МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973

ЛЕКЦИИ ПО
КОНСТРУКТИВНОМУ
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Б. А. КУШНЕР
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973

517.2
К 96
УДК 517
© Издательство «Наука», 1973,
0223-1845
042@2)-73

ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 7
Введение 9
Глава 1
Нормальные алгорифмы и перечислимые множества
§ 1. Нормальные алгорифмы 47
§ 2. Некоторые неразрешимые алгорифмические проблемы
теории алгорифмов 92
§ 3. Разрешимые и перечислимые множества 98
Глава 2
Конструктивные действительные числа
§ 1. Натуральные, целые и рациональные числа 115
§ 2. Конструктивные действительные числа (КДЧ). Основ-
Основные определения 126
§ 3. Отношения равенства и порядка на множестве КДЧ . 130
§ 4. Арифметические операции над КДЧ 149
§ 5. Рациональные числа в конструктивном континууме . .160
Глава 3
Конструктивная сходимость. Эффективная несчетность конструк-
конструктивного континуума
§ 1. Основные определения. Первоначальные теоремы о пре-
пределах 163
§ 2. Полнота конструктивного континуума. Теорема о вло-
вложенных сегментах . 169
§ 3. Пример монотонной ограниченной не сходящейся по-
последовательности рациональных чисел 179
§ 4. Эффективная несчетность конструктивного континуума . 187
Глава 4
Невозможность некоторых алгорифмов, связанных с конструк-
конструктивными действительными числами
§ 1. Некоторые алгорифмические проблемы, связанные с от-
отношениями равенства и порядка на конструктивном кон-
континууме. Приложения к алгебре 191
§ 2. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных со
сходимостью 202
§ 3. Конструктивные действительные числа и систематиче-
систематические дроби 209

в ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5
Конструктивные функции
§ 1. Основные определения. Некоторые примеры .... 216
§ 2. Свойства непрерывности. Равномерно непрерывные
функции 223
§ 3. Структура конструктивных функций 235
§ 4. Теоремы о среднем значении для конструктивных функ-
функций ../ 253
Глава 6
Дифференцирование конструктивных функций
§ 1. Основные определения 265
§ 2. Теоремы о среднем значении дифференциального исчис-
исчисления 269
§ 3. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных с
дифференцированием 276
Г л а ва 7
Интегрирование конструктивных функций по Риману
§ 1. Основные определения. Теорема об ограниченности ин-
интегрируемых функций 284
§ 2. Некоторые критерии интегрируемости. Интегрируемость
равномерно непрерывных функций. Интегрируемость мо-
модуля и произведения интегрируемых функций .... 293
§ 3. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Нью-
Ньютона — Лейбница. Теорема о замене переменной . . . 303
Глава 8
Сингулярные покрытия и некоторые их применения
§ 1. Основные определения. Существование сингулярных по-
покрытий .311
§ 2. Примеры конструктивных функций с необычными свой-
С"вами 323
§ 3. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных с ин-
интегрированием 341
Глава 9
Конструктивные метрические пространства
§ 1. Конструктивные метрические пространства. Основные
определения, некоторые примеры. Пополнение кон-
конструктивных метрических пространств 356
§ 2. Согласованные множества. Алгорифмические операторы.
Теорема непрерывности (первая формулировка) . . . 379
§ 3. Теорема о выборе перечислимого покрытия. Усиленная
форма теоремы непрерывности. Некоторые контрприме-
контрпримеры . 403
Библиография . 427
Указатель имен 441
Предметный указатель 443
Указатель обозначений , 446

Посвящается
Андрею Андреевичу Маркову
к его семидесятилетию
ОТ АВТОРА
В основу настоящей книги положен специальный
курс, читавшийся автором на механико-математическом
факультете Московского университета. Излагаемый ма-
материал не предполагает почти никаких предваритель-
предварительных знаний и вполне доступен читателю, владеющему
стандартным курсом математического анализа. Более
подробная характеристика книги приведена в п. 9 вве-
введения.
Автор глубоко благодарен своим учителям А. А. Мар-
Маркову и Н. М. Нагорному, без многолетнего плодотвор-
плодотворного общения с которыми эта книга не могла бы быть
написана.
Автор считает своим приятным долгом поблагода-
поблагодарить за большое внимание к книге председателя Науч-
Научного Совета по комплексной проблеме «Кибернетика»
академика А. И. Берга и сотрудников Совета Б. В. Би-
Бирюкова и Е. С. Геллера. Автор весьма признателен
также С. И. Адяну за внимание и ценные советы.
Автор приносит извинения своим многочисленным
коллегам, имена которых он не имеет возможности
здесь привести и чья дружеская поддержка неоценимо
помогала в работе. Всем им автор глубоко благодарен.

ВВЕДЕНИЕ*)
1. Как известно, к началу 20-го века, благодаря ра-
работам Коши, Больцано, Вейерштрасса, Кантора, Деде-
кинда и Мерэ, математический анализ получил свое
обоснование на базе канторовской теории множеств.
Две черты наиболее характерны, по нашему мнению,
для теоретико-множественного стиля мышления: 1) до-
допущение такой далеко идущей абстракции, как абстрак-
абстракция актуальной бесконечности, позволяющей рассмат-
рассматривать «завершенные» бесконечные совокупности
одновременно существующих объектов; 2) свободное
применение при рассуждениях о бесконечных совокуп-
совокупностях обычных правил традиционной логики — в част-
частности, допускается неограниченное применение закона
исключенного третьего.
Теоретико-множественные методы позволили перейти
от расплывчатых «динамических» концепций старого
анализа бесконечно малых к строгой «статической.»
системе понятий современной теории пределов. Стано-
Становящийся, развивающийся натуральный ряд заме-
заменился представлением о совокупности всех натуральных
чисел, связываемый с бесконечно малой процесс свел-
ся к понятию функции, в свою очередь трактуемому
посредством актуально заданных, «завершенных»
*) Настоящее введение не следует рассматривать как своего
рода «кредо конструктивистов». Ряд высказываемых мнений и оце-
оценок отражает личную точку зрения автора, ответственность за ко-
которую полностью ложится на него одного. Сжатый обзор основных
методологических установок конструктивного направления в мате-
математике и обсуждение его положения относительно других матема-
математических течений можно найти в работах Маркова [6], Ша-
Шанина [6; введение и приложение]; [8], в докладе Цейтина,
Заславского и Шанина на Московском международном
конгрессе математиков [1]—[2] и, наконец, в автореферате
Цейтина [9]. г -г г

10 ВВЕДЕНИЕ
множеств пар предметов, удовлетворяющих некоторым
очевидным ограничениям (в функциональном множестве
не должно быть двух разных пар с одинаковой первой
компонентой). Реальная или кажущаяся естественность
и обозримость вводимых таким образом понятий, удоб-
удобство обращения с ними, доставляемое использованием
привычных логических средств, в значительной мере
стимулировали развитие математического анализа и
создавали ощущение предельной строгости его построе-
построений, усиливаемое практическими успехами опирающихся
на анализ прикладных ветвей математики.
Вместе с тем уже в процессе своего построения тео-
теория множеств была потрясена обнаруженными на ее
окраинах парадоксами (см., например, Клини [4],
Карри [1], Френкель и Бар-Хиллел [1]). Хотя
эти парадоксы и не относились непосредственно к ана-
анализу (некоторое исключение, благодаря своему сход-
сходству с канторовской теоремой о несчетности контину-
континуума, составляет, пожалуй, парадокс Ришара (см.
Френкель и Бар-Хиллел [1; стр. 20—21]; инте-
интересное обсуждение парадокса Ришара можно найти в
книге Б орел я [1; стр. 162])), все же ситуации, харак-
характерные для появления парадоксов, обнаруживались уже
в такой начальной области анализа, как теория дей-
действительных чисел. Это и чрезвычайно большая свобода
образования понятий (например, континуум по Деде-
кинду есть множество всех множеств рациональных
чисел, подчиненных некоторым достаточно слабым огра-
ограничениям), и использование непредикативных опреде-
определений, когда некоторые объекты определяются в терми-
терминах множеств, которым они сами должны принадлежать
(именно такой характер носит, например, определение
точных границ числовых множеств).
С другой стороны, независимо от проблемы парадок-
парадоксов, не прекращалась восходящая к Гауссу и Кронекеру
критика изначальной принципиальной приемлемости
основных теоретико-множественных установок. С осо-
особенно острой и последовательной критикой выступил
Брауэр. Критика эта (к которой затем присоединился и
занимавший вначале особую позицию Г. Вейль) сопро-
сопровождалась развитием оригинальной программы построе-
построения математики, известной ныне под названием «интуи-

ВВЕДЕНИЕ 11
ционизм» (или «неоинтуиционизм»). Брауэр и его по-
последователи энергично возражали как против веры в
экзистенциальный характер бесконечных множеств, так
и против убеждения в том, что традиционная логика
отвечает существу математики. Согласно воззрениям
интуиционизма предметом исследования математики яв-
являются умственные построения, рассматриваемые как
таковые «безотносительно к таким вопросам о природе
конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли
эти объекты независимо от нашего знания о них»
(Гейтинг [3; стр. 9—10]).
Математические утверждения суть информации о вы-
выполненных построениях. Обращение с умственными по-
построениями требует особой логики, не принимающей, в
частности, в сколько-нибудь полном объеме закона
исключенного третьего (ср. Колмогоров [2], Гей-
Гейтинг [3; стр. 9—11]).
Интуиционизм вернул математической бесконечно-
бесконечности ее подвижный, развивающийся характер — завер-
завершенное, целиком предъявленное для рассмотрения мно-
множество натуральных чисел должно было уступить место
потенциально бесконечному натуральному ряду, беско-
бесконечному в своем развитии, в возможности построения
все новых и новых натуральных чисел; континуум из
плохо отвечающего геометрической интуиции конгломе-
конгломерата отдельных точек превратился в своего рода «среду
становления», обеспечивающую возможность неограни-
неограниченного развития путем актов выбора свободно становя-
становящейся последовательности измельчающихся рациональ-
рациональных интервалов. Однако, хотя интуитивная ясность и
является, согласно позиции интуиционистов, главным и
единственным критерием математической истинности,
именно этому критерию, по мнению многих математи-
математиков, часто не удовлетворяли как философские посылки,
так и конкретные математические теории интуиционизма
(например, Бишоп [2], [3] характеризует брауэровскую
теорию континуума как революционную и «полумисти-
«полумистическую») *).
*) Для подробного ознакомления с философией и математи-
математической практикой интуиционизма можно обратиться к цитированной
книге Рейтинга [3], а также к монографии Френкеля и Б а р-
Хиллел а [1].

12 ВВЕДЕНИЕ
Развернувшаяся вокруг парадоксов и интуиционист-
интуиционистской критики полемика выявила серьезные расхождения
крупнейших математических мыслителей во взглядах
на самые основные и первоначальные понятия матема-
математики и создала ту продолжающуюся до сих пор ситуа-
ситуацию, которую можно охарактеризовать как кризис
оснований математики (относящиеся сюда вопросы под-
подробно изложены в книге Френкеля и Бар-Хилле-
ла [1], где имеется также обширная библиография). По-
видимому, не будет преувеличением сказать, что сегодня
не так уж ясно, являются ли успехи приложений след-
следствием правильного выбора исходных установок теоре-
теоретической математики или, наоборот, сами эти успехи
являются источником разделяемой подавляющим боль-
большинством математиков веры в правильность упомяну-
упомянутых установок. В свете сказанного представляются есте-
естественными поиски новых путей построения анализа,
обеспечивающего потребности естественных наук и вме-
вместе с тем опирающегося на более ясные, чем теоре-
теоретико-множественные, исходные концепции.
Другой стороной интуиционистской критики было
привлечение внимания к вопросу конструктивности в
математике. Достигаемая в теории множеств громадная
общность приводила к слабой «осязаемости» многих
объектов анализа. Причем такие объекты возникали не
только в результате рискованных конструкций с исполь-
использованием аксиомы выбора, но обнаруживались в самых
начальных, непосредственно примыкающих к вычисли-
вычислительной практике областях анализа. Ряд эффектных
«теорем существования» оказался при ближайшем рас-
рассмотрении лишенным вычислительного смысла. В каче-
качестве классического примера обратимся к теореме о точ-
точных границах ограниченных числовых множеств. Не-
Нетрудно построить алгорифмическую последовательность
из нулей и единиц {nh} так, что в этой последователь
ности встречается ненулевой член тогда и только тогда,
когда нарушается великая теорема Ферма (для этого
достаточно перечислять друг за другом все четверки
натуральных чисел (x,y,z,n) (n > 2, х, у, z>0), про-
проверяя равенство хп + уп = zn\ tih полагается равным
нулю, если результат этой проверки для k-ft четверки
отрицательный, и единице в противоположном случае).

ВВЕДЕНИЕ 13
Согласно теореме Больцано — Вейерштрасса существует
точная верхняя грань b множества значений последова-
последовательности {п/,}. Ясно, что, умея вычислять b хотя бы
с точностью до '/з. мы смогли бы узнать, равно b нулю
или единице. Таким образом, мы выяснили бы, верна
теорема Ферма или нет. Подобные примеры, число ко-
которых легко увеличивать, делают весьма сомнительной
возможность эффективного метода, позволяющего вы-
вычислять точные границы ограниченных множеств, даже
если рассматривать лишь множества значений эффек-
эффективно вычислимых последовательностей из нулей и
единиц *).
В качестве второго примера возьмем теорему о кор-
корне знакопеременной непрерывной функции. Здесь мо-
может показаться, что обычно приводимый в доказатель-
доказательствах этой теоремы метод последовательного деления
сегмента (см., например, Фихтенгольц [1; гл. 2, §5])
позволяет эффективно находить сколь угодно точные
приближения к корню. В действительности дело обстоит
не так просто: уже на первом шаге процесса вычисле-
вычисления корня нужно узнать, обращается ли функция в нуль
в середине сегмента. Нетрудно, однако, понять, что за-
задача распознавания равенства действительного числа
нулю может быть необозримо трудной. В самом деле,
обозначим через а действительное число, целая часть
которого равна 0, а /г-й двоичный разряд равен nh (где
{Пк} — рассмотренная выше последовательность нулей и
единиц). Ясно, что а = 0 в том и только в том случае,
*) Расмотренный пример удобен для пояснения интуиционист-
интуиционистского отказа от закона исключенного третьего. Поскольку при сегод-
сегодняшнем состоянии науки теорема Ферма не доказана и не опро-
опровергнута, нельзя утверждать (математические утверждения суть
утверждения о выполненных построениях!), что последовательность
{л*} имеет точную верхнюю грань. Лежащий в основе традицион-
традиционного доказательства довод, что либо при всех k Пк = 0, либо при
некотором k ПкФЪ, должен быть отвергнут как метафизический,
апеллирующий к истинности в каком-то абсолютном смысле и, сле-
следовательно, выходящий за пределы математики. Конечно, теорема
Ферма со временем может быть доказана или опровергнута, однако
в этом случае можно обратиться к другой нерешенной задаче. Уве-
Уверенность в нашей способности решить в конечном итоге любую
проблему, может быть, и является интересной темой для философ-
философских дискуссий, но она, во всяком случае, не должна быть источ-
источником математических теорий.

14 ВВЕДЕНИЕ
когда верна теорема Ферма. Обнаруживаемые этим
рассуждением затруднения в нахождении корней зна-
знакопеременных функций связаны, как будет показано в
§ 4 гл. 5, не с особенностями метода последовательного
деления сегмента*), а имеют принципиальный ха-
характер.
В обоих рассматриваемых случаях в доказательствах
соответствующих классических теорем нетрудно обна-
обнаружить применение следующего варианта закона исклю-
исключенного третьего: или все элементы множества s& обла-
обладают данным свойством <&, или существует некоторый
элемент s4>, не обладающий этим свойством. Бишоп
[2] образно называет этот принцип «принципом всеведе-
всеведения» и считает его главным виновником неконструктив-
неконструктивности в классической математике.
Приведенные примеры вызывают естественное же-
желание уточнить ряд понятий, связанных с вычислимо-
вычислимостью. Например, какие действительные числа и функ-
функции считать вычислимыми? Каковы их свойства? Что
понимать под «общим эффективным методом» вычисле-
вычисления точных границ ограниченных множеств (или вы-
вычисления корней знакопеременных функций), какие и
как представленные исходные данные должен исполь-
использовать такой метод и нельзя ли как-то уточнить интуи-
интуитивно ощущаемую его невозможность? Забегая вперед,
отметим, что при надлежащем уточнении соответствую-
соответствующих понятий в рассматриваемых примерах получаются
следующие ситуации. В случае теоремы о точных гра-
границах можно привести пример (Шпекер [1]) ограни-
ограниченной, возрастающей алгоритмической последователь-
последовательности рациональных чисел, не имеющей вычислимой
верхней границы (таким образом, не только невозмо-
невозможен общий метод вычисления границ, но и встречаются
отдельные, притом достаточно простые множества, не
имеющие точных вычислимых границ). В случае тео-
теоремы Коши невозможен алгорифм, находящий корни
любой знакопеременной непрерывной вычислимой функ-
функции (в качестве исходных данных такой алгорифм дол-
*) Этот метод с небольшими изменениями может быть поло-
положен в основу алгорифма вычисления корней для знакопеременных
непрерывных вычислимых функций, удовлетворяющих некоторым
дополнительным условиям.

ВВЕДЕНИЕ 15
жен был бы использовать вычисляющий алгорифм
исходной функции; отметим, что искомый алгорифм не-
невозможен уже для класса кусочно линейных функций
вида f(x) -f- с, где с— вы-
вычислимое действительное У
число, a f—функция, гра- ]_
фик которой представлен 3
на рис. 1). Вместе с тем
невозможна вычислимая
функция, принимающая /L ?
значения разных знаков . '
на концах данного сег- j
мента и не обращающая-
ся в нуль ни в какой вы-
числимой точке этого
сегмента (a priori нельзя
исключить существование вычислимых знакопеременных
функций, все корни которых «невычислимы»). Эти ре-
результаты принадлежат Цейтину [2], [6].
Кратко суммируя изложенное, можно выделить сле-
следующие два круга вопросов.
A) Построение системы анализа, основанной на более
ясных, чем теоретико-множественные, предпосыл-
предпосылках и в большей степени, чем традиционный анализ,
учитывающей реальные конструктивные и вычисли-
вычислительные возможности.
B) Введение и изучение вычислимых объектов ана-
анализа. Исследование принципиальных границ вычис-
вычислительных возможностей в анализе, изучение «эф-
«эффективности» в анализе, в частности, исследование
вопроса о том, по каким исходным данным можно
находить те или объекты анализа.
В связи с этими проблемами возникли различные
течения в основаниях математики и математическом
анализе, объединяемые собирательным названием «кон-
«конструктивный анализ» (в близком смысле употребляются
также термины «рекурсивный анализ» и «вычислимый
анализ») *). При этом, если исследования проблем A)
*) Мы не останавливаемся здесь на берущем свое начало в
монографиях Уайтхеда и Рассела [1] —[3] и Вей л я [1}

16 ВВЕДЕНИЕ
связаны с разработкой тех или иных концепций в осно-
основаниях математики, то исследования проблем B) мо-
могут проводиться и обычными теоретико-множественными
средствами.
2. Переходя к краткому историческому обзору, от-
отметим сразу громадные заслуги интуиционизма в фор-
формировании основных концепций конструктивного ана-
анализа. Большое значение сыграла также и уже упоминав-
упоминавшаяся книга В ей л я [1], содержащая, в частности, один
из первых подходов к понятию конструктивного дей-
действительного числа.
Весьма существенным этапом в развитии конструк-
конструктивного анализа явилась выработка в 30-х годах на-
нашего столетия благодаря работам Эрбрана, Гёделя,
Тьюринга, Поста, Черча и Клини точного понятия
алгорифма (фактически было предложено несколько
внешне различных концепций, оказавшихся, однако,
равнообъемными). Основываясь на точных понятиях
алгорифма (соответственно машинах Тьюринга и ре-
рекурсивных функциях), Тьюринг [1] — [2], а также
Банах и Мазур [1]*) независимо предложили в
1936—1937 гг. определения вычислимого (конструктив-
(конструктивного) действительного числа. В своей первой работе
Тьюринг определял вычислимое действительное число,
как число, допускающее вычислимое десятичное раз-
разложение**). В последовавшем затем исправлении
(Тьюринг [2]) это определение было изменено; выяс-
выяснилось, что естественное на первый взгляд связывание
вычислимости чисел с вычислимостью их систематичес-
систематических представлений в фиксированной системе счисления
имело ряд принципиальных недостатков. Укажем лишь
«предикативном анализе». В предикативном анализе рассматривае-
рассматриваемые объекты вводятся посредством индивидуальных определений
в рамках некоторых фиксированных средств, при этом особое вни-
внимание уделяется исключению непредикативного образования поня-
понятий (подробнее см. Феферман [1]). .
*) В [1] приводится лишь название доклада, прочитанного
23 января 1937 г. на заседании Польского математического обще-
общества. Некоторые сведения о его содержании можно найти в обзоре
Мостов с ко го [1].
**) Согласно Мостовскому [1] Банах и Мазур рассматри-
рассматривали действительные числа с примитивно рекурсивными десятич-
десятичными разложениями.

ВВЕДЕНИЕ 17
на два из них: 1) не для любых двух систем счисления
возможен алгорифм, позволяющий от вычислимых раз-
разложений в первой системе переходить к вычислимым
разложениям во второй (см. теорему Мостовского —
Успенского, § 3 гл. 4); 2) при любой фиксированной
системе счисления невозможен алгорифм сложения
действительных чисел, вычислимых относительно этой
системы счисления. Отвлекаясь от технических деталей,
можно сказать, что в своем исправленном определении
Тьюринг связывает вычислимость действительного чис-
числа х с существованием вычислимой последовательности
рациональных чисел % (т. е. алгорифма, переводящего
всякое натуральное число в рациональное число) *) та-
такой, что при любом п
C) |Я(я)-*
Хотя при последовательно конструктивной трактовке
это определение и не может быть принято из-за фигу-
фигурирующего в нем традиционного понятия действитель-
действительного числа, содержащаяся в нем идея легко позволяет
определить конструктивные действительные числа из-
изначально, не апеллируя к другим концепциям действи-
действительных чисел. Для этого достаточно заменить условие
C) на условие
D) при m>tt |Я(я)-Я(т)К2"'1
и понимать под конструктивными (вычислимыми) дей-
действительными числами вычислимые последовательности
рациональных чисел, удовлетворяющие условию D).
Изложенную концепцию конструктивного (вычисли-
(вычислимого) действительного числа (ей отвечают и конструк-
конструктивные числа, рассматриваемые в этой книге), по-
видимому, можно считать окончательной. Интересно
заметить, что Тьюринг отмечает влияние на свое опре-
определение некоторых идей Брауэра.
*) Конечно, мы имеем здесь в виду алгорифм в точном смысле
слова (например, машину Тьюринга). Отметим, что вычислимость
последовательностей рациональных чисел очевидным образом сво-
сводится к вычислимости арифметических функций (т. е. функций на-
натурального аргумента с натуральными значениями).

18 ВВЕДЕНИЕ
Исследования, начатые Тьюрингом, Банахом и Ма-
зуром, были продолжены в послевоенные годы. В 1949 г.
появляется работа Шпекера [1], в которой, наряду
с глубоким исследованием примитивно рекурсивно вы-
вычислимых объектов анализа (действительных чисел и
функций), содержится знаменитый пример неубываю-
неубывающей ограниченной алгорифмическои последовательности
рациональных чисел, не являющейся вычислимо сходя-
сходящейся. (Этот результат уже упоминался нами выше
в связи с вопросом о точных верхних границах.) Говоря
несколько точнее, для последовательности Шпекера ©
невозможна общерекурсивная функция h такая, что
для любых i, /, п, удовлетворяющих неравенству
i, j ^ h(n), выполняется
I ® @ - ® (/) I < 2-п.
Таким образом, скорость сходимости этой последова-
последовательности (имеется в виду сходимость, утверждаемая
известной классической теоремой) не поддается эффек-
эффективной оценке.
Дальнейшему изучению различных представлений
вычислимых действительных чисел были посвящены ра-
работы Петер [1] A950 г.) (результаты Петер изло-
изложены также в ее известной монографии [2]), М а й-
хилла [1] A953 г.), Мешковского [1] A956 г.) и
Раиса [1] A954 г.). В работе Раиса приводится, в
частности, чрезвычайно прозрачное построение рассмот-
рассмотренного выше примера Шпекера.
В 1949—1950 учебном году в курсе лекций в Инсти-
Институте математики Польской академии наук Мазур по-
последовательно изложил результаты по вычислимому
анализу, полученные им до войны совместно с Бана-
Банахом, а также свои послевоенные результаты. Записки
этих лекций были впоследствии A963 г.) изданы при
участии Расевой и Гжегорчика в виде монографии
(Мазур [1]). Монография Мазура содержит, в част-
частности, компактное и глубокое изложение теории вычис-
вычислимых действительных чисел и функций. Наряду с об-
общей концепцией вычислимого действительного числа,
аналогичной тьюринговой и параллельной канторов-
скому определению в традиционном анализе, в этой мо-
монографии исследуются и другие возможности определе-

ВВЕДЕНИЕ 19
ния вычислимого действительного числа (систематичес-
(систематические дроби, дедекиндовы сечения). Изучается также при-
примитивно рекурсивная вычислимость.
Интуитивная вычислимость в области натуральных
чисел отождествляется Мазуром с общей рекурсивно-
стью. Весьма своеобразным является подход к опреде-
определению вычислимых объектов более сложных типов.
Остановимся, например, на определении вычислимых
матуральнозначных функционалов над арифметическими
функциями. Функционал (в традиционном смысле —
Мазур свободно использует концепции теоретико-мно-
теоретико-множественной математики) называется вычислимым, если
он переводит всякую вычислимую последовательность
вычислимых арифметических функций (такая последова-
последовательность задается двухместной общерекурсивной функ-
функцией) в вычислимую последовательность натуральных
чисел. Точнее говоря, при вычислимом функционале Ф
для любой двухместной общерекурсивной функции f
существует (доказательство этого существования может
проводиться с использованием любых математических
средств) общерекурсивная функция g такая, что
(п, т)).
(Здесь f(n, т) рассматривается как функция т при
каждом фиксированном п.) В таком же порядке идей
определяется и вычислимость действительной функции:
функция ф вычислима, если она переводит всякую вы-
вычислимую последовательность вычислимых действитель-
действительных чисел снова в вычислимую последовательность вы-
вычислимых действительных чисел. При этом вычислимые
последовательности вычислимых действительных чисел
трактуются при помощи двухместных вычислимых (по
совокупности обоих аргументов!) аппроксимирующих
рациональных функций. (Это, по существу, равносильно
нашему определению последовательностей КДЧ (§ 1
гл. 3).) Одним из замечательных результатов, пред-
представленных в монографии Мазура, является теорема не-
непрерывности вычислимых (в вышеуказанном смысле)
функционалов и действительных функций. Эта теорема
близка к теореме Маркова о невозможности конструк-
конструктивных разрывов у вычислимых действительных функ-
функций (при несколько другой концепции вычислимой

20 ВВЕДЕНИЕ
функции; см. Марков [3], |5J). Исследования Мазура
послужили отправной точкой для ряда работ (Гжо-
горчик [2]—[5], Мостовский [2], Леман [1], Л а х-
лан [1], Фридберг [2], Клауа [1]—[4], Ильзе [1]),
объем, глубина и своеобразие которых позволяют го-
говорить о польской школе вычислимого анализа.
В работе Мостовского [2] A957 г.) исследованы
различные способы определения вычислимых последо-
последовательностей вычислимых действительных чисел; среди
полученных здесь результатов имеется теорема, полно-
полностью решающая вопрос о возможности эффективного
перехода от вычислимых разложений в одной системе
счисления к таким же разложениям в другой. Такой
переход от системы с основанием т к системе с осно-
основанием п оказывается возможным в том и только в том
случае, когда все простые делители п являются про-
простыми делителями т (см. § 3 гл. 4; эта теорема неза-
независимо найдена также Успенским [2]—[3]). Некото-
Некоторые вопросы, оставшиеся открытыми в этой работе, были
решены Леман ом [I] и Лахланом [1].
В фундаментальной работе Гжегорчика [2]
A955 г.) был предложен новый оригинальный подход
к определению вычислимой действительной функции.
Исходной точкой являлись всюду определенные вычис-
вычислимые натуральнозначные функционалы над натураль-
натуральными числами и арифметическими функциями. Вычисли-
Вычислимые по Гжегорчику функционалы имеют генетический
характер: каждый такой функционал получается из очень
простых начальных функционалов посредством конеч-
конечного числа применений некоторых правил (аналогичных
соответствующим правилам в теории частично рекурсив-
рекурсивных функций)*). Исходя из натуральнозначных функ-
функционалов, легко естественным образом ввести вычисли-
вычислимые функционалы с целыми значениями над целочислен-
целочисленными функциями.
В определении Гжегорчика вычислимость всюду
определенной действительной функции <р связывается
с существованием вычислимого по Гжегорчику функ-
*) Как заметил К л и н и [3], функционалы Гжегорчика иден-
идентичны всюду определенным общерекурсивным функционалам (см.
Клини [4]).

ВВЕДЕНИЕ 21
ционала, переводящего каждую целочисленную функ-
функцию, аппроксимирующую произвольный действитель-
действительный х, в функцию, аппроксимирующую <р(х) (функция f
(не обязательно вычислимая!) аппроксимирует х, если
при всех п
/2+1
Из определения функционалов Гжегорчика вытекает их
непрерывность (в бэровской метрике): при фиксирован-
фиксированных натуральных аргументах значение вычислимого
функционала на данных функциях f\, ..., fn опреде-
определяется некоторым начальным отрезком значений этих
функций. Используя это обстоятельство и всюду опре-
определенность вычислимых функционалов, Гжегорчик до-
доказал с помощью теоремы Бореля о покрытиях, что
вычислимые в его смысле действительные функции вы-
вычислимо равномерно непрерывны на каждом сегменте.
Идеи Гжегорчика развивались затем немецким матема-
математиком Клауа; полученные Клауа результаты суммиро-
суммированы в его монографии [4].
Начиная с 1955 г. преимущественно в докладах
Французской Академии наук был опубликован ряд ра-
работ Лакомба, Крайзела, Шёнфилда и Фридберга (см.
также труды симпозиума Constructivity in Mathematics
(Амстердам, 1957)). Среди принципиальных результа-
результатов, полученных этими авторами, упомянем следую-
следующие *). Кр а й зелом, Л а ком бом и Шёнфилдом
[1]—[2] была доказана вычислимая непрерывность эф-
эффективных функционалов над бэровским пространством
общерекурсивных функций, Лакомбом [2] уста-
установлено существование вычислимых действительных
функций, не являющихся равномерно непрерывными,
Лакомбом [2], [4] построен пример вычислимой, вы-
вычислимо равномерно непрерывной функции, недостигаю-
недостигающей своего максимума ни в какой вычислимой точке
*) Аналогичный круг результатов был в то же время получен
в Советском Союзе И. Д. Заславским и Г. С. Цейтипым (Заслав-
(Заславский [1] —[2], [4] — вычислимые функции с необычными свой-
свойствами, Цейтин [3]—[5] — теоремы непрерывности, Заслав-
Заславский, Цейтин [1]—[2] —сингулярные покрытия). О советской
школе конструктивного анализа речь пойдет ниже.

22 ВВЕДЕНИЕ
(источником такого рода конструкций может служить
построенный Клин и [2] пример бесконечного дерева
с конечным ветвлением, все общерекурсивные пути ко-
которого конечны), Крайзелом и Лакомбом [1]
доказано существование сингулярных интервальных
покрытий (см. § 1 гл. 8).
Характерной чертой представленных работ является
то обстоятельство, что их авторы интересуются в основ-
основном кругом проблем B) (п. 1) и не связывают себя
никакими специфическими концепциями в основаниях
математики. В определениях и доказательствах свобод-
свободно используются понятия, методы и результаты теоре-
теоретико-множественной математики. Преимуществом такой
позиции является большая гибкость, позволяющая, в
частности, получать весьма интересные результаты, ха-
характеризующие отношения между вычислимыми и не-
невычислимыми объектами, а также возможность излагать
вычислимый анализ на базе привычного языка и хо-
хорошо разработанной символики традиционной матема-
математики. Вместе с тем критика, которой подвержен теоре-
теоретико-множественный стиль мышления, переносится и на
эти результаты, что делает данный путь малоприемле-
малоприемлемым для исследователей, интересующихся кругом проб-
проблем A) (т. е. изначальным «замкнутым в себе» построе-
построением конструктивного анализа). Следует отметить, что
во многих случаях теоретико-множественные методы мо-
могут быть элиминированы, что позволяет использовать
значительную часть достижений традиционных систем
вычислимого анализа и при последовательно конструк-
конструктивном подходе. Однако дело не всегда обстоит так
просто: например, определение вычислимой по Гжегор-
чику действительной функции настолько пронизано тео-
теоретико-множественными концепциями (арифметическая
функция, действительное число), что даже формулиров-
формулировка содержательных аналогов этого определения, не го-
говоря уже о теореме равномерной непрерывности, в рам-
рамках нетрадиционной системы анализа (скажем, развивае-
развиваемой в данной книге) представляется нетривиальной.
Параллельно с рассмотренными работами предпри-
предпринимались также попытки построения нетрадиционных
систем вычислимого анализа. Здесь следует прежде

ВВЕДЕНИЕ 23
всего сказать о рекурсивном анализе Гудстейна *) (пер-
(первая относящаяся сюда статья Гудстейна, сданная в пе-
печать в 1941 г., увидела свет в 1945 г.; исследования
Гудстейна собраны в двух его монографиях [1] и [2],
объединенных в русском переводе в одну книгу). Харак-
Характерной чертой подхода Гудстейна является стремление
строить рекурсивный анализ на возможно более про-
простой логической базе — именно, на базе примитивно ре-
рекурсивной арифметики или, точнее, на основе разрабо-
разработанной им оригинальной аксиоматической теории не-
некоторых классов арифметических функций (исчисление
равенств Гудстейна; за подробной общей характеристи-
характеристикой как исчисления равенств, так и подхода Гудстейна
вообще мы отсылаем читателя к статье Шанина [8]).
Объектом рассмотрения являются рекурсивные (чаще
всего примитивно рекурсивные) функции над полем
рациональных чисел с рациональными значениями, а
также рекурсивные последовательности таких функций,
задаваемые двухместными рекурсивными функциями.
При построении анализа последовательно используются
аппроксимативные методы, причем объекты, обычно воз-
возникающие в анализе из аппроксимаций в результате
предельных переходов, как правило, не вводятся. На-
Например, у Гудстейна фактически отсутствует понятие
рекурсивной действительной функции, хотя читатель,
владеющий какой-нибудь концепцией действительной
функции, без труда обнаружит приводящие к таким
функциям последовательности рациональных приближе-
приближений. Достоинством этой методики является логическая
простота используемых понятий, вместе с тем она не ли-
лишена, по мнению автора, и некоторых недостатков — по
мере накопления никак не обозначенных предельных
переходов растет громоздкость (но не сложность!)
определений и формулировок теорем. В целом анализ
приобретает очень необычный вид, что существенно за-
затрудняет математику, интересующемуся кругом проблем
B) (п. 1), соотнесение получаемых результатов к при-
привычным ему математическим структурам.
*) Мы не касаемся сейчас занимающего совершенно особое
место интуиционистского анализа (см. Г е й т и н г [3]); его плодо-
плодотворное влияние практически на всех исследователей в данной
области уже отмечалось.

24 ВВЕДЕНИЕ
Следует отметить, что в работах Гудстейна, по-ви-
по-видимому, впервые были систематически изучены с точки
зрения точной теории алгорифмов теоремы о среднем
значении и был предложен плодотворный подход к уста-
установлению рекурсивных аналогов этих теорем, при ко-
котором вместо объекта, придающего функции требуемое
значение, отыскивался рекурсивный объект, придающий
требуемое значение с некоторой наперед фиксированной
точностью. Такого рода в-варианты теорем существова-
существования иногда называют теоремами гудстейновского типа.
В 1966—1967 гг. с оригинальной и чрезвычайно да-
далеко продвинутой системой конструктивного анализа
выступил известный американский математик Бишоп
(см. монографию [2] A967 г.), а также резюме [1], [3]
доклада Бишопа на Московском международном кон-
конгрессе математиков), Конструктивный анализ Бишопа
занимает промежуточное положение между интуицио-
интуиционистским анализом и системами, использующими точ-
точные понятия алгорифма. Солидаризируясь с интуицио-
интуиционистской критикой теоретико-множественной математи-
математики, Бишоп вместе с тем стремится избежать того, что
он называет «озабоченностью философскими пробле-
проблемами конструктивизма за счет конкретной математиче-
математической активности». Им отвергаются как интуиционист-
интуиционистские теоремы типа брауэровской теоремы о веере,
влекущей равномерную непрерывность интуиционист-
интуиционистских действительных функций, так и претензии точных
концепций алгорифмов на полное выражение сущности
вычислимого (тезисы Чёрча, Тьюринга, принцип нор-
нормализации). И то и другое содержит сверхматематиче-
сверхматематические, а потому неприемлемые предположения. Бишоп
развертывает свой конструктивный анализ, доводя из-
изложение до глубоких результатов, относящихся к тео-
теории функций комплексной переменной и функцио-
функциональному анализу, на основе интуитивной концепции
конструктивности, предполагающей, в частности, перво-
первоначальную интуицию натуральных чисел и их арифме-
арифметики и тот взгляд, что любое математическое утвержде-
утверждение должно в конечном счете выражать некоторый факт
вычислительного характера о натуральных числах (те
или иные вычисления над натуральными числами дают
тот или иной результат), Монография Бишопа [2],

ВВЕДЕНИЕ 25
написанная с большим педагогическим- мастерством,
позволяет говорить о несомненном и значительном
успехе этой программы. Указанное обстоятельство, од-
однако, ни в коей мере не умаляет важности исследо-
исследований, использующих строгие понятия алгорифма.
К преимуществам таких исследований относится и
большая точность в постановке задач, и возможность
доказательства неразрешимости многих естественных
алгорифмических проблем*), и, наконец, возможность
изучения специфических свойств вычислимых в точном
смысле объектов. Интерес получаемых здесь результа-
результатов очевиден, поскольку даже те немногочисленные ма-
математики, которые, подобно Бишопу, отвергают абсо-
абсолютистские притязания точных концепций алгорифма,
по-видимому, признают их очень большую общность.
Представляется весьма правдоподобным, что боль-
большинство результатов Бишопа может быть истолковано
и в рамках систем анализа, опирающихся на точное
понятие алгорифма.
Излагаемая в данной книге система конструктивного
анализа принадлежит к так называемому конструктив-
конструктивному направлению в математике, главные положения
которого были выдвинуты в 1948—1949 гг. А. А. Мар-
Марковым. Формирование основных понятий этой системы
относится к 50-м годам; в это же время были получены
и наиболее принципиальные, определившие современное
лицо теории, результаты. Здесь следует прежде всего
указать на основополагающий вклад самого А. А. Мар-
Маркова, а также его учеников Н. А. Шанина, И. Д. За-
Заславского и Г. С. Цейтина. Краткая характеристика
конструктивного направления и строящегося в его рам-
рамках конструктивного анализа приводится в следующих
пунктах. Ниже прилагательное «конструктивный» будет
(за исключением особо оговоренных случаев) упот-
употребляться для указания принадлежности того или
иного метода, результата и т. п. к конструктивному на-
направлению в математике. В частности, термин
*) Здесь имеет место определенная аналогия с прогрессом, до-
достигнутым путем использования точных концепций алгорифма в
изучении известных алгорифмических проблем логики, теории чи-
чисел, алгебры и топологии.

2fi ВВЕДЕНИЕ
«конструктивный анализ» закрепляется за излагаемой
нами системой.
Заканчивая наш краткий обзор, отметим, что с рас-
рассмотренных позиций исследовались (в особенности в
последние годы) и достаточно далекие области матема-
математики. В этой связи, помимо монографии Бишопа и
посвященных теории меры глав монографии Мартин-
Лёфа [1]*), можно упомянуть предложенный Шани-
Шаниным [2], [6] подход к построению конструктивной тео-
теории меры и интеграла Лебега, посвященный этой же
тематике цикл исследований чехословацкого матема-
математика Д ему та [1]—[16], работы Косовского [1]—[4]
и Л ор енц а [1] по конструктивной теории вероятностей,
работы М а н у к я н [1], Л и ф ш и ц а [4]—[5] по конструк-
конструктивным функциям комплексной переменной, работы
Орев ков а [1], [2], [4], 3 асл а вского и Манукян
[1] по комбинаторной топологии, работы Фан Д и н ь
3 и е у [1]—[9] по конструктивным линейным топологи-
топологическим пространствам и обобщенным функциям (пере-
(перечисленные работы принадлежат конструктивному на-
направлению), а также исследования Лакомба [6] и
Ногиной [1]—[3], относящиеся к рекурсивной общей
топологии.
Наконец, в последнее время, благодаря работам
А. Н. Колмогорова и его учеников (Мартин-Лёф, Левин
и др.; см. обзорную статью Звонкина и Левина
{1]), выяснилась возможность плодотворного применения
теории рекурсивных функций для обоснования теории
информации и теории вероятностей.
3. Конструктивное направление в математике может
быть охарактеризовано следующими основными чертами
(ср. Марков [6], Цейтин, Заславский, Шанин
ШЧ2]).
I. В качестве объектов изучения выступают кон-
конструктивные объекты, при обращении с которыми до-
допускается абстракция потенциальной осуществимости,
но полностью исключается абстракция актуальной бес-
бесконечности.
*) Эта чрезвычайно интересная монография Мартин-Лёфа, со-
содержащая также сжатый очерк элементарных вопросов вычисли-
вычислимого анализа, не была доступна автору в процессе работы над
данной книгой.

ВВЕДЕНИЕ 27
II. Интуитивные понятия «эффективности», «вычис-
«вычислимости» и т. п. связываются с точным понятием алго-
алгорифма.
III. Используется особое, учитывающее специфику
конструктивных" объектов, понимание математических
суждений.
Конструктивное направление возникло приблизи-
приблизительно на той же критической базе, что и интуиционизм;
вместе с тем положительные программы этих двух те-
течений имеют принципиальные различия. Конструкти-
Конструктивизм весьма далек как от философских посылок интуи-
интуиционизма, так и от конкретных интуиционистских тео-
теорий, в особенности, от занимающих в интуиционистской
математике одно из центральных мест теорий, опери-
оперирующих со свободно становящимися последовательно-
последовательностями. Распространенное убеждение в близости (или
даже в тождестве) интуиционистской и конструктивной
математической практики следует признать глубоко
ошибочным.
В целом конструктивная математика использует го-
гораздо более «скромную» систему абстракций, нежели
традиционная. Это обстоятельство, однако, само по
себе не свидетельствует об ограниченности возможно-
возможностей приложений конструктивных теорий. Внешний мир
не подсказывает нам с необходимостью ни субстанций
более общих, чем конструктивные объекты, ни идеи
актуальной бесконечности (на последнее указывал еще
Гильберт [1]). Фактически уже сегодня развиваемый
в рамках конструктивного направления конструктивный
анализ может служить теоретической базой для обыч-
обычных приложений дифференциального и интегрального
исчислений. Развитие событий в этом направлении
сдерживается как традициями образования, так и срав-
сравнительной громоздкостью конструктивных теорий. Яв-
Является ли эта громоздкость неизбежной «платой за кон-
конструктивность» или возникает из-за недостаточной раз-
разработанности языка, покажет будущее*).
*) Интересные исследования в направлении упрощения изло-
изложения конструктивного анализа выполнены Цейтиным [7], [10];
предлагаемый им подход, однако, далеко уводит от привычных
языков традиционной математики.

28 ВВЕДЕНИЕ
Остановимся несколько подробнее на положе-
положениях I—III.
4. Понятие конструктивного объекта представляется
первоначальным. Определяющей чертой конструктивных
объектов является то обстоятельство, что они конструи-
конструируются по определенным правилам из некоторых эле-
элементарных объектов, неразложимых в процессе этих
построений. В качестве примеров можно указать на воз-
возведение зданий из кирпичей и блоков, формирование
железнодорожных составов, сборку часов на конвейере
и т. п.
Исключительную роль в жизни человечества играют
конструктивные объекты специального типа — знаковые
комплексы. Базой, на которой они возникают, являются
конечные списки (алфавиты) элементарных, рассмат-
рассматриваемых как неразложимые знаков (букв). Знаковыми
комплексами являются рукописные и печатные тексты,
формулы химических соединений, партитуры музыкаль-
музыкальных произведений и т. д.
Конструктивная математика в качестве главного
типа изучаемых конструктивных объектов имеет дело
с частным случаем знаковых комплексов — словами в
том или ином алфавите. Понятие слова в данном ал-
алфавите также является, по существу, первоначальным
и сводится к представлению о получаемых последова-
последовательным выписыванием прямолинейных цепочках букв
этого алфавита*). Например, цепочки «абракадабра»,
«слово», «аввса» являются словами в русском алфавите.
При обращении со словами конструктивная математика,
как и всякая абстрактная наука, исходит из некото-
некоторых идеализирующих действительность предположений
(см. Марков [2]).
В частности, мы предполагаем, что любая буква ис-
используемого алфавита может быть воспроизведена в лю-
любом числе экземпляров. Следовательно, можно осуще-
*) Точнее было бы говорить о буквах, одинаковых с конкрет-
конкретными знаками, участвующими в непосредственном задании алфа-
алфавита. Наша носящая первоначальный и несколько условный харак-
характер способность опознавать используемые конкретные буквы как
одинаковые или различные дает возможность говорить о разных
конкретных экземплярах знаков, одинаковых с данной конкретной
буквой, как об одной букве.

ВВЕДЕНИЕ 29
ствлять процессы написания сколь угодно длинных слов.
В этом допущении проявляется специфическая абстрак-
абстракция, которую А. А. Марков называет абстракцией по-
потенциальной осуществимости и которая «состоит в от-
отвлечении от реальных границ наших конструктивных
возможностей, обусловленных ограниченностью нашей
жизни в пространстве и времени» (Марков [2;
стр. 15]). Относительно используемых алфавитов пред-
предполагается также, что они обеспечивают однозначность
чтения слов: каждое слово в данном алфавите един-
единственным образом составлено из его букв. Эта одно-
однозначность позволяет естественным образом говорить об
одинаковости слов. Два слова в данном алфавите оди-
одинаковы (графически равны), если они составлены из
одних и тех же букв, расположенных в одинаковом по-
порядке. Процесс опознавания графического равенства
сводится к одновременному последовательному «чте-
«чтению» обоих испытуемых слов и сравнению одновремен-
одновременно появляющихся в поле зрения букв. При неблагопри-
неблагоприятном исходе этого процесса испытуемые слова счи-
считаются (графически) различными.
Слова представляют собой весьма общий, во всяком
случае вполне достаточный для всех наших рассмотре-
рассмотрений тип конструктивных объектов. Фактически во всех
мыслимых случаях использование знаковых комплек-
комплексов, при построении которых происходит уклонение от
прямолинейного расположения знаков, объясняется не
принципиальными причинами, а лишь соображениями
привычности и практического удобства. Сами эти ком-
комплексы могут быть по простым правилам однозначно
преобразованы в слова. (Например, текст романа
«Война и мир» мог бы быть записан (с использованием
буквы «*» для обозначения пробела) в виде одного
слова на достаточно длинной ленте. Однако вряд ли
было бы удобно пользоваться таким «изданием».)
В качестве примеров кодирования непрямолинейных
знаковых комплексов словами можно указать на опре-
определения изображения и записи нормального алгорифма
(см. п. 8 § 1 гл. 1). При такого рода кодировании обыч-
обычным является использование вспомогательных «разде-
«разделительных» букв, не входящих в алфавиты исходных
знаковых комплексов. Например, произвольная матрица

30 ВВЕДЕНИЕ
вида
E) I Яз, P^ I.
где Р{ A<1г<6)—слова в некотором алфавите А,
может быть закодирована следующим образом. Выбе-
Выберем две различные буквы, отличные от всех букв алфа-
алфавита А, и рассмотрим слово вида
F) Я,аЯ2арЯ3аЛарЯ5аР6ар,
где через аир обозначены выбранные нами буквы.
Ясно, что по слову F) однозначно восстанавливается
матрица E).
Употребление разделительных букв позволяет также
рассматривать системы слов в данном алфавите, что
является необходимым при реализации алгорифмов,
использующих несколько исходных данных. Пусть А —
некоторый алфавит и через а обозначена какая-то не
входящая в него буква. Произвольное слово вида
(при п = 1 а отсутствует), где Я* (I *Ci Кп) — слова
в А, называется а-системой (а-кортежем, а-вектором)
порядка п в алфавите А.
В терминах слов легко вводятся первоначальные
понятия анализа. Например, натуральные числа мож-
можно трактовать (что мы и будем делать в дальнейшем)
как слова вида 0, 0|, 0| |, ... в двухбуквенном алфавите
{0|}; дополнение этого алфавита буквами «—» и «/» по-
позволяет аналогично определить рациональные числа.
5. Одно из центральных мест в математике занимают
алгорифмы. Под «алгорифмом» принято понимать «точ-
«точное предписание, определяющее вычислительный про-
процесс, ведущий от варьируемых исходных данных к ис-
искомому результату» (Марков [2; стр. 3]). Это интуи-
интуитивное понятие можно охарактеризовать следующими
тремя чертами (Марков [2; стр. 3]):
«а) точность предписания, не оставляющая место
произволу и его общепонятность — определенность ал-
алгорифма;

ВВЕДЕНИЕ 31
б) возможность исходить из варьируемых в извест-
известных пределах исходных данных — массовость алго-
алгорифма;
в) направленность алгорифма на получение некото-
некоторого искомого результата, в конце концов и получаемого
при надлежащих исходных данных, — результативность
алгорифма».
Интуитивная концепция алгорифма, вполне доста-
достаточная для опознания в качестве алгорифмов тех или
иных конкретных предписаний, однако, слишком рас-
расплывчата, чтобы строго доказывать теоремы, характери-
характеризующие класс алгорифмов в целом. Руководствуясь ин-
интуицией, нельзя, например, доказать невозможность
алгорифма, вычисляющего ту или иную арифметическую
функцию, хотя в ряде случаев такая невозможность
ощущается совершенно ясно.
Стремление сделать понятие алгорифма достаточно
отчетливым и доступным изучению математическими
средствами привело к разработке точных концепций
алгорифма. В настоящее время известен ряд таких
концепций (рекурсивные функции, машины Тьюринга,
нормальные алгорифмы Маркова и т. д.), причем все
эти концепции равнообъемны. Алгорифмы в смысле
того или иного точного определения являются и алго-
алгорифмами в интуитивном смысле. С другой стороны,
выявленная большим числом исследований чрезвычай-
чрезвычайная общность и плодотворность точных определений
алгорифма сделали практически общепринятой точку
зрения, согласно которой эти определения исчерпываю-
исчерпывающим образом отражают интуитивные представления,
связанные с алгорифмами. (Выражением этой точки
зрения соответственно для рекурсивных функций, ма-
машин Тьюринга и нормальных алгорифмов являются те-
тезис Чёрча, тезис Тьюринга (см. Клини [4]) и принцип
нормализации (Марков [2], см. также § 1 гл. 1).)
Мы будем использовать в качестве точного понятия
алгорифма понятие нормального алгорифма, предло-
предложенное А. А. Марковым [1]—[2] и специально при-
приспособленное для оперирования со словами. Следует
отметить, что получаемые результаты, по существу, не
зависят от принятия или непринятия принципа норма-
нормализации. Все построения в конечном счете могут быть

32 ВВЕДЕНИЕ
выполнены в рамках теории нормальных алгорифмов, и
от позиции в отношении указанного принципа зависит
лишь признание большей или меньшей общности изла-
излагаемых теорий (трактуют ли эти теории о свойствах
«эффективного» вообще или относятся лишь к частным,
хотя и, очевидно, обширным случаям). Ниже, если из
контекста не следует противное, термин «алгорифм»
используется как синоним термина «нормальный алго-
алгорифм».
6. Конструктивная логика формируется на основе
предпосылок I—II (п. 3) и учитывает как специфику
конструктивных объектов, так и принципиальные воз-
возможности алгорифмов*). Основные различия с тради-
традиционной логикой возникают здесь в связи с трактовкой
экзистенциальных предложений и дизъюнкции. Пред-
Представление о конструктивных объектах как результатах
некоторых конструктивных процессов приводит к точке
зрения на утверждения существования, согласно кото-
которой существование конструктивного объекта с данным
свойством может считаться установленным только в
том случае, когда указан способ потенциально осуще-
осуществимого построения объекта с требуемым свойством.
Традиционная логика разрешает в таких случаях дока-
доказывать существование искомого объекта косвенными
средствами, например, приведением к противоречию до-
допущения о его несуществовании. Таким образом, тра-
традиционная логика пренебрегает различиями суждений
вида Зх<%(х) и ~| ~\3х08(х), тогда как конструктивная
логика считает эти различия существенными; второе
суждение с конструктивной точки зрения, вообще го-
говоря, слабее первого. (Мы используем обычные обо-
обозначения логических связок и кванторов: V — дизъюнк-
дизъюнкция, & — конъюнкция, zd — импликация, == — эквива-
эквивалентность, ~1 — отрицание, V —квантор общности, 3 —
квантор существования.) Чтобы подчеркнуть эту новую
трактовку существования, мы часто будем употреблять
при формулировании экзистенциальных предположений
*) Мнение, что изучение различных объектов может требовать
различных логик, высказывалось математиками, придерживающи-
придерживающимися самых разных ориентации и философии математики (см.
Гейтинг [3], где приводится точка зрения Брауэра, Колмого-
Колмогоров [2], Марков [9]).

ЙВЕДЕНИЁ 33
словосочетания типа «осуществим», «можно построить»
и т. п.
Из намеченной только что трактовки существования
естественным образом вытекает и следующее понимание
дизъюнкции. Дизъюнкция $Ф V 38 считается доказанной,
если мы в состоянии указать ее верный член. Отметим,
что с традиционной точки зрения для доказательства
дизъюнкции достаточно лишь опровергнуть утвержде-
утверждение о неверности обоих ее членов, т. е. установить, что
~|(~|«^& ~~\&)- Насколько последнее суждение может
быть слабее исходной (конструктивно понимаемой)
дизъюнкции, показывает рассмотренное в п. 1 действи-
действительное число а, для которого указание верного члена
дизъюнкции
равносильно решению проблемы Ферма. Ясно, что при
конструктивной интерпретации дизъюнкции закон ис-
исключенного третьего не может быть принят.
Специфическим является также и толкование пара-
параметрических утверждений существования. Суждение
вида
G) Vx3y<%(x, у)
(«для любого х существует (можно построить!) у та-
такой, что 3§(х, г/)»), где переменные х и у могут пробе-
пробегать некоторый первоначальный класс конструктивных
объектов (скажем, слова в фиксированном алфавите),
считается доказанным лишь в том случае, когда указа-
указано построение алгорифма (в точном смысле слова) %,
применимого к любому х и такого, что всегда выпол-
выполняется
Утверждение о возможности построения этого алго-
алгорифма можно считать «расшифровкой» суждения G).
Рассмотренная трактовка суждений вида G) ставит
вопрос о средствах, при помощи которых можно убеж-
убеждаться в том, что данный алгорифм применим к не-
некоторому слову. Мы будем придерживаться здесь прин-
принципа, выдвинутого Марковым [4], [6], позволяющего
использовать в таких ситуациях доказательства «от

34 ВВЕДЕНИЕ
противного». Согласно этому принципу, если опроверг-
опровергнуто утверждение о неприменимости алгорифма к не-
некоторому исходному данному х, то этот алгорифм при-
применим к х. Если выражать применимость алгорифма 51
к х записью
то принцип Маркова запишется так:
"Л !И (х) =5 \% (х).
Интуитивное основание, оправдывающее в рамках
абстракции потенциальной осуществимости этот прин-
принцип, состоит в том, что при выполнении Н~1!21(*) про-
процесс применения алгорифма 21 к х не может продол-
продолжаться неограниченно долго и, следовательно, есть
возможность получить результат применения 21 к х,
выполняя шаг за шагом этот алгорифм и ожидая окон-
окончания его работы.
Принцип Маркова позволяет также оправдать и
следующий способ рассуждения, в силу чего обсуждае-
обсуждаемый принцип иногда называют принципом конструктив-
конструктивного подбора. Пусть М — некоторое разрешимое свой-
свойство натуральных чисел, т. е. имеется алгорифм, позво-
позволяющий для каждого натурального числа узнать, обла-
обладает оно свойством si- или пет. Тогда, если опроверг-
опровергнуто утверждение Vn~]s4-{n), то можно найти k, при
котором верно зФ (k).
Стремление распространить намеченные принципы
на понимание суждений более сложной структуры при-
приводит к задаче построения конструктивной логики. Эта
чрезвычайно сложная проблема до сих пор полиостью
не решена (да н, по-видимому, само существо дела ис-
исключает возможность окончательного решения). Вместе
с тем здесь имеются весьма существенные достижения,
обеспечивающие логическую базу для практических за-
запросов конструктивных математических теорий*).
В этой связи следует указать на основополагающие работы
Рейтинга [1]—[2], Колмогорова [2], К л и и и [1], посвященные
формализации и интерпретации фрагментов интуиционистской логи-
*) Материал, набранный мелким шрифтом, может быть пропу-
пропущен при первом чтении.

ВВЕДЕНИЕ 85
ки, и на относящиеся непосредственно к конструктивной логике
исследования Маркова [8]—[9] и Шанина [4].
В работе Шанина [4] разработаны формализованные логико-
математические языки, вполне достаточные для большинства прило-
приложений; понимание формул этих языков сводится к пониманию так
называемых нормальных формул, т. е. формул, не содержащих
квантора существования и дизъюнкции. Это сведение осуществляется
с помощью стройной системы правил (алгорифм расшифровки),
отражающей конструктивное понимание различных комбинаций ло-
логических связок и кванторов и позволяющей преобразовать любую
формулу рассматриваемого языка либо к нормальной формуле, либо
к формуле вида
Эх, ...
где 3$— нормальная формула. Нормальные формулы в первом при-
приближении можно толковать средствами традиционной логики, тол-
толкование же формул второго вида объяснялось выше.
В последние годы Марковым [8]—[9] разработан под-
подход к построению конструктивной логики «снизу», предлагающий
охват все более и более сложных по структуре суждений посред-
посредством расширяющейся иерархии логико-математических языков.
По-видимому, на некоторой ступени этой иерархии в рассмотрение
войдут все нормальные формулы, что в сочетании с упоминавшимся
выше алгорифмом расшифровки даст некоторую семантику для
практически всех возможных суждений.
Мы не имеем возможности входить здесь в сложные техниче-
технические детали этих теорий и ограничимся лишь несколькими приме-
примерами, которые вместе с изложенными в начале пункта общими
принципами и материалом п. 7 дадут читателю достаточную для
чтения этой книги ориентировку.
В приведенных ниже примерах допустимыми значениями пере-
переменных считаются произвольные слова в некотором фиксированном
алфавите А. Формулы З&и Яг, З&г предполагаются нормальными.
Рассмотрим суждения вида
(8)
(9) V* (Я, (х) = (Л2(х)уЯз (*)
(Ю) V* (Я, (х) = ЗуЯ, (х, у)),
A1) Ч
Эти суждения понимаются следующим образом (в A1) через а
обозначена некоторая буква, отличная от всех букв алфавита Л).
(8) Можно построить (нормальный) алгорифм Щ, перерабаты-
перерабатывающий всякое слово х (в алфавите А) в 0] или в 0|| так, что
при Щ (*)=== о| верно Я\(х), а при $1 (х) === 011 верно Яг{х).
(9) Можно построить алгорифм Й, перерабатывающий всякое
слово х, для которого выполняется &i(x), в 0| или в 0| | и такой,
что при 2Т(х)==0| верно 3Si(x), а при Щ(х)«т=0|| верно Яг(х).
A0) Можно построить алгорифм 2Т так, что для любого сло-
слова х, удовлетворяющего условию 31 и Щ применим к х и имеет
место
Я, (х, 81 (х)).

36 ВВЕДЕНИЕ
A1) Можно построить алгорифм 81 так, что для любых слов х
и у, при которых выполняется 3Si(x,y), Ш применим к слову хау
и имеет место
Я2 (х, «(хау)).
В связи с интерпретацией суждений вида (8) интересно вер-
вернуться к закону исключенного третьего. Обоснование суждения
связывается с построением алгорифма, указывающего для каждого
слова х верный член внутренней дизъюнкции. Можно построить
конкретную формулу Sti, для которой такой алгорифм невозможен.
Для этой формулы, следовательно, будет выполняться
A2) П Vx(«,(x)V("l *i МП-
Формулирование суждений такого вида перед неподготовленной
аудиторией не раз было источником возникавших вокруг конструк-
конструктивной математики недоразумений; в самом деле, из A2) по пра-
правилам традиционной логики немедленно получается «верное» суж-
суждение
Эх (*,(*)*П*1 (*)))•
В действительности же выражаемая суждением A2) невозможность
некоторого алгорифма не имеет ничего парадоксального.
7. Говоря о месте понятия множества в конструк-
конструктивной математике, следует подчеркнуть его подчинен-
подчиненную, техническую роль; по существу, речь идет лишь об
удобном варианте терминологии. Термины «множество»
и «свойство» считаются синонимами; задание множе-
множества конструктивных объектов какого-то типа (ниже
рассматриваются множества слов в некотором алфавите)
состоит в формулировании свойства объектов этого
типа, а принадлежность конструктивного объекта мно-
множеству просто означает, что этот объект обладает со-
соответствующим свойством. Ясно, что такая трактовка
(ср. В ей ль [1], Рейтинг [3; стр. 49]) вовсе не свя-
связывает с множествами идею о совокупностях одновре-
одновременно существующих предметов.
Строгое использование множеств предполагает фик-
фиксацию формализованного логико-математического языка
(см., например, Шанин [4]), средствами которого фор-
формулируются свойства (под свойствами понимаются од-
нопараметрические формулы данного языка). При этом
сами множества оказываются конструктивными объек-
объектами (словами в некотором алфавите) и, в частности,
могут выступать в качестве исходных данных алгориф-

ВВЕДЕНИЕ 37
мов. Таким образом, в конструктивной математике, по
существу, нет единого понятия множества — объем
этого понятия зависит от выбираемого языка и может
меняться от случая к случаю.
Мы будем обращаться с множествами нестрого,
формулируя задающие их свойства на обычном есте-
естественном языке. При этом подразумевается, что фор-
формальный язык, в рамках которого оправдываются наши
действия, может быть построен. (Действительное по-
построение и последовательное использование точных
языков ввело бы в изложение большое число формаль-
формально-логических деталей, что несомненно нежелательно
при первом знакомстве с предметом. С построением
основных разделов конструктивного анализа на базе
логико-математических языков можно ознакомиться в
работе Шанина [6].)
Мы будем использовать обычные теоретико-множе-
теоретико-множественные обозначения. Принадлежность элемента мно-
множеству выражается при помощи знака «е». Включе-
Включение множеств трактуется с помощью импликации:
Ж\^Ж2, если Чх{Ж\ (х) =э Ж2{х)). Строгое включение
Ж^^Жг означает, что ii?i2, и можно указать эле-
элемент Ж2, не принадлежащий Ж\.
Равенство множеств понимается как эквивалентность
соответствующих свойств. В тех случаях, когда это не
ведет к недоразумениям, мы не различаем равные мно-
множества, говоря о представленных синтаксически раз-
разными свойствами равных множествах как об одном.
Определение операций над множествами обычным
образом сводится к использованию логических связок
(конъюнкция для пересечения, дизъюнкция для объеди-
объединения и отрицание для дополнения (речь идет о допол-
дополнении до множества всех слов в данном алфавите)).
Следует лишь иметь в виду, что конструктивная трак-
трактовка суждений приводит в некоторых случаях к новым
свойствам операций: двойное дополнение множества не
обязательно равно ему самому, и, например, конструк-
конструктивный континуум (множество всех конструктивных
действительных чисел) не есть объединение множеств
* < О, х = 0 и *>0. Для пересечения, объединения и
дополнения множеств используются обычные обозначе-
обозначения: Ж\^\Жъ Ж\МЖг, Ж. Отметим, что свойствам

38 ВВЕДЕНИЕ
традиционной операции объединения ближе соответ-
соответствует «слабое объединение»
Ж\ П Л-ъ
Использование а-систем (п. 4), где а— буква, не
принадлежащая исходному алфавиту, позволяет легко
ввести декартово произведение множеств. Через
{Mi Х-^гХ ••• Х^л)а обозначается множество а-си-
а-систем #ica2a ... axh, где х(е1( (l^i^n). Там, где
это не может повлечь недоразумений, это обозначение
заменяется более коротким Ж\ X JK-i X • • • X ^k или
J[k, если все JCi равны JC.
Нормальные алгорифмы непосредственно задаются
не как слова. Вместе с тем каждый такой алгорифм
(в наперед фиксированном алфавите) имеет некоторый
код, называемый записью этого алгорифма (см. п. 8
§ 1 гл. 1). Запись алгорифма (для алгорифма 31 она
обозначается ?213) есть слово в двухбуквенном ал-
алфавите {0|}, позволяющее однозначно восстановить этот
алгорифм. Говоря о множествах алгорифмов, мы будем
иметь в виду словарные множества, — именно, множе-
множества соответствующих записей.
В связи с понятием «множество» вернемся к примерам кон-
конструктивной интерпретации суждений (п. 6). Сделанные в п. 6
разъяснения относились к случаю переменных, пробегающих все
слова в данном алфавите. (Такие переменные мы называем базис-
базисными.) На практике же часто оказывается удобным использование
переменных («подчиненные» переменные), допустимыми значениями
которых являются слова, принадлежащие тем или иным множе-
множествам. Ясно, что интерпретация суждения с подчиненной перемен-
переменной должна, вообще говоря, зависеть от множества допустимых
значений этой переменной.
Итак, пусть Л — некоторое множество (т. е. одиопараметриче-
ское уеловие), х — переменная, имеющая Л множеством своих
допустимых значений. По правилам конструктивной расшифровки
Ж приводится либо к нормальной формуле, либо к формуле вида
ЪгЯ (у, г)
(где 3S — нормальная формула, а г и у— базисные переменные).
В первом случае множество М и переменная х называются нор-
нормальными. Для нормальных переменных (а также в тех случаях,
когда множество Ж равно нормальному) мы сохраняем старую
интерпретацию. Во втором случае дело обстоит сложнее — установ-
установление принадлежности слова Y множеству Л связано с решением
конструктивной задачи, — именно, с построением соответствующего
слова Z. Грубо говоря, идея интерпретации заключается здесь в

ВВЕДЕНИЕ 39
использовании в качестве исходных данных тех или иных связан-
связанных с Ж алгорифмов, не элементов этого множества, а слов вида
YaZ, где У и Z таковы, что выполняется
Таким образом, элемент Ж «восполняется» решением соответствую-
соответствующей конструктивной задачи, а сама подчиненная переменная х за-
заменяется нормальной переменной по парам. Например, в случае
параметрического утверждения существования
Vx3w<A (x, w)
вместо алгорифма, переводящего всякое слово, принадлежащее Ж,
в соответствующее W, речь идет об алгорифме, переводящем в
это W описанные только что пары YaZ (т. е. это суждение трак-
трактуется как суждение вида A1)).
Основные используемые нами множества (а следовательно, и
соответствующие им переменные) нормальные. Таковы множества
натуральных, целых, рациональных и конструктивных действитель-
действительных чисел, множество всех нормальных алгорифмов в данном ал-
алфавите, перечислимые множества, множество конструктивных дей-
действительных функций. Так же, как с нормальными множествами,
мы будем обращаться с множеством всех алгорифмических опера-
операторов, действующих из одного конструктивного метрического про-
пространства в другое. Суждения с подчиненными переменными, отве-
отвечающими этим множествам, трактуются в духе п. 6.
Приведем в заключение пример, разъясняющий трактовку суж-
суждений с переменными по алгорифмам. Суждение вида «для всякого
слова X существует алгорифм, обладающий данным свойством»
понимается как утверждение об осуществимости алгорифма, пере-
перерабатывающего всякое слово X в запись искомого алгорифма.
В п. 11 § 1 гл. 1 будет описана простая конструкция, позволяю-
позволяющая сводить такое построение к более естественной задаче построе-
построения «двухместного» алгорифма, индуцирующего искомый алгорифм
при фиксации любого значения первого аргумента.
8. Особенности конструктивного анализа определяют-
определяются как особенностями конструктивного направления, так
и специфическими свойствами вычислимых объектов.
Чтобы иметь достаточный запас примеров, приведем
(опуская технические детали) определения центральных
понятий этой книги — конструктивных действительных
чисел и конструктивных действительных функций.
Конструктивной последовательностью натуральных
(рациональных) чисел (кратко КПНЧ и КПРЧ) назовем
алгорифм*), перерабатывающий всякое натуральное
*) Напоминаем, что под «алгорифмами» подразумеваются
нормальные алгорифмы. Заметим также, что вообще под кон-
конструктивными (это прилагательное будет часто опускаться)

40 ВВЕДЕНИЕ
число в натуральное (соответственно рациональное)
число.
КПРЧ а называется фундаментальной, если
ЧпЭтУ/Ц (/, / > я» id | a (i) - а (/) | < 2~п).
В соответствии с пп. 6—7, последнее условие означает,
что осуществима КПНЧ р такая, что при любом п и
i / P()
Этот алгорифм р называется регулятором фундамен-
фундаментальности КПРЧ а.
Конструктивные действительные числа (КДЧ) опре-
определяются как слова вида ?аЗ О ЕРЗ» где а — КПРЧ,
Р — ее регулятор фундаментальности. Таким образом,
КДЧ представляют собой пары записей алгорифмов, из
которых первый алгорифм определяет последователь-
последовательность рациональных чисел, а второй эффективно оцени-
оценивает скорость ее сходимости. Это определение эквива-
эквивалентно второму определению вычислимого действитель-
действительного числа, данному Тьюрингом (см. п. 2). Для кон-
конструктивных действительных чисел естественным обра-
образом определяются отношения равенства и порядка и
арифметические операции, причем последние задаются
алгорифмами. Конструктивной действительной функ-
функцией (КФ) называется алгорифм, перерабатывающий
всякое КДЧ в КДЧ так, что равные КДЧ переводятся
в равные КДЧ (мы ограничиваемся случаем всюду оп-
определенных конструктивных функций одной переменной).
В терминах конструктивных действительных чисел и
функций без труда вводятся употребительные числа и
функции анализа (е, я, всякого рода иррациональности,
элементарные и специальные функции и т. д.). Вообще
фактически весь материал стандартных курсов анализа,
относящийся к конкретным вычислениям (теория рядов,
формульный аппарат дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления и т. д.), без принципиальных изменений
может быть «пересказан» конструктивно с заменой тра-
последовательностями слов из данного множества мы понимаем
алгорифмы, перерабатывающие всякое натуральное число (в смысле
п. 4) в элементы этого множества.

ВВЕДЕНИЕ 41
диционных действительных чисел на КДЧ, а действи-
действительных функций на конструктивные функции. В этом
отношении важную роль играет теорема о полноте кон-
конструктивного континуума, утверждающая, что для каж-
каждой фундаментальной конструктивной последовательно-
последовательности КДЧ осуществимо КДЧ, к которому сходится эта
последовательность. (Упоминаемые здесь понятия трак-
трактуются совершенно аналогично случаю рациональных
чисел. Конструктивная последовательность КДЧ а схо-
сходится к КДЧ х, если можно построить КПНЧ р так, что
при любом п и t ^ C(я)
|*-а@1<2-в.)
Следует также заметить, что хотя с традиционной точки
зрения конструктивный континуум счетен, невозможеа
его эффективный пересчет; более того, по всякой кон-
конструктивной последовательности КДЧ можно указать
КДЧ, отличное от всех ее членов.
Вместе с тем конструктивные действительные числа и
функции обладают некоторыми свойствами, не имею-
имеющими аналогов в традиционном анализе. Приведем два
примера. Заславский [1], [2], [4] показал, что для кон-
конструктивного континуума неверна теорема Бореля*):
осуществима конструктивная последовательность рацио-
рациональных интервалов, покрывающая конструктивный еди-
единичный сегмент, из которой нельзя выбрать конечного
покрытия. Из этого результата выводится существование
«необычных» конструктивных функций, например неог-
неограниченной непрерывной КФ. Далее, Цейтиным [3] —
[5] доказана непрерывность конструктивных функций:
для каждой КФ / можно построить алгорифм со так, что
при любых КДЧ Х\, х2 и натуральном п а(х\,п) — нату-
натуральное число и если
то
*) Для конструктивного континуума не сохраняются также тео-
теоремы о точных гранях ограниченных множеств и сходимости моно-
монотонных ограниченных последовательностей (ср. п. 1).

42 ВВЕДЕНИЕ
Своеобразной чертой конструктивного анализа яв-
является акцентирование внимания на вопросах эффек-
эффективности, изучение вводимых объектов (а рассматри-
рассматриваются лишь конструктивные объекты) как исходных
данных алгорифмов. Эта специфическая точка зрения
приводит иногда к необычным для традиционного ана-
анализа ситуациям, в частности, к «расщеплению понятий».
Приведем несколько примеров.
A) КПРЧ а назовем псевдофундаментальной, если
V« 11 ЗтVij (i, j > т => I a (/) - а (/) | < 2"").
Как введенное выше понятие фундаментальной КПРЧ,
так и это понятие укладываются в классическую концеп-
концепцию фундаментальности. Конструктивно же эти два по-
понятия различны: можно построить псевдофундаменталь-
ную КПРЧ, для которой невозможен регулятор фунда-
фундаментальности (поскольку, как легко видеть, всякая мо-
монотонная ограниченная КПРЧ псевдофундаментальна,
то искомый пример дается уже упоминавшимся резуль-
результатом Шпекера).
Б) Назовем /^-числом запись любой фундаменталь-
фундаментальной КПРЧ. С традиционной точки зрения F-числа и
КДЧ дают одну и ту же концепцию вычислимого дей-
действительного числа. Ясно, однако, что КДЧ как кон-
конструктивный объект гораздо «информативнее», чем
F-число: наряду с последовательностью рациональных
приближений из КДЧ извлекается и эффективная оценка
скорости сходимости этой последовательности. Как по-
показал Г. С. Цейтин, алгорифм, находящий для каждой
фундаментальной КПРЧ ее регулятор фундаментально-
фундаментальности, невозможен; поэтому отсутствующая в F-числах ин-
информация не может быть эффективно восстановлена. Из
сказанного вытекает неравноценность F-чисел и КДЧ
как исходных данных для алгорифмов, что делает есте-
естественным их конструктивное различение.
B) Будем говорить, что КДЧ х является пределом
конструктивной последовательности КДЧ (сокращенно
КПДЧ) а, если а сходится к х (см. стр. 41). Согласно
уже упоминавшейся теореме о полноте конструктивного
континуума для каждой фундаментальной КПДЧ а су-
существует КДЧ, являющееся ее пределом. В традицион-
традиционной математике эта теорема является достаточным ос-

ВВЕДЕНИЕ 43
новацией для введения оператора, переводящего всякую
фундаментальную КПДЧ в ее предел. Вместе с тем ана-
анализ доказательства теоремы о полноте показывает, что
при построении предела КПДЧ используется и ее регу-
регулятор фундаментальности — конструктивная расшифров-
расшифровка данной теоремы (ср. п. 7), учитывающая это обстоя-
обстоятельство, состоит в осуществимости алгорифма y> пере-
переводящего всякое слово вида ?°3 * ?РЗ, где а —
КПДЧ, р — регулятор фундаментальности а, в КДЧ, яв-
являющееся пределом ос. Упомянутый же выше оператор
предельного перехода оказывается невычислимым; осу-
осуществляющий его алгорифм невозможен из-за недоста-
недостаточности исходных данных. Описанного типа переходы
от предикатов («* есть предел КПДЧ а») к операторам
(оператор предельного перехода) являются часто свое-
своеобразными источниками неэффективности в традицион-
традиционном анализе. Изучение подобных ситуаций с алгорифми-
ческой точки зрения приводит к появлению специфиче-
специфических наборов исходных данных, обеспечивающих алго-
рифмическое выполнение тех или иных операций (такой
характер носят сами КДЧ, рассмотренные только что
слова вида ?аЗ * ?РВ> шифры равномерно непре-
непрерывных функций (§ 2 гл. 5), интегральные шифры (§ 1
гл. 7) и т. д.).
Конструктивные теории дают ясную картину вычис-
вычислительных связей в анализе; доказываемые здесь тео-
теоремы невозможности алгорифмов (подобные результаты
совершенно отсутствуют в традиционных курсах ана-
анализа) выявляют потенциальные вычислительные тупики,
представляемые некорректно поставленными алгорифмн-
ческими задачами, а сопоставление этих теорем с поло-
положительными результатами о существовании алгориф-
алгорифмов, находящих искомые объекты по более полным дан-
данным, позволяет достичь отчетливой ориентировки в во-
вопросе о том, какие исходные данные необходимы для
эффективного построения тех или иных объектов ана-
анализа. Можно надеяться, что интенсивно развивающаяся
в настоящее время теория сложности алгорифмов и вы-
вычислений (см., например, Трахтенброт [3]) позволит
в будущем уточнять положительные результаты кон-
конструктивного анализа, давая количественные оценки
«качества» соответствующих алгорифмов.

44 ВВЕДЕНИЕ
Суммируя изложенное (см. также два примера в
конце п. 1), можно констатировать, что при сравнении
конструктивного и традиционного анализа имеется ши-
широкий спектр возможностей — от почти полного совпаде-
совпадения целых разделов до фактического отсутствия анало-
аналогий. При этом различия относятся, главным образом,
к общим свойствам основных понятий; при использова-
использовании же этих понятий в конкретных вычислительных си-
ситуациях они ведут себя примерно одинаково.
9. Излагаемая система конструктивного анализа по-
позволяет достичь существенных результатов как в круге
вопросов A), так и в круге вопросов B) (п. 1). Мы ста-
старались учесть интересы соответствующих категорий чи-
читателей, расценивая при этом категорию читателей, ин-
интересующихся вопросами B), как более многочисленную.
В этой связи мы отказались от «пересказа» ряда разде-
разделов анализа (таких, как теория рядов, элементарные и
специальные функции и т. д.), где конструктивное изло-
изложение сравнительно слабо отличается от традиционного,
а также от использования сколько-нибудь развитой
системы конструктивной логики. Читатель, не интере-
интересующийся философско-методологической стороной дела,
может, пренебрегая возможными «граничными эффекта-
эффектами», практически считать, что излагаемая теория вло-
вложена в традиционный анализ. При такой точке зрения
конструктивные действительные числа и функции стано-
становятся частными случаями соответствующих классических
понятий; в некоторых их необычных свойствах также не
оказывается при ближайшем рассмотрении ничего пара-
парадоксального. Теоремы, доказанные для классического
континуума и определенных на нем функций, разумеется,
не обязаны сохраняться для более «редкого» конструк-
конструктивного континуума и соответствующих ему функции.
Ясно, что нарушение некоторых общих теорем (типа тео-
теоремы Бореля о покрытиях) никоим образом не может
дискредитировать идею изучения вычислимых объектов;
подобное изучение практически неизбежно приводит
к понятиям конструктивного анализа, предлагающего
здесь систематический и последовательный подход. Чи-
Читатель, придерживающийся описанной только что пози-
позиции, должен, однако, привыкнуть к проводимой в этой
книге более сильной, чем обычно, трактовке некоторых

ВВЕДЕНИЕ 45
предложений (см. пп. 6—7); в начальных разделах эти
предложения будут, как правило, сопровождаться необ-
необходимыми пояснениями.
Принцип Маркова (п. 6) является, пожалуй, наиме-
наименее непосредственным из всех основных установок кон-
конструктивной математики. Поэтому представляет несом-
несомненный интерес выяснение того, в какой мере может быть
развит конструктивный анализ без использования этого
принципа. В первоначальном варианте книги вое приме-
применения принципа Маркова были прослежены; при этом
оказалось, что основные разделы анализа сравнительно
мало от него зависят. Фактически при отказе от прин-
принципа Маркова теряется всего один (правда, чрезвычайно
сильный) результат, — именно, теорема непрерывности.
Вместе с тем применение принципа Маркова, не выводя
за рамки потенциальной осуществимости, позволяет
сильно упростить многие формулировки и доказатель-
доказательства. Учитывая это обстоятельство, а также желая
избежать параллелизмов в изложении, автор исклю-
исключил данную линию из книги. Принцип Маркова
будет применяться свободно и часто без специальных
оговорок.
Поскольку предлагаемая книга должна служить пер-
первому знакомству с предметом, мы отобрали наиболее
элементарный, устоявшийся материал конструктивного
анализа (ряд интересных работ, посвященных более да-
далеким разделам математики, уже упоминался в конце
п. 2). Этими же соображениями определялась и выбран-
выбранная нами степень подробности изложения. Мы почти ни-
никогда строго не строим нормальных алгорифмов. Такие
построения, чаще всего без труда выполняемые с по-
помощью теорем сочетания (гл. 1), сильно загромоздили
бы изложение и отвлекали бы внимание читателя от бо-
более существенных вопросов. Характер рассматриваемых
алгорифмов поясняется либо с помощью указания их
свойств, либо просто описанием того, что нужно делать
с исходными данными, чтобы получить искомый резуль-
результат (в такой ситуации иногда даже не вводятся обозна-
обозначения для излагаемого алгорифма). Внимательный чи-
читатель, во всяком случае, всегда сможет без труда сопо-
сопоставить нашим описаниям алгорифмы в интуитивном
смысле слова.

46 ВВЕДЕНИЕ
Для чтения этой книги не требуется никаких особых
знаний в математической логике и теории алгорифмов.
Предполагается лишь, что читатель имеет самые элемен-
элементарные навыки в обращении с логическими связками и
кванторами и умеет с их помощью выражать стандарт-
стандартные языковые формы (см., например, Успенский [3;
§ 3]). Необходимые сведения из теории нормальных ал-
алгорифмов и перечислимых множеств в сжатой форме
приведены в первой главе. Для понимания излагаемых
результатов формально не требуется и знакомства
с обычным математическим анализом; вместе с тем вла-
владение каким-нибудь из соответствующих стандартных
курсов значительно улучшило бы общую ориентировку
читателя.
Нумерация определений, теорем и т. д. сохраняется
в пределах каждого параграфа; при ссылках внутри дан-
данного раздела указание на этот раздел опускается. Не-
Некоторые фрагменты текста, на которые предполагается
ссылаться в дальнейшем, выделяются посредством за-
заключенных в круглые скобки цифр. Нумерация формул
и фрагментов текста сквозная в пределах каждого па-
параграфа.

ГЛАВА 1
НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ
И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
В этой главе, носящей вспомогательный характер,
в конспективной форме излагаются некоторые сведения
из теории нормальных алгорифмов и алгорифмически пе-
перечислимых множеств. Для более глубокого изучения
этого круга вопросов можно обратиться к монографиям
Маркова [2], Мальцева [1], Успенского [3] и
Роджерса [1]. Изложение §§ 1—2 в значительной сте-
степени опирается на монографию Маркова [2].
§ 1. Нормальные алгорифмы
1. Как уже отмечалось во введении, в большинстве
случаев в качестве изучаемых конструктивных объектов
фигурируют слова в том или ином алфавите. Напомним
некоторые относящиеся сюда понятия (подробнее — см.
Марков [2; гл. 1]).
Под алфавитами мы подразумеваем конечные списки
элементарных знаков (букв) *). Два алфавита счи-
считаются равными, если всякая буква первого алфавита
принадлежит второму и наоборот. Алфавит Б называет-
называется расширением алфавита А, если всякая буква А при-
принадлежит Б. Естественным образом определяется объе-
объединение A U Б произвольных алфавитов А и Б. A U Б
состоит из тех и только тех букв, которые принадлежат
А или Б. Точно так же, аналогично одноименным теоре-
теоретико-множественным операциям, можно определить пе-
пересечение и разность алфавитов.
При задании конкретного алфавита мы будем писать
друг за другом в произвольном порядке его буквы,
*) Не исключаются и пустые алфавиты, т. е. алфавиты, вовсе
не имеющие букв. Однако в дальнейшем всюду, где специально не
оговорено противное, мы предполагаем рассматриваемые алфавиты
непустыми,

48 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
начиная и оканчивая запись соответственно левой и
правой фигурной скобкой. Например, алфавит, состоя-
состоящий из букв «а» и «Ь», задается записью {ab} или {Ьа}.
Под словами в данном алфавите понимаются конеч-
конечные цепочки букв этого алфавита. При этом предпола-
предполагается, что используемые алфавиты удовлетворяют тре-
требованию однозначности «чтения слов», т. е. любое слово
в данном алфавите должно единственным способом рас-
распадаться на буквы. Таким образом, слова в алфавите
А — это цепочки вида
(О TllTfc . . . Т]„,
где все r\f суть буквы (не обязательно различные) ал-
алфавита А, причем представление A) для каждого слова
единственно. Оказывается также удобным причислить
к словам в произвольном алфавите и пустое слово, т. е.
слово, не содержащее ни одной буквы. В дальнейшем
пустое слово обозначается через Л.
Число я в представлении A) называется длиной сло-
слова t]it]2 ..• т]п. Длина пустого слова полагается равной
нулю.
Если два слова Р и Q *) составлены из одних и тех
же букв, расположенных в одинаковом порядке (т. е.
имеют одинаковые представления A)), то мы говорим,
что Р и Q графически равны и пишем
Напротив, если представления (I) слов Р и Q различны,
то эти слова считаются графически неравными. Для вы-
выражения графического неравенства слов Р и Q будет ис-
использоваться запись
При фиксации того или иного алфавита А естествен-
естественным образом возникает свойство «быть словом в алфа-
алфавите А», т. е. множество всех слов в алфавите А (напом-
(напомним, что пустое слово принадлежит этому множеству).
Мы будем обозначать множество всех слов в данном
алфавите так же, как и сам алфавит. В соответствии
*) Мы будем использовать большие латинские буквы Р, Q, R,
S (возможно, с индексами) в качестве переменных для слов,

$ I] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 49
с этим запись Р е А (где Р — слово, А —- алфавит) озна-
означает, что Р является словом в алфавите А.
Применительно к словам общее интуитивное понятие
алгорифма переходит в понятие алгорифма в данном ал-
алфавите. Именно, под алгорифмом в данном алфавите А
мы понимаем точное предписание, определяющее дис-
дискретный детерминированный процесс преобразования
слов в этом алфавите, допускающий в качестве исход-
исходных данных произвольные слова в Л и дающий в каче-
качестве результатов (разумеется, в тех случаях, когда соот-
соответствующий процесс оканчивается) также слова в А.
Упомянутое предписание должно обладать характерны-
характерными чертами алгорифма, указанными в п. 5 введения. Вво-
Вводимое ниже понятие «нормального алгорифма» (М а р-
ков [2]) направлено на уточнение описанной только что
расплывчатой, интуитивной концепции «алгорифма в дан-
данном алфавите».
Условимся о некоторых обозначениях.
Если 91 — алгорифм в алфавите А, Р — слово в этом
алфавите и процесс применения алгорифма 91 к слову Р
заканчивается, то мы пишем !91(Р). Результат работы
в этом случае обозначается через 91 (Р). Таким образом,
запись
*(P)=5=Q
(или
Q
выражает то обстоятельство, что Q является результа-
результатом работы алгорифма 91 над словом Р. В этой ситуации
мы будем также говорить, что 91 перерабатывает слово Р
в слово Q.
Мы будем использовать также знак условного ра-
равенства «с^»: два выражения, соединенные этим знаком,
означают одно и то же слово, если хотя бы одно из них
имеет смысл. Таким образом, запись
выражает то обстоятельство, что !91(Р) равносильно
!93(Q) и в случае выполнения хотя бы одного из этих ус-
условий алгорифмы 91 и 93 дают одинаковый результат на
словах Р и Q.

50 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Алгорифм 21 будем называть алгорифмом над алфа-
алфавитом А, если он является алгорифмом в некотором рас-
расширении алфавита А.
Пусть Щ, ЗД2 — алгорифмы над алфавитом А. Будем
говорить, что эти алгорифмы эквивалентны относительно
алфавита А, если выполнены условия
1) всякий раз, когда 9li перерабатывает какое-ни-
какое-нибудь слово Р в алфавите А в некоторое слово Q в том
же алфавите, алгорифм % также перерабатывает Р в Q;
2) то же с переменой ролей 2li и ^2-
Алгорифмы $i и Щ называются вполне эквивалент-
эквивалентными относительно алфавита А, если
1) всякий раз, когда Щ применим к какому-нибудь
слову Р в А, %2 также применим к этому слову и дает
тот же самый результат, что и Щ;
2) то же с переменой ролей &t и ЗДг-
С помощью знака условного равенства свойство полной
эквивалентности алгорифмов %i, Щ относительно алфа-
алфавита А, очевидно, выражается так:
для любого слова Р в алфавите А.
Пусть Ж\, Лъ — множества слов в некотором алфа-
алфавите А. Алгорифм 91 будем называть алгорифмом типа
(Jti~r* Лг), если 91 перерабатывает всякое слово из Ж\,
к которому он применим, в слово из Ж г. Если, сверх того,
91 применим к любому слову из Ж\, то мы будем гово-
говорить, что 'Л является алгорифмом типа {Ж\ —¦ Жг). От-
Отметим, что в соответствии с принятым нами соглашением
обозначать множество всех слов в данном алфавите так
же, как и сам алфавит, утверждение «алгорифм 51 яв-
является алгорифмом типа (А-г* А)» означает, что 91 пе-
перерабатывает всякое слово в алфавите А, к которому он
применим, в слово в алфавите А.
Очевидно, что для алгорифмов типа (А-г* А) эквива-
эквивалентность относительно алфавита А равносильна пол-
полной эквивалентности относительно А.
Ясно, что в тех случаях, когда нас интересует работа
данного алгорифма не на всех словах его алфавита *),
*) Как увидит читатель, в большинстве случаев именно гак и
обстоит дело.

$ l| НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 51
а лишь на словах более узкого алфавита А, можно дан-
данный алгорифм заменить любым алгорифмам, вполне эк-
эквивалентным ему относительно А. Если, сверх того, мы
интересуемся лишь теми результатами работы исход-
исходного алгорифма, которые являются словами в А, то при
упомянутой замене можно удовлетвориться алгориф-
алгорифмами, эквивалентными данному относительно А.
2. Будем говорить, что слово Р входит в слово Q,
если существуют слова Ri и /?2 такие, что *)
B) Q =
Например, слово «ба» входит в слово «.баобаб». Из
этого примера видно, что при фиксированных Р и Q
слова Ri, /?2 в представлении B) определяются, вообще
говоря, неоднозначно. Чтобы различать возникающие
здесь возможности, поступим следующим образом (ср.
М а р к о в [2]).
Пусть мы рассматриваем слова в некотором алфа-
алфавите А. Обозначим через а какую-нибудь букву, не при-
принадлежащую А, и рассмотрим слова вида
C) /?,аРа/?2,
которые будем называть вхождениями в алфавите А.
При этом слова R\ и Р называются соответственно ле-
левым крылом и основой вхождения C). Вхождения C),
для которых имеет место
мы называем вхождениями в слово Q, или, более под-
подробно, вхождениями слова Р в слово Q.
Совершенно очевидно, что слово Р тогда и только
тогда входит в слово Q, когда существует по крайней
мере одно вхождение Р в Q.
Возвращаясь к приведенному выше примеру, напи-
напишем все вхождения слова «ба» в слово «баобаб». Этих
вхождений два, именно:
D) абаао баб
и
баоабааб.
*) Если Р и Q—слова, то PQ означает слово, получающееся
приписыванием к Р справа слова Q.

52 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
В качестве другого примера рассмотрим вхождения пу-
пустого слова в слово «ба». Таких вхождений имеется три:
ааба, бааа и бааа. Вообще, число вхождений пустого
слова в слово длины п равно п + 1.
Вхождение C) слова Р в слово Q будем называть
первым вхождением Р в Q, если длина левого крыла
любого вхождения Р в Q не меньше длины /?i. Напри-
Например, вхождение D) является первым вхождением слова
«ба» в слово «баобаб».
Пусть R\aPaR2 — вхождение и S — слово. Слово
RiSR2 будем называть результатом подстановки слова S
вместо вхождения R\aPaR2. Например, слово «.баркас»
есть результат подстановки слова «.бар-» вместо вхож-
вхождения «акаракас» (которое является первым вхожде-
вхождением слова «/cap» в слово «каркас»), а слово «переход»
есть результат подстановки слова «пере» вместо первого
вхождения пустого слова в слово «ход».
3. В основе определения нормального алгорифма ле-
лежит та идея, что любой алгорифмический процесс над
словами может быть сведен к выполнению локальных
преобразований слов, т. е. к замене вхождений одних
слов в другие некоторыми третьими словами. При этом
в описании алгорифма должен быть указан список раз-
разрешенных преобразований такого типа, т. е. должно быть
указано, какие слова и на какие можно заменять. Кроме
того, поскольку одни слова могут входить в другие не-
несколькими различными способами, нужно уточнить, вме-
вместо каких именно вхождений следует выполнять подста-
подстановки из упомянутого только что списка. Наконец, для
однозначной определенности процесса применения алго-
алгорифма надлежит как-то фиксировать очередность, в ко-
которой выполняются разрешенные подстановки. Опреде-
Определение нормального алгорифма, к которому мы перехо-
переходим, предлагает некоторый естественный вариант такого
рода уточнений.
Условимся, что буквы «-*¦» и «•» не принадлежат рас-
рассматриваемым алфавитам. Пусть Р и Q — слова в не-
некотором алфавите А. Слова P-+Q и P~*--Q мы
называем соответственно простой и заключительной
формулой подстановки в алфавите А (при этом Р и Q
называются левой и правой частью соответствующей
формулы подстановки). Нормальный алгорифм в алфа-

$ 1]
НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ
53
вите А задается посредством (упорядоченного) списка
формул подстановок (как простых, так и заключитель-
заключительных) в этом алфавите. В качестве исходных данных до-
допускаются произвольные слова в алфавите А. Работа
нормального алгорифма 91 над произвольным словом Р
(в алфавите А) описывается следующим образом.
1) Если ни одна из левых частей формул подстано-
подстановок не входит в Р, то процесс применения 91 к Р закан-
заканчивается и его результатом считается само слово Р.
В этом случае говорят, что слово Р не поддается алго-
алгорифму 21.
2) Если хотя бы одна из левых частей формул под-
подстановок входит в Р, то отыскиваем самую первую (в по-
порядке следования в списке) из таких формул и выпол-
выполняем подстановку правой части этой формулы вместо
первого вхождения ее левой части в Р. Если использо-
использованная формула была заключительной, то процесс при-
применения 91 заканчивается и получившееся слово счи-
считается его результатом. В случае простой формулы под-
подстановки с получившимся словом поступаем так же, как
и с Р (ср. рис. 2).
Выход
од
J1
Р,—Щ
г
¦ /
J
Рг~б1)г
\2
* • • • т
'п о
з
2
Выход
1
Рис. 2. Блок-схема нормального алгорифма.
На рис. 2 б означает либо «•» (заключительная фор-
формула подстановки), либо пустое слово (простая формула
подстановки). Блок
Вхой
Р,

54 АЛГОРИФМЫ II ПГРЕЧТЮЛПМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
работает следующим образом: если Pt не входит в по-
поступившее на вход слово Р, то Р передается в (i + 1)-й
блок (или на выход алгорифма, если i = п); если Pt вхо-
входит в Р, то выполняется подстановка Q,- вместо первого
вхождения Pi в Р и получившееся слово передается на
выход 2 в случае простой формулы подстановки (б=?=Л)
и на выход 3 в случае заключительной формулы
(б- •)•
Таким образом, для полного задания нормального
алгорифма необходимо указать алфавит, в котором дей-
действует этот алгорифм, и выписать список формул под-
подстановок в этом алфавите. В дальнейшем (следуя Мар-
Маркову [2]) мы будем при задании нормальных алгориф-
алгорифмов выписывать формулы подстановок друг под другом
(порядок следования формул, учитываемый в разделе 2)
определения нормального алгорифма, — сверху вниз),
объединяя их слева фигурной скобкой (см. п. 4). Полу-
Получаемые таким образом фигуры называются схемами
нормальных алгорифмов.
Согласно приведенному нами определению примене-
применение нормального алгорифма к данному слову состоит
в процессе последовательного преобразования исходного
слова путем выполнения соответствующих операций под-
подстановок вместо первых вхождений. В случае обрыва
этого процесса мы получаем некоторое слово, которое
считаем результатом работы данного нормального алго-
алгорифма; если же процесс преобразования исходного слова
не заканчивается, то нормальный алгорифм неприменим
к этому слову. Ясно, что возможны два типа обрыва
процесса применения нормального алгорифма:
1) на некотором этапе получилось слово, не поддаю-
поддающееся данному алгорифму (естественный обрыв);
2) на некотором этапе применена заключительная
формула подстановки (заключительный обрыв).
Легко, однако, видеть, что можно ограничиться нор-
нормальными алгорифмами, у которых процесс применения
заканчивается лишь заключительным обрывом. В самом
деле, если мы присоединим к схеме нормального алго-
алгорифма 91 снизу формулу «—¦ •» (с пустой левой и правой
частью), то, с одной стороны, получившемуся алгорифму
будут поддаваться все слова, а с другой стороны, он бу-
будет вполне эквивалентен 91 относительно их общего ал-

i 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 65
фавита. Указанный только что алгорифм "мы называем
замыканием 91 и обозначаем посредством 9Г*).
4. Прежде чем привести примеры нормальных алго-
алгорифмов, условимся о некоторых обозначениях. Пусть
91— нормальный алгорифм, Р — слово в его алфавите
и Р поддается 91, т. е. в схеме 91 есть формулы подстано-
подстановок с левыми частями, входящими в Р. Тогда процесс
применения 91 к Р начнется с использования одной из
этих формул (именно, самой верхней), в результате чего
получится некоторое слово Q. Если использованная фор-
формула подстановки была простой, то мы говорим, что 91
просто переводит Р в Q за один шаг, и пишем 91: Р \— Q.
В случае заключительной формулы подстановки мы го-
говорим, что 91 заключительно переводит Р в Q за один
шаг, и пишем 91: Р (— • Q.
Вместо записи
91: PohPlt 91: Я, \- Р2 91: Р„_, \-Рп
мы будем использовать более короткие записи:
ЬР2Ь ...Р„-1 ЬЛ,
или
Я: Л, К Л,,
или даже
91: Р0\=Ра.
Аналогично вместо записи
91: Р0\-Ри Я: Л \- Р2, ...,91: Р„_,1--Рп
будут применяться записи
91: Ро\-Р{ Ь.../V, \--Рп,
Я: Л,К-Л*,
Во всех приводимых ниже примерах мы считаем фи-
фиксированным некоторый алфавит А = {ai<x2 ... а„}. Упо-
Упоминания об этом алфавите часто опускаются.
*) В качестве полезного упражнения предлагаем читателю до-
доказать, что рассмотрение лишь алгорифмов с естественным обры-
обрывом сужает класс нормальных алгорифмов.

56 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
1) Тождественный алгорифм. Пусть нормальный ал-
алгорифм $Ri в алфавите А задается схемой
Ясно, что для любого слова Р (в алфавите А)
91,: Р\-Р.
Таким образом, % применим к любому слову и
всегда
Ю,(Р)=гР.
2) Пустой алгорифм. Определим нормальный алго-
алгорифм 9Ь в алфавите А схемой
{-*
Очевидно, 3^2 неприменим ни к какому слову, поскольку
при любых Рип>0
3) Аннулирующий алгорифм. Рассмотрим нормаль-
нормальный алгорифм Шз в алфавите А со схемой
Пусть Р =f ?1 ... t,h — произвольное непустое слово
в алфавите А. Поскольку а\ ап — все буквы алфа-
алфавита А, то найдется наименьшее i такое, что а,- входит
в Р. Пусть / — наименьшее натуральное число такое, что
а,- = ?j. Тогда, очевидно, на первом шаге 5R3 «выбрасы-
«выбрасывает» ?j из Р, т. е.
%: Р h-U ¦ ¦ • ?/_,?/+, ...?*.
После k таких шагов мы получаем пустое слово, т. е.
Кроме того, пустое слово не поддается 5Лз- Таким обра-
образом, З^з перерабатывает любое слово в пустое слово.
При рассмотрении схемы ЭД3 бросается в глаза одно-
однородная группа формул, связанных с перечислением всех
букв алфавита. Ясно также, что изменение порядка,
р котором перечисляются эти формулы, никак не отра-

5 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ ' 57
зилось бы на результатах работы интересующего нас
алгорифма. Сказанное оправдывает применение в по-
подобных ситуациях сокращенных записей типа
Здесь первая строка означает группу формул, полу-
получаемую при «пробегании» переменной г\ всего алфавита
А, причем порядок, в котором выписываются эти фор-
формулы, в данной записи не указывается. Таким образом,
схема нормального алгорифма может быть восстановле-
восстановлена по сокращенной записи лишь с точностью до порядка
расположения некоторых формул. Поэтому сокращенные
записи применяются только в тех ситуациях (как, на-
например, в случае аннулирующего алгорифма), где такая
неоднозначность не существенна.
4) Алгорифм, применимый лишь к пустому слову.
Рассмотрим нормальный алгорифм 5ft4 в алфавите А, оп-
определяемый схемой (в сокращенной записи)
(Ч->Т1 (tie Л).
Ясно, что для любого непустого слова Р и любого
п >0
и поэтому Sft4 неприменим к Р.
С другой стороны, пустое слово не поддается 5R4 и,
следовательно,
5) Алгорифм, применимый лишь к непустым словам.
Пусть % — нормальный алгорифм в алфавите А со
схемой
Для любого непустого слова Р, очевидно,
Яв: Р \- • Р

58 АЛГОРИФМЫ И ПЕРПЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
и потому 19^5 (Р). Ясно также, что при любом п
Я„: Л К Л
и поэтому 9^5 неприменим к пустому слову.
6) Отсекающие алгорифмы. Пусть а — некоторая
буква, не принадлежащая алфавиту А. Как уже отмеча-
отмечалось, пары слов в алфавите А можно задавать посред-
посредством слов вида
PaQ,
где Р, Q е А. В связи с этим иногда оказываются нуж-
нужными алгорифмы, выделяющие при таком задании пар
первую и вторую компоненты. Эту задачу решают нор-
нормальные алгорифмы ЭТб, ЭДб в алфавите А [} {а}, зада-
задаваемые схемами
xr\ -> a (т) e A)
<\а -*¦ a (r\ e А)
а—>
Действительно,
Я?: PaQ (= Pa h- ¦ Р,
We: PaQ(=aQ H- Q.
Следовательно,
Яё (PaQ) === Р,
^e(PaQ) = Q.
Отметим, что поскольку слова в А [} {а}, в которые не
входит а, не поддаются алгорифмам 91б, 9^1, то 9ll, 3il
применимы и к таким словам. Таким образом, 9lg, Ш1
применимы к любым словам в алфавите A U {a}.
7) Алгорифм левого присоединения слова. Пусть Р —
произвольное слово в алфавите А. Рассмотрим нормаль-
нормальный алгорифм 91? в А со схемой

} 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ Б9
Ясно, что для любого Q
Алгорифм Sfti (примера 1) можно рассматривать как
алгорифм левого присоединения пустого слова.
8) Алгорифм правого присоединения слова. Построе-
Построение этого алгорифма несколько сложнее. Пусть а — не-
некоторая буква, отличная от всех букв алфавита А. Рас-
Рассмотрим нормальный алгорифм 9^8 в алфавите A U {а}
со схемой
ат) -»¦ т)а (т) е А)
Р
E)
F)
G)
Пусть Q — произвольное слово в алфавите А. Сна-
Сначала к Q слева приписывается а (формула G)):
Я?: Q \~ aQ.
Затем а «бежит» вправо по слову Q (группа формул
E)), т.е.
и, наконец, а заменяется на Р (формула F)):
Яв: Qa\--QP.
Таким образом,
т. е. $1$ присоединяет к любому слову справа слово Р.
9) Обращающий алгорифм. Пусть
(8) Р — Y1Y2...Y*
— произвольное (непустое) слово в алфавите А. Обра-
Обращением Р назовем слово Q, записанное теми же бук-
буквами, но в обратном порядке, т. е.
Q=?=YftYfc-i ••• Yi-
Обращением пустого слова будем считать пустое слово.
Обозначим через а, р две различные буквы, не
входящие в алфавит А, и рассмотрим нормальный

60
АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧНСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. 1
алгорифм ЭДэ в алфавите Л U {ар} со следующей схе-
схемой*):
(9) Г ста
A0) ра->р
(И)
A2)
A3) at,r\->r\at, (?, ц s Л)
A4)
и покажем, что ЭДэ перерабатывает любое слово в алфа-
алфавите Л в его обращение.
Для пустого слова имеем (сначала применяется два
раза формула A4), затем формулы (9) и A2))
%: Л
Аналогично, для однобуквенного слова Р =?
9?9: Yi H oyi I- аау, I- PYi H YiP b- • Yi-
Пусть теперь P — слово вида (8) с k ^ 2. Так же,
как и раньше, поскольку а и р не входят в Р, сначала
применяется формула A4):
%: Р \- аР.
Далее, очевидно, применяются формулы группы A3),
(формулы A0)—A2) не могут применяться из-за отсут-
отсутствия буквы р в слове аР, а формула (9) из-за того,
что в аР не входит aa) и а «проносит» первую букву
слова Р в конец:
%: aPh=Y2Y3 ¦•• Y*<*Yi-
Затем снова применяется формула A4):
%: Y2Y3 • • • YftOYi H aY2Y3 • •. Y*aYi
и а «проносит» в конец букву Y2:
%• av2Y3 • • • YftOYi И Ys ¦ • • Y*aY2<»Y!«
*) Здесь используется несколько более сложная, чем раньше,
сокращенная запись. Именно, agti -> tjag означает группу формул,
получаемую всевозможными подстановками вместо ? и tj любых
букв алфавита А.

$ 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 61
После ряда таких циклов получаем наконец обраще-
обращение Р, «разбавленное» буквами а:
%¦ ^HaYfeaYfc-i ... ay,.
Обозначим YftaYfc-i • • • aYi через Ра. Очевидно,
%: аРа Ь aaPa I- pPa.
Затем р «бежит» вправо, уничтожая а (группа формул
A1) и формула A0)):
%'• P^aN=YfcYfc-i ••• YiP J—'YftYft—i ••• Yi-
Следовательно, Stg переработал Р в его обращение,
что и требовалось.
В качестве упражнения предлагаем читателю по-
построить удваивающий нормальный алгорифм, т. е. такой
нормальный алгорифм Я, что при любом Р
Приведем в заключение два примера, связанных с на-
натуральными числами, — именно, нормальные алгорифмы,
складывающие и умножающие натуральные числа. Под
натуральными числами мы подразумеваем слова в ал-
алфавите {0|} вида 0, 0|, 0| | ... Пары натуральных чисел
задаются как слова вида *)
A5) т, п
где тип — натуральные числа.
10) Алгорифм сложения натуральных чисел. По-
Построение этого алгорифма совершенно очевидно: доста-
достаточно выбросить из слова A5) букву «,» и букву «0»,
которой начинается т. Схема соответствующего нор-
нормального алгорифма 5Лю (в алфавите {0|}) имеет одну
формулу
11) Алгорифм умножения натуральных чисел. Рас-
Рассмотрим нормальный алгорифм 5Лц в алфавите {0|, ab)
•) Обращаем внимание читателя на то, что следует различать
употребление запятой как пунктуационного знака русского языка
и как буквы используемых нами алфавитов.

62
АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. I
со схемои
A6)
A7)
A8)
A9)
B0)
B1)
B2)
B3)
B4)
и покажем, что
Я и
а |-Ч Ьа
а-*-
&1-Ч&
|, О-*, 0а
00-*0
, 0^0,
> I-»,
(m, /г)== m • /г.
Условимся для краткости при произвольном нату-
натуральном к обозначать через Я слово, получающееся из к
выбрасыванием буквы «0», а через kb, к'ъ слова, полу-
получающиеся из k заменой всех букв «|» соответственно на
букву «Ь» и слово «.\Ь». Например, если ?=г0|||, то
А =т= Ml. k/,=^bbb, kb=^\b\b\b.
Рассмотрим сначала случаи обращения в нуль ка-
какого-нибудь из сомножителей.
а) т = 0. Формулы A6) — A9) применяться не мо-
могут. Используется формула B1), затем B0):
Шп: 0, п Ь-00, п Ь-0, п.
Далее, очевидно (B2), B4)),
9?п: 0, п\=0, ЬО.
Итак,
б) п==0. Поскольку случай т = 0 уже разобран,
можно считать, что т > 0. Тогда т заканчивается
буквой «|» и (A9), A7))
Э?„: т, 0 Ьт—1, 0а Ьш —1, ОНО, 0.
Наконец (B1)-B0), B4)),
ЭТП: 0, 0 Ь-00, Ь-0, Ь-0.

§ 1) НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 63
Итак, и в этом случае
%х(т, 0) = т-0 = 0.
в) т > О, п > 0. Очевидно (A9)),
¦У?п: т, п Ь- т — 1, Оап.
Далее (A6) — A7)) «а» «проходит» через Я, оставляя
у каждой буквы «|» букву «Ь»:
9?,,: m — l,0an|=m — l,0«?a Ь-m — \,0n'b-
Затем буквы «Ь» «проходят» вправо (A8)):
ЭТ,,: т— l,0n'b\=m— l,nnb.
После т таких циклов получим
$КП: т, n\=-0,nnbnb ... nb.
т раз
Обозначим последнее слово через Q. Чтобы получить
искомый результат, достаточно выбросить из Q слово
«, п» и заменить всюду букву «Ь» на «|». Именно это и
происходит. По формулам B0) — B4)
ЭТ„: Q Ь- 00,nn_ft_.. .jtft Ь- O.nnft^^^h
m раз m раз
h= 0,nft ... nft Ц= On ... n, Ь- • On ... n-
m раз т раз т раз
Последнее натуральное число, очевидно, и есть m-n.
Итак, всегда
¦ЭТц (т, п) — т ¦ п,
что и требовалось.
5. Регламентация использования вспомогательных
букв. Теорема о переводе. Теорема приведения. Чита-
Читатель, наверно, обратил внимание на то, что в последних
примерах предыдущего пункта для построения нормаль-
нормальных алгорифмов, определенным образом работающих на
словах в данном алфавите, приходилось использовать
вспомогательные буквы, т. е. строить эти алгорифмы
в более широком алфавите, чем исходный. Можно
показать, что это обстоятельство не является случай-
случайным — например, невозможен нормальный алгорифм

64 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
в алфавите А, содержащем не менее двух букв, обра-
обращающий все слова в А (ср. Нагорный [2]). В связи со
сказанным возникает вопрос: как силыго нужно расши-
расширять исходный алфавит, чтобы получать всевозможные
преобразования слов в этом алфавите, вообще доступ-
доступные нормальным алгорифмам. Этот вопрос решается
теоремой А. А. Маркова о-переводе (Марков [2]), по-
показывающей, что всегда можно обойтись (если нас инте-
интересуют преобразования слов в данном алфавите) всего
двумя вспомогательными буквами, т. е. двухбуквенным
расширением исходного алфавита*).
Пусть А — некоторый алфавит (возможно, пустой),
буквы а, р, Yi. • • •. Yn не входят в Л, а отлична от Р
и все Yi. Yj (' Ф}) различны. (Однако буквы а, р мо-
могут, вообще говоря, совпадать с некоторыми из у{.) Рас-
Рассмотрим алфавиты
B5) Д = A U {ар},
B6) А2=А
Сопоставим каждой букве y« П ^ ' ^ я) слово вида
B7) ар ... ра
i раз
и назовем это слово переводом буквы y*. Переводом про-
произвольной буквы алфавита А назовем саму эту букву.
Перевод буквы г\ (алфавита А2) будем обозначать по-
посредством [г\х. Пусть теперь
Р = т|, ... ти
— произвольное (непустое) слово в алфавите Лг. Под
переводом Р мы будем понимать слово
очевидно, являющееся словом в алфавите А\. Перевод Р
будет обозначаться через [Рх. Переводом пустого слова
считается пустое слово (т. е. [Лт=?= Л).
¦) Как показал Нагорный [1]—[2], всегда достаточно даже
одной вспомогательной буквы, т. е. однобуквенного расширения ис-
исходного алфавита.

§1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 65
Отметим, что для любого слова Р в алфавите Л
B8) [PZ^P,
и обратно, если для Qg/12 выполняется [QX^A, то
Описанный только что способ кодирования слов в ал-
алфавите Л2 словами в алфавите А\ обладает, как можно
показать (Марков [2; гл. 1, § 6]), свойством однознач-
однозначности: [Px=f{Qx для произвольных слов Р и Q в Ai
тогда и только тогда, когда Р — Q. В приводимой ниже
теореме о переводе по существу и используется это об-
обстоятельство, позволяющее заменить каждую вспомога-
вспомогательную букву некоторым словом вида B7).
Про изложенный способ перевода мы будем гово-
говорить, что он есть перевод из алфавита Л2 в Аи исполь-
использующий кодирующие буквы а и р и сохраняющий
алфавит А.
Пусть 91— нормальный алгорифм в алфавите B6).
Заменим в схеме 91 левую и правую часть каждой фор-
формулы подстановки на ее перевод. В результате полу-
получится некоторый нормальный алгорифм в алфавите А]
(B5)), который мы назовем переводом 91. Оказывается,
перевод 91 работает над переводами слов в алфавите Лг
точно так же, как 91 работает над самими этими сло-
словами, точнее говоря, имеет место
Теорема 1 (теорема о переводе: М а р к о в [2; гл. 3,
§ 7]). Пусть 91 — нормальный алгорифм в алфавите А3
(B6)) и 91 — перевод этого алгорифма. Тогда для лю-
любого слова Р в алфавите Л2
Й(|ят)~ [Я (/>)*.
В частности, когда Р — слово в Л и 91 перерабаты-
перерабатывает Р в слово в А, то (B8))
Й (Р) = 91 (Р).
Таким образом, имеет место
Теорема 2 (теорема приведения: М а р к о в [2; гл. 3,
§ 7]). Пусть а и р — две различные буквы, не принадле-
принадлежащие алфавиту А. Тогда всякий нормальный алгорифм

66 АЛГОРИФМЫ II ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
над А эквивалентен относительно А (см. п. 1) некото-
некоторому нормальному алгорифму в алфавите А 0 {ар}.
Отметим следующий важный частный случай тео-
теоремы приведения.
Теорема 3. При условиях теоремы 2 всякий нор-
нормальный алгорифм над А типа (А-г* А) вполне эквива-
эквивалентен относительно А (см. п. 1) некоторому нормаль-
нормальному алгорифму в алфавите A U {ар}.
Для доказательства теорем 2—3 достаточно опреде-
определить перевод из алфавита рассматриваемого нормаль-
нормального алгорифма (являющегося расширением алфавита
Л) в Л U {ар}, использующий кодирующие буквы аир
и сохраняющий алфавит А. В качестве искомого алго-
алгорифма в алфавите A U {а0} можно, ввиду теоремы 1,
взять перевод исходного нормального алгорифма. Из
теоремы о переводе, очевидно, также вытекает
Следствие 1. При условиях теоремы 2 для вся-
всякого нормального алгорифма над алфавитом А может
быть построен нормальный алгорифм в A U {ар}, приме-
применимый к тем и только тем словам в А, к которым при-
применим исходный алгорифм.
Теоремы 2—3 показывают, что любое алгорифмиче-
ское преобразование слов в алфавите А, которое может
быть выполнено нормальным алгорифмом над А, может
быть выполнено также и нормальным алгорифмом в
двухбуквенном расширении А. Таким образом, если
нас интересуют нормальные алгорифмы, определен-
определенным образом перерабатывающие слова в алфавите А
снова в слова в А, то достаточно рассматривать нор-
нормальные алгорифмы в каком-нибудь фиксированном
(стандартном) двухбуквенном расширении алфавита А.
Для этого расширения мы будем обычно использовать
обозначение Аа.
6. Распространение нормального алгорифма на более
широкий алфавит. Пусть % — нормальный алгорифм в
алфавите Л) и алфавит Л2 является расширением Л,.
Тогда можно рассмотреть нормальный алгорифм $'
в алфавите Л2 с той же самой схемой, что и <&. Очевидно,
для любого слова Р в А\
B9) %(Р)~<й'(Р),
т. е. ЗД и 91' вполне эквивалентны относительно А\. Нор-

S i] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 67
мальный алгорифм W будем называть естественным
распространением 21 на алфавит А2.
В некоторых случаях оказывается удобным, чтобы
алгорифм 2Г, удовлетворяющий B9) (всякий такой ал-
алгорифм называется распространением 21 на А2), был не-
неприменим к тем словам в А2, которые не являются сло-
словами в А]. Этой цели легко достичь, приписав к схеме 91
сверху группу формул вида т]-*г], где r| e Л2\Л1. По-
Получившийся нормальный алгорифм, называемый фор-
формальным распространением 21 на алфавит А2, очевидно,
вполне эквивалентен 21 относительно Л4 и не приме-
применим к тем словам в А2, которые не являются слова-
словами в Ai.
Использование возможности распространения нор-
нормального алгорифма на более широкий алфавит, а так-
также указанной в предыдущем пункте возможности «при-
«приведения» нормального алгорифма с сохранением эквива-
эквивалентности к алгорифму в стандартном двухбуквенном
расширении исходного алфавита, позволяет во многих
случаях опускать без особого ущерба точности упомина-
упоминание об алфавитах, в которых строятся конкретные нор-
нормальные алгорифмы, выполняющие те или иные преоб-
преобразования слов в данном алфавите. Мы часто так и бу-
будем поступать, опуская упоминания об операциях перс-
вода в стандартное расширение алфавита и о замене
данного алгорифма его естественным распространением
на тот или иной более широкий, чем первоначально свя-
связываемый с этим алгорифмом алфавит.
7. Теоремы сочетания нормальных алгорифмов. При
практическом построении алгорифмов часто применяются
приемы, состоящие во включении в искомый алгорифм
в тех или иных сочетаниях уже известных ранее алго-
алгорифмов.
В этом пункте приводится ряд теорем, позволяющих
строить некоторые новые нормальные алгорифмы, исполь-
используя уже построенные алгорифмы. Эти теоремы показы-
показывают, что практически важные способы комбинирования
алгорифмов воспроизводимы в теории нормальных алго-
алгорифмов, т. е., будучи примененными к нормальным алго-
алгорифмам, они дают снова нормальные алгорифмы. Исполь-
Использование теорем сочетания нормальных алгорифмов по-
позволяет, кроме того, в большинстве случаев существенно

68 • АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
упрощать задачи построения тех или иных конкретных
нормальных алгорифмов.
Доказательства приводимых ниже теорем сочетания
(за исключением теорем 11—12) можно найти в моно-
монографии Маркова [2]. Отметим, что эти доказательства
сводятся к построению схемы искомого нормального ал-
алгорифма, исходя из схем подлежащих сочетанию нор-
нормальных алгорифмов. Таким образом, в тех случаях,
когда построение нормального алгорифма выполняется
с помощью теорем сочетания, мы всегда имеем принци-
принципиальную возможность явно выписать схему этого алго-
алгорифма.
1) Композиция нормальных алгорифмов. Одним из
наиболее часто встречающихся способов комбинирова-
комбинирования двух алгорифмов является их композиция, т. е. вы-
выполнение одного алгорифма непосредственно вслед за
, , , ,, другим (рис. 3). Имеет
ar/ m л\цип место следующая теоре-
теорема композиции нормаль-
Рис. 3. Композиция нормальных ных алгорифмов.
алгорифмов. Теорема 4. Каковы
бы ни были нормальные
алгорифмы 91 и 33, может быть построен такой нормаль-
нормальный алгорифм S над объединением А их алфавитов,
что
(при произвольном слове Р & алфавите А) *).
Чтобы дать читателю некоторое представление о том,
как доказываются теоремы сочетания, мы наметим дока-
доказательство теоремы 4 в случае, когда 21 и 33 являются
алгорифмами в одном и том же алфавите А (для пере-
перехода к общему случаю достаточно воспользоваться фор-
формальными распространениями (см. п. 6) 51 и 33 на объ-
объединение их алфавитов).
Итак, пусть 91 и 33 — нормальные алгорифмы в алфа-
алфавите А. Сопоставим каждой букве т] этого алфавита не-
некоторую новую букву fj, не принадлежащую А, таким
образом, чтобы разным буквам А отвечали разные бук-
*) Если Щ—нормальный алгорифм в алфавите А\ и Р не
является словом в этом алфавите, то выражение Ш. (Р) считается
лишенным смысла.

§ I]
НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ
69
вы. Букву fj назовем двойником г\. Двойники букв алфа-
алфавита А, очевидно, образуют новый алфавит, который мы
обозначим через А. Обозначим далее через аир дне
различные буквы, отличные как от всех букв А, так и от
всех букв А. Перейдем от алгорифма 51 к его замыка-
замыканию 51* (см. п. 3 — напомним, что схема 51" получается
из схемы 91 присоединением снизу формулы -*¦•) и за-
заменим в схеме 9Г каждую точку буквой а. Получив-
Получившуюся систему формул обозначим через 51™. Построим
также систему формул 23а, получаемую из схемы 93* по-
посредством замены всех букв алфавита А их двойниками,
замены всех точек буквами р и после этого замены всех
формул вида —*¦ Р (т. е. формул с пустой левой частью)
на формулы а —> аР.
Рассмотрим_теперь нормальный алгорифм S в алфа-
алфавите Б = A U A U {ар} со схемой (в сокращенной записи)
C0)
C1)
C2)
C3) 5Р->К
C4) 1К-К
C6) gfj _> ?Т1
C6)
C7) 23а
C8)
Пусть Р — произвольное слово в алфавите А. Ра-
Работа алгорифма 6 над Р протекает в несколько этапов.
а) Формулы групп C0) —C7) не могут применяться
(заметим, что именно с этой целью — отличать формулы
алгорифма 93 (им соответствуют формулы группы C7))
от формул 51 — и вводились двойники). Далее, поскольку
группа формул C8) содержит формулу с пустой левой
частью (такова последняя формула этой группы), то
применяется одна из формул группы C8). Алгорифм E
воспроизводит работу алгорифма 51* (а следовательно,
и 51). При этом, если
51: PKQ-

70 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
ТО
и, таким образом, из неприменимости 91 к Я вытекает
неприменимость К к Я. Пусть теперь 91 применим к Я и
C9) «(Я) —Q.
В этом случае 91" заключительно переводит Р в Q. Из
построения группы формул C8) тогда ясно, что К пере-
переведет Р в некоторое Q', отличающееся от Q лишь при-
присутствием одного экземпляра буквы а (присутствие этой
буквы и сигнализирует окончание работы 91). То есть
при некоторых Qi, Q2 таких, что
Q =p Q,Q2,
выполняется
б) Применяются формулы группы C0), в резуль-
результате чего а «бежит» влево (при пустом Qi этот этап от-
отпадает) :
6: Q,aQ2(=aQiQ2.
Итак,
D0) S:
в) Теперь нужно применять к Q, являющемуся (C9))
результатом работы 91 над словом Р, алгорифм 93. Пред-
Предварительно, однако, поскольку группа формул C7),
представляющая алгорифм 93, записана в двойниках,
нужно перевести в двойники и обрабатываемое слово.
Эта задача и решается группами формул C1) — C2),
при помощи которых
D1) P.:
(здесь через Q обозначен двойник слова Q, т. е. слово,
получающееся из Q заменой всех его букв двойниками).
Описанный этап, очевидно, отпадает в случае пу-
пустого Q.
г) В слово aQ не входят левые части формул групп
C0) — C6). Поэтому применяются формулы группы C7),
работа которых воспроизводит (в двойниках) работу ал-
алгорифма 93 над Q. Нетрудно убедиться (используя,
в частности, то обстоятельство, что при построении 93^

§ 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 71
в формулы с пустой левой частью вставлялось а), что
если
93: Q\=r.nS,
то
E: aQ\=naS.
Отсюда, ввиду D0) — D1), получаем, что если 23 не-
неприменим к Q, то & не применим к Р.
Пусть теперь 33 применим к Q и
D2) S3 (Q) == /?.
Тогда 23* заключительно переводит Q в R и так же, как
на этапе а), найдутся R\, R2 такие, что
D3) R^R{R2
д) Применяются формулы C3); буква «ф» «бежит»
влево (этап отпадает при пустом Ri):
Итак (D0)-D1), D2)),
е) По формулам C4) —C5) происходит «очище-
«очищение» слова R от двойников (этот этап отпадает при
пустом R):
Е: сф
ж) По формуле C6)
Итак, ввиду C9), D2),
D4) 6 (Р) ~ 23 (% (Р)),
что и требуется.
Заметим, что вполне строгое доказательство равен-
равенства D4) достаточно громоздко (Марков [2; гл. 3,
§ 3]).
Доказательство теоремы композиции позволяет по схе-
мам алгорифмов 91 и 23 построить схему их композиции,

72 АЛГОРИФМЫ II ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
т. е. схему некоторого алгорифма б, удовлетворяющего
D4) (мы отвлекаемся сейчас от неоднозначности опи-
описанной выше схемы б, связанной с выбором букв-
двойников, букв а, C и порядком формул в группах
C0) — C5), C7) —C8)). Этот алгорифм мы будем ино-
иногда обозначать посредством C3° 91).
Чтобы проиллюстрировать применение теоремы ком-
композиции, вернемся к отсекающим алгорифмам (при-
(пример 6) п. 4). Пусть, как и в п. 4, А—некоторый алфавит,
а—буква, не принадлежащая этому алфавиту. Мы не-
несколько изменим схемы отсекающих алгорифмов, доба-
добавив в схему первого из них формулу оса —»• а. Именно,
обозначим через В1, В2 нормальные алгорифмы в A U {а}
со схемами
а On e А)
Пусть Р — слово вида
D5) Р - P,aP2a ... aPk,
где все Я,- A =SC i =SC k) — слова в А.
Легко видеть, что
Bl(P)-Ph
ВЦР)^Р2а... aPk.
Обозначим через В2п(п^1) нормальные алгорифмы
и рассмотрим нормальные алгорифмы Вп:

§ 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 73
Ясно, что для любого слова вида D5) с к ^ п
Таким образом, Вп «выбирает» га-ю компоненту
а-кортежа длины, не меньшей га.
2) Теорема объединения. Очень часто встречаются
ситуации, когда интересующий нас результат слагается
из нескольких частей, получаемых при помощи различ-
различных алгорифмов. В случае словарных алгорифмов можно
сформулировать следующее предписание: применить
к данному слову Р алгорифмы 21 и S3, затем к резуль-
результату работы 21 приписать справа результат, полученный
посредством S3. Алгорифм, возникающий согласно этому
предписанию из Я и 53, естественно назвать объедине-
объединением % и S3. Имеет место следующая теорема объедине-
объединения нормальных алгорифмов.
Теорема 5 (Марков [2; гл. 3, § 4]). Каковы бы
ни были нормальные алгорифмы 21 и S3 над алфави-
алфавитом А, может быть построен нормальный алгорифм S
над А такой, что при любом слове Р в А
D6) d (Р) ~ % (Р) 23 (Р).
Почти очевиден следующий вариант теоремы объеди-
объединения.
Теорема 6. Каковы бы ни были нормальные алго-
алгорифмы 21 и S3 над алфавитом А и буква а, можно по-
построить нормальный алгорифм E над A U {а} такой, что
(Е (Р) ~ % (Р) аЗЗ (Р)
при любом слове Р в алфавите А.
Для доказательства теоремы 6 достаточно два раза
применить теорему 5, используя при этом нормальный
алгорифм Фа, перерабатывающий всякое слово Р в ал-
алфавите А в букву а *).
Теоремы 5—6 очевидным образом распространяются
на случай объединения нескольких нормальных алгориф-
алгорифмов. Их особенно удобно использовать (в сочетании
*) фо легко построить как композицию аннулирующего алго-
алгорифма (пример 3) п. 4) и алгорифма VJ" (пример 7) п. 4). Мы
также предлагаем читателю в качестве простого упражнения по-
построить алгорифм фа непосредственно.

74 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
с теоремой композиции) тогда, когда результаты работы
нескольких алгорифмов, объединенные (как правило,
с использованием разделительной буквы) в систему,
сами должны рассматриваться как исходные данные не-
некоторого нового алгорифма.
Ясно, что алгорифм E, построенный согласно тео-
теореме 5, применим к тем и только тем словам в Р, к ко-
которым применимы оба алгорифма 51 и 23, т. е. имеет
место
Следствие 2. Каковы бы ни были нормальные ал-
алгорифмы 51 и 23 над алфавитом А, можно построить нор-
нормальный алгорифм над А, применимый к тем и только
тем словам в А, к которым применимы оба алгорифма %
и 23.
В качестве примера применения теорем композиции и
объединения построим алгорифм ф, распознающий гра-
графическое равенство слов в алфавите А. Пусть а — бук-
буква, не принадлежащая А. Мы хотим, чтобы для любых
слов Р и Q в А выполнялось
!?) (PaQ)
и
D7) 35 (PaQ) = Л =P = Q.
Рассмотрим нормальный алгорифм S)i со схемой
щг\ —> а (ц е А)
а->-
Для каждого слова Р обозначим через Р его обра-
обращение (см. пример 9) п. 4). Легко видеть, что для лю-
любого слова PaQ
!?), (PaQ)
и
D8) S^ (PaQ) = Л = Q == Р.
По теореме композиции построим алгорифм ф2 так,
что
где $R9 — обращающий алгорифм (пример 9) п. 4),
а В2 — построенный выше «высекающий» алгорифм.

5 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 75
Очевидно,
D9) ?>2(PaQ)==Q.
Построим далее алгорифм ©3 по теореме объедине-
объединения так, что
©з (PaQ) ca Я, (PaQ) a?>2 (PaQ),
где Вх — построенный выше «высекающий» алгорифм.
Ввиду D9)
E0) ©3 (PaQ) ~ PaQ.
Наконец, по теореме композиции строим алгорифм ф
так, что
© (PaQ) с* Я), (Юз (PaQ)).
Ввиду D8) для © выполняется D7), что и требова-
требовалось.
3) Теорема разветвления. Иногда приходит-
приходится рассматривать предписания следующего типа (рис. 4):
для данного исходного слова Р проверить, удовлетво-
удовлетворяет ли оно данному условию зФ\ если Р удовлетво-
удовлетворяет s&, то применить к Р алгорифм 91, в противном
Рис. 4. Разветвление нормальных алгорифмов.
случае применить к Р алгорифм S3. Ясно, что такое пред-
предписание определяет алгорифм в том случае, когда усло-
условие зФ разрешимо, т. е. когда мы располагаем алгориф-
алгорифмом, применимым к любому слову Р и аннулирующим
Р тогда и только тогда, когда Р удовлетворяет усло-
условию зф*). Возможность оформления сформулирован-
сформулированного предписания в виде нормального алгорифма
(при условии, что 91, 33 и алгорифм, «разрешающий»
*) Мы говорим, что алгорифм аннулирует слово Р, если он
перерабатывает Р в пустое слово.

76 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
условие ?Ф, заданы как нормальные алгорифмы) выте-
вытекает из следующей теоремы (Марков [2; гл. 3, § 5]).
Теорема 7. Каковы бы ни были нормальные алго-
алгорифмы 91, 93 и E, может быть построен нормальный ал-
алгорифм 55 над объединением А их алфавитов такой, что
при любом слове Р в А
1) если & не применим к Р, то и 55 не применим к Р\
2) если 6 применим к Р, то
2) (Р) ~ % (Р)
в том случае, когда
Ъ (Р) ~ 33 (Р)
в том случае, когда
а(Р)^Л.
Теорема разветвления легко распространяется на
случай, когда выбор работающего алгорифма зависит от
последовательной проверки нескольких условий.
Теорема 8 (ср. Марков [2; гл. 3, §5]). Каковы бы
ни были нормальные алгорифмы %, 9trt+1, G>, (?„
(п > 0), можно построить такой нормальный алгорифм 5)
над объединением А их алфавитов, что для любого
слова Р в А *)
25 (Р) ~
%{Р), если 6,(Р)=Л,
%2 (Р), если 6, (Р) # Л, 62 (Р) - Л,
Щ3(Р), если 6,(/>)=? Л, <МР)#Л, МР)=рЛ,
ЪЯ(Р), если (S,(
?,(Р)#Л, 62(Р)#Л. ....
*) Следует иметь в виду, что если два выражения связаны
знаком графического неравенства =?, то они осмыслены и пред-
представляют собой различные слова. Словесное предписание, соответ-
соответствующее алгорифму ©, таково: применяем к Р алгорифм Si; если
процесс применения Si закончился, то смотрим, пуст или нет ре-
результат; в случае, когда Si(P)=j=A, применяем к Р алгорифм Sti,
в случае, когда Si(P)t?A, применяем к Р алгорифм S2 и т. д.

§ 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 77
Следствие 3. Пусть s4- — разрешимое свойство
слов в алфавите А, %, 93, К — нормальные алгорифмы
над А. Можно построить нормальный алгорифм ?) над А
так, что для любого слова Р в А
\ % (Р), если слово Р обладает свойством зФ,
3) (Р) !^ {
{ 33 (Р), если слово Р не обладает свойством si.
Следствие 4. Пусть siu ..., sin— разрешимые
свойства слов в алфавите А, 210,. ..., 91„ — нормальные
алгорифмы над А. Можно построить нормальный
алгорифм ?) над А так, что при любом слове Р в А
выполняется
?10(Р), если Р не обладает ни одним из свойств
sti A<»<я),
1( (Р), если Р обладает свойством siu
^2(^)> если Р не обладает свойством si-x и
обладает свойством si-2,
%п(Р), если Р не обладает свойствами зФг
A ^/^л — 1) и обладает свойством s4n.
D(P)~
4) Теорема повторения. Оператор наи-
наименьшего числа. Задание нормальных ал-
алгорифмов рекурсией. Во многих случаях возни-
возникает необходимость в итерации некоторого процесса до
тех пор, пока получающийся результат не удовлетворит
определенному условию. Например, таким повторяемым
процессом может быть прибавление единицы к нату-
натуральному числу, а проверяемым условием — свойство
натурального числа быть большим, скажем, пяти. В слу-
случае, когда рассматриваемый процесс есть словарный
алгорифм 51, а условие является алгорифмически про-
проверяемым, можно сформулировать следующее алгориф-
мическое предписание (рис. 5): применить к исходному
слову Р алгорифм 91, проверить, обладает ли результат
% (Р) (если, конечно, 91 применим к Р) нужным свой-
свойством; при положительном исходе этой проверки обо-
оборвать переработку слова Р и считать 91 (Р) результатом,
при отрицательном исходе перейти к слову 91 (Р) и по-
поступить с ним так же, как н с Р, и т. д.

78
АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. 1
Теорема 9 (Марков [2; гл. 3, § 6]). Каковы бы
ни были нормальные алгорифмы % и 23, может быть
построен нормальный алгорифм (S над объединением А
*
%(Р)
¦d не Выполнено
Лродврка
услппил d
сА Заполнено
*
Рис. 5. Повторение нормального алгорифма.
их алфавитов такой, что (S перерабатывает произволь-
произвольное слово Р е Л в слово Q тогда и только тогда, когда
д Р
существует
свойствами
E1)
E2)
E3)
E4)
E5)
ряд слов
D
D
D
»(/>,)#
23 (/>„) =
"о, ...,
Р,
W(Pt-i)
Q,
Л
л.
Рп (П > О)
(О</<
(О</<
со
п),
п),
Иногда, прежде чем применять к данному слову
алгорифм 91, оказывается целесообразным проверить,
ЛроИерко
ус/юбия j?
& нейыполнено
21
быполнено
Рис. 6. Видоизмененное повторение нормального
алгорифма.
не обладает ли нужным свойством само исходное слово
(так, в частности, обстоит дело с приведенным выше
примером последовательного прибавления единицы).
В подобных случаях полезен следующий вариант тео-
теоремы повторения (рис. 6)

( И НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 79
Теорема 10 (Марков [2; гл. 3, § 6]). Каковы бы
ни были нормальные алгорифмы 51 и 23, можно по-
построить нормальный алгорифм 6 над объединением А
их алфавитов такой, что E перерабатывает произволь-
произвольное слово Р еЛ в слово Q тогда и только тогда, когда
существует ряд слов Ро, ..., Рп (п ^ 0), удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям E1)— E3), E5) и условию
Про алгорифм 6, построенный согласно теореме 9
(теореме 10), будем говорить, что он является повто-
повторением (видоизмененным повторением) алгорифма St,
управляемым алгорифмом 53.
Теорема повторения позволяет задавать нормальные
алгорифмы при помощи таких хорошо известных из
теории рекурсивных функций средств, как ц-оператор
и примитивная рекурсия.
Пусть s4- — некоторое свойство натуральных чисел*).
Обозначим через
E6) №& (я)
наименьшее натуральное число, обладающее свойством
S4-. В случае, когда свойство зФ не выполняется ни для
какого натурального числа, выражение E6) считается
лишенным смысла.
С двухместным алгорифмически проверяемым отно-
отношением $$¦ можно связать следующее алгорифмическое
предписание: для данного исходного слова Р последо-
последовательно проверять s&(P, 0), s4-(P, 1) и т. д. до обнару-
обнаружения числа k, при котором первый раз выполнится
st(P,k); это число считать результатом. Возможность
оформления такого предписания в виде нормального
алгорифма (при условии, что мы имеем нормальный
алгорифм, проверяющий отношение si-) вытекает из
следующей теоремы (в теоремах 11—12 А — произволь-
произвольный алфавит, а — некоторая не принадлежащая алфа-
алфавиту А 0{0|} буква).
Теорема 11 (ср. Цейтин [5; стр. 304]). По вся-
всякому нормальному алгорифму % над алфавитом А\){а)
*) Напомним, что под натуральными числами мы понимаем
слова в алфавите {0|} вида 0, 0|, 0|| и т. д.

80 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
можно построить нормальный алгорифм 53 над алфави-
алфавитом A U{0|} так, что для любого слова Р в алфавите А
выполняется: если при каждом натуральном i
E7) Ш (Pai),
то
E8) 23 (Р) ~ (in B1 (Pan) = Л).
Доказательство. Обозначим через S3] такой
нормальный алгорифм, что для любого слова Q в ал-
алфавите A U {а0|}
S,(Q)-==QI
(см. пример 8) п. 4). По теореме 10 построим алго-
алгорифм ЗЗг, являющийся видоизмененным повторением ал-
алгорифма S3b управляемым алгорифмом 91. Тогда для
любого Ре Л, удовлетворяющего условию E7), будет
выполняться
232 {РаО) & Рацп B1 (Pan) = Л).
Легко построить алгорифм 933 так, что
Искомый алгорифм S3 строим теперь как компози-
композицию алгорифмов 933 и «высекающего» алгорифма В2
(стр. 72). Очевидно, при выполнении E7)
S3 (Р) ~ В2 (9Э3 (Р)) ^ В2 (Рацп (% (Pan) = Л)).
Следовательно,
т. е. выполняется E8), что и требуется.
Теорема 12 (определение нормального алгорифма
при помощи примитивной рекурсии). Пусть Щ и 23 —
нормальные алгорифмы соответственно над алфавитами
А и At = A U{0|a}. Можно построить нормальный ал-
алгорифм Е над /li гак, что при любом слове Р в алфа-
алфавите А и любом натуральном числе m
6 (РаО) с* 21 (/>),
g (Ршп + 1) са 33 (PamaS (Pa/»)).

§ I] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 81
Наметим доказательство этой теоремы. Обозначим
через Di такой нормальный алгорифм над Аи что при
любых натуральных тип
IDi [man)
и
S)[ (man) == Л = т -р п.
(Такой алгорифм, распознающий графическое равен-
равенство, был построен выше (стр. 74).) Применяя теоремы
композиции и объединения к алгорифму ?)] и «высекаю-
«высекающим» алгорифмам В2, В4 (см. стр. 72), легко построить
нормальный алгорифм D2 (над Л^ так, что при любых
словах Р и Q в Л и любых натуральных m, n
!?>2 (PamaQan)
и
E9) D2 (PamaQan) = Л^т~п.
Аналогично, нетрудно построить алгорифм D3 так,
что
F0) Ф3 (PamaQan) ~ ЯатаЗЗ (PanaQ) an |.
Построим теперь нормальный алгорифм 5L как ви-
видоизмененное повторение D3 с управляющим алгориф-
алгорифмом ?J (теорема 10) и рассмотрим композицию &$
этого алгорифма с алгорифмом ф5 таким, что
?>5 (Яат) ~ Рата% (Р) аО
(несложное построение Ds с помощью теоремы объеди-
объединения предоставляется читателю).
Таким образом,
F1) ©в (Рат) ~ Ф4 (Фб (Рая»)) ^ ®4 (Яата21 (Р) аО).
Ввиду E9)-F1)
F2) ©6 (РаО) сй 5D4 (РаОа.21 (Я) аО) ~ Яа0а91 (Р) аО.
При т > 0 применимость 5N к слову Яаш равно-
равносильна существованию цепочки слов Ро, Pi, ..., Рт та-
такой, что
F3) Рп-Ъ(Р),
F4) Л-.н -- 23 (Рша1\) @ < / < m),

82 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
причем в случае существования этой цепочки
2N (Patn) = РатаРтат.
Алгорифм 5N уже очень близок к искомому. В самом
деле, по теореме композиции построим алгорифм E так,
что
6 (Pom) ~ B3 (D6 (Pam)),
где 53 — такой алгорифм, что для любых слов Su S2,
.Ь'з, 54 в Л U{0|}
B3EiaS2aS3aS4)=f=S3.
Ясно тогда, что применимость алгорифма (S к слову
Рат равносильна существованию указанной выше це-
цепочки Ро Рт, причем в случае существования та-
такой цепочки
F5) &(Рат) = Рт.
Из F2) — F5) получаем
S(PaO)~2l(P),
Б (Pam + 1) ~ 8 (Pamad (Patn)),
что и требуется.
Предлагаем читателю в качестве упражнения по-
построить с помощью теоремы повторения нормальный
алгорифм, умножающий натуральные числа.
8. Изображение и запись нормального алгорифма.
Теорема об универсальном алгорифме. В ряде случаев
возникает необходимость привлекать одни нормальные
алгорифмы в качестве исходных данных других алго-
алгорифмов. В таких случаях оказывается необходимой ко-
кодировка схем нормальных алгорифмов словами неко-
некоторых специальных типов. Мы приведем здесь, следуя
монографии Маркова [2], два простых способа та-
такой кодировки. Каждый из них обеспечивает возмож-
возможность однозначного восстановления схемы нормального
алгорифма по его коду.
Пусть фиксирован некоторый алфавит А, и пусть а,
Р, у — три различные буквы, отличные от стрелки и от
точки и не принадлежащие А. Обозначим через Б ал-
алфавит A U {сфу}-

§ I] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 83
Пусть 21 — произвольный нормальный - алгорифм в
алфавите А. Изображением 21й алгорифма 21 назовем
слово в алфавите Б, получаемое следующим образом:
выписываются в порядке очередности формулы подста-
подстановок 21, причем справа от каждой формулы ставится
буква у, а все стрелки и точки заменяются соответ-
соответственно на буквы аир. Например, изображением тож-
тождественного алгорифма
{
является слово офу. а изображением алгорифма со схе-
схемой
(где Pi, Pi, Рз, Pi — какие-то слова) является слово
Одним из важнейших фактов теории нормальных
алгорифмов (равно как и других общих концепций ал-
алгорифма) является существование универсального нор-
нормального алгорифма, т. е. алгорифма, выполняющего
в некотором смысле работу любого нормального алго-
алгорифма в данном алфавите. В качестве исходных данных
этот алгорифм, естественно, использует, кроме подле-
подлежащего обработке слова, и код выполняемого алго-
алгорифма.
Имеет место следующая теорема, утверждающая су-
существование универсального алгорифма при кодирова-
кодировании нормальных алгорифмов их изображениями (в этой
теореме б —некоторая буква, не принадлежащая алфа-
алфавиту Б).
Теорема 13 (Марков [2; гл. 4, § 2]). Может
быть построен такой нормальный алгорифм 23 над ал-
алфавитом Б, что
для любого нормального алгорифма 21 в алфавите А
и любого слова Р в А.
Кодирование нормальных алгорифмов посредством
их изображений иногда оказывается неудобным (ср.
§ 2) из-за большого количества используемых в нем

84 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА |ГЛ. 1
букв. В таких случаях прибегают к более сложным спо-
способам кодирования, обходящимся меньшим числом
букв. Следуя Маркову [2; гл. 4, § 3], мы будем при-
применять способ кодирования, использующий всего две
буквы. Именно, каждому нормальному алгорифму 91 в
алфавите А будет сопоставляться некоторое слово в
двухбуквенном алфавите {0|}*), называемое записью 91
и обозначаемое посредством ?^3- Это сопоставление
осуществляется следующим образом. Определяется
операция перевода (п. 5) из алфавита Б изображений
нормальных алгорифмов в алфавит {0|}, использующая
кодирующие буквы 0 и | (сохраняемый алфавит в дан-
данном случае пуст), и записью данного нормального ал-
алгорифма объявляется перевод его изображения**).
По записи каждого нормального алгорифма в алфа-
алфавите А может быть однозначно восстановлена его
схема.
Приведем два примера записей алгорифмов. В каче-
качестве алфавита А возьмем в этих примерах двухбуквен-
ный алфавит {ctb}, а в качестве букв ос, р, у соответ-
соответственно буквы с, d и е.
Запись тождественного алгорифма Sfti в алфавите
{ab} (его схема {->-)такова: ?И,3 =5=0| 1100| 11100| 11110.
Пусть 91 — нормальный алгорифм в алфавите {ab}
со схемой
(91 аннулирует любое слово в этом алфавите).
Очевидно,
21й =т= acebce
*) Марков использует алфавит {ab}.
**) Более подробно: выписываются в каком-нибудь порядне
буквы ць ..., Лп+s алфавита б (положим r|n+i=T=a, r\n+i==fl,
rin+s=5=Y)- Переводом буквы t^j (l^i^n+3) считается слово
О M^J 0.
i паз
Наконец, перевод слова в алфавите Б получается одновременной
заменой всех его букв их переводами.
Таким образом, при определении записей алгорифмов в алфа-
алфавите А надлежит как-то фиксировать порядок букв в этом алфа-
алфавите. В дальнейшем мы опускаем детали этого рода.

§ 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 85
и, следовательно,
перевод перевод перевод перевод перевод перевод
ас е Ь с е
Теорема 13 легко распространяется на новый способ
кодирования.
Теорема 14 (теорема об универсальном алгориф-
алгорифме; Марков [2; гл. 4, § 4]). Можно построить нормаль-
нормальный алгорифм 33 над алфавитом Л U {ОJ 6} (б — буква,
не принадлежащая алфавиту A U {0|}) так, что при лю-
любом нормальном алгорифме % в алфавите А и любом
слове Р в этом алфавите выполняется
Алгорифм, удовлетворяющий теореме 14, мы будем
называть универсальным алгорифмом для алфавита Л,
использующим разделительную букву б.
9. Принцип нормализации. Из ознакомления с пре-
предыдущими пунктами у читателя, по-видимому, возникло
ощущение большой общности понятия нормального ал-
алгорифма. Такое впечатление усиливается по мере даль-
дальнейшего знакомства с теорией нормальных алгорифмов
и подтверждается практикой построения конкретных
нормальных алгорифмов. Выражением этих обстоя-
обстоятельств является следующий, высказанный Марковым
[2; стр. 91] принцип нормализации алгорифмов: всякий
алгорифм (в интуитивном смысле) в алфавите А вполне
эквивалентен относительно А некоторому нормальному
алгорифму над А.
Принцип нормализации утверждает, таким образом,
что концепция нормального алгорифма над алфавитом
А в полной мере выражает наши интуитивные пред-
представления об алгорифмах, перерабатывающих слова
в А. Ясно, что принцип нормализации не может быть
строго доказан (из-за фигурирующего в нем расплыв-
расплывчатого общего понятия алгорифма) и носит характер
естественнонаучной гипотезы. Мы отсылаем читателя за
более подробным обсуждением этого принципа к моно-
монографии Map ков а [2]*).
*) Ввиду эквивалентности уточнений понятия алгорифма, дости-
достигаемых с помощью нормальных алгорифмов, а также частично

86 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
Отметим, что со строго математической точки зре-
зрения наши построения не зависят от принципа нормали-
нормализации, этот принцип не используется ни в определе-
определениях, ни в формулировках и доказательствах теорем
(ср. введение, стр. 31). От принятия или непринятия
принципа нормализации зависит лишь признание боль-
большей или меньшей общности излагаемой теории (отно-
(относятся ли ее результаты только к нормальным алгориф-
алгорифмам или выражают свойства алгорифмов и вычисли-
вычислимости вообще).
В дальнейшем будут рассматриваться, как правило,
лишь нормальные алгорифмы, в связи с чем прилага-
прилагательное «нормальный» будет часто опускаться.
10. Моделирование работы нормального алгорифма
по шагам. Из определения нормального алгорифма
(п. 3) следует, что процесс применения нормального
алгорифма к произвольному слову распадается на от-
отдельные шаги, состоящие в выполнении соответствую-
соответствующих формул подстановок. Уточним сказанное.
Пусть 51 — нормальный алгорифм в некотором ал-
алфавите А (который считается фиксированным на про-
протяжении этого и следующего пункта). Пусть, далее,
Р— слово в Л и п — натуральное число. При разверты-
развертывании процесса применения I к Р могут представиться
три возможности (мы используем обозначения п. 4):
1) найдется слово Q такое, что
Я:
2) найдется Q такое, что
Я: P\=nQ
и Q не поддается алгорифму 51 (мы пишем Я: Р(=0Р»
если Р не поддается %);
рекурсивных функций и машин Тьюринга, принцип нормализации
вполне аналогичен тезису Черча и тезису Тьюринга (утверждающим
совпадение последних двух концепций вычислимости и алгорифмов
с соответствующими интуитивными концепциями). Читатель может,
таким образом, воспринимать в качестве аргументации в пользу
принципа нормализации аргументацию в пользу этих тезисов (см.,
например, монографии Клини [4], Мальцева [1] и Успен-
Успенского [3]).

I] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 87
3) найдется Q такое, что
(ясно, что в этом случае п > 0).
В случае 1) будем говорить, что 51 не заканчивает
работу над Р за п шагов, в случае 2) будем говорить,
что 51 заканчивает работу над Р в точности за п + 1
шагов, а в случае 3) —в точности за п шагов*). Ска-
Скажем, что 51 заканчивает работу над Р не более чем
за п шагов, если при некотором k <; п 51 заканчивает
работу над Р в точности за k шагов.
Имея нормальный алгорифм 51, слово Р и натураль-
натуральное число п, можно задаться вопросом: заканчивает ли
51 свою работу над Р не более чем за п шагов? Интуи-
Интуитивное предписание для ответа на такой вопрос совер-
совершенно очевидно: нужно выполнять шаг за шагом алго-
алгорифм 51 и ждать, закончится ли его работа до «-го
шага (т. е. дойдем ли мы до п-го применения формул
подстановок).
Можно построить и нормальный алгорифм, решаю-
решающий эту задачу.
Теорема 15**). Пусть 51 — нормальный алгорифм
в алфавите А и а — буква, не принадлежащая А. Мож-
Можно построить нормальный алгорифм [51]^ над алфавитом
i4U{0|}U{a} так, что для любого слова Р в алфавите
А и любого натурального п
1) \[Ща(Рап);
2) [^(Pan) = Л тогда и только тогда, когда 51
заканчивает работу над Р не более чем за п шагов.
*) Таким образом, число шагов, за которое Щ заканчивает ра-
работу над Р, определено нами как число применений формул под-
подстановок в случае заключительного обрыва и как число применений
topi^n подстановок плюс единица в случае естественного обрыва,
та небольшая непоследовательность в определении, ничего не ме-
меняя по существу, позволяет заметно упростить доказательство тео-
теоремы 15. Читатель легко заметит, что число шагов работы
алгорифма $Я над словом Р равно числу применений формул
подстановок (при работе над этим же словом) замыкания ST
алгорифма Щ.
**) Доказательства этой теоремы и теоремы 16 (п. 11) почти
буквально заимствованы нами из работы Ц е й т и н а [5]. В каче-
качестве полезного упражнения предлагаем читателю непосредственно,
не используя теорем сочетания, написать схему [Ща> исходя из
схемы алгорифма Ж.

88 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
Нам понадобится следующая лемма (Р— буква, от-
отличная от всех букв алфавита A U {а}).
Лемма 1. Для любого алгорифма 93 в алфавите
A U {р} можно построить алгорифм S так, что при лю-
любом слове Р в A U {р} и любом натуральном п
<ЦРаО)~Р,
Эта лемма без труда доказывается с помощью тео-
теоремы 12 (п. 7). Ясно, что при п > О
<ЦРсш)~(-8B3(..
п раз
Докажем теперь теорему 15. Построим алгорифм 51]
в алфавите A U {р}, схема которого получается из схемы
51 следующим образом. Сначала перейдем от 51 к его
замыканию 51* (см. п. 3), затем в схеме 51* заменим
все точки буквой р и, наконец, все знаки —> заменим
на —>•. Ясно, что 511 применим к любому слову в
A U {р}, причем всякое слово, содержащее букву р, пе-
перерабатывается этим алгорифмом снова в слово, со-
содержащее р. Кроме того, при любых словах Р, Q в ал-
алфавите А, если 51: Р \— Q, то 5li(P) Q, и если
U: Я I— Q, то 51] перерабатывает Р в некоторое слово,
содержащее букву р.
Обозначим через 512 алгорифм, построенный по 511
согласно лемме 1. Очевидно, 512 применим к любому
слову Ран (где Ре Л), причем буква р входит в
5t2(Pa/z) в том и только в том случае, когда 51 заканчи-
заканчивает работу над Р не более чем за п шагов. Пусть, да-
далее, й3 — алгорифм, применимый ко всем словам в ал-
алфавите A U {р} и перерабатывающий в пустое слово те
и только те из этих слов, в которые входит буква р
(читатель без труда выпишет схему такого алгорифма).
Искомый алгорифм [Ш]^ строим с помощью теоремы
композиции так, чтобы
[Ща(Рап)~%(%(Раи)).
Из теоремы 15 без труда получаем

§ И НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 89
Следствие 5. Для любого алгорифма 91 в алфа-
алфавите А и любого слова Р в этом алфавите
Следствие 6. Если при некотором п
[Ща(Рап)~Л,
то и при всяком гп^п
Обозначение типа [Ща сохраняется на протяжении
всей книги, причем нижний индекс а, указывающий на
используемую разделительную букву, будет, как пра-
правило, опускаться (поскольку из контекста почти всегда
ясно, каким он должен был бы быть). Описанная кон-
конструкция, как увидит читатель, играет значительную
роль при сведении алгорифмических проблем анализа
к некоторым внутренним алгорифмическим проблемам
теории алгорифмов (которые будут рассмотрены в сле-
следующем параграфе).
11. Фиксирование одного из аргументов нормального
алгорифма. Часто нас интересует работа нормального
алгорифма на словах, представляющих собой объеди-
объединение нескольких исходных данных. Например, рас-
рассмотренный в предыдущем пункте алгорифм [91] рабо-
работал на словах вида Pan, т. е,, по существу, использовал
два аргумента Рил, объединенных, как обычно, в одно
слово с помощью разделительной буквы. Ясно, что при
каждом фиксированном Р можно рассмотреть алгорифм
83Р такой, что
33Р (п) ~ [21] (Pan).
Возникает вопрос об оформлении получаемых таким об-
образом алгорифмов в виде нормальных. Мы приведем
соответствующую конструкцию, следуя Цейтину [5],
Пусть 91 — нормальный алгорифм в некотором
расширении Б алфавита А, 91Р —алгорифм левого при-
присоединения слова Р, т. е. алгорифм в алфавите Б со
схемой
{-*¦/>

90 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
Обозначим через 'Др композицию (9i°Sftp) этих двух
алгорифмов. Очевидно, для любых слов Р и Q в алфа-
алфавите Б
iP (Q)~ 21 (PQ),
что и требовалось.
Алгорифм €р является алгорифмом в некотором
расширении Б\ алфавита Б (Би очевидно, не зависит
от Р). Вместе с тем при изучении алгорифмических
преобразований слов в исходном алфавите А обычно
бывает удобно ограничиться рассмотрением нормальных
алгорифмов в фиксированном двухбуквенном расшире-
расширении Аа алфавита А (см. п. 5). С целью приведения 21Р
к алфавиту Аа определяется операция перевода (см.
п. 5) из 2>i в Аа, сохраняющая алфавит А. Перевод ал-
алгорифма Щ.Р мы будем обозначать через %р, причем
верхний индекс А, как правило, будем опускать. Итак,
%.Р есть нормальный алгорифм в алфавите Аа, эквива-
эквивалентный 2Др относительно А. В частности, если 91—• ал-
алгорифм типа (А-г*А), то при любых словах Р и Q в А
выполняется
ЯР (Q) ~ §1 (PQ).
Пусть для алфавита Аа определена запись алгориф-
алгорифмов в этом алфавите (п. 8).
Нам будет полезна следующая теорема (Цей-
тин [5]).
Теорема 16. Пусть 21— нормальный алгорифм в
алфавите Б, включающем А. Тогда можно построить
такой алгорифм 53, что
для любого слова Р в алфавите Б.
Доказательство. Поскольку алгорифм %Р опре-
определен как композиция (91°!ЛР), то схема %Р имеет вид
(см. п. 7, теорема композиции)
IS

I 1] НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЫ 91
где С — некоторая система формул, не зависящая от
слова Р, а Ша — система двух формул:
f ->аР
Обозначим через т нормальный алгорифм, осуществляю-
осуществляющий перевод из алфавита Б\ алгорифма %Р (этот ал-
алфавит, являющийся расширением Б, не зависит от Р)
в алфавит Аа. Алгорифм т перерабатывает всякое слово
в алфавите ?i в его перевод. Схема алгорифма %Р, яв-
являющегося переводом %Р, имеет, очевидно, вид
где D — некоторая система формул, не зависящая от Р.
Изображение алгорифма %Р запишется (с использова-
использованием вспомогательных букв р, \, 6) как слово
где D — опять-таки некоторое слово, не зависящее от Р.
Используя теорему объединения, легко построить алго-
алгорифм S31, перерабатывающий всякое слово Р в алфа-
алфавите Б в изображение алгорифма %.Р. Пусть теперь
932 — нормальный алгорифм, перерабатывающий изо-
изображения алгорифмов в Л" в их записи (это, очевидно,
также некоторый алгорифм перевода). Искомый алго-
алгорифм S3 строится как композиция (SB2 о S31) алгорифмов
S3» и 932.
Теорема 16 будет обычно использоваться нами в сле-
следующих ситуациях. Пусть для каждого слова Р в ал-
алфавите А нужно указать запись алгорифма в Аа, опре-
определенным образом работающего на словах в алфави-
алфавите А. Строим алгорифм над алфавитом А, работающий
на словах вида PaQ, где Р, Q —слова в А, а — буква,
ice принадлежащая А, таким образом, что при каждом

92 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
фиксированном Р алгорифм %ра обладает требуемыми
свойствами. Для получения алгорифма, перерабатываю-
перерабатывающего всякое Р в искомую запись, остается воспользо-
воспользоваться теоремой 16.
§ 2. Некоторые неразрешимые алгорифмические
проблемы теории алгорифмов
В этом параграфе рассматриваются некоторые алго-
алгорифмические проблемы теории алгорифмов. Эти проб-
проблемы являются эталонными в том смысле, что из их не-
неразрешимости выводится неразрешимость всех других
неразрешимых алгорифмических проблем, встречаю-
встречающихся в этой книге.
1. Проблема распознавания самоприменимости.
Везде в этом пункте мы считаем фиксированным алфа-
алфавит А, содержащий буквы 0 и | *).
Алгорифм 21 в алфавите А назовем самоприменимым
(несамоприменимым), если он применим (неприменим)
к своей записи.
Примерами самоприменимого и несамоприменимого
алгорифмов могут служить всюду определенный и ни-
нигде не определенный алгорифмы в алфавите А (см.
п. 4, § 1).
Доказательство следующей теоремы весьма сходно
с рассуждениями в парадоксе парикмахера и парадоксе
Рассела (см., например, Клин и [4]).
Теорема 1. Невозможен алгорифм**) в алфави-
алфавите А, применимый к записи алгорифма в А тогда и
только тогда, когда этот алгорифм несамоприменим.
Действительно, предположим, что такой алгорифм S3
построен. Поскольку 93 -есть алгорифм в алфавите А,
можно поставить вопрос о его самоприменимости.
Предположим, что 23 самоприменим, т. е.
A) !
*) Существенным является не то, что Л содержит именно
буквы 0 и |, а то, что А содержит не менее двух различных букв.
**) Здесь и ниже мы пользуемся нашим соглашением (§ 1) об
опускании прилагательного «нормальный». Таким образом, под «ал-
«алгорифмами» нужно всюду подразумевать нормальные алгорифмы.

§ 2] НЕРАЗРЕШИМЫЕ АЛГОРИФМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ 93
Тогда по определению 33 C3 применим лишь к записям
несамоприменимых алгорифмов) должно выполняться
что противоречит A). Следовательно, A) неверно и
имеет место
B) 153(8233).
Таким образом, 33 — несамоприменимый алгорифм и по-
поэтому
C)
Итак, одновременно имеет место B) и C), что невоз-
невозможно. Теорема доказана.
Обозначим через Аа двухбуквенное расширение
A U {ар} алфавита А.
Теорема 2. Невозможен алгорифм над алфавитом
{0|}, применимый к записи алгорифма в алфавите Аа
тогда и только тогда, когда этот алгорифм несамопри-
меним.
Доказательство. Предположим, что такой ал-
алгорифм 33 построен. По следствию теоремы о переводе
(следствие 1 п. 5 § 1) можно построить алгорифм 33'
в алфавите {0|а|5} так, что для любого Р в {0[}
Обозначим через 33" естественное распространение 33'
на алфавит Аа C3" — алгорифм в Аа с той же схемой,
что и 33').
При любом Р в {0|}
!»'(Р)==!23"(Р).
Следовательно,
!ЗЭ"(Р)е=!ЗЭ(Р).
Отсюда следует, что 33" есть алгорифм в алфавите
Аа, применимый к записям тех и только тех алгориф-
алгорифмов в Аа, которые несамоприменимы. Это, однако, не-
невозможно в силу предыдущей теоремы.
Из теоремы 2 вытекает неразрешимость проблемы
распознавания самоприменимости для алгорифмов в ал-
алфавите Аа (в этом алфавите могут быть заданы

94 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
алгорифмы, выполняющие любые алгорифмические пре-
преобразования слов в алфавите А).
Теорема 3. Невозможен алгорифм над алфавитом
{0|}, применимый к записи любого алгорифма в алфа-
алфавите Аа и аннулирующий запись алгорифма в Аа тогда
и только тогда, когда этот алгорифм самоприменим.
2. Проблема распознавания применимости. Пусть
51 — алгорифм над алфавитом А. Под проблемой рас-
распознавания применимости алгорифма 51 относительно
алфавита А мы понимаем следующую задачу: по-
построить алгорифм 53 над А, применимый к любому сло-
слову Р в алфавите А и такой, что
В случае, когда искомый алгорифм 53 можно по-
построить, мы говорим, что для алгорифма % разрешима
проблема распознавания применимости относительно А.
В противном случае будем говорить, что для 51 проб-
проблема распознавания применимости относительно алфа-
алфавита А неразрешима.
Ясно, что, располагая алгорифмом 53, мы могли бы
избежать подачи на вход алгорифма 51 тех слов, для
которых работа алгорифма 51 никогда не заканчивается.
Из этого замечания ясен практический интерес, пред-
представляемый проблемой распознавания применимости.
Похожая задача при ограничении числа шагов алго-
алгорифма % рассматривалась в п. 10 § 1 и оказалась разре-
разрешимой для любого алгорифма.
В этом пункте будет приведен пример алгорифма с
неразрешимой проблемой распознавания применимости.
Обозначим через А\ алфавит {0|ар}.
Теорема 4. Можно построить алгорифм ф в ал-
алфавите Ах таким образом, что невозможен нормальный
алгорифм 51 над {0||, удовлетворящий условию
для любого слова Р в алфавите {0|}.
Доказательство. Пусть б — буква, не входящая
в алфавит Л1. По теореме об универсальном алгорифме
(п. 8 § 1) построим алгорифм $i так, что для любого
алгорифма <5 в алфавите А\ и любого слова Q в том

§ 21 НЕРАЗРЕШИМЫЕ АЛГОРИФМИЧЕСКИГ. ПРОВЛПМЫ 95
же алфавите
D) ?,(?&3 6Q)~e(Q).
Построим далее алгорифм ?>2 "ад алфавитом Л] так,
что при любом Q
E) &(Q)~
По следствию 1 п. 5 § 1 (следствие теоремы о пере-
переводе) можно построить алгорифм ф в алфавите А\
с той же областью применимости относительно {0|}, что
и фг> т. е. для любого слова Р в {0|}
F) !$(/>) я !&(/>).
Покажем, что § обладает требуемыми свойствами.
Предположим, что построен алгорифм 21 над алфави-
алфавитом {0|} так, что для любого слова Р в этом алфавите
Тогда (F))
G) !Я(/>)е
Пусть теперь й — произвольный алгорифм в алфа-
алфавите Ах. Ввиду D) — E)
Следовательно (G)),
т. е. 91 применим к записям тех и только тех алгориф-
алгорифмов в. алфавите Аи которые несамоприменимы. Это про-
противоречит, однако, теореме 2.
Из теоремы 4 легко получаем искомый пример алго-
алгорифма с неразрешимой проблемой распознавания при-
применимости.
Теорема 5. Можно построить алгорифм в алфа-
алфавите {0|ар} с неразрешимой проблемой распознавания
применимости относительно алфавита {0|}.
Очевидно, всем требованиям теоремы 5 удовлетво-
удовлетворяет алгорифм ф из теоремы 4.
3. Непополнимый алгорифм. Пусть 21 — алгорифм
над алфавитом А. Будем говорить, что 21 полн над А,
если 21 применим к любому слову в этом алфавите.

96 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА |ГЛ. I
Алгорифм U3 над алфавитом А будем называть по-
пополнением 91 относительно А, если 93 полн над А и
для любого слова Р в этом алфавите, к которому при-
применим 91, выполняется
Алгорифм 51 будем называть пополнимым над А,
если можно построить алгорифм, являющийся Пополне-
Пополнением Щ относительно А.
Как и в предыдущем пункте, обозначим через А{
алфавит {О|оф}.
Теорема 6 (о существовании непополнимого ал-
алгорифма, принимающего два значения). Можно по-
построить алгорифм ?$ в алфавите Ах такой, что
1) для любого слова Р в алфавите {0|}, к которому
применим S,
или
2) g непополним относительно {0|}.
Доказательство. Пусть б — буква, не принад-
принадлежащая алфавиту А\. По теореме об универсальном
алгорифме построим алгорифм Si так, что для любого
алгорифма (Е в Ах и любого слова Q в этом алфавите
(8)
Построим далее алгорифм Зг так, что
(9)
(До сих пор мы в точности следовали доказательству
теоремы 4.)
Используя теоремы сочетания, легко построить ал-
алгорифм 8'з над алфавитом {0|} так, что для любого
слова Р в этом алфавите
и в том случае, когда \{
О, если & (Р) Ф О,
0|, если Зг(Р)===0.

§ 2) НЕРАЗРЕШИМЫЕ АЛГОРИФМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ 97
Очевидно, Зз перерабатывает всякое слово в алфа-
алфавите {0|}, к которому он применим, в 0 или,в 0|. По-
Покажем, что Зз непополним относительно {0|}. Предпо-
Предположим, что алгорифм 33 над {0|} является пополнением
Зз- Определим операцию перевода из алфавита алго-
алгорифма 33 в алфавит Аи сохраняющую алфавит {0|} и
использующую кодирующие буквы аир. Пусть 33' —
перевод алгорифма 33. Легко проверить, что 33' также
является пополнением g3 относительно {0|}. Так как
93' полн над {0|}, то
!93'(Е23'3).
Следовательно (93'— алгорифм в алфавите Аг\),
откуда вытекает ((9))
Следовательно,
Поскольку 33' — пополнение §з» должно выполняться
Но ((8) -(9))
Таким образом, выполняется
что невозможно по построению Зз-
Алгорифм ?5з удовлетворяет всем условиям теоремы,
за исключением того, что он не является, вообще го-
говоря, алгорифмом в алфавите Л]. Легко добиться вы-
выполнения и этого условия. Пусть А2 — алфавит алго-
алгорифма Зз. Определим операцию перевода из А2 в Аи
сохраняющую алфавит {0|} и использующую кодирую-
кодирующие буквы а, р. Для перевода 3 алгорифма Зз при
любом слове Р в алфавите {0|}, как легко видеть, вы-
выполняется

98 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Таким образом, 3 обладает всеми требуемыми свой-
свойствами.
Заметим, что для 3 неразрешима проблема распо-
распознавания применимости относительно алфавита {0|}.
Отметим также, что из доказательства теоремы 6 легко
извлекается следующее, более сильное чем непополни-
непополнимость, свойство В. Для любого алгорифма 93 можно
указать слово Q в алфавите {0|} так, что
и если !53(Q), то
В частности, для каждого полного над {0|} алгорифма
93 можно указать слово Q так, что 13 (Q) и
§ 3. Разрешимые и перечислимые множества
В этом параграфе мы изложим, следуя в основно.и
гл. 2 работы Цейтина [5], некоторые элементарные
факты теории алгорифмически перечислимых множеств.
Понятие алгорифмически перечислимого множества
вполне аналогично понятию рекурсивно перечислимого
множества, являющемуся одним из центральных поня-
понятий математической логики. К настоящему времени раз-
разработана обширная и глубокая теория рекурсивно пе-
перечислимых множеств, для знакомства с которой мож-
можно обратиться к монографиям Успенского [3],
Мальцева [1] и Роджерса [1].
Сделаем некоторые технические замечания. Под на-
натуральными числами мы, как и раньше, подразумеваем
слова в алфавите {0|} вида 0, 0|, 0||, ... Начиная
с п. 2, мы считаем фиксированным некоторый (непу-
(непустой) алфавит А. Через Ах обозначается алфавит
Л1){0|}, а через Ai—какое-нибудь фиксированное
двухбуквенное расширение Ах. Множество натуральных
чисел мы обозначаем через Ж.
1. Некоторые вспомогательные алгорифмы. Нам по-
потребуется эффективное взаимно однозначное соответ-
соответствие между натуральными числами и кортежами на-
натуральных чисел произвольно фиксированной длины п.

§ 3] РАЗРЕШИМЫЕ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 99
Точнее говоря, речь идет о построении алгорифмов
/п> /п, •••, /", Кп («^2) таких, что при любых на-
натуральных числах k, k\, ..., kn
Uln(k) (
\Kn{k{, ..., kn),
Iln(k) A </<n), Kn{k\, ..-, kn) — натуральные числа и
l'n(Kn(ki, .... kn)) = ki A</<л),
Kn{lln{k), ..., Inn(k))=k.
Легко видеть, что достаточно располагать алгориф-
алгорифмами /С2, /г, /г- Алгорифмы с большими номерами
строятся последовательно так, чтобы выполнялось
Kn+l(ku ..., kn + l) — Kn{K2{k\, k2), k3, .... kn+i),
Для построения алгорифмов /G> /2, /2 можно, на-
например, воспользоваться тем, что любое натуральное
число п допускает единственное представление в виде
I 2
Соответственно алгорифмы /2> h, К2 надлежит строить
так, чтобы
К2 (л„ п2) = 2 • B • л, + 1) — 1.
Оказывается, что эти три алгорифма могут быть за-
заданы весьма простыми схемами, причем все алгорифмы
Кп задаются одной схемой. Приведем эти схемы (Цей-
тин [5; стр. 305-306]).
Алгорифм К (он годится в качестве Кп при любом
«^=2) определяется как алгорифм в алфавите {0|,сф}

100 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
со схемой
а—>¦
l\ и &
Алгорифмы l\ и & задаются соответственно схемами
а |->
а—>¦•
0->0а
и
аа
асф
аа—>•
а||-Ча
а|-»р
| а-»-а
Обозначения алгорифмов Д", 1!п (
няются на протяжении всей книги.
2. Основные определения. Пусть JL — некоторое мно-
множество слов в алфавите А.
Будем говорить, что JL алгорифмически разрешимо
(или, короче, разрешимо), если можно построить алго-
алгорифм % над алфавитом А, применимый к любому слову
в этом алфавите и такой, что при любом слове Р в А
сохра-
сохраАлгорифм 51 будем называть разрешающим алгориф-
алгорифмом множества Jt.
Множество М назовем алгорифмически перечисли-
перечислимым (или, короче, перечислимым), если можно по-
построить алгорифм % над алфавитом At такой, что для

§ 3] РАЗРЕШИМЫЕ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 101
любого натурального числа п и любого слова Р в А
выполняется
1) если !91(п), то 91(п)еЛГ;
2) если Ре1, то осуществимо i, при котором
!Я@ и
91@ = Р.
Про алгорифм % мы говорим, что он перечисляет
множество Ж. Множество Ж является, очевидно, мно-
множеством значений этого алгорифма на натуральных
числах. Обратно, с каждым алгорифмом Е типа
(Ж-г*- А) можно связать множество слов в алфавите А,
перечисляемое этим алгорифмом. Это множество мы
будем обозначать посредством {Е}.
Нетрудно привести примеры разрешимых и перечис-
перечислимых множеств. Например, пустое множество разре-
разрешимо и перечислимо. Множество всех слов в данном
алфавите, очевидно, разрешимое, является также и пе-
перечислимым — мы еще вернемся к этому вопросу. Раз-
Разрешимым и перечислимым является множество нату-
натуральных чисел (рассматриваемое как множество слов
в алфавите {0|}). Число подобного рода примеров мож-
можно без труда увеличивать. Ниже будет показано, что
всякое разрешимое множество перечислимо и что об-
обратное утверждение неверно. Будет также приведен
пример множества, не являющегося перечислимым.
Сделаем некоторые замечания, связанные с алфави-
алфавитами. Пусть алфавит Б является расширением алфа-
алфавита А. Тогда множество Ж можно рассмотреть и как
множество слов в алфавите Б. Легко видеть, что Ж,
рассматриваемое как множество слов в алфавите Б, яв-
является разрешимым (перечислимым) множеством слов
в этом алфавите тогда и только тогда, когда J? обладает
одноименным свойством применительно к алфавиту А.
Таким образом, свойство разрешимости (перечислимо-
(перечислимости), по существу, не зависит от используемого алфави-
алфавита. Заметим также, что теорема о переводе (п. 5 § 1)
позволяет заменить алгорифм 31, перечисляющий мно-
множество слов Ж в алфавите А, алгорифмом в алфавите
А% перечисляющим то же самое множество. Таким об-
образом, любое перечислимое множество слов в алфавите
А перечислимо алгорифмом в алфавите At; рассмотре-

102 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
нием алгорифмов в этом алфавите и можно ограничиться
при изучении перечислимых множеств в алфавите А.
Аналогичное замечание можно было бы сделать и о раз-
разрешимых множествах.
Доказательство разрешимости (перечислимости) мно-
множества связано, очевидно, с решением конструктив-
конструктивной задачи — построением разрешающего (перечисляю-
(перечисляющего) алгорифма. Естественно, что этот алгорифм
является весьма существенной характеристикой соответ-
соответствующего множества; в тех случаях, когда речь идет
о каких-то построениях над разрешимыми (перечисли-
(перечислимыми) множествами, в качестве исходных данных таких
построений используются соответствующие разрешаю-
разрешающие (перечисляющие) алгорифмы.
Как следует из определения, перечислимое множе-
множество может перечисляться своим перечисляющим алго-
алгорифмом довольно беспорядочно. Этот алгорифм может,
например, пропускать некоторые натуральные числа, бу-
будучи на них не определен, может принимать некоторые
свои значения много раз и т. д. В следующем пункте бу-
будут приведены теоремы, показывающие возможность уст-
устранения таких неприятных эффектов. Эти теоремы,
в частности, позволяют рассматривать бесконечные пе-
перечислимые множества как естественные эффективные
аналоги счетных (в традиционном смысле) множеств.
3. Некоторые стандартные способы перечисления пе-
перечислимых множеств. Алгорифм 51 назовем арифме-
чески полным, если он применим к любому натураль-
натуральному числу.
Лемма 1. Пусть Ж— перечислимое множество,
Р — некоторое слово. Можно построить арифметически
полный алгорифм, перечисляющий такое множество Ж',
чтоЖ<=Ж'с=Ж[) {Р}.
Доказательство. Пусть алгорифм 51 перечис-
перечисляет множество Ж. Рассмотрим алгорифм [51] (см. п. 10
§ 1) и построим, пользуясь теоремами сочетания, алго-
алгорифм 51' так, что
| Р, если [Щ{11(п), 122(п))^А,
Щ {П) ~ \ 51 (Л («))> если [51] A\ (п), /§ («)) = Л.
Алгорифм W искомый. Действительно, из определе-
определения алгорифмов [21] и /г, /¦> следует, что 51' арифмети-

§ 3] РАЗРЕШИМЫЕ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА ЮЗ
чески полон. Далее, если Qe/, то при некотором I
9i(/) = Q.
Пусть алгорифм 91 делает над i точно k шагов. Тогда
*,*) = Л.
1 2
По определению /г, /г найдется / (в качестве / нужно
взять K(i,k)) такое, что
При этом /
Таким образом,
Включение J"s/U {Р} совершенно очевидно. Лемма
доказана.
Читатель, по-видимому, заметил, что в приведенном
доказательстве используется, по существу, диагональный
метод Коши, т. е. метод, посредством которого в теории
множеств доказывается счетность счетного объединения
счетных множеств (см., например, Александров [1]).
В самом деле, алгорифм [Щ «выписывает» бесконечную
матрицу; (i, /)-элемент этой матрицы есть пустое или
непустое слово в зависимости от того, кончает алгорифм
51 к /-му шагу свою работу над i или нет. С помощью
алгорифмов 72. it мы «пробегаем» все элементы ма-
матрицы, сопоставляя непустым словам Р, а пустым — зна-
значения алгорифма 51 на номере соответствующей строки.
Теорема 1. Если перечислимое множество Л имеет
хотя бы один элемент, то оно может быть перечислено
арифметически полным алгорифмом.
Действительно, пусть слово Р принадлежит Ж. При-
Применяя к Ж и Р только что доказанную лемму, получаем
искомый арифметически полный алгорифм, перечисляю-
перечисляющий М (множество Ж' из леммы 1, очевидно, совпадает
в данном случае с Ж).
Следующим нашим шагом будет усовершенство-
усовершенствование перечисляющих алгорифмов в смысле исключения

104 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЁ МНОЖЕСТВА [ГЛ. t
повторений их значений и сведения их областей приме-
применимости к начальным отрезкам натурального ряда (воз-
(возможно, пустым или совпадающим со всем натуральным
рядом).
Пусть алгорифм 91 перечисляет множество Ж. Ска-
Скажем, что 91 перечисляет М без повторений, если равен-
равенство 9I(t) = 9l(/) возможно лить при i = /.
Алгорифм 91 назовем стройным, если при любом п
из применимости 91 к п + 1 вытекает применимость VI
к п.
Таким образом, если стройный алгорифм применим
к некоторому числу, то он применим и ко всем меньшим
числам.
Теорема 2. Всякое перечислимое множество пере-
перечислимо без повторений стройным алгорифмом.
Доказательство. Пусть алгорифм 91 перечисляет
множество М. Нетрудно описать искомый алгорифм на
интуитивном уровне. Возьмем какую-нибудь букву а, не
принадлежащую алфавиту А {Ж является множеством
слов в алфавите А), и построим, исходя из 91, по лемме 1
арифметически полный алгорифм 91Ь перечисляющий
множество М' такое, что
A) Л^ Л'<= Ж\]{а).
Искомый алгорифм 93 состоит в следующем. Сначала
ищем, последовательно вычисляя 9^ @), 9^ A) и т. д.
(здесь используется арифметическая полнота 9Ii), наи^
меньшее I, при котором 9li(t) ф а. Если такое i найдено,
то 9li(t) есть результат работы 93 над нулем. Вычислив
93@), переходим к вычислению 93A), отыскивая наи-
наименьшее / > i (где I—число, найденное при вычислении
33@)) такое, что 91, (/)=? а и Я, (/)=?93(О). Если такое j
найдено, то 911(/) есть значение 93 на единице. Вычислиз
93A), аналогично переходим к вычислению 23B) и т. д.
Наметим оформление изложенного алгорифма как
нормального. Пусть 91,—как и раньше, арифметически
полный алгорифм, перечисляющий множество JC, обла-
обладающее свойством A). Введем для сокращения обозна-
обозначений следующее свойство 9? натуральных чисел: ^A)
выполняется тогда и только тогда, когда 911(г)=?а и
0r^9r 91! (/) при всех /, меньших I. Нашей ближайшей

§ 31 РАЗРЕШИМЫЕ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 105
целью является построение такого алгорифма 6, что
е@)^ц*(?@),
©(п +1)~|*/ (I>е(п)&<&@).
Ясно, что искомый алгорифм S3 легко строится, исходя
из g и 21], по теореме композиции
Пусть б — буква, не принадлежащая алфавиту А\ и
отличная от а. Построим алгорифм 212 так, чтобы при
любых словах Р и Q в алфавите Л U {а} выполнялось
B)
C) 2
Алгорифм Ш-2 легко построить, используя, например, ал-
алгорифм, распознающий графическое равенство слов (§ 1,
п. 7).
Построим алгорифм 21з так, чтобы
D) %3(PbnbQ)c^Q%2(Pb%l(n)).
По схеме примитивной рекурсии определим алго-
алгорифм §14 (теорема 12 § 1, п. 7)
%4 (Р Ьп + 1) ~ % (Р 6га 63l4 (P бга)).
На основании D) последнее равенство можно перепи-
переписать так:
%(РЬп + 1) ~ %i (РЬп)%2 (Р6^1 (я)).
Ввиду B) — C) легко видеть, что
E) §14 применим к любому слову Рбп (Р — слово
в Л U {а}) и аннулирует это слово тогда и только
тогда, когда Р отлично от а и от всех слов 2li(/)
@</<п).
Построим алгорифм 315 так, что
*5 (га) ^Я4(Я, (га) бга).
Ввиду E) этот алгорифм применим к любому п и
F) Ъь(п) = Л—9(п).

106 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
Строим алгорифм $6 так, что
G) \(п, i)~%(n+l + i).
По теореме 11 (§ 1, п. 7) строим алгорифм Щ так, что
917(/г)~ц/(Я6(«. *')=?= Л).
Ввиду F) — G) это равенство можно переписать в виде
(8) Э17(/г)~ц/(/>/г&^(/)).
Искомый алгорифм легко строится теперь с помощью
примитивной рекурсии (теорема 12 § 1, п. 7)
Используя F) и (8), нетрудно убедиться, что g обла-
обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Применение теоремы 2 и принципа Маркова позво-
позволяет усилить теорему 1. Докажем сначала, что имеет
место
Теорема 3. Для всякого непустого перечислимого
множества можно указать его элемент.
Чтобы пояснить эту не совсем обычную с традицион-
традиционной точки зрения формулировку, заметим, что непустое
множество — это множество, для которого опровергнуто
утверждение, что оно пусто. Ясно, что из такого опро-
опровержения не извлекается, вообще говоря, элемент рас-
рассматриваемого множества.
Итак, пусть Ж—непустое перечислимое множество
и алгорифм Ш перечисляет Ж. Исходя из %, построим
по теореме 2 стройный алгорифм W, перечисляющий Ж.
Предположим, что
 !Г @).
Тогда, ввиду стройности W, при любом (
Отсюда следует пустота Ж, что неверно. Следователь-
Следовательно, выполняется
"П!Я'@),
откуда по принципу Маркова получаем

§ 3] РАЗРЕШИМЫЕ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 107
Поскольку 51' перечисляет Ж, то ?1'@)е.#, чем и за-
заканчивается доказательство.
Теорема 4. Всякое непустое перечислимое множе-
множество перечислимо арифметически полным алгорифмом.
Эта теорема следует из теорем 1 и 3. Поясним ко-
коротко различие между теоремами 1 и 4. И в том и в дру-
другом случае речь идет о построении алгорифма, опреде-
определенным образом связанного с исходным множеством.
Однако в первом случае в качестве исходных данных
этого построения используется перечисляющий алгорифм
и элемент исходного множества, тогда как во втором
используется лишь перечисляющий алгорифм.
Множество Ж назовем бесконечным, если осуществим
арифметически полный алгорифм, перечисляющий без
повторений некоторое подмножество Ж.
Из теоремы 2 вытекает
Теорема 5. Всякое бесконечное перечислимое мно-
множество перечислимо без повторений арифметически пол-
полным алгорифмом.
Множество М назовем финитным, если можно ука-
указать такой список Ро, ..., Рп его элементов, что всякий
элемент Ж совпадает с одним из членов этого списка *).
Множество Ж назовем нефинитным, если неверно,
что оно финитно.
Ясно, что бесконечное множество нефинитно. Обрат-
Обратное утверждение, неверное, вообще говоря, для произ-
произвольных множеств (таковы иммунные множества; см.,
например, Мальцев [1]), для перечислимых множеств
легко следует из теоремы 2 (и принципа Маркова).
Теорема 6. Всякое нефинитное перечислимое мно-
множество перечислимо без повторений арифметически пол-
полным алгорифмом (и, следовательно, бесконечно).
В заключение этого пункта приведем для удобства
ссылок параметрические варианты теорем 1 и 4.
Скажем, что алгорифм Й является двухместным пе-
перечисляющим алгорифмом (относительно алфавита А),
если он перерабатывает всякое слово вида Pan (P —
слово в А, п — натуральное число), к которому он при-
применим, в слово в А. Таким образом, при каждом Р
*) Очевидно, всякое финитное множество разрешимо и перечис-
перечислимо.

108 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 1ГЛ. 1
алгорифм %Ра перечисляет некоторое множество {%ра}
слов в А.
Теорема 7. По всякому двухместному перечисляю-
перечисляющему алгорифму % можно построить алгорифм %' так,
что при любом слове Р в А алгорифм %ра является
стройным алгорифмом, перечисляющим без повторений
множество {йРа}.
Теорема 8. При тех же условиях, что в теореме 7,
и дополнительном условии непустоты всех множеств
{Йра} можно построить алгорифм 91' так, что при каж-
каждом Р алгорифм %ра арифметически полн и перечис-
перечисляет множество {%ра}.
Использованные здесь обозначения введены в п. 2
данного параграфа и в п. 11 § 1; через %ра обозначается
перевод %Ра в алфавит Л?.
4. Перечислимые множества как области определе-
определения алгорифмов. Перечислимость разрешимых множеств.
Пусть Ж — множество слов в алфавите А, % — алго-
алгорифм над А. Назовем Ж областью применимости (об-
(областью определения) % относительно А, если для любого
слова Р в этом алфавите
Ре= М = №{Р).
Теорема 9. Всякое перечислимое множество слов
в алфавите А является областью применимости относи-
относительно А некоторого алгорифма.
Док аз а тел ьство. Пусть а — буква, не принад-
принадлежащая алфавиту А. По лемме 1 построим арифмети-
арифметически полный алгорифм %', перечисляющий некоторое
множество Ж' такое, что
Нетрудно построить алгорифм (ср. п. 7 § 1) 53 так,
что S3 применим к любому слову вида Р8п (РеЛ, п —
натуральное число, б — буква, отличная от а и от всех
букв алфавита А\), причем
Построим теперь алгорифм 6 (по теореме И § 1) так,
что

$ S] РАЗРЕШИМЫЕ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 109
Ясно, что
«(Р)~ц/(Р = «'@).
Следовательно, для любого слова Р в алфавите А
Таким образом, Ж является областью применимости S
относительно А, чем и заканчивается доказательство.
При доказательстве обратного утверждения нам по-
потребуется следующая очевидная
Лемма 2. Множество всех слов в алфавите А пере-
перечислимо.
Чтобы доказать эту лемму, нужно оформить в виде
нормального алгорифма какой-нибудь из способов пе-
пересчета слов в данном алфавите. Например, можно упо-
упорядочить буквы в этом алфавите и затем нумеровать
слова в порядке возрастания их длин, располагая слова
одинаковой длины в лексикографическом порядке. За
подробностями мы отсылаем читателя к работе Дет-
ловса [1].
Теорема 10. Область применимости любого алго-
алгорифма относительно алфавита А является перечислимым
множеством слов в этом алфавите.
Доказательство. Пусть множество Ж является
областью применимости алгорифма E относительно ал-
алфавита А. Обозначим через ©i арифметически полный
алгорифм, перечисляющий множество всех слов в алфа-
алфавите А. Пусть далее А2—алфавит алгорифма & и алго-
алгорифм Ф2 аннулирует всякое слово в этом алфавите (см.
пример 3 п. 4 § 1). По теоремам композиции и объеди-
объединения построим алгорифм $ так, что
(п)Е1(
Ясно, что
!Я (я)
причем, если I E C); (и)), то
Я (я) = ©,(«).
Легко видеть, что 3t перечисляет Ж. В самом деле,
если I3t(tt), то J© (Dj («)) и, следовательно,
5Е>, (я) е= Ж.

ПО АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
Поэтому
?1 (Л) ?= Л.
Обратно, если Р &Ж, то при некотором п
/> = ?>,(«)
и, следовательно,
!<5 (?>,(«)).
Тогда
51 («) = 3), (я) = Р.
Таким образом, множество слов в данном алфавите
перечислимо тогда и только тогда, когда оно является
областью применимости некоторого алгорифма относи-
относительно этого алфавита.
Теорема 11. Всякое разрешимое множество пере-
перечислимо.
Действительно, пусть алгорифм 91 разрешает множе-
множество Ж. Построим алгорифм Щ в алфавите А, примени-
применимый лишь к пустому слову (пример 4 п. 4 § 1). По-
Построим, наконец, алгорифм 'Л2 так, что
Ясно, что для любого слова Р в алфавите А
Отсюда на основании теоремы 10 получаем, что М пе-
перечислимо.
Пусть теперь ф — алгорифм, построенный согласно
теореме-4 § 2. Обозначим через Ж множество тех слов
в алфавите {0|}, к которым неприменим этот алгорифм.
Из теоремы 4 вытекает, что .Ж не является областью при-
применимости относительно {0|} никакого алгорифма. Сле-
Следовательно, Ж неперечислимо. Обозначим через Ж мно-
множество тех слов в {0|}, к которым ф применим. Очевид-
Очевидно, Ж перечислимо. Вместе с тем по теореме 5 § 2 это
множество не является разрешимым. Таким образом,
имеет место

§3] РАЗРЕШИМЫЕ И ПБРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА \\\
Теорема 12. 1) Существует перечислимое множе-
множество слов в алфавите {0|}, дополнение которого до мно-
множества всех слов в этом алфавите неперечислимо *).
2) Существует перечислимое множество слов в ал-
алфавите {0|}, не являющееся разрешимым.
Необходимое и достаточное условие разрешимости
перечислимого множества дается следующей теоремой
Поста (доказательство которой предоставляется чита-
читателю): множество Ж (слов в алфавите А) разрешимо
тогда и только тогда, когда оно само и его дополнение
(до множества всех слов в А) перечислимы.
5. Пересечение и объединение перечислимых мно-
множеств.
Теорема 13. Пересечение конечного числа перечис-
перечислимых множеств перечислимо.
Доказательство. Пусть Ли ¦••¦> ^п — перечис-
перечислимые множества. По теореме 9 построим алгорифмы
%и ..., *&п так, что каждое множество Jti является об-
областью определения алгорифма 51^ относительно алфа-
алфавита А (если исходные множества были в разных алфа-
алфавитах, то можно рассмотреть их все в объединении этих
алфавитов). По теореме объединения строим алгорифм
% так, что
Щ(Р)~Щ,(/>)Щ2(Р)...И„(Р).
Ясно, что
121 (Р) = 121, (Р) & !Щ„ (Р) & ... & !Щ„ (/>),
т. е.
Отсюда, ввиду теоремы 10, следует перечислимость
п
множества f\ Mi.
i=i
Нетрудно также показать, что пересечение конечного
числа разрешимых множеств является разрешимым мно-
множеством.
*) Дополнением множества Л слов в алфавите А_ао множества
всех слов в этом алфавите мы называем множество Л слов в А, оп-
определяемое условием

112 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ, 1
Будем говорить, что алгорифм 21 над алфавитом А{
является последовательностью перечислимых множеств
в алфавите А, если при каждом п алгорифм 2lnct пере-
перечисляет некоторое множество слов в алфавите А. (Здесь
а — произвольная буква, не принадлежащая А.)
Пусть 21 — последовательность перечислимых мно-
множеств в алфавите А, М — множество слов в этом алфа-
алфавите. Будем говорить, что JC является пересечением
(объединением) последовательности 21, если для любого
слова Р в А выполняется
р s=JC
(соответственно
В связи с теоремой 13 возникает вопрос о том,
нельзя ли распространить эту теорему на последователь-
последовательности перечислимых множеств. Ответ на этот вопрос от-
отрицательный. Более того, можно привести пример (ре-
(рекомендуем читателю сделать это) последовательности
разрешимых множеств, пересечение которой неперечис-
лимо. Вместе с тем имеет место
Теорема 14. Объединение последовательности пе-
перечислимых множеств перечислимо.
Доказательство. Пусть 21 — последовательность
перечислимых множеств, Ж — объединение этой после-
последовательности. Построим алгорифм 33 так, что
и покажем, что 23 перечисляет JC.
Пусть Р е М. Тогда при некоторых ш и(
Р = 21 (таг).
Найдем / так, что
При этом /
Обратно, если !33(«), то, очевидно,

§ 3] РАЗРЕШИМЫЕ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА ЦЗ
Следовательно,
23 (п) 6= Ж.
Теорема доказана. Нетрудно убедиться, что для раз-
разрешимых множеств аналогичное утверждение неверно —
объединение последовательности разрешимых множеств
может не быть разрешимым множеством.
Изложение следующих семи глав будет посвящено
конструктивным действительным числам и функциям
над ними. Условимся о некоторых употребляемых в этих
главах обозначениях.
Через Ч\ и Ч соответственно обозначаются алфавиты
{0I-/OAV)
^i U {* ,}¦
(Буквы «*» и «,» используются для образования систем
слов в алфавите Ч\.)
Алфавит Ч будет являться «универсальным» в том
смысле, что изучаемые в данных главах конструктивные
объекты — либо слова в этом алфавите, либо кодируют-
кодируются посредством таких слов.
Обозначим через Ча двухбуквенное расширение
Ч U {ab} алфавита Ч. Поскольку рассматриваемые в гла-
главах 2—8 алгорифмы интересуют нас лишь с точки зре-
зрения выполняемых ими преобразований слов алфавита Ч
(или Ч{), то все эти алгорифмы могут быть построены
с помощью теоремы о переводе (п. 5 § 1 гл. 1) как ал-
алгорифмы в алфавите Ча. Поэтому мы, как правило, опу-
опускаем упоминания об алфавитах, в которых строятся те
или иные алгорифмы, имея в виду алфавит Ча.
Мы будем использовать обозначения %р и %Р, вве-
введенные в п. 11 § 1 гл. 1. При этом под %р понимается
перевод алгорифма 9tP в алфавит Ч". Полезно помнить
следующие свойства алгорифма %Р. Если алгорифм %
неприменим к слову PQ (Р и Q — слова в Ч), то алго-
алгорифм %р неприменим к слову Q. Если же 31 перера-
перерабатывает PQ в некоторое слово в алфавите Ч, то

114 АЛГОРИФМЫ И ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
В тех случаях, когда это не приводит к недоразуме-
недоразумениям, мы будем опускать в обозначениях 91Р и 91Р по-
последнюю разделительную букву, т. е. если Р имеет вид
или
то вместо Йр, и Йр,» мы будем писать %.Pl. Используе-
Используемая разделительная буква должна в этом случае усмат-
усматриваться из контекста.
Для алгорифмов в алфавите Ча определяется их за-
запись (см. п. 8 § 1 гл. 1). Запись алгорифма 21 есть слово
в алфавите {01}. Это слово мы обозначаем посредством

ГЛАВА 2
КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В этой главе будет приведено сжатое построение не-
некоторой системы конструктивных действительных чисел.
Избранный нами путь аналогичен канторовскому спо-
способу введения действительных чисел в традиционном
анализе. Системы конструктивных действительных чи-
чисел, изоморфные излагаемой, могли бы быть построены
и другими методами, в частности, с помощью надлежа-
надлежащим образом уточненных понятий вложенной последова-
последовательности рациональных сегментов и дедекиндова сече-
сечения (см., например, Заславский [3]— [4], Успен-
ский[3;§ 12]).
§ 1. Натуральные, целые и рациональные числа
Мы не излагаем сколько-нибудь подробно арифме-
арифметики рациональных чисел, ограничиваясь определениями
и формулировками некоторых элементарных свойств от-
отношений равенства, порядка и арифметических операций
на натуральных, целых и рациональных числах. Кон-
Конструктивная специфика сравнительно слабо проявляется
в этих вопросах — приводимые нами элементарные тео-
теоремы в большинстве случаев могли бы быть доказаны
примерно так же, как и в известной книге Ландау [1].
Следует лишь подчеркнуть, что, в отличие от некоторых
традиционных изложений (например, от той же книги
Ландау [1]), мы систематически проводим знаковый
подход — натуральные, целые и рациональные числа оп-
определяются как знаковые комплексы (слова) определен-
определенных типов.
1. Натуральные числа. Сформулируем несколько бо-
более точно, чем это делалось раньше (см. п. 4 введения),
определение натурального числа.
Определение 1. Натуральными числами являют-
являются слова в алфавите Ч, которые могут быть получены
с помощью следующих порождающих правил:

Пб КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1ГЛ. 2
1) слово О есть натуральное число;
2) если слово Р в алфавите Ч— натуральное число,
то слово Р\, получаемое приписыванием к Р буквы «|»,
также есть натуральное число.
Для обозначения конкретных натуральных чисел мы
будем часто использовать обычную десятичную симво-
символику, так что слова 0|, 0||, 0||| ... будут обозначаться
посредством 1, 2, 3 ...
Множество слов в алфавите Ч, являющихся нату-
натуральными числами, мы обозначим через Ж. Нетрудно
видеть, что это множество разрешимо. Буквы i, j, к, U
m, n с индексами или без них будут использоваться
нами в качестве переменных по натуральным числам.
Определение 2 (отношения равенства и порядка
на множестве натуральных чисел).
Пусть пит — произвольные натуральные числа.
1) Будем говорить, что пит равны (запись п = т),
эс
если п=^т.
2) Будем говорить, что п меньше {больше) т, и писать
п< m (соответственно п > т), если осуществимо не-
эс эс
пустое слово PsV такое, что т^=пР (соответственно
п == тР).
3) Будем говорить, что п не меньше (не больше) т,
и писать п~^т (соответственно п^.т), если неверно,
эс эс
что п< т (соответственно неверно, что п > т).
эс эс
Очевидно, отношения =,>,<, |>, <[ разрешимы,
Ч/1 <3/> <3/> <3/> Ч/1
СПг сПг СПг СПг СПг
т. е. для каждого из этих отношений осуществим алго-
алгорифм, применимый к любому слову Р в Ч и перерабаты-
перерабатывающий Р в пустое слово тогда и только тогда, когда
P==rt*/n, где п и т — натуральные числа, связанные
соответствующим отношением.
Ниже индекс «Ж» будет, как правило, опускаться.
Вместо ~\(п = т) мы будем писать п ф т.
Теорема 1. Каковы бы ни были натуральные числа
п, т, I, пь т\, имеет место
1) (п = т) V (я > т) V (я < т);
2) (пфт)=>((п>т) V (п< т));
3) (п ^ т) V (« < tn);

i 1] НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 117
4)
б) (п < гаг) => ((га = гаг) V (га < гаг));
6) (п = т)=>((га^т)&(п<т));
7) ((п > т) & (гаг >п)) => (т = п);
8) ((пбт)& (тб/))=>(пб/);
9) ((/г 6т) & (га = /г,) & (т = т,)) => (/г, бт^ (в 8) — 9)
б означает любой из знаков =, <, >, ^, ^);
эе эе эе зе эс
10) (/г = т)=>(т = га).
На доказательстве этой теоремы мы не останавли-
останавливаемся. Заметим, что для доказательства, например, ут-
утверждения 1) нужно построить алгорифм Я, перераба-
перерабатывающий всякое слово вида п, т в одно из чисел 1, 2, 3,
и доказать, что если 21 (га, m) = i, то верен i-й член
дизъюнкции
(n = m) V (га > гаг) V (га < гаг).
Используя разрешимость отношения «С нетрудно
эе
с помощью теоремы разветвления п. 7 § 1 гл. 1 по-
построить алгорифмы min и max такие, что
9С ЗС
если п ^т,
min(ra, rai)=H
если т <п,
iin(ra, гаг) = { '
( П'
тах(п, гаг) = |
ас ( т,
если т
если п
Обозначим через + и • алгорифмы, построенные
зе зе
в примерах 10)—11) п. 7 § 1 гл. 1. Эти алгорифмы яв-
являются алгорифмами типа {Ж-*Ж) и, как нетрудно
показать, обладают следующими свойствами:
A) +(m, 0) = m,
эс
B) +(гаг, п|) = + (т, п) |,
C) -(т, 0)-0,
D) -(гаг, га|) = + (.(т, га), т).
дс дс ас

118 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ.2
Алгорифмы + и • будем называть соответственно
операциями сложения и умножения натуральных чисел.
Натуральные числа + (п, пг) и • (п, т) называются
суммой и произведением чисел пит. Для их обозначе-
обозначения мы часто будем использовать более привычную за-
запись m + п и т. • п, опуская там, где это не ведет к не-
эс эс
доразумениям, индекс «5^».
Пользуясь A) — D), можно доказать ряд обычных
свойств операций сложения и умножения (коммутатив-
(коммутативность, ассоциативность, дистрибутивные законы и т. д.).
2. Целые числа. Определение 3. Слово Ре У
называется целым числом, если Р является натуральным
числом или имеет вид Р — — п, где п — натуральног
число, отличное от 0.
В качестве переменных для целых чисел мы будем
использовать букву «р» (с индексом или без индекса).
Множество слов в Ч, являющихся целыми числами,
будем обозначать через Ц. Очевидно, множество Ц раз-
разрешимо.
Построим алгорифм mod со схемой
Очевидно, если р — натуральное число, то mod (p)=?=p.
Если же р = — п(п — натуральное число), то mod(p) = n.
ц
Вместо mod (p) там, где это не может вызвать недора-
ц
зумений, будет использоваться запись \р\.
Целое число назовем неотрицательным {отрицатель-
{отрицательным), если оно является (не является) натуральным
числом.
Определение 4 (отношения равенства и порядка
на множестве целых чисел).
а) Целые числа р, и р2 называются равными (запись
Pi = Рг), если рх = р2-
ц
б) Целое число рх меньше целого числа р2 (запись
pi <^рг), если выполняется одно из следующих условий:
ц

§ 1] НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Ц9
1) р, — отрицательное, а р2 — неотрицательное целое
число;
2) Р\, Рг — неотрицательные и р, < р2;
зс
3) Ри Рг — отрицательные целые числа и \р{\>\р2\.
эе
в) Целое число р\ больше целого числа р2 {запись
Pi > Р2), если р2 меньше р\.
г) Целое число р{ не меньше (не больше) целого
числа р2, если ~](Pi < Рг) (соответственно ~] (р, > р2)).
ц ц
Запись: pi^-p2 (соответственно р\*Ср2).
Ц ц
Отношения =, <, >, ^, ^, так же как и одно-
ц ц ц ц ц
именные отношения для натуральных чисел, разрешимы,
и для них может быть переформулирована теорема 1.
Введение операции сложения целых чисел требует
некоторой подготовки.
Рассмотрим алгорифм ~г (арифметического вычита-
вычитания) со схемой
0, 0|->0, О
1, 0|-+, О
Этот алгорифм является алгорифмом типа {Ж2 —*¦ Ж)
и при любых натуральных пит выполняется
1) если п < т, то — (п, т) = 0;
2) если п>т, то « = ш + (т-(«, т)).
эс
Используя теорему разветвления (п. 7 § 1 гл. 1), по-
построим алгорифм + так, чтобы при любых целых чис-
числах pi, p2 выполнялось
1) если рь р2 — натуральные числа, то
+ (Pi, Рг) =?= + (Pi. Рг);
ц эс
2) если р,, р2 — отрицательные целые числа, то
+ (Pi. Рг) +

120 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. i
3) если р\ — отрицательное, а р2 — неотрицательное
целое число, то
—(Р2. \р\ I). если Р2>\р1\,
ц
>\
-—(I Pi I. P2), если p2 < I py |;
4) если р\ — неотрицательное, а р2 — отрицательное
целое число, то
Построим алгорифм • типа (Ц2 ~* Ц) так, чтобы
для любых целых чисел р\, р2 выполнялось
1) если ри р2 — натуральные числа, то
{Ри й)^ ЛРх, Рг)\
ц эс
2) -@, р2)== -{ри 0) = 0;
ц ц
*
3) если оба числа ри р% отличны от 0 и в точности
одно из них отрицательно, то
•(Ри />2)=5=— • Aд|, 1й1);
ц эе
4) если оба ри р2 отрицательны, то
•(Рь Рг)=т= -(IPil. IPsD-
ц эе
3. Рациональные числа. Определение 5. Слово Q
в алфавите Ч называется рациональным числом, если Q
является целым числом или Q = pjp2, где рь р2 — целые
числа, причем.р2ф0.
Множество слов в алфавите Ч, являющихся рацио*
нальными числами, будем обозначать через 9>. Очевид-
Очевидно, множество 9* разрешимо.
В качестве переменных по рациональным числам мы
будем использовать буквы г, и индексами или без ин-
индексов. Для обозначения конкретных рациональных чи-
чисел часто будет использоваться общепринятая симво-
символика (так что, например, вместо 0|/0|] пишется '/?).

§ 1] НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 121
В этом пункте мы будем использовать следующие
обозначения. Если г — рациональное число и г—р\1р2,
то через г, г обозначаются соответственно р\ и р2. Если
г — целое число, то через г мы обозначаем само это чис-
число, а через г — натуральное число 0|.
Определение 6 (отношения порядка и равенства
на множестве рациональных чисел).
1) Рациональные числа г, и г2 называются равными
(запись г, =г2), если г, • r2 = r2- fx.
& ~ ц ц - ц
2) Рациональное число г, меньше рационального
числа г2 (запись Г[ < г2), если а) гх • г2 > г2 • г{ и
& - ц ц ~ ц
г, • г2 > 0 или б) ^ • г2 < г2 • г, и rt-r2< 0.
ц - ц ц - ц ц
3) Рациональное число гх больше рационального
числа г2 (запись rt>r2), если г2<гх.
& 0"
4) Рациональное число rt не больше (не меньше)
рационального числа г2 (запись соответственно rx ^ г2
и ri~^r2), если ~](rt>r2) (соответственно ~}(г1<г2))-
Очевидно, введенные отношения являются разреши-
разрешимыми. Для них может быть переформулирована теоре-
теорема 1 § 1, иначе говоря, имеют место следующие утвер-
утверждения.
Теорема 2. Каковы бы ни были рациональные
числа г, ги s, S\, имеет место
2) (г Ф s) =э ((г >s)V (r<s)Y>
3) (
4) (
5) (
6) I
8) ((rbs) & (s6s,))=>(r6s,);

122 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
9) ((r6s)&(r = r1)&(s = s1))=D(ri6s1) (в 8) и 9)
б обозначает любой из знаков =, <, >, <[, 1>);
& <?> & & я>
Ю) (г — s) =э (s = г).
Очевидна также следующая
Теорема 3. Каково бы ни было целое число р,
Р = рЮ\.
Из разрешимости отношений =, <, >, «S^, ^ вы-
& SP сР ^ сР
текает
Теорема 4. Пусть б — любой из знаков =, <,
>. ^*. ~^> Для любых рациональных чисел ги г2 вы-
& &• &
полняется
1 ~] (г! бг2) ^ Ti бг2.
Переходим к определению арифметических операций
над рациональными числами.
Построим алгорифм + типа (^2->-<?*) таким обра-
зом, чтобы для любых рациональных чисел г, s выпол-
выполнялось
1) если г, s — целые числа, то
+ (г, s) = + (г, s);
& ц
2) если хотя бы одно из г, s не является целым чис-
числом, то
+ (г, s)— + (r-s, f • s)jr • s.
& ц ~ц ц— ц
Построим алгорифм • типа (^2->-<?*) такой, что для
любых рациональных чисел г, s
1) если г, s — целые числа, то
•(г, s)== -(r, s);
^ ц
2) если хотя бы одно из г, s не является целым чис-
числом, то
-{г, s) = r • sir • s.
& ~ц~ ц

I 1] НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 123
Построим алгорифм — такой, чтобы для -любых г, s
If
-(г, s) = + (r,.(-0|, s)).
а- & а-
Построим далее алгорифм «об» типа (&-?¦&) такой,
что при любом рациональном г
1) если г = 0, то ПI об (г);
&
2) если г Ф 0, то
а-
об (г) = fir.
Построим алгорифм : типа E32 -?¦&) таким образом,
чтобы для любых рациональных чисел г и s выполня-
выполнялось
: (г, s) ~ • (г, об (s)).
Очевидно,
Алгорифмы +, —, •, : будем называть соответствен*
& & & &•
но операциями сложения, вычитания, умножения и де-
деления рациональных чисел. Вместо записи б (г, s) (где
б —знак одной из только что введенных операций) мы
будем часто использовать более привычную запись rbs.
В тех случаях, когда это не может вызвать недоразуме-
недоразумений, индекс «^"» в знаках отношений равенства и по-
порядка и в знаках арифметических операций будет опу-
опускаться.
Арифметические операции над рациональными чис-
числами, как нетрудно показать, сохраняют равенство
рациональных чисел. Операции сложения и умножения
обладают свойствами коммутативности и ассоциативно-
ассоциативности. Выполняются также распределительные законы для
умножения относительно сложения и вычитания. Фор-
Формулировка соответствующих свойств предоставляется
читателю.
Непосредственно из определений арифметических
операций и отношений равенства и порядка вытекают
следующие утверждения,

124 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Теорема 5. Каковы бы ни были рациональные
числа г и s
2) г+0 = г;
3) г-1=г;
4) г:1=г;
5) если s#0, то s: s = s • об (s)= 1;
6) если s ф О, го s • (г: s) = г.
Имеют место и обычные свойства неравенств.
Теорема 6. Пусть б—любой из знаков <, >, ^, ^;
^> ^ ^ &
г,, r2, s, Sj, s2 — произвольные рациональные числа.
Тогда
1) если п бг2, го (г, + s) б (r2 + s);
2) если г, 6г2 и s> 0, го (rf • s) б (г2 • s);
& & 0"
3) если г, бг2 ы s < 0, то (г2 • s) б (г, • s);
^> #• #•
4) если Г] бг2 и S! 6s2, го (г, + «i) б (г2 + s2);
5) если гi бг2, S! 6s2 и гх > 0, г2 > О, S[ > О,
^ & &
s2 > 0, го
(r,-s,N(r2.s2).
^> ^
Обозначим через mod алгорифм в алфавите Ч
со схемой
{ -
Очевидно, mod является алгорифмом типа {&-*&).
Для любого рационального числа г рациональное число
mod (r) будем называть модулем или абсолютной вели-
чиной г. Вместо записи mod (r) мы будем, как правило,
использовать запись | г |^ или просто | г |.
Непосредственно из определения алгорифма mod и
определений отношений порядка и равенства рациональ*

§ I] НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 125
ных чисел и арифметических операций усматриваются
следующие утверждения.
Теорема 7. Для всякого рационального числа г
1) |г|>0 и |г| = 0 = г = 0;
2)
4)|г| = |-г|.
Теорема 8. Для всяких рациональных чисел г, s
1) \r-s\ = \r\-\s\;
2) если s Ф О, то \r:s\ = \r\:\s\;
Построим алгорифм max такой, что для любых
рациональных чисел гь г2
( г„ если ri>r2,
тах(гь г2) = { .
?> х " ; 1 г2) если Г] <г2.
Очевидно, всегда
тах(гь
и
тах(гь
Нетрудно убедиться также, что
Построим также алгорифм min такой, что
f г,,
min(ri, r2) = i
a> { г2,
если гх ^г2)
если г, > r2.
Очевидно,
min (r,, r
min(r,, r2)<r2.

126 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Нетрудно показать, что
mm (r,, r2) — s .
Индекс «^» в записи вида max(ri, r2), min(r[, г2)
будет, как правило, опускаться.
§ 2. Конструктивные действительные числа (КДЧ).
Основные определения
Определение 1. Последовательностью натураль-
натуральных (рациональных) чисел будем называть алгорифм
(в алфавите Ча) типа (Эв-*-Эв) (соответственно типа
(Ж&))
())
Вместо термина «последовательность натуральных
(рациональных) чисел» мы будем часто использовать
сокращение ПНЧ (ПРЧ).
Определение 2. ПНЧ р называется регулятором
сходимости в себе (или регулятором фундаментально-
фундаментальности) ПРЧ а, если
Vnml (m, / > р (я) => | а (m) — а (/) |< 2~").
Определение 3. ПРЧ а называется фундамен-
фундаментальной (квазифундаментальной), если осуществима (не
может не существовать) ПНЧ р, являющаяся регулято-
регулятором сходимости в себе ПРЧ а.
Определение 4. ПРЧ а называется псевдофунда-
псевдофундаментальной, если
y/n~]~]3m\fkl(k, />/п:э|а(Л)-а(/)|<2~я).
Определение 5. Слово Q в алфавите Ч назовем
FR-числом (конструктивным действительным числом
или, короче, КДЧ), если Q является рациональным чис-
числом или Q == ?св О ЕРЗ. где а — ПРЧ, р — ПНЧ, являю-
являющаяся регулятором сходимости в себе ПРЧ а.
Определение 6. Слово Q в Ч назовем F-числом
(квазичислом), если Q — рациональное число или Q =
^ЕаЗО. где а — фундаментальная (квазифундамен-
(квазифундаментальная) ПРЧ,

§ 21 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 127
Определение 7. Слово Q в Ч назовем псевдочис-
псевдочислом, если Q — рациональное число или Q =^ НаЗ0» г^е
а — псевдофундаментальная ПРЧ.
Понятия Т-Т^-числа *), /•'-числа, квазичисла и псевдо-
псевдочисла введены Ш а н и н ы м [6] **).
Каждое из определений 5—7 может быть положено
в основу построения системы конструктивных действи-
действительных чисел. На получающиеся системы действитель-
действительных чисел естественным образом распространяются с
системы рациональных чисел отношения равенства, по-
порядка и арифметические операции (причем последние
могут быть заданы алгорифмами). Каждая из этих си-
систем в различной степени соответствует интуитивному
представлению о том, что вычислимое (конструктивное)
действительное число должно быть объектом, сколь
угодно точно аппроксимируемым рациональными чис-
числами.
С этой точки зрения наиболее естественным пред-
представляется понятие FR-числа. Индивидуальное задание
FR-числа содержит в себе исчерпывающую информацию
о последовательности рациональных приближений к это-
этому числу и о скорости сходимости этих рациональных
приближений.
Индивидуальное задание /•'-числа (квазичисла) по-
позволяет лишь вычислять члены фундаментальной (ква-
(квазифундаментальной) последовательности рациональных
чисел; в этом задании не содержится, вообще говоря,
никакой информации об эффективной оценке скорости
сходимости упомянутой ПРЧ (т. е. о регуляторе сходи-
сходимости в себе этой ПРЧ). Ясно, что такое различие со-
содержащейся в индивидуальном задании FR-чисел и
/•'-чисел (квазичисел) информации приводит к сущест-
существенной неравноценности этих объектов как исходных
данных для тех или иных алгорифмов (ср. § 2 гл. 4).
Что же касается псевдочисел, то, как будет показано
ниже (§ 3 гл. 3), последовательность рациональных чи-
чисел, извлекаемая из задания псевдочисла, может вообще
*) В качестве синонима этого термина в литературе исполь-
используется часто термин «дуплекс».
**) Наши определения отличаются от соответствующих опреде-
определений Н. А. Шанина несущественными техническими деталями.

128 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
не допускать никакой эффективной оценки скорости схо-
сходимости. Таким образом, можно привести пример
псевдочисла, не являющегося /-"-числом (а следователь-
следовательно, и квазичислом). Это псевдочисло не может быть,
очевидно, дополнено до FR-числа *).
Несколько менее очевидна разница между F-числа-
ми и квазичислами. В самом деле, непосредственно из
определений 3 и 6 следует, что нельзя построить квази-
квазичисло, которое не являлось бы /-"-числом. Однако тогда
как для доказательства того, что некоторое слово Q
вида ?аЗ<0> где а—ПРЧ, есть F-число, нужно постро-
построить регулятор фундаментальности а, для доказатель-
доказательства того, что Q — квазичисло, достаточно лишь опро-
опровергнуть предположение, что такой регулятор невозмо-
невозможен. Нетрудно привести примеры квазичисел, для
которых в настоящее время неизвестно доказательство
того, что они являются /-"-числами **). Другое различие
между /-"-числами и квазичислами, также связанное
с конструктивным пониманием математических сужде-
суждений, можно пояснить следующим примером.
Пусть алгорифм ?!' переработает всякое натуральное
число в запись ПРЧ, а алгорифм ?! таков, что
Обозначим через ^(^2) множество всех слов в Ч,
являющихся /-"-числами (квазичислами). Для доказа-
доказательства утверждения: «алгорифм 91 является алгориф-
алгорифмом типа (<3#->-^i)» нужно указать построение алго-
алгорифма 33 такого, что при любом п алгорифм 93„ являет-
является регулятором сходимости в себе той ПРЧ, записью
которой является 91' (п). Для доказательства же утвер-
утверждения, что 91 является алгорифмом типа C%> -^^2),
достаточно лишь опровергнуть предположение, что су-
существует п, при котором ПРЧ с записью W{n) не яв-
является фундаментальной. Можно построить алгорифм %
так, что 91 является алгорифмом типа {Зё-^-^i), но не
*) Будет построено также псевдочисло, которое не равно (в не-
некотором естественном смысле) никакому /^-числу.
**) Нетрудно, в частности, привести пример такого квазичисла,
для которого решение этой задачи давало бы решение проблемы
Ферма.

§ 21 Основные определений 129
является алгорифмом типа (<2#->-#~i) (т. е. упомянутый
выше алгорифм S3 невозможен).
Мы сосредоточим основное внимание на понятии
.Р7?-числа; за F^-числами мы сохраняем название «кон-
«конструктивное действительное число»*). Таким образом,
ниже термин «конструктивное действительное число»
(КДЧ) понимается как синоним термина «F^-число».
Множество слов в алфавите Ч, являющихся КДЧ, мы
обозначаем через S). В качестве переменных по КДЧ
будут использоваться буквы х, у, z, t, и, v (с индексами
или без индексов).
Обозначим через Id алгорифм со схемой
Очевидно, при любом Ре?
Построим также алгорифм Id<]> (см. пример 6 п. 4
§ 1 гл. 1) так, что при любых слозах Р и Q в алфа-
алфавите Ч\
Ш1ЦР, Q) = P.
Определение 8. Пусть г — рациональное число.
Слово EIdrOEId3 будем называть действительным
образом г.
Очевидно, действительный образ любого рациональ-
рационального числа есть КДЧ. Можно построить алгорифм 2),
перерабатывающий всякое рациональное число в его
действительный образ и такой, что если Р е Ч не яв-
является рациональным числом, то Ъ(Р) == Р.
Примем следующие сокращенные обозначения.
Если л: —КДЧ и л:=?аЗОЕРЗ> то через ? и л;
будут обозначаться соответственно алгорифмы аир.
Если же л: — КДЧ и х является рациональным числом,
то под х и х будут подразумеваться алгорифмы &(х)
и Щх].
*) Некоторые сведения о F-числах, квазичислах и псевдочислах
можно найти в работах Шанина [6], Куш и ер а [4]—[5], Куш-
нера иЦейтииа [1], Лифшица [4].

130 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Очевидно, для любого рационального числа г при
всяком натуральном п выполняется
Ниже вместо х{х{п)) мы будем часто использовать
более короткую запись хп.
§ 3. Отношения равенства и порядка на множестве КДЧ
1. Определение 1. Будем говорить, что КДЧ х
равно КДЧ у, и писать х = у, если при любом нату-
&>
ральном п
{обозначения х и х введены в предыдущем параграфе).
Определение 2. 1) Будем говорить, что КДЧ х
больше КДЧ у, и писать х > у, если можно найти нату-
з>
ральное число п, при котором
х(х(п))-у(у(п))>2-п+\
— з> — &
2) Будем говорить, что х меньше у, и писать х < у,
в
если имеет место у > х.
з>
Определение 3. Будем говорить, что КДЧ х не
меньше {не больше) КДЧ у, и писать х^у {соответ-
з>
ственно х <1 у), если неверно, что х < у {соответственно
s> з>
неверно, что х > у).
з>
Вместо записи ~]{х — у) мы будем использовать
в
запись хФу. Индекс «SD» при знаках отношений будет,
з>
как правило, опускаться.
Отметим, что, в отличие от одноименных отношений
над рациональными числами, все введенные только что
отношения не являются разрешимыми.

5 3] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ 131
Ниже будут изложены некоторые свойства отноше-
отношений равенства и порядка на КДЧ.
2. Теорема 1. Для любых КДЧ х и у
1) х = х;
3)
2) x = yssy = x.
3> 3>
Теорема 1 легко следует из определения 1.
Теорема 2. Пусть х, у — произвольные КДЧ. То-
Тогда
1) если х — у, то ^
в з>
2) если х = у, то
3) 3)
3) если х > у, то
з>
А) если х<у, то <
з> з>
5) если х > у, то
з> з>
6) если х < у, то хФу.
з> з>
Доказательство. Утверждения 1), 2), 5), 6)
очевидны. Утверждение 4) следует из утверждения 3).
Докажем утверждение 3). Пусть
A) х>у.
Предположим, что
B) х < у.
Тогда по определению 2 осуществимы натуральные
числа m и я такие, что *)
C) xm-ym>2~m+1,
D) уп-хп>2-п+\
Пусть / ^s max (x (m), y(m)). Тогда
(б) l?@-*ml<2-m,
F)
*) Напомним, что через х„ мы обозначаем х_(х(п)) (§ 2).

132 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Имеем
Отсюда, учитывая C), E), F), получаем
G) ?@-f/(«)>2~m+1-2-m-2-m = 0.
Точно так же при i^max(x(n), г/(ft)) выполняется
(8) y{i)-x(i)>0.
Таким образом, при г ^ max (дс(т), у(т), х(п), у{п))
одновременно выполняется G) и (8), что невозможно.
Следовательно, ~\(х <.у), т. е. х ^ у, что и требо-
требовалось.
Теорема 3. Для любого рационального числа г
выполняется
г = Ъ{г),
т. е. всякое рациональное число равно своему действи-
действительному образу.
Теорема 4. Для любых рациональных чисел ги г2
имеет место г, 6 г2 =/^ 6 г2, где б обозначает любой из
& з> &
знаков =, <, >, <1, ^, а б — одноименный знак
0> & 0> 3" 0> Я)
с индексом «Й5».
Теорема 3 непосредственно усматривается из опреде-
определения 1. Теорема 4 (показывающая, что отношения ра-
равенства и порядка КДЧ совпадают на рациональных
числах с введенными ранее рациональными отношения-
отношениями) легко следует из следующих трех простых лемм,
доказательство которых предоставляется читателю.
Лемма 1. При каждом натуральном п 2п > п.
Лемма 2. Можно построить алгорифм а типа
(!Р-*~9@) так, что для любого рационального г, если
, то
|г|>2-а(г).
Лемма 3. Пусть г — рациональное число и при лю-
любом п
\г\< 2~п.
Тогда г = 0.

i Si ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ 133
3. Приведем некоторые необходимые и достаточные
условия равенства КДЧ.
Определение 4. ПНЧ р назовем возрастающей,
если при любом п
Р(я)<Р(я+1).
Теорема 5 (необходимое условие равенства КДЧ).
Пусть х, у— равные КДЧ. Тогда осуществима возрас-
возрастающая ПНЧ а такая, что при любом натуральном п
(9) |?(а(я))-?(а(п))|<2-".
Доказательство. Для доказательства этой тео-
теоремы достаточно построить алгорифм 93 такой, что для
любых х, у из х — у следует, что 23Xi{, есть возрастаю-
3)
щан ПНЧ, удовлетворяющая (9).
Пользуясь теоремой об универсальном алгорифме и
теоремами сочетания алгорифмов, можно построить
алгорифм 93 так, чтобы выполнялись условия:
»(*, у, 0)~тах(хB), у B));
ас
»(*. У, п+1)^тах(93(д:, у, п), ~х{п + 3), у(п + 3))+1.
зе
Очевидно, для любых КДЧ х и у алгорифм 23Ж,У яв-
является возрастающей ПНЧ, причем при любом п
, ёх,у(п)
Пусть х, у — равные КДЧ. Покажем, что 9\, у удо-
удовлетворяет (9).
При m ^ max (х (п + 2), у (п + 2)) выполняется
(П) I x(m) - хп+21< г"",
A2) \yjm)-yn+i\<2-n-2
(напомним, что Хь обозначает x(x(k)) см. стр. 130).
Ввиду равенства х — у

134 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Из A1) —A3) получаем, что при
т > max (х(п + 2), у(п + 2))
имеет место
A4) \х (т) - yjm) | < 2-2 + 2~п-2 + 2~п~1 = 2"\
Из A0) и A4) вытекает, что %х,у удовлетворяет (9).
Теорема 6 (достаточное условие равенства КДЧ).
Пусть х, у —КДЧ такие, что осуществимы возрастаю-
возрастающие ПНЧ а\, <Х2, для которых при любом п
A5) \х(а1(п))-у_(а2(п))\<2-п.
Тогда х = у.
S)
Предположим, что при некотором k
A6) \xk-yk\> 2~ш.
Пользуясь леммой 2, найдем натуральное / таким
образом,чтобы
A7) 1**-Ы>2-*+1+.2-'.
Пусть теперь ni\, тг — натуральные числа не мень-
'шие, чем max(x(k), y{k)). Тогда
A8) \x(mi)-xk\<2-k
и
A9) \g{m2)-yk\<2-\
Из очевидного равенства
x(tni) - У (m2) = xk — yk — (xk — ?(m,)) - {у_{щ) — yk),
ввиду A7), A8) и A9), получаем
B0) \х {ml)-i{m2)\>\xk — yk\ — \xk-xi{ml)\ —
-1 У (m2) -yh\> 2~k+l + 2~l - 2~k - 2~k = 2~l.
Пользуясь тем, что щ, а2 — возрастающие ПНЧ,
найдем п>1 такое, чтобы
a, (n)> max (*(?), y{k)),

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ 135
Тогда, ввиду B0),
\x(al(n))-y(<h(n))\>2-1.
Это, однако (так как п > /), противоречит A5).
Следовательно, при любом k
т. е.
что и дает х = у.
3)
4. Теорема 7 (транзитивность отношения равен-
равенства КДЧ). Каковы бы ни были х, у, г, если х = у,
SD
y = z, то x = z.
s> s>
Доказательство. Ввиду равенств х = у и у = г
при любом натуральном п имеем
B1) Un-
B2) 1#п-
Пусть теперь пг^х(п). Тогда
I ?(«)-*„ К 2~\
Следовательно,
B3) U(m)-t/n|<2-n+1+2-"<2-n+2.
Нетрудно построить возрастающую ПНЧ щ такую,
что при всяком п
а,(л)>ж(л + 3).
Тогда ввиду B3) при любом п
B4) Ща,(«))И
Аналогично построим возрастающую ПНЧ <х2 такую,
что при любом п
B5)

136 Конструктивные Действительные числа (ГЛ. i
Из B4) и B5) следует, что при всяком п.
\x(al(n))-z(a2(n))\<2-n.
Ввиду теоремы 6 отсюда следует х = г.
Построим алгорифм «осн» такой, что для любого
Ре Ч
[ Р, если О не входит в Р,
ОСН (Р} = <
у ' ' \ Qu если P~Qt О Q2 и 0 не входит в Q,.
Определение 5. Пусть х — КДЧ. Слово осн(х)
назовем основой х.
Теорема 8. Пусть х, у — КДЧ и
осн (х) = осн {у);
тогда х = у.
Теорема 9. Пусть х, у — КДЧ и существует п та-
такое, что
Vm (m > n zd х (m) = у (m)).
— ц> —
ц
Тогда х = у.
Теоремы 8—9 очевидным образом вытекают из тео-
теоремы 6.
5. Теорема 10. Пусть х, у — КДЧ. Для того чтобы
выполнялось х<у,
я
1) необходимо, чтобы существовали натуральные
числа шип такие, что
B6) VW(*./>«=>(?(*)-дс(/)>2""));
2) достаточно, чтобы существовали натуральные
числа шип такие, что
B7) >ik{k^m^(jyjk)-x{k)>2-n)).
Доказательство.
1) Пусть х<у. Тогда осуществимо / такое, что
B8) у, - Xi > 2~1+\
Пользуясь леммой 2, найдем натуральное число п
такое, что
B9) -tt-*i>2-<+I + 2-\

$ 3] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ 137
Пусть k, /^ max (*(/), y{i)). Тогда
\?(k)-yl\<2-1.
Следовательно,
C0) yJk)>yi-2-1.
Аналогично получаем
C1) хA)<Х1 + 2-1.
Используя C0) — C1), получаем
yjjk) — х (I) > yt — 2~' — xt — 2~l = yt — xt — 2~'+l.
Следовательно (B9)),
C2) у (k) -x(l)> 2-\
C2) показывает, что условие B6) выполняется, если
в качестве п взять п0, а в качестве т — max (*(/), y(i)).
2) Пусть натуральные числа тип таковы, что вы-
выполняется B7). Пусть далее k — натуральное число та-
такое, что
C3) k > m
и
C4) k > max (х (п + 2), у (п + 2)).
Ввиду C3)
C5) у (k) -x(k\> 2"".
Ввиду C4)
C6) \У(к)-уп+2\<2-п-2,
C7) | x{k) - хп+21
Из C6) и C7) вытекает
C8)
C9)
Следовательно,
Уа+2 ~ Хп+2 >Hk)- г"* - X(k) -

138 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Отсюда, ввиду C5), следует
,, „ v. п-п п-n—l п-" п-(п+1)+\
Уп+2 — хп+2 ¦?¦ А — ^ — & — &
Следовательно, х < у.
Теорема П. Пусть х, у — КДЧ такие, что осуще-
осуществимо натуральное число п, удовлетворяющее условию
D0)
Тогда х^
в
Доказательство. Предположим, что х>у. То-
в
гда по теореме 10 осуществимы k, l такие, что
от-
отЭто, очевидно, противоречит D0).
6. Докажем инвариантность отношений порядка
носительно равенства КДЧ.
Теорема 12. Для любых КДЧ х, у, хи уи если
X < У, Xi = X, У\==У, ТО Х\К.У\.
3) В В В
Доказательство. Пользуясь теоремой 10, най-
найдем натуральные числа m, n так, чтобы
D1) \fij{i,j>mziy (i) -x(j) > 2"").
Положим
mx = max (x(n + 4), y(n + 4), *, (n + 4), ~yx (n + 4), m).
При i, j^m1 выполняется
D2) \x(i)-xn+4\<2-n-\
/ИО\ I ,, (j\ _ ,, Г^ n—tl-i
V*d) I^U/ i/n+4 I ^ *• »
V"^ I Л1 \Ч \л1/п+4 I ^ ^ i
(ЛКЛ I,, (j\ (,,\ \ <^ O~n~i
Y*d) I У\ \l) \У\)п+А I ^ ^ »
(AR\ \(r\ r t <-" o~ra~3
V*') \\У\)п+А i/n+4 15^^ •
Из D2), D4), D6) получаем
D8) | xi @ — x @ I < 2~n~4 + 2""~4 + 2""~3 = 2""~2.

$ 31 ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ 139
Аналогично,
D9) \y1d)-i(i)\<2-n-\
Из D1), D8), D9) получаем
Ух (/) - *i @ > J/(/) - х@ -2"" > 2"" - 2""-1 =2""-1.
Согласно теореме 10 отсюда следует у\ > х\.
Замечание. При формулировке теорем 10 и 12 мы
воспользовались нашими соглашениями о конструктив-
конструктивном понимании математических суждений. По сути дела,
теорема 10 утверждает существование трех алгорифмов
S31, S32, S33 соответственно типов
(@2 X Ж) ^> Ж), (@2 X Ж) ^> Ж), (@2 X Ж2) т> Ж)
со следующими свойствами:
1) если слово х, у, п таково, что
уп-хп>2-п+\
то 1S31 (лг, у, п), 1332(л:, у, п) и для всех k, l, не меньших,
чем 931 (*, у, п), выполняется
2) если слово х, у, п, т таково, что
Vk(k^m
то !933 (*, у, п, т) и
, „ ^. пЯЧх, у, п,
»«' (х, у, п, т) Л93» (х, у,п,т)^*
Способ построения таких алгорифмов непосредствен-
непосредственно усматривается из доказательства теоремы 10. Анало-
Аналогичным образом следует трактовать формулировку тео-
теоремы 12 (и следующих ниже теорем 14 и 15).
Теорема 13. Для любых КДЧ х, у, хи уи если
х ^ у и хх = х, у\ = у, то х\ ^ у\.
Доказательство. Предположим, что Х\ > ух. То-
Тогда по теореме 12 х>у, что невозможно. Следователь-
Следовательно, Х\ ^ Уи
7. Теорема 14 (транзитивность отношений < и
з>
>). Пусть х, у, z — произвольные КДЧ. Если х < у,
3)

140 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
у < z, то х < z (соответственно, если х> у, у > z, то
x>z).
Доказательство. Пользуясь теоремой 10, най-
найдем п, m такие, что
E0) Vkl{k, />т
E1) V// (/, I > m => (z (/) - ? (/) > 2"")).
Но тогда при любом
Отсюда по теореме 10 следует, что z > х.
в
Теорема 15. Для любых КДЧ х, у, z 1) если у
у < z, то х < z; 2) если * < у, у ^ z, то х < z (соот-
(соответственно, Г) если х^> у и у> z, то x>z, и 2') если
х > у и у ^ z, то х > z).
Доказательство. Докажем, например, утвер-
утверждение 1). По теореме 10 найдем m, n такие, что
E2) Vkl{k, ?
Пусть теперь
/>max(/n, ~х(п + 3), ]/(п + 3)).
Имеем
откуда
E3) ^(/)<л:
Далее, ввиду того, что
E4)
Из E3) и E4) получаем
E5)
Далее,
Отсюда и из E5) получаем
x(i) <УA) + 2~"~3 + г""

:$ 31 ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ 141
Следовательно,
E6) 2@-ж@ > z{i)-i(i)-2-n'1 > ЧГп - 2-1 =2~п-1-
Ввиду теоремы 10 из E6) следует, что х < г.
Докажем теперь транзитивность отношений ^ и ^.
з> з>
Теорема 16. Если х^у и у^г, то x^z (соот-
(соответственно, если х ^ у, у ^ г, то х ^ г).
Доказательство. Предположим, что х > г. То-
Тогда по теореме 15 х>у, что противоречит условию.
Следовательно, х <; г.
Теорема 17. Для любых КДЧ х и у, если х ^у и
х^ у, то х = у.
Доказательство. Из х^ у следует, что
E7)
Из условия х ^ у вытекает, что
E8) (n
Из E7) и E8) следует, что
что и дает х = у.
Теорема 18. Для любых КДЧ х, у выполняется
= y)\/(x>y)V(x<y)).
Доказательство. Утверждение теоремы озна»
чает, что ни при каких х, у не могут одновременно вы-
выполняться условия
E9) 1(х = у),
F0) 1(х<у),
F1) 1(х>у).
Это очевидно, поскольку из F0) и F1) согласно тео-
теореме 17 следует х = у.
Как будет показано в § 1 гл. 4, двойное отрицание
в формулировке теоремы 18 не может быть устранено
(при конструктивном понимании дизъюнкции).
8. Для доказательства некоторых дальнейших свойств
отношений порядка и равенства нам потребуются сле-
следующие четыре леммы.

142 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 8
Лемма 4. Можно построить алгорифм Nr типа
B>2 т* Ж) так, что для любых х, у
1) х < у^ !Nr (х, у) & (yNt {х< у) - xNr Ui „) > 2"Nr <*' y)+\
2) x>y =
3) x = y**
(x u) zd I v —x I > 2"Nr {x< y)+l
Доказательство. Пользуясь теоремой об уни-
универсальном алгорифме и теоремами п. 7 § 1 гл. 1, мож-
можно построить алгорифм Nr так, чтобы для любых КДЧ
х и у
Nr(x,y)~V4{\xl-yi\>2-i+i).
Нетрудно убедиться, что алгорифм Nr действитель-
действительно обладает свойствами 1)—4).
Лемма 5. Можно построить алгорифм sgn<2> типа
(SJ т* Ц) такой, что для любых КДЧ х и у выполняется
1) если !sgn<2>(jc, у), то sgr\W(x,y)= 1 или
W()
3) х > у =
4) х = У =
Доказательство. Используя разрешимость от-
отношения >, построим алгорифм sgn<2) такой, что если
\sgnW(x,y), то \Nr(x,y) и
sgn<2> (х, у) ~
Г 1, если !Nr(x, у) и у„г{х> у) - xNr(Je> у) > г***1,
-\ -1, если \Nv(x,y) »xNr{x_y)-yKr(x_y)>2-"t{x-!')+\
Покажем, что алгорифм sgn<2> обладает требуемыми
свойствами.
Если lsgnW(x,y), то lNr(x,y). Следовательно,
/К0\ I Y [N n—Nru, ») + l
\OZ) »Nr (x, у) лНх (x, и) -1 л

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ
143
Ввиду разрешимости отношения > можно указать
Л1
верное из утверждений
*Nr (X.
F4)
y)
g-Nr (х,у)+1
g-Nr (x, y)+l
Если выполняется F3), то, очевидно, sgnW(x,y) == 1,
если же верно F4), то sgn<2'(x,у) == — 1. Свойство 1)
доказано.
Если х<.у, то по лемме 6 lNr(x, у) и выполняется
F3). Следовательно, sgn<2>(x, у) == 1. Если sgn<2>(.*:, у) =
= 1, то 1 Nr(jc, у) и, следовательно, выполняется F2)«
Из построения sgn<2' очевидно, что F4) в данном слу-
случае не выполняется. Следовательно, имеет место F3),
откуда и следует, что х < у. Свойство 3) доказывается
совершенно аналогично.
Докажем свойство 4). Если х<=у, то "~]lNr(*, у) и,
следовательно, ~) lsgn<2) {x, у). Пусть теперь ~| IsgnB) (x, у).
Тогда, ввиду уже установленных свойств 2) и 3) алго-
алгорифма sgn<2), выполняется ~\{х<у) и ~]{х>у), т.е.
выполняется х^.у и х^у. Отсюда согласно теореме 17
следует, что х = у. Этим и заканчивается доказатель-
доказательство леммы.
У
0
1
b -S
л
Рис. 7.
Алгорифм sgno мы в дальнейшем будем обо-
обозначать через sgn. Свойства этого алгорифма напо-
напоминают свойства классической сигнум-функции (ср.
рис. 7), причем в отличие от последней алгорифм sgn

144 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
неприменим ни к какому КДЧ, равному 0. Ниже будет
показано, что это обстоятельство является существен-
существенным, так что классическая сигнум-функция является в
этом смысле невычислимой.
В доказательствах следующих двух лемм исполь-
используется принцип Маркова.
Лемма 6. Если х Ф у, то ! Nr {х, у).
Доказательство. Предположим,что ~| 1 Nr(x,у).
Тогда, ввиду леммы 4, х = у, что неверно. Следователь-
Следовательно, ПП!Ыг(х,у), откуда по принципу Маркова следует,
что 1 Nr (x, у).
Лемма 7. Если х Ф у, то 1 sgn<2>(jt, у). (В частно-
частности, если х ф 0, то ! sgn \x).)
Доказательство этой леммы совершенно аналогично
доказательству леммы 6.
9. Теорема 19. Vxy ((хфу) => ((х > у) V (х < у))).
Доказательство. Теорема 19 утверждает суще-
существование алгорифма а такого, что для любых КДЧ х
и у, если
хфу, то \а(х,у), а(х,у)=\ или а(х, у) — 2
и
(а(х, «/)== 1) гэ (х > у), (а(х, у)-2)^(х< у).
Возможность построения такого алгорифма непосред-
непосредственно усматривается из лемм 5 и 7. Теорема 19, та-
таким образом, доказывается с использованием принципа
Маркова.
Значение следующих двух теорем состоит в том, что
они позволяют в ряде случаев «конструктивизировать»
классические доказательства, содержащие разбор слу-
случаев хфу или х = у.
Теорема 20. Vxy ((х < у) гэ Vz ((z < у) V (г > х))).
Доказательство. Для доказательства этой тео-
теоремы нужно построить алгорифм 93 такой, что для лю-
любых КДЧ х, у, г и натурального п, если уп — хп> 2~n+1,
то
1S3 (х, у, п, г), 23 (х, у, п, z) == 1 или 23 (х, у, п, г) = 2,
причем, если 23 (х, у, п, г)= 1, то z<y, и если 33 (л:,
у, п, г) = 2, то г > к,

§ 3] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ 145
Построим (пользуясь леммой 2) алгорифм 8, пере-
перерабатывающий всякое слово вида х, у, п такое, что
1°о; Уп — хп > z ,
в натуральное число, для которого
/gg\ у х > 2~п+1 _1_2~Р(дс'г''п)
Построим далее алгорифм S3 такой, что для любого
слова вида х, у, п, г, для которого выполняется F5),
У,
п,
г)
/у
1,
2,
если
если
(алгорифм S3 нетрудно построить, используя теорему об
универсальном алгорифме, теоремы сочетания алгориф-
алгорифмов и разрешимость отношений sg:, >).
& а-
Покажем, что S3 обладает требуемыми свойствами.
Пусть х, у, г, п — слово такое, что выполняется F5).
Тогда !р(дс, у, п). Следовательно, !S3(je, у, п, г) и
33 (х, у, п, г) =?= 1 или S3(*, у, п, z) ==2. Обозначим на
время доказательства $(х, у, п) через /.
Пусть Ъ{х, у, п, z)=^\. Тогда, очевидно,
F7) Zl+2<IlL+IlL,
Пусть теперь (— произвольное натуральное число,
не меньшее, чем
max Су(п), г (/ + 2)).
Тогда
F8)
F9) \z(i)-zl+2\<2-'-\
Кроме того, из F6) и F7) следует, что
G0) yn l\
Следовательно,
G1)

146 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Из G1) по теореме 10 следует, что у > г.
Аналогично доказывается, что из 29 (х, у, п, г) =г=2
вытекает z >• х.
Лемма 4 позволяет следующим образом усилить
только что доказанную теорему.
Теорема 21. Можно построить алгорифм Рз, пере-
перерабатывающий всякое слово вида х, у, г, где х < у,
& 1 или в 2 и такой, что для любого слова указанного
вида, если Рз(х,у,г) =^\,то z <у, и если Рз(х,у,г) =^2,
то г > х.
10. Следующая теорема позволяет использовать до-
доказательства «от противного» при установлении отно-
отношений порядка между КДЧ.
Теорема 22. Пусть 6 —любой из знаков =, >,
3) 3>
<> s**» *С Для любых КДЧ х, у имеет место
& & з>
1
Доказательство. Импликации (x6y)iD ~] ~](хЬу)
очевидны. При доказательстве обратных импликаций
достаточно ограничиться отношениями ^, =, <.
g) 3> 8>
1) <!. По определению ~]~] (*<;#) означает ~]~]~](х>у).
Предположим, что х > у. Тогда выполняется ~] ~] (х > у),
что приводит к противоречию. Следовательно, ~] (х > у),
т. е. х <; у, что и требуется.
2) =. По определению 1 ~}~}(х = у) означает
з> з>
G2) llVn(\xn-yn\^2-n+1).
if
Из G2) вытекает, что
G3) 13/г(|*п-г/п|>2-п+1).
if
Из G3) получаем
G4) ЫК\хп-уп\>2-"+%
Наконец, G4) можно записать так:
Vn(\ хп-Уп\ f2~n+l).
Это и означает, что х = у.

i S] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ 147
3) <.. При доказательстве этой части -теоремы (так
&>
же, как и при доказательстве соответствующего утверж-
утверждения для отношения >) используется принцип Map-
si
кова.
Для доказательства импликации 1~](x<Zy)^
^=>{Х<У) нужно построить алгорифм, перерабатываю-
перерабатывающий всякое слово вида х, у, где х и у—КДЧ, для кото-
которых выполняется ~П (*, у), в натуральное число пх,и
такое, что
уп —хп >2~п*-У+\
апх, у пх, у
Нетрудно убедиться, что этим свойством обладает
алгорифм Nr, построенный согласно лемме 4.
В заключение данного пункта докажем теоремы, по-
позволяющие совершать предельный переход в неравен-
неравенствах.
Лемма 8. Можно построить алгорифм G типа
{3) -?Ж) такой, что для любого КДЧ х
1) \G(x) = x> 0;
2) если \G(x), то х> 2~GM.
Доказательство. Пусть Nr — алгорифм, по-
построенный согласно лемме 4. Пусть далее а — такой ал-
алгорифм, что для любого рационального числа г, если
г > 0, то а (г) == Л, и если г ^ 0, то ~1 ! а (г). Построим
алгорифм Nr такой, что для любых х, у
Nr (х, у) - Nr (х, у) a ((yNt ^ у) - *Nr „, у) - 2"Nr <
Из утверждения 1) леммы 4 очевидно, что
G5) \Ш(х,у)^х<у.
Очевидно также, что если х < у, то
G6) Nr(x,y) = NT(x,y).
Построим алгорифм G такой, что
G(x)~N"r@, *)+l.
ас
Алгорифм G обладает требуемыми свойствами.

148 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Действительно, свойство 1) следует из G5). Дока-
Докажем, что выполняется 2). Пусть \G(x). Тогда !Nr@, x).
Следовательно, !Nr@, х) и Nr@, *)===Nr(O, x). Далее
G7) х >2-Nr<Ol*)+1
\"> *Nr @. х) > *¦
При любом i ^ *(Nr(O, х))
G8) |?@-
Из G7) и G8) получаем, что при таких i
G9) х (i) > 2~Nr <0"x)+l — 2~Nr <0> x) = 2~Nr @*x)
Отсюда согласно теореме 11 следует, что
Следовательно,
что и требовалось.
Теорема 23. Пусть х—КДЧ такое, что при лю-
любом п х ^ 2~".
Тогда х < 0.
Доказательство. Предположим, что х > 0. Тог-
Тогда \G(x), G(x)—натуральное число и х > 2-G<*>, что
противоречит условию. Следовательно, ~](х>0), что и
означает х ^ 0.
Теорема 24. Пусть х — КДЧ такое, что х^О и
при любом п х s?j 2~п. Тогда х — 0.
Доказательство. По теореме 23 имеем х <; 0.
Отсюда и из х ^ 0 по теореме 17 следует х = 0.
Аналогично теореме 23 может быть доказана следую-
следующая
Теорема 25. Пусть х — КДЧ такое, что при лю-
любом п имеет место —2~п К х. Тогда х > 0.
Из теорем 23, 25 и 17 вытекает следующее утверж-
утверждение.
Теорема 26. Пусть х — КДЧ такое, что при лю-
любом п имеет место —2~п КхК2~п. Тогда х = 0 *).
*) Запись у ^ х ^ z понимается как сокращение записи
*)&(*< г).

* 4] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД КДЧ 149
§ 4. Арифметические операции над КДЧ
1. В основе построений этого параграфа лежит сле-
следующая лемма, несложное доказательство которой (ис-
(использующее универсальный алгорифм, теоремы сочета-
сочетания алгорифмов и теорему 16 (§ 1 гл. 1)) предостав-
предоставляется читателю.
Лемма 1. Каковы бы ни были алгорифмы 21', 212,
2I3, можно построить алгорифмы S31, S32, S33, S34 так, что
для любых КДЧ х, у и любого натурального п
S31 (х, у, п) ~ 2I1 (х BI2 (я)), у (W (я))),
93' (х, у, п) ~ 2I1 (х(%Цп)), y(W(n))),
2. Операции сложения, вычитания; абсолютная ве-
величина. Определение 1. Будем говорить, что ПРИ а
является суммой (разностью) ПРИ аь а2, если при лю-
любом п
(соответственно
а(я) = а,(я) — а2(п)).
Лемма 2. Пусть аь аг, а—ПРИ, причем а яв-
является суммой (разностью) ПРИ а\, аг. Пусть далее Рь
Рг — регуляторы фундаментальности соответственно а\
и пег, а р — ПНЧ такая, что при любом п
A) p(n) = max(p,(n+ 1), р2(я+ 1)).
Тогда р — регулятор фундаментальности а.
До каз а т ел ьство. Рассмотрим, например, слу-
случай, когда а является суммой ai и сй. Фиксируем про-
производное п. Пусть I, k ^ Р(п). Ввиду A) тогда
B) I a, (k) - а, (/) | < 2
и
C) \a2(k)-
""-1

150 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА {ГЛ. t
Далее
| a(k) - а@ | = 1 а, (k) + a2(k) - а, (/) - а2(/) |<
<| а, (k) - а, @ ] +1 а2 (Л) - а2 (i) \ < 2~п,
что и требовалось.
Пользуясь леммой 1, построим алгорифмы сл^ и вчA>
такие, что для любых КДЧ х, у и любого п
слA) (х, у,п)~х (п) + у («),
ъчт(х,у, п)~х(п) — у(п).
. - & —
Построим также алгорифм рег(±) такой, что
рег<±>(*, у, tt)~max(^(«+ 1), «/(«+ 1)).
Построим далее (согласно той же лемме 1) алго-
алгорифмы слB), вчB), рег(±) такие, что
Построим далее по теореме объединения алго-
алгорифмы слC) и вчC) такие, что
ел® (х, у) = сл<2> (а:, у) О рёг<±> (а:, у),
вч<3> (х, у) = вч'2' (х, у) О рё?±> (х, у).
Пусть теперь К — алгорифм, применимый к любому
слову вида Р1г Р2, где Р, и Р2 — слова в Ч, такой, что
S(Pi,P2)^=A тогда и только тогда, когда Р, ир-
иррациональные числа.
Пользуясь теоремой разветвления и теоремой о пере-
переводе, построим алгорифмы + и — в Ча такие, что для
3) 3)

§4] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД КДЧ 151
любых КДЧ х, у
х + у, если &(х, г/)==Л,
слC)(х, у), если (&(х, у)фЛ;
[
I
х — у, если ?(*, у)==Л,
вчC) (х, у), если © (л;, у) ф Л.
Ввиду леммы 2 алгорифмы + и — являются алго-
з> з>
рифмами типа BEP-+2D). Эти алгорифмы мы будем
называть операциями сложения и вычитания конструк-
конструктивных действительных чисел.
Определение 2. Будем говорить, что ПРЧ а яв-
является абсолютной величиной {или модулем) ПРЧ ось
если при любом п
а(п) = |а,(«)|
Лемма 3. Пусть а—ПРЧ, являющаяся модулем
ПРЧ ось и ПНЧ Pi является регулятором фундаменталь-
фундаментальности а\. Тогда Pi есть регулятор фундаментальности а.
Доказательство. Фиксируем произвольное п.
Пусть i, y>Pi(«). Тогда
I а (у) - а (I) | = || а, (у) | -1 а, (/) ||< | а, (у) - а, @ | < 2"",
что и требуется.
Построим алгорифм М такой, что для всех х, п
М (х, п) ~ mod (x(n)).
& —
Построим далее алгорифм mod такой, что
3)
mod (x) ~
з>
| х 1^, если х является рациональ-
рациональным числом,
Е Мх 3 О ? х 3, если х не является рацио-
рациональным числом.

152 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Ввиду леммы 3, алгорифм mod является алгорифмом
з>
типа {2)->3>).
Непосредственно из определений алгорифмов +, —
з> з>
и mod устанавливается следующая
з>
Лемма 4. Для любых КДЧ х, у и любого п
1) +(х,у)(п) =
в
4) mod (x) (n) =f= H (/г).
я>
Вместо записей + (х, у), — (х, у) и mod (x) мы будем
часто использовать записи х + у, х — у и | х L, причем
в тех случаях', когда это не ведет к недоразумениям,
индекс «<Z5» будет опускаться.
3. Операции умножения, деления, max, min. О п р е-
а> &
деление 3. Будем говорить, что ПРИ а является про-
произведением ПРЧ ai, (X2, если при всех п
a(n) = a,(n)-a2(n).
9* 9*
Лемма 5. Пусть ПРЧ а является произведением
ПРЧ ai, a2, ПНЧ рь р2 являются регуляторами фунда-
фундаментальности ai и а2. Пусть далее k — натуральное
число up — ПНЧ такие, что при любом п
| а, (я) | < 2*,
1а,(л) |< 2*
Р (л) == max (р, (я + k + 1), р2(я + k + 1)).
эс
Тогда р есть регулятор фундаментальности ПРЧ а,,

§ 41 АРИФМЁ-ШЧЁСКИЁ ОПЕРАЦИИ НАД КдЧ 1S3
Доказательство. Фиксируем произвольное п.
Пусть i, j > р (л). Тогда
I а (О - а (/) | = | а, (/) • а2 (/) - а, (/) • а2 (/) | =
= I а, (/) • (а2 (/) - а2 (/)) + Щ (/) ¦ (а, (/) - а, (/)) | <
<1 Щ (Г) | • | а2(/) - а2(/) | + I Щ(П I • I а, @ - а, (/) | <
< 2* • 2~ft"n"' + 2* • 2~k~n~i = 2~п,
что и требуется.
Лемма 6. Можно построить алгорифм G+ типа
{Ф —»• Ж) такой, что для любого х и п
2) U(n)|
Доказательство. Построим алгорифм Х\ такой,
что для любого рационального г
(обозначения гиг введены на стр. 121; _г обозначает
«числитель» г).
При любом г
D) |г|<2М'>.
Построим алгорифм Яг так, что
Очевидно, Я2 является алгорифмом типа (iZ> —»¦ &) и,
ввиду леммы 4,
E) Я2(*)>|л:|.
Построим алгорифм G' так, что
G'W^^(^2(a:)).
Этот алгорифм является алгорифмом типа B)-* Ж) и,
ввиду D) — E), при любом х
F) |лг|
Искомый алгорифм G+ строим теперь так, чтобы вы-
выполнялось
G+ (х) = max (G' (х), Я, (х @)), .... Я, (х ?@)))).

154 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ГГЛ. 2
Свойство 1) очевидным образом следует из F). До-
Докажем свойство 2). Если п ^. х@), то, очевидно,
Если же п > х@), то
Следовательно,
\х (ft) |< Я2 (х) < 2°' <*> < 20+ <*>.
Лемма доказана.
Построим теперь (пользуясь леммой 1) алгорифмы
^> и рег('> такие, что для любых КДЧ х и у
(х,у, п)~х(п)-у(п),
- з—
рег(>) (х, у, ft) ~ max (J (ft + max(G+ (x), G+ (у)) + l),
у (ft + max (G+ (x), G+,(y))+ l))'
5С
Ввиду лемм 5 и 6 алгорифм per*',, является регу-
регулятором фундаментальности ПРЧ умнх, „.
Построим алгорифм • такой, что для любых КДЧ
Я)
х, у
х • у, если хну — рацио-
^ нальные числа,
(х, У) &
уЗ О ? регх.'у 3, если хотя бы одно
из х, у не является ра-
рациональным числом.
Алгорифм • будем называть операцией умножения
в
КДЧ. Из сказанного выше следует, что • является ал-
горифмом типа
Из определения алгорифма • непосредственно усма-
т
тривается следующая

§ 41 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД КДЧ 1Б5
Лемма 7. Для любых КДЧ х, у и любого п
Переходим к определению операции деления.
Лемма 8. Можно построить алгорифмы G~ и G~
типа B>т> Ж) так, что для любого КДЧ х
1) Ю-(х) = хфО, и если Ш~(х), то | х\> 2"°" w ;
2) если хфО, то Ю~ {х), и | *@ I >2~°~w при
Доказательство. В качестве G можно взять та-
такой алгорифм, что
G~(x)~G (mod (*)),
з>
где G — алгорифм, построенный согласно лемме 8 § 3.
Утверждение 1) вытекает (с применением принципа
Маркова) из леммы 8 § 3 и теоремы 2 (стр. 159). Ал-
Алгорифм G~ строим так, чтобы
GT{x)~x{G-{x)-l).
Выполнение утверждения 2) для определенного таким
образом алгорифма О~ уже фактически установлено
в доказательстве леммы 8 § 3 (см. утверждения G5),
G6) и G9) этого доказательства).
Определение 4. Будем говорить, что ПРЧ а. яв-
является обратной для ПРЧ а\, если при любом п
1, если а, (п) = О,
1 : а, (п), если а, (п) Ф 0.
Лемма 9. Пусть ПРЧ а является обратной для аи
ПНЧ Pi является регулятором фундаментальности ai и
натуральные числа п, k таковы, что при i ^ k
I a, (/) | > 2-".
Пусть далее ПНЧ р такова, что при любом I

156 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Тогда 6 является регулятором фундаментальности
ПРИ а.
Доказательство. Пусть /, /^р(/). Тогда, так
как Р@>* и Р(/)>р,(/ + 2-я), имеет место*)
I a @ - a (/) | = ««(«'-«.(О
@ • а, (/)
что и требовалось.
Построим алгорифмы обр*1' и per*1' такие, что для
любого КДЧ х и любого п
II, если х(п) = 0,
1:х(п), если х(п)Ф0;
регA) (х, п) ~ max (х (я + 2 • О" (х)), б"(х)).
Используя лемму 8, легко построить алгорифм X
так, что при любом КДЧ х
и если \Х(х), то \(х) == Л.
Построим теперь алгорифм обр так, что **)
обр (х) ы к (х) g обр*,1» 5 0^ fe0 5-
Из леммы 9 и определения Я, получаем следующее
утверждение.
Лемма 10. Алгорифм обр является алгорифмом
типа \3>-r*-3>) и при любом КДЧ х
!обр (х) = х Ф 0.
Кроме того, из леммы 8 следует
*) Запись — понимается как Г\: гг.
Гг &
**) Алгорифм % введен для того, чтобы алгорифм обр (а затем
и алгорифм деления) оказался конструктивной функцией (см. § 1
гл. 5). , .

5 4] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД КДЧ 157
Лемма 11. Если !обр(х), то \G~(x), и npuJ^G-(x)
обр (х) @= 1 :*(/).
Построим алгорифм : так, что
з>
х : у, если хну — рациональные
* числа,
я>ул' у> ~ j • (х, обр (у)), если хотя бы одно из х, у не
{ ® есть рациональное число.
Этот алгорифм, очевидно, является алгорифмом
типа {2?-г» ЗУ).
Лемма 12. Каковы бы ни были КДЧ х и у,
в
Из леммы 11 и леммы 7 вытекает следующее ут-
утверждение.
Лемма 13. Каковы бы ни были КДЧ х и у, если
!: (х, у), то Ю~ (у), и при всех i > G~ (у)
Алгорифм : мы будем называть операцией деления
з>
КДЧ. Вместо записей • (*, у) и : (х, у) мы будем часто
3) S>
использовать запись х • у и х'.у или даже х • у и х:у.
3> 3)
Вместо записи х'. у будет также использоваться за-
запись —.
у
Построим алгорифмы min и max такие, что для
ЗУ 3>
любых КДЧ х и у
з>
Очевидно, алгорифмы max и min являются алго-
з) а
рифмами типа {&?-*¦?)).

158 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2
Индекс «0» в записи max (*, у), min (*, у), как пра-
3> 3>
вило, опускается.
Вполне очевидна следующая
Лемма 14. Каковы бы ни были КДЧ х, у и нату-
натуральное п,
max (х, у) (п) = max (x (/г), у (/г)),
I J #¦ #> - ~
min (*, у) (п) = min (x(n), у (/г)).
Ij & $ -
Множество 3!) вместе с определенными на нем отно-
отношениями равенства и порядка мы будем иногда назы-
называть конструктивным континуумом или конструктивной
прямой (осью). КДЧ будут иногда называться точками.
4. Изложенные в § 3 свойства отношений равенства
и порядка позволяют без труда установить ряд обычных
свойств арифметических операций. Можно показать
(предоставляем это читателю), что все введенные опе-
операции сохраняют равенство КДЧ (т. е. являются кон-
конструктивными функциями в смысле § 1 гл. 5). Операции
сложения, умножения и деления удовлетворяют аксио-
аксиомам поля, имеют место обычные правила обращения
с неравенствами (ср. теорема 6 § 1) и т. д. Объем книги
не позволяет подробно остановиться на этих вопросах,
и мы ограничимся несколькими примерами.
Теорема 1. Каковы бы ни были КДЧ х, у, z
2)
3)
5)
6)
7)
X
x
X
X
X
+ У = У
В
¦(У-г) =
¦ у = у .
3)
+ x;
3>
V
X)
8) если х Ф 0, то х ¦ — = 1;
9)

§ 41 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД КДЧ 159
(в утверждениях 4) и 8) через (—х) и — .обозначены
соответственно КДЧ 0 — х и 1 : х).
& з>
Доказательства утверждений 1)—9) совершенно
идентичны. Установим, например, коммутативность сло-
сложения. Согласно лемме 4 при любом п
х + у (п) = х (п) +1 (п),
Отсюда, ввиду коммутативности операции +', сле-
<?>
дует
х + у (п) = у + х (п),
что на основании теоремы 9 п. 4 § 3 позволяет заклю-
заключить о равенстве х + у = у + х.
3)
Теорема 2. Каковы бы ни были КДЧ х, у,
2) \х\ = 0 = х = 0;
3) если х>0, то \х\ = х;
4) если х < 0, то \х\ = — х;
Доказательство. Утверждение 2) непосред-
непосредственно следует из леммы 4 и определения отношения =.
з>
Доказательства 1) и 5) аналогичны. Докажем 1). По
лемме 4
\х\(п) = \х(п) |>0.
Следовательно (теорема 11 § 3), |^|^0, что и тре-
требуется. Для доказательства 3) найдем по теореме 10
§ 3 натуральные пят такие, что при i ^s m
Следовательно, при i ^ m
| ?@1 =?=?«•

160 Конструктивные Действительные числа {ГЛ. i
Отсюда по лемме 4 и теореме 9 § 3 получаем |jc|=*.
Утверждение 4) доказывается аналогично.
Теорема 3. При любых КДЧ х, у
1) min (*, у) ^ х ^ max (*, у);
2) min (*, у) <у < max (x, у);
3) невозможно, чтобы одновременно имело место
min (x, у) ф х
и
min (x, у) ф у;
4) то же, что и 3), с заменой min на max. Доказа-
Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.
§ 5. Рациональные числа в конструктивном континууме
Введем некоторые важные понятия.
Определение 1. Слово вида хА у (х V у), где х,
у — КДЧ такие, что х ^ у (х < у), назовем сегментом
(интервалом). КДЧ х и у будем называть соответствен-
соответственно левым и правым концами сегмента х А у (соответ-
(соответственно интервала xVj). Сегмент хАу (интерес
х V у) назовем рациональным, если х и у — рациональ-
рациональные числа.
Ниже, в тех контекстах, где речь может идти безраз-
безразлично о сегменте или интервале, мы будем употреблять
термин «промежуток» и запись *Х У- Два промежутка
называются одноименными, если они одновременно яв-
являются сегментами или интервалами.
Определение 2. Будем говорить, что КДЧ г при-
принадлежит сегменту хАу (интервалу xVу), если х•<
^ г ^ у (соответственно х < г < у). Принадлежность
г данному промежутку х X У будет выражаться записью
Нетрудно построить алгорифмы Кя и КП, перераба-
перерабатывающие всякий промежуток соответственно в его ле-
левый и правый концы (ср. пример 6 п. 4 § 1 гл. 1).
Определение 3. Будем говорить, что промежу-
промежуток х%У включен (строго включен) в одноименный
промежуток AtiXf/i, и писать х X У ^ *\ X У\ (соответ-
(соответственно х X У с= *, X У\), если *<*, и !/,<!/ (соответ-
(соответственно X < *i И у{ < у).
Аналогично можно было бы определить включение
(строгое включение) и для разноименных промежутков.

§51 рациональные Числа й конструктивном Континууме 161
Построим алгорифм Дл так, что для любого про-
промежутка х X У
Определение 4. КД Ч Дл (х X у) называется дли-
длиной промежутка х% у. Сегмент х А у назовем вырож-
вырожденным, если Дл(х А у) = 0, и невырожденным, если
(H
(у)
Длину промежутка х X У мы будем часто обозначать
посредством |лгХ#1-
Теорема 1. Можно построить арифметически пол-
полный алгорифм, перечисляющий множество всех рацио-
рациональных чисел.
Эта теорема вытекает из разрешимости и бесконеч-
бесконечности множества рациональных чисел.
Нам потребуется следующая, представляющая само-
самостоятельный интерес,
Лемма 1. Можно построить алгорифм, перераба-
перерабатывающий всякий интервал х V у в рациональный ин-
интервал, концы которого принадлежат х V у.
Доказательство. Воспользуемся алгорифмами
D~, D+, которые будут построены в лемме 2 § 3 гл. 3, и
алгорифмом G, построенным согласно лемме 8 § 3. Иско-
Искомый алгорифм р строим так, что
р (х V У) ^ D+ (х, G (у - х) + 1) v D~ (у, Q(y-x)+ 1).
Требуемые свойства р легко устанавливаются на осно-
основании леммы 8 § 3 и леммы 2 § 3 гл. 3.
Теорема 2. Можно построить алгорифм, перера-
перерабатывающий всякий интервал в рациональное число,
принадлежащее этому интервалу.
Теорема 3. Можно построить алгорифм у такой,
что для любого интервала х V У алгорифм yxVy является
ПРЧ, причем: 1) при любом i yxvy (i) e^Vi/; 2) равен-
равенство Vxvy(!) = yxvy(i) возможно лишь при i = j.
Теорема 2 показывает, что множество рациональных
чисел всюду плотно на конструктивной прямой, а тео-
теорема 3 — что множество различных (в смысле отноше-
отношения = ) рациональных чисел, принадлежащих произ-
вольному интервалу, бесконечно.
Теорема 4. Можно построить алгорифм а такой,
что для любого интервала х V у область определения

162 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1ГЛ. 2
алгорифма axvy относительно алфавита Ч (см. п. 4 § 3
гл. 1) есть множество рациональных чисел, принадлежа-
принадлежащих х V у.
Доказательство. Построим алгорифм а', приме-
применимый к слову Q в алфавите Ч тогда и только тогда,
когда Qe^1, и такой, что если \a'(Q), то o'(Q)==Q.
Легко видеть, что требуемыми свойствахми обладает
алгорифм а такой, что
а (х у у, Q) с* G ( - (a' (Q), х))О(- (у, о' (Q))).
3> 3)
Следствие 1. Для любого интервала хVу мно-
множество рациональных чисел, принадлежащих этому ин-
интервалу, перечислимо *).
Следствие 2. Можно построить алгорифм Рц так,
что: 1) Рц является арифметически полным алгорифмом,
перечисляющим множество всех рациональных чисел;
2) для любого интервала х V У Рд* чу является ариф-
арифметически полным алгорифмом, перечисляющим множе-
множество рациональных чисел, принадлежащих х V у.
Замечание. Алгорифм Рц перечисляет множество
рациональных чисел (множество рациональных чисел из
данного интервала) заведомо с повторениями в том
смысле, что для каждого рационального г при бесконеч-
бесконечном числе значений i выполняется равенство Рц(г') = г.
Этот «дефект», однако, может быть устранен. Именно,
аналогично теореме 2 п. 3 § 3 гл. 1 доказывается, что
для каждого перечислимого множества рациональных
чисел М осуществим стройный алгорифм а типаE#-г>„#)
такой, что: 1) для любого ге! найдется i, при кото-
котором lot (г) и a(i) = r; 2) равенство а (г) = а (у) возможно
лишь при i = i
Определение 5. КДЧ х назовем иррациональным,
если невозможно рациональное число г такое, что х = г.
з>
Предоставляем читателю доказать, что для любого
интервала множество иррациональных КДЧ, принадле-
принадлежащих этому интервалу, неперечислимо и, более того,
это множество эффективно несчетно (в смысле § 3 гл. 3).
*) Нетрудно убедиться, что для любого интервала множество
рациональных чисел, принадлежащих этому интервалу, не может
быть неразрешимым.

ГЛАВА 3
конструктивная сходимость.
эффективная несчетность
конструктивного континуума
В данной главе излагаются основные факты кон-
конструктивной теории сходимости. Эта теория, как будет
видно из дальнейшего, наряду со значительным сход-
сходством с традиционной теорией пределов, имеет также
значительные от нее отличия. Эти отличия, однако, свя-
связаны не столько с конкретными приложениями теории
пределов (сходимость тех или иных используемых в ана-
анализе последовательностей и рядов), сколько с теорети-
теоретическими вопросами (такими, как существование предела
ограниченной монотонной последовательности).
В своей прикладной части (признаки сходимости,
сходимость тех или иных конкретных последовательно-
последовательностей и рядов) конструктивная теория пределов почти
аналогична традиционной теории и, по-видимому, в та-
такой же или почти в такой же степени может обслужи-
обслуживать ее обычные приложения. Чтобы не пересказывать
соответствующих разделов учебников анализа, мы почти
не останавливаемся на этих вопросах, приводя лишь
в качестве иллюстрации некоторые признаки сходимости
рядов и определение числа е.
В последнем параграфе главы устанавливается кон-
конструктивный вариант теоремы Кантора о несчетности
континуума.
§ 1. Основные определения. Первоначальные теоремы
о пределах
Определение 1. Последовательностью конструк-
конструктивных действительных чисел (ПКДЧ или, короче,
ПДЧ) называется алгорифм, перерабатывающий всякое
натуральное число в КДЧ.
Определение 2. Пусть а —ПДЧ. ПНЧ р назы-
называется регулятором сходимости в себе (или, короче,

164 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
регулятором фундаментальности) а, если
Vnml(m, I > р (я) гэ | а (т) - а (I) |< 2"").
Определение 3. ПДЧ а назовем фундаменталь-
фундаментальной (квазифундаментальной), если осуществим (невер-
(неверно, что не существует) регулятор фундаментальности
этой последовательности.
Определение 4. ПДЧ а назовем псевдофунда-
псевдофундаментальной, если
V» 113?Vm/(m, />k гэ| а(т) - а(/) |<2"").
Определение 5. Пусть х — КДЧ и алгорифм а—
ПДЧ. ПНЧ р назовем регулятором сходимости ПДЧ а
к КДЧ х, если
Vtint (т > р (я) гэ | а (т) - х |< 2"").
Определение 6. Будем говорить, что ПДЧ а схо-
сходится к КДЧ х (или что х является пределом ПДЧ а),
если осуществим регулятор сходимости а к х.
Определение 7. ПДЧ назовем сходящейся, если
осуществимо КДЧ, к которому сходится эта последова-
последовательность.
Почти очевидны следующие три теоремы.
Теорема 1 (единственность предела). Если ПДЧ а
сходится к КДЧ х и Хи то х = Хи
Теорема 2. Пусть ПДЧ а сходится к КДЧ х и
ПДЧ ai такова, что при любом п
Тогда а\ сходится к х. (При этом всякий регулятор схо-
сходимости а к х является регулятором сходимости ai к х.)
Теорема 3. Пусть ПДЧ а сходится к х и хх = х.
Тогда а сходится к хх. (При этом всякий регулятор схо-
сходимости а к х является регулятором сходимости а к Xi.)
Теорема 4. Пусть ПДЧ ai и осг сходятся соответ-
соответственно к х\ и Х2, причем осуществимо m такое, что для
любого n r^s m
а, (я) < a2 (n).
Тогда Х\ ^ х%.

§ 11 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 165
Доказательство. Пусть х{ > х2. Тогда по по-
построению алгорифма G (лемма 8 § 3 гл. 2)
A) х,-х2>2-О(*'-Ч
Пусть б,, б2 — регуляторы сходимости соответственно а,
и а2 к х{ и х2.
Рассмотрим произвольное I такое, что
i > max (б! (G (*, - х2) + 1), б2 (G (лс, - х2) + 1), т).
Тогда
B) км-я.кг-0-*"»-1,
C) |а8@-*81<2~о<*1~*1)~1.
Из A) — C) получаем
а,@-а8@>0,
что противоречит условию.
Следствие 1. Если ПДЧ а сходится к х и осу-
осуществимо m такое, что при любом ti^m a(n)^. у, то
х <g; у. (Аналогично, если при п^т а(п)^у, то
х > у.)
Нетрудно также доказать следующее утверждение.
Теорема 5. Если ПДЧ ось а2 сходятся к одному и
тому же КДЧ и ПДЧ а такова, что при любом п
min (а, (п), а2 (и)) ^ а (п) ^ max (а, (п), а2 (и)),
то а сходится к этому же КД Ч.
Определение 8. Пусть а — ПДЧ.
1) Назовем а возрастающей (неубывающей), если
при любом п
а(п+ 1)>а(л)
(соответственно а(п + 1)^ а(п)).
2) Назовем а убывающей (невозрастающей), если
при любом п
а(п+ 1)<а(л)
(соответственно а(я+ l)s=: a(n)).
3) Назовем а монотонной, если а является неубы-
неубывающей или невозрастающей ПДЧ.

166 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ ГГЛ. 3
Теорема 6. Если неубывающая (невозрастающая)
ПДЧ а сходится к КДЧ х, то для любого п
а(п)^х (соответственно а(п)~^х).
Доказательство. Пусть при некотором па
D) х<а(п0).
Тогда при /^га0
E) *<аЮ <<*(/).
Отсюда по следствию 1 получаем
х < а (п0) < х,
что невозможно.
Лемма 1. Пусть алгорифм р является регулятором
фундаментальности ПДЧ а. Тогда если а сходится к
КДЧ х, то при любом k~^ p(n)
Доказательство. Пусть k, i~^$(ri). Тогда
| о (Л) —а (О К 2"*,
т. в.
Отсюда согласно следствию 1 получаем
a (k) - 2~п < х < а (Л) + 2~",
т. е.
что и требовалось.
Следующая теорема устанавливает простую связь
между регуляторами сходимости и фундаментальности
данной ПДЧ.
Теорема 7. Пусть р и р' — ПНЧ такие, что при
любом п р'(га) =5=Р(« + 1). Тогда
1) если р есть регулятор фундаментальности ПДЧ а
и а сходится к некоторому КДЧ, то р' есть регулятор
сходимости а к этому КДЧ;
2) если р есть регулятор сходимости а к некоторому
КДЧ, то р' является регулятором фундаментальности а.
Доказательство. 1) Пусть р — регулятор фун-
фундаментальности ПДЧ а и а сходится к КДЧ х. Согласно

§ 1] ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 167
лемме 1 при любом п и k ^ р(п)
Следовательно, если i ^ р'(и) ==р(п-|- 1), то
| а @ — * К 2-*-1 < 2"п,
т. е. р' является регулятором сходимости а к х.
2) Пусть р— регулятор сходимости а к х. Фиксируем
произвольное п. При I, j ^ Р'(п)
откуда
| а@-о(Л К 2-,
что и требуется.
Теорема 8. Для любого КДЧ х ПРЧ х сходится
к х.
Доказательство. Пусть р* — алгорифм та-
такой, что при любом п
Тогда при любых i, } ^ Р*(и)
G) | *(*)-*(/) |< 2-"-1.
Фиксируем /. Ввиду леммы 4 § 4 гл. 2 G) можно
записать так:
\x-x(j)\(i)<2-n-\
I 1
Отсюда по теореме 11 § 3 гл. 2 следует, что
Следовательно, алгорифм рж является регулятором
сходимости ПРЧ^ к КДЧ х. Теорема доказана.
Могут быть установлены и обычные правила пре-
предельного перехода в сумме, разности, произведении и

168 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
частном. Соответствующие формулировки и доказатель-
доказательства предоставляются читателю.
Как известно, часто удобно излагать теорию преде-
пределов не в терминах последовательностей, а в терминах
рядов. Приведем соответствующие определения.
Определение 9. 1) Пусть а—ПДЧ. ПДЧ а{ на-
называется числовым рядом с общим членом а, если при
любом п
,()(
i=0
2) ПНЧ р называется регулятором сходимости ряда
а\ к КДЧ х, если р является регулятором сходимости
ПДЧ cci к х.
3) Будем говорить, что ряд сходится к КДЧ х (или
что х является суммой данного ряда), если осуществим
регулятор сходимости этого ряда к х.
4) Ряд назовем сходящимся, если осуществимо КДЧ
х, к которому сходится этот ряд.
Можно построить алгорифм 2 такой, что для любой
ПДЧ а алгорифм 2?азявляется РЯД°М с общим членом а.
Этот ряд мы будем (чтобы сделать обозначения более
00
привычными) обозначать через 2а@- Вообще, мы
1=0
будем свободно пользоваться обычной символикой тео-
теории рядов, предоставляя читателю в каждом конкретном
случае ее уточнение в духе определения 9.
Для рядов очевидным образом можно переформули-
переформулировать теоремы 1—3. В частности, из сходимости ка-
какого-нибудь ряда с общим членом а следует сходимость
любого другого ряда с общим членом а.
Нетрудно построить алгорифм mod(n) (ср. § 4 гл. 2)
такой, что для любой ПДЧ а при любом п
Определение 10. Будем говорить, что ряд с об-
общим членом а абсолютно сходится, если сходится ряд
i=0

§ 2] ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА 169
§ 2. Полнота конструктивного континуума. Теорема
о вложенных сегментах
1. Нам будут полезны следующие леммы.
Лемма 1. Для любого КДЧ х при любом п
Доказательство. Поскольку алгорифм х являет-
является регулятором фундаментальности ПДЧ * и в силу тео-
теоремы 8 § 1 х сходится к х, то лемма 1 непосредственно
вытекает из леммы 1 § 1.
Лемма 2. Можно построить алгорифмы D~ и D+
типа (C) X 3$) -*&) такие, что для любого КДЧ х и
любого п
D~(x, n)<x<D+ (x, п)
и
D+ (х, п) - D~ (х, п) < 2"".
Доказательство. Используя теорему об универ-
универсальном алгорифме, построим алгорифмы Ъ~ и D+ та-
такие, что
D- (х, п) ~ х (х(п + 3)) - 2-"-2,
D+ (х, п) ~ х (х (п + 3)) + 2~"~2.
Очевидно, D~ и D+ являются алгорифмами типа
({3> X 3$) ~* &) и для любых х, п
?+ (х, п) - D- (х, п) = 2"""' < 2"л.
Далее ввиду леммы 1
*(*(« +3)) -2~л-3<*<*(*(« +3)) + 2~л-3.
Следовательно,
D~ (x, n)<x<D+ (x, п).
Алгорифмы D~ и D+ обладают требуемыми свой-
свойствами.
Имеет место следующая важная
Теорема 1 (теорема о полноте конструктивного
континуума). Можно построить алгорифмы Игр и ИМ

170 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. S
такие, что для любых ПДЧ а и ПНЧ р, если р— регу-
регулятор фундаментальности а, то
1) алгорифм lim перерабатывает слово ?аЗ, ?РЗ
в КДЧ; ^
2) алгорифм Пт^з является регулятором сходимо-
сходимости а к КДЧ Ига (?аЗ, ЕРЗ)-
(Таким образом, для каждой фундаментальной по-
последовательности конструктивных действительных чисел
можно построить конструктивное действительное число,
к которому сходится эта последовательность.)
До каз ате льет в о. Используя теоремы сочетания
алгорифмов и теорему об универсальном алгорифме,
можно построить алгорифмы 91', 9l2, 913 такие, что для
любой ПДЧ а, ПНЧ р и любого п
, я)~тах(р@) Р(п+О),
ПС
Я3(?св, ЕРЗ, «)~Z)-(9l2(Ea3, ЕРЗ, л), л+ 2).
Построим далее алгорифмы lim и limA) такие, что
(напомним, что Id —алгорифм такой, что Id(n) = «
при любом о),
Покажем, что эти алгорифмы обладают требуемыми
свойствами.
Пусть а—ПДЧ и 0 — ПНЧ, являющаяся регулято-
регулятором фундаментальности а.
Тогда, очевидно, при любом п 5Х1 (ЕРЗ » п) есть нату-
натуральное число, 2l2(?a3> ?P3> п) —конструктивное дей-
действительное число и 913(?а3, ?РЗ > п)—рациональное
число. Обозначим для краткости на время доказатель-
доказательства эти числа соответственно через kn, an и гп.
Очевидно, при любых пг, п
U)
и если m ^ п, то

§ 2] ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА 171
Следовательно, при m ^ n выполняется
Далее по построению алгорифма D~
C). |rn-an|<2-n-2,
D) \rm~o.m\<2-m-\
Из B)—D) следует, что при т~^п
E) \гп-гт\<2-\
Следовательно, алгорифм Id является регулятором
фундаментальности ПРЧ Щаз, т- Таким образом,
алгорифм lim перерабатывает слово ?<хЗ, ЕРЗ в КДЧ.
Обозначим это КДЧ на время доказательства через х.
Поскольку при любом п
х (п) == Id {n) = n,
то
Тогда по лемме 1
F) |rn+,
Ввиду C)
G) |rn+I-
Ввиду A) при любом /:
Следовательно, при любом i
(8) | a @ - х |< 2~п-! + 2~п-2 + 2~
Построим алгорифм %* такой, что
Ввиду (8) алгорифм Щм является регулятором схо-
сходимости а к л:. Тогда по теореме 7 § 1 алгорифм Ит^рз
также является регулятором сходимости ос к я. Теорема
доказана.

172 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
Следствие 1. Всякая фундаментальная ПДЧ яв-
является сходящейся.
2. Определение 1. Последовательностью сегмен-
сегментов (интервалов) назовем алгорифм, перерабатывающий
всякое натуральное число в сегмент (интервал).
Определение 2. Последовательность сегментов
(интервалов) назовем вложенной, если при любом п
Ф(п+ 1)<=ф(п).
Определение 3. Последовательность сегментов
(интервалов) Ф назовем регулярной, если при любом п
Дл(Ф(л))<2-"
(напомним, что алгорифм Дл перерабатывает всякий
промежуток в его длину).
Имеет место следующая теорема, аналогичная из-
известной теореме о вложенных сегментах традиционного
анализа.
Теорема 2. Можно построить алгорифм lim<2), пе-
перерабатывающий запись всякой вложенной регулярной
последовательности сегментов Ф в КДЧ такое, что при
любом п
(Таким образом, для всякой вложенной регулярной по-
последовательности сегментов можно построить КДЧ, при-
принадлежащее всем сегментам этой последовательности.)
Доказательство. Пользуясь теоремами сочета-
сочетания алгорифмов и теоремой об универсальном алго-
алгорифме, построим алгорифм Я1 так, чтобы для любой по-
последовательности сегментов Ф и любого п
Построим далее алгорифм %2 так, чтобы для любого
слова Р в Ч
Искомый алгорифм lim<2) строим теперь так, чтобы
выполнялось

§ 2] ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА 173
Покажем, что этот алгорифм обладает нужными
свойствами. Пусть Ф — вложенная регулярная последо-
последовательность сегментов. Тогда %{фз есть ПДЧ, причем
если I, />л, то Я'(?ФЗ. /)е=Ф(л) и «'(W. /) еФ(л),
и, следовательно,
Таким образом, алгорифм Id является регулятором фун-
фундаментальности ПДЧ Й^фз и по теореме о полноте
limB>( ?ФЗ) есть КДЧ, к которому сходится эта ПДЧ.
Фиксируем теперь произвольное п и докажем, что
limB>( ?Ф^)е Ф(и). По построению 911 при любом
i
и, следовательно,
(9) Кл (Ф (л)) < Я^фз Ю < ^П (Ф ("))•
Переходя в (9) к пределу (по »), согласно след-
следствию 1 § 1 получим
/Сл (Ф («))< litn® (gO3)< /Сп (Ф («)).
т. е.
Теорема доказана,
Теорему 2 можно дополнить теоремой единственности
общей точки вложенной регулярной последовательности.
Теорема 3. Пусть Ф — вложенная регулярная по-
последовательность сегментов и КДЧ хи х2 таковы, что
при любом п
хх е Ф (п)
и
х2еф(«).
Тогда хх = *2.
Доказательство. При условиях теоремы для
любого п
откуда и следует, что Х\ =

174 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
Отметим, что теоремы 2 и 3 ценою некоторого услож-
усложнения доказательств можно усилить в следующем на-
направлении. Назовем последовательность сегментов Ф
стягивающейся, если ПДЧ |Ф| такая, что |Ф|(я) =
= |Ф(гс)|, сходится к 0. 1) Можно построить алгорифм,
перерабатывающий запись всякой вложенной, стягиваю-
стягивающейся последовательности сегментов в КДЧ, принадле-
принадлежащее всем сегментам этой последовательности; 2) если
КДЧ Х\ и х2 принадлежат всем сегментам некоторой стя-
стягивающейся последовательности сегментов, то Х\ = х2.
Эти утверждения нам не понадобятся и на их доказа-
доказательствах мы не останавливаемся.
В гл. 4 будет показано, что условие регулярности
в формулировке теоремы 2 (или условие стягиваемости
в приведенном выше ее усилении) является существен-
существенным.
Из леммы 2 очевидным образом вытекает
Теорема 4. Можно построить алгорифм 91 такой,
что для любого КДЧ х алгорифм %х является вложен-
вложенной регулярной последовательностью рациональных сег-
сегментов и при любом п
х*=%х (л).
Теоремы 2 и 4 устанавливают некоторое эффективное
соответствие между КДЧ и вложенными регулярными
последовательностями рациональных сегментов. Поня-
Понятие вложенной регулярной последовательности рацио-
рациональных сегментов можно принять за основу построения
системы вычислимых действительных чисел. При есте-
естественном определении отношений равенства, порядка н
арифметических операций над такими числами упомя-
упомянутое выше соответствие оказывается изоморфизмом
между этой системой вычислимых действительных чисел
и рассматриваемой нами системой КДЧ (ср. Успен-
Успенский [3], Заславский [4]).
3. Приведем некоторые признаки сходимости ря-
рядов *).
*) Подробное изложение этого круга вопросов можно найти
в книге Гуд с тейп а [2] и работе Хачатряна [1]. Приводимые
ниже результаты заимствованы нами из работы Хачатряна [1].

§ 21 ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА 175
Пусть а—некоторая ПДЧ. Рассмотрим'ряд
ею
A0) Sa(i).
Непосредственно из теоремы о полноте вытекает сле-
следующий критерий сходимости Коши.
Теорема 5. Для того чтобы ряд A0) был сходя-
сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы была осущест-
осуществима ПНЧ 6 (называемая регулятором фундаменталь-
фундаментальности этого ряда) такая, что при любых ш, п, I, если
m >в(/), то
т+п
i=m
Очевидно, располагая регулятором фундаментально-
фундаментальности данного ряда, можно построить КДЧ, являющееся
его суммой.
Ряд A0) назовем неотрицательным (положитель-
(положительным), если при любом i
a (i) ^ 0 (соответственно а (/) > 0).
Будем говорить, что ряд расходится, если он не яв-
является сходящимся.
Пусть р — ПДЧ. Рассмотрим ряд
(И) 2Р@-
Следствие 2. Если ряды A0) и A1) неотрица-
неотрицательные и осуществимо натуральное число m такое, что
при любом i :> m
то из сходимости ряда A1) следует сходимость ряда A0)
(и, следовательно, из расходимости ряда A0) вытекает
расходимость ряда A1)).
Следствие 3. Если ряды A0) и A1) положитель-
положительны и осуществимо натуральное число m такое, что при
i ^t m
g(/ + i) < P
P@

176 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ 1ГЛ. 3
то из сходимости ряда A1) вытекает сходимость ряда
A0) (и, тем самым, из расходимости ряда A0) следует
расходимость ряда A1)).
Будем говорить, что ряд A1) является остатком
ряда A0), если можно указать m такое, что при лю-
любом (
Следствие 4. Всякий остаток сходящегося ряда
сходится.
Следствие 5. Если некоторый остаток ряда схо-
сходится, то этот ряд сходится.
Следствие 6. Если ряд A0) сходится, то ПДЧ а
сходится к 0.
Следствие 7. Если х — КДЧ и при любом п
р (п) = х ¦ а (п),
то из сходимости ряда A0) вытекает сходимость ряда
A1).
Пусть y — ПДЧ такая, что при всех п
Y(n)-=a(n)+p(n).
Рассмотрим ряд
A2)
Следствие 8. Если ряды A0) и A1) сходятся, то
ряд A2) сходится.
Следствие 9. Всякий абсолютно сходящийся ряд
сходится.
Последовательность натуральных чисел 6 назовем
натуральной перестановкой, если осуществима ПНЧ 6'
такая, что при любом п
6F'(n))=s*n
и при любых k, l, если k =Ф I, то
6 (k) #6@.
Ряд с общим членом у назовем образом ряда A0)
при натуральной перестановке 6, если при любом п
у(п) = аF(п)).

§ 2] ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА 177
Следствие 10. Образ любого абсолютно сходяще-
сходящегося ряда при любой натуральной перестановке абсо-
абсолютно сходится (и имеет ту же самую сумму, что и ис-
исходный ряд).
Следствие 11 (критерий Лейбница сходимости
знакочередующихся рядов). Пусть ряд A0) таков, что
при любом i
<z(i)-a(/+l)<0
и ПДЧ а сходится к 0. Тогда ряд A0) сходится, и если
КДЧ х является его суммой, то при любом m
m m+l
2a@<*< 2 a(i)
i=0 «=0
или
m+l m
2 a(i)<K2«W.
Будем говорить, что ряд A0) расходится к беско-
бесконечности, если можно построить ПНЧ б такую, что при
любых ш, п, если m ^ б(га), то
m
2 a (')>«•
«=о
Имеет место следующий конструктивный аналог при-
признака сходимости Куммера.
Теорема 6. Пусть ряд A0) положителен.
I. Если можно построить ПДЧ р, натуральные числа
пит такие, что
оо
2) ряд \. -н-т^у расходится к бесконечности;
1=0
3) Vf (f > m Г) p(i) • а(°^1) - р (i + 1) >2-"), т-о
A0) сходится.
II. ?Ъш осуществима ПДЧ р ы натуральное число п
такие, что
¦ l)V/(p@>0);

178 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
2) ряд V -g-rjy- расходится;
3) V/(/
а^1)
то ряд A0) расходится.
Выбирая в этой теореме в качестве р ПДЧ р1, р2, Р3
такие, что для всех i > 0
р2 @=F/,
получаем признаки сходимости Даламбера, Раабе и
Бертрана.
Аналогичным образом могут быть переформулиро-
переформулированы признаки сходимости Коши, Абеля и Дирихле (ср.
Фихтенгольц [2]).
Приведенные признаки сходимости показывают зна-
значительное сходство традиционной и конструктивной тео-
теории рядов. Отличительной особенностью конструктивной
теории по сравнению с традиционной является устанав-
устанавливаемое в" следующем параграфе существование неот-
неотрицательных рядов с ограниченными (в совокупности)
частичными суммами, не являющихся (при принятом
нами определении сходимости) сходящимися. Однако
конкретные, употребляемые в приложениях анализа
ряды, как правило, не обладают этим свойством.
4. В качестве иллюстрации изложенного рассмотрим
следующий пример.
Пусть & — ПДЧ такая, что
®'@)-1,
и при i^1
Рассмотрим ряд
A3)
*) Через In здесь обозначается некоторый алгорифм, задающий
конструктивную функцию, соответствующую логарифмической функ-
функции традиционного анализа (ср. гл. 5, § 1).

$3] ПРИМЕР ШПЕКЕРА 179
Из очевидной оценки
|
(я+1I ' (я+ 2I т ¦¦¦ ^ (n + m)l
(«+1)! 1 п-п\
я+1
следует, что ряд A3) является сходящимся. (Так как
при п>2 выполняется и!-и>2п, то, например, алго-
алгорифм а такой, что
является регулятором фундаментальности ряда A3).)
Пользуясь теоремой о полноте, построим КДЧ, яв-
являющееся суммой ряда A3). Это КДЧ по аналогии
с традиционным анализом естественно обозначить бук-
буквой е.
Нетрудно убедиться, что ПДЧ (S такая, что при лю-
любом i > О
сходится к е (ср. Рудин [1]).
§ 3. Пример монотонной ограниченной не сходящейся
последовательности рациональных чисел
1. Основным результатом этого параграфа является
следующая теорема Ш п е к е р а [1].
Теорема 1. Можно построить последовательность
рациональных чисел ф такую, что
1) при любом п
О < в (л)< 1
и
в(п)<<В(п+ 1);
2) последовательность Ъ не фундаментальна.

180 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
Доказательство*). Построим арифметически
полный алгорифм а, перечисляющий без повторений не-
некоторое неразрешимое множество натуральных чисел JC.
(Возможность построения такого алгорифма без труда
усматривается из теоремы 12 § 3 гл. 1.)
Искомую последовательность © построим так, чтобы
при любом п
A) ©(«) = ? 2-°(<Н1.
Очевидно, при любом п
0<©(«)
и
B) ®(л)<©(л+1).
Далее, так как при / ф j a(i) Ф a(j), то 6 (п) меньше
суммы ряда
оо
22-'-1.
1=0
Следовательно,
C) ®(я)<1.
Предположим теперь, что осуществим алгорифм р,
являющийся, регулятором фундаментальности ПРЧ <5.
Тогда при любых / > 0, п
)
-©(Р(я))= 2
f=B (n)
Следовательно, при любом i > р(п)
D) о(/)>я-1.
Из этой оценки легко следует разрешимость множе-
множества Ж. Действительно, нетрудно построить алгорифм S)
так, чтобы для любого Р в @|} выполнялось**)
1) если Р не является натуральным числом, то
=5=0;
*) Приводимое нами доказательство теоремы Шпекера принад-
принадлежит Раису [1].
**) Здесь мы используем тот факт, что алгорифм о арифмети-
арифметически полн.

§ 3] ПРИМЕР ШПРКЁРА 181
2) если Р — натуральное число и существует i та-
такое, что 0 < i < Р(Р + 1) и a(i) =f P, то
3) если Р — натуральное число и для всех i таких,
что 0 ^ (^ р(Р + 1)> выполняется a(t)# Р, то
Очевидно, 35 применим к любому слову Р в {0|}. По-
Покажем, что Pei = 3>(Р) т= Л.
а) Пусть Ф(Р) =f= Л. Тогда Я — натуральное число
и при некотором i таком, что 0 ^ I ^ Р(Р + О» a(i)=5=/>-
Следовательно, Р е Ж.
б) Пусть Р^Ж. Тогда Я — натуральное число и
при некотором / <х(/)=р Р. Ввиду D) при i > Р(Р ¦+¦ П
выполняется a (i) > Р. Следовательно, 0 -< / -4 Р (Р + 1)
и S)(P) ^= Л.
Таким образом, регулятор фундаментальности в не-
невозможен.
Теорема 2. Последовательность в, построенная
согласно теореме 1, не сходится ни к какому КДЧ.
Доказательство. Если бы <5 сходилась к ка-
какому-нибудь КДЧ, то согласно теореме 7 § 1 последо-
последовательность в была бы фундаментальной.
Определение 1. Пусть а, Р—ПДЧ. Будем гово-
говорить, что р я&ляется подпоследовательностью а, если
можно построить возрастающую ПНЧ у так, что при
любом п
Вполне очевидна
Лемма 1. Если ПДЧ а сходится к некоторому
КДЧ, то любая подпоследовательность а сходится к это-
этому же КДЧ.
В случае монотонных ПДЧ имеет место обратное ут-
утверждение.
Лемма 2. Если какая-нибудь подпоследователь-
подпоследовательность монотонной ПДЧ а сходится к некоторому КДЧ,
то а сходится к этому же КДЧ.
Доказательство. Пусть a — ПДЧ, р — возрас-
возрастающая ПНЧ и а1 — такая ПДЧ, что при любом п

182 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
Предположим, что р1 — регулятор сходимости а1 к
некоторому КДЧ х.
Построим ПНЧ р2 такую, что
Покажем, что р2 является регулятором сходимости а
К X.
Пусть, например, а — неубывающая ПДЧ. Тогда,
очевидно, а1 — также неубывающая ПДЧ. Следователь-
Следовательно, при любом i
а1 @ < х.
Пусть теперь при произвольном п натуральное число i
таково, что i ^ Р2(я). Тогда
Следовательно,
Поскольку ПНЧ р возрастает, можно найти / такое,
что
р (/)>/.
Тогда мы получим
а1 (Р1 («))<а@< <*¦ (/)<*,
и так как
*-а1(р1(п))<2~'\
то
U-a(i)|<2-\
что и требовалось.
Из теоремы 2 и леммы 2 немедленно вытекает
Теорема 3. Никакая подпоследовательность ПРИ
<5 (построенной согласно теореме 1) не является сходя-
сходящейся.
Определение 2. ПДЧ а назовем ограниченной,
если осуществимо КДЧ х такое, что при всех i
(мы будем также говорить, что КДЧ х ограничивает
ПДЧ а).
Определение 3. ПДЧ а такую, что
1) а монотонна,
2) а ограничена,

§ 3] ПРИМЕР ШПЕКЕРА 183
3) а не является фундаментальной,
будем называть шпекеровюй.
Очевидно, в теоремах 2—3 вместо Ъ может фигури-
фигурировать любая шпекерова последовательность.
Как будет показано в доказательстве теоремы 4 сле-
следующего пункта, для построенной нами шпекеровой
ПРЧ Ъ последовательность рациональных чисел Ъ{п-\-
-f 1) —®(«) не сходится к 0. Вместе с тем нетрудно,
вставляя между @(я) и &(п -f 1) «достаточно густо» ра-
рациональные числа, построить возрастающую шпекерову
ПРЧ ©' такую, что
Таким образом, существуют как шпекеровы ПРЧ,
для которых разность соседних членов сходится к 0, так
и шпекеровы ПРЧ, для которых это не имеет места.
В гл. 8 будет приведено некоторое усиление тео-
теоремы 1 (впервые найденное Заславским [4]); именно,
будет построена возрастающая шпекероса ПРЧ у такая,
что для нее осуществим «понижающий» алгорифм, т. е.
алгорифм, перерабатывающий всякую верхнюю гра-
границу х этой ПРЧ в КДЧ, меньшее х и также ограничи-
ограничивающее сверху у *)•
Переформулируем полученные результаты в терми-
терминах рядов.
оо
Определение 4. Пусть 2 а (/) — неотрицатель-
неотрицательно
ный ряд. Будем называть этот ряд шпекеровым, если
1) данный ряд не сходится;
2) осуществимо КДЧ х такое, что при любом п
Из теорем 1—2 немедленно вытекает существование
шпекеровых рядов. Кроме того, из сделанного выше за-
замечания следует, что существуют как шпекеровы ряды
*) Этот результат может быть установлен и с помощью кон-
конструкции Раиса (см. доказательство теоремы 1), если в качестве Ж
взять креативное множество (ср. Цейтин [10]).

184 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
со сходящимся к 0 общим членом, так и шпекеровы
ряды, для которых это не имеет места.
Отметим также, что если у — возрастающая шпеке-
рова ПРЧ и 9? — множество рациональных чисел, пере-
перечисляемое алгорифмом у (т- е. множество рациональных
чисел «встречающихся в последовательности у»), то мно-
множество SB ограничено и вместе с тем невозможно КДЧ,
являющееся его точной верхней границей.
Результаты этого пункта устанавливают, таким об-
образом, существенные теоретические различия традицион-
традиционной и развиваемой нами конструктивной теории сходи-
сходимости. При принятом нами понятии действительного
числа и сходимости не сохраняется теорема Вейерштрас-
са о сходимости монотонных ограниченных последова-
последовательностей, теорема о выборе сходящейся последова-
последовательности и теорема о существовании точных границ
ограниченных множеств*). В следующем пункте мы ко-
коротко коснемся вопроса о том, как изменится положе-
положение, если использовать более общее понятие вычисли-
вычислимого действительного числа — псевдочисла и более об-
общее понятие сходимости — псевдосходимости.
2. Определение 5. Будем говорить, что ПДЧ а псевдосхо-
дится к КДЧ х, если
V/i   3mV/ (/ > m => | х - а (/) |< 2~").
Имеет место следующая теорема (Мазур [1]).
Теорема 4. Можно построить ПРЧ, псевдосходящуюся, но не
сходящуюся к нулю.
Доказательство. Пусть {J — арифметически полный алго-
алгорифм, перечисляющий без повторений некоторое неразрешимое
*) Чтобы устранить здесь и в дальнейшем возможные недора-
недоразумения, заметим, что с точки зрения традиционного анализа резуль-
результаты этого пункта вовсе не противоречат только что упомянутым
классическим теоремам. Результаты эти относятся к системе дей-
действительных чисел, отличной от классического континуума, и к дру-
другому, более узкому, чем обычно, понятию сходимости. Более того,
в некотором смысле полученные результаты дополняют рассматри-
рассматриваемые теоремы традиционного анализа, выявляя их неэффективный
характер. Так, например, теорема 1 показывает, что даже алгорифми-
чески заданная монотонная ограниченная последовательность рацио-
рациональных чисел может не допускать эффективной оценки скорости
сходимости. Таким образом, потерю общих теорем типа теоремы
Вейерштрасса можно в известном смысле считать «платой за эффек-
эффективность».

$ з) пример шпеккрА 185
множество натуральных чисел Ж, Искомую ПРЧ а строим так, что
а («) === 2~р <п).
Псевдосходимость а к нулю, хотя и очевидная интуитивно
(Р может разве лишь в конечном числе точек принимать значения,
меньшие данного п), оказывается достаточно неудобным объектом
для строго конструктивного доказательства. Поступим следующим
образом. Предположим, что при некотором п
E) ~|3mV/(j>m=)|o@l<2-n).
Тогда
F) П 3mVi (/>md p (i) >п).
При каждом k обозначим через 3?ь множество натуральных чи-
чисел такое, что
G) /е **«(/>*) А О» (/)<»»)•
Очевидно, все 3?ь разрешимы и, следовательно, перечислимы.
Ввиду F) ни одно из этих множеств не может быть пустым. По тео-
теореме 8 § 3 гл. 1 можно построить арифметически полный алгорифм
Y такой, что при любом k
(8)
Построим далее алгорифм а так, что
(Л l)==Y(a@)-
Ввиду (8) при i<j
A0) <J(i)<a(j).
Рассмотрим теперь натуральные числа P(a@)), 0(оA)),...
..., Р(а(п + 1)). Поскольку все они ((8) —(9)) не превосходят п,
среди «их есть по меньшей мере два одинаковых, что ввиду A0) не-
невозможно. Таким образом, сделанное предположение неверно и мы
получаем
Vn П П imVt U > т ¦=> | a (/) | < 2""),
что и требовалось.
Предположим, что осуществим регулятор сходимости б ПРЧ а
к 0. Тогда при любых t, п, если i ^ б(п), то a(t) < 2~п и, следова-
следовательно, Р(«) > п. Из этой оценки почти дословно так же, как в тео-
теореме 1, выводится разрешимость Л. Таким образом, а не схо-
сходится к 0.
Приведем, предоставляя доказательства читателю, некоторые
дальнейшие теоремы.
Теорема 5. Если монотонная ПДЧ псевдосходится к некото-
некоторому КДЧ х, то эта ПДЧ сходится к х.
Из теоремы 5 вытекает следующее усиление теоремы 2.
Теорема 6. Для ПРЧ ©, построенной согласно теореме 1, не-
невозможно КДЧ, к которому псевдосходилась бы эта ПРЧ.

186 конструктивная сходимость [гл. з
Очевидно, © в теореме 6 может быть заменена любой шпеке-
ровой последовательностью.
Теорема 6 показывает, что одним ослаблением понятия сходимо-
сходимости получить теорему, аналогичную известной теореме Вейерштрасса,
не удается. Некоторый аналог этой теоремы получается, если допу-
допустить в качестве пределов последовательностей КДЧ псевдочисла.
Приведем необходимые определения.
Пусть q — псевдочисло. Обозначим через q алгорифм р, если
q имеет вид q ===?рЗ 0> и алгорифм fd, (стр. 129), если q — ра-
рациональное число.
Построим алгорифм 99 такой, что для любых ПДЧ ось ogj при
любом л
33 (?а,3, ?а23, л) ~ а, (я) - а2 (л).
Определение 6. Будем говорить, что псевдочисло q равно
КДЧ х, если ПРЧ (^псевдосходится к х.
Определение 7. Будем говорить, что ПДЧ а псевдосхо-
дигся к псевдочислу q, если ПДЧ%^Ч^ fa5 псевдосходится к нулю.
Теорема 7. Всякая монотонная, ограниченная ПДЧ является
псевдофундаментальной.
Из теорем 6—7 вытекает
Теорема 8. Слово ?®30> где © — ПРЧ, построенная со-
согласно теореме 1, является псевдочислом, причем это псевдочисло
не равно никакому КДЧ.
Поскольку, с другой стороны, для каждого КДЧ, как легко
видеть, можно построить равное ему псевдочисло, теорема 8 пока-
показывает, что псевдочисел в некотором смысле «больше», чем кон-
конструктивных действительных чисел.
Теорема 9. Для всякой псевдофундаментальной последова-
последовательности КДЧ можно построить псевдочисло, к которому псевдо-
псевдосходится эта КДЧ.
Из теорем 7 и 9 вытекает следующий аналог теоремы Вейер-
Вейерштрасса.
Теорема 10_. Для каждой монотонной ограниченной ПДЧ
можно построить псевдочисло, к которому псевдосходится эта ПДЧ.
Таким образом, использование псевдосходимости и псевдочисел
позволяет в какой-то степени сохранить привычную картину тради-
традиционной теории пределов, но очевидная громоздкость и удаленность
этих понятий от интуитивной «вычислимости» сводит это преимуще-
преимущество на нет *).
*) В последнее время выявилась возможность плодотворного
использования такого рода концепций для установления конструк-
конструктивных вариантов теорем типа теоремы Бореля о покрытиях (см.
Лифшиц [4]). Читатель, например, без труда докажет следующее
утверждение. Пусть Ф — последовательность рациональных интер-
интервалов такая, что невозможно псевдочисло из единичного сегмента,
не принадлежащее ни одному из интервалов Ф(л). Тогда можно

§ 4] НЕПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА 187
§ 41 Эффективная несчетность конструктивного
континуума
В этом параграфе будет показано, что конструктив-
конструктивный континуум, являющийся, очевидно, счетным при тра-
традиционном понимании счетности, не может быть рас-
расположен в эффективную последовательность. Доказа-
Доказательство этого результата использует канторовский
диагональный метод и по существу мало чем отличается
от доказательства известной теоремы Кантора о несчет-
несчетности классического континуума.
Определение 1. Множество КДЧ Ж назовем, эф-
эффективно несчетным, если можно построить алгорифм 31,
перерабатывающий запись всякой ПДЧ а в КДЧ таким
образом, что
2) У((ЕЗ)
3)
С каждым промежутком естественно связывается
множество КДЧ, принадлежащих этому промежутку.
В дальнейшем, там, где это не может привести к недо-
недоразумениям, мы будем использовать следующий сокра-
сокращенный оборот речи: вместо того чтобы говорить о мно-
множестве КДЧ, принадлежащих данному промежутку, бу-
будем говорить о самом этом промежутке.
Основным результатом этого параграфа является
теорема об эффективной несчетности любого интервала
или, говоря точнее, следующая
Теорема 1. Можно построить алгорифм $ такой,
что для любого интервала xV у и ПДЧ а
2) ?(*vу, E<*B)
3) при любом п
найти k так, что уже интервалы Ф@), ..., Ф(&) покрывают еди-
единичный сегмент. В гл. 5 будут также приведены некоторые примеры
использования псевдочисел для изучения конструктивных равномерно
непрерывных функций.

188 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
Доказательство. Построим алгорифм 211 такой,
что для любых КДЧ х, у, г
%2(xAy,z)~
\ у --^- Ау, если Рз (х + ^-, у--^, z)^ I.
Пусть х<.у. Тогда при любом г
и Рз перерабатывает слово
в 2 или в 1. В первом случае
Во втором
у —
Таким образом, алгорифм ?1' перерабатывает всякое
слово х А у, г, где х < у, в сегмент длины у~* ,
входящий в х Ау и такой, что z не принадлежит этому
сегменту.
Построим алгорифм $2 такой, что для любого интер-
интервала xV у, любой ПДЧ а и любого п
W(x v У, ?аЗ,.О) c~W(xAy,a @)),
%Цх V г/, ?«3. п + 1) ^ й1 (%2(х V г/, ЕаЗ. «), а(п+ 1)).
Индукцией по л без труда доказывается, что для лю-
любого интервала xVу и любой ПДЧ а
a) $xvv, газ есть вложенная последовательность сег-
сегментов;
2 (х^у ?аЗ п) равна Ъ~п~х
б) длина сегмента %2 (х^у, ?аЗ, п) равна Ъ~п~х-(у—х);
в) КДЧ а(«) не принадлежит сегменту 9t2
аЗ, п).
Кроме того, очевидно,
г) %2( Ы0)

§ 4] НЕПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА |89
Воспользовавшись леммой 1 § 5 гл. 2, можно по-
построить алгорифм y> перерабатывающий всякий интер-
интервал х V у в интервал длины, меньшей 1, концы которого
принадлежат х V у.
Построим алгорифм %3 такой, что
Из пп. а) — г) получаем, что для любого интервала
х V у, ПДЧ а и любого п
а') — б') 9t?Vi/, ?°з есть вложенная регулярная после-
последовательность сегментов;
в') КДЧ а (я) не принадлежит сегменту §L3XVy, ?аз(«);
г') сегмент $L3xvy, ?оз @) включен в интервал х v У-
Искомый алгорифм 2 строим, пользуясь теоремой
о вложенных сегментах (§ 2) так, чтобы
Алгорифм Z обладает требуемыми свойствами.
Действительно, если х V у — интервал, то по тео-
теореме 2 § 2 lim<2) переработает слово ^lvy, еозЗ в КДЧ,
принадлежащее всем сегментам последовательности
"xvv, 1<*г- Из пп. в') и г') вытекает тогда, что это КДЧ
принадлежит интервалу xVy и отлично от всех а (л).
Непосредственно из доказанной теоремы вытекают
следующие предложения.
Следствие 1. Множество g) (всех КДЧ) эффек-
эффективно несчетно.
Следствие 2. Всякий невырожденный сегмент эф-
эффективно несчетен.
Почти очевидна следующая
Лемма 1. Всякое эффективно несчетное множество
КДЧ не является перечислимым.
Доказательств. Пусть Л — эффективно несчет-
несчетное множество КДЧ и алгорифм у перечисляет Л. По
лемме 1 § 3 гл. 1 построим арифметически полный алго-
алгорифм у', перечисляющий множество Ж' такое, что
Поскольку Ж эффективно несчетно, осуществимо
КДЧ х, принадлежащее Ж и отличное от всех у'(п).
Это, однако, невозможно.

190 КОНСТРУКТИВНАЯ СХОДИМОСТЬ [ГЛ. 3
Таким образом, получаем следующие теоремы.
Теорема 2. Каков бы ни был интервал, множе-
множество КДЧ, принадлежащих этому интервалу, неперечис-
лимо и, следовательно, не является областью примени-
применимости относительно алфавита Ч никакого алгорифма.
Теорема 3. То же, что и теорема 2, с заменой ин-
интервала на невырожденный сегмент.
Теорема 4. Множество °Ь (всех КДЧ) неперечис-
лимо и, следовательно, не является областью примени-
применимости относительно Ч никакого алгорифма.
Таким образом, невозможен алгорифм, применимый
к слову Р е Ч тогда и только тогда, когда Р является
кдч.
Из теорем 2—4 непосредственно получаем
Следствие 3. Каков бы ни был интервал (невы-
(невырожденный сегмент), множество КДЧ, принадлежащих
этому интервалу (сегменту), не является разрешимым.
Следствие 4. Множество 3) (всех КДЧ) не яв-
является разрешимым.
В гл. 4 будет показано, что теорема 3 (а следова-
следовательно, и следствие 3) сохраняется и для любого вы-
вырожденного сегмента.
В заключение заметим, что изложенные результаты
можно несколько усилить в следующем направлении.
Пусть Ж — эффективно несчетное множество КДЧ.
Тогда для всякого перечислимого множества КДЧ Ж'
можно указать КДЧ, принадлежащее Ж, и отличное
(в смысле отношения равенства КДЧ) от всех КДЧ,
принадлежащих Ж'. Доказательство этого утверждения
вполне аналогично доказательству леммы 1. Таким об-
образом, в теореме 1 (и в следствиях 1—2) вместо после-
последовательностей КДЧ могли бы фигурировать любые пе-
перечислимые множества КДЧ, т. е. алгорифмы типа
Bё-т>2)). Соответственно в теоремах 2—4 можно было
бы утверждать продуктивность упоминаемых в них мно-
множеств*). (Отметим, что любой вырожденный сегмент
также является продуктивным множеством.)
В п. 5 § 1 гл. 9 результаты этого параграфа будут
обобщены на случай метрических пространств.
*) Множество Л (слов в Ч) называется продуктивным, если
для всякого перечислимого подмножества Ж' множества Ж можно
указать элемент Ж, не принадлежащий Ж'. (Ср. Мальцев [1].)

ГЛАВА 4
НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ,
СВЯЗАННЫХ С КОНСТРУКТИВНЫМИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
В этой главе будет доказана невозможность ряда
алгорифмов, решающих некоторые естественно возни-
возникающие в теории конструктивных действительных чисел
задачи (результаты этого типа уже приводились в § 4
гл. 3). Все получаемые здесь теоремы невозможности
устанавливаются путем сведения к данной задаче либо
проблемы распознавания применимости, либо проблемы
пополнения некоторого алгорифма, для которого эти
проблемы заведомо неразрешимы (см. § 2 гл. 1).
Мы будем использовать следующие обозначения. Че-
Через Чо обозначается алфавит {0|}. Буква Р используется
для обозначения произвольных слов в этом алфавите.
Через § и % мы обозначаем алгорифмы, построенные
согласно теоремам 4 и 6 § 2 гл. 1. Эти алгорифмы обла-
обладают следующими свойствами.
1) Невозможен алгорифм 91 над Чо такой, что при
любом Р
(таким образом, для f) неразрешима проблема распо-
распознавания применимости относительно Чо).
2) Алгорифм Ъ принимает два значения 0 и 1 и не-
непополним относительно Чо.
§ 1. Некоторые алгорифмические проблемы, связанные
с отношениями равенства и порядка
на конструктивном континууме.
Приложения к алгебре
Сведение проблемы распознавания применимости или
пополнения какого-нибудь алгорифма к рассматривае-
рассматриваемым в данном параграфе алгорифмическим проблемам
осуществляется с помощью следующей леммы.

192 кдч; Невозможность Некоторых алгорифмов [гл. 4
Лемма 1, Для каждого алгорифма © можно по-
построить алгорифм Ч?)& типа (Чо-+@>) так, что для лю-
любого слова Р
1) если ~]!D(P), то
2) если !?>(Р) и 25(Р) = О, то S>a»(P)>0;
3) если !D(P) и D(P)=?0, то Ф<г(Р)<0.
Доказательство. Используем алгорифм [©],
«разбивающий работу 5) на шаги» (п. 10 § 1 гл, 1). По-
Построим алгорифм V так, что
При любом Р
Построим алгорифм 2)' так, что
D1 (Р, я) са
2~п-\ если [5)](Р, п)#Л,
2"V(P)-', если [D](P, я) = Л и
Очевидно, при любом Р алгорифм I)J, является ПРЧ,
Нетрудно также проверить, что при любом Р и /, пг ^ п
| Ф1 (Р, ш) - ©' (Р, ОI < 2"я.
Поэтому алгорифм Id такой, что
И(я) = я,
является регулятором фундаментальности ПРЧ ?Iр.
Искомый алгорифм Ч?)& строим так, что
Из сказанного выше следует, что этот алгорифм пе-
перерабатывает всякое слово Р в КДЧ.
Предположим, что ~1!3!>(Р), Тогда при любом п
[?] (Р, п) Ф А
и, следовательно,
11

§ I] ПРОБЛЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ С ОТНОШЕНИЯМИ ПОРЯДКА 193
откуда вытекает, что
Пусть теперь !Ф(Р) и ф(Р)=0. Тогда IV(P) и при
V(P)
Следовательно,
чем установлено свойство 2) алгорифма Фа>. Свойство
3) устанавливается совершенно аналогично.
В дальнейшем мы будем использовать следующий со-
сокращенный оборот речи. Пусть «я?ь ..., si-ь. — «-местные
отношения. Рассмотрим дизъюнкцию
A) &А*\ хп) у s&2(xb .... хп) V ...
•••, хп).
Будем говорить, что алгорифм а указывает для лю-
любых КДЧ Xi хп верный член дизъюнкции A), если
он перерабатывает всякое слово хи .... хп (где все
Xi — КДЧ) в одно из натуральных чисел от 1 до к, при-
причем если <%(х\ xn)=ri, то выполняется s4-i(X\ хп).
Будем говорить, что алгорифм а указывает верный
член дизъюнкции A)для любых КДЧ хи .... хп, удо-
удовлетворяющих условию si-, если он перерабатывает лю-
любое слово Xi, ..., х„ (где все Xi — КДЧ) такое, что вы-
выполняется s&(xi xn), в одно из натуральных чисел
от 1 до к, причем если <x(*i хп) == i, то выполняется
s4-i(xu ..., хп).
При конструктивном понимании дизъюнкции для
того, чтобы утверждать, что У/х(^:(х ) V «sM*)). нужно
построить алгорифм, указывающий для каждого х вер-
верный член дизъюнкции s4<x (x) V s4-2(x). Следовательно, ут-
утверждение  Vjc(^j (x) V •&2(х)) означает лишь невоз-
невозможность такого алгорифма, тогда как при традицион-
традиционном понимании дизъюнкции это утверждение всегда свя-
связывается с существованием конкретного х, при котором
выполняются ~1$?\(х) и ~\$t-2{x). Указанное различие
в трактовке дизъюнкции приводит к внешней парадо-
парадоксальности некоторых формулировок, возникающей, по

194 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ 1ГЛ. 4
существу, вследствие обозначения одним и тем же зна-
знаком разных логических операторов.
Теорема 1. Невозможен алгорифм, применимый к
КДЧ х тогда и только тогда, когда х = 0.
Доказательство. Предположим, что построен
алгорифм ф такой, что
B) !<р(х)==х = 0.
Построим алгорифм фя согласно лемме 1 и алго-
алгорифм ф' такой, что при любом Р в Чо
<р'(Р) а*
Поскольку, ввиду леммы 1,
то из B) вытекает, что при любом Р в
Это, однако, невозможно.
Следствие 1. Каково бы ни было КДЧ у, невоз-
невозможен алгорифм, применимый к КДЧ х тогда и только
тогда, когда х = у.
Доказательство. Пусть такой алгорифм ф по-
построен. Построим алгорифм ф' такой, что
Очевидно,
Это, как только что доказано, невозможно.
Следствие 2. Каково бы ни было КДЧ у, множе-
множество КДЧ, равных у (г. е. вырожденный сегмент у А у),
не является перечислимым *).
Теорема 2. Невозможен алгорифм, указывающий
для любого КДЧ х верный член дизъюнкции
1) (x = 0)V(x=^0);
2) (x = 0)V(x>0)V(x<0).
*) Как уже указывалось в конце § 4 гл. 3, нетрудно показать,
что это множество продуктивно.

§ 1] ПРОБЛЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ С ОТНОШЕНИЯМИ ПОРЯДКА 195
(При конструктивном понимании дизъюнкции эти ут-
утверждения можно соответственно записать как~] Ул:((л: =
= 0)V(**0)) и 1Vjc((jc = 0)V(*>0)V(*<0)).)
Доказательство. Эта теорема очевидным обра-
образом вытекает из теоремы 1.
Следствие 1 показывает, что вместо 0 в формули-
формулировке теоремы 2 могло бы фигурировать произвольное
КДЧ, т. е. имеет место следующая
Теорема 3. Каково бы ни было КДЧ у, невозмо-
невозможен алгорифм, указывающий для любого х верный член
дизъюнкции
1) (x = y)V(x?=y);
2) (х = у)У(х>у)У(х<у).
Тем более невозможен алгорифм, указывающий для
любых х, у верный член дизъюнкции 1), 2) (т. е. ~\Уху
((х = у)У{хФу)) и lVxy((x = y)V(x>y)V(x<y)).
Ниже переформулировки результатов, аналогичные
теореме 3, опускаются.
Теорема 2 утверждает неразрешимость следующей
алгорифмической проблемы: «построить алгорифм, ука-
указывающий для каждого КДЧ х верный член дизъюнк-
дизъюнкции (х = 0) V (х ф 0)». Поскольку ни для какого х не
может одновременно выполняться х = 0 и х Ф 0, то ал-
алгорифм, о котором идет речь в этой проблеме, должен
для каждого х давать строго определенный резуль-
результат — 1 или 2. По-другому обстоит дело в следующей
задаче: «построить алгорифм, указывающий для каж-
каждого КДЧ х верный член дизъюнкции (х^О) V(*s^0)».
Здесь интересующий нас алгорифм мог бы для некото-
некоторых х (именно, для х = 0) указывать любой член
дизъюнкции. Это, как кажется, увеличивает шансы на
существование такого алгорифма. Тем не менее приве-
приведенная только что алгорифмическая проблема, как по-
показал Цейтин [6], неразрешима. Другими словами,
имеет место следующее, более сильное, чем теорема 2,
утверждение.
Теорема 4. Невозможен алгорифм, указывающий
для всякого КДЧ х верный член дизъюнкции
(т. е. "lV*((*>0)V(*<0))).

196 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ [ГЛ. 4
Теорема 4 очевидным образом вытекает из следую-
следующей леммы (Ц е й т и н [6]).
Лемма 2. Невозможен алгорифм, применимый
к любому КДЧ, аннулирующий всякое положительное
КДЧ и не аннулирующий никакого отрицательного
КДЧ*).
Доказательство. Применив лемму 1 к непопол-
нимому алгорифму Ъ, построим алгорифм Ъ&. Предпо-
Предположим, что существует алгорифм <р, применимый к лю-
любому КДЧ, аннулирующий всякое положительное КДЧ
и не аннулирующий никакого отрицательного КДЧ.
Построим алгорифм q/ такой, что для любого Р
Очевидно, для любого Р !<р()
Построим далее алгорифм <р" так, чтобы
ГО, если ф/(Я)=Л,
Ф {П-\ 1, если <р'(/>)=? Л.
Поскольку ф' применим к любому слову в Чо, <р"
также применим к любому слову в Чо и перерабатывает
всякое слово в этом алфавите в 0 или в 1.
Пусть \%{Р) и?$(Р) = 0. Тогда по лемме 1 &g>(P)>0.
Следовательно, ф'(Р)==Л и ф"(Р)==0. Таким образом,
"(Р) Ъ(Р)
ц() Ъ()
Предположим теперь, что !$(Р) и $(Р)=1. Тогда
Ъ&(Р)<0, и потому ф'(Р)=?Л. Следовательно, фЛГ(/»)===1.
Тем самым Ф"(Р) = ^(Р).
Итак, мы доказали, что ф" является пополнением Ъ
относительно Чо. Это, однако, невозможно.
Отметим, что тогда как при доказательстве теоремы 2
мы воспользовались существованием алгорифма с не-
неразрешимой проблемой распознавания применимости,
для доказательства теоремы 4 потребовался более тон-
тонкий результат — существование непополнимого алго-
алгорифма.
Предоставляем читателю доказать следующее усиле-
усиление леммы 2: для любого алгорифма, применимого ко
•) Мы говорим, что алгорифм аннулирует данное слово, если
он перерабатывает его в пустое слово. КДЧ х называется положи-
положительным (отрицательным), если х > 0 (х < 0).

§ I] ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОТНОШЕНИЯМИ ПОРЯДКА 197
всякому КДЧ и аннулирующего всякое положительное
КДЧ, можно указать отрицательное КДЧ, аннулируемое
этим алгорифмом.
Из леммы 2 и теоремы 21 § 3 гл. 2 вытекает уже упо-
упоминавшаяся раньше невозможность «доопределения
в нуле» алгорифма sgn.
Следствие 3. 1) Невозможен алгорифм а, приме-
применимый к любому КДЧ и такой, что если !sgn(jc), то
a (jc) =~ sgn (jc) ; 2) невозможен алгорифм р типа
B) —> 2)) такой, что если !sgn (jc) , то р (jc) = sgn (jc).
3)
Отметим также следующее следствие (Цейтин [6]).
Следствие 4. Каково бы ни было КДЧ г > О, не-
невозможен алгорифм, применимый к любому х такому,
что |jc|<z, аннулирующий всякое КДЧ х, для кото-
которого О < jc < г, и не аннулирующий никакого КДЧ х
такого, что —г < jc < 0.
Доказательство. Предположим, что при неко-
некотором 2 > 0 такой алгорифм ф построен. Построим ал-
алгорифм ф' такой, что
Поскольку при любом jc
Z'X
алгорифм ф' применим к любому КДЧ, аннулирует вся-
всякое положительное КДЧ и не аннулирует никакое от-
отрицательное КДЧ. Это, однако, противоречит лемме 2.
Следствие 5. Каково бы ни было г > 0, невоз-
невозможен алгорифм, указывающий для любого КДЧ х та-
такого, что \х\ < г, верный член дизъюнкции
(jc>0)V(*<0).
Следствие 6. 1) Невозможен алгорифм, указы-
указывающий для всякого jc ^ 0 верный член дизъюнкции
(jc> 0) V(jc = 0) (т. е. ~1 У;ф>0гэ ((* > 0)V(* = 0)))).
2) Невозможен алгорифм, указывающий для всякого
х ^ 0 верный член дизъюнкции
(т. е.

198 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ [ГЛ. 4
Доказательство. Следствие 6 может быть до-
доказано непосредственно (аналогично, тому, как доказы-
доказывалась теорема 2). Мы выведем его из теоремы 4. Сде-
Сделаем это, например, для утверждения 1).
Пусть ф — алгорифм, указывающий для любого
х ^ 0 верный член дизъюнкции (х > 0) V (х = 0). Обо-
Обозначим для произвольного х через х+ КДЧ max (x, 0) и
построим алгорифм ф' такой, что
ф'(-к) ^Ф (¦*+)•
Поскольку всегда х+ ^ 0, то ф' перерабатывает вся-
всякое КДЧ в 1 или в 2. Если ц>'(х) = 1, то х+ > 0 и, сле-
следовательно, х > 0. Тем более х ^ 0. Если же у'(х) =2,
то х+ = 0 и, следовательно, х ^ 0. Таким образом,
ф' указывает для каждого х верный член дизъюнкции
(х ^ 0) V (х ^ 0), что невозможно.
Предоставляем читателю доказать следующие два
утверждения.
Следствие 7. Невозможен алгорифм, указываю-
указывающий для каждого х верный член дизъюнкции
(\x\ = x)V(\x\=-x).
Следствие 8. Невозможен алгорифм, указываю-
указывающий для любых х, у верный член дизъюнкции
(max (x, y) = x)\/ (max {x, у) = у)
(то же с заменой max на min).
Имеет также место
Следствие 9. Невозможен алгорифм, указываю-
указывающий для любых х, у таких, что х-у = 0, верный член
дизъюнкции
(х=0) V@ = O).
Действительно, для произвольного х обозначим
х+ = max (л:, 0),
л:_ = min (x, 0).
Очевидно, jc+-jc_ = 0. Если бы алгорифм, о котором
идет речь в следствии 9, был возможен, то мы смогли бы
построить алгорифм, указывающий для любого х верный
член дизъюнкции

§ 1] ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОТНОШЕНИЯМИ ПОРЯДКА 19§
Легко видеть, что этот алгорифм указывал'бы для лю-
любого х верный член дизъюнкции
что невозможно.
Отметим некоторые простые алгебраические след-
следствия полученных результатов (Цейтин [6]). (Все ал-
алгебраические образования рассматриваются над полем
КДЧ.)
Рассмотрим линейное уравнение (с неизвестным х)
C) u-x = v.
Лемма 3. Невозможен алгорифм, применимый
к слову и, v, где и, v — КДЧ, тогда и только тогда,
когда уравнение C) имеет решение.
Доказательство. Это утверждение вытекает из
теоремы 1 и того, что при и = О уравнение C) имеет
решение тогда и только тогда, когда v = 0.
Для последующих формулировок нужно выбрать ка-
какой-нибудь способ однозначного кодирования матриц и
систем линейных уравнений словами в Ч. Например,
можно использовать следующий способ: матрица (а,-,- —
КДЧ)
'а,, а12 ... а!п
т\ ат2 • ¦ • amti'
кодируется словом
аП> а12> •••> а1п*а2\> а22> •••> а2п * ••• * атЬ
&т2* • • • • &тп *>
а система линейных уравнений с этой матрицей и столб-
столбцом свободных членов Ъ\ Ьт кодируется словом
К(А)*Ьи .... Ьт
(где ^(Л) — код матрицы А).
Термин «вектор порядка п» понимается нами так же
как «кортеж КДЧ длины п». Многочлены мы кодируем
векторами, составленными из их коэффициентов так, что
многочлен (с переменной х) aQxn -f- a^" + ... + ап
кодируется словом ао, а\ ап.

200 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ [ГЛ. 4
Ниже, говоря про алгорифмы, определенным образом
работающие над матрицами, системами линейных урав-
уравнений, многочленами, мы подразумеваем алгорифмы, со-
соответствующим образом работающие над кодами этих
объектов.
Из леммы 3, очевидно, вытекает невозможность эф-
эффективного распознавания совместности (или несовмест-
несовместности) систем линейных уравнений.
Теорема 5. При любом п ^ 1 невозможен алго-
алгорифм, применимый ко всякой системе линейных уравне-
уравнений с п неизвестными и аннулирующий те и только те
системы, которые совместны.
Рассмотрим линейное уравнение (с неизвестным х)
вида
D) \v\-x = v.
Лемма 4. Невозможен алгорифм, перерабатываю-
перерабатывающий всякое КДЧ v в КДЧ, удовлетворяющее уравне-
уравнению D).
Доказательство. Пусть такой алгорифм а по-
построен, Построим алгорифм а' такой, что
По определению а и свойствам адгорифма Рз (тео-
(теорема 21 § 3 гл. 2) мы получаем, что а' перерабатывает
всякое КДЧ v в 1 или в 2, причем если а' (и) = 1, то
из
а(а)<-п". и если а'(и) = 2, то а(и)>0. Однако
а (и) < ¦=¦ вытекает, что v ^ 0, а из а (и) > 0 вытекает
v ^ 0. Таким образом, а' указывает при любом v вер-
верный член дизъюнкции
что невозможно.
Теорема 6. При любом п ^ 1 невозможен алго-
алгорифм, перерабатывающий всякую со&мвстную систему
линейных уравнений с п неизвестными в какое-нибудь
решение этой системы.

$ 1] ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОТНОШЕНИЯМИ ПОРЯДКА 201
Вектор Xi х„ назовем ненулевым, есл-и
2 х* Ф 0.
Лемма 5. Можно построить алгорифм, указываю-
указывающий для любого ненулевого вектора xt xn верный
член дизъюнкции
Доказательство. Пусть Х\ хп — ненулевой
п
вектор. Обозначим для краткости 2 х\ через X. Ясно,
что X > 0 и что не могут одновременно выполняться вое
неравенства
X X
Поэтому алгорифм Рз хотя бы одно из слов -^, —,
х* (где 1 <; i ^ п) перерабатывает в 2. Следовательно,
алгорифм а такой, что
применим к любому ненулевому вектору хи .... хп и
перерабатывает его в одно из натуральных чисел от 1
до п, причем, если a(*i xn) = i, то х] > -^ > 0.
Лемма доказана.
Теорема 7 (Цейтин [6]). При любом п ^ 2 не-
невозможен алгорифм, перерабатывающий всякую систему
п линейных однородных уравнений с п неизвестными,
имеющую нулевой определитель, в ненулевое решение
этой системы.
Доказательство. Достаточно рассмотреть слу-
случай п = 2. Рассмотрим произвольную сцс^тему (с неиз-
неизвестными х, у) вида " "*"
(и-
E)
у ' [и-
v ¦ у =
(где и, v — произвольные КДЧ). Если бы алгорифм,
о котором идет речь в теореме, был возможен, то мы

202 КДЧ;- НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ [ГЛ. 4
могли бы построить алгорифм ср, перерабатывающий вся-
всякое слово и, v в ненулевое решение E). Обозначим че-
через xUt „ и уи, v первую и вторую компоненты вектора
ф(ы, v). Пользуясь леммой 5, построим алгорифм ср',
указывающий для любых и, v верный член дизъюнкции
(*«..=* 0) V@«,."H"O).
Пусть теперь и и v таковы, что и • v = 0. Тогда из
хи, v Ф 0 следует, очевидно, что и = 0 (иначе v = 0 и
ф(ы, и) не является решением E)), а из i/u,« Ф 0 сле-
следует и = 0.
Таким образом, ср' для любых и, v таких, что u-v=0,
указывает верный член дизъюнкции
что противоречит следствию 9.
Предлагаем читателю доказать следующие утвержде-
утверждения (Цейти н [6]).
1) Невозможен алгорифм, перерабатывающий вся-
всякую симметрическую матрицу в ее ненулевой собствен-
собственный вектор.
2) Невозможен алгорифм, перерабатывающий вся-
всякую симметрическую матрицу в матрицу, преобразую-
преобразующую ее к диагональному виду.
3) Невозможен алгорифм, распознающий делимость
многочленов.
4) Невозможен алгорифм, распознающий приводи-
приводимость произвольного многочлена (над полем КДЧ).
5) Невозможен алгорифм, разлагающий произволь-
произвольный многочлен на неприводимые (в поле КДЧ) множи-
множители.
§ 2. Невозможность некоторых алгорифмов,
связанных со сходимостью
1. Пусть ф — алгорифм, введенный на стр. 191. В ос-
основе результатов этого пункта лежит простая конструк-
конструкция, позволяющая для каждого слова Р (в алфавите Чо)
построить последовательность рациональных чисел та-
таким образом, что если $> неприменим к Р, то эта после-
последовательность состоит из одних нулей, и если ф приме-

§ 21 Проблемы, связанные со сходимостью 203
ним к Р, то все члены отвечающей Р последовательно-
последовательности, начиная с некоторого места, равны 1.
Лемма 1. Можно построить алгорифм 51 таким об-
образом, что для любого слова Р и любых натуральных
п, k
1) если ~~]\${Р), то
2) если !$ (Р) и ф заканчивает работу над Р точно
за k шагов (см. п. 10 § 1 гл. 1), то при i < k
и при всех
% (Р, /)-1.
Доказательство. Искомый алгорифм 51 строит-
строится с помощью теоремы разветвления:
/0, если [Щ(Р,п)=?Л,
il(F'n> • I 1, если [$](Р,п)«==Л.
Очевидно, 51 обладает нужными свойствами*).
Нам потребуется следующая очевидная
Лемма 2. Невозможен алгорифм а (над Ч) такой,
что для любого слова Р
1) если -)!ф(Р), то !<х(Р) и а{Р)^0;
2) если !ф(Р), го !а(Р) и а(Р)^#0.
Определение 1. Натуральное число п назовем
k-индикатором фундаментальности ПРИ (ПДЧ) а, если
при любых i, j ^ n выполняется
|а@-а(У)|<2-\
Теорема I. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись любой фундаментальной неотрицатель-
неотрицательной ограниченной числом 1 ПРЧ в 0-индикатор фунда-
фундаментальности этой ПРЧ**),
Доказательство. Пусть такой алгорифм а по-
построен. Построим алгорифм а' такой, что для любого
*) Вместо ф в формулировке леммы мог бы фигурировать про-
произвольный алгорифм.
**) ПДЧ а мы называем неотрицательной, если при всех п
0

204 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ ГГЛ. 4
слова Р
(где 91— алгорифм, построенный согласно лемме 1).
Фиксируем произвольное Р и рассмотрим два слу-
случая: а) !•&(/>); б) ~ПФ(^)- В каждом из этих случаев,
ввиду леммы 1, %Р является ПРЧ, удовлетворяющей
условиям теоремы. Следовательно, в каждом из этих
случаев а' перерабатывает Р в 0-индикатор фундамен-
фундаментальности ПРЧ 91р.
Очевидно, в случае б)
A)
Рассмотрим случай а). Пусть ф заканчивает работу
над Р точно за k шагов. Если а'{Р) < k, то, очевидно,
|91(Р,а'(/>))-91 (/>,?) 1-1,
что невозможно, так как а'(Я)—0-индикатор фундамен-
фундаментальности ПРЧ 91р. Следовательно, a'{P)^k и, таким
образом, в случае а) выполняется
B) 91(Р,а'(Я))-1.
Построим алгорифм а" такой, что
а" (Я) ~ 91 (Р, а' (Р)).
Ввиду A) — B) при любом Р выполняется
1) если ~|!ф(Р), то \а"{Р) и а"(Р)=гО;
2) если !ф(Р), то la" (P) и а"(Р)=? 1.
Это, однако, в силу леммы 2 невозможно.
Из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой фундаментальной ПРЧ в запись
регулятора фундаментальности этой ПРЧ.
Теорема 2 доказана Г. С. Ц е й т и н ы м в работе [6],
где этот результат получается в качестве следствия од-
одной теоремы, относящейся к вложенным сегментам (см.
теорему 8, п. 2 данного параграфа).
Читатель без труда может убедиться, что в теоре-
теоремах 1 и 2 вместо фигурирующих там ПРЧ можно рас-
рассматривать ПРЧ, обладающие всеми прежними свой-
свойствами и, сверх того, сходящиеся к 0. (Для доказатель-

§ 2] ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ СО СХОДИМОСТЬЮ 205
ства усиленных таким образом теорем 1—2 нужно не-
несколько модифицировать лемму 1.) Другими словами,
знание предела сходящейся ПРЧ, вообще говоря, не об-
облегчает нахождение эффективной оценки скорости схо-
сходимости этой ПРЧ.
Теорема 3. Невозможен алгорифм у, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой неотрицательной ограниченной
числом 1 сходящейся ПРЧ р в конструктивное действи-
действительное число таким образом, что если х является пре-
пределом р, то
l*-Y(EP3)K-g-.
Доказательство. Пусть такой алгорифм у по-
построен. Построим алгорифм у' так, что
(где 91— алгорифм, фигурирующий в лемме 1).
Фиксируем произвольное Р и рассмотрим случаи:
а) !#(Р); б) ~\ЩР).
В каждом из этих случаев ПРЧ %Р удовлетворяет
воем условиям теоремы и поэтому у' перерабатывает Р
в КДЧ. Кроме того, поскольку в случаях а) и б) €р
сходится соответственно к 1 и к 0, то
1) если !ф(Р), то
C) lY'(P)-H<-k
2) если ~)!ф(Р), то
И
Построим алгорифм у" так, что
D) Iy'(P)I<t-
Тогда ввиду C) и D) получаем
1) если !ф(Р), то у"(Р)^ 1;
2) если ~|!Ф(Р), то у"(Р)^-1
что невозможно.

206 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ (ГЛ. 4
Теорема 4. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой сходящейся ПРЧ е КДЧ, к кото-
которому она сходится.
Эта теорема является тривиальным следствием пре-
предыдущей. В работах Минца [1] — [2] георемы 2 и 4
распространены на случай произвольных конструктив-
конструктивных метрических пространств, содержащих по крайней
мере две различные точки.
Отметим, что теорема 3 является довольно точной:
очевидно, число -г- отличается от предела любой фигу-
фигурирующей в ее формулировке ПРЧ не более чем на -к.
Интересно сопоставить теоремы 3 и 4 с теоремой
о полноте конструктивного континуума (§ 2 гл. 3). В до-
доказательстве последней указан эффективный метод, по-
позволяющий вычислять предел любой фундаментальной
ПРЧ, исходя из задающего ПРЧ алгорифма и регуля-
регулятора фундаментальности этой ПРЧ. Теорема 3 показы-
показывает, что аналогичный эффективный метод (т. е. алго-
алгорифм), использующий в качестве исходных данных
лишь задающий ПРЧ алгорифм, невозможен, далее если
удовлетвориться некоторой наперед ограниченной точ-
точностью. Это обстоятельство говорит о существенности
заключающейся в регуляторе фундаментальности дан-
данной ПРЧ информации.
Переформулируем полученные результаты в терми-
терминах F-чисел и квазичисел.
Пусть осн — по-прежнему (ср. п. 4 § 3 гл. 2) алго-
алгорифм такой, что для любого слова QeV
Q, если О не входит в Q,
осн
¦«42.
,, если Q=fQiOQ2 и 0 не входит в Q,.
Определение 2. Будем говорить, что слова Q\,
Q2 имеют одинаковую основу, если
och(Q,)=7=och(Q2).
Пусть зФ — некоторое n-местное отношение над кон-
конструктивными действительными числами.
Определение 3. Будем говорить, что слова Р
..., Ph {где 0^k^.n) вместе с КДЧ хк+и ..., хп
условно выполняют s4-, если для любых КДЧ хх хк

§ 2] ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ СО СХОДИМОСТЬЮ 207
с той же основой, что Р\, ..., Р^, выполняется
Прилагательное «условно» часто будет опускаться.
В частности, /•'-число q (условно) равно КДЧ х, если
всякое КДЧ с той же основной, что и q {а такие КДЧ
по определению F-чисел существуют), равно (в смысле
отношения =) х.
а>
Непосредственно из теорем 2 и 4 вытекают следую-
следующие утверждения (Цейтин [6] и Минц [1] — [2]).
Теорема 5. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий всякое F-число в КДЧ с той же основой.
Теорема 6. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий всякое F-число в равное ему КДЧ.
Поскольку всякое F-число является квазичислом, по-
получаем
Следствие 1. Невозможен алгорифм, перераба-
перерабатывающий всякое квазичисло в КДЧ с той же основой.
Следствие 2. Невозможен алгорифм, перераба-
перерабатывающий всякое квазичисло в равное ему КДЧ.
2. В связи с результатами п. 2 § 2 гл. 3 интересна
следующая дополняющая эти результаты теорема Цей-
Цейтин а [6].
Теорема 7. Каково бы ни было КДЧ и, невозмо-
невозможен алгорифм, перерабатывающий запись всякой вло-
вложенной последовательности сегментов с длинами, не
меньшими и, в КДЧ, принадлежащее всем сегментам
этой последовательности.
Доказательство. Рассмотрим, например, случай
и = 1. Покажем, что к задаче построения фигурирую-
фигурирующего в теореме алгорифма сводится задача пополнения
непополнимого алгорифма ?$•
Построим алгорифм 33 (ср. лемму 1 § 1) так, что для
любого слова Р е Чо и любого п
0 A3, если №(Р,п)=?А,
93(Р, «)=== 0Д1, если 18](Р,л)=г=Л и 3(P)=s=0,
2ЛЗ, если [81 (Л я) ^ Л и g(P)=M.
Очевидно, при любом Р алгорифм 53Р является вло-
вложенной последовательностью сегментов с длинами, не
меньшими 1, причем

208 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ [ГЛ. 4
а) если ~]1?$(Р), то при любом /
93(Р, /)=?0ДЗ;
б) если § заканчивает работу над Р точно за k
шагов и Щ(Р)=^0, то при i^k
E) <8(Р,/)===0Д1;
в) если $ заканчивает работу над Р точно за k
шагов и Э(Р)=г=1, то при />&
F) 23(Р, ()=f2A3.
Предположим, что алгорифм, о котором идет речь
в теореме, построен. Тогда можно построить алгорифм ф,
перерабатывающий всякое слово Р в КДЧ, принадлежа-
принадлежащее всем сегментам последовательности %Р. Построим
алгорифм ф' так, чтобы
Очевидно, ф' перерабатывает всякое Р в 0 или в 1.
Пусть !E(Р). Если Ъ{Р) =?=0, то, ввиду E), ф(Р)<1
и, следовательно, Рз A, 2, ф(Р))==1. Таким образом,
ф'(Р)=рО. Аналогично показывается, что из S(P)=1
следует ф'(Р)==1. Таким образом, ф' является попол-
пополнением $, что невозможно.
Следствие 3. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой вложенной последовательности
сегментов в КДЧ, принадлежащее всем сегментам этой
последовательности.
Это следствие получается из теоремы 7 при и = 0.
Отметим, что из доказательства теоремы 7 видно, что
в ее формулировке (так же, как и в формулировке
следствия 3) вместо произвольных вложенных последо-
последовательностей сегментов можно было бы рассматривать
вложенные последовательности рациональных сегментов.
В связи с теоремой 7 возникает вопрос о существова-
существовании вложенной последовательности сегментов, для кото-
которой было бы невозможно КДЧ, принадлежащее всем
сегментам этой последовательности. То что этот вопрос
не праздный, показывает существование соответствую-
соответствующих контрпримеров в случае метрических пространств
(см. Гелбаум, Олмстед [1]) и теорема Заслав-

§ 3] КДЧ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ 209
ского [4; теорема 4.1], дающая пример • вложенной
последовательности систем сегментов с пустым пере-
пересечением. Отрицательный ответ на поставленный во-
вопрос вытекает из следующей теоремы Г. С. Цейтина
(Ц е й т и н [6]).
Теорема 8. Можно построить алгорифм, перераба-
перерабатывающий запись всякой вложенной последовательности
сегментов, в квазичисло, условно принадлежащее всем
сегментам этой последовательности.
Следствие 4. Невозможна последовательность
вложенных сегментов, для которой не существует КДЧ,
принадлежащего всем сегментам этой последовательно-
последовательности.
Теорема 8 проливает дополнительный свет на при-
природу алгорифмических трудностей, связанных с построе-
построением общей точки произвольной вложенной последова-
последовательности сегментов, показывая, что дело здесь не
столько в построении последовательности приближений
к искомому КДЧ (такую последовательность согласно
теореме 8 можно построить), сколько в оценке скорости
сходимости этих приближений. Такая ситуация часто
(но не всегда — ср. Кушнер, Цейтин [1]) встре-
встречается в алгорифмических проблемах, где речь идет
о нахождении КДЧ с некоторым свойством, причем иско-
искомое КДЧ не может не существовать.
§ 3. Конструктивные действительные числа
и систематические дроби
При введении вычислимых действительных чисел од-
одним из естественных подходов кажется соответствующее
уточнение понятий, связанных с систематическими дро-
дробями в той или иной системе счисления. Именно на этом
пути в 1936 г. Тьюрингом было введено одно из пер-
первых понятий вычислимого действительного числа (Т ь га-
гари нг [1]); вскоре, однако, Тьюринг констатировал, что
это понятие является недостаточно общим, и предложил
новое определение (Тьюринг [2]), приводящее, по су-
существу, к понятию вычислимого действительного числа,
аналогичному принятому нами понятию КДЧ. Приводи-
Приводимые ниже теоремы показывают, что понятие вычисли-
вычислимого действительного числа нецелесообразно связывать

210 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ [ГЛ. 4
с систематическими дробями в той или иной системе
счисления.
Круг вопросов, затрагиваемых в этом параграфе, по-
подробно изучался Мостовским [2] и Успенским
[2]-[3].
Определение 1. Пусть п— натуральное число и
п > 1. Слово Q назовем п-ичной дробью, если Q имеет
вид ?213 0 я. где 51 — арифметически полный алгорифм
(в Ча) такой, что 91@) есть целое число и %(i) при i ^ 1
есть натуральное число, меньшее п. Слово Q назовем си-
систематической дробью, если при некотором k (k > 1)
Q является k-ичной дробью.
Буква т (с индексами или без индексов) будет ис-
использоваться в данном параграфе в качестве перемен-
переменной для систематических дробей.
Нетрудно построить алгорифм 351 так, что при любом
л>1 для любой 'л-ичной дроби ?9130я и любого k
выполняется
Очевидно, для любой систематической дроби т алго-
алгорифм ?>i есть ПРЧ и алгорифм Id {\A(k)~k при лю-
любом k) является регулятором фундаментальности этой
ПРЧ.
Построим алгорифм ф такой, что для любой систе-
систематической дроби т
Очевидно, 5D перерабатывает всякую систематиче-
систематическую дробь в КДЧ. Алгорифм 5D осуществляет естествен-
естественное вложение систематических дробей в систему кон-
конструктивных действительных чисел.
Определение 2. 1) Будем говорить, что систе-
систематическая дробь х равна КДЧ х, и писать т = х, если
2) Будем говорить, что систематические дроби tj, x%
равны, и писать ц = тг, если

§ 3} КДЧ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ " 211
Определение 3. I)Будем говорить, что система
КДЧ сводима к системе п-ичных дробей, если можно по-
построить алгорифм, перерабатывающий всякое КДЧ в
равную ему п-ичную дробь.
2) Будем говорить, что система п-ичных дробей сво-
сводима к системе КДЧ, если осуществим алгорифм, пере-
перерабатывающий всякую п-ичную дробь в равное ей КДЧ.
3) Будем говорить, что система п-ичных дробей сво-
сводима к системе k-ичных дробей, если можно построить
алгорифм, перерабатывающий всякую п-ичную дробь
в равную ей k-ичную дробь.
4) Про алгорифм, фигурирующий в каждом из разде-
разделов 1)—3), будем говорить, что он сводит первую из со-
соответствующих систем ко второй.
Очевидно, алгорифм © при любом п (п> 1) сводит
систему п-ичных дробей к системе КДЧ. Таким образом,
выполняется
Теорема 1. При любом п > 1 система п-ичных
дробей сводима к системе КДЧ.
Пусть п ~> 1. Рассмотрим сегменты вида -~ А ¦*—.— ,
и' п1
где р — любое целое число, i — любое натуральное чис-
число. Эти сегменты назовем базисными сегментами ранга i
для системы счисления с основанием п.
Определение 4. Последовательность сегментов 51
назовем п-правильной, если % является вложенной по-
последовательностью сегментов и при любом i сегмент
%{1) является базисным сегментом ранга i для системы
счисления с основанием п.
Ясно, что построение /г-ичной дроби, равной данному
КДЧ, эквивалентно построению n-правильной последо-
последовательности сегментов, общей точкой которой является
это КДЧ*). Точнее говоря, имеет место следующая
лемма, доказательство которой предоставляется чита-
читателю.
Лемма 1. 1) Можно построить алгорифм (?', пере-
перерабатывающий всякое слово вида ?913, п, где п > 1 и
51 — п-правильная последовательность сегментов, в
*) Нетрудно понять, что непрекрываемость базисных сегментов
любого фиксированного ранга является источником возникающих
при таком построении затруднений.

212 КДЧ; НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ [ГЛ. 4
п-ичную дробь такую, что КДЧ ?>(<$'(?213, п)) пРи~
надлежит всем сегментам последовательности 21.
2) Если 21 — п-правильная последовательность сег-
сегментов и КДЧ х принадлежит всем сегментам 21, то х
равно п-ичной дроби й'( ?213, «)¦
3) Можно построить алгорифм (S2 таким образом,
что при любом п > 1 для всякой п-ичной дроби т алго-
алгорифм б? является п-правильной последовательностью
сегментов такой, что КДЧ 2)(т) принадлежит всем сег-
сегментам этой последовательности.
Непосредственно из леммы 1 усматривается следую-
следующая очевидная
Лемма 2. Можно построить алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий всякое слово вида г, п, (где г — рациональное
число и п~> 1) в п-ичную дробь, равную г.
Вопрос о сводимости друг к другу систем системати-
систематических дробей при различных основаниях счисления пол-
полностью решается следующей теоремой Мостовского —
Успенского.
Теорема 2. Система l-ичных дробей тогда и толь-
только тогда сводима к системе гп-ичных дробей, когда все
простые делители m являются простыми делителями I.
Доказательство. I) Пусть все простые дели-
делители m делят I. Тогда при некоторых i и k
Следовательно, всякий конец базисного сегмента для си-
системы счисления с основанием m является концом неко-
торого базисного сегмента для системы счисления с ос-
основанием I. На этом простом замечании и основана кон-
конструкция сводящего алгорифма *).
Пусть т — /-ичная дробь и 21 — соответствующая
/-правильная последовательность сегментов. Очевидно,
21@) есть сегмент нулевого ранга (в системе с основа-
основанием пг) и 21@) содержит т. Чтобы найти базисный
сегмент 1-го ранга (в системе с основанием tn), содер-
содержащий т, разделим 21@) на m равных частей. Обозна-
Обозначим через Го, ..., rm участвующие в этом делении рацио-
*) Мы лишь излагаем соображения, лежащие в основе сводя-
сводящего алгорифма. Строгое изложение можно найти у Мостов-
Мостовского [2] и Успенского [3].

§ 3] КДЧ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОЬИ 2l3
нальные числа (включая концы 21@)). Поскольку каж-
каждое г,- является концом некоторого базисного сегмента
(в системе с основанием /), можно найти /, при котором
все Г( являются концами базисных сегментов ранга /
(в системе с основанием /). Тогда сегмент ЗД(/) включен
в точности в один из сегментов rf Д ri+i. Этот сегмент
и является искомым. Продолжая таким образом, мы пе-
перестроим % в m-правильную последовательность, имею-
имеющую т своей общей точкой.
2) Пусть не все простые делители т делят /. Тогда,
1 ,
очевидно, число — не совпадает с концом никакого ба-
базисного сегмента системы счисления с основанием /.
Построим /-ичную дробь ЕфЗФ'. равную —. Эту
дробь обозначим на время доказательства через т. По-
Построим алгорифмы а|) и Э так, что
•ф («, k) = у Q
f ф(й) при О
при п
при О
I /— 1 при п
Рассмотрим /-ичные дроби Е'ФпЗО^ и 8^30^. обо-
обозначив их соответственно через т„ и т„,
Очевидно, при любом п
A)
т
Пусть теперь % — непополнимый алгорифм. Построим
алгорифм V типа (Vo т* Ж) так, чтобы для любого слова
Ре</0 выполнялось
и если W (Р), то S заканчивает работу над Р точно
за V (Р) шагов.
Построим далее алгорифм 91 так, чтобы
| ф(/п), если [%] (Р, т) ф А,
Щ(Р, т)^\ -ф(У(Р), т), если [®(Р, т)-Л и Ъ(Р)~0,
I ), /п), если [Й](Р, т)-Л и

214 КДЧ; Невозможность некоторых алгорифмов [гл. 4
Очевидно, при любом Р слово ?%Р^(I является
/-ичной дробью. Обозначим эту дробь через хР. Не-
Нетрудно убедиться, что
1) если 1!S(P), то
B)
и,
C)
и,
D)
2) если lg(P)
следовательно,
3) если \%(Р)
следовательно,
т
•р — Т,
и 8(Р)т=0, то
Хр
ввиду
0 ^ т
и $(/>) =
ХР
Л =
— xv (р)
A).
р Т ~in '
== 1, то
= XV (Р)
= Т < Хр.
Для произвольной систематической дроби t ==
=r=Ea3O^ обозначим через {t}{ целое число a(i).
Предположим, что построен алгорифм 5R, сводящий
систему /-ичных дробей к системе m-ичных дробей. По-
Построим алгорифм Я' такой, что
Очевидно, 31' применим к любому слову Р е Чо и
перерабатывает всякое Р в m-ичную дробь, равную Хр.
Построим алгорифм 31" так, чтобы
, если {9F(P)}0>0 и {№'(/>)}, >0,
i в противном случае.
Ввиду C), если !3(/>) и g(P)=s>0, то 9Г(Р)=»0.
Если же !g(P) и g(P)==l, то, ввиду D), -~ <8Г(Р) и,
следовательно, iR" (Z5) == 1.
Таким образом, С?" является пополнением 3, что не-
невозможно.
Следующее следствие является простым примером
применения теоремы 2.

§ 3] КДЧ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ 215
Следствие 1. 1) Можно построить алгорифм, пе-
перерабатывающий всякую десятичную дробь в равную ей
двоичную дробь.
2) Невозможен алгорифм, перерабатывающий всякую
двоичную дробь в равную ей десятичную дробь.
Из теорем 1—2 легко следует
Теорема 3 (Мостовский [2], У с п е н с,к и й
[2] — [3] *)). Каково бы ни было п > 1, система КДЧ не-
несводима к системе п-ичных дробей.
Из теоремы 3 вытекает, что для систематических
дробей в произвольной фиксированной системе счисле-
счисления не сохраняется теорема о полноте. Можно также по-
показать, что в каждой такой системе невозможен алго-
алгорифм сложения. Все эти обстоятельства подчеркивают
уже высказанное в начале параграфа замечание о том,
что нецелесообразно связывать понятие вычислимого
действительного числа с систематическими дробями в
какой-нибудь системе счисления.
В заключение остановимся на естественно возникаю-
возникающем в связи с теоремой 3 вопросе о существовании КДЧ,
для которых невозможны равные им я-ичные (при фи-
фиксированном п) дроби. Отрицательный ответ на этот во-
вопрос дается следующей простой теоремой.
Теорема 4. Пусть п>\. Не существует КДЧ х
такое, что невозможна равная ему п-ичная дробь.
Теорема 4 очевидным образом вытекает из леммы 2
и следующей леммы.
Лемма 3. Можно построить алгорифм, перераба-
перерабатывающий всякое слово вида х, п, где х — иррациональ-
иррациональное КДЧ, п > 1, в п-ичную дробь, равную х.
Доказательство леммы 3 (и теоремы 4) предостав-
предоставляется читателю.
*) При п = 2 эта теорема была по существу отмечена еще
Тьюрингом [2].

ГЛАВА 5
КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Основные определения. Некоторые примеры
1. Определение 1. Алгорифм f в алфавите Ча
назовем конструктивной функцией m переменных (пг :з=
^ 1), если для любых КДЧ хи .,., хт, У\, ..., ут таких,
что
.Х1=Уи Х2 = у2 Хт<=Ут И !/ (*,, . . ., Хт),
выполняется
1) ifQfu ••', Ут)',
2) /(*i хт) и f(yx ут) суть равные КДЧ.
Непосредственно из определения усматривается, что
конструктивная функция пг переменных является алго-
алгорифмом типа (&>т -г> Ф).
Определение 2. Будем говорить, что конструк-
конструктивная функция пг переменных f определена в точке
Xi xm, если \f(xu ..., xm)\ в противном случае бу-
будем говорить, что f не определена в этой точке.
Понятие конструктивной функции было введено
Марковым [5] и оказалось весьма удобным при по-
построении ряда разделов конструктивного анализа*).
Это понятие является естественным уточнением интуи-
интуитивных представлений о вычислимых (точечных) функ-
функциях над КДЧ**).
*) Наши определения отличаются от соответствующих опреде-
определений Маркова несущественными техническими деталями.
**) Более близким к реальной вычислительной практике пред-
представляется аппроксимативный подход к определению вычислимой
действительной функции, развивавшийся Гудстейном [2], Ш п е-
к е р о м [1], Гжегорчиком [2], [4], Лакомбом [1]. При этом
подходе исходными данными функции являются не сами КДЧ, а их
рациональные приближения: параллельно уточнению этих прибли-
приближений уточняются выдаваемые функцией приближения к резуль-
результату. Вопрос о связи аппроксимативных и точечных вычислимых

§ 1] ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 217
Непосредственно из определений 1—2 следует, что
неопределенность конструктивной функции (скажем, од-
одной переменной) в точке х связывается с непримени-
неприменимостью задающего ее алгорифма ко всем КДЧ, рав-
равным х. Такой подход не является единственно возмож-
возможным (ср. Марков [3], Слисенко [3]). Мы еще
вернемся к этому вопросу в гл. 9.
В дальнейшем мы будем рассматривать в основном
конструктивные функции одной переменной, называя их
для краткости просто конструктивными функциями
(КФ). КФ, определенную во всякой точке, будем назы-
называть всюду определенной. В тех контекстах, где явно не
подразумевается противное, термин «функция» будет ис-
использоваться нами как сокращение термина «всюду оп-
определенная конструктивная функция».
Введем отношение условного вещественного равен-
равенства «?*»: два выражения, соединенные знаком «^»,
либо оба не определены, либо являются равными КДЧ.
Определение 3. Будем говорить, что КФ fug
равны (совпадают) на множестве КДЧ JC, и писать
f — g, если при любом х из Ж
Индекс Ж в тех контекстах, где это не приводит к не-
недоразумениям, опускается.
Если КФ fag равны на множестве всех КДЧ 2), то
будем просто говорить, опуская упоминание о множе-
множестве 2), что fug равны.
2. Приведем некоторые примеры конструктивных
функций.
а) Простейшими примерами КФ являются алго-
рифмы Id и Id* (где х — некоторое КДЧ). Каково бы
функций будет рассмотрен в девятой главе (где такие функции на-
называются соответственно операторами Клини и Маркова). Наш вы-
выбор понятия конструктивной функции в качестве основного понятия
обусловлен тем, что, обладая необходимыми чертами интуитивно
вычислимых функций, конструктивные функции напоминают точеч-
точечные функции (в смысле Дирихле) традиционного анализа, что де-
делает более компактными и привычными обозначения и несомненно
облегчает первое знакомство с предметом.

218 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. S
ни было КДЧ z,
Id (г) = z,
Простейшими примерами конструктивных функций га
переменных (га > 1) являются также построенные в п. 7
§ 1 гл. 1 «высекающие» алгорифмы В* (где 1 ^ i ^ п).
Для любых КДЧ х\,..., хп и 1 г^ i ^ п
Использование этих алгорифмов, а также теорем со-
сочетания алгорифмов и теоремы о переводе позволяет
вводить «фиктивные переменные». Например, распола-
располагая КФ /, можно построить конструктивную функцию п
переменных (га > 1) так, что для любых КДЧ хи ..., хп
Аналогично, можно «переставлять аргументы»: на-
например, для конструктивной функции двух переменных /
можно построить конструктивную функцию двух пере-
переменных g так, что при любых х, у
g(x, y)caf{y, x).
Далее, использование теорем сочетания алгорифмов
позволяет рассматривать суперпозиции конструктивных
функций. Пусть, например, /—конструктивная функция
п переменных, fь ..., fn — конструктивные функции.
Нетрудно построить конструктивную функцию g такую,
что для любых КДЧ Х\,..., хп
б) Как следует из § 4 гл. 2, арифметические опера-
операции над КДЧ являются конструктивными функциями
(двух и одной переменной). Использование этих опера-
операций позволяет ввести многочлены и рациональные дроби.
Точнее говоря, можно построить алгорифмы Мн и Рд
так, что для любых га, k и КДЧ х0, ..., хп, у0, ..., Ун,-z
выполняется
Мн (х0 хп, z) s=g х0 ¦ zn + хх ¦ z"-1 + ... + хп,
У2>
X * и
ук, г)'

§ 1] ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 219
Нетрудно также определить арифметические опера-
операции над КФ. Именно, построим алгорифмы 31е (где б —
один из знаков +, —, •, :, max, min) и 3lmod так,
ЗУ 3) 3) 3) 3) 3)
чтобы для любых КФ f, g и КДЧ х
Очевидно, алгорифмы Й*?3>?г3> ^?f3d ПРИ любых КФ
fag являются конструктивными функциями. Эти функ-
функции мы будем обозначать через {f + g}, {f — g), {f-g},
{¦?-}, {max (f, g)}, {min (/, g)\, {\f\}, причем там, где
это не приводит к недоразумениям, фигурные скобки опу-
опускаются и функция Id*' заменяется на х. Например,
вместо {/ + Idi } мы будем писать {/ + 1} или даже
просто / + 1.
По теореме 16 § 1 гл. 1 можно построить алгорифмы
31е и 9lmod (где б —один из знаков +, —. •. '•, max,
з> з> а> з> а>
min) таким образом, что для любых КФ / и g
з>
Например,
При построении КФ часто оказывается полезной сле-
следующая простая лемма «о склеивании конструктивных
функций».
Лемма 1. Пусть /, g — КФ, z — КДЧ, причем \f(z),
\g(z) и f(z)= g(z). Можно построить функцию h так,
что
... i fix) при x<z,
h (х) ?ё \ , > ^
{ g(x) при л:>2.
Действительно, искомая функция может быть задана по-
посредством алгорифма h такого, что
h(x)s*f (min (x, z)) + g (max (*, 2)) — f(z).

220
КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 5
Нам понадобится в дальнейшем алгорифм 0 такой,
что для любого интервала х V у алгорифм Qxvy является
функцией, причем (рис. 8)
0
xAy,
при
ГГ7 ПРИ
1 при
Алгорифм с такими свойствами может быть построен
двукратным применением леммы 1. Проще, однако,
Z
/
0
X
^Г 1 rj __ О If
_^г ' ^ ~~ ^тг 17 И ^
S 1
1
1 „
У t
Рис. 8.
воспользовавшись теоремами сочетания алгорифмов и
арифметическими операциями, построить 0 как алго-
алгорифм, для которого выполняется
в) Алгорифм 0 позволяет без труда строить полигон
нальные (кусочно линейные функции). Приведем необ-
необходимые определения.
Определение 4. Функцию f будем называть ли-
линейной на промежутке*) хХу (соответственно слева
от х, справа от х и на всей оси), если осуществимы
КДЧ и, v такие, что при всяком г, принадлежащем
хХу (соответственно при всяком z^.x,z~^x и лю-
любом г), выполняется
f(z) = u- z+v.
*) Напомним, что в тех контекстах, где речь может идти без-
безразлично о сегменте или интервале, мы употребляем термин «про-
«промежуток» и обозначение хХу.

§ Ц OCHORHbTE ОПРЕДЕЛЕНИЯ 221
КДЧ и и v будем называть соответственно угловым
коэффициентом и свободным членом f на х\у (слева
от х, справа от х, на всей оси).
Очевидно, если f линейна на хХу и и — ее угловой
коэффициент на х%у, то свободный член / может быть
найден как f(x)—и-х. Далее, если функция f линейна
на интервале х V у, то ее угловой коэффициент может
быть задан как — х • Таким образом, для функ-
функции, линейной на интервале (или на сегменте положи-
положительной длины), легко находятся ее угловой коэффи-
коэффициент и свободный член.
Определение 5. 1) Кортеж КДЧ Х\*...*хп
(п ^ 2) назовем дроблением, если при 1 ^ I < п
Xi ^ JCf + l-
2) Дробление х{ * ... * х„ назовем положительным,
если при 1 ^ i < п
Xi < ХШ.
3) Дробление Х\ *... * хп назовем рациональным,
если все xt (I ^ i ^ п) — рациональные числа.
4) Дробление Xi*...*xn назовем дроблением сег-
сегмента и Av, если и = Xi, v = хп.
Определение 6. Дробление Х\* ... *хп назовем
определяющим дроблением функции f, если f линейна на
каждом сегменте Xi A xi+i A < i < n).
Определение 7. 1) Функцию f назовем полиго-
полигональной на сегменте х А у, если осуществимо дробление
х А у, являющееся определяющим дроблением функ-
функции f.
2) Функцию f назовем полигональной на всей оси
(или, короче, просто полигональной), если она полиго-
полигональна на некотором сегменте х А у и линейна слева
от х и справа от у.
¦Определение 8. Слово ?/3, *i *...**„, v{ * ...
... * yn_i назовем полигональным шифром функции f на
х А у, если Xi *... * хп — дробление х А у, являющееся
определяющим дроблением f, а о4 A ^ i ^ п — 1) —
угловые коэффициенты f на сегментах Х\ А Х{+\.
Очевидно, функция полигональна на сегменте в том
и только в том случае, когда осуществимо слово,

222 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
являющееся полигональным шифром этой функции на
рассматриваемом сегменте. Полигональный шифр функ-
функции содержит всю необходимую информацию об этой
функции как о полигональной; в этом плане соотноше-
соотношение между записью полигональной функции и ее поли-
полигональным шифром примерно такое же, как между
F-числом и КДЧ (ср. § 2 гл. 2).
Предлагаем читателю в качестве упражнения дока-
доказать, что сумма полигональных на х А у функций есть
полигональная на х А у функция; другими словами, осу-
осуществим алгорифм, строящий по полигональным шиф-
шифрам функций / и g на х А у полигональный шифр на
х А у функции {/ + gl
Те конкретные полигональные функции, которые мы
будем использовать, будут задаваться с помощью поло-
положительных рациональных дроблений. Нетрудно убедить-
убедиться, что если Т = Xi * ,.. * хп — положительное дробле-
дробление, у\ уп — КДЧ, то алгорифм h такой, что
гс-1
h (г) = Ух + Jj {yi+i -уд-Q {xt V xi+l, z),
является полигональной функцией с определяющим дро-
дроблением Т, причем h (z) = ух при z ^ xit h(Xi) = yi
(l^tsS^n) и h(z)= уп при z ^ хп. Таким образом,
для каждого положительного дробления можно по-
построить полигональную функцию, для которой это дро-
дробление является определяющим и которая принимает за-
заданные значения в точках этого дробления.
г) Алгорифм sgn, построенный в § 4 гл. 1, является
конструктивной функцией. Напомним, что sgn(x) ^= 1,
если х > 0, sgn (я) =—1, если х < 0, и l!sgn(x),
если х = 0. Использование К.Ф sgn позволяет строить
«ступенчатые» функции. Например, нетрудно построить
К.Ф g такую, что g(x) = 0 при х < — 1, g(x) ~ 1 при
— 1<х<0, g(x) =f 2 при х > 0 и g не определена
в точках —1 и 0 (рис. 9). (Последнее обстоятельство,
ввиду теоремы о неразрывности КФ (§ 2), не является
случайным.)
д) Мощным средством построения конструктивных
функций является теорема о полноте конструктивного
континуума (гл. 3, § 2), позволяющая привлекать для

§1]
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ
223
таких построений сходящиеся функциональные последо-
последовательности и ряды. Использование известных разложе-
разложений дает возможность ввести в терминах конструктивных
функций элементарные функции (тригонометрические,
показательную, степенную и т. д.). Соответствующие
конструктивные функции обладают характерными чер-
чертами одноименных функций традиционного анализа.
(С точки зрения традиционного анализа эти конструк-
конструктивные функции представляют собой алгорифмы, вычис-
вычисляющие данные элементарные функции в тех точках
У
Рис. 9.
(классического) континуума, которые могут быть за-
заданы как КДЧ.)
Мы не останавливаемся подробно на этих вопросах,
отсылая читателя к книге Гудстейна [2] и к работам
Шанина [6], Слисенко [2], Заславского и Ма-
Манук ян [1].
§ 2. Свойства непрерывности. Равномерно
непрерывные функции
1. Наиболее специфическими свойствами конструк-
конструктивных функций являются свойства непрерывности. Пер-
Первый существенный шаг в установлении этих свойств
был сделан Марковым [3], [5], доказавшим, что кон-
конструктивные функции не могут иметь конструктивных
разрывов*). Этот результат доведен до логического
конца Цейтиным [3]—[5], показавшим, что любая
*) Близкий результат был получен также Мазуром [1].

224 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
конструктивная функция непрерывна во всякой точке,
в которой она определена.
В этом пункте приводятся упомянутые результаты
Маркова и Цейтина. Формулируемые ниже теоремы 1—3
будут доказаны в девятой главе.
Определение 1. 1) Будем говорить, что КФ f
имеет конструктивный разрыв в точке Хо, если \f(x0) и
осуществимы ПДЧ а и натуральное число щ такие, что
при всяком п
а) !/(а (п));
б)|а(п)-хо|<2-л;
в)|/(а(я))-/(л:0)|>2-л\
2) КФ будем называть неразрывной, если она не
имеет конструктивных разрывов.
Теорема 1 (теорема А. А. Маркова о неразрыв-
неразрывности конструктивных функций). Всякая конструктивная
функция неразрывна.
Определение 2. 1) ПНЧ со будем называть ре-
регулятором непрерывности функции f в точке х0, если
1/(*о) и при любых п, х таких, что \х — *0|<2-ш(п> и
lf(x), выполняется
\f(x)-f{xo)\<2-\
2) Алгорифм W будем называть регулятором непре-
непрерывности функции f, если при любом х таком, что !/(*),
алгорифм Wx является регулятором непрерывности f в
точке х.
3) КФ назовем непрерывной, если осуществим 'алго-
'алгорифм, являющийся регулятором непрерывности /.
Теорема 2. (теорема Г. С. Цейтина о непрерыв-
непрерывности конструктивных функций). Всякая конструктив-
конструктивная функция непрерывна, т. е. осуществим алгорифм 91
такой, что для любой КФ f алгорифм %щ является ре-
регулятором непрерывности функции f.
Теорема 2 показывает, что всякая конструктивная
функция непрерывна в сильном конструктивном смысле
этого слова в любой точке, где она определена. В § 3
нам потребуется следующий более сильный вариант
теоремы непрерывности, также принадлежащий Цей-
тину.

§ 21 СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ 225
Теорема 3. Можно построить алгорифмы а, х и у
так, что для любой КФ f и натуральных tn, n
1) если !<т(?/3> т, п), то o(?f3, m, ") —интервал и
2) если !т(Е/3> т, п)> то т(Е/3> т, п) —рациональ-
—рациональное число;
3) для любого КДЧ х, если lo(?fZ, т, п), !/(*) «
х е 0(8^3. /". «). го
4) (Эля любого КДЧ х и любого т, если \f(x), to
. x> m)> Y(Е/:3> *. т) —натуральное число, при-
причем
, х, m)).
Эта теорема, по существу, показывает, что для вся-
всякой КФ / и любого m можно построить перечислимое
интервальное покрытие области определения / такое,
что для любого интервала покрытия колебание / на этом
интервале не превосходит 2~т.
2. Определение 3. Пусть КФ f определена в
каждой точке сегмента х А у.
1) ПНЧ и будем называть регулятором равномерной
непрерывности f на х А у, если при любых Х\, х2 е х А у
и любом п таких, что \xi — х2\<. 2~^п\ выполняется
\f(xl)-f(x2)\<2-n.
2) f будем называть равномерно непрерывной на
х А у, если осуществим регулятор равномерной непре-
непрерывности f на х А у.
В связи с теоремой о непрерывности конструктивных
функций возникает вопрос о том, не является ли всякая
всюду определенная, скажем на сегменте О А 1, КФ рав-
равномерно непрерывной на этом сегменте. Ответ на этот
вопрос отрицательный, в гл. 8 будут приведены при-
примеры функций, не являющихся равномерно непрерыв-
непрерывными на О А 1.
Устанавливаемые в этом пункте свойства равномерно
непрерывных функций изложены в основном в работе
Заславского [4]. Для других концепций вычислимых

226 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
действительных функций аналогичные результаты были
установлены Гжегорчиком [2], Лакомбом [1] и
Гудстейном [2]. Все упоминаемые ниже конструк-
конструктивные функции предполагаются всюду определенными.
Определение 4. Слово вида х Д у * ?/3 * ?63
назовем равномерным шифром функции f на сегменте
х А у, если б является регулятором равномерной непре-
непрерывности f на х А у.
Равномерные шифры представляют собой естествен-
естественные исходные данные для алгорифмов, связанных с рав-
равномерно непрерывными функциями, — каждый такой
шифр содержит исчерпывающую информацию о соответ-
соответствующей функции как о равномерно непрерывной.
Доказательство следующей простой леммы предо-
предоставляется читателю.
Лемма 1. Пусть хо*...*хп (п ^ 2) — дробление
(г, е. х0 sg: X\ sg:... <; хп). Каково бы ни было КДЧ х
из сегмента х0 А хп, неверно, что х не принадлежит ни
одному из сегментов Х{ A x,+i.
Из леммы 1 без труда следует
Лемма 2. Если бь бг — регуляторы равномерной
непрерывности функции f на х Д у и у Л z и бз — такая
ПНЧ, что
б3 @ = max (б, (п + 1), б2 (п + 1)),
то бз является регулятором равномерной непрерывности
f на х Аг.
Теорема 4. Пусть функция f равномерно непре-
непрерывна на сегментах х А у и у А г. Тогда f равномерно
непрерывна на сегменте х А г.
Данная теорема утверждает осуществимость алго-
алгорифма, строящего по равномерным шифрам произволь-
произвольной функции на х А у и у А г регулятор равномерной
непрерывности этой функции на сегменте х A z. Возмож-
Возможность построения такого алгорифма легко усматривает-
усматривается из леммы 2.
Поскольку всякая линейная на данном сегменте
функция равномерно непрерывна на этом сегменте, то
выполняется
Следствие 1. Всякая полигональная на данном
сегменте функция равномерно непрерывна на этом сег-
сегменте (т. е. осуществим алгорифм, перерабатывающий

§ 2] СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ 227
полигональный шифр функции в запись регулятора рав-
равномерной непрерывности этой функции).
Определение 5. 1) Будем говорить,'что КДЧ г
ограничивает f на х А у, если всюду на этом сегменте
\f(t)\<z.
2) Будем говорить, что функция f ограничена на дан-
данном сегменте, если осуществимо КДЧ, ограничивающее {
на этом сегменте.
Определение 6. КДЧ z назовем верхней (ниж-
(нижней) гранью функции f на х Д у, если при всяком t e
s х Д у выполняется
f(t)<z
(соответственно f (t) > z).
Определение 7. КДЧ z назовем точной верхней
(нижней) гранью функции f на х Д у, если
1) г является верхней (нижней) гранью f на хАу,
2) можно построить ПДЧ X такую, что при любом п
z-f(k(n))<2-n
{соответственно f (Я (п)) — г < 2~п).
Теорема 5. Для всякой равномерно непрерывной
на х А у функции осуществимы КДЧ, являющиеся точ-
точными нижней и верхней гранями этой функции на х А у.
Доказательство. Ограничимся доказательством
существования точной верхней грани. Речь идет о по-
построении алгорифма, перерабатывающего равномерный
шифр произвольной функции в точную верхнюю границу
этой функции (на соответствующем сегменте).
Обозначим на все время доказательства через Р про-
произвольный равномерный шифр х А у * ?/3 * Е^3« а че"
рез U, п — точки х + -^^ ¦ / @ < / < 2п).
Построим алгорифм Я1 так, чтобы при любом слове Р
рассматриваемого типа и любом п выполнялось,
A) W(P,n)= max /(/,,„).
Очевидно, Uj> есть ПДЧ, причем (A))
B) %l(P,n+l)^W(P, n),

228 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. 5
Построим алгорифм %2 такой, что
%2(Р, п) с* 6(п + 1) + С+ (у - x)
(где G+ — алгорифм, удовлетворяющий лемме 6 § 4
гл. 2), и докажем, что §р есть регулятор фундаменталь-
фундаментальности ПДЧ %р.
Фиксируем произвольное п и рассмотрим /, / такие,
что
Предположим, что
C) \%\Р, i)-%l(P, /)|>2-"-\
Не теряя общности, можно считать, что i > /. Тогда,
ввиду B), C), можно записать
D) %l(P,i)-%l(P,j)>2-n-1.
Допустим далее, что при некотором 0 ^ п0 =^ 2'
имеет место
E) Я'(Л0 = /(^1).
Из D) —E) тогда получаем, что при всех 0 ^ / ^ 2/
f(U.t)-f(ti,l)>2-n-i.
Это, однако, невозможно, поскольку i > / и
Таким образом, если выполняется C), то при всех
О < k ^ 2*
2l'(P, t)?>f(tk.i),
что противоречит теореме 3 § 4 гл. 2. Следовательно,
C) неверно и имеет место
I а1 (р, о - а1 (р, /) | < 2-"-1 < 2"п,
что и требуется.
Пользуясь теоремой о полноте (§ 2 гл. 3), построим
теперь алгорифм ЗД3 такой, что

i 2] СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ 229
Алгорифм 513 перерабатывает всякое слово Р рас-
рассматриваемого вида в КДЧ, к которому сходится %р.
Можно показать, что это КДЧ и является точной
гранью f на х А у.
Следствие 2. Всякая равномерно непрерывная на
данном сегменте функция ограничена на этом сегменте
(т. е. осуществим алгорифм, перерабатывающий равно-
равномерный шифр данной функции на данном сегменте в
КДЧ, ограничивающее эту функцию на рассматривае-
рассматриваемом сегменте).
Предоставляем читателю доказать следующую тео-
теорему.
Теорема 6. Если функции fug равномерно не-
непрерывны на хАу, то функции {f + g}, {f — g\, {f-g\,
{\f\} равномерно непрерывны на х Ay. Если, кроме того,
осуществимо п такое, что \g(t)\^2~n всюду на хАу,
то функция \ — \ равномерно непрерывна на х А у.
Отметим, что для доказательства, например, послед-
последнего утверждения теоремы нужно указать алгорифм,
строящий по равномерным шифрам / и g на х А у и на-
натуральному п такому, что \g(t)\^ 2~п всюду на х А у,
запись регулятора равномерной непрерывности функции
{{}
}
Теорема 5 намечает некоторую аналогию между рав-
равномерно непрерывными конструктивными функциями и
непрерывными функциями традиционного анализа. Сле-
Следует заметить, что хотя эта аналогия подтверждается и
рядом других фактов (например, тем, что всякая равно-
равномерно непрерывная КФ интегрируема по Риману), она
не является очень полной — в частности, в § 2 гл. 8 бу-
будет построена равномерно непрерывная на 0 Л 1 КФ, не
достигающая на 0А1 своей точной верхней грани.
Важным классом равномерно непрерывных функций
являются монотонные функции.
Определение 8. 1) Функцию f будем называть
возрастающей (убывающей) на промежутке х%у, если
при любых 2], 22 из х%у таких, что Z\ < z2, выполняется
(соответственно, }(Z\)> f(z2)).

230 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 8
2) Функцию f будем называть неубывающей (невоз-
растающей) на х%у, если при всяких z\, z2 таких, что
Z\, z2 e xXy и z\ < z2> имеет место
(соответственно f () ffa))
Определение 9. Функцию f будем называть стро-
строго монотонной (монотонной) на х%у, если она является
возрастающей или убывающей (соответственно неубы-
неубывающей или невозрастающей) на хХу функцией.
Следующая теорема показывает, что всякая моно-
монотонная на данном сегменте функция равномерно непре-
непрерывна на этом сегменте.
Теорема 7. Можно построить алгорифм 91 таким
образом, что для любого сегмента х А у и любой моно-
монотонной на этом сегменте функции f алгорифм %.^, хау
является регулятором равномерной непрерывности f на
хАу.
Мы ограничимся тем, что наметим доказательство
равномерной непрерывности возрастающей на невырож-
невырожденном сегменте функции. Переход к случаю неубы-
неубывающей функции проводится рассмотрением вспомо-
вспомогательной функции g (х) = f(х)-{-х, а переход к про-
произвольному сегменту легко выполняется с помощью
алгорифма Рз (теорема 21 § 3 гл. 2).
Итак, пусть функция f возрастает на невырожденном
сегменте х А у (х < у). Обозначим через jV натуральное
число, для которого
f(y)-f(x)<2».
Пусть уи„-точки вида f(x)+ f^l~J+\x) -i (где
Очевидно, yi,n<yi+i,n и
\yt+un — yt,r,
Пользуясь теоремой 4 § 4, найдем точки Xiin так,
F) \Уш.п-У1,п\<2-п-1
что
G) f(xt,n) = yun.
^Невидно,
¦ <хщ,п.

§ 2) СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ 231
Следовательно, можно найти kn так, что
2-ft«< min (xi+Un — Xi,n).
Используя F) —G) и лемму 1, нетрудно проверить,
что при хи ух е х Л у таких, что
выполняется
\f{xx)-f{yx)\<2-n.
Определение 10. Функцию f назовем кусочно
монотонной на сегменте х А у, если осуществимо дроб-
дробление Xq *... * хп этого сегмента такое, что f монотонна
на каждом сегменте xt A xi+i @ ^ i ^ п — I).
Из теорем 4 и 7 вытекает
Следствие 3. Всякая кусочно монотонная на дан-
данном сегменте функция равномерно непрерывна на этом
сегменте.
3. Использование псевдочисел позволяет получить некоторые
интересные результаты о равномерно непрерывных функциях — в
частности, установить конструктивный вариант известной теоремы
о достижимости точных границ. Мы очень коротко остановимся на
этих вопросах.
Примем следующие естественные определения отношений ра-
равенства и порядка для псевдочисел (используемые обозначения вве-
введены в § 3 гл. 3):
Я\ < цг = ~|~1 3/iAV/n (m>(i3ft (от) —^, (от) > 2~*),
<?i > <?2 = Ян <<7ь
Я\ <?2 =
Ql = q2 ям W -[ 1 3mV/ (/ > m =э | 2j @ - ? (г) | < 2"").
Равенство между КДЧ и псевдочислами, определенное в § 3
гл. 3, можно также ввести, сопоставляя каждому КДЧ к псевдо-
псевдочисло осн(л:) О (см. п. 4 § 3 гл. 2).
Пусть t\s — рациональный промежуток. Естественным образом,
можно говорить о множестве псевдочисел, принадлежащих этому
промежутку. Обозначим возникающее таким образом множество
через (г X s).
Дальнейшие рассмотрения будут проведены для краткости в
случае КФ, определенных на единичном сегменте. Упоминания об
'«том сегменте часто опускаются.

232 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. 5
Определение П. 1) П-оператором назовем алгорифм, пе-
переводящий псевдочисла в псевдочисла так, что равные псевдочисла
переводятся в равные псевдочисла.
2) П-оператор V назовем продолжением функции }, если при
любом КДЧ х (из ОДI) и любом псевдочисле q таких, что х = q,
выполняется f(x)=t W(q).
Почти очевидна
Теорема 8. Для всякой равномерно непрерывной функции
можно построить П-оператор, являющийся ее продолжением.
Для равномерно непрерывной функции / обозначим через J
продолжающий ее Я-оператор.
Имеет место следующая теорема (здесь и ниже мы формули-
формулируем результаты для точных верхних границ; для точных нижних
границ они, разумеется, остаются в силе).
Теорема 9. (Лифшиц [4]). Для каждой равномерно непре-
непрерывной функции f можно построить псевдочисло q {из 0Д1) так,
что ]{q) равно точной верхней грани f на 0Д1.
В силу уже упоминавшихся результатов § 2 гл. 8 для некото-
некоторых функций построенное согласно теореме 9 псевдочисло заведомо
не равно никакому КДЧ. Поэтому весьма интересна следующая
теорема, представляющая собой конструктивную версию результатов
Гжегорчика [2] и Лакомба [4]*).
Теорема 10. Пусть f — равномерно непрерывная функция,
КДЧ х — ее точная верхняя грань на 0Д1. Если псевдочисло q та-
таково, что
1) ?(?)=*;
2) можно указать рациональную окрестность точки q такую,
что для всех псевдочисел qi из этой окрестнооти, отличных от q,
имеет место J(qi)?*x, то осуществимо КДЧ у, равное q.
Теорема 10 показывает, таким образом, что изолированный экс-
экстремум равномерно непрерывной функции вычислим.
Для читателя, придерживающегося традиционной ориентации,
заметим, что из первоначального варианта теоремы 10 (сформули-
(сформулированного применительно к классическому континууму) легко сле-
следует вычислимость корней полиномов с вычислимыми коэффициен-
коэффициентами **).
4. Введенное в предыдущем пункте понятие Я-оператора отли-
отличается от понятия всюду определенной конструктивной функции
*) Гжегорчик и Лакомб используют традиционное понятие дей-
действительного числа. В работе Лакомба [4] приведена также про-
простая и исчерпывающая характеристика тех множеств действитель-
действительных чисел, на которых достигаются экстремальные значения вычис-
вычислимых вычислимо равномерно непрерывных функций. Каждое такое
множество получается выбрасыванием из данного сегмента некото-
некоторого перечислимого множества рациональных интервалов. Эти ре-
результаты также могут быть интерпретированы конструктивно, но
мы не имеем возможности углубляться в этот вопрос.
**) Заметим попутно, что основная теорема алгебры имеет ме-
место в следующей, гораздо более сильном формулировке (очевидное
определение конструктивных комплексных чисел (ККЧ) предостав-

§ 2] СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ 233
только выбором другой числовой системы (псевдочисел вместо
КДЧ), Аналогично примем
Определение 12, 1) К-оператором называется алгорифм,
перерабатывающий квазичисла в квазичисла так, что равные квази-
квазичисла перерабатываются в равные квазичисла.
2) К-оператор V назовем продолжением функции f, если при
любом КДЧ х и любом квазичисле р таких, что х = р, выполняется
f()V()
(p)
Я- и K-операторы могут наряду с конструктивными функциями
рассматриваться как уточнения интуитивной концепции вычислимой
(точечной) функции действительной переменной*). Возникающее
таким образом расщепление понятий соответствует возможности
различных уточнений интуитивной концепции вычислимого действи-
действительного числа. (Мы не рассматриваем здесь операторов над f-чис-
лами, поскольку каждый такой оператор в силу своего определения
порождается некоторой конструктивной функцией.)
В этом пункте мы сформулируем некоторые результаты автора
(Кушнер [4]—[б]; [11]) о К- и Я-операторах.
Сравнительный объем понятий конструктивной функции и К- и
Я-оператора выясняется следующими теоремами. (Термин «функ-
«функция», как и выше, используется в качестве сокращения термина
«всюду определенная конструктивная функция».)
Теорема 11. 1) Для каждой функции можно построить
К-оператор, являющийся ее продолжением.
2) Можно построить К-оператор, не являющийся продолжением
никакой функции.
Теорема 12. 1) Можно построить функцию, для которой не-
невозможен продолжающий ее П-оператор.
2) Можно построить П-оператор, не являющийся продолжением
никакой функции.
Заметим, что свойством, указанным в утверждении 1) теоре-
теоремы 12, обладает, например, эффективно неравномерно непрерывная
функция, построенная в доказательстве теоремы 3 § 2 гл. 8.
По аналогии с определением 2 п. 1 можно ввести понятие не-
непрерывности для К- и /7-операторов; однако теорема, аналогичная
ляется читателю): можно построить алгорифм, перерабатывающий
всякий полином Рп@ = aotn + ... + ап (где а,- — ККЧ и Оо # 0)
в список ККЧ zu .... г„ так, что Pn(t) = а0- (t — zt) ....(/ — г„)
(см. Оревков [3], ван дер Корпут [1], Гудстейн [3]—[4],
Шпекер [3]).
*) Для читателя, не заинтересованного в конструктивной специ-
специфике, отметим традиционную интерпретацию К- и /7-операторов.
Именно, можно считать, что речь идет об алгорифмических опера-
операторах двух типов: в первом случае (/(-операторы) аргументами и
значениями оператора являются коды вычислимых, вычислимо схо-
сходящихся последовательностей рациональных чисел, во втором
(/7-операторы)—коды вычислимых, сходящихся (в традиционном
смысле этого слова) последовательностей рациональных чисел.
(В обоих случаях дополнительно требуется, чтобы оператор сохра-
сохранял некоторое естественное отношение равенства.\

234 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ.5
теореме 2, места не имеет: существуют не непрерывные К- и Я-опе-
раторы. Несмотря на это, К- и Я-операторы обладают все же не-
некоторыми свойствами эффективной непрерывности: нужно лишь не-
несколько ослабить требования к регулятору непрерывности (ср.
определение 2 п. 1), отказавшись от получения «б», соответствую-
соответствующего данному е = 2~п, в виде рационального числа.
Обозначим через Ж~ множество квазичисел таких, что р s Ж'
тогда и только тогда, когда ПРЧ р_ не возрастает и
1 ПЭпУЦ(i. j>п =>_р(<)«=?(/))
(т. е. задающая р ПРЧ ? «стабилизируется»).
Ясно, что любое р е Ж' не может не равняться некоторому
рациональному числу.
Следующее определение мы сформулируем для краткости лишь
в случае Я-операторов; для К-операторов понятие почти непрерыв-
непрерывности вводится совершенно аналогично. •
Определение 13. П-оператор ? назовем почти непрерыв-
непрерывным, если можно построить алгорифм Ш, перерабатывающий вся-
всякое слово вида cj, n (q — псевдочисло, п — натуральное число) в
положительное квазичисло, принадлежащее Ж~ и такое, что при
любом псевдочисле qi, удовлетворяющем неравенству
I <?!-<? К «(<?.")•
выполняется
I V (?,) - Y to) К 2"".
(Таким образом, «б», соответствующее условию непрерывности в
данной точке q при данном е = 2"п, эффективно находится в виде
положительного квазичисла из Ж'.)
Теорема 13. 1) Всякий К-оператор почти непрерывен.
2) Всякий П-оператор почти непрерывен.
Заметим, что доказательство теоремы 13 опирается на теорему
Клини о неподвижной точке (см. Клинн [4; § 66], Мальцев [1])
и существенно отличается от доказательств теорем непрерывности,
приводимых в гл. 9.
Отметим также, что только что сформулированная теорема не-
непрерывности не мешает /(-операторам обладать необычными как
для конструктивных, так и для классических функций свойствами.
Например, в работе К у ш н е р а [5] указан пример /(-оператора
(почти непрерывного в силу теоремы 13), принимающего на еди-
единичном сегменте в точности два значения (ср. § 4 гл. 5). Для Я-опе-
Я-операторов такого рода примеры невозможны.
Из теоремы 11 и теоремы 3 § 2 гл. 8 следует, что существует
эффективно неравномерно непрерывные /(-операторы. Использование
новой по сравнению с гл. 8 конструкции позволяет также построить
эффективно неравномерно непрерывную КФ, продолжимую до
Я-оператора.
За дальнейшими сведениями о К- к Я-операторах мы отсылаем
читателя к уже упоминавшимся работам автора [4]—[5], [11].

§ 3] СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ 236
§ 3. Структура конструктивных функций
В данном параграфе будет изложена аппроксима-
ционная теорема Цейтина для конструктивных функций.
Согласно этой теореме (см. Цейтин [5]) всякая непу-
непустая (т. е. определенная хотя бы в одной точке) кон-
конструктивная функция допускает равномерное приближе-
приближение на всей своей области определения посредством не-
некоторых стандартных функций, названных Цейтиным
псевдополигональными. Для характеристики псевдополи-
псевдополигональных функций следует заметить, что эти функ-
функции получаются «склеиванием» согласованных после-
последовательностей «угловых» функций. В свою очередь
«угловая» функция — это конструктивная функция, опре-
определенная лишь в точках некоторого рационального ин-
интервала, кусочно линейная на этом интервале и имеющая
на нем не более одной угловой
точки (рис. 10).
Таким образом, область
определения псевдополигональ-
псевдополигональной функции получается объ-
объединением последовательности
рациональных интервалов. В
п. 3 § 3 гл. 9 будет показано,
что область определения про-
произвольной конструктивной Рис. Ю.
функции может иметь гораздо
более сложную структуру. Следует отметить, что не-
несмотря на относительную простоту своего устройства
псевдополигональные функции могут обладать необыч-
необычными с точки зрения традиционного анализа свойства-
свойствами— например, построенная в § 2 гл. 8 всюду опреде-
определенная и неограниченная на сегменте 0Л 1 функция яв-
является псевдополигональной. Источником таких свойств
псевдополигональных функций служит то обстоятель-
обстоятельство, что для конструктивного континуума не имеет
места теорема Бореля о выборе конечного покрытия.
(Ясно, что если псевдополигональная функция опреде-
определена на некотором сегменте, то последовательность ин-
интервалов, задающая область определения этой функции,
образует покрытие данного сегмента.)
гг
гг

236 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. б
Интересным следствием аппроксимационной теоремы
Г. С. Цейтина является теорема И. Д. Заславского и
Г. С. Цейтина (Цейтин [8]), утверждающая, что всякая
конструктивная функция является на всей своей обла-
области определения пределом некоторой последовательно-
последовательности всюду определенных полигональных функций. От-
Отсюда, в частности, следует, что любая конструктивная
функция является на всей своей области определения
пределом некоторой последовательности полиномов.
1. Выполним некоторые предварительные построения.
Лемма 1. Можно построить алгорифм РзС, пере-
перерабатывающий всякое слово Т вида х0 * ... * хп, х, где
Хо *... * хп — положительное дробление, х — КДЧ та-
такие, что п ^ 2 и Хо <; х ^ хп, в натуральное число, при-
причем
Кроме того, если х0 < х < хп, то
^ Х "^
Доказательство. Построим искомый алгорифм
РзA), пользуясь теоремами сочетания алгорифмов так,
чтобы при всяком п ^ 2 для любых КДЧ *о, ..., хп, х
выполнялось
РзA> (*й * ... * хп, х) ~
О, если Рз(гс, vr,, *) —1,
я —2, если P3(xh xi+l, х) = 2 для всех г таких, что
/', если 0</<« —2, Рз(*/+1, х1+ь х)~{ и
при 0^.k <!/ Рз (xk, xk+l, x) = 2.
Пусть теперь S =г х0* .. .*хп — положительное дро-
дробление, х — КДЧ. Тогда, очевидно, РзО перерабатывает
слово 5, х в натуральное число, заключенное между 0 и
п — 2. Предположим далее, что xgx0A xn.
а) Если Рз(х0, хи х) ~ 1, то P3<»(S, х) = 0. В рас-
рассматриваемом случае х < Х\. Следовательно, подавно
х0 ^ х ^ х2.

§ 3) СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ 237
При этом, если х <= х0 V хп, то, очевидно,
Xq <^ X <^ X<i*
б) Рз(лгг, Ari+1> *)==2 при 0</<«—1. Тогда
РзП) (S, х) = п — 2. Поскольку, в частности, выполняется
Рз (*„_,, аг„, а:) = 1, то * >*„_,. Следовательно,
причем если х е л:0 V *ге. то
в) Пусть / таково, что 0</^п— 2, Рз (xf+u xt+2, a:)=1
и при О^й^у Рз (xk, xk+x, jk)=t=2. Тогда, очевидно,
РзA>E, л;) = / и
X) < л: < а:/+2,
чем и заканчивается доказательство леммы.
Определение 1. Системой сегментов (интерва-
(интервалов) назовем всякое слово Т вида Ро * • • • * Рп, где все
Pt — сегменты (интервалы). Про сегмент (интервал) Pi
будем говорить, что он входит в систему Т, и писать
Pi e Т.
Лемма 2 (Цейтин [5]). По всякой последователь-
последовательности рациональных интервалов Ч? можно построить
стройный алгорифм Ф так, что *)
1) для всякого п, если \Ф(п), то Ф(п) —рациональ-
—рациональный интервал;
2) если m ф п и \Ф(т), !Ф(«), то интервалы Ф(пг),
Ф(п) дизъюнктны (т. е. не имеют общих внутренних
точек);
3) осуществим алгорифм X, перерабатывающий вся-
всякое п, к которому применим Ф, в натуральное число та-
такое, что интервал Ф(п) включен в интервал W(%(n));
4) осуществимы алгорифмы у\, уг, перерабатываю-
перерабатывающие всякое слово вида х, m такое, что х е Ф(т), в на-
натуральное число так, что \Ф(у\(х, т)), !Ф(уг(х, т)),
КП (Ф (Y, (х, т))) = К* (Ф (ъ (х, т)))
*) Напомним, что алгорифм Ф называется стройным, если при
всяком k из !Ф(й + 1) следует P/TWM

238 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
К* (Ф (у, (х, т))) <х<Кп(Ф (Ya (*, т))) *);
б) если последовательность Ч? такова, что осущест-
осуществимы алгорифмы Х\, Ая типа (Ж-+Ж), для которых при
всяком п выполняется
то алгорифм Ф арифметически полн (т. е. применим
к любому натуральному числу) и осуществимы алго-
алгорифмы Х'и %2 типа C6 -*¦ Ж) такие, что при любом п
(Другими словами, для всякого интервала последова-
последовательности Ф можно найти смежные с ним справа и слева
интервалы этой последовательности.)
Доказательство**). Пусть Ч?—последователь-
Ч?—последовательность рациональных интервалов. Построим сначала не-
некоторую последовательность систем рациональных ин-
интервалов К.
Будем для краткости обозначать левый и правый
концы интервала ^(п) через гп и sn.
Положим
v . ,-т го + so ro + s0
Ло ~ Го V 2— 2— ^ °"
Пусть уже построена система рациональных интер-
интервалов Кп- Систему Кп+\ строим следующим образом.
Рассмотрим интервал W(n-\-l). Возможны случаи***):
1) Чг(/г+ 1) не имеет общих внутренних точек с ин-
интервалами системы Кп',
2) ^(n+l) включен в один из интервалов систе-
системы Кп',
*) Напомним, что алгорифмы Ка и Кл перерабатывают вся-
всякий промежуток соответственно в его правый и левый концы.
**) Более строгое доказательство можно найти в работе Цей-
тина [5].
***) Здесь и в дальнейшем следует иметь в виду, что отноше-
отношения порядка и равенства рациональных чисел разрешимы.

§ 3] СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИИ 239
3) Чг(/г+ 1) имеет общие внутренние точки с ин-
интервалами системы Кп, но не включен ни в один из ин-
интервалов Кп-
В первом и втором случаях соответственно полагаем
fC V j. r V7 Л"+1 + Sn+\ Гп+\ + S/l + 1 r-7 о
An+l -г- An* 'л+l V 2 2 " n+1
И
В третьем случае nycTbto = rn+u tPn+i==sn+i н tu • • •
.... /Pn — все различные концы интервалов системы Кп,
попавшие в интервал ^(«-f 1) и занумерованные в по-
порядке возрастания так, что
/о =г= Гп+1 < U < t2 < ... < tPn < sn+i == tPn+i.
Пусть далее /,-, V ^,+i. ti2 V ^2+i Ut V ^+i — те из
интервалов ti\j ti+x @^л^р„), которые не включены
в интервалы системы Кп (отметим, что таких интерва-
интервалов может и не быть). Систему К,п+\ определяем при-
присоединением этих интервалов к системе Кп, т. е.
Kn+i =^Kn* ttl v /»,+i * tii V U2+i * • • • * //, V ti[+i
(и Kn+i^Kn, если все интервалы /<v^+i (
включены в интервалы системы /С„). Заметим, что
можно построить алгорифм, перерабатывающий вся-
всякое п в систему Кп-
Нетрудно убедиться (индукцией по п), что при лю-
любом п
A) все интервалы системы Кп попарно дизъюнктны;
B) всякий интервал системы Кп включен по меньшей
мере в один из интервалов Ч'(О) хУ{п).
Покажем теперь, что
C) для каждого х и п таких, что x^W(n), можно
найти интервалы ai V Ь\, а2 V Ь2, входящие в Кп,
такие, что bi = а2 и oi < х < Ь2.
Действительно, при п = 0 утверждение очевидно.
Пусть мы умеем находить требуемые интервалы для
всех z и k таких, что k^n и z^W(k). Пусть *е
elF(/i+ 1). При переходе от системы Кп к Кп+i могли
представиться случаи 1)—3). Рассмотрим эти случаи.
В случае 1) утверждение очевидно,

240 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
В случае 2) можно найти интервал а V Ь, принадле-
принадлежащий Кп и содержащий W(n+\). Тогда, очевидно,
xeaVi и, ввиду B), можно найти т так, что т гс: п
и ^ef(m), По индукционному предположению можно
найти интервалы системы Km с требуемым свойством.
Эти интервалы, очевидно, входят и в систему Кп+\-
В случае 3), пользуясь леммой 1, найдем i такое, что
0 =sS i < Pn — 1 и
ti < X < tl+2.
Рассмотрим интервалы tt V ti+\ и ti+\ V ti+2. Если, на-
например, t{ V ti+\ не включен ни в какой интервал си-
системы Кп, то этот интервал входит в Кп+\- Если же
<4V ti+i включен в интервал п\ V Ь\ системы Кп, то,
поскольку ti+\ есть конец некоторого интервала из Кп
и все интервалы Кп дизъюнктны, b\ = t{+i. Аналогич-
Аналогичное замечание можно сделать и для интервала ti+\ V ti+2.
Таким образом, всегда можно указать два интервала
а\ V Ь\ и о2 V Ь2, входящие в Кп+\ и такие, что
Тогда
а, < х < й2>
что и требовалось *).
Искомый алгорифм Ф строим как стройный алго-
алгорифм, перечисляющий без повторений множество рацио-
рациональных интервалов, входящих в системы Кп (т. е. та-
такое множество рациональных интервалов Ж, что
Утверждение 1) очевидно. Утверждения 2) —4) лем-
леммы легко вытекают из A) —C). Наметим доказатель-
доказательство утверждения 5). Поскольку, ввиду утверждения 4),
существуют натуральные числа, к которым применим Ф,
то достаточно показать, что для всякого k, к которому
применим Ф, можно найти натуральные числа k\, k2 та-
*) В приведенных рассуждениях, по существу, содержится ре-
рекурсивное определение алгорифмов, находящих по * и п таким, что
1еФ(л), искомые интервалы.

§ 3] СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ . 241
ким образом, что !<D(&i), !Ф(/г2) и s'kl=s'^ s'k=r'kt-
(Через r't, s't мы обозначаем левый и правый концы ин-
интервала Ф(») (в случае, если !Ф@-) Пусть !Ф(/г). По-
Покажем, например, как найти k\. Пользуясь утвержде-
утверждением 3), найдем / такое, что Ф(?) включен в *?{1). Если
ri < r'k> T0 'lе ^ @- Если же rt = /¦?, то по условиям
утверждения 5) мы можем найти т, при котором r? e
е lF(m). Следовательно, всегда можно найти/такое, что
rjSfl/). Тогда в силу утверждения 4) можно найти
/ь/гтак, что 1O(/i), !Ф(/2) и
''Л < ^ < «J,-
Отсюда и из утверждения 2) леммы без труда сле-
следует, что r'k = s',. Таким образом, в качестве k\ можно
взять /i. Лемма доказана.
2. Определение 2. Алгорифм F назовем после-
последовательностью конструктивных функций {или, короче,
последовательностью КФ), если при всяком п алго-
алгорифм Рп является конструктивной функцией*).
Определение 3. Последовательность конструк-
конструктивных функций F назовем согласованной, если при вся-
всяких п, пг, х таких, что \F(n, x) и \F(m, x), выполняется
F(n,x) = F(m,x).
Определение 4. КФ f назовем объединением со-
согласованной последовательности КФ F, если
1) при всяком тих, если \F(m, x), to \f(x) и
f(x)= F{m,x);
2) при всяком х КФ f определена в точке х только
в том случае, когда осуществимо пг, для которого
\F(m,x).
*) Здесь мы несколько уклоняемся от нашего обычного способа
введения понятия последовательности конструктивных объектов
данного типа. Согласно этому способу последовательностью КФ
следовало бы называть алгорифм, перерабатывающий всякое нату-
натуральное число в запись КФ. Это определение и принятое нами
определение 2 по существу приводят к эквивалентным понятиям
последовательности КФ; вместе с тем определение 2 кажется нам
технически более удобным.

242 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
Мы будем использовать следующий сокращенный
оборот речи. Пусть F — последовательность КФ, причем
при каждом п Рп есть КФ некоторого типа. В такой си-
ситуации мы будем называть F последовательностью КФ
данного типа.
Лемма 3. Для всякой согласованной последова-
последовательности КФ можно построить КФ, являющуюся ее
объединением.
Доказательство. Пусть F — согласованная по-
последовательность КФ. Обозначим через Жх множество
натуральных чисел таких, что
псеЖх = \F(n, х).
Очевидно, множества Жх перечислимы. Построим ал-
алгорифм 91 так, чтобы при всяком х алгорифм 91Ж был
стройным алгорифмом, перечисляющим Жх (теорема 7
§ 3 гл. 1). Построим далее алгорифм / так, чтобы
f(x)~F(%(x, 0), х).
Покажем, что f и есть искомая конструктивная функ-
функция.
1) Пусть при некоторых m, x \F(m, x). Тогда
пг^Жх. Следовательно, ! 91 (я, 0), и так как 91 (я, 0)^Жх,
то \F(%(x, 0), х), т. е. \f{x). Ввиду согласованности по-
последовательности F получаем
= F(K(x, 0),x) = F(m,x),
откуда
f(x) = F(m,x).
2) Пусть !/(л:). Тогда \У1(х, 0) и %(х, 0) есть нату-
натуральное число, причем
Для завершения доказательства осталось показать,
что / есть КФ. Пусть при некотором х \f(x) и у = х.
Тогда IF (91 (я, 0), х). Отсюда, так как F — последова-
последовательность КФ, следует, что IF(91 (л;, 0), у). Следова-
Следовательно, %(х, 0)<=Жу. Поэтому \F(%(y, 0), у), т. е. \f(y).
Далее, ввиду согласованности F,
. 0), y) = F{K{x, 0), t,) = F(K(x, 0), x).

СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ
243
Следовательно, f(x)=f(y), чем и заканчивается дока-
доказательство.
Определение 5. Конструктивную функцию ф на-
назовем угловой, если можно найти рациональные числа
г и г2, г3, г4, г5, г6 такие, что г, < г2 и при всяком х
1) если Г| < х < г2, го
Ф(х) = г4.|
г3
гь • х + г6;
2) алгорифм ф применим к х только в том случае,
когда г{ < х < г2.
Интервал Г| V г2 будем называть носителем угловой
функции ф, а значения функции г4-1 д: — r31 -j- гб • л:6 -f- r6
на концах riVr2 — пре-
предельными значениями ф У >
в точках Г\ и г2.
Вполне очевидна сле-
следующая
Лемма 4. Для вся-
всяких рациональных чисел
r\, r2, r3, t\, t2, t3 таких,
ЧТО . Г\ < Г3 < Г2, МОЖНО
построить угловую функ-
функцию с носителем r|Vr2, Рис. 11.
предельными значениями
tlt t2 в точках ги г2, принимающую в точке г3 значение,
равное t3 (рис. 11).
В самом деле, положим
k h~tl
г,'
Г4=т
2
rs=
ki + k-2
:-h
1"ъ — h ~ r3 ¦ r5
и рассмотрим КФ ф' такую, что
Нетрудно убедиться, что

244 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. R
Далее, пользуясь алгорифмом sgn, нетрудно по-
построить КФ -ф такую, что (ср. пример г) § 1)
1) если !\р(лг), то гр(х) — х;
2) !г|з W = xer,V г2.
Пользуясь теоремой композиции алгорифмов, по-
построим алгорифм ф так, что
Очевидно; ф является искомой угловой функцией.
Определение 6. КФ ф назовем псевдополиго-
псевдополигональной, если ф является объединением согласованной
последовательности угловых функций.
Определение 7. КФ ф назовем непустой, если tp
не является нигде не определенной функцией (т. е.
lV(lk ()))
(lp ()))
Сформулируем теперь аппроксимационную теорему
Ц е й т и н а [5].
Теорема 1. Для всякой непустой КФ f и всякого
п можно построить псевдополигональную функцию <р
так, что при любом КДЧ х, если lf(x), то \у(х) и
Доказательство. Пусть f — непустая КФ, п — на-
натуральное число. Построим сначала искомую псевдополи-
псевдополигональную функцию в предположении, что мы распола-
располагаем алгорифмами Ф и т со следующими свойствами.
D) Ф — последовательность рациональных интервалов,
причем при 1ф / интервалы Ф@ и Ф(/) дизъюнкт-
дизъюнктны. (Ниже левый и правый концы интервала Ф(&)
обозначаются через rh и sh.)
E) Алгорифм т перерабатывает всякое натуральное
число в рациональное число, причем при любых k
и х, если х принадлежит сегменту r^Asu. и lf(x), то
F) Для всякого х, к которому применим алгорифм /,
можно найти натуральные числа / и m таким обра-
образом, что
rt<x<s

$ 3] СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ 245
(т. е. осуществимы алгорифмы, перерабатывающие
всякий х, для которого \f(x), в искомые натураль-
натуральные числа *)).
G) Для всякого, m можно найти натуральные числа k
и / так, что
(т. е. для каждого интервала последовательности Ф
осуществимы примыкающие к нему справа и слева
интервалы этой последовательности).
Построим алгорифм К так, чтобы при всяком k
Очевидно, % является арифметически полным алго-
алгорифмом, перечисляющим множество рациональных чи-
чисел, являющихся концами интервалов последователь-
последовательности Ф.
Для каждого натурального k через k\ и k2 обозначим
натуральные числа такие, что
(Такие числа можно найти ввиду G).)
Назовем число k числом первого типа, если
(9) |
Число k назовем числом второго типа, если
(Ю) \x(k])-T(k2)\>2-n**).
Сопоставим каждому k два рациональных числа t\ и
h следующим образом.
*) В свете определений § 1 гл. 8 можно сказать, что мы рас-
располагаем сегментным дизъюнктным покрытием области определе-
определения КФ f.
**) Поскольку т(?) при любом i есть рациональное число, то
свойство быть числом 1-го или 2-го типа алгорифмически прове-
проверяемо.

246
КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 8
A1) Если к — число 1-го типа, то
A2) Если k — число 2-го типа, то
lB)
Очевидно,
A3) если А(/) = А(/)> то t\=*t) и U=t).
Кроме того, ввиду (9) — A2), независимо от типа k,
A4) \t{-x(kl)\<2-n-1
A5) |/2fe-
Сопоставим теперь каждому k две угловые функции
flk и f\ следующим образом (построение этих функций
может быть выполнено с помощью леммы 4).
Если k — число 1-го типа, то /? = /| и f\ является
угловой функцией с носителем /¦*, V sk,> принимающей
\ Ф(к.) st~M)*rk Ф(М
Л/ /' Hf fig Z
Рис. 12.
в точке А F) значение tl = tl и предельные значения
Ц, tlk2+i в точках гк1 и sfcl (рис. 12). (Очевидно,
Если k — число 2-го типа, то f[ имеет носитель
), линейна на этом интервале и принимает пре-

СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ
247
дельные значения t\.k, tlk на его концах, f\ имеет носи-
носитель A.(&)V SA2. линейна на этом интервале и принимает
на его концах предельные значения t\, t\.k2+\ (рис. 13),
hrki Ф(к,) sk;Mkhrhs Ф(к2)
Рис. 13.
Пусть х таков, что !/(*). Ввиду E) и A4) —A5)
имеем
A6) если k — число 1-го типа, то из rkt< x^.skl
следует \f\{x) и
= 2
а из
следует \f\{x) и
A7) если k — число 2-го типа, то из х s Ф(/г,) так же,
как и выше, следует !/? (*) и
а из
следует
Построим теперь алгорифм /^ так, чтобы
FB-k, x)~f\{x),

248 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
Очевидно, F является последовательностью угловых
функций. Из A3), дизъюнктности интервалов последо-
последовательности Ф и определений функций f\, }2k непосред-
непосредственно усматривается, что последовательность F согла-
согласованная. Пользуясь леммой 3, построим псевдопо-
псевдополигональную функцию ф, являющуюся объединением
последовательности F. Покажем, что ф — искомая функ-
функция. Пусть при некотором х !/(*). Пользуясь F), най-
найдем k таким образом, что
rk <x<sk2.
Рассмотрим случаи.
1) k — число 1-го типа. Тогда всюду на rkl v Sjb
Предположим, что
Тогда ввиду A6) не выполняется ни rki <jt^sftl, ни
Ski***x < sk,> чт0 невозможно. Следовательно,
1<Р (*)-/(*) |< 2"".
2) k — число 2-го типа. Предположим, что х = K(k).
Тогда, ввиду E),
I/M-TWK2-",
откуда
что противоречит A0). Следовательно, x^K(k), и мы
можем (используя принцип Маркова) указать тот из ин-
интервалов G>(&i), Ф(&г), которому принадлежит х. Пусть,
например, x<=<&{k{). Тогда !/[ (х), <р (*) = /]* (*) и со-
согласно A7)
Таким образом, если !/(*), то l(f(x) и
|/(х)
что и требовалось.

§ 3] СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ 249
Для завершения доказательства теоремы осталось
построить алгорифмы Ф и т,для которых выполнялось
бы D) — G). Наметим это построение. Пользуясь уси-
усиленной формой теоремы о непрерывности конструктив-
конструктивных функций (теорема 3 § 2), построим алгорифмы Ч^,
Т2 такие, что
A8) для любого k, если !4f2(^), то Чг2(^) — интервал,
и если !тг(&), то тг(&) — рациональное число;
A9) при любых k и х, если !ЧГ2(^), !/(*) и хеТ2(А),
то !тг(&) и
B0) для всякого х такого, что !/(*), можно найти т,
при котором !Чг2(т) и ле?2(я).
Обозначим через Ж\, Жч множества натуральных чи-
чисел, к которым применимы соответственно алгорифмы W2
и гг. Пусть Ж — пересечение этих множеств. Очевидно,
Ж перечислимо. Далее Ж непусто (иначе по A9) —
B0) / нигде не определена). Следовательно, (теорема 4
§ 3 гл. 1), можно построить арифметически полный ал-
алгорифм у, перечисляющий Ж. Построим алгорифмы Ч?\
и Ti так, что
Очевидно, 4*1 и ti — арифметически полные алго-
алгорифмы, причем Ч*\ есть последовательность интервалов,
a ti — последовательность рациональных чисел. Алго-
Алгорифмы 4S и Ti сохраняют существенные для нас свой-
свойства алгорифмов 4*2 и Т2, т. е.
B1) при любом k и х, если jfefi^) и !/(*)> то
B2) для всякого х такого, что \{(х), можно найти к,
при котором iie'Pi^).
Обозначим через хи, уц, концы интервала W\(k). По-
Построим алгорифм 6 так, чтобы при любых k и т
k, G{yk-xk)+\

260 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
Очевидно, при всяком k 6A есть последовательность
рациональных интервалов, строго включенных в интер-
интервал Wi (k). Кроме того, при любых /гит
B3) 0<ak,m-xk<2-'n,
B4) 0<yk-bk,m<2-'n,
где через а&,ТО) b&iTO обозначены левый и правый концы
интервала 6 (к, т).
Пусть /г, /I — алгорифмы, введенные в п. 1 § 3 гл, 1
(эти алгорифмы осуществляют взаимно однозначное ото-
отображение множества натуральных чисел на множество
пар натуральных чисел, т. е. для любой пары т, k
можно найти i так, что h{i)=^m, /г@=р &)• С помощью
алгорифмов /I, l\ объединим интервалы вида 6 {k, I)
в одну последовательность, т. е. построим алгорифм Y
такой, что
W(m)~6(/2(m), /!(m)).
Ввиду B3) — B4) для всякого х, принадлежащего
Wiik), можно найти т так, что *е(?&(т). (Действи-
(Действительно, в качестве т можно взять, например, число
max(G(* — xk), G{yk — x)).) Следовательно, для всякого
зс
х и k таких, что Jce y?\{k), можно найти /, при котором
jce4f(/). Из этого замечания также следует, что для
всякого т можно найти / так, что концы интервала
W(m) принадлежат ?(/).
Построим алгорифм tj так, чтобы
Обозначим через ат, Вт концы интервала Ч'(т). Сде-
Сделанные выше замечания, определение алгорифма Т! и
B1) — B2) позволяют сформулировать следующие свой-
свойства XY и Т];
B5) для любого k и х, если \f(x) и х принадлежит сег-
сегменту ah Л 5h, то
B6) для всякого х такого, что !/(*), можно найти k,
при котором ^Ч'(й)

$ 3] СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИИ 251
B7) для всякого k можно найти / так, что
й* €=?(/) И bk<=W(l).
Искомый алгорифм Ф получаем теперь применением
леммы 2 к алгорифму V. При этом, ввиду B7), будет
выполняться заключение утверждения 5) этой леммы.
Таким образом, Ф действительно обладает свойствами
D) и F) —G). Алгорифм т. построим следующим обра-
образом. Пусть Я, — алгорифм, фигурирующий в утвержде-
утверждении 3) леммы 2. В рассматриваемом случае % арифме-
арифметически полн и при всяком k
Алгорифм т. строим как композицию алгорифмов К
T(ft)~ Т, (*(*)).
Ввиду B5) для Фит выполняется E), чем и закан-
заканчивается доказательство.
Предлагаем читателю убедиться, что условие непу-
непустоты КФ f в формулировке только что доказанной тео-
теоремы существенно: например, невозможен алгорифм F
такой, что для любой КФ f F^n есть псевдополиго-
псевдополигональная функция, причем при всяком х, если !/(#), то
\Рш(х) и
\F(m,x)-f(x)\<l.
3. Определение 8. Всюду определенную КФ /
назовем полной полигональной функцией, если осуще-
осуществимо рациональное дробление г0 *... * гп такое, что:
1) f линейна при х < г0 и х ^ гп, причем имеет рацио-
рациональные угловые коэффициенты; 2) f линейна на каж-
каждом сегменте гг A ri+x @ ^ i ^ п — 1) и принимает ра-
рациональные значения в точках г{ @ =^ i ^ п).
Таким образом, на всяком рациональном сегменте,
не содержащем точек г,-, f является линейной функцией
с рациональными коэффициентами.
Определение 9. Пусть F — последовательность
всюду определенных КФ, f — КФ. Будем говорить, что f
является пределом F (или что F сходится к f), и писать
f~LimFn, если осуществим алгорифм W такой% что

252 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. В
при всяком х, для которого !/(*)> $х есть ПНЧ и
Основным результатом данного пункта является сле-
следующая теорема И. Д. Заславского и Г. С. Цейтина
(Цейтин [8]).
Теорема 2. Для всякой конструктивной функции f
можно построить последовательность полных полиго-
полигональных функций F так, что f—LimFn (т. е. всякая
Л-»оо
КФ является пределом некоторой последовательности
полных полигональных функций).
Поскольку для конструктивных равномерно непре-
непрерывных функций можно почти дословно воспроизвести
доказательство известной аппроксимационной теоремы
С. Н. Бернштейна о равномерной сходимости полиномов
С. Н. Бернштейна данной функции к этой функции (см.
Александров [1] или Натансон [1]), из теоремы 2
вытекает следующее интересное
Следствие 1. Всякая конструктивная функция яв-
является пределом некоторой последовательности поли-
полиномов.
Приводимое ниже сжатое доказательство теоремы 2
почти буквально воспроизводит доказательство данной
теоремы в работе Цейтина [8]. Основная конструкция
этого доказательства, как отмечает Цейтин, аналогична
конструкции, используемой в доказательстве теоремы
классической теории функций действительной перемен-
переменной о том, что равномерный предельный переход не по-
повышает класса функций в классификации Бэра (см.
Натансон [1]).
Введем некоторые вспомогательные понятия.
Назовем КФ ф полигональной на интервале х V у,
если осуществима полная полигональная функция, сов-
совпадающая с ф на этом интервале.
Назовем КФ ф частичной полигональной функцией,
если существует система рациональных интервалов
г0 V so * ... * rnV sn такая, что so К ru si ¦< г2, ...
..., sn_j -^ г„, ф определена только на интервалах этой
системы и полигональна на каждом интервале rtVS{
(O^i^n). Интервалы rtV st называются интерва-
интервалами определенности Кф ф. Частичную полигональную

§ 3] СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИИ 253
функцию назовем разделенной, если любые два несовпа-
несовпадающих интервала определенности этой функции имеют
различные концы.
Последовательность КФ F назовем расширяющейся,
если для любых п, х из \F(n, x) вытекает \F(n-\- I, x)
и F(n, *)= F(n-f I, x). Очевидно, всякая расширяю-
расширяющаяся последовательность является согласованной.
Почти очевидны следующие леммы.
Лемма 5. Всякая псевдополигональная функция
является объединением некоторой расширяющейся по-
последовательности частичных полигональных функций и,
обратно, объединение всякой расширяющейся последо-
последовательности частичных полигональных функций есть
псевдополигональная функция.
Лемма 6. Всякая псевдополигональная функция яв-
является объединением некоторой расширяющейся после-
последовательности разделенных частичных полигональных
функций.
Лемма 7. Всякая разделенная частичная полиго-
полигональная функция продолжима до полной полигональной
функции.
Лемма 8. Всякая разделенная частичная полиго-
полигональная функция, значения которой ограничены сверху
по модулю некоторым числом, продолжима до полной
полигональной функции, ограниченной по модулю тем
же числом {ср. стр. 222).
Из лемм 6—8 непосредственно вытекает
Лемма 9. 1) Для всякой псевдополигональной
функции ф можно построить последовательность полных
полигональных функций F такую, что для любого х, при
котором !ф(дг), можно найти натуральное I так, что при
/
2) Пусть ф — псевдополигональная функция, г —
КДЧ, причем при всяком х, если \q>(x), то \<р(х)\-^: z.
Тогда фигурирующую в утверждении 1) последователь-
последовательность F можно построить так, что при всяком п, х
Лемма 10. Можно построить алгорифм а таким
образом, что для любой КФ f алгорифм дщ является
аоиФметически полным, и

254 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ 1ГЛ. Б
1) если при всех п о(?/3. ft)=7^A, то f — нигде не
определенная КФ;
2) если при некотором k a(?/3> k) == Л, то можно
найти рациональное число г такое, что If (г).
Доказательство. Искомый алгорифм а строим
так, чтобы
(Рц — арифметически полный алгорифм, перечисляю-
перечисляющий множество всех рациональных чисел).
Очевидно, если при всех п
то алгорифм / неприменим ни к какому рациональному
числу. Тогда в силу результатов гл. 9 КФ / нигде не оп-
определена. (Это легко усматривается также из доказа-
доказательства теоремы 1 и следствия 1 § 1 гл. 4.)
Если же при некотором k
то алгорифм / заканчивает работу над рациональным
числом Рц(/г(&)) не более чем за l\ (k) шагов. Следо-
Следовательно, КФ / определена в точке Рц(/г (&)).
Лемма 10 позволяет свести доказательство теоремы 2
к случаю, когда / — непустая функция. Действительно,
пусть мы располагаем алгорифмом 81 таким, что для
всякой непустой КФ ф алгорифм Э[ф3 есть последова-
последовательность полных полигональных функций, сходящаяся
к ф. Построим алгорифм 8 таким образом, чтобы для
любой КФ /, КДЧ х и п
0, если при 0<г<я а(?/3> г')9г=Л;
> п> х), если а(Е/3> k)=F А при некотором k
таком, что ^k^
Нетрудно убедиться, что для любой КФ / алгорифм б^з
является последовательностью полных полигональных
функций, сходящейся к f.
Наметим теперь доказательство теоремы 2 в случае,
когда f — непустая фуики гн. Согласно теореме 1 можно

§ 3] СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИИ 255
построить последовательность псевдополигональных
функций F1 так, что при всяких тих
B8) если !/(*), то lFl(m, x)
-т-2
B9) \f(x)-Flm(x)\<2
Построим далее последовательность КФ у так, что
КФ \т определена лишь на интервале — 2~т~ V 2~т~\
и если х принадлежит этому интервалу, то
у(т, х) = х.
(Такой алгорифм у можно построить, например, с по-
помощью леммы 4.)
Построим алгорифм F2 так, чтобы
ч ( Y(m, Fl(m+ I, x)-F1(m, х)), если m > 0;
F-(m, х) ^\ „, ,. ч Л
v ' \ Fl(l, х), если т = 0.
Отметим некоторые свойства F2.
C0) При всяких т и х, если !/(*), то \F2m(x) (это
следует из B8) и B9)) и при т > 0
C1) При всяких тих, если !/(*), то
•,-т-Ъ
C2) При всяких т>0 и jc, если \F2(m, x), то
Используя лемму 5, можно показать, что при вся-
всяком т алгорифм Р2т является псевдополигональной
функцией. Применяя лемму 9, построим алгорифм Н
таким образом, что при всяких k, I Hk,i является пол-
полной полигональной функцией, причем
C3) для всякого тих таких, что \F2(m, x), можно
найти 1 так, что при п~^1
Him, n, x) = F2(m, x),

256 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
C4) при всех т > О, п и х
[ГЛ. 5
Построим алгорифм F так, чтобы
п
F(n, *) = 2 Hktn(x).
k=o
Очевидно, F — последовательность полных полиго-
полигональных функций. Покажем, что f = Lim Fn. Пусть х
П-*оо
таково, что \f(x). Зададимся натуральным числом т.
Используя C0) и C3), найдем / > т такое, что при вся-
всяких /г<m и ^1
Hk.n{x) = F*{k, x).
Тогда, ввиду C1) и C2), при я>
n
n
С / .Л ^ г
/ VV ?i '*
Hk, n (x)
KM
f (x) —
<2
что и требовалось.
§ 4. Теоремы о среднем значении
для конструктивных функций
Пусть / — всюду определенная (и, следовательно, не-
непрерывная в каждой точке) конструктивная функция,
а х А у — сегмент положительной длины. С функцией f
и сегментом х Д у естественно связать следующую алго-
рифмическую проблему: построить алгорифм, находящий
для каждого КДЧ г, расположенного между f(x) и f(y),
КДЧ из х А у, придающее f значение, равное г *). Этому
кругу вопросов и посвящен данный параграф.
*) Как уже отмечалось в п. 1 введения, доказательства вто-
второй теоремы Больцано — Коши, приводимые в традиционном ана-
анализе, не дают такого алгорифма (см., например, Ф и х т е и г о л ь ц [1;
стр. 171]).

ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
257
Ниже через х А у обозначается произвольный сег-
сегмент положительной длины, а через / — произвольная
всюду определенная КФ.
1. Обозначим через /0 такую функцию, что
2
1
-JC-1.
1
) = 2'X — j при д
-g- (рис. 14). Очевидно,
-д- и
_2_
при
Нетрудно убедиться, что fo(x) = O при *еу
4 __.. ..^ 2 .. р (И = 2. а; — —
А'
Теорема 1 (Цейтин L
[1], [2], [6]*)). Невозможен J
алгорифм а, перерабаты-
перерабатывающий всякое КДЧ z та-
2 2
кое, что — y<z<-g-, в
КДЧ, при котором
fo(ex(z)) = z. Рис.14.
Доказательство. Пусть такой алгорифм а по-
построен. Построим алгорифм а! так, чтобы
Очевидно (см. теорему 21 § 3 гл. 2), а' перерабаты-
2 2
вает всякое z из интервала —3"V"o" в 1 или в 2, при-
2
чем: 1) если а'(г)=1, то a(z)<-g-, откуда, ввиду
f (a (г)) = г, следует z < 0; 2) если а' (г) =?= 2, то а (г) > -^ ,
откуда вытекает zjX). Следовательно, о! указывает для
«- 2 2 „
любого z из интервала — jVt верный член дизъюнк-
дизъюнкции {г ^ 0) V (^ ^ 0), что согласно следствию 5 § 1
гл. 4 невозможно.
*) Цейтин рассматривает чуть-чуть другую полигональную
функцию.

258 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
Таким образом, сформулированная в начале пара-
параграфа алгорифмическая проблема, оказывается нераз-
неразрешимой уже для очень простых равномерно непрерыв-
непрерывных функций.
Следствие 1. Невозможен алгорифм, перераба-
перерабатывающий запись всякой функции f такой, что /@)< О,
/A) > 0, в КДЧ, придающее f значение, равное 0.
Не представляет существенного труда показать, что
результаты, аналогичные теореме 1 и следствию 1, со-
сохраняются в классе бесконечно дифференцируемых
функций.
2. Функция /о, фигурирующая в теореме 1, имеет ту
особенность, что она постоянна на некотором интервале
1 2 \
(именно, на интервале-g- V"jr)- Как мы сейчас убедимся,
это обстоятельство и является источником алгорифмиче-
ских трудностей, возникающих при решении уравнений
вида fo(x) = z, где/0@)< г< /ОA).
Определение 1. Функцию f назовем нигде не по-
постоянной на хАу (х<Су), если невозможен интервал
Х\ V ух такой, что х\, у\ е х А у и при любом z e хх V ух
выполняется
Определение 2. Функцию f назовем нигде не ну-
нулевой на х А у (х < у), если невозможен интервал
Xi V yi такой, что хи ух^хАу и f(z) =0 при всех
ze*i V ух.
Теорема 2. Можно построить алгорифм 6, пере-
перерабатывающий всякое слово вида ?/3> х А у, где х А у —
невырожденный сегмент, f — нигде не нулевая на х А у
функция такая, что f(x)^ 0, f(y)^ 0, в КДЧ из х А у,
придающее f значение, равное 0.
Теорема 3. Можно построить алгорифм Ъ, пере-
перерабатывающий всякое слово вида ?/3> хАу, z, где
х А у — невырожденный сегмент, f — нигде не постоян-
постоянная на х А у функция, z — КДЧ такие, что f(x)^.z^.
^if(y)> в КДЧ из хАу, придающее f значение, рав-
равное г.
Теоремы 2—3 сформулированы нами для случая,
когда f(x)^f(y). Аналогичные утверждения, разумеет-
разумеется, верны для функций /, удовлетворяющих условию

$ 4] ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 259
f(x)^f(y). Возникает естественный вопрос: нельзя ли
исключить различение этих двух случаев, т.'е. построить
алгорифм, решающий интересующую нас задачу незави-
независимо от того, какому из Двух неравенств f(x)^f(y),
f(x)^f(y) удовлетворяет /. Ответ на этот вопрос от-
отрицательный: невозможен алгорифм, перерабатывающий
запись нигде не нулевой на О Л 1 функции / такой, что
f@)-/(l)^0, в КДЧ из 0Л1, придающее f значение,
равное 0. Вместе с тем, если f(x) ф}(у), то мы можем
указать верный член дизъюнкции (f(x) </(«/)) V (f(x) >
> f(y)), поэтому для таких функций / теоремы 2—3 мо-
могут быть переформулированы с заменой условия f(x)^
^0. /(f/)^0 на f(x)-f(y) =?: 0 (в случае теоремы 2) и
условия f(x)^.z^f(y) на условие гшп(/(л:), f(y))^
< г ^ тах(/(л:), /(«/)) (в случае теоремы 3).
Ясно, что теорема 3 может быть выведена из тео-
теоремы 2. Теорема 2 в свою очередь вытекает из приво-
приводимых ниже лемм 1 и 3.
Определение 3. Алгорифм, у назовем регулято-
регулятором невырожденности функции f на х А у, если он пере-
перерабатывает любой интервал хх V уи включенный в х V у,
в КДЧ, принадлежащее этому интервалу и такое, что
На время доказательства следующей леммы обозна-
обозначим для сокращения записи через Ж множество слов
вида ?f3. х Ay, ?y3> где / — функция такая, что /(*)<(),
f(y)^Q, хАу — невырожденный сегмент, у — регулятор
невырожденности / на х А у.
Лемма 1. Можно построить, алгорифм $', перера-
перерабатывающий всякое слово ?f3. x Ay, ?v3 из Ж в КДЧ,
принадлежащее сегменту х А у и обращающее f в 0.
Доказательство этой леммы проводится при помощи
простой модификации процесса последовательного деле-
деления сегмента пополам (ср. Фихтенгольц[1; стр. 168]),
Обозначим через Р произвольное слово вида ?/3> хАу,
Ey3. принадлежащее Ж. Через Х\ ^7 у\ обозначим произ-
произвольный интервал такой, что Х\, у\ е х А у. Наконец,
для Х\ V г/j через oai, ©2, ©3 соответственно обозначим про-
промежутки *i + j • (У 1 — *i) V *i + ¦§¦' (У\ - xi)> *i л У (<°i)>
У Ы А у{.

260 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
Построим алгорифм 91' так, что
По определению y имеем
(I) 1Д \г, Х[
/д\ 91' (Р X Д U ) ==
Построим алгорифмы 912, %3 (ср. п. 7 § 1 гл. 1)
так, что
>2, если 91'(Р, ^, Д #i)=5= 1,
K, если 911 (/», j^i 2\ ^,) =^= — 1,
913(/>, п + 1) с- %ЦР, %ЦР, п)).
Используя A)—C), нетрудно показать (индукцией
по п), что €р есть вложенная последовательность сег-
сегментов, причем (если для краткости обозначить через
«п, vn и tn концы и длину сегмента %3(Р, п))
D)
E) f
F) f(vn)>0.
Пусть 9l4 — такой алгорифм, что (см. лемму 6 § 4
гл.2)
Я4 (Р, п) ~ ?t3 (P, 2 • (n + G+ (у - *))).
Из D) — F) следует, что %р — регулярная вложен-
вложенная последовательность сегментов, причем (если обозна-
обозначить через пп, vn концы сегмента Й4(Р, л))
G) W(P, 0)sxAy,
(8) /(«„)< О,
(9)
Пользуясь теоремой о вложенных сегментах (теоре-
(теорема 2 § 2 гл. 3), построим алгорифм й1 так, что

$ 4] ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 261
Этот алгорифм перерабатывает Р в общую точку по-
последовательности €р. Ввиду G) E' (Р) е х А у. Если
/¦(S'C^)) > 0. то из (8) легко следует, что f имеет кон-
конструктивный разрыв в точке &1(Р). Следовательно,
f(&l(P)) ^ 0. Точно так же показывается, что
f(g'(P))^O. Следовательно, f(g'(P))=O, чем и за-
заканчивается доказательство.
Лемма 2. Пусть х V у — интервал, f — функция та-
такие, что при любом рациональном r^xVy f(r) = 0.
Тогда при любом z e x А у f(z)=O.
Эта лемма без труда следует из неразрывности f.
Подробное доказательство предоставляется читателю
(заметим, что эта лемма вытекает из следствия 4 § 2
гл.9).
Лемма 3. Можно построить алгорифм E2 так, что
для любой функции f и невырожденного сегмента х А у,
если f — нигде не нулевая на х А у функция, то @ffj
является регулятором невырожденности f на х А у.
Доказательство. Для произвольного интервала
х\ V у\ обозначим через ^i,v», и Jt),x,vv, соответ-
соответственно множество всех рациональных чисел, принадле-
принадлежащих Х\ V у\, и множество рациональных чисел из
х\ Vi/i, удовлетворяющих условию f{r) Ф0.
Обозначим через Ж\ множество слов в Ч, для ко-
которых
l
Согласно § 3 гл. 1 Ж) перечислимо. Ясно, что
Следовательно, Ж\х^у, перечислимо. По теореме 7
§ 3 гл. 1 построим алгорифм 511 так, что при любом
интервале х\ Х7 yi и функции f Йш.х.у»! является строй-
стройным алгорифмом, перечисляющим Jtt.xivyr
Построим, наконец, алгорифм S2 так, что
*i V Vx) at Я1 (Е/3. *i V Ух, 0).
Пусть xi < уи хи ух s х А у и / — нигде не нулевая
пгхАу функция. Тогда по лемме2 множество ж],х,чу^ ие-
пусто. Следовательно, !&2(?/3. *iWi) и G2(Ef3i

262 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
^Jt], x,v«/» T> e> алгорифм К2 обладает требуемым свой-
свойством.
Из теоремы 2 легко усматривается следующее ин-
интересное предложение: если х Д у — невырожденный
сегмент, f(x)^O, f(y)^O и / не имеет рациональных
корней на х Д у, то можно указать КДЧ, являющееся
корнем /.
Из теоремы 2 немедленно вытекает конструктивный
вариант второй теоремы Больцано — Коши для строго
монотонных функций (ср. Гжегорчик [2], Л а ком б
[1], Заславский [4]).
Теорема 4. Можно построить алгорифм ЗЗ1 (ЗЗ2),
перерабатывающий всякое слово вида ?f%, х Д у, z, где
х <. у, f — возрастающая (убывающая) на х А у функ-
функция, z — КДЧ, причем f(x)^z^f(y) (f(y)^z^
^.f(x)),e КДЧ, принадлежащее хАу и придающее f
значение, равное z.
Нетрудно видеть, что алгорифмы ЗЗ1 и ЗЗ2 могут быть
«объединены в один алгорифм», т. е. осуществим алго-
алгорифм 33, который может фигурировать в теореме 4 как
в качестве ЗЗ1, так и в качестве ЗЗ2.
Теорема 1 показывает, что условие строгого возрас-
возрастания (убывания) в теореме 4 является существенным.
3. Полученные выше результаты позволяют дать от-
рицательный ответ на вопрос о существовании знако*
переменных функций, не обращающихся в 0.
Следствие 2. Каков бы ни был сегмент х А у, не-
невозможна функция f такая, что f(x) -f(y) s^ 0 и f не об-
обращается в 0 на х Ay.
Следствие 3. Каков бы ни был сегмент х А у, не-
невозможна функция f и КДЧ z такие, что
min (f (x), f (у)) < г < max (/ (x), f (у))
и f(t) ф z при любом t ёх А у.
Следствия 2—3 выводятся из теорем 2—3. Например,
если всюду на хАу f(t) ф 0, то хфу к f — нигде не
нулевая на хАу функция. Тогда (можно, очевидно, не
теряя общности, считать, что f (х) ^ 0, f (у) ^* 0) по тео-
теореме 2 f имеет корень пах А у.
Следствия 2—3 можно рассматривать как конструк-
конструктивные аналоги первой и второй теорем Больцано —

5 1] ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 263
Коши (см. Фихтенгольц [2])*). Так же, как и в слу-
случае теорем о вложенных сегментах (гл. 4, § 2), эти
результаты могут быть усилены в следующем направле-
направлении (Цейтин [6]): 1) для каждой функции f и сегмента
х А у таких, что f(x) -fly) ^ 0, можно указать квази-
квазичисло, условно принадлежащее х А у и условно придаю-
придающее / значение, равное 0; 2) для каждого сегмента х А у,
функции f и КДЧ г таких, что min(f(x),f(y))^. z <;
<; max(f(x),f(у)), можно указать квазичисло, условно
принадлежащее хАу и условно придающее f значение,
равное г. Таким образом, и здесь алгорифмические
трудности, возникающие при нахождении решений урав-
уравнений f (х) = г для промежуточных г, связаны не столь-
столько с нахождением последовательности рациональных
приближений к корню (такую последовательность мож-
можно построить), сколько с оценкой скорости сходимости
этих приближений.
В заключение параграфа приведем теорему, трак-
трактующую несколько с другой точки зрения рассмотрен-
рассмотренные нами вопросы.
Теорема 5. Можно построить алгорифм 91, перера-
перерабатывающий всякое слово вида ?f%, x А у,п, где х А у —
невырожденный сегмент, f — функция такая, что
f(x) 'fd/J^O. в рациональное число из xVу такое, что
Доказательство теоремы 5 приводится в том же по-
порядке идей, что и доказательство леммы 3, и опирается,
помимо следствия 2, на следующую лемму, аналогич-
аналогичную лемме 2.
Лемма 4. Если для любой рациональной точки г
интервала xV у f(r)^z (f{r)^z), то всюду на
f()^. ( f(t)^)
у () {)
сегменте хАу f(t)^.z (соответственно f(t)^z).
Теорема 5 является своеобразным «е-вариантом»
классической теоремы Больцано — Коши и представ-
представляет интерес в тех ситуациях, когда вместо нахожде-
нахождения корня данной функции можно удовлетвориться
*) Интересной особенностью этих аналогов является отсутствие
в их формулировках требований непрерывности, которые для кон-
конструктивных функций выполняются автоматически.

264 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
нахождением точек, где функция принимает достаточно
малые по модулю значения. Теоремы такого типа, по-
видимому, рассматривались впервые Гудстейном (см.
Гудстейн [2]). Отметим, что аналогичные «е-варианты»
относительно корня функции не имеют места: например,
немного изменив доказательство теоремы 1, нетрудно
показать, что для фигурирующей в этой теореме функ-
функции fo невозможен алгорифм а, перерабатывающий вся-
всякое 2, для которого fo(O) <2<fo(l), в КДЧ таким об-
образом, что fo не может быть всюду отлична от z на
интервале a(z) -^V«(z) + -j.

ГЛАВА 6
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ
ФУНКЦИЙ
В этой главе мы коротко остановимся на вопросах
дифференциального исчисления для конструктивных
функций. В своей формульной части конструктивное
дифференциальное исчисление весьма напоминает тра-
традиционную теорию; в частности, имеют место обычные
формулы дифференцирования элементарных функций,
дифференцирования сложной функции, диференцирова-
ния суммы, разности, произведения и частного дифферен-
дифференцируемых функций. Доказательства этих предложений,
которые в принципе мало отличаются от доказательств
соответствующих предложений классического диффе-
дифференциального исчисления, мы не приводим, уделяя за
этот счет большее внимание вопросам, в которых
действительно сказывается, конструктивная специфика.
Изложение группируется в основном вокруг теорем о
среднем значении дифференциального исчисления. Эта
проблематика для конструктивных функций исследова-
исследовалась Ц е й т и н ы м [6], которому и принадлежит боль-
большинство излагаемых результатов.
§ 1. Основные определения
Определение 1. Пусть f — конструктивная функ-
функция, t — КДЧ и f определена в точке t.
1) КДЧ z будем называть производным числом КФ
f в точке t (относительно промежутка х X у), если мож-
можно построить последовательность натуральных чисел б
таким, образом, что при любом п для всякого КДЧ t\
{для всякого t\ е х X У), удовлетворяющего неравен-
неравенству \tx — /|<2~fi<"), выполняется !/(/,) и
\f(ti)~f(t)-Z'(tl-t)\^2-n.\tl-t\.
2) Конструктивную функцию будем называть диф-
дифференцируемой в данной точке (относительно данного

266 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 6
промежутка), если осуществимо КДЧ, являющееся про-
производным числом этой функции в рассматриваемой точке
(относительно данного промежутка).
Отношение между /, z, t [х%у) и алгорифмом б, вве-
денное в разделе 1) определения 1, мы будем сокращен-
сокращенно выражать записью
np(U, z, 6)
(соответственно Пр (х X у, t, f, z, 6)).
Для выражения того обстоятельства, что КДЧ z яв-
является производным числом КФ / в точке / (относитель-
(относительно промежутка хХу), мы будем использовать запись
Пр (t,f,z)
(соответственно Пр (х X У, t> f, z)).
Очевидно, если t = tu г = гх и g = /, то
np(t,f,z, 6)-Пр(/„ ?, zlf 6),
Пр(/,/, г)-Пр(/„ «г, z,).
Если, кроме того, * = *,, г/ = г/ь то
Пр(^ X У, t, U z, в)а.Пр(дс, X У и tu 8, 2i. 6),
Пр (х X У, t, f, z) з Пр (xi X Уь *ь g, z,).
Определение 2. Пусть f и f — всюду определен-
определенные конструктивные функции.
1) Будем говорить, что f является производной f на
всей оси, и писать
Пр(-оо v + oo, f,fr),
если при всяком t выполняется
пР(/,/,П0),
т. е. если можно построить алгорифм W таким образом,
чтобы при любом t выполнялось
Пр (t,f,f'(t), Wt).
2) Будем говорить, что функция f дифференцируема
на всей оси (везде дифференцируема), если можно по-
построить функцию f, являющуюся ее производной на
всей оси.

<; II ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 267
Если /, /' и W связаны отношением, введенным в
]) определения 2, то мы будем выражать это записью
Пр (- оо V + оо, /, f, W).
Очевидно, если / = /, и f' = f\, то
Пр (- оо V + оо, /, f, W) а. Пр(- оо V + оо, /р f\, W)
и
Пр(-оо V + «>> f, Л = Пр(-оо V + «>, fv f\).
Определение 3. Пусть КФ f и f определены во
всех точках промежутка хХу-
1) Будем говорить, что f является производной f
на хХ у, и писать Пр (х X г/, f, Г), если при всяком t
из х X У имеет место
np(xly,t,f,f'(t)),
т. е. осуществим алгорифм W такой, что при любом
t e х X У выполняется
np(xly,t,f,f'(t),Wt).
2) Будем говорить, что функция f дифференцируема
на промежутке х% у, если можно построить КФ /', яв-
являющуюся производной f на хХу.
Отношение между *Х У, f, fr и W, описанное в раз-
разделе 1) определения 3, мы будем выражать записью
пР (* X у, f, Г, W).
Очевидно, если * = *,, «/ = «/,, / = /,, f = f\, то
«X» хХу
Пр (х X у, f, Г. W) = Пр (*, X yv fv f[, W),
Нетрудно также заметить, что в случае, когда х X У
является сегментом, функции / и /' в определении 3
можно, не теряя общности, считать всюду определен-
определенными.
В аналогичном порядке идей определяется много-
многократная дифференцируемость конструктивных функций
на всей оси или на некотором промежутке. Точная

268 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. в
формулировка соответствующих определений предостав-
предоставляется читателю.
Теорема о полноте КДЧ (гл. 3, § 2) позволяет по-
получить достаточные признаки дифференцируемости на
всей оси и на данном невырожденном промежутке, в ко-
которых используются лишь значения самих испытуемых
функций. Мы остановимся, например, на случае, когда
нас интересует дифференцируемость данной функции на
всей оси.
Определение 4. Пусть f — везде определенная
КФ.
1) Алгорифм W будем называть регулятором диф-
дифференцируемости в себе функции f на всей оси, если
при любом х №х есть ПНЧ и для любых п, хи х2 таких,
что\х1-х\< 2~w{x-n), \x2-x\< 2~W{X-n), выполняется
) -fix)) ¦ (х2-х) - (f(x2) -f(x)) •(*,-*)!<
2) Функцию f назовем дифференцируемой в себе на
всей оси, если можно построить регулятор дифференци-
дифференцируемости в себе этой функции на всей оси.
Теорема 1. Функция f дифференцируема на всей
оси тогда и только тогда, когда она дифференцируема
в себе на всей оси.
Другими словами, располагая алгорифмом W таким,
что при некоторой функции У выполняется
Пр(-ооу + оо, f, Г, W),
можно построить регулятор дифференцируемости в себе
функции f на всей оси, и, обратно, располагая регуля-
регулятором дифференцируемости в себе функции / на всей
оси, можно построить функцию У и алгорифм W так,
что имеет место
Пр (- оо V + оо, f, У, W).
Читатель безусловно отметит значительное сходство
приведенных определений, связанных с дифференцируе-
мостыо конструктивных функций, с соответствующими
определениями классического дифференциального ис-
исчисления, по сравнению с которыми в конструктивных

§ 2] ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 269
определениях сделан существенный акцент на вопросе
«эффективного перехода от s к б». Неудивительно, что
конструктивные и классические определения, как уже
отмечалось, во многих случаях приводят к аналогичным
результатам.
Для пояснения некоторых отличий классической и
конструктивной дифференцируемое™ приведем один
пример. Можно построить везде определенную КФ Ф
так, что
{л:2 ¦ sin— при хфО,
х
О при * = 0.
Очевидно, ф дифференцируема в каждой точке х та-
такой, что х Ф 0. Кроме того, ф дифференцируема в 0.
Вместе с тем ф не является дифференцируемой на всей
оси функцией. Действительно, если бы ф была диффе-
дифференцируема на всей оси, то существовала бы всюду оп-
определенная КФ, являющаяся ее производной на всей
оси. Эта КФ имела бы, очевидно, конструктивный раз-
разрыв в 0, что невозможно. Этот пример показывает так-
также, что производная конструктивной функции на интер-
интервале не всегда может быть продолжена до всюду опре-
определенной функции.
§ 2. Теоремы о средней значении
дифференциального исчисления
В этом параграфе будут доказаны некоторые кон-
конструктивные аналоги теорем Ролля и Лагранжа, а так-
также формулы Тейлора с остаточным членом в форме Ла-
Лагранжа и Коши.
Определение 1. Будем говорить, что функция f
возрастает (убывает) в точке х, если осуществима
окрестность точки х*) такая, что для всякой точки г
этой окрестности f(z) > f(x) (соответственно f(z) </(*))
при z>x и f(z)<f(x)(f(z)>f(x)) npuz<x.
*) Окрестностью данной точки мы называем любой интервал,
содержащий эту точку.

270 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 6
Лемма 1. Если функция f возрастает (убывает) в
каждой точке интервала x'Vy*), то она возрастает
(убывает) на сегменте х Ау.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда f
возрастает в каждой точке xVj. Предположим, что су-
существуют точки Х\, Х2 из xVу такие, что Х\ < х2 и
/(*i)> f(x2)- Рассмотрим середину сегмента Х\ А х2—
точку *' ^ *2 . Так как f(*i)>/(*2)> то мы можем ука-
указать верный член дизъюнкции
Если мы установили, что верен первый член этой
дизъюнкции, то рассмотрим сегмент *' 2 Хг Ах2; если же
установлено, что верен второй член дизъюнкции, то
рассмотрим сегмент хх А *' „ *2. Обозначим получив-
получившийся сегмент через х3 А *4. Очевидно, *3 А *4 s xx Ахъ
f (хз) > f (xi) и х4 — х3 = *2~ZXi ¦ Проведем аналогичное
построение для х3 А х4 и т. д.
Используя эти соображения, можно построить вло-
вложенную последовательность сегментов 5) так, что
5D @) =?^,Л х2,
и
B)
(через |S)(rt)| обозначается длина сегмента ?)(«); алго-
алгорифмы Кл и Ки перерабатывают всякий промежуток со-
соответственно в его левый и правый концы).
Пользуясь теоремой 2 § 2 гл. 3, построим КДЧ г,
принадлежащее всем сегментам последовательности Ф.
Очевидно, z^xVy и, ввиду A) — B), / не может воз-
возрастать в точке г, что противоречит условию. Следова-
*) Это означает, что существует алгорифм, перерабатывающий
всякую точку интервала iVj в фигурирующую в определении 1
окрестность этой точки.

2] ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 271
тельно, при любых хи ^e^Vj/ таких, что- Xi < Х2, вы-
выполняется
C) f(*i)<f(*2).
Пользуясь C) и теоремой о неразрывности конструк-
конструктивных функций, можно (ср. лемму 4 § 4 гл. 5) пока-
показать, что C) выполняется для любых Х\, х2 из сегмента
х Ау таких, что х\ < х2.
Пусть теперь Xi и х2 — любые две точки из х Ау та-
такие, что Х\ < х2. Найдем х\ и х'2 так, что
xl<x\<x'2< х2.
Очевидно, х\ и х2 принадлежат интервалу х v У-
Следовательно, f возрастает в этих точках. Пользуясь
этим, найдем х'( и х" так, что
х\ < х'[ < х'2' < 4
Поскольку выполняется
то мы получаем
что и требовалось.
Отметим вариант данной леммы с менее ограничив
тельными условиями на f. Будем говорить, что / слабо
возрастает (слабо убывает) в точке х, если не может
не существовать фигурирующая в определении 1 окрест-
окрестность этой точки. Почти дословно так же, как и в слу-
случае леммы 1, можно доказать, что если функция f слабо
возрастает (слабо убывает) в каждой точке х V у, то
при любых xi, x2^xAy таких, что Xi < x2, выпол-
выполняется IKf(xi) <f(x2)) (соответственно ~H(f fo) >f(x2))).
Последнее, однако, равносильно (теорема 22 § 3 гл. 2)
f()f (соответственно /[х{) > }{х%)). Таким

272 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 6
образом, если f слабо возрастает (слабо убывает) в
каждой точке хЧ у, то f возрастает (убывает) на х А у.
Из леммы 1 вытекает
Теорема 1. Пусть КФ f является производной
функции { на хЧ у и всюду на хЧу f'(t)>0 (f'(t)<Q).
Тогда { возрастает (убывает) на х А у.
Следствие 1. Пусть КФ f является производной
функции f на xVy и всюду на xVy f'(t)^O (f (t) < 0).
Тогда f не убывает (не возрастает) на х А у.
Доказательство. Рассмотрим, например, слу«
чай, когда f'(t)^O. Обозначим через {п такую функ«
цию, что
В силу теоремы 1 все функции fn возрастают на
х А у. Пусть xi < Х2 и хи х2 е х А у. Тогда при любом п
fn(xl)<fn(x2),
т. е.
Следовательно,
f(x2)-f(Xl)>2-n-(Xl-x2).
Переходя в этом неравенстве к пределу по п, полу-
получим
f(x2)>f(x1),
что и требовалось.
Следствие 2. Пусть f\ = f'2 на х\/у и f\, f2
являются производными на xVу функций fi и f2. Тогда
всюду на х А у
Ы0
где c = fi(x) — f2(x).
Это утверждение вытекает из следствия 1, поскольку,
очевидно, функция fi — f2 одновременно не убывает и
не возрастает на х А у.
Докажем теперь некоторый аналог теоремы Ролля.
Теорема 2. Пусть х V у — произвольный интер-
интервал.
1) Невозможны КФ f и f такие, что f всюду опреде-
определена на х А у, f(x)=f (у), /' является производной f

§ 2] ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 273
на л: V у и
ПО* о
при любом t exV у.
2) Пусть f всюду определена на хАу, f(x) = f(y)
и f является производной f на х V у. Тогда не может не
существовать КДЧ z e л: Vу такое, что
Г (г) = О.
Доказательство. Утверждение 2) легко выво-
выводится из утверждения 1), поскольку
-]3z(zf=xvy&f'{z) = 0)
равносильно
Vz((ze*V0)=>(n2)*O)).
Докажем утверждение 1). Пусть существуют КФ f,f'f
удовлетворяющие условиям утверждения 1).
Предположим, что /' (¦* g ) > 0. Тогда, ввиду след-
следствия 2 § 4 гл. 5, f > 0 всюду на интервалах х у Х~Т у-
и *"Г" v i/- Следовательно, f возрастает на сегментах
х A X~ZV и д А«/, откуда вытекает
f(x)<f(y),
что невозможно.
Таким образом,
D)
Точно так же доказывается, что
E)
Из D)—E) получаем
что невозможно.
Из теоремы 1 обычным образом, с использованием
вспомогательной функции
получается конструктивный вариант теоремы Лагранжа,

274 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Теорема 3. Пусть хVу — интервал.
1) Невозможны КФ f и f такие, что f всюду опреде-
определена на х А у, ]' является производной f на хЧ у и всю-
всюду на * V у
ft /A -J- f fo) ~ f (*)
2) Пусть КФ f — производная функции f на х V у.
Тогда не может не существовать г из х V у такое, что
1 v ; у — х
Определение 2. Пусть f — функция, с — КДЧ.
Будем говорить, что функция f удовлетворяет на про-
промежутке хХу условию Липшица с константой с, если
при любых t\, t2<=xXy выполняется \f(ti) — f(^)|^
<с|<, —fe|.
Следствие 3. Пусть функция f является произ-
производной функции f на х А у и КДЧ с ограничивает f на
хАу (т. е. \f'(t)\-*Cc при любом t^xAy). Тогда f
удовлетворяет на х А у условию Липшица с констан-
константой с.
Несложное доказательство следствия 3 предостав-
предоставляется читателю.
Следствие 4. Функция, имеющая на данном сег-
сегменте ограниченную производную, равномерно непре-
непрерывна на этом сегменте.
Пользуясь теоремой 2, нетрудно обычными способа-
способами получить конструктивные аналоги формулы Тейлора.
Например, без существенных изменений можно воспро-
воспроизвести вывод формулы Тейлора с остаточным членом
в форме Шлемильха — Роша, приведенный в книге
Ильина и Позняка [1]. Прежде чем сформулиро-
сформулировать соответствующую теорему, условимся о некоторых
обозначениях. Если функция f n раз дифференцируема,
то через fw (I ^ i ^ п) обозначается ее t-я производ-
производная, а через Тп многочлен Тейлора «-го порядка этой
функции, т. е. такой алгорифм, что при любых КДЧ х
и а

5 ?1 ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 276
Через Ra, n+i обозначается конструктивная функция та-
такая, что
Ra.n+i(x) = f(x)-Tn(x, a).
Теорема 4. Пусть а V л: — интервал, р — любое
КДЧ, большее нуля.
1) Невозможна п + 1 раз дифференцируемая на
а V л: функция f такая, что при любом * е а V л:
х(
2) Если функция f n + 1 раз дифференцируема на
аVх, то не может не существовать z из aVx такое, что
ал
Полагая в теореме 4 р = и+1 ир=1, получаем
аналоги теоремы Тейлора с представлением остаточного
члена соответственно в форме Лагранжа и Коши.
Следствие 5. Пусть аVх — интервал.
1) Невозможна п + 1 раз дифференцируемая на
uVjc функция I такая, что при любом t eoV x
. *(
2) ?слы f — п + 1 раз дифференцируемая на aWx
функция, то не может не существовать z из а V х такое,
что
. *(
Следствие 6. Пусть а V х — интервал.
1) Невозможна п +1 раз дифференцируемая на
а V х функция f такая, что при любом t eaV x
р tx\ -fe (* ^ я) • (* - 0" . г (п+1) /Л
Ад. л+1 \х) ^ „] / (.')•
2) Если функция f п + 1 раз дифференцируема на
а V я, то не может не существовать z из а V д: такое, что
Р (у\ =, (* - g) • (* - Z)" . f (П+1) /х
Ад. п+1 W= „] • / \Zh

276 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. в
Из утверждения 1) следствия 5 легко вытекает сле-
следующая полезная оценка.
Следствие 7. Пусть функция f n -f 1 раз диффе-
дифференцируема на интервале aV х и КДЧ с ограничивает
/¦(«+') на a V х. Тогда при любом t^aVx
В связи с теоремами 2 и 3 возникает вопрос о суще-
существовании алгорифмов, находящих упоминаемые в
утверждениях 2) этих теорем КДЧ. Невозможность та-
таких алгорифмов будет установлена в следующем пара-
параграфе. Вместе с тем так же, как и в случае теорем
о среднем значении для конструктивных функций (§ 4
гл. 5), Цейтиным [6] доказано существование алго-
алгорифмов, находящих (по интервалу, функции и ее произ-
производной на этом интервале) квазичисла, условно обла-
обладающие сформулированными в утверждениях 2) теорем
2—3 свойствами.
Отметим в заключение некоторый е-вариант теоремы
Ролля. (Аналогичные е-варианты можно сформулиро-
сформулировать также и в случае теорем Лагранжа и Тейлора.)
Теорема 5. Можно построить алгорифм а, пере-
перерабатывающий всякое слово вида ?f3> ?ГЗ> -vV y,n, где
xV у — интервал, f и f — функции, причем f(x)=f{y)
и f является производной f на xV у, в КДЧ, принадле-
принадлежащее xVу и такое, что*)
1Г(а(?а ЕП. XVУ, «)I<2-п.
Доказательство этого утверждения совершенно ана-
аналогично доказательству теоремы 5 § 4 гл. 5.
§ 3. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных
с дифференцированием
Нам будет полезен следующий достаточный признак
дифференцируемости, позволяющий «склеивать» произ-
производные.
*) Запись функции / можно было бы и не включать в исходные
данные алгорифма а.

§ з; Невозможность некоторых алгорифмов 277
Лемма 1. Пусть функция ]' является производной
функции f на сегментах х А у и у Дг и алгорифмы W\
W2, W3, р таковы, что выполняется
) pyfr)
2) Пр (у А г, f,f',W);
3) р — регулятор непрерывности функции f в точ-
точке у;
4) при любом tun
W* (t, n) ~ max (W1 (у, п + 2), W* (у, п + 2),
W71 (min (t, у), п + 2), W* (max (t, у), п + 2), р (п + 1)).
Тогда f является производной f на х Лг, причем вы-
выполняется
np(xAz,f,f',
Доказательство. Достаточно доказать, что вы-
выполняется
Пр (х A z, f, Г, W).
Поскольку для любого t из х Az, очевидно,
min (t,y)^x А у, max (t,y)^ у Az, то при любом t из
х Az алгорифм W) является алгорифмом типа (Ж-+ Ж).
Далее, очевидно, что если t и t\ одновременно принад-
принадлежат любому из сегментов х А у или yAz и удовле-
удовлетворяют неравенству 11 — tx |<2 ' *, то для них вы-
выполняется
A) 2
Зададимся теперь некоторым п и рассмотрим произ-
произвольные U, t из х Az, удовлетворяющие условию
Предположим, что
B) \f(tl)-f(t)-f'(i)-(tl-i)\
Предположим, кроме того, что
C) t&xAy.

278 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. в
Тогда, ввиду A),
Отсюда очевидным образом вытекает, что
Следовательно,
Имеем
I / С) - / @ - ПО • (ti-t) H (/ (*,)-/ (у)-Г(у) ¦ Hi -y))+
+ (/ (у) - fit) - Г (у) • (у - /)) + (Г (у) - /'(/)) -ft-OK
<\f(ti)-f(y)-f'(y) • (*i-y) l+l f (y)-f(t)-V(y) • (y-t) 1+
+ ir(y)-r@!-Ui-n.
Используя A) и определение W3, отсюда получаем
< I ^ — М • B"" + 2"л-2 + 2"") = 2
что противоречит предположению B).
Таким образом, из B) вытекает, что
D) t&xAy.
Точно так же из B) следует, что
E) t<? у A z.
Однако (в силу леммы 1 § 2 гл. 5) одновремен-
одновременное выполнение D) и E) невозможно. Следовательно,
B) неверно и выполняется
I f (*,) -/(О -ГУ) • «i - t) |<2-" • | /, - * |,
что и требовалось.
Использование леммы «о склеивании конструктив-
конструктивных функций» (§ 1 гл. 5) и теоремы непрерывности поз-
позволяет вывести из этой леммы следующее
Следствие 1. Пусть функции f\, f2 являются про-
производными функции f соответственно на сегментах
х А у и у А г, причем

НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ
279
Тогда осуществима функция f такая, что
_{ f[(t) при t^y,
ff{t)~\ f'2(t) при t>y,
и эта функция является производной f на х А г.
Теорема 1 (Цейтин [6]). Можно построить
функции f и f таким образом, что
1) f является производной f на О Д 1;
2) невозможен алгорифм, перерабатывающий всякое
слово вида х, у, где х и у — КДЧ из О Д 1 такие, что
х < у, в КДЧ из ОД 1, придающее f значение, равное
f(y)-f(x)
У — * '
Доказательство. В качестве f возьмем ту же
самую функцию, что и в теореме 1 § 4 гл. 5:
Очевидно,
F)
f'(x) = \
2_
Х~ 3
2 ¦ х — —
1 Х 3
Х 3
2-х- 1.
при
при т
*>¦§••
2 • * - т при
В качестве f возьмем функцию такую, что
Нетрудно проверить, что
G)
при
при т
— т при
Используя F) —G) и лемму 1, легко показать, что
функция /' является производной / на 0Д1г

280 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 6
Положим теперь
*„=- + «.
Очевидно, если | « |< у, то хи, уи е 0 Л 1, уи — хи >0
и
1\2
f(yu)-f(*u) _[ т) (!)
У Х 2
Таким образом, если бы алгорифм, о котором идет
речь в утверждении 2) теоремы, существовал, то мы
смогли бы построить алгорифм а, перерабатывающий
всякое и, для которого | и | < -тг, в КДЧ из 0 Д 1 такое,
что
Г (а («)) = «.
В доказательстве теоремы 1 § 4 гл. 5 фактически
уже было показано, что такой алгорифм невозможен.
Действительно, располагая алгорифмом а, можно по-
построить алгорифм ai так, что
Поскольку П?)>0 при f >у и П0<0 при f<|-,
алгорифм щ указывает для каждого и такого, что
| и | < -~-, верный член дизъюнкции
что противоречит следствию 5 § 1 гл. 4.
Следствие 2. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий всякое слово вида ?f3> ?ГЗ. Е^З. где f и f —
функции такие, что f(O) = f(l) = O, f' — производная f
на 0 А I, причем выполняется Пр @ Д 1, f, f, W), в КДЧ
из 0 Д 1, придающее f значение, равное 0,

§ 3]
НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ
281
Это следствие легко выводится из теоремы 1 с по*
мощью рассмотрения вспомогательных функций
где х, у — произвольные КДЧ из О Д 1 такие, что х < у,
а /— функция, фигурирующая в теореме 1.
В § 1 мы отмечали, что, располагая регулятором
дифференцируемости в себе данной функции на данном
промежутке, можно построить производную рассматри-
рассматриваемой функции на данном промежутке. В связи с этим
возникает вопрос о возможности
эффективного вычисления произ-
производных чисел дифференцируемых
функций, исходя лишь из значе-
значений этих функций (т. е. распо-
располагая лишь вычисляющим функ-
функцию алгорифмом). Нетрудно ви-
видеть, что ответ на этот вопрос
отрицательный.
Теорема 2 (Минц [1]—
[3]). Невозможен алгорифм, пе-
перерабатывающий запись всякой дифференцируемой на
всей оси функции в КДЧ, являющееся производный
числом этой функции в 0.
Доказательство. Рассмотрим последователь-
последовательности КФ F и Этакие, что F'(n, х) = (\х + 2~п\ +
+ |х-2-"|-|2-х|)-2'1-1 (рис. 15),
0 при л:< — 2~п,
¦х-\-2'п~1 при -2~"<л:<0,
х-\-2~п~1 при
при
С помощью леммы 1 нетрудно убедиться, что при
любом п функция Р'п является производной функции Fn
на всей оси. Кроме того, при всяких п и х
(8) I?
F(n, x) =
г.п-1
Пусть теперь § — тот же самый алгорифм с не-
неразрешимой проблемой распознавания применимости

282 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИИ |ГЛ. е
относительно алфавита Чо, что и в гл. 4. Нам существенно
следующее свойство §: невозможен алгорифм 91 над Чо
такой, что при любом Р^Ч0, если !§(Р), то Ш(Р) и
/>)=?А, а если ~1!§(Р), то Ш(Р) и <&(Р)фЛ.
Обозначим через V такой алгорифм, что
, л)==Л),
и построим алгорифм б так, чтобы при любом Р и и
Г 0, если [?](/>, л)=#Л,
G(P, п)~ 1, если [$](Р, л)===Л и n^V(P),
I 0, если [?] (Р, п) =5= Л и и =? 7 (Р).
Очевидно, при любом Р алгорифм СР является ПНЧ,
причем
(9) если ~]!Ф(Р), то при всяком /
е(р, О^о,
A0) если !§(Р) и ф оканчивает работу над Р точно
за k шагов, то при 1фк
Рассмотрим при каждом Р в Чо функциональный ряд
i=0
Поскольку при любом Р, ввиду (8) — A0),
I МО-МОК2"',
этот ряд при любом Р равномерно сходится на всей оси.
Пользуясь теоремой о полноте КДЧ, построим алго-
алгорифм Н такой, что ЙР есть функция, к которой схо-
сходится ряд A1).
Предположим теперь, что алгорифм, о котором идет
речь в теореме, построен. Обозначим его а. Построим
алгорифм «1 такой, что

§ 3] НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ 283
Очевидно, если ~\\$(Р), то ЙР — функция; равная
нулю на всей оси. Следовательно, в этом случае \а\(Р)
и ai (Р) есть КДЧ, равное 0.
Если же Щ(Р) и •?> оканчивает работу над Р точно
за k шагов, то на всей оси ЙР = Рк. Таким образом, в
этом случае \а\(Р) и а\(Р) есть КДЧ, равное 1.
Построим теперь алгорифм осг так, чтобы
Л, если sgn (a, (P) — j\ =5= 1,
0, если sgn (a, (P) --)==- 1.
Из сказанного ясно, что если \${Р), то \az{P) и
МР)=^'^, еслижеП!^(Р), то \а2(Р) и а2(Р) =т= 0# Л.
Такой алгорифм, однако, невозможен.
Читатель без труда может усилить теоремы 1—2 в
следующем направлении: в случае функций f и f, по-
построенных в доказательстве теоремы 1, невозможен ал-
алгорифм, находящий требуемое КДЧ с точностью, боль-
большей чем Q-; в случае теоремы 2 невозможен алгорифм,
находящий требуемое КДЧ с точностью, большей
чем у. Ясно также, что обе эти теоремы сохраняются
для класса бесконечно дифференцируемых функций.

ГЛАВА 7
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ ПО РИМАНУ
В данной главе излагаются основы интегрального
исчисления для конструктивных функций. По поводу от-
отношения этой теории к традиционному интегральному
исчислению можно было бы повторить вводные замеча-
замечания к гл. 3 и 6.
§ 1. Основные определения. Теорема
об ограниченности интегрируемых функций
1. Мы будем пользоваться понятием дробления, вве-
введенным в гл. 5. Напомним, что дроблением называется
всякое слово вида
A) а:0 * л:, * ... *х„,
где л;о-^#1-*С ... ^-хп. Если х = х0 и у = х„, то дробле-
дробление A) называется дроблением сегмента хАу.
Определение 1. Дробление A) назовем пра-
правильным, если выполняется один из двух случаев:
1) п=1; 2) п > 1, все х{ (О < i < п) — рациональные
числа и Xj < Xj+\ (О ^ / ^ п — 1).
Например, для любого сегмента хАу слово х*у
является правильным дроблением этого сегмента.
В данной главе, за исключением специально огова-
оговариваемых мест, используются только правильные дроб-
дробления, поэтому прилагательное «правильное» обычно
опускается.
Определение 2. Пусть A) — правильное дробле-
дробление сегмента х А у. Интегральным дроблением сегмента
х А у назовем произвольное слово вида
B) х0 * хх * ... • хп, у0 * ... • у„-и
где у] @ ^ / < п — 1) — КДЧ, причем Xj < у-3 < xj+u
Про интегральное дробление B) будем говорить, что
оно отвечает дроблению A),

? 1] ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 285
Все фигурирующие в данной главе конструктивные
функции предполагаются всюду определенными. Так
же, как и раньше, такие КФ для краткости называются
просто функциями.
Определение 3. Пусть f — функция, B) — инте-
интегральное дробление сегмента х Ау. Слово вида
C) Ef3. *o**i *••••*», «/о* ••• *«/»-i
будем называть интегральной суммой функции f на сег-
сегменте хАу. Про интегральную сумму C) будем также
говорить, что она отвечает интегральному дроблению
B) и дроблению A).
п
Определение 4. КДЧ 2 f (Уд • (**+i — **) будем
*о
*о
называть значением интегральной суммы C).
Можно построить алгорифм $, перерабатывающий
всякую интегральную сумму в ее значение.
Определение 5. Пусть A)—правильное дробле-
дробление. КДЧ max (Xj — Xj-i) будем называть измельчен-
<1<
ностью этого дробления. Это КДЧ будет также назы-
называться измельченностью интегрального дробления B) и
интегральной суммы C).
Можно построить алгорифм п, перерабатывающий
всякое дробление, интегральное дробление и интеграль-
интегральную сумму в их измельченность.
Определение 6. ПНЧ б назовем регулятором ин-
интегрируемости функции f на сегменте хАу, если при
любом п для любых интегральных сумм Su S2 функции f
на хАу таких, 4Ton(S{), n(S2) <2~6<n), выполняется
Определение 7. Функция f называется интегри-
интегрируемой по Риману (R-интегрируемой) на сегменте хАу,
если можно построить регулятор интегрируемости f на
А*)
*) То обстоятельство, что при определении Я-интегрируе-
мости мы ограничились правильными дроблениями сегмента инте-
интегрирования, не имеет принципиального значения и обусловлено же-
желанием упростить изложение.

286 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ [ГЛ. Г
Поскольку в этой главе не рассматриваются поня-
понятия интегрируемости, отличные от интегрируемости по
Риману, /^-интегрируемые функции будут часто назы-
называться просто интегрируемыми.
Нам потребуются некоторые алгорифмы, связанные
с введенными только что определениями. Через Д, Ю,
И, Я] мы будем обозначать фиксированные каким-ни-
каким-нибудь образом (построение предоставляется читателю)
алгорифмы такие, что если Q, R, S — соответственно
произвольные дробление, интегральное дробление и ин-
интегральная сумма, имеющие вид A) — C), то
^K) (R) ^K)(S)^ n;
f {, если
[
-
уi, если 0</<«— 1,
Л. если i^n.
Определение 8. Последовательность дробле-
дроблений*) W назовем регулярной, если при любом п
n(W(n))<2-n.
Лемма 1. Можно построить алгорифм W1 такой,
что для любого сегмента х А у Wx д у является регуляр-
регулярной последовательностью дроблений этого сегмента.
Доказательство. Используя алгорифмы G, G+
(§§ 3—4 гл. 2) и алгорифмы D~, D+ (§ 2 гл. 3), можно
построить алгорифм U такой, что для любого сегмента
хАу положительной длины Ох&у является регулярной
последовательностью дроблении этого сегмента. Иско-
Искомый алгорифм W1 строим теперь так, чтобы
W1 (х А у, п) ~
( U(xAy,n), если Рэ^"", 2"\ у-х)^2,
~ { х*у, если РзB-"-\ 2~п, у-х)^ 1,
*) Под последовательностью дроблений мы подразумеваем,
как обычно, алгорифм, перерабатывающий всякое натуральное число
в дробление.

5 1] ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 287
где Рз — алгорифм, построенный согласно теореме 21
§ 3 гл. 2.
Определение 9. Будем говорить, что КДЧ z яв-
является интегралом Римана (R-интегралом) функции f
на сегменте хАу, если можно построить ПНЧ а такую,
что при любом п для любой интегральной суммы S
функции f на хАу с измельченностью, меньшей 2^\
выполняется
Теорема 1. Пусть х А у — произвольный сегмент,
f — произвольная функция. Функция f R-интегрируема
на хAy тогда и только тогда, когда осуществимо КДЧ,
являющееся R-интегралом f на х А у.
Доказательство. Пусть и, v обозначают про-
произвольные слова вида
D) хАу, ЕЯ. ЕбЗ,
E) хАу, ЕЯ, ЕогЗ, г
где хАу—сегмент, f — функция, z — КДЧ, б, а — ал-
алгорифмы типа (Ж-+ Ж), причем б является регулято-
регулятором интегрируемости f на хAy, a z и о удовлетворяют
вместе с f и х А у определению 9.
Для доказательства теоремы 1 нужно построить ал-
алгорифмы Я1, Я2, Я3 такие, что для любых слов и, v вида
D)-E)
1) \V(u), A.1 («)-КДЧ;
2) Яц — алгорифм типа (Эв-ьШ);
3) Я1 (и), X2U, f и х А у удовлетворяют определению 9
(таким образом, Я1 (и) является /^-интегралом / нахАу);
4) Я» является регулятором интегрируемости f на
хАу.
Построение алгорифма Я3 очевидно: достаточно, что-
чтобы Я3 удовлетворял условию
Я3(у, и)~а(и+ 1).
Построение алгорифмов Я1, Я2 без труда может быть
выполнено с помощью леммы 1 и теоремы о полноте
КДЧ (гл. 3,§2).
Для отношения «КДЧ z является /^-интегралом
функции f на сегменте х А у» мы будем использовать

288 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМЛНУ (ГЛ. 7\
запись
у
г
или
[р\ J
причем индекс (R) будет, как правило, опускаться*).
Мы будем также часто использовать следующую сокра-
сокращенную запись (приближающую наши обозначения к
традиционным). Пусть s?(x\ хп) —некоторое суж-
суждение о КДЧ, a U fn — функции. Тогда под
| f, J /„ I мы будем понимать суждение
t ип I
У
Например, запись Г / > 0 следует понимать так: су*
х
ществует КДЧ, большее нуля и являющееся ^-интегра-
^-интегралом f на сегменте х Д у.
2. Определение 10. Пусть п — натуральное чис-
число, f — функция, Q — дробление. Будем говорить, что Q
является п-дроблением для f, если для любых интег-
интегральных сумм Si, S2 функции f таких, что D(Si) =p
=f D(S2) =т= Q, выполняется
\l(Sl)-l(S2)\<2-n.
*) Чтобы предупредить возможные недоразумения, отметим,
у I У \
что запись 2 = f I f = 2 I следует рассматривать как нерас-
у
членяеыое целое (символ не является обозначением оператора!).

5 I) ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 289
Лемма 2. Пусть f — функция, Q =т= Хо * ... * хп —
дробление, причем х0 < хп и Q является О-дроблением
для f. Тогда КДЧ
F) zf,Q = —-j-—j-——-Г-+ max
ограничивает функцию { на сегменте Хо А хп.
Доказательство. Ввиду леммы 1 § 2 гл. 5 до-
достаточно показать, что zs, q ограничивает f на каждом
сегменте xt Л л;,+1. Предположим, что при некоторых it
(О ^ /| ^ п—1) и jcejr(iAjt,i+| выполняется
G) \f(x)\>zhQ.
Рассмотрим тогда интегральные суммы Si, S2 функции/
такие, что
Si =5= Ef3. Q. -^0* ••• *Xn-l,
S2=r?B, Q, Xo* ... * Jff,_] * ДГ* ДГ/.х., * ...
Очевидно,
I j(S,) -i(S2) 1 = 1 /(л:) -
Следовательно,
Ввиду (б)-G)
\f(x)\-\f(xt)\>. min (' ¦
Поэтому
что противоречит условиям леммы (Q — 0-дробление
для f).
Таким образом, G) невозможно и всюду на хоАхп
выполняется
что и требовалось доказать.
Из леммы 2 без труда усматривается

290 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ [ГЛ. 7
Лемма 3. Можно построить алгорифм Wz, перера-
перерабатывающий всякое слово вида 6/3 > Q. где Q —положи-
—положительное дробление*), являющееся ^-дроблением для f,
в КДЧ, ограничивающее f на сегменте H(Q,0)A
Ю
(())
Использование непрерывности конструктивных функ-
функций (теорема 2 § 2 гл. 5) позволяет освободиться в лем-
лемме 3 от условия положительности дробления Q.
Лемма 4. Можно построить алгорифм W4, перера-
перерабатывающий всякое слово вида ?/3, Q, где Q — О-дроб-
ление для f, в КДЧ, ограничивающее f на сегменте
H(Q,0)AH(Q,IO(Q)).
Доказательство. Ввиду непрерывности кон-
конструктивных функций (теорема 2 § 2 гл. 5) можно по-
построить алгорифм U такой, что для любого слова ?/3, Q
рассматриваемого типа имеет место [U(?f^,Q),
^(Ef3.Q)—натуральное число, и если
(8) \x-H(Q,0)\<2-U{in'Q),
то
(9) \f(x)-}(H(Q, 0))|<l.
Обозначим для краткости на время доказательства
(E/3Q) через NftQ и сегмент И(Q,0)A H(Q, K)(Q))
через xQ A yQ. Используя алгорифм W3, построенный со-
согласно лемме 3, построим алгорифм W* так, чтобы
, Q), если РзB"^в"'. 2^4 yQ-xQ)^2,
+ 1, еслиРзОг^^-'.г-^',^-^)^!.
Нетрудно убедиться ((8) —(9), лемма 3), что W*
обладает требуемыми свойствами.
Лемма 4 позволяет доказать ограниченность интег-
интегрируемых функций. Прежде чем сформулировать соот-
соответствующую теорему, сделаем некоторые замечания,
связанные с конструктивным пониманием суждений
(применительно к материалу данной главы).
*) То есть #(Q, IO(Q))— #(Q, 0) > 0. Очевидно, всякое дроб-
дробление Q является дроблением сегмента H{Q, 0)Д #(Q, K)(Q)).

i 11 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 291
Определение 11. Интегральным шифром назы-
называется всякое слово вида
A0) хАу, Ш> ЕбЗ,
где х А у — сегмент, f — функция и 8 — регулятор ин-
интегрируемости f на хАу. Слово A0) будем называть
также интегральным шифром функции f на сегменте
хАу.
Интегральные шифры по отношению к интегрируе-
интегрируемым функциям играют такую же роль, как равномер-
равномерные шифры по отношению к равномерно непрерывным
функциям. Суждение вида «для любого сегмента хАу
и всякой /^-интегрируемой на хАу функции f суще-
существует конструктивный объект S, находящийся с х А у
и f в данном отношении ?&» конструктивно понимается
как утверждение об осуществимости алгорифма, нахо-
находящего по любому интегральному шифру f на хАу
соответствующий конструктивный объект (ср. доказа-
доказательство теоремы 1).
Для читателя, интересующегося возможностями по-
построения конструктивного анализа без применения прин-
принципов Маркова, заметим, что единственное существен-
существенное использование этого принципа в данной главе свя-
связано со ссылкой на теорему непрерывности при
доказательстве ограниченности интегрируемых функций
(лемма 4, теорема 2). В свою очередь привлечение тео-
теоремы непрерывности вынуждается возможностью вы-
вырождения сегмента интегрирования. Таким образом,
принцип Маркова может быть устранен введением до-
дополнительных требований непрерывности или ограничен-
ограниченности рассматриваемых функций, либо требованием, чте-
бы сегмент интегрирования имел положительную длину.
Теорема 2. Всякая R-интегрируемая на данном сег-
сегменте функция ограничена на этом сегменте.
Доказательство. Теорема утверждает суще-
существование алгорифма, перерабатывающего всякий ин-
интегральный шифр хАу, ?f3, ?63 в КДЧ, ограничиваю-
ограничивающее f на хАу. Возможность построения такого алго-
алгорифма без труда усматривается из леммы 4.
В традиционном анализе при доказательстве тео-
теоремы, соответствующей теореме 2, обычно доказы-
доказывают, что интегрируемая функция не может быть

292 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ [ГЛ. Г
неограниченной (см. Фихтенгольц [2; стр. 97], Лан-
Ландау [2; стр. 342]).
В заключение параграфа сформулируем некоторые
элементарные свойства интегрируемых функций.
у у
Теорема 3. Если и, = J / и и2 = \ f, то щ = и2.
X
У
Теорема 4. Если и, = J f и и2 = ии то щ= \ f.
X X
У
Теорема 5. Если и= \ f и л;, = х, У\ = у, то
X
.- Ь-
х,
У
Теорема 6. Если « = j f и / = g на х А у, то
X
У
-J*
X
У
Теорема 7. Если ы=[/ и f^O на хАу, то
У V
Теорема 8. Если и, = J f, u2= J g, то
X X
У
Щ ± «2 = J {/ ± g).
х
В следующем параграфе будет доказана интегрируе-
интегрируемость модуля и произведения интегрируемых функций.
у
Теорема 9. Если «=[/ и g = z-f {где z — не-
X
у
которое КДЧ), то г- и= J g.

КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 293
Теорема 10. Если и{= Г / и ы2 = Г g, причем
X X
на х А у, то щ ^ и2.
и
Теорема 11. Если / = 0 на хАу, то 0=|/.
X
Теорема 12. Если х = у, то для любой функции f
У
выполняется 0 = | /.
X
у
Теорема 13. Если f=l на хAy, то у — х= jf.
§ 2. Некоторые критерии интегрируемости.
Интегрируемость равномерно непрерывных функции.
Интегрируемость модуля
и произведения интегрируемых функций
1. В традиционном анализе при изложении интег-
интегрального исчисления весьма удобным оказывается ап-
аппарат верхних и нижних сумм Дарбу и связанная с ним
известная лемма Дарбу, показывающая, что при уста-
установлении интегрируемости достаточно сравнивать интег-
интегральные суммы, отвечающие одним и тем же дробле-
дроблениям (ср. Ф и хтенгол ьц [2; стр. 98]). В теории интег-
интегрирования конструктивных функций введение верхних и
нижних сумм Дарбу встречает принципиальные труд-
трудности, так как ограниченная на данном сегменте кон-
конструктивная функция может не иметь на нем точных
границ (см. гл. 8, § 2 теорема 6). Доказываемая ниже
лемма 1 заменит нам упомянутую только что лемму
Дарбу.
При доказательстве леммы 1 нам потребуется сле-
следующая эквивалентность. Пусть s4-% (i=l,2 п) —
некоторые суждения. Тогда

294 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМА НУ [ГЛ. 7
Переход от ПП(&^.-) к &A1^Л очевиден.
При доказательстве импликации
&
ограничимся случаем п = 2 (переход к любому п > 2
легко проводится с помощью индукции).
Итак, пусть выполняется
A) -]
Предположим, что
B)
Тогда, очевидно,
sli => ~\s4-2,
откуда следует
что противоречит A).
Следовательно, B) неверно, т. е. выполняется
что и требовалось.
Определение 1. Будем говорить, что дробле-
дробление Q2 является продолжением дробления Q\ (запись
Q2 2Qi), если Q\, Q2 суть дробления одного и того же
сегмента и для любого O^j^iO(Qi) можно найти
О < ki ^K)(Q2) так, что
(т. в. Q2 получается из Qi добавлением новых точек).
Лемма 1. Пусть f — функция, z ^ 0 — КДЧ, Qi —
правильное дробление, причем для любых интегральных
сумм S\, S2 функции f, отвечающих дроблению Qi, вы-
выполняется
Тогда, каково бы ни было правильное дробление
<22Э<2ь для любых интегральных сумм S3, S4 функ-
функции f, отвечающих соответственно дроблениям Q2 и Qit
также выполняется неравенство

§ 21 КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 295
Доказательство. Пусть
C) Qi =?= х0 * ... * хп,
D) Q2^y0* ••• *«/m-
Очевидно, х0 = г/о, Ут = *п и m ^ и.
Найдем для каждого 0 ^ i ^ и kt так, чтобы
*< = Укг
причем при i = 0 и i = n положим соответственно
k0 = 0 и /гп = т *). Очевидно,
E) О = Л„<Л, < ... <Л„ = /п.
F) Предположим, что существуют интегральные
суммы S3, S4 функции / такие, что Z?(S)Q
D(S)Q |IS)(S)|
Пусть
S3=f= ?f3, Q2, «o* ••• *«m-i.
{} s
Обозначим через z,- @^t<m—1) КДЧ f(«i). Обо-
Обозначим через SSij дизъюнкцию (zt ^ Zj) V (z4 ^ Zj).
Поскольку при любых t, / выполняется ~]\ЗВц, то имеет
место
(8) ~П & Я,/.
Предположим, что выполняется
(9) & Яц.
I. /=i
Тогда мы сможем указать натуральные числа
/0 /„_! и s0, ..., sn_[ такие, что при каждом
0 < / < п - 1
и если
то
A1) Z
s.,
*) Это замечание вызвано возможностью равенства *о = ^п-

296 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ (ГЛ. 7
т. е.
A2) /(«/,) <f («/)</(«,,)•
Рассмотрим теперь интегральные суммы S5, S6 функ-
функции f такие, что
Ввиду C)-E), G), A0)-A2), очевидно,
Поскольку, ввиду F),
то
I ? E3) — g (S4) I = g (S3) — g (S4)
или
В первом случае
I (S6) - 8 (S4) = 15 (S6) - 5 (S4) | >b (S3) -
Во втором случае
l8(S6)-8(S4)|>z.
И то и другое противоречит условиям леммы (оче-
(очевидно, D(S5) =fD(Sg) =fQ\). Следовательно, при выпол-
выполнении F) неверно (9), т. е. имеет место
л
&_ Л
Это, однако, невозможно в силу (8). Таким образом,
F) неверно, и, следовательно, для любых интегральных
сумм S3, S4 таких, что D(S^) ^=С?2 и D(S4) =r=Qi, выпол-
выполняется
l8(S3)-8(S4)|<z,
что и требовалось.
Заметим, что совершенно аналогично лемме 1 мож-
можно доказать следующее утверждение, еще более напо-

§ 2] КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 297
минающее лемму Дарбу: если Q2 Э Qi и для любых
интегральных сумм Si, S2 функции f таких, что D(Si) =5=
==D(S2)=fQi, выполняется |j(Si) — jE2) | ^ г, то это
же неравенство выполняется и для любых интегральных
сумм f, отвечающих дроблению Q2. Нам это утвержде-
утверждение не понадобится.
Лемма 2. Пусть Q = Хо* ... *Xh — правильное дроб-
дробление, f — функция, m, n — натуральные числа, причем
2т ограничивает f на х0 A Xh и Q является (п + 2) -дроб-
-дроблением для f*).
Тогда для любых интегральных сумм Si, S2 функ-
функции f на Хо Л xh таких, что
A3) яE,), яE2)<2-т-"-*-3,
выполняется
\h(Sl)-i(S2)\<2-n.
Доказательство. Пусть Si, 52 — произвольные
интегральные суммы /, удовлетворяющие неравенству
A3). Обозначим через Р дробление сегмента x0AXk,
получающееся из Q добавлением тех точек дробления
D(Si), которые отличны от хо, ..., xh. Очевидно, Р = Q.
Пусть Si и Р имеют вид
Si^EB, /0*^i* ••• *h, Уо* ••• *У1-и
P=F So* Sy* . . . * Sp
(где t0 = So = #0 и h = sp = xh).
Сегмент t\ Л ti+i назовем сегментом 1-го рода, если
внутри него нет точек дробления Q, т. е. если при неко-
некотором /
В противном случае tt Д U+\ назовем сегментом 2-го
рода**).
Очевидно, что сегментов 2-го рода не больше, чем k.
Обозначим через z сумму длин сегментов 2-го рода.
*) См. определения 1 и 10 § 1.
**) Поскольку U — so, ti = sP и все t{ (I ^ i ^ /—1),
«( (l^isjrp— 1) рациональны, по данному ? легко узнать, яв-
является ли сегмент ti A ti+i сегментом 1-го рода.

298 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ |ГЛ. 7
Ввиду A3),
A5) 2<^-n(S,)<^-2-'n~'I~*<2"'n"'I~3.
Построим интегральную сумму Si функции f вида
(см. A4))
A6) Sf =5= Е/3. Л 2„* ... *гр_„
где zi=?\}h если сегмент SjAs!+i совпадает с некото-
некоторым сегментом 1-го рода tjAtj+i, и z,=?=Sj, если s,As,+i
не совпадает ни с каким сегментом 1-го рода (т. е. ко-
когда S{ASi+i входит в некоторый сегмент 2-го рода).
Имеем, как легко видеть,
Отсюда согласно A5)
A7) h(S1)-
Фиксируем произвольно интегральную сумму So
функции f, отвечающую дроблению Q. Поскольку
D (Si) Э Q и Q — (п -f 2) -дробление для f, согласно
лемме 1 выполняется
A8)
Из A7) и A8) следует
Аналогично,
U
Следовательно,
что и требовалось.
Определение 2. Последовательность дробле-
дроблений W будем называть характеристической для функ-
функции f, если при каждом п W(n) есть п-дробление для f.
Оценка, даваемая леммой 2, позволяет получить сле-
следующий критерий интегрируемости.
Теорема 1. Каковы бы ни были сегмент хАу и
функция f, f интегрируема на хAy тогда и только то-
тогда, когда осуществима последовательность дроблений
х А у, характеристическая для f.

(, 2] КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 29Й
Необходимость. Построим алгорифм X так, что-
чтобы для любого интегрального шифра хАу, ?/3> ?63
Х(хАу, ?В, ES3, n)~Wl{xAy, 6 (л)),-
где W1 — алгорифм, построенный согласно лемме 1 § 1.
Очевидно, кХАу, ?f3. ?бз является характеристиче-
характеристической для f последовательностью дроблений сегмента
хАу.
Достаточность. Обозначим через R произ-
произвольное слово вида
хАу, Е/3.
где хАу — сегмент, f — функция, W — характеристиче-
характеристическая для f последовательность дроблений х А у.
Ввиду леммы 4 § 1 можно построить алгорифм т,
перерабатывающий всякое R в натуральное число так,
что всюду на х А у
\f(t)\<2UR).
Построим алгорифм у так, чтобы
y(R, ,г)~/г + т(/?) +
Ввиду леммы 2 алгорифм -уи является регулятором
интегрируемости f на х Л у, что и требовалось.
Определение 3. Функцию f будем называть сла-
слабо интегрируемой на сегменте хАу, если осуществима
ПНЧ а (называемая слабым регулятором интегрируе-
интегрируемости f на х А у) такая, что при всяком п для любых
интегральных сумм S\, S2 функции f на хАу из Z)Ei)=?=
DE) и
следует
Из теоремы 1 и леммы 1 § 1 вытекает
Теорема 2. Каковы бы ни были сегмент хАу и
функция f, f интегрируема на хAy тогда и только то-
тогда, когда она слабо интегрируема на хАу.
Таким образом, при доказательстве интегрируемо-
интегрируемости какой-либо функции на рациональном сегменте до-
достаточно рассматривать лишь разбиения этого сегмента
па произвольное число равных частей.

300 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМА НУ (ГЛ. 7
Теорема 3. Каков бы ни был сегмент х А у, всякая
равномерно непрерывная на х А у функция интегрируе-
интегрируема на х А у.
Доказательство. Пусть Т — произвольный рав-
равномерный шифр хАу* ?/3*8^3 (§ 2 гл. 5). В силу тео-
теоремы 2 достаточно доказать слабую интегрируемость /,
для чего нужно построить алгорифм U jax, чтобы при
любом слове Т рассматриваемого типа UT являлся сла-
слабым регулятором интегрируемости f на х А у.
Искомый алгорифм U строим так, чтобы
A9) U (х А у * gf 3 * ?63. п) ~ 6 (п + G+ {у - -г)).
Пусть Q =5= л;0 * ... * хт — дробление сегмента х А у,
причем
B0) n(Q)<2-U{xAy*in*m<n).
Пусть далее
?H Q> #о* ••• *Ут-и
Q> Z0* ••• *Zm-l
— две произвольные интегральные суммы f, отвечаю-
отвечающие дроблению Q. Тогда
Ввиду A9)-B0)
l/(^)-
Следовательно,
11 (St) -1 (Ss) | < 2-"-0+ (y-x) -(y-x)< 2~\
Таким образом, алгорифм 0ХАу*т*Ш является
слабым регулятором интегрируемости f на х А у, что
и требовалось.
Следствие 1. Всякая монотонная на х А у функ-
функция интегрируема на х А у.
Следствие 2. Всякая кусочно монотонная на х А у
функция интегрируема на х А у.
Следствие 3. Всякая полигональная на хАу
функция интегрируема на х А у.

КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
801
Эти следствия вытекают из теоремы 7, .следствия 3,
следствия 1 § 2 гл. 5 и теоремы 3.
В связи с теоремой 3 возникает вопрос: не исчерпы-
исчерпывается ли класс интегрируемых функций равномерно
непрерывными функциями. Ответ на этот вопрос отри-
отрицательный: существуют всюду неравномерно непрерыв-
непрерывные на 0А1, интегрируемые на 0Л1 функции (Куш-
нер[3]).
2. Теорема 4. Если функция f R-интегрируема на
хАу, то функция \f\ также R-интегрируема на х А у,
у у
причем J f < J I f\.
X X
Доказательство. Пусть а — слабый регулятор
интегрируемости f на хАу. Фиксируем произвольное п
и рассмотрим произвольное дробление Q сегмента х А у
такое, что
n(Q)<2-a{n+l).
Пусть, далее, Si, S2 — интегральные суммы функ-
функции |/|, отвечающие дроблению Q и имеющие вид
Si =5= Elf 13. *о* ••• ***. Уо* ••• *Ун~и
*xk, z0*
Предположим, что
B1)
Очевидно,
B2)
ft-i
(=0
-f(z,) | •(*,+,-*,).
Обозначим через ^,- суждение (fto)^ f (г,-)) V
V {f{Zi)^*f{yi)) и предположим, что выполняется
B3)
'

302 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ [ГЛ. 7
Тогда мы сможем указать интегральные суммы 53 и 54
функции f, отвечающие дроблению Q, такие, что
8 (S3) - 8 (S4) = S I f (Уд - f (zt) I ¦ (*,+, - *,).
1=0
(Для этого к S3 надо отнести г/,-, если верен первый
член дизъюнкции &й и zu если верен второй член J?,;
при построении же Sn следует поступить наоборот.)
Ввиду B1) —B2) получаем
что противоречит определению а и Q.
Следовательно, из B1) вытекает
С другой стороны, так как при всяком 0 =g: i ^ k — 1
выполняется \~]&1и то имеет место (см. стр. 293)
г—о
Таким образом, B1) неверно и для любых Su 52,
отвечающих дроблению Q,
Следовательно, алгорифм 6, определяемый равен-
равенством 6@—а(/+ 1), является слабым регулятором ин-
интегрируемости функции |/| на х А у, откуда и вытекает
у
интегрируемость |/| па х А у. Неравенство
очевидным образом следует из оценки
х
(=0
Теорема 5. Если функции fug интегрируемы на
х А у, то функция f-g интегрируема на хАу.
Доказательство. Достаточно доказать слабую
интегрируемость функции / на хАу. Предоставляя по-
подробности читателю, заметим, что слабая интегрируе-

§ 3] ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА 303
мость f-g легко следует из ограниченности./ и g (тео-
(теорема 2 § 1) и тождества
f(x)-g(x)-f(y)-g(y) =
= /(</)• (ё W - g (У)) + g{x)- (/ (х) - f (у)).
§ 3. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема
Ньютона — Лейбница. Теорема о замене переменной
Определение 1. Натуральное число пг назовем
п-индикатором интегрируемости функции f на х А у,
если для любых интегральных сумм Sb Sj этой функции
на хАу таких, что л (Si), л (S2) < 2~m, выполняется
|S)S)|2
(,)jB)|
Лемма 1. Пусть v, xf^z^y — КДЧ, f —функция,
ограниченная на х А у числом v, Si, S2 — интегральные
суммы f на хД г и zAy. Можно построить интеграль-
интегральную сумму S функции f на хАу такую, что
IJ (S) - 8 (Si) - Ь (S2) | < 4о • max (n (S,), л (S2))
и
я (S)< 2 • max (я {Si), л (S2)).
Доказательство. Пусть
^0* ••• *хп, Уо* ••• *Уп-и
«о* ••• *«ъ vo* ••• *o*-i
(где хо = х, xn = z, uo = z, uk = y). Построим интеграль-
интегральную сумму S функции f на х А у так, что
*0* ••• * *„-!*«!* ... *Uk,
УО* ••• * Уп-2 * * * Vl * ••• *»*-!•
Очевидно, n(S) ^2 • max(n(Si), n(S2)) и
8 (S) = 5 (S,) + 5 (S2) + f B) • (u, - *„_,) -
- f (Уп-i) (xn - xn-i) - f (»„) • (u, - u0)-
Следовательно,
IJ(S) - 5(S,) - j(S2) \<v- ((и, - лг„_,) + (лг„ - ля_,) +
+ («» - «о)) < 4у • max (я E,). л E2)).

304 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ [ГЛ. 7
Лемма 2. Пусть функция f ограничена на х А у
числом 2' и m является (п + 2) -индикатором интегри-
интегрируемости f на х Л у. Тогда при любом ге х А у m + п +
-f- / ¦+- 5 является п-индикатором интегрируемости f на
х Л z и z Л у.
Доказательство. Рассмотрим, например, сег-
сегмент хАг. Пусть Su S2 — интегральные суммы f на
х A z такие, что
Предположим, что
A)
Пользуясь леммой 1 § 1, построим интегральную
сумму Т функции f на zAy с измельченностью, мень-
меньшей 2~m~n~l~5.
Применяя к S| и Г лемму 1, построим интеграль-
интегральную сумму 53 функции f на х А у так, что
; г-"-"-'-5=2-т-п-3
I ь E3) - а E,) - а (г) | < 4 • 2; • г-"-"-'-5=2
и
Аналогично построим интегральную сумму S4 функ-
функции f на х А у так, что
Тогда
Ввиду A) получаем
"л-2
18 (Si) - 8 (S3) I > 2-"-1 - г-""-2 > 2
Это, однако, невозможно, так как т есть (n-f-2)
индикатор интегрируемости.

§ 3] ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА 305
Следовательно, A) неверно и для любых-Si, S2
Лемма доказана.
Теорема 1. Если функция f интегрируема на сег-
сегменте хАу, то при любом г е х А у f интегрируема на
сегментах х Д г и г А у, причем
Доказательство. Пусть Г =г= л: A. t/, З ЕЗ
произвольный интегральный шифр. По теореме 2 § 1
построим алгорифм W, перерабатывающий всякое Т
в КДЧ, ограничивающее f на х А у.
Пусть U — алгорифм такой, что
U(T, n)~b(n +
Ввиду леммы 2 От является «при любом г^хАу
регулятором интегрируемости / на сегментах xAz и
г А у.
Доказательство равенства
угу
!'=!'+!'
х х г
проводится предельным переходом с помощью леммы 1.
Утверждение, обратное теореме 1, также имеет мес-
место: если функция / интегрируема на хДг и гД(/, то f
интегрируема на хАу. Доказательство предоставляется
читателю.
Из теоремы 1 и теоремы 1 § 1 без труда следует
Теорема 2. Каков бы ни был сегмент х А у и ин-
интегрируемая на нем функция f, можно построить функ-
функцию g так, что при любом t e x А у
Определение 2. Функцию g будем называть пер-
первообразной функции f на сегменте л'Ду, если f является
производной § на этом сегменте (§ 1 гл. 6).

306 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ [ГЛ. 7
Теорема 3. Пусть функции f, g и сегмент х А у
таковы, что при любом t^xAy
Тогда g является первообразной f на х А у *).
Доказательство. Пусть W — регулятор непре-
непрерывности функции / (такой алгорифм W существует в
силу теоремы 2 § 2 гл. 5) и t—произвольная точка
хА у.
Фиксируем произвольное п и рассмотрим любую
точку t\ e х А у такую, что
B) \tl-t\<2-Vit'a).
Ввиду B)
C) |/(О-/@ К 2~".
Предположим, что
D) I g(tt) -g(t) -f(t) •(*,-*) I > 2"" •[/-/, [.
Рассмотрим случаи
E) / = /„
F) *, > t,
G) /, < t.
Случай E), очевидно, невозможен. В случае F) по
теореме 1
(8) g{U)-g{t)=
t
Поскольку, ввиду C), всюду на / Д /
то согласно (8)
(/ @ - 2"") • (/, - t) < g (*,) - g (/) < (f @ + 2"") ¦ (*, - t),
*) Отсутствующее в этой теореме требование непрерывности
/ выполняется автоматически.

§ 3] ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА 307
откуда
т. e.
\g(ti)-g(t)-f(t)-(ti-t)\<2-n-\t1-t\,
что противоречит D). Случай F), таким образом, не-
невозможен. Точно так же из D) следует, что невозможен
случай G). Следовательно, из D) вытекает
что невозможно.
Поэтому при выполнении B) имеет место
и функция f является, таким образом, производной g
на х Ay.
Следствие 1. Всякая равномерно непрерывная на
х А у функция имеет первообразную на х А у.
Следствие 2. Всякая полигональная на х А у
функция имеет первообразную на х А у.
Следствие 3. Всякая интегрируемая на хАу
функция имеет первообразную на х А у.
Ввиду следствия 2 § 2 гл. 6 имеет место
Лемма 3. Пусть gt, g2 — первообразные функции f
на х Ay. Тогда всюду на х А у
(две первообразные одной и той же функции могут от-
отличаться лишь на константу).
Из леммы 3 и теоремы 3 получаем теорему, анало-
аналогичную теореме Ньютона — Лейбница.
Теорема 4. Пусть функция g является первообраз-
первообразной функции f на х А у. Тогда, если f интегрируема на
хАу*), то
*\
*) В следующей главе будет показано, что функция, имеющая
первообразную, может быть пеиитегрируемой.

308 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМЛНУ [ГЛ.7
Теорема 4 позволяет, как и обычно, доказать извест-
известные формулы интегрирования элементарных функций.
В частности, имеет место
Следствие 4. Пусть f — полигональная функция,
причем Хо * . .. * хп — определяющее дробление f (т. е. f
линейна на каждом сегменте х{ А хм). Тогда
fc=0
Это утверждение понадобится нам в следующей
главе.
Из теоремы 4 и правила дифференцирования слож-
сложной функции вытекает также теорема о замене пере-
переменной.
Теорема 5. Пусть функции /, h, h', g и сегменты
хАу, uAv таковы, что h(u) = x, h(v) = у, всюду на
«Да х ^ h(t) ^.y, h' — производная h на и A v и,
наконец, всюду на и Av
g(t) = f(h(t))-h'(t).
Тогда, если обе функции fug интегрируемы соответ-
соответственно на х А у и uAv,to
Для доказательства достаточно заметить, что если
— первообразная / на хАу, то функция g{ такая, что
является первообразной g на и A v.
В заключение отметим, что в связи с теоремой о
среднем интегрального исчисления могут быть получены
результаты, аналогичные теоремам гл. б. В частности
(мы ограничиваемся случаем единичного сегмента), не-
невозможен алгорифм а, перерабатывающий всякий ин-
интегральный шифр

§ 3] ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА 309
в КДЧ так, что
f(a(T))=jf,
о
и вместе с тем невозможна интегрируемая на 0 А 1
функция f, для которой всюду на 0 Д 1
1
В следующей главе будет доказана невозможность
некоторых других алгорифмов, связанных с интегрируе-
интегрируемыми функциями, и будут приведены примеры неинте-
грируемых функций.

Г Л Л В Л 8
СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ
И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
В этой главе излагаются некоторые специфические
свойства конструктивного континуума, связанные с па-
рушением для него теоремы Бореля о выборе конечного
покрытия. Поскольку именно теорема Бореля является,
как правило, основой для перехода от локальных свойств
функций к их глобальным свойствам, то неудивительно,
что ее нарушение приводит к примерам конструктивных
функций, обладающих хорошими локальными свойства-
свойствами (например, непрерывностью), но не имеющих соот-
соответствующих свойств на данном сегменте в целом (на-
(например, непрерывность в каждой точке единичного
сегмента не влечет равномерной непрерывности на нем).
В свою очередь неверность теоремы Бореля для кон-
конструктивного континуума связана с нарушением при
конструктивном прочтении одного общего принципа,
выражаемого следующей теоремой Д. Кёнига: в беско-
бесконечном дереве, из каждой вершины которого выходит
конечное число ребер, имеется по крайней мере один
бесконечный путь (см. Кёниг [1] и Куратовский,
Мостовский [1; § 5 гл. 3]; в том и другом случае при-
приводится вывод теоремы Бореля из теоремы Кёнига).
Конструкция, показывающая неверность теоремы Кёни-
Кёнига при ограничении рассматриваемых путей вычислимы-
вычислимыми (рекурсивными) путями, может быть извлечена из
работы Клин и [2]; именно, существует бесконечное де-
дерево, из каждой вершины которого выходит не более
двух ребер, не имеющее бесконечных вычислимых (обще-
(общерекурсивных) путей (см. также Марков [7])- Анало-
Аналогичная конструкция, независимо найденная И. Д. 3 а-
славским [1—2; 4], позволила ему получить пример
покрытия сегмента 0Д1, из которого нельзя выбрать
конечного подпокрытия, и построить разнообразные при-
примеры конструктивных функций с необычными свойства-
свойствами (неограниченная на О Д 1 непрерывная функция,

§ 1] СУИШСТВОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ 311
ограниченная непрерывная, но неравномерно непрерыв-
непрерывная функция и т. д.).
Другим источником подобного рода примеров яв-
является разработанная Заславским и Цейтиным
[1]—[2] теория сингулярных покрытий*). Аппарат сингу-
сингулярных покрытий оказывается также удобным при по-
построении примеров неинтегрируемых функций и доказа-
доказательстве неразрешимости алгорифмических проблем,
связанных с интегрированием.
§ 1. Основные определения. Существование
сингулярных покрытий
1. Условимся о некоторых обозначениях. Два сег-
сегмента х\ Ау\ и х2А у2 назовем пересекающимися, если
lt у2).
Если два сегмента х\Ау\ и х2Ау2 пересекаются, то
сегмент max(xux2) Amin(y\, у2) называется их пересе-
пересечением и обозначается посредством х\ А у\ П х2 А г/2.
В случае, когда х\ А у\, х2Ау2 не пересекаются, мы
считаем |*i Д у\ П х2 A yi\ = 0. (Посредством \x\y\
обозначается длина промежутка х\у, т. е. у — х.) Для
любых двух промежутков х{ X Уь х2 X Уч величина
I *i X У\ Л х2 X У21 понимается как |*] АУ\Г[х2 А у2\.
Если Т — система промежутков (см. § 3 гл. 5), то
запись х^Т означает, что х принадлежит какому-ни-
какому-нибудь из промежутков этой системы.
2. Пусть Ж — некоторое множество КДЧ.
Определение 1. Последовательность интервалов
Ф **) называется интервальным покрытием множества
Ж, если можно построить алгорифм а (называемый ха-
характеристическим алгорифмом покрытия Ф) типа
(Ж—*Ж)***) такой, что для всякого x^JC
*) Существование сингулярных интервальных покрытий было
независимо установлено также Крайзелом и Лакомбом [1].
**) Так же, как и раньше, под последовательностью интерва-
интервалов (сегментов) понимается алгорифм, перерабатывающий всякое
натуральное число в интервал (сегмент).
***) То есть а перерабатывает всякий элемент Ж в натуральное
число.

312
СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ
[ГЛ. 8
Определение 2. Последовательность сегментов
W называется сегментным покрытием множества Ж,
если можно построить алгорифмы ось «2 типа (Л—+Яв)
(характеристические алгорифмы покрытия W) такие,
что при любом xel
fa, (х) = Ua2 (*)
и
«a, <
(здесь через Uk, Vk обозначены левый и правый концы
сегмента W(k)).
Определение 3. Сегментное покрытие W назовем
дизъюнктным, если при 1Ф\ сегменты W(i), W(j) не
имеют общих внутренних точек.
В качестве множества Л у нас будут фигурировать
промежутки положительной длины и множество всех
КДЧ 3), называемое ниже «конструктивной прямой».
Нетрудно показать, что характеристический алго-
алгорифм интервального покрытия всегда может быть по-
построен, исходя из самого этого покрытия. Для поясне-
пояснения понятия сегментного покрытия рассмотрим два про-
простых примера. Пусть Yi, Ч'г— такие алгорифмы, что
при л = 0,
при л=1,
при
ОЛт при четном п,
-j Д 1 при нечетном п.
Можно показать, что W\ не является сегментным по-
покрытием О А 1, хотя и невозможен х из ОД 1, не при-
принадлежащий никакому сегменту W\ (i). Алгорифм Ч'г дает
пример сегментного покрытия 0Д1, для которого тре-
требование существования пары характеристических алго-
алгорифмов нельзя заменить требованием существования
одного алгорифма, указывающего для каждого х чис-
число i так, что х Ч^О')

§ 1] СУЩЕСТВОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ 313
Определение 4. Покрытие (сегментное или ин-
интервальное) V множества Ж назовем рациональным,
если все промежутки Ч?(п) рациональные (т. е. концы
этих промежутков — рациональные числа), точным, если
при любом п ^(nJsJf, невырожденным, если всегда
()\
Все рассматриваемые в данной главе покрытия пред-
предполагаются рациональными и невырожденными. Поэто-
Поэтому соответствующие прилагательные, как правило, опу-
опускаются.
Определение 5. Последовательность промежут-
промежутков Ф называется е-ограниченной, если при любом п
Определение 6. Покрытие Y (интервальное или
сегментное) промежутка х X У называется сингуляр-
сингулярным, если последовательность W е-ограничена при неко-
некотором г, меньшем у — х.
Определение 7. Последовательность промежут-
промежутков Ф назовем регулярной, если при любом i
Определение 8. Последовательность рациональ-
рациональных интервалов Y назовем универсальной, если для лю-
любой регулярной последовательности рациональных интер-
интервалов Ф можно найти 1ф и /ф такие, что
3. Теорема 1 (Заславский, Цейтин [2]).
Для любого п осуществима 2~п -ограниченная универ-
универсальная последовательность интервалов.
Доказательство этой теоремы использует диагональ-
диагональную конструкцию. Фиксируем произвольное п. Поль-
Пользуясь универсальным алгорифмом, построим алгорифм
21 так, что для любого алгорифма а (в Ча)
A) Я(?аЗ, k)~a(k + n+l).
При каждом k обозначим через Jtk множество ра-
рациональных интервалов длины, меньшей чем 2~n~k~l.
Очевидно, все множества JCh перечислимы. Построим

314 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
алгорифм v, перерабатывающий слова в Чо в натураль-
натуральные числа так, что разные слова переводятся в разные
натуральные числа, и обозначим через Ж множество
слов вида Р, v(P) (где Ре Чо) таких, что
Р, ч(Р)*=ЖЫ% (Р, v (Р)) & Я (Р, v (Р)) е= Жч (Р).
Нетрудно убедиться (ср. теоремы 9—10 § 3 гл. 1),
что множество Ж перечислимо. Ясно также (A)), что
для любой регулярной последовательности рациональ-
рациональных интервалов Ф
B)
Следовательно, Ж бесконечно и можно построить
арифметически полный алгорифм у, перечисляющий без
повторений Ж. Построим алгорифм Q так, что
C) Q (/) ~ 21 (y @).
Очевидно, й — последовательность рациональных ин-
интервалов.
Пусть yi> Y2 — такие алгорифмы, что
YW^YiW. Ya@-
Тогда Y2 — ПНЧ, причем при 1ф\
Ys@#Y2(/)-
Используя это обстоятельство, получаем оценку
2IQ @1 < S 2-п~ъи)-1 < S г"' = 2'rt.
i=C 1=0 <=0
Остается показать, что последовательность Q уни-
универсальна. Пусть Ф — регулярная последовательность.
Ввиду B) при некотором I
D) Y@
Тогда (A), C)-D))
что и требовалось.
Теорема 2 (Заславский, Цейтин [1]—[2],
Крайзел, Лакомб [1]). Для любого п осуществи-
осуществимо 2-п-ограниченное интервальное покрытие конструк-
конструктивной прямой.

§ 1] СУЩЕСТВОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ 316
Доказательство. Пусть Q — универсальная по-
последовательность, построенная согласно теореме 1. По-
Построим алгорифм К так, чтобы для любого Р в Ч
X(P,n)~D-(P,n)vD+(P,n)
(см. § 2 гл. 3).
Поскольку для любого п и КДЧ х D-(x,n),
D+(x,n) — рациональные числа, причем
D~ (x, n)<x<D+ (х, п), D+ (х, п) - D~ (х, п) < 2~п,
то при любом х кх является регулярной последователь-
последовательностью рациональных интервалов такой, что при всех i
Ввиду универсальности Q для каждого х можно най-
найти тх, 1Х так, что
kx(mx)*7=Q(lx).
Следовательно,
чем и заканчивается доказательство.
Следствие 1. Для всякого промежутка и любого
п осуществимо 2~п-ограниченное интервальное покрытие
этого промежутка.
Следствие 2. Для всякого невырожденного про-
промежутка осуществимо сингулярное интервальное по-
покрытие этого промежутка.
Теорема 3. Для любого п осуществимо 2~п-ограни-
2~п-ограниченное сегментное дизъюнктное покрытие конструктив-
конструктивной прямой.
Доказательство. Пусть Q — 2~"-ограниченная
универсальная последовательность рациональных интер-
интервалов. Применим к Q лемму 2 § 3 гл. 5 и обозначим
получившийся алгорифм через Ф. В силу утверждений
1) — 3) и 5) этой леммы Ф является 2-"-ограниченной
последовательностью попарно дизъюнктных рациональ-
рациональных интервалов. Обозначим концы интервала Ф(л) че-
через гп и sn. Согласно утверждению 4) леммы 2 § 3 гл. 5
для каждого КДЧ х можно найти пх и пгх так, что

3F СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
И
E) гПх< х< smx.
Следовательно, в качестве искомого покрытия можно
взять такой алгорифм Ф, что
Теорема 4. Для любого невырожденного рацио-
рационального сегмента г As и любого п можно построить
2~п-ограниченное точное сегментное дизъюнктное покры-
покрытие этого сегмента. _
Доказательство. Пусть Ф — покрытие конструк-
конструктивной прямой, построенное в доказательстве предыду-
предыдущей теоремы. Согласно утверждению E) можно найти
М, iz так, что
(rn, sn, как и в_доказательстве теоремы 3, обозначают
концы сегмента Ф(п)).
Не теряя общности, можно считать, что
F) 2~" < s - г.
Тогда
Пусть SB — множество натуральных чисел такое, что
& < si
Множество S, очевидно, разрешимо. Ввиду F) 9?
бесконечно. Следовательно, можно построить арифмети-
арифметически полный алгорифм Я,, перечисляющий без повторе-
повторений 2.
Искомое покрытие W задаем теперь как алгорифм,
удовлетворяющий условиям
Ч! (я + 2) =f Ф (Я (я)).

§ I] СУЩЕСТВОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ 317
Несложную проверку (с использованием заме-
замечания 1) того, что W обладает требуемыми свойствами,
предоставляем читателю.
Замечание 1. Из доказательства теоремы 3 и ут-
утверждения 5) леммы 2 § 3 гл. 5 легко усматривается,
что покрытие Ф обладает следующим свойством смеж-
смежности: при каждом п можно найти пи п2 так, что
stilz=i'n и $„==/•„, (где rk, sft обозначают левый и пра-
правый концы Ф(?)). Аналогичным свойством обладает и
покрытие W сегмента г A s, построенное в доказатель-
доказательстве теоремы 4, с тем очевидным ограничением, что при
отыскании сегмента 4?(i), примыкающего к данному
сегменту W(n) слева (справа), требуется, чтобы
гфЧ'(п) (соответственно х^Ч^л)). Можно показать
(мы не останавливаемся на этом), что свойством смеж-
смежности обладают любые рациональные сегментные дизъ-
дизъюнктные покрытия конструктивной прямой (рациональ-
(рационального сегмента).
Следствие 3. Для любого промежутка положи-
положительной длины осуществимы как интервальные, так и
сегментные сингулярные покрытия этого промежутка.
Теорема 2 приводит к несколько парадоксальному
выводу, что вся конструктивная прямая имеет меру О*).
Следующая теорема позволяет выделить класс покры-
покрытий, с помощью которых можно ввести понятие множе-
множества КДЧ конструктивной меры 0, свободное от Этого
недостатка.
Теорема 5. Пусть х X У — произвольный положи-
положительный промежуток (х < у) м Ф — сингулярное покры-
покрытие (сегментное или интервальное) этого промежутка.
оо
Тогда ряд 2 | Ф (i) | шпекеров **).
(=0
*) Эта парадоксальность не снимается в полной мере замеча-
замечанием, что конструктивная прямая счетна, поскольку покрытие,-полу-
покрытие,-получаемое согласно теореме 2, перечислимо, чего нельзя сказать о кон-
конструктивной прямой (§ 4 гл. 3).
**) См. определение 4 § 3 гл. 3. Другими словами, последова-
л
телыюсть 2|Ф@1 (которая, очевидно, монотонна и ограничена)
(=о
не фундаментальна и. следовательно, не сходится ни к какому
КДЧ.

318 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
Докажем более сильное предложение (Заслав-
(Заславский, Цейтин [1]—[2], Крайзел, Лаком б [1]).
Лемма 1. Пусть Ф — ^-ограниченная последова-
последовательность сегментов, х А у — сегмент, причем г < у — х
и ряд
G) ?|Ф@1
сходится. Тогда можно найти КДЧ г из х А у, не принад-
принадлежащее ни одному сегменту Ф(п).
Доказательство. Не теряя общности, можно
считать, что Ф — последовательность рациональных ин-
интервалов. Для сокращения обозначений в качестве
х А у возьмем сегмент 0 Л 1.
При условиях теоремы для любого рационального
сегмента г As ряд
(8) 2|гЛ5ПФA)|
г=о
мажорируется сходящимся рядом G) и, следовательно,
сходится. Построим алгорифм \, перерабатывающий вся-
всякий сегмент г As в сумму ряда (8). Ясно, что
(9) v@ А1)<в<|0А 1|.
Поделим 0А1 пополам и обозначим через аи аг по-
получившиеся сегменты. Поскольку
то ((9)) не могут одновременно выполняться неравен-
неравенства
Y(a)>
Следовательно, мы можем (ср. лемму 5 § 1 гл. 4)
указать один из этих сегментов, скажем аи так, что

§ И СУЩЕСТВОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ 319
Продолжая этот процесс, получим вложенную по-
последовательность сегментов % такую, что
Ч(%{п))<\Щп)\.
По теореме о вложенных сегментах (§ 2 гл. 3) най-
найдем общую точку х последовательности 91. Если при
некотором I
хе=Ф (/),
то при некотором /, очевидно,
*(/)<=Ф@.
Но тогда
V (И (/))>!«(/)!.
что невозможно.
Заметим, что лемму 1 нельзя усилить, положив е =
= у— х. Из теоремы 4.5 работы Заславского [4]
усматривается построение точного дизъюнктного сег-
сегментного покрытия Ч' сегмента О Д 1 такого, что ряд
21V@ | сходится к 1.
(=0
Определение 9. Покрытие Ф назовем, правиль-
оо
ным, если ряд 2 I Ф @ I сходится.
1=0
Следствие 4. Никакое сингулярное покрытие не
может быть правильным.
Это утверждение является простой перефразировкой
теоремы 5.
Следствие 5. Никакое ограниченное покрытие
конструктивной прямой не может быть правильным*).
Использование правильных покрытий позволяет опре-
определить множество КДЧ конструктивной меры нуль как
множество, допускающее при любом п 2~"-ограниченное
правильное интервальное покрытие. Целесообразность
этого определения подчеркивается тем, что, с одной
стороны, никакой невырожденный промежуток не яв-
является множеством меры нуль, а с другой стороны,
*) Покрытие Ф мы назовем ограниченным, если при некото-
некотором е оно е-ограннчено.

320 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
всякое перечислимое множество имеет меру нуль. Можно
также показать, что объединение любой (конструктив-
(конструктивной) последовательности множеств меры нуль также
имеет меру нуль*).
Определение 10. Будем говорить, что система
промежутков Т накрывает промежуток х X У, если не-
невозможно г е * X У такое, что гфТ.
Из леммы 1 получаем (через |Г| обозначается сум-
сумма длин всех промежутков системы Т)
Следствие 6. Пусть х%у— промежуток, а Т —
система промежутков, причем \ Т \ < у — х. Тогда Т не
накрывает х X У-
Это следствие (которое нетрудно доказать и непо-
непосредственно) вместе со следствием 3 позволяет полу-
получить примеры покрытий, из которых нельзя выбрать
конечные подпокрытия, и, таким образом, показать,
что для конструктивного континуума неверна теорема
Бореля.
Следствие 7. Пусть хАу — невырожденный сег-
сегмент. Тогда осуществимо интервальное покрытие Ф это-
этого сегмента такое, что никакая система интервалов
Ф@)*ФA)* ... *Ф(и) не накрывает х А у.
4. Из теоремы 5 вытекает, очевидно, теорема 1 § 3
гл. 3, утверждающая существование шпекеровых после-
последовательностей. Использование точных сегментных диз-
юнктных покрытий позволяет значительно усилить этот
результат.
Определение 11. Будем говорить, что последо-
последовательность рациональных чисел (ПРЧ) у эффективно не
сходится, если осуществимы алгорифмы а\, а2 типа
) такие, что при любом х и i^a,2(x)
(Таким образом, для каждого х можно найти его ра-
рациональную окрестность и номер так, что члены у с но-
номерами, большими данного, не попадают в выбранную
окрестность х.)
*) Вопросы конструктивной теории меры и интеграла Лебега
рассмотрены в работе Ш а и и и а [6] и цикле работ Д е м у т а
[1]—[16].

§ I] СУЩЕСТВОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ 321
Теорема 6*). Можно построить ПРИ у так, что
при любом п
1) o<Y(«Ki(n + i)<i;
2) y эффективно не сходится (и, следовательно, яв-
является шпеке рово й).
Доказательство. Пусть Ф — точное сегментное
дизъюнктное покрытие сегмента 0Д1 (сегмент Ф(п)
обозначается ниже через rnAsn). При каждом п рас-
рассмотрим интервалы, остающиеся после выбрасывания из
0V1 сегментов Ф@), ..., Ф(п), и обозначим через tn
самый левый из концов этих интервалов. Пользуясь ра-
рациональностью покрытия Ф, можно построить алгорифм
Y такой, что
Y («)-'«•
Очевидно, у — ПРЧ, удовлетворяющая утверждению
1) теоремы. Наметим доказательство утверждения 2),
Найдем rtj и nz такие, что
A0) ОеФЦ),
(И) 1е=Ф(п2).
Найдем далее lu h так, чтобы
Пусть х — произвольное КДЧ. Поскольку 0 < sn, <
<r/j!< 1, мы можем указать верный член дизъюнкции
2-1ФЫ1
3
(ср. теорему 21 § 3 гл. 2).
Если х<—д-^-, то при /г>/г, + 1, очевидно,
Y (п) ф х - 2~l> v х + 2"Л.
*) По существу, этот результат содержится в доказательстве
теоремы 4.3 работы Заславского [4].

322 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ itJl. 8
Аналогично, если
то
у{п) <?х-2"/jv
при «^«2+ 1. Остался случай
В этом случае найдем я3, я4 такие, что
Sn» == гп,
И
Имеются три возможности: 1) я3=Яь л^яг; 2) зФ\,
л4 = п2; 3) /г3 =7^= пь п4 =5^= п2 (п3 = /гь п4 = п2 не может
выполняться ввиду дизъюнктности Ф). Пусть, напри-
например, яз ф Ль л4 =5^ «г (первые два случая рассматри-
рассматриваются аналогично). Согласно замечанию 1 п. 2 можно
найти пь и л8 так, что
Тогда
'"я, </¦/»,<¦«< Sn, < Snt.
Обозначим через k такое натуральное число, что
| Ф (л6) | > 2"''.
Тогда при л > max (л3, л4, л5, л6)
чем и заканчивается доказательство теоремы.
Очевидно, построенная только что монотонная ПРЧ
Y обладает «понижающим» алгорифмом б таким, что б
есть алгорифм типа B) т* Ж), и если для всех л
то для всех л
(см. Заславский [4; теорема 4.3]).

$ 21 КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ 323
Вполне аналогично теореме б доказывается следую-
следующее утверждение (которое интересно сравнить с тео-
теоремой 2 § 2 гл. 3 и с теоремой 8 § 2 гл. 4): можно
построить последовательность систем рациональных сег-
сегментов W такую, что: 1) Ч?(п+ 1) = W(n) при любом п;
2) осуществим алгорифм а типа (Ф-+Ж) такой, что
для всякого х и i^a(x) x&*?(i). Таким образом, не-
невозможно КДЧ, принадлежащее всем системам Ч?(п).
(В качестве Ч*" можно взять (в обозначениях доказа-
доказательства теоремы 6) последовательность систем сегмен-
сегментов, получающуюся выбрасыванием из 0V1 сегментов
Ф@), ..., Ф(п) и заменой каждого оставшегося интер-
интервала сегментом с теми же концами.) Этот результат
впервые получен другим методом Заславским [4] (от-
(отметим, что для последовательности у?, построенной мето-
методом Заславского, последовательность суммарных длин
сегментов систем ^?(п) сходится (конструктивно) к 0).
§ 2. Примеры конструктивных функций
с необычными свойствами
1. В этом параграфе через Ф обозначается некоторое
точное сегментное дизъюнктное рациональное покрытие
0Д1, причем концы сегмента Ф(п) обозначаются соот-
соответственно через г„ и sn. Будем считать, что 0еФ@)
и 1еФA).
/
Рис. 16.
Через ф обозначается функция (рис. 16)
т чл/ 2 '
а через Q и Н — такие алгорифмы, что
й(«Ао, х) ^ '*""""'
о — и
Я(п, лс)~О(Ф(л), а;).

324
СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ
[ГЛ. 8
Очевидно, при любых и < v и любом п алгорифмы
QuAv и Я„ являются функциями с графиками, представ-
представленными на рис. 17—18.
Рис. 18.
2. Определение 1. Будем говорить, что последо-
последовательность функций F согласована с покрытием Ф,
если при любых m, n таких, что sm = г„, выполняется
F(m, sm)
г„).
Определение 2. Пусть F — последовательность
функций. Функцию f будем называть склейкой F по
покрытию Ф, если при любом п всюду на Ф(и)
f(x) = F(n,x).
Следующая теорема (Заславский, Цейтин [2])
позволяет «склеивать» некоторые последовательности
функций.
Теорема 1 (теорема о склеивании). Пусть
последовательность функций F согласована с покры-
покрытием Ф. Тогда можно построить склейку F по покры-
покрытию Ф.
Доказательство. Пусть ось осг — характеристиче-
характеристические алгорифмы покрытия Ф. При любом х<=0Д1
Set, (*) = Го, (х).
Обозначим на время доказательства через пх и тх на-
натуральные числа ос1(ф(л:)) и аг(ф(л;)). При любом х
A) Snt = rmx

§2) КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ 325
B) г„х < ф (*)< smx.
Построим такой алгорифм f, что
fix) ^ Рпх(тт(<р(х), Зпх))+Ртх(тйх(у(х), rmx))-Fnx(Snx),
и покажем, что / является искомой функцией. Очевид-
Очевидно, f перерабатывает любое КДЧ в КДЧ. Предположим
теперь, что *еФ((), т. е.
C) /•,<*<$/•
Тогда у(х) — х и
f(x) = Fnx(mm(x, snJ) + Fmjc(max(x, tm$ — Fnx(snx).
Согласно B)
D) rn
"X
Поскольку Ф — дизъюнктное покрытие, то (C) — D))
возможны случаи: а) 1=^пх; б) 1=?тх', в) 5г = г„^;
Г) n = Smx.
В случае а) х^snj==rmx и, следовательно, min(je, Snx)=
= х, max (л:, rmj = /m^. Поэтому
f (x) = F, (x) + Fmx (rmj - Frt< (snx).
Отсюда, поскольку последовательность F согласо-
согласована с Ф и выполняется A), получаем
f(x)-Ft(x).
Аналогично, f(x)—Pi(x) в случае б). Если выполняется
в), то из *^sj и х~^гПх получаем х = st. Следова-
Следовательно,
f (х) = Fnx(s,) + Кх {гтх) - Рпх(вп<) =
Случай г) рассматривается совершенно аналогично.
Таким образом, при любых / и х, если хеФA), то
f(x) — Fi(x). Осталось показать, что f является функ-
функцией. Пусть *=*(/. Тогда ф(-«:) = ф(*/) и ф(лс)еОД1.

326 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ 1ГЛ. 8
Если f(x)>f(y), то по только что доказанному невоз-
невозможно т, при котором ф(А:)еФ(т), что противоречит
принадлежности ср(л;) сегменту 0Д1. Следовательно,
f(x)^f(y). Точно так же получаем f(x)^f(y). Таким
образом, f(x) = f(y). Теорема доказана.
Отметим, что построенная нами склейка f такова,
что f(x) = f(O) при х^О и f(x) = f(\) при *>1. Мы
будем считать, что этим свойством обладают все исполь-
используемые ниже склейки. Сформулируем два частных слу-
случая теоремы о склеивании.
Следствие 1. Пусть F — последовательность функ-
функций такая, что при m^- n Pm совпадает с Рп на
сегментах Ф@), ..., Ф(«). Тогда можно построить
функцию, являющуюся склейкой F по покрытию Ф.
Следствие 2. Пусть F1 — последовательность
функций такая, что fi=0 на сегментах Ф@), ...
.... Ф(п—1) и
F(n, *)=2Я(/, х).
<=0
Тогда осуществима склейка F по покрытию Ф.
Следствие 2 можно также переформулировать в виде
утверждения о сходимости на всей оси ряда
П=0
сумма которого и является склейкой F. При этом на
каждом сегменте Ф(&)
S F1 (п. ф(*)) = 2 Я(п, х).
П=0 П=0
В связи с результатами следующего пункта суще-
существенно иметь в виду, что всякая конструктивная функ-
функция непрерывна (гл. 5 и 9). Впрочем, из доказательства
теоремы 1 можно усмотреть, что если эта теорема при-
применяется к последовательности функций F, для кото-
которой мы располагаем таким алгорифмом S3, что 23„ яв-
является регулятором непрерывности Р,„ то, исходя из S3,
можно построить регулятор непрерывности склейки по-
последовательности г. Поэтому непрерывность строящихся

,2] КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ 327
в этом параграфе функций может быть доказана непо-
непосредственно, без привлечения общей теоремы непре-
непрерывности.
3. Примеры конструктивных функций, даваемые при-
приводимыми ниже теоремами 2—4 и 6, были построены
(несколько другими, чем у нас, методами) Заслав-
Заславским [1]—[2], [4]. Результаты, аналогичные теореме 3
и 6, были получены также Лакомбом [2], [4] и Ш п е-
кером [2] (теорема 6). Успенским [1] была до-
доказана теорема, аналогичная теореме 3, в случае бэров-
ского пространства.
Теорема 2 (пример неограниченной на единичном
сегменте функции). Можно построить функцию fo и по-
последовательность рациональных чисел р таким образом,
что при любом I р(/)е=0Д 1 и fo(P(/)) = /.
Доказательство. Построим последовательность
функций F так, что
F(n, x) = n- Н(п, х).
Очевидно,
)
Искомую функцию /о строим как склейку последова-
последовательности F. ПРЧ р определяем посредством
Определение 3. Будем говорить, что функция f
эффективно не равномерно непрерывна на сегменте
хАу (х<у), если осуществимы ПРЧ Pi, p2 и рацио-
рациональное е > 0 такие, что для любого п
Р, (п), р2(п) е х А у, | р, (п) - р2(п) | < 2""
Неограниченная функция, построенная согласно пре-
предыдущей теореме, не может быть, очевидно, равномерно
непрерывной на 0А1 (равномерно непрерывные функ-
функции ограничены). Более того, нетрудно показать (ср.
доказательство теоремы 3), что эта функция эффектив-
эффективно не равномерно непрерывна на О Д 1. Этот результат
усиливается следующей теоремой.

328
СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ
[ГЛ. 8
Теорема 3 (пример ограниченной эффективно не
равномерно непрерывной функции). Можно построить
функцию fi такую, что
1) 0 ^ fi (х) <; 1 при любом х;
2) осуществимы ПРЧ рь р2 такие, что при любом п
Pi (я).
Р,(л)-р2(л)|<2-
Доказательство. Построим последовательность
сегментов W так, что при любом п
?(л)еФ (л),
и
I V(л) |< 2"".
Рассмотрим последовательность функций F такую,
что
F(n,x)~ О (?(«),*).
В качестве /i можно, очевидно, взять склейку F по
покрытию Ф.
Замечание 1. Нетрудно показать, что последова-
последовательность длин сегментов покрытия Ф сходится к 0. По-
Поэтому в качестве f\ мы могли бы также взять склейку
последовательности Н.
Замечание 2. Если покрытие Ф таково, что ряд
сходится к 1, то f\ интегрируема по Риману на ОД 1.
Теорема 4 (пример ограниченной функции, не
имеющей на 0Л1 точной верхней грани). Можно по-
построить функцию f2 такую, что всюду на 0 Д1 0 ^
^Ы*)<1 и невозможно КДЧ, являющееся точной
верхней гранью f2 на 0 А I *).
Доказательство. Пусть у — шпекерова ПРЧ,
причем
*) В связи с этой теоремой заметим, что М н х а л н н ц е м [5]
построен пример бесконечно дифференцируемой немонотонной
функции, не имеющей локальных экстремумов.

§ 2] КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ 329
Функцию /2 строим как склейку последовательно-
последовательности F:
F(n,x)~y(n)-H(n,x).
Очевидно, на каждом сегменте Ф(л)
откуда при любом #еОД 1 получаем 0;?Г/2(.*)< 1.
Далее при каждом п
Если бы существовало КДЧ, являющееся точной
верхней гранью /г на О Л 1, то у сходилась бы к этому
КДЧ, что невозможно.
Совершенно аналогично можно построить функцию,
не имеющую на О Л 1 ни точной верхней, ни точной ниж-
нижней грани. Заметим также, что если в качестве у взять
шпекерову ПРЧ, допускающую понижающий алгорифм
(см. § 1), то для /г можно построить алгорифм, пере-
перерабатывающий всякую верхнюю грань fa на 0Д1 в
меньшую верхнюю грань.
Теорема 5 (пример ограниченной функции, имею-
имеющей точную верхнюю грань, но не достигающей ее).
Можно построить функцию /з так, что всюду на О Д 1
0=?^/з(*)<1 « осуществима последовательность (J ра-
рациональных чисел из О Д 1 такая, что f3(P(«)) = 1 —2-".
(Таким образом, 1 является точной верхней гранью f3
на 0Д1.)
Доказательство. В качестве f$ можно взять
склейку последовательности F такой, что
F(n,x) = (l-2-n)-H(n, x).
Функция f3. как легко проверить, не равномерно не-
непрерывна на ОД 1. Ценою некоторого усложнения дока-
доказательства теорему 5 можно доказать в классе равно-
равномерно непрерывных функций.
Теорема 6 (пример равномерно непрерывной
функции, не достигающей на О Д 1 своей точной верх-
верхней грани). Можно построить функцию /4 так, что
\) f4 равномерно непрерывна на О Д 1;
2) 0</4(*)< 1 на ОД 1;

330
СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ
[ГЛ. 8
3) осуществима ПРИ р такая, что при любом п
Р(я)е0Д1
Доказательство. Воспользуемся изящной кон
струкцией Л а к о м б а [4]. Пусть Ч
ченное рациональное интервальное
У
есть -^-ограни-
-^-огранипокрытие 0Д1.
Рис. 19.
Обозначим через ап, Ьп концы интервала W(n) и рас-
рассмотрим последовательность функций F такую, что
(рис. 19)
F(n,x)=\-Q(anAbn,x).
Очевидно,
и при х е Ч* (я)
F) F(n, х)<1.
Рассмотрим функциональный ряд
со
2j2. ¦ t{{X).
В силу E) этот ряд равномерно сходится, и, следо-
следовательно, можно построить равномерно непрерывную
функцию /4. являющуюся его суммой.
Функция fi искомая. Действительно, поскольку каж-
каждый л; из ОД 1 принадлежит некоторому интервалуW(/),

$2] КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ 331
то (E)-F)) на 0Д1
0<М*)<1.
Далее при каждом п можно найти (последователь-
(последовательность W у -ограничена!) рациональное число tn так, что
для i ^ п
Тогда
U (U > 2 2"'-1 = 1 - г"" > 1 - 2~п,
что и требуется.
В связи с доказанной теоремой интересно вернуться
к результатам Лакомба, упомянутым в п. 3 § 2 гл. 5
(см. также Лифшиц [4]). Эти результаты проясняют
характер «патологии» функции /4, показывая, что f4
(точнее, продолжающий ее оператор над псевдочисла-
псевдочислами — см. п. 3 § 2 гл. 5) достигает своей верхней грани
на непустом замкнутом множестве псевдочисел, не
имеющем изолированных точек.
Нетрудно убедиться, что неравномерно непрерывная
функция /ь построенная в доказательстве теоремы 3,
локально равномерно непрерывна, т. е. для каждого х
можно указать некоторую его окрестность, в которой Д
равномерно непрерывна. Пример ограниченной функ-
функции, не обладающей этим свойством, дается следующей
теоремой (Заславский, Цейтин [2]), доказатель-
доказательство которой мы опускаем.
Теорема 7. Можно построить функцию fs так, что
1) на всей оси 0 <; /5(х) ^ 1;
2) /5 эффективно неравномерно непрерывна на лю-
любом невырожденном сегменте, включенном в 0А1.
В работе автора [3] показано, что функция, удовлет-
удовлетворяющая теореме 7, может быть интегрирумой по Ри-
ману на 0А1. Отметим также, что если предыдущие
теоремы сохраняются для класса бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций*), то функция из теоремы 7 не
*) Вообще говоря, свойства гладкости не очень приближают
конструктивные функции к классическим непрерывным функциям.
В работе автора [2] построен пример неограниченной, непрерывной
в замкнутом единичном круге, аналитической внутри него конструк-

Й32 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
может быть дифференцируемой на О Д 1 (легко видеть,
что дифференцируемая на QA1 функция локально рав-
равномерно непрерывна на ОД 1).
4. Использование сингулярных покрытий позволяет
получить примеры неинтегрируемых функций. Ниже, до
конца главы, мы будем предполагать покрытие Ф сингу-
сингулярным, для определенности, -^-ограниченным.
Определение 4. Будем говорить, что колебание
функции f на сегменте хАу не меньше е, если можно
указать КДЧ ги г2 из к А у такие, что
Определение 5. Будем говорить, что функцияf
эффективно неинтегрируема по Риману на О Д 1, если
существует натуральное число k и последовательности
W, W2 интегральных сумм f на О Д 1 такие, что при
любом п
я (IF1 (я)), n{W2(n))<2-n
и
\l(W1(n))-i(W2(n))\>2-k*).
Лемма 1 (Кушнер [9]). Пусть / — функция, k —
натуральное число такие, что колебание f на любом
сегменте Ф(я) не меньше, чем 2~h. Тогда f эффективно
неинтегрируема по Риману на О Д 1.
Доказательство. Можно построить алгорифм у,
перерабатывающий всякое рациональное г из 0Д1 в
натуральное число так, что
геф(?(г)).
тивной функции комплексной переменной. Далее, А. А. Марков ука-
указал построение аналитической и неограниченной на 0А1 конструк-
конструктивной функции (действительной переменной). Естественным завер-
завершением этих результатов является недавно найденный Лифши-
цем [5] пример конструктивной функции (комплексной переменной),
аналитической на всей плоскости и неограниченной на 0Д1. (Ана-
(Аналитичность трактуется здесь как возможность для каждой точки
указать некоторую ее окрестность и степенной ряд, в который раз-
разлагается данная функция в этой окрестности.)
*) См. § I гл. 7.

§ 2] КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ 333
Построим алгорифм Е, перерабатывающий всякое п
в дробление 0Л1, образованное рациональными чис-
числами
гу (к .2-"-') т 2" ''
где 0^6^ 2»+1, 0 < / ^ 2". (Сегмент О А 1 разби-
разбивается на 2n+1 равных частей, затем для каждой точки
k- 2~п~1 находится содержащий ее сегмент покрытия Ф,
этот сегмент разбивается на 2П равных частей. Полу-
Получившиеся точки и образуют нужное нам дробление.)
Обозначим для краткости
Е (я) =?= tn, о *....* tn. tn
и построим алгорифм Е1 такой, что при 0^.i^ln — I
О, если сегмент tn< t Д tn, t+l входит
в некоторый сегмент ф(у(& • 2~"~'))
@<*<2-П
1 в противном случае.
Нетрудно убедиться, что
G) л(Е(п))<2-п;
(8) если ?'(«. О =5= 1, то сегмент Ф (у (*"''+2'"'<+1))
включен в сегмент /„. г Atn,i+l.
Действительно, если Е1 (п, /) =f 0, то /„, г A tn< г+1 вхо-
входит в некоторый сегмент ф(у(/1 • 2~"~'))- Тогда
*п, г+1—ln,i 2й "^ *
Если же ?'("> 0^1, то интервал /„, { v ^л, t+i не со-
содержит ни одной точки вида k • 2~п~1 @<6<2"+1).
Следовательно, опять
Свойство G) доказано.

334 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
Пусть El(n, /)=f1. Тогда по построению Е можно
найти /ь /г так, что
Поэтому, ввиду дизъюнктности Ф, сегмент
ф( v( "'' 2"''+')) включен в 'п,(А/„,,+„ что и утвер-
утверждается в (8).
Построим алгорифмы Yi> Y2 так, чтобы при любом п
и
(9)
Обозначим на время доказательства
ъ(у('я-'+2'*ш)) через pn,it
Ввиду (8) - (9)
A0)
и, если Е1 (п, i)=r 1, то
(И) Pn,u<ln.i^tnA/±tn,l+{.
Ввиду A1) можно построить последовательности ин-
интегральных сумм W1, W2 функции / на 0 Л 1 так, что
D {W1 («)) «р D {W2 (л)) ч= Е (л)
и при 0</</„— 1*)
( /„ и если ?' (п, i) -=* 0,
; I р„,,, если Ех(п, «)=f 1;
*} Определения алгорифмов ?) и Их приведены в § 1 гл. 7,

§ 2] КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ 335
Обозначим через sn сумму длин всех различных сег-
сегментов вида O(y{k-2~n~1)) @<&<2ra+I). (Некоторые
из этих сегментов могут совпадать!). Тогда по построе-
построению Е и Е1
2 (,0 («./+,».*) »
Следовательно (A0)),
(я)) - 8 (Г* (я)) = 2 F (я. 0 • (/ (Р*. /) -
- /(qn. i)) ¦ (in. i+i-tn,l)>2-k-(l- sn).
Так как sn < -5- (покрытие Ф -^-ограниченное], то
Кроме того, ввиду G),
я (Г1 (я)), n(W2(n))<2-n.
Лемма доказана.
Теорема 8 (Кушнер [9]). Можно построить
функцию /б такую, что
1) на всей оси 0г^/6(х)<; 1;
2) /в эффективно неинтегрируема по Риману на 0Д1.
Доказательство. В качестве /в можно взять
склейку последовательности Н.
Предоставляем читателю показать, что функция /6
имеет первообразную на 0 Л 1. На основе первообраз-
первообразной можно следующим образом ввести понятие инте-
интеграла и интегрируемости: 1) функция интегрируема на
0 Д1 тогда и только тогда, когда она имеет первооб-
первообразную на 0Д1; 2) КДЧ z является интегралом / на
0 Д 1 тогда и только тогда, когда существует первооб-
первообразная g функции / такая, что 2 = g(l) — g@) *).
*) Некоторые свойства и способы построения первообразных
(обеспечивающие, в частности, построение первообразной для f6)
изложены в работе автора [6]. Там же приведены примеры ограни-
ограниченных функций / и g, имеющих первообразные на 0 Д 1 и таких,
что /2 и \§\ не имеют первообразны*.

336 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
В силу только что сказанного и теоремы 8, это понятие
интегрируемости шире, чем интегрируемость по Риману.
В связи с теоремой 8 и сделанными после нее за-
замечаниями возникает вопрос о возможности введения
понятия интеграла, при котором оказались бы интегри-
интегрируемыми все ограниченные (непрерывные) функции. От-
Ответ на этот вопрос при некоторых естественных огра-
ограничениях на понятие интеграла (определение 7) отри-
отрицателен. Более того, можно построить функцию, не-
интегрируемую сразу для всех таких определений
интеграла (теорема 10; этот результат принадлежит 3 а-
славскому и Цейтину [2]).
Определение 6. Пусть функция f полигональна
на 0Л 1 и х0* ... *хп (хо = О,хп = 1)—ее определяю-
определяющее дробление. Будем говорить, что КДЧ z является
полигональным интегралом f на ОД 1, если
i=0
В § 3 гл. 7 (следствие 4) показано, что всякий по
лигональный интеграл f является интегралом Римана f.
Определение 7 (Заславский, Цейтин [2]),
Двухместное отношение I назовем обобщенным интегра-
интегралом на 0 Л 1, если для любых функций f, g и КДЧ ги
г2 выполняется
1) (монотонность) если f(x)^O на 0Д1 и I(f,z\),
то Z\ ^ 0;
2) (аддитивность) если I(f,Z\) и I(g,z2), то
f-g), zi-z2);
3) (перманентность) если f полигональна на 0 Л 1 и
Z\ — полигональный интеграл f, то выполняется I(f, z{)*).
Из результатов гл. 7 (теоремы 8, 10—11 § 1 и след-
следствие 4 § 3) следует, что двухместное отношение «КДЧ
z является интегралом Римана функции f на 0Л 1»есть
обобщенный интеграл. То же самое можно сказать и об
упоминавшемся выше определении интеграла, основан-
основанном на понятии первообразной.
*) Уточнение этого определения требует описания средств,
с помощью которых формулируется отношение /, т. е. фиксации не-
некоторого логико-математического языка. Мы предпочитаем не
углубляться в этот вопрос,

§2]
КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ
337
Отметим сразу два простых следствия свойств 1)—3)
обобщенного интеграла.
Теорема 9. Пусть I — обобщенный интеграл, f и
g —функции, zu Zz — КДЧ. Тогда
1) если } = g на ОД 1 и I(f,Zi), I(g,z2), то zi = z2;
2) если I(f,Zl), I(g,z2), то I({j-{O-g}}, Zl-
-@-г2))*).
Доказательство. Поскольку из f = g следует,
что {/ — g) ^ 0 и {g — /} is* 0 на 0Д1, то согласно
1)—2) определения 6 получаем Z\ — z2^Q и z2 — г^О,
откуда 2i = z2.
Далее функция {0} (равная тождественно 0 на ОД 1),
очевидно, полигональна. Поэтому 0 является ее /-ин-
/-интегралом и, следовательно, выполняется /({0 — g),
0 — z2), откуда вытекает
./О — сг\\ z,—(O— У
Теорема 10. Можно
построить ограниченную
неотрицательную функ-
функцию f7 так, что, каков бы
ни был обобщенный ин-
интеграл I, невозможно
КДЧ г, при котором вы-
выполняется I(ji,z) (т. е. f7
неинтегрируема относи-
относительно I).
Доказательство. Пусть y — эффективно не
сходящаяся шпекерова последовательность рациональ-
рациональных чисел такая, что
Рис. 20.
A2)
0<Y(«)<Y(n+0<l
(см. определение 12 и теорему 6 § 1).
Построим алгорифм F1 так, чтобы (рис. 20)
•) Очевидно, {/-{0 — ?}} = {/ + ?}. г,- @-г2)= г, + г2.
Эта громоздкая форма записи объясняется тем, что в определении
обобщенного интеграла не требуется его инвариантность относи-
относительно равенства функций и КДЧ.

338 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
(Напомним, что Ф — -^-ограниченное покрытие 0А1,
причем Ф(п)== rnA sn.)
Обозначим через а„ А Ьп сегмент гп — 2~п~* A sn +
_|_ 2-п-4, Нетрудно проверить, что при любом п алгорифм
Рп является полигональной на О А 1 функцией, причем
эта функция линейна на сегментах гп — 2~п~4Агп,
sn A sn + 2~п, равна 1 на сегменте Ф(л) и обращается
в 0 вне сегмента ап А Ьп.
Построим алгорифм F2 так, чтобы
=1-min
Легко видеть, что Р\— полигональная функция (опре-
(определяющие дробления и угловые коэффициенты функции
Р\ рациональны!), причем
A3) на всей оси 0<Я(*)<1;
A4) Р2п обращается в 0 на сегментах Ф@), ..., Ф(п);
A5) если х не принадлежит ни одному из сегментов
atAbi @</<«), то F2n(x) = \.
Построим алгорифм G1, перерабатывающий всякое п
в КДЧ, являющееся полигональным интегралом Рп на
О Л 1 (для чего предварительно нужно построить алго-
алгорифм, перерабатывающий всякое п в определяющее
дробление Р2п).
Ввиду A3), A5) и оценки
п п п
-S-3 1.1 3
ak A bk | = 5] I Ф(к) | + ]g 2
получаем, что

§ 2] КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ 339
Рассмотрим алгорифм F3 такой, что
При любом п Р3п является полигональной функцией,
причем (A2) —A6))
A7) на всей оси 0 < Р\ (лг)< 4 • у @) и при п >0
A8) Р3п обращается в 0 на сегментах Ф@), ..., Ф(п);
A9) y@) является полигональным интегралом F%
на 0 А 1;
B0) при я>0 у{п)— у{п— 1) является полигональ-
полигональным интегралом Р3п на 0 А 1.
Построим алгорифм F так, что
B1) /Чп,л:)=?я(/,*).
1=0
Ввиду A8), B1) и следствия 2 можно построить
склейку ^ последовательности F по покрытию Ф. По-
Покажем, что ^7 — искомая функция.
Прежде всего, на каждом сегменте Ф(«)
B2) f7(x) = F(n, *) = .? Я (/,*).
Поэтому (A7)) на любом сегменте Ф(и)
(х) < 4 • у @) + g 4 • (Y @ - Y (i - 0) = 4 ¦ у («)•
Следовательно, на всей оси
0</7(*)<4,
т. е. fj — неотрицательная и ограниченная функция.
Далее для любого х из 0 Д 1 можно найти nlt n2 так,
что sni = rn, и rni^x^sna. Тогда F3(l,x) = 0 при

340 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
/ ^ max(rti, n2) и, следовательно,
max (П|, ni I
t7 (х) = 2 f» а, х)=2 я> (/| Х)=Р (/i х).
Поэтому при любом а: из 0 А 1
B3) f7(x) является пределом ПДЧ Рп(х).
Пусть / — произвольный обобщенный интеграл.
Предположим, что существует КДЧ г такое, что
B4) I(fT,z).
Ввиду A7) и B4) при любом х и п
B5) F(n,x)*?f7(x).
Далее (A9)—B1)), очевидно, у(п) является поли-
полигональным интегралом Fn на 0Д1 и поэтому выпол-
выполняется
B6) Г(Ря,у(п)).
Из B4)—B6) (пользуясь монотонностью и аддитив-
аддитивностью /) получаем при любом п
У(п)<г.
Поскольку y эффективно не сходится, можно найти
натуральное число N так, что всегда
B7)
Предположим теперь, что существует /о такое, что
при любых A>!оит
B8) у(т + п)-у(п)<2-"-*.
Тогда при любом k (B7), B8))
U+k+l
2 F*(i.x)
2 y(O-yC-i)
<4
Следовательно, при любом k

§ 3] ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ АЛГОРИФМОВ 341
Отсюда согласно B3) получаем
B9) !7(х) ы1
Но тогда по свойствам перманентности и аддитивности
интеграла / и B4), B6), B9)
что противоречит B7).
Следовательно, из предположения об интегрируемо-
интегрируемости /7 вытекает, что
1 Э/Vmrt (л > / гэ (v (m + n) - у («)< 2""-3)).
Это, однако, невозможно из-за ограниченности последо-
последовательности y (ср- доказательство.теоремы 4 § 3 гл. 3).
Следствие 3. Функция f7 неинтегрируема по Ри-
ману на ОД 1.
Следствие 4. Функция f7 не является равномерно
непрерывной на О Д 1.
Следствие 5. Функция /7 не имеет первообразной
на ОД 1.
В связи со следствиями 3—5 интересно заметить, что
fi не является ни эффективно неравномерно непрерыв-
непрерывной, ни эффективно неинтегрируемой по Риману функ-
функцией (это можно усмотреть из оценок B5) и B9)).
В работе Заславского и Цейтина [2] можно
найти ряд других интересных примеров конструктивных
функций с необычными свойствами.
§ 3. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных
с интегрированием
Материал этого параграфа заимствован в основном
из работы автора [9]. Через Ф мы по-прежнему обозна-
обозначаем некоторое точное сегментное дизъюнктное рацио-
рациональное у-ограниченное покрытие 0Д1, при этом
концы сегмента Ф(п) обозначаются посредством rn, sn.
Мы сохраняем также обозначение функции <р, приведен-
приведенное в начале § 2.
1. Определение 1. Пусть f —функция, F —по-
—последовательность функций. Будем говорить, что алго-
алгорифм y моделирует алгорифм 3) посредством F и f

342 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ ГГЛ. 8
(запись Md (/, F, 5), у)), если при любом слове Р^Ч0
выполняются условия
1) алгорифм уР — функция;
2) если П!5)(Р), то уР совпадает с f на ОД 1;
3) если 15) (Р) и Ф заканчивает работу над Р точно
за k шагов, то уР совпадает на О Л 1 с функцией Д.
Следующая лемма является, по существу, некоторым
вариантом теоремы о склеивании.
Лемма 1. Пусть функция f и последовательность
функций F таковы, что при любых п и k ^п всюду на
Тогда для любого алгорифма 5) можно построить ал-
алгорифм у так, что выполняется Md (/, F, 5), у).
Доказательство. Обозначим через щ, а2 харак-
характеристические алгорифмы покрытия^Ф (определение 2 § 1)
и рассмотрим алгорифмы alt a2, a такие, что
a (x) ~ max (a, (*), a2 (x)).
По данному алгорифму 5) построим алгорифм V так,
что при любом Р eVj
Искомый алгорифм у строим так, чтобы
). если [5>](Р, <*(*))=? Л,
; - {х)) _
Очевидно, у перерабатывает всякое слово Р, х в КДЧ.
Пусть ~) !5) (Р). Тогда при любом х
Следовательно,
y(P,x)~f(<f>(x))
и всюду на О Л 1
y(P,x) = f(x).

ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ АЛГОРИФМОВ
343
Пусть !35(Л). Тогда W(Р) и Ф заканчивает работу
над Р точно за V(P) шагов. Если а(х)< V(P), то
[©](Л, о(*))=? Л,
и так как а, (*), а2(*)^а(.к) и
то
В случае, когда а (х) ^ V (Л),
у(Л, *)~Р(У(Л),
Таким образом, при всяком х
что при хеОД 1 дает
y(P,x) = F(V(P),x).
Осталось показать, что при любом Л уР является
функцией. Пусть Jt = i/ и
у(Р,х)>у(Р,у).
Тогда из доказанного выше получаем, что одновре-
одновременно выполняется ~] ~] !Ф (Л) и П!33(Л), что невоз-
невозможно. Следовательно,
Аналогично,
у(Р,х)>у(Р,у).
Следовательно,
у(Р,х) = у(Р,у),
что и требовалось. Заметим, что при любом Л $Р (л:) =
= Yp@) ПРИ л;<0 и ^p(*) = Yp(O ПРИ *>1-
Нам понадобятся некоторые вспомогательные по-
построения.
Построим последовательность D положительных ра-
рациональных дроблений сегмента О Л 1 такую, что
и рациональные числа ru st @^/^n) входят в D(n).
(Алгорифм п введен в § 1 гл. 7.) '

344 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
Обозначим
D{n)=?tn, о* ...*tn, kn
(где 0 =f tn< о < /л, 1 < . • • < /п. *„ = 1 и все /„, < — рацио-
рациональные числа).
Построим алгорифм Dy так, что при любом п и
*1
10, если сегмент tnti At„, г+1 входит в ка-
какой-нибудь из сегментов Ф@), .... Ф(п);.
1 в противном случае.
Пусть Q — тот же самый алгорифм, что и в § 2
(см. рис. 17).
Обозначим через $ алгорифм в алфавите Ча со сле-
следующим свойством: невозможен алгорифм % над Чо та-
такой, что при любом PgVo
Теорема 1. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой полигональной, ограниченной
числом 1 функции f такой, что
1
O-Jf,
в натуральное число, являющееся О-индикатором инте-
интегрируемости этой функции на О Д 1 (см. определение 1
§3гл. 7).
Доказательство. Обозначим на время доказа-
доказательства
/»,, А'"''+/"'"" чеРез а».ь
tn. t + tn. l+i д tn { через ^ u
*«,;+'lt-'+I4~'lt-' через

§ 3) ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ АЛГОРИФМОВ 345
Построим алгорифм F так, что
A) F (л, х)= 2 А («, 0 • (&„,, (х) - Qftn t (x)).
I—О
Очевидно, 7*1 является последовательностью функций,
причем на каждом сегменте tn, t A tn, t+i
B) Ря(х) = ?>, (л, i) • (Qan ,(x) - Qv l (x)).
Следовательно,
^«(сп>г)=1,
Из A) — B) получаем, что Рп — полигональная функ-
функция, ограниченная числом 1 и обращающаяся в 0 на сег-
сегментах Ф@) Ф(п). При этом, очевидно,
0-/Ч.
о
Пусть / — функция, тождественно равная 0 на всей
оси. Применяя к f, F и § лемму 1, получаем алгорифм
у такой, что выполняется
D) Md(/, F, О, y).
Предположим теперь, что алгорифм, невозможность
которого утверждается теоремой, построен. Обозначим
этот алгорифм через а. Построим далее алгорифм О\ та-
такой, что
E) a,(P)-a(EYp3)-
Пусть алгорифм о2 таков, что для любого Р в Чо
F) \о2(Р)^РфА.
Построим алгорифмы % так, чтобы для любого слова
Р в Чо выполнялось
G)
и покажем, что
(8)
Действительно, если П!ф(Р), то при любом п

346 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ 1ГЛ. 8
Далее согласно D) всюду на О Д 1
М*)=/(*)=о.
Поэтому !ai(P) и а\(Р)—натуральное число. Следова-
Следовательно,
и (F)) выполняется !ЗД(Р).
Пусть теперь !Щ(Р). Предположим, что \$(Р), и
обозначим через k число шагов, затрачиваемое алгориф-
алгорифмом ф на слово Р. Согласно D) всюду на О Л 1
и, следовательно, уР является полигональной, ограничен-
ограниченной числом 1 функцией с /^-интегралом, равным 0. По-
Поэтому (E)) loi(P) и Oi{P) — О-индикатор интегрируе-
интегрируемости Ph на 0 Л 1. Необходимо
(9) k > a, (P),
так как в противном случае
и, следовательно (F)), 11% (Р), что противоречит усло-
условию.
Построим интегральные суммы S\, S2 функции Ph на
0 Л 1 такие, что
D{k), cn,o*cn,i* ... *cn,kn-i,
S2 =^8/3. D(k), dn,o*dn,i* ... *dn,kn-\.
Ввиду (З) и -2-°гРаниченн0СТИ покрытия Ф получаем*)
2
A0) 5 (S2) - J (S.) = 2 . ^1 - S | Ф @
Вместе с тем, поскольку aj (P) — О-индикатор интегри-
интегрируемости Fk на 0 Д 1 и выполняется (9), должно быть
*) Алгорифм | введен в § 1 гл. 7.

5 Я] ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ АЛГОРИФМОВ 347
что противоречит A0). Следовательно, из Ш(Я) следует
П!ф(Я) и эквивалентность (8) доказана.
Однако алгорифм %, удовлетворяющий (8), невоз-
невозможен. Теорема доказана.
Заметим, что полученная нами оценка A0) связана
с выбором Y"orPaHH4eHHoro покрытия Ф. Выбирая
е-ограниченное покрытие при достаточно малом е, мож-
можно показать, что вместо 1 (см. определение 0-индика-
тора) в теореме 1 могло бы фигурировать любое поло-
положительное КДЧ, меньшее двух.
Отметим два очевидных следствия теоремы 1.
Следствие 1. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой ограниченной числом 1, полиго-
полигональной на 0 Д 1 функции такой, что 0 является ее
R-интегралом на 0Л 1, в запись регулятора интегрируе-
интегрируемости этой функции на 0 Л 1.
Следствие 2. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой интегрируемой по Риману на
0 Л 1 функции в запись регулятора интегрируемости этой
функции на ОД 1.
Теперь мы рассмотрим задачу вычисления с некото-
некоторой наперед фиксированной точностью интеграла про-
произвольной интегрируемой функции по значениям самой
функции (располагая записью данной функции, мы мо-
можем вычислять любые ее значения). Невозможность эф-
эффективного решения этой задачи уже в классе полиго-
полигональных, наперед ограниченных функций утверждается
следующей теоремой.
Теорема 2. Невозможен алгорифм а, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой неотрицательной, ограниченной
числом 1, полигональной на ОД 1 функции f в КДЧ та-
такое, что для любого z, если z = \ f, то | z — а (?f 3) I <
о
<¦ — *)
^ 16 '•
*) Вместо -иг в этой теореме могло бы фигурировать любое
КДЧ, меньшее у (ср. с замечанием, сделанным после доказа-
доказательства теоремы 1),

348 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
Доказательство. Обозначим на время доказа-
доказательства сегмент tn> t A tn> i+! через а„, {. Построим алго-
алгорифм F так, чтобы при любых п и х
*„_!
F(n,x)= 2 O,(«,/)'Q(onil-4
Нетрудно проверить, что
A1) F является последовательностью функций, при-
причем каждая функция Рп полигональна и обра-
обращается в 0 на сегментах Ф@) Ф(я),
A2) при любом п
n
\ (=0 I 0
1
и, следовательно, если г = J Fn, то
о
A3) функция fn неотрицательна и ограничена едини-
единицей.
Пользуясь леммой 1, построим для F, функции f,
тождественно равной 0, и алгорифма ф такой алго-
алгорифм у. что имеет место
A4)
Предположим теперь, что алгорифм а, невозмож-
невозможность которого утверждается теоремой, построен. По-
Построим алгорифм ai так, чтобы для любого слова Р в Чо
A5) or,(P)^
Нетрудно далее (используя, например, алгорифм Рз)
построить алгорифм а2, применимый к любому КДЧ и
такой, что
A6) если о2{х)=г Л, то Ж-^
l
16
A7) если о2(х)ФЛ, то x>-hr.

§ 31 ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ АЛГОРИФМОВ 349
Пусть <т3 — алгорифм, удовлетворяющий для любого
слова Р в Чо условию
A?) !а3(/>)-/>"? Л.
Построим алгорифм 31 так, чтобы
A9) ОД ~<хз(<х2 (а, (/>))),
и докажем, что
B0) !ЗЦ/>)=О !?(/>).
Пусть ~\\$(Р). Тогда (A4)) всюду на ОД 1
B1) yP(x) = f(x) = O.
Следовательно,
B2) 0=
о
Ввиду A5), B1)-B2) !<т,(Р) и а^-КДЧ, причем
Следовательно (A6) —A7)),
и (A8))
Пусть теперь Ш(Р). Предположим, что !ф(Р) и ф
заканчивает работу над Р точно за А шагов. Тогда
всюду на 0 Д 1
и поэтому (A1) —A3)) \OiiP), причем, ввиду A2),
ai(p)>j~l6=l&'
Следовательно (A6) —A7)),
и ~1 Ш (Р), что противоречит условию. Следовательно,
из Ш(Р) следует ~)!ф(Р) и эквивалентность B0) пол-
полностью доказана. Алгорифм 51, удовлетворяющий B0),
однако, невозможен. Теорема доказана.

350 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
Эту теорему интересно сопоставить с теоремой 1 § 1
гл. 7, показывающей, что интеграл любой интегрируемой
функции можно сколь угодно точно эффективно вычис-
вычислять, используя в качестве исходных данных интеграль-
интегральные шифры функций, т. е. включая в число исходных
данных, кроме самой функции, ее регулятор интегрируе-
интегрируемости.
Следствие 3. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой полигональной на 0 Л 1 ограни-
ограниченной числом 1 функции в КДЧ, являющееся интегра-
интегралом Римана этой функции на 0 А 1.
Следствие 4. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой R-интегрируемой на 0 А 1 ограни-
ограниченной числом 1 функции в КДЧ, являющееся интегра-
интегралом Римана этой функции на ОД 1.
Поскольку всякий полигональный интеграл (опреде-
(определение 6 § 2) является интегралом Римана, получаем
Следствие 5. Невозможен алгорифм, перерабаты-
перерабатывающий запись всякой полигональной на 0 А 1 функции
в определяющее дробление этой функции (см. определе-
определение 6 § 1 гл. 5).
Кроме того, из каждой из теорем 1—2 вытекает тео-
теорема И. Д. Заславского о невозможности алгорифма, пе-
перерабатывающего запись всякой равномерно непрерыв-
непрерывной на 0 А 1 функции в запись регулятора равномерной
непрерывности этой функции (Заславский [4; тео-
теорема 5.6]).
2. Остановимся теперь на вопросе распознавания ин-
интегрируемости функций.
Теорема 3. Невозможен алгорифм, применимый
к записи функции тогда и только тогда, когда эта функ-
функция интегрируема по Риману на 0 А 1.
Теорема 4. Невозможен алгорифм, применимый к
записи функции тогда и только тогда, когда эта функция
неинтегрируема по Риману на 0 А 1.
Разумеется, эти теоремы остаются в силе для лю-
любого сегмента положительной длины. В приводимых
ниже доказательствах теорем 3—4 через /б обозначается
неинтегрируемая по Риману функция, построенная в до-
доказательстве теоремы 8 § 2. Функция f6 является склей-
склейкой последовательности Н (стр. 323).

§ 3] ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ АЛГОРИФМОВ 351
Доказательство теоремы 3. Строим алго-
алгорифм F так, чтобы
F(n,x)=f6(x)-%H(i, х).
Очевидно, при любом п алгорифм Рп является функ-
функцией, обращающейся в нуль на сегментах Ф@), ...
..., Ф(п). Кроме того, Рп неинтегрируема по Риману
на О Д 1 (поскольку /6 неинтегрируема, а все Ri интегри-
интегрируемы на ОД 1).
Пусть f — функция, тождественно равная нулю. По-
Построим по лемме 1 алгорифм у так, что выполняется
Md(/, f,?,y)-
Пусть алгорифм, невозможность которого утвер-
утверждается, построен. Обозначим его через U и построим
алгорифм О так, что
Тогда, очевидно,
что невозможно.
Доказательство теоремы 4. Построим алго-
алгорифм F так, чтобы
(,)()
При всяком п, /<п и хеФ(/)
F(n,x) = H(i,x) = f6(x).
Следовательно, можно построить алгорифм у так, что
Пусть алгорифм, невозможность которого утвер-
утверждается теоремой, построен и обозначен через U, По-
Построим алгорифм О так, что
Тогда
что невозможно.

352 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8
Следствие 6. Невозможен алгорифм, применимый
к записи всякой функции и перерабатывающий запись
всякой R-интегрируемой на О Л 1 функции в 0, а не ин-
интегрируемой в 1.
Следствие 7. Множество интегрируемых (неинте-
грируемых) по Риману «а О Л 1 функций не является
перечислимым *).
Результаты этого параграфа могут быть доказаны
в классе бесконечно дифференцируемых функций. Отме-
Отметим также, что, поскольку согласно свойству перманент-
перманентности и утверждению 1) теоремы 9 § 2, на классе по-
полигональных функций любой обобщенный интеграл сов-
совпадает с интегралом Римана, теорема 2 и следствия 3—4
могут быть переформулированы для любого обобщен-
обобщенного интеграла. То же самое можно сказать и о теоре-
теоремах 3—4 и следствиях 6—7 (в доказательствах которых
вместо неинтегрируемой по Риману функции fe нужно
будет использовать неинтегрируемую относительно лю-
любого обобщенного интеграла функцию, построенную со-
согласно теореме 10 § 2).
*) Под множествами функций понимаются множества записей
функций. Следствие 7 нетрудно усилить: оба фигурирующих в нем
множества продуктивны.

ГЛАВА 9
КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
Основной целью данной главы является доказатель-
доказательство теорем непрерывности. Использование понятия кон-
конструктивного метрического пространства позволяет при-
придать естественную общность как' этим теоремам, так и
ряду результатов о конструктивных действительных чис-
числах и функциях, полученных в предыдущих главах. Имея
в виду сформулированную только что цель, мы уделяем
сравнительно мало места «пересказу» традиционной тео-
теории метрических пространств. На содержание этой главы
сильное влияние оказали две выдающиеся работы: Цей-
тин [5] (см. также более ранние публикации Цейтина
[3]—[4]) и Московакис [1]. При этом схема получения
теорем непрерывности заимствована нами в основном
у Московакиса, тогда как применяемый в доказатель-
доказательствах метод («метод захвата») почерпнут из работ Цей-
Цейтина. .(Таким образом, некоторые результаты Москова-
Московакиса (например, «сепарационная теорема») доказы-
доказываются методом Цейтина [5].) Вводимое ниже поня-
понятие конструктивного метрического пространства (КМП)
предложено Ш а н и н ы м [6; § 9 гл. 2] (ср. Ц е й т и н [5]).
Отметим, что в работах Шанина [5]—[6] также вво-
вводятся конструктивные нормированные и гильбертовы
пространства*). Рассматриваемые Московакисом
[1] рекурсивные метрические пространства вполне ана-
аналогичны КМП с точки зрения излагаемых нами резуль-
результатов. Для интересующихся данным вопросом читателей
*) Конструктивные нормированные и гильбертовы пространства
рассматриваются также в более поздних работах Минца [2],
О р е в к о в а [5] • и др. В монографии Фан ДиньЗиеу[9] по-
построена конструктивными средствами теория локально выпуклых
топологических пространств (в частности, мультинормируемых про-
пространств). Наконец, вопросы рекурсивной общей топологии рассмот-
рассмотрены в работах Лакомба [5] и Ногиной [1]—[3]. (Эти работы
не принадлежат конструктивному направлению.)

354 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
заметим, что принцип Маркова почти не применяется
в § 1 (исключение составляют результаты п. 5 о совер-
совершенных КМП), а употребление его в §§ 2—3 связано
в основном с использованием метода захвата. Таким об-
образом, основные результаты данной главы — теоремы не-
непрерывности— существенно опираются на принцип
Маркова.
В этой главе будет широко использоваться сокращен-
сокращенная запись суждений. Сделаем в связи с этим некоторые
пояснения. Как правило, формулируемые суждения
имеют вид
A) Пусть М — конструктивное метрическое простран-
пространство. Для любого алгорифмического оператора
Ч*1 *) и любого слова X (в некотором фиксирован-
фиксированном алфавите) осуществимо слово У, находя-
находящееся с X и Ч1" в данном отношении s4-.
B) Пусть М. — конструктивное метрическое про-
пространство. Для любого алгорифмического опе-
оператора Ч? и любого слова X осуществим алго-
алгорифм, находящийся с W и X в данном отноше-
отношении бФ.
В суждениях вида A) — B) пространство М предпо-
предполагается произвольно фиксированным. Суждение вида
A) понимается как утверждение, что можно построить
алгорифм, перерабатывающий всякое слово вида Е^З.
X (где W — оператор) в слово, находящееся в данном
отношении с W и X. Суждение вида B) трактуется как
утверждение возможности построения алгорифма, пе-
перерабатывающего всякое слово вида ЕЧ'З,-^ в запись
искомого алгорифма, или (что эквивалентно) как утвер-
утверждение о возможности построения такого алгорифма 51,
что для любого оператора Ч1" и слова X алгорифм €^з,л
(это обозначение поясняется ниже) находится в требуе-
требуемом отношении сТи!
С целью избежать частых отвлекающих упоминаний
об алфавитах, мы будем считать, что фиксирован неко-
некоторый алфавит А, в котором и рассматриваются все ме-
метрические пространства. Нам удобно считать, что А не
*) Алгорифмический оператор — это алгорифм, удовлетворяю-
удовлетворяющий некоторым условиям согласованности (см. § 2).

ГЛ. 9] КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 355
содержит букв «,» и «*» (эти буквы используются для
образования систем слов в Л) и что алфавит Ч\ (основ-
(основной алфавит предыдущих глав) включен в А. Алфавит
A U {, *} обозначается через А\. Наконец, через А" мы
обозначаем некоторое двухбуквенное расширение Ау.
Напомним, что всякий алгорифм 51 типа {А\-г>-А{) мо-
может быть заменен алгорифмом 51' в Аа\ так, что при лю-
любом Ре Л,
В соответствии со сказанным, при отсутствии других
указаний все упоминаемые слова считаются словами
в А, а алгорифмы — нормальными алгорифмами в алфа-
вите Аи
Напомним также одно важное обозначение. Пусть
51 — алгорифм (над алфавитом А) и Ре Ль Тогда че-
через %р обозначается построенный некоторым фиксиро-
фиксированным образом (см. п. 11 § 1 гл. 1) алгорифм в алфа-
алфавите А* такой, что при любом Q&A{ имеет место
и если !5I(PQ) и 91 (PQ) — слово в алфавите Аи то
$p(Q)=f 91 (PQ).
Так же, как в предыдущих главах, если Р оканчи-
оканчивается запятой, то мы опускаем в обозначении 51Р эту
запятую, так что вместо 5tPl, пишется 5tPl. Точный
смысл используемых обозначений во всех таких случаях
легко усматривается из контекста.
Для алгорифмов в алфавите Аа\ определяются их
записи (обозначение ?213). которые являются словами
в алфавите Чо = {0|} (см. § 1 гл. 1). Мы будем часто
и без особых оговорок использовать следующий факт
(теорема 16 § 1 гл. 1): для каждого алгорифма 51 можно
построить алгорифм 93 так, что при любом слове Ре Л)

356 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
§ 1. Конструктивные метрические пространства.
Основные определения, некоторые примеры. Пополнение
конструктивных метрических пространств
1. Определение 1. Пусть Ж— множество слов в
алфавите А, р— алгорифм типа (Л2-*®) (т. е. р пе-
перерабатывает всякое слово вида X, У, где X и Y — эле-
элементы Ж, в КДЧ). Список М
A) {Л, р}
назовем конструктивным метрическим пространством
(КМП) в алфавите А, если для любых слов X, У, Z
из Ж выполняется
1) р(Х,Х) = 0;
2) р(Х, У)<р(Х, Z)-\-p(Y, Z) {аксиома треуголь-
треугольника) •).
Определение 2. Алгорифм р будем называть ме-
метрическим алгорифмом КМП A), а множество Ж — но-
носителем этого КМП.
Определение 3. Слова, принадлежащие множе-
множеству Ж, мы будем называть элементами или точками
КМП A) (запись ХеМ). Элементы X и Y КМП A)
назовем эквивалентными (различными) в М, если
9(Х, У) = 0 (р(А\ У) ф 0) (запись X=Y и ХфУ).
Таким образом, записи Х^Ж и Х^М равнозначны.
Аналогично, вместо записи Ж\*=:Ж будет часто исполь-
использоваться запись Ж\ е М.
Из аксиом метрического пространства легко вытекает
Теорема 1. Каковы бы ни были точки X, У, Z\, Z$
КМП A)
1) p(X,Y)>0;
2) p(X,Y) = p(Y,X);
3) если X = Y, Z, = Zo, то р(Х, Zl) = p(Y, Z2).
M M
*) Уточнение этого определения требует фиксации логико-мате-
логико-математического языка, в котором задается множество Л (множества
отождествляются с однопараметрическими формулами выбранного
языка; при этом КМП оказываются словами определенного типа).
Описание подходящих для наших целей языков и изложение теории
метрических пространств на их основе можно найти в работах
Шанина [4], [6].

5 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 357
Действительно, заменяя в аксиоме треугольника Z
на У и У на X, получим
откуда
p(X,Y)>0.
Далее, заменяя в той же аксиоме Z на X, получим
р(X, Y)<p(X, X) + р(Y, X) = р(Y, X),
Аналогично устанавливается, что
р(К, Х)^р(Х, Y),
Поэтому
(X,Y) = p(Y, X).
Докажем утверждение 3). По аксиоме треугольника
Поскольку р(Х, У) = 0, то отсюда
p(X,zl)<9(zi, y).
Опять, применяя аксиому треугольника, получим
р(X, Z,) <р (Z,, Z2) + р (Г, Z2) = р(Y, Z2).
Аналогично показывается, что
Следовательно,
что и требовалось.
Определение 4. КМП Mi = {Ж\, р} назовем под-
подпространством КМП A) (запись Mi ^М), если Ж\ <=Ж.
Про подпространство М\ будем говорить, что оно инду-
индуцировано подмножеством Ж\ множества Ж.
Определение 5. 1) Множество Ж\<=Ж назовем
правильным подмножеством КМП М (или правильным
множеством точек этого КМП), если для любого
Х^Ж\ из K = Z следует FeJi. (Таким образом,
м
Ж\ вместе с каждой своей точкой содержит и все экви-
эквивалентные ей точки М.)

5Б8 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
2) Подпространство М\ КМП М назовем правильным,
если его носитель — правильное подмножество М.
Важным частным случаем правильных множеств яв-
являются вводимые в следующем параграфе согласован-
согласованные множества. Приведем некоторые примеры конструк-
конструктивных метрических пространств*). (Число подобных
примеров легко увеличивать.)
а) Пространство натуральных чисел. Пусть Ж —
множество натуральных чисел и р такой алгорифм, что
р(/п, «) =г=| m — n |.
Множество Ж вместе с р образует КМП, которое мы бу-
будем обозначать через Н.
б) Пространство конструктивных действительных чи-
чисел Е\. Носителем этого КМП является множество S5
всех КДЧ, а метрическим алгорифмом — алгорифм р та-
такой, что
Очевидно, Н — подпространство (не являющееся пра-
правильным) Е\. КМП Е\ мы будем иногда называть кон-
конструктивной прямой.
в) n-мерное евклидово пространство Е„. Носителем
этого КМП является множество 3)п, т. е. множество
слов вида
где Xi—КДЧ, а метрика задается таким алгорифмом р,
что
/^
Р (*i хп, у, Уп)=у A(xi — Уд2.
Аксиома треугольника проверяется для Еп с помощью
неравенства Коши — Буняковского (см., например, Кол-
Колмогоров, Фомин [1;. стр. 45]).
При п = 1 Еп есть введенное в предыдущем при-
примере пространство КДЧ.
*) Мы не будем в дальнейшем различать КМП с равными
носителями и метрическими алгорифмами pi, рг такими, что для
всех точек X. Y этих КМП р,(*. Y) = р2(Х, Y).

$ 1) ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 359
г) Пространства Е1п и Е2п. Носитель этих "пространств
тот же, что и у Еп, а в качестве метрических функций
берутся алгорифмы pi и рг, для которых
п
Pi (*i хп, #, уп) = 2 I Xi — Vt \
и
хп, ylt .... #„)= max \xt— yt\.
Проверка условий 1) — 2) определения 1 очевидна. Ясно,
что Е\ и Е] совпадают с Е\.
д) Пространство С равномерно непрерывных на еди-
единичном сегменте функций. Носителем этого простран-
пространства является множество 9? слов вида ?/3 * ?63> где / —
всюду определенная конструктивная функция, б — ее ре-
регулятор равномерной непрерывности на сегменте 0А1
(ср. определение равномерного шифра в § 2 гл. 5). Мож-
Можно построить (§ 2 гл. 5) алгорифм р, перерабатывающий
любое слово вида ?ДЗ * ?6i3, Е/гЗ * ?6гЗ> гДе ?/i3 * E6i3
и ?/23 * ?623 принадлежат св, в КДЧ, являющееся точной
верхней гранью функции |/i — /г| на 0А1. Итак,
B) р(?/,3*?б,3, ?/23*?623)= тах"(|/1(дс)-/2(дс)|).
0<<1
Этот алгорифм и берется в качестве метрического алго-
алгорифма пространства С. Обращаем внимание читателя
на следующие специфические особенности этого приме-
примера: 1) в отличие от одноименного классического про-
пространства (см., например, Колмогоров, Фомин [1]),
вместо непрерывных рассматриваются равномерно не-
непрерывные функции (непрерывные конструктивные
функции могут быть неограниченными, а будучи ограни-
ограниченными, не обязательно имеют точные грани); 2) эле-
элементами С являются не собственно функции (записи
функций), а слова более сложного типа; это вызвано
тем, что алгорифм, вычисляющий правую часть B) и
использующий в качестве исходных данных лишь за-
записи функций, невозможен.
е) Бэровское пространство В последовательностей
натуральных чисел (ПНЧ).
Это пространство вполне аналогично рассматривав-
рассматривавшемуся рядом авторов (см., например, Кузнецов,

360 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Трахтенброт [1], Успенский [1]) бэровскому про-
пространству общерекурсивных функций. Носителем про-
пространства В является множество J? записей ПНЧ, а ме-
метрический алгорифм р строится так, что для любых
ПНЧ а,, а2
__|2~*, если а, (г) =г= а2 (г) при i<k и а, {k)=?a2{k
I 0, если а, (г) =f <х2 (t) ПРИ любом L
Наметим построение р. Построим сначала алгорифмы
и y так, чтобы
__( п, если 0,@^=02@ при
1 \ii (a, (i) Ф а2 (i)) в противном случае;
Y(?a.3, Ea23,n)-2-p(?a'3l?a'3in).
При любых ПНЧ ah а2 алгорифм y?ai?i ia^ является ПРЧ,
причем алгорифм Id (Id (n)=Fti) является регулятором
фундаментальности этой ПРЧ. Поэтому алгорифм р
такой, что
задает интересующую нас метрику*).
Очевидно, для любой ПНЧ a
Проверим для р аксиому треугольника. Пусть aIt a2,
a3 — ПНЧ. Предположим, что
. Еа33).
Тогда можно найти натуральное / такое, что
¦ Р(?а,3, Еа23)>Р(Еа,3. Е
*) В данном конгексте обозначения типа Шр и Е^З следует
понимать так же, как и в первых восьми главах (см. стр. 113),
т. е. рассматривая вместо А" алфавит Ча (в котором, в частности,
определялись ПРЧ). В дальнейшем очевидные замечания этого
рода опускаются.

1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 361
Если при 0<;</ а, @ *?= eta (О, то p(?«i3.-?а23) < 2
что невозможно. Следовательно, можно найти k
такое, что at (i) =fct2(i) при i<k и ct] (&) # а2 (&). Но
тогда а3 (k) ф ъх (k) или а3(&)??а2(&). В первом случае
pF«*i3, Еа33)>2-*, во втором рСЕ^З, Еа33)>2~*. И то
(E3 ЕЗ)
pC 33) р рЕЗ, Е33)
и другое, однако, невозможно, поскольку p(Eai3,
= 2~к. Следовательно,
что и требовалось.
Ясно, что две ПНЧ тем ближе друг к другу в бэров-
ском пространстве, чем больше начальный отрезок зна-
значений аргумента, на котором они совпадают. В частно-
частности, эквивалентность двух ПНЧ как элементов бэров-
ского пространства означает их совпадение при всех
значениях аргумента.
2. Введем теперь некоторые понятия, связанные с
предельным переходом и сепарабельностью КМП. Че-
Через М мы по-прежнему будем обозначать КМП
C) M = {Jf,p).
Определение 6. Пусть C — последовательность то-
точек М (т. е. алгорифм, перерабатывающий всякое нату-
натуральное число в элемент М), X — точка М.
1) Назовем последовательность C фундаментальной,
если можно построить ПНЧ а {регулятор фундаменталь-
фундаментальности р) такую, что при любом п и m, I ^ a (л)
р(Р(т),Р@)<2-\
2) Назовем р регулярной, если при любых ш^п
р(Р(т), р(я))<2-\
3) Скажем, что р сходится к X (или что X является
пределом р), если можно построить ПНЧ б (регулятор
сходимости р к X) так, что при любом п и tn^ б (л)
pP()
4) Скажем, что р регулярно сходится к X, если при
любом л

362 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
(т. е. тождественный алгорифм является регулятором
сходимости р к X).
5) Последовательность р назовем сходящейся, если
она сходится к некоторой точке X е М.
Ясно, что из регулярной сходимости р к X следует
сходимость р к X и что если р — регулярная последова-
последовательность, сходящаяся к X, то р регулярно сходится к X.
Нетрудно доказать, что свойство быть пределом
данной последовательности инвариантно относительно
эквивалентности в М и что предел определяется един-
единственным (с точностью до эквивалентности в М) обра-
образом; другими словами, выполняется
Теорема 2. Пусть р — последовательность точек М,
Х^М, Y^M.
1) Если р сходится к X и X = У, то р сходится к Y.
м.
2) Если р сходится к X и $ сходится к Y, то X = Y.
м
Мы, как правило, вместо произвольных фундамен-
фундаментальных и сходящихся последовательностей будем рас-
рассматривать регулярные и регулярно сходящиеся после-
последовательности. Ограничение такими последовательностя-
последовательностями соответствует фиксации тождественного регулятора
фундаментальности и сходимости и позволяет несколько
упростить изложение. Вместе с тем оно не является
очень существенным, так как, с одной стороны, нас
не будут интересовать регуляторы фундаментальности
(или сходимости) каких-либо конкретных последова-
последовательностей, а с другой, по любой фундаментальной по-
последовательности, располагая ее регулятором фундамен-
фундаментальности, можно построить ее регулярную подпоследо-
подпоследовательность, причем если исходная последовательность
сходится к некоторой точке, то построенная подпоследо-
подпоследовательность регулярно сходится к той же точке, Послед-
Последнее обстоятельство позволяет переходить от алгориф-
алгорифмов, определенным образом работающих на записях
регулярных последовательностей, к аналогичным алго-
алгорифмам, использующим в качестве исходных данных
пары: фундаментальные последовательности вместе с их
регуляторами фундаментальности. После сказанного чи-
читателя не удивит принимаемое нами несколько узкое на
первый взгляд определение алгорифма предельного пе-
перехода.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 363
Определение 7. 1) Алгорифм а назовем алгориф-
алгорифмом слабого предельного перехода в М, если он пере-
перерабатывает запись любой регулярной сходящейся после-
последовательности точек М в точку М, к которой сходится
эта последовательность.
2) Алгорифм а назовем алгорифмом предельного пе-
перехода в КМП М, если он перерабатывает запись всякой
регулярной последовательности точек М в точку М,
к которой сходится эта последовательность.
Вводимые ниже слабо полные КМП впервые рас-
рассматривались Московакисом [1] (здесь и в дальней-
дальнейшем мы отвлекаемся от несущественных технических
различий между КМП и изучаемыми Московакисом ре-
рекурсивными метрическими пространствами). Оревков
[5] называет слабо полные КМП L-правильными.
Определение 8. 1) КМП назовем слабо полным,
если для него можно построить алгорифм слабого пре*
дельного перехода.
2) КМП назовем полным, если для него можно по-
построить алгорифм предельного перехода.
Таким образом, в полном КМП все регулярные
(а следовательно, и все фундаментальные) последова-
последовательности сходятся, что, вообще говоря, не имеет места
в случае слабо полных КМП.
Вполне очевидны следующие две теоремы.
Теорема 3. Всякое полное КМП слабо полно.
Теорема 4. Всякое правильное подпространство
слабо полного КМП слабо полно.
Определение 9. 1) Слово вида Х*п (Х**п), где
X — точка КМП C), п — натуральное число, будем на-
называть шаром (замкнутым шаром) пространства М.
2) Точку X назовем центром шара Х*п (Х**п),
а число 2~п — его радиусом;
3) Про точку Y пространства М будем говорить, что
она принадлежит шару Х*п (Х**п), если р(Х, Y) < 2~п
(соответственно р(Х, Y) ^ 2тп).
4) Будем говорить, что шар (замкнутый или нет) S
вложен в (замкнутый или нет) шар Su если всякая
точка КеМ, принадлежащая S, принадлежит и S\.
Для обозначения принадлежности точки Y шару S и
включения шара S в 3i мы будем использовать запись
Ye=S и SsSi.

364 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Из теоремы 1 очевидным образом следует, что мно-
множество точек, принадлежащих данному шару (замкну-
(замкнутому шару), является правильным.
Определение 10. 1) Пусть Ж и Ж2 — два множе-
множества точек КМП C). Будем говорить, что Ж\ плотно в
Жг, если осуществим алгорифм а такой, что для любого
шара S с центром в Ж2 !<x(S), a{S)(=JCx и a(S)eS,
2) Будем говорить, что множество Ж\ плотно в КМП
М, если Ж\ плотно в носителе М.
3) Подпространство М\ КМП М будем называть
плотным в М, если носитель М\ плотен в М.
Нам будет особенно интересен случай, когда данное
множество имеет перечислимое плотное подмножество.
Определение 11.1) Множество Ж\ точек КМП М
назовем сепарабельным в этом КМП, если можно ука-
указать перечислимое множество Жг<^Ж\, плотное в Ж\.
2) КМП М назовем сепарабельным, если осуществи-
осуществимо перечислимое множество элементов М, плотное в М.
Более подробно определение 11 можно высказать
так:
Определение 11'. 1) Множество Ж\ назовем се-
сепарабельным в М, если можно построить алгорифмы а
и р так, что а перечисляет некоторое подмножество Ж\,
Р перерабатывает всякий шар S с центром в Ж\ в нату-
натуральное число так, что !a(P(S)) и a(P(S)) eS.
2) КМП М назовем сепарабельным, если можно по-
построить алгорифмы au p так, что а перечисляет неко-
некоторое подмножество носителя М, а § перерабатывает
всякий шар S в натуральное число так, что !a(|J(S)) и
a(p(S))«=S.
Отметим, что если множество Ж\ содержит хотя бы
один элемент, то алгорифм а в условии 1) определе-
определения IV можно, не теряя общности, считать арифмети-
арифметически полным (т. е. применимым к любому натураль-
натуральному числу).
Аналогичное замечание можно сделать и по поводу
условия 2) определения 1Г.
Определение 12. Будем говорить, что КМП М\ =
= Wu Pi) изометрично КМП М2 = {Ж2, рг}. если можно
построить алгорифмы ab Pi соответственно типов
(Ж\^Жг) и (Жг^-Жх) так, что при любых Xlt X2e
&.Mi и Y е Мг выполняется

1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 365
а)
б) ih()
м,
Очевидно, отношение изометричности КМП рефлек-
рефлексивно (каждое пространство изометрично самому себе).
Нетрудно также показать, что это отношение симмет-
симметрично и транзитивно. В самом деле, пусть М\ изометрич-
изометрично М2. Тогда для любых Yu Y2^M2 и Х^Мг
Pi (Pi (Ki). Pi M = P2 (a, (ft (K,)), a, (ft (Y2))) = p2 (Yu Y2)
и
Pi (ft (a, (*)). JO = p2 (a, (ft (a, (Z))), a, (X)) =
т. e. ft (щ {X)) = X. Полученные равенства доказывают,
что Af2 изометрично Afj. Пусть Afj изометрично М2, Af2
изометрично Af3, причем изометрия от Af, к Af2 осуще-
осуществляется алгорифмами ab ft, а от Af2 к Af3— алго-
алгорифмами a*, ft- Построим алгорифмы аз, ft так. что при
любом слове Р
Тогда при любых Хи Х2^МХ и ZeAf3 имеем
р, №, Z2) = p2 (a, (Z,). а. №))=Рз @8 (a, (Z,)), а2 (а,
= Рз{а3(Х1),а3(Х2)),
Следовательно,
p3(a2(ai(ft(ft(Z)))), a2(ft(Z)))
отсюда ввиду того, что
получаем

366 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Таким образом, a3(p3(Z)) = Z, чем и заканчивается
доказательство изометричности Afi пространству М3.
Определение 13. КМП М{ назовем пополнением
КМП М, если М\ полно и можно указать подпростран-
подпространство М2 Е Mi, изометричное М и плотное в М^
Одним из важных фактов теории метрических про-
пространств является возможность построить для каждого
пространства его пополнение. В следующем пункте бу-
будет приведен (доказательство теоремы 5) некоторый
стандартный способ построения пополнения, по существу
аналогичный способу введения конструктивных действи-
действительных чисел, использованному нами в гл. 2 (этот спо-
способ в свою очередь имел источником канторовский ме-
метод введения действительных чисел).
3. Теорема 5. Для каждого КМП можно построить
его пополнение.
Нам потребуется одна простая
Лемма 1. Пусть М = {Ж, р} — КМП, ai, 0C2 — регу-
регулярные последовательности точек М и последователь-
последовательность КДЧ (ПДЧ) р такова, что
Тогда ПДЧ р фундаментальна, причем алгорифм Id та-
такой, что ld(n)=Fn, является регулятором фундаменталь-
фундаментальности р.
Доказательство. Фиксируем произвольное п.
Пусть 1Ь 12^п. Обозначим для краткости a,(Zi + 1),
а,(/2+ 1) через ри р2 и а,(/, + 1), а2(/2+ 1) через qu q2.
По аксиоме треугольника
Р (М - Р (/2) = Р (Pi. Я\) - Р {Pit
<Р (Pi. ft) + Р(ft, ft) — P(ft.
<P (Pi. ft) + P fa2. ft) + P (to. to) — P(ft. to)
= P(Pi. ft) + p(to. to)<2-n-1 + 2-n-
Итак, при Л, 12~^п
Аналогично,

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 367
Поэтому
IP (/.)-?(/*) К 2-",
что и требовалось.
Перейдем к доказательству теоремы 5.
Пусть Af = {Л,р)— КМП. Обозначим через Л\ мно-
множество слов в алфавите А, являющихся записями регу-
регулярных последовательностей точек М. Это множество
и будет носителем строящегося пространства.
Примем следующее обозначение: если Р— запись
алгорифма, то {Р) обозначает этот алгорифм. Построим
алгорифм 51 так, что для любых двух элементов Pi, Рг
множества Л\
% (Р„ Р2, п) ~ р «Р,> (п + 1), (Р2) (п + 1))
(при построении такого алгорифма удобно использовать
универсальный алгорифм).
Очевидно, при Pi, Р%^Л\ алгорифм Йр,,р,*) яв-
является последовательностью КДЧ, причем в силу лем-
леммы 1 алгорифм Id является регулятором фундаменталь-
фундаментальности этой последовательности. Пусть lim — алгорифм,
построенный согласно теореме о полноте КДЧ (§ 2 гл. 3).
Построим алгорифм pi так, что для любых Pi, Рг е Л\
р, (Р„Р2)-lim (ESPi,p.3, Eld?).
Алгорифм pi является, очевидно, алгорифмом типа
{Ж\ ->@). Покажем, что он удовлетворяет аксиомам
метрического пространства (условия 1)—2) определе-
определения 1). Очевидно,
p(P,,P,) = 0.
Далее при любом п и Pi, Рг, Р%^М\
Р {(Pi) («). (Рг) («)) <Р ((Pi) (я), (Р3> (я)) + р «Р2> (п), (Р3> («)).
Переходя здесь к пределу по п, получаем
Pi (Pu Pi) < Pi (Pu Рз) + Pi (ft, ft).
т. е. аксиому треугольника. Итак, Mi = {Ли Pi} — кон-
конструктивное метрическое пространство. Покажем, что Mi
*) Точнее говоря, перевод этого алгорифма в алфавит Ч".

368 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
является пополнением М. Построим алгорифм F так,
чтобы для любого слова Р и любого п выполнялось
Очевидно, если ^ei, то Рх — регулярная последо-
последовательность точек М. Обозначим через М% множество
слов вида ?/^3, где Х^Ж. Очевидно, Ж%^Ж\, и по-
поэтому М2 = \Жъ, pi} — подпространство Mi. Обозначим
на время доказательства Рх (где X е Ж) через {X}. Изо-
метричность пространств М и М2 очевидным образом
следует из равенства
D)
которое выполняется при всех ^ь Х2^М. Далее, для
любой регулярной последовательности а точек М при
любом «ит>«+1
Следовательно, при т ^ п -\- 1
Переходя здесь к пределу по т, получим, что
E) Р1(Е{а(/г'
откуда следует, что М2 плотно в Mi.
Осталось доказать полноту пространства М{. Это до-
доказательство вполне аналогично доказательству теоремы
о полноте КДЧ (§ 2 гл. 3).
Построим алгорифм 53 так, чтобы для любой регуляр-
регулярной последовательности Э точек Mi выполнялось
F) 93(?ЭЗ,/г)~(Э(/г+1)>(л + 2)
(Э перерабатывает всякое п в запись регулярной после-
последовательности точек М).
Алгорифм Lim строим так, чтобы
G)
/и,
Покажем, что Lim является алгорифмом предельного
л/,
перехода в пространстве Mi. Фиксируем произвольную

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 369
регулярную последовательность 0 точек М\ и для крат-
краткости обозначим
<8(л))(т) через Хп,т,
() ?{<в(л)>(т)}3 через Qn,m.
В обозначениях (8) формула F) примет вид
(9) »(8вЗ, л)-ZB+1)l(+8.
Выполним некоторую оценку. Пусть т, п, /ь /2 — про-
произвольные числа, причем т^ п. Согласно E)
Pi (Qm, V 6 (*))
Следовательно,
Pi {Qm, и 0 (m)) + Pi @ (")> 0 (
< 2~tl + 2~u + 2~".
Отсюда, ввиду D), получаем при т~^ п
A0) Р (*»,.;„ ^ш, г,) < 2~'' + 2~'2 + 2~".
Следовательно, при m~^z n
p(-^n+i.n+2> -^m+i.m+2) < 2 +2 +2 =2 .
Поэтому ((9)) 23Еез — регулярная последовательность
точек М и Lim (^ЭЗ) s Mj. Обозначим Lim (?63) через Р
Л1 ЛГ
Л1, ЛГ(
и покажем, что 0 сходится (в Af,) к Р.
Фиксируем произвольное п. Согласно (8) и A0) при
любом 1^п
Р ((8 («))(/+ 1). </>)(/+ 1)) = р(ЛГ„, ,+„ Xt+2,t+3)<
Переходя здесь к пределу по /, получим
Pi F (л), Я) ^ 2-",
что и требовалось.

370 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.9
В связи с упомянутой перед формулировкой теоремы
аналогией с КДЧ заметим, что пополнение М можно
было бы определить и с помощью носителя, элементами
которого являются слова вида?аЗ*?РЗ. где а — после-
последовательность точек М, а р — ее регулятор фундамен-
фундаментальности.
4. Вернемся к примерам КМП а)—е), рассмотренным
в п. 1. Все эти пространства полны и сепарабельны.
В самом деле, для пространства Н высказанное утвер-
утверждение очевидно, для Е\ оно следует из теоремы о пол-
полноте системы КДЧ и из плотности на конструктивной
прямой множества рациональных чисел. Из полноты и
сепарабельности Е} без труда выводятся одноименные
свойства пространств Еп, Е[п, Е2п. Наконец, при доказа-
доказательстве полноты и сепарабельности пространства С
следует воспользоваться теоремой о равномерной непре-
непрерывности предела равномерно сходящейся последова-
последовательности равномерно непрерывных функций и аппрокси-
аппроксимируемостью равномерно непрерывных функций полиго-
полигональными функциями с рациональными определяющими
дроблениями и рациональными значениями в точках
этих дроблений. (Исходными данными при построении
таких аппроксимаций служат равномерные шифры.)
Остановимся несколько подробнее на доказательстве
полноты и сепарабельности бэровского пространства В.
Пусть Т =г «о*.. • *я* — кортеж натуральных чисел. Бу-
Будем говорить, что ПНЧ а представляет этот кортеж, если
a (t) =г= tii при i <; k и a(t) =5= nk при I ^ к. Нетрудно по-
построить алгорифм % так, что для любого кортежа Т
алгорифм €т есть ПНЧ, представляющая Т. Пусть те-
теперь арифметически полный алгорифм р перечисляет
множество всех кортежей натуральных чисел. Построим
алгорифм 33 так, что
и покажем, что S3 перечисляет плотное подмножество В.
В самом деле, при любом п р(м) — кортеж натуральных
чисел, Щит —представляющая его ПНЧ. Следовательно,
*8(п)еЙ. Пусть а — произвольная ПНЧ. Фиксируем
произвольное / и найдем m так, что
p(m)=i=a@)* ... *a(/).

§ I] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 371
Тогда при i s^ /
и, следовательно,
Таким образом, КМП В сепарабельно.
Построим алгорифм Lim' так, чтобы для любой по-
в
следовательности y точек В и любого п
Lim'(EY3. «) ^ (Y («)> (я).
в
(Напомним, что если Р — запись алгорифма, то (Р)
означает этот алгорифм.)
Построим алгорифм Lim так, чтобы
и покажем, что этот алгорифм является алгорифмом
предельного перехода в В.
Пусть y — регулярная последовательность точек В.
Тогда при любом я \(п) есть запись ПНЧ, причем при
"" P(Y(*),Y(«))<2~".
Отсюда следует, что при т^п и i sg: n
Следовательно, при i «^ я
Поэтому при i г^ п
Lim'FY3. 1)^{\(п
p(Lim(EY3),Y(«))<2-",
а
что и требуется.
*} Здесь р — метрический алгорифм бэровского пространства.

372 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ.9
Чтобы получить пример несепарабельного простран-
пространства, достаточно рассмотреть подпространство Я, носи-
носителем которого является неперечислимое множество.
(Получающееся таким образом пространство, очевидно,
полно.) В работе Слисенко [4] построено КМП, кото-
которое не может быть подпространством никакого сепара-
бельного пространства. Выбрасывая из конструктивной
прямой все КДЧ, равные 0, получаем пример слабо пол-
полного, но не полного КМП. Наконец, подпространство
конструктивной прямой, носителем которого является
множество всех рациональных чисел, дает пример КМП,
не являющегося слабо полным*).
5. В этом пункте, как и раньше, через М обозна-
обозначается некоторое КМП с носителем Л и метрическим
алгорифмом р.
Определение 14. Алгорифм р назовем регулярной
вложенной последовательностью замкнутых шаров (про-
(пространства М), если р перерабатывает всякое натураль-
натуральное число в замкнутый шар пространства М, причем при
любом п радиус шара р(«) меньше, чем 2~п, и
Р(п+1)=Р(п).
Характеристическим свойством полных метрических
пространств является следующее утверждение, которое
можно рассматривать как обобщение теоремы о вложен-
вложенных сегментах § 2 гл. 3.
Теорема б (принцип вложенных шаров). Пусть
М — полное КМП. Тогда можно построить алгорифм %
так, что, какова бы ни была регулярная вложенная по-
последовательность замкнутых шаров (КМП М) р, имеет
место:
)
2) (?P3)
3) при любом п Я(?РЗ) е=р(п).
Доказательство. Пусть алгорифм Lim является
алгорифмом предельного перехода КМП М. Нетрудно
построить алгорифм у, перерабатывающий всякий зам-
замкнутый шар в его центр. Используя теорему об универ-
универсальном алгорифме, построим алгорифм %1 так, что
*) Множество рациональных чисел не следует путать с множе-
множеством КДЧ, равных рациональным числам. (Определение рацио-
рациональных чисел приведено в § 2 гл. 2.)

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 373
для любого алгорифма р и натурального п
(И) 3l'(EP3,«)^Y(P(n+l)).
Для любой регулярной вложенной последовательно-
последовательности замкнутых шаров Р алгорифм 9Црз является ре-
рей М Д
у р Р рф Црз р
гулярной последовательностью точек М. Действительно,
при любом т
Y(|l(m))ep(ffl).
Поэтому при m ^ п + 1
Y(p(m))ep(n+1)
и, следовательно,
Р (V (Р (« + 1)), Y (Р ('»))) < 2-"-' < 2~п,
что (A1)) и требуется.
Построим теперь алгорифм Щ так, что
и покажем, что 51 обладает нужными свойствами.
Фиксируем произвольную регулярную вложенную
последовательность замкнутых шаров р и произволь-
произвольное п. Обозначим для краткости центр и радиус шара
P(fe) соответственно через Xh и h- В этих обозначениях
A1) примет вид
A2) я'(ЕРЗ,*)^**-м.
Поскольку зЦрз — регулярная последовательность, то
!31(ЕРЗ) и Я(?рЗ)е=Л1. Далее (A2)) при любом m
A3)
и при пг^п, поскольку
A4) р(Хт+и
Следовательно (A3) —A4)), при
A5) р(Я(ЕРЗ),
Из A5) получаем

374 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Последнее означает, что
Теорема доказана.
Нетрудно показать, что, располагая алгорифмом %,
фигурирующим в теореме 6, можно построить алгорифм
предельного перехода в М и тем самым доказать пол-
полноту этого пространства. Ясно также, что в теореме 6
могли бы вместо регулярных фигурировать любые вло-
вложенные последовательности замкнутых шаров, для ко-
которых соответствующие последовательности радиусов
(конструктивно) сходятся к 0. При этом в качестве ис-
исходных данных алгорифма 51 выступали бы слова вида
?РЗ.?аЗ> гДе Р — вложенная последовательность зам-
замкнутых шаров, а а — регулятор сходимости к 0 после-
последовательности радиусов шаров Р(я).
Так же, как и обычно, можно показать существен-
существенность условия сходимости к нулю радиусов шаров: в
некоторых полных КМП существуют вложенные последо-
последовательности замкнутых шаров с пустым пересечением.
(Соответствующий пример можно найти в книге Гел-
баума и Олмстеда [1; стр. 201].)
Теорема 6 дополняется следующей теоремой един-
единственности.
Теорема 7. Пусть р — регулярная вложенная по-
последовательность шаров КМП М и Х\, Х2— точки М,
принадлежащие всем шарам Р(я). Тогда ХХ=Х2.
м
¦ Доказательство. Фиксируем произвольное п и
обозначим через Yn+i центр шара р (п + 1). Тогда
Поэтому
Так как р{Хи Х2) ^0, то отсюда следует р(ХиХ2) =0,
что и означает Xt = Х2-
Принцип вложенных шаров позволяет обобщить ре-
результаты § 4 гл. 3 о неперечислимости конструктивного
континуума.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 375
Определение 15. Множество Ж^М называется
эффективно нигде не плотным в КМП М, если можно
построить алгорифм со, перерабатывающий всякий шар S
в шар так, что со (S) = S, и для любого X е М, если
Хе©E), то хф.Ж (т. е. co(S) включен в дополне-
дополнение Ж).
Введенное только что отношение между Ж и со мы
будем выражать записью Нпл (Ж, со).
Прежде чем определить понятие множества первой
категории, сделаем некоторые пояснения. Под последо-
последовательностью множеств в алфавите А мы понимаем
двухпараметрическую формулу ЖA, Р), где i — перемен-
переменная для натуральных чисел, а Р — переменная для слов
в алфавите А. Придавая i какое-нибудь значение п, мы
получаем однопараметрическую формулу, т. е. множе-
множество слов в алфавите А *). Это множество мы называем
п-м членом последовательности и обозначаем посред-
посредством Жп- Саму последовательность ЖA,Р) мы будем
иногда обозначать посредством {Жп}.
Множество & назовем объединением последователь-
последовательности множеств {Жп}, если для любого слова Р
Определение 16. Множество 9? <=, М назовем мно-
множеством первой категории (в М), если оно получается
объединением последовательности эффективно нигде не
плотных множеств, т. е. если осуществима последова-
последовательность множеств {Жп} {где все Жп включены в М)
и алгорифм у такие, что 9? являетс-я объединением
{Жп} и при любом п выполняется Нпл(«3^„, $„).
Описанное в определении 16 отношение между S,
{Жп} и y мы будем выражать записью КатE', {Ж„},у).
Во многих случаях вместе с данным множеством ока-
оказывается удобным рассматривать множество, получаю-
получающееся из него присоединением всех точек, эквивалентных
*) Уточнение сказанного требует описания логико-математиче-
логико-математического языка, в котором строятся соответствующие формулы (ср.
примечание на стр. 356^.

376 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
в М точкам данного множества. Примем в связи с этим
следующее
Определение 17. Пусть Ж\ — множество точек М.
Обозначим через Ж\ множество точек М, задаваемое
условием
X €= jf, = ЗУ ((У е= Жх) & (У = X));
м
Ж\ будем называть точечным образом Ж\.
Очевидно, точечный образ любого множества Ж\ есть
правильное множество, причем iiEii. Точечный об-
образ правильного множества совпадает с ним самим.
Ясно, что если точка 1еМ не принадлежит Ж\, то она
отлична в смысле метрики М от всех точек Ж\, т. е.
р (X, У) Ф О при любом У s Ж\.
Следующая теорема аналогична по формулировке и
доказательству известной теореме Бэра (см., например,
Колмогоров, Ф о м и н [1; стр. 69]).
Теорема 8. Пусть М — полное КМП, Si — шар в М.
Для всякого множества первой категории & можно най-
найти точку X из Si, не принадлежащую 2? (и тем более
не принадлежащую 3?).
Наметим доказательство этой теоремы. Пусть & —
множество первой категории, являющееся объединением
последовательности эффективно нигде не плотных мно-
множеств {Жп}, и у — такой алгорифм, что выполняется
Исходя из у. нетрудно построить алгорифм уь пере-
перерабатывающий всякое слово вида п, S, где 5 — шар, в
замкнутый шар радиуса, меньшего чем 2~п, вложенный
в 5 и не пересекающийся с Жп-
Построим теперь алгорифм р так, что
Р@)~ 7.@,5,),
Очевидно, р — регулярная вложенная последователь-
последовательность замкнутых шаров, причем каждый замкнутый
шар р(/г) не имеет общих точек с Жп. По теореме О

§ Ц ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП 377
вложенных шарах найдем точку X, принадлежащую
всем шарам C(л). Тогда при любом п ХфЖп и потому
. Так как, кроме того, Хер(О) и 0@)sSj, то
Из приведенного рассуждения нетрудно усмотреть,
что осуществим алгорифм '21 со следующим свойством:
если алгорифм у перерабатывает всякое слово п, S
(где S— шар) в шар, причем \(п,S)^S, то для лю-
любого шара S] !51(?y3. Si), ЗД(?\3> Sj)e Su и если для
некоторого множества 3? и последовательности множе-
множества {Жп} выполняется Кат(?\ {Жп},у), то 21(?3S)
Следствие 1. В полном КМП никакой шар не яв-
является множеством первой категории.
Следствие 2. Носитель непустого полного КМП
не является {в этом КМП) множеством первой катего-
категории *).
Определение 18. КМП назовем совершенным,
если осуществим алгорифм, перерабатывающий всякий
шар данного КМП в точку этого шара, отличную от его
центра.
Определение 19. Точку XеМ назовем изоли-
изолированной, если можно указать шар с центром в точке
X, не содержащий точек М, отличных (в смысле мет-
метрики М) от X.
Очевидно, всякое совершенное пространство не имеет
изолированных точек; обратное утверждение (всякое
КМП без изолированных точек совершенно) можно
опровергнуть на примере уже в классе полных КМП
(см. Куш нер [10]). Вместе с тем каждое сепарабель-
ное КМП без изолированных точек совершенно.
Ясно, что все точки пространства натуральных чи-
чисел И изолированные. Таким образом, Я не является
совершенным пространством (и для него не выпол-
выполняются формулируемые ниже следствия 3—6). Про-
странства Еп, Е„. Е'п, С и В совершенны.
Поскольку каждое непустое перечислимое множество
можно перечислить арифметически полным алгорифмом
*) Определением 1 не исключается случай, когда носитель дан-
данного КМП пуст. Пустое КМП, очевидно, полно и сепарабельно.

378 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
и любое одноэлементное подмножество совершенного
КМП эффективно нигде не плотно в этом КМП, то вы-
выполняется
Лемма 2. В совершенном КМП любое непустое пе-
перечислимое множество является множеством первой ка-
категории *).
Следствие 3. Пусть М — полное совершенное
КМП и S — шар в М. По любому перечислимому мно-
множеству Ж ?= М можно найти точку X из S так, что
ХфЖ^ (и тем более ХфЖ).
Действительно, пусть 5 — шар с центром в точке У
и Ж — перечислимое множество точек М. Обозначим
через Ж\ множество Ж I) {У} (где посредством {Y} обо-
обозначено одноэлементное множество с единственным
элементом Y). Множество Ж\ перечислимо и непусто.
Следовательно (лемма 2), Ж\ является множеством
первой категории. Остается применить к 5 и Ж\ тео-
теорему 8.
Следствие 3 является обобщением теоремы об эф-
эффективной несчетности любого интервала конструктив-
конструктивной прямой (теорема 1 § 4 гл. 3).
Следствие 4. В полном совершенном КМП вся-
всякий шар является продуктивным множеством (ср. сно-
сноску на стр. 190).
Следствие 5. В полном совершенном КМП ни-
никакой шар не является перечислимым множеством.
Следствие 6. Носитель любого непустого совер-
совершенного КМП есть продуктивное множество (и, следо-
следовательно, не является перечислимым множеством).
В следующем параграфе полученные результаты бу-
будут распространены на любые непустые согласованные
множества.
В заключение данного пункта заметим, что анало-
аналогично тому, как это делается в традиционной теории
метрических пространств, для полных КМП может
быть доказана теорема Банаха о неподвижной точке и
*) Пустое множество, конечно, тоже является множеством пер-
первой категории. Несколько ограничительная на первый взгляд фор-
формулировка леммы 2 связана с невозможностью эффективно отли-
отличать (исходя из перечисляющих алгорифмов) пустые перечисли-
перечислимые множества от непустых.

§ 2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 379
получены обычные приложения этой теоремы к диф-
дифференциальным и интегральным уравнениям (см., на-
например, Колмогоров, Фомин [1], Люстерник,
Соболев [1]).
§ 2. Согласованные множества.
Алгорифмические операторы.
Теорема непрерывности (первая формулировка)
В этом параграфе через М, М\, М% обозначаются
некоторые фиксированные КМП с носителями J[, Jt\,
Ж2 и метрическими алгорифмами р, рь р2.
1. Определение 1. Пусть XeAI. Будем говорить,
что алгорифм % согласован в точке X, если для любого
Y^M такого, что Y = X, выполняется !Щ(Х) !Щ(У
м
Таким образом, согласованность алгорифма в дан-
данной точке означает, что этот алгорифм одновременно
применим или неприменим ко всем элементам Af, сов-
совпадающим с данной точкой в смысле метрики М.
Определение 2. Будем говорить, что алгорифм
% согласован на множестве Ж <=Ж, если Щ согласован
в каждой точке Ж. Алгорифм, согласованный на всем
множестве Ж, будем называть согласованным в КМП
М или, короче, просто согласованным.
Определение 3. Множество Ж'?i назовем со-
согласованным*), если осуществим согласованный алго-
алгорифм Щ такой, что для любого X из М
Хе=Ж^\% (X).
Про алгорифм 51 мы будем говорить, что он согла-
согласует множество Ж; это обстоятельство будет также вы-
выражаться записью
Согл(ЖЛ).
Согласованное множество полностью характери-
характеризуется своим согласующим алгорифмом. Поэтому в тех
ситуациях, когда речь идет о построении согласованных
множеств с тем или иным свойством, подразумевается
построение соответствующего согласованного алгорифма.
*) Московакис [1] использует для аналогичного понятия
термин listable set; в близком смысле употребляется также иногда
термин вполне перечислимое множество.

380 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Обратно, если требуется построить по согласованному
множеству какой-нибудь конструктивный объект, то
в качестве исходных данных такого построения высту-
выступает соответствующий согласованный алгорифм. Ана-
Аналогичное замечание можно сделать и по поводу вво-
вводимых ниже последовательностей согласованных мно-
множеств.
В пространстве натуральных чисел Н согласованные
множества совпадают, очевидно, с перечислимыми.
Непосредственно из определения 3 получается
Теорема 1. Всякое согласованное множество пра-
правильно.
Простейшие примеры согласованных множеств дает
Теорема 2. 1) Пустое множество и носитель
КМП — согласованные множества;
2) любой шар является согласованным множеством.
Доказательство. Утверждение 1) очевидно:
для пустого множества согласующим является алго-
алгорифм, не применимый ни к какому слову, носитель же
пространства согласуется всюду применимым алгориф-
алгорифмом. Докажем утверждение 2). Поскольку (в силу ут-
утверждения 3) теоремы 1 § 1) всякий шар является пра-
правильным множеством, достаточно построить такой ал-
алгорифм у, что для любого шара S и любого Х^М
Построим алгорифмы yi и \2 так, что для любого шара
В § 3 гл. 2 приведен алгорифм G такой, что для лю-
любого КДЧ х
\G(x)=x>0.
Искомый алгорифм y строим теперь так, чтобы для
любого шара S и любого X*)
V(S,X)?*G(y2(S)-p(vl(S),X)).
*) Для произвольных слов Р и Q запись Р — Q следует пони-
ь как сокращение б " '" "'
рифм вычитания КДЧ.
мать как сокращение более точной записи — (Р, Q), где — — алго-

СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 38)
Очевидно, для любого шара S =f Xi * п и Ге М
!v(S, Х) = р(Х„ Х)<2-" = Хе S,
что и требовалось.
Определение 4. Последовательность множеств
{Жп} (Жп ^ ^) назовем последовательностью согласо-
согласованных множеств, если осуществим алгорифм % такой,
что при любом п выполняется Согл (,%?„, $„).
Теорема 3. 1) Пересечение любого конечного
числа согласованных множеств является согласованным
множеством.
2) Объединение последовательности согласованных
множеств является согласованным множеством.
Доказательство. Пусть Ж\, Ж% Жп — со-
согласованные множества и \ь •••» Y«—их согласующие
алгорифмы. Построим алгорифм \ так, что
Р) ¦¦¦Уп(Р)-
Очевидно, для любого X е М
Далее, если X = Y, то X <=Жг = ? <=Ж1 и потому
м
!у (X) = !y (Y). Следовательно, алгорифм y согласует
пересечение множеств Ж Жп.
Пусть теперь {Жп} — последовательность согласован-
согласованных множеств, Ж — ее объединение, 91 — такой алго-
алгорифм, что при любом п
A) Согл(^„, €„).
Построим алгорифм б так, что при любом слове Р
i), Р,/1@) =5= Л)
(использованные здесь обозначения введены в §§ 1 и 3
гл. 1).
Покажем, что б согласует множество Ж. Поскольку
для любого X е М

382 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
и все множества Жп правильные (теорема 1), то мно-
множество Ж правильное. Поэтому достаточно доказать, что
для любого ЛеМ
B) \Ь{Х) = Х^Ж.
Действительно, пусть \8(Х). Тогда 8(Х), /2(й(Х)),
/2 F (X)) —натуральные числа. Обозначим последние два
числа соответственно через пх и п2. Очевидно,
[91] (л,, X, л2)===Л,
т. е. 91 заканчивает работу над словом пи X не более
чем за п2 шагов. Поэтому
!Я(л„ X),
откуда, ввиду A), получаем
X s Жп,.
Следовательно,
Х<=Ж.
Предположим теперь, что Х^Ж. Если ~1!б(Х), то
при всех i
[%]Ш), X, /2@)# Л,
откуда, очевидно, следует, что при каждом п
Таким образом, X не принадлежит ни одному из мно-
множеств Жп, что невозможно. Поэтому выполняется
Следовательно, !б(А'), чем заканчивается доказа-
доказательство эквивалентности B). Теорема доказана.
Теорема 3 обобщает теорему о перечислимости объ-
объединения последовательности и пересечения конечного
числа перечислимых множеств, которая получается из
теоремы 3, если в качестве М взять пространство нату-
натуральных чисел.
Определение 5. Алгорифм W назовем алгориф-
мическим оператором, действующим из КМП /И, в КМП
М2 или, короче, алгорифмическим оператором типа
Mi т* М2, если

§ 2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТбА. ОПЕРАТОРЫ 383
1) Ч*1 является алгорифмом типа (Л\-г*'Л2), т. е.
перерабатывает всякий элемент Ж\, к которому он при-
применим, в элемент Л2\
2) для любых X и Y из Ми если !г|з(Х) и X — Y, то
В этом параграфе, за исключением особо оговари-
оговариваемых мест, все рассматриваемые алгорифмические
операторы считаются операторами типа Mi-r*M2. В этой
связи упоминание о Mi и М2, равно как прилагательное
«алгорифмический», часто опускается.
Определение 6. 1) Будем говорить, что алгориф-
мический оператор W определен (не определен) в точке
XsiH, если W(X) (соответственно ~W(X)).
2) Будем говорить, что множество JcMi является
областью определения оператора х?, если для любого
ХизМ
3) Назовем оператор У всюду определенным, если
он определен в каждой точке КМП М\.
Непосредственно из определений 2—3, 5—6 следует
Теорема 4. 1) Всякий алгорифмический оператор
является согласованным алгорифмом.
2) Если множество Ж является областью определе-
определения какого-нибудь алгорифмического оператора, то Ж—
согласованное множество.
Обратно, если М2 содержит хотя бы один элемент
Z, то любое согласованное множество (точек Mi) яв-
является областью определения некоторого алгорифмиче-
алгорифмического оператора (типа Mi т* М2). Действительно, если
алгорифм 51 согласует множество Ж'—Ли то алгорифм
Ч, перерабатывающий в Z всякое слово, к которому он
применим, и такой, что при любом слове Р
является искомым алгорифмическим оператором. Та-
Таким образом, имеет место
Теорема 5. Если КМП М2 содержит хотя бы один
элемент, то множество Ж ^Л\ согласовано тогда и
только тогда, когда оно является областью определения
некоторого алгорифмического оператора.

384 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА |ГЛ. 9
Обозначим через Но подпространство пространства
натуральных чисел Н, индуцированное одноэлементным
множеством {0}.
Следствие 1. Множество Ж S М\ согласовано
тогда и только тогда, когда оно является областью
определения алгорифмического оператора типа Mi-r*H0.
Теорема 5 и следствие 1 устанавливают тесную связь
между алгорифмическими операторами и согласован-
согласованными множествами, позволяющую формулировать ре-
результаты о согласованных множествах в терминах опе-
операторов и наоборот.
Ясно, что конструктивные функции одной перемен-
переменной являются алгорифмическими операторами типа
Е, —>Е\, а конструктивные функции п переменных
(п > 1) могут рассматриваться как операторы любого
из трех типов: Еп -r> Et, En т* Е\, En т> Б\.
Определение 7. Алгорифмические операторы
типа В-г+Н (где В — бэровское пространство, Н — про-
пространство натуральных чисел) будем называть эффек-
эффективными функционалами.
Эффективные функционалы есть, очевидно, алгориф-
алгорифмы, перерабатывающие те записи последовательностей
натуральных чисел (ПНЧ), к которым они применимы,
в натуральные числа; при этом совпадающие ПНЧ пе-
переводятся в равные натуральные числа.
Наряду с эффективными функционалами в смысле
определения 7 естественно рассматривать вычислимые
функционалы более общего рода, областью согласован-
согласованности которых является множество записей алгорифмов
типа (^т+^)*), (Переход от ПНЧ к таким алгориф-
алгорифмам вполне аналогичен переходу от общерекурсивных
функций к частично рекурсивным.) Более точно, вычис-
вычислимый функционал задается алгорифмом f, перерабаты-
перерабатывающим запись всякого алгорифма типа (Ж-т*Ж), к ко-
которой он применим, в натуральное число, причем если
*) Легко видеть, что на этом множестве нельзя ввести кон-
конструктивную метрику, согласованную с совпадением алгорифмов
как функций типа (Зё-.^Зв). Точнее говоря, если обозначить че-
через Го множество записей алгорифмов типа B@-7*-Зё). то невоз-
невозможен алгорифм р такой, что список {Го, р) являегся КМП и
Eyj3) = 0 = v« (Yi («) =* Y2 («)).

i 2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 385
при любом п
Yi(n)=*Y2(n).
то
Такие вычислимые функционалы с точностью до тех-
технических деталей представляют собой частный случай
эффективных операций, введенных и исчерпывающим
образом изученных в работе Майхилла и Ше-
пердсона [1].
Наиболее существенные свойства эффективных функ-
функционалов (или вполне аналогичных им объектов) были
установлены в работах Крайзела, Лакомба, Шён-
филда [1]—[2], Цейтина [3]~[5], Фридберга [1].
Некоторые из результатов этих работ приведены ниже.
2. В этом пункте будет доказано естественное обоб-
обобщение известной теоремы Маркова о неразрывности кон-
конструктивных функций (Марков [3], [5]; доказатель-
доказательство для случая КМП впервые опубликовано в работе
Слисенко [3]). Хотя теорема неразрывности и вытекает
из доказываемых в п. 5 более сильных результатов, мы
предпочитаем привести отдельное доказательство, тем
более, что это доказательство, во-первых, приложимо
к значительно более широкому, чем алгоритмические
операторы, классу алгорифмов, во-вторых, не опирается
на принцип Маркова и, в-третьих, благодаря своей
прозрачности способствует фиксации используемых в
таких ситуациях идей.
Пусть 51 —алгорифм, X — точка КМП Af,.
Определение 8. Будем говорить, что 21 является
алгорифмом типа (Af, -> М2) в точке X, если при любом
Y e Af, таком, что Y = X, выполняется Ш (Y), 21 (Y) е Af2
и %(Y) = %(X).
Определение 9. Будем говорить, что алгорифм
ЭД имеет конструктивный разрыв типа (Af, -*М2) в точ-
точке X, если % является алгорифмом типа (Afi -> Af2) в
этой точке и осуществимы последовательность р точек
Afi и рациональное число г > 0 такие, что при любом п
1) % является алгорифмом типа (Afj—>Af2) в точ-
точке р(и);

386 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. »
2)
з) Р(ад (р()))^)
(Напомним, что р1( р2 — метрические алгорифмы про-
пространств ill,, iH2.)
В случае, когда алгорифм §1 (фигурирующий в опре-
определении 9) есть алгорифмический оператор, можно ска-
сказать, что этот оператор определен в точке X и во всех
точках Р(п), причем всегда р2(ЗД(Х), 51(Р(я)))^ г.
Теорема 6 (теорема неразрывности). Пусть Mi —
слабо полное, М2 — произвольное КМП. Никакой алго-
алгорифм не может иметь конструктивного разрыва типа
(М^М3).
Доказательству этой теоремы предпошлем следую-
следующую лемму (ср. § 1 гл. 4).
Лемма 1. Пусть Щ. — алгорифм, X ^ Ми (J — по-
последовательность точек Ми причем при любом п
C) ' p,(*,p(*))<2-n.
Тогда можно построить алгорифм у такой, что для
любого слова Р (в фиксированном нами алфавите А)
выполняется
1) если ~]\%(Р), то \у(Р), у(Р)&М1 и у(Р) = Х;
2) если Ш(Р) и % заканчивает работу над Р точно
за k шагов, то \у{Р), у{Р)^М.х и у(Р) = Р(& + 1).
Доказательство. Построим алгорифмы y1» Y2. Y3
так, что
Р(л+1), если
P(Y'(/>)+!)> если [«](P,/i)=fA;
*) Приводимая ниже теорема неразрывности почти точно так
же может быть доказана и при более общем понятии конструктив-
конструктивного разрыва, связанном с отказом от требования Щ (Y) =Ш(Х)
м,
в определении 8. Заметим также, что условие 2) определения 9 (ре-

§ 2J СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 387
Пусть Lim — алгорифм слабого предельного перехода
в Mi (определение 7 § 1). Строим искомый алгорифм у
так, чтобы
Y (Р) ы Lim (y3 (P)).
Если ~1!21(Р), то при любом п
Поэтому
Y2(f-«)-(i(«+l).
Из C) тогда получаем, что \р есть регулярная по-
последовательность точек, сходящаяся к X. Следователь-
Следовательно, 1Ыт(\3(Р)) и Lim(Y3(P)) = X, что и требуется.
Пусть теперь Ш(Р) и 21 заканчивает работу над Р
точно за k шагов. Тогда
1) при k<n.
Следовательно (C)), у2р является регулярной после-
последовательностью. Кроме того, очевидно, у2р сходится
к Р(? + 1). Отсюда так же, как и выше, получаем, что
1у(Р), У(Р)^М1 и y(P) = P(*+1).
Mi
Теперь нетрудно доказать теорему неразрывности.
Обозначим через ф алгорифм со следующим свойством:
невозможен алгорифм ф (над алфавитом А) такой, что
для любого слова Р (в А)
Пусть Afi — слабо полное КМП и алгорифм 21 имеет
конструктивный разрыв типа (Mi ->• М2) в точке X.
Пусть далее р и г — соответствующие последователь-
последовательность точек Afi и рациональное число (см. определе-
определение 9). Применим к ф, р и X лемму 1 и обозначим че-
через y алгорифм, построенный согласно этой лемме.
гулярная сходимосгь р к X) можно было бы заменить требованием
(конструктивной) сходимости р к X (именно так определяется кон-
конструктивный разрыв в работе Маркова [5]): при наличии кон-
конструктивного разрыва в этом более широком смысле имеет место
и конструктивный разрыв в смысле определения 9.

388 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. 9
Построим теперь алгорифм & так, что
(Напомним, что алгорифм G применим к положитель-
положительным и только положительным КДЧ.)
Пусть ~1!ф(Р). Тогда у(Р) = Х.
м,
Следовательно,
и поэтому
ЩР).
Если 1$(Р), то при некотором k y(P) = $(k) и, сле-
довательно,
Р2(*(Х)Л((Р)))>г,
откуда следует
116 (Я).
Поэтому если 1<5(Р), то ф()
Таким образом, при любом Р
Это, однако, невозможно. Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть М\ — слабо полное КМП,
М2 — произвольное КМП. Никакой алгорифмический
оператор типа М\ -? М2 не может иметь конструктив-
конструктивного разрыва.
Следствие 3 (теорема А. А. Маркова). Никакая
конструктивная функция не может иметь конструктив-
конструктивного разрыва.
Это утверждение получается из следствия 2, если
в качестве Mi и М2 взять пространство КДЧ.
3. Значительная часть наших дальнейших результа-
результатов (в частности, теорема непрерывности) будет полу-
получаться с помощью одного общего принципа, который
мы, следуя терминологии Ц е й т и н а [9], назовем
«принципом захвата».
Пусть по-прежнему фиксирован некоторый алфавит
А (содержащий буквы 0 и |), и пусть Ж — перечисли-
перечислимое множество слов в этом алфавите, дополнение Ж ко-

§2]
СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ
389
торого до множества всех слов в А неперечислимо*).
Пусть, далее, Ж\—перечислимое множество (слов в Л)
такое, что Ж S Ж\. Тогда можно найти слово Р, при-
принадлежащее Ж П Ж\ (принцип захвата). Другими сло-
словами, всякое перечислимое множество, накрывающее
дополнение множества Ж,«за-
хватывает» и некоторый эле-
элемент Ж, причем соответствую-
соответствующий элемент может быть эф-
эффективно найден (рис. 21).
Доказательство высказан-
высказанного утверждения почти оче-
очевидно. Действительно, множе-
множество ЖГ\Ж\ как пересечение Рис. 21. Заштриховано пе-
перечислимых множеств пере- речислимое_ множество
числимо. Построим стройный %\ (^ — ^"i)«
алгорифм у, перечисляющий
Ж[\Ж\. Если llv(O), то множество Ж[\Ж\ пусто и, сле-
следовательно, Ж\ совпадает с Ж, что невозможно из-за не-
неперечислимости Ж. Поэтому выполняется ~1~1!y@)> от-
откуда по принципу Маркова получаем 1y@)- Очевидно,
у@)еХП Ж\, т. е. является искомым общим элемен-
элементом Ж и Ж\.
Интересной методической особенностью принципа
захвата является то, что он позволяет использовать не-
невозможность алгорифма (именно, алгорифма, перечис-
перечисляющего Ж) для построения некоторого конструктив-
конструктивного объекта.
Сделаем некоторые пояснения в связи с особенно-
особенностями применения метода захвата в этой главе**).
Пусть 3? — некоторое множество слов в алфавите А
и s4- — какое-нибудь свойство элементов этого множе-
множества. Свойство s& назовем потенциально перечислимым
на множестве 2, если можно указать перечислимое
свойство (множество) s4-' слов в алфавите А, выпол-
выполняющееся для тех и только тех элементов 2, которые
обладают свойством s&. Например, свойство точек
*) Ясно, что Ж неперечислимо тогда и только тогда, когда Ж
не является разрешимым множеством.
**) Мы рекомендуем вернуться к этим пояснениям после озна-
ознакомления с доказательством теоремы 7 и сепарациошюй теоремы.

390 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. в
конструктивного метрического пространства отличаться
(в смысле метрики) от данной его точки является по-
потенциально перечислимым. Это обстоятельство и воз-
возможность (ср. лемму 1) в случае слабо полных КМП
сводить принадлежность (непринадлежность) слов пе-
перечислимому множеству к различию (эквивалентности)
точек КМП весьма существенны при создании ситуа-
ситуаций для применения принципа захвата.
Метод захвата применяется нами по следующим
двум схемам.
а) Пусть & — некоторое множество точек КМП М,
si> — потенциальное перечислимое свойство точек SB, и
мы хотим найти элемент 9?, обладающим свойством si-.
Пусть $?' — перечислимое множество слов, пересечение
которого с 2? состоит из тех и только тех элементов 9?,
которые обладают свойством М. Предположим, что нам
удалось построить алгорифм у так, что (X —перечис-
—перечислимое множество с неперечислимым дополнением)
D) если Ре=Х, то \у{Р) и у{Р)<=2,
E) если Psl, то \у{Р) и y{P)<=s4-r.
Обозначим через Я? л множество, задаваемое условием
F) Р <= 2Л = !Y (Я) & у (Р) s si-'.
Очевидно, 3?л перечислимо и (E)) Ж s S?a- Следова-
Следовательно, можно указать QeXfli?,*. Ввиду D) и F).
у (Q) е 3? и у (Q) обладает свойством si-. Схему а) можно
проследить в доказательстве теоремы 7 (а также в тео-
теореме § 3 о выборе перечислимого покрытия).
Более тонкой является схема б), применяемая в се-
парационной теореме.
б) Пусть &\ — некоторое множество точек КМП М
и X — точка М. Скажем, что точка X перечислимо от-
отделима от 2\, если существует перечислимое множе-
множество 91 такое, что всякая точка, эквивалентная X, при-
принадлежит Я, а любая точка из §?\ не принадлежит Si,
(Напомним, что Scx получается из 3?\ присоединением
всех точек, эквивалентных в М точках SB\.) Пусть &<ь —
некоторое множество шаров М, и мы хотим найти шар

СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ
391
из 9?% не пересекающийся с 3?\ *). Предположим, что
нам удалось построить алгорифмы уи у2 со следующими
свойствами
Y! перерабатывает всякое слово из множества Ж
в шар из 3?2,
у2 перерабатывает всякое слово из Ж в точку Af,
эквивалентную X;
если Ре^и шар у1 (Р) пересекается с 2?ъ то \2
перерабатывает Р в точку М., принадлежащую^.
Пусть 31 — перечислимое множество, отделяющее X
от SV Рассмотрим множество 3LXl такое, что
G)
(8)
(9)
Очевидно, 0LXi перечислимо и ((8)) Ж s 9iSx. Сле-
Следовательно, можно найти слово Q, общее множествам
Ж и Яхг Согласно (9)
шар Yi(Q) не пересека-
пересекается с SB\, что и требует-
требуется (рис. 22).
Главную трудность j{-
при проведении этой схе-
схемы составляет, конечно,
построение алгорифмов
Yi и, в особенности, у2.
Ясно, что это построение Рис' 22- Заштриховано перечне-
выглядело бы более ре- лимое множество Я,,.
альным, если бы мы рас-
располагали алгорифмом, находящим по каждому шару из
3?2, пересекающемуся с 9?\, точку, общую Э?\ и этому
шару. Условие существования такого алгорифма, напоми-
напоминающее аксиому выбора, входит в число посылок сепара-
ционной теоремы и в значительной степени обусловливает
требования сепарабельности в теореме непрерывности.
Условие сепарабельности множества 3?\ делает свойство
пересекаемости произвольного шара с 9?\ потенциаль-
потенциально иеречислимым (на множестве всех шаров), что обес-
обеспечивает существование искомого «алгорифма выбора».
*) Например, при доказательстве непрерывности конструктив-
конструктивной функции f в нуле нужно (при данном фиксированном п) найти
окрестность нуля, не пересекающуюся с множеством тех х, для
которых \{(х) и |/(х)— /@)|>2-п.

892 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. в
Метод захвата впервые в явной форме использо-
использовался для изучения вычислимых операторов в работах
Цейтина [4]—[5]. Близкий метод был развит также
Крайзелом, Лакомбом и Шёнфилдом [1]—[2]
при доказательстве непрерывности эффективных функ-
функционалов*). Другой оригинальный подход, основанный
на теореме Клини о неподвижной точке и позволяющий
получить примерно тот же круг результатов, что и ме-
метод захвата, предложен Московакисом в работе [1]. Как
в методе захвата, так и в методе Московакиса, суще-
существенным образом используется принцип Маркова.
Нам будет удобно фиксировать некоторое перечис-
перечислимое множество с неперечислимым дополнением. До-
Доказываемая ниже лемма 2 специфицирует принцип за-
захвата применительно к этому множеству.
Пользуясь универсальным алгорифмом, построим ал-
алгорифм JB так, что для любого алгорифма 91 в алфа-
алфавите А" и любого слова Р в А
Построим также алгорифмы (§: и V такие, что
<S(P)~23(P, P),
Очевидно,
и если IV(P), то ® заканчивает работу над Р точно
за V(P) шагов.
Определение 10. Слово Р (в алфавите А) на-
назовем предельным (непредельным), если
(соответственно 1®(Р)).
Лемма 2. Если алгорифм 21 в алфавите Л? при-
применим к любому предельному слову, то ?913 ^ть не-
непредельное слово, к которому применим 91.
*) Конструкцию, близкую к схеме применения метода захвата
в теореме 7, можно также найти в работе Майхилла и Ше-
пердсона [1].

$ 2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 393
Доказательство. Предположим, что ?913 —
предельное слово, т. е.
Поскольку
A0)
то тогда
что противоречит условиям леммы.
Следовательно, имеет место
откуда по принципу Маркова получаем
(п)
Из A0) — A1) получаем, что ?213—непредельное
слово, причем
Лемма 2 показывает, что множество предельных
слов неперечислимо (в то время как множество непре-
непредельных слов, очевидно, перечислимо).
4. Проиллюстрируем применение принципа захвата
на примере следующего, представляющего самостоя-
самостоятельный интерес предложения (ср. Цейтин [5; лемма
§ 1 гл. 3]).
Теорема 7. Пусть Mi — слабо полное КМП, 91 —
согласованное множество точек Ми Je^ « р— после-
последовательность точек Ми регулярно сходящаяся к X
(определение 6 § 1). Тогда при любом m можно найти
натуральное I такое, что р(/)е$ и pi(P(/),-^)< 2~m.
Доказательство. С помощью леммы 1 построим
алгорифм у так, что
A2) если Р — предельное слово, то
У(Р) = Х,
м,
A3) если Р — непредельное слово, то

394 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
(алгорифм V перерабатывает всякое непредельное сло-
слово в натуральное число — см. стр. 392).
Пусть алгорифм ЗД. согласует множество 52 (опреде-
(определение 3). Построим алгорифм б так, что
б(т, Р) - G B"m - Pl (Y (Р), X)) 91 (Y (P)).
Очевидно,
A4) !б(т, Р) _(р, (у (Р), *) < 2~т)& (Y(P) e Й).
Построим такой алгорифм а, что
Ввиду A2) и A4) алгорифм бт применим к любому
предельному слову. Следовательно (лемма 2), а(т)
есть непредельное слово и !б(т, о(т)). Поэтому (A4))
A5)
и
A6) у(о(т))<=Я.
Построим теперь алгорифм 8 так, что
Так как при любом т а{т) — непредельное слово,
то 8 есть последовательность натуральных чисел, при-
причем
Y(())
Aft
Отсюда на основании A5) — A6) получаем
)), Х)<2-т,
чем и заканчивается доказательство.
Применительно к алгорифмическим операторам тео-
теорема 7 дает
Следствие 4. Пусть Mi — слабо полное К.МП,
Х^Ми р — последовательность точек Mi, регулярно
сходящаяся к X. Если алгорифмический оператор W
определен в точке X, то для любого пг можно указать
п так, что Pi(X,p(n))<2-m и !?(Р())

$ 2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 395
Предлагаем читателю в качестве простого упражне-
упражнения усилить следствие 4, потребовав дополнительно
PsfoCY), -Ф (Р («))) < 2~т
(Цейтин [5; лемма § 1 гл. 3]).
Переформулированное таким образом следствие 4
можно рассматривать как усиление теоремы неразрывно-
неразрывности для алгорифмических операторов.
Теорема 7 показывает, что в слабо полном совер-
совершенном пространстве согласованное множество не мо-
может иметь изолированных точек. Из нее вытекает так-
также, что в слабо полных КМП дополнения согласован-
согласованных множеств обладают некоторыми свойствами
замкнутости.
Определение 11. Пусть & — множество точек
КМП Мхи Х<= Ми
1) Назовем X алгорифмической предельной точкой
множества 3?, если можно построить последователь-
последовательность точек S', сходящуюся к X.
2) Множество 3? назовем алгорифмически замкну-
замкнутым, если оно содержит все свои алгорифмические пре-
предельные точки.
Следствие 5. В слабо полном КМП дополнение
любого согласованного множества алгорифмически зам-
замкнуто*).
Действительно, если 3? — согласованное множество
и р — последовательность точек Ми не принадлежащих
3?, сходящаяся к X, то Xф.3?, поскольку в противном
случае по теореме 7 при некоторых / E(/) также при-
принадлежало бы 3?.
Следствие б. Подпространство полного КМП, ин-
индуцированное дополнением согласованного множества,
полно.
Определение 12. Пусть &'sAfi. Будем говорить,
что алгорифм % прослеживает множество 3J, если он
перерабатывает всякий шар, имеющий непустое пере-
пересечение с 3?, в точку, принадлежащую как &, так и
*) Если 9? — множество точек КМП Mi, то дополнением 9?
(в Mi) мы называем множество, определяемое условием

396
КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. О
точки л е.
с центром
этому шару*). Множество 2? назовем прослеживаемым,
если можно построить прослеживающий его алгорифм.
Теорема 8 (сепарационная теорема; Москова-
кис [1]). Пусть Mi — слабо полное КМП, &\ — согла-
согласованное, 3?2 — прослеживаемое
множество
точек Af,, причем
5. Тогда для каждой
Р] можно найти шар
в точке X, не со-
содержащий точек множества 9?2
(рис. 23). Точнее говоря, можно
построить алгорифм sep гак, что
для каждого слова вида X, ?21,3,
?2123 и любых множеств точек 9?х,
i?2, если 21, согласует 3?х, 212
прослеживает i?2, i?, Л 3?2 = 0
и X^S, то !sep(Z, ?21,3, №3)
ы sep (Х,>'?%3, ?2123) — шар с центром в точке X,
имеющий пустое пересечение с Si.
Доказательство. Построим алгорифм y такой,
что при любых словах Р и Q
Рис. 23. Э?х — согласо-
согласованное множество, 2?у—
дополнение 2Х, 3?2—про-
3?2—прослеживаемое множество
Очевидно,
у(Р, Q)~P*V(Q).
A7) при любом XeAf, и непредельном слове Q !у (X, Q)
и y (X, Q) — шар с центром в точке X.
Пусть XeAf,, 3?2— множество точек Af,. Скажем,
что непредельное слово Q сцеплено с X и i?2, если
у(Х, 0)[\9?2Ф®.
Построим алгорифм y1 так, что Для любых слов Р и
Q, любого алгорифма 2t2 и любого натурального п
Р,
если
, п)фА,
%t(P*V(Q)), если [<SJ(Q, «)-Л.
(Алгорифм ® введен на стр. 392.)
*) Мы говорим, что множество R пусто, и пишем R = 0, если
~]ЗР (Я е /?). Множество /? называется непустым (^=^=0), если
неверно, что оно пусто.

$ 2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА, ОПЕРАТОРЫ 397
Пусть Lim — алгорифм слабого предельного пере-
перехода в Мх. Построим алгорифм у2 так, что
A8) Y2^. ад, Q)~Lim(?Y',№3,Q3).
A9) Если X е М, и Q — предельное слово, то
У2(Х,?%1, Q)eM, и y2(*> №, Q) = X.
В самом деле, при предельном Q для любого 212 и п
УЧХ, ?2I23, Q, «) = *¦
Следовательно, vjf, ??1гз. q—регулярная последователь-
последовательность точек, сходящаяся к X, откуда и следует A9).
B0) Пусть ZeAfi, алгорифм 212 прослеживает мно-
множество 3?2 и Q — непредельное слово, сцеплен-
сцепленное с X и 2V Тогда !y2№ ?^23. Q) и
У2(Х, ?2123. Q)e^2 (см. определение 17 § 1).
Действительно, в . рассматриваемом случае шар
X*V(Q) имеет непустое пересечение с SV Следова-
Следовательно !212(^*^(Q)) и %(X*V(Q)) есть точка шара
X*V(Q), принадлежащая SB^. Поскольку
X при n<V(Q),
2(X*V(Q)) при n>V(Q),
Ух ?жэ о является регулярной последовательностью то-
точек Мх, сходящейся к %2(Х*V (Q)). Отсюда и сле-
следует B0).
Построим теперь алгорифм 21 так, что для любых
алгорифмов 21,, 212 и слов Р, Q
Я(Р, ?21,3, ?Я23, Q)^2I1(v2(P, ?2123, Q)).
Пусть J^Af|, 21, согласует множество ЗБЪ 212 про-
прослеживает множество 2?2, 2>,П2'2=0> ^s^!. Тогда
B1) если Q — предельное слово, то
1ЩХ, ?21,3, ?5I23> Q);
B2) если Q — непредельное слово, сцепленное с X
и й'г, то
"МВД ?91.3, №3. Q);
B3) ?®я. ?и,з.?вдЗ есть непредельное слово, не сце-
сцепленное с X и 3?2-

398 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Утверждение B1) следует из A9), а утверждение
B2) из B0).
Утверждение B3) непосредственно вытекает из лем-
леммы 2 и B1) — B2).
Строим теперь алгорифм sep так, чтобы
B4) sep (*, ?И,3, М) <* X * &
Ввиду B3) алгорифм sep обладает требуемыми
свойствами.
Определение 13. Множество 2 назовем эффек-
эффективно открытым, если осуществим алгорифм а (внут-
(внутренняя функция 2), перерабатывающий всякий эле-
элемент X из SB в шар с центром в X, целиком содержа-
содержащийся в 2'.
Следствие Т. В слабо полном КМП всякое со-
согласованное множество с прослеживаемым дополнением
эффективно открыто.
Важный класс прослеживаемых множеств образуют
(в случае слабо полных сепарабельных КМП) согла-
согласованные множества.
Теорема 9 (Московакис [1]). В слабо полном
сепарабельном КМП всякое согласованное множество
прослеживаемо; точнее говоря, можно (при фиксиро-
фиксированном исходном КМП) построить алгорифм tr так,
что для любого алгорифма 21 и множества 2, если %
согласует 2, то алгорифм {г?яз прослеживает 2.
Как показал недавно Ю. Р. Вайнберг, если усилить
определение прослеживаемости, допустив в нем шары
произвольных радиусов (мы рассматриваем лишь шары
радиусов вида 2~п при натуральном п), то из просле-
прослеживаемости всех согласованных множеств данного КМП
следует сепарабельность этого КМП. (При принятом
нами определении прослеживаемости это утверждение
легко опровергается: в качестве контрпримера можно
взять подпространство Н, индуцированное каким-нибудь
неперечислимым множеством.)
Теорема 9 вытекает из следующих трех лемм.
Лемма 3. Всякое перечислимое множество точек
КМП прослеживаемо.
Лемма 4. Всякое сепарабельное множество про-
прослеживаемо.

$ 2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 399
Лемма 5. В слабо полном сепарабельяом КМП
всякое согласованное множество сепарабельно.
Лемма 4 следует из леммы 3 и того очевидного об-
обстоятельства, что алгорифм, прослеживающий плотное
подмножество данного множества, прослеживает и само
это множество. Пусть теперь Mi— слабо полное, сепа-
рабельное КМП и 21 — согласованное множество точек
М\ с согласующим алгорифмом %. Обозначим через р
алгорифм, перечисляющий плотное подмножество Afj.
Построим алгорифм а так, что при любом я
Очевидно, множество тех натуральных чисел, к кото-
которым применим а, перечислимо (ср. § 3 гл. 1). Построим
алгорифм у» перечисляющий это множество. Пусть да-
далее 9 — такой алгорифм, что
Очевидно, в перечисляет некоторое подмножество 9?
(точнее говоря, 9 перечисляет множество точек вида
Р(п), принадлежащих S). Из теоремы 7 следует, что
перечисляемое 9 множество плотно в S, чем и закан-
заканчивается доказательство леммы 5. Осталось доказать
лемму 3. Пусть Mi — КМП и алгорифм р перечисляет
некоторое множество 2?\ точек Mi. Для каждого шара
S обозначим через Ss множество элементов Si, при-
принадлежащих S. Так же, как и выше, используя согла-
согласованность любого шара, можно показать, что все мно-
множества 3?8 перечислимы, и построить такой алгорифм
%х, что для любого шара S алгорифм %s перечисляет
S's- Построим далее^алгорифм 9и так, что для любого
шара S алгорифм $.% есть стройный алгорифм, пере-
перечисляющий Ss (теорема 7 § 3 гл. 1). Искомый просле-
прослеживающий алгорифм % строим теперь так, чтобы
21(S)sk212(S, 0).
Теорема 9 будет использована нами в следующем
пункте при доказательстве теоремы непрерывности.
В заключение этого пункта распространим на согла-
согласованные множества результаты п. 5 § 1, связанные с
теоремой Бэра. (Приводимые результаты (Кушнер

400 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
[10]) представляют собой некоторое усиление результа-
результатов Московакиса [1].)
Теорема 10. Пусть Мх — полное КМП, SB— со-
согласованное множество и X <= 2. Для любого множе-
множества первой категории SB\ можно найти точку, принад-
принадлежащую 2, но не принадлежащую SB\ *).
Действительно, пусть X е SB, SB\ — множество первой
категории. Построим последовательность шаров со так,
что
со (л) == X * п.
Согласно теореме 8 § 1 мы можем построить после-
последовательность точек 0 так, что при любом п
B5) в(л)<=со(л)
B6) *{
Ввиду B5) при всяком п
р,(лг,е (/»))< 2-.
Поэтому мы сможем найти (теорема 7) такое /, что
9@ е 3?. Ввиду B6) ВA)ф&и что и требуется.
Следствие 8. Пусть Mi — полное сепарабельное
КМП. По всякому непустому согласованному множе-
множеству SB и любому множеству первой категории SB\
можно указать точку из SB, не принадлежащую SB\.
Следствие 8 вытекает из теоремы 10 и следующего
утверждения, доказательство которого аналогично до-
доказательствам лемм 3—-5: если Mi — полное сепарабель-
сепарабельное КМП, то для всякого непустого согласованного мно-
множества можно найти точку, принадлежащую этому мно-
множеству.
Следствие 9. В полном КМП никакое непустое
согласованное множество не является множеством пер-
первой категории.
Следующее утверждение доказывается 'вполне ана-
аналогично следствию 3 § 1.
*) Напомним, что Y ф.$\ означает1, что при любом Z из
р, (Y, Z) Ф 0.

i 2] СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ 401
Следствие 10. Пусть М\ — полное совершенное
КМП (см. определение 18 § 1), & — согласованное мно-
множество точек Mi и XeS1. По всякому перечислимому
множеству &\ точек М можно найти точку из &', не
принадлежащую &\.
Следствие 11. Пусть М\ — полное сепарабельное
совершенное КМП. По всякому непустому согласован-
согласованному множеству & и перечислимому множеству &\
можно найти точку &, не принадлежащую St\.
Следствие 12. В полном совершенном КМП вся-
всякое непустое согласованное множество неперечислимо.
Заметим, что принятое нами понятие совершенного
КМП (определение 18 § 1) нельзя ослабить без потери
следствия 12: можно построить полное КМП без изо-
изолированных точек, в котором существуют непустые со-
согласованные перечислимые множества.
5. Сепарационная теорема и теорема о прослеживае-
мости согласованных множеств позволяют без труда до-
доказать непрерывность алгорифмических операторов.
Этот результат вытекает из основной теоремы работы
Ц е й т и н а [5] (см. также Ц е й т и н [3] и [4]; упо-
упомянутая теорема будет доказана в следующем пара-
параграфе) и был затем независимо найден Московаки-
сом [1]*).
Теорема 11 (теорема Цейтина — Московакиса о
непрерывности алгорифмических операторов). Пусть
М.\ — слабо полное сепарабельное КМП, М2 — произ-
вольноеКМП. Можно построить алгорифм Нп так, что
для любого алгорифмического оператора W типа
Mr т* М2, любых X, Y ^Mi и любого п имеет место
\)если\Ч{Х),то !Нп(??3,Х, п) и Нп(??3, X, «)-
шар с центром в точке X;
2) если V?{X), \W (У) и Y е=Нп(??3, X, п), то
Доказательство. Построим алгорифмы 2tT и 2t2
так, что для любых слов Р, Q, алгорифма W и
*) В работах Г. С. Цейтина рассматриваются не слабо полные,
а полные КМП. Вместе с тем в приводимых там доказательствах
фактически используется лишь слабая цолнота.

402 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
натурального я
Я1 F^3. Р. п. Q)^GB-n-1-p2(?(P), ?(Q))),
Я* F^3. P. n, Q)~G(p2(?(P), W(Q))-2~n-1).
(Напомним, что алгорифм G применим к положитель-
положительным и только положительным КДЧ.)
Построим далее алгорифм Я3 так, что для любого
слова R
Я»F^3. Р.п, tf)~tr(E?2g4,3>Pin3, R)
(где tr — алгорифм, фигурирующий в теореме 9).
Искомый алгорифм Нп строим теперь так, что
Hn(m, P, «)~sep(P, Е«^>Р,Я3. ЕЯ|Тз.р.»3).
где sep — алгорифм, построенный по теореме 8.
Фиксируем произвольный алгорифмический опера-
оператор Ч? типа Mi -r* М2, точку X s iM^ в которой опре-
определен W, и натуральное п. Обозначим для краткости
через Т слово ??3, Я, п.
Пусть ^г и ^г—множества точек ill,, определяемые
условиями
К е #fr — № (Г. Г),
Ясно, что К е ^f (Y е 2"/) тогда и только тогда,
когда IV (У) и
(соответственно p2OP(Z), W (Y)) > 2"")- Кроме того,
Jf^'r, Нетрудно также убедиться, что множества SB'
и S7? согласованные, причем Щ и Й|—их согласующие
алгорифмы. Тогда по теореме 9 алгорифм Щ просле-
просле^?1 2" &' X S'f
рф р рф р
живает множество^?гЛ1оскольку 2"т П &'т= 0 и X е ,
для A", S'r, ^r, €f, Йг выполняются все условия се-
парационной теоремы. Поэтому алгорифм Нп перераба-
перерабатывает слово ?W3, ,X, n в шар с центром в точке X,
внутри которого нет точек множества 2"f. Следова-

3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 403
тельно, если W(Y) и Уе= Нп (?4^, X, п), то Y фЗ'{.
Отсюда р2 Q? (X), W (К)) < 2~п~1 < 2~п, что и требовалось.
Следствие 13. Всякая конструктивная функция
непрерывна (ср. § 2 гл. 5).
Следствие 14. Всякий эффективный функционал
непрерывен.
Остановимся несколько подробнее на следствии 14.
Пусть \f — эффективный функционал, т. е. алгорифми-
ческий оператор из бэровского пространства в про-
пространство натуральных чисел. Пусть р!— такая ПНЧ,
что !\f (EPi3) - Тогда можно указать такое натуральное
N, что для любой ПНЧ р2, если р2(/) = Pi@ при /^Л/
и PFfgfW), то 4r(EPi3)^=lIr(Ep23)- Таким образом,
значение всюду определенного эффективного функцио-
функционала на данной последовательности натуральных чисел
определяется некоторым конечным числом членов этой
последовательности. Мы еще вернемся к этому заме-
замечанию в следующем параграфе.
§ 3. Теорема о выборе перечислимого покрытия.
Усиленная форма теоремы непрерывности.
Некоторые контрпримеры
1. Изложение этого пункта заимствовано из работы
автора [10]. Доказываемая ниже теорема о выборе пе-
перечислимого покрытия представляет собой естественное
обобщение теоремы Московакиса[1]о представлении
открытых согласованных множеств перечислимыми объ-
объединениями шаров (см. следствие 2). Аналогичный ре-
результат фактически получен также в доказательстве
основной теоремы работы Ц е й т и н а [5].
Определение 1. Пусть М} — КМП и & s M.\. Ал-
Алгорифм а будем называть эффективным покрытием мно-
множества &, если он перерабатывает всякий элемент 9?
в шар, содержащий этот элемент.
Определение 2. Будем говорить, что из эффектив-
эффективного покрытия а множества 9? можно выбрать перечис-
перечислимое покрытие множества &', если осуществимы алго-
алгорифмы у и б такие, что
1) у перечисляет некоторое подмножество Ж множе-
множества S;

404 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
2) б перерабатывает всякий элемент X множества 3
в элемент Ж таким образом, что X е а(8(Х)) *).
Следующая теорема напоминает по формулировке
(но не по доказательству) классическую теорему Линде-
лёфа (см., например, К а мке [1; стр. 48]).
Теорема 1 (о выборе перечислимого покрытия).
Пусть М — слабо полное КМП. Каково бы ни было сепа-
рабельное и правильное множество 2 элементов М (см.
определения 11 и 5 § 1) и эффективное покрытие а этого
множества, из а можно выбрать перечислимое покры-
покрытие 2.
Доказательство. Пусть 3 — правильное сепара-
бельное множество точек слабо полного КМП М и а —
эффективное покрытие 9?. Обозначим через р алгорифм,
перечисляющий плотное подмножество 3'. Рассмотрим
множества натуральных чисел Mv, n такие, что
A) JejrP>n=!GB-'l-I-p(P, p@)),
где р — метрический алгорифм М, i — натуральное чис-
число, Р — слово (в фиксированном нами алфавите А) и
G — алгорифм, применимый к положительным и только
положительным КДЧ (см. § 3 гл. 2). Из определения A)
множеств Жр,п усматривается, что все эти множества
перечислимы. Построим алгорифм у1 так, что при любых
Pun алгорифм Yp, л является стройным алгорифмом,
перечисляющим множество JL?, п (ср. § 3 гл. 1).
Исходя из A) и определения р, легко убедиться, что
B) если Рей", то при всяком п !р(у'(Л п, 0)),
р (y1 (Р. п, 0)) е= 2 и р (Р, р (y1 (Р, п, 0))) < Тл~\
Пусть (S и V—алгорифмы, введенные в п. 3 § 2. На-
Напомним, что
C) слово Q непредельное тогда и только тогда, когда
при некотором п [d](Q, n) — Л,
D)
*) Условие существования алгорифма б можно, как легко ви-
видеть, заменить условием
VA" (X б S ^ 11 in (!Y (я) & (X е а (у (я))))).

$ Sj ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 405
Построим алгорифм y2 такой, что
*/о п * I Р(^(Л«, о)), если [<S](Q, я)#Л,
Из B) — D) получаем
E) если Ре2"и Q—предельное слово, то у2р Q есть
регулярная последовательность точек М, сходя-
сходящаяся к Р;
F) если Р^З? и Q — непредельное слово, то у2р _
есть регулярная последовательность точек М, схо-
сходящаяся к P(y'(P> V (Q)> 0)).
Пусть Lim — алгорифм слабого предельного пере-
перехода в пространстве М. Построим алгорифмы y3 и y4
так, чтобы
(8) y*(P,Q)~a(y4P,Q)).
Пусть Л)> Рь .-., Рп — список слов (в алфавите А).
Назовем этот список регулярным, если при любых i <;
*""" ^ 10B-' —р(Р,, Ру)).
(Понятие регулярного списка представляет собой есте-
естественное «перечислимое расширение» свойства регуляр-
регулярности упорядоченных списков точек КМП.)
Рассмотрим множество 31 (в алфавите А\) слов вида
Р, Q такое, что P,Q ей? тогда и только тогда, когда
(9) Q — непредельное слово;
A0) при i<V(Q) \y2(P,Q,i) и слова Y2(^. Q, 0),
Y2 (P, Q, 1), ..., y2 (Л Q> V (Q)) образуют регу-
регулярный список.
Нетрудно убедиться, что
A1) если слово Р, Q принадлежит Ж, то 1y3(P, Q) и
уЦР, Q)e&.
В самом деле, поскольку Q—непредельное слово, то
Г S (y1 (P, п, 0)) при п < V (Q),
v2(P Q п)~\
у \г, ц/, 'ч — 1 fl ил 1р у ^ Q^ ^ у ф

406 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Отсюда (A0)) получаем, что у2, Q является регуляр-
регулярной последовательностью, сходящейся к р (y1 (Р, V (Q), 0)).
Поэтому (G)) \уЦР, Q) и Y3 (P, Q) = Р (Y1 (Р, У (Q), 0)).
Так как Р(\'(Л V(Q), 0))<=3? и 2* — правильное мно-
множество, то у3(Р, QjeS', что и требуется.
Множество 0L перечислимо, поскольку можно по-
построить алгорифм, применимый к тем и только тем сло-
словам в алфавите Аи которые принадлежат 91. Построим
алгорифм у5, перечисляющий 91, и алгорифм у такой,
что
A2) Y(«)^Y3(Y5(")).
Ввиду A1) у перечисляет некоторое подмножество J&?
множества 9?. Для завершения доказательства осталось
построить алгорифм б, фигурирующий в определении 2.
Построим алгорифм а так, что для любого шара S
в МиХ<=М
A3) \a(S, X) = X(=S.
Возможность такого построения усматривается из со-
согласованности любого шара (теорема 2 § 2). Построим
далее алгорифмы б1, б2 так, что
A4) б'(Р, Q)^o(y*(P, Q), Р),
A5) б2(Р) = Еб]»3-
Искомый алгорифм б строим так, что
A6) Ь(Р)~уЦР,{>2(Р)).
Фиксируем произвольное PsS1 и покажем, что
Р) Ь{Р)<=Ж и Яеа(8(Р)).
Действительно, имеет место
A7) если Q — предельное слово, то \bl{P,Q) (см.
E), G)-(8) и A3)—A4));
A8) б2 (Р) — непредельное слово и !6'(Л62(^))
(A7), A5) и лемма 2 § 2).
Ввиду A8), F), (9) —A0) слово Р,82(Р) принад-
принадлежит 91. Отсюда согласно A1) получаем \у3(Р,Ь2(Р)),
т. е. (A6)) ЩР). Тогда по определению у5 и A2)

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 407
6 (Я) el Согласно A8)
!б'(Я, б2 (Я)).
Отсюда, поскольку (A4), A6), G) —(8))
б1 (Я, б2(Р))~а(а^3(Я, б2 (Я))), Р)~а(а(б(Р)), Я),
получаем
!а(а(б(Р)), Р).
Это означает, что Я принадлежит шару а (б (Я)), чем и
заканчивается доказательство.
Из теоремы 1 можно вывести ряд интересных след-
следствий.
Поскольку в слабо полном, сепарабельном КМП
всякое согласованное множество сепарабельно (лем-
(лемма 5 § 2), то имеет место
Следствие 1. В слабо полном сепарабельном
КМП из любого эффективного покрытия произвольного
согласованного множества можно выбрать перечисли-
перечислимое покрытие этого множества.
Определение 3. Будем говорить, что множество
9? точек КМП М является лакомбовым, если можно по-
построить алгорифм о, перерабатывающий всякое нату-
натуральное число, к которому он применим, в шар про-
пространства М так, что для любого JfeJH
X е= 2 = 1 ~1 Эл (!<а (п) & (X е= со (п))).
Таким образом, лакомбовы множества — это множе-
множества, получаемые объединением перечислимых множеств
шаров *).
Достаточно простое доказательство следующей тео-
теоремы предоставляется читателю.
Теорема 2. 1) Всякое лакомбово множество со-
согласовано.
2) Всякое лакомбово множество эффективно откры-
открыто (определение 13 § 2).
Теорема 1 позволяет получить результаты, в некото-
некотором смысле обратные теореме 2.
*) Такого рода множества рассматривались Лакомбом в ра-
работе [4]; термин «лакомбово множество» предложен М о с к о в а-
рисом [1].

408 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Следствие 2. В слабо полном КМП всякое эф-
эффективно открытое сепарабельное множество лаком-
бово.
Следствие 3. В слабо полном КМП всякое эф-
эффективно открытое сепарабельное множество является
согласованным.
Следствие 4 (Московакис [1]). В слабо пол-
полном сепарабельном КМП всякое эффективно открытое
согласованное множество является лакомбовым.
Для доказательства следствия 2 достаточно заме-
заметить, что всякое эффективно открытое множество яв-
является правильным, а его внутренняя функция (опреде-
(определение 13 § 2) образует эффективное покрытие данного
множества. Следствие 3 вытекает из следствия 2 и тео-
теоремы 2. Следствие 4 вытекает из следствия 2 и лем-
леммы 5 § 2.
Теорема 1 позволяет также получить новое доказа-
доказательство существования сингулярных интервальных по-
покрытий. В самом деле, фиксируем произвольное п и
построим алгорифм у, перерабатывающий слова в ал-
алфавите КДЧ в натуральные числа, причем разные сло-
слова в разные натуральные числа. С помощью алгориф-
алгорифмов D~, D+ нетрудно построить алгорифм 0, перераба-
перерабатывающий всякое КДЧ х в шар (в пространстве КДЧ
Е{) с центром в точке х и радиусом, меньшим 2~п~^х'>-2.
Алгорифм 6, очевидно, есть эффективное покрытие кон-
конструктивной прямой. Применяя теорему 1, построим ал-
алгорифмы Pi, Рг так, что Pi перечисляет некоторое мно-
множество КДЧ Ж, а Рг перерабатывает всякое КДЧ х в
натуральное число, причем всегда !Pi(p2(.x;)) и л:е
e8(Pi(Pa(*))). Поскольку, очевидно, множество Ж бес-
бесконечно, то Pi можно заменить арифметически полным
алгорифмом Рз, перечисляющим без повторений то же
самое множество Ж. При любом k
2I е (рз(/)) I < 2 2-""v (Эз('»-2 < 2 2-"-'-2=2~п-\
1=0 *=0 *=0
(Здесь |6(Рз@)| означает радиус шара 6(рз@); мы
воспользовались тем, что все числа у(Рз(О) попарно
различны.) Используя эту оценку и алгорифмы Pi, p2,
Рз, нетрудно получить ^-"-ограниченное интервальное

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 409
рациональное покрытие конструктивной прямой (в смыс-
смысле определений § 1 гл. 8).
Существование сингулярных покрытий показывает,
что теорема 1 не может быть усилена до теоремы о воз-
возможности выбора конечных покрытий. Вопрос о кон-
конструктивных аналогах теоремы Бореля (о конечных
покрытиях) изучался в последнее время Лифши-
ц е м [4].
Можно показать (см. Ногина [3] и Кушнер [10]),
что ни одно из условий теоремы 1 не может быть опу-
опущено (даже при сохранении остальных условий).
2. Докажем теперь основную теорему работы Цей-
тина [5], усиливающую теорему непрерывности § 2.
Теорема 3 (Г. С. Цейтин). Пусть Му— слабо пол-
полное сепарабельное КМП, М2 —произвольное КМП и
Ч? — алгорифмический оператор типа Mi -г* М2. Можно
построить алгорифмы а и х такие, что при любых m, n
и Хе±Мх
1) если \а{гп,п), то а(пг,п) — шар в Mi и h(m,n);
2) если !т(т, п), то х(ш, п) е М2;
3) если \a(m,n), Х^а(пг,п) и \W(X), то
), r(m,n))<2-m;
4) если \Х?(Х), то осуществимо k такое, что \a{m,k)
и X^a(tn,k). (Здесь р2 — метрический алгорифм М2.)
Доказательство. Обозначим через 3? область
определения оператора ^?. Очевидно, & — согласован-
согласованное множество. По теореме непрерывности (теорема 11
§ 2), построим алгорифм а так, что при любых m и
ХМ
A9) если V?{X) (т. е. Хе^), то !а(т, X), а(т, X)-
шар с центром в точке X, причем для любого
Уео(ш, X) такого, что W (Y), выполняется
Очевидно, при любом m алгорифм fim является эф-
эффективным покрытием согласованного множества S?.
Пользуясь следствием 1, построим алгорифмы т' и у

410 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
так, что при любом т
B0) t'm перечисляет некоторое подмножество Жт мно-
множества
B1) если Х<=&, то \у(т,Х), у(т,Х)*=Жт и
Jea(m, у(т, X)).
Искомые алгорифмы г и а строим теперь так, что
B2) г(т, «)~^(г'(т, «)),
B3) о (т, п) ~ а (т, г' (т, л)).
Утверждение 1) теоремы следует из A9), B0) и B3),
утверждение 2) из B0) и B2), утверждение 3) из A9),
B0) и B2) — B3). Наконец, утверждение 4) вытекает
из B1).
Доказанная теорема показывает, что при любом m
область определения оператора ^? может быть покрыта
перечислимым множеством шаров так, что каждый шар
этого множества отображается этим оператором внутрь
некоторого шара пространства М2 радиуса 2~т. Из уси-
усиленной теоремы непрерывности вытекает сформулирован-
сформулированная нами в § 2 гл. 5 усиленная теорема непрерывности
конструктивных функций и теорема Крайзела — Лаком-
ба — Шёнфилда — Цейтина (Крайзел, Лаком б,
Ш ё н ф и л д [1]—[2], Ц е й т и н [3]—{5]) о продолжимости
эффективных функционалов до частично рекурсивных
операторов в смысле К л и н и [4].
Сделаем еще несколько замечаний по поводу тео-
теоремы 3 (ср. § Г гл. 1 работы Цейтина {5]) *).
Существуют два подхода к определению вычислимых операто-
операторов. Мы поясним эти подходы на примере операторов, аргументами
и значениями которых являются арифметические функции (т. е.
функции натурального аргумента с натуральными значениями). При
первом подходе в качестве исходных данных и результатов опе-
оператора фигурируют (в той или иной кодировке) предписания алго-
алгорифмов, вычисляющих аргументные и результирующие функции, на-
*) Следующие два абзаца не претендуют на особую точность.
Изложение в них не укладывается в рамки конструктивной мате-
математики. (В частности, термин «функция» понимается в традицион-
традиционном смысле.)

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 411
пример, записи алгорифмов типа (Ж~*36), При этом на оператор
естественно наложить требование корректности, состоящее в дан-
данном случае в том, что если два входных предписания определяют
одну и ту же функцию, то получаемые по ним с помощью опера-
оператора предписания также определяют вычисление одной и той же
функции. Такой характер носят эффективные функционалы и кон-
конструктивные функции. Следуя Ц е й т и н у [5], назовем операторы
описанного типа операторами Маркова. При втором подходе опера-
оператор использует не предписания для вычисления аргументной функ-
функции — такое предписание может быть неизвестным, — а лишь зна-
значения исходной функции, которые предполагаются доступными вся-
всякий раз, когда в них возникает необходимость. Можно представить
себе, что имеется «оракул», вычисляющий исходную фунцию, к ко-
которому обращается оператор в процессе вычисления значений ре-
результирующей функции. При таком подходе можно даже не пред-
предполагать вычислимости исходной функции — вычислимость резуль-
результата носит здесь относительный характер; именно, результирующая
фуикция вычислима в той степени, в какой умеет вычислять исход-
исходную функцию «оракул». Условие корректности в данном случае вы-
выполнено автоматически, более того, если результирующая функция
оказалась, например, определенной в 0, то при вычислении ее зна-
значения были использованы лишь значения исходной функции в не-
некотором конечном числе точек, так что для любой другой функции,
совпадающей с исходной в этих точках, результирующая функция
примет в нуле то же самое значение. В случае операторов иад
арифметическими функциями в качестве общего варианта описан-
описанного типа операторов естественно принять частично рекурсивные
операторы в смысле К лини [4, § 63]*). Аналогичный характер
носят вычислимые функционалы Гжегорчика [2] и определяе-
определяемые на их основе вычислимые действительные функции. (Вычисли-
(Вычислимые действительные функции такого типа рассматриваются также
К л а у а [2], [4].) Операторы описанного типа мы, следуя
*) Приведем определение, частично рекурсивного оператора (от
одного функционального аргумента), следуя Л ах л а ну [2]. Назо-
Назовем /-кортежем пустое слово или кортеж пар натуральных чисел
B4) га,, т{ • п2, т2 nk, mft.
Пусть ф—(частичная) арифметическая функция. Скажем, что <р
продолжает кортеж B4), если q>(ra<)= mt (I s? i < k). Будем так-
также считать, что любая фуикция продолжает пустой /-кортеж. Про-
Произвольное слово вида i * / • Р, где i, / — натуральные числа, Р — /-кор-
геж, назовем 0-кортежем. Пусть Ф — оператор (в традиционном
смысле этого слова), переводящий всякую арифметическую функ-
функцию ф в арифметическую функцию Ф (ф). Назовем Ф частично ре-
рекурсивным, если можно построить перечислимое множество 0-кор-
тежей № так, что при любой функции ф и натуральных i, j
ф (ф) (j) =j тогда и только тогда, когда существует 0-кортеж
i*j*P из W такой, что ф продолжает Р. С топологической трак-
трактовкой частично рекурсивных операторов можно ознакомиться в ра-
работах Успенского [1] и Лахлана [2].

412 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. в
Цейтину [5],назовем операторами Клини *). Ясно,что от опера-
оператора Клини нетрудно перейти к совпадающему спим (на вычислимых
функциях) оператору Маркова: оракул может быть заменен уни-
универсальным алгорифмом, который, получив запись исходного алго-
алгорифма, выдает требуемые в процессе вычисления значения исход-
исходной функции. Соединение этого универсального алгорифма с описа-
описанием самого оператора позволит построить алгорифм, который по
записи исходной функции и я выдаег значение результирующей
функции в точке я (если оно определено). От этого алгорифма
легко перейти к алгорифму, переводящему запись алгорифма вы-
вычисления исходной функции в запись алгорифма, вычисляющего ре-
результирующую функцию. Обратный переход от оператора Маркова
к оператору Клини, напротив, отнюдь не очевиден: в самом деле,
в то время как оператор Клини использует при вычислении данного
значения результата лишь конечное число значений исходной функ-
функции, оператор Маркова использует для той же цели характеристику
исходной функции в целом (именно, предписание вычисляющего ее
алгорифма). Вместе с тем для многих конкретных марковских опе-
операторов такой переход возможен—например, вычисление суммы
двух КДЧ (определенное нами посредством некоторого оператора
типа Маркова) может быть реализовано посредством оператора
Клини: для того чтобы найти рациональное приближение к резуль-
результату с точностью до 2~п, вовсе не нужно знать исходные числа
с любой степенью точности, достаточно иметь рациональные при-
приближения к ним с точностью до 2-"-*. Оказывается, теорему 3
можно в определенном смысле трактовать как утверждение о про-
продолжимости марковских операторов из некоторого достаточно ши-
широкого класса до операторов клиниевского типа.
Действительно, всякая точка X сепарабельного КМП может
быть некоторым стандартным образом представлена сходящейся
к ней последовательностью элементов плотного множества; члены
этой последовательности можно рассматривать как приближения
к X, а само слово X трактовать как код алгорифма, вычисляющего
соответствующую X последовательность. В свете сказанного есте-
естественно считать, что рассматриваемые в теореме 3 операторы имеют
марковский характер. Теорема 3 позволяет определить клиниевский
процесс вычисления приближений фигурирующего в ней опера-
оператора Ч*1, использующий не саму точку X, а лишь приближения
к ней. Этот процесс для данной точки X и точности 2~т можно
коротко описать так: пользуясь приближениями к X, ищем I, при
котором \о(т,1) и X принадлежит шару а(т,1); в случае нахож-
нахождения такого / х(т,1) считаем приближением ^(Х) с точностью 2~т
(в смысле метрики Af2). Если W(X), то соответствующее I дей-
*) Ясно, что клиниевский характер носят, например, тожде-
тождественный оператор и оператор наименьшего числа:
У (ф) (я) аг ф (я),
Т (Ф) (я) ~ р* ((Д !Ф (/)) & ^ Ф @ + о) & )

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 413
ствительно найдется *). Вместе с тем описанный процесс может
дать результат и при X, на котором Ч' не определен. Возникает
естественный вопрос об усилении теоремы 3, при котором эта воз-
возможность была бы исключена. Из результатов следующего пункта
следует, что такое усиление невозможно. В самом деле, при каж-
каждом фиксированном т описанный нами процесс будет завершаться
нахождением требуемого / для любого X, принадлежащего какому-
нибудь из шаров a(m,k). Другими словами, область определения
этого процесса будет лакомбовым множеством (объединением ша-
шаров, перечисляемых алгорифмом dm). Вместе с тем в следующем
пункте будут приведены примеры алгорифмических операторов (дей-
(действующих из полных сепарабельных пространств), области опре-
определения которых, во-первых, непусты и, во-вторых, не содержат нн
одного шара.
3. Следствие 4 п. 4 § 2 показывает, что если алго-
рифмический оператор определен в некоторой точке X
слабо полного КМП, то в любой последовательности
точек, (конструктивно) сходящейся к X, сколь угодно
далеко имеются точки определенности этого оператора.
В большинстве реально встречающихся случаев оказы-
оказывается, что, сверх того, существует шар с центром в
точке X, на котором всюду определен рассматриваемый
оператор. В частности, таким свойством обладают все
элементарные конструктивные функции и функции, по-
получаемые из них с помощью арифметических операций
и суперпозиций. Построение алгорифмических операто-
операторов, не обладающих этим свойством, требует достаточно
тонких конструкций. Первые примеры такого рода —
примеры эффективных функционалов, области опреде-
определения которых не являются открытыми множествами —
построены Ф р ид бер го м [1] и А. А. Мучником **) (ре-
(результат Мучника, не опубликованный автором, воспро-
воспроизведен в работе Цейтина [8], там же указано, что
Мучник доказал аналогичную теорему и для конструк-
конструктивных функций).
Мы будем следовать общей конструкции, принад-
принадлежащей Московакису [1] и позволяющей получить
*) Очевидно, если Ч'— эффективный функционал, \^?(Х) и
т = 1, то находимое нами приближение совпадает с Ч'(.Х). Таким
образом, мы получаем клиниевский функционал, являющийся про-
продолжением исходного.
**) И тот и другой автор имели в виду получение примера эф-
эффективного функционала, не совпадающего (на общерекурсивных
функциях) ни с каким частично рекурсивным оператором,

414 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
единообразным способом интересующие нас примеры
как для бэровского пространства, так и для конструк-
конструктивной прямой.
Пусть 33— тот же самый алгорифм, что и в п. 3 § 2,
т. е. при любом алгорифме 21 (в алфавите Л") и любом
слове Q (в алфавите А)
B5) 23(?«3, Q)~*(Q).
Для произвольного слова Р в алфавите Ч0 = {0\} обо-
обозначим через {Р) алгорифм 58р. В силу B5), если Р=^
=== ?213. то при любом Q
Обозначим через ^ такие множества слов в алфа-
алфавите Чо, что
B6) Яе^= V/ ((!</>>@)& ((Р)@ е Ж))
(где Ж — множество натуральных чисел).
Пусть iH — сепарабельное КМП с метрическим алго-
алгорифмом р и алгорифм р перечисляет плотное подмноже-
подмножество iH. Обозначим через Ж\ такие множества слов
в Чо, что
B7) Р <= М1к<ш (Р <= 38ki & V/ A0 (<Р) (/))).
Для Р е М\ мы будем использовать следующее со-
сокращение:
B8) через {Р}{ (при i^k) обозначается Р((Р)(О).
Очевидно, {P}f есть элемент КМП Л1.
Введем в рассмотрение множества Лк слов в Чо
такие, что
B9) РеЖк ^(P^Jtl)& V//(/</<*зр({Р}г, {Р}/)<2~0.
Из B5) — B9) легко усматривается, что все множе-
множества Jth перечислимы. Обозначим через Jfx пересече-
пересечение множеств Мъ., т. е.
C0) Psi^
Ясно, что Р принадлежит Jtx в том и только в том
случае, когда: 1) (Р) есть последовательность нату-

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 416
ральных чисел; 2) алгорифм р применим к лю*бому на-
натуральному числу {Р)(п); 3) последовательность точек
КМП М Н(Р)(п)) регулярна.
Пользуясь сепарабельностью М, нетрудно построить
алгорифм, отображающий М в Jtx. Действительно, так
как р перечисляет плотное подмножество М, можно по-
построить алгорифм а, перерабатывающий всякий шар
Х*п (где леЛ1) в натуральное число так, что
ip(a(X*tt)) и Р(а(Хи))еЬи. Построим алгорифмы
F1, F2 так, что для любого X е М и п
Fl(X,n)cxa(X*n+l),
*. л)).
Ясно, что Fx — последовательность натуральных чи-
чисел, а Fx — регулярная последовательность точек М
(сходящаяся к X). Поэтому алгорифм F такой, что
перерабатывает всякий X е М в некоторый элемент •#«>.
Введем отношение -^ следующим образом (см. B8)):
C2) PTQ=(Psjrft)&(Qejrft)&(p({P}ft, {Q}ft)<2-ft+1).
Нетрудно видеть, что все отношения ^ перечислимы;
другими словами, можно построить алгорифм 21 так,
что для любых слов Р и Q в Чо и любого k
Пусть v — алгорифм, перерабатывающий слова в
алфавите Чо в натуральные числа, причем разные слова
в разные натуральные числа. Фиксируем произвольное
Хо е М и алгорифм g типа (Ж -> Ж) такой, что
C3) g(«
Введем для краткости следующие обозначения:
C4) при Х^М через К обозначается F(X);
C5) при любом слове Р в Чо через пР обозначается
натуральное число g(v(P)).

416 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 9
Рассмотрим множества Яг слов в Чо, определяемые
индуктивно следующим образом (C2), C3) — C5)) t
C6) Ре=М0 = Р = Х0,
C7) Р € Я„+1 - 3Q ((Q е= Я„) & (Q - Р)).
Перечислимость отношений ^ позволяет без особого
труда доказать, что все множества 52,- перечислимы.
Следовательно, перечислимо их объединение, т. е. такое
множество 52, что
Обозначим теперь через SB множество элементов М та-
такое, что для X е М
Установим некоторые свойства множества SE'.
Лемма 1. Хое3?.
Для доказательства достаточно заметить, что Яо е
Лемма 2. Если X еill, то ^е JS'oo ы «Р« любом п
р({Х)п,Х)<2-"-К
Эта лемма непосредственно усматривается из опре-
определений алгорифмов а, |3, F1, F и C4). Из леммы 2 и
C2) немедленно вытекает
Лемма 3. Если X е М, Y eJH и X = У, то яры л/о-
_ _ ж
бом п X-^Y.
Лемма 4. 2? — согласованное множество.
Действительно, ввиду перечислимости 01 можно по-
построить алгорифм б1 так, что
I61 (Р) = Р <= 31.
Построим алгорифм 6 таким образом, что для любого X
В(Х)ы
Тогда при любом X е М
и для окончания доказательства достаточно показать,
что SB — правильное множество.

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 417
Пусть Х^.9?. Тогда при некотором п Яе52п- На
основании леммы 3 из Y = X вытекает тогда F е Яп+и
м
т. е. УеЗ1, что и требуется.
Лемма 5. Дополнение множества SE (в простран-
пространстве М) эффективно открыто.
Доказательство. Рассмотрим алгорифм у та-
такой, что при любом X е М
y(X)~g(v(X)).
Очевидно, при Х^М \у(Х) и у(Х)—натуральное чис-
число. Покажем, что если X ф SB, то все точки шара
Х*у(Х) не принадлежат &. Действительно, пусть Уе
(=Х*у(Х). Тогда (C5))
9(Х, K)<
Предположим, что УеЗ1. Тогда при некотором п
Согласно лемме 2 при любом i
Следовательно,
Полагая i = nj, получим
«_, {Y}n_)<2\
т. е. (C2))
X~Y.
"Г
Отсюда согласно C7) получаем
что, ввиду X ф &, невозможно.
Определение 4. 1) Точку X назовем предель-
предельной точкой множества Ж\ точек М, если невозможен
шар с центром в точке X, не содержащий точек М\,

418 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
2) Множество М\ назовем замкнутым, если оно содер-
содержит все свои предельные точки.
Обращаем внимание читателя на отличие этого опре-
определения от определений алгорифмической предельной
точки и алгорифмически замкнутого множества. Ясно,
что алгорифмическая предельная точка является пре-
предельной точкой и что замкнутое множество алгорифми-
алгорифмически замкнуто. Обратные утверждения, как будет по-
показано ниже, можно опровергнуть на примере.
Лемма 6. Множество Я? замкнуто.
Действительно, пусть X — предельная точка 3?.
Предположим, что ХфЯ?. Тогда по лемме 5 найдется
шар с центром в точке X, не содержащий точек 3?. Это,
однако, невозможно. Следовательно, выполняется
~\~\{Х^З?), что, ввиду согласованности 9?, дает Х^
Лемма 7. Для каждого Р е 32 можно построить це-
цепочку Ро, _..., Ph попарно различных элементов 32 так,
что Ро — Хо, Ph---P и
Действительно, непосредственно из определения мно-
множества 32 (C6) —C7)) усматривается возможность по-
построения цепочки .
Остается устранить в этой цепочке повторения. Пусть
t^/ — наименьшее число, при котором Q, =f Qi. Тогда
отбрасывая члены цепочки с номерами, большими i, по-
получим цепочку, начинающуюся с Р =f Q,, в которую Р
входит точно один раз. Пусть эта цепочка имеет вид
Найдем наименьшее i^m—l, при котором Q't =
= Q'm_r Выбрасывая все члены с номерами k та-
такими, что i<k<^.tn—1 (если i = m — 1, то ничего не
выбрасывается), получим цепочку, содержащую свои
последние два члена точно один раз. Действуя таким
образом и дальше, получим требуемую цепочку.

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 419
Выполним теперь некоторую оценку, показывающую,
что множество & достаточно «редко».
Для упрощения изложения нам будет удобно счи-
считать, что алгорифм v и фиксированный элемент Хо вы-
выбраны так, что v(A'o)=r:O. Для любого слова Р в алфа-
алфавите Чо число v(P) будем называть номером этого сло-
слова. (Различные слова имеют различные номера.)
Лемма 8. Пусть Qo Q/fe — список всех элемен-
элементов Ж с номерами, не большими k. Тогда для любого
ХеЗ1 при некотором i^.lk QiS=jKS(k) и X принад-
принадлежит шару с центром в точке {Qi}eik) радиуса 2~e(k)+3
(см. B8)-B9)).
Доказательство. Можно считать, что Q0-~X0.
Пусть ^gS1. Тогда Xе 91. Возможны случаи:
а) Номер X не больше k. Тогда при некотором г^/й
X = Qi. Полагая в лемме 2 n = g(k), получим
- iff) \ y\ ^ n-g(k)-l ^ n-g(k)+3
что и требуется.
б) Номер X больше k. Тогда, пользуясь леммой 7,
мы сможем найти Qi(i ^ k) и элементы Pi Pa из
91 так, что номера всех Pj больше k, все слова Я, Ри ...
• •-, Ре, Qi попарно различны и
Так как пр >g{k) и P?n^Qh то Qt^J[n , а следо-
вательно, Qt e Ж5 <*>. Применяя аксиому треугольника,
получим
9({X}g{k),{Qi}g(k))< -¦ *
Р ({Pl)nr {Pl)np) + Р ({Pl}np,
(И)
(I)
i + P {Wn^ , {Ps)np) + P ({Ps}nps,
p ({Qi)nPs. {Qt)81
*) Разумеется, возможен также случай, когда написанная це-
цепочка состоит лишь из X и Qi.

420 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
Так как пт> g(k), то (C1), C4))
C8) Р
Аналогично из Qt e Жп и n?s > g (k) следует
C9) P({Qi)nps,{Qi}8ik))<2-8(k\
При оценке суммы Si членов группы (I) мы вос-
воспользуемся следующим очевидным неравенством: если
Р е JCmax (i, /). ТО
Р ({Ph, та < 2-mlnWl /} < 2"' + 2Ч.
Следовательно,
и при 2 ^ /
Р
Следовательно, сумма членов группы (I) оцени-
оценивается так:
Sl < 2~"*~ + 2-2 2-"'i = 2"»(v iT)) + 2 • S
Поскольку все числа v(Z), v(P{) (i^s) попарно раз-
различны и больше k, то
2 2~'
Сумма Su группы члейов (II) аналогично оценится
(ср. C2)) суммой
lt=k+l i=k+\ l=g(k+\)
Собирая сделанные оценки, получим (C3))
оо
/=g №+i)
>2 ==2 Ч~ 2 ^2

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 421
Поскольку, с другой стороны,
то
что и требуется.
Определение 5. Пусть h — последовательность
натуральных чисел, М — КМП. Будем говорить, что М
нигде не редко по отношению к h, если никакой шар ра-
радиуса 2~п в пространстве М не может быть покрыт
п + 1 шарами радиуса J?-ft(")+3 *).
Определение 6. Множество точек данного КМП
назовем нигде не плотным (в этом КМП), если оно не
содержит ни одного шара.
Ясно, что эффективно нигде не плотное множество
(определение 15 § 1) нигде не плотно. Обратное утвер-
утверждение неверно даже для замкнутых множеств.
Из леммы 8 получается
Л е м м а 9. Пусть М нигде не редко по отношению к g.
Тогда множество 3? нигде не плотно в М.
Возьмем теперь в качестве g такой алгорифм, что при
любом п
(очевидно, g(n-\-1) = g(n) +3). Нетрудно видеть, что
как пространство КДЧ, так и бэровское пространство ни-
нигде не редки по отношению Kg. В самом деле, если шар
радиуса 2~п в Е\ (т. е. интервал длины 2-"+') можно
было бы покрыть п + 1 шарами Et радиуса 2~s(")+3 =
= 2-3*"-3, то оказалось бы
2""+I <(« + 1) • 2"-2 < 2"-1,
что невозможно. Далее, любой шар бэровского простран-
пространства не может быть накрыт никаким числом шаров мень-
меньшего радиуса**). Это вытекает из того простого обстоя-
обстоятельства, что если б, 6о бй — последовательности
натуральных чисел и п — произвольное число, то
*) Множества JSfo, ..., Xi покрывают множество Ж, если для
любого Х^Ж не может не существовать t^:/, при котором Х^Жи
**) Напомним, что нами введены и рассматриваются лишь
шары с радиусами вида 2-".

422 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
можно построить такую последовательность натураль-
натуральных чисел а, что o(i) =6(i) при i < п и а(л+1) ф
ФЬ](п-{-1) при / ^ k. Таким образом, а принадлежит
бэровскому шару ?63 *я и не принадлежит ни одному
из шаров ?6*3*"+1 (где i^k).
Из сказанного и леммы 9 вытекают
Теорема 4. В бэровском пространстве можно по-
построить непустое замкнутое согласованное нигде не
плотное множество.
Теорема 5. Можно построить непустое замкнутое
согласованное нигде не плотное множество КДЧ.
Из теорем 4—5 вытекают следующие утверждения
Теорема 6. Можно построить эффективный функ-
функционал, определенный на нулевой последовательности, об-
область определения которого не содержит ни одного шара.
Теорема 7. Можно построить конструктивную
функцию /, определенную в нуле и такую, что невозмо-
невозможен интервал, во всех точках которого была бы опре-
определена f*).
Обозначим через Ж{ множество тех КДЧ, на кото-
которых не определена функция /, Множество Ж) дает ряд
интересных примеров. Легко видеть, что 0 является пре-
предельной точкой множества Ж] и вместе с тем (ввиду
следствия 4 п. 4 § 2) не является алгорифмической пре-
предельной точкой Ж]. Здесь мы имеем дело с любопытной
ситуацией: хотя сколь угодно близко к 0 и есть точки
множества Ж], алгорифм, выбирающий по каждому п
точку Ж{, по модулю меньшую 2-", невозможен. Из
сказанного также следует, что Ж^ непрослеживаемо
(определение 12 п. 4 § 2). Далее, поскольку множе-
множество Ж^ будучи дополнением согласованного множе-
множества, алгорифмически замкнуто (следствие 5 п. 4 § 2),
то J?f дает пример алгорифмически замкнутого, но не
замкнутого множества. Из непрослеживаемое™ Ж^ вы-
вытекает, что область определения f, которая нигде не
*) В работе Цейтина [8] приведена значительно менее гро-
громоздкая конструкция конструктивной функции, определенной в нуле
и не являющейся всюду определенной ни в какой окрестности нуля.
Там же в подстрочном примечании приведены примеры эффектив-
эффективных функционалов типа функционала теоремы 6, принадлежащие
Фридбергу и Мучнику. Эти примеры, выполненные специально для
бэровского пространства, также значительно менее громоздки, чем
примеры, даваемые теоремой 6.

i 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 423
плотна на конструктивной прямой, не является* эффек-
эффективно нигде не плотным множеством. Наконец, множе-
множество Ж], будучи эффективно открытым (лемма 5), не
является лакомбовым (если бы Ж) было лакомбовым,
то оно оказалось бы согласованным, а следовательно,
и прослеживаемым множеством).
Отметим еще следующее интересное свойство изло-
изложенной выше конструкции. Как, вероятно, помнит чи-
читатель, при построении множества 9? фиксировалась
точка Х0^М, которая затем оказывалась элементом &.
Чтобы подчеркнуть это, переобозначнм 9? посредством
3?х\ Пусть 3 — плотное подмножество М. Тогда из
определения множества 91 (стр. 416) легко усматри-
усматривается, что пространство М (точнее, его носитель) яв-
является объединением множеств s3?x, где Хе^. В част-
частности, как конструктивная прямая, так и бэровское
пространство могут быть получены объединением после-
последовательности замкнутых, согласованных, нигде не плот-
плотных множеств. Таким образом, условие эффективной
нигде не плотности в приведенном в § 1 конструктив-
конструктивном аналоге теоремы Бэра существенно.
4. Определение алгорифмического оператора, данное
в § 2, включает условие согласованности задающего
оператор алгорифма. Это приводит к тому, что в точ-
точках неопределенности оператора не определен (т. е. не
заканчивает свою работу) соответствующий алгорифм.
Вместе с тем представляется достаточно естественным
рассмотрение таких операторов, у которых точки не-
неопределенности являются просто точками рассогласо-
рассогласованности, так что задающий оператор алгорифм может
быть применим к этим точкам. Именно, такой характер
имело определение конструктивной функции, предло-
предложенное Марковым в его первой публикации о кон-
конструктивных функциях [3]. Как показал Слисенко [3],
при отказе от требования согласованности оператора
на всем пространстве (или, что то же самое, при от-
отказе от требования согласованности области определе-
определения оператора) теорема непрерывности опровергается
на примере. В данном пункте мы изложим этот резуль-
результат Слисенко.
Определение 7. 1) Пусть Ми М2 — КМП (в фик-
фиксированном нами алфавите А). Псевдооператором из Mi

424 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 9
в М2 или, короче, типа Л1, т* М2 назовем произвольный
алгорифм в алфавите А".
2) Будем говорить, что псевдооператор W типа
М\-г+М2 определен в точке ХеМ,, если при любом
Y = X W{Y), W(Y)<=M2 uW{Y) = xY{X).
Определение 8. Псевдооператор W из Mi в М2
назовем квазиоператором, если этот псевдооператор
определен во всякой точке ХеМ, такой, что \W(X) и
W(X) еЛ,
Понятия псевдо- и квазиоператора предложены С л и-
се н ко [3]. В силу теоремы 6 § 2 псевдооператоры (а сле-
следовательно, и квазиоператоры) обладают некоторыми
свойствами непрерывности — именно, любой псевдоопе-
псевдооператор неразрывен, т. е. не может иметь конструктивных
разрывов.
Теорема 8 (пример неразрывного, но не непре-
непрерывного квазиоператора; С л исен ко [3]). Можно по-
построить квазиоператор W из пространства КДЧ в себя
такой, что
1) W определен e0u?@) = 0;
2) невозможна окрестность нуля такая, что W не
определен во всех ненулевых точках этой окрестности;
3) если хфО и W определен в точке х, то W(x) =
= 1.
Доказательство. Пусть / — конструктивная
функция, построенная согласно теореме 7, т. е.
D0) 1/@);
D1) область определения / не содержит ни одного
интервала.
Пусть G — такой алгорифм, что
D2)
Построим алгорифмы y1. У2 и Y3 так, что
Y1 (х) са ця(([f] (х, я) = Л) V ([OJ (дс, я) == Л));
, если [G]{x,yl(x))=A,
i, если [О](*. y'W)#A;
Y3(a:, 0) = y2W

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛЙЛОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 425
и при
У (¦*
я>0
>«)==¦
Г 1,
0,
0,
если
если
если
уЧх) =
У2(х) =
У2 (х) =
1 и
1 и
0 и
UUx,
[f](x.
[G](x,
п)Ф
п) =
п)Ф
Л,
Л,
Л,
1, если y2W=f0 и [G] (х, п) == Л.
Предположим, что при некотором КДЧ х ~\\у \х).
Тогда, ввиду D0), jc ф 0. Следовательно (D2)), !G (д;) и
при некотором п [G](x, n)= Л, что невозможно. По-
Поэтому при любом х выполняется ~] ~] !у' (л:), т. е. !y' (x).
Отсюда получаем, что всегда \\2(х) и
D3) если у2(х)==0, то 1/ (jc);
D4) если у2 W == 1, то х Ф 0.
Из применимости у2 к любому х следует, что у3х
является последовательностью рациональных чисел. Не-
Нетрудно также убедиться, что (D3) — D4))
D5) если х = 0, то при любом п у3 (х, п) — 0;
D6) если л^О и ~] !/(*), то при любом п
уЦх,п)=\.
Пусть теперь Jt^O и !/(jc). Тогда при некотором п
[f](x, n)=An[G](x, /г)=Л.Еслиу2(*)-1,то^@)=1
и при упомянутом только что п у3х (п) = 0. Если же
Y2(*) = 0, то y3x(°)T0 и ух(п)==\. Таким образом,
D7) если хф 0 и !/(х), то при некотором п
\уЦх, 0)-y3(^«)I=f1-
Пусть б — такой алгорифм, что при любом п
б (л) == 0.
Построим алгорифм *F так, что
и покажем, что Ч является искомым квазиоператором.
Очевидно, алгорифм У применим к любому х. Пред-
Предположим, что 4я(л;) — КДЧ и у — х. Можно рассмот-
рассмотреть отдельно случаи: а) х = 0; б) х Ф 0. В случае

426 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9
а) г/ = 0 и, ввиду D5), *? (у) также является КДЧ, при-
причем Ч*(х) = W(y) = 0. В случае б), ввиду D7),
~}\f(x). Следовательно, 1\f(y) и согласно D6) полу-
получаем, что х?(у) —КДЧ, причем л?(у) = 4f(x) = 1. Та-
Таким образом, Ч*— квазиоператор.
Обозначим через Ж] множество КДЧ, на которых не
определена функция /. Из D5) — D7) следует, что ква-
квазиоператор Ч! определен в нуле, ^(О) =0 и при х Ф 0
*F определен в точках множества Ж] и только в них,
причем принимает в этих точках значение, равное 1.
Остается заметить, что утверждение 2) теоремы выте-
вытекает из D1) *).
Обозначим через Ж'*¦ множество точек опреде-
определенности построенного нами оператора 4s (xei°f =
=~Р (x = 0Vxg Ж/)) и рассмотрим подпространство Ку
пространства КДЧ, индуцированное Жч. Используя ал-
горифмическую замкнутость Ж^, нетрудно показать, что
K.'v—полное КМП. Квазиоператор ЧР", рассмотренный
на этом пространстве, является всюду определенным
алгорифмическим оператором из Кчг в пространство
КДЧ Е\, при этом Ч? неразрывен, но не непрерывен. Та-
Таким образом, теорема непрерывности не сохраняется
при отказе от требования сепарабельности, хотя в этом
случае и остается в силе теорема неразрывности. Тре-
Требование полноты в теореме непрерывности также су-
существенно: очевидно, существуют разрывные операторы
из пространства рациональных чисел в себя.
За дальнейшими сведениями о характере непрерыв-
непрерывности алгорифмических операторов при отказе от тех
или иных ограничений на метрические пространства мы
отсылаем читателя к работе Оревкова [5].
*) Квазиоператор Ч' дает пример «неконструктивного разры-
разрыва»: хотя вблизи нуля и «есть» точки, где Ч' определен и равен
единице, (алгорифмическая) последовательноегь таких точек, (кон-
(конструктивно) сходящаяся к нулю, невозможна.

БИБЛИОГРАФИЯ
В настоящую библиографию, помимо непосредственно цитируе-
цитируемых в книге источников, включены известные автору работы, отно-
относящиеся преимущественно к конструктивному (вычислимому, рекур-
рекурсивному) анализу. (Опущен лишь ряд работ Гудстейна, упоминае-
упоминаемых в библиографии русского перевода его книг [1]—[2].)
Первоначальные библиографические сведения в области интуицио-
интуиционистского анализа можно найти в монографиях Гейтиига [3] и
Френкеля, Бар-Хиллела [1].
Составление этой библиографии закопчено в январе 1972 года.
Адлер (A d 1 е г А.)
[1] Some recursively unsolvable problems in analysis, Proc. Amer.
Math. Soc. 22, № 2 A969), 523—526.
Александров П. С.
[1] Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат,
1948.
Банах, Мазур (BanachS., MazurS.)
[1] Sur les fonctions calculables, Ann. Soc. Pol. de Math. 16 A937),
223.
Бишоп (Bishop E.)
[1] The constructive development of abstract analysis, Международ-
Международный конгресс математиков (Москва, 1966), Тезисы докладов,
1966, 31—39.
[2] Foundations of constructive analysis, New York, 1967.
[3] The constructivization of abstract mathematical analysis, Между-
Международный конгресс математиков (Москва, 1966), Труды, «Мир»,
1968. 308—313.
[4] Mathematics as a numerical language, Intuitionism and Proof
Theory, Proc. of the summer conference at Buffalo, N. Y., 1968,
North-Holland Publishing Co., Amsterdam — London, 1970,
53—71.
Б op ел ь (В orel E.)
[1] Lecons sur la theorie des fonctions, Paris, 1928.
В а и д и в е р (V a n d i v e r H. S.)
[1] Constructive derivation of the decomposition field of polynomial,
Ann. Math. 37 A936), 1-6.
[2] On the ordering of real algebraic numbers by constructive me-
methods, там же, 7—16.
Вейл'ь (WeylH.)
[1] Das Kontinuum, Leipzig, 1918.

428 БИБЛИОГРАФИЯ
[2] О философии математики, Сборник работ (перев. с нем.),
ГТТИ, 1934.
Рейтинг (HeytingA.)
[1] Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsber.
Preuss. Akad. Wiss, Phys.-matem. КЦ 1930, 42—56.
[2] Die formalen Regeln der intuitionistischen Mathematik, там же,
57—71, 158—169.
[3] Intuitionism, An introduction, Amsterdam, 1956. [Русский пере-
перевод: Рейтинг А., Интуиционизм, Введение, «Мир», 1965.]
Гелбаум, Олмстед (Gelbaum В., Olmsted J. О.)
[1] Counterexamples in Analysis, Holden-Day, San Francisco —
London —Amsterdam, 1964. [Русский перевод: Гелбаум Б.,
Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе, «Мир», 1967.]
Гжегорчик (GrzegorczykA.)
[1] Elementarily definable analysis, Fundam. Math. 41 A954), 311 —
338.
[2] Computable functionals, там же 42 A955), 168—202.
[3] On the definition of computable functionals, там же, 232—239.
[4] On the definitions of computable real continuous functions,
там же 54 A967), 61—71.
[5] Some approaches to constructive analysis, Constructivity in
mathematics, Amsterdam, 1959, 43—61.
Гильберт (HilbertD.)
[1] Ober das Unendliche, Math. Ann. 95 A925), 161—190. [Эта
статья в сокращенном виде помещена в книге Гильберта «Ос-
«Основания геометрии», Гостехиздат, 1948.]
Гудстейн (GoodsteinR. L.)
[1] Recursive number theory, A development of recursive arithmetic
in a logic-free equation calculus, Amsterdam, 1957. [Русский
перевод в кн.: Гудстейн Р. Л., Рекурсивный математиче-
математический анализ, «Наука», 1970.]
[2] Recursive analysis, Amsterdam, 1961. [Русский перевод в кн.:
Гудстейн Р. Л., Рекурсивный математический анализ,
«Наука», 1970.]
[3] A constructive form of the second Gauss proof of the funda-
fundamental theorem of algebra, Constructive Aspects of the Funda-
Fundamental Theorem of algebra, Proc. Symp. Zurich — Riischlikon
1967, Wiley-Interscience, New York, 1969, 69—76.
[4] Polynomials with computable coefficients, Notre Dame J. form.
Logic U, № 4 A970), 447—448.
Гудстейн, Хули (Goodstein R. L., Hooley J.)
[1] On recursive transcendence, Notre Dame J. form. Logic 1 A960),
127—137.
Д ему т (Demu th O.)
[1] Об интегрировании по Лебегу в конструктивном анализе,
ДАН СССР 160, № 6 A965), 1239—1241.
[2] Интеграл Лебега в конструктивном анализе. Зап. научн. се-
семинаров Леннигр. отд. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стек-
лова 4 A967), 30—43.
[3] Необходимое п достаточное условие интегрируемости кон-
конструктивных фумкиий но Риману, ДАН СССР 176, № 4
A967), 757—758.

БИБЛИОГРАФИЯ 429
[4] Интеграл Лебега и понятие измеримости функций- в кон-
конструктивном анализе, Зап. научн. семинаров Ленингр. отд.
Матем. ип-та АН СССР им. В. А. Стеклова 8 A968),
21—28.
[5] Связь интегрируемости конструктивных функций по Риману
и Лебегу, там же, 29—45.
[6] Пространства 3?т и S в конструктивной математике, Com-
Comment. Math. Univ. Carolinae 10 A969), 261—284.
[7] Об измеримости множеств по Лебегу в конструктивной ма-
математике, там же, 463—492.
[8] О дифференцируемости конструктивных функций, там же,
167—175.
[9] Линейные функционалы в конструктивных пространствах &т,
там же, 357—390.
[10] Теоремы о среднем значении для консгруктивного интеграла
Лебега, там же И A970), 249—269.
[11] О представимости функций слабо ограниченной вариации,
там же, 421—434.
[12] Об интегрируемости производных от конструктивных функ-
функций, там же, 667—691.
[13] Необходимое и достаточное условие абсолютной непрерыв-
непрерывности конструктивных функций, там же, 705—726.
[14] О суперпозициях абсолютно непрерывных конструктивных
функций, там же 12 A971), 423—451.
[15] Необходимое и достаточное условие представимости кон-
конструктивных функций в виде суммы сингулярной и абсо-
абсолютно непрерывной функции, там же, 587—610.
[16] Об одном условии дифференцируемости конструктивных
функций ограниченной вариации, там же, 687—710.
Детловс В. К.
[1] Эквивалентность нормальных алгорифмов и рекурсивных
функций, Труды Матем. ин-га АН СССР им. В. А. Стеклова
52, Изд. АН СССР, 1958, 75—139.
Заславский И. Д.
[1] Опровержение некоторых теорем классического анализа в кон-
конструктивном анализе, УМН 10, № 4 F6) A955), 209—210.
[2] Некоторые особенности конструктивных функций веществен-
вещественного переменного по сравнению с классическими, Труды 3-го
Всесоюзного матем. съезда, т. 1, Изд. АН СССР, 1956,
183—184.
[3] О конструктивных дедекиндовых сечениях, там же, 182—183.
[4] Некоторые свойства конструктивных вещественных чисел и
конструктивных функций, Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 67, Изд. АН СССР, 1962, 385—457.
[5] О некоторых различиях между базисными и подчиненными
переменными в логико-математических языках, Сб. «Матема-
«Математические вопросы кибернетики и вычислительной техники»,
Ереван, 1963, 13—29.
[6] О дифференцировании и интегрировании конструктивных
функций, ДАН СССР 156, № 1 A964), 25—27.
[7] О спрямляемости конструктивных плоских кривых, ИАН Арм.
ССР, сер. матем. 2, № 2 A967), 69—82.

430 БИБЛИОГРАФИЯ
[8] Об аксиоматическом определении конструктивных объектов
и операций, ИАН Арм. ССР 4, № 3 A969), 153—181.
Заславский И. Д., М а н у к я н С. Н.
[1] О разбиениях плоскости конструктивными кривыми, Матема-
Математические вопросы кибернетики и вычислительной техники
(теория алгорифмов и конструктивный математический ана-
анализ), Ереван, 1968, 26—138.
Заславский И. Д., Ц е й г и н Г. С.
[1] О соотношениях между основными свойствами конструктив-
конструктивных функций, Труды 3-го Всесоюзного матем. съезда, т. 1,
Изд. АН СССР, 1956, 180—181.
[2] О сингулярных покрытиях и связанных с ними свойствах кон-
конструктивных функций, Труды Матем. ип-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 67, Изд. АН СССР, 1962, 458—502.
[3] К вопросу об обобщениях принципа конструктивного подбора,
Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 72, «На-
«Наука», 1964, 344—347.
[4] Критерий спрямляемости конструктивных плоских кривых,
ИАН Арм. ССР, сер. матем. 5, № 5 A970), 434—440.
[5] Еще один конструктивный вариант теоремы Коши, Зап. на-
учн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 20 0971), 36—39.
3 в о н к и н А. К., Л е в и н Л. А.
[I] Сложность коночных объектов и обоснование понятий инфор-
информации и случайности с помощью теории алгоритмов, УМН 25,
№ 6 A970) .'85—127.
Ильзе (Use D.)
[1] Zur Stetigkeit berechenbarer reeller Functionen, Z. math. Logik
Grundl. Math. II A965), 297—342.
И л ь и н В. А., П о з и я к Э. Г.
[1] Основы математического анализа, «Наука», 1965.
Камке (К a m ke E.)
[1] Das Lebesgue — Stieltjes Integral, Leipzig, 1956. [Русский пере-
перевод: Камке Э., Интеграл Лебега — Стильтьеса, Физматгиз,
1959.]
К а и о в и ч М. И., К у ш и е р Б. А.
[1] Об оценке сложности некоторых массовых проблем анализа,
Зап. научи, семинаров Летшнгр. отд. Матем. ин-та АН
СССР им. В. А. Стеклова 16 A969), 81—90.
К а р р и (С и г г у Н. В.)
[1] Foundations of matematical logic, McGraw-Hill Co., New
York — San Francisco — Toronto — London, 1963. [Русский пе-
перевод: К а р р и X. Б., Основания математической логики,
«Мир», 1969.1
Кёниг (К on i g D.)
[I] Ober eine Schlussweise aus dem Endlichen ins Unendliche,
Ada Litt. Ac. Sci. Hung. Fran. Josep. 3 A927), 121—130.
К л а у а (К I a u a D.)
[1] Berechenbare Analysis, Z. math. Logik Grundl. Math. 2 A956),
265—303.
[2] Die Prazisierung des Berechenbarkeilsbegriffes in der Analysis
mit Ililfe rationaler Funktionall. там же 5 A959), 33—96.

БИБЛИОГРАФИЯ 431
[3] Berechenbare Reihen, там же 6 A961), 143—161.
[4] Konstrunktive Analysis, Mathematische Forschungsberichte, XI,
Berlin, 1961.
К ли в (С lea ve J.)
[1] The Primitive Recursive Analysis of Ordinary Differential Equa-
Equations and the Complexity of Their Solutions, J. Comput. and
Syst. Sci. 3, Ni 4 A969), 447-455.
Клин и (Kleene S. С.)
[1] On the interpretation of intuitionistic number theory, J. Sym-
Symbolic Logic 10 A945), 109—124.
[2] Recursive functions and intuitionistic mathematics, Proc. of the
Int. Congress of Math. (Cambridge, Mass., 1950), vol. 1, 1952,
679—685.
[3] A note on computable functionals, Proc. Konikl. nederl. akad.
wet. A59, № 3 A956), 275—280.
[4] Introduction to metamathematics, New York — Toronto, 1952.
[Русский перевод: К л н и и С. К., Введение в метаматематику,
ИЛ, 1957.]
К о л м о г о р о в А. Н.
[1] О принципе tertium поп datur, Матем. сб. 32 A925), 646—667.
[2] Zur Deutung der inluitionistischen Logik, Math. Z. 35 A932),
58—65.
[3] Три подхода к определению понятия «количество информа-
информации», Проблемы передачи информации 1, № 1 A965), 3—11.
Колмогоров А. Н„ Фомин С. В.
[1] Элементы теории функций и функционального анализа, «На-
«Наука», 1972.
Ван дер К о р п у т (С о г р u t J. G., van der)
[1] On the fundamental theorem of algebra, Proc. Akad. Amster-
Amsterdam 49 A946), 722—732, 878—886, 985—994 = Indag. Math. 8
A946), 430—440, 549—557, 605—614.
К о с о в с к и й Н. К.
[1] Необходимые и достаточные условия для шиеккеровых
свойств вероятностного пространства. Зап. научн. семинаров
Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 16
A969), 91—96.
[2] Интегрируемые F^-конструкты над вероятностным простран-
пространством, там же, 97—104.
[3] Законы больших чисел в конструктивной теории вероятностей,
там же, 105—113.
[4] Некоторые вопросы конструктивной теории нормированных
алгебр Буля, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стек-
лова 113, «Наука», 1970, 3—38.
Крайзел, Лакомб (Kreisel G., L a combe D.)
[1] Ensembles recursjvement mesurables et ensembles recursivement
ouverts ou fermes, Compt. rend. Acad. sci. Paris 245, № 14
A957), 1106—1109.
Крайзел, Лакомб, Шёнфилд (Kreisel G., Lacombe D.,
Schoenf ield J.)
A] Fonctionnelles recursivement definissables et fonctionnelles re-
cursives, Compt. rend. Acad. sci. Paris 245, Ns 4 A957), 399—
402.

432 БИБЛИОГРАФИЯ
Ку;
[И
[2] Partial recursive functionals and effective operations, Construe-
tivity in Mathematics, Amsterdam, 1959, 290—297.
j з н е ц о в А. В., Трахтенброт Б. А.
[1] Исследование частично-рекурсивных операторов средствами бэ-
ровского пространства, ДАН СССР 105, № 5 A955), 897—900.
Куратовский, Мостовский (Kuratowski К., Mos-
t о ws k i A.)
[I] Set theory, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, PWN—
Polish scientific Publ. Warszawa, 1967. [Русский перевод: Ку-
Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств,
«Мир»», 1970.]
'чер а (Кибег а А.)
Слабая сходимость в конструктивной математике, Comment.
Math. Univ. Carolinae 11 A970), 285—308.
[2] Достаточные условия нормируемости линейных операторов
в конструктивной математике, там же 12 A971), 2.
К у ш н е р Б. А.
[1] Об интегрировании по Риману в конструктивном анализе,
ДАН СССР 156, № 2 A964), 255—267.
[2] О существовании неограниченных аналитических конструк-
конструктивных функций, там же 160, № 1 A965), 29—31.
[3] К конструктивной теории интеграла Римана, там же 165,
№6 A965), 1238—1240.
[4] Некоторые свойства квазичисел и операторов из квазичисел
в квазичисла, там же 171, № 2 A967), 275—277.
[5] Некоторые соотношения между свойствами конструктивных
функций и операторов из квазичисел в квазичисла, там же
177, № 1 A967), 29—32.
[6] О первообразных конструктивных функциях, Матем. заметки
2, № 2 A967), 157—166.
[7] Некоторые примеры квазиплотных, но не плотных множеств
дуплексов, Зап. научн. семинаров Лепингр. отд. Матем. ин-та
АН СССР им. В. А. Стеклова 8 A968), 95—102.
[8] Замечание об областях определения конструктивных функ-
функций, там же, 103—106.
[9] Некоторые массовые проблемы, связанные с интегрированием
конструктивных функций, Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 113, «Наука», 1970, 39—72.
[10] Покрытия сепарабельных множеств, Исследования по теории
алгорифмов н математической логике, 1, ВЦ АН СССР, 1973,
235—246.
[II] Теоремы непрерывности для некоторых типов вычислимых
операторов, ДАН СССР 208, № 5 A973), 1031—1034.
К у ш и е р Б. А., Ц е й т и н Г. С.
[1] Некоторые свойства F-чисел, Зап. научн. семинаров Ленингр.
отд. Магем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 8 A968),
107—120.
Лакомб (LacombeD.)
[1] Extension de la notion de fonction recursive aux fonctions d'une
ou plusieurs variables reelles, Compt. rend. Acad. sci. Paris 240,
№ 26 A955), 2478—2480; 241, Ks 1 A955), 13—14; 241, № 3
A955), 151-153.

БИБЛИОГРАФИЯ 433
[2] Remarques sur les operateurs recursifs et sur les fonctions re-
cursives d'une variable reelle, там же 241, № 19 A955), 1250—
1252.
[3] Quelques proprietes d'Analyse recursive, там же 244, № 7
A957), 838-840; № 8 A957), 996-997.
[4] Les ensembles recursivement ouverts ou fercnes et leurs appli-
applications a l'Analyse recursive, там же 245, № 13 A957), 1040—
1043; 246, K° 1 A958), 28— 31.
[5] Sur les possibilites d'extension de la notion de fonction recur-
recursive aux fonctions d'une ou plusieurs variables reelles, Raison-
nement en math, et en sci. experim., Paris, CNRS, 1958,
67—74.
[6] Quelques procedes de definition en topologie recursive, Construe-
tivity in mathematics, Amsterdam, 1959, 129—158.
Ландау (Landau E.)
[1] Grundlagen der Analysis, 1930. [Русский перевод: Ландау Э.,
Основы анализа, ИЛ, 1947.]
[2] Einfflhrung in die Differentialrechnung und Integralrechnung,
1934. [Русский перевод: Ландау Э., Введение в дифферен-
дифференциальное и интегральное исчисление, ИЛ, 1948.]
Л а х л а н (L а с h I a n A. H.)
[1] Recursive real numbers, J. Symbolic Logic 28, № 1 A963),
1—16.
[2] Effective operations in a general setting, J. Symbolic Logic 29,
№ 4 A964), 163—178.
Лахлан, Медисон (Lachlan A. H., Madison E. W.)
[1] Computable fields and arithmetically definable ordered fields,
Proc. Amer. Math. Soc. 24, № 4 A970), 803—807.
Л ем а н (Lehma n R. S.)
[1] On primitive recursive real numbers, Fundam. Math. 49 A961),
105—118.
Л и ф ш в ц В. А.
[1] О конструктивных группах, Зап. научи, семинаров Ленингр.
отд. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 4 A967),
86—95.
[2] О конструктивных аналитических функциях одной веществен-
вещественной переменной, там же 8 A968), 121—131.
[3] О множестве нулей конструктивного сгепенного ряда в веще-
вещественной области, там же 16 A969), 114—125.
[4] Об исследовании конструктивных функций методом запол-
заполнений, там же 20 A971), 67—79.
[5] Локально аналитическая конструктивная функция, не являю-
являющаяся аналитической, ДАН СССР 202, № 6 A972), 1265—
1267.
Л о р е н ц А. А.
[1] Элементы конструктивной теории вероятностей, Z. math. Lo-
gik Grundl. Math. 15 A969), 437—459.
Л о р е н ц е н (L о r e n z e n P.)
[1] Constructive mathematics as a philosophical problem, Compo»
sitio math. 20 A968), 133—142.
Люстерник Л. А., Соболев В. И.
[1] Элементы функционального анализа, «Наука», 1965,

434 БИБЛИОГРАФИЯ
М а з у р (М а г u r S.)
[1] Computable analysis, Edited by A. Grzegorczyk and H. Rasio-
wa, Rozprawy Matematyczne, XXXIII, Warszawa, 1963.
M а Й x и л л (M у h i 11 J. R.)
[1] Criteria for constructibility of real numbers, J. Symbolic Logic
18, № 1 A953), 7—10.
[2] A recursive function, defined on a compact interval and having
a continuous derivative that is not recursive, Mich. Math. J. 18,
№ 2 A971), 97—98.
Майхилл, Шепердсон (MyhillJ. R., Shepherdson J.C.)
[1] Effective operations on partial recursive functions, Z. math.
Logik Grundl. Math. 1 A955), 310—317.
Мальцев А. И.
[1] Алгоритмы и рекурсивные функции, «Наука», 1965.
МанукянС. Н.
[1] О конструктивных кривых и криволинейных интегралах от
функций комплексной переменной, ИАН Арм. ССР 4, № 2
A969), 137—143.
[2] О внутренних точках невырожденных конструктивных кривых,
ДАН СССР 194, Ла 4 A971), 768—769.
М а р к о в А. А.
[1] Теория алгорифмов, Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 38, Изд. АН СССР, 1951, 176—189.
[2] Теория алгорифмов, Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 42, Изд. АН СССР, 1954.
[3] О непрерывности конструктивных функций, УМН 9, № 3
F1) A954), 226—229.
[4] Об одном принципе конструктивной математической логики,
Труды 3-го Всесоюзного матем. съезда, т. 2, Изд. АН СССР,
1956, 146—147.
[5] О конструктивных функциях. Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 52, Изд. АН СССР, 1958, 315—348.
[6] О конструктивной математике, Труды Магем. ин-та АН
СССР им. В. А. Стеклова 67, Изд. АН СССР, 1962, 8—14.
[7] Комментарии редактора перевода, в кн.: Рейтинг А., Ин-
Интуиционизм, «Мир», 1965.
[8] An approach to constructive mathematical logic, «Logic, Metho-
Methodology and Philosophy of Sciences», III, Amsterdam, 1968.
[9] О логике конструктивной математики, Вестн. МГУ, сер. ма-
матем. мех., № 2 A970), 7—29.
Мартин-Лёф (Martin-LofP.)
[1] Notes on constructive mathematics, Almqvist & Wiskell, Stock-
Stockholm, 1970.
Матиясевич Ю. В.
[1] Достаточное условие сходимости монотонных последователь-
последовательностей, Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН
СССР им. В. А. Стеклова 20 A971), 97—103.
Мендельсон (Mendelson E.)
[1] Introduction to Mathematical Logic, D. van Nostrand Co., Inc.,
Princeton — Toronto — N.Y. — London. [Русский перевод: Мен-
Мендельсон Э.. Введение 9 математическую логику, «Наука».
1971.]

БИБЛИОГРАФИЯ 435
Мешковский (MeschkowskiH.)
[1] Rekursive reele Zahlen, Math. Z. 66 A956), 189—2?2.
МннцГ.Е.
[1] О предикате дифференцируемое™ и операторе дифференци-
дифференцирования в конструктивном математическом анализе, ДАН
СССР 147, Ко 5 A962), 1032-1034.
[2] О предикатных и операторных вариантах построения теорий
конструктивной математики, Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 72, «Наука», 1964, 383—436.
[3] Исправления и дополнения к статье «О предикатных и опера-
операторных вариантах построения теорий конструктивной матема-
математики», Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 93,
«Наука», 1967, 257—258.
Михалинец (Mihaljinec М.)
[1] On the continuity of constructive transformations I—II, Qlasnik
Mat.-Fiz. Astr. 15 A960), 21—29, 229—235.
[2] Some local properties of constructive real functions, Qlasnik
Mat.-Fiz. Astr. 20 A965), 33—37.
[3] Inverse upper bound theorems for constructive real functions,
там же, 177—187.
[4] Одно обобщение конструктивно равномерно непрерывных
функций. Международный конгресс математиков (Москва.
1966), Тезисы кратких научных сообщений, Секция 1,
1966, 21.
[5] A nonmonotonous constructive real C°°-differentiable function
having no local maximum and no local minimum, Glasnik Mat.-
Fiz. Astr. 3 A968), 155-164.
Московакис (М oschovakis Y. N.)
[1] Recursive metric spaces, Fundam. Math. 55, Ks 3 A964), 215—
238.
[2] Notation systems and recursive ordered fields, Compositio Math.
17 A965), 40—71.
Мостовский (MostowskiA.)
[1] Современное состояние исследований по основаниям матема-
математики, УМН 9, № 3 F1) A954), 3—38.
[2] On computable sequences, Fundam. Math. 44, № 1 A957), 37—
51.
[3] On various degrees of constructivism, Constructivity in mathe-
mathematics, Amsterdam, 1959, 178—194.
H а г о р н ы й Н. M.
[1] К усилению теоремы приведения теории алгорифмов, ДАН
СССР 90, № 3 A953), 341—342.
[2] О минимальном алфавите алгорифмов над данным алфави-
алфавитом, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 52,
Изд. АН СССР, 1958, 66—74.
[3] Некоторые обобщения понятия нормального алгорифма, там
же, 7—65.
Натансон И. П.
[1] Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1957.
Ногина Е. Ю.
[1] Об эффективно топологических пространствах, ДАН СССР
169, № 1 A966), 28—31.

436 БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Соотношения между некоторыми классами эффективно топо-
топологических пространств, Матем. заметки 5, № 4 A969), 483—
495.
[3] Об одной теореме Московакиса, Труды 1:й конференции мо-
молодых специалистов Вычислительного центра АН Арм. ССР
и Ер. ГУ, III, Ереван, 1969, 92—100.
Ор ев ков В. П.
[1] Конструктивное отображение квадрата в себя, сдвигающее
каждую конструктивную точку, ДАН СССР 152, № 1 A963),
55—58.
[2] О конструктивных отображениях круга в себя, Труды Магем.
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 72, «Наука», 1964, 437—
461.
[3] Некоторые вопросы теории полиномов с конструктивными ве-
вещественными коэффициентами, там же, 462—487.
[4] О конструктивных отображениях конечных полиэдров. Тру-
Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 93, «Наука»,
1967, 142—163.
[5] О некоторых типах непрерывности конструктивных операто-
операторов, там же, 164—186.
[6] Некоторые свойства гомеоморфизмов конструктивных метри-
метрических пространств, Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Ма-
Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 16 A969), 157—164.
[7] Эквивалентность двух определений непрерывности, там же 20
A970), 145—159.
[8] О непрерывности конструктивных функционалов, там же,
160—169.
Петер (Peter R.)
[1] Zur Begriff der rekursiven reellen Zahl, Acta Scient. Math.
Szeged. 12A A950), 239—245.
[2] Rekursiven Funktionen, Budapest, 1951. [Русский перевод: Пе-
Петер P., Рекурсивные функции, ИЛ, 1954.]
Рабин (Rab in M. О.)
[1] Computable algebra, general theory and theory of computable
fields, Trans. Amer. Math. Soc. 95, № 2 A960), 341—360.
Райе (Rice H. G.)
[1] Recursive real numbers, Proc. Amer. Math. Soc. 5, № 5 A954),
784—791.
Ричардсон (R i ch a r dso n D.)
[1] Some undecidable problems involving elementary functions
of a real variable, J. Symbolic Logic 33, № 4 A968).
Роджерс (Rogers H., Jr.)
[1] Recursive functions and effective computability, McGraw-Hill,
New York, 1967. [Русский перевод: Х. Роджерс, Теория рекур-
рекурсивных функций и эффективная вычислимость, «Мир», 1972.]
Руднн (Rudin W.)
[1] Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill Book Com-
Company, 1964. [Русский перевод: Р у д и н У., Основы математи-
математического анализа, «Мир», 1966.]
Скарпеллини (ScarpelliniB.)
[1] Zwei unentscheidbare probleme der Analysis, Z. math. Logik
Gnindl. Math. 9 A963), 265—289.

БИБЛИОГРАФИЯ 437
Слисеико А. О.
[1] О некоторых свойствах арифметических операций над дуплек-
дуплексами, ДАН СССР 152, № 2 A963), 292—295.
[2] О некоторых алгоритмических задачах, связанных с арифме-
арифметическими операциями над функциями, Труды Матем. ин-та
АН СССР им. В. А. Стеклова 72, «Наука», 1964, 488—523.
[3] Пример неразрывного, но не непрерывного конструктивного
оператора в метрическом пространстве, там же, 524—532.
[4] О конструктивных несепарабельных пространствах, там же,
533—536.
[5] О максимальных регуляторах непрерывности конструктивных
функций, Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та
АН СССР им. В. А. Стеклова 4 A967), 201—208.
[6] Арифметические операции на некоторых множествах дуплек-
дуплексов, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 93,
«Наука», 1967, 187—207.
[7] О построении максимальных регуляторов непрерывности кон-
конструктивных функций, там же, 208—249.
[8] Некоторые вопросы аппроксимации максимальных регулято-
регуляторов непрерывности. Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 113, «Наука», 1970, 73—78.
Сор (Soare Robert I.)
[1] Cohesive sets and recursively enumerable Dedekind cuts, Paci-
Pacific J. Math. 31, № 1 A969), 215—231.
[2] Recursion theory and Dedekind cuts, Trans. Amer. Math. Soc.
140 A969), 271—294.
Трахтенброт Б. А.
[1] Табличное представление рекурсивных операторов, ДАН
СССР 101, № 3 A955), 417—420.
[2] Алгоритмы и машинное решение задач, Физматгиз, 1960.
[3] Сложность алгоритмов и вычислений, Новосибирск, 1967.
Тьюринг (Turing A. M.)
[1] On computable numbers, with an application to the Entschei-
dungsproblem, Proc. Lond. Math. Soc, ser. 2, 42 A936), 230—265.
[2] A correction, там же 43 A937), 544—546.
Уайтхед, Рассел (Whitehead A., Russell В.)
[1] Principia mathematica, vol. 1, London, 1910.
[2] Principia mathematica, vol. 2, London, 1912.
[3] Principia mathematica, vol. 3, London, 1913.
У сп е и с к и й В. А.
[1] К теореме о равномерной непрерывности, УМН 12, № 1
A957), 99—142.
[2] К вопросу о соотношении между различными системами кон-
конструктивных действительных чисел, Изв. высш. учебн. заведе-
заведений, Математика, № 2 A5) A960), 199—208.
[3] Лекции о вычислимых функциях, Физматгиз, 1960.
Фан Дин ь Зиеу
[1] Конструктивные локально выпуклые линейные топологические
пространства, ДАН СССР 162, № 4 A965), 766—769.
[2] Метризуемость, нормируемость и мультинормируемосгь кон-
конструктивных локально выпуклых пространств, там же 162,
№5 A965), 1011—1014.

438 БИБЛИОГРАФИЯ
[3] О сопряженных к конструктивным локально выпуклым про-
пространствам, там же 166, № 1 A966), 45—48.
[4] Конструктивные обобщенные функции, там же 174, № 1 A967),
37-40.
[5] О некоторых спойствах конструктивных обобщенных функ-
функций, там же 174, Л» 2 A967), 298—301.
[6] О пространствах конструктивных бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых функций и о функционалах в них, там же 180, № 4 A968),
799-802.
[7] Об одном языке конструктивной математики, связанном с си-
системами множеств, Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 93, «Наука», 1967, 123—141.
[8] О замкнутых и открытых множествах в конструктивных то-
топологических пространствах, там же, 250—256.
[9] Некоторые вопросы конструктивного функционального анали-
анализа, Труды Матем. пита АН СССР им. В. А. Стеклова 113,
«Наука», 1970.
Феферман (FefermanS.)
[1] Systems of predicative analysis, J. Symbolic Logic 29, № 1
A964), 1—30.
Фихтеигольц Г. М.
[1] Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1,
Физматгиз, 1958.
[2] Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2,
Физматгиз, 1959.
Френкель, Бар-Хиллел (Fraenkel A. A., Bar-Hi 1-
1 el Y.)
[1] Foundations of set theory, North-Holland Publ. Co., Amster-
Amsterdam, 1958. [Русский перевод: Френкель А. А., Бар-Хил-
Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, «Мир», 1966.]
Фридберг (FriedbergR. M.)
[1] Un contre-exeple relatif aux fonctionnelles recursives, Compt.
rend. Acad. sci. Paris 247, K° 12 A958), 852—854.
[2] 4-Quantifier Completeness: A Banach — Mazur Functional not
Uniformly Partial Recursive, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. sci.
math., astr., et phys. 6, № 1 A958), 1—5.
X а у к (H a uck J.)
[1] Ein Kriterium fur die Annahme des Maximums in der berechen-
baren Analysis, Z. math. Logik Grundl. Math. 17 A971), 193—
196.
X а ч а т р я и М. A.
[1] О конструктивных числовых рядах, Математические вопросы
кибернетики и вычислительной техники (теория алгорифмов
и конструктивный математический анализ), Ереван, 1968, 7—25.
[2] Пример конструктивной недифференцируемой монотонной
функции, ИАН Арм. ССР 4, № 4 A969), 296-299.
Ней тин Г. С.
[1] О теореме Коши в конструктивном анализе, УМН 10, N° 4
F6) A955), 207—209.
[2] Теорема о вложенных сегментах, теорема Коши и теорема
Ролля в конструктивном анализе, Труды 3-го Всесоюзного
матем. съезда, т. 1, Изд. АН СССР, 1956, 186—187.

БИБЛИОГРАФИЯ 439
[3] Равномерная рекурсивность алгорифмнческих операторов над
общерекурсивными функциями и каноническое представление
для конструктивных функций вещественного аргумента, там
же, 188—189.
[4] Алгорифмические операторы в конструктивных полных сепа-
рабельных метрических пространствах, ДАН СССР 128, Kt 1
A959), 49—52.
[5] Алгорифмические операторы в конструктивных метрических
пространствах, Труды Магем. ин-та АН СССР им. В. А. Стек-
лова 67, Изд. АН СССР, 1962, 295-361.
[6] Теоремы о среднем значении в конструктивном анализе,
там же, 362—384.
[7] Один способ изложения теории алгорифмов и перечислимых
множеств, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стек-
лова 72, «Наука», 1964, 69—98.
[81 Три теоремы о конструктивных функциях, там же, 537—543.
[9] Исследования по конструктивному анализу (конструктивные
вещественные числа и точечно-определенные функции), Авто-
Автореферат докт. дисс, Л., 1968.
[10] О верхних границах перечислимых множеств конструктивных
вещественных чисел, Труды Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 113, «Наука», 1970, 102—172.
[11] Псевдофундаментальная последовательность, не эквивалент-
эквивалентная монотонной, Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Матем.
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 20 A971), 263—271.
Цейтин Г. С, Заславский И. Д., Шанин Н. А.
[1] Особенности конструктивного математического анализа, Меж-
Международный конгресс математиков (Москва, 1966), Тезисы
докладов, 1966, 171—177.
[2] Peculiarities of constructive mathematical analysis, Междуна-
Международный конгресс математиков (Москва, 1966), Труды, «Мир»,
1968, 253—260.
Ш а н и и Н. А.
[1] О конструктивном математическом анализе, Труды 3-го Все-
Всесоюзного матем. съезда, т. 2, Изд. АН СССР, 1956, 69—70.
[2] Некоторые вопросы математического анализа в свете кон-
конструктивной логики, Z. math. Logik G'rundl. Math. 2 A956),
27—36.
[3] Об алгорифме конструктивной расшифровки математических
суждений, там же 4 A958), 293—303.
[4] О конструктивном понимании математических суждений, Тру-
Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 52, Изд. АН
СССР, 1958, 226—311.
[5] О линейных конструктивных функционалах в конструктивном
гильбертовом пространстве, Z. math. Logik Grundl. Math. 5
A959), 1—8.
[6] Конструктивные вещественные числа и конструктивные функ-
функциональные пространства, Труды Матем. ии-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 67, Изд. АН СССР, 1962, 15—294.
[7] К вопросу о конструктивном понимании опорных формул. I,
Труды Матем. нн-та АН СССР им. В. А, Стеклова 72, «На-
«Наука», 1964, 348—379,

440 БИБЛИОГРАФИЯ
[8] О рекурсивном математическом анализе и исчислении арифме-
арифметических равенств Р. Л. Гудстейна, Вступительная статья
к кн.: Гудстейн Р. Л., Рекурсивный математический ана-
анализ, «Наука», 1970, 7—76.
Шапиро (S h a p i r о N. Z.)
[1] Recursively Countable Subsets of Recursive Metric Spaces, Bull.
Acad. Pol. Sci., Ser. sci. math., astr., phys. 17, № 10 A969),
603—607.
Шнорр (Schnorr C.-P.)
[1] Kprnplexitat von Algorithmen mit Anwendung auf die Analy-
Analysis, Arch. math. Logjk 14 A971), 54—68.
Шпекер (S pecker h.)
[1] Nicht konstruktiv beweisbare Satze der Analysis, J. Symbolic
Logic 14, Л» 3 A949), 145—158.
[2] Der Satz vom Maximum in der rekursiven Analysis, Studies in
logic and the foundations of mathematics, Constructivity in
Mathematics, Proc. of the Coiloquium held at Amsterdam 1957,
1959, 254—265.
[3] The fundamental theorem of algebra in recursive analysis, Con-
Constructive Aspects of the Fundamental Theorem of Algebra. Proc.
Symp. Zurich — Ruschlikon 1967, Wiley-Interscience, New York,
1969, 321—329.
Ш у р ы г и н В. А.
[1] О нетривиальных конструктивных отображениях некоторых
множеств, ДАН СССР 168, .4° 1 A966), 40—42.
[2] О конструктивных множествах с равенством и их отображе-
отображениях, там же 173, № 1 A967), 54—57.
[3] Полные множества с равенством и некоторые их свойства,
Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова 8 A968), 272—280.
[4] Конструктивные множества с равенством и их отображения,
Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Сгеклова 113,
«Наука», 1970, 173—259.
Эберт (Aberth О.)
[1] Analysis in the computable number field, J. Assoc. Comput.
Math. 15, № 2 A968), 275—299.
[2] A chain of inclusion relations in computable analysis, Proc.
Amer. Math. Soc. 22, № 2 A969), 539.

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абель (Abel N. Н.) 178
Адлер (Adler A.) 427
Александров П. С. 103. 252. 427
Банах (Banach S.) 16. 18, 378, 427
Бар-Хиллел (Bar-Hlllel Y.) 10-12.427,
438
Бернштейн С. Н. 252
Бертран (Bertrand J.) 178
Бишоп (Bishop E.) 11, 14. 24-26. 427
Больцано (Bolzano В.) 9. 13. 256. 262.
Борель (Borel E.) 10. 21, 41, 44, 186,
235, 310. 320. 409, 427
Брауэр (Brouwer L. E. J.) 10. 11, 17,
32
Буняковский В. Я. 358
Бэр (Baire R.) 252, 376, 399, 423
Вайнберг Ю. Р. 398
Вандивер (Vandiver H. S.) 427
Вейерштрасс (Weierstrass С.) 9, 13,
184
Вейль (Weyl H.) 10. 15. 16, 36. 427
Гаусс (Gauss С. F.) 10
Гейтинг (Heytlng A.) 11, 23. 32. 34,
36, 427. 428
Гелбаум (Gelbaum В.) 208, 374, 428
Гёдель (Q6del К.) 16
Гжегорчик (Grzegorczyk A.) 18. 20—22.
216. 226. 232, 262, 411. 428
Гильберт (Hilbert D.) 27, 428
Гудстейн (Goodsteln R.) 23, 24, 174.
216. 223, 226. 233. 265, 427, 428
Даламбер (d'Alembert J.) 178
Дарбу (Darboux Q.) 293, 297
Дедекинд (Dedekind R.) 9, 10
Демут (Demuth О.) 26, 820, 428
Детловс В. К. 109. 429
Дирихле (Dirichlet P. G. L.) 178, 217
Заславский И. Д. 9, 21, 25. 26. 41,
115. 174. 183, 208. 223. 225, 236. 252.
310—311. 313, 314. 318, 321-324. 327
331, 336. 341, 350, 429, 439
Звонкий А. К. 26, 430
Ильэе (Use D.) 20, 430
Ильин В. А. 274. 430
Камке (Kamke E.) 404. 430
Канович М. И. 430
Кантор (Kantor G.) 9. 163, 187
Карри (Curry H. В.) 10, 430
Каииг (K6nig D.) 310. 430
Клауа (Klaua D.) 20, 21. 430
Клив (Cleave J.) 431
Клини (Kleene S. С.) 10, 16. 20, 22.
31, 34, 86, 92, 217. 234, 310, 392, 411,
412. 431
Колмогоров А. Н. 11, 26, 32, 34, 358,
359. 376. 379. 431
Корпут (Corput J. Q. van der) 233, 431
Косовский Н. К. 26, 431
Коши (Cauchy A. L.) 9, 14, 103. 175,
178, 256, 262, 263, 269, 275, 358
Крайзел (Kreisel G.) 21. 22, 311, 314,
318, 385. 392. 410. 431
Кронекер (Kronecker L.) 10. 443
Кузнецов А. В. 359, 432
Куммер (Kummer E. Е.) 177
Куратовский^ (Kuratowski К) 310. 432
Кучера (Kucera A.) 432
Кушнер Б. А. 129, 209, 233, 234. 301,
331. 332, 335, 341, 377, 399, 403. 409,
430, 432
Лагранж (Lagrange J. L.) 269, 275, 276
Лакомб (Lacombe D.) 21, 22, 216, 226,
232. 262, 311. 314. 318, 327, 331, 353,
385, 392. 407. 410. 431. 432
Ландау (Landau E.) 115. 433
Лахлан (Lachlan A. H.) 20. 411, 433
Лебег (Lebesgue H.) 320
Левин Л. А. 26, 430
Лейбниц (Leibniz G. W.) 177. 303, 307
Леман (Lehman R. S.) 20. 433
Линделёф (Lindelof E.) 404
Липшиц (Lipschitz R.) 274
Лифшиц В. А. 26. 186, 232, 331, 332,
409, 433
Лоренц А. А. 26, 433
Лоренцен (Lorenzen P.) 433
Лгостерник Л. А. 379, 433
Мазуо (Mazur S.) 16. 18—20, 184, 223,
427, 434
Майхилл (Myhlll J. R.) 18. 385 392
434

442
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Мальцев А. И. 47, 86, 98, 190,234, 434
Манукян С. Н. 26, 223, 430, 434
Марков А. А. 9, 19, 20, 20, 26, 28-35,
45, 47, 49, 51, 54, 64, 65, 68, 71, 73,
76, 78, 79, 82-86, 106, 107, 144, 147,
216, 217, 223, 224, 291, 310, 332, 354,
385, 388, 411, 412, 423, 434
Мартин-Лёф (Martin-Lef P.) 26, «4
Матиясевич Ю. В. 434
Мендельсон (Mendelson E.) 434
Мерз (Мбгау Сп.) 9
Мешковский (Mesclikowski H,) 18, 435
Минц Г. Е. 206, 207, 281, 353, 435
Михалинец (Mihaljlnec M.) 328, 435
Московакнс (Moscnovakls Y. N.) 353,
363, 379, 392, 396, 398. 400, 401, 403,
407, 408/413. 435
Мостовский (Mostowskl A.) 16, 20,
210, 212, 215, 311, 432, 435
Мучник А. А. 413, 422
Нагорный Н. М. 64, 435
Натансон И. П. 252, 435
Ногнна Е. Ю. 26, 353, 409, 4.V.
Ньютон (Newton I.) 303, 307
Олмстед (Olmsted J.) 208, 374, 428
Оревков В. П. 26, 233, 353, 363, 426,
436
Петер (Peter R.) 18, 436
Позняк Э. Г. 2/4, 430
Пост (Post E.) 16
Раабе (Raabel I.) 178
Рабин (Rabin M. О.) 436
Ричардсон (Richardson D.) 436
Расёва (Rasiowa H.) 18
Рассел (Russell В.) 15, 92, 437
Риман (Rlemann В.) 229, 284—287
Ричардсон) Richardson D.) 436
Рншар (Richard J.) 10
Ричардсон (Richardson D.) 436
Ролль (Rolle M.) 269, 272, 276
Рош (Roche E.) 274
Рудии (Rudin W.) 179, 436
Скарпеллини (Scarpelllnl В.) 436
Слисеико А, О. 217, 223, 372, 423, 424,
437
Соболев В. И. 379, 433
Сор (Soare R.) 437
Тейлор (Taylor В.) 269, 274, 275, 276
Трахтенброт Б. А. 43, 360, 432, 437
Тьюринг (Turing A, M.) 16—18, 24, 31,
86, 209, 215, 437
Уайтхед (Whllehead A.) 15, 437
Успенский В. А. 17, 20, 46, 86, 98, 115,
174, 210, 212, 215, 327, 360, 411, 437
Фан Динь Зиеу 26, 353, 437
Ферма (Fermat P.) 12-14, 33
Феферман (Feferman S.) 16, 438
Фихтеигольц Г. М, 13, 178, 256, 263,
293, 438
Фомин С. В. 358, 359, 376, 379. 431
Френкель (Fraenkel A.) 10—12, 427,
438
Фридберг (Frledberg R. М.) 20, 21,
385, 413, 422, 438
Хаук (Hayek J.) 438
Хачатрян М. А. 174, 4>
Хулн (Hooley J.) 428
Цейтин Г. С. 9, 16, 21, 25-27, 41, 12,
79. 87, 89, 90, 98. 129. 183, 195-197.
199, 201, 202, 204, 207, 209, 223, 224,
236, 236, 237, 244. 252, 257, 263, 265,
276, 279, 311,313, 314, 318, 324,331,
336, 341, 353, 385, 388,389, 392, 393.
396, 401, 403, 409-413, 422, 430, 432.
438, 439
Чёрч (Church A.) 16, 24, 31, 86
Шанин Н. А. 9, 23, 25, 26, 35-37, 127.
129, 223, 320, 353, 356, 439
Шапиро (Shapiro N. Z.) 440
Шепердсон (Shepherdson H.) 385, 392,
434
Шёифнльд (Schoenfield J.) 21,385,392
410, 431
Шлемильх (Schlemilch О.) 274
Шнорр (Schnorf С. Р.) 440
Шпекер (Specker E.) 14, 18, 41, 179,
180, 216, 233, 327, 440
Шурыгин В А. 440
Эберт (Aberth О.) 440
Эрбран (Herbrand J.) 16

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстракция потенциальной осущест-
осуществимости 29
Алгорифм 30—31
— в данном алфавите 49
— над данным алфавитом 60
— нормальный 52—53
у- — арифметический полный 102
в данном алфавите 52—53
метрический (КМП) 356
— — непополнимый 96
несамоприменимый 92
полный 95
— — поподнимый 96
предельного перехода (в КМП)
363
— — самоприменимый 92
— — слабого предельного перехода
(в КМП) 363
согласованный (в КМП) 379
— — стройный 104
— — универсальный 83
— типа о*, ¦> о*250
— -М^оК, 50
Алгорифмическая предельная точка
395
Алгорифмический оператор 382—383
Алфавит 47
Буква 47
Вектор 30
Вхождение 51
— первое 52
Вычислимое действительное
16-17
Грань верхняя 227
— — точная 227
— нижняя 227
— — точная 227
Графическое неравенство 46
— равенство 48
Действительный образ рационального
числа 129
Длина слова 48
Дробление 221
— данного сегмента 221
s- интегральное 294
Дробление положительное 221
— правильное 284
— рациональное 221
Дробь систематическая 210
— л-ичная 210
Замыкание нормального алгорифма
55
Запись нормального алгорифма 38,
84, 114, 355
Значение интегральной суммы 285
Измельченность дробления (интег-
(интегрального дробления, интегральной
суммы) 285
Изображение нормального алгориф-
алгорифма 83
Индикатор интегрируемости 303
— фундаментальности 203
Интегральная сумма 285
Интегральный шифр 291
Интервал 160
Квазиоператор 424
Квазичисло 126
Конструктивная ось 158
— прямая 158
— функция (КФ) 216
дифференцируемая 265—267
— — интегрируемая по Риману (/?-
интегрируемая) 285
— — линейная 220
— — непрерывная 224
— — полигональная 221
— — псевдополитональная 244
равномерно непрерывная 225
— — угловая 243
эффективно неинтегрируемая 332
— — — не равномерно непрерывная
327
Конструктивное действительное число
(КДЧ) 126
— метрическое пространство (КМП)
356
— полное 363
сепарабельное 364
— слабо полное 363
— — — совершенное 377
КонструктипнмП континуум 158
— объект 28
•- разрыв 224, 385

444
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
/(-оператор 233
— почти непрерывный 234
Кортеж 30
Множество 36
— бесконечное 107
— нефинитное 107
— перечнслимое 100
— разрешимое 100
— точек КМП алгорифмически зам-
замкнутое ЗУд
— замкнутое 418
— — — лакомбово 407
нигде не плотное 421
— — — первой категории 375
плотное 384
— — — правильное 357
— прослеживаемое 396
— — — сепарабельное 364
— — — согласованное 379
— — — эффектавио нигде ие плот-
плотное 375
— открытое 398
— финитное 107
— эффективно несчетное 187
Натуральное число 30. 115
Носитель КМП 356
Обобщенный интеграл 336
Объединение последовательности
множеств 375
Основа КДЧ 136
Обобщенный интеграл 336
Подпространство КМП 357
правильное 358
Покрытие интервальное 311
— невырожденное 313
— рациональное 353
— сегментное 311
— — дизъюнктное 312
— сингулярное 313
— точное 313
— е-ограниченное 313
Полигональный шифр 221
Л-оператор 232
— почти непрерывный 234
Пополнение КМП 366
Последовательность интервалов 172
— — вложенная 172
универсальная 313
8-ограниченная 313
— конструктивных действительных
чисел (ПДЧ) 163
квазифундаментальная 164
— псевдофундаментальная 164
сходящаяся 164
— — — — фундаментальная 164
— — шпекерова 183
функций 241
— расширяющаяся 253
— — — согласованная 241
— с данным покрытием 324
— множеств 375
Последовательность натуральных чи-
чисел (ПНЧ) 126
— перечислимых множеств 112
— рациональных чисел (ПРЧ) 126
квазифундаментальная 126
— — — псевдофундаментальная 126
— — — фундаментальная 126
— — — эффективно не сходящаяся
320
— сегментов 172
вложенная 172
регулярная 172
— — е-ограниченная 313
— согласованных множеств 381
— точек КМП 361
— регулярная 361
— регулярно сходящаяся 361
— — — сходящаяся 361
— — — фундаментальная 361
— шаров вложенная 372
регулярная 372
Принцип захвата 388
— конструктивного подбора 34
— Маркова 33—34
— нормализации 85
Проблема распознавания применимо-
применимости 94
Производная 272
Производное число 265
Промежуток 160
Псевдооператор 423—424
Псевдочисло 127
Равномерный шифр 226
Рациональное число 120
Регулятор интегрируемости 285
— непрерывности 224
— равномерной непрерывности 225
— сходимости в себе 126, 163—164
к данному КДЧ 164
— фундаментальности 126, 164, 361
Сегмент 160
Система интервалов 237
— сегментов 237
— слов 30
Склейка последовательности функ«
ций 324
Слово 28, 48
— в данном алфавите 48
— непредельное 392 .
— предельное 392
— пустое 48
Схема нормального алгорифма 54
Теорема композиции 68
— Мостовского — Успенского 212
— об универсальном алгорифме 83,
85
— объединения 73
— о вложенных шарах 372
— — выборе перечислимого покры-
покрытия 403
— — непополнимом алгорифме 96
непрерывности 224—225, 401, 409
неразрывности 224, 386
— — переводе 65

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
445
Теорема о полноте конструктивного
континуума 169—170
— — пополнении КМП 366
— приведения 65
— повторения 78—79
— разветвления 75
— сепарационная 396
— Цейтина об аппроксимации конст-
конструктивных функций 244
— Шпекера 179
Теоремы сочетания 67
Точечный образ множества 376
Точка КМП 356
— — изолированная 377
— — предельная 417
Условное равенство 49
Формула подстановки 52
заключительная 52
— — простая 52
Характеристический алгорифм по-
покрытия 311—312
Целое число 118
Частично рекурсивный оператор 411
Числовой ряд 168
— — расходящийся 175
сходящийся 168
— — шпекеров 183
Шар в КМП 463
— замкнутый 363
Эквивалентность алгорифмов относи-
относительно данного алфавита 50
полная 50
— точек КМП 356
Эффективное покрытие 403
Эффективный функционал 385
5-число 126
^Я-число 126

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
V, &.
с= 37
=> .V. 3- "."Г 32
(включение, строгое включение,
пересечение, объединение мно-
множеств «Л,, М2) 37
"Зн (дополнение множества М) 37
<М\ X <*2 X ••• X »#?(декартово про-
произведение множествМ\ °^k) 38
«#* (декартова степень множества ой)
38
?513 (запись алгорифма Я) 38,84,114,355
жр, ^(графическое равенство,- графи-
графическое неравенство) 48
Л (пустое слово) 48
а (условное равенство) 49
|И(Р) (применимость алгорифма Як
исходному данному Р) 49
P->Q, P-> -Q (простая и заключитель-
заключительная формула подстановки) 52
V (замыкание нормального алгориф-
алгорифма) 55
(ЩоЯ) (композиция нормальных алго-
алгорифмов St и 83) 72
Иа87
[Щ 89
«Гр 90, 113
«р 90, 113-114
Vi, V. Vя 113
5С (множество натуральных чисел) 116
=. <. >. >. <. 116
ЭСЗС ЗС ЗС ЭС
+ . • 117
ЗСЭС
Ц (множество целых чисел) 118
mod 118
U
=, <• >. <, >. 118-119
U Ц Ц Ц Ц
+ 119
Ц
•120
и
«^(множество рациональных чисел) 120
=, <. >. <. > 121
& & & & &
+ , • 122
& в"
-, : 123
mod 124
0>
max, min 125
3) (множество конструктивных дей-
действительных чисел) 129
Id 129
хп (употребляется лишь в гл. 2) 130
=. >, <• >. <. ?• 130
а> з> з а з з
оси 136
Nr 142
sgn<2> 142
sgn 143
Рз 146
G 147
+ . -160
3 3
mod 151
G+ 153
3 154
О". ОТ
: 157
155
max, mln 157
3 S>
Xy (сегмент, интервал,
промежуток) 160

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЯ 447
Кл. Ка 160 •=?•
Дл 161 м м 356
Рц 162 Я- Ev &П 358
D+, D~ 169 е\, е\. С, В 359
llm, НтО) 169 Нпл (ЯГ| и) 375
1!т<2> 162 Кат (У, {Хп}, у) 375
— Ml (точечный образ множества ¦». 47il
{f + g}. {f-g}, {f-g} 219 Согл {Xi Я) зуд
1 j {max (f, g)}, {mln (f. g» {| f |} 219 "^
Пр (f, f. z, fl), Пр («, f. г) 266
Х». '. f.«. «. Сокращения
npljVn ( f г) 266 ПНЧ —последовательность натураль-
^ ных чисел 126
rip(-oov + <», f, P) 266 ПРЧ—последовательность рацнональ-
Пр (-» V+ =о, f, f/, W, 267 ных чисел 126
Пр (х 2? », f, f') 267 КДЧ —конструктивное действительное
Пр (х X У. f. f'. W.) 267 число 126
3, я 285 ПДЧ—последовательность конструк-
Д, Ю, И, Mi 288 тнвных действительных чисел 163
у у КФ—конструктивная функция 217
Г Г ^-интегрируемость —интегрируемость
Z(°)J f> J W Ш поРныануИВ
x x КМПконс груктивное метрическое
Md (f, F, 2), у) 342 пространство 356

Борис Абрамович Кушнер
ЛЕКЦИИ ПО КОНСТРУКТИВНОМУ
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
(Серия: <Математическая логика
и основания математики»)
М., 1973 г., 448 стр. с илл.
Редактор В. В. Донченко
Техн. редактор И. III. Аксельрод
Корректор 3. В. Автонеева
Сдано в набор 12/Ш 1973 г. Подписано к пе-
печати 23/Х1 1973 г. Бумага 84X108'/», тип. № 1.
Физ. печ. л. 14. Услов. печ. л. 23.52. Уч.-изд. Л.
21,31. Тираж 7800 экз. Т-16970. Цена книги 1 р. 60 к.
Заказ № 649
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств.
полиграфии и книжной торговли
198052 Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29