ландау (Климонтович, 1982)
„(Т) = —?—; 7(Г) = —i-; /?(Г) = |-^. G.21.2)
4 — вцг 4 — Sw 4 — Sw
Естественно, что это лишь простейшая модель температурной за-
зависимости критических индексов.
«Неклассические» критические индексы были определены для ста-
статических и пространственно однородных характеристик фазовых пе-
переходов. Возможно обобщение этих результатов на нестационарные и
пространственно неоднородные состояния (Hoenberg, Halperin, 1977).

§7.22. Заключительные замечания к главе 175
§7.22. Заключительные замечания к главе
Итак, на примере простейшей модели сегнетоэлектрика показана
возможность кинетического описания фазовых переходов второго рода
при всех возможных значениях температуры в критической области.
Снимается тем самым «проблема бесконечностей» в современной те-
теории фазовых переходов.
Более того, развитая теория позволяет дать количественную оцен-
оценку относительной степени упорядоченности симметричной и несим-
несимметричной фаз.
На конкретном примере подтверждена гипотеза Ландау о большей
упорядоченности менее симметричного состояния.
Из изложенного также следует, что степенные закономерности с
заданными значениями критических индексов справедливы лишь в
некоторой области значений температуры. В общем же случае, когда
результаты расчетов справедливы при всех значениях температуры,
включая критическую точку, степенные зависимости с постоянными
критическими индексами не имеют места. Критические индексы сами
становятся функциями температуры.
Представленная здесь теория развита для равновесного фазового
перехода, когда роль управляющего параметра играет температура.
В следующей главе на конкретных примерах рассмотрим некоторые
особенности неравновесных фазовых переходов.

8 Эволюция упорядоченности
при неравновесных фазовых переходах
§8.1. Введение
Выделим две задачи.
1). Аналогия и принципиальное различие эволюции упорядочен-
упорядоченности равновесных и неравновесных фазовых переходов. Она проявля-
проявляется как в физическом содержании, так и в структуре кинетических
уравнений.
2). Демонстрация на конкретном примере взаимного влияния рав-
равновесного и неравновесного фазовых переходов. В выбранном примере
равновесный фазовый переход играет роль «катализатора», действие
которого существенно меняет характеристики неравновесного фазово-
фазового перехода.
Уравнения как равновесных, так и неравновесных фазовых пере-
переходов, являются нелинейными. Однако физическая природа нелиней-
нелинейности в них существенно различна.
Так при описании фазового перехода в сегнетоэлектрике управле-
управление переходом происходит через нелинейную жесткость осциллятора.
Это пример недиссипативной нелинейности. Роль управляющего па-
параметра играет температура
Напротив, например, в генераторе (осцилляторе) Ван дер Поля,
жесткость является линейной и положительной, нелинейным же явля-
является диссипативный член. Стационарные колебания в такой системе
возможны лишь при наличии источника энергии. Управление — пе-
передача энергии осциллятору, осуществляется путем изменения пара-
параметра обратной связи.
При равновесных и неравновесных фазовых переходах различна и
физическая природа управляющих параметров. Однако в обоих случа-
случаях при понижении температуры или увеличении параметра обратной
связи происходит переход от менее упорядоченного состояния к более
упорядоченному.
Естественно, что для подтверждения такой точки зрения необхо-
необходим критерий относительной степени упорядоченности состояний от-
открытых систем. Один из них — критерий «5-теорема» был уже ис-
использован выше. Другой критерий, основанный на изменении произ-
производства энтропии в процессе фазового перехода будет продемонстри-
продемонстрирован в следующей главе при описании перехода от ламинарного те-
течения к турбулентному.

§8.1. Введение 177
Неравновесные фазовые переходы гораздо разнообразней по своей
физической природе, чем равновесные. При этом фазовые переходы
имеют место как в классических, так и в квантовых системах. Воз-
Возможны, разумеется, комбинации равновесных и неравновесных фазо-
фазовых переходов.
Одним из примеров неравновесного фазового перехода может, как
уже отмечено выше, служить возникновение и развитие генерации в
нелинейном осцилляторе Ван дер Поля (Стратонович, 1961, Климон-
тович, 1982, 1995). Роль управляющего параметра играет при этом
параметр обратной связи. По мере увеличения параметра обратной
связи линейное сопротивление меняет знак и возникает диссипативная
неустойчивость. Рост амплитуды колебаний ограничивается нелиней-
нелинейностью. Диссипация играет, таким образом, конструктивную (пози-
(позитивную) роль. Именно благодаря диссипации ограничивается рост не-
неустойчивости и устанавливается стационарное состояние колебаний с
большой амплитудой, но узким спектром колебаний.
Ярким примером квантового неравновесного перехода является
возникновение и развитие когерентного электромагнитного излучения
в молекулярных генераторах и лазерах. Именно этот пример и будет
разобран в настоящей главе.
Особое место занимают различные по физической природе пере-
переходы от ламинарных течений к турбулентным. Например, при тече-
течении жидкости в трубе управляющим параметром является перепад
давления на ее концах или соответствующее число Рейнольдса. Пере-
Переход от ламинарного течения к турбулентному представляется сложной
последовательностью неравновесных фазовых переходов. В результа-
результате устанавливается стационарное турбулентное течение, при котором
параметром порядка служит тензор напряжений Рейнольдса. Коли-
Количественная оценка увеличения степени упорядоченности при переходе
к турбулентному течению определяется по критерию «5-теорема» и
по критерию уменьшения производства энтропии.
Будет также рассмотрен пример нелинейной системы, в которой
возможно одновременное существование как равновесного, так и не-
неравновесного фазовых переходов. Естественно возникает вопрос о вза-
взаимном влиянии разных по физической природе фазовых переходов. В
рассматриваемом здесь примере равновесный фазовый переход, про-
происходящий при уменьшении температуры, существенно влияет на ха-
характеристики неравновесного фазового перехода. Открывается, тем
самым, возможность эффективного управления степенью упорядочен-
упорядоченности состояний при неравновесном фазовом переходе путем измене-
изменения температуры. Равновесный фазовый переход играет здесь роль
«катализатора» для неравновесного фазового перехода.

178
Глава 8. Эволюция упорядоченности...
8.1.1. Молекулярный генератор. 1954 год можно считать го-
годом рождения квантовых генераторов электромагнитного излучения.
В этом году Н.Г. Басов и A.M. Прохоров предложили использовать
индуцированное излучение квантовых систем для генерации и уси-
усиления электромагнитных волн, а затем и осуществили практически
свою идею, создав молекулярный генератор. В том же году молеку-
молекулярный генератор был создан группой американских физиков во главе
с Ч. Таунсом.
«Рабочим веществом» в первых квантовых генераторах служил
пучок молекул аммиака. Схема молекулярного генератора изображена
на рис.4.
NH,
Рис. 4.
Пучок молекул аммиака формируется специальным устройством.
Распределение молекул в пучке по энергетическим уровням является
равновесным и, следовательно, определяется формулой Больцмана.
Генерация электромагнитного излучения осуществляется за счет
переходов между выбранными двумя уровнями с энергиями #2, Е\.
При этом верхним является уровень < 2 > . В исходном пучке большая
часть молекул находится на нижнем уровне < 1 > с энергией Е\.
Чтобы получить пучок с инверсной заселенностью, когда большая
часть молекул находится на верхнем уровне, пучок пропускают через
специальное «сортирующее» устройство — квадрупольный конденса-
конденсатор. При прохождении через него молекулы на нижнем уровне откло-
отклоняются в сторону и «выходят из игры». В результате из «сортирую-
«сортирующего устройства» выходит пучок, в котором большая часть молекул
находится в верхнем состоянии. Иными словами — создается пучок
молекул с инверсной заселенностью двух выбранных «рабочих» уров-
уровней энергии.
На следующем этапе такой пучок попадает в резонатор. Одна из
собственных частот резонатора о;о близка к частоте перехода между
выделенными уровнями
W21 = *Z*. (8.1.1)
Под действием теплового электромагнитного поля с частотой,
близкой к o>2i, в резонаторе происходит индуцированное испускание

§8.1. Введение 179
молекулами электромагнитного излучения, которое усиливает колеба-
колебания резонатора на этой частоте. При этом часть молекул переходит в
нижнее состояние. В результате на выходе большая часть молекул на-
находится в состоянии с энергией Е\. Таким образом, при прохождении
через резонатор энергия возбужденных молекул переходит в энергию
электромагнитных колебаний в резонаторе.
Усиление колебаний в резонаторе происходит до тех пор, пока при-
приток энергии от молекул не уравновешивается потерями, которые уве-
увеличиваются с ростом энергии колебаний. В число потерь включается
и отвод электромагнитной энергии колебаний из резонатора.
Молекулярный генератор служит примером автоколебательной
системы, так как в нем энергия, запасенная в возбужденных моле-
молекулах, переходит в энергию колебаний. Поясним механизм обратной
связи в этом генераторе.
Из квантовой механики следует, что волны при индуцированном
испускании по частоте и фазе совпадают с волнами, вызывающими
излучение. Из резонатора отводится лишь часть излучаемой молеку-
молекулами энергии, поэтому все вновь поступающие в резонатор молекулы,
подвергаются действию того же, но более сильного поля. Это и обес-
обеспечивает условие обратной связи, т.е. такого воздействия на возбуж-
возбужденные молекулы, при котором энергия возбужденных молекул пере-
передается полю с той же частотой и фазой.
Исторически первыми были молекулярные генераторы на аммиа-
аммиаке. Они работают на длине волны Л ~ 1,27 см. Впоследствии были
созданы генераторы, в которых использовались пучки атомов водоро-
водорода. Длина волны в атомных генераторах на водороде около 21 см (см.
Ораевский, 1964).
Молекулярные генераторы широко используются как для научных,
так и для технических целей. Существенной их особенностью являет-
является очень высокая стабильность частоты.
8.1.2. Квантовые генераторы света — лазеры. После соз-
создания молекулярных генераторов начались работы по созданию кван-
квантовых генераторов излучения в оптическом диапазоне.
Принцип усиления света был первые предложен В.А. Фабрикантом
в 1940 г. В 1958 г. А. Шавлов и Ч. Таунс исследовали возможности
создания генераторов света и уже в I960 г. Т. Мейманом был соз-
создан первый генератор света на рубине. В 1961 г. Ф. Джаваном и его
сотрудниками был создан первый газовый генератор света на смеси
неона и аргона — He-Ne лазер. В последующие годы были созданы
многие другие типы лазеров: на красителях, на полупроводниках, га-
газодинамические лазеры и т.д.
Рассмотрим кратко принцип действия лазеров. Начнем с процесса
усиления.

180 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
Пусть монохроматический световой поток частоты ш падает на
вещество и направлен по некоторой оси х. При х = 0 интенсивность
света равна /о. Вследствие взаимодействия атомов с веществом ин-
интенсивность света при прохождение через вещество меняется. Как и
в молекулярном генераторе, выберем два уровня атомов вещества с
энергиями Е2, Е\. Частота перехода снова определяется равенством
(8.1). Системы, в которых можно ограничиться учетом лишь двух
уровней, называют двухуровневыми системами.
При прохождении светового потока через вещество возможны два
процесса, приводящие к изменению интенсивности: резонансное по-
поглощение и индуцированное испускание. Зависимость интенсивности
света на частоте ш от координаты можно представить в виде
J(x) = Joexp(- кшх). (8.1.2)
Здесь введено обозначение кш для коэффициента поглощения, ко-
который характеризует быстроту изменения интенсивности света вдоль
оси х. Он пропорционален коэффициенту Эйнштейна В\ для индуци-
индуцированного излучения на рассматриваемом переходе < 2 -> 1 > и раз-
разности заселенностей выделенных энергетических уровней ТУг, JVi, т.е,
kvOLBKNx-^). (8.1.3)
Характер зависимости интенсивности света от координаты су-
существенно зависит от знака коэффициента поглощения. Возможны
три случая: кш < 0, кш = 0, кш > 0. При равновесном распределе-
распределении по уровням, когда N2 < Ni, имеет место поглощение. Равенство
нулю коэффициента кш означает, что поглощение компенсируется за
счет индуцированного излучения.
Случай кш < 0 отвечает усилению падающего на вещество излуче-
излучения. Оно возможно лишь при наличии инверсной заселенности, когда
число атомов на верхнем уровне N2 > N\.
8.1.3. Принцип действия оптического генератора — лазе-
лазера. Допустим, что путем внешнего воздействия — «накачки» — соз-
создана инверсная заселенность двух выбранных рабочих уровней. Тог-
Тогда 7V2 > N1 и коэффициент поглощения отрицателен, т.е. имеет место
усиление. Введем специальное обозначение для коэффициента усиле-
усиления аш = — fcw = \кш\. Формула для функции 1(х) принимает тогда
вид
1(х) = /0 ехр (ашх) > 10. (8.1.4)
Таким образом, при наличии инверсной заселенности атомов среды
происходит усиление монохроматического пучка света с частотой w,
близкой к частоте о>21«
На рис.5 изображена принципиальная схема квантового генерато-
генератора. Как и в молекулярном генераторе основными элементами являют-
являются и здесь активная среда, в которой создана инверсная заселенность

§8.1. Введение
181
для выбранных двух уровней энергии, и резонатор. Способы создания
инверсной заселенности в разных типах лазеров различны. Сейчас ва-
важен лишь сам факт наличия инверсной заселенности.
Рис. 5.
В молекулярном генераторе активный пучок молекул пересекает
резонатор, т.е. находится в резонаторе ограниченное время — время
пролета т. При этом размер резонатора сравним с размером длины
волны излучения. Резонаторы в лазерах имеют другую структуру.
Это связано с тем, что длина волны в оптическом диапазоне очень
мала (для желтого света А « 5 • 10 см), поэтому трудно, а главное
и нецелесообразно, делать резонаторы, размеры которых сравнимы
с длиной волны излучения. В квантовых оптических генераторах в
качестве резонаторов часто используют систему двух плоских зеркал.
Предположим, что в среде с инверсной заселенностью вследствие
спонтанного перехода «2 —»• 1» в некоторый момент возникает волна
с частотой w « u>2i, распространяющаяся вдоль оси резонатора 0 — 0'.
Эта волна будет усиливаться по закону (8.1.4), пока не достигнет зер-
зеркала. На зеркале происходит отражение волны. В результате она на-
начинает распространяться в противоположном направлении и опять,
благодаря наличию атомов с инверсной заселенностью, снова нарас-
нарастает по закону (8.1.4). Затем она достигает противоположного зерка-
зеркала, опять отразажается и нарастая достигнает исходной точки. При
этом она пройдет путь 22/, где L — расстояние между зеркалами.
При условии малых потерь в резонаторе интенсивность света после
описанного цикла становится равной /о ехр BашЬ).
Пусть коэффициент q определяет долю энергии, которая теряется
из-за отражения на зеркалах и по другим причинам. Тогда г = 1 — q
@ < г < 1) определяет ту часть интенсивности, которая будет в ис-
исходной точке после прохождения цикла. Если в результате цикла ин-
интенсивность стала больше исходной /0, то в системе происходит гене-
генерация электромагнитного излучения. Таким образом, условие возник-
возникновения генерации — условие самовозбуждения — имеет вид:
> 1. (8.1.5)

182 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
Это неравенство определяет пороговое значение (N2 — Ni)th
от английского слова threshold — порог) числа активных атомов, ко-
которое необходимо для возникновения генерации.
Для вывода излучения из резонатора одно из зеркал делается час-
частично прозрачным. Коэффициент пропускания зеркала обозначают
через t. Три коэффициента г, q, t связаны условием г + q + t = 1,
которое выражает закон сохранения энергии, падающей на зеркало.
До сих пор рассматривались волны, которые распространяются
вдоль оси резонатора. Волны, распространяющиеся под достаточно
большим углом к оси резонатора выходят из резонатора и, таким об-
образом, не участвуют в процессе генерации.
8.1.4. Свойства излучения квантовых генераторов. В ка-
качестве первого свойства отметим малую расходимость лазерного из-
излучения. Естественный предел малости расходимости определяется
явлением дифракции.
Вторым замечательным свойством является пространственная ко-
когерентность лазерного пучка. Она обусловлена следующим.
В резонаторе, который образуется плоскопараллельными зеркала-
зеркалами, отдельные волны (моды) имеют плоский фронт. В случае инду-
индуцированного излучения возникающая вновь волна имеет ту же струк-
структуру, что и падающая на возбужденный атом волна. Отсюда следует,
что плоская волна, падающая на возбужденный атом, будет оставать-
оставаться плоской и усиливаться вследствие излучения атома.
В результате многократного прохождения при индуцированном из-
излучении будет возникать мощная плоская волна, фазы которой оди-
одинаковы по всему сечению пучка. Вследствие этого волны, идущие от
разных точек частично прозрачного зеркала, будут иметь постоянную
разность фаз. Это и означает, что волна, излучаемая лазером, явля-
является пространственно когерентной.
Пространственную когерентность лазерного пучка можно легко
обнаружить экспериментально, например, методом Юнга. Схема опы-
опыта Юнга изображена на рис.6. Рабочим веществом служит рубин.
На частично пропускающее зеркало с накладывается непрозрачный
экран с двумя щелями. Если излучение лазера пространственно коге-
когерентно, то и волны, идущие от щелей будут когерентными. Вследст-
Вследствие этого при сложении они будут давать на экране интерференцион-
интерференционную картину.
Замечательным свойством лазерного излучения является также и
очень высокая степень монохроматичности.
Энергия излучения лазера черпается за счет энергии источника
(накачки). Таким источником может служить, например, газоразряд-
газоразрядная лампа. В лазере происходит преобразование энергии излучения
лампы накачки, которое представляет собой излучение в широком

§8.2. Кинетическое описание двухуровневых систем 183
ttt
Рис. в.
диапазоне частот, в излучение узкой спектральной линии с центром
на частоте перехода о>21 = (^2 — Е\) /ft. Для иллюстрации отметим,
что ширина линии спонтанного излучения примерно 107-108 сек", а
естественная ширина линии излучения, например, He-Ne лазера по-
порядка одного герца.
Ограничимся здесь этим кратким описанием процессов генерации
излучения в квантовых системах перейдем. С теорией квантовых гене-
генераторов можно познакомиться по книгам (Ораевский, 1964; Климон-
тович, 2001а, Ь).
§8.2. Кинетическое описание двухуровневых систем
В основе кинетической теории процессов в молекулярных генера-
генераторах и лазерах лежат уравнения для системы атомов, взаимодейству-
взаимодействующих с электромагнитным полем. При этом учитывается квантовая
структура атомов. Именно благодаря этому удается описать процес-
процессы излучения и поглощения электромагнитного излучения.
Кинетические процессы описываются теперь квантовыми функци-
функциями распределения в расширенном фазовом пространстве не только
координат и импульсов атомов, но и значений квантовых чисел —
функциями fnm (Л, Р, t), /«(Л, Р, t).
«Интегралы столкновений» в квантовых кинетических уравнениях
в зависимости от соотношения характерных параметров записывают-
записываются с разной степенью приближенности. Учет роли движения атомов
как целого оправдан при выполнении неравенств
lnm<kVT<Unm- (8.2.1)
Левое неравенство означает, что в оптическом диапазоне доппле-
ровское уширение kVr значительно (практически на два порядка)
больше естественной ширины линии 7nm-
Во многих случаях, например, в теории He-Ne лазера, с большим
запасом выполняется неравенство
hk^MVr. (8.2.2)
Оно означает, что основной вклад в интеграл по волновым числам
приходится на область длин волн А ~ 1/&, больших длины волны де

184 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
Бройля h/МУт- Это условие позволяет описывать движение атомов
как целого на основе классической механики. В этом приближении
выражение для интеграла столкновений существенно упрощается.
В теории квантовых генераторов имеется возможность выделения
из всей совокупности энергетических уровней атомов лишь двух рабо-
рабочих уровней, частота перехода для которых близка к основной частоте
когерентного излучения в резонаторе — двухуровневое приближение.
В этом приближении кинетические уравнения существенно упроща-
упрощаются. Начнем с уравнения для недиагональной функции распределе-
распределения /пт(Д,Р,*).
В двухуровневой системе вместо бесконечного набора функций
/п (Д, Р, ?), fnm (Д, Р, 2), отвечающих всем возможным значениям кван-
квантовых чисел, достаточно рассмотреть лишь четыре функции. При-
Присвоим двум выделенным уровням значения квантовых чисел а, 6. При
этом верхнему уровню отвечает индекс а, а нижнему — Ь. Соответ-
Соответственно этому частота перехода определяется равенством
Ъмаъ = Еа- Еь. (8.2.3)
Напомним, что выше выделенные уровни характеризовались, соот-
соответственно, цифрами #, 1. Для двухуровневой модели интеграл столк-
столкновений представляется существенно более простым выражением
Inm(R, P, t) -»• Iab(R, P,t) = - fabfabiR, P, t). (8.2.4)
lab — соответствующие диссипативные коэффициенты. С учетом
этого соответствующее кинетическое уравнение для недиагональных
функций распределения /аь(Д, Р,?) принимают следующий вид:
д -'-r--j-,vi-Wb, If (Я РА-
(л
= jrdab(fb(R,P,t-fa(R,P,t))E(R,t), (8.2.5)
т + у!№+1Ьа + {шьа; fba (Д) Р) *)=
= ^dba(fa{R,P,t-fb(R,P,t))E(R,t), (8.2.6)
dab^dba — матричные элементы дипольного момента. Коэффициент
трения для системы атомы-поле по структуре подобен классическому
коэффициенту радиационного трения слабо затухающего осциллятора
Tl^nm) = 7nm = "~Г з~~ = ^mn* (8.2.7)
Он всегда положителен и не меняет знак при замене п <—> т.

§8.2. Кинетическое описание двухуровневых систем 185
С учетом равенств
Jnm = 7mn? Шпт = — Штпч dnm = d*mn (8.2.8)
убеждаемся, что уравнение (8.10) переходит в уравнение (8.11) при
замене
fab{R,P,t)-+fta{R,P,t). (8.2.9)
Уравнения (8.2.5), (8.2.6) надо дополнить уравнениями для диаго-
диагональных функций распределения fa{R, P,t), /ь(#> P,t) и уравнениями
Максвелла для электромагнитного поля. Начнем с уравнений для диа-
диагональных функций распределения.
Заметим, что при нулевом поле и при отсутствии накачки, создаю-
создающей инверсную заселенность, кинетические уравнения должны иметь
частное решение, которое описывает равновесное состояние системы
атомы-поле. При наличии накачки стационарное решение при отсут-
отсутствии поля не совпадает с равновесным. Обозначим его через fn (P)
(п = а, 6). К нему стремится произвольное нестационарное решение
при отличном от нуля поле. Соответствующий интеграл столкнове-
столкновений, обеспечивающий это условие имеет вид
/„(Д,Р,*) = - 7» (fn(R,P,t) - 40)(Р)) . (8.2.10)
Здесь введены диссипативные коэффициенты 7п Для диагональ-
диагональных функций распределения. С учетом этого определения интеграла
столкновений кинетические уравнения для двухуровневых атомов с
учетом их движения как целого имеют следующий вид:
( )
= I (dabfba ~ fabdba) E(R, t) - 7« (fa(Л, P, <) - fa0)(P)) , (8.2.11)
1)
= -? (dabfba ~ fabdba) E{R,t)-lb (fb(R, P,t) - f?> (P)J .(8.2.12)
Эти уравнения при нулевом поле, но при наличии накачки имеют
при пространственно-однородном распределении атомов частные ре-
решения
которые отличается от равновесного, так как описывают состояния
атомов с заданной внешним источником инверсной заселенностью ра-
рабочих уровней. При отсутствии накачки имеет место равновесное рас-
распределение — распределение Максвелла по импульсам и распределе-
распределение Больцмана по энергетическим уровням. Запишем, наконец, усло-
условия нормировки для введенных функций распределения:
J(fa(R,P,t) + fb(R,P,t))^~ = l. (8.2.14)
Чтобы получить замкнутую системы уравнений, надо дополнить
кинетические уравнения уравнениями Максвелла. При условии, что

186 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
диагональные элементы матрицы дипольного момента daa = О, вектор
поляризации связан с функциями распределения равенством:
Р(Д, t) = nj (dbafab(R, Р, t) + dabfba(R, Р, t)) ^^. (8.2.15)
Уравнения Максвелла сводятся к уравнению для напряженности
электрического поля:
«^«-«•д, = -*«?:, *> = *. ,8.2.16)
Здесь Р1 -поперечная составляющая вектора поляризации
(divP1 = 0). Введено также обозначение Аир для полуширины по-
полосы резонатора с добротностью Q.
Итак, имеется замкнутая система кинетических уравнений для
функций распределения двухуровневой системы при наличии внеш-
внешней накачки и уравнений для электромагнитного поля.
В некоторых случаях диссипативные коэффициенты 7аь — 1Ьа ? 1а ?
76 могут быть рассчитаны. Однако чаще они находятся из экспери-
экспериментальных данных.
Естественно, что соотношение между диссипативными коэффици-
коэффициентами зависит от физической природы рабочего вещества. В зависи-
зависимости от выбора рабочего вещества меняется роль движения атомов
как целого.
Теперь все подготовлено, чтобы изложить основы теории лазера.
§8.3. Стационарный режим генерации в лазере
Для иллюстрации приведем результаты расчета лазерного излу-
излучения в приближении неподвижных атомов. Это приближение оправ-
оправдано для твердотельных лазеров. В этом случае кинетические урав-
уравнения (8.2.5), (8.2.6) для недиагональных функций распределения и
разности населенностей упрощаются и принимают вид
+ + i) fab = " \dabDE' fba = -^ь- (8-ЗЛ)
Соответствующее уравнение для разности заселенностей
D = fa-fb
следует из уравнений (8.2.11), (8.2.12) и имеет вид
^ = - 7(Д - Do) + 2г- (dabfba - fabdba) E. (8.3.2)
Предполагаем здесь, что нижний из двух рабочих уровней — уро-
уровень < Ь > является основным. Разность населенностей Do = foa—fob
двух выделенных рабочих уровней служит управляющим параметром.

§8.3. Стационарный режим генерации в лазере 187
В лазере тем или иным способом (например, с помощью лампы
накачки в рубиновом лазере) разность населенностей увеличивается.
При некотором пороговом значении накачки она становится равной
нулю и при дальнейшем ее увеличении разность заселенности рабо-
рабочих уровней атомов становится положительной. Создается, тем са-
самым, инверсная заселенность — населенность верхнего уровня больше
нижнего, т.е. Do > 0. Атомы с инверсной заселенностью служат ис-
источниками излучения. В результате этого равновесное состояние поля
становится неустойчивым на собственной частоте двухуровневой сис-
системы иаъ.
В начальный момент развития генерации излучает лишь малая до-
доля атомов. Остальные атомы в резонаторе излучают индуцированно
под действием «начального поля». В случае индуцированного излуче-
излучения возникающая вновь волна имеет ту же структуру, что и падаю-
падающая на возбужденный атом. Отсюда следует, что, например, плоская
волна, падающая на возбужденный атом, будет оставаться плоской и
усиливаться вследствие излучения атома.
В результате многократного прохождения при индуцированном из-
излучении возникает мощная плоская волна, фаза которой одинакова по
всему сечению пучка. Это и означает, что волна, излучаемая лазером,
является пространственно когерентной.
Во введении было отмечено, что пространственную когерентность
лазерного пучка можно легко обнаружить экспериментально, напри-
например, методом Юнга.
Свойством лазерного излучения является также и очень высокая
степень монохроматичности.
В результате описанного процесса в резонаторе возникает режим
стационарной генерации. Обсудим лишь результаты расчета. Детали
расчета имеются, например, в (Климонтович, 1982, 2001а, Ь).
В режиме стационарной генерации разность населенностей опре-
определяется выражением
«*»)8 + -& (8.3.3)
Здесь введено обозначение для «параметра насыщения»
1 \dgb\
— коэффициента при \Е\2 в выражении для D. При нулевом поле —
на пороге генерации, разность населенностей D совпадает с инверсной
заселенностью Do-
Итак, при нулевом поле (на пороге генерации) разность населен-
населенностей определяется накачкой. При этом Dq > 0, т.е. за счет накачки

188 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
образуется инверсная заселенность. Это состояние не является устой-
устойчивым и происходит развитие генерации излучения.
Чтобы определить величину \Е\ в формуле для разности населен-
ностей D, используем уравнение баланса энергии поступающей в ре-
резонатор и выходящей из резонатора. Для этого нам понадобится вы-
выражение для мнимой части диэлектрической проницаемости в стацио-
стационарном состоянии
Jab,ftq-x
(8.3.5)
Здесь через u>o> &o обозначены частота генерации и соответствую-
соответствующий волновой вектор.
При инверсной заселенности мнимая часть диэлектрической про-
проницаемости отрицательна и, следовательно, рабочая среда лазера яв-
является активной. Для неподвижных атомов пространственная диспер-
дисперсия отсутствует и диэлектрическая проницаемость зависит лишь от
частоты.
С учетом выражений для комплексной диэлектрической проницае-
проницаемости из дисперсионного уравнения, путем приравнивания нулю дей-
действительной и мнимой части, получаем два уравнения. Второе из них
имеет вид
(8.3.6)
и представляет собой уравнение баланса энергии.
Условие генерации является наиболее выгодным, когда частота ге-
генерации равна частоте перехода: расстройка о>о — ШаЪ = 0. При этом
условии Re?(u>o,&o) = 0 и дисперсионное уравнение принимает вид
"о - с2к1 = 0, и0 = иаЬ. (8.3.7)
Чтобы удовлетворить этому дисперсионному уравнению нужно со-
соответствующим образом настроить резонатор. Это может быть сде-
сделано путем изменения расстояния между зеркалами, образующими
резонатор.

§8.4. Флуктуационные процессы в лазерах 189
При нулевой расстройке уравнение баланса энергии принимает вид
4тг N |2 Do 1 ,„„„,
l^l = 77- (8-3-8)
При нулевом поле отсюда следует определение порогового значения
разности населенностей
С учетом этого равенства величину поля \Е\ можно выразить че-
через «превышение над порогом»
2DO{°°U. (8-3.10)
пор
Эта формула определяет интенсивность излучения \Е\ (или со-
соответствующую амплитуду А = \I\E\ ) на частоте перехода. Фаза
волны определяется, как и, например, в генераторе Ван дер Поля, на-
начальным распределением флуктуации поляризации и поля. Выделе-
Выделение определенного значения фазы может быть произведено действием
внешнего поля.
Итак, переход от равновесного состояния к режиму генерации элек-
электромагнитного излучения служит примером неравновесного фазового
перехода. При этом роль управляющего параметра играет не темпе-
температура, как в равновесных фазовых переходах, а накачка.
Приведенные в настоящем разделе результаты составляют основу
динамической теории генерации электромагнитного излучения. Изло-
Изложение теории флуктуации в лазерах является целью следующего раз-
раздела.
§8.4. Флуктуационные процессы в лазерах
8.4.1. Флуктуации поляризации в квантовом генераторе.
Вернемся к кинетическим уравнениям, которые описывают динами-
динамические процессы в твердотельных лазерах. Схема расчета кинетичес-
кинетических флуктуации изложена в работах представленных в списке лите-
литературы (например, Климонтович, 1995). Используем эту схему для
расчета крупномасштабных флуктуации в квантовых системах.
Широко используются два способа расчета флуктуации: метод мо-
моментов и метод Ланжевена. Представим здесь кратко метод моментов.

190 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
Представим флуктуации в виде
Sfab = Sfta = (^аь)Ш + F fab)*™™ I
SD = {8D)ind + {SD)sonTCe. (8.4.1)
Здесь выделен индуцированный вклад («ind») и вклад источника
(«source»), который отражает атомарную структуру рабочей среды
лазера. Представим уравнения для флуктуации в виде
I & .. \/сг /г г \source\
I ^ + lab + гшаЬ\ {Sfab ~ {Sfab) ) =
= - %-dab {ESD + 8ED). (8.4.2)
a
Во многих случаях флуктуации поля являются более медленными,
чем флуктуации функций распределения. При этом условии выполня-
выполняются неравенства:
7ПаЬ > тг = А^р, (8.4.3)
поэтому флуктуации поля не являются существенными. Это позволя-
позволяет положить в правой части уравнения (8.4.2) SE = 0. Предположим,
что поле не влияет заметно на флуктуации. Это условие выполняет-
выполняется при малых превышениях над порогом генерации. При сделанных
предположениях в уравнении (8.4.2) правую часть можно положить
равной нулю. В результате получаем равенство
Sfab = {Sfab)soxlTCe . (8.4.4)
Это означает, что задача сводится к расчету коррелятора флукту-
флуктуации источника.
Уравнение для двухвременного и двухточечного коррелятора ис-
источника имеет вид:
д + lab + iUa^J (*/.»*/.»)???,«, = 0. (8.4.5)
К нему надо добавить начальное (при t = tf) условие, т.е. выраже-
выражение для одновременного коррелятора. Оно имеет вид (вывод раздел 2
гл.7, Климонтович, 1980)
№Ш)я,д<е = |^(Д - я')(/о + /»)• (8-4-6)
Функции fa, fo удовлетворяют соответствующим кинетическим
уравнениям для диагональных функций распределения.

§8.4. Флуктуационные процессы в лазерах 191
Для расчета коррелятора флуктуации вектора поляризации
^psource используем равенство, которое следует из определения (8.2.15)
8P{R,t) = n{dbaSfab{R,t) + dab8fba(R,t)). (8.4.7)
С помощью последних двух формул находим искомое выражение
для одновременного коррелятора флуктуации вектора поляризации
(SP8P)S°™ = у \dab\2S(R - R')(fa + fb). (8.4.8)
Вернемся теперь к уравнению (8.4.5). С учетом начального усло-
условия (8.4.6) находим временную спектральную плотность флуктуации
функции распределения
0 ^*(Я #)(/. + Д)« (8.4.9)
(SfabSfabt^ ^
Ш {и - иаЬ)
и соответствующее выражение для временной спектральной плотнос-
плотности флуктуации вектора поляризации:
|U|2^S{R ~ R'){fa + fb)- (8-4Л0)
Можно записать это выражение в форме флуктуационно-
диссипационного соотношения (ФДС) для рабочей среды лазера при
наличии инверсной заселенности выбранных уровней. Для этого ис-
используем выражение для мнимой части диэлектрической проницае-
проницаемости. В результате получим
^^±^g). (8.4.11)
В режиме генерации два сомножителя в этом выражении отрица-
отрицательны: Im?(o;) < 0 (отрицательное трение), Д—/а < 0 (инверсная за-
заселенность рабочих уровней, задаваемая накачкой). Естественно, что
при слабой накачке — ниже порога генерации — оба эти сомножителя
становятся положительными.
С помощью уравнения баланса энергии последнее выражение мож-
можно переписать в виде
Оно, естественно, справедливо лишь для состояний стационарной
генерации, когда величина накачки превышает пороговую.
Заметим, наконец, что для равновесного состояния, т.е. при нуле-
нулевой накачке, выражение (8.4.11) может быть записано в виде кванто-
квантового флуктуационно-диссипационного соотношения
coth ^S(R - R'). (8.4.13)
Это частный пример общего квантового ФДС для отдельного кван-
квантового перехода (Климонтович, 1980, 2001).

192 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
8.4.2. Флуктуации электромагнитного поля. Вернемся к
волновому уравнению (8.2.16) для напряженности электромагнитного
поля. Для расчета флуктуации поля можно использовать метод Лан-
жевена. Расчет (Климонтович, 1982, 2001ab) приводит к следующему
выражению для спектральной плотности источника Ланжевена:
[coth + \ (8A14)
Она определяется двумя диссипативными вкладами: спектральной
плотностью источника Ланжевена для резонатора, спектральной
плотностью источника Ланжевена для флуктуации поляризации. При
записи второго члена использовано выражение (8.4.12).
Дальнейший расчет аналогичен используемому при расчете флук-
флуктуации, например, в генераторе Ван дер Поля (Стратонович, 1961;
Малахов, 1968; Ланда, 1980; Климонтович, 1982, 1995).
При решении уравнения поля с учетом флуктуации можно произ-
произвести усреднение по периоду колебаний 2тг/о;о и перейти от уравнений
для функций E(R,t), dE(R,t)/dt к уравнениям для медленно меняю-
меняющихся функций Ее, Es:
dEc(t)
+ у [i + Ime(w)j Ее = u>oyc{t),
dt
(8.4.15)
dEs(t) u0 Г1 1 __
Л 2 [Q J
Мнимая часть диэлектрической проницаемости следует из форму-
формулы (8.3.5) при подстановке в нее выражения
\Е\2 = Е2С + Е28. (8.4.16)
В эти уравнения введены соответствующие источники Ланжевена. В
приближении Гаусса их первые моменты равны нулю, а вторые опре-
определяются формулами:
(yc(t)yc(t')) = (ys(t)ys(t')) = DS(t - О;
(8.4.17)
В соответствии с выражением (8.4.14) для спектральной плотнос-
плотности источника Ланжевена, интенсивность источников Ланжевена в по-
последних формулах определяется выражением
Таким образом, получена замкнутая система уравнений Ланже-
Ланжевена для функций Ec{t), Es(t), определяющих напряженность поля
E(R, t) в квантовом генераторе.

§8.5. Спектр излучения квантового генератора... 193
§8.5. Спектр излучения квантового генератора.
Флуктуации амплитуды и фазы
Перейдем от уравнений (8.4.15) к уравнениям для амплитуды и
фазы. Они определяются равенствами
Ес (t) = A cos <p, Es (t) = - A sin p,
(8.5.1)
С помощью этих соотношений находим соответствующие уравне-
уравнения Ланжевена для амплитуды и фазы. Далее по стандартной схеме
теории броуновского движения находим спектральную линию флукту-
флуктуации амплитуды. Полуширина этой линии определяется выражением
АшА = ujQ М 1те{и)\Е=0 - - J = АираЕ \Е\2 (8.5.2)
и, следовательно, согласно (8.31) пропорциональна превышению на-
накачки над пороговым значением генерации.
Ширина линии излучения при пренебрежении флуктуациями ам-
амплитуды (ср. с результатами расчета флуктуации в генераторе Ван
дер Поля (гл.12, Климонтович, 1982, 1995)) определяется формулой:
п 2
2 До> = 2D<p =.±^/. (8.5.3)
Используя выражение для мощности
Р = ^-Awp \Е\2 V (8.5.4)
и выражение (8.4.18) для интенсивности шума ?), находим оконча-
окончательную формулу для ширины линии излучения лазера
(МЛ)
Она впервые была получена в работах Г. Хакена (Н. Haken) и
М. Лэкса (M.Lax). Это дает основание для названия: формула Хакена-
Лэкса.
Рассмотренные флуктуации в лазерах являются естественными,
так как их происхождение обусловлено атомарной структурой рабочей
среды лазера. Такого рода флуктуации принципиально неустранимы.
Они определяют, в частности, предельную стабильность частоты ла-
лазера. Относительная величина Аи/шо очень мала это обеспечивает
высокую предельную стабильность различных лазерных устройств,
например, лазерных гироскопов.
Наряду с естественными, существуют технические флуктуации.
Они обусловлены сравнительно медленными изменениями парамет-
параметров лазера. Технические флуктуации могут уменьшаться путем со-
совершенствования конструкции лазера.

194 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
Рассмотрен лишь простейший вариант теории квантовых генера-
генераторов. Расчету динамических и флуктуационных процессов в лазерах
посвящена обширная литература.
Установление когерентного излучения в лазерах представляет при-
пример неравновесного фазового перехода, в результате которого устана-
устанавливается более упорядоченное состояние. Увеличение степени упоря-
упорядоченности и здесь можно оценить по критерию «5-теорема». Расчет
аналогичен проведенному для генератора Ван дер Поля.
Выше уже была отмечена аналогия равновесных и неравновесных
фазовых переходов и их принципиальное отличие. Здесь стоит напом-
напомнить это различие.
При фазовых переходах второго рода нелинейность является не-
диссипативной. Примером служила нелинейная жесткость осцилля-
осцилляторов в сегнетоэлектриках. В отличие от осциллятора Ван дер Поля
осциллятор с нелинейной жесткостью называют часто осциллятором
Дуффинга.
Напротив, при неравновесных фазовых переходах нелинейность яв-
является диссипативной. По этой причине неравновесные фазовые пере-
переходы возможны лишь при условии компенсации потерь за счет энер-
энергии внешних источников.
§8.6. Взаимное влияние равновесных и
неравновесных фазовых переходов
В классической теории нелинейного броуновского движения рас-
рассматривается так называемый генератор Ван дер Поля-Дуффинга. В
этом уравнении имеется как активная диссипативная нелинейность,
обеспечивающая возможность генерации на «высокой частоте», так
и нелинейная жесткость (недиссипативная нелинейность), благодаря
которой становится возможным фазовый переход второго рода — пе-
переход сегнетоэлектрического типа. Соответственно этому имеются и
два управляющих параметра: коэффициент обратной связи и темпе-
температура.
Известны также и вещества, в которых одновременно достаточно
велики как диссипативная, так и недиссипативная нелинейности. При-
Примером могут служить сегнетоэлектрические кристаллы при наличии
в них активных двухуровневых атомов (Каминский et al, 1975) и жид-
жидкие кристаллы при наличии оптически активных примесей (Kuroda,
Kubota, 1976).
Для таких систем открывается возможность исследования взаим-
взаимного влияния равновесного и неравновесного фазовых переходов: вли-
влияние равновесного фазового перехода на процесс генерации лазерного
излучения и, напротив, влияние когерентного лазерного излучения на
равновесный фазовый переход второго рода.

§8.6. Взаимное влияние равновесных и неравновесных переходов... 195
Рассмотрим пример влияния равновесного фазового перехода на
характеристики лазерного излучения, которые появляются в экспе-
эксперименте. Обратные задачи индуцирования фазовых переходов лазер-
лазерным излучениям достаточно подробно рассматривались различными
авторами: (Климонтович, 1980,1982,2001; Хормстемке, Лефевер, 1987;
Андреев, Емельянов, Ильинский, 1988). Отметим также недавний об-
обзор «Сверхизлучение и некоторые родственные явления» (Меньшиков,
1999), опубликованный в февральском номере УФН за 1999.
8.6.1. Влияние сегнетоэлектрического фазового перехода
на процесс излучения лазера. Рассмотрим сегнетоэлектрик, со-
содержащий оптически активные примесные атомы (или ионы). При-
Примесные атомы служат рабочим веществом для лазера.
Рассмотрим процесс генерации на двух рабочих уровнях «а», «6»
примесных атомов в сегнетоэлектриках с учетом влияния фотонной
подсистемы на лазерное излучение.
Для расчета поляризации на рабочих уровнях «а», «6» надо, как и
выше, использовать систему уравнений для недиагональных функций
распределения /а& и разности населенностей рабочих уровней D =
fa ~ /б-
Дополним уравнение для функции /а& членом, учитывающим резо-
резонансное взаимодействие с ионами двух кристаллических подрешеток.
В результате получим следующее уравнение для функции fab-
Ш + 1аЪ + iUab)fab = ~\dabDE " ]iCUfab- (8-6л)
Векторная величина С характеризует взаимодействие примесных
оптически активных атомов с ионными подрешетками сегнетоэлек-
трика, Е — заданное поле лазерного излучения, U — локальное усред-
усредненное относительное смещение ионов подрешеток, U соответствует
относительному смещению X ионов кристаллических подрешеток се-
гнетоэлектрика.
Будем здесь рассматривать состояния при температурах выше
критической, но все же настолько близкие к ней, что величина жест-
жесткости мала. Иными словами происходит заметное размягчение моды.
При этом квадрат собственной частоты а>2 заменяется на меньшее
значение а;2, отвечающее размягченной моде. Величина и2 определя-
определяется соответствующими выражениями теории сегнетоэлектриков
4тгр т)
?2= u^(l-a/); O/= |p@)|t 1_а/>о. (8.6.2)
При Т > Тс среднее значение смещения равно нулю и основную
роль играют флуктуации. Учтем неравенство
hw < kBT, (8.6.3)

196 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
которое для размягченной моды выполняется с большим запасом. Рас-
Расчет дисперсии выполняем по распределению Больцмана. В результате
получаем выражения для двух моментов
Здесь т — масса атома (иона).
Уравнение для флуктуации смещения записываем в виде уравне-
уравнения Ланжевена
Моменты источника Ланжевена определяются стандартными фор-
формулами в приближении белого шума. 7 — соответствующий коэффи-
коэффициент трения в уравнение для вектора поляризации сегнетоэлектрика.
При достаточной близости к критической точке выполняется нера-
неравенство j ^> й (передемпфированный осциллятор). В этом приближе-
приближении в уравнении для флуктуации смещения можно пренебречь второй
производной. В результате получаем выражение для временной спек-
спектральной плотности флуктуации 8U смещения
Для примесных атомов с большим запасом выполняется неравен-
неравенство
и2
— »7аь- (8.6.7)
В нулевом приближении по соответствующему малому параметру
спектр флуктуации, в свою очередь, можно рассматривать как белый
шум. При этом условии временной коррелятор имеет вид
(8U8U}t = 2Du8(t); Dv = (SUJn=0 = ^9р (8.6.8)
Здесь использовано обозначение D\j для интенсивности флуктуа-
флуктуации 8U. В результате уравнение для функции fab сводится к урав-
уравнению Ланжевена с S-коррелированным источником 8U. При этом ис-
источник шума входит параметрически. По этой причине уравнение для
среднего значения имеет вид:
it
Будем рассматривать состояние вблизи порога генерации. Это поз-
позволяет в правой части уравнения сделать замену D —> Do. Здесь
Do > 0 — заданная накачка.
(it

§8.6. Взаимное влияние равновесных и неравновесных переходов... 197
Это уравнение не является замкнутым, так как в него входит не-
неопределенный пока коррелятор FUSfab)- Расчет этого коррелятора
проводится по схеме гл.15 (Климонтович, 1995). Приведем сразу ре-
результат расчета
\c{8USfab) = -jj^Du {fab). (8.6.10)
При этом использовалось выражение для временного коррелятора
FUSU)T.
Итак, нам удалось выразить коррелятор, характеризующий ста-
статистическую связь флуктуации смещения в сегнетоэлектрической сре-
среде и флуктуации 8fab через функцию (fab)- Это и приводит к замкну-
замкнутому уравнению для функции (fab)-
gj + lab + iuabj (fab) = -^dabD0E.
(8.6.11)
Взаимодействие с флуктуациями смещения учитывается здесь че-
через коэффициент
lab = lab 1 + 1^—Du . (8.6.12)
Используя приведенные выше выражения для интенсивности шума
Du и дисперсии ((?С/J), последнее выражение можно переписать в
более явном виде
7-=7- 1+«ГТ^п • (8-6ЛЗ)
Числовая оценка влияния смещений решетки на диссипативный
коэффициент системы двухуровневых примесных атомов приводит к
следующим выводам. При температурах значительно выше критичес-
критической дополнительный член мал — порядка 10~4 и, следовательно, не
играет заметной роли.
Однако при приближении к критической точке роль этого члена
существенно возрастает и может стать доминирующей. Действитель-
Действительно,
41 (8.6.14)
Отсюда следует, что уже при сравнительно слабом «размягчении»
моды роль дополнительного члена является определяющей.
Оценим теперь влияние фазового перехода в сегнетоэлектрике на
порог генерации. Для этого обратимся к уравнению баланса энергии в
лазере, но теперь используем в нем соответствующее выражение для

198 Глава 8. Эволюция упорядоченности...
мнимой части диэлектрической проницаемости с учетом взаимодейст-
взаимодействия примесных атомов с сегнетоэлектриком
*?к^ , ft>0. (8.6.15)
Подставим это выражение в уравнение баланса энергии (8.3.8). В
результате получим уравнение
Q Ш (и- иаЬJ
из которого следует пороговое значение концентрации примесных ато-
атомов п и разности населенностей — величины nD0 с учетом влияния
сегнетоэлектрической среды. При нулевой расстройке уравнение ба-
баланса принимает вид
= ЦпО0 (8.6.17)
и, следовательно, пороговое значение величины nDo растет по закону
CJn 1
nDo ~ Т7 о • (8.6.18)
"* (Т-ТсJ
Обратный эффект — уменьшение порогового значения nDo — возмо-
возможен лишь при больших расстройках, когда \и — иаь\ > 7аЬ- Такая си-
ситуация, однако, в квантовых генераторах не является энергетически
выгодной.
В работах (Климонтович, 1982, 2001b) рассмотрен пример взаим-
взаимного влияния фазового перехода в жидком кристалле на лазерный эф-
эффект на оптически активных молекулах.
Эффекты взаимного влияния равновесных и неравновесных фазо-
фазовых переходов наблюдались в ряде экспериментов.
Таким образом, в рассматриваемой системе флуктуации при рав-
равновесном фазовом переходе в сегнетоэлектрике влияет на характерис-
характеристики лазерного излучения на оптически активных примесных атомах.
Тем самым осуществляется влияние равновесного фазового перехода
на степень упорядоченности электромагнитного излучения. Для чис-
численной оценки относительной степени упорядоченности лазерной под-
подсистемы можно снова использовать критерий «5-теорема».
Из изложенного следует, что равновесный фазовый переход играет
роль «катализатора» для неравновесного фазового перехода — гене-
генерации лазерного излучения.

ГЛАВА 9 Эволюция упорядоченности
при турбулентном движении
§9.1. Введение
9.1.1. Иерархия турбулентных движений. Началом изучения
турбулентного (сложного вихревого внешне неупорядоченного) дви-
движения служило наблюдение течений жидкости в трубках. Это имело
место в первой половине XIX века (Hagen, 1839). Первые закономер-
закономерности турбулентного движения были открыты английским физиком
и инженером Осборном Рейнольдсом (Osborn Reynolds) лишь более
сорока лет спустя. В 1883 году он установил, что переход от лами-
ламинарного (плавного, упорядоченного) течения в трубках к турбулент-
турбулентному происходит при некотором критическом значении безразмерного
параметра — «числа Рейнольдса». Он же ввел и основную гипотезу
теории турбулентности — «гипотезу Рейнольдса». Ее суть состоит в
следующем.
Турбулентное движение в несжимаемой жидкости можно описы-
описывать на основе уравнения Навье-Стокса с той разницей, что скорость
является теперь недетерминированной, случайной функцией коорди-
координат и времени. После усреднения этого уравнения по ансамблю (или
пространственно-временного усреднения) из него следует бесконечная
последовательность уравнений для моментов случайной скорости. В
частности, в уравнение для средней скорости входят, в силу нелиней-
нелинейности исходного уравнения Навье-Стокса, вторые моменты флуктуа-
флуктуации скорости — «тензор напряжений Рейнольдса».
Таким образом, возникает «проблема замыкания» — получение
приближенной, но замкнутой системы уравнений для низших мо-
моментов скорости. Нулевое по флуктуациям приближение приводит к
обычному уравнению Навье-Стокса.
Позднее выяснилось, что турбулентное движение отнюдь не яв-
является «привилегией» движения жидкостей по трубам. Оно является
скорее правилом, чем исключением. Так, например, движение возду-
воздуха в атмосфере есть типичный пример турбулентного движения. Оно
значительно сложнее турбулентного движения несжимаемой жидкос-
жидкости, так как пульсирует не только скорость, но и плотность и темпе-
температура.
Еще более сложным является турбулентное движение на кинети-
кинетическом уровне описания, например, газа Больцмана. Здесь, следуя ги-
гипотезе Рейнольдса, в качестве основы используется обобщенное кине-

200 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
тическое уравнение Больцмана для пульсирующей функции распреде-
распределения /(Д, v, t). Переход от него к уравнению Навье-Стокса для пуль-
пульсирующей скорости отвечает приближению трех моментов:
/(Д, v, t) = S(v - u(R, *)), divй(Д, t) = 0. (9.1.1)
Следующая ступень сложности — турбулентное движение полнос-
полностью ионизованной плазмы. В качестве исходных следует использо-
использовать кинетические уравнения Максвелла для пульсирующих функций
распределения электронов и ионов и пульсирующих напряженностей
электромагнитного поля.
Наиболее сложным является, естественно, турбулентное движение
в частично ионизованной плазме. Дополнительная сложность обуслов-
обусловлена как увеличением числа компонент, так и необходимостью исполь-
использования квантовых кинетических уравнений для описания внутренних
движений атомов и, особенно, химических превращений.
Благодаря усилиям выдающихся математиков, механиков и фи-
физиков (L.F. Richardson, G.K. Batchelor, Z.A. Prandtl, T. Karman,
A.H. Колмогоров, Л.Д. Ландау, G.L. Taylor, A.M. Обухов), удалось
решить многие проблемы турбулентного движения, но все же турбу-
турбулентное движение, как физическое явление, и по сей день остается
одним из самых загадочных.
Для детального изучения теории гидродинамической турбулент-
турбулентности и ее многочисленных практических приложений следует обра-
обратиться к специальной литературе. К числу известных публикаций от-
относятся книги (Монин и Яглом, 1965, 1967, 1992; Ландау и Лифшиц,
1986; Шлихтинг, 1962,1969; Фрост и Моулден, 1980; Lesieur, 1990, Бе-
лоцерковский, 1994а, 19946).
Теория турбулентности в плазме является значительно более мо-
молодой. Первый обзор по этой проблеме был написан Б.Б. Кадомцевым
в 1964 году. Первая монография принадлежит В.Н. Цытовичу A971).
См. также Ситенко A975, 1977). Из более поздних следует отметить
работы (Бакай и Сигов, 1996; Сигов, 2001).
Наиболее развита теория так называемой слабой турбулентности.
В этом случае возможно использование теории возмущений по малому
параметру — отношению энергии взаимодействия коллективных воз-
возбуждений в плазме к средней кинетической энергии. В теории сильной
турбулентности в плазме в настоящее время сделаны лишь первые
шаги.
9.1.2. Задачи главы. Мы не ставим, разумеется, задачу сис-
систематического изложения современного состояния теории турбулент-
турбулентности. Основная цель - выявление на основе идей и методов Физики

§9.2. Характерные черты турбулентного движения 201
открытых систем общих свойств турбулентного движения, как физи-
физического явления. Существенно, что лишь в последние годы турбулент-
турбулентность из задачи механики несжимаемой жидкости постепенно превра-
превращается в одну из важнейших глав статистической физики (Климон-
тович, 1982, 1990, 1995, 2001b).
Несмотря на то, что турбулентное движение было открыто более
ста лет назад, до настоящего времени задаются вопросы:
Что такое турбулентность?
Представляет турбулентное движение хаос или порядок?
Ответы на эти вопросы — одна из задач этой главы. Для ее ре-
решения необходимо, прежде всего, выделить на примере несжимаемой
жидкости характерные черты турбулентного движения. Их совокуп-
совокупность и будет служить физическим определением понятия «турбу-
«турбулентность».
§9.2. Характерные черты турбулентного движения
Слово «турбулентный» происходит от латинского слова turbulen-
tus, что означает беспорядочный. Использование этого термина для
описания внешне беспорядочного движения вихрей разных масшта-
масштабов в течениях жидкости или газа представляется, на первый взгляд,
вполне оправданным и является почти общепринятым.
Иная точка зрения в настоящее время принята лишь в работах
(Климонтович, 1982, 1983, 1984; 1990, 1995; Ebeling, Klimontovich,
1984; Пригожий и Стенгерс, 1984, 1986). В них переход от ламинар-
ламинарного течения к турбулентному представляется как фазовый переход к
более упорядоченному движению
В одной из последних книг по теории турбулентности (Lesieur,
1990) в третей главе есть специальный раздел «Турбулентность, поря-
порядок или хаос?» Автор анализирует этот вопрос и в историческом пла-
плане. Он пишет, в частности, о воззрениях древнеримского поэта Лукре-
Лукреция (Lucretius), который в своей знаменитой поэме «De Nature Rerum»
представлял Вселенную как «турбулентный порядок», возникший из
начального «хаоса». Несмотря на авторитет Лукреция, автор (Lesieur)
все же рассматривает турбулентное движение, как хаотическое. Аль-
Альтернативная позиция изложена в статье (Klimontovich, 1996).
Подобная же точка зрения, как у Lesieur принята и в статье «Тур-
«Турбулентность» (Рабинович, Сущик, Физическая энциклопедия, Т.5,
1998): «Турбулентность — сложное, неупорядоченное движение дис-
сипативной среды». В том же томе Физической энциклопедии (на стр.
229) имеется статья Климонтовича «Упорядоченности относительной
критерий», в которой формулируется критерий относительной степе-
степени упорядоченности состояний открытых систем. По этому критерию,
например, стационарное турбулентное течение в трубе является более
упорядоченным, чем ламинарное течение Пуазейля.

202 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
Наличие двух противоположных точек зрения указывает на необ-
необходимость дать, прежде всего, более полное физическое определение
турбулентности на основе наблюдений и теоретических представле-
представлений. Таким определением может служить совокупность основных черт
турбулентного движения:
1. Турбулентное движение — неравновесный процесс в диссипа-
тивной сплошной среде.
2. Развитое турбулентное движение характеризуется большим
числом коллективных степеней свободы iVturb ^> 1-
3. Переход от ламинарного течения к турбулентному сопровожда-
сопровождается уменьшением симметрии и может рассматриваться как нерав-
неравновесный фазовый переход второго рода. Критической температуре
отвечает критическое значение числа Рейнольдса Recr, а роль пара-
параметра порядка играет тензор напряжений Рейнольдса.
4. Турбулентное движение есть следствие неустойчивости лами-
ламинарного движения или, иными словами, следствие динамической не-
неустойчивости макроскопических характеристик. В этом смысле ди-
динамическая неустойчивость ламинарного течения играет конструк-
конструктивную, положительную роль. Из-за динамической неустойчивости —
сильной чувствительности к малым изменениям начальных условий
— турбулентное движение на динамическом уровне описания являет-
является практически непредсказуемым.
5. Развитие турбулентного движения представляет собой пример
процесса самоорганизации в открытой системе.
§9.3. Турбулентное движение несжимаемой жидкости
9.3.1. Уравнения и напряжения Рейнольдса. По гипотезе
Рейнольдса уравнение Навье-Стокса остаются справедливыми и для
случайной пульсирующей скорости и. После усреднения по ансамблю
из него следует уравнение для средней скорости:
дщ дщц 1 dp I diTij д
—— | - — — — — - — < OUiOUj >,
dt дг3- рдт{ p drj drj J
Su = u-u, divu = Q. (9.3.1)
По сравнению с уравнением Навье-Стокса здесь возник дополни-
дополнительный член
t)Suj(r,t)) (9.3.2)
— тензор напряжений Рейнольдса.
Это уравнение не является замкнутым, так как, наряду со средней
скоростью, содержит коррелятор флуктуации 8и = и — и. Уравнения
для вторых моментов содержат моменты третьего порядка и т.д. В ре-
результате приходим к бесконечной последовательности уравнений для
моментов гидродинамической скорости. Это и приводит к проблеме

§9.4. Гидродинамическая неустойчивость... 203
замыкания. На гидродинамическом уровне описания она представля-
представляет одну из нерешенных задач теории гидродинамической турбулент-
турбулентности.
§9.4. Гидродинамическая неустойчивость
и возникновение турбулентности
Задача описания перехода от ламинарного течения к турбулентно-
турбулентному является чрезвычайно сложной. К числу относительно более прос-
простых относятся задачи расчета неустойчивости конвективного течения
слоя жидкости, подогреваемой снизу, а также течения жидкости меж-
между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами. В обоих слу-
случаях при увеличении градиента температуры или разности угловых
скоростей цилиндров сначала возникают новые стационарные тече-
течения — ячейки Бенара при конвекции и вихри Тейлора при вращении
цилиндров. Турбулентное движение возникает лишь при дальнейшем
увеличении градиента температуры и разности угловых скоростей,
соответственно.
Существенно более сложным является описание перехода от лами-
ламинарного течения к турбулентному, например, при движении жидкости
в трубе или в плоском канале.
В настоящее время предложены четыре «сценария» такого пере-
перехода. Подробное их описание можно найти в книгах (Berge, Pomeau,
Vidal, 1984; Ландау, Лифшиц, 1986; Монин и Яглом, 1992). Рассмот-
Рассмотрим их по порядку.
9.4.1. Сценарий перехода к турбулентности по Ландау и
Хопфу. По Ландау A944) и Хопфу A944) по мере увеличения числа
Рейнольдса переход к турбулентности проходит через последователь-
последовательность квазипериодических движений. При значениях Re < Recr воз-
возмущение затухает со временем. При Re > Recr возмущение, напро-
напротив, нарастает. Его рост ограничивается нелинейностью и устанавли-
устанавливается стационарное возмущенное состояние с характерной частотой.
Согласно Ландау при дальнейшем увеличении Re это стационарное
решение и(г, ?), в свою очередь, становится неустойчивым возникает
более сложное движение с двумя характерными частотами. Это дви-
движение, в свою очередь, становится неустойчивым по мере дальнейше-
дальнейшего увеличения числа Рейнольдса и т.д. Возникает течение, которое
характеризуется набором iVturb в общем случае несоизмеримых час-
частот c^i, U2, ..., UNtnrb- В результате возникает столь сложное и за-
запутанное квазипериодическое движение, что оно воспринимается как
турбулентное движение.
9.4.2. Сценарий Рюэлля-Такенса. Странный аттрактор.
Предложенная Ландау схема возникновения турбулентности, хотя и
представляют несомненный интерес, все же недостаточна. Это связа-
связано с рядом причин. В ее основе лежит механизм автоколебаний. Это

204 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
может быть оправдано в замкнутых потоках, например, в задаче Рэ-
лея о тепловой конвекции или в задаче Тейлора о течении между вра-
вращающимися цилиндрами. В незамкнутых потоках, например, при те-
течениях в трубах и каналах, возникновение турбулентности обуслов-
обусловлено не каскадом все более сложных автоколебательных процессов, а
конвективной неустойчивостью ламинарного течения.
Ограниченность схемы Ландау связана также с наличием дина-
динамической неустойчивости движения, когда исходно малое расстоя-
расстояние между точками системы увеличивается со временем по экспо-
экспоненциальному закону. Имеет место экспоненциальная расходимость
траекторий (Н.С. Крылов, 1950). По этой причине уже трехчастич-
ный квазипериодический режим в схеме Ландау может оказаться не-
неустойчивым. В результате развития этой неустойчивости образуется
более сложное движение, которое воспринимается как «динамичес-
«динамический хаос». При этом возникает чрезвычайно сложная по структуре
область притяжения неустойчивых траекторий—«странный аттрак-
аттрактор» (Ruelle, Takens, 1971).
Принадлежащие странному аттрактору неустойчивые траектории
расположены в ограниченной области пространства. Полная класси-
классификация странных аттракторов в настоящее время, по-видимому, еще
отсутствует. Во всяком случае можно выделить три класса странных
аттракторов: 1. Гиперболические аттракторы; 2. Аттракторы
Лоренца. (Происхождение этого названия поясняется в следующем
разделе); 3. Квазиаттракторы. Два последних типа странных ат-
аттракторов наблюдаются в реальных физических системах.
9.4.3. Тепловая конвекция. Уравнения Лоренца. Развитие
турбулентного движения в замкнутых течениях можно моделировать
на основе системы трех (или большего числа) обыкновенных нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений (Lorenz, 1963). Наиболее известной
и изученной системой такого рода является система уравнений Лорен-
Лоренца. Она получается в результате предельно возможного упрощения
(приближение трех мод по методу Галеркина) уравнений гидродина-
гидродинамики в приближении Бусинеска. Система уравнений Лоренца имеет
следующий вид:
^ = - <тХ + <тУ, Ц- = -Y + тХ - XZ,
at at
^ = bZ + XY. (9.4.1)
at
Здесь X — безразмерная амплитуда скорости, У, Z — безразмер-
безразмерные амплитуды двух температурных мод, а — число Прандтля (отно-
(отношение кинематической вязкости и температуропроводности), г — от-
отношение числа Рэлея к соответствующему критическому значению, Ь
— постоянный параметр, связанный с волновым числом одной из мод.

§9.4. Гидродинамическая неустойчивость... 205
Странный аттрактор существует в фазовом пространстве трех пе-
переменных X, У, Z в некоторой области значений параметров г, сг, 6.
Это и дало основание рассматривать систему уравнений Лоренца как
простейшую модель турбулентного движения.
Странные аттракторы, несомненно, являются важными элемента-
элементами для области перехода от ламинарного движения к турбулентному.
Однако простейшие динамические системы типа уравнений Лоренца
едва ли смогут служить достаточно хорошей моделью развитого тур-
турбулентного движения, которое, как будет показано, характеризуется
большим числом степеней свободы.
Рассмотрим еще один сценарий зарождения турбулентного движе-
движения.
9.4.4. Переход к турбулентному движению через после-
последовательность бифуркаций удвоения периода. Последователь-
Последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к странному квази-
квазиаттрактору, наблюдается, например, в генераторе с инерционной не-
нелинейностью (Анищенко, Астахов, 1983; (см. в Анищенко, 2000)).
Генератор Ван дер Поля описывается системой двух уравнений. В
этом случае имеются лишь простые аттракторы — состояние покоя и
предельный цикл. Процессы в генераторе с инерционной нелинейнос-
нелинейностью описываются системой трех дифференциальных уравнений. Экс-
Экспериментально и теоретически было установлено, что по мере уве-
увеличения параметра обратной связи (при фиксированном значении па-
параметра инерционности) в генераторе возникает последовательность
бифуркаций удвоения периода колебаний по схеме Фейгенбаума (Фей-
генбаум, 1983). Этот цикл завершается в некоторой критической точ-
точке. По мере дальнейшего увеличения параметра обратной связи воз-
возникает странный квазиаттрактор со сложным чередованием областей
хаоса и порядка.
Было продемонстрировано соответствие результатов натурного и
численного экспериментов. В широком диапазоне значений парамет-
параметра обратной связи естественные флуктуации не играют существенной
роли.
Таким образом, на примере генератора с инерционной нелинейнос-
нелинейностью можно продемонстрировать переход к состоянию динамического
хаоса через последовательность бифуркаций удвоения периода коле-
колебаний. Естественно, что и этот механизм может играть роль лишь на
начальном этапе перехода от ламинарного течения к турбулентному.
9.4.5. Переход к турбулентности через перемежаемость.
По сценарию Помо и Манневиля переход к турбулентности начина-
начинается через чередование (перемежаемость) ламинарного и турбулент-
турбулентного течений (Berge, Pomeau, Vidal, 1984). Согласно этой теории при
условии Re > Re сг, но вблизи критической точки, возникает движе-

206 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
ние, при котором турбулентные состояния чередуются с ламинарны-
ламинарными. Отсюда и происходит слово «перемежаемость». К сожалению, не
удается определить теоретически длительность турбулентных участ-
участков. Можно, однако, оценить длительность периодов ламинарного те-
течения в зависимости от превышения Re — Recr. Она имеет вид сте-
степенной зависимости:
Лат -(Re- Recr)/2 (9.4.2)
и определяет характер уменьшение интервала Т[ат по мере роста над-
критичности.
Вопрос о характере возникновения перемежаемости и о ее роли по
мере развития турбулентности остается открытым. Эксперименталь-
Экспериментальные исследования переходной области показывают, что для разных
видов течений реализуются разные сценарии.
§9.5. Развитая турбулентность. Теория Колмогорова
9.5.1. Инерционный интервал. Рассмотрим теперь большие
числа Рейнольдса Re = R = uLjv, при которых турбулентность мож-
можно считать развитой. Введем обозначение числа Рейнольдса для наи-
наименьших масштабов
Re° = ^. (9.5.1)
Развитая турбулентность является локально однородной и изо-
изотропной. Для полностью однородной и изотропной турбулентности
средняя скорость равна нулю и, следовательно, пульсации 8и = и. Ра-
Равен нулю и третий момент. При этом уравнение баланса для средней
кинетической энергии существенно упрощается и имеет вид
2 )
Величина е - параметр Колмогорова. Он определяет среднюю дис-
диссипацию кинетической энергии развитого турбулентного движения в
единицу времени на единицу массы.
Обозначим через V\Т', и1 текущие масштабы развитой турбулент-
турбулентности и выделим, следуя Колмогорову, две характерные области мас-
масштабов: инерционный интервал
L > L' > Lo, Т > Г > То (9.5.3)
и вязкий интервал
L1 < ?0, Т' < То. (9.5.4)
Приведенные неравенства позволяют в инерционном интервале
пренебречь вязкостью. Параметр Колмогорова на границе вязкого ин-
интервала имеет максимальное значение
e~z/^f. (9.5.5)
Левые неравенства в (9.5.3) позволяют выделить область локаль-
локально однородной турбулентности, в которой нет явной зависимости от

§9.5. Развитая турбулентность. Теория Колмогорова 207
основных масштабов L и Т. Правые неравенства в (9.5.3) позволяют
при рассмотрении инерционного интервала пренебречь влиянием вяз-
вязкости.
Возможность выделения инерционного интервала для развитой
турбулентности обусловлена следующим.
Из определения диссипативной функции (9.5.2) следует связь ее
пространственной спектральной плотности со спектральной плотнос-
плотностью средней кинетической энергии (и = Su)
ек = 2ик2 (йJк . (9.5.6)
Естественно считать, что максимум средней кинетической энергии
для развитой турбулентности (при и = Su) приходится на масштабы
близкие к основному, т.е. на значения волновых чисел к ~ 1/L. Это
допущение подтверждается экспериментальными исследованиями.
Из последнего соотношения следует, что из-за наличия множителя
к2 функция 6k в области основных масштабов мала. Она максималь-
максимальна на границе вязкого интервала. Это и дает основание для парамет-
параметра Колмогорова на границе вязкого интервала использовать оценку
(9.5.6).
С помощью формул (9.5.1), (9.5.6) находим три соотношения меж-
между масштабами ?о? То, щ (То ~ Lq/uq), которые включают два пара-
параметра и Re0:
t*> ~ (eLo Re °I/3, u0 ~ {eTo Re °I/2 ,
1/3. (9.5.7)
Используем приведенные формулы и гипотезу Колмогорова о том,
что в инерционном интервале статистические характеристики турбу-
турбулентности не зависят от вязкости и полностью определяются лишь
параметром е (здесь еще и Re °). Это позволяет использовать послед-
последние формулы для текущих масштабов инерционного интервала
(I/3. (9.5.8)
Первое из этих условий выражает гипотезу Колмогорова-
Обухова. Наличие в приведенных формулах «дополнительного па-
параметра» Re ° в теории Колмогорова не является существенным, так
как для однородной и изотропной турбулентности он порядка едини-
единицы. Однако, в полуэмпирической теории, например, для течений в
трубах и каналах этот параметр связан с константой Кармана — од-
одной из характерных констант развитой турбулентности при сдвиго-
сдвиговых течениях (см. ниже).

208 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
9.5.2. Число турбулентных степеней свободы. Число тур-
турбулентных степеней свободы оценивается отношением объемов основ-
основного и наименьшего масштабов:
i\Tturb ~ С- (9.5.9)
Используя определение числа Рейнольдса Re = R = uL/v, а также
формулы (9.5.8) при замене L'->Lh определение для Re , получим
соотношения между основными и наименьшими масштабами длины и
скорости:
• 5 "(ТЕ*) ¦ (9'5Л0)
Из определения iVturb находим связь числа степеней свободы с кри-
критическим числом Рейнольдса
3/4 К*°=1 <95Л1>
Например, для течений Куэтта и Пуазейля в канале критическое
число Рейнольдса порядка 103. Это означает, что число турбулентных
степеней свободы очень велико.
§9.6. Производство энтропии и турбулентная
вязкость для развитой турбулентности
Из уравнения Навье-Стокса для пульсирующей скорости следует,
что среднее производство энтропии определяется выражением
Это позволяет найти связь турбулентной вязкости с обычной. Для
этого перепишем последнее выражение в виде
Сравнение двух последних выражений позволяет установить связь
турбулентной и обычной вязкости
= v 11 + х ц? ' . (9.6.3)
Это — гидродинамическое определение турбулентной вязкости.
Для ламинарного течения ?7turb — V- Для полностью однородной и изо-
изотропной турбулентности, когда средняя скорость равна нулю, среднее

§9.7. Полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля-Кармана 209
производство энтропии полностью определяется параметром Колмо-
Колмогорова
<*> = ?*• (9.6.4)
Заметим также, что уравнение Навье-Стокса для пульсирующей
скорости можно заменить соответствующим уравнением Ланжевена.
Для однородной и изотропной турбулентности интенсивность источ-
источника Ланжевена также выражается через параметр Колмогорова е.
Тем самым, он определяется внутренними свойствами развитой тур-
турбулентности.
Во Введении к настоящей главе сказано, что переход от ламинар-
ламинарного течения к турбулентному представляет пример фазового пере-
перехода второго рода. При этом роль параметра порядка играет тензор
напряжений Рейнольдса. Покажем это на примере полуэмпирической
теории, которая служит основой технических применений теории тур-
турбулентности.
§9.7. Полуэмпирическая теория турбулентности
Пранд тля—Кармана
9.7.1. Турбулентная вязкость. Представим здесь необходимые
элементы полуэмпирической теории турбулентности на примере ста-
стационарных течений Куэтта и Пуазейля в плоском канале. Расстояние
между стенками канала равна 2ft. Ось х направлена вдоль оси канала.
Для двумерного течения компоненты скорости
их=и{у), иу = щ=0. (9.7.1)
Уравнение (9.2) принимают для этого случая следующий вид:
d d2u Ар
где Ар - перепад давления, / - длина канала, р - плотность. Здесь и
ниже значения в правой части перед знаком «;» относятся к течению
Куэтта, а после - к течению Пуазейля. Граничные условия имеют вид:
и{у = ±ft) = ±и0; 0, (9.7.3)
Введем обозначение динамической скорости v*. Через нее выража-
выражается напряжение на стенке тд и соответствующее число Рейнольдса
2 du u2h v*h (a n л\
pv2. =rh =г] — , Re = ; Re* = . (9.7.4)
dV y=h v v
Проинтегрируем уравнение (9.7.2) по у. В результате получим для
скорости уравнение первого порядка для течений Пуазейля и Куэтта,
соответственно,
/Я Л \ J- 2« 2 ^ ( h <? <С М /д у к\

210 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
Оно не является замкнутым, так как в него, наряду со скоростью,
входит компонента тензора Рейнольдса. Используем определение Кар-
Кармана для турбулентной вязкости
(in
(Sujuy) = - (iwM - v) g. (9.7.6)
Это позволяет записать последнее уравнение в виде
^=^2; -vl\. (9.7.7)
Оно отличается от соответствующего уравнения ламинарного дви-
движения заменой обычной вязкости v на турбулентную вязкость z/turb(y)?
которая является неизвестной функцией у.
Турбулентная вязкость играет существенную роль в полуэмпири-
полуэмпирической теории турбулентности при сдвиговых течениях. При течении
в плоском канале турбулентную вязкость в полуэмпирической теории
представляют в виде:
т»гьЫ=*7[1 + /(*/)|Ч Л. = —. (9.7.8)
Ко v
Ось у направлена перпендикулярно стенкам канала. R* — введен-
введенное выше динамическое число Рейнольдса. Оно определяется значе-
значением напряжения на стенках канала. Функция /(у) определяется по
экспериментальным данным. На стенках канала /(у = ±h) = 0 и
ЩитЪ = V-
9.7.2. Связь напряжения Рейнольдса с турбулентной вяз-
вязкостью. Вернемся к определению Кармана для турбулентной вяз-
вязкости. Исключим из него с помощью уравнения (9.7.5) производную
скорости. В результате получим связь наряжения Рейнольдса с тур-
турбулентной вязкостью
^ ^Ц^У (9.7.9)
Эти соотношения не содержат скорости и полностью определяют-
определяются турбулентной вязкостью fcWb(y) и? следовательно, функцией /(у),
которая в рамках полуфеноменологический теории определяется опре-
определяется по экспериментальным данным.
9.7.3. Профили скорости и(у) и законы сопротивления Re =
Re (Re *). Детальный расчет профилей скорости и законов сопротив-
сопротивления можно найти в цитированной выше литературе, а также в кни-
книге (Шлихтинг, 1969). Ограничимся лишь некоторыми результатами,
которые будут использованы в дальнейшем изложении.

§9.7. Полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля-Кармана 211
Для ламинарного течения Куэтта закон сопротивления имеет вид:
v2
Re =2 Re*, и0 = — А. (9.7.10)
v
Соответствующий закон для развитого турбулентного течения
имеет вид
Re = 2JBoRe,lnl2—-I + 2<JRe*. (9.7.11)
Здесь введено обозначение для безразмерного параметра <?, связан-
связанного с толщиной ламинарного подслоя /iam (см. ниже). Таким образом,
это соотношение содержит две «константы» полуфеноменологический
теории #о> <^ которые очень слабо зависят от числа Рейнольдса Re.
Сравним формулу (9.7.11) с законом сопротивления, установлен-
установленным на основе экспериментальных данных (Шлихтинг, 1969)
Re = 5Re* In (Re*)+ 14,5 Re*. (9.7.12)
Сопоставление теоретического и экспериментального соотношений
позволяет найти численные значения двух «констант» полуфеномено-
полуфеноменологической теории турбулентности
До= 1 = 2,5, <* = 7,8. (9.7.13)
/с
Величину к называют константой Кармана.
Для ламинарного течения Куэтта профиль определяется линейной
функцией координаты
<У) = % (9.7.14)
Для турбулентного течения вблизи стенки профиль течения Куэт-
Куэтта имеет логарифмическую зависимость от координаты
и(у) = v*R0\n (^l) +*v*. (9.7.15)
При у — 2h отсюда следует закон сопротивления для турбулент-
турбулентного течения Куэтта в плоском канале.
Результаты полуэмпирической теории относятся лишь к области
развитой турбулентности, т.е. для чисел Рейнольдса, которые значи-
значительно превышают критическое значение. Рассмотрим возможность
обобщения этой теории на область перехода от ламинарного течения
к турбулентному. Для этого надо иметь теоретическую оценку кри-
критического числа Рейнольдса. Такая оценка проведена в разделе 22.8
(Климонтович, 1990, 1995).

212 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
Приведем результат оценки критического числа Рейнольдса:
. (9.7.16)
Здесь введено определение числа турбулентных степеней свободы
при стационарном турбулентном течении Пуазейля и обозначение для
толщины ламинарного подслоя /iam = (<J/Re*) А.
Используем это определение и закон сопротивления для течения
Пуазейля вблизи критической точки. Он близок к закону сопротивле-
сопротивления ламинарного течения
2 Re = Re \ при Re = RCT
и, следовательно,
y/2R^ = Re*. (9.7.17)
В результате находим связь критического числа Рейнольдса RCT с
одной из двух констант полуфеноменологической теории турбулент-
турбулентности S (заменяем 81/16 —> 5)
. (9.7.18)
Для численной оценки критического числа Рейнольдса примем для
константы S полученное выше на основе экспериментальных данных
значение S = 7,8. В результате получаем числовую оценку
Rcr = 5623. (9.7.19)
Она близка к численному значению, полученному путем при-
приближенного решения задачи устойчивости ламинарного течения
Пуазейля.
Полученное соотношение критического значения числа Рейнольдса
с числом степеней свободы стационарного турбулентного движения в
канале объясняет то, что критическое число Рейнольдса много больше
единицы.
Существенна также и установленная связь критического числа
Рейнольдса с одной из констант полуэмпирической теории турбулент-
турбулентности S. Наличие этой связи позволяет распространить полу эмпири-
эмпирическую теорию Прандтля-Кармана на критическую область без уве-
увеличения числа констант (раздел 6.5.5 (Климонтович, 1990)).
В связи со столь существенной ролью константы S заметим, что
она может рассматриваться как одно из характерных чисел Рейнольд-
Рейнольдса
Re .. = ^5= = Л (9.7.20)
Таким образом, обе константы J, к полу эмпирической теории тур-
турбулентности представляются в виде соответствующих чисел Рей-
Рейнольдса Rq и Re**.

§9.8. Уменьшение энтропии при переходе... 213
Изложенное дает основание рассматривать переход от ламинар-
ламинарного течения к турбулентному как пример неравновесного фазового
перехода (Ebeling, Klimontovich, 1984). В качестве управляющего па-
параметра выступает тензор напряжений Рейнольдса. Его компоненты
связаны с коэффициентом турбулентной вязкости. Подобная точка зре-
зрения принята в настоящее время и другими авторами, например, (Зу-
(Зубарев, Морозов, Трошкин, 1992).
Выше при рассмотрении неравновесных фазовых переходов было
отмечено, что состояния с отличными от нуля значениями параметра
порядка являются более упорядоченными по критерию «5-теорема».
Используем этот критерий для сравнения относительной степени упо-
упорядоченности ламинарного и турбулентного течений. После этого бу-
будет рассмотрен и другой критерий относительной степени упорядо-
упорядоченности ламинарного и турбулентного течений. Он основан на сопо-
сопоставлении соответствующих значений производства энтропии.
§9.8. Уменьшение энтропии при переходе
от ламинарного течения к турбулентному
Расчет относительной степени упорядоченности по критерию «5-
теорема», дает основание считать, что переход, например, в трубе
от стационарного ламинарного течения к стационарному турбулент-
турбулентному течению при условии одинаковости их средних энергий идет с
уменьшением энтропии и, следовательно, представляет собой явление
самоорганизации.
Поясним это следующим образом.
Пусть в трубе происходит стационарное течение жидкости, кото-
которое вызывается перепадом давления Ар на концах трубы. Изменение
давления приводит к изменению средней скорости течения и, следова-
следовательно, к изменению числа Рейнольдса. Таким образом, переход от ла-
ламинарного течения к турбулентному происходит при некотором кри-
критическом значении перепада давления Арст.
Ответ на вопрос об относительной степени упорядоченности ла-
ламинарного и турбулентного движений на уровне гидродинамики, т.е.
на уровне модели сплошной среды, не может быть получен. Для отве-
ответа на него нужно иметь в виду, что любая жидкость имеет атомную
структуру. Чтобы показать это и получить ответ на поставленный
вопрос, рассмотрим три частных случая стационарного течения не-
несжимаемой (р = const) жидкости при заданной температуре Т для
трех значений перепада давления.
1. Равновесное состояние жидкости: Ар = 0. В этом случае
среднее гидродинамическое движение отсутствует. Имеет место лишь
хаотическое молекулярное движение. Согласно статистической тео-
теории этому движению отвечает максимальное значение хаотичности.

214 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
2. Ламинарное течение 0 < Ар < Дрсг. В этом случае, наряду с
хаотическим молекулярным движением, имеет место упорядоченное
гидродинамическое течение Пуазейля. Как сравнить относительную
степень упорядоченности этих двух состояний?
Интуитивно представляется несомненным, что второе состояние (с
течением Пуазейля) является более упорядоченным. Для доказатель-
доказательства надо сопоставить значения энтропии.
Здесь одно из состояний является равновесным, а второе, когда
имеет место течение Пуазейля, неравновесным. Средние энергии срав-
сравниваемых состояний различны, так как во втором случае к внут-
внутренней энергии, которая определяется температурой, прибавляется
еще энергия гидродинамического движения. Последнюю можно опре-
определить либо через среднюю, либо через локальную скоростью течения
Пуазейля. Первый вариант приводит к более простым выражениям.
Из-за различия средних энергий разность энтропии рассматрива-
рассматриваемых состояний не может служить мерой их относительной степени
упорядоченности. По критерию «5-теорема» для выравнивания сред-
средних энергий надо «подогреть» более хаотическое состояние до темпе-
температуры
\kBf=\kBT+^f>\kBT. (9.8.1)
Знак равенства отвечает случаю, когда перепад давления равен
нулю и оба рассматриваемых состояния являются равновесными.
Проведем сравнение энтропии двух рассматриваемых течений при
одинаковом значении средней энергии. Для расчета разности энтро-
энтропии примем во внимание, что гидродинамическому уровню описания
отвечает локальное распределение Максвелла. Выделим два случая:
1. Разность давления равно нулю и, следовательно, нет гидродинами-
гидродинамического течения (скорость и = 0). Имеется лишь тепловое движение
атомов при температуре Т > Т; 2. Ламинарное течение со скоростью
и, направленной вдоль оси трубки, и температурой Т. Эти течения
характеризуются локальными распределениями Максвелла
Обозначим соответствующие плотности энтропии через Si, 5г- Ис-
Используя общее определение плотности энтропии через функцию рас-
распределения значений скорости
5 = - квп j f(v) In f{v)dv, (9.8.4)

§9.8. Уменьшение энтропии при переходе... 215
получим следующее выражение для разности энтропии рассматрива-
рассматриваемых состояний
> 0, (9.8.5)
при условии одинаковости средних энергий
lkBf=^kBT+^mu2. (9.8.6)
Таким образом, по мере увеличения средней скорости ламинарного
течения энтропия уменьшается. Сравнение состояний производится
при одинаковых значениях средней энергии. Это дает основание для
вывода, что по мере увеличения перепада давления при ламинарном
потоке степень упорядоченности увеличивается и, тем самым, имеет
место процесс самоорганизации.
Рассмотрим последний из трех выделенных случаев
3. Разность давлений на концах трубы превышает критическое
значение: Ар > Арсг.
Следуя гипотезе Рейнольдса среднюю по сечению канала скорость
ламинарного течения заменим на среднее по сечению значение пульси-
пульсирующей скорости: и -> и. Соответственно этому распределение Макс-
Максвелла также станет пульсирующим: /з -> /з- Среднее значение этой
функции и соответствующая средняя кинетическая энергия определя-
определяются выражениями
*/2 / чт(п_л\2^
т
= § мч
§ мч = квТ+ +.(МЛ)
Сопоставим теперь уже турбулентное состояние с равновесным со-
состоянием. Для выравнивания средних энергий состояний «1»,«3» на-
надо «подогреть» равновесное состояние до более высокой температуры,
чем ранее. Именно, теперь имеем равенство
Находим теперь соответствующее выражение для разности энтро-
энтропии
Si - 5з. = |*в Ь 1 2Т 1 > 5х - 52. > 0. (9.8.10)
Из этих неравенств следует, что при одинаковых средних энерги-
энергиях (состояний «1», «3») в турбулентное движение переходит большая

216 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
доля хаотической энергии равновесного состояния, чем при переходе
к ламинарному движению. При этом в обоих случаях упорядоченное
(гидродинамическое) движение рождается из хаотического движения.
Это и означает, что турбулентное течение более упорядоченно.
Роль управляющего параметра играет здесь разность давлений на
концах трубы. В соответствии с критерием «5-теорема» считаем про-
процесс перехода от ламинарного состояния к турбулентному примером
процесса самоорганизации.
Увеличение степени упорядоченности при переходе к турбулентно-
турбулентному движению проявляется также в существенном увеличении вязкос-
вязкости.
При ламинарном течении перенос импульса от слоя к слою потока
осуществляется молекулярным механизмом — независимыми измене-
изменениями импульса отдельных частиц газа.
В противоположность этому, при турбулентном течении пе-
передача импульса от слоя к слою является процессом коллектив-
коллективным. Это можно выразить словами: индивидуальное, неоргани-
неорганизованное (хаотическое) сопротивление при ламинарном течении
сменяется при переходе к турбулентному течению коллектив-
коллективным и, следовательно, более высокоорганизованным сопротив-
сопротивлением.
Это выражается в том, что коэффициент турбулентной вязкости
много больше соответствующего коэффициента вязкости при лами-
ламинарном потоке.
§9.9. Уменьшение производства энтропии
при переходе от ламинарного течения
к турбулентному
Большая организованность турбулентного течения по сравнению с
ламинарным проявляется также в характере изменения производства
энтропии.
Именно, при переходе от ламинарного течения к турбулентному
при одинаковых значениях напряжения на стенках (при одинаковых
значениях динамического числа Рейнольдса) производство энтропии
уменьшается (Климонтович, Энгель-Херберт, ЖТФ, 1984; см. в Кли-
монтович, 1990, 1995). Выбор такого дополнительного условия обу-
обусловлен тем, что в отличие от энтропии, которая зависит от гидро-
гидродинамической скорости, производство энтропии определяется, как мы
видели, производными гидродинамической скорости.
Это и служит основанием при расчете производства энтропии, на-
например, при течении в плоском канале, проводить сопоставление при
одинаковых напряжениях, т.е. при условии

§9.10. Принцип минимума производства энтропии... 217
du о
v — = < = const. (9.9.1)
ay
Существенно также и следующее. Сравнение производства энтро-
энтропии проводится при значениях числа Рейнольдса больше критическо-
критического, т.е. при условии
Re > Recr. (9.9.2)
Но при этом условии устойчивым является лишь турбулентное те-
течение, а ламинарное течение неустойчиво. Расчет показывает, что
производство энтропии устойчивого течения при том же числе Рей-
Рейнольдса Re > Recr меньше производства энтропии воображаемого
неустойчивого ламинарного течения:
^^ь < 1. (9.9.3)
Clam
Знак равенства относится к критической точке, когда различие
турбулентного и ламинарного течений еще не проявилось.
Полученный результат показывает, что при Re > Re cr устойчи-
устойчивое турбулентное течение с точки зрения производства энтропии явля-
является предпочтительным. Это и служит еще одним признаком большей
упорядоченности устойчивого турбулентного движения по сравнению
с неустойчивым при этих числах Рейнольдса ламинарным течением.
Имеется, таким образом, еще один признак того, что процесс пере-
перехода от ламинарного к турбулентному течению представляет собой
пример процесса самоорганизации.
На основе этого конкретного примера уменьшения производства
энтропии при переходе от ламинарного течения к турбулентному мож-
можно сформулировать:
принцип минимума производства энтропии в процессах самоорга-
самоорганизации.
Для этого прежде следует напомнить:
принцип минимума производства энтропии в стационарных состо-
состояниях — принцип Пригожина.
О нем уже шла речь в первой главе.
§9.10. Принцип минимума производства энтропии
в стационарных состояниях
В работах И. Пригожина сформулирован «Принцип минимума
производства энтропии в стационарных состояниях». Справедливость
этого Принципа была доказана лишь в рамках линейных необратимых
процессов. Оставался открытым вопрос:
Можно ли обобщить принцип Пригожина на случай нелинейной
термодинамики необратимых процессов?
Проведенные исследования показали (см., например Стратонович,
1985), что такой возможности в общем случае нет.

218 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
При формулировке Принципа Пригожина рассматривается случай
временной эволюции. Выше было показано, что в открытых системах
существенную роль играет и другой вид эволюции - эволюция стацио-
стационарных состояний нелинейной диссипативной открытой системы при
достаточно медленных изменениях управляющих параметров. Имен-
Именно для такого вида эволюционного процесса был установлен критерий
относительной степени упорядоченности состояний открытой систе-
системы - критерий 5-теорема.
Выше продемонстрирована большая организованность стационар-
стационарного турбулентного течения по сравнению с ламинарным. Заключение
о возрастании степени упорядоченности при переходе от ламинарного
течения к турбулентному можно установить и по характеру измене-
изменения соответствующего производства энтропии.
Существенно, что при этом сравнение значений производства эн-
энтропии проводится при значениях Рейнольдса больших критического,
т.е. при условии, когда стационарное турбулентное движение устой-
устойчиво, а ламинарное течение неустойчиво - оно не существует при зна-
значениях чисел Рейнольдса, больших критического значения.
Проведенные расчеты показали, что производство энтропии при
турбулентном — устойчивом течении, меньше производства энтропии
воображаемого неустойчивого ламинарного течения.
Мы видим, что Природа следует более экономному пути разви-
развития — при устойчивом турбулентном движении скорость превраще-
превращения упорядоченного движения в хаотическое имеет меньшее значение.
§9.11. Принцип минимума производства энтропии в
процессах самоорганизации
В работе (Климонтович, 1990) на основе этого конкретного приме-
примера — перехода от ламинарного течения к турбулентному был сфор-
сформулирован «Принцип минимума производства энтропии в процессах
самоорганизации». Он состоит в следующем.
Процесс самоорганизации представляется как фазовый пере-
переход или последовательность фазовых переходов. В результате
происходит переход в более упорядоченное, отвечающее более
низкой симметрии. Принцип утверждает, что производство эн-
энтропии в новом — менее симметричном состоянии, возникшем
в результате очередного фазового перехода, меньше производст-
производства энтропии старого состояния, которое мысленно продолжено
в неустойчивую область.
§9.12. Ограничения гидродинамического описания
турбулентного движения
Имеются три существенных результата теории гидродинамичес-
гидродинамической турбулентности.

§9.12. Ограничения гидродинамического описания... 219
Во-первых, развитая Колмогоровым теория однородной и изотроп-
изотропной турбулентности.
Во-вторых, полу эмпирическая теория турбулентности, основанная
на модельных уравнениях, отвечающих некоторому замыканию урав-
уравнений для моментов гидродинамических функций с использованием
экспериментальных данных. На этом пути достигнуты необходимые
для решения прикладных задач существенные результаты.
Наконец, численный эксперимент.
Многие принципиальные вопросы остаются, однако, без ответа.
Это стимулирует поиск новых подходов в теории турбулентности. В
связи с этим целесообразно рассмотреть вопрос об ограничениях гид-
гидродинамического описания турбулентного движения. Это облегчит по-
поиск новых путей развития теории турбулентности.
9.12.1. Максимальное число Рейнольдса в теории Колмо-
Колмогорова и в полуэмпирической теории. В теории Колмогорова
число турбулентных степеней свободы Ntxlrh определяется отношени-
отношением основного и наименьшего масштабов L, Lq и связано с числом Рей-
Рейнольдса Re. Наименьший масштаб инерционного интервала в теории
Колмогорова определяется вязкостью. Имеется и другое ограничение
на Lq. Оно связано с конечностью размера точки сплошной среды при
гидродинамическом описании. Используя определение физически бес-
бесконечно малого масштаба в гидродинамике, приходим к условию:
Г ГГ тЗ/5
L» v ~ L [-f]
Это неравенство приводит к соответствующему ограничению на
максимальное значение числа Рейнольдса при заданных значениях па-
параметров L, п:
R Г Г 14/5
:™«JV4/15~ — . (9.12.2)
Г Г 1
—
Отсюда для газа при нормальных условиях (для L = 10 см) RmSLX <
106.
Наличие Rma.x накладывает ограничение на число турбулентных
степеней свободы
Wurb)max=^--^3/5. (9.12.3)
Nph
Оно означает, что число турбулентных степеней свободы при гид-
гидродинамическом описании не может превышать число точек сплошной
среды в объеме L3.
Аналогичными неравенствами ограничивается число турбулент-
турбулентных степеней свободы при течении в канале с масштабом h :
(i\Tturb)max = (т^тах « ?- ~ ^/5, ^тах ~ N^R^. (9.12.4)
Чат 1УРЬ
Это условие дает оценку такого же порядка.

220 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
Таким образом, структура «сплошной среды» ограничивает об-
область масштабов, для которых возможно гидродинамическое описа-
описание турбулентного движения. При кинетическом описании это огра-
ограничение существенно ослабляется благодаря более тонкой структуре
сплошной среды.
9.12.2. Проблема замыкания при кинетическом и гидро-
гидродинамическом описании. «Проблема замыкания» существует на
всех уровнях описания неравновесных процессов. Примером может
служить теория кинетических флуктуации в газах и плазме, когда
используется цепочка диссипативных уравнений для последователь-
последовательности функций распределения или моментов.
В кинетической теории наиболее эффективным является прибли-
приближение вторых корреляционных функций (приближение вторых момен-
моментов, дополненное источником, который отражает наличие атомарной
структуры). Это приближение использовалось здесь в главах, посвя-
посвященных теории равновесных и неравновесных фазовых переходов.
Эффективность такого приближения зависит от выбора кинети-
кинетического уравнения для детерминированной функции распределения,
т.е. без учета флуктуации. Именно так обстояло дело в теории равно-
равновесных фазовых переходов. Есть основание ожидать, что при расчете
турбулентных пульсаций, т.е. для сильно неравновесных процессов,
зависимость от выбора вида исходных уравнений для детерминиро-
детерминированных функций будет еще более существенной.
Выбор исходных уравнений можно считать удачным, если отвеча-
отвечающие ему кинетические или гидродинамические флуктуации являют-
являются малыми при всех значениях управляющих параметров, например,
числа Рейнольдса в гидродинамике.
Несмотря на то, что теория развитой гидродинамической турбу-
турбулентности базируется на приближении сплошной среды и «точка» сре-
среды содержит много частиц, приближение Гаусса оказывается все же
недостаточным. Это есть следствие отсутствия при развитой турбу-
турбулентности малого параметра, при наличии которого можно обосно-
обосновать обрыв последовательности уравнений для моментов и, тем са-
самым, решить проблему замыкания.
Трудность проблемы связана с тем, что турбулентное движение
является существенно неравновесным и характеризуется большими
флуктуациями и очень большим числом макроскопических (коллек-
(коллективных) степеней свободы.
Это свидетельствует о том, что исходные уравнения, на основе ко-
которых строится система уравнений для моментов выбраны не опти-
оптимальным образом. В связи с этим и возникает вопрос:

§9.13. Кинетическое описание турбулентного движения 221
Является ли уравнение Навье-Стокса наилучшим стартом для по-
построения на его основе последовательности уравнений Рейнольдса для
моментов пульсирующей скорости?
Если нет, то какая существует возможность выбора лучшего ба-
базиса для построения теории турбулентности?
В качестве исходного можно использовать обобщенное кинетичес-
кинетическое уравнение для функции распределения /(г, v, t). На его основе мож-
можно, во всяком случае для газа, дать единое описание как кинетических,
так и гидродинамических процессов без применения теории возмуще-
возмущений по числу Кнудсена.
В обобщенном кинетическом уравнении уже содержится член про-
пространственной диффузии. Этим обеспечивается диссипация гидро-
гидродинамического типа. Имеется, таким образом, основание предпола-
предполагать, что обобщенное кинетическое уравнение может служить луч-
лучшим стартом для перехода к последовательности уравнений Рей-
Рейнольдса на кинетическом уровне описания. При этом появятся новые
возможности для решения проблемы замыкания.
§9.13. Кинетическое описание турбулентного
движения
9.13.1. Модельное кинетическое уравнение. В качестве
модельного уравнения можно использовать нелинейное уравнение
Фоккера-Планка для функции распределения /(г, v,t), обладающее
общими свойствами кинетического уравнения Больцмана (гл.13, 14
(Климонтович, 1999)). В нем коэффициент диффузии в пространстве
скоростей определяется локальной температурой Т(г, ?), а член трения
содержит локальную гидродинамическую скорость u(r, i). Уравнение
содержит один временной параметр г — время свободного пробега.
Второй диссипативный член описывает перераспределение частиц
за счет пространственной диффузии функции распределения. Наличие
этого члена позволяет осуществить переход к уравнениям гидродина-
гидродинамики без использования теории возмущений по числу Кнудсена.
Для единого описания кинетических и гидродинамических процес-
процессов достаточно выделить класс функций распределения вида:
f(r,v,t) = f{v,\v-u(r,t)\,t). (9.13.1)
Приближению несжимаемой жидкости отвечает функция распре-
распределения
f(r,v,t) = S(v-u(r,t)). (9.13.2)
В этом приближении плотность постоянна, а температура равна
нулю. Для выбранного класса функций распределения уравнения га-
газовой динамики для функций />(r,?), u(r,?), T(r,t) получаются из ки-
кинетического уравнения прямым интегрированием по скорости.

222 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
Важным примером распределений в классе (9.58) служит локаль-
локальное распределение Максвелла. Оно полностью определяется пятью мо-
моментами функции распределения />(г, ?), u(r, t),T(r,?), которые опре-
определяются решением соответствующих уравнений газовой динамики.
Следуя Рейнольдсу предполагаем, что кинетическое уравнение
остается справедливым и для пульсирующей функции распределения.
Делаем в кинетическом уравнении замену
/(г,М)=»/(г,М). (9.13.3)
В результате получаем следующее уравнение:
df df Fdf д \~ , ,df]
at or mov ov v ; ov \
or т m
Можно снова ограничить класс функций, но теперь уже для пуль-
пульсирующих функций распределения /(г,v,t)
f(r,v,t) = f(r,\v-u(r,t)\,t). (9.13.5)
Частным примером такого распределения для несжимаемой жид-
жидкости является соответствующее локальное распределение Максвел-
Максвелла. В этом приближении функция /(г, v, t) полностью определяется
уравнением Навье-Стокса для пульсирующей скорости u(r, t).
Кинетическое уравнение для пульсирующей функции распределе-
распределения /(г, v, t) дает возможность единого описания ламинарных и турбу-
турбулентных течений на кинетических и гидродинамических масштабах.
9.13.2. Уравнения баланса энтропии для турбулентного
движения. Используем определение для пульсирующей энтропии
S(r,t) = f&Ui(r,t) = -/en /ln(n/(r,M))/(r,M)<b. (9.13.6)
Предположим, что сила F(r,t) = 0, и система внешне замкнута.
С помощью кинетического уравнения (9.13.4) получаем уравнение ба-
баланса энтропии
Поток энтропии состоит из двух вкладов. Первый определяется
конвективным и диффузионным вкладами и пропорционален самой
энтропии. Второй же пропорционален градиенту энтропии. Это дает
основание определить через него тепловой поток.

§9.13. Кинетическое описание турбулентного движения 223
Пульсирующее производство энтропии
f CL 7 I б ,
> 0. (9.13.8)
МНI
содержит два положительных вклада, которые определяются, соот-
соответственно, перераспределением частиц по скорости и в пространст-
пространстве.
В приближении локального распределения Максвелла для пульси-
пульсирующей функции распределения производство энтропии выражается
через квадраты градиентов всех трех гидродинамических функций
~ч 2
т
Для несжимаемой жидкости первый и третий члены равны нулю
и производство энтропии полностью определяется квадратом произ-
производных скорости
Ш2-°- (9лзло)
Оно отличается коэффициентом 1/2 от использованного ранее в
теории развитой турбулентности.
Отмеченные трудности теории развитой турбулентности не сле-
следует все же рассматривать как непреодолимые. Развитая турбулент-
турбулентность характеризуется огромным числом коллективных степеней сво-
свободы. Точный расчет такой системы содержит информацию столь
большую, что она не может быть полностью использована. Более
важным является поиск новых возможностей приближенного описа-
описания развитой турбулентности, поиск новых кинетических уравнений,
для которых неустойчивость и переход от «ламинарного течения» к
«турбулентному» описывается в самосогласованном приближении по
низшим моментам. При этом расчет оказывается справедливым при
всех значениях управляющих параметров, например, значениях числа
Рейнольдса или числа Рэлея.
Примером «нестандартного» приближенного описания развитой
турбулентности служит теория Колмогорова. Она развита великим

224 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
математиком, но основывается в большей мере на физической интуи-
интуиции, чем на строгом математическом расчете.
Приведенный вывод об уменьшении энтропии при переходе от ла-
ламинарного течения к турбулентному основывался лишь на гипоте-
гипотезе Рейнольдса о возможности использования уравнения Навье-Стокса
для пульсирующей скорости u(r, t).
Это еще один пример, когда, основываясь на «малой» информа-
информации о турбулентном движении, удается сделать общий вывод о боль-
большей организованности турбулентного течения по сравнению с лами-
ламинарным течением. Это дает основание рассматривать, как это сдела-
сделано выше, этот переход как пример неравновесного фазового перехода
второго рода, при котором роль параметра порядка играет тензор на-
напряжений Рейнольдса.
Уменьшение энтропии в процессе перехода от ламинарного тече-
течения к турбулентному дало основание рассматривать этот переход как
пример процесса самоорганизации.
Разность энтропии ламинарного и турбулентного течений выра-
выражается через сумму диагональных элементов тензора Рейнольдса
((Su) у. Через эту же величину выражается и доля теплового (ха-
(хаотического) движения, которая при турбулентности превращается в
энергию коллективных степеней свободы турбулентного движения.
Для получения численных значений надо знать величины компо-
компонент тензора Рейнольдса и, следовательно, решать уравнения Рей-
Рейнольдса. Любое приближенное описание не может дать ответы на все
вопросы. Его роль оценивается по степени увеличения числа ответов.
В связи с изложенным возникает вопрос: Можно ли вместо уравне-
уравнения Рейнольдса предложить в качестве базисного уравнение, которое
уже на уровне первых моментов содержит информацию о фазовом пе-
переходе от ламинарного течения к турбулентному?
В теории турбулентности несжимаемой жидкости пока нет ответа
на этот вопрос. Можно, однако, продемонстрировать принципиальную
возможность решения такой проблемы на более простом примере.
§9.14. Некоторые математические аспекты теории
турбулентности
Итак теория турбулентности, несмотря на многолетние усилия
многих исследователей, еще далека от своего завершения. Более то-
того, возникают сомнения в том, что уравнение Навье-Стокса являет-
является достаточным стартовым уравнением для построения уравнений
Рейнольдса, представляющих основу современной гидродинамичес-
гидродинамической теории турбулентности. Иными словами, выбор уравнения Навье-
Стокса в качестве стартового для перехода к уравнениям Рейнольдса
не является бесспорным.

§9.14. Некоторые математические аспекты теории турбулентности 225
Приведем, в связи с этим вопросом, слова из работы О.М. Белоцер-
ковского в сборнике «Гидродинамические неустойчивости и переход к
турбулентности» («Мир» Москва, 1984, стр.23):
«Таким образом, гипотеза о том, что турбулентность пол-
полностью описывается уравнениями Навье-Стокса, математичес-
математически не обоснована, поскольку нет общей теоремы, гарантиру-
гарантирующей глобальное существование решений уравнений Навье-
Стокса как задачи с начальными условиями. Вполне вероятно
(хотя таких примеров пока нет), что эти решения могут стать
сингулярными, так что уравнения перестают быть справедли-
справедливыми и для построения полной теории нужны, по-видимому, но-
новые физические принципы, выходящие за рамки классической
гидродинамики.»
Возникает, тем самым, вопрос о замене исходного уравнения тео-
теории турбулентности — уравнения Навье-Стокса для пульсирующей
скорости. Одна из возможностей, как было показано выше, - переход
кинетическому описанию турбулентного движения.
В связи с обсуждением применимости уравнения Навье-Стокса для
описания турбулентности полезно отметить следующее.
Для преодоления трудности доказательства существования реше-
решения уравнения Навье-Стокса в работах О.А. Ладыженской была про-
проведена регуляризация уравнения Навье-Стокса. Она производилась
путем введения в уравнение Навье-Стокса нелинейной вязкости. Это
означало переопределение тензора вязких напряжений:
TTij = - rjuij -> - г] (l + e {uijJ^ Uij. (9.14.1)
Здесь U{j — тензор производных скорости, е — произвольный ма-
малый коэффициент. Нелинейный вклад в вязкость «зарезает» большие
градиенты скорости и, тем самым, существенно влияет на характер
гидродинамического движения в области малых масштабов.
Для сглаженного таким образом уравнения Навье-Стокса О.А. Ла-
Ладыженская доказала существование решения при всех t > 0.
В гл.13 книги (Климонтович, 1982) показано, что подобная ре-
регуляризация является неизбежным следствием атомарной структуры
сплошной среды. Более того, установлена связь коэффициента е с фи-
физически бесконечно малыми масштабами сплошной среды. Тем са-
самым регуляризацию уравнения Навье-Стокса, предложенную в рабо-
работах О.А. Ладыженской, можно назвать естественной регуляризацией,
так как она обусловлена атомарной структурой среды.
Из-за очень большого числа коллективных (макроскопических)
степеней свободы едва ли возможно полное решение даже регуляри-
зованного уравнения Навье-Стокса. В таком решении, по-видимому,
и нет необходимости. Действительно, полное решение (из-за очень

226 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
большого числа турбулентных степеней свободы) содержало бы столь
большую информацию, которая не могла бы быть полностью исполь-
использована.
В связи с этим на первый план вступает задача приближенного
описания турбулентности. Напомним, что именно на этом пути и бы-
были получены результаты теории Колмогорова и Обухова для разви-
развитой однородной и изотропной турбулентности, а также и прикладной
(полуэмпирической) теории сдвиговых турбулентных течений.
Решение проблемы замыкания уравнений Рейнольдса затруднено
из-за отсутствия малого параметра — пульсации не являются малыми
и случайный процесс существенно отличается от процесса Гаусса.
Это ставит вопрос о поиске других базовых уравнений, для ко-
которые имеются физические основания для решения соответствующей
проблемы замыкания. Для таких уравнений пульсации не будут иг-
играть основную роль. Этим существенно облегчается проблема замы-
замыкания последовательности уравнений для моментов флуктуации.
Поиск таких уравнений может быть проведен с использованием
аналогии с фазовым переходом второго рода.
Как и фазовый переход, переход от ламинарного течения к тур-
турбулентному по критерию «5-теорема» сопровождается увеличением
степени упорядоченности, и может рассматриваться как пример са-
самоорганизации в открытой системе.
Это стимулирует для описания турбулентного движения поиск ки-
кинетического уравнения, которое описывает процесс самоорганизации
при фазовом переходе.
Существуют две возможности кинетического описания турбулент-
турбулентного движения.
1. Использование в качестве исходного обобщенного кинетического
уравнения (Климонтович, 1995). По сравнению с уравнением Больц-
мана оно содержит дополнительный диссипативный член диффузион-
диффузионного типа. Преимущество обобщенного кинетического уравнения со-
состоит и в следующем.
Несмотря на усилия многих исследователей, для уравнения Больц-
мана, также как и для уравнения Навье-Стокса, не удалось до насто-
настоящего времени доказать существование решения на всех временах.
Отсутствие такого доказательства означает и отсутствие гаран-
гарантии того, что кинетическое уравнение Больцмана является матема-
математически непротиворечивым.
Доказательство существования решения оказалось возможным
лишь после регуляризации уравнения Больцмана — введения про-
пространственной диффузии функции распределения со сколь угодно ма-
малым коэффициентом диффузии (Wieser, 1982). Позднее дополнитель-

§9.15. Некоторые итоги теории гидродинамической турбулентности 227
ный диффузионный член вводился рядом авторов при численных рас-
расчетах различных гидродинамических течений.
Таким образом, обобщенное кинетическое уравнение гарантирует
регулярность функции распределения, которая обеспечивает сущест-
существование решения кинетического уравнения на всех временах.
Такой кинетический подход полезен для описания развития тур-
турбулентности при конвективном движении (турбулентность Рэлея) и
турбулентности между вращающимися цилиндрами (турбулентность
Тейлора). Можно лишь предположить, что изложенное в настоящей
главе будет стимулировать поиск новых подходов для описания тур-
турбулентности при сдвиговых течениях и в затопленных струях.
2. Вторая возможность основана на конструировании кинетичес-
кинетических уравнений, аналогичных тем, которые используются в теории фа-
фазовых переходов второго рода. Велика вероятность того, что такой
путь построения теории турбулентности окажется наиболее эффек-
эффективным.
§9.15. Некоторые итоги теории гидродинамической
турбулентности
Изложенное дает основание для вывода, что, несмотря на несо-
несомненные крупные успехи, вопрос создания последовательной статис-
статистической теории гидродинамической турбулентности остается все же
открытым.
К числу наивысших достижений относится, несомненно, теория
однородной и изотропной турбулентности, развитая Колмогоровым и
Обуховым. Решение практических задач турбулентного движения ос-
основано на полуэмпирической теории Прандтля-Кармана. Развитые
ими идеи и методы позволяют решать задачи прикладной теории тур-
турбулентности на основе модельных уравнений разного уровня.
Замечательные успехи достигнуты при описании возникновения
турбулентности. Установлены сценарии начальной стадии перехода
от ламинарного течения к турбулентному. Развитые теоретические
представления получили в ряде случаев экспериментальное подтверж-
подтверждение.
Развита и широко используется теория слабой турбулентности,
когда кинетическая энергия пульсаций скорости значительно меньше
тепловой энергии. Методы и результаты теории слабой турбулентнос-
турбулентности служат основой описания турбулентных волновых процессов раз-
разной физической природы. Это и нелинейная акустика, и нелинейные
волны на поверхности жидкости. Результаты этой теории использу-
используются при описании нелинейных волновых процессов и в нелинейной
оптике.
Имеются несомненные успехи в развитии представлений о процес-
процессах самоорганизации при переходе от ламинарных движений к турбу-

228 Глава 9. Эволюция упорядоченности при турбулентном движении
лентным. Существенными для приложений являются критерии отно-
относительной степени упорядоченности различных неравновесных состо-
состояний при гидродинамических движениях. Критерии основаны на по-
понятиях энтропии, производства энтропии и свободной энергии нерав-
неравновесных состояний. Это показывает плодотворность идей, методов
и результатов Физики открытых систем для описания турбулентного
движения.
И все же остается открытым ряд принципиальных вопросов тео-
теории гидродинамической турбулентности. Один из них — обоснован-
обоснованность выбора уравнений Навье-Стокса для пульсирующей скорости
в качестве базового уравнения теории. Второй — проблема замыка-
замыкания последовательности гидродинамических уравнений Рейнольдса. В
связи с этим представляется целесообразным развитие кинетической
теории турбулентности.

10 Эволюция квантовых открытых систем
We regard quantum mechanics
as a complete theory for which
the fundamental physical
and mathematical hypotheses
are no longe susceptible of modification.
Werner Heisenberg and Max Born paper
delivered to Solvay Congress of 1927
Посвящается памяти
Бориса Борисовича Кадомцева
§10.1. Введение
Естественно проиллюстрировать основные идеи и методы Физи-
Физики квантовых открытых систем на простейших примерах. В качест-
качестве таковых здесь будут служить атом водорода и квантовый атом-
осциллятор в флуктуационном электромагнитном поле. Предполага-
Предполагаем, что прямое взаимодействие частиц не играет роли. Определяю-
Определяющим является взаимодействие отдельных частиц с флуктуационным
электромагнитным полем.
Для принятой модели рассматривается переход от микроскопичес-
микроскопических обратимых уравнений квантовой механики частиц и поля к не-
необратимым квантовым кинетическим уравнениям. Он и здесь пред-
представляется как переход от системы частиц и осцилляторов поля к со-
соответствующей сплошной среде.
При этом уравнение Шредингера квантовой механики для детер-
детерминированной (не операторной) волновой функции частиц описывает
временную эволюцию сплошной среды без учета диссипации. В этом
смысле имеется аналогия между уравнением Шредингера в квантовой
механике и уравнением Эйлера в гидродинамике. Здесь также возни-
возникает задача определения физически бесконечно малых масштабов, на
которых теряется обратимость уравнений квантовой механики. При
переходе к диссипативным уравнениям квантовой теории возникает
вопрос о минимальных масштабах, на которых начинается переход к
необратимым уравнениям.
В газе возможность перехода от системы «частиц» к сплошной сре-
среде обусловлена динамической неустойчивостью движения микроско-
микроскопических объектов рассматриваемой системы — атомов. Это и допус-
допускает сглаживание по соответствующим физически бесконечно малым

230 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
масштабам, в частности, сглаживание по объему «точки» сплошной
среды.
В связи с переходом от обратимых уравнений квантовой электро-
электродинамики к приближенным уравнениям квантовой механики возника-
возникает «вечный» вопрос о полноте квантовомеханического описания. На-
Началом обсуждения этого вопроса послужила дискуссия Эйнштейна и
Бора на Сольвеевской конференции в 1927 году. Бор отстаивал точ-
точку зрения, согласно которой квантовомеханическое описание являет-
является полным. Эйнштейн допускал возможность более общего динами-
динамического описания. Для этого уравнения квантовой механики следу-
следует дополнить «скрытыми параметрами». Существенным импульсом
развития этой дискуссии послужила статья Эйнштейна-Подольского-
Розена A935)
Долгие годы представлялось, что прав был Бор. Однако существо-
существовали и скептики. В их числе был один из основателей квантовой (вол-
(волновой) механики Л. де Бройль. К ним в конце жизни присоединился и
другой создатель квантовой механики П. Дирак (Dirac, 1978):
«Я не исключаю возможности, что в конце концов может
оказаться правильной точка зрения Эйнштейна, потому что со-
современный этап развития квантовой механики нельзя рассмат-
рассматривать как окончательный. Современная квантовая механика
- величайшее достижение, но вряд ли она будет существовать
вечно...».
Приведем также краткую выдержку из высказываний Эренфеста,
характеризующую позицию трех замечательных физиков: Бора, Эйн-
Эйнштейна и Эренфеста:
«...Эйнштейн не сомневался, что у квантовых событий есть
внутренний механизм. Лишь от незнания его мы вынуждены до-
довольствоваться законами случая. Как в статистической физике
газов, где за поведением каждой молекулы не проследишь.
... Бор настаивал, что квантовые события — это нечлени-
нечленимые на подробности акты. В статистических предсказаниях от-
отражается само устройство материи: прерывистость процессов
представляет свободу случаю...
...Эренфест добавлял, что с такими закономерностями физи-
физика прежде не имела дела и поэтому так трудно с ними прими-
примириться...»
Вопрос о полноте квантовомеханического описания, поставленный
Эйнштейном, возникает естественным образом в физике квантовых
открытых систем. Неполнота квантовомеханического описания ока-
оказывается следствием неизбежного перехода от исходных обратимых
микроскопических уравнений квантовой электродинамики к прибли-
приближенным диссипативным уравнениям квантовой теории в приближе-

§10.1. Введение 231
нии сплошной среды. Иными словами — следствием необходимости
выявления структуры сплошной среды, процессы в которой без уче-
учета диссипации описываются уравнением Шредингера. Явное введение
физически бесконечно малых масштабов в квантовой механике указы-
указывает (словами Эйнштейна) на наличие у квантовых событий внутрен-
внутреннего механизма. Более конкретно это проявится, например, в наличии
структуры основного состояния атома водорода.
Современная литература по принципиальным вопросам квантовой
теории очень обширна, Ссылки на ряд недавних работ можно най-
найти в приведенном ниже списке литературы, а также в работах (Кли-
монтович, 1995, 1999, 2001). Выделим здесь лишь три недавно опуб-
опубликованные книги и обзоры: Asher Peres «Quantum theory: Concepts
and Methods» (Peres, 1993), Б.Б. Кадомцев «Динамика и информация»
(Кадомцев, 1997), (Клышко, 1998) и М.Б. Менский (Менский, 1998,
2000). Наличие этих книг и обзоров освобождает нас от системати-
систематического изложения квантовой теории.
Особенно следует отметить книгу Б.Б. Кадомцева. Лучше всего о
ней написал во Введении сам автор:
«Книга выглядит, скорее, как набор размышлений на базе
тех физических представлений, которые сами по себе служат
предметом серьезных книг и монографий»...
«Книга содержит некоторые новые, подчас непривычные
рассуждения. Кому-то они могут показаться неубедительными,
а подчас и просто неправильными. Но я рекомендую читателям
не делать поспешных суждений...»
Такой способ изложения делает книгу особенно интересной.
Из всего многообразия проблем и вопросов современной квантовой
теории выбраны лишь, позволяющие выявить конструктивные воз-
возможности Физики квантовых открытых систем. Некоторые из них до
недавнего времени не освещались в обзорной литературе.
В числе отобранных вопросов выделим следующие:
1. Приближение сплошной среды в теории квантовых открытых
систем;
2. Неполнота квантовомеханического описания;
3. Скрытые параметры (или масштабы);
4. Чистый и смешанный ансамбли;
5. Два «выхода» из области квантовой теории в классическую те-
теорию;
6. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена;
7. Запутанные состояния и коллапс волновых функций; «Шредин-
геровский кот»;
8. Принцип неопределенности Гейзенберга с позиций Физики от-
открытых систем.

232 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
9. Некоторые аспекты теории квантовых измерений.
Приведенное разделение на отдельные вопросы является в значи-
значительной степени условным, так как между ними имеется глубокая
связь.
Поскольку интерес к принципиальным вопросам квантовой теории
в последние годы существенно возрос, то, как уже было отмечено в
начале статьи, с целью развития такого рода исследований, редак-
редакция журнала «Успехи Физических Наук» объявила по ним дискуссию
и в июньском номере 2000 года опубликовала статью М.Б. Менско-
го «Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и
новые формулировки старых вопросов». Изложенное ниже можно, в
некоторой мере, рассматривать как разитие этой дискуссии.
§10.2. Микроскопические и макроскопические
уравнения Шредингера
Итак, рассматриваем относительно простую квантовую систему,
состоящую из невзаимодействующих атомов и флуктуационного элек-
электромагнитного поля.
Квантовые микроскопические уравнения, как и в классической тео-
теории, могут быть представлены двумя разными способами. Во-первых,
можно использовать уравнение Шредингера для волновой функции
полного набора переменных атомов и поля. В классической теории та-
таким «стартом» служит уравнение Л иу вилл я для функции распреде-
распределения полного набора переменных частиц и осцилляторов поля (Кли-
монтович, 1980, 2001b).
При втором способе описания исходной служит замкнутая систе-
система уравнений для операторной волновой функции и соответствующих
уравнений для операторов электромагнитного поля. Это так называ-
называемый метод вторичного квантования. В классической теории его ана-
аналогом является замкнутая система уравнений для макроскопической
фазовой плотности частиц в шестимерном пространстве и уравнений
для микроскопических напряженностей электрического и магнитного
полей — уравнений Лоренца (Климонтович, 1964, 2001).
При обоих способах описания исходные микроскопические уравне-
уравнения дают, в принципе, возможность полного анализа квантовомехани-
ческих процессов в рассматриваемой системе.
Примем второй способ представления квантовых микроскопичес-
микроскопических уравнений.
Для упрощения будем описывать взаимодействие атомов с электро-
электромагнитным полем в дипольном приближении. Это позволяет исполь-
использовать замкнутую систему уравнений для операторной волновой функ-
функции Ф(г, Д, t) электрона в атоме водорода (или в атоме-осцилляторе)

§10.2. Микроскопические и макроскопические уравнения Шредингера 233
и оператора поля E(R,t). Вектор R характеризует положение атомов
как целого.
Вместо операторной волновой функции Ф(г, R,t) можно использо-
использовать соответствующую операторную квантовую функцию распреде-
распределения f(r,p,t), которая соответствует усредненной (не операторной)
квантовой функции распределения Вигнера f(r,p,t) в шестимерном
фазовом пространстве.
В квантовой механике уравнение для операторной волновой функ-
функции Ф(г, R,t) заменяется уравнением Шредингера для детермини-
детерминированной (не операторной) волновой функции i/>(r,R,t) электрона в
атоме водорода или в квантовом атоме-осцилляторе (Ф(г, R,t) —»
ф(г, R,t)). В дипольном приближении оно имеет следующий вид:
Это обычное уравнение Шредингера. Оно является приближенным
и обратимым. С помощью уравнения A0.2.1) можно получить соот-
соответствующее уравнение для детерминированной квантовой функции
распределения Вигнера. Она связана с волновой функцией соотноше-
соотношением
f(r,p, R, t) = JL_ I ф(г + 1пт, R, г)Г (г - l-hr, R, t) x
х exp(-irp)^p-dT, A0.2.2)
Используя уравнение Шредингера A0.2.1), запишем соответству-
соответствующее кинетическое уравнение для этой функции распределения:
х exp [»t(j/ - p)] drdp' = 0. A0.2.4)
В классическом приближении оно имеет вид
Мы видим, что уравнению Шредингера A0.2.1) для детермини-
детерминированной волновой функции в классическом пределе соответствует
кинетическое уравнение для одноточечной функции распределения

234 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
,t). Как и исходное уравнение Шредингера, это уравнение яв-
является приближенным и обратимым. Диссипация, обусловленная вза-
взаимодействием атомов с флуктуационным электромагнитным полем
здесь во внимание не принимается.
Для облегчения перехода к необратимому кинетическому уравне-
уравнению напомним некоторые моменты кинетической теории Больцмана
для разреженного газа.
Кинетическое уравнение Больцмана отличается от уравнения
A0.2.5) учетом диссипации за счет столкновений атомов. Диссипа-
Диссипация входит через интеграл столкновений. Через г и 1 обозначаются
соответствующие релаксационные параметры — время и длина сво-
свободного пробега. Через Т и L обозначаются характерные параметры
задачи.
Для кинетического уравнения Больцмана интересны два предель-
предельных случая. Один из них отвечает приближению газовой динами-
динамики, а второй — приближению свободномолекулярного течения. Га-
Газодинамическое приближение оправдано при выполнении неравенств
г < Г, I ^ L. При этом уравнение Больцмана заменяется систе-
системой уравнений для более простых газодинамических функций p(R, t),
В противоположном предельном случае, когда справедливы нера-
неравенства г ^> Т, I ^> L, интеграл столкновений может быть в нулевом
приближении по малым параметрам Т/т\ L/1 опущен. Это и приводит
к обратимому кинетическому уравнению вида A0.2.5).
Для газа Больцмана уравнение A0.2.5) описывает свободномоле-
кулярные течения. Оно не содержит информации о движении отдель-
отдельных частиц и, тем самым, отвечает приближению сплошной среды.
Это ограничивает значения характерных параметров Т и L со сторо-
стороны их малых значений:
т»Т»т>л, l>L^>lph. A0.2.6)
Отметим еще раз, что обратимое уравнение A0.2.5) справедливо
лишь в нулевом приближении по малому параметру L/L
Какова же ситуация в квантовой теории?
§10.3. Приближение сплошной среды в квантовой
теории
10.3.1. Пространственные масштабы. Для учета диссипации
надо принять во внимание взаимодействие атомов с флуктуационным
электромагнитным полем. В результате мы придем к диссипативному
кинетическому уравнению для квантовой функции распределения (или
матрицы плотности) и среднего поля.
Соответствующий «интеграл столкновений» определяется мелко-
мелкомасштабными флуктуациями с характерными масштабами, много

§10.3. Приближение сплошной среды в квантовой теории 235
меньшими релаксационных масштабов для кинетического уравнения.
В связи с этим и возникает проблема структуры сплошной среды при
выводе диссипативного квантового кинетического уравнения.
Чтобы определить структуру «сплошной среды» в квантовой те-
теории, мы должны, прежде всего, ввести характерные масштабы для
уравнения Шредингера. Из уравнения Шредингера следует характер-
характерная длина Бора, а также соответствующие частота и скорость. Для
атома водорода в квантовой механике они определяются формулами:
h2 me4 e2
ro = ^' ^W Vo = T A0'зл)
Радиус Бора г$ является является здесь наименьшим параметром
длины. Величина г о определяет размер области основного состояния
с распределением |^(г)|2- Частота и0 связана с энергией основного со-
состояния атома водорода. В квантовой механике нет параметров дли-
длины, меньших радиуса Бора. Это означает, что уравнение Шредингера
не содержит информации о структуре основного состояния атома во-
водорода.
В квантовой электродинамике имеются два дополнительных мас-
масштаба длины, которые значительно меньше радиуса Бора г0:
е2 h е2
Длина ге — так называемая длина Томсона. Она определяет эф-
эффективное сечение рассеяния фотонов на свободных электронах. Ве-
Величина сечения была определена впервые Томсоном. Она пропорцио-
пропорциональна г2. Длина Томсона ге — наименьший параметр длины, не со-
содержит постоянной Планка и в этом отношении может рассматри-
рассматриваться как классический параметр.
Второй параметр — «длина Комптона». Она определяет сдвиг
длины волны рентгеновского излучения при рассеянии его на свобод-
свободных электронах. Длина Комптона Лс — пропорциональна постоянной
Планка и является наименьшим квантовым параметром длины.
Наконец безразмерный малый параметр \i = e2/ he ~ 1/137. Он
впервые был введен в теории тонкой структуры излучения атома во-
водорода и носит поэтому название: постоянная тонкой структуры.
Какой из этих масштабов характеризует структуру «сплошной
среды» и размер «точки» в квантовой механике, в частности, для ос-
основного состояния атома водорода? Ниже на этот вопрос будет дан
ответ. Прежде, однако, надо ввести соответствующие временные мас-
масштабы.
10.3.2. Временные масштабы в квантовой механике и
квантовой электродинамике. При переходе к диссипативному ки-
кинетическому уравнению появляются дополнительные диссипативные
параметры. Разделим их на два класса.

236 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
В первый включаем параметры, характеризующие процесс релак-
релаксации к равновесному состоянию. Это время определяется коэффици-
коэффициентом радиационного трения:
^ Aо-з-з)
Коэффициент 7(wnm) принимает лишь положительные значения.
Наряду с коэффициентом 7(^пт)? в квантовом кинетическом уравне-
уравнении фигурирует коэффициент Эйнштейна А^ для спонтанного излу-
излучения. При этом справедливы следующие соотношения:
41/7 I2/*3
*
=к- A0-3-4)
Здесь снова использовано обозначение для постоянной тонкой
структуры /х.
Коэффициент Эйнштейна А1^ связан с коэффициентом радиацион-
радиационного трения 7(^пт) через безразмерный параметр /тат, который носит
название сила осциллятора:
\Ап --f <ч(и \ f - 2
2 т — ^Jnm1\Unm)<> Jnm —
Из приведенных соотношений следует, что характерное время
спонтанного излучения l/i(b)nm) является медленным процессом —
релаксация происходит за время много большее периода колебаний с
частотой Бора.
Рассмотрим теперь малые временные масштабы, которые также
характеризуют взаимодействие атома с флуктуационным электромаг-
электромагнитным полем.
Временной параметр те = ге/с — время Томсона, характеризует
время пролета фотоном области томсоновского рассеяния. Соответ-
Соответствующее время релаксации:
«~r. = U«i Г„Й?~?. A0.3.6)
Покажем, что время rrei ~ те определяет и установление основного
состояния атома водорода.
§10.4. Атом — открытая система. Установление
основного состояния
10.4.1. Масштабы Бора для открытой системы. Итак,
рассматриваем газ из невзаимодействующих атомов в равновесном
электромагнитном поле. Следуя Томсону, используем модель «атома-
осциллятора». В этой модели атом представляется в виде сферы неко-
некоторого радиуса vq. Мы увидим, что величина г о совпадает с радиусом

§10.4. Атом — открытая система. Установление основного состояния 237
Бора для атома водорода. По сфере равномерно распределен положи-
положительный заряд. Суммарный заряд равен величине заряда электрона.
Электрон совершает колебания относительно центра сферы. Часто-
Частоту колебаний электрона находим из условия равенства упругой силы
силе притяжения к центру сферы
е&= -% = - гао^ж; Uo = \-^—. A0.4.1)
х2 V тх3 v '
По соображениям простоты рассматриваем лишь одномерные ко-
колебания атома-осциллятора.
Атом представляет собой открытую систему, которая находится в
равновесии с электромагнитным полем. При отличной от нуля темпе-
температуре условие равновесия атома-осциллятора с полем определяется
равенствами::
m(v2) = тш20 (х2) = квТШо = ifiw0coth ?%-. A0.4.2)
При комнатных температурах cothfio;o/2feT близок к единице и
равновесные значения скорости г;о, и амплитуды хо определяются
энергией нулевых колебаний электромагнитного поля hwo/2. С уче-
учетом этого получаем следующие выражения для частоты и амплитуды
колебаний атома-осциллятора при его равновесии с полем
A0.4.3)
Отсюда следуют выражения для амплитуды, частоты и скорости
h2 me4 e2
г>о = т, A0.4.4)
me2 nr К
которые совпадают с известными в квантовой механике параметрами
Бора.
Здесь, однако, эти параметры получены не на основе обратимого
уравнения Шредингера, а из условия равновесия атома-осциллятора с
равновесным электромагнитным излучением. По этой причине, в про-
противоположность определению их в квантовой механике, они являются
характеристиками открытой системы.
10.4.2. Физически бесконечно малые масштабы. В качест-
качестве минимального временного масштаба следует принять время проле-
пролета Ttr области эффективного сечения рассеяния фотонов на электроне
в атоме. Последнее характеризуется временным масштабом Томсона
те = ге/с. Это приводит к естественному определению физически бес-
бесконечно малого масштаба трн - Физически бесконечно малая длина 1рн
определяется радиусом Бора г$ — минимальным масштабом кванто-
квантовой механики. Имеем, таким образом соотношения

238 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
Пг~те ~ rph; lph ~ г0. A0.4.5)
По аналогии с плазмой, когда физически бесконечно малый мас-
масштаб Tph определяется временем диффузии по объему с радиусом Де-
бая (Климонтович, 1999) определим здесь коэффициент пространст-
пространственной диффузии равенством D(x) = г^/тр^.
10.4.3. Быстрая и медленная диффузия. В результате при-
приходим для квантовой системы к следующему определению физически
бесконечно малых масштабов и коэффициента пространственной диф-
диффузии
2 2
Tph ~те~ -?-; D(x) ~ ^ ~ Trl A0.4.6)
U(x) Те
Здесь введен коэффициент трения Г ~ 1/те ~ гас3/е2, отвечающий
временным параметрам rph ~ те. Коэффициенты трения 7(^0) и Г
связаны соотношением
Из формулы для коэффициента пространственной диффузии
jD(xj ^ woro/7 (uo) следует соответствующее выражение для коэффи-
коэффициента диффузии по скорости
D(v) = 72 (шо) I>W = 7 Ы ^^- (Ю.4.8)
Таким образом, пространственная диффузия является наиболее
быстрым релаксационным процессом. Напротив, диффузия по скорос-
скоростям — самый медленный процесс. Соответствующее характерное вре-
время
r^-T-^»^)- (Ю.4.9)
Это дает основание говорить о быстрой и медленной диффузии.
Чтобы установить вид соответствующего кинетического уравнения
— здесь уравнения Фоккера-Планка для функции распределения ко-
координаты и скорости f(x,v,t) осциллятора, запишем сначала соот-
соответствующие уравнения Ланжевена.
10.4.4. Уравнения Ланжевена для атомов в тепловом по-
поле. Приведенные выражения для коэффициентов диффузии опреде-
определяют интенсивности соответствующих источников Ланжевена. С уче-
учетом этого имеем следующую систему уравнений:

§10.5. Уравнение Фоккера-Планка для атомов-осцилляторов... 239
(</(*) (*)</(*) (О) = 2D(x)8(t-t'); A0.4.10)
dt
(y(v)) = 0; (y(v){t)V(v)(t')) = 2D(v)8(t - t').
Предполагается, что ширина J-функции, т.е. время корреляции тсог
случайного источника 2/(х), в уравнении для координаты меньше вре-
времени быстрой релаксации тсог <$i те ~ ге/с. Возможность такого нера-
неравенства заложена уже в самом названии для те: «физически бесконечно
малый интервал». Ширина же J-функции в источнике y(v) определя-
определяется временем корреляции тсог ~ те ~ 1/Г.
Рассмотрим соответствующее уравнение Фоккера-Планка.
§10.5. Уравнение Фоккера-Планка
для атомов-осцилляторов в тепловом поле
10.5.1. Учет быстрых и медленных процессов. Переход от
уравнений Ланжевена к уравнению Фоккера-Планка осуществляем по
стандартной схеме (Стратонович, 1961; Климонтович, 1982, 1995). В
результате приходим к уравнению для функции /(ж, г>, 2), которое сов-
совпадает с уравнением A7.3.13), A7.4.5) в (Климонтович, 1995)
д_1 ,Jf ..2Jf _ д гп а/1 , д
dt
Второй диссипативный член в уравнении Фоккера-Планка опре-
определяется пространственной диффузией. Напомним, что за физически
бесконечно малое принято время диффузии по объему с радиусом Бо-
Бора. Радиус Бора, подобно радиусу Дебая в плазме, играет здесь роль
физически бесконечно малой длины.
Полученное уравнение описывает релаксационные процессы на су-
существенно различных временных масштабах. В результате полной
релаксации устанавливается равновесное состояние с распределением
Гаусса как по координатам, так и по скоростям:
A0.5.2)
Рассмотрим теперь возможные упрощения полученного уравнения
Фоккера-Планка.

240 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
10.5.2. Исключение быстрой релаксации. Воспользуемся
тем, что время пространственной диффузии много меньше не только
времени медленной релаксации по скоростям, но и периода колебаний,
т.е. имеет место двойное неравенство
«Сила неравенств» определяется постоянной тонкой структуры /z =
e2/hc.
Можно, таким образом, выделить «быструю» и «медленную» ста-
стадии эволюции к состоянию полного равновесия с функцией распре-
распределения A0.5.2). Это дает основание перейти от уравнения A0.5.1)
к более простому уравнению. Исключение быстрого движения мож-
можно произвести как в уравнениях Ланжевена, так и в самом уравне-
уравнении Фоккера-Планка (Климонтович, 2001). Приведем сразу уравнение
Фоккера-Планка, полученное после усреднения по быстрому времени:
<10-5-4»
Коэффициенты диффузии и трения определяются приведенными
выше формулами.
В этом уравнении динамические члены остаются классическими.
Квантовый характер системы проявляется лишь в выражении для ко-
коэффициента диффузии. Такое описание, хотя оно и встречается в ли-
литературе (см., например, Додонов, 1979; Татарский, 1983), является,
конечно, весьма упрощенным. Для полноты описания надо, разумеет-
разумеется, учесть квантовые эффекты и в динамике.
При решении этой задачи необходимо принять во внимание, что
квантовая функция распределения — функция Вигнера, удовлетворя-
удовлетворяет двум уравнениям (Климонтович, 1956, 1995, 2001). Одно из них
описывает временную эволюцию и для гармонического осциллято-
осциллятора совпадает по форме с соответствующим классическим уравнени-
уравнением. Другое служит для определения собственных функций в смешан-
смешанном представлении координат и импульса. Искомая функция Вигне-
Вигнера представляетсяя в виде ряда по этим собственным функциям. Это
позволяет учеть квантовые эффекты в уравнении для временной эво-
эволюции.
Заметим, что из неравенств A0.5.3) следует, в частности, неравен-
неравенство T(v) ^> 1/wo, которое позволяет провести дальнейшее упрощение
уравнения A0.5.4) путем усреднения по периоду колебаний. В резуль-

§10.6. Два «выхода» из области квантовой теории 241
тате получаем еще более простое и более симметричное по ж, г; урав-
уравнение Фоккера-Планка:
д_
dt " 2 [~^ \dv2 ' a;2 &c2,/ ' dv KIWJJ ~*~ dx
Из него исключены осцилляторные члены и оно описывает лишь
процесс медленной временной релаксации с характерным временем
1/7 ^ 1/<*>0.
Таким образом, описание броуновского движения атомов-осцилля-
атомов-осцилляторов на основе уравнения Фоккера-Планка можно проводить с разной
степенью детальности. Наиболее детальная информация содержится в
уравнении A0.5.1). Для него скрытые (потерянные) пространственно-
временные масштабы лежат в пределах те, го, т.е. вне рамок квантовой
электродинамики. При переходе к уравнению A0.5.4) теряется инфор-
информация на пространственно-временных масштабах, меньших периода
колебаний осцилляторов. Наконец, при переходе к уравнению A0.5.5)
теряется информация и на периоде колебаний.
Итак, сферически симметричная область с радиусом Бора — ос-
основное состояние, формируется в результате быстрой пространствен-
пространственной диффузии электрона в открытой системе атомов-осцилляторов в
флуктуационном электромагнитном поле.
§10.6. Два «выхода» из области квантовой теории
10.6.1. «Выход» в сторону больших масштабов. Известно,
что описание перехода от квантовых уравнений к соответствующим
классическим уравнениям связано с определенными математически-
математическими трудностями и, в общем случае, не является простой задачей. Это
следует, в частности, из того, что процессы в сложных системах ха-
характеризуются несколькими длинами волн де Бройля. Например, для
системы атомов водорода имеются, по меньшей мере две длины, со-
соответственно, для электронов и атомов, как целого. Они существен-
существенно различны. Возможен поэтому «частичный» переход от квантово-
квантового описания к классическому, когда, например, классическим являет-
является движение атомов как целого, а движение электронов в атомах —
квантовым.
Таким образом, для перехода к классическому описанию необходи-
необходимо, чтобы характерная длина задачи была много больше соответству-
соответствующей длины де Бройля. Это условие ограничивает «поле действия»
квантовой теории со стороны больших масштабов.
Естественно, что и в классической области можно производить
расчеты на основе квантовой теории, а в окончательных результатах
производить предельный переход ft -> 0. Это означает, что квантовая
теория является более общей или, иными словами, классическая тео-
теория является предельным случаем квантовой при ft -» 0.

242 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
10.6.2. «Выход» в сторону малых масштабов. «Классичес-
«Классический квант действия». Возникает вопрос: Имеются ли ограничения
на применимость квантовой теории со стороны малых масштабов? На
этот вопрос едва ли можно в настоящее время дать полный ответ.
Сделаем лишь некоторые замечания (Климонтович, 1993, 1999).
Основываясь на масштабах Бора Xq и 1/wo, введем через постоян-
постоянную тонкой структуры /z = е2 /Ьс меньшие масштабы длины и време-
времени:
re « fiXc « Ц2хо; те ъ fi—& fi2—. A0.6.1)
С U)Q
От параметров Бора можно сделать «два шага» в сторону мень-
меньших масштабов длины - от скорости г;о в сторону больших скоростей
можно, из-за конечности скорости света, сделать лишь один шаг:
^ = 4 = с A0.6.2)
Таким образом, для параметров длины и времени на первом ша-
шаге по /z приходим к масштабам Комтона. Это позволяет сделать на
основании соотношения Гейзенберга две оценки:
xottivq ~ Хсгпс ~ ft. A0.6.3)
На следующем шаге уже невозможно удовлетворить соотношению
Гейзенберга, так как при этом масштаб длины уменьшается, а ско-
скорость уже на первом шаге равна скорости света и, следовательно,
дальше расти не может. В результате приходим к противоположному
неравенству — произведение разброса координаты и импульса много
меньше постоянной Планка:
е2
remc = — = fih < ft. A0.6.4)
с
При этом возникает классическая комбинация универсальных по-
постоянных размерности действия
е2
hr = — < ft. A0.6.5)
с
Назовем параметр действия ftr «постоянной Томсона». Она много
меньше постоянной Планка ft.
Таким образом, из области квантовой теории имеется выход в об-
область «классической теории» — в область малых масштабов, не за-
зависящих от постоянной Планка. Слова классическая теория поставле-
поставлены в кавычки, поскольку действие здесь все же «квантуется», однако,
величина «кванта действия Томсона» е2 /с много меньше постоянной
Планка.

§10.8. «Скрытые переменные». Смешанный ансамбль 243
§10,7. Чистый ансамбль
Было уже отмечено, что трактовка понятия «чистый ансамбль» не
является однозначной. Введение чистого ансамбля полностью оправ-
оправдано лишь при полном описании на основе уравнения Шредингера для
многомерной волновой функции набора всех переменных атомов и по-
поля или уравнений для соответствующих операторов. Квадрат модуля
такой волновой функции трактуется как многомерное распределение
по всем переменным рассматриваемой системы.
Такая вероятностная трактовка предполагает наличие квантового
статистического ансамбля, который и называется «чистый ансамбль».
Таким образом, введение чистого ансамбля предполагает, с одной сто-
стороны, возможность, хотя бы в принципе, полного описания кванто-
вомеханической системы. Во-вторых, предполагается статистическая
интерпретация результатов такого полного расчета.
Первая предпосылка является, очевидно, идеализацией, которая не
может быть реализована. Второе предположение является гипотезой,
которую в силу невозможности решения уравнения Шредингера для
многочастичной волновой функции, нельзя подтвердить эксперимен-
экспериментом.
Представление о полном описании в квантовой теории, как и о
соответствующем описании в классической теории, может служить
лишь «отправной точкой» для построения более реалистического ста-
статистического описания неравновесных процессов в системах с боль-
большим числом степеней свободы.
§10.8. «Скрытые переменные». Смешанный ансамбль
В понятие «чистый ансамбль» в обычной квантовой механике вкла-
вкладывают, фактически, иной смысл.
Действительно, «достаточной системой» для описания атомов с
учетом, например, испускания, поглощения и рассеяния излучения
служит не система атомов, а расширенная система атомов и флукту-
ационного поля. Однако в квантовой механике основой является урав-
уравнение Шредингера для волновой функции в трехмерном пространстве,
т.е. для волновой функции неполного числа переменных всей «доста-
«достаточной системы». «Потерянные» переменные являются «скрытыми
переменными» или, в зависимости от задачи, «скрытыми параметра-
параметрами» или «скрытыми масштабами». Возможность введения большого
числа скрытых переменных обусловлена сложностью движения сис-
системы. Это и оправдывает, как уже отмечалось, замену системы «час-
«частиц» сплошной средой.
Известны два вида уравнений сплошной среды.
Во-первых, недиссипативные уравнения сплошной среды. К их
числу, наряду с другими, и относится уравнение Шредингера в том

244 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
виде, как оно обычно используется в квантовой механике. На основе
его решения производится статистическое описание рассматриваемой
подсистемы, например атомов, в системе атомы-поле.
Здесь также используется понятие «чистый ансамбль». Оно отве-
отвечает, однако, лишь весьма приближенному описанию статистических
свойств открытой системы. Здесь оно имеет место лишь в нулевом
приближении по диссипации.
При решении ряда задач пренебрежение диссипацией может быть,
разумеется, оправдано. Оно, однако, недостаточно для объяснения ос-
основных физических явлений, в частности, при наличии резонансов,
когда сколь угодно малая диссипация играет принципиальную роль.
Ко второму виду относятся квантовые диссипативные уравнения
сплошной среды. Примером может служить приведенное выше уравне-
уравнение Фоккера-Планка, а также и многочисленные диссипативные урав-
уравнения для матрицы плотности, в частности, для квантовой функции
распределения Вигнера. Соответствующий статистический ансамбль
называется смешанным.
Заметим, в связи с этим, что использование уравнения Фоккера-
Планка позволяет описать установление равновесного состояния при
всех температурах, в частности, и при нулевой температуре. Тем са-
самым и чистое состояние включается в число равновесных состояний.
Оно здесь является не следствием квантовой механики, а лишь следст-
следствием установления равновесия в диссипативной системе атомы-поле.
Остается открытым фундаментальный вопрос:
Можно ли представить описание на основе волновой функции пол-
полного набора переменных «достаточной системы» как сглаженное опи-
описание по малым масштабам, которые не принимаются во внимание в
квантовой электродинамики?
В квантовой электродинамике наименьшими масштабами являют-
являются масштаб Томсона ге и соответствующее время пролета Ttr = те =
ге/с. Временной интервал те играет в рассматриваемой теории роль
физически бесконечно малого масштаба. При этом наличие чистого
ансамбля — следствие неполноты квантовой электродинамики. Она
не содержит информации о движениях на масштабах, меньших мас-
масштабов Томсона.
Отметим, наконец, следующее.
На уровне квантовой механики функция Вигнера связана с вол-
волновой функцией, удовлетворяющей обратимому (недиссипативному)
уравнению Шредингера, выражением A0.2.2). Благодаря этому, урав-
уравнение для функции Вигнера может быть установлено с помощью урав-
уравнения Шредингера.
Однако, матрица плотности (или соответствующая функция Ви-
Вигнера) с учетом диссипации не определяется произведением волновых

§10.9. Скрытые параметры (масштабы) в квантовой теории 245
функций. По этой причине квантовые диссипативные кинетические
уравнения не сводятся к уравнению Шредингера. И, обратно, кван-
квантовые диссипативные уравнения, не могут быть получены на основе
соответствующего уравнения Шредингера. При выводе диссипатив-
ных уравнений проявляется роль «скрытых переменных» которые не
принимаются во внимание в уравнении Шредингера.
Для смешанного ансамбля квантовая функция Вигнера связана не
с произведением волновых функций, а с матрицей плотности:
f(r,p,R,t) =
(r + \hT>Д'г " \hT> Л> *) exp(-irp) ^p-dr, A0.8.1)
(Ю.8.2)
Таким образом, для диссипативной системы и, следовательно, для
смешанного ансамбля, задача не может быть сведена к решению урав-
уравнения Шредингера.
§10.9. Скрытые параметры (масштабы) в квантовой
теории
Согласно известной теореме Неймана, в рамках квантовой механи-
механики описание на основе уравнения Шредингера является замкнутым и
полным — нет возможности и необходимости для введения дополни-
дополнительных «скрытых параметров».
Так, например, обратимое уравнение Шредингера для атома во-
водорода в качестве характерных содержит лишь параметры Бора го,
ш0 = vo/ro. Других (скрытых) параметров, учет которых позволил
бы приблизить квантовое описание атома водорода к классическому,
просто нет. Поэтому в рамках квантовой механики, основанной на об-
обратимом уравнении Шредингера, скрытых параметров нет.
Уравнение Шредингера может дать ответы лишь на ограничен-
ограниченный круг вопросов - о структуре уровней энергии и соответствую-
соответствующих собственных функций. Без ответа остаются вопросы о структуре
основного состояния, о переходах между уровнями энергии, которые
связаны с процессами излучения и поглощения электромагнитного из-
излучения атомами.
Для ответа на них надо выйти за рамки обратимого уравнения
Шредингера. При этом и появляются новые характерные параметры,
типичные для «достаточной системы» - масштабы Томсона и Комп-
тона. Они не содержатся в уравнении Шредингера, и, следователь-
следовательно, являются «скрытыми параметрами» или, точней, «скрытыми мас-
масштабами».

246 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
Таким образом, описание на уровне обратимого уравнения
Шредингера дает лишь идеализированную картину. Оно должно быть
дополнено структурой сплошной среды и, как следствие, учетом дис-
диссипации. В этом отношении квантовомеханическое описание нельзя
признать полным.
Итак, уравнение Шредингера является примером приближенного
квантового уравнения сплошной среды без учета диссипации.
Для учета диссипации необходимо определение структуры сплош-
сплошной среды - явное введение физически бесконечно малых масшта-
масштабов. Для этого, в свою очередь, необходимо введение дополнительных
параметров (масштабов), которые для соответствующего уравнения
Шредингера сплошной среды являются «скрытыми параметрами».
Диссипация возникает в результате исключения малых масштабов
в пределах точек сплошной среды и в пределах физически бесконечно
малого временного интервала. При этом основное состояние, напри-
например, атома водорода устанавливается в результате быстрого диффу-
диффузионного процесса за время, определяемое параметром Томсона.
§10.10. Проявление скрытых масштабов при рассеянии
света на атомах
В квантовой механике пространственное распределение положений
электрона в основном состоянии является изотропным и сосредото-
сосредоточено в области, которая определяется радиусом Бора. На основании
изложенного следует считать, что такое представление основного со-
состояния отвечает приближению сплошной среды.
Модель сплошной среды отвечает выбору «точки», размер кото-
которой мал, но содержит много структурных элементов. Пространствен-
Пространственным структурным элементом может служить область, определяемая
длиной Комптона — наименьшим квантовым масштабом в системе
атомы-флуктуационное электромагнитное поле.
Физически бесконечно малым пространственным масштабом кван-
квантовой сплошной среды служит длина Томсона, а соответствующим
временным масштабом — время диффузии электрона по объему с ра-
радиусом Бора.
В связи с этим полезно рассмотреть явления, при которых, наряду
с радиусом Бора, проявляются меньшие масштабы, характеризующие
пространственную структуру основного состояния. Примером может
служить рассеяние света на атомах.
Ограничимся простейшим примером. Именно, будем рассматри-
рассматривать рассеяние достаточно слабого монохроматического излучения на
атомах-осцилляторах с собственной частотой uq. Соответствующее

§10.10. Проявление скрытых масштабов при рассеянии света на атомах 247
эффективное сечение а определяется выражением (Ландау-Лифшиц,
1988), (Климонтович, 1995):
Здесь использовано обозначение для сечения Томсона при рассея-
рассеянии электромагнитной волны на свободных электронах. Его линейный
размер определяется длиной Томсона:
(тТ = ^ге' A0.10.2)
При условии точного резонанса
сг = <гт—т = т~^о ~ —т ^ 0"т? Ао = сио. A0.10.3)
72 3 /z6
Здесь введено обозначение для длины волны, отвечающей частоте
Бора.
Таким образом, при точном резонансе эффективное сечение опре-
определяется длиной волны и, следовательно, много больше сечения ос-
основного состояния, которое определяется радиусом Бора.
Проследим за уменьшением сечения по мере уменьшения частоты.
При этом мы попадаем в область прозрачности, когда можно пренеб-
пренебречь затуханием за счет радиационного трения. Выражение для сече-
сечения принимает тогда вид:
Ш U)q I U)q
(Uq -> U2) 4 (Wo _ о;)
Рассмотрим три характерных значения расстройки.
1. wo-w = -. A0.10.5)
При этом условии выражение для сечения принимает вид:
<г = <гт\~х%. A0.10.6)
Сечение в этом случае определяется уже меньшим по сравнению с
длиной волны масштабом Бора.
2. ыо-и = ^. A0.10.7)
Сечение в этом случае определяется минимальным квантовым мас-
масштабом — длиной Комптона
a = (TT-L~\2c. A0.10.8)
Наконец, еще один случай
3. а;0-о; = ^-а;о. A0.10.9)
/г3
В этом случае
—г2.
3
г2. A0.10.10)
3
Таким образом, сечение определяется теперь минимальным харак-
характерным масштабом рассматриваемой системы атом - электромагнит-

248 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
ное поле. Напомним, что этот масштаб определяет и физически бес-
бесконечный масштаб сплошной среды.
При дальнейшем уменьшении частоты сечение становится меньше
сечения Томсона. Однако при этом мы выходим за рамки квантовой
электродинамики и, по-видимому, за рамки экспериментальных воз-
возможностей для системы атомы-электромагнитное поле.
В связи с изложенным возникает следующий вопрос: Возможно
ли экспериментально фиксировать эффективное сечение, рассчитан-
рассчитанное по приведенным выше формулам, на масштабах, которые меньше
радиуса Бора? Ведь этому препятствует быстрая пространственная
диффузия электрона по области основного состояния атома водоро-
водорода. Это влечет за собой следующий вопрос: Как отразить ограничен-
ограниченную возможность наблюдения малых эффективных сечений в исход-
исходном выражении A0.10.1) для эффективого сечения рассеяния света на
атомах?
§10.11. Парадоксы квантовой теории
Наличие двух существенно отличных позиций Эйнштейна и Бора
на сущность квантовой теории многим представляется парадоксаль-
парадоксальным. Поскольку отправной точкой в этой ситуации является работа
Эйнштейна-Подольского-Розена (ЭПР), то стали говорить о новом
физическом феномене: «Парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена».
На разрешение этого парадокса было затрачено много сил. Однако,
и в настоящее время ситуацию нельзя признать достаточно ясной.
Свидетельством тому книги и обзоры, появившиеся в печати в самые
последние годы (например, Кадомцев, 1997; Клышко, 1998; Peres, 1993,
Менский, 1988, 2000).
Поскольку интерес к принципиальным вопросам квантовой тео-
теории в последние годы существенно возрос, то, как уже было отмечено
в начале главы, с целью развития такого рода исследований, редак-
редакция журнала «Успехи Физических Наук» объявила по ним дискуссию
и в июньском номере 2000 года опубликовала статью М.Б. Менского
«Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и но-
новые формулировки старых вопросов». Автор этой интересной статьи
осветил целый ряд актуальных в настоящее время проблем квантовой
теории. Приведем общую позицию автора. На стр.632 он пишет:
«Точнее, мы попытаемся обосновать точку зрения, что су-
существует формулировка квантовой механики, в которой не воз-
возникает никаких «парадоксов» и в рамках которой можно от-
ответить на все вопросы, которые обычно задают физики. Пара-
Парадоксы возникают лишь тогда, когда исследователь не удовле-
удовлетворяется этим «физическим» уровнем теории, когда он ставит
такие вопросы, которые в физике ставить не принято, другими

§10.11. Парадоксы квантовой теории 249
словами - когда он берет на себя смелость попытаться выйти
за пределы физики.
Вполне оправданной является точка зрения, что такая по-
попытка со стороны физика не имеет смысла».
Ниже на той же странице автор ставит вопрос:
« — Нужно ли задавать эти «вечные вопросы? — Можно ли
ответить на них в рамках физики?»
и дает на него ответ:
«С практической точки зрения эти вопросы не нужны. Их
нельзя решить (и не нужно ставить) в рамках физики».
Эта позиция автора, безусловно, интересна. Она разделяется мно-
многими учеными, но все же не всеми! Суть в том, что ответы на «веч-
«вечные» вопросы в рамках обратимых уравнений гамильтоновой кванто-
квантовой механики могут не совпадать с ответами на те же «вечные» во-
вопросы в рамках Физики квантовых открытых систем, некоторые идеи
и результаты которой были изложены выше.
Продолжим начатое выше обсуждение двух указанных альтерна-
альтернативных подходов к разрешению «вечных вопросов». При этом руко-
руководящими будут служить два сформулированных выше положения:
1. Уравнение Шредингера служит примером уравнения квантовой
сплошной среды. Оно обратимо и, следовательно, не учитывает вкла-
вклада диссипации. По этой причине уравнение Шредингера, как и любые
классические и квантовые уравнения сплошной среды, не дает полно-
полного описания.
2. Для учета диссипации и расчета флуктуации необходим явный
учет структуры сплошной среды.
В связи с этим воспроизведем еще раз высказывания М.Б. Менс-
кого.
«— Нужно ли задавать эти «вечные» вопросы? — Можно
ли ответить на них в рамках физики?»
Автор дает на них ответы:
«— С практической точки зрения эти вопросы не нужны. Их
нельзя решить (и не нужно ставить) в рамках физики».
С позиций Физики квантовых открытых систем ответы
иные!
Задавать «вечные» вопросы» необходимо, поскольку их решение
позволит существенно расширить и углубить описание квантовых от-
открытых систем. Так, например, уравнение Шредингера для атома во-
водорода не дает информации о структуре основного состояния. Такой
вопрос, однако, вполне правомерен в рамках физики открытых сис-
систем, когда выбранная система (например, атом водорода) заменяется
более широкой — «достаточной системой», включающей взаимодей-
взаимодействие с флуктуационным электромагнитным полем.

250 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
Таким образом, «вечные» вопросы нужно ставить и искать на них
ответы в рамках физики открытых систем. Парадоксальность «веч-
«вечных» вопросов — следствие использования недостаточной для ответа
на поставленные вопросы модели. Изложенное выше подтверждает
эту точку зрения.
Вернемся к обсуждению парадокса Эйнштейна-Подольского-
Розена — парадокса ЭПР.
§10.12. Парадокс Эйнштейна—Подольского—Розена
10.12.1. Позиции Эйнштейна и Бора. Дискуссионная статья
ЭПР «Может ли квантовомеханическое описание физической реаль-
реальности рассматриваться как полное?» была опубликована в 1935 го-
году. В ней была представлена точка зрения Эйнштейна на возможнос-
возможности квантовой механики, которая не согласовывалась с точкой зрения
Копенгагенской Школы. Ответ главы этой Школы последовал менее,
чем через два месяца. Бор считал позицию Эйнштейна ошибочной.
Дискуссионным было, в частности, определение ансамбля в кванто-
квантовой теории. Эйнштейн трактовал его как статистический ансамбль.
Это оправдывало и саму постановку вопроса о неполноте квантовоме-
ханического описания. Предполагалось, что статистическое описание
может быть уточнено путем учета «скрытых параметров».
Согласно же копенгагенской интерпретации волновая механика да-
дает статистическое описание микроскопических объектов, например,
отдельных атомов.
Большинство физиков были согласны с позицией Бора. Были, од-
однако, и сторонники Эйнштейна. Среди них основатели квантовой те-
теории Л. де Бройль и П. Дирак. Об этом уже говорилось ранее. Напом-
Напомним лишь начальные слова приведенной цитаты из книги П. Дирака
(Dirac, 1978):
«Я не исключаю возможности, что в конце концов, может
оказаться правильной точка зрения Эйнштейна, потому что со-
современный этап развития квантовой механики нельзя рассмат-
рассматривать как окончательный....»
В последние годы популярность статьи ЭПР растет. Это связано с
тем, что она затрагивает не только вопрос о полноте квантовомехани-
ческого описания, но и другие принципиальные вопросы, в частности,
о нелокальном взаимодействии в квантовой теории (эффект Ааронова-
Бома), о скрытых параметрах в квантовой теории (неравенства Бел-
Белла).
Попробуем взглянуть на «вечные вопросы» с иной позиции, чем это
принято в литературе, - с точки зрения «Физики открытых систем».
10.12.2. Две интерпретации уравнений квантовой механи-
механики. Согласно интерпретации Копенгагенской школы решение урав-

§10.13. Неравенства Белла. Скрытые параметры 251
нения Шредингера позволяет определить статистические характерис-
характеристики рассматриваемых микроскопических систем. Это означает, что
вероятностное описание лежит в природе квантовой механики и не
может быть сведено к динамическому описанию даже путем учета
«скрытых параметра».
Природа квантового статистического описания существенно отли-
отличается от классической. Это проявляется, в частности, в том, что в
квантовой теории совместные распределения некоммутирующих вели-
величин, например, координат и импульсов частиц, могут быть и отрица-
отрицательными.
В квантовой механике иной смысл вкладывается и в понятие: «ста-
«статистический ансамбль». Средние значения определяются функциона-
функционалами, содержащими произведение прямой и комплексно сопряженной
волновых функций рассматриваемой системы. Такой ансамбль явля-
является чистым. Средние по чистому ансамблю не содержат «некванто-
вомеханических» характеристик.
Интерпретация же Эйнштейна является иной и в большей мере от-
отвечает статистической теории открытых систем. Речь идет о кванто-
квантовом статистическим ансамбле микроскопических систем. При этом да-
даже для чистого ансамбля, когда средние определяются квадратичны-
квадратичными функционалами по волновым функциям, описание на основе урав-
уравнения Шредингера не является по Эйнштейну внутренне замкнутым
и, следовательно, квантовомеханическое описание на основе обратимо-
обратимого уравнения Шредингера не является полным. При этом открывается
естественная возможность перехода от чистого ансамбля к смешанно-
смешанному.
Интерпретация Эйнштейна с точки зрения физики открытых сис-
систем представляется более естественной, поскольку становится воз-
возможной трактовка уравнения Шредингера, как дающего неполное опи-
описание, в качестве примера уравнения квантовой сплошной среды, но
без учета диссипации. При этом структура сплошной среды определя-
определяется параметрами (например, длинами Комптона и Томсона), харак-
характеризующими достаточную или расширенную систему.
Введение физически бесконечно малых масштабов среды с последу-
последующим исключением малых масштабов, заключенных в пределах точек
сплошной среды, и определяет переход к квантовым диссипативным
уравнениям.
§10.13. Неравенства Белла. Скрытые параметры
Конкретный вид неравенств Белла зависит от рассматриваемой
системы и схемы соответствующего эксперимента. Однако во всех
случаях эти неравенства представляют собой соотношения класси-
классических функций распределения, в частности, пар физических величин

252 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
(например, координат и импульсов частиц, проекций спина), которым
в квантовой теории отвечают пары некомму тирующих операторов.
При установлении неравенства Белла следуем разделу 26 книги
Б.Б. Кадомцева. Пусть частица, находящаяся в синглетном состоя-
состоянии, распадается на две частицы, каждая из которых имеет спин ft/2.
В силу закона сохранения импульса общий момент обеих частиц бу-
будет равен нулю.
Измеряем проекцию ах спина на ось X. Для классической системы
проекция спина второй частицы на другие оси У или Z в силу закона
сохранения момента количества равняются нулю. Однако в кванто-
квантовой теории проекции спина не коммутируют и собственные значения,
например, проекции ау равны ± ft/2. На этом основании измерения
компоненты <ту У второй частицы с одинаковой вероятностью будут
давать значения ± ft/2.
Установим неравенство Белла. Оно накладывает ограничения на
функции распределения классических переменных, которые могут
быть одновременно измеренными. В рассматриваемом примере следу-
следует предположить, что существуют и измеримы одновременно все три
компоненты. При измерениях они принимают значения ± ft/2. Соот-
Соответствующие значения переменных X, У, Z, отвечающие +ft/2, будем
отмечать знаком «+», —ft/2 — знаком «—».
Для определения функций распределения значений компонент спи-
спина введем ансамбль Гиббса, отвечающий многократным измерениям.
После этого используем очевидное соотношение между двухточечной
и трехточечными функциями распределения:
/(Х+,у-) = /(Х+,у-,^+) + /(Х+,у-,^-). A0.13.1)
Правая часть представляет суммирование по двум возможным зна-
значениям Z.
По той же схеме записываем еще два равенства
-,Z-). A0.13.2)
С помощью последних двух равенств первое равенство можно пе-
переписать в виде
+
-[/(*-, у-, z+)+ /(*+, у-, z-)]. (ю.13.3)
Здесь все функции распределения, в частности в скобках [...] явля-
являются классическими и, следовательно, не могут принимать отрица-
отрицательные значения. С учетом этого приходим к неравенству для двух-
двухточечных функций распределения
f(X+,Y-)<f(X+,Y-) + f(X+,Z~). A0.13.4)
Функции распределения в неравенствах Белла по самому своему
определению могут иметь лишь положительные значения. Для не-
некомму тирующих переменных, например, для координат и импульсов,

§10.14. Квантовые корреляции... 253
квантовые функции распределения — функции Вигнера, могут прини-
принимать и отрицательные значения. По этой причине Неравенства Белла
для квантовых систем могут и нарушаться.
Таким образом, естественно, что эксперименты с квантовыми сис-
системами дают результаты, которые не согласуются с неравенствами
Белла.
10.13.1. Эффект Ааронова—Бома. Пример эффекта Ааронова-
Бома состоит в следующем. Заряженная частица испытывает воздей-
воздействие магнитного поля в точках, в которых напряженность магнитно-
магнитного поля равна нулю, но отличен от нуля векторный потенциал. В этом
смысле воздействие на заряженную частицу является бессиловым. Су-
Существенно, что этот эффект имеет квантовую природу — отсутству-
отсутствует в классических системах. Соответствующие примеры разобраны в
книге (Тернов, Жуковский, Борисов, 1993).
Наличие бессилового влияния указывает на наличие возможнос-
возможности измерения характеристик частиц без прямого на них воздействия.
В этом проявляется определенная связь с парадоксом Эйнштейна-
Подольского-Розена.
Эффект Ааронова-Бома можно, в частности, продемонстрировать
на основе уравнения Лондона для многосвязного сверхпроводника (на-
(например, образца с дыркой). Обратимся для этого к разделу 14.2.4
«Квантование магнитного потока» (Климонтович, 2001).
Рассматриваем массивное кольцо, по поверхности которого в слое
Sl ~ 10 см течет сверхпроводящий ток. В толще кольца магнит-
магнитное поле равно нулю и полный ток A4.2.7) равен нулю. Плотность же
сверхпроводящих электронов отлична от нуля. С учетом этого полу-
получаем уравнение A4.2.17), которое связывает градиент фазы волновой
функции с векторным потенциалом
h^.= jA(R,i). A0.13.5)
Проведем интегрирование по контуру, который проходит в толще
кольца и охватывает дырку. Используем условие однозначности фазы
волновой функции. В результате приходим к формуле A4.2.21) для
захваченного сверхпроводником квантованного магнитного потока.
§10.14. Квантовые корреляции — запутанные
состояния и скрытые параметры
Расхождение в двух интерпретациях квантовой теории состоит
не только в различном понимании смысла статистического ансамб-
ансамбля. Это различие в подходах влечет за собой принципиальные рас-
расхождения в оценке роли корреляций состояний квантовых объектов
(entanglet states — «запутанных» состояний). Квантовые корреляции,

254 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
например, пары частиц (ЭПР-пары) могут проявляться на «макро-
«макроскопических» расстояниях и поэтому существенны при квантовых из-
измерениях.
Есть, однако, ограничения сверху на это «макроскопическое рас-
расстояние». Одно из них связано с конечностью длины корреляции, обу-
обусловленной диссипацией. Соответствующие времена корреляции опре-
определяют ширины резонансов элементарных процессов в системе. Это
еще один пример проявления неполноты традиционного квантовоме-
ханического описания.
Напомним, что понятия чистого и смешанного ансамблей тесно
связаны с понятием квантовых корреляций — с запутыванием чис-
чистых состояний. Чистое состояние, определяемое волновой функцией
ф(г,г), нарушается при переходе от обратимого уравнения Шрединге-
ра к диссипативному уравнению для матрицы плотности. Переход к
диссипативному уравнению происходит при исключении малых мас-
масштабов в пределах точек квантовой сплошной среды. Это исключение
и переводит чистое состояние в смешанное, которое характеризуется
квантовыми корреляциями. Возникновение смешанного состояния на-
называют декогеренцией волновой функции (Кадомцев, 1997; Менский,
1988, 2000, 2001). Без учета разрушения корреляций состояние систе-
системы осталось бы чистым. При этом, однако, была бы потеряна возмож-
возможность описания реальных диссипативных процессов.
При учете диссипации переход от чистого ансамбля к смешанному
является неизбежным. Неизбежна, тем самым, и декогеренция волно-
волновой функции.
Рассмотрим известный парадокс, связанный с характером кванто-
квантовых корреляций при суперпозиции волновых функций.
10.14.1. Кот Шредингера. Пусть имеется источник /?-частиц,
которые регистрируются счетчиком Гейгера. К нему присоединено
устройство, которое при пролете C частицы разбивает капсулу с циа-
цианистым калием. Последняя вместе с живым котом находится под кол-
колпаком. Парадокс состоит в том, что согласно квантовой механике су-
существует суперпозиция двух состояний: живого и мертвого кота, если
счетчик находится в состоянии суперпозиции зарегистрированного и
не зарегистрированного пролета /? частицы.
Парадокс снимается, если принять во внимание, что рассматрива-
рассматриваемый процесс является необратимым и не может быть описан уравне-
уравнением Шредингера. Таким образом, нет суперпозиции живого и мерт-
мертвого кота! Процесс развивается лишь по одному необратимому сцена-
сценарию.
Этот необратимый процесс можно трактовать и как процесс де-
когеренции вследствие возникновения смешанного состояния системы
(/3-частицы) и ее окружения.

§10.15. Измерение в квантовой теории. Коллапсы волновых функций 255
§10.15. Измерение в квантовой теории. Коллапсы
волновых функций
Проблема квантовых измерений также является одной из самых
важных проблем физики квантовых открытых систем. Ее решению
посвящена огромная литература. Отметим лишь две монографии и
сборник трудов конференции (Wheeler, Zurek (editors), 1982; Braginskii
and Khalili, 1992; Менский, 2001). Ограничимся здесь краткими заме-
замечаниями.
10.15.1. Квантовое измерение. Рассматриваем ансамбль не-
невзаимодействующих частиц. Это позволяет использовать модель
сплошной среды, временная эволюция которой описывается обрати-
обратимым уравнением Шредингера. Допустим, что движение происходит в
объеме, ограниченном некоторой поверхностью — «экраном». Тогда
уравнение Шредингера следует дополнить граничными условиями.
Для выявления наличия частицы в рассматриваемом объеме вве-
введем диссипативное граничное условие прилипания частицы к экра-
экрану. Положение точки прилипания фиксируется по вспышке. Фиксацию
вспышки трактуем как измерение координат частицы на экране. Ес-
Естественно, что предсказать место прилипания можно лишь с некото-
некоторой вероятностью.
10.15.2. Прямые и косвенные измерения. По терминологии,
принятой в лекциях Мандельштама A950 можно выделить два типа
измерений: прямые и косвенные. Рассмотренная схема измерения ко-
координаты - пример прямого измерения
Прямое измерение невозможно, например, для связанных электро-
электронов в атомах водорода. Измерение координаты или импульса прово-
проводится по результатам анализа рассеяния света или частиц. Таким об-
образом существует промежуточный этап измерения, который является
микроскопическим. На заключительном этапе измерения происходит
взаимодействие с макроскопическим объектом — экраном. Такого ро-
рода измерения называются косвенными. Они являются более распро-
распространенными и разнообразными, чем прямые.
10.15.3. Задача достижения границы и коллапс волновой
функции. Вернемся к уравнению Шредингера. Представим себе ре-
решение этого обратимого уравнения с диссипативными граничными
условиями прилипания.
Измерению отвечает попадание частицы в одну из точек экрана,
например, с координатами rs- При этом волновая функция исчезает
во всем пространстве, кроме координаты ловушки — происходит так
называемый коллапс волновой функции.
Таким образом при достижении границы в точке rs любая началь-
начальная волновая функция ф(г, t0) исчезает во всех точках с координатами

256 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
г ф г$. Распределение вероятности нахождения частицы становится
J-образным
ЖМо)|2 -> №Ms)|2 = Чг - rs). A0.15.1)
Следуя терминологии квантовой механики, можно сказать, что
произошел «коллапс» волновой функции. Естественно, что нет осо-
особой необходимости введения термина «коллапс», так как речь идет
о решении уравнения Шредингера при диссипативном условии при-
прилипания на границе. Этот красивый термин все же полезен, так как
подчеркивает характер резкого изменения вида функции распределе-
распределения при достижении границы.
§10.16. Броуновское движение
10.16.1. Два способа описания броуновского движения.
Опыты Перрена. Уравнение Ланжевена. Создание теории бро-
броуновского движения связано с именами Альберта Эйнштейна, Мари-
ана Смолуховского и Поля Ланжевена. Первые, ставшие ныне клас-
классическими, экспериментальные иследования броуновского движения
принадлежат Жану Перрену.
Он наблюдал под микроскопом перемещение малых макрокопичес-
ких частиц в капле жидкости через малые промежутки времени. По-
Построенные им по точкам «траектории» броуновских частиц в преде-
пределах капли приводятся во всех учебных пособиях. Они представляют
примеры хаотического движения.
Для описания хаотического движения отдельных броуновских час-
частиц Ланжевен предложил использовать уравнение движения частицы
в вязкой среде с дополнительной случайной силой (ныне силой Ланже-
Ланжевена), которая учитывает воздействия атомов жидкости на броунов-
броуновскую частицу. Такого рода уравнения принято называть стохастичес-
стохастическими уравнениями.
Выше были приведены уравнения Ланжевена для движения элек-
электрона в области основного состояния атома водорода.
Таким образом, координаты и импульс (или скорость) броуновской
частицы в методе Ланжевена представляются случайными функциями
времени. Можно рассматривать края капли как поглощающую грани-
границу. Тогда при достижении выделенной броуновской частицей погло-
поглощающей границы траектория частицы обрывается.
10.16.2. Уравнение Фоккера—Планка. Рассмотрим теперь ан-
ансамбль невзаимодействующих частиц. Будем представлять систему в
виде сплошной среды в пространстве координат и импульса. Состоя-
Состояние системы описывается уравнением Фоккера-Планка для функции
распределения координат и импульса частицы — функции f(r,p,t).
Для ограниченной системы («капли») это уравнение следует допол-
дополнить диссипативным граничным условием — условием прилипания на

§10.16. Броуновское движение 257
стенке. Выше были приведены примеры уравнений Фоккера-Планка
для движения электрона в области основного состояния атома водо-
водорода.
Уравнение Фоккера-Планка может быть получено на основе урав-
уравнений Ланжевена. Обратный же переход не является однозначным
(Стратонович, 1961). Это указывает на то, что «метод траекторий»
— метод Ланжевена, является более информативным!
Вернемся к уравнению Фоккера—Планка.
Движение в ограниченной системе с масштабом L характеризуется
двумя временами релаксации.
Это, во-первых, время релаксации по импульсам Т(р). В газе Больц-
мана ему соответствует время столкновений т, I — соответствующая
длина свободного пробега.
Во-вторых, это время релаксации по координатам Т(г). Это время
пространственной диффузии. Соответствующее уравнение диффузии
должно быть дополнено граничными условиями
Во многих случаях имеет место неравенство Т(р) <С Т(г) (или I <С
L). Это означает, что время релаксации по импульсам значительно
меньше характерного времени пространственной диффузии.
В рассмотренном выше примере движения электрона в пределах
основного состояния имеет место обратное неравенство Т(р) ^> Т(г) —
наиболее быстрым является процесс пространственной диффузии. В
газе Больцмана это соответствует приближению свободного молеку-
молекулярного движения.
Пусть в начальный момент to задано некоторое распределение
/о(г, р, to) > 0. При достижении границы в момент ts частица прили-
прилипает к стенке в некоторой точке rs- При этом, функция распределения
принимает вид
/(г,p,t) -> /(r,p,ts) = S(r - rs)S(p = 0),
Jf(r,p,t)rdp=l. A0.16.1)
Таким образом, при достижении границы функция распределения
исчезает при всех значениях импульса р ф 0 и во всех точках с коор-
координатами г ф rs- Следуя терминологии квантовой механики, можно
сказать, что произошел «коллапс» функции распределения /(r,p, t).
Естественно, что и здесь нет особой необходимости введения терми-
термина «коллапс», так как речь идет о решении типичной задачи теории
броуновского движения с диссипативным граничным условием.
Как и в квантовой теории, этот термин все же полезен, так как
подчеркивает характер резкого изменения вида функции распределе-
распределения при достижении границы. Естественно, что и здесь предсказать
место прилипания можно лишь с некоторой вероятностью.

258 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
10.16.3. Уравнение диффузии области основного состоя-
состояния. Напомним, что по уравнению Шредингера для атома водорода
основное состояние является изотропным и занимает область, кото-
которая определяется радиусом Бора. Выше было показано, что при дви-
движении электрона в пределах основного состояния соответствующее
уравнение Фоккера-Планка описывает два диффузионных процесса:
«быстрый (по значениям координаты) и «медленный» (по значениям
скорости). Уравнение пространственной диффузии имеет вид:
Пространственная диффузия электрона по объему шара с радиу-
радиусом Бора происходит за время Томсона те = ге/с:
(e) D(x)
Таким образом, движение электрона внутри сферы с радиусом Бо-
Бора представляется как броуновское движение. Оно может быть опи-
описано как на основе уравнения Фоккера-Планка, так и уравнений Лан-
жевена. Однако наблюдение «траектории Перрена» затруднено из-за
очень малого времени пространственной диффузии.
Итак, два способа описания (методы Ланжевена и Фоккера-
Планка) физически различны. В первом случае, в- принципе, возможно
приближенно фиксировать случайную траекторию отдельного элек-
электрона при действии силы Ланжевена. Во втором же — вводится ан-
ансамбль независимых броуновских частиц. Этому отвечает переход к
модели сплошной среды. Эволюция соответствующей функции рас-
распределения и описывается уравнением Фоккера-Планка.
Из-за малого времени пространственной диффузии затруднено и
зондирование структуры основного состояния по анализу рассеяния
света в атомах.
10.16.4. Источники Ланжевена в уравнении Шредингера.
В работах (Кадомцев, 1997; Менский, 2000) рассматривается возмож-
возможность описания броуновского движения на основе уравнения Шредин-
Шредингера с источником Ланжевена. В уравнение Шредингера вводится и
соответствующий диссипативный оператор. Этот вопрос очень инте-
интересен. Однако на пути его решения имется много препятствий.
В настоящее время широко используется другой способ расчета
флуктуации в квантовых системах. Для расчета крупномасштабных
(кинетических) флуктуации он основан на введении источников Лан-
Ланжевена в диссипативные уравнения для матрицы плотности — в кван-
квантовые кинетические у ранения. Именно таким образом проводится рас-
расчет флуктуации, например, в теории квантовых генераторов и лазеров
(Lax, Lamb, Haken, Ораевсий, Климонтович, 1974 (ред), 2001).

§10.17. Дуализм волна-частица 259
На методе Ланжевена строится и расчет мелкомасштабных флук-
флуктуации, определяющих сами интегралы столкновений в квантовых ки-
кинетических уравнениях (Климонтович, 1982, 1985).
§10.17, Дуализм волна—частица
В квантовых кинетических уравнениях имеются два разных источ-
источника диссипации.
Во-первых, диссипация, возникающая в результате исключения
физически бесконечно малых масштабов внутри точек сплошной сре-
среды. Она характеризуется соответствующими квантовыми «интегра-
«интегралами столкновений».
Во-вторых, диссипация в кинетических уравнениях может опреде-
определяться неидеальными (диссипативными) граничными условиями, на-
например, диффузионным отражением атомов или их захватом. Это от-
отвечает так называемому «бесстолкновительному приближению». Оно
широко используется в теории газов и плазмы. В теории плазмы со-
соответствующие кинетические уравнения были введены в работе (Вла-
(Власов, 1938) — уравнения Власова. Они должны быть дополнены соот-
ветствущими диссипативными граничными условиями.
В квантовой теории для описания бесстолкновительного прибли-
приближения может быть использовано уравнение Шредингера, но дополнен-
дополненное граничными условиями, которые, как правило, являются диссипа-
диссипативными. В их качестве может выступать, например, поглощающий
экран. Вспышки на экране сигнализируют попадание частицы в неко-
некоторую точку экрана. При этом в силу выполнения условия нормировки
для волновой функции волновая функция становится равной нулю во
всех точках кроме вспыхнувшей точки экрана — происходит коллапс
волновой функции.
При последовательном попадании на экран многих частиц в си-
силу волнового характера уравнения Шредингера и чистого ансамбля,
отвечающего уравнению Шредингера, на экране вырисовывается ин-
интерференционная картина.
Само уравнение Шредингера, согласно изложенному, является при-
примером волнового уравнения сплошной среды, но без учета диссипации.
В классической теории бесстолкновительной плазмы ему отвечает ки-
кинетическое уравнение Власова — уравнение для функции распределе-
распределения.
Используя эту терминологию, можно сказать, что уравнение
Шредингера — волновое уравнение сплошной среды, отвечающее бес-
столкновительному приближению. При этом волновые свойства — ин-
интерференционная картина на экране, проявляются при последователь-
последовательном попадании на экран большого числа частиц.

260 Глава 10. Эволюция квантовых открытых систем
Таким образом, выявление и описание дуализма волна-частица мо-
может быть проведено на основе уравнения Шредингера с учетом дис-
сипативных граничных условий.
Эпиграф к этой главе взят из доклада Вернера Гейзенберга и Мак-
Макса Борна на 5-м историческом Сольвеевском конгрессе в 1927 году.
Изложенное в этой главе позволяет судить насколько оправдано про-
провозглашенное в этом докладе утверждение о завершенности кванто-
квантовой механики.
В этом году отмечается и 75-летие Принципа неопределенности
Гейзенберга. В связи с этим интересно отметить некоторые моменты
на пути формулировки этого Принципа, а также продемонстрировать
возможности его обобщения на основе Физики открытых систем. Это-
Этому и посвящена следующая глава.

А ЛАВА. 11 Принцип неопределенности Гейзенберга
с точки зрения физики открытых системах
The more precisely the position
is determined, the less precisely
the momentum is known in this
instant, and vice versa.
Werner Heisenberg, Uncertainty paper, 1927
§11.1. Введение
Эпиграф представляет формулировку Принципа неопределеннос-
неопределенности, данную самим Гейзенбергом. В этом году отмечается 75-летие
Принципа неопределенности Гейзенберга. Приведем современную
оценку роли этого Принципа (Ландау и Лифшиц, 2001). Том III этого
курса «Квантовая механика» открывает параграф «Принцип неопре-
неопределенности». На стр. 14 читаем:
«Таким образом, механика, которой подчиняются атомные
явления, — так называемая квантовая или волновая механика,
должна быть основана на представлениях о движении, принци-
принципиально отличных от представлений классической механики.
В квантовой теории не существует понятия траектории части-
частицы. Это обстоятельство составляет содержание так называемо-
называемого принципа неопределенности — одного из основных принци-
принципов квантовой механики, открытого Гейзенебергом в 1927 году.
Отвергая обычные представления классической механики,
принцип неопределенности обладает, можно сказать, отрица-
отрицательным содержанием. Естественно, что сам по себе он совер-
совершенно недостаточен для построения на его основе новой меха-
механики частиц. В основе такой теории должны лежать, конечно,
какие-то положительные утверждения, которые будут рассмот-
рассмотрены ниже».
В этих словах звучат два «мотива».
Первый:
«В квантовой теории не существует понятия траектории
частицы. Это обстоятельство составляет содержание так на-
называемого Принципа неопределенности — одного из основных
Принципов квантовой механики».
Второй:

262 Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга...
«Отвергая обычные представления классической механики,
принцип неопределенности обладает, можно сказать, отрица-
отрицательным содержанием. Естественно, что сам по себе он совер-
совершенно недостаточен для построения на его основе новой меха-
механики частиц».
В приведенных отрывках содержится очень высокая, но, вместе
с тем, двойственная оценка роли Принципа Гейзенберга. Чтобы оце-
оценить роль Принципа неопределенности Гейзенберга с позиций Физики
открытых систем, полезно кратко проследить за историей его уста-
установления. Обратимся для этого к книге Даниила Данина «Нильс Бор»
(Молодая гвардия, Москва, 1978).
Начало истории «Принципа» относится к февралю 1926 — ко вре-
времени, когда трудами Луи де Бройля и Эрвина Шредингера были зало-
заложены основы «Волновой механики», а трудами Вернера Гейзенберга
— основы «Квантовой механики». В одной из работ Шредингера была
установлена эквивалентность этих двух способов описания процессов
в микромире. Оба эти названия и в настоящее время выступают на
равных правах.
Рождение Принципа происходило в атмосфере тесного сотрудни-
сотрудничества многих выдающихся ученых разных стран. Среди них Нильс
Бор — основатель квантовой механики, Альберт Эйнштейн, Вольф-
Вольфганг Паули, Поль Дирак, Макс Борн.
Несмотря на фантастические успехи квантовой теории, многие
принципиальные вопросы физической трактовки оставались неясны-
неясными. Стремление к более глубокому пониманию новой механики сти-
стимулировало новые исследования принципиальных вопросов. Истины
рождались в дискуссиях. Для Гейзенберга основным собеседником и
в то же время оппонентом был Нильс Бор.
Первый вариант статьи Гейзенберга, в которой сформулирован
Принцип неопределенности был написан в 23 феврале 1927 года. Ста-
Статья не была отослана в редакцию журнала — Гейзенберг ждал Бора,
который в то время проводил отпуск в Норвегии. По возвращении до-
домой Бор нашел на своем столе рукопись статьи Гейзенберга. О реак-
реакции Бора можно судить по рассказу Оскара Клейна:
«...Поначалу Бор отнесся с истинным восхищением к этой
замечательной формуле. А в то же время ему стало как-то не по
себе, быть может, потому, что все это роилось в его собственной
голове, да не успело оформиться до конца».
Далее читаем:
«Бор и Гейзенберг не спешили сойтись для объяснения.
Старший — по сложным психологическим причинам, младший
— по более простым:

§11.1. Введение 263
...Я чувствовал, что у Бора вызовет недовольство мое истол-
истолкование проблемы...»
Гейзенберг Куну:
Но «...я никогда не послал бы мою работу в печать, прежде
чем не узнал бы, что Бор одобряет ее»».
Далее по Данину:
Судьба свела Бора и Гейзенберга на лесной дороге. Гейзен-
Гейзенберг сразу перестал улыбаться. Хоть и представлявший недо-
недовольство Бора, он почувствовал растерянность: атака началась
совсем не с той стороны, откуда он ее ожидал:
«Я не знал, что мне отвечать на возражения Бора...»
...Нильс Бор уличал его в неумении строго обращаться с теорией
классического прибора... С разрешающей силой микроскопа на сей раз
у Гейзенберга было все в порядке, да только там существовали дру-
другие тонкости, а с ними-то и обошелся в своем анализе грубо. Возник
туман. Ставилась под удар достоверность самого вывода Соотноше-
Соотношения неопределенностей.
Гейзенберг (историкам):
«Внутренне я был чуть ли не в бешенстве от этой полеми-
полемики, и Бор уходил тоже заметно рассерженный, потому что су-
сумел распознать мою реакцию, хотя я и старался внешне ее не
выдать».
Гейзенберг (тридцать шесть лет спустя — Томасу Куну):
«Через несколько дней мы снова встретились в Копенгагене
и Бор втолковывал мне, где я был не прав, и пытался объяснить,
что в таком виде печатать статью не следовало бы. Помню,
как это кончилось: у меня брызнули слезы — я разрыдался,
потому что просто не сумел вынести давления Бора. Все это
было крайне неприятно...»
«Спустя несколько дней мы согласились, что статья может
быть опубликована, если подвергнется исправлению в опреде-
определенных местах, и я должен признать, что это были очень важ-
важные улучшения... В конце я сделал примечание, что обсуждал
свою работу с Бором и что результатом этих дискуссий явились
существенные изменения в тексте».
23 марта 1927 года статья о Соотношении неопределенности была
направлена в печать.
Каково же мнение А. Эйнштейна о Соотношении неопределеннос-
неопределенности? 13 апреля 1927 года — еще до выхода статьи Гейзенберга из пе-
печати — Бор направил Эйнштейну следующее письмо:
«Дорогой Эйнштейн!
Перед своим отъездом на каникулы в Баварию Гейзенберг
попросил меня послать Вам экземпляр ожидавшейся корректу-

264 Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга...
ры его новой работы, ибо он был исполнен надежды, что она
вызовет Ваш интерес...»
Ответа на это письмо не последовало.
По Данину:
Эйнштейн ознакомился с работой Гейзенберга.
Вывод формулы Гейзенберга был неопровержим. И он сразу
понял: однозначная определенность событий теперь исчезала из
физической картины мира безвозвратно. Но его чувство приро-
природы не смирилось. Да, Соотношение неопределенности выведено
из основ квантовой механики — и выведено хорошо! — однако
еще остается вопрос: хороши ли сами эти основы? Разве доказа-
доказано, что они с нужной ПОЛНОТОЙ отражают микрореальность?
§11,2. Статистическое представление соотношения
неопределенности
11.2.1. Соотношение неопределенности в сплошной среде.
Вернемся к приведенной цитате из Курса Ландау и Лифшица:
«...В квантовой теории не существует понятия
траектории частицы. Это обстоятельство составляет
содержание так называемого принципа неопределенности —
одного из основных принципов квантовой механики,
открытого Гейзенебергом в 1927 году».
К вопросу обоснования принципа неопределенности Гейзенберга
можно подойти с другой позиции. Она основана на введенном выше
представлении уравнения Шредингера, как одного из уравнений меха-
механики сплошной среды, но без учета в нем диссипации. В этом отно-
отношении уравнение Шредингера аналогично уравнению Эйлера в гид-
гидродинамике и уравнению Власова в теории плазмы.
Итак, как и любые уравнения механики сплошной среды, уравне-
уравнение Шредингера является приближенным и, вдобавок, не учитывает
диссипацию. Без учета диссипации невозможно, однако, описать, на-
например, излучение и поглощение света атомами, а также эволюцию к
равновесному состоянию. Для описания этих явлений надо использо-
использовать квантовые диссипативные кинетические уравнения для матрицы
плотности. При использовании уравнений сплошной среды, как клас-
классических, так и квантовых, понятие частицы и ее траектории теря-
теряет смысл: в сплошной среде нет частиц! По этой причине отсутствие
траекторий в квантовой теории не является «заслугой» Принципа не-
неопределенности .
В теории газов и плазмы и в теории броуновского движения кине-
кинетические уравнения сплошной среды позволяют вычислить дисперсии
координат и импульсов, которые входят в соотношение неопределен-
неопределенности Гейзенберга. В чем же тогда квантовая специфика соотношения

§11.3. Соотношение неопределенности Гейзенберга 265
неопределенности? На каких предпосылках основан вывод этого фун-
фундаментального Принципа?
Здесь существенны два момента.
Квантовая теория обязана своим существованием открытию План-
ком кванта действия ft. Кванту действия пропорциональна длина вол-
волны де Бройля \в = h/mv. При условиях, когда длина волны де Брой-
ля порядка или больше характерного масштаба (А# > L), возникает
необходимость замены числового представления физических величин
соответствующими операторами.
Представление физических величин в виде операторов и наличие
волновой функции, с помощью которой вычисляются средние значе-
значения физических величин, соответствующих тем или иным операто-
операторам, достаточно, как мы увидим, для установления Соотношения не-
неопределенности Гейзенберга. При этом вид уравнения для волновой
функции, т.е. конкретный вид уравнения Шредингера, не является су-
существенным. Важно лишь само существование волновой функции.
Расчеты дисперсии координаты и импульса могут быть проведены
на основе кинетического уравнения и при отличной от нуля темпера-
температуре Т. Однако произведение дисперсий при Т ф О зависит в общем
случае не только от постоянной Планка — кванта действия, но и от
частоты осциллятора и температуры.
Именно в этом и состоит общность Соотношения неопределенности
Гейзенберга. Более того, оно ограничивает произведение дисперсий не
только координаты и импульса, но и любой пары некоммутирующих
величин.
11.2.2. Теорема Нернста в формулировке Планка. Состоя-
Состояние системы атом-поле при Т = О характеризуется отличным от нуля
значением энтропии. Оно определяется константой, к которой стре-
стремится энтропия в пределе Т —> 0. Этот результат служит иллюстра-
иллюстрацией теоремы Нернста. В формулировке Планка она гласит:
энтропия стремится к постоянному значению. При
этом все процессы, происходящие при нулевой температуре,
идут без изменения энтропии.
Рассмотрим теперь как установливается соотношение неопреде-
неопределенности Гейзенберга в квантовой механике
§11.3. Соотношение неопределенности Гейзенберга
11.3.1. Осцилляторная форма соотношения Гейзенберга.
Из курсов квантовой механики известно, что Соотношение неопреде-
неопределенности Гейзенберга следует из очевидного неравенства
2 ,

266 Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга...
Здесь L предполагается произвольным параметром длины и i>(x, t)
— некоторая волновая функция. Ниже значение параметра L будет
кон кретизировано.
Здесь не предполагается, что функция ф(х,Ь) удовлетворяет урав-
уравнению Шредингера. Важно, что она существует и с ее помощью можно
определять средние значения операторов, соответствующих физичес-
физическим величинам. В их число входят и дисперсии координаты и импуль-
импульса. При (х) = 0, (р) = 0 дисперсии координаты и импульса определя-
определяются формулами:
г*
Используя эти формулы, представим неравенство A1.3.1) в виде
квадратичного неравенства для L2
Перепишем это неравенство в виде:
Поскольку левая часть здесь положительна, то для выполнения
неравенства при произвольных значениях параметра L правая часть
не может быть отрицательной. Из этого условия при любом выборе
параметра L и следует Соотношение неопределенности Гейзенберга:
<*2> <Р2> > ?• (П.3.5)
Приведенный вывод соотношения неопределенности очень прост и
изящен с математической точки зрения.
Попробуем выявить физический смысл исходного неравенства
A1.3.1), а также найти ответы на вопросы:
В чем физическое отличие состояний отвечающих Соотношению
неопределенности при знаке «равенство» и знаке «больше»?
Можно ли обобщить Соотношение неопределенности на отличные
от нуля температуры?
Останется ли оно справедливым для смешанного ансамбля?
§11.4. Принцип Гейзенберга с точки зрения физики
открытых систем
Чтобы придать физический смысл исходному неравенству A1.3.1)
воспользуемся определением квантовой функции распределения —
функции Вигнера (см. гл.10 и (Климонтович, 1995, 2001; Татарский,

§11.4. Принцип Гейзенберга с точки зрения физики открытых систем 267
1983). Для чистого ансамбля она связана с волновой функцией ф(г^)
равенством:
х exp(-irp) ^p-dr. A1.4.1)
Соответствующее условие нормировки имеет вид:
В общем случае (исключение составляет, например осциллятор)
функция Вигнера может принимать и отрицательные значения, поэ-
поэтому ее нельзя рассматривать, как функцию распределения в смысле
теории вероятности. Однако интегралы (по-отдельности) по импуль-
импульсам и координатам определяют функции распределения, соответствен-
соответственно, координат и импульсов:
J \2. (И.4.3)
Здесь <р(р, t) — волновая функция в импульсном пространстве.
Используя определение функции Вигнера A1.4.1) и ее свойства
A1.4.3), можно переписать исходное неравенство A1.3.1) в эквива-
эквивалентной форме:
Преимущество этого представления в том, что оно остается спра-
справедливым и для смешанного ансамбля, когда в формуле A1.4.1) вмес-
вместо произведения волновых функций стоит матрица плотности
p(r',r",t) = (r(r",tWr',t)), A1.4.5)
которая в общем случае не распадается на произведение волновых
функций.
11.4.1. Свободная частица. В приведенных неравенствах вели-
величина L — пока еще произвольный параметр длины. Конкретизируем
его смысл. Поскольку приведенные неравенства не накладывают огра-
ограничения на вид уравнения Шредингера, то можно предположить, что
мы имеем дело со свободной частицей, которая находится в области с
характерным масштабом L.

268 Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга...
В этом случае неравенство A1.4.4) удобно переписать в виде
Я2 х2 р2 \ mt „dxdp h2 ,лл л ЛХ
До сих пор предполагалось, что L — свободный параметр длины.
Однако, из выражения A1.4) при знаке «=» следует связь величины
L2 с равновесными (индекс «О» ) значениями дисперсии (х2H, (р2H
С учетом этих соотношений выражение A1.4.6) при знаке «=» об-
обращается в тождество.
Вернемся к исходному выражению A1.3.1) при знаке «=» оно пре-
превращается в уравнение. С его помощью находим функцию распреде-
распределения координаты свободной частицы в равновесном (наиболее хао-
хаотическом) состоянии
/ ~2 \ г2
{х2H=-. A1.4.8)
Естественно, что вместо неравенства A1.3.1) исходное неравенст-
неравенство можно записать для волновой функции в импульсном представле-
представлении. Тогда при знаке равенства «=» будет следовать уравнение для
волновой функции <ро(р) в импульсном пространстве. Соответствую-
Соответствующая функция распределения определяется выражением
«•¦?• (п-4-9»
И пользуя связь квадрата параметра L с дисперсиями координаты
и импульса, неравенство A1.4.6) можно записать в виде
Рассмотрим теперь другую интерпретацию параметра L2.
11.4.2. Осцилляторная форма Соотношения неопределен-
неопределенности. В приведенных формулах L — произвольный параметр дли-
длины в том смысле, что от его выбора не зависит Соотношение неопре-
неопределенности Гейзенберга A1.3.5). Интересен, однако, и другой выбор
параметра L. Будем трактовать левую часть неравенства A1.4.4) как
среднее значение энергии гармонического осциллятора, собственная
частота которого определяется выражением

§11.4. Принцип Гейзенберга с точки зрения физики открытых систем 269
П Н2 1„
Ш0 = ШЬ2' Ъпп = 2*"°- (И-4Л1)
В результате неравенство A1.4.4) принимает вид:
Я
Оно означает, что средняя энергия произвольного гармонического
осциллятора не может быть меньше энергии нулевых колебаний на
собственной частоте uq. Это неравенство сводится к квадратичному
неравенству для частоты (ср с неравенством A1.3.3)
ио 7-2x^0 + 2 \ \, > 0. A1.4.13)
т(х2) т2 (х2) ~ v '
Естественно, что и из этого неравенства следует Соотношение не-
неопределенности Гейзенберга A1.3.5), так как оно не зависит от выбора
параметра L.
Итак, для доказательства соотношения неопределенности нет не-
необходимости знать уравнения Шредингера для волновых функций
ф(х, tf), c(p, t) или соответствующее уравнение для квантовой функции
распределения Вигнера /(ж,р, ?). Важно лишь, что такие функции су-
существуют.
Осцилляторная трактовка соотношения неопределенности привле-
привлекает своей наглядностью и, вместе с тем, она удобна для обобщения
приведенных результатов на случай отличной от нуля температуры.
11.4.3. Осцилляторная модель при знаке «=». Параметр L
при знаке «=», т.е. в равновесном (наиболее хаотическом состоянии)
связан с дисперсией координаты и импульса осциллятора с собствен-
собственной частотой ojq соотношениями:
или, в иной форме,
« <">
Из приведенных формул следует, что по-отдельности дисперсии
координаты и импульса зависят от произвольного параметра шо (или
L). Эта зависимость выпадает только из произведения дисперсий.
Благодаря этому при нулевой температуре соотношение Гейзенберга
и является универсальным.

270 Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга...
§11.5. Квантовая функция распределения
при знаке «=»
Итак, при знаке «=» исходное неравенство превращается в урав-
уравнение, решение которого приводит к распределению Гаусса A1.4.8).
Если вместо A1.3.1) использовать аналогичное неравенство с волно-
волновой функцией в импульсном представлении, то при знаке «=» полу-
получим уравнение, которому удовлетворяет распределение Гаусса по им-
импульсам A1.4.9). Чтобы получить совместное распределение Вигнера
/о(я,р), в котором дисперсии координаты и импульса определяются
Соотношением Гейзенберга A1.3.5) при знаке «=», надо обратиться
к системе уравнений D.10.2), D.10.7) книги (Климонтович, 2001) для
квантовой функции распределения — функции Вигнера. В результате
получим совместное распределение Гаусса по значениям координаты
и импульса гармонического осциллятора с собственной частотой и>0
(ши)
Дисперсии (ж2) , (р2) определяются формулами A1.4.15) и связаны
Соотношением Гейзенберга A1.3.5) при знаке «=».
На основе системы уравнений D.10.2), D.10.7) книги (Климонто-
(Климонтович, 2001) можно найти функцию Вигнера при произвольной тем-
температуре. Оно отличается от распределения A1.5.1) с дисперсиями
A1.4.15) заменой
coth ^ = квТШ0. A1.5.2)
Это позволяет провести обобщение приведенных выше формул,
включая и Соотношение неопределенности Гейзенберга, на случай от-
отличной от нуля температуры. Приведем соответствующие формулы.
§11.6. Соотношение неопределенности Гейзенберга
для отличной от нуля температуры
При отличной от нуля температуре естественное обобщение нера-
неравенства A1.4.12) имеет вид:
Оно означает, что при произвольной температуре средняя энергия
осциллятора для любого неравновесного состояния больше его равно-
равновесного значения.

§11.6. Соотношение неопределенности Гейзенберга... 271
Представим неравенство A1.6.1) в виде:
шо ^Цго>о coth ?Ц- + У* '.. > 0. A1.6.2)
и т{х2) 2квТ т2(х2) - К '
При нулевой температуре оно совпадает е неравенством A1.4.13).
Из A1.6.2) следует:
Отсюда находим обобщенное на произвольные значения темпера-
температуры соотношение неопределенности Гейзенберга
Правая часть зависит теперь не только от ft, но и от двух пара-
параметров: собственной частоты осциллятора и температуры. Эта зави-
зависимость входит через отношение двух параметров действия: ft — по-
постоянной Планка, и «теплового параметра действия квТ/и>о.ъ> Кван-
Квантовый предел (Т = 0) отвечает пренебрежимо малому значению «теп-
«теплового параметра действия квТ/ио». В этом пределе справедливо Со-
Соотношение Гейзенберга. Напротив, при высоких температурах, когда
квантовый параметр действия пренебрежимо мал, Соотношение Гей-
Гейзенберга принимает вид:
По отдельности дисперсии координаты и импульса при произвольной
температуре можно определить с помощью квантовой функции рас-
распределения
( ГГШ)пХ2 р2 \
\ 2квТШо 2тквТШо/
Для свободной частицы в приведенных формулах надо произвести
замену
Wo->^_. A1.6.7)
В результате обобщенное на произвольные температуры соотно-
соотношение неопределенности Гейзенберга принимает вид:
A1.6.8)
Традиционный вывод Соотношения неопределенности основан на
формальном неравенстве A1.3.1), которое не имеет физической трак-
трактовки. В этом отношении более интересным является неравенство

272 Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга...
A1.4.6). Смысл его ясен — средняя энергия осциллятора при усредне-
усреднении с произвольной квантовой функцией распределения — функцией
Вигнера, не может быть меньше энергии нулевых колебаний. Смысл
равенства будет установлен в следующем параграфе. Будет показа-
показано, что соответствующее состояние отвечает наибольшему значению
энтропии и, следовательно, является наиболее хаотическим. Это озна-
означает, что любое состояние с квантовой функцией распределения, как
для чистого, так и смешанного ансамбля, является более упорядочен-
упорядоченным. Сопоставление относительной степени упорядоченности будет
проводиться на основе критерия «5-теорема».
§11.7. Относительная упорядоченность состояний при
знаках «=», «>» в Соотношении
неопределенности
11.7.1. 5-теорема для квантовых систем. Рассмотрим вопрос
об относительной степени упорядоченности состояний, отвечающих
знакам «=», «>» в соотношении Гейзенберга.
Пусть, по предположению, квантовое состояние, соответствующее
знаку «=» является наиболее хаотическим. Это предположение будет
оправдано ниже. Для состояний при знаке «=» и при нулевой темпера-
температуре (Т = 0) квантовая функция распределения /о(ж,р) определяется
выражением A1.5.1). Эта функция распределения положительна, поэ-
поэтому можно использовать соответствующее выражение для энтропии:
So[x,p] = - / fo{x,p)lnfo(x,p)-?-^ = - / /о (ж) In /о (ж) -j--
Среднее значение энергии совпадает при этом условии с нулевой
энергией
<»¦«>
Для всех состояний «^» в силу неравенства A1.4.12) средняя энергия
имеет большее значение.
Согласно 5-теореме для определения относительной степени упо-
упорядоченности необходимо проводить сравнение значений энтропии
при одинаковых значениях средней энергии. Чтобы удовлетворить

§11.7. Относительная упорядоченность состояний при знаках «=», «>»... 273
этому условию необходимо, как и в классической теории, произвести
ренормализацию функции распределения:
/о(«,р)->/о(в,р). A1.7.3)
Функция /о(ж,р) также является распределением Гаусса, но с пе-
перенормированными значениями дисперсий {%2H ? (р2H
Для выравнивания средней энергии мы «подогреем» исходное со-
состояние до некоторой температуры Т. В результате имеем равенства:
(*2> = kBfU0 = ±Пи,0coth ^ > \bw0. A1.7.5)
Рассмотрим теперь произвольную квантовую функцию распреде-
распределения — функцию Вигнера /(ж,р, t). Она может характеризовать как
неравновесное стационарное, так и нестационарное состояния. В со-
соотношении Гейзенберга они отвечают знаку «>».
Квантовые функции распределения /(ж,р, t) могут принимать
и отрицательные значения, но соответствующие распределения по-
отдельности для координаты и импульса всегда положительны
> -0| //(ж'р'г)Т = /(ж'г) -0|
L = \[-^-. A1.7.6)
у гпш
В равновесном состоянии функция fo(x,p) = fo{x)fo(p). Соответ-
Соответствующее выражение для энтропии имеет вид A1.7.1).
Для стационарных распределений /(ж,р) значение температуры,
необходимое для перенормировки функции распределения, находим
путем решения уравнения
Решение этого уравнение таково, что имеет место неравенство
f >0. (И.7.8)
Этот результат подтверждает правильность выбора состояния со
знаком «=» в соотношении Гейзенберга в качестве наиболее хаоти-
хаотического состояния.

274 Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга...
Используя выражение A1.7.4) для перенормированного распреде-
распределения /о(#,р) и условие A1.7.7) для средней энергии, выражения для
разности энтропии по переменным бир, соответственно, при знаках
«=», «>» можно представить в виде неравенств
So[x]-S[x]=
(МIп4тТ
/о (я)
So\p)-S\p) = I ДР,<Iп4^Ц > 0. A1.7.9)
Таким образом, состояние со знаком «=» в соотношении Гейзен-
Гейзенберга по критерию «5-теорема» является наиболее хаотическим. По-
Последние выражения дают количественную меру для относительной
степени упорядоченности наиболее хаотических (знак «=») и произ-
произвольных (знак «>») квантовых состояний по переменным жир, соот-
соответственно.
§11.8. Энтропия и информация квантовых открытых
систем
Применим здесь приведенное в гл.2 общее определение информации
открытой системы. В результате получим выражения:
I[x,t] = S0[x] - S[x,t] > 0; A1.8.1)
Таким образом, по критерию «5-теорема» любое возбужденное
(стационарное или неравновесное) состояние является более инфор-
информативным, чем перенормированное основное состояние — состояние
при знаке «=» в Соотношении Гейзенберга. Для основного состояния
квантовой системы информация равна нулю.
Заметим в связи с этим, что информация Больцмана E-
информация) отлична от от нуля и для основного состояния кванто-
квантовой системы. Значение So определяет соответствующую константу в
законе Нернста — энтропию системы при нулевой температуре.
Приведем пример создания более упорядоченного состояния в кван-
квантовой системе. Объектом служит квантовый генератор света — лазер.
Рассматриваем двухуровневую систему. Нижний уровень — ос-
основное состояние, отвечающее знаку равенства в Соотношении Гей-
Гейзенберга. За счет энергии внешнего источника осуществляется «на-
«накачка». В результате возникает инверсная заселенность — состояние,
при котором число атомов на верхнем уровне больше, чем на нижнем.
Тем самым, согласно изложенному, создается более упорядоченное со-
состояние, отвечающее в Соотношении неопределенности знаку «боль-
«больше». В результате создается условие, необходимое для источника ко-
когерентного (упорядоченного) излучения.

§11.9. Итоги главы 275
§11.9. Итоги главы
Вернемся к исходному неравенству A1.3.1). Из него следует Соот-
Соотношение неопределенности Гейзенберга. При этом уравнение Шредин-
гера не используется. Важно лишь, что существует волновая функция.
Нет необходимости и придания какого-либо физического значения па-
параметру L в исходном неравенстве A1.3.1).
Во многих курсах по квантовой механике Соотношение неопреде-
неопределенности Гейзенберга устанавливается именно на основе неравенства
A1.3.1). Взгляд на Соотношение неопределенности с позиций Физи-
Физики открытых систем позволяет уточнить и, вместе с тем, расширить
роль Принципа Гейзенберга. В связи с этим напомним одно из утверж-
утверждений, содержащихся в приведенной в начале главы цитате из курса
«Квантовая механика» Ландау и Лифшица.
«Таким образом, механика, которой подчиняются атомные явле-
явления, — так называемая квантовая или волновая механика, должна
быть основана на представлениях о движении, принципиально отлич-
отличных от представлений классической механики В квантовой теории не
существует понятия траектории частицы. Это обстоятельство состав-
составляет содержание так называемого принципа неопределенности — од-
одного из основных принципов квантовой механики, открытого Гейзене-
бергом в 1927 году».
С точки зрения Физики открытых систем для такого утверждения
нет оснований. Действительно, в квантовой механике атом водорода,
например, представляет замкнутую систему, которая описывается об-
обратимым уравнением Шредингера для волновой функции в трехмер-
трехмерном пространстве. На его основе можно определить спектр возмож-
возможных значений энергии и найти соответствующие собственные функ-
функции, однако невозможно описать переходы между уровнями, определя-
определяющие процессы излучения и поглощения — нельзя описать реальную
«жизнь атома».
С этой точки зрения уравнение Шредингера, не содержащее инфор-
информации о флуктуационном электромагнитном поле, является весьма
приближенным. Оно представляет пример уравнения сплошной сре-
среды, но без учета диссипации. В этом отношении оно аналогично урав-
уравнению Эйлера в гидродинамике.
Понятие траектории частиц отсутствует для всех уравнений
сплошной среды. Представление о траекториях частиц исчезает в про-
процессе усреднения по соответствующим физически бесконечно малым
объемам — по «точкам» сплошной среды. Именно это и является при-
причиной отсутствия траекторий частиц, как для классических, так и для
квантовых уравнений сплошной среды и, следовательно, и для урав-
уравнения Шредингера.

276 Глава 11. Принцип неопределенности Гейзенберга...
На основе Физики открытых систем можно переопределить исход-
исходное неравенство, из которого следует Соотношения неопределенности
Гейзенберга, и обобщить его на произвольные температуры. Крите-
Критерий относительной упорядоченности состояний атомов в флуктуаци-
онном поле — критерий «5-теорема», позволяет сравнить степень от-
относительной упорядоченности состояний при знаках «больше» и «рав-
«равно». Состояние, отвечающее знаку равенства соответствует макси-
максимальному значению энтропии и, следовательно, является наиболее ха-
хаотическим.

Заключение
Вернемся к Предисловию. В нем приведена информация о недавно
опубликованных монографиях по многим актуальным научным проб-
проблемам. Знакомство с ними утвердило автора во мнении о необходи-
необходимости представления идей и методов «Физики открытых систем» на
уровне, доступном специалистам по разным разделам естествознания,
социологии и экономики. Наличие такого «связующего» звена облег-
облегчит специалистам разного профиля достижение лучшего взаимопони-
взаимопонимания, а также облегчит знакомство с книгами более высокого уровня,
в частности, приведенными в Списке литературы.
Для лучшей ориентировки в «море» современных научных проб-
проблем в Предисловии был приведен Перечень ключевых слов и понятий,
которые по мнению автора очерчивают область научного направле-
направления «Физика открытых систем».
Кроме задачи изложения идейных основ «Физики открытых сис-
систем» на уровне доступном научным сотрудникам разного профиля, в
книге сделана попытка решения и второй задачи — демонстрация эф-
эффективности единого подхода Физики открытых систем для описания
разнообразных явлений. Их выбор и отражен в приведенном Перечне
выделенных ключевых слов и понятий.
Многое из изложенного в этом томе повторяет содержание трех-
трехтомной монографии автора «Статистическая теория открытых сис-
систем» A995, 1999, 2001), но на значительно более доступном уровне.
Сказанное относится, в частности, к главе 1 «Физика открытых сис-
систем без формул». Кроме того в этой книге рассматриваются и многие
новые проблемы, например, фрактальные структуры, геометрия и фи-
физика фракталов, степенные закономерности и распределение Леви.
Материал книги при принятом едином подходе описания очень раз-
разнообразен. Естественно, что не все удалось изложить с желаемой сте-
степенью ясности. Об этом лучше судить читателям. У некоторых из них
снова может возникнуть вопрос: А будет ли продолжение? Хотелось
бы, чтобы продолжение осуществляли Читатели. Если это произой-
произойдет, то основная цель, поставленная автором при написании этой и
предыдущей книг, будет достигнута.

Список литературы
1. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в
оптике. («Наука», Москва, 1988).
2. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой. «Колледж» Саратов,
2000).
3. Анищенко Т.Г., Сапарин П., Анищенко B.C. О критерии относительной
степени упорядоченности автоколебательных процессов. Иллюстрации S-
теоремы Климонтовича. Письма в ЖТФ 24 A993) 195.
4. Анищенко B.C., Сапарин П.И., Курте Ю., Витт А., Фосс Ф. Анализ дина-
динамики сердечного ритма человека на основе критерия перенормированной
энтропии. Прикладная нелинейная динамика 2 A994) 55.
5. Бакай А.С, Сигов Ю.С. Многоликая турбулентность. («Наука», Москва,
1996).
6. Баренблат Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптоти-
асимптотика. (Гидрометеоиздат, Ленинград, 1982).
7. Белокуров В.В, Тимофеевская О.Д., Хрусталев О.А. Квантовая телепорта-
ция — обыкновенное чудо. (Р and С Dynamics, Ижевск, 2000).
8. Белоцерковский О.М. Предисловие к сборнику «Этюды о турбулентнос-
турбулентности». («Наука», Москва, 1994).
9. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.
(«Наука», Москва, 1994).
10. Боголюбов Н.Н. Лекции по квантовой статистике. (Избранные труды,
т.2, «Наукова Думка», Киев, 1971.
11. Волькенштейн М.В. Энтропия и информация. Москва, «Наука», 1986.
12. ГалимовЭ.М. Феномен жизни. Между равновесием и нелинейностью. Про-
Происхождение и принципы эволюции. («УРСС», Москва, 2001).
13. Гладышев Г.П. Термодинамика и макрокинетика. («Наука», Москва, 1988).
14. Гончар В.Ю., Танатаров Л.В., Чечкин А.В. Стационарные решения дробно-
дробного кинетического уравнения со степенным симметричным потенциалом.
Теоретическая и математическая физика. 131 B002) 162-176.
15. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. (Постмаркет, Москва,
2001).
16. Дженмер М. Эволюция понятий квантовой механики. («Наука», Москва,
1985)
17. Дойч Д. Структура реальности. (R and С Dynamics, Москва-Ижевск, 2001).
18. Иванова B.C., Баланкин А.С, Бунин И.Ж., Оксогоев Ф.Ф. Синергетика и
фракталы в материаловедении. («Наука», Москва, 1994).
19. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. УФН 164,449, 1984.
20. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. Москва: Редакция журнала «Успехи
физических наук, 1997 (in Russian).
21. КлимонтовичЮ.Л., Силин В.П. Спектры систем взаимодействующих час-
частиц и коллективные потери при прохождении частиц через вещество.
УФН 70 247.

Список литературы 279
22. Климонтович Ю.Л. (ред.)- Авторы: Зейгер С.Г., Климонтович Ю.Л., Ланда
П.С, Ларионцев Б.Г., Фрадкин Э.Е. Волновые и флуктуационные процессы
в лазерах. («Наука», Москва, 1974).
23. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория электромагнитных процессов.
Москва: «Наука», 1980; Springer Berlin, Heidelberg, New York, 1983.
24. Климонтович Ю.Л. Статистическое обоснование уравнения Шредингера.
ТМФ 97 A983) 3. "
25. Климонтович Ю.Л., Уменьшение энтропии в процессе самоорганизации. S-
теорема. Письма в ЖТФ (9 A983) 1089).
26. Климонтович Ю.Л., Энтропия и производство энтропии при ламинарных
и турбулентных течениях. Письма в ЖТФ 10 A984) 80.
27. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. («Наука», Москва, 1982;
Harwood Academic Publishers New York, 1986).
28. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. («Наука»,
Москва, 1990; Kluwer Academic publishers, Dordrecht, 1991).
29. Климонтович Ю.Л. Критерий относительной степени упорядоченности
открытых систем. (УФН 166 A996) 1231).
30. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем, T.I.
«Янус», Москва, 1995; Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995.
31. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем, Т.П.
«Янус», Москва, 1999.
32. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем, Т.Ш.
«Янус», Москва, 2001.
33. Клышко Д.Н. Основные понятия квантовой физики с операционной точки
зрения. УФН 168 A998) 973.
34. Кобелев Л.Я. Фрактальная теория времени и пространства. Екатеринбург,
1999.
35. Кобелев Я.Д., Кобелев Л.Я., Романов Б.П. Кинетические уравнения для
больших систем с фрактальными структурами. (Доклады академии наук
России 372 B000), 177).
36. Колмогоров А.Н., Гельфанд И.М., Яглом Ф.М. К общему определению коли-
количества информации. ДАН СССР 111 A956) 745.
37. Корогодин В.И., Корогодина В.Л. Информация как основа жизни. («Фе-
(«Феникс», Дубна, 2000).
38. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. («Наука»,
Москва, 1950).
39. КурдюмовС.П., Князева Б.Н. Законы эволюции и самоорганизации сложных
систем. «Наука», Москва, 1994.
40. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. («Наука—Физматлит», Москва,
1997).
41. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней сво-
свободы. («Наука», Москва, 1980).
42. Ландау Л.Д., Лифшиц Б.М. Квантовая механика. «Наука», Москва, 1974.
43. Ландау Л.Д., Лифшиц Б.М. Теория поля. «Наука», Москва, 1988.
44. Лернер А.Б. (ред.) Принципы самоорганизации. («Мир», Москва, 1966).
45. Лоскутов А.Ю., Михайлов Ф.С. Введение в синергетику. («Наука», Москва,
1990).
46. Лубашевский И.А., Землянов А.А. Континуальное описание аномальной
диффузии по гребешковой структуре. ЖЭТФ 114 A998) 1284.

280 Список литературы
47. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. («Наука», Мос-
Москва, 1968).
48. Менский М.Б. Явления декогеренции и теория непрерывных квантовых из-
измерений. (УФН 168 A998) 1017)
49. Менский М.Б. Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложе-
приложения и новые формулировки старых вопросов. УФН 170 B000) 631).
50. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. («Физматлит», Мос-
Москва, 2001)
51. Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. («Наука«, Мос-
Москва, 1965, 1967; 1992),
52. Нигматулин ТМФ, 3 A992) 354.
53. Ораевский А.Н. Молекулярные генераторы. («Наука», Москва, 1964).
54. Пайтген Х.О., Рихтер П.X. Красота фракталов. («Мир», Москва, 1993).
55. Паташинский Ф.З, Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых пере-
переходов. («Наука», Москва, 1982).
56. Пелюхова Б.Б., Фрадкин Э.Б. Самоорганизация физических систем. (Изда-
(Издательство Санкт-Петербургского университета, 1997).
57. Пригожий И.Р., От существующего к возникающему. Москва, «Наука»,
1985.
58. Пригожий И.Р., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Москва, «Мир» 1984.
59. Романовский Ю.М. Эбелинг В. (редакторы). Молекулярная динамика фер-
ферментов. (Московский университет, 2000).
60. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного
порядка и некоторые их применения. («Наука и техника», Минск, 1987).
61. Сигов Ю.С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и буду-
будущим физики плазмы. («Физматлит», Москва, 2001).
62. СтратоновичР.Л. Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике.
(«Советское радио», Москва, 1961).
63. Стратонович Р.Л. Теория информации. Москва, «Сов.Радио», 1975.
64. Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. («Наука»,
Москва, 1985).
65. Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектрических яв-
явлений в кристаллах. («Наука», Москва, 1995).
66. ТатарскийВ.И. Вигнеровское представление квантовой механики. УФН 139
A983), 587
67. Федер В. (Jens Feder) Фракталы. («Мир», Москва, 1991).
68. Хакен. Г. Информация и самоорганизация. Москва, «Мир», 1991.
69. Хакен Г. Принципы работы головного мозга. (PerSe, Москва, 2001).
70. Хинчин А.Я., Об основных теоремах теории информации, УМН 11 A956)
17-75.
71. ХорштемкеВ., Лефевер Р. Индуцированные шумом переходы. («Мир», Мос-
Москва, 1987).
72. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. («Наука», Москва, 2001).
73. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. (Предисловием
ред. А.Н.Колмогоров) Москва, И-Л, 1963
74. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы (Миниатюры из бесконеч-
бесконечного Рая). (R and С Dynamics, Ижевск, 2001).
75. ШредингерЭ. Что такое жизнь? (R and С Dynamics, Ижевск, 1999).
76. Шустер Г. Детерминированный хаос. («Мир», Москва, 1988).

Список литературы 281
77. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. «Мир»,
Москва, 1979).
78. Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции. (УРСС,
Москва, 2001).
79. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.D., Vadivasova Т.Е., Schimansky-
Geier. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. (Springer,
Berlin, Heidelberg, 2002).
80. Balescu Radu. Statistical Dynamics. (Imperial College Press, London, 1997).
81. Bashkirov A.G., Vityazev A.V. Invormation entropy and power-law distribution
for chaotic systems. (Physica A 277 B000) 136).
82. Beck C, Schloegle F. Thermodynamics of Chaotic Systems. (Cambridge
University Press, 1993).
83. Bedeaux D., Mazur P. Brownian motion and fluctuating hydrodynamics.
(Physica A 76 A974) 247).
84. Bohm D. On the possible Interpretation of Quantum Mechanics on the Basis of
Concept of «Hidden Parameters*, 1952.
85. Braginsky V., Khalili F. Quantum Measurement. (Cambridge, University Press,
1992).
86. Brittin W.E., Chapell W.R. The Wigner Distribution Function and Second
Quantization in Phase Space. Rev of Mod. Physics. 34 620, 1961.
87. Chechkin A.V., V. Yu. Gonchar V, Yu., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L.V.
Stationary States of Non-Linear Oscillators Driven by Levy Noise, Chemical
Physics B002) (in press).
88. Chechkin A.V., V.Yu. Gonchar V, Yu., Szydlowski M. Fractional Kinetics for
Relaxation and Superdiffusion in Magnetic Field. Physics of Plasmas, 9 B002)
78-88.
89. De Broglie L. La Physique Quantique Resterat-Elle Indeterministe? Paris, 1953.
90. Dirac P.A.M. Directions in Physics. John Wiley and Sons New York, 1978.
91. Dodonov V.V., Man'ko V.V., Phys.Rev. A 20 550, 1979.
92. Ebeling W., Freund J., Schweizer F. Komplexe Strukturen: Entropie und
Information. TVeubner Sttutgart, 1998.
93. Ebeling W., Klimontovich Yu.L. Self Organization and Turbulence in Liquids.
(Teubner, Leipzig, 1984).
94. Einstein A. Strahlung Emission und Absorption nach der Quantentheorie.
Verhandl. Dtsch. Phys. Ges.18, 318, 1916.
95. Einstein A., Podolski В., Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of
Physical Reality Be Considered Complete? Phys. Rev.47, 777, 1935.
96. Haken. H., «Synergetics» (Springer, Heidelberg-Berlin-New York, 1978).
97. Haken H. Light. (North-Holland, Amsterdamm 1981).
98. Haken H., «Information and self-organization.» (Springer Heidelberg, Berlin, New
York, 1988).
99. Hillery M., O'Connell R.F., Scilly M.O., Wigner E.P. Distribution functions in
physics: Fundamentals. Physics Reports 106 122-167, 11984.
100. Hoenberg P.C., Halperin B.I. (Rev. Mod.Phys. 49 A977) 435).
101. Klimontovich Yu.L. 1958. On the Method of «Second Quantization» in Phase
Space. Soviet Physics JETF 6 C3) 752.
102. Klimontovich Yu.L. 1980 The Kinetic Theory of Electromagnetic Processes.
Springer Berlin, Heidelberg, New York,1983.
103. Klimontovich Yu.L.:Statistical Theory of Open Systems, Vol.1. Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 1995.

282 Список литературы
104. Klimontovich Yu.L. Is Turbulent motion chaos or order? Is the hydro dynamic or
the kinetic description of turbulent motion more natural? (Physica В 228 A996)
51).
105. Klimontovich Yu.L. Information Concerning the States of Open Systems.
Physica Scripta 58 A998) 549.
106. Klimontovich Yu.L. and Silin V.P. I960 A962). On the Spectra of Systems of
Interacting Particles and he Collective Losses on Passage of Particles Through
Matter. Fortschr. Physik, 10 389.
107. Kobelev V., Romanov Б. The Langevin approach to describe anomalous diffusion.
(Progr.of Theor. Phys. Suppl. 139 B000) 470-476.
108. Lamb W.E. The theory of optical masers. (Phys. Rev. A 134 A964) 420).
109. Lax M. Fluctuation and coherence phenomena in classical and quantum physics.
Gordon and Breach, New York, 1968).
110. Lesieur M. Turbulence in Fluids. (Kluwer Academic Publishers?, Dordrecht,
1990).
111. Lorenz Б. Deterministic Nonperiodic Flow. (J. Atm. Sci. 20 A963) 167.
112. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature . Freeman, New York, 1982.
113. Metzier R., Klafter J. The random walk's guiden to anomalous diffusion: a
fractional dynamics approach. Physics Reports 339 B000) 1-77.
114. Montrol E.W., Bendler J.T. J. Stat. Phys. 195 A984) 129.
115. Peres A. Quantum theory: Concepts and Methods. Kluwer, Dordrecht, 1993.
116. Prigogine l.From Being to Becoming. Freeman, San Francisco, 1980; Пригожий
И.Р. От существующего к возникающему. Москва: «Наука», 1985.
117. Prigogine I., Stengers I. Order out of Chaos. Heinemann, London, 1984; Приго-
Пригожий И.Р., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Москва: «Мир», 1996.
118. Prigogine I. Why Irreversibility? The formulation of classical and quantum
Mechanics for nonintegrable Systems. International Journal Of Bifurcation and
Chaos 5 3 A995).
119. Shannon C, Mathematical Theory of Communication Bell System Techn.J. 27
379 A948).
120. Tsallis C, Levy S., Souza A., and Maynard R. Phys. Rev. Lett. 75 A995) 3589.
121. Wheeler J.A., Zurek W.H. (editors). Quantum Theory of Measurement.
(Princeton, Princeton University Press, 1983).

Предметный указатель
Ансамбль Гиббса
• смешанный 242
• чистый 243
Боголюбова теория сверхтекучести
116
Больцмана распределение сглажен-
сглаженное 152
Больцмана-Шеннона информация 53
Вигнера квантовая функция распре-
распределения 233
Временные корреляции остаточные
106
Время жизни установки 107
Время наблюдения 107
Гамильтона функция эффективная
151
Гейзенберга принципа неопределен-
неопределенности 261
Гиббса распределение каноническое
- теорема 50
Два выхода из области квантовой те-
теории 241
Деградация и самоорганизация 14
Диагностика открытых систем 17
Динамический хаос 17
Динамической неустойчивости кон-
конструктивная роль 24
Диффузия быстрая 238
Длина Комптона 235
Закономерности логарифмические
- степенные 98
Измерения в квантовой теории
- косвенные 255
- прямые 255
Информация Шеннона 53
- открытых систем 54
Квантовые открытые системы 229
Классический квант действия 242
Климонтовича Принцип миниму-
минимума производства энропии
в процессах самоорганиза-
самоорганизации 218
- S- теорема 31
Критерий относительной упорядо-
упорядоченности
- на основании критерия «5-
теорема» модельных урав-
уравнений 31
- экспериментальных данных
65
Ландау теория фазовых переходов
- термодинамика 153
Ланжевена уравнения для атомов в
тепловом поле 239
Масштабы скрытые 245
Норма хаотичности 65
Остаточные временные корреляции
106
Открытые системы
- квантовые 229
Парадоксы квантовой теории 248
Параметры скрытые 243
Принцип неопределенности Гейзен-
Гейзенберга
- в физике открытых систем 261
Принцип минимума производства
энтропии в
- процессах самоорганизации
218
- стационарных состояниях 217
Принцип подчинения 217
Производство энтропии 208
Размерность фрактальных структур
- Хаусдорфа 88
Самоорганизации критерий — 5-
теорема 31
Самоорганизация
- в медико-биологических сис-
системах 65

284
Предметный указатель
- процесс стремления к норме
хаотичности (процесс «са-
«самовыздоровления») 66
Сверхтекучесть и фликкер-шум 116
Скрытые масштабы
- параметры 245
Смешанный ансамбль 243
Сплошной среды приближение 234
Степенные и логарифмические зако-
закономерности 98
5-теорема 31
Термодинамические параметры наи-
наиболее вероятные 153
Томсона модель
- эффективное сечение 246
Тонкой структуры постоянная 236
Уравнение кинетическое в теории
фазовых переходов 122,
157
- - квантовое 256
Фазовый переход
- в сверхтекучем гелии 116
- неравновесный 176
- равновесный 176
Фейнмана формула 149
Физически бесконечно малые мас-
масштабы 234
Фликкер-шум
- в реакционно-диффузионных
системах 113
- естественный 98
- и сверхпроводимость 116
- и сверхтекучесть 116 *
Фликкер-шума диффузионная при-
природа 100
- и сверхтекучесть 122
Флуктуации
- быстрые 162
- медленные 163
Фоккера-Планка уравнение для сис-
системы
атомов-осцилляторов 239
Фракталов геометрия 86
- физика 88
Хаос и порядок 14
Чистый ансамбль 242
Шеннона информация 53
Энтропии производство 208
ISBN 5-8037-0101-7
9785803»701019