В. А. Зорич
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Часть II
Издание четвертое,
исправленное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
математических и физико-математических
факультетов и специальностей
высших учебных заведений
мцнмо
Москва, 2002
УДК 517
ББК 22.16
386
Рецензенты:	Отдел теории функций комплексного переменного Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук. Заведующий отделом академик А. А. Гончар. Академик В. И. Арнольд.
Зорич В. А.
386 Математический анализ. Часть II. — Изд. 4-е, испр.—
М.: МЦНМО, 2002, —XIV+ 794с. Библ.: 60 назв. Илл.: 41.
ISBN 5-94057-055-0
ISBN 5-94057-057-7 (часть II)
Университетский учебник для студентов физико-математических спе-
циальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с рас-
ширенной математической подготовкой, а также специалистам в области
математики и ее приложений.
ББК 22.16
ISBN 5-94057-055-0
ISBN 5-94057-057-7 часть Ц)
©1НОСА1|Зорич, 1998, 2001, 2002.
© МЩ]МО, 1998, 2001, 2002.
«УчвбнИК В. А. ЗОрича лрг/ц, i авллс i сл лзпс: ttanuu.icc	ИЗ ИМСЮЩИХСЯ подробных
учебников анализа для математиков и физиков. Основные его отличия от традиционных
изложений состоят, с одной стороны, в большей близости к естественно-научным прило-
жениям (и прежде всего к физике и механике), а с другой — в большем, чем это обычно
принято, использовании идей и методов современной математики: алгебры, геометрии, то-
пологии.
Курс необычно богат идеями и ясно показывает могущество идей и методов современ-
ной математики при исследовании конкретных вопросов. Особенно нестандартен второй
том, включающий векторный анализ, теорию дифференциальных форм на многообразиях,
введение в теорию обобщенных функций и в теорию потенциала, ряды и преобразования
Фурье, а также начала теории асимптотических разложений.
... В наше время такое построение курса следует считать новаторским. Оно было
обычным во времена Гурса, но наблюдающаяся последние полстолетия тенденция к спе-
циализации курсов выхолостила курс анализа, оставив ему почти одни лишь обоснования.
Необходимость вернуться к более содержательным курсам анализа представляется сейчас
очевидной, особенно в связи с прикладным характером будущей деятельности большинства
студентов.
... По моему мнению, курс является лучшим из существующих современных курсов
анализа».
Из отзыва академика В. И. Арнольда
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловия к переизданиям .................................. XII
Предисловие к первому изданию................................XIII
♦ Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория)...........	1
§ 1. Метрическое пространство.............................. 1
1. Определение и примеры (1). 2. Открытые и замкнутые под-
множества метрического пространства (5). 3. Подпространство
метрического пространства (8). 4. Прямое произведение метри-
ческих пространств (9).
Задачи и упражнения..................................... 10
§ 2. Топологическое пространство.......................... 11
1. Основные определения (11). 2. Подпространство топологиче-
ского пространства (16). 3. Прямое произведение топологиче-
ских пространств (17).
Задачи и упражнения..................................... 17
§3.	Компакты............................................. 19
1.	Определение и общие свойства компакта (19). 2. Метрические
компакты (21).
Задачи и упражнения..................................... 23
§ 4.	Связные топологические пространства.................. 24
Задачи и упражнения..................................... 25
§ 5.	Полные метрические пространства...................... 26
1.	Основные определения и примеры (26). 2. Пополнение метри-
ческого пространства (30).
Задачи и упражнения..................................... 34
IV
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6.	Непрерывные отображения топологических пространств ....	35
1.	Предел отображения (35). 2. Непрерывные отображения (38).-
Задачи и упражнения..................................... 42
§ 7.	Принцип сжимающих отображений ....................... 43
Задачи и упражнения..................................... 49
♦ Глава X. Дифференциальное исчисление с более общей
точки зрения .............................................. 51
§ 1.	Линейное нормированное пространство.................. 51
1.	Некоторые примеры линейных пространств анализа (51).
2.	Норма в линейном пространстве (52). 3. Скалярное произве-
дение в векторном пространстве(56).
За	дачи и упражнения................................... 59
§ 2.	Линейные и полилинейные операторы.................... 60
1.	Определения и примеры (60). 2. Норма оператора (63). 3. Про-
странство непрерывных операторов (68).
Задачи и упражнения..................................... 73
§ 3.	Дифференциал отображения............................. 74
1.	Отображение, дифференцируемое в точке (74). 2. Общие зако-
ны дифференцирования (77). 3. Некоторые примеры (78).
4.	Частные производные отображения (86).
Задачи и упражнения..................................... 87
§ 4.	Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее ис-
пользования .............................................. 89
1.	Теорема о конечном приращении (89). 2. Некоторые примеры
применения теоремы о конечном приращении (92).
Задачи и упражнения..................................... 96
§ 5.	Производные отображения высших порядков.............. 97
1.	Определение n-го дифференциала (97). 2. Производная по век-
тору и вычисление значений n-го дифференциала (98). 3. Сим-
метричность дифференциалов высшего порядка (100). 4. Неко-
торые замечания (103).
Задачи и упражнения.................................... 104
§ 6.	Формула Тейлора и исследование экстремумов.......... 105
1.	Формула Тейлора для отображений (105). 2. Исследование вну-
тренних экстремумов (106). 3. Некоторые примеры (108).
Задачи и упражнения.................................... 114
ОГЛАВЛЕНИЕ
V
§ 7.	Общая теорема о неявной функции...................... 116
Задачи и упражнения.................................. 126
Глава XI. Кратные интегралы................................. 129
§ 1.	Интеграл Римана на n-мерном промежутке............. 129
1.	Определение интеграла (129). 2. Критерий Лебега интегриру-
емости функции по Риману (132). 3. Критерий Дарбу (137).
Задачи и упражнения................................... 140
§ 2.	Интеграл по множеству.............................. 141
1.	Допустимые множества (141). 2. Интеграл по множест-
ву (142). 3. Мера (объем) допустимого множества (144).
Задачи и упражнения................................... 145
§ 3.	Общие свойства интеграла........................... 146
1.	Интеграл как линейный функционал (146). 2. Аддитивность
интеграла (147). 3. Оценки интеграла (148).
Задачи и упражнения................................... 151
§4.	Сведение кратного интеграла к повторному........... 152
1.	Теорема Фубини (152). 2. Некоторые следствия (155).
Задачи и упражнения................................... 161
§ 5.	Замена переменных в кратном интеграле.............. 162
1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены
переменных (162). 2. Измеримые множества и гладкие отобра-
жения (165). 3. Одномерный случай (166). 4. Случай простейше-
го диффеоморфизма в Rn (169). 5. Композиция отображений и
формула замены переменных (171). 6. Аддитивность интегра-
ла и завершение доказательства формулы замены переменных в
интеграле (172). 7. Некоторые следствия и обобщения формулы
замены переменных в кратных интегралах (173).
Задачи и упражнения.................................... 178
§ 6. Несобственные кратные интегралы..................... 181
1.	Основные определения (181). 2. Мажорантный признак сходи-
мости несобственного интеграла (184). 3. Замена переменных в
несобственном интеграле (187).
Задачи и упражнения...................................... 191
Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы вКп . . 194
§ 1.	Поверхность в Rn.................................... 194
Задачи и упражнения.................................... 204
VI
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2.	Ориентация поверхности.............................. 205
Задачи и упражнения.................................... 212
§3.	Край поверхности и его ориентация................... 213
1.	Поверхность с краем (213). 2. Согласование ориентации по-
верхности и края (216).
Задачи и упражнения.................................... 221
§ 4.	Площадь поверхности в евклидовом пространстве....... 222
Задачи и упражнения.................................... 229
§ 5.	Начальные сведения о дифференциальных формах ....... 233
1.	Дифференциальная форма, определение и примеры (233).
2.	Координатная запись дифференциальной формы (237).
3.	Внешний дифференциал формы (240). 4. Перенос векторов и
форм при отображениях (243). 5. Формы на поверхностях (248).
Задачи и упражнения.................................... 249
Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы .... 252
§ 1.	Интеграл от дифференциальной формы ................. 252
1.	Исходные задачи, наводящие соображения, примеры (252).
2.	Определение интеграла от формы по ориентированной поверх-
ности (260).
Задачи и упражнение.................................... 264
§ 2.	Форма объема, интегралы первого и второго рода...... 269
1.	Масса материальной поверхности (269). 2. Площадь поверх-
ности как интеграл от формы (270). 3. Форма объема (272).
4.	Выражение формы объема в декартовых координатах (274).
5.	Интегралы первого и второго рода (275).
Задачи и упражнения.................................... 278
§ 3. Основные интегральные формулы анализа............... 281
1. Формула Грина (281). 2. Формула Гаусса-Остроградско-
го (287). 3. Формула Стокса в R3 (291). 4. Общая формула Сток-
са (293).
Задачи и упражнения.................................... 297
ОГЛАВЛЕНИЕ
VII
Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля . . . 303
§ 1. Дифференциальные операции векторного анализа....... 303
1. Скалярные и векторные поля (303). 2. Векторные поля и фор-
мы в R3 (303). 3. Дифференциальные операторы grad, rot, div
и V (307). 4. Некоторые дифференциальные формулы вектор-
ного анализа (311). *5. Векторные операции в криволинейных
координатах (313).
Задачи и упражнения................................... 323
§ 2. Интегральные формулы теории поля .................. 325
1. Классические интегральные формулы в векторных обозначе-
ниях (325). 2. Физическая интерпретация div, rot, grad (328).
3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы (333).
Задачи и упражнения................................... 336
§ 3. Потенциальные поля................................. 339
1. Потенциал векторного поля (339). 2. Необходимое условие по-
тенциальности (340). 3. Критерий потенциальности векторно-
го поля (341). 4. Топологическая структура области и потенци-
ал (345). 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые фор-
мы (348).
Задачи и упражнения................................... 351
§ 4. Примеры приложений ................................ 355
1. Уравнение теплопроводности (356). 2. Уравнение неразрыв-
ности (358). 3. Основные уравнения динамики сплошной сре-
ды (360). 4. Волновое уравнение (362).
Задачи и упражнения................................... 364
*Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на
многообразиях ........................................... 367
§ 1.	Некоторые напоминания из линейной алгебры.......... 367
1.	Алгебра форм (367). 2. Алгебра кососимметрических
форм (368). 3. Линейные отображения линейных пространств
и сопряженные отображения сопряженных пространств (372).
Задачи и упражнения................................... 374
§ 2.	Многообразие ...................................... 375
1.	Определение многообразия (375). 2. Гладкие многообразия и
гладкие отображения (381). 3. Ориентация многообразия и его
края (385). 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в
виде поверхностей в R" (390).
Задачи и упражнения................................... 394
VIII
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.	Дифференциальные формы и их интегрирование на многообра-
зиях ................................................... 397
1.	Касательное пространство к многообразию в точке (397).
2.	Дифференциальная форма на многообразии (401). 3. Внеш-
ний дифференциал (404). 4. Интеграл от формы по многообра-
зию (405). 5. Формула Стокса (407).
Задачи и упражнения................................... 409
§ 4.	Замкнутые и точные формы на многообразии........... 415
1.	Теорема Пуанкаре (415). 2. Гомологии и когомологии (419).
Задачи и упражнения................................... 425
Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции
анализа над рядами и семействами функций................... 428
§ 1.	Поточечная и равномерная сходимость................ 428
1.	Поточечная сходимость (428). 2. Постановка основных вопро-
сов (429). 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства
функций, зависящих от параметра (432). 4. Критерий Коши рав-
номерной сходимости (436).
Задачи и упражнения................................... 437
§ 2.	Равномерная сходимость рядов функций............... 438
1.	Основные определения и критерий равномерной сходимости
ряда (438). 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
ряда (441). 3. Признак Абеля - Дирихле (443).
Задачи и упражнения................................... 448
§ 3.	Функциональные свойства предельной функции......... 449
1.	Конкретизация задачи (449). 2. Условия коммутирования
двух предельных переходов (450). 3. Непрерывность и предель-
ный переход (452). 4. Интегрирование и предельный пере-
ход (456). 5. Дифференцирование и предельный переход (458).
Задачи и упражнения................................... 464
* § 4. Компактные и плотные подмножества пространства непре-
рывных функций........................................ 468
1. Теорема Арцела Асколи (468). 2. Метрическое пространство
С(К, Y) (471). 3. Теорема Стоуна (473).
Задачи и упражнения................................... 476
ОГЛАВЛЕНИЕ
IX
Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра............ 479
§ 1.	Собственные интегралы, зависящие от параметра... 479
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра (479). 2. Непре-
рывность интеграла, зависящего от параметра (480). 3. Диффе-
ренцирование интеграла, зависящего от параметра (482). 4. Ин-
тегрирование интеграла, зависящего от параметра (486).
Задачи и упражнения.................................... 487
§ 2.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра..... 489
1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относи-
тельно параметра (489). 2. Предельный переход под знаком не-
собственного интеграла и непрерывность несобственного инте-
грала, зависящего от параметра (499). 3. Дифференцирование
несобственного интеграла по параметру (502). 4. Интегрирова-
ние несобственного интеграла по параметру (505).
Задачи и упражнения................................... 511
§ 3.	Эйлеровы интегралы................................. 515
1.	Бета-функция (515). 2. Гамма-функция (517). 3. Связь между
функциями В и Г (521). 4. Некоторые примеры (522).
Задачи и упражнения................................... 524
§ 4.	Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функ-
циях ................................................... 528
1.	Свертка в физических задачах (наводящие соображе-
ния) (528). 2. Некоторые общие свойства свертки (531). 3. Дель-
таобразные семейства функций и аппроксимационная теорема
Вейерштрасса (535). * 4. Начальные представления о распреде-
лениях (542).
Задачи и упражнения..................................... 554
§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра ........... 561
1.	Собственные кратные интегралы, зависящие от парамет-
ра (561). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от
параметра (562). 3. Несобственные интегралы с переменной осо-
бенностью (564). *4. Свертка, фундаментальное решение и об-
общенные функции в многомерном случае (569).
Задачи и упражнения.................................... 582
X
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XVIII. Ряд Фурье и преобразование Фурье............... 587
§1.	Основные общие представления, связанные с понятием ряда
Фурье................................................... 587
1.	Ортогональные системы функций (587). 2. Коэффициенты
Фурье и ряд Фурье (595). *3. Об одном важном источнике ор-
тогональных систем функций в анализе (608).
Задачи и упражнения................................... 613
§ 2.	Тригонометрический ряд Фурье ...................... 620
1.	Основные виды сходимости классического ряда Фурье (620).
2.	Исследование поточечной сходимости тригонометрического
ряда Фурье (625). 3. Гладкость функции и скорость убывания ко-
эффициентов Фурье (635). 4. Полнота тригонометрической си-
стемы (641).
Задачи и упражнения................................... 649
§ 3.	Преобразование Фурье............................... 658
1.	Представление функции интегралом Фурье (658). 2. Взаимо-
связь дифференциальных и асимптотических свойств функции и
ее преобразования Фурье (674). 3. Важнейшие аппаратные свой-
ства преобразования Фурье (677). 4. Примеры приложений (684).
Задачи и упражнения................................... 690
Глава XIX. Асимптотические разложения....................... 698
§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд...... 701
1. Основные определения (701). 2. Общие сведения об асимптоти-
ческих рядах (707). 3. Степенные асимптотические ряды (712).
Задачи и упражнения.................................. 715
§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)............. 718
1. Идея метода Лапласа (718). 2. Принцип локализации для ин-
теграла Лапласа (722). 3. Канонические интегралы и их асим-
птотика (725). 4. Главный член асимптотики интеграла Лапла-
са (729). *5. Асимптотические разложения интегралов Лапла-
са (732).
Задачи и упражнения................................... 745
Некоторые вопросы и задачи коллоквиумов .................... 753
Вопросы к экзамену.......................................... 758
ОГЛАВЛЕНИЕ	XI
Литература............................................ 762
Указатель основных обозначений........................ 766
Предметный указатель.................................. 770
Указатель имен........................................ 785
ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРЕИЗДАНИЯМ
В четвертом издании устранены замеченные опечатки.
Москва, 2002 год
В. Зорич
Третье издание отличается от второго лишь локальной правкой (хотя в
одном случае она состояла даже в исправлении доказательства), а так-
же добавлением нескольких, как мне представляется, полезных задач.
Москва, 2001 год
В. Зорич
Отличия второго издания этой книги от первого, помимо того, что ис-
правлены замеченные опечатки первого издания, в основных чертах со-
стоят в следующем. Заново изложены (надеюсь, к лучшему) некоторые
разделы отдельных тем (например, это коснулось рядов и преобразова-
ний Фурье). Даны более прозрачные доказательства отдельных важных
теорем (например, общей теоремы о конечном приращении). Включе-
ны некоторые новые примеры приложений и новые содержательные за-
дачи, примыкающие к соответствующим разделам теории и порой за-
метно расширяющие ее. Приведены экзаменационные вопросы, а также
вопросы и задачи коллоквиумов. Расширен список дополнительной ли-
тературы.
Дальнейшие сведения о материале и некоторых особенностях этой
второй части курса даны ниже в предисловии к первому изданию.
Москва, 1998 год	В. Зорич
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В предисловии к первой части была дана достаточно подробная харак-
теристика курса в целом, поэтому я ограничусь здесь замечаниями по
содержанию лишь этой второй его части.
Основной материал настоящего тома составляют, с одной стороны,
кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, доведенные до
общей формулы Стокса и примеров ее приложений, а с другой сторо-
ны, аппарат рядов и интегралов, зависящих от параметра, включающий
ряды Фурье, преобразование Фурье и представления об асимптотиче-
ских разложениях.
Таким образом, эта часть II в основном соответствует программе
второго года обучения на математических факультетах университе-
тов.
Чтобы не закреплять жестко порядок следования указанных двух
больших тем по семестрам, я изложил их практически независимо.
Главы IX и X, с которых начинается эта книга, в сжатом и об-
щем виде воспроизводят по существу почти все самое ценное, что было
получено в первой части в отношении непрерывных и дифференцируе-
мых функций. Они отмечены звездочкой и написаны как дополнение к
первой части. В нем, однако, содержится много таких понятий, кото-
рые уже сейчас фигурируют в любом изложении анализа математикам.
Наличие этих двух глав делает вторую книгу формально почти неза-
висимой от первой при условии, что читатель достаточно подготовлен,
чтобы при чтении этих двух глав обойтись без многочисленные приме-
ров и наводящих соображений, которые в первой части предшествовали
излагаемому здесь формализму.
Основной новый материал книги, посвященный интегральному ис-
XIV
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
числению функций многих переменных, начинается с главы XI, с кото-
рой, собственно, без потери связности восприятия после первой части
можно читать эту вторую часть курса.
При изложении теории криволинейных и поверхностных интегралов
разъясняется и используется язык дифференциальных форм и сначала
на элементарном материале вводятся все основные геометрические по-
нятия и аналитические конструкции, которые потом составляют лест-
ницу абстрактных определений, ведущую к общей формуле Стокса.
Такому итоговому изложению интегрирования дифференциальных
форм на многообразиях посвящена глава XV, которую я рассматриваю
как весьма желательное систематизирующее дополнение к изложенно-
му и разъясненному на конкретных объектах в обязательных для изу-
чения главах XI XIV.
В разделе, относящемся к рядам и интегралам, зависящим от па-
раметра, наряду с традиционным материалом даны (гл. XIX) началь-
ные сведения об асимптотических рядах и асимптотике интегралов,
поскольку это, несомненно, полезный, благодаря своей эффективности,
аппарат анализа.
Для удобства ориентировки дополнительный материал или разделы,
которые при первом чтении можно опустить, помечены звездочкой.
Нумерация глав и рисунков этой книги продолжает нумерацию уже
вышедшей из печати первой части.
Биографические сведения здесь даются только о тех ученых, кото-
рые не упоминались в первой части,
Как и прежде, для удобства читателя и сокращения текста начало
и конец доказательства отмечаются знаками ◄ и ► соответственно, а
когда это удобно, определения вводятся специальными символами :=
или =: (равенства по определению), в которых двоеточие ставится со
стороны определяемого объекта,
Сохраняя традиции части I, в этой книге много внимания уделено
как прозрачности и логической четкости самих математических кон-
струкций, так и демонстрации содержательных естественно-научных
приложений развиваемой теории.
Москва, 1982 год
В. Зорич
* ГЛАВА IX
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
В этой главе будут обобщены и изложены с единой точки зрения свой-
ства непрерывных отображений, которые были ранее установлены для
числовых функций и отображений типа f: Rm —> Rn. При этом будет
введен ряд простых, но важных понятий, имеющих общематематиче-
ское употребление.
§ 1.	Метрическое пространство
1.	Определение и примеры
Определение 1. Говорят, что множество X наделено метрикой
или структурой метрического пространства, или что X есть метри-
ческое пространство, если указана функция
d-.ХхХ^П,	(1)
удовлетворяющая условиям
a)	d(xi,xz) = 0 <=> Xi = Х2,
b)	d(xi,X2) = d(x2,x{) (симметричность),
с)	d{x\,жз) < d(x\,X2) +d{x2,x^) (неравенство треугольника),
где Xi, Х2, хз — произвольные элементы X.
Функцию (1) называют в этом случае метрикой или расстоянием
вХ.
Таким образом, метрическое пространство есть пара (X, d), со-
стоящая из множества X и заданной на нем метрики.
2
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Элементы множества X в соответствии с геометрической термино-
логией обычно называют точками.
Заметим, что если в неравенстве треугольника с) положить а?з = xi,
то с учетом аксиом а) и Ь) метрики получим, что
О < d(x1}x2),
т.е. расстояние, удовлетворяющее аксиомам а), Ь), с), неотрицательно.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Множество R действительных чисел становится ме-
трическим пространством, если для чисел Xi, х2 положить d(xi,x2) =
= |ж1 — х2\, как мы это всегда и делали.
Пример 2. На R можно ввести и много других метрик. Тривиаль-
ной метрикой является, например, такая, при которой между любыми
двумя различными точками расстояние полагается равным единице.
Значительно содержательнее следующая метрика на R. Пусть х »->
i-> /(ж) — определенная для х 0 неотрицательная функция, обращаю-
щаяся в нуль лишь при х = 0. Если эта функция строго выпукла вверх,
то, полагая для точек х±, х2 G R
d(®i,®2) = /(1^1 - яг2|),	(2)
получим метрику на R.
Аксиомы а), Ь) здесь, очевидно, выполнены, а неравенство треуголь-
ника следует из того, что, как легко проверить, f строго монотонна и
при 0 < а < b удовлетворяет неравенствам
/(а + Ь)-/(Ь)</(а)-/(0) = /(а).
В частности, можно было бы положить d(x\,x2) = ^/|si — х2\ или
d(xi,x2) = 1 + ja.~^2j.2| • В последнем случае расстояние между любыми
точками прямой меньше единицы.
Пример 3. В Rn, кроме традиционного расстояния
с/(Ж1, ге2) =
п
~ Ж2|2
1=1
(3)
§ 1 МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
3
между точками xi = (х*,..., xf), Х2 = (а?2>   •, я4>), можно ввести рас-
стояние
(п	\ х/р
521ж1 ~ ж2|₽) >	(4)
г=1	/
где р 1. То, что для функции (4) выполнено неравенство треугольни-
ка, вытекает из неравенства Минковского (см. гл. V, §4, п. 2).
Пример 4. Если в печатном тексте встретилось слово с искажен-
ными буквами, то, если дефектов не слишком много, мы без особого
труда восстанавливаем слово, исправляя ошибки. Однако исправление
ошибок и получение слова — операция не всегда однозначная, и пото-
му при прочих равных условиях предпочтение надо отдать той расши-
фровке искаженного текста, для получения которой потребуется сде-
лать меньше исправлений. В соответствии со сказанным в теории ко-
дирования на множестве всех последовательностей длины п, состоящих
из нулей и единиц, используется метрика (4) при р = 1.
Геометрически множество таких последовательностей интерпрети-
руется как множество вершин единичного куба I = {ж G R” | 0
хг 1,г = 1,... ,п} в Расстояние между двумя вершинами — это
число перемен нулей и единиц, необходимое, чтобы получить из коорди-
нат одной из этих вершин координаты другой вершины. Каждая такая
перемена есть переход вдоль одного из ребер куба. Таким образом, рас-
сматриваемое расстояние есть кратчайший путь по ребрам куба между
рассматриваемыми его вершинами.
Пример 5. При сравнении результатов двух серий из п однотип-
ных измерений чаще всего используют метрику (4) при р = 2. Рас-
стояние между точками в этой метрике называют обычно их средним
квадратичным уклонением.
Пример 6. Если в (4) сделать предельный переход при р —> +оо,
то, как легко видеть, получается следующая метрика в К":
d(x\,X2) = max |si — Жг!-	(5)
Пример 7. Множество С[а,Ь] функций, непрерывных на отрез-
ке, становится метрическим пространством, если для функций f.gwa
С [a, ft] положить
d(f,9) = max \f(x) -	(6)
4
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Аксиомы а), Ь) метрики, очевидно, выполнены, а неравенство тре-
угольника следует из того, что
|/(ж) - h(x)\	|/(ж) - д(х)\ + \д(х) — 7г(ж)| < d(f,д) + d(g,h),
т. е.
d(f,h) = max |/(ж) - h(x)\ < d(f,д) + d(g,h).
а^.х^.о
Метрика (6) — так называемая равномерная, или чебышевская, ме-
трика в С\а, ft]—используется тогда, когда мы желаем заменить одну
функцию другой, например, полиномом, по которой можно было бы
вычислять значения первой функции с нужной точностью в любой точ-
ке х G [a, ft]. Величина d(f,g) как раз характеризует точность такого
приближенного расчета.
Метрика (6) в С[а, ft] очень схожа с метрикой (5) в R”.
Пример 8. Подобно метрике (4) в С[а, ft] при р 1 можно ввести
метрику
/ ь	\ Vp
dP(f,g) = I j \f ~g\p(x)dx ) .	(7)
\(Z	/
To, что при p 1 это действительно метрика, следует из неравен-
ства Минковского для интегралов, получающегося предельным перехо-
дом из неравенства Минковского, которое можно написать для инте-
гральных сумм.
Особо важными частными случаями метрики (7) являются: при р =
= 1 — интегральная метрика; при р = 2 — метрика среднего квадра-
тичного уклонения; при р — -Too — равномерная метрика.
Пространство <7[a,ft], наделенное метрикой (7), часто обозначают
символом Ср[а, ft]. Можно проверить, что Coofajft] есть пространство
C^ft], наделенное метрикой (6).
Пример 9. Метрику (7) можно было бы использовать также на
множестве 7Z[a, ft] функций, интегрируемых по Риману на отрезке [a, ft].
Однако поскольку интеграл от модуля разности двух функций может
обратиться в нуль, даже если функции не совпадают тождественно, то
аксиома а) в этом случае не будет выполнена. Мы знаем, однако, что
интеграл от неотрицательной функции <р G 7Z[a, ft] равен нулю тогда и
только тогда, когда <р(х) = 0 почти во всех точках отрезка [a, ft].
§ 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
5
Таким образом, если разбить 7£[а, ft] на классы эквивалентных фун-
кций, причем функции из TZ[a, ft] считать эквивалентными, если они
отличаются не более чем на множестве меры нуль, то на совокупности
TZ[a, ft] таких классов эквивалентности соотношение (7) действительно
задает метрику. Множество И[а, ft], наделенное этой метрикой, обозна-
чается через TZp[a, ft], а иногда и просто через Лр[а, ft].
Пример 10. В множестве (7^[а, ft] функций, определенных на
[a, ft] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до поряд-
ка к включительно, можно определить следующую метрику:
d(f,g) = max{M0,...,Mfc},	(8)
где
Мг — max |/(г)(ж) — </г\ж)|, i = 0,1,..., к.
а^х^Ь
Используя то, что (6) есть метрика, легко проверить, что и (8) есть
метрика.
Предположим, например, что f есть координата движущейся точ-
ки как функция времени. Если ставится ограничение на допустимый
район пребывания точки в промежуток времени [a, ft] и запрещается
превышать определенную скорость, а, кроме того, желают иметь не-
который комфорт, состоящий в том, что ускорения не должны превы-
шать определенный уровень, то естественно рассмотреть для функции
f G [a, ft] набор { max |/(ж)|, max |/'(ж)|, max |/"(ж)|} и по этим ха-
рактеристикам два движения /, д считать близкими, если величина (8)
для них мала.
Рассмотренные примеры показывают, что одно и то же множест-
во можно метризовать различными способами. Введение той или иной
метрики диктуется обычно самой постановкой задачи. Сейчас же мы
будем интересоваться самыми общими свойствами метрических про-
странств, присущими им всем.
2.	Открытые и замкнутые подмножества метрического
пространства. Пусть (X, d)—метрическое пространство. Подобно
тому, как это было сделано в главе VII, § 1 для случая X — R”, в об-
щем случае тоже можно ввести понятия шара с центром в данной точ-
ке, открытого множества, замкнутого множества, окрестности точки,
предельной точки множества и т. д.
6
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Напомним эти основные для дальнейшего понятия.
Определение 2. При § > 0 и а Е X множество
В(а,ё) = {ж £ X | d(a,x) <
называется шаром с центром а G X радиуса ё или также ё-окрестно-
стъю точки а.
В случае общего метрического пространства это название удоб-
но, но его не следует отождествлять с традиционным геометрическим
образом, к которому мы привыкли в R3.
Пример 11. Единичный шар в С[а, ft] с центром в функции, то-
ждественно равной нулю на [a, ft], состоит из тех функций, непрерыв-
ных на отрезке [a, ft], модуль которых меньше единицы на этом отрезке.
Пример 12. Пусть X — единичный квадрат в R2, расстояние
между точками которого определяется как расстояние между этими
же точками в R2. Тогда X является метрическим пространством, при-
чем взятый сам по себе квадрат X с такой метрикой можно считать
шаром любого радиуса р \/2/2 относительно своего центра.
Ясно, что так можно было бы построить шары весьма причудливой
формы. Так что термин шар не следует понимать слишком буквально.
Определение 3. Множество G С X называется открытым в ме-
трическом пространстве (X, d), если для любой точки х G G найдется
шар В(х, 5) такой, что В(ж,<У) С G.
Из этого определения, очевидно, следует, что само X — открытое в
(X, d) множество; пустое множество 0 также открыто. Теми же рас-
суждениями, что и в случае R”, можно доказать, что шар В(а,г) или
его внешность {ж £ X | d(a,x) > г} суть открытые множества. (См.
гл. VIII, § 1, примеры 3, 4.)
Определение 4. Множество С X называется замкнутым в
(X, d), если его дополнение X \ Т открыто в (X, d).
В частности, отсюда заключаем, что замкнутый шар
В(а,г) := {ж £ X | d{a,x) < г}
является множеством, замкнутым в метрическом пространстве (X, d).
§1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
7
Для открытых и замкнутых множеств в метрическом пространст-
ве (X.d) справедливо
Утверждение 1. а) Объединение |J Ga множеств любой си-
аеА
стемы {Ga, a G А} множеств Ga, открытых в X, является мно-
жеством, открытым в X.
п
Ь) Пересечение ["] Gt, конечного числа множеств, открытых в X,
г=1
является множеством, открытым в X.
а') Пересечение ["] Еа множеств любой системы {7^, a G А} мно-
а€А
жесте Еа, замкнутых в X, является множеством, замкнутым в X.
п
Ь') Объединение U конечного числа множеств, замкнутых в X,
1=1
является множеством, замкнутым в X.
Доказательство утверждения 1 дословно повторяет доказательство
соответствующего утверждения для открытых и замкнутых множеств
в К", и мы его опускаем. (См. гл. VII, § 1, утверждение 1.)
Определение 5. Открытое в X множество, содержащее точку
х G X, называется окрестностью этой точки в X.
Определение 6. Точка х G X по отношению к множеству Е С X
называется
внутренней точкой Е, если она содержится в Е вместе с некоторой
своей окрестностью;
внешней точкой Е, если она является внутренней точкой дополне-
ния к Е в X,
граничной точкой Е, если она не является ни внутренней, ни внеш-
ней точкой по отношению к Е (т. е. если в любой окрестности этой
точки имеются как точки, принадлежащие, так и точки, не принадле-
жащие множеству Е).
Пример 13. Все точки шара В (а, г) являются его внутренними
точками, а множество CxB(a,r) = X \ В(а, г) состоит из точек, внеш-
них по отношению к шару В (а, г).
В случае пространства R” со стандартной метрикой d в R” сфера
8
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
S(a,r) = {ж G Rn | d(a,x) = г > 0} является множеством граничных
точек шара В (а, г)1).
Определение 7. Точка а Е X называется предельной для множе-
ства Е С X, если для любой ее окрестности 0(a) множество Е П 0(a)
бесконечно.
Определение 8. Объединение множества Е и всех его предель-
ных точек в X называется замыканием множества Е в X.
Как и прежде, замыкание множества Е с X будем обозначать че-
рез Е.
Утверждение 2. Множество Е С X замкнуто в X тогда и
только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
Итак,
(Е замкнуто в X) <==> (Е = X в X).
Доказательство мы опускаем, так как оно повторяет доказатель-
ство аналогичного утверждения в случае, когда X = R”, изложенного
в гл. VII, § 1.
3.	Подпространство метрического пространства. Если
(X, d)—метрическое пространство, Е — подмножество X, то, полагая
для любой пары точек х±, х^ из Е расстояние равным d(xi,x<i}, т. е. рас-
стоянию между этими точками в X, мы получим метрическое прост-
ранство (Е, d), которое по отношению к исходному пространству (X, d)
принято называть подпространством.
Итак, мы принимаем следующее
Определение 9. Метрическое пространство (Xi,d±) называется
подпространством метрического пространства (X,d), если Х± С X
и для любой пары точек а, Ь множества X} справедливо равенство
di(a, b) = d(a, b).
Поскольку шар Bi(a,r) = {ж G Xi | d±(a,x) < г} в подпространстве
(A"i, di) метрического пространства (X, d), очевидно, является пересе-
чением
Bi (а, г) —	П В(а, г)
1^В связи с примером 13 см. также задачу 2 в конце этого параграфа.
§1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
9
множества Х-у С X с шаром В(а,г) в X, то всякое открытое в Xi
множество имеет вид
Gi = Xi (Т G,
где G — множество, открытое в X, а всякое замкнутое в X] множест-
во имеет вид
71 = X П 7,
где X—множество, замкнутое в X.
Из сказанного следует, что свойство множества, лежащего в метри-
ческом пространстве, быть открытым или замкнутым относительно и
зависит от этого объемлющего пространства.
Пример 14. Интервал |ж| < 1, у = 0 оси абсцисс плоскости R2
со стандартной метрикой в R2 является метрическим пространством
(Xi, c?i), которое, как и всякое метрическое пространство, замкнуто
в себе, ибо содержит все свои предельные точки в Х\. Вместе с тем
очевидно, что Х± не является замкнутым множеством в R2 = X.
Этот же пример показывает, что и понятие открытости множества
также относительно.
Пример 15. Множество С[а, Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь] фун-
кций с метрикой (7) является подпространством метрического прост-
ранства Лр[а, &]. Однако, если на С[а,Ь] рассматривать метрику (6), а
не (7), то это уже не будет иметь место.
4.	Прямое произведение метрических пространств. Если
(JVi,cZi) и (A^cfo)— два метрических пространства, то в прямом про-
изведении Х-у х Хч можно ввести метрику d. Наиболее распространен-
ные способы введения метрики в Х-[ х X? состоят в следующем. Если
(жх,Х2) G Х-[ х Х2 и (4,4) G Х[ х X?, то можно положить
</((Ж1,Ж2), (4,4)) = У^1(Ж1,4) +б^(ж2,ж'2),
ИЛИ
d((xi,x2), (4,4)) = di(xi, 4) + </2(ж2,4),
или
4(жьж2), (4,4)) = тах{с?1(т1,4),^2(ж2,4)}-
10
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Легко видеть, что в любом из этих случаев мы получаем метрику
на Xi х Х%.
Определение 10. Если	— два метрических про-
странства, то пространство (Дд х A?2,d), где d—введенная любым из
указанных выше способов метрика в Xi х Х2, будем называть прямым
произведением исходных метрических пространств.
Пример 16. Пространство R2 можно считать прямым произведе-
нием двух метрических пространств R со стандартной метрикой на К,
а метрическое пространство R3 есть прямое произведение R2 х R1 ме-
трических пространств К2 и К1 = R.
Задачи и упражнения
1.	а) Развивая пример 2, покажите, что если /: КЦ. —> К+ —непрерывная
строго выпуклая вверх функция, причем /(0) = 0, а (X, d) — метрическое про-
странство, то на X можно определить новую метрику df следующим соотно-
шением: df(xi,x2) — /(с?(Ж1, Жг)).
Ь) Покажите, что на любом метрическом пространстве (X, d) можно вве-
сти метрику d'(X1,x2) = х ^g2)
будут превосходить единицу.
, в которой расстояния между точками не
2.	Пусть (X, d)— метрическое пространство с указанной в начале при-
мера 2 тривиальной (дискретной) метрикой, и пусть а € X. Каковы в дан-
ном случае множества В(а, 1/2), В(а, 1), В(а, 1), В(а, 1), В(а, 3/2) и множества
{х £ X | d(a, х) = 1/2}, {ж е X | d(a, х) = 1}, В(а, 1) \ В(а, 1), В(а, 1) \ В(а, 1)?
3.	а) Верно ли, что объединение любого семейства замкнутых множеств
является множеством замкнутым?
Ь)	Всякая ли граничная точка множества является его предельной точкой?
с)	Верно ли, что в любой окрестности граничной точки множества име-
ются как внутренние, так и внешние точки этого множества?
d)	Покажите, что множество граничных точек любого множества является
замкнутым множеством.
4. а) Докажите, что если (У, dy) есть подпространство метрического про-
странства (X,dx), то для любого открытого (замкнутого) множества Gy
(Ду) в Y найдется такое открытое (замкнутое) множество Gx (Хх) в X,
что Gy = Y A Gx (Ду = Y А Дх).
Ь) Проверьте, что если открытые множества G'Y, Gy из Y не пересекают-
ся, то соответствующие множества G'x, Gx в X можно выбрать так, что они
тоже не будут иметь общих точек.
5. Имея метрику d на множестве X, можно попытаться определить р’ас-
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
11
стояние d(A, В) между множествами А С X и В С X следующим образом:
d(A, В) ~ inf d(a, b).
аеА,ьев
а)	Приведите пример метрического пространства и двух замкнутых не
пересекающихся его подмножеств А, В, для которых <1(А, В) = 0.
Ь)	Покажите, следуя Хаусдорфу, что на множестве замкнутых подмно-
жеств метрического пространства (X, d) можно ввести метрику Хаусдорфа D,
полагая, что для А С X и В С X
D(A, В) := max{sup d(a, В), sup d(A, &)}.
аеА ьев
t
§ 2. Топологическое пространство
Для вопросов, связанных с понятием предела функции или отобра-
жения, во многих случаях существенным является не наличие той или
иной метрики в пространстве, а возможность сказать, что такое ок-
рестность точки. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что
само определение предела или определение непрерывности может быть
сформулировано в терминах окрестностей. Топологическое пространс-
тво является тем математическим объектом, на котором операция пре-
дельного перехода и непрерывность отображения изучаются в наиболее
общем виде.
1.	Основные определения
Определение 1. Говорят, что множество X наделено структу-
рой топологического пространства, или наделено топологией, или что
X есть топологическое пространство, если указана система т подмно-
жеств X (называемых открытыми множествами в X), обладающая
следующими свойствами:
а)	0 6 т; X G т.
Ь)	(У а е А (та Е т)) => U та Е т.
а^А
п
с)	(Ti Е r;i = 1,... ,п) => П Тг G т.
г=1
Таким образом, топологическое пространство есть пара (X, т), со-
стоящая из множества X и системы т выделенных его подмножеств,
обладающей теми свойствами, что т содержит пустое множество и все
12
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
множество X, что объединение любого числа множеств системы т есть
множество системы т и пересечение конечного числа множеств систе-
мы т есть множество системы т.
Как видно, в аксиоматике а), Ь), с) топологического пространст-
ва постулированы те свойства открытых множеств, которые мы уже
доказали в случае метрического пространства. Таким образом, любое
метрическое пространство с определенным выше понятием открытого
множества в нем является топологическим пространством.
Итак, задать топологию в X значит указать систему т подмно-
жеств X, удовлетворяющую аксиомам а), Ь), с) топологического прос-
транства.
Задание метрики в X, как мы видели, автоматически задает тополо-
гию на X, индуцированную этой метрикой. Следует, однако, заметить,
что разные метрики на X могут порождать на этом множестве одну и
ту же топологию.
Пример 1. Пусть X = R” (n > 1). Рассмотрим в R” метрику
di(xi,X2), задаваемую соотношением (5) § 1, и метрику </2(^1,жг), опре-
деленную формулой (3) § 1.
Из неравенств
di(x!,x2)	d2(xi,x2)	\/ndl(xi,X2),
очевидно, следует, что каждый шар В (а, г) с центром в произвольной
точке a G X, понимаемый в смысле одной из этих метрик, содержит
шар с тем же центром, понимаемый в смысле другой метрики. Отсю-
да в силу определения открытого подмножества метрического прост-
ранства вытекает, что обе метрики индуцируют на X одну и ту же
топологию.
Почти все топологические пространства, которые мы будем актив-
но использовать в пределах этого курса, являются метрическими. Не
следует, однако, думать, что всякое топологическое пространство мож-
но метризовать, т. е. наделить его метрикой, открытые множества в
которой будут совпадать с открытыми множествами системы т, за-
дающей топологию на X. Условия, при которых это можно сделать,
составляют содержание так называемых метризационных теорем.
Определение 2. Если (Х,т)—топологическое пространство, то
множества системы т называют открытыми, а дополнения к ним в
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
13
X — замкнутыми множествами топологического пространства (X, т).
Топологию т в множестве X редко задают перечислением всех мно-
жеств системы т. Чаще систему т задают, указывая лишь некоторый
набор подмножеств X, объединением и пересечением которых можно
получить любое множество системы т. Весьма важным поэтому явля-
ется
Определение 3. Базой топологического пространства (Х,т)
(открытой базой или базой топологии) называется такое семейство 93
открытых подмножеств X, что каждое открытое множество G G т
является объединением некоторой совокупности элементов семей-
ства 93.
Пример 2. Если (X,d)—метрическое пространство, а (Х,т)—
соответствующее ему топологическое пространство, то совокупность
93 — {В(а, г)} всех шаров, где a G X и г > 0, очевидно, является базой
топологии т. Более того, если брать систему 93 всех шаров с положи-
тельными рациональными радиусами г, то эта система также будет
базой топологии т.
Итак, топологию т можно задать, описав лишь базу этой топологии.
Как видно из примера 2, топологическое пространство может иметь
много различных баз топологии.
Определение 4. Минимальная мощность баз топологического
пространства называется его весом.
Мы будем, как правило, иметь дело с топологическими пространс-
твами, допускающими счетную базу топологии (см., однако, задачи 4
и 6).
Пример 3. Если в взять систему 93 шаров всевозможных ра-
циональных радиусов г —	> 0 с центрами во всевозможных рацио-
нальных точках ..., G R*, то мы, очевидно, получим счетную
базу стандартной топологии пространства R*. Нетрудно проверить,
что конечной системой открытых множеств стандартную топологию
в задать невозможно. Таким образом, стандартное топологическое
пространство имеет счетный вес.
Определение 5. Окрестностью точки топологического про-
14
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
странства (X, т) называется открытое множество, содержащее эту
точку.
Ясно, что если на X задана топология т, то для каждой точки опре-
делена система ее окрестностей.
Ясно также, что система всех окрестностей всевозможных точек
топологического пространства может служить базой топологии этого
пространства. Таким образом., топологию в X можно ввести, описав
окрестности точек множества X. Именно эта форма задания топологии
в X и была начальной в определении топологического пространства1).
Заметьте, что, например, в метрическом пространстве саму топологию
мы ввели по существу, указав лишь, что такое J-окрестность точки.
Приведем еще
Пример 4. Рассмотрим множество
C(1R, К) вещественнозначных непрерыв-	$ /
ных функций, определенных на всей чи-	s'
еловой прямой и на его основе постро- -----------------------
им новое множество—-множество рост-	\
ков непрерывных функций. Две функции
/, д G <7(18, К) будем считать эквивалент-
ными в точке а Е R, если найдется такая
окрестность Ща) этой точки, что Vrc G U(a) (f(x) = д(х\). Введен-
ное отношение действительно является отношением эквивалентности
(оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Класс эквивалентных
между собой в точке а Е К непрерывных функций назовем ростком не-
прерывных функций в этой точке. Если f — одна из функций, порожда-
ющих росток в точке а, то сам росток будем обозначать символом fa.
Определим теперь окрестность ростка. Пусть U (а) — окрестность точ-
ки а в I, f — определенная в U(a) функция, порождающая росток fa
в точке а. Эта же функция в любой точке х Е U(a) порождает свой
росток fx. Множество {fx} ростков, отвечающих точкам х Е U(a),
назовем окрестностью ростка fa. Приняв множество таких окрестно-
стей всевозможных ростков за базу топологии, мы превратим множе-
ство ростков непрерывных функций в топологическое пространство.
11 Понятия метрического и топологического пространства были сформулированы в
явном виде в начале нашего столетия. В 1906 г. французский математик М. Р. Фреше
(1878-1973) ввел понятие метрического пространства, а в 1914 г. немецкий матема-
тик Ф. Хаусдорф (1868-1942) определил топологическое пространство.
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
15
Полезно заметить, что в полученном топологическом пространстве две
различные точки (ростки) fa, да могут не иметь непересекающихся
окрестностей (рис. 66).
Определение 6. Топологическое пространство называется хаус-
дорфовым, если в нем выполнена аксиома Хаусдорфа: любые две раз-
личные точки пространства обладают непересекающимися окрестно-
стями.
Пример 5. Любое метрическое пространство, очевидно, является
хаусдорфовым, поскольку для любых двух точек a, b G X таких, что
d(a,b) > 0, их шаровые окрестности В (a, jC?(a,b)), В (b,	не
имеют общих точек.
Вместе с тем, как показывает пример 4, бывают и не хаусдорфо-
вы топологические пространства. Пожалуй, простейшим примером тут
может служить топологическое пространство (X, т) с простейшей то-
пологией т = {0, X}. Если X содержит хотя бы две точки, то (X, т),
очевидно, не хаусдорфово. Более того, дополнение X \ х к точке в этом
пространстве не является открытым множеством.
Мы будем работать исключительно с хаусдорфовыми пространст-
вами.
Определение 7. Множество Е С X называется всюду плотным
в топологическом пространстве (X, т), если для любой точки х G X и
любой ее окрестности U(ж) пересечение Е П U(x) непусто.
Пример 6. Если в R рассмотреть стандартную топологию, то
множество Q рациональных чисел является всюду плотным в R. Ана-
логично множество СУ1 рациональных точек R” всюду плотно в Ж".
Можно показать, что в каждом топологическом пространстве име-
ется всюду плотное множество, мощность которого не превосходит веса
этого топологического пространства.
Определение 8. Метрическое пространство, обладающее
счетным всюду плотным множеством, называется сепарабельным про-
странством.
Пример 7. Метрическое пространство (R”, d) в любой из стан-
дартных метрик является сепарабельным пространством, поскольку
множество О'2 всюду плотно в нем.
16
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Пример 8. Метрическое пространство (С([0,1], К), d) с метрикой,
определенной соотношением (6), также сепарабельно, ибо, как следует
из равномерной непрерывности функций f G С([0,1], R), график любой
такой функции сколь угодно точно можно аппроксимировать конечно-
звенной ломаной, вершины которой имеют рациональные координаты.
Множество таких ломаных счетно.
Мы будем иметь дело главным образом с сепарабельными прост-
ранствами.
Отметим теперь, что поскольку определение окрестности точки в
топологическом пространстве дословно совпадает с определением
окрестности точки в метрическом пространстве, то, естественно, рас-
смотренные в § 1 понятия внутренней, внешней, граничной, предель-
ной точки множества и понятия замыкания множества, использующие
только понятие окрестности, без изменения переносятся на случай про-
извольного топологического пространства.
Кроме того (как видно из проведенного в гл. VII, § 1 доказательства
утверждения 2), справедливо также утверждение о том, что множество
в хаусдорфовом топологическом пространстве замкнуто в том и только
в том случае, когда оно содержит все свои предельные точки.
2. Подпространство топологического пространства. Пусть
(Х,тх)—топологическое пространство, a Y — подмножество в X. То-
пология тх позволяет определить следующую топологию ту в У, назы-
ваемую индуцированной или относительной топологией в У С X.
Открытым в У назовем любое множество Gy вида Gy = У A Gx,
где Gx — множество, открытое в X.
Нетрудно проверить, что возникающая система ту подмножеств У
удовлетворяет аксиомам открытых множеств топологического прост-
ранства.
Определение открытых в У множеств Gy, как видно, согласуется
с тем, которое мы получили в п. 3 предыдущего параграфа в случае,
когда У было подпространством метрического пространства X.
Определение 9. Подмножество У С X топологического прост-
ранства (X, -г) с индуцированной в У топологией ту называется под-
пространством топологического пространства (Х,т).
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
17
Ясно, что множество, открытое в (У, ту), уже не обязано быть от-
крытым в (X, тх) •
3. Прямое произведение топологических пространств. Если
(Xi, Ti) и (Х2, т2) — два топологических пространства с системами ti =
= {Gi}, Т2 = {G2} открытых множеств, то в х Х% можно ввести
топологию, считая ее базой всевозможные множества вида Gi х G^-
Определение 10. Топологическое пространство (Xi х Х2, т\ х т2),
базу топологии которого составляют множества вида G] х G2, где Gt—
открытое множество в топологическом пространстве (Хг,тг), г = 1,2,
называется прямым произведением топологических пространств
(Хул), (Х2,т2).
Пример 9. Если R = R1 и R2 рассматривать со стандартной то-
пологией, то, как видно, Ж2 является прямым произведением R1 х R1,
ибо всякое открытое множество в R2 можно получить, например, как
объединение «квадратных» окрестностей всех его точек. Квадраты же
(со сторонами, параллельными координатным осям) являются прямым
произведением интервалов — открытых в R множеств.
Следует обратить внимание на то, что множества вида Gy х G2, где
Gi G Л и G2 G т2, образуют лишь базу топологии, а не все открытые
множества прямого произведения топологических пространств.
Задачи и упражнения
1.	Проверьте, что если (X, d)— метрическое пространство, то (х, 1
— тоже метрическое пространство, причем метрики d и ИНДУДИРУ101,
на X одну и ту же топологию. (См. также задачу 1 из предыдущего парагра-
фа.)
2.	а) В множестве N натуральных чисел окрестностью числа п G N назовем
арифметическую прогрессию с разностью d, взаимно простой с п. Является
ли возникающее при этом топологическое пространство хаусдорфовым?
Ь)	Какова топология N как подмножества К действительных чисел, взятых
со стандартной топологией?
с)	Опишите все открытые подмножества R.
3.	Если на одном и том же множестве заданы две топологии Ti и тх, то
говорят, что топология т2 сильнее топологии тх, если п С 72, т.е. в т2, кроме
18
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
открытых множеств, составляющих систему п, содержатся еще некоторые
множества, не вошедшие в п.
а)	Сравнимы ли две топологии на N, рассмотренные в предыдущей за-
даче?
Ь)	Если на множестве С[0,1] непрерывных вещественнозначных функций,
определенных на отрезке [0,1], ввести метрику сначала соотношением (6) из
§ 1, а затем соотношением (7) из того же параграфа, то на С[а, &] возникнут,
вообще говоря, две топологии. Сравнимы ли они?	*
4.	а) Докажите подробно, что рассмотренное в примере 4 пространство
ростков непрерывных функций не хаусдорфово.
Ь)	Объясните, почему это топологическое пространство не метризуемо.
с)	Каков вес этого пространства?
5.	а) Сформулируйте аксиомы топологического пространства на языке
замкнутых множеств.
Ь)	Проверьте, что повторное замыкание множества совпадает с его замы-
канием.
с)	Проверьте, что граница любого множества является множеством за-
мкнутым.
d)	Покажите, что если Д’ замкнуто, a G открыто в (X, т), то множество
G \ Д’ открыто в (X, т).
е)	Если (У, ту)—подпространство топологического пространства (X, т%),
а множество Е таково, что EcY с X и Е G тх, то Е G ту.
6.	Топологическое пространство (Х,т), в котором любая точка является
замкнутым множеством, называют топологическим пространством в силь-
ном смысле или TL-пространством. Проверьте, что
а)	всякое хаусдорфово пространство является и-пространством (отчасти
поэтому хаусдорфовы пространства называют Т2-пространствами)-,
Ь)	не всякое и-пространство является -^-пространством (см. пример 4);
с)	двоеточие X = {а, Ь} с системой открытых множеств т — {0,Х} не
является л-пространством;
d)	в тх-пространстве множество Д’ замкнуто тогда и только тогда, когда
Д’ содержит все свои предельные точки.
7.	а) Докажите, что в любом топологическом пространстве имеется всюду
плотное множество, мощность которого не превосходит веса пространства.
Ь) Проверьте сепарабельность метрических пространств С[а,&],	&],
771[а, &], 77р[а, &] (формулы соответствующих метрик см. в § 1).
с) Проверьте, что если на множестве ограниченных вещественнозначных
функций, определенных на отрезке [а, &], ввести метрику соотношением (6)
из § 1, то получится не сепарабельное метрическое пространство.
§ 3. КОМПАКТЫ
19
§ 3. Компакты
1. Определение и общие свойства компакта
Определение 1. Множество К в топологическом пространстве
(X, т) называется компактом (бикомпактом1)), если из любого покры-
тия К множествами, открытыми в X, можно выделить конечное по-
крытие К.
Пример 1. Отрезок [а, Ь\ множества R действительных чисел,
рассматриваемого в стандартной топологии, является компактом, что
немедленно вытекает из доказанной в гл. II, § 1, п. 3 леммы о возможно-
сти выделить конечное покрытие из покрытия отрезка интервалами.
И вообще m-мерный промежуток Im = {х G Rm | ai х =
= 1,..., т} в Rm является компактом, что было установлено в гл. VII,
§1,п.З.
В гл. VII, § 1, п. 3 было доказано также, что подмножество Rm явля-
ется компактом в том и только в том случае, когда оно замкнуто и
ограничено.
В отличие от относительных свойств множества быть открытым
или замкнутым в топологическом пространстве, свойство множества
быть компактом абсолютно в том смысле, что не зависит от объемлю-
щего пространства. Точнее, имеет место следующее
Утверждение 1. Подмножество К топологического простран-
ства (X, т) является компактом в X тогда и только тогда, когда
К является компактом в себе как в топологическом пространстве с
индуцированной из (X, г) топологией.
◄ Сформулированное утверждение следует из определения компак-
та и того обстоятельства, что каждое множество Gx, открытое в К,
получается пересечением К с некоторым множеством Gx, открытым
вХ. ►
Таким образом, если (Х,тх) и (У, ту) — два топологических прос-
транства, индуцирующих одинаковую топологию на множестве К С
С (ХП У), то К одновременно компактно или нет как в X, так и в У.
Пример 2. Пусть d—стандартная метрика на К, а! = {ж GK|
^То понятие компакта, которое вводит определение 1, в топологии иногда имену-
ют бикомпактом.
2-4574
20
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
0 < х < 1} — единичный интервал в R. Метрическое пространство (I, d)
замкнуто (в себе) и ограничено, однако это не компакт, ибо, например,
оно не является компактом в R.
Установим теперь важнейшие свойства компактов.
Лемма 1 (о замкнутости компакта). Если К—компакт в хаус-
дорфовом пространстве {Х,г}, то К—замкнутое подмножество X.
4 В силу критерия замкнутости множества достаточно проверить,
что любая предельная для К точка Жо € X принадлежит К.
Пусть а?о К. Для каждой точки х G К построим такую ее от-
крытую окрестность G(x), что Жо обладает окрестностью, не пересе-
кающейся с G(x). Совокупность G(x), х G К, всех таких окрестностей
образует открытое покрытие К, из которого выделяется конечное по-
крытие G(xi),..., G(xn). Если теперь ОДжо) — такая окрестность точ-
п
ки хо, что G(Xi) Г) Ог(хо) = 0, то множество О(х) = f| Ог(хо) также
г=1
является окрестностью точки Хо, причем G(xt) Г) О(жо) = 0 при любом
i = 1,..., п. Но это означает, что К Г) О(жо) = 0 и жо не может быть
предельной точкой для К. ►
Лемма 2 (о вложенных компактах). Если Ki D К% D ... D
D Кп D ... —последовательность непустых вложенных компактов
оо
хаусдорфова пространства, то пересечение f) Кг непусто.
г=1
◄ В силу леммы 1 множества G, =	\ Кг, г — 1,...,п,... от-
ОО
крыты в К±. Если пересечение f) Кг пусто, то последовательность
г=1
Gi С G2 С ... С С ... в совокупности образует покрытие Ку. Извле-
кая из него конечное покрытие, найдем, что некоторый элемент Gm по-
следовательности уже покрывает Ку. Но по условию Кт = Ky\Gm Д 0.
Полученное противоречие завершает доказательство леммы 2. ►
Лемма 3 (о замкнутом подмножестве компакта). Замкнутое под-
множество Т компакта К само является компактом.
4 Пусть {Ga, a G А} — открытое покрытие У. Добавив к нему от-
крытое множество G = К\Е, получим открытое покрытие всего ком-
пакта К. Из этого покрытия можно извлечь конечное покрытие К.
§3. КОМПАКТЫ
21
Поскольку G Г) У = 0, то, значит, из системы {Ga, a G А} выделяется
конечное покрытие множества У. ►
2. Метрические компакты. Далее мы установим некоторые
свойства метрических компактов, т. е. метрических пространств, явля-
ющихся компактами, относительно топологии, индуцированной метри-
кой.
Определение 2. Говорят, что множество Е С X является
е-сетью в метрическом пространстве (X,d), если для любой точки
х Е X найдется точка е Е Е такая, что d(e, ж) < е.
Лемма 4 (о конечной Е-сети). Если метрическое пространство
(К, d) — компакт, то для любого е > 0 в нем имеется конечная Е-сетъ.
4 Для каждой точки х Е К берем открытый шар В (ж, е). Из откры-
того покрытия К этими шарами выделяем конечное покрытие В(ж1, е),
..., В(жп, е). Точки Ж1,..., жп, очевидно, образуют искомую £-сеть. ►
Наряду с рассуждениями, в которых выделяют конечные покры-
тия, в анализе часто встречаются рассуждения, в которых из произ-
вольной последовательности извлекают сходящуюся подпоследователь-
ность. Оказывается, справедливо следующее
Утверждение 2 (критерий метрического компакта). Метриче-
ское пространство (К, d) является компактом в том и только в том
случае, когда из любой последовательности его точек можно извлечь
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из К.
Сходимость последовательности {жп} к некоторой точке а Е К, как
и прежде, означает, что для любой окрестности U(a) точки а Е К
найдется номер N Е N такой, что при п > N будем иметь хп Е U(d).
Подробнее о пределе мы будем говорить ниже в § 6.
Доказательству утверждения 2 предпошлем две леммы.
Лемма 5. Если метрическое пространство (K,d) таково, что
из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся
в К подпоследовательность, то для любого е > 0 имеется конечная
Е-сетъ.
4 Если бы для некоторого Eq > 0 в К не было конечной Ео-сети, то
в К можно было бы построить последовательность {жп} точек так, что
d{xn,Xi} > Eq при любом п Е N и любом значении г Е {1,... ,п — 1}.
22
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Из этой последовательности, очевидно, нельзя выделить сходящуюся
подпоследовательность. ►
Лемма 6. Если метрическое пространство (К, d) таково, что
из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся
в К подпоследовательность, то любая последовательность вложен-
ных замкнутых непустых подмножеств такого пространства имеет
непустое пересечение.
◄ Если D .. D 3~п О ... — указанная последовательность замк-
нутых в К множеств, то, взяв в каждом из них по точке, получим по-
следовательность Xi,..., хп,..., из которой извлечем сходящуюся под-
последовательность {жга,}. Ее предел а G К по построению обязан при-
надлежать каждому из замкнутых множеств J-,, г G N. ►
Теперь докажем утверждение 2.
◄ Сначала проверим, что если (К, d) —компакт, а {а?п} — последова-
тельность его точек, то из нее можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой точке К. Если последовательность {а?п} име-
ет всего конечное число различных значений, то утверждение очевидно,
поэтому можем считать, что последовательность {а?п} имеет бесконеч-
но много различных значений. Для е± — 1/1 строим конечную 1-сеть
и берем тот замкнутый шар В(аь, 1), который содержит бесконечное
число членов последовательности. По лемме 3 шар B(ai, 1) сам являет-
ся компактом, в котором существует конечная е% = 1/2 сеть и ее шар
В(а,2,1/2), содержащий бесконечно много элементов последовательно-
сти. Так возникает последовательность B(ai,l) Z) В(й2,1/2) D ... D
D В(ап, 1/n) D ... вложенных компактов, имеющих по лемме 2 общую
точку a G К. Выбирая в шаре B(ai,l) точку хП1, последовательно-
сти {жп}, затем в шаре В (аг, 1/2) точку хП2, последовательности с но-
мером П2 > «1 и т. д., получим подпоследовательность {жп>}, которая
по построению сходится к а.
Докажем теперь обратное утверждение, т. е. проверим, что если
из любой последовательности {жп} точек метрического пространст-
ва (К, d) можно выделить сходящуюся в К подпоследовательность, то
(К, d) — компакт.
В самом деле, если из некоторого открытого покрытия {Ga, си € А}
пространства {К, d) нельзя выделить конечное покрытие, то, построив
в силу леммы 5 конечную 1-сеть в К, найдем замкнутый шар B(ai, 1),
§3. КОМПАКТЫ
23
который тоже нельзя покрыть конечным набором множеств системы
{Gq, а € А}.
Этот шар B(ai, 1) теперь можно считать исходным множеством и,
построив в нем конечную 1/2-сеть, найдем в нем шар В (аг, 1/2), кото-
рый не допускает конечного покрытия множествами системы {Ga, a G
6А}.
Получаемая таким образом последовательность вложенных замкну-
тых множеств B(ai,l) D В(аг, 1/2) D ... D B(an,l/n) D ... в силу
леммы 6 имеет, и как видно из построения, только одну общую точку
а Е К. Эта точка покрыта некоторым множеством Gao нашей системы,
и, поскольку Gao открыто, все множества B(an,l/n) при достаточно
больших значениях п должны лежать в Gao. Полученное противоречие
завершает доказательство утверждения 2. ►
Задачи и упражнения
1.	Подмножество метрического пространства называется вполне ограни-
ченным, если для любого е > 0 оно имеет конечную £-сеть.
а)	Проверьте, что полная ограниченность множества не зависит от того,
формируется ли 6-сеть из точек самого множества или из точек объемлющего
пространства.
Ь)	Покажите, что подмножество метрического пространства является
компактом тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и замкнуто.
с)	Покажите на примере, что замкнутое ограниченное множество метриче-
ского пространства не всегда вполне ограничено и, значит, не всегда является
компактом.
2.	Подмножество топологического пространства называется относитель-
но компактным, если его замыкание является компактом.
Приведите примеры относительно компактных подмножеств Rn.
3.	Топологическое пространство называется локально компактным, если
каждая точка этого пространства имеет относительно компактную окрест-
ность.
Приведите примеры локально компактных, но не компактных топологиче-
ских пространств.
4.	Покажите, что для любого локально компактного, но не компактного
топологического пространства (X, тх) найдется такое компактное топологи-
ческое пространство (У,ту), что X С Y, а Y \ X состоит из одной точки и
пространство {X, тх) является подпространством топологического простран-
ства (У, Ту).
24
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
§ 4. Связные топологические пространства
Определение 1. Топологическое пространство (X, г) называется
связным, если в нем нет других открыто-замкнутых подмножеств1),
кроме самого X и пустого множества.
Это определение становится более прозрачным с точки зрения на-
шей интуиции, если ему придать следующую форму.
Топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда
его нельзя представить в виде объединения двух его непустых замкну-
тых (открытых) подмножеств без общих точек.
Определение 2. Множество Е в топологическом пространстве
(X, т) называется связным, если оно связно как топологическое под-
пространство (X, г) (с индуцированной топологией).
Из этого определения и определения 1 вытекает, что свойство мно-
жества Е быть связным не зависит от объемлющего пространства.
Точнее, если (X, тх) и (У, ту)—топологические пространства, содер-
жащие Е и индуцирующие на Е одну и ту же топологию, то Е связно
или нет одновременно как в X, так и в У.
Пример 1. Пусть Е = {ж G R | х 0}. Множество Е_ = {ж G Е |
ж < 0} непусто, не совпадает с Е и в то же время открыто-замкнуто
в Е (как и Е+ = {ж G Е | ж > 0}), если рассматривать Е как топо-
логическое пространство с топологией, индуцированной стандартной
топологией R. Таким образом, Е не связно, как и подсказывает наша
интуиция.
Утверждение (о связных подмножествах R). Непустое множе-
ство Е С R связно тогда и только тогда, когда для любых х, z,
принадлежащих Е, из х < у < z следует, что у € Е.
Таким образом, на прямой связными являются только промежутки
(конечные или бесконечные): интервалы, полуинтервалы, отрезки.
◄ Необходимость. Пусть Е — связное подмножество R и трой-
ка точек а, Ь, с такова, что a G Е, b 6 Е, но с Е, хотя а < с < Ь.
Полагая А = {ж G Е | ж < с}, В = {ж G Е | ж > с}, видим, что a G А,
Ье В,т.е. А /0 и В 0 и АПВ = 0. Кроме того, Е = A U В и оба
множества А, В открыты в Е. Это противоречит связности Е.
^То есть одновременно открытых и замкнутых.
§4. СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
25
Достаточность. Пусть Е — подпространство R, обладающее
тем свойством, что вместе с любой парой точек а и b ему принадлежит
и всякая промежуточная точка отрезка [а, 6]. Покажем, что Е связно.
Предположим, что А — открыто-замкнутое подмножество Е, при-
чем А/0иВ = Е\А/0. Пусть a G А и b G В. Для определенности
будем считать, что а < b (а Ь, так как АпВ = 0). Рассмотрим точку
ci = sup{A Г) [а, 6]}. Поскольку Аэа^с^^ЬеВ, имеем Ci G Е. Ввиду
замкнутости А в Е заключаем, что ci G А.
Рассматривая теперь точку С2 = inf {В Г) [<4,6]}, аналогично, ввиду
замкнутости В, заключаем, что С2 € В. Таким образом, а Ci < С2 Ь,
поскольку Ci G А, С2 G В и АПВ = 0. Но из определений ci и С2 и того,
что В = A U В, теперь вытекает, что ни одна точка интервала ]ci, сг[
не может принадлежать Е. Это противоречит исходному свойству Е.
Таким образом, множество Е не может иметь подмножества А с ука-
занными свойствами, что и доказывает связность Е. ►
Задачи и упражнения
1.	а) Проверьте, что если А — открыто-замкнутое подмножество (Х,т),
то В = X \ А тоже является таковым.
Ь) Покажите, что в терминах объемлющего пространства свойство связ-
ности множества можно выразить в следующем виде: подмножество Е тополо-
гического пространства (X, т) связно тогда и только тогда, когда в X нельзя
указать пару открытых (замкнутых) и не пересекающихся множеств G'x, G'x
таких, что Е П G'x /0,ЕП Gx / 0 и Е С G'x U Gx.
2.	Покажите, что:
а)	Объединение связных подпространств, имеющих общую точку, связно.
Ь)	Пересечение связных подпространств не всегда связно.
с)	Замыкание связного пространства—связно.
3.	Группу GL(n) невырожденных матриц порядка п с вещественными
элементами можно рассматривать как открытое подмножество в произведе-
нии К” топологических пространств, если с каждым элементом матрицы свя-
зывать свой экземпляр множества R действительных чисел. Связно ли прост-
ранство GL(n)?
4.	Топологическое пространство называется локально связным, если ка-
ждая его точка обладает связной окрестностью.
а)	Покажите, что из локальной связности еще не вытекает связность то-
пологического пространства.
Ь)	Множество Е в R2 есть график функции х sin 1 (при х 0) плюс
отрезок {(а:, у) ей2 | х = 0 А |у| < 1} оси ординат. На Е рассматривает-
ся индуцированная из R2 топология. Покажите, что получающееся при этом
26
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
топологическое пространство является связным, но не является локально связ-
ным.
5.	В гл. VII, §2, п. 2 мы определили связное подмножество Rn как такое
множество Е С Rn, любые две точки которого можно соединить путем с
носителем в Е. В отличие от введенного в настоящем параграфе определе-
ния топологической связности, рассмотренное в главе VII понятие именуется
обычно линейной связностью. Проверьте, что:
а)	Всякое линейно связное подмножество Rn является связным.
Ь)	Не всякое связное подмножество Rn при п > 1 является линейно связным
(см. задачу 4).
с)	Всякое связное открытое подмножество Rn является линейно связным.
§ 5. Полные метрические пространства
В этом параграфе речь будет уже только о метрических простран-
ствах и, точнее, об одном классе таких пространств, играющем важную
роль в различных отделах анализа.
1. Основные определения и примеры. По аналогии с уже из-
вестными нам из рассмотрения пространства R” понятиями введем по-
нятия фундаментальной и сходящейся последовательностей точек про-
извольного метрического пространства.
Определение 1. Последовательность {хп;п G N} точек метри-
ческого пространства (X, d) называется фундаментальной последова-
тельностью или последовательностью Коши, если для любого е > О
найдется номер N G N такой, что при любых номерах т, п € N, боль-
ших, чем N, выполняется соотношение d(xm,Xn) < е.
Определение 2. Будем говорить, что последовательность {жп;
п € N} точек метрического пространства (X, d) сходится к точке a G
G X и что а есть предел этой последовательности, если lim d(a, жп) = 0.
п—>оо
Последовательности, имеющие предел, будем, как и прежде, назы-
вать сходящимися.
Теперь дадим основное
Определение 3. Метрическое пространство (X, d) называется
полным, если каждая фундаментальная последовательность его точек
является сходящейся.
Пример 1. Множество R действительных чисел со стандартной
§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
27
метрикой является полным метрическим пространством, что следует
из критерия Коши сходимости числовой последовательности.
Заметим, что поскольку всякая сходящаяся последовательность то-
чек метрического пространства, очевидно, является фундаментальной
последовательностью, то в определении полного метрического прост-
ранства в сущности просто постулируется выполнение в нем критерия
Коши сходимости последовательности.
Пример 2. Если из множества R удалить, например, число 0, то в
стандартной метрике множество R \ 0 уже не будет полным простран-
ством. Действительно, последовательность хп = 1/п, п € N, его точек
фундаментальна, но она не имеет предела в Ж\0.
Пример 3. Пространство R" с любой из стандартных метрик в
нем является полным, как это было выяснено в гл. VII, § 2, п. 1.
Пример 4. Рассмотрим множество С [а, 6] вещественнозначных
непрерывных на отрезке [a, b] С R функций с метрикой
d(f,g) = max \f (ж) -д (ж) |	(1)
(см. § 1, пример 7).
Покажем, что метрическое пространство (<7[a,&],d) является пол-
ным.
◄ Пусть {fn(x);n € N}—фундаментальная последовательность
функций из С[а, Ь], т. е.
Уе>0	VmeN VneN ((m > n A n > N) ==>
==> Уж 6 [a, 6] (|/т(ж) - /п(ж)| < e)). (2)
При каждом фиксированном значении ж G [а, &], как видно из (2),
числовая последовательность {/п(ж);тг G N} фундаментальна и по кри-
терию Коши имеет определенный предел /(ж).
Итак,
/(ж) := lim /„(ж), хе [а,Ь].	(3)
п—>оо
Проверим, что функция /(ж) непрерывна на [а, &], т. е. / Е С [а, &].
Из (2) и (3) следует, что при п > N выполнено неравенство
!/(£)-/п(я)| О, Ут е [а, Ь].	(4)
28
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Фиксируем точку х Е [а, 6] и проверим непрерывность функции f в
этой точке. Пусть смещение h таково, что (x + h) Е [а, &]. Из тождества
f(x + /г) - /(ж) = f(x + /г) — fn{x + /г) + fn(x + /г) - /п(ж) + /п(ж) - f(x)
вытекает неравенство
\f(x + h) -/(ж)| <
|/(® + h) - fn(x + h)\ + \fn(x + h) - fn(x)\ + |/п(ж) - f(x)\. (5)
Крайние члены правой части последнего неравенства в силу (4) не
превосходят е, если п > N. Фиксировав п > N, получаем функцию
fn Е С[а, 6] и, подбирая 6 = 5(e) так, что при |/г| < 5 выполняется
\fn(x + h) — /п(т)| < £, получаем, что |/(т + /г) —/(т)| < Зе, если |/г| < 6.
Но это и означает, что функция f непрерывна в точке х. Посколь-
ку точка х была произвольной точкой отрезка [а,Ь], мы показали, что
feC[a,b\. ►
Итак, пространство С[а, 6] с метрикой (1) является полным метри-
ческим пространством. Это очень важный и широко используемый в
анализе факт.
Пример 5. Если на том же множестве <7[а,&] вместо метрики (1)
рассмотреть интегральную метрику
ь
d(f,g) = J \f - g\(x)dx,	(6)
а
то возникающее метрическое пространство уже не будет полным.
◄ Ради простоты обозначений положим [а, Ь] = [—1,1] и рассмо-
трим, к примеру, последовательность {fn е С[—1, 1];п Е N} функций,
определенных следующим образом:
/п(ж) = <
—1, если
пх, если
1, если
— 1 х — 1/тг,
— 1/тг < х < 1/тг,
1/тг х 1
(рис. 67).
§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
29
Из свойств интеграла непосредствен-
но вытекает, что эта последовательность
фундаментальна в смысле метрики (6) в
С[—1,1]. Вместе с тем она не имеет пре-
дела в <7[— 1,1], ибо если бы непрерывная
функция f G С[—1,1] была пределом ука-
занной последовательности в смысле ме-
трики (6), то на промежутке — 1 х < О
функция / должна была бы быть посто-
янной, равной —1, а на промежутке 0 <
< х С 1 — постоянной, равной 1, что не-
совместимо с непрерывностью f в точке
х = 0. ►
Пример 6. Несколько труднее показать, что даже множество
И[а, Ь] определенных на отрезке [а, Ь] вещественнозначных интегрируе-
мых по Риману на этом отрезке функций также не является полным в
смысле метрики (б)1). Мы покажем это, опираясь на критерий Лебега
интегрируемости функции по Риману.
◄ В качестве [а, 6] возьмем отрезок [0,1] и построим на нем та-
кое канторовское множество, которое не является множеством меры
нуль. Пусть Д б]0,1/3[. Удалим из отрезка [0,1] среднюю его часть
длины Д, точнее, Д/2-окрестность середины отрезка [0,1]. На каждом
из оставшихся двух отрезков удалим среднюю часть длины Д • 1/3. На
каждом из четырех оставшихся отрезков удалим среднюю часть длины
Д-1/32 и т. д. Длина всех удаленных в таком процессе интервалов равна
Д + Д • 2/3 + Д • 4/32 + ... + Д • (2/3)" + ... = ЗД. Поскольку 0 < Д <
имеем 1 — ЗД > 0 и, как можно проверить, отсюда следует, что остав-
шееся на отрезке [0,1] (канторово) множество К не имеет меру нуль в
смысле Лебега.
Рассмотрим теперь следующую последовательность: {/„ G 7?.[0,1];
п G N}. Пусть fn — функция, равная единице всюду на [0,1], кроме то-
чек, выбрасываемых на первых п шагах интервалов, на которых она
полагается равной нулю. Легко проверить, что эта последовательность
фундаментальна в смысле метрики (6). Если бы некоторая функция
1’По поводу самой метрики (6) на 7£[а, Ь] см. замечание, сделанное в примере 9
из §1.
30
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
f Е 7?.[0,1] была пределом этой последовательности, то / должна была
бы почти во всех точках отрезка [0,1] совпадать с характеристиче-
ской функцией множества К. Тогда f имела бы разрывы во всех точ-
ках множества К. Но поскольку К не имеет меру нуль, из критерия
Лебега можно было бы заключить, что /	7£[0,1]. Значит, 7£[а, Ь] с
метрикой (6) не является полным метрическим пространством. ►
2. Пополнение метрического пространства
Пример 7. Вернемся вновь на действительную ось и рассмотрим
множество Q рациональных чисел с метрикой, индуцированной стан-
дартной метрикой на R.
Ясно, что последовательность рациональных чисел, сходящаяся в R
к %/2, фундаментальна, но не имеет предела в Q, т.е. Q с указанной ме-
трикой не является полным пространством. Вместе с тем, Q оказывает-
ся подпространством полного метрического пространства R, которое
естественно рассматривать как пополнение Q. Заметим, что множест-
во Q С R можно было бы рассматривать и как подмножество полного
метрического пространства R2, однако называть R2 пополнением Q не
представляется целесообразным.
Определение 4. Наименьшее полное метрическое пространство,
содержащее данное метрическое пространство (X,d), назовем попол-
нением пространства (X,d).
Это интуитивно приемлемое определение требует по меньшей мере
двух разъяснений: что такое «наименьшее» и существует ли оно.
Очень скоро мы сможем ответить на оба эти вопроса, а пока примем
следующее более формальное
Определение 5. Если метрическое пространство (X,d) является
подпространством метрического пространства (У, d) и множество X С
С У всюду плотно в У, то пространство (У, d) называется пополнением
метрического пространства (X, d).
Определение 6. Метрическое пространство (Xi,di) называется
изометричным метрическому пространству (Х'2,^2), если существует
биективное отображение /: Х± —> Х% такое, что для любых точек а, b
из Xi справедливо равенство d2(/(a),f(b)) = di(a,b). (Отображение
f: Xi —> Х2 называют в этом случае изометрией.)
§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
31
Ясно, что введенное отношение рефлексивно, симметрично и тран-
зитивно, т. е. является отношением эквивалентности между метриче-
скими пространствами. При изучении свойств метрических про-
странств мы изучаем не индивидуальное пространство, а свойства сра-
зу всех изометричных ему пространств. По этой причине изометричные
пространства можно не различать.
Пример 8. Две конгруэнтные фигуры на плоскости как метриче-
ские пространства изометричны, поэтому при изучении метрических
свойств фигур мы вовсе отвлекаемся, например, от расположения фигу-
ры в плоскости, отождествляя между собой все конгруэнтные фигуры.
Приняв соглашение об отождествлении изометричных пространств,
можно показать, что если пополнение метрического пространства и
существует, то оно единственно.
Проверим предварительно, что справедлива
Лемма. Для любой четверки точек а, Ь, и, v метрического прос-
транства (X, d) имеет место неравенство
\d(a, b) — d(u, v)| С d(a, u) + d(b, v).	(7)
◄	В силу неравенства треугольника
d(a, b) < d(a, и) + d(iz, г>) + d(b, v).
Ввиду равноправности nap a, b и и, v, отсюда следует (7). ►
Теперь докажем
Утверждение 1. Если метрические пространства (Yi,di),
(У2,й2) являются пополнениями одного и того же пространства
(X,d), то они изометричны.
◄	Изометрию /: У —> У> построим следующим образом. Для х G X
положим /(ж) = х. Тогда </2(/(ж1),/(ж2)) = </(/(ж1), /(т2)) = d{x]_,xi) =
= di(xi,£2) при ®1,^2 6 X. Если yi 6 У1 \ X, то yi— предельная точка
для X, так как X всюду плотно в Yy. Пусть {хп;п 6 N} —сходящаяся
к yi в смысле метрики di последовательность точек X. Эта последова-
тельность фундаментальна в смысле d±. Но поскольку на X метрики d±
и совпадают с d, эта последовательность фундаментальна также и
в (У2,<У)- Последнее пространство полное, поэтому эта последователь-
ность имеет в нем предел у2 6 У. Стандартным образом проверяется,
32 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
что такой предел единственный. Положим теперь /(yi) = уг- Поскольку
любая точка уг G Уг \ X, так же как и любая точка yi 6 У1 \ X, является
пределом некоторой фундаментальной последовательности точек из X,
то построенное отображение /: Yi —> Уг сюръективно.
Проверим теперь, что для любой пары точек у'1; у" из У1 выполнено
равенство
^(/(у'1),/(2/1)) = ^1(у'1,уГ).	(8)
Если у[, у" лежат в X, то это очевидно. В общем же случае возьмем
две последовательности {х'п; п Е N}, {ж"; п Е N} точек из X, сходящиеся
соответственно к у[ и у'/. Из неравенства (7) вытекает, что
^1(2/1,2/1) = Нт di(4,T"),
п—>оо
или, что то же самое,
^1(У1,У1) = Нт d(4,4)-	(9)
71—>ОО
По построению эти же последовательности сходятся к у'2 = f(y{) и
Уг = /(У1) соответственно в пространстве (Уг, ^2)- Значит,
^2(^,Уг) = Нт й(4,ж").	(10)
п—>оо
Сравнивая соотношения (9) и (10), получаем равенство (8). Это
равенство заодно устанавливает инъективность нашего отображения
f: У1 —> Уг и тем самым завершает доказательство того, что f —
изометрия. ►
В определении 5 пополнения (У, d) метрического пространства
(X, d) мы требовали, чтобы (X, d) было подпространством (У, d), всюду
плотным в (У, d). С точки зрения отождествления изометричных про-
странств можно было бы теперь расширить представление о пополнении
и принять следующее
Определение 5'. Метрическое пространство (У, dy) называется
пополнением метрического пространства (X, dx), если в (У, dy) имеет-
ся всюду плотное подпространство, изометричное (X, dx).
Докажем теперь
Утверждение 2. Каждое метрическое пространство имеет по-
полнение.
§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
33
◄ Если исходное пространство само является полным, то оно само
является своим пополнением.
Идею построения пополнения неполного метрического пространст-
ва (X, dx) мы уже, по существу, продемонстрировали, доказывая утвер-
ждение 1.
Рассмотрим множество фундаментальных последовательностей в
пространстве (X, dx)- Две такие последовательности {х'п;п € N},
{aj";n G N} назовем эквивалентными или конфиналъными, если
dx(x'n,x") —> 0 при п —> сю. Легко видеть, что отношение конфиналь-
ности действительно является отношением эквивалентности. Множест-
во классов эквивалентных фундаментальных последовательностей обо-
значим через S. Введем в S метрику по следующему правилу. Если s'
и s"—элементы S, а {х'п;п Е N} и {т";п 6 N} —некоторые последова-
тельности иэ классов s' и s" соответственно, то положим
d(s',s") - lim dx(x'n,x”).	(11)
п—>оо
Из неравенства (7) следует, что это определение корректно: напи-
санный справа предел существует (по критерию Коши для числовой
последовательности) и не зависит от индивидуального выбора последо-
вательностей {х'п;п Е N}, {х'п, п 6 N} из s', s".
Функция d(s',s") удовлетворяет всем аксиомам метрики. Получен-
ное метрическое пространство (S', d) и является искомым пополнением
пространства (X, dx) - В самом деле, (X, dx) изометрично подпростран-
ству (Sx,d) пространства (S, d), состоящему из тех классов эквива-
лентных фундаментальных последовательностей, в каждом из которых
имеется постоянная последовательность {хп = х Е Х-,п Е N}. Такой
класс s Е S естественно отождествить с точкой х Е X. Получающееся
при этом отображение /: (X, dx) —> (Sx,d), очевидно, изометрично.
Остается проверить, что (S'x, d) всюду плотно в (S', d) и что (S', d) —
полное метрическое пространство.
Проверим сначала плотность (Sx,d) в (S', d). Пусть s — произволь-
ный элемент S', а {хп-,п Е N}—фундаментальная последовательность
из (X,dx), принадлежащая этому классу s Е S. Взяв £п = f(xn), п Е
Е N, мы получаем последовательность {£n;n £ N} точек пространства
(Sx,d), которая, как видно из (11), имеет своим пределом именно s Е S.
Докажем теперь полноту пространства (S', d). Пусть {sn;n Е N} —
произвольная фундаментальная последовательность пространства
34
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
(S', d). Для каждого п 6 N подберем элемент £п из (Sx,d) так, что
d(sn,£n) < 1/п. Тогда последовательность {£„; п Е N}, так же как
и последовательность {sn;n Е N}, окажется фундаментальной. Но в
таком случае будет фундаментальной в (X.dx) и последовательность
{хп = /-1(Сп);и G N}- Последовательность {хп-,п Е N} определяет не-
который элемент s Е S, к которому в силу (И) и сходится данная по-
следовательность {sn;n Е N}. ►
Замечание 1. После доказанных утверждений 1 и 2 становится
понятно, что пополнение метрического пространства в смысле опреде-
ления 5' действительно является наименьшим полным пространством,
содержащим (с точностью до изометрии) данное метрическое прост-
ранство. Этим мы уточнили и оправдали исходное определение 4.
Замечание 2. Построение множества R действительных чисел,
исходя из множества Q рациональных чисел, можно было бы провести
в полном соответствии с проведенным выше в общем виде построением
пополнения метрического пространства. Именно так переход от Q к I
был осуществлен Кантором.
Замечание 3. В примере 6 мы показали, что пространство 1Z[a, b]
интегрируемых по Риману функций не является полным в естественной
интегральной метрике. Его пополнением является важное пространство
£[а,Ь] функций, интегрируемых по Лебегу.
Задачи и упражнения
1. а) Докажите следующую лемму о вложенных шарах. Пусть
(X,d)—метрическое пространство и B(xi,n) D ... D B(xn,rn) D ... —
последовательность замкнутых вложенных шаров в X, радиусы которых
стремятся к нулю. Пространство (X, d) полно тогда и только тогда, когда
для любой такой последовательности существует, и притом единственная,
точка, принадлежащая всем шарам этой последовательности.
Ь) Покажите, что если из условий сформулированной выше леммы ис-
ключить требование гп —> 0 при п —> оо, то пересечение последовательности
вложенных шаров может оказаться пустым даже в полном пространстве.
2. а) Множество Е с X метрического пространства (X, d) называется
нигде не плотным в X, если оно не плотно ни в одном шаре, т. е. если для
любого шара В(х,г) найдется другой шар B(xi,rj.) С В(х,г), свободный от
точек множества Е.
Множество Е называется множеством первой категории в X, если его
можно представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
35
Множество, не являющееся множеством первой категории, называют мно-
жеством второй категории в X.
Покажите, что полное метрическое пространство есть множество второй
категории (в себе).
Ь) Покажите, что если функция f G С1'00'1 [а, Ь] такова, что Уж G [а, Ь] Эп G N
Vm > п	= 0), то функция / — многочлен.
§ 6.	Непрерывные отображения топологических
пространств
Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с точки
зрения анализа результаты настоящей главы.
Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены, явля-
ются естественным, а иногда просто дословным переносом уже хо-
рошо известных нам понятий и утверждений на случай отображений
произвольных топологических или метрических пространств. Для мно-
гих фактов при этом оказываются почти идентичными с уже рассмо-
тренными не только формулировки, но и доказательства, которые в
этих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствующие
утверждения, изложенные подробно ранее.
1.	Предел отображения
а.	Основное определение и его частные случаи
Определение 1. Пусть f: X —> Y — отображение множества X с
фиксированной в X базой В = {В} в топологическое пространство Y.
Говорят, что точка А Е Y является пределом отображения ft X Y
по базе В и пишут Ит/(ж) — А, если для любой окрестности У(А)
точки А в Y существует элемент В Е В базы В, образ которого при
отображении f содержится в V(A).
В логической символике определение 1 имеет вид
lim/(ж) = А := VV(A) С Y ЭВ Е В (f(B) С V(A)).
Чаще всего нам будет встречаться случай, когда X, как и У,—
топологическое пространство, а В — база окрестностей или проколо-
тых окрестностей некоторой точки а Е X. Сохраняя для базы проколо-
тых окрестностей {и (а)} точки а прежнее обозначение х —> а, можно
36
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
конкретизировать определение 1 для этой базы:
lim /(ж) = А := V V(A) С Y 3 U (а) С X (f(U (а)) С У(А)).
х—>а
Если (Xjdx) и (У, dy)—метрические пространства, то последнее
определение можно переформулировать уже на языке е-8:
lim /(ж) = А := Ve > 0 35 > 0 Ух G X
х—^а
(О < dx(a,x) < 6 ==> dy(A,f(x)) < е).
Иными словами,
lim f(x) = А <=> lim dy(A, f(xY) = 0.
x—>a	x—>a
Мы видим, таким образом, что, имея понятие окрестности, можно
определить понятие предела отображения f: X —> У в топологическое
или метрическое пространство У так же, как это было сделано в случае
У = R или, более общо, в случае У = R".
Ь.	О свойствах предела отображения. Сделаем некоторые за-
мечания относительно общих свойств предела.
Отметим прежде всего, что получавшаяся ранее сама собой един-
ственность предела в случае, когда У не является хаусдорфовым прост-
ранством, уже не имеет места. Если же У — хаусдорфово пространство,
то единственность предела имеет место и доказательство ее ничем не
отличается от уже проведенного в частных случаях У = R или У = R”.
Далее, если f: X —> У — отображение в метрическое пространст-
во, то можно говорить об ограниченности отображения (что означает
ограниченность множества f(X) в У) и о финальной ограниченности
отображения по базе В в X (что означает существование элемента В
базы В, на котором f ограничено).
Из самого определения предела отображения вытекает, что если
отображение f:X—>Y множества X с базой В в метрическое про-
странство У имеет предел по базе В, то оно финально ограничено по
этой базе.
с.	Вопросы существования предела отображения
Утверждение 1 (о пределе композиции отображений). Пусть
У—множество с базой By, а д: Y —> Z — отображение У в тополо-
гическое пространство Z, имеющее предел по базе By.
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
37
Пусть X—множество с базой Вх и f: X Y — такое отобра-
жение X в Y, что для любого элемента By £ Ву базы Ву существует
элемент Вх £ Вх базы Вх, образ которого содержится в Ву, т. е.
f(Bx) с Ву.
При этих условиях композиция g о f: X —> Z отображений fug
определена, имеет предел по базе Вх и
limfzo f(x) = Ншр(у).
Вх	Ву
Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 5.
Другим важным утверждением о существовании предела является
критерий Коши, к которому мы теперь переходим. На сей раз речь
будет идти уже об отображении /: X —> Y в метрическое и даже в
полное метрическое пространство.
В случае отображения f: X —> Y множества X в метрическое про-
странство (У, d) естественно принять следующее
Определение 2. Колебанием отображения /: X —> У на множес-
тве Е С X называется величина
w(/,E)= sup d(/(a;i),/(ш2))-
Имеет место
Утверждение 2 (критерий Коши существования предела отобра-
жения). Пусть X—множество с базой В, f: X -> У — отображе-
ние X в полное метрическое пространство (Y,d).
Для того, чтобы отображение f имело предел по базе В, необходи-
мо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся такой элемент В
базы В, на котором колебание отображения меньше е.
Короче:
31im/(ar) <=> Ve > О ЕВ £ В (ш(/,В) < е).
Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 4.
Полезно заметить, что полнота пространства У нужна только при
переходе от правой части последнего соотношения к левой. Более того,
если У не является полным пространством, то именно этот переход,
вообще говоря, невозможен.
38
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
2.	Непрерывные отображения
а.	Основные определения
Определение 3. Отображение f: X —> Y топологического про-
странства (Х,тх) в топологическое пространство (У, ту) называется
непрерывным в точке a G X, если для любой окрестности У (/(a)) С У
точки /(а) 6 У найдется окрестность U(a) С X точки a G X, образ
которой /((7(a)) содержится в У(/(а)).
Итак,
/: X —> У непрерывно в a G X :=
= VV(/(a)) 3K(a)(/(K(a))cV(/(e))).
В случае, если X и У — метрические пространства (X,dx), (Y,dy),
определение 3, разумеется, можно сформулировать на языке е- 5:
f: X —> Y непрерывно в а Е X :=
= е > 0 36 > 0 х Е X (dx(a,x) < 6 => dy(f(a),f(x))<E).
Определение 4. Отображение /: X —> У называется непрерыв-
ным, если оно непрерывно в каждой точке х Е X.
Множество непрерывных отображений X в У обозначают символом
ОДУ).
Теорема 1 (критерий непрерывности). Отображение f: X —> У
топологического пространства (Х,тх) в топологическое пространс-
тво (У, ту) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого
открытого (замкнутого) подмножества У открыт (замкнут) в X.
◄ Поскольку прообраз дополнения есть дополнение к прообразу,
достаточно доказать теорему для открытых множеств.
Покажем сначала, что если / G С(Х, У), a Gy Е ту, то Gx =
= /-1((7у) Е тх- Если Gx = <3, то открытость прообраза налицо.
Если же Gx 0 и а Е Gx, то по определению непрерывности ото-
бражения / в точке а для окрестности Gy точки f(a) найдется та-
кая окрестность Ux(a) точки а в X, что f(Ux(a)) С Gy. Значит,
(Ту (а) С Gx — f~1(Gy)- Поскольку Gx = U Ux(a), заключаем, что
Gx — открыто, т. е. Gx £ ?х •
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
39
Теперь докажем, что если прообраз любого открытого в Y мно-
жества открыт в X, то / Е С(Х, У). Но, взяв любую точку а 6 X и
произвольную окрестность Уу(/(а)) ее образа в У, мы обнаруживаем,
что множество Ux(a) = /-1(Уу(/(«))) является открытой окрестно-
стью точки а в X, образ которой содержится в Vy (/(«)) Следователь-
но, проверено определение непрерывности отображения /: X —> У в
произвольной точке а Е X. ►
Определение 5. Биективное отображение /: X —> У одного то-
пологического пространства (X, тх) на другое (У, ту) называется го-
меоморфным или гомеоморфизмом, если как оно само, так и ему обрат-
ное отображение f~1: У —> X непрерывны.
Определение 6. Топологические пространства, допускающие го-
меоморфное отображение друг на друга, называются гомеоморфными.
Как показывает теорема 1, при гомеоморфном отображении
f: X —> У топологического пространства (X, тх) на пространство
(У, ту) системы открытых множеств тх, ту соответствуют друг другу
в том смысле, что Gx Е тх <3- f(Gx) = Gy Е ту.
Таким образом, с точки зрения топологических свойств гомеоморф-
ные пространства абсолютно одинаковы. Следовательно, гомеоморф-
ность топологических пространств есть такое же отношение эквива-
лентности в множестве топологических пространств, как, например,
изометричность есть отношение эквивалентности в метрических про-
странствах.
Ь.	Локальные свойства непрерывных отображений. Укажем
локальные свойства непрерывных отображений. Они вытекают непо-
средственно из соответствующих свойств предела.
Утверждение 3 (непрерывность композиции непрерывных ото-
бражений). Пусть (X, тх), (Y,Ty), (Z.tz)—топологические прост-
ранства. Если отображение д: У —> Z непрерывно в точке b Е Y, а
отображение f: X -> У непрерывно в точке а Е X, причем f(a) = b,
то композиция этих отображений д о f: X —> Z непрерывна в точке
аЕХ.
Это следует из определения непрерывности отображения и утвер-
ждения 1.
Утверждение 4 (ограниченность отображения в окрестности
40
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
точки непрерывности). Если отображение f: X —> У топологическо-
го пространства (X, d) в метрическое пространство (У, d) непрерыв-
но в некоторой точке а Е X, то оно ограничено в некоторой окрест-
ности этой точки.
Утверждение следует из финальной ограниченности (по базе) ото-
бражения, имеющего предел.
Прежде чем формулировать следующее утверждение о свойствах
непрерывных отображений, напомним, что для отображений в R или
в R" величину
w(/,a) := limw(/,B(a,r))
г—>0
мы назвали колебанием отображения f в точке а.
Поскольку и понятие колебания отображения на множестве, и поня-
тие шара В(а, г) остаются в силе в любом метрическом пространстве,
то определение колебания ш(/, а) отображения f в точке а также оста-
ется в силе для отображения f: X —> У метрического пространства
(X, dx) в метрическое пространство (У, dy).
Утверждение 5. Отображение f: X -> У метрического прос-
транства (X,dx) в метрическое пространство (Y,dy) непрерывно в
точке а Е X тогда и только тогда, когда а) = 0.
Это утверждение непосредственно следует из определения непре-
рывности отображения в точке.
с.	Глобальные свойства непрерывных отображений. Остано-
вимся теперь на важнейших глобальных свойствах непрерывных ото-
бражений.
Теорема 2. При непрерывном отображении образ компакта яв-
ляется компактом.
◄ Пусть f: К У — непрерывное отображение компакта (К.тк) в
топологическое пространство (У, ту) и пусть {Gy, а 6 А} — покрытие
f(K) множествами, открытыми в У. В силу теоремы 1 множества
= / ](Gy),a Е А} образуют открытое покрытие К. Извлекая
из него конечное покрытие G^1, ... , GJ*, находим конечное покрытие
Gy1, ... , G“n множества f(K) С У. Таким образом, f(K) — компакт
в У. ►
§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
41
Следствие. Непрерывная вещественная функция f: К —> I на
компакте принимает в некоторой точке компакта наибольшее {наи-
меньшее) значение.
◄ Действительно, f(K) — компакт в R, т. е. ограниченное и замкну-
тое множество. Это значит, что inf/(KJ Е f(K) и sup f(K) Е f(K). ►
В частности, если К — отрезок [a, b] С К, то мы вновь получаем
классическую теорему Вейерштрасса.
На отображения, непрерывные на компактах, дословно переносится
теорема Кантора о равномерной непрерывности. Прежде чем ее фор-
мулировать, приведем нужное
Определение 7. Отображение /: X —> Y метрического прост-
ранства {X, dx) в метрическое пространство (У, dy) называется равно-
мерно непрерывным, если для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что
на любом множестве Е с X с диаметром, меньшим 5, колебание ш(/, Е)
отображения f меньше е.
Теорема 3 (о равномерной непрерывности). Непрерывное ото-
бражение f: К -» У метрического компакта К в метрическое прос-
транство (У, ту) равномерно непрерывно.
В частности, если К — отрезок на R, а У = R, то мы вновь воз-
вращаемся к классической теореме Кантора, доказательство которой,
изложенное в гл. IV, § 2, п. 2, практически без изменений переносится
на указанный общий случай.
Рассмотрим теперь непрерывные отображения связных про-
странств.
Теорема 4. При непрерывном отображении образ связного то-
пологического пространства связен.
◄ Пусть f: X —> У — непрерывное отображение связного топологи-
ческого пространства (Х,тх) на топологическое пространство (У, ту).
Пусть Еу открыто-замкнутое подмножество У. В силу теоремы 1 про-
образ Ex = f-1{Ey) множества Еу открыто-замкнут в X. В силу связ-
ности X имеем тогда: либо Ех = 0, либо Ex = X. Но это означает,
что либо Еу = 0, либо Еу = Y — f(X). ►
Следствие. Если функция f: X -> R, непрерывная на связном то-
пологическом пространстве (Х,т), принимает значения f(a) = А Е R
42
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
и f(b) = В 6 I, то для любого числа С, лежащего между А и В,
найдется такая точка с Е X, в которой f(c) = С.
◄ Действительно, по теореме 4 f(X)— связное множество в R Но
в R связными множествами являются только промежутки (см. утвер-
ждение из § 4). Таким образом, вместе с точками А и В точка С содер-
жится в f(X). ►
В частности, если X — отрезок, мы возвращаемся к классической
теореме о промежуточном значении непрерывной вещественнозначной
функции.
Задачи и упражнения
1.	а) Если отображение /: X -» Y непрерывно, то будут ли образы от-
крытых (замкнутых) в X множеств открытыми (замкнутыми) множествами
в У?
Ь)	Если при отображении f: X -» У не только прообраз открытого мно-
жества, но и образ открытого множества открыт, то обязано ли / быть го-
меоморфизмом?
с)	Если отображение /: X —> У непрерывно и биективно, то всегда ли оно
гомеоморфно?
d)	Будет ли гомеоморфным отображение, удовлетворяющее условиям Ь)
и с) одновременно?
2.	Покажите, что
а)	всякое непрерывное биективное отображение компакта в хаусдорфово
пространство является гомеоморфизмом;
Ь)	без требования хаусдорфовости пространства образа предыдущее ут-
верждение, вообще говоря, неверно.
3.	Выясните, гомеоморфны ли (попарно) как топологические простран-
ства следующие подмножества Rn: прямая, интервал на прямой, отрезок на
прямой; сфера; тор.
4.	Топологическое пространство (Х,т) называется линейно связным, ес-
ли любые две его точки можно соединить путем, лежащим в X. Точнее это
означает, что для любых точек А и В из X существует такое непрерывное
отображение /: I -» X отрезка [а, 6] с R в X, что f(a) = A, f(b) = В.
а)	Покажите, что всякое линейно связное пространство связно.
Ь)	Покажите, что любое выпуклое множество в Rn линейно связно.
с)	Проверьте, что любое связное открытое подмножество Rn линейно связ-
но.
d)	Покажите, что сфера S(a,r) линейно связна в Rn (п > 1), но в дру-
гом метрическом пространстве она как множество, наделенное совсем иной
топологией, может быть вообще не связной.
§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
43
е)	Проверьте, что в топологическом пространстве нельзя соединить пу-
тем внутреннюю точку множества с внешней точкой множества, не пересекая
границу этого множества.
§ 7. Принцип сжимающих отображений
Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю свою
простоту, оказывается средством эффективного доказательства мно-
гих теорем существования.
Определение 1. Точка а Е X называется неподвижной точкой
отображения f:X—>X, если /(а) = а.
Определение 2. Отображение /: X -> X метрического прост-
ранства (X, d) в себя называется сжимающим, если существует число q,
О < q < 1, такое, что для любых точек xi, х2 из X имеет место нера-
венство
^(/(^1),/(жг)) qd(x!,x2).
(1)
Теорема (принцип неподвижной точки Пикара1) - Банаха2)). Сжи-
мающее отображение f: X —> X полного метрического пространства
(X,d) в себя имеет и притом единственную неподвижную точку а.
Более того, для любой точки хо Е X итерационная последователь-
ность хо, xi =	   , xn+i = f(xn), ... сходится к а. Скорость
этой сходимости дается оценкой
d(a,Xn) <
—d{x]_,XQ).
1-9
(2)
◄ Возьмем произвольную точку xq Е X и покажем, что последо-
вательность хо, xi = /(то),	, xn+i = f(xn), ... фундаментальна.
Отображение f сжимающее, поэтому в силу (1)
d(xn+1,xn) < qd(xn,xn-i) < ... < qnd(x\, xq)
Э. Пикар (1856-1941)—французский математик, которому принадлежит
ряд важных результатов в теории дифференциальных уравнений и теории аналити-
ческих функций.
2) С. Банах (1892-1945) — польский математик, один из создателей функциональ-
ного анализа.
44
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
и
Хп) d{Xn, Жп + 1) + . . . + d(Xn-|-fc_l, Хп-|-/;)
(qn + gn+1 + ... + (f+’-Wi, хо) < Y^d(X1, хо).
Отсюда видно, что последовательность хо, Xi, ... , хп, ... действи-
тельно фундаментальная.
Пространство (X, d) полное, поэтому указанная последовательность
имеет предел lim хп = а Е X.
п—>оо
Из определения сжимающего отображения видно, что сжимающее
отображение всегда непрерывно, поэтому
а = lim xn+i = lim /(хп) = /( Нт хп) = /(а).
П-НХ)	П-ЮО	7WOO
Таким образом, а — неподвижная точка отображения /.
Другой неподвижной точки отображение f иметь не может, по-
скольку из аг — /(аг), i — 1,2, с учетом (1), следует
О < d(ai,a2) = d(f (ai), f(a2)) < qd(alf a2),
что возможно только при d(ai, а2) = 0, т. е. при ai = а2.
Далее, из соотношения
d(xn+k, хп) 5$
qn
-d(xi,x0),
переходя к пределу при к —> оо, находим, что
d(a,xn) < з---d(xi,x0). ►
1-9
В дополнение к этой теореме докажем следующее
Утверждение (об устойчивости неподвижной точки). Пусть
(X,d)—полное метрическое пространство; (П,т)—топологическое
пространство, играющее в дальнейшем роль пространства параме-
тров.
Пусть каждому значению параметра t Е Q отвечает сжимающее
отображение ft - X X пространства X в себя, причем выполнены
следующие условия:
§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
45
а)	семейство {ft; t Е 0} равномерно сжимающее, т. е. существу-
ет такое число q, 0 < q < 1, что каждое отображение ft является
q-сжимающим;
Ь)	при каждом х Е X отображение ft(x): fi —> X как функция от t
непрерывно в некоторой точке to Е Q, т. е. lim ft(x) = ft0(x).
t—tto
Тогда решение a(t) Е X уравнения х = ft{x) в точке to непрерывно
зависит от t, т. е. lim a(t) = a(to)-
t—>to
◄ Как было показано при доказательстве теоремы, решение a(t)
уравнения х = ft(x) может быть получено как предел последовательно-
сти {жп+1 = ftfxn); п — 0,1,... }, исходя из любой точки хо Е X. Пусть
хо = а(<о) = Ло(а(<о))-
С учетом оценки (2) и условия а), получаем
d(a(f),a(fo)) — d{a{t),xo) <
Ло(а(*о))).
Последний член в этом соотношении в силу условия Ь) стремится к нулю
при t -> to- Таким образом, доказано, что
lim d(a(t), a(to)) = 0, т. е. lim a(t) = a(fo)- ►
t—>to	t—tto
Пример 1. В качестве важного примера применения принципа
сжимающих отображений докажем, следуя Пикару, теорему существо-
вания решения дифференциального уравнения у'(х) = f(x,y(xf), удо-
влетворяющего начальному условию у(хо) = уо-
Если функция f Е C(IR2,IR) такова, что
\f(u,Vi) - f(u,v2)\ < М\щ - v2|,
где М — некоторая постоянная, то, каково бы ни было начальное
условие
УЫ = уо,	(3)
существуют окрестность U(xq) точки хо Е R и определенная в ней
единственная функция у = у(х), которая удовлетворяет уравнению
У' = f{x,y)
(4)
46
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
и начальному условию (3).
◄ Уравнение (4) совместно с условием (3) можно записать в виде
одного соотношения
X
у(х) =у0 + У f(t,y(t))dt.	(5)
Хо
Обозначая через А(у) правую часть последнего равенства, находим,
что A: C(V(xq), R) -> (^(^(хо), К) есть отображение множества опре-
деленных в окрестности У(жо) точки жо непрерывных функций в себя.
Рассматривая С(Е(жо),Н) как метрическое пространство с равномер-
ной метрикой (см. формулу (6) из § 1), находим, что
d(Ay1,Ay2)
= max
x€V(x0)
х	х
У f(t, dt - У /(t, y2(t))dt
Xq	Xq
max
xev(xo)
X
У M|yi(t) -y2(t)\dt
Xq
< M\x - aro|d(yi,!/2)-
Если считать, что |ж — жо| то на соответствующем отрезке I
оказывается выполненным неравенство
d(Ayx,Ay2) <
где d(yi, у2) = max |?/1(ж)—у2(ж)|. Таким образом, мы имеем сжимающее
х€/
отображение
A: C(/,R) -»C(/,R)
полного (см. пример 4 из §5) метрического пространства (С(1, R),d)
в себя, которое по принципу сжимающих отображений должно иметь
и притом единственную неподвижную точку у — Ау. Но это означает,
что найденная в C(I, R) функция и будет той единственной функцией,
которая определена в I Э жо и удовлетворяет уравнению (5). ►
Пример 2. В качестве иллюстрации к сказанному будем искать,
исходя из принципа сжимающих отображений, решение уже знакомого
нам уравнения
у' = У
§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
47
при начальном условии (3).
В данном случае
Ау = у0 + / y(t) dt,
Хо
и принцип применим по крайней мере при |ж — жо| Q < 1.
Исходя из начального приближения у(х) = 0, построим последова-
тельность 0, ух = А(0),..., yn+x(t) = A(yn(t)),... приближений
yi(i) = Уо,
У2(*) = Уо(1 + (х - хо)),
Уз(*) = Уо(1 + (х - Жо) + -(ж - Жо)2),
Zi
Уп+1^) = Уо(1 + (ж - Жо) + тт(ж - Жо)2 + ... + —(ж - х0)п),
2!	П1
из которой уже видно, что
у(х) = уоех х°
Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведенной
выше теореме, носит также название принципа сжимающих отобра-
жений. Он возник как обобщение рассмотренного в примере 1 доказа-
тельства Пикара теоремы существования решения дифференциального
уравнения (4). В полной общности принцип сжимающих отображений
был сформулирован Банахом.
Пример 3. Метод Ньютона отыскания корня уравнения /(ж) =
= 0. Пусть выпуклая с положительной производной на отрезке [а, (3] ве-
щественнозначная функция принимает на концах отрезка значения раз-
ных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет, и притом единственную,
точку а, в которой /(а) = 0. Наряду с простейшим общим методом по-
иска точки а путем деления отрезка пополам существуют разные более
тонкие и быстрые методы отыскания точки а, использующие специфи-
ку функций /. Так, в нашем случае можно воспользоваться следующим
48
ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Рис. 68.
методом, предложенным Ньютоном и называемым методом Ньютона
или методом касательных. Возьмем произвольную точку xq € [а, (3] и
запишем уравнение у = f(xo) + f'(xo)(x — xq) касательной к графику на-
шей функции в точке (жо, У(жо))- Найдем точку а; 1 = xq—[/Ч^о)]-1’/^)
пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 68). Примем xi в качестве
первого приближения корня а и повторим операцию, заменяя xq на х^.
Так мы получим последовательность
Яп+1 = ХП - [/'(Яп)]-1  f(xn)	(6)
точек, которые, как можно проверить, в нашем случае будут монотонно
стремиться к а.
В частности, если f(x) = xk — а, т. е. когда мы ищем д/а, где а > О,
рекуррентное соотношение (6) имеет вид
ь
_ Хп~~ а
хп-\-1 — хп ~ L_i ,
kxn
что при к = 2 преобразуется к знакомому выражению
Способ (6) образования последовательности {жп} называют мето-
дом Ньютона.
Если вместо последовательности (6) рассматривается последова-
тельность, получаемая рекуррентным соотношением
Sn+1 ~ хп [f (so)]	' f(xn),
(7)
§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
49
то говорят о модифицированном методе Ньютона^. Модификация со-
стоит в том, что производная вычислена раз и навсегда в точке xq.
Рассмотрим отображение
х i-> А(ж) = х — [/'(яо)]-1/^).	(8)
По теореме Лагранжа
ИЫ - А(Ж1)| = |[/'(то)]’1 • /'(0|  |т2 - тх|,
где £— некоторая точка, лежащая между Х] и х%.
Таким образом, если на некотором отрезке I С R выполнены усло-
вия
А(/) С I	(9)
И
|[/'(т0)]-1-/'(т)|^9<1,	(10)
то задаваемое соотношением (8) отображение А: I I окажется сжи-
мающим отображением этого отрезка. Тогда по общему принципу оно
имеет на отрезке единственную неподвижную точку а. Но, как видно
из (8), условие -4(a) = а равносильно соотношению /(а) = 0.
Значит, при выполнении условий (9) и (10), для любой функции / мо-
дифицированный метод Ньютона (7) на основании принципа сжимаю-
щих отображений приводит к искомому решению а уравнения /(ж) = 0.
Задачи и упражнения
1.	Покажите, что в принципе сжимающих отображений условие (1) нельзя
заменить более слабым условием
rf(/(a?i),/(я?2)) < d(xi,xi).
2.	а) Докажите, что если отображение f: X —> X полного метрического
пространства (X, d) в себя таково, что некоторая его итерация fn: X —> X
является сжимающим отображением, то / имеет, и притом единственную,
неподвижную точку.
функциональном анализе он имеет многочисленные применения и называет-
ся методом Ньютона - Канторовича. Л. В. Канторович (1912-1986)—выдающийся
советский математик, экономико-математические исследования которого отмечены
Нобелевской премией.
50 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Ь)	Проверьте, что рассмотренное в примере 2 отображение А: С(1,Ж) —>
—> С(/, Ж) таково, что при любом отрезке I С Ж некоторая итерация Ап ото-
бражения А является сжимающим отображением.
с)	Получите из Ь, что найденное в примере 2 локальное решение у =
= уоех~х° на самом деле является решением исходного уравнения на всей чи-
словой прямой.
3.	а) Покажите, что в случае выпуклой с положительной производной на
отрезке [а, /3] функции, принимающей на концах отрезка значения разных зна-
ков, метод Ньютона (6) действительно дает последовательность {жп}, сходя-
щуюся к той точке а € [а, /?], в которой /(а) = 0.
Ь) Оцените скорость сходимости последовательности (6) к точке а.
* ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ
ОБЩЕЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
§ 1.	Линейное нормированное пространство
Дифференцирование—это отыскание наилучшего локального ли-
нейного приближения функции, поэтому любая сколь-нибудь общая тео-
рия дифференцирования должна опираться на элементарные предста-
вления, связанные с линейными функциями. Из курса алгебры чита-
телю хорошо знакомо понятие линейного пространства, а также по-
нятия линейной зависимости и независимости системы векторов, бази-
са и размерности линейного пространства, подпространства и т. д. В
этом параграфе мы дадим представление о линейных пространствах
с нормой или, как говорят, линейных нормированных пространствах,
широко используемых в анализе. Начнем, однако, с примеров линейных
пространств.
1.	Некоторые примеры линейных пространств анализа
Пример 1. Классическими примерами линейных пространств
над полем действительных и комплексных чисел являются соответст-
венно вещественное R” и комплексное С" арифметические пространс-
тва размерности п.
Пример 2. В анализе, наряду с указанными в примере 1 прос-
транствами К”, U1, встречается наиболее близкое к ним простран-
ство I последовательностей х = (ж1,... ,хп,...) действительных или
комплексных чисел. Линейные операции в I, как и в R" и С1, осу-
3-4574
52
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ет(ж) =
ществляются покоординатно. Особенностью в сравнении с R” или С1
является то, что любая конечная подсистема счетной системы векто-
ров {гг, = (0, ...,0,жг = 1,0,...), i € N} линейно независима, то есть
I — бесконечномерное (в данном случае счетномерное) линейное прост-
ранство.
Совокупность финитных последовательностей (все члены которых,
начиная с некоторого, равны нулю) является линейным подпростран-
ством / пространства I, причем тоже бесконечномерным.
о
Пример 3. Пусть _F[a, 6]—множество числовых (действительно-
или комплекснозначных) функций, определенных на отрезке [а, 6]. Это
множество является линейным пространством (над соответствующим
числовым полем) по отношению к операциям сложения функций и умно-
жения функции на число.
Совокупность функций вида
0, если х € [а, 6] и х ± т,
1, если хЕ [а, 6] и х = т
является континуальной системой линейно независимых векторов
в F[tz, 6].
Множество С [а, 6] непрерывных функций, очевидно, является под-
пространством построенного пространства F[a,6].
Пример 4. Если Xi и X?— два линейных пространства над од-
ним и тем же полем, то в их прямом произведении Х± х X? естественным
образом вводится структура линейного пространства, если линейные
операции над элементами х = (д^жг) € Х\ х Х% выполнять покомпо-
нентно.
Аналогично вводится структура линейного пространства в прямом
произведении Х± х ... х Хп любого конечного набора линейных про-
странств. Это полный аналог пространств В" и С1.
2.	Норма в линейном пространстве. Теперь дадим основное
Определение 1. Пусть X—линейное пространство над полем
действительных или комплексных чисел.
Функция || ||: X —> R, ставящая каждому вектору х G X в со-
ответствие действительное число ||ж||, называется нормой в линейном
§1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО
53
пространстве X, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
а)	||ж|| = 0 О х = 0 (невырожденность);
Ь)	||Лж|| = |А|||ж|| (однородность);
с)	||я?1 + ж2||	||ж1|| + ||т2|| (неравенство треугольника).
Определение 2. Линейное пространство с определенной на нем
нормой называется линейным нормированным пространством.
Определение 3. Значение нормы на векторе называется нормой
этого вектора.
Норма вектора всегда неотрицательна и, как видно из а), равна
нулю только для нулевого вектора.
◄ Действительно, для любого х С X в силу с) и с учетом а) и Ь)
получаем
О = ||0|| = ||т + (-т)||	1И1 + II - т|| = 1И1 + I - 1||М = 2||< ►
Из с) и принципа индукции следует общее неравенство
||Ж1 + ... + жп|| < Hsill + ... + |Ы|,	(1)
а с учетом Ь) из с) легко вывести также полезное неравенство
|||Ж1|| - ||т2|||^ ||Т1-Т2||.	(2)
Любое линейное нормированное пространство имеет естественную
метрику
d(xl,x2) = ||Ж1 -ж2||.	(3)
То, что так определенная функция d(xi,x2) удовлетворяет аксио-
мам метрики, непосредственно следует из свойств нормы. Благодаря
наличию в X линейной структуры метрика d в X обладает двумя до-
полнительными специфическими свойствами:
d(xi + х,х2 + х) = ||(Ж1 +ж) - (х2 + ж)|| = ||Ж1 -ж2|| = б?(Т1,Т2),
т. е. метрика инвариантна относительно переносов, и
с!(Ах1, Хх2) = ||Ат1 - Ах2|| = ||А(х1 - s2)|| = |А| ||жх -ж2|| = |А|б?(т1,т2),
т. е. она однородна.
54
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 4. Если линейное нормированное пространство яв-
ляется полным как метрическое пространство относительно естествен-
ной метрики (3), то оно называется полным нормированным простран-
ством или банаховым пространством.
Пример 5. Если для вектора х = (х\...,хп) Е R” при р 1
положить
П	1
Ир ~ (2>Т/,	«
1=1
то, как следует из неравенства Минковского, мы получим норму в R”.
Пространство R”, наделенное этой нормой, будем обозначать симво-
лом
Можно проверить, что
1И|Р2 < Ikllpi, если 1 < pi < Р2,	(5)
и что
||ж||р -ч шах{|а;1|,..., |а;п|}	(6)
при р —> +оо. Таким образом, естественно положить
ЦжЦоо := шахЦгг1!,...,	(7)
Тогда из (4) и (5) следует, что
Iklloo < Ikllp < ||ж||1 < пЦжНоо при р > 1.	(8)
Из этого неравенства, как, впрочем, и из самого определения (4)
нормы видно, что является полным нормированным прост-
ранством.
Пример 6. Предыдущий пример полезно обобщить следующим
образом. Если X = Х± х ... х Хп есть прямое произведение нормирован-
ных пространств, то в X можно ввести норму вектора х = (дц,..., хп),
положив
г=1
где ||жг|| есть норма вектора Xi Е Xi в пространстве Xi-
Естественно, неравенства (8) и в этом случае остаются в силе.
§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО
55
В дальнейшем, когда рассматривается прямое произведение норми-
рованных пространств, всегда, если нет специальных оговорок, пред-
полагается, что в нем норма определена в соответствии с формулой (9)
(включая случай р = +оо).
Пример 7. Пусть р 1. Обозначим через 1Р множество таких по-
следовательностей х = (ж1,..., ж”,...) действительных или комплекс-
ов
ных чисел, что ряд	сходится, и для х € 1Р положим
п=1
ОО
(10)
П=1
Используя неравенство Минковского, легко видеть, что 1Р является
линейным нормированным пространством относительно стандартных
линейных операций и нормы (10). Это бесконечномерное пространство,
по отношению к которому является линейным подпространством
конечной размерности.
Для нормы (10) справедливы все неравенства (8), кроме последнего.
Нетрудно проверить, что 1р является банаховым пространством.
Пример 8. В линейном пространстве С[а, 6] числовых функций,
непрерывных на отрезке [а, 6], чаще всего рассматривается следующая
норма:
11/11 :=	|/(ж)|.	(И)
[а,о]
Проверку аксиом нормы мы оставляем читателю. Заметим, что эта
норма порождает уже знакомую нам метрику (см. гл. IX, § 5) на С[а, 6]
и нам известно, что возникающее при этом метрическое пространст-
во полно. Таким образом, линейное пространство С[а,Ь] с нормой (11)
является банаховым.
Пример 9. В С[а, 6] можно ввести и иную норму
Ь	х
\\f\\P--=(J\mz)dxy, p^i,	(12)
а
которая сводится к (11) при р —> +оо.
Легко видеть (см., например, гл. IX, § 5), что при 1 < р < +оо прос-
транство С[а, 6] с нормой (12) не является полным.
56
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.	Скалярное произведение в векторном пространстве.
Важный класс нормированных пространств составляют простран-
ства со скалярным произведением. Они являются прямым обобщением
евклидовых пространств.
Напомним
Определение 5. Говорят, что в линейном (над полем комплекс-
ных чисел) пространстве X задана эрмитова форма, если задано ото-
бражение ( , ): X х X —> С, обладающее свойствами:
а)	(тх, ж2) = (х2,хх),
Ь)	(Аж1,ж2) = A(zi,z2),
с)	(ti +т2,а;з) = (жьжз) + (ж2,ж3),
где xi, Х2, х3—векторы из X, а А 6 С.
Из а), Ь), с) следует, например, что
(xi, Хх2) = {Хх2, Xi) = Х{х2, Хх) = А (т2, Хх) = Х{хх, х2\,
{хх,Х2 + хз) = {Х2 +ж3,Т1) = {Х2,хх) + {х3, Хх) = {хх,Х2) + {хх,х3);
{х,х) — {х,х), т.е. (х,х) —действительное число.
Эрмитова форма называется положительной, если
d)	{х, х) О,
и невырожденной, если
е)	{х, х) = О О х = 0.
Если X—линейное пространство над полем вещественных чисел,
то, разумеется, надо рассматривать вещественнозначную форму
(a;i,a;2). В этом случае вместо а) можно записать просто (хх,Х2) —
= (х2,хх), что означает симметричность формы относительно векто-
ров-аргументов, Хх, Х2-
Примером такой формы может служить знакомое из аналитической
геометрии скалярное произведение векторов трехмерного евклидова
пространства. В связи с этой аналогией принято
Определение 6. Невырожденную положительную эрмитову фор-
му в линейном пространстве называют скалярным произведением в
этом пространстве.
Пример 10. В R” скалярное произведение векторов х =
§1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО
57
= (а;1,..., хп), у = (у1,..., уп) можно определить, положив
п
{х,у):=^хУ,	(13)
г=1
а в С" — положив
п
{х,у)-.= ^хгУг-	(14)
1=1
Пример 11. В 1ч скалярное произведение векторов х, у можно
определить, полагая
ОО
(®,у) = Ех1Уг-
i=i
Написанный здесь ряд сходится абсолютно, поскольку
ОО	ОО	00
2 \хгУг\	22	и2+52 i^i2-
г=1	г=1	г=1
Пример 12. В С[а, 6] скалярное произведение можно определить
формулой
Ь
(f,d) =	-g}(x)dx.	(15)
а
Из свойств интеграла легко следует, что все требования к скаляр-
ному произведению в этом случае выполнены.
Для скалярного произведения справедливо следующее важное нера-
венство Коши- Буняковского:
|(ж,у)|2	(х,х) • (у,у),	(16)
где равенство реализуется тогда и только тогда, когда векторы хну
коллинеарны.
◄ Действительно, пусть а = {х, х), b = {х, у) и с = (у, у). По условию
0 и 0. Если с > 0, то из
О {х + Ху, х + Ху) = а + ЬХ + ЬХ + сХХ
58
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при А = — | получим
bb	bb	bb
О а — — —-------1--
с	с	с
или
О ас — bb = ас — |6|2,
что совпадает с (16).
Аналогично рассматривается случай а > 0.
Если же а = с = 0, то, подставляя в (17) А = —Ь, получим 0
— bb — bb = — 2|6|2, т. е. b = 0, и неравенство (16) опять справедливо.
Если х и у не коллинеарны, то 0 < {х + Ху, х + Ху) и, следовательно,
неравенство (16) в этом случае строгое. Если же х тл. у коллинеарны, в
этом случае оно, как легко проверить, переходит в равенство. ►
Линейное пространство со скалярным произведением обладает есте-
ственной нормой
1И1 := у/{х,х)	(18)
и метрикой
(/(ж, у) := ||х — у||-
Используя неравенство Коши~Буняковского, проверим, что если
(х, у)— невырожденная положительная эрмитова форма, то форму-
ла (18) действительно определяет норму.
◄ В самом деле,
||х|| = у/{х,х} = О О х = 0,
поскольку форма (х, у) невырожденная.
Далее
||Ах|| = у/(Ах, Ах) = ^АА(х, х) = |А|\/(х,х) = |А| ||х||.
Проверим, наконец, неравенство треугольника
1к + у|| 1И1 + 11у11-
Нам, таким образом, следует показать, что
У(х + у,х + у) у/(х,х) + д/(у,у),
§1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО
59
или после возведения в квадрат и упрощений, что
{х,у) + (у,х)	2у/(х,х}  {у, у).
Но	_____
(х,у) + {у,х) = (х,у) + {х,у) = 2Re{x,y) 2|<щ,у)|,
и доказываемое неравенство теперь непосредственно следует из нера-
венства Коши-Буняковского (16). ►
Отметим в заключение, что линейные пространства со скалярным
произведением в конечномерном случае называют обычно евклидовы-
ми или эрмитовыми, когда полем констант является R или С соответ-
ственно. Если же линейное нормированное пространство бесконечной
размерности, то его называют гильбертовым, если оно полно, и пред-
гильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуциро-
ванной естественной нормой в нем.
Задачи и упражнения
1.	а) Покажите, что если в линейном пространстве X задана метрика
d(xi, а?2), трансляционно инвариантная и однородная, то X можно нормиро-
вать, положив ||а;|| = d(0, х).
Ь)	Проверьте, что норма в линейном пространстве X является функци-
ей, непрерывной по отношению к той топологии, которая индуцируется есте-
ственной метрикой (3).
с)	Докажите, что если X — конечномерное линейное пространство, а ||г||
и ||а;||' — две нормы на X, то всегда можно найти положительные числа М, N
такие, что для любого вектора х 6 X выполнено
м|иыи	(19)
d)	На примере норм ||a;||i и ||ж||оо в пространстве I убедитесь, что пре-
дыдущее неравенство в бесконечномерных пространствах, вообще говоря, не
выполняется.
2.	а) Докажите неравенство (5).
Ь)	Проверьте соотношение (6).
с)	Покажите, что при р —> +оо определенная формулой (12) величина ||/||р
стремится к величине ||/||, задаваемой формулой (11).
3.	а) Проверьте, что рассмотренное в примере 7 нормированное прост-
ранство 1Р является полным.
Ь) Покажите, что подпространство пространства 1Р, состоящее из финит-
ных (заканчивающихся нулями) последовательностей, не является банаховым
пространством.
60
ГЛ X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.	а) Проверьте, что соотношения (11), (12) задают норму в пространстве
С[а,Ь], и убедитесь в том, что при этом в одном случае получается полное, а
в другом не полное нормированное пространство.
Ь)	Задает ли формула (12) норму в линейном пространстве 7£[а, Ь] инте-
грируемых по Риману функций?
с)	Какую факторизацию (отождествление) следует провести в 7£[а, Ь], что-
бы задаваемая формулой (12) величина была нормой в полученном линейном
пространстве?
5.	а) Проверьте, что формулы (13)-(15) действительно задают скалярное
произведение в соответствующих линейных пространствах.
Ь)	Будет ли задаваемая формулой (15) форма скалярным произведением в
пространстве TZ[a, Ь] интегрируемых по Риману функций?
с)	Какие функции в 7£[а, Ь] следует отождествить, чтобы ответ на во-
прос Ь) был положительным в фактор-пространстве классов эквивалентности?
6.	Используя неравенство Коши - Буняковского, найдите нижнюю грань
(ь	\ (ъ	\
J f(x)dx 1 I f(l/f)(x) dx I на множестве непрерыв-
а	/ \а	/
ных вещественнозначных функций, не обращающихся в нуль на отрезке [а, 5].
§ 2. Линейные и полилинейные операторы
1.	Определения и примеры. Начнем с того, что напомним
дующее
Определение 1. Если X и Y—линейные пространства над бд-
ним и тем же полем (в нашем случае полем R или С), то отображение
А: X —> Y называется линейным, если для любых векторов х, Xi, Х2
пространства X и любого числа А поля коэффициентов имеют место
равенства
A(a;i + хг) = A(xi) + А(х2),
А(Хх) = ХА(х).
Для линейного оператора А: X —> Y вместо А (ж) часто пишут Ах.
Определение 2. Отображение А: Х[ х ... х Хп —> Y прямого
произведения линейных пространств Х±,..., Хп в линейное пространс-
тво Y называется полилинейным (п-линейным), если это отображение
у = A(a?i,... ,хп) линейно по каждой переменной при фиксированных
значениях остальных переменных.
Множество п-линейных отображений A: Xi х ... х Хп —> Y будет
обозначаться символом £(Xi, ..., Хп; У).
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
61
В частности, при п = 1 получаем множество £(Х; У) линейных ото-
бражений из Xi = X в Y.
При п = 2 полилинейное отображение называется билинейным, при
п — 3— трилинейным и т. д.
Не следует смешивать п-линейное отображение Лб£(А’1,..., Хп-, У)
и линейное отображение A G £(Х;У) линейного пространства X =
= Xi х ... х Хп (см. в этой связи примеры 9-11).
Если У = R или У = С, то линейные и полилинейные отображения
называют чаще линейными или соответственно полилинейными функ-
циями (или функционалами, если отображаются пространства функ-
ций). Когда же У — произвольное линейное пространство, линейное
отображение А: X —> У чаще называют линейным оператором, дей-
ствующим из пространства X в пространство У.
Рассмотрим некоторые примеры линейных отображений.
Пример 1. Пусть I — линейное пространство числовых финитных
последовательностей. Оператор А: I —> I определим следующим обра-
0 о
зом:
4((хх, х2,.. , хп, 0,...)) := (l®i, 2х2, •  •, пхп, 0,...).
Пример 2. Функционал А: С([а,6],R) —> R определим соотноше-
нием
Ж/) := /(хо),
где /бС([о,6],й), а хо— фиксированная точка отрезка [а, Ь].
Пример 3. Функционал А: С([а, b],R) —> R определим соотноше-
нием
Ь
A(f) := / f^dx-
а
Пример 4. Преобразование А: С([«, 6], R) —> С([«, b],R) опреде-
лим формулой
X
Ж/) := I
а
где х — точка, пробегающая отрезок [а, 6].
Все это, очевидно, линейные отображения.
62
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рассмотрим некоторые знакомые примеры полилинейных отобра-
жений.
Пример 5. Обычное произведение (ад,..., хп) ip.. .-хп п дей-
ствительных чисел является типичным примером n-линейной функции
A G ..., R; R).
п
Пример 6. Скалярное произведение (яь^г)	в евклидо-
вом векторном пространстве над полем R является билинейной функ-
цией.
Пример 7. Векторное произведение (xi, Х2) Д [xi, Х2] векторов
трехмерного евклидова пространства Е3 является билинейным опера-
тором, т. е. А Е £(Е3,Е3;Е3).
Пример 8. Если X — конечномерное векторное пространство над
полем R; {ei,... ,еп}— базис в Х-, х = хгег — координатное представле-
ние вектора х G X, то, полагая
A(a?i,... ,хп) = det
получаем n-линейную функцию А: Хп —> R.
В качестве полезного дополнения к приведенным примерам раз-
берем еще структуру линейных отображений произведения линейных
пространств в произведение линейных пространств.
Пример 9. Пусть X = Х-[ х ... х Хт—линейное пространство,
являющееся прямым произведением линейных пространств Х±,..., Хт,
и пусть А: X —> Y—линейное отображение X в линейное пространст-
во Y. Представляя каждый вектор х = (дц,... ,хт) G X в виде
ж — (ац,..., хт} —
= (жь 0,..., 0) + (0, ж2,0,..., 0) + ... + (0,..., 0,хт) (1)
и полагая для хг G Хг, г € {1,..., т}
А(жг) ;= А((0,..., 0, хг,0,..., 0)),
(2)
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
63
мы замечаем, что Аг: Хг —> Y суть линейные отображения и что
А(х) = АЦаи) + ... + Ат(хт).	(3)
Поскольку при любых линейных отображениях Аг: Хг —> Y опреде-
ляемое формулой (3) отображение А: X = Xi х ... хХт —> Y, очевидно,
линейно, то мы показали, что формула (3) дает общий вид любого ли-
нейного отображения A G £(Х = Х± х ... х Хт; Y).
Пример 10. Исходя из определения прямого произведения Y =
= Yi х ... х Yn линейных пространств У,..., Yn и определения линей-
ного отображения А: X —> Y, легко видеть, что любое линейное ото-
бражение
А: X —> Y = У х ... х Yn
имеет вид х Ах = (Aia;,..., Апх) = (yi,..., уп) = у G У, где Аг: X ->
У—линейные отображения.
Пример 11. Объединяя примеры 9 и 10, заключаем, что любое
линейное отображение
A: Xi х ... х Хт = X-^Y = YiX...xYn
прямого произведения X = Х± х ... х Хт линейных пространств в
другое прямое произведение У = У х ... х Yn линейных пространств
имеет вид
где Ац : Х} —> Yt—линейные отображения.
В частности, если Х^ = X? = ... = Хт = R, У = У2 = ... = Yn = R,
то Ац: Хд —> У суть линейные отображения R Э х аг:1х G R, каждое
из которых задается одним числом аг]. Таким образом, в этом случае
соотношение (4) превращается в знакомую численную запись линейного
отображения А:	> Rn.
2.	Норма оператора
Определение 3. Пусть A: Xi х ... х Хп —> У — полилинейный
оператор, действующий из прямого произведения нормированных про-
странств Xi,..., Хп в нормированное пространство У.
64
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Величина
ШН = sup
2?1, ,ТП
|A(a;i,...,a;ra)|y
l^ilxi х ... х |жп|хп ’
(5)
где верхняя грань берется по всевозможным наборам х\,... ,хп отлич-
ных от нуля векторов пространств Xi,..., Хп. называется нормой по-
лилинейного оператора А.
В правой части формулы (5) вместо знака ||  || нормы вектора упо-
треблено обозначение | • |, рядом с которым стоит символ того нормиро-
ванного пространства, которому вектор принадлежит. В дальнейшем
мы будем придерживаться этого обозначения для нормы вектора и,
если не возникает недоразумений, будем опускать символ пространс-
тва, подразумевая, что норма (модуль) вектора вычисляется всегда, в
том пространстве, которому вектор принадлежит. Мы хотим тем са-
мым пока внести некоторое различие в обозначения нормы вектора и
нормы линейного или полилинейного оператора, действующего на нор-
мированных векторных пространствах.
Пользуясь свойствами нормы вектора и свойствами полилинейного
оператора, формулу (5) можно переписать следующим образом:
mu = sup
A
sup |A(ei,..., en)|,	(6)
где последняя верхняя грань берется по всевозможным наборам ei,...,
еп единичных векторов пространств Xi,..., Хп соответственно (т. е.
|et| = 1, i = 1,... ,n).
В частности, для линейного оператора А: X —> Y из (5) и (6) полу-
чаем
mu = suptt = su₽ iAei-	(7)
х#0 1а'|	|е|=1
Из определения 3 нормы полилинейного оператора А следует, что
если ЦАЦ < °°> то ПРИ любых векторах хг G Хг, i = 1,..., п, справедливо
неравенство
|л(щ1,..., жп)| цлц mi х... х mi.	(8)
В частности, для линейного оператора получаем
(Arm mu ki-
(9)
§2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
65
Кроме того, из определения 3 следует, что если норма полилиней-
ного оператора конечна, то она есть нижняя грань тех чисел М, для
которых неравенство
|А(ж1,... ,жп)|	М|ж1| х ... х |жп|	(10)
выполнено при любых значениях Xi G Xi, i = 1,..., п.
Определение 4. Полилинейный оператор А: Х± х ... х Хп —> Y
называется ограниченным, если существует такое число М G R, что при
любых значениях xi,... ,хп из пространств Х±,...,Хп соответственно
справедливо неравенство (10).
Таким образом, ограниченными являются те и только те операторы,
которые имеют конечную норму.
На основании соотношения (7) легко понять геометрический смысл
нормы линейного оператора в знакомом случае А: Rm —> . В этом
случае единичная сфера пространства переходит под действием
преобразования А в некоторый эллипсоид в Rn, центр которого совпа-
дает с нулем в . Значит, норма А в данном случае просто наибольшая
из полуосей этого эллипсоида.
С другой стороны, норму линейного оператора можно трактовать
также как верхнюю грань коэффициентов растяжения векторов при
данном отображении, что видно из первого равенства в (7).
Нетрудно доказать, что при отображении конечномерных про-
странств норма полилинейного и, в частности, линейного оператора
всегда конечна. В случае пространств бесконечной размерности это,
вообще говоря, уже не так, что видно на первом из следующих приме-
ров.
Подсчитаем нормы операторов, рассмотренных в примерах 1-8.
Пример Iх. Если считать, что I — подпространство нормирован-
о
ного пространства 1Р, в котором вектор еп = (0,..., 0,1, 0,...) имеет
п—1
единичную норму, то, поскольку Аеп = пеп, ясно, что ||А|| = оо.
Пример 2'. Если |/| = max |/(ж)|	1, то \Af\ = |/(щ0)|	1,
причем \Af \ = 1, если /(жо) = 1, значит, ||А|| = 1.
Заметим, что если на том же линейном пространстве С([а, 6], R) вве-
66
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
сти, например, интегральную норму
1/1 = J\f\(x)dx,
то результат вычисления ||А|| может существенно измениться. Дей-
ствительно, пусть [a, ft] = [0,1], a xq = 1. Интегральная норма функ-
ции fn = хп на отрезке [0,1], очевидно, равна -/ ।, в то время как
Afn = Ахп = xnlx-i = 1. Отсюда следует, что в этом случае ||А|| = оо.
Всюду дальше, если не оговорено противное, пространство
<7([а, ft],R) рассматривается с нормой, определяемой максимумом мо-
дуля функции на отрезке [a, ft].
Пример 3'. Если |/| = max |/(®)| < 1, то

1ДЛ = I f(x)dx
Но при /(ж) = 1 получаем |А1| = ft — а, поэтому ||А|| = ft — а.
Пример 4'. Если |/| = max |/(х)|	1, то
max / f(t)dt
a^x^b J '
max / |/| (f) dt max (x — a) — b — a.
a^.x^.b J	a^.x^.b
Но при /(f) = 1 получаем
max / 1 dt = ft — a,
a^.x^.b J
поэтому и в данном примере ||А|| = ft — а.
Пример 5'. Непосредственно из определения 3 в данном случае
получаем, что ||А|| = 1.
Пример 67. В силу неравенства Коши-Буняковского
|(®1,®2>|	|a;i| • |ж2|,
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
67
причем, если х± = Х2, то это неравенство переходит в равенство. Сле-
довательно, |Щ| = 1.
Пример 7'. Мы знаем, что
|[Ж1,Ж2]| = |Ж1||Ж2| sincp,
где — угол между векторами х\ и ж2, поэтому ЦАЦ 1. В то же
время, если векторы х^ ортогональны, то sin 9? — 1. Таким образом,
Mil = 1-
Пример 8'. Если считать, что векторы берутся в евклидовом
пространстве размерности п, то можно заметить, что А(ж1,... ,ж„) =
= det(si,... ,хп) есть объем параллелепипеда, натянутого на векторы
Х1,...,хп, и этот объем максимален, если векторы Х\,..., хп, сохранив
их длины, сделать взаимно ортогональными.
Таким образом,
| det(si,... ,жп)| |xi|  ... • |жп|,
причем для ортогональных векторов имеет место равенство. Значит, в
рассматриваемом случае ЦАЦ = 1.
Оценим теперь нормы операторов, рассмотренных в примерах
9-11. Будем считать, что в прямом произведении X = Х\ х ... х Хт
нормированных пространств Х\,..., Хт норма вектора х =
= (xi,..., хт) введена в соответствии с принятым в § 1 (пример 6) со-
глашением.
Пример 9'. Задание линейного оператора
A: Xt х ... х Хт = X -> У,
как было показано, равносильно заданию т линейных операторов Аг :
Хг -> У, определенных соотношениями Агхг = А((0,..., 0, хг, 0,..., 0)),
г = 1,..., т. При этом имеет место формула (3), в силу которой
т	т	т
\Ах\г « £|Ал|г	« (У И|)их.
г=1	г=1	г=1
Таким образом, показано, что
т
IIAIIss52llA.il.
1=1
68
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
С другой стороны, поскольку
|АА| = |А((0,... ,0,жг,0,... 0))|
||А|| |(0,... ,0,хг,0,... ,0)|% = ||А|| |Жг|Х1,
можно заключить, что при любом i = 1,..., т справедлива также оцен-
ка
ПАИ 1ИЦ.
Пример 10'. С учетом введенной в У = Yi х ... х Yn нормы в этом
случае сразу получаем двусторонние оценки
п
ПАИ « 1ИН « X 1И.И-
г--1
Пример 11'. Учитывая результаты примеров 9 и 10, можно за-
ключить, что
т п
Mvll IIAI < ЕЕ НАД1-
г=1 j=i
3.	Пространство непрерывных операторов. В дальнейшем
нас будут интересовать не все линейные или полилинейные операторы,
а только непрерывные. В этой связи полезно иметь в виду
Утверждение 1. Для полилинейного оператора А: Х± х ...х
хХп —> У, действующего из произведения нормированных про-
странств Х-[,...,Хп в нормированное пространство Y, следующие
условия равносильны:
а)	А имеет конечную норму,
Ь)	А — ограниченный оператор,
с)	А — непрерывный оператор,
d)	А — оператор, непрерывный в точке (0,..., 0) G Х\ х ... х Хп.
◄ Докажем замкнутую цепочку импликаций а) => Ь) => с) => d) =>
=> а).
Ввиду (8), очевидно, а) => Ь).
Проверим, что Ь) => с), т. е. что из (10) следует непрерывность опе-
ратора А. Действительно, учитывая полилинейность А, можем запи-
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
69
сать, что
•4(ЯИ “Ь /11,®2 ”1“ /^2> • •  j У	> ®2>    ч З'п) —
— -A(/ll, %2ч • •  ч ^п) ~Ь • • • У •^.(Я'1, ^2ч • • • ч ^п~1ч ^п) ~
У -4(/ll, /l2, ®3» • • • ч хп) У • • • У A(xi, . . . , %п—2 ч hn-1) /»п) У
У ^(/ll, • • • Ч Ьп)-
Теперь в силу (10) получаем оценку
|А(Ж1 + hi,X2 + h2,    чХп + hn) - A(xi,X2,... ,жп)|
M(|/ii| • |ж2| •• |«п| У ••• У kil  |ж2| •... • |жп-1| • |/in| +
+ |/ll| • |/l21 • кз| • • • • • |®n| У ... У |Ж1| • |ж2| • . . . • |жп_1| • |/ln| +
У |/ii | • ... • |hn|),
из которой следует непрерывность А в любой точке (a?i,..., хп) G
G Х± х ... х Хп.
В частности, если (a?i,... ,хп) = (0,... ,0), то из с) получаем d).
Осталось показать, что d) => а).
По е > 0 найдем 6 = 5(e) > 0 так, чтобы при тах{|т1|,..., |тп|} < 6
иметь |А(ж1,... , ж„)| < £.
Тогда для любого набора ei,..., еп единичных векторов получаем
|A(ei,...,en)| = -^|A(5ei,... ,5еп)| <
дп	дп
т.е. ||А|| <	< оо. ►
Выше (пример 1) мы видели, что не всякий линейный оператор име-
ет конечную норму, т. е. он не всегда непрерывен. Мы отмечали также,
что нарушение непрерывности линейного оператора может произойти
только в случае, когда он определен на пространстве бесконечной раз-
мерности.
Начиная с этого места, символом £(Xi,... ,Хп; У) будет обозна-
чаться множество полилинейных непрерывных операторов, дейст-
вующих из прямого произведения линейных нормированных про-
странств Xi, • • , Хп в линейное нормированное пространство У.
70
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В частности, £(X;Y) есть множество всех линейных непрерывных
операторов из X в Y.
В множестве £(Xi,..., Хп\ Y) вводится естественная структура ли-
нейного пространства:
(А + В)(ж1,...,жп) := А(ж1,...,жп) + В(жь... ,жп)
и
(АА)(ж1,...,жп) := АА(ж1,...,жп).
Очевидно, если А, В G £(Xi,... ,Хп; Y), то (А + В) с £(Xi,... , Хп; У)
и (АА) 6Г(ХЬ...,ХП;У).
Таким образом, £(Xi,..., Хп\У) можно рассматривать как линей-
ное пространство.
Утверждение 2. Норма полилинейного оператора является нор-
мой в линейном пространстве £(Xi,..., Хп; У) непрерывных полили-
нейных операторов.
◄ Прежде всего отметим, что в силу утверждения 1 для любо-
го оператора A G £(Xi,... .Хп; У) определено неотрицательное число
||А|| < №.
Неравенство (8) показывает, что
||А||=0оА = 0.
Далее, по определению нормы полилинейного оператора
dm |(AA)(si,... ,жп)|	|А| |А(ж1,..., жп)|
.,sup..	|х1|.....ы =S»	=|л|||л|1-
xtj^O	xtj^O
Наконец, если А и В — элементы пространства £(Xi,... ,Х„;У), то
||А + В||= sup КА + ^)(жь---^)| =
*1> ,хп	Ж1 • . . . •
=	|А(ж1,...,жп) +В(ж1,...,жп)|
*1,	|Ж1| ... • |жп|
|A(a?i,..., жп) |
|Ж1| •• |жп|
sup
®1> >^п
+ sup
,хп
xt^0
= IMII + ЦВ||. ►
|S11 •...•\xnI
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
71
Теперь, употребляя символ £(Л1,... ,Х„;У), мы будем иметь в ви-
ду линейное пространство непрерывных п-линейных операторов, нор-
мированное указанной операторной нормой. В частности, £(Х, У)—
нормированное пространство линейных непрерывных операторов, дей-
ствующих из X в У.
Сделаем к утверждению 2 следующее полезное
Дополнение. Если X, У, Z — нормированные пространства и
А е £(Х;У), а В е £(У; Z), то
||ВоА||^||В|Н|А||.
◄ В самом деле,
.. |(ВоА)ж| ||В|| |Дж|
||В о А|| = sup lk 1 1 < sup Я. ।	1 =
ir^O 1*^1 ir^O |*^|
= l|B||sup!^l = ||B||  ||Л||. >.
r#0 |ж|
Утверждение 3. Если У—полное нормированное пространст-
во, то £(A"i, ... ,Xn;Y) также является полным нормированным про-
странством.
◄ Проведем доказательство для пространства £(Х; У) линейных не-
прерывных операторов. Общий случай, как будет видно из приводимых
ниже рассуждений, отличается только более громоздкой записью.
Пусть А1, Ач,... ,Ап,... —фундаментальная последовательность в
£(А";У). Поскольку при любом х G X
|^4.та; — Апх\ = |(Ат — Ап)х[ ||Ат — Ап|| |ж|,
то ясно, что при любом х G X последовательность А]Х, А%х,...,
Апх,... фундаментальна в У. Ввиду полноты У она имеет предел в У,
который мы обозначим через Ах.
Итак,
Ах := lim Апж.
п—>оо
Покажем, что А: X —> У—линейный непрерывный оператор.
Линейность А следует из того, что
lim An(AiSi + А2ж2) = lim (AMnzi + A2Ans2) =
П—>00	п—>00
= Ai lim Anxi + A2 lim Апхч-
n—>00	n—>00
72
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Далее, при любом фиксированном е > 0 и достаточно больших зна-
чениях т,п G N выполнено ||Ат — А„|| < е, поэтому
|АОТЖ An®| £|*^|
на любом векторе х G X. Устремляя в последнем неравенстве т к бес-
конечности и пользуясь непрерывностью нормы вектора, получаем
\Ах — Апх\ е|ж|.
Таким образом, ||А — Anil £, и, поскольку А = Ап + (А — А„),
заключаем, что
ЦАК1|А„||+е.
Следовательно, мы показали, что A G £(Х;У) и ||А — А„|| —> 0 при
п —> оо, т. е. А = lim А„ в смысле нормы пространства £(Х; У). ►
п—>ос
В заключение остановимся на одном специальном замечании, отно-
сящемся к пространству полилинейных операторов, которое нам потре-
буется при рассмотрении дифференциалов высшего порядка.
Утверждение 4. Между пространствами
ОД,...,Хт;£(Хт+1,...,Х„;У)) и ОД,..., Хп-У)
при любом т G {1,... ,п} существует биекция, сохраняющая линейную
структуру и норму.
◄ Предъявим этот изоморфизм.
Пусть «В G £(Xlf... ,Хт;£(Хт+1,... ,Хп;У)), т.е. 93(zi,... ,жт) G
G £(Хпц-ь..., Xn; У).
Положим
А(ж1,..., xn) :— 23(ж1,..., xm) (жт+1»• • •»xn) •
(И)
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
73
Тогда
II® II = sup
/О
||®(^1, . . . ,Жт)||
|ж1| •...  |жт|
= sup
х^#0
sup
ЖТп+1 >”ч«П
х^о
|(Х1,...^Хтп)(Д'Тп4-1)"-;Д^п))
= sup
XI
хк^°
|А(ж1,... ,жп)| =
|Ж1| •• |жп|
Проверку того, что соотношение (11) задает изоморфизм рассма-
триваемых линейных пространств, мы оставляем читателю. ►
Применяя п раз утверждение 4, в частности, получаем, что прост-
ранство £(Xi; £(Хг;...; £(Хп’, У))...) изоморфно пространству
£(Дд,..., Xnj У) n-линейных операторов.
Задачи и упражнения
1. а) Докажите, что если А: X —> У — линейный оператор, действующий
из нормированного пространства X в нормированное пространство У, и про-
странство X конечномерно, то А — непрерывный оператор.
Ь) Докажите для полилинейного оператора утверждение, аналогичное
сформулированному в а).
2. Два линейных нормированных пространства называются изоморфными,
если существует такой изоморфизм между ними (как линейными векторны-
ми пространствами), который вместе с ему обратным является непрерывным
линейным оператором.
а)	Покажите, что линейные нормированные пространства одинаковой ко-
нечной размерности изоморфны.
Ь)	Покажите, что для бесконечномерного случая утверждение а) уже, во-
обще говоря, не имеет места.
с)	В пространстве С*([а, Ь],К) введите две нормы так, чтобы тождествен-
ное отображение С([а, Ь],К) на себя не было непрерывным отображением по-
лученных нормированных пространств.
3.	Покажите, что если полилинейный оператор непрерывен в некоторой
точке, то он непрерывен всюду.
4.	Пусть А: Еп —> Еп—линейное преобразование евклидова п-мерного
пространства, А*: Еп —> Еп — сопряженное к нему преобразование.
Покажите, что:
74
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
а)	Все собственные значения оператора А • А*: Еп —> Еп неотрицательны.
Ь)	Если А1 ^ ... ^ Ап — собственные значения оператора А  А*, то ||Л|| =
с)	Если оператор А имеет обратный А 1: Еп —> Еп, то ||Л 1|| — —i=.
уА1
d)	Если (а®)—матрица преобразования А: Еп -> Еп в некотором базисе,
то справедливы оценки
max
г ,j=l
5.	Пусть —линейное пространство многочленов от переменной х с ве-
щественными коэффициентами. Норму вектора Р € Р[а:] определим формулой
f Р2(х) dx.
а)	Ограничен ли в полученном пространстве оператор D: Р [а:] —> Р [а:] диф-
ференцирования Z>(F(a:)) := Р'(а:)?
Ь)	Найдите норму оператора F: Р[ат] —> Р[ат] умножения на х, действующе-
го по закону F(F(a:)) := х  Р(х).
6.	На примере операторов проектирования в R2 покажите, что неравен-
ство ||В • Л||	||В|| • ||А|| может быть строгим.
§ 3. Дифференциал отображения
1.	Отображение, дифференцируемое в точке.
Определение 1. Пусть X, Y — нормированные пространства.
Отображение f:E-tY множества Е С X в Y называется диффе-
ренцируемым в точке х G Е, внутренней для Е, если существует такое
линейное непрерывное отображение L(x): X -> У, что
f(x + /г) - /(ж) = L(x)h + а(х] h).
(1)
где а(х] h) = о(/г) при h —> 0, х + h G Е1^.
^Запись «а(к; h) = o(h) при h —> 0, х + h € Е», разумеется, означает, что
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
75
Определение 2. Линейная относительно h функция L(x) G
G £(Х;У), удовлетворяющая соотношению (1), называется дифферен-
циалом, касательным отображением или производной отображения
f:E->Y в точке х.
Как и прежде, мы будем обозначать L(x) одним из символов df (ж),
Df(x) или
Мы видим, таким образом, что приведенное общее определение диф-
ференцируемости отображения в точке почти дословно совпадает с уже
знакомым нам из главы VIII, § 2 определением, где оно рассматривалось
в случае X =	, Y = Ж”. Поэтому без повторных пояснений мы по-
зволим себе в дальнейшем употреблять такие введенные там понятия,
как приращение функции, приращение аргумента, касательное прост-
ранство в точке, оставляя за ними соответствующие обозначения.
Проверим, однако, в общем виде следующее
Утверждение 1. Если отображение f: ЕY дифференцируемо
во внутренней точке х множества Е С X, то его дифференциал L(x)
в этой точке определен однозначно.
◄ Итак, проверим единственность дифференциала.
Пусть ТЦж) и ^2 (ж) —линейные отображения, удовлетворяющие со-
отношению (1), т. е.
f(x + А) - /(ж) - Li(x)h = Q!i(s;/i),
f(x + h) - /(ж) - Z2(s)/i = a2(x; h),
где oti(x; h) — o(h) при h —> 0, x + h G E, i = 1,2.
Тогда, полагая L(x) — L2(x) — ТЦж) и а(ж;/г) = ct2(x;h) — ai(x;h),
после вычитания второго из равенств (2) из первого, получим, что
L(x)h = а(ж; /г).
Здесь L(x)—линейное относительно h отображение, a a(x;h) = о(/г)
при h —> 0, х + h G Е. Взяв вспомогательный числовой параметр А,
можно теперь записать, что
|Т(ж)/г| —
|ВД(А^)| _ |а;(ж;АА)|
|А|	|А/г|	|Л|
-> 0 при А —> 0.
76
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, L(x)h = 0 при любом h 0 (напомним, что х—
внутренняя точка Е). Поскольку Т(ж)0 = 0, то мы показали, что при
любом значении h имеет место равенство Li(x)h = L2(x)h. ►
Если Е — открытое подмножество в X, a f: Е У— отображение,
дифференцируемое в каждой точке х G Е, т. е. дифференцируемое на Е,
то в силу доказанной единственности дифференциала отображения в
точке, на множестве Е возникает функция Е 9 х f'(x) Е £(Х;У),
обозначаемая Е —> £(Х;У), которую называют производной от f
или производным отображением по отношению к исходному отображе-
нию f:E—>Y. Значение f'(x) этой функции в индивидуальной точке
х Е Е есть линейное непрерывное отображение f'(x) Е £(Х;У), являю-
щееся дифференциалом или производной функции f в данной конкрет-
ной точке х Е Е.
Отметим, что ввиду высказанного в определении 1 требования не-
прерывности линейного отображения L(x) из равенства (1) следу-
ет, что отображение, дифференцируемое в точке, необходимо является
непрерывным в этой точке.
Обратное, конечно, неверно, что мы уже видели на примере число-
вых функций.
Сделаем еще следующее важное
Замечание. Если условие дифференцируемости отображения f в
некоторой точке а записать в виде
/(ж) - /(а) = L(x)(x - а) + а(а; ж),
где а(а;ж) = о(х — а) при х —> а, то становится ясно, что определение 1
на самом деле относится к отображениям f:A—>B любых аффин-
ных пространств (А,X), (В,У), линейные пространства X я У кото-
рых нормированы. Такие аффинные пространства, называемые аффин-
ными нормированными пространствами, встречаются часто, поэтому
сделанное замечание полезно иметь в виду при использовании диффе-
ренциального исчисления.
Все дальнейшее, если нет специальной оговорки, в равной степени
относится как к линейным, так и к аффинным нормированным про-
странствам и лишь для упрощения записи мы используем символику
векторных пространств.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
77
2.	Общие законы дифференцирования. Из определения 1 вы-
текают следующие общие свойства операции дифференцирования. В
приводимых ниже формулировках X, Y, Z — нормированные прост-
ранства, a U vl V — открытые множества в X и Y соответственно.
а.	Линейность дифференцирования.
Если отображения fi'. U —> Y, i = 1,2, дифференцируемы в точ-
ке х G U, то их линейная комбинация (Ai/i + А2/2): U —> Y также
дифференцируема в точке х, причем
(Ai/i + А2/2)'(т) = Ai/{(т) + А2/^(т).
Таким образом, дифференциал линейной комбинации отображений
есть соответствующая линейная комбинация дифференциалов этих ото-
бражений.
Ь.	Дифференцирование композиции отображений.
Если отображение f: U —> V дифференцируемо в точке х G U С X,
а отображение g: V —> Z дифференцируемо в точке f(x) = yEV С У,
то композиция g о f этих отображений дифференцируема в точке х,
причем
(д°Л'№ =
Таким образом, дифференциал композиции равен композиции диф-
ференциалов.
с.	Дифференцирование обратного отображения.
Пусть f: U —> Y — непрерывное в точке х EU С X отображение,
имеющее обратное f-1: V —> X, определенное в окрестности точки
у = f(x) и непрерывное в этой точке.
Если отображение f дифференцируемо в точке х и его касатель-
ное отображение f'(x) G £(Х;У) в этой точке имеет непрерывное
обратное [/'(я)]-1 € £(У, X), то отображение f~r дифференцируемо
в точке у — f(x), причем
[гЧ'ам) = [/'(аог1-
78
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, дифференциал обратного отображения есть линей-
ное отображение, обратное к дифференциалу исходного отображения
в соответствующей точке.
Доказательства утверждений а, Ь, с мы опускаем, поскольку они
аналогичны тем доказательствам, которые были даны в гл. VIII, § 3 для
случая X = Жто, Y — К”.
3.	Некоторые примеры.
Пример 1. Если f: U —> У —постоянное отображение окрестно-
сти U = U(ж) С X точки х, т. е. f(W) = уо € У, то /'(х) = О G £(Х;У).
◄	Действительно, в этом случае, очевидно,
f(x + h) - /(х) - Oh = уо - Уо - 0 = 0 = o(h). ►
Пример 2. Если отображение f: X —> У есть линейное непрерыв-
ное отображение линейного нормированного пространства X в линей-
ное нормированное пространство У, то /7(х) = f G £(Х;У) в любой
точке х G X.
◄	Действительно,
f(x + h) - /(х) - fh = fx + fh — fx- fh = O.+
Заметим, что на самом-то деле здесь /'(х) G С(ТХх\TYf(xj), и h —
вектор касательного пространства ТХх. Но в линейном пространстве
определен перенос вектора в любую точку х G X, что позволяет нам
отождествить касательное пространство ТХх с самим линейным про-
странством X. (Аналогично в случае аффинного пространства (А, X)
пространство ТАа векторов, «приложенных» к точке a G А, можно ото-
ждествить с векторным пространством X данного аффинного прос-
транства.) Следовательно, выбрав базис в X, его можно разнести по
всем касательным пространствам ТХх. Это означает, что если, напри-
мер, X = Жто, У = Rn и отображение f G £(ЖТО;Ж”) задается матри-
цей (а^), то в любой точке х 6 К771 касательное к нему отображение
fix): ТЖ^1 —> ТЖ”^ также будет задаваться той же матрицей. В
В частности, для линейного отображения хн4-ах = уизЖвЖ
при х G Ж и h G ТЖд; ~ Ж получаем соответствующее отображение
ГЖд, Э h ।—ah G ГЖу^).
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
79
С учетом сделанных оговорок результат примера 2 можно условно
сформулировать так: отображение f: X —> Y, производное от линей-
ного отображения /: X —> Y линейных нормированных пространств,
постоянно, причем f'(x) — f в любой точке х G X.
Пример 3. Из правила дифференцирования композиции отобра-
жений и результата примера 2 можно заключить, что если f: U —> У —
отображение окрестности U = U(x) С X точки х G X, дифференциру-
емое в х, a A G £(У; Z), то
(Ао» = Aof'(x).
Для числовых функций, когда У — Z = R, это не что иное, как зна-
комая возможность вынесения постоянного множителя за знак диффе-
ренцирования.
Пример 4. Пусть снова U = U(x) — окрестность точки х норми-
рованного пространства X, и пусть
/: [7->У = У1 х... хУп
—отображение U в прямое произведение нормированных пространств
Yi,...,Yn.
Задание такого отображения равносильно заданию п отображений
fc: U —> Yi, г = 1,..., п, связанных с f соотношением
жн./(я;) = у = (У1,...,Уп) = (/i(o:),...,/n(a:)),
справедливым в любой точке U.
Если теперь в формуле (1) учесть, что
f(x + h) - f(x) = (fi(x + h) — /Дж),..., fn(x + h) - /n(x)),
L(x)h = (Li(x)h,... ,I/n(x)h),
a(x-,h) = (ci!i(a;;h),...,a!n(a;;h)),
то co ссылкой на результаты примеров 6 из § 1 и 10 из § 2 можно за-
ключить, что рассматриваемое отображение f дифференцируемо в точ-
ке х тогда и только тогда, когда дифференцируемы все его компоненты
fi: U —> Yi, i = 1,... ,п, причем в случае дифференцируемости отобра-
жения f имеет место равенство
/'(а:) = (Л(х),...,Л(ж)).
80
ГЛ X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 5. Пусть теперь A G £(Xi,..., Хп; У), т. е. А — непре-
рывный п-линейный оператор, действующий из произведения Xi х ... х
х Хп линейных нормированных пространств Х±,..., Хп в линейное нор-
мированное пространство У.
Докажем дифференцируемость отображения
A: Xi х ... х Хп = Х чУ
и найдем его дифференциал.
< Используя полилинейность А, находим, что
А(ж + /г) - 4(ж) = A(a;i + hi,... ,хп + hn) - А(хг,... ,жп) =
= А(ж1,..., хп) + 4(/ц,	,хп) + ... +	. • •, хп_1, hn) Ч-
Ч~ A(hi, /12, тз, • • •, З'п) Ч- •.. Ч- -4(^1,..., хп—2) hn—i, hn) Ч-
+ Д(/ц,..., hn) - A(xi,..., xn).
Поскольку норма в X = X± x ... x Xn удовлетворяет неравенствам
п
|^г|х, < |®|х < ki|x,>
г=1
а норма ||41| оператора А конечна и
IM1,...,6J| < ||4|| 161 X ... х IU
можно заключить, что
4(ж + h) - А(х) = 4(xi + h1,...,xn + hn) - 4(zi,... ,хп) =
= A(h1,x2,...,xn) +... + А(хг,... ,хп-!, hn) + а(х; h),
где а(х; h) = o(h) при h —> 0.
Но оператор
L(x)h = 4(/ц, х2, • •., хп) + ... + 4(ац,..., xn_i, hn)
есть линейный по h = (/ii,..., hn) непрерывный (в силу непрерывно-
сти А) оператор.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
81
Таким образом, установлено, что
A (x)h — А (ад,..., Хп)(/ц,..., hn) —
— A(/li, Х2, • •  , З'п) d" • • • 4" А(;Г1,.. . , З'п—1, hn)
или, короче,
dA(xi,... ,хп) = A(dxi,X2,... ,хп) + ... + A(ti,..., xn-i, dxn). ►
В частности, если:
а)	ад •• хп — произведение п-числовых переменных, то
d(xi  ...  хп) = dxi • Х2 • ...  хп + ... + xi  ... • xn-i • dxn;
b)	(яц, Х2} — скалярное произведение в Е3, то
= (dxi, Х2} + {X\,dX2)\
с)	[®i, Х2] — векторное произведение в Е3, то
d[a?i, Ж2] = [dxi, Х2] + [rri,^];
d)	(он, Х2, Х3)—смешанное произведение в Е3, то
d(xi,X2,X3) = (dxi,X2,xs) + (xi,dx2,x3) + (xi,X2,dx3);
e)	det(a;i,..., xn) — определитель матрицы, составленной из коорди-
нат п векторов xi,..., хп n-мерного линейного пространства X с фик-
сированным в X базисом, то
d(det(rci,.. .,хпУ) = det(dxi,X2,... ,хп) + ... + det(a;i, •   ,xn-i,dxn).
Пример 6. Пусть U — подмножество £(А”;У), состоящее из тех
линейных непрерывных операторов А: X —> Y, которые имеют непре-
рывные обратные операторы A-1: Y —> X (принадлежащие £(У;Х)).
Рассмотрим отображение
и э АнА'1 е£(У;Х),
состоящее в том, что каждому оператору A G U ставится в соответ-
ствие обратный к нему оператор A-1 G £(У;Х).
82
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказываемое ниже утверждение 2 позволяет ответить на вопрос о
дифференцируемости этого отображения.
Утверждение 2. Если X—полное пространство и А Е U, то
при любом h Е £(Х;У) таком, что ||h|| < ||А~1||~1, оператор A + h
также принадлежит U и справедливо соотношение
(А + h)-1 = А-1 — A-1hA-1 + o(h) при h —> 0.	(3)
< Поскольку
(А + hy1 = (А(Е + A-1h))-1 = (Е + A^h^A-1,	(4)
то достаточно найти оператор (Е + A-1 hy1, обратный к оператору
(Е + A-1 h) Е £(А”;Х), где Е — тождественное (единичное) отображе-
ние ех пространства X на себя.
Пусть А := —А-1/г. Учитывая сделанное к утверждению 2 из § 2
дополнение, можно заметить, что ||Д|| ||А_ 1|| • ||h||, поэтому в силу
сделанных относительно оператора h предположений можно считать,
что ||Д|| < q < 1.
Проверим теперь, что
(Е - Д)"1 = Е + А + Д2 + ... + Дп + ... ,	(5)
где ряд, стоящий справа, есть ряд, составленный из линейных операто-
ров Дп = (Д О ... О Д) е£(Х;Х).
Ввиду полноты X (в силу утверждения 3 из § 2) линейное норми-
рованное пространство £(Х;Х) является полным. Тогда сходимость
указанного ряда, составленного из векторов этого пространства, не-
медленно вытекает из того, что ||Д”|| С ||Д||” qn, и того, что ряд
оо
^2 qn сходится, если |g| < 1.
п=0
Непосредственная проверка
(Е + Д + Д2 + ... )(Е — Д) =
= (Е + Д + Д2 + ...)- (Д + Д2 + Д3 + ...) = Е
и
(Е - Д)(Е + Д + Д2 + ...) =
= (Е + Д + Д2 + ...)- (Д + Д2 + Д3 + ...) = Е
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
83
показывает, что мы действительно нашли (Е — А)-1.
Стоит отметить, что свобода выполнения арифметических опера-
ций над рядами (перестановки членов!) в данном случае гарантирует-
ся абсолютной сходимостью (сходимостью по норме) рассматриваемых
рядов.
Сопоставляя соотношения (4) и (5), заключаем, что при ||h|| <
(А + h)"1 = А"1 - A-1hA-1 + (A~1h)2A~1
... + (-V)n(A-1h)nA-1 + ... (6)
Поскольку
^(-A-1h)nA-1
n=2
оо
« £||Л-Ч||”||А~Ч| <
п=2
^^11W £ 9™ =W2,
т=0
то из (6), в частности, следует равенство (3). ►
Возвращаясь теперь к примеру 6, можно сказать, что в случае пол-
ного пространства Y рассматриваемое отображение А А А-1 заведомо
дифференцируемо, причем
df(A)h = d(A-1)h = ~A~lhA~1.
В частности, это означает, что если А — квадратная невырожденная
матрица и А-1 —обратная к ней матрица, то при возмущении матри-
цы А с помощью матрицы h с близкими к нулю элементами матрицу
(А + /г)-1, обратную к возмущенной матрице А + h, можно в первом
приближении находить по следующей формуле:
(A + h)-1 » А-1 - A-1hA-1.
Более точные формулы, очевидно, можно получить, исходя из ра-
венства (6).
Пример 7. Пусть X — полное линейное нормированное простран-
ство. Важное отображение
exp: £(Х; X) —> £(Х; X)
4-4574
84
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
определяется следующим образом:
expA:=E + iA + ^A2 + ... + ^An + ... ,	(7)
если A G £(Х; X).
Стоящий в (7) ряд сходится, так как £(Х;Х)— полное пространс-
тво и ||^АП|| < ЦР, а числовой ряд ^2 сходится.
Нетрудно проверить, что
ехр(А + h) = exp А + L(A)h + о(К) при h —> оо,	(8)
где
L(A)h = h+l-(Ah + hA) + ^(A2h + AhA + hA2) +...
Zi\	o.
... + Д (An~lh + An~2hA + ... + AhAn~2 + hAn-x) + ...
n!
и ||Z(A)|| exp ||A|| = еИ1, т.е. L(A) E £(£(X;X); £(X;X)).
Таким образом, отображение £(X;X) Э А нА exp A E £{X\X} диф-
ференцируемо при любом значении А.
Заметим, что если операторы А и h коммутируют, т.е. Ah — hA,
то, как видно из выражения для L(A)h, в этом случае L(A)h = (exp A)h.
В частности, для X = R или X = С вместо (8) вновь получаем
ехр(А + /г) = exp А + (exp A)h + o(h) при h —> 0.	(9)
Пример 8. Попробуем дать математическое описание мгновен-
ной скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой о
(волчок). Рассмотрим в точке о ортонормальный репер {е1,в2,ез},
жестко связанный с телом. Ясно, что положение тела вполне харак-
теризуется положением такого орторепера, а тройка {ё1, ёг, ёз} мгно-
венных скоростей движения векторов репера, очевидно, вполне харак-
теризует мгновенную скорость вращения тела. Положение самого репе-
ра {в1,е2,ез} в момент t можно задать ортогональной матрицей (а^),
i,j = 1,2,3, составленной из координат векторов ei, в2, ез относитель-
но некоторого неподвижного ортонормированного репера пространст-
ва. Таким образом, движению волчка отвечает отображение t —> О(<)
§ 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
85
из R (ось времени) в группу 50(3) специальных ортогональных ма-
триц третьего порядка. Следовательно, скорость вращения тела, кото-
рую мы договорились описывать тройкой {ё1, в2, вз}, задается матри-
цей 0(<) =: (wf)(i) = (cr()(i)— производной от матрицы 0(<) = (о^)(<)
по времени.
Поскольку 0(f) — ортогональная матрица, то в любой момент t вы-
полнено соотношение
0(«)0*(«) = Е,	(10)
где О*(£)— транспонированная по отношению к O(i) матрица, а Е —
единичная матрица.
Заметим, что произведение А • В матриц есть билинейная функция
от А и В, а производная от транспонированной матрицы, очевидно,
равна матрице, транспонированной по отношению к производной ис-
ходной матрицы. Дифференцируя равенство (10) с учетом сказанного,
находим, что
O(i)O*(t) + O(«)O*(<) =0
или
O(t) = -O(«)O*(t)O(«),	(И)
поскольку O*(i)O(i) = Е.
В частности, если считать, что в момент t репер {в1,е2,ез} совпа-
дает с репером пространства, то O(t) = Е и из (11) получается, что
О(<) = -O*(i),	(12)
т.е. матрица О(<) =: Q(i) = (о^) координат векторов {ё1,ёз, ёз} в ба-
зисе {е1,в2,ез} оказывается кососимметрической:
(, ,1	, ,2	. ,3	\	/л	, ,3	, ,2	\
\	/и	—Си	Си	\
Сс>2 <^2 I = I ш3 0	—W1 | •
а>з	(jjf	/	у —ш2	ш1	0	/
Таким образом, мгновенная скорость волчка на самом-то деле ха-
рактеризуется тремя независимыми параметрами, что в наших рассу-
ждениях проистекало из соотношения (10) и что с физической точки
зрения естественно, поскольку положение репера {е1,ез,ез}, а значит,
и самого тела, описывается тремя независимыми параметрами (в меха-
нике это, например, углы Эйлера).
86
ГЛ X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если с каждым вектором ш = u>1ei +u>2e2 + ш3ез пространства, при-
ложенным к точке о, связать правое вращение пространства с угловой
скоростью |а>| относительно определяемой этим вектором оси, то из
полученных результатов нетрудно заключить, что в каждый момент t
тело имеет свою мгновенную ось вращения и скорость тела в данный
момент может быть адекватно описана мгновенным вектором скорости
вращения о>(<) (см. задачу 5).
4. Частные производные отображения. Пусть U = U(a) —
окрестность точки a G X = х ... х Хт в прямом произведении нор-
мированных пространств Xi,..., Хт, и пусть f: U —> Y — отображе-
ние U в нормированное пространство V. В этом случае
У = f(x) =	(13)
и значит, фиксировав в (13) все переменные, кроме одной перемен-
ной хг, положив Xk = Uk-, к € {1,..., т} \ г, мы получим функцию
f (®1> • • • , ®г—1,	®г+1, • • • >	/г(^) =- ^г(^г),	(14)
определенную в некоторой окрестности иг точки аг пространства Хг.
Определение 3. Отображение <рг: иг —> Y по отношению к ис-
ходному отображению (13) называют частным отображением по пе-
ременной хг в точке а Е X.
Определение 4. Если отображение (14) дифференцируемо в точ-
ке хг = аг, то его производная в этой точке называется частной про-
изводной или частным дифференциалом отображения f в точке а по
переменной хг.
Эту частную производную обозначают обычно одним из символов
at/(O), А/(«), ^(а), 4(a).
охг
В соответствии с этими определениями £>г/(а) G £(Хг;У), точнее,
А/(а)б£(ТХг(аг);ТУ(/(а))).
Дифференциал df(a) отображения (13) в точке а (если f диффе-
ренцируемо в точке а) часто в рассматриваемой ситуации называют
полным дифференциалом, чтобы отличить его от частных дифферен-
циалов по отдельным переменным.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
87
Ранее все эти понятия нам уже встречались в случае вещественно-
значных функций т вещественных переменных, поэтому мы не будем
здесь подробно их обсуждать. Отметим только, что, повторив прежние
рассуждения, с учетом разобранного в § 2 примера 9, легко доказать,
что и в общем случае справедливо следующее
Утверждение 3. Если отображение (13) дифференцируемо в
точке а — (ai,...,am) G Xi x ... x Xm = X, то оно имеет в этой точ-
ке частные дифференциалы по каждой из переменных, причем полный
дифференциал и частные дифференциалы связаны соотношением
df(a)h = dif(a)hi + ... + dmf(a)hm,	(15)
где h = (/ii,..., hm) G TX^ai) x ... x TXm(am) = TX(a).
На примере числовых функций мы уже уяснили себе, что наличие
частных дифференциалов, вообще говоря, не гарантирует дифферен-
цируемости функции (13).
Задачи и упражнения
1.	а) Пусть A G £(Х-,Х)— нильпотентный оператор, т.е. существует
такое k G N, что Ак = 0. Покажите, что оператор (Е — А) в этом случае имеет
обратный, причем (Е — А)-1 = Е + А + ... + Ак~1.
Ь)	Пусть D: Р[а:] —> Р[а;] — оператор дифференцирования на линейном про-
странстве Р[х] полиномов. Заметив, что D — нильпотентный оператор, запи-
шите оператор ехр(аВ), где a G Ж, и покажите, что ехр(аВ)(Р(а:)) = Р(х +
+ а) =: Та(Р(хУ).
с)	Запишите матрицы операторов D: Pn [ar] —> Рп[аг] и Та: Pn[ar] —> Рп[аг] (из
задачи Ь) в базисе ег =	1 я, пространства Рп[аг] вещественных
(п г)!
полиномов степени п от одной переменной.
2.	а) Если А, В G £(Х;Х) и ЗВ”1 G £(Х;Х), то ехр(В”1АВ) =
= В”1 (ехр А)В.
Ь)	Если АВ = В А, то ехр(А + В) = ехр А  ехр В.
с)	Проверьте, что ехрО — Е и что ехр А всегда имеет обратный оператор,
причем (ехрА)-1 = ехр(-А).
3.	Пусть A G £(Х;Х). Рассмотрим отображение	Ж —> £(Х;Х), опре-
деляемое соответствием Ж Э 1i-> exp(iA) G £(X- X). Покажите, что:
а)	отображение '-рд непрерывно;
b)	рд есть гомоморфизм Ж как аддитивной группы в мультипликативную
группу обратимых операторов из £(Х-, X).
4.	Проверьте, что:
88
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
а)	Если А1,..., Ап—собственные значения оператора А G £(СП;СП), то
exp А1,..., ехр Хп суть собственные значения оператора ехр А.
b)	det(expA) = exp(trA), где trA— след оператора А G £(СП;СП).
с)	Если A G £(ЖП; Жп), то det(exp А) > 0.
d)	Если А*—транспонированная по отношению к матрице А € £(СП;С’1)
матрица, а А — матрица из комплексно сопряженных (по отношению к эле-
ментам А) элементов, то (ехр А)* = ехр А* и ехр А = ехр А.
е)	Матрица	не является матрицей вида ехр А, какова бы ни
была квадратная матрица А второго порядка.
5.	Напомним, что множество, наделенное одновременно структурой груп-
пы и структурой топологического пространства, называется топологической
или непрерывной группой, если групповая операция непрерывна в указанной
топологии; если же групповая операция в некотором смысле даже аналитична,
то топологическая группа называется группой Ли1*.
Алгебра Ли — это линейное пространство X с антикоммутативной били-
нейной операцией [, ] : X х X —> X, удовлетворяющей тождеству Якоби: для
любых векторов а, Ь, с € X [[а, Ь], с] + [[6, с], а] + [[с, а], 6] = 0. Группы и алгебры
Ли тесно связаны между собой и важную роль в осуществлении этой связи
играет отображение ехр (см. задачу 1).
Примером алгебры Ли может служить ориентированное евклидово прос-
транство Е3 с операцией векторного произведения его векторов. Обозначим
пока эту алгебру Ли через LAi.
а)	Покажите, что вещественные кососимметрические матрицы порядка 3
образуют алгебру Ли (обозначим ее ГАг), если произведение матриц А и В
определить соотношением [А, В] = АВ — В А.
Ь)	Покажите, что соответствие
/ 0	—со3	со2	\
0=1 а>3	0	—со1	I	О (о>1,а>2,^з) = Щ
\ —со2	ш1	0	/
является изоморфизмом алгебр L Аг и LAi.
с)	Проверьте, что если кососимметрическая матрица О и вектор со соот-
ветствуют друг другу, как указано в Ь), то для любого вектора г G Е3 имеет
место равенство Or = [щ,г], а для любой матрицы Р G 5(9(3)—соответствие
ВОР'1 о Рио.
d)	Проверьте, что если Жэ (9(i) € 5(9(3)—гладкое отображение, то
матрица Q(i) = (9-1(i)(9(i)—кососимметрическая.
е)	Покажите, что если r(i)—радиус-вектор некоторой точки вращающе-
гося волчка, a Q(i)—найденная в d) матрица (<9-1O)(i), то r(t) = (fir)(i).
^Точное определение группы Ли и соответствующую сноску см. в гл. XV, § 2, за-
дача 8-
§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ
89
f)	Пусть гни — два приложенных к началу координат вектора простран-
ства Е3. Пусть в Е3 выбран правый репер и пространство совершает правое
вращение с угловой скоростью |щ| вокруг оси, определяемой вектором щ. По-
кажите, что при этом r(i) = [щ, r(t)].
g)	Сопоставьте результаты задач d), е), f) и укажите вектор мгновенной
скорости вращающегося волчка, о котором говорилось в примере 8.
h)	Используя результат задачи с), проверьте, что вектор скорости щ не
зависит от выбора неподвижного орторепера в Е3, т. е. не зависит от системы
координат.
6. Пусть г = r(s) = (я1 (s), х2(s),х3(s))—параметрическое уравнение
гладкой кривой в Е3, причем в качестве параметра взята длина дуги вдоль
кривой (натуральная параметризация кривой).
а)	Покажите, что вектор ei(s) = ^~(s), касательный к кривой, в этом
случае имеет единичную длину.
Ь)	Вектор ^L(s) = ^?(s) ортогонален вектору ei. Пусть e2(s)—единич-
ный вектор, сонаправленный ^-(s). Коэффициент k(s) в равенстве ~^~($) —
= k(s)e2(s) называют кривизной кривой в соответствующей точке.
с)	Построив вектор e2(s) = [ei(s),e2(s)], мы получаем в каждой точке на-
шей кривой репер {ei, е^, ез}(з), который называют репером Френе^ или со-
провождающим трехгранником кривой. Проверьте следующие формулы Фре-
не:
fc(s)e2(s),
-fc(s)ei(s)	+x(s)e3(s),
-x(e)e2(s).
Выясните геометрический смысл коэффициента x(s), называемого круче-
нием кривой в соответствующей точке.
§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые приме-
ры ее использования
1.	Теорема о конечном приращении. Изучая числовые функ-
ции многих переменных, мы в гл. V, § 3, п. 1 доказали для них теорему
о конечном приращении и подробно обсудили различные аспекты этой
важной теоремы анализа. Здесь теорема о конечном приращении бу-
дет доказана в общем виде. Чтобы ее утверждение было для читателя
очевидным, советуем восстановить в памяти обсуждения, проведенные
^Ж.Ф. Френе (1816-1900)—французский математик.
90
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в указанном пункте, а также обратить внимание на геометрический
смысл нормы линейного оператора (см. §2, п. 2).
Теорема 1 (о конечном приращении). Пусть f:U-+Y — непре-
рывное отображение открытого множества U нормированного прос-
транства X в нормированное пространство Y.
Если отрезок [х, х + h] = {£ G X | £ = х + Oh, 0 < 0 < 1} полностью
содержится в U и отображение f дифференцируемо во всех точках
интервала ]х,х + /i[= {£ G X | £ = х + Oh, 0 < 0 < 1}, то справедлива
следующая оценка:
\f(x + h)-f(x)\Y sup ||/'(01к(Х;У)1^|х-	(1)
^е]х,х+/г[
◄ Заметим прежде всего, что если бы для любого отрезка [х', х"] С
С [ж, х + h] нам удалось проверить неравенство
1/(0-Ж)|^ sup IIAOIIк"-О	(2)
в котором верхняя грань берется уже по всему отрезку [х', х"], то, поль-
зуясь непрерывностью / и нормы, а также тем, что
sup ||/'(0К sup ||/'(0П,
мы в пределе при х' —> х и х" —> х + h получили бы неравенство (1).
Итак, нам достаточно доказать, что
\f(x + h)-f(x)\^M\h\,	(3)
где М = sup ||у/(яг + Oh)\\ и функция / считается дифференцируемой
на всем отрезке [ж, х + h].
Простая, использующая только неравенство треугольника и свой-
ства отрезка, выкладка
1/кз) - /к1)| < |/(^з) - /кг)| + |/(®2) - /к1)| <
М|ат3 - х2| + М|аг2 - ®i| = М([а?з — ж2| + |ж2 — ац|) =
= М|жз - xi|
показывает, что если на частях [ал, ж2], [ж2, а?з] отрезка [ал,а?з] справед-
ливо неравенство вида (3), то оно справедливо и на отрезке [жх,ягз].
§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ	91
Значит, если оценка (3) неверна для отрезка [х,х + 7г], то последо-
вательным делением его пополам можно получить последовательность
стягивающихся к некоторой точке xq G [х,х + h] отрезков [afc,bfc] С
[х,х + h], на каждом из которых (3) нарушено. Поскольку 2?о G [а^.,6^.],
то, рассмотрев отрезки [щ,, жо]> [^о> ^k]i по тем же соображениям можно
считать, что нашлась последовательность отрезков вида [шо,	+ hk] С
С [ж, х + 7г], где hk —> 0 при к —> оо, на которых
|Ж + hk) -f(x0)\>M\hk\.	(4)
Если (3) доказать с заменой М на М + £, где £ — любое положи-
тельное число, то при £ —> 0 все равно получится (3), поэтому (4) тоже
можно заменить на
1Ж + hk) — f (xq)\ > (М + e)\hk\	(4')
и теперь показать, что это несовместимо с дифференцируемостью f в
точке Xq-
Действительно, в силу дифференцируемости
|/(^o + /г*;) - /(ат0)| = \ f'Mhk + o(/ifc)| <
^ll//(^o)|||^|+o(|/lfe|)^(M + £)|/lfe|
при hk —> 0. ►
Теорема о конечном приращении имеет следующее часто технически
полезное
Следствие. Если A G £(Х;У), т. е. А есть линейное непрерывное
отображение нормированного пространства X в нормированное прос-
транство Y, a f: U —> У — отображение, удовлетворяющее условиям
теоремы о конечном приращении, то
\f(x + h)~ f(x)~ Ah\^ sup ||/'(€) ->MII4
◄ Для доказательства достаточно применить теорему о конечном
приращении к отображению
11-> F(t) = f(x + th) — Ath
92
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
единичного отрезка [0,1] С R в У, ибо
F(l) - F(0) = f(x + h)~ /(ж) - Ah,
F'(0) = f'(x + Oh)h — Ah при 0 < в < 1,
\\f'(x + Oh) — A\\\h\,
sup ||F'(0)K sup \\f'(£) — A\\\h\. *
o<0<i	4 e]x,x+/i[
Замечание. Как видно из доказательства теоремы 1, в ее условиях
нет нужды требовать, чтобы f было дифференцируемо как отображе-
ние f: U —> Y; достаточно, чтобы ограничение f на отрезок [ж, х + h]
было непрерывным отображением этого отрезка, дифференцируемым
в точках интервала ]ar, х + h[.
Это замечание в равной степени относится и к доказанному только
что следствию теоремы о конечном приращении.
2.	Некоторые примеры применения теоремы о конечном
приращении.
а. Непрерывно дифференцируемые отображения. Пусть
(5)
— отображение открытого подмножества U нормированного простран-
ства X в нормированное пространство Y. Если f дифференцируемо в
каждой точке х G U, то, сопоставляя точке х отображение f'(x) G
G £(Х;У), касательное к f в этой точке, мы получаем производное
отображение
F-> £(Х;У).	(6)
Поскольку пространство £(Х;У) линейных непрерывных операто-
ров из X в У является, как нам известно, нормированным (нормой
оператора) пространством, то можно говорить о непрерывности ото-
бражения (6).
Определение. В том случае, когда производное отображение (6)
непрерывно в U, отображение (5), в полном соответствии с прежней
терминологией, будем называть непрерывно дифференцируемым.
Множество непрерывно дифференцируемых отображений типа (5)
будем по-прежнему обозначать символом C^(U, У) или, короче,
С(1)(Н), если из контекста ясно куда идет отображение.
§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ
93
Итак, по определению
/еС«(с/,у) о /'е<Ж£(Х;У)).
Посмотрим, что означает непрерывная дифференцируемость ото-
бражения в различных конкретных случаях.
Пример 1. Рассмотрим знакомую ситуацию, когда X = У = R,
и, таким образом, f:U —> R есть вещественнозначная функция ве-
щественного аргумента. Поскольку любое линейное отображение A Е
Е £(R;R) сводится к умножению на некоторое число а Е R, т.е. Ah =
= ah, причем, очевидно, ||А|| = |а|, то в любой точке х Е U для любого
вектора h Е TR^ ~ R получаем, что f'(x)h = a(x)h, где а(х) — числовая
производная функции f в точке х.
Далее, так как
(f’(z + 8) - f'(x))h = f'(x + 6)h - f'(x)h =
= а(х + 8)h — a(x)h = (а(ж + <5) — а(ж))/г, (7)
то
\\f'(x + 8) - /'(ж) II = |ф + 6) - а(я)|
и, значит, непрерывная дифференцируемость отображения f в данном
случае равносильна рассматривавшемуся ранее понятию непрерывно
дифференцируемой числовой функции (класса C^(U, R)).
Пример 2. Пусть на сей раз X есть прямое произведение Xi х
х ... х Хт нормированных пространств. Отображение (5) в этом слу-
чае есть функция /(ж) = f(xi,..., хт) от т переменных хг Е Хг,
i = 1,..., т, со значениями в пространстве У.
Если отображение f дифференцируемо в точке х Е U, то его диффе-
ренциал df(x) в этой точке есть элемент пространства £(Xi х... хХт =
= Х-У).
Действие df(x) на вектор h = (hi,..., hm), согласно формуле (15)
из § 3, представляется в виде
df(x)h = dif(x)hi + ... + dmf(x)hm,
где dtf(x): Хг —> У, i = 1,..., т, суть частные производные отображе-
ния f в рассматриваемой точке х.
94
ГЛ X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Далее,
m
(df(x + 3) - df(x))h = У^(Эг/(ж + 3) - dtf(x))ht. (8)
г=1
Но в силу свойств стандартной нормы в прямом произведении норми-
рованных пространств (см. §1, п. 2, пример 6) и определения нормы
оператора получаем, что
\\dtf(x + 3) - dj(z)|k(xi;y) < \\df(x + 3) - #(аО||г(х;у) <
т
+	(9)
г=1
Таким образом, дифференцируемое отображение (5) в данном слу-
чае непрерывно дифференцируемо в U, если и только если все его част-
ные производные отображения непрерывны в U.
В частности, если X = Rm и Y = R, мы вновь получаем уже знако-
мое понятие непрерывно дифференцируемой числовой функции т дей-
ствительных переменных (функции класса C^(U,R), где U С Rm).
Замечание. Стоит отметить, что в записи равенств (7) и (8) мы
существенно пользовались каноническим отождествлением ТХх ~ X,
позволившим сравнивать или отождествлять векторы, лежащие в раз-
личных касательных пространствах.
Покажем теперь, что для непрерывно дифференцируемых отобра-
жений имеет место
Утверждение 1. Если К — выпуклый компакт в нормированном
пространстве X и f G С^(К, Y), где Y —тоже нормированное про-
странство, то отображение f: К -+Y удовлетворяет условию Лип-
шица на К, т. е. существует постоянная М > 0 такая, что для лю-
бых точек xi,X2 G К выполнено неравенство
|/(^г) —/(^1)|	А£|щ2 — ^i|.	(10)
◄ По условию f: К —> £(Х; У) есть непрерывное отображение ком-
пакта К в метрическое пространство £(Х;У). Поскольку норма есть
непрерывная функция на нормированном пространстве, взятом с его
естественной метрикой, то отображение х i-> ||/z(®)||, как компози-
ция непрерывных отображений, само есть непрерывное отображение
§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ
95
компакта К в R. Но такое отображение обязано быть ограниченным.
Пусть М — такая постоянная, что в любой точке х G К имеет место
неравенство ||/'(а;)|| < М. Ввиду выпуклости К вместе с любыми двумя
точками xi G К, Х2 G К компакт К содержит и весь отрезок
Применяя к этому отрезку теорему о конечном приращении, немедлен-
но получаем соотношение (10). ►
Утверждение 2. В условиях утверждения 1 существует такая
неотрицательная стремящаяся к нулю при 6 —> +0 функция о>(<5), что
имеет место соотношение
\f(x + /г) - /(я) - f'(x)h\ < о;(5)|/г|,	(11)
справедливое в любой точке х Е К при |h\ < 5, если х + h G К.
◄ В силу следствия теоремы о конечном приращении можно запи-
сать, что
\f(x + h) - f(x) - f'(x)h\ < sup \\f\x + 6h) - f'(x)\\\h\
O<0<1
и, полагая
o?(<5) = sup ||/'(ж2) —/'(^1)11,
получаем (11) ввиду равномерной непрерывности функции х i-> f'(x),
непрерывной на компакте К. ►
Ь. Достаточное условие дифференцируемости. Покажем те-
перь, как, располагая общей теоремой о конечном приращении, можно
в общем виде получить достаточное условие дифференцируемости ото-
бражений в терминах частных производных.
Теорема 2. Пусть U — окрестность точки х нормированного
пространства X = Xi х ... х Хт, являющегося прямым произведени-
ем нормированных пространств Xi х ... х Хт, и пусть f:U —> Y —
отображение U в нормированное пространство Y. Если в U отобра-
жение f имеет все частные производные отображения, то при усло-
вии их непрерывности в точке х отображение f дифференцируемо в
этой точке.
◄ Для упрощения записи проведем доказательство в случае т = 2.
Проверим непосредственно, что линейное относительно h — (/ц,/г2)
96
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
отображение
Lh = dif(x)hi + dzffxjh?
является полным дифференциалом f в точке х.
Сделав элементарные преобразования
f(x + /г) - f(x) - Lh =
= f(xi + /11,2:2 + h2) - f(xi,x2) - dif(x)hi - d2f(x)h2 =
= f(xi + hi, x2 + /12) - f(xi,x2 + /12) - dif(xi, x2)hi +
+ /(a:i, X2 + /12) -/(2:1, X2) - d2f(xi,X2)h2,
по следствию из теоремы 1 получаем
|/(^i + /11,2:2 + /12) - f(xi,x2) - dif(xi,x2')hi - d2f(x1,X2)h2\ <
< sup ||9i/(a?i +^i/n, x2 + /12) - dif(xi,x2)\\ |/ц| +
O<0i <1
+ sup ||d2/(2:i, x2 + 02h2) - ^/(2:i,2;2)|| |/i2|- (12)
o<fl2<i
Поскольку max{|/zi|, |/i211 |/i|, т0 и3 непрерывности частных про-
изводных 91/, 9г/ в точке х = (2:1,2:2), очевидно, следует, что правая
часть неравенства (12) есть о(/г) при h = (hi, h2) —> 0. ►
Следствие. Отображение f:U —> Y открытого подмножест-
ва U нормированного пространства X = Xi х.. -хХт в нормированное
пространство Y непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда,
когда в U непрерывны все частные производные отображения f.
◄ В примере 2 мы показали, что при условии дифференцируемости
отображения f:U—^Y его непрерывная дифференцируемость равно-
сильна непрерывности его частных производных.
Теперь же мы видим, что если частные производные непрерывны,
то отображение / автоматически дифференцируемо, а следовательно
(на основании примера 2), и непрерывно дифференцируемо. ►
Задачи и упражнения
1.	Пусть /: I —> Y — непрерывное отображение отрезка I = [0,1] С Ж в
нормированное пространство Y, a g : I —> Ж — непрерывная вещественнознач-
ная функция на I. Покажите, что если / и д дифференцируемы в интервале
]0,1[ и в точках этого интервала имеет место соотношение ||/'(2;)||	</(С> то
справедливо также неравенство {/(1) - /(0)| < р(1) - р(0).
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
97
2.	а) Пусть f: I Y — непрерывно дифференцируемое отображение от-
резка / = [0,1] С ® в нормированное пространство Y. Оно задает гладкий
путь в Y. Определите длину этого пути.
Ь)	Вспомните геометрический смысл нормы касательного отображения и
оцените сверху длину пути, рассмотренного в а).
с)	Дайте геометрическое истолкование теоремы о конечном приращении.
3.	Пусть f: U —> Y — непрерывное отображение окрестности U точки а
нормированного пространства X в нормированное пространство Y. Покажи-
те, что если f дифференцируемо в U \ а и /'(гс) имеет предел L € Д(Х; У) при
х -> а, то отображение / дифференцируемо в точке а и f'(a) = L.
4.	а) Пусть U — открытое выпуклое подмножество нормированного прос-
транства X, а /: U —> Y — отображение U в нормированное пространство Y.
Покажите, что если /'(гс) = 0 на 17, то отображение f постоянно.
Ь)	Обобщите утверждение а) на случай произвольной области U (т. е.когда
U — открытое и связное подмножество в X).
с)	Частная производная гладкой функции /: D —> К, заданной в обла-
сти D С К2 плоскости переменных (х,у), тождественно равна нулю. Верно ли,
что тогда f не зависит от у в этой области? Для каких областей D это верно?
§ 5. Производные отображения высших порядков
1.	Определение n-го дифференциала. Пусть U — открытое
множество в нормированном пространстве X, а
f'.U^Y	(1)
— отображение U в нормированное пространство Y.
Если отображение (1) дифференцируемо в U, то в U определено
производное от f отображение
f': U£(X;Y).	(2)
Пространство £(Х;У) =: Yi является нормированным пространс-
твом, по отношению к которому отображение (2) имеет вид (1), т.е.
f: U —> У1 и можно поставить вопрос о его дифференцируемости.
Если отображение (2) дифференцируемо, то его производное ото-
бражение
(/')': U -> £(Х; Yi) = £(Х; £(Х; У))
называют вторым производным отображением или вторым дифферен-
циалом от f и обозначают символом f" или/(2\ И вообще принимается
следующее индуктивное
98
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 1. Производным отображением порядка п G N или
п-м дифференциалом отображения (1) в точке х Е U называется ото-
бражение, касательное в этой точке к производному отображению по-
рядка п — 1 от /.
Если производное отображение порядка k Е N в точке х Е U обо-
значать символом f(k\x), то определение 1 означает, что
/п)(а:) := (/(п-1)у(а;).	(3)
Таким образом, если f(n\x) определено, то
/(п)(я) 6 £(Х; Уп) = £(Х; £(Х- Yn^) = ...
... = £(Х;£(Х;...;£(Х;У))...).
Следовательно, на основании утверждения 4 из § 2, дифференциал п-
го порядка f(n\x) отображения (1) в точке х можно интерпретиро-
вать как элемент пространства £(Х,..., X; У) n-линейных непрерыв-
п раз
ных операторов.
Отметим еще раз, что касательное отображение fix'): ТХх —>
—> TYf^ есть отображение касательных пространств, каждое из ко-
торых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых
пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным прост-
ранством и говорили на этом основании, что f(x) Е £(X;Y). Именно
это рассмотрение элементов f(xi) Е £{TXX1\TY^xly),	£
G £(ТХХ2; ТУдд-з}) различных пространств как векторов одного и то-
го же пространства £(X;Y) лежит в основе определения высших диф-
ференциалов отображения нормированных пространств. В случае аф-
финного или линейного пространства имеется естественная связь меж-
ду векторами различных касательных пространств, соответствующих
различным точкам исходного пространства. Эта связь в конечном сче-
те и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной диффе-
ренцируемости отображения (1), так и о его высших дифференциалах.
2.	Производная по вектору и вычисление значений п-го
дифференциала. При конкретизации абстрактного определения 1
может быть удачно использовано понятие производной по вектору, ко-
торое для общего отображения (1) вводится так же, как это в свое
время было сделано в случае X = Rm, У = К.
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
99
Определение 2. Если X и Y—линейные нормированные прост-
ранства над полем R, то производной отображения (1) в точке х £ U
по вектору h £ ТХх ~ X назовем предел
Dhf(x) :=
lim /(ж + ^) ~/(ж)
—>0	t
если указанный предел в Y существует.
Непосредственно проверяется, что
DXhf(x) = XDhf(x)	(4)
и что если отображение f дифференцируемо в точке х G U, то оно
имеет в этой точке производную по любому вектору, причем
Dhf(x) = f'(x)h,	(5)
и, в силу линейности касательного отображения,
DXlhl+x2h2f(x) = XiDhlf(x) + X2Dh2f(x).	(6)
Из определения 2 видно также, что значение Dhf(x) производной
отображения f: U —> Y по вектору есть элемент линейного пространс-
тва TYf(xj ~ У, и что если L—линейное непрерывное отображение У
в некоторое нормированное пространство Z, то
Dh(Lo f)(x) = Lo Dhf(x).	(7)
Попробуем теперь истолковать значение f(n\x)(hi,..., hn) n-го
дифференциала отображения f в точке х на наборе (/ii,..., hn) век-
торов hi £ ТХх ~ X, i = 1,..., п.
Начнем с п = 1. В этом случае по формуле (5)
f(x)(h) = f'(x)h = Dhf(x).
Рассмотрим теперь случай п=2. Поскольку f(2\x) = £(Х; £(Х-, У)),
то, фиксировав вектор hi £ X, мы сопоставляем ему по закону
hi н- /(2)(ж)А1
линейный оператор	£ £(Х;У), а вычислив затем значение
этого оператора на векторе h2 £ X, мы получим элемент
f^(x)(hi,h2) :=	£ У	(8)
100
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
пространства Y.
Но
fV\x)h = (fy(x)h = Dhf'(xl
поэтому
/2\а;)(/11,/12) = (РЛ1/'(а;))/12.	(9)
Если A G У), а Л G X, то спаривание Ah можно рассматривать
не только как отображение h Ah из X в У, но и как отображение
A i-> Ah из £(Х;У) в У, причем это последнее отображение, как и
первое, является линейным.
Сравнив теперь соотношения (5), (7) и (9), можем записать, что
(Dhlf (т))Л2 = Dhl(f'(x)h2) = DhlDh2f(x).
Таким образом, окончательно получаем
/(2)(ж)(/1ЬЛ2) = DhlDh2f(x).
Аналогично можно показать, что при любом п G N имеет место
соотношение
...,hn) :=(... (/(п)(т)М ... М = DhlDh2... Dhnf(x), (10)
причем дифференцирование по векторам выполняется последователь-
но, начиная от дифференцирования по hn и кончая дифференцирова-
нием по hi.
3.	Симметричность дифференциалов высшего порядка. В
связи с формулой (10), уже вполне пригодной для вычислений, естес-
твенно возникает вопрос о том, в какой мере результат вычислений
зависит от указанного порядка дифференцирования.
Утверждение. Если для отображения (1) форма f(n\x) в точ-
ке х определена, то она симметрична относительно любой пары своих
аргументов.
◄ Основным элементом доказательства является проверка справед-
ливости этого утверждения в случае п = 2.
Пусть /ц, Л2 — два произвольных фиксированных вектора прост-
ранства ТХх ~ X. Поскольку U открыто в X, при всех достаточно
близких к нулю значениях t G R определена следующая вспомогатель-
ная функция от t:
Ft(hi,h2) = f(x + t(hi + /i2)) - f(x + thi) - f(x + th2) + f(x).
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
101
Рассмотрим еще одну вспомогательную функцию
g(v) = f(x + /(/ii + «)) - f(x + tv),
заведомо определенную для векторов v, коллинеарных вектору /12 и та-
ких, ЧТО |vI |/l21 •
Заметим, что
-Р*(^1, /12) =5(^2) -5(0).
Заметим также, что коль скоро функция f:U —> Y в точке х G U
имеет второй дифференциал f"(x), она обязана быть дифференцируема
по крайней мере в некоторой окрестности точки х. Мы будем считать,
что параметр t настолько мал, что аргументы в правой части опреде-
ляющего функцию	равенства лежат в указанной окрестности
точки х.
Воспользуемся этими замечаниями и следствием теоремы о конеч-
ном приращении в следующих выкладках:
IWi,/*2)-/W)(/n,M =
= 15(^2) -5(0) - t2f'(x)(hi,h2)\
sup Ilf?'(6*2/12) -	|| |/г2| =
O<02<1
= sup ||(/'(ж + t(hi + 02h2)) - f'(x + t02h2))t - t2f"(x)hi\\ |/i2|.
0<$2<l
По определению производного отображения можно записать, что
Г(х + /(/ц + 02h2)) = f'(x) + /"(37)	+ e2h2)) + 0(/)
f'(x + /6*2/12) = f'(x) + /"(ж) (/6*2/12) + o(/)
при t -> 0. Учитывая это, предыдущую выкладку можно продолжить и
после арифметических упрощений получить, что
|Ff(/ll)/12)-/2r^)(/H,/12)| =О(/2)
при / —> 0. Но это равенство означает, что
/"(ж)(/11, /г2) = lim	.
102
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Поскольку очевидно Ftth^h?) = Ft(/i2,^i), то отсюда уже следует,
что f"(x)(hi,h2) = /"(ж)(/г2,Л1)-
Завершить доказательство утверждения теперь можно по индукции
дословно так же, как это было сделано при доказательстве независимо-
сти значения смешанных частных производных от порядка выполнения
дифференцирования. ►
Итак, показано, что n-й дифференциал отображения (1) в точке
х G U есть n-линейный симметрический оператор
fn\x) е £(ТХх,ТХх-TYf{x)) ~ £(Х,..., X-У),
значение которого на наборе (/ц,..., hn) векторов ht 6 ТХх ~ X, i =
— 1,... ,п, может быть вычислено по формуле (10).
Если X — конечномерное пространство, {ei,..., е*} — базис в X и
hj = hfa — разложение векторов hj, j = 1,..., п по этому базису, то в
силу полилинейности /(”) (ж) можно записать, что
,. • •, h„) = /<"’(!)(/.•,' е„,...	=
или, используя прежние обозначения дг1..Лп/(х) для Dei... 7?еп/(ж),
можно окончательно получить, что
..,hn) =	.h%,
где в правой части, как обычно, имеется в виду суммирование по по-
вторяющимся индексам в пределах их изменения, т. е. от 1 до к.
Условимся в следующем сокращении:
f(n\x)(h,...,h)=;f<n\x)hn.	(11)
В частности, если речь идет о конечномерном пространстве X и
h = кгег, то
f(n\x)hn = дг1..Лп/(х)кг1  hln,
что нам уже хорошо знакомо из теории числовых функций многих пе-
ременных.
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
103
4.	Некоторые замечания. В связи с обозначением (11) рассмо-
трим полезный и используемый уже в следующем параграфе
Пример. Пусть A G £(Х1,..., Хп;У), т. е. у = A(xi,... ,хп) есть
n-линейный непрерывный оператор, действующий из прямого произ-
ведения линейных нормированных пространств Х^,..., Хп в линейное
нормированное пространство У.
В примере 5 предыдущего параграфа было показано, что А является
дифференцируемым отображением А: Х± х ... х Хп —> У, причем
Л (я71,..., ^n)(/ii,..., hn) =
= A(h1,x2,...,xn) + ... +A(xi,...,xn_i.,hn).
Таким образом, если Xi = ... = Хп = X и если А — симметрический
оператор, то
А'(х,... ,x)(h,..., h) = пА(х,... ,x,h) =: (nAxn~1)h.
п— 1
Значит, если рассмотреть функцию F: X —> У, определяемую усло-
вием
X Э х ь-> F(x) = А(х,... ,х) =: Ахп,
то она окажется дифференцируемой и
F'(x)h = (nAxn~x)h,
т. е. в этом случае
F'(x)h = пАхп~1,
где Ас"-1 := А(х,..., ж, •).
п—1
В частности, если отображение (1) имеет в некоторой точке х G U
дифференциал f(n\x), то функция F(h) = f(n\x)hn дифференцируе-
ма и
F'(h) =nf^(x)hn~1.	(12)
Заканчивая обсуждение понятия производного отображения п-го
порядка, полезно еще отметить, что если исходная функция (1) опре-
делена на множестве U пространства X, являющегося прямым произ-
ведением нормированных пространств Х^,..., Хт, то можно говорить
104
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
о частных производных отображениях dif(x),..., dmf^x) первого и бо-
лее высокого порядка dtl„,tnf(x) от функции f по переменным хг G Хг,
г — 1,..., т.
На основании теоремы 2 из § 4 в этом случае по индукции получаем,
что если в некоторой точке х G X = Ху х ... х Хт все частные про-
изводные d4___lnf(x) отображения f: U —> Y непрерывны, то в этой
точке отображение f имеет дифференциал n-го порядка f^n\x).
Если учесть еще результат примера 2 из того же параграфа, то
можно заключить, что отображение U Э х ф^(х) G С{Х,..., Х-, У)
п раз
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все частные про-
изводные отображения U Э х дг1	£(Хг1 > • • , Х1п', У) поряд-
ка п (или, что то же самое, до порядка п включительно) исходного
отображения F : U —> У.
Класс отображений (1), имеющих в U непрерывные производные
отображения до порядка п включительно, обозначают символом
C(n\U, У) или, если не возникает недоразумений, более коротким сим-
волом C(n\U) или даже
В частности, если X = Х± х ... х Хп, то сделанное выше заключение
можно коротко записать в виде
(Мя))	=
где С, как всегда, символ соответствующего множества непрерывных
функций.
Задачи и упражнения
1.	Проведите полностью доказательство равенства (7).
2.	Проведите подробно конец доказательства утверждения о симметрич-
ности /(п)(гс).
3.	а) Покажите, что если для пары векторов hi, /12 и отображения (1)
в области U определены функции D^D^f, Dh2Dh1f и они непрерывны в
некоторой точке х G U, то в этой точке имеет место равенство D^Dh^f^x) =
= Dh2Dhlf(x).
b)	Покажите на примере числовой функции f(x,y), что непрерывность в
-	d2f д2 f	\
некоторой точке смешанных производных Qx^y, QyQx, хотя и влечет в силу а)
их равенство в этой точке, вообще говоря, не влечет наличия в этой точке
второго дифференциала функции.
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ
105
с)	Покажите, что наличие /(2Дгс,у), хотя и обеспечивает наличие и равен-
“	д2 f д2 f
ство в соответствующей точке смешанных производных	не влечет,
вообще говоря, их непрерывность в этой точке.
4.	Пусть А С £(Х,..., X: У), причем А — симметрический п-линейный
оператор. Найдите последовательные производные до порядка п + 1 включи-
тельно от функции х Ахп := А(гс,..., гс).
§ 6.	Формула Тейлора и исследование экстремумов
1.	Формула Тейлора для отображений.
Теорема 1. Если отображение f: U —> Y окрестности U = U(x)
точки х нормированного пространства X в нормированное простран-
ство Y таково, что f имеет в U производные до порядка п—1 включи-
тельно, а в самой точке х имеет производную f(n\x) порядка п, то
+ h) = f(x) + f'^h + ... + ±f^(x)hn + 0(|ДГ)	(1)
при h -> 0.
Равенство (1) есть одна из разновидностей формулы Тейлора, на-
писанной на сей раз уже для достаточно общих классов отображений.
◄ Докажем формулу Тейлора (1) по индукции.
При п = 1 она верна в силу определения f'(x).
Пусть формула (1) верна для некоторого (п — 1) е N.
Тогда на основании теоремы о конечном приращении, формулы (12)
из § 5 и сделанного предположения индукции получаем
f(x + h) - (/(т) + f'(X)h + ... +
nl
sup \\f'(x + 0h) - (f'(x) + f"(x)(9h) + ...
O<0<1H	4
•   + 7—W1) II 1*1 =	= »(|A|”)
при h -> 0. ►
Мы не останавливаемся здесь на других, иногда весьма полезных,
вариантах формулы Тейлора. В свое время они подробно обсуждались
для числовых функций. Теперь мы предоставляем их вывод читателю
(см., например, задачу 1).
106
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.	Исследование внутренних экстремумов. Используя форму-
лу Тейлора, укажем необходимые, а также достаточные дифференци-
альные условия внутреннего локального экстремума вещественнознач-
ной функции, определенной на некотором открытом множестве норми-
рованного пространства. Как мы увидим, эти условия аналогичны уже
известным нам дифференциальным условиям экстремума вещественно-
значной функции вещественного переменного.
Теорема 2. Пусть f: U -> R — вещественнозначная функция,
определенная на открытом множестве U нормированного простран-
ства X и имеющая в окрестности некоторой точки х GU непрерыв-
ные производные отображения до порядка к — 1	1 включительно, а
также производное отображение порядка к в самой точке х.
Если /'(ж) = 0,..., /(*-%) = 0 и	0, то для того, чтобы
х была точкой экстремума функции f,
необходимо, чтобы к было четно, а форма f(k\x)hk была полу-
определенной^-,
достаточно, чтобы значения формы f(k\x)hk на единичной
сфере |/г| = 1 были отделены от нуля-, при этом, если на этой
сфере
f(k\x)hk > S > 0,
то х — точка локального минимума, а если
fW(x)hk S < 0,
то х —точка локального максимума.
◄ Для доказательства рассмотрим тейлоровское разложение (1)
функции f в окрестности точки х. Сделанные предположения позво-
ляют записать, что
f(x + А) - f(x) = ±f{k4x)hk + a(h)\h\k,
KI
где а(Е) —вещественнозначная функция, причем «(/г) —> 0 при h —> 0.
Докажем сначала необходимые условия.
'’Это значит, что форма f(k,(x)hk не может принимать значения разных зна-
ков, хотя при некоторых значениях h 0 она может обращаться в нуль. Равенство
= 0, как обычно, понимается в том смысле, что	= 0 для любого
вектора h.
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ
107
Поскольку f^fx) / 0, найдется такой вектор ho / 0, на котором
/^(ж)Лд / 0. Тогда при значениях вещественного параметра t, доста-
точно близких к нулю,
f(x + tho) - /(ж) = ^(x)(tho)k + a(tho)\tho\k =
KI
= (^fW^hk + a(tho)\ho\k} tk
\/c!	/
и заключенное во внешние скобки выражение имеет тот же знак, что
и f(k\x)hk.
Для того, чтобы х была точкой экстремума, необходимо, чтобы ле-
вая (а значит, и правая) часть последнего равенства не меняла знака
при изменении знака t. Но это возможно, только если к четно.
Проведенное рассуждение показывает, что если х — точка экстре-
мума, то знак разности /(ж + tho) — f(x) при достаточно малых значе-
ниях t совпадает со знаком f(k\x)hk, и, следовательно, в этом случае
не может быть двух векторов ho, hi, на которых бы форма f(k\x) при-
нимала значения разных знаков.
Перейдем к доказательству достаточных условий экстремума. Для
определенности рассмотрим случай, когда f(k\x)hk 5 > 0 при |Л| = 1.
Тогда
f(x + h) - /(ж) = ^f(k\x)hk + a(h)\h\k =
(1	/	h \	\	/ 1	\
ш + а<М № > (й5 + lhlfc’
/ъ •	\	/ LI j	/	\ /v •	J
и, поскольку сД/г) -> 0 при h -> 0, последний член неравенства поло-
жителен для всех достаточно близких к нулю векторов h / 0. Таким
образом, для всех таких векторов h
f(x + h) - /(ж) > 0,
т. е. х—точка строгого локального минимума.
Аналогично проверяется достаточное условие строгого локального
максимума. ►
Замечание 1. Если пространство X конечномерно, то единичная
сфера S(x, 1) с центром в точке х Е X, являясь ограниченным за-
мкнутым множеством в X, компактна. Тогда непрерывная функция
108
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(/с-форма) f(k\x)hk = дг1„ ,.ikf(x)hlx •... • hlk имеет на S(x, 1) как макси-
мальное значение, так и минимальное значение. Если эти значения раз-
ных знаков, то экстремума в точке х функция f не имеет. Если же эти
значения одного знака, то, как было показано в теореме 2, экстремум
есть. В последнем случае достаточное условие экстремума, очевидно,
можно высказать в виде эквивалентного ему требования определенно-
сти (положительной или отрицательной) формы f(k\x)hk.
Именно в таком виде оно нам уже встречалось при рассмотрении
вещественнозначных функций в Rn.
Замечание 2. Как мы видели на примере функций /: Rn -> К,
указанная в необходимых условиях экстремума полуопределенность
формы у(*\ж)Л* еще не является достаточным признаком экстремума.
Замечание 3. На практике при исследовании экстремумов диф-
ференцируемых функций обычно пользуются только первым или пер-
вым и вторым дифференциалами. Если по смыслу исследуемой задачи
единственность и характер экстремума очевидны, то при отыскании
экстремума можно ограничиться первым дифференциалом, найдя ту
точку х, где f'(x) = 0.
3. Некоторые примеры.
Пример 1. Пусть £ G ^^(R3,®), а / G ([a, b],R). Иными сло-
вами (ц1, и2, и3) L(u\ и2, и3)— определенная в R3 непрерывно диф-
ференцируемая вещественнозначная функция, а х ь-> У (ж) — гладкая ве-
щественнозначная функция, определенная на отрезке [а, 6] С R.
Рассмотрим функцию
F: ^([щЬ],®) -> R,	(2)
задаваемую соотношением
ь
С^\[а, b], R) Э У > £(У) = у £(ж, У(ж), У'(ж)) dx е R. (3)
а
Таким образом, (2) есть вещественнозначный функционал, опреде-
ленный на множестве функций f 6 (7^\[а, b], R).
В физике и механике известны фундаментальные вариационные
принципы, связанные с движением. Согласно этим принципам истин-
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ
109
ные движения среди всех мыслимых выделяются тем, что они соверша-
ются по траекториям, вдоль которых те или иные функционалы име-
ют экстремум. Вопросы, связанные с экстремумами функционалов,—
центральные в теории оптимального управления. Таким образом, отыс-
кание и исследование экстремумов функционалов является важной са-
мостоятельной задачей, теории которой посвящен обширный раздел
анализа — вариационное исчисление. Мы уже кое-что сделали для то-
го, чтобы переход от анализа экстремумов числовых функций к отыс-
канию и исследованию экстремумов функционалов был для читателя
естественным. Однако мы не будем углубляться в специальные вопро-
сы вариационного исчисления и проиллюстрируем на примере функци-
онала (3) лишь рассмотренные выше общие идеи дифференцирования
и исследования локальных экстремумов.
Покажем, что функционал (3) является дифференцируемым отобра-
жением и найдем его дифференциал.
Заметим, что функцию (3) можно рассматривать как композицию
отображения
Fi: (^([a^R) -> C([a,b],R),	(4)
задаваемого формулой
Г1(/)(а;) = £(х,/(Ж),/,(Ж)),	(5)
и последующего отображения
CQa^R) Эдн
д(х) dx G R.
(6)
Отображение F2 в силу свойств интеграла, очевидно, линейное и
непрерывное, таким образом, с его дифференцируемостью вопрос ясен.
Покажем, что отображение F\ тоже дифференцируемо, причем
F[(f)h{x) = d2L(x, f(x), f’(x))h(x) + d3L(x, f(x), f'(x))h'(x)	(7)
при h G 6]; R).
Действительно, в силу следствия из теоремы о конечном прираще-
110
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
нии в нашем случае можно записать, что
|l(i? + Д1,?!2 + Д2,и3 + Д3) - Ци1, и2, и3) —
з
— V5г£(и1,и2,и3)Дг|^ sup ||((9iL(u + 0Д) — diL(u),
Z1	1 °<е<1
д2Ь(и + 0Д) - д2Ь(и), дзЦи + 0Д) - дзЦи))|| • |Д|
3 max \дгЬ(и + Ои) — <Эг£(и)| • max |Дг|, (8)
1=1,2,3
где и = (и1, и2,и3) и Д — (Д1, Д2, Д3).
Если теперь вспомнить, что в	Ь], R) норма |/|c(i) функции f
есть тах{|/|с, \Р|с} (где \ f\c есть максимум модуля функции на отрез-
ке [а, 6]), то, полагая и1 = х, и2 — f(x), и3 = f'(x), Д1 — 0, Д2 = h(x) и
Д3 = h'(ж), из неравенства (8), учитывая равномерную непрерывность
функций дгЦи1,и2,и3), i = 1,2,3, на ограниченных подмножествах R3,
получаем
maxb\L(x,f(x) + h(x),f'(x) +h'(x)) - L(x,f(x),f'(x)) -
- а2Ь(ж,/(ж),//(ж))/г(ж) - d3L(x,f(x),f'(x))h'(x)\ =
= o(l^lc(i)) при |/i|c(i) -ч 0.
Но это и означает, что имеет место равенство (7).
В силу теоремы о дифференцировании композиции отображений те-
перь заключаем, что функционал (3) действительно дифференцируем и
ь
F’(f)h = У (<%Ь(ж, /(ж), /'(Ж))МЖ) + д3Ь(х, /(ж), /'(ж))/г'(ж)) dx. (9)
а
Часто рассматривается ограничение функционала (3) на аффинное
пространство тех функций f G C'WQa, Ь], R), которые на концах отрез-
ка [а, 6] принимают фиксированные значения /(a) = A, f(b) — В. В этом
случае функции h из касательного пространства ТС^ должны на кон-
цах отрезка [а,Ь] иметь нулевые значения. Учитывая это, равенство (9)
интегрированием по частям в рассматриваемом случае, очевидно, мож-
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 111
но привести к виду
Ь
F'(f)h = [(фЦх,/(ж), /'(ж)) - у-<Э3Ь(я, /(^), /'(ж))Л(ж) dx, (10)
J	dx
а
разумеется, уже в предположении, что L и f принадлежат соответству-
ющему классу С’(2\
В частности, если f — точка экстремума (экстремаль) такого фун-
кционала, то, согласно теореме 2, F'(J)h = 0 при любой функции h G
6 CW([a, b],R) такой, что /i(a) = h(b) = 0. Отсюда и из (10) нетрудно
заключить (см. задачу 3), что функция f должна удовлетворять урав-
нению
д2Цх, /(ж), /'(ж)) - -^-<Э3£(ж, /(ж), /'(ж)) = 0.	(11)
CLX
Это частный вид уравнения, именуемого в вариационном исчисле-
нии уравнением Эйлера - Лагранжа.
Рассмотрим теперь конкретные примеры.
Пример 2. Задача о кратчайшей.
Среди кривых, лежащих в плоскости и соединяющих две фиксиро-
ванные ее точки, найти ту кривую, которая имеет минимальную длину.
Ответ в данном случае очевиден, и он скорее послужит контролем
над следующими формальными выкладками.
Будем считать, что в плоскости фиксирована декартова система
координат, в которой указанными точками являются, например, точки
(0,0) и (1,0). Мы ограничимся рассмотрением только тех кривых, ко-
торые являются графиками функций f G <7W([0,1],R), принимающих
на концах отрезка [0,1] нулевые значения. Длина такой кривой
1
P(f) = f 0 + (/')W*	(12)
о
зависит от функции f и является функционалом рассмотренного в при-
мере 1 типа. В данном случае функция L имеет вид
^(и1,^2,^3) = \/1 + (и3)2,
112
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
поэтому необходимое условие экстремума (11) здесь сводится к урав-
нению
— ( „	= О
dx Wl + (/')W
из которого следует, что на отрезке [0,1]
Поскольку функция
гм
+ (/'№)
= const.
(13)
и
у/1 + и2
нигде не постоянна, то (13) возможно
лишь при условии, что /'(ж) = const на [а, Ь]. Таким образом, гладкая
экстремаль нашей задачи должна быть линейной функцией, график ко-
торой проходит через точки (0,0), (1,0). Отсюда следует, что /(ж) = О,
и мы приходим к отрезку прямой, соединяющему две заданные точки.
Пример 3. Задача о кривой скорейшего спуска.
Эта классическая, поставленная в 1696 г. Иоганном (первым) Бер-
нулли, задача о брахистохроне состоит в отыскании формы желоба,
вдоль которого материальная частица под действием силы тяжести за
кратчайшее время переходит из заданной точки Ро в другую фиксиро-
ванную точку Pi, расположенную на более низком уровне.
Трением, разумеется, мы пренебрегаем. Кроме того, будем считать,
что тривиальный случай, когда обе точки находятся на одной верти-
кали, исключен из дальнейшего рассмотрения.
В вертикальной плоскости, проходящей через точки Pq, Pi, введем
прямоугольную систему координат так, чтобы точка Ро была ее нача-
лом, ось абсцисс была направлена вертикально вниз, а точка Pi имела
положительные координаты (xi,yi). Форму желоба будем искать толь-
ко среди графиков, заданных на отрезке [0, xj гладких функций, удо-
влетворяющих условиям /(0) = 0, /(тх) = yi- На исследовании этого от-
нюдь не бесспорного предположения мы пока не останавливаемся (см.
задачу 4).
Если частица начинала свое движение из точки Ро с нулевой скоро-
стью, то закон изменения величины ее скорости в выбранной системе
координат запишется в виде
v =
(14)
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 113
Вспоминая, что дифференциал длины дуги вычисляется по формуле
ds = У(Фг)2 + (dy)2 = д/1 + (/')2(ж) dx-	(15)
найдем время
(и)
V 2у J V х
о
движения вдоль траектории, заданной графиком функции у — f(x) на
отрезке [0, ад].
Для функционала (16)
V uL
поэтому необходимое условие экстремума (И) в данном случае сводит-
ся к уравнению
d I f’(x)	\ = о
dx \у/х(1 + (тх)))	’
из которого следует, что
где с—отличная от нуля постоянная (точки не лежат на одной верти-
кали!).
С учетом (15) уравнение (17) можно переписать в виде
Однако с геометрической точки зрения
dx	dy
— — cosy), — =smo,	(19)
as	as
где y>— угол между касательной к траектории и положительным на-
правлением оси абсцисс.
Сравнивая уравнение (18) со вторым из уравнений (19), находим
х = sin2 у>.	(20)
114
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Но из (19) и (20) следует, что
dy	dy	dx	dx d /sin2<z>\	sin2<z>
dip	dx	dip	dip	dip \ c2 J c1
откуда находим
2
у = -n(2<£> - sin2y?) + b.	(21)
с
Полагая 2/c2 =: а и 2ip =: t, запишем соотношения (20) и (21) в виде
х = а(1 — cost),
’	(22)
у = а(1 — sint) + Ь.
Поскольку а / 0, то х = 0 лишь при t = 2кл, к 6 Z. Из вида
функций (22) следует, что без ограничения общности можно считать,
что точке Pq = (0,0) отвечает значение t = 0 параметра t. В этом
случае b — 0, и мы приходим к более простой форме
х = а(1 — cost),
V ’	(23)
у = а(1 — sint)
параметрического задания искомой кривой.
Таким образом, брахистохроной является циклоида, имеющая в ис-
ходной точке Pq точку возврата с вертикальной касательной. Посто-
янная а, коэффициент гомотетии, должна быть подобрана так, чтобы
кривая (23) прошла также через точку Pi. Такой выбор, как можно за-
метить, нарисовав кривую (23), вовсе не всегда является однозначным,
и это свидетельствует о том, что необходимое условие экстремума (11),
вообще говоря, не является достаточным. Из физических соображений,
однако, ясно, какому из возможных значений параметра а следует от-
дать предпочтение (что, впрочем, можно подтвердить и прямым вычи-
слением) .
Задачи и упражнения
1.	Пусть f : U —> Y—отображение класса C^n\U;Y) открытого под-
множества U нормированного пространства X в нормированное простран-
ство Y. Пусть отрезок [х, х + h] полностью содержится в U, и в точках ин-
тервала ]т, х + h[ функция f имеет дифференциал (п + 1)-го порядка, причем
||/(п+1)(£)Н At в любой точке £ б]а;, х + h[.
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 115
а)	Покажите, что функция
g(t) = f(x + th) - (/(т) + f'(x)(th) + ... + ±.f^(x)(th)n)
определена на отрезке [0,1] С Ж, дифференцируема на интервале ]0,1 [ и при
любом t с]0,1[ справедлива оценка
lls'WII < ±M\th\n\h\.
b)	Покажите, что |<?(1) - </(0)| <	^,M|ft|n+1.
с)	Докажите следующую формулу Тейлора:
f(x + h)~ (f(x) + f'(x)h + ... + -f[n\x)hn}
\	TV.	/	(71 + 1)!
d)	Что можно сказать об отображении f'-U —> У, если известно, что
f(n+1\x) = 0 в и?
2.	а) Если тг-линейный симметрический оператор А таков, что Ахп — 0
для любого вектора х € X, то Д(;Г1,... ,хп) = 0, т.е. оператор А равен нулю
на любом наборе xi,..., хп векторов из X.
Ь)	Если отображение f:U—>Y имеет в точке х € U п-и дифференциал
f(n\x) и удовлетворяет условию
/(а; + h) = Lq + L±h + ... Н—-Lnhn + a(h)|/i|n,
n!
где Lt, i = 0,1,... ,n суть г-линейные операторы, a a(h) —> 0 при h —> 0, то
Lt = f^\x), г = 0,1,... ,n.
с)	Покажите, что из наличия приведенного в предыдущей задаче разложе-
ния функции /, вообще говоря, еще не вытекает наличие тг-го дифференциала
f(n\x) (при п > 1) у этой функции в точке х.
d)	Докажите, что отображение £(X;Y) Э A t-> Д-1 с £(X;Y) в области
своего определения является бесконечно дифференцируемым, причем
(А-1)^)(А)(Л1,. ..,hn) = (-1)пД-1/г1Д-1/г2 •... • Д-^пД-1.
3.	а) Пусть </> 6 (7([а, 6], К). Покажите, что если для любой функции h 6
G (7(2)([а, &],Ж) такой, что h(a) = h(b) — 0, выполняется условие
ъ
У <p(x)h(x) dx = 0, то <р(х) = 0 на [а, &].
а
Ь) Выведите уравнение (11) Эйлера-Лагранжа как необходимое условие
экстремума функционала (3), ограниченного на множество функций f 6
G (№([а, Ь], Ж), принимающих на концах отрезка [а, &] заданные значения.
5-4574
116
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.	Найдите форму у = f(x), а х Ь, меридиана той поверхности вра-
щения (вокруг оси Ох), которая имеет наименьшую площадь среди всех по-
верхностей вращения с окружностями заданного радиуса га, Тъ в сечениях
поверхности плоскостями х — а, х = b соответственно.
5.	а) Функция L в задаче о брахистохроне не удовлетворяет условиям при-
мера 1, поэтому непосредственное применение результатов примера 1 было в
данном случае неоправданным. Покажите, повторив с нужными видоизмене-
ниями вывод формулы (10), что она и уравнение (11) остаются в силе и в
рассматриваемом случае.
Ь)	Изменится ли уравнение брахистохроны, если частица стартует из точ-
ки Ро с отличной от нуля начальной скоростью (движение происходит без
трения в закрытой трубке)?
с)	Покажите, что если Р — произвольная точка брахистохроны, отвеча-
ющей паре точек Pq, Pi, то дуга этой брахистохроны от Ро Д° Р является
брахистохроной пары Ро, Р.
d)	Допущение о том, что брахистохрона, отвечающая паре точек Ро, Pi,
может быть записана в виде у = f(x), как выяснилось из окончательных фор-
мул (23), не всегда оправданно. Покажите, используя результат задачи с), что
вывод формул (23) можно провести и без подобного предположения о глобаль-
ном устройстве брахистохроны.
е)	Расположите точку Pi так, чтобы отвечающая паре Ро, Pi брахисто-
хрона в системе координат, которая была введена в примере 3, не могла быть
записана в виде у = f(x).
f)	Расположите точку Pi так, чтобы отвечающая паре Ро, Pi брахистохро-
на в системе координат примера 3 имела вид y=f(x), причем f С!-Р ([а, &], К).
Таким образом, получится, что в этом случае интересующий нас функцио-
нал (16) имеет на множестве С'^1^([а, &], К) нижнюю грань, но не имеет мини-
мума.
g)	Покажите, что брахистохрона пары точек Ро, Pi пространства является
плоской кривой.
6. Удаление c/(Po,Pi) точки Ро пространства от точки Pi в однородном
гравитационном поле будем измерять временем движения материальной ча-
стицы по брахистохроне, отвечающей паре Ро, Pi.
а)	Найдите измеряемое в этом смысле удаление точки Ро от фиксированной
вертикальной прямой.
Ь)	Найдите асимптотику функции d(Po,Pi), когда точка Pi поднимается
по вертикали, приближаясь к уровню высоты точки Ро.
с)	Выясните, является ли функция d(Po,Pi) метрикой.
§ 7.	Общая теорема о неявной функции
В этом заключительном параграфе главы почти весь развитый в
ней аппарат будет продемонстрирован в работе на примере исследо-
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
117
вания неявно заданной функции. Представление о содержании и месте
теоремы о неявной функции в анализе и его приложениях читатель уже
имеет из гл. VIII, поэтому мы не останавливаемся здесь на предваряю-
щих формализм пояснениях существа дела. Отметим только, что на сей
раз неявно заданная функция будет построена совсем иным методом,
опирающимся на принцип сжимающих отображений. Этот метод ча-
сто используется в анализе и весьма полезен ввиду его вычислительной
эффективности.
Теорема. Пусть X, Y, Z — нормированные пространства (на-
пример, Rm, Rn, Rfc), причем Y —полное пространство; W = {(х,у) Е
£ X х Y | |ж — а?о| < а Л \у — уо| < Д} — окрестность точки (а?0) Уо) в
произведении X х Y пространств X, Y.
Если отображение F: W —> Z удовлетворяет условиям:
1-	F(x0, уо) = 0;
2.	F(x,y) непрерывно в точке (хо,уо);
3.	F'(x,y) определено в W и непрерывно в (а?о>Уо);
4.	Fy(xo,yo)—обратимый^ оператор,
то найдутся окрестность U = U(xq) точки хо в X, окрестность
V = V(yo) точки уо в Y и отображение f: U —> V такие, что:
I'.UxVtW;
2'. (F(x,y) = 0 в U х V) <=> (у = f(x), где х Е U, a f(x) € V);
3'. Уо = f(x0);
4'. f непрерывно в точке хо-
По существу, теорема утверждает, что если линейное отображе-
ние Fy обратимо в точке (условие 4), то в окрестности этой точки
соотношение F(x, у) — 0 равносильно функциональной зависимости
у = f(x) (заключение 2').
◄ 1° Для упрощения записи и, очевидно, без ограничения общности
рассмотрения можно считать, что хо = 0, уо = 0 и, следовательно,
W = {(гг, у) Е X xY \ \х\ < a f\\y\ < (3}.
2° Основную роль в доказательстве теоремы играет вспомогатель-
ное семейство отображений
дх(у) := у — (F'y(Q,Q))~l  F(x,y),	(1)
сТо есть 3[^(a:o,jft)]_1 Е £(Z;Y).
118
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
зависящих от параметра х Е X, \х\ < а, и определенных на множестве
{У С Y | |у| < /3}.
Обсудим формулу (1). Прежде всего выясним, корректно ли опре-
делены отображения дх и где лежат их значения.
При (х,у) G W определено отображение F, значение F(x, у) которо-
го на паре (х, у) лежит в пространстве Z. Частное производное отобра-
жение Fy(x,y} в любой точке (а?, у) € W, как мы знаем, есть линейное
непрерывное отображение пространства Y в пространство Z.
По условию 4 отображение Fy(Q, 0): Y —> Z имеет непрерывное
обратное отображение (Fy(Q, О))-1: Z —> Y. Значит, композиция
(Fy(0,0))-1 • F(a;,y) действительно определена и ее значения лежат в
пространстве Y.
Итак, при любом х из a-окрестности Вх(0, а) := {х G X | |ж| < «}
точки 0 G X дх есть отображение дх: Ву (0, /3) —> Y /3-окрестности
Ву(0,/3) := {у € Y | |у| < /3} точки 0 € У в пространство У.
Связь отображений (1) с задачей разрешения относительно пере-
менной у уравнения F(x, у) = 0 состоит, очевидно, в том, что точка ух
является неподвижной точкой отображения дх тогда и только тогда,
когда F(x,yx) = 0.
Зафиксируем это важное наблюдение:
9х{Ух)=Ух F(x,yx)=0.	(2)
Таким образом, отыскание и исследование неявно заданной функ-
ции у = ух — f(x) сводится к отысканию неподвижных точек отобра-
жений (1) и исследованию их зависимости от параметра х.
3° Покажем, что существует положительное число 7 < min{«,/3}
такое, что при любом х Е X, удовлетворяющем условию |а;| < 7 < «,
отображение дх: Ву(0,7) —> У шара By (0,7) {у G У | |у| < 7 < /3}
в У является сжимающим отображением с коэффициентом сжатия, не
превосходящим, например, числа 1/2. Действительно, при любом фик-
сированном х е Вх(0,«) отображение дх: Ву(0,/3) —> У дифферен-
цируемо, что следует из условия 3 и теоремы о дифференцировании
композиции отображений, причем
^(у) = еу-(^'(0,0))-1-(^(2:,у)) =
- (F'(0,0))-x(F'(0,0) - Щх,у)). (3)
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
119
В силу непрерывности Fy(x, у) в точке (0,0) (условие 3) найдется
такая окрестность {(х,у) € X х Y | |а;| < 7 < а Л \у\ < 7 < (3} точки
(0,0) € X х У, в которой
IlsiWII « II(-f;(0,0))-1|| . ||Г-;(0,0) -Ffc,у)|| < 1	(4)
Здесь мы пользуемся тем, что (F^(0,0))-1 G £(£;У), т.е. тем, что
||(F'(0,0))-1||<oo.
Всюду дальше будем считать, что |а;| < 7 и |у| < 7, поэтому имеет
место оценка (4).
Таким образом, при любом х € Вх(0,7) и любых yi,y2 £ -By(0,7)
по теореме о конечном приращении мы действительно получаем теперь,
что
\gx(yi) - дх(у2)\ sup ||c7'(£)ll lyi ~у2| < dyi ~У2|-	(5)
4° Для того, чтобы утверждать существование неподвижной точ-
ки ух отображения дх, нам надо иметь такое полное метрическое прост-
ранство, которое при этом отображении переходит в себя (быть может,
и не на себя).
Проверим, что
для любого числа Е, удовлетворяющего условиям 0 < £ < 7, най-
дется такое число 6 = 5(e) из интервала ]0,7[, что при любом х Е
Е Вх(0,5) отображение дх преобразует замкнутый шар Ву(0, е) в се-
бя, т.е. gx(BY(0,e)) С Ву(0,е).
Действительно, сначала по е подберем число 5 £]0,7[ так, чтобы при
|ж| < 5 иметь
Ы0)| = |(F'(0,0))-x -F(a;,0)| < ||(7^(0,0))-11| \F(x,0)| < К (6)
Это можно сделать благодаря условиям 1 и 2, в силу которых
F(0,0) = 0 и F(x,y) непрерывно в точке (0,0).
Если теперь |а;| < 5(e) < 7 и |у| е < 7, то из (5) и (6) получаем
Ыу)| < \9х(у) - Ух(0)| + \дх(0)| < ^|у| + |е < £,
и, значит, при И < 5(e)
9x(By(Q,s)) С Ву(0,е).
(7)
120
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Как замкнутое подмножество полного метрического пространст-
ва Y замкнутый шар Ву(0,е) сам является полным метрическим прос-
транством.
5° Сопоставляя соотношения (5) и (7), на основании принципа не-
подвижной точки (см. гл. IX, § 7) теперь можно утверждать, что при
каждом х G ВДО, 5(e)) =: U найдется единственная точка у = ух =
=: /(а;) € Ву(0, е) =: V, которая является неподвижной точкой отобра-
жения дх: Ву(0, е) —> Ву(0, е).
В силу основного соотношения (2) отсюда следует, что так постро-
енная функция f: U —> V уже обладает свойством 2', а значит, и свой-
ством 3', поскольку F(0,0) = 0 по условию 1.
Свойство 1' окрестностей U и V следует из того, что по построению
U х V С Вх(0,а) х Ву(0,/3) = W.
Наконец, непрерывность функции у = f(x) в точке х = 0, т. е.
свойство 4', следует из 2' и того, что, как было показано в п. 4° до-
казательства, для любого числа £ > 0 (е < 7) найдется такое чи-
сло 5(e) > 0 (5(e) < 7), что при любом х € Вх(0, 5(e)) выполнено
ffx(-Sy(0, s)) С Ву(0, е), т. е. единственная неподвижная точка ух = f(x)
отображения дх: By(Q,e) —> Ву(0,s) при |ж| < 5(e) удовлетворяет усло-
вию |/(ж)| < £. ►
Мы доказали теорему существования неявной функции. Сделаем те-
перь ряд дополнений о свойствах этой функции, порождаемых свой-
ствами исходной функции F.
Дополнение 1 (о непрерывности неявной функции). Если в до-
полнение к условиям 2, 3 теоремы известно, что отображения F :
W —> Z и Fy непрерывны не только в точке (а?о,Уо)> но и в некоторой
ее окрестности, то найденная функция f: U —> V будет непрерывна
не только в точке xq Е U, но и в некоторой ее окрестности.
◄ Из условий 3 и 4 теоремы на основании свойств отображения
£(K;Z) Э А н А-1 Е £(Z-Y) (см. пример 6 из §3) заключаем, что
в каждой точке (х,у) некоторой окрестности точки (а?о>уо) оператор
fy(x.y) Е £(Y:Z) является обратимым. Таким образом, при наличии
сделанного дополнительного предположения о непрерывности F все
точки (х,у) вида (х,/(а?)) из некоторой окрестности точки (а?о,Уо) удо-
влетворяют условиям 1-4, которым раньше удовлетворяла только точ-
ка (х0,у0).
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
121
Повторив построение неявной функции в окрестности любой из
этих точек (ж, у), мы получили бы функцию у = f(x) непрерывную в х
и в силу 2' совпадающую с функцией у = f(x) в некоторой окрестности
точки х. Но это и означает, что функция f непрерывна в х. ►
Дополнение 2 (о дифференцируемости неявной функции). Ес-
ли в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности W
точки (жо,уо) существует также частная производная Fx(x,y), не-
прерывная в точке (жо,Уо); то функция у = f(x) дифференцируема в
точке хо, причем
f'(x0) = ~(Fy(x0, уо))’1 • (Fx(x0, уо)).	(8)
◄ Проверим непосредственно, что линейный оператор L Е £(Х; У),
стоящий в правой части формулы (8), действительно является диффе-
ренциалом функции у = /(ж) в точке жо-
Как и прежде, для упрощения записи будем считать, что жо = 0 и
уо = 0, поэтому /(0) = 0.
Проведем сначала предварительный подсчет
|/(ж) - /(0) - £ж| = |/(ж) - £ж| =
= |/(*) + ((^(О.О))-1 • (^'(0,0))ж| =
= |(^(0,0))-1(^'(0,0)ж + ^(0,0)/(ж))| =
= |(Р'(0,0))-1(Р(ж,/(ж))-Р(0,0)~Р'(0,0)ж-Р'(0,0)/(ж)Ж
||(f;(0,О))-1 II |(Р(ж,/(ж)) - F(0,0) - ^(0,0)ж - Р'(0,0)/(ж))|
^||(Г'(0,0))-1||-а(ж,/(ж))(|ж| + |/(ж)|),
где о(ж, у) —> 0 при (ж, у) —> (0,0).
Эти соотношения написаны с учетом того, что ^(ж,/(ж)) = 0, и
того, что непрерывность частных производных отображений F'x, Fy в
точке (0,0) обеспечивает дифференцируемость функции F(x, у) в этой
точке.
Положим для удобства записи а := ||Z|| и b := ||(Fy(0,0)“11|.
Учитывая, что
|/(ж)| = |/(ж) - Lx + £ж|	|/(ж) - £ж| + |£ж|	|/(ж) - £ж| + а|ж|,
проведенную выше предварительную выкладку можно продолжить и
получить, что
|/(ж) - £ж| Ьа(х, /(ж))((а + 1)|ж| + |/(ж) - £ж|),
122
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
или
\f&)-Lx\	^a(x,f(x))\x\.
1 - ba(x, f(x))
Ввиду непрерывности f в точке х = 0 и того, что /(0) = 0, при
х —> 0 также f(x) —> 0, поэтому а(х, f(x)) —> 0 при х —> 0.
Значит, из последнего неравенства следует, что
\f(x) - /(0) - Lx\ = \f(x) - Lx\ = о(|ж|) при х 0. ►
Дополнение 3 (о непрерывной дифференцируемости неявной фун-
кции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в ок-
рестности W точки (а?о>Уо) существуют и непрерывны частные про-
изводные отображения Fx, Fy, то в некоторой окрестности точки Xq
функция у = f(x) непрерывно дифференцируема и ее производное ото-
бражение вычисляется по формуле
f\x) =	(*, /(*)))•	(9)
◄ То, что в индивидуальной точке х, в которой оператор Fy(x, f(x))
обратим, производное отображение f'(x) существует и выражается в
виде (9), нам уже известно из формулы (8).
Остается проверить, что при сделанных предположениях функция
f'(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х = хо-
Билинейная функция (А, В) н- А • В — произведение линейных опе-
раторов А, В — является непрерывной функцией.
Оператор В = — F'x(x, /(а;)) непрерывно зависит от х как компози-
ция непрерывных функций х	(ж, / (а?)) Н- — Fx(x, f(x)).
То же самое можно сказать о линейном операторе А~1 = Fy(x, f(x)).
Остается вспомнить (см. пример 6 из § 3), что отображение А-1 н- А
также непрерывно в области своего определения.
Таким образом, задаваемая формулой (9) функция f'(x) непрерывна
в некоторой окрестности точки х = хо как композиция непрерывных
функций. ►
Теперь мы можем подвести итог и сформулировать следующее об-
щее
Утверждение. Если в дополнение к условиям теоремы о неявной
функции известно, что функция F принадлежит классу C^k\W,Z),
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
123
то определяемая уравнением F(x,y) = 0 неявная функция у — f{x)
принадлежит классу C^k\U, У) в некоторой окрестности U точки xq.
◄ При к — 0 и к = 1 утверждение уже доказано. Общий случай
может теперь быть получен по индукции из формулы (9), если заме-
тить, что отображение £(У;£) Э А А-1 е £(Z;K) (бесконечно)
дифференцируемо и что при дифференцировании равенства (9) правая
часть всегда содержит производные от f на один порядок более низкие,
чем левая часть. Таким образом, последовательное дифференцирование
равенства (9) возможно столько раз, каков порядок гладкости функ-
ции F. ►
В частности,если
= —(Fy(x,f(x')))~1 ’
то
= -d(F^x,f(x))r1h2F^x,f(x))h1 -
- (F^x,f(x))r^(F'x'x(x,f^ + F^y(x, f(x))f'(x))hi)h2 =
= (F;^,/^)))-^^^,/^)) + Fy'y(x,f(x))f'(x))h2) x
x	- (Fy(x,/(x)))-1 x
x ((F"x(x, f(x)) + F"y(x,
В менее подробной, но более обозримой записи это означает, что
/"(^Ж^) = (^[((F" + F^f'^F^F^ -
— ((F"x + Fyyf')hi)h2]. (10)
Так можно было бы в принципе получить выражение для произ-
водной любого порядка от неявной функции, однако, как видно уже
из формулы (10), эти выражения в общем случае слишком громоздки,
чтобы быть удобными в употреблении. Посмотрим теперь, как кон-
кретизируются полученные результаты в важнейшем частном случае,
когда X = Rm, У = Rn, Z = Rn.
124
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В этом случае отображение z — F(x, у} имеет координатное пред-
ставление
г1 =	, хт, у1,..., уп),
.............................. (И)
zn = Fn(x1,...,xm,y1,...,yn).
Частные производные отображения Fx € £(IRm;Rn), Fy € £(IRn;IRn)
задаются матрицами
/ 9F1	ЭЕ1 \	/ 9F1	9F1 \
I Эх1 •   9хт 1	ду1    9уп
\ 9Fn	9Fn j	9Fn	9Fn
' Эх1 ' ’ ‘ 9xm '	\ 9yx ‘ ' 9yn J
вычисленными в соответствующей точке (а;, у).
Непрерывность F'x и Fy, как нам известно, равносильна непрерыв-
ности всех элементов указанных матриц.
Обратимость линейного преобразования Fy(xo,yo) € £(IRn;IRn) рав-
носильна невырожденности матрицы, задающей это преобразование.
Таким образом, в рассматриваемом случае теорема о неявной фун-
кции утверждает, что если
1)	F1(xl,...,x^,y^,...,y^) = 0,
Fn(4,...,^,^,...,y^) = 0;
2)	F^x1,... ,хт,у1,, уп), i = 1,... ,п, — функции, непрерывные в
точке (xlQ,...,x^,yl,...,y%) С х Г1;
3)	все частные производные —^-(х1,..., хт, у1,..., уп), i = 1,..., п,
j = 1,... ,п, определены в окрестности точки (xq, ..., х™, Уо,    ,Уо) и
непрерывны в самой этой точке;
4)	в точке (а?о,... ,х™, у^,... ,ур) определитель
9F1
ду1
9Fn
ду1
9F1
9Fn
дуп
матрицы Fy отличен от нуля, то найдутся окрестность U точки xq =
= (xq, ..., х™) в Rm, окрестность V точки уо = (ур,..., yj) в Rn и ото-
бражение f: U —> Y, имеющее в данном случае координатное пред ста-
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
125
вление
у1 = у1^1,...,^),
................................... (12)
такие, что:
1') в пределах окрестности U х V точки (xq, ... ,х™,у1,..., у^) е
€ Rm х Rn система уравнений
F1(x1,...,xm,y1,...,yn) = О,
< ............................
Fn{xx,..., хт,у1,... ,уп) = О
равносильна функциональной зависимости f: U —> V, выраженной ра-
венствами (12);
Уо = У”^,---,*™);
3') отображение (12) непрерывно в точке (xq, ..., х™, у$,..., у$).
Если же, сверх того, известно, что отображение (11) принадлежит
классу гладкости С^к\ то, как следует из приведенного выше утвер-
ждения, отображение (12) также будет принадлежать классу ра-
зумеется, в соответствующей своей области определения.
Формула (9) в рассматриваемом случае конкретизируется, превра-
щаясь в матричное равенство
в котором левая часть вычисляется в точке (ж1,... ,хт), а правая —в
соответствующей точке (ж1,..., хт, у1,..., у"), где уг = /г(х\ ..., хт),
i = 1,... ,п.
Если п = 1, т.е. когда решается относительно у уравнение
F(x\ ... ,хт,у) = 0,
матрица Fy состоит из одного элемента — числа ^(гг1,... ,хт, у). В
этом случае у = f(x1,... ,хт) и
(df а/ \ = _ (dFy1 /dF_ dF \
y&r1’	’ дхт) \ду)	\дх1,"',дхт)
126
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Формула (10) в этом случае также несколько упрощается, точнее,
может быть переписана в следующем более симметричном виде:
bl (F;. + F;sf’)hlFih2-(F^+F;t,f)h2P1hl
J	=-------------------------------------	U4)

Если же и п = 1, и т — 1, то у = f(x) есть вещественнозначная
функция одного числового аргумента, и формулы (13), (14) предельно
упрощаются, превращаясь в знакомые числовые равенства

у
(F!;x+F^f'}F^^x+F^I'}F^
для первых двух производных неявной функции, задаваемой уравнени-
ем F(x,y) = 0.
Задачи и упражнения
1.	а) Предположим, что наряду с указанной в теореме функцией f:U^>Y
нашлась функция f:U —> Y, определенная в некоторой окрестности U точ-
ки хо и удовлетворяющая условиям уо = /(^о) и F(x, /(я)) = 0 в U. Докажите,
что если f непрерывна в xq , то в некоторой окрестности точки xq функции f
и f совпадают.
Ь) Покажите, что без предположения о непрерывности f в xq утвержде-
ние а, вообще говоря, неверно.
2.	Проанализируйте еще раз доказательство теоремы о неявной функции
и дополнений к ней и покажите, что:
а)	Если z = F\x.y) непрерывно дифференцируемая комплекснозначная
функция комплексных переменных х, у, то определяемая уравнением F(x. у) =
= 0 неявная функция у = f(x) будет дифференцируемой по комплексному пе-
ременному х.
Ь)	В условиях теоремы пространство X не обязано быть нормированным,
а может быть любым топологическим пространством.
3.	а) Выясните, симметрична ли форма /"(ж)(Л1, /12), заданная соотноше-
нием (10).
Ь)	Запишите в матричном виде формы (9) и (10) для случая числовых
функций /^(яг1,ж2,у) и F(x,y\y2).
с)	Покажите, что если Ж Э t A(t) € £(ЖП; Жп) есть бесконечно гладко
зависящее от параметра t семейство невырожденных матриц А(£), то
с^Д-1	„.(РА,.	,.	л_1/х
,.2 = 2А Ч —А -А -т^-А \ где А 1 = A
at2	\dt J at2
§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
127
— символ матрицы, обратной к матрице А = A(t).
4.	а) Покажите, что дополнение 1 к теореме является прямым следствием
условий устойчивости неподвижной точки семейства сжимающих отображе-
ний, рассмотренных в § 7 главы IX.
Ь) Пусть {At: X —> X} — семейство сжимающих отображений полного
нормированного пространства X в себя, зависящих от параметра t, который
изменяется в области Q нормированного пространства Т. Покажите, что если
At(x) = tp(t,х) является функцией класса х X,X), то неподвижная
точка x(t) отображения At как функция t принадлежит классу X).
5.	а) Опираясь на теорему о неявной функции, докажите следующую тео-
рему об обратном отображении.
Пусть gt G —> X — отображение окрестности G точки тщ полного норми-
рованного пространства Y в нормированное пространство X.
Если отображение х = д(у)
1° дифференцируемо в G,
2° д'(у) непрерывно в уо,
3° д'(уо) обратимый оператор,
то найдутся окрестность V С Y точки уо в Y и окрестность U С X
точки х0 в X такие, что д: V U биективно, а обратное к нему отображение
f:U^>V непрерывно в U и дифференцируемо в х0, причем
f'(x0) = (д'(Уо)Г1-
Ь)	Покажите, что если сверх приведенных в а) условий известно, что ото-
бражение д принадлежит классу C^AV-.U), то обратное отображение f при-
надлежит классу C^tU, V).
с)	Пусть f: К" —> К” — гладкое отображение, у которого в любой точке
гё!" матрица f'(x) невырождена и удовлетворяет неравенству (х)|| >
> С > 0 с константой С, не зависящей от х. Покажите, что f— биективное
отображение.
d)	Используя опыт решения задачи с), попробуйте дать некоторую оценку
радиуса той шаровой окрестности U = B(xq, г) точки т0, в которой заведомо
определено рассматриваемое в теореме об обратной функции отображение
V.
6.	а) Покажите, что если линейные отображения А € £(X;Y) и В е
6 £(X;IR) таковы, что kerA С кегВ (кег, как обычно, символ, обозначаю-
щий ядро оператора), то найдется такое линейное отображение А е £(У;К),
что В = А • А.
Ь)	Пусть X и Y — нормированные пространства, a f: X —> Rh	—>
-> У — гладкие функции на X со значениями в К и У соответственно. Пусть
S—гладкая поверхность, задаваемая в X уравнением д(х) = у$. Покажи-
те, что если хо € S — точка экстремума функции /|s, то любой вектор h,
касательный к S в точке xq, одновременно удовлетворяет двум условиям:
f'(x0)h = 0 и g'(x0)h = 0.
128	ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
с)	Докажите, что если xq € S точка экстремума функции f\s, то f'(xo) =
= А • д'(хо), где А е £(Y; К).
d)	Покажите, как из предыдущего результата получается классический
необходимый признак Лагранжа условного экстремума функции на гладкой
поверхности в К".
7. Как известно, уравнение zn + ciz”-1 +... + сп = Ос комплексными коэф-
фициентами имеет, вообще говоря, п различных комплексных корней. Пока-
жите, что корни уравнения гладко зависят от его коэффициентов, по крайней
мере, пока все корни различны.
ГЛАВА XI
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1.	Интеграл Римана на n-мерном промежутке
1.	Определение интеграла
а.	Промежуток в Rn и его мера
Определение 1. Множество I = {я 6 Rn | аг < хг < Ьг, г =
= 1,... ,71} называется промежутком или координатным параллелепи-
педом в Rn.
Если желают отметить, что промежуток определяется точками а =
= (а1,..., ап) и Ь = (Ь1,... ,Ьп), то его часто обозначают символом 1а^
или, по аналогии с одномерным случаем, записывают в виде а х Ь.
Определение 2. Промежутку I = {я G Rn | аг хг Ьг, г =
п
= 1,..., 71} ставится в соответствие число |/| := (bl — а1), называемое
г=1
объемом или мерой промежутка.
Объем (меру) промежутка I обозначают также символами и(1) или
Лемма 1. Мера промежутка в Rn
а)	однородна, т. е. если Х1а,ь '•= 1ха,хъ, где А 0, то
\XIa,b\ = Ап|1а,ь|;
Ь)	аддитивна, т. е. если промежутки I,1\,..., Д. таковы, что I =
к
= (J /г и промежутки I\,... ,1k попарно не имеют общих внутренних
г=1
130
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
к
точек, то |/| =	|4|;
г~1
с)	если промежуток I покрыт конечной системой промежутков
к	к
т.е. I С U 1г, то |Z|	|Л|-
г=1	г=1
Все эти утверждения легко вытекают из определений 1 и 2.
Ь.	Разбиение промежутка и база в множестве разбиений.
Пусть задан промежуток I = {ж £ Rn | аг хг Ьг, i = 1,... , п}. Раз-
биения координатных отрезков [а1, 6г], г = 1,..., п, индуцируют разби-
ение промежутка I на более мелкие промежутки, получающиеся пря-
мым произведением промежутков разбиения указанных координатных
отрезков.
Определение 3. Описанное представление промежутка I (в виде
к
объединения I — U Л более мелких промежутков 1^) будем называть
J=1
разбиением промежутка I и обозначать символом Р.
Определение 4. Величина А(Р) := max d(L) (максимального из
диаметров промежутков разбиения Р) называется параметром разби-
ения Р.
Определение 5. Если в каждом промежутке 1д разбиения Р фик-
сирована некоторая точка £у £ 1д, то говорят, что имеется разбиение с
отмеченными точками.
Набор {£i,...,£fc}, как и прежде, будем обозначать одним симво-
лом £, а разбиение с отмеченными точками — символом (Р, £).
В множестве Р = {(Р, £)} разбиений с отмеченными точками про-
межутка I вводится база А(Р) —> 0, элементы Бд (d > 0) которой, как
и в одномерном случае, определяются соотношением Bd := {(Р, £) 6 Р |
А(Р) < d}.
То, что В = {Bd} — действительно база, следует из существования
разбиений с параметром А(Р), сколь угодно близким к нулю.
с.	Интегральная сумма и интеграл. Пусть I —> R—веществен-
нозначная1) функция на промежутке Z, а Р = {Ц,..., Ik} — разбиение
^Обратите внимание на то, что в последующих определениях можно было бы счи-
тать, что значения f лежат в любом линейном нормированном пространстве. На-
пример, это могут быть пространство С комплексных чисел, пространства Rn, С".
§1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
131
этого промежутка с отмеченными точками £ = {£1, • • •, £fc}.
Определение 6. Сумма

называется интегральной суммой (Римана) функции /, соответствую-
щей разбиению (Р, £) с отмеченными точками промежутка I.
Определение 7. Величина
[f(x)dx:= lim cr(J,P,
J	A(P)->0
если указанный предел существует, называется интегралом (Римана)
от функции f на промежутке I.
Мы видим, что данное определение и вообще весь процесс постро-
ения интеграла на промежутке 1 С Rn дословно повторяет уже зна-
комую нам процедуру определения интеграла Римана на отрезке. Для
большего сходства мы даже оставили прежний вид f(x)dx подынте-
грального выражения. Равносильные, но более развернутые обозначе-
ния интеграла таковы:
/(ж1,... ,хп) dx1 •... • dxn или / ’'' / /(ж\ • • •,хП) dx1 •... • dxn.
Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле по многомерной
области I, говорят, что это кратный интеграл (двойной, тройной
и т. д. в соответствии с размерностью I).
d.	Необходимое условие интегрируемости
Определение 8. Если для функции f: I —> R указанный в опреде-
лении 7 конечный предел существует, то f называется интегрируемой
(по Риману) функцией на промежутке I.
Множество всех таких функций будем обозначать символом 7£(7).
Проверим следующее простейшее необходимое условие интегрируе-
мости.
132
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Утверждение 1. f е 7^(/) => f ограничена на I.
Пусть Р — произвольное разбиение промежутка I. Если функ-
ция f неограничена на I, то она неограничена и на некотором про-
межутке 1го разбиения Р. Если (Р, £'), (Р, £")—разбиения Р с такими
отмеченными наборами точек, что и %" отличаются только выбором
точек £'о, £" в промежутке 1го, то
н/,р,е') -<т(/,р,е")1 = I/O -/(ег")НДо1-
Меняя одну из точек , £", при неограниченности f в 11о, мы могли
бы сделать правую часть последнего равенства сколь угодно большой.
В силу критерия Коши отсюда следует, что интегральные суммы фун-
кции f не имеют предела при А(Р) —> 0. ►
2.	Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
Изучая интеграл Римана в одномерном случае, мы уже познакомили
читателя (без доказательств) с критерием Лебега существования инте-
грала. Здесь мы напомним некоторые понятия и докажем этот крите-
рий.
а.	Множество меры нуль в Rn
Определение 9. Говорят, что множество В 6 Rn имеет (тг-мер-
ную) меру нуль или является множеством меры нуль (в смысле Лебега),
если для любого £ > 0 существует покрытие множества Е не более чем
счетной системой {1г} тг-мерных промежутков, сумма ^2|/г| объемов
которых не превышает е.	г
Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества ме-
ры нуль.
Ь)	Объединение конечного или счетного числа множеств меры нуль
есть множество меры нуль.
с)	Подмножество множества меры нуль само есть множество ме-
ры нуль.
d)	Невырожденный промежуток^ 1а,ъ С В” не является множест-
вом меры нуль.
^То есть такой промежуток 1а,ь = {г £ R" | в1 Ь1, г = 1,... , п}, что при
любом значении г е {1,..., п} имеет место строгое неравенство а* < Ь1.
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
133
Доказательство леммы 2 ничем не отличается от доказательства ее
одномерного варианта, рассмотренного в п. 3d, § 1, гл. VI, поэтому мы
на нем не останавливаемся.
Пример 1. Множество рациональных точек в Rn (точек, все ко-
ординаты которых рациональны) счетно и потому является множест-
вом меры нуль.
Пример 2. Пусть /: I —> R— непрерывная вещественнозначная
функция, определенная на (п — 1)-мерном промежутке I С R"^1. Пока-
жем, что ее график в Rn есть множество n-мерной меры нуль.
◄ Поскольку функция f равномерно непрерывна на /, то по £ > О
найдем <5 > 0 так, чтобы для любых точек xi, Х2 G I при условии
|xi — жг| < иметь — /(®2)| < Е- Если теперь взять разбиение
Р промежутка I с параметром А(Р) < <5, то на каждом промежутке Д
такого разбиения колебание функции f будет меньше £. Значит, если
хг — произвольная фиксированная точка промежутка 1г, то п-мерный
промежуток 1г = Д х [/(жг) — £, f(xt) +е], очевидно, содержит всю часть
графика функции /, которая лежит над промежутком /г, а объедине-
ние (J 1г промежутков 1г покрывает весь график функции f над I. Но
£|Zt| =	' 2е = 2е|/| (здесь |/г| — объем 1г в R” ’1, |7г|—объем 1г
в Rn). Таким образом, уменьшая £, действительно можно общий объем
покрытия сделать сколь угодно близким к нулю. ►
Замечание 1. Сопоставляя утверждение Ь) леммы 2 с приме-
ром 2, можно заключить, что вообще график непрерывной функции
/: Rn-1 —> R или непрерывной функции f: М —> R, где М С R”'"1
является множеством n-мерной меры нуль в Rn.
Лемма 3. а) Класс множеств меры нуль не изменится от того,
понимать ли в определении 9 покрытие множества Е системой про-
межутков {1г} в обычном смысле, т. е. считая Е С |Д/г, или в более
г
жестком смысле, требуя, чтобы каждая точка множества была вну-
тренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия^.
Иными словами, все равно, иметь ли в виду в определении 9 замкнутые или
открытые промежутки.
134
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь) Компакт К в R” является множеством меры нуль в том и
только в том. случае, если для любого е > 0 существует конечное
покрытие К промежутками, сумма объемов которых меньше е.
◄ а) Если {/г} — покрытие множества Е, т. е. Е С U 1г, причем
г
52 |Л| < е, то, взяв вместо каждого промежутка 1г гомотетичный ему
г
относительно его центра промежуток 1г, получим систему промежут-
ков {1г} такую, что 52 |А| < Апе, где А — общий для всех промежутков
коэффициент гомотетии. Если А > 1, то, очевидно, система {/г} будет
покрывать множество Е так, что любая точка Е является внутренней
точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия.
Ь) Это следует из а) и возможности извлечь конечное покрытие из
любого открытого покрытия компакта К. (В качестве такого покры-
тия может выступать система {1г\ д1г} открытых промежутков, полу-
чаемая из рассмотренной в а) системы {/г}.) ►
Ь. Одно обобщение теоремы Кантора. Напомним, что колеба-
нием функции f:E —> R на множестве Е мы назвали величину
co(f-,E):= sup | f (®i) —/(жг) |> а колебанием функции в точке х G Е—
Х1,Х2&Е
величину х) :== lim си(/; С/^(ж)), где U^fx) — <5-окрестность точки ж
<5—>0
в множестве Е.
Лемма 4. Если в каждой точке компакта К для функции f :
К —> R имеет место соотношение aiff; х) wq, то для любого е > 0
найдется д > 0 такое, что для любой точки х 6 К будет выполнено
неравенство w(f; и^(х)) < wq + s.
При о?о = 0 это утверждение превращается в теорему Кантора о
равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте. До-
казательство леммы 4 буквально повторяет схему доказательства тео-
ремы Кантора (п. 2, § 2, гл. VI), поэтому мы на нем не задерживаемся.
с. Критерий Лебега. Как и прежде, будем говорить, что некото-
рое свойство имеет место почти во всех точках множества М или
выполнено почти всюду на М, если подмножество М, где это свойство
может нарушаться, имеет меру нуль.
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
135
Теорема 1 (критерий Лебега), f G 71(1) <=> (f ограничена на 1)Л
h(f непрерывна почти всюду на I).
◄ Необходимость. Если f G 71(1), то по утверждению 1 функ-
ция f ограничена на I. Пусть \ f\	М на I.
Проверим, что f непрерывна почти во всех точках I. Для этого
покажем, что если множество Е точек разрыва функции не есть мно-
жество меры нуль, то f / 71(1).
оо
Действительно, представив Е в виде Е = U Еп, где Еп = {х Е
П=1
€ I | w(f;x) 1/тг}, на основании леммы 2 заключаем, что если Е
не имеет меру нуль, то найдется номер по такой, что множество Епо
тоже не есть множество меры нуль. Пусть Р — произвольное разбиение
промежутка I на промежутки {/г}. Разделим промежутки разбиения Р
на две группы А тл В, где
А =
1г G Р | 1г П Епо / 0 Л ш(/; 1г) >
2По
а В = Р\А.
Система промежутков А образует покрытие множества ЕПо. В са-
мом деле, каждая точка Епо лежит либо внутри некоторого промежут-
ка 1г G Р, и тогда, очевидно, 1г G А, либо на границе некоторых про-
межутков разбиения Р. В последнем случае хотя бы на одном из этих
промежутков колебание функции должно быть (в силу неравенства тре-
угольника) не менее чем и он войдет в систему А.
Покажем теперь, что, выбирая различным образом набор £ отме-
ченных точек в промежутках разбиения Р, мы можем заметно менять
величину интегральной суммы.
Именно, выберем наборы точек £', так, чтобы в промежутках
системы В отмеченные точки обоих наборов совпадали, а в промежут-
ках 1г системы А точки	выберем так, что f(^() —f(£") >	Тогда
\a(f,P,£')-a(f,p,£")\ = Е (Ж) -Ж"))1Л| > Е |Л| > с > о.
Существование такой постоянной с вытекает из того, что промежутки
системы А образуют покрытие множества ЕПо, которое по предполо-
жению не есть множество меры нуль.
Поскольку Р было произвольным разбиением промежутка I, на ос-
новании критерия Коши заключаем, что интегральные суммы <т(/, Р, ()
136
ГЛ XI КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
не могут иметь предел при А(Р) —> 0, т. е. f $ Р(/).
Достаточность. Пусть е — произвольное положительное число,
а Ее = {ж 6 11 ш(/; х) е}. По условию Е£ есть множество меры нуль.
Кроме того, Ее, очевидно, замкнуто в I, поэтому Ее —компакт.
По лемме 3 существует такая конечная система Д,..., Д промежутков
к к	к
в К”, что Е£ С U А и 52 |Л| < Е- Положим С\ = (J 1г, а через С? и Сз
г=1	г=1	г=1
обозначим объединение промежутков, полученных из промежутков 1г
гомотетией с центром в центре 1г и коэффициентом 2 и 3 соответствен-
но. Ясно, что Е£ лежит строго внутри и что расстояние d между
границами множеств и Сз положительно.
Отметим, что сумма объемов любой конечной системы промежут-
ков, которые лежат в Сз и попарно не имеют общих внутренних точек,
не больше чем Зпе, где п— размерность пространства R". Это следует
из определения множества Сз и свойств меры промежутка (лемма 1).
Отметим также, что любое подмножество промежутка I, диаметр
которого меньше d, либо содержится в множестве Сз, либо лежит в
компакте К = I \ (С2 \ дС^), где дС^ — граница С^ (и, следовательно,
С*2 \ дСъ —совокупность внутренних точек множества С? )
По построению Е£ С I \ К, поэтому в любой точке х G К должно
быть ш(/; х) < е. По лемме 4 найдется число 8 > 0 такое, что для любой
пары точек xi,X2 £ К, удаленных друг от друга не больше чем на 8,
имеет место неравенство |/(xi) — /(жг)! < 2е.
Сделанные построения позволяют теперь следующим образом про-
вести доказательство достаточности условий интегрируемости. Берем
любые два разбиения Р', Р" промежутка I с параметрами А(Р'), А(Р")
меньшими, чем А = min{d, J}. Пусть Р — разбиение, полученное пере-
сечением промежутков разбиений Р', Р", т. е. в естественных обозна-
чениях Р = {1г] = 1'г П I"}. Сравним интегральные суммы a(f,P,£) и
сг(/, Р',£')- Учитывая, что |/'| = |Aj|> можно записать:
з
И/.-Р'.О-'Л/, ?,{)! =
£(/(£)-/(OMI'vl
и
« Е, шо - ло)i11„।+wo - /(о)iи-? 1 
Здесь в первую сумму вошли те промежутки 1г] разбиения Р,
§1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
137
которые лежат в промежутках 1'г разбиения Р', содержащихся в множе-
стве Сз, а остальные промежутки разбиения Р отнесены к сумме ^2>
т. е. все они обязательно содержатся в К (ведь А(Р) < d).
Поскольку |/| М на Z, заменяя в первой сумме |/(£() — /(6j)|
величиной 2М, заключаем, что первая сумма не превосходит 2М • Зпе.
Учитывая, что во второй сумме £(,	6 1'г С К, а А(Р') < 3, за-
ключаем, что |/(£() — f (6j)l < 2е, и, следовательно, вторая сумма не
превосходит 2e|Z|.
Таким образом, |сг(/, Р',£') — сг(/,Р,£)| < (2М • 3" + 2|/|)е, откуда
(ввиду равноправности Р' и Р"), используя неравенство треугольника,
получаем, что
к(/,Р',е') - <Т(/, Р", e")l < 4(3"М+ |Z|)e
для любых разбиений Р1, Р" с достаточно малыми параметрами. В силу
критерия Коши теперь заключаем, что f Е П(1). ►
Замечание 2. Поскольку критерий Коши существования преде-
ла функций имеет силу в любом полном метрическом пространстве,
то критерий Лебега в его достаточной (но не в необходимой) части,
как видно из доказательства, справедлив для функций со значениями в
любом полном линейном нормированном пространстве.
3. Критерии Дарбу. Рассмотрим еще один полезный критерии
интегрируемости функции по Риману, применимый уже только к ве-
щественнозначным функциям.
а. Нижние и верхние интегральные суммы. Пусть f — вещест-
веннозначная функция на промежутке I, а Р = {1г} — разбиение про-
межутка I. Положим
тг = inf /(ж),
Х<Е1г
Определение 10. Величины
S(/’P) =
г
называются соответственно нижней
(Дарбу) функции f на промежутке I,
промежутка.
Мг = sup/(ж).
х£1г
S{f,P) = Y^Mi\Il\
г
и верхней интегральной суммой
отвечающей разбиению Р этого
138
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лемма 5. Между интегральными суммами функции > R
имеют место следующие соотношения'.
a)	я(/,Р) = infa(/,P,£)	а(/,Р,£)	suP<t(/,P,£) = S(/,P);
Ъ)	если разбиение Р1 промежутка I получается измельчением про-
межутков разбиения Р, то sfJ^P) s(f>Pl) С S^fjP1) С S(f>P);
с)	для любой пары Р\. Р% разбиений промежутка I справедливо не-
равенство s(f,Pi) < S(f, Р2).
◄ Соотношения а) и Ъ) непосредственно следуют из определений 6
и 10 с учетом, разумеется, определений верхней и нижней граней чи-
слового множества.
Для доказательства соотношения с) достаточно рассмотреть вспо-
могательное разбиение Р, получающееся пересечением промежутков
разбиений Р] и Рг- Разбиение Р можно рассматривать как измельчение
каждого из разбиений Pi, Р2, поэтому из соотношений Ъ) следует, что
S(f, Pl) < s(f,Р) < S(f,Р) a S(f,Р2). ►
Ь.	Нижний и верхний интегралы
Определение 11. Нижним и верхним интегралом (Дарбу) от
функции f: I —> R на промежутке I называются соответственно ве-
личины
J = sups(f,P), 7 = infS(/,P),
р	р
где верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным разбиениям Р
промежутка I.
Из этого определения и указанного в лемме 3 свойства сумм Дарбу
следует, что для любого разбиения Р промежутка имеют место нера-
венства
s(f,p) J S(f,P).
Теорема 2 (Дарбу). Для любой ограниченной функции
имеют место утверждения
к^5|ИлС<^эд',)-7)-
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
139
◄ Если сопоставить эти утверждения с определением 11, то стано-
вится ясно, что в сущности надо лишь доказать существование указан-
ных пределов. Проверим это для нижних интегральных сумм.
Фиксируем £ > 0 и такое разбиение Р£ промежутка для которого
s(f,P£) > J_ — е. Пусть Г£ — совокупность точек промежутка I, лежа-
щих на границе промежутков разбиения Р£. Как следует из примера 2,
Ге есть множество меры нуль. Ввиду простоты структуры множест-
ва Г£ очевидно даже, что найдется число Х£ такое, что для любого
разбиения Р, для которого А(Р) < Ае, сумма объемов тех его проме-
жутков, которые имеют общие точки с Ге, меньше чем е.
Взяв теперь любое разбиение Р с параметром А(Р) < Ае, образуем
вспомогательное разбиение Р', получаемое пересечением промежутков
разбиений Р и Р£. В силу выбора разбиения Р£ и свойств сумм Дарбу
(лемма 5), находим
J-z<S(f,P£)<s(f,P’)^J,
Теперь заметим, что в суммах s(f,P1') и s(/,P) общими являются
все слагаемые, которые отвечают промежуткам разбиения Р, не заде-
вающим Ге. Поэтому, если |/(я)| ^Мна/, то
и, с учетом предыдущих неравенств, таким образом находим, что при
А(Р) < Ае имеет место соотношение
J-s(f,P)<(2M + l)£.
Сопоставляя полученное соотношение с определением 11, заключаем,
что предел lim s(/, Р) действительно существует и равен
Аналогичные рассуждения можно провести и для верхних сумм. ►
с.	Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной
функции
Теорема 3 (критерий Дарбу). Определенная на промежутке I С
С Кп вещественнозначная функция f: I —> R интегрируема на нем то-
гда и только тогда, когда она ограничена на I и ее нижний и верхний
интегралы Дарбу совпадают.
140
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Итак,
f Е 'R-(I)	(/ ограничена на I) А = *7).
Необходимость. Если f Е 7^(7), то по утверждению 1 фун-
кция / ограничена на I. Из определения 7 интеграла, определения 11
величин «У, J и п. а) леммы 5 следует, что в этом случае также — J.
Достаточность. Поскольку s(/,P) С a(f,P,£) С	то
при J_ = J крайние члены этих неравенств по теореме 2 стремятся к
одному и тому же пределу, когда А(Р) —> 0. Значит, cr(f,P,^) имеет и
притом тот же предел при А(Р) —> 0. ►
Замечание 3. Из доказательства критерия Дарбу видно, что ес-
ли функция интегрируема, то ее нижний и верхний интегралы Дарбу
совпадают между собой и равны значению интеграла от этой функции.
Задачи и упражнения
1.	а) Покажите, что множество меры нуль не имеет внутренних точек.
Ь)	Покажите, что если множество не имеет внутренних точек, то это вовсе
не означает, что это множество меры нуль.
с)	Постройте множество, имеющее меру нуль, замыкание которого совпа-
дает со всем пространством Жп.
d)	Говорят, что множество Е С I имеет объем нуль, если для любого
г > 0 его можно покрыть конечной системой Д,..., Д. промежутков так, что
к
53 |Д| < £• Всякое ли ограниченное множество меры нуль имеет объем нуль?
Покажите, что если множество Е С Кп является прямым произведением
I хе прямой R и множества е С Жп-1 (п — 1)-мерной меры нуль, то Е есть
множество п-мерной меры нуль.
2.	а) Постройте аналог функции Дирихле в Кп и покажите, что если огра-
ниченная функция /:/-» R равна нулю почти во всех точках промежутка I,
то это еще не означает, что / Е 77(7).
Ь) Покажите, что если f Е 'P(I') и f(x) = 0 почти во всех точках проме-
жутка I, то f f(r) dr = 0.
7
3.	Между прежним определением интеграла Римана на отрезке I С R и
определением 7 интеграла на промежутке произвольной размерности имеется
маленькое различие, связанное с определением разбиения и меры промежутка
разбиения. Уясните для себя этот нюанс и проверьте, что
ь
f(r) dr = I f(x) dr, если a < b
§2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ
141
и
ff{x}dx = -ff(x)<lx, есла а > Ь,
а	I
где I — промежуток на прямой R с концами а, Ь.
4.	а) Докажите, что определенная на промежутке I С Ж” вещественно-
значная функция f: I —> Ж интегрируема на нем тогда и только тогда, ко-
гда для любого £ > 0 существует такое разбиение Р промежутка I, что
Ь) Используя результат а) и считая, что рассматривается вещественно-
значная функция f: I —> R, можно несколько упростить доказательство кри-
терия Лебега в разделе, относящемся к достаточности. Постарайтесь само-
стоятельно сделать эти упрощения.
§ 2. Интеграл по множеству
1.	Допустимые множества. В дальнейшем нам предстоит инте-
грировать функции не только по промежутку, но и по другим не слиш-
ком сложным множествам в Rn.
Определение 1. Множество Е С R” будем называть допусти-
мым, если оно ограничено в JF и его граница дЕ есть множество меры
нуль (в смысле Лебега).
Пример 1. Куб, тетраэдр, шар в К3 (В”) являются допустимыми
множествами.
Пример 2. Пусть определенные на (п— 1)-мерном промежутке I Е
6 функции tfi'. I —> R, i = 1,2, таковы, что < <р2(я) в любой
точке х Е I. Если эти функции непрерывны, то на основании примера 2
из § 1 можно утверждать, что область в Rn, ограниченная графиками
этих функций и боковой цилиндрической поверхностью, лежащей над
границей д! промежутка I, является допустимым множеством в Rn.
Напомним, что граница дЕ множества Е С Rn состоит из точек,
в любой окрестности которых имеются как точки множества Е, так и
точки дополнения Е в Rn. Значит, справедлива
Лемма 1. Для любых множеств Е, Е\, Е% С Rn:
а)	дЕ — замкнутое в Rn множество-,
Ь)	д{Е± U Е^) С дЕ\ U (Ж2;
с)	д(Е1 П Ь2) С dEi U дЕ?:
142
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
d)	Э(Е1 \ Е%) С ЭЕ\ U 9Е?.
Отсюда и из определения 1 вытекает, что имеет место
Лемма 2. Объединение или пересечение конечного числа допус-
тимых множеств является допустимым множеством; разность до-
пустимых множеств — тоже допустимое множество.
Замечание 1. Для бесконечного количества допустимых мно-
жеств лемма 2, вообще говоря, неверна, как, впрочем, и соответствую-
щие утверждения Ъ) и с) леммы 1.
Замечание 2. Граница допустимого множества- не только за-
мкнутое, но и ограниченное множество в т.е. это — компакт в Кп.
Значит, по лемме 3 из § 1 ее можно покрыть даже конечной системой
промежутков со сколь угодно близкой к нулю суммой объемов.
Рассмотрим теперь характеристическую функцию
/ \ — I 1» если х е
'Х-Е'х' о, если х £ Е
допустимого множества Е. Как и для любого множества £?, функция
Хр(х) имеет разрывы в граничных и только в граничных точках мно-
жества Е. Значит, если Е — допустимое множество, то функция ХЕ(У * * * * Х)
непрерывна почти во всех точках пространства Rn.
2.	Интеграл по множеству. Пусть f — определенная на множес-
тве Е функция. Условимся, как и прежде, символом fxE(x) обозначать
функцию, равную f(x) при х G Е и равную нулю вне Е (хотя / вне Е
нс определена).
Определение 2. Интеграл от функции f по множеству Е опре-
деляется соотношением
У f(x)dx:= У fxE(x)dx,
Е	1эЕ
где I —произвольный промежуток, содержащий множество Е.
Если стоящий в правой части равенства интеграл не существует,
то говорят, что f неинтегрируема (по Риману) на множестве Е. В
противном случае f называется интегрируемой (по Риману) на мно-
жестве Е.
§2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ
143
Совокупность интегрируемых по Риману на множестве Е функций
будем обозначать символом 7^(£?).
Определение 2, разумеется, требует пояснения, которое доставляет
Лемма 3. Если Д и —два промежутка, содержащие порознь
множество Е, то интегралы
У fXE(.x)dx,	У fXE(,x)dx
h	h
существуют или не существуют одновременно, причем в первом слу-
чае их значения совпадают.
•< Рассмотрим промежуток I = Д П Д. По условию I D Е. Точки
разрыва функции fxE либо совпадают с точками разрыва функции f
на Е, либо проистекают от разрывов функции хЕ и лежат на дЕ. Во
всяком случае, все эти точки лежат в IП Д П 1%. По критерию Лебега
(теорема 1, §1) отсюда следует, что интегралы от fxE по промежут-
кам I, Д, Д существуют или не существуют одновременно. Если они
существуют, то мы вправе выбирать разбиения I, Ii, I2 по своему усмо-
трению. Будем поэтому брать только те разбиения промежутков Д, Д,
которые получаются продолжением разбиений промежутка I = Д П Д.
Поскольку вне I рассматриваемая функция равна нулю, интегральные
суммы, отвечающие описанным разбиениям Д и Д, сведутся к инте-
гральной сумме соответствующего разбиения промежутка I. После пре-
дельного перехода отсюда получается, что интегралы по Д и Д равны
интегралу от рассматриваемой функции по промежутку I. ►
Из критерия Лебега (теорема 1, § 1) существования интеграла на
промежутке и определения 2 вытекает
Теорема 1. Функция f:E R интегрируема на допустимом
множестве тогда и только тогда, когда она ограничена и непрерывна
почти во всех точках множества Е.
4 Функция fxE по сравнению с функцией f может иметь дополни-
тельно точки разрыва лишь на границе дЕ множества Е. которая по
условию является множеством меры нуль. ►
144
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.	Мера (объем) допустимого множества
Определение 3. Мерой (Жордана) или объемом ограниченного
множества Е С2п назовем величину
ц(Е) := У 1 - dx,
Е
если указанный интеграл (Римана) существует.
Поскольку
У 1-dx = У хЕ(х) dx,
Е	1эЕ
а множество точек разрыва функции хЕ совпадает с дЕ, то по крите-
рию Лебега получаем, что так введенная мера определена только для
допустимых множеств.
Таким образом, допустимые множества и только они являются из-
меримыми в смысле определения 3.
Выясним теперь геометрический смысл величины р-(Е). Если Е—
допустимое множество, то
м(-Е) = У XE(x)dx= у xE(x)dx= j xE(x)dx,
ide	fDB	ide
где последние два интеграла суть нижний и верхний интегралы Дар-
бу соответственно. В силу критерия Дарбу существования интеграла
(теорема 3 § 1) мера ц(Е) множества определена тогда и только тогда,
когда указанные нижний и верхний интегралы совпадают. По теореме
Дарбу (теорема 2 § 1) они являются пределами нижних и верхних инте-
гральных сумм функции хЕ, отвечающих разбиениям Р промежутка I.
Но в силу определения функции хЕ нижняя интегральная сумма рав-
на сумме объемов промежутков разбиения Р, лежащих в Е (это объем
вписанного в Е многогранника), а верхняя сумма равна сумме объемов
тех промежутков разбиения Р, которые имеют общие точки с множе-
ством Е (объем описанного многогранника). Значит, р.(Е) есть общий
предел при А(Р) —> 0 объемов вписанных в Е и описанных около Е
многогранников, что совпадает с принятым представлением об объеме
простых тел Е С Rn.
§ 2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ
145
При п = 1 объем принято называть длиной, а при п = 2 — площадью.
Замечание 3. Поясним теперь, почему вводимая определением 3
мера fi(E) множества называется иногда мерой Жордана.
Определение 4. Множество Е С R" называется множеством
меры нуль в смысле Жордана или множеством объема нуль, если для
любого с > 0 его можно покрыть такой конечной системой промежут-
к
ков 11,, Ik, ЧТО |Л| < £•
1=1
По сравнению с мерой нуль в смысле Лебега здесь появилось тре-
бование конечности покрытия, которое сужает лебеговский класс мно-
жеств меры нуль. Например, множество рациональных точек является
множеством меры нуль в смысле Лебега, но не в смысле Жордана.
Для того, чтобы верхняя грань объемов вписанных в ограничен-
ное множество Е многогранников совпадала с нижней гранью объемов
описанных около Е многогранников (и служила мерой р-(Е) или объ-
емом Е), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы граница дЕ мно-
жества Е имела меру нуль в смысле Жордана. Именно поэтому прини-
мают
Определение 5. Множество Е называется измеримым в смысле
Жордана, если оно ограничено и его граница имеет меру нуль в смысле
Жордана.
Как видно из замечания 2, класс множеств, измеримых по Жордану,
это в точности тот класс допустимых множеств, который был введен
определением 1. Вот почему определенная выше мера pt(E) может быть
названа (и называется) мерой Жордана множеств Е (измеримых по
Жордану).
Задачи и упражнения
1.	а) Покажите, что если множество Е с 1Й.П таково, что р(Е) = 0, то и
для замыкания Е этого множества справедливо равенство р(Е) = 0.
Ь)	Приведите пример ограниченного множества Е меры нуль в смысле Ле-
бега, замыкание Е которого уже не является множеством меры нуль в смысле
Лебега.
с)	Выясните, надо ли понимать утверждение Ь) леммы 3 из § 1 как то, что
для компакта понятия множества меры нуль в смысле Жордана и в смысле
Лебега совпадают.
146
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
d)	Докажите, что если проекция ограниченного множества Е С Кп на
гиперплоскость R”"1 имеет (п — 1)-мсрный объем нуль, то само множество Е
имеет n-мерный объем нуль.
е)	Покажите, что измеримое по Жордану множество без внутренних точек
имеет нулевой объем.
2.	а) Может ли существовать введенный определением 2 интеграл от не-
которой функции f по ограниченному множеству Е, если Е не является до-
пустимым множеством (измеримым в смысле Жордана)?
Ь)	Интегрируема ли постоянная функция f:E-¥ R на ограниченном, но
неизмеримом по Жордану множестве Е?
с)	Верно ли, что если некоторая функция f интегрируема на множестве Е,
то ограничение /|д, этой функции на любое подмножество А с Е множест-
ва Е является интегрируемой на А функцией?
d)	Укажите необходимые и достаточные условия на функцию f: Е -+ R,
определенную на ограниченном (но не обязательно измеримом по Жордану)
множестве Е, при которых интеграл Римана от нее по множеству Е суще-
ствует.
3.	а) Пусть Е-множество меры нуль в смысле Лебега, а /: Е -+ R—
непрерывная и ограниченная функция на Е. Всегда ли f интегрируема на Е?
Ъ)	Ответьте на вопрос а), считая Е множеством меры нуль в смысле Жор-
дана.
с)	Чему равен интеграл от указанной в а) функции /, если он существует?
4.	Неравенство Брунна-Минковского.
Непустым множествам А, В с Rn сопоставим их (векторную) сумму (в
смысле Минковского) А+В := {а+b | а € А,Ь € В}. Пусть V(Е) — обозначение
для объема множества Е с
а)	Проверьте, что если А п В стандартные n-мерные промежутки (парал-
лелепипеды), то
V1/n(A + В) V'/n(Д) + V'/n(В).
Ь)	Докажите теперь предыдущее неравенство (оно называется неравен-
ством Брунна - Минковского) для произвольных измеримых компактов Ап В.
с)	Покажите, что неравенство Брунна - Минковского переходит в равен-
ство лишь в следующих случаях: когда V (А+В) = 0; когда Ап В одноточечны;
когда А и В выпуклые гомотетичные тела.
§3. Общие свойства интеграла
1.	Интеграл как линейный функционал
Утверждение 1. а) Множество 'R.(E) функций, интегрируемых
по Риману на ограниченном множестве Е С , является линейным
§3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
147
пространством относительно стандартных операций сложения фун-
кций и умножения функции на число.
Ь) Интеграл является линейным функционалом
I = ЩЕ) —> R на пространстве 1Z(E).
Е
<4 Если учесть, что объединение множеств меры нуль также явля-
ется множеством меры нуль, то утверждение а) вытекает непосред-
ственно из определения интеграла и критерия Лебега существования
интеграла от функции на промежутке.
Учитывая линейность интегральных сумм, предельным переходом
получаем линейность интеграла. ►
Замечание 1. Если вспомнить, что один и тот же предел инте-
гральных сумм должен существовать при Л(Р) 0 независимо от выбо-
ра отмеченных точек £, то можно заключить, что (/ 6 ЩЕ)) Д (/ (х) =
= 0 почти всюду на Е) => I f f(x) dx = 0 I.
\ e	/
Таким образом, если две интегрируемые функции совпадают почти
во всех точках множества Е, то их интегралы по Е тоже совпадают.
Значит, если профакторизовать линейное пространство относя
в один класс эквивалентности функции, совпадающие почти во всех
точках множества Е, то получится линейное пространство ЩЕ), на
котором интеграл тоже будет линейным функционалом.
2.	Аддитивность интеграла. Хотя мы всегда будем иметь дело
с допустимыми множествами Е С К", в п. 1 можно было этого и не
предполагать (что мы и сделали). Теперь же речь будет идти только о
допустимых множествах.
Утверждение 2. Пусть Е\, Е? - допустимые множества в ,
a f — функция, определенная на Еу U
а)	Имеют место соотношения
6-4574
э I f(x)
Еу Г1Е2
dx.
148
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь)	Если еще известно, что /z(E’i — 0, т0 пРи условии сущес-
твования интегралов имеет место равенство
f(x) dx = J" f(x)dx + у* f(x)dx.
E1UE2	Ei	E2
<4 Утверждение а) следует из критерия Лебега существования ин-
теграла Римана по допустимому множеству (теорема 1, §2). При этом
надо только вспомнить, что объединение и пересечение допустимых
множеств также являются допустимыми множествами (лемма 2, §2).
Для доказательства утверждения Ь) заметим сначала, что
xE1№W = xB1W + хЁ2М - хЕ1ПЕг«.
Значит,
У f(x)dx = У ^XE1UE2W^ =
= У fXE1(x)dx + У fxE2(x)dx- У fxEinE2(x)dx =
III
= У f(x)dx + у f(x)dx.
Ei	Е2
Дело в том, что интеграл
У^ХЕ1ПЕ2(я)*= У f(x)dx,
I	Е1ПЕ2
как нам известно из а), существует, а поскольку д(-Ец А Е?) = 0, то он
равен нулю (см. замечание 1). ►
3.	Оценки интеграла
а.	Общая оценка. Начнем с одной общей оценки интеграла, спра-
ведливой и для интегралов от функции со значениями в любом полном
линейном нормированном пространстве.
§3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
149
Утверждение 3. Если f Е 'R(E'), то |/| 6 'R(E') и имеет место
неравенство
◄ То, что |/| 6 И(Е), вытекает из определения интеграла по мно-
жеству и критерия Лебега интегрируемости функции на промежутке.
Указанное неравенство получается теперь предельным переходом из
соответствующего неравенства для интегральных сумм. ►
Ь.	Интеграл от неотрицательной функции. Следующие утвер-
ждения относятся уже только к вещественнозначным функциям.
Утверждение 4. Для функции f:E^R справедливо следующее
предложение:
(f е ТЦЕ)) Л (Ух е E(f(x) 0)) => у f(x)dx > 0.
Е
◄ Действительно, ведь если /(а;)	0 на Е, то fxE(x) 0 в К”.
Далее, по определению
Е	1зЕ
Последний интеграл по условию существует. Но он является пре-
делом неотрицательных интегральных сумм, значит, он неотрицате-
лен. ►
Из доказанного утверждения 4 последовательно получаем
Следствие 1.
(f,g 6 П(Е)) Л (f g на Е)
Следствие 2. Если f 6 'R-(E') и в любой точке допустимого мно-
жества Е выполнены неравенства т /(а;) М, то
тр(Е) у* f(x)dx^M(i(E).
150
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Следствие 3. Если f 6 И(Е), т = inf /(ж), М = sup/(ж), то
Х^Е	х£Е
найдется такое число 0 S [m, М], что
У f(x) dx = 0ц(Е).
Е
Следствие 4. Если Е — связное допустимое множество и функ-
ция fiE-^lR непрерывна, то найдется такая точка £ 6 Е, что
У f(x) dx =
Е
Следствие 5. Если в дополнение к условиям следствия 2 имеет-
ся функция g G неотрицательная на Е, то
т У g(x)dx^ У fg(x) dx М j' g(x)dx.
ЕЕ	Е
Последнее утверждение является обобщающим и обычно называет-
ся, как и в случае Одномерного интеграла, теоремой о среднем для
интеграла.
Оно вытекает из неравенств тд(х) f(x)g(x) Мд(х) с учетом
линейности интеграла и следствия 1. Его можно доказать и непосред-
ственно, если перейти от интегралов по Е к соответствующим интегра-
лам по промежутку, проверить неравенства для интегральных сумм, а
затем перейти к пределу. Поскольку все эти рассуждения уже подробно
проводились в одномерном случае, мы на деталях не останавливаемся.
Отметим лишь, что интегрируемость произведения f  д функций f и д,
очевидно, вытекает из критерия Лебега. ►
Продемонстрируем теперь полученные соотношения в работе, про-
верив с их помощью, что справедлива следующая полезная
Лемма, а) Если интеграл от неотрицательной на промежутке I
функции f: I R равен нулю, то f(x) = 0 почти во всех точках
промежутка I.
Ь) Утверждение а) остается в силе, если промежуток I в нем
заменить любым допустимым (т. е. измеримым по Жордану) множе-
ством Е.
§3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
151
•4 По критерию Лебега функция f G 'R.(E') непрерывна почти во всех
точках промежутка I, поэтому доказательство утверждения а) будет
закончено, если мы покажем, что /(а) = 0 в любой точке а G /, в
которой функция f непрерывна.
Предположим, что /(а) > 0. Тогда f(x) с > 0 в некоторой окрест-
ности Ui(a) точки а (окрестность Ui(a) можно считать промежутком).
Значит, по доказанным свойствам интеграла
Jf(x)dx = У f(x)dx + У f(x)dx^ У f(x)dx cn(Ui(a)) > 0.
I	Uj(a)	l\U,(a)	U,(a)
Полученное противоречие проверяет справедливость утвержде-
ния а). Если применить это утверждение к функции fxE и учесть, что
р(дЕ) = 0, то получим утверждение Ь). ►
Замечание 2. Из доказанной леммы следует, что если Е— изме-
римое по Жордану множество вЖп, а 7?.(£^)— рассмотренное в заме-
чании 1 линейное пространство классов эквивалентных функций, ин-
тегрируемых на Е и различающихся лишь на множествах меры нуль в
смысле Лебега, то величина ||/|| = f |/|(я) dx является нормой на
Е
◄ Действительно, ведь из равенства f |/|(я) dx = 0, теперь можно
Е
заключить, что / лежит в том же классе эквивалентности, что и фун-
кция, тождественно равная нулю. ►
Задачи и упражнения
1.	Пусть Е — измеримое по Жордану множество ненулевой меры, a f :
Е -> К — непрерывная, неотрицательная интегрируемая функция на Е и М =
= sup/(z). Покажите, что
lim
п—»00
2.	Докажите, что если f,g € ЩЕ), то справедливо
а) неравенство Гёлъдера
У(J'S)(x)dx
152
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
гдер^ 1, О 1 и ± + | = 1;
Ь)	неравенство Минковского
если р 1.
Покажите, что
с)	предыдущее неравенство меняется на противоположное, если 0 < р < 1;
d)	знак равенства в неравенстве Минковского имеет место тогда и только
тогда, когда существует число Л 0 такое, что с точностью до множества
меры нуль на Е выполнено одно из двух соотношений / = Ад или д = Л/;
1/р
, где р(Е) > 0, монотонна отно-
сительно р € К и при р 1 является нормой в пространстве ЩЕ).
Выясните, при каких условиях в неравенстве Гёльдера имеет место знак
равенства.
3.	Пусть Е — измеримое по Жордану множество в К”, причем ц(Е) > 0.
Проверьте, что если € С(Е, К), а / : К —> К — выпуклая функция, то
е) величина ||/||р = ( -Ху f \f\p(.x)dx
4.	а) Покажите, что если Е — измеримое по Жордану множество в Кп, а
интегрируемая на нем функция	К непрерывна в его внутренней точке
а € Е, то
Л?оД(Ё7|и) I =
где, как обычно, L7^(a) обозначает «5-окрестность точки в множестве Е.
Ь) Проверьте, что предыдущее соотношение остается в силе, если условие
«а — внутренняя точка Е» заменить условием д(П^(в)) > 0 для любого 5 > 0.
§ 4. Сведение кратного интеграла к повторному
1.	Теорема Фубини1). До сих пор мы говорили об определении
интеграла, условиях его существования и его общих свойствах. Здесь
^Г. Фубини (1870-1943) —итальянский математик. Его основные труды относят-
ся к теории функций и геометрии.
§4 СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
153
будет доказана теорема, которая наряду с теоремой о замене перемен-
ных является инструментом для вычисления кратных интегралов.
Теорема1). Пусть X х Y — промежуток в Rm+n, являющийся
прямым произведением промежутков X С Rm uY С Rn. Если функция
f: X х Y —> R интегрируема на X х У, то интегралы
существуют одновременно и равны между собой.
Прежде чем браться за доказательство теоремы, расшифруем смысл
входящих в ее формулировку символов. Интеграл f f(x,y)dxdy—
XxY
это записанный в переменных х 6 X, у 6 У знакомый нам интеграл от
функции f по промежутку X х У.
Символ f dx f f(x,y)dy следует понимать следующим образом: при
х Y
фиксированном значении х Е X вычисляется интеграл F(x) =
= f f(x, у) dy по промежутку У, а затем полученная функция F: X —> R
интегрируется на промежутке X. При этом, если для некоторого х Е X
интеграл f f(x,y)dy не существует, то F(x) полагается равным любо-
му числу между (ж) = f f(x,y)dy и У (ж) = f f(x,y)dy, не исключая
и самих значений JJx), J(x) нижнего и верхнего интегралов. Будет
показано, что тогда F G
Аналогичный смысл имеет символ f dy f f(x, у) dx.
В процессе доказательства теоремы выяснится, что совокупность
тес значений х G X, для которых У(ж) / У (ж), является множеством
m-мерной меры нуль в X.
Аналогично и совокупность тех у 6 У, при которых интеграл
1;Эта теорема была доказана задолго до появления известной в теории функций
теоремы Фубини, частным случаем которой она является Однако теоремы, позво-
ляющие сводить вычисление кратных интегралов к повторному интегрированию в
меньших размерностях, принято называть теоремами типа теоремы Фубини или,
для краткости, теоремами Фубини.
154
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
f f(x->y)dx может не существовать, окажется множеством n-мерной ме-
х
ры нуль в У.
Заметим, наконец, что, в отличие от интеграла по (т + ^-мерно-
му промежутку X х У, который мы в свое время условились назы-
вать кратным интегралом, последовательно вычисляемые интегралы
от функции f(x->y) по У, затем по X, или по X, а затем по У, принято
называть повторными интегралами от этой функции.
Если X и У—-отрезки прямой, то сформулированная теорема в
принципе сводит вычисление двойного интеграла по промежутку X х У
к последовательному вычислению двух одномерных интегралов. Ясно,
что, применяя эту теорему несколько раз, можно свести вычисление
интеграла по А;-мерному промежутку к последовательному вычислению
к одномерных интегралов.
Сущность сформулированной теоремы очень проста и состоит в
следующем. Рассмотрим интегральную сумму ^2 f (Хг> Уз) II ' оти
i,3
вечающую разбиению промежутка X х У на промежутки Хг х Y3. По-
скольку интеграл от f по промежутку X х У существует, то отмеченные
точки Е Хг х Y3 можно выбирать по своему усмотрению, и мы их
выбрали как «прямое произведение» выборов хг 6 Xi С X и yi Е У С У.
Тогда можно записать, что
У • |У3| = у pqy=
1,3	i	3
= У1Е1У/Е-й)1^Ь
3	1
а это и есть допредельный вид нашей теоремы.
Дадим теперь ее формальное доказательство.
◄ Любое разбиение Р промежутка X х У индуцируется соответству-
ющими разбиениями Рх, Ру промежутков X и У. При этом каждый
промежуток разбиения Р есть прямое произведение Хг х Y3 некоторых
промежутков Хг, Y3 разбиений Рх- Ру соответственно. По свойствам
объема промежутка )Хг х = |Х*| • |Уу|, где каждый из объемов вы-
числяется в том пространстве IRm+n, Km, Кп, которому принадлежит
рассматриваемый промежуток.
Используя свойства нижней и верхней граней, а также определения
нижних и верхних интегральных сумм и интегралов, проведем теперь
§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
155
следующие оценки:
s(f,P) =
< V sup Жу)|х х yJ = s(f,py
— zex,
yey}
Поскольку f E P(X x У), то при A(P) -> 0 оба крайних члена этих
неравенств стремятся к значению интеграла от функции f по проме-
жутку X х У, Это обстоятельство позволяет из написанных оценок
заключить, что F Е Р(Х) и что имеет место равенство
У f(x,y)dxdy = У F(x)dx.
XxY	X
Мы провели доказательство в случае повторного интегрирования
по У, а затем по X. Ясно, что аналогичные рассуждения можно про-
вести и в случае, когда сначала идет интегрирование по X, а затем
по У. ►
2. Некоторые следствия
Следствие 1, Если f Е F.(X х У), то при почти всех (в смы-
сле Лебега) значениях х Е X интеграл f f(x,y)dy существует и при
Y
почти всех значениях у Е Y существует интеграл f f(x^y)dx.
х
156
ГЛ XI КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
◄ По доказанной теореме
dx = О
Но стоящая в скобках разность верхнего и нижнего интегралов нео-
трицательна. На основании леммы из § 3 можно заключить, что эта
разность равна нулю почти во всех точках х 6 X.
Тогда по критерию Дарбу (теорема 3 § 1) интеграл f f(x, у) dy су-
Y
ществует почти при всех значениях х Е X
Аналогично доказывается и вторая часть сделанного утвержде-
ния. к
Следствие 2. Если промежуток I С является прямым про-
изведением отрезков 1г = [аг,6г], г = 1, . , п, то
У f(x)dx
I
ь1
У /(я1, х2,..., хп) dx1.
а1
4 Эта формула, очевидно, получается повторным применением до-
казанной теоремы Все внутренние интегралы в правой части понима-
ются, как и в теореме. Например, всюду можно поставить знак верх-
него или нижнего интеграла. ►
Пример 1. Пусть f(x,y,z) — zsin(a? + у) Найдем интеграл от
ограничения этой функции на промежуток I С К3, определяемый соот-
ношениями О х тг, |у|	тг/2, 0	1
По следствию 2
1	7г/2 тг
У dz dy z sin(rc + у) dx =
О —тг/2 О
(-2COs(t + у)
С=о)^ =
1 тг/2
У dz У 2z cos ydy =
О —тг/2
§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
157
1 1
= У ^2zsiny |у£2_^/2) dz = У 4zdz = 2,
о	о
Доказанную теорему можно использовать и для вычисления инте-
гралов по достаточно общим множествам.
Следствие 3. Пусть D — ограниченное множество в Кп-1, а
Е = {(я,у) Е | (х Е D) /\(<pi(x) < у < 9?г(ж))}. Если f е П(Е),
то
т?2(х)
Уf(x,y)dxdy = Уdx У f(x,y)dy.	(1)
Е	D
◄ Пусть Ех = {(я?,у) Е |	у	если х 6 £), и
пусть Ех = 0 при х D. Заметим, что хЕ(х,у) = xD(x) * ХЕх(у)-
Вспоминая определение интеграла по множеству и используя теорему
Фубини, получаем
Внутренний интеграл здесь тоже может не существовать на неко-
тором множестве точек х Е D меры нуль в смысле Лебега, и тогда ему
приписывается тот же смысл, что и в доказанной теореме Фубини. к
Замечание. Если в условиях следствия 3 множество D измеримо
по Жордану, а функции cpi: D —> R, i = 1,2, непрерывны, то множество
Е С К™ измеримо по Жордану.
◄ Граница дЕ множества Е состоит из двух графиков непрерывных
функций tpi: D —> К, i = 1,2 (являющихся в силу примера 2 § 1 множест-
вами меры нуль), и части Z прямого произведения границы dD множе-
158
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ства D С JRn-1 на достаточно большой одномерный отрезок длины I.
По условию 3D можно покрыть системой (п — 1)-мерных промежут-
ков, сумма (п — 1)-мерных объемов которых будет меньше е/l. Прямое
произведение этих промежутков на выбранный отрезок (длины I) даст
покрытие множества Z промежутками, сумма объемов которых мень-
ше е. ►
На основании этого замечания можно сказать, что на измеримом
множестве Е такой структуры (как и на любом измеримом множест-
ве Е) функция f: Е —> 1 6 R интегрируема. Опираясь на следствие 3 и
на определение меры измеримого множества можно теперь заключить,
что справедливо
Следствие 4. Если в условиях следствия 3 множество D изме-
римо по Жордану, а функции D —> К, i = 1,2, непрерывны, то
множество Е измеримо и его объем можно вычислять по формуле
ц(Е) = J (<р2(х) - <pi(x))dx.
D
(2)
Пример 2. Для круга Е = {(гс, у) Е В2 | х2 + у2 г2} по этой
формуле получаем
г	тг/2	тг/2
= 4	л/г2 — у2 dy — 4	г cos <pd(r sin <р) = 4r2 J г cos2 <р dp = тгг2.
0	0	о
Следствие 5. Пусть Е —измеримое множество, лежащее в про-
межутке I С К”. Представим I в виде прямого произведения I =
— Лг х 1у (п — 1)-мерного промежутка 1Х и отрезка 1у. Тогда при по-
чти всех значениях уо Е 1у сечение Еуо = {(^}у) Е Е \ у = уо} множес-
тва Е (п — 1)-мерной гиперплоскостью у = уо является измеримым ее
подмножеством, причем
= / lAEyldy,
(3)
§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
159
где р(Еу)—(п — \.)-мерная мера множества Еу, если оно измеримо,
и любое число между числами f 1 - dx и f 1  dx, если Еу оказалось
Ёу	еу
неизмеримым множеством.
4 Следствие 5 вытекает непосредственно из доказанной теоремы
и следствия 1, если положить в них f = хЕ и учесть, что хЕ(х,У) =
= ХЕ (®)- ►
^у
Отсюда, в частности, получается
Следствие 6 (принцип Кавальери1)). Пусть А и В — два тела
в пространстве К3, имеющие объем (т.е. измеримые по Жордану).
Пусть Ас = {(x,y,z) Е А \ z = с } и Вс = {(x,y,z) Е В | z — с} —
сечения тел А и В плоскостью z ~ с. Если при каждом с £ К множе-
ства Ас, Вс измеримы и имеют одинаковую площадь, то тела А и В
имеют одинаковые объемы.
Ясно, что принцип Кавальери можно сформулировать и для прост-
ранства К71 любой размерности.
Пример 3. Используя формулу (3), вычислим объем Уп шара В =
- {х Е К7' | |гс| г} радиуса г в евклидовом пространстве R1.
Очевидно, Vi = 2г. В примере 2 мы нашли, что У% — ?гг2. Покажем,
что Уп — СпГп, где сп —постоянная (которую мы ниже вычислим). Вы-
берем какой-нибудь диаметр [—г, г] шара и для каждой точки х Е [—г, г]
рассмотрим сечение Вх шара В гиперплоскостью, ортогональной вы-
бранному диаметру. Поскольку Вх есть шар размерности п — 1, радиус
которого по теореме Пифагора равен у/г2 — х2, то, действуя по индук-
ции и используя формулу (3), можно написать:
г	/ тг/2	\
Уп = У Cn-l(r2 — Х2)^ dx = Сп-1 у" COSn (pd(p I г".
~г	\	—тг/2	/
(При переходе к последнему равенству, как видно, была сделана замена
х = г sin у?.)
^Б. Кавальери (1598 - 1647) —итальянский математик, автор так называемого ме-
тода неделимых для определения площадей и объемов.
160
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Итак, показано, что Vn ~ спгп^ причем
тг/2
сп = с„-1 у" cos71 (pd(p.
— Тг/2
Теперь найдем постоянную сп в явном виде. Заметим, что при т 2
тг/2	тг/2
1т = У cosm tpdtp — У cosm“2 </?(1 — sin2 (/?)(/(/? =
—T^l’2,	—тг/2
7г/2
1 Г	1
= Лп-2 +-----------Г / sinv?<Zcosm l 7? = Лп-2-----------------г7m,
т — 1 j	т - 1
— 7f/2
т.е. имеет место рекуррентное соотношение
Т _ т - 1
7m —	7m_ 2-	(о)
т
В частности, L2 = тг/2. Непосредственно из определения величи-
ны 1т видно, что 71 = 2. Учитывая эти значения Ц и 1%, из рекур-
рентной формулы (5) находим, что
(2fc)>!	(2fe - 1)!!
724+1	(2* + l)!l ’	24	(2fc)l!	'	®
Возвращаясь к формуле (4), теперь получаем
(2fc)I! п (2/с)!!	(2fc—1)1!	(2тг)*
с2*+1-С2*(2*+1)!! ' -С24“1 (2fc+l)!! '	(2fc)!!	'-C1' (2fc+l)!!
(2k-1)!!	(2k—1)!!	(2fc2)!!	_ (2т)4-1
C2*-C2*-1	^-C2k-2 (2fc)|| * • (2A._1)!! •	~c2 (2Л)!!	'
Но, как мы видели выше, ci = 2, а сг = тг, поэтому окончательные
формулы для искомого объема Уп таковы:
V = 2	(27Г)* r2A+1 Vo = (2^\2^	(
V24+1 2(2fc+l)!!	’ V2t (2*)!!	’
где к E N, причем первая из этих формул справедлива и при к = 0.
§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
161
Задачи и упражнения
1. а) Постройте такое подмножество квадрата I С К2, что, с одной сто-
роны, его пересечение с любой вертикальной и любой горизонтальной прямой
состоит не более чем из одной точки, а, с другой стороны, замыкание этого
множества совпадает с I.
Ь) Постройте функцию /: I -> Ж, для которой оба участвующих в теореме
Фубини повторных интеграла существуют и равны между собой, в то время
как / ??.(/).
с) Покажите на примере, что если значения участвующей в теореме Фу-
бини функции F(x), подчиненные там условиям У (ж) F(x) У(^), в точ-
ках, где	просто положить равными нулю, то функция F может
оказаться неинтегрируемой. (Рассмотрите, например, в Ж2 функцию f(x,y),
равную единице, если точка (j, у) € Ж2 не является рациональной, и равную
1 - [/q в рациональной точке [plq^mjn}^ где обе дроби несократимы.)
2.	а) В связи с формулой (3) покажите, что если все сечения ограниченного
множества Е семейством параллельных гиперплоскостей измеримы, то это
еще не означает, что Е измеримо.
Ь) Пусть в дополнение к условиям а) известно, что функция д(£у) из фор-
мулы (3) интегрируема на отрезке 1У. Можно ли в этом случае утверждать,
что Е — измеримое множество?
3.	Используя теорему Фубини и положительность интеграла От положи-
, ,	u	я'2 f ^2 f
тельной функции, дайте простое доказательство равенства /X — дX - сме-
vX оу 0у ох
шанных производных в предположении, что они являются непрерывными
функциями.
4.	Пусть /: 1а^ -> Ж — непрерывная функция, определенная на промежут-
ке = {г е Жп | аг хг	i = 1,... , п}, а функция F:	-> R,
определена равенством
/(t)dt,
где 1а^х С Найдите частные производные этой функции по переменным
ж1,.. . ,rTi.
5.	Определенная на прямоугольнике I = [а, b] х [с, d] с Ж2 непрерывная
функция f(x}y) имеет непрерывную в I частную производную
ъ	с f у
а)	Пусть F(y) = j f(x,y) dx. Исходя из равенства F(y) = f I f dt+
a	a \ r
+f(x,c)) dx. проверьте правило Лейбница, согласно которому F'(y) ~
= f^(x,u)dx.
162
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь)	Пусть G(x,y) = f f(t,y)dt. Найдите и Ж
а
h(y)
с)	Пусть Н(у) = f f(x, у) rfj, где h С Сл1) [а, Ь]. Найдите Н'(у).
а
6.	Рассмотрим последовательность интегралов
Ф	Я
F0(x) = У f(y)dy, Fn(x) = f f(y)dV’ n е N,
о	о
где / С С(Ж,К).
а)	Проверьте, что F„(x) = Fn_i(x); Fn*\o) = 0, если к тг, Fnn+1\x) =
= /(®).
Ь)	Покажите, что
X	11	®п-1
f	f	f	1 f
dxr I dx2 •   / f(xn)dxn = (x — y)nf(y)dy.
ООО	0
7.	а) Пусть f: E —> Ж — функция, непрерывная на множестве Е ~ {(ж, у) £
G Ж2	я}. Докажите, что
1 X	11
У dx У f(x,y)dy = У dy у* f(x,y)dx.
0	0	Оу
2тг sin х
Ь) На примере повторного интеграла f dx f 1  dy объясните, почему
о о
не каждый повторный интеграл является расписанным по теореме Фубини
двойным интегралом.
§ 5. Замена переменных в кратном интеграле
1.	Постановка вопроса и эвристический вывод формулы за-
мены переменных. Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы
получили в свое время важную формулу замены переменной в таком
интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу
замены переменных в общем случае. Уточним вопрос.
Пусть Dx—множество в Жп, f— интегрируемая на Dx функция,
a (f>: Dt —> Dx —отображение t —> <p(t) множества Dt С на Dx.
Спрашивается, по какому закону, зная f и (/?, находить функцию *0 в l)f
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
163
так, чтобы иметь равенство
у" f(x)dx — у -0(f) dt,
D%	Di
позволяющее сводить вычисление интеграла по Dx к вычислению инте-
грала по £)(?
Предположим сначала, что Dt есть промежуток I С а (/?: I —>
-> Dx диффеоморфное отображение этого промежутка на Dx. Лю-
бому разбиению Р промежутка I на промежутки ДДг, • • •, А соответ-
ствует разложение Dx на множества (/?(/г), i =	Если все эти
множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам ме-
ры нуль, то в силу аддитивности интеграла
г	k г
Jf(x)dx = ^2 I f(x)dx,	(1)
/Л	г=1<ХЛ)
Если f непрерывна на Dx, то по теореме о среднем
У f(x)dx = /(УдШ),
<^(А)
где & G Поскольку f(£t) = /(</?(тг)), где тг = <?-1(&), то нам
остается связать	с
Если бы <р было линейным преобразованием, то <р(1г) был бы парал-
лелепипед, объем которого, как известно из аналитической геометрии
и алгебры, был бы равен | det	Но диффеоморфизм локально
является почти линейным отображением, поэтому, если размеры про-
межутков 1г достаточно малы, то с малой относительной погрешностью
можно считать, что /а((/?(Л)) I det <р'(тг)111г| (можно показать, что при
некотором выборе точки тг Е 1г будет иметь место даже точное равен-
ство). Таким образом,
к »	к
£ / /(ж)^»52/(Нт.))|ае41р'(т.)||Д|.	(2)
’=1<р(Л)	*-1
Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная сум-
ма от функции /(</э(£))| det <//(t)| по промежутку /, отвечающая разби-
ению Р этого промежутка с отмеченными точками т. В пределе при
164
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
А(Р) —> 0 из (1) и (2) получаем
У f(x')dx--: у* /(<p(t))|det
Dx	Dt
Это и есть искомая формула вместе с ее объяснением. Намеченный
путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями (и это стоит проде-
лать). Однако, чтобы познакомиться с некоторыми новыми полезными
общематематическими приемами и фактами и избежать чисто техни-
ческой работы, мы в дальнейшем доказательстве кое в чем отклонимся
от этого пути.
Перейдем к точным формулировкам. Напомним
Определение 1. Носителем заданной в области D С функции
f: D —> R назовем замыкание в D множества тех точек области Z), в
которых f(x) ф 0.
В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда интегрируемая
функция f: Dx —> К равна нулю в окрестности границы области Dx,
точнее, когда носитель функции Dx (обозначаемый supp/) является
лежащим в Dx компактом1) К. Интегралы от f по Dx и по К, если
они существуют, очевидно, совпадают, поскольку вне К в D функция
равна нулю. С точки зрения отображений, условие supp/ = К С Dx
равносильно тому, что замена х = <p(t) действует не только на множес-
тве К, по которому в сущности и надо интегрировать, но и в некоторой
окрестности Dx этого множества.
Теперь сформулируем, что мы собираемся доказать.
Теорема 1* Если <р: Dt —> Dx—диффеоморфизм ограниченно-
го открытого множества Dt С К?1 на такое же множество Dx —
= (p(Dt) С IK?1, a f Е 1t(Dx) и supp/ — компакт в Dx, то f о <р| det <р'[ е
Е I^Df) и справедлива формула
j f(x)dx = j f о ip (t) | det | dt.
Dx=<p(Dt)	Dt
(3)
Такие функции обычно называют финитными в рассматриваемой области.
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
165
2.	Измеримые множества и гладкие отображения
Лемма 1. Пусть <р: Dt —> Dx —диффеоморфизм открытого мно-
жества Dt С на такое же множество Dx С Rn. Тогда справедли-
вы следующие утверждения:
а)	Если Et С Dt —множество меры нуль (в смысле Лебега), то его
образ <p(Ef) С Dx также является множеством меры нуль.
Ь)	Если множество Et, содержащееся в Dt вместе со своим замы-
канием Et, имеет объем нуль (в смысле меры Жордана), то его образ
tp(Ei) = Ех содержится в Dx вместе со своим замыканием и тоже
имеет объем нуль.
с)	Если измеримое (по Жордану) множество Et содержится в об-
ласти Dt вместе со своим замыканием Et, то его образ Ех = <p(Et)
является измеримым множеством и Ех С Dx.
◄ Заметим, прежде всего, что любое открытое подмножество D
пространства К?1 можно представить в виде объединения счетного чи-
сла замкнутых промежутков (которые к тому же попарно не имеют
общих внутренних точек). Для этого, например, можно разбить коор-
динатные оси на отрезки длины Д и рассмотреть соответствующее
разбиение пространства на кубики с ребрами длины Д. Фиксиро-
вав Д — 1, возьмем те кубики этого разбиения, которые содержатся
в D. Обозначим через /Д их объединение. Взяв далее Д = 1/2, добавим
к Fi те кубики нового разбиения, которые содержатся в D\F\. Получим
множество F? и т. д. Продолжая процесс, получим последовательность
Fl С ... С Fn С ... множеств, каждое из которых состоит из конеч-
ного или счетного числа промежутков, не имеющих общих внутренних
точек и, как видно из построения, = D.
Поскольку объединение не более чем счетного числа множеств меры
нуль является множеством меры нуль, утверждение а), таким образом,
достаточно проверить для множества Et, лежащего в замкнутом про-
межутке I С Dt- Это мы и сделаем.
Поскольку <р е (т. е. <pf G 0(1)), то существует постоянная М
такая, что ||у/(£)|| М на I. В силу теоремы о конечном приращении
для любой пары точек	/ и их образов	х-2 = p(h)
должно тогда выполняться соотношение |а?2 ~~ #i|	— ^1|-
Пусть теперь {4} — такое покрытие множества Et промежутками,
что J2IAI < £- Без ограничения общности можно считать, что Д =
166
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
= li П I с I.
Совокупность {<р(А)} множеств <р(4)> очевидно, образует покрытие
множества Ех ~ ^>{Et}. Если ti — центр промежутка 4, то, ввиду уста-
новленной выше оценки возможного изменения расстояний при отобра-
жении 9?, все множество <р(4) можно накрыть таким промежутком 4 с
центром Xi = линейные элементы которого в М раз отличаются
от соответствующих элементов промежутка 4- Поскольку |4| — Л/п|4|,
a <p(Et) С (J 4, то мы получили покрытие множества <p(Et) ~ Ех проме-
г
жутками, сумма объемов которых меньше, чем Мпе. Тем самым основ-
ное утверждение а) леммы доказано.
Утверждение Ь) следует из а), если учесть, что Et, а значит, по
доказанному и Ех = <p(Ef) суть множества меры нуль в смысле Лебега
и что Et, а значит и Ех — компакты. Ведь в силу леммы 3 § 1 всякий
компакт, являющийся множеством меры нуль в смысле Лебега, имеет
объем нуль.
Наконец, утверждение с) получается непосредственно из Ь), если
вспомнить определение измеримого множества и то, что при диффео-
морфизме внутренние точки множества Et перейдут во внутренние
точки его образа Ех = <p(Et), а значит, дЕх = (p(dEt). ►
Следствие. При условиях теоремы стоящий в правой части фор-
мулы (3) интеграл существует.
<4 Поскольку | det <£>'(2)1 Ф О в то supp/ О(Р' I det ~ supp fo<p —
— 9?"1 (supp/)— компакт в Dt. Значит, точки разрыва функции / о
о <р • | det (p’\XDt в совсем не связаны с функцией а являются
прообразами точек разрыва функции / в Dx. Но / е	поэтому
совокупность Ех точек разрыва функции / в Dx является множеством
меры нуль по Лебегу. Тогда по утверждению а) доказанной леммы мно-
жество Et — 9?-1(£х) имеет меру нуль. На основании критерия Лебега
теперь можно заключить, что функция / о 9? * | det 9?/|xrt интегрируема
на любом промежутке It D Dt. ►
3.	Одномерный случай
Лемма 2. а) Если It —> 1Х —диффеоморфизм отрезка It С К1
на отрезок Ix С R1, a f G 72.(7^), т() f О(Р ‘ 1^1 72.(4) п
У* f(x) dx = о <р • |9?' I) (t) dt.	(4)
lx	h
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
167
Ь) Формула (3) справедлива в R1.
<4 Хотя утверждение а) леммы 2 нам, по существу, уже известно,
мы дадим здесь независимое от изложенного в части I его короткое до-
казательство, использующее имеющийся теперь в нашем распоряжении
критерий Лебега существования интеграла.
Поскольку f G	a. <р: It Ix— диффеоморфизм, функция
fop |у/| ограничена на It- Точками разрыва этой функции могут быть
только прообразы точек разрыва функции f на Последние по кри-
терию Лебега образуют множество меры нуль. Образ этого множества
при диффеоморфизме у?-1: Ix -A It, как мы видели при доказательстве
леммы 1, имеет меру нуль. Значит, f о |<р'| £ ??.(/().
Пусть Рх —разбиение отрезка 1Х. Посредством отображения
оно индуцирует разбиение Pt отрезка It, причем из равномерной непре-
рывности отображений <р и <р~1 следует, что А(РТ) —> 0 -й* А(Д) —> 0.
Для разбиений Рх, Pt с отмеченными точками £г — <р(тг) запишем инте-
гральные суммы:
52Ж)|я-'г -^г-11 = 52/ °^(^)|^(*г) -	=
г	г
=	° SPt7-»)11^г “
г
причем точки £г можно считать выбранными именно так, что £г — у?(тг),
где тг — точка, получаемая применением теоремы Лагранжа к разности
Поскольку оба интеграла в соотношении (4) существуют, выбор от-
меченных точек в интегральных суммах можно делать по своему усмо-
трению, не влияя на величину предела. Значит, из написанного равен-
ства интегральных сумм в пределе при A(PT) —> 0 (А(Р<) —> 0) получа-
ется равенство (4) для интегралов.
Утверждение Ь) леммы 2 вытекает из доказанного равенства (4).
Прежде всего отмстим, что в одномерном случае | det (р'[ — |у/|. Далее,
компакт supp / легко покрыть конечной системой отрезков, лежащих
в Dx и попарно не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл
от f по множеству Dx сведется к сумме интегралов от f по отрезкам
указанной системы, а интеграл от f о по Dt сведется к сумме
интегралов по отрезкам, являющимся прообразами отрезков этой си-
стемы. Применяя к каждой парс соответствующих друг другу при ото-
168
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
бражении отрезков равенство (4), после сложения получаем форму-
лу (3). ►
Замечание 1. Доказанная нами ранее формула замены перемен-
ной в одномерном интеграле имела вид
да 0
У f(x)dx = у*(/О
<р(а)	с*
(5)
где было любым гладким отображением отрезка [а, (3} на отрезок с
концами <р(а) и В формуле (5) стоит не модуль |у/| производной,
а сама производная. Это связано с тем, что в левой части формулы (5)
может быть < <р(а)’
Если, однако, заметить, что для отрезка I с концами а и Ь имеют
место соотношения
У/(a?) dx = <
[
f f(x) dx,
a
b
— ff(x)dx,
a
если
если
a 6,
a > Ь,
то становится ясно, что в случае, когда — диффеоморфизм, формулы
(4) и (5) отличаются лишь внешним видом, а по существу совпадают.
Замечание 2. Интересно отметить (и этим мы не преминем вос-
пользоваться), что если <р: It —> 1Х — диффеоморфизм отрезков, то все-
гда справедливы формулы
относящиеся к верхним и нижним интегралам от вещественнозначных
функций.
А если зто так, то, значит, в одномерном случае можно считать
установленным, что формула (3) остается в силе для любой ограничен-
ной функции /, если интегралы в ней понимать как верхние или как
нижние интегралы Дарбу.
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
169
<4 Будем временно считать, что f — неотрицательная функция, ог-
раниченная константой М.
Снова, как и при доказательстве утверждения а) леммы 2, можно
взять отвечающие друг другу в силу отображения (р разбиения Pt
отрезков 1Х и It соответственно и написать следующие оценки, в кото-
рых £ —максимальное из колебаний функции (р на промежутках разби-
ения Pt:
У2 sup	< V sup sup -it-il
t	г teAtt	teAt,
У2 sup (№W) * sup k'WI)
, feat, \ *еД£г /
< £ sup (/Ы<))(|/(«)| + г))|Д(,| ST
* teAf,
< J2sup (/mo^'wdi^hi+sup /mowj
< £ sup (№(WWDIMI + £M\p\.
t teAt.
Учитывая равномерную непрерывность отсюда при A(Pf) —> О
получаем
У f(x)dx^ !(f о	dt.
h	it
Применяя доказанное к отображению (Д -1 и функции /о<р получаем
обратное неравенство и устанавливаем тем самым для неотрицатель-
ных функций первое из равенств замечания 2. Но поскольку любую
функцию можно представить в виде / = тах{/,0} — гаах{—/,0} (раз-
ности неотрицательных), то это равенство можно считать доказанным
и в общем случае. Аналогично проверяется и второе равенство. ►
Из доказанных равенств, конечно, можно вновь получить утвержде-
ние а) леммы 2 в случае вещественнозначной функции /.
4. Случаи простейшего диффеоморфизма в Пусть :
Dt -4 Dx — диффеоморфизм области Dt С на область Dx С Rx;
(t1,..., tn), (ж1,..., тт!) — координаты точек t е Жр и х е соответ-
ственно. Напомним
170
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение 2. Диффеоморфизм <р‘, Dt —> Dx называется про-
стейшим, если его координатная запись имеет вид
ж1 = ^(t1,...,^) =tr,
xk 1 = pk г(1\ ... ,tn) = tk \
= ^*+1(t1,	= tk+1,
Xn= pn(t\...,tn) =tn.
Таким образом, при простейшем диффеоморфизме меняется только
одна из координат (в данном случае координата с индексом А:).
Лемма 3. Для простейшего диффеоморфизма <р: Dt Dx фор-
мула (3) верна.
◄ С точностью до перенумерации координат можно считать, что
рассматривается диффеоморфизм <р, меняющий только n-ю координа-
ту. Введем для удобства записи следующие обозначения:
(х\...,хп~\хп) =: (Х,Хп); =:
:— {(ж,ж ) Е Dx | х — гг0};
I?t»(to) {(t?tn) £ Dt\t = to}.
Таким образом, Dxn[x), Dt^(t)—это просто одномерные сечения
множеств Dx и Dt соответственно прямыми, параллельными n-й ко-
ординатной оси. Пусть 1Х—промежуток в содержащий Dx. Пред-
ставим 1Х в виде прямого произведения 1Х = 1Х х 1хп (п — 1)-мерного
промежутка 1Х и отрезка 1хп п-и координатной оси. Аналогичное раз-
ложение It = х Itn запишем для фиксированного в iXp промежутка 4,
содержащего Dt.
Используя определение интеграла по множеству, теорему Фубини и
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
171
замечание 2, можно написать, что
В этой выкладке мы учли также то обстоятельство, что для раС-
Д^П
сматриваемого диффеоморфизма det <р = ^пг. ►
5. Композиция отображений и формула замены перемен-
ных
Лемма 4. Если DT Д Dt Д Dx —два диффеоморфизма, для каж-
дого из которых справедлива формула (3) замены переменных е инте-
грале, то она справедлива и для композиции о ф\ Dr —> Dx этих
отображений.
◄ Для доказательства достаточно вспомнить, что (<р о фу = о ф'
и что det(</? о ФУ^г) = det dets/>'(r), где t = <р(т). Действительно,
тогда получаем, что
У f(x) dx = у (/ о det ^|)(t) dt =
Dx	Dt
= У ((/ о ip о ф)\ det о ф\\ det i//|)(r) (^T “
Dr
= I((f ° (^° ^))|^(^о^)'|))(т)^т. ►
DT
172
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства
формулы замены переменных в интеграле. Леммы 3 и 4 наводят
на мысль воспользоваться возможностью локального разложения лю-
бого диффеоморфизма в композитно простейших (см. утверждение 2
из п. 4 § 6 гл. VIII часть I) и на этом пути получить в общем случае
формулу (3).
Сводить интеграл по множеству к интегралам по малым окрестно-
стям его точек можно по-разному. Например, можно воспользоваться
аддитивностью интеграла. Так мы и поступим. Опираясь на леммы 1,
3, 4, проведем теперь доказательство теоремы 1 о замене переменных
в кратном интеграле.
◄ Для каждой точки t компакта Kf = supp((/ о у?)| det <//|) С А
построим такую ее £(£)-окрестность Uft), в которой диффеоморфизм
<р раскладывается в композицию простейших. Из ^^-окрестностей
U(t) С U(t) точек t G Kf выделим конечное покрытие и U(<i),..., Ufa)
компакта Kt. Пусть 5 = j тт{5(^),...	Тогда любое множес-
тво, диаметр которого меньше чем 5, и которое пересекается с Kt.
очевидно, содержится вместе со своим замыканием хотя бы в одной из
окрестностей системы U(^),..., Ufa).
Пусть теперь I- -промежуток, содержащий множество Dt, а Р-—
такое разбиение промежутка I, что А(Р) < min{5, d}, где число 6 най-
дено выше, a d—расстояние от Kt до границы множества Dt. Пусть
{/,} —те промежутки разбиения Р, которые имеют с Kt непустое пе-
ресечение. Ясно, что если 1г G {Д}, то It С Dt и
У*(/ ° <Р| det <р'|) (t) dt	j((/ о <р| det	)(t) dt =
Dt	I
= (/°^ldet^'l)Wdt (6)
Образ Ег = промежутков 1г по лемме 1 является измеримым
множеством. Тогда и множество Е = {jEt измеримо, и supp/ С Е =
____	г
-ЕС Dx. Используя аддитивность интеграла, отсюда выводим, что
У* f(x)dx — У fxDJx)dx= у* fxDx&)dx + J fxDJx)dx =
Dx	IxDDx	[ДЕ	E
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
173
= f ^XDx & dx=" f f(x)dx = ^2 f Аж) dx' (7)
E	E	1 Ег
По построению любой промежуток Ц G { Л } содержится в некоторой
окрестности в пределах которой диффеоморфизм <р раскладыва-
ется в композицию простейших. Значит, на основании лемм 3 и 4 можно
записать, что
У f(x)dx = J(f о det <pz|)(i) dt.	(8)
E>	Д
Сопоставляя соотношения (6), (7), (8), получаем формулу (3). ►
7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены пе-
ременных в кратных интегралах
а. Замена переменных при отображениях измеримых мно-
жеств
Утверждение 1. Пусть Dt > Dx—диффеоморфизм откры-
того ограниченного множества Dt С IRn на такое же множество
Dxc№; Et и Ех —подмножества Dt и Dx соответственно, причем
такие, что Et С Dt, Ех = Dx и Ех = </?(£*). Если f € И(ЕХ), то
f о<^| det <р'| Е 'R(Et) и имеет место равенство
У f(x)dx~ У\f о <р| det <//|)(i) di.	(9)
Ех	Et
<4 Действительно,
У f(x) dx = у (fxEi)(x}dx = У(((/xEJ 0(^)1 det <p'|)(i) dt =
Ex	Ex	Et
= У((/ ° <p)l det/lx^)^) dt = У((/ о <p)| det y’\}(t)dt.
Dt	Et
В этой выкладке мы использовали определение интеграла по мно-
жеству, формулу (3) и то обстоятельство, что х = ХГ °	►
-Ofc	i-JX
174
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь. Инвариантность интеграла. Напомним, что интеграл по мно-
жеству Е от функции f: Е -> R сводится к вычислению интеграла от
функции fxE по промежутку I Э Е. Но сам промежуток I был по опре-
делению связан с системой декартовых координат в К". Теперь мы в
состоянии доказать
Утверждение 2. Величина интеграла от функции f по множе-
ству Е С IR” не зависит от выбора декартовых координат в К.п.
◄ Действительно, переход от одной системы декартовых координат
в ’X" к другой такой же системе имеет якобиан, по модулю равный
единице. В силу утверждения 1 отсюда следует равенство
f(x)dx = У*(f°<p)(t) dt.
Ех	Et
Но это и означает, что интеграл определен инвариантно: ведь если
р — точка множества Е, х = (ж1,..., хп) — ее координаты в первой си-
стеме, t = (i1,...,/71)— во второй, а х = <p(t)— функция перехода от
одних координат к другим, то
№) = А(А...,*п) = А(А
где ft = fxo <р. Значит, мы показали, что
fx(x)dx = У ft(t) dt,
Et
где Ех и Et — запись множества Е в системе координат х и t соответ-
ственно. ►
Из утверждения 2 и определения 3 § 2 меры (Жордана) множества
Е С IR7' можно заключить, что эта мера не зависит от выбора системы
декартовых координат в R", или, что то же самое, мера Жордана инва-
риантна относительно группы движений евклидова пространства Rn.
с. Пренебрежимые множества. Используемые на практике за-
мены переменных или формулы преобразования координат иногда име-
ют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение
взаимной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
175
дифференцируемости). Как правило, эти особенности бывают на мно-
жествах меры нуль и потому для потребностей практики весьма полез-
на следующая
Теорема 2. Пусть (р: Dt —> Dx—отображение измеримого (по
Жордану) множества Dt С RJ? на такое же множество Dx с JR£.
Предположим, что в Dt и Dx можно указать такие множества St, Sx
меры нуль (в смысле Лебега), что Dt\St и Dx \ St — открытые мно-
жества, а (р отображает диффеоморфно и с ограниченным якобианом
первое из них на второе. Тогда для любой функции f G 'R,(DX) также
(f о у>)| det р'| G 1Z(Dt \ St) и
f(x)dx = У ((/ о ^)| det^'l)(/) dt.	(10)
Dx	Dt\St
Если, кроме того, величина | det определена и ограничена в Dt,
то
f(x)dx J((f oip)\det(p’\)(t)dt.	(11)
Dx	Dt
По критерию Лебега функция f может иметь разрывы в Dx, а
значит, и в Dx \ Sx, лишь на множестве меры нуль. Образ этого множе-
ства точек разрыва при отображении ip~1: Dx \SX —> Dt\St по лемме 1
является множеством меры нуль в Dt \ St. Таким образом, соотноше-
ние (/ о у>)| det 99'1 G H(Dt \ St) будет немедленно следовать из того же
критерия Лебега интегрируемости функции, если мы установим, что
множество Dt \ St измеримо. То, что это действительное измеримое по
Жордану множество, будет побочным продуктом проводимых ниже
рассуждений.
По условию DX\SX — открытое множество, поэтому (Dx\Sx)C\dSx —
= 0, значит, dSx С dDx U Sx и, следовательно, dDx U Sx — dDx U Sx,
где Sx = Sx U dSx замыкание в множества Sx. Получается, что
dDx U Sx есть замкнутое ограниченное множество, т. е. компакт в Rn,
который, как объединение двух множеств меры нуль, сам является мно-
жеством меры нуль в смысле Лебега. Из леммы 3 § 1 нам известно, что
тогда множество dDx U Sx (а вместе с ним и Sx) имеет объем нуль, т. е.
для любого е > 0 найдется такое конечное покрытие Л,...,Д этого
k
множества промежутками, что 2 |Л| < Отсюда, в частности, следу-
г=1
176
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ет, что множество Dx \ Sx (и аналогично множество Dt \ St) измеримо
по Жордану: ведь d(Dx \ Sx) С dDx U dSx с dDx U Sx.
Покрытие Д,..., Ik, очевидно, можно выбрать еще и так, чтобы лю-
бая точка х G dDx\Sx была внутренней точкой по крайней мере одного
из промежутков покрытия. Пусть Ux = (J*=1 4- Множество Ux измери-
мо, как и множество Vx — DX\UX. По построению множество Vx таково,
что Vx С Dx \ Sx, и для любого измеримого множества Ех С DXy кото-
рое содержит компакт Vx, справедлива оценка

У /(ж) dx
/И dx
^Mfi(Dx\Ex) <М-£, (12)
где М = sup f(x).
xEDx
Прообраз Vf — 99-1(Vx) компакта Vx является компактом в
Dt \ St. Рассуждая как и выше, можно построить измеримый ком-
пакт Wt, подчиненный условиям Vt С Wt С Dt \ St и обладающий
тем свойством, что для любого измеримого множества Et такого, что
Wt С Et С Dt \ St, выполняется оценка
У ((/o^)|det^'|)(t)(ft - у*((/О^)| det
Dt\St	Et
£.
(13)
Пусть теперь Ех = (p(Et). Для множеств Ех С Dx \ Sx и Et С Dt \ St
по утверждению 1 имеет место формула (9). Сопоставляя соотношения
(9), (12), (13) и учитывая произвольность величины е > 0, получаем
равенство (10).
Докажем теперь последнее утверждение теоремы 2. Если функция
(/ о 9?)| det <р'\ определена на всем множестве Dt, то, поскольку Dt \ St
открыто в , все множество точек разрыва этой функции на Dt состо-
ит из множества А точек разрыва функции (/ о <^)| det	(ограг
ничения исходной функции на множество Dt \ St) и, быть может, неко-
торого подмножества В множества St U dDt-
Множество А, как мы видели, является множеством меры нуль по
Лебегу (ведь интеграл в правой части равенства (10) существует), а по-
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
177
скольку SiUdDi имеет объем нуль, то это же можно сказать про множе-
ство В. Значит, достаточно знать, что функция (f о у>)| det <//| ограни-
чена на Dt, как по критерию Лебега получится, что она интегрируема
на Dt Но \ f о	М на Dt, поэтому функция (/ о у>)| det <^'| ограни-
чена на St, коль скоро функция | det у/| по условию ограничена на St.
Что же касается множества Dt \ St, то на нем функция (/ о 99)1 det у/|
интегрируема и, значит, ограничена. Итак, функция (/ о <^)| det у/| ин-
тегрируема на Dt. Но множества Dt и Dt \ St отличаются лишь на
измеримое множество St, объем которого, как было показано, равен
нулю. Значит, в силу аддитивности интеграла и обращения в нуль ин-
теграла по St можно заключить, что правые части равенств (10) и (11)
в рассматриваемом случае действительно совпадают. ►
Пример. Отображение прямоугольника I = {(г, <р) G R2 | 0 г
Я Д 0 ip 2тг} на круг К = {(rr,y) G R2 | х2 + у2 R2}, задаваемое
формулами
х = г cos ip,	у = г sin 99,	(14)
не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника I, на кото-
рой г ~ 0, переходит при этом отображении в одну точку (0,0); образы
точек (г, 0) и (г, 2л) совпадают. Однако если рассмотреть, например,
множества I \ д1 и К \Е, где Е - объединение границы дК круга К и
радиуса, идущего в точку (0, R), то ограничение отображения (14) на
область 1\д1 окажется ее диффеоморфизмом на область К\Е. Значит,
по теореме 2 для любой функции f G можно написать, что
J J f (х, у) dx dy = JJ* f(r cos ip, г sin ip)r dr dip
к	I
или, применяя теорему Фубини,
2тг R
J'J' f(x,y)dxdy ~ J dip J f(r cos ip, r sin ip)r dr.
К	0	0
Соотношения (14) суть хорошо известные формулы перехода от по-
лярных координат к декартовым на плоскости.
Сказанное можно, естественно, развить и применительно к общей
полярной (сферической) системе координат в К!1, которую мы рассма-
тривали в части I, где был указан также якобиан перехода от полярных
координат к декартовым в пространстве R" любой размерности.
178
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задачи и упражнения
1.	а) Покажите, что лемма 1 справедлива для любого гладкого отображе-
ния tp: Dt —> Dx (см. в этой связи также задачу 8).
Ь) Докажите, что если D — открытое множество в Rm, а ip Е
то <Д-О) при т < п является множеством меры нуль в Rn.
2.	а) Проверьте, что мера измеримого множества Е и мера его обра-
за (р(Е) при диффеоморфизме р связаны соотношением p(ip(E)) = 0р(Е), где
0е inf | det у/(ОI, sup | det	.
teE
b) В частности, если E — связное множество, то найдется такая точка
г € Е, что р((р(Е)) — | det у>'(т) |//(Е).
3.	а) Покажите, что если формула (3) справедлива для функции f ~ 1, то
она верна и в общем случае.
Ь) Проведите вновь доказательство теоремы 1, но для случая f ~ 1, упро-
щая его в этой специальной ситуации.
4.	Не опираясь на замечание 2, проведите доказательство леммы 3, считая
известным лемму 2 и равенство интегралов от двух интегрируемых функций,
отличающихся лишь на множестве меры нуль.
5.	Вместо свойства аддитивности интеграла и сопутствующего его ис-
пользованию анализа измеримости множеств, при сведении формулы (3) к ее
локальному варианту (т. е. к проверке формулы для малой окрестности точек
отображаемой области) можно пользоваться другим приемом локализации,
основанным на линейности интеграла.
а)	Если гладкие функции ei,...,е* таковы, что 0 ег 1, i ~ 1,... Д
к	/ к \
а 52ег(^)	1 на Dx, ТО f ( 52	) (%)dx — f f(x)dx для любой функции
i	Dx 1	/	Dx
f£K(Dx).
b)	Если suppet лежит в множестве U С DXJ то f (ег/)(я) dx = f (ег/)(я) dx.
dx	и
с)	С учетом лемм 3 и 4 и свойства линейности интеграла из а) и Ь) можно
вывести формулу (3), если для любого открытого покрытия {Z7a} компакта
К = supp/ С Dx построить такой набор гладких в Dx функций ei,... ,6*,
к
что 0 ег 1, i — 1,..., к; 52 ег = 1 на и для любой функции ег Е {ej
2=1
найдется множество Uai Е {17а} такое, что suppe^ С Uat.
Набор {ег} в этом случае называют разбиением единицы на компакте К,
подчиненным покрытию Ua.
6.	Эта задача содержит план построения того разбиения единицы, о ко-
тором шла речь в задаче 5.
а)	Постройте функцию f Е С^00)(IR, IR) такую, что = 1 и supp / с
С [—1 — <5, 1 4- J], где S > 0.
§5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
179
Ь)	Постройте функцию f е C'f00) (IR™, П&) с указанными в а) свойствами для
единичного кубика в Rn и его J-раздутия.
с)	Покажите, что для любого открытого покрытия компакта К С Кп
существует гладкое разбиение единицы на К, подчиненное этому покрытию.
d) В развитие с) постройте С'(°°)-разбиение единицы в Rn, подчиненное
локально конечному открытому покрытию всего пространства. (Локальная
конечность покрытия означает, что любая точка покрываемого множества, в
данном случае Rn, имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным чи-
слом элементов покрытия. Для разбиения единицы, содержащего бесконечное
число функций {ег}, вводится требование, чтобы любая точка множества, на
котором это разбиение строится, принадлежала не более чем конечному числу
носителей функций системы {ег}. При этом условии не возникает вопросов о
том, в каком смысле понимать равенство 52	= 1, точнее, стоящую в его
г
левой части сумму.)
7.	Несколько иное в сравнении с изложенным доказательство теоремы 1,
опирающееся на возможность разложения лишь линейного отображения в ком-
позицию простейших и более близкое к указанным в п. 1 эвристическим со-
ображениям, можно получить, доказав последовательно следующие утвержде-
ния.
а)	Проверьте, что при простейших линейных отображениях L: Rn н->
вида (я1,...,хк,... ,жп) -> (я1,... Ххк,хк+\ ...,xn), A 0 и (ж1,...,
xk,..., xn) н-> (a?1,..., xk~l, xk 4- x3, a;**1,..., xn) для любого измеримого мно-
жества Е С Rn выполнено соотношение //(£(£)) = | det L*\р.(Е) и докажи-
те, что это соотношение справедливо для любого линейного отображения L :
jjn. (Используйте теорему Фубини и возможность разложения линейно-
го преобразования в композицию указанных простейших.)
Ь)	Покажите, что если <р: Dt	Dx—диффеоморфизм, то для любого
измеримого компакта К С Dt и его образа р(К) имеет место соотноше-
ние р(<р(К) f | det у/(£)| dt. (Если a E Dt, то 3(<//(a))-1 и в представлении
к
<p(t) = (у/(а) ° (^'(а))-1 ° отображение у/(а) линейное, а отображение
(t/(a))-1 о ср близко к изометрическому в окрестности точки а.)
с)	Покажите, что если рассматриваемая в теореме 1 функция f неотрица-
тельна, то f f(x) dx f ((/ о у?)| det ср1 l)W dt.
Dx	Dt
d)	Применив предыдущее неравенство к функции (/ о р) | det р' | и отобра-
жению с^-1: Dx —> Dt, покажите, что для неотрицательной функции f фор-
мула (3) верна.
е)	Представив функцию f из теоремы 1 в виде разности интегрируемых
неотрицательных функций, докажите справедливость формулы (3).
8.	Лемма Сарда. Пусть D—открытое множество в , р €
е C^(p,Rn) и S—множество критических точек отображения р. Тогда
ip(S) является множеством меры нуль (в смысле Лебега).
7-4574
180
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Напомним, что критической точкой гладкого отображения ip об-
ласти D с Жт в пространство Жп называлась такая точка х Е D, в которой
rang ip*(x) < min{m, п}. В случае т = п это равносильно условию det ip'(x) = 0.
а)	Проверьте лемму Сарда для линейного отображения.
Ь)	Пусть I — промежуток в области 7?, а ср G С'^1)(Р,ЖП). Покажите, что
существует такая функция a(/i), а: Жп —> Ж, что a(h) 0 при Л -> Ои
|ср(а? 4- h) “ (р(х) — ipf(x)h\	при любых ж, х 4- h Е I.
с)	Используя Ь), оцените уклонение образа ip(J) промежутка I при отобра-
жении ip от его же образа при линейном отображении L(x) — ip(a)+ip\a)(x~a}}
где а Е I.
d)	Опираясь на а), Ь), с), покажите, что если S — множество критических
точек отображения <р в промежутке /, то ip(S) есть множество меры нуль.
е)	Закончите теперь доказательство леммы Сарда.
f)	Используя лемму Сарда, покажите, что в теореме 1 достаточно потребо-
вать, чтобы отображение ip было взаимно однозначным отображением класса
Отметим, что приведенная лемма Сарда является простым частным слу-
чаем теоремы Сарда и Морса, по которой утверждение леммы справедливо,
даже если D С Жт, a ip Е (D, Жп), где k — max{m — п 4-1,1}. Величина к
здесь, как показал на примере Уитни, не может быть уменьшена, каково бы
ни было сочетание чисел тип.
В геометрии лемма Сарда известна как утверждение о том, что если
ip: D Жп—гладкое отображение открытого множества D с Жт в Жп, то
для почти всех точек х Е <p(D) их полный прообраз <р-1(х) — Мх в D есть
поверхность (многообразие) коразмерности п в Жт (т.е. т — dim Мд. — п для
почти всех х Е D).
9.	Пусть вместо диффеоморфизма ip в теореме 1 рассматривается произ-
вольное отображение ip Е C^(Dt,Dx) такое, что det ipf(t) ^Ов Dt. Пусть
п(х) = card{i Е supp(/ о ip) | ip(t) ~ #}, т.е. п(х)—число точек носителя фун-
кции / о ip, которые при отображении ip: Dt Dx переходят в точку х Е Dx.
Имеет место следующая формула:
У (/ • п){х) dx — У((/ о <р)| det cp'l)^) dt.
Dx	Dt
а)	Какой геометрический смысл этой формулы при f = 1?
b)	Докажите эту формулу для специального отображения кольца Dt =
— {t Е | 1 < |£| < 2} на кольцо Dx — {ж Е | 1 < |ж| < 2}, если в
полярных координатах (г, ip) и (р, 0) плоскостей и соответственно это
отображение записывается формулами г — р, ip — 20.
с)	Попробуйте теперь доказать формулу в общем виде.
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
181
§6. Несобственные кратные интегралы
1.	Основные определения
Определение 1. Исчерпанием множества Е С будем назы-
вать такую последовательность измеримых множеств {Еп}, что Еп С
оо
С Еп+1 С Е при любом п 6 N и |J Еп = Е.
п=1
Лемма. Если {£^п} —исчерпание измеримого множества Е, то:
a)	lim ц(Еп) = р(Е);
п->оо
Ь)	для любой функции f 6 TZ(E) также /\еп Е TZ(En) и
Ч а) Поскольку ЕП -^п+1 Е,	М(-^П+1)
lim р(Еп) р>(Е). Для доказательства равенства а) покажем, что вы-
п->оо
полняется также неравенство lim р(Еп) и(Е).
п—>оо
Граница дЕ множества Е имеет объем нуль, поэтому ее можно по-
крыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов кото-
рых меньше наперед заданной величины е > 0. Пусть Д — объединение
всех этих открытых промежутков. Тогда множество EU Д —: Е откры-
то в JR.m, причем по построению Е содержит замыкание Е множества Е
и р(Ё) р,(Е) + М(Д) < р(Е) + г.
Для каждого множества Еп исчерпания {Еп} можно повторить опи-
санное построение со значением еп — е/2п. Тогда получим последова-
тельность открытых множеств Еп — Еп U Дп таких, что Еп С Еп,
КЕп) Н- < Р>(Еп) Н- £п и U Еп Z) U Еп D Е.
п=1
Система открытых множеств Д, Ei, #2, • • • образует открытое по-
крытие компакта Е,
Пусть Д, Ei, Е24 • • • ч Е^ — извлеченное из него конечное покрытие
компакта Е. Поскольку Е\ С Е% С ... С Е&, то множества Д, Д15...,
Д*, Е^ тоже образуют покрытие Е и, значит,
р(Е) р,(Е) р(Ек) + /х(Д) + /х(Д1) + ... + р,(Дк) < ц(Ек) + 2е.
Отсюда следует, что р(Е) lim р(Еп).
п—>оо
182
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь) То, что/\еп G 7£(£?п), нам хорошо известно и следует из критерия
Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По усло-
вию f Е TZ(E), значит, существует постоянная М такая, что |/(я)| < М
на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем
Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение Ь) дей-
ствительно имеет место. ►
Определение 2. Пусть {Еп} — исчерпание множества Е, а функ-
ция f: Е R интегрируема на множествах Еп Е {Еп}. Тогда величина
/ f(x)dx:= lim / f(x)dx,
J	n—>oo J
E	En
если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора
любого такого исчерпания множества Е, называется несобственным
интегралом от функции f по множеству Е.
Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграла
обычно пишут для любой заданной на Е функции, но говорят, что
этот интеграл существует или сходится, если существует указанный
в определении 2 предел. Если же такого общего для всех указанных
исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от функ-
ции / по множеству Е не существует или что интеграл расходится.
Цель определения 2 состоит в том, чтобы распространить понятие
интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или
неограниченной области интегрирования.
Введенный символ несобственного интеграла совпадает с символом
обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо
Замечание 1. Если Е — измеримое множество и f Е 7^(Е), то
интеграл от f по Е в смысле определения 2 существует и совпадает с
собственным интегралом от функции f по множеству Е.
◄ Именно об этом говорит утверждение Ь) доказанной выше лем-
мы.
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
183
Совокупность всех исчерпаний любого сколь-нибудь обильного мно-
жества практически необозрима, да всеми исчерпаниями и не пользу-
ются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает
Утверждение 1. Если функция f:E~^ R неотрицательна и хо-
тя бы для одного исчерпания {£7П} множества Е указанный в опре-
делении 2 предел существует, то несобственный интеграл от функ-
ции f по множеству Е сходится.
◄ Пусть	другое исчерпание множества Е, на элементах ко-
торого функция f интегрируема. Множества Е& := ЕкПЕп, п = 1,2,...
образуют исчерпание измеримого множества Ек, поэтому из утвержде-
ния Ь) леммы следует, что
Поскольку f 0, a Ek С Ek+1 С Е, то
Я lim / f(x) dx — В А.
Ek
Но теперь исчерпания {2?п}, {£^.} равноправны, поэтому А В и,
значит, А = В. ►
Пример 1. Найдем несобственный интеграл ff е(я2+?/2) dxdy.
R2
Будем исчерпывать плоскость R2 последовательностью кругов Еп =
= {(х,у) G R2 I ж2 + у2 < п2}. После перехода к полярным координатам
легко получаем, что
2тг п
e~r2rdr = тг (1 — е~п ) —> тг
Еп	0	0
при п —> 00.
В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый
интеграл сходится и равен тг.
Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если
рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами Efn — {(х,у) 6
,2	2
184
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
G R2 | |ж| < п А |у| < п}. По теореме Фубини
п п
[j e^+y^dxdy = I dy f eAx2+y2}dx =
Efn	~n -n
В силу утверждения 1 последняя величина при п —> оо должна стре-
миться к я. Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем,
что
4-оо
У е~х2 dx = у/тг.
—ос
Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд
особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут
указаны ниже в замечании 3.
2. Мажорантный признак сходимости несобственного ин-
теграла
Утверждение 2. Пусть f и д — определенные на множестве Е
и интегрируемые на одних и тех же его измеримых подмножествах
функции, причем |/(ж)| < д(х) на Е. Тогда из сходимости несобствен-
ного интеграла f g(x)dx вытекает сходимость интегралов f \f |(ж) dx
Е	Е
и f f(x)dx.
Е
◄ Пусть {£/п}— исчерпание множества Е, на элементах которого
обе функции g и f интегрируемы. Из критерия Лебега вытекает ин-
тегрируемость функции |/| на множествах Еп, п 6 N, поэтому можно
записать, что
1/1 («) dx <
где к и п—любые натуральные числа. Эти неравенства с учетом утвер-
ждения 1 и критерия Коши существования предела последовательности
позволяют заключить, что интеграл J* |/|(х) dx сходится.
Е
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
185
Рассмотрим теперь функции /+ := ^(|/| + /), /_ := |(|/| “ /)• Оче-
видно, 0	/+	|/| и 0	/_	\f\. В силу уже доказанного несоб-
ственные интегралы от функций /+ и /_ по множеству Е сходятся. Но
/ — /+ — /_, значит, сходится и несобственный интеграл от функции /
по этому же множеству (и он равен разности интегралов от функций
/+ и /_). ►
Для того, чтобы утверждением 2 можно было эффективно пользо-
ваться при исследовании сходимости несобственных интегралов, полез-
но иметь некоторый набор эталонных функций для сравнения. Рассмо-
трим в этой связи
Пример 2. В n-мерном единичном шаре В С F с выколотым
центром 0 рассматривается функция l/rQ, где г = с/(0, ж) —расстояние
от точки х 6 В \ 0 до точки 0. Выясним, при каких значениях а 6
Е R интеграл от этой функции по области В \ 0 сходится. Для этого
построим исчерпание области кольцевыми областями В(в) = {х Е В \
£ < d(P,x) < 1}.
Переходя к полярным координатам с центром 0, по теореме Фубини
получаем
где d(p = dcpi.. .d(pn~i, f (</>)—некоторое произведение синусов углов
9?1,..., (рп-2, появляющееся в якобиане перехода к полярным координа-
там вКп, а с — величина интеграла по 5, которая зависит только от п
и не зависит от г и в.
При в —> +0 полученная величина интеграла по В (в) будет иметь
конечный предел, если а < п. В остальных случаях последний интеграл
стремится к бесконечности, когда в —> +0.
Итак, мы показали, что функция др где dрасстояние до
точки 0, интегрируется в проколотой окрестности этой точки лишь
при а < п, где п — размерность пространства.
Аналогично показывается, что вне шара В, т.е. в окрестности бес-
конечности, эта же функция интегрируется в несобственном смысле,
лишь когда а > п.
Пример 3. Пусть I = {х Е Жп | 0 хг 1, i — 1,... , п} —
186
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
n-мерный куб, a Ifc — его Л-мерная грань, задаваемая условиями xk+i =
= ... = хп = 0. На множестве I \ Ik рассмотрим функцию <, где
d(x)— расстояние от точки х 6 I \ Ik до грани Ik- Выясним, при ка-
ких значениях а 6 R интеграл от этой функции по множеству I \ Ц
сходится.
Заметим, что если х ~ (ж1,... ,	. , жп), то
d(x) —	(xfc+1)2 + ... + (жп)2.
Пусть 1(e) —это куб I, из которого удалена е-окрестность грани 1^
По теореме Фубини
f	f dxl'dxk f dxk+1 dxn	f du
J da(x) J	J	((xfc+1)2 +... + (xn)2)Q/2 J	|u|Q’
h	In-k(e)	In-k(e)
где и = (xfc+1,..., xn), In_fc(e) —грань In~k C , из которой удалена
^-окрестность точки и = 0.
Но на базе приобретенного в примере 1 опыта ясно, что послед-
ний интеграл сходится лишь при а < п — к. Значит, рассматривае-
мый нами несобственный интеграл сходится лишь при а < п — к, где
к — размерность грани, около которой функция может неограниченно
возрастать.
Замечание 2. При доказательстве утверждения 2 было провере-
но, что сходимость интеграла от функции \ f\ влечет сходимость инте-
грала от функции /. Оказывается, для несобственного в смысле опре-
деления 2 интеграла верно и обратное утверждение, чего не было в
рассматривавшемся нами прежде случае несобственного интеграла на
прямой, где мы различали абсолютную и неабсолютную (условную) схо-
димости несобственного интеграла. Чтобы сразу понять суть возник-
шего нового явления, связанного с определением 2, рассмотрим следу-
ющий
Пример 4. Пусть функция /: R_|_ —> R определена на множест-
/ 1 \n—1
ве R+ неотрицательных чисел следующими условиями: /(ж) = -—£—,
если п — 1 х < п, n Е N.
Поскольку ряд	*—п— сходится, то, как легко видеть, предел
п=1
А
при А —> оо интеграла f f(x) dx существует и равен сумме указанного
о
§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
187
ряда. Однако этот ряд не сходится абсолютно, и перестановкой его чле-
нов можно получить ряд, например, расходящийся к +оо. Частичные
суммы нового ряда можно интерпретировать как интегралы от фун-
кции f по объединению Еп соответствующих членам ряда отрезков
вещественной оси. Множества Еп в совокупности, очевидно, образуют
исчерпание области R+ задания функции /.
ос
Таким образом, несобственный интеграл*/ f(x)dx от предъявлен-
0
ной функции ft R_|_ —> R в прежнем его понимании существует, а в
смысле определения 2 не существует.
Мы видим, что требуемая в определении 2 независимость предела от
выбора исчерпания эквивалентна независимости суммы ряда от поряд-
ка суммирования его членов. Последнее, как нам известно, в точности
равносильно абсолютной сходимости.
На самом-то деле практически всегда приходится рассматривать
лишь специальные исчерпания следующего вида. Пусть определенная
в области D функция f: D —> R неограничена в окрестности некото-
рого множества Е С 3D. Тогда мы удаляем из D точки, лежащие в
s-окрестности множества £/, и получаем область D(e) С D. При е —> О
эти области порождают исчерпание D. Если же область неограничен-
ная, то ее исчерпание можно получить, взяв дополнения в D к окрестно-
стям бесконечности. Именно такие специальные исчерпания мы в свое
время и рассматривали в одномерном случае, и именно эти специальные
исчерпания непосредственно ведут к обобщению на случай простран-
ства любой размерности понятия главного (в смысле Коши) значения
несобственного интеграла, о котором мы в свое время уже говорили,
изучая несобственные интегралы на прямой.
3. Замена переменных в несобственном интеграле. В заклю-
чение получим формулу замены переменных в несобственных интегра-
лах и тем самым сделаем весьма ценное, хотя и очень простое допол-
нение к теоремам 1 и 2 из § 5.
Теорема 1. Пусть ip: Dt —> Dx—диффеоморфное отображение
открытого множества Dt С на такое же множество Dx С RJ5,
а функция f: Dx —> R интегрируема на измеримых компактных под-
множествах множества Dx. Если несобственный интеграл f f(x)dx
Dx
188
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
сходится, то интеграл f ((/ о у?)| det 9^,|)(i) dt также сходится и их
Dt
значения совпадают,
◄ Открытое множество Dt С KJ? можно исчерпать последовательно-
стью лежащих в Dt компактов k G N, каждый из которых является
объединением конечного числа промежутков пространства (см. в
этой связи начало доказательства леммы 1 из §5). Поскольку (р: Dt ->
—> Dx — диффеоморфизм, исчерпанию {Е^} множества Dt отвечает ис-
черпание Е% множества Dx, где Е% = (р(Е^)— измеримые компакты
в Dx (измеримость множеств Е% следует из леммы 1, § 5). В силу утвер-
ждения 1 из § 5 можно записать, что
f f(x) dx =f ((/ О <^)| det
Екх	Ек
Левая часть этого равенства при к —> оо по условию имеет предел.
Значит, правая часть при к —> оо тоже имеет, и притом тот же, пре-
дел. ►
Замечание 3. Приведенным рассуждением проверено, что стоя-
щий в правой части последнего равенства интеграл имеет один и тот
же предел при любом исчерпании Dt указанного специального вида. В
дальнейшем мы будем использовать именно эту доказанную часть те-
оремы. Но формально для завершения доказательства сформулирован-
ного утверждения необходимо в соответствии с определением 2 прове-
рить, что найденный предел существует для любого исчерпания обла-
сти Dt- Эту (не вполне элементарную) проверку мы оставляем чита-
телю в качестве хорошего упражнения. Заметим только, что из дока-
занного уже можно извлечь сходимость несобственного интеграла от
функции |/ о у?|| det ipf\ по множеству Dt (см. задачу 7).
Теорема 2. Пусть ip\ Dt —> Dx — отображение открытых мно-
жеств Dt и Dx, Предположим, что в Dt и Dx можно указать такие
множества Sty Sx меры нуль, что Dt\St, DX\SX —открытые множе-
ства, а ср диффеоморфно отображает первое из них на второе. Если
при этих условиях несобственный интеграл f f(x)dx сходится, то
Dx
сходится также интеграл f ((/ ° <р)| det (/?'|)(t) dt и их значения со-
Dt\St
впадают. Если к тому же величина | det pf\ определена и ограничена на
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
189
компактных подмножествах множества Dt, то функция (Jоу?)| det р9\
интегрируема в несобственном смысле по множеству Dt и имеет ме-
сто равенство
f f{x) dx= У
Dx	Dt\St
((/°9?)|det <p'\)(t)dt.
◄ Сформулированное утверждение является прямым следствием те-
оремы 1 настоящего параграфа и теоремы 2 из § 5, если учесть, что при
отыскании несобственного интеграла по открытому множеству мож-
но ограничиться рассмотрением исчерпаний, состоящих из измеримых
компактов (см. замечание 3). ►
Пример 5. Вычислим интеграл ff ----------dxdy , который
Ж2+у2<1 С1 - Х ~У )
при а > 0 является несобственным, поскольку тогда подынтегральная
функция неограничена в окрестности окружности х2 + у2 = 1.
Переходя к полярным координатам, по теореме 2 получаем
^21^2^1	0<^<2тг
У	0<г<1
г dr dp
~[ __
При а > 0 последний интеграл тоже несобственный, но, поскольку
подынтегральная функция неотрицательна, его можно вычислять как
предел по специальному исчерпанию прямоугольника I = {(г,ср) 6 R2 |
0<у?<2тгАО<г< 1} прямоугольниками 1п = {(г, р) € R2 | 0 < р <
<2тгАО<г<1 — n 6 N. Используя теорему Фубини, находим, что
при а < 1
0<^><2тг
0<г<1
2%	1 £
г dr dp	f j [ г&г тг
(l-r2j* =	J (1-Г2)* =
о о
На основе этих же соображений можно сделать вывод, что исходный
интеграл при а 1 расходится.
Пример 6. Покажем, что интеграл ff . м сходится
M+I^i w +|г/|
лишь при условии | + | < 1.
190
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
◄ Ввиду очевидной симметрии достаточно рассмотреть интеграл
только по области D, в которой г/^0иж + г/^1.
Ясно, что для сходимости интеграла необходимо одновременное вы-
полнение условий р > 0 и q > 0. Действительно, если бы, например, было
р < 0, то уже для интеграла по прямоугольнику 1а = {(ж, у) 6 R2 | 1 <
лежащему в 2), мы бы получили оценку
которая показывает, что при А —> оо этот интеграл неограниченно воз-
растает. Таким образом, в дальнейших рассмотрениях можно считать,
что р > 0 и q > 0.
В ограниченной части области D подынтегральная функция не име-
ет особенностей, поэтому исследование сходимости нашего интеграла
равносильно исследованию сходимости интеграла от той же функции,
но, например, по той части G области 2?, где хр 4- уя а > 0. Число
а предполагается достаточно большим, чтобы кривая хр + уд — а при
х 0, у 0 лежала в 2).
Переходя к обобщенным полярным координатам р по формулам
х = (rcos2^)1/7’, у = (rsin2^)1/9,
на основании теоремы 2 получаем
Г f	dxdy 2 Г Г / 1+1-2	1-1	. 1-1 \ , ,
/ / г-;----г-?- ~----- //	гр « cosp 09 sin р) dr dp).
J J Н + Ы9 р-я J J	'
G	0<^><7t/2
Используя исчерпание области {(г, р) 6 R2 |0<£/?<7г/2Ла^г<
< оо} промежутками 1£а — {(г, р) 6 R2 | 0 < в р тг/2—еЛа г Л}
и применяя теорему Фубини, получаем
1 I 1 2	2 1	2 1 \
гр 9	cosp	t^sin? р\ drdp~
0<^<7г/2
а<г <оо
тг/2—е
/2_1	. 1—1
cos? fusin’ tpcLp
Е
А
f 1 + 1-2
lim / гр ч dr.
А-+00 J
а
§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
191
Поскольку р > 0 и q > 0, первый из этих пределов заведомо конечен,
-	1.1^1
а второй конечен, лишь когда < 1. ►
Задачи и упражнения
1. Укажите условие нар и q, при котором интеграл
о< |ж |+|у| С1
7
сходится.
А
2.	а) Существует ли lim f cos ж2 dx?
А—>оо q
Ь) Сходится ли интеграл f cos х2 dx в смысле определения 2?
R1
с) Проверив, что
lim / / sin(z2 + у2) dx dy = тг
‘“►°0 J J
и
— О,
lim	/ /
п~>°°	J J
а?2_|_у2^2тгп
убедитесь, что интеграл от sin(a;2 4- у2) по плоскости IK2 расходится.
1 1 i
3.	а) Вычислите интеграл fff Xpd% d? .
ооо х у z
b)	Следует быть осторожным, применяя теорему Фубини к несобствен-
ным (как, впрочем, и к собственным) интегралам. Покажите, что интеграл
2	2
Jf i \ ~\\1 dx dy расходится, в то время как оба повторных интеграла
г>1, у^1 'Х +у )
00 оо п о	оо оо о 2
fdx f Л rjU dy и f dy f л - L g dx сходятся.
i i Н т у ;	i 1 1л т у )
с)	Докажите, что если f € C(R2, IK) и f 0 в R2, то из существования
оо	ОС	оо оо
любого из двух повторных интегралов f dx f f(x,y)dyy f dy f f(x,y)dx
—oo	—oo	.	—oo —oo
вытекает, что интеграл ff f(x,y)dxdy сходится и равен значению этого по-
R2
вторного интеграла.
4.	Покажите, что если f € C(IK,IK), то
i
1 Г h
lim - /	----~f(x)dx — /(0).
/i—>o тг J h2 + x2 J v 7 J v 7
-i 5 *
5. Пусть D — ограниченная область в 1КП с гладкой границей, a S — глад-
кая fc-мерная поверхность, лежащая на границе области D. Покажите, что
192
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
если функция f 6	IK) допускает оценку |/| < Д_е, где d = d(S, х) —
расстояние от точки х € D до S, а г > 0, то интеграл от функции f по
области D сходится.
6.	В дополнение к замечанию 1 покажите, что оно остается в силе даже
без предположения об измеримости множества Е,
7.	Пусть D — открытое множество в Rn, а функция /: D —> R интегриру-
ема на любом измеримом компакте, лежащем в D.
а)	Покажите, что если несобственный интеграл от функции |/| по D рас-
ходится, то найдется такое исчерпание {Еп} множества Р, что каждое из
множеств Еп является элементарным компактом в Р, состоящим из конеч-
ного числа n-мерных промежутков и ff |/|(х) dx —> +ос при п —> ос.
Еп
Ь)	Проверьте, что если интеграл от f по некоторому множеству сходится,
а от |/| расходится, то должны расходиться также интегралы от /+ — |(|/| +
+/) и
с)	Покажите, что полученное в а) исчерпание {Еп} можно разрядить так,
что для любого п € N будет выполняться соотношение /	/+ (х) dx >
Еп-\-1 \Еп
> J |/|(rr) dx + п.
Еп
d)	С использованием нижних интегральных сумм покажите, что если
/ f+(x)dx > А, то найдется такой элементарный компакт F С Еу состоящий
Е
из конечного числа промежутков, что f f(x)dx > А.
F
е)	Выведите из с) nd), что существует такой элементарный компакт Fn С
С Еп+1 \ Еп, для которого f f(x)dx> flfl(x)dx + n.
Fn	Еп
f)	Покажите, используя е), что множества Gn = Fn А Еп являются ле-
жащими в D элементарными компактами (т. е. состоят из конечного числа
промежутков), которые в совокупности образуют исчерпание множества D и
для которых имеет место соотношение f /(х) dx —> +ос при п —> ос.
Gn
Таким образом, если интеграл от |/| расходится, то расходится (в смысле
определения 2) и интеграл от функции /.
8.	Проведите подробно доказательство теоремы 2.
9.	Напомним, что если х — (х1,..., хп), а £ = (£х,..., £п), то (х, £) = х1^1 +
+... +хп£п есть стандартное скалярное произведение в Rn. Пусть А = (а1<?) —
комплексная симметричная (п х п)-матрица. Обозначим через Re А матрицу с
элементами Re запись Re А 0 (Re А > 0) означает, что ((Re А)х,х) 0
(соответственно >0) для любого х € Rn, х / 0.
§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
193
а)	Покажите, что если Re А О, то при А > 0, f € Rn
— i{x,£) ) dx =

п/2
(det А)-1/2 ехр
При этом ветвь \/det А выбрана следующим образом:
(det А)-1/2 = | det А|-1/2 ехр(—i Ind А),
1 ”	7Г
Ind Л= 2	1агё^(Л)1^2
J=1
где //j(A)—собственные значения матрицы А.
Ь)	Пусть А — вещественная симметричная невырожденная (пхп)-матрица.
Тогда при £ € Rn и А > О
— г(ж,0 1	—
Rn
п/2
| det А|-1/2 ехр
гтг
-ySgll
Здесь sgn А — сигнатура матрицы А, т.е.
sgn А =	- zz_(A),
где ^+(А)—число положительных, ^-(А)—число отрицательных собствен-
ных значений матрицы А.
ГЛАВА XII
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ФОРМЫ В Rn
В этой главе разобраны понятия поверхности, края поверхности, со-
гласованной ориентации поверхности и ее края, выведена формула для
вычисления площади поверхности, лежащей в R71, а также даны на-
чальные представления о дифференциальных формах. Владение пере-
численными понятиями весьма важно при работе с криволинейными и
поверхностными интегралами, которым посвящена следующая глава.
§ 1. Поверхность в R71
Эталоном ^-мерной поверхности является
Определение 1. Поверхностью размерности к (к-мерной поверх-
ностью или к-мерным многообразием) в R71 называется такое множе-
ство S С Rn, каждая точка которого имеет в S окрестность1), гомео-
морфную2) R*.
Определение 2. Отображение 9?:	> U С S, осуществляю-
щее указанный в определении поверхности гомеоморфизм, называется
^Под окрестностью точки х € S С Rn в множестве S, как и прежде, понимается
множество Us(x) — S Cl U(x)^ где U(x) окрестность х в Rn. Поскольку в дальнейшем
речь будет только об окрестностях точки на поверхности, для упрощения обозначе-
ний, если не возникает недоразумений, мы пишем U или U(x) вместо Us(x).
2^На S С Rn, а значит, и на Z7 с S имеется естественная, индуцированная из Rn
метрика, поэтому можно говорить о топологическом отображении U в Rn.
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn
195
картой или локальной картой поверхности 5;	— областью параме-
тров^ a U — районом или областью действия карты на поверхности S.
Локальная карта вводит в U криволинейные координаты, сопоста-
вляя точке х = Е U числовой набор t = (J1,..., tk) Е Rfe. Из опре-
деления поверхности видно, что совокупность описываемых им объек-
тов S не изменится, если в нем заменить любым гомеоморфным
топологическим пространством. Чаще всего вместо за стандартную
область параметров локальных карт принимают открытый куб 1к или
открытый шар Вк в . Но это чистая условность.
Для проведения некоторых аналогий и в целях большей наглядно-
сти ряда последующих построений мы, как правило, в качестве кано-
нической области параметров локальных карт поверхности будем брать
куб 1к. Итак, карта
<p:Ik-+UcS	(1)
локально дает параметрическое уравнение х = <p(t) поверхности
S С Rn, а сама fc-мерная поверхность, таким образом, локально устрое-
на как продеформированный стандартный fc-мерный промежуток
ik сг.
Для вычислительных целей, как будет видно из дальнейшего, па-
раметрическое задание поверхности особенно важно. Иногда всю по-
верхность можно задать всего лишь одной картой. Такую поверхность
обычно называют элементарной. Например, график в непрерыв-
ной функции f: Ik —> R является элементарной поверхностью. Однако
элементарность поверхности скорее исключение, чем правило. Напри-
мер, обычную нашу двумерную земную сферу уже нельзя задать толь-
ко одной картой. В атласе поверхности Земли должны быть по крайней
мере две карты (см. задачу 4 в конце параграфа).
В соответствии с возникшей аналогией примем
Определение 3. Набор A(S) := {<^г: Ik U^i Е N} локальных
карт поверхности 5, районы действия которых в совокупности покры-
вают всю поверхность (т.е. S — называется атласом поверхно-
г
emu S.
Объединение двух атласов одной и той же поверхности, очевидно,
тоже является атласом этой поверхности.
Если на отображения (1) —локальные параметрические уравнения
поверхности — не накладывать других ограничений, кроме того, что
196
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
это должны быть гомеоморфизмы, то поверхность в R71 может ока-
заться расположенной весьма странно. Например, может случиться,
что гомеоморфная двумерной сфере поверхность, т. е. топологически
сфера, лежит в R3, но ограничиваемая ею область не гомеоморфна шару
(так называемая рогатая сфера1)).
Чтобы избавиться от подобных затруднений, не связанных с суще-
ством рассматриваемых в анализе вопросов, мы в гл. VIII, § 7 определи-
ли гладкую k-мерную поверхность, лежащую в Rn, как такое множество
5 С Rn, что для каждой точки х$ Е S найдутся ее окрестность U(xq)
в Rn и диффеоморфизм ф: U(жо) ~> In = {t Е R71 | \t\ < 1, i = 1,..., п},
при котором множество Us(xq) S П U(xo) преобразуется в куб 1к =
= 1п П {t Е Rn | tk+1 = ... = tn - 0}.
Ясно, что гладкая в этом смысле поверхность является поверхно-
стью в смысле определения 1, поскольку отображения х = /0-1(t1,...,
0,..., 0) = ^(t1,..., tfe), очевидно, задают локальную параметризацию
поверхности. Обратное, как следует из упомянутого выше примера ро-
гатой сферы, вообще говоря, не имеет места, даже если просто го-
меоморфизмы. Однако если отображения (1) достаточно регулярны, то
понятие поверхности в прежнем и новом определении на самом-то деле
совпадают.
По существу, это уже было показано в примере 8 из § 7 гл. VIII,
но учитывая важность вопроса, сформулируем утверждение точно и
напомним, как получается ответ.
Утверждение. Если отображение (1) принадлежит классу
и в каждой точке куба Ik имеет максимально возможный
ранг к, то найдутся число е> 0 и такой диффеоморфизм <р£\ If —>
куба If {t Е Rn | |i*|	£,i = 1,... , п} размерности п в пространс-
тво IF, что <p\iknjn = <pE\iknjn.
Иными словами, утверждается, что при указанных условиях ото-
бражения (1) локально являются ограничениями на ^-мерные кубы Ik —
= Ik П If диффеоморфизмов полномерных кубов If.
◄ Положим для определенности, что уже первые к из п коорди-
натных функций хг = <рг(1г,...,tk),i = 1,..., п, отображения х —
^Пример поверхности, о которой идет речь, был построен Александером.
Дж. У. Александер (1888-1977)—американский математик-тополог.
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn
197
таковы, что det ( ^-) (0)	0, г, j = 1,..., к. Тогда в силу теоремы о
\ dtJ /
неявной функции соотношения
X1 = <l01(t1,... ,tk),
хк =	, tk),
xk+i =	, ifc),
,Tl _____
около точки (^о,жо) — (0,^(0)) эквивалентны соотношениям


хп
В таком случае отображение
и J к*" ? • • • > л
^fc+1 — /£&+! __yfc+l(^l

= ХП
является диффеоморфизмом полномерной окрестности точки Е Rn.
В качестве можно теперь взять ограничение обратного к нему диф-
феоморфизма на некоторый куб If. ►
198
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Изменением масштаба, разумеется, можно сделать так, чтобы в по-
следнем диффеоморфизме было е — 1, а куб If был единичным.
Итак, показано, что для гладкой поверхности в Rn можно принять
следующее эквивалентное прежнему
Определение 4. Поверхность размерности к в Кп (введенная оп-
ределением 1) называется гладкой (класса т 1), если она обла-
дает атласом, локальные карты которого являются гладкими (класса
С^т\ т 1) отображениями и в каждой точке области своего опреде-
ления имеют ранг к.
Заметим, что условие на ранг отображений (1) существенно. На-
пример, аналитическое отображение R Э t (ж1,ж2) G R2, задаваемое
формулами х1 = t2, х2 = t3, определяет кривую в плоскости R2, име-
ющую острие в точке (0,0). Ясно, что эта кривая не является гладкой
1-мерной поверхностью в R2, ибо последняя должна иметь касательную
(1-мерную касательную плоскость) в любой точке1).
Таким образом, в частности, не следует смешивать понятие гладко-
го пути класса и понятие гладкой кривой класса
В анализе, как правило, имеют дело с достаточно гладкими пара-
метризациями (1) ранга к. Мы убедились, что в этом случае принятое
здесь определение 4 гладкой поверхности совпадает с уже рассмотрен-
ным в гл. VIII, § 7. Однако если прежнее определение было наглядным
и сразу избавляло от некоторых лишних хлопот, то известное преиму-
щество определения 4, согласованного с определением 1 поверхности,
состоит в том, что оно с легкостью может быть доведено до определе-
ния абстрактного многообразия, не обязательно лежащего в Rn. Здесь
же нас будут интересовать пока только поверхности в Rn.
Рассмотрим некоторые примеры таких поверхностей.
Пример 1. Напомним, что если Рг е C^m)(Rn,R), i ~ 1,...,
п — к — такой набор гладких функций, что система уравнений
ТТ1! (zpl	rr>k-\- 1
х	, • • • ,	} *
pn-k(„l „к
X	I } * * * }	? *
в любой точке множества S своих решений имеет ранг п — к, то эта
касательной плоскости см. в гл. VIII, § 7.
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn
199
система либо вовсе не имеет решений, либо в качестве множества ре-
шений имеет ^-мерную (7(т)-гладкую поверхность S в R71.
◄ Проверим, что если S' 0, то S действительно удовлетворяет
определению 4. Это вытекает из теоремы о неявной функции, в силу
которой в некоторой окрестности любой точки х$ Е S система (2), с
точностью до переобозначения переменных, эквивалентна системе
1
1 •
х

хп — хп
где ..., Е Записывая последнюю систему в виде
х1 = t1
хп

приходим к параметрическому уравнению окрестности точки x§ Е S
на S. Дополнительным преобразованием область параметров, очевид-
но, можно превратить в каноническую, например в 1к, и получить стан-
дартную локальную карту (1). ►
Пример 2. В частности, задаваемая в Rn уравнением
(ж1)2 + ... + (яп)2 = г2 (г > 0)
(3)
сфера есть (п — 1)-мерная гладкая поверхность в R71, поскольку мно-
жество S решений уравнения (3), очевидно, непусто и в любой точке S
градиент левой части уравнения (3) отличен от нуля.
При п — 2 получаем в R2 окружность
(ж1)2 + (ж2)2 = г2,
200
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
которую легко локально параметризовать полярным углом 0, используя
полярные координаты
Г х1 = Г COS0,
[ х2 = г sin0.
Отображение 0 ь-> (ж1,ж2)(0) при фиксированном значении г > О
является диффеоморфизмом на любом промежутке вида 0q < 0 < 0q +
+ 2л, и двух карт (например, отвечающих значениям 0о — 0 и 0q — —л)
достаточно, чтобы составить атлас окружности. Одной канонической
картой (1) здесь обойтись нельзя хотя бы потому, что окружность—
компакт, в отличие от R1 или I1 = В1, а свойство топологического
пространства быть компактом инвариантно относительно топологиче-
ских преобразований.
Полярные (сферические) координаты могут быть использованы и
для параметризации двумерной сферы
(ж1)2 + (ж2)2 + (ж3)2 = г2
в R3. Обозначая через ф угол между направлением вектора (ж1, ж2, ж3)
и направлением оси Ох3 (т. е. 0	л), а через <р— полярный угол
проекции радиус-вектора (я1, ж2, ж3) на плоскость (ж1, ж2), получаем
х3 = г cos^?,
х2 = г sin *ф sin
х1 = г sin cosy?.
В общем случае полярные координаты (г, 01,..., 0п-1) 33 вводятся
соотношениями
х1 = г cos 01,
х2 = г sin 0i cos 02,
............................................. (4)
— r sin^ sin 02 *	• sin0n-2 COS0n-i,
xn = r sin 0i sin 02 • ... • sin 0n-2 sin 0n-i •
Напомним якобиан
J = rn~l sinn~2 0i sinn-3 02 *... * sin 0n-2	(5)
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn
201
перехода (4) от общих полярных координат (г, 01,... к декарто-
вым координатам (ж1,..., хп) в Кп. Из выражения якобиана видно, что
он отличен от нуля, если, например, О<0г<тг, г = 1,...,п — 2иг>0.
Значит, даже не ссылаясь на простой геометрический смысл параме-
тров	можно гарантировать, что при фиксированном г > 0
отображение (01?..., 0п_х)	(ж1,..., хп) как ограничение локального
диффеоморфизма (г, 0г,...,	) »-> (ж1,..., жп) само локально диффео-
морфно. Но сфера однородна относительно группы ортогональных пре-
образований К?1, поэтому отсюда уже следует возможность построения
локальной карты для окрестности любой точки сферы.
Пример 3. Цилиндр
(ж1)2 + ... + (хк)2 ~г2 (г > 0),
при к < п есть (п — 1)-мерная поверхность в Rn, являющаяся прямым
произведением (г — 1)-мерной сферы плоскости переменных (ж1,... ,жЛ)
и (п — /г)-мерной плоскости переменных (хк+\ ... ,хп).
Локальная параметризация этой поверхности, очевидно, может
быть получена, если в качестве первых к — 1 из (п — 1) параметров
(t1,..., tn-1) взять полярные координаты ..., 0k_r точки (к — Химер-
ной сферы в JR*, a tk,..., tn~x положить равными ж*4"1,..., хп соответ-
ственно.
Пример 4. Если в плоскости х = 0 пространства R3, наделенного
декартовыми координатами (ж,т/, я), взять кривую (1-мерную поверх-
ность), не пересекающую ось Oz, и вращать ее относительно оси Ог,
то получится 2-мерная поверхность, в качестве локальных координат
которой можно принять локальные координаты исходной кривой (ме-
ридиана) и, например, угол поворота (локальная координата на парал-
лели).
В частности, если в качестве исходной кривой взять окружность
радиуса а с центром в точке (6,0,0), то при а < b получим двумерный
тор (рис. 69). Его параметрическое уравнение может быть представлено
в виде
х = (b + a cos ф) cos
у — (b + a cos ф) sin 9?,
z — a sin ^6,
где ф—угловой параметр на исходной окружности — меридиане, а <р —
угловой параметр на параллели.
202 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Рис. 69.
Рис. 70.
Любую поверхность, гомеоморфную построенному тору вращения, в
топологии принято называть тором (точнее, двумерным тором). Как
видно, двумерный тор есть прямое произведение двух окружностей.
Поскольку окружность получается из отрезка склеиванием (отожде-
ствлением) его концов, тор можно получить из прямого произведения
отрезков, т.е. из прямоугольника, склеиванием противоположных сто-
рон прямоугольника по соответствующим точкам (рис. 70).
В сущности, этим мы уже в свое время пользовались, когда устано-
вили, что конфигурационное пространство двойного маятника является
двумерным тором, а движению маятника соответствует путь на торе.
Рис. 71.
Пример 5. Если гибкую ленту (прямоугольник) склеить по стрел-
кам, указанным на рис. 71, а, то можно получить кольцо (рис. 71, с) или
цилиндрическую поверхность (рис. 71, Ь), что с топологической точки
зрения одно и то же (эти поверхности гомеоморфны). Если же ленту
склеить по стрелкам, изображенным на рис. 72, а, то получим в R3 по-
верхность (рис. 72, Ь), называемую в математике листом Мёбиуса1^.
^А. Ф. Мёбиус (1790 -1868) —немецкий математик и астроном.
§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn
203
[iIOlniiiOlLiJ
а.
Рис. 72.
Локальные координаты на этой поверхности естественно вводятся
посредством координат на плоскости, в которой лежит исходный пря-
моугольник.
Пример 6. Сопоставляя изложенное в
примерах 4 и 5, поддавшись естественной ана-
логии, можно теперь предписать склейку пря-
моугольника (рис. 73, а), объединяющую в се-
бе и элементы тора, и элементы листа Мёбиу-
са. Но подобно тому, как лист Мёбиуса нельзя
было склеить без разрывов или самопересече-
ний, не выходя за пределы плоскости R2, так и
предписанную склейку не удастся выполнить а.	Ь.
в Ж3. Однако в R4 это уже можно сделать и в	рис
результате получить в R4 поверхность, кото-
рую принято называть бутылкой Клейна1^, Попытка изобразить эту
поверхность предпринята на рис. 73, Ь.
Последний пример дает некоторое представление о том, что поверх-
ность порой легче описать саму по себе, нежели ее же, лежащую в опре-
деленном пространстве Rn. Более того, многие важные поверхности
(различной размерности) первоначально возникают не как подмноже-
ства Rn, а, например, как фазовые пространства механических систем,
как геометрический образ непрерывных групп преобразований, как
фактор-пространства относительно групп автоморфизмов исходного
пространства, и так далее, и тому подобное. Мы ограничимся пока эти-
ми первоначальными замечаниями, оставляя их уточнение до гл. XV,
где будет дано общее определение поверхности, не обязательно лежа-
^Ф. X.Клейн (1849-1925)—-крупный немецкий математик, впервые строго обо-
сновавший непротиворечивость неевклидовой геометрии. Знаток истории матема-
тики, один из организаторов издания «Энциклопедии математических наук».
204
ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
щей в Rn. Но уже здесь, еще не дав этого общего определения, сообщим,
что, согласно известной теореме Уитни1), любую А:-мерную поверхность
можно гомеоморфно отобразить на некоторую поверхность, лежащую
в пространстве R2fc+1. Значит, рассматривая поверхности в , мы на
самом-то деле ничего не теряем с точки зрения их топологического раз-
нообразия и классификации. Эти вопросы, однако, лежат уже в стороне
от наших скромных потребностей в геометрии.
Задачи и упражнения
1.	Для каждого из множеств Еа, задаваемых условиями
Еа = {(z, у) е R2 | х2 - у2 = а},
Еа = {(x,y,z} eR3 I X2 - у2 = а},
Еа = {(x,y,z) ей3 | х2 + у2 - z2 = а},
Еа = {z е С | |г2 - 1| = а},
в зависимости от значения параметра а 6 KL выясните:
а)	является ли Еа поверхностью;
Ь)	если да, то какова размерность Еа;
с)	связно ли Еа,
2.	Пусть /: IRn —> IRn—гладкое отображение, удовлетворяющее условию
fof = /•
а)	Покажите, что множество /(IRn) является гладкой поверхностью в Rn.
b)	Какой характеристикой отображения f определяется размерность этой
поверхности?
3.	Пусть ео, ei , • • • ? еп — ортонормированный базис в евклидовом простран-
стве IRn+1, х = a;oeo + ^1ci + .. - + хпеп, {#} — точка (ж0,ж1,... ,яп), е1э... ,еп —
базис в Rn С IRn+1.
Формулы
. х - xQeo	.	t X - 2T°eo
V>i = • \ _ 0	при х / е0, ^2 = ..	0	при х 0 -е0
А X	А
задают стереографические проекции
: Sn \ {е0} Rn, ^2: Sn \ {-во}
из точек {ео} и {—ео} соответственно.
а)	Выясните геометрический смысл этих отображений.
^Х. Уитни (1907-1989)—американский математик-тополог, один из создателей
теории расслоенных пространств.
§ 2 ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
205
b)	Проверьте, что если t е IRn и t 0 0, то (^2 ° V'i 1)W =
= (’/'! Is„\{eo}) 1
где ^1 1
с)	Покажите, что две карты /ф1 1 = pi: IRn —> Sn \ {ео}, ^2 1 =	—>
-4 Sn \ {—ео} образуют атлас сферы Sn С IRn+1.
d)	Докажите, что любой атлас сферы должен иметь не менее двух карт.
§2, Ориентация поверхности
Напомним, прежде всего, что переход от одного репера е1?..., еп
пространства Rn к другому е1?..., ёп осуществляется посредством ква-
дратной матрицы (ар, возникающей из разложений ёу — агдег. Опреде-
литель этой матрицы всегда отличен от нуля и все реперы простран-
ства разбиваются на два класса эквивалентности, если в один класс
отнести реперы, для которых определитель матрицы взаимного пере-
хода положителен. Такие классы эквивалентности называют классами
ориентации реперов пространства Rn.
Задать ориентацию значит по определению фиксировать один из
этих классов ориентации реперов Rn. Таким образом, ориентирован-
ное пространство Вп—это само пространство плюс фиксирован-
ный класс ориентации его реперов. Чтобы указать класс ориентации,
достаточно предъявить любой его репер, поэтому можно сказать, что
ориентированное пространство —это вместе с фиксированным
в нем репером.
Репер в Rn порождает в систему координат, и переход от од-
ной такой системы координат к другой осуществляется матрицей (а^),
транспонированной по отношению к матрице (аг3) связи реперов. По-
скольку определители этих матриц одинаковы, можно было бы все ска-
занное выше об ориентации повторить на уровне классов ориентации
систем координат в , относя в один класс те координатные систе-
мы, взаимный переход между которыми осуществляется матрицей с
положительным якобианом.
Оба эти, по существу, совпадающие подхода к описанию понятия
ориентации пространства проявятся и при описании понятия ори-
ентации поверхности, к которому мы переходим.
Напомним, однако, еще полезную для дальнейшего связь между ко-
ординатами и реперами в случае, когда речь идет о системе криволи-
нейных координат.
206
ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Пусть G и D — диффеоморфные области, лежащие в двух экземпля-
рах пространства , наделенных декартовыми координатами
(ш1,..., хп) и (^1,...,^п) соответственно. Диффеоморфизм ср: D —> G
можно рассматривать как введение в области G криволинейных ко-
ординат (£х,...,£п) по закону х = т.е. точка х € G наделяет-
ся декартовыми координатами (£х,...,£п) точки t = ср~\х) Е D. Ес-
ли в каждой точке t Е D рассмотреть репер е1,...,еп касательно-
го пространства ТК™, составленный из ортов координатных напра-
влений, то в D возникнет поле реперов, которое можно рассматри-
вать как разнесение по точкам D параллельно самому себе орторе-
пера исходного пространства Жп, содержащего область D. Поскольку
ip: D —> G — диффеоморфизм, отображение TDt —> TGx=(p(t) ка-
сательных пространств, осуществляемое по закону TDt Э е —> <pf{t)e -
= £ Е TGX, в каждой точке t является изоморфизмом касательных
пространств. Значит, из репера е1,...,еп в TDt при этом получится
репер £1 = <p'(£)ei,... ,	= (p'ffyen в TGX1 а поле реперов на D пре-
образуется в поле реперов на G (рис. 74). Поскольку ср Е C^(D,G), то
векторное поле	= cpfнепрерывно в G, если век-
торное поле e(t) непрерывно в D. Таким образом, любое непрерывное
поле реперов (состоящее из п непрерывных векторных полей) при диф-
феоморфизме преобразуется в непрерывное поле реперов. Рассмотрим
Рис. 74.
теперь пару диффеоморфизмов <рг: Dt —> G, i = 1,2, которые по закону
х ~ вводят в одной и той же области G две системы криволи-
нейных координат (<},..., t™) и (4, • • •) ^2 )• Взаимно обратные диффео-
морфизмы (pi о(р2: Di —> ^2°^: £>2 —> -Di осуществляют взаимные
переходы между этими системами координат. Якобианы этих отобра-
жений в соответствующих друг другу точках областей Di, D% взаимно
обратны и, следовательно, имеют один и тот же знак. Если область G
(а вместе с нею D\ и £>2) связна, то ввиду непрерывности и необраще-
ния в нуль рассматриваемых якобианов они имеют один и тот же знак
во всех точках областей D± и Z?25 соответственно.
§ 2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
207
Значит, все вводимые указанным способом в связной области G
системы криволинейных координат распадаются точно на два клас-
са эквивалентности, если в один класс отнести те системы, взаимные
преобразования которых осуществляются с положительным якобианом.
Такие классы эквивалентности называют классами ориентации систем
криволинейных координат в области G.
Задать ориентацию в области G по определению означает фикси-
ровать в G класс ориентации систем ее криволинейных координат.
Нетрудно проверить, что принадлежащие одному классу ориента-
ции системы криволинейных координат области G порождают в G (как
это описано выше) такие непрерывные поля реперов, которые в каждой
точке х Е G лежат в одном классе ориентации реперов касательного
пространства TGX> Можно показать, что вообще непрерывные поля ре-
перов области G в случае ее связности разбиваются точно на два класса
эквивалентности, если в один класс относить поля, реперы которых в
каждой точке х Е G принадлежат одному классу ориентации реперов
пространства TGX (см. в этой связи задачи 3, 4 в конце параграфа).
Таким образом, одну и ту же ориентацию области G можно задать
двумя совершенно равносильными способами: указанием некоторой си-
стемы криволинейных координат в G или заданием любого непрерыв-
ного поля реперов в G, принадлежащего тому же классу ориентации,
что и поле реперов, порожденное этой системой координат.
Теперь ясно, что ориентация связной области G вполне определит-
ся, если хотя бы в одной точке х Е G будет указан репер, ориентирую-
щий TGX> Это обстоятельство широко используется на практике. Если
такой ориентирующий репер в некоторой точке xq е G задан, и взята
какая-то система криволинейных координат <р: D —> G в области G,
то, построив в TGXo репер, индуцированный этой системой координат,
сравниваем его с заданным в TGXq ориентирующим репером. В слу-
чае, когда оба репера принадлежат одному классу ориентации TGX^
считают, что криволинейные координаты задают на G ту же ориента-
цию, которая предписывается ориентирующим репером. В противном
случае — противоположную ориентацию.
Если G открытое, но не обязательно связное множество, то, по-
скольку все изложенное применимо к любой связной компоненте мно-
жества G, для того, чтобы ориентировать G, надо задать свой ориен-
тирующий репер в каждой связной компоненте G. Значит, если таких
компонент т, то множество G допускает 2т различных ориентаций.
208 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Сказанное об ориентации области G С Rn можно дословно повто-
рить, если вместо области G рассмотреть задаваемую одной картой
гладкую А:-мерную поверхность S в Rn (рис. 75). В этом случае системы
криволинейных координат S тоже разбиваются естественным образом
на два класса ориентации в соответствии со знаком якобиана преобра-
зований их взаимного перехода; тоже возникают поля реперов на S]
тоже задание ориентации может быть осуществлено ориентирующим
репером, лежащим в некоторой касательной к S плоскости TSXQ-
Единственный новый элемент, который тут возникает и требует
проверки, это неявно присутствующее
Утверждение 1. Взаимные переходы от одной системы криво-
линейных координат на гладкой поверхности S С Rn к другой явля-
ются диффеоморфизмами той же степени гладкости, что и карты
◄ В самом деле, в силу утверждения
из § 1 любую карту Ik —> U С S локально
можно рассматривать как ограничение на
IkQO(t) диффеоморфизма^7: O(t) —> О(я)
некоторой n-мерой окрестности O(t) точ-
ки t € Ik С Rn на n-мерную окрестность
О(х) точки х € S С Rn, причем Т7 того
же класса гладкости, что и <р. Если теперь
(pi: Ik —> Ui и ^2	^2 — две такие
карты, то возникающее в их общей обла-
сти действия отображение 1 о (пере-
ход от первой системы координат ко вто-
рой) локально представляется в виде 1 о
, tk) =	□^(t1,...	0,..., 0), где и ^2 — соответству-
ющие диффеоморфизмы n-мерных окрестностей. ►
На примере элементарной поверхности, задаваемой одной картой,
мы разобрали все существенные компоненты понятия ориентации по-
верхности. Теперь мы завершим дело окончательными определениями,
относящимися к случаю произвольной гладкой поверхности в Rn.
Пусть S — гладкая А:-мерная поверхность вКп,и пусть	иг,
(pg: Ik —> U3—две локальные карты поверхности 5, районы действия
которых пересекаются, т. е. Ut П U3 0. Тогда между множествами
поверхности.
Рис. 75.
§2 ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
209
~	1	= у? 1 (CZz), как было только что доказано, естественно
устанавливаются взаимно обратные диффеоморфизмы (ргз: if —>
<р31: 1&г —> I*, осуществляющие переход от одной локальной системы
криволинейных координат на S к другой.
Определение 1. Две локальные карты поверхности называют со-
гласованными^ либо когда районы их действия не пересекаются, либо
когда это пересечение непусто и взаимные переходы в общей области
действия этих локальных карт осуществляются диффеоморфизмами с
положительным якобианом.
Определение 2. Атлас поверхности называется ориентирующим
атласом поверхности, если он состоит из попарно согласованных карт.
Определение 3< Поверхность называется ориентируемой, если
она обладает ориентирующим атласом. В противном случае поверх-
ность называется неориентируемой.
В отличие от областей пространства или элементарных поверх-
ностей, задаваемых одной картой, произвольная поверхность может
оказаться и неориентируемой.
Пример 1. Лист Мёбиуса, как можно проверить (см. задачи 2, 3
в конце параграфа), — неориентируемая поверхность.
Пример 2. Бутылка Клейна в таком случае — тоже неориентиру-
емая поверхность, поскольку она содержит в качестве своей части лист
Мёбиуса. Последнее видно непосредственно из конструкции бутылки
Клейна, изображенной на рис. 73.
Пример 3. Окружность и вообще А;-мерная сфера—ориентируе-
мые поверхности, что доказывается непосредственным предъявлением
атласа сферы, состоящего иэ согласованных карт (см. пример 2 из § 1).
Пример 4. Рассмотренный в примере 4 из § 1 двумерный тор так-
же является ориентируемой поверхностью. Действительно, используя
указанные в примере 4, § 1 параметрические уравнения тора, легко
предъявить его ориентирующий атлас.
Мы не останавливаемся на деталях, поскольку ниже будет указан
другой более наглядный способ контроля ориентируемости достаточно
простых поверхностей, который с легкостью позволит проверить ска-
занное в примерах 1-4.
210
ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Формальное описание понятия ориентации поверхности будет за-
вершено, если к определениям 1, 2, 3 добавить еще приведенные ниже
определения 4, 5.
Два ориентирующих атласа поверхности будем считать эквива-
лентными, если их объединение также является ориентирующим атла-
сом этой поверхности.
Указанное отношение действительно является отношением эквива-
лентности между ориентирующими атласами ориентируемой поверхно-
сти.
Определение 4. Класс эквивалентности ориентирующих атласов
поверхности по указанному отношению эквивалентности называется
классом ориентации атласов поверхности или просто ориентацией
поверхности.
Определение 5. Ориентированной поверхностью называется
поверхность с фиксированным классом ориентации ее атласов (т.е. с
фиксированной на ней ориентацией).
Таким образом, ориентировать поверхность—значит тем или
иным способом указать определенный класс ориентации ориентирую-
щих атласов этой поверхности.
Имеет место уже знакомое нам в его частных проявлениях
Утверждение 2. На ориентируемой связной поверхности суще-
ствует точно две ориентации.
Обычно их называют взаимно противоположными ориентациями.
Доказательство утверждения 2 см. в гл. XV, § 2, п. 3.
Если ориентируемая поверхность связна, то для задания ее ориен-
тации вполне достаточно указать какую-нибудь локальную карту этой
поверхности или ориентирующий репер в какой-нибудь из ее касатель-
ных плоскостей. Этим широко пользуются на практике.
Когда поверхность имеет несколько связных компонент, то такое
указание локальной карты или репера естественно делается в каждой
компоненте связности.
Очень широко на практике применяется также следующий способ
задания ориентации поверхности, лежащей в уже ориентированном
пространстве. Пусть S'-ориентируемая (п — 1)-мерная поверхность, ле-
жащая в евклидовом пространстве Rn, с фиксированным в Rn ориен-
тирующим репером ei,..., гп. Пусть TSX — (п — 1)-мерная плоскость,
§2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
211
касательная к S в точке х Е S, а п — вектор, ортогональный TSX, т.е.
вектор нормали к поверхности S в точке х. Если при заданном векто-
ре п условиться в TSX репер £1?..., выбирать так, чтобы реперы
(е1, • • •, еп) и (n, ^i,..., ^n_1) = (en..., ёп) принадлежали одному клас-
су ориентации пространства Жп то, как
п легко видеть, такие реперы (£i,...,
А //\\	£1	1 плоскости сами окажутся
[	принадлежащими одному классу ориен-
е3	тации этой плоскости. Значит, указа-
1 у \А I 1 jJ	ние класса ориентации плоскости TSX^
X	а вместе с ним и задание ориентации на
61	связной ориентируемой поверхности, в
Рис. 76.	этом случае можно осуществить, задав
нормальный вектор п (рис. 76).
Нетрудно проверить (см. задачу 4), что ориентируемость (п — 1)-
мерной поверхности, лежащей в евклидовом пространстве , равно-
сильна наличию на ней непрерывного поля ненулевых нормальных век-
торов.
Отсюда, в частности, с очевидностью следует ориентируемость сфе-
ры, тора и неориентируемость листа Мёбиуса, о чем говорилось в при-
мерах 7 10.
Связные (п — 1)-мерные поверхности в евклидовом пространстве Rn,
на которых существует (однозначное) непрерывное поле единичных
нормальных векторов, в геометрии называют двусторонними.
Таким образом, например, сфера, тор, плоскость в R3 —двусторон-
ние поверхности, в отличие от листа Мёбиуса, являющегося в этом смы-
сле односторонней поверхностью.
Заканчивая обсуждение понятия ориентации поверхности, сделаем
несколько замечаний, относящихся к практике использования этого по-
нятия в анализе.
В вычислениях, связанных в анализе с ориентированными поверх-
ностями в Rn, обычно сначала находят какую-то локальную параме-
тризацию поверхности 5, не заботясь об ориентации. Затем строят в
некоторой касательной плоскости TSX к поверхности репер £х,...,
из векторов (скорости), касательных к линиям выбранной системы кри-
волинейных координат, т. е. строят ориентирующий репер, индуциро-
ванный этой системой координат.
Если пространство было ориентировано, а ориентация S зада-
8-4574
212
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
валась полем нормальных векторов, то берут вектор п данного поля в
точке х и сравнивают репер п, , £n_i с репером е1?..., еп, ориен-
тирующим пространство. Если эти реперы одного класса ориентации,
то локальная карта по принятому выше соглашению задает нужную
ориентацию поверхности, а когда эти реперы не согласованы, выбран-
ная карта задает ориентацию поверхности, противоположную предпи-
санной нормалью п.
Ясно, что при наличии какой-то локальной карты (п — 1)-мерной
поверхности простым изменением порядка координат можно получить
локальную карту нужной ориентации (ориентации, предписанной фик-
сированным нормальным вектором п к двусторонней гиперповерхно-
сти, лежащей в ориентированном пространстве Rn).
В одномерном случае, когда поверхность сводится к кривой, ори-
ентацию чаще задают касательным вектором к кривой в некоторой ее
точке, и в этом случае часто вместо «ориентация кривой» говорят на-
правление движения вдоль кривой.
Если на плоскости R2 выбран ориентирующий R2 репер и задана за-
мкнутая кривая, то положительным направлением обхода (вдоль кри-
вой) ограниченной этой кривой области D принято считать такое, при
котором репер n, V, где п — вектор внешней по отношению к D нормали
к кривой, a v — вектор скорости обхода, согласован с ориентирующим
репером R2.
Это означает, что, например, при традиционно рисуемом на плоско-
сти (правом) репере, положительным обходом будет движение «против
часовой стрелки», при котором область, ограниченная кривой, остается
«слева».
В этой связи саму ориентацию плоскости или плоской области часто
задают, отмечая не репер в R2, а положительное направление движения
вдоль какой-нибудь замкнутой кривой, обычно окружности.
Задание такого направления по существу есть указание направле-
ния кратчайшего поворота первого вектора репера до его совмещения
со вторым, что равносильно заданию класса ориентации реперов на
плоскости.
Задачи и упражнения
1.	Является ли указанный в задаче 3 с) из § 1 атлас сферы ориентирующим
атласом этой сферы?
§3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ
213
2.	а) Воспользовавшись примером 4 из §1, предъявите ориентирующий
атлас двумерного тора.
Ь)	Докажите, что не существует ориентирующего атласа листа Мёбиуса.
с)	Покажите, что при диффеоморфизме f: D —> D ориентируемая поверх-
ность S С D переходит в ориентируемую поверхность S С D,
3.	а) Проверьте, что принадлежащие одному классу ориентации системы
криволинейных координат области G С порождают такие непрерывные
поля реперов в G, которые в каждой точке х € G задают реперы одного
класса ориентации пространства TGX.
b)	Покажите, что в связной области G С F непрерывные поля реперов
разбиваются точно на два класса ориентации.
с)	На примере сферы покажите, что гладкая поверхность S С может
быть ориентируемой, хотя на S не существует непрерывного поля реперов
касательных к S пространств.
d)	Докажите, что на связной ориентируемой поверхности можно задать
точно две различные ориентации.
4.	а) В пространстве Rn фиксировано подпространство Rn-1, взят вектор
v 6 Кп \КП-1 и два репера (£1(... ,£n_i), (£1,... ,£n_i) подпространства Kn-1.
Проверьте, что эти реперы принадлежат одному классу ориентации репе-
ров пространства R”-1 тогда и только тогда, когда реперы (v,£1?..., £n_ J,
(v,^,... ,£n_i) задают одинаковую ориентацию пространства
b)	Покажите, что гладкая гиперповерхность S С Rn ориентируема тогда
и только тогда, когда на S существует непрерывное поле единичных нормаль-
ных к S векторов. Отсюда, в частности, вытекает ориентируемость двусто-
ронних поверхностей.
с)	Покажите, что если grad F^O, то задаваемая уравнением F(a;1,..., хп) =
~ 0 поверхность ориентируема (предполагается, что уравнение имеет реше-
ние).
d)	Обобщите предыдущий результат на случай поверхности, задаваемой
системой уравнений.
е)	Объясните, почему не каждую гладкую двумерную поверхность в R3
можно задать уравнением F(x,y,z) = 0, где F — гладкая функция без крити-
ческих точек (т. е. grad F / 0).
§3. Край поверхности и его ориентация
1.	Поверхность с краем. Пусть Rn—евклидово пространство
размерности наделенное декартовыми координатами , tk. Рас-
смотрим полупространство Нк := {t Е R^ | t1 0} пространства К*.
Гиперплоскость дНк := {t Е R^ | t1 = 0} будем называть краем полу-
пространства Нк.
214
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В
Заметим, что множество Нк := Нк \ дНк, т. е. открытая часть Нк,
является простейшей fc-мерной поверхностью. Само же полупростран-
ство ffk формально не удовлетворяет определению поверхности ввиду
наличия в ffk точек края дНк. Множество Нк является эталоном по-
верхностей с краем, которые мы сейчас опишем.
Определение 1. Множество S С Rn называют поверхностью
(размерности к) с краем, если любая точка х Е S имеет окрестность U
в S, гомеоморфную либо R*, либо Нк.
Определение 2. Если при указанном в определении 1 гомеомор-
физме U на Нк точке х Е U соответствует точка края дНк, то х назы-
вается точкой края поверхности (с краем) S и своей окрестности U.
Совокупность всех точек края называется краем поверхности S.
Край поверхности S, как правило, будет обозначаться символом dS.
Отметим, что дНк при к — 1 состоит из одной точки, поэтому, сохра-
няя соотношение дНк = Rfe-1 , мы в дальнейшем будем понимать R0 как
одну точку, а «ЭК0 будем считать пустым множеством.
Напомним, что при гомеоморфном отображении <ргз : Ог —> G3 обла-
сти G2 С К* на область G3 С внутренние точки области Gz пе-
реходят во внутренние точки образа ^(GJ (это —теорема Брауэра).
Следовательно, понятие точки края поверхности не зависит от выбора
локальной карты, т. е. определено корректно.
Определение 1 формально включает в себя и случай поверхности,
описанный в определении 1, § 1. Сопоставляя эти определения, видим,
что если на S нет точек края, то мы возвращаемся к прежнему опреде-
лению поверхности, которое теперь можно было бы считать определе-
нием поверхности без края. Отметим в этой связи, что термин «поверх-
ность с краем» обычно употребляется тогда, когда множество точек
края непусто.
Понятие гладкой (класса G^) поверхности S с краем вводится, как
и для поверхностей без края, требованием, чтобы S обладала атласом
карт данного класса гладкости. При этом мы подразумеваем, что для
карт вида <р: Нк U и частные производные от <р в точках края дНк
вычисляются только по области Нк определения отображения 99, т. е.
иногда это односторонние производные, а якобиан отображения <р от-
личен от нуля всюду в Нк.
Поскольку R* можно диффеоморфизмом класса преобразовать
§ 3. край поверхности и его ориентация
215
в куб Ik — {t Е Rfc | |£г| < 1, i = 1,..., к}, причем так, что Нк пре-
образуется в часть Iff куба определяемую дополнительным условием
t1 0, то ясно, что в определении поверхности с краем (даже в случае
ее гладкости) можно было бы заменить R^ на 1к, а Нк на lx или на
куб 1к с одной присоединенной гранью := {t Е Rfc | t1 = 1, |iz| <
< 1, i = 2,..., к}, являющейся, очевидно, кубом на единицу меньшей
размерности.
С учетом этой всегда присутствующей свободы в выборе канони-
ческих локальных карт поверхности, сопоставляя определения 1, 2 и
определение 1 из § 1 видим, что справедливо следующее
Утверждение 1. Край к-мерной поверхности класса сам
является поверхностью того же класса гладкости, причем поверх-
ностью без края и на единицу меньшей размерности в сравнении с
размерностью исходной поверхности с краем.
◄ Действительно, если A(S) = {(Hk, Фъ ? иг) } U { (R^ , <р3, UJ)} — атлас
поверхности S с краем, то A(dS) — {(R^-1,	dUz)}, очевид-
но, является атласом того же класса гладкости для края 3S. ►
Укажем некоторые простые примеры поверхностей с краем.
Рис. 77.
Пример 1. Замкнутый п-мерный шар В в Rn есть n-мерная по-
верхность с краем. Ее край дБ есть (п — 1)-мерная сфера (см. рис. 76
и рис. 77, а). Шар называемый часто по аналогии с двумерным слу-
чаем п-мерным диском, можно гомеоморфно преобразовать в половину
n-мерной сферы, краем которой является экваториальная (п—1)-мерная
сфера (рис. 77, Ь).
216
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В
Пример 2. Замкнутый куб 1п в Rn
по лучам, исходящим из его центра, можно
гомеоморфно преобразовать в замкнутый
шар дВ^. Следовательно, 1п как и В , есть
n-мерная поверхность с краем, который в
данном случае образован гранями куба
(рис. 78). Отметим, что на ребрах, являю-
щихся пересечениями граней, никакое ото-
бражение куба на шар, очевидно, не может
быть регулярным (т. е. гладким и ранга п).
Пример 3. Если лист Мёбиуса получать описанным в примере 5,
§ 1 склеиванием двух противоположных сторон теперь уже замкнутого
прямоугольника, то, очевидно, в R3 получится поверхность с краем,
причем ее край гомеоморфен окружности (правда, заузленной вК3).
При другой возможной склейке этих же сторон получится цилин-
дрическая поверхность, край которой состоит из двух окружностей.
Эта поверхность гомеоморфна обычному плоскому кольцу (см. рис. 71
к примеру 5, § 1). На рис. 79, а, Ь, 80, а, Ь, 81, а, Ь, которые мы исполь-
Рис. 80.
Рис. 79.
зуем в дальнейшем, изображены попарно гомеоморфные поверхности
с краем, лежащие в R2 и R3. Как видно, край поверхности может ока-
заться несвязным, даже если сама поверхность была связной.
2. Согласование ориентации поверхности и края. Если в ев-
клидовом пространстве R^ фиксирован ориентирующий орторепер
ех,..., ек, который индуцирует в R^ декартовы координаты ж1,..., xk.
§ 3. край поверхности и его ориентация
217
то векторы в2,. • •, на краю дНк ~ R^-1 полупространства Нк ~ {ж Е
Е Rfc | Xх 0} задают ориентацию, которую считают согласованной с
заданной репером е1?..., ек ориентацией полупространства Нк.
Рис. 81.
В случае, когда к ~ 1 и дНк — R^-1 = R° есть точка, следует
особо договориться о том, как ориентировать точку. По определению
точку ориентируют, приписывая ей знак + или —. В случае дН1 = R0
берется (R0, +) или короче +R0.
Мы хотим теперь в общем случае определить, что значит согласо-
ванность ориентации поверхности и края. Это весьма важно для прак-
тики вычислений, связанных с поверхностными интегралами, о кото-
рых будет речь ниже.
Прежде всего убедимся в том, что имеет место следующее общее
Утверждение 2. Край dS гладкой ориентируемой поверхно-
сти S сам является гладкой ориентируемой поверхностью (быть мо-
жет, и несвязной).
◄ С учетом утверждения 1 нам остается только проверить ориенти-
руемость dS. Покажем, что если A(S) = {(Нк,<рг, Ut)}U{(№k	—
ориентирующий атлас поверхности с краем S, то атлас A(dS) =
~ {(Rfc-1, <рг1, дЦг)} края тоже состоит из попарно согласо-
ванных карт. Для этого, очевидно, достаточно проверить, что если
t = есть диффеоморфизм с положительным якобианом окрест-
ности Uffk(tQ) в Нк точки to Е дНк на окрестность Uf{k(to) в Нк
точки to Е дНк, то положительный якобиан имеет также отображе-
ние $\dUHk(to) окрестности	~ dU^k^to) в дНк точки to на ок-
рестность UdHk(tQ) — dUHk(tQ) в дНк точки £q = ^(^о)-
Заметим, что в любой точке to — (0, £q, ... ,tk) Е дНк якобиан J
218
ГЛ XII ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К"
отображения *ф е J(t0) =	[меет вид <	0 dtp dip dP dt2
	dip dip dP dP
О
dip
др
dip
dp
di/)1
dt1
dip
dp
dip
dP
поскольку при P = 0 должно быть также Р = ip(O,P,... ,tk) =0 (гра-
ничные точки переходят при диффеоморфизме в граничные). Остается
заметить, что при Р < 0 должно быть также Р = ip(P,t2,... ,tk) < О
(ведь i = i/pt) G Hk), поэтому значение	 • • ,tk) не может быть
(/6
отрицательным. По условию J(io) > 0 и раз ^-(0, £2, • • •	> 0, то из
указанного равенства определителей следует, что якобиан отображения
,ф\динк = т/>(0,£2,... , t*) положителен. ►
Отметим, что случай одномерной поверхности (к = 1) в утвержде-
нии 2 и следующем определении 3, очевидно, надо оговорить особо в
соответствии с принятым по этому случаю в начале пункта соглашени-
ем.
Определение 3. Если A(S) = {(Я^, Яг)}П {(R*, <р3, U3)}— ори-
ентирующий атлас стандартных локальных карт поверхности S с кра-
ем dS, то A(dS) = {к 1, диг)} есть ориентирующий атлас
края. Задаваемая им ориентация края 3S называется ориентацией
края, согласованной с ориентацией поверхности.
Заканчивая рассмотрение ориентации края ориентируемой поверх-
ности, сделаем два полезных замечания.
Замечание 1. На практике, как уже отмечалось выше, ориента-
цию лежащей в Rn поверхности часто задают репером касательных к
поверхности векторов, поэтому проверку согласованности ориентации
поверхности и ее края в этом случае осуществляют следующим образом.
Берут й-мерную плоскость TSXQ, касательную к гладкой поверхности S
в точке xq края 3S. Поскольку локально структура поверхности S око-
ло точки такая же, как и структура полупространства около
точки 0 6 дН\ то, направив первый вектор ориентирующего S орто-
репера $i,^25 •••,£& € TSX0 по нормали к 3S и в сторону внешнюю по
§ 3. край поверхности и его ориентация
219
отношению к локальной проекции S на TSXo, получают в (к — ^-мер-
ной плоскости TdSX0, касательной к 3S в точке репер £2,
который и задает ориентацию TdSXQ, а значит, и dS, согласованную с
заданной репером £2,•••> & ориентацией поверхности S.
На рис. 77-80 на простых примерах показаны процесс и результат
согласования ориентаций поверхности и ее края.
Отметим, что описанная схема предполагает возможность перено-
сить задающий ориентацию S репер в разные точки поверхности и ее
края, который, как видно из примеров, может быть и несвязным.
Замечание 2. В ориентированном пространстве рассмотрим
полупространства = Нк = {ж е К* |	0} и Нк = {ж 6	|
х1 0} с индуцированной из ориентацией. Гиперплоскость Г =
= {х 6 R* | х1 — 0} является общим краем Нк и Н^_. Легко видеть,
что ориентации гиперплоскости Г, согласованные с ориентациями Н^_
и Н^_, противоположны. Это относится и к случаю к — 1, в котором
это постулируется.
Аналогично, если ориентированную ^-мерную поверхность разре-
зать некоторой (к — 1)-мерной поверхностью (например, сферу — эква-
тором), то на указанном разрезе возникнут две противоположные ори-
ентации, индуцированные ориентациями примыкающих к разрезу ча-
стей исходной поверхности.
Этим наблюдением часто пользуются в теории поверхностных ин-
тегралов.
Кроме того, им можно воспользоваться, чтобы следующим образом
определить ориентируемость кусочно гладкой поверхности.
Дадим прежде всего определение такой поверхности.
Определение 4 (индуктивное определение кусочно гладкой по-
верхности). Точку условимся относить к нульмерным поверхностям
любого класса гладкости.
Кусочно гладкой одномерной поверхностью (кусочно гладкой кри-
вой) назовем такую кривую в Rn, которая после удаления из нее конеч-
ного или счетного числа некоторых нульмерных поверхностей (точек)
распадается на гладкие одномерные поверхности (кривые).
Поверхность S' С Кп размерности к назовем кусочно гладкой, если
из нее можно так удалить конечное или счетное число кусочно гладких
поверхностей размерности не выше к — 1, что остаток распадется на
220
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
гладкие ^-мерные поверхности 8г (с краем или без края).
Пример 4. Граница плоского угла и граница квадрата суть ку-
сочно гладкие кривые.
Граница куба или граница прямого кругового конуса в К3 суть дву-
мерные кусочно гладкие поверхности.
Вернемся теперь к ориентации кусочно гладкой поверхности.
Точку (нульмерную поверхность), как это уже отмечалось, принято
ориентировать, приписывая ей знак + или —. В частности, край отрез-
ка [a, b] С R, состоящий из двух точек а, Ь, если отрезок ориентирован
направлением от а к Ь, принято согласованно (с этой ориентацией от-
резка) ориентировать так: (а,—), (6, +) или в иной записи —а, +Ь.
Рассмотрим теперь fc-мерную (к > 0) кусочно гладкую поверхность
5сГ.
Предположим, что две гладкие поверхности 5^, S\2 из определе-
ния 4 кусочно гладкой поверхности S ориентированы и примыкают
друг к другу вдоль гладкого куска Г (к — 1)-мерной поверхности (ре-
бра). Тогда на Г, как на краю, возникают ориентации, согласованные
с ориентациями S4 и Sl2 соответственно. Если эти две ориентации на
любом таком ребре Г С П Sl2 противоположны, то исходные ориен-
тации Stl и Sl2 считаются согласованными. В случае, если Stir\Sl2 пусто
или имеет размерность, меньшую чем (А; — 1), любые ориентации Si2
считаются согласованными.
Определение 5. Кусочно гладкую ^-мерную (к > 0) поверхность
будем считать ориентируемой, если с точностью до конечного или счет-
ного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше (к — 1)
она является объединением гладких ориентируемых поверхностей 8г,
допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию.
Пример 5. Поверхность трехмерного куба, как легко проверить,
является ориентируемой кусочно гладкой поверхностью. И вообще, все
указанные в примере 4 кусочно гладкие поверхности ориентируемы.
Пример 6. Лист Мёбиуса легко представить в виде объединения
двух ориентируемых гладких поверхностей, примыкающих по части
края, однако эти поверхности нельзя ориентировать согласованно.
Можно проверить, что лист Мёбиуса не является ориентируемой по-
верхностью даже с точки зрения определения 5.
§ 3. край поверхности и его ориентация
221
Задачи и упражнения
1.	а) Верно ли, что край поверхности S С В71 есть множество S\S, где S —
замыкание S в Мп?
Ь) Имеют ли поверхности Si = {(х,?/) Е ®2 | 1 < х2 + у2 < 2}, S2 = {(я,?/) €
Е В2 | 0 < х2 -Г у2} край?
с) Укажите край поверхностей Si = {(^2/) € В2 | 1 х2 + у2 < 2},
& = {(ж, У) G ®2 I 1 О2 + У2}
2.	Приведите пример неориентируемой поверхности с ориентируемым
краем.
3.	а) Каждая грань куба 1к = {ж Е К* | |ж*| <1, i = 1,..., к} параллельна
соответствующей (fc — 1)-мерной координатной гиперплоскости пространст-
ва R*, поэтому в грани можно рассмотреть тот же репер и ту же систему
координат, что и в этой гиперплоскости. Укажите, в каких гранях получа-
ющаяся при этом ориентация согласуется с ориентацией куба Ifc, индуциро-
ванной ориентацией , а в каких не согласуется. Разберите последовательно
случаи к = 2, k = Зи k^n.
b)	В некоторой области полусферы S = {(x,y,z) Е | х2 + у2 + z2 ~
= lAz > 0} действует локальная карта	t-> (sint1 cost2, sin t1 sint2, cost1),
а в некоторой области края OS этой полусферы действует локальная карта
11-4 (cost,sint,0). Выясните, задают ли эти карты согласованные ориентации
поверхности S и ее края 3S.
с)	Постройте на полусфере S и ее крае dS поля реперов, индуцированные
указанными в Ь) локальными картами.
d)	На крае dS полусферы S укажите репер, задающий ориентацию края,
согласованную с полученной в с) ориентацией полусферы.
е)	Задайте полученную в с) ориентацию полусферы S с помощью вектора,
нормального к S С •
4.	а) Проверьте, что лист Мёбиуса не является ориентируемой поверхно-
стью даже с точки зрения определения 5.
Ь) Покажите, что если S — гладкая поверхность в , то определения ее
ориентируемости как гладкой и как кусочно гладкой поверхности равносиль-
ны.
5.	а) Будем говорить, что множество S С есть /с-мерная поверхность
с краем, если для каждой точки х Е S найдутся ее окрестность U(x) bF и
диффеоморфизм ф: U(x) —> 1п этой окрестности на стандартный куб /п С F,
при котором ^(S П U(x)) совпадает либо с кубом 1к = {t Е In | t*+1 — ... =
= tn = 0}, либо с его частью 1к П {t Е Rn | tk < 0}, которая является А;-мерным
промежутком с одной присоединенной к нему гранью.
Исходя из сказанного в § 1 при обсуждении понятия поверхности, покажи-
те, что это определение поверхности с краем не эквивалентно определению 1.
Ь) Верно ли, что если f Е (Нк, В), где Нк ~ {ж Е К* | х1 0}, то
для любой точки х Е дНк можно найти ее окрестность U(ж) в К* и функцию
222
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Т е CW(?7(2:),R) так, что Яя^псДх) =
с) Если указанное в а) определение использовать для описания гладкой
поверхности с краем, т. е. считать <ф гладким отображением максимального
ранга, то будет ли такое определение гладкой поверхности с краем совпадать
с принятым в § 3?
§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве
Перейдем теперь к определению площади ^-мерной кусочно гладкой
поверхности, лежащей в евклидовом пространстве Rn, п к.
Напомним сначала, что если	., £к — к векторов евклидова про-
странства R*, то объем	параллелепипеда, натянутого на
эти векторы как на ребра, может быть вычислен посредством опреде-
лителя
V(^,...,^) = det(ef)
(1)
матрицы J — (^), строки которой образованы координатами данных
векторов в некотором ортонормированием базисе е17... ,е^ простран-
ства R*. Отметим, однако, что на самом-то деле формула (1) дает не
просто объем, а так называемый ориентированный объем параллеле-
пипеда. Если V 7^ 0, то определяемое формулой (1) значение V положи-
тельно или отрицательно в соответствии с тем, принадлежат ли реперы
е1?..., ек, £i, • • •, £& °ДН°МУ или разным классам ориентации простран-
ства R*.
Заметим теперь, что произведение JJ* матрицы J на ее транспони-
рованную J* есть не что иное, как матрица G = (дгз) попарных скаляр-
ных произведений дгз = данных векторов, т. е. матрица Грама^
системы векторов £15..., £к. Таким образом,
det G - det(JJ*) = det J det J* = (det J)2,	(2)
и, значит, неотрицательное значение объема	. , £fc) можно полу-
чить в виде
r(ei,...,^) =	(3)
Последняя формула удобна тем, что в ней, по существу, уже нет
координат, а есть только набор геометрических величин, характери-
зующих рассматриваемый параллелепипед. В частности, если эти же
^См. сноску на стр. 592.
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 223
векторы	считать лежащими в n-мерном (п к) евклидовом
пространстве Rn, то формула (3) А;-мерного объема (или /^-мерной пло-
щади) натянутого на них параллелепипеда останется без изменений.
Пусть теперь г: D —> S С Rn — А;-мер-
ная гладкая поверхность S в евклидо-
вом пространстве Rn, заданная в парамет-
рическом виде г — г^1,..., i*), т.е. в
виде гладкой вектор-функции г (t)	=
= (я1,... ,#n)(i), определенной в области
D С Пусть е1?...,	— ортонормиро-
ванный базис в R*, порождающий коор-
динатную систему (t1,..., tk). Фиксиро-
вав точку to = (ig, ..., t§) е D, возьмем по-
ложительные числа /г1,..., hk столь малы-
ми, чтобы параллелепипед /, натянутый
на векторы №ег 6 TDtQ, i = 1,..., А;, при-
ложенные к точке io? лежал в области D.
Рис. 82.
На поверхности S в силу отображения D
—> S параллелепипеду I
соответствует фигура /s, которую условно можно назвать криволиней-
ным параллелепипедом (см. рис. 82, отвечающий случаю к = 2, п — 3).
Поскольку
г^0,...,е0-\е0 + кг,е0+1,...,^-
- г^0,tf1,е0, if1,..., tofc) =	+ o(hl),
(JL
смещению от ig на вектор Ьгег отвечает в Rn такое смещение от точ-
ки r(ig), которое при № —> 0 можно с точностью до о(Лг) заменить
частным дифференциалом ^(io)^1
С/ If
=: тгЬг. Таким образом, при ма-
лых значениях /г\ i = 1,..., А;, криволинейный параллелепипед Is мало
отличается от параллелепипеда, натянутого на векторы /йп,...,
касательные к поверхности S в точке г (io). Считая по этой причине,
что объем ДУ криволинейного параллелепипеда Is должен тогда быть
близок к объему указанного стандартного параллелепипеда, находим
приближенную формулу
ДУ « y^det(^J)(io)Ai1 •... • Д<*,
(4)
где положено ftj(io) = (Л,^)(^о),	= h\ г,] = 1,..., к.
224 ГЛ XII ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Если теперь все пространство К*, в котором лежит область пара-
метров D, стандартным образом замостить мерными параллелепи-
педами малого диаметра с?, взять среди них те, которые лежат в D,
вычислить по формуле (4) приближенное значение ^-мерного объема
их образов и взять сумму полученных так значений, то мы придем к
величине
52 \/det(5v)(fQ)Af1 • ... •
а
которую можно считать приближенным значением ^-мерного объема
или площади рассматриваемой поверхности S, причем это приближе-
ние должно становиться более точным при d —> 0. Таким образом, мы
принимаем
Определение 1. Площадью (или к-мерным объемом) заданной в
параметрическом виде D Э t r(t) G S гладкой й-мерной поверхно-
сти S, лежащей в евклидовом пространстве Rn, называется величина
Vk(S) :
У	dt1 ... dtk.
(5)
Посмотрим, как выглядит формула (5) в уже знакомых нам частных
случаях.
При к = 1 область D С R1 есть промежуток с некоторыми конца-
ми а, b (а < Ь) на прямой R1, a S в этом случае — кривая в Rn. Форму-
ла (5), таким образом, при к — 1 превращается в формулу
Vx(S) =
b	ь
У"\r(t)\dt = у \/(ж1)2 + ... + (rrn)2(f) dt
а	а
для вычисления длины гладкой кривой.
Если к = п, то S- диффеоморфная области D n-мерная об-
ласть вКп. В этом случае матрица Якоби J = xf(t) отображения D Э
Э (i1,.. -,tTl) = t Н r(t) — (z1,..., xn)(t) G S квадратная. Воспользо-
вавшись теперь соотношением (2) и формулой замены переменных в
кратном интеграле, можно написать, что
l'n(S') —
dt —
| detrr'(i)| dt — / dx = V(S),
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 225
т.е., как и следовало ожидать, мы пришли к объему области *9 в К1.
Отметим, что при к — 2 и п — 3, т. е. когда S— двумерная по-
верхность в R3, часто вместо стандартных обозначений gtJ = {гг,гд)
используют следующие: ст := V2(S), Е := дщ = (й, Й), F := t/12 = 521 =
= (й> r2>, G := д22 = (Й> Й), а вместо t1, t2 пишут соответственно и, v.
В этих обозначениях формула (5) приобретает вид
ст — j f y/EG — F2 dudv.
D
В частности, если и = ж, v = у, а поверхность S— есть график глад-
кой вещественнозначной функции z = /(ж, у), определенной в области
D С К2, то, как легко подсчитать,
ст = УУ ^/1 + (Z02 + (fyVdxdy.
D
Вернемся теперь вновь к определению 1 и сделаем несколько полез-
ных для дальнейшего замечаний.
Замечание 1. Определение 1 корректно лишь в том случае, когда
стоящий в формуле (5) интеграл существует. Он заведомо существует,
например, если D — измеримая по Жордану область, аг 6	R”).
Замечание 2. Если поверхность S, участвующую в определе-
нии 1, разбить на конечное число поверхностей S15...,Sm с кусочно
гладкими краями, то этому разбиению S будет отвечать такое же раз-
биение области D на соответствующие S15..., Sm области Dp..., Dm.
Если поверхность S имела площадь в смысле равенства (5), то при ка-
ждом значении а = 1,..., т определены величины
Vk(Sa)= f y/det{ri,rj)(t)dt.
Da
В силу аддитивности интеграла отсюда следует, что
W) = £>(SQ).
а
Мы установили таким образом, что площадь й-мерной поверхности
аддитивна в том же смысле, что и обычный кратный интеграл.
226
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Замечание 3. Последнее замечание позволяет переходить, если
нужно, к исчерпанию области D, а значит, оно позволяет расширить
смысл формулы (5), в которой теперь интеграл можно понимать и как
несобственный.
Замечание 4. Более существенно аддитивность площади можно
использовать для определения площади произвольной (а не только за-
данной одной картой) гладкой или даже кусочно гладкой поверхности.
Определение 2. Пусть S— произвольная кусочно гладкая А;-мер-
ная поверхность в . Если после удаления из S конечного или счетного
числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше чем к — 1 она
распадается на конечное или счетное число гладких параметризуемых
поверхностей ., Sm,..., то полагаем
Vk(S) :=
а
Аддитивность кратного интеграла позволяет проверить, что так
определенная величина Vk(S) не зависит от способа описанного разбие-
ния поверхности S' на гладкие куски S15..., Sm,..., каждый из которых
лежит в районе действия какой-то локальной карты поверхности S.
Отметим также, что из определений гладкой и кусочно гладкой по-
верхностей легко следует, что описанное в определении 2 разбиение S
на гладкие параметризуемые куски S15..., Sm всегда возможно и да-
же с соблюдением естественного дополнительного требования локаль-
ной конечности разбиения. Последнее означает, что любой компакт
К С S может иметь общие точки лишь с конечным числом поверхно-
стей S17..., Sm,... Нагляднее это можно выразить иначе, сказав, что
любая точка поверхности S должна обладать окрестностью, которая
пересекается не более чем с конечным числом множеств S17..., Sm,...
Замечание 5. В основной формуле (5) участвует система кри-
волинейных координат t1,..., tk. Естественно поэтому проверить, что
определяемая равенством (5) величина 14 (S) (а тем самым и величи-
на Vfc(S) из определения 2) инвариантна при диффеоморфном переходе
D Э (F,	= i t = (t1,..., tk) G D к новым криволинейным коор-
динатам	меняющимся в соответствующей области D С
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 227
◄ Для проверки достаточно заметить, что матрицы
в соответствующих друг другу точках областей D и D связаны со-
отношением G = J*GJ, где J = (777)—матрица Якоби отображе-
\ C/v ✓
ния Р Э t Н t Е Д a J*—транспонированная по отношению к J
матрица. Таким образом, det G(t) — det (7(2) (det J)2(i), откуда следует,
что
У v^det G(t) dt = det G(f(f))| J(i)| dt =	yjdet G(t) dt.
d	d	5
Итак, мы дали инвариантное по отношению к выбору системы ко-
ординат определение ^-мерного объема или площади й-мерной кусочно
гладкой поверхности.
Замечание 6. Этому замечанию мы предпошлем
Определение 3. Про множество Е, лежащее на ^-мерной кусоч-
но гладкой поверхности, будем говорить, что оно является множес-
твом к-мерной меры нуль или имеет площадь нуль в смысле Лебега,
если при любом в > 0 его можно покрыть конечной или счетной систе-
мой 51?..., Sm,... (возможно пересекающихся) поверхностей Sa С S
так, что Y,vk(Sa) <е.
а
Как видно, это дословное повторение определения множества меры
нуль, лежащего в
Легко видеть, что в области D параметров любой локальной карты
<р: D S кусочно гладкой поверхности S' такому множеству Е отве-
чает множество <^-1(Е9 С D С К* к-мерной меры нуль. Можно даже
проверить, что это характеристическое свойство множеств Е С S пло-
щади нуль.
На практике при вычислении площадей, а также вводимых ниже по-
верхностных интегралов полезно иметь в виду, что если кусочно глад-
кая поверхность S получена из кусочно гладкой поверхности S удале-
нием из S множества Е площади нуль, то площади поверхностей S и S
одинаковы.
228
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Польза этого замечания в том, что из кусочно гладкой поверхности
часто легко так удалить множество площади нуль, что в результате
получится гладкая поверхность S, задаваемая всего лишь одной картой.
Но тогда площадь S', а значит, и площадь S можно вычислить прямо
по формуле (5).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Отображение ]0,2тг[э t (Rcost, Esinf) е R2 есть
карта дуги S окружности х2 + у2 = Я2, получаемой удалением из
этой окружности S единственной точки Е — (Я, 0). Поскольку Е~
множество длины нуль на S', можно писать, что
2%
Vi(S) = V1(S) = j VR2 sin21 + R2 cos21 dt = 2ttR.
0
Пример 2. В примере 4 § 1 было указано следующее параметри-
ческое представление двумерного тора S в R3:
г (у?, ф) = ((Ь + a cos <ф) cos (Ь + а cos *ф) sin a sin ф).
В области D = {(<£>, <ф) | 0 < <р < 2тг, 0 < *ф < 2тг} отображение (у?, <ф)
г(<£, диффеоморфно. Образ S области D при этом диффеоморфиз-
ме отличается от тора S на множество Е, состоящее из координатной
линии <р = 2тг и линии = 2тг. Множество Е состоит, таким образом,
из одной параллели и одного меридиана тора и, как легко видеть, име-
ет площадь нуль. Значит, площадь тора можно найти по формуле (5),
исходя из приведенного параметрического представления, рассматри-
ваемого в пределах области D.
Проведем необходимые выкладки:
— (—(b + a cos?/?) sin<^, (Ь + a cos?/?) cos^?, 0),
r-ф = (—asin?/?) cos у?, ~а sin?/? sin<р, a cos ?/?),
511 = (^Л) = (6 + acos^)2,
512 = 521 = (rv,r^) = 0,
522 = (ry,ry) = а2,
detG =
511 512
521 522
= a2(b + a cost/»)2.
§4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229
Следовательно,
2%	2%
1^(5) =	dtp a(b + acos^) d/ф = 4л2 ab.
о о
Отметим в заключение, что указанным в определении 2 способом
можно теперь вычислять также длины и площади кусочно гладких кри-
вых и поверхностей.
Задачи и упражнения
1.	а) Пусть Р и Р — две гиперплоскости евклидова пространства Bn, D —
подобласть Р, a D — ортогональная проекция D на гиперплоскость Р. По-
кажите, что (п — 1)-мерные площади D и D связаны соотношением ст(27) =
= сг(27) coso, где а — угол между гиперплоскостями Р, Р.
Ь)	Учитывая результат а), укажите геометрический смысл формулы da =
=	+ (/')2 + (/у)2 dxdy для элемента площади графика гладкой функции
z = /(#, у) в трехмерном евклидовом пространстве.
с)	Покажите, что если поверхность S в евклидовом пространстве К3 задана
в форме гладкой вектор-функции г = г (и, г), определенной в области D с В2,
то площадь поверхности S можно найти по формуле
<т(5) = УУ \[r'ulr'v]\dudv,
D
где [г^,— векторное произведение векторов
d)	Проверьте, что если поверхность S С В3 задана уравнением F(x,y.z) =
~ 0, а область U поверхности S взаимно однозначно ортогонально проекти-
руется на область D плоскости (#,?/), то имеет место формула
D
2.	Найдите площадь сферического прямоугольника, образованного двумя
параллелями и двумя меридианами сферы S С В3.
3.	а) Пусть (г, р, Л) — цилиндрические координаты в В3. Гладкая кривая,
расположенная в плоскости ip = (ро и заданная там уравнением г — г(з),
где s- натуральный параметр, вращается вокруг оси h. Покажите, что пло-
щадь поверхности, полученной вращением куска этой кривой, отвечающего
отрезку [81,82] изменения параметра 8, может быть найдена по формуле
«2
а ~ 2тг / r(s) ds.

230
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
b) График гладкой неотрицательной функции у — /(х), определенной на
отрезке [а, 6] С IR+, вращается сначала вокруг оси Ох, затем вокруг оси Оу.
В каждом из этих случаев напишите формулу для площади соответствующей
поверхности вращения в виде интеграла по отрезку [а, Ь].
4.	а) Центр шара радиуса 1 скользит вдоль гладкой плоской замкнутой
кривой, имеющей длину L. Покажите, что площадь поверхности образованно-
го при этом трубчатого тела равна 2тг • 1 • L.
Ь) Исходя из результата а), найдите площадь двумерного тора, полученно-
го вращением окружности радиуса а вокруг оси, лежащей в плоскости окруж-
ности и удаленной от ее центра на расстояние b > а.
5.	Изобразите заданную в декартовых координатах (ж, 2/, г) пространст-
ва I&3 винтовую поверхность
Z	7Г
у-rrtg- = 0,	|z| < —h
h	2
°	u	M 2	2 ।	2 td2
и найдите площадь той ее части, для которой г х + у л .
6.	а) Покажите, что площадь Qn-i единичной сферы в 1&п равна
где Г(а) = / е~хха~1 dx. (В частности, если п четно, то Г (?£) “ I п % И, а
о	'	'
если п нечетно, то Г	л/тг»)
Ь)	Проверив, что объем Vn(r) шара радиуса г в 1&п равен  гП' ПОка"
г \~2 )
dVn
жите, что	- Юп-1-
с)	Найдите предел при п —> оо отношения площади полусферы {з: G |
|х| = 1 А хп > 0} к площади ее ортогональной проекции на плоскость хп ~ 0.
d)	Покажите, что при п —> оо основная часть объема n-мерного шара
сосредоточивается в сколь угодно малой окрестности его граничной сферы,
а основная часть площади сферы — в сколько угодно малой окрестности ее
экватора.
е)	Покажите, что из сделанного в d) наблюдения вытекает красивое след-
ствие:
Регулярная функция, непрерывная на сфере большой размерности, почти
постоянна на ней.
Поконкретнее:
Рассмотрим, например, функции, удовлетворяющие условию Липшица с
фиксированной константой. Тогда для любых е > 0 и 6 > 0 найдется такое N,
что при п > N у любой такой функции /: Sn —> К. имеется значение с со
следующими свойствами: площадь того множества, где значения f отличаются
от с больше чем на г, составляет не более чем J-долю от площади всей сферы.
7.	а) Пусть	, хк —система векторов в евклидовом пространстве Жп,
п к. Покажите, что определитель Грама этой системы может быть предста-
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 231
влей в виде
det «я,, я,)) =	Рч гк
1^21<
где
Ь)	Выясните геометрический смысл величин Рг1 из а) и сформулируйте
результат задачи а) как теорему Пифагора для мер произвольной размерно-
сти к, 1 к п.
с)	Объясните теперь формулу
52	2
1^ч< <ч^п
/ дхг^
"а?"
дхгк
‘dF
дхгк
\ dtk
дх1к
dtk /
dt1... dtn
для площади, заданной в параметрическом виде х ~ xft1, •.., t*), t G D С К*
fc-мерной гладкой поверхности.
8.	а) Проверьте, что в определении 2 величина Vfc(S) действительно не за-
висит от указанного там способа разбиения S на гладкие куски S\,..., Sm,...
b)	Покажите, что кусочно гладкая поверхность S допускает локально ко-
нечное разбиение на куски Sr,..., Sm,..., описанные в определении 2.
с)	Докажите, что из гладкой поверхности S всегда можно так удалить
множество Е площади нуль, что останется гладкая поверхность S = S \ Е,
которая уже может быть описана одной стандартной локальной картой р: I —>
-+S.
9.	Длину кривой, подобно школьному определению длины окружности, ча-
сто определяют как предел длин соответствующим образом вписанных в кри-
вую ломаных. Предел берется при стремлении к нулю длин звеньев вписанных
ломаных. Следующий простой пример, принадлежащий Г. Шварцу, показыва-
ет, что аналогичные действия при попытке определить площадь даже очень
гладкой поверхности через площади «вписанных» в нее многогранных поверх-
ностей могут привести к абсурду.
В цилиндр радиуса Н и высоты И впишем многогранник следующим обра-
зом. Рассечем цилиндр горизонтальными плоскостями на т равных цилин-
дров высоты Н/т каждый. Каждую из т + 1 окружностей сечения (включая
окружности верхнего и нижнего оснований исходного цилиндра) разобьем
на п равных частей так, чтобы точки деления на каждой окружности на-
ходились под серединами дуг ближайшей верхней окружности. Теперь берем
пару точек деления любой окружности и точку, лежащую непосредственно
над или под серединой дуги, заключенной между этой парой точек
232
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Указанные три точки порождают треугольник, а совокупность всех та-
ких треугольников образует многогранную поверхность, вписанную в исход-
ную цилиндрическую поверхность (боковую поверхность прямого кругового
цилиндра). На вид этот многогранник похож на примятое и собравшееся в
гармошку голенище сапога, поэтому его часто называют сапогом Шварца.
а)	Покажите, что если т и п устремить к бесконечности, но так, чтобы
при этом отношение п2/т стремилось к нулю, площадь построенной много-
гранной поверхности будет неограниченно расти, хотя размеры каждой ее
грани (треугольника) при этом стремятся к нулю.
Ь)	Если же п и т стремятся к бесконечности так, что отношение т/п2
стремится к некоторому конечному пределу р, то площади многогранных по-
верхностей будут стремиться к конечному пределу, который в зависимости
от величины р может быть больше, меньше или (при р — 0) равен площади
исходной цилиндрической поверхности.
с)	Сравните описанный здесь способ введения площади гладкой поверхно-
сти с тем, который изложен в §4, и объясните, почему в одномерном случае
результаты совпадают, а в двумерном уже, вообще говоря, не совпадают. Ка-
ковы условия на последовательность вписанных многогранных поверхностей,
гарантирующие совпадение результатов?
10.	Изопериметрическое неравенство.
Пусть V (Е) - обозначение для объема множества Е Cln, а А+В — сумма
(векторная) множеств А, В С Н&п (сумма в смысле Минковского; см. задачу 4
к § 2 главы XI).
Пусть В — шар радиуса h. Тогда А + В —: Аь есть /z-окрестность множе-
ства А.
Величина
V(Ah) — V(A)
Inn —-— -------=: р+(дА)
/?—>о	п
называется внешней площадью по Минковскому границы дА множества А.
а)	Покажите, что если дА— гладкая или достаточно регулярная поверх-
ность, то р+(дА') совпадает с обычной площадью поверхности дА.
Ь)	Используя неравенство Брунна-Минковского (см. задачу 4 к §2 гла-
вы XI), получите теперь классическое изопериметрическое неравенство в Вп
ц+(дА) nv^V^fA) =:
здесь v — объем единичного шара bF, a p>(JSa)—площадь ((п — 1)-мерная)
поверхности шара, имеющего тот же объем, что и множество А.
Изопериметрическое неравенство означает, что тело А с F имеет пло-
щадь границы р+(ЗА), не меньшую, чем шар того же объема.
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 233
§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах
Дадим теперь первоначальные представления об удобном матема-
тическом аппарате дифференциальных форм, обращая здесь основное
внимание на его алгоритмические возможности, а не на подробности
теоретических конструкций, которые будут изложены в гл. XV.
1. Дифференциальная форма, определение и примеры. Из
курса алгебры читателю хорошо известно понятие линейной формы,
и мы этим понятием уже широко пользовались при построении диф-
ференциального исчисления. Там главным образом встречались симме-
трические формы. Здесь же речь будет о кососимметрических (анти-
симметрических) формах.
Напомним, что форма L: Xk —> У степени или порядка к, определен-
ная на упорядоченных наборах £15..., векторов линейного простран-
ства X и принимающая значения в линейном пространстве У, называет-
ся кососимметрической (антисимметрической), если значение формы
меняет знак при перестановке местами любой пары ее аргументов, т. е.
^(£1 ? • • • ?	• • • ?	, • • • ?	* • * ч 5 • • * ?	* * * j £k) •
В частности, если	то независимо от остальных векторов
значение формы будет равно нулю.
Пример 1. Векторное произведение [£i, £2] векторов пространс-
тва К3 есть билинейная кососимметрическая форма со значениями в
линейном пространстве R3.
Пример 2. Определенный формулой (1) § 4 ориентированный
объем V(£i,... , £*.) параллелепипеда, натянутого на векторы ... ,
пространства , является кососимметрической вещественнозначной к-
формой в .
Нас будут пока интересовать вещественнозначные формы (случай
У = R), хотя все излагаемое ниже применимо и в более общей ситуации,
например, когда У есть поле С комплексных чисел.
Линейная комбинация кососимметрических форм одной степени в
свою очередь является кососимметрической формой, т. е. кососимме-
трические формы одной степени образуют линейное пространство.
В алгебре вводится, кроме того, операция Л внешнего умножения
кососимметрических форм, которая упорядоченной паре	таких
234 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
форм (степени р и q соответственно) сопоставляет кососимметриче-
скую форму Ар Л Bq степени р + q. Эта операция
ассоциативна: (Ар А Bq) /\СГ = Ар A (Bq А Сг),
дистрибутивна: (АР + Вр)Cq,
косокоммутативна: Ар A Bq = (—l)pqBq A Ар.
В частности, если речь идет об 1-формах А и J3, то имеет место
антикоммутативность А А В = — В А А операции, подобная антикомму-
тативности упомянутого в примере 1 векторного произведения, обоб-
щением которого и является внешнее умножение форм.
Не вникая в детали общего определения внешнего произведения,
примем пока к сведению перечисленные свойства этой операции и отме-
тим, что в случае внешнего произведения 1-форм ., Lk £ £(Rn,R)
результат ZXA.. .AZfc есть fc-форма, которая на наборе векторов £i,...,
£к G Rn принимает значение
^1(6) ...
L± A • •. А £д.(£1,..., £*.)
= det(Zj(6)).	(1)
L^k) ... Lk(£k)
Если соотношение (1) принять в качестве определения его левой ча-
сти, то из свойств определителей легко следует, что в случае линейных
1-форм А, В, С действительно: А А В ~ ~В А Л и (Л + В) Л С =
= А/\С + В/\С.
Рассмотрим несколько полезных для дальнейшего примеров.
Пример 3. Пусть тгг 6 £(Rn,R), i = l,...,n— проекторы. Точ-
нее, линейная функция тгг: Rn —> R такова, что на любом векторе
£ = (С1,..., £п) € Rn она принимает значение тгг(£) = £г проекции этого
вектора на соответствующую координатную ось. Тогда в соответствии
с формулой (1) получаем
** Л...,&) =
ё ег
(2)
Пример 4. Декартовы координаты векторного произведения
[£1,$?] векторов = (€i,& = (€22€2,€2) евклидова простран-
ства R* 3, как известно, определяются из равенства
[6, &] =
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 235
Таким образом, в соответствии с результатом примера 3 можно за-
писать, что
7ГХ([€1> &]) = тг2 А 7Г3(£1, £2),
7Г2([6,^2]) = 7Г3 А 7Гг(£1, $2),
7T3([il, &]) =7Г1 Л7Г2(^1,^2)-
Пример 5. Пусть f:D—> R — определенная в некоторой обла-
сти D С Rn и дифференцируемая в точке хд Е D функция. Как из-
вестно, дифференциал df(xg) функции в точке является линейной фун-
кцией, определенной на векторах £ смещения от этой точки, точнее,
на векторах пространства TDX(V касательного к D (к Rn) в рассма-
триваемой точке. Напомним, что если т1,... ,	—координаты в Rn, а
е=то

В частности, dxl(£) = £г, или, более формально, dxl(xg)(£) =
Если ..., fk —определенные в G и дифференцируемые в точке хд Е
Е G вещественнозначные функции, то в соответствии с формулой (1) в
точке хд на наборе £х,..., векторов пространства TGXq получаем
d/i А ... A d/fc(^1,...,	=
dfi(ti) ... dfk(&)
(&)••• dfk(&)
(3)
и, в частности,
dx4 \dxlk(^...^k) =
er • • • е?
(4)
<«1 £гк
* * * Sfc
Таким образом, из линейных форм d/x,..., dfk, определенных на ли-
нейном пространстве TDXo «	~ Rn, получились определенные на
этом же пространстве кососимметрические формы степени к.
Пример 6. Если/ е С^СРД), где D — область в Rn, то в любой
точке х Е D определен дифференциал df(x) функции /, который, как
было сказано, является линейной функцией df(x): TDX —>	~ К
на линейном пространстве TDX, касательном к D в точке х. При пере-
ходе от точки к точке в области D форма df(x) — вообще говоря,
236
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
меняется. Итак, гладкая скалярная функция f: D —> R порождает в
каждой точке области D линейную форму df(x), или, как говорят, по-
рождает в D поле линейных форм, определенных на соответствующих
касательных пространствах TDX.
Определение 1. Будем говорить, что в области D С Rn задана
вещественнозначная дифференциальная р-форма и, если в каждой точ-
ке х G D определена кососимметрическая форма : (T?DX)P —> R.
Число р обычно называют степенью или порядком дифференциаль-
ной р-формы и. В этой связи р-форму и часто обозначают через ир.
Таким образом, рассмотренное в примере 6 поле дифференциала df
гладкой функции /:£)—> R есть дифференциальная 1-форма в обла-
сти Z), а и = dx11 А.. ./\dxlp есть простейший пример дифференциальной
формы степени р.
Пример 7. Пусть в области D С Rn задано векторное поле, т.е.
с каждой точкой х G D связан вектор F(x). При наличии евклидовой
структуры в Rn это векторное поле порождает следующую дифферен-
циальную 1-форму сор в D.
Если £ —вектор, приложенный к точке х Е D, т. е. £ 6 TDX, то
положим

Из свойств скалярного произведения вытекает, что	—
—	действительно является линейной формой в каждой точке
х е D
Такие дифференциальные формы возникают очень часто. Напри-
мер, если F— непрерывное силовое поле в области Z), а £ — вектор ма-
лого смещения от точки х Е D, то элементарная работа поля, отвеча-
ющая такому смещению, как известно из физики, определяется именно
величиной (F(x),£).
Итак, поле сил F в области D евклидова пространства Rn естествен-
ным образом порождает в D дифференциальную 1-форму Up, которую
в этом случае естественно назвать формой работы поля F.
Заметим, что в евклидовом пространстве дифференциал df гладкой
в области D С Rn функции f: D —> R тоже можно считать 1-формой,
порожденной векторным полем, которым в данном случае является поле
F = grad/. В самом деле, ведь по определению вектор grad/(x) таков,
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 237
что для любого вектора £ 6 TDX имеет место равенство df(x)(g) =
= (grad f (х), £}.
Пример 8. Заданное в области D евклидова пространства Rn век-
торное поле V может также следующим образом порождать дифферен-
циальную форму Uy-1 степени п — 1. Если в точке х G D взять соответ-
ствующий ей вектор поля V(х) и еще п — 1 векторов £х,..., £n_x 6 TDX^
приложенных к точке ж, то ориентированный объем параллелепипеда,
натянутого на векторы V(я), £х,..., £п_х, равный определителю матри-
цы, строки которой состоят из координат этих векторов, очевидно,
будет кососимметрической (п — 1)-формой по переменным £1?..., £П_Р
При п = 3 форма Шу есть обычное смешанное произведение (У(ж),
^,£2) векторов, из которых один V(x) задан, а тогда по двум остав-
шимся аргументам получается кососимметрическая 2-форма Шу —
= (V,v).
Например, если в области D имеется установившееся течение жид-
кости и У(я)—вектор скорости течения в точке ж £ D, то величина
(V(я), £1, £2) есть элементарный объем жидкости, которая протекает за
единицу времени через натянутую на малые векторы £1, £2 6 TDX пло-
щадку (параллелограмм). Выбирая по разному векторы £1, £2, мы будем
получать различные по конфигурации и расположению в пространст-
ве площадки (параллелограммы), одной из вершин которых является
точка х. Для каждой такой площадки будет, вообще говоря, свое зна-
чение (у(х), £1, £2) формы Шу(х). Как было сказано, оно показывает,
сколько жидкости протекло за единицу времени через данную площад-
ку, т. е. характеризует расход жидкости или поток через выбранную
элементарную площадку. По этой причине форму Шу, как, впрочем, и
ее многомерный аналог Uy-1, часто называют формой потока вектор-
ного поля V в области D.
2. Координатная запись дифференциальной формы. Оста-
новимся теперь на координатной записи кососимметрических алгебра-
ических и дифференциальных форм и покажем, в частности, что лю-
бая дифференциальная /г-форма в некотором смысле является линейной
комбинацией стандартных дифференциальных форм вида (4).
Для сокращения записи будем (как мы это делали в аналогичных
случаях и прежде) по повторяющимся сверху и снизу индексам подра-
зумевать суммирование в пределах области допустимых значений этих
238
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ИГ
индексов.
Пусть L — /с-линейная форма в Rn. Если в Rn фиксирован базис
е1г..,еп, то каждый вектор f Е Rn получает координатное предста-
вление £ = £гег в этом базисе, а форма L приобретает координатную
запись
МС • • , &) = ц^ег1 ,...,екке1к) = Цег1ег k)tf,..., &.	(5)
Числа = Ь(ег1,... ,е1к) вполне характеризуют форму L, если
известно, в каком базисе ех,..., еп они получены. Эти числа, очевидно,
симметричны или кососимметричны по их индексам тогда и только
тогда, когда соответствующим видом симметрии обладает форма £.
В случае кососимметрической формы L координатное представле-
ние (5) можно несколько преобразовать. Чтобы направление этого пре-
образования стало ясным и естественным, рассмотрим частный случаи
соотношения (5), когда L кососимметрическая 2-форма в R3. Тогда
для векторов ~	£2 = &ег2> гДе ^1? ^2 — 1,2,3, получаем
Ь(6,е2) = Ь^ег1,е22е12) = £(ег1,ег2)ее22 =
= -^(61,61)^1^2 + ^(е1> е2)С1С2 + Ме1> ез)^1С2 +
+ £(е2, ei)CiC2 + -^(е2, е2)С1С2 + -^(е2, 6з)£1£2 +
+ ^(бз, е1)С1С2 + -^(бз, 62)С1^2 + Ь(ез, 6з)^^2 =
= L(ei, е2)(е11е22 - ei2d)+b(ei, е3)(ек23 - eki) +
+L(62,e3)(ei2e23-e?e22)= Е ь(ег1,ег2)^	,
1<гГ^2<3
где суммирование ведется по всем возможным комбинациям индексов
которые удовлетворяют указанным под знаком суммы неравен-
ствам.
Аналогично и в общем случае для кососимметрической формы L
можно получить следующее представление:
ег ••• ег
Тогда в соответствии с формулой (2) последнее равенство можно
переписать в виде

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 239
Таким образом, любую кососимметрическую форму L можно пред-
ставить в виде линейной комбинации
L =	52	ац...г*.7гг1 А ... A 7Tlfc
(7)
fc-форм 7ти A ... A тгг*, являющихся внешним произведением, составлен-
ным из простейших 1-форм л1,..., тгп в Rn.
Пусть теперь в некоторой области D С задана дифференци-
альная /г-форма и и некоторая система криволинейных координат
я1,...,#71. В каждой точке х G D фиксируем базис еЦт),..., еп(т)
пространства TDX, составленный из единичных векторов координат-
ных направлений. (Например, если х1,..., хп — декартовы координаты
вГ, то в1(т),..., еп(х) есть просто репер е1?..., еп пространства Rn,
параллельно перенесенный из начала координат в точку х.) Тогда в
каждой точке х £ D на основании формул (4) и (6) получаем, что
(£1э • • • ч ^k)
=	52 w(etl(x),... ,егк(х)) dx*1 Л ... ^dx4(^,...
ИЛИ
ш(х) =	52 аг1..лк(х) dx11 A... A dx4.	(8)
Таким образом, любая дифференциальная /г-форма является комби-
нацией простейших /г-форм dxZ1 А... A dxlk, составленных из дифферен-
циалов координат. Отсюда, собственно, и название «дифференциальная
форма».
Коэффициенты аи. Лк(х) линейной комбинации (8), вообще говоря,
зависят от точки т, т. е. это какие-то функции, определенные в области,
где задана форма
В частности, нам уже давно известно разложение дифференциала
= ^i^dxX +    + ЛхП'	(9)
а, как видно из равенств
(Г,^ = (Гг1(^г1(^,ег2ег2^)) =
= {e^x),e^x))F4(x^2 =	=
= glll2(x)F4(x)dx4(^,
240
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
имеет также место разложение
(x^dx1 = аг(х)йхг, (10)
которое в декартовых координатах выглядит особенно просто:
п
<4 W = (F(x), •) = 52	dxl-	(П)
г=1
Далее, в R3 имеет место равенство
откуда следует, что
WyW = У1^) dx2 A dx3 + V2(x) dx3 A dx1 + V3(x) dx1 A dx2. (12)
Аналогично, из разложения по строке определителя n-го порядка
для формы Uy”1 получаем следующее разложение:
ojy 1 =	1)г+1У1(д;) dx1 А ... A dx1 А ... A dxn,
г=1
(13)
где знак стоит над дифференциалом, который следует опустить в
указанном слагаемом.
3. Внешний дифференциал формы. Все, что было до сих пор
сказано о дифференциальных формах, пока в сущности относилось к
каждой точке х области задания формы в отдельности и имело чисто
алгебраический характер. Специфической для анализа операцией над
дифференциальными формами является операция их (внешнего) диф-
ференцирования.
Условимся в дальнейшем под дифференциальными формами нулевого
порядка в области D С Rn понимать функции f: D —> R, определенные
в этой области.
§ 5 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 241
Определение 2. {Внешним) дифференциалом от 0-формы f в слу-
чае, если /— дифференцируемая функция, называется обычный диф-
ференциал df от этой функции.
Если заданная в области D С Rn дифференциальная р-форма (р 1)
со(х) =	dxzi А ... A dxZp
имеет дифференцируемые коэффициенты аг1_1р(х), то ее (внешний)
дифференциал есть форма
dw{x) — dalltt,lp{x) A dx11 A ... A dxZp.
Используя разложение (9) дифференциала функции и опираясь на
вытекающую из соотношения (1) дистрибутивность внешнего произве-
дения 1-форм, заключаем, что
да,-. ,
dw{x) = —‘‘‘ р- {х) dx1 A dx11 А ... A dxlp =
= alllt Лр {х) dx1 A dxn А ... A dxlp,
т.е. (внешний) дифференциал от р-формы (р 0) всегда есть форма
степени р + 1.
Отметим, что данное выше определение 1 дифференциальнойр-фор-
мы в области D С Rn, как теперь можно понять, слишком общо, по-
скольку никак не связывает формы и(т), соответствующие различным
точкам области D. Реально в анализе используются лишь формы, ко-
эффициенты аг1_1р{х) координатного представления которых являются
достаточно регулярными (чаще всего бесконечно дифференцируемы-
ми) функциями в области D. Порядок гладкости формы и в области
D С принято характеризовать низшим из порядков гладкости ее
коэффициентов. Совокупность всех форм степени р 0 с коэффици-
ентами класса <7^°°)(27, IR) чаще всего обозначают символом QP(Z),R)
или Qp.
Таким образом, определенная нами операция дифференцирования
форм осуществляет отображение d:
Рассмотрим несколько полезных конкретных примеров.
Пример 9. Для 0-формы и = f (т, у, z) — дифференцируемой фун-
кции, определенной в области D С R3,— получаем
. df df 1 df J
dw = -—-dx + -~dy + -^-dz.
dx du” dz
242
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ИГ
Пример 10. Пусть
у) = Р(х, у) dx + Q(x, у) dy
— дифференциальная 1-форма в области D пространства К2, наделен-
ного координатами (х^у). Считая Р и Q дифференцируемыми в D
функциями, в соответствии с определением 2 получаем
du(x, у) — dP Л dx + dQ Ady =
Пример 11. Для 1-формы
w = Pdx + Qdy + R dz.
заданной в области D пространства R3, получаем
du =
8R\ J J (dQ 8P\ J
—— dz Adx + —----— dx Ady
dx J	\dx dy J ”
Пример 12. Подсчет дифференциала 2-формы
ш ~ Р dy Л dz + Q dz Л dx + R dx A dy,
где P, Q, R — дифференцируемые в области D C R3 функции, приводит
к соотношению
dP dQ dR
dx + dy + dz
dx Ady A dz.
Если (т1,^2,^3) — декартовы координаты в евклидовом пространс-
тве R3, а х i-> У(т), х i-> F(x) — (РХ,Р2, F3)(x), х V — (У1, V2, У3)(я)
— гладкие скалярное и векторные поля в области D С R3, то вместе с
ними (особенно в физических задачах) часто рассматривают соответ-
ственно векторные поля
grad f =
df df df\
dx1 ’ dx2' dx3 J
— градиент скалярного поля /,
(14)
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 243
rot
gF3 gF2 dF1
дх2 дх3 ’ дх3
dF3 9F2 _ 9F1
дх1 ’ дх1 дх2
ротор векторного поля F (15)
и скалярное поле
9V1 9V2	9V3
div V —-----Ч-------k----
дх1	дх2	дх3
— дивергенция векторного поля V. (16)
О градиенте скалярного поля мы в свое время уже говорили. Не
останавливаясь пока на физическом содержании ротора и дивергенции
векторного поля, отметим лишь связь этих классических операторов
теории поля с операцией дифференцирования форм.
В евклидовом ориентированном пространстве R3 между векторны-
ми полями и один- и два-формами имеется взаимно однозначное соот-
ветствие
F ’) ч	F	( V, '} ’)•
Заметим также, что любая 3-форма в области D с R3 имеет вид
р(тх, т2, т3) dx1 Лdx2 Лdx3. Учитывая эти обстоятельства, можно ввести
следующие определения для grad/, rotF, div V:
f i-> W°(= /)	dw°(= df) = w1g^g-.= grad/,
F i—> (jp i—> dwp	— u2 i—> r := rot P,
V i—> i—> divy	= u2 p := div V.
(14')
(15')
(16')
Примеры 9, 11, 12 показывают, что при этом в декартовых коор-
динатах мы приходим к выписанным выше выражениям (14), (15), (16)
для grad/, rotF, div V. Таким образом, перечисленные операторы тео-
рии поля можно рассматривать как конкретные проявления операции
дифференцирования внешних форм, которая выполняется единообраз-
но на формах любой степени. Подробнее о градиенте, роторе и дивер-
генции будет сказано в гл. XIV.
4. Перенос векторов и форм при отображениях. Посмотрим
внимательнее на то, что происходит с функциями (0-формами) при ото-
бражении областей.
9-4574
244
ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Пусть р: U V — отображение области U С Rm в область V С
С Rn. Под действием отображения р каждая точка t Е U переходит в
определенную точку х = p(t) области V.
Если на V определена функция /, то благодаря отображению р :
U —> V на области U естественно возникает полученная из f функ-
ция p*f, которая определяется равенством
(<//)(<) ;=Ш,
т. е. чтобы найти значение p*f в точке t Е С7, надо отправить t в точку
х = p(t) Е V и вычислить там значение функции f.
Таким образом, если при отображении р: U V точки области U
переходят в точки области V, то множество определенных на V функ-
ций под действием построенного соответствия f н» p*f отображается
(в обратную сторону) в множество функций, определенных на U.
Иными словами, мы показали, что при отображении р: U V есте-
ственно возникает отображение р*: Q°(V) —> Q°(C7), которое преобра-
зует заданные на V нуль-формы в нуль-формы, определенные на U.
Рассмотрим теперь общий случай переноса форм любой степени.
Пусть р: U V гладкое отображение области U С в область
V с К£, </(<): TUt -> TVX=<p(t)—соответствующее p отображение ка-
сательных пространств, и пусть о; — некоторая р-форма в области V.
Тогда форме а? можно сопоставить р-форму р*а> в области [7, которая
в точке t Е U на наборе векторов т15..., тр Е TUt определяется равен-
ством
,тр) := w(</?(/))(<^iTi, • • •, V’pTp).	(17)
Таким образом, каждому гладкому отображению р\ U V соот-
ветствует отображение <р*: QP(V) —> QP(J7), которое переносит задан-
ные на V формы в область U. Из соотношения (17), очевидно, следует,
что
р*(и/ + о/') - <р*(о/) + <р*(о/'),	(18)
<p*(Au>) — А(р*о;, если А Е R.	(19)
Вспомнив закон (ф о p)f = о р1 дифференцирования композиции
отображений р\ U —> V, ф: V W, из (17) заключаем дополнительно,
что
(t/j о рУ = <ф* о р*	(20)
§ 5 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 245
(естественный обратный ход: композиция отображений
QP(V), ip*-. fF(V) Qp(C/)).
Посмотрим теперь, как практически осуществляется перенос форм.
Пример 13. В области V С возьмем 2-форму w ~ dx4 A dx12.
Пусть хг = ^(i1,..., im), i = 1,..., покоординатная запись отображе-
ния ср: U V области U С В™ в V.
Мы хотим найти координатное представление формы ср*а> в U. Бе-
рем точку t Е U и векторы ti,T2 Е TUf. В пространстве TVx~^t^ им
отвечают векторы £i = cpf(t)ri , & = </(<)т2, координаты .,£™),
(£2, • • • ,£2*) которых выражаются через координаты (т^,...
(т-г,.. •, т™) векторов Т1, Т2 с помощью матрицы Якоби по формулам
=	& =	г = 1,-..,п
(по j суммирование от 1 дот).
Таким образом,
</?*w(i)(Ti,T2) := w(</?(i))(£i,£2) = dx11 A da?2(£i, £2) =
er e?
г-21	г-22
S2 S2
dx'l	31	дхг2	3 2
dm	1	dU2	'1
dxii	31	dx*2	з2
dtn T2 dt32 T2
дхг1 дхг2
dt^ ~dt^
31 J2 = l
T11

m
= s
31 J2 = l
дхч дхг2
дхг1 дхг2
дхг1 дхг2 \
di^ dt^)
dt31 A dt32(ri, T2) —
дхг1 дхг\
dm am
dxii dxi2
du 2 du 2
(t)dt31 Ag?^2(ti,T2).
dt32 A g?^2(ti, T2)
Ю1<?2^т
lOi<72^m
246 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R"
Следовательно, мы показали, что
Если воспользоваться свойствами (18) и (19) операции переноса
форм1) и повторить проведенную в последнем примере выкладку в об-
щем виде, то получим следующее равенство:
*

.. Л dxlp
ап,.. ,iP(xW)
dtJ1 Л ... Л dtJp.
(21)
гр
Заметим, что если в форме, стоящей здесь под знаком 99*, формаль-
но сделать замену х = гс(£), выразить дифференциалы dx\... ,dxn че-
рез дифференциалы dt\ ..., dtm и упростить полученное выражение,
пользуясь свойствами внешнего произведения, то мы как раз и полу-
чим правую часть равенства (21).
Действительно, для каждого фиксированного набора индексов
^1,..., ip
(ж) Л ... Л dxlp =
^-—dt31 Л ... Л ( dt3p =
dt31 J \ dt3p J
= atl t(x(ty£--...-^—dt31A.../\dt3p =
д( х^	х^р)
Otl г„ Ж) Д	dt^ Л... Л dt3p.
1’ v !! d(t31,... ,t3p)
Суммируя такие равенства по всем упорядоченным наборам 1 ii <
< ... < ip п, получаем правую часть соотношения (21).
^Если (19) использовать поточечно, то видно, что
<р\а(х)ш) = a((p(i))(p*u2.
§5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 247
Таким образом, мы доказали следующее важное в техническом от-
ношении
Утверждение. Если в области V С Rn задана дифференциаль-
ная форма а <р: U V — гладкое отображение области U С
в V, то координатная запись формы <р*со может быть получена из
координатной записи
у	dx11 A ... A dxlp
формы а? прямой заменой переменных x = <p(t) (с последующим преобра-
зованием в соответствии со свойствами внешнего произведения).
Пример 14. В частности, если т — п — р, то соотношение (21)
сводится к равенству
<р* {dx1 А ... A dxn) = det ^{tydt1 A ... A dtn.	(22)
Значит, если под знаком кратного интеграла вместо f{x) dx1... dxn
писать f{x)dxr A ... A dx71, то формула
f f(x)dx = У det dt
V=tp(U)	и
замены переменных в кратном интеграле при сохраняющих ориента-
цию диффеоморфизмах (т.е. при det<p'{t) > 0) получалась бы автома-
тически формальной подстановкой х — (p{t)^ подобно тому, как зто
имело место в одномерном случае, и ей можно было бы придать следу-
ющий вид:
у ш = у <р*ш.	(23)
4>{U) и
Заметим в заключение, что если степень р взятой в области V С
формы со больше, чем размерность т области U С Rm, которая отобра-
жается посредством <р: U V в область У, то соответствующая ьо на U
форма очевидно, окажется нулевой. Таким образом, отображение
99*: QP{V) QP{U), вообще говоря, не обязано быть инъективным.
С другой стороны, если <р: U V имеет гладкое обратное отобра-
жение 9?-1: V —> С/, то в силу соотношения (20) и равенств ср"1 о<р = ец,
248 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
99 о = еу получаем, что (</?)* о = е^, о (99)* = ву, и по-
скольку ву и ву тождественные отображения Qp(t7) и QP(V) соответ-
ственно, то отображения </?*: QP(V) —> Qp(t7), (</?-1)*: Qp(?7) QP(V),
как и следовало ожидать, оказываются взаимно обратными. То есть в
этом случае отображение <р*: QP(V) —> Qp(t7) биективно.
Отметим, наконец, что наряду с уже указанными выше свойства-
ми (18)-(20) отображение переноса форм, как можно проверить,
удовлетворяет также соотношению
<p*(dcu) = g?(^*cj).
(24)
Это принципиально важное равенство показывает, в частности, что
определенная нами в координатном виде операция дифференцирования
форм на самом деле не зависит от выбора системы координат, в кото-
рой записана дифференцируемая форма а>. Подробнее это будет обсу-
ждаться в гл. XV.
5. Формы на поверхностях
Определение 3. Говорят, что на гладкой поверхности S С Sn
задана дифференциальная р-форма со, если в каждой точке х G S на
векторах касательной к S плоскости TSX определена р-форма со(х).
Пример 15. Если гладкая поверхность S лежит в области D С
С Кп,в которой определена форма со, то поскольку в любой точке х 6 S
имеет место включение TSX С TDX, можно рассмотреть ограничение
формы ш(х) на TSX. Так на S возникает форма cv|s, которую естест-
венно назвать ограничением формы со на поверхность S.
Как мы знаем, поверхность локально или в целом задается параме-
трически. Пусть <р: U —> S = <p(J7) С D — параметризованная гладкая
поверхность в области D, а со — форма в £). Тогда форму со можно пе-
ренести в область U параметров и записать <р*со в координатном виде
в соответствии с установленным выше алгоритмом. Ясно, что получа-
емая при этом в U форма ф*со совпадает с формой 99*(cv|s).
Заметим, что коль скоро : TUt TSX в любой точке t 6 U есть
изоморфизм между TUt и TSX, то можно переносить формы как с S
на U, так и с U на S, поэтому как сами гладкие поверхности обычно
задают локально или в целом параметрически, так и формы на них в
конечном счете обычно задают в областях изменения параметров ло-
кальных карт.
§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 249
Пример 16. Пусть cvy — рассмотренная в примере 8 форма пото-
ка, порожденная векторным полем скоростей течения V в области D
ориентированного евклидова пространства R3. Если S — гладкая ори-
ентированная поверхность в то можно рассмотреть ограничение
формы (Jy на S. Получаемая при этом форма характери-
зует поток через каждый элемент поверхности S.
Если <р: I S локальная карта поверхности S, то, сделав заме-
ну переменных х = <p(t) в координатном выражении (12) формы
получим координатное выражение определенной на квадрате I фор-
мы <р*а?у ~	в данных локальных координатах поверхности.
Пример 17. Пусть — рассмотренная в примере 7 форма ра-
боты, порожденная действующим в области D евклидова пространства
полем сил F. Пусть </?(!) С D — гладкий путь (ср — не обязатель-
но гомеоморфизм). Тогда в соответствии с общим принципом ограниче-
ния и переноса форм на отрезке I возникает форма координат-
ное представление a(t) dt которой можно получить, выполнив замену
переменных х = <p(t) в координатном выражении (11) формы
Задачи и упражнения
1.	Вычислите значения приведенных ниже дифференциальных форм а)
в Rn на указанных наборах векторов:
а)	а) = х2 dx1 на векторе £ = (1,2,3) Е ТИ&33 2 .
b)	а) = dx1 Л dx3 + х1 dx2 Л dx4 на упорядоченной паре векторов , £2 €
£	0,0,0) •
с)	co — df, где f = я1 +2х2 + . . .+пхп, а£ = (1, -1,..., (-1)п-1) € t
2.	а) Проверьте, что форма dx4 Л... Adxik тождественно равна нулю, если
не все индексы ir,..., ik различны.
b)	Объясните, почему на n-мерном векторном пространстве нет отличных
от нуля кососимметрических форм степени р > п.
с)	Упростите запись формы, заданной в виде
2 dx1 Л dx3 Л dx2 + 3 dx2 Л dx1 Л dx2 — dx2 Л dx3 Л dx1.
d)	Раскройте скобки и приведите подобные члены
(ж1 dx2 + х2 dx1) Л (ж3 dx1 Л dx2 + х2 dx1 Л dx3 + я1 dx2 Л dx3).
е)	Форму df /\dg, где f = ln(l + |ж|2), д = sin |ж|, х = (хг,х2,х3), запишите
в виде комбинации форм dx4 Л dx12 , l^ii<z2^3.
250
ГЛ. XII ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
f) Проверьте, что в
df1 Л ... Л dfn(x) = det
1 A ... Л dxn.
g) Проведите все выкладки и покажите, что при 1 к п
М
d/1 А ... A =	$2 det
1^Л1<г2<	дхг1
df1
дхгк
dfk
дхгк
dx11 А ... A dx*k.
3.	а) Покажите, что форма а четной степени коммутирует с любой фор-
мой /?, т. е. а Л Р = /3 Л а.
п
Ь) Пусть со = Е Лрг Adq1 и соп = со Л ... Л со (п раз). Проверьте, что
г=1
1	™ У* ~ 1 /	1
(jn = n! dpi Л dq1 Л ... Л dpn Л dqn = (-1) 2 dpi Л ... Л dpn Л dq1 Л ... Л dqn.
4.	а) Форму со ~ d/, где f(x) = (х1) + (я2)2 + ... + (яп)п, запишите в виде
комбинации форм dx1,..., dxn и найдите дифференциал (ко формы со.
Ь)	Проверьте, что для любой функции f € C№(D, R), dP f = 0, где dP —
— do d, a d—оператор внешнего дифференцирования.
с)	Покажите, что если коэффициенты ач гк формы со = аг1 lk(x)dx4 Л
Л ... A dxlfc принадлежат классу C^2\D, R),to d?co = 0 в области D.
d)	Найдите внешний дифференциал формы У " Х^У в области ее опреде-
ли + у*
ления.
5.	Если под знаком кратного интеграла J* f(x) dx1... dxn произведение
D
dx1.. dxn понимать как форму dx1 А ... A dxn, то, согласно результату при-
мера 14, у нас будет возможность формально получать подынтегральные вы-
ражения формулы замены переменных в кратном интеграле. Выполните, со-
гласно этой рекомендации, переход от декартовых координат:
а)	к полярным координатам в R2,
Ь)	к цилиндрическим координатам в R3,
с)	к сферическим координатам в R3.
6.	Найдите ограничение формы:
a)	dx1 на гиперплоскость хг — 1.
b)	dx A dy на кривую х ~ x(t), у = y(t), а < t < b.
с)	dx Л dy на плоскость в R3, задаваемую уравнением х = с.
d)	dy A dz + dz Л dx + dx A dy на грани стандартного единичного куба в R3
е)	сог = dx1 А ... A dx^A dx1 Adxz+1 А ... Л dxn на грани стандартно-
го единичного куба в Rn; знак стоит над дифференциалом dx1, который
выбрасывается из написанного произведения.
§5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 251
7.	Выразите в сферических координатах Н3 ограничение следующих форм
на сферу радиуса R с центром в начале координат:
a)	dx.
b)	dy.
с)	dy Л dz.
8.	Отображение ip: R2 -> R2 задано в виде (u, v) ь-> (и • v, 1) = (я, у) Най-
дите:
a)	cp*(dx).
b)
с)	<р*(уdx).
9.	Проверьте, что внешний дифференциал d: QP^D) —> Qp+1(Z>) обладает
следующими свойствами:
а)	+ LJ2) — dtJi + d(jj2-
b)	й(а>1Ла>2) = dcji Ao>2 + (— l)degwiu>i /\dw24 где degwi—степень формы (Ji.
c)	Vcj € d(dw) = 0.
d)	V/ e n° df = £ ^dxl.
i-i dx1
Покажите, что отображение d: tlp(D) —> Qp+1(£>), обладающее свойствами
a), b), c), d), единственно.
10.	Проверьте, что отображение ip: QP(V) -> Qp(t7), отвечающее отобра-
жению (p: U —> V, обладает следующими свойствами:
a)	+ С02) =	+ ^*^2-
b)	Л ^2) = <р*^1 Л ср* as2-
с)	dtp*w = (р*dw.
d)	Если еще имеется отображение ф: V —> IV,то (ф о ср)* = (р* о ф*.
11.	Покажите, что гладкая мерная поверхность ориентируема тогда и
только тогда, когда на ней существует нигде не вырождающаяся fc-форма.
ГЛАВА XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Интеграл от дифференциальной формы
1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры
а. Работа поля. Пусть F (х) — непрерывное векторное поле сил,
действующих в области G евклидова пространства Перемещение
пробной частицы в поле связано с совершением работы. Требуется вы-
числить работу, совершаемую полем, при перемещении единичной проб-
ной частицы по заданной траектории, точнее, вдоль гладкого пути
Мы уже касались этого вопроса, рассматривая приложения опре-
деленного интеграла, поэтому здесь можно лишь напомнить решение
задачи, отмечая некоторые характерные и полезные для дальнейшего
элементы конструкции.
£г	Известно, что в постоянном поле F
перемещение на вектор £ связано с ра-
/^7=	ботой, равной
/	{	\	Пусть t х(i) —определенное на от-
/	\ резке I = {t Е R | а t Ь} гладкое
отображение 7: I G,
Возьмем достаточно мелкое разбие-
2	1	Н№ отРезка Тогда на каждом про-
г г+	межутке 1г = {t Е I | t ti} раз-
Рис. 83.	биения с точностью до бесконечно малых
§ 1 ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ формы
253
более высокого порядка выполняется равенство x(t) ~ ж(^) « xf(tz)(t —
— tz). Вектору тг =	— tz смещения из tz в (рис. 83) в пространст-
ве Rn отвечает перемещение из точки ж(^) на вектор Джг = жг+1 — жг,
который с указанной погрешностью можно считать совпадающим с
вектором £г = ®(<г)тг, касательным к траектории в точке x(tz). Ввиду
непрерывности поля F(x)z его можно считать локально постоянным, и
потому работу ДД, отвечающую промежутку (времени) Д, можно с
малой относительной погрешностью вычислять в виде
ДД«(Г(жгШ
или
АД « (Г(ж(/г)),ж(^)тг).
Значит,
А = У2 ДЛ» ~	®(<г))Д<г,
г	г
откуда, переходя к пределу при измельчении разбиения отрезка /, по-
лучаем, что
b
А = J i(t)) dt.	(1)
а
Если выражение (Р(ж(^)), i(t)) dt переписать в виде (Р(ж), t/ж), то,
считая координаты в Rn декартовыми, ему можно придать вид F1 dxr-\-
+ ... + Fn dxn, после чего формулу (1) можно записать как
А = J F1dx1 + ... + Fndxtl	(2)
7
или как
A = ju,'F.	(2')
7
Точный смысл написанным в (2) и (2') интегралам от 1-формы ра-
боты вдоль пути 7 придает формула (1).
Пример 1. Рассмотрим поле сил F = [-----------—, —-— J, опре-
\ х2 + у2 X2+y2J
деленное во всех точках плоскости R2, кроме начала координат. Вычи-
слим работу этого поля вдоль кривой 71, заданной в виде х = cosZ, у =
254
ГЛ. XIII. криволинейные и поверхностные интегралы
— sin/, 0 t 2тг, и вдоль кривой 72, заданной соотношениями х — 2 +
+ cos/, у — sin/, 0 ^ / ^ 2л. В соответствии с формулами (1), (2), (27)
находим
и
sin / • (— sin/) cos / • cos/ \ ,
----+ —3--------------------]dt = 2тг
cos2 / + sin / cos2 / + sin / /
2?Г
— sin/(— sin/) + (2 + cos/) cos/
dt =
2%
1 + 2 cos / ,
—---------dt
5 + 2 cos /
0
(2 + cos/)2 + sin2 /
0
du ™ 0.
Пример 2. Пусть г — радиус-вектор точки (я, у, z) Е R3, аг = |г|.
Пусть всюду в R3 вне начала координат задано поле сил вида F — f(r)r.
Это — так называемое центральное поле. Найдем работу поля F на
пути 7: [0,1] —> R3 \ 0. Используя (2), находим
о
о
т / f (л/й) du = Ф(г0,Г1).
Здесь мы, как видно, положили x2(t) + y2(t) + z2(t) = r2(t), r2(t) =
= iz(i), r0 = r(0), rx = r(l).
§1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ формы
255
Итак, в любом центральном поле работа на пути 7 оказалась зави-
сящей только от расстояний го, п начала и конца пути до центра О
поля.
В частности, для гравитационного поля Д-r единичной точечной
г
массы, помещенной в начало координат, получаем
„2
п
1 Г 1	11
Ф(г0,Г1) = - / -Т72 du =------.
2 J и6!2 Го Г1
-2
г0
Ь. Поток через поверхность. Пусть в области G ориентирован-
ного евклидова пространства R3 имеется установившееся течение жид-
кости (или газа) и х М- V(x)—поле скоростей этого течения в обла-
сти G. Пусть, кроме того, в G взята гладкая ориентированная поверх-
ность S. Для определенности будем считать, что ориентация S задана
полем нормалей. Требуется определить (объемный) расход или поток
жидкости через поверхность 5, точнее, требуется найти, какой объем
жидкости протекает в единицу времени через поверхность S в указан-
ную ориентирующим полем нормалей сторону этой поверхности.
Для решения задачи заметим, что если поле скоростей течения по-
стоянно и равно V, то поток в единицу времени через натянутый на
пару векторов £1, £2 параллелограмм П равен объему параллелепипеда,
построенного на векторах V, £1, £2- Если ту —нормаль к П и ищется по-
ток через П в сторону, указываемую нормалью ?у, то он равен смешан-
ному произведению (V, £1, £2), если 17 и репер £1, £2 задают одинаковую
ориентацию П (т.е. если ту, £? — репер заданной в R3 ориентации).
Если же репер £1, £2 задает в П ориентацию, противоположную опреде-
ляемой нормалью ту, то поток в сторону, указанную нормалью ту, равен
-(V,6,6).
Вернемся теперь к исходной постановке. Предположим для просто-
ты, что поверхность S в целом допускает гладкую параметризацию
(р: I —> S С G, где I — двумерный промежуток плоскости R2. Разо-
бьем I на маленькие промежутки 1г (рис. 84). Образ каждого та-
кого промежутка аппроксимируем параллелограммом, натянутым на
образы £1 — 9?/(^)г1, £2 = 9?,(^)г2 векторов ri, Т2 смещения вдоль ко-
ординатных направлений. Считая, что V(rr) мало меняется в пределах
куска </?(1г) поверхности, и заменяя 9?(1г) указанным параллелограммом,
можем считать, что поток ДТ^ через кусок поверхности с малой
256
ГЛ XIII КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
Рис. 84
относительной погрешностью совпадает с потоком постоянного поля
скоростей V(Xi) = У((/?(/г)) через параллелограмм, порожденный век-
торами £1, ^2-
Считая, что репер £2 задает на S ту же ориентацию, что и т/,
находим
дл ~ (vw,ei,e2).
Суммируя элементарные потоки, получаем
г	г
где а>у(х) — (У(я), •, ) (рассмотренная в примере 8 § 5 гл. XII) 2-форма
потока. Если перейти к пределу (беря все более мелкие разбиения Р
промежутка I), то естественно считать, что
/Цл J—
(3)
Последний символ есть интеграл от 2-формы Шу по ориентирован-
ной поверхности S.
Вспомнив (см. формулу (12) §5 гл. XII) координатное выражение
формы потока ujy в декартовых координатах, мы вправе записать так-
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ формы
257
же, что
Т = V1 dx2 A dx3 + V2 dx3 A drr1 + V3 dx1 Л dx2. (4)
5
Мы обсудили лишь общий принцип решения поставленной задачи.
В сущности, мы дали только точное определение (3) потока Т и вве-
ли некоторые обозначения (3), (4), но не получили пока эффективной
вычислительной формулы, подобной формуле (1) для работы.
Заметим, что формула (1) получается из выражения (2), если вместо
х\ ...,хп в него подставить функции (х1,... , яп)(£) = x(t), задающие
путь 7. Напомним (см. §5 гл. XII), что такая замена интерпретируется
как перенос заданной в G формы о; на отрезок I — [а, Ь].
Совершенно аналогично и вычислительная формула для потока мо-
жет быть получена прямой подстановкой в (4) параметрических урав-
нений поверхности.
В самом деле,
о’у(яч)(6,&) = а?у(^г))(^>'(^)Т1,^>'(^)т2) = (<^*^)(«г)(т1,т2)
И
£4(хг)(6,&) = ^2(^*а?^)(/,)(Т1,т2).
г	г
Форма определена на двумерном промежутке I С К2. В I
любая 2-форма имеет вид /(t^dt1 Л dt2, где f — зависящая от формы
функция на I, поэтому
¥>*а>|г(«г)(т1,т2) = f(tt)dtl Л 6?/2(т1,т2).
Но dt1 Ad/2(ri, Т2) = Т1 -т2 есть площадь определяемого ортогональ-
ными векторами Т1,Т2 прямоугольника 1г.
Таким образом,
Adi2(ri,r2) =
г	г
При измельчении разбиения в пределе получим
f f(t) dt1 hdt2 = j f(t) dt1 dt2,	(5)
I	I
258
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
где в левой части, согласно (3), стоит интеграл от 2-формы о;2 =
= /(/) dt1 /\dt2 по простейшей ориентированной поверхности I, а в пра-
вой части — интеграл от функции f по прямоугольнику I.
Остается вспомнить, что координатное представление f(t) dt1 A dt2
формы (p*iVy получается из координатного выражения формы и>у пря-
мой заменой переменных х = </?(/), где tp: I G — карта поверхности S.
Выполнив эту замену, из (4) получим
ИИ/))
дх2 дх3
д^ д^
дх2 дх3
dt^ dt^
+ 'и2Ы*))
дх3 дх1
dt1 dt1
дх3 дх*
dt?
дх1 дх2
dt1 dt1
дх* дх2
dt^ dt^
dt1 A dt2.

Последний интеграл, как показывает равенство (5), есть обычный
интеграл Римана по прямоугольнику I.
Таким образом, мы нашли, что
vVvW) v'ivWi v3Mi)i
¥«)
dt1 d/2,
(6)
где x = <p(t) — П, </22, c/?3)^1,/2) — карта поверхности S, задающая ту
же ориентацию S, что и указанное нам поле нормалей к S. Если карта
p: I S задает на S противоположную ориентацию, то равенство (6),
вообще говоря, нарушится, но, как следует из приведенных в начале
пункта соображений, в этом случае его левая и правые части будут
отличаться только знаком.
Окончательная формула (6), очевидно, есть просто-напросто акку-
ратно записанный в координатах t1, t2 предел сумм знакомых нам эле-
ментарных ПОТОКОВ Д7\ « (У(жг),^1,^2)-
Мы рассмотрели случай поверхности, задаваемой одной картой.
В общем случае гладкую поверхность S можно разбить на гладкие кус-
ки St, не имеющие между собой существенных пересечений, и найти
поток через S как сумму потоков через куски Зг.
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ формы
259
Пример 3. Пусть среда движется поступательно с постоянной
скоростью V — (1,0,0). Если в области течения взять любую замкну-
тую поверхность, то, поскольку плотность среды не меняется, количе-
ство вещества в объеме, ограниченном взятой поверхностью, должно
оставаться неизменным. Значит, суммарный поток среды через такую
поверхность должен быть равен нулю.
Проконтролируем в этом случае формулу (6), взяв в качестве S сфе-
РУ х2 + у2 + z2 = В2.
Сферу S с точностью до множества, имеющего площадь нуль и по-
тому пренебрежимого в рассматриваемом вопросе, можно задать пара-
метрически
X = В cost/* cos <р,
у = R cos ip sin
z = BsinVs
где 0 < (/? < 2л, —тг/2 < ip < тг/2.
После подстановки в (6) этих соотношений и V — (1,0,0), получим
dt1 dt1
дх1 дх2
дх^ дх2
dt^ dt^
тг/2	2тг
dtp dip = R2 j cos2 ip dip J* cos tp dtp = 0.
—тг/2	0
Поскольку интеграл равен нулю, мы даже не интересовались, в ка-
кую сторону (внутрь или нарушу) ведется расчет потока.
Пример 4. Пусть поле скоростей движущейся в пространстве R3
среды в декартовых координатах я, у, z определяется равенством
V{x^y^z) — (V1, V2, V3)(rr, у, г) = (я,?/, z). Найдем в этом случае по-
ток через сферу х2 + у2, + z2, = В2 внутрь ограниченного ею шара (т. е.
в сторону внутренней нормали).
Взяв параметризацию сферы из предыдущего примера и выполнив
подстановку в правую часть формулы (6), найдем, что
27Г тг/2
0	—тг/2
R cos ip cos tp
—R cos ip sint/?
R sin ip cos tp
R cos ip sin tp
R cos ip cos tp
—Rsmipsintp
Rsmip
0
В cos ip
260
ГЛ XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
27Г тг/2
J* dtp J' R3 cos ф dty — 4я Д3.
0	—тг/2
Теперь проверим, согласуется ли задаваемая криволинейными коор-
динатами (</?, ориентация сферы с ориентацией, задаваемой внутрен-
ней нормалью. Легко убедиться, что не согласуется. Поэтому искомый
поток Т — —4nR3.
В данном случае полученный результат легко проверить: вектор V
скорости течения в каждой точке сферы равен по величине В, ортого-
нален сфере и направлен наружу, поэтому поток изнутри во вне равен
площади сферы 4лВ2, умноженной на R. Поток в противоположную
сторону получается равным —4тгД3.
2. Определение интеграла от формы по ориентированной
поверхности. Решение рассмотренных в п. 1 задач приводит к опре-
делению интеграла от fc-формы по ориентированной fc-мерной поверх-
ности.
Пусть сначала 5 —гладкая fc-мерная поверхность в заданная
одной стандартной картой ср: I —> 8. Пусть на 8 задана fc-форма со.
Интеграл от формы ш по параметризованной поверхности ср: I —> S
строится следующим образом.
Берем разбиение Р мерного стандартного промежутка / С Кп,
индуцированное разбиениями (отрезков) проекций на координатные
оси. В каждом промежутке 1г разбиения Р берем вершину /г, имею-
щую минимальные значения координат, и связываем с ней к векто-
ров	идущих в направлении координатных осей в к сосед-
них с 1г вершин промежутка 1г (см. рис. 84). Находим векторы =
= £/?/(^)гь • • • 5 £к — ^(К^к касательного пространства ТвХг=(р^гу вы-
числяем си(жг)(^1,... ,£fc) =: ((/?*о;)(/г)(т1,... , т*), составляем интеграль-
ную сумму о>(я;г)(£1, • •. ,£&) и переходим к пределу, когда параметр
г
A(F) разбиения стремится к нулю.
Таким образом, мы принимаем
Определение 1 {интеграла от к-формы ст по заданной картой
р>: I S гладкой k-мерной поверхности).
(7)
г
ш:= lim	= И™
J	А(Р)—>0	А(Р)—>0
С	I
§1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ формы
261
Если применить это определение к fc-форме f(t)dt 1 А ... Л dtk на I
(когда <р—тождественное отображение), то, очевидно, получим, что
j f(t) dt1 Л .../\dtk = f f(t) dt1... dtk.
(8)
Таким образом, из (7) следует, что
(9)
а последний интеграл, как видно из равенства (8), сводится к обычно-
му кратному интегралу от соответствующей форме 9?* си функции f на
промежутке I.
Важнейшие соотношения (8) и (9) мы вывели из определения 1, но
они сами могли бы быть приняты в качестве исходных определений.
В частности, если Л —произвольная область в (не обязательно про-
межуток), то, чтобы не повторять процедуру суммирования, положим
У/(/) dt1 Л ... A dtk := у /(/) dt1... dtk.
(8')
а для гладкой поверхности, заданной в виде	D —> S и fc-формы lu на
ней, положим
(9')
Если S — произвольная кусочно гладкая fc-мерная поверхность,
а си— определенная на гладких кусках S fc-форма, то, представив S
как объединение U Зг гладких параметризованных поверхностей, пере-
секающихся, быть может, лишь по множествам меньшей размерности,
полагаем
н/“-
S 1 S.
(Ю)
262
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В отсутствие содержательной физической или иной решаемой соот-
ношением (10) задачи, такое определение вызывает вопрос о независи-
мости полученной величины интеграла от разбиения |J Si и от выбора
i
параметризации отдельных его кусков.
Проверим корректность данного определения.
◄ Рассмотрим сначала простейший случай, когда S есть область Dx
в Rn, а (/?: Dt —> Dx — диффеоморфизм области Dt С Rn на область Dx.
В Dx = S fc-форма си имеет вид /(x)dx1 А ... A dxk. Тогда, с одной
стороны, в силу (8)
Dx	Dx
С другой стороны, по (9') и (8')
! ш := (р*ш = j /(</?(/)) det <//(/) dt1... dtfc.
Dx Dt	Dt
Но если det <//(£) > 0 в D*, то по теореме о замене переменных в
кратном интеграле имеет место равенство
у* f(x) dx1... dxk = у* /(</?(/)) det dt1... dtk.
Dx—<p(Dt)	Dt
Значит, считая, что на S ~ Dx имелись координаты ж1,...,#* и
криволинейные координаты t1,..., tk одного класса ориентации, мы по-
казали, что величина интеграла f си не зависит от того, в какой из этих
S
двух систем координат проводить его вычисление.
Отметим, что если бы криволинейные координаты t1,..., tk задава-
ли на S другую ориентацию, т.е. при det< 0, очевидно, правая и
левая части последнего равенства отличались бы знаком. Таким обра-
зом, о корректности определения интеграла можно говорить только в
случае ориентированной поверхности интегрирования.
Пусть теперь срх: Dx S и cpt - Dt S — две параметризации од-
ной и той же гладкой fc-мерной поверхности S и си— fc-форма на S.
Сравним интегралы
и
у
Dt
(И)
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
263
Поскольку = рх О 1 О = <рх о (/?, где р = рх 1 о <pt: Dt -> Dx —
диффеоморфизм Dt на Лх, то = ^*(9?^) (см- равенство (20) §5
гл. XII). Значит, форму iffa в Dt можно получить заменой х — <p(t) пе-
ременных в форме (pfa. А как мы только что проверили, в этом случае
интегралы (11) совпадают, если det cpf{t) > 0 и отличаются знаком, если
det </?'(/) < 0.
Итак, показано, что если ipt'- Dt —> S, Dx S — параметриза-
ции одного класса ориентации поверхности S, то интегралы (11) со-
впадают. Независимость интеграла от выбора любой из согласованных
систем криволинейных координат на поверхности S проверена.
Независимость интеграла (10) по ориентированной кусочно гладкой
поверхности S от способа ее разбиения U Зг на гладкие куски вытека-
г
ет из аддитивности обычного кратного интеграла (достаточно рассмо-
треть более мелкое разбиение, получающееся наложением двух разбие-
ний и проверить, что значение интеграла по нему совпадает со значе-
нием на каждом из двух исходных разбиений). ►
На основе проведенных рассмотрений теперь разумно принять сле-
дующую цепочку формальных определений, соответствующих изложен-
ной в определении 1 конструкции интеграла от формы.
Определение 1/ (интеграла от формы по ориентированной по-
верхности S С Rn).
а)	Если в области D С задана форма f(x) dx1 Л ... Л dxk, то
у* f(x) dx1 Л ... Л dxk
D
f(x) dx1... dxk.
D
b)	Если S C Rn — гладкая fc-мерная ориентированная поверхность и
tp : D S — ее параметризация, a — &-форма на S, то

причем знак + берется, если параметризация ср согласуется с заданной
ориентацией S, а знак — берется в противоположном случае.
с)	Если S — кусочно гладкая &-мерная ориентированная поверхность
в R™, tv — fc-форма на S (определенная там, где S имеет касательную
264
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
плоскость), то
S г st
где Si,..., Sm,... —разложение S на гладкие параметризуемые А;-мер-
ные куски, пересекающиеся разве лишь по кусочно гладким поверхно-
стям меньшей размерности.
Мы видим, в частности, что изменение ориентации поверхности вле-
чет за собой изменение знака интеграла.
Задачи и упражнения
1.	а) Пусть ж, у — декартовы координаты на плоскости R2. Укажите, для
какого векторного поля форма си = —	dx Н—dy является его фор-
хг + у* X, + у1
мой работы.
Ь) Найдите интеграл от указанной в а) формы си по следующим путям 7г:
[О, тг] Э t	(cos t, sin t) 6 R2; [0, тг] Э t	(cos £, — sin t) 6 R2;
путь 7з состоит в движении по отрезкам, соединяющим последовательно точ-
ки (1,0), (1,1), (—1,1), (—1,0); путь 74 состоит в движении по отрезкам, со-
единяющим последовательно точки (1,0), (1,-1), (-1,-1), (—1,0).
2.	Пусть f — гладкая функция в области D С а 7 —гладкий путь в D
с началом ро 6 D и концом pi 6 D. Найдите интеграл от формы cu — df по
пути 7.
3.	а) Найдите интеграл от формы cu = dy Л dz + dz Л dx по границе стан-
дартного единичного куба в IR3 , ориентированной внешней нормалью.
Ь) Укажите поле скоростей, для которого рассмотренная в а) форма си
является его формой потока.
4.	а) Пусть ж, у, г —декартовы координаты в IRn. Укажите поле скоро-
стей, для которого форма
х dy Л dz + у dz Л dx + z dx Л dy
(а) — ------------л -------------------------------
была бы его формой потока.
Ь) Найдите интеграл от указанной в а) формы си по сфере x2+y2+z2 = R2,
ориентированной внешней нормалью.
у, г)
-I-	Z2
— 1 равен нулю.
через сферу (ж —2)2+г/2+г2 =
с) Покажите, что поток поля —-—
(я2 + у2
d) Проверьте, что поток указанного в с) поля через тор, параметрические
уравнения которого даны в примере 4 § 1 гл. XII, также равен нулю.
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
265
5. Известно, что между давлением Р, объемом V и температурой Т дан-
ного количества вещества имеется связь /(Р, V, Т) = 0, называемая в тер-
модинамике уравнением состояния. Например, для одного моля идеального
газа уравнение состояния выражается формулой Клапейрона ~~ — R = О,
где R — универсальная газовая постоянная.
Поскольку величины Р, У, Т связаны уравнением состояния, зная любую
пару из них, в принципе можно определить и остающуюся величину. Значит,
состояние любой системы можно характеризовать, например, точками (У, Р)
плоскости R2 с координатами У, Р, тогда эволюции состояния системы как
функции времени t будет отвечать некоторый путь 7 в этой плоскости.
Пусть газ помещен в цилиндр, в котором без трения может перемещаться
поршень. Меняя положение поршня, за счет механической работы мы можем
изменить состояние газа, заключенного между поршнем и стенками цилин-
дра. Наоборот, меняя состояние газа (например, подогревая его), можно за-
ставить газ совершать механическую работу (например, за счет расширения
поднимать груз). В этой задаче и следующих задачах 6, 7, 8 все процессы
считаются проходящими столь медленно, что в каждый конкретный момент
давление и температура успевают усредниться во всем объеме вещества и,
таким образом, в каждый момент времени система удовлетворяет уравнению
состояния. Это так называемые квазистатические процессы.
а)	Пусть 7 —путь в плоскости У, Р, отвечающий квазистатическому пе-
реходу заключенного между стенками цилиндра и поршнем газа из состояния
Vb, Ро в состояние У1? Pi- Покажите, что величина А совершаемой на этом
пути газом механической работы определяется следующим криволинейным
интегралом: А = f Р dV.
7
b)	Найдите механическую работу, совершаемую одним молем идеального
газа при переходе из состояния Уо, Ро в состояние Vi, Pi по каждому из следую-
щих путей (рис. 85): 'уоы изобара OL (Р = Ро), затем изохора LI (У — У);
уок!— изохора ОК (У = Уо); затем изобара KI (Р = Pi); 7^7 — изотерма
Т = const (в предположении, что РоУ = А У)-
с)	Покажите, что полученная в а) формула для механической работы, со-
вершаемой заключенным между поршнем и стенками цилиндра газом, на са-
мом деле является общей, т. е. она остается в силе для работы газа, заключен-
ного в любой деформируемой оболочке.
6. Количество тепла, получаемого систе-
мой в том или ином процессе изменения ее со-
стояний, как и совершаемая системой механи-
ческая работа (см. задачу 5), зависит не только
от начального и конечного состояний системы,
но и от пути перехода. Важной характеристи-
кой вещества и совершаемого им (или над ним)
термодинамического процесса является тепло-
266
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
емкость — отношение полученного веществом тепла к изменению его темпе-
ратуры. Точное определение теплоемкости можно дать в следующей форме.
Пусть х — точка в плоскости состояний F (с координатами V, Р, или V, Т,
или Р, Т), а е е TFX—вектор, указывающий направление смещения из точ-
ки х. Пусть t — малый параметр. Рассматриваем смещение из состояния х в
состояние х + вдоль отрезка на плоскости Р, определяемого этими состо-
яниями. Пусть &Q(x,te)—полученное в этом процессе веществом тепло, а
ДТ(ж,£е)— изменение температуры вещества.
Теплоемкостью С = (7(ж,е) вещества (системы), отвечающей состоя-
нию х и направлению е смещения из этого состояния, называется величина
ч р Дф(ж, £е)
С(ж,е) = lim ------7
t~>0 ДТ(ж, te)
В частности, если система теплоизолирована, то ее эволюция происходит
без обмена теплом с внешней средой. Это так называемый адиабатический
процесс. Отвечающая такому процессу кривая на плоскости состояний F на-
зывается адиабатой. Значит, смещению из данного состояния х в направлении
адиабаты отвечает нулевая теплоемкость системы.
Смещению по изотерме Т = const отвечает бесконечная теплоемкость.
Особенно часто используются теплоемкости Су — С(ж,еу), Ср =
= С(ж,ер), отвечающие смещениям по изохоре V ~ const и изобаре Р = const
соответственно. Опыт показывает, что в довольно широком диапазоне со-
стояний данной массы вещества каждую из величин Су, Ср можно считать
практически постоянной. Теплоемкости, отвечающие одному молю данного
вещества, принято называть молярными и обозначать (в отличие от прочих)
прописными (а не строчными) буквами. Мы будем считать, что имеем дело с
одним молем вещества.
Между количеством AQ полученного веществом в данном процессе теп-
ла, изменением Д(7 его внутренней энергии и совершенной им механической
работой ДА в силу закона сохранения энергии имеется связь AQ = Д(7 + ДА.
Таким образом, при малом смещении te из состояния х 6 F полученное ве-
ществом тепло можно найти как значение формы 6Q := dU + PdV в точке х
на векторе te е TFX (формулу PdV работы см. в задаче 5с)). Значит, если
координатами состояния считать Т и V, а в качестве параметра при смещении
(в неизотермическом направлении) принять Т, то можно написать, что
AQ _ OU dU dV dV
~ t-% ДТ ~ дТ + dv' dT+ Р dT ’
Производная определяет направление смещения из состояния х G F
плоскости состояний с координатами Т, V. В частности, если = 0, то
смещение идет в направлении изохоры V = const, и мы получаем, что Су =
§1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
267
= Если Р = const, то — ( 2^) (в общем случае V = V(P,T)—
ai \/ F—const
это разрешенное относительно V уравнение состояния /(Р, V, Т) = 0)- Значит,
где индексы Р, V, Т в правой части указывают параметр состояния, фикси-
руемый при отыскании соответствующей частной производной. Сопоставляя
полученные выражения для Су и Ср, видим, что
C-<V = (($)t + p)(£)p.
Экспериментами на газах (опыты Джоуля1)-Томсона) установлено и за-
тем постулировано в модели идеального газа, что его внутренняя энергия U
зависит только от температуры Т1, т.е. (	= 0. Таким образом, для иде-
ального газа Ср — Су = Р \jyrj • Учитывая, что для моля идеального газа
PV = RT, отсюда получаем соотношение Ср — Су = R, называемое в термо-
динамике уравнением Майера2^.
То, что для моля газа внутренняя энергия зависит только от температуры,
позволяет записать форму SQ в виде
6Q=WdT + pdV = cvdT + PdV.
Чтобы вычислить количество тепла, полученное молем газа на пути у изме-
нения его состояний, надо, следовательно, найти интеграл от формы Су dT +
4- Р dV по 7. Эту форму иногда удобно иметь в переменных V, Р. Если вос-
пользоваться уравнением состояния PV — RT и соотношением Ср — Су = R,
то получим
5Q = CP^dV + Cv^dP.
R	R
а)	Напишите формулу для количества Q тепла, получаемого молем газа
при изменении его состояний вдоль пути 7 плоскости состояний F.
Ь)	Считая величины Ср, Су постоянными, найдите величину Q, отвеча-
ющую каждому из путей 'уоы, Уокь 701) указанных в пункте Ь) задачи 5.
с)	Найдите (вслед за Пуассоном) уравнение адиабаты, проходящей через
точку (Го,/})) плоскости состояний F с координатами V, Р (Пуассон нашел,
Дж. П. Джоуль (1818-1889)— английский физик; открыл закон теплового дей-
ствия тока, а также определил независимо от Майера механический эквивалент те-
плоты.
2)Ю.Р. Майер (1814-1878) — немецкий ученый, врач по образованию; высказал
закон сохранения и превращения энергии, нашел механический эквивалент теплоты.
268 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
объем Vi = % Vo-
Рис. 86.
что на адиабате PVCp/cv = const. Величина Ср/Су называется адиабатиче-
ской постоянной данного газа. Для воздуха Ср/Су ~ 1,4.) Вычислите после
этого работу, которую необходимо совершить, чтобы теплоизолированный от
внешней среды моль воздуха, находящегося в состоянии (Vo, Ро), поместить в
7.	Напомним, что цикл Карно1) изменения
состояния рабочего тела тепловой машины (на-
пример, газа, находящегося в цилиндре под
поршнем) состоит в следующем (рис. 86). Име-
ются два энергоемких тела, нагреватель и холо-
дильник (например, паровой котёл и атмосфе-
ра), находящиеся при постоянной температуре
71 и Т2 соответственно > Т?). Рабочее тело
(газ) рассматриваемой тепловой машины, имея
в состоянии 1 температуру 71, приводится в
контакт с нагревателем и за счет уменьшения
внешнего давления по изотерме квазистатиче-
ски расширяется и переводится в состояние 2.
При этом машина заимствует от нагревателя тепло Qi и производит механи-
ческую работу А12 против внешнего давления. В состоянии 2 газ теплоизо-
лируют и заставляют квазистатически расширяться до состояния 3, пока его
температура не достигнет температуры холодильника. При этом машина
также совершит некоторую работу Л23 против внешнего давления. В состоя-
нии 3 газ приводят в контакт с холодильником и путем увеличения давления
изотермически сжимают до состояния 4. При этом над газом совершается ра-
бота (сам газ совершает отрицательную работу Л34) и газ отдает холодиль-
нику некоторое количество тепла Q2- Состояние 4 выбирается так, чтобы из
него можно было вернуться в исходное состояние 1 квазистатическим сжа-
тием газа по адиабате. Итак, из состояния 4 газ возвращают в состояние 1.
При этом над газом придется совершить работу (а сам газ произведет отри-
цательную работу Л41). В результате описанного кругового процесса (цикла
Карно) внутренняя энергия газа (рабочего тела машины), очевидно, не из-
менится (ведь мы вернулись в исходное состояние), поэтому произведенная
машиной работа равна А = Лхг + Л23 + А34 + Л41 Qi — Q2-
Полученное от нагревателя тепло Qi лишь частично пошло на совершение
работы А. Величину Т) —	естественно назвать коэффициентом
полезного действия рассматриваемой тепловой машины.
а)	Используя результаты, полученные в пп. а) и с) задачи 6, покажите,
что для цикла Карно имеет место равенство = ^2-.
1	2
1^Н. Л. С. Карно (1796-1832)—французский инженер, один из родоначальников
термодинамики.
§ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 269
Ь)	Докажите теперь следующую первую из двух знаменитых теорем Кар-
но. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по ци-
клу Карно, зависит только от температур Т\ и нагревателя и холодиль-
ника (но не зависит от устройства машины и вида ее рабочего тела).
8.	Пусть 7 — замкнутый путь в плоскости F состояний рабочего тела про-
извольной тепловой машины (см. задачу 7), отвечающий замкнутому циклу ее
работы. Количество тепла, которым рабочее тело (например, газ) обменива-
ется с внешней средой, и температура, при которой происходит теплообмен,
связаны фундаментальным неравенством Клаузиуса f 0. Здесь 6Q —
7
форма теплообмена, о которой говорилось в задаче 6.
а)	Покажите, что для цикла Карно (см. задачу 7) неравенство Клаузиуса
обращается в равенство.
Ь)	Покажите, что если рабочий цикл 7 может протекать и в обратном
направлении, то для него неравенство Клаузиуса обращается в равенство.
с)	Пусть 71 и 72—те участки пути 7, на которых рабочее тело тепло-
вой машины соответственно получает тепло извне и отдает его в окружаю-
щую среду. Пусть 1\ — максимальная температура рабочего тела на участ-
ке 71, а Т2 — (его) минимальная температура на участке 72 цикла 7. Наконец,
пусть Qi —полученное на участке 71 тепло, a Q2 —тепло, отданное на участ-
ке 72. Исходя из неравенства Клаузиуса, покажите, что С jX.
d)	Получите оценку у С	коэффициента полезного действия (см.
задачу 7) любой тепловой машины. Это—вторая теорема Карно. (Оцените
заодно к. п. д. паровой машины, в которой максимальная температура пара не
превышает 150°C т.е. Ti = 423К, а температура холодильника—окружаю-
щей среды — порядка 20°C, т.е. Т2 = 291 К).
е)	Сравните результаты задач 7Ь) и 8 d) и проверьте, что тепловая маши-
на, работающая по циклу Карно, имеет наибольший (в пределах возможного
при заданных значениях 71 и Т2) коэффициент полезного действия.
9.	Дифференциальное уравнение	называют уравнением с разде-
ляющимися переменными. Обычно его переписывают в виде g(y) dy = f(x) dx,
в котором «переменные разделены», и затем «решают», приравнивая перво-
образные f д(у) dy — f f(x) dx. Используя язык дифференциальных форм, дай-
те теперь развернутую математическую аргументацию этому алгоритму.
§ 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
1.	Масса материальной поверхности. Пусть S — материальная
поверхность в евклидовом пространстве Rn. Предположим, что нам из-
вестна (поверхностная) плотность р(х) распределения массы на поверх-
ности S. Требуется определить массу всей поверхности S.
270
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
Для решения задачи прежде всего надо учесть, что поверхностная
плотность р(х) в точке х G S есть предел отношения массы Дт части
поверхности, попавшей в окрестность точки х, к площади Д<7 этой же
части поверхности, когда окрестность стягивается к точке х.
Разбив поверхность S на мелкие доли Sz и считая р непрерывной
функцией на S', можно, пренебрегая изменением р в пределах каждой
малой доли, найти массу Зг из соотношения
Дтг « р(жг)Дсгг,
в котором Д<тг — площадь поверхности Su а^Е 5г.
Суммируя эти приближенные равенства и переходя к пределу при
измельчении разбиения, получим, что
т ~ J* pdcr.	(1)
s
Символ написанного здесь интеграла по поверхности S', очевидно,
требует разъяснений, которые позволили бы довести дело до вычисли-
тельных формул.
Отметим, что по самой постановке задачи левая часть равенства (1)
никак не зависит от ориентации поверхности S и, значит, этим же
свойством должен обладать стоящий справа интеграл. Это на первый
взгляд контрастирует с тем понятием интеграла по поверхности, о ко-
тором мы подробно говорили в § 1. Ответ на возникший вопрос кроется
в определении элемента поверхности da, к анализу которого мы и пе-
реходим.
2.	Площадь поверхности как интеграл от формы. Сопоста-
вляя определение 1 § 1 интеграла от формы с конструкцией, которая
привела нас к определению площади поверхности (§4 гл. XII), видим,
что площадь заданной в параметрическом виде <р: D S гладкой
А;-мерной поверхности S', лежащей в евклидовом пространстве Rn, явля-
ется интегралом от некоторой формы Q, которую мы пока только ус-
ловно будем называть формой объема или элементом объема на поверх-
ности S. Из соотношения (5) §4 гл. XII следует, что в криволинейных
координатах <р. D —> S (т.е. будучи снесена в область D) форма Q
(точнее <p*Q) имеет вид
cu = i/det(^)(i) dt1 Л ... Л dtk,	(2)
§ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 271
где &.,(<) =	iJ = к.
При другой параметризации : D —> S той же поверхности для вы-
числения площади S по области D надо соответственно интегрировать
форму
ш = ^/det(5ij)(i) dt1 A ... A dtk,	(3)
где	M = l,---,k.
Обозначим через ф диффеоморфизм о ср: JJ —> Z), осуществля-
ющий переход от координат t к координатам t поверхности S'. В свое
время мы уже подсчитали (см. замечание 5 §4 гл.XII), что
= ^/det^)^)) • | det	(4)
Вместе с тем очевидно, что
= ^det(^) (V>(£)) det dt1 A ... A dtk.	(5)
Сопоставляя равенства (2) - (5), видим, что = си, если det >
> 0, и	если det^'(i) < 0. Если формы w и S получались
переносом ip* и соответственно <р* из одной и той же формы Q на S', то
всегда должно быть выполнено равенство	или, что то
же самое, ф*^ = с5.
Мы приходим, таким образом, к заключению, что формы на па-
раметризованной поверхности S', которые надо интегрировать, чтобы
получить площадь этой поверхности, различны — отличаются знаком,
если параметризации задают на S различные ориентации; эти формы
совпадают для параметризаций, принадлежащих одному классу ориен-
тации поверхности S'.
Таким образом, форма объема Q на S' должна определяться не толь-
ко самой поверхностью S', лежащей в евклидовом пространстве Rn, но
и ориентацией S.
Это может показаться парадоксальным: площадь поверхности по
нашим представлениям не должна зависеть от ориентации!
Но ведь мы пришли к определению площади параметризованной по-
верхности через интеграл, интеграл от некоторой формы. Значит, если
результат наших вычислений не должен зависеть от ориентации по-
верхности, то, как следует из свойств интеграла, при разных ориента-
циях поверхности мы должны интегрировать разные формы.
Доведем высказанные соображения до точных определений.
272
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
3.	Форма объема
Определение 1. Если Rfc — ориентированное евклидово про-
странство со скалярным произведением {,), то формой объема Q на R\
соответствующей данной ориентации Rfc и скалярному произведению
( , ), называется такая кососимметрическая й-форма, которая на орто-
нормированием репере данного класса ориентации R^ принимает зна-
чение единицы.
Значение й-формы на репере ei,..., очевидно, вполне определяет
эту форму.
Заметим также, что форма Q определяется не индивидуальным ор-
тонормир ованным репером, а только их классом ориентации.
◄ В самом деле, если ei,..., и ei,...,	— два таких репера од-
ного класса ориентации, то матрица О перехода от второго базиса к
первому является ортогональной матрицей, причем det О = 1. Значит,
Q(eb ... ,ek) = det О • Q(ei, = Q(eb... ,ek) = 1. ►
Если в Rfc фиксирован ортонормированный базис ei,..., а
л1,..., 7vk — проектирование R^ на соответствующие координатные
оси, то, очевидно, тг1 А ... A	= 1 и
Q = л1 А ... Л тгк.
Таким образом
^(£1, • • • ,&) =
S  й
Это ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на упо-
рядоченные векторы ...,
Определение 2. Если гладкая й-мерная ориентированная поверх-
ность S лежит в евклидовом пространстве Rn, то в каждой касательной
к S плоскости TSX1 имеются ориентация, согласованная с ориентаци-
ей S', и скалярное произведение, индуцированное скалярным произве-
дением вГ, а значит, есть и форма объема Q(a;). Возникающая при
этом на S дифференциальная й-форма Q называется формой (или эле-
ментом) объема на поверхности S, индуцированной вложением S в
евклидово пространство Rn.
§ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 273
Определение 3. Площадь ориентируемой гладкой поверхности
есть интеграл по этой поверхности от формы объема, соответствую-
щей выбираемой на поверхности ориентации.
Это сформулированное на языке форм и уточненное до деталей
определение площади, конечно, согласуется с определением 1 § 4 гл. XII,
к которому мы пришли, рассматривая заданную в параметрическом
виде й-мерную гладкую поверхность S С Rn.
Ч Действительно, параметризация ориентирует поверхность и все
касательные к ней плоскости TSX. Если £i,... ,	— репер в TSX фик-
сированного в TSX класса ориентации, то из определений 2 и 3 формы
объема Q следует, что Q(a;)(£i,..., £*.) > 0. Но тогда (см. равенство (2)
§ 4 гл. XII)
, &) = A/det«^,eJ)). ►	(6)
Отметим, что сама форма Q(a;) определена на любом наборе £i,...,
векторов TSX, но равенство (6) действует только на реперах задан-
ного в TSX класса ориентации.
Отметим также, что форма объема определена только на ориенти-
рованной поверхности, поэтому, например, бессмысленно говорить о
форме объема на лежащем в К3 листе Мёбиуса, хотя можно говорить
о такой форме в пределах каждого ориентируемого куска этой поверх-
ности.
Определение 4. Пусть S—й-мерная кусочно гладкая (ориенти-
руемая или неориентируемая) поверхность в Rn, a Si,..., Sm,... ко-
нечное или счетное число ее гладких параметризуемых кусков, пересе-
кающихся, быть может, лишь по поверхностям размерности не выше
к — 1 и таких, что S — (J Sz.
г
Площадью (или к-мерным объемом) поверхности S называется сум-
ма площадей поверхностей 5г.
В этом смысле можно говорить о площади, которую имеет лежа-
щий в К3 лист Мёбиуса, или, что то же самое, искать его массу, если
это материальная поверхность с единичной плотностью распределения
вещества.
Традиционными рассуждениями проверяется корректность опреде-
ления 4 (независимость получаемой величины площади от разбиения
Si,..., Sm,... поверхности S).
274 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4.	Выражение формы объема в декартовых координатах.
Пусть S — гладкая гиперповерхность (размерности п — 1) в ориенти-
рованном евклидовом пространстве , наделенная ориентирующим ее
непрерывным полем единичных нормалей 17(2:), х 6 S. Пусть V — форма
(n-мерного) объема вйп, a Q — форма ((п — 1)-мерного) объема на S.
Если в касательном пространстве TSX взять репер	из
класса ориентации, задаваемого единичной нормалью т](х) к TSX, то,
очевидно, можно записать следующее равенство:
◄ Справедливость его следует из того, что при указанных условиях
обе его части неотрицательны, а равны они по величине потому, что
объем параллелепипеда, натянутого на векторы 17,^1,... равен
площади основания Q(z)(£i,..., £n-i), умноженной на высоту |т}\ — 1. ►
Но
= 52(-1)г 1т]г(х) dx1 А ... A dx1 А... A dxn(£i,..., $n_i).
г=1
Здесь х1,..., хп — декартовы координаты в задающем ориентацию
ортонормированном базисе ei,..., еп, а крышка над дифференциалом
dx1 означает, что в этом слагаемом он отсутствует.
Таким образом, получается следующее координатное выражение
для формы объема на ориентированной гиперповерхности 5 С F:
Q =	lrf(x) dx1 A ... A dx1 A ... A dxn(£h ..., £n-i).	(8)
i=i
Здесь стоит заметить, что при изменении ориентации поверхности
направление нормали т}(х) меняется на противоположное, т. е. форма Q
при этом заменяется новой формой —Q.
Из тех же геометрических соображений следует, что при фиксиро-
ванном значении i 6 { 1,..., п }
(17(37), et)Q(£i,.,., i) — V(з?)(ег, £].,•••, £п—1)*
(9)
§2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 275
Последнее равенство означает, что
г]г(х)Я(х) — (~1)г 1 dx1 А ... A dx1 А ... A ..., £n-i)-	(Ю)
Для двумерной поверхности S в элемент объема чаще всего обо-
значают символами da или dS. Их не следует воспринимать как диф-
ференциалы неких форм j и S', это единые символы. Если z, у, z—
декартовы координаты в R3, то в этих обозначениях соотношения (8),
(10) запишутся так:
da = cos an dy Л dz + cos «2 dz A dx + cos «3 dx A dy,
cos «1 da — dy A dz,
cos «2 da = dz A dx,
cos CE3 da = dx A dy
(ориентированные площади проекций
на координатные плоскости).
Здесь (cos Qi, cos «2, cos ^з) (я) — направляющие косинусы (коорди-
наты) единичного вектора т](х) нормали к S в точке х 6 S. В этих
равенствах, как, впрочем, и в равенствах (8), (10), во избежание недо-
разумений, конечно, правильнее было бы справа ставить знак |s огра-
ничения соответствующей формы на поверхность S, но чтобы не за-
громождать формулы, мы ограничимся этим замечанием.
5.	Интегралы первого и второго рода. В ряде задач, типич-
ным представителем которых является рассмотренная выше задача об
определении массы поверхности по известной плотности, возникают ин-
тегралы типа (1). Их часто называют интегралами от функции по по-
верхности или интегралами первого рода.
Определение 5. Интегралом от функции р по ориентируемой
поверхности S называют интеграл
(11)
s
от дифференциальной формы pQ, где Q — форма объема на S (отвеча-
ющая выбираемой при вычислении интеграла ориентации S).
Ясно, что так определенный интеграл (11) не зависит от ориента-
ции S, поскольку изменение ориентации сопровождается соответству-
ющей заменой формы объема.
10-4574
276
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Подчеркнем, что в сущности здесь речь идет не об интегрирова-
нии функции, а об интегрировании формы рО. специального вида по
поверхности S с определенной на ней формой объема.
Определение 6. Если S — кусочно гладкая (ориентируемая или
неориентируемая) поверхность и р — функция на S, то интегралом (11)
от функции р по поверхности S называют сумму р£1 интегралов
*
от функции р по параметризуемым кускам Si,, S'w,... описанного в
определении 4 разбиения поверхности S.
Интеграл (11) обычно называют поверхностным интегралом пер-
вого рода.
Например, таковым является интеграл (1), выражающий массу по-
верхности S через плотность р распределения массы по поверхности.
Для выделения интегралов первого рода с их свойством независимо-
сти от ориентации, интегралы от форм по ориентированным поверхно-
стям часто называют поверхностными интегралами второго рода.
Заметим, что, поскольку на линейном пространстве все кососим-
метрические формы, степень которых равна размерности пространст-
ва, пропорциональны, между любой й-формой cj, заданной на й-мерной
ориентируемой поверхности S', и формой объема Q на S' имеется связь
cj = pQ, где р — некоторая, зависящая от cj функция на S. Значит,
т. е. любой интеграл второго рода может быть записан в виде соответ-
ствующего интеграла первого рода.
Пример 1. Интеграл (2') §1, выражающий работу на пути 7 :
[а, 6] —>	можно записать в виде интеграла первого рода
(F, е) ds,
7
(12)
где s — натуральный параметр на 7, ds —элемент (1-форма) длины,
а е — единичный вектор скорости, несущий в себе всю информацию
об ориентации 7. С точки зрения физического смысла решаемой инте-
гралом (12) задачи он столь же выразителен, как и интеграл (1) § 1.
§2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
277
Пример 2. Поток (3), §1 поля скоростей V через ориентирован-
ную единичными нормалями п(х) поверхность S С можно записать
в виде поверхностного интеграла
(V, п) da
(13)
первого рода. Информация об ориентации S заключена здесь в напра-
влении поля нормалей п.
Геометрическое и физическое содержание подынтегрального вы-
ражения в (13) столь же прозрачно, как и соответствующий смысл
подынтегрального выражения окончательной вычислительной форму-
лы (6) § 1.
Для сведения читателя отметим, что довольно часто встречаются
обозначения ds := eds, da := nda. вводящие векторный элемент длины
и векторный элемент площади соответственно. В этих обозначениях
интегралы (12), (13) имеют вид

f {F,ds)
наиболее удобный с точки зрения физической интерпретации. Для
краткости скалярное произведение {А, В) векторов А, В часто запи-
сывают символом А • В.
Пример 3. Закон Фарадея1^ утверждает, что электродвижущая
сила, возникающая в замкнутом проводнике Г, находящемся в пере-
менном магнитном поле В, пропорциональна скорости изменения по-
тока магнитного поля через ограниченную контуром Г поверхность S.
Пусть Е — вектор напряженности электрического поля. Точная запись
закона Фарадея с учетом ориентации и принятых выше обозначений
может быть представлена в виде равенства
Кружок в знаке интеграла по Г — дополнительное напоминание о
том, что интеграл берется по замкнутому контуру. Работу поля вдоль
^М. Фарадей (1791 -1867) —выдающийся английский физик, создатель учения об
электромагнитном поле.
278
ГЛ. XIII. криволинейные и поверхностные интегралы
замкнутого контура часто называют циркуляцией поля вдоль этого
контура. Так что по закону Фарадея циркуляция напряженности элек-
трического поля, пооожденного в замкнутом проводнике Г переменным
магнитным полем, равна взятой с обратным знаком скорости измене-
ния потока напряженности магнитного поля через натянутую на кон-
тур Г поверхность S.
Пример 4. Закон Ампера1^
/В * ds = —/ j * da
soc2 J
г	s
(где В — вектор напряженности магнитного поля, j — вектор плотно-
сти тока, £о, с — размерные постоянные) утверждает, что циркуляция
напряженности, порожденного электрическим током магнитного по-
ля вдоль контура Г, пропорциональна силе тока, протекающего через
ограниченную контуром Г поверхность S.
Мы рассмотрели интегралы первого и второго рода. Читатель мог
заметить, что это терминологическое различие очень условно. Реаль-
но мы умеем интегрировать и интегрируем только дифференциальные
формы. Ни от чего другого интеграл и не берется (если интеграл пре-
тендует на независимость от выбора системы координат, используемой
при его вычислении).
Задачи и упражнения
1.	Дайте формальное доказательство равенств (7) и (9).
2.	Пусть 7 — гладкая кривая, ds — элемент длины на 7.
а)	Покажите, что
для любой функции f на 7, для которой оба интеграла определены.
Ь)	Проверьте, что если |/(s)| М на 7, а I — длина кривой 7, то
< Ml.
^А. М. Ампер (1775 -1836) —французский физик и математик, один из основопо-
ложников современной электродинамики.
§ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 279
с)	Сформулируйте и докажите аналогичные а) и Ь) утверждения в общем
случае интеграла первого рода, взятого по fc-мерной гладкой поверхности.
3.	а) Покажите, что координаты (х^, х$, #□) центра масс, распределенных
с линейной плотностью р(х) вдоль кривой 7, следует искать из соотношений
х$ J p(x)ds = J xlp{x)ds, i = 1,2,3.
7	7
Ь)	Запишите уравнение винтовой линии в R3 и найдите координаты цен-
тра масс куска этой линии, считая, что масса распределена вдоль кривой с
постоянной плотностью, равной единице.
с)	Укажите формулы для центра масс, распределенных по поверхности S
с поверхностной плотностью р, и найдите центр масс, равномерно распреде-
ленных по поверхности полусферы.
d)	Укажите формулы для момента инерции массы, распределенной с плот-
ностью р по поверхности S.
е)	Покрышка колеса имеет массу 30 кг и форму тора, внешний диаметр
которого 1 м, а внутренний 0,5 м. При балансировке колеса его устанавливают
на балансировочный станок, раскручивают до скорости, отвечающей скоро-
сти движения порядка 100 км/час, и затем останавливают тормозными ко-
лодками, трущимися о стальной диск, диаметр которого 40см, а ширина 2 см.
Оцените температуру, до которой нагрелся бы этот диск, если бы вся кинети-
ческая энергия раскрученной покрышки при остановке колеса ушла на нагре-
вание диска. Удельную теплоемкость стали считать равной с = 420 Дж/(кг-К).
4.	а) Покажите, что силу, действующую на точечную массу то, распо-
ложенную в точке (#о , Уо, zo), со стороны материальной кривой 7, имеющей
линейную плотность р, следует искать по формуле
F = Gmo
7
Р
т* I
rds,
где G — гравитационная постоянная, аг вектор с координатами (х ~ х$,у ~
-yo,z- ZO).
b)	Напишите соответствующую формулу в случае, когда масса распреде-
лена по поверхности S.
с)	Найдите гравитационное поле однородной материальной прямой.
d)	Найдите гравитационное поле однородной материальной сферы. (Ука-
жите поле как вне шара, ограниченного сферой, так и в самом этом шаре.)
е)	Найдите гравитационное поле, создаваемое в пространстве однород-
ным материальным шаром (рассмотрите как внешние, так и внутренние точ-
ки шара).
f)	Считая Землю жидким шаром, найдите давление в нем как функцию
расстояния от центра. (Радиус Земли 6400км, средняя плотность 6г/см3.)
280
ГЛ. XIII. криволинейные и поверхностные интегралы
5. Пусть 71 и 72 — два замкнутых проводника, по которым текут токи Ji
и J2 соответственно. Пусть dsi и ds2—векторные элементы этих проводни-
ков, отвечающие направлениям тока в них, вектор Л12 направлен от dsi к ds2,
а #21 = —-Н12-
По закону Био и Саваров сила dF^ испытываемая вторым элементом со
стороны первого, равна
dFi2 —
2[ds2[dsi, Я12]],
где квадратными скобками обозначено векторное произведение векторов, а
со—размерная постоянная.
а)	Покажите, что на уровне искусственной дифференциальной формулы
Био и Савара может случиться, что dF±2 —dF2\, т.е. «действие не равно
противодействию».
Ь)	Напишите (интегральные) формулы для полных сил Е12 и 1*21 взаимо-
действия проводников 71, 72 и убедитесь, что 1^12 — —^21-
6.	Формула коплощади (формула Кронрода-Федерера).
Пусть Мт и Nn — гладкие поверхности размерностей тип соответствен-
но, лежащие в евклидовом пространстве высокой размерности (Мш, 7Vn могут
быть и абстрактными римановыми многообразиями, но сейчас это несуще-
ственно). Допустим, что т п.
Пусть /: Мт —> Nn — гладкое отображение. При т > п отображение
df(x): ТхМт —> Tf(x^Nn имеет непустое ядро kerd/(^). Обозначим через
Т^-Мт ортогональное дополнение к kerd/(^), а через обозначим яко-
биан отображения <//(#) | ТхМт : Т^Мт Tf^Nn. Если т — п, то
совпадает с обычным якобианом.
Пусть dv(р) — обозначение для формы объема на fc-мерной поверхности в
точкер. Будем считать, что v$(E) = cardE?, где — fc-объем множества£7.
а)	Используя, если нужно, теорему Фубини и теорему о ранге (о локаль-
ном каноническом виде гладкого отображения), докажите следующую форму-
лу Кронрода-Федерера: f J(f,x)dvm(x)= f vm_n(f~l(y)) dvn(y).
Mm	Nn
b)	Покажите, что если A — измеримое подмножество в Мт, то
J J(f,x)dvm(x) = [ vm-n(Anf \y))dvn(y).
A	Nn
Это общая формула Кронрода-Федерера.
с)	Докажите следующее усиление теоремы Сарда (утверждающей в ее про-
стейшем варианте, что образ множества критических точек гладкого отобра-
жения имеет меру нуль). (См. гл. XI, пар. 5, задача 8.)
^Био (1774-1862), Савар (1791-1841)—французские физики.
§3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
281
Пусть, как и прежде, /: Мт —> Nn - гладкое отображение, а К — ком-
пакт в Мт, на котором rang d/(я) < п при всех х € К.
Тогда J ит-п [К П/-1(у)) dvn(y) — 0. Получите отсюда также сформу-
7Vn
лированный выше простейший вариант теоремы Сарда.
d)	Проверьте, что если f:D—> R и tz: D —> R—гладкие функции в регу-
лярной области D С Rn, причем и не имеет критических точек в D, то
е)	Пусть	мера (объем) можества {# € D | f(x) > t} и пусть функ-
ция f неотрицательна и ограничена в области D.
Покажите, что f f dv — — f tdVf(t) = f Vf(t)dt.
dr	о
f)	Пусть p € C^1)(R,R+) и y?(0) = 0, a / E R) и Vj/| (t) —мера
oo
можества {# € D | |/(ж) | > t}. Проверьте, что f о fdv = f
D	0
§ 3.	Основные интегральные формулы анализа
Важнейшей формулой анализа является уже известная нам форму-
ла Ньютона-Лейбница. В этом параграфе будут получены формулы
Грина, Гаусса-Остроградского и Стокса, которые, с одной стороны,
являются развитием формулы Ньютона - Лейбница, а с другой сторо-
ны, в совокупности, образуют наиболее используемую часть аппарата
интегрального исчисления.
В первых трех пунктах параграфа, не стремясь к общности форму-
лировок, на наглядном материале мы получим три классические инте-
гральные формулы анализа. Они будут сведены в одну общую формулу
Стокса в четвертом пункте, который формально можно читать неза-
висимо от первых трех.
1.	Формула Грина. Формула Грина1)—это следующее
Утверждение 1. Пусть R2 плоскость с фиксированной в ней
системой координат х, у; D—компактная область в этой плоско-
Дж. Грин (1793-1841)—английский математик и математический физик. Мо-
гила Ньютона в Вестминстерском аббатстве обрамлена пятью меньшими плитами с
блистательными именами: Фарадей, Томсон (лорд Кельвин), Грин, Максвелл, Дирак.
282
ГЛ. XIII. криволинейные и поверхностные интегралы
сти, ограниченная кусочно гладкими кривыми] Р, Q—функции, глад-
кие в замкнутой области D. Тогда имеет место соотношение
Pdx + Q dy,
(1)
в котором справа стоит интеграл по границе dD области D, ориен-
тированной согласованно с ориентацией самой области D.
Рассмотрим сначала простейший вариант формулы (1), когда D
есть квадрат I = {(т,у) Е К2 | 0 < х < 1, 0 у 1}, a Q = О
в I. Тогда формула Грина сводится к равенству
//
I
дР
dxdy =
Pdx,
di
которое мы и докажем.
◄ Сводя двойной интеграл к повторному и применяя формулу Нью-
тона-Лейбница, получаем
о
о
о
Доказательство закончено. Остальное—дело определений и интер-
претации уже полученного соотношения. Дело в том, что разность двух
последних интегралов есть как раз то, что стоит в правой части равен-
ства (2).
Действительно, кусочно гладкая кривая д! рас-
падается на четыре куска (рис. 87). Их можно рас-
сматривать как параметризованные кривые
Рис. 87.
71: [0,1] —>R2,
72: [0,1] ->R2,
73: [0,1] -> Ж2,
74: [0,1] ->R2,
где	X 1		0,0),
где	У 1	Л»	(1,у),
где	X 1		(^,1),
где	У		(у, 0)-
§3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
283
По определению интеграла от 1-формы ш = Р dx по кривой
1
J P(x,y)dx := 1	7* (P(x, y) dx)	J P(z,0)cfc,
71	[0,1] У := f	i2{P(x,y)dx)	0 1 — y* Qdy = 0,
72	[0,1] У := f	7з	У) dx)	0 1 := У P(z, l)dx.
7з	[0,1] У P(x,y)dx := f	H (P(x, y) dx)	0 1 •- JiQdy = Q
[0,1]		0
и, кроме того, в силу указанного в утверждении 1 выбора ориентации
границы области, с учетом ориентации кривых 71, 72, 73 и 74, очевидно,
Р = / " + / “+J	J “ = .r + J
di 71	72	—73	—74	71	72	73	74
где —7г есть кривая 7г, взятая с противоположной задаваемой отобра-
жением 7г ориентацией.
Таким образом, равенство (2) проверено. ►
Аналогично проверяется, что
11^
(3)
д!
Складывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина
г г
/./ \ дх ду
J Pdx + Qdy
di
для квадрата L
Заметим, что несимметричность Р и Q в формуле Грина (1) и ра-
венствах (2), (3) связана с несимметричностью х и у: ведь х и у упоря-
дочены, и этим в R2 и в I задана ориентация.
284
ГЛ. XIII. криволинейные и поверхностные интегралы
На языке форм доказанное соотношение (Iх) можно переписать в
виде
у* duj — У'66’’	(I")
/ di
где и) — произвольная гладкая 1 -форма на I. Справа здесь стоит инте-
грал от ограничения формы ш на границу di квадрата I.
Проведенное доказательство соотношения (2) допускает очевидное
обобщение: если Dy— не квадрат, а «криволинейный четырехуголь-
ник», боковые стороны которого — вертикальные отрезки (быть мо-
жет, даже вырождающиеся в точку), а две другие стороны—графики
кусочно гладких функций ^i(rr) ^(я) над отрезком [а, Ь] оси (Эх, то
ff%dxdy=- fpdI-
Dy	dDy
Аналогично, если имеется такой же «четырехугольник» Dx по отно-
шению к оси Оу, т. е. с двумя горизонтальными сторонами, то для него
справедливо равенство
!!^d4
Dx	dDx
Qdy.
(3')
Предположим теперь, что область D можно разрезать на конечное
число областей типа Dy (рис. 88). Тогда для этой области D тоже верна
формула вида (2х).
◄ В самом деле, двойной интеграл по области D в силу его аддитив-
ности есть сумма интегралов по кускам типа Dy, на которые разрезана
область D. Для каждого такого куска справедлива формула (2х), т.е.
Рис. 88.
двойной интеграл по нему равен интегралу от
формы Р dx по ориентированной границе это-
го куска.
Но соседние куски на общей части их гра-
ниц индуцируют противоположные ориента-
ции, поэтому при сложении интегралов по гра-
ницам всех кусков в результате взаимных уни-
чтожений, очевидно, останется только инте-
грал по границе BD самой области D. ►
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
285
Аналогично, если область D допускает разбиение на области ти-
па то для D справедливо равенство типа равенства (3х) •
Области, которые можно разрезать как на куски вида Dx, так и
на куски вида Dyj условимся пока называть простыми областями. На
самом-то деле это достаточно богатый для всех практических целей
класс областей.
Записав для простой области оба соотношения (2х), (3х), после их
сложения получим формулу (1).
Итак, для простых областей формула Грина доказана.
Мы не будем здесь заниматься дальнейшими ее уточнениями (см.
по этому поводу задачу 2), а продемонстрируем лучше другой весьма
плодотворный путь рассуждений, по которому можно было бы пойти,
установив равенства (Г), (1//).
Пусть область С получена гладким отображением I С ква-
драта I. Если и) — гладкая 1-форма на (7, то
Восклицательным знаком здесь отмечено уже доказанное нами ра-
венство (см. (Iя)); крайние равенства — определения или их прямые
следствия; оставшееся второе слева равенство связано с независимо-
стью внешнего дифференцирования от системы координат.
Значит, для области С тоже справедлива формула Грина.
Наконец, если какую-то ориентированную область D удается разре-
зать на конечное число областей типа области (7, то из уже описанных
выше соображений о взаимном уничтожении интегралов по тем частям
границ областей (7г, которые лежат внутри 7?, следует, что
[	- V [	= V [ и= [	(5)
J J J J	'
D	г Сг	г дСг dD
т. е. для области D формула Грина тоже имеет место.
Можно показать, что любая область с кусочно гладкой границей
попадает в описанный класс областей, но мы не будем этого делать,
поскольку позже (гл. XV) будет описан полезный технический прием,
который позволяет избежать подобных геометрических затруднений,
заменяя их сравнительно просто решаемым аналитическим вопросом.
286
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
Рассмотрим некоторые примеры использования формулы Грина.
Пример 1. Положим в (1) Р — —Q — х. Тогда получим, что
~ydx + xdy~ 2dxdy = 2cr(Z>),
dD	D
где	— площадь области D. Используя формулу Грина, можно, та-
ким образом, получить следующие, уже встречавшиеся нам выражения
для площади области на плоскости через криволинейные интегралы по
ориентированной границе этой области:
сг(£>) = - —у dx + xdy — — Jydx~ xdy.
dD	dD	dD
В частости, отсюда следует, что работа А — f Р dV, которую тепло-
7
вая машина совершает при изменении состояния ее рабочего вещества
по замкнутому циклу 7, равна площади той области плоскости Р, V
состояний, которая ограничена кривой 7 (см. задачу 5 § 1).
Пример 2. Пусть В = {(х,у) ЕЁ2 | х2 + у2 1} —замкнутый
круг на плоскости. Покажем, что любое гладкое отображение f: В —> В
замкнутого круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную
точку (т. е. такую точку р G В, что /(р) = р).
◄ Предположим, что неподвижных точек у отображения / нет. То-
гда для любой точки р 6 В однозначно определены луч с вершиной f(p),
проходящий через точку р, и точка <р(р) 6 дВ пересечения этого лу-
ча с ограничивающей круг В окружностью. Таким образом, возникло
бы отображение ср: В —> дВ, которое, как легко видеть, тождествен-
но на границе дВ круга, а в целом той же гладкости, что и исходное
отображение /. Покажем, что такого отображения ср не существует.
В области R2 \ 0 (плоскость с выброшенным началом координат)
рассмотрим уже встречавшуюся нам в § 1 форму	. Не-
I
посредственно проверяется, что dev = 0. Поскольку дВ 6 R2 \ 0, то при
наличии отображения ср: В —> дВ можно было бы получить форму ср*си
на В, причем d<p*(v = <p*dev = <р*0 — 0. Значит, по формуле Грина
ср*си = у* d<p*cu — 0.
dB в
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
287
Но ограничение <р на дВ есть тождественное отображение, поэтому
си.
дВ
дВ
Последний же интеграл, как было проверено в примере 1 § 1, отличен
от нуля. Полученное противоречие завершает доказательство сформу-
лированного утверждения. ►
Это утверждение справедливо, конечно, и для шара В любой размер-
ности (см. пример 5). Оно справедливо также не только для гладких,
но и для любых непрерывных отображений /: В —> В. В этом общем
виде оно называется теоремой Брауэра^ о неподвижной точке.
2.	Формула Гаусса-Остроградского. Подобно тому, как фор-
мула Грина связывает интеграл по границе плоской области с соот-
ветствующим интегралом по самой области, приводимая ниже форму-
ла Гаусса-Остроградского связывает интеграл по границе простран-
ственной области с интегралом по самой области.
Утверждение 2. Пусть R3 пространство с фиксированной в
нем системой координат х, у, г; D —компактная область в R3, огра-
ниченная кусочно гладкими поверхностями; Р, Q, R — функции, глад-
кие в замкнутой области D.
Тогда имеет место соотношение
ЖдР 8Q ЙВ\
-ai+^+^)dxd’)dz =
D
= fj P dy f\dz + Q dz /\dx + Rdx A dy.
dD
(6)
Вывод формулы (6) Гаусса - Остроградского можно провести, шаг
за шагом повторив с очевидными изменениями вывод формулы Грина.
Чтобы это повторение не было дословным, рассмотрим сразу не ку-
бик в R3, а область Dz, изображенную на рис. 89, которая ограничена
Л. Э. Я. Брауэр (1881 -1966) — известный голландский математик. С его именем
связан ряд принципиальных теорем топологии, а также анализ оснований матема-
тики, приведший к философско-математическим концепциям, называемым интуици-
онизмом.
288
ГЛ XIII криволинейные и поверхностные интегралы
Рис. 89
боковой цилиндрической поверхностью S с образующей, параллельной
оси Ог, и двумя шапочками Si, S2— графиками кусочно гладких фун-
кций (^1, определенных в одной и той же области G С Прове-
рим, что для области Dz, выполнено соотношение
//[	dxdydz = // Rdx л
Dz	0Dz
(7)
<Р2(.Х,у)
[[[OR, А А	(( А А	( dR А
II ~д~ dxdy dz = II dx dy I dz =
Dz	G	¥4 Cm)
= Ij (П(х,у,<р2(х,уУ) -	?/, ¥?i(xc, ?/))) dxdy =
G
= ~fj R(x,y,y>\(x,y))dxdy + J J R(x,y, tp2(x,y)) dxdy.
Поверхности Si, S2 имеют соответственно следующее параметриче-
ское представление:
S1- (х,у) I—> (x,y,<pi(x,y)),
S2 - (х,у) ।—> (х,у,<р2(х,уУ).
§3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
289
Криволинейные координаты (z,y) на Si задают ориентацию, про-
тивоположную той, которая индуцируется ориентацией области DZy а
на 6*2—-такую же, как и та, которая индуцируется ориентацией Dz.
Значит, если Si и S^ считать частями ориентированной указанным в
утверждении 2 образом границы области Dz, то последние два инте-
грала (с учетом их знаков) можно интерпретировать соответственно
как интегралы по Si и S? от формы Rdx A dy.
Цилиндрическая поверхность S имеет параметрическое представле-
ние вида (t,z)	(z(£), y(t), z), поэтому ограничение формы Rdx A dy
на S равно нулю, как, следовательно, и интеграл от этой формы по S.
Таким образом, для области Dz соотношение (7) действительно име-
ет место. ►
Если ориентированную область D можно разрезать на конечное чи-
сло областей типа области DZ1 то, поскольку на поверхности, по кото-
рым примыкают друг к другу две такие области, индуцируются про-
тивоположные ориентации, при сложении интегралов по границам про-
изойдут взаимные уничтожения, в результате которых останется лишь
интеграл по ориентированной границе dD исходной области D.
Следовательно, формула (7) верна и для областей, допускающих
указанное разбиение на области типа области Dz.
Аналогично можно ввести области Dy и Dx. цилиндрические по-
верхности которых имеют образующие, параллельные осям Оу и Ох
соответственно, и показать, что если некоторую область D можно раз-
резать на области вида Dy или Dv. то для D соответственно имеют
место соотношения
JJJ dxdydz = Qdz A dx,
D	dD
JJJ dxdydz =	Р dy A dz.
D	dD
(8)
(9)
Итак, если D — простая область, т.е. область, допускающая ка-
ждое из трех указанных выше разбиений на области типа Dx, Dy, Dz,
то, складывая равенства (7), (8), (9), получаем для D равенство (6).
В силу уже указанных при выводе формулы Грина причин, мы не
будем сейчас заниматься описанием условий простоты области и даль-
нейшим уточнением доказанного (см. по этому поводу задачу 8 или
пример 12 к § 5 гл. XVII).
290
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
Отметим, однако, что на языке форм в бескоординатном виде фор-
мулу Гаусса-Остроградского можно записать следующим образом:
dw = си,	(6')
D dD
где ш—-гладкая 2-форма в области D.
Поскольку для кубика I = I3 = {(ж, у, г) Е К3 |0^ж^1,0^у^
1,0 z 1} формула (6х), как было показано, верна, то ее распро-
странение на более общие классы областей, конечно, можно провести с
помощью стандартных выкладок (4) и (5).
Пример 3. Закон Архимеда. Вычислим результирующую силу да-
вления однородной жидкости на погруженное в нее тело D. Декартовы
координаты ж, у, z в R3 выберем так, чтобы плоскость ж, у совпада-
ла с поверхностью жидкости, а ось z направим в сторону выхода из
жидкости. На элемент cfcr площади поверхности S тела D, находящейся
на глубине г, действует сила давления pgznda, где р—плотность жид-
кости, g — ускорение силы тяжести, а п — единичная внешняя нормаль
к поверхности S в соответствующей элементу с?сг точке поверхности.
Значит, искомая результирующая сила выражается интегралом
F = Jf ^Zn <^<7'
S
Если п = excosax + еуcos ау + ez cos aZl то п da = exdy A dz +
+ еу dz Л dx + ez dx A dy (cm. § 2, n. 4). Используя формулу (6) Гаусса-
Остроградского, находим, таким образом, что
IJ zay Л az + eypg J J zaz l\ax-\- expg J J zax A ay —
s	s	s
= exP9 Jj'j' Odxdydz + eypg JJJ Qdxdydz +
D	D
+ ezpg JJJ dxdydz = pgVez,
D
где V — объем тела 7?, а значит, P = pgV- вес жидкости в объеме,
занимаемом телом. Мы приптли к закону Архимеда: F = Pez.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
291
Пример 4. Используя формулу (6) Гаусса-Остроградского, мож-
но дать следующие формулы для объема V(D) тела D, ограниченного
поверхностью 3D:
V(C) = 1 //
dD
xdy i\dz + у dz Adx + zdx /\dy =
dD
dD
dD
3.	Формула Стокса в К3
Утверждение 3. Пусть S — ориентированная кусочно гладкая
компактная двумерная поверхность с краем 3S, лежащая в области
G С К3, в которой задана гладкая 1-форма со — Р dx + Qdy 4- Rdz.
Тогда имеет место соотношение
(10)
где ориентация края 3S берется согласованной с ориентацией поверх-
ности S.
В иной записи это означает, что
Jdco = Jco.	(IO7)
S dS
Ч Если С — стандартная параметризованная поверхность ср: I —> С
в R3, где / — квадрат в R2, то для С соотношение (10) вытекает из
равенств (4), с учетом доказанной для квадрата и используемой в них
формулы Грина.
Если ориентируемую поверхность S можно разрезать на простей-
шие поверхности указанного вида, то для такой поверхности соотно-
шение (10) тоже справедливо, что следует из равенств (5) с заменой в
них D на S. ►
Как и в предыдущих случаях, мы не доказываем здесь, что, напри-
мер, кусочно гладкая поверхность допускает указанное разбиение.
292
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
Покажем, как выглядело бы приведенное до-
казательство формулы (10) в координатной за-
писи. Чтобы избежать уж слишком громоздких
выражений, мы распишем только первую и основ-
ную из двух его фраз, да и то с некоторыми упро-
щениями. А именно, введем обозначения z1, ж2, ж3
для координат точки х Е R3 и проверим только,
что
S
dx2 A dx1 +
эр
дх^
dx3 Л dx1,
поскольку остальные два слагаемых левой части	и ' и'
формулы (10) можно исследовать аналогично. Будем для простоты счи-
тать, что S получается при гладком отображении х = x(t) области 7?,
лежащей в плоскости R2 переменных f1, t2 и ограниченной одной глад-
кой кривой 7 — dD, параметризованной с помощью отображения t —
= £(т) точками отрезка о т (3 (рис. 90). Тогда край Г = dS поверх-
ности S можно записать в виде х = z(i(r)), где т пробегает отрезок
[о, (3]. Используя определение интеграла по кривой, формулу Грина для
плоской области D и определение интеграла по параметризованной по-
верхности, последовательно находим
-//р
D г-i
дР дхг дх1
дхг dt1 дР
дР дх1 дх1 \
дхг дР дР )
dt1 Л dt2 =
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
293
Г Г Z дР дх2 дР дх3\ дх1
J J dt1 "I” дх3 dt1 ) dt2
D
дР дх3\ дх1
дх3 dt2 ) dt1
Двоеточием здесь обозначены равенства по определению, а воскли-
цательным знаком —переход, использующий уже доказанную формулу
Грина. Остальное —тождественные преобразования.
Используя основную идею доказательства формулы (ПУ), мы, таким
образом, непосредственно проверили (не ссылаясь на то, что <p*d =
= dip*, но фактически доказав это в рассматриваемом случае), что
формула (10) для простой параметризованной поверхности действи-
тельно имеет место. Формально мы провели рассуждение только для
члена Pdx, но ясно, что это можно сделать и для двух оставшихся
слагаемых 1-формы, стоящей под знаком интеграла в левой части ра-
венства (10).
4.	Общая формула Стокса. При всем внешнем различии формул
(1), (6), (10) их бескоординатная запись (1"), (5), (6'), (10') оказывается
просто идентичной. Это дает основание считать, что мы имели дело
с частными проявлениями некоторого общего закона, который теперь
легко угадать.
Утверждение 4. Пусть S — ориентированная кусочно гладкая
к-мерная компактная поверхность с краем dS, лежащая в области
GcRn, в которой задана гладкая (к — 1)-форма
Тогда имеет место соотношение
(И)
294
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
в котором ориентация края dS берется согласованной с ориентацией
поверхности S.
◄ Формула (11), очевидно, доказывается теми же общими выклад-
ками (4), (5), что и формула Стокса (107), если только она справедлива
для стандартного ^-мерного промежутка Ik = {х = (ж1,... , ж^) G |
О С хг 1, i = 1,..., к}. Проверим, что для Ik формула (11) действи-
тельно имеет место.
Поскольку на Ik {к — 1)-форма имеет вид со — аг(х) dx1 А ... А
A dx1 A... A dxk (суммирование по i = 1,...,& с пропуском диффе-
ренциала с?жг), то (11) достаточно доказать для каждого слагаемого
в отдельности. Пусть со = а(х) dx1 А ... A dx1 А... A dxk. Тогда dco ~
= (—1)г-1 -^(x)dx1 А ... A dx1 А ... A dxk. Теперь проведем выкладку:
dco = (—1)г 1-^(x)dx1 А ... A dxk =
/к	/к
1
= (—1)г-1 У dx1... dx1 ... dxk f ^^(x)dxz =
jfc-i	о
= (-1)г-1 У (а(ж1,...,жг-1,1,жг+1,...,жА:) -
jk — 1
/к-1
/к-1
Здесь Ik 1 такой же, только (к — 1)-мерный промежуток в \
как и Ik в кроме того, мы здесь переобозначили переменные х1 =
_ /1	„г—1 — /г-1 ~г+1 _ /г	„к _ ±к—1
- L 2 * * * } *4/	If } w	Ь	<А7   If	*
Отображения
I*-1 э	,t*-1)	(i1,...,tl-\ 1,/г,  • •,^-1) е
I*-1 at = (41,...,?-1)	&lk
§3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
295
суть параметризации соответственно верхней I\i и нижней Гго гра-
ней промежутка Ik, ортогональных оси Охг. Эти координаты на обеих
гранях задают один и тот же ориентирующий грань репер ei,..., ег_1,
ег+1,...,е^, отличающийся от репера ei,...,e^, пространства от-
сутствием вектора ег. Вектор ег на грани I\i является внешней по отно-
шению к Ik нормалью, как и вектор — ег для грани 1\о. Репер ег, ei,...,
ег-1, ег+1,..., с*, переходит в репер ei,..., е^, пространства после
i — 1 перестановки соседних векторов, т. е. совпадение или несовпаде-
ние ориентации этих реперов определяется знаком числа (—1)г-1. Таким
образом, указанная параметризация задает на Гг1 ориентацию, которая
превращается в ориентацию I\i, согласованную с ориентацией если
ее взять с поправочным коэффициентом (—1)г-1 (т.е. не менять при
нечетном i и менять при четном г).
Аналогичные рассуждения показывают, что для грани I\q придется
взять поправочный коэффициент (—1)г к ориентации, заданной предъ-
явленной параметризацией грани Гго.
Итак, последние два интеграла (вместе со стоящими при них коэф-
фициентами) можно интерпретировать соответственно как интегралы
от формы и по граням I\i и I\q промежутка взятым с ориентацией,
индуцированной на них ориентацией промежутка Ik.
Теперь заметим, что на каждой из оставшихся граней промежут-
ка Ik постоянна одна из координат , • • • , X , X , • * • , X k. Значит,
соответствующий ей дифференциал тождественно равен нулю на та-
кой грани. Таким образом, форма div тождественно нулевая и интеграл
от нее равен нулю по всем граням, отличным от Гго, Ггр
Значит, найденную выше сумму интегралов по этим двум граням
можно интерпретировать как интеграл от формы взятый по всему
краю dlk промежутка Ik, ориентированному согласованно с ориента-
цией самого промежутка Ik.
Формула
h-h
Ik	Qlk
а вместе с ней и формула (11) доказаны. ►
Как видно, формула (11) является следствием формулы Ньютона-
Лейбница, теоремы о сведении кратного интеграла к повторному и се-
рии определений таких понятий, как поверхность, край поверхности,
296
ГЛ. XIII. криволинейные и поверхностные интегралы
ориентация, дифференциальная форма, ее дифференцирование и пере-
нос.
Формулы (1), (6), (10) Грина, Гаусса - Остроградского и Стокса
являются частными случаями общей формулы (11). Более того, если за-
данную на отрезке [а, 6] С R функцию f интерпретировать как 0-фор-
му а интегралом по ориентированной точке от 0-формы считать
значение функции в этой точке, взятое со знаком ориентации точки,
то саму формулу Ньютона - Лейбница тоже можно рассматривать как
простейший (но независимый) вариант формулы (11). Следовательно,
фундаментальное соотношение (11) справедливо во всех размерностях
к 1.
Формулу (11) обычно называют общей формулой Стокса. В каче-
стве исторической справки процитируем здесь несколько строк из пре-
дисловия М. Спивака к его книге, упомянутой в списке литературы.
«Впервые формулировка теоремы1) появилась в виде приписки к
письму сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвина) к Стоксу, датированно-
му 2 июля 1850 г. Опубликована она была в качестве восьмого вопроса
к экзаменам на смитовскую премию 1854 г. Этот конкурсный экзамен,
которому ежегодно подвергались лучшие студенты-математики Кем-
бриджского университета, с 1849 по 1882 г. проводился профессором
Стоксом. Ко времени его смерти результат был повсеместно известен
как теорема Стокса. Современниками Стокса были даны по крайней
мере три доказательства: одно опубликовал Томсон, другое было изло-
жено в «Трактате о натуральной философии» Томсона и Тейта и третье
предложил Максвелл в «Электричестве и магнетизме». С тех пор именем
Стокса были названы значительно более общие результаты, сыгравшие
столь заметную роль в развитии некоторых разделов математики, что
теорема Стокса вполне может дать материал для размышлений о цен-
ности обобщений».
Отметим, что современный язык форм восходит к Эли Картану2),
а вид (11) общей формулы Стокса для поверхностей в Rn, по-видимому,
впервые предложил Пуанкаре. Для областей n-мерного пространст-
ва Rn формулу знал уже Остроградский, а первые дифференциальные
формы написал Лейбниц.
Таким образом, общую формулу Стокса (11) не случайно порой
^Имеется в виду классическая формула Стокса (10)
2^Эли Картам (1869-1951) — выдающийся французский геометр.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
297
называют формулой Ньютона-Лейбница-Грина-Гаусса-Остроград-
ского-Стокса-Пуанкаре. Из сказанного можно заключить, что это
еще далеко не полное ее название.
Используем эту формулу, чтобы обобщить результат, полученный
в примере 2.
Пример 5. Покажем, что любое гладкое отображение /: В -> В
замкнутого шара В С в себя имеет по крайней мере одну непо-
движную точку.
◄ Если бы отображение f не имело неподвижных точек, то, как и в
примере 2, можно было бы построить гладкое отображение 99: В —> ЭВ,
тождественное на сфере дВ. В области \ 0 рассмотрим векторное
поле где г — радиус-вектор точки х = (я1,,
отвечающую этому полю форму потока
. ,жт) G \ 0, и
г \	(—1)г dx1 Л ... Л dx1 Л ... Л dxm
\г\т,П/	((ж1)2_ь.. + (жт)2р/2
(см. формулу (8) из §2). Поток такого поля через границу шара В —
= {х е R | |ж| = 1} в сторону внешней нормали к сфере ЭВ, очевидно,
равен площади сферы ЭВ, т.е. f a) 0. Но, как легко проверить прямой
дв
выкладкой, div — 0 в Rm \ 0, откуда с использованием общей формулы
Стокса, как и в примере 2, следует, что
j* <р*ы = у* dip* iv = у* <p*dw — У 99*0 = 0.
дВ дВ	В	В	В
Полученное противоречие завершает доказательство. ►
Задачи и упражнения
1.	а) Изменится ли формула (1) Грина, если перейти от системы коорди-
нат X, у к системе координат у, х?
Ь) Изменится ли при этом формула (1/х)?
2.	а) Докажите, что формула (1) остается в силе, если функции В, Q не-
прерывны в замкнутом квадрате /, их частные производные	непре-
рывны во внутренних точках квадрата I, а двойной интеграл из формулы (Iх)
существует хотя бы как несобственный.
298
ГЛ. хш. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
Ь) Проверьте, что если граница компактной области D состоит из кусочно
гладких кривых, то в аналогичных указанным в а) предположениях форму-
ла (1) остается в силе.
3.	а) Проведите подробно доказательство равенства (2').
Ь)	Покажите, что если граница компактной области D С состоит из
конечного числа гладких кривых, имеющих лишь конечное число точек пе-
региба, то D — простая область по отношению к любой паре координатных
осей.
с)	Верно ли, что если граница плоской области состоит из гладких кривых,
то в можно так выбрать оси координат, что по отношению к ним она
окажется простой областью?
4.	а) Покажите, что если функции F, Q в формуле Грина таковы, что
^2 _	= 1, то площадь cr(D) области D можно находить по формуле сг(7?) —
dD
Ь) Выясните геометрический смысл интеграла f у dx, взятого по некото-
рой (быть может, и незамкнутой) кривой на плоскости с декартовыми коор-
динатами х, у. Исходя из этого, вновь истолкуйте формулу &(Р) = — / ydx.
9D
формулы найдите с ее помощью пло-
с) В качестве проверки последней
щадь области
ж2 у2
а2 + Ь2
5.	а) Пусть х = x(t) диффеоморфизм области Dt С на область Dx С
сС . Используя результаты задачи 4, а также независимость криволинейного
интеграла от допустимого изменения параметризации пути, докажите, что
|а/(£)| dt,
где dx = dx1 dx2, dt — dt1 dt2, |z'(£)| — det a:'(2).
b) Выведите из а) формулу
У f(x) dx — У /(x(J))|det x'(t)\dt
Dx	Df
замены переменных в двойном интеграле.
6.	Пусть f(x,y,t) — гладкая функция, удовлетворяющая в области опреде-
ления условию ^^0 + (^0 / 0- Тогда при каждом фиксированном значе-
нии параметра t уравнение f(x, y,t) — 0 задает кривую 7* в плоскости Ш?. Так
на плоскости возникает семейство {'у*} кривых, зависящих от параметра t.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
299
Гладкая кривая Гс^2, задаваемая параметрическими уравнениями х = я(£),
У — 3/(^)> называется огибающей семейства кривых {7*}, если при любом зна-
чении £0 из совместной области определения {7*} и функций x(t)^ y(t), точка
x(£o)j У (to) лежит на соответствующей кривой 7*0 и кривые Г и 7*0 касаются
в этой точке.
а)	Считая, что ж, у — декартовы координаты на плоскости, покажите, что
задающие огибающую функции x(t), y(t) должны удовлетворять системе урав-
нений
( f(x,y,t) = 0,
t =0,
а сама огибающая с геометрической точки зрения есть граница проекции (те-
ни) поверхности /(ж, у, t) — 0 пространства у на плоскость .
Ь)	В плоскости с декартовыми координатами ж, у дано семейство прямых
х cos а + у sin а — р(а) = 0. Роль параметра здесь играет полярный угол а.
Укажите геометрический смысл величины р(а) и найдите огибающую этого
семейства, если р(а) = с 4- о cos a -h b sin а, о, 6, с — постоянные.
с)	Опишите зону досягаемости снаряда, который может быть выпущен из
зенитного орудия под любым углом € [0, тг/2] к горизонту.
d)	Покажите, что если функция р(а) из Ь) 2тг-периодическая, то соответ-
ствующая огибающая Г является замкнутой кривой.
е)	Используя задачу 4, покажите, что длина L полученной в d) замкнутой
кривой Г может быть найдена по формуле
2тг
L ~ р(а) da.
о
(Считайте, что р € С^).
f)	Покажите также, что площадь а области, ограниченной полученной в d)
замкнутой кривой Г, может быть вычислена по формуле
2тг
о- = | [(р2 - р2)(«) da,	р(а) =
2 J	аа
о
7.	Рассмотрим интеграл J* cos(^n) в котором 7 — гладкая кривая в Ж2,
7
г — радиус-вектор точки (ж,у) € 7, г = |г| = у/х2 + у2, п — единичный нор-
мальный вектор к 7 в точке (х,у), меняющийся непрерывно вдоль 7, ds —
элемент длины кривой. Этот интеграл называется интегралом Гаусса.
а)	Запишите интеграл Гаусса как поток f(V, п) ds плоского векторного
7
поля V через кривую 7.
300
ГЛ. XIII. криволинейные и поверхностные интегралы
Ь)	Покажите, что в декартовых координатах ж, у интеграл Гаусса имеет
знакомый нам по примеру 1 § 1 вид ± f +	, r^e вы^Ор знака определя-
7 яг 4* JT
ется выбором поля нормалей п.
с)	Вычислите интеграл Гаусса для замкнутой кривой 7, один раз обходя-
щей начало координат, и для кривой 7, ограничивающей область, которая не
содержит начала координат.
d)	Покажите, что cos^’ n) cis — dp, где р — полярный угол радиус-векто-
ра г, и укажите геометрический смысл значения интеграла Гаусса для за-
мкнутой и для произвольной кривой 7 С .
8.	При выводе формулы Гаусса-Остроградского мы считали, что D —
простая область, а функции Р, Q, R принадлежат классу C^(D, К). По-
кажите, усовершенствовав рассуждения, что формула (6) верна, если D —
компактная область с кусочно гладкой границей; P,Q,R € C(D, К);
€ C(D, К); а тройной интеграл сходится хотя бы как несобственный.
9.	а) Если функции Р, Q, R в формуле (6) такие, что 4-	— 1,
то объем V (D) области D можно найти по формуле
V(	P) = УУ Р dy Л dz + Q dz Л dx 4- Rdx Л dy.
dD
b)	Пусть f(x, t) —гладкая функция переменных x € Dx C IRJ, t € Dt C KJ1,
причем ~	0. Напишите систему уравнений, которой
должна удовлетворять (п — 1)-мерная поверхность в являющаяся огиба-
ющей семейства поверхностей {S^}, задаваемых условиями f(x,t) — 0, t € Dt
(см. задачу 6).
с)	Выбирая в качестве параметра t точку на единичной сфере, укажите
такое семейство плоскостей в IR3, зависящих от параметра t, огибающей ко-
торого был бы эллипсоид —к +	4-	~ 1.
ar	cz
d)	Покажите, что если замкнутая поверхность S является огибающей се-
мейства плоскостей
cosaii(£)a: 4- cosotzifyy 4- соэа!з(£)г — p(t) = 0,
где Qi, 02) 03—углы, которые нормаль к плоскости образует с осями коор-
динат, а параметром t является переменная точка единичной сферы S'2 С IR3,
то площадь сг поверхности S можно найти по формуле а — f p(t) da.
s2
e)	Покажите, что объем тела, ограниченного рассмотренной в d) поверх-
ностью S, можно найти по формуле V — J* p(t) da.
s
§3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
301
f)	Опробуйте указанную в е) формулу, отыскав по ней объем эллипсоида
д.2	^2	‘2
+ + С 1-
а2	1г	с2
g)	Как выглядит n-мерный аналог формул, указанных в d) и е)?
10.	а) Используя формулу Гаусса-Остроградского, проверьте, что поток
поля т/т3 (где т — радиус-вектор точки х € Н&3, а г — |г|) через гладкую,
гомеоморфную сфере поверхность 5, охватывающую начало координат, равен
потоку этого же поля через поверхность сколь угодно малой сферы |z| — е.
Ь)	Покажите, что указанный в а) поток равен 4тг.
с)	Проинтерпретируйте интеграл Гаусса J* — ds в как поток поля
s
г/г3 через поверхность S.
d)	Вычислите интеграл Гаусса по границе компактной области D С R3,
рассмотрев как случай, когда D содержит внутри себя начало координат, так
и случай, когда начало координат лежит вне области D.
е)	Сопоставляя задачи 7 и 10 a) -d), укажите n-мерный вариант интеграла
Гаусса и соответствующего векторного поля. Дайте n-мерную формулировку
задач а) - d) и проверьте ее.
11.	а) Покажите, что замкнутая жесткая поверхность S С IR3 остается в
равновесии при действии равномерно по ней распределенного давления. (На
основании принципов статики задача сводится к проверке равенств JJ nda =
s
= 0,	da = 0, где п вектор единичной нормали, г — радиус-вектор,
s
[г,п] —векторное произведение г и п.)
Ь) Твердое тело объема V полностью погружено в жидкость, имеющую
удельный вес 1. Покажите, что полный статический эффект давления жидко-
сти на тело сводится к одной силе F величины V, направленной вертикально
вверх и приложенной к центру массы С объемной области, занимаемой телом.
12.	Пусть Г: 1к D гладкое (не обязательно гомеоморфное) отобра-
жение промежутка Ik С К* в область D пространства Ж1, в которой опре-
делена й-форма По аналогии с одномерным случаем отображение Г будем
называть к-путем и положим по определению f со = f Г*а>. Просмотрите до-
Г /к
казательство общей формулы Стокса и убедитесь, что она верна не только
для ^-мерных поверхностей, но и для й-путей.
13.	Используя общую формулу Стокса, докажите по индукции формулу
замены переменных в кратном интеграле (принцип доказательства указан в
задаче 5а)).
14.	Интегрирование по частям в кратном интеграле.
Пусть D — ограниченная область в с регулярной (гладкой или кусочно
гладкой) границей dD, ориентированной внешней единичной нормалью п —
= (п1,..., пт).
Пусть /, д— гладкие функции в D.
302
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ и поверхностные интегралы
а) Покажите, что
dcr.
D
9D
b) Докажите следующую формулу интегрирования по частям:
dv.
ГЛАВА XIV
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
И ТЕОРИИ ПОЛЯ
§1. Дифференциальные операции векторного анализа
1.	Скалярные и векторные поля. В теории поля рассматрива-
ются функции х Т(ж), которые каждой точке х фиксированной обла-
сти D сопоставляют некоторый специальный объект Т(ж), называемый
тензором. Если в области D задана такая функция, то говорят, что
в D задано тензорное поле. Мы не намерены здесь давать определе-
ние тензора — оно будет рассмотрено в алгебре и дифференциальной
геометрии. Скажем только, что числовые функции D Э х f(x) 6 К,
а также вектор-функции Rn D D Э х ьч V{x) е	являют-
ся частными случаями тензорных полей и называются соответственно
скалярным и векторным полем в области D (эту терминологию мы
употребляли и раньше).
Дифференциальная р-форма о; в D есть функция Rn D D Э х ьч
ьч ы(х) е £((Rn)р, R), которую можно назвать полем форм степени р в
области D, Это тоже частный случай тензорного поля.
Здесь мы прежде всего будем интересоваться скалярными и вектор-
ными полями в областях ориентированного евклидова пространства IF.
Эти поля играют первостепенную роль во многих естественнонаучных
приложениях анализа.
2.	Векторные поля и формы в R3. Напомним, что в евклидовом
векторном пространстве R3 со скалярным произведением ( , ) между
линейными функциями A: R3 ч R и векторами А Е К3 имеется со-
304
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ответствие, состоящее в том, что каждая такая функция имеет вид
А(£) = (А, £), где А — вполне определенный вектор из R3.
Если пространство еще и ориентировано, то каждая билинейная
функция В : R3 xR3 —> R однозначно записывается в виде £(£1,^2) —
— (В, ^1,^2)? где В — некоторый, вполне определенный вектор из R3,
а (В, ^1,^2), как всегда, — смешанное произведение векторов В, £1, £2
или, что то же самое, значение формы объема на этих векторах.
Таким образом, в ориентированном евклидовом векторном прост-
ранстве R3 с каждым его вектором можно указанным способом связать
линейную или билинейную форму, а задание линейной или билинейной
формы равносильно заданию соответствующего вектора в R3.
Если в R3 имеется скалярное произведение, то оно естественным
образом возникает и в любом касательном пространстве TR^, состоя-
щем из векторов, приложенных к точке х 6 R3, а ориентация R3 ори-
ентирует каждое пространство TR^.
Значит, если в TR^ задать 1-форму или 2-форму td2(rr), то
при перечисленных условиях это равносильно заданию в TR^ некото-
рого вектора А(х) 6 TR^, соответствующего форме си1 (ж), или вектора
В(х) 6 TR^, отвечающего форме td2(a;).
Следовательно, задание в некоторой области D ориентированного
евклидова пространства R3 1-формы о;1 или 2-формы td2 равносильно
заданию в D соответствующего форме векторного поля А или В.
В явном виде это соответствие состоит в том, что
,	(1)
4(’)(Ь.6) = (BW.e1.f2),	(Ч
где А(ж), В(ж), <, <1, <2 е TDX.
Мы видим уже	знакомые нам форму работы и1	=	векторного
поля А и форму потока td2 = векторного поля В.
Скалярному полю /: D —> R можно следующим образом сопоста-
вить 0-форму и 3-форму в D:
= !,	(3)
= f dV,	(4)
где dV — элемент объема (форма объема) в ориентированном евклидо-
вом пространстве R3.
§1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 305
Ввиду соответствий (1)-(4) операциям над формами отвечают оп-
ределенные операции над векторными и скалярными полями. Это на-
блюдение, как мы вскоре убедимся, технически очень полезно.
Утверждение 1. Линейной комбинации форм одинаковой степе-
ни отвечает линейная комбинация соответствующих им векторных
или скалярных полей.
◄ Утверждение 1, конечно, очевидно. Приведем, однако, например,
для 1-форм полную запись доказательства:
C^l^Ai +	~~	(^1, ' ) + а2 (^4-2? ’ ) —
+ <^2^4.2) ’ )	A1+Q2^2 ’ ►
Из доказательства видно, что «1 и можно считать функциями
(не обязательно постоянными) в области D задания форм и полей.
Для сокращения записи условимся, наряду с уже используемыми
символами (,),[,], скалярное и векторное произведения векторов А
и В в R3, когда это будет удобно, обозначать соответственно через
А • В и А х В.
Утверждение 2. Если А, В, Ai, А% —векторные поля в евкли-
довом ориентированном пространстве R3, то
. ,1 д , .1	_ , ,2
(ДД1 Л (х^2 ^AixA2’
^А Л = ^АВ*
(5)
(6)
Иными словами, внешнему произведению 1-форм, порожденных по-
лями Al, А2, отвечает векторное произведение Ai х А2 этих полей,
поскольку именно оно порождает получаемую в результате 2-форму.
В этом же смысле внешнему произведению 1-формы и 2-фор-
мы порожденных векторными полями А и В соответственно, от-
вечает скалярное произведение А • В этих полей.
◄ Для доказательства фиксируем в R3 ортонормированный базис и
1	9 Ч
отвечающую ему декартову систему координат х , х , х .
В декартовых координатах
з	з
<4(*)(£) = А(х) • е = £ А\х)? = £ A\x)dx\(X
г=1	г=1
306
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
т. е.
ид = A1 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3
В\х) В2(х) В3(х)

= В1 (ж) dx2 A dx3 + В2(х) dx3 A dx1 + В3(х) dx1 А с^2)(£1, £2)
т. е.
ш2в = В1 dx2 A dx3 + В2 dx3 A dx1 + В3 dx1 A dx2.
(7)
(8)
Поэтому в декартовых координатах, с учетом выражений (7) и (8),
получаем
А сс/д2 = (Aj dx1 + A2 dx2 + A3 dx3) A (А2 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3) —
= (А2А3 - А3А^) dx2 A dx3 + (А3А^ - А^А3) dx3 A dx1 +
+ (А| А2 — А2А2) dx1 A dx2 = шв,
где В — Ai х А2.
Координаты были использованы при доказательстве лишь для того,
чтобы проще было найти вектор В соответствующей 2-формы. Само
же равенство (5) от координат, разумеется, не зависит.
Аналогично, перемножив равенства (7) и (8), получим
А — (A3B3 + А2В2 + А3В3) dx1 A dx2 A dx3 = ш3.
В декартовых координатах dx1 /\dx2/\dx3 есть форма объема в R3, а
стоящая в скобке перед формой объема сумма попарных произведений
координат векторов А и В есть скалярное произведение этих векто-
ров в соответствующих точках области, откуда следует, что р(х) =
= А(х) • В(х). ►
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 307
3.	Дифференциальные операторы grad, rot, div и V
Определение 1. Внешнему дифференцированию 0-форм (функ-
ций), 1-форм и 2-форм в ориентированном евклидовом пространстве R3
отвечают соответственно операции нахождения градиента (grad) ска-
лярного поля, ротора (rot) и дивергенции (div) векторного поля, опре-
деленные соотношениями
d^ а • ^rot A ?
: ^divB*
(9)
(Ю)
(И)
В силу установленного равенствами (1)-(4) соответствия между
формами, скалярными и векторными полями в Ж3, соотношения (9)-
(11) являются корректным определением операций grad, rot и div, вы-
полняемых соответственно над скалярным полем и векторными полями.
Эти операции, или, как говорят, операторы теории поля, отвечают од-
ной операции внешнего дифференцирования форм, только применяемой
к формам различной степени.
Укажем сразу же явный вид этих операторов в декартовых коорди-
натах ж1, ж2, ж3 пространства IR3.
Как мы выяснили, в этом случае
= /,	(3')
~	(7')
ajg ~ В1 dx2 A dx3 + В2 dx3 A dx1 + В3 dx1 A dx2, (8')
td3 = pdx1 A dx2 A dx3.	(4')
Поскольку
^grad/ ’ dtOj df
df J i df , 2 df , o
n-Г dx1 +	dx2 + dx3,
oxL oxz ox6
то из (7') следует, что в этих координатах
Brad/ = eiSi+e2a? + <!3fe3'	<9’’
где ei, 62, Сз—фиксированный в R3 ортонормированный базис.
11-4574
308
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Поскольку
2	____1 1
^rot А * и^А ‘
/ дА3
дА2\ 2
ttv dx А
ох6 /
I3 dx3) =
дА1 дА3\ J з J 1
-7—5- —7—г dx A dx +
охл ox1J
fdA2 dAl\ J i J 2
+ ТГ-i— -TT-x- 1 dx Adx ,
\ ox1 oxzJ
то из (8') следует, что в декартовых координатах
(дА3	дА2\ (дА1	дА3\ (дА2	дАх\
ГО — 61 \ 5ж2	дх3 J	+ 62 \ дх3	дх1J + 63 ( дх1	дх2 )	' ^
Для запоминания последнее соотношение часто записывают в сле-
дующем символическом виде:
rot А —
ei 62 е3
д д д
«Эх1 дх2 дх3
А1 А2 А3
(10")
Далее, поскольку
c^divB	~ d (В1 dx2 A dx3 + В2 dx3 A dx1 + В3 dx1 A dx2) —
f дВ1 дВ2 дВ3\ , 1 т 2	, о
=	+ тгт + I dx Adx A dx°
\ ах1 oxz ox6 J
то из (47) следует, что в декартовых координатах
divJS =
дВ1 дВ2 дВ3
дх1 "I” дх2 "I” дх3 *
(IV)
Из полученных формул (9'), (10'), (11') видно, что grad, rot и div
являются линейными дифференциальными операциями (операторами).
Оператор grad определен на дифференцируемых скалярных полях и со-
поставляет им векторные поля. Оператор rot тоже векторнозначен, но
определен на дифференцируемых векторных полях. Оператор div опре-
делен на дифференцируемых векторных полях и он ставит им в соот-
ветствие скалярные поля.
§ 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 309
Отметим, что в других координатах эти операторы будут иметь
выражения, вообще говоря, отличные от полученных выше их выраже-
ний в декартовых координатах Об этом мы еще скажем в п. 5 этого
параграфа.
Заметим еще, что векторное поле rot А обычно называют рото-
ром А, ротацией поля А или вихрем поля А. В последнем случае вместо
символа rot Л. иногда пишут символ curl А.
В качестве примера использования рассмотренных операторов при-
ведем запись через них знаменитой1) системы уравнений Максвелла2),
описывающей состояние компонент электромагнитного поля как фун-
кций точки х = (ж1, a;2, j;3) пространства и времени t.
Пример 1 (система уравнений Максвелла для электромагнитного
поля в вакууме).
2. div В = 0.
3. rot Е =
4. rot В —
j 1 дЕ
£оС2 "I” с2 dt '
(12)
Здесь p(x,t)—плотность электрического заряда (количество заря-
да, отнесенное к единице объема), j(x,t)— вектор плотности электри-
ческого тока (скорость протекания заряда через единичную площадку),
E(x,t) и B(x,t)— векторы напряженности электрического и магнит-
ного поля соответственно, £о и с — размерные постоянные (при этом
с —скорость света в вакууме).
В математической и особенно физической литературе наряду с вве-
денными операторами grad, rot, div широко используется предложен-
ный Гамильтоном символический векторный дифференциальный one-
1^По этому поводу известный американский физик и математик Р Фейнман
(1918-1988) в своих лекциях по физике (см русский перевод М , Мир, 1966, т 5,
с 27) с присущим ему темпераментом пишет «В истории человечества (если посмо-
треть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием XIX
столетия, несомненно, будет открытие Максвеллом законов электродинамики На
фоне этого важного научного открытия гражданская война в Америке в том же
десятилетии будет выглядеть мелким провинциальным происшествием»
2)Дж К Максвелл (1831 -1879)—выдающийся шотландский физик, создал мате-
матическую теорию электромагнитного поля, известен также исследованиями по
кинетической теории газов, оптике и механике
310
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ратор набла (оператор Гамильтона^}
д д д
V-ei^1 +е2дх2 +ездх3'	(13)
где {ei, в2, сз} — ортонормированный базис в R3, а ж1, ж2, х3— соот-
ветствующие ему декартовы координаты в R3.
По определению применение оператора V к скалярному полю f (т.е.
к функции) дает векторное поле
eidx1+ 2 дх2+ Здх3’
что совпадает с полем (9'), т.е. оператор набла есть попросту записан-
ный в других обозначениях оператор grad.
Используя, однако, векторную структуру записи оператора V, Га-
мильтон предложил систему формальных операций с ним, копирующую
соответствующие алгебраические операции с векторами.
Прежде чем демонстрировать эти операции, отметим, что в обраще-
нии с оператором V надо придерживаться тех же принципов и соблю-
дать те же правила предосторожности, что и в обращении с обычным
оператором дифференцирования D = X. Например, (pDf равно 99^,
UX	UX
а не	или не Значит, оператор действует на то, что ему
подставляют справа; левое умножение в данном случае играет роль ко-
эффициента, т.е. <pD есть новый дифференциальный оператор 99^7, а
не функция Далее D2 = DD, т. е. D2 f = D(Df} =	(^/) = 4?/.
Если теперь, следуя Гамильтону, обращаться с V как с заданным в
декартовых координатах векторным полем, то, сопоставляя соотноше-
ния (13), (9'), (10") и (11'), получаем
grad/ = V/,	(14)
rotA = VxA,	(15)
divB = VB.	(16)
Так через оператор Гамильтона и векторные операции в R3 записы-
ваются операторы grad, rot и div.
^У. Р. Гамильтон (1805 -1865)—знаменитый ирландский математик и механик;
сформулировал вариационный принцип (Гамильтона) и построил феноменологиче-
скую теорию оптических явлений; создатель теории кватернионов и родоначальник
векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин «вектор»).
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 311
Пример 2. В записи (12) системы уравнений Максвелла участ-
вовали только операторы rot и div. Используя описанные принципы
обращения с оператором V = grad, мы в качестве компенсации для
оператора grad перепишем систему Максвелла в следующем виде:
2. V • В = 0.

3. v х Е =
дВ
dt '
4. V х В =
j	1 ЭЕ
£ос2	с2 dt
(12')
4. Некоторые дифференциальные формулы векторного
анализа. В евклидовом ориентированном пространстве R3 мы уста-
новили связь (1) - (4) между формами, с одной стороны, и векторными
и скалярными полями — с другой. Это позволило внешнему умножению
и дифференцированию форм сопоставить соответствующие операции
над полями (см. формулы (5), (6) и (9)-(H)).
Этим соответствием можно пользоваться для получения ряда основ-
ных дифференциальных формул векторного анализа.
Например, имеют место следующие соотношения:
rot(/A) =	f rot А — Ах grad/,	(17)
div(/A) —	А • grad / + / div А,	(18)
div(A x В) =	В • rot А — А • rot В.	(19)
◄ Проверим последнее равенство:
^div АхВ — d^AxB ~ ^(^А Л ^в) “ ^А Л ^В ” ^А A dwg —
^rot А А ^В — ^А A ^rot В ^B-rot А — ^A-rot В ^B-rot A—A-rot В'
Аналогично проверяются и первые два соотношения. Разумеется,
проверку всех этих равенств можно осуществить и непосредственным
дифференцированием в координатах. ►
Если учесть, что d2u) = 0 для любой формы си, то можно также
утверждать, что справедливы равенства
rot grad / = 0,
div rot А = 0.
(20)
(21)
312
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
◄ Действительно:
^rot grad f	^grad f d(du)j)	d	0,
^divrot A	d^^rotA	d(d(V^)	d СОд	0. ►
В формулах (17)-(19) операторы grad, rot, div применяются одно-
кратно, в то время как в (20) и (21) рассматриваются операции второго
порядка, получающиеся последовательным выполнением каких-то двух
из трех исходных операций. Кроме приведенных в (20) и (21), можно
рассмотреть также следующие парные комбинации этих операторов:
grad div A, rot rot A, div grad /.	(22)
Оператор div grad применяется, как видно, к скалярному полю. Этот
оператор обозначают буквой Д («дельта») и называют оператором Ла-
пласа^ или лапласианом.
Из формул (9'), (И7) следует, что в декартовых координатах
d2f d2f	d2f
J ~ д^х1)2	д(х2у	5(ж3)2'	1 ’
Поскольку оператор Д действует на числовые функции, его можно
применять покомпонентно к координатам векторных полей А = ei А1 +
+ в2А2 + езА3, где ei, в2, е3 — ортонормированный базис в R3. В этом
случае
ДА = ei ДА1 + 62ДА2 + 63ДА3.
С учетом последнего равенства, для тройки операторов второго по-
рядка (22) можно выписать следующее соотношение:
rot rot А = grad div А — ДА,	(24)
на доказательстве которого мы не останавливаемся (см. задачу 2). Ра-
венство (24) может служить определением ДА в любой, не обязательно
ортогональной системе координат.
^П. С. Лаплас (1749-1827)—знаменитый французский астроном, математик и
физик; внес фундаментальный вклад в развитие небесной механики, математиче-
ской теории вероятностей, экспериментальной и математической физики.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 313
Используя язык векторной алгебры и формулы (14) — (16), все опе-
раторы второго порядка (20) - (22) можно записать через оператор Га-
мильтона V:
rot grad / — V х V/ — 0,
div rot А — V • (V х А) = 0,
grad div А — V (V • А),
rot rot А = V х (V х А),
div grad / = V • V/.
С точки зрения векторной алгебры обращение в нуль первых двух
из этих операторов представляется вполне естественным.
Последнее равенство означает, что между оператором Гамильто-
на V и лапласианом Д имеется простая связь:
Д = V2.
*5. Векторные операции в криволинейных координатах
а.	Подобно тому, как, например, сфера х2 + у2 + z2 — а2 имеет
особенно простое уравнение R = а в сферических координатах, век-
торные поля х нА А(х) в R3 (или Rn) часто приобретают наиболее про-
стую запись в системе координат, отличной от декартовой. Поэтому
мы хотим теперь найти явные формулы, по которым можно было бы
находить grad, rot и div в достаточно широком классе криволинейных
координат.
Но прежде надо уточнить, что понимается под координатной запи-
сью поля А в той или иной системе криволинейных координат.
Начнем с двух наводящих примеров описательного характера.
Пример 3. Пусть на евклидовой плоскости R2 фиксированы де-
картовы координаты ж1, х2. Когда мы говорим, что в R2 задано век-
торное поле (А1, А2)(а;), то мы имеем в виду, что с каждой точкой
х = (ж1, ж2) 6 R2 связан некоторый вектор А(х) 6 TIR2, который в
базисе пространства ТК2, состоящем из ортов ei(x), е^х) координат-
ных направлений, имеет разложение А(х) = A1(a:)ei(a;) + А2(х)е<2(х)
(рис. 91). В данном случае базис {ei (хг), в2(гг)} пространства ТК2, по
существу, не зависит от точки х.
Пример 4. В случае, когда в той же плоскости R2 задается по-
лярная система координат (г, 99), с каждой точкой х 6 R2 \ 0 тоже мож-
314
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
но связать орты еДх) = ег(х), б2(х) — е^х) (рис. 92) координатных
направлений. Они тоже образуют базис в по которому можно раз-
ложить связанный с точкой х вектор А(х) поля А: А(х) = A1(x)ei(x) +
+ А2(х)в2(х). Тогда упорядоченную пару функций (А1, А2)(х) естест-
венно считать записью поля А в полярной системе координат.
Так, если (Ax,A2)(x) = (1,0), то это поле единичных векторов в R2,
идущих в радиальном направлении в сторону от центра 0.
Поле (А1, А2)(ж) = (0,1) получается из предыдущего поля поворо-
том каждого его вектора против часовой стрелки на угол тг/2.
Это не постоянные поля в R2, хотя компоненты их координатного
представления постоянны. Дело все в том, что базис, по которому идет
разложение, синхронно с вектором поля меняется при переходе от точки
к точке.
Ясно, что компоненты координатного представления этих полей в
декартовых координатах вовсе не были бы постоянными. С другой сто-
роны, действительно постоянное поле (состоящее из параллельно разне-
сенного по точкам плоскости вектора), которое в декартовых коорди-
натах имеет постоянные компоненты, в полярных координатах имело
бы переменные компоненты.
Ь.	После этих наводящих соображений рассмотрим вопрос о зада-
нии векторных полей в криволинейных системах координат более фор-
мально.
Прежде всего напомним, что система криволинейных координат i1,
f2, t3 в области D С R3 —это диффеоморфизм ср: Df —> D области Dt
евклидова пространства параметров IRf на область D, в результате ко-
§ 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 315
торого каждая точка х — <p(t) 6 D приобретает декартовы координаты
<1, ^2, h соответствующей точки t G Df.
Поскольку <р— диффеоморфизм, касательное отображение ip'ft) :
TRf TR3= Ф является изоморфизмом векторных пространств. Ка-
ноническому базису $i(f) = (1,0,0),	= (0,1,0), &(*) = (0,0,1)
пространства TRj* отвечает базис пространства TR3^^ 5 состоящий
из векторов £г(х) = <^(£)&(0 =	? г = 1’2,3, координатных на-
правлений. Разложению А(х) = ai£i(&) + «2^2(я*) + ^з^з(^) любого
вектора А(х) 6 TR3 по этому базису отвечает такое же разложение
A(t) = Qi^i(i) + «2^2^) + с*з£з(0 (с теми же компонентами «2, «3!)
вектора A(t) = (<^')-1 А(х) по каноническому базису £i(£), £2(^)7 £з(^) в
TTRj. При отсутствии евклидовой структуры в R3 числа «1, «2, «з со-
ставили бы наиболее естественную координатную запись вектора А(х),
связанную с рассматриваемой системой криволинейных координат.
с.	Однако принятие такого координатного представления не вполне
соответствовало бы тому, о чем мы договорились в примере 4. Дело в
том,что базис £i(x), £2(^)7 ^з(^) пространства ТК3, соответствующий
каноническому базису £i(£), £2(^)7 £з(0 в ^Rf, хотя и состоит из век-
торов координатных направлений, вовсе не обязан состоять из ортов
этих направлений, т.е., вообще говоря, (&,&) (х) 7^ 1.
Теперь мы учтем это обстоятельство, связанное с наличием струк-
туры евклидова пространства в R3 и, следовательно, в каждом вектор-
ном пространстве ГК3.
Благодаря изоморфизму <pf (t) z -> TR3=(^ в TRf можно пе-
ренести евклидову структуру пространства TR3, положив для любой
пары векторов ri, Т2 6 TR^ (ti,T2) := (^zti, . В частности, для
квадрата длины вектора отсюда получается следующее выражение:
(т,т) =	=
=	(O’V = (.(.,(,} Wt't’ =
Квадратичная форма
ds2 = дгз (t) dt1 dt3,	(25)
коэффициенты которой суть попарные скалярные произведения векто-
ров канонического базиса, вполне определяет скалярное произведение
316
ГЛ. XIV ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
в TKf. Если такая форма задана в каждой точке некоторой области
Dt С Kf, то, как известно из геометрии, говорят, что в этой области
задана риманов а метрика. Риманова метрика позволяет, оставаясь в
прямолинейных координатах t1, /2, £3 пространства Kf, в каждом каса-
тельном пространстве ТК* (t Е Dt) ввести свою евклидову структуру,
что соответствует «кривому» вложению ср: Dt D области Dt в евкли-
дово пространство R3.
Если векторы £г(х) =	(X), г = 1,2,3, ортогональ-
ны в 7TR3, то — 0 при i j. Это значит, что мы имеем дело с
триортогоналъной сеткой координат. В терминах пространства TRf
это означает, что векторы £Д£), i = 1,2,3, канонического базиса вза-
имно ортогональны в смысле определяемого квадратичной формой (25)
скалярного произведения в TRf. Дальше мы будем рассматривать для
простоты только триортогональные системы криволинейных коорди-
нат. Для них, как было отмечено, квадратичная форма (25) имеет сле-
дующий специальный вид:
ds2 = Ei{t) (df1)2 + E2{t) {dt2)2 + E3{t) (df3)2 ,	(26)
где Et{t) = gtt{t), г = 1,2,3.
Пример 5. В декартовых (ж,?/, г), цилиндрических (г,г) и сфе-
рических (Я, 99, в) координатах евклидова пространства R3 квадратич-
ная форма (25) имеет соответственно вид
ds2 ~ dx2 + dy2 + dz2 =	(26')
= dr2 + r2 dtp2 + dz2 =	(26")
= dR2 + R2 cos2 0 dtp2 + R2 dO2.	(26"')
Таким образом, каждая из этих систем является триортогоналъной
системой координат в области своего определения.
Векторы £i(£), £2(0, £з(0 канонического базиса (1,0,0), (0,1,0),
(0,0,1) в TRf, как и отвечающие им векторы Е TR^, имеют следу-
ющую норму1); |£г| ~ у/дГг. Значит, орты (единичные в смысле скалярно-
го квадрата векторы) координатных направлений имеют для триорто-
триортогональной системе (26) |£г| ~ у/ё = Нг, г ~ 1, 2, 3. Величины Hi, Н2,
Н3 обычно называют коэффициентами или параметрами Ламе.
Г. Ламе (1795- 1870) —французский инженер, математик и физик.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 317
гональной системы (26) следующее координатное представление в T1R3:
Пример 6. Из формул (27) и результатов примера 5 вытекает,
что для декартовых, цилиндрических и сферических координат трой-
ки ортов координатных направлений имеют соответственно следующий
вид:
ех = (1,0,0),
ег = (1,0,0),
= (1,0,0),
(27')
(27")
(27"')
Разобранные выше примеры 3, 4 подразумевали, что вектор по-
ля раскладывается по базису, состоящему из ортов координатных
направлений. Значит, отвечающий вектору А(х) Е TR3 поля вектор
A(t) Е TR? следует раскладывать не по каноническому базису &(£),
£2(^)5 £3(^)5 а по базису ei(£), в2(£), ез(£), состоящему из ортов коорди-
натных направлений.
Таким образом, отвлекаясь от исходного пространства R3, можно
считать, что в области Dt С Rf задана риманова метрика (25) или (26)
и векторное поле t A(t), координатное представление (А1, А2, А3)(£)
которого в каждой точке t Е Dt получается в результате разложения
A(t) = A2(i)e2(i) соответствующего этой точке вектора А(£) поля по
ортам координатных направлений.
d.	Теперь разберемся с формами. Любая форма в D при диффео-
морфизме Dt —*> D автоматически переносится в область Df. Этот
перенос, как нам известно, происходит в каждой точке х Е D из про-
странства ГК3 в соответствующее пространство TRf. Поскольку мы
перенесли в TRf евклидову структуру из TR3, то из определения пе-
реноса векторов и форм следует, что, например, определенной в Т1Е^
форме о?^(ж) = (-А(ж), •) соответствует точно такая же форма Шд(1) —
= (A(t),-} в TR^, где А(х) — <pf(t)A(t). Это же можно сказать и о
формах вида о;3, не говоря уж о формах —функциях.
После сделанных разъяснений все дальнейшие рассмотрения уже
можно вести только в области Dt С Rf, отвлекаясь от исходного про-
странства R3, считая, что в Dt задана риманова метрика (25), заданы
318
ГЛ. XIV ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
скалярные поля рп векторные поля А, В, а также формы си®, си^,
си^, си3, которые в каждой точке t 6 Df определяются в соответствии с
евклидовой структурой в ТК*, задаваемой римановой метрикой.
Пример 7. Форма объема dV в криволинейных координатах t1?
/2, £3, к^к мы знаем, имеет вид
dV = д/det дг] (t) dt1 Л dt2 Л dt3.
Для триортогоналъной системы
dV = y/ExE2E3(t) dt1 A dt2 A dt3.	(28)
В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических коор-
динатах соответственно получаем
dV = dx f\dy !\dz =	(28')
= r dr Л dip Л dz —	(28я)
= R2 cos в dR A dtp A dO.	(28'")
Сказанное позволяет записать форму ш3 = р dV в различных систе-
мах криволинейных координат.
е.	Наша основная (и теперь уже легко решаемая) задача состоит в
том, чтобы, зная разложение A(t) = Ar(t)et(t) вектора A(t) G TTRj* по
ортам et(t) G TKf, i = 1,2,3, триортогоналъной системы координат,
определяемой римановой метрикой (26), найти разложение форм cu^(Z)
и cu^(Z) по каноническим 1-формам dt1 и 2-формам dt1 Л dt3 соответ-
ственно.
Поскольку все рассуждения будут относиться к любой, но фикси-
рованной точке /, для сокращения записи мы позволим себе опускать
символ f, отмечающий привязку рассматриваемых векторов и форм к
касательному пространству в точке t.
Итак, ei, б2, ез — базис в TTR*, состоящий из ортов (27) коорди-
натных направлений; А = A1ei + А2в2 + А3ез разложение вектора
A G TTRj* по этому базису.
Заметим, прежде всего, что из формул (27) следует, что
<^(ег) -	<?*, где - V Щ <Нг Adt3(ek,ei)=	гДе ёы = У/ Гуг	J и, ииш * 7- J, 1 1, если i = j, ( 0, если (г, j) (к, I), I 1, если (i,j) = (к,I).
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 319
f.	Таким образом, если Шд := {А, ) = ai dt1 + а2 dt2 + 03 dt3, то, с
одной стороны,
= (А,ег) = Аг,
а с другой стороны, как видно из (29),
о/д(ег) = (ai dt1 + 0,2 dt2 + а3 dt3)(et) = аг  —j=-
Следовательно. аг = Агу/Ё^ и мы нашли разложение
= А1	dt1 + А2 у/Ё~2 dt2 + А3 у/Ё~3 dt3	(31)
формыалд, отвечающее разложению А — yVei + А2б2 + А3е3 вектора А.
Пример 8. Поскольку в декартовых, сферических и цилиндриче-
ских координатах соответственно
А = Ахех + АуВ,у + Azez —
— AfCf ~h A(pG(p -|- Azez —
= ArCr + A^e^ + Aoeo^
то, как следует из результатов примера 6,
= Ах dx + Ay dy + Azdz —	(31')
= Ar dr + A^r dtp + Azdz —	(31°)
= Ar dR + A^R cos cp dip + AqR d0.	(31'")
g.	Пусть теперь В = B1e^ + В2б2 + 53е3, а	= bi dt2 Adt3 + b^ dts А
A dt1 + Ьз dt1 A dt2. Тогда, с одной стороны,
^в(е2,е3) := (/V(B,e2,e3) =
3
= ^2вМУ(ег,е2,е3) = В1  (е1,е2,е3) = В1,
г~1
где dV — форма объема в (см. (28) и (27)).
С другой стороны, из (30) получаем
^в(е2, ез) = (bi dt2 A dt3 + bz dt3 A dt1 + Ьз dt1 A cZi2)(e2, ез) =
= bi dt2 A cZ/3(e2, e3) =	.
V £/2x1/3
320
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Сравнивая результаты, заключаем, что Ь± — В^у/Е^Е^. Аналогично,
убеждаемся в том, что 62 = В2у/Ё\Ё$ и 63 — В^у/Е\Е}.
Таким образом, мы нашли координатное представление
ш2в = В1 у/Ё^Ё^ dt2 A dt3 + В2у/Ё^Ег dt3 A dt1 + В3у/Ё^Ё^ dt1 A dt2 =
= х/^1^2^3 ( 4= dt2 A dt3 + -==L dt3 A dt1 + ~^= dt1 A dt2] (32)
формы o/g, отвечающей вектору В ~ B1ei + В2е2 + В3е$.
Пример 9. Используя обозначения, введенные в примере 8, и фор-
мулы (26'), (26"), (26"'), в декартовых, цилиндрических и сферических
координатах получаем соответственно
= Bxdy f\dz + By dz /\ dx + Bz dx /\dy =	(32')
= BTr dip f\dz + B^ dz A dr + Bzr dr A dip =	(32")
= BrR2 cos 0 dip A dd + B^R d0 A dR + B$R cos 0 dR A dip. (32"')
h.	Добавим еще, что на основании формулы (28) можно написать,
что
ш3 = py/EiEiEsdt1 Л dt2 Л dt3.
(33)
Пример 10. В частности, для декартовых, цилиндрических и
сферических координат формула (33) имеет соответственно следую-
щий вид:
cj3 = pdx /\dy /\dz =	(33')
= pr dr A dip f\dz =	(33")
= pR2 cos 0 dR f\ dip Л d0.
Теперь, когда получены формулы (31)-(33), легко, исходя из опре-
делений (9)-(11) операторов grad, rot и div, найти их координатное
представление в триортогональной системе криволинейных координат.
Пусть grad / — Axei + А2б2 + А363. Опираясь на определения, запи-
шем
1	о _ df . df Я/2 , df 3
§1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
321
На основании формулы (31) отсюда заключаем, что
, ,	1 df 1 df 1 df
grad f -	--777761 -I 7=77^62 H 7=77^e3-	(34)
6	yfEbdf2 y/E^dt3	v 7
Пример 11. В декартовых, полярных и сферических координа-
тах соответственно
df df df
gradf = -e, + -es + -e. =
df 1 df df
= ^er + -^-ev+ ^-ez =
dr r dtp dz
df 1 df 1 df
dReR + R cos в dtpe,fi + R? dd Бв
(34')
(34")
(34"')
Пусть задано поле A(f) = (A'ej + А2 62 + А3ез)(£). Найдем коорди-
наты В1, В2, В3 поля rot A(t) = B(t) = (Ble± + В2в2 + В3ез)(£).
Исходя из определения (10) и формулы (31), получаем
На основании соотношения (32) теперь заключаем, что
1	/<9А3у% _ dA2^\
у/ЁъЕз \ df2 dt3 J ’
1 fdA1^ dA3^\
i/ВД V dt3	dB J ’
i	dA1y/Ei\
fWEf \ dt1	dB J ’
т. е.
VRse3
y/ExE2E3
d d d
dt1 di? dtA
у/Ё^А1 у/Ё2А2 y/E^A3
(35)
322
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Пример 12. В декартовых, цилиндрических и сферических коор-
динатах соответственно
1 fdAz	дтА^Х	ЭАЛ	1 (дгАу	&4Л
г у dip	dz J	ег~*~ у dz dr )	г у dr	dip )	z
1	/ dA$ dA^ cos e\ 1 / dAR dRA$\
R cos в у dip dO ) R + 7? у dO dR J
£ fdRA^______1 &4Д\
R у dR cose dip ) ев'
i.	Пусть теперь задано поле B(t) = (Bxei + В2в2 + В3ез)(£). Найдем
выражение для div В,
Исходя из определения (11) и формулы (32), получаем
^divB — du2B = d ^^E^dt2 К dt3 +
+ B2y/E^dt3 К dt1 + B3y/E^E2dt1 Л dt1} =
d^fyfyB1 ( dVE^B2 dy/E^B3\ T 2 з
~№-----+ № ЛЛ ЛЛ '
На основании формулы (33) теперь заключаем, что
1 (ду/Ё^В1 dy/ЁЁВ2 д^ЁВ2В3\
1V ~ VEiE2E3 ( дВ + dt2 + дВ J ’
В декартовых, цилиндрических и сферических координатах отсюда
соответственно получаем
div В =
1 (дгВг dBtA dBz
г у dr д^р J dz
1	/ dR2 cos ОВц dRB^ dR cos QBg \
R2 cos в ( dR + dtp + d6 J
(36')
(36")
(36'")
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 323
j.	Соотношения (34), (36) можно использовать для получения запи-
си оператора Лапласа Д = div grad в произвольной триортогональной
системе координат:
Пример 13. В частности, для декартовых, полярных и сфериче-
ских координат из (37) получаем соответственно
Задачи и упражнения
1.	Операторы grad, rot, div и алгебраические операции.
Проверьте следующие соотношения:
для grad:
a)	V(/ + д) = V/ + V<?,
b)	V(/^)-/V^ + ^V/,
с)	V(A В) = (В V)A + (А • V)B + В х (V х А) + А х (V х В),
d)	V (КаА = (А • V)A + А х (V х А);
для rot:
е)	V х (/А) = /V х А + V/ х А,
f)	V х (А х В) = (В • V)A - (А • V)B + (V • В)А - (V • А)В;
для div:
g)	V • (/А) = V/ • А + /V • А,
h)	V • (А х В) = В • (V х А) - А • (V х В)
и перепишите их в символах grad, rot, div.
(Указания. A-V = А1-|Г+А2ДГ+А3-^; B-V^ V-B; Ах(ВхС) =
= B(A • C) - C(A - В).)
324
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
2.	а) Запишите в декартовых координатах операторы (20)-(22).
Ь)	Проверьте прямым вычислением соотношения (20), (21).
с)	Проверьте формулу (24) в декартовых координатах.
d)	Запишите формулу (24) через оператор V и докажите ее, используя
формулы векторной алгебры.
3.	Из рассмотренной в примере 2 системы уравнений Максвелла выведите,
что V  j = -|е.
4.	а) Укажите параметры Ламе Hi, Н^, Н3 декартовых, цилиндрических
и сферических координат в К3.
Ь) Перепишите формулы (28), (34)-(37), используя параметры Ламе.
5.	Поле А = grad i, где г = \Лг2 + у2 + г2, запишите в
а)	декартовых координатах х, у, г;
Ь)	цилиндрических координатах;
с)	сферических координатах.
d)	Найдите rot А и div А.
6.	В цилиндрических координатах (г, <р, г) функция f имеет вид In За-
пишите поле А — grad f в
а)	декартовых координатах;
Ь)	цилиндрических координатах;
с)	сферических координатах.
d)	Найдите rot А и div А.
7.	Напишите формулы преобразования координат в фиксированном ка-
сательном пространстве р 6 К3, при переходе от декартовой системы
координат в В3 к
а)	цилиндрическим координатам;
Ь)	сферическим координатам;
с)	произвольной триортогональной системе криволинейных координат.
d)	Применяя полученные в с) формулы и формулы (34)-(37), проверь-
те непосредственно инвариантность векторных полей grad A, rot А и величин
div А, Д/ относительно выбора системы координат, в которой происходило
их вычисление.
8.	Пространство В3, как твердое тело, вращается вокруг некоторой оси с
постоянной угловой скоростью и. Пусть v—поле линейных скоростей точек
в фиксированный момент времени.
а)	Запишите поле v в соответствующих цилиндрических координатах.
Ь)	Найдите rot г?.
с)	Укажите, как направлено поле rotv по отношению к оси вращения.
d)	Проверьте, что | rot = 2cj в любой точке пространства.
е)	Истолкуйте геометрический смысл rot v и геометрический смысл обна-
руженного в d) постоянства этого вектора во всех точках пространства.
§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
325
§ 2. Интегральные формулы теории поля
1. Классические интегральные формулы в векторных обо-
значениях
а.	Векторная запись форм	В предыдущей главе мы уже
отметили (см. §2, формулы (23), (24)), что ограничение формы Шр ра-
боты поля F на ориентированную гладкую кривую (путь) 7 или огра-
ничение формы Шу потока поля V на ориентированную поверхность S
можно записать соответственно в следующем виде:
wf|7 = (F,e)ds, ^v\s = (V,n)da,
где e — ориентирующий 7 единичный вектор, сонаправленный с век-
тором скорости движения вдоль 7, ds — элемент (форма) длины на 7,
п — ориентирующий поверхность S вектор единичной нормали к по-
верхности, a da— элемент (форма) площади на поверхности S.
В векторном анализе часто используют векторный элемент длины
кривой ds ~ eds и векторный элемент площади поверхности da :=
= п da. Используя эти обозначения, можем теперь писать:
Ча|7 = {A,e)ds = {A, ds) = A- ds,	(1)
Pb\s = {В,п) da = (B,dcr) = В  dcr.	(2)
b.	Формула Ньютона-Лейбница. Пусть f е C^CD,®) а 7 :
[а, Ь\ —> В путь в области D.
В применении к 0-форме ш® формула Стокса
f	- J dwj,
ду 7
с одной стороны, означает равенство
Ph
ду 7
что совпадает с классической формулой
ь
/(?(&)) - /(7(a)) = / df(ht))
326
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Ньютона-Лейбница, а с другой стороны, по определению градиента
она означает, что
(3)
Таким образом, используя соотношения (1), формулу Ньютона-
Лейбница можно переписать в виде
/(?(<>)) ~ /(?(“)) = У (grad/)' <*«•
В такой записи она означает, что
приращение функции на пути равно работе на этом пути по-
ля градиента этой функции.
Это довольно удобная и информативная запись. Кроме очевидно-
го вывода о том, что работа поля grad / вдоль пути 7 зависит только
от начала и конца пути, формула позволяет сделать и несколько более
тонкое наблюдение. А именно, движение по поверхности f — с уровня
функции f происходит без совершения работы полем grad/, поскольку
в этом случае grad / • ds ~ 0. Далее, как показывает левая часть фор-
мулы, работа поля grad/ зависит даже не столько от начала и конца
пути, сколько от того, на каких поверхностях уровня функции / лежат
эти точки.
с.	Формула Стокса. Напомним, что работа поля на замкнутом
пути называется циркуляцией поля на этом пути. Чтобы отметить,
что интеграл берется по замкнутому пути, вместо традиционного обо-
значения f F • ds часто пишут F * ds. Если 7 — кривая на плоскости,
то иногда употребляют еще и символы
в которых указано на-
правление движения по кривой 7.
Термин циркуляция употребляется и тогда, когда речь идет об ин-
теграле по некоторому конечному набору замкнутых путей. Например,
таковым может служить интеграл по краю некоторой компактной по-
верхности с краем.
§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
327
Пусть А — гладкое векторное поле в области D ориентированно-
го евклидова пространства Ж3, a S—(кусочно) гладкая ориентирован-
ная компактная поверхность с краем в области D. В применении к
1-форме алд, с учетом определения ротора векторного поля, формула
Стокса означает равенство
k^rot А •	(4)
OS S
Используя соотношения (2), формулу (4) можно переписать в виде
классической формулы Стокса
(4')
В такой записи она означает, что
циркуляция векторного поля на границе поверхности равна
потоку ротора этого поля через саму поверхность.
Как всегда, при этом на dS выбирается ориентация, согласованная
с ориентацией S.
d.	Формула Гаусса —Остроградского. Пусть V — компактная
область ориентированного евклидова пространства Ж3, ограниченная
(кусочно) гладкой поверхностью dV — краем V. Если В —гладкое по-
ле в У, то в соответствии с определением дивергенции поля формула
Стокса дает равенство
, ,3
41ivB-
(5)
Используя соотношение (2) и запись pdV формы а;3 через форму
объема dV в Ж3, равенство (5) можно переписать в виде классической
формулы Гаусса-Остроградского
(5')
В такой записи она означает, что
поток векторного поля через границу области равен инте-
гралу от дивергенции этого поля по самой области.
328
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
е.	Сводка классических интегральных формул. В итоге мы
пришли к следующей векторной записи трех классических интеграль-
ных формул анализа:
J f = j(Vf) • ds (формула Ньютона-Лейбница), (3")
ду 7
у* А • ds = У (V х А) • dcr (формула Стокса), (4")
as	s
j В • dcr = J (V • В) dV (формула Гаусса-Остроградского). (5")
dV	V
2.	Физическая интерпретация div, rot, grad
а.	Дивергенция. Формулу (5х) можно использовать для выясне-
ния физического смысла величины divB(z) — дивергенции векторного
поля В в некоторой точке х области V задания поля. Пусть V(х) —
содержащаяся в V окрестность (например, шаровая) точки х. Объем
этой окрестности позволим себе обозначать тем же символом V(x), а
ее диаметр буквой d.
Из формулы (5') по теореме о среднем для тройного интеграла по-
лучаем
УУ В • dcr — div-B(z') V(z),
dV(x)
где x1 — некоторая точка окрестности V(x). Если d —> 0, то z' —> z, а
коль скоро В — гладкое поле, то и div-B(z') —> divB(z). Значит,
JJ В • dcr
div В(х) =	.	(6)
d—>0	У
Будем считать В полем скоростей течения (жидкости или газа).
Тогда поток поля через границу области V(x) или, что то же самое,
объемный расход среды через границу этой области, в силу закона со-
хранения массы возникает только за счет стоков или источников (в том
числе связанных с изменением плотности среды) и равен суммарной
интенсивности всех этих факторов, которые мы будем называть одним
§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
329
словом «источники» в области У(х). Значит, дробь в правой части соот-
ношения (6) есть средняя (отнесенная к единице объема) интенсивность
источников в области У(х), а предел этой величины, т. е. divB(x) есть
удельная (отнесенная к единице объема) интенсивность источника в
точке х. Но предел отношения общего количества некоторой величины
в области V(x) к объему этой области, когда d —> 0, принято называть
плотностью этой величины в точке х, а плотность как функцию точки
обычно называют плотностью распределения данной величины в той
или иной части пространства.
Таким образом, дивергенцию div В векторного поля В можно ин-
терпретировать как плотность распределения источников в области те-
чения, т. е. в области задания поля В.
Пример 1. Если, в частности, div В ~ 0, т. е. никаких источников
нет, то поток через границу любой области должен бы быть нулевым:
сколько втекает в область —столько из нее и вытекает. И, как показы-
вает формула (5'), это действительно так.
Пример 2. Точечный электрический заряд величины q создает в
пространстве электрическое поле. Пусть этот заряд помещен в нача-
ло координат. По закону Кулона^ напряженность Е = Е(х) поля в
точке х 6 Ж3 (т. е. сила, действующая на пробный единичный заряд в
точке х) представляется в виде
Е Q г
47Г£о |г|3 ’
где £q — размерная постоянная, а г — радиус-вектор точки х.
Поле Е определено всюду вне начала координат. В сферических ко-
ординатах Е =	поэтому из формулы (36"') предыдущего
параграфа сразу видно, что divE? = 0 всюду в области определения
поля Е.
Значит, если взять любую область У, не содержащую начала коорди-
нат, то в силу формулы (5') поток поля Е через границу dV области V
окажется нулевым.
Возьмем теперь сферу Sr — {х Е Ж3 | |х| = R} радиуса R с цен-
тром в начале координат и найдем поток поля Е через эту поверхность
^Ш. О. Кулон (1736-1806)—французский физик. С помощью изобретенных им
же крутильных весов опытным путем открыл закон (Кулона) взаимодействия поко-
ящихся зарядов и магнитных полюсов.
330
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
в сторону внешней (по отношению к ограничиваемому сферой шару)
нормали. Поскольку вектор е# как раз и является единичной внешней
нормалью к сфере, то
f w л f 9 1 я
/ Е • dcr = I  -----—-г da =  ------—?
J	J 4тг£о R2
Sr	Sr
• 4тгД2 = —.
£о
Таким образом (с точностью до размерной константы ед, зависящей
от выбора системы физических единиц), мы получили величину заряда,
содержащегося в ограниченном сферой объеме.
Заметим, что в условиях разобранного примера 2 левая часть фор-
мулы (5') корректно определена на сфере dV = Sr, а подынтегральная
функция правой части определена и равна нулю всюду в шаре V, кроме
всего лишь одной точки—начала координат. И тем не менее проведен-
ные вычисления показывают, что интеграл в правой части формулы (5')
нельзя трактовать как интеграл от тождественного нуля.
С формальной точки зрения можно было бы отмахнуться от разбо-
ра этой ситуации, сказав, что поле Е не определено в точке 0 G V, и
потому мы не имеем права говорить о равенстве (5'), доказанном для
гладких, определенных во всей области V интегрирования полей. Од-
нако физическая интерпретация равенства (5') как закона сохранения
массы подсказывает, что при правильной трактовке оно должно быть
справедливо всегда.
Посмотрим внимательнее, в чем состояла неопределенность в нача-
ле координат величины div 7? из примера 2. Формально в начале коор-
динат не определено и исходное поле Е, но, если искать div.E, исходя
из формулы (6), то, как показывает пример 2, надо было бы считать,
что div.E(0) = +00. Значит, под интегралом в правой части (5) ока-
залась бы «функция», равная нулю всюду, кроме одной точки, где она
равна бесконечности. Это соответствует тому, что вне начала коорди-
нат вообще нет зарядов, а весь заряд q мы умудрились поместить в
нулевой объем — в одну точку 0, в которой плотность заряда, естест-
венно, стала бесконечной. Мы сталкиваемся здесь с так называемой S
(дельта)-функцией Дирака1).
^П. А. М. Дирак (1902 1984) — английский физик-теоретик, один из создателей
квантовой механики. Подробнее о (^-функции Дирака будет сказано в гл. XVII, § 4,
п. 4 и § 5, п. 4.
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
331
Плотности физических величин в конечном счете нужны, чтобы,
взяв от них интеграл, найти значения самих величин. Поэтому нет
нужды определять отдельно 5-функцию как функцию точки, важнее
определить интеграл от нее. Если считать, что физически «функция»
5Жо(х) —	должна отвечать плотности такого распределения, на-
пример массы в пространстве, при котором вся масса, равная по вели-
чине единице, сосредоточена только в одной точке xq, то естественно
положить, что
/{(ад^=р’к0™^
J	0, когда Хо $ V.
V	4
Таким образом, с точки зрения математической идеализации пред-
ставлений о возможном распределении физической величины (массы,
заряда, и т.п.) в пространстве, следует считать, что ее плотность рас-
пределения есть сумма обычной конечной функции, отвечающей непре-
рывному распределению величины в пространстве, и некоторого набора
сингулярных «функций» (типа 5-функции Дирака), отвечающих сосре-
доточению величины в отдельных точках пространства.
Значит, с этих позиций результаты проведенных в примере 2 вы-
числений можно было бы выразить в виде одного равенства div£?(x) —
= ^<5(0;^). Тогда применительно к полю Е интеграл в правой части
соотношения (5') действительно оказывается равным либо q/sq, либо О,
в зависимости от того, содержит ли область V начало координат (и
сосредоточенный в нем заряд) или не содержит.
В этом смысле можно (вслед за Гауссом) утверждать, что поток
напряженности электрического поля через поверхность тела равен (с
точностью до коэффициента, зависящего от системы единиц) сумме
электрических зарядов, содержащихся в теле. В этом же смысле надо
трактовать плотность р распределения электрического заряда в систе-
ме уравнений Максвелла, рассмотренной в § 1 (формулы (12)).
Ь.	Ротор. Рассмотрение физического смысла ротора векторного
поля начнем со следующего примера.
Пример 3. Пусть все пространство, как твердое тело, вращается
с постоянной угловой скоростью ш вокруг фиксированной оси (пусть
это ось Ог). Найдем ротор поля v линейных скоростей точек простран-
332
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ства (поле рассматривается в любой, но фиксированный момент време-
ни).
В цилиндрических координатах (г, у?, г) поле v(r, 9?, г) имеет про-
стую запись: v(r, 9?, z) = cjre^. Тогда по формуле (35п) из § 1 сразу на-
ходим, что rotv = 2о?ег. То есть rotv в данном случае является векто-
ром, направленным вдоль оси вращения. Его величина 2а> с точностью
до коэффициента совпадает с угловой скоростью вращения, а напра-
вление вектора, с учетом ориентации всего пространства R3, вполне
определяет и направление вращения.
Описанное в примере 3 поле в малом напоминает поле скоростей
жидкости у воронки (стока) или поле вихреобразного движения воз-
духа в области смерча (тоже сток, но вверх). Таким образом, ротор
векторного поля в точке характеризует степень завихренности поля в
окрестности этой точки.
Заметим, что циркуляция поля по замкнутому контуру меняется
пропорционально изменению величины векторов поля и, как можно убе-
диться на том же примере 3, ее можно тоже использовать в качестве
характеристики завихренности поля. Только теперь, чтобы вполне опи-
сать завихренность поля в окрестность точки, придется считать цирку-
ляцию по контурам, лежащим в трех различных плоскостях. Реализуем
сказанное.
Возьмем круг Зг(х) с центром в точке х, лежащей в плоскости, пер-
пендикулярной к направлению г-й координатной оси, i = 1,2,3. Ориен-
тируем St(x) с помощью нормали, в качестве которой возьмем орт ег
этой координатной оси. Пусть d — диаметр 8г(х). Из формулы (4) для
гладкого поля А сразу получаем, что
/ A-da
(rot А) • ei = lim dSl(^ -,	(7)
d->0	&i\Xj
где через Sz(x) обозначена площадь рассматриваемого круга. Таким
образом, отнесенная к единице площади циркуляция поля А на окруж-
ности дЗг в плоскости, ортогональной г-й координатной оси, характе-
ризует г-ю компоненту вектора rot А.
Чтобы полнее уяснить себе смысл ротора векторного поля, вспо-
мним, что любое линейное преобразование пространства есть компо-
зиция растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях, пере-
носа пространства как твердого тела и его вращения как твердого те-
§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
333
ла. При этом любое вращение можно реализовать как вращение вокруг
некоторой оси. Любая гладкая деформация среды (течение жидкости
или газа, оползание грунта, изгибание стального стержня) локально ли-
нейна. С учетом сказанного и примера 3 можно заключить, что если
имеется векторное поле, описывающее движение среды (поле скоростей
точек среды), то ротор этого поля в каждой точке дает мгновенную ось
вращения окрестности точки, величину мгновенной угловой скорости
и направление вращения вокруг мгновенной оси. То есть ротор полно-
стью характеризует вращательную часть движения среды. Это будет
несколько уточнено ниже, когда будет выяснено, что ротор следует рас-
сматривать как некоторую плотность распределения локальных враще-
ний среды.
с.	Градиент. О градиенте скалярного поля, т.е. попросту о гра-
диенте функции, мы в свое время уже довольно подробно говорили,
поэтому здесь остается только напомнить главное.
Поскольку w|rad/(£) = (grad/,£) = df(g) = D$f, где D$f — про-
изводная функции f по вектору £, то вектор grad/ ортогонален по-
верхностям уровня функции /, указывает в каждой точке направление
наиболее быстрого роста значений функции, а его величина |grad/|
дает скорость этого роста (относительно единицы длины, которой из-
меряются смещения в пространстве изменения аргумента).
О градиенте как плотности будет сказано ниже.
3.	Некоторые дальнейшие интегральные формулы
а.	Векторные варианты формулы Гаусса-Остроградского.
Истолкование ротора и градиента как некоторых плотностей, анало-
гичное истолкованию (6) дивергенции как плотности, можно получить
из следующих классических формул векторного анализа, связанных с
формулой Гаусса “Остроградского:
у* dcr • В (теорема о дивергенции),
dv
г — J dcr х А (теорема о роторе),
dV
(8)
(9)
334
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
(теорема о градиенте).
(10)
dV
Первое из этих трех соотношений с точностью до обозначений со-
впадает с равенством (5х) и является формулой Гаусса-Остроградско-
го. Векторные равенства (9), (10) вытекают из (8), если применить эту
формулу к каждой компоненте соответствующего векторного поля.
Сохраняя те же обозначения У (ж), d, что и в равенстве (6), из фор-
мул (8)-(10) единообразно получаем
V • В(х) = lim
d^O
f da • В
dV(x)
V(x) ’
V x A(x) = lim
d—>0
V/(x) = lim
d—>0
f da x A
dV(x)
1Ф) ’
/
V(x) ’
(6')
(И)
(12)
Правые части равенств (8) - (10) можно интерпретировать соответ-
ственно как скалярный поток векторного поля В, как векторный поток
векторного поля А и как векторный поток скалярного поля f через
поверхность дУ, ограничивающую область V. Тогда величины div В,
rot A, grad/, стоящие в левых частях равенств (6'), (11), (12), можно
интерпретировать как соответствующие плотности распределения ис-
точников этих полей.
Заметим, что правые части соотношений (6'), (11), (12) не зависят
от системы координат. Отсюда вновь можно сделать вывод об инвари-
антности градиента, ротора и дивергенции.
Ь.	Векторные варианты формулы Стокса. Подобно тому, как
формулы (8) - (10) были результатом совмещения формулы Гаусса-Ос-
троградского с алгебраическими операциями над векторными и ска-
лярными полями, следующая тройка формул получается совмещением
этих же операций с классической формулой Стокса (которая выступает
в качестве первого из этих трех соотношений).
§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
335
Пусть S—(кусочно) гладкая компактная ориентированная поверх-
ность с согласованно ориентированным краем dS, da — векторный эле-
мент площади на поверхности S', a ds — векторный элемент длины
на dS. Тогда для гладких полей А, В, f имеют место соотношения
(13)
(14)
(15)
Формулы (14), (15) вытекают из формулы Стокса (13). На их дока-
зательстве мы здесь не останавливаемся.
с.	Формулы Грина. Если S — некоторая поверхность, а п — еди-
ничный вектор нормали к 5, то производную Dnf функции f по век-
тору п в теории поля чаще всего записывают символом Например,
(yf,da) — (yf,n}da = (grad/, n)dcr — Dnf dcr — ^dcr. Таким обра-
зом, ^dcr есть поток поля grad / через элемент da поверхности.
В этих обозначениях можно записать следующие достаточно широ-
ко используемые в векторном анализе и теории поля формулы Грина:
/(^v2/-/v29)dy =
В частности, если в (16) положить / = а в (17) положить д = 1,
336
ГЛ XIV ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
то соответственно получим
Последнее равенство часто называют теоремой Гаусса, Докажем,
например, второе из равенств (16), (17):
◄ [	- fVg) da= f V • (5V/ - fVg)dV =
dV	V
= [(Уд-Vf + gV2f -Nf-Ng- fV2g)dV =
V
= I (gV2f - fV2g) dV = I(gbf - fbg) dV.
V	V
Мы воспользовались формулой Гаусса "Остроградского и тем, что
V • (у?А) = Vy? • А +	• А. ►
Задачи и упражнения
1.	Исходя из формулы Гаусса "Остроградского (8), докажите соотноше-
ния (9), (10).
2.	Исходя из формулы Стокса (13), докажите соотношения (14), (15).
3.	а) Проверьте, что формулы (8), (9), (10) остаются в силе и для неогра-
ниченной области V, если подынтегральные функции в поверхностных инте-
гралах имеют порядок О (4г) при г —> оо. (Здесь г = |г|, г — радиус-вектор
у. J
точек пространства К3.)
Ь)	Проверьте, остаются ли в силе формулы (13), (14), (15) для некомпакт-
ной поверхности S С К3, если подынтегральные функции в криволинейных
интегралах имеют порядок О ( А) при г —> оо.
с)	Приведите примеры, показывающие, что для неограниченных поверх-
ностей и областей формулы Стокса (4') и Гаусса- Остроградского (5'), вообще
говоря, несправедливы.
§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
337
4.	а) Исходя из интерпретации дивергенции как плотности источников,
объясните, что уравнение 2 системы (12) § 1 уравнений Максвелла подразу-
мевает отсутствие у магнитного поля точечных источников (т. е. магнитных
зарядов не бывает).
Ь) Используя формулу Гаусса-Остроградского и систему (12) § 1 уравне-
ний Максвелла, покажите, что никакая жесткая конфигурация пробных за-
рядов (например, один заряд) не может находиться в состоянии устойчивого
равновесия в области электростатического поля, свободной от (других) за-
рядов, создающих это поле. (Предполагается, что никакие иные силы, кроме
создаваемых полем, при этом на систему не действуют.). Этот факт известен
как теорема Ирншоу.
5.	Если электромагнитное поле стационарно, т.е. не зависит от времени,
то система (12), §1 уравнений Максвелла распадается на две независимые
части— систему	- 0 уравнений электростатики и систему
V х В = V • В = О уравнений магнитостатики.
£0с
Уравнение V • Е = р/во, где р — плотность распределения зарядов, по фор-
муле Гаусса-Остроградского преобразуется в соотношение / Е • dcr — Q/so,
s
где слева стоит поток напряженности электрического поля через замкнутую
поверхность S, а справа — сумма Q зарядов, попавших в область, ограничен-
ную поверхностью S, деленная на размерную постоянную £0- В электростатике
это соотношение обычно называется законом Гаусса. Используя закон Гаусса,
найдите электрическое поле Е
а)	создаваемое однородно заряженной сферой, и убедитесь, что вне сферы
оно совпадает с полем точечного заряда той же величины, помещенного в
центре сферы;
Ь)	однородно заряженной прямой;
с)	однородно заряженной плоскости;
d)	пары параллельных и однородно заряженных зарядами противополож-
ного знака плоскостей;
е)	однородно заряженного шара.
6.	а) Докажите формулу Грина (16).
Ь)	Пусть f — гармоническая в ограниченной области V функция (т. е. f
удовлетворяет в V уравнению Лапласа Д/ = 0). Покажите, исходя из равен-
ства (17'), что поток градиента этой функции через границу области V равен
нулю.
с)	Проверьте, что гармоническая в ограниченной связной области функ-
ция определяется с точностью до аддитивной постоянной значениями своей
нормальной производной на границе этой области.
d)	Исходя из равенства (16'), докажите, что если гармоническая в огра-
ниченной области функция на границе области всюду равна нулю, то она то-
ждественно равна нулю во всей этой области.
е)	Покажите, что если на границе ограниченной области значения двух
338
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
гармонических в этой области функций совпадают, то эти функции совпадают
во всей области.
f)	Исходя из равенства (16), проверьте следующий принцип Дирихле: среди
всех непрерывно дифференцируемых в области функций, принимающих задан-
ные значения на границе области, наименьшее значение интегралу Дирихле
(т. е. интегралу от квадрата модуля градиента функции по области) до-
ставляет гармоническая в области функция и только она.
7.	а) Пусть r(p,q) = |р — q\ - расстояние между точками р, q евклидова
пространства 1R3. Фиксировав точку р, получим функцию rp(q) точки q € Ж?.
Покажите, что Агу1 (7) = 4тг£(р; q), где J— дельта-функция.
Ь)	Пусть g — гармоническая в области V функция. Полагая в формуле (17)
f = с учетом предыдущего результата получаем
4тгр(р) = f (д^------------Vp) - da.
J \ Tp Tp )
S
Докажите это равенство аккуратно.
с)	Выведите из предыдущего равенства, что если 5- сфера радиуса R с
центром в точке р, то
= sW9<fa-
s
Это так называемая теорема о среднем для гармонических функций.
d)	Исходя из предыдущего результата, покажите, что если В — шар, огра-
ниченный рассмотренной там сферой S, a V(B)—его объем, то справедливо
также равенство
M=V^/9dV-
в
е)	Если p,q — точки евклидовой плоскости IR2, то вместо рассмотренной
в а) функции ~ (отвечающей потенциалу заряда, помещенного в точку р)
В
возьмем теперь функцию 1п (отвечающую в пространстве потенциалу рав-
В
номерно заряженной прямой). Покажите, что А1п^ = 2тг£(р;д), где d(p;q) в
данном случае есть дельта-функция в 1R2.
f)	Повторив проведенные в a), b), с), d) рассуждения, получите теорему о
среднем для функций, гармонических в плоских областях.
8.	Многомерная теорема Коши о среднем.
Классическая теорема о среднем для интеграла («теорема Лагранжа») ут-
верждает, что если функция /: D —> К. непрерывна на компактном, измеримом
и связном множестве Ddn (например, в области), то найдется такая точка
£ € D, что
У f(x)dx = f(£)-\D\,
D
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
339
где |Р|—мера (объем) D.
а)	Пусть теперь	т.е. /, д — непрерывные вещественнознач-
ные в D функции. Покажите, что верна следующая «теорема Коши»: найдется
точка £ 6 D такая, что
9<£) У f(x)dx = f(£) У g(x)dx.
D	D
Ь)	Пусть D — компактная область с гладкой границей dD, a f,g— два
гладких векторных поля в D. Покажите, что найдется такая точка £ € D, что
divg(£) • Них f = div f(£)  Fluxg,
где Них — поток векторного поля через поверхность dD.
§ 3.	Потенциальные поля
1.	Потенциал векторного поля
Определение 1. Пусть А — векторное поле в области D С Кп.
Функция U: D —> R называется потенциалом поля А в области D,
если в этой области А ~ grad U.
Определение 2. Поле, обладающее потенциалом, называется по-
тенциальным полем.
Поскольку в связной области частные производные определяют
функцию с точностью до константы, то в такой области потенциал
поля определен с точностью до аддитивной постоянной.
В первой части курса мы уже вскользь говорили о потенциале. Здесь
мы обсудим это важное понятие несколько подробнее. Отметим в свя-
зи с данными определениями, что в физике при рассмотрении разного
рода силовых полей потенциалом поля F обычно называют такую функ-
цию С/, что F ~ — grad U. Такой потенциал отличается от введенного
определением 1 только знаком.
Пример 1. Напряженность F гравитационного поля, создаваемо-
го помещенной в начало координат точечной массой М, в точке прос-
транства, имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Ньютона
в виде
г
F = -GM^
/у* О
12-4574
340
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
где г = |г|.
Это сила, с которой поле действует на единичную массу в соответ-
ствующей точке пространства. Гравитационное поле (1) потенциально.
Его потенциалом в смысле определения 1 является функция
U = GM~.	(2)
Г
Пример 2. Напряженность Е электрического поля точечного за-
ряда Q, помещенного в начало координат, в точке пространства, имею-
щей радиус-вектор г, вычисляется по закону Кулона
Е Q г
4тг£о г3
Таким образом, такое электростатическое поле, как и гравитацион-
ное поле, потенциально. Его потенциал </?, в смысле физической терми-
нологии, определяется соотношением
4тг£о г'
2.	Необходимое условие потенциальности. На языке диффе-
ренциальных форм равенство А = grad U означает, что сид = dw^ =
= dU, откуда вытекает, что
duJlA = °,
(3)
поскольку <12шу — 0. Это необходимое условие потенциальности поля А.
В декартовых координатах оно имеет совсем простое выражение.
Если А — (А1,..., Ап) и А = grad С/, то в декартовых координатах
Лг = 4^, i = 1, ...,п, и при достаточной гладкости потенциала U
дх
(например, непрерывность вторых частных производных) должно быть
дАг дА* . . 4
д^~ дхг"
что попросту означает равенство смешанных производных
д2Ц _ д2Ц
дхг дхз дхэ дхг
(3')
п
В декартовых координатах сид — Аг dx\ поэтому равенство (3)
г=1
и соотношения (3') действительно в этом случае равносильны.
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
341
В случае R3 по определению ротора dad^ — л, поэтому необхо-
димое условие (3) потенциальности поля А для R3 можно переписать в
виде
rot А — О,
что соответствует уже знакомому нам соотношению rot grad U = 0.
Пример 3. Заданное в декартовых координатах пространства R3
поле А — (x,xy,xyz) не может иметь потенциал, так как, например,
д(ху) / дх
дх ' Uy'
Пример 4. Рассмотрим поле А = (Ах, Ау) вида
(4)
заданное в декартовых координатах во всех точках плоскости, кроме
начала координат. Необходимое условие потенциальности
здесь выполнено. Однако, как мы сейчас убедимся, это поле не потен-
циально в области своего определения.
Таким образом, необходимое условие (3) или, в декартовых коор-
динатах, условия (3'), вообще говоря, не являются достаточными для
потенциальности поля.
3.	Критерий потенциальности векторного поля
Утверждение 1. Непрерывное в области D С векторное по-
ле А потенциально в D тогда и только тогда, когда его циркуляция
(работа) на любом лежащем в D замкнутом пути 7 равна нулю\
j) А • ds — 0.
(5)
7
<4 Необходимость. Пусть А = gradU. Тогда по формуле Нью-
тона-Лейбница (§2, формула (3'))
/ A ds - U(y(b)) - U(y(a)),
где 7: [a,b] —> D. Если у (a) — ?(&)> т-е- когда путь 7 замкнутый, оче-
видно, правая, а вместе с ней и левая часть последнего равенства обра-
щаются в нуль.
342
ГЛ XIV ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Достаточность. Пусть условие (5) выполнено. Тогда интеграл
по любому (не обязательно замкнутому) пути в области D зависит толь-
ко от его начала и конца, а в остальном от пути не зависит. Действи-
тельно, если 71 и 72 — два пути с общим началом и концом, то, пройдя
сначала путь 71, а затем путь —72, (т. е. 72 в обратном направлении), мы
получим замкнутый путь 7, интеграл по которому, с одной стороны, в
силу (5) равен нулю, а с другой стороны, есть разность интегралов по
71 и 72. Значит, эти интегралы действительно равны.
Фиксируем в D некоторую точку а?о и положим теперь
ХО
(6)
где справа стоит интеграл по любому пути, идущему в области D из
точки хо в точку х Е D. Проверим, что определенная так функция U
является искомым потенциалом поля А. Для удобства будем считать,
что в Rn взята декартова система координат (я1,..., хп). Тогда A'ds =
= Л1 dx1 + ... + Ап dxn. Если от точки х прямолинейно сместиться на
вектор Лег, где ег — орт соответствующей координатной оси, то при
этом функция U получит приращение
xz+h
U(x + /гег) — U(x) =	ЛД#1,... , хг-13,	... , xn) dt,
хг
равное интегралу от формы А • ds по указанному пути перехода из х
в x + hez. Ввиду непрерывности поля А последнее равенство по теореме
о среднем можно записать в виде
U(x + Лег) — U(x) — Аг(хг,... ,хг~\хг + 0Л,хг+1,... ,xn)h,
где 0^0^ 1. Поделив это равенство на Л и устремив h к нулю, полу-
чаем
а?И = л<*>’
т. е. действительно А — grad U. ►
Замечание 1. Как видно из доказательства, для потенциально-
сти поля А достаточно, чтобы условие (5) выполнялось для гладких
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
343
путей или, например, хотя бы для ломаных, звенья которых параллель-
ны координатным осям.
Теперь вернемся к примеру 4. В свое время (см. пример 1 § 1 гл. VIII)
мы подсчитали, что циркуляция поля (4) на окружности х2 + у2 = 1,
пробегаемой один раз против часовой стрелки, равна 2тг(т^ 0).
Таким образом, на основании утверждения 1 можно заключить, что
поле (4) не потенциально в рассматриваемой области R2 \ 0.
Но ведь, например,
1 У ( У х \
grad arctg - = I	-2—5 I ,
x \ X ~г у x у /
и, казалось бы, функция arctg является потенциалом поля (4). Что
это — противоречие?! Противоречия пока нет, поскольку единственный
правильный вывод, который следовало бы в этой ситуации сделать, со-
стоит в том, что функция arctg не определена во всей области R2 \ 0.
И это действительно так: возьмите, например, точки оси Оу. Но тогда,
скажете вы, можно рассмотреть функцию <р(х, у) —полярный угол точ-
ки (ж, у). Практически это та же функция arctg но <р(х, у) определена
и при х = 0, лишь бы точка (х, у) не совпадала с началом координат.
Всюду в области R2 \ 0
Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже си-
туация более деликатная. Обратите внимание на то, что <р на самом-то
деле не является непрерывной однозначной функцией точки в нашей
области R2 \ 0. При обходе точки вокруг начала координат против ча-
совой стрелки ее полярный угол, непрерывно меняясь, увеличится на 2тг,
когда точка вернется в начальное положение. То есть мы приходим в
исходную точку не с тем же, а с новым значением функции. Следова-
тельно, либо надо отказаться от непрерывности tp в области R2 \0, либо
надо отказаться от однозначности <р.
В малой окрестности (не содержащей начала координат) каждой
точки области R2 \ 0 можно выделить непрерывную однозначную ветвь
функции <р. Все такие ветви отличаются лишь на аддитивную постоян-
ную, кратную 2тг. Именно поэтому все они имеют одинаковый диффе-
ренциал и могут служить локальными потенциалами нашего поля (4).
Тем не менее во всей области R2 \ 0 поле (4) потенциала не имеет.
344
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Разобранная на примере 4 ситуация оказывается типичной в том
смысле, что необходимое условие (3) или (З7) потенциальности поля А
локально является и достаточным. Имеет место
Утверждение 2. Если необходимое условие потенциальности
поля выполняется в некотором шаре, то в этом шаре поле имеет
потенциал.
◄ Для наглядности сначала проведем доказательство в случае круга
D — {х,у ЕЙ2 | ж2 + у2 < г2} на плоскости R2. В точку (ж, у) круга из
начала координат можно прийти по двум различным двузвенным лома-
ным 71, 72, звенья которых параллельны координатным осям (рис. 93).
Поскольку D выпуклая область, весь ограниченный этими ломаными
прямоугольник I содержится в D.
По формуле Стокса с учетом условия (3) получаем
На основе замечания к утверждению 1 от-
сюда уже можно сделать вывод о потенциаль-
/	\ ности поля А в D. Кроме того, на основе дока-
/	72 t—(х и )\
/	! т	зательства достаточности в утверждении 1 в
I—J	]	качестве потенциала вновь можно взять функ-
\	V	I цию (6), понимая при этом интеграл как ин-
\	/ теграл по пути, ведущему из центра в рассма-
X.	У триваемую точку вдоль ломаной, звенья кото-
рой параллельны координатным осям. В рас-
Рис. 93.	смотренном случае независимость такого ин-
теграла от выбора пути 71, 72 непосредственно
вытекала из формулы Стокса для прямоугольника.
В высших размерностях из формулы Стокса для двумерного пря-
моугольника следует, что замена двух соседних звеньев ломаного пути
на два звена, составляющие параллельные исходным стороны соответ-
ствующего прямоугольника, не меняет интеграла по пути. Поскольку
такими перестройками последовательно можно перейти от одного ло-
маного пути к любому другому, ведущему в ту же точку, то и в общем
случае потенциал оказывается определенным корректно. ►
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
345
4. Топологическая структура области и потенциал. Сопо-
ставляя пример 4 и утверждение 2, можно заключить, что при выполне-
нии необходимого условия (3) потенциальности поля вопрос о том, все-
гда ли оно потенциально, связан с устройством (топологической струк-
турой) области, в которой поле задано. Следующие рассмотрения (здесь
и в п. 5) дают первоначальное представление о том, какие именно ха-
рактеристики области отвечают за это.
Оказывается, если область D такова, что любой замкнутый путь,
лежащий в В, можно, не выходя за пределы области В, стянуть в не-
которую точку этой области, то в D необходимое условие (3) потен-
циальности поля уже будет и достаточным. Ниже мы назовем такие
области односвязными. Шар — односвязная область (и потому имеет
место утверждение 2), а вот плоскость с проколом R2 \ 0 не являет-
ся односвязной, так как охватывающий начало координат путь нельзя
стянуть в точку этой же области, не выходя за ее пределы. Именно по-
этому не всякое удовлетворяющее условиям (З7) поле в R2 \ 0, как мы
видели в примере 4, обязано быть потенциальным в области R2 \ 0.
Перейдем теперь от описаний к точным формулировкам. Прежде
всего поясним, что мы имеем в виду, когда говорим о деформации или
стягивании пути.
Определение 3. Говорят, что в области D имеется гомотопия
(или деформация) замкнутого пути 70: [0,1] —> D в замкнутый путь
71: [0,1] —> В, если указано такое непрерывное отображение Г: I2 —> D
квадрата I2 — {(t1,^2) ER2 | 0 tl С 1, i = 1,2} в область В, что
Г(£х, 0) = 7о(£1), Г(<\ 1) = 7i (i1) и Г(0, t2) = Г(1, t2) при любых t\t2 Е
£[0,1].
Таким образом, гомотопия и есть отображение Г: I2 —> В (рис. 94).
Если переменную t2 считать временем t, то согласно определению 3
в каждый момент времени t = t2 мы имеем свой замкнутый путь
Г(<х,<) = 7^ (рис. 94)Изменение этого пути со временем таково, что
в начальный момент t = t2 = 0 он совпадают с путем 70, а в мо-
мент t =• t2 = 1 он преобразуется в путь 71.
Поскольку в любой момент t Е [0,1] выполняются условия 7*(0) —
^На рис. 94 вдоль некоторых кривых стоят ориентирующие их стрелки, которые
будут использованы несколько позже и на которые читатель пока не должен обра-
щать внимания.
346
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Рис. 94.
= Г(0,£) = Г(1,I) = 7t(l), означающие, что путь 7* —замкнутый, ото-
бражение Г: I2 —> D индуцирует на боковых сторонах квадрата I2
одинаковые отображения /ЗЬ(^)	Г(^,0) = Г^1,1) =:
Отображение Г является формализацией нашего ^федставления о
том, как постепенно путь 70 деформируется в путь 71. Изменение этого
пути со временем таково, что в начальный момент t2 — 0 он совпадает
с путем 7о, а в момент t2 = 1 он преобразуется в путь 71.
Ясно, что время можно пустить в обратную сторону, и тогда мы из
пути 71 получим путь 7о-
Определение 4. Два замкнутых пути называются гомотопными
в области, если их можно гомотопировать друг в друга в пределах
этой области, т. е. построить в этой области гомотопию одного пути в
другой.
Замечание 2. Поскольку пути, с которыми нам придется в ана-
лизе иметь дело, это, как правило, пути интегрирования, то без до-
полнительных оговорок мы будем рассматривать только гладкие или
кусочно гладкие пути и их гладкие или кусочно гладкие гомотопии.
Для областей, лежащих в Rn, можно проверить, что наличие не-
прерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них обеспечивает и
наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей.
Утверждение 3. Если 1-форма сод в области D такова, что
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
347
— 0? ° замкнутые пути 70 и 71 гомотопны в D, то
70	71
◄ Пусть Г: /2 —> D — гомотопия 70 в 71 (см- рис. 94). Если /о? Л —
основания квадрата /2, a Jo, Ji —его боковые стороны, то, по опреде-
лению гомотопии замкнутых путей, ограничение Г на 1$ и Ц совпадает
с 7о и 71 соответственно, а ограничение Г на Jo и Ji дает некоторые
пути /Зо и /31 в D и, поскольку Г(0, Z2) = Г(1, Z2), пути /3$ и /31 просто
совпадают. В результате замены переменных х ~ Г(£) форма соА пере-
несется в квадрат /2 в виде некоторой 1-формы со = При этом
dco =	= Г* d^A = О, так как склд = 0. Значит, по формуле Стокса
У cj — у d(D = 0.
di2 I2
Но
Определение 5. Область называется односвязной, если любой за-
мкнутый путь в ней гомотопен точке (т. е. постоянному пути).
Итак, именно в односвязной области любой замкнутый путь можно
стянуть в точку.
Утверждение 4. Если заданное в односвязной области D поле А
удовлетворяет необходимому условию (3) или (3') потенциальности,
то оно потенциально в D.
◄ В силу утверждения 1 и замечания 1 к нему нам достаточно про-
верить, что равенство (5) имеет место для любого гладкого пути 7 в
области D. Путь 7 по условию гомотопен постоянному пути, носитель
которого состоит из одной точки. Интеграл по такому одноточечному
пути, очевидно, равен нулю. Но в силу утверждения 3 при гомотопии
348
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
интеграл не меняется, значит, и для пути 7 должно быть выполнено
равенство (5). ►
Замечание 3. Утверждение 4 включает в себя утверждение 2. Од-
нако, имея в виду некоторые приложения, мы сочли полезным дать не-
зависимое конструктивное доказательство утверждения 2.
Замечание 4. Утверждение 2 было доказано без ссылки на воз-
можность гладкой гомотопии гладких путей.
5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы
Определение 6. Поле А называется векторным потенциалом
поля В в области D с К3, если в этой области выполняется соотно-
шение В — rot А.
Если вспомнить связь между векторными полями и формами в ев-
клидовом ориентированном пространстве R3, а также определение ро-
тора векторного поля, то соотношение В = rot А можно переписать в
виде си& = dcu^. Отсюда следует, что — da>& = d2aj^ ~ 0. Таким
образом, мы получаем следующее необходимое условие
div В — 0,
которому в области D должно удовлетворять поле В, чтобы оно мог-
ло иметь векторный потенциал, т. е. чтобы оно могло быть ротором
некоторого векторного поля А в этой области.
Поле, удовлетворяющее условию (7), часто, особенно в физике, на-
зывают соленоидальным полем.
Пример 5. В § 1 мы выписали систему (12) уравнений Максвелла.
Второе из уравнений этой системы как раз совпадает с равенством (7).
Таким образом, естественно появляется желание считать магнитное
поле В ротором некоторого векторного поля А — векторного потенци-
ала поля В. Именно к такому векторному потенциалу и переходят при
решении системы уравнений Максвелла.
Как видно из определений 1 и 6, вопросы о скалярном и векторном
потенциале векторных полей (последний вопрос при этом мы ставили
только в R3) являются частными случаями общего вопроса о том, когда
дифференциальная р-форма шр является дифференциалом d(jjp~~x неко-
торой формы
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
349
Определение 7. Дифференциальная форма сор называется точ-
ной в области D, если в этой области существует такая форма о/7-1,
что шр — duP-1.
Если форма сор точна в D, то dcop ~ d2cop 1 = 0. Таким образом,
условие
dtjj — 0
является необходимым условием точности формы си.
Как мы уже видели (пример 4), не всякая форма, удовлетворяющая
этому условию, является точной, поэтому вводится
Определение 8. Дифференциальная форма си называется замк-
нутой в области D, если в этой области она удовлетворяет условию (8).
Имеет место
Теорема (лемма Пуанкаре). Если форма замкнута в шаре, то
она и точна в нем.
Здесь уже речь идет о шаре в Rn и о форме любого порядка, поэтому
утверждение 2 является простейшим частным случаем этой теоремы.
Лемму Пуанкаре можно истолковать и так: необходимое условие (8)
точности формы локально является и достаточным, т. е. для любой точ-
ки области, где выполнено условие (8), найдется такая ее окрестность,
в которой форма си точна.
В частности, если векторное поле В удовлетворяет условию (7), то
из леммы Пуанкаре следует, что по крайней мере локально оно является
ротором некоторого векторного поля А.
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой важной тео-
ремы (желающие прочитают его в гл. XV), а предпочтем в заключение
(опираясь на сведения об 1-формах) пояснить в общих чертах связь
вопроса о точности замкнутых форм с топологией области их задания.
Пример 6. Рассмотрим плоскость R2 с двумя выколотыми точка-
ми pi, р2 (рис. 95) и изображенные на рисунке их носителями пути 70, 71
и 72. Путь 72 в пределах рассматриваемой области D можно стянуть в
точку, поэтому если в D задана замкнутая форма со, то интеграл от нее
по 72 равен нулю. Путь 70 нельзя стянуть в точку, но, не меняя значения
интеграла от формы со, этот путь можно прогомотопировать в путь 71.
350
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Интеграл по пути 71, очевидно, сводится к ин-
тегралу по одному циклу, обходящему по часо-
вой стрелке точку pi, и удвоенному интегралу
по циклу, обходящему точку Р2 против часовой
стрелки. Если через Т± и Т2 обозначить интегра-
лы от нашей формы ш по малым окружностям,
охватывающим соответственно точки pi и р2 и
проходимым, например, против часовой стрел-
ки, то можно понять, что интеграл от формы cj
по любому замкнутому пути в области D будет
равен n\Ti + П2Т2, где п\ и П2 — некоторые це-
лые числа, указывающие, сколько раз и в каком
направлении мы обошли каждую из дырок р1?
Р2 плоскости R2.
Рис. 95.
Окружности ci, С2, зацепляющие pi и р2? служат как бы базисом, в
котором любой замкнутый путь 7 С D, с точностью до не влияющей
на интеграл гомотопии, имеет вид 7 = niCi + П2С2. Величины f и ~ Тг
называют циклическими постоянными или периодами интеграла. Если
область более сложная и в ней имеется к штук независимых простейших
циклов, то в соответствии с разложением 7 = П1С1 + .. -+пьСк получится,
что f со = niTi + ... + п^Тк. Оказывается, для любого набора Ti,...,
7
чисел в такой области можно построить замкнутую 1-форму, которая
будет иметь именно такой набор периодов (это частный случай теоре-
мы Де Рама; см. гл. XV).
Для наглядности мы обратились к рассмотрению плоской области,
но все сказанное можно повторить и для любой области D С Rn.
Пример 7. В полнотории (области, ограниченной в R3 тором)
все замкнутые пути, очевидно, гомотопны сколько-то раз пробегаемой
окружности, охватывающей дырку. Эта окружность и составит здесь
единственный не точечный базисный цикл с.
Более того, все сказанное можно повторить и для путей высших раз-
мерностей. Если вместо одномерных замкнутых путей—отображений
окружности или, что то же самое, отображений одномерной сферы,
брать отображения ^-мерной сферы, ввести для них понятие гомотопии
и смотреть, сколько таких негомотопных между собой отображений к-
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
351
мерной сферы в данную область D С Кп существует, то получится не-
которая характеристика области D, которая в топологии оформляется
в так называемую &-ю гомотопическую группу области D и обозна-
чается 7r^(Z?)- Если все отображения ^-мерной сферы в D гомотопны
постоянному отображению, то считается, что группа (Z?) тривиаль-
на (состоит только из одного элемента). Может так случиться, что
7ti(D) тривиальна, а %2(^) не тривиальна.
Пример 8. Если в качестве D взять пространство R3 с выбро-
шенной из него точкой 0, то, очевидно, любой замкнутый путь в такой
области стягивается в точку, а сферу, охватывающую выброшенную
из R3 точку 0, нельзя в пределах этой области прогомотопировать в
точку.
Оказывается, за периоды замкнутой /с-формы ответственна не со-
всем гомотопическая группа 7Ц;(1)), а так называемая группа гомоло-
гий Hk(D) (см. гл. XV).
Пример 9. Из сказанного можно заключить, что, например, в
области D = R3 \ 0 всякая замкнутая 1-форма точна (R3 \ 0 — одно-
связная область), но не всякая замкнутая 2-форма является точной. На
языке векторных полей это означает, что любое безвихревое поле А
в R3 \ 0 является градиентом некоторой функции, но не всякое поле В
без источников (div В — 0) является в этой области ротором некоторо-
го поля.
Пример 10. В противовес примеру 9 возьмем в качестве обла-
сти D полноторие. Для полнотория группа 7ti(D) не тривиальна (см.
пример 7), а %2(^) тривиальна, поскольку любое отображение f: S'2 ->
—> D двумерной сферы в D в пределах D стягивается в постоянное
(образ сферы стягивается в точку). В этой области не всякое безвихре-
вое поле потенциально, но всякое поле без источников является ротором
некоторого поля.
Задачи и упражнения
1.	Покажите, что любое центральное поле А — /(г)г потенциально.
2.	Пусть F — — gradJ7 — потенциальное силовое поле.
Покажите, что положения устойчивого равновесия частицы в таком поле
находятся в точках минимума потенциала U этого поля.
3.	Для электростатического поля Е система уравнений Максвелла (§1,
(12)), как уже отмечалось, сводится к паре уравнений V • Е = V х # = 0.
352
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Условие V х Е = 0, по крайней мере локально, подразумевает, что Е ~
~ — grad <р. Поле точечного заряда потенциально, а поскольку любое электро-
статическое поле есть сумма (или интеграл) таких полей, то оно тоже всегда
потенциально. Подставляя Е = — в первое из уравнений электростатиче-
ского поля, получим, что его потенциал у? удовлетворяет уравнению Пуассо-
на^ Ду? = Потенциал <р полностью определяет поле Е, поэтому описание
поля Е сводится к отысканию функции <р — решения уравнения Пуассона.
Зная потенциал точечного заряда (пример 2), решите следующую задачу.
а)	Два заряда —д, 4-д находятся в точках (0,0, —d/2), (0,0, d/2) простран-
ства IR3, наделенного декартовыми координатами (x,y,z). Покажите, что на
большом по сравнению с величиной d удалении от этих зарядов потенциал
создаваемого ими электростатического поля имеет вид
1 ? л ( 1 А
= 7'^__зЯ“ + о “з ’
47Г£о г6 \г J
где г — модуль радиус-вектора г точки (ж, y,z).
b)	Удаление от зарядов на большое расстояние равносильно сближению
зарядов, т. е. уменьшению величины d. Если теперь величину qd =: р фик-
сировать и уменьшать с/, то в пределе в области IR3 \ 0 получится функция
(р ~ -уР* Удобно ввести вектор р, равный по величине р и направленный
от — q к +q. Пару зарядов —д, +q и получаемую описанным предельным пере-
ходом конструкцию называют диполем, а вектор р—дипольным моментом.
Полученная в пределе функция <р называется потенциалом диполя. Найдите
асимптотику потенциала диполя при уходе от диполя по лучу, составляющему
угол 0 с направлением дипольного момента.
с)	Пусть — потенциал единичного точечного заряда, a (pi — потенциал
диполя, имеющего дипольный момент pi. Покажите, что (pi — -(Pi • V)y>o-
d)	Конструкцию с предельным переходом, которую мы провели для па-
ры зарядов при получении диполя, можно повторить для четверки зарядов
(точнее, для двух диполей с дипольными моментами pi, и получить ква-
друполь и соответствующий ему потенциал. В общем случае можно получить
мультиполь порядка j с потенциалом (р3 — (-1)Др, • V)(Pj_x • V)...(P1 •
• V)<po =	52 Qiki —где Qiki- так называемые компоненты момен-
i+k+i=j дх дУ dz
та мультиполя. Проведите выкладки и проверьте формулу для потенциала
мультиполя в случае квадруполя.
е)	Покажите, что главный член асимптотики потенциала скопления заря-
дов при удалении от этого скопления равен где Q - суммарный заряд
^С. Д. Пуассон (1781-1840)—-французский механик, математик и физик; основ-
ные работы по теоретической и небесной механике, математической физике и теории
вероятностей. Уравнение Пуассона появилось в его исследованиях гравитационного
потенциала и притяжения сфероидами.
§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
353
скопления.
f)	Покажите, что главный член асимптотики потенциала электрически
нейтрального тела, состоящего из зарядов противоположного знака (напри-
мер, молекула), на большом по сравнению с размерами тела расстоянии от
него равен	• Здесь ег—единичный вектор, направленный из тела на
наблюдателя; р —	где qi— величина г-го заряда, a dz ero радиус-
вектор; начало координат выбрано в одной из точек тела.
g)	Потенциал любого скопления зарядов на большом расстоянии от скоп-
ления раскладывается (в смысле асимптотики) по функциям типа потенциалов
мультиполей. Покажите это на примере первых двух членов такого потенци-
ала (см. d), е) и f)).
4.	Проверьте, односвязны ли следующие области:
а)	круг {(ж, у) € IR2 | х2 + у2 < 1};
Ь)	круг с выколотым центром {(x,t/) 6 IR2 | 0 < х2 + у2 < 1};
с)	шар с выколотым центром {(ж, t/, z) € IR3 | 0 < х2 + у2 + z2 < 1};
d)	кольцо |(x,t/) € IR2 £ < х2 4-1/2 < 11;
е)	шаровое кольцо |(х, г/,z) 6 R3 | ^ < х2 + t/2 + £2 < 11;
f)	полноторие в IR3 .
5.	а) Дайте определение гомотопии пути с закрепленными концами.
Ь) Докажите, что область односвязна тогда и только тогда, когда любые
два пути в ней, имеющие общее начало и общий конец, гомотопны в смысле
определения а).
6.	Покажите, что:
а)	любое непрерывное отображение /: S1 —> S2 окружности S1 (одномер-
ной сферы) в двумерную сферу S2 стягивается по S2 в точку (в постоянное
отображение) ;
Ь)	любое непрерывное отображение f: S2 -> S1 тоже гомотопно отобра-
жению в одну точку;
с)	любое отображение /: S1 -> S1 гомотопно при некотором п Е Z ото-
бражению пу?, где — полярный угол точки окружности;
d)	любое отображение сферы S2 в полноторие гомотопно отображению в
одну точку;
е)	любое отображение окружности 51 в полноторие гомотопно при неко-
тором п Е Z замкнутому пути, пробегающему п раз окружность, охватываю-
щую дырку полнотория.
7.	В области IR3 \ 0 (пространство с выброшенной точкой 0) постройте:
а)	замкнутую, но не точную 2-форму;
Ь)	векторное поле без источников, которое не является ротором какого-
либо векторного поля в этой области.
8.	а) Могут ли в области D = Rn \ 0 (пространство с выброшенной
точкой 0) быть замкнутые, но не точные формы степени р < п — 1?
354
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Ь) Постройте в области D =	\ 0 замкнутую, но не точную форму сте-
пени р = п — 1.
9.	Если 1-форма tv замкнута в области D С Кп, то в силу утверждения 2
любая точка х Е D имеет окрестность U(x), в пределах которой форма tv
точна. Далее tv — замкнутая форма.
а)	Покажите, что если два пути уг: [0,1] —> Z), i = 1,2, имеют одинако-
вые начала и концы и отличаются лишь на промежутке [аг,/?] С [0,1], образ
которого при каждом из отображений лежит в пределах одной и той же
окрестности U(x), то f w = f w.
71	72
b)	Покажите, что для любого пути [0,1] Э t Е D можно указать
такое число 6 > 0, что если путь 7 имеет те же начало и конец, что и путь 7,
и уклоняется от 7 не больше чем на J, т. е. max |7(i) — 7(i)|	<5, то J си = /си.
с)	Покажите, что если два пути 71, 72 с общими началом и концом гомо-
топны в области D как пути с закрепленными концами, то для замкнутой в D
формы си имеет место равенство J cu = J си.
71	72
10.	а) Позднее будет доказано, что любое непрерывное отображение Г:
I2 —> D квадрата I2 можно сколь угодно точно равномерно аппроксимировать
гладким отображением (даже с полиномиальными компонентами). Выведите
отсюда, что если пути 71, 72 в области D гомотопны, то при любом е >
> 0 можно найти такие гладко гомотопные между собой пути 71, 72, что
max |7»(0 - е, г = 1,2.
Ь) Используя результаты задачи 9, покажите теперь, что если интегралы
по гладко гомотопным путям от замкнутой в области D формы равны меж-
ду собой, то они равны и для любых гомотопных в этой области путей (без
предположения о гладкости этой гомотопии). Сами пути, разумеется, предпо-
лагаются настолько регулярными, насколько это нужно для интегрирования
по ним.
11.	а) Покажите, что если формы cup, cup-1, сир-1 таковы, что сир =
= dcup-1 = dcup-1, то (по крайней мере локально) можно указать форму сир~2
такую, что cup-1 — сир-1 + dcup-2. (То, что любые две формы, отличающи-
еся на дифференциал некоторой формы, имеют одинаковый дифференциал,
очевидно, вытекает из равенства с?2си = 0.)
Ь) Покажите, что потенциал р электростатического поля (задача 3) опре-
деляется с точностью до аддитивной постоянной, которая фиксируется, если
потребовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю.
12.	Из системы уравнений Максвелла (§1, (12)) получается следующая па-
ра уравнений магнитостатики: VВ = 0, VхВ = —. Первое из этих урав-
U и	м
нений показывает, что, по крайней мере локально, поле В имеет векторный
потенциал А, т.е. В ~ V х А.
а)	Опишите произвол в выборе потенциала А магнитного поля В (см. за-
§4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ
355
дачу Па)).
Ь)	Пусть ж, у, z — декартовы координаты в К3. Найдите потенциал А од-
нородного магнитного поля В, направленного вдоль оси Ог, при соблюдении
каждого (в отдельности) из следующих дополнительных требований: поле А
должно иметь вид (О, Ау, 0); поле А должно иметь вид (Аж, 0,0); поле А должно
иметь вид (Аж, Ау, 0); поле А должно быть инвариантно относительно пово-
ротов вокруг оси 0z.
с)	Покажите, что выбор потенциала А, удовлетворяющего дополнитель-
ному требованию V-А = 0, сводится к решению уравнения Пуассона, точнее к
отысканию скалярной функции ф, которая при заданной скалярной функции f
удовлетворяет уравнению = /.
d)	Покажите, что если потенциал А статического магнитного поля В вы-
брать так, что V • А = 0, то он будет удовлетворять следующему векторному
уравнению Пуассона: ДА = Таким образом, привлечение потенциалов
позволяет свести отыскание электростатических (задача 3) и магнитостати-
ческих полей к решению уравнения Пуассона.
13.	Известна следующая теорема Гельмгольца1^: любое гладкое в обла-
сти D евклидова ориентированного пространства К3 поле F можно разло-
жить в сумму F — Fi + безвихревого поля F± и соленоидального поля Fz>
Покажите, что построение такого разложения можно свести к решению неко-
торого уравнения Пуассона.
14.	Пусть данная масса некоторого вещества переходит из состояния, ха-
рактеризуемого термодинамическими параметрами Vo, Ро, (То), в состояние
V, Р, (Т). Предположим, что процесс протекает медленно (квазистатически) и
идет по пути 7 плоскости состояний (с координатами V, Р). В термодинамике
доказывается, что величина S — f где 8Q — форма теплообмена, зависит
7
только от начала (Vo,Po) и конца (V,F) пути, т.е. после фиксирования одной
из этих точек, например (Vb,Fo), S становится функцией состояния (V,Р)
рассматриваемой системы. Эта функция называется знтропией системы.
а)	Выведите отсюда, что форма си = является точной, причем cu = dS.
b)	Используя указанный в задаче 6 § 1 гл. XIII вид формы 6Q для идеаль-
ного газа, найдите энтропию идеального газа.
§ 4. Примеры приложений
Чтобы показать введенные выше понятия в работе, а также пояс-
нить физический смысл формулы Гаусса - Остроградского - Стокса как
^Г. Л. Ф. Гельмгольц (1821 -1894) немецкий физик и математик, один из перво-
открывателей общего закона сохранения энергии. Кстати, именно он впервые четко
разделил понятия силы и энергии.
356
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
закона сохранения, мы рассмотрим здесь в качестве иллюстрации вы-
вод некоторых важных уравнений математической физики.
1.	Уравнение теплопроводности. Изучается скалярное поле
Т = T(X)y,z,t) температуры наблюдаемого тела как функция точки
(я, у, z) тела и времени t. В результате теплообмена между различны-
ми частями тела поле Т может как-то меняться. Однако это изменение
не произвольно, а подчинено определенному закону, который мы и хо-
тим в явном виде выписать.
Пусть D- некоторая объемная часть наблюдаемого тела, ограни-
ченная поверхностью S. Если в D нет источников тепла, то изменение
внутренней энергии содержащегося в D вещества может происходить
только в результате теплообмена, т. е. в данном случае путем переноса
энергии через границу S области D.
Подсчитав отдельно изменение внутренней энергии в объеме D и
поток энергии через поверхность 5, мы на основе закона сохранения
энергии приравняем эти величины и получим нужное соотношение.
Известно, что для увеличения на АТ температуры однородной мас-
сы тп требуется тепловая энергия в количестве cm АТ, где с — удельная
теплоемкость рассматриваемого вещества. Значит, если за промежу-
ток времени At наше поле Т изменилось на величину АТ — Т(х, y^z^t +
+ At) — Т(х,у, £,t), то внутренняя энергия в области D изменилась на
величину
cp^TdV,	(1)
D
где р — р(ж, у, z) —плотность вещества.
Из эксперимента известно, что в достаточно большом диапазоне
изменения температур количество тепла, протекающее в результате
теплообмена через выделенную в теле площадку da = п da за едини-
цу времени, пропорционально потоку — grad Т • da поля — grad Т через
эту площадку (grad берется по пространственным переменным ж, у, г).
Коэффициент к пропорциональности зависит от вещества и называ-
ется его коэффициентом теплопроводности. Знак минус перед grad Г
отвечает тому, что энергия переходит от более нагретых частей тела
к менее нагретым. Таким образом, за промежуток времени At через
границу S области D в сторону внешней нормали пройдет следующая
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ
357
(2)
энергия (с точностью до o(At)):
At	— к grad Т da.
s
Приравнивая величину (1) ко взятой с противоположным знаком
величине (2) после деления на At и перехода к пределу при At —> О,
получаем
(3)
D	S
Это равенство и является уравнением на функцию Т. Считая Т до-
статочно гладкой, преобразуем равенство (3), используя формулу Гаус-
са - Остроградского:
/[f cpl)t	div(A: sradT)dV-
D	D
Отсюда ввиду произвольности области очевидно, следует, что
(4)
ср— = div(A:gradT).
С7 L
Мы получили дифференциальный вариант интегрального равенст-
ва (3).
Если бы в области D были источники (или стоки) тепла, интенсив-
ность которых имела бы плотность F(x, у, z, t), то вместо равенства (3)
мы должны были бы написать равенство
к grad Т • dcr + ш F dV,	(3')
D	S	D
и тогда вместо (4) мы получили бы уравнение
(4')
cpTt
Если тело считать изотропным и однородным в смысле его тепло-
проводности, то коэффициент к будет постоянной и уравнение (4) пре-
образуется к следующему каноническому виду:
dt ~а
(5)
358
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
где f = а2 = ^ — коэффициент температуропроводности. Урав-
нение (5) называется обычно уравнением теплопроводности.
В случае установившегося режима теплообмена, когда поле Т не
зависит от времени, это уравнение превращается в уравнение Пуассона
ЛТ = у>,
(6)
где tp = —-W, а если еще и 'тепловых источников в теле не было, то
а
получается уравнение Лапласа
ДТ = 0.
(7)
Решения уравнения Лапласа, как уже отмечалось, называют гармо-
ническими функциями. В теплофизической интерпретации гармониче-
ские функции отвечают установившимся температурным полям в те-
лах, тепловые потоки в которых идут без стоков и источников в самих
телах, т. е. источники тепла находятся вне тела. Например, если на гра-
нице dV тела V поддерживать заданный тепловой режим = г, то
со временем температурное поле в теле V стабилизируется в виде неко-
торой гармонической функции Т. Такая интерпретация решений урав-
нения Лапласа (7) позволяет предугадать ряд свойств гармонических
функций. Например, надо полагать, что гармоническая в области V
функция не может иметь внутри этой области локальных максимумов,
иначе бы из этих более нагретых участков тепло только утекало и они
бы охлаждались вопреки предположению о том, что поле стационарно.
2.	Уравнение неразрывности. Пусть р~р(х, у, z, t) плотность
некоторой материальной среды, заполняющей наблюдаемое простран-
ство, a v =	t)—поле скоростей движения среды как функция
точки (ж, у, z) пространства и времени t.
Исходя из закона сохранения количества вещества, пользуясь фор-
мулой Гаусса-Остроградского, укажем взаимосвязь этих величин.
Пусть D — область в наблюдаемом пространстве, ограниченная по-
верхностью S. За промежуток времени At количество вещества в обла-
сти D изменяется на величину
ШМх’у’
D
§4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ
359
За малый промежуток времени At поток вещества через поверхность S
в сторону внешней нормали к S равен (с точностью до o(At)) величине
At-
S
Если в области D не было источников и стоков, то в силу закона
сохранения количества вещества
Щ SpdV = -At Ц pv • da
d	s
или в пределе при At —> О
I IK—11'—
D	S
Применяя к правой части этого равенства формулу Гаусса - Остро-
градского и учитывая, что D — произвольная область, заключаем, что
для достаточно гладких функций р, v должно выполняться соотноше-
ние
|? = -div(pv),	(8)
(Ум
называемое уравнением неразрывности сплошной среды.
В векторных обозначениях уравнение неразрывности запишется в
виде
+ V • (pv) = 0,	(8')
(УС
или, в более развернутом виде,
+ v • Vp + pV • v = 0.	(8")
at
Если среда несжимаема (жидкость), то объемный расход среды че-
рез замкнутую поверхность S должен быть нулевым:
v • da = 0,
s
360
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
откуда (на основании той же формулы Гаусса - Остроградского) следу-
ет, что для несжимаемой среды
div v — 0.
Значит, для несжимаемой среды переменной плотности (вода и ма-
сло) уравнение (8") приводится к виду
^ + «.Vp = o.
at
(10)
Если среда еще и однородна, то Vp — 0, и потому — 0.
3.	Основные уравнения динамики сплошной среды. Выве-
дем теперь уравнения динамики движущейся в пространстве сплош-
ной среды. Наряду с уже рассмотренными выше функциями р, v, ко-
торые и здесь будут обозначать плотность и скорость среды в данной
точке (гг, у, ;гг) пространства в момент времени £, рассмотрим давление
р ~ р(х, у, z, t) как функцию точки пространства и времени.
Выделим в пространстве, занятом средой, область /?, ограничен-
ную поверхностью S, и рассмотрим силы, действующие на выделенный
объем среды в фиксированный момент времени.
На каждый элемент pdV массы среды могут действовать некото-
рые силовые поля (например, гравитационное). Эти поля создают так
называемые массовые силы. Пусть F — F(x, у, z, t) плотность созда-
ваемых внешними полями массовых сил. Тогда со стороны таких полей
на элемент массы pdV действует сила FpdV. Если указанный элемент
в рассматриваемый момент времени имеет ускорение а, то по закону
Ньютона это эквивалентно наличию еще массовой силы инерции, рав-
ной —apdV.
Наконец, на каждый элемент da = п da поверхности S со сторо-
ны частиц среды, соседних с попавшими в /?, действует поверхностная
сила —pda^ вызванная давлением (здесь п внешняя нормаль к S).
По принципу Даламбера в каждый момент движения любой матери-
альной системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции,
взаимно уравновешиваются, т. е. их равнодействующая должна быть
равна нулю. В нашем случае это означает, что
pda = 0.
D	S
(11)
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ
361
Первый член этой суммы есть равнодействующая массовых сил и
сил инерции, а второй дает равнодействующую давления на поверх-
ность S, ограничивающую рассматриваемый объем. Мы для простоты
считаем, что имеем дело с идеальной (не вязкой) жидкостью или га-
зом, в которых давление на площадку da имеет вид pdcr, где число р
не зависит от ориентации площадки в пространстве.
Применяя формулу (10) из § 2, на основании равенства (11) получаем
grad pdV = 0,
D	D
откуда ввиду произвольности области 2?, очевидно, следует, что
pa = pF — gradp.
(12)
В таком локальном виде уравнение движения среды вполне соответ-
ствует уравнению Ньютона движения материальной частицы.
Ускорение а частицы среды есть производная от скорости v этой
частицы. Если х = •£(£), у = у(^),	= z(t) —закон движения частицы в
пространстве, a v = v(x,y,z,t)—поле скоростей среды, то для любой
индивидуальной частицы получаем
dv dv dv dx dv dy dv dz
dt dt + dx dt + dy dt dz dt
или
z _x
„ = __ + (o. V)„.
Таким образом, уравнение движения (12) приобретает следующую
форму:
dv __	1	_
— = F - - gradp
dt	р
или
dv	1
—- + (v • V)v = F Vp.
at	p
(13)
(14)
Уравнение (14) обычно называется гидродинамическим уравнением
Эйлера.
362
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Векторное уравнение (14) равносильно системе трех скалярных
уравнений на три компоненты вектора v и еще на пару функций р, р.
Таким образом, уравнение Эйлера еще не вполне определяет движе-
ние идеальной сплошной среды. К нему, правда, естественно добавить
уравнение неразрывности (8), но и тогда система еще будет недоопре-
делена.
Чтобы движение среды стало определенным, к уравнениям (8) и (14)
следует добавить еще информацию о термодинамическом состоянии
среды (например, уравнение состояния f(p,p,T) — 0 и уравнение на
теплообмен). Представление о том, что могут дать эти соотношения,
читатель получит из следующего заключительного пункта этого пара-
графа.
4.	Волновое уравнение. Рассмотрим теперь движение среды, со-
ответствующее распространению в ней звуковой волны. Ясно, что та-
кое движение тоже подчиняется уравнению (14), но благодаря специ-
фике явления это уравнение в данном случае можно упростить.
Звук есть чередующиеся состояния разрежения и уплотнения сре-
ды, причем отклонения давления от его среднего значения в звуковой
волне очень малы — порядка 1 %. Поэтому звуковое движение состоит в
малых отклонениях элементов объема среды от положения равновесия,
совершаемых с малыми скоростями. Однако скорость распростране-
ния возбуждения (волны) по среде соизмерима со средней скоростью
движения молекул среды и обычно значительно превышает скорость
теплообмена между различными частями рассматриваемой среды. Та-
ким образом, звуковое движение объема газа можно рассматривать как
малые колебания около положения равновесия, совершаемые без тепло-
обмена (адиабатический процесс).
Ввиду малости самих макроскопических скоростей г, пренебрегая
в уравнении движения (14) членом (v • V)v, получаем равенство
Если по той же причине пренебречь членом вида то последнее
равенство приводится к уравнению
д , х
- (pv) = pF- Vp.
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ
363
Применив к нему оператор V (по координатам ж, у, г), получим
dt
Используя уравнение неразрывности (8') и введя обозначение
V • pF = — Ф, приходим к уравнению
(15)
dt2
Если влиянием внешних полей можно пренебречь, то уравнение (15)
сводится к соотношению
(16)
dt2
между плотностью и давлением в звучащей среде. Поскольку процесс
адиабатический, уравнение состояния	~ 0 сводится к некото-
£12
рому соотношению р = ^(р), из которого следует, что = ф1{р}—? +
dir	дъ
+ фи(р) (й) • ВвиДУ малости колебания давления в звуковой волне
можно считать, что ф'(р) = ^Чро), где ро — равновесное давление. То-
я2
гда ф" = 0 и « Ф’(р)—2 * Упитывая это, из (16) получаем оконча-
dt	dt
тельно
(17)
<Э2р _ 2 д
dt2 - а
где а = {ф1 (ро))”1/2• Это уравнение описывает изменение давления в
среде, находящейся в состоянии звукового движения. Уравнение (17)
описывает простейший волновой процесс в сплошной среде. Оно назы-
вается однородным волновым уравнением. Величина а имеет простой
физический смысл: это скорость распространения звукового возбужде-
ния в данной среде, т.е. скорость звука в ней (см. задачу 4).
В случае вынужденных колебаний, когда на каждый элемент объема
среды действуют некоторые силы, объемная плотность распределения
которых задана, уравнение (17) заменяется соответствующим уравне-
нию (15) соотношением
dt2 ' ' J ’
которое при /	0 называют неоднородным волновым уравнением.
(18)
364
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Задачи и упражнения
1. Пусть поле скоростей v движущейся сплошной среды потенциально. По-
кажите, что если среда несжимаема, то потенциал <р поля v является гармо-
нической функцией, т.е. Ду? = 0 (см. (9)).
2. а) Покажите, что уравнение Эйлера (14) можно переписать в виде
— v х rot v = F--gradp
Р
(см. задачу 1 к § 1).
Ь)	Проверьте, исходя из полученного в а) уравнения, что безвихревое те-
чение (rot v — 0) однородной несжимаемой жидкости возможно только в по-
тенциальном поле F.
с)	Оказывается (теорема Лагранжа), если в какой-то момент течение в
потенциальном поле F = grad U было безвихревым, то оно было и будет без-
вихревым всегда. Такое течение, следовательно, по крайней мере локально
потенциально, т.е. v = grad<p. Проверьте, что для потенциального течения
однородной несжимаемой жидкости, происходящего в потенциальном поле F,
в каждый момент времени выполняется соотношение
, /др	v2	р тт\	л
grad -г + — + --1/ =0.
\ dt	2	р J
d)	Выведите из полученного равенства так называемый интеграл Коши
др v2 р тт
— соотношение, утверждающее независимость левой его части от простран-
ственных координат.
е)	Покажите, что если течение к тому же и установившееся, т. е. поле v
не зависит от времени, то имеет место соотношение
v2 р
_j----и — const,
2 р
называемое интегралом Бернулли.
3.	Течение, поле скоростей которого имеет вид v — (г>ж, иуу 0), естественно
назвать плоскопараллельным или просто плоским течением.
а)	Покажите, что условия divv — 0, rotv = 0 несжимаемости и потенци-
альности для плоского течения имеют соответственно следующий вид:
_ п 9ух дуу _
дх ду ’ ду дх
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ
365
b)	Покажите, что эти уравнения по крайней мере локально гарантиру-
ют существование функций 2/) и	таких, что (—Vy,vx) = grad^ и
(vx,vv) =grad<p.
с)	Проверьте, что линии уровня <р = Ci, ip = С2 этих функций ортого-
нальны и покажите, что в установившемся потоке линии tp = с совпадают с
траекториями движущихся частиц среды. Именно поэтому функцию назы-
вают функцией тока^ в отличие от функции tp — потенциала скоростей.
d)	Покажите, в предположении достаточной гладкости функций tp,tp, что
обе они являются гармоническими функциями и удовлетворяют системе урав-
нений Коши - Римана:
dtp _ dtp	dtp	dtp
dx dy1 dy	dx‘
Гармонические функции, удовлетворяющие системе Коши - Римана, называют
сопряженными гармоническими функциями.
е)	Проверьте, что функция f(z) = (tp + г^)(я, ?/), где z — х + iy, является
дифференцируемой функцией комплексного переменного z. Это и определяет
связь плоских задач гидромеханики с теорией функций комплексного пере-
менного.
4.	Рассмотрим простейший вариант	волнового уравнения
(17)	. Это случай плоской волны, в которой давление зависит только от коор-
динаты х точки (x,y,z) пространства.
а)	Сделав замену переменных и = х — at, v — х + at, приведите это уравне-
ние к виду — 0 и покажите, что общий вид решения исходного уравнения
таков: р = f(x + at) + g(x — at), где /, g— произвольные функции класса .
Ь)	Истолкуйте полученное решение как две волны f(x) и д(х), распростра-
няющиеся соответственно влево и вправо вдоль оси 0# со скоростью а.
с)	Считая, что и в общем случае (17) величина а есть скорость распро-
странения возбуждения, и учитывая соотношение а = (tpf(ро))-1/2, найдите,
вслед за Ньютоном, скорость сд- звука в воздухе, полагая, что температура в
звуковой волне постоянна, т. е. полагая, что процесс звуковых колебаний явля-
ется изотермическим. (Уравнение состояния р = R = 8,31 гра^.^^—
универсальная газовая постоянная; р = 28,8	— молекулярный вес возду-
ха. Расчет проведите для воздуха, находящегося при температуре О °C, т.е.
Т = 273 К. Ньютон нашел, что сд- = 280 м/с.)
d)	Считая процесс звуковых колебаний адиабатическим, найдите, вслед за
Лапласом, скорость с/- звука в воздухе и уточните тем самым результат см
Ньютона. (При адиабатическом процессе р = сру. Это формула Пуассона из
задачи 6 к §1 гл. XIII. Покажите, что если cn — то cl = 7^J. Для
воздуха 7 « 1,4. Лаплас нашел cl = 330 м/с, что превосходно согласуется с
опытом.)
5.	Используя скалярный и векторный потенциалы, систему уравнений
366
ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Максвелла ((12) § 1) можно свести к волновому уравнению (точнее, к несколь-
ким однотипным волновым уравнениям). Решив эту задачу, вы убедитесь в
сказанном.
а)	Из уравнения V • В = 0 вытекает, что, по крайней мере локально, В =
= V х А, где поле А — векторный потенциал поля В.
Ь)	Зная, что В = V х А, покажите, что из уравнения V х Е = —
следует, что, по крайней мере локально, найдется скалярная функция <р такая,
что Е = —V<p —
с)	Проверьте, что поля Е = —V<p — и В — V х А не изменятся, если
вместо пары А взять другую пару потенциалов £>, А, такую, что р ~ р —	,
А ~ А + Vip, где ip— произвольная функция класса С№.
d)	Из уравнения S7-E = вытекает первое соотношение —V2<p—J^V-A =
= между потенциалами р и А.
е)	Из уравнения c2V х В —	= 2- вытекает второе соотношение
-c2V2A + c2V(V • А) + W
dt dt2 s0
между потенциалами р и А.
f)	Используя с), покажите, что, решив вспомогательное волновое уравне-
ние Aip + f —	не меняя полей Е и В, можно выбрать потенциалы р
и А так, чтобы они удовлетворяли дополнительному (так называемому кали-
бровочному) условию V • А = —
g)	Покажите, что если потенциалы р и А выбраны так, как сказано в f),
то из d) и е) получаются искомые неоднородные волновые уравнения
d2p
di2
= с2 Др +
рс2
£о
а2 а
dt2
= с2ДА +
£о
на потенциалы р и А. Найдя р и А, найдем и поля Е — V<p, В = V х А.
* ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
§ 1.	Некоторые напоминания из линейной алгебры
1.	Алгебра форм. Пусть X—линейное пространство, a F.
Хк —> R — вещественнозначная fc-форма на X. Если ei,...,en— базис
в X, a xi = хг1ег1,..., Хк = хгкегк —разложение векторов xi,..., Хк Е X
по этому базису, то в силу линейности Fk по каждому аргументу
Fk(xi,...,xk) = Fk(xlletl,...,xlkelk) =
= Fk(etl,...,etk)x11
хгк — аг1 г,хг1 • ... • хгк. (1)
Таким образом, после задания базиса в X, fc-форму Fk: Хк -4- R
можно отождествить с набором чисел аг1..лк =	,..., elfc).
Если ei,..., еп — другой базис в X и а31...3к = Fk(e311... ^e3k)^ то,
полагая е3 = с*ег, j = 1,... , п, находим (тензорный) закон
— & (С/А’ * * *	— аИ-лкс3\ * • • • ’ сзк
преобразования числовых наборов аг1 гЛк, а31...3к, отвечающих одной и
той же форме Fk.
Множество ~ {Fk: Xk —> R} fc-форм на линейном пространст-
ве X само является линейным пространством относительно стандарт-
ных операций
(Fk + Fk)(x) :=Fk(x)+F2k(x),
(XFk)(x) :=XFk(x)
(3)
(4)
368
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
сложения А:-форм и умножения /г-формы на число.
Для форм F1 произвольных степеней к и I определяется следу-
ющая операция 0 их тензорного произведения:
(F 0 F )(з?1,..., х^, Xk+i,..., Xk+i) :
— F	, Xfc)F (a7fc+i, •.. , Xfc+i). (5)
Таким образом, Fk 0 Fl является формой Fk+l степени к +1. Оче-
видны соотношения:
(XFk) 0 Fl - A(Ffc 0 Fl),	(6)
(F^ + F2fc) 0 Fl - Fk ®Fl+ F2 0 Fz,	(7)
Fk 0 (F{ + F[) = Fk0 F[ + Fk0 F^	(8)
(Fk 0 Fl) 0 Fm = Fk 0 (Fl 0 Fm).	(9)
Итак, множество F — {Ffc} форм на линейном пространстве X
относительно введенных операций является градуированной алгеброй
F = 0 в которой линейные операции выполняются в пределах каж-
к
дого входящего в прямую сумму пространства и если Fk Е Fk,
Fl Е Fl, то Fk 0 Fl Е Fk+l.
Пример 1. Пусть X* — сопряженное к X пространство (состоя-
щее из линейных функций на X) и е1,..., еп — базис в X*, взаимный с
базисом ei,... ,еп в А, т.е. ег(е3) = S*.
Поскольку ег(х) — ег(х3е3) =	= х3дг3 — хг, то, учитывая (1)
и (9), любую Aj-форму Fk: Хк —> R можно записать в виде
Fk =	0... 0ен.
(Ю)
2.	Алгебра кососимметрических форм. Рассмотрим теперь
в Fk подпространство кососимметрических fc-форм, т.е. о) Е
если для любых различных индексов i,j Е	имеет место ра-
венство
, . . . , Х<1, . . . , Ху , ... , Xfc^	(х?(з71,..., Хд, . . . , X<i, . . . , Xfc}.
Из любой формы Fk Е Fk можно получить кососимметрическую
форму с помощью операции A: Fk альтернирования форм, опре-
деляемой соотношением
AF\X1, ...,хк):= ^Fk(xtl,...,	(11)
Л/ •
§1. АЛГЕБРА ФОРМ
369
где
{1, если подстановка (г11"'г^) четная,
— 1, если подстановка (^ ‘ ^) нечетная,
О, если (i1 ”г£) —не подстановка.
Если Fk — кососимметрическая форма, то, как видно из (11), AFk —
_ рк таким образом, A{AFk) = AFk и Aiv = си, если cu 6 Значит,
A : Fk Q>k является отображением Fk на
Сопоставляя определения (3), (4), (И), получаем
A(Fk + Fk) = AFk + AF$,
A(XFk) — XAFk.
(12)
(13)
Пример 2. С учетом соотношений (12), (13) из разложения (10)
получается, что
AFk = аг^ЛкА(ег^...®егк),
поэтому интересно найти А(ег1 0 ... 0 elfc).
Из определения (11) с учетом того, что ег(х) — х\ находим
А(ел 0 ... 0 ел)(£1,... ,хк) = T7e,?1(^i) ’ • • • * e34xtkWi."kk =
к\
ЗкхП--гк _
Хгк°1..к ~
(14)
^к
Тензорное произведение кососимметрических форм, вообще говоря,
уже не является кососимметрической формой, поэтому в классе косо-
симметрических форм вводится следующая операция А их внешнего
произведения:
шк A IV1 := ^к^'А(шк ® <</)
Л » V •
(15)
Таким образом, шк Л со1 есть кососимметрическая форма шк+1 сте-
пени к +1.
370
ГЛ XV ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Пример 3. Опираясь на результат (14) примера 2, из определе-
ния (15) находим
ег1 Лег2(х1,х2) =	^>et2)(xi,x2) =
_ ег1(2?1) ег2(ж1)
ег1(ж2) е12(х2)
Хт2
^г2
х2
(16)

Пример 4. Используя полученное в примере 3 равенство, соотно-
шение (14) и определения (11), (15), можно написать, что
ег1 А (ег2 Легз)(х1,х2,х3) =
Л(ег1 ® (е12 Легз))(х!,х2,х3) =
3!
1!2!
Л2
„ \rfU2j3 _ ДЦ
321 х3з)О1 2 3 — 2l J1
= X?
^2
х2
тг2
х3
х2
~АЗ
— Х%
£
zy.^2 „гз
Jb 1 Jb i
~г2	^г3
Хг2
32
х\2
~г2
т12
х2
х\3
32
х*
32
х*
х2
А'
х2
<у.М
х3
tflj2j3 „
°1 2 3 —
19
Ж1
12
Х2
тг2
хз
~Аз
Х1
~Аз
х2
~Аз
х3
Аналогичная
выкладка показывает, что
Л1
з
е11 Л (е12 Л егз) = (ег1 Л е’2) Л егз.	(17)
Используя разложение определителя по столбцу, на основании прин-
ципа индукции заключаем, что
ё11 A...Ael*(a;i,...,a;fc) =
ell(a?i) ... eZk(xi)
ell(xk) ... eZk(xk)
(18)
причем, как видно из проведенных выкладок, формула (18) справедлива
для любых 1-форм е11,..., егк (не обязательно базисных форм простран-
ства X*).
§1. АЛГЕБРА ФОРМ
371
Учитывая перечисленные выше свойства тензорного произведения
и альтернирования форм, получаем следующие свойства внешнего про-
изведения кососимметрических форм:
+ ш*) А и1 = А и1 + и>2 л	(19)
(Awfc) A<J = А(</A(J),	(20)
шк Л и1 = (~l)klul Л шк,	(21)
(ик Ли1) Лит = ик Л (и? Лшга).	(22)
◄ Равенства (19), (20), очевидно, следуют из соотношений (6)-(8)
и (12)’(13)-
Из соотношений (10) (14) и (17) для любой кососимметрической
формы и = аг1„Лкег1 ® . 0 егк получаем
и = Аы = аг^ЛкА(ег1 ®	® егк) = льеЧ Л ... Л еч.
Используя уже доказанные равенства (19), (20), теперь для доказа-
тельства равенств (21), (22) их достаточно проверить лишь для форм
вида е11 Л ... Л е1к.
Ассоциативность (22) для таких форм уже установлена равенст-
вом (17).
Из равенства (18) и свойств определителей для указанных специаль-
ных форм немедленно получаем соотношение (21). ►
Заодно мы показали, что любая форма cv Е может быть предста-
влена в виде
и = 5L аг1...г,ег1 A...AeJfc.	(23)
Итак, множество Q = {Qfc} кососимметрических форм на вектор-
ном пространстве X относительно линейных операций (3), (4) и внеш-
dim X
него умножения (15) является градуированной алгеброй Q —
k=9
Линейные операции на Q выполняются в пределах каждого линейного
пространства Qfc, и если ик Е Е fl1, то ivk Л ivl Е £1к+1.
В прямой сумме ф flfc суммирование ведется от нуля до размерно-
сти пространства X, поскольку кососимметрические формы сек: Хк —>
R, степень которых выше размерности линейного пространства X,
обязательно тождественно равны нулю, что видно из соотношения (21)
(или из соотношений (23) и (18)).
13-4574
372
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
3.	Линейные отображения линейных пространств и сопря-
женные отображения сопряженных пространств. Пусть X
и Y—линейные пространства над полем R вещественных чисел (или
над любым иным, но одним и тем же для X и Y полем) и пусть I: X
У —линейное отображение X в У, т.е. для любых х,х\,Х2 Е X и
любого числа А Е R выполнено
1(х± + x<z) = Hxi) + /(^2) и l(Xx)~Xl{x).	(24)
Линейное отображение I: X —> У естественным образом порождает
сопряженное с ним отображение Г: Fy Fx множества Fy заданных
на У полилинейных форм в аналогичное множество F%. Если Fy—
/г-форма на У, то по определению
(/*Fy)(a;i,... ,хк) :=	(25)
Из (24) и (25) видно, что l*Fy есть fc-форма F^ на пространст-
ве X, т.е. l*(Fy) С Fy. Более того, если форма Fy была кососим-
метрической, то форма (l*Fy) = Fy тоже кососимметрическая, т.е.
Z*(Qy) С Qy. Отображение I* в пределах каждого линейного простран-
ства Fk или Qy, очевидно, линейно, т. е.
l*(Fk + F2fc) - l*Fk + Z*F2* и l\XFk) = XI* Fk. (26)
Сопоставляя теперь определение (25) с определениями (5), (11), (15)
тензорного произведения, альтернирования и внешнего произведения
форм, заключаем, что
l*(Fp 0 F9) = (fFp) 0 (№),	(27)
l*(AFp) = A(l*Fp),	(28)
l*(up A^) = (l*up) A (Z*^).	(29)
Пример 5. Пусть еу..., em базис в JV, ey ..., en —базис в У, a
Z(eJ — c^e^, i Е {l,...,m}, j E {l,...,n}. Если fc-форма Fk в базисе
еу..., en имеет координатное представление
FyIUi, •,Ук) =	 Укк,
гДе bn-jk =	то
(l*F^xr,...,xk)

k J
§1. АЛГЕБРА ФОРМ
373
где аг1..Лк = Ь^..^ <%, поскольку
Пример 6. Пусть ех,...,ет и е1,.с71 базисы сопряженных
пространств X*, У*, взаимные (или сопряженные) с указанными в при-
мере 5 базисами пространств X и У соответственно. В условиях при-
мера 5 получаем
(/*{?)(#) = (Гё7)(а;гег) = ё^(Лег) — хге?((%ек) —
= хгс^Р(е^) — ^гс^63к = с?гхг ~ с?ег(х).
Пример 7. Сохраняя обозначения примера 6 и учитывая соотно-
шения (22), (29), теперь получаем
Принимая во внимание равенства (26), отсюда можно сделать вывод,
что вообще
$2 аг1.„гкег1 Л... Легк.
374
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Задачи и упражнения
1.	Покажите на примерах, что, вообще говоря,
a)	Fk 0 Fl F1 0 Fk;
b)	A(Fk 0 Fl) ± AFk 0 AF1;
с)	если Fk,Fl Е Q, то не всегда Fk 0 Fl Е
2.	а) Покажите, что если ei,..., еп — базис линейного пространства X, а
линейные функции ex,...,en на X (т.е. элементы сопряженного к X прост-
ранства X*) таковы, что е3(ег) =6^ то е1,... ,еп —базис в X*.
Ь)	Проверьте, что из fc-форм вида е21 0 ... 0 егк можно образовать базис
пространства Fk = Fk(X) и найдите размерность (dimT7*) этого пространс-
тва, зная, что dimX = п.
с)	Проверьте, что из форм вида еч А ... А егк можно образовать базис
пространства = (lfc(X) и найдите dimfifc, зная, что dimX = п.
к=п
d)	Покажите, что если Q = ф то dimfi — 2П.
к=0
3.	Внешняя (грассманова1^) алгебра G над линейным пространством X и
полем Р (обозначаемая обычно символом /\(Х) в соответствии с символом А
операции умножения в G) определяется как ассоциативная алгебра с едини-
цей 1, обладающая следующими свойствами:
1°	G порождается единицей 1 и X, т. е. любая подалгебра в G, содержащая
1 и X, совпадает с G;
2°	х А х = 0 для любого вектора х Е X;
3°	dimG = 2dimX.
а)	Покажите, что если ei,..., еп — базис в X, то совокупность 1, ег,..., еп,
ei А 62,. -., en_i А еп,..., ei А ... А еп элементов G вида А ... А егк =: е/, где
I = {гх < ... < ik] с {1,2,..., п}, образует базис в G.
Ь)	Исходя из полученного в а) результата, можно провести следующее
формальное построение алгебры G — /\(Х).
Для указанных в а) подмножеств I =	множества {1,2,... , п}
образуем формальные элементы е/, (отождествляя с ег, ае# с 1), кото-
рые примем за базис линейного пространства G над полем Р. Умножение в G
определим формулой
^Г. Грассман (1809 -1877) — немецкий математик, физик и филолог; ему, в частно-
сти, принадлежит первое систематическое построение учения о многомерном линей-
ном и евклидовом векторном пространствах, а также само определение скалярного
произведения векторов.
§2. МНОГООБРАЗИЕ
375
где e(I,J) = sgn JJ (j—г). Проверьте, что при этом получается грассманова
алгебра /\(Х).
с)	Докажите единственность (с точностью до изоморфизма) алгебры
АРО-
к=71	£
d)	Покажите, что алгебра Д(Х) градуирована: Д(Х) = ф Д РО, гДе
к=0
Д*(Х)— линейная оболочка элементов вида Л ... Л elfc; при этом, если а Е
€ ДР(Х), а b € Д9(Х), то а Л b Е Др+9(Х). Проверьте, что а Л b = (—l)pqb Л а.
4. Пусть А: X —> Y — линейное отображение пространства X в прост-
ранство Y. Покажите, что существует единственный гомоморфизм Д(А) :
Д(Х) —> Д(У) из Д(Х) в Д(У), совпадающий с А на подпространстве Д'(X) с
С Д(Х), отождествляемом с X.
Ь)	Покажите, что гомоморфизм Д(А) переводит Д/г(Х) в Д/г(У). Ограни-
чение Д(Д) на /\к(Х) обозначают через Д/г(А).
с)	Пусть {ег; i = 1,... ,т}—базис в X, а {е3\ j = 1,... ,п}— базис в У,
и пусть оператору А в этих базисах отвечает матрица (а*). Покажите, что
если {еу; I С {1,..., ™}}> {</; J С {1, ..., п}} — соответствующие базисы про-
странств Д(Х) и Д(У), то матрица оператора Д/г(А) имеет вид aj = det(aj),
i Е I, j E J, где card I = card J — k.
d)	Проверьте, что если A: X —> У, В: У —> Z — линейные операторы, то
справедливо равенство Д(В о А) = Д(В) о Д(А).
§ 2. Многообразие
1.	Определение многообразия
Определение 1. Хаусдорфово топологическое пространство со
счетной базой топологии1) называется п-мерным многообразием, если
любая его точка имеет окрестность U, гомеоморфную либо всему про-
странству Rn, либо полупространству Нп = {х Е | х1 0}.
Определение 2. Отображение 99:	> U С М (или 99: Нп —>
—> U С М), осуществляющее указанный в определении 1 гомеомор-
физм, называется локальной картой многообразия М, №п(Нп) — обла-
стью параметров, a U — районом или областью действия карты на
многообразии М.
Локальная карта наделяет каждую точку х Е U координатами со-
ответствующей ей точки t = ip~x(x) Е Rn. Таким образом, в районе U
См. гл. IX, §2, а также замечания 2, 3 настоящего параграфа.
376
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
действия карты вводится локальная система координат, и потому ото-
бражение или, в более развернутой записи, пара (С7,99) в самом при-
вычном смысле слова является картой района U.
Определение 3. Набор карт, районы действия которых в сово-
купности покрывают все многообразие, называется атласом много-
образия.
Пример 1. Сфера S2 = {х Е R3 | |ж| — 1} является двумерным
многообразием. Если S2 интерпретировать как поверхность Земли, то
атлас географических карт будет атласом многообразия S2.
Одномерная сфера S1 = {х Е R2 | |гг| — 1} — окружность в В2,
очевидно, является одномерным многообразием. Вообще, сфера Sn =
= {.г 6 Rn+1 | |ж| = 1} является n-мерным многообразием. (См. гл. XII,
§1-)
Замечание 1. Вводимый определением 1 объект (многообра-
зие М), очевидно, не изменится, если вместо и Нп брать любые
гомеоморфные и Нп области параметров в пространстве Вп. На-
пример, это могут быть открытый куб In — {х Е Вп | 0 < хг < 1, г —
= 1,... ,п} и куб с присоединенной к нему гранью In = {х Е Rn|0 <
< х1 1 и 0 < хг < 1,г = 2,...,п}. Такими стандартными областями
параметров довольно часто пользуются.
Нетрудно также проверить, что вводимый определением 1 объект не
изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х Е М имела
в М окрестность U. гомеоморфную некоторому открытому подмноже-
ству полупространства Нп.
Пример 2. Если X — m-мерное многообразие с атласом карт
а — n-мерное многообразие с атласом {(V^, фр)}, то X х
х Y можно рассматривать как (т + п)-мерное многообразие с атласом
{(И^/з, Ха/з)}, где Wa/3 = Uax Vf}, а отображение ХаЦ = (фаМ пере-
водит в Wap прямое произведение областей определения сра и фр.
В частности, двумерный тор Т2 = S1xSi (рис. 69) или n-мерный тор
Tn = S1 х ... х S1 являются многообразиями соответствующей раз-
п раз
мерности.
Если районы U3 действия двух карт (J72,y?2), (U3,<p3) многообра-
зия М пересекаются, т. е. иг П U3 ф 0, то между множествами 1гз —
§2 МНОГООБРАЗИЕ
377
= <‘((6),	= у>3 ЧЮ естественно устанавливаются взаимно обрат-
1 I
ные гомеоморфизмы 1гз -> 1зг, срзг- 1]г -> 1гз, где у>гз = о <рг|7 ,
о ср, . Эти гомеоморфизмы
J Ijjt
^зг = Ч\
часто называют функциями за-
мены координат, поскольку они осуществляют переход от одной систе-
мы локальных координат к другой такой же системе в общей области
иг П U3, их действия (рис. 96).
Рис 96
Определение 4. Число п в определении 1, называется размерно-
стью многообразия М и обычно обозначается символом dimM.
Определение 5. Если при указанном в определении 1 гомеомор-
физме (/?: Нп —> U точке х 6 U соответствует точка на границе
дНп полупространства Нп, то х называют точкой края многообра-
зия М (и окрестности I7j. Совокупность всех точек края многообра-
зия М называется краем этого многообразия и обычно обозначается
символом дМ.
В силу топологической инвариантности внутренних точек (теорема
Брауэра1^) понятия размерности и точки края многообразия определе-
ны корректно, т. е. не зависят от используемых в определениях 4 и 5
^Теорема утверждает, что при гомеоморфном отображении Е <р(Е) множес-
тва Е С Rn на множество <р(Е) С Rn внутренние точки множества Е преобразуются
во внутренние точки множества <р(Е)
378
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
индивидуальных локальных карт. Теорему Брауэра мы не доказывали,
но инвариантность внутренних точек относительно диффеоморфизмов
нам хорошо известна (это следствие теоремы об обратной функции).
Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело именно с диффео-
морфизмами, мы не останавливаемся здесь на теореме Брауэра.
Пример 3. Замкнутый шар В = {х Е Кп | |ш| С 1} или, как
говорят, замкнутый п-мерный диск является n-мерным многообразием,
краем которого является (п —1)-мерная сфера Sn-1 = {х Е | |ж| = 1}.
Замечание 2. Многообразие М, множество точек края которо-
го непусто, обычно называют многообразием с краем, оставляя тер-
мин многообразие (в собственном смысле слова) за многообразиями без
края. В определении 1 эти случаи не разделены.
Утверждение 1. Край дМ п-мерного многообразия с краем М
является (п — 1) -мерным многообразием без края.
◄ Действительно, дНп =	\ а ограничение на дНп карт атласа
многообразия М вида срг: Нп Ui порождает атлас дМ. ►
Рис. 97.
Пример 4. Рассмотрим плоский
двойной маятник (рис. 97), плечо а кото-
рого много меньше плеча b и может вра-
щаться свободно, а размах колебаний
плеча b ограничен упорами. Конфигура-
ция такой системы в любой конкретный
момент характеризуется двумя углами
а, Д. Если бы ограничений не было, то
конфигурационное пространство двойно-
го маятника, очевидно, можно было бы
отождествить с двумерным тором Т2 =
= S'x S'.
При наличии указанных ограничений
конфигурационное пространство двойного маятника параметризуется
точками цилиндра S& х /^, где S& — окружность, отвечающая возмож-
ным положениям плеча а, а = {(3 Е К | |Д| А} — отрезок, в пределах
которого может меняться угол Д, характеризующий положение плеча Ь.
В этом случае мы получаем многообразие с краем. Край этого мно-
§2. МНОГООБРАЗИЕ
379
гообразия состоит из двух окружностей S& х {-A}, S' х {Л}, являю-
щихся произведением окружности S& и концов {—А}, {А} отрезка 7^.
Замечание 3. На рассмотренном примере 4 видно, что порой ко-
ординаты на множестве М (в примере это а, /3) возникают естествен-
ным образом и они сами вводят на М топологию. Значит, в определе-
нии 1 многообразия нет нужды всегда заранее требовать, чтобы на М
уже была топология. Суть понятия многообразия в том, что точки не-
которого множества М параметризуются точками некоторого набора
подобластей пространства Rn. Между появляющимися при этом на ча-
стях М системами координат возникает естественная связь, которая
выражается в отображениях соответствующих областей пространст-
ва Значит, можно считать, что М получается из набора областей
пространства Rn указанием закона отождествления их точек или, опи-
сательно говоря, путем указания закона их подклейки друг к другу.
Итак, задать многообразие по существу означает задать набор под-
областей и закон соответствия точек этих подобластей. На даль-
нейших уточнениях сказанного (формализации понятия склеивания или
отождествления точек, введении топологии на М и т.п.) мы не задер-
живаемся.
Определение 6. Многообразие называется компактным (связ-
ным), если оно является компактом (связно) как топологическое прос-
транство.
Рассмотренные в примерах 1-4 многообразия компактны и связ-
ны. Край появившегося в примере 4 цилиндра S& х состоит из двух
независимых окружностей и является одномерным компактным, но не-
связным многообразием. Край Sn-1 == дВ^ п-мерного диска из приме-
ра 3 является компактным многообразием, которое связно при п > 1 и
несвязно (состоит из двух точек) при п — 1.
Пример 5. Само пространство Rn, очевидно, является связным,
некомпактным многообразием без края, а полупространство Нп до-
ставляет простейший пример связного некомпактного многообразия с
краем. (И в том, и в другом случае атлас можно взять состоящим из
единственной карты, отвечающей тождественному отображению.)
Утверждение 2. Если многообразие М связно, то оно линейно
связно.
380
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
◄ Фиксировав точку xq Е М, рассмотрим множество EXq тех точек
многообразия М, которые можно соединить с xq в пределах М некото-
рым путем. Множество Ехо, как видно из определения многообразия,
непусто, открыто и замкнуто в М. Но тогда EXq — М. ►
Пример 6. Если каждой квадратной вещественной матрице по-
рядка п сопоставить точку пространства Rn , координаты которой
получаются выписыванием в определенном порядке всех элементов ма-
трицы, то группа GL(n, R) всех невырожденных матриц порядка п пре-
вращается в п2-мерное многообразие. Это многообразие некомпактно
(элементы матриц никак не ограничены) и несвязно. Последнее вытека-
ет из того, что GL(n, R) содержит матрицы как с положительным, так
и с отрицательным определителем. Точки GL(n, R), отвечающие двум
таким матрицам, нельзя соединить путем (на котором бы тогда появи-
лась точка, соответствующая матрице, имеющей определитель, равный
нулю).
Пример 7. Группа 50(2, R) ортогональных преобразований
плоскости В2, имеющих определитель, равный единице, состоит из ма-
триц вида ( COSQf sin а \ таким образом, может считаться мно-
у — sin a cos a J
гообразием, которое отождествляется с окружностью — областью из-
менения углового параметра а. Таким образом, 50(2, R) - одномерное
компактное связное многообразие. Если допустить и отражения отно-
сительно прямых в плоскости В2, то мы получим группу 0(2, R) всех
вещественных ортогональных матриц второго порядка. Ее естественно
можно отождествить с двумя различными окружностями, отвечающи-
ми матрицам с определителем 1 и —1 соответственно. То есть 0(2, R) —
одномерное компактное, но несвязное многообразие.
Пример 8. Пусть а — вектор плоскости R2 и Та — группа движе-
ний плоскости, порожденная вектором а. Элементами группы Та явля-
ются сдвиги на векторы вида па, где п Е Z. Под действием элементов д
группы Та каждая точка х плоскости смещается в точки д(х) вида
х + па. Совокупность точек, в которые данная точка х Е R2 переходит
под действием элементов данной группы преобразований, называется
орбитой этой точки. Свойство точек R2 принадлежать одной орбите,
очевидно, является отношением эквивалентности на R2, и орбиты явля-
ются классами эквивалентных в этом смысле точек. Область в R2, со-
держащая по одной точке каждой орбиты, называют фундаментальной
§2. МНОГООБРАЗИЕ
381
областью данной группы автоморфизмов (уточнение см. в задаче 5d)).
В нашем случае в качестве фундаментальной области можно взять
полосу ширины |а|, ограниченную двумя параллельными прямыми, ор-
тогональными вектору а. Следует только учесть, что сами эти прямые
получаются друг из друга сдвигом на а и —а соответственно. В пре-
делах ортогональной а полосы ширины, меньшей чем |а|, нет эквива-
лентных точек, поэтому все орбиты, имеющие представителей в такой
полосе, однозначно наделяются координатами своих представителей.
Так фактор-множество R2/Ta орбит данной группы Та превращается в
многообразие. Из сказанного выше о фундаментальной области легко
понять, что это многообразие гомеоморфно цилиндру, который получа-
ется склеиванием по эквивалентным точкам граничных прямых полосы
ширины |а|.
Пример 9. Пусть теперь а и Ь—пара ортогональных векторов
плоскости R2 и Та ^ — группа сдвигов, порожденная этими векторами.
Фундаментальной областью в данном случае будет прямоугольник со
сторонами а, Ь. В пределах этого прямоугольника эквивалентными бу-
дут лишь точки, лежащие на его противоположных сторонах. После
соответствующей склейки сторон фундаментального прямоугольника
убеждаемся, что возникающее многообразие R2 /Та,ь гомеоморфно дву-
мерному тору.
Пример 10. Рассмотрим еще группу Ga^ движений плоскости R2,
порожденную следующими преобразованиями: а(ж,у) = (ж + 1,1 — у),
b(x,y) = (х,у + 1).
Фундаментальной областью для группы Ga^ будет единичный ква-
драт, горизонтальные стороны которого отождествляются по точкам,
лежащим на одной вертикали, а боковые стороны квадрата отожде-
ствляются по точкам, симметричным относительно его центра. Таким
образом, возникающее многообразие R2/Ga^ оказывается гомеоморф-
но бутылке Клейна (см. гл. XII, § 1).
Мы не останавливались здесь на полезных и важных примерах, ко-
торые были разобраны в § 1 гл. XII.
2.	Гладкие многообразия и гладкие отображения
Определение 7. Атлас многообразия называется гладким (клас-
са или аналитическим), если все функции замены координат для
382
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
карт данного атласа являются гладкими отображениями (диффеомор-
физмами) соответствующего класса гладкости.
Два атласа данной (одной и той же) гладкости считаются эквива-
лентными^ если их объединение является атласом той же гладкости.
Пример 11. Атлас, состоящий из единственной карты, можно
считать сколь угодно гладким. Рассмотрим в этой связи на прямой R1
один атлас, порожденный тождественным отображением R1 Э х н->
н-> у?(ж) = х G R1, а другой атлас — порожденный любой строго мо-
нотонной функцией R1 Э х £>(ж) € R1, отображающей R1 на R1.
Объединением этих атласов будет атлас, который, очевидно, имеет наи-
меньшую из гладкостей функций и
В частности, если <р(х) = х\ то атлас из карт {ж,ж3} не является
гладким, так как ^>-1(ж) = ж1/3. Используя сказанное, можно построить
на R1 бесконечно гладкие атласы, объединение которых будет атласом
наперед заданного класса гладкости
Определение 8. Гладким многообразием (класса аналити-
ческим) называется многообразие М с заданным на М классом экви-
валентности атласов данной гладкости.
После этого определения понятна следующая терминология: топо-
логическое многообразие (класса С^), многообразие класса ана-
литическое многообразие.
Для того, чтобы задать весь класс эквивалентности атласов дан-
ной гладкости на многообразии М, достаточно задать любой атлас А
из этого класса эквивалентности. Таким образом, можно считать, что
гладкое многообразие есть пара (М, А), где М — многообразие, а А —
атлас данной гладкости на М.
Совокупность эквивалентных атласов данной гладкости на много-
образии часто называют структурой данной гладкости на этом много-
образии. На одном и том же топологическом многообразии могут суще-
ствовать различные гладкие структуры даже одной и той же гладкости
(см. пример 11 и задачу 3).
Рассмотрим еще несколько примеров, в которых мы обратим основ-
ное внимание на гладкость функций замены координат.
Пример 12. Одномерное многообразие R1P1, называемое вещест-
венной проективной прямой, есть пучок прямых в R2, проходящих че-
рез начало координат, с естественным отношением близости прямых
§2. МНОГООБРАЗИЕ
383
(измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямыми).
Каждая прямая пучка однозначно определяется ненулевым направля-
ющим вектором (ж1, ж2), причем два таких вектора задают одну и ту
же прямую в том и только в том случае, когда они коллинеарны. Зна-
чит, RIP1 можно рассматривать как совокупность классов эквивалент-
ных упорядоченных пар (ж1, ж2) вещественных чисел. При этом по край-
ней мере одно из чисел пары должно быть отлично от нуля, и две па-
ры считаются эквивалентными (отождествляются), если они пропор-
циональны. Пары (ж1, ж2) обычно называют однородными координата-
ми на R1P1. Используя интерпретацию R1P1 в однородных координатах,
легко построить атлас из двух карт на RIP1. Пусть ЭД, i — 1, 2 — те
прямые (классы пар (ж1, ж2)) из RIP1, для которых хг / 0. Каждой точ-
ке (прямой) р Е Ui взаимно однозначно соответствует пара (1, ^т),
\ х1 /
2
определяемая числом t2 = Аналогично точки района U2 находят-
X1
(х1 Л
ся во взаимно однозначном соответствии с парами вида ( -5-, 1 и за-
\х2	/
даются одним числом 4 ~ ^2- Таким образом, в Ui и U2 возникают
х
локальные координаты, которые, очевидно, соответствуют введенной
выше в RIP1 топологии. В общей области U\ Я U2 действия построен-
ных локальных карт вводимые ими координаты связаны соотношени-
ями 4 =	= (^)-\ показывающими, что построенный атлас
принадлежит не только классу С^°°\ но даже является аналитическим.
Полезно иметь в виду также следующую интерпретацию многообра-
зия RIP1. Каждая прямая исходного пучка прямых вполне определяется
точкой пересечения с единичной окружностью. Но таких точек ров-
но две, причем они являются диаметрально противоположными точка-
ми окружности. Близость прямых равносильна близости соответству-
ющих пар точек окружности. Значит, RIP1 можно интерпретировать
как окружность с отождествленными (склеенными) диаметрально про-
тивоположными точками. Если взять только полуокружность, то на
ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек — концы полу-
окружности. Склеив их, мы получим снова топологически окружность.
Таким образом, RIP1 как топологическое пространство гомеоморфно
окружности.
Пример 13. Если рассмотреть теперь пучок прямых, проходя-
щих через начало координат в R3, или, что то же самое, совокупность
384
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
классов пропорциональных упорядоченных троек (ж1, ж2, ж3) веществен-
ных чисел, не обращающихся в нуль одновременно, то мы получим
вещественную проективную плоскость 1№2. В районах C7i, СЛг? t/з? где
соответственно х1 0, х2 ф 0, х3 ф 0, вводятся локальные системы
координат (1,^;, М =	~ (МА = (<2,Мг) ~
\ X х J	\х х /
s 1	2	\
~	~ (^З’^зЛ) ~ (4Дз)> которые, очевидно, связаны
\ аг аг /
между собой соотношениями	~ ^(^)-17 относящимися к
общим частям районов действия локальных карт.
Например, переход от координат (i2,i3) к координатам (<2^2) в
области Ui A U2 выражается формулами
2
Якобиан этого преобразования равен — (/2)-3 и, поскольку t2 =
он определен и отличен от нуля в точках, отвечающих точкам рассма-
триваемого множества U\ П U2-
Итак, 1№2 - двумерное многообразие, обладающее аналитическим
атласом из трех карт.
По тем же соображениям, что и в примере 12, где была рассмотре-
на проективная прямая JRP1, проективную плоскость 1№2 можно ин-
терпретировать как двумерную сферу S2 С R3 с отождествленными
диаметрально противоположными точками или как полусферу с ото-
ждествленными диаметрально противоположными точками граничной
окружности. Проектируя полусферу на плоскость, мы получаем воз-
можность интерпретировать 1№2 как круг (двумерный диск) с отожде-
ствленными диаметрально противоположными точками его граничной
окружности.
Пример 14. Совокупность всех прямых на плоскости R2 можно
разбить на два множества: U — невертикальные прямые, V — негори-
зонтальные прямые. Каждая прямая из U имеет уравнение вида у =
— щх + U2 и тем самым характеризуется координатами (tzi, 1/2)? в то
время как любая прямая из V имеет уравнение х = щу + V2 и задается
координатами (^1,^2)- Для прямых из пересечения U А V действуют
функции преобразования координат Vi = u]"1, V2 = — и^и^1 и Ui ~ vf1,
U2 =	Таким образом, рассматриваемое множество наделяется
аналитическим атласом из двух карт.
§2. МНОГООБРАЗИЕ
385
Любая прямая на плоскости имеет уравнение ах + by + с — 0 и ха-
рактеризуется тройкой чисел (а,Ь, с), причем пропорциональные трой-
ки задают одну и ту же прямую. Может поэтому показаться, что здесь
мы вновь имеем дело с проективной плоскостью 1№2, рассмотренной
в примере 13. Однако если в 1№2 допускались любые тройки чисел,
не равных одновременно нулю, то теперь не допускаются тройки ви-
да (0,0, с), где с Ф 0. Всем таким тройкам в 1№2 отвечает одна и та
же точка. Значит, полученное в настоящем примере многообразие го-
меоморфно тому, что получается удалением из 1№2 одной точки. Ес-
ли интерпретировать 1№2 как круг с отождествленными диаметрально
противоположными точками граничной окружности, то, выколов центр
круга, мы с точностью до гомеоморфизма получим кольцо, внешняя
окружность которого склеивается по диаметрально противоположным
точкам. Простым разрезанием легко показать, что при этом получает-
ся не что иное, как знакомый лист Мёбиуса.
Определение 9. Пусть М и 7V — гладкие многообразия клас-
са Отображение f:M^N называется l-гладким (класса
если локальные координаты точки f (х) Е N являются функциями клас-
са от локальных координат точки х Е М.
Приведенное определение имеет смысл и корректно (не зависит от
выбора локальной карты), если I С к.
В частности, гладкие отображения М в R1 —это гладкие функции
на М, а гладкие отображения R1 (или промежутка R1) в М — это глад-
кие пути на М.
Итак, степень гладкости функции	многообразии М
не может превышать степени гладкости самого многообразия.
3.	Ориентация многообразия и его края
Определение 10. Две карты гладкого многообразия называются
согласованными, если переход от локальных координат одной карты к
локальным координатам другой карты в их общей области действия
осуществляется диффеоморфизмом, имеющим всюду положительный
якобиан.
В частности, если районы действия локальных карт имеют пустое
пересечение, то такие карты признаются согласованными.
Определение 11. Атлас А гладкого многообразия (М, А) назы-
386
ГЛ XV ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
вается ориентирующим атласом многообразия М, если он состоит из
попарно согласованных карт.
Определение 12. Многообразие называется ориентируемым, ес-
ли оно обладает ориентирующим атласом. В противном случае много-
образие называется неориентируемым.
Два ориентирующих атласа многообразия будем считать эквива-
лентными (в смысле рассматриваемого сейчас вопроса об ориентации
многообразия), если их объединение также является ориентирующим
атласом этого многообразия. Легко видеть, что введенное отношение
действительно является отношением эквивалентности.
Определение 13. Класс эквивалентности ориентирующих атла-
сов многообразия по указанному отношению эквивалентности называ-
ется классом ориентации атласов многообразия или ориентацией мно-
гообразия.
Определение 14. Ориентированным многообразием называется
многообразие с указанным классом ориентации его атласов, т. е. с фик-
сированной на многообразии ориентацией.
Значит, ориентировать многообразие — это указать на нем (тем или
иным способом) определенный класс ориентации его атласов. Для это-
го, например, достаточно указать любой конкретный ориентирующий
атлас данного класса ориентации.
Различные используемые на практике способы задания ориентации
на лежащих в многообразиях описаны в §§ 2, 3 гл. XII.
Утверждение 3. Связное многообразие либо неориентируемо,
либо допускает две ориентации.
◄ Пусть А и А — два ориентирующих атласа данного многообра-
зия М с диффеоморфными переходами от локальных координат карт
одного из них к другому. Предположим, что нашлась точка ро Е М
и такие две карты этих атласов, районы Ul0, U3o действия которых
содержат ро, а якобиан преобразования координат этих карт в соот-
ветствующих точке pq точках областей параметров положителен. По-
кажем, что тогда для любой точки р € М и любых карт атласов А, А,
районы действия которых содержат точку р, якобиан преобразования
координат в соответствующих координатных точках тоже будет поло-
жителен.
§2 МНОГООБРАЗИЕ
387
Сделаем прежде всего очевидное наблюдение, что если в точке р G
G М якобиан преобразования положителен (отрицателен) для какой-то
пары включающих р карт из атласов А и А, то он в р положителен
(отрицателен) для любой такой пары карт, поскольку в пределах од-
ного атласа преобразования координат происходят с положительным
якобианом, а якобиан композиции отображений равен произведению
их якобианов.
Пусть теперь 7Г —подмножество 7И, состоящее из тех точек р 6 М,
в которых преобразования координат от карт одного атласа к картам
другого происходят с положительным якобианом.
Множество Е непусто, так как ро Е Е. Множество Е открыто в М.
Действительно, для любой точки р Е Е найдутся содержащие р райо-
ны Е4, U3 некоторых карт атласов А и А. Множества Е4, U3 открыты
в Л/, поэтому открыто в М и множество Utr\U3. На содержащей р связ-
ной компоненте множества иг О U3, являющейся открытым в иг П U3 и
в М множеством, якобиан преобразования не может менять знак, не
обращаясь в нуль. То есть в некоторой окрестности точки р якобиан
остается положительным, что и доказывает открытость множества Е.
Но множество Е еще и замкнуто в М. Это следует из непрерывности
якобиана диффеоморфизма и того обстоятельства, что якобиан диф-
феоморфизма не обращается в нуль.
Итак, Е — непустое открыто-замкнутое подмножество связного
множества М. Значит, Е = М и атласы А, А задают на М одну и
ту же ориентацию.
Заменив во всех картах атласа А одну из координат, например t1
на —J1, получим ориентирующий атлас “А, принадлежащий другому
классу ориентации. Поскольку якобиан преобразования координат из
произвольной карты в карты атласов А и —А имеет противоположный
знак, то на М любой ориентирующий М атлас эквивалентен либо А,
либо —А. ►
Определение 15. Конечную последовательность карт данного
атласа назовем цепочкой карт, если районы действия любой пары карт
с соседними номерами имеют непустое пересечение (иг П 14+1	0)-
Определение 16. Цепочка карт называется противоречивой или
дезориентирующей, если якобиан преобразования координат от любой
карты цепочки к следующей ее карте положителен, районы действия
первой и последней карт цепочки пересекаются, но преобразование ко-
388
ГЛ XV ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
ординат от последней карты к первой имеет отрицательные значения
якобиана.
Утверждение 4. Многообразие ориентируемо тогда и только
тогда, когда на нем не существует противоречивой цепочки карт.
◄ Поскольку любое многообразие распадается на связные компо-
ненты, ориентация которых задается независимо, достаточно доказать
утверждение 4 для связного многообразия М.
Необходимость. Пусть связное многообразие М ориентируемо
и А — задающий ориентацию М атлас. По доказанному в утвержде-
нии 3 любая гладко связанная с картами атласа А локальная карта
многообразия М либо согласована со всеми картами атласа А, либо со-
гласована со всеми картами атласа —А. Это легко усмотреть из самого
утверждения 3, если ограничить карты атласа А на район действия взя-
той карты, который можно рассматривать как связное ориентирован-
ное одной картой многообразие. Отсюда следует, что противоречивой
цепочки карт на многообразии М не существует.
Достаточность. Из определения 1 следует, что на многообра-
зии существует атлас из конечного или счетного числа карт. Возьмем
такой атлас А и занумеруем его карты. Рассмотрим карту	и
любую карту (С7г, <рг) такую, что U\ Г\иг ф 0. Тогда якобиан преобразо-
ваний координат <р\г, либо всюду отрицателен, либо всюду в области
определения преобразований положителен. Он не может иметь значе-
ния разных знаков, поскольку иначе в множестве U\ U Уг можно было
бы указать связные подмножества отрицательности и положительно-
сти якобиана [7_, U+ и цепочка карт (C7i, <pi), (U+, <pi), (С7г, <рг), (C7_,
оказалась бы противоречивой.
Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте
можно получить карту с тем же районом действия иг, согла-
сованную с картой (C7i,^i). После описанной процедуры две карты
такие, что U1 Г\ иг 0, Ui A U3 0, иг П U3 0,
сами окажутся согласованными: иначе мы построили бы противоречи-
вую цепочку из трех карт.
Таким образом, все карты атласа, районы действия которых пере-
секаются с /71, уже можно считать согласованными между собой. При-
нимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею
новые, не охваченные на первом этапе карты атласа. Противоречивых
ситуаций при этом не возникнет, поскольку противоречивых цепочек
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
389
на многообразии по условию не существует. Продолжая этот процесс и
учитывая связность многообразия, мы построим на нем атлас, состо-
ящий из попарно согласованных карт, что и доказывает ориентируе-
мость данного многообразия. ►
Полученный критерий ориентируемости многообразия, как, впро-
чем, и соображения, используемые при его доказательстве, можно с
успехом применять при исследовании конкретных многообразий. Так,
рассмотренное в примере 12 многообразие RF1 ориентируемо. Из ука-
занного там атласа легко получить ориентирующий атлас RP1. Для
этого достаточно изменить знак локальной координаты одной из двух
построенных там карт. Впрочем, ориентируемость проективной пря-
мой КР1, очевидно, следует также из того, что многообразие RP1 го-
меоморфно окружности.
Проективная плоскость RP2 неориентируема: любая пара карт по-
строенного в примере 13 атласа RP2 такова, что преобразования ко-
ординат в пределах пары имеют как области положительности, так и
области отрицательности якобиана. Как мы видели при доказательстве
утверждения 4, отсюда следует существование противоречивой цепоч-
ки карт на RP2.
По той же причине неориентируемо и рассмотренное в примере 14
многообразие, которое, кстати, как отмечалось, гомеоморфно листу
Мёбиуса.
Утверждение 5. Край ориентируемого гладкого п-мерного мно-
гообразия является ориентируемым (п— 1)-мерным многообразием, до-
пускающим структуру той же гладкости, что и исходное многообра-
зие.
◄ Доказательство утверждения 5 проводится дословно так же, как
и рассмотренное в гл. XII, § 3, п. 2 доказательство аналогичного утвер-
ждения 2 для поверхностей, лежащих вйп. ►
Определение 17. Если А(М) — {(Нп,<рг,иг)} U {(Rn,	U3)}
— ориентирующий многообразие М атлас, то совокупность карт
А(дМ) = {(Rn-1,	диг)} есть ориентирующий атлас края
дМ многообразия М. Задаваемая этим атласом ориентация края назы-
вается ориентацией края, согласованной с ориентацией многообразия.
Важные и часто используемые на практике способы задания ориен-
тации лежащей в Rn поверхности и согласованной ориентации ее края
390
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
подробно описаны в §§ 2, 3 гл. XII.
4. Разбиение единицы и реализация многообразий в ви-
де поверхностей в Здесь будет изложена одна специальная кон-
струкция, называемая в математике разбиением единицы. Эта кон-
струкция часто бывает основным приемом сведения глобальных вопро-
сов к локальным. В дальнейшем мы продемонстрируем это при выводе
формулы Стокса на многообразии, а здесь используем разбиение еди-
ницы для пояснения возможности реализации любого многообразия в
виде некоторой поверхности в пространстве Rn достаточно большой
размерности п.
Лемма. На R можно построить функцию f 6 C(°°)(R, R) такую,
что f(x) = 0 при |ж| > 3? /(ж) = 1 при |ж|	1 и 0 < /(ж) < 1 при
1 < |ж| < 3.
◄ Проведем построение одной такой функции, исходя из знакомой
Г & ) при х 0
нам функции д(х) — <	1	' ’ В свое время (см. часть I,
[ 0 при х — 0.
стр. 221) мы проверили, что g Е C(°°)(R,R), показав, что <^п)(0) = 0
при любом значении п Е N.
В таком случае неотрицательная функция
(	2 . е—(ж-Ы) 2
<ЭД = { о
при |ж| < 1,
при |ж|	1
также принадлежит классу C<°°)(R, R), а вместе с нею и функция
х
f
—оо
—оо
dt
принадлежит этому классу, поскольку F'
dt.
Функция F строго возрастает на промежутке [—1,1], F(x) = 0 при
: — 1 и F(x) ~ 1 при х 1.
В качестве искомой функции можно теперь взять
§2 МНОГООБРАЗИЕ
391
Замечание. Если / : R —> R — построенная в доказательстве лем-
мы функция, то определенная в функция
0(жх,..., хп) — /(ж1 — а1) • ... • f(xn — ап)
такова, что 0 €	0	0	1 в любой точке х € Rn, 0(х) = 1
на промежутке 1(a) = {ж € Rn | \хг — аг| 1, i — 1,..., п}, и носитель
supp0 функции 0 содержится в промежутке 1(a) = {^6ЙП | \хг — аг| <
3, %	1,..., п}.
Определение 18. Пусть М — многообразие класса гладкости
а X — подмножество М. Говорят, что система Е = {еа, а € А}
функций еа е cW(Af,R) является к-гладким разбиением единицы на
множестве X, если
1° 0 еа(х) С 1 для любой функции еа 6 Е и любого х Е М;
2° каждая точка х Е X обладает такой окрестностью U(x) в Л/, что
только конечное число функций системы Е отлично от тождественного
нуля на U(x);
3° Е еа(ж) = 1 на х.
еа ЕЕ
Заметим, что в силу условия 2° при любом х Е X в последней сумме
лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
Определение 19. Пусть О — {о^, (3 Е В} — открытое покрытие
множества X С М. Говорят, что разбиение единицы Е = {еа, а € А}
на X подчинено покрытию О, если носитель любой функции из систе-
мы Е содержится по крайней мере в одном из множеств системы О.
Утверждение 6. Пусть {(СЛ, <рг), i = 1,..., т} — конечный набор
карт некоторого k-гладкого атласа многообразия М, районы г —
— 1,... , т, действия которых образуют покрытие компакта К С М.
Тогда на К существует разбиение единицы класса подчиненное
покрытию {Е/г, 2 = 1,... , т}.
◄ Для любой точки xq Е К проведем сначала следующее построение.
Берем последовательно область С7г, содержащую л?о, соответствующую
карту <рг \	Uz, точку = <£г-1(жо) £ КП(ЯП), функцию 0(£-£о)
(где 0(£)—указанная в замечании к лемме функция) и ограничение 0*о
функции f)(t — /д) на область параметров карты <рг.
Пусть До — пересечение единичного куба с центром /о £ и обла-
сти параметров карты Реально 0*о отличается от 0(£—/о), а До от со-
392
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
ответствующего единичного куба, только когда областью параметров
карты является полупространство Нп. Открытые в М множества
построенные по каждой точке х € К и соответствующей ей точ-
ке t — <р~1(х) для всех допустимых значений i = 1, 2,..., m, в совокуп-
ности образуют открытое покрытие компакта К. Пусть (ЛД j —
= 1,2,...,/}— извлеченное из него конечное покрытие компакта К.
Очевидно, <А, (Л,) С Ut,. Определим на U, функцию#, (ж) = #t
Распространим 0Дх) на все многообразие М, полагая функцию рав-
ной нулю вне U%. Сохраним за этой распространенной на М функцией
прежнее обозначение 0j. По построению 03 6 С^^М, R), supp 03 с иг,
О 03 (х)	1 на М и 03 (х) — 1 на (7$) С Utj. Тогда функции
ei (ж) = 0i(x),e2(x) = 02(х)(1~01(х)), ...fei(x) = 0/(х) • (l-^-i(x)) •... •
• (1 — 01 (х)) составят искомое разбиение единицы. Проверим лишь, что
I
52 ез(х) = 1 на /Г, поскольку остальным требованиям к разбиению еди-
з=1
ницы на К, подчиненному покрытию {/7г1,..., UZl} С {С/г, i = 1,..., т}
компакта /С, система функций {ei,..., ej}, очевидно, удовлетворяет. Но
1 ~ ~
1 —	е^(ж) = (1 — 01 (х)) • ... • (1 —	= 0 на Ку
з=1
поскольку каждая точка х 6 К покрыта некоторым множеством
(I* ), на котором соответствующая функция 03 тождественно рав-
на единице. ►
Следствие 1. Если М —компактное многообразие и А — атлас
класса на Му то на М существует конечное разбиение единицы
{ei,...,ej}? подчиненное покрытию многообразия районами действия
карт атласа А.
◄ Поскольку М — компакт, атлас А можно считать конечным. Те-
перь мы оказываемся в условиях утверждения 6, если положить в нем
К = М. ►
Следствие 2. Для любого лежащего на многообразии М компак-
та К и любого содержащего К открытого множества G С М суще-
ствует функция f:M —> R класса гладкости многообразия М такая,
что f(x) = 1 на К и supp / С G.
◄ Покроем каждую точку х € К окрестностью U(х), лежащей в G и
§2. МНОГООБРАЗИЕ
393
в пределах района действия некоторой карты многообразия М. Из от-
крытого покрытия {С7(х), х 6 К] компакта К извлекаем конечное по-
крытие и строим подчиненное ему разбиение единицы {ei,..., ei} на К.
I
Функция f = 52 ег будет искомой. ►
г=1
Следствие 3. Каждое (абстрактно заданное) компактное глад-
кое п-мерное многообразие М диффеоморфно некоторой компактной
гладкой поверхности, лежащей в пространстве достаточно боль-
шой размерности N.
◄ Чтобы не осложнять идею доказательства несущественными де-
талями, проведем его для случая компактного многообразия М без
края. В этом случае на М есть гладкий конечный атлас А — {(рг: I
—> иг, i =	где I — открытый n-мерный куб в Rn. Подберем
чуть меньший куб If такой, что Г С I, а множества {U[ — i —
= 1,	все еще образуют покрытие М. Полагая в следствии 2
К = I', G — I, М ~ Rn, построим функцию f € (^^(R^R) такую, что
/(/) = 1 при t € If и supp f С I.
Рассмотрим теперь координатные функции	отобра-
жений : иг —> I, i ~ 1,..., т, и введем с их помощью на М следую-
щие функции:
(/ ° Рг Х)(ж) ' ^(ж) ПРИ х е
О	при х С7г,
i = 1,..., m; k — 1,..., п.
В любой точке х € М ранг отображения М Э х у(х) — (yj,...,
у™,..., у^,..., у^)(ж) € Rw’n максимален и равен п. Действительно, ес-
ЛИ X G 17', ТО ^(х) = tel’,	= 1 И	= t*, к = 1,..., п.
Если, наконец, рассмотреть отображение М Э х Y(x) = (у (я), f 0
о	., f о <р^(хУ) € Rw‘n+w? полагая f о	~ 0 вне
i =	то это отображение, с одной стороны, очевидно, будет
иметь тот же ранг п, что и отображение х у(х), а с другой стороны,
будет заведомо взаимно однозначным отображением М на образ М
в Km*n+W. Проверим последнее утверждение. Пусть р, г/ р аз личные
точки М. Найдем область Uz из системы {Uz, i	покры-
вающей М, которая содержит точку р. Тогда f о	= 1. Если
/о^) < 1, то Уже Y(P) # Y(q)- Если же f = 1, то p,q G Ut,
394
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
у^(р) ~	Уг (?) ~	и ^(р) *) **(?) хотя бы для одного значения
к 6 {1,..., п}. То есть и в этом случае Y(р) 7^ Y(д). ►
По поводу общей теоремы Уитни о реализации произвольного мно-
гообразия в виде поверхности в Rn читатель может обратиться к спе-
циальной геометрической литературе.
Задачи и упражнения
1.	Проверьте, что вводимый определением 1 объект (многообразие) не из-
менится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х € М имела окрест-
ность U(x) С М, гомеоморфную открытому подмножеству полупростран-
ства Нп.
2.	Покажите, что
а)	многообразие GL(n, К) из примера 6 некомпактно и имеет точно две
связные компоненты;
Ь)	многообразие SO(n, К) (см. пример 7) связно;
с)	многообразие О(п, К) компактно и имеет точно две связные компонен-
ты.	~
3.	Пусть (М,А) и (М,А)— многообразия с заданными на них гладкими
структурами одной и той же степени гладкости С№. Гладкие многообразия
(М, А), (М, А) (гладкие структуры) считаются изоморфными, если существу-
ет такое отображение	класса , которое имеет обратное ото-
бражение /-1: М —> М того же класса гладкости в атласах А, А.
а)	Покажите, что на R1 все структуры одинаковой гладкости изоморфны.
Ь)	Проверьте высказанные в примере 11 утверждения и выясните, не про-
тиворечат ли они задаче а).
с)	Покажите, что на окружности S1 (одномерной сфере) любые две Суб-
структуры изоморфны. Отметим, что это утверждение остается в силе и для
сфер, размерность которых не превосходит 6, а уже на S7, как показал Мил-
нор1), существуют неизоморфные СУ°°)-структуры.
4.	Пусть S — подмножество n-мерного многообразия М такое, что для
любой точки xq € S найдется такая карта х = tp(t) многообразия М, рай-
он U действия которой содержит х$, а множеству SOU в области параметров
t = (t1,... ,tn) карты 9? отвечает Ar-мерная поверхность, задаваемая соотноше-
ниями tn~k — 0,..., tn = 0. В этом случае S называется к-мерным подмного-
образием многообразия М,
а)	Покажите, что на S естественным образом возникает структура
Аг-мерного многообразия, индуцированная структурой многообразия М и име-
*)Дж. Милнор (род. 1931) —один из наиболее крупных современных американских
математиков; основные работы относятся к алгебраической топологии и топологии
многообразий.
§2. МНОГООБРАЗИЕ
395
ющая ту же гладкость, что и гладкость структуры многообразия М.
Ь)	Убедитесь в том, что Аг-мерные поверхности S в R71 в точности и явля-
ются Аг-мерными подмногообразиями	.
с)	Покажите, что при гладком гомеоморфном отображении /: R1 —> Т2
прямой R1 в тор Т2 образ /(К1) может быть всюду плотным подмножест-
вом Т2 и в этом случае не будет одномерным подмногообразием тора, хотя и
будет абстрактным одномерным многообразием.
d)	Проверьте, что объем понятия «подмногообразие» не изменится, если
считать S С М Ar-мерным подмногообразием n-мерного многообразия М в
том случае, когда для любой точки xq € S найдется локальная карта мно-
гообразия М, район U действия которой содержит #о, а множеству S П U в
области параметров карты отвечает некоторая Ar-мерная поверхность прост-
ранства .
5.	Пусть X—хаусдорфово топологическое пространство (многообразие),
a G — группа гомеоморфных преобразований пространства X. Группа G на-
зывается дискретной группой преобразований пространства X, если для лю-
бых (быть может, и совпадающих) точек Xi, х% € X найдутся такие их окрест-
ности £71, U2 соответственно, что множество {g € G | g(Ui) П / 0} —
конечно.
а)	Отсюда следует, что орбита {#(ж) € X | д € G} любой точки х € X
дискретна, а стабилизатор Gx = {д € G | д(х) = ат} любой точки х € X
конечен.
Ь)	Проверьте, что если G — группа изометрий метрического пространс-
тва X, обладающая двумя указанными в а) свойствами, то G — дискретная
группа преобразований X.
с)	Введите естественную структуру топологического пространства (мно-
гообразия) на множестве Х/G орбит дискретной группы G.
d)	Замкнутое подмножество F топологического пространства (многооб-
разия) X с дискретной группой G преобразований называют фундаменталь-
ной областью группы G, если оно является замыканием открытого подмноже-
ства X и если множества #(F), где д € G, не имеют попарно общих внутренних
точек и образуют локально конечное покрытие пространства X. Покажите
на приведенных в основном тексте примерах 8-10, как фактор-пространс-
тво Х/G (орбит) группы G получается из F «склеиванием» некоторых гра-
ничных точек.
6.	а) Используя конструкции примеров 12, 13, постройте п-мерное веще-
ственное проективное пространство 1№п.
Ь)	Покажите, что 1№п ориентируемо, если п нечетно, и неориентируемо,
если п четно.
с)	Проверьте, что многообразия SO(3, К) и 1№3 гомеоморфны.
7.	Проверьте, что построенное в примере 14 многообразие действительно
гомеоморфно листу Мёбиуса.
396
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
8.	а) Группа Ли1) —это группа G, наделенная структурой аналитическо-
го многообразия так, что отображения (<7i, <72) Pi * <72? 9 »-> у1 являются
аналитическими отображениями G х G и G в G. Покажите, что рассмотренные
в примерах 6, 7 многообразия являются группами Ли.
Ь)	Топологическая группа (или непрерывная группа)—это группа G, на-
деленная структурой топологического пространства так, что групповые опе-
рации умножения и перехода к обратному элементу непрерывны как отобра-
жения GxG-> G, G^Gb рассматриваемой топологии G. На примере груп-
пы Q рациональных чисел покажите, что не всякая топологическая группа
является группой Ли.
с)	Покажите, что каждая группа Ли является топологической группой в
смысле данного в Ь) определения.
d)	Доказано2), что любая топологическая группа G, являющаяся много-
образием, есть группа Ли (т. е. G как многообразие допускает аналитическую
структуру, в которой группа становится группой Ли). Покажите, что любое
групповое многообразие (т. е. любая группа Ли) является ориентируемым мно-
гообразием.
9.	Система подмножеств топологического пространства называется ло-
кально конечной, если каждая точка пространства имеет окрестность, пере-
секающуюся лишь с конечным числом множеств системы. В частности, можно
говорить о локально конечном покрытии пространства.
Одна система множеств называется вписанной в другую, если любое мно-
жество первой системы содержится по крайней мере в одном из множеств
второй системы. В частности, можно говорить о том, что одно покрытие не-
которого множества вписано в другое такое покрытие.
а)	Покажите, что в любое открытое покрытие можно вписать откры-
тое локально конечное покрытие R71.
b)	Решите задачу а) с заменой Кп произвольным многообразием М.
с)	Покажите, что на существует разбиение единицы, подчиненное лю-
бому наперед заданному открытому покрытию Rn.
d)	Проверьте, что утверждение с) остается в силе для произвольного мно-
гообразия.
^С.Ли (1842-1899)—выдающийся норвежский математик, родоначальник тео-
рии непрерывных групп (групп Ли), которая имеет теперь фундаментальное значе-
ние в геометрии, топологии и математических методах физики; один из лауреатов
Международной премии имени Лобачевского (награжден в 1897 г. за работу по при-
менению теории групп к обоснованию геометрии).
2^Это ответ на так называемую пятую проблему Гильберта.
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА
397
§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на
многообразиях
1.	Касательное пространство к многообразию в точке. На-
помним, что каждому гладкому пути К Э t x(t) Е Rn (движению
bF), проходящему в некоторый момент to через точку = ж(^о) С
6 Rn, мы сопоставили вектор £ = (£1,---,£п) мгновенной скорости:
£ = i(t) = (i1,... ,in)(to)- Совокупность таких векторов £, связанных с
точкой жо Е Rn, естественно отождествляется с арифметическим про-
странством Rn и обозначается символом TR£0 (или TXo(Rn)). В TR^0
вводятся те же линейные операции над элементами £ 6 что и
над соответствующими элементами линейного пространства Rn. Так
возникает линейное пространство TRJJ , называемое касательным про-
странством к Rn в точке хо ERn.
Забыв мотивировки и наводящие соображения, можно теперь ска-
зать, что формально TRJq есть пара (жо,1^п), состоящая из точки жо С
ЕЙ71 и связанного с нею экземпляра линейного пространства Rn.
Пусть теперь М — гладкое n-мерное многообразие с атласом А клас-
са гладкости не ниже, чем Мы хотим определить касательный
вектор £ и касательное пространство TMPQ к многообразию М в точке
Ро £ М.
Воспользуемся для этого указанной выше интерпретацией касатель-
ного вектора как мгновенной скорости движения. Возьмем гладкий
путь R Э t p(t) 6 М на многообразии М, проходящий в момент to
через точку ро — р(^о) £ Af. Параметры карт (т.е. локальные ко-
ординаты) многообразия М будем здесь обозначать буквой ж, отме-
чая их снизу индексом соответствующей карты, а сверху номером ко-
ординаты. Итак, в области параметров каждой карты (С/г,<рг), рай-
он Uz действия которой содержит точку ро, пути 7 отвечает свой путь
t ft- ср”1 °p(t) ~ xz(t) 6 Rn(7?n), который является гладким по опреде-
лению гладкого отображения R Э t ft p(t) 6 М.
Таким образом, в области параметров карты (С7г,<рг), где <рг есть
отображение р — <рг(яг), возникает точка жг(^о) = ^"ftpo) и вектор
6 = i\(^o) £	В другой такой карте	это будут соответ-
ственно точка x3(to) ~ ‘Pj-^Po) и вектор £? = x3(to) £ TR£ Естест-
венно считать, что это координатные выражения в различных картах
того, что мы хотели бы назвать касательным вектором £ к многообра-
зию М в точке ро 6 М.
398
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Между координатами хи х3 действуют гладкие взаимно обратные
функции перехода
(1)
в результате чего пары (Л)),£«)>	оказываются связанными
соотношениями
^г(^о) Рзг (хз (*о)) э	— Ргз (^г(^о))?
— Рзг{х3 (^о)Хл £3 ~ Pij (хг(^о))Сг-
(2)
(3)
Равенства (3), очевидно, вытекают из формул

получающихся из (1) в результате дифференцирования.
Определение 1. Будем говорить, что задан вектор касатель-
ный к многообразию М в точке р 6 М, если в каждом пространстве
TRJ , касательном к Rn в точке хг, отвечающей точке р в области па-
раметров карты ({7г, срг), где Цг Э р, фиксирован вектор £г, причем так,
что выполняются соотношения (3).
Если элементы матрицы Якоби tp* отображения <рзг записать в яв-
ном виде gpW, то получаем, таким образом, следующую явную формулу
связи двух координатных представлений одного и того же вектора £:
п
т=1
дх^
рт
дх™*3 ’
k = 1, 2,..., п,
(4)
где частные производные вычисляются в соответствующей р точке х3 =
= <рр(р)-
Обозначим через ТМР совокупность векторов, касательных к мно-
гообразию М в точке р 6 М.
Определение 2. Если линейную структуру на множестве ТМР
ввести, отождествляя ТМр с соответствующим пространством TJKJ
(TH™ ), т.е. суммой векторов из ТМР считать вектор, координатное
представление которого в (ТН™г) отвечает сумме координатных
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА
399
представлений слагаемых, и аналогично определить умножение вектора
на число, то получаемое при этом линейное пространство обозначает-
ся обычно одним из символов ТМр, Тр(М) и называется касательным
пространством к многообразию М в точке р 6 М.
Из формул (3), (4) видно, что введенная в ТМр линейная структу-
ра не зависит от выбора индивидуальной карты, т.е. в этом смысле
определение 2 корректно.
Итак, мы определили касательное пространство к многообразию.
Интерпретации касательного вектора и касательного пространства мо-
гут быть различными (см. задачу 1). Например, одной из таких интер-
претаций является отождествление касательного вектора с линейным
функционалом. Это отождествление основано на следующем наблюде-
нии, которое мы сделаем в Rn.
Каждый вектор £ 6 TR£0 есть вектор скорости, отвечающий неко-
торому гладкому пути х — x(t), т. е. £ = i(i)|t=t0, причем жо = x(to).
Это позволяет определить производную	в точке жо по вектору
£ G от гладкой функции /, заданной в Rn (или в окрестности
точки жд). А именно:
т.е.
Dtf(xo) :=
UL
1
t=to
о^Ы = f'MC
(5)
(6)
где /'(жо) — касательное к f отображение (дифференциал /) в точке жд.
Функционал D^:	R) —> R, сопоставляемый формулами (5),
(6) вектору £ 6 очевидно, линеен по /. Из формулы (6) видно
также, что величина 1)^/(жо) при фиксированной функции f линейно
зависит от £, т.е. сумме векторов отвечает сумма соответствующих
линейных функционалов, а умножение вектора £ на число отвечает
умножение функционала на это же число. Таким образом, между
линейным пространством TR£0 и линейным пространством соответ-
ствующих линейных функционалов имеется изоморфизм. Остается
определить линейный функционал указав набор его характеристи-
ческих свойств, чтобы получить новую, но, конечно, изоморфную преж-
ней, интерпретацию касательного пространства .
400
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Заметим, что, кроме указанной выше линейности, функционал
обладает следующим свойством:
Ddf ff)Uo) = ЦЫ +
(?)
Это закон дифференцирования произведения.
В дифференциальной алгебре аддитивное отображение а а' коль-
ца А, удовлетворяющее соотношению (а • Ь)1 = а' • b + а • Ь', называют
дифференцированием (точнее, дифференцированием кольца А). Таким
образом, функционал D^: C^\Rn,R) —> К является дифференцирова-
нием кольца C^)(Rn,R). Но еще и линеен относительно линейной
структуры пространства	R).
Можно проверить, что линейный функционал I: C^°°)(Rn,R) —> R,
обладающий свойствами
l(af + (3g) = al(f) +(31(g), а, (Зе R,
Ц/ • д) =	+ f(xo)i(g),
(8)
(9)
имеет вид D^, где £ 6 TR£o. Таким образом, касательное пространство
Т№£0 к F в точке яо можно трактовать как линейное пространство
функционалов (дифференцирований) на	R), удовлетворяющих
условиям (8), (9).
Базисным векторам ei,..., еп пространства TR£o отвечают функци-
оналы Dekf(x$) — ~^f(x) вычисления соответствующей частной
Ох	X~Xq
производной от функции f в точке жо- Таким образом, при функцио-
нальной интерпретации пространства Г1й£0 можно сказать, что функ-
ционалы ]	, —тг г образуют базис T1KL •
I дх &х ) x=xq
Если £ ~ (£х,..., £п) е TR£0, то соответствующий вектору £ опера-
Совершенно аналогично касательный вектор £ к n-мерному мно-
гообразию М класса в точке р$ е М можно интерпретировать
(или определить) как элемент пространства дифференцирований I на
С^(М, R), обладающих свойствами (8), (9), при этом в соотноше-
нии (9) #0, естественно, заменяется на ро и тем самым функционал I
связывается именно с точкой ро Е М. Такое определение касательного
вектора £ и касательного пространства ТМро формально не требует
привлечения локальных координат и в этом смысле, очевидно, инвари-
антно. В координатах (х*,..., х™) локальной карты (СД, <рг) оператор I
§ 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА
401
имеет вид £*Х + ... + £гпХ = D$t. Набор чисел (^х,. - - естес-
ОХг
твенно называется координатами касательного вектора I 6 ТМро в
координатах карты (С7г, <рг). Координатные представления одного и то-
го же функционала I 6 ТМРо в картах (С7г,	в силу законов
дифференцирования связаны соотношениями
которые, естественно, повторяют соотношения (4).
2.	Дифференциальная форма на многообразии. Рассмотрим
теперь пространство Т*Мр, сопряженное к касательному пространст-
ву ТМр, то есть Т*Мр есть пространство линейных вещественнознач-
ных функционалов на ТМр.
Определение 3. Пространство Т*МР, сопряженное пространст-
ву ТМр, касательному к многообразию М в точке р 6 М, называется
кокасательным пространством к многообразию М в точке р.
Если многообразие М — класса	f 6 С^°°\М, К), а 1^ — отве-
чающее вектору £ 6 ТМр дифференцирование, то при фиксированной
функции f 6 С(°°)(М, R) отображение £ очевидно, будет элемен-
том пространства Т*МР. В случае М ~ Rn получается £ D{f(p) —
=	поэтому построенное отображение £ i—> l^f, естественно, назы-
вается дифференциалом функции f в точке р и обозначается обычным
символом df(p).
Если	(или ТН™-^ при р 6 дМ} — пространство, отве-
чающее в карте (Ua^a) многообразия М касательному пространст-
ву ТМр, то пространство	, сопряженное к	, естес-
твенно считать изображением (представителем) пространства Т*МР
в этой локальной карте. В координатах (ж^,... локальной карты
► пространства TRn_!. ч (или ТНп_х.
(Р) 4	Фа W
(Ua, ya) базису X..., X
I t/X-Q	(JJUq
если р 6 дМ) отвечает взаимный с ним базис {dx1,..., dxn) в сопряжен-
ном пространстве. (Напомним, что dx1^) = £г, поэтому dxz (	) = 6г .
Выражения этих взаимных базисов в другой карте (U/3,ipp) могут ока-
заться не столь простыми, ибо	dx\ = ^^dx3n.}
И	дх^ дх30дх^ а дх30
402
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Определение 4. Говорят, что на гладком n-мерном многообра-
зии М задана дифференциальная форма степени т, если на каждом
касательном к М пространстве ТМр^ р G М, определена кососимметри-
ческая форма сот(р): (ТМр)т -4- R.
Практически это означает, всего-навсего, что в каждом простран-
стве TRn_lz ч (или ТНп_1/ J, отвечающем пространству TMV в карте
(Р) 4	(РУ	Р
(Ua,(pa) многообразия М, задана соответствующая m-форма ^а(жа),
где ха — 99q1(p)- То, что две такие формы ^а(жа), шр(хр) являются
представителями одной и той же формы о>(р), выражается соотноше-
нием
^а(жа)((£1)а? • • • > (£m)a) — ^(^ЖСО/Ь * • • ?	(Ю)
в котором ха, хр — представители точки р 6 М, a (£i)a,. • •, (6п)а,
(£1)/3, • • • > (Ят)/з — представители векторов £i,..., Ст 6 ТМР в картах
(иа,(р<Уу (Up,<pp) соответственно.
В более формальной записи это означает, что
% а — tppafa/l)) %/3 Papfaot))
Cot Рра(х/з)С/3> C/3 “ Ра/3(xot)Cot?
(39
(4')
где, как обычно, <рра и рар являются соответственно функциями о
о	о преобразования координат, а касательные к ним ото-
бражения =: (рра)*, pfap =• (<Л*/з)* осуществляют изоморфизм ка-
сательных к Rn (Нп) пространств в соответствующих точках жа, хр.
Как было сказано в § 1, п. 3, сопряженные отображения (<р^а)* —: Pp^
(РарУ* =: Ра/3 осуществляют при этом перенос форм, и соотношение
(10) в точности означает, что
^q(Zq) = (plp(xa)(Vp(xp),
(Ю')
где а и /3- равноправные индексы (которые можно поменять местами).
Матрица (с^) отображения 9?^(^а) известна: (с^) —
ким образом, если
(zQ). Та-
^а(^а)	^3	А ... A dxa
(И)
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА
403
и
= 52
dx^1 A ... A dxJ™,
(12)
то в соответствии с формулой (30) из § 1 получаем, что
аи...гт dx& Л... Л dx1™ =
л
J1 • • • J 771
х^т 1
(ха) dx& А ... A dx*™, (13)
,31	/рЗттг |
Q , . . . ,	I
где Ш—I, как всегда, означает определитель матрицы из соответству-
ющих частных производных.
Итак, различные координатные выражения одной и той же формы со
получаются друг из друга прямой заменой переменных (с раскрытием
соответствующих дифференциалов координат и последующими алге-
браическими преобразованиями в соответствии с законами внешнего
умножения).
Если условиться форму соа считать переносом заданной на много-
образии формы со в область параметров карты	то естественно
писать, что соа = р^со и считать, что соа — 92* о (р^уиор = где
композиция 99* ° ((^J1)* в данном случае играет роль формальной дета-
лизации отображения = (99J1 ° 99а)*.
Определение 5. Дифференциальная m-форма со на п-мерном
многообразии М принадлежит классу гладкости если коэффи-
циенты аг1„Дп1(жа) ее координатного представления
Ыа =	=	52	a4—tm (^а) Лх% А . . . A dx1™
1О1<- -<«771^31
в любой карте (Uaipa) атласа, задающего на М гладкую структуру,
являются функциями соответствующего класса
Из формулы (13) видно, что определение 5 корректно, если само
многообразие М имеет гладкость класса	например, когда М
есть многообразие класса С(°°\
14-4574
404
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Для заданных на многообразии дифференциальных форм естест-
венным образом (поточечно) определены операции сложения, умноже-
ния на число и внешнего умножения (в частности, умножения на функ-
цию /: М —> R, которая по определению считается формой степе-
ни нуль). Первые две из этих операций превращают множество
m-форм класса на М в линейное пространство. В случае к — оо
это линейное пространство обычно обозначают символом Qm. Ясно,
что внешнее произведение форм a/711 Е Q™1, ct>m2 Е Q™2 дает форму
^mi+тз = Лц;т2 G
К
3.	Внешний дифференциал
Определение 6. Внешним дифференциалом называется линей-
ный оператор d: Q™ —>	, обладающий следующими свойствами:
1° d:	на любой функции f Е Qjj! совпадает с обычным
дифференциалом df этой функции.
2° d: (шт1Лшт2) = dumi hw™2 + (~l)mio;mi Л ^Ш2, где ш™1 Е Q™1,
^т2 G Qm2.
3° d2 := d O d = 0.
Последнее равенство означает, что для любой формы ш форма d(dw)
нулевая.
Наличие требования 3° подразумевает, таким образом, что речь
идет о формах гладкости не ниже чем класса С№.
Практически это означает, что рассматривается С^-многообра-
зие М и оператор d, действующий из Qm в Qm+1.
Формула для вычисления оператора d в локальных координатах кон-
кретной карты (а вместе с нею и единственность оператора d) вытекает
из соотношения
d I 52	(я) dxn Л... Л dxim j =
= V dci1...im(x) dx11 /\... A dxtm +	(14)
+ 1	52	•• d(dx11 Л... Л dxtm) =0j .
Существование оператора d вытекает теперь из того, что опреде-
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА
405
ленный в локальной системе координат соотношением (14) оператор
удовлетворяет условиям 1°, 2°, 3° определения 6.
Из сказанного, в частности, следует, что если и>а ~ ф&ш и =
= ф@о,— координатные представления одной и той же формы cd, т.е.
~	и dwp также будут координатными представлени-
ями одной и той же формы (dcu), т.е. dcvQ ~ ^P^d^p. Таким образом,
справедливо соотношение </(99* ^сид) — Ф*ар(йыр), что в абстрактной за-
писи означает коммутативность
dip* = ip*d	(15)
оператора d и операции 99* переноса форм.
4.	Интеграл от формы по многообразию
Определение 7. Пусть М — n-мерное гладкое ориентированное
многообразие, на котором координаты	и ориентация зада-
ются одной картой (рх: Dx М с областью параметров Dx С Rn.
Пусть си— n-форма на М и а(х) dx1 А ... A dxn ее координатное пред-
ставление в области Dx. Тогда
! о; а(х) dx1 А ... A dxn,	(16)
м Dz
где слева стоит определяемый интеграл от формы cd по ориентирован-
ному многообразию М, а справа — интеграл от функции а(х) по обла-
сти Dx.
Если ipt* Dt —> М — другой состоящий из одной карты атлас 7И, за-
дающий на М ту же ориентацию, что и атлас фх• Dx —> 7И, то якобиан
det ф1 (t) функции х = </?(/) преобразования координат всюду положите-
лен в области Dt. Форме cd в Dt отвечает форма
Ф*(а(х) dx1 А ... A dxn) = a(x(t)) det 99х (t) dt1 Л ... A dtn.
По теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место
равенство
а(х) dx1 ... dxn ~ У a(j:(t))det 99х (t) dtr...dtn^
Df
406
ГЛ XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
показывающее независимость левой части соотношения (16) от выбора
системы координат на М.
Итак, определение 7 корректно.
Определение 8. Носителем определенной на многообразии М
формы tv называется замыкание множества тех точек х Е М, где
7^ 0.
Носитель формы со обозначается символом supp ал В случае 0-форм,
т. е. функций, мы уже с этим понятием встречались. Вне носителя коор-
динатное представление формы в любой локальной системе координат
является нулевой формой данной степени.
Определение 9. Заданная на многообразии М форма со называ-
ется финитной формой, если supp со — компакт в М.
Определение 10. Пусть со — финитная форма степени п на п-
мерном гладком многообразии 7И, ориентированном атласом А. Пусть
срг: Пг —> иг {(^г,9?г), i =	— конечный набор карт атласа Л,
районы Um действия которых покрывают suppо», a ei,...,	—
подчиненное этому покрытию разбиение единицы на supp о». Повторяя
некоторые карты по нескольку раз, можно считать, что т — к и что
suppez С UZ) i = 1,... )Тп.
Интегралом от финитной формы со по ориентированному много-
образию М называется величина
(17)
где ср*(егсо) —координатное представление формы его>|с/г в области Dt
изменения координат соответствующей локальной карты.
Докажем корректность этого определения.
◄ Пусть А = {ср3 : D3 —> U3}— другой атлас, задающий на М ту же
гладкую структуру и ориентацию, что и атлас Л, и пусть {Д,..., £7^,
ei,..., е™ — соответствующее покрытие suppа; и подчиненное ему раз-
биение единицы на suppо». Введем функции = ezej, i =
j = 1,..., m, и положим согз ~
Заметим, что suppоу? С Wl3 = иг П U3. Отсюда и из корректности
определения 7 интеграла по задаваемому одной картой ориентирован-
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА
407
ному многообразию вытекает, что

Суммируя эти равенства по г от 1 до т и по j от 1 до т с учетом
тп	т
того, что ^2 fij ” ej, S fij — ег? получим интересующее нас тождест-
г=1	j = l
во. ►
5.	Формула Стокса
Теорема. Пусть М — ориентированное гладкое п-мерное много-
образие и и) — гладкая финитная дифференциальная форма степени п—
— 1 на нем. Тогда
дМ М
(18)
где ориентация края дМ многообразия М берется согласованной с
ориентацией многообразия М. Если же дМ = 0, то f dev = 0.
м
◄ Без ограничения общности можно считать, что областями изме-
нения координат (параметров) всех локальных карт многообразия М
являются либо открытый куб / = {х Е Кп | 0 < хг < 1, i = 1,..., п},
либо куб I — {гг Е Rn | 0 < х1 1 А 0 < хг < 1, i = 2,..., п} с одной
(определенной!) присоединяемой к кубу I гранью.
С помощью разбиения единицы утверждение теоремы сводится к
случаю, когда supped лежит в районе U действия одной карты вида
ер: I —> U или ср: I —> U. В координатах этой карты форма cd имеет вид
п
cd = аг(х) dx1 А ... A dx1 А ... A dxn,
г=1
где символ , как обычно, означает пропуск соответствующего мно-
жителя.
В силу линейности интеграла утверждение достаточно доказать для
одного члена
cdz = аг(х) dx1 А ... A dx1 А ... A dxn
(19)
408
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
суммы. Дифференциалом такой формы является п-форма
(1ыг = (—1)г 1^-(я) dx1 А ... A dxn.
v 7 дхгУ 7
(20)
Для карты вида ср: I —> U оба интеграла в (18) от соответствую-
щих форм (19), (20) равны нулю: первый потому, что suppaz С /, а
второй —по той же причине, если учесть теорему Фубини и соотноше-
1 да
ние j ~~^dxl — аг(1) — аг(0) = 0. Этим заодно исчерпывается случай,
о °х
когда дМ = 0.
Таким образом, остается проверить равенство (18) для карты <р :
Если г > 1, то и для такой карты оба интеграла равны нулю, что
следует из приведенных выше соображений.
Если же i = 1, то
Итак, при п > 1 формула (18) доказана.
Случай 71—1 совпадает с формулой Ньютона - Лейбница, если при-
нять, что концы а, Д ориентированного отрезка [а, /?] отмечаются зна-
ками а_ и /?+, а интеграл от 0-формы д(х) по такой ориентированной
точке полагается равным — д(а) и +g(J3) соответственно. ►
По поводу доказанной теоремы сделаем некоторые замечания.
Замечание 1. В формулировке теоремы ничего не говорится о
гладкости многообразия М и формы си. В таких случаях обычно под-
разумевают, что каждый из этих объектов имеет гладкость (7^°°^ Из
доказательства теоремы видно, однако, что формула (18) верна и для
форм класса	на многообразии М, допускающем формы такой глад-
кости.
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА
409
Замечание 2. Из доказательства теоремы, как, впрочем, и из са-
мой формулы (18), видно также, что если supped — компакт, лежащий
строго внутри 7И, т. е. supped П дМ = 0, то f du ~ 0.
м
Замечание 3. Если М—компактное многообразие, то для любой
формы cd на М ее носитель supped, как замкнутое подмножество ком-
пакта 7И, является компактом. Следовательно, в этом случае любая
форма cd на М является финитной и имеет место равенство (18). В
частности, если М — компактное многообразие без края, то для любой
гладкой формы на М имеет место равенство J du — 0.
м
Замечание 4. Для произвольных (не финитных) форм и на мно-
гообразии, не являющемся само по себе компактом, формула (18), во-
обще говоря, не имеет места.
Рассмотрим, например, знакомую нам форму и = -dy- ydx в Кру_
х + у
говом кольце М = {[х,у} Е К2 | 1 С х2 + у2 2}, наделенном стан-
дартными декартовыми координатами. В этом случае М — компактное
двумерное ориентированное многообразие, край дМ которого состоит
из двух окружностей Ci = {(rr, у) Е R2 | х2 + у2 = г}, i = 1,2. Поскольку
du — 0, то по формуле (18) находим, что
0 =
м
02 С1
где обе окружности Ci и С*2 пробегаются против часовой стрелки. Мы
знаем, что
у cd = у cj — 2л 7^ 0.
01	02
Значит, если вместо М рассмотреть многообразие М ~ М \ Ci, то

М
дМ
Задачи и упражнения
1. а) Два гладких пути 7*: R —> М, i = 1,2, на гладком многообразии М
назовем касающимися в точке р Е А/, если 71 (0) = 72(0) = р и в каждой
410
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
локальной системе координат у?: Rn(7Jn) —> С7, район U действия которой
содержит точку р, выполняется соотношение
|<^-1 ° 7i(t) - <^-1 о 72(01 = пРи t -> 0.	(21)
Покажите, что если равенство (21) выполнено в одной из указанных систем
координат, то оно будет выполнено и в другой такой же локальной системе
координат гладкого многообразия М.
Ь)	Свойство путей касаться в некоторой точке р Е М является отноше-
нием эквивалентности на множестве гладких путей, проходящих на М через
точку р. Класс эквивалентности по этому отношению назовем пучком каса-
ющихся путей в точке р Е М. Установите намеченное в §3, п. 1 взаимно
однозначное соответствие между векторами пространства ТМР и пучками
касающихся в точке р Е М путей.
с)	Покажите, что если пути 71,72 касаются в точке рЕ М, a f Е (М, R),
то
^i(O) = ^(0).
dt v 7 dt v 7
d)	Покажите, как каждому вектору £ Е ТМР сопоставляется функционал
Z = /^(—	с(°°) (М, К) —> R, обладающий свойствами (8), (9), где xq — р.
Обладающий этими свойствами функционал назовем дифференцированием в
точке р Е М.
Проверьте, что дифференцирование I в точке р есть локальная операция,
т.е. если /i, /2 £ С(°°) и fi(x) = /2 (я) в некоторой окрестности точки р, то
Ifi = //2.
е)	Покажите, что если х1,..., хп —-локальные координаты в окрестности
точки р, то I = 52	гДе ~Х1 —операция вычисления частной производ-
А_1	ОХ	ОХ
г=1
ной по хг в точке х, отвечающей точке р. (Указание. Запишите функ-
цию f\u(p) • М —> К в локальных координатах; вспомните, что для функ-
ции / Е С^00) (Rn, R) имеет место разложение f(x) = /(0) + ^,хгдг(х\ где
г=1
9г е C^OR”, К) и 5,(0) = |4(0), г = 1,... ,п.)
f)	Проверьте, что если М — многообразие класса С^°°\ то линейное про-
странство дифференцирований в точке р Е М изоморфно построенному в п. 1
настоящего параграфа пространству ТМР. касательному к М в точке р.
2.	а) Если в каждой точке р Е М гладкого многообразия М фиксирован
вектор £(р) Е ТМР) то говорят, что на многообразии М задано векторное
поле. Пусть X — векторное поле на М. Поскольку в силу предыдущей задачи
любой вектор Х(р) = £ € ТМР можно интерпретировать как дифференци-
рование в соответствующей точке р, то по любой функции / Е	1R)
можно построить функцию X f(p), значение которой в любой точке р Е М вы-
числяется применением JX(p) к /, т. е. дифференцированием / по вектору АГ(р)
§3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 411
поля АС. Поле X на М называется гладким (класса С^00)), если для любой фун-
кции f е (М, Ж) функция Xf тоже принадлежит классу С^°°\М, Ж).
Дайте локальную координатную запись векторного поля и эквивалентное
приведенному, но координатное определение гладкого (класса С^) вектор-
ного поля на гладком многообразии.
Ь)	Пусть X и Y — два гладких векторных поля на многообразии М. Для
функций f е	(М, Ж) построим функционал: [АГ, Y]f := АС(У/) — У (АС/).
Проверьте, что [АС, У]—тоже гладкое векторное поле на М. Оно называется
скобкой Пуассона векторных полей АС и У.
с)	Наделите гладкие векторные поля на многообразии структурой алгеб-
ры Ли.
3.	а) Пусть АС и о; —гладкое векторное поле и гладкая 1-форма на глад-
ком многообразии М. Пусть о;АС означает применение си к вектору поля АС
в соответствующих точках многообразия М. Покажите, что соХ-—гладкая
функция на М.
Ь)	Учитывая задачу 2, покажите, что имеет место следующее соотноше-
ние:
(kor(X,Y) = АГ(о?У) - У(о?АС) - си1 ([АС, У]),
где АС, У— гладкие векторные поля, (ко1— дифференциал формы си1, (ко1 (АС, У)
— применение (ко1 к парам связанных с одной точкой векторов полей АС, У.
с)	Проверьте, что в общем случае формы си порядка т справедливо соот-
ношение
m+l
du(ACi,..., ACm-j-i) =	(—I)1-*-1 АСгси(АС1,..., АСг,..., ACm_|_i) +
г~1

где символ отмечает выпускаемый член, [AG,ACJ—скобка Пуассона полей
АСг, Х3, а Хгоо — дифференцирование функции cu(ACi,..., АГг,..., Xm+i) по век-
торам поля Хг. Поскольку скобка Пуассона определена инвариантно, то полу-
ченное соотношение можно расценить как довольно сложное, но инвариантное
определение оператора d: П —> Q внешнего дифференцирования.
d)	Пусть си— гладкая m-форма на гладком n-мерном многообразии М.
Пусть (fi,...,	— векторы в Жп, отвечающие в карте (рг: Жп -> U С М
векторам £i,..., Cm+i € ТМР. Обозначим через Пг образованный векторами
(£1,..., £m+i )г в Жп параллелепипед, и пусть ЛПг — параллелепипед, натянутый
на векторы (Л£1,..., А£пг4-1)г- Образы ^(Щ), ^г(ЛПг) этих параллелепипедов
в М обозначим через П и ЛП соответственно. Покажите, что
dcv(p)(^i,...= lim	j ш.
0(ЛП)
412
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
4.	а) Пусть	N — гладкое отображения гладкого m-мерного мно-
гообразия М в гладкое n-мерное многообразие N. Используя интерпретацию
касательного вектора к многообразию как пучка касающихся путей (см. зада-
чу 1), постройте индуцируемое отображением f отображение	ТМр —>
->TNf(p)-
b)	Покажите, что отображение /* линейно и запишите его в соответству-
ющих локальных координатах многообразий М и N. Объясните, почему /* (р)
называют дифференциалом отображения f в точке р или отображением, ка-
сательным к f в этой точке.
Пусть f — диффеоморфизм. Проверьте, что f*[X, У] = [/*Х,/*У]. Здесь
X, У — векторные поля на М, а [•, •] — их скобка Пуассона (см. задачу 2).
с)	Касательное отображение ТМР —> TNq~f^ катательных про-
странств, как известно из § 1, порождает сопряженное отображение f*(p) со-
пряженных пространств и вообще определенных на TNf^ и ТМР пространств
к-форм.
Пусть со — k-форма на N; k-форма f*co на М определяется соотношением
(/М(р)(6, •. ,&) :=	, Ш,
где £i,..., е ТМР. Так возникает отображение /*: Qfc(7V) -> Qfc(M) прост-
ранства Qfc(7V) заданных на N k-форм в пространство k-форм на М.
Проверьте следующие свойства отображения /*, считая М и N многообра-
зиями класса гладкости С(°°Л
1° /*—линейное отображение;
2° f*(coi A oj2) = A /*о?2;
3° do/* = /* od, Т.е. d(/M = /*(duj);
4° (/20/1)* = Л* о /*.
d)	Пусть М и N — гладкие n-мерные ориентированные многообразия, а
р: М —> N — диффеоморфизм М на N. Покажите, что если со — n-форма на N
с компактным носителем, то
со — г
у(М) м
где е = <
-1,
если р сохраняет ориентацию,
если р меняет ориентацию.
е)	Пусть A D В. Отображение i: В —> А, которое каждой точке х € В
ставит в соответствие ее же как точку множества А, называют каноническим
вложением В в А.
Если со — форма на многообразии М, а Мг — подмногообразие М, то ка-
ноническое вложение г: Mf —> М порождает на Mf форму г*о;, которую назы-
вают сужением или ограничением формы со на Mf. Покажите, что правильная
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА
413
запись формулы Стокса (18) должна иметь вид
М дМ
где г: дМ -> М — каноническое вложение дМ в А/, а ориентация на дМ бе-
рется согласованной с ориентацией М.
5.	а) Пусть М — гладкое (С^00)) ориентируемое п-мерное многообразие,
а Пс(М) — пространство гладких	п-форм с компактным носителем
на М. Покажите, что существует и притом единственное отображение f :
м
(М) —> R, обладающее следующими свойствами:
1° отображение f линейно;
м
2° если <р: In(In) —> U С М — карта задающего ориентацию М атласа,
suppw С U и в локальных координатах я1,... ,яп этой карты со = а(х) dx1 А
А ... A dxn, то
со = У а(х) dx1 ... dxn^
м in(in)
где справа стоит интеграл Римана от функции а по соответствующему кубу
Jn(Jn).
b) Всегда ли указанное выше отображение можно продолжить до облада-
ющего теми же свойствами отображения f : Qn(M) —> Ж пространства Qn(M)
м
всех гладких n-форм на М?
с) Используя то, что в любое открытое покрытие многообразия М мож-
но вписать не более чем счетное локально конечное покрытие М и то, что
для любого такого покрытия на М существует подчиненное этому покрытию
разбиение единицы (см. задачу 9 из § 2), определите интеграл от п-формы по
ориентированному гладкому п-мерному (не обязательно компактному) много-
образию так, чтобы он обладал указанными выше свойствами 1°, 2° приме-
нительно к формам, для которых интеграл конечен. Покажите, что для этого
интеграла формула (18), вообще говоря, не имеет места, и дайте условия на со,
достаточные для справедливости формулы (18) в случае, когда М = Жп, и в
случае, когда М = Нп.
6.	а) Используя теорему существования и единственности решения диф-
ференциального уравнения х = и(я), а также гладкую зависимость решения
от начальных данных, покажите, что гладкое ограниченное векторное поле
v (х) в Жп можно рассматривать как поле скоростей установившегося тече-
ния. Точнее, покажите, что существует такое гладко зависящее от параметра
(времени) t семейство диффеоморфизмов : Жп —> Жп, что (х) при фикси-
рованном значении х € Жп является интегральной кривой нашего уравнения,
414
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
т.е.	= v((pt(x)), причем фо(х) = х. Отображение (pt \	—> оче-
видно, характеризует перемещение частиц среды за время t. Проверьте, что
семейство отображений (pt:	—> является однопараметрической группой
диффеоморфизмов, т.е. Оа)’1 = ^-t, pt2 <><Рц =
b)	Пусть v — векторное поле в a (pt— однопараметрическая группа
диффеоморфизмов , порожденная полем v. Проверьте, что для любой глад-
кой функции f G С'(ОО\КП,К) имеет место соотношение
Ji™ 7(ЛЫа:)) - Л*)) = Dv(x)f-
о
Если ввести обозначение := Dvf, согласованное с обозначениями из
задачи 2, и вспомнить, что f о (pt =: (p^f, то можно написать, что
Jim уН/- /Х*) =v(f)(x)-
J
с)	Теперь естественно определяется и дифференцирование заданной в
гладкой формы си любой степени вдоль поля v. А именно, положим
v(a>)(x) := lim - w)(®).
Форма v(cu) называется производной Ли от формы си вдоль поля v и ча-
ще всего обозначается специальным символом Lvw. Определите производную
Ли L%cu формы си вдоль поля X на произвольном гладком многообразии М.
d)	Покажите, что производная Ли на С^00)-многообразии М обладает сле-
дующими свойствами.
1° Lx—локальная операция, т.е. если в окрестности U С М рассматри-
ваемой точки х 6 М поля Xi, Х2 и формы cui, cu2 соответственно совпадают,
то (LxjWiXa:) = (Lx2w2)(a:).
2° Lxflk(M) С ak(M).
3° LX - С1к(М) —> Qfc(Af)—линейное отображение при любом к = 0,1,2,...
4° Lx(wi Л о?2) =	Л cu2 + cui Л ЬХШ2-
5° Если f G Q0(M), то Lxf = d/(X) =: Xf.
6° Если f G П°(М), to Lxdf = d(Xf).
e)	Проверьте, что указанные выше свойства 1°-6° однозначно определи-
ют операцию Lx-
7.	Пусть X — векторное поле, а си — форма степени к на гладком много-
образии М.
Внутренним произведением поля X и формы си называется (к — 1)-форма,
обозначаемая через г%си или через Х_1 си и определяемая следующим соот-
ношением (ixw)(Xi,... ,-Xfe-i) := w(X,Xi,... ,-Xfe-i), где Xi,... ,Xk-i —век-
торные поля на М. Для 0-форм, т. е. функций на М, положим X _1 f = 0.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
415
а)	Покажите, что если в локальных координатах х1,..., хп карты : Ж1 —>
—> U С М форма ш (точнее ал|и) имеет вид	гк (ж) dx4 Л ... Л
1^21< .
Л dxtk = Лаг. г. dx4 Л ... Л dxlk, а X — Хг-^г. то
к. 1 л
ixw = ZT *	,г. dx12 Л ... A dx*k.
(к - 1)!	2 к
b)	Проверьте далее, что если df = -^dxl,Toixdf =	= X(f) = Dxf-
с)	Пусть Х(М)—пространство векторных полей на многообразии М, а
П(М)—кольцо кососимметрических форм на М. Покажите, что существует
только одно отображение г: Х(М) х П(М) —> П(М), обладающее следующими
свойствами:
1° г—локальная операция, т.е. если поля Х1? Х^ и формы cui, о>2 соответ-
ственно совпадают в окрестности U точки х б М, то (гх1и>1)(ж) — (гх2о>2)(ж);
2° zx(Qfc(M))
3° ix: 0fc(M) —> nfc-1(M) ^линейное отображение;
4° если б (М), ол2 в Q*2(M), то гх(а>1 Ао^) = Ла>2 + (—l)fclo>i Л
Л г%^2;
5° если (V G П1(М), то ix& = о>(Х), а если f б П°(М), то ixf = 0.
8.	Докажите следующие утверждения.
а)	Операторы d, ix и Lx (см. задачи 6, 7) удовлетворяют так называемому
тождеству гомотопии
Lx ~ ixd + dix,	(22)
где X—любое гладкое векторное поле на многообразии.
Ь)	Производная Ли коммутирует с d и ix, т. е.
Lx od — do Lx, Lx °ix ~ ix ° Lx-
c)	[L%,zy] = a[x,y], [Lx,Ly] = L[X,Y], где как всегда [А, В] = Ao В - В о A
для любых операторов А, В, для которых выражение А о В — В о А определено.
В данном случае все скобки [ , ] определены.
d)	Lxfw = fLxw + df Л ix^, где f G fl°(M), a cu G Qk(M).
(Указание. Основным в задаче является п. а). Его можно проверить,
например, индукцией по степени формы, на которую действуют операторы.)
§ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии
1. Теорема Пуанкаре. В этом параграфе будут дополнены сведе-
ния о замкнутых и точных дифференциальных формах, которые были
изложены в гл. XIV, §3 в связи с теорией векторных полей в области
416
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
пространства Rn. Как и прежде, символ QP(A/) будет означать прост-
ранство всех гладких вещественнозначных форм степени р на гладком
многообразии А/, a Q(AT) — |JQP(AT).
р
Определение 1. Форма cu G QP(AT) называется замкнутой, если
dcu — 0.
Определение 2. Форма cu G QP(AT), р > 0, называется точной,
если существует такая форма cv 6 0>р~г(М), что cu = da.
Множество всех замкнутых р-форм на многообразии М обозначим
через ZP(M), а множество всех точных р-форм на М обозначим сим-
волом ВР(М).
Для любой формы cu G Q(AT) имеет место соотношение1)с/(с/си) = 0,
которое показывает, что ZP[M) Z) ВР(М). Нам уже известно из гл. XIV,
§ 3, что, вообще говоря, это включение является строгим.
Важный вопрос о разрешимости (относительно си) уравнения da = cu
при выполнении необходимого условия с/си = 0 на форму си оказывает-
ся тесно связан с топологической структурой многообразия М. Более
полно сказанное будет расшифровано ниже.
Определение 3. Многообразие М будем называть стягиваемым
(в точку € А/) или гомотопным точке, если существует такое глад-
кое отображение h: М х I —> М, где I = {t Е R | 0 t 1}, что
h(x, 1) = х и h(x, 0) — :го-
Пример 1. Пространство стягивается в точку посредством
отображения h(x,t) — tx.
Теорема 1 (Пуанкаре). Любая замкнутая (р + Г)-форма (р > 0)
на стягиваемом в точку многообразии М является точной.
◄ Нетривиальная часть доказательства состоит в следующей «ци-
линдрической» конструкции, сохраняющей силу для любого многообра-
зия М.
Рассмотрим «цилиндр» М х I — прямое произведение М на единич-
ный отрезок Z, и два отображения Д: М —> М х	— (х, г), i — 0,1,
отождествляющие М с основаниями цилиндра М х I. Тогда естествен-
зависимости от способа введения оператора d это свойство или доказывает-
ся, и тогда его часто называют леммой Пуанкаре, или включается в определение
оператора d.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
417
но возникают соответствующие отображения j*: ОР(М х /) —> QP(M),
которые сводятся к тому, что в форме из QP(M х /) переменная t за-
меняется значением г(= 0,1), при этом, разумеется, di = 0.
Построим линейный оператор К: QP+1(M х /) —>	который
на мономах определим следующим образом:
К (а(х, t) dx4 Л ... Л dx1^1}	0,
/1	\
К (а(х, t) dt Л dx11 Л ... Л dxlp} := ( J а(х, t) dt j dx4 Л ... Л dx^.
\о	/
Основное нужное нам свойство оператора К состоит в том, что для
любой формы си G QP+1(M х /) имеет место соотношение
K(du) + d(Ku) =	- jfa.	(1)
Это соотношение достаточно проверить для мономов, поскольку все
операторы К, с/, j*, j’q линейны.
Если си — а(х, t) dx4 Л ... Л dxlp+\ то Kiv = 0, d(Kiv) = 0,
да
dw = — dt Л dx11 Л ... Л dxlp+1 + [члены без dt],
K(dcv) =
dx4 Л ... Л dxtp+1 =
= (а(х, 1) — а(х, 0)) dx4 Л ... Л dx'lp+1 = j*w —
и соотношение (1) справедливо.
Если си = а(х, t) dt Л dx11 Л ... Л dxtp, то j*as =	= 0. Далее,
K(d<v) = К ( —	^г° dx4 Л ... Л dxlp
\ го
dxl° Л dx11 Л ... Л dx^
го
d(Kcv) = d
dx11 Л ... Л dxlp
418 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
= I j а(ж> j Л d3^1 л • • • A dxlp =
г°	\0	/
= I /* dt j dxl° Л dx11 Л ... Л dxip.
г° \о /
Таким образом, и в этом случае соотношение (1) справедливо1'.
Пусть теперь М — стягиваемое в точку xq G М многообразие, h: М х
х I М — указанное в определении 3 отображение, ш— (р + 1)-форма
на М. Тогда, очевидно, h о j1: М —> М — тождественное отображение,
a h о j0: М -> х0 — отображение М в точку хо, поэтому (j* о — cu
и (ft о h*) ш = 0. Значит, в этом случае из (1) следует, что
= ш.
(2)
Если к тому же си — замкнутая форма на М, то, поскольку d(h*w) =
— А*(с/си) = 0, из (2) получаем, что
c/(if (Д*си)) - си.
Таким образом, замкнутая форма си является внешним дифферен-
циалом формы а — K(h*w) Е QP(M), т.е. си —точная форма
на М. ►
Пример 2, Пусть А, В, С — гладкие вещественнозначные функ-
ции переменных х, у, z в R3. Требуется решить относительно функций
В, Q, R систему уравнений
{9R _ dQ _ А
dy dz —
dP ___ dR _ о	/о\
dz dx~n'
dQ dP
dx dy
Для совместности системы (3), очевидно, необходимо, чтобы функ-
ции А, В, С удовлетворяли соотношению
дА	дБ дС
дх	ду	dz	’
^По поводу обоснования проведенного в последнем равенстве дифференцирования
интеграла по переменной жг° см., например, гл. XVII, § 1.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
419
которое равносильно замкнутости в R3 формы
ш = A dy Л dz + В dz Л dx + С dx Л dy.
Система (3) будет решена, если будет найдена такая форма
a = Pdx + Qdy + R dz,
что da — cu.
В соответствии с изложенной при доказательстве теоремы 1 рецеп-
турой и с учетом построенного в примере 1 отображения h после про-
стых вычислений получим
Можно и непосредственно проверить, что da = си.
Замечание. Произвол в выборе формы си, удовлетворяющей усло-
вию da = си, обычно довольно большой. Так, вместе с формой cv любая
форма вида a A dr], очевидно, тоже будет удовлетворять этому же урав-
нению.
В силу теоремы 1 на стягиваемом многообразии М любые две фор-
мы си, /3, удовлетворяющие условию da — d/3 = си, отличаются на точную
форму. Действительно, d(a — /3) = О, т.е. форма (а — /3)—замкнутая
на М, а значит, по теореме 1 она точная.
2. Гомологии и когомологии. В силу теоремы Пуанкаре любая
замкнутая форма на многообразии локально является точной. Склеить
эти локальные первообразные в одну форму на всем многообразии уда-
ется далеко не всегда, и это зависит от топологической структуры мно-
гообразия. Например, замкнутая в проколотой плоскости R2 \ 0 форма
420 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
си — ~ydx + рассмотренная в § 3 гл. XIV, локально является диффе-
я + у
ренциалом функции 92 = —полярного угла точки (о:,?/), однако,
продолжение этой функции в области R2 \ 0 приводит к многозначно-
стям, если замкнутый путь, по которому идет продолжение, охваты-
вает дырку — точку 0. Примерно так же обстоит дело и с формами
других степеней. «Дырки» в многообразиях могут быть различные —
не только проколы, но и такие, как, например, у тора или кренделя.
Структура многообразий высших размерностей может быть довольно
сложной. Связь между устройством многообразия как топологического
пространства и взаимоотношением замкнутых и точных форм на нем
описывается так называемыми группами (ко) гомологий многообразия.
Замкнутые и точные вещественнозначные формы на многообра-
зии М образуют линейные пространства ZP(M) и ВР(М) соответствен-
но, причем ZP(M) Z) ВР(М}.
Определение 4. Фактор-пространство
Нр(М) ZP(M)/BP(M)	(4)
называется группой р-мерных когомологий (с вещественными коэффи-
циентами) многообразия М.
Таким образом, две замкнутые формы cui, CU2 С ZP(M) лежат в од-
ном классе когомологии или когомологичны, если cui — CU2 6 ВР(М),
т. е. если они отличаются на точную форму. Класс когомологий формы
cu G ZP(M) будем обозначать символом [си].
Поскольку ZP(M) есть ядро оператора cP: QP(M) —> Qp+1(M), а
ВР(М} есть образ оператора cP-1: QP“1(M) —> QP(M), то вместо (4),
часто пишут
НР(М) -Kercf/ImtF”1.
Подсчет когомологий — дело, как правило, трудное. Можно, однако,
сделать некоторые тривиальные общие наблюдения.
Из определения 4 следует, что если р > dim М, то НР(М} — 0.
Из теоремы Пуанкаре вытекает, что если М стягиваемо, то при
р > 0 НР(М) = 0.
На любом связном многообразии М группа #°(М) изоморфна R,
так как 7/°(М) = ZQ(M), а если для функции /: М R на связном
многообразии М выполнено соотношение df = 0, то f = const.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
421
Таким образом, например, для пространства R" получается, что
№(Rn) = 0 при р > 0 и #°(Rn) ~ R. Это утверждение (с точностью
до тривиального последнего соотношения) эквивалентно теореме 1 при
М — Rn и тоже называется теоремой Пуанкаре.
Более наглядную геометрическую связь с многообразием М имеют
так называемые группы гомологий.
Определение 5. Гладкое отображение с: Р М р~мерного куба
I С BF в многообразие М называют сингулярным кубом на многообра-
зии М.
Это прямое обобщение понятия гладкого пути на случай произволь-
ной размерности р. В частности, сингулярный куб может состоять в
преобразовании куба I в одну точку.
Определение 6. Цепью (сингулярных кубов) размерности р на
многообразии М называется любая конечная формальная линейная ком-
бинация ^2 ak^k сингулярных р-мерных кубов на М с вещественными
коэффициентами.
Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг из друга диф-
феоморфным изменением параметризации с положительным якобиа-
ном, считаются эквивалентными и отождествляются. Если же такая
замена параметризации происходит с отрицательным якобианом, то со-
ответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы
с, с_ считаются противоположными и полагают с_ — —с.
Цепи размерности р на многообразии М, очевидно, образуют ли-
нейное пространство относительно стандартных операций сложения и
умножения на вещественное число. Это пространство мы обозначим
через Ср{М\
Определение 7. Границей д! р-мерного куба Р в	называется
(р — 1)-мерная цепь
1 р

(5)
г~0 j=l
в W9, где сгз : Р 1 —> BF —отображение (р — 1)-мерного куба в Rp, инду-
цированное каноническим вложением соответствующей грани куба Р
в Rp. Точнее, если P~r = {х 6 BF-1 | 0 хт 1, т — 1,... ,р — 1}, то
cv(2r) “	* * * j Е
422
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Легко проверить, что это формальное определение границы куба в
точности совпадает с операцией взятия края стандартно ориентиро-
ванного куба 1Р (см. гл. XII § 3).
Определение 8. Граница дс сингулярного р-мерного куба есть
(р — 1)-мерная цепь
1 р
ac:=EEH,+Jc°c<r
г=0 j-1
Определение 9. Граница р-мерной цепи ^2akck на многообра-
к
зии М есть (р — 1)-мерная цепь
5 I V акск 1 := V акдск.
\ к / к
Таким образом, на любом пространстве цепей СР(М) определен ли-
нейный оператор
д = др-. ср(м)
Исходя из соотношения (5), можно проверить, что для куба имеет
место соотношение д(дГ) = 0. Следовательно, вообще д о д = д2 = 0.
Определение 10. Циклом z размерности р или рециклом на мно-
гообразии называется такая цепь, для которой dz = 0.
Определение 11. Граничным циклом b размерности р на много-
образии называется цепь, являющаяся границей некоторой (р + ^-мер-
ной цепи.
Пусть Zp(M) и ВР(М) — совокупности р-мерных циклов и р-мерных
граничных циклов на многообразии М. Ясно, что Zp(M) и ВР(М) явля-
ются линейными пространствами над полем R и что ZP(M) D Вр(М).
О пре деление 12. Фактор-пространство

(6)
называется р-мерной группой гомологий (с вещественными коэффици-
ентами) многообразия М.
Таким образом, два цикла zi, z% G ZP(M) лежат в одном классе гомо-
логий или гомологичны, если z\ — z^ Е Вр(М), т. е. если они отличаются
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
423
на границу некоторой цепи. Класс гомологий цикла z G Zp(M) будем
обозначать через [z].
Как и в случае когомологий, соотношение (6) можно переписать в
виде
ЯР(М) =Kerdp/Imdp+i.
Определение 13. Если с: I —> М — сингулярный р-мерный куб, а
tv—р-форма на многообразии Л/, то интегралом от формы си по этому
сингулярному кубу называется величина
! ш := J с*ш.	(7)
С	I
Определение 14. Если	akck ~~ цепь размерности р, а си —
к
р-форма на многообразии М, то интеграл от формы по такой цепи
понимается как линейная комбинация ^2ак f интегралов по соответ-
к Ck
ствующим сингулярным кубам.
Из определений 5-8 и 13, 14 следует, что для интеграла по сингу-
лярному кубу справедлива формула Стокса
[ du) — J ш,	(8)
с	дс
где с и си имеют размерность р и степень р — 1 соответственно. Если
учесть еще определение 9, то можно заключить, что вообще формула
Стокса (8) остается в силе для интегралов по цепям.
Теорема 2. а) Интеграл от точной формы по циклу равен нулю.
Ь)	Интеграл от замкнутой формы по границе цепи равен нулю.
с)	Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от
класса гомологий цикла.
d)	Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от
класса когомологий формы.
е)	Если замкнутые р~формы cui, сиг и циклы zi, Z2 размерности р
таковы, что [cui] = [сиг] и [^1] — И, то
424
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
◄ а) По формуле Стокса f dw = f w — 0, так как dz = 0.
z dz
Ь)	По формуле Стокса f со = f dev = 0, так как dco = 0.
дс с
с)	Вытекает из Ь).
d)	Вытекает из а).
е)	Вытекает из с) и d). ►
Следствие. Билинейное отображение О,Р(М} х СР(М) —> К, за-
даваемое формулой (си, с) f со, индуцирует билинейное отображение
с
ZP(M) х ZP(M) —> К и билинейное отображение НР(М) х НР(М) JL
Последнее задается формулой
(М,И) Н- f ш,
Z
(9)
где ev 6 ZP(M} и z Е ZP(M).
Теорема 3 (де Рам1)). Задаваемое формулой (9) билинейное ото-
бражение НР(М) х Нр(М) —> К невырождено^.
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой теоремы де
Рама, но дадим несколько ее переформулировок, позволяющих в явном
виде представить используемые в анализе ее следствия.
Прежде всего заметим, что каждый класс когомологий [cu] 6 НР(М)
в силу (9) можно интерпретировать как линейную функцию [си] ([2]) =
= f со. Таким образом, возникает естественное отображение НР(М) —>
Z
—> Н*(М), где Н*(М) — сопряженное к НР(М) пространство. Теорема
де Рама утверждает, что это отображение является изоморфизмом, и
в этом смысле НР(М) = Н*(М).
Определение 15. Если си — замкнутая р-форма, a z — цикл раз-
мерности р на многообразии М, то величина рег(^) := f си называется
Z
периодом (или циклической постоянной) формы ш на цикле z.
.де Рам (1903-1969)—бельгийский математик; основные работы относятся
к алгебраической топологии.
2^Напомним, что билинейная форма Цх^у) называется невырожденной, если при
любом фиксированном отличном от нуля значении одной из переменных получается
не равная нулю тождественно линейная форма по другой переменной.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
425
В частности, если цикл z гомологичен нулю, то, как следует из
утверждения Ь) теоремы 2, рег(^) — 0. По этой причине между пе-
риодами имеется следующая связь:
/J akzk =° => 2^ак per(^) = 0,
. к J	к
(Ю)
т. е. если линейная комбинация циклов является граничным циклом,
или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствующая линейная
комбинация периодов равна нулю.
Имеют место следующие две теоремы де Рама, которые в совокуп-
ности равносильны теореме 3.
Теорема 4 (первая теорема де Рама). Замкнутая форма точна
тогда и только тогда, когда все ее периоды равны нулю.
Теорема 5 (вторая теорема де Рама). Если каждому рециклу z Е
G ZP(M) на многообразии М сопоставить число рег(^) с соблюдением
условия (10), то на М найдется такая замкнутая р-форма со, что
f со = рег(^) для любого цикла z Е Zp(M).
Z
Задачи и упражнения
1.	Проверьте прямым вычислением, что полученная в примере 2 форма а
действительно удовлетворяет уравнению da — со.
2.	а) Докажите, что любая односвязная область в R2 стягиваема по себе
в точку.
Ь) Покажите, что в R3 предыдущее утверждение, вообще говоря, не имеет
места.
3.	Проанализируйте доказательство теоремы Пуанкаре и покажите, что
если гладкое отображение h: М х I —> М рассматривать как семейство зави-
сящих от параметра t Е I отображений ht: М —> М, то для любой замкнутой
на М формы со, все формы h*co, t Е I будут лежать в одном классе когомоло-
гий.
4.	а) Пусть t н-> ht £ С(оо) (М, IV) — гладко зависящее от параметра t 6
Е I С R семейство отображений многообразия М в многообразие N. Про-
верьте, что для любой формы со Е Q(7V) справедлива следующая формула го-
мотопии:
Г\
— (hfajtx') = dht(ixw)(x) + Ь*(гх<Ь^(х).	(11)
С/ L
Здесь х Е М; X — векторное поле на N, причем X(x,t) Е TNh^ и Х(х, t)
есть вектор скорости для пути tl i-> hti (х) при tl ~ t', оператор ix внутреннего
426
ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Рис. 98.
произведения формы и векторного поля определен в задаче 7 предыдущего
параграфа.
Ь)	Из формулы (11) получите утверждение, высказанное в задаче 3.
с)	Опираясь на формулу (11), докажите вновь теорему 1 Пуанкаре.
d)	Покажите, что если К — стягиваемое в точку многообразие, то для
любого многообразия М и при любом целом значении р имеет место равенство
Я^хМ)-НР(М).
е)	Получите из формулы (11) соотношение (22) предыдущего параграфа.
5. а) Используя теорему 4, а также непосредственно покажите, что если
замкнутая 2-форма на сфере 52 такова, что J си = 0, то форма и — точная.
s2
Ь) Покажите, что группа Л2(52) изоморфна R
с) Покажите, что Я1(52) = 0.
6.	а) Пусть р: S2 —> S2— отображение, которое каждой точке х G S2
ставит в соответствие диаметрально противоположную ей точку — х € S2
(антипод). Покажите, что между формами на проективной плоскости 1№2
и формами на сфере 52, инвариантными относительно отображения р (т.е.
</?*си = си), имеется взаимно однозначное соответствие.
Ь)	Представим 1№2 как фактор-многообразие S2/Г, где Г — группа пре-
образований сферы S2, состоящая из тождественного отображения и антипо-
дального отображения р. Пусть тг: S2 —> 1№2 = 52/Г — естественная проек-
ция, т. е. тг(яг) = {#, —яг}. Покажите, что тг о р = тг, и проверьте, что
Vt? G QP(S2) (<^*77 = 77) 3cu € Qp(l№2) (тг*си = ту).
с)	Используя задачу 5 а), покажите теперь, что Я2(1№2) = 0.
d)	Докажите, что если функция f Е C'(52,R) такова, что f(x) — f(~x) =
= const, то f = 0. Учитывая задачу 5 с), выведите отсюда, что Л1(1№2) = 0.
7.	а) Представив 1№2 в виде стандартного прямоугольника П с отожде-
ствлением противоположных сторон, указанным на рис. 98 ориентирующими
стороны стрелками, покажите, что <ЭП — 2с' — 2с; дс = Р — Q; dd = Р — Q.
Ь) Выведите из сделанного в предыдущем задании наблюдения, что на 1№2
нет нетривиальных двумерных циклов и, используя теорему де Рама, покажи-
те, что Л2(1№2) = 0.
с) Покажите, что единственным (с точностью до
множителя) нетривиальным одномерным циклом на ЖР2
является цикл d — с и, поскольку d — с = £<ЭП, выведите
из теоремы де Рама, что Л1(ЖР2) = 0.
8.	Найдите группы Л°(7И), Л1(М), Л2(М), если:
а)	М — 51—окружность;
b)	М — Т2— двумерный тор;
с)	М = К2 — бутылка Клейна.
9.	а) Докажите, что диффеоморфные многообра-
зия имеют изоморфные группы (ко) гомологий соответствующей размерности.
§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
427
Ь) На примере R2 и 1№2 покажите, что обратное утверждение, вообще
говоря, неверно.
10.	Пусть X и Y —линейные пространства над полем R, а £(#, у) —невы-
рожденная билинейная форма L: X х Y Ж Рассмотрим отображение X —>
—> У*, осуществляемое соответствием X Э х £(#, •) € У*.
а)	Докажите, что построенное отображение инъективно.
Ь)	Покажите, что для любой системы уг,..., у^ линейно независимых век-
торов пространства У в X найдутся такие векторы х\..., хк, что хг(у3)
= L(x\ у3) = где <5J — 0 при i / j и — 1 при i = j.
с)	Проверьте, что построенное отображение X —> У* является изомор-
физмом линейных пространств X и У*.
d)	Покажите, что первая и вторая теоремы де Рама означают в совокуп-
ности, что с точностью до изоморфизма НР(М) = Н*(М).
ГЛАВА XVI
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ
ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ
И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ
§ 1. Поточечная и равномерная сходимость
1. Поточечная сходимость
Определение 1. Говорят, что последовательность {/n; n Е N}
функций fn: X —> IR. сходится в точке х Е X, если сходится последова-
тельность	n EN} значений этих функций в точке х.
Определение 2. Множество Е С X точек, в которых последо-
вательность {/n; п Е N} функций fn: X —> R сходится, называется
множеством сходимости последовательности функций.
Определение 3. На множестве сходимости последовательности
функций {fn; п Е N} естественно возникает функция /: Е —> R, за-
даваемая соотношением f(x) lim fn(x). Эта функция называется
П~»ОО
предельной функцией последовательности {fn; п Е N} или пределом
последовательности функций {fn\ п Е N}.
Определение 4. Если /:Еч> R — предельная функция последо-
вательности {/n; п Е N}, то говорят, что эта последовательность фун-
кций сходится (или сходится поточечно) к функции f на множест-
ве Е.
В этом случае пишут f(x) — hm fn(x) на Е или fn f на, Е при
п—>оо
П —> ОО.
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
429
Пример 1. Пусть X = {ж € R | х 0}, а функции fn: X ->R
заданы соотношением fn(x) = xn, п Е N. Множеством сходимости этой
последовательности функций, очевидно, является отрезок I = [0,1], а
предельной является функция f: I —> К, задаваемая условиями
/(ж) =
0, если 0 х < 1,
1, если х = 1.
Пример 2. Рассматриваемая на R последовательность функций
•	2
fn(x) — —сходится на К к функции f: К —> 0, тождественно равной
нулю.
Пример 3. Последовательность fn(x) = Sln™x тоже имеет своим
ТГ
пределом функцию /: К —> 0, тождественно равную нулю.
Пример 4. Рассмотрим на отрезке I = [0,1] последовательность
функций fn(x) = 2(п + 1)я(1 — х2 *)п. Поскольку nqn —> 0 при < 1, эта
последовательность на всем отрезке I стремится к нулю.
Пример 5. Пусть тп,п Е N, и пусть fm(x) := lim (созт!та)2п.
71—^ОО
Если ш! х — целое, то fm(x) = 1, если же т\ х Z, то, очевидно, fm(x) =
— 0.
Рассмотрим теперь последовательность {/m; т Е N} и покажем,
что на всей числовой оси она сходится к функции Дирихле
Г(х) =
если
если
х £ Q,
х е Q.
Действительно, если х Q, то т! х	— 0 при любом значе-
нии т Е N, значит, f(x) = 0. Если же х = 2, где р Е Z, q Е N, то уже
при т q будет m! х Е Z и fm(x) = 1, что влечет f(x) = 1.
Итак, lim fm = Т)(х\
ш—>оо
2. Постановка основных вопросов. Предельный переход встре-
чается в анализе на каждом шагу и часто бывает важно знать, какими
функциональными свойствами обладает предельная функция. Главные
из таких свойств для анализа — непрерывность, дифференцируемость,
интегрируемость. Значит, важно выяснить, будет ли предельная фун-
кция непрерывной, дифференцируемой или интегрируемой, если соот-
ветствующим свойством обладали допредельные функции. При этом
430
ГЛ. XVI. РЯДЫ И семейства функции
особенно важно найти достаточно удобные в работе условия, при вы-
полнении которых из сходимости функций следует сходимость произ-
водных или интегралов от этих функций к производной или интегралу
от предельной функции.
Как показывают разобранные выше простейшие примеры, без ка-
ких-либо дополнительных условий соотношение «fn —> f на [а, Ь] при
п —> оо», вообще говоря, не влечет ни непрерывности предельной фун-
кции, даже при непрерывности функций /п, ни соотношений f’
ъ	ъ
или f fn(x)dx —> f f(x)dx, даже если все указанные производные и
интегралы определены.
Действительно,
в примере 1 предельная функция разрывна на отрезке [0,1], хотя
допредельные функции непрерывны на нем;
в примере 2 производные ncosn^x допредельных функций вообще
не сходятся, а значит, не сходятся и к производной от предельной фун-
кции, которая в данном случае тождественно равна нулю;
1
в примере 4 имеем f fn(x) dx — 1 при любом значении п 6 N, в то
о
1
время как f f(x) dx = 0;
о
в примере 5 каждая из функций fm равна нулю всюду, кроме конеч-
b
ного числа точек, поэтому f fm(x)dx = 0 на любом отрезке [a, b] Е К,
в то время как предельная функция Т> вообще не интегрируема ни на
каком отрезке числовой оси.
Вместе с тем:
в примерах 2, 3, 4 непрерывны как допредельные, так и предельные
функции;
в примере 3 предел производных -Psnnx функций последовательности
51п^х совпадает с производной от предельной функции этой последова-
ть2
тельности;
1	1
в примере 1 имеем f fn(x) dx —> f f(x) dx при n —> oo.
о	о
Наша основная цель — выяснить, в каких же случаях предельные
переходы под знаком интеграла или под знаком дифференцирования
законны.
Рассмотрим в этой связи еще
§1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
431
Пример 6. Мы знаем, что при любом х 6 Ж
1 з 1 5
sin ж — х — —х + —ж —
ч
(2m + 1)!
но после приведенных примеров мы понимаем, что соотношения
00	/	/1 ш	\ f
’ <2>
771=0 XV	7	7
Ъ	ПО Ь
/	Г (___1 \тп
smxdx='S~' / -т-------—-x2m+1 dx,	(3)
'J (2m+ 1)!
a	m—и a
вообще говоря, нуждаются в проверке.
В самом деле, если равенство
S(x) = ai(x) + az(x) + ... + am(x) +...
n
понимать в том смысле, что S(x) = lim 5п(ж), где Sn(x) —
п^°°	m=l
то соотношения
00
S'(*) = ат(Ж)’
т~1
а
в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования
равносильны равенствам
S'(ж) = lim S'n(x),
к которым мы теперь должны относиться с осторожностью.
В данном случае оба соотношения (2), (3) легко проверяются, по-
скольку известно, что при любом х G Ж
1	1 2 , 1 4
c°sa; = 1--a; +	-
(2m)!
432
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Однако представьте себе, что равенство (1) является определением
функции sin х. Ведь именно так обстояло дело с определением функ-
ций sin z, cos 2, ez комплексных значений аргумента. Тогда нам нуж-
но было бы свойства возникшей новой функции (ее непрерывность, диф-
ференцируемость, интегрируемость), как и законность равенств (2),
(3), извлекать непосредственно из того, что эта функция является пре-
делом последовательности частичных сумм написанного ряда.
Главным понятием, с помощью которого в § 3 будут получены доста-
точные условия законности указанных предельных переходов, является
понятие равномерной сходимости.
3. Сходимость и равномерная сходимость семейства фун-
кций, зависящих от параметра. При обсуждении постановки во-
просов мы ограничились выше рассмотрением предела последователь-
ностей функций. Последовательность функций—это важнейший част-
ный случай семейства функций Л (ж), зависящих от параметра i, когда
t Е N. Последовательности функций, таким образом, занимают здесь
то же место, какое в теории предела функций занимает теория предела
последовательности. О пределе последовательности функций и связан-
ной с ней теорией сходимости рядов функций мы будем подробно го-
ворить в § 2, а здесь обсудим основные для всего дальнейшего понятия
сходимости и равномерной сходимости семейства функций, зависящих
от параметра.
Определение 5. Функцию (x,i) i-> F(x,f) двух переменных ж, t,
определенную на множестве X х Г, называют семейством функций,
зависящих от параметра t, если по тем или иным причинам переменная
t ЕТ выделяется и называется параметром.
Множество Т при этом называют множеством или областью зна-
чений параметра, а само семейство часто записывают в виде ft(x) или
{Л; t 6 Т}, явно выделяя параметр.
Нам, как правило, придется в этой книге рассматривать такие се-
мейства функций, для которых областью параметров Т являются мно-
жества N, R, С натуральных, действительных или комплексных чисел
соответственно или их подмножества, хотя, вообще говоря, множест-
во Т может быть любой природы. Так, в рассмотренных выше приме-
рах 1-5 было Т — N. В примерах 1-4 при этом можно было бы без
потери их содержательности считать, что параметр п есть любое по-
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
433
ложительное число, а предел берется по базе п —> оо, п 6 R_j_.
Определение 6. Пусть {/*: X —> К; t Е Т} — семейство функций,
зависящих от параметра, и пусть В—база в множестве Т значений
параметра.
Если существует предел lim /Дж) при фиксированном значении х Е
Е X, то говорят, что семейство функций сходится в точке х.
Множество всех таких точек сходимости называется множеством
сходимости семейства функций при данной базе В.
Определение 7. Говорят, что семейство функций сходится на
множестве Е С X при базе В, если оно сходится при этой базе в
каждой точке х Е Е.
Функция /(ж)	lim/Дж) на Е называется предельной функцией
или пределом семейства функций ft на множестве Е при базе В.
Пример 7. Пусть /Дж) = е-Сх/*)2, х е х = я t е т = к \ о,
В — база t	0. Это семейство сходится на всем множестве R, причем
lim ft(x) = <

' 1, если ж = 0,
ч 0, если ж / 0.
Теперь дадим два основных определения.
Определение 8. Говорят, что семейство {ft; t Е Т} функций
ft - X —> R сходится поточечно (или просто сходится) на множес-
тве Е С X при базе В к функции /: Е —> R, если lim/Дж) = /(ж) в
любой точке ж Е Е.
В этом случае мы часто будем писать (ft / на Е).
Определение 9. Говорят, что семейство {/*; t Е Т} функций
ft'. X —> R сходится равномерно на множестве Е С X при базе В
к функции /: Е —> R, если для любого е > 0 найдется такой элемент В
базы В, что при любом значении t Е В в любой точке х Е Е выполня-
ется неравенство |/(ж) — /Дж)| < е.
В этом случае мы часто будем писать (ft =4 / на Е).
434
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Приведем еще формальную запись этих важных определений:
(ft f на Е) :=
= Ve>0 ЧхеЕ звев Vi ев (|/(ж) - Л(®)| < е),
(ft =4 / на Е) :=
В
_ Ve>0 ЭБеВ УхеЕ vteB (|/(я)- Л(я)| < е).
Соотношение между сходимостью и равномерной сходимостью на-
поминает соотношение между непрерывностью и равномерной непре-
рывностью функции на множестве.
Чтобы лучше уяснить взаимоотношение сходимости и равномерной
сходимости семейства функций, введем величину Д*(я) = |/(ж) — ft(х)|,
измеряющую отклонение значения функции ft от значения функции f
в точке х G Е. Рассмотрим также величину = sup ДДж), характе-
хеЕ
ризующую, грубо говоря, максимальное (хотя его может и не быть) по
всем точкам х ЕЕ отклонение значений функции ft от соответствую-
щих значений функции /. Таким образом, в любой точке х ЕЕ имеем
At (ж) At.
В этих обозначениях приведенные определения, очевидно, можно за-
писать следующим образом:
(ft	f на В) := V х е Е (At(®) -> 0 при В),
(ft	f на В) :=	(At -4- 0 при В).
в
Теперь ясно, что
(ft f на В) => (ft f на В),
В	в
т.е. если семейство ft сходится равномерно к функции f на множест-
ве Е, то оно и поточечно сходится к f на этом множестве.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Пример 8. Рассмотрим семейство функций ft- I —> К, опреде-
ленных на отрезке / = {хбМ|0^ж^1}и зависящих от параметра
t е]0,1]. График функции у — ft(x) изображен на рис. 99. Ясно, что в
любой точке xEl limft(x) — 0, т.е. ft —> f при t —> 0. Вместе с тем
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
435
= sup|/(ж) — /4(ж)| = sup|/t(®)| = 1, т.е. Д* Л 0 при t -> 0, и значит,
xei	xei
семейство сходится, но не сходится равномерно.
Будем для удобства в таких случаях гово-
V	рить, что семейство сходится к предельной
1	функции неравномерно.
М	Если параметр t интерпретировать как
т	время, то сходимость семейства функций ft
111	на множестве Е к функции f означает, что
’ I	при любой заданной точности г > 0 для лю-
---и-------------1—	бой точки х £ Е можно указать момент t£.
начиная с которого, т.е. при t > t£, значения
Рис. 99.	всех функций ft в точке х будут отличаться
от значения /(ж) меньше чем на е.
Равномерная же сходимость означает, что наступит момент te, на-
чиная с которого, т. е. при t > t£, уже сразу во всех точках х £ Е будет
выполнено соотношение |/(ж) — ft(%)| < £•
Для неравномерной сходимости типична изображенная на рис. 99
картина бегущего горба большого уклонения.
Пример 9. Последовательность заданных на отрезке 0 х 1
функций fn(x) — хп — х2г\ как легко видеть, в любой точке х этого
отрезка стремится к нулю при п —> ос. Чтобы выяснить, равномер-
ная ли эта сходимость, найдем величину Дп — max |/n(^)|- Посколь-
ку /п(ж) — пжп-1(1 — 2хп) — 0 при х — 0 и х = 2-1/п, то ясно, что
Дп — fn (2”1/71) = 1/4. Таким образом, Дп -ft 0 при п —> оо, и наша
последовательность сходится к предельной функции /(х) = 0 неравно-
мерно.
Пример 10. Рассмотренная в примере 1 последовательность фун-
кций fn — хп на отрезке 0 х 1 сходится к функции
( 0, если 0 < х < 1,
f(x) = l
[ 1, если х — 1
неравномерно, так как при любом n Е N
= sup |/(ж) —/„(ж)| = sup |/(ж) —/„(ж)| =
0^ж<1
= sup |/n(®)| = sup Н = 1.
0^ж<1	0^ж<1
15-4574
436
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА функции
Пример 11. Рассмотренная в примере 2 последовательность фун-
2
кций /п(ж) — sm^ х сходится к нулю равномерно на всем множестве JR
при п —> оо, так как в данном случае
|/(ж) - /п(ж)| = |/n(®)| =
. о
sm п^х
п
т.е. Дп 1/п и, значит, Дп —> 0 при п —> оо.
4. Критерий Коши равномерной сходимости. В определе-
нии 9 мы сказали, что значит, что семейство функций ft равномерно
на некотором множестве сходится к заданной на этом множестве фун-
кции. Обычно, когда задается семейство функций, предельная функция
еще неизвестна, поэтому разумно принять
Определение 10. Будем говорить, что семейство {ft;t g Г}
функций ft: X —> R сходится на множестве Е С X равномерно при ба-
зе В, если оно сходится на этом множестве и сходимость к возникающей
при этом на Е предельной функции f: Е —> R является равномерной в
смысле определения 9.
Теорема (критерий Коши равномерной сходимости). Пусть {ft]
t Е Т} семейство функций ft: X —> R, зависящих от параметра
t Е Т, и В — база в Т. Для того, чтобы семейство {ft] t Е Т} схо-
дилось на множестве Е С X равномерно при базе В, необходимо и
достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся такой элемент В ба-
зы В, что при любых значениях параметров £1,^2 ЕВ в любой точке
хЕЕ было выполнено неравенство — А2(ж)1 < £-
В формальной записи это означает, что ft сходится равномерно на Е
при базе В <=> V в >0 ЗВ е В V£i, £2 G В VxeE (|Лх(ж) —/<2(я)| < s).
◄ Необходимость приведенных условий очевидна, ибо если
f: Е —> R — предельная функция и ft =4 f на Е при В, то найдется
элемент В базы В такой, что при любом t G В и любом х Е Е будет
|/(ж) — /г(ж)| < е/2. Тогда при любых £i, G В и любом хЕЕ будет
\ftdx) - /t2(®)|	|/(ж) - /tl(®)| + |/(ж) - ft2(x)\ < е/2 + е/2 = £.
Достаточность. При каждом фиксированном значении х ЕЕ
величину ft(x) можно рассматривать как функцию переменной t G Т.
§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
437
Если выполнены условия теоремы, то для этой функции выполнены
условия критерия Коши существования ее предела при базе В.
Значит, семейство {ft} t G Т} по крайней мере поточечно сходится
к некоторой функции f: Е —> R на множестве Е при базе Б.
Если теперь перейти к пределу в неравенстве |Лх(ж) — Л2(ж)1 <
справедливом при любых £1,^2 С В и любых х G Е, то можно полу-
чить, что |f (я) — Л2(ж)1	£ ПРИ любом ^2 € В и любом х G Е, а это
с точностью до несущественных переобозначений и замены строгого
неравенства нестрогим как раз совпадает с определением равномерной
сходимости семейства {ft} t G Т} к функции f: Е —> R на множестве Е
при базе В. ►
Замечание 1. Определения сходимости и равномерной сходимо-
сти, которые мы привели для семейств вещественнозначных функций
ft: X —> R, разумеется, остаются в силе для семейств функций ft: X —>
-> Y со значениями в любом метрическом пространстве У. Естествен-
ное изменение, которое при этом следует сделать в приведенных опре-
делениях, состоит в замене |f (ж) — ft(^)| на dy (f (#), ft(^)), где dy озна-
чает метрику в пространстве Y.
Для векторных нормированных пространств У, в частности для
У = С, или У = Rm, или У — О71, не приходится делать даже этих
формальных изменений.
Замечание 2. Критерий Коши, конечно, тоже остается в силе для
семейств функций ft: X —> У со значениями в метрическом простран-
стве У, если У — полное метрическое пространство. Как видно из до-
казательства, условие полноты У нужно лишь в пункте, относящемся
к достаточности условий критерия.
Задачи и упражнения
1.	Выясните, равномерно ли сходятся рассмотренные в примерах 3 5 по-
следовательности функций.
2.	Докажите равенства (2), (3).
3.	а) Покажите, что рассмотренная в примере 1 последовательность фун-
кций сходится равномерно на любом отрезке [0,1 — J] С [0,1], но на множестве
[0,1] сходится неравномерно.
Ь)	Покажите, что это же справедливо и для последовательности, рассмо-
тренной в примере 9.
с)	Покажите, что рассмотренное в примере 8 семейство функций ft при
t -> 0 сходится равномерно на любом отрезке [J, 1] С [0,1], но на множестве
438
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА функции
[0,1] сходится неравномерно.
d)	Исследуйте на сходимость и равномерную сходимость семейство функ-
ций ft(x) — sinta при t —> 0, а затем при t -> оо.
е)	Охарактеризуйте сходимость семейства функций /t(x) = e~tx2 при t ->
-> +оо на произвольном фиксированном множестве Е С R.
4.	а) Проверьте, что если семейство функций сходится (сходится равно-
мерно) на множестве, то оно сходится (сходится равномерно) и на любом под-
множестве этого множества.
Ь)	Покажите, что если семейство функций ft: X —> К сходится (сходится
равномерно) на множестве Е при базе В, а д: X —> К — ограниченная функция,
то и семейство gft: X -> R тоже будет сходиться (равномерно сходиться) на Е
при базе В.
с)	Докажите, что если семейства функций ft: X —> К, gt: X —> К равно-
мерно сходятся на множестве Е С X при базе В, то и семейство ht = aft+0gt,
где о, Р € К, тоже сходится равномерно на множестве Е при базе В.
5.	а) При доказательстве достаточности условий критерия Коши мы со-
вершили предельный переход lim/t^x) — /(ж) по базе 13 в Т. Но ti € В,
а В — база в Г, а не в В. Можем ли мы совершить этот предельный переход
так, чтобы ti оставалось в В?
Ь)	Поясните, где в доказательстве критерия Коши равномерной сходимо-
сти семейства функций ft: X -> К использована полнота И
с)	Заметьте, что если все функции семейства {ft'. X —> R; t СТ} постоян-
ные, то доказанная теорема в точности дает критерий Коши существования
предела функции ср: Т —> К при базе В в Т.
6.	Докажите, что если семейство функций ft € C(J, К), непрерывных на
отрезке I — {ж € К | а х Ъ}, сходится равномерно на интервале ]а,Ь[, то
оно сходится, и причем равномерно, на всем отрезке [а, Ь].
§ 2. Равномерная сходимость рядов функций
1.	Основные определения и критерий равномерной сходи-
мости ряда
Определение 1. Пусть {ап: X —> С; п е N}—последователь-
ность комплекснозначных (в частности, вещественнозначных) функ-
оо
ций. Говорят, что ряд ап(х) сходится или равномерно сходится на
71=1
множестве Е С X, если на Е сходится или соответственно равномерно
Ст	'
сходится последовательность < зт(х) — ^2 тпбЮ,
I	71 = 1	>
§2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИИ
439
т
Определение 2. Функция sm(x) — ^2 как и в случае чи-
71 = 1
еловых рядов, называется частичной суммой или, точнее, m-й частич-
но
ной суммой ряда ^2 ап(х)-
71 = 1
Определение 3. Суммой ряда называется предел последователь-
ности его частичных сумм.
Таким образом, запись
оо
з(ж) = 52 на Е
71=1
означает, что зт(х) —> з(ж) на Е при т —> ос, а запись
оо
ряд 52 ап(х) равномерно сходится на Е
71 = 1
означает, что зш(ж) =4 s(x) на Е при т —> ос.
Исследование поточечной сходимости ряда в сущности есть иссле-
дование сходимости числового ряда, и с этим мы уже знакомы.
Пример 1. Функцию ехр: С —> С мы в свое время определили
соотношением
2° 1
ехР^:=52^"’	W
71 = 0
убедившись предварительно, что стоящий справа ряд сходится при ка-
ждом значении z G С.
На языке определений 1-3 можно теперь сказать, что ряд (1) фун-
кций an(z) — ^zn сходится на всей комплексной плоскости и функция
ехр г является его суммой.
В силу принятых определений 1, 2 между рядами и последовательно-
стями их частичных сумм устанавливается обратимая связь: зная члены
ряда, получаем последовательность частичных сумм, а зная последова-
тельность частичных сумм, восстанавливаем все члены ряда: характер
сходимости ряда отождествляется с характером сходимости последо-
вательности его частичных сумм.
Пример 2. В примере 5 из § 1 была построена последовательность
{fm* ш G N} функций, сходящаяся на R к функции Дирихле Если
440
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА функции
положить <21 (ж) = /1(ж) и ап(х) = fn(x) — fn-i(x) при п > 1, то мы
оо
получим ряд 52 который будет сходиться на всей числовой оси,
71=1
оо
И 13 ап(х) = Т>(х).
71—1
Пример 3. В примере 9 из § 1 было показано, что последователь-
ность функций /п(ж) — хп ~ х2п сходится, но неравномерно, к нулю на
отрезке [0,1]. Значит, полагая аДж) — /1(ж), ап(ж) —	~ /п-1(^)
оо
при п > 1, получим ряд 52 который сходится к нулю на отрезке
71=1
[0,1], но сходится неравномерно.
Прямая связь между рядами и последовательностями функций по-
зволяет каждое утверждение о последовательностях функций перефор-
мулировать в виде соответствующего утверждения о рядах функций.
Так, применительно к последовательности {sn: X —> С; п G N} до-
казанный в § 1 критерий Коши равномерной сходимости последователь-
ности на множестве Е С X означает, что
Vc>0 3AeN Уп1,П2>ЛГ УхеЕ (|зП1(ж) - зП2(ж)| < е).	(2)
Отсюда с учетом определения 1 получается
Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Ряд
оо
52 сходится равномерно на множестве Е тогда и только то-
71 = 1
гда, когда для любого г > 0 найдется такое число N G N, что при
любых натуральных т, п, удовлетворяющих условию т п > N, в
любой точке х G Е выполнено неравенство
|fl7l(^) + • • • + ^m(^)| < £'	(3)
◄ Действительно, полагая в (2) п\ = т, П2 = п — 1 и считая sn(x)
частичной суммой нашего ряда, получаем неравенство (3), из которого,
в свою очередь, при тех же обозначениях и условиях теоремы вытекает
соотношение (2). ►
Замечание 1. Мы не указали в формулировке теоремы 1 область
значений функций ап(х), подразумевая, что это R или С. На самом деле
областью значений, очевидно, может быть любое векторное нормиро-
ванное пространство, например или С1, если только оно является
полным.
§2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИИ
441
Замечание 2. Если в условиях теоремы 1 все функции ап(х) по-
стоянны, мы получаем уже знакомый нам критерий Коши сходимости
оо
числового ряда 52
71 = 1
Следствие 1 (необходимое условие равномерной сходимости ря-
оо
да). Для того, чтобы ряд 52 ап(^) сходился равномерно на некото-
71=1
ром множестве Е, необходимо, чтобы ап =4 0 на Е при п —> ос.
1 „71
◄ Это вытекает из определения равномерной сходимости последо-
вательности к нулю и неравенства (3), если положить в нем т — п. ►
Пример 4. Ряд (1) сходится на комплексной плоскости С нерав-
1
номерно, поскольку sup ~^z
2бС
необходимому условию равномерной сходимости, при наличии таковой,
величина sup |ап(ж)| должна стремиться к нулю.
хеЕ
— оо для любого п Е N, в то время как по
ОО п
Пример 5. Ряд it? как мы знаем, сходится в единичном круге
71 = 1
П	-j	П
К ~ {z Е С | \z\ < 1}. Поскольку	при z Е К, то — =4 0 на К
при п —> оо. Необходимое условие равномерной сходимости выполнено,
однако этот ряд сходится неравномерно на К. В самом деле, при любом
фиксированном п Е N, считая z достаточно близким к единице, можно
в силу непрерывности членов ряда добиться выполнения неравенства
По критерию Коши отсюда заключаем, что рассматриваемый ряд
не сходится равномерно на множестве К.
2.	Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда
оо
Определение 4. Будем говорить, что ряд 52 a7i(^) сходится аб-
71 = 1
солютно на множестве Е, если в любой точке х Е Е соответствующий
числовой ряд сходится абсолютно.
оо	оо
Утверждение 1. Если ряды 52 ап(х) w 53 таковы, что
71 = 1	71=1
Щя)| Ьп(х) при любом х Е Е и при всех достаточно больших но-
442
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИИ
оо
мерах n Е N, то из равномерной сходимости ряда Ьп(х) на Е вы-
71=1
ОО
текает абсолютная и равномерная сходимость ряда ап(х) на том
71 = 1
же множестве Е.
◄	В силу принятых условий при всех достаточно больших номерах п
и т (пусть п т) в любой точке х Е Е выполнены неравенства
|ап(я) + ... + ат(®)|	|а„(ж)| + ... + |ат(®)|
С Мж) +  •  + Ьт(х) = |Ьп(ж) + ... + Ьт(®)|.
По критерию Коши для любого е > 0 можно в силу равномерной
оо
сходимости ряда ^2 Ьп(х) указать номер N Е N так, что при любых
71=1
т п > N и любом х Е Е |Ьп(ж) + ••• + Ьтп(я)| < £- Но тогда из
написанных неравенств следует, что в силу того же критерия Коши
оо	оо
должны равномерно сходиться и ряд £2 ап(х), и ряд IS Igti(я)|• ►
71=1	71 = 1
Следствие 2 (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной
оо
сходимости ряда). Если для ряда ^2 ап(х) можно указать такой схо-
71=1
ОО
дящийся числовой ряд ^2 чт0 sup |ап(ж)| Мп при всех доста-
71 = 1	ХЕЕ
ОО
точно больших номерах п Е N, то ряд £2 ап(х) сходится на множес-
71=1
тве Е абсолютно и равномерно.
◄	Сходящийся числовой ряд можно рассматривать как ряд из по-
стоянных на множестве Е функций, который в силу критерия Коши
сходится равномерно на Е. Значит, признак Вейерштрасса вытекает
из утверждения 1, если положить в последнем Ьп(х) — Мп. ►
Признак Вейерштрасса является наиболее простым и вместе с тем
наиболее часто используемым достаточным условием равномерной схо-
димости ряда.
В качестве примера его применения докажем следующее полезное
оо
Утверждение 2. Если степенной ряд £2 cn(z ~ zn)n сходится в
71=0
точке С -^о, то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге
Kg = {z 6 С I \z - г0| <	- 2г01}, где 0 < q < 1.
§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ	443
оо
◄	Из сходимости ряда ^2	“ го)п в силу необходимого признака
71=0
сходимости числового ряда следует, что сп(£ — z^71 —> 0 при п —> оо.
Значит, в рассматриваемом круге Kq при всех достаточно больших зна-
чениях п Е N справедливы оценки |cn(z —z0)n| = [^(С —zo)n| •
оо
|сп(С — го)п| • Qn < Qn- Поскольку ряд ^2 Qn ПРИ l?l < 1 сходится, из
71=0
оценок |cn(z—zo)n| < qn на основе мажорантного признака равномерной
сходимости получаем высказанное утверждение 2. ►
п
Z - ZQ
С - z0
Сопоставляя это утверждение с формулой Коши-Адамара для ра-
диуса сходимости степенного ряда (см. гл. V, §5, (17)), приходим к за-
ключению, что имеет место
Теорема 2 (о характере сходимости степенного ряда). Степен-
но
ной ряд £2 cn(z ~ zo)n сходится в круге К = {z Е С | \z — zq| < Я},
71=0
п / ______ ______\-1
радиус которого определяется по формуле1) R = ( lim уled ) Ко-
\71->ОО	/
ши-Адамара. Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом
круге, лежащем строго внутри круга К сходимости ряда, степенной
ряд сходится абсолютно и равномерно.
Замечание 3. Как показывают примеры 1 и 5, на всем круге К
степенной ряд не обязан при этом сходиться равномерно. Вместе с тем
может случиться, что степенной ряд равномерно сходится даже на за-
мкнутом круге К.
оо п
Пример 6. Радиус сходимости ряда £2 % равен единице. Но если
71=1 п
Д,-, и по признаку Вейерштрасса рассматриваемый
712
zn
712
1, ТО
ряд сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге К = {z Е С |
3.	Признак Абеля — Дирихле. Следующие пары родственных до-
статочных условий равномерной сходимости ряда несколько более спе-
циальны и существенно связаны с вещественнозначностью определен-
Х>В исключительном случае, когда lim л/|сп| = оо, считается, что R = 0, а круг К
п—>оо
вырождается в единственную точку zq.
444
ГЛ. XVI. РЯДЫ и семейства функции
ных компонент рассматриваемых рядов. Но эти условия тоньше, чем
признак Вейерштрасса, поскольку они позволяют исследовать и такие
ряды, которые сходятся, но неабсолютно.
Определение 5. Говорят, что семейство У функций f:X —> С
равномерно ограничено на некотором множестве Е С X, если суще-
ствует такое число М Е R, что для любой функции f Е У справедливо
соотношение sup |/(ж)| М.
хеЕ
Определение 6. Последовательность функций {bn: X -> R; п Е
Е N} называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е С
С X) если для любого х Е Е таковой является числовая последова-
тельность {Ьп(х), п Е N}. Неубывающие и невозрастающие на множе-
стве последовательности функций называются монотонными последо-
вательностями на этом множестве.
Напомним (в случае необходимости см. гл. VI, § 2, п. 3) следующее
тождество, называемое преобразованием Абеля:
т	т—1
= АтЬт Ап-1Ьп + Ак(Ьк	(4)
fc=n	k—n
где ак = Ак - Ак^, к = п,...,т.
Если Ьп, ..., Ьт — монотонная последовательность веществен-
ных чисел, то, даже если ап,ап+ь • • • комплексные числа или век-
торы какого-то нормированного пространства, на основании тожде-
ства (4) можно получить следующую нужную нам оценку:
т
к~п
^4 max • max{|fen|,
n—
(5)
◄ В самом деле,
m—1
У - bfc+i)
к=п
max |Аь | •
n—
§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ
445
= max |А| • (IM + Ы + - М)
п—
4 max |Afc| • max{|&ra|, |&m|}.
n —
В участвующем в этой выкладке равенстве как раз и использована
монотонность последовательности чисел Ь^. ►
Утверждение 3 (признак Абеля-Дирихле равномерной сходимо-
сти ряда). Для равномерной сходимости на множестве Е ряда
00
52	члены которого являются произведениями комплексно-
П=1
значных функций ап: X -> С и вещественнозначных функций bn: X ->
—> R, достаточно, чтобы выполнялась любая пара следующих условий',
k	оо
cni) частичные суммы зДх) = 52 ап(х) ряда 52 ап(%) равномерно
п—1	п=1
ограничены на Е;
/31) последовательность функций ЬДх) монотонна и равномерно
стремится к нулю на множестве Е;
или
оо
сиг) ряд 52 ап(х) равномерно сходится на Е;
П— 1
Д2) последовательность функций Ьп(х) монотонна и равномерно
ограничена на Е.
◄ Монотонность последовательности Ьп(х) позволяет при каждом
х 6 Е записать аналогичную (5) оценку
т
^ак(х)Ьк(х)
k~n
^4 max |Afc(a;)| • max{|ftra(a;)|, |6m(z)|},	(5')
n—
где в качестве АДх) возьмем вДх) — зп-Дх).
Если выполнена пара условий cni), fli), то, с одной стороны, суще-
ствует такая постоянная М, что |Ад. (х) | М при любом к G N и любом
х 6 Е, а с другой стороны, каково бы ни было число е > 0, при всех
достаточно больших значениях п и т и любом х Е Е будет выполне-
но неравенство max{|&n(a;)|, |Ьт(ж)|} < 4^- Значит, из (5) следует, что
при всех достаточно больших значениях п и т и любом х Е Е будет
446
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА функции
т
Е ак(х)Ьк(х)
к—п
с, т. е. для рассматриваемого ряда выполнен крите-
рий Коши равномерной сходимости.
В случае пары условий СК2), Д2) ограниченной оказывается величи-
на max{|bn(z)|, |Ьт(ж)|}. В то же время, ввиду равномерной сходимости
оо
ряда ^2 по критерию Коши для любого с > О при любых до-
п— 1
статочно больших значениях п и к > п и любой точке х Е Е будет
— 5n-i(ж)| < е. Учитывая это, из неравенства (5) вновь
заключаем, что для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши
равномерной сходимости. ►
Замечание 4. В случае, когда функции ап и Ьп — постоянные, ут-
верждение 3 превращается в признак Абеля - Дирихле сходимости чи-
словых рядов.
Пример 7. Исследуем при х Е R сходимость ряда
Поскольку
гпх
1
гпх
(6)
1
па ’
то при ск О для ряда (6) не выполнено необходимое условие сходи-
мости, и он расходится при любом значении х Е R. Таким образом, в
дальнейшем можно считать, что а > 0.
Если се > 1, то из (7) на основании признака Вейерштрасса заключа-
ем, что ряд (6) сходится абсолютно и равномерно на всей числовой
оси R.
Для исследования сходимости при 0 < ск 1 воспользуемся при-
знаком Абеля-Дирихле, полагая ап(х) = егпх и Ьп(х} ~ Поскольку
при ск > 0 постоянные функции Ьп(х) монотонно и, очевидно, равно-
мерно относительно х Е R стремятся к нулю, то остается исследовать
оо
частичные суммы ряда	£гпх •
72=1
72
Для удобства дальнейших ссылок мы рассмотрим суммы ^гкХч
к—^
отличающиеся от частичных сумм нашего ряда только начальным сла-
гаемым 1.
§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИИ
447
Используя формулу геометрической прогрессии и формулу Эйлера,
последовательно находим при х 2тгт, т Е Z,
ег(п+1)т _ I sin X егП2 х
егх — 1 sin f
sin^s ,а_	/ п	п \
——е 2	— COS —х + г sin —ж .
sin |	sm |	\	2	2 /
(8)
Значит, для любого п G N
п
2 ^гкх
fc=0
1
sinf
(9)
X
7
откуда по признаку Абеля - Дирихле вытекает, что ряд (6) при 0 <
< а 1 сходится равномерно на любом множестве Е С R на koto-
о. В частности, ряд (6) просто сходится при любом
— 1, и ряд (6) превраща-
ем 1 расходится.
ром inf sin
х^Е
х 2лт, т Е Z. Если же х = 2ят, то еш2?гт
00 1
ется в числовой ряд J2 > который при 0 <
п=1 П
Покажем, что из сказанного уже можно заключить, что при 0 <
< а 1 ряд (6) не может сходиться равномерно ни на каком множест-
ве Е, замыкание которого содержит точки вида 2лт, т Е Z. Положим
для определенности, что О Е Е. Ряд ^2 “чг ПРИ 0 < см 1 расходит-
1Т1
ся. По критерию Коши найдется число Со > О такое, что, какое бы
N Е N ни взять, можно будет подобрать числа т п > N так, что
с0 > 0. В силу непрерывности функций егкх на R от-
т? ’ ’ * та
сюда следует, что в Е можно выбрать точку ж, столь близкую к нулю,
что
„гпх
Cz
па
АТПХ
о
та
Со-
Но это в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда озна-
чает, что на указанном множестве Е ряд (6) не может сходиться рав-
номерно.
В дополнение к сказанному можно отметить, что, как видно из ра-
венства (7), ряд (6) сходится неабсолютно при 0 < см 1.
448
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИИ
Замечание 5. Для дальнейшего полезно заметить, что, отделяя
в (8) действительную и мнимую части, получаем следующие соотноше-
ния:
п
Ecos кх =
cos • sin
sin |
п
V sin кх =
Z J
fc=0
sin ~x • sin ?^x
sin |
(10)
(H)
справедливые при x ф 2тгт, m E %.
В качестве еще одного примера использования признака Абеля-
Дирихле докажем следующее
Утверждение 4 (так называемая вторая теорема Абеля о степен-
оо
ных рядах). Если степенной ряд 52 сп(^“^о)п сходится в некоторой
п=0
точке £ Е С, то он сходится равномерно на отрезке с концами го, £.
Ч Точки указанного отрезка представим в виде z — zq + (£ — го)/,
где 0 t 1. Подставив это выражение для z в данный степенной ряд,
ОО	00
получим ряд 52 Сп(£ ~~ Zo)ntn. По условию ЧИСЛОВОЙ ряд 52 сп(С ~ го)п
71 = 0	п=0
сходится, а последовательность функций tn монотонна и равномерно
ограничена единицей на отрезке [0,1]. Значит, выполнены условия с^),
Д2) признака Абеля - Дирихле и утверждение 4 доказано. ►
Задачи и упражнения
1. Исследуйте характер сходимости на множествах Е с К при различных
значениях действительного параметра а следующих рядов:
оо
_х	cos пт
а; 2^
п=1
оо
IX V'' sin пх
ь)	22
п=1
2.	Докажите, что следующие ряды сходятся равномерно на указанных мно-
жествах:
п=1
ь) Г п е~пх при о х +°°-
71= 1
ОО / X /п
с)	£ при 0 х +00.
п~1
§3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
449
ОО
3.	Покажите, что если ряд Дирихле сходится в точке хо Е К, то он
п=1
сходится равномерно на множестве х хо, причем, если х > Xq + 1, то ряд
сходится абсолютно.
( — П71'-1'7'2
4.	Проверьте, что ряд 52 *—1—сх0Дится равномерно на К, а ряд
П—1	(1 + )П
оо 2
52 —Х 2 п хотя и сходится на К, но неравномерно.
п=1 (1 “Ь х )
5.	а) На примере рядов из задачи 2 покажите, что признак Вейерштрас-
са равномерной сходимости ряда является достаточным, но не необходимым
условием равномерной сходимости ряда.
оо
Ь) Постройте ряд 52 ап(х) с неотрицательными непрерывными на отрезке
п—1
О х 1 членами, который сходится равномерно на этом отрезке, и в то же
оо
время ряд 52 Мп, составленный из величин Мп = max |ап(#)|, расходится.
п—1
6.	а) Сформулируйте упомянутый в замечании 4 признак Абеля - Дирихле
сходимости ряда.
Ь) Покажите, что условие монотонности {Ьп} в нем можно несколько осла-
бить, потребовав, чтобы последовательность {&п} была монотонна лишь с точ-
ностью до поправок {Дп}, образующих абсолютно сходящийся ряд.
7.	В дополнение к утверждению 4 покажите вслед за Абелем, что если
степенной ряд сходится в некоторой точке границы круга сходимости, то его
сумма имеет в этом круге предел по любому не касательному к граничной
окружности направлению, идущему в эту точку.
§ 3. Функциональные свойства предельной функции
1. Конкретизация задачи. В этом параграфе будут даны отве-
ты на поставленные в § 1 вопросы о том, когда предел семейства не-
прерывных, дифференцируемых или интегрируемых функций является
функцией, обладающей тем же свойством, и когда предел производных
или интегралов от функций семейства совпадает с производной или
интегралом от предельной функции этого семейства.
Чтобы разъяснить математическое содержание обсуждаемых во-
просов, рассмотрим, например, связь непрерывности и предельного пе-
рехода.
Пусть fn(x)	на R при п -> сю, и пусть все функции последо-
вательности {/n; п е N} непрерывны в точке То € !&• Мы интересуемся
непрерывностью предельной функции f в той же точке xq. Для ответа
на этот вопрос нам нужно проверить равенство lim f(x) = ко-
х—>хо
450
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
торое в терминах исходной последовательности переписывается в виде
соотношения lim ( lim fn(x)] — lim fn(xo) или, с учетом данной нам
х—>XQ \п—>ос	/	п—>ос
непрерывности функций fn в точке жо, записывается в форме следую-
щего подлежащего Проверке соотношения:
lim ( lim
х—>жо \п—>оо
lim ( lim
п—>ос \Т—
(1)
В левой части этого соотношения сначала делается предельный пе-
реход по базе п -> оо, а затем предельный переход по базе х -> То,
а в правой части предельные переходы по тем же базам проводятся в
другом порядке.
Изучая функции нескольких переменных, мы видели, что равен-
ство (1) имеет место далеко не всегда. Видели мы это и на разобранных
в предыдущих двух параграфах примерах, показывающих, что предел
последовательности непрерывных функций не всегда является функци-
ей непрерывной.
Дифференцирование и интегрирование являются некоторыми спе-
циальными операциями предельного перехода. Значит, вопрос о том,
получим ли мы одно и то же, если сначала продифференцируем (про-
интегрируем) функции семейства, а затем перейдем к пределу по пара-
метру семейства, или сначала найдем предельную функцию семейства,
а затем будем ее дифференцировать (интегрировать), снова сводится к
проверке возможности изменения порядка двух предельных переходов.
2. Условия коммутирования двух предельных переходов.
Покажем, что если из последовательно выполняемых предельных пе-
реходов хотя бы один равномерен, то предельные переходы перестано-
вочны.
Теорема 1. Пусть {F^ t Е Т} —семейство функций Ft*. X -> С,
зависящих от параметра Вх — база в X, Вт — база в Т. Если при
базе Вт семейство сходится равномерно на X к функции F : X —> С, а
при каждом t ЕТ существует предел lim/Да;) = то существуют
&х
оба повторных предела lim I limJi(a;) 1, lim I limFt(x) j и имеет место
Вх \ Вт / Вт у Вх )
равенство
§3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 451
Эту теорему удобно записать в виде следующей диаграммы:
Ft (ж)  —} Г(ж)
13т у
Вх	/ Я Вт	(3)
А,
в которой над диагональю указаны условия, а под диагональю — их
следствия. Равенство (2) означает, что эта диаграмма коммутативна,
т. е. окончательный результат А не зависит от того, выполнить ли сна-
чала операции, отвечающие переходу по верхней и правой стороне диа-
граммы, или в том же смысле сначала пройти по левой, а затем по
нижней ее стороне.
Докажем сформулированную теорему.
◄ Поскольку Ft F на X при базе St, по критерию Коши для
любого е > 0 найдется такой элемент Вт базы St, что при любых
<1, <2 € Вт и любом х 6 X будет выполнено неравенство
\Ftl(x) - Ft2(x)\ < е.	(4)
Переходя в этом неравенстве к пределу по базе Sx, получим соот-
ношение
— Д*2| е,	(5)
справедливое для любых /1,^2 Е Вт- По критерию Коши существования
предела функции отсюда следует, что функция At имеет некоторый
предел А по базе St- Проверим теперь, что А = lim/Да;).
Вх
Фиксировав t<2 Е Вт, найдем такой элемент Вх базы Вх, что при
любом х Е Вх имеет место неравенство
\Ft2 (ж) - At21 < е.	(6)
Не меняя t<2, совершим в (4) и (5) предельный переход по базе Вт
относительно параметра ti. Тогда получим, что
\F(x) - Ft2(x)\ е,	(7)
\А — Д2| е,	(8)
причем неравенство (7) справедливо при любом х Е X.
452
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Сопоставляя соотношения (6) -(8), пользуясь неравенством треу-
гольника, получаем, что
|Г(ж) - А| < Зе
при любом х 6 Вх. Тем самым проверено, что А = limF(a;). ►
Вх
Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, теоре-
ма 1 остается в силе для функций Ft: X —> Y со значениями в любом
полном метрическом пространстве У.
Замечание 2. Если к условиям теоремы 1 добавить требование
существования предела lim At{x) = А, то, как видно из доказательства,
Вт*
равенство limF(a;) = А можно получить, даже не предполагая полноту
Вх
пространства У значений функций Ft: X —> У
3. Непрерывность и предельный переход. Покажем, что если
непрерывные в некоторой точке множества функции сходятся равно-
мерно на этом множестве, то и предельная функция непрерывна в этой
точке.
Теорема 2. Пусть {ft; t 6 Т} —семейство функций ft: X -> С,
зависящих от параметра t; В — база в Т. Если ft =5 f на X при базе В
и функции ft непрерывны в точке х$ Е X, то функция f: X —> С тоже
непрерывна в зтой точке.
◄ В нашем случае диаграмма (3) приобретает следующий конкрет-
ный вид:
А(ж) =4 /(ж)
В /
х—>то	х—>то
Л(®о) -----> /(жо) ,
в
Здесь все предельные переходы, кроме правого вертикального, зада-
ны самими условиями теоремы 2. Нетривиальное нужное нам следствие
теоремы 1 состоит именно в том, что lim f(x) = f(xo). ►
х—^хо
Замечание 3. Мы не конкретизировали природу множества X.
На самом деле это может быть любое топологическое пространство,
лишь бы в X была определена база х —> xq. Значения функций ft могут
§3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
453
лежать в любом метрическом пространстве, которое, как следует из
замечания 2, даже не обязано быть полным.
Следствие 1. Если последовательность функций, непрерывных
на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция
тоже непрерывна на этом множестве.
Следствие 2. Если ряд из функций, непрерывных на некотором
множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непре-
рывна на этом множестве.
В качестве иллюстрации возможного использования полученных ре-
зультатов рассмотрим
Пример 1. Метод Абеля суммирования рядов.
Сопоставляя следствие 2 со второй теоремой Абеля (утверждение 4
из §2), приходим к заключению, что справедливо
оо
Утверждение 1. Если степенной ряд 52 сп(г — zo)n сходится в
п=0
некоторой точке £, то он сходится равномерно на отрезке [го, <], иду-
гцем из го в точку и сумма ряда непрерывна на этом отрезке.
оо
В частности, это означает, что если числовой ряд 52 сп сходится,
72=0
00
то степенной ряд 52 сп$п сходится равномерно на отрезке 0 х 1
72=0
ОО
действительной оси и его сумма — 52 сп%п непрерывна на этом
72 = 0
ОО
отрезке. Поскольку 5(1) = 52 сп? можно, таким образом, сказать, что
72 = 0
ОО
если ряд 52 сп сходится, то справедливо равенство
72=0
ОО	оо
52^ =
£—>1—0	1
72 = 0	72 = 0
Интересно, что в соотношении (9) правая часть порой может иметь
смысл даже тогда, когда ряд, стоящий слева, в традиционном его пони-
мании является расходящимся. Например, ряду 1 — 1 + 1 — ... соответ-
ствует ряд х — х2 + т3 — ... , который при |ж| < 1 сходится к функции
х/(1 + х). При х —> 1 эта функция имеет предел 1/2.
454
ГЛ. XVI. РЯДЫ и семейства функции
Метод суммирования ряда, называемый методом Абеля, состоит в
приписывании левой части равенства (9) значения правой части этого
равенства, если последнее значение определено. Мы видели, что если
оо
ряд 52 сп в традиционном смысле сходится, то по методу Абеля ему
п=0
будет сопоставлена его же классическая сумма. Вместе с тем, напри-
оо
мер, расходящемуся в традиционном смысле ряду (—1)п метод Абеля
п=0
сопоставляет естественную усредненную величину 1/2.
Дальнейшие вопросы в связи с разобранным примером 1 можно най-
ти в задачах 5-8.
Пример 2. В свое время, обсуждая формулу Тейлора, мы показа-
ли, что при |х| < 1 имеет место разложение
_ 1 + + + ... + + ... (10)
Можно проверить, что при а > 0 числовой ряд
1 t а а(а — 1)	( а(а — 1)... (а — n + 1)
+ 1! +	2!	+ • • • +	+ • ’ •
сходится. Значит, по теореме Абеля, если а > 0, ряд (10) сходится рав-
номерно на отрезке 0 х 1. Но функция (1 + х)а непрерывна в точке
х = 1, поэтому можно утверждать, что если а > 0, то равенство (10)
имеет место и при х = 1.
В частности, можно утверждать, что при а > 0
. . . + (-1)п •	--!)•••(«	» + 1) t2n +	(Ц)
тг!
и этот ряд сходится к функции (1 — /2)“ равномерно на отрезке [—1,1].
Полагая в (11) а = Хи£2 = 1 — х2 при |т|	1, получаем, что
1	I (1 _ 1)
|х| = 1 - ^(1 - х2) + 2(2	\1 - х2)2	(12)
и стоящий справа ряд многочленов сходится к функции |х| равномерно
на отрезке [—1,1]. Полагая Рп(х) := 5п(х) — 5п(0), где Sn(x) есть тг-я
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
455
частичная сумма этого ряда, находим, что какую бы точность е > 0 ни
задать, найдется такой многочлен Р(х), что Р(0) = 0 и
max
|ж| -Р(ж)
е.
(13)
Вернемся теперь к общей теории.
Мы показали, что непрерывность функций сохраняется при равно-
мерном предельном переходе. Условие равномерности предельного пе-
рехода является, однако, только достаточным для того, чтобы пределом
непрерывных функций была непрерывная же функция (см. по этому по-
воду примеры 8, 9 из § 1). Вместе с тем имеется конкретная ситуация,
в которой из сходимости непрерывных функций к непрерывной же сле-
дует, что эта сходимость является равномерной.
Утверждение 2 (теорема Дини1)). Если последовательность не-
прерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к не-
прерывной же функции, то эта сходимость равномерная.
◄ Пусть для определенности fn стремятся к f не убывая. Фиксиру-
ем произвольное е > 0 и для любой точки х компакта К найдем такой
номер пх, что 0 С /(х) — fnx(x) < Поскольку функции f и фПх непре-
рывны на К, неравенства 0 f(£)~fnx (О < £ останутся в силе и в неко-
торой окрестности U(x) точки х G К. Из покрытия компакта К таки-
ми окрестностями можно извлечь конечное покрытие J7(xi),..., U{x^}
и затем фиксировать номер п(е) = тах{пЖ1,..., пХк}. Тогда при лю-
бом п > тг(е) в силу неубывания последовательности {fn\ п G N} будем
иметь 0	/(£) — /п(£) < £ в любой точке £ £ К. ►
оо
Следствие 3. Если члены ряда ап(#) суть неотрицательные
п=1
непрерывные на компакте К функции ап: К Ж и ряд сходится на К
к непрерывной функции, то он сходится на К равномерно.
п
◄	Частичные суммы sn(x) = 52 ак(%) данного ряда удовлетворяют
условиям теоремы Дини. ►
Пример 3. Покажем, что последовательность функций fn(x) —
= тъ(1 — х1у/п) при п +оо сходится к функции /(х) — In | равномерно
^У.ДЙни (1845-1918) — итальянский математик, наиболее известные его работы
относятся к теории функций.
456
ГЛ. XVI. РЯДЫ и семейства функции
на каждом отрезке [а, 6], лежащем в промежутке 0 < х < оо.
◄	Функция X в при фиксированном х > 0 выпукла по £, поэто-
t _ о
му отношение _ q (как угловой коэффициент хорды) не возрастает
при t —> +0 и стремится к 1пх.
Значит, /п(х) In ПРИ х > 0 и п —> +оо. По теореме Дини отсюда
следует, что указанная сходимость к 1п^ является равномерной
на каждом отрезке [a, b] С ]0, 4-оо[. ►
Отметим, что при этом, например, на промежутке 0 < х 1 рав-
номерной сходимости, очевидно, нет, поскольку функция In | неогра-
ничена на нем, в то время как каждая из функций ограничена на
этом промежутке (зависящей от п константой).
4. Интегрирование и предельный переход. Покажем, что ес-
ли интегрируемые на отрезке функции сходятся на нем равномерно, то
предельная функция тоже интегрируема и ее интеграл по этому отрез-
ку равен пределу интегралов исходных функций.
Теорема 3. Пусть {ft; t £ Т}—семейство функций ft - [а, Ь]
—> С, определенных на отрезке а С х С b и зависящих от параметра
t £ Т; В — база в Т. Если функции семейства интегрируемы на [а, Ь]
и ft =4 f на [а, Ь] при базе В, то предельная функция /: [а, Ъ] —> С тоже
интегрируема на отрезке [а, Ь] и
Ь	Ь
J f(x) dx = lim f ft(x) dx.
a	a
◄ Пусть p = (F,£)—разбиение P отрезка [a, 6] с отмеченными
точками £ =	Рассмотрим интегральные суммы Ft(p) —
= Е А(6)	* е Т и F(p) = £ /(6) Оценим разность F(p) -
г=1	г—1
— Ft(p). Поскольку ft =4 f на [а, Ь] при базе В, для любого е > 0 можно
найти такой элемент В базы В, что при любом t £ В в любой точке
х £ [а,Ь] будет выполнено неравенство |/(х) — ft(x)\ < Значит,
при t £ В
\F(p)-Ft(p)\ =
п
52(/(6)-Л(6))Ахг
г=1
п
г=1
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
457
и эта оценка справедлива не только при любом значении t £ В, но и
при любом разбиении р из множества В = {(В, £)} разбиений отрезка
[а, Ь] с отмеченными точками. Таким образом, Ft =4 F на Р при базе В.
Теперь, взяв в Р традиционную базу Л (В)	0, по теореме 1 находим,
что коммутативна следующая диаграмма:
Е Л(6)Д^г =: Ft(p}
г=1
А(Р)-И)
b
f ft(x)dx =: At
— » F(p) = E Ж)Д^г
г=1
A(P)->0
b
-> A-=ff(x)dx,
a	a
что и доказывает сформулированную теорему 3. ►
оо
Следствие 4. Если ряд 52 fn(%) из интегрируемых на отрезке
71=1
[а, Ь] С R функций сходится равномерно на этом отрезке, то его сум-
ма тоже интегрируема на отрезке [а, Ъ] и
Пример 4. В этом примере, записывая будем считать, что
при х = 0 это отношение равно единице.
х ,
В свое время мы отмечали, что функция Si(x) — f dt не являет-
о
ся элементарной. Используя доказанные теоремы, можно, тем не менее,
получить достаточно простое представление этой функции в виде сте-
пенного ряда.
Для этого заметим, что
(~i)n ,2п
t ^(2п + 1)!	’
п=0 v	7
(14)
и стоящий справа ряд сходится равномерно на любом отрезке [—а, а] С
С R. Равномерная сходимость ряда следует из мажорантного призна-
ка Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, поскольку + i)f
а2п	u	ОО	„л
$ l2n + 1V ПРИ 1^1 в то время как числовой ряд > J (2п+1)! СХОДИТСЯ-
'	'	71=0
458
ГЛ. XVI. РЯДЫ и семейства функции
На основании следствия 4 теперь можно написать
(-1)пж2п+1
(2п + 1)!(2п + 1)‘
Полученный ряд, кстати, тоже сходится равномерно на любом от-
резке числовой оси, поэтому, какой бы отрезок [а, 6] изменения аргу-
мента х ни указать и какую бы ни назначить допустимую абсолютную
погрешность, можно подобрать многочлен — частичную сумму полу-
ченного ряда, который в любой точке отрезка [а, Ь] позволит вычи-
слить Si(x) с погрешностью, не превышающей заданной.
5. Дифференцирование и предельный переход
Теорема 4. Пусть {ft; t е Т} —семейство функций ft - X С,
определенных на выпуклом ограниченном множестве X {лежащем в К,
С или ином линейном нормированном пространстве) и зависящих от
параметра t ЕТ; В — база в Т. Если функции семейства дифференци-
руемы на X, семейство {//; t £ Т} производных сходится равномерно
на X к некоторой функции ср: X С, а исходное семейство {ft; t ЕТ}
сходится хотя бы в одной точке xq Е X, то оно сходится равномерно
на всем множестве X к дифференцируемой функции f: X —> С, причем
f' = <p-
◄ Покажем сначала, что семейство {ft; t Е Т} равномерно сходит-
ся на множестве X при базе В. Воспользуемся теоремой о конечном
приращении в следующих оценках:
1Л1(ж) — Л2(ж)| <
< \	- Л2(ж)) - (Л1(^о) - Л2(*о))| + l/tjxo) - Л2(ж0)| <
< sup |/t1U)-/t2(0|la;_a:o| + |/ti(xo)-/t2(a:o)| = Д(ж,/1,/2)-
? С[жо,ж]
По условию семейство {//; t Е Т} сходится равномерно на X при
базе В, величина ft(xo) как функция t при той же базе В имеет предел,
а |ж — жо|—ограниченная величина при х Е X. Ввиду необходимости
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 459
условий критерия Коши для равномерной сходимости семейства фун-
кций // и существования предела функции /Дхо), для любого е > О
найдется такой элемент В базы В, что для любых £ В и любого
х G X будет Д(х,/1,/2) < £• А это в силу написанных оценок означает,
что семейство функций {ft; t £ Т} тоже удовлетворяет условиям кри-
терия Коши и, следовательно, равномерно сходится на X при базе В к
некоторой функции f: X С.
Вновь используя теорему о конечном приращении, получим теперь
следующие оценки:
О<0<1
sup I (ж + Oh) - f't2 (х + Oh) | + | (ж) - ft2 (ж) I Ih\.
О<0<1	/
Эти оценки, справедливые при х,х + h £ X, ввиду равномерной
сходимости семейства {//; t £ Т} на X, показывают, что семейство
{Ft; t £ Т} функций
Ft(h) =
ft(x + h)-ft(x) — f[(x)h
•)
которые мы будем рассматривать при фиксированном значении х £ X,
сходится при базе В равномерно относительно всех значений h 0 О
таких, что х + h £ X.
Заметим, что Ft(h) —» 0 при h —> 0 ввиду дифференцируемости
функции ft в точке х £ X, а ввиду того, что ft f и f[ при
базе Б, имеем Ft(h) F(h) =	+	~ ПРИ базе В.
Применяя теорему 1, можно теперь записать коммутативную диа-
грамму
ft(x h) ~ ft(x) - fl(x)h =:	|	f(x-hh)-f(x)-<p(x)h
lrtl	g /	lrtl
h—>0	h—>()
0 /------> 0 .
в
Правый предельный переход при h —» 0 показывает, что функция f
дифференцируема в точке х £ X и f'(x) = <р(х). ►
460
ГЛ. XVI. РЯДЫ и семейства функции
оо
Следствие 5. Если ряд 52 fn{%) из функций fn: X —> С, диффе-
П=1
ренцируемых ни ограниченном выпуклом множестве X {лежащем в R,
С или любом линейном нормированном пространстве), сходится хотя
оо
бы в одной точке х Е X, а ряд 52 fn(x) сходится равномерно на X,
п~1
оо
то ряд 52 fn(x) тоже сходится равномерно на X, его сумма диффе-
п=1
ренцируема на X и
(оо	\ '	оо
X fn(x)) (ж)= X ^(х)-
п=1	/	п=1
Это вытекает из теоремы 4 и определений суммы и равномерной
сходимости ряда с учетом линейности операции дифференцирования.
Замечание 4. Приведенные доказательства теорем 3 и 4, как и
сами теоремы и их следствия, остаются в силе для функций ft: X Y
со значениями в любом полном линейном нормированном пространст-
ве У. Например, У может быть R, С, Rn, С71, (7[а, Ъ] и т. д. Областью X
определения функций ft в теореме 4 тоже может быть соответству-
ющее подмножество любого линейного нормированного пространства.
В частности, X может лежать в R, С, Rn или С2. Для вещественнознач-
ных функций вещественного аргумента (при дополнительных требова-
ниях к сходимости) доказательства этих теорем можно сделать еще
более простыми (см. задачу 11).
В качестве иллюстрации использования теорем 2-4 докажем следу-
ющее широко используемое и в теории, и в конкретных вычислениях
Утверждение 3. Если круг К С С сходимости степенного ряда
оо
52 cn{z — zo)n не сводится к единственной точке z = zq, то внутри К
п=0
сумма f{z) этого ряда дифференцируема, причем
оо
/'(*) = У ncn(z ~ Zo)n~l.
71=1
(15)
Кроме того, функцию f(z): К —> С можно интегрировать по любо-
му гладкому пути у: [0,1] —> К, и если [0,1] Э t z(t) Е К, z{0) = zq,
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
461
г(1) ~ г, то
оо
<1в>
' п + 1
1
Замечание 5. Здесь f f(z)dz := f f(z(t))zf(t)dt. В частности, ес-
7	о
ли на интервале — R < х — xq < R действительной оси R имеет место
оо
равенство /(х) = 52 ап{^ — ^о)п, то
п=0
т<и =	-«r+1.
' п + 1
◄ Поскольку lim n \/n|cn| = lim У|сД, то из формулы Коши-
п—>оо	п—>оо
оо
Адамара (теорема из §2) вытекает, что степенной ряд 52
П=1
оо
полученный почленным дифференцированием ряда 52 cn{z~ име-
п=0
ет тот же круг сходимости К, что и исходный степенной ряд. Но по той
оо
же теореме из §2 ряд 52 ncn(z ~ ^о)п-1 сходится равномерно в любом
п=1
оо
круге Kq таком, что Kq С К. Поскольку ряд 52 Сп(^ — ^о)п? очевидно,
п=0
сходится при z — zq, к нему теперь применимо следствие 5, чем и обо-
сновывается равенство (15). Итак, показано, что степенной ряд можно
дифференцировать почленно.
Проверим теперь, что его можно и интегрировать почленно.
Если 7: [0,1] —> К — гладкий путь в К, то найдется круг Кя та-
кой, что 7 С Kq и Kq С К. На Kq исходный степенной ряд сходится
равномерно, поэтому в равенстве
оо
/(*(0) = 52	_ го)п
71=0
стоящий справа ряд из непрерывных на отрезке 0 t 1 функций схо-
дится равномерно на этом отрезке к непрерывной же функции /(г(/)).
462
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА функции
Умножение этого равенства на функцию непрерывную на от-
резке [0,1], не нарушит ни самого равенства, ни равномерной сходимо-
сти ряда. Значит, по теореме 3 получаем
j	f cn(z(t) - zo)nz'(f) dt.
о	n-° о
Ho
1 1
f (z(t) - г(0))	dt =	/ d(z(t) - 2(0))n+1 =
0	0
= iTT-T*2*1) -	= “ZT(2<1) - 2«>”+1’
n + 1	n + i
и мы приходим к равенству (16). ►
оо
Поскольку в разложении /(г) = сп(г —^о)п? очевидно, со = /(^о),
то, последовательно применяя равенство (15), вновь получаем знакомые
соотношения сп =	, которые показывают, что степенной ряд
однозначно определяется своей суммой и он является ее рядом Тейлора.
Пример 5. Бесселева функция п £ N есть решение уравне-
ния Бесселя^
x2yff + xyf + (х2 — п2)у = 0.
Попробуем найти решение этого уравнения, например, при п — 0, в
оо
виде степенного ряда у = ck%k • Последовательно используя форму-
fc=o
лу (15), после элементарных преобразований приходим к соотношению
С1 + УУк2ск + Ck_2)xk~l = 0,
k~ о
из которого, в силу указанной единственности степенного ряда с дан-
ной суммой, находим
С1 = о, к2ск + cfc_2 = 0, к = 2,3,...
1}Ф.В. Бессель (1784-1846)- немецкий астроном.
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
463
Отсюда легко вывести, что c^k-i = 0, к 6 N, и с?к = (—1)*
Если считать Jo(O) = 1, то мы приходим к соотношению
со
(fc!)222*'
ОО
к=0
„2к
(A4)222fc'
Написанный ряд сходится на всей прямой R (и во всей плоскости С),
поэтому проведенные выше до конкретизации его вида операции над
этим рядом являются законными.
Пример 6. В примере 5 мы искали решение уравнения в виде сте-
пенного ряда. Если же ряд задан, то, используя формулу (15), можно
непосредственно проверить, является ли сумма ряда решением данно-
го уравнения. Так, прямым вычислением можно убедиться в том, что
введенная Гауссом функция
оо
F(a,/3,y,x) = 1 + $2
71 = 1
а(а + 1)... (а + п - 1) • Д(Д + 1)...(/? + п — 1) п
7117(7 + 1) • • • (? + п ~ 1)	Х
{гипергеометрический ряд) корректно определена при |х| < 1 и удовле-
творяет так называемому гипергеометрическому дифференциальному
уравнению
х(х — 1)у” — [7 — (а + /? — 1)х] • yf + а/3 • у — 0.
Отметим в заключение, что, в отличие от теорем 2, 3, в теореме 4
требуется, чтобы не исходное семейство, а семейство производных схо-
дилось равномерно. Мы уже видели (см. пример 2 § 1), что последова-
тельность функций fn{x) — sinn2x может сходиться к дифференциру-
емой функции f(x) = 0 равномерно, в то время как последовательность
производных ffn{x) не сходится к f(x). Дело в том, что производная —
зто характеристика скорости изменения функции, а не величины значе-
ний функции. Даже при очень малых по абсолютной величине измене-
ниях значений функции производная формально может меняться очень
сильно, как это имеет место в рассмотренном случае малых колебаний
большой частоты. Именно это обстоятельство легло в основу постро-
енного Вейерштрассом примера непрерывной нигде не дифференциру-
оо
емой функции, которую он задал в виде ряда f(x) =	аП cos(6n7rx),
п=0
464
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
очевидно, равномерно сходящегося на всей прямой R, если 0 < а < 1.
Вейерштрасс показал, что если параметр b выбрать удовлетворяющим
условию а • b > 1 + |тг, то, с одной стороны, f будет непрерывна как
сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, а с дру-
гой стороны, она не будет иметь производную ни в одной точке х G R.
Формальная проверка последнего утверждения довольно утомительна,
поэтому желающие получить более простой пример непрерывной фун-
кции без производной могут посмотреть задачу 5 из § 1 гл. V.
Задачи и упражнения
1.	Используя степенные ряды, найдите решение уравнения у” (х) — у(х) = О,
удовлетворяющее условиям
а) ?/(0) = 0, ?/(1) = 1;
Ь) 2/(0) = 1, 2/(1) = 0.
ОО	1
2.	Найдите сумму ряда £ Л .
3.	а) Проверьте, что задаваемая в виде ряда функция
оо
— ^2
к=0
(-1)*
к\ (к + п)!
х \
2/
2к+п
является решением уравнения Бесселя с индексом п 0 из примера 5.
Ь) Проверьте, что гипергеометрический ряд из примера б доставляет ре-
шение гипергеометрического уравнения.
4.	Получите и обоснуйте следующие пригодные для вычислений разложе-
ния полных эллиптических интегралов первого и второго рода при 0 < к < 1
тг/2
dip
\/1 — к2 sin2
о v
5.	Найдите
п
а)	52 гкегк<р]
п
ь)	52rk cos
Jfe=0
п
с)	52 rk sin &Р-
к=0
§3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
465
Покажите, что при |r| < 1
оо
гр \'s ук piktp — _____1	___.
'	1 — г cos ср — гг sin ’
/с—О	г
е)	i + У} rk cos kip = i •---1-7-2----7;
' 2	/4	2 l-2rcos<^ + r2’
oo
f)	52 rk sinfc^ = —v
7	1 - 2r cos у + r2
Проверьте, что в смысле суммирования ряда методом Абеля
1 00
g)	2 + 52 cos/ту? = 0, если у? / 2тгп, п € Z;
оо	.
h)	52 sinfc^ = ctg если у? / 2тгп, п € Z.
к=1
6.	Рассмотрев произведение рядов
где сп = &obn + aibn-i + ... +
оо
кажите, что если ряды 52 ап->
п=0
2n-ibi + апЬо, и используя утверждение 1, по-
оо	оо
52	52 сп	сходятся соответственно к А, В
п=0	п—О
п
7.	Пусть sn= ^акиап =
к=1
по Чезарог\ точнее (с, 1)-суммируемым к А, если lim а
п—>оо
оо
пишут 52 ak = 4(с,1).
jfe=l
а)	Проверьте, что 1 — 1 + 1 — 14-... = |(с, 1).
Ь)	Покажите, что ап = 52 (1 — —тг~ а>к-
к=1 4	7
оо	оо
с)	Проверьте, что если 52 ак — А. в обычном смысле, то и 52 ак — (с, 1).
к=1
°° 1
d)	(с, 2)-суммой ряда 52 ак называют величину lim - (tri + ... + <тп), если
л=1	п^°°
этот предел существует. Так можно определить сумму (с, г) любого порядка г.
оо	оо
Покажите, что если 52 ак —	г), то 52 ак — A(c,r + 1).
к=1	к=1
оо
е)	Докажите, что если 52 ак — Жс> 1)? то и методом Абеля этот ряд сум-
к~г
мируется к той же величине Л.
8.	а) «Теорема тауберова типа» — это собирательное название для тео-
рем, дающих возможность при тех или иных дополнительных условиях ре-
п	оо
- 52 sfc- ^*ЯД 52 ак называется суммируемым
к=1	к=1
п = А. В этом случае
^Э.Чезаро (1859-1906)—итальянский математик, занимался анализом и геоме-
трией.
466
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
гулярности судить о поведении самих величин по поведению некоторых их
средних. Примером такой теоремы, относящейся к методу Чезаро суммирова-
ния рядов, является следующее утверждение, которое вы можете попробовать
доказать вслед за Харди1).
ОО	/ 1 \	00
Если 52 ап ~ ^(с, 1) и если ап — О ( - 1 , то ряд 52 ап сходится в обыч-
п=1	'	П=1
ном смысле и к той же сумме.
Ь) Сама теорема Таубера2) относится к методу Абеля суммирования рядов
и состоит в следующем.
оо	оо
Пусть ряд 52 ап^п сходится при 0 < х < 1 и lim 52 ап%п = А. Ес-
п=1	2’ч1’'°п=1
оо
ли lim -I + 2q2	~ + пап _ 0, то ряд 52 пп сходится в обычном смысле и
п—>оо	п	n—i
причем к А.
9.	Полезно иметь в виду, что в отношении предельного перехода под зна-
ком интеграла существуют теоремы, дающие гораздо более свободные доста-
точные условия для возможности такого перехода, чем те, которые предоста-
вляет теорема 3. Эти теоремы составляют одно из основных достижений так
называемой теории интеграла Лебега. В случае, когда функция интегрируема
по Риману на отрезке [а,Ь], т.е. f Е 7£[а,6], эта функция принадлежит так-
же пространству £\а, Ь] функций, интегрируемых по Лебегу, причем значения
ь	ь
интегралов (/?) f f(x) dx, (L) J f(x) dx Римана и Лебега от f совпадают.
а	а
Вообще пространство £[а, Ь] есть пополнение пространства П[а, 6] (точнее,
_	ь
Н[а, 6]) по интегральной метрике, а интеграл (L) f есть продолжение линейной
а
Ъ
функции (/?) f с Н[а, Ь] на £[а,Ь].
а
Итоговая теорема Лебега «об ограниченной сходимости» утверждает, что
если последовательность {fn; п Е N} функций fn Е £[а,Ь] такова, что су-
ществует неотрицательная функция F Е £[а, 6], мажорирующая функции
последовательности, т.е. |/п(^)| С ^(^) почти всюду на [а,Ь], то из сходи-
мости fn~>f почти во всех точках отрезка [а, Ь] вытекает, что f Е £[о, Ь]
ь	ъ
и lim (L) f dx — (L) f f(x) dx.
n^°° a	a
a)	Покажите на примере, что даже если все функции последовательности
{fn] п Е N} ограничены одной и той же константой М на отрезке [а, Ь], из
1)Г.Х. Харди (1877-1947)—английский математик; основные труды посвящены
теории чисел и теории функций.
2) А. Таубер (род. 1866; год смерти неизвестен) — австрийский математик; основ-
ные исследования относятся к теории чисел и теории функций.
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
467
условий fn е 7£[а, &], п е N и fn —> f поточечно на [а, 6] не следует, что
f е 7£[а, 6] (см. пример 5 из § 1).
ъ	ъ
Ь)	Основываясь на сказанном о взаимоотношении интегралов (/?) J, (L) f
а	а
и теореме Лебега, покажите, что если в условиях предыдущего пункта задачи
ъ	ъ
известно, что все же f € 7£[а,Ь], то (/?) Г f(x)dx — lim (Л) / fn(x)dx. Это
a	n—>oo	a
существенное усиление теоремы 3.
с)	Применительно к интегралу Римана можно сформулировать еще следу-
ющий вариант теоремы Лебега о монотонной сходимости.
Если последовательность {fn; п € N} функций fn 6 7£[a, &] сходится к
нулю монотонно, т. е. О С /п+i С fn и fn —> 0 при п -+ оо для любого
ь
х € [а, Ь], то (Я) J fn(x) dx -> 0.
а
Докажите это утверждение, используя при необходимости следующее по-
лезное наблюдение.
1
d)	Пусть / е 7£[а, &], |/| М и / f(x)dx а > 0. Тогда множество
о
Е = {х Е [0,1] | f(x) а/2} содержит конечное число таких интервалов,
сумма I длин которых не меньше, чем а/(4М).
Докажите это, используя, например, интервалы такого разбиения Р от-
резка [0,1], которому отвечает нижняя сумма Дарбу $(/, F), удовлетворяющая
1
соотношению 0	/ f(x) dx — s(f,P) < a/4.
о
10.	а) Покажите на примерах из § 1, что не всегда из сходящейся на отрезке
последовательности функций можно извлечь подпоследовательность, которая
сходилась бы равномерно на этом отрезке.
Ь) Гораздо труднее непосредственно проверить, что из последовательно-
сти {/п; п 6 N} функций fn(x) = sin па; нельзя извлечь подпоследовательность,
которая сходилась бы в любой точке отрезка [0, 2тг]. Докажите, что это, одна-
ко, именно так (используйте результат задачи 9 Ь) и то обстоятельство, что
2тг
/(sinn^ - sinnjfe+12;)2 dx = 2тг / 0 при п* < п*+1).
о
с) Пусть {/n; п € N} — равномерно ограниченная последовательность фун-
кций fn е Р[а, Ь]. Пусть
X
Fn(x) = J /п(£) dt (а х 6).
а
Покажите, что из последовательности {Fn; п € N} можно извлечь подпо-
следовательность, равномерно сходящуюся на отрезке [а, 6].
16-4574
468
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА функции
11.	а) Покажите, что если /, fn € 7£([а, Ь], К) и fn f на [а, 6] при п —> оо,
то для любого числа в > 0 найдется такой номер N € N, что при любом п > N
будет выполнено соотношение
< е(Ь — а).
Ь) Пусть fn 6 С(1)([а,6],К), п 6 N. Используя формулу /п(гс) = fn(xo) +
X
+ f fn(t) dt, докажите, что если =4 на отрезке [а, 6] и существует точка
жо С [а, 6], для которой последовательность {/п(^о)’, ^6 N} сходится, то после-
довательность функций {/n; п € N} сходится равномерно на [а, 6] к некоторой
функции f е ([а, Ь], К), причем =4 /' = ip.
* § 4. Компактные и плотные подмножества пространства
непрерывных функций
Этот параграф посвящен более специальным вопросам, относящим-
ся, однако, к вездесущему для анализа пространству непрерывных фун-
кций. Все эти вопросы, как, впрочем, и сама метрика пространства
непрерывных функций1), тесно связаны с понятием равномерной схо-
димости.
1. Теорема Арцела —Асколи
Определение 1. Семейство функций /: X —> У, определенных
на множестве X и принимающих значения в метрическом простран-
стве У, называется равномерно ограниченным на множестве X, если
множество V = {yEY\3f EJ-^xEX (у — /(#))} значений функций
семейства ограничено в У.
Для числовых функций или для функций /: X —> это попросту
означает существование такой константы М Е R, что для любого х Е X
и любой функции f Е В будет |/(ж)| С М.
Определение Iх. Если множество У С У значений функций се-
мейства вполне ограничено (т. е. при любом е > 0 для V в У найдется
конечная s-сеть), то семейство называется вполне ограниченным.
^Если вы еще не вполне освоились с общими понятиями из главы IX, то без потери
содержательности дальнейшего можете считать, что всюду речь идет о функциях,
действующих из R в R, или из С в С, или из в Rn.
§4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ
469
Для пространств У, где понятия ограниченного и вполне ограни-
ченного множества совпадают (например для R, С, Rn, С777 и вообще
в случае локально компактного пространства У), понятия равномерно
ограниченного и вполне ограниченного семейства функций со значени-
ями в У тоже совпадают.
Определение 2. Пусть X и У— метрические пространства. Се-
мейство J- функций f: X —> У называется равностепенно непрерывным
на множестве X, если для любого е > 0 существует ё > 0 такое, что
при Xi,Х2 Е X соотношение	< ё влечет dy(/(#i),/(#2)) <
какова бы ни была функция f семейства.
Пример 1. Семейство функций {хп; п 6 N} не является равносте-
пенно непрерывным на отрезке [0,1], но оно равностепенно непрерывно
на любом отрезке вида [0, q], где 0 < q < 1.
Пример 2. Семейство функций {sin пх; п G N} не равностепенно
непрерывно ни на каком невырожденном отрезке [a, b] С R.
Пример 3. Если семейство {fa: [а, Ь] —> R; а 6 Л} дифференци-
руемых функций fa таково, что семейство {/^; a G А} их производ-
ных равномерно ограничено постоянной, то, как следует из форму-
лы конечных приращений, |/а(ж2) —	Л/|а?2 — #1|, и, значит,
исходное семейство равностепенно непрерывно на отрезке [а, Ь].
Связь введенных понятий с равномерной сходимостью непрерывных
функций демонстрирует уже следующая
Лемма 1. Пусть К и У—метрические пространства, причем
К — компакт. Для того, чтобы последовательность {fn; п G N} не-
прерывных функций fn: К —> У сходилась на компакте К равномерно,
необходимо, чтобы семейство {fn] п Е N} было вполне ограниченным
и равностепенно непрерывным.
◄ Пусть fn f на К. По теореме 2 из § 3 заключаем, что f Е
Е C(K,Y). Из равномерной непрерывности f на компакте К вытека-
ет, что для любого е > 0 найдется такое ё > 0, что при ^1,^2 С К
< $ =>	/(^2)) < £)• По этому же е > 0 найдем
такой номер N Е N, чтобы при п > N в любой точке х Е К иметь
dy(/(a:),	< е. Сопоставляя эти неравенства, пользуясь неравен-
ством треугольника, находим, что при любом п > N и хух% Е К
из dx(xyxz) < ё следует dy(/n(#l)5/п(#2)) < Зе. Значит, семейство
470
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА функции
{fn] П > N} равностепенно непрерывно. Добавляя к нему равностепен-
но непрерывное семейство {Д,... ,/дг}, состоящее из конечного числа
непрерывных на компакте К функций, получим равностепенно непре-
рывное семейство {Д; пЕ N}.
То, что оно вполне ограничено, вытекает из неравенства
справедливого при х Е К и п > N, а также из
N
того, что и (J fn(K) компактны в У, и, значит, вполне ограни-
чены в У. ►
На самом деле справедлива следующая общая
Теорема 1 (Арцела-Асколи). Пусть Т — семейство функций
f: К —> У, определенных на метрическом компакте К со значения-
ми в полном метрическом пространстве У.
Для того, чтобы любая последовательность fn , тъ Ei со-
держала равномерно сходящуюся подпоследовательность, необходимо
и достаточно, чтобы семейство Т было вполне ограниченным и рав-
ностепенно непрерывным.
◄ Необходимость. Если бы не было вполне ограниченным
семейством, то, очевидно, можно было бы построить такую последо-
вательность {/n; n Е N} функций fn Е Ткоторая не была бы вполне
ограниченной и из которой (см. лемму) уже нельзя было бы извлечь
равномерно сходящуюся последовательность.
Если семейство Т не равностепенно непрерывно, то найдутся число
£о > 0 и такие последовательность функций {fn Е 5; n Е N} и после-
довательность {(#„,#„); n Е N} пар (х^х^) точек	сходящихся
при п —> оо к некоторой точке xq Е К, что dy(fn{xtn), fn(%n)) £о > 0-
Тогда из последовательности {/n; п Е N} уже нельзя извлечь сходящую-
ся равномерно подпоследовательность: ведь по лемме 1 функции такой
подпоследовательности должны были бы составлять равностепенно не-
прерывное семейство.
Достаточность. Компакт К будем считать бесконечным мно-
жеством, иначе утверждение тривиально. Фиксируем в К счетное всю-
ду плотное подмножество Е — последовательность {хп Е К\ п Е N}.
Такое множество Е легко получить, взяв, например, объединение то-
чек конечных s-сетей в К, получаемых при е — 1,1/2,... , 1/п,...
Пусть {/n; п Е N} —произвольная последовательность функций се-
§4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ
471
мейства J7.
Последовательность {/п(^1); n £ N} значений этих функций в
точке х\ по условию ограничена в У и, поскольку У— полное про-
странство, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
{/пДят); к £ N}. Функции полученной последовательности, как будет
видно, удобно обозначить через n G N. Индекс 1 показывает, что
это последовательность, построенная по точке жр
Из полученной последовательности извлечем подпоследователь-
ность {fnk> к N}, которую обозначим через {/2; п Е N}, такую, что
последовательность {/^(^2); А; £ N} является сходящейся.
Продолжая этот процесс, получим серию {/*; п £ N}, к = 1,2,...
последовательностей. Если теперь взять «диагональную» последова-
тельность {дп = п £ N}, то она, как легко видеть, будет сходиться
в любой точке всюду плотного множества Е С К.
Покажем, что последовательность {дп\ п £ N} сходится в любой
точке компакта К и что ее сходимость равномерная на К. Для это-
го фиксируем е > 0 и подберем ё > 0 в соответствии с определением 2
равностепенной непрерывности семейства J7. Пусть Е± = {£1,...,	~
конечное подмножество Е, образующее J-сеть в К, Поскольку последо-
вательности	г = 1,2,...,А; сходятся, найдется такой но-
мер 7V, что при m, п N будет dy (#т(&), #п(6)) < £ Для i = 1, 2,... , к.
Для каждой точки х £ К найдется такая точка £? £ Е, что
< ё. В силу равностепенной непрерывности семейства Е от-
сюда следует, что dy(gn(x),gn(^3)) < е при любом п £ N. Используя
полученные неравенства, теперь находим, что при любых m, п > N
dy(dm(^))9п(хУ)	dy(дп(х)^дп(£3)) + dy(дт(£?),дп(£?)) +
+ dy(gm(x),gm((3)) < е + е + е = Зе.
Но х — произвольная точка компакта К, значит, по критерию Коши
последовательность {дп; п £ N} действительно равномерно сходится
на К. к
2. Метрическое пространство С(К, У). Одной из наиболее
естественных метрик на множестве С (К, У) функций /: К —> У, не-
прерывных на компакте К и принимающих значения в метрическом
пространстве У, является следующая метрика равномерной сходимо-
472
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
сти
d(f,g) = max dY(f(x),g(x)),
х^К
где f.g Е С(К, У), а максимум существует, так как К — компакт. Про-
исхождение названия метрики связано с тем, что, очевидно, d(fni f) —>
О fn=i f на К.
Учитывая последнее соотношение, на основании теоремы 2 из §3
и критерия Коши равномерной сходимости можно заключить, что ме-
трическое пространство С(К, У) с метрикой равномерной сходимости
является полным.
Напомним, что компактным подмножеством метрического прост-
ранства называется такое подмножество, из любой последовательности
точек которого можно извлечь последовательность Коши (или, что то
же самое, фундаментальную последовательность). Если исходное ме-
трическое пространство полное, то такая последовательность будет да-
же сходящейся.
Теорема Арцела - Асколи дает описание компактных подмножеств
метрического пространства С (К, У).
Следующая важная теорема, которую мы собираемся доказать, даст
описание достаточно разнообразных всюду плотных подмножеств про-
странства С (К, У). Естественный интерес, который представляют та-
кие подмножества, связан с тем, что функциями, составляющими их,
можно равномерно, т. е. со сколь угодно малой абсолютной погрешно-
стью на всем К, аппроксимировать любую функцию f: К —> У, непре-
рывную на К.
Пример 4. Классический результат Вейерштрасса, к которому
мы будем еще не раз возвращаться и который обобщает приведенная
ниже теорема Стоуна, состоит в следующем.
Теорема 2 (Вейерштрасс). Если f 6 С([а, Ь],С), то существует
такая последовательность {Рп, w Е N} многочленов Рп\ [а,6] —> С,
что Рп =4 f на [а, Ь]. При этом, если f Е С([а, Ь], R), то и многочле-
ны Рп можно выбрать из С([а, Ь], R).
На геометрическом языке это означает, например, что многочлены
с вещественными коэффициентами образуют всюду плотное подмноже-
ство в пространстве C([a,b],R).
Пример 5. Если теорема 2 требует все-таки нетривиального до-
§ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ
473
казательства (оно дано ниже), то на основании равномерной непрерыв-
ности любой функции f Е ^([а,^],®) легко заключить, что множество
кусочно линейных непрерывных вещественнозначных на отрезке [а, Ь]
функций является всюду плотным подмножеством в C([a,b],R).
Замечание 1. Отметим, что если Е\ всюду плотно в Е2, а Е2
всюду плотно в £?з, то в смысле той же метрики Ел, очевидно, будет
всюду плотным в Е%.
Это означает, например, что для доказательства теоремы 2 доста-
точно показать, что кусочно линейную функцию можно сколь угодно
хорошо приблизить многочленом на соответствующем отрезке.
3. Теорема Стоуна. Прежде чем переходить к общей теореме
Стоуна, приведем следующее, полезное для восприятия дальнейшего,
доказательство теоремы 2 (Вейерштрасса) в случае вещественнознач-
ных функций.
◄ Заметим сначала, что если f,g Е С([а, 6], К), о G R и функции
/, д допускают равномерную (сколь угодно точную) аппроксимацию
многочленами, то ее допускают и непрерывные на [а, 6] функции / + #,
f  9, <*f-
На отрезке [—1,1], как было показано в примере 2, §3, функция |ж|
п
допускает равномерное приближение полиномами Рп(х) — акХк.
к=1
Значит, соответствующая последовательность полиномов М • Рп(х/М}
дает равномерную аппроксимацию функции |ж| уже на отрезке |ж| М.
Если f Е С([а, Ь], R) и М = max |/(я)|, то из
п
|у| - Е скУк
k=i
< 8 при
\у\ М следует
< е при а х Ь. Значит, если f
допускает равномерную аппроксимацию многочленами на отрезке [а, Ь],
п
то ^2 ckfk и 1/1 тоже допускают такую аппроксимацию.
к=1
Наконец, если f и д допускают равномерную аппроксимацию много-
членами на отрезке [а, Ь], то в силу сказанного ее допускают и функции
шах{/, </} = |((/ + д) +|/-f?|), min{/,^} = * ((/ + #)-
Пусть а <	< Ь, /(ж) = 0, д^2(х) =	h(x) =
Ф^1£2 = тах{/,д^},	~ niin{A, Ф^^2}. Линейные комбинации фун-
кций вида очевидно, порождают все множество непрерывных ку-
474
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИИ
сочно линейных функций на отрезке [а, 6], откуда, в силу примера 5, и
следует теорема Вейерштрасса. ►
Прежде чем формулировать теорему Стоуна, определим несколько
новых понятий.
Определение 3. Совокупность А вещественно (комплексно)-
значных функций на множестве X называется вещественной (ком-
плексной) алгеброй функций на X, если из /, д Е А и а Е R(C) следует,
что
(/ + д) G A; (f-ff)e A; (af) G А.
Пример 6. Пусть X С С. Многочлены P(z) = со + qz + C2Z2 +
+ ... + спгп, п Е N, очевидно, образуют комплексную алгебру функций
на X.
Если взять X = [a, ft] с R и многочлены брать только с действитель-
ными коэффициентами, то получим вещественную алгебру функций на
отрезке [а, Ь].
Пример 7. Линейные комбинации с коэффициентами из R или С
функций епх, п = 0,1,2,..., очевидно, тоже образуют алгебру (соответ-
ственно вещественную или комплексную) на любом отрезке [a, ft] С К.
То же можно, сказать и о линейных комбинациях функций
{einx; п Е Z}.
Определение 4. Будем говорить, что некоторая совокупность S
функций, определенных на множестве X, разделяет точки множест-
ва X, если для любой пары точек a?i, х2 Е X найдется функция f Е S
такая, что f(xi) ± f(x2).
Пример 8. Совокупность функций {enx; п Е N} и даже каждая
из них разделяет точки R.
Вместе с тем, совокупность 2тг-периодических функций {етх; п Е
Е Z} разделяет точки отрезка, если его длина меньше 2тг и, очевидно,
не разделяет точки отрезка длины, большей или равной 2тг.
Пример 9. Вещественные многочлены в совокупности образуют
множество функций, разделяющее точки любого отрезка [а, &], так как
это делает уже один многочлен Р(х) = х. Сказанное можно повторить
относительно множества X С С и совокупности комплексных полино-
мов на X. В качестве одной разделяющей функции теперь можно взять
P(z) = z.
§4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ
475
Определение 5. Будем говорить, что семейство У функций
/: X —> С не исчезает на множестве X, если для любой точки х$ Е X
найдется функция /о Е Т такая, что /о(^о) / 0.
Пример 10. Семейство У •= {1, х, х2,... } на отрезке [0,1] не исче-
зает, а вот все функции семейства = {х, х2,... } обращаются в нуль
при х = 0.
Лемма 2. Если алгебра А вещественных (или комплексных) на
множестве X функций разделяет точки X и не исчезает на X, то
для любых различных точек ^1,^2 Е X и любых вещественных (или,
соответственно, комплексных) чисел ci, с2 в А найдется такая фун-
кция /, что f(xr) = a, f(x2) = с2.
◄ Очевидно, лемму достаточно доказать, лишь когда = 0, с2 = 1
и когда ci — 1, с2 = 0.
Ввиду равноправности точек х-у, х2, рассмотрим лишь случай ci = 1,
с2 = 0.
Заметим сначала, что в А существует такая специальная разделяю-
щая точки xi, х2 функция 5, которая, наряду с условием s(tfi) / 5(^2)?
удовлетворяет требованию з(#1) / 0.
Пусть g, h Е A, g(xi) / <7(^2), g(xi) = 0, h(xi) / 0. Очевидно, най-
дется такое число А Е R\0, что X(h(xi) — h(x2)) / д(х2). Тогда функция
5 = д + Xh и будет искомой.
Теперь, полагая f(x) = $	~ s(xz)s(x} , находим функцию f из
s (xi) — з(я1)з(я2)
нашей алгебры А, удовлетворяющую поставленным условиям: f(xi) — 1
И /(ж2) = 0. ►
Теорема 3 (Стоун1'). Пусть А—алгебра определенных на ком-
пакте К непрерывных вещественнозначных функций. Если А разде-
ляет точки компакта К и не исчезает на К, то А является всюду
плотным подмножеством пространства С(К, R).
Ч Пусть А — замыкание в С (К, R) множества А С С (К, Ж), т.е. А
состоит из тех непрерывных функций / Е С (К, R), которые можно
сколь угодно точно равномерно приближать функциями из А. Теорема
утверждает, что А — С (К, R).
^М. X. Стоун (1903-1989) —американский математик; основные труды относят-
ся к топологии и функциональному анализу.
476
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА функции
Повторяя проведенные при доказательстве теоремы Вейерштрасса
рассуждения, замечаем, что если /, д Е А и а Е R, то функции f+g, f-g,
af, шах{/, </}, min{/, д} тоже принадлежат А. По индукции можно
проверить, что вообще, если /1, /2, • • •, /п G А, то max{/i, /2, • • •, fn} и
/2, • • •, fn} тоже лежат в А.
Теперь покажем, что для любой функции / G С (К, R), любой точки
х G К и любого числа £ > 0 найдется такая функция дх 6 А, что
9х(х) = /(ж) и gx(t) > f(t) - £ при любом t G К.
Чтобы в этом убедиться, для каждой точки у Е К возьмем в со-
ответствии с леммой 2 функцию hy Е А такую, что hy(x) = f(x)
и hy(y) = f(y)- В силу непрерывности на К функций / и hy най-
дется такая открытая окрестность Uy точки ?/, что hy(t) > f(t) — е
при любом t Е Uy. Из покрытия компакта К открытыми множества-
ми Uy извлекаем конечное покрытие {Uyi, Uy2,..., Uyn }. Тогда функция
дх = max{/zyi, ЛУ2,..., hyn } Е А будет искомой.
Взяв теперь для каждой точки х Е К такую функцию дх, заме-
тим, что ввиду непрерывности функций дх и / найдется такая от-
крытая окрестность Vx точки х Е К, что gx(t) < f(t)+e при лю-
бом t Е Vx. Поскольку К — компакт, найдется его конечное покры-
тие {VX1,VX2,... ,VXmj такими окрестностями. Функция д = min{<?X1,
дХ2, • • • принадлежит алгебре Л и по построению в любой точке
удовлетворяет двойному неравенству
Ж ~ < 9(t) < Ж + г-
Но число £ > 0 было выбрано произвольно, поэтому доказано, что
любую функцию / Е С (К, Ж) можно сколь угодно точно равномерно
приблизить на К функциями из алгебры А. ►
Задачи и упражнения
1. Семейство Т функций /: X -» У, определенных на метрическом прос-
транстве X и принимающих значения в метрическом пространстве У, назы-
вается равностепенно непрерывным в точке Xq Е X, если для любого е > О
найдется 8 > 0 такое, что для любой функции / Е Т соотношение dxi?, х§) <8
влечет dy (/(ж),/(жо)) < £•
а)	Покажите, что если семейство Т функций /: X —> У равностепенно
непрерывно в точке в X, то любая функция f Е непрерывна в точке xq,
но утверждение, обратное к этому, неверно.
§4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ
477
Ь)	Докажите, что если семейство Т функций /: К —> Y равностепенно
непрерывно в любой точке компакта JC, то оно равностепенно непрерывно
на К в смысле определения 2.
с)	Покажите, что если метрическое пространство X не является компак-
том, то из равностепенной непрерывности семейства функций /: X —> Y в
каждой точке х С X еще не вытекает равностепенная непрерывность Т на X.
По этой причине, если семейство X равностепенно непрерывно на множе-
стве X в смысле определения 2, его часто называют равномерно равностепен-
но непрерывным на множестве. Таким образом, между равностепенной непре-
рывностью в точке и равномерной равностепенной непрерывностью семейства
функций на множестве X соотношение такое же, как между непрерывностью
и равномерной непрерывностью отдельной функции f: X —> Y на множест-
ве X.
d)	Пусть и(/;£?) колебание функции /: X —> Y на множестве Е С X,
а В(х,8)—шар радиуса 6 с центром в точке х € X, Определением каких
понятий являются следующие записи:
Vs > 0	> О V/6 77 от(/;В(ж,^)) <s,
Vs > О > О V/E7 Ух£Х
е)	Покажите на примере, что теорема Ариела - Асколи, вообще говоря,
не имеет места, если К не является компактом: постройте на IR. равномерно
ограниченную и равностепенно непрерывную последовательность {/п; п 6 N}
функций fn — (р(х 4- п), из которой нельзя извлечь равномерно сходящуюся
на IR. подпоследовательность.
f)	Опираясь на теорему Арцела Асколи, решите задачу 10 с) из §3.
2. а) Объясните подробно, почему любую непрерывную кусочно линейную
функцию на отрезке [а, Ь] можно представить в виде линейной комбинации
функций вида указанных в доказательстве теоремы Вейерштрасса.
Ь) Докажите теорему Вейерштрасса для комплекснозначных непрерывных
функций f: [а, 6] -> С.
ъ
с) Величину Мп — f f(x)xn dx часто называют п-м моментом функции
а
f: [а,Ь] -> С на отрезке [а, Ь]. Покажите, что если f е С([а, Ь], С) и Мп = 0 при
любом п е N, то /(ж) ~ 0 на [а, Ь].
3.	а) Покажите, что алгебра, порожденная парой функций {1,ж2} плотна
в множестве всех четных, непрерывных на отрезке [—1,1] функций.
Ь)	Решите предыдущий вопрос для алгебры, порожденной одной функци-
ей {а:}, и множества нечетных функций, непрерывных на отрезке [—1,1].
с)	Любую ли функцию f 6 С([0,7г],С) можно сколь угодно точно равно-
мерно аппроксимировать функциями алгебры, порожденной парой функций
{1, eia:}?
d)	Ответите на предыдущий вопрос в случае f 6 С([—тг, тг], С).
478
ГЛ. XVI. РЯДЫ и семейства функции
е)	Покажите, что ответ на предыдущий вопрос будет положительным то-
гда и только тогда, когда /(—тг) = /(тг).
f)	Любую ли функцию / 6 С([а, Ь],С) можно равномерно аппроксими-
ровать линейными комбинациями функций системы {1, cos a:, sin а:,..., cos пт,
sinnrr,...}, если [а, 6] С ] — тг, тг[ ?
g)	Любую ли четную функцию / 6 С([—тг, тг], С) можно равномерно ап-
проксимировать функциями системы {1, cos ж,..., cos тит,... }?
h)	Пусть [а, Ь] — произвольный отрезок прямой R Покажите, что алгебра,
порожденная на [а, Ь] любой не обращающейся в нуль строго монотонной фун-
кцией <р(х) (например, еж), плотна в С([а, Ь], IR).
i)	При каком расположении отрезка [а, 6] с К порожденная функцией
<р(х) = х алгебра плотна в С([а, &],!&)?
4.	а) Комплексная алгебра функций А называется самосопряженной, если
из / G А следует, что / 6 А, где /(ж)—значение, сопряженное к /(ж). По-
кажите, что если комплексная алгебра А не вырождается на X и разделяет
точки X, то при условии самосопряженности алгебры А можно утверждать,
что подалгебра Ar вещественнозначных функций алгебры А тоже не выро-
ждается на X и тоже разделяет точки множества X,
Ь) Докажите следующий комплексный вариант теоремы Стоуна.
Если комплексная алгебра А функций f: X С не вырождается на X и
разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры А можно
утверждать, что она плотна в С(Х, С).
с) Пусть X = {z 6 С | \z\ — 1} — единичная окружность, А — алгебра наХ,
порожденная функцией ег^, где ср— полярный угол точки z е С. Эта алгебра
не вырождается на X и разделяет точки X, но не является самосопряженной.
Докажите, что для любой функции /: X —> С, допускающей равномер-
ную аппроксимацию элементами алгебры А, должно выполняться равенство
2тг
/ /(ег9?)егп^ dip — 0 при любом п 6 N. Используя это обстоятельство, проверь-
о
те, что ограничение на окружность X функции /(г) = z есть непрерывная
на X функция, которая не входит в замыкание указанной алгебры А.
ГЛАВА XVII
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В этой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от пара-
метра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в
анализе виду таких семейств —к интегралу, зависящему от параметра.
§ 1.	Собственные интегралы, зависящие от параметра
1.	Понятие интеграла, зависящего от параметра. Интеграл,
зависящий от параметра,— это функция вида
f(x,t)dx,
Et
где t играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а
каждому значению t G Т отвечает множество Et и интегрируемая на
нем в собственном или несобственном смысле функция <Pt(x) = f(x,t).
Природа множества Т может быть самой разнообразной, но важ-
нейшими, разумеется, являются случаи, когда Т — подмножество про-
странств R, С, Rn или СТ1.
Если при каждом значении параметра t Е Т интеграл (1) является
собственным, то принято говорить, что функция F в (1) есть собствен-
ный интеграл, зависящий от параметра.
Если же при всех или при некоторых значениях t Е Т интеграл
в (1) существует только в несобственном смысле, то функцию F обычно
называют несобственным интегралом, зависящим от параметра.
Но это, конечно, всего лишь терминологические условности.
480
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В том случае, когда х Е Rm, Et С и т > 1, говорят, что имеют
дело с кратным (двойным, тройным и т. д.) интегралом (1), зависящим
от параметра.
Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае,
составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы
сначала в качестве Et будем брать только не зависящие от параметра
промежутки числовой прямой R, и к тому же будем считать, что на
них интеграл (1) существует в собственном смысле.
2.	Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
Утверждение 1. Пусть Р = {(х,у) е R2 I а х Ь/\с у
d} —прямоугольник в плоскости R2. Если функция f: Р —> R непре-
рывна, т. е. если f Е С(Р,Ж)? то функция
ь
F(y) = J f(x,y)dx
а
непрерывна в любой точке у Е [с,d].
◄ Из равномерной непрерывности функции f на компакте Р вы-
текает, что tpy(x) := f(x,y) =4 f(x,y0) =: рУо(х) на [а,6] при у -> у0,
УчУо £ [c,d]. При каждом у Е [с,</] функция %(х) — f(x,y) непрерывна
по х на отрезке [а,&], а значит, и интегрируема на нем. По теореме о
предельном переходе под знаком интеграла теперь можно утверждать,
что
ь
Р(Уо) = / f{x,yo)dx = lim
J	У^Уо
dx — lim F(y).
y-yyo
a	a
Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, утвер-
ждение 1 о непрерывности функции (2) остается в силе, если в качестве
множества значений параметра у взять любой компакт К, конечно, при
условии, что f Е С(1 х К, Ж), где I = {а; Е Ж | а С х С Ь].
Отсюда, в частности, можно сделать вывод, что если f Е С(1 х
хЛ,й), где 7? -открытое множество в Жп, то F Е С(Р,Ж), поскольку
любая точка у о Е D имеет компактную окрестность К с D, а ограни-
чение функции f на 1 х К является непрерывной функцией на компакте
1х К.
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 481
Мы сформулировали утверждение 1 для вещественнозначных фун-
кций, но, конечно, оно вместе с доказательством сохраняет силу и для
векторнозначных функций, например, для функций, принимающих зна-
чения в С, в Rm или С71.
Пример 1. При доказательстве леммы Морса (см. часть I, гл. VIII,
§6) мы упоминали о следующем утверждении, называемом леммой
А дамара.
Если функция f в окрестности U точки принадлежит классу
то в некоторой окрестности точки xq ее можно предста-
вить в виде
f(x) = f(xQ) +	- яо),	(3)
где ср — непрерывная функция, причем <р(яо) =
Равенство (3) легко следует из формулы
1
f(xo + h) - /(z0) = У /'(^о + th) dt • h	(4)
о
Ньютона-Лейбница и утверждения I, применяемого к функции F(h) —
1
“ J* ff(x0 + th) dt: остается сделать замену h = х — х$ и положить <р(х) =
о
= F(x - Яо).
Полезно заметить, что равенство (4) имеет место для xq , h Е Rn, где
п не обязано быть только единицей. Раскрывая символ /' подробнее и
полагая для простоты записи а?о — 0, можно вместо (4) написать
п
г—1
и тогда в равенстве (3) следует положить
п
<р(х)х = У^г(х)х\
где <pt(x) = J &-(tx)dt.
о
1
, txn) dt • хг,
482
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3.	Дифференцирование интеграла, зависящего
от параметра
Утверждение 2. Если на прямоугольнике Р — {(я, у) 6 R2 | а
х b А с у d} функция f: Р —> R непрерывна и имеет непрерыв-
ную частную производную по у, то интеграл (2) принадлежит классу
причем
ь
F'(y) = У ~-{x,y)dx.
а
(5)
Формулу (5) дифференцирования собственного интеграла (2) по па-
раметру часто называют формулой или правилом Лейбница.
◄ Проверим непосредственно, что если уо £ [с, d], то можно
вычислить по формуле (5):
Р(уо + h)~ F{yo) -
h
ь
dx
a
b
df ,	i
dx
a
b
/df	df
Slip ~-(x,yo + Oh)--^-(x,y0) dx\h\ = <p(y0, h)  \h\.
о<0<1 “У	ОУ
a
b при y -> yo,
По условию Ц G	поэтому Ц(х,у) =i Ц(х,у0) на отрезке
откуда следует, что <р(уо, h) —> 0 при h —> 0. ►
Замечание 2. Непрерывность исходной функции / использована
в доказательстве лишь как достаточное условие существования всех
участвующих в нем интегралов.
Замечание 3. Проведенное доказательство и использованная в
нем форма теоремы о конечном приращении показывают, что утвер-
ждение 2 остается в силе, если вместо отрезка [с, d] взять выпуклый
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 483
компакт в любом векторном нормированном пространстве. При этом,
очевидно, можно еще считать, что f принимает значения в некотором
полном векторном нормированном пространстве.
В частности, и это порой бывает весьма полезно, формула (5) при-
менима и к комплекснозначным функциям F комплексного переменно-
го у Е С и к функциям F(y) = ^(у1,..., уп) от векторного параметра
виде
В последнем случае конечно, можно расписать покоординатно в
.,	| и получить из (5) соответствующие частные про-
dyn /
b
изводные -^(у) = J
dy а дУ
.., уп) dx функции F.
7Г
Пример 2. Проверим, что функция и(х) = f cos(nip — xsinnip) dip
о
удовлетворяет уравнению Бесселя х2и" + хи1 + (х2 — п2)и = 0.
Действительно, выполнив дифференцирования в соответствии с
формулой (5), после простых преобразований находим
7Г	7Г
sin2 </? cos (nip — х sint/?) dip + x j* sin ip sin(nip ~ x sin ip) dip +
0	0
7Г
+ (x2 — n2) У cos(n</? — a?sin</?) dip —
0
7Г
= У ((^2 sin2 ip + ^ ~ x2} CQs(nip — x sint/?) —
0
— x sin ip sin(nt/? — x sin </?)) dip =
= — (n + x cos ip) sin(nt/? — x sin ip) |q = 0.
Пример 3. Полные эллиптические интегралы
Е(к)
7г/2
У ^/1 — к2 sin2 ipdip,
о
7г/2
7 \/1 — A;2 sin2 ip
(6)
как функции параметра А;, 0 < к < 1, называемого модулем соответ-
484
ГЛ. XVIL ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
ствующего эллиптического интеграла, связаны соотношениями
dE _ Е — К
dk к
dK _ Е К
~dk ~ к(1 -Г2) “ к *
Проверим, например, первое из них. По формуле (5)
7г/2
A; sin2 р • (1 — к2 sin2 р)~1^2 dtp =
о
Тг/2	7г/2
(1 — к2 sin2 99)1/2 dp—^
к
о	о
Пример 4. Иногда применение формулы (5) позволяет даже вы-
числить интеграл. Пусть
Тг/2
F(a) = J ln(a2 — sin2 р) dp (а > 1).
о
Согласно формуле (5)
Тг/2
f 2а dp
Jo2 — sin2 р
о
откуда F(a) = л ln(a + y/ofl — 1) + с.
Величину с тоже легко найти, если заметить, что при а —> +оо, с
одной стороны, F(a) = л In а + л In 2 + с + о( 1), а, с другой стороны, из
определения F(a) с учетом равенства ln(a2 — sin2 92) — 2 Ina + о(1) при
a —> +оо получается, что F(oi) = л Ina + о(1). Значит, л!п2 + с = 0 и
F(a) = л In j (a + \/a2 — 1).
Утверждение 2 можно несколько усилить.
Утверждение 2\ Пусть на прямоугольнике Р — {(гг, г/) 6 R2 |
a^x^bAc^y^d] функция f'.P—t'R непрерывна и имеет непре-
%
рывную частную производную
; пусть далее а(у) и /3(у) такие не-
прерывно дифференцируемые на [с, d] функции, что при любом у Е [с, d]
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 485
их значения лежат на отрезке [а, Ъ]. Тогда интеграл
Р(у)
?(у) = У f(x,y)dx	(7)
<*(//)
определен при любом у € [с,d], принадлежит классу d],R) и
справедлива формула
/3(//)
Г'(у) = /(/?(у),у)- Р'(у)	-а'(у)+ f^-(x,y)dx. (8)
а/
<*(у)
◄ В соответствии с правилом дифференцирования интеграла по
пределам интегрирования и с учетом формулы (5) можно сказать, что
функция
Ф(а',Ду) = у f(x,y)dx
а
при условиях, что а,/3 £ [а, Ь] и у G [с, d\, имеет следующие частные
производные:
/з
ЭФ	дФ	дФ Г df
а
С учетом утверждения 1 заключаем, что все частные производ-
ные функции Ф непрерывны в ее области определения. Значит, Ф —
непрерывно дифференцируемая функция. Теперь формула (8) получа-
ется дифференцированием сложной функции F(y) = Ф(а($/),/3(г/),г/). ►
Пример 5. Пусть
X
^п(ж) = (п 2 j\x~ dt,
О
где п Е N, a f — непрерывная на промежутке интегрирования функция.
Проверим, что Fnn\x) = /(я).
486
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
х
При п = 1 F^x) = f f(t) dt и F[(x) = /(ж),
о
По формуле (8) при п > 1 нах цим
X
Fn(x) = ~(п - 1)!	+ (п 2 2)! f (х ~
О
По принципу индукции заключаем, что, действительно, F^ (х) —
~ f(x) при любом п G N.
4.	Интегрирование интеграла, зависящего от параметра
Утверждение 3. Если функция ftP^'R непрерывна в прямо-
угольнике Р — {(а?, у) £ R2	то интеграл (2)
интегрируем на отрезке [с, d) и имеет место равенство
d / ъ	\ ь/d	\
dx.
(9)
Ч С точки зрения кратных интегралов равенство (9) есть простей-
ший вариант теоремы Фубини.
Приведем, однако, доказательство соотношения (9), позволяющее
обосновать его независимо от теоремы Фубини.
Рассмотрим функции
и / Ь
=[[[
dy,
ъ
V’(w) = /
dx.
основании утверждения 1 и непре-
верхнего предела интегрирования,
Ввиду того, что / G C(F, R) на
рывной зависимости интеграла от
заключаем, что (р,ф 6 <7([с, d],R). Далее, ввиду непрерывности функ-
Ь
ции (2), находим, что <р'(и) = f f(x,u)dx, а по формуле (5) получаем,
а
b
что ф'(и) = f f(x,u)dx при и G [с, d\. Таким образом,	и,
а
значит, = ф(и) + с на отрезке [с, d\. Но поскольку у?(0) = ^(0) = 0,
то на отрезке [с, d\ имеет место равенство <р(и) = tpiu), из которого при
и — d получается соотношение (9). ►
§1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 487
Задачи и упражнения
1. а) Объясните, почему функция F(y) из соотношения (2) имеет предел
ь
f<p(x)dx, если зависящее от параметра у 6 Y семейство функций <ру(х) =
а
—	интегрируемых на отрезке а х 6, равномерно сходится на нем
к функции ip(x) при некоторой базе В в Y (например, при базе у —> у$).
Ь) Докажите, что если Е - измеримое множество в Вт, а функция f:Ex
х In -> R, определенная на прямом произведении Ех Г1 = {(жД) Е Rm+n |
х 6 Е /\ t 6 1п} множества Е и n-мерного промежутка 7П, непрерывна, то
определенная равенством (1) при Et = Е функция F непрерывна на Г1.
с) Пусть Р = {(х,у) € В2	и пусть f е С(Р, R),
о, /3 6 С([с, d], [а, 6]). Докажите, что тогда функция (7) непрерывна на отрезке
[с, 4
а
2.	а) Покажите, что если f 6 C(R, R), то функция F(x) = f f(x + dt
—a
не только непрерывна, но и дифференцируема на R.
Ь) Найдите производную указанной функции F(x) и убедитесь, что F 6
gCW(R, R).
3.	Используя дифференцирование по параметру, покажите, что при |r| < 1
7Г
F(r) = у* 1п(1 — 2г cos х 4- г2) dx = 0.
о
4.	Проверьте, что следующие функции удовлетворяют уравнению Бесселя,
указанному в примере 2.
я
а)	и = хп f cos(x cos 99) sin2n 99 dip.
0
n +1	1
b)	Jn(x) = (2n 1 1)!!7Г jT (1 - i2)n“3 cosxtdt.
с)	Покажите, что отвечающие различным значениям п 6 N функции Jn
связаны соотношением = Jn_1 —
5.	Развивая пример 3 и полагая к у/1 — к2, Е(к) Е(к), К (к) := К (к),
покажите, вследj^a Лежандром, что
а)	£(ЕК + ЕК- КК) = 0.
b)	EK + ЕК - КК = -к/2.
6.	Вместо интеграла (2) рассмотрим интеграл
ь
•^(у) = У f(.x,y)g(x)dx,
а
где д — интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция (д е 7£[а,Ь]).
488
ГЛ. XVIL ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Повторив приведенные выше доказательства утверждений 1-3, последо-
вательно проверьте, что
а)	Если функция f удовлетворяет условиям утверждения 1, то функция JT
непрерывна на отрезке [с, d] (J* е C[c,d]).
b)	Если функция f удовлетворяет условиям утверждения 2, то функция У
непрерывно дифференцируема на [c,d] (Т 6	d]), причем
ь
г Of
= j ^(х,у)д(х) dx.
а
с)	Если функция f удовлетворяет условиям утверждения 3, то интегри-
руема на [с,d] {У е 7£[c,d]), причем
7.	Формула Тейлора и лемма Адамара.
а)	Покажите, что если f — гладкая функция и /(0) = 0, то f(x) = хр(х),
где р— непрерывная функция и у?(0) = /'(0).
Ь)	Покажите, что если f 6 и = 0 при к = 0,1,... ,п — 1, то
f(x) ~ хпр(х), где р— непрерывная функция и <р(0) =
с)	Пусть f — определенная в окрестности нуля функция класса С№. Про-
верьте, что справедлива следующая формула Тейлора с остаточным членом в
форме Адамара:
/(*) = /(0) +	+ ... +	+ хп^х),
где р— функция, непрерывная в окрестности нуля, и у?(0) =
d)	Обобщите результаты задач а), Ь), с) на случай, когда f — функция
нескольких переменных. Запишите основную формулу Тейлора в мультиин-
дексных обозначениях
П —1	1
-^Daf(0)xa + У2 Ха(Ра(х)
|а|=0	|а|=п
и заметьте в дополнение к сказанному в задачах а), Ь), с), что если f € С'п+р\
то <ра е С^.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 489
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
1. Равномерная сходимость несобственного интеграла от-
носительно параметра
а.	Основное определение и примеры. Пусть при каждом значе-
нии у Е Y сходится несобственный интеграл
о?
Ш = У" f(x,y)dx
а
(1)
по промежутку [a,cu[C R Для определенности будем считать, что ин-
теграл (1) имеет единственную особенность, связанную с верхним пре-
делом интегрирования (т. е. или ы = +оо или функция f неограничена
как функция х в окрестности точки а;).
Определение. Говорят, что несобственный интеграл (1), завися-
щий от параметра у Е Y, сходится равномерно на множестве Е С К,
если для любого числа е > 0 существует такая окрестность I7[a,w[(cu)
точки (V в множестве [а, о>[, что при любом b Е П[аА,[(си) и любом значе-
нии у Е Е имеет место следующая оценка
(2)
остатка интеграла (1).
Если ввести обозначение
ь
Fb(y) := У f(x,y)dx	(3)
а
для собственного приближения несобственного интеграла (1), то при-
веденное основное определение этого параграфа можно (и, как будет
видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в
иной, равносильной прежней, форме:
равномерная сходимость интеграла (1) на множестве Е С Y по
определению означает, что
Fb(y) =4 F(y) на Е при b —> си, Ье[а,си[.	(4)
490
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Действительно, ведь
Р(у) = / f(x,y)dx := lim
f(x,y)dx = lim Fb(y),
b€[a,u4
bG[a,a>[
поэтому соотношение (2) можно переписать в виде
\F(y)-Fb(y)\<£.
(5)
Последнее неравенство справедливо при любом b 6 17[а,ь[(^) и любом
у G Е, что и указано в соотношении (4).
Итак, соотношения (2), (4), (5) означают, что если интеграл (1) схо-
дится равномерно на некотором множестве Е значений параметра, то с
любой наперед заданной точностью и одновременно для всех у G Е этот
несобственный интеграл (1) можно заменить некоторым собственным
интегралом (3), зависящим от того же параметра у.
Пример 1. Интеграл
4-оо
dx
2 _|_ у2
сходится равномерно на всем множестве R значений параметра у 6 R,
поскольку при любом у G R
4-оо
dx
2 + у2
4-оо
Г dx	1
J х2	b
как только b > 1/е.
Пример 2. Интеграл
4-оо
j е~ху dx
очевидно, сходится, лишь когда у > 0. При этом на любом множестве
{у G R | у г/о > 0} он сходится равномерно.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 491
В самом деле, если у уо > 0, то
4-оо
О [ е~ху dx — -е~^ —е-^0	q ПрИ
J	У 2/о
ь
Вместе с тем на всем множестве R+ ~ {у G R | у > 0} равномерной
сходимости нет. Действительно, отрицание равномерной сходимости
интеграла (1) на множестве Е означает, что
Эео > О VB G [а, а>[
3 b G [В, си[
В нашем случае в качестве £q можно взять любое действительное
число, поскольку
4-оо
I е~ху dx = -е-^ -> +оо,
J	У
ь
когда у -> +0,
каково бы ни было фиксированное значение b G [0, +оо[.
Рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в
дальнейшем воспользуемся.
Пример 3. Покажем, что каждый из интегралов
+оо
Ф(я)= У xQyQ+^+1e-^ydy,
О
+оо
F(y) = I xaya+^+1e-^+x^dx,
О
в которых ot и /?— фиксированные положительные числа, сходится рав-
номерно на множестве неотрицательных значений параметра.
492
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Для остатка интеграла Ф(а?) сразу получаем, что
+оо
0< [ хауа+^+1е-^+х^у dy =
ь
= [ (ху)а е~хуy&+1 е~у dy < Ма J у/3+1е~у dy,
Ь	Ь
где Ма — max иае и. Поскольку последний интеграл сходится, то
0^и<+оо
при достаточно больших значениях b Е R он может быть сделан меньше
любого наперед заданного числа s > 0. Но это и означает равномерную
сходимость интеграла Ф(т).
Теперь рассмотрим остаток второго интеграла F(y):
+оо
j хауа+/3+1е~(1+хУ)У dx =
ь
— у^е у j (ху)ае Xyydx = y@e у J иае и du.
b	by
Поскольку при у 0
+оо	+оо
by	0
а у@е~у —> 0 при у 0, то для е > 0, очевидно, найдется такое число
Уо > 0, что при любом у Е [0, £/о] остаток интересующего нас интеграла
будет меньше е независимо даже от значения b Е [0, +оо[.
Если же у уо > 0, то, учитывая, что Мр = max у@е~у < +оо, а
+оо	+оо
О f иае~и du f иае~и du —> 0 при Ь —> +оо, заключаем, что при
by	byo
всех достаточно больших значениях b Е [0, +оо[ одновременно для всех
значений у уо > 0 остаток интеграла можно сделать меньшим,
чем е.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 493
Объединяя участки [0, уо], [уо, +оо[, заключаем, что, действительно,
по любому е > 0 можно так подобрать число В, что при любом b > В и
любом у О соответствующий остаток интеграла Е(у) будет меньше,
чем 8.
Ь.	Критерий Коши равномерной сходимости интеграла
Утверждение 1 (критерий Коши). Для того, чтобы несобст-
венный интеграл (1), зависящий от параметра у Е Y, сходился рав-
номерно на множестве Е CY, необходимо и достаточно, чтобы для
любого е > 0 существовала такая окрестность t7[a/J[(cu) точки ы, что
при любых &i,&2 £	и любом у Е Е выполняется неравенство
J f(x,y)dx
(6)
◄ Неравенство (6) равносильно соотношению |-Рь2(у) — Т^Ду)! < 8,
поэтому утверждение 1 является прямым следствием записи (4) опре-
деления равномерной сходимости интеграла (1) и критерия Коши рав-
номерной сходимости на Е семейства функций Е&(у), зависящих от па-
раметра Ь Е [а, оф ►
В качестве иллюстрации использования этого критерия Коши рас-
смотрим следующее иногда полезное его
Следствие 1. Если функция f в интеграле (1) непрерывна на
множестве [a, cu[x [с, d\, а сам интеграл (1) сходится при любом у Е
Е]с, d[, но расходится при у = с или у = d, то он сходится неравно-
мерно на интервале ]с, d[, равно как и на любом множестве Е с]с, d[,
замыкание которого содержит точку расходимости,
◄ Если при у = с интеграл (1) расходится, то на основании критерия
Коши сходимости несобственного интеграла существует число £q > О
такое, что в любой окрестности C7[a>tu[(cu) найдутся числа &i, Для
которых
j f(x,c)dx
ЕО-
(7)
494
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Собственный интеграл
&2
J f(x,y)dx
bl
является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем
отрезке [с, d\ (см. утверждение 1 из § 1), поэтому при всех значениях ?/,
достаточно близких к с, вместе с неравенством (7) будет выполняться
неравенство
На основании критерия Коши равномерной сходимости несобствен-
ного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что рас-
сматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком
подмножестве Е с]с,d[, замыкание которого содержит точку с.
Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится
при у = d.
Пример 4. Интеграл
+оо
e~tx2 dx
о
сходится при t > 0 и расходится при t — 0, поэтому он заведомо сходит-
ся неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем
нуль предельной точкой. В частности, он сходится неравномерно на
всем множестве {£ 6 R | t > 0} положительных чисел.
В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно:
+оо	+оо
У e~tx2 dx = -~z е~и2 du —> +оо при t —> +0.
ь	bVt
Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля множе-
стве {£ G R | t tQ > 0} наш интеграл сходится равномерно, поскольку
+оо	+оо
0 < -^= J е~и2 du < —Г J е~и2 du —> 0 при b —> +оо.
Ъу/t	b\/to
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 495
с.	Достаточные условия равномерной сходимости несобст-
венного интеграла, зависящего от параметра
Утверждение 2 (признак Вейерштрасса). Пусть функции f{x, у),
д(х,у) интегрируемы по х на любом отрезке [a, b] С [а, а>[ при каждом
значении у Е У.
Если при каждом значении у Е Y и любом х Е [а, имеет место
неравенство |/(я,у)\	д(х,у), а интеграл
J g(x,y)dx
сходится равномерно на Y, то интеграл
J f(x,y)dx
сходится абсолютно при каждом у Е Y и равномерно на множест-
ве Y.
◄ Это следует из оценок
J f(x,y)dx
и критерия Коши равномерной сходимости интеграла (утвержде-
ние 1). ►
Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда фун-
кция g вообще не зависит от параметра у. Именно в этом случае до-
казанное утверждение 2 обычно называют мажорантным признаком
Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла.
Пример 5. Интеграл
/cosах .
Т~,-2 dx
1 +я2
сходится равномерно на всем множестве R значений параметра а, по-
скольку
cos ах
1	г (Jx
------2, а интеграл I -----? сходится.
1 + X	Q 1 + X
496
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Пример 6. Ввиду неравенства | sina?e~t:c2| e~tx2 интеграл
оо
У sinrre-^2 dx,
о
как следует из утверждения 2 и результатов примера 3, сходится рав-
номерно на любом множестве вида {t Е К | t > 0}. Поскольку
при t — 0 интеграл расходится, на основании следствия критерия Ко-
ши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни на каком
множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой.
Утверждение 3 (признак Абеля-Дирихле). Предположим, что
функции f(x, у), д(х, у) при каждом значении у EY интегрируемы по х
на любом отрезке [a, b\ С [а, а>[.
Для равномерной сходимости интеграла
со
J (f -g)(x,y)dx
а
на множестве Y достаточно, чтобы была выполнена любая из следу-
ющих двух пар условий:
Qi) Существует постоянная М Е R такая, что при любом b Е
Е [а, а>[ и любом у EY выполнено неравенство
/?1) при каждом у Е Y функция д(х,у) монотонна по х на проме-
жутке [а, а>[ и д(х,у) =4 0 на Y при х at, х Е [а,а>[.
012) Интеграл
со
J f(x,y)dx
а
сходится равномерно на множестве Y;
(Зъ) при каждом у Е Y функция д(х,у) монотонна по х на проме-
жутке [а, а>[ и существует постоянная М 6 1 такая, что при любом
х Е [а, а>[ и любом у EY выполнено неравенство
< М.
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 497
◄ Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что
гДе С £ [£>1,62]- Если Ь± и 62 брать в достаточно малой окрестности
точки си, то правую часть написанного равенства можно сде-
лать по модулю меньшей любого наперед заданного числа е > 0, причем
сразу для всех значений у 6 У. В случае первой пары условий ai), Д)
это очевидно. В случае второй пары «2), Д2) это становится очевид-
ным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости
интеграла (утверждение 1).
Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что
исходный интеграл от произведения f *д по промежутку [а,си[ действи-
тельно сходится равномерно на множестве Y значений параметра. ►
Пример 7. Интеграл
1
как следует из критерия Коши и признака Абеля - Дирихле сходимо-
сти несобственных интегралов, сходится лишь при а > 0. Полагая
f(x,a) ~ sin#, д(х,а) = х~а, видим, что при а «о > 0 для рассма-
триваемого интеграла выполнена пара Qi), /?i) условий утверждения 3.
Следовательно, на любом множестве вида {а 6 К | а «о > 0} данный
интеграл сходится равномерно. На множестве {а 6 К | а > 0} всех
положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно,
поскольку он расходится при а = 0.
Пример 8. Интеграл
е ху dx
сходится, и притом равномерно, на множестве {у Е R | у 0}.
Ч Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости несоб-
ственного интеграла легко заключить, что при у < 0 данный интеграл
498
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
вообще расходится. Считая теперь у 0 и полагая f(x,y) =
д(х^у) — е~ху, видим, что выполнена вторая пара «2)? Д2) условий
утверждения 3, откуда и вытекает равномерная сходимость рассма-
триваемого интеграла на множестве {у G R | у 0}. ►
Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного
интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее
важные признаки такой сходимости, вполне аналогичные соответству-
ющим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде,
чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания.
Замечание 1. Чтобы не отвлекать внимание читателя от основ-
ного введенного здесь понятия равномерной сходимости интеграла, мы
всюду подразумевали, что речь идет об интегрировании вещественно-
значных функций. Вместе с тем, как теперь легко проанализировать,
полученные результаты распространяются и на интегралы от вектор-
нозначных функций, в частности, на интегралы от комплекснозначных
функций. Здесь стоит только отметить, что, как всегда, в критерии
Коши необходимо дополнительно предполагать, что соответствующее
векторное пространство значений подынтегральной функции являет-
ся полным (для R, С, Rn, СТ2, это выполнено), а в признаке Абеля-
Дирихле, как и в соответствующем признаке равномерной сходимости
рядов функций, надо считать вещественнозначным тот сомножитель
произведения f -д, относительно которого предполагается, что он явля-
ется монотонной функцией.
Все сказанное в равной степени относится и к основным результа-
там последующих пунктов этого параграфа.
Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл (1),
единственная особенность которого была связана с верхним пределом
интегрирования си. Аналогично определяется и исследуется равномер-
ная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана
с нижним пределом интегрирования. Если же интеграл имеет особенно-
сти на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют
в виде
CV2	С	О>2
J f(x,y)dx = J f(x,y)dx + f f(x,y)dx,
CV1	c
где c G M, cu2[, и считают сходящимся равномерно на множестве Е С У,
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 499
если на Е сходятся равномерно оба стоящие в правой части равенства
интеграла. Легко проверить, что такое определение корректно, т. е. не
зависит от выбора точки с Е ]cui, ^2[.
2. Предельный переход под знаком несобственного инте-
грала и непрерывность несобственного интеграла, зависяще-
го от параметра
Утверждение 4. Пусть f(x, у) — семейство зависящих от пара-
метра у EY функций j интегрируемых хотя бы в несобственном смы-
сле на промежутке а х < и пусть Ву — база в Y.
Если
а)	для любого b Е [а, а>[
f(x,y) =3 ^?(ж) на [а, Ь] при базе Ву
и
со
Ь)	интеграл f f(x,y)dx сходится равномерно на Y,
а
то предельная функция tp несобственно интегрируема на [а, а>[ и
справедливо равенство
и	ш
1пп f(x,y)dx = <p(x)dx.	(8)
а	а
◄ Доказательство сводится к проверке следующей диаграммы:
Ь	со
Fb(y) = f f(x, У) dx i f f(x, y) dx =: F(y)
a	a
By	''''''	By
b	co
f <p(x) dx --------> f ^(х) dx .
“	r	“
Ot
Левый вертикальный предельный переход следует из условия а) и
теоремы о предельном переходе под знаком собственного интеграла
(см. теорему 3 из § 3 гл. XVI).
Верхний горизонтальный переход есть запись условия Ь).
17—4574
500
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
По теореме о коммутировании двух предельных переходов отсюда
следует существование и совпадение стоящих под диагональю пределов.
Правый вертикальный предельный переход есть то, что стоит в ле-
вой части доказываемого равенства (8), а нижний горизонтальный пре-
дельный переход дает по определению несобственный интеграл, стоя-
щий в правой части равенства (8). ►
Следующий пример показывает, что в рассматриваемом случае не-
собственного интеграла одного условия а) для обеспечения равенст-
ва (8), вообще говоря, недостаточно.
Пример 9. Пусть Y = {у G R | у > 0}, а
/(*,</) = ( с“и "
v 7	[	0, если у < х.
Очевидно, fix, у) =4 0 на промежутке 0 < х < +оо при у —> +оо. Вместе
с тем, при любом у G Y
+оо	у	у
f f(x,y)dx = f f(x,y)dx = j-dx = l,
ООО
поэтому равенство (8) в данном случае не имеет места.
Используя теорему Дини (утверждение 2 § 3 гл. XVI), из только что
доказанного утверждения 4 можно получить иногда весьма полезное
Следствие 2. Пусть при каждом значении вещественного пара-
метра у G Y С R вещественнозначная функция fix, у) неотрицатель-
на и непрерывна на промежутке а х <
Если
а)	с ростом у функции fix, у), монотонно возрастая, стремятся
на [а, а>[ к функции <р(х),
Ь)	<р е С([а,cu[,IR) и
с)	интеграл f <р(х) dx сходится,
а
то справедливо равенство (8).
Ч Из теоремы Дини следует, что fix,у) =4 tpix) на каждом отрезке
[a, b] С [а, а>[.
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 501
Из неравенств 0 f(x,y) у>(&) и мажорантного признака равно-
мерной сходимости вытекает равномерная относительно параметра у
сходимость интеграла от f(x,y) по промежутку а х < си.
Таким образом, оба условия утверждения 4 выполнены и, значит,
имеет место равенство (8). ►
Пример 10. В примере 3 из § 3 гл. XVI мы проверили, что после-
довательность функций fn(x) = п(1 — х1/71) является монотонно возра-
стающей на промежутке 0 < х С 1, причем fn(x) /Чп при п —> +оо.
Значит, по следствию 2
1 1
lim f n(l — x1/n)dx= f ln-cfc.
n->oo J	J	x
о	0
Утверждение 5. Если
а)	функция f(x^y) непрерывна на множестве {(я,?/) Е®2 | а х <
< си А с у d},
со
Ь)	интеграл F(y) = f f(x,y)dx сходится равномерно на [с, d], то
а
функция F (у) непрерывна на [с, d\.
◄ Из условия а) следует, что при любом b Е [а,си[ собственный ин-
теграл
ь
Fb(y) = J f(x,y)dx
а
является функцией, непрерывной на [с, d] (см. утверждение 1 § 1).
По условию b) Fb(y) =4 F(y) на [с, d] при b —> cu, b Е [а,си[, откуда
теперь и следует непрерывность на [c,d] функции F(y). ►
Пример 11. В примере 8 было показано, что интеграл
+оо
/sinя	.
------е у dx	(9)
о
сходится равномерно на промежутке 0 у < +оо. Значит, на основании
утверждения 5 можно заключить, что функция F(y) непрерывна на
каждом отрезке [0, d\ С [0, +оо[, т. е. непрерывна и на всем промежутке
502
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
0 у < +оо. В частности, отсюда следует, что
[ sinx	[ sin. ж
lim / -----е у dx = / -----dx.	(10)
2/->+0 J	X	J	X
0	0
3.	Дифференцирование несобственного интеграла по пара-
метру
Утверждение 6. Если
а)	функции f(x,y), fy(x,y) непрерывны на множестве {(я,?/) 6 R2 |
а х < /\с у d},
со
Ь)	интеграл Ф(?/) = J fy(x,y)dx сходится равномерно на множес-
а
тве Y = [с, d\, а
со
с)	интеграл F(y) = f f(x,y)dx сходится хотя бы при одном значе-
а
нии у$ € Y,
то он сходится, и даже равномерно, на всем множестве Y; при
этом функция F(y) оказывается дифференцируемой и справедливо ра-
венство
со
F'(y) = J fy(x, у) dx.
а
◄ В силу условия а) при любом b G [а, си[ функция
ь
Fb{y) = J f(x,y)dx
а
определена и дифференцируема на промежутке с у d, и по правилу
Лейбница
ь
(Fb)'y(y) = У fy(x,y)dx.
а
В силу условия Ь) семейство зависящих от параметра b G [а, си[ фун-
кций (Fb)y(y) сходится равномерно на [с, d\ к функции Ф(?/) при b —> си,
b 6 [а, си[.
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 503
По условию с) величина ^(уо) имеет предел при b —> cu, b Е [а,си[.
Отсюда следует (см. теорему 4 § 3 гл. XVI), что само семейство фун-
кций Fb(y) сходится на [с, d\ равномерно к предельной функции ^(у),
когда b —> cu, b Е [а, си[, при этом функция F оказывается дифференци-
руемой на промежутке с у d и имеет место равенство Ff(y) — Ф(у).
Но это как раз то, что и требовалось доказать. ►
Пример 12. При фиксированном значении а > 0 интеграл
4~оо
о
сходится равномерно относительно параметра у на любом промежутке
вида {у Е R | у уо > 0}: это следует из оценки 0 < хае~ху < хае~хуо <
< е 2 5 справедливой при всех достаточно больших значениях х Е К.
Значит, по утверждению 6, функция
4~оо
F(y) ~ е~ху dx
о
бесконечно дифференцируема при у > 0 и
4-оо
F^(y) = (~1)п f xne~xydx.
о
Но F(y) — i, поэтому F^(y) = (~l)n и, следовательно, можно
заключить, что	У
4-оо
[ xne~xydx =
J	Уп+1
О
В частности, при у — 1 получаем
4-оо
о
Пример 13. Вычислим интеграл Дирихле
4-оо
Г sin я .
/ ----------------------------dx.
о
X
504
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Для этого вернемся к интегралу (9) и заметим, что при у > 0
+оо
Ff(y) = — J sinxe~xy dx,	(11)
о
поскольку интеграл (11) сходится равномерно на любом множестве ви-
да {у Е R | у уо > 0}.
Интеграл (11) легко вычисляется через первообразную подынте-
гральной функции и получается, что
1
F’(y) = нри 2/>0>
1 + у
откуда следует, что
F(y) = ~ arctg у + с при у > 0.	(12)
При у -> +оо, как видно из соотношения (9), F(y) -> 0, поэтому из (12)
следует, что с = тг/2. Теперь из (10) и (12) получается, что 7^(0) = тг/2.
Итак,
+оо
f sinx 7Г
/ — * = 2-	(13)
о
Заметим, что использованное при выводе равенства (13) соотноше-
ние «F(y) —> 0 при у —> +оо» не является прямым следствием утвержде-
ния 4, поскольку	=# 0 при у -> +оо лишь на промежутках вида
{ж Е R | х Жо > 0}, а на промежутках вида 0 < х < жо равномерной
сходимости нет: ведь	-> 1 при ж -> 0. Но при жо > 0
ОО	Хо	+оо
/sinx , f sinx _т„ , Г sinx ,
	е Xydx = / 	е xydx + / -е ху dx
х-------------------------------------------J	х-J	х
0	0	жо
и, если задано е > 0, то сначала выберем жо столь близко к нулю, что
sin ж 0 при ж Е [0, Жо] и
ЖО	ЖО
Г 8ШЖ	Г 8ШЖ	8
0 < / ----е ху dx < / ----dx < -
J х	J х 2
о	о
при любом у > 0, а затем, фиксировав жо, на основании утверждения 4,
устремляя у к +оо, сделаем интеграл по промежутку [жо,+оо[ тоже по
модулю меньшим, чем е/2.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 505
4. Интегрирование несобственного интеграла по пара-
метру
Утверждение 7. Если
а)	функция f(x,y) непрерывна на множестве {(х,у) Е R2 | а х <
< о; Л с у < d} и
Ь)	интеграл F(y) = f f(x, у) dx сходится равномерно на промежут-
а
ке [с,
то функция F интегрируема на [с, с?] и справедливо равенство
с
а
а
с
◄ При Ь Е [а,си[ на основе условия а) и утверждения 3 из § 1 для
собственных интегралов можно записать, что
f(x,y)dx
с а
f(x,y)dy.
а с
(15)
Используя условие Ь) и теорему 3 § 3 гл. XVI о предельном переходе
под знаком интеграла, в левой части равенства (15) делаем предельный
переход при b -> о;, b Е [а,си[ и получаем левую часть равенства (14).
Правая часть равенства (14) по самому определению несобственного
интеграла является пределом при b —> w, b Е [а,о>[ правой части ра-
венства (15). Таким образом, благодаря условию Ь) из (15) при b -> си,
b Е [а,си[, получаем равенство (14). ►
Следующий пример показывает, что, в отличие от случая переста-
новки двух собственных интегралов, одного условия а), вообще говоря,
недостаточно для справедливости равенства (14).
Пример 14. Рассмотрим функцию f(x,y) = (2 — ху)хуе~ху на
множестве {(х,у) Е R2 | 0 х < +оо Л 0 С у 1}. Используя пер-
вообразную и2е~и функции (2 — и)ие~и, легко подсчитать непосред-
ственно, что
+оо
о о
(2 — ху)хуе ху dx Ф
506
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Следствие 3. Если
а)	функция f(x,y) непрерывна на множестве Р = {(х,у) € R2 | а
d},
b)	неотрицательна на Р и
с)	интеграл F(y) = f f(x,y)dx как функция у непрерывен на про-
а
межутке [с, d\,
то имеет место равенство (14).
◄ Из условия а) следует, что при любом Ь Е [а,си[ интеграл
ь
Fb(y) = j f(x,y)dx
а
является непрерывной по у функцией на отрезке [с, (/].
Из условия Ь) вытекает, что Рьг(у) Fb2(y) при Ь± ^Ь?.
На основании теоремы Дини и условия с) теперь заключаем, что
Fb F на [с, d\ при b -> cu, b Е [а, а>[.
Таким образом, выполнены условия утверждения 7 и, следователь-
но, в рассматриваемом случае равенство (14) действительно имеет мес-
то. ►
Следствие 3 показывает, что пример 14 связан с тем, что в нем
функция f(x,y) не является знакопостоянной.
В заключение докажем теперь одно достаточное условие переста-
новочности двух несобственных интегралов.
Утверждение 8. Если
а)	функция f(x,y) непрерывна на множестве {(ж,т/) Е R2 | а х <
< со Л с у < а5}?
Ь)	оба интеграла
f(x, у) dx, Ф(ж) = j f(x, у) dy
а	с
сходятся равномерно, первый — относительно у, на любом отрезке
[с, d\ С [с, а второй — относительно х на любом отрезке [а, 6] С
С [а,а>[,
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 507
с)	существует хотя бы один из двух повторных интегралов
J dy [ \f\(x,y)dx, I dx J \f\(x,y)dy,
c a
то имеет место равенство
О) CJ
j dy f f(x,y)dx = f dx j f(x,y)dy.	(16)
◄ Пусть для определенности существует второй из двух указанных
в с) повторных интегралов.
Ввиду условия а) и первого из условий Ь) на основании утвержде-
ния 7 можно сказать, что при любом d Е [с,со[ для функции f справед-
ливо равенство (14).
Если мы покажем, что при d —> со, d Е [с, о>[ правая часть равен-
ства (14) стремится к правой части соотношения (16), то равенство (16)
будет доказано, поскольку тогда его левая часть тоже будет существо-
вать и являться пределом левой части равенства (14) по самому опре-
делению несобственного интеграла.
Положим
Ф«/(ж) ~ / f(x,y)dy.
При любом фиксированном d Е [с,си[ функция Ф</ определена и, вви-
ду непрерывности /, непрерывна на промежутке а х < со.
В силу второго из условий Ь) на любом отрезке [а, 6] С [а, а>[ Ф</(ж) =4
=4 Ф(ж) при d -> Zb, d Е [с, u5[.
Поскольку |Ф(/(ж)| < f \ f\(x,y)dy	G(x), а интеграл f G(x)dx, co-
c	a
впадающий co вторым из интегралов условия с), по предположению схо-
дится, на основе мажорантного признака равномерной сходимости за-
ключаем, что интеграл f Ф</(ж) dx относительно параметра d сходится
равномерно.
508
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Таким образом, выполнены условия утверждения 4 и можно заклю-
чить, что	lim / <ba(x)dx = 1 Ф(ж)с/ж; d—> w /	/
а именно это нам и оставалось проверить. ►
Следующий пример показывает, что появление в утверждении 8 до-
полнительного по сравнению с утверждением 7 условия с) не является
случайным.
Пример 15. Вычисление при А > 0 интеграла
показывает заодно, что при любом фиксированном значении А > 0
он сходится равномерна относительно параметра на всем множестве R
действительных чисел. То же самое можно было бы сказать об инте-
грале, отличающемся от написанного заменой dx на dy. Значения этих
интегралов, кстати, отличаются только знаком. Прямое вычисление по-
казывает, что
Пример 16. При а > 0 и /? > 0 повторный интеграл
j dy J хауа+@+1е dx =
о о
~Ьоо	+оо
! у@е~у dy (ху)ае~(ху}у dx
о	о
от неотрицательной непрерывной функции, как показывает написанное
+оо
тождество, существует: он равен нулю при у = 0 и равен J у@е~у dy •
о
+оо
 J uae~u du при у > 0. Таким образом, в этом случае выполнены усло-
0
вия а) и с) утверждения 8. То, что для рассматриваемого интеграла
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 509
выполнены оба условия Ь), было проверено в примере 3. Значит, в силу
утверждения 8, имеет место равенство
+оо +оо	+оо +ОО
hf
0	0	0	0
Подобно тому, как из утверждения 7 вытекало следствие 3, из утвер-
ждения 8 можно вывести
Следствие 4. Если
а)	функция f(x,y) непрерывна на множестве
Р — {(х,у) ей2 |аО<^Ас^?/< о)},
Ь)	неотрицательна на Р,
с) оба интеграла
а
с
являются непрерывными функциями на промежутках [с, а)[ со-
ответственно и
d) существует хотя бы один из повторных интегралов
а
а
с
с
то существует и другой повторный интеграл, причем их значения
совпадают.
◄ Рассуждая, как и при доказательстве следствия 3, из условий
а), Ь), с) на основе теоремы Дини заключаем, что в рассматриваемом
случае выполнено условие Ь) утверждения 8. Поскольку f 0, наше
условие d) совпадает с условием с) утверждения 8. Таким образом,
все условия утверждения 8 выполнены и, значит, имеет место равенст-
во (15). ►
Замечание 3. Как указывалось в замечании 2, интеграл, имею-
щий особенности на обоих концах промежутка интегрирования, сво-
дится к сумме двух интегралов, каждый из которых имеет по одной
510
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
особенности. Это позволяет применять доказанные здесь утвержде-
ния и их следствия также к интегралам по интервалам ]cui,(V2[C R.
При этом, естественно, те условия, которые раньше выполнялись на
отрезках [a, b] С [а,а>[, теперь должны быть выполнены на отрезках
[а,6] C]wi,w2[.
Пример 17. Используя изменения порядка двух несобственных
интегрирований, покажем, что
+оо
О
(17)
Это известный интеграл Эйлера - Пуассона.
◄ Заметим сначала, что при у > О
+оо	+оо
е~и2 du = у J е~^ху^2 dx
о	о
и что значение интеграла в равенстве (17) не изменится от того, пони-
мать ли интеграл взятым по полуинтервалу [0, +оо[ или по интервалу
]0, +оо[.
Таким образом,
+оо	+СЮ	+СЮ	+сю
J уе~~у dy J dx = J е~у2 dy J е~и du =	,
0	0	0	0
при этом считаем, что интегрирование по у ведется в пределах интер-
вала ]0, +оо[.
Как мы проверим, в указанном повторном интеграле допустимо из-
менение порядка интегрирований по переменным х и ?/, поэтому
откуда и следует равенство (17).
Обоснуем теперь законность изменения порядка интегрирований.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 511
Функция
(!+x2)!/2 dy =
1 1
21 + ж2
непрерывна при х 0, а функция
(1+т2)г/2
о
dx
-~у2
= е у
непрерывна при у > 0. Учитывая сделанное выше общее замечание 3,
на основе следствия 4 заключаем теперь, что проведенное изменение
порядка интегрирований действительно законно. ►
Задачи и упражнения
1. Пусть а — «о < °1 < • • • < ап < ... < си. Представим интеграл (1) в виде
оо	йп
суммы ряда 52 где <рп(у) = J /(ж, у) dx. Докажите, что интеграл (1)
п=1	ап—х
сходится равномерно на множестве Е С Y тогда и только тогда, когда любой
оо
последовательности {ап} указанного вида отвечает ряд 52 Vnty), сходящийся
п=1
равномерно на множестве Е.
2. а) В соответствии с замечанием 1 проведите все построения п. 1 в случае
комплекснозначной подынтегральной функции /.
Ь) Проверьте высказанные в замечании 2 утверждения.
3. Проверьте, что функция J^{x) =
нию Бесселя у” + ±у' + у = 0.
+°О
4. а) Исходя из равенства Г 9	9
о я + У
_ тг (2п - 3)!!	1
2 ‘ (2п - 2)1! ’ x2n-l •
7Г
о
i
f cos xt eft удовлетворяет уравне-
= ~, покажите, что f ——
о О2+г/2)п
b)	Проверьте, что f ----n = £ •
с)	Покажите, что (1 + (у2 /п)) п \ е~у2 на IR. при п —> +оо и что
-f-сю	-/-сю
Нт [ _____________________= Г е-У2 dy
n^l+oo J (1 + (У2/п))П J	У'
0
0
512
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
d)	Получите следующую формулу Валлиса:
(2п —3)!! _ 1
Л™ (2п - 2)!! “ yi’
5.	Учитывая равенство (17), покажите, что
a)	f е х cos 2ху dx = у .
о
+ °°	2	2 У 2
b)	f е~х sin 2ху dx = е~у f е* dt.
о	о
6.	При условии t > 0 докажите тождество
+ оо	+оо
f e~tX ! f sin(# ““ t) ,
/ ГП—2 dx ~ / -----------dx>
J 1 + x2 J	x
о	t
используя то обстоятельство, что оба эти интеграла как функции параметра t
удовлетворяют уравнению у + у = 1/t и стремятся к нулю при t —> +оо.
7.	Покажите, что
тг/2
где К (к) = f	— полный эллиптический интеграл первого рода.
О У1 — fc2 sin2 у?
8.	а) Считая, что а>0и6>0и используя равенство
вычислите последний интеграл.
Ь)	При а > О, b > 0 вычислите интеграл
+оо	1
/„-аж _
----------cos х dx.	J
о
с)	Используя интеграл Дирихле (13) и равенство
Ч-оо Ъ
/dx f .
— / sin
х J
О а
Ч-оэ
/cos ах — cos bx
х2
о
dx,
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 513
вычислите последний интеграл.
9.	а) Докажите, что при к > О
Ь) Покажите, что предыдущее равенство остается в силе и при значении
к = 0.
с) Используя интеграл Эйлера-Пуассона (17), проверьте, что
-|-оо
у* e~tu du.
о
d) Используя последнее равенство и соотношения
4-оо	4-оо
/9 . If cosi ,
cos х dx — - / —-=- dt,
2 J Vt
о	0
получите значение ) интегралов Френеля
4-oo
sin x2 dx,
о
10. а) Используя равенство
4-oo	4-oo
У sin x dx У e~xy dy
о	о
и обосновав возможность изменения порядка интегрирований в повторном
интеграле, получите вновь найденное в примере 13 значение интеграла Дирих-
ле (13).
Ь) Покажите, что при а > 0 и /3 > О
/sin ах _ , I 2 ’
-------cos pxdx = < j,
х	О
если /3 < си,
если (3 = а,
если 13 > а.
Этот интеграл часто называют разрывным множителем Дирихле.
514
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
с) Считая а > 0, /3 > 0, проверьте равенство
+оо
/sin ах sin Вх ,
-------------ах = <
х х
о
7Г
если
если
Р а,
а /3.
п
d) Докажите, что если числа а, оч,...,ап положительны и а > то
г=1
4-оо
/sin ах sinaix
х х
о
sman# ,
-----ах —
х
7Г
-aia2 ...ап.
£
11. Рассмотрим интеграл
Л?/) = f f(x,y)g(x)dx,
а
где д—локально интегрируемая на промежутке [а, аД функция (значит, при
любом Ъ в [а, аД ^|[а}&] 6 7£[а, Ь]). Пусть функция f удовлетворяет порознь усло-
виям а) утверждений 5-8. Если в остальных условиях этих утверждений под
знаком интеграла f(x,y) заменить на f(x,y) • то получатся условия, при
которых можно, используя задачу 6 из § 1 и дословно повторяя доказательства
утверждений 5-8, заключить соответственно, что
а)7еС[с,4
b)	Т в C^fc, d], причем
= У ^^y)g{x)dx.
а
с)	Т е 7£[с, d], причем
d)	Т несобственно интегрируема на [с, оД, причем
Проверьте зто.
§3. эйлеровы интегралы
515
§ 3.	Эйлеровы интегралы
В этом и следующем параграфах будет продемонстрировано прило-
жение развитой выше теории к некоторым важным для анализа кон-
кретным интегралам, зависящим от параметра.
Эйлеровыми интегралами первого и второго рода соответственно
называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции:
1
В(о, /3) := у*	— х)^1 dx,	(1)
о
+оо
Г(о) := У ха~ге~х dx.	(2)
о
Первую из них называют бета-функцией, а вторую, особенно часто
используемую, гамма-функцией Эйлера.
1.	Бета-функция
а.	Область определения. Для сходимости интеграла (1) на ниж-
нем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось условие а > 0. Аналогично, сходимости интеграла (1) в единице
отвечает условие /3 > 0.
Таким образом, функция В(а, /3) определена при одновременном вы-
полнении двух условий:
а > 0 и Д > 0.
Замечание. Мы здесь всюду считаем а и /3 действительными чи-
слами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина
свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функций
связаны с выходом в область комплексных значений параметров.
Ь.	Симметричность. Проверим, что
В(а,/7)=В(Да).	(3)
◄ Для доказательства достаточно в интеграле (1) сделать замену
переменной х = 1 — t. ►
516
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
с.	Формула понижения. Если а > 1, то имеет место равенство
B(a,jg) = -^-~1 В(а-1,/3).	(4)
о; + р — 1
◄ Выполняя при а > 1 и /3 > 0 интегрирование по частям и тожде-
ственные преобразования, получаем
г 1
В(а,£) =	 / a:Q~2(l - х/dx =
Р	0	о
1
= —	f ха~2((1 — а:)^-1 — (1 —	dx =
р J
о
= ^В(«-Ц)-^В(аД
р	р
откуда и следует формула понижения (4). ►
Учитывая формулу (3), можно теперь записать формулу понижения
В(а,/3) = -	В(а,/3 —1)	(4')
по параметру /3, считая, разумеется, что /3 > 1.
Непосредственно из определения функции В видно, что В (а, 1) =
поэтому при п 6 N получаем
В(«, «) = —Т----7
а + п — 1
п — 2
а + п — 2
В(а, 1) =
(5)
В частности, при т, п G N
(т — 1)!(п — 1)!
т,п) = —— --------ттг--
(т + п — 1)!
d.	Другое интегральное представление функции В. Иногда
бывает полезно следующее представление бета-функции:
+00
в(«^) = / (17 dy-
о
◄ Оно получается из (1) заменой переменной х = 1 У
* а
(7)
§ 3. эйлеровы интегралы
517
2.	Гамма-функция
а.	Область определения. Из формулы (2) видно, что задающий
функцию Г интеграл сходится в нуле лишь при а > 0, а на бесконечно-
сти, за счет быстро убывающего множителя е-х, сходится при любом
значении а 6 R.
Таким образом, функция Г определена при а > 0.
Ь.	Гладкость и формула для производных. Функция Г беско-
нечно дифференцируема, причем
+оо
r(n)(aj) = У ха~г 1пп хе~х dx,	(8)
о
◄ Проверим сначала, что при любом фиксированном значении п 6
€ N интеграл (8) сходится равномерно относительно параметра а на
каждом отрезке [а, Ь] С]0,+оо[.
Если 0 < а а, то (поскольку ха'21пп х —> 0 при х —> +0) найдется
число Сп > 0 такое, что
1пп хе~х\ < х2
при 0 < х Сп, Значит, на основании мажорантного признака равно-
мерной сходимости можно заключить, что интеграл
Сп
ха~х 1пп хе~х dx
о
сходится равномерно по а на промежутке [а, +оо[.
Если же а b < +оо, то при х 1
и аналогично заключаем, что интеграл
+оо
j ха~1 In” хе~х dx
Сп
сходится равномерно по а на промежутке ]0,6].
518
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Совмещая эти выводы, получаем, что интеграл (8) сходится равно-
мерно на любом отрезке [а, Ь] с]0, +оо[.
Но при этих условиях дифференцирование под знаком интеграла (1)
законно. Значит, на любом таком отрезке [а, Ь], а следовательно и на
всем промежутке 0 < а, функция Г бесконечно дифференцируема и
справедлива формула (8). ►
с.	Формула понижения. Имеет место соотношение
Г(а + 1) = О'Г(п'),
(9)
называемое формулой понижения для гамма-функции.
◄ Интегрируя по частям, находим, что при а > О
+оо	+оо
Г(« + !):=/ Лх =	+ а f	_
О	о
+оо
= а xa~re~xdx =: аГ(а). ►
о
+оо
Поскольку Г(1) = f е~~х dx ~ 1, заключаем, что при n Е N
о
Г(п + 1) = п!
(10)
Таким образом, функция Г оказалась тесно связанной с теоретико-
числовой арифметической функцией п!
d.	Формула Эйлера —Гаусса. Так обычно называют следующее
равенство:
Г(а) = lim па •	(V'1---------tv- (И)
п->оо	+ 1) •... • (а + п — 1)
◄ Для его доказательства сделаем в интеграле (2) замену перемен-
ной х = 1п и получим новое интегральное представление функции Г:
du.
(12)
§3. эйлеровы интегралы
519
В примере 3 § 3 гл. XVI было показано, что последовательность фун-
кций /п(и) = п(1 — и1/71), монотонно возрастая, сходится на промежутке
О < и < 1 к функции 1п ПРИ п Используя следствие 2 из § 2
(см. также пример 10 из § 2), заключаем, что при а 1
1
du = lim nQ-1 [(1 — ад1/71)*-1 du.
n-»oo J
0
Сделав в последнем интеграле замену переменной и = и71, из (12),
(13), (1), (3) и (5) получаем
1
Г(а) = lim па f un-1(l — u)Q-1 dv =
n->oo J
0
— lim nQB(n,a) = lim nQB(a, n) —
n—>oo	n—>oo
n->oo a(a + 1) • ... • (a + n — 1) *
Применяя к доказанному для а 1 соотношению Г (а) = lim паВ(а, п)
п—>оо
формулы понижения (4) и (9), убеждаемся в справедливости форму-
лы (11) при всех а > 0. ►
е. Формула дополнения. При 0 < а < 1 значения а и 1 — а ар-
гумента функции Г называют взаимно дополнительными, поэтому ра-
венство
Г(а)  Г(1 - а) = -Л- (0 < а < 1)	(14)
sin тга
называют формулой дополнения для гамма-функции.
◄ Используя формулу Эйлера-Гаусса (11), после простых тожде-
ственных преобразований находим, что
/	(n-lV
Г(а)Г(1 — а) = lim (па—-----т--------------- х
п—>оо \ а(а + 1) •... • (а + п — 1)
520
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Итак, при 0 < а < 1
1	1
Г(а)Г(1 - а) = - J] —5-.	(15)
1 I — —т
nz
Но имеет место классическое разложение
(16)
(Сейчас мы не останавливаемся на его доказательстве, поскольку
позже, при рассмотрении рядов Фурье, оно будет получено в качестве
простого примера использования общей теории; см. гл. XVIII, §2, при-
мер 6.)
Сопоставляя соотношения (15) и (16), приходим к формуле (14). ►
Из формулы (14), в частности, следует, что
Г
(17)
Заметим, что
+оо	+оо
= j х~1^2е~х dx = 2 j е~и2 du,
о	о
§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
521
и, таким образом, мы вновь получаем значение интеграла Эйлера-
Пуассона:
О
3. Связь между функциями В и Г. Сопоставляя формулы (6)
и (10), можно заподозрить следующую взаимосвязь:
в(а,д=г<°)  r<f)
(18)
между функциями В и Г. Докажем эту формулу.
◄ Заметим, что при у > 0
I ха ге ху dx
о
поэтому справедливо также равенство
,а—1
j ха+/3 хе dx,
о
используя которое, с учетом формулы (7), получаем

о
ха+@ 1е dx I dy =
уа 1ха~^^3 1е	dx —
522
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Нам остается объяснить отмеченное восклицательным знаком ра-
венство. Но именно оно было рассмотрено в примере 16 из § 2. ►
4. Некоторые примеры. Рассмотрим в заключение небольшую
группу взаимосвязных примеров, в которых встречаются введенные
здесь специальные функции В и Г.
Пример 1.
7г/2
sinQ-1 9?cos^-1 tpdtp —
о
(19)
◄ Для доказательства достаточно в интеграле сделать замену пе-
о .	2
ременной sin 99 = х. ►
Используя формулу (18), интеграл (19) можно выразить через функ-
цию Г. В частности, с учетом (17) получаем
(20)
Пример 2. Одномерный шар радиуса г—это попросту отрезок,
а его (одномерный) объем Vi (г)—это длина 2г такого отрезка. Итак,
V1 (г) = 2г.
Если считать, что ((п — 1)-мерный) объем (п — 1)-мерного шара ра-
диуса г выражается формулой V^i(r) = сп_\гп~\ то, интегрируя по
сечениям (см. пример 3 §4 гл. XI), получаем

§3. эйлеровы интегралы
523
т.е. Vn(г) = СпГп, где
7г/2
сп = 2cn-i У cosn (pdcp,
о
Благодаря соотношениям (20), последнее равенство можно перепи-
сать в виде
таким образом,
или, короче,
п— 1
= ТГ 2
• ci
С1.
сп
/ О \	-1	/ 1 \	1
Но ci — 2, а Г I £ I = I 7 I = ул, поэтому
п
7Г2
Следовательно,
п
7Г 2
Vn(r) = тчг"’
или, что то же самое,
п
Vn(r) = -^т*.	(21)
7 Пр (п\	' '
2l \2/
Пример 3. Из геометрических соображений ясно, что dVn(r) —
— Sn-i(r) dr, где 5n-i(r) — (n — 1)-мерная площадь сферы, ограничива-
ющей в Ж71 n-мерный шар радиуса г.
Таким образом, Sn_i(r) =	и с учетом формулы (21), полу-
чаем
S ,(г) = 2%2 г71-1
Ьп-Цг) Г(|)г	.
524
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Задачи и упражнения
1.	Покажите, что:
а)	В (1/2,1/2) = тг.
00 а-1
b)	В(а, 1 - а) = f dx.
о
с)	~ J х<*	Mnxdx.
О
+оо „	_	р+1	/	_ \
л\ г хр dx _ а (а\ q~ nfp + 1 « р +1 \
d)	J ^+b^Y--rW	B{q’r~q)'
+oc t
f _dx —	„
' О Vх! + Xn n sin £ ’
+oo
r\ Г dx _ 2тг
' 3 1+s3	3y/3'
йТ+? = Ийй(0<«<1)-
0
U\ +f° aca~1 lnn X _ dn f 7Г \ M / /V / n
h)	J r+T ax - da^ UinTra) (° < a < 1)'
i)	Длина кривой, задаваемой в полярных координатах уравнением гп
= ап cos пу>, где п € N и а > 0, выражается формулой аВ I i, X ).
2.	Покажите, что:
а)	Г(1) = Г(2);
Ь)	производная Г' функции Г в некоторой точке хо € ]1,2[ обращается в
нуль;
с)	функция Г7 является монотонно возрастающей на промежутке ]0, +оо[;
d)	функция Г монотонно убывает на промежутке ]0, а?о] и возрастает на
промежутке [а?о,+оо[;
Г (	1 V'1	1
е)	интеграл J lln~ J Inin du равен нулю при х = xqJ
o' '
f)	Г(а) ~ при а -> +0;
g)	lim f е хП dx = 1.
П->ОО Q
n-i /,
3.	Формула Эйлера Е := JJ Г I -
*=1
п — 1
(2тг)^2~
у/п
п-1 Z к /	, \
а)	Покажите, что Е2 = [] Г 11) Г I n fe 1.
71 — 1
Ь)	Проверьте, что Е2 =	sin(-_-i)^.
П 1	1 /	• ikiv \
с)	Исходя из тождества z = П	), получите при z —> 1
§ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
525
последовательно соотношение
п—1
„=п
j 2/етг
г п
а из него соотношение
п— 1
П. Г7Г
sin—.
п
к=1
d) Используя последнее равенство, получите формулу Эйлера.
4. Формула Лежандра Г(а)Г + 0 =	Г(2а).
1/2 /	. о\ <*-1
dx.
п
а)	Покажите, что
Ь)	Сделав в предыдущем интеграле замену переменной, докажите, что
В(СК, а) = ^а-1 В .
с)	Получите теперь формулу Лежандра.
5. Сохраняя обозначения задачи 5 из § 1, укажите путь, на котором с ис-
пользованием интегралов Эйлера может быть выполнена вторая, более дели-
катная часть указанной задачи. _
а)	Заметьте, что при к = -Д= будет к = к и
b)	После соответствующей замены переменных эти интегралы приводятся
к виду, из которого следует, что при к = 1Д/2
1
2^
В (1/4,1/2) и2Е-К =
с)	Теперь получается, что при к = 1/\/2
ЕК + ЁК-КК = тг/2.
1
6.	Интеграл Раабе1) Jlnr(x) dx.
о
Покажите, что:
1	1
a)	Jlnr(x)dx — /1пГ(1 — x)dx.
о	о
^Ж. Л. Раабе (1801 -1859) —швейцарский математик и физик.
526
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
b)	J In Г(ж) б/х = 2 In тг — i j In sin x dx,
о	о
тг/2	tv/2
c)	J In sin x dx ~ J in sin 2x dx — J In 2.
о	о
tv/2
d)	j Insinxdx = —^ In 2.
о
i
e)	J In Г(ж) dx = In
о
7.	Используя равенство
и обосновав возможность изменения порядка соответствующих интегрирова-
ний, проверьте, что
а)	7°^dx =	(0 < а < 1);
b)	7°dx = —д (0 < /3 < 2).
О	2Г(/3) sin
+оо .
с)	Получите теперь еще раз значение интеграла Дирихле f dx и зна-
о
4-оо	4-оо
чение интегралов Френеля J cosx2dx, J sinx2dx.
о	о
8.	Покажите, что при а > 1
dx = Г(а) •<(«),
где <Да) =	— дзета-функция Римана.
П=Л
9.	Формула Гаусса. В примере 6 §3 гл.XVI была указана введенная Гаус-
сом функция
.F(a,/3,7, ж) := 1 +
а(а + 1)... (а + п - 1)/3(/3 + 1)... (/3 + п - 1) п
п!7(7 + 1)... (7 + п - 1)
являющаяся суммой написанного гипергеометрического ряда. Оказывается,
имеет место следующая формула Гаусса:
?(а,0,Ъ1) =
Г(7) • Г(7 - а - /3)
Г(7-а) -Г(7-/3)'
§3. эйлеровы интегралы
527
а) Раскладывая функцию (1 — tx) & в ряд, покажите, что при а > 0, 7—а >
> 0 и 0 < х < 1 интеграл
Р(х) = J t^^-ty—^l-tx^dt
о
можно представить в виде
оо
Р(х) = 52 Рп • хп,
п=0
где Рп =	+ Ч' -п\р
Ь) Покажите, что
Г(а) • Г(7 — а) + 1)... (а + п — 1)/3(J3 + 1)...(/? + п — 1)
Г(7)	п!7(7 + 1)... (7 + п - 1)
с) Докажите теперь, что при а > О, 7 — а>0и0<я<1
р(а;) = Г(а)-Г(7 а) .
d) При дополнительном условии 7 — а — /3 > 0 обоснуйте возможность
перехода к пределу при х —> 1 — 0 в обеих частях последнего равенства и
покажите, что
Г(а) • Г(7 - а - Д) __ Г(а) - Г(7 - а)
Г(7)
откуда и следует формула Гаусса.
10. Формула Стирлинга.1^
Покажите, что:
ч	ОО Эти
a) In = 2ж £ при |®| < 1
П1=0
- 1 4- 1	1
“1 + 3(^7ip
Й < 1 +	*
« /	12n(n + 1)
1
е 12п
1
е12(п+1)
(п+1 /2) — монотонно убывающая последовательность.
1________
5(2п + I)4
при п Е N.
d) 1
е
е)о __п!еп
У йп п(
1 ! 1 1
^Дж. Стирлинг (1692-1770)—шотландский математик.
528
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
f)	Ъп = апе Т2п —монотонно возрастающая последовательность.
g)	п! = спп+1/2е~п+&, где 0 < 9п < 1, а с = lim ап = lim bn.
п~>оо	п—>оо
°О /	2\
h)	Из соотношения sin тгх = тгх (1 — % ) при х = 1/2 вытекает формула
n=i v п 7
Валлиса
,	(n!)222n	1
V7F= \o'4i----------7='
П-+ОО (2n)I yn
i)	Имеет место формула Стирлинга
(П\п &п
— ) е^тг, 0 < вп < 1.
е/
j)	Г(х + 1) ~ д/2лх (^)ж при х -> +оо.
11. Покажите, что Г(х) = 52 тг+х ’ пУ + J dt. Это соотношение
п=0	'	1
позволяет определить Г(з) для комплексных z G С вне точек 0, —1, —2,...
§ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщен-
ных функциях
1. Свертка в физических задачах (наводящие соображе-
ния). Разнообразные приборы и системы живой и неживой природы
осуществляют свои функции, отвечая соответствующим сигналом f на
воздействие f. Иными словами, каждый такой прибор или система явля-
ется оператором А, преобразующим входной сигнал f в сигнал f = Af
на выходе. Разумеется, у каждого такого оператора своя область вос-
принимаемых сигналов (область определения) и своя форма ответа на
них (область значений). Удобной математической моделью для большо-
го класса реальных процессов и аппаратов является линейный опера-
тор А, сохраняющий сдвиги.
Определение 1. Пусть А—линейный оператор, действующий на
линейном пространстве определенных на R вещественно- или комплекс-
нозначных функций. Обозначим через Т*о оператор сдвига, действую-
щий на том же пространстве по закону
CW)(t) :=/(t-to).
Говорят, что оператор А инвариантен относительно сдвигов (или
сохраняет сдвиги), если для любой функции / из области определения
оператора А справедливо равенство
A(Tfo/) = Tfo(A/).
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
529
Если t — время, то соотношение AoTio = Т*о о А можно трактовать
как предположение о том, что свойства прибора А неизменны во вре-
мени: реакции прибора на сигналы f(t) и f(t — to) отличаются только
сдвигом на to по времени и больше ничем.
Для любого прибора А возникают две следующие основные задачи:
во-первых, предугадать реакцию f прибора на произвольное входное
воздействие / и, во-вторых, зная сигнал f на выходе прибора, опреде-
лить, если это возможно, поступивший на прибор входной сигнал /.
Сейчас на эвристическом уровне мы решим первую из этих двух за-
дач применительно к инвариантному относительно сдвигов линейному
оператору А. Простой, но очень важный факт состоит в том, что ока-
зывается для описания отклика / такого прибора А на любой входной
сигнал f достаточно знать отклик Е прибора А на импульсное воздей-
ствие 5.
Определение 2. Отклик E(t) прибо-
ра А на единичное импульсное воздействие 5
называют аппаратной функцией прибора (в
оптике) или импульсной переходной функци-
ей прибора (в электротехнике).
Мы будем, как правило, пользоваться бо-
лее коротким термином «аппаратная функ-
ция».
Не вдаваясь пока в детали, скажем, что
импульс имитируется, например, функцией
изображенной на рис. 100, причем эта
0 а
Рис. 100.
имитация считается все более точной по мере уменьшения длительно-
сти а «импульса» при сохранении его общей «энергии» а •	= 1. Вме-
сто ступенчатых функций для имитации импульса можно использовать
гладкие функции (рис. 101) с соблюдением естественных условий:
У /а(£) dt —> 1 при Q —> 0,
17(0)
где U(0) — произвольная окрестность точки t = 0.
Откликом прибора А на идеальный единичный импульс (обозначае-
мый вслед за Дираком через S) следует считать функцию E(t), к кото-
рой стремятся отклики прибора А на имитирующие импульс 6 входные
530
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
сигналы по мере того, как эта имитация улучшается. Разумеется, при
этом подразумевается некоторая (не уточняемая пока) непрерывность
оператора А, т.е. непрерывность изменения отклика f прибора при
непрерывном изменении входного воздействия /.
Рис. 101.	Рис. 102.
Например, если взять последовательность {Дп(£)} ступенчатых
функций Дп(£) := ^1/п(£) (рис. 100), то, полагая АДП =: Еп, получа-
ем AS := Е = lim Еп = lim АДП.
n—too	п—>оо
Рассмотрим теперь входной сигнал f, рис. 102 и изображенную на
этом же рисунке кусочно постоянную функцию /д(£) = ^2	~
— Ti)h. Поскольку /д —> f при h —> 0, то надо считать, что
Th = Alh -> Af = f пРи h 0.
Но если оператор А—линейный и сохраняющий сдвиги, то
- Ti)h,
i
где Eh = ASh- Таким образом, при h —> 0 окончательно получаем
/(*) = I f(r)E(t — T)dr.	(1)
R
Формула (1) решает первую из двух указанных выше задач. Она
представляет отклик f(t) прибора А в виде специального интеграла,
зависящего от параметра t. Этот интеграл полностью определяется
входным сигналом f(t) и аппаратной функцией E(t) прибора А. С ма-
тематической точки зрения прибор А и интеграл (1) просто одно и то
же.
§4 СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
531
Отметим заодно, что задача определения входного сигнала по выхо-
ду f сводится теперь к решению относительно f интегрального урав-
нения (1).
Определение 3. Сверткой функций и: R С и г: R С назы-
вается функция и * v: В —> С, определяемая соотношением
и(уУЦх - у) dy,
(2)
в предположении, что указанный несобственный интеграл существует
при всех j1 £ К.
Таким образом, формула (1) утверждает, что отклик линейного
прибора Л, сохраняющего сдвиги, на входное воздействие, задаваемое
функцией /, является сверткой f * Е функции f и аппаратной функ-
ции Е прибора Л.
2. Некоторые общие свойства свертки. Рассмотрим теперь с
математической точки зрения основные свойства свертки.
а. Достаточные условия существования. Напомним сначала
некоторые определения и обозначения.
Пусть f: G —> С — вещественно или комплекснозначная функция,
определенная на открытом множестве G С R.
Функция f называется локально интегрируемой на G, если любая
точка х 6 G имеет окрестность U(x) С G, в которой функция /|(/(ж)
интегрируема. В частности, если G = R, условие локальной интегриру-
емости функции /, очевидно, равносильно тому, что /|[а^] 6 'П[а, Ь] для
любого отрезка [а,Ь].
Носителем функции f (обозначение supp/) называется замыкание
в G множества {т 6 G | /(ж) ± 0}.
Функция / называется финитной (в G), если ее носитель —ком-
пакт.
Множество функций /: G —> С, имеющих в G непрерывные произ-
водные до порядка т (0 С т оо) включительно, принято обозна-
чать символом	а его подмножество, состоящее из финитных
функций, символом C^G). В случае, когда G = R, вместо C'^^R) и
C*Qm\lR) принято употреблять сокращения и Cq71^ соответственно.
18-4574
532
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Укажем теперь наиболее часто встречающиеся случаи свертки фун-
кций, в которых без труда обосновывается ее существование.
Утверждение 1. Каждое из перечисленных ниже трех условий
является достаточным для существования свертки u*v локально ин-
тегрируемых функций u: R —> С u v: R -> С.
1)	Функции |и|2 и |г>|2 интегрируемы на R.
2)	Одна из функций |и|, |v| интегрируема на R, а другая ограничена
на R.
3)	Одна из функций и, v финитна.
◄ 1) По неравенству Коши-Буняковского
[у \u(y)v(x-y)\dy j < [\u\2(y)dy [ \v\2(x-y)dy,
\R	/ R	R
откуда и следует существование интеграла (2), поскольку
+оо	+оо
J \v\2(x-y)dy= J |и|2(з/) dy.
—оо	—оо
2) Если, например, |и| — интегрируемая на R функция, a |v| М
на R, то
J \u(y)v(x -y)\dy < М У |и| (у) dy < +оо.
R	R
3) Пусть supp u С [a, b] С R. Тогда, очевидно,
Ь
j u(y)v(x - у) dy = [u(y)v(x-y) dy.
R	a
Поскольку и и v локально интегрируемы, последний интеграл суще-
ствует при любом значении х Е R.
Случай, когда финитной является функция щ сводится к разобран-
ному заменой переменной х — у — z. ►
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
533
b.	Симметричность
Утверждение 2. Если свертка u*v существует, то существу-
ет также свертка v *и и имеет место равенство
и * v = v * и.	(3)
◄ Выполнив в интеграле (2) замену переменной х — у = z, получаем
+оо	-f-оо
и^и{х}\— и{у)и{х — у) dy — v(z)u(x ~ z) dz =: v * и(х).
—оо	—оо
с.	Сохранение сдвигов. Пусть, как и выше, ТЖо —оператор сдви-
га, т.е. (ТЖо)У(ж) = /(ж - ж0).
Утверждение 3. Если свертка u*v функций и и v существует,
то справедливы следующие равенства:
ТЖо(и *v) =	* v = и * ТЖо17.	(4)
◄ Если вспомнить физический смысл формулы (1), то первое из на-
писанных равенств становится очевидным, а второе тогда получается
из симметричности свертки. Проведем, однако, формальную проверку
первого равенства:
(ТХо)(и * и)(ж) := (u * v)(x - х0) :=
+оо	+оо
= j u(y)v(x - Хо - у) dy = j u(y - Xo)v(x - у) dy =
—oo	—oo
= J (TXou)(y)v(x - y) dy =: ((Ta.ou) * v)(x). ►
—OO
d.	Дифференцирование свертки. Свертка функций является
интегралом, зависящим от параметра, и ее дифференцирование про-
водится в соответствии с общими законами дифференцирования таких
интегралов, разумеется, при выполнении соответствующих условий.
Условия, при которых свертка (2) функций и и v непрерывно диф-
ференцируема, заведомо выполнены, если, например, и — непрерывная,
a v — гладкая функция и одна из функций и, v — финитна.
534
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
◄ Действительно, если ограничить изменение параметра любым ко-
нечным промежутком, то при указанных условиях весь интеграл (2)
сведется к интегралу по некоторому, не зависящему от ж, конечному
отрезку. А такой интеграл уже можно дифференцировать по параме-
тру в соответствии с классическим правилом Лейбница. ►
Вообще справедливо следующее
Утверждение 4. Если и—локально интегрируемая функция, а
и —финитная функция класса (0 т +оо), то (и * v) Е
причем
Dk(u * v) = и * (Dkv).	(5)
◄ Когда и — непрерывная функция, утверждение непосредственно
следует из только что доказанного выше. В общем виде оно получается,
если еще принять во внимание наблюдение, сделанное в задаче 6 § 1. ►
Замечание 1. Ввиду коммутативности свертки (формула (3)) ут-
верждение 4, разумеется, останется в силе, если в нем поменять места-
ми и и v, сохранив, однако, левую часть равенства (5).
Формула (5) показывает, что свертка коммутирует с оператором
дифференцирования, подобно тому как она коммутирует с оператором
сдвига (формула (4)). Но если формула (4) симметрична по и и и, то в
правой части формулы (5) и и и, вообще говоря, нельзя поменять ме-
стами, поскольку функция и может просто не иметь соответствующей
производной. То, что свертка и * v, как видно из (5), при этом все же
может оказаться дифференцируемой функцией, наводит на мысль, что
приведенные в утверждении 4 условия являются достаточными, но не
необходимыми для дифференцируемости свертки.
Пример 1. Пусть f—локально интегрируемая функция, а —
«ступенька», изображенная на рис. 100. Тогда
+оо
(f*8a)(x) = J f(y)8a(x-y)dy =
—оо
X
- [ f(y)dy,
a J
х—а
(6)
и, следовательно, в любой точке непрерывности функции f свертка
f*Sa уже оказывается дифференцируемой—усредняющее действие ин-
теграла.
^Здесь D — оператор дифференцирования и, как обычно, Dkv = v^k\
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
535
Условия дифференцируемости свертки, сформулированные в утвер-
ждении 4, являются, однако, вполне достаточными практически для
всех встречающихся случаев применения формулы (5). По этой причи-
не мы не будем здесь заниматься дальнейшим их уточнением, а пред-
почтем продемонстрировать некоторые новые красивые возможности,
которые открываются благодаря обнаруженному сглаживающему дей-
ствию свертки.
3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимацион-
ная теорема Вейерштрасса. Заметим, что интеграл в соотноше-
нии (6) дает среднее значение функции f на промежутке [ж — а,х],
поэтому, если / непрерывна в точке ж, то, очевидно, (/ * 5а)(х) —> /(ж)
при а —> 0. Последнее соотношение, следуя наводящим соображениям
п. 1, относящимся к представлению о 5-функции, хотелось бы записать
в виде предельного равенства
(/ * 5) (я) — если / непрерывна в ж.
(7)
Это равенство показывает, что 5-функцию можно трактовать как
единичный (нейтральный) элемент по отношению к операции свертки.
Равенство (7) можно считать вполне осмысленным, если будет показа-
но, что любое семейство функций, сходящихся к 5-функции, обладает
тем же свойством, что и рассмотренное в (6) специальное семейство 5а.
Перейдем к точным формулировкам и введем следующее полезное
Определение 4. Семейство {Да; а е А} функций Да: К —> Ж,
зависящих от параметра а 6 А, называют 5-образным или аппрокси-
мативной единицей при базе В в А, если выполнены следующие три
условия:
а)	все функции семейства неотрицательны (Да(х) 0);
Ь)	для любой функции Да семейства f Да(х) dx = 1;
R
с)	для любой окрестности U точки 0 6 Ж lim f Да(х) dx = 1.
в и
Последнее условие с учетом первых двух, очевидно, равносильно то-
му, что lim f Да(ж) dx = 0.
в R\u
Рассмотренное в п. 1 и примере 1 исходное семейство «ступенек» 5а,
конечно, является 5-образным при а —> 0. Приведем другие примеры
5-образных семейств функций.
536
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Пример 2. Пусть <р: R -4 R— произвольная неотрицательная ин-
тегрируемая на R финитная функция такая, что f<p(x)dx = 1. При
а > 0 построим функции Да(х) :=	Семейство этих функ-
ций при а -4 +0, очевидно, является аппроксимативной единицей (см.
рис. 101).
Пример 3. Рассмотрим последовательность функций
Ап (*^)
при
при
|®1 < 1,
|ш| > 1.
Для того, чтобы установить ^-образность этой последовательности,
надо лишь проверить, что кроме условий а), Ь) для нее при базе п -4 оо
выполнено и условие с) определения 4. Но ведь при любом г е]о,1]
1
х2
2)" dx =
Е
Е
когда п —> оо.
Вместе с тем
1
о
— х2
I (1 - х)п dx =
о
Значит, условие с) действительно выполнено.
Пример 4. Пусть
7г/2
f cos2n х dx при
—?r/2
о
тг/2,
при
тг/2.
Как и в примере 3, здесь остается проверить
метим сначала, что
тг/2
f COS2"
лишь условие с). За-
2п
п
о
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
537
С другой стороны, при 8 е]о,7г/2[
тг/2	тг/2
j cos2" a? da? J COS2" £ ds < ^-(coss)2".
€	€
Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что, каково бы
ни было число 8 Е ]0, тг/2],
тг/2
Ап(х) dx 0 при п —> оо,
€
откуда и следует, что условие с) определения 4 выполнено.
Определение 5. Будем говорить, что функция f: G -4 С рав-
номерно непрерывна на множестве Е С G, если для любого 8 > О
можно указать число р > 0 такое, что при любом х Е Е и любом
у Е G из р-окрестности Uq(x) точки х в G выполнено соотношение
|/(ж)-/(у)| <Е.
В частности, если Е = G, мы возвращаемся к определению функции,
равномерно непрерывной на всей своей области определения.
Теперь докажем следующее основное
Утверждение 5. Пусть f: К —> С — ограниченная функция, а
{Да; а Е А} —5-образное семейство функций при а —> со. Если при
любом а Е А свертка f * Аа существует и функция f равномерно
непрерывна на множестве Е С В, то
(f * Ла)(х) =4 f(x) на Е при а —> со.
Итак, утверждается, что семейство функций /* Аа равномерно схо-
дится к функции / на множестве Е ее равномерной непрерывности. В
частности, если Е состоит только из одной точки х, условие равномер-
ной непрерывности / на Е сводится к условию непрерывности функ-
ции f в точке х, и мы получаем, что (/ *Да)(х) —> /(х) при со. Это
и послужило нам в свое время поводом для записи соотношения (7).
Докажем утверждение 5.
◄ Пусть |/ (х) | М на К. По числу 8 > 0 подберем в соответствии с
определением 5 число р > 0 и обозначим через U(0) р-окрестность нуля
в Ж.
538
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Учитывая симметричность свертки, получаем следующие оценки,
справедливые одновременно для всех точек х Е Е:
= [(.f(x-y) - f(x))^a(y)dy
Щ0)
<£f
R\t7(0)
/ \f(x-y) - f(x)\Aa(y)dy
R\JJ(O)
R\tZ(O)
При a -4 cu последний интеграл стремится к нулю, значит, начиная
с какого-то момента, при всех х Е Е будет выполнено неравенство
|(/* Аа)(х) -/(х)| < 2е,
что и завершает доказательство утверждения 5. ►
Следствие 1. Любую финитную непрерывную на R функцию
можно равномерно аппроксимировать финитными бесконечно диффе-
ренцируемыми функциями.
◄ Проверим, что в указанном смысле Cq°°^ всюду плотно в Со-
Пусть, например,
при
при
И < 1,
|х| > 1,
где коэффициент к выбран так, что f <р(х) dx = 1.
Функция финитна и бесконечно дифференцируема. В таком слу-
чае семейство бесконечно дифференцируемых функций Аа —
как отмечалось в примере 2, является 5-образным при а —> +0. Если
/ 6 Со, то ясно, что и f * Аа 6 Со- Кроме того, по утверждению 4
f * Аа Е Cq°°\ Наконец, из утверждения 5 вытекает, что f * Аа =4 f
на R при а —> 4-0. ►
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
539
Замечание 2. Если рассматриваемая функция f 6 Со принадле-
жит классу СдШ\ то, каково бы ни было значение п 6 {0,1,... ,тп},
можно гарантировать, что (/ * Да/П) =4 на К при а —> +0.
◄ Действительно, в этом случае (/ * Да)^ =	* Да (см. утвер-
ждение 4 и замечание 1). Остается сослаться на доказанное следст-
вие 1. ►
Следствие 2 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса). Ка-
ждую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно прибли-
зить на этом отрезке алгебраическим многочленом.
Поскольку при линейной замене переменной многочлен переходит
в многочлен, а непрерывность и равномерность аппроксимации функ-
ций сохраняются, следствие 2 достаточно проверить на любом удобном
нам отрезке [a, b] С R. Будем поэтому считать, что 0 < а < Ь < 1, и
пусть р = min{a, 1 — b}. Заданную нам функцию / 6 С[а, Ь] продолжим
до непрерывной на К функции F, полагая F(x) — 0 при х Е К\]0,1[ и,
например, линейно сопрягая 0 с /(«), f(b) с 0 на участках [0, а] и [Ь, 1]
соответственно.
Если теперь взять ^-образную последовательность функций Дп, из
примера 3, то на основании утверждения 5 уже можно заключить, что
F * Дп =4 f = F|[д}6] на [а, Ь] при п —> оо. Но при х Е [а, b] С [0,1]
оо
1
—оо
1
0
1
Xk
0
0	7
= 52 (/ F(y)ak(y) dy \ xk-
Последнее выражение является многочленом Pznfa) степени 2п, и
мы показали, что =4 / на [а, Ь] при п —> оо. ►
Замечание 3. Несколько развив проведенные рассуждения, мож-
но показать, что теорема Вейерштрасса остается в силе, даже если от-
резок [а, Ь] заменить произвольным, лежащим в К компактом.
540
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Замечание 4. Нетрудно также проверить, что для любого от-
крытого в R множества G и любой функции f е C(m\G) существу-
ет последовательность {Р&} полиномов такая, что при каждом п Е
Е {0,1,..., т} =4	на любом компакте К С G, когда к —> оо.
Если, кроме того, множество G ограничено и / Е C(m)(G), то можно
добиться, чтобы Р^ =4 на G при к —> оо.
Замечание 5. Подобно тому, как для доказательства следствия 2
была использована 5-образная последовательность примера 3, можно
использовать последовательность из примера 4 и доказать, что любая
2тг-периодическая функция на R равномерно приближается тригономе-
трическими полиномами вида
п
Тп (х) = cos кх + Ьд. sin кх.
fc=0
Выше использовались лишь 5-образные семейства финитных фун-
кций. Следует, однако, иметь в виду, что во многих случаях важную
роль играют 5-образные семейства не финитных функций. Приведем
только два примера.
Пример 5. Семейство функций А2/(ж) — i 2 V - 2 при у —> 4-0
является 5-образным на R, так как Ду > 0 при у > 0,
(X)
—оо
+оо
= 1
х=—оо
и при любом р > 0 справедливо соотношение
р
Г А , ч ,	2	р
I ах = — arctg--------------> 1,
J	тг	у
-р
когда у —> 4-0.
Если /: R —> R—непрерывная и ограниченная функция, то функция
+оо
—оо
(8)
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
541
представляющая собой свертку f * Ду, определена при любых х Е R и
У > 0.
Интеграл (8), называемый интегралом Пуассона для полуплоско-
сти, как легко проверить (используя мажорантный признак равномер-
ной сходимости), является ограниченной бесконечно дифференцируе-
мой функцией в полуплоскости — {(х,у) Е R2 | у > 0}. Дифферен-
цируя под знаком интеграла, убеждаемся, что при у > 0
д2и д2и / Э2 д2 \
“ lh? + ду> = f + ду^)Ау = 0,
т.е. и — гармоническая функция.
На основании утверждения 5 можно гарантировать также сходи-
мость и(х,у) к /(ж) при у —> 0. Таким образом, интеграл (8) решает
задачу построения ограниченной функции, гармонической в полуплос-
кости и принимающей заданные граничные значения / на .
Пример 6. Семейство функций Af — 4f является 5-образ-
+оо
ним на R при t —> +0. Действительно, АДх) > 0; f АДх) = 1, посколь-
“(X)
ку J е v dv = (интеграл Эйлера-Пуассона); наконец, при любом
— (X)
р > 0 выполнено соотношение
р
f 1
/ —=е 4t dx
J 2Virt
-p
когда t —> +0.
tz(x,i)
Если / — непрерывная и, например, ограниченная функция на R, то
функция
+(Х)
1 f	(s-Ч)2
(9)
“(X)
представляющая собой свертку / * At, очевидно, бесконечно дифферен-
цируема при t > 0.
Дифференцируя под знаком интеграла при t > 0, получаем, что
ди д2и _	/ д	д2 \	_
dt	дх2 \dt дх2 ) 4	’
542
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
т. е. функция и удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводно-
сти с начальным условием tz(x,O) = /(ж). Последнее равенство следует
трактовать как предельное соотношение u(x^t) —> /(ж) при t —> +0,
вытекающее из утверждения 5.
* 4. Начальные представления о распределениях
а.	Определение обобщенных функций. В п. 1 настоящего пара-
графа мы на эвристическом уровне вывели формулу (1), дающую воз-
можность определить отклик линейного преобразователя А на входной
сигнал / по известной аппаратной функции Е прибора А. При опре-
делении аппаратной функции прибора существенно использовалось не-
которое интуитивное представление о единичном импульсном воздей-
ствии и описывающей его ^-функции. Ясно, однако, что ^-функция на
самом-то деле не является функцией в классическом понимании этого
термина, поскольку она должна обладать следующим противоречивым
с классической точки зрения набором свойств: <5(х)	0 на R; <5(х) = 0
при х 0; J Ь(х) dx — 1.
R
Понятия, связанные с линейными операторами, сверткой, £-функ-
цией и аппаратной функцией прибора приобретают точные математи-
ческие описания в так называемой теории обобщенных функций или,
иначе, теории распределений. Исходные посылки этой теории и началь-
ные сведения о все шире используемом ее аппарате мы собираемся сей-
час изложить.
Пример 7. Рассмотрим материальную точку массы т, способ-
ную перемещаться вдоль оси и связанную с началом координат упру-
гой пружиной; к — коэффициент упругости пружины. На покоящуюся
в начале координат точку начинает действовать зависящая от времени
сила /(£), смещающая точку вдоль оси. В силу закона Ньютона
тх + кх =
(10)
где x(t) —координата точки (смещение от положения равновесия) в мо-
мент t.
При указанных условиях функция x(t) однозначно определяется
функцией f и решение x(t) дифференциального уравнения (10), очевид-
но, линейно зависит от его правой части /. Таким образом, мы имеем
А
дело с линейным оператором / <—> х, обратным к дифференциальному
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
543
3	/	j2 \
оператору х f (В =	+ к I, связывающему x(t) и /(£) соотноше-
нием Вх = /. Поскольку оператор А, очевидно, сохраняет сдвиги по
времени, то, чтобы найти отклик x(t) описанной механической систе-
мы на функцию достаточно ввиду формулы (1) знать отклик на
единичное импульсное воздействие 5, т. е. достаточно знать (так назы-
ваемое фундаментальное) решение Е уравнения
тЕ + кЕ — 5.
(11)
Соотношение (11) не вызвало бы вопроса, если бы 6 действительно
обозначало функцию. Однако пока равенство (11) неясно. Но формаль-
но неясно и фактически неверно — совсем разные ситуации. В нашем
случае надо лишь уяснить смысл равенства (И).
Один путь к такому разъяснению нам уже знаком: S можно пони-
мать как имитирующее ^-функцию ^-образное семейство классических
функций Да(£), а Е — как предел, к которому стремятся решения Ea(t)
уравнения
тЁа + кЕа = Да
(10')
при соответствующем изменении параметра а.
Другой, имеющий свои значительные преимущества, подход к об-
суждаемому вопросу состоит в принципиальном расширении предста-
вления о функции. Он исходит из того, что вообще объекты наблю-
дения характеризуются их взаимодействием с другими («пробными»)
объектами. Так и функцию предлагается рассматривать не как набор
значений в различных точках, а как объект, способный определенным
образом действовать на другие (пробные) функции. Конкретизируем
это пока слишком общее высказывание.
Пример 8. Пусть f 6 C(R, R). В качестве пробных возьмем фун-
кции класса Cq (непрерывные финитные на R). Функция f порождает
следующий, действующий на Со функционал
(Л<?) := / f(x)(p(x)dx.
R
(12)
Используя ^-образные семейства финитных функций, легко понять,
что (/, tp) = 0 на Cq в том и только в том случае, когда f(x) = 0 на R
544
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Таким образом, каждая функция / 6 C(R, R) порождает в силу (12)
линейный функционал А: Со —> R, и, подчеркнем, при этом различным
функциям /j, /2 соответствуют различные функционалы А^, Af2.
Значит, формула (12) осуществляет вложение (инъективное отобра-
жение) множества (7(JR,R) функций в множество £(Cb;R) линейных
функционалов на Со и, следовательно, каждую функцию f Е (7(JR,R)
можно интерпретировать как некоторый функционал Af Е £(Cb;R).
Если вместо множества C(R, R) непрерывных функций рассмотреть
множество функций, локально интегрируемых на R, то по той же фор-
муле (12) получается отображение указанного множества в простран-
ство £(СЬ; R). При этом ((/, <р) ~ 0 на Со) О (/(ж) = 0 во всех точках
непрерывности функции f на R, т. е. /(ж) = 0 почти всюду на R). Зна-
чит, в рассматриваемом случае получается вложение в £(СЬ; R) классов
эквивалентных функций, если в один класс отнести локально интегри-
руемые функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль.
Итак, локально интегрируемые на R функции f (точнее, классы
их эквивалентности) в силу формулы (12) можно интерпретировать
как линейные функционалы Af Е £(Co;R). Осуществляемое по фор-
муле (12) отображение f м- Af ~ (/, •) локально интегрируемых функ-
ций в пространство £(СЬ; R) не является отображением на все £(СЬ; R),
поэтому, интерпретируя функции как элементы £(СЬ; R) (т. е. как фун-
кционалы), мы, кроме классических функций, интерпретируемых как
функционалы вида (12), получим и новые функции (функционалы), не
имеющие прообраза в классических функциях.
Пример 9. Функционал 6 Е £(Cb;R) определяется соотношением
(5, </>):= 5(<^) := </>(0),	(13)
которое должно быть выполнено для любой функции (р Е Cq.
Можно проверить (см. задачу 7), что никакая локально интегрируе-
мая на R функция f не способна представить функционал 6 в виде (12).
Итак, мы вложили множество классических локально интегриру-
емых функций в более широкое множество линейных функционалов.
Эти линейные функционалы и называют обобщенными функциями или
распределениями (точное определение дано ниже). Распространенный
термин «распределение» имеет физическое происхождение.
Пример 10. Пусть на R распределена единичная масса (или еди-
ничный заряд). Если это распределение достаточно регулярно, в том
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
545
смысле, что оно имеет, например, непрерывную или интегрируемую
на R плотность р(я), то взаимодействие массы М с другими объек-
тами, описываемыми функциями ср Е может задаваться в виде
функционала
М((р) = у* р(х)(р(х) dx.
Если распределение сингулярно, например, вся масса М сосредото-
чена в одной точке, то, «размазывая» массу и интерпретируя предель-
ную точечную ситуацию с помощью 5-образного семейства регулярных
распределений, получаем, что взаимодействие массы М с указанными
выше другими объектами должно выражаться формулой
м(<р) = <р(0),
показывающей, что такое распределение массы на R следует отожде-
ствить с 5-функцией (13) на R.
Проведенные предварительные рассмотрения делают осмысленным
следующее общее
Определение 6. Пусть Р—линейное пространство функций, на-
зываемое в дальнейшем пространств ом основных или пробных функ-
ций с определенной в Р сходимостью функций.
Пространством обобщенных функций или распределений над Р на-
зовем линейное пространство Р' линейных непрерывных (вещественно-
или комплекснозначных) функционалов на Р. При этом предполага-
ется, что каждый элемент f Е Р порождает некоторый функционал
Af ~ (/, •) Е Pf и что отображение f —> Af является непрерывным
вложением Р в Р7, если сходимость в Р7 вводится как слабая («пото-
чечная») сходимость функционалов, т.е.
Р' Э Ап -> А е Р' := Vy> е Р (Ап(<р) -> А(<р)).
Уточним это определение в конкретном случае, когда Р есть линей-
ное пространство Cq°°\g,C) бесконечно дифференцируемых финит-
ных в G функций, где G — произвольное открытое подмножество R
(быть может, и совпадающее с R).
Определение 7 (пространств Р и Р7). Сходимость в Cq°°\g,C)
введем следующим образом: последовательность {<рп} функций <рп Е
546
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
6	(G,C) будет считаться сходящейся к функции <р Е Cq°°\g, С),
если существует компакт К С G, в котором содержатся носители всех
функций последовательности {<рп} и при любом значении т = 0,1,2,...
<Рп^ <р^ на К (а значит, и на G), когда п —> оо.
Получаемое при этом линейное пространство с заданной в нем схо-
димостью принято обозначать символом P(G), а когда G = R — симво-
лом 2Z
Соответствующее этому пространству основных (пробных) функ-
ций пространство обобщенных функций (распределений) обозначают
символом V'(G) или ТУ соответственно.
В этом и следующем параграфах мы не будем рассматривать ника-
ких других обобщенных функций, кроме элементов введенного прост-
ранства 7?Z(G), поэтому без специальных оговорок будем употреблять
термин распределение или обобщенная функция, имея в виду элемен-
ты P'(G).
Определение 8. Распределение F Е V'(G) называется регуляр-
ным, если его можно представить в виде

где У—локально интегрируемая в G функция.
Нерегулярные распределения называют сингулярными распределе-
ниями или сингулярными обобщенными функциями,
В соответствии с этим определением 5-функция (из примера 9) явля-
ется сингулярной обобщенной функцией.
Действие обобщенной функции (распределения) F на основную
(пробную) функцию ср, т.е. спаривание F и <р будем, как и прежде,
обозначать одним из двух равнозначных символов F(<p) или (F, <р).
Прежде чем переходить к техническому аппарату, связанному с
обобщенными функциями, ради которого мы и привели определение
обобщенной функции, отметим, что само понятие обобщенной функ-
ции, как и большинство математических понятий, имело определенный
период внутриутробного развития, когда оно лишь неявно зарождалось
в трудах ряда математиков.
Физики, вслед за Дираком, уже в конце двадцатых — начале трид-
цатых годов активно использовали 5-функцию и оперировали с сингу-
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
547
лярными обобщенными функциями, не смущаясь отсутствием должной
математической теории.
В явном виде идея обобщенной функции была высказана С. Л. Со-
болевым1), заложившим в середине тридцатых годов математические
основы теории обобщенных функций. Современное состояние аппарата
теории распределений в значительной степени связано с выполненными
в конце сороковых годов работами Л. Шварца2). Сказанное поясняет,
почему, например, пространство 2У обобщенных функций часто назы-
вают пространством обобщенных функций Соболева-Шварца.
Изложим теперь некоторые элементы аппарата теории распределе-
ний. Развитие и расширение использования этого аппарата продолжа-
ется и в наши дни, в основном в связи с потребностями теории диффе-
ренциальных уравнений, уравнений математической физики, функцио-
нального анализа и их приложений.
Для упрощения записи мы будем рассматривать дальше только об-
общенные функции класса Р', хотя все их свойства, как будет видно
из определений и доказательств, остаются в силе для распределений
любого класса PZ(G), где G — произвольное открытое подмножество R.
Действия с распределениями определяются, исходя из интегральных
соотношений, справедливых для классических функций, т. е. для регу-
лярных обобщенных функций.
Ь.	Умножение распределения на функцию. Если f—локально
интегрируемая на R функция, а д 6 С^\ то при любой функции <р G
6 Cq°°\ с одной стороны, gip € а с другой стороны, имеет место
очевидное равенство
J (f •	dx -
R
J f(x)(g-<p)(x)dx
R
или, в других обозначениях,

°C. Л. Соболев (1908-1989) — один из наиболее крупных советских математиков.
2)Л. Шварц (род. 1915)—известный современный французский математик. За
упомянутые работы на Международном математическом конгрессе 1950 г. удостоен
Филдсовской премии, присуждаемой молодым математикам.
548
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Это соотношение, справедливое для регулярных обобщенных функ-
ций, лежит в основе следующего определения распределения F • д, полу-
чаемого умножением распределения F Е ТУ на функцию д Е
(F • д,ср) := {F,g • ср).	(14)
Правая часть равенства (14) определена, и тем самым задается зна-
чение функционала F • д на любой функции € Р, т.е. задается сам
функционал F • д.
Пример 11. Посмотрим, как действует распределение 6  г/, где
д Е С^°°\ В соответствии с определением (14) и определением распре-
деления S получаем
(J • д, ср) := {6, д  ср) ~ (д  <р)(0) := с/(0)  <р(0).
с.	Дифференцирование обобщенных функций. Если / е С^,
С-(оо)
о , то интегрированием по частям получаем равенство
У f(x)<p(x) dx — — У ф(х)<р\х) dx.	(15)
Это равенство является отправной точкой для следующего основно-
го определения дифференцирования обобщенной функции F Е ТУ:
{F1 ,ср) :=—{F,cp').	(16)
Пример 12. Если / 6 С^, то производная от f в классическом
смысле совпадает с производной от f в смысле теории распределений
(разумеется, если, как всегда, отождествлять классическую функцию
с соответствующей ей регулярной обобщенной функцией). Это следует
из сопоставления соотношений (15) и (16), в которых правые части
совпадают, если распределение F порождается функцией /.
Пример 13. Возьмем функцию Хевисайда^
тт, . ГО при х < О,
= (1 при х » О,
^О. Хевисайд (1850-1925) — английский физик и инженер, разработавший на сим-
волическом уровне важный математический аппарат, который теперь называется
операционным исчислением.
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
549
называемую иногда единичной ступенькой и, рассматривая ее как об-
общенную функцию, найдем производную Hf этой разрывной в класси-
ческом смысле функции.
Из определения регулярной обобщенной функции 7/, отвечающей
функции Хевисайда, и на основании соотношения (16) находим
= -<М

+оо	+оо
j Н(х) dx = — j (ж) dx = <р(0),
—оо	О
поскольку (р Е Таким образом, (ТУ7, <р) = (5, у?), какова бы ни была
функция <р Е Значит, Hf = 5.
Пример 14. Вычислим (Sf,(p):
{Sf,(p) :=	:= -(/(0).
Естественно, что в теории обобщенных функций, как и в класси-
ческом случае, для определения высших производных полагают, что
p(n-bl) (/?(«)}',
Сопоставляя результаты последних двух примеров, можно, следова-
тельно, записать, что
(Н"рр) = -у/(0).
Пример 15. Покажем, что	= (~1)п^/п)(0).
◄При п = 0 это — определение 5-функции.
Мы видели в примере 14, что написанное равенство справедливо и
при п = 1.
Докажем его по индукции, считая, что для фиксированного значе-
ния п Е N оно уже установлено. Опираясь на определение (16), находим
= -(-i)"(v')(">(o) = (-i)”+V”+1|(ci). ►
Пример 16. Пусть функция /: R —> С непрерывно дифференци-
руема при х < 0 и при х > 0, и пусть существуют односторонние
пределы /(—0), /(+0) функции в точке 0. Обозначим через J/(0) ве-
личину /(4-0) — /(—0) скачка функции в точке 0, а через ff и {ff} со-
ответственно производную функции f в смысле теории распределений
550
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
и распределение, определяемое функцией, которая равна обычной про-
изводной от f при х < 0 и х > 0. При х = 0 последняя функция не
определена, но это и не важно для интеграла, которым она определяет
регулярное распределение {/z}.
В примере 1 мы отмечали, что если f Е то ff = {ff}- Пока-
жем, что в общем случае это не так, а справедлива следующая важная
формула:
Г = 1МШ	(17)
◄Действительно,
00
(Д ¥>) = -(/, <р') = - f /(^'(ж)dx =
—оо
О +оо
=	+ f )(f(x№(xy)dx = -((/ -^(^iL-oo -
—оо	О
О	+оо
- У ?(хУр(х>) dx + U  ¥’)(ж)1о 00 - У /'(ж)<р(ж)dx) =
—оо	О
+оо
= ((/(+0) - /(-0))^(0) + У f'(x)<p(x) dx =
—ОО
= (J7(0)  ад + ({/W ►
Если все производные до порядка т функции f; R —> С на проме-
жутках х < 0 и х > 0 существуют, непрерывны и имеют односторонние
пределы при х = 0, то, повторяя проведенное при выводе формулы (17)
рассуждение, получим
(18)
Укажем теперь некоторые свойства операции дифференцирования
обобщенных функций.
Утверждение 6.
а)	Любая обобщенная функция F 6 Р' бесконечно дифференцируема.
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
551
b)	Операция D-.ТУ-^ТУ дифференцирования линейна.
с)	Если F е ТУ, g е С^, mo (F • g) Е ТУ и справедлива формула
Лейбница
т
(F  g)^ =	С'* F™ - д(т-к\
fc—О
d)	Операция В.ТУ ~^ТУ дифференцирования непрерывна.
00
е)	Если ряд А(ж) — S(x), составленный из локально интегриру-
k=i
емых функций Д: R —> С, сходится равномерно на каждом лежащем
в R компакте, то в смысле обобщенных функций его можно диффе-
ренцировать почленно любое число раз, и получаемые при зтом ряды
будут сходиться в ТУ.
4 а)	:= -(F^W) := (-l)m(F,
b)	Очевидно.
с)	Проверим формулу при т = 1:
((F • g)',<p) := ~{Fg,<p') := ~{F,g  ip') = —{F, (g  ip}' - g  <p} =
= (F',g<p) + (F,gr  <p) = (Fr -g,<p} + (F- g',<p) = (F1  g + F  g',<p).
В общем случае формулу можно получить теперь методом индук-
ции.
d)	Пусть Fm —> F в ТУ при m —> оо, т.е. для любой функции Е
е T>{Fm, <р) -> (F, <р} при т -> оо. Тогда
(F^,<p) := —{Fm,<p') -> —(F,y/) =: (F',<p).
e)	При указанных условиях сумма S(x) ряда как равномерный на
компактах предел локально интегрируемых функций Sm(x) = А (я)
сама является локально интегрируемой. Остается заметить, что для
любой функции (р Е V (т. е. финитной и бесконечно дифференцируемой)
имеет место соотношение
= JSm(x)(pdx у* S(x)(p(x)dx — {S,cp}.
R	R
Теперь на основании доказанного в d) заключаем, что S'm —> Sf при
т —> оо. ►
552
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Мы видим, что, сохраняя важнейшие свойства классического диф-
ференцирования, операция дифференцирования обобщенных функций
приобретает ряд новых замечательных свойств, открывающих боль-
шую оперативную свободу, которой не было в классическом случае из-
за наличия там недифференцируемых функций и неустойчивости (от-
сутствия непрерывности) классического дифференцирования относи-
тельно предельных переходов.
d» Фундаментальное решение и свертка. Мы начали этот
пункт с интуитивных представлений о единичном импульсе и аппа-
ратной функции прибора. В примере 7 была указана простейшая ме-
ханическая система, которая естественным образом порождает линей-
ный оператор, сохраняющий сдвиги по времени. Рассматривая ее, мы
пришли к уравнению (И), которому должна удовлетворять аппаратная
функция Е этого оператора.
Мы закончим пункт, снова вернувшись к этим вопросам, но теперь
с целью продемонстрировать их адекватное математическое описание
на языке обобщенных функций.
Начнем с осмысления уравнения (И). В правой его части стоит
обобщенная функция 5, поэтому соотношение (11) следует трактовать
как равенство обобщенных функций. Поскольку нам известны опера-
ция дифференцирования обобщенных функций и линейные операции
над распределениями, то левая часть уравнения (11) теперь тоже по-
нятна, даже если ее трактовать в смысле обобщенных функций.
Попробуем решить уравнение (11).
При t < 0 система находилась в покое. При t = 0 точка получила
единичный импульс, поэтому в момент t = 0 она приобрела такую ско-
рость v ~ 'у(О), что mv = 1. При t > 0 на систему не действуют внешние
силы и ее закон движения х = x(t) подчиняется обыкновенному диф-
ференциальному уравнению
тх + кх — О,
(19)
которое следует решать при начальных данных #(0) = 0, i(0) ~ v ~
= 1/т.
Такое решение единственно и немедленно выписывается:
1 Гк~
x(t) = sin у—/,
Vkm V т
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
553
Поскольку в нашем случае при t < 0 система покоится, то можно
заключить, что
H(t) . Гк
—== sin \ —t,
у/кт V т
где Н — функция Хевисайда (см, пример 13).
Проверим теперь, пользуясь законами дифференцирования обоб-
щенных функций и результатами рассмотренных выше примеров, что
задаваемая равенством (20) функция E(t) удовлетворяет уравне-
нию (11).
Для упрощения записи проверим, что функция
е(я) = H(xf-^-
удовлетворяет в смысле теории распределений уравнению
Действительно,
_S1H (VX тт!	тт / \ •
— г/--------1_ 2Н coscu# — wH(х) sina;z +
(V
+ шН(X) shiojx — о---------h 2d coso;#.
Далее, для любой функции 6 Р
, sin vx
о---------
(V
+ 26 cos vx, (р) = (У,
(VX)(p) =
+ М°) = 9?(0) = (6, ср),
х~0
тем самым проверено, что функция (21) удовлетворяет уравнению (22).
Введем, наконец, следующее
554
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Определение 9. Фундаментальным решением или функцией
Грина {аппаратной функцией или функцией влияния) оператора А:
ТУ —> ТУ называется такая обобщенная функция Е е которая под
действием оператора А переходит в функцию S е ТУ, т.е. А(Е) = 6.
Пример 17. В соответствии с этим определением функция (21)
.	/ (Г	9 \
является фундаментальным решением для оператора А ~ I —~ + cj I,
\dx /
поскольку она удовлетворяет уравнению (22).
Функция (20) удовлетворяет уравнению (11), т.е. является функци-
/ л2 \
ей Грина для оператора А = (т —у + &). Фундаментальная роль ап-
паратной функции оператора, сохраняющего сдвиги, уже обсуждалась
в п. 1, где была получена формула (1), на основании которой можно
теперь записать соответствующее указанным в примере 7 начальным
условиям решение уравнения (10):
(19)
(20)

Учитывая продемонстрированную важную роль свертки и фунда-
ментального решения, ясно, что желательно определить также свертку
обобщенных функций. Это делается в теории распределений, но мы
на этом останавливаться не будем. Отметим лишь, что в случае регу-
лярных распределений определение свертки обобщенных функций рав-
носильно рассмотренному выше классическому определению свертки
функций.
Задачи и упражнения
1. а) Проверьте ассоциативность свертки: и * (v * w) — {и * v) * w.
b) Пусть, как всегда, Г (а)—гамма-функция Эйлера, а Н(х)—функция
Хевисайда. Положим
Ял“(х) := Н(х)^еХх, где а > 0, а А е С
Г(а)
Покажите, что Н? * Н? =	.
'	А	А	А
§4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
555
_1
с) Проверьте, что функция F = Н{х)^-—^еХх является n-й сверточной
степенью функции / = Н(х)еХх т.е. F — f * f * ... * /.
1	—  п
2.	Функция Ga(x) = —-^=е 2^2, а > 0, задает плотность распределения
(Tv 2тг
вероятностей в гауссовском нормальном законе распределения вероятностей.
а)	Нарисуйте график функции Ga(x) при различных значениях параме-
тра ст.
среднего значения (дисперсия х) равно ст (т. е.
Ь)	Проверьте, что математическое ожидание (среднее значение) случайной
величины с распределением вероятностей Ga равно нулю (т. е. f xGa (х) dx =
R
= 0).
с)	Проверьте, что среднее квадратическое уклонение величины х от своего
1/2
= <0-
d)	В теории вероятностей доказывается, что плотность вероятности сум-
мы двух независимых случайных величин является сверткой плотностей рас-
пределения вероятностей самих этих величин. Проверьте, что Ga * G@ =
y/oP+fl2 *
е)	Покажите, что сумма п однотипных случайных величин (например,
п независимых измерений одного и того же объекта), распределенных по
нормальному закону G$, распределена по закону Gff^. Отсюда, в частно-
сти, следует, что ожидаемый порядок погрешности среднего арифметического
п таких измерений, взятого в качестве значения измеряемой величины, равен
ст/^/тг, где ст —вероятная погрешность отдельного измерения.
оо
3.	Напомним, что функция Л (ж) = ^2 стп^п называется производящей фун~
п=0
кцией последовательности ctq,CTi, ...
Пусть даны две последовательности {ст*}, {6*}. Если считать, что =
= bk = 0 при k < 0, то свертку последовательностей {ст*}, {Ьь} естественно
определить как последовательность < с% ~ Y2ambk-m Покажите, что про-
1m	)
изводящая функция свертки двух последовательностей равна произведению
производящих функций этих последовательностей.
4.	а) Проверьте, что если свертка u*v определена и одна из функций и,
периодична с периодом Т, то и * v—тоже Т-периодическая функция.
Ь)	Докажите теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной пе-
риодической функции тригонометрическими полиномами (см. замечание 5).
с)	Докажите усиленные варианты аппроксимационной теоремы Вейер-
штрасса, указанные в замечании 4.
5.	а) Пусть компакт If С В содержит строго внутри себя замыкание Е
множества Е из утверждения 5. Покажите, что в этом случае f	—
к
556
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
- У) dy =4 f(x) на Е.
Ь)	Из разложения (1 — z)-1 = 1 + z + z2 + ... выведите, что =
=	+	= 2 +	+	+ • • • при 0 р < 1.
2(1 — реш) z
с)	Проверьте, что при 0 р < 1
Рр (0) Re д(р, 0) = ~ + р cos 0 + р2 cos 20 + ...;
&
функция Рр(&) имеет вид
р (ff) = 1	'-Р2
р	2 1 - 2р cos 0 + р2
и называется ядром Пуассона для круга.
d)	Покажите, что семейство зависящих от параметра р € [0,1[ функций
1 27
Рр(&) обладает следующим набором свойств: Pp(ff) 0, - f Pp(0)d0 — 1,
о
2тг —в
f Рр(0) d0 -> 0 при р -> 1 ~ 0.
е>0
е)	Докажите, что если f € О'[0,2тг], то функция
2тг
и(р, 0) = ~ [ Рр(6 - dt
О
— гармоническая в круге р < 1 и и(р, 0) =4 f(ff) при р —> 1 — 0. Таким образом,
ядро Пуассона позволяет строить гармоническую в круге функцию, имеющую
заданные граничные значения на границе круга.
f)	Для локально интегрируемых функций и и у в случае, когда они пери-
одические, причем с одинаковым периодом Т, можно корректно определить
операцию свертки (свертки по периоду) следующим образом:
а+Т
(и * у)(х) := I u(y)v(x — у) dy.
Периодические функции на R можно интерпретировать как функции, за-
данные на окружности, поэтому введенную операцию естественно считать
определением свертки двух функций, заданных на окружности.
Покажите, что если /(0)—локально интегрируемая 2тг-периодическая
функция на R. (или, что то же самое, f — функция на окружности), а семейство
Рр(0) зависящих от параметра р функций обладает свойствами ядра Пуассо-
на, перечисленными в d), то * Рр^ (0) —> f(ff) при р —> 1 ~ 0 в любой точке
непрерывности функции /.
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
557
6. а) Пусть р(х) :~ а-ехр
 s I при |я| < 1 и р(х) 0 при |s| > 1; а —
|х| — 1 у
постоянная, выбираемая из условия f р(х) dx = 1. Проверьте, что при а —> +0
семейство функций = ~р (^) является J-образным семейством функций
класса Cq°°^ на Ж.
Ь)	Для любого промежутка I С Ж и любого е > 0 постройте функцию е(ж)
класса Cq°°^ такую, что 0 е(х) 1 на Ж, е(я) = 1 х € I и, наконец, supp е С
С 4, где 1£—^-окрестность (или е-раздутие) множества I в Ж. (Проверьте,
что при соответствующем значении а > 0 в качестве е(х) можно взять
с)	Докажите, что для любого е > 0 существует такой счетный набор {е*}
функций еь € (е-разбиение единицы на Ж), который обладает следую-
щими свойствами: Vk € N, \Лг € Ж (0 С е*(ж) < 1); диаметр носителя suppe*
любой функции семейства не превосходит е > 0; любая точка х € Ж принад-
лежит лишь конечному числу множеств suppe*;	= 1 на Ж.
к
d)	Покажите, что, каково бы ни было открытое покрытие {Р7,7 € Г}
открытого множества G С Ж и какова бы ни была функция р €	(G), су-
ществует такая последовательность {</?&; к € N} функций рк € Cq°°\ которая
обладает следующими свойствами: Vk € N, З7 € Г (supp рк С С77); любая точка
xeG принадлежит лишь конечному числу множеств supp^*; ^2pk(x) — р(х)
к
на G.
е)	Докажите, что множество функций Cq°°) , интерпретируемых как обоб-
щенные функции, всюду плотно в соответствующем C^°°\G) множестве регу-
лярных обобщенных функций.
f)	Две обобщенные функции Fi, F2 из Р' (G) считаются совпадающими на
открытом множестве U С G, если для любой функции р € P(G), носитель
которой лежит в U, выполняется равенство р € P(G). Обобщенные функции
Fi, F2 считаются локально совпадающими в точке х € G, если они совпадают
в некоторой окрестности U(x) С G этой точки. Докажите, что (Fi = F2) О
О (F2 = F2 локально в любой точке х € G).
7. а) Пусть р(х) ехр (	—- ] при |ж| < 1 и р(х) 0 при |я|	1. По-
кажите, что для любой локально интегрируемой на Ж функции / выполняется
соотношение J f[x}p£(x) dx -> 0 при е -> +0, где р£(х) = р(~).
Ь) Учитывая предыдущий результат и то обстоятельство, что (J,	=
= </?(0) / 0, докажите, что обобщенная функция <5 не является регулярной.
с) Покажите, что существует последовательность регулярных обобщен-
ных функций (даже отвечающих функциям класса Cq°°)), которая сходится
в Р' к обобщенной функции 6. (На самом-то деле любая обобщенная функция
является пределом регулярных обобщенных функций, отвечающих функциям
558
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
из 7? ~ Cq°°) . В этом смысле регулярные обобщенные функции образуют всю-
ду плотное в 7?' множество, подобно тому как рациональные числа Q всюду
плотны в множестве К всех действительных чисел.)
8, а) Вычислите значение (F, обобщенной функции F € 7?' на функции
р € 7?, если F = sinarj; F ~ 2cossJ; F = (1 + х2)д.
Ь) Проверьте, что операция F ^F умножения на функцию ф €
является непрерывной операцией в ТУ.
с) Проверьте, что линейные операции над обобщенными функциями
что если F — регулярное распределение, порожденное
О при х < 0,	ту тт
о то F ~ Н. где Н — распределение,
х при х > О,
отвечающее функции Хевисайда.
Ь) Вычислите производную от распределения, отвечающего функции |х|.
10.	а) Проверьте справедливость следующих предельных переходов в ТУ:
lim -	= 7г<5; lim -аХ- -= = тгг<5; lim -„-f- „ = In |®|.
а->4-0 х2 + а2	а—>4-0 а2 + X2	а—>4-0 х2 + а2
непрерывны в 7? .
9. а) Покажите,
функцией f(x) = <
b)	Покажите, что если f = f(x) —локально интегрируемая на К. функция,
a f£ = f(x + е), то fe f в ТУ при e -> 0.
с)	Докажите, что если {Да}— J-образное семейство гладких функций при
X
а -> 0, то Fa — f Aa(t) dt -> Н при а -> 0, где Н — обобщенная функция,
— оо
отвечающая функции Хевисайда.
11.	а) Через д(х~а) обычно обозначают «сдвинутую в точку а <5-функцию»,
т. е. обобщенную функцию, действующую на функции р € 7? по правилу {д(х —
— а), р) = Покажите, что ряд 52 $(х “ &) сходится в ТУ.
k£Z
Ь)	Найдите производную функции [ж] ([ж]—целая часть числа ж).
с)	2тг-периодическая функция на К в пределах промежутка ]0,2тг] задана
формулой /|]о,2тг](^) = 2 “ Покажите, что f = -^ + 52	“ 2тг&).
кег
d)	Проверьте, что д(х — е) -> 6(х) при г -> 0.
е)	Обозначая, как и прежде, сдвинутую в точку е J-функцию через 5(ж—е),
покажите прямым вычислением, что |(<5(ж — s) — <5(ж))	~^(х) —
f)	Исходя из предыдущего предельного перехода, интерпретируйте —6/
как распределение зарядов, соответствующее диполю с электрическим момен-
том + 1, расположенному в точке х ~ 0. Проверьте, что (—J',1) — 0 (полный
заряд диполя равен нулю) и что (—д\х) = 1 (его момент действительно ра-
вен 1).
g)	Важным свойством J-функции является ее однородность: J(Ax) —
— A-1 J(x). Докажите это равенство.
§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ
559
оо
12.	а) Для обобщенной функции F, заданной в виде (F,	= f y/xtp(x) dx,
о
проверьте следующие равенства:
+г°<р{х) -	- xp'(0) - ... - (^!ТУ>(П 2)(0)
b) Покажите, что если п — 1 < р < п и обобщенная функция х^ задана
соотношением

7°~	- • • • - 7^2у¥’(п-2)(0) J
/ -----------------------------i---£---------dx
J	xp
0
V	1	- (p-j-l)
то ее производной является функция — рх+ , определяемая соотношением
{-рх+(р+1\ч>) ~ -р
+Г°4>(х) - ¥>(□) - гу>'(0) - ... - т^уЧ>(п 1}(0)
/ -----------------------—:-------------------- ах
J	Х&+1
13.	Определяемая равенством
(F,?) :=V.P. у
— ОО
dx
обобщенная функция обозначается символом Покажите, что:
а
560
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
b)	(1п|х|)' = р1.
с)	/ (pl)' ,</А = 7°dx.
\	'	/ о	х
d)	ттпГТТТ •“	-F
х “г зО у__^.-|-0	“I”
14.	С определением произведения обобщенных функций могут возникнуть
сложности: например, функция |ж|”2/3 абсолютно интегрируема (в несобствен-
ном смысле) на К; она порождает соответствующую обобщенную функцию
-j-OQ
f |а;|“2/3(/>(#) dx, но квадрат ее |ж|~4/3 уже не является интегрируемой функ-
—оо
цией даже в несобственном смысле. Ответы на следующие вопросы показыва-
ют, что в V1 принципиально нельзя определить естественную ассоциативную
и коммутативную операцию умножения любых обобщенных функций.
а)	Покажите, что для любой функции f € С^°°^ имеет место равенство
f(x)6 = /(0)5.
Ь)	Проверьте, что = 1 в
с)	Если бы операция умножения была распространена на любые пары обоб-
щенных функций, то она по крайней мере не была бы ассоциативной и ком-
мутативной, иначе
о = 0Р- = (х6(х))Р- = (6(х)х)Р-
XXX
~ J(a:)l — 15(ж) = 6.
15.	а) Покажите, что фундаментальное решение Е для линейного операг
тора А: Т)1 —> Т>', вообще говоря, определено неоднозначно — с точностью до
любого решения однородного уравнения Af = 0.
b)	Рассмотрим дифференциальный оператор
—, ( d \ dn z . dn~x
\ dx J dxn 'dxn~r
Покажите, что если ио = uq(x) такое решение уравнения Р \ х, =
= 0, которое удовлетворяет начальным условиям uo(0) — ... = ^дП-2^(0) = 0,
_ j, то функция Е(х) = Я(ж)ио(ж) (где Н(Х) —функция Хевисайда)
является фундаментальным решением для оператора Р ^х,
с)	Найдите указанным способом фундаментальные решения для операто-
ров
dm
dx^'
m € N.
d)	Используя полученные результаты и свертку, найдите решения уравне-
ний
= /, где / € С(К, К).
§ 5 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
561
§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
В первых двух пунктах этого параграфа будут указаны свойства
собственных и несобственных кратных интегралов, зависящих от па-
раметра. Общий итог этих пунктов состоит в том, что основные свой-
ства кратных интегралов, зависящих от параметра, по существу не от-
личаются от соответствующих свойств подробно рассмотренных выше
одномерных интегралов, зависящих от параметра. В третьем пункте
мы рассмотрим важный для приложений случай несобственного инте-
грала, особенность которого сама зависит от параметра. Наконец, в
четвертом пункте будет рассмотрена свертка функций многих пере-
менных и некоторые специфически многомерные вопросы обобщенных
функций, тесно связанные с интегралами, зависящими от параметра, и
классическими интегральными формулами анализа.
1.	Собственные кратные интегралы, зависящие от параме-
тра. Пусть X — измеримое подмножество Rn, например, ограничен-
ная область с гладкой или кусочно гладкой границей; Y — некоторое
подмножество Rn.
Рассмотрим зависящий от параметра у Е Y интеграл
(1)
где функция f предполагается определенной на множестве X х Y и
интегрируемой на X при любом фиксированном значении у Е Y.
Для интеграла (1) справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. Если X х Y — компакт в и f Е С(Х хУ),
moFEC(Y).
Утверждение 2.
Если Y — область в Rm,
f е С(х х у) и е
6 С(Х х У), то функция F дифференцируема в У по переменной уг7 где
У = (у1, • • • ,уг, • • • ,ут) и
dF Г df . ч J
—— (у) = / —— (х,у) dx.
дуг J дуг
х
(2)
Утверждение 3. Если X uY — измеримые компакты в Rn и
562
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
соответственно, a f G С(Х х У), то F Е C(Y) С 7£(У) и
(3)
Отметим, что значения функции f могут при этом лежать в любом
векторном нормированном пространстве Z. Важнейшие частные слу-
чаи— когда Z есть R, С, или С”. В этих случаях проверка утвер-
ждений 13, очевидно, сводится к их доказательству при Z ~ R. Но
при Z — R доказательства утверждений 1 и 2 дословно повторяют дока-
зательства соответствующих утверждений для одномерного интеграла
(см. гл. XVII, § 1), а утверждение 3 является простым следствием утвер-
ждения 1 и теоремы Фубини (гл. XI, §4).
2.	Несобственные кратные интегралы, зависящие от пара-
метра. Если в интеграле (1) неограничены множество X С или
функция /, то он понимается как несобственный кратный интеграл
(см. гл. XI, §6), т.е. как предел собственных интегралов, взятых по
множествам соответствующего исчерпания X. При исследовании крат-
ных несобственных интегралов, зависящих от параметра, как правило,
интересуются специальными исчерпаниями, подобными тем, которые
мы рассматривали в одномерном случае. В полном соответствии с од-
номерным случаем из области интегрирования X при этом удаляют
6-окрестность множества особых точек1), находят интеграл по остав-
шейся части Х€ множества X и затем находят предел значений инте-
гралов по Х€ при 6 —> +0.
Если указанный предельный переход является равномерным относи-
тельно параметра у Е У, то говорят, что несобственный интеграл (1)
сходится равномерно на У.
Пример 1. Интеграл
Fm=ff
R2
е л(х2+?/2) dx dy
^То есть точек, в любой окрестности которых функция / неограничен». Если и
множество X неограничено, то из X удаляется также окрестность бесконечности.
§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
563
получается предельным переходом
е л(х2+^2) dxdy '.= lim^ j'j' е A(x2+^2) dxdy
R2	х24-з/2^1/£2
и, как легко проверить, используя полярные координаты, он сходится
при А > 0. Далее, на множестве Е\о = {А £ R | А Aq > 0} он сходится
равномерно, поскольку при А £ Е\о
0
е	dxdy
-А0(т2-Н/2)
С*
dxdy.
а последний интеграл стремится к нулю, когда г —> 0 (исходный инте-
грал /ДА) сходится при А = Aq > 0).
Пример 2. Пусть, как всегда, В(а,г) = {ж 6 Rn | |я — а| < г} —
шар радиуса г с центром a £ Rn, и пусть у £ Rn. Рассмотрим интеграл
рЫ= [ -^4^:= lim [
J (1 - |rc|)“	e—>+o J (1 - |a:|)
B(0,l)	B(0,l-e)
Переходя к полярным координатам в Rn, убеждаемся, что данный
интеграл сходится лишь при а < 1. Если значение а < 1 фиксировано,
то по параметру у интеграл сходится равномерно на любом компакте
Ксйп, поскольку в этом случае — у\ M(Y) £ R
Отметим, что в рассмотренных примерах множество особых точек
интеграла не зависело от параметра. Таким образом, если принять ука-
занное выше понимание равномерной сходимости несобственного ин-
теграла с фиксированным множеством особых точек, то ясно, что все
основные свойства таких кратных несобственных интегралов, завися-
щих от параметра, получаются из соответствующих свойств собствен-
ных кратных интегралов и теорем о предельном переходе для семейств
функций, зависящих от параметра.
Мы не останавливаемся на переизложении этих в принципе уже зна-
комых нам фактов, а предпочтем использовать развитый аппарат при
рассмотрении следующей весьма важной и часто встречающейся ситу-
ации, когда особенность несобственного интеграла (одномерного или
кратного) сама зависит от параметра.
19-4574
564
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3,	Несобственные интегралы с переменной особенностью
Пример 3. Как известно, потенциал помещенного в точку х Е
Е R3 единичного заряда выражается формулой U(я, у) = j где у —
переменная точка пространства R3. Если теперь заряд распределен в
ограниченной области X С R3 с ограниченной плотностью /х(х) (равной
нулю вне X), то потенциал U(y) так распределенного заряда (в силу
аддитивности потенциала), очевидно, запишется в виде
U(y) = У у)ц(х) dx = У	(4)
КЗ	X
Роль параметра в последнем интеграле играет переменная точка
у Е R3. Если точка у лежит вне множества X, то интеграл (4) соб-
ственный, если же у Е X, то — у\ 0 при X э х —> у и точка у
оказывается особой для интеграла. С изменением у эта особая точка,
таким образом, перемещается.
Поскольку U(у) = lim U€[y), где
€—> + 0
^(у)= [
Х\В(2/,б)
то естественно, как и прежде, считать, что рассматриваемый инте-
грал (4) с переменной особенностью сходится равномерно на множест-
ве У, если U€[y) =4 U[у) на У при е —> +0.
Мы приняли, что |/х(х)| М Е R на X, поэтому
/р(х) dx
k-y|
ХПВ(у,е)
< М [ ------------ = 2тгМг2.
J F- У\
в(уё)
Эта оценка показывает, что |СЛ(т/) — Ue(y)\ 2тгМе1 при любом у Е
Е R3, т. е. в указанном смысле интеграл (4) сходится равномерно на
множестве У = R3.
В частности, если проверить, что функция Us(y) непрерывна по ?/,
то отсюда уже можно будет из общих соображений сделать вывод о не-
прерывности потенциала U[y). Но непрерывность функции U£(y) фор-
мально не вытекает из утверждения 1 о непрерывности собственного
§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
565
интеграла, зависящего от параметра, так как в нашем случае с изме-
нением у меняется область интегрирования X \ В(ууе). Рассмотрим
поэтому внимательнее вопрос о непрерывности функции Ue(y).
Заметим, что при \у — т/о| С £
ие(у) = I
Х\В(у0,2е)
/х(а?) dx	Г //(a;) dx
к - у\ J к-уГ
Х\В(у,е))ПВ(у0,2е)
Первый из этих двух интегралов при условии, что \у — т/о| < не-
прерывен по у (как собственный интеграл с фиксированной областью
интегрирования). Второй же интеграл по абсолютной величине не пре-
восходит
f
В(у0,2е)
М dx
k-yl
-- SttMe2.
Значит, при всех значениях ?/, достаточно близких к тдь будет вы-
полнено неравенство |С7^(т/) — С4(?/о)| < £ + 167r7Vs2, устанавливающее
непрерывность U£(y) в точке уо е R3.
Таким образом, показано, что потенциал U(у) является непрерыв-
ной функцией во всем пространстве R3.
Разобранные примеры дают основание принять следующее общее
Определение 1. Пусть интеграл (1) является несобственным и
как таковой сходится при каждом значении у е Y. Пусть Хе—часть
множества X, полученная удалением из X s-окрестности множества
особых точек интеграла1), a Fe(y) = J f(x,y)dx. Будем говорить, что
х£
интеграл (1) сходится равномерно на множестве У, если Fe(y) =4 F(y)
на У при е —> +0.
Из этого определения и соображений, аналогичных тем, которые
были продемонстрированы в примере 3, немедленно вытекает следую-
щее полезное
Утверждение 4. Если функция f в интеграле (1) допускает
оценку |/(х,у)\	। где М Е х Е X С Rn, у Е У С Rn и
а <п, то интеграл сходится равномерно на множестве У.
^См. сноску на стр. 562.
566
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Пример 4. В частности, на основании утверждения 4 заключаем,
что интеграл
J F ~ Уг
х
полученный формальным дифференцированием потенциала (4) по пе-
ременной уг (г = 1,2,3), сходится равномерно на множестве Y = R3,
поскольку ~У )
к-2/1 к — 2/1
Как и в примере 3, отсюда следует непрерывность функции Уг[у)
на R3.
Убедимся теперь в том, что на самом-то деле функция U(y) — по-
тенциал (4) — имеет частную производную — и что —(у) = К(?/)-
дуг дуг
Для этого, очевидно, достаточно проверить, что
Ь
У Vt(y1,y2,y3)dyl = U(y1,y2,y3)
а
ь
уг=а
Но действительно,
b	ь
f VM dy‘ = f dy- у	dz =
а	а X
Единственное нетривиальное место в этой выкладке — изменение
порядка интегрирований. В общем случае для перестановки несобст-
венных интегрирований достаточно иметь абсолютно сходящийся по
совокупности переменных кратный интеграл. В нашем случае это усло-
вие удовлетворено, поэтому выполненная перестановка законна. Ее, ко-
нечно, можно обосновать и непосредственно благодаря простоте рас-
сматриваемой функции.
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
567
Итак, показано, что потенциал Щу), порожденный распределенным
в пространстве R3 зарядом ограниченной плотности, является функци-
ей, непрерывно дифференцируемой во всем пространстве.
Использованные в примерах 3 и 4 приемы и рассуждения позволяют
вполне аналогично рассмотреть следующую более общую ситуацию.
Пусть
F(y) = У К (у- ip(x))ip(x, у) dx,	(5)
X
где X — ограниченная измеримая область в Rm; параметр у пробегает
область Y С К71, причем п < тщ ср: X —> Rm—гладкое отображе-
ние, удовлетворяющее условиям rang у/(я) = п, и ||<^'(х)|| с > 0, т.е.
ср задает n-мерную параметризованную поверхность, точнее, п — путь
в Rm; К Е C'(Rm \ 0,R), т.е. функция K(z) непрерывна в Rm всюду,
кроме точки z — 0, около которой она может быть и неограниченной;
ф: X х Y —> R — ограниченная непрерывная функция. Будем считать,
что при каждом у Е Y интеграл (5) (вообще говоря, несобственный)
существует.
В рассмотренном нами выше интеграле (4), в частности, было
n — т, ip(x) = х, 'ф(х.у) = /х(ж),	А'(г) — |z|-1.
Нетрудно проверить, что при указанных ограничениях на функ-
цию tp определение 1 равномерной сходимости для интеграла (5) озна-
чает, что по любому а > 0 можно выбрать s > О так, что при любом
у EY будет
О!,
(6)
где интеграл берется по множеству1) {ж Е X | \у — <р(ж)| < е}.
Для интеграла (5) справедливы следующие утверждения.
Утверждение 5. Если интеграл (5) с указанными при его опи-
сании условиями на функции <р, ф, К сходится равномерно на Y, то
FeC(Y,R).
Здесь мы считаем, что само множество X ограничено в Rn. В противном случае
к неравенству (6) надо еще приписать аналогичное неравенство, в котором интеграл
берется по множеству {х Е X I И > 1/е}-
568
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Утверждение 6. Если про интеграл (5) известно дополнитель-
но, что функция ф не зависит от параметра у (т. е. ф(х,у) = ф(х))>
а К 6	\0,R), то при условии равномерной сходимости инте-
грала
[ 7^у ~ dx
на множестве у Е Y, можно утверждать, что функция F имеет
непрерывную частную производную причем
дуг
дК
дуг
(у - <р(х))ф(х) dx.
(7)
Доказательства этих утверждений, как было сказано, вполне анало-
гичны проведенным в примерах 3 и 4, поэтому мы на них не остана-
вливаемся.
Отметим лишь, что сходимость несобственного интеграла (при про-
извольном исчерпании) влечет его абсолютную сходимость. В приме-
рах 3, 4 условие абсолютной сходимости использовалось нами в оценках
и при перестановке порядка интегрирований. В качестве иллюстрации
возможного использования утверждений 5, 6 рассмотрим еще один при-
мер из теории потенциала.
Пример 5. Пусть заряд распределен на гладкой компактной по-
верхности S С R3 с поверхностной плотностью заряда р(х). Потенциал
такого распределения заряда называется потенциалом простого слоя
и, очевидно, представляется поверхностным интегралом
р(х) da(x)
(8)
S
Пусть v — ограниченная функция; тогда при у S этот интеграл
собственный и функция U(у) бесконечно дифференцируема вне S.
Если же у Е S, то интеграл имеет в точке у интегрируемую особен-
ность. Особенность интегрируема, так как поверхность S гладкая и в
окрестности точки у Е S мало отличается от куска плоскости R2, на ко-
торой, как мы знаем, особенность типа 1/га интегрируема при а < 2.
Это общее соображение, используя утверждение 5, можно превратить
в формальное доказательство, если локально в окрестности Vy точки
§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
569
у 6 S представить S в виде х = <р(£), где t 6 Vf С R2 и rang<p' = 2.
Тогда
[ v(x) da(x) = Г	/det/^ ^.\dt
J к - У\ J ly-y’WlV Xdt1’ОУ /
Vy	Vt	’
и,	применяя утверждение 2, убеждаемся еще и в том, что интеграл (8)
представляет функцию С/(т/), непрерывную во всем пространстве R3.
Вне носителя заряда, как уже отмечалось, объемный потенциал (4)
и потенциал простого слоя (8) бесконечно дифференцируемы. Проводя
зто дифференцирование под знаком интеграла, единообразно убежда-
емся в том, что вне носителя заряда потенциал, как и функция 1/|х—?/|,
в R3 удовлетворяет уравнению Лапласа ДС7 — 0, т. е. является в ука-
занной области гармонической функцией.
*4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные фун-
кции в многомерном случае
а.	Свертка в R71
Определение 2. Свертка и* v определенных на Rn вещественно
или комплекснозначных функций u, v задается соотношением
Кп
u(y)v(x - у) dy.
(9)
Пример 6. Сопоставляя формулы (4) и (9), можно заключить,
что, например, потенциал U распределенного в пространстве R3 с плот-
ностью р(х) заряда есть свертка (р * Е) функции р и потенциала Е
единичного заряда, помещенного в начало координат пространства R3.
Соотношение (9) есть прямое обобщение рассмотренного в § 4 опре-
деления свертки. По этой причине все разобранные в §4 для случая
n = 1 свойства свертки вместе с их выводами остаются в силе, если
там всюду заменить R на Rn.
Дельтаобразное семейство в определяется так же, как и в R с
заменой R на Rn и с пониманием U(0) как окрестности в Rn точки
О G Rn.
Понятие равномерной непрерывности функции f: G —> С на множе-
стве Е С G, а вместе с ним и основное утверждение 5 § 4 о сходимости
570
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
свертки f * Да к /, тоже со всеми деталями и следствиями переносится
на многомерный случай.
Отметим лишь, что в примере 3 и доказательстве следствия 1 из §4
при определении функций Дп(х) и соответственно следует заме-
нить х на |х|. Небольшие видоизменения J-образного семейства, приве-
денного в примере 4 § 4, потребуются для доказательства теоремы Вей-
ерштрасса об аппроксимации периодических функции тригонометриче-
скими полиномами. В этом случае речь идет о приближении функции
f (ж1,..., хп), непрерывной и периодической с периодами Т\,
Т2,..., Тп по переменным ш1, ж2,..., хп соответственно.
Утверждение состоит в том, что для любого е > 0 можно предъ-
явить тригонометрический полином от п переменных с соответствую-
щими периодами Ti,T2,... ,ТП, который равномерно с точностью до е
приближает f на Ж?1.
Мы ограничимся этими замечаниями. Самостоятельная проверка
доказанных в §4 для n = 1 свойств свертки (9) в случае произволь-
ного n Е N будет для читателя простым, но полезным упражнением,
способствующим адекватному пониманию изложенного в § 4.
Ь.	Обобщенные функции многих переменных. Остановимся
теперь на некоторых многомерных элементах введенных в § 4 понятий,
связанных с обобщенными функциями.
Пусть, как и прежде, <7(°°)(G) и Cq°°\G)—соответственно обозна-
чения множеств бесконечно дифференцируемых и финитных бесконеч-
но дифференцируемых в области G С функций. Если G ~ Вп,
то будем применять сокращения бХ00) и соответственно. Пусть
m (mi,..., mn) —мультииндекс, а
В Cq°°\G) вводится сходимость функций; как и в определении 7, §4
считается, что 9? в Cq°°\G) при к —> оо, если носители всех фун-
кций последовательности {<^} содержатся в одном и том же лежащем
в G компакте и для любого мультииндекса т =4 <р^ на G при
к оо, т.е. имеет место равномерная сходимость функций и всех их
производных.
После этого принимается
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 571
Определение 3. Линейное пространство Cq°°^(G) с введенной
сходимостью обозначается через T)(G) (при G = Rn через ТУ} и на-
зывается пространством основных или пробных функций.
Линейные непрерывные функционалы на 'D(G) называются обоб-
щенными функциями или распределениями. Они образуют линейное
пространство обобщенных функций, обозначаемое через T)f(G) (или ТУ,
если G — Ж71).
Сходимость в ТУ(С}, как и в одномерном случае, определяется как
слабая (поточечная) сходимость функционалов (см. §4, определение 6).
Определение регулярной обобщенной функции дословно переносит-
ся на многомерный случай.
Остается прежним и определение J-функции и смещенной в точку
жо Е С J-функции, обозначаемой через J(xo) или чаще, но не всегда
удачно, через J(x — а?о).
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 7. Положим
— в 4а21
П
где а > 0, t > 0, х е Жп. Покажем, что эти функции, рассматривае-
мые как регулярные распределения в Жп, сходятся в ТУ при t —> +0 к
J-функции Ж71.
Для доказательства достаточно проверить, что семейство функ-
ций является ^-образным в Rn при t —> +0.
Используя замену переменной, сведение кратного интеграла к по-
вторному и значение интеграла Эйлера-Пуассона, находим
п
2
х
2ауД
Rn
Далее при любом фиксированном значении г > 0
В(0,г)
в 0,-^7=
\ ’ 2aVt
когда t —> +0.
572
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Учитывая, наконец, неотрицательность функций Де (ж), заключаем,
что они действительно составляют J-образное семейство функций в Rn.
Пример 8. Обобщением J-функции (отвечающей, например, еди-
ничному заряду, помещенному в начало координат пространства Rn)
является следующая обобщенная функция (отвечающая распределе-
нию заряда по кусочно гладкой поверхности S с единичной поверхност-
ной плотностью распределения). Действие на функции Е V опре-
деляется соотношением
(8s,p) := j ip(x)do.
s
Распределение Js, так же как и распределение не является регу-
лярной обобщенной функцией.
Умножение распределения на функцию из Т) определяется в так
же, как и в одномерном случае.
Пример 9. Если до Е D, то pSs есть обобщенная функция, дей-
ствующая по закону
{/j,8s,p} = j cp(x)p(x}dcr.	(10)
s
Если бы функция р(х) была определена только на поверхности S,
то равенство (10) можно было бы рассматривать как определение обоб-
щенной функции Так вводимая обобщенная функция по естествен-
ной аналогии называется простым слоем на поверхности S с плотно-
стью р.
Дифференцирование обобщенных функций в многомерном случае
определяется по тому же принципу, что и в одномерном, но имеет не-
которую специфику.
Если F Е P'(G) иСс®п,то обобщенная функция — определяется
Qxl
соотношением
Отсюда следует, что
= (-l)|m|(F,^m)),	(11)
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
573
п
где т = (mi,..., mm) — мультииндекс и \т\ = ^2 шг-
г=1
л2 т?	л2 р
Естественно проверить, что------= -------. Но это следует из
дхгдх3 дх3дхг	™
венства правых членов соотношений
/ s2F	\	/„ агу \
\ дхгдхэ ’	/	\	' дхэдх1 /	’
/ d2F	\	/	д2<р \
\ дх^дх1 ’	/	\	’ дхгдхз /	’
о2	о2
вытекающего из классического равенства °	— °	, справе]
дхгдх3	дх3дхг
вого для любой функции ip Е Т>.
Пример 10. Рассмотрим теперь оператор D = ^2 a>mDrri, где т =
т
= (mi,...,тп)— мультииндекс, Dm = (-М	•	• (-^-) П, ат —
\дх /	\дхп/
числовые коэффициенты, а сумма распространяется на некоторый ко-
нечный набор мультииндексов. Это дифференциальный оператор.
Транспонированным по отношению к оператору D или сопряжен-
ным к D называется оператор, обозначаемый обычно символом
или Р* и определяемый соотношением
{DF,cp) =: (F, 'Dip),
которое должно быть выполнено при любых Е Р и F Е Р'. Исходя из
равенства (И), можно теперь написать явную формулу
т
оператора, сопряженного к указанному дифференциальному опе-
ратору Р.
В частности, если все значения |т| четны, оператор Р оказывается
самосопряженным, т. е. для него *Р = Р.
Ясно, что операция дифференцирования в P'(Rn) сохраняет все
свойства дифференцирования в P'(R). Рассмотрим, однако, следующий
специфически многомерный и важный
Пример 11. Пусть S — гладкое (п — 1)-мерное подмногообра-
зие Rn, т.е. S — гладкая гиперповерхность. Предположим, что опре-
деленная на Rn \ S функция f бесконечно дифференцируема и все ее
574
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
частные производные имеют предел в каждой точке х G S при одно-
стороннем подходе к х с любой стороны (локально) поверхности 5.
Разность между этими пределами будет скачком _[ рассматрива-
ет2
емой частной производной в точке ж, соответствующим определенному
направлению прохода сквозь поверхность S в точке х. При изменении
этого направления меняется знак скачка. Скачок, таким образом, мож-
но считать функцией на ориентированной поверхности, если, например,
условиться, что направление прохода задается ориентирующей поверх-
ность нормалью.
Функция определена, непрерывна и локально ограничена вне 5,
причем в силу сделанных допущений f локально является финально
ограниченной при подходе к самой поверхности S. Поскольку S — под-
многообразие Rn, как бы мы ни доопределили на 5, мы получим
дхг
функцию с разрывами разве что на 5, и потому локально интегриру-
емую в Rn. Но интегрируемые функции, отличающиеся на множестве
меры нуль, имеют равные интегралы, поэтому, не заботясь о значе-
ниях на 5, можно считать, что порождает некоторую регулярную
дхг
обобщенную функцию ^^4}’ действующую по закону
Покажем теперь, что если f рассматривать как обобщенную функ-
цию, то в смысле дифференцирования обобщенных функций имеет ме-
сто следующая важная формула:
df
дхг
> + (J/)s cosmos,
(12)
где последний член понимается в смысле равенства (10); (J f)s — ска-
чок функции f в точке х 6 5, соответствующий любому (из двух воз-
можных) направлению единичной нормали п к S в точке ж, a cos аг —
проекция п на ось хг (т. е. n = (cosai,..., cos oik))-
◄ Формула (12) обобщает равенство (17) из §4, которое мы и ис-
пользуем при ее выводе.
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
575
Рассмотрим для определенности случай, когда i = 1. Тогда
Здесь скачок J f функции f берется в точке х = (ж1, ж2,..., хп) Е S
при прохождении через нее в направлении координатной оси х\. В этой
же точке берется значение функции <р при вычислении произведения
(_[ /)<?• Значит, последний интеграл можно записать в виде поверхност-
ного интеграла первого рода
J СТ/)</? cos aider,
s
где «1 — угол между направлением оси xi и нормалью к S в точке х,
направленной так, что при прохождении через точку х G S в направле-
нии этой нормали функция f имеет именно полученный нами скачок
J/. Это означает всего-навсего, что cosaii 0. Остается заметить, что
если выбрать другое направление нормали, то для него одновременно
изменят знак и скачок функции и косинус угла между направлением
оси х1 и направлением нормали, значит, произведение (J/)cos«i при
этом не изменится. ►
Замечание 1. Как видно из проведенного доказательства, фор-
мула (12) имеет место уже тогда, когда для функции f определен ска-
чок (J f)s в любой точке х Е S, а вне S существует частная производная
1Ц-, локально интегрируемая в Ж1 хотя бы в несобственном смысле, по-
дх
рождающая регулярную обобщенную функцию | к
к ^^х
576
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Замечание 2. В точках х G 5, в которых направление оси х1 не
трансверсально 5, т.е. касательно к S, могут возникнуть затруднения
в определении скачка J f по такому направлению. Но из доказательства
формулы (12) видно, что последний ее член получен в связи с интегра-
лом
м
х2...хп
(_[ f)(pdx2 ... dxn.
Проекция на плоскость ж2,..., хп множества Е указанных точек
имеет (п — 1)-мерную меру нуль и потому не влияет на значение ин-
теграла. Значит, форму (12) можно считать имеющей смысл и спра-
ведливой всегда, если при cosaz = 0 символу (J/)scosaiz приписывать
значение нуль.
Замечание 3. Аналогичные соображения позволяют пренебре-
гать и множествами, имеющими площадь нуль, поэтому формулу (12)
можно считать доказанной и для кусочно гладких поверхностей.
В качестве следующего примера покажем, как из дифференциаль-
ного соотношения (12) непосредственно получается классическая ин-
тегральная формула Гаусса-Остроградского, причем в том наиболее
свободном от излишних аналитических требований виде, о котором мы
в свое время поставили читателя в известность.
Пример 12. Пусть G— конечная область в Rn, ограниченная ку-
сочно гладкой поверхностью S'; А = (А1,..., Ап) — векторное поле, не-
прерывное в G и такое, что функция div А —	---определена в G и
г=1 дхг
интегрируема в G хотя бы в несобственном смысле.
Если считать, что вне G поле А равно нулю, то скачок такого поля
в любой точке х границы S области G при выходе из области G равен
—А(ж). Полагая, что п — единичный вектор внешней нормали к S', при-
меняя формулу (12) к каждой компоненте Аг поля А и, суммируя эти
равенства, приходим к соотношению
div А = {div А} — (А • n)6s,
(13)
в котором А • п — скалярное произведение векторов А и п в соответ-
ствующей точке х Е S.
Соотношение (13)—это равенство обобщенных функций. Приме-
ним его к функции 6 равной единице на G (существование и
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
577
построение такой функции уже неоднократно обсуждалось). Поскольку
для любой функции ЕТ)
(14)

(что вытекает непосредственно из определения дифференцирования об-
общенной функции), то для нашего поля А и функции очевидно,
(div А, •$) = 0. Но с учетом равенства (13) это дает соотношение
0 = ({div Л}, ip) - ((А • n)8s, ip),
которое в классической записи
(15)
совпадает с формулой Гаусса-Остроградского.
Разберем еще несколько важных примеров, связанных с дифферен-
цированием обобщенных функций.
Пример 13. Рассмотрим векторное поле А = рр-, определенное
в R3 \0, и покажем, что в пространстве D'(R3) обобщенных функций
имеет место равенство
div = 4тг3.	(16)
ж Н
Заметим сначала, что при х 0 в классическом смысле div — 0.
kl
Теперь, используя последовательно определение div А в виде со-
отношения (14), определение несобственного интеграла, равенство
div= 0 при х ф 0, формулу (15) Гаусса-Остроградского и фи-
н
нитность функции ср, получаем
578
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
lim —
E—> + 0
• V^(rr) ) dx =
lim —
dx =
lim
da = 4тг(^(0) ~ (4тп5, tp).
Для оператора A: Pf(G) —> Vf(G), как и прежде, фундаменталь-
ным решением назовем обобщенную функцию Е С 7?'((7), для которой
А(Е) = S.
Пример 14. Проверим, что в Z>'(®^) регулярная обобщенная фун-
кция Е(х) = — 4J|^| является фундаментальным решением оператора
/ ~ \ 2	/ ~ \ 2	/ о \ 2
Лапласа Д = (	| + (	| •
\дхЧ \dx2J \дх3/
Действительно, Д = div grad, a grad Е(х) — —при х 0, поэтому
47г|ж|д
равенство div grad Е = 5 вытекает из доказанного соотношения (16).
Можно, как и в примере 13, проверить, что при любом п Е N, п 2,
div = °п8,
(16')
2?ГП/2	v	ттъп
где ап ~ р(п/2) —площадь единичной сферы в к .
Отсюда с учетом соотношения Д = div grad можно заключить, что
A ln|X| = 2ttJ в R2
И
n~2
n
Пример 15. Проверим, что функция
ч H(t)
Е(х,1) ~------=—е 4^7
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
579
где я Е Rn, £ Е R, а Я — функция Хевисайда (т. е. мы полагаем Е(х^ t) =
= 0 при t < 0), удовлетворяет уравнению
Здесь Д— оператор Лапласа по х в Rn, а 6 = есть J-функция
в х
При t > 0 Е 6 C'(00)(Rn+1) и прямым дифференцированием убежда-
емся в том, что
— а2Д ) Е = 0 при t > 0.
Учитывая это обстоятельство, а также результат примера 7, для
любой функции <р Е	получаем
lim / Е(х, е)<р(х, 0) dx — <^(0,0) = (J,
£->+0 J
Пример 16. Покажем, что функция
E(x,t) = —H(at — |а?|),
580
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
где	Н—функция Хевисайда, удовлетворяет
уравнению
в котором 6 = S(x,t) есть J-функция пространства 72'х ®t) -
= T>'(R2).
Я2 о Я2
Пусть tp Е 7?(R2), полагая для краткости Па ~ — а2-!?-- находим
dt дх
1^аЕ,ч>) = (Е,Па<р) = f dx j E(x,t)na<p(x,t)dt =
+оо	+оо	+оо at
2а J J dt2 2 J J дх2
—оо	kl	0 —at
а
+оо	+оо
1 f dtp ( Ы \ , а Г [dtp,	. dtp.	J ,
= -5- /	( х' ~ ) dx ~ о /	dt =
2а J ot \	a J 2 J [ox	dx
—oo	0
+oo	+00
1 f dtp, 7	1 f dtp
= ~^ /	/ -^(~at,t)dt =
2a J dt	2 J dt
о	0
= 1^(0,0) + 1^(0,0) = </>(0,0) =
Li	Li
В § 4 мы достаточно подробно изложили роль аппаратной функции
оператора и роль свертки в задаче определения входного воздействия и
по выходу и линейного оператора Аи = й, сохраняющего сдвиги. Все
изложенное там по этому поводу без изменений переносится на много-
мерный случай. Значит, если нам известно фундаментальное решение Е
оператора А, т.е. если АЕ ~ J, то можно предъявить и решение и и
уравнения Au ~ f в виде свертки и = f * Е.
Пример 17. Используя функцию E(x,t) примера 16, можно, та-
ким образом, предъявить решение
u(x,t) =
t x+a(t—r)
0	x—a(t—r)
1
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 581
уравнения
д'1 и 2^и _
дё~а дх2=^
являющееся сверткой f * Е функций f и Е, заведомо существующей в
предположении, например, непрерывности функции /. Непосредствен-
ным дифференцированием возникшего интеграла по параметрам легко
проверить, что u(x,t)— действительно решение уравнения Пап = /.
Пример 18. Аналогично на основе результата примера 15 нахо-
дим решение
уравнения — Дп = /, например, в предположениях непрерывно-
сти и ограниченности функции f, обеспечивающих существование на-
писанной свертки f * Е. Отметим, что эти предположения делаются
для примера и далеки от обязательных. Так, с точки зрения обобщен-
ных функций можно было бы ставить вопрос о решении уравнения
Дп = /, допуская в качестве /(ж, t) обобщенную функцию
где<^бС(Жп), a JGC'(]R).
Формальная подстановка такой функции f под знак интеграла при-
водит к соотношению
Применяя правила дифференцирования интеграла, зависящего от
параметра, можно убедиться, что эта функция является решением урав-
нения — а2Дп = 0 при t > 0. Отметим, что п(ж,£) —> <р(ж)} когда
t —> +0. Это вытекает из результата примера 7, где была установлена
J-образность встретившегося здесь семейства функций.
Пример 19. Наконец, вспоминая полученное в примере 14 фунда-
ментальное решение оператора Лапласа, в трехмерном случае находим
решение
R3
582
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
уравнения Пуассона Дгл = — 4л/, которое с точностью до обозначений
и перенормировки совпадает с рассмотренным нами ранее потенциа-
лом (4) распределенного в пространстве с плотностью f заряда.
Если в качестве функции f взять v(x)8s, где S — кусочно гладкая
поверхность в R3, то формальная подстановка в интеграл приводит к
функции
S
являющейся, как мы знаем, потенциалом простого слоя, точнее, потен-
циалом заряда, распределенного по поверхности S С R3 с поверхност-
ной плотностью р(ж).
Задачи и упражнения
1.	а) Рассуждая, как и в примере 3, где была установлена непрерывность
объемного потенциала (4), докажите непрерывность потенциала простого
слоя (8).
Ь) Проведите полное доказательство утверждений 4 и 5.
2.	а) Покажите, что для любого множества М С и любого е > 0 можно
построить функцию / класса С^00) (Rn, К), удовлетворяющую следующим трем
условиям одновременно: \/х € Rn (0 f(x) 1); Vx € М (f(x) = 1); supp / С
С Ме, где М£—е-раздутие (т.е. е-окрестность) множества М.
Ь) Докажите, что для любого замкнутого в множества М существует
такая неотрицательная функция / €	(IRn, К), что (f(x) = 0) О (х € М).
3.	а) Решите задачи б и 7 из § 4 применительно к случаю пространства
произвольной размерности.
Ь) Покажите, что обобщенная функция 8$ (простой слой) не является ре-
гулярной.
4.	Используя свертку, докажите следующие варианты аппроксимационной
теоремы Вейерштрасса.
а)	Любую непрерывную на компактном n-мерном промежутке I С Rn
функцию /: I —> R можно равномерно приблизить на нем алгебраическим
многочленом от п переменных.
Ь)	Предыдущее утверждение остается в силе, даже если заменить I про-
извольным компактом К С К и считать, что / € С (К, С).
с)	Для любого открытого в множества G С IRn и любой функции
/ €	R) найдется такая последовательность {Р*} алгебраических мно-
гочленов от п переменных, что при любом мультииндексе а = (оц,..., ап)
таком, что |а| т, на каждом компакте К с G будет =£ при
к —> сю.
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
583
d)	Если G — ограниченное открытое подмножество и f €	К),
то существует такая последовательность {Р*} алгебраических многочленов
от п переменных, что при любом а — (ai,... , ап) =3 на G, когда
к —> сю.
е)	Любую периодическую с периодами Тл,	, Тп по переменным х1,...,
хп функцию f € <7(I^n, К) можно в Rn равномерно аппроксимировать триго-
нометрическими многочленами от п переменных, имеющими те же периоды
71, Т2, • • •, Тп по соответствующим переменным.
5.	Эта задача содержит дальнейшие сведения об усредняющем действии
свертки.
а)	На основе числового неравенства Минковского в свое время при р 1
мы получили интегральное неравенство Минковского
Оно в свою очередь позволяет предугадать следующее обобщенное инте-
гральное неравенство Минковского:
у) dy
\f\p(x,y)dx
Докажите это неравенство, считая что р 1, что X, Y — измеримые мно-
жества (например, промежутки в и соответственно) и что правая часть
неравенства конечна.
Ь)	Применив обобщенное неравенство Минковского к свертке f * д, пока-
жите, что при р 1 имеет место соотношение 11/ * #||р	||/||i • ||р||р, где, как
/	\ 1/р
всегда, ||и||р — ( J
\ Rn	/
с)	Пусть у? € Co°°\l^n, К), причем 0	1 на Rn и J* (p(x)dx = 1.
Rn
Положим ip£(x) :=	(~) и f£ := f * <ре при е > 0. Покажите, что если f €
€ 7£p(Rn) (т.е. если существует интеграл f |/|р(я)dx), то /е € С(°°)(Rn,К) и
Rn
ll/ellp Н/Нр.
Отметим, что функцию /е часто называют усреднением функции f с яд-
ром <р£.
d)	Сохраняя предыдущие обозначения, проверьте, что на любом проме-
жутке / С справедливо следующее неравенство:
ПЛ - Ж/ SUP ||тл/ -
|Л|<е
584
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
/	\ 1/р
где ||iz||pj = ( J l«l₽(s) dx I , a rhf(x) = f(x - h).
X/	/
e)	Покажите, что если f G 7Jp(Kn), to \\rhf — f ||P,i -> 0 при h -> 0.
f)	Докажите, что для любой функции f G 7Jp(Kn), p 1 справедливы
соотношения ||/e||p	\\f\\p и \\fe - f||p -> 0 при e -> +0.
g)	Пусть 7?p(G) —векторное с нормой || ||р с? пространство абсолютно ин-
тегрируемых на открытом множестве С С F функций. Покажите, что фун-
кции класса C^(G) П 7JP(G) образуют всюду плотное подмножество 1Zp(G)
и что это же верно и для множества Cq°°\G) П 7Jp(G).
h)	Случаю р = оо в предыдущей задаче можно сопоставить следующее
утверждение: любую непрерывную на G функцию можно в G равномерно ап-
проксимировать функциями класса C^°°\G).
i)	Если f — Т-периодическая локально абсолютно интегрируемая на К фун-
/ а+Т	\
кция, то, полагая = I f	I , будем через 1Zp обозначать
\ a	J
линейное пространство с указанной нормой. Докажите, что ||/е — f ||Р,т —> О
при е -> -1-0.
j)	Пользуясь тем, что свертка двух функций, из которых одна периодиче-
ская, сама периодична, покажите, что гладкие периодические функции клас-
са (№ всюду плотны в 72.J.
6.	а) Сохраняя обозначения примера 11 и используя формулу (12), про-
верьте, что если f G C'(1)(IRn \ S), то
d2f	( d2f ) д	f	( df
я ? = о ? f + д-7((_Г f)s cos at6s) + ( М f ) соза,<5$.
дхгдхд	(дхгдхэ j	dxJ	\	I ®х )	/ s
b) Покажите, что сумма ^2 (_Г C0SQ;* равна скачку (J fin) s нормаль-
ной производной от функции f в соответствующей точке х G S, причем этот
скачок не зависит от направления нормали и равен сумме	(х)
нормальных производных от /, взятых в точке х с обеих сторон поверхно-
сти S.
с) Проверьте соотношение
д/ = {д/}+(;^) <w^-(CT/)sM
у (УТЬ J g (уТ1/
где —нормальная производная (т.е.	:=	а (J/)s —
скачок функции f в точке х G S в направлении нормали п.
d) Используя полученное выражение для Д/, докажите справедливость
§5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
585
классической формулы Грина
У (/Ду - удл * = у	*
G	S
в предположении, что G — конечная область в Кп, ограниченная кусочно глад-
кой поверхностью S'; f,<?e C'(1)(G)nC(2)(G), а стоящий слева интеграл суще-
ствует хотя бы как несобственный.
е) Покажите, что если J-функция соответствует единичному заряду, по-
мещенному в начале координат 0 пространства Кп, и функция — отвечает
диполю с электрическим моментом 4-1, расположенному в точке 0 и ориенти-
рованному вдоль оси я:1 (см. задачу Не) из §4), а функция v(x)$s— простой
слой, отвечает распределению зарядов по поверхности S с поверхностной плот-
ностью v(x), то функция — ^(p(a:)Js), называемая двойным слоем, отвечает
распределению диполей по поверхности S, ориентированных по нормали п и
имеющих поверхностную плотность момента v(x).
f) Полагая в формуле Грина у? = и используя результат примера 14,
покажите, что любая гармоническая в области G функция f класса
представляется в виде суммы потенциала простого и двойного слоя, располо-
женных на границе S области G.
7.	а) Функция является потенциалом напряженности А = — элек-
трического поля, создаваемого в пространстве К3 единичным зарядом, поме-
щенным в начало координат. Нам известно также, что
= 4лд<5,
div grad ( -Д- ) = 4л6.
Исходя из этого, объясните, почему надо полагать, что функция U(x) —
= f	Должна удовлетворять уравнению Д U = — 4л/х. Проверьте, что она
R3
действительно удовлетворяет написанному уравнению Пуассона.
Ь) Физическое следствие формулы Гаусса -Остроградского, известное в
теории электромагнитного поля как теорема Гаусса, состоит в том, что по-
ток через замкнутую поверхность S напряженности электрического поля, со-
здаваемого распределенными в пространстве К3 зарядами, равен Q/во (см.
с. 329), где Q — полный заряд в области, ограниченной поверхностью S. Дока-
жите эту теорему Гаусса.
8.	Проверьте следующие равенства, понимаемые в смысле теории обоб-
щенных функций.
а)	Д£ = <5, если
Е(х) = <
£1пИ
____ГД)___Ы - (п-2)
2тгп/2(п—2) । ।
при
при
х е Ж2,
х € Ж”, п > 2.
586
ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Ь)	(А + к2)Е = 6, если Е(х) =
I	.	р—г&|я:|	_о
е или если Е(х) = — ^47Г|д,| и х G Ж3.
Г / „ Ч 2	z „ ч 21
Ттг|ж|
=	- а2
dt? а
с)	где оператор Па
~	9 при х G К2 или Е — лЯ(9 6sat = т^<5(а2£2 ~ И2) ПРИ х ®3’
гтгад/Л2 - |ж|2	47га2£ а< 27га v	1 1 7	’
t Е R. Здесь H(t)—функция Хевисайда, Sat = {# € К3 | |я:| = at} — сфера,
а > 0.
d)	Используя предыдущие результаты, предъявите решение и уравнения
Au = f для соответствующего дифференциального оператора А в виде сверт-
ки f *Е и проверьте, например, в предположении непрерывности функции /,
что полученные вами интегралы, зависящие от параметра, действительно удо-
влетворяют уравнению Au = f.
9.	Дифференцирование интеграла по жидкому объему.
Пространство заполнено перемещающимся веществом (жидкостью). Пусть
v ~ v(t,x) и р — p(t,x)—соответственно скорость перемещения и плотность
вещества в момент времени t в точке х. Будем наблюдать за перемещением
порции вещества, заполняющего в начальный момент область По •
а)	Выразите в виде интеграла массу вещества, заполняющего область П4,
полученную из По к моменту t, и запишите закон сохранения массы.
Ь)	Продифференцировав интеграл F(t) = f f(t,x)du с переменной обла-
пт
стью интегрирования (жидкий объем), покажите, что Ff(t) ~ J -ffidw +
+ J f{v,n)da, где	dcj, dcr, n, v, ( , )—соответственно область, ее
dQt
граница, элемент объема, элемент площади, единичная внешняя нормаль, ско-
рость потока в момент t в соответствующих точках и скалярное произведение.
с)	Покажите, что F'(t) из задачи Ь) можно представить в виде Ff(t) =
= f (^t+	dw.
d)	Сопоставляя результаты задач а), b), с), получите уравнение неразрыв-
ности + div(/w) = 0. (См. в этой связи также гл. XIV, §4, п. 2.)
е)	Пусть |nt|—объем области П4. Покажите, что = J* divided.
f)	Покажите, что поле v скорости потока несжимаемой жидкости безди-
вергентно (div v ~ 0) и что это условие есть математическая запись несжима-
емости (сохранения объема) любой порции эволюционирующей среды.
g)	Поле (р, q) фазовой скорости гамильтоновой системы классической ме-
ханики удовлетворяет уравнениям Гамильтона р ~	, q =	, где Н —
= q) — функция Гамильтона системы. Вслед за Лиувиллем покажите, что
гамильтонов поток сохраняет фазовый объем. Проверьте также, что функция
Гамильтона Н (энергия) постоянна вдоль линий тока (траекторий).
ГЛАВА XVIII
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Основные общие представления, связанные с понятием
ряда Фурье1)
1. Ортогональные системы функций
а. Разложение вектора в линейном пространстве. На протя-
жении всего курса анализа мы неоднократно отмечали, что те или иные
классы функций по отношению к стандартным арифметическим опе-
рациям образуют линейные пространства. Таковы, например, основ-
ные для анализа классы гладких, непрерывных или интегрируемых на
области X С Rn вещественно, комплексно или вообще векторнозначных
функций.
С точки зрения алгебры равенство
f = Oil fl + . . . + Oinfni
где /, /i,..., fn — функции данного класса, а аг — коэффициенты из по-
ля R или С, попросту означает, что вектор f является линейной комби-
нацией векторов /1,..., fn рассматриваемого линейного пространства.
^Ж. Б. Ж. Фурье (1768 -1830) ~~ французский математик. Его основной труд
«Аналитическая теория теплоты» (1822) содержал выведенное Фурье уравнение те-
плопроводности и метод разделения переменных (метод Фурье) его решения (см.
стр. 608). Ключом в методе Фурье является разложение функции в тригонометриче-
ский ряд (ряд Фурье). Исследованием возможности такого разложения занимались
впоследствии многие крупные математики. Это, в частности, привело к созданию
теории функций действительного переменного, теории множеств, а также способ-
ствовало развитию самого понятия функции.
588
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В анализе, как правило, приходится рассматривать «бесконечные
линейные комбинации» — ряды функций вида
оо
f = ак^к-
к=1
(1)
Определение суммы ряда требует, чтобы в рассматриваемом ли-
нейном пространстве была задана некоторая топология (в частности,
метрика), позволяющая судить о стремлении к нулю разности f — Sn,
где Sn = £ akfk-
к=1
Основным для классического анализа приемом введения метрики на
линейном пространстве является определение в этом пространстве той
или иной нормы вектора или того или иного скалярного произведения
векторов. Обсуждению этих понятий был посвящен § 1 гл. X.
Сейчас мы будем рассматривать только пространства, наделенные
скалярным произведением (которое, как и прежде, будем обозначать
символом ( , )). В таких пространствах можно говорить об ортого-
нальных векторах, ортогональных системах векторов и ортогональных
базисах, подобно тому, как это говорилось в знакомом из аналитиче-
ской геометрии случае трехмерного евклидова пространства.
Определение 1. Векторы х, у линейного пространства, наделен-
ного скалярным произведением ( , ), называются ортогональными (от-
носительно этого скалярного произведения), если (ж, у) = 0.
Определение 2. Система векторов к Е К} называется орто-
гональной, если векторы системы, отвечающие различным значениям
индекса к, попарно ортогональны.
Определение 3. Система векторов {е^к Е К} называется орто-
нормированной [или ортонормальной), если для любых индексов i, j €
€ К выполняется соотношение (ег, е3) = 8г^, где 8г^ —символ Кронеке-
г fl, если
ра, т. е. Ьг 7 = < _	. , .
1 0, если г / j.
Определение 4. Конечная система векторов &i,..., хп называет-
ся линейно независимой, если равенство оц£1+012^2 + • • - + ^пхп = 0 воз-
можно, лишь когда di =	= • • • = ап ~ 0 (в первом случае 0 — нулевой
вектор пространства, во втором случае 0 — нуль поля коэффициентов).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
589
Произвольная система векторов линейного пространства называет-
ся системой линейно независимых векторов, если линейно независима
каждая ее конечная подсистема.
Основной вопрос, который нас сейчас будет интересовать, это во-
прос о разложении вектора пространства по заданной системе линейно
независимых векторов.
Имея в виду дальнейшие приложения к пространствам функций (ко-
торые могут быть и бесконечномерны), мы должны считаться с тем,
что такое разложение может, в частности, привести к ряду типа ря-
да (1). Именно в этом и будет состоять элемент анализа при рассмотре-
нии того основного и по существу алгебраического вопроса, который
мы поставили.
Как известно из курса аналитической геометрии, разложения по
ортогональным и ортонормированным системам имеют много техни-
ческих преимуществ в сравнении с разложениями по произвольным ли-
нейно независимым системам (легко вычисляются коэффициенты раз-
ложения; по координатам векторов в ортонормированном базисе легко
вычисляется скалярное произведение этих векторов и т.д.).
Именно поэтому мы будем в основном интересоваться разложения-
ми по ортогональным системам. В пространствах функций это будут
разложения по ортогональным системам функций или ряды Фурье,
изучению которых и посвящена эта глава.
Ь. Некоторые примеры ортогональных систем функций.
Развивая пример 12 из § 1 гл.Х, на линейном пространстве С)
локально интегрируемых на множестве X С функций, имеющих ин-
тегрируемый на X (в собственном или несобственном смысле) квадрат
модуля, введем скалярное произведение
{f,g) = У(/ -g)(x)dx.
(2)
Поскольку |/ • д\ з(|/|2 + |<?|2), интеграл в равенстве (2) сходится
и, значит, корректно определяет величину
Если речь будет о вещественнозначных функциях, то в соответству-
ющем вещественном пространстве 7^2 (-У, К) соотношение (2) сводится
590
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
к равенству
(f,g) = У(/ -g)(x)dx.
(з)
Опираясь на свойства интеграла, легко проверить, что все указан-
ные в § 1 гл. X аксиомы скалярного произведения в этом случае выполне-
ны, если отождествлять функции, отличающиеся лишь на множествах
n-мерной меры нуль. Всюду дальше в основном тексте параграфа ска-
лярные произведения функций будут пониматься в смысле равенств (2)
и(3).
Пример 1. Вспомним, что при целых тип
ТГ
/гтх
— 7Г
—гпх
О
О,
2тг,
если т п,
если т — п;
7Г
у* cos тх cos пх dx —
— ТГ
0,
тг,
2 л
если т / п,
если т = п / 0,
если т = п ~ 0;
7Г
У cosmx sinnx dx = 0;
— 7Г
ТГ
У sin mx sin nx dx =
— ТГ
0,
я,
если	т / п,
если	т — п / 0.
(4)
(5)
(6)
(7)
Эти соотношения показывают, что {егпх; п G Z} является ор-
тогональной системой векторов пространства	тг],С) отно-
сительно скалярного произведения (2), а тригонометрическая си-
стема {l,cosnx,sinmr;n G N} ортогональна в 7?.2([—тг, тг],R). Если
рассматривать тригонометрическую систему как набор векторов в
7^2([“Tr,тг],С), т.е. допустить линейные комбинации с комплексными
коэффициентами, то в силу формул Эйлера егпх — cosnx -hzsinnx,
cosnx — ^(егпх + е~гпх), sinnx = ^(etnx ~ е~гпх) окажется, что рас-
смотренные системы линейно выражаются друг через друга, т. е.
алгебраически эквивалентны. По этой причине систему экспонент
{егпх; п Е N} также называют тригонометрической системой или
точнее тригонометрической системой в комплексной записи.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
591
Соотношения (4) - (7) показывают, что рассмотренные системы ор-
тогональны, но не нормированы, а системы <1 -=етж;п Е	—J===,
I у2тг	) I у2тг
-1= cosnx, Д= sinnxjn е N? уже ортонормированы.
у 7Г	у 7Г	J
Если вместо отрезка [—тг, тг] взять произвольный отрезок [—/,/] С
С R, то заменой переменной можно получить аналогичные системы
|егТ^;
ранствах	и	а также соответствующие орто-
1, cos jnx, sin jnx; n E ортогональные в прост-
нормированные системы
1	1 тг 1 . тг
< —==, —= cos —пх, —= sin -пх:п Е N
lx/2Z vT I I
Пример 2. Пусть 1Х — промежуток в Rm, а 1у — промежуток
в К71, и пусть {/&(#)}— ортогональная система функций в	а
{(/Ду)} — ортогональная система функций в 7^2(4,, IR). Тогда, как сле-
дует из теоремы Фубини, система функций {щ3[х,у) := /г(я)<77(у)} ор-
тогональна в 7^2(1х х Iy, R).
Пример 3. Заметим, что при а / /3

sinaxsm(3xdx = -
sin(a — (3)1 sin(a — (3)1
а — /3 а + /3
= cos al cos /31 •
/3 tg al — a tg /31
a2 — /32
Значит, если величины а и /3 таковы, что	то исходный
интеграл равен нулю. Следовательно, если < £2 < • • • <	< * • • по-
следовательность корней уравнения tg£/ = с£, где с — произвольная по-
стоянная, то система функций {sin(£nx);n 6 N} ортогональна на отрез-
ке [О, I]. В частности, при с — 0 получаем знакомую систему |sin j-nx
п Е N
Пример 4. Рассмотрим уравнение
d2
dx2
+ q(%) 1 u(x) = Au(x),
592
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
где 2 (ММ а А — числовой коэффициент. Предположим, что
функции	класса (7^ ([а, Ь], R) обращаются в нуль на концах
отрезка [а, Ь] и каждая из них удовлетворяет данному уравнению со
своим значением Ai, А2,. •. коэффициента А. Покажем, что если Аг А?,
то функции иг, и3 ортогональны на [а,Ь].
Действительно, интегрируя по частям, находим, что
В соответствии с уравнением отсюда получаем, что
и, поскольку Аг / Aj, теперь заключаем, что (иг,и7) = 0.
В частности, если q(x) ~ 0 на [а, 6], а [а, 6] = [0, тг], мы вновь полу-
чаем ортогональную на [0, тг] систему {sinnxjn Е N}.
Дальнейшие примеры, в том числе и примеры важных для матема-
тической физики ортогональных систем, читатель найдет в задачах к
этому параграфу.
с* Ортогонализация. Хорошо известно, что в конечномерном ев-
клидовом пространстве на основе любой линейно независимой системы
векторов каноническим образом (с помощью процесса ортогонализа-
ции Грама1)-Шмидта2^) можно построить ортогональную и даже ор-
тонормированную систему векторов, эквивалентную данной. Этим же
способом, очевидно, и в любом линейном пространстве со скалярным
произведением можно ортонормировать любую линейно независимую
систему его векторов ^1, ^2, • • •
1^И. П. Грам (1850 -1916) — датский математик, продолживший исследования
П Л. Чебышева и выявивший связь между разложениями в ряды по ортогональным
системам и проблемой наилучшего квадратичного приближения (см. далее ряды Фу-
рье). Именно в этих исследованиях возникли процесс ортогонализации и известная
матрица Грама (см. стр. 222 и систему (18) на стр. 601.)
2^Э. Шмид т (1876-1959)—немецкий математик, изучавший в связи с интеграль-
ными уравнениями геометрию гильбертова пространства и описывавший ее языком
евклидовой геометрии.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
593
Напомним, что процесс ортогонализации, приводящий к ортонорми-
рованной системе у>1,	• • • > описывается следующими соотношениями:
=	= V>2 -
*’1“НЛ1Г 'п~ Ihte-ftWiW
п—1
•фп - Е Wn,<Pk)<Pk
<Рп {Фп^ Рк)Рк
к=1
Пример 5. Процесс ортогонализации линейно независимой систе-
мы {1,ж,ж2,...}в 7£2 ([“1,1], К) приводит к так называемой системе ор-
тогональных многочленов Лежандра. Отметим, что многочленами Ле-
жандра часто называют не сами многочлены этой ортонормированной
системы, а им пропорциональные. Множитель пропорциональности вы-
бирается из разных соображений: например, чтобы коэффициент при
старшей степени многочлена был равен 1 или чтобы значение много-
члена при х = 1 было равно 1. Ортогональность системы при этом,
очевидно, не нарушается, а ортонормированность, вообще говоря, те-
ряется.
Стандартные многочлены Лежандра, определяемые формулой Род-
рига
1 d-tf -1)"
п n! 2п dxn
нам уже встречались. Для них Рп(1) — 1- Выпишем несколько первых
многочленов Лежандра, нормированных условием равенства единице
коэффициента при старшей степени переменной:
Ро[х) = 1, Р1(х) = х, Р2(х} = х2 -	Р3(х} = ж3 - |ж.
Ортонормированные многочлены Лежандра имеют вид
где п = 0,1, 2,...
Прямым вычислением можно убедиться в их ортогональности на от-
резке [—1,1]. Принимая указанную выше формулу за определение мно-
гочлена Рп(х\ проверим ортогональность системы {Рп(ж)} многочле-
нов Лежандра на отрезке [—1,1]. Для этого достаточно проверить, что
594
ГЛ. XVIIL РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
многочлен Рп(х) ортогонален многочленам 1,ж,... ,жп-1, линейными
комбинациями которых получаются многочлены Рк(х) степени к < п.
Интегрируя по частям при к < п, действительно получаем, что
dx = 0.

Некоторые представления об источнике ортогональных систем фун-
кций в анализе будут даны в последнем пункте этого параграфа и в
задачах к нему, а сейчас мы вернемся к основным общим вопросам,
связанным с разложением вектора по векторам заданной системы в ли-
нейном пространстве со скалярным произведением.
d. Непрерывность скалярного произведения и теорема Пи-
фагора. Нам предстоит работать не только с конечными, но и с бес-
конечными суммами (рядами) векторов. Отметим в этой связи свой-
ство непрерывности скалярного произведения, которое позволяет рас-
пространить привычные алгебраические свойства скалярного произве-
дения и на случай рядов.
Пусть X— векторное пространство со скалярным произведением
( , ) и с индуцированной им в X нормой ||ж||	у/{х,х) (см. § 1 гл. X).
оо
Сходимость ряда 52 хг = х из векторов хг 6 X к вектору х G X будет
г=1
пониматься именно в смысле указанной нормы.
Лемма 1 (о непрерывности скалярного произведения). Пусть
( , ): X2 С — скалярное произведение в С-линейном пространст-
ве X. Тогда
а)	функция (ж, г/)	(ж, у) непрерывна по совокупности переменных,
оо	оо
Ь)	если X = 52 хг> т0 к, у) = Г(жг, v)'i
г=1	г=1
с)	если ei,e2>- •• —ортонормированная система векторов в X и
ж = 52 хгег, ау=^ Угег, то У) = 52 хгУг-
г=1	г=1	г=1
◄ Утверждение а) вытекает из неравенства Коши-Буняковского
(см. § 1 гл. X):
|(ж - хо, у - Уо)|2 «С Ik - М2  Пу - УоII2-
§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
595
Из а) вытекает Ь), поскольку
71	/ ОС	\
{Х,У) = ^{хг,У) + ( Хг,у) ,
2 = 1	\2=П + 1	/
ОО
12 xi ~о при п ~°°-
2=П + 1
Утверждение с) получается повторным применением Ь) с учетом
соотношения (х,у) = (у,х). ►
Из доказанной леммы непосредственно вытекает
Теорема (Пифагор1)).
а)	Если {гсг}—система взаимно ортогональных векторов и х =
= Е^ то ||< = Е1Ы|2-
г	г
Ь)	Если {ег} —система ортонормированных векторов их — ^х1ег,
то ||гс||2 = Е Iх*Р•
г
2.	Коэффициенты Фурье и ряд Фурье
а.	Определение коэффициентов и ряда Фурье. Пусть {ег} —
ортонормир ованная, а {/?} ортогональная системы векторов в прос-
транстве X со скалярным произведением ( , ).
Допустим, х = ^2х^г- Коэффициенты хг в таком разложении векто-
ра х находятся непосредственно:
Если 1г = ег, то выражение еще упрощается:
хг = {х,ег).
^Пифагор Самосский (ориентировочно 580-500 до н. э.) знаменитый древне-
греческий математик и философ-идеалист, основатель Пифагорейской школы, в ко-
торой, в частности, было сделано потрясшее древних математическое открытие о
несоизмеримости стороны и диагонали квадрата Сама же классическая теорема
Пифагора была известна в ряде стран задолго до Пифагора (правда, возможно без
доказательства).
20-4574
596
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Заметим, что формулы для хг имеют смысл и вполне определены,
если дан сам вектор х и ортогональная система {1г} (или {ег}). Равен-
ства х = ^2хг1г (или х =	для вычисления хг по этим формулам
г	г
уже не требуется.
Определение 5- Числа } называются коэффициентами
Фурье вектора х G X в ортогональной системе {1г}.
Если система {ег} ортонормирована, то коэффициенты Фурье име-
ют вид {<£Е, ег)}.
С геометрической точки зрения z-й коэффициент Фурье {х,ег) век-
тора х G X есть проекция этого вектора на направление единичного
вектора ег. В знакомом случае трехмерного евклидова пространства Е3
с заданным в нем ортонормированным репером ei, 62, ез коэффициен-
ты Фурье хг = (ж, ег), i = 1,2,3, суть координаты вектора х в базисе
е1, е2> е3, возникающие в разложении х = хге\ + х2е% + х3е%.
Если бы вместо трех векторов ei, 62, £3 нам было дано только два
ei, 62, то разложение х = rr1ei + ж2б2 по ним имело бы место уже далеко
не для каждого вектора х £ Е3. Тем не менее, коэффициенты Фурье
хг — (ж, ег), i = 1,2, определены и в этом случае, а вектор хе = x1ei+x2e2
в этом случае является ортогональной проекцией вектора х на плос-
кость L векторов ei, 62- Среди всех векторов этой плоскости вектор хе
выделяется тем, что он наиболее близок к вектору х в том смысле, что
для любого вектора у £ L будет ||ж — у||	||ж — же||. В этом и состоит
замечательное экстремальное свойство коэффициентов Фурье, к кото-
рому мы вернемся ниже в общей ситуации.
Определение 6. Если X—линейное пространство со скалярным
произведением ( , ), а /1, /2, • • • Jn, • • * - ортогональная система ненуле-
вых векторов в X, то любому вектору х Е X можно сопоставить ряд
(8)
Этот ряд называется рядом Фурье вектора х по ортогональной си-
стеме {/*;}.
Если система {1^} конечна, то ряд Фурье сводится к конечной сумме.
В случае ортонормированной системы {е&} ряд Фурье вектора х £
§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
597
Е X запишется особенно просто
оо
х ~ ^(x,ek)ek-
fc=l
Пример 6. Пусть X —	тг], R). Рассмотрим в этом прос-
транстве ортогональную систему {1, cos кх, sinAza?; к Е N} примера 1.
Функции f Е 7^2 ([—тг, тг], R) отвечает ряд Фурье
а°^-- +	ak (/) cos кх + Ьк (/) sin кх
к=1
по этой системе. Множитель | при ао(/) поставлен, чтобы придать
единообразие следующим, вытекающим из определения коэффициентов
Фурье, формулам:
7Г
ak(f) — — f(x) cos kxdx. А = 0,1,2,...	(9)
— 7Г
7Г
bk(f) = 1 j f(x) smkxdx, к = 1,2,...	(10)
— 7Г
Положим f(x) = х. Тогда — 0, к = 0,1,2,..., а = (—1)А:+1^
к = 1, 2,... Значит, в этом случае получаем:

= X ~
sin кх.
Пример 7. В пространстве ^([“тг, л*], С) рассмотрим ортого-
нальную систему {егкх]к Е Z} примера 1. Пусть f Е Тг2([-7Г,7Г],С).
В соответствии с определением 5 и соотношениями (4), коэффициенты
Фурье {ck(f)} функции f в системе {егкх} выражаются формулой:
7Г
М/) =	/ fWe-^dx
— 7Г
{/(х),егкх)
^гкх ^гкх^
(11)
598
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Сравнивая равенства (9), (10), (11), с учетом формулы Эйлера ег(р —
= cos <p+i sin <p получаем следующие соотношения между коэффициента-
ми Фурье одной и той же функции относительно тригонометрической
системы, записанной в действительной и комплексной формах:
I 2^^ ^)>
если
к 0,
(12)
2^—/с “I”	/с) )
если к < 0.
Для того, чтобы в формулах (9) и (12) случай к = 0 не составлял
исключения, принято (считая Ь$ = 0) через ао обозначать не сам на-
чальный коэффициент Фурье, а вдвое большую величину, что и было
сделано выше.
Ь.	Основные общие свойства коэффициентов и рядов Фу-
рье. Следующее геометрическое наблюдение является ключевым в
этом разделе.
Лемма (о перпендикуляре). Пусть {Ik}—конечная или счетная
система ненулевых взаимно ортогональных векторов пространст-
ва X и пусть ряд Фурье вектора х £ X по системе {Ik} сходится
к некоторому вектору xi £ X.
Тогда в представлении х = xi + h вектор h ортогонален хр, более
того, h ортогонален всему линейному пространству, порожденному
системой векторов {Ik}, а также его замыканию в X,
◄ Учитывая свойства скалярного произведения, достаточно прове-
рить, что (А,/т) = 0 для любого вектора lm £ {Ik}-
Нам дано, что
Значит,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
599
Геометрически лемма о перпендикуляре очень прозрачна, и мы ее
по существу уже отметили, рассмотрев в разделе 2 а систему из двух
ортогональных векторов в трехмерном евклидовом пространстве.
На основании этой леммы можно сделать ряд важных общих за-
ключений о свойствах коэффициентов Фурье и рядов Фурье.
Неравенство Бесселя
Учитывая ортогональность векторов xi и h в разложении х ~ xi + А,
по теореме Пифагора находим, что ||гс||2 — ||^/||2 + ||А||2 > ||^d|2 (гипоте-
нуза не меньше катета). Это соотношение, записанное в терминах ко-
эффициентов Фурье, называется неравенством Бесселя. Выпишем его.
По той же теореме Пифагора
Значит,
(14)
Это и есть неравенство Бесселя. Особенно просто оно выглядит
для ортонормированной системы векторов {е^}:
У |(^,efc)|2 < ||ж||2.
к
(15)
В терминах самих коэффициентов Фурье общее неравенство Бес-
селя (14) запишется в виде ^2 lafc|2|IM2 ||^||2, чт0 в случае ортонор-
к
мированной системы сводится к |^|2	||ге||2.
к
Мы поставили знак модуля у коэффициента Фурье, допуская ком-
плексные пространства X. В этом случае коэффициент Фурье может
принимать комплексные значения.
Отметим, что при выводе неравенства Бесселя мы воспользовались
предположением о существовании вектора xi и равенством (13). Но если
система {1^} конечна, то нет сомнений в существовании вектора ж/ (т. е.
в сходимости ряда Фурье в X). Значит, неравенство (14) справедливо
для любой конечной подсистемы {/&}, а тогда и для всей системы тоже.
600
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Пример 8. Для тригонометрической системы (см. формулы (9),
(10)) неравенство Бесселя имеет вид
оо	™
L + £ \аМ) [2 + |М/)|2 « i [ |Л2И dx.
I	7—'	тг J
(16)
Для системы {егкх\к 6 Z} (см.
записывается особенно изящно:
формулу (11)) неравенство Бесселя
+оо
£ |«(/)|2 <
—ос
7Г
j \f\4x)dx.
— 7V
(17)
Сходимость рядов Фурье в полном пространстве
Пусть 12 х^ек — 12(х> ек)^к — РЯД Фурье вектора х G X по ортонор-
к	к
мированной системе {е^}. В силу неравенства Бесселя (15) ряд 12
к
сходится. По теореме Пифагора
\\хтет + ... + хпеп\\2 = \хт\2 + ... + \хп\2.
По критерию Коши сходимости ряда правая часть этого равенства
становится меньше любого е > 0 при всех достаточно больших значе-
ниях т и п > т. Значит, тогда
Следовательно, ряд Фурье 12 xke^ удовлетворяет условиям критерия
к
Коши сходимости ряда и сходится, если только исходное пространст-
во X является полным относительно метрики, индуцированной нормой
1И1 = \/(х,х}.
Для упрощения записи мы провели рассуждение для ряда Фурье по
ортонормированной системе. Но все можно повторить и для ряда Фурье
по любой ортогональной системе.
Экстремальное свойство коэффициентов Фурье
Покажем, что если ряд Фурье ^х^е^ = 12	вектора х 6 X
к	к \ekiek)
по ортонормированной системе {е^} сходится к вектору xi Е X, то
именно вектор xi дает наилучшее приближение вектора х среди всех
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
601
оо
векторов у = akek пространства L, натянутого на {е^}, т.е. для
Jt=i
любого у Е L
Цж-ж/Н ||ж —у||,
причем равенство здесь возможно только при у ~ Х[.
Действительно, по лемме о перпендикуляре и теореме Пифагора
II* _ у||2 = ||(ж _ Ж/) + {xi _ у)||2 =	+ {Х1 _ у)||2 =
= НМ2 + II*/ - у112 IIMI2 = II* - */112-
Пример 9. Несколько отвлекаясь от нашей основной цели —изу-
чения разложений по ортогональным системам, предположим, что име-
ется произвольная система линейно независимых векторов
в X и ищется наилучшая аппроксимация заданного вектора х Е X ли-
п
нейными комбинациями ^2 ак%к векторов системы. Поскольку в прое-
кт
транстве L, порожденном векторами Ж1,... ,жп, процессом ортогонали-
зации можно построить ортонормированную систему ei,... ,еп, поро-
ждающую пространство L, то на основании экстремального свойства
коэффициентов Фурье можно заключить, что существует, и притом
единственный, вектор xi Е L такой, что ||ж — ж/|| — inf ||ж — у\\. По-
y^L
скольку вектор h = х — xi ортогонален пространству L, из равенства
xi + h = х получаем систему уравнений
{(Ж1,Ж1)О!1 + ... + (xn,xi)an = (ж,Ж1)
............................................ (18)
(*1, *п)®1 “I- •  • “I- (*П, Хп}(Хп ~ (*> *п)
п
на коэффициенты ai, ..., ап разложения xi = ^2 ак%к искомого векто-
pa xi по векторам системы a?i,..., хп. Существование и единственность
решения этой системы вытекают из существования и единственности
вектора Х[. В силу теоремы Крамера отсюда, в частности, можно сде-
лать заключение о необращении в нуль определителя этой системы.
Иными словами, попутно показано, что определитель Грама системы
линейно независимых векторов не равен нулю.
Описанная задача аппроксимации и соответствующая ей система
уравнений (18), как мы уже отмечали, возникает, например, при обра-
602
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ботке экспериментальных данных по методу Гаусса наименьших ква-
дратов (см. также задачу 1).
с.	Полные ортогональные системы и равенство Парсеваля
Определение 7. Система Е А} векторов нормированно-
го пространства X называется полной по отношению к множеству
Е С X (или полной в Е), если любой вектор х £ Е можно сколь угодно
точно в смысле нормы пространства X приблизить конечными линей-
ными комбинациями векторов системы.
Если через L{xa} обозначить линейную оболочку в X векторов си-
стемы (т. е. совокупность всех конечных линейных комбинаций векто-
ров системы), то определение 8 можно переформулировать следующим
образом:
система {жа} полна по отношению к множеству ЕсХ, если Е со-
держится в замыкании Ь{ха} линейной оболочки векторов системы.
Пример 10. Если X = Е3, a ei, е<^ ез — базис в 2?3, то система
{ei, б2, ез} полна в X, а система {ei, 62} Уже не является полной в X, но
является полной по отношению к множеству £{61,62} или любому его
подмножеству Е.
Пример 11. Последовательность функций 1, х, ж2,... рассмотрим
как систему {xk\ k £ 0,1, 2,... } векторов пространства ([<Ь Ч, К) или
Т^2([/Ь b], С). Если (7 [а, Ь] — подпространство непрерывных функций, то
эта система полна по отношению к множеству С[а, Ь].
Ч Действительно, какова бы ни была функция f £ C[a,b] и каково
бы ни было число е > 0, по теореме Вейерштрасса найдется алгебраи-
ческий многочлен Р(х) такой, что max \f(x) — Р(ге)| < Но тогда
яе[а,Ь]
II/-л
ь
J \f — -Р|2(ж) dx < у/b — а
а
и, значит, линейными комбинациями функций системы можно сколь
угодно точно приблизить функцию f в смысле нормы рассматриваемо-
го пространства Ь]. ►
Отметим, что, в отличие от ситуации примера 9, в нашем случае не
каждая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция является конечной ли-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
603
нейной комбинацией функций взятой системы, а всего лишь приближа-
ется такими линейными комбинациями. Итак, С[а, b] С L{xn} в смысле
нормы пространства 7^2[а, Ь].
Пример 12. Если из системы функций {1, cos кх, sin кх-, к Е N}
удалить одну из функций, например 1, то оставшаяся система {cos кх,
sinkx*,k Е N} не будет полной в 7^2 ([“^г, тг], С) или 7^2 ([—7r,7r],R).
◄ В самом деле, по лемме 3 наилучшую аппроксимацию функции
f(x) = 1 среди всех конечных линейных комбинаций
Тп(х) — У (ak cos кх + bk smkx)
данной длины п дает тот тригонометрический многочлен Тп(х), в ко-
тором ak и коэффициенты Фурье функции 1 относительно рас-
сматриваемой ортогональной системы {cos kx,smkx-, к Е N}. Но в силу
соотношений (5) такой полином наилучшего приближения должен быть
нулевым. Значит, всегда
||1-т„||
\/2тг > 0,
и приблизиться к единице ближе, чем на величину y/2ir линейными ком-
бинациями функций системы нельзя. ►
Теорема (условия полноты ортогональной системы).
Пусть X — линейное пространство со скалярным произведением
{ , ), a Zi, /2,   • ,1пт   — конечная или счетная система ненулевых вза-
имно ортогональных векторов в X. Тогда следующие условия эквива-
лентны'.
а)	система {1^} полна по отношению к множеству1^ Е С X;
Ь)	для любого вектора х Е Е С X имеет место разложение (в ряд
Фурье)
(19>
Множество Е может, в частности, состоять из одного, по тем или иным причи-
нам представляющего интерес, вектора.
604
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
с)	для любого вектора х 6 Е С X имеет место равенство (Парсе-
валях))
(»)
Особенно простой вид равенства (19) и (20) имеют для ортонорми-
рованной системы векторов {е^}. В этом случае
(19')
k
И
Ml =
k
(20')
Таким образом, важное равенство Парсеваля (20) или (20')—это
теорема Пифагора, записанная в терминах коэффициентов Фурье.
Докажем сформулированную теорему.
◄ а) Ь) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье;
Ь) с) по теореме Пифагора;
с) а), т. к. ввиду леммы о перпендикуляре (см. раздел Ь) по тео-
реме Пифагора имеем
2
(% А) ,
j- , (Ik)lk)
rV-X
Замечание. Отметим, что из равенства Парсеваля вытекает сле-
дующее простое необходимое условие для полноты ортогональной си-
стемы по отношению к множеству Е С X: в Е нет ненулевого вектора,
ортогонального всем векторам системы.
В качестве полезного добавления к теореме и сделанному замечанию
докажем следующее общее
Утверждение. Пусть X —линейное пространство со скалярным
произведением, a xi,X2,... —система линейно независимых векторов
в X. Для того, чтобы система была полной в X,
^М. А. Парсеваль (1755-1836) —французский математик, обнаруживший это со-
отношение для тригонометрической системы в 1799 г.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
605
а)	необходимо, чтобы в X не было отличного от нуля вектора,
ортогонального всем векторам системы;
Ь)	в случае, когда X—полное (гильбертово) пространство, до-
статочно, чтобы в X не было отличного от нуля вектора, ортого-
нального всем векторам системы.
◄ а) Если вектор h ортогонален всем векторам системы {т^}, то на
основании теоремы Пифагора заключаем, что никакая линейная ком-
бинация векторов системы не может отличаться от h меньше, чем
на величину ||/г||. Значит, если система полная, то — 0.
Ь) Процессом ортогонализации получим из системы ортонор-
мированную систему {в/-}, линейная оболочка которой L{e^} совпадает
с линейной оболочкой L{x^} исходной системы.
Берем теперь произвольный вектор х G X. Ввиду полноты прост-
ранства X ряд Фурье вектора х по системе {е^} сходится к некоторому
вектору хе G X. По лемме о перпендикуляре вектор h = х — хе ортого-
нален пространству Ь{е^} = L{x^}. По условию h = 0. Значит, х = хе
и ряд Фурье сходится к самому вектору х. Таким образом, вектор х
сколь угодно хорошо приближается конечными линейными комбинаци-
ями векторов системы {е^}, а следовательно, и конечными линейными
комбинациями векторов системы {т^}. ►
Условие полноты пространства в пункте Ь) утверждения является
существенным, о чем свидетельствует следующий
Пример 13. Рассмотрим пространство (см. § 1 гл. X) вещест-
оо
венных последовательностей а — (а1, а2,...), для которых (а^)2 < оо.
7=1
Скалярное произведение векторов а — (а1, а2,...) и Ь = (Ь1, Ь2,...) из
оо
определим стандартным образом: (а,Ь) :=	а3&.
3=1
Рассмотрим теперь в 12 ортонормированную систему е^ — (0,..., 0,
k
1,0,0,...), k = 1,2,... В нее не входит вектор ео = (1,0,0,...). К систе-
ме {efcj к е N} добавим еще вектор е — (1,1/2,1/22,1/23,...) и рассмо-
трим линейную оболочку £{е, е15 62,... } указанных векторов. Эту ли-
нейную оболочку можно рассматривать как линейное пространство X
(подпространство 12) со скалярным произведением, взятым из ^2*
Отметим, что вектор ео — (1,0,0,...), очевидно, не может быть
606
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1 Л	л 1	1
2к — иэ • • • э 2п+1 5 2П+2 ’ ” '
получен конечной линейной комбинацией векторов системы е, ei, в2, • • • 5
поэтому он не лежит в X. Вместе с тем, он сколь угодно точно может
быть приближен в /2 такими линейными комбинациями, поскольку е —
п
-Е
Значит, мы одновременно установили, что X не замкнуто в /2 (по-
этому X, в отличие от /2, не полное метрическое пространство), но в
то же время замыкание X в 1% совпадает с т. к. система ео? е1, е2, • • •
порождает все пространство 1^-
Теперь заметим, что в X = L{e, ei, 62,... } нет отличного от нуля
вектора, ортогонального всем векторам ei, 62,...
п
Действительно, пусть х Е X, т. е. х = ае+ akek> и пусть (ж, е^) —
fc=i
— 0, к = 1,2,... Тогда (ж,еп+1) =	~ 0, т. е. а — 0. Но тогда
&к = (ж, ek) = 0, к = 1,..., п.
Значит, мы построили нужный пример: ведь ортогональная система
ei, е2,--- не является полной в X, т. к. она неполна в замыкании X,
совпадающем с 1%.
Рассмотренный пример, разумеется, ти-
пично бесконечномерный. На рис. 103 сделана
попытка изобразить случившееся.
Отметим, что в бесконечномерном случае
(так характерном для анализа) возможность
сколь угодно точно приблизить вектор ли-
нейными комбинациями векторов системы и
возможность разложить вектор в ряд по век-
торам системы, вообще говоря, разные свой-
ства системы.
Обсуждение этого вопроса и заключительный пример 14 прояснят
особую роль ортогональных систем и рядов Фурье, для которых эти
свойства имеют место одновременно (о чем говорит доказанная выше
теорема).
Определение 8. Система &i, х^ •.., жл,... векторов линейного
нормированного пространства X называется базисом пространст-
ва X, если любая конечная ее подсистема состоит из линейно незави-
симых векторов и любой вектор х Е X может быть представлен в виде
х ~ ^2 akxk, гДе ак — коэффициенты из поля констант пространства X,
к
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
607
а сходимость (в случае бесконечной суммы) понимается по норме про-
странства X.
Как соотносятся полнота системы векторов и свойство системы
быть базисом?
В конечномерном пространстве X полнота в X системы векторов,
как следует из соображений компактности и непрерывности, очевидно,
равносильна тому, что эта система является и базисом в X. В беско-
нечномерном случае это, вообще говоря, не так.
Пример 14. Рассмотрим множество С7([— 1,1], R) непрерывных на
отрезке [—1,1] вещественнозначных функций как линейное пространс-
тво над полем R со стандартным скалярным произведением, определен-
ным формулой (3). Обозначим это пространство символом С?2([— 1,1], К)
и рассмотрим в нем систему линейно независимых векторов 1, ж, ж2,...
Эта система полна в пространстве	([— 1,1], R) (см. пример 11), но
не является базисом.
оо
◄ Покажем сначала, что если ряд akxk сходится в (?2([—1,1],R),
fc=0
т.е. в смысле среднего квадратического уклонения на отрезке [—1,1],
то он же, рассматриваемый как степенной ряд, сходится поточечно на
интервале ] — 1,1[.
Действительно, по необходимому условию сходимости ряда имеем
||afc®fc|| О при к —> 00. Но
1
.2	2
-Ь 1 ’
-1
Значит, |oifc| < \/2к + 1 при всех достаточно больших значениях к.
ОО
В таком случае степенной ряд ^2 akxk заведомо сходится на интервале
fc=0
]- 1, It-
Обозначим теперь через сумму этого степенного ряда на интер-
вале ]— 1,1[. Заметим, что на каждом отрезке [a, b\ С ] — 1,1[ степенной
ряд сходится к равномерно, а следовательно, и в смысле среднего
квадратического уклонения тоже.
Отсюда следует, что если непрерывная на отрезке [—1,1] функция f
является суммой этого ряда в смысле сходимости в пространстве
C2([-l, 1],R), то f и ср совпадают на ]— 1,1[.
608
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Но функция <р бесконечно дифференцируема. Значит, если в прос-
транстве (?2([—1,1],®) взять любую не бесконечно дифференцируемую
на интервале ] — 1,1[ функцию, то ее уже нельзя в этом пространстве
разложить в ряд по системе {xk, к = 0,1,... }. ►
Итак, если взять, например, функцию /(ж) — |ж| и последователь-
ность чисел	£ м}, то можно построить последовательность
{Рп(т); п G N} конечных линейных комбинаций Рп(х) = «о + а1х +... +
+ апхп элементов системы {xk; к Е N} такую, что \\f — Рп|| < т.е.
Рп —> f при п —> оо. Если нужно, то в каждой такой линейной комбина-
ции Рп(х) коэффициенты можно даже считать выбранными единствен-
ным наилучшим способом (см. пример 9). Тем не менее, разложения
оо
/ = 12 akxk при этом не возникает по той причине, что при переходе
от Рп(х) к Рп+1(х) меняется не только последний коэффициент an+i,
но, возможно, и все предыдущие «о, • • •,
Если же система ортогональная, то этого не происходит («о, • * •,
не меняются) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье.
Например, можно было бы от системы мономов {xfc} перейти к си-
стеме ортогональных полиномов Лежандра и разложить f(x) = |ж| в
ряд Фурье по этой системе.
* 3. Об одном важном источнике ортогональных систем
функций в анализе. Теперь дадим представление о том, как в кон-
кретных задачах появляются те или иные ортогональные системы фун-
кций и возникают ряды Фурье по этим системам.
Пример 15. Метод Фурье.
Отрезок [О, I] С R будем считать положением равновесия однород-
ной упругой струны, закрепленной в концах этого отрезка, а в осталь-
ном свободной и способной совершать малые поперечные колебания
около этого положения равновесия. Пусть ufx^t) — функция, описыва-
ющая эти колебания, т. е. в каждый фиксированный момент времени
t ~ /о график функции и(т,/о) над отрезком 0 х I задает форму
струны в момент /о- Это, в частности, означает, что u(0,/) ~	= О
в любой момент £, поскольку концы струны закреплены.
Известно (см., например, гл. XIV, §4), что функция и(т,£) удовле-
§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
609
творяет уравнению
д2и <}d2U
dt2 а дх2 ’
где положительный коэффициент а зависит от плотности и модуля
упругости струны.
Одного уравнения (21), конечно, недостаточно для определения фун-
кции и(т, /). Из опыта мы знаем, что движение и (ж, t) однозначно опре-
делится, если, например, задать положение п(т,0) = <р(х) струны в
какой-то (будем его называть начальным) момент времени t = 0 и
скорость ^(т,0) — ty(x) точек струны в этот момент. Так, если мы,
оттянув струну, придаем ей форму <р(х) и отпускаем, то ^(x) = 0.
Итак, задача о свободных колебаниях струны1), закрепленной в кон-
цах отрезка [0,1], свелась к отысканию такого решения п(т,/) уравне-
ния (21), которое удовлетворяет граничным условиям
u(0,i) =	= 0	(22)
и начальным условиям
и(я,0) =^(ж), -^(х,0) = ^(я)-
(23)
Для решения подобных задач существует довольно естественная
процедура, называемая в математике методом разделения переменных
или методом Фурье. Она состоит в следующем. Решение u(x,t) ищется
оо
в виде ряда Xn(x)Tn(t), члены которого X(x)T(t) являются специ-
п—1
ального вида (с разделенными переменными) решениями данного урав-
нения, удовлетворяющими граничным условиям. В нашем случае, как
мы увидим, это равносильно разложению колебания и(ж, /) в сумму про-
стейших гармонических колебаний (точнее, в сумму стоячих волн).
Действительно, если функция X(x)T(t) удовлетворяет уравнению
(21), то X(x)T"(t) = a2X"(x)T(t), т.е.
T"(t) _ Х"(х)
a2T(tj “ X(x) ’
(24)
11 Отметим, что начало математическому исследованию колебаний струны поло-
жил еще Брук Тейлор.
610
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В уравнении (24) независимые переменные х и t оказались в разных
его частях (разделились), поэтому обе части на самом-то деле долж-
ны представлять некоторую, одну и ту же, постоянную Л. Если учесть
еще граничные условия Х(0)Т(£) = X(l)T(t) = 0, которым должно удо-
влетворять рассматриваемое нами решение специального вида, то его
отыскание сводится к одновременному решению уравнений
Т"(<) = Ла2Т(£),	(25)
Х"(х) = ХХ(х)	(26)
при условии, что Х(0) = Х(1) = 0.
Легко написать общее решение каждого из этих уравнений в от-
дельности:
T(t) ~ A cos y/Xat 4- В sin y/Xat,
Х(х) = Ceos у/Хх + Dsin\/Ax.
(27)
(28)
Если мы попытаемся удовлетворить условиям Х(0) — Х(1) — 0, то
получим, что при А 0 должно быть С = 0 и, отбросив тривиальный
случай D — 0, получаем, что sin\/AZ = 0, откуда у/Х — ±птг//, п G N.
Таким образом, в уравнениях (25), (26) число А, оказывается, можно
выбирать только среди некоторой специальной серии чисел (так назы-
ваемых собственных чисел задачи), Хп — (птг/7)2, где n Е N. Подста-
вляя эти значения А в выражения (27), (28), получаем серию специаль-
ных его решений
un(x,t) = sinn—х
iva
(29)
яа
7
удовлетворяющих граничным условиям un(0, t) = un(l,t) = 0 (и описы-
вающих стоячую волну вида Ф(ж) • sin(o?£ + в), в которой каждая точка
х Е [0,1] совершает простые гармонические колебания со своей ампли-
тудой Ф(ж), но одной и той же для всех точек частотой и).
Величины — п™, n Е N, по естественной причине называют соб-
ственными частотами струны, а ее простейшие гармонические коле-
бания (29)—собственными колебаниями струны. Колебание ui(x,t) с
наименьшей собственной частотой называют основным тоном стру-
ны, а остальные ее собственные колебания u^{x,t), u^(x,t), ... называ-
ют обертонами (именно обертоны создают характерную для данного
музыкального инструмента окраску звука, называемую тембром).
§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
611
Мы хотим теперь представить искомое колебание п(ж, t) в виде сум-
оо
мы 12 t) собственных колебаний данной струны. Граничные усло-
П=1
вия (22) при этом автоматически выполнены, и надо только позабо-
титься о выполнении начальных условий (23), которые означают, что
оо
¥>(®) = УЗ
П=1
sin П—X
(30)
и
оо
фм = £
П = 1
тга	тг
п—Вп sinn—ж.
(31)
Таким образом, дело свелось к нахождению пока еще свободных ко-
эффициентов Ап, Вп, или, что то же самое, к разложению функций ср
и ф в ряд Фурье по системе |sinn~х; п G ортогональной на отрезке
[0,/].
Полезно заметить, что возникшие из уравнения (26) функции
< sin Пу ж; n Е Nf можно рассматривать как собственные векторы ли-
I	V	I
/2
нейного оператора А — —отвечающие его собственным значениям
(Вт
Ап — Пу, которые появились из условия, что оператор А действует на
пространстве функций класса С(2)[0, /], обращающихся в нуль на кон-
цах отрезка [0,/]. Значит, равенства (30), (31) можно трактовать как
разложения по собственным векторам данного линейного оператора.
Линейные операторы, связанные с конкретными задачами, являют-
ся одним из основных источников ортогональных систем функций в
анализе.
Напомним один известный из алгебры факт, вскрывающий причину
ортогональности таких систем.
Пусть Z—линейное пространство со скалярным произведением
( , ), а Е — некоторое (возможно совпадающее с Z) его подпростран-
ство, плотное в Z. Линейный оператор А: Е —> Z называется симме-
трическим^ если для любых векторов х,у Е Е выполнено равенство
(Ах, у} = (х,Ау}. Так вот: собственные векторы симметрического опе-
ратора, отвечающие различным его собственным значениям, ортого-
нальны.
◄ Действительно, если Au = an, Av = flv и а /3, то
612
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
a(u,v) — (Au,v) = {и, Av) = (3{u,v),
откуда следует, что (щу) = 0. ►
Полезно теперь с этой точки зрения посмотреть на пример 3, где,
в сущности, рассматривались собственные функции оператора А =
/ >2	\
= ( —2 + q(x) 1, действующего на пространстве функций класса
Ь], обращающихся в нуль на концах отрезка [а, Ь]. Интегрирова-
нием по частям можно убедиться в том, что этот оператор на указан-
ном пространстве является симметрическим (относительно стандарт-
ного скалярного произведения (4)), поэтому результат примера 4 явля-
ется конкретным проявлением отмеченного алгебраического факта.
>2
В частности, когда q(x) ~ 0, из А получается оператор —~, который
dxz
при [а, Ь] = [0,1] встретился нам в последнем примере 15.
Отметим также, что в рассмотренном примере дело свелось к разло-
жению функций (f> и ф (см. соотношения (30) и (31)) в ряд по собствен-
л2
ным функциям оператора А — Здесь, конечно, возникает вопрос о
dx* 2
принципиальной возможности такого разложения, эквивалентный, как
мы теперь понимаем, вопросу о полноте системы собственных функций
рассматриваемого оператора в выбранном пространстве функций.
Полнота в 7^2 тригонометрической системы (и некоторых
других конкретных систем ортогональных функций) в явной форме,
по-видимому, впервые доказана Ляпуновым1). В неявном виде полнота
конкретно тригонометрической системы присутствовала уже в работах
Дирихле, посвященных исследованию сходимости тригонометрических
рядов. Эквивалентное полноте равенство Парсеваля для тригонометри-
ческой системы, как уже отмечалось, было обнаружено Парсевалем еще
на рубеже XVIII-XIX веков. В общей постановке вопросы полноты ор-
тогональных систем и их приложения в задачах математической фи-
зики были одним из основных объектов исследований Стеклова2), ко-
^А. М. Ляпунов (1857-1918) — русский математик и механик, выдающийся пред-
ставитель школы П. Л. Чебышева, творец теории устойчивости движения. Успешно
занимался различными областями математики и механики.
2^В. А. Стеклов (1864-1926) — русский советский математик, представитель со-
зданной П. Л. Чебышевым петербургской математической школы, основатель школы
математической физики в СССР. Его имя носит Математический институт Россий-
ской Академии наук.
§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
613
торый и ввел в математику само понятие полноты (замкнутости) ор-
тогональной системы. При исследовании вопросов полноты он, кстати,
активно использовал метод интегрального усреднения (сглаживания)
функции (см. §§ 4, 5 гл. XVII), который поэтому часто называется ме-
тодом усреднений Стеклова.
Задачи и упражнения
1. Метод наименьших квадратов. Зависимость у ~ f(xi, •  • ,хп) величи-
ны у от величин xi,..., хп изучается экспериментально. В результате т п)
экспериментов была получена таблица
	х2 ..	•	%Т1	У
а}	а2		«п	ь1
а™	а21	 С	Ьт
в строках которой указан набор (аг17аг2,... ,агп) значений параметров х^
Х2,...,хп и соответствующее ему значение Ьг величины у, измеренное прибо-
ром с определенной точностью. По этим экспериментальным данным требует-
71
ся получить удобную для расчетов эмпирическую формулу вида у =
г—1
Коэффициенты ai, аг» • • • >	искомой линейной функции надо подобрать так,
т / п	\
чтобы минимизировать величину 4 /	S агаг ) среднего квадратич-
У /г—1 \	г=1	/
ного уклонения данных, получаемых по эмпирической формуле, от результа-
тов, полученных в экспериментах.
Проинтерпретируйте этот вопрос как задачу о наилучшей аппроксима-
ции вектора (Ь1,..., Ьт) линейными комбинациями векторов (aj,..., a™), i —
= 1,..., п, и покажите, что дело сводится к решению системы линейных урав-
нений типа системы (18).
2. а) Пусть С[а, Ь]—линейное пространство непрерывных на отрезке [а, 6]
функций с метрикой равномерной сходимости функций на этом отрезке, а
СлДа, Ь]— то же линейное пространство, но с метрикой среднего квадратич-
ного уклонения функций на этом отрезке (т.е. d(J\g) = л/f\f — g\2(x)dx ).
V а
Покажите, что сходимость функций в С[а,Ь] влечет их сходимость в С2[а,Ь],
но не обратно, и что пространство Ь] не является полным, в отличие от
пространства С [а, Ь].
Ь)	Объясните, почему система функций {1, ж, ж2,...} линейно независима
и полна в С2[а, Ь], но не является базисом этого пространства.
614
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
с)	Объясните, почему полиномы Лежандра являются полной ортогональ-
ной системой и даже базисом в 1,1].
d)	Найдите первые четыре члена разложения Фурье функции sinynr на
отрезке [—1,1] по системе полиномов Лежандра.
е)	Покажите, что квадрат нормы ||Pn|| в 1,1] n-го полинома Лежандра
равен
2
2п + 1
f)	Докажите, что среди всех полиномов данной степени п, с коэффициен-
том 1 при старшей степени переменной, полином Лежандра Рп(х) является
наименее уклоняющимся от нуля в среднем на отрезке [—1,1].
g)	Объясните, почему для любой функции f Е 62 ([—1,1],С) должно быть
выполнено равенство
где {Ро, Д, • • • } — система полиномов Лежандра.
3.	а) Покажите, что если система {х1,х%,... } векторов полна в простран-
стве X, а пространство X является всюду плотным подмножеством простран-
ства У, то система {#1, х%, ...} полна также и в У.
Ь)	Докажите, что линейное пространство С [а, 6] функций, непрерывных на
отрезке [а, 6], всюду плотно в пространстве 6]. (В задаче 5g из § 5 гл. XVII
утверждалось, что это верно даже для бесконечно дифференцируемых финит-
ных на отрезке [а, 6] функций.)
с)	Используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, докажите, что
тригонометрическая система {1, cos Arar, sin кх\ к Е N} полна в T^f—тг, тг].
d)	Покажите, что системы {I,#,#2,...}, {1, cos кх, sin кх-, к Е N} полны в
7^2[—тг, тг], но первая не является, а вторая является базисом этого пространс-
тва.
е)	Объясните, почему для любой функции f Е 7£([—тг,тг],С) справедливо
равенство (Парсеваля)
— 7Г
ОО
+ У? Ia*l2 +1^12?
fc=l
где числа определены формулами (9), (10).
§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
615
00 1
f)	Используя результат примера 8, покажите теперь, что ^2 ~? — к-
п=1 п
4.	Ортогональность с весом, а) Пусть po,pi, • • • >Рп~~непрерывные поло-
жительные в области D функции. Проверьте, что формула
</, Р> = 52 / Pk(x)f№(x)gw(x)dx
k=oi)
задает скалярное произведение в (?(”)(£>, С).
Ь)	Покажите, что в пространстве "R.(D,C) при отождествлении функций,
отличающихся лишь на множествах меры нуль, с помощью положительной и
непрерывной в D функции р можно ввести следующее скалярное произведение:
(f,9) = I P(x)f(x)g(x)dx.
D
Функция р в этом случае называется весовой функцией, а если {/, д) = О,
то говорят, что функции f и д ортогональны с весом р.
с)	Пусть ip: D —> G — диффеоморфизм области D С ГР на область G С ГР,
и пусть {uk{y}’,k € N}—ортогональная в смысле стандартного скалярного
произведения (2) или (3) система функции в G. Постройте систему функций,
ортогональных в D с весом р(х) — | dety/(a;)|, а также систему функций, ор-
тогональных в D в смысле стандартного скалярного произведения.
d)	Покажите, что система функций {ет,п(х,у) = ег^тх+пу^;т,п € N} ор-
тогональна на квадрате I = {(х,у) € R2 | тг А |т/|	л}.
е)	Постройте систему функций, ортогональную на двумерном торе Т2 с
С R2, заданном параметрическими уравнениями, указанными в примере 4 из
§ 1 гл. XII. Скалярное произведение функций f и д на торе при этом понима-
ется как поверхностный интеграл f fgda.
т2
5.	а) Из алгебры известно (и мы это попутно в теории условного экстре-
мума тоже доказали), что каждый симметрический оператор А: Еп —> Еп,
действующий в n-мерном евклидовом пространстве Еп. имеет отличные от
нуля собственные векторы. В бесконечномерном случае это, вообще говоря,
не так.
Покажите, что линейный оператор /(#) xf(x) умножения на независи-
мую переменную является симметрическим в C^d/z, 6], R), но не имеет отлич-
ных от нуля собственных векторов.
Ь)	Задача Штурма1^ -Лиувилля, часто возникающая в уравнениях мате-
матической физики, состоит в отыскании отличного от тождественного нуля
Х)Ж. Ш. Ф. Штурм (1803-1855)—французский математик (кстати, иностранный
почетный член Петербургской Академии наук); основные работы относятся к реше-
нию краевых задач уравнений математической физики.
616
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
решения уравнения и" (я) 4- [д(ж) + Хр(х)]и(я) = 0 на промежутке [а, 6], удовле-
творяющего некоторым краевым условиям, например, и(а) — и(ф) — 0.
При этом функции р(х) и q(x) считаются известными, непрерывными на
рассматриваемом промежутке [а, 6], причем р(х) > 0 на [а, Ь].
Такая задача нам уже встретилась в примере 15, где нужно было решить
уравнение (26) при условии, что Х(0) — Х(1) = 0. В этом случае у нас было
q(x) = 0, р(х) = 1и[а,4] = [0,/]. Мы убедились в том, что задача Штурма -
Лиувилля, вообще говоря, может оказаться разрешимой лишь при некоторых
специальных значениях параметра А, которые по этой причине называют соб-
ственными значениями соответствующей задачи Штурма - Лиувилля.
Покажите, что если функции f и g являются решениями задачи Штурма -
Лиувилля, отвечающими собственным значениям А/ А5, то на отрезке [а,Ь]
выполнено равенство f ~ff9) — (А/ —Xg)pfg и функции /, g ортогональны
на [а, 6] с весом р.
с)	Известно (см. §4, гл. XIV), что малые колебания неоднородной струны,
закрепленной в концах отрезка [а, 6], описываются уравнением (ри^)^ = pu”t,
где и — и(х, t)—функция, задающая форму струны в каждый момент t, р =
= р(х)—линейная плотность, а р = р(х)—коэффициент упругости в точке
х Е [а, Ь]. Условия закрепления означают, что w(a, t) = u(b, t) = 0.
Покажите, что если искать решение этого уравнения в виде X(x)T(t), то
дело сведется к системе ТИ — ХТ, (рХ'У ~ ХрХ, в которой А — общее для
обоих уравнений число.
Таким образом, для функции X(х) возникает задача Штурма-Лиувилля
на отрезке [а, 6], разрешимая лишь при определенных (собственных) значени-
ях параметра А (Считая, что р(х) > 0 на [а, 6] и что р Е 6], заменой
переменной з
уравнение (рХ1)1 = ХрХ, очевидно, приводится к виду,
в котором оно уже не содержит первой производной.)
d)	Проверьте, что оператор S(w) = (p(#)u'(#))' — q(x)u(x), действующий
на пространстве тех функций класса С^2Ца, Ь], которые удовлетворяют усло-
виям и(а) = и(Ь) = 0, является симметрическим на этом пространстве (т.е.
(Su,v) = {и, Sv), где ( , ) — стандартное скалярное произведение веществен-
ных функций). Проверьте также ортогональность собственных функций опе-
ратора S, отвечающих его различным собственным значениям.
е)	Покажите, что решения Xi, Х% уравнения (рХ'У = ХрХ, отвечающие
различным значениям Ai, А2 параметра А и обращающиеся в нуль на концах
отрезка [а, 6], ортогональны на [а, 6] с весом р(х).
6.	Полиномы Лежандра как собственные функции, а) Используя указанное
в примере 5 выражение полинома Лежандра Рп(х), а также равенство (х2 —
— 1)п = (х — 1)п(х + 1)п, покажите, что Рп(1) — 1-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
617
Ь) Дифференцируя тождество (х2 — 1)^{х2 — 1)п = 2пх{х2 — 1)п, покажите,
что Рп(я) удовлетворяет уравнению
(х2 - 1) • Р’^х) + 2х • Р^х) - п(п + 1)Рп(х) = 0.
с) Проверьте симметричность оператора
на пространстве С^[—1,1] С 7^2 [—1,1] и, исходя из соотношения А(РП) —
= п(п + 1)РП, объясните ортогональность полиномов Лежандра.
d) Используя полноту системы {1, х. х2,... } в 1,1], покажите, что
размерность собственного пространства оператора Л, отвечающего его соб-
ственному значению А — п(п + 1), не может быть больше единицы.
е) Докажите, что оператор А —
d
Их
не может иметь в про-
странстве (?(2)[—1,1] собственных функций, не входящих в систему {Ро(аг),
Pi(#),...} полиномов Лежандра, и собственных значений, отличных от чисел
{п(п + 1); п — 0,1,2,...}.
7.	Сферические функции, а) В R3 при решении различных задач (напри-
мер, задач теории потенциала, связанных с уравнением Лапласа Ди = 0) ре-
шение ищут в виде ряда из решений специального вида. В качестве таковых
берут однородные многочлены Sn(x,y,z) степени п, удовлетворяющие урав-
нению Ди = 0. Такие многочлены называются гармоническими многочлена-
ми. В сферических координатах	гармонический многочлен 5п(аг,
очевидно, имеет вид rnYn(0y р). Возникающие при этом функции Уп(0, (£?), за-
висящие только от координат 0	0 тг, 0 р 2л на сфере, называют
сферическими функциями. (Они являются тригонометрическими многочлена-
ми от двух переменных с 2п+1 свободными коэффициентами у Уп, что связано
с условием Д5П — 0.)
Используя формулу Грина, покажите, что при т п функции Ym, Yn
ортогональны на единичной сфере в R3 (в смысле скалярного произведения
(Ym, Yn) = f J Ym - Yn da, где поверхностный интеграл берется по сфере г — 1).
Ь) Отправляясь от полиномов Лежандра, можно ввести еще полиномы
Рп.т = (1 ~	т = 1,2,... ,п, и рассмотреть функции
ах
F„(cos0), Рп,т(cos0) cosmtp, Рп,т(sin0) sinтр.	(*)
Оказывается, любая сферическая функция Уп(0,<£>) с индексом п является
линейной комбинацией указанных функций. Принимая это к сведению и учи-
тывая ортогональность тригонометрической системы, покажите, что функ-
ции системы (*) образуют ортогональный базис в (2п + 1)-мерном простран-
стве сферических функций данного индекса п.
618
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
8.	Полиномы Эрмита. В квантовой механике при исследовании уравнения
линейного осциллятора приходится рассматривать функции класса С№ (R) со
4“0О
скалярным произведением (f,g) = f fgdx в СД2)(В) С 72-2(U&,С), а также
— оо
специальные функции Нп(х) = (—Г)пех ~?е^~х ), п ~ 0,1,2,...
dxn
а)	Покажите, что Hq(x) = 1, Н}(х) = 2х, Hz(x) = 4дг2 — 2.
Ь)	Докажите, что Нп(х)—полином степени п. Система функций {Но(х),
Hi (ar),... } называется системой полиномов Эрмита.
с)	Проверьте, что функция Нп(х) удовлетворяет уравнению Н^(х)—
—2хНгп(х) + 2пНп(х) ~ 0.
d)	Функции ^п(ж) — е~х^/2Нп(х) называют функциями Эрмита. Покажи-
те, ЧТО 'Фп(х) + (2п + 1 —	— 0 и фп(х) -> 0 при х -> 00.
4-оо
е)	Проверьте, что f фпфт dx = 0 при т п.
— оо
2
f)	Покажите, что полиномы Эрмита ортогональны на R с весом е~~х .
9.	Полиномы Чебышева-Лагерра1^ {Ьп(аг);п = 0,1,2,...} можно опреде-
лить формулой Ln(x) := exdn(x п •
Проверьте, что:
a)	Ln(x) есть полином степени п;
Ь)	функция Ъп(х) удовлетворяет уравнению
xL”(x) + (1 - x)L'n(x) + nLn(x) ~ 0;
с)	система {Ln\ п ~ 0,1, 2,... } полиномов Чебышева - Лагерра ортогональ-
на с весом е~х на полупрямой [0, +оо[.
10.	Полиномы Чебышева {То (аг) = 1,Тп(аг) = 21-ncosn(arccosar);n € N}
при |ж| < 1 можно задать формулой
dn
dxn
2хп-|
Покажите, что:
а)	Тп(х) есть полином степени п;
Ь)	Тп (аг) удовлетворяет уравнению
(1 - х2)Т”(х) - хТ'п(х) + п2Тп(х) = 0;
с)	система {Тп;п = 0,1,2,... } многочленов Чебышева ортогональна с ве-
сом р(х) = - 1 на промежутке ]— 1,1[.
v 1 — т2
^Э. Н. Лагерр (1834-1886) —французский математик.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
619
11 а) В теории вероятностей и теории функций встречается следующая
система функций Радемахера1^ {'ipnfx) = <р(2пх)\п = 0,1,2,...}, где tp(t) —
= sgn(sin 2тг£). Проверьте, что это ортонормированная система на отрезке
[0,1].
Ь) Система функций Хаара2^ {Xn,k(x)}, где п = 0,1,2,..., а к — 1,2,22,...
определяется соотношениями
1,
-1,
Хп,№) = <
0
ч
еСЛИ 2?г+1	< 2п+1 5
если < х <
в остальных точках [0,1].
Проверьте ортогональность системы Хаара на отрезке [0,1].
12. а) Покажите, что любое n-мерное векторное пространство со скаляр-
ным произведением изометрически изоморфно арифметическому евклидову
пространству той же размерности.
Ь)	Напомним, что метрическое пространство называется сепарабельным,
если в нем имеется счетное всюду плотное подмножество. Докажите, что ес-
ли линейное пространство со скалярным произведением сепарабельно, как ме-
трическое пространство с индуцированной этим скалярным произведением
метрикой, то в нем есть счетный ортонормированный базис.
с)	Пусть X — сепарабельное гильбертово пространство (т. е. X — сепара-
бельное и полное метрическое пространство с метрикой, индуцированной ска-
лярным произведением вА). Взяв в X ортонормированный базис {ег;г € N},
построим отображение X Э х (ci, Сг,...), где сг = {х, ег) —коэффициенты
Фурье разложения вектора х по базису {ег}. Покажите, что это отображение
является биективным, линейным и изометричным отображением X на прост-
ранство ^2j рассмотренное в примере 14.
d)	Используя рис. 103, укажите, в чем состоит идея построения примера 14,
и объясните, почему она связана именно с бесконечномерностью рассматри-
ваемого пространства.
е)	Объясните, как построить аналогичный пример в пространстве функ-
ций С [a, b] С 7^2 [а, Ь].
^Г. А. Радемахер (род. 1892) — немецкий (с 1936 г. — американский) математик.
2>А. Хаар (1885 1933) — венгерский математик.
620
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 2. Тригонометрический ряд Фурье
1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье
а. Тригонометрический ряд и тригонометрический ряд Фу-
рье. Классический тригонометрический ряд — это ряд вида1)
Др
2
оо
ak cos кх + bk sin кх,
ь=1
(1)
получаемый на базе тригонометрической системы {1, cos кх, sin кх; к Е
Е N}. Коэффициенты {a^,a^,bk;k Е N} здесь вещественные или ком-
плексные числа. Частичные суммы тригонометрического ряда (1) суть
тригонометрические многочлены
(2)
соответствующей степени п.
Если ряд (1) сходится поточечно на R, то его сумма f(x), очевидно,
2тг-периодическая функция на R. Она вполне определяется заданием ее
ограничения на любой отрезок длины 2тг.
Обратно, если дана 2тг-периодическая функция на R (колебания, сиг-
нал и т. п.) и мы желаем разложить ее в сумму некоторых канонических
периодических функций, то для этой цели первыми претендентами слу-
жат простейшие 2тг-периодические функции {1, cos кх, sin кх; к Е N},
представляющие простые гармонические колебания кратных частот.
Допустим, нам удалось представить непрерывную функцию в виде
суммы
оо
/(z) =	cos &Х Sin
к=1
(3)
равномерно сходящегося к ней тригонометрического ряда. Тогда коэф-
фициенты разложения (3) легко и вполне однозначно находятся.
Домножая в этом случае равенство (3) последовательно на каждую
из функций системы {l,cos&z,sinA;:r;к Е N}, пользуясь возможностью
^Запись свободного члена в виде ао/2, удобная для рядов Фурье, здесь не обяза-
тельна.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
621
почленно интегрировать получаемые при этом равномерно сходящиеся
ряды и учитывая соотношения
7Г
J I2 dx = 2%,
— 7Г
7Г	7Г
= 0 при m n, m,n 6 N,
-7Г	—7Г
7Г	7Г
У cos2 n xdx ~ У sin2 пх dx — л, п G N,
— 7Г	— 7Г
находим коэффициенты
7Г
dk = ak(f) = J f(x) coskxdx, к = 0,1,...,	(4)
— 7Г
7Г
bk = bk(f) = J f(x)sinkxdx, k = l,2,...	(5)
— 7Г
разложения (3) функции f в тригонометрический ряд.
Мы пришли к тем же коэффициентам, какие бы мы имели, рассма-
тривая (3) как разложение Фурье вектора f G 7^2[—я*, тг] по ортогональ-
ной системе {1, cos Arrr, sin fcrr; к 6 N}. Это не удивительно, поскольку
из равномерной сходимости ряда (3), конечно, вытекает и его сходи-
мость в среднем на отрезке [—тг, 7г], а тогда коэффициентами ряда (3)
должны быть коэффициенты Фурье функции f по рассматриваемой ор-
тогональной системе (см. §1).
Определение 1. Если для функции f имеют смысл интегралы
(4), (5), то сопоставляемый f тригонометрический ряд
ао(/)
ОО
^2afc(/)cos+ bk(f) sinkx
к=1
(6)
называется тригонометрическим рядом Фуръе функции /.
Поскольку других рядов Фурье, кроме тригонометрических, в этом
параграфе не будет, мы для краткости позволим себе порой опускать
622
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
слово «тригонометрический» и будем говорить просто «ряд Фурье фун-
кции /».
В основном мы будем иметь дело с функциями класса 77([—тг, тг],С)
или, несколько шире, с функциями, квадрат модуля которых интегри-
руем (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке ] ~ %, 7г[. Со-
храним прежний символ 7^2[—7г,7г] для обозначения линейного прост-
ранства таких функций со стандартным скалярным произведением в
нем
7Г
(f,g} = У fgdx.	(7)
— 7Г
Неравенство Бесселя

оо
+ £м/)12 + 1М/)12
fc=l
(8)
справедливое для любой функции f £	С), показывает, что
далеко не каждый тригонометрический ряд (1) может быть рядом Фу-
рье некоторой фуНКЦИИ f 6
Пример 1. Тригонометрический ряд
sin кх
7к
как нам уже известно (см. пример 7 из §2 гл. XVI), сходится на R, но
он не является рядом Фурье никакой функции f G 772[~7г, %], так как
оо / ч 2
ряд 52 ( “7е ) расходится.
fc=l '^kJ
Итак, изучаться здесь будут не произвольные тригонометрические
ряды (1), а ряды Фурье (6) функций класса Т^2[—7г,7г], а также класса
абсолютно интегрируемых на ] — 7г,7г[ функций.
Ь. Сходимость в среднем тригонометрического ряда Фу-
рье. Пусть
Sn{x) =
ао(/)
п
£gfe(/)cos кх + bk(f)smkx
fc=l
(9)
§ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
623
— п-я частичная сумма ряда Фурье функции f Е	тг, тг]. Отклоне-
ние Sn от f можно измерять как в естественной метрике пространства
7^2 [—тг, тг], индуцированной скалярным произведением (7), т. е. в смысле
среднего квадратичного уклонения
[ \f - Sn|2(®)d®
(Ю)
Sn от f на промежутке [—тг, тг], так и в смысле поточечной сходимости
на этом промежутке.
Первый из указанных видов сходимости для произвольного ряда
Фурье был рассмотрен в § 1. Конкретизация полученных там результа-
тов применительно к тригонометрическому ряду Фурье связана прежде
всего с тем, что тригонометрическая система {l,cos&z,sinA;z; k Е N}
полна в тг, тг] (зто уже отмечалось в §1 и будет независимо дока-
зано в п. 4 настоящего параграфа).
Значит, основная теорема из § 1 в нашем случае позволяет утвер-
ждать, что справедлива следующая
Теорема 1 (о сходимости в среднем тригонометрического ряда
Фурье). Ряд Фуръе (6) любой функции f Е Т^2([—тг, %], С) сходится к
ней в среднем (10), т. е.
£ dktf) COS кх + bk(f) sin кх,
k=i
и имеет место равенство Парсеваля
+ £Ы/)12 + 1М/)12-	(И)
fc=l
Мы часто будем использовать более компактную комплексную фор-
му записи тригонометрических полиномов и тригонометрических ря-
дов, основанную на формулах Эйлера егх = cosz-Hsinz, cosz = ^(егх +
+ е”га;), sinz = ^(егх — е~гх). Используя их, частичную сумму (9) ряда
Фурье можно записать в виде
Sn(x) = £ ске^
(9')
к~—п
624
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
а сам ряд Фурье (6) —в виде
где
+оо
—ОО
(6')
если	к > 0,
если	к = 0,
если	к < 0,
(12)
2	~
2^0?
ч
2 “Ь
т. е.
7Г
q = q(/) = ^ / №е'гкх<1х’
— 7Г
k G Z,
(13)
и, значит, — попросту коэффициенты Фурье функции f по системе
{егкх;ке%}.
Обратим внимание на то, что суммирование ряда Фурье (б7) пони-
мается в смысле сходимости сумм (97).
Теорема 1 в комплексной записи означает, что для любой функции
/ е 7г2([-7Г,7г],С)
оо
/<2 —
И
1	оо
r»/ii2 = £ ы/)|2.
Z7T	*—'
—оо
(14)
с. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фу-
рье. Теорема 1 полностью решает вопрос о сходимости ряда Фурье (6)
в среднем, т. е. по норме пространства 7^2[~^5 тг]. Вся дальнейшая часть
этого параграфа в основном будет посвящена изучению условий и ха-
рактера поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Мы
рассмотрим только наиболее простые аспекты этого вопроса. Исследо-
вание поточечной сходимости тригонометрического ряда, как правило,
дело настолько тонкое, что, несмотря на традиционное центральное
место, которое после Эйлера, Фурье и Римана в теории функций за-
нимали ряды Фурье, до сих пор нет внутреннего описания класса тех
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯД ФУРЬЕ
625
функций, которые представляются сходящимся к ним в каждой точке
тригонометрическим рядом (проблема Римана). До недавнего време-
ни не было даже известно, обязан ли ряд Фурье непрерывной функ-
ции сходиться к ней почти всюду (то, что сходимости всюду при этом
может не быть, уже знали). В свое время А. Н. Колмогоров1) даже по-
строил пример всюду расходящегося ряда Фурье функции f G L[—тг, тг]
(где L[~тг, тг] — пространство функций, интегрируемых по Лебегу на
промежутке [—тг, тг], получаемое метрическим пополнением пространс-
тва И[~тг, тг]), а Д. Е. Меньшов2) построил тригонометрический ряд (1),
содержащий отличные от нуля коэффициенты и сходящийся к нулю
почти всюду (нуль-ряд Меньшова). Поставленный Н. Н. Лузиным3) во-
прос (проблема Лузина) о том, обязан ли ряд Фурье любой функции
f 6 Lz[—тг, тг] (где L2[—7r,7r]—метрическое пополнение пространства
7^2тф сходиться почти всюду, был решен, причем утвердительно,
только в 1966 г. Л. Карлесоном4 *). Из результата Л. Карлесона, в частно-
сти, следует, что ряд Фурье любой функции f G Р,2[—7г,7г] (например,
непрерывной) обязан сходиться почти во всех точках отрезка [—тг, тг].
2. Исследование поточечной сходимости тригонометриче-
ского ряда Фурье
а. Интегральное представление частичной суммы ряда Фу-
рье. Обратимся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье (6) и, под-
ставив в ее комплексную запись (97) выражения (13) коэффициентов
Фурье, проделаем следующие преобразования:
Sn(s)= Е J f(t)e-iktdtjeikx =
А. Н. Колмогоров (1903-1987) —выдающийся советский ученый; работы по тео-
рии вероятностей, математической статистике, теории функций, функциональному
анализу, топологии, логике, дифференциальным уравнениям и прикладным аспек-
там математики.
2)Д. Е. Меньшов (1892 - 1988) —один из наиболее крупных советских математиков,
специалист в теории функций действительного переменного.
3^Н. Н. Лузин (1883 -1950) — русский советский математик, один из наиболее тон-
ких знатоков теории функций, родоначальник большой московской математической
школы («Лузитании»).
4^Л. Карлесон (род. 1928)—выдающийся шведский математик; основные труды
относятся к различным областям современного анализа,
626
ГЛ XVIII РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
= ~ I т Е I л.	(15)
\к~—п	/
Но
_п	„г(п+1)и _ -гпи	г(п+^)и _ -г(п+±)и
Dn(u) := У егки = -----------f----= -------j---—-------,	(16)
fcf^n е 1	еЦ“_е-4“
причем, как видно из самого определения, Dn(u) = (2n+1), если еги = 1.
Значит,
sin (п + и	,
Dn (и) =----\ х 27 ,	(17)
SH1
где отношение считается равным 2п +1, когда знаменатель дроби обра-
щается в нуль.
Продолжая выкладку (15), теперь имеем
7Г
Sn(x) =	[ f(t)Dn(x — t)dt.	(18)
27Г J
— 7V
Мы представили Sn(x) в виде свертки функции f с функцией (17),
называемой ядром Дирихле.
Как видно из исходного определения (16) функции Dn(u\ ядро Ди-
рихле 2тг-периодично, четно, и, кроме того,
7Г	7F
77-	[ Dn(u)du — ~ I Dn(u)du = 1.	(19)
2к J	К J
— 7Г	О
Считая функцию f 2тг-периодической на R или периодически про-
долженной с отрезка [—тг, тг] на R, делая в (18) замену переменной, по-
лучаем, что
1 Г z	1 / z ч sm (п + i) t
sn(x) = — / f (х — t)Dn(t) dt = — f(x-t)---------—dt. (20)
2k J	2k J	sm
— 7Г	—7Г
Делая замену переменной, мы здесь воспользовались тем, что ин-
теграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого
равна периоду функции, одинаков.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯД ФУРЬЕ
627
Учитывая четность Z?n(i), равенство (20) можно переписать в виде
7Г
Sn(aO = т~~ f -t) + f(x + £))£>п(£) dt =
Z-к J
0
= x- [(/(* ~t) + f{x + f))Sm	dt. (21)
2tt J	sin
0	2
b. Лемма Римана и принцип локализации. Полученное пред-
ставление (21) частичной суммы тригонометрического ряда Фурье со-
вместно с формулируемым ниже наблюдением Римана служит основой
для исследования поточечной сходимости тригонометрического ряда
Фурье.
Лемма 1 (Риман). Если локально интегрируемая функция f:
IK абсолютно интегрируема {хотя бы в несобственном смы-
сле) на промежутке ]o>i, то
У f(x)elXx dx —> 0 при А —> оо, A G R.	(22)
◄ Если ]cvi,(V2[ — конечный промежуток, a f{x) = 1, то (22) прове-
ряется непосредственным интегрированием и переходом к пределу.
Общий случай сведем к этому простейшему.
Фиксируя произвольно е > 0, выберем сначала отрезок [a, b] С
С] cui, сиз [ так, чтобы при любом А 6 IK было
Ввиду оценок
CV2
f f(x)elXxdx —
21-4574
628
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и абсолютной интегрируемости f на ]cui,указанный отрезок [а,6],
конечно, существует.
Поскольку f G 73([a,6],IR) (точнее 6 7£([а,6])), то найдется
п
такая нижняя сумма Дарбу ^2	где т3 — inf /(rr), что

Вводя теперь кусочно постоянную функцию д(х) = т3, если х 6
6 [я3-1, х3\, j = 1, • • •, получаем, что д(х) f(x) на [а, Ь] и
Сопоставляя соотношения (22)-(25), получаем то, что и утвержда-
лось. ►
Замечание 1. Отделяя в (22) действительную и мнимую части,
получаем, что
W2	W2
У f(x) cos Xxdx -4“ 0 и у* f(x) sin Xxdx -4 0	(26)
при A —> oo, A 6 IR. Если бы в последних интегралах функция f была
комплекснозначна, то, отделяя уже в них действительную и мнимую
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
629
части, мы получили бы, что соотношения (26), а значит, и соотноше-
ние (22), на самом-то деле, конечно, справедливы и для комплекснознач-
ных функций f: ] с^2[—> С.
Замечание 2. Если известно, что f G 7?,2[—тг, тг], то в силу нера-
венства Бесселя (8) можно сразу заключить, что
7Г	7Г
У /(rr) cos пх dx -4“ 0 и У /(rr) sinnrrdrr-4 О
— 7Г	—7Г
при п -4 оо, п G N. Этим дискретным вариантом леммы Римана в
принципе уже можно было бы обойтись в тех начальных исследованиях
классических рядов Фурье, которые будут здесь проведены.
Возвращаясь теперь к интегральному представлению (21) частич-
ной суммы ряда Фурье, замечаем, что если функция / удовлетворя-
ет условиям леммы Римана, то, поскольку sin sin ^5 > 0 при
О < 8 С t тг, мы вправе на основании соотношений (26) записать,
что
1 Г	ч sm (тг + i) t
Sn{x) = — (f(x-t) + f(x + t))---------------df + o(l) при 71-4-00. (27)
2тг J	sm
о	2
Важное заключение, которое можно сделать, имея равенство (27),
состоит в том, что сходимость ряда Фурье в точке вполне определяется
поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой точки.
Сформулируем этот принцип в виде следующего утверждения.
Теорема 2 (принцип локализации). Пусть fug — вещественно-
или комплекснозначные локально интегрируемые на промежутке
]—тг, тг[ и абсолютно интегрируемые на нем (хотя бы в несобствен-
ном смысле) функции.
Если функции fug совпадают в сколь угодно малой окрестности
точки xq G ]—тг,тг[? то их ряды Фурье
-Too
“ОО
+оо
д{х)^с^9Укх
—ОО
630
ГЛ. XVIIL РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
сходятся или расходятся в точке хо одновременно, а в случае сходи-
мости их суммы в хо совпадают^.
Замечание 3. Как видно из проведенных при получении равенств
(21), (27) рассуждений, точка гг0 в принципе локализации может быть
и концом отрезка [—тг, тг], но тогда (и это существенно!) для совпаде-
ния в окрестности точки периодически продолженных на R с отрез-
ка [—тг, тг] функций f и g необходимо (и достаточно), чтобы исходные
функции f и g совпадали в окрестности обоих концов отрезка [—тг, тг].
с. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке
Определение 2. Говорят, что функция f: U —> С, заданная в про-
колотой окрестности точки х 6 R, удовлетворяет в точке х условиям
Дини, если
а)	в точке х существуют оба односторонних предела
у(ж_) = lim	/(ж+) = lim /(ж + t);
t—>+о
b)	интеграл
f (f(x -0- /(ж_)) + (/(ж + t)~ /(ж+))
J	t
+0
сходится абсолютно* 2).
Пример 2. Если / непрерывная в U(x) функция, удовлетворя-
ющая в точке х условию Гельдера
|/(ж + t) - f(x)\ <	0 < а < 1,
то, поскольку тогда справедлива оценка
/(гг + £) - /(ж)
t
М
I*!1-*’
функция f удовлетворяет в точке х условиям Дини.
^Хотя и не обязательно совпадают со значением /(а?о) = д(хо)-
£
2^Имеется в виду абсолютная сходимость интеграла f хоть при каком-нибудь зна-
0
чении £ > 0.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
631
Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности U (х)
точки х непрерывная функция f имеет односторонние пределы /(гг_),
/(гг_|_) и удовлетворяет односторонним условиям Гельдера
\f(x + t) -/(ж+)| < Mta,
\f(x -t)- /(ж-)| Mta,
где £ > О, 0 < а < 1, а М — положительная постоянная, то функция f
по той же причине, что и выше, будет удовлетворять условиям Дини.
Определение 3. Вещественно или комплекснозначную функ-
цию f будем называть кусочно непрерывной на отрезке [а, 6], если су-
ществует такой конечный набор точек а — хо < Xi < ... < хп = Ь этого
отрезка, что функция f определена, непрерывна на каждом интервале
Xj[, j = 1,... и имеет односторонние пределы при подходе к
его концам.
Определение 4. Функцию, имеющую на данном отрезке кусочно
непрерывную производную, будем называть кусочно непрерывно диф-
ференцируемой функцией на этом отрезке.
Пример 3. Если функция кусочно непрерывно дифференцируе-
ма на отрезке, то она удовлетворяет условиям Гельдера с показателем
а = 1 в любой точке этого отрезка (это вытекает из теоремы Лагранжа
о конечном приращении). Значит, в силу примера 1 такая функция удо-
влетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка. В
концах отрезка, разумеется, проверке подлежит только соответствую-
щая односторонняя пара условий Дини.
Пример 4. Функция /(ж) = sgnrr удовлетворяет условиям Дини в
любой точке х 6 К, в том числе и в нуле.
Теорема 3 (достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке).
Пусть f: IR С—-периодическая функция, абсолютно интегриру-
емая на отрезке [—тг, тг]. Если функция f удовлетворяет в точке х 6 IR
условиям Дини, то ее ряд Фурье сходится в точке х, причем
—оо
(27)
632
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
◄ На основании соотношений (21) и (19)
s м_ /(ж-) + /(ж+) _
_ 1	/ п
— I	1	о 111 I f L л" I 6 (JLL •
тг/	2 sin if	\	2/
о	z
Поскольку 2 sin |f ~ t при t -4 +0, то, благодаря условиям Дини, на
основании леммы Римана можно утверждать, что при п -4 оо последний
интеграл стремится к нулю. ►
Замечание 4. В связи с доказанной теоремой и принципом лока-
лизации отметим, что изменение значения функции в точке не влияет
ни на коэффициенты, ни на ряд, ни на частичные суммы ряда Фурье,
поэтому сходимость и сумма такого ряда в точке определяется не ин-
дивидуальным значением функции в точке, а интегральным средним ее
значений в сколь угодно малой окрестности этой точки. Именно это и
нашло отражение в теореме 3.
d. Теорема Фейера1). Рассмотрим теперь последовательность
функций
, So(rr) + ... + Sn(x)
^п(х) :=---------—--------,
п + 1
являющихся средними арифметическими соответствующих частичных
сумм 5о(гг),..., Sn(x) тригонометрического ряда Фурье (6) 2тг-периоди-
ческой функции f: IR -4 С.
На основе интегрального представления (20) частичной суммы ряда
Фурье имеем
— 7Г
где
п + 1
Вспоминая явный вид (17) ядра Дирихле и учитывая, что
1	Ч”1	sin2
sin ~t I 5 (cos kt — cos(A: + l)f) = —;—p—,
2	' к^П	sin2*
^Л. Фейер (1880- 1956) —известный венгерский математик.
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
633
находим
sin2
П (п + 1) sin2
Функция Fn называется ядром Фейера, точнее, п-м ядром Фейера,
Учитывая исходное определение (16) ядра Дирихле Dn, можно за-
ключить, что ядро Фейера является гладкой 2тг-периодической функ-
цией, значение которой равно (n + 1) там, где знаменатель последней
дроби обращается в нуль.
Свойства ядер Фейера и Дирихле во многом схожи, но в отличие
от ядер Дирихле ядра Фейера еще и неотрицательны, поэтому имеет
место следующая
Лемма 2. Последовательность функций
если |ж|	7Г,
О, если |ж| > тг
является S-образной на IR.
◄ Неотрицательность Дп(гг) ясна.
Равенство (19) позволяет заключить, что
1
2тг(п + 1)
Наконец, при любом S > О
-6
к
О
—оо
6
6
1
7Г
f dx
/	-21
J snr £х
при п —> оо.
634
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Теорема 4 (Фейер). Пусть f: R —> С—2тг-периодическая абсо-
лютно интегрируемая на отрезке [—тг, тг] функция. Тогда,
а)	если на множестве Е С R функция f равномерно непрерывна,
то
ап(х) =3 f(x) на Е при п —> оо;
Ь)	если f Е C(R,C), то
<тп(х) =3 f(x) на R при п —> оо;
с)	если f непрерывна в точке х Е R, то
ап(х) ~> /(я) при п —> оо.
◄	Утверждения Ь) и с) являются специальными случаями утвержде-
ния а).
Само же утверждение а) является частным случаем общего утвер-
ждения 5 из § 4 гл. XVII о сходимости свертки, поскольку
7Г
сгп(®) = J fix- dt = if * Дп)(з;). ►
— 7Г
Следствие 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации тригоно-
метрическими многочленами). Если функция f: [—тг, л] —> С непрерыв-
на на отрезке [—л, л] и /(—л) = /(тг), то эта функция может быть
сколь угодно точно равномерно на отрезке [—л, л] аппроксимирована
тригонометрическими многочленами.
◄	Продолжая / 2л-периодически, получим непрерывную периодиче-
скую на R. функцию, к которой по теореме Фейера равномерно сходятся
тригонометрические многочлены сгп(ж). ►
Следствие 2. Если функция f непрерывна в точке х, то ее ряд
Фурье либо вовсе расходится в этой точке, либо сходится к f(x).
◄	Формально в проверке нуждается только случай сходимости. Если
последовательность Sn(x) при п —> оо имеет предел, то тот же предел
имеет и последовательность <Jn(x) =	+^-- +	. jjo по теОреме
Фейера сгп(з?) —> f(x) при п —> оо, значит, и Sn(x) —> f(x) при п —> оо,
если вообще предел Sn(x) при п —> оо существует. ►
Замечание 5. Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и
в самом деле может в некоторых точках расходиться.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯД ФУРЬЕ
635
3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов
Фурье
а. Оценка коэффициентов Фурье гладкой функции. Начнем
с простой, но важной и полезной леммы.
Лемма 3 (о дифференцировании ряда Фурье). Если непрерыв-
ная функция f Е С([—л, л], С), принимающая на концах отрезка [—тг,тг]
равные значения (/(—л) = У*(тг)), кусочно непрерывно дифференцируема
на [—тг, тг], то ряд Фурье ее производной
оо
—оо
может быть получен формальным дифференцированием ряда Фурье
оо
f ~ £с*(/)е***
—ОО
самой функции, т. е.
Ck(f') = ikck(f), к GZ.	(31)
◄ Исходя из определения коэффициентов Фурье (13), интегрирова-
нием по частям находим
7Г
— 7Г
У гкх dx = ikck(f),
—7Г
поскольку /(л)е гк71 — f(—тг)егкп — 0. ►
Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания
ее коэффициентов Фурье). Пусть f Е	л, тг], С) и /^(—л) =
= /^(тг), 3 — 0,1,... ,m — 1. Если функция f имеет на отрезке [—л, л]
кусочно непрерывную производную f(m>) порядка т, то
= (ik)mck(f), kez,	(32)
636
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и
ЫЛ1 =	= 0 пРи k-^oo, kez, (33)
оо
причем 52 7^ < оо.
—оо
◄ Соотношение (32) получается в результате m-кратного использо-
вания равенства (31)
Cfc(/(m)) =	= ... = (ik)mck(f).
Полагая ук ~ lcfc(/^)|, с учетом неравенства Бесселя
из (32) получаем соотношение (33). ►
Замечание 6. В доказанном утверждении, как и в лемме 3, вме-
сто условий /^)(—тг) = /^(тг) можно было бы считать, что f является
заданной на всей прямой 2тг-периодической функцией.
Замечание 7. Если тригонометрический ряд Фурье записывать
в форме (6), а не в комплексной форме (6'), то вместо простых со-
отношений (32) пришлось бы писать заметно более громоздкие равен-
ства, смысл которых, однако, тот же: при указанных условиях ряд
Фурье можно дифференцировать почленно (в какой бы из форм (б)
или (6') он ни был задан). Что же касается оценок коэффициентов Фу-
рье afe(/), bk(f) ряда (6), то, поскольку ak(f) = ck(f) +c_k(f), bk(f) =
— i(ck(f) — c_fc(/)) (см. формулы (12)), из (33) следует, что если функ-
ция f удовлетворяет указанным в утверждении условиям, то
= 1МЛ1 = ^,	(33')
ОО	оо
где < оо и /Зк < оо, причем можно считать ак = 0к = 7fc+?-*;
к=1	к=1
Ь. Гладкость функции и скорость сходимости ее ряда Фу-
рье
Теорема 5. Если функция f: [—тг, тг] —> С такова, что
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯД ФУРЬЕ
637
а)	/ G С^т 1)[-~тг, тг], т Е N,
b)	/(j)(-tt) = /Щя), j = 0,1,..., т - 1,
с)	f имеет на [—тг, тг] кусочно непрерывную производную по-
рядка т 1,
то ряд Фурье функций f сходится к f абсолютно и равномерно на
отрезке [—тг, тг], причем отклонение п-й частичной суммы Sn(x) ряда
Фурье от f(x) на всем отрезке [—тг, тг] имеет оценку
\f(x) - Sn(z)|
где {еп} —стремящаяся к нулю последовательность положительных
чисел.
Частичную сумму (9) ряда Фурье запишем в компактной фор-
ме (9')
п
5„(х) = ^ck(f)elkx.
—п
В соответствии с условиями на функцию f, согласно утверждению 1,
имеем |cfc(/)| = 7fc/|A:|m, причем	поскольку 0
+ 1/&2т) и m 1, имеем ^27fc/l^|m < оо. Значит,
последовательность Sn(x) на отрезке [—тг, тг] равномерно сходится (в
силу мажорантного признака Вейерштрасса для рядов или критерия
Коши для последовательностей).
В силу теоремы 3 предел S(x) последовательности Sn(x) совпадает
с /(ат), поскольку функция f удовлетворяет условиям Дини в каждой
точке отрезка [—тг, тг] (см. пример 3) и, ввиду /(—тг) = /(тг), функция /
периодически продолжается на R с сохранением условий Дини в любой
точке х Е R.
Теперь, используя соотношение (31), имеем возможность присту-
пить к оценке:
1/Ф - зд| = ism - s„wi =
12
638
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Е ы/)1 = £ wifei™
±fc=n4-l	±fc=n+l
Первый сомножитель в правой части неравенства Коши-Буняков-
оо
ского стремится к нулю при п —> оо, поскольку 52	< оо.
—оо
Далее (см. рис. 104)
Таким образом, получается то, что и утверждает теорема 5. ►
Рис. 104.
В связи с полученными результатами сделаем несколько полезных
замечаний.
Замечание 8. Из теоремы 5 (и существенно использованной при
ее доказательстве теоремы 3) можно легко и независимо от теоремы
Фейера вновь получить аппроксимационную теорему Вейерштрасса,
сформулированную в следствии 1.
Достаточно доказать ее для вещественнозначных функций. Ис-
пользуя равномерную непрерывность функции f на отрезке [—тг, тг], ап-
проксимируем f на этом отрезке равномерно с точностью до е/2 ку-
сочно линейной непрерывной функцией <р(ж), принимающей на концах
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯД ФУРЬЕ
639
отрезка те же значения, что и /, т. е. <р(—тг) = у?(тг) (рис. 105). По теоре-
ме 5 ряд Фурье функции (р сходится к у? равномерно на отрезке [—тг, тг].
Взяв частичную сумму этого ряда, уклоняющуюся от <р(х) не более чем
на е/2, получим тригонометрический многочлен, аппроксимирующий
исходную функцию f с точностью до е на всем отрезке [—тг, тг]. ►
Рис. 105.
Замечание 9. Предположим, нам удалось представить функ-
цию /, имеющую особенность -скачок, в виде суммы f = (р+ф некото-
рой гладкой функции ф и некоторой простой функции имеющей ту
же особенность, что и / (рис. 106 а, с, Ь). Тогда ряд Фурье функции f
окажется суммой быстро и равномерно сходящегося в силу теоремы 5
ряда Фурье функции ф и ряда Фурье функции у?. Последний можно
считать известным, если взять стандартную функцию <р (на рисунке
<р(х) = —тг — х при —тг < х < 0 и <р(ж) = тг — х при 0 < х < тг).
Это наблюдение используется как в прикладных и вычислительных
вопросах, связанных с рядами (метод А. Н. Крылова1) выделения осо-
бенностей и улучшение сходимости рядов), так и в самой теории три-
^А. Н. Крылов (1863-1945)—русский советский механик и математик, внесший
большой вклад в вычислительную математику и особенно в методы расчета элемен-
тов кораблей.
640
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
тонометрических рядов Фурье (см., например, явление Гиббса1^ опи-
санное в задаче 11).
Замечание 10 об интегрировании ряда Фурье.
Благодаря теореме 5 можно сформулировать и доказать следующее
дополняющее лемму 4 о дифференцировании ряда Фурье
Утверждение 2. Если функция /: [—тг, л]	С кусочно непрерыв-
ен
на, то соответствие f(x) ~ 52 ck(f)elkx после интегрирования пре-
—оо
вращается в равенство
X
У'1 ck(f) , ikx
ik 1
—ОО
о
где штрих свидетельствует об отсутствии в сумме члена с индек-
сом к ~ 0] суммирование происходит по симметричным частичным
п
суммам 52? и при этом ряд сходится равномерно на отрезке [—тг, тг].
—п
◄ Рассмотрим вспомогательную функцию
X
- с0(/)ж
0
на промежутке [—тг, тг]. Очевидно, F Е С[—7г,тг]. Далее, F(—тг) = F(tt),
поскольку
7Г
F(tt) - F(-7r) = [ /(f) dt - 2тгс0(/) = О,
— 7Г
что следует из определения cq(/). Поскольку производная Fl(x) — /(я) —
оо
— cq(/) функции F кусочно непрерывна, ряд Фурье 52 Ck{P)e%kx фун-
—оо
кции F по теореме 5 сходится к F равномерно на отрезке [—тг, тг]. По
лемме 4 cfc(F) = при к 0. Но Cfc(F') — Ck(f\ если к 0. Запи-
оо
сывая теперь равенство F(x) — 52 Ck(F)eikx в терминах функции / и
—оо
учитывая, что F(0) — 0, получаем то, что и утверждалось. ►
Дж. У. Гиббс (1839-1903) — американский физик и математик, один из осново-
положников термодинамики и статистической механики.
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯД ФУРЬЕ
641
4. Полнота тригонометрической системы
а. Теорема о полноте. В заключение вернемся вновь от поточеч-
ной сходимости ряда Фурье к его сходимости в среднем (10). Точ-
нее, используя накопленные факты о характере поточечной сходимо-
сти ряда Фурье, дадим независимое от уже встречавшегося в зада-
чах доказательство полноты в ^2([^л]Д) тригонометрической си-
стемы {1, cos кх, sin кх-, к Е N}. При этом, как и в п. 1, под Т^2([— 7Г,7Г],К)
или	тг], С) понимается линейное пространство вещественно- или
комплекснозначных функций, локально интегрируемых на промежутке
] — тг, 7г[ и имеющих интегрируемый на ] — тг, тг[ (хотя бы в несобствен-
ном смысле) квадрат модуля; это векторное пространство предполага-
ется наделенным стандартным скалярным произведением (7), порожда-
ющим норму, сходимость по которой и есть сходимость в среднем (10).
Теорема, которую мы собираемся доказать, попросту утверждает,
что система тригонометрических функций полна в 772([—тг, тг], С). Но
мы сформулируем теорему так, что в самой формулировке будет ключ
к излагаемому доказательству. Оно основано на том очевидном факте,
что свойство полноты транзитивно: если А приближает В, а В прибли-
жает С, то А приближает С.
Теорема 6 (о полноте тригонометрической системы). Любая
функция f Е 7^2[”7Г,7Г] может быть сколь угодно точно приближе-
на в среднем
а)	финитными на ] — тг, тг[ интегрируемыми по Риману на отрезке
[—тг, тг] функциями'
Ь)	финитными кусочно постоянными на отрезке [—тг, тг] функция-
ми-,
с)	финитными непрерывными кусочно линейными на отрезке [—тг, %]
функциями;
d)	тригонометрическими полиномами,
<4 Поскольку теорему, очевидно, достаточно доказать для веще-
ственнозначных функций, то мы и ограничимся этим случаем.
а)	Из определения несобственного интеграла следует, что
7Г	7Г — д
642
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Значит, каково бы ни было число е > 0, найдется число 6 > 0 такое,
что функция
( f(x),	если	|я| < тг — <5,
[ 0,	если	тг — 6	|ж|	тг
будет отличаться в среднем на [~тг, тг] от f меньше, чем на е, поскольку
А/ - /<?)2(^) dx = / f2(x)dx + f f2(x)dx.
b)	Достаточно проверить, что любую функцию вида fs можно в
Т^2([~7Г5 тг], R) аппроксимировать кусочно постоянными финитными на
[—тг, тг] функциями. Но функция f$ уже интегрируема по Риману на
отрезке [—тг + <5, тг ~ £]. Значит, она ограничена на нем некоторой по-
стоянной 7И, и, кроме того, существует такое разбиение — тг + <5 = х$ <
<#1 < ... < хп — тг — J этого отрезка, что соответствующая ему
нижняя интегральная сумма Дарбу 52 тпгАхг функции отличается
?=1
от интеграла по отрезку [—тг + 5, тг + 5] меньше чем на е > 0.
Полагая теперь
если х б]жг_ 1, хг[,
в остальных точках отрезка [—тг, тг],
получим, что
[(fa - g)2(z)dx у* |/<5 - tzi |/<5 + g](x)dx
—тг+J
2М /	— д) (х) dx 2Ме
—тг+5
и, значит, действительно можно сколь угодно точно в среднем на от-
резке [—тг, тг] аппроксимировать кусочно постоянными на этом отрез-
ке функциями, обращающимися в нуль в окрестности концов отрезка
[-тг,тг].
с)	Теперь уже достаточно научиться приближать в среднем ука-
занные в Ь) функции. Пусть д — такая функция. Все ее точки разрыва
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯД ФУРЬЕ
643
xij...,хп лежат в интервале ] — тг, тг[. Их конечное число, поэтому, како-
во бы ни было число е > 0, можно подобрать число 6 > 0 столь малень-
кое, что ^-окрестности точек xi,...,xn не пересекаются, содержатся
строго внутри интервала ] — тг, тг[ и 26пМ < е, где М — sup |д(ж)|. За-
меняя теперь функцию д на отрезках [хг—6, жг+£], i — 1,..., п, линейной
функцией, интерполирующей значения д(хг — 8) и д(хг+8), которые фун-
кция д принимает на концах соответствующего отрезка, мы получим
кусочно линейную непрерывную и финитную на [—тг, тг] функцию д$. По
построению \д§(ж)| М на [—тг, тг], значит,
7Г	7Г
1\д - 5<s)2(^) dx < 2М j \д- 5<5|(ж) dx =
— TV	—TV
п x'+s
= 2М^ / \g-gs\(x)dx^2M-(2M-2d)-n<4Me,
и возможность аппроксимации доказана.
d)	Осталось показать, что тригонометрическим полиномом можно
в среднем на отрезке [—тг, тг] приблизить любую функцию класса с). Но
ведь при любом е > 0 для любой функции типа д§ по теореме 5 най-
дется тригонометрический многочлен Тп, равномерно с точностью до е
TV
аппроксимирующий д$ на отрезке [—тг,тг]. Значит, J {д§ — Tn)2(x)dx <
— TV
< 2тге2, и возможность сколь угодно точной аппроксимации в среднем
на отрезке [—тг, тг] любой функции класса с) посредством тригономе-
трических полиномов установлена.
Ссылаясь на неравенство треугольника в тг, тг], можно теперь
заключить, что и вся теорема б о полноте в 7^2 [—тг, тг] указанных клас-
сов функций тоже доказана. ►
Ь. Скалярное произведение и равенство Парсеваля. После
доказанной полноты в 7^2 ([“тг, тг],С) тригонометрической системы на
основании теоремы 1 можем утверждать, что для любой функции / Е
6 72,2([—тг, тг], С) имеет место равенство
ао(/)
ОО
2S°fc(/)cosкх + bk(J) smkx
к=1
(34)
644
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
или, в комплексной записи, равенство
оо
—оо
(35)
где сходимость понимается как сходимость по норме пространства
7^2[—тг, тг], т. е. в среднем, а предельный переход в (35) совершается при
п	к
п оо по суммам вида Sn(x) = ^2 с*(/)е •
—п
Если переписать равенства (34), (35) в виде
Оо(/) 1
V2 72тг
оо
к=1
cos кх
sin кх
(34')
гкх
—оо
(35')
то в правых частях окажутся ряды по ортонормированным системам
5 —!=, -Lcosfc#, -^sinkxik е Nk <-£==егкх;к е %А. Значит, на ос-
1л/27Г ’ V7F	’ л/7Г ’ J’ I V27F	J
новании общего закона вычисления скалярного произведения векторов,
по их координатам в ортонормированном базисе (см. лемму 1 из § 1)
можно утверждать, что для любых функций f и д из Т^2([“Тг,тг],С)
справедливо равенство
1 (/9) = аМ)аМ	+
тг	Z	**
Л=1
или, в иной записи, равенство
1	оо
7-(/,р) = J2cfc(/)cfc(s),
Z7T
—оо
(36)
(37)
где, как всегда,
(/, 9}
В частности, при f = д из (36) и (37) получаем записанное в двух
эквивалентных между собой формах классическое равенство Парсева-
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
645
ля
i||/ll2 = Р’ + Е 1“‘<Л12 + 1ьИ/)|=.	(38)
ТГ	2	*—
«=1
оо
5-II/II2 =El«(/)|2.	(39)
27Г
—оо
Мы уже отмечали, что с геометрической точки зрения равенство
Парсеваля можно рассматривать как бесконечномерный вариант тео-
ремы Пифагора.
На основе равенства Парсеваля легко доказать следующее полезное
Утверждение 3 (о единственности ряда Фурье). Пусть fug —
функции из 72,2[—тг,тг]. Тогда,
а)	если тригонометрический ряд
~ аж cos kx + sinkx [ = cke%kx J
k=\	\ -oo /
сходится к f в среднем на отрезке [—тг,тг], то он является рядом Фу-
рье функции f;
b)	если функции fug имеют один и тот же ряд Фурье, то они
совпадают почти всюду на отрезке [—тг,тг], т. е. f = g в Т^2[—тг,тг].
◄ Утверждение а) на самом деле есть частный случай общего факта
единственности разложения вектора в ряд по ортогональной системе.
Скалярное умножение, как мы знаем (см. лемму 1b), немедленно пока-
зывает, что коэффициентами такого разложения являются коэффици-
енты Фурье и только они.
Утверждение Ь) можно получить из равенства Парсеваля с учетом
доказанной полноты в 7^-2 ([—я*, я*], С) тригонометрической системы.
Поскольку разность (/ — д) имеет нулевой ряд Фурье, то в силу
равенства Парсеваля \\f — д||тг2 — 0- Значит, функции f и д совпадают
во всех точках непрерывности, т. е. почти всюду. ►
Замечание 10. Рассматривая ряды Тейлора /3 ' wf 7 (х~а)п, мы
п=0
в свое время отметили, что различные функции класса	мо-
гут иметь одинаковые ряды Тейлора (в некоторых точках a G R). Этот
646
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
контраст с только что доказанной теоремой единственности рядов Фу-
рье не следует слишком абсолютизировать, поскольку всякая теорема
единственности относительна в том смысле, что она относится к опре-
деленному пространству и определенному виду сходимости.
Например, в пространстве аналитических функций (т. е. функций,
допускающих локально представление в виде поточечно сходящегося к
ним степенного ряда ^2 an{z ~ ^о)п) две различные функции в любой
71=0
точке имеют не совпадающие тейлоровские разложения.
Если, в свою очередь, при изучении тригонометрических рядов от-
казаться от пространства Т^2[~я*5я*] и рассматривать поточечную схо-
димость тригонометрического ряда, то, как уже отмечалось (см.
стр. 520), можно построить тригонометрический ряд, не все коэффи-
циенты которого равны нулю и который тем не менее почти всюду
сходится к нулю. По утверждению 3 такой нуль-ряд, конечно, не схо-
дится к нулю в смысле среднего квадратичного уклонения.
В заключение в качестве иллюстрации использования свойств три-
гонометрических рядов Фурье рассмотрим следующий принадлежащий
Гурвицу1) вывод классического изопериметрического неравенства в
двумерном случае. Чтобы избавиться от громоздких выражений и слу-
чайных технических трудностей, мы будем пользоваться комплексной
записью.
Пример 5. Между объемом V области в евклидовом пространс-
тве Еп. п 2 и (и - 1)-мерной площадью F, ограничивающей область
гиперповерхности, имеется соотношение
(40)
называемое изопериметрическим неравенством; здесь vn ~объем еди-
ничного «-мерного шара в Еп. Равенство в изопериметрическом нера-
венстве (40) имеет место только для шара.
Название «изопериметрическое» связано с классической геометри-
ческой задачей отыскания среди замкнутых плоских кривых данной
длины L той кривой, которая ограничивает наибольшую площадь S. В
этом случае неравенство (40) означает, что
4тт5 L2.
(41)
А. Гурвиц (1859-1919) — немецкий математик, ученик Ф. Клейна.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
647
Именно это неравенство мы теперь и докажем, считая, что рассма-
триваемая кривая является гладкой и задана параметрически в виде
х — ¥?(«), У = '0(5)э где 5 — натуральный параметр (длина) вдоль кри-
вой, а функции <р и ф принадлежат классу [О, L\. Условие замкнуто-
сти кривой означает, что </>(0) = <р(£), ?/;(0) =
Перейдем от з к параметру t — 2тг£ — тг, изменяющемуся от —тг до тг,
и будем считать, что наша кривая задана в параметрическом виде
X = x(t), у = y(t), -тг t тг,
(42)
причем
Ж(-7Г) = Ж(7Г),	У(-7Г) = У(7Г).
(43)
Соотношения (42) запишем в виде одной комплекснозначной функ-
ции
Z — z(t),	—тг t тг,
где z(t) = x(t) + iy(t\ и ввиду (43) z(-tt) — г(тг).
Заметим, что
(42')
|z(£)|2 = (x'lt))2 + (y'(f))2 =	,
\ UL /
и, значит, при нашем выборе параметра t
(44)
Учитывая далее, что zzf = (х — iy)(xf + iyf) = (xxf + yyf) + i(xyf — xfy),
и пользуясь равенствами (43), запишем в комплексном виде формулу
площади области, ограниченной замкнутой кривой (42):
(45)
Напишем теперь разложение функции (42') в ряд Фурье
z(t) = ^ckeikt
—ОО
648
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
тогда
оо
z'it) ~ У\гкскем.
—ОО
Равенства (44) и (45) означают, в частности, что
7Г
А||У||2 = ± Г \z'(jtf dt = L
2тг 2тг J v ' 4тг2
— 7Г
а
7Г
—(z1, z) = — I z'(t)z(t)dt =—S.
2т? ’ ' 2тг J v v ’ тг
— 7Г
В терминах коэффициентов Фурье, как следует из равенств (37),
(39), полученные соотношения приобретают вид
оо
£2 = 4тг2^2|А;сл|2,
—ОО
оо
S = тг^кскск.
—ОО
Таким образом,
оо
L2 — 4ttS = 4тг2 ^2(&2 — к) |cfc |2.
—ОО
Правая часть этого равенства, очевидно, неотрицательна и обраща-
ется в нуль только при условии, что q = 0, когда fc е Z и ^0,1.
Итак, неравенство (41) доказано, и заодно получено уравнение
z(t) = Со + Cie*f, -тг у тг,
той кривой, для которой оно превращается в равенство. Это комплекс-
ный вид параметрического уравнения окружности с центром в точке со
комплексной плоскости и радиуса |ci |.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
649
Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что
оо
SIH ПХ 7Г “ X
2^—— = -^— при 0 < х < 2тг,
iv	&
П=1
и найдите сумму этого ряда в остальных точках х Е К.
Используя предыдущее разложение и пользуясь правилами действий с три-
гонометрическими рядами Фурье, покажите теперь, что:
b)	Е = I - I при 0 < х < тг.
Aj —" 1
с)	Е	f при 0 < X < тг.
Aj —— 1
d)	52	---sinnrr = при |ж| < тг.
n=l
ОО / -а \
е)	х2 3 = 5 + 4 52 ~ о cosnx при |ж| < тг.
п=1 п
f)	х = 5 - £ е c°s(,2fc л1? при о о о-
7	^*=1 (2fc — I)2
g)	За2 - бтгх + 2тг2 = g cosnx при 0 ж тг
п=1 п
h)	Нарисуйте графики сумм встретившихся здесь тригонометрических ря-
дов над всей осью BL Используя полученные результаты, найдите суммы сле-
дующих числовых рядов:
(-1)"
2п + 1 ’
2. Покажите, что:
а) если /: [—тг,тг] -ч С нечетная (четная) функция, то ее коэффициенты
Фурье имеют следующую особенность: ak(J) — О (Ь*(/) = 0) при к — 0,1,2,...;
Ь) если /: IR —> С имеет период 2тг/т, то ее коэффициенты Фурье Ck(f)
могут быть отличны от нуля, лишь когда к кратно т;
с) если /: [—тг,тг] -ч К вещественнозначна, то при любом к € N Ck(f) —
=
d) |«*(/)1 2 SUP |/(®)1, 1Ы/)1 2 sup |/(ж)|, |cfc(/)| sup |/(ж)|.
|ж|<7Г	|я?|<7Г	|z|<7T
3. а) Покажите, что каждая из систем функций {cosfcrjA: = 0,1,...},
{sin кх; к Е N} полна в пространстве 7^2 [а, а + ?г] при любом значении a Е BL
Ь) Разложите функцию f(x) = х в промежутке [0, тг] по каждой из этих
двух систем.
с) Нарисуйте графики сумм найденных рядов над всей числовой осью.
650
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
d) Укажите тригонометрический ряд Фурье функции f(x) = |х| на отрезке
—тг, тг] и выясните, сходится ли он равномерно к этой функции на всем отрезке
—ТГ,ТГ .
оо
4.	Ряд Фурье 52 ck(f)eikx функции f можно рассматривать как специаль-
—оо
оо	/	— 1	+оо	\
ный случай степенного ряда 52 ск%к I =	52 ск%к + 52 c&zk ) >	в котором z про-
— оо	\	—оо	0	/
бегает единичную	окружность комплексной плоскости	(т.е.	z = elf).
Покажите, что если коэффициенты Фурье с*(/) функции /: [—тг,тг] —> С
убывают так быстро, что lim |с*(/)|= с_ > 1, a lim |q(/)|1//a	< I?
*->-оо	*-Н-оо
то:
а)	функцию f можно рассматривать как след на единичной окружности
оо
некоторой функции, представимой в кольце cZ1 < |я| < с^1 рядом 52 ск^к]
—оо
оо
Ь)	при z = х 4- iy и In — < у < In ряд 52 ck(f)etkz сходится абсолютно
—	+	—оо
(и, в частности, его сумма не зависит от порядка суммирования членов);
с)	в любой полосе комплексной плоскости, задаваемой условиями а
оо
< Im г < 6, где ln^-<a<t<ln^-, ряд 52 ck(J)etkz сходится абсолют-
—	+	—оо
но и равномерно;
2
d)	используя разложение ez = 1 + уг +	+ • • • и формулу Эйлера егх =
= cos х 4- i sin х, покажите, что
cos х
cos пх
sin х
“ТГ
sin пх
n!
__ ecosa? cos(sin;c)7
_ ecosa? sin(sjn;c);
~2	~4	,	~3	^5
e)	используя разложения cosz = 1 —	+ yr — ..., smz = z — 3т 4-
проверьте, что
оо
Ес-1)”
n=0
cos(2n + l)rc
(2n + l)!
00
£(-l)
n=0
sin(2n + l)rc
(2n + l)!
00
S(-1)
n=0
cos 2nx
(2n)!
= sin(cos x) ch(sin x),
= cos(cosrr) sh(sinrr),
= cos(cosrr) ch(sinrr),
Гл, ^xr,sin2n,x
(2^)T
= cos(cos x) sh(sin x).
n=0
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
651
5.	Проверьте, что:
а)	системы |l,cosA:^£,sinA:y!^; к Е	ортогональны и
полны в пространстве 72-2([а? а 4- Т], С) при любом а Е К;
Ь)	коэффициенты Фурье	ck(f) Т-периодической функции f
по указанным системам не зависят от того, раскладывается ли функция в ряд
Фурье на отрезке —
или на любом ином отрезке вида [а, а 4- Т];
с)	если Ck(f) и Ck(g)—коэффициенты Фурье Т-периодических функций f
и д, то
1 f	°°л
- / f(x)g(x)dx = 2Jc*(/)c*(5);
d)	коэффициенты Фурье Ck(h) нормированной множителем «свертки»
т
h(x) = U f(x- t)g(t) dt
О
Г-периодических гладких функций f и д и коэффициенты Фурье Ck(g)
самих функций f и д связаны соотношением Ck(h) — c^(/)q(^), к Е Z.
W	- тг
elk(x+na^ = f ezktdt;
П— 1	— TV
6.	Докажите, что если а несоизмеримо с тг, то:
a) lim i
b) для любой непрерывной 2тг-периодической функции f: IR —> С
Jim ^^Кх + па) = 37 [ f(t)dt.
N-+OO IV	27Г /
п=1	"
— TV
7.	Докажите следующие утверждения:
а)	Если функция f: К -ч С абсолютно интегрируема на IR, то
оо
/(х)егХх dx
— оо
dx.
b)	Если функции / :IR—>Си#:1К—>С абсолютно интегрируемы на IR и,
кроме того, д по модулю ограничена на IR, то
оо
У* f(x 4- t)g(t)elXt dt =: (р\(х) =4 0 на IR при А —> ос.
— оо
652
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
с)	Если	С — 2тг-периодическая абсолютно интегрируемая на пери-
оде функция, то остаток Sn(x) — f(x) ее тригонометрического ряда Фурье
может быть представлен в виде

где Dn —n-е ядро Дирихле, а (Д2/)(я, t) = f(x + £) - 2/(ж) + f(x - t).
d)	Для любого д Е]0, 7г[ полученную выше формулу остатка можно приве-
сти к виду
/ \ я / \	1 /* SIH Tit . . съ . .	. _	, . ,
£п(я) -/(я) = - / ——(Д2/)(ж,г)сЙ + о(1),
ТГ ./ t
где о(1) стремится к нулю при п оо, причем равномерно на каждом отрезке
[а, Ь], на котором функция / ограничена.
е)	Если функция /: [— тг, тг] —> С удовлетворяет на отрезке [—тг,тг] условию
Гель дера	— /(#2)! С M|xi — ягр (где М и а — положительные числа) и,
кроме того, /(—тг) ~ /(тг), то ряд Фурье функции / сходится к ней равномерно
на всем отрезке.
8.	а) Докажите, что если /: R —> R — 2тг-периодическая функция, име-
ющая кусочно гладкую производную порядка т (т € N), то / можно
представить в виде

П / \	cos (ku + ^) ы
где Вт(и) = £ —теК
k=i к
Ь)	Пользуясь указанным в задаче 1 разложением в ряд Фурье функции
2 х на промежутке [0,2тг], докажите, что Bi(u)— многочлен степени 1, а
Вт (и) —многочлен степени т на отрезке [0,2тг]. Эти многочлены называются
многочленами Бернулли.
2тг
с)	Проверьте, что при любом т е N J* Вт{^ du = 0.
о
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
653
9. а) Пусть хт =
т = 0,1,..., 2п. Проверьте, что
2п
COS кхт COS 1хт
7П=0
2 72
У2 sin кхт sin 1хт
m—Q
2п
У2 sin кхт cos 1хт
771=0
= bkli
— bkl,
= 0,
где А:, I — неотрицательные целые числа, а бы = 0 при к I и бы — 1 при к = I.
Ь) Пусть /: 1R -> IR — 2тг-периодическая абсолютно интегрируемая на пери-
оде функция. Отрезок [0,2тг] разобьем точками хт = т = 0,1,..., 2п,
на 2n + 1 равных отрезков. Интегралы
27Г
а*(/) ~ “ У f(x)coskxdx,
о
2тг
М/) = “У /0е) sin kxdx
о
вычислим приближенно по формуле прямоугольников, соответствующей это-
му разбиению отрезка [0,2тг]. Тогда получим величины
2
2n + 1
«47) =
2п
52 /(®m) COS
771=0
W) =
2
2п । УТ f(xrn) sin кхту
771=0
которые и подставим в n-ю частичную сумму Sn(J,x) ряда Фурье функции f
вместо соответствующих коэффициентов а&(/) и bk(f).
Докажите, что при этом получится тригонометрический полином Sn(j, х)
порядка п, интерполирующий функцию / в узлах хт, т = 0,1,..., 2п, т. е. в
этих точках f(xm) = S(f,xm).
10.	а) Пусть функция /: [а, 6] —> R непрерывна и кусочно дифференциру-
ема, и пусть ее производная f' интегрируема в квадрате на промежутке ]а, Ь[.
Используя равенство Парсеваля, докажите, что:
а)	если [а,6] = [0,тг], то при выполнении любого из двух условий /(0) =
7Г
= Д;г) = 0 или J f(x) dx = 0 справедливо неравенство Стеклова
о
654
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
в котором равенство возможно лишь при f(x) = a cos х;
Ь)	если [а, Ь] = [—тг, тг] и одновременно выполнены два условия /(—тг) = /(тг)
7Г
и f f(x) dx = 0, то справедливо неравенство Виртингера
—7Г
где равенство возможно лишь при /(ж) = acosx + b sin х.
11.	Явление Гиббса — так называется описываемая ниже особенность по-
ведения частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, «впервые обна-
руженная Уилбрейамом (1848 г.) и позже (1898 г.) переоткрытая Гиббсом».
(Математическая энциклопедия, том 1, Москва, 1977 г.)
а)	Покажите, что
4 sin(2A; — 1)ж	. .
sgnz=->——---------- при а; < тг.
тг 2к — 1
fc=i
b)	Проверьте, что функция Sn(x) = ~	имеет максимум при
k~i
х = и что при п —> оо
Таким образом, колебание Sn(x) при п —> оо около точки х = 0 примерно
на 18% превышает скачок самой функции sgna; в этой точке (проскакивание
Sn(x) «по инерции»).
с)	Нарисуйте предел графиков функций Sn(x) задачи Ь).
Пусть теперь вообще Sn(f,x) — п-я частичная сумма тригонометрическо-
го ряда Фурье функции /, и пусть при п —> оо Sn(j,x) —> f(x) в проколотой
окрестности 0 < |а; — £| <6 точки £, в которой / имеет односторонние пределы
/(£-) и /(£+). Для определенности будем считать, что /(£-.)	/(С+)-
Говорят, что в точке £ имеет место явление Гиббса для сумм Sn(f> ^), если
lim Sn(J,x) < /({Г) f (£+) < lim Sn(J,x).
П->ОО
d)	Используя замечание 9, покажите, что для любой функции вида <р(х) +
+ csgn(a; — £), где с % 0, |£| < тг, а <р G тг, тг], в точке £ имеет место
явление Гиббса.
12. Многомерные тригонометрические ряды Фуръе. а) Проверьте, что
система функций ——~^егк\ где к = (A?i,..., А;п), % — (аа,..., кх =
(2тг)п/2
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
655
= kixi 4-... 4- кпхп и ki,..., кп € Z, ортонормальна на любом n-мерном кубе
I = {а; е К.п | aj х} а} 4- 2тг, j = 1,2,... , п}.
+оо
Ь)	Интегрируемой на I функции f сопоставим сумму f ~ Е
— оо
которая называется рядом Фурье функции f по системе < —^-т^егкх >, ес-
I (2тг)п' J
ли ck(f) = —^-79 J /(х)е~гкх dx. Числа Ck(f) называются коэффициентами
(2тг)п/2 j
Фурье функции f по системе ^п/2 e^X } •
В многомерном случае ряд Фурье часто суммируют с помощью сумм

где запись |А;| N означает, что N = (TVi,..., Nn) и N3, j = 1,..., n.
Покажите, что для любой 2тг-периодической по каждой из переменных
функции f(x) - f(Xi
1 г п
$n(x) = — / П	dt =
I
тг ТГ	n
= -4 I ’'' [ ~ X) П Dn3
-4	-4	j=i
где Dn(u)— Nj-e одномерное ядро Дирихле.
с)	Докажите, что сумма Фейера
1 N	1	Nn
aN^ “ 2V+T^S*(a:) = (М + l)-...-(Wn + l) £ ••• 52
2тг-периодической по каждой из п переменных функции f(x) = f(^i^.^xn)
может быть представлена в виде
<Tw(x) = ^4 J f(t- x)^N(f)dt,
I
n
где Фх(«) = П	a Fn - Nj-c одномерное ядро Фейера.
d)	Распространите теперь теорему Фейера на n-мерный случай.
е)	Покажите, что если 2тг-периодическая по каждой из переменных функ-
ция f абсолютно интегрируема на периоде I хотя бы в несобственном смысле,
то J \f(x + и) ~ f(x) \ dx —> 0 при и —> 0 и f \ f —	dx —> 0 при N —> оо.
I	I
656
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
f)	Докажите, что две абсолютно интегрируемые на кубе I функции f и д
могут иметь совпадающие ряды Фурье (т.е. Ck(f) = сь(д) для любого муль-
тииндекса к) в том лишь случае, когда f(x) = д(х) почти всюду на I. Это
усиление утверждения 3 о единственности ряда Фурье.
g)
Проверьте, что исходная ортонормальная система
I „гкх
(2тг)п/2
полна
в Тг2(1), значит, ряд Фурье любой функции f € 7£2(J) сходится к f в среднем
на I.
h)	Пусть f — 2тг-периодическая по каждой из переменных функция класса
С^°°\КП). Проверьте, что	= i№kaCk(f), где а = (оч,... ,ап), к ~
— (Ал,..., йп), |а| = |сц | + ... + |ап|, ка = к^1 •... • А£п, а3 —неотрицательные
целые.
1) Пусть f — 2тг-периодическая по каждой из переменных функция класса
C(mn)(IRn). Покажите, что если для каждого мультииндекса а = (ai,..., ап)
такого, что а3 есть 0 или т (при любом j ~ 1,..., п), выполнена оценка
f \f^2(x)dx^M2,
I
то
l№) - S^(:r))
CM
где N = mm{7Vi,..., An}, a C — постоянная, зависящая от m, но не зависящая
от N и от х G I.
j) Заметьте, что если какая-то последовательность непрерывных функций
сходится в среднем на промежутке I к функции f и одновременно сходится
равномерно к функции </?, то f(x) = <р(х) на I.
Используя это наблюдение, докажите, что если 2тг-периодическая по ка-
ждой из n-переменных функция /: IRn —> С принадлежит классу (Ж.п, С),
то тригонометрический ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на
всем пространстве IRn.
13. Ряды Фурье обобщенных функций. Любую 2тг-периодическую функцию
f: К. —> С можно рассматривать как функцию /(я) точки на единичной окруж-
ности Г (точка фиксируется значением з натурального параметра 0 з 2тг).
Сохраняя обозначения §4 гл. XVII, рассмотрим на Г пространство Р(Г)
функций класса С^°°^(Г) и пространство 7?'(Г) обобщенных функций, т.е. ли-
нейных непрерывных функционалов на 77 (Г). Действие (значение) функциона-
ла F е 77'(Г) на функцию ср G 77(Г) будем обозначать символом F(ip), избегая
символа (F, ср), использованного в этой главе для обозначения эрмитова ска-
лярного произведения (7).
Каждая интегрируемая на Г функция f может рассматриваться как эле-
мент 77'(Г) (регулярная обобщенная функция), действующий на функции ср €
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
657
С 77(Г) по формуле
27Г
№) = I f(s)¥>(s) ds.
О
Сходимость последовательности {Fn} обобщенных функций пространства
7>'(Г) к обобщенной функции F € 77'(Г), как обычно, означает, что для любой
функции ip € ТУ (Г)
lim Fn(ip) = F(ip).
п—>оо
а)	Используя то обстоятельство, что для любой функции ip € С^°°^(Г) по
оо
теореме 5 на Г справедливо соотношение ip(s) = 52 Ck(<p)etk8 и, в частности,
—оо
оо
равенство <р(0) — 52 Q (</?), покажите, что в смысле сходимости в пространс-
— оо
тве обобщенных функций 77'(Г)
* I
— егка —> 6 при п —> оо.
к~—п
Здесь 6 — тот элемент пространства 77'(Г), действие которого на функцию
<р € 77(Г) определено соотношением й(<р) = <р(0).
Ь)	Если f € 7£(Г), то коэффициенты Фурье функции f по системе {егА:в},
определенные стандартным образом, можно записать в виде
27Г
<*(/) = i / К8)е~'ка ds = ^f^tka}-
о
По аналогии определим теперь коэффициенты Фурье q(F) любой обоб-
щенной функции F € 77'(Г) формулой q(F) = ^F(e-lA:s), имеющей смысл,
поскольку е~гк8 € 77(Г).
Так любой обобщенной функции F € 77'(Г) сопоставляется ее ряд Фурье
оо
— ОО
оо
Покажите, что 6 ~ 52
— оо
с)	Докажите следующий замечательный по своей простоте и открываю-
щейся свободе действий факт: ряд Фурье любой обобщенной функции F €
€ 77'(Г) сходится к F (в смысле сходимости в пространстве Р'(Г)).
658
ГЛ XVIII РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
d)	Покажите, что ряд Фурье функции F € Р'(Г) (как и сама функция F и
как любой сходящийся ряд обобщенных функций) можно дифференцировать
почленно любое число раз
00
е)	Исходя из равенства 5—^2 ^e%ksнайдите ряд Фурье функции F
— со
f)	Вернемся теперь с окружности Г на прямую 1R и рассмотрим функ-
ции elks как регулярные обобщенные функции пространства P'(IR) (т е как
линейные непрерывные функционалы на пространстве P(1R) финитных на К
функций класса Cq°°\]^))
Любая локально интегрируемая функция f может рассматриваться как
элемент пространства Z?Z(IK) (регулярная обобщенная функция из 2У(1Й)), дей-
ствующий на функции ip € Cq°°^(1R, С) по закону /(99) — / f(x)ip(x) dx Сходи-
мость в P'(1R) определяется стандартным образом
hm Fn =F] = V(/>eP(R)
n—>oo	/
( hm Fn(tp) =
\n—>oo	/
Покажите, что в смысле сходимости в 7>'(И&) справедливо следующее ра-
венство
1 оо	оо
_£^ = £5(a._2^)
—оо	— оо
в обеих частях которого подразумевается предельный переход при п —> оо
п
по симметричным частичным суммам а 5(х — а?о), как всегда, обозначает
— п
сдвинутую в точку а;0 5-функцию пространства P'(IR), те 5 (х — а?о)(у?) —
= 92(^0)
§ 3. Преобразование Фурье
1.	Представление функции интегралом Фурье
а. Спектр и гармонический анализ функции. Пусть /(f) —
1 -периодическая функция, например, периодический сигнал частоты
как функция времени Будем считать, что функция / абсолютно инте-
грируема на периоде Раскладывая / в ряд Фурье (в случае достаточной
регулярности / ряд Фурье, как известно, сходится к /) и преобразо-
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
659
вывая этот ряд
/(i) = —+ 22 ak(f) cos k^t + bk(f) sin k^t =
k=i
oo	oo
= 52cfc(.f)elfeM)t = c0 + 2^2|cfc|cos(/cw0i + argcfc), (1)
-OO	k=l
получаем представление / в виде суммы постоянного члена = со —
среднего значения f по периоду и синусоидальных компонент с ча-
стотами Ро = (основная частота), 2pq (вторая гармоническая ча-
стота), и т. д. Вообще k-я гармоническая компонента 2|q| cos^fc^f+
-hargcj^ сигнала f(t) имеет частоту kv$ = круговую частоту
k(^Q = 2тг&Ро — амплитуду 2|с&| =	и ФазУ ^TSck —
= -arctgk.
Разложение периодической функции (сигнала) в сумму простых гар-
монических колебаний называют гармоническим анализом функции /.
Числа {ck(f); k Е Z} или {ао(/)? Qk(f)> ^fc(/)j Е N} называют спектром
функции (сигнала) /. Периодическая функция, таким образом, имеет
дискретный спектр.
Прикинем (на эвристическом уровне), что произойдет с разложени-
ем (1) при неограниченном увеличении периода Т сигнала /.
Т	7Г
Полагая для упрощения записи I = -% и ак — к^, перепишем разло-
жение
оо
f(t) = ^ске1кт*
—ОО
в следующем виде:
ОО /	, X
до=Е к) ‘ р	(2)
—ОО	'
где
I
ck = Tl / f^)e^aktdt
-I
22-4574
660
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и, значит,
I
7Г Z7F J
-I
Считан, что при I +оо мы приходим в пределе к рассмотрению
произвольной абсолютно интегрируемой на R функции /, введем вспо-
могательную функцию
оо
<=(«) = ^ I f^atdt,	(3)
—ОО
значения которой в точках а = мало отличаются от величин в
формуле (2). В таком случае
оо
/(t)«£C(afe)e^fp	(4)
—ОО
где = kj и otfc+i —	= j. Последняя сумма напоминает интеграль-
ную сумму и при измельчении разбиения, происходящего при I оо,
получаем
оо
f(t) = J с(а)еш* da.	(5)
—ОО
Таким образом, вслед за Фурье мы пришли к разложению функции f
в континуальную линейную комбинацию гармоник переменной частоты
и фазы.
Интеграл (5) ниже будет назван интегралом Фурье. Это контину-
альный эквивалент ряда Фурье. Функция с(а) в нем—аналог коэффи-
циента Фурье. Она будет названа преобразованием Фурье функции f
(заданной на всей прямой R). Формула (3) преобразования Фурье впол-
не эквивалентна формуле коэффициентов Фурье. Функцию с(а) естест-
венно считать спектром функции (сигнала) f. В отличие от рассматри-
ваемого ранее случая периодического сигнала f и соответствующего
ему дискретного спектра (в виде коэффициентов Фурье), спектр с(а)
произвольного сигнала может не обращаться в нуль на целых проме-
жутках и даже на всей прямой (непрерывный спектр).
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
661
Пример 1. Найдем функцию, имеющую следующий финитный
спектр:
если
если
(6)
< По формуле (5) при t 0 находим
(7)
а когда t = 0, получаем /(0) = 2ha, что совпадает с пределом 2hsin^at
при t —> 0. ►
Представление функции в виде (5) называют представлением фун-
кции в виде интеграла Фуръе. Ниже мы обсудим условия, при которых
такое представление возможно, а сейчас рассмотрим еще один
Пример 2. Пусть F —прибор, обладающий следующими свойст-
вами: это линейный преобразователь сигналов (т.е. Р I 52^/j ] =
— J2ttJF(/?)), сохраняющий периодичность сигнала (т.е. F(eiW<) —
j
= p(o?)eltv<, где коэффициент р(о>) зависит от частоты w периодического
сигнала eicvt).
Мы употребляем компактную комплексную форму записи, хотя, ко-
нечно, все можно переписать и через функции coso?f и sino?f.
Функция =: Д(о>)ег<^) называется спектральной характери-
стикой прибора Р, ее модуль Д(о>) принято называть частотной ха-
рактеристикой, а аргумент 99(0?)— фазовой характеристикой прибо-
ра Р. Сигнал et{vi, пройдя через прибор, преобразуется на выходе в
сигнал Д(си)ег^+^а;^, измененный по амплитуде благодаря множите-
лю Д(о>) и сдвинутый по фазе ввиду наличия слагаемого <р(о>).
Предположим, что нам известны спектральная характеристика р(о?)
прибора Р и сигнал поступивший на вход прибора, а требуется
узнать сигнал x(t) = P(f)(t) на выходе прибора.
Представив сигнал /(f) в виде интеграла Фурье (5) и пользуясь ли-
662
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
нейностью прибора Р и интеграла, находим
оо
rr(t) =	= j	duj.
—ОО
В частности, если
= ПР"	1"!^’	(8)
[О при	|cu| > £2,
то
Q
x(t) = c(w)ewt dw
-Q
и, как видно из определения спектральной характеристики прибора,
P(plujt\ = / ewt при м Q’
'	[0 при [cu| > Q.
Прибор Р со спектральной характеристикой (8) пропускает (филь-
трует) без искажения частоты, не превосходящие Q, и срезает всю
ту часть сигнала, которая относится к высоким частотам (превыша-
ющим Q). По этой причине такой прибор в радиотехнике называют
идеальным фильтром низкой частоты (с верхней граничной часто-
той Q).
Перейдем теперь к математической стороне дела и к более тщатель-
ному рассмотрению возникших здесь понятий.
Ь. Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье.
В соответствии с формулами (3) и (5) введем
Определение 1. Функция
оо
I	(9)
—ОО
называется преобразованием Фурье функции /: R —> С.
Интеграл здесь понимается в смысле главного значения
оо	А
/(х)е~г^х dx	f(x)e~^xdx,
-ОО	-А
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
663
и считается, что он существует.
Если /: R —> С — абсолютно интегрируемая на R функция, то, по-
скольку |/(rr)e-M*| = |/(ж)| при 6 К, для любой такой функции
имеет смысл преобразование Фурье (9), причем интеграл (9) сходится
абсолютно и равномерно по £ на всей прямой R.
Определение 2. Если с(£) = ^[/](^)—преобразование Фурье
функции f: R —> С, то сопоставляемый f интеграл
оо
f(x) ~ I С(£)ега*
—ОО
(10)
понимаемый в смысле главного значения, называется интегралом Фу-
рье функции /.
Коэффициенты Фурье и ряд Фурье периодической функции явля-
ются, таким образом, дискретными аналогами преобразования Фурье
и интеграла Фурье соответственно.
Определение 3. Понимаемые в смысле главного значения инте-
гралы
оо
Л[/](£) :=~[ f(x) cos£x dx,
—ОО
(И)
(12)
оо
ЛЖ) := j /
f(x) sin £х dx
—оо
называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье
функции /.
Полагая с(£) = Я/КО, а(£) = •?>[/])(£), ь(£) =	получаем
отчасти уже знакомое нам по рядам Фурье соотношение
о = |«)-ад)-	аз)
Как видно из соотношений (11), (12),
а(-е) = «и), &(-о = -о-
(14)
664
ГЛ. XVIIL РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Формулы (13), (14) показывают, что преобразования Фурье вполне
определяются на всей прямой R, если они известны лишь для неотри-
цательных значений аргумента.
С физической точки зрения это вполне естественный факт — спектр
сигнала надо знать для частот а> 0; отрицательные частоты а в (3)
и (5) — плод формы записи. Действительно,
А
с(^ d£ = j (С(0е“? + с(Ч)е-“?) d( =
О
cos х£ + Ь(£) sin^)dC,
и, значит, интеграл Фурье (10) можно представить в виде
ОО
(а(0 cos х^ + Ь(£) sinrrO
о
(10')
вполне соответствующем классической форме записи ряда Фурье. Если
функция / вещественнозначна, то из формул (13), (14) в этом случае
следует
с(-0 = с(0,
(15)
поскольку в этом случае а(£) и Ь(£) — вещественные функции на R, что
видно из их определений (11), (12). Впрочем, равенство (15) при условии
/(т) = /(т) получается и непосредственно из определения (9) преобра-
зования Фурье, если учесть, что знак сопряжения можно вносить под
знак интеграла. Последнее наблюдение позволяет заключить, что для
любой функции f: R —> С справедливо равенство

(16)
Полезно также заметить, что если f — вещественная и четная фун-
кция, т.е. f(x) = f(x) = f(-x), то
адм
Л/К0 = Л/Ш = Л/КЧ);
(17)
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
665
если f — вещественная и нечетная функция, т. е. /(т) = /(т) = —/(—гг),
то
жм л[/ке) = п/](е),
лл(о = -ям) = лл(-с);
(18)
а если f — чисто мнимая функция, т.е. f(x) — ~/(х)^ то
ял(-е) = -яло	(w)
Заметим, что если / — вещественнозначная функция, то ее интеграл
Фурье (10') можно записать также в виде
оо
У \/а2(£) + &2(£) cos(a:£ +
ОО
АС)М = 2 У |с(£)| cos(rrC + <?(£)) <£,
О	о
где ^(£) - - arctg - argc(C).
Пример 3. Найдем преобразование Фурье функции f(t) =
(считая /(0) = а 6 R).
А
zrrn/ \ т 1 f smat
ЯЛ(“) = 5Z / —r~e dt =
A—>+00 Z7T J	t
-A
A	4-00
1 /	sinai cos at ,	2	f	sinai cos at ,
= lim — /	-----------dt ~	—	/	------------dt	~
A-^+oo 2тг J t	2тг J t
-A	0
|a| < |tz|,
l«l > |a|,
поскольку нам известно значение интеграла Дирихле
оо
/sinw	тг
----du = —.
и	2
о
(20)
666	ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Значит, если считать О 0 и взять функцию f(t) = 2Д5П^ из
равенства (7), то мы, как и следовало ожидать, получаем в качестве
ее преобразования Фурье указанный соотношениями (6) спектр этой
функции.
Рассмотренная в примере 3 функция f не является абсолютно инте-
грируемой на R и ее преобразование Фурье имеет разрывы. О том, что
преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций не имеет
разрывов, говорит следующая
Лемма 1. Если функция f: R —> С локально интегрируема и аб-
солютно интегрируема на R, то
а) ее преобразование Фурье ^*[/](С) определено при любом значении
£ £ R?
b)^[/]eC(R,C);
с) sup 1Я/КО1 < 2? f
С	—оо
d) Л/](0 -> 0 при £ оо.
◄ Мы уже отмечали, что \f(x)e~га:^|	|, откуда следует абсо-
лютная и равномерная по £ Е R сходимость интеграла (9). Этим одно-
временно доказаны пп. а) и с) леммы.
Пункт d) следует из леммы Римана (см. § 2).
Для фиксированного конечного А 0 оценка
А
f (xXe~lx^ - е~гх^ dx
-А
lf(x)ldx
устанавливает непрерывность по £ интеграла
А
I f(x)e-^dx,
-А
равномерная сходимость которого при А —> +оо позволяет заключить,
что 7[/]еОДС). ►
Пример 4. Найдем преобразование Фурье функции f(t) ~ e“f2/2:
—оо
e-t^2e-lat
е cos at dt.
—оо
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
667
Дифференцируя последний интеграл по параметру а и интегрируя
затем по частям, находим, что
d^[f]
da
или
-^-1п^[/](а) = -а.
аа
Значит,	= се-О(2/2, где с — постоянная, которую, пользуясь
интегралом Эйлера - Пуассона (см. гл. XVII, § 2, пример 17), находим из
соотношения
с —
оо
[ e~t2/2 dt = л/2тг.
—оо
Итак, мы нашли, что 77[/](а) = у/2тге а2/\ и одновременно показа-
с. Нормировка преобразования Фурье. Преобразование Фу-
рье (3) и интеграл Фурье (5) мы получили как естественные конти-
7Г
нуальные аналоги коэффициентов Фурье ск ~ f f(x)e~ikx dx и ряда
— 7Г
ОО
Фурье £ Cketkx периодической функции f в тригонометрической си-
—оо
стеме {eikx;k 6 Z}. Эта система не является ортонормированной, и
лишь простота записи в ней тригонометрического ряда Фурье заста-
вляет по традиции рассматривать ее вместо значительно более есте-
ственной ортонормированной системы	к 6 В этой норми-
оо
рованной системе ряд Фурье имеет вид ^2 q etkx^ а коэффициенты
-оо v2?r
7Г
Фурье определяются формулами q = -Д= f f{x)e~ikx dx.
*	—7Г
Аналогом таких естественных коэффициентов Фурье и такого ряда
Фурье в континуальном случае были бы преобразование Фурье
/(G := /
V "ТГ J
—оо
оо
e~ix^ dx
(21)
668
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и интеграл Фурье
л*)=4= [
(22)
отличающиеся от рассмотренных выше лишь нормировочным множи-
телем.
В симметричных формулах (21), (22) практически сливаются «ко-
эффициент» Фурье и «ряд» Фурье, поэтому в дальнейшем мы будем, по
существу, интересоваться только свойствами интегрального преобра-
зования (21), называя его нормированным преобразованием Фурье или,
если не возникает недоразумений, просто преобразованием Фурье фун-
кции f.
Вообще, интегральным оператором или интегральным преобразо-
ванием принято называть оператор А, действующий на функции f по
закону
= / K(x,y)f(x)dx
где К(х,у)— заданная функция, называемая ядром интегрального опе-
ратора, а X С Rn — множество, по которому происходит интегриро-
вание и на котором считаются определенными подынтегральные фун-
кции. Поскольку у — свободный параметр из некоторого множества У,
то А(/) есть функция на этом множестве У.
В математике существует ряд важных интегральных преобразова-
ний, и среди них преобразование Фурье занимает одну из самых ключе-
вых позиций. Это обстоятельство имеет довольно глубокие корни и свя-
зано с замечательными свойствами преобразования (21), которые мы в
какой-то степени опишем и продемонстрируем в работе в оставшейся
части параграфа.
Итак, будем рассматривать нормированное преобразование Фу-
рье (21).
Наряду с обозначениями f для нормированного преобразования Фу-
рье, введем следующее обозначение
(23)
т.е. 7(0 = 7(~0-
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
669
Формулы (21), (22) говорят о том, что
(24)
т.е. интегральные преобразования (21), (22) взаимно обратны. Значит,
если (21) есть преобразование Фурье, то интегральный оператор (23)
естественно назвать обратным преобразованием Фуръе.
Ниже будут подробно обсуждены и обоснованы некоторые замеча-
тельные свойства преобразования Фурье. Например,
/W) = ^г/ю,
f *д~ л/2тг/• д,
11/11 = 11/11-
Т.е. преобразование Фурье переводит операцию дифференцирова-
ния в операцию умножения на независимую переменную; преобразова-
ние Фурье свертки функций сводится к умножению их преобразований
Фурье; преобразование Фурье сохраняет норму (равенство Парсеваля)
и тем самым является изометрическим преобразованием соответству-
ющего пространства функций.
Но начнем мы с формулы обращения (24).
По поводу еще одной удобной нормировки преобразования Фурье
см. задачу 10.
d. Достаточные условия представимости функции интегра-
лом Фурье. Мы сейчас докажем теорему, вполне аналогичную как по
форме, так и по содержанию, теореме о сходимости в точке триго-
нометрического ряда Фурье. Чтобы максимально сохранить знакомый
вид прежних формул и преобразований, мы в этом пункте использу-
ем ненормированное преобразование Фурье с(£) вместе с его несколько
громоздким, но порой удобным обозначением ^[/](С)« В дальнейшем,
изучая интегральное преобразование Фурье как таковое, мы, как пра-
вило, будем работать с нормированным преобразованием Фурье f фун-
кции /.
Теорема 1 (о сходимости интеграла Фурье в точке). Пусть
f: R —> С — абсолютно интегрируемая функция, кусочно непрерывная
на каждом конечном отрезке числовой оси R.
670
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Если функция f удовлетворяет в точке х G R условиям Дини, то
ее интеграл Фуръе ((5), (10), (10'), (22)) сходится в этой точке к зна-
чению ^(/(^-) + /(#+)), равному полусумме левого и правого пределов
функции в этой точке.
◄ По лемме 1 преобразование Фурье с(£) — ^[/](С) функции f не-
прерывно на R и, значит, интегрируемо на любом отрезке [—А, А]. По-
добно тому, как мы преобразовывали частичную сумму ряда Фурье,
проведем теперь следующие преобразования частичного интеграла Фу-
рье:
sin(ir — t)A
х — t
—оо
оо
х sin Au t
х + и)--------du —
и
— оо
оо
J (f(x-u) + f(x + u))
о
sin Au
и
du.
Произведенное во втором от начала выкладки равенстве изменение
порядка интегрирования законно. В самом деле, ввиду кусочной непре-
рывности f для любого конечного В > 0 справедливо равенство
из которого при В —> +оо, учитывая равномерную сходимость по £
в
интеграла J* f(x)e~lt^ dt, получаем нужное нам равенство.
-в
Теперь воспользуемся значением интеграла Дирихле (20) и завер-
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
671
шим наши преобразования:
Q М /(ж-)+/(ж+)
8а(х)--------%------=
+оо
1 f № - и) - /(ж-)) + (/(ж + и) - /(ж+))
— — / -------------------------------------smAwmz.
тг J	и
о
Полученный интеграл стремится к нулю при А —> оо. Поясним это
и тем самым закончим доказательство теоремы.
Представим этот интеграл в виде суммы интегралов по промежут-
ку ]0,1] и по промежутку [1,+оо[. Первый из этих двух интегралов
стремится к нулю при А —> +оо ввиду условий Дини и леммы Римана.
Второй интеграл есть сумма четырех интегралов, отвечающих четы-
рем слагаемым /(т —w), f(x + u),	/(т+). К первым двум из этих
четырех интегралов опять применима лемма Римана, а последние два
с точностью до постоянного множителя приводятся к виду
4-оо	4-оо
/sin Au t f sinv 1
--------du — / -----dv.
и	J	V
1	А
Но при А —> +оо последний интеграл стремится к нулю, поскольку
интеграл Дирихле (20) сходится. ►
Замечание 1. В доказательстве теоремы 1 мы фактически рас-
сматривали сходимость интеграла в смысле главного значения. Но если
сопоставить записи (10) и (10') интеграла Фурье, то становится очевид-
ным, что именно рассмотренное понимание сходимости интеграла (10)
отвечает сходимости интеграла (10').
Из доказанной теоремы получаем, в частности,
Следствие 1. Пусть /: R —> С — непрерывная, абсолютно инте-
грируемая функция.
Если в каждой точке х G R функция f дифференцируема или име-
ет конечные односторонние производные, или удовлетворяет условию
Гельдера, то она представляется своим интегралом Фурье.
Итак, для функций указанных классов оба равенства (3), (5) или
(21), (22) имеют место, и мы тем самым доказали для таких функций
формулу обращения преобразования Фурье.
672
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 5. Предположим, что известен сигнал v(t) — P(/)(i) на
выходе прибора Р, рассмотренного в примере 2, а мы хотим найти
сигнал /(£), поданный на вход прибора Р.
В примере 2 мы показали, что f и и связаны соотношением
оо
v(i) = j	dw,
—ОО
где c(td) = Р[/](а>)— спектр сигнала f (ненормированное преобразова-
ние Фурье функции /), а р—спектральная характеристика прибора Р.
Считая все эти функции достаточно регулярными, на основе доказан-
ного заключаем, что тогда
c(cj)p(cj) = ^[v] (<*>)•
Отсюда находим с(о?) =	Зная с(щ), интегралом Фурье (10)
найдем сигнал /.
Пример 6. Пусть а > 0 и
f( X = f е~ах ПРИ х > °’
J[	0 при х 0.
Тогда
+оо
>[/]«) = ~
2тг J	Ztt а +
о
Обсуждая само определение преобразования Фурье, мы уже отме-
тили в пункте b ряд его очевидных свойств. Отметим еще, что если
/_(х) := /(—х), то Р[/_](£) — Р[/](“0- Это элементарная замена пе-
ременной в интеграле.
Возьмем теперь функцию е-аМ — /(х) + /(—х) —: <р(х).
Тогда
=ллю+пл(-е) =
7Г (Zz +
Если же взять функцию 'ф(х) = f(x) — f(—x), являющуюся нечетным
продолжением функции е-аж, х > 0, на всю числовую ось, то
i £
жю = яш) - я/к-е) = —
тг
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
673
Используя теорему 1, точнее, ее следствие, получаем, что
если х > О,
если х — О,
если х < 0;
если х > 0,
если х = 0,
если х < 0.
Все интегралы здесь понимаются в смысле главного значения, хотя
второй, ввиду его абсолютной сходимости, можно понимать и в смысле
обычного несобственного интеграла.
Отделяя в двух последних интегралах действительные и мнимые
части, находим уже встречавшиеся нам интегралы Лапласа
4-оо
J аг + Ла
о
4-оо
о
Пример 7. На основе примера 4 легко найти (элементарной заме-
ной переменной), что если
9 9	-	1	£2
f(x) = e~ax, то ftf)= е~Ь.
V Ла
Очень поучительно проследить за одновременной эволюцией гра-
фиков функций f и f при изменении параметра а от 1/л/2 до 0. Чем
«сосредоточеннее» одна из функций, тем «размазаннее» другая. Это об-
стоятельство тесно связано с квантово-механическим принципом Гей-
зенберга. (См. в этой связи задачи 6, 7.)
Замечание 2. Заканчивая обсуждение вопроса о возможности
представления функции интегралом Фурье, отметим, что, как пока-
зывают совместно примеры 1 и 3, сформулированные в теореме 1 и ее
674
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
следствии условия на функцию f являются достаточными, но не явля-
ются необходимыми для возможности такого представления.
2. Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических
свойств функции и ее преобразования Фурье
а. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразова-
ния Фурье. Уже из леммы Римана следует, что преобразование Фурье
любой абсолютно интегрируемой на К функции стремится на бесконеч-
ности к нулю. Это уже отмечалось и в доказанной выше лемме 1. Теперь
мы покажем, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование Фу-
рье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от которой оно
берется. Взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее
стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье,
тем глаже ее преобразование Фурье.
Начнем со следующего вспомогательного утверждения.
«Иемма 2. Пусть f: К —> С — непрерывная функция, обладающая
локально кусочно непрерывной производной ff на К. Если при этом
а)	функция /' интегрируема на R, то f(x) имеет предел и при х
—оо, и при х —> +оо;
Ь)	функции f и ff интегрируемы на R, то f(x) 0 при х оо.
◄ При указанных ограничениях на функции /, ff имеет место фор-
мула Ньютона - Лейбница
X
/(Ж) = /(О) + у
о
В условиях а) правая часть этого равенства имеет предел как при
х —> +оо, так и при х —> —оо.
Если же имеющая пределы на бесконечности функция f интегри-
руема на R, то оба эти предела, очевидно, обязаны быть равны ну-
лю. ►
Теперь докажем
Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания
ее преобразования Фурье). Если f е = (R, С) (k — 0,1,...) и все
функции f,	абсолютно интегрируемы на К, то
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
675
а)	при любом п Е {0,1,..., к}

(25)
Ъ)	/(0 = о
Ч Если к = 0, то а) тривиально верно, а Ь) следует из леммы Римана.
Пусть к > 0. По лемме 2 функции /,	..., стремятся к нулю
при х —> оо. Учитывая это, выполним интегрирование по частям:
оо
—оо
“ОО
Таким образом, равенство (25) установлено. Это очень важное со-
отношение и мы к нему еще вернемся отдельно.
Мы показали, что /(£) =	/W(£), н0 по лемме Римана/W(£) —>
—> 0 при £ —> 0, поэтому утверждение Ь) тоже доказано. ►
Ь. Скорость убывания функции и гладкость ее преобразо-
вания Фурье. Ввиду почти полного совпадения прямого и обратно-
го преобразований Фурье справедливо следующее, дополнительное к
утверждению 1,
Утверждение 2 (о связи скорости убывания функции и гладко-
сти ее преобразования Фурье). Если локально интегрируемая функция
f: К —> С такова, что функция xkf(x) абсолютно интегрируема на R,
то
а)	преобразование Фурье функции f принадлежит классу С^(К, С);
Ь)	имеет место равенство
/W) = (-г)М/(Ж)(о.
(26)
676
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
◄ Для к ~ 0 соотношение (26) тривиально выполнено, а непрерыв-
ность /(£) уже была доказана в лемме 1. Если к > 0, то при п < к на
бесконечности имеет место оценка |жп/(^)|	\xkf(x)\, из которой сле-
дует абсолютная интегрируемость функции хпf(x). Но \xnf(x)e^x\
|жп/(ж)|, что позволяет, ссылаясь на равномерную по параметру £
сходимость соответствующих интегралов, последовательно провести
их дифференцирование под знаком интеграла:
=	/ f^y-^dx,
yZir J
J* xf(x)e г^х dx
J xkf(x)e г^х dx.
Последний интеграл по лемме 1 является функцией, непрерывной
по £ на всей числовой прямой. Значит, действительно, f Е
ecW(R,C).
с. Пространство быстро убывающих функций
Определение 4. Обозначим символом 5(R,C) или более корот-
ким символом S совокупность всех функций f Е С^00) (R, С), удовлетво-
ряющих условию
sup	< оо,
хек
каковы бы ни были неотрицательные целые числа а и f3. Такие функции
называют быстро убывающими (при х —> оо).
Совокупность быстро убывающих функций, очевидно, образует ли-
нейное пространство относительно стандартных операций сложения
функций и умножения функции на комплексное число.
Пример 8. Функция ё~х2 или, например, все финитные функции
класса (R, С) входят в S.
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
677
Лемма 3. Ограничение преобразования Фурье на S является ав-
томорфизмом S как линейного пространства.
◄ Проверим, что (/ Е S) => (/ Е S).
Для этого заметим сначала, что по утверждению 2а) f
Далее заметим, что операция умножения на ха (а 0) и опера-
ция D дифференцирования не выводят из класса быстро убывающих
функций. Значит, при любых целых неотрицательных значениях а и (3
из того, что f Е S, следует, что функция D@(xaf(x)) принадлежит про-
странству S. Ее преобразование Фурье по лемме Римана стремится к
нулю на бесконечности. Но по формулам (25), (26)
Ww)(0 = ia+Wa)(0,
и мы показали, что С^/(а)(0 -> о при С —> оо, т. е. f Е S.
Покажем теперь, что S ~ S, т. е. что преобразование Фурье ото-
бражает S на все множество S.
Напомним, что прямое и обратное преобразования Фурье связаны
простым соотношением /(£) — /(—0- Изменение знака аргумента фун-
кции, очевидно, является операцией, переводящей множество S в себя.
Значит, обратное преобразование Фурье тоже переводит пространст-
во S' в себя.
Наконец, если f — произвольная функция из S, то, по доказанному,
(р — f Е S и по формуле обращения (24) получаем, что f — р.
Линейность преобразования Фурье очевидна, поэтому лемма 3 те-
перь полностью доказана. ►
3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье
а.	Некоторые определения, обозначения и примеры. Выше
мы достаточно подробно рассмотрели преобразование Фурье заданной
на вещественной прямой функции /: R —> С. В частности, мы уяснили
связь, существующую между свойствами регулярности самой функции
и соответствующими свойствами ее преобразования Фурье. Теперь, ко-
гда этот вопрос в принципе решен, мы будем рассматривать преобра-
зования Фурье только достаточно регулярных функций, чтобы в кон-
центрированной форме и без технических осложнений изложить фун-
даментальные аппаратные свойства преобразования Фурье. Взамен мы
рассмотрим не только одномерное, но и многомерное преобразование
678
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Фурье и выведем его основные свойства практически независимо от
изложенного выше.
Желающие ограничиться одномерным случаем могут ниже считать
п = 1.
Определение 5. Пусть /: Rn —> С—локально интегрируемая
на Rn функция. Функция
(27>
Rn
называется преобразованием Фурье функции f.
При этом имеется в виду, что х ~ (a?i,... ,хп), £ =
(£, х) = ^ixi + ... + £пяп, а интеграл считается сходящимся в следу-
ющем смысле главного значения:
А А
у* (p(xi,... ,хп) dxi ... dxn ^lim J ... J .. ,xn) dx! .. .dxn.
Rn	—A -A
В таком случае многомерное преобразование Фурье (27) можно рас-
сматривать как п одномерных преобразований Фурье, проведенных по
каждой из переменных xi,..., хп.
Тогда, когда функция / абсолютно интегрируема, вопрос о том, в
каком смысле понимается интеграл (27), вообще не возникает.
Пусть а = (ai,...,an) и /3 = (/?i,..., /Зп)— мультииндексы, состо-
ящие из неотрицательных целых чисел aj, (3j, j = 1,...,п, и пусть,
л1а1
как всегда, Da обозначает оператор дифференцирования —--------—
дх™... дхпп
порядка [а|	«1 + ... + ап, а х@ := х^1 • ... • х^.
Определение 6. Обозначим символом 5(Rn,C) или, если не воз-
никает недоразумений, символом 5, совокупность всех функций f Е
Е C^R^C), удовлетворяющих условию
sup \x@Daf(x)\ < оо,
каковы бы ни были неотрицательные мультииндексы аи /3. Такие фун-
кции называют быстро убывающими (при х —> оо).
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
679
Множество S с алгебраическими операциями сложения функций и
умножения функции на комплексное число, очевидно, является линей-
ным пространством.
Пример 9. Функция е 1Х12, где |ж|2 =	+ .и все финитные
функции класса Со°°\йп,С) входят в S.
Если f Е S', то интеграл в соотношении (27), очевидно, сходится аб-
солютно и равномерно по £, на всем пространстве Rn. Более того, если
f Е S, то в соответствии со стандартными правилами этот интеграл
можно дифференцировать сколько угодно раз по любой из переменных
£1,... ,£п. Таким образом, если f Е S', то f Е	С).
Пример 10. Найдем преобразование Фурье функции ехр(—12/2).
При интегрировании быстро убывающих функций, очевидно, можно
пользоваться теоремой Фубини и, если требуется, то можно беспрепят-
ственно менять порядок несобственных интегрирований.
В данном случае, используя теорему Фубини и пример 4, находим
Теперь выделим и докажем основные аппаратные свойства преобра-
зования Фурье, считая, чтобы избежать технических осложнений, что
преобразование Фурье применяется к функциям класса S. Это пример-
но так, как если бы научиться оперировать (считать) рациональными
числами, а не полным пространством R сразу. Процесс пополнения еди-
нообразен. См. по этому поводу задачу 5.
Ь.	Линейность. Линейность преобразования Фурье очевидна: она
следует из линейности интеграла.
с.	Взаимоотношения оператора дифференцирования и пре-
образования Фурье. Имеют место формулы
= (О^гМ
мйко =
(28)
(29)
680
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Ч Первая из них получается, как и формула (25), интегрированием
по частям (разумеется, с предварительным использованием теоремы
Фубини, если речь идет о пространстве Rn размерности п > 1).
Формула (29) обобщает соотношение (26) и получается прямым
дифференцированием интеграла (27) по параметрам £i,... ,£п. ►
Замечание 3. Ввиду очевидной оценки
I/O f \f№\dx < +°°>
Rn
из равенства (28) вытекает, что /(£) —> 0 при £ —> оо, какова бы ни
была функция f Е 5, поскольку Daf Е S.
Далее, совместное использование формул (28), (29) позволяет напи-
сать, что
откуда следует, что если f Е 5, то при любых неотрицательных муль-
тииндексах а и /3 имеем	> 0, когда £ —> оо в Rn. Таким
образом, показано, что
(/е5) => (feS).
d.	Формула обращения
Определение 7. Оператор, определяемый (вместе с его обозна-
чением) равенством
/({) := //(х)е*’х> dx' (30)
Rn
называется обратным преобразованием Фурье,
Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье:
j = f = f	(31)
или в форме интеграла Фурье
Л*) = 77^72 /	(32)
Rn
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
681
Используя теорему Фубини, формулу (31) можно немедленно полу-
чить из соответствующей формулы (24) для одномерного преобразо-
вания Фурье, но мы, как и обещали, проведем короткое независимое
доказательство этой формулы.
Ч Покажем сначала, что для любых функций f^gE 5(К,С) справед-
ливо соотношение
[ 5(0/(0el(a:’f) d$= [	+ у) dy.	(33)
Оба интеграла имеют смысл, поскольку /, д Е S, а по замечанию 3
тогда и /,д Е S.
Преобразуем интеграл, стоящий в левой части доказываемого ра-
венства
f S^f(^x£) dt =
Rn
у(у - x)f(y) dy= I y(y)f(x + y) dy.
Rn	Rn
Законность проведенного изменения порядка интегрирования не
вызывает сомнений ввиду того, что f и д — быстро убывающие функ-
ции. Итак, равенство (33) проверено.
Заметим теперь, что при любом 8 > О
(^/2 Ig(Et)e<y^ dt =	/ 9^К{у’и,е} du = е~пд(у/г),
значит, в силу равенства (33)
^n9(y/^)f(x + y)dy = J g(u)f(x + Eu)du.
Rn	Rn
682
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Учитывая абсолютную и равномерную по £ сходимость крайних ин-
тегралов последней цепочки равенств, при е —> 0 получаем
0(0) У /(0ег{х,е) = f(x) У g(u)du.
Rn
Положим здесь д(х) = е”1х12/2. В примере 10 мы видели, что д(и) =
—	/2. Вспоминая интеграл Эйлера - Пуассона f е~х dx = ^/тг, с
—оо
помощью теоремы Фубини заключаем, что f /2 du ~ (2тг)п/2, и в
Rn
результате получаем равенство (32). ►
Замечание 4. В отличие от одного равенства (32), означающего,
что f = /, в соотношениях (31) присутствует еще равенство f = /.
Но оно немедленно вытекает из доказанного, поскольку /(£) = /(—£) и
/(-ж) = /(ж).
Замечание 5. Мы уже видели £см. замечание 3), что если f Е S,
то f Е S', а значит, и f Е S', т. е. S' С S' и S' С S'. Из соотношения
f = f = f теперь заключаем, что S = S = S.
е.	Равенство Парсеваля. Так принято называть соотношение
=	(34)
которое в развернутой форме означает, что
У /(ж)0(ж) dx = У /(£М) <%.	(34')
Rn
Из (34), в частности, следует, что
II/II2 = </,/> = </,/> = II/II2-	(35)
С геометрической точки зрения равенство (34) означает, что пре-
образование Фурье сохраняет скалярное произведение между функци-
ями (векторами пространства S) и, значит, является изометрией прос-
транства S.
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
683
Равенством Парсеваля иногда называют также соотношение
/(£Ж)	= f f(x)g(x) dx,	(36)
Rn	Rn
которое получается из равенства (33), если положить там х = 0. Основ-
ное равенство Парсеваля (34) получается из соотношения (36), если в
нем вместо д написать д и воспользоваться тем, что (д) = д (ибо Тр = tp
ид = д)-
f.	Преобразование Фурье и свертка. Имеют место следующие
важные соотношения:
(77^) = (2тг)п/2/-5,	(37)
(/•5) = (2тг)-п/2/*з	(38)
(называемые иногда формулами Бореля), которые связывают операции
свертки и умножения функций посредством преобразования Фурье.
Докажем эти формулы:
◄ (/ * 9) =	L/2 /(/ * 5)(®)е"г(6а:) dx =
(Яку1!* J
Rn
= (27Г)п/2 / 9^е г(?’У) ( f ~ У^е 1^'Х dx j dy =
Rn	\ Rn	/
g(y)e-^f\Ody =
Законность проведенного изменения порядка интегрирования не
вызывает сомнений, если f,g € S.
Формула (38) может быть получена аналогичной выкладкой, если
воспользоваться формулой обращения (32). Впрочем, равенство (38)
684
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
можно вывести из уже доказанного соотношения (37), если вспомнить,
что / — / — /,/ = /,/ = /и что и • v =й -V, и* и — и * v. ►
Замечание 6. Если в формулы (37), (38) подставить f и д вме-
сто f и д и применить к обеим частям полученных равенств обратное
преобразование Фурье, то придем к соотношениям
Гд = (2ттГп/2и*9),
f * д = (2тг)п^2 (f  д).
(37')
(38')
4. Примеры приложений. Продемонстрируем теперь преобразо-
вание Фурье (и отчасти аппарат рядов Фурье) в работе.
а.	Волновое уравнение. Успешное использование преобразования
Фурье в уравнениях математической физики связано (в математиче-
ском отношении) прежде всего с тем, что преобразование Фурье заме-
няет операцию дифференцирования алгебраической операцией умноже-
ния.
Пусть, например, ищется функция и: R R, удовлетворяющая
уравнению
аои^(х) +	+ ... + апи(х) — f(x),
где ао, ...,ап — постоянные коэффициенты, a f — известная функция.
Применяя к обеим частям этого равенства преобразование Фурье (в
предположения достаточной регулярности функций и и /), благодаря
соотношению (28) получим алгебраическое уравнение
+ а1(ЮП-1 + • • • + «п)й(О = /(£)
относительно й. Найдя из него й(£) =	; обратным преобразованием
Фурье получаем и(х).
Применим эту идею к отысканию функции и — и (ж, £), удовлетворя-
ющей в R х R одномерному волновому уравнению
д2и _ 292и
dt2 а дх2
(а > 0)
и начальным условиям
и(х,0) = f(x),
ди	,
=g(x).
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
685
Здесь и в следующем примере мы не будем останавливаться на обо-
сновании промежуточных выкладок, потому что, как правило, легче
бывает найти нужную функцию и непосредственно проверить, что она
решает поставленную задачу, чем обосновать и преодолеть все возни-
кающие по дороге технические трудности. Существенную роль в прин-
ципиальной борьбе с этими трудностями, кстати, играют обобщенные
функции, о чем уже упоминалось.
Итак, рассматривая t как параметр, сделаем преобразование Фурье
по х обеих частей нашего уравнения. Тогда, считая возможным выно-
сить дифференцирование по параметру t за знак интеграла, с одной
стороны, и, пользуясь формулой (28), с другой стороны, получим
««(С,*) = -a2CW,*),
откуда находим
u(£,f) = А(£) cosa££ + В(£) sina££.
В силу начальных данных
«owto = жо,
йке,о) = (ц)(е,о) = з(е) = <в(о.
Таким образом,
«(С, i) = /(О cos a£t +
5(C) • л.
—yr sinati =
«С
|/(С)(сгае
1 ff(C) z ia£t
2 гаС
- е~га&)
Домножая это равенство на -4=ега:^ и интегрируя по 0 короче, взяв
V 2тг
обратное преобразование Фурье и используя формулу (28), непосред-
ственно получаем
u(x,t) = ~{f{x — а
о
686
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Ь.	Уравнение теплопроводности. Еще один элемент аппарата
преобразований Фурье (а именно формулы (37'), (38')), оставшийся в
тени при рассмотрении предыдущего примера, хорошо проявляется при
отыскании функции и = и(х, £), х 6 Rn, t 0, удовлетворяющей во всем
пространстве Rn уравнению теплопроводности
Эи Од /
— = а	(а > 0)
dt	v 7
д2
дхп
и начальному условию и(ж,0) = f(x).
д2
Здесь, как всегда, Д =	+ ... 4
Выполнив преобразование Фурье по переменной х G Rn, получим в
силу (28) обыкновенное уравнение
t) = а2(г)2^1 + ... +	<),
(z L
из которого следует, что
<л) = с(£)е-^|2г,
где |£|2 = £2 + • • • + £п- Учитывая, что й(£,0) = /(£), находим
йО = ДО ' е-“2^.
Применяя обратное преобразование Фурье, с учетом соотноше-
ния (37') получаем
и(ж, t)
f{y)Eo{y ~ x,t)dy,
где Eo(x,t)—та функция, преобразованием Фурье которой по х полу-
чается функция е~а Обратное преобразование Фурье по £ функции
е'а *, в сущности, нам уже известно из примера 10. Сделав очевид-
ную замену переменной, найдем
1	/ у/я\п -1^-
Eo(x,t) = „ хп/2 —/7	е 4а
(2тг)п/2 \a\St/
Полагая E(x,t) = (2л) п/2Ео(х, /), находим уже знакомое нам (см.
гл. XVII, § 4, пример 15) фундаментальное решение
E(x,t) = (2ах/тг1)
(t>0)
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
687
уравнения теплопроводности и формулу
u(x,t) =
для решения, удовлетворяющего начальному условию и(ж,0) = /(ж).
с. Формула Пуассона. Так называется следующее соотношение:
л/2тг У 99(2тгп) = У	(39)
777= —ОО	П= — ОО
между функцией у?: R С (пусть ср Е S) и ее преобразованием Фу-
рье (р. Формула (40) получается при х = 0 из равенства
оо	оо
д/2тг У </?(ж + 2тгп) = У <р(п)егпх,	(40)
т=—оо	п=—оо
которое мы и докажем, считая, что <р— быстро убывающая функция.
◄ Поскольку </?, (р Е S, ряды в обеих частях равенства (40) сходятся
абсолютно (поэтому их можно сумммировать как угодно) и равномерно
по х на всей прямой R. Далее, поскольку производные быстро убываю-
щей функции сами являются функциями класса S, то можно заключить,
оо
что функция f(x) = ^2	+ 2тгп) принадлежит классу (7(°°\R,C).
п=—оо
Функция /, очевидно, 2тг-периодическая. Пусть {с^(/)}— ее коэффици-
енты Фурье по ортонормированной системе < —^=егкх\ к Е Z ?. Тогда
I у2тг	J
2тг(тг+1)
2тгп
оо
—оо
dx —: <р(к).
Но f — гладкая 2тг-периодическая функция, поэтому ее ряд Фурье
сходится к ней в любой точке х Е R. Значит, в любой точке х Е R
справедливо соотношение
оо
ip(x + 2тгп) = f(x)
п=—оо
688
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Замечание 7. Как видно из доказательства, соотношения (39),
(40) справедливы далеко не только для функции класса S. Но если все же
9? 6 S, то равенство (40) можно сколько угодно раз дифференцировать
почленно по аргументу ж, получая как следствие новые соотношения
между р, р', ... и р.
d. Теорема Котельникова1'. Этот пример, основанный, как и
предыдущий, на красивом комбинировании ряда и интеграла Фурье,
имеет прямое отношение к теории передачи информации по каналу свя-
зи. Чтобы он не показался искусственным, напомним, что в силу огра-
ниченных возможностей наших органов чувств мы способны воспри-
нимать сигналы только в определенном диапазоне частот. Например,
ухо «слышит» в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц. Таким образом,
какие бы ни были сигналы, мы, подобно фильтру (см. п. 1), вырезаем
только ограниченную часть их спектра и воспринимаем их как сигналы
с финитным спектром.
Будем поэтому сразу считать, что передаваемый или получаемый
нами сигнал /(/) (где t — время, —оо < t < оо) имеет финитный спектр,
отличный от нуля лишь для частот а;, величина которых не превышает
некоторого критического значения а > 0. Итак, /(о?) ~ 0 при |td| > а,
поэтому представление
ж =
для функции с финитным спектром сводится к интегралу лишь по про-
межутку [—а, а]:
а
ш=/
V Z7T J
—а
На отрезке [—а, а] функцию /(td) разложим в ряд Фурье
оо
/М = £<*(/)^*
— оо
(41)
(42)
^В. А. Котельников (род. 1908) — советский ученый, известный специалист в тео-
рии радиосвязи.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
689
I г^-к 1	г?? I	м	w
по системе <е « G Z>, ортогональной и полной на этом отрезке.
Учитывая формулу (41), для коэффициентов с&(/) этого ряда получаем
следующее простое выражение:
а
а
Подставляя ряд (42) в интеграл (41), с учетом соотношений (43)
находим
Вычислив эти элементарные интегралы, приходим к формуле Ко-
тельникова
_. х	г /тг, \ sina (t — %k)	z ч
= E f h) a (fL 	(«)
fc=—oo	v a '
Формула (44) показывает, что для восстановления сообщения, опи-
сываемого функцией /(/) с финитным спектром, сосредоточенным в
полосе частот |о?| а, достаточно передать по каналу связи лишь зна-
чения f(k&) (называемые отсчетными значениями) данной функции
через равные промежутки времени Д = тг/а.
Это утверждение в совокупности с формулой (44) принадлежит
В. А. Котельникову и называется теоремой Котельникова или теоре-
мой отсчетов.
Замечание 8. Сама по себе интерполяционная формула (44) бы-
ла известна в математике еще до работы В. А. Котельникова (1933 г.).
Но в этой работе впервые было указано фундаментальное значение раз-
ложения (44) для теории передачи непрерывных сообщений по каналу
связи. Изложенная выше идея вывода формулы (44) также принадлежит
В. А. Котельникову.
Замечание 9. Реально время передачи и приема сообщения огра-
ничено, поэтому вместо всего ряда (44) берут некоторую его частичную
690
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
N
сумму ^2 • Специальные исследования посвящены оценке возникающих
-N
при этом погрешностей.
Замечание 10. Если известно, сколько времени занимает переда-
ча одного отсчетного значения сообщения f(t) в данном канале связи,
то легко оценить количество таких сообщений, которые можно парал-
лельно передавать по этому каналу связи. Иными словами, появляется
возможность оценить пропускную способность канала связи (более то-
го, еще и в зависимости от информационной насыщенности сообщений,
которая сказывается на спектре сигнала /(/)).
Задачи и упражнения
1.	а) Запишите подробно доказательства соотношений (16)-(19).
Ь) Рассматривая преобразование Фурье как отображение f н> /, покажи-
те, что оно обладает следующими часто используемыми свойствами:
fiat) т-f (-]
|а| \а/
(правило изменения масштаба);
fit - t0)	f^)e~^°
(сдвиг входного сигнала — фурье-прообраза — по времени, или теорема о пе-
реносе),
{/(о?) 2coso?£o>
/(w) 2sinwf0;
H-/(w ± w0)
(сдвиг преобразования Фурье по частоте);
/(f)cosw0£ |[/(w - w0) + w + w0)],
f(t) sin wof I[/(w - w0) - w + wo)]
(амплитудная модуляция гармонического сигнала);
fit) sin2 j[2/(w) - /(w - wo) - /(w + w0)].
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
691
с)	Найдите преобразования Фурье (или, как говорят, фуръе-образы) сле-
дующих функций:
1
2А
О
при
при
(прямоугольный импульс)]
Пд(£) cos cjot
(гармонический сигнал, промодулированный прямоугольным импульсом);
Па(£ + 2А)+Па(£-2А)
(два прямоугольных импульса одинаковой полярности);
Пу1(£ — А) — Па(£ + А)
(два прямоугольных импульса разной полярности);
1м г \
A - А ) ПРИ
О	при
(треугольный импульс);
costz£2 и sinai2 (а > 0);
|г|-2 и	(а > 0).
d)	Найдите фурье-прообразы следующих функций:
aiA
7Г
aiA ^.sm2cvA
sine---, 2г--------—
7Г
2 sine2
где sine :=	— функция отсчетов.
е)	Используя предыдущие результаты,
шихся нам интегралов;
найдите значения уже встречав-
/sin х _	[ sin2 х
---dx, / —5—
х J x2
— оо	—оо
f)	Проверьте, что интеграл Фурье функции f(t) можно записать в любом
из следующих видов:
cos х2
— оо
sinx2 dx.
t
t
оо
оо оо

ег<ш вы =
dx =
— оо	—оо
оо оо
О —оо
23-4574
692
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
2.	Пусть f —	— решение двумерного уравнения Лапласа +
С* «А/
+	= 0 в полуплоскости у 0, удовлетворяющее условиям f(x,0) = д(х) и
f(x, у) —> 0 при у —> +оо для любого х € Ж.
а)	Проверьте, что преобразование Фурье f(£,y) функции f по перемен-
ной х имеет вид д(£)е~у^.
Ь)	Найдите фурье-прообраз функции по переменной
с)	Получите теперь уже встречавшееся нам (гл. XVII, § 4, пример 5) пред-
ставление функции f в виде интеграла Пуассона
+оо
/(ж,т/) = - [ -------2g(C)^-
тг J (х -£)2 + у2
— со
3.	Напомним, что п-м моментом функции /: Ж —> С называется вели-
оо
чина Mn(f) = f xnf(x)dx. В частности, если f — плотность распределения
— оо
оо
вероятностей, т.е. f(x) 0 и f f(x)dx = 1, то Хо = Mi(f) есть матема-
— ОО
тическое ожидание случайной величины х с распределением /, а дисперсия
оо
а2 := f (х — хо)2f(x)dx этой случайной величины представляется в виде
— оо
Рассмотрим следующее преобразование Фурье
Ш =
ОО
У f(x)e~l^x dx
— оо
функции /. Раскладывая е г^х в ряд, покажите, что:
ОС
а)	/(£) = £	С если, например, f е S.
п—0
Ь)	М„(/) = (г)"/(")(0),п = 0,1,...
с)	Пусть теперь f вещественнозначна, тогда /(£) = А(е)е*’^\ где Л(£) —
модуль, а <?(£) — аргумент /(£), причем А(£) = А(-£) и	Поло-
ОО
жим для нормировки, что f f(x) dx — 1. Проверьте, что тогда
— оо
ле) = 1+*v'(o)e+л"(0) (у,(0))2е2+(е -> о)
и
ХО := МЛ/) = -Л(0), а п2 = М2(/) - М2(/) = -Л"(0).
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
693
4.	а) Проверьте, что функция е~а\х\ (а 0), как и все ее производные,
определенные при х 0, убывает на бесконечности быстрее любой отрица-
тельной степени переменной |a?| и тем не менее эта функция не принадлежит
классу S.
Ь) Убедитесь в том, что преобразование Фурье этой функции бесконечно
дифференцируемо на К, но не принадлежит классу S (и все потому, что е“аИ
не дифференцируема при х = 0).
5.	а) Покажите, что функции класса S плотны в пространстве 7?<2(^П)С)
абсолютно интегрируемых с квадратом функций f: IRn —> С, наделенном ска-
лярным произведением (f,g) ~ f (f • g)(x)dx и порожденными им нормой
/	\ М2
11/11 = ( f 1/|2(ж)с?ж) и метрикой d(f,g) = ||/ - (?||.
X	/
Ь)	Рассмотрим теперь S как метрическое пространство (S, d) с указанной
метрикой d (сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Кп).
Пусть L2(Kn,Q или, короче, Т2—пополнение метрического пространства
(S, d) (см. гл. IX, §5). Каждый элемент f е L2 определяется последователь-
ностью функций (fk 6 S, которая является последовательностью Коши в
смысле метрики d.
Покажите, что тогда и последовательность {^} фурье-образов функ-
ций (pk является последовательностью Коши в S и, следовательно, задает опре-
деленный элемент f е L2, который естественно назвать преобразованием Фу-
рье элемента f 6 L2.
с)	Покажите, что в L2 естественным образом вводится линейная структу-
ра и скалярное произведение, относительно которых преобразование Фурье
L2 -Д Ь2 оказывается линейным изометрическим отображением L2 на себя.
d)	На примере функции f(x) =	. 1 можно видеть, что если f е
VI 4- ж2
6 7^2№ С), то не обязательно f е 7?.(К, С). Тем не менее, если f е 7Z2(J!t,C),
то, поскольку / — локально интегрируема, можно рассмотреть функцию
Проверьте, что /д 6 (7(К, С) иДе ^(KjC).
е)	Докажите, что /а сходится в L2 к некоторому элементу / 6 L2 и ||/д|| —>
—> ||/|| = ||/|| при А —> +оо (это — теорема Планшереля1^).
6.	Принцип неопределенности. Пусть <р(х) и 4p(p) —функции класса S (или
оо
элементы пространства L2 из задачи 5), причем чр = р и J* |(/?|2(я;) dx =
— оо
1'>М. Планшерель (1885 -1967) —швейцарский математик.
694
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ОО
= f |^|2(р)	~ 1- В таком случае функции и |^0|2 можно рассматривать
— оо
как некоторые плотности распределения вероятностей случайных величин х
и р соответственно.
а)	Покажите, что сдвигом по аргументу (специальным выбором начала
отсчета аргумента) функции не меняя величины ||^||, можно получить но-
оо
вую функцию <р такую, что Mi (99) = f ж|</?|2(а;) dx — 0, а затем, не меняя
— оо
Mi (у?) = 0, можно аналогичным сдвигом по аргументу функции ф добиться
оо
того, что Mi(V^) = J р|^|2(р) dp = 0.
— оо
Ь)	Рассмотрите при вещественном параметре а величину
оо
— ОО
и, опираясь на равенство Парсеваля и формулу <pf(p) = ip<p(p), покажите, что
а2М2(<р) — а + М2(^)	0. (Определения Mi и М2 см. в задаче 3.)
с)	Получите отсюда соотношение
м2((/0 -m2(v>) 1/4.
Это соотношение показывает, что чем более «сосредоточена» сама функ-
ция тем «размытее» ее преобразование Фурье и обратно (см. в этой связи
примеры 1, 7 и задачу 7Ь).
В квантовой механике это соотношение, называемое принципом неопре-
деленности^ приобретает конкретный физический смысл. Например, нельзя
одновременно измерить точно и координату квантовой частицы, и ее им-
пульс. Этот фундаментальный факт (называемый принципом неопределенно-
сти Гейзенберга1}), в математическом отношении совпадает с найденным вы-
ше соотношением между М2(у?) и М2(^).
Следующие три задачи дают начальное представление о преобразовании
Фурье обобщенных функций.
7.	а) Используя пример 1, найдите спектр сигнала, выражаемого функцией
Д М = /	при а’
[0	при	t\ > а.
Ь)	Проследите за изменением функции Aa(f) и ее спектра при а —> +0
и скажите, каким, по вашему мнению, следует считать спектр единичного
импульса, выражаемого J-функцией.
1^В. Гейзенберг (1901 - 1976) —немецкий физик, один из создателей квантовой ме-
ханики.
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
695
с)	Используя пример 2, найдите теперь сигнал <p(t) на выходе идеального
фильтра низкой частоты (с верхней граничной частотой а), возникающий как
ответ на единичный импульс 6(t).
d)	Опираясь на полученный результат, истолкуйте теперь физический
смысл членов ряда Котельникова (44) и предложите принципиальную схему
передачи сигнала имеющего финитный спектр, основанную на формуле
Котельникова (44).
8.	Пространство Л. Шварца. Проверьте, что:
а)	Если ip Е S, а Р — полином, то (F • <р) Е S.
Ь)	Если <р Е S, то Daip Е S и	6 S, где а и /3— неотрицательные
мультииндексы, а Р — полином.
с)	В S вводится следующее понятие сходимости. Последовательность {</?&}
функций ipk Е S считается сходящейся к нулю, если для любых неотрицатель-
ных мультииндексов а, /3 последовательность функций {x^Da(pk} сходится
к нулю равномерно на Rn. Соотношение <pk —> <р Е S будет означать, что
(99-^fc)	0 в S.
Линейное пространство S быстро убывающих функций, наделенное ука-
занной сходимостью, называется пространством Шварца.
Покажите, что если <рь —> <р в S, то и <рь —> (р в S при к —> оо. Таким
образом, преобразование Фурье является линейным непрерывным преобразо-
ванием пространства Шварца.
9.	Пр о стр анств о S' обобщенных функций умеренного роста. Линейные
непрерывные функционалы, определенные на пространстве S быстро убы-
вающих функций, называют обобщенными функциями медленного или уме-
ренного роста. Линейное пространство таких функционалов (сопряженное к
пространству S) обозначают символом S1. Значение функционала F Е S1 на
функции <р Е S будем записывать символом F(<p).
а)	Пусть Р : Rn —> С —полином от п переменных, а / : П&п —> С — локально
интегрируемая функция, допускающая на бесконечности оценку |/(;г)|
|F(ar)| (т.е., быть может, растущая при х —> оо, но умеренно: не быстрее,
чем степенным образом). Покажите, что тогда f можно считать (регулярным)
элементом пространства S', если положить
/(</’) = J	dx (<рЕ S).
b)	Умножение обобщенной функции F Е S( на обычную функцию f: Rn —>
—> С определяется, как всегда, соотношением (/F)(</?) :— F(f<p). Проверьте,
что для обобщенных функций класса S1 корректно определено умножение не
только на функции f Е S, но и на полиномы Р : Rn —> С.
с)	Дифференцирование обобщенных функций F Е S1 определяется тради-
ционным способом: (DaF)((p) := (— l)^F(Da(p).
696
ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Покажите, что это определение корректно, т. е. если F Е S", то и DaF е S'
при любом неотрицательном целочисленном мультииндексе а — (ац,... ,ап).
d)	Если f и <р достаточно регулярные функции (например, класса S), то,
как видно из соотношения (36), имеет место равенство


Это равенство (Парсеваля) и кладут в основу определения преобразования
Фурье F обобщенной функции F Е S', полагая по определению, что F(<p)
= F&).
Благодаря инвариантности пространства S относительно преобразования
Фурье, это определение корректно для любого элемента F Е S.
Покажите, что оно не является корректным для обобщенных функций про-
странства P'(IRn), действующих на пространстве P(IRn) гладких финитных
функций. Именно этим обстоятельством и объясняется роль пространства S
Шварца в теории преобразования Фурье и его применении к обобщенным
функциям.
е)	В задаче 7 мы получили начальное представление о преобразовании
Фурье ^-функции. Преобразование Фурье (5-функции можно было бы наив-
но искать прямо по общему определению преобразования Фурье регулярной
функции. Тогда мы нашли бы, что
R71
Покажите теперь, что при корректном отыскании преобразования Фурье об-
общенной функции 6 Е S'(IRn), т.е., исходя из равенства — 6(<р), получа-
ется (то же самое), что 3(<р) = <р(0) = —• Итак, преобразование Фурье
(2тг)п/2
^-функции есть постоянная функция. (Можно перенормировать преобразова-
ние Фурье так, чтобы эта константа была равна единице, см задачу 10.)
f)	Сходимость в S', как всегда в обобщенных функциях, понимается в
следующем смысле: (Fn —> F в S' при п —> оо) :— (Vy> Е S(Fn(ip) —> F(<p) при
п —> оо)).
Проверьте формулу обращения (интеграл Фурье) для (5-функции:
6(х) = lim
<Х-
g)	Пусть 6(х — xq\ как обычно, означает сдвиг (5-функции в точку то, т.е.
6(х — хц)(<р) = 9?(яо)- Проверьте, что ряд
сю	/	N	\
Е = ^Е^-”))
п= — сю	\	— N	/
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
697
сходится в пространстве S"(IR), (здесь 6 € S'(IR) и п € Z).
h)	Используя возможность почленно дифференцировать сходящийся ряд
обобщенных функций и учитывая равенство из задачи 13f, § 2, покажите, что
сю
если F — 52	~ т0
п= — сю
F — л/2тг 8(х — 2тт).
п= —оо
i)	Используя соотношение F(<p) — F(<p), получите из предыдущего резуль-
тата формулу Пуассона (39).
j)	Докажите следующее соотношение (0-формула)
играющее важную роль в теории эллиптических функции и теории теплопро-
водности.
10.	Если преобразование Фурье F[f] функции /: IR —> С определить фор-
мулой
сю
/>)	== I
—оо
то многие относящиеся к преобразованию Фурье формулы станут особенно
простыми и изящными.
а)	Проверьте, что f(u) —
— f(^)
Ь)	Покажите, что ^[^[/]](^) = /(—Z),
т. е.
сю
f(t)= J f(v)e2*lvtdv.
— co
Это наиболее естественная форма разложения f(t) по гармоникам различ-
ных частот i/, a f(v) в этом разложении есть частотный спектр функции f.
с)	Проверьте, что 6 = 1 и 1 = 6.
d)	Убедитесь в том, что формула Пуассона (39) теперь принимает особен-
но изящный вид
оо	оо
У <^(«) = У £(”)•
п= — ОО	П—— оо
ГЛАВА XIX
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Большинство явлений, с которыми нам приходится сталкиваться, в ма-
тематическом отношении характеризуется некоторым набором число-
вых параметров с довольно сложной зависимостью между ними. Однако
описание явления, как правило, существенно упрощается, если извест-
но, что некоторые из этих параметров или их комбинации очень велики
или, наоборот, очень малы.
Пример 1. При описании относительных движений, происходя-
щих со скоростями v, много меньшими скорости света (|v|	с), вместо
преобразований Лоренца (гл. I, §3, пример 3)
. X — vt .
х' = 'г	*
X
можно использовать преобразования Галилея
х — х — vt.
поскольку v/c ~ 0.
Пример 2. Период
тг/2
Г М
у 9 J у/1 — к2 sin2 в
’ о
колебаний маятника через параметр к2 = sin2 связан с углом
максимального отклонения маятника от положения устойчивого равно-
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
699
весия (см. гл. VI, § 4). Если колебания малы, т. е. 0, то для периода
таких колебаний получается простая формула
Т « 2^-.
Пример 3. Пусть на частицу массы т действует возвращающая
ее в положение равновесия сила, пропорциональная величине отклоне-
ния (пружина с коэффициентом жесткости &), и сила сопротивления
среды, пропорциональная (с коэффициентом а) квадрату скорости ча-
стицы. Уравнение движения в этом случае имеет вид (см. гл. V, § 6)
тх + otx2 + кх = 0.
Если среда «разрежается», то а —> 0 и, надо полагать, движение
становится близким к описываемому уравнением
тх + кх = 0
(гармонические колебания частоты у —), а если среда «густеет», то
а —> оо и, поделив на а, получаем в пределе уравнение х2 = 0, т. е.
x(t) = const.
Пример 4. Если 7г(ж) — количество простых чисел, не превосхо-
дящих х Е R, то, как известно (см. гл. III, § 2), при больших значениях х
величину 7г(ж) с малой относительной погрешностью можно находить
по формуле
, л ~ х
*(*) ~ г—•
In X
Пример 5. Куда более тривиальными, но не менее важными явля-
ются соотношения
sin# ~ х или 1п(1 + ж) « ж,
относительная погрешность в которых тем меньше, чем ближе х к нулю
(см. гл. V, § 3). Эти соотношения при желании могут быть уточнены,
sin х
1п(1 + х)
Х 2^’
приписыванием одного или более следующих членов, получаемых по
формуле Тейлора.
700
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Итак, задача состоит в том, чтобы найти обозримое, удобное и в су-
щественном правильное описание изучаемого явления, используя специ-
фику ситуации, возникающей, когда какой-то характеризующий явле-
ние параметр (или комбинация параметров) мал (стремится к нулю)
или, наоборот, велик (стремится к бесконечности).
Значит, по существу речь снова идет о теории предельного перехо-
да.
Задачи такого рода называются асимптотическими. Они возника-
ют, как можно понять, практически во всех отделах математики и есте-
ствознания.
Решение асимптотической задачи обычно состоит из следующих
этапов: выполнение предельного перехода и отыскание (главного чле-
на) асимптотики, т.е. удобного упрощенного описания явления; оцен-
ка погрешности, возникающей при использовании найденной асимпто-
тической формулы, и выяснение области ее применимости; уточнение
главного члена асимптотики, аналогичное (но далеко не всегда столь
алгоритмичное) процессу дописывания следующего члена в формуле
Тейлора.
Методы решения асимптотических задач (называемые асимптоти-
ческими методами) обычно весьма тесно связаны со спецификой за-
дачи. К числу редких достаточно общих и в то же время элементар-
ных асимптотических методов, конечно, относится формула Тейлора —
одно из наиболее важных соотношений дифференциального исчисления.
Эта глава должна дать читателю начальные представления об эле-
ментарных асимптотических методах анализа.
В первом параграфе мы введем общие понятия и определения, от-
носящиеся к элементарным асимптотическим методам, а во втором ис-
пользуем их при изложении метода Лапласа построения асимптотиче-
ского разложения интегралов Лапласа. Этот метод, найденный Лапла-
сом в его исследованиях по предельным теоремам теории вероятно-
стей, является важнейшей составной частью развитого впоследствии
Риманом метода перевала, излагаемого обычно в курсе комплексного
анализа. Дальнейшие сведения о различных асимптотических методах
анализа можно найти в специальных книгах, цитированных в списке
литературы. В них также имеется обширная бибилиография, относя-
щаяся к этому кругу вопросов.
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 701
§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд
1. Основные определения
а. Асимптотические оценки и асимптотические равенства.
Начнем для полноты с некоторых напоминаний и пояснений.
Определение 1. Пусть f : X —>Y ид: X -> Y — вещественно-,
комплексно- или вообще векторнозначные (в соответствии с природой
множества У) функции, определенные на множестве X, и пусть В-
база в X. Тогда соотношения
f(x) = о(д(х))
f = 0(g)	или	/(ж) = О(д(х))
f = 0(g)	или	f(x) = О(д(х))
f = о(д)	или	f(x) = о(д(х))
х G X,
при базе /3,
при базе В
означают по определению, что в равенстве |/(ж)| —	веще-
ственная функция а(ж) является, соответственно, ограниченной на X,
финально ограниченной при базе В и бесконечно малой при базе В.
Эти соотношения обычно называют асимптотическими оценками
(функции /).
Соотношение
f ~ д или f(x) ~ д(х) при базе В,
по определению означающее, что /(ж) = д(х) + о(д(х)) при базе В, назы-
вают обычно асимптотической эквивалентностью или асимптотиче-
ским равенством^ указанных функций при базе В.
Асимптотические оценки и асимптотические равенства объединяют
термином асимптотические формулы.
Там, где указание аргумента функции несущественно, принята со-
кращенная форма обозначений f = о(д), f = 0(g), или f д, которой
мы уже систематически пользовались.
Если f = 0(g) и одновременно д = 0(f), то пишут f х д и говорят,
что f и д — величины одного порядка при данной базе.
В наших дальнейших рассмотрениях У = С или У = К; X С С, или
X С R; В, — как правило, одна из баз X Э х —> 0 или X Э х -» оо.
Полезно иметь в виду также часто употребляемый для обозначения асимптоти-
ческих равенств символ
702
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Используя введенные обозначения,
можно, в частности, написать,
что
cos х — 0(1),	х Е R,
cos г 0(1),	z Е С,
In ez — 1 + z + o(z) при z -» 0, z Е С,
(1 + х)^ — 1 + ах + о(х) при х —> 0,	х Е R,
7г(я) =	—И о () при х —> +оо,	х Е R
\1п£/
Замечание 1. По поводу асимптотических равенств полезно за-
метить, что они являются всего лишь предельными соотношениями,
использование которых в вычислительных целях возможно, но после
дополнительной работы, связанной с оценкой остатка. Об этом мы уже
говорили, обсуждая формулу Тейлора. Кроме того, надо иметь в ви-
ду, что асимптотическая эквивалентность, вообще говоря, позволяет
проводить вычисления с малой относительной, но не малой абсолют-
ной погрешностью. Так, например, при х —> +оо разность тг(ж) —
не стремится к нулю, поскольку при каждом значении ж, являющемся
простым числом, функция 7г(ж) имеет единичный скачок. Вместе с тем,
относительная погрешность от замены тг(ж) на стремится к нулю:
Г—1
\1п X /
—> 0 при X —> +ос.
Это обстоятельство, как мы увидим ниже, приводит к важным в
вычислительном отношении асимптотическим рядам, следящим за от-
носительной, а не за абсолютной погрешностью приближения и потому
часто расходящимся, в отличие от классических рядов, для которых
абсолютная величина разности между приближаемой функцией и п-и
частичной суммой ряда стремится к нулю при п —> +оо.
Рассмотрим некоторые примеры получения асимптотических фор-
мул.
Пример 6. Трудоемкость вычисления значений п\ или Inn! возра-
стает при увеличении п Е N. Воспользуемся, однако, тем, что п велико
и получим при этом условии удобную асимптотическую формулу для
приближенного вычисления Inn!
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 703
Из очевидных соотношений
п	„к л	П	л	п 1 In х dx =	/ In х dx <	In к < 1	k=2kJ_1	k=l	n fc+1	n+1 C yj / In x dx = / In ж dx fc=2 {	{
следует, что
n	2	n+l
0 < In n! — У In x dx < У In x dx 4	- У Inrrtta < ln2(n + 1).
1 1	n
Но
п
1
поэтому при п —> оо
п
Inn! = у* Inrccfc + O(ln2(n + 1)) =
1
— n Inn — (п — 1) + О(1пп) = п Inn + О(п).
Поскольку O(n) = o(nlnn), когда п —> +оо, относительная погреш-
ность формулы Inn! ~ п Inn стремится к нулю при п —> +оо.
Пример 7. Покажем, что при х —> +оо функция
X
Г е4
/п(ж) = / — dt (n6R)
1
асимптотически эквивалентна функции дп(х) = х~пех. Поскольку
дп(ж) —> +оо при х —> +оо, то, применяя правило Лопиталя, находим,
что
lim ДЖ lim 4М= В» --------------------"	, =1.
ж->+оо дп\х) ж->+оо дп\х) ж->+оо х пех — пх п Lex
Пример 8. Найдем поточнее асимптотическое поведение функ-
ции
X
f(x) = ! ~dt,
1
704
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
которая лишь постоянным слагаемым отличается от интегральной экс-
поненты
х
— оо
Интегрируя по частям, получаем
х
1 1
Последний интеграл, как показано в примере 7, есть О(х (п+1)ех)
при х —> +оо. Включая в	еще и получаемую при подста-
п
новке t = 1 постоянную	— 1)!, находим, что
к=1
п
f(x) =
к—1
при х —> 4-оо.
Погрешность О (- ^+1 ) приближенного равенства
асимптотически бесконечно мала по сравнению с каждым, в том числе
и последним, членом написанной суммы. Вместе с тем, при х —> 4-оо
каждый следующий член суммы есть бесконечно малая в сравнении с
предшествующим членом, поэтому естественно написать неограничен-
ную уточняющуюся последовательность подобных формул в виде ряда,
порожденного функцией /:
оо
/(ж) ~ ех ^2
к—1
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 705
Отметим, что этот ряд, очевидно, расходится при любом значении
х 6 R, поэтому нельзя писать
А:=1
Таким образом, мы имеем здесь дело с некоторым новым и явно
полезным асимптотическим пониманием ряда, связанным, в отличие
от классического случая, с относительным, а не абсолютным прибли-
жением рассматриваемой функции. Частичные суммы такого ряда, в
отличие от классического случая, используются не столько для прибли-
жения значения функции в конкретных точках, сколько для описания
коллективного поведения значений функции при рассматриваемом пре-
дельном переходе (который в нашем примере состоял в стремлении х
к +оо).
Ь. Асимптотическая последовательность и асимптотичес-
кий ряд
Определение 2. Последовательность асимптотических формул
/(ж) = 0о(ж) + о(0о(х)),
/(ж) = 0О(ж) + 01(®) + °(01(Ж))>
/(ж) = 0О(ж) + 01 (®) + ... + 0п(ж) + о(0п(ж)),
справедливых при некоторой базе В в множестве X, где определены
рассматриваемые функции, записывают в виде соотношения
/(х) ~ 0о(ж) + 01 (ж) + . . . + 0п(х) + . . .
ОО
или, короче, в виде f(x)~ ^2 Фк(х) и называют асимптотическим
к=0
разложением функции f при данной базе В.
Из этого определения видно, что в асимптотическом разложении
всегда
о(0п(х)) - 0п+1(х) + о(0п+1(х)) при базе В
и, значит, при любом значении п = 0,1,...
— о(фп(х)) при базе В,
706
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
т.е. каждый следующий член разложения доставляет поправку, асим-
птотически более тонкую по сравнению с предшествующим членом.
Асимптотические разложения обычно появляются в виде линейной
комбинации
(Wo(х) + С19Р1 (х) + ... + сп<рп(х) + ...
функций той или иной удобной для конкретной задачи последователь-
ности {фп (х)}.
Определение 3. Пусть X — множество с заданной в нем базой В.
Последовательность {9эп(ж)} определенных на X функций называется
асимптотической последовательностью при базе В, если <pn+i(ж) =
= о(<Рп(х)) при базе В (каковы бы ни были два соседние члена </2п, ¥>п+1
этой последовательности) и если на любом элементе базы В ни одна из
функций срп 6 {(рп(х)} не равна нулю тождественно.
Замечание 2. Условие, что (<Рп|в)(я)	0 на элементах В ба-
зы В естественно, поскольку в противном случае все функции (рп+1,
(у2п+2, * • * были бы равны нулю тождественно на В и система {</2п} ока-
залась бы в асимптотическом отношении тривиальной.
Пример 9. Следующие последовательности, очевидно, являются
асимптотическими:
a)	l,rr,rr2,... , rrn,... при х —> 0;
b)	i,!, А---> А-’ - приж^оо;
X	х
J iAJ	«А/	t| • » ♦
при базе x —> 0, если pi < p2 < ... < pn < ...,
при базе x —> оо, если pi > р2 > ... > рп > • • •;
d) последовательность {з(ж)^п(ж)}, полученная из асимптотической
умножением всех ее членов на одну и ту же функцию.
Определение 4. Если {</2п} — асимптотическая последователь-
ность при базе В, то асимптотическое разложение вида
f(x) ~ со<£>о(ж) + C}tf>\(x) + ... + cntpn(x) + . . .
называется асимптотическим разложением или асимптотическим ря-
дом функции f по асимптотической последовательности {</2п} Г1Ри ба-
зе В.
Замечание 3. Понятие асимптотического ряда (применительно к
степенным рядам) было сформулировано Пуанкаре (1886), активно ис-
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 707
пользовавшего асимптотические разложения в своих исследованиях по
небесной механике, но сами асимптотические ряды, как и некоторые
методы их получения, встречались в математике еще раньше. По по-
воду возможного обобщения понятия асимптотического разложения в
смысле Пуанкаре (которое мы изложили в определениях 2-4) см. зада-
чу 5 в конце параграфа.
2. Общие сведения об асимптотических рядах
а. Единственность асимптотического разложения. Говоря об
асимптотическом поведении функции при некоторой базе В, мы интере-
суемся лишь характером предельного поведения функции, поэтому если
какие-то две, вообще говоря, различные, функции f и д совпадают на
некотором элементе базы В, то они имеют одинаковое асимптотическое
поведение при базе Вив асимптотическом смысле должны считаться
совпадающими.
Далее, если заранее фиксировать асимптотическую последователь-
ность {(у2п }, по которой желательно вести асимптотическое разложение,
то надо считаться с ограниченными возможностями любой такой систе-
мы функций А именно, найдутся функции, которые при данной
базе бесконечно малы в сравнении с любым членом срп асимптотической
последовательности {</2п}.
Пример 10. Пусть </2п(гс) — Дг, п = 0,1,..., тогда е х = о(</2п(гс))
при х —> +оо.
Таким образом, естественно принять
Определение 5. Если {(/9П(^)}— асимптотическая последова-
тельность при базе В, то функция / такая, что для каждого п — 0,1,...,
/(ж) = о((у2п(гг)) при базе В, называется асимптотическим нулем от-
носительно последовательности {</2п(гс)}.
Определение 6. Функции f ид будем называть асимптотически
совпадающими при базе В относительно последовательности функ-
ций {</2п}, асимптотической при базе В, если разность f — g этих фун-
кций является асимптотическим нулем относительно последовательно-
сти {(£>„}.
Утверждение 1 (о единственности асимптотического разложе-
ния). Пусть {</2п} — асимптотическая последовательность функций
708
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
при некоторой базе В.
а)	Если функция f допускает асимптотическое разложение по по-
следовательности {срп} при базе В, то это разложение единственно.
Ь)	Если функции fug допускают асимптотическое разложение по
системе {</2п}? то эти разложения идентичны в том и только в том
случав, когда функции fug асимптотически совпадают при базе В
относительно последовательности {</2п}.
◄ а) Пусть функция <р не равна нулю тождественно на элементах
базы В.
Покажем, что если f(x) = о(<р(х)) при базе В и одновременно /(ж) —
= с<р(х) + о(<р(я)) при базе В, то с = 0.
Действительно, \f(x)\	|с^(ж)| - |о((<р(ж))| = |с| |<р(я)| — о(|<^(ж)|)
при базе В) поэтому, если |с| > 0, то найдется элемент Bi базы В, в
любой точке которого будет выполнено неравенство |/(ж)|	|(/9(х)| •
Если же f(x) = о{ср{х)) при базе В, то найдется элемент В% базы 5,
в любой точке которого |/(я)| С ^|</2(я;)|. Значит, в любой точке х Е
Е Bi ПВ2 должно быть выполнено неравенство ^|</2(гс)| С ^|99(гс)1 и*™,
в предположении, что |с| 7^ 0 неравенство 3|</2(гг)| С 2|</2(гр)|. Но это
невозможно, если <р(х)	0 хотя бы в одной точке х Е В± П В<2-
Рассмотрим теперь асимптотическое разложение функции f по по-
следовательности {су9п}-
Пусть f(x) ~ со^о(^) + о(<Ро(я)) и /(ж) = со^о(^) + о(<А)(я)) при
базе В. Вычитая второе равенство из первого, получаем, что 0 — (со —
~с0)(у2о(^) + о((у2о(^)) при базе В. Но 0 = 0(920(&*)) при базе В, значит, по
доказанному со — cq — 0.
Если совпадение коэффициентов со = cq, ... , cn_i = сп-л двух раз-
ложений функции f по системе {</2п} уже доказано, то из равенств
f(x) = соро(х) + ... +	+ спрп(х) + о(^п(ж)),
/(ж) = соро(х) + ... + сп_19эп_1(ж) +спрп(х) + о(<рп(ж))
тем же способом получаем, что и сп = сп.
Ссылаясь на принцип индукции, заключаем, что утверждение а) вер-
но.
Ь)	Если при любом п — 0,1,... f(x) — со</2о(гс) + ... 4- сп<рп(х) +
+ о(92п(я)) и д(х) = со<£>о(:г) + ... +сп(рп(х) + о(<рп(ж)) при базе В, то при
любом п — 0,1,... f(x) — д(х) = о(<рп(х)) при базе В, и, значит, фун-
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 709
кции f и д асимптотически совпадают относительно асимптотической
последовательности {у?п(^)}.
Обратное утверждение следует из а), поскольку асимптотический
нуль, в качестве которого мы возьмем разность f — д, должен иметь
только нулевое асимптотическое разложение. ►
Замечание 4. Мы обсудили вопрос о единственности асимптоти-
ческого разложения. Подчеркнем, однако, что само по себе асимпто-
тическое разложение функции по заданной наперед асимптотической
последовательности возможно далеко не всегда. Не всегда же две фун-
кции f и д вообще должны быть связаны одним из асимптотических
соотношений f = О(^), f = 0(9), или f ~ 9 ПРИ базе В.
Довольно общая асимптотическая формула Тейлора, например, ука-
зывает конкретный класс функций (имеющих при х ~ 0 производные
до порядка п), каждая из которых заведомо допускает асимптотиче-
ское представление
/(я) = /(0) +	+ ... +	+ °(zn)
J_ •	I bl
при х 0. Но вот уже функции х1/2 нельзя дать асимптотическое
разложение по системе 1,гс,:г2,... Таким образом, асимптотическую
последовательность и асимптотическое разложение не следует отожде-
ствлять с некоторым каноническим базисом и разложением по нему
любой асимптотики. Возможных видов асимптотического поведения
много больше того, что может описать фиксированная асимптотиче-
ская последовательность, поэтому описание асимптотического поведе-
ния функции — это не столько разложение по заранее заданной асим-
птотической системе, сколько ее отыскание. Нельзя, например, вычи-
сляя неопределенный интеграл от элементарной функции, заранее тре-
бовать, чтобы ответ был композицией определенных элементарных
функций, потому что он вообще может не быть элементарной функ-
цией. Поиск асимптотических формул, подобно вычислению неопреде-
ленных интегралов, представляет интерес лишь в той степени, в какой
ответ проще и доступнее для исследования, чем исходное выражение.
Ь. Допустимые действия с асимптотическими формулами.
Элементарные арифметические свойства символов о и О (такие, как
°(д) + о(д) = о(д), о(д) + 0(д) = 0(g) + 0(g) = 0(g) и т.п.) были рассмо-
710
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
трены еще в теории предела (гл. III, § 2, утверждение 4). Из этих свойств
и определения асимптотического разложения вытекает очевидное
Утверждение 2 (о линейности асимптотических разложений).
Если функции fug допускают асимптотические разложения f ~
сю	сю
— 12 an<Pn> 9—^2 Ьпфп по асимптотической последовательности
п=0	п=0
{</2п} при базе В, то их линейная комбинация af + (3g также допуска-
сю
ет такое разложение, причем (af + (3g) ~ ^2 (аап + (ЗЪп)<рп.
п=0
Дальнейшие свойства асимптотических разложений и вообще асим-
птотических формул будут относиться ко все более специальным слу-
чаям.
Утверждение 3 (об интегрировании асимптотических равенств).
Пусть f—функция, непрерывная на промежутке I = [а;о>[ (или на
промежутке Z=]cu, а]).
а)	Если функция непрерывна, неотрицательна на промежутке I, а
интеграл f g(x)dx расходится, то из соотношений
а
/(ж) = О(д(х\),	/(ж) = о(д(х)), /(ж) ~ #(ж) при I 9 ж -> ш
вытекает соответственно, что
F(x) = O(G(xf), F(x) = o(G(xf) и F(x) - G(x),
7^(ж) =
где
X	X
f (t) dt и G(x) ~ g(t)dt.
a	a
b)	Если непрерывные положительные на промежутке I =
функции п — 0,1,..., образуют асимптотическую последова-
тельность при I Э х —>	а интегралы Фп(^) = J (pn(t)dt при х 6 I
X
сходятся, то функции Фп(а?), п = 0,1,... тоже образуют асимпто-
тическую последовательность при I Э х —> и.
с)	Если интеграл F(x) = f f(x)dx сходится и функция f имеет
X
оо
асимптотическое разложение f(x)~ ^2	при I Э х ш по
п=0
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД
711
указанной в Ь) асимптотической последовательности {Фп(гг)}? то
оо
для Т справедливо асимптотическое разложение J\x) ~ J2 спФп(гг).
п=0
◄ а) Если /(гг) — О(д(%У) при I Э х си, то найдутся точка ггд £
6 I и постоянная М такие, что |/(rr)| С M|g(n;)| при х 6	Из
непрерывности функций f и д на отрезке [а,гго] следует, что тогда на
всем отрезке I имеет место неравенство |/(ж)|	С|^(гг)|, а значит,
J/(i) dt
а
Для доказательства оставшихся двух соотношений можно восполь-
зоваться (как и в примере 7) правилом Лопиталя, учитывая, что G(x) =
х
— f 9(t) dt —> оо при I Э х	со. В результате получим, что
а
F(x)	F'(x)	f(x)
hm _	= hm = hm .
Gr\X)	Gf(x)	g(x)
b) Поскольку Фп(гг) —> 0 при I Э х —> о; (п — 0,1,,..), то, вновь
применяя правило Лопиталя, находим, что
lim
1Эх-^мх
lim
I~3X—
= lim !Л±1И = 0.
Iz)X—(p^2^Xj
с) Функция rn(rr) в соотношении
f(x) = cq(?q(x) + С1</21(:г) + ... + Cn<pn(x) + rn(x),
как разность непрерывных на I функций, сама непрерывна на I и, оче-
видно, 7?п(гг) — Jrn(t)dt —> 0 при I Э х —> со. Но rn(rr) ~ о(<рп(х)) при
х
I Э х со и Фп(ж) 0 при I Э х cj, поэтому из того же правила
Лопиталя следует, что в равенстве
J\x) = соФо(ж) + С1Ф1(х) + ... + с„Фп(х) + Rn(x)
величина Rn(x) есть о(Фп(х)) при I Э х —> со, ►
Замечание 5. Дифференцирование асимптотических равенств и
асимптотических рядов, вообще говоря, незаконно.
Пример 11. Функция /(rr) = e x'sin(cx') непрерывно дифферен-
цируема на 1 и является асимптотическим нулем относительно асим-
птотической последовательности <	> при х +оо. Производные от
I х J
712
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
о 1	1
функции — снова с точностью до множителя имеют вид -г-, однако
х	хк
функция ff(x) = ~exsin(ea?) + cos^37) не только не является асимпто-
тическим нулем, но вообще не имеет асимптотического разложения по
последовательности ] — ? при х —> +оо.
I хп)
3. Степенные асимптотические ряды. Остановимся в заклю-
чение на степенных асимптотических разложениях, которые встреча-
ются особенно часто, хотя порой и в некотором обобщенном виде, как
это было в примере 8.
Мы будем рассматривать разложения по последовательности {хп;
п = 0,1,...}, асимптотической при х —> 0, и по последовательности
< Ц-;п = 0,1,... к асимптотической при х —> оо. Поскольку с точно-
I хп	J
1
стью до замены х — - это один и тот же объект, мы сформулируем
очередное утверждение только для разложений по первой последова-
тельности и отметим затем специфику некоторых из приводимых фор-
мулировок в случае разложений по второй последовательности.
Утверждение 4. Пусть 0 — предельная точка множества Е, и
пусть
f(x) ~ а0 + (ЦХ + а2х2 + ... ,
при Е Э х 0.
д(х) ~ 60 +bix + b<2X2 + ...
Тогда при Е Э х —> 0
оо
a)	(af +	Ё (аап + /ЗЬп)хп;
п=0
оо
b)	(/-fz)^) - Е Vn, где сп = aobn+aibn-i +.. .+anbQ, п = 0,1,...;
п=0
/ к	ОО
с)	если Ьо 0, то (£] (х) ~ ^2 dnxn
п—0
дятел из рекуррентных соотношений
где коэффициенты dn нахо-
«о = Ыо, «1 — b^di 4- &ido,...,
п
0>П bkdn^}
к—0
d)
если Е—проколотая окрестность
или полуокрестность точ-
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 713
ки О, a f непрерывна на Е, то
X
[ f(t) dt ~ oqx + ~-х2 + ... + ап-1 хп + ...
J	2	п
о
е) если в дополнение к условиям d) f 6	и
/(ж) ~ а'о +а'1х + ...,
то а'п = (п + l)an+i, п = 0,1,...
◄ а) Это частный случай утверждения 2.
Ь)	Используя свойства символа о( ) (см. гл. III, §2, утверждение 4),
получаем, что
(/•5)(ж) = f(x)-g(x) =
= (ао +	4-... 4- ап^п + o(rrn))(6o + Ь^х 4-... 4- bnxn 4- о(ггп)) =
= («о^о) + («obi 4- ai&o)^ 4-... 4- («о^п 4- aibn-i + ... 4- anbo)xn + о(хп)
при Е Э х 0.
с)	Если &о 7^ 0, то д(х) 0 при х, близких к нулю, поэтому мож-
но рассматривать отношение = А(гг). Проверим, что если в пред-
ставлении h(x) — do 4- d\x 4- ... 4- dnxn 4- rn(rr) коэффициенты do,...,
dn выбраны в соответствии с утверждением с), то гп(х) = о(хп) при
Е Э х —> 0. Из тождества f(x) — g(x)h(x) получаем, что
«о 4-	4- . • • 4- о>пхП + о{хп) =
= (Ь$ 4- bix 4-... 4- bnxn 4- o(rrn))(do 4- d]X 4-... + dnxn 4- rn(x)) —
~ (Wo) 4~ (Mi 4~ bidojx 4~ • • • 4~ (bodn 4~ ^id^—i 4~. •. 4~ b^do^x 4~
4- bQrn(x) 4- o(rn(xY) 4- o(^n),
откуда следует, что o(xn) = Ь$гп(х) 4- o(rn(rr)) 4- о(хп) или rn(rr) — o(rrn)
при E Э x 0, поскольку 6q 7^ 0.
d)	Это вытекает из утверждения Зс), если положить там w = 0 и
0	х
вспомнить, что — f f(t) dt = f f(t) dt.
x	0
e)	Поскольку функция ff(x) непрерывна на ]0, ж] (или [ж, 0[) и огра-
х
ничена (стремится к а'о при х —> 0), то интеграл f f'(x) dt существует.
о
714
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
х
Очевидно, f(x) — «о + f так как f(x) —> «о при х —> 0. Под-
о
ставляя в это равенство асимптотическое разложение ff{x) и пользуясь
доказанным в d), получаем, что
а1
ап~1
п
Из единственности асимптотического разложения (утверждение 1)
следуют теперь соотношения а'п = (n + l)an+i, п = 0,1,... ►
Следствие 1. Если U — окрестность {полуокрестность) беско-
нечности в R, а функция f непрерывна в U и имеет асимптотическое
разложение
О1 £2
’	9
X ХЛ
ап
Хп

то взятый по лежащему в U промежутку интеграл
оо
- ао -
X
сходится и имеет следующее асимптотическое разложение:
Д2 _ОЗ_
х 2х2
ап
ПХп
◄ Сходимость интеграла очевидна, поскольку
ах а% j.
f(t) - ао ~ у ~ -£2 ПРИ U э * оо.
разложение
Остается, ссылаясь, например, на утверждение 3d), проинтегриро-
вать асимптотическое
/(*) - «о - v
L
«2 , аз
i2 + i3
ап
Следствие 2. Если в дополнение к условиям следствия 1 извест-
но, что f G C^(U), и ff допускает асимптотическое разложение
£1	£2
X X2
ап
Хп
§1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 715
то это разложение можно получить формальным дифференцировани-
ем разложения функции f, причем
afn — — (n —	п = 2, 3,... и а'о = а[ — 0.
◄ Поскольку ff(x) = afQ +	+ О(1/а;2) при U Э х —> оо, то
X
fix') = /(ж0) + j dt = а'ох + In ж + 0(1)
ХО
при U Э х —> оо, и так как f(x) ~ ao + ^ + ^f+ • • •, а последовательность
ж, In ж, 1,	. асимптотическая при U Э х —> оо, утверждение 1 по-
зволяет заключить, что a'Q — а\ ~ 0. Теперь, интегрируя разложение
ff(x) ~	., в силу следствия 1 получаем разложение функции
xz х^
f(x), и на основании единственности разложения приходим к соотно-
шениям afn — -~(п — 1)ап-1 при п = 2,3,... ►
Задачи и упражнения
оо
1.	а) Пусть h(z) = 52 an^-n при |г| > Ж, х € С. Покажите, что тогда
п=0
оо
Л(г) — 52 anz~n при С Э z —> ОО.
п=0
Ь)	Считая, что искомое решение у(х) уравнения у'(х) + у2(ж) — sin при
X
оо
х —> оо имеет асимптотическое разложение у(х) ~ 52 спХ~п, найдите первые
п=0
три члена этого разложения.
оо
с)	Докажите, что если f(z) = 52 an^n при \z\ < г, z е С, a g(z) ~ b^z +
п=0
+ b^z2 + ... при С Э z —> 0, то в некоторой проколотой окрестности точки
О е С определена функция f од и (Jog)(z) ~ cq + Ciz + czz2 +... при С Э z -> О,
где коэффициенты со, Ci,... получаются подстановкой ряда в ряд так же, как
и для сходящихся степенных рядов.
2.	Покажите, что:
а)	Если f — непрерывная, положительная и монотонная функция при х О,
то
п	п
f(k)= [/(«) dx + O(f(n)) + 0(1) при п -> оо;
fcO	{
п 1
Ь)	52е"1пп + с+ °(1) при п -> оо.
k=i к
716
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
с)	52 ^(Infc)^ ~ -—а (у*) при п -> оо и а > —1.
л=1	***
3.	Интегрированием по частям найдите асимптотические разложения при
х —> +оо следующих функций:
+оо
а)	Г5(х) = J ts~1e-£dt — неполная гамма-функция^
X
1 х 2
b)	erf (ж) = -у= f e~l dt—функция вероятности ошибок (напомним, что
* —х
оо 2
J е~х dx = y/п — интеграл Эйлера - Пуассона);
— оо
+°° it
с)	F(x) — f dt, если a > 0.
If
X
4.	Используя результат предшествующей задачи, найдите асимптотиче-
ские разложения при х —> +оо следующих функций:
X ,	оо
a)	Si(x) = J dt— интегральный синус (напомним, что J dx = —
о	о
интеграл Дирихле);
X	X
Ь)	С(х) = fcos^t2dt, S(x) = f sin ^t2 dt—интегралы Френеля (напо-
o	о
+оо	оо
мним, что J cos х2 dx — f sin a?2 dx —
о	о
5.	Эрдейи1) принадлежит следующее обобщение введенного Пуанкаре и
рассмотренного выше понятия разложения по асимптотической последова-
тельности {<£n(#)}.
Пусть X — множество, В — база в X, {(^п(а;)}— асимптотическая при ба-
зе В последовательность функций на X. Если заданные на X функции f(x),
^о(я),	(ж) 5 Фъ (#), • • • таковы, что для любого п ~ 0,1,... имеет место равен-
ство
п
/(ж)= 52	+°^п при базе
к=0
то пишут
сю
/(ж) 52	{^п(®)} при базе
п=0
и говорят, что имеется асимптотическое в смысле Эрдейи разложение фун-
кции f при базе В.
а)	Обратите внимание на то, что в задаче 4 вы получили разложения асим-
птотические в смысле Эрдейи, если считать ipn(x) ~ п = 0,1,...
Ь)	Покажите, что асимптотические в смысле Эрдейи разложения не обла-
дают свойством единственности (функции фп можно менять).
А. Эрдейи (род. 1908)—английский математик.
§1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 717
с)	Покажите, что если заданы множество X, база В вХ, функция f на X
и последовательности {/zn(a:)} и {^пС^Ж вторая из которых является асим-
птотической при базе В, то разложение
сю
/(ж)	^2 °пДп(®), {<рп(ж)} при базе В,
п=0
где ап — числовые коэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно.
6.	Равномерные асимптотические оценки.
Пусть X — множество, Sx—база в JV, и пусть	д(х>У)—опреде-
ленные на множестве X и зависящие от параметра у Е Y (векторнозначные)
функции. Положим |/Qr,y)| = а(х, у) |р(ж, у) |. Говорят, что асимптотические
соотношения
f(x,y) = о(д(х,у)), f(x,y)=O(g(x,yy), f(x,y) ~ д(х,у)
при базе Вх равномерны по параметру у на множестве У, если соответ-
ственно а(ж,з/) ЗОнаУ при базе Sx, а(ж,у) равномерно по у € У финально
ограничена при базе Вх и, наконец, f = а • д + о(р), где а(ж,у) 1 на У при
базе Sx-
Покажите, что если в множестве X х У ввести базу В — {Вх х У}, элементы
которой суть прямые произведения элементов Вх базы Вх и множества У, то
указанные определения соответственно равносильны тому, что
f(x,y) = о(д(х,у\), f(x,y) = О(д(х,уУ), f(x,y)~g(x,y)
при базе В.
7.	Равномерные асимптотические разложения.
Асимптотическое разложение
сю
f(x, у) 52 ап(у)¥’п(ж) ПРИ базе 13 х
п=0
называется равномерным относительно параметра у на множестве У, если
в равенствах
п
f(x,y) = Yak^lf>k^ + гп(х’У)’ п = о, 1,...
к=0
имеет место равномерная по у G У оценка гп(х,у) = о(<рп(х)) при базе Вх в
множестве X.
а)	Пусть У—измеримое (ограниченное) множество в 1п, и пусть при ка-
ждом фиксированном значении х G X функции /(а?, у), ао(у), flo(y), • • • инте-
грируемы на У. Покажите, что если при этих условиях асимптотическое раз-
оо
ложение f(x,y) — 52 ап(уЖп(^) при базе Вх равномерно по параметру у € У,
п=0
718
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
то справедливо также асимптотическое разложение
при базе Вх-
Ь)	Пусть Y — [c,d] С Ж. Предположим, что функция f(x,y) при каждом
фиксированном х G X непрерывно дифференцируема по у на отрезке Y и при
некотором уо Е Y допускает асимптотическое разложение
сю
/(ж,уо) s ^an{y0)ipn(x) при базе
п=0
Докажите, что если при этом имеет место равномерное по у € У асимпто-
тическое разложение
У'а-П(у)¥’п(ж) при базе Вх
оу
с непрерывными по у коэффициентами ап(у), п = 0,1,..., то исходная фун-
оо
кция f(x,y) имеет асимптотическое разложение f(x,y) ~ 52 ап(у)^п(^) при
п— О
базе Вх, равномерное по у € У, его коэффициенты an(j/), п — 0,1,..., гладко
на промежутке У зависят от у и = ап(у)-
8.	Пусть р(х) —гладкая, положительная на отрезке с х d функция,
л
а)	Решите уравнение ^~(хуХ) = А2р(х)и(х, А) в случае, когда р(х) = 1
С/ чХ/
на [с, d].
b)	Пусть 0 < т р(х) М < +оо на [c,d], и пусть и(с, Л) — 1,	(с, Л) = 0.
Оцените снизу и сверху величину и(х> Л) при х Е [с, d].
оо
с)	Считая, что 1пп(ж, А) ~ 52 сп(^)А1-п при А —> +оо, где Со(ж), ci(x),...
n~О
f f \ f ,f ( f \
— гладкие функции, и, пользуясь тем, что \	— (ТГ) ’ покажите, что
Со2(ж) = р(х) и Гс"_х + 2 с'к • с'п_ J (ж) = 0.
\	к-0	/
§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
1. Идея метода Лапласа. В этом параграфе будет изложен ме-
тод Лапласа- один из немногих достаточно общих методов построе-
ния асимптотики интеграла, зависящего от параметра. Мы ограничим-
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
719
ся рассмотрением интегралов вида
Ь
F(A) = [ f(x)exs^ dx,	(1)
а
где S(x)— вещественнозначная функция, а А — параметр. Такие инте-
гралы обычно называют интегралами Лапласа.
Пример 1. Преобразование Лапласа
+оо
МЖ)= / f(x)e~^dx
О
является частным случаем интеграла Лапласа.
Пример 2. Сам Лаплас применял свой метод к интегралам вида
ь
f /(я)<рп(а:) dx, где п G N, а ср(х) > 0 на ]а, Ь[. Такой интеграл тоже
а
является частным случаем общего интеграла Лапласа (1), поскольку
срп(х) = ехр(п1п9?(а;)).
Нас будет интересовать асимптотика интеграла (1) при больших
значениях параметра А, точнее, при А —> +оо, А Е R
Чтобы при описании основной идеи метода Лапласа не отвлекаться
на второстепенные детали, будем считать, что в интеграле (1) [а, Ь] =
= I — конечный отрезок, функции /(ж) и S(x) гладкие на /, причем
S(x) имеет единственный, и притом строгий, максимум S(x$) в точ-
ке xq G I. Тогда функция exp(AS(a;)) тоже имеет строгий максимум в
точке который тем более резко возвышается над остальными зна-
чениями этой функции на отрезке I, чем больше значение параметра А.
В результате, если f(x) 0 в окрестности х$, то весь интеграл (1)
можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности точ-
ки допуская при этом относительную погрешность, стремящуюся к
нулю при А —> +оо. Это наблюдение называется принципом локализа-
ции. Обращая историческую последовательность событий, можно бы-
ло бы сказать, что этот принцип локализации для интегралов Лапласа
очень напоминает принцип локального действия J-образных семейств
функций и самой J-функции.
720
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Теперь, когда интеграл берется только по малой окрестности точ-
ки функции f(x) и S (х) можно заменить главными членами их тей-
лоровских разложений при I Э х х$.
Остается найти асимптотику получаемого канонического интегра-
ла, что делается без особого труда.
В последовательном выполнении этих этапов и состоит по существу
метод Лапласа отыскания асимптотики интеграла.
Пример 3. Пусть х$ = a, Sf(a) 0 и /(а)	0, что бывает, напри-
мер, когда функция S(x) монотонно убывает на отрезке [а, Ь\. При этих
условиях f(x) = f(a) + о(1) и S(x) = S(a) + (х — a) S'(а) + о(1), когда
I Э х —> а. Реализуя идею метода Лапласа, при малом е > 0 и А —> +оо
находим, что
F(A) ~ f f(x)exs^ dx ~ /(a)eAS(o) eXtS'^ dt =
а	0
= _>AS(lt)(1 ХУ№)
AS'(a) 1
Поскольку Sf(a) < 0, отсюда следует, что в рассматриваемом случае
<2>
Пример 4. Пусть а < х$ < Ь. Тогда Sf(xo) — 0, и мы предполо-
жим, что S"(xQ) 0, т.е. S"'(a;o) < 0, поскольку х§ — точка максимума.
Используя разложения /(ж) = /(а?о) + °(х ~ ^о) и S(x) — S(xq) +
+ ^Sf,(xo)(x — а?о)2 + °((х ~ жо)2), справедливые при х —> а?о, находим,
что при малом е > 0 и А —> +оо
F(A) ~ У" f(x)exs^ dx ~ f{xo)exs^ j elAS"(®o)t2 dt_
Xq—£	~E
Выполнив в последнем интеграле замену переменной ^AS^^o)^ =
— — и2 (ведь S”(xq) < 0), получаем
Е	I---------
-е	-v(A,e)
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
721
где 9?(А, б) = ^/—	2+°° ПРИ +оо.
Учитывая, что
оо
j е~и2 du = л/тг,
—ОО
находим теперь главный член асимптотики интеграла Лапласа в рас-
сматриваемом случае:
F(A) ~ у ~Atg//(a.0~j/(a:o)eA‘9(a:o) ПРИ А->+оо.	(3)
Пример 5. Если х$ — а, но S'(xo) — 0 и S”(xq) < 0, то, рассуждая,
как и в примере 4, на сей раз получим, что
F(A)~ f f(x)exs^dx ~/(ж0)еЛ5(а:о) f e?xs"(x°>t2 dt,
а	О
и, значит,
^(А) - X о^-т/(жо)еЛ5(жо) ПРИ А->+оо.	(4)
2 у Ло)
Мы получили на эвристическом уровне три наиболее употребитель-
ные формулы (2)-(4), относящиеся к асимптотике интеграла (1) Ла-
пласа.
Из приведенных рассмотрений ясно, что метод Лапласа с успехом
можно использовать при исследовании асимптотики любого интеграла
f(x^X)dx при А —>+оо,	(5)
если: а) для этого интеграла имеет место принцип локализации (т. е.
весь интеграл можно заменить эквивалентным ему при А —> +оо инте-
гралом, взятым по сколь угодно малым окрестностям некоторых выде-
ленных точек) и Ь) если в локализованном интеграле подынтегральную
функцию удается заменить более простой, для которой асимптотика, с
одной стороны, совпадает с искомой, а с другой стороны, легко нахо-
дится.
722
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Если, например, в интеграле (1) функция S(x) имеет на отрезке
[а, Ь\ несколько точек локального максимума х^ ., хп, то, исполь-
зуя аддитивность интеграла, заменим его с малой относительной по-
грешностью суммой таких же интегралов, но взятых по столь малым
окрестностям U(x3) точек максимума a?o,a;i,... ,а;п, что в них содер-
жится только по одной такой точке. Асимптотика интеграла
f(x)exs^ dx при А —> +оо,
иЫ
как уже говорилось, не зависит от величины самой окрестности U(x3),
и потому асимптотическое разложение этого интеграла при А —> +оо
обозначают символом К(А,а;^) и называют вкладом точки х3 в асим-
птотику интеграла (1).
Принцип локализации в его общей формулировке, таким образом,
означает, что асимптотика интеграла (5) получается как сумма
F(X,x3) вкладов всех критических в том или ином отношении то-
з
чек подынтегральной функции.
Для интеграла (1) это точки максимума функции S(x) и, как видно
из формул (2) - (4), основной вклад вносят только те точки локального
максимума, в которых достигается значение абсолютного максимума
функции S(х) на отрезке [а,Ь].
В следующих пунктах этого параграфа мы разовьем высказанные
здесь общие соображения и затем рассмотрим некоторые полезные при-
ложения метода Лапласа. Для многих приложений изложенного уже до-
статочно. Ниже будет также показано, как получать не только главный
член асимптотики, но и весь асимптотический ряд.
2. Принцип локализации для интеграла Лапласа
Лемма 1 (об экспоненциальной оценке). Пусть М — sup S(x) <
a<x<b
< оо; и пусть при некотором значении Aq > 0 интеграл (1) сходится
абсолютно. Тогда он сходится абсолютно при любом А Ао? и при
таких значениях А справедлива оценка
ь
|F(A)| < f\f(x)eXS(^\dx <Аелм,
(6)
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
723
где А е R.
◄ Действительно, при А Aq
Лемма 2 (об оценке вклада точки максимума). Пусть инте-
грал (1) сходится абсолютно при некотором значении А = Ао; и пусть
внутри или на границе промежутка I интегрирования нашлась такая
точка xq, в которой S(xq) = sup S(x) = М. Если функции f(x) и
а<х<Ъ
S(x) непрерывны в точке xq, причем /(а?о) 0 0; то для любого е > 0
и любой достаточно малой окрестности Ui(x$) точки в I имеет
место оценка
j f(x)exs^ dx
Vj(x0)

(7)
с постоянной В > 0, справедливая при А тах{Ао,О}.
◄ При фиксированном е > 0 возьмем любую окрестность Ui(xq), в
пределах которой |/(ж)| >	и 5(ж0) — £ S(x) S(xq). Считая f
вещественнозначной, можем заключить теперь, что в пределах Ui(x)
значения функции f одного знака. Это позволяет при А тах{Ао,О}
записать, что
г7/(Жо)
I \f(x)\exs^dx
Г/(жо)
~£) dx = Bex^Xo^. ►
(7/(жо)
Утверждение 1 (принцип локализации). Пусть интеграл (1)
сходится абсолютно при некотором значении А = Aq; и пусть вну-
24-4574
724
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
три ши на границе промежутка I интегрирования функция S(x) име-
ет единственную точку xq абсолютного максимума, т. е. вне любой
окрестности U(xq) точки xq
sup S(x) < S(xQ).
I\U(x0)
Если при этом функции f(x), S(x) непрерывны в точке х$ и /(#о) Ф
О, то
^(А)=^ы(А)(1 + О(А-°°)) при А^+оо,	(8)
где Ui{xq) -произвольная окрестность х$ в I,
Fur(x0)W = У f(x)exs^dx,
Uj(xq)
а О(А~°°) —функция, которая есть о(Х~п) при А -4 +оо и любом п Е
Е N.
◄ Из леммы 2 следует, что если окрестность Ui(x$) достаточно ма-
ла, то каково бы ни было число е > 0 при А -4 +оо финально выполня-
ется неравенство
^ед„)(А)| >«*№•>-'>.	(9)
Вместе с тем в силу леммы 1 для любой окрестности U(xq) точки xq
справедлива оценка
У |У(ж)|еЛ5^ dx AeXfi при А -> +оо,	(10)
Wo)
где А > 0 и у — sup S(x) < S(xq).
x^I\U(xq)
Сопоставляя эту оценку с неравенством (9), легко заключить, что
неравенство (9) имеет место финально при А -> +оо для любой окрест-
ности Ul(x$) ТОЧКИ Хо-
Теперь остается написать, что
F(A) — Fj(X) = FU/(xo}(X) +
и, сославшись на оценки (9), (10), заключить о справедливости соотно-
шения (8). ►
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
725
Итак, установлено, что с относительной погрешностью порядка
О(А"°°) при А -4- +оо можно, описывая асимптотику интеграла Ла-
пласа (1), заменить его интегралом по сколь угодно малой окрестности
СТДяо) точки жо абсолютного максимума функции S(x) на промежутке
интегрирования I.
3. Канонические интегралы и их асимптотика
Лемма 3 (о каноническом виде функции в окрестности крити-
ческой точки). Если вещественнозначная функция S(x) в окрестно-
сти (полуокрестности) точки хо 6 R принадлежит классу гладкости
C(n+k)y причем
s'(ж0) = •.. = 5(га"х) (жо) = О, (жо) + О,
a k Е N или к ~ оо, то существуют такие окрестности (полу-
окрестности) 1Х точки хо, 1У точки 0 в R и такой диффеоморфизм
р е C^k\ly,Ix), что
S(ip(y)) = 5(ж0) + syn, когда Y 6 1У и s = sgnS^^o).
При этом
/ n! \ V”
^(0) = жо и </(0) = (•
Ч Воспользовавшись формулой Тейлора с интегральным видом ос-
татка
5(ж) = 5(ж0) +	[
п~х dt,
о
представим разность S(x) — S(xo) в виде
5(ж) - б'(жо) = (ж - жо)таг(ж),
где функция
г(х) —
1
J S^n\xo + t(x — жо))(1 — t)n~l dt
о
726
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
в силу теоремы о дифференцировании интеграла по параметру х при-
надлежит классу причем r(xo) =	/ 0. Значит, функция
'	г А*
у =	= (ж-жо) УЙя)| в некоторой окрестности (полуокрестности)
1Х точки xq также принадлежит классу гладкости С№ и даже монотон-
на, поскольку
Ф'Ы =	1 * °-
В таком случае рассматриваемая на 1Х функция имеет обратную
функцию	определенную на промежутке Iy = ^(Ix), содер-
жащем точку 0 = ^(^о)- При этом 6 С^(1у,1х).
(	1	А1/71
Далее, <//(0) = (^'(яо))-1 = ( ——г? )	• Наконец, по самому по-
\|Sl '(яо)|/
строению 5(<р(?/)) — S(xq) + sj/n, где s = sgnr(xo) = sgnS'(n)(#o)- ►
Замечание 1. Наибольший интерес представляют обычно следу-
ющие случаи: п = 1 или 2, а к = 1 или оо.
Утверждение 2 (о редукции). Пусть в интеграле (1) отрезок
интегрирования I = [а,&] конечный и выполнены следующие условия:
а)	/,5бС(/,К);
b)	тах5(ж) достигается только в одной точке xq 6 I;
I
с)	S е C^(U/(xq), R) в некоторой окрестности U/(xq) точки хо
(рассматриваемой в пределах промежутка I);
d)	S^(xq) 0, и если 1 < п, то S^(xq) = ... = S'(n~1)(xo) — 0*
Тогда при А —> +оо интеграл (1) с погрешностью, определяемой
принципом локализации (8), может быть заменен интегралом вида
Я(Д) = eAS(®°) / г(у)е~ХуП dy,
где 1у ~ [—£,£], или 1у ~ [0, е], е— сколь угодно малое положительное
число, а функция г того же класса гладкости на 1у, что и функция f
в окрестности точки xq.
◄ Используя принцип локализации, заменим интеграл (1) интегра-
лом по такой окрестности Ix = Ui(xq) точки xq, в которой выполнены
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)	727
условия леммы 3. Сделав замену переменной х — <р(у), получим
exs(-^ dx =
еА« (11)
V»	/
Знак минус в показателе (—А?/п) связан с тем, что по условию #о =
= <р(0) есть точка максимума. ►
Асимптотику канонических интегралов, к которым в основных слу-
чаях приводится интеграл Лапласа (1), дает
Лемма 4 (Ватсон1)). Пусть а > 0, /3 > О, 0<a^oouf€
6 С([0, a],R). Тогда относительно асимптотики интеграла
а
W(A) = f x^ftxje-^ dx	(12)
О
при А —> +оо справедливы следующие утверждения:
а)	Главный член асимптотики интеграла (12) имеет вид
Ж(А) = -/(0)Г(/3/а)А ° + О (а ° ) ,	(13)
если известно, что f(x) = /(0) + О(х) при х 0.
Ь)	Если f(x) — ао + а1х + ... + апхп -F О(жп+1) при х —> 0, то
с)	Если f — бесконечно дифференцируема при х = 0, то имеет ме-
сто асимптотическое разложение
которое можно дифференцировать по А любое число раз.
◄ Представим интеграл (12) в виде суммы интегралов по проме-
жуткам ]0,е] и [е,а[, где в — сколь угодно малое положительное число.
Дж. Н. Ватсон (Уотсон) (1886 -1965) — английский математик.
728
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
По лемме 1
а
[ х&~1 f (ж)е~Аа:“
е
dx
Ае~Х£а = О(А-°°)
при А —> +оо,
поэтому
€
W(A) = / x^~1f(x)e~Xx“ dx + О(А"°°)
О
при А -4- +оо.
В случае Ь) /(ж) = £ акХк + гп(х), где rn 6 С[0,е] и |гп(ж)| < Схп+1
k=0
на отрезке [0,е]. Значит,
71	А
хк+0~1е~Хха
к=о {
У хп+0е~Хха
О
где с(А) —ограниченная величина при А -> +оо.
о
j хк+^е~Хха <йг + О(А-°°).
о
Но
+оо
[ х^-Ч-^ dx = -Г (А-^,
J	а \ a J
о
откуда теперь и следует формула (14) и ее частный случай — форму-
ла (13).
Разложение (15) вытекает из равенства (14) и формулы Тейлора.
Возможность дифференцировать разложение (15) по А следует из
того, что производная интеграла (12) по параметру А есть интеграл
того же типа (12) и для Ж7(А) можно в соответствии с формулой (15)
предъявить в явном виде асимптотическое разложение при А —> +оо,
совпадающее с тем, которое получается формальным дифференциро-
ванием исходного разложения (15). ►
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
729
Пример 6. Рассмотрим преобразование Лапласа
+оо
-F(A) = [ f(x)e~Xxdx,
о
уже встречавшееся нам в примере 1. Если этот интеграл сходится аб-
солютно при некотором значении А = Aq, а функция f бесконечно диф-
ференцируема при х = 0, то по формуле (15) находим, что
F(A) ~ 52/^\o)A при А —> +оо.
fc=o
4.	Главный член асимптотики интеграла Лапласа
Теорема 1 (о типичном главном члене асимптотики). Пусть
в интеграле (1) отрезок интегрирования I = [а, 6] конечный, f,S Е
Е C(I,R) и maxS(x) достигается только в одной точке xq Е I,
xei
Пусть также известно, что /(#о) О? /(ж) — /(^о) + О(х — #о)
при I Э х хо, а функция S принадлежит классу гладкости в
окрестности точки xq.
Тогда:
а)	если хо = а, к = 2 и S9(xo) 0 (т. е. S*(xo) < 0), то
F(A) = ^°\еЛ5(жо)А-1[1 + О(А-1)]
-5'(яо)
при А —> +оо;
(2')
Ь)	если a<xo<b, к = 3и Sff(xo) 0 (т. е. Sff(xo) < 0), то
= \	Я"(	+ О(А-1/2)]
V -5"(яо)
при А —> +оо; (3')
с)	если хо = а, к = 3, Sf(a) = 0 и Sff(a) 0 (m. е. Sff(a) < 0), то
F(A) = а/	J(^o)eAg(a:o)A-1/2[i + C)(A-1/2)]
у —25"(#о)
при А —> +оо. (4')
◄ Используя принцип локализации и делая замену переменной х —
= <р(?/), указанную в лемме 3, придем, согласно утверждению 2 о редук-
ции, к следующим соотношениям:
730
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
a)	F(A) = eXs(x°^ I /(/ о <р)(у)<р'(у)е Ху dy 4- О(А °0) I;
\0	/
b)	F(A) = exs^ (f[fo <р)(у)<р'(у)е~Ху2 dy + O(A-°°)J =
(e	\
/ ((/ ° Ч>)(у№(у) + (/ ° </’)(-y)<P/(-y))e“Ay2 dy + O(A-°°) I;
0	/
(e	\
/(/ ° <Р)(у)ч>'(у)е~Ху2 dy + O(A~°°) ).
о	/
Функция	при сформулированных выше требованиях удовле-
творяет условиям леммы Ватсона. Остается применить лемму Ватсона
(формула (14) при п = 0) и вспомнить выражения для <р(0), и <р'(0),
указанные в лемме 3. ►
Итак, мы обосновали формулы (2)-(4) вместе с той замечатель-
но простой, ясной и эффективной рецептурой, которая привела нас в
разделе 1 к этим формулам.
Рассмотрим некоторые примеры приложений доказанной теоремы.
Пример 7. Асимптотика гамма-функции. Функцию
+оо
Г(А + 1) = j dt (А > -1)
о
можно представить в виде интеграла Лапласа
Г(А + 1)= f e~teXiatdt,
о
и если при А > 0 сделать замену переменной t = Аж, то придем к
интегралу
+оо
о
который можно исследовать средствами доказанной теоремы.
Функция S(x) ~ In ж—х имеет единственную точку максимума х = 1
на промежутке ]0,+оо[, причем S"'(l) = —1. На основании принципа
локализации (утверждение 1) и утверждения Ь) теоремы 1 заключаем,
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
731
что
____/ А \
Г(А + 1) = ч/2тгА 1 — 1 [1 + О(А-1/2)] при А —> +оо.
\ }
В частности, вспоминая, что Г(п + 1) = п\ при n Е N, получаем
классическую формулу Стирлинга^
п\ = \/27rn(n/e)n[l + O(n“x/2)] при п оо, n Е N.
Пример 8. Асимптотика функции Бесселя
7Г
/п(ж) = 1 J еХС08в cos п& d&,
о
где п G N. Здесь f(0) = cosпО, S(0) = cos#, max S(0) = 5(0) = 1,
S'(0) = 0,	~ —1, поэтому на основе утверждения с) теоремы 1
ех
Zn(x) — >----[1 + О(я-1'2)] при х +оо.
у/2тгх
Пример 9. Пусть f 6 С^\[а,&],R), S 6 СА2)([а,&],R), причем
S(x) > 0 на [а, Ь] и max S(x) достигается только в одной точке жо Е
Е [а,&]. Если /(хо)	0, Sf(xo) — 0 и Sff(xo) 0, то, переписав интеграл
ъ
= f f(x)[S(x)]x dx
а
в форме интеграла Лапласа
ъ
jr(A)= f f(x)eXhlS^dx,
а
на основании утверждений Ь) и с) теоремы 1 получаем, что при А —>
^(л) = £/<a:“)l/=W^[s(a:“)1A+1/2A’I/2[1 +
^См. также задачу 10 к § 3 гл. VII.
732
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
где 6 = 1, если а<х$<Ьие = 1/2, если хо ~ а или жо — Ь.
Пример 10. Асимптотика полиномов Лежандра
7Г
Рп(х) = — (х +	~ 1 cos 0)п dO
о
при п оо, п 6 N, в области х > 1 может быть получена как частный
случай предыдущего примера, когда f = 1,
S(0) = х + у/х2 ~ 1 cos 0, max 5(0) = 5(0) = х + у[$ ~ 1,
S"(0) = 0, S"(0) - -Vx2 - 1.
Таким образом,
(г _±_ \/т2 _ 1 \п+1/2
Рп(ж) =---^=_4/^—=—[1 + О(пГ1/2)] при п -> +оо, п е N.
у2ттух2 — 1
* 5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа. Те-
орема 1 дает только главные члены характерной асимптотики интегра-
ла Лапласа (1) и к тому же при условии, что /(жо)	0. В целом это,
конечно, наиболее типичная ситуация, и поэтому теорема 1, несомнен-
но, является ценным результатом. Однако уже лемма Ватсона показы-
вает, что асимптотика интеграла Лапласа порой может быть доведена
до асимптотического разложения. Такая возможность особенно важна,
когда /(хо) — 0 и теорема 1 ничего не дает.
Совсем отбросить условие /(#о)	0? не заменив его ничем, разуме-
ется, нельзя, оставаясь в рамках метода Лапласа: ведь если f(x) = 0
в окрестности точки xq максимума функции 5(ж) или если f(x) очень
быстро стремится к нулю при х жо, то точка xq может и не быть
ответственной за асимптотику интеграла. Теперь, когда в результа-
те проведенных рассмотрений мы уже пришли к определенному типу
{еЛсА~РА:} (ро < Рх < • ••) последовательностей, асимптотических при
А —> +оо, можно говорить об асимптотическом нуле по отношению к
такой последовательности и, не предполагая, что /(#о)	0? можно сле-
дующим образом сформулировать принцип локализации: асимптоти-
ка интеграла Лапласа (1) при А —> +оо с точностью до асимптоти-
ческого нуля по отношению к асимптотической последовательности
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
733
{eAS(®o)A-P*} (р0
< Р1 < • • •) совпадает с асимптотикой порции этого
интеграла, взятой по сколь угодно малой окрестности точки х$, ес-
ли это единственная точка максимума функции S(x) на промежутке
интегриро в ания.
Мы не будем, однако, возвращаться к рассмотрению и уточнению
этих вопросов, а, считая f и S функциями класса СХ°°\ дадим вывод со-
ответствующих асимптотических разложений, использующий лемму 1
об экспоненциальной оценке, лемму 3 о замене переменной и лемму 4
Ватсона.
Теорема 2 (об асимптотическом разложении). Пусть I = [а, Ь] —
конечный отрезок, f,SE C(I,R), тах5(ж) достигается только в од-
xei
ной точке х$ Е I и f,S Е C^°°\Ui{xo), R) в некоторой окрестности
Ui(xo) точки xq. Тогда относительно асимптотики интеграла (1)
справедливы следующие утверждения:
а)	Если Xq = a, S^m^a) 0, S^(a) = 0 для 1 j < т, то
F(A) X-^mexs^^akX-k/m при А->+оо, (16)
fc=0
где
(-l)fe+W/A: + l\ / . xd\k,.l, ...
«fc =---п----Г I ---) h(x,a) — I (f(x)h(x,a))\x=a,
h(x,a) = (S(a) - S^-^/S'^x).
b)	Если a < xq < b, 3^2т\хо)	0, S^\xq) = 0 для 1 < j < 2m, mo
Р(Х)а^2те^^ск\-к/т при A —>+oo, (17)
fc=0
где
„ _^-l)2k+42myk^'f2k + l\ fu(_ _
ck — 2	(2fc)! I \ 2m ) \ (хчх^^dx)	(f (х}1(х>х®У)\х=хо>
h(x,x0) = (б'(жо) - S(x))1-^/S'(x).
с)	Если f(n\x0) / Ои /(ж) ~ Лу(п)(жо)(а; — xo)n при x -> xq, mo
главный член асимптотики в случаях а) и Ь) соответственно имеет
734
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
вид
d)	Разложения (16), (17) можно дифференцировать по Л любое чи-
сло раз.
◄ Из леммы 1 следует, что в наших условиях с точностью до ве-
личины вида еА5(х°)(?(Л”00) при Л —> оо интеграл (1) можно заменить
интегралом по сколь угодно малой окрестности точки а?о-
Сделав в такой окрестности замену переменной х = ^(у), указанную
в лемме 3, приведем последний интеграл к виду
е-^(х0) у {/ о ^)(у)^(у)е-^	(20)
где Ly = [0, б], а = т, если гго = а и 1у = [—6, е], а — 2т, если а < х$ <Ь.
Окрестность, в которой производилась замена х = 99(3/), можно
считать столь малой, что обе функции /, S в ней бесконечно диффе-
ренцируемы. Тогда и полученную под знаком интеграла (20) функцию
(/ ° ¥>) (з/^Чз/) можно считать бесконечно дифференцируемой.
Если 1у = [0, е], т. е. в случае хо = а, к интегралу (20) непосредствен-
но применима лемма 4 Ватсона и наличие разложения (16) тем самым
уже доказано.
Если же 1у = [—6, е], т. е. в случае а < xq < Ь, приводим интеграл (20)
к виду
Е
eWo) I[(/ о ^)(у)^(у) + (/ о ^)(-y)^(-y)]e-Vm dy (21)
О
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
735
и, вновь применяя лемму Ватсона, получаем разложение (17).
Возможность дифференцировать разложения (16), (17) следует из
того, что при наших условиях интеграл (1) можно дифференцировать
по А, и при этом снова получается интеграл, удовлетворяющий усло-
виям теоремы. Для него выписываются разложения (16), (17), и можно
непосредственно убедиться в том, что эти разложения действительно
совпадают с теми, которые получаются формальным дифференцирова-
нием разложений (16), (17) исходных интегралов.
Остановимся теперь на формулах для коэффициентов и Q. По
лемме Ватсона ак = *--^(0)Г где Ф(у) = (/ о ip)(y)(p'(y).
ay \	/
Учитывая, однако, что
- S(a) = -ym,
S'(x)tp\y) = —тут~\
ф'(у) = —m(S(a) - S(x')')1~^/S\x'),
Ф(у) = /(ж)^'(у),
получаем
dH(0) = (^m)
к
гс=а?
где Ь(х^а) = (S(a) — 5(я))1-™/5'(я).
Аналогично получаются формулы для коэффициентов примене-
нием леммы Ватсона к интегралу (21).
Полагая *ф(у) = f(<p(y))(pf(y) + /(93(”2/))9з/(~3/)? можно записать, что
€
у/п)(0)
А 2т .
П—О
J Л)е~л»2"
О
Но, ^(2*+1)(0) =0 ввиду четности функции ^(у), поэтому последнее
асимптотическое разложение можно переписать в виде
А 2т ,
О
к=0
736
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Остается заметить, что^(2А:)(0) = 2ф(2*)(0), гдеФ(?/) = f(<p(y))<pf(y)-
Теперь формула для получается из уже установленной формулы ко-
эффициента заменой в ней к на 2к и удвоением результата такой
подстановки.
Для получения главных членов (18), (19) асимптотических разложе-
ний (16), (17) при указанном в с) условии f(x) ~ ^/^(хо)(х ~ ^о)п +
+ О((х — #o)n+1)j где /^(^о) / 0, достаточно вспомнить, что х = (р(у),
= ¥>(0), х~хо = <р'(О)у + О(</2), т. е.
(/ ° е)Ы = vn	+ О(9))
И
(/ о = »” (+ OW
\ п!
1/т
/ 0, если гго = а и </У(0) =
/	\ 1/2тп
— ( —/2Т)!— )	0, если а < хо < Ь.
\ |S^2ni\®o)| /	’
Остается подставить полученные выражения соответственно в ин-
тегралы (20), (21) и воспользоваться формулой (13) из леммы Ватсо-
на. к
Замечание 2. Из формулы (18) при п = 0 и т = 1 вновь получаем
формулу (2').
Аналогично из (19) при п = 0 и т = 1 получаем соотношение (3').
Наконец, равенство (4/) получается из равенства (18) при п = 0 и
т = 2.
Все это, разумеется, в условиях теоремы 2.
Замечание 3. Теорема 2 относится к случаю, когда функция S(х)
имеет на отрезке I = [а, Ь] единственную точку максимума. Если же
таких точек несколько xi,... , хп, то интеграл (1) разбивают в сумму
таких интегралов, асимптотика каждого из которых уже описывается
теоремой 2. То есть в этом случае асимптотика получается как сумма
п
^2 F(X,Xj) вкладов указанных точек максимума.
Легко себе представить, что при этом могут произойти некоторые
или даже полные взаимные уничтожения.
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
737
Пример 11. Если S € C'(°°)(R,R) и S(x) -> -оо при X —> 00, то
F(A) = / S'(x)exs^ dx = 0 при А > 0.
Значит, в этом случае такая интерференция вкладов заведомо долж-
на иметь место. С формальной точки зрения приведенный пример мо-
жет показаться неубедительным, поскольку раньше речь шла о конеч-
ном отрезке интегрирования. Однако этот вопрос снимает следующее
важное
Замечание 4. В теоремах 1 и 2 для облегчения и без того гро-
моздких формулировок мы считали, что промежуток интегрирования
I — конечный, а интеграл (1)—собственный. На самом же деле, если
вне любой окрестности U(x$) точки максимума х$ Е I выполнено нера-
венство sup S(x) < 5(хо), то лемма 1 уже позволяет заключить, что
/Wo)
интегралы, взятые по промежуткам, лежащим вне J7(rro), экспоненци-
ально малы в сравнении с при А —> +оо (разумеется, при условии,
что интеграл (1) абсолютно сходится хотя бы при некотором значении
А = Ао).
Таким образом, и теорема 1, и теорема 2 применимы также к несоб-
ственным интегралам, если выполнены указанные только что условия.
Замечание 5. Полученные в теореме 2 формулы для коэффици-
ентов ввиду их громоздкости обычно удается использовать лишь для
получения нескольких первых членов асимптотики, нужных в конкрет-
ных вычислениях. Общий вид асимптотического разложения более про-
стой, чем указанный в теореме 2, по этим формулам для коэффици-
ентов ajt, получить удается крайне редко. И все же такие ситуации
встречаются. Рассмотрим для разъяснения самих формул следующие
примеры.
Пример 12. Асимптотику функции
Ч-оо
Erf (ж) = / е “2 du
738
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
при х —> +оо легко получить интегрированием по частям:
о	-|-ОО	9	9	-|-ОО
If	О f>~X Ъ>~Х Г	9
Ег£(ж) ~ —--------- и~2е~и du = —-------------_9 9 + / и~4е~и du =
v ’ 2х 2 J	2х 22х3 J	’
X	X
откуда после очевидных оценок следует, что
Erf(ar) ~
е-^2 °^(i)fc(2A;i)!!
2х	2*
k=o
при х —> +оо.
(22)
Получим теперь это разложение, исходя из теоремы 2.
Сделав замену и = xt, приходим к представлению
+оо
Егад = .у'е-’-Л,
1
Полагая здесь А = х2 и обозначая переменную интегрирования, как и
в теореме 2, буквой ж, сводим вопрос к отысканию асимптотики инте-
грала
оо
F(A) = f е~Хх2 dx,	(23)
1
поскольку Erf(rr) = xF(x2).
Интеграл (23) с учетом замечания 4 удовлетворяет условию теоре-
мы 2: S(x) = —ж2, Sf(x) = — 2х < 0 при 1 < х < +<х>, 5'(1) = ~2,
5(1) = -1.
Итак, х0 = а = 1, т = 1, /(ж) ее 1, h(x,a) =	h(x,a)£ =
Значит,
( 1	л\°
। 1 & I
I —2х dx J
( 1 d X1
I ~2х dx I
( 1 d У
у — 2х dx J
X) - _Х =
2х/ ~ 2х \ 2/	’
= ~5х~3х (— й) ~ (~I) (-1)ж 3>
h) =	(Н)2(-^-3) =
= Н)3 (-1)(-з>~5,
—2х dx J х 2х)	2fc+1
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
739
Полагая х = 1, находим, что
Выписав теперь асимптотическое разложение (16) для интегра-
ла (23), с учетом соотношения Erf(х) = xF(x2) получаем разложение
(22) для функции Erf(j;) при х —> Too.
Пример 13. В примере 7, исходя из представления
+оо
Г(А + 1) = Аа+1 У e-A(*-ln*) dx,	(24)
О
мы получили главный член асимптотики функции Г(АТ1) при А —> Too.
Попробуем теперь, пользуясь теоремой 2Ь), уточнить найденную ранее
формулу.
Для некоторого упрощения дальнейшей записи заменим в интегра-
ле (24) х на х — 1. Тогда получим, что
Г(А + 1) = АА+1е-А У e^(in(i+®)-®) dx,
-1
и дело свелось к исследованию асимптотики интеграла
+оо
(25)
„1
при А —> Too. Здесь S(x) — In(lT^) — ж, Sf(x) — х j--- — 1, S'(0) = 0, т.е.
х$ = 0, Sft(x) = ——-—у, S"(0) — —1 ф 0, т.е. с учетом замечания 4
(1 Т х)
выполнены условия Ь) теоремы 2, где надо положить еще f(x) -1 и
т = 1, так как S"(0) 7^ 0.
Функция Н(х,х$) — h(x) в данном случае имеет следующий вид:
h(x) =
ln(l Т ж))1/2.
25-4574
740
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то нам надо
вычислить при х = 0
= h(x^(x>h
(ад^)2^)) =	=

Это вычисление, как видно, легко сделать, если найти значения Д(0),
Л7(0), которые в свою очередь можно получить из тейлоровского
разложения функции h(x), х 0 в окрестности нуля:
h(x) = ~[ж — (ж —	— \х± + О(ж5))]	=
=	[^2 - W + О(ж5)]1/2 =
= —	[1 —	+ |#2 + О(ж3)] 1/<2 =
= —^j=- (1 —	+ Хх2 + о(ж3)) =
ч/ z х	О	ОО	'	/
= -^2-^х + ^72х2 + °(х3)-
Таким образом, h(Q) = —^=, h'(0) = —	h"(0) =  5_,
у2	а	18у2


('•Wt)2 ('(’=))
1
12\/2’
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
741
27Г,
Со =
Значит, при Л —> оо
F(A) = У^А^1/2 (1 + 1Д-1 + О(А“2) ] ,
т. е. при А —> +оо
Г(Д + 1) = \/27гА
(26)
Полезно иметь в виду, что асимптотические разложения (16), (17)
можно находить также, следуя доказательству теоремы 2, без привле-
чения указанных в формулировке теоремы 2 выражений для коэффи-
циентов.
В качестве примера получим вновь, но несколько иначе, асимптоти-
ку интеграла (25).
Используя принцип локализации и делая в окрестности нуля замену
х = такую, что 0 = </?(0), 5(</?(у)) = 1п(1 + </?(у)) - </?(у) = -у2,
сводим вопрос к исследованию асиптотики интеграла
€ £
У ^'(у)е~Ху2 dy J ip(y)e~Xy2 dy,
— £	О
где ф(у) ~ <pf(y) +£/?/(—?/)- Асимптотическое разложение последнего ин-
теграла получается на основании леммы Ватсона
что с учетом соотношений ^(2fc+1)(0) = 0, ^(2fc\0) = 2<//2fc+1)(0) дает
асимптотический ряд
A-(fc+l/2) = Д~1/2Г
у^+1)(0)
A.!22fc
742
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Итак, для интеграла (25) получаем асимптотическое разложение
1ъ. Z
к=0
где х = (р(у) такая гладкая функция, что х—1п(1+я) = у2 в окрестности
нуля (по х и по у).
Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то в общую
формулу (27) надо подставить конкретные значения <pf (0) и ^3)(0).
Быть может, не бесполезно продемонстрировать следующий прием
для вычисления этих значений, который вообще можно использовать
для получения тейлоровского разложения обратной функции по разло-
жению прямой функции.
Считая, что х > 0 при у > 0, из соотношения
х — 1п(1 + х) = у2
последовательно получаем
Но х ~ у/2у при у —> 0 (х —> 0), поэтому, используя уже полученное
представление ж, можно продолжить зту выкладку и получить, что при
У -> 0
х = V2y +
+ О(у4) =
=	+ |у2 + |у2ж - -Д/3 + О(у4) =
О У	О
= v^y + |у2 + ly2(v/2y) - ^у3 + О(у4) =
о У	О
= V^y + |у2 + у|у3я + О(у4).
о 1о
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
743
Таким образом, для интересующих нас величин </У(0), (£>(3)(0) полу-
чаем следующие значения: </?(0) =	<^3\0) —
Подставляя их в формулу (27), находим, что
F(A) =	fl + ^А”1 + О(А-2)^ при А —> +оо,
откуда вновь можно получить формулу (26).
В заключение сделаем еще два замечания, относящиеся к обсужда-
емым в этом параграфе вопросам.
Замечание 6 (о методе Лапласа в многомерном случае). Отме-
тим, что метод Лапласа с успехом применяется и при исследовании
асимптотики кратных интегралов Лапласа
F(A) = j f(x)exs^ dx,
X
в которых х € Rn, X — область в Rn, /, S — вещественнозначные фун-
кции в X.
Для таких интегралов справедлива лемма 1 об экспоненциальной
оценке, в силу которой исследование асимптотики такого интеграла
сводится к исследованию асимптотики его порции
f f(x)exs^dx,
Щхо)
взятой по окрестности точки Xq максимума функции S(x).
Если это невырожденный максимум, т.е. Sn(xo) / 0, то по лемме
Морса (см. ч. I, гл. VIII, § 6) существует замена переменной х = <р{у)
такая, что 5(ж0) - S'(^(y)) = |у|2, где |у|2 = (у1) +... + (уп)2. Тем самым
дело сводится к каноническому интегралу
А/ о det <p'(y)e~A|l/|2 dy,
i
который в случае гладких функций /, S, применяя теорему Фубини,
можно исследовать, опираясь на доказанную выше лемму Ватсона (см.
в этой связи задачи 8-11).
25—4574
744
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Замечание 7 (о методе стационарной фазы). Метод Лапласа в
его расширенной трактовке, как мы уже отмечали, это:
1° определенный принцип локализации (лемма 1 об экспоненциаль-
ной оценке),
2° способ локального приведения интеграла к каноническому виду
(лемма Морса) и
3° описание асимптотики канонических интегралов (лемма Ватсо-
на).
Идея локализации нам уже ранее встречалась при изучении 5-образ-
ных семейств функций, а также при исследовании ряда и преобразова-
ния Фурье (лемма Римана, гладкость функции и скорость убывания ее
преобразования Фурье, сходимость ряда и интеграла Фурье).
Важное место в математике и ее приложениях занимают интегралы
вида
F(A) = f f(x)etXS^ dx,
X
где х С Rn, называемые интегралами Фурье, Интеграл Фурье отли-
чается от интеграла Лапласа лишь скромным множителем i в показа-
теле. Это приводит, однако, к тому, что при вещественных А и S(x)
получается егХ3^ | = 1 и, значит, идея доминантного максимума при
исследовании асимптотики интеграла Фурье непригодна.
Пусть X = [а,Ь] С R1, f Е Сд°°\[а,b],R) (т.е. f — финитна на [а,£>]),
S Е C<°°)([a,b],K) и Sf(x) 0 на [а, Ь].
Интегрируя по частям и используя лемму Римана (см. задачу 12),
получаем, что
ь	ь
/ f(X^	*’AS(I) =
а	а
b
= -4 f -J-(ii) (x)elXS^ dx =
гХ J dx \Sy
a
b	b
= j f fi(x)elXS^ dx = ... = ^ I fn(x)elXS^ dx =
a	a
= o(A n) при A —> oo.
§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
745
Таким образом, если 5"(0)	0 на отрезке [а, 6], то за счет все увели-
чивающейся при А —> оо частоты осцилляции функции eiXS^ интеграл
Фурье по отрезку [а, 6] оказывается величиной типа О(А-О°).
Функция S(х) в интеграле Фурье называется фазовой функцией. Та-
ким образом, для интеграла Фурье имеет место свой принцип лока-
лизации, называемый принципом стационарной фазы. Согласно этому
принципу асимптотика интеграла Фурье (в случае f Е Cq°°^) с точ-
ностью до величины О(А-О°) при А —> оо совпадает с асимптотикой
порции интеграла Фурье, взятой по окрестности U(xq) стационарной
ТОЧКИ Xq фазовой функции (т.е. ТОЧКИ Xq, в которой Sf(XQ) = 0).
После этого заменой переменной дело приводится к каноническому
интегралу
£
Е(Х) = f f(x)eiXxa dx,
о
асимптотика которого описывается специальной леммой Эрдейи, име-
ющей для интеграла Фурье ту же роль, что и лемма Ватсона для инте-
грала Лапласа.
Указанная схема исследования асимптотики интеграла Фурье назы-
вается методом стационарной фазы.
Природа принципа локализации в методе стационарной фазы совсем
иная, чем в случае интеграла Лапласа, но общая схема метода Лапласа,
как видно, оказывается пригодной и здесь.
Некоторые подробности, относящиеся к методу стационарной фа-
зы, читатель найдет в задачах 12-17.
Задачи и упражнения
Метод Лапласа в одномерном случае.
1. а) Функция h(x) = е~Хх при а > 0 достигает максимума, когда х = 0.
При этом h(x) есть величина порядка 1 в 5-окрестности точки х = 0 размера
5 = О(А-1/а).
Используя лемму 1, покажите, что если 0 < S < 1, то интеграл
W(A) = j x0-1f(x)e~Xxa dx,
с(А,б)
g_J	&
где c(A, 5) — A“S“, имеет порядок О(е-ЛА ) при А —> +оо; А — положительная
постоянная.
746
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Ь) Докажите, что если функция f непрерывна при х = 0, то
Ж(А) = а-1Г(уЗ/а)[/(0)+о(1)]А-/’/“ при А -> +оо.
с) В теореме 1,а), условие /(ж) = /(я?о) + О(х — xq) можно ослабить, за-
менив его условием непрерывности f в точке xq. Покажите, что при этом
сохраняется тот же главный член асимптотики, но, вообще говоря, не само
равенство (2')j в котором теперь О(х — xq) заменяется на о(1).
2. а) Числа Бернулли B%k определяются из соотношения
1______1	1 у ,2к-г
t 1-е-‘	2	(2&)!
|i| < 2л.
Известно, что
оо
--------т I е tx dt.
Покажите, что
при X —> +оо.
Ь)	Докажите, что при х —> +оо
1пГ(х) о. (z - 0 Ina; - х + | In2тг + £ 2fc(^_
fc-— 1
Это асимптотическое разложение называется рядом Стирлинга.
с)	Используя ряд Стирлинга, получите первые два члена асимптотики фун-
кции Г(ат + 1) при х —> +оо и сравните ваш результат с полученным в приме-
ре 13.
d)	Следуя методу примера 13 и независимо от этого пользуясь рядом Стир-
линга, покажите, что
.__/Х\х ( 1 1 / 1 \ \
Г(« + 1) = ^У (1+i2j + 2S8? + O(js)) прии+оо.
3. а) Пусть / G С([0, a],R), S Е ([0, а], R), S(x) > 0 на [0, а] и S(x)
достигает максимума при х = 0, причем S'(0) И 0- Покажите, что если /(0)
0, то
а
IW~ [ f(x)Sx(x)dx-------£А+1(°) ПРИ А -> +оо.
J	ло (О;
О
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
747
Ь) Получите асимтотическое разложение
ОО
1(A) ~ SA+1(0) У^а^А~^+1^ при А -> +оо,
к=0
если дополнительно известно, что f,SE C(°°)([0,a],R).
4.	а) Покажите, что
тг/2
У sinn tdt — J^(1 4- С^п"1)) при n -» +oo.
о
b)	Выразите этот интеграл через эйлеровы интегралы и покажите, что
при п G N он равен (2™2n)u ~  £•
X 2
с)	Получите формулу Валлиса тг = lim Q2^22^i)i7/ '
d)	Найдите второй член асимптотического разложения исходного инте-
грала при п —> +оо.
5.	а) Покажите, что f (1 — х2)п dx ~ при п —> +оо.
-1 *
Ь) Найдите следующий член асимптотики этого интеграла.
6.	Покажите, что если а > 0, то при х —> +оо
+оо	---
t t dt ~ \ —х^ ехр ( —ха ) .
V еа к \ е /
о
7.	а) Найдите главный член асимптотики интеграла
4~оо
У (1 + t)ne~nt dt при п -> +оо.
о
4-оо
Ь) Используя полученный результат и тождество kl п~к = J e~nttk dt,
о
покажите, что
n	/—
Ckk\n~k = А/-77-(1 +	при п -> +оо.
fc=O	’
Метод Лапласа в многомерном случае.
8.	Лемма об экспоненциальной оценке. Пусть М — supS(a;), и пусть при
некотором значении А = Ао интеграл
F(A) = У f(x)exs^ dx	(*)
DCRn
748
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
сходится абсолютно. Покажите, что тогда он сходится абсолютно при А Aq и
|/(А)| < I\f(x)exs^\dx Аехм (А Ао),
D
где А — положительная постоянная.
9.	Лемма Морса. Пусть хо —невырожденная критическая точка функции
5(ж), х 6 IRn, определенной и принадлежащей классу в окрестности точ-
ки хо- Тогда существуют окрестности U и V точек х ~ я?о? У — О и диффео-
морфизм ip : V —> U класса (V, U) такие, что
s(<Xj/)) = s(x0) +
z *
det y/(0) — 1j	• • • 5 vn —собственные числа матрицы Sxx(xq), а у — (г/1,...,
yn) —координаты точки у G IRn.
Докажите эту несколько конкретизированную форму леммы Морса, исхо-
дя из леммы Морса, изложенной в части I, гл. VIII, §6.
10.	Асимптотика канонического интеграла, а) Пусть t = (ii,..., in), V =
— {t € IRn |	6,i — 1,2, ...,n}, a G C^°°^ (V, IR). Рассмотрим функцию
<5	2
Fi (Л, £') = f a(ti,...	dti, где tl =	H > 0- Покажите,
-<5
что Fi(A,i')	при Л —> +oo; это разложение равномерно по
fc=o
tl 6 V' G {t* € JRn-1 | |iJ| 5,j = 2,..., n} и 6 C^00) (V', 1R) при любом
k = 0,1,...
b)	Домножая Fi (A, f) на e~~^t2 и обосновав законность почленного инте-
грирования соответствующего асимптотического разложения, получите асим-
птотическое разложение функции
6
3
<5
/Ау2 2
Fi(A,f)e-’2't2 dt2 при А->-Foo,
—<5
где t" =	V2 >0.
с)	Докажите, что для функции
\ п о
-<5	-<5
где v3 > 0, j = 1,..., п, имеет место асимптотическое разложение
А(А) Х~п!2 акХ~~к при А -> +оо,
А=0
§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)
749
где °о =
11.	Асимптотика интеграла Лапласа в многомерном случае, а) Пусть
D — замкнутая, ограниченная область в Kn, f,S G €7(29,IR), тах5(ж)) дости-
x£D
гается только в некоторой внутренней точке xq области D; f^S € в
некоторой окрестности точки хо, причем detS"(a;o) И О-
Докажите, что если интеграл (*) абсолютно сходится для какого-нибудь
значения Л = Ао, то
F(A) е^(®о)д-п/2 ^akX~k при А -> +оо,
fc=O
причем это разложение можно дифференцировать по А любое число раз, а его
главный член имеет вид
Г(Л) =
Ь) Проверьте, что если в предыдущем утверждении вместо f,S е (№
известно лишь, что f 6 С, a S 6 Cffi в окрестности точки хо, то при А —> +оо
главный член асимптотики останется тем же, с заменой О(А-1) на о(1) при
А —> +оо.
Метод стационарной фазы в одномерном случае.
12.	Обобщение леммы Римана, а) Докажите следующее обобщение леммы
Римана.
Пусть S G C^Qa, Ь], К) и S'(ж)	0 на [a, b] =: I. Тогда для любой абсо-
лютно интегрируемой на промежутке I функции f имеет место соотношение
ъ
FW = I №) ezXS^ dx —> 0 при А —> оо, А € HL
а
Ь)	Проверьте, что если, сверх того, известно, что f € €7^пЧ“1^ (Z, ]R), a S 6
6 С'(п“*"2) (/, К), то при А —> оо
с)	Выпишите главный член асимптотики функции F(А) при А —> оо, A 6 R.
d)	Покажите, что если S G С^00^/, R), а /|[а,с] €	/|[с,ь] е
но f (7(2)[а, 6], то функция F(X) не обязана быть величиной (^(А"1) при А —>
—> оо.
750
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
е)	Докажите, что когда f,S Е	функция F(A) допускает разло-
жение в асимптотический ряд при А -> оо.
f)	Найдите асимптотические разложения при А -> оо, А Е К следующих
е
интегралов: f(l + х)~аф3(х, A) dx, j = 1,2,3, если а > 0, а V>i = егА:с, ^2 =
о
= cos Ах, *фз ~ sin Ах.
13.	Принцип локализации а) Пусть I = [а, 6] С К, f &	, iS Е
Е С*00^/,®) и S' (ж)	0 на I. Докажите, что тогда
ь
F(A):= [ f(x)etXS^ dx = О(\Х\~°°) при А -> оо.
а
Ь) Пусть f е C^°°Xl,K), s е C^CGR); xi,..., хт — конечное число стат
ционарных точек функции S(x), вне которых Sf(x) 0 на I. Обозначим че-
рез F(A,x3) интеграл от функции f(x)elXS^ по окрестности U(x3) точки х3,
j = 1,... ,т, не содержащей в замыкании других критических точек. Дока-
жите, что
F(A) = jjF(A,a;J)+O(|A|-00) при А -> оо.
j=i
14.	Асимптотика интеграла Фурье в одномерном случае, а) В достаточ-
но общей ситуации отыскание асимптотики одномерного интеграла Фурье
благодаря принципу локализации сводится к описанию асимптотики канони-
ческого интеграла
а
Е(А) = У" х0-1/^)^01 dx,
О
для которого справедлива следующая
Лемма Эрдейи. Пусть а 1, /3 > 0, f Е C^QOja],®) и f^(a) = 0,
к — 0,1,2,... Тогда
сю
.	V— fc4~/3
ТцА) ~ ^afcA а при А —>+оо,
к=0
где
fc!
причем зто разложение можно дифференцировать по А любое число раз.
Пользуясь леммой Эрдейи, докажите следующее утверждение.
Пусть I = [жо — 3,жо + 5] — конечный отрезок, f,S€ (№(/,R), причем f Е
Е Cq(I, R), a S имеет на I единственную стационарную точку xq, где 5'(жо) =
§ 2 АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА)	751
= 0, но S"(xq) 0. Тогда при А —> +оо
яо4“<5
Г(А,®о):= [ f(x)elXS{x) dx
XQ — д
etfsgnS"(®o)e«AS(a:o)^-| ^дкХ~к
k=0
и главный член асимптотики имеет вид
Г(А,Жо) = \	T|eg^sgng//(a;o)+AS(a;o))(/(a:o) +О(А“Х)).
V А|5"(жо)|
Ь) Рассмотрите функцию Бесселя целого индекса п 0:
7Г
О
cos(a; sin <р — тир) dip.
Покажите, что
при X —> +оо.
Метод стационарной фазы в многомерном случае
15.	Принцип локализации, а) Докажите следующее утверждение. Пусть
D — область в F, / G Cq°°) (£>,IR), S G	К), gradS(a;) 0 при х G
6 supp / и
F(A) := f f(x)etXS& dx.	(**)
D
Тогда для любого к Е N найдется такая положительная постоянная А(Л),
что при А 1 имеет место оценка |Е(А)| А(к)Х~к, и, значит, F(X) = О(Л“°°)
при Л —> +оо.
Ь)	Пусть по-прежнему / Е Cq°°\d, К), S Е С^00) (£>,!&), но S имеет в D
конечное число критических точек х±,..., хт, вне которых grad S(x) 0. Обо-
значим через Е\Х,х3) интеграл от функции f(x)etXS^ по такой окрестности
U(x3) точки х3, в замыкании которой нет критических точек, отличных от
точки х3. Докажите, что
F(X) = '^/F(X,x1) + O(X~°°) при Л->+оо.
7=1
16.	Приведение к каноническому интегралу. Если xq — невырожденная
критическая точка функции S G	К), определенной в области D С Нп,
752
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
то по лемме Морса (см. задачу 9) существует такая локальная замена пере-
1 п
менных х = что хе0 = у>(0), S(</?(y)) = S(a:o) + | Е £з(.У3)> гДе £з = ±1>
У - (у1, • • , Уп), причем det > 0.
Используя принцип локализации (задача 15), покажите теперь, что если
f G (Z>, IR), S G (£>,IR), S имеет в D не более конечного числа крити-
ческих точек и все они невырождены, то исследование асимптотики интеграла
(**) сводится к исследованию асимптотики специального интеграла
г г	Q £ (у7)2
Ф(А) := j ... I V’(2/1,-.-J/n)e J=1 dy1...dyn.
—<5	<5
17.	Асимптотика интеграла Фуръе в многомерном случае, а) Используя
лемму Эрдейи (задача 14 а)) и план действий, описанный в задаче 10, дока-
жите, что если D — область в IRn, /, S €	К), supp/ — компакт в D,
хо—единственная, и притом невырожденная, критическая точка функции S
в D, то для интеграла (**) при Л —> +оо имеет место асимптотическое разло-
жение
сю
F(A) ~ A-n/2elAS(a:o) G*k j
А:=0
которое можно дифференцировать по Л любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
Ла) =
п/2
ехр
iXS(xo) + — sgnS"(;ro)
х
х | det 5"'(я;о)| 1^2[/(^o) + О(Л г)] при Л -> +оо.
Здесь S”(x) —симметрическая и по условию невырожденная матрица вто-
рых частных производных функции S в точке xq (гессиан), a sgnS"(a;o) —
сигнатура этой матрицы (или соответствующей ей квадратичной формы),
т. е. разность	между числом положительных и числом отрицательных
собственных значений матрицы S'^xq).
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
КОЛЛОКВИУМОВ
III семестр
Ряды и интегралы, зависящие от параметра
1.	Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные до-
статочные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля-Ди-
СЮ
рихле). Ряд C(s) — 5Z n
n=l
2.	Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши
и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций
(мажорантный, Абеля - Дирихле).
3.	Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов. Не-
прерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.
4.	Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула
Коши-Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных
элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегриро-
вание степенного ряда.
5.	Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные
признаки сходимости (мажорантный, Абеля-Дирихле).
6.	Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от па-
раметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной схо-
димости (мажорантный, Абеля - Дирихле).
7.	Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного
интеграла, зависящего от параметра.
8.	Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного
интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.
9.	Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные свой-
ства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл
754
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
Пуассона.
10.	Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки.
Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерыв-
ной функции алгебраическим многочленом.
Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума
1.	Р — полином. Вычислите (е*^)Р(я).
2.	Проверьте, что вектор-функция etAXo решает задачу Коши х = Ах,
а:(0) = Хо (х = Ах — система уравнений, задаваемая матрицей А).
3.	Найдите с точностью до о(1/п3) асимптотику положительных корней
Ai < А2 < ... < Ап < ... уравнения sin х + 1/х = 0 при п —> оо.
4.	а) Покажите, что In 2 = 1 — 1/2 + 1/3 - ... Сколько членов этого ряда
надо взять, чтобы знать In 2 с точностью до 10~3?
Ь)	Проверьте что j In =	+ • • • Используя это разложение,
удобно вычислять In х, полагая х =
с)	Полагая в b) t = 1/3, найдите, что
1, „ 1 1 /1\2 1 /1\5
2 П ~ 3 + 3 \3/ + 5	+ ”
Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать In 2 с точностью до 10“3?
Сравните с тем, что было в а).
Это один из приемов улучшения сходимости.
5.	Проверьте, что в смысле Абеля
а)	1-14-1... = ^.
ОО	1	1
Ь)	22 sin = j • tp 2тгп, п е Z.
k=i
с)	j + cos «95 = 0, р / 2тгп, п € Z.
к=1
6.	Докажите лемму Адамара:
а)	Если / е CWfUfxo)), то f(x) = /(^о) 4-9?(х)(х -то), где р € С7(?7(а:о))
и р(хо) = /'(®о).
Ь)	Если / € &n\U(x0)), то
f(x) = f(x0) 4- ^/(го)(® - ®0) +  •  4-
+	- то)”’1 4- р(х)(х - х0)п,
(п- 1)!
где р е C(U(x0)) и р(х0) = ^/(п)(®о)-
с)	Как выглядят эти соотношения в координатной записи, когда х = (х1,
... ,жп), то есть, когда / — функция п переменных?
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
755
7.	а) Проверьте, что функция
ТГ J у/1-t2
о
удовлетворяет уравнению Бесселя yff 4- ^yf 4- у = 0.
Ь)	Попробуйте решить это уравнение, используя степенные ряды.
с)	Найдите степенные разложения функции Jq(x).
8.	Проверьте справедливость асимптотических разложений
+°°	оо , .
а)	Г(а, z) := f е~* dt ~ е~х	ха-к ,
х	k=l '	'
"ЬрО 2	1	2	1
Ь)	Erf(z) := / е- Л^е- £ г(3/2 _
при х —> +оо.
9.	а) Вслед за Эйлером найдите, что ряд 1 — 1!ж 4- 2\х2 — З!ж3 4-... связан
с функцией
-F-oo
S(x) := [ —-----dt,
v ' J 1+xt
0
b) Сходится ли этот ряд?
с) Дает ли он асимптотическое разложение S(x) при х —> О?
10. а) Линейный прибор А, характеристики которого постоянны во вре-
мени, в ответ на входной сигнал S(t) в виде (5-функции выдал сигнал (функ-
цию) E(t). Каков будет ответ прибора на входной сигнал f(t), —00 < t < 4-оо?
b) Всегда ли по преобразованному сигналу / := Af однозначно восстана-
вливается исходный сигнал /?
756
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
IV семестр
Интегральное исчисление (многие переменные)
1.	Интеграл Римана на n-мерном промежутке. Критерий Лебега сущест-
вования интеграла.
2.	Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной
функции на n-мерном промежутке.
3.	Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометриче-
ский смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому мно-
жеству. Линейность и аддитивность интеграла.
4.	Оценки интеграла.
5.	Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее важ-
нейшие следствия.
6.	Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность
меры и интеграла.
7.	Несобственные кратные интегралы: основные определения, мажорант-
ный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла
Эйлера - Пуассона.
8.	Поверхность размерности к в Rn и основные способы ее задания.
Абстрактное А:-мерное многообразие. Край ^-мерного многообразия как
(к — 1)-мерное многообразие без края.
9.	Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания
ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в .
Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная
ориентация многообразия и края.
10.	Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в
точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального опера-
тора.
11.	Дифференциальная форма в области D С R”. Примеры: дифференци-
ал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифферен-
циальной формы. Операция внешнего дифференцирования.
12.	Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих
объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих
точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных
форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в коор-
динатном виде.
13.	Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их
внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на
многообразии. Инвариантность (корректность) операций над дифференци-
альными формами.
14.	Схема подсчета работы и потока. Интеграл от fc-формы по й-мерной
гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин-
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ)
757
теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от диффе-
ренциальной fc-формы по А:-мерному компактному ориентированному много-
образию.
15.	Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на язы-
ке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула
Стокса. Редукция к ^-мерному промежутку и доказательство для ^-мерного ‘
промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные
варианты общей формулы Стокса.
16.	Форма объема в 2Гг и на поверхности. Зависимость формы объема от
ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации. Пло-
щадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись
формы объема /с-мерной поверхности Sk С IRn в локальных параметрах и за-
пись формы объема гиперповерхности Sn l С 2Гг в декартовых координатах
объемлющего пространства.
17.	Основные дифференциальные операторы теории поля (grad, rot, div)
и их связь с оператором d внешнего дифференцирования в евклидовом ориен-
тированном пространстве R3.
18.	Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода. Основ-
ные интегральные формулы теории поля в IR3 как векторная запись классиче-
ских интегральных формул анализа.
19.	Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы.
Дифференциальный необходимый признак точности формы и потенциально-
сти векторного поля, его достаточность в односвязной области. Интегральный
критерий точности 1-форм и векторных полей.
20.	Локальная точность замкнутой формы (лемма Пуанкаре). Глобальный
анализ. Гомологии и когомологии. Теорема де Рама (формулировка).
21.	Примеры приложений формулы Стокса (Гаусса-Остроградского):
вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл гра-
диента, ротора и дивергенции.
22.	Оператор набла Гамильтона и работа с ним. Градиент, ротор и ди-
вергенция в триортогональных криволинейных координатах.
Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума
Ниже за отделенным скобкой номером вопроса через тире идут номера
страниц и рекомендуемых задач, находящихся на этих страницах.
1) 140 — 2,3. 2)141 — 4. 3) 145—1; 146 —3, 4. 4) 151 — 1,2,152 — 3,4.
5) 162—6, 7; 280 —6. 6) 180—9; 250—5, 6. 7) 191 —1, 5; 192—7. 8) 204—2,3;
229—1; 230 — 4. 9) 212—1; 213 — 2, 3, 4; 251 — 11. 10) 409—1; 410 — 2.
11) 251 — 9; 411 — 3. 12) 412 — 4. 13) 251—8, 10. 14) 264—3, 4. 265 — 5;
269 — 9. 15) 297—1; 301 — 10, 13, 14. 16) 232 — 10; 280 — 5. 17) 323—1;
324 — 2. 18) 336—1, 2, 3; 337—4; 338 — 8. 19) 353 — 7; 355—13, 14.
20) 354—11,12. 21) 301 —11; 324 —8. 22) 324 — 4,5,6.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
III семестр
Ряды и интегралы, зависящие от параметра
1.	Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные до-
статочные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля-Ди-
ОО
рихле). Ряд С(5) — 12 п~8*
п=1
2.	Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши
и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций
(мажорантный, Абеля-Дирихле).
3.	Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов. Не-
прерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.
4.	Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула
Коши - Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных
элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегриро-
вание степенного ряда.
5.	Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные
признаки сходимости (мажорантный, Абеля-Дирихле).
6.	Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от па-
раметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной схо-
димости (мажорантный, Абеля - Дирихле).
7.	Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного
интеграла, зависящего от параметра.
8.	Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного
интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.
9.	Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные свой-
ства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл
Пуассона.
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
759
10.	Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки.
Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерыв-
ной функции алгебраическим многочленом.
11.	Векторное пространство со скалярным произведением. Непрерыв-
ность скалярного произведения и связанные с этим его алгебраические свой-
ства. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Теорема Пи-
фагора. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье. Примеры скалярных произведе-
ний и ортогональных систем в пространствах функций.
12.	Лемма о перпендикуляре. Экстремальное свойство коэффициентов
Фурье. Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье. Условия полноты ор-
тонормированной системы. Метод наименьших квадратов.
13.	Классический (тригонометрический) ряд Фурье в вещественной и
комплексной форме. Лемма Римана. Принцип локализации и сходимость ря-
да Фурье в точке. Пример: разложение cos(aa?) в ряд Фурье и разложение
sin(7ra;)/7ra; в бесконечное произведение.
14.	Гладкость функции, скорость убывания ее коэффициентов Фурье и
скорость сходимости ее ряда Фурье.
15.	Полнота тригонометрической системы и сходимость в среднем три-
гонометрического ряда Фурье.
16.	Преобразование Фурье и интеграл Фурье (формула обращения). При-
мер: вычисление / для f(x) :— ехр(—а2а;2).
17.	Преобразование Фурье и оператор дифференцирования. Гладкость
функции и скорость убывания ее преобразования Фурье. Равенство Парсева-
ля. Преобразование Фурье как изометрия пространства быстро убывающих
функций.
18.	Преобразование Фурье и свертка. Решение одномерного уравнения
теплопр оводно сти.
19.	Восстановление переданного сигнала по спектральной функции при-
бора и принятому сигналу. Формула Котельникова.
20.	Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд. При-
мер: асимптотическое разложение функции Ei(a:). Различие между сходящи-
мися и асимптотическими рядами. Асимптотика интеграла Лапласа (главный
член). Формула Стирлинга.
760
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
IV семестр
Интегральное исчисление (многие переменные)
1.	Интеграл Римана на n-мерном промежутке. Критерий Лебега сущест-
вования интеграла.
2.	Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной
функции на n-мерном промежутке.
3.	Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометриче-
ский смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому мно-
жеству. Линейность и аддитивность интеграла.
4.	Оценки интеграла.
5.	Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее важ-
нейшие следствия.
6.	Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность
меры и интеграла.
7.	Несобственные кратные интегралы: основные определения, мажорант-
ный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла
Эйлера - Пуассона.
8.	Поверхность размерности к в и основные способы ее задания.
Абстрактное й-мерное многообразие. Край ^-мерного многообразия как
(к — 1)-мерное многообразие без края.
9.	Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания
ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в Вп.
Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная
ориентация многообразия и края.
10.	Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в
точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального опера-
тора.
11.	Дифференциальная форма в области D С Вп. Примеры: дифференци-
ал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифферен-
циальной формы. Операция внешнего дифференцирования.
12.	Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих
объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих
точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных
форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в коор-
динатном виде.
13.	Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их
внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на
многообразии. Инвариантность (корректность) операций над дифференци-
альными формами.
14.	Схема подсчета работы и потока. Интеграл от й-формы по й-мерной
гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин-
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ)
761
теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от диффе-
ренциальной й-формы по ^-мерному компактному ориентированному много-
образию.
15.	Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на язы-
ке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула
Стокса. Редукция к fc-мерному промежутку и доказательство для ^-мерного
промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные
варианты общей формулы Стокса.
16.	Форма объема в Вп и на поверхности. Зависимость формы объема от
ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации. Пло-
щадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись
формы объема й-мерной поверхности Sk С в локальных параметрах и за-
пись формы объема гиперповерхности Sn~r С Вп в декартовых координатах
объемлющего пространства.
17.	Основные дифференциальные операторы теории поля (grad, rot, div)
и их связь с оператором d внешнего дифференцирования в евклидовом ориен-
тированном пространстве К3.
18.	Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода. Основ-
ные интегральные формулы теории поля в К3 как векторная запись классиче-
ских интегральных формул анализа.
19.	Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы.
Дифференциальный необходимый признак точности формы и потенциально-
сти векторного поля, его достаточность в односвязной области. Интегральный
критерий точности 1-форм и векторных полей.
20.	Примеры приложений формулы Стокса (Гаусса-Остроградского):
вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл гра-
диента, ротора и дивергенции.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Классика
1. Первоисточники
Ньютон И.
а.	Математические начала натуральной философии. (Перевод с латин-
ского в кн.: Крылов А. Н. Собрание трудов. Т. 7. — Л.-М.: Изд-во
АН СССР, 1936, с. 57-662.)
Ь.	Математические работы. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.
Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. Успе-
хи матем. наук, 1948, т. 3, вып. 1, с. 165-205.
2.	Важнейшие систематические изложения предмета
Эйлер Л.
а.	Введение в анализ бесконечных. В 2-х т. — М.: Физматгиз, 1961
Ь.	Дифференциальное исчисление. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
с.	Интегральное исчисление. В 3-х т. — М.: Гостехиздат, 1956-1958.
Коши О. Л.
а.	Алгебраический анализ. — Лейпциг: Бэр и Хэрманн, 1864.
Ь.	Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном ис-
числении. — СПб.: Имп. Акад, наук, 1831
3.	Классические курсы анализа первой половины XX столетия
Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых. В 2-х т. М.-Л.:
ГТТИ, 1933.
Гурса Э. Курс математического анализа. В 2-х т. М.-Л.: ОНТИ, 1936.
II. УЧЕБНИКИ
763
II.	Учебники1)
Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по
математическому анализу. — М.: Высшая школа, 2000.
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X. Математический
анализ. В 2-х ч. Изд. 2-е, перераб. — М.: Изд-во Моск, ун-та. Ч. I, 1985.
Ч.П, 1987.
Камынин Л. И. Курс математического анализа. В 2-х ч. — М.: Изд-во
Моск, ун-та. Ч.I, 1993. Ч.П, 1995.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х т. — М.: Высшая
школа. T.I, II, 1988. Т. III, 1989.
Никольский С. М. Курс математического анализа. В 2-х т. — М.:
Наука, Физматлит, 1990.
III.	Учебные пособия
Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи
и упражнения по математическому анализу. — М.: Изд-во Моск, ун-та,
1988.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. — М.: Наука, Физматлит, 1990.
Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А., Подкорытов
А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу. — М.: Наука, Физ-
матлит, 1992.
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. В 2-х ч. — Новоси-
бирск: Изд-во Инс-та матем. Ч. I, книги 1 и 2, 1999. Ч. II, книги 1 и 2,
2000, 2001.
Рудин У. Основы математического анализа. Изд. 2-е. — М.: Мир, 1976.
Шилов Г. Е.
а.	Математический анализ. Функции одного переменного. — М.: Наука,
Физматлит, 1969. 4.1-2, 1969. Ч.З, 1970.
Ь.	Математический анализ. Функции нескольких вещественных перемен-
ных. Ч. 1-2. — М.: Наука, Физматлит, 1972.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчи-
сления. В 3-х т. Изд. 7-е, стереот. — М.: Наука, Физматлит, 1969.
Приведенные в этом разделе книги допущены Минвузом СССР, рекомендованы
Комитетом по высшей школе Миннауки России или Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебников для студентов, обучающихся по специ-
альностям «Математика», «Прикладная математика», «Механика», «Прикладная ма-
тематика и информатика».
26-4574
764
ЛИТЕРАТУРА
IV.	Дополнительная литература
Александров IL С., Колмогоров А. Н. Введение в теорию функций
действительного переменного. — М.: ГТТИ, 1938.
Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сб. статей. (Сборник фундамен-
тальных работ математиков и физиков, связанных со становлением и
развитием современного представления о пространстве, времени и ма-
терии. Издан к 100-летию со дня рождения А. Эйнштейна.) — М.: Мир,
1979.
Арн оль д В. И. Математические методы классической механики. Изд. 3-е,
перераб. и доп. — М.: Наука, Физматлит, 1989.
Де Брейн. Асимптотические методы в анализе. — М.: Изд-во иностран-
ной литературы, 1961.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. (В том числе статья «Ар-
хитектура математики».) — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
Вейль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, Физматлит, 1989.
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир,
1967.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, Физматлит,
1971.
Дубровин Б. А., Новиков С. И., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, Физматлит, 1986.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964.
Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.:
Наука, Физматлит, 1962.
Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики.
— М.: Наука, Физматлит, 1967.
Зорич В. А. Анализ. (Записки лекций для студентов Математического
колледжа НМУ и механико-математического факультета МГУ.) В 3-х
вып. Вып.1. Лекции 5-7: Дифференциал. Вып.П. Лекция 8: Теорема о
неявной функции. Вып. III. Лекции 9-11: Приложения теоремы о неявной
функции. — М.: Изд-во механико-математического ф-та МГУ, 1995.
К ар тан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
- М.: Мир, 1971.
Клейн Ф. Очерки о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука,
Физматлит, 1989.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа. Изд. 4-е, перераб. — М.: Наука, Физматлит, 1976.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. —
М.: Наука, Физматлит, 1986.
IV. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
765
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В
2-х т. — М.: Наука, Физматлит, 1970.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.П. Теория
поля. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
Манин Ю. И. Математика и физика. — М.: Знание, 1979. — (Новое в
жизни, науке, технике. Серия: Математика, кибернетика; №12.)
Милнор Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965. — (Библиотека сборника
«Математика».)
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообра-
зиях. — М.: Мир, 1971.
Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука, Физма-
тлит, 1990.
Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. В 2-х т. Изд.3-е. —
М.: Наука, Физматлит, 1978.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, Физматлит, 1974.
Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, Физматлит, 1990.
Спивак М. Математический анализ на многообразиях. - М.: Мир, 1971.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа . В 2-х ч.
Изд. 2-е. — М.: Физматгиз, 1962-1963.
Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по
физике.
T.L Современная наука о природе; законы механики. — М.: Мир, 1965.
Т. 4. Кинетика, теплота, звук. — М.: Мир, 1965.
Т. 5. Электричество и магнетизм. — М.: Мир, 1966.
Т. 6. Электродинамика. — М.: Мир, 1966.
Т. 7. Физика сплошных сред. — М.: Мир, 1966.
X а л м о ш П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Наука, Физ-
матлит, 1963.
Шварц Л. Анализ. В 2-х т. — М.: Мир, 1972.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том IV. — М.: Наука, 1967. (В
том числе статьи «Мотивы научного исследования» (с. 39-41) и «Физика
и реальность» (с. 200-227).)
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
Логические символы
=> — логическое следование (импликация)
<=>—логическая эквивалентность (равносильность)
:= 1 равенства по определению; двоеточие
=: J со стороны определяемого объекта
Множества
Е — замыкание множества Е — 8
дЕ — граница множества Е —141
о
Е := Е\ дЕ — внутренность (открытая часть) множества Е
В(Х)Г) —шар с центром в точке х радиуса г — 6
S(x, г) -  сфера с центром в точке х радиуса э—-7
Пространства
(X, d)—метрическое пространство X с метрикой d—1
(X, т) — топологическое пространство X с системой т открытых мно-
жеств—11
(С1) — арифметическое n-мерное вещественное (комплексное) прост-
ранство
R1 = Ж (С1 — С) — множество вещественных (комплексных) чисел
х = (я;1,..., хп) — координатная запись точки n-мерного пространства
C(X,Y) —множество (пространство) непрерывных на X функций со зна-
чениями в Y — 471
С[а, 6] — сокращенное обозначение для С ([а, 6], Ж) или С([а, Ь], С)
С^(Х, Y) — множество к раз непрерывно дифференцируемых отображе-
ний из X в Y — 92, 104
[а, 6] — сокращенное обозначение для	([а, Ь], Ж) или
Ср[а, 6] — пространство С[а, 6], наделенное нормой ||/||р — 55
С2[а, 6] — пространство С [а, 6] с эрмитовым скалярным произведением
(/, д) функций или с нормой средне квадратичного уклонения
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
767
11(E)— множество (пространство) функций, интегрируемых по Риману
на множестве Е —143
1l[a, b] - сокращенное обозначение для 11(E) при Е = [а, 6]
11(E) — пространство классов интегрируемых по Риману функций, совпа-
дающих почти всюду на Е —147
11Р(Е) (НР(Е))—пространство 11(E), наделенное нормой ||/||р
Иъ(Е) (112(E))—пространство 11(E), наделенное эрмитовым скалярным
произведением функций (f,g) или нормой средне квадратичного уклонения
Hp[a,b], 7^2 С®)— сокращенные обозначения для НР(Е), НР(Е) при Е —
= [«. Ч
£(Х; Y) (£(Xi,..., Хп; Y)) —пространство линейных (п-линейных) ото-
бражений из X (А1 х ... х Хп) в У — 69
ТМР или ТМ(р), ТРМ, ТР(М)—пространство, касательное к поверхности
(многообразию) М в точке р € М — 397, 398
S — пространство Шварца быстро убывающих функций — 676
P(G) - пространство основных финитных функций в области G- 546, 571
1У(С)—пространство обобщенных функций в области G — 546, 571
Т> — сокращенное обозначение для D(G) при G —	—546, 571
ТУ— сокращенное обозначение для T>'(G) при G = Вп —546, 571
Метрики, нормы, скалярные произведения
d(xi, Х2) —расстояние между точками xi, Х2 в метрическом пространстве
РМ-1
|хп|, ||а;|| — модуль (норма) вектора х € X в линейном нормированном про-
странстве X — 52
|А | — норма линейного (полилинейного) оператора А —64
|/| р (f \f\p(x) dx)1^,р	1 — интегральная норма функции / — 55
Е
Ц/Ц2—норма средне квадратичного уклонения (||/||р при р = 2)
(а, Ь) —эрмитово скалярное произведение векторов а, Ь — 56
(f,g)	/(/ * 9)(х) dx —эрмитово скалярное произведение функций
Е
/,3-589
а • Ь —скалярное произведение векторов а, b в R3 —305
а х b или [а, Ь] — векторное произведение векторов а, b в R3 —305
(а, Ь, с) — смешанное произведение векторов а, Ь, с в К3 — 237
Функции
д о / — композиция (суперпозиция) функций / и д
Z'1 —функция, обратная к функции /
f(x) —-значение функции / в точке х; функция от х
/(х1,... ,хп) — значение функции / в точке х = (х1,... ,хп) Е X n-мерно-
го пространства X; функция, зависящая от п переменных хъ ..., хп
supp / — носитель функции / — 531
768
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
J f(x) — скачок функции f в точке х— 549, 574
{ft;t Е Г} — семейство функций, зависящих от параметра t Е Т — 432
{fn\n £ N} или {fn}— последовательность функций — 428
ft —> f на Е— сходимость семейства функций {ft; t Е Т] к функции f на
множестве Е при базе В в Т — 433
ft f на Е — равномерная сходимость семейства функций {ft;t € Т} к
в
функции f на множестве Е при базе В в Т — 433
f — о(д) при В	1 асимптотические формулы (символы
f = 0(g) при В	> сравнительного асимптотического поведения
f ~ д или f ~ д при В J функций f и д при базе В) — 701
оо
f(x) ~ Рп(х) при В — разложение в асимптотический ряд — 706
П-1
Т>(х) — функция Дирихле — 429
ехр Л —экспонента от линейного оператора А —-84
В(а;, (3) — бета-функция Эйлера— 515
Г (а) — гамма-функция Эйлера — 515
Х~— характеристическая функция множества Е—142
Дифференциальное исчисление
ff(x), f*(x), df(x),Df(x) — касательное к f отображение (дифференциал /)
в точке х— 75, 401
, dzf (х), [)г f (х) — частная производная (частный дифференциал) в точ-
ке х — (ж1,... ,хп) по переменной хг от функции f, зависящей от переменных
х1,... ,хп— 86
Dvf(x) —производная функции f по вектору v в точке х — 99, 399
V — оператор набла Гамильтона — 310
grad f — градиент функции f — 242
div А — дивергенция векторного поля А — 243
rot В—Ротор (вихрь) векторного поля В — 243
Интегральное исчисление
д(В)— мера множества Е —144
ff(x)dx	'
Е
f f(xT,..., хп) dx1 ... dxn >
е	I
f'"f f(xl > •  • > хП) dx1 • • • I
e	)
интеграл от функции f
по множеству Е С —131, 142
f dy f f(x, у) dx — повторный интеграл —153
f P dx + Q dy + R (k,)
7	I криволинейный интеграл (второго рода) или ра-
f F • ds, f(F,ds) | бота поля F = (Р, Q, R) вдоль пути 7— 251,277
7	7	)
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
769
f f ds —криволинейный интеграл (первого рода) от функции f вдоль кри-
вой 7 — 276
f f Р dy Л dz + Q dz Л dx + R dx Л dy,} интеграл (второго рода) по
5	I поверхности S в 1К ; поток
ffF-da, ff(F,d<r),	| поля F — (Р,Q,R) через
s	s	) поверхность S —257, 277
/ f f da — поверхностный интеграл (первого рода) от функции / по по-
S
верхности S — 276
Дифференциальные формы
cj (сар)—дифференциальная форма (степени р)— 236, 402
А о;9 — внешнее произведение форм — 233, 369
dw — (внешний) дифференциал от формы са — 241
f са —интеграл от формы ш по поверхности (многообразию) М —261,
м
263, 406
cap :=	—форма работы — 236
:= (V(a;), •, •) —форма потока —237
предметный указатель
Указатель алфавитный; основой входа как правило является объект (дифференциал,
закон, интеграл, многообразие, теорема, форма, явление и т.п.).
Для удобства читателя некоторая часть терминов доступна несколькими путя-
ми: например, «Функция дельта Дирака», «Дельта-функция Дирака» и «5-функция»,
или «Значение несобственного интеграла главное (в смысле Копт)» и «Главное зна-
чение несобственного интеграла ...»
Кроме того, в некоторых случаях (см., например, «Кратный интеграл», «Ряд
функций» или «Ряд Фурье») через знак ~ присоединены указания о расположении
основных относящихся к объекту фактов.
5-окрестность 6
5-функция 330
е-сеть 21
п-пространство 18
Т2-пространство 18
0-формула 697
/с-мерный объем 224
А:-путь 301
n-й момент 477
тг-мерный диск 215
р-форма 236
р-цикл 422
Абсолютная сходимость несобствен-
ного интеграла 495
— ряда 441, 442
Адиабата 266
Адиабатическая постоянная 268
Алгебра внешняя 371, 374, 375
— Грассмана 371, 374, 375
Алгебра Ли 88
— форм 367
----кососимметрических 371
—	функций 474
----вещественная 474
—	— комплексная 474
— — самосопряженная 478
----разделяющая точки 475
Альтернирование 368
Амплитуда 659
Амплитудная модуляция 690
Анализ функции гармонический
(спектральный) 659
Аппаратная функция 529, 554
Аппроксимативная единица, см. дель-
таобразное семейство
Асимптотика 700, 701
— гамма-функции 730, 739, 746
— интеграла канонического 727
— — Лапласа 729, 733, 749
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
771
Асимптотика интеграла Фурье 745,
750, 752
—	полиномов Лежандра 732
—	функции Бесселя 731
----вероятности ошибок 737
Асимптотическая задача 700
—	оценка 701
----равномерная 717
—	последовательность 706
—	формула 701
—	эквивалентность 701
Асимптотические методы 700
Асимптотический нуль 707
— ряд 706
----степенной 712-715
Асимптотическое равенство 701
— разложение 705, 706
----в смысле Эрдейи 716
----равномерное 717
—	совпадение функций 707
Атлас поверхности (многообразия)
195, 376
—	аналитический 381
—	гладкий 381
—	класса 381
—	ориентирующий 209, 386
Атласы эквивалентные по гладкости
382
—	по ориентации 210, 386
База в множестве разбиений 130
—	топологии 13
—	топологического пространства 13
Базис векторного пространства 606
Бета-функция (Эйлера) 515-516
Бикомпакт 19
Брахистохрона 112-114
Бутылка Клейна 203
Вектор касательный к многообразию
398, 400, 410
— собственный оператора 611
Векторное поле 410
----гладкое 411
Векторный потенциал 348
----магнитного поля 354-355
Векторы ортогональные 588, 611
Величины одного порядка 701
Вес (топологического пространства)
13
Вихрь (ротор) векторного поля 309
Вложение каноническое 412
Внешнее произведение 369
— умножение 233
Внешний дифференциал 241, 404, 411
Внешняя алгебра 371, 374-375
Внешняя точка 7, 16
Внутреннее произведение 414-415
Внутренняя точка 7, 16
Волновое уравнение 363, 684
----неоднородное 363
- - —однородное 363
Гамма-функция (Эйлера) 515,
517-528
Гамма-функция неполная 716
Гармоническая функция 337
----сопряженная с данной 365
Гармонические компоненты 659
Гармонические многочлены 617
Гармонический анализ 659
Гаусса-Остроградского формула
287, 576-577
----в векторном анализе 327
Гессиан 752
Гипергеометрическое уравнение 463
Гипрегеометрический ряд 463
Главное (в смысле Коши) значение
несобственного интеграла 187
Гладкие структуры 394
Гомеоморфизм 39
Гомологии 422
Гомотопическая группа 351
Гомотопия 345
Гомотопные пути 346
Градиент 242, 307, 321, 333
—, физическая интерпретация 333
Граница куба 421
— сингулярного куба 422
Граничная точка 7, 16
Граничный цикл 422
Грассманова алгебра 371, 374-375
Группа гомологий 351, 422
— гомотопическая 351
772
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
Группа когомологий многообразия
420, 426
— Ли 88, 396
— непрерывная 88, 396
— преобразований дискретная 395
— топологическая 88, 396
Двойной слой 585
Дельта-функция 330, 529, 534, 542,
544, 558, 571, 657, 658, 696
Дельтаобразное семейство функций
535
Деформация (замкнутого пути) 345
Дзета-функция Римана 526
Дивергенция 243, 307
—, физическая интерпретация
328-329
Диполь 352
Дипольный момент 352
Диск п-мерный 215, 378
Дискретная группа преобразований
395
Диффеоморфизм простейший 170
Дифференциал внешний 241, 404, 411
—	отображения 75
—	полный 86
—	порядка п 98
— формы 241, 404, 411
-	частный 86
Дифференциальная форма 236
----замкнутая 349, 416
----класса 241, 403
----на гладкой поверхности 248
—- —на многообразии 402
----нулевого порядка 240
----, ограничение (сужение) на под-
многообразие 412
— — потока векторного поля 237
— — работы поля 236
----точная 349, 416
----финитная 406
Дифференциальное уравнение с раз-
деляющимися переменными 269
Дифференциальный оператор 573
— —самосопряженный 573
----сопряженный данному 573
Дифференциальный оператор, транс-
понированный по отношению к
данному 573
Дифференцирование 75
— в точке многообразия 410
— интеграла, зависящего от параме-
тра 482, 502, 568
----по жидкому объему 586
— кольца 400
— на многообразии 410, 412
— обобщенной функции 548, 550
— ряда функций 460
— — Фурье 635
— семейства функций, зависящего от
параметра 458
— степенного ряда 460
Единичная ступенька 549
Задача асимптотическая 700
—о брахистохроне 112
— о кратчайшей 111
— о кривой скорейшего спуска 112
— Штурма - Лиувилля 615
Закон Ампера 278
— Архимеда 290
—	Био - Савара 280
—	Гаусса 337
—	Кулона 329
—	Ньютона 339
—распределения нормальный 555
—	Фарадея 277
Замена переменных в интеграле
162-173, 187-189
Замкнутое множество в метрическом
пространстве 6
--—в топологическом пространстве
13
Замыкание 8, 16
Значение несобственного интеграла
главное в смысле Коши 187
Изобара 265
Изометрия (метрических про-
странств) 30
Изоморфизм гладких структур 394
— линейных нормированных про-
странств 73
предметный указатель
773
Изопериметрическое неравенство 232,
646-648
Изотерма 265
Изохора 265
Импульс прямоугольный 691
—	треугольный 691
Импульсная функция прибора 529
Интеграл 131
—	Бернулли 364
—	Гаусса 299
— Дарбу верхний 138
----нижний 138
— двойной 131
— Дирихле 338, 503
— дифференциальной формы по мно-
гообразию 405, 406
-------по поверхности 260, 263
-------по сингулярному кубу 423
----—по цепи 423
— Копт 364
— кратный 131
— криволинейный 252
— Лапласа 719
— от функции по поверхности 275,
276
— по множеству 142
— поверхностный второго рода 276
----первого рода 276
— Пуассона 541, 692
— Раабе 525
— Римана по множеству 142
— —по промежутку 131
— тройной 131
— Френеля 513, 716
— Фурье 661, 663, 696, 744, 745,
749-752
— Эйлера второго рода 515
----первого рода 515
— Эйлера - Пуассона 510, 521, 667,
682, 716
— эллиптический 464, 483, 487, 512
Интеграл, зависящий от параметра
479, 480, 489, 561, 562
-------— кратный 561 - 562
------------с переменной особенно-
стью 564
Интеграл, зависящий от параметра,
несобственный 479
~ дифференцирование 502
^интегрирование 505, 506
~ предельный переход и непрерыв-
ность 499-501
~ равномерная сходимость 489
~ ~ критерий Копт 493
~ ~признак Абеля-Дирихле 496
~ ~ признак Вейерштрасса 495
—--------собственный 479
~ дифференцирование 482
интегрирование 486
~ непрерывность 480
Интегралы Френеля 716
— эйлеровы, см. эйлеровы интегра-
лы
Интегральная сумма Дарбу 137
----Римана 131
Интегральное представление частич-
ной суммы тригонометрического
ряда Фурье 625
Интегральный синус 716
Интегрирование по частям в кратном
интеграле 301 - 302
Исчерпание множества 181
Калибровочное условие 366
Карта локальная 195, 375
—, область параметров 195, 375
—, район действия 195, 375
Карты согласованные 209, 385
Касательное отображение 412
— пространство xiF в точке 397
----к многообразию в точке 399,
409-410
Касательный вектор к многообразию
в точке 398, 401, 410
Касающиеся пути 409
Категория множества 34
Квадруполь 352
Класс ориентации атласов много-
образия 386
—	— поверхности 210
—	реперов 205
— систем координат 205, 207
Когомологии 420, 426
774
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кокасательное пространство 401
Колебание отображения 37
—---в точке 40
Коммутирование, см. перестановка
Компакт 19
— метрический 21
—элементарный 192
Координаты декартовы 316
— касательного вектора 401
— криволинейные 195, 313
— полярные 199
— сферические 200, 316-323
— триортогональные 316-323
— цилиндрические 316-323
Коэффициент полезного действия те-
пловой машины 268
— температуропроводности 358
— теплопроводности 356
Коэффициенты Ламе 316
— Фурье 595, 596, 598, 651, 653
Край многообразия 378
— поверхности 214
— полупространства 213
Кратный интеграл 131
----зависящий от параметра 561,
562
~замена переменных 162, 173
~ интегрирование по частям 301, 302
~ повторное интегрирование («теоре-
ма Фубини») 153-155
----несобственный 182
— — — с переменными особенностя-
ми 565
Кривизна кривой 89
Криволинейный интеграл 252
Критерий Дарбу 137-140
— Коши равномерной сходимости
интеграла 493
---------ряда 440
---------семейства функций 436
— Лебега 135-137
— метрического компакта 21
— непрерывности отображения 38
— потенциальности поля 341
Критическая точка 180
Кручение кривой 89
Лапласиан 312
Лемма Адамара 481, 488
— Ватсона 727, 744
— Морса 180, 481, 725, 743, 744, 748,
752
—	о вложенных шарах 34
—	о непрерывности скалярного про-
изведения 594
—	о перпендикуляре 598
—	об £-сети 21
—	об оценке вклада точки максиму-
ма 723
—	об экспоненциальной оценке 722,
747
— Пуанкаре 349
— Римана 627, 749
— Сарда 179-180
— Эрдейи 745, 750, 752
Лист Мёбиуса 202, 213, 216, 221,
384-385
Мажорантный признак равномерной
сходимости интеграла 495
-------— ряда 442
Максимум локальный 106
Массовые силы 360
Матрица Грама 222
Мгновенная ось вращения 86
Мера множества (по Жордану) 144,
145
— промежутка 129
Метод выделения особенностей
(Крылова) 639
— касательных (Ньютона) 48
— касательных модифицированный
(Ньютона-Канторовича) 49
— Лапласа 718-722
----в многомерном случае 743, 747
— локализации в асимптотике инте-
грала Лапласа 723
— — в асимптотике интеграла Фу-
рье 751, 752
— множителей Лагранжа 128
— наименьших квадратов (Гаусса)
613
— разделения переменных (Фурье)
587, 608-611
предметный указатель
775
Метод стационарной фазы 744
-------в многомерном случае
751-752
-------в одномерном случае
749-751
— суммирования рядов (Абеля) 453,
454, 465
-------(Чезаро) 465
— усреднений Стеклова 613
— Фурье 587, 608-611
Методы асимптотические 700
Метрика 1
— дискретная 2, 10
—	интегральная 4
—	равномерная 4
—	равномерной сходимости 4, 471
—	риманова 316
—	среднего квадратичного уклонения
3,4
—	Хаусдорфа 11
—	чебышевская 4
Минимум локальный 106
Многообразие 375
—	аналитическое 382
—	без края 378
—	вложенное в Rn 194
—	гладкое 382
—	класса 382
—	компактное 379
—	неориентируемое 386
—	ориентированное 386
—	ориентируемое 386
с краем 378
—	связное 379
—	стягиваемое 416
—	топологическое 382
Многочлен тригонометрический 620
Многочлены Бернулли 652
—	гармонические 617
— Лежандра 593, 614, 616-617
—	Чебышева 618
—	Чебышева-Лагерра 618
—	Эрмита 618
Множество вполне ограниченное 23
—	всюду плотное 15
—	второй категории 35
Множество допустимое 141
—замкнутое в метрическом прост-
ранстве 6
----в топологическом пространстве
13
—	измеримое по Жордану 145
—	канторово 29
—	меры нуль по Жордану 145
-------по Лебегу 132
—	нигде не плотное 34
—	объема нуль 145
—	открытое в метрическом прост-
ранстве 6
—	— в топологическом пространстве
11, 12
—	относительно компактное 23
—	первой категории 34
—	площади нуль 227
—	связное 24
— сходимости семейства функций
433
Модуль вектора, см. норма
— функции 692
— эллиптического интеграла 483
Момент диполя 352
— мультиполя 352
— функции 477
Мультиполь 352
Набла (оператор Гамильтона) 310,
323
Направление движения (вдоль кри-
вой) 212
— обхода области 212
Непрерывная группа 88
Неравенство Бесселя 599
— Брунна-Минковского 146
— Виртингера 654
— Гёльдера 151
—изопериметрическое 232, 646-648
—Клаузиуса 269
— Коши - Буняковского 57, 532
— Минковского 152
— —, обобщенное 583
— Стеклова 653
— треугольника 1
776
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Несобственный интеграл, зависящий
от параметра 479, 489
~ дифференцирование по параметру
502
~ интегрирование по параметру
505-506
~ предельный переход и непрерыв-
ность 499-501
~ равномерная сходимость 489
~ ~ критерий Коши 493
~ ~ признак Абеля - Дирихле 496
~ ~ признак Вейерштрасса 495
Норма в линейном пространстве 52
—вектора 53
— оператора 64
Носитель дифференциальной формы
406
— функции 164, 531
Нуль-ряд Меньшова 625
Обертоны 610
Область действия карты 195, 375
— значений параметра 432
— односвязная 347
— параметров карты 195, 375
— простая 285
— фундаментальная группы 381, 395
Обобщенная функция 545, 571
----регулярная 546
----сингулярная 546
—	—умеренного роста 695
Объем множества 144, 291
—	промежутка 129
—шара в Rn 230, 522-523
Огибающая семейства кривых 299
Ограничение формы на подмного-
образие 248, 412
Однопараметрическая группа диф-
феоморфизмов 414
Односвязность области 347
Окрестность в метрическом прост-
ранстве 7
—	в топологическом пространстве 13
— ростка функции 14
Оператор Гамильтона 310, 323
— дифференциальный, см. диффе-
ренциальный оператор
Оператор инвариантный относитель-
но сдвигов 528
— интегральный 668
— Лапласа 312
—линейный 60, 61
— набла 310
— нильпотентный 87
ограниченный 65
— полилинейный 60, 65, 68
— самосопряженный 573
— сдвига 528
— симметрический 611
— сопряженный 573
Операторы теории поля 307
—- — — в криволинейных координа-
тах 313-323
Операционное исчисление 548
Орбита точки 380, 395
Ориентация края, согласованная с
ориентацией многообразия 389
— — согласованная с ориентацией
поверхности 218
— многообразия 386
— области пространства 207
— поверхности 207, 210, 212, 218
— противоположная данной 210
Ориентированное пространство 205
Ортогонализация 592-594
Ортогональность с весом 615
Ортогональные векторы 588
Основная частота 659
Основной тон 610
Открытое множество в метрическом
пространстве 6
----в топологическом пространстве
11, 12
Отображение билинейное 61
— гладкое 385
— гомеоморфное 39
— дифференцируемое в точке 74
— дифференцируемое на множестве
76
—	касательное 75
—	класса 385
—	линейное 60
— непрерывно дифференцируемое 92
предметный указатель
777
Отображение непрерывное 38
-----в точке 38
— ограниченное 36
— полилинейное 60
— производное 76
-----высшего порядка 97, 98
— равномерно непрерывное 41
— сжимающее 43
— сопряженное 373
— трилинейное 61
— финально ограниченное 36
— частное 86
Оценка асимптотическая 701
— равномерная 717
Параллелепипед координатный 129
Параметризация натуральная 89
Параметры Ламе 316
Перестановка интегралов 153
-----несобственных 506-509
-----собственных 153
— предельных переходов 450, 451
— суммирования и дифференцирова-
ния ряда 460
-----и интегрирования ряда 457
Период интеграла 350
— на цикле 424
Площадь fc-мерной поверхности 224,
273
—	.— как интеграл от формы
270-271
— внешняя по Минковскому 232
— кусочно гладкой поверхности 273
— сферы в Rn 230, 523
Поверхность ^-мерная 194
—	без края 214
— гладкая 196, 198
—	двусторонняя 211
—	кусочно гладкая 219
-------ориентируемая 220
—	неориентируемая 209
—	нульмерная 219
—	односторонняя 211
—	ориентированная 210
—	ориентируемая 209
—	с краем 214
—	элементарная 195
Подмногообразие 394
Подпространство метрического прос-
транства 8
—	топологического пространства 16
Покрытие вписанное в другое покры-
тие 396
—	локально конечное 396
Поле векторное 303
-----на многообразии 410
—	 ---- —гладкое 411
—	линейных форм 236
—	потенциальное 339
—	скалярное 303
—	соленоидальное 348
—	тензорное 303
—	форм 303
-—центральное 254
Полином, см. многочлен
Полная система векторов (функций)
602-608
Полнота тригонометрической систе-
мы функций 641
Полный дифференциал 86
Положительное направление обхода
212
Полярные координаты 199-201
Пополнение пространства 30, 32
Порядок (степень) дифференциаль-
ной формы 236
Последовательность асимптотическая
706
—	Коши 26
—	сходящаяся 26
—	фундаментальная 26
—	функций монотонная 444
—	-невозрастающая 444
—	— неубывающая 444
— — сходящаяся в точке 428
-------на множестве 428
------------равномерно 436
Постоянная циклическая 350
Потенциал векторный 348
-----магнитного поля 354-355
— диполя 352
— поля 339
— простого слоя 568
778
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
Потенциал распределенного заряда
564
—	скалярный 339
—	скоростей 365
Поток векторного поля через поверх-
ность 255 258, 277, 327
Почти всюду 134
Правило Лейбница 161, 482
Предел 35, 36
—	интеграла по параметру 456
—	отображения 35
— последовательности 26
----функций 428
— семейства непрерывных функций
452-453
----функций 433
Предельная точка 8, 16
— функция 428
Предельный переход под знаком ин-
теграла 456
----под знаком производной 458
Преобразование Абеля 444
— Галилея 698
— интегральное 668
— Лапласа 7.19
— Лоренца 698
— Фурье 662
----в пространстве £2 693
----косинус- и синус-преобразова-
ния Фурье 663
----многомерное 678
----нормированное 668
— —обобщенных функций 696
—- — свертки функций 683
— —, сдвиг по частоте 690
----, скорость убывания и глад-
кость 674 , 675
----, теорема о переносе 690
----, формула обращения 680
Признак Абеля-Дирихле равно-
мерной сходимости интеграла
496
— - - ---ряда 445
— Вейерштрасса равномерной сходи-
мости интеграла (мажорантный)
495
Признак Вейерштрасса равномерной
сходимости ряда (мажорантный)
442
Принцип Даламбера 360
— Дирихле 338
— Кавальери 159
— локализации для интеграла Лапла-
са 719
---------Лапласа 719
----для ряда Фурье 629, 750, 751
— неопределенности 693 - 694
— неподвижной точки 43, 47
— Пикара-Банаха 43, 47
— сжимающих отображений 47
— стационарной фазы 744, 745, 749,
751
Проблема Гильберта пятая 396
— Лузина 625
— Римана 625
Проективная плоскость 384
— прямая 382
Произведение внутреннее поля и фор-
мы 414, 415
— многообразий 376
— обобщенных функций 560
— прямое метрических пространств
10
----топологических пространств 17
—	скалярное 56
—	—функций 589
— форм внешнее 369
----тензорное 368
Производная Ли 414
— отображения 75
----вторая 97
----по вектору 99
----частная 86
Производное отображение 76
— порядка п 98
Производящая функция последова-
тельности 555
----чисел Бернулли 746
Промежуток (в Rn) 129
Простой слой 572
Пространство аффинное нормирован-
ное 76
предметный указатель
779
Пространство банахово 54
— гильбертово 59
— евклидово 59
—касательное 75
----к многообразию 399
— кокасательное 401
— линейно связное 26, 42
— линейное нормированное 53
-------полное 54
— локально компактное 23
— локально связное 25
— метрическое 1
----полное 26
— нормированное полное 54
— обобщенных функций 545, 571
— -----Соболева - Шварца 547
-------умеренного роста 695
— основных функций 545, 571
— предгильбертово 59
— пробных функций 545, 571
—	связное 24
—	сепарабельное 15
—	топологическое 11
— хаусдорфово 15
— Шварца 676, 678, 695
— эрмитово 59
Процесс адиабатический 266
— квазистатический 265
Прямое произведение метрических
пространств 10
— —топологических пространств 17
Пути гомотопные 346
— касающиеся на многообразии 409
Пучок касающихся путей 410
Пятая проблема Гильберта 396
Работа поля 253
Равенство асимптотическое 701
— Парсеваля 604, 623, 645, 682, 683
— —для преобразования Фурье 682
Равномерная ограниченность 468
— сходимость интеграла 489
----, признаки, см. признак, крите-
рий
— ограниченность ряда функций 438
— — семейства функций 436
Равномерной сходимости метрика
471
Разбиение единицы 178, 390 392
----fc-гладкое 391
----подчиненное покрытию 391
—локально конечное 226
— промежутка 130
----с отмеченными точками
130
Разделение точек функциями
474
Разделения переменных метод
608-611
Разложение асимптотическое 705
----интеграла Лапласа 733
----равномерное 717
— в ряд Тейлора, см. формула Тейло-
ра
-------Фурье, см. ряд Фурье
— в степенной ряд, см. формула Тей-
лора, степенной ряд
Размерность многообразия 377
Разрывный множитель Дирихле
513
Распределение, см. обобщенная функ-
ция
Расстояние, см. метрика
Репер ориентирующий 207
— Френе 89
Решение фундаментальное 554, 578
----оператора Лапласа 578
Риманова метрика 316
Росток функции 14
Ротация поля 309
Ротор 243, 307, 309
—, физическая интерпретация
331-333
Ряд асимптотический 706, 717
— — в смысле Пуанкаре 706
----в смысле Эрдейи 716
----общий 706
----степенной 712
— гипергеометрический 463
— Дирихле 449
— степенной 442, 443, 460
— Стирлинга 746
780
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
Ряд тригонометрический 620
— функций 438
~ дифференцирование 460
~ интегрирование 457
~ непрерывность суммы 453, 455
~ сходимость (равномерная) 438
~ ~ критерий Коши 440
~ ~ необходимое условие 441
~ ~ признак Абеля - Дирихле 445
~ '"-'Признак Вейерштрасса 441, 442
Ряд Фурье 596, 621
~ гладкость функции и скорость схо-
димости ее ряда Фурье 637
~ интегральное представление ча-
стичной суммы 625
~ коэффициенты Фурье 595
~ ~ экстремальное свойство 600
~ лемма Римана, принцип локализа-
ции и сходимость в точке 627,
629
~ неравенство Бесселя 599
----по общей ортогональной систе-
ме векторов 596
----по тригонометрической системе
функций 621
~ полнота тригонометрической си-
стемы и сходимость тригономе-
трического ряда Фурье в сред-
нем 641, 645
----многомерный 654-656
----обобщенной функции 656 - 658
----, сходимость в среднем 623
----, сходимость в точке 630-632
Сапог Шварца 232
Сарда лемма 179-180
— теорема 281
Свертка функций 531
----вГ 569
----дифференцирование 534
----симметричность 533
----сохранение сдвигов 533
Семейство функций 432
----^-образное, см. дельтаобразное
семейство
----вполне ограниченное 468
Семейство функций не исчезающее на
данном множестве 475
----равномерно ограниченное 468
----равностепенно непрерывное
469, 476-477
---------в точке 476-477
— разделяющее точки 474
Сингулярный куб 421
Система векторов линейно независи-
мая 588
----ортогональная 588
-------, условия полноты 603
----ортонормированная, или орто-
нормальная 588
----полная 602
— подмножеств вписанная в другую
систему 396
----локально конечная 396
— тригонометрическая 590
----в комплексной записи 590
— функций Радемахера 619
----Хаара 619
— экспонент 590
Скалярное произведение 56
Скобка Пуассона (векторных полей)
411
Слабая сходимость 545
Слой двойной 585
— простой 572, 582
Собственное значение задачи Штур-
ма - Лиувилля 616
Собственные колебания 610
— частоты 610
— числа задачи 610
Собственный вектор оператора
611
Согласование ориентации поверхно-
сти и края 218
Сопровождающий трехгранник 89
Спектр функции 659
----непрерывный 660
Спектральная характеристика 661
Среднее значение по периоду 659
Среднее квадратичное уклонение 3,
623
Стабилизатор точки 395
предметный указатель
781
Степенной ряд 442, 443, 460
----асимптотический 712
Степень дифференциальной формы
236
Структура гладкая 382
Сужение, см. ограничение
Сумма интегральная Дарбу 137
----Римана 131
Суммирование рядов методом Абеля
453, 465
-------Чеэаро 465
Сфера Александера 196
Сферические функции 617
Сходимость несобственного интегра-
ла 182
-------в смысле главного значения
(по Коши) 187
-------зависящего от параметра 489
-------равномерная 489
— обобщенных функций 545
— ряда векторов 588
----функций абсолютная 441
-------равномерная 438
— семейства (последовательности)
функций в среднем 623
---------поточечная 433
---------равномерная 436
— функционалов сильная (по норме)
71-72
----слабая 545
Тембр 610
Тензорное произведение 368
Теорема Абеля о степенных рядах
(«вторая») 448
----о сходимости степенных рядов
448
— Арцела- Асколи 470
— Брауэра о неподвижной точке 297
----об инвариантности внутренних
точек 377
— Вейерштрасса об аппроксимации
алгебраическими многочленами
472, 539, 540
---------тригонометрическими
многочленами 634
— Гаусса 336, 585
Теорема Гельмгольца 355
— Дарбу 138
— Дини 455
— Ирншоу 337
—Карно 269
—Котельникова 688, 689
— Коши о среднем многомерная 338
— Лагранжа 364
— Лебега о монотонной сходимости
467
----об ограниченной сходимости
466
— о главном члене асимптотики ин-
теграла 729
— о градиенте 334
— о дивергенции 333
— о коммутировании двух предель-
ных переходов 450
— о конечном приращении 89-92
— о неявной функции 116-120
— о равномерной непрерывности 41
— о роторе 333
—о среднем для гармонических фун-
кций 338
----для интеграла 150
— об асимптотическом разложении
интеграла Лапласа 733
—об обратном отображении 127
— отсчетов 689
— Пифагора 595
----для мер произвольной размер-
ности 231
— Планшереля 693
— Пуанкаре 416
— де Рама 424
— Сарда 281
— Стоуна 475
----для комплексных алгебр 478
— существования решения дифферен-
циального уравнения 45 - 46
— Таубера 466
— тауберова типа 465
— Уитни 204, 394
— Фейера 634
— Фубини 153-155
— Харди 466
782
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
Тепловая машина 268
Теплоемкость 266
—	молярная 266
Течение плоскопараллельное 364
Тождество гомотопии 415
—	Якоби 88
Топологическая группа 88
Топологическое пространство 11
—	в сильном смысле 18
Топология (на множестве) 11, 12
—	более сильная 17
Тор 202
Точка внешняя 7, 16
—	внутренняя 7, 16
—	граничная 7, 16
—	края 214
—	критическая 180
—	метрического пространства 2
—	предельная 8, 16
Трехгранник сопровождающий 89
Тригонометрический многочлен 620
— ряд 620
Триортогональные координаты 316
Угловая скорость 84-86
Умножение внешнее 233
Уравнение адиабаты 267
— Бесселя 462, 483, 487, 511
— волновое, см. волновое уравнение
— гидродинамическое Эйлера 361
— гипергеометрическое 463
-—дифференциальное 45, 46, 269
— Майера 267
— неразрывности 359
— Пуассона 352
— состояния 265
— теплопроводности 358, 686
— Эйлера - Лагранжа 111
Уравнения Коши - Римана 365
— магнитостатики 337
— Максвелла 309, 311
—электростатики 337
Условие необходимое равномерной
сходимости ряда 441
Условия Дини 630
— полноты ортогональной системы
603-605
Усреднение функции с данным ядром
583
Фаза 659
Фазовая функция 745
— характеристика 661
Фильтр низкой частоты 662
Форма антисимметрическая 233
— дифференциальная, см. дифферен-
циальная форма
— кососимметрическая 233, 368-371
—	объема в 272
----на поверхности в Rn 272
—	полуопре деленная 106
—	потока поля 237
—	работы поля 236
—эрмитова 56
----невырожденная 56
----положительная 56
Формула Валлиса 512, 747
— Гаусса 526
— Гаусса-Остроградского 287, 297,
327, 333, 576-577
----в векторном анализе 327
— гомотопии 425
— Грина 281, 335, 585
— дополнения для гамма-функции
519
— замены переменных в интеграле
164
—	коплощади 280
—	Котельникова 689
—	Коши-А дамара 443
—	Кронрода-Федерера 280
—	Лежандра 525
—	Лейбница 482
— Ньютона - Лейбница 326
— обращения преобразования Фурье
671, 680
— понижения для бета-функции 516
----для гамма-функции 518
— Пуассона 687, 697
— Стирлинга 527, 731
— Стокса 291, 294, 297, 327, 334, 407,
413, 423
----в R3 291
----в векторном анализе 327
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
783
Формула Стокса общая 293-296, 407
— Тейлора 105, 488
—	Эйлера для гамма-функции 524
—	Эйлера-Гаусса 518
Формулы Бореля 683
—	Грина 335 - 336
дифференциальные теории поля
311-313
—	интегральные теории поля 328,
333, 334
—	Френе 89
Фундаментальная область 381, 395
—	последовательность 26
Фундаментальное решение 543, 554,
578
Функции асимптотически совпадаю-
щие 707
----эквивалентные 707
—	замены координат 377
—	сферические 617
Функционал линейный 61
—	полилинейный 61
Функция аппаратная прибора 529,
554
—	Бесселя 462, 487
—	бета Эйлера 515
—	быстро убывающая 676, 678
—	вероятности ошибок 716
— гамма Эйлера 515, 517-528
—	гармоническая, см. гармоническая
функция
—	Грина 554
—	дельта Дирака (^-функция) 330,
529, 534, 542, 544, 558, 571, 657,
658, 696
—	дзета Римана 526
—	Дирихле 429
—	дифференцируемая, см. отображе-
ние
—	замены координат 377
—	интеграл Френеля 716
—	интегральная экспонента 704
—	интегральный синус 716
—	интегрируемая по Риману на мно-
жестве 142
—	— — — на промежутке 131
Функция кусочно непрерывная 631
— кусочно непрерывно дифференци-
руемая 631
- линейная 61
— локально интегрируемая на множе-
стве 531
—	неинтегрируемая по Риману на
множестве 142
— обобщенная, см. обобщенная функ-
ция
—	отсчетов 691
—	полилинейная 61
—	предельная 428
—	производящая, см. производящая
функция последовательности
— равномерно непрерывная на мно-
жестве 537
—	тока 365
—	фазовая 745
—	финитная 164, 531
—	Хевисайда 548, 558, 560, 579, 586
Цепочка карт многообразия 387
-------дезориентирующая, или про-
тиворечивая 387
Цепь сингулярных кубов 421
Цикл граничный 422
—	Карно 268
—	размерности р 422
Циклическая постоянная 424
Циклы гомологичные 422
Цилиндр 201
Циркуляция поля вдоль контура 278
Частная производная 86
Частный дифференциал 86
Частота 659
—	гармоническая 659
—	круговая 659
—	собственная колебаний струны 610
Частотная характеристика 661
Частотный спектр 697
Чебышева многочлены 618
Чебышева - Лагерра многочлены 618
Чебышевская метрика 4
Числа Бернулли 746
— собственные задачи 610
784
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шар (в метрическом пространстве) 6
—замкнутый 6
Штурма-Лиувилля задача, см. зада-
ча Штурма-Лиувилля
Эйлера уравнение гидродинамиче-
ское 361
Эйлера-Лагранжа уравнение 111
Эйлеровы интегралы 515-528
----второго рода 515
----первого рода 515
Эквивалентность атласов 382
— функций асимптотическая 701
Экспонента интегральная 704
— от оператора 84, 87, 88
Экстремум функции (функционала)
достаточное условие 106
----необходимое условие 106
----условный 128
Электростатики уравнения 337
Элемент (форма) объема 272
Эллиптический интеграл 464, 483,
487
Энтропия 355
Эрмитова форма 56
----невырожденная 56
----положительная 56
Явление Гиббса 640, 654
Ядро Дирихле 626, 633, 655
—	Пуассона для круга 556
—	Фейера 633
Якоби тождество 88
Якобиан замены координат общих
полярных 200
-------сферических 318
-------триортогональных 318
-------цилиндрических 318
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абель Н.Х. (Abel N.H.) 443-445,
448, 449, 453, 496
Адамар Ж. (Hadamard J.) 443, 481,
488
Александер Дж. У. (Alexander J. W.)
196
Ампер А. М. (Ampere А. М.) 278
Архимед (’ApxqiVj&rjc;) 290
Арцела Ч. (Arzela С.) 468, 470, 477
Асколи Дж. (Ascoli G.) 468, 470, 477
Банах С. (Banach S.) 43
Бернулли Д. (Bernoulli D.) 364
Бернулли И. (Bernoulli Johann) 112
Бернулли Я. (Bernoulli Jacob) 652, 746
Бессель Ф. В. (Bessel F. W.) 462, 464,
483, 487, 599
Био Ж.-Б. (Biot J.-B.) 280
Борель Э. (Borel Е.) 683
Брауэр Л. Э. Я. (Brouwer L. Е. J.) 214,
287, 377
Брунн Г. (Brunn Н.) 146
Буняковский В. Я. 57, 532
Валлис Дж. (Wallis J.) 512, 747
Ватсон (Уотсон) Дж. Н. (Watson
G. N.) 727, 744
Вейерштрасс К. Т. В. (Weierstrafi
K.Th.W.) 442, 463, 472, 477, 495,
539, 582, 634
Виртингер В. (Wirtinger W.) 654
Галилей Г. (Galilei G.) 698
Гамильтон У. Р. (Hamilton W. R.) 310
Гаусс К. Ф. (Gauss С. F.) 287, 297,
299, 300, 327, 331, 336, 337, 463,
518, 526, 555, 576, 585
Гейзенберг В. (Heisenberg W.) 694
Гёльдер О. (Holder О.) 151
Гельмгольц (фон Гельмгольц) Г. Л. Ф.
(von Helmholtz Н. L. F.) 355
Гиббс Дж. У. (Gibbs J.W.) 640, 654
Гильберт Д. (Hilbert D.) 396
Грам И.П. (Gram J.P.) 222, 592, 601
Грассман Г. Г. (Grassmann Н. G.) 374
Грин Дж. (Green G.) 281, 297, 298,
335, 554
Гурвиц A. (Hurwitz А.) 646
Даламбер Ж. (D’Alembert J.) 360
Дарбу Г. (Darboux G.) 137-139, 144,
467
Де Рам, см. Рам
Джоуль Дж. П. (Joule J. Р.) 267
Дини У. (Dini U.) 455, 500, 630
Дирак П. А. М. (Dirac Р. А. М.) 330,
546 >
Дирихле (Лежен — Дирихле) П. Г.
(Lejeune — Dirichlet Р. G.) 338,
429, 443, 445, 449, 496, 503, 513,
612, 626, 655, 665, 670, 671
Жордан К. (Jordan С.) 144-146, 150,
151, 157-159, 165, 175, 176
Ирншоу С. (Earnshaw S.) 337
786
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Кавальери Б. (Cavalieri В.) 159
Кантор Г. (Cantor G.) 34, 41, 134
Канторович Л. В. 49
Карлесон Л. (Carleson L.) 625
Карно Н. Л. С. (Carnot N. L. S.) 268
Картан Э. (Cartan Е.) 296
Кельвин (лорд Кельвин), см. Томсон
Клапейрон Э. (Clapeyron Е.) 265
Клаузиус Р. Э. (Clausius R. Е.) 269
Клейн Ф.Х. (Klein F.Ch.) 203, 381
Колмогоров А.Н. 625
Котельников В. А. 688, 689
Коши О. Л. (Cauchy A. L.) 26, 37, 57,
338, 364, 365, 436, 440, 443, 493,
532
Кронрод А. С. 280
Крылов А. Н. 639
Кулон (де Кулон) Ш. (de Coulomb
Ch.) 329, 340
Лагерр Э. (Laguerre Е.) 618
Лагранж (де Лагранж) Ж. Л. (de La-
grange J. L.) 49, 111, 128, 364
Ламе Г. (Lame G.) 316
Лаплас (де Лаплас) П. С. (de Laplace
P.S.) 312, 323, 358, 365, 692, 718,
719
Лебег А. Л. (Lebesgue Н. L.) 132, 134,
141, 144-146, 150, 167, 175, 466,
467
Лежандр А. М. (Legendre А. М.) 487,
525, 593, 614, 616
Лейбниц Г. В. (Leibniz G. W.) 161,
296, 326, 482, 551, 674
Ли С. (Lie S.) 88, 396, 414
Лиувилль Ж. (Lionville J.) 615
Лоренц Г. A. (Lorentz Н. А.) 698
Лузин Н. Н. 625
Ляпунов А. М. 612
Майер (фон Майер) Ю. Р. (von
Mayer J. R.) 267
Максвелл Дж. К. (Maxwell J. С.) 281,
296, 309, 331, 337, 366
Мёбиус А. Ф. (Mobius A.F.) 202, 385,
395
Меньшов Д. Е. 625
Милнор Дж. (Milnor J.) 394
Минковский Г. (Minkowski Н.) 146,
152, 232, 583
Морс А.Р. (Morse А.Р.) 180
Морс М.Н. (Morse М.Н.) 743, 744, 748,
752
Ньютон И. (Newton I.) 48, 297, 326,
361, 365, 674
Остроградский М.В. 287, 296, 327,
576, 577, 585
Парсеваль М. (Parseval М.) 604, 612,
623, 643, 645, 682, 683
Пикар Ш. Э. (Picard Ch. Е.) 43, 45
Пифагор (ПиОауброк;) 231, 595
Планшерель М. (Plancherel М.) 693
Пуанкаре A. (Poincare Н.) 296, 349,
416, 425, 706, 707
Пуассон С. Д. (Poisson S. D.) 267, 352,
365, 411, 510, 521, 541, 556, 582,
667, 682, 687, 692, 697
Раабе Й. Л. (Raabe J.L.) 525
Радемахер Г. A. (Rademacher Н. А.)
619
де Рам Ж. (de Rham G.) 424
Риман Б. (Riemann В.) 129-132, 365,
526, 625, 627, 632, 666, 749
Савар Ф. (Savart F.) 280
Сард A. (Sard А.) 179, 180, 281
Соболев С. Л. 547
Стеклов В. А. 612, 653
Стирлинг Дж. (Stirling J.) 527, 731,
746
Стокс Дж. Г. (Stokes G. G.) 291, 294,
296, 297, 327, 407, 413, 423
Стоун М. X. (Stone М. Н.) 475, 478
Таубер A. (Tauber А.) 466
Тейлор Б. (Taylor В.) 105, 488, 609
Томсон У., лорд Кельвин (Thomson
W., Lord Kelvin) 267, 281, 296
Уитни X. (Whitney Н.) 180, 204, 394
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
787
Уотсон, см. Ватсон
Фарадей М. (Faraday М.) 277
Федерер Г. (Federer Н.) 280
Фейер Л. (Fejer L.) 632-634, 655
Фейнман Р. (Feynman R.) 309
Френе Ж.-Ф. (Frenet J.-F.) 89
Френель О. (Fresnel А.) 513, 716
Фреше М. (Frechet М.) 14
Фубини Г. (Fubini G.) 152, 153
Фурье Ж. (Fourier J.) 587, 589, 595,
596, 608, 609, 651-654, 658-697,
744
Хаар A. (Haar А.) 619
Харди Г. X. (Hardy G. Н.) 466
Хаусдорф Ф. (Hausdorff F.) 11, 14, 15
Хевисайд О. (Heaviside О.) 548
Чебышев П. Л. 4, 592, 618
Чезаро Э. (Cesaro Е.) 465
Шварц Г. A. (Schwarz Н. А.) 231, 232
Шварц Л. (Schwartz L.) 547, 695
Шмидт Э. (Schmidt Е.) 592
Штурм Ш. (Sturm Ch.) 615
Эйлер Л. (Euler L.) Ill, 361, 510, 515,
518, 521, 524, 667, 682
Эрдейи A. (Erdelyi А.) 716, 745, 750,
752
Эрмит Ш. (Hermite Ch.) 56, 618
Якоби К. Г. Я. (Jacobi К. G. J.) 88
Владимир Антонович Зорич
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть II
Директор издательского проекта И. Ященко
Компьютерный набор А. Ахметшин, Е. Бунина,
Т. Михайлова, М.Ушаков, Д.Шварц, В.Шувалов
Верстка В. Кондратьев
Рисунки (с использованием системы MetaPost) В. Кондратьев
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000
Подписано в печать 30.09.2002. Формат 70 х 100/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ. л. 50,5
Тираж 3000. Заказ № 4574
МЦНМО
119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Типография „Новости“»
107005, Москва, ул. Фридриха Энгельса, 46