Jl о n q л я р-н ы р лекции
ПО МАТЕМАТИКЕ
Г. Е. ШИЛОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
В ОБЛАСТИ
РАЦИОНАЛЬНЫХ 1
ФУНКЦИЙ
НИКИТИНА

ми
СОДЕРЖАНИЕ
,,	4
Предисловие............................. 4
§ 1.	Графики............................ 5
§ 2.	Производные........................21
§ 3.	Интегралы .........................35
Ответы................................. |Э
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основными понятиями математического анализа яв-
ляются понятия производной и интеграла. Эти понятия
не являются элементарными; в любом систематическом
курсе математического анализа им предшествуют теория
вещественных чисел, теория пределов, теория непрерыв-
ных функций. Такая предварительная подготовка не-
обходима, чтобы сформулировать понятия производной
и интеграла в достаточно универсальном виде, с приме-
нениями к возможно более широкому классу функций.
Но если ограничиться лишь сравнительно узким классом
рациональных функций и использовать наглядный язык
графиков, можно рассказать о производной и интеграле
на небольшом числе страниц, притом достаточно акку-
ратно и вместе с тем содержательно. В этом и состоит за-
дача настоящей брошюры, рассчитанной на широкий круг
читателей; уровень знаний школьника 9—10 класса впол-
не достаточен, чтобы понимать все, о чем здесь будет
идти речь.
§ 1. ГРАФИКИ
Хотя мы предполагаем, что читатель умеет обращать-
ся с графиками, мы все же напомним главные моменты.
Начертим па плоскости две взаимно перпендикулярные
прямые, горизонтальную и вертикальную, и обозначим
через О их точку пересечения. Горизонтальную прямую
назовем осью абсцисс, вертикальную — осью ординат.
Каждая из осей делится точкой
О на две полуоси, положитель- '
ную и отрицательную, при в
этом правая полуось оси абс-	।
цисс и верхняя полуось оси	।
ординат считаются	положи-----------------с—>
тельными, а левая полуось оси
абсцисс и нижняя	полуось
оси ординат — отрицательны-
ми. Положительные	полуоси	’	'
отметим стрелками. Местоположение каждой точки
М на плоскости теперь можно определить парой чисел.
Для этого опустим из точки М перпендикуляры на каж-
дую из осей; эти перпендикуляры отсекут на осях отрезки
О А и ОВ (рис. 1). Длину отрезка О А, взятую со знаком
«Д-», если Л лежит на положительной полуоси, и со зна-
ком «—», если А лежит на отрицательной полуоси, будем
называть абсциссой точки Л/ и обозначать через х. Ана-
логично длину отрезка ОВ (с тем же правилом знака)
будем называть ординатой точки М и обозначать через
у. Два числа х и у называются координатами точки М.
Каждая точка на плоскости имеет координаты. Точки
оси абсцисс имеют ординату, равную нулю, точки оси ор-
динат имеют абсциссу, равную нулю. Начало координат
О (точка пересечения осей) имеет обе координаты, равные
5
нулю. Обратно, если даны произвольные два числа х и у
любых знаков, то всегда можно построить и, что весьма
важно, ровно одну точку М, имеющую абсциссу х и ор-
динату у; для этого нужно на оси абсцисс отложить отре-
зок О А = х и из точки А восставить перпендикуляр АМ=
= у (с учетом знаков); точка М и будет искомой.
Пусть дано правило, в котором указано, какие дей-
ствия следует произвести над независимым переменным
(обозначенным через х), чтобы получить значение интере-
сующей нас величины (обозначаемой через у).
Всякое такое правило, как говорят математики, опре-
деляет величину у как функцию от независимого перемен-
ного х. Можно сказать, что данная функция — это и есть
то конкретное правило, по которому из значений х полу-
чаются значения у.
Например, формула
„ _ 1
~	1 + х-
показывает, что для получения значений величины у нуж-
но независимое переменное х возвести в квадрат, приба-
вить единицу и затем единицу разделить на полученный
результат. Если х принимает какое-либо числовое зна-
чение х0, то по нашей формуле и у примет некоторое чис-
ловое значение у0. Числа х0 и у0 определяют некоторую
точку Мо в плоскости чертежа. Вместо хп можно затем
взять другое число xY и по формуле сосчитать новое зна-
чение ур, пара чисел arlt уг определит новую точку
на плоскости. Геометрическое место всех точек плоско-
сти, ординаты которых связаны с абсциссами данной
формулой, называется графиком, соответствующей
функции.
Совокупность точек графика, вообще говоря, беско-
нечна, так что мы не можем рассчитывать фактически по-
строить по указанному правилу их все без исключения.
Но мы обойдемся без этого. В большинстве случаев до-
статочно некоторого небольшого числа точек, чтобы иметь
возможность судить об общем виде графика.
Способ построения графика «по точкам» состоит имен-
но в том, что намечают некоторое число точек графика и
соединяют эти точки по возможности плавной линией.
В качестве примера рассмотрим график функции
У- •	0)
в
Составим следующую таблицу:
X	0	1	2	3	— 1	—2	—3
У	1	1 1Г	1	1 10	1 2	1 б	1 10
В первой строке написаны значения х = 0, 1, 2, 3,
— 1, —2, —3. Как правило, целые значения для х наи-
более удобны для вычислений. Во второй строке написаны

соответствующие значения у, найденные из формулы (1).
Отметим соответствующие точки на плоскости (рис. 2).
Соединяя их плавной линией, получаем график (рис. 3).
Правило построения «по точкам», как мы видим, чрез-
вычайно просто и не требует никакой «науки». Но тем не
менее, может быть, именно поэтому, слепое следование
правилу «по точкам» может привести к большим ошибкам.
Построим «по точкам» кривую, заданную уравнением
У = (За:2—!)2 •
1
Таблица значений j* и у, соответствующая этому урав-
нению, следующая:
I
1	1
ПТ	676
		)	
т	1 121	1 676
Соответствующие точки па плоскости показаны на
рис. 4. Этот чертеж весьма похож на только что приве-
денный. Соединяя отмеченные точки плавной кривой, мы
Рпс. 5.
получаем график (рис. 5). Кажется, на этом можно было
бы положить карандаш и успокоиться: искусство строить
графики нами постигнуто! Но все-таки для контроля вы*
числим у для какого-нибудь промежуточного значения х,
например для х = 0,5. Вычисляем и получаем неожи-
данный результат: у = 16. Это резко не соответствует
нашему чертежу. И мы не гарантированы, что при вычис-
лении у для других промежуточных значений х — а их
ведь бесконечное множество — не получится еще больших
8
несообразностей. К сожалению, способ построения графи-
ков «по точкам» оказывается недостаточно надежным.
Далее мы рассмотрим другой способ построения гра-
фиков, более надежный в смысле предохранения от неожи-
данностей, подобных той, с которой мы только что встре-
тились. В дальнейшем, применяя этот способ, мы получим
возможность построить правильный график для уравне-
ния (2). По этому способу — назовем его, например, «по
действиям» — нужно произвести непосредственно на гра-
фиках все те действия, которые записаны в данной нам
формуле — сложение, вычитание, умножение, деление
и т. д.
Рассмотрим несколько простейших примеров. Постро-
им график, отвечающий уравнению
У = х.	(3)
Это уравнение говорит, что все точки искомой линии гра-
фика имеют равные абсциссы и ординаты. Геометрическое
место точек, имеющих ординату, одинаковую с абсциссой,
есть биссектриса угла между положительными полуосями
и угла между отрицательными полуосями (рис. 6).
График, отвечающий уравнению у = кх с некоторым
коэффициентом к, получается из предыдущего умножени-
ем каждой ординаты на одно и то же число к. Пусть, на-
пример, к = 2; каждую ординату предыдущего графика
нужно удвоить, и в результате мы получим прямую, более
круто поднимающуюся кверху (рис. 7). С каждым
шагом вправо по осп х новая прямая поднимается
на два шага вверх по оси у. Между прочим, это позволяет
легко выполнить построение на клетчатой или миллимет-
ровой бумаге. В общем случае уравнения у = кх с лю-
бым к также получается прямая. Если к 0, то с каждым
шагом вправо она будет подниматься на к шагов вверх
по оси у. Если к <0, то прямая будет не подниматься,
а опускаться.
Рассмотрим теперь формулу
у = кх Ц- Ь.
(4)
Чтобы построить соответствующий график, нужно к
каждой ординате уже известной линии у = кх прибавить
одно и то же число Ь. При этом вся прямая у — кх сдви-
нется, как целое, по плоскости вверх на b единиц (при
b )> 0; при b < 0 исходная прямая, естественно, не под-
нимется, а опустится). В результате получится прямая,
параллельная исходной, но уже не проходящая через
начало координат и отсекающая на оси ординат отрезок
b (рис. 8).
Число к называется угловым коэффициентом прямой
у = кх 4- Ъ\ как мы уже говорили, число к показывает,
на сколько шагов поднимается прямая вверх при каж-
дом шаге, сделанном вправо. Иными словами, число к
есть тангенс угла между направлением оси х и прямой
у = кх -(- Ь.
Уравнению
у = к (х — х0) 4- у0	(4')
отвечает прямая с угловым коэффициентом к, проходя-
щая через точку (х0, у0) (рис. 9), так как при подстановке
х = х0 получаем у — у!}.
10
Рис. 10.
Итак, график любого многочлена 1-й степени от х
есть некоторая прямая, которая строится по 'указанным
правилам. Переходим к графикам
многочленов 2-й степени.
Рассмотрим формулу
У = х\	(5)
Ее можно представить в виде
У = У{, где у± = х.
Иными словами, искомый график
получится, если каждую ординату
уже известной нам линии у = ;
Выясним, что при этом должно получиться.
Поскольку О2 = 0, I2 = 1, (—I)2 = 1, мы получаем
три опорные точки А, В, С (рис. 10). Если х 1, то
х2 х; поэтому справа от точки В график пойдет выше
возвести в
биссектрисы координатного угла (рис. 11). Если 0 <х-<1,
то 0 <Сх2<^х; поэтому между точками А и В график идет
ниже биссектрисы. Более того, мы утверждаем, что при
подходе к точке А график входит в любой угол, ограни-
ченный сверху прямой у = кх (с как угодно малым к),
а снизу — осью х; действительно, неравенство х2 <А~.х. вы-
полняется, если только х < к. Этот факт означает, что
искомая кривая касается в точке О оси абсцисс (рис. 12).
И
Пойдем теперь по оси х влево от точки О. Мы знаем, что
числа —а и а при возведении в квадрат дают один и
тот же результат а2. Таким образом, ордината нашей кри-
вой при х = —а будет та же, что и при х = -[-а. Геомет-
рически это означает, что график нашей кривой в левой
полуплоскости будет получаться отражением имеющего-
ся уже графика в правой полуплоскости относительно
оси ординат. Мы получаем кривую, которая называется
параболой (рис. 13).
Теперь, действуя так же, как и выше, можно построить
более сложную кривую
у = ах2	(6)
и еще более сложную
у = ах2 Ь.	(1)
Первая из них получается умножением всех ординат пара-
болы (5) — мы будем называть ее стандартной парабо-
лой — на число а.
При а 1 получится похожая кривая, но более кру-
то" поднимающаяся кверху (рис. 14).
При 0 <а <1 кривая будет более пологой (рис. 15),
а при а <0 ее ветви опрокинутся вниз (рис. 16). Кривая
(7) получится из кривой (6) сдвигом ее кверху на отрезок Ь,
если Ь > 0 (рис. 17). Если же b <0, то сдвигать кривую
придется не вверх, а вниз (рис. 18). Все эти кривые также
называются параболами.
12
Рис. 15.
13
Приведем несколько более сложный пример на пост-
роение графиков методом умножения. Пусть задано по-
строить график по уравнению
у = х(х—1)(х—2)(яг—3).	(8)
Здесь дано произведение четырех множителей. Нарисуем
график каждого из них в отдельности: все они — прямые,
параллельные биссектрисе координатного угла и отсека-
ющие на оси ординат отрезки соответственно (рис. 19):
О, -1, —2, -3.
В точках 0, 1, 2, 3 на оси х искомая кривая будет
иметь ординату 0, так как произведение равно нулю,
если хотя бы один из множителей равен нулю. В дру-
гих местах произведение будет отличным от нуля и будет
иметь знак, который легко найти по знакам множителей.
Так, справа от точки 3, все множители положительны,
следовательно, и произведение положительно. Между точ-
ками 2 и 3 один множитель отрицателен, поэтому произве-
дение отрицательно. Между точками 1 и 2 — два отрица-
тельных множителя, поэтому произведение положительно,
и т. д. Мы получаем следующее расположение знаков
произведения (рис. 20). Справа от точки 3 все множители
при увеличении х возрастают, следовательно, и произ-
ведение будет возрастать, и притом очень быстро. Слева
от точки 0 все множители возрастают в отрицательную сто-
рону, поэтому произведение (оно положительно) также
быстро возрастает.
14
Теперь легко набросать и общий вид графика (рис. 21).
До сих пор мы использовали действия сложения и
умножения. Теперь добавим к ним деление. Построим
кривую
(9)
Для этого построил! в отдельности графики числителя и
знаменателя.
График числителя
.Vi = 1
есть прямая, параллельная оси абсцисс, на высоте 1. Гра-
фик знаменателя
у2 = х1 + 1
есть стандартная парабола, сдвинутая на 1 вверх. Оба
эти графика показаны на рис. 22.
Будел! теперь производить деление каждой ординаты
числителя на соответствующую (т. е. взятую при том же х)
ординату знаменателя. Когда х = 0, мы видим, что
У1 = У2 — 1> откуда и у = 1. При х =^= 0 числитель мень-
ше знаменателя и частное меньше 1. Так как числитель
и знаменатель всюду положительны, то и частное поло-
жительно, следовательно, график проходит в полосе, ог-
раниченной осью абсцисс и прямой у = 1. Когда х
неограниченно увеличивается, тогда знаменатель не-
ограниченно увеличивается, а числитель остается
15
16
постоянным; поэтому частное стремится к нулю. Все это
приводит к следующему графику частного (рис. 23). Чер-
теж получается такой же, какой мы построили по точкам
(рис. 3).
При графическом делении особую роль играют те зна-
чения ж, при которых знаменатель обращается в нуль.
Если числитель при этом
не обращается в нуль, то
частное уходит в бесконеч-
ность. Чтобы понять, что
означают эти слова, изо-
бразим кривую
г/ - 4 •	С10)
Здесь графики числителя
и знаменателя нам уже из-
вестны (рис. 24). При
х = 1 мы имеем уг = у2 =
= 1, откуда и у = 1. При
х 1 числитель меньше
знаменателя, частное мень-
ше 1, как и в предыдущем
примере, когда х неогра-
ниченно увеличивается,
частное приближается к нулю, мы получаем участок гра-
фика, соответствующий значениям х Ч 1(рис. 25).
Рассмотрим теперь область значений х между 0 и 1.
Когда х от 1 приближается к нулю, знаменатель стре-
мится к нулю, в то время как числитель остается равным
1. Поэтому частное неограниченно увеличивается, пре-
восходя при достаточно малых х любое сколь угодно
большое число, и мы получаем ветвь, уходящую в беско-
нечность (рис. 26). При х <0 знаменатель, а с ним и вся
дробь становятся отрицательными. Общий ход графика
представлен на рис. 27.
Теперь мы уже можем приняться по-настоящему за
построение графика кривой, о которой шла речь вначале:
у = ^у-	СИ)
Будем сначала строить график знаменателя. Кривая
z/i = За;2 есть «утроенная» стандартная парабола (рис. 28).
Вычитание единицы означает спуск графика на одну
единицу вниз (рис. 29). Кривая пересекает ось х в двух
точках, которые мы легко найдем, приравнивая За;2 — 1
нулю: хх_2= i ]Л1/3 =±0,577 . . . Возведем полученный
график в квадрат. В точках хх и х2 ординаты останутся
равными нулю. Все остальные ординаты будут положи-
тельными, так что график будет проходить выше оси
абсцисс. В точке х = 0 ордината будет равна ( —I)2 = 1
Рис. 30.
и это будет наибольшая ордината на участке от X] до х2.
Вне этого участка кривая будет в обе стороны круто
подниматься кверху (рис. 30).
Теперь график знаменателя построен. На этом же чер-
теже мы показали пунктиром и график числителя = 1.
Остается теперь разделить числитель на знаменатель.
Так как числитель и знаменатель всюду одного знака,
то частное будет положительным и весь график пройдет
выше оси абсцисс. При х = 0 числитель и знаменатель
равны, их отношение равно 1. Пойдем по оси абсцисс
вправо от точки 0. Числитель остается равным 1,
а знаменатель уменьшается, следовательно, частное уве-
личивается от значения 1. Когда мы дойдем до значения
х2 = 0,577..., знаменатель станет равным нулю. Это оз-
начает, что частное к этому моменту уйдет в бесконеч-
ность (рис. 31). За точкой х2 знаменатель быстро пройдет
в обратную сторону путь от значения 0 до значения 1 и
далее начнет неограниченно возрастать. Частное наобо-
16
рот, из бесконечности вернется к 1, пересечет прямую
у = 1 в той же точке, где и z/3, и далее будет неограничен-
но приближаться к нулю (рис. 32).
Точно такая же картина получается с левой стороны
от оси ординат (рис. 33).
2*
19
Мы отметили на этом графике точки, соответствующие
целым значениям х = 0, 1, 2, 3, — 1, —2, —3. Это те самые
точки, которые мы намечали при построении графика
«по точкам» на стр. 8. Но действительный ход графика
сильно отличается от того, который был предложен на
рис. 5.
Мы видим, что в действительности вместо того,
чтобы плавно спускаться от значения 1 (при х = 0) к
значению ’/< (при х = 1) и далее, кривая уходит вверх
в бесконечность. Мы можем увидеть здесь же и точку с
координатами х = 1i2, у= 16, которая никак не умеща-
лась на прежнем неправильном графике, но очень хорошо
умещается на новом, правильном.
Мы рассказали о простейших операциях, которые
можно производить с графиками. Точнее говоря, мы от-
правлялись от простейшего уравнения у = х и применяли
далее четыре арифметические операции: сложение, вы-
читание, умножение и деление.
Функции у(х), получающиеся в результате таких
операций, представляются в форме частного двух много-
членов
Р (х) ао + aix 4~ • •• 4~ апхП
У'	ba + blx + ...±bmXm
и называются рациональными функциями переменного х.
(В анализе существуют и другие функции, но для самого
их определения требуется развитая теория вещественных
чисел; поэтому в настоящей брошюре мы ограничиваемся
только рациональными функциями.)
Читателю, заинтересовавшемуся построением графиков
«по действиям», мы предлагаем несколько задач для са-
мопроверки и тренировки.
ЗАДАЧИ
Начертите графики по следующим уравнениям:
1. у = хг Д- х -ф 1. 2. у = х(хг — 1). 3. у = х2(х — 1).
4. у = х(х— I)2. 5. у =
Указание. В задаче 5 полезно выделить целую часть:
20
X
7.	у =
Указание. В задачах 6 и 7 также полезно выделить целую
часть.
8.	г/ = ± | х.
Указание. Квадратный корень из х существует при
х 0 *), не существует при х < 0.
9.	у = +
Как доказать, что получающаяся кривая — окруж-
ность?
Указание. Припомнить точное определение окружности
и использовать теорему Пифагора.
10.	у = ± У I + Х-.
Докажите, что ветви этой кривой при х -> оо неогра-
ниченно приближаются к биссектрисам координатных
углов.
Г---- 1
’> казан п е. У 1 4- ж2 — х = —г __
'	у 1 + X- + X
и. г/~±ж|/ж(1—х).	12. у = ±х'2 |/"1 — х.
13. у = —.	14. у = .г» (1 - я)2'».
2 ± У1 -12	у '	7
Ответы ко всем задачам даны на стр. 45—48.
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ
Прием построения графика «по действиям» позволяет
дать общее представление о ходе изменения функции.
Но для ответа на некоторые более точно поставленные
вопросы такие приемы уже недостаточны. Например, на
некотором графике (рис. 34) мы видим, что кривая, опу-
скавшаяся до некоторого значения у0, которое отвечает
*) Утверждение вовсе не самоочевидное, а требующее для пол-
ного обоснования развитой теории вещественных чисел. Доказа-
тельство можно найти в любом хорошем учебнике анализа. Здесь
лишь требуется, поверив в существование корня, изобразить его
график.
21
абсциссе х0, затем начинает подниматься; соответствую-
щая функция у (х), как говорят, имеет в точке х0 ло-
кальный минимум. Аналогичный смысл имеет понятие
локального максимума-, мы говорим, что функция
у = у (х) имеет в точке х0 локальный максимум, если ее
график с увеличением х до точки х0 поднимается, а после
точки х0— опускается (рис. 35). Спрашивается: каковы
точные значения хо и г/о?
Рис. 34.	Рис. 35.
Легко представить себе конкретную ситуацию, в ко-
торой возникает подобная проблема. Пусть, например, в
некотором производстве график 34 означает стоимость
тонны готовой продукции в зависимости от суточного рас-
хода электроэнергии. При малом суточном расходе энер-
гии производство тонны продукции будет весьма длитель-
ным и наличие постоянных расходов (оплата персонала
и т. п.) приведет к большой ее стоимости. При большом
суточном расходе энергии время производства тонны про-
дукции сократится, но стоимость ее увеличится за счет
стоимости использованной энергии. При каком-то значе-
нии суточного расхода энергии стоимость тонны продук-
ции будет минимальной; естественно, что нас весьма ин-
тересует, какова будет эта минимальная стоимость и ка-
кому именно суточному расходу энергии она соответству-
ет. В дальнейшем мы рассмотрим одну похожую задачу
(стр. 30).
Для точного ответа на поставленный выше вопрос о
положении точки локального минимума требуются уже
новые приемы, вводящие нас в раздел математического
анализа, называемый дифференциальным исчислением.
Идея решения приведенной задачи такова. В каждой
точке графика у (х) можно провести касательную прямую.
Касательная прямая в точке А графика у (х) (рис. 36)
22
определяется как прямая а, проходящая через точку А
так, что сама кривая у (х) при приближении к точке А
заходит в любой сколь угодно малый угол с вершиной А,
содержащий внутри прямую а, и там остается. (Именно в
этом смысле ось абсцисс касалась стандартной параболы
в § 1.) Произвольная прямая Р, проходящая через точку
А, называется секущей для графика у (ж); для секущей,
не совпадающей с касательной, всегда можно указать
угол с вершиной в точке Лис биссектрисой р, во внут-
ренность которого кривая вблизи точки А не входит
(рис.37). Угловой коэффициент касательной в точке (х, у)
обозначим к = к(х). Эта функция А’(х) называется про-
изводной от функции у(х). (Немного погодя мы покажем,
что если у (х) есть многочлен, то и к(х) есть многочлен,
если у(х) есть рациональная функция, то и к(х) есть ра-
циональная функция, и вообще дадим точные правила
для вычисления к(х).) Пусть функция к(х) для данной
у (х) найдена. В искомой точке локального минимума
(ж0, у0) касательная а должна быть горизонтальна (до-
казательство от противного: мы видели, что кривая у =
= у(х) обязана заходить во всякий как угодно малый угол,
содержащий внутри себя прямую а; если прямая а на-
клонна, можно построить такой малый угол с биссектри-
сой а, у которого обе стороны имеют одинаковый по зна-
ку наклон (рис. 36), и, следовательно, кривая у = у (х)
не может иметь локального минимума). Поэтому в точке
х = х0 локального минимума мы должны иметь к(х0) = 0.
Пишем уравнение
к(х) = 0.
23
У этого уравнения, вообще говоря, может быть несколько
решений. Каждое из них определяет точку (л:0, У о) на кри-
вой у = у(х), где касательная горизонтальна; мы должны
найти все эти решения и среди них выделить* именно то,
которое нас интересует. Таким образом, если функция
к (л:) известна, вопрос сводится к решению алгебраичес-
кого уравнения.
Теперь переходим к построению функции к (х). Пусть
сначала у = х2 есть наша стандартная парабола. Мы же-
лаем найти угловой коэффициент касательной в точке
(х0, у0) на этой параболе.
Обозначим через Ал: и Аг/ приращение абсциссы и ор-
динаты нашей параболы при переходе из точки (х0, г/0) в
близкую точку (Xj, г/,):
4. = хо + А х, = у0 + &у
(рис. 38).' Так как
У о = 4, Уо +Аг/ = (х0 4- А л:)2,
то, вычитая, находим
Аг/ = 2л:0Дл: 4- (Ал:)2.
Через две точки (л:0, г/0) и (х^'у-^ проведем секущую пря-
мую (рис. 39). Ее угловой коэффициент равен, очевидно,
а полное ее уравнение имеет вид (см. (4'))
у = (2х0 А л:) (л: — л:0) + у0.	(12)
Будем уменьшать Ах до нуля (рис. 40). Секущая (12)
соответственно поворачивается вокруг точки (х0, у0) и,
когда Ах становится равным нулю, занимает положение,
описываемое уравнением
Укае = 2r0 (х — Х0) + у0.	(*)
Эта прямая, результат поворота секущей, и будет ис-
комой касательной к параболе у = х2 в точке (х0, уо).
Докажем это утверждение. Уравнению кривой у — х2
можно придать вид
У = У о + 2х0(х — х0) + (х — х0)2 =
— Уо Д 12х0 4~ (х Хд)] (х хц),
отсюда видно, что при
график кривой проходит в
пределах как угодно уз-
кого угла, образованного
прямыми
У = У о + (2х0 е) (х — х0)
именно это будет иметь
место, если считать, что
— е < х — х0 < е. Так как
прямая (*) лежит внутри
этого угла при любом е,
малых отклонениях х от х0
Рис. 40.
то, в соответствии с приведенным выше определением,
она и будет искомой касательной.
Угловой коэффициент нашей касательной оказался
равным 2х0; таким образом, производная от функции
у = х2 равна
к (х)	2х.
Посмотрим, что дает подобное построение для функ-
ции у = Р(х), где Р(х) —многочлен п-п степени:
Р(х) — а0 -у ajX -р...+апхп.	(13)
Мы снова соединяем секущей точку (х0, у0), в которой
требуется провести касательную, и близкую к ней точку
(х0 + Ах, уо + Аг/) на нашей кривой. При этом
У о -г А У = Р (х0 + А х) =
= х0 -J- at(xg 4- Дх )+-.--Щ„(х0 + Дх)'1.	(14)
25

Будем обозначать через ei всякую сумму членов, содер-
жащих Дх в первой степени и выше, через е2 — всякую
сумму членов, содержащих Ах во второй степени и выше.
Так как
У0 = а0 Г «Л +••• + апхо,
то, раскрывая скобки (14) по формуле Ньютона*) и вы-
читая (13) из (14), находим
Л у = (Цд	4-	) Д х	&2•	(45)
Далее, угловой коэффициент секущей получается деле-
нием Ау на Ах. Поскольку e2:Ax=ei, его выражение
имеет вид
= ах -|- 2а2х0 4- ... + папх0 4~ 81-
Полное уравнение секущей таково:
У = («1+ 2а2х0 4-... 4- папхо-1 4- ej (х — х0) 4- у0.
Когда мы полагаем Ах равным 0, величина ех обраща-
ется в нуль, и мы получаем уравнение касательной
Ука. = («1 + 2«2х0 4-... 4- папх^) (х — х0) 4- у0.
Для углового коэффициента касательной получается вы-
ражение
к = аА 4- 2а„.г0 4---[- папх^ \	(16)
Величина к, когда ха фиксировано, есть число; если х0
изменять, это число будет изменяться, и мы получим функ-
цию, дающую значения соответствующих угловых коэф-
фициентов касательных к кривой у = Р(х) в различных
ее точках. Эта функция и есть, как мы говорили, произ-
водная функция от Р(х); иначе она обозначается Р'(х).
*) Формула Ньютона: для любого к и любых и, и
(и 4- о)к = ик -у- и* lv	2 и*
+--------ПКз-------+
’ ’ ’ + ^1-2	“5г’/С-2 + ~Г uvk 1 + vk-
26
Полученная формула может быть написана так:
Р' (х) = Я1+ 2а,,х...-\-папхп~1.	(16х)
Закон образования Рг (х) из Р (х) очень простой: в сумме
(13) каждая величина xk заменяется на kxk—1.
В частности, производная от постоянной (т. е. от функ-
ции, принимающей при всех х одно и то же значение
у = а0) равна 0. Впрочем, в данном случае это очевидно
и геометрически: касательная к графику функции у =а0
в каждой точке горизонтальна!
Возвращаясь к общему случаю, отметим равенство,
вытекающее из (15):
Р(х +Дж) = Р(х) +Р'(х)&х 4-в2.
Рассмотрим аналогичный вопрос о касательной
общей рациональной функции
у-
5 Q(x) ’
где Р(х) и Q(x) — многочлены.
Здесь мы имеем, используя (17),
,, 1 л м	Р(х0+М _ Р (До) + Р' (До) Аг + ег
' ° ‘ х	Q(x0 4-Дх) Q (ж0) + Q'(го) Аг + 82
Вычитая (18) из (19), находим
__( Рхр) 4~ Р' (х0) Дх4~ е2 Р (x<i)
Q (хо) + Q (xpJ.Ax + е2 Q (хр)
_ [Р' (хр) Q (х0) — Q' (хр) р (х0)] Дх 4- е2
Q (хо) t Q (хо) 4- Qx (хо) Ах 4- в2 ]
Отсюда угловой коэффициент секущей равен
Ду = Р' (хо) Q (хо) — Q' (х0) Р (хо) 4- Bi
Дх	Q2 (х0) 8j
Полное уравнение секущей имеет вид
___ Р (хо) Q(Xp) Q (хо) Р (хр) 4~ Bi
ФгСХоМ
Будем считать, что Q(xo)¥=O- Полагая здесь Дх = 0,
получаем уравнение касательной
Р (хо) Q (хр) Q (хр) Р (хо) ,	. ,
Укас =	Q2	^о) 4" Уо-
(17)
для
(18)
(19)
(20)
(21)
fx-x0j4-y0-
27
Угловой коэффициент касательной при х — х0 оказы-
вается равным
\ р' Q (М ~ Q' Ы р М
у w--------------•
Полученная формула дает правило вычисления про-
Р (
пзводной от частного ‘:
Q(s)
(22)
Рассмотрим несколько примеров на применение всех
приведенных правил.
1.	Какие два положительных числа, сумма которых
равна с, имеют наибольшее произведение?
Эта задача имеет элементарное алгебраическое реше-
ние. Не обращаясь к нему, применим наш общий метод.
Если одно из этих чисел есть х, а другое с — х, то речь
идет о разыскании максимума функции
Р(х) = х(с — ж) = —Ж2 4- сх.
Мы имеем
Р' (ж) = —2ж ф- с
И
и, приравнивая производную нулю, находим решение:
х = c'i2, с — х = с!2.
Следующая задача, по форме похожая на преды-
дущую, элементарно уже не решается.
2.	Какие два положительных числа, сумма которых
равна с, обладают тем свойством, что произведение куба
первого на квадрат второго дает наибольшую возмож-
ную величину?
Здесь речь идет о максимуме функции
Р(х) = Xs (с — х)2 — -Р — 2cxi 4- с2ж3.
Как мы знаем, в точке максимума производная функции
должна обратиться в нуль.
Вычислим производную
Р' (х) = 5xi — Зся? 4- Зс2х2.
Приравнивая ее нулю, замечаем очевидное решение ,г = 0.
28
Разыскивая решения х= 0, мы должны решить квадрат-
ное уравнение
5а:2— Зсх 4~ Зс2= 0.
Его решение
4с + У 16с- — 15с-' 4с ± с
х, — ——-—.-------------- = — --
Таким образом, касательная к графику функции у = Р(х)
3
горизонтальна в точках X] = 0, х2 = -=- с и х$ = с. Значе-
□
ния му и х3 дают для Р (х) нулевую величину, значение
х2— положительную, Р(х2) = (3/5)3 (2/5)2 с5. Значит,
искомые числа суть х2 = Зс/5, с — х2 = 2с/5.
3.	Под каким углом пересекает ось х кривая у=Р(х) =
= х(х—1) (х— 2) (х— 3) (см. рис. 21 на стр. 15)?
Естественно, что под углом между осью и кривой мы бу-
дем понимать угол между осью и касательной к кривой
(в точке пересечения с осью).
Решение. Раскрывая скобки, получаем
у = ж4 — 6а.3	Па:2— 6а:;
отсюда по формуле (16')
у' = 4г';— 18а:2 -J- 22а: — 6.
Кривая у — Р(х) пересекает ось х в точках 0, 1, 2 и 3.
Последовательно подставляя, получаем
у'(0) = -6, /(1) = 2, /(2)= —2, р'(3) = 6.
Эти числа есть угловые коэффициенты касательных в
указанных точках, т. е. тангенсы искомых углов.
4.	В каких точках касательная к этой же кривой го-
ризонтальна?
Угловой коэффициент касательной в точках, где она
горизонтальна, равен 0. Приравнивая 0 выражение про-
изводной, получаем уравнение
4х3— 18.т2 4- 22х — 6 = 0.
У этого уравнения есть очевидное (из чертежа, на основа-
нии соображений симметрии) решение х± = 3/2. Выделяя
29
множитель х — 3/2, получаем
4х3 — 18ха4- 22х — 6 = 4(х — 3,2) (ж2 — Зх + 1).
Остается решить квадратное уравнение х2—Зх +1=0.
Решая, находим
*2,з =3-^2^ = ’-5 ± 1’118-
Легко вычисляются и соответствующие ординаты:
и _ JL. _Lf____LV___з\ _э_
У1 2	2 \	2 Д /2 ) ~ 16 
- 3±/5 1 ± /5 -1 ± /5 - 3 ± /5 _
У "	2	’	2	‘	2	'	2
= 4(5-9) (5- 1) = -1.
5.	Известно, что скорость теплохода v в зависимости
от стоимости часового расхода топлива р руб. выражает-
ся формулой
4	и = с —2-г.	(23)
с|------ --------- р + 1	v '
у''"'	Эта формула иллюстрируется
/	графиком (рис. 41). График отве-
/	чает естественному предположе-
q	’р нию, что вначале при сравнитель-
1	но небольших затратах на топливо
Рис. 41.	скорость теплохода возрастает про-
порционально росту затрат; в даль-
нейшем прирост скорости замедляется, и никаким увели-
чением подачи топлива нельзя заставить теплоход дви-
гаться быстрее некоторой предельной скорости с.
Кроме расходов на топливо имеются постоянные рас-
ходы, которые составляют q руб. в час. G какой скоростью
следует плыть из порта А в порт В, находящийся от А
на расстоянии s км, чтобы общая стоимость плавания
была минимальной?
Решение. Пусть v — некоторая скорость, Т =
= s/v — время путешествия. Расходы на топливо вы-
числяются следующим образом: часовой расход получа-
ется обращением формулы (23):
30
а полный расход Р — умножения (24) на время Т -- s v:
Р — с .Постоянный расход Q дает величину qT =-
~ q~- Общий расход R равен
R = P + Q=—------[-q — =sl—----h —)• (25)
График этой функции имеет вид, показанный на рис. 42.
Рис. 42.	Рис. 43.
Чтобы найти скорость v, отвечающую минимальной сум-
ме расходов, приравниваем нулю производную от В по v:
R' (и) = s ( . 1 - - А.') = 0.
' '	\ (с — p)2 v2 )
Отсюда
ц2—q (с — у)2 = 0, г^2 = 7 (с — г)2,
v = y~q (с — г?) = ]/ q с — V q V*),
v = —г- с км]час.	(26)
1 + 1^7
Подставляя (26) в (25), находим и общую сумму расходов
на самое эюнэмлое плавание: R — -i- (1 -f- ]/~q)2.
6. Какова касательная к кривой у = х3 при х = 0?
Мы имеем у' = Зж2 и при х = 0, очевидно, у' = 0,
так что касательной служит ось х (рис. 43).
*) Отброшенное решение, соответствующее уравнению
v = — YЧ (с — г?),
не имеет смысла, так как правая часть отрицательна (а < с).
31
Мы видим, что в данном случае касательная перехо-
дит с одной стороны кривой на другую: при х 0 кривая
выше касательной, а при х <; 0 кривая ниже касательной.
Такие точки графика, где касательная переходит с одной |
стороны кривой на другую, называются точками пере-
гиба (рис. 44). Так, то же значение х = 0 определяет .
точку перегиба для кривых	'
у = Сх3 х
при разных значениях С (рис. 45).	
Рис. 44.	Рис. 45.
Действительно, мы имеем р'(^) = так чт0 уравнение
касательной, проведенной через точку (0, 0), имеет вид
.У нас =
поэтому разность
у - укйС = Сх3
меняет знак при переходе от отрицательных х к положи-
тельным.
Поставим вопрос, как найти точки перегиба у графика
данной функции у = /(а:).
Из рис. 45 видно, что если при увеличении х кривая
переходит из положения «под касательной» в положение
«над касательной», то ее угловой коэффициент у'(х) по
обе стороны точки касания больше, чем в самой точке
касания:
t/'W >
х Ф хп.
Аналогично, если при увеличении х кривая переходит из
32
положения «над касательной» в положение «под касатель-
ной», то у'(х) по обе стороны точки касания меньше, чем
в самой точке касания:
у'(х) < /(х0),
X =f= Xq.
В первом случае точка перегиба есть точка локального
минимума функции у'(х), во втором — точка локального
максимума этой функции. Чтобы найти эти точки, мы
должны сначала вычислить производную от функции
Рис. 46.
у'(х). Эта функция (г/'(ж))' называется второй производ-
ной от функции у (х) и обозначается через у"(х). Далее
мы должны найти решения уравнения
/И = о.
Среди решений этого уравнения заключаются абсциссы
всех искомых точек перегиба. (Могут появиться и «па-
разитные» решения, не определяющие точек перегиба; та-
кие решения мы, разумеется, должны отбросить*).)
7. Найдем точки перегиба у кривой у = ууру?;
(рис. 46).
*) Так, для функции у = г4 имеем
[у’ = 4.г3, у" = 12ж2;
при х = 0 мы имеем
!/"(Ч = 0;
однако эта точка не является точкой перегиба для кривой у = ,<4.
Рисунок подсказывает нам, что таких точек должно
быть две, они симметрично расположены относительно
оси ординат. Найдем их, руководствуясь указанным вы-
ше правилом.
Мы имеем
у ~ (1 + *2)2 ’
ltn_ (ц>у_ _ (1 + х"')-2— 2а: (4а:4а:3) _ 6а:2— 2
У ~ ~ (1 + ~ (1 + *2)3 ’
Приравнивая полученное выражение нулю, находим
два решения:
ж1>3 = ± У = 7+7 0, 577 ...
Мы видим, что дифференциальное исчисление позво-
ляет единым общим методом решать целый ряд задач,
решение которых недоступно элементарной математике.
В этом — сила дифференциального исчисления.
ЗАДАЧИ
15.	При каком соотношении высоты и диаметра осно"
вания консервная (цилиндрическая) банка данного объ-
ема требует минимального количест-
ва металла?
16.	Из квадратного листа желе-
за вырезают по углам квадратики и
затем стороны сгибают по пунктир-
ным линиям, превращая лист в от-
крытую сверху коробку (рис. 47).
При каком размере вырезаемых квад-
ратов объем коробки будет наиболь-
шим?
17.	Формула для производной
от функции у = У /(ж) имеет вид:
Приняв ее, решить следующую задачу.
Мой дом стоит на расстоянии h км от (прямой) до-
роги (рис. 48). Я должен выйти на дорогу и на машине до-
браться до города, отстоящего (по прямой) от дома
34
на s км. Скорость пешехода и, скорость машины v. Какой
маршрут наиболее быстрый?
Рис. 48.
18.	Какой сектор следует вырезать из круга радиуса
R, чтобы из него можно было свернуть воронку наиболь-
шей вместимости?
Множество задач на производные и их применения к
разным вопросам математики, физики и др. имеется в
распространенных задачниках.
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ
Что называть площадью какой-либо плоской фигуры,
ограниченной, вообще говоря, не прямолинейным конту-
ром? Будем исходить из следующих предпосылок:
1.	Площадь прямоу-
гольника со сторонами а и
b равна ab.
2.	Площади равных
(т. е. совмещающихся при
наложении) фигур равны.
3.	Если фигура Ф сос-
тавлена из фигур Ф|,...
... ,ФП, то ее площадь равна
сумме площадей фигур
Ф1,..., Фп.
Отсюда следует, что
площади равносоставлен-
ных фигур равны. Далее, треугольник с основанием а и
высотой h можно разрезать известным образом на части
и составить из них прямоугольник со сторонами а/2 и h
(рис. 49); отсюда следует, что площадь треугольника
35
равна ha!2. Наконец, площадь любого многоугольни-
ка можно получить как сумму площадей составляющих
его треугольников (рис. 50).
4.	Площадь фигуры Ф меньше, чем площадь любого
содержащего ее многоугольника, и больше, чем площадь
любого содержащегося в ней многоугольника (рис. 51).
Существует теорема, в силу которой каждой плоской
фигуре Ф, ограниченной не очень сложным контуром, мож-
но поставить в соответствие, причем единственным об-
разом, число 5(Ф), называемое площадью фигуры Ф, так,
что при этом удовлетворяются условия!—4. (Точная фор-
мулировка и доказательство этой теоремы слишком слож-
ны, чтобы их здесь приводить; есть книга Лебега «Об
измерении величин», Учпедгиз, 1938, где можно найти
полное освещение этих вопросов.)
Во всяком случае, площадь в указанном смысле су-
ществует для всякой фигуры, контур которой составлен
из конечных дуг графиков рациональных функций. При-
нимая эту теорему, обсудим вопрос о самом вычислении
площади фигуры Ф (криволинейной трапеции), ограни-
ченной снизу отрезком оси х, от х = а до х = Ъ, сверху—
кривой у = f(x) (как обычно, /(ж) есть рациональная функ-
ция), с боков — прямыми, параллельными оси у и прохо-
дящими через точки х = а, х = b (рис. 52).
Возьмем некоторое число ха, лежащее в промежутке
от а до Ъ, и поставим аналогичную задачу относительно
разыскания площади фигуры Ф (ж0), отличающейся от
фигуры Ф тем, что правой ее границей является верти-
кальная прямая, проходящая не через точку Ь, а через
точку х0. Величина этой площади зависит от выбора зна-
36
чения х0, т. е. является функцией от аргумента х0, опреде-
ленной на всем отрезке а х0 Ь-, мы обозначим эту
функцию через S(x0). Очевидно, 5(a) = 0, a 5(A) есть
Рис. 52.
Рис. 53.
искомая площадь фигуры Ф. Можно набросать график
этой функции; оп в данном случае имеет вид, похожий на
тот, который указан на рис. 53.
Если правая абсцисса Л’(| фигуры
Ф („Со) увеличивается на Аж0 = хг — х0,
то площадь получает прираще-
ние ABDEC = Д 5 (рис. 54), которое
составляется из площади прямо-
угольника ABDC — у Аж0 и площади
криволинейного треугольника CDE.
Последняя не превосходит Ау Аж0 *)
и, следовательно, в соответствии с
предыдущим может быть обозначена
через ъг&Хд.
Таким образом,
5(^1)	5(z0) — (г/ 4- 6j) Ахд
Уравнение секущей к графику кривой у = 5(ж), про-
ходящей через точки (ж0, 5(ж0)) и (жц S^x^}, имеет вид
У~ 8 (z0) =	~	= {У<Ао) + ej) (х — х0).
Л-Х >4-0
Как и раньше, полагая здесь хг — х0, получаем урав-
нение касательной в точке (х0, у0):
У — S(XO) = у(хд)(х — Хд).
Угловой коэффициент касательной оказывается равным
у(х0). Но угловой коэффициент касательной к графику
*) Считаем, что функция у возрастает (или убыва ет) на участке
от хв до для рациональной функции у всегда можно этот участок
взять настолько малым, что это условие будет выполнено.
37
функции у = S(x) в точке с абсциссой х0 есть, Как мы зна-
ем, производная от функции S(x) при х = х0. Таким об-
разом, мы получаем равенство
Я*о) = У (жо)-
Поэтому, чтобы найти функцию 5(ж), нужно найти функ-
цию, производная которой есть у (ж), т. е. произвести над
функцией /(ж) операцию, обратную дифференцированию.
Операция над какой-либо функцией, обратная дифферен-
цированию, называется интегрированием. Всякая функ-
ция F(xj, производная которой есть у (ж), называется пер-
вообразной от у (ж) или интегралом от у (х). Заметим, что
если мы нашли одну какую-нибудь первообразную F(x)
от функции у (х), то в качестве первообразной от той же
функции у (х) годится и всякая другая функция вида
Fix') С (С — постоянная), поскольку производная от
постоянной равна 0. Искомая функция 5(ж), как мы за-
метили, при х = а обращается в 0. Поэтому, найдя неко-
торую первообразную F(x), для недостающей постоянной
С можно написать уравнение
5(a) = F(a) 4- С = 0, откуда С = — F(a).
Окончательно, найдя первообразную функцию F(x), иско-
мое решение мы запишем в форме
S(x) = F(x) — F(a)
и, в частности,
S(b) = F(b) — F(a),	(27)
чем наша задача и решена — точнее, ее решение приведе-
но к задаче об отыскании первообразной для данной функ-
ции f(x).
Чтобы иметь возможность использовать полученный
общий результат (27), нужно уметь находить первообраз-
ные. Если функция у = у (ж) есть многочлен
У = 'г aix 4— + апхП1
то одну из ее первообразных написать легко, именно:
х'	т’'1
F ( х) = аох 4- aj-^- 4- . . . 4- ап 	(28)
Поэтому площади фигур, ограниченных (сверху) ли-
ниями вида у = Р(х), где Р(ж) — многочлен, можно вы-
числить без особого труда.
38
Пусть, например у = у(х) есть линейная функция
(рис. 55), изменяющаяся на отрезке а .г b от значения р
до значения у.
Одна из ее возможных первообразных, в соответствии
с (28), имеет вид
nt х । (ж — a)’J <7 — Р
В соответствии с формулой (27) получаем
= (& — а) (р
что совпадает с формулой площади трапеции в элементар-
ной геометрии. В частности, для площади прямоугольни-
ка и треугольника (частные случаи трапеции) также по-
лучаются формулы элементарной геометрии.
Но метод интегрирования дает возможность вычислить
площади и многих неэлементарных фигур. Рассмотрим
еще некоторые примеры.
1.	Вычислим площадь О АВ (рис. 56) криволинейного
треугольника, ограниченного снизу отрезком О <С х
39
оси х, справа — ординатой х = а и сверху — кривой у —
= Схп. Первообразной для функции у = хп является
F(x) = хп+11(п -}- 1);
поэтому согласно формуле (27)
„П+1	АП+1	„П+1	/ п
5 (а) = С - - С Д— = С -___________ = а'Са .
Число Сап есть длина отрезка АВ. Таким образом, иско-
мая площадь iS'(a) есть 1/(п -ф- 1)-я пасть от площади опи-
санного прямоугольника О АВС.
2.	Вычислим площади *S'L, S2, S3 (рис. 57), ограничен-
ные кривой у = х(х—1) (х—2) (х—3) и участками оси х
от 0 до 1, от 1 до 2 и от 2 до 3.
Мы имеем здесь
у == р(х) =
= х" — бх3 -ф- 11л.2 — бж,
и ее первообразная
F(x) =
_х‘	бж1 , Г!ж'!	бг'
_	— -г- —	— .
Рис. 57.
Отсюда
t 3 И
WC’)- т?(0) = -г + 4”3
Знак«—» подчеркивает, что площадь лежит под осью х.
Затем
52 = F(2) - F(l) = Д - 24 + -f - - 12 + -Д =- < ,
и, наконец,
53=F(3)-F(2)=	^4-99-27 4-^ = -^-
Результат совпадает c <S\, что можно было бы предвидеть
по соображениям симметрии.
3.	Вычислим площадь S (рис. 58) под кривой у —
= Д между прямыми х = 1 и х = N, где N — большое
число. Первообразная от у (а) = l/z2 есть, очевидно,
F(x) = — (1/.г), и мы получаем
S = F(N) - F(i) = 1 - 1/N.	(29)
Интересно, что при любом как угодно большом) N
эта площадь меньше чем 1. Формула (29) показывает, что
всей бесконечно протяженной фигуре, ограниченной снизу
осью х, сверху — кривой у — 1/а;2, слева — отрезком
прямой х = 1 и не ограниченной справа, естественно при-
писать конечную площадь — именно равную 1.
Мы видим, что исчисление интегралов, основанное на
исчислении производных, позволяет единым образом ре-
шать ряд задач о площадях, решение которых недоступно
для элементарной математики. Но задача о площади —
сравнительно частная задача, только одна из реализаций
общей задачи о разыскании первообразной функции по
ее производной. А к этой общей задаче приводятся многие
задачи из математики, а также из механики, физики, хи-
мии, биологии; интегральное исчисление дает возможность
решать общим приемом множество задач с самыми различ-
ными конкретными постановками, но с общей математи-
ческой сущностью (например, расчет энергии, необходи-
мой для подъема спутника; выяснение закона распада
радиоактивного вещества; количественный анализ хода
химической реакции или размножения бактерий). Не имея
возможности описывать здесь эти заманчивые приложе-
ния, обратим внимание начинающего читателя на книжку
Г. Филипса «Дифференциальные уравнения», Гостехиз-
дат, 1950, где имеется масса задач из разных областей на-
уки и техники, рассчитанных на применение интеграль-
ного исчисления.
4.	К следующему примеру отнесемся более вниматель-
но. Речь идет о площади S под той же кривой у = 1/ж2 между
41
прямыми x = awx=by>a (рис. 59). Пользуясь тем же
приемом, получаем результат
5«?(б)-Р(«) = Л_--!-.
Если а и b одного знака, результат получается положи-
тельным, что вполне естественно, так как кривая у =
— 1/ж2 расположена вад осью х. Если же а и b разных
знаков, а <0, b 0, резуль-
тат неожиданным образом
отрицателен, что никак не вя-
жется с геометрической карти-
ной. Причина в том, что мы
формально, не критически, при-
менили правило (27) с перво-
образной. На самом деле пра-
вило (27) имеет определенные
границы его применения, за
которыми оно теряет силу; но
даже указать точно эти грани-
цы мы не имеем здесь возмож-
ности, поскольку сами форму-
лировки требуют отсутствую-
щих у нас общих понятий.
И вообще, в интегрирова-
нии рациональных функций
при более внимательном рас-
смотрении у нас появляются «белые пятна». В самом
деле, первообразные от некоторых рациональных функций
можно получить, используя равенство
т.
вытекающее из обшей формулы (22). Именно, для выра-
жения
у(х) =	—-4- —+	. . . -I---Ъ-^--— (30)
>	(х — сцу  (г—а2)3	~	’	(г — а )
' mz
первообразная может быть задана формулой
F(x} =
х — ai	2 (г —-a-i)1
Ьт
т (х — а)
42
Но вовсе не каждая рациональная функция приводится
к виду (30). Например, мы не получаем этим способом пер-
вообразной от функции Мх. В действительности у i/x
есть первообразная, но она не только не является рацио-
нальной, но и вообще не принадлежит к числу элементар-
ных функций, изучаемых в школе. Если при дифференци-
ровании, отправляясь от класса рациональных функций,
мы не выходим из этого класса, то обратная операция —
интегрирование с необходимостью приводит нас к новым
функциям. А их изучение требует уже совсем иных об-
щих подходов и совсем иного уровня техники анализа,
чем те, которые мы применяли в этом кратком очерке.
Поэтому для должного владения аппаратом дифферен-
циального и интегрального исчисления необходимо изу-
чить предварительные разделы анализа, трактующие о
вещественных числах, пределах и непрерывности. В этих
разделах содержатся совершенно необходимые общие ос-
новы, позволяющие использовать весьма широкий класс
функций, далеко выходящий за границы рассмотренного
нами класса рациональных функций.
Существует много хороших книг, в которых излагаются
основы математического анализа *). Мы надеемся, что на-
чинающий читатель, заинтересовавшийся после чтения
этой брошюры возможностями дифференциального и ин-
тегрального исчисления, найдет возможность и дальней-
шего знакомства с математи-
кой, столь полезной всем дру-
гим наукам, а через них —
и всему человечеству.
ЗАДАЧИ
19.	Какова площадь, ог-
раниченная сверху кривой
у = х2 Д- 1/т2, снизу — осью
х, слева и справа — верти-
кальными прямыми, пересе-
кающими ось х соответствен!
(рис. 60)?
в точках а = 1/2 и Ъ = 2
*) Например: В. И. С м и р н о в, Курс высшей математики,
том 1; Г. М. Фихтенгольц, Основы математического
анализа, том 1; А. Я. X инчин, Краткий курс математического
анализа; Р. К у р а н т. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, том 1.
43
20.	Найти площадь, заключенную между двумя кри-
выми (рис. 61):
у = схт, х = dyn.
Указание. Использовать пример 1 § 3.
21.	Найти площадь, ограниченную сверху прямой
х 4- у ~ 2, снизу — параболой у = х2 (рис. 62).
Указание. Представить искомую площадь как разность
двух площадей, ограниченных с боковых сторон вертикальными
прямыми.
22.	Скорость, которую приобретает падающее
тело за время t после начала падения, равна gt (g =
= 9,81 м/сек2). Какой путь проходит падающее тело за это
время?
Указание, Скорость есть производная от пути
по времени,
ОТВЕТЫ
45
Рис. 70. К задаче 8.
46
Рис. 76. К задаче 14.
47
15.	Высота банки должна быть равна диаметру основания.
16.	Стороны вырезаемых квадратов составляют 1/(5 от стороны
всего квадрата.
17.	Сипус угла пешеходного пути и перпендикуляра к дорого
должен быть равен п/t’, если только это отношение не превосходит
В противном случае наиболее быстрый маршрут — пешком по
прямой линии в город.
18.	а = 2л ^1—	радиан~ 72°.
19.	5 = 33/8.
т'Л .	.	j .
чл е _ Л-пт ,1-тп । --------------------\
40. 3 - с а Ц п Д- 1 т + 1 ) 
21. S = 9/2.
22. s =- (gf‘)/2.

Цена
/6^-
ИЗД КТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИ311К0 МАТЕМАТИЧЕСКОЙ литерат* ры
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Выи. 1. П. Маркушевнч. Возвратные последовательности.
Вып. 2. 1!. II. Натансон. Простейшие задачи на максимум и минимум
Вып. 3. Н. С. Сомпнекип. Метод математической индукции.
Вып. 4. А. II. Маркушевнч. Замечательные кривые.
Вып. 3. 11. II. Коровкин. Неравенства.
Вып. 6. И. II. воробьев. Числа Фибоначчи.
Вып. 7. А. Г. Курош. Алгебраические уравнения произвольных сте-
пеней.
Вып. 8. А. О. Гельфонд. Решение уравнений в целых числах.
Вып. 9. А. II. Маркушевнч. Площади и логарифмы.
Вып. 10. А. С. Смогоржевскли. Метод координат.
Вып. 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказательствах.
Вып 12. 11. II. натансои. суммирование бесконечно малых величин.
Вып. 13. Л. II. Маркушевнч. Комплексные числа и конформные отп-
ора жени я.
Вып. 14. А. II. Фетисов. О доказательствах в геометрии.
Вып. 1а. 11. Р. Шафаревич. О решении уравнений высших степеней.
Вып. 16. В. Г. Шерватов. Гиперболические функции.
Вып. I i. В. Г. Бол « янекий. Что такое дифференцирование?
Вып. 18. Г. М. Миракьяп. Прямой круговой цилиндр.
Вып. 19. Л. А. Люстернпк. Кратчайшие линии.
Вып. 29. А. М. Лопшиц. Вычисление площадей ориентированных
фигур.
Вып. 21. .1. 11. Головина и II. М. Иглом. Индукция в геометрии.
Выи. 22. В. Г. Болтянский. Равновеликие и равно’составлепные фи-
гуры.
Вып. 23. V. С. Смогоржевскии. О геометрии Лобачевского.
Bf.ni, 24. Б. II. Аргунов и Л. А. Скорняков. Конфигурационные тео-
ремы.
Выц. 25. А. С. Смогоржевскии. Линейна в геометрических постро-
ениях.
Вып. 26. Б. \. Трахтеиброт. Алгоритмы и машинное решение задач.
Вып 27. В. А. Успенский. Некоторые приложения механики к мате-
матике.
Вып. 28. II- А. Архангельский и Б. II. Зайцев. Автоматические цифро-
вые машины.
Выи. 29. А. Н. Костов ‘кии. Геометрические построения одним цир-
кулем.
Вып. 30. Г. Е. Шилов. Как строит^ графики.
Bf.ni. 31 Г. Дорфман. Оптика конических сечений.
Вып. 32. Е. С. Веитцель. Элементы теории игр.
Вып. 33. А. С. Барсов. Что такое линейное программирование.
Выи. 34. Б. Е. Маргулис. Системы линейных уравнений.
Вып. 35. Н. Я. Виленкин. Метод последовательных приближений.
Вып. 36. В. Г. Болтянский. Огибающая.
Вып. 37. Г. Е. Шилов. Простая гамма (устройство музыкальной
шкалы).
Вып. 38. Ю. А. Шрейдер. Что такое расстояние?
Вып 39. Н. Н. Воробьев. Признаки делимости.
Вып. 40. С. в. Фомин. Системы счисления.
Вып. 41. Б. К). Коган. Приложение механики к геометрии.
Вып. 42. Ю. Н. Любнч и Л. А. Шор. Кинематический метод в геомет-
рических задачах.
Вып. 43. В. А. Успенский. Треугольник Паскаля.
Вып. 44. II. Я. Вакельман. Инверсия.
Вып. 45. II. М. Яглом. Необыкновенная алгебра.
Вып. 46. II. М. Соболь. Метод Монте-Карло.
Вып. 47. Л. А. Калужнпн. Основная теорема арифметики.
Вып. 48. А. С. Солодовников. Системы линейных неравенств.
Вып. 49. Г. Е. Шилов. Математический анализ в области рациональ-
ных функций.