РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
НАУК
Ю.Д. БУРАГО
В. А. ЗАЛ ГАЛЛ ЕР
ВВЕДЕНИЕ
В РИМАНОВУ
ГЕОМЕТРИЮ

ББК 22.151.1
Б 91
УДК 5 J 4.764
Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука,
1994.318 с.
Монофафия написана на современном уровне и восполняет ощутимый пробел в
математической литературе по римановои геометрии в целом. Последняя находится в
стадии активного развития.
Рецензенты:
кандидат физ.-мат. наук СВ. Буяло, доктор физ.-мат. наук Н.В. Иванов
Редактор издательства М.В. Хотимская
Книга публикуется при финансовом содействии
организации PRO MATHEMATICA (Франция) —
фонда сотрудничества математиков Франции
и государств СНГ
„ 1602050000-551 ,
042(02)-94 !93-93, II полугодие
© Ю.Д. Бураго, В.А. Залгаллер, 1994
ISBN 5-02-024606-9 © Российская академия наук, 1994

ОТ АВТОРОВ
Цель этой книги дать доступное, но достаточно подробное
изложение основ римановой геометрии. Оно позволит читателю с общей
математической подготовкой овладеть техникой этого раздела
геометрии и войти в круг основных идей „римановой геометрии в
целом", главное содержание которой составляют результаты о
влиянии локальных свойств кривизны риманова многообразия на его
строение в целом. Мы вдохновлялись в начальной части примером
книги О'Нейла [126 ] о псевдоримановой геометрии, а в дальнейшей
части — книгами Громола, Клингенберга, Майера [13] и Чигера,
Эбина [68 ], которые представляются все же слишком трудными для
начинающего.
Основное внимание уделено метрическому аспекту римановой
геометрии. Изложение ведется, как правило, с полными, детальными
доказательствами. В ряде случаев они упрощены по сравнению с
приводимыми в других книгах. Понятия вводятся бескоординатным
путем, что соответствует современным традициям. Но приводятся и
координатные выражения, полезные при вычислениях. Мы избегаем
громоздких тензорных вычислений; знание читателем тензорной
алгебры не предполагается. Результаты и приемы, ставшие
общепринятыми, приводятся без ссылок на первоисточник, но некоторые
теоремы или равенства по традиции называются именами их авторов.
Исторические замечания сведены к минимуму. Звездочкой
помечены пункты или абзацы, которые при первом чтении могут быть
опущены.
Подготовленный читатель может пропустить гл. 1, в которой
приводятся в удобной для дальнейшего форме сведения из линейной
алгебры, теории гладких многообразий и накрывающих пространств.
Читателю, впервые знакомящемуся с римановой геометрией, можно
посоветовать сначала пропустить места, где аппарат теории
превалирует над геометрическими идеями. Это §9, пункты 12.4 и 14.9—
14.12, быть может §15. Важный сам по себе §16 далее не
используется. Сведения из §17 использованы лишь в некоторых примерах гл. 6,
которая опирается на материал гл. 2. Наконец, после гл. 3 главы 4 и 5
можно читать независимо.
Основы римановой геометрии (гл. 2 и 3) не дают простора в
выборе материала. Но в гл. 4—6 отдана дань интересам авторов, посколь-
3

ку невозможно охватить в одной книге все разделы римановои гео-
мегрии.
Авторы благодарят С. В. Буяло, который внимательно прочел
рукопись и сделал много замечаний, позволивших улучшить
изложение. Мы признательны французской организации „Про-математи-
ка" за поддержку издания книги. (Оно долго задерживалось по
причинам, не зависящим от авторов).

Глава 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Предполагается, что читатель владеет началами линейной
алгебры и основными понятиями топологии и теории гладких
многообразий. Но мы напомним некоторые из исходных понятий и фактов и
оговорим используемые обозначения. Доказательства в этой главе,
как правило, не приводятся, их читатель может найти во многих
книгах, например [21, 24, 35].
§ 1. Евклидово пространство
1.1. Евклидово векторное пространство.
1.1.1. Пусть К есть л-мерное векторное пространство, т.е.
множество некоторых объектов (векторов), для которых определены
действия сложения и умножения на вещественные числа с обычными
свойствами, причем в V есть п линейно независимых векторов, но
любые п + 1 векторов уже линейно зависимы. Любой упорядоченный
набор е\, ..., еп линейно независимых векторов называется базисом
пространства. При фиксации базиса каждый вектор и& V имеет един-
п
ственное разложение и = 2 и1 е,-. Коэффициенты и , ..., и1 этого
i=l
разложения называются координатами вектора и в данном базисе.
На конечномерном векторном пространстве К существует
естественная топология, в которой операции сложения и умножения на
числа непрерывны. Сходимость векторов в этой топологии есть их
покоординатная сходимость в произвольно выбранном базисе.
1.1.2. Говорят, что на V введено скалярное произведение, если
фиксирована билинейная (т.е. линейная отдельно, по каждому из
Двух аргументов), симметричная, положительно определенная
форма a :Vx K-» R . Выражения „линейная по каждому из аргументов",
»симметричная", „положительно определенная" последовательно
означают соблюдение условий
а (аи + bv, w) = а а (и, и>) + Ъ а {у, и>),
а (и, ay + bw) = aa (u,v) + ba (и, и>), (1)
5

а (и, у) = a (у, u),
(2)
a (u, u) > 0, причем a {u, u) = 0 <* и = О, (3)
при любых и, v, w 6 V; а, Ъ 6 R . Далее мы обозначаем скалярное
произведение не а(и, у), а (и, у).
Число V{u, и } называют длиной вектора и и обозначают I и I.
Легко видеть, что I и I > 0, \аи\ = \а\ \и\, I и I + \у I > \ и + у \,
кроме того, I и I = 0 <* и = 0. Задание квадратичной формы <w, w> на
всех w E V полностью определяет билинейную форму {и, у),
поскольку
(и, v) = \( \u + v I2- \u-v I2). (4)
1.1.3. Если (и1, ..., ып) и (у1, ...У1) — координаты векторов
и, у Е Vв базисе (е\, ..., еп), то ввиду (1) и (2)
и . п . п . . п . .
{и,у) = { ^ iieh 2 V1 ej) = Ц mV< <?,-, <?/) = 2 &/ "' ^> (5)
i=l /=l iV=l i,/=l
где использовано обозначение gtj :={е,-, е-.}.
В римановой геометрии и тензорном анализе часто принято
опускать знак суммы. При этом договариваются, что если в одночленной
на вид записи одинаково обозначенный индекс присутствует наверху
и внизу, то по каждому такому индексу подразумевается
суммирование. Мы будем этим пользоваться, так что (5) записываем в виде
{u,v) = giJuivJ. (6)
Поскольку форма {и, у) симметрична, а форма (и, и)
положительно определена, то матрица g := (gij) является симметричной и
неособой, т.е. gij = gji и det g^O, а все ее собственные числа
положительны.
Числа gij принято называть коэффициентами (или
координатами) „метрического тензора"* в базисе (еь ..., еп). Подчеркнем, что
координаты g^ упорядочены не линейно, а именно как элементы
матрицы размером пХп.
1.1.4. Скалярное произведение, по определению не зависящее от
выбора базиса, полностью определяется заданием матрицы (gij) в
одном базисе (ei, ..., еп). Для другого базиса (ё\, ..., е~п) новая матрица
(gij) координат матрического тензора находится по правилу
£ij = с? ej gpq (7)
*Это название связано с тем, что с точки зрения тензорной алгебры скалярное
произведение можно рассматривать как тензор второго ранга (дважды ковариантный);
однако знакомство читателя с тензорной алгеброй не предполагается.
6

Рис. I.
(по индексам р и q подразумеваются суммирования), где (с,-) есть
матрица коэффициентов в разложении новых базисных векторов по
старым: et = с,- е^ (суммирование по к). Действительно,
Sij = < eit ej> = < с? ер, с] ед> = с? с] { ер, eq) = с? с] gpq.
Если каждому базису (е\, ..., еп) сопоставлена своя матрица (gij),
так, что для любых двух базисов (е\, ..., еп), (ё\, ..., е~п) выполнены
соотношения (7), то равенство (6) задает не зависящую от выбора
базиса билинейную форму, матрица которой в любом базисе
(е\, ..., еп) есть сопоставленная ему матрица (##). Чтобы эта форма
была скалярным произведением, достаточно, чтобы хоть в одном
базисе (а значит, и в любом) матрица (gy) была симметричной, а все ее
собственные числа — положительными. Достаточно, имея эту форму
в одном базисе (ei, ..., еп), определять ее в других базисах
формулой (7).
1.1.5. Векторное л-мерное пространство V, на котором задано
скалярное произведение, называют л-мерным евклидовым
векторным пространством.
1.2. Евклидово точечное пространство.
1.2.1. Точечное л-мерное евклидово пространство Е нам удобно
представлять как тройку (Е, V, ехр), состоящую из множества Е
„точек", из л-мерного евклидова векторного пространства V и семейства
взаимно однозначных отображений ехрд: V -* Е для всевозможных
AGE. Отображение ехрд сопоставляет каждому вектору ы£ V точку
ехрл и = В, что принято записывать в форме А~В = и. При этом
предполагается выполнение аксиомы: если АВ = и, Ъ~€ = у, то
АС = и + у.
1.2.2. Евклидово векторное пространство V, на котором задано
отображение ехрд, мы будем обозначать Гд Е и называть
касательным пространством к пространству Е в точке А. При этом удобно
считать, что каждой точке АЕЕ сопоставлен свой , „экземпляр" Гд Е
пространства V.
Между касательными пространствами Гд Е, Тв Е в точках А, В
евклидова пространства Е имеется канонический изоморфизм,
называемый параллельным переносом. Этот изоморфизм действует по
7

правилу и >-» v = ехр^ ехрл(м + XZ?) (рис. 1). Он сопоставляет
каждому вектору и Е ТАЕ такой вектор v £ Гв Е, что ехр^м ехрв к = АВ.
Удобно представлять себе пространство Т& Е как совокупность
векторов, с началом в точке А.
§ 2. Гладкие многообразия
2.1. Локальные координаты.
2.1.1. Пусть Месть n-мерное топологическое многообразие.
Картой {U, h) в М называют пару из области (т.е. связного открытого
множества) UC Rn и гомеоморфизма h области U на подмножество
h(l/)CM. Каждая точка арифметического пространства Rn
считается, по определению, упорядоченным набором из п. чисел,
называемых (декартовыми) координатами этой точки.
Карта {U, h) вводит в М в пределах области h(U) локальные
координаты: координатами точки xEh(U) считается упорядоченный
набор чисел h~ lx = (я1, ..., хп)Е RV
2.1.2. При выборе карты (U, h) каждой скалярной функции
/ :М -» R, заданной на М, соответствует функция / °h, заданная в U
(рис. 2). Если аргументами / являются сами точки х(=.М, то
аргументами функции f°h служат локальные координаты (х , ..., хп) этих
точек. Нам придется часто делать такой переход от функции точки к
функции координат и обратно. Первое время мы будем обозначать
функцию от координат полностью: / °h, потом — сокращенно J, а
позже начнем, как это часто принято, писать /, отождествляя /с / °h и
рассчитывая, что читатель сам поймет, где речь идет о функции / на
М, а где — о функции от координат соответствующих точек.
2.1.3. Сопоставление каждой точке х из h(U)CM ее i-й
координаты называют i-й координатной функцией. Эту функцию
х1: h(U) -» R принято обозначать символом х1, как и саму
координату х1 = х1(х).
2.2. Гладкое многообразие.
2.2.1. Гладкое n-мерное многообразие М — это n-мерное
топологическое многообразие, обладающее дополнительной структурой —
гладко согласованным набором карт. К системе {Ша, ha)} всех карт
гладкого многообразия предъявляются три требования:
1) у ha(Ua) = М;
2) если для двух карт ha(Ua)r)hp(Up) =:V^ 0 (рис. 3), то для
множеств Ка (V) и tip (F) в R отображения Щ ° ha первого множест-
*Часто под картой (V, ip) понимают гомеоморфизм <р области V С М на область
U CU". Тогда наше h = <рЛ.
8

Рис. 2.
ва на второе и На ° hp второго на первое суть Сх-гладкие
гомеоморфизмы;
3) система карт полна в том смысле, что ее нельзя дополнить ни
одной новой картой, не нарушая свойства 2).
Говоря о картах на заданном гладком многообразии, всегда будем
иметь в виду только карты из этой системы.
Замечание. Каждая точка хЕ.Vимеет некоторые координаты
Ос , ..., хп) в карте {Ua, ha) и (х \ ..., хп) в карте (Up, hp).
Отображения ha ° hp и hp ° ha в покоординатной записи задаются п
функциями, С°°-гладкими:
*' = Jt(tifi\x\ -.., ХП)), X1 = х\На\х\ ..., ХП)),
что часто записывается сокращенно:
х1 = х\х\ ..., хп), х1 = х\х\ ..., хп). (1)
"авенства (1) называют формулами замены координат.
2.2.2. Уже для суперпозиции ha ° h$ мы встретились с необходи-
м°стью указать область ее задания. Чтобы упростить запись, усло-
вимся всегда считать, что суперпозиция гр • <р отображений <р : А -* В,
9

Рис. 3.
ip : С -» D задана на максимально возможном для нее множестве
<р~ (С)Г\А (быть может, пустом).
2.2.3. При задании гладкого многообразия достаточно указать не
все карты, а любой их набор, удовлетворяющий требованиям 1) и 2).
Такой набор карт называют атласом.
У гладкого многообразия всегда существует атлас из не более чем
счетного количества карт, притом „локально конечный" (такой, что
у каждой точки многообразия есть окрестность, которая покрывается
конечным числом карт). С каждым таким атласом связано хоть одно
разложение единицы — совокупность неотрицательных С°°-гладких
функций на М, соотнесенных картам атласа и таких, что каждая из
функций равна нулю вне области, покрытой соответствующей
картой, а сумма значений всех этих функций в каждой точке
многообразия Мравна 1 (см., например, [14; 19, т.1; 35]).
2.2.4. Замечание. Структуру гладкого «-мерного
многообразия можно вводить на множестве М, априори не имеющем
топологической структуры. Для этого в определении карт от отображений ha
требуют только взаимную однозначность. Топологию в М
определяют, принимая за базу топологии Л^-образы открытых множеств в Ua',
при этом в определение 2.2.1 добавляют требование, чтобы множест-
ва h„ (V)uhp (V) были открытыми в R (чтобы можно было говорить
10

Рис. 4.
о гладкости ha ° hp и hp ° ha). Наконец, требуют, чтобы введенная
в М топология была хаусдорфовой и имела счетную базу (для счет-
ности базы достаточно наличия не более чем счетного атласа).
2.2.5. Гладким /n-мерным подмногообразием гладкого
многообразия М называют такое подмножество NCM, что для каждой точки
P&N в полной системе карт на М(см. 2.2.1, п. 3), существует такая
карта (С/, А), что pEh(U) и множество Nf\h(U) задается в этой карте
уравнениями
Хщ+1 = хт+2 = ... = хп = 0. (2)
Такие карты (С/, h) своими первыми т координатами задают на
N атлас гладкого многообразия (рис. 4).
2.3. Гладкое отображение.
2.3.1. Непрерывное отображение <р : N -*М гладкого Л-мерного
многообразия N в «-мерное гладкое многообразие М называют
гладким, если в окрестности любой точки pGN в некоторых (а потому и в
любых допустимых) картах на N и М это отображение задается в
локальных координатах гладкими функциями. Подчеркнем, что в этом
определении размерности к и п многообразий N, М могут быть любыми.
Вряд ли читатель нуждается в примерах гладких отображений.
Уже отображение h : U -* М для отдельной карты гладкого
многообразия является таким примером.
2.3.2. Взаимно однозначное гладкое в обе стороны отображение
двух гладких многообразий называют диффеоморфизмом, а
многообразия, между которыми такое отображение можно установить, —
диффеоморфными.
2.3.3. Часто мы будем рассматривать отображения <р замкнутого
отрезка / или прямоугольника Q в гладкое многообразие М. В этих
случаях гладкость отображения <р понимается как возможность
продолжить <р до гладкого в обычном смысле отображения некоторой
окрестности отрезка / на прямой или прямоугольника Q на плоскости.
2.3.4. Гладким путем в М называют гладкое отображение
У '• [а, Ь] -*М. В локальных координатах каждая координата х1 ° у то-
11

чек пути является гладкой функцией. Точки у(а) и у(Ь) называют
началом и концом пути.
§ 3. Касательное пространство и дифференциал гладкого
отображения
3.1. Векторы.
3.1.1. Пусть у : [а < t < Ъ ] -*М — путь в М и t()E [а, Ъ ].
Обозначим Ф класс всех гладких функций, заданных на М в окрестности
точки р = y(to). Любой функции /еФ сопоставим функцию /° у
одной переменной t, определенную вблизи to. Заданный на классе Ф
функционал у' : Ф -*R , действующий по правилу
''</> = ^U,
называют вектором скорости пути у в точке tQ. Чтобы напомнить о
точке *о> часто будем вместо у' писать у'(to). Значение у'if) называют
производной в направлении вектора у' от функции/.
3.1.2. Если два пути имеют общее начало рЕМ и одинаковые
векторы скорости в начале, т.е. порождают одинаковый функционал (1),
то такие пути называют эквивалентными в точке р, т.е. вектор
скорости характеризует не конкретный путь у, а класс эквивалентных
путей.
3.1.3. Вектор скорости как функционал у', определенный
равенством (1), принадлежит к классу функционалов D, обладающих
двумя характерными свойствами: при любых f\, /г^Ф и любых Я, ц Е R
ДАЛ + fi/i) = ЯД/0+ цЩ2), D(fi /2) =Д/0/2(Р)+Л(Р) ОД. (2)
Оказывается, что всякий функционал D: Ф -* R со свойствами
(2) является вектором скорости некоторого выходящего из точки р
пути. Все такие функционалы, т.е. всевозможные векторы скорости
выходящих из р путей, называют касательными векторами
гладкого многообразия М в точке р (рис. 5).
3.2. Касательное пространство. 5
3.2.1. Для функционалов естественно определены их сложение и
умножение на числа. Свойства (2) сохраняются, когда имеющие эти
свойства функционалы складывают или умножают на числа.
Поэтому касательные кМв точке р векторы образуют векторное
пространство. Его называют касательным пространством многообразия М в
точке р и обозначают Тр М.
3.2.2. Пусть на М в окрестности точки р картой (U, И) введены
локальные координаты (х ,..., хп). Тогда из точки р на М выходят п
выделенных путей — положительные ветви координатных линий.
Функционал, которым является вектор скорости i-й координатной
линии (в данном случае в точке р), мы будем обозначать д,-; он
действует на функциях/ G Ф по правилу
12

Рис. 5.
дх1 h (P)
(3)
Векторы д\, ..., дп линейно независимы. В этом легко убедиться,
применяя каждый из них ко всем координатным функциям:
д^х1) = &i, где &i — символы Кронекера.
3.2.3. Ясно, что для любого вектора uGTpM существует путь
у : [а, Ь] -*М , для которого у(а) = р, у'(а) = и. Поэтому по теореме
о дифференцировании сложной функции имеем:
«Co = /со = -^г1 = it^°Л) °(/fl °y)=
^(7(Л0....,Л0))-2 т^
(•= 1 ах
h-lp
dt
f=a i'= 1
Рис. 6.
13

Здесь x\t) = (xl • y)(t) — координаты точки y(t). Из (4) следует, что
всякий вектор иЕ.Тр М разлагается по векторам д\.
Таким образом, векторы д\, ..., дп (рис. 6) образуют канонически
индуцированный выбором локальных координат в М базис в
пространстве Тр М, а само векторное пространство Тр М «-мерно. Числа
dx1
—j-1 являются координатами вектора у' в этом базисе. Как в
любом векторном пространстве, сложению векторов и умножению их на
число (в данном случае как функционалов) соответствует сложение
и умножение на число их координат.
3.2.4. Замечание. В литературе можно встретить различные
подходы к введению понятий векторов и касательного пространства в
точке многообразия. Нетрудно проследить естественную взаимную
связь этих подходов, делающую их результаты по существу
эквивалентными.
3.3. Касательное расслоение.
3.3.1. Пусть ТМ — множество пар (р, и), где р£.М, «G ТРМ.
Каждая карта (U, h) порождает взаимно однозначное соответствие
g: (U х Rn) -*TM, действующее по правилу
п
g (( х , ..., хп), (и , ..., и1)) = ( h (х , ..., хп), 2 и д[). (5)
Карта (U х Rn, g) вводит на множестве g(U x TRn)CTM локальные
координаты (х , ..., хп, и , ..., ип). Для счетного атласа на М такие
карты на ТМ будут удовлетворять требованиям замечания 2.2.4, и
атлас из карт (С/ х Rn, g) превращает ТМ в 2«-мерное гладкое
многообразие. Оно называется касательным расслоением многообразия
М.
3.3.2. Элементы (р, и) пространства ТМ тоже называют
векторами. Это естественно: пара (р, и) состоит из вектора и и явного
указания точки /?GM его „приложения". „Вектор" (р, и) как элемент ТМ
имеет 2« координат (однако он вовсе не является элементом 2«-мер-
ного векторного пространства).
Гладкое отображение л: ТМ-+М, действующее по правилу
л{р, и) = р, называют проектированием. Оно сопоставляет
каждому вектору из ТМ его „точку приложения". Точнее называть ТМ
пространством касательного расслоения, а касательным
расслоением — тройку (ТМ, М, я). Однако выражение „касательное
расслоение ТМ" короче.
3.4. Дифференциал отображения.
3.4.1. Пусть <р : N -»М— гладкое отображение гладкого
многообразия N в гладкое многообразие М. Каждому пути у на N
соответствует путь <р ■> у на М. Путь ip ° у можно назвать результатом
„перенесения" отображением <р пути у из N в М.
14

Рис. 7.
Каждой функции /на М, заданной в окрестности точки <р(р),
соответствует функция / • <р на N, заданная в некоторой окрестности
точки р. Функцию /° <р можно назвать результатом „перенесения"
функции / „навстречу" — из М в N отображением <р.
3.4.2. Дифференциалом dptp гладкого отображения ip в точке р
называют отображение dp<p : TpN -* Т^р) М, при котором каждому
вектору иЕ.Тр N сопоставляется вектор dp<p(u)E.Tv>^ M,
действующий на любую гладкую функцию /на М по правилу
(dp<p(u))f=u(f°<p). (6)
Если вектор и был вектором скорости пути у в точке р = y(t), то
dp (р(и) есть вектор скорости пути <р « у при том же t (рис. 7),
dPf(yV)) = to-yy(t). (7)
Индекс р в обозначении dup будем иногда опускать, если это не
влечет неясности.
3.4.3. Из (6) видно, что d(p(u + v) - dip{u) + dtpiy),
dip(au) = ad(p(u) при любых и, yGTpN, аЕЦ т. е. дифференциал djfp
гладкого отображения ip : N ->М является линейным и потому, в
частности, гладким отображением,
drf> : TpN-* ТфуМ. (8)
3.4.4. Сама карта (С/, h) служит примером гладкого отображения
h: U -+м. В этом случае функционалы д / дх' служат базисом в точке
х = (х , ..., хп) в пространстве TXU, а функционалы д,- — базисом в
пространстве Т^хуМ. Дифференциал dh сопоставляет друг другу как
Раз эти базисы:
3.4.5. Можно также рассматривать отображение всего
касательного расслоения dip : TN -»ТМ, определенное естественным прави-
15

(У
Рис. 8.
лом d(p(p, и) = (<р(р), dffp(u)). В отличие от dfl отображение
dtp : TN->ТМ, вообще говоря, не линейно, а только „послойно
линейно".
3.5. Погружение, вложение, субмерсия.
3.5.1. Если в каждой точке pEN ядро линейного отображения (8)
состоит из одного нуля, т.е. d^p является линейным изоморфизмом
пространства TpN на некоторое подпространство пространства
Т<р(р)М, то отображение (р называют (гладким) погружением
многообразия N в М. Естественно, при этом необходимым образом к =
dimN < (ШпМ=я.
В локальных координатах х , ..., х карты (V, g) на N,
содержащей точку р, и координатах у , ..., у11 карты (U, И) на М, содержащей
точку (р(р), отображение (р задается гладкими функциями
У = У(*\ ...,/); /= 1,..., и. (9)
Для того чтобы (р было погружением, необходимо и достаточно,
чтобы было Или для каждой точки pE.N ранг матрицы Якоби
1Э*7,-1 »;,-. »
равнялся к, как говорят, был максимальным.
Ранг матрицы (10) не зависит от выбора допустимых локальных
координат и называется рангом дифференциала dip отображения <р в
точке р.
3.5.2. Если отображение <р : N -*М является диффеоморфизмом
на гладкое подмногообразие <p(N), то отображение ip называют
(гладким) вложением. Это — частный случай погружения.
Рис.8 дает примеры погружений открытого отрезка в плоскость,
не являющихся вложениями. Во втором из этих примеров
отображение инъективно, но все же не является вложением.
3.5.3. Пусть к < п и в точке pEN ранг матрицы (10)
максимальный. Для определенности считаем, что именно det(dy' /дх?) при
i = 1, ..., к; j = 1, ..., к отличен от нуля. Тогда для некоторых
окрестностей Vq точки (хр, ..., х£) и £/0 точки (у1ф), ..., }$(р)) первые к
16

внений (9) однозначно и гладко разрешимы относительно
1 .. ук. Поэтому в окрестности h(Uo) точки ф(р) можно в качестве
локальных координат на М выбрать (х1, ..., х , уГ+ , ...,уп). После
этого введем на Мв той же окрестности координаты z , ..., zn,
полагая
г1-Л..., z* = **, z*+1 = /+1-/+V,-,A...,
z« = /-/(*>, ...,Д (11)
В локальных координатах z , ..., zn множество ip (g(Uo))
задается уравнениями z = ... = zn = О, т. е. является „координатной
/t-мерной плоскостью" в такой гладкой карте многообразия М. В
связи с этим (11) называют распрямляющим отображением.
3.5.4. Из 3.5.3, в частности, следует, что сужение <р \ . отобра-
"(,"0)
жения (р является вложением. Поэтому всякое погружение локально
является вложением.
3.5.5. Если при k > n ранг матрицы (10) в каждой точке
максимален, т.е. равен п, то отображение ip называется субмерсией.
Например, субмерсией является проектирование я : ТМ -*М (проверьте
сами).
§ 4. Векторные поля на многообразии
4.1. Векторное поле.
4.1.1. Говорят, что на подмножестве А гладкого многообразия М
задано векторное поле X, если каждой точке х G А сопоставлен
некоторый вектор Хх е ТХМ.
Чтобы рассматривать векторное поле X как отображение,
х >-» Хх, надо указать единое множество, которому принадлежат все
Хх: ведь разным точкам сопоставляются векторы из разных
касательных пространств. Таким множеством является касательное
расслоение ТМ (см. 3.3). Поэтому векторное поле удобно определять как
отображение
X : А-* ТМ, где А С М, (1)
обладающее дополнительным свойством: для любой точки х G А
проекция п(Хх) = х, т. е. л ° X = idA- Такие отображения называют еще
сечениями* ъТМ.
О терминах: вообще если имеется некоторое отображение л : С -* В, где В, С —
любые множества и АСВ, то отображение <р : А -» С называют сечением по
отношению к „проектированию" ж, если ж I = <р = \6а- Сечение называют
л°бальным, если А= В. Сечение есть частный случай подъема отображения,
С|*. 5.3.2.
17

4.1.2. Векторное поле X, заданное в области GCM, называется
гладким, если выполнено одно из трех равносильных утверждений:
а) векторное поле, рассматриваемое как отображение (1)
гладкого многообразия А = G в гладкое многообразие ТМ, является
гладким;
б) для любой гладкой функции / на М в области G функция X/,
определяемая равенством (Х/)(х) = XJ, является гладкой;
в) для каждой точки xEG найдется карта (U, И), в которой
координаты Х1х векторов Хх гладко зависят от координат х , ..., хп
точки х.
*4.1.3. Убедимся в равносильности а)—в). В локальных
координатах
(Х/)(х) = (4d/)/ = *W = *'(*', • • •, *") А (У • h). (2)
дх
Поскольку для гладкой / функции (д /дх1)(/° И) тоже гладкие, то из
в) следует б). Применяя (2) к координатной функции / = х/,
получаем:
(X х>)х = Х^др*) = Xjx • 1 = Х'х.
Поэтому из б) следует в). Вектор Хх как элемент пространства ТМ
имеет соответственно локальные координаты (х , ..., хп, Хх, ..., Z").
Поэтому из а) непосредственно следует в). Обратно, из в) следует,
что все функции х О Х1х — гладкие, кроме того, в М гладки функции
х О х1 , тем самым гладки все координаты вектора Хх как элемента
ТМ, т.е. из в) следует а). ■
4.1.4. Векторное поле X, определенное на множестве АСМ,
будем называть гладким, если существует хоть одно гладкое векторное
поле У, определенное на открытом множестве GDA и совпадающее
на А с X, т.е. У| = X. Такое поле У называют распространением
векторного поля X.
Пусть i: N -* М — гладкое вложение N в М. Как широко
принято, мы часто не будем различать в обозначениях многообразие N и
подмногообразие iN в М, точку xEN и ее образ ixE.M, касательное
пространство TXN и подпространство di(TxN) в Т^М. Тем самым
векторное поле ХнаЫ мы отождествляем с заданным на iN полем di(X)
в М, где (di(X))ix = dxi(Xx).
Отметим, что поле ХнаЫ является гладким тогда и только тогда,
когда гладко поле di (X) в М. Действительно, для любой точки pEN
можно в некоторой окрестности Up на М ввести такие локальные
координаты х , ..., хп, что пересечение N с этой окрестностью задается
уравнениями х + = ... = хп = 0, где к = dimN (см. 3.5.3). Посколь-
18

ку Х\х , ..., х ) = Yl(x , ..., х , О, ..., О), то из гладкости
распространенного поля Y следует гладкость X. Обратно, пусть гладко X.
Построим в ир поле Yp, полагая (УРУ (х , ..., хп) = X1Ос , ..., х ).
Затем по таким полям для разных карт {Up} в М, покрывающих N, с
помощью разложения единицы {/,} построим поле Y = У /,- Ур.. Оно
/'
будет гладким распространением поля X.
4.2. Пространство векторных полей. Заданные на одном
множестве А С М векторные поля X, Y можно складывать и умножать на
постоянные числа по правилу (аХ + bY)x = аХх + bYx, где a, bETR.
Относительно этих действий векторные поля на А образуют
линейное пространство. Кроме того, векторные поля на АСМ можно
умножать на функции, полагая
(/Х)х = /(*) Хх. (3)
В смысле этих действий векторные поля образуют модуль над
кольцом функций на А.
Линейное пространство (над R) гладких векторных полей на М
мы будем обозначать X. Гладкие поля образуют модуль над кольцом
гладких функций.
4.3. Скобка Ли.
4.3.1. Напомним, что векторное пространство V с определенной
на нем бинарной операцией [ , ] (называемой скобкой Ли) называют
алгеброй Ли, если для любых и, v, wE. Vn a, bETR выполняются
аксиомы:
1) кососимметричность [и, v] = -[v, и];
2) линейность [аи + bv, w ] = а [и, w ] + Ъ \v, w ]; (4)
3) тождество Якоби [ [и, v], w] + [ [v, w], и ] + [ [w, и ], v] = 0.
Подчеркнем, что ассоциативность не требуется.*
Примером алгебры Ли служит евклидово векторное пространство
R с операцией обычного векторного произведения. Уже в этом
примере операция [, ] не обладает ассоциативностью.
4.3.2. Каждым двум гладким векторным полям в области GCM и
точке xE.G сопоставляют функционал [X, Y]x, действующий на
гладкие функции по правилу
[X, Y\xf= Xx( Yf) - Yx(Xf). (5)
Этот функционал, как нетрудно проверить, обладает свойствами (2)
из 3.1.3 и потому сам является вектором. Последнее видно и
непосредственно из рассмотрения действия этого функционала в
локальных координатах. Действительно,
*Более того, ввиду 1) и 3) ассоциативность означала бы, что [ [и, v]w] - 0 для лю-
бьк и, v, w.
19

IX, Y\J = X^Y1 dif) - Y^X1 dif) =
= Xix{djYi)dif + Xitidjdif- YJx(djXi)dif-Y'xXixdjdif =
= (XJdjYi-YJ'djXi)xdif, (6)
поскольку
X1 Y dj dif- Y* X1 dj dif = X1 Y>
1 д2Т д2Т
d*W дх/дх'
= 0.
Напомним, что черта над буквой указывает на переход к функции от
координат.
Из (6) ясно, что функционал [X, Y ]х действует на/так же, как
линейная комбинация векторов д,-. Поэтому [X, Y]x — вектор, а его
координаты в базисе д\, ..., дп суть
[X, Y]x=(XIdjYi-YjdjXi)x
дх? дх>
(7)
Таким образом, каждым двум гладким векторным полям X, Y G X
на М (или в области G С М) сопоставляется новое векторное поле
[X, Y]. Его называют скобкой Ли векторных полей X и Y*
Векторное пространство X с определенной на нем скобкой Ли
образует алгебру Ли. (Кососимметричность и линейность очевидны из
определения (5); тождество Якоби тоже легко выводится из (5)). Эту
алгебру называют алгеброй Ли векторных полей.
*4.3.3. Если векторные поля X, Y были С -гладкими, то их скобка
Ли образует С ~ -гладкое векторное поле. Поэтому, хотя скобка Ли
1 k
определена даже для С -гладких полей, векторное пространство С -
гладких векторных полей при k < оо не образует алгебру Ли, ибо
операция взятия скобки Ли в этом случае не может быть повторена
более к раз.
4.3.4. Отметим некоторые свойства скобки Ли, используемые в
дальнейшем.
а. Для базисных полей любой локальной системы координат
[3/, 3/1-0. (8)
Действительно, векторные поля X = dj имеют локальные
координаты X1 = dj, где dj — символ Кронекера. Поэтому все дХ'/дхк = 0 и
из (6) следует [д,-, д,] = 0. ■
"Проверьте, что операция/ О Xx(Yf) вектором не является.
20

б. Для любых X, Y Е X и гладкой функции <р
[X, <pY]x = <p(x)[X, Y]x+ (Хх<p)Yx. (9)
Это непосредственно проверяется из определения (5).
в. Если N — вложенное подмногообразие в М и X, Y — гладкие
векторные поля на N, a X, Y, — их распространения в окрестность
подмногообразия N в М, то при xEN
[X, Y]x = [X, Y ]x. (10)
В частности, отсюда следует, что [X, Y ]ХЕ Тх N.
Действительно, выберем в некоторой окрестности Up точки pEN
такие локальные координаты х , ..., хп ъ N, чтобы N П1/р задавалось
уравнениями х + = ... = хп = 0, где к = diniN (см. 3.5.3). Поля
dj, ..., dfr — базисные на N вблизи р, adj, ...,Jn — наМ.
Поскольку X — векторное поле на N, а X — его
распространение, то во всех точках xEN для координат векторов этих полей
Х\х\ ..., /, 0, ..., 0) = Х\х\ ..., **) = 0 при у = к + 1, ..., п*
Отсюда в точках xEN
—г = —г = 0 при i = к + 1, ..., п; у = 1, ..., к.
дх/ дх/
То же верно для полей У, Y. Отсюда по (6) имеем:
[х, y ]х= 2 2 (*ч?'->4*'),*<• =
= 2 2 [XJ dj Y1 - Y* djX1 ) di= [X, Y]x.m
i=l j=\
*4.3.5. Скобка Ли характеризует некоммутативность сдвигов
*3десь мы, не меняя обозначений, перешли от функций точек на М к функциям
от координат этих точек.
21

вдоль интегральных линий векторных полей X и У (рис. 9). Она
играет важную роль в вопросе об интегрируемости полей р-мерных
площадок. По этим вопросам см., например, §5 гл.З учебника Стернбер-
га [38 ].
§ 5. Ориентация. Фундаментальная группа. Накрытие
5.1. Ориентация.
5.1.1. В зоне пересечения двух карт гладкого многообразия М
существуют две системы координат, пусть это (х , ..., х ) в первой
карте и (х ',..., хп) во второй. При этом существуют гладкие функции
перехода от одних координат к другим х1 = х\ х ,...,хп),
х' = х1(х\ ..., хп) (см. 2.2.1), и потому в каждой точке отличен от
нуля якобиан
det
дх'
ЭУ
* 0. (1)
5.1..2.Ориентировать многообразие М значит сопоставить
каждой его карте знак „плюс" или „минус" так, что любым двум
перекрывающимся картам будут приписаны одинаковые знаки, если хотя
бы в одной точке перекрытия якобиан (1) положителен, и
противоположные — если хотя бы в одной точке перекрытия якобиан (1)
отрицателен.
Если многообразие М можно ориентировать, его называют
ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Чтобы
ориентировать многообразие, достаточно сопоставить знаки „плюс" и
„минус" по указанным правилам картам одного атласа. На
ориентируемом многообразии всегда можно выбрать атлас, всем картам
которого сопоставлен плюс. Ориентируемое связное многообразие М
допускает ровно две ориентации: они различаются только тем, что
знаки „плюс" и „минус" меняются местами.
5.1.3. Поскольку каждая карта (U, К), содержащая точку р,
своими локальными координатами Ос , ..., хп) канонически индуцирует в
ТРМ базис di, ..., дп, то, приписывая карте знак „плюс" или
„минус", мы сопоставляем этот знак также базису дi, ..., дп и потому
ориентируем касательное пространство ТрМ, т.е. все базисы ТрМ
разбиваем на Два класса: положительно и отрицательно ориентированные.
Обратно, если хотя бы в одной точке рЕ h(U) мы выбрали какой-
то базис в ТрМ и назвали его положительно ориентированным, то
тем самым мы приписали некоторые ориентации всем базисам в
ТрМ, в частности базису д i, ..., дп, а через него — и карте (U, И).
5.1.4. Пусть у : [0, 1 ] -» М — петля, т. е. гладкий замкнутый
путь. Вдоль отображения у всегда можно задать п непрерывных
векторных полей Х\, ..., Хп (о понятии векторного поля вдоль
отображения см. 9.1), так, что при каждом tE [0,1] векторы
X[(t), i: = 1, ..., п, образуют базис в пространстве Ту^М.
22

Рис. 10.
Замкнутый путь у с у(0) = у(1) = р называется
дезориентирующим, если в пространстве ТрМ базисы (^i(O), ..., Хп(0)) и
(Х\(\), ..., Хп(1)) имеют различную ориентацию (рис. 10). В
ориентируемом многообразии М не существует дезориентирующих
замкнутых путей. В неориентируемом М такие пути всегда существуют
(см. [13]).
5.1.5. Два пути, у\ : [0, 1 ] -»М, уг : [0, 1 ] -» М, называются
свободно гомотопными друг другу, если один можно непрерывно проде-
формировать в другой, точнее, если существует такое непрерывное
отображение
А:[0<*<1]х[0<г<1] -*М, (2)
называемое гомотопией, что h(t, 0) = yi(t), h(t, 1) = y2(f) при всех
te [0,1 ].
Если кусочно-гладкие пути у i и у2 гомотопны, то они допускают
кусочно-гладкую гомотопию h, притом сколь угодно близкую к
исходной. Если у\ — дезориентирующий замкнутый путь, то и любой
гомотопный ему путь у2 является дезориентирующим.
5.2. Фундаментальная группа.
5.2.1. Две петли, у\ : [0, 1 ] -»М, уг : [0, 1 ] -* М, с общим
началом yi(0) = yi(l) = уг(0) = Уг(1) = Р называются связанно
гомотопными, если существует соединяющая их гомотопия (2) с
дополнительным требованием h (0, г) = h (1, г) = р при всех г G [0, 1 ]
(рис. 11).
Элементами фундаментальной группы, ее обозначают Я\(М, р),
являются классы связанно гомотопных друг другу петель с началом
Р Е М. Произведением двух элементов, т.е. классов, представителя-
23

РИС. 11.
ми которых служат пути у\ и у г, называют класс, которому
принадлежит путь у 1 у2 : [0, 1 ] -*М , определяемый правилом
v v (t\-iYl(2t) ПРИ 0<**W2,
Yimt)~ \y2(2t-l) при 1/2< *< 1.
Единицей группы служит класс „стягиваемых" петель, т.е. петель,
связанно гомотопных постоянному пути: y(t) = р при всех tE. [О, 1 ].
Обратным элементом для класса петли y\(t) является класс петли
yiO-0-
5.2.2. В линейно связном топологическом пространстве М, в
частности в любом связном многообразии М, между группами Л\(М, p) с
разными начальными точками р всегда существуют изоморфизмы.
Поэтому для таких М часто говорят просто о фундаментальной
группе Я\(М).
5.2.3. Топологическое пространство М называют односвязным,
если оно линейно связно и его фундаментальная группа тривиальна,
т.е. в нем все петли стягиваемы. Односвязное гладкое многообразие
М всегда ориентируемо. Действительно, неориентируемое
многообразие содержит дезориентирующий замкнутый путь, а последний
всегда нестягиваем.
5.3. Накрытие.
5.3.1. Непрерывное отображение р : X -*В топологического
пространства X в топологическое пространство В называют накрытием,
если каждая точка ЬЕВ обладает такой окрестностью Uj,, что ее
полный прообраз р (1/ь) есть объединение непересекающихся открытых
в X множеств ga, и сужение отображения р на каждое ga является
гомеоморфизмом р \ : ga -* Ub (рис. 12). Окрестности Uj, называют пра-
вильными, X — накрывающим пространством, В — базой, р —
проекцией.
5.3.2. Справедливы следующие утверждения.
Для любого пути у : [0, 1 ] -*В с началом у(0) = а и точки
24

?-»
[О
О*
ю
C2V»
Рис. 12.
с*
Рис. 13.
xqE-P (а) существует, притом единственный, путь tp : [О, 1 ] -*Х с
началом хо, „накрывающий" путь у, т.е. такой, что р ° <p(t) = y(t)
при всех tE [О, 1 ].
Переход от у к <р называют подъемом с началом *о пути у. Для
данного отображения р : С -*В отображение g: A -» С называют
подъемом отображения g: Л -»# , если р °g = g.
Пусть р : X -*В — накрытие. Если точки а и Ъ базы В соединены
двумя путями, У\,у2, и у>ьу>2 — их подъемы с общим началом
хоЕр (а), то концы f\{b), (р2{Щ путей <р\, <р2, хотя и принадлежат
р (А), не обязаны совпадать (рис. 13). Однако если пути уь у2 были
связно гомотопны (при закрепленных концах), то и <р\, <р2 связанно
гомотопны. И потому, в частности, кончаются в одной точке.
5.3.3. Ясно, что петля с началом *о в пространстве X переводится
проекцией р в петлю с началом p(xq) = а в базе В. При этом
гомотопные петли переходят в гомотопные.
Отсюда с учетом 5.3.2 следует, что фундаментальная группа
л\(Х, хо) накрывающего пространства изоморфна подгруппе группы
л\(В, p(xq)) — подгруппе из классов именно тех петель, которые не
разрываются при подъеме в X с началом хо- Это отображение
л\(Х, xq) в Я\(В, p(xq)) обозначаютр» .
5.3.4. Далее считаем X линейно связным. Если подгруппа из
классов петель с началом аЕ. В, которые не размыкаются при
подъеме с началом хо, не зависит от выбора точки хо&р (а), то накрытие
р : X -*В называют нормальным (или регулярным). На рис. 14 изо-
25

Рис. 14.
бражен пример накрытия, не являющегося нормальным (петля у с
началом а не размыкается при подъеме с началом х\ и размыкается
при подъеме с началом Х2 или х$).
Для того чтобы накрытие было нормальным, необходимо и
достаточно, чтобы подгруппа р*(я\(Х, хо)) была в Л\(В, р(хо))
нормальным делителем.
5.3.5. Накрытие называют универсальным, если накрывающее
пространство односвязно. Универсальное накрытие, очевидно,
является нормальным.
5.3.6. У каждого связного многообразия М существует
универсальное накрывающее пространство М , являющееся многообразием
той же размерности.
5.3.7. Связное неориентируемое многообразие всегда имеет, тоже
связное, ориентируемое двулистное накрытие.
Утверждения 5.3.6, 5.3.7 являются частными случаями общей
теоремы о существовании при соблюдении необходимых условий
накрытия с данной группой (см. [21, 24, 11 ]).
5.3.8. Пусть р : Х- -*В — накрытие гладкого многообразия В
топологическим пространством X и (Ua, ha) — атлас на В. Для каждой
точки ЬЕ.В можно выбрать правильную окрестность, содержащуюся
в одной карте атласа; ha -прообразы всех таких окрестностей (в
соответствующих картах) вместе с сужениями на них отображений ha
составят на В новый атлас (Vg, hg). Для этого атласа каждая область
Ug = hJVg), покрываемая одной картой, будет в В правильной
окрестностью.
Прообразы р~ (ug) распадаются на компоненты gy („листы" на-
26

крытия областей Ug ). Карты {Vg, pv ° hB), где ру — отображение
именно на gy, составят атлас на X. Он превращает X в гладкое
многообразие. При этом р становится гладким отображением (и
локально — диффеоморфизмом). Такое накрытие называют
дифференцируемым. (По этому и следующему пункту смотри литературу [21,
24,11]).
5.4. Действие группы и накрытие.
5.4.1. Говорят, что группа G действует на гладком многообразии
Л/ диффеоморфизмами, если для любого gEG определен
диффеоморфизм ~g: М -*М так, что gh~(x) = ~g ( Щх)) и ~ё\х) = х для любых хЕМ;
g, hEG; e — единица группы. Иными словами, имеется гомоморфизм
группы G в группу diffM диффеоморфизмов многообразия М. (Если
М — риманово многообразие (см. § 6) и все ~g — изометрии, то
говорят, что группа G действует на М изометриями). В дальнейшем
диффеоморфизмы (или изометрии) ~g будем отождествлять с
соответствующими элементами группы G и обозначать просто g.
Действие группы называется свободным или „не имеющим
неподвижных точек", если g(x) * х для любого gEG, g * е, при любом
хЕМ. Ясно, что свободное действие всегда эффективно, т.е. g(x) = х
при всех хЕМ влечет g = е. Наконец, говорят, что группа G действует
на М вполне разрывно, если для любого компакта QCM пересечения
g(Q) l~l Q непусты только для конечного числа элементов gEG.
5.4.2. Орбитой точки хЕМ называется множество О(х) =
= {g(x) | gEG}. В случае свободно и вполне разрывно действующей
группы G орбита любой точки является дискретным множеством.
При этом cardO(x) = cardG.
5.4.3. Рассмотрим фактор-пространство M/G, т.е.
пространство, элементами которого служат орбиты точек М, а топология —
„сильнейшая" из всех, для которых проектирование р : х -*0{х)
непрерывно, т.е. открытыми считаются те множества, прообразы
которых открыты,
Имеет место следующая простая теорема. Если группа G
действует на М свободно и вполне разрывно, то проектирование
р : М -» М/G = N есть нормальное накрытие. В частности, если
М — односвязно, то р — универсальное накрытие.
При этом р переносит на ./V структуру гладкого многообразия, так
что проектирование р оказывается дифференцируемым накрытием.
5.4.4. Обратно, если р : М -*N — нормальное (в частности,
универсальное) накрытие, то для фактор-группы G =
= 7t\(N) /р*(ж\(М)) (ее называют группой скольжения) условием
Р ° g(x) ~ Р{х)-> g^G> xEM, определено единственное действие на М.
Это действие свободно и вполне разрывно. При этом на каждом слое
Р (у), yEN, группа G действует транзитивно, т.е. для любых
х\, Х2Ер~ (у) существует такое gEG, что g(x\) = X2-
5.4.5. Накрытия р : X -*В ид : Y -*В называются
эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм <р : X -» Y , что р = q - <р.
Универсальное накрытие единственно с точностью до эквивалентно-
27

сти. Если накрытия р, q — дифференцируемые, то <р —
диффеоморфизм.
Каждой эквивалентности <р нормального накрытия р : М -*N
самому себе можно естественно сопоставить действие группы
скольжения G на М; при этом эквивалентности нормального накрытия
образуют группу, антиизоморфную G, а в случае универсального
накрытия — антиизоморфную Л\ (N).*
*Биекцию / группы G на группу Я называют антиизоморфизмом , если
Л**)-ДА)Да).

Глава 2
ОСНОВЫ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 6. Риманово многообразие
6.1. Риманова структура.
6.1.1. Говорят, что на гладком многообразии М задана риманова
структура, если в каждом касательном пространстве ТХМ
определено скалярное произведение ( ,), гладко зависящее от точки х.
Последнее означает, что для любых гладких векторных полей X, Yb M
функция {X, Y) на М является гладкой. Романовым многообразием
будем называть связное гладкое многообразие М, на котором задана
риманова структура. Как правило, мы будем предполагать, что
размерность dim M > 2, не оговаривая это специально.
6.1.2.В локальных координатах (U, К) на М для любой точки
х £ h(U) имеем:
(X, Y)x= {X1 di, У dj )x = Xx Y*x (dh dj )x = gij (x )XixYjx, (1)
где di — базисные векторы в координатах (U, h) в точке х, а через
gij (x) обозначены {дп dj )x. Значения g^ (x) называют
коэффициентами (или координатами) „метрического тензора" риманова
многообразия М в точке х в координатах (U, h).
Из (1) очевидно, что, для того чтобы функция {X, Y) на М была
гладкой для любых гладких векторных полей X, У, необходимо и
достаточно, чтобы были гладкими все функции gij или, что
равносильно, функцииgy = gij ° h локальных координат (х , ..., хп).
6.1.3. Два римановых многообразия М\, Mi называют изомет-
ричными, если между ними можно установить такой
диффеоморфизм <р : М\ -» Мг, что для любой точки х £ М\ и любых векторов
и, v £ Тх М
<"> v )мх = (d<f> (u),d<p(v) )щ.
При этом само отображение <р называют изометрией.
Если <р — изометрия, (U, h) — карта в М\, а Ш, <р ° А) — карта в
29

Мг, то значения функций g,y координат х , ..., хп в этих картах
одинаковы.
6.2. Примеры.
6.2.1. Простейший пример риманова многообразия — евклидово
точечное пространство.
6.2.2. Пусть U — область в R" с координатами х , ..., хп и gy —
заданные в U гладкие функции, причем такие, что для любого х Е U
значения #/(х), i, j = 1, ..., п, служат коэффициентами
положительно определенной квадратичной формы. Тогда определение
(u,v):=gij(x)uV (2)
для и, к£ Тх Uпревращает Uв риманово многообразие.
6.2.3. Пусть М — гладкое многообразие и (Uk, h^) — его
локально конечный атлас с не более чем счетным количеством карт.
Задавая в каждой области АЛ (1/Л) свои коэффициенты щ.' (х )
метрического тензора, а затем образуя единые коэффициенты с помощью
разложения единицы (см. 2.2.3)
*tf(*)= 2Mx)gf(x), (3)
к
получим по правилу (2) риманову структуру на всем М. Это
показывает, что риманову структуру можно задавать на любом гладком
многообразии, притом с большой степенью произвола.
6.2.4. Пусть Ф — гладкая регулярная поверхность в Ег. Для
каждой ее точки на векторах касательной плоскости определено
скалярное произведение (,) как скалярное произведение в Ег, суженное на
пары векторов касательной плоскости. Это сужение называют первой
основной формой поверхности в рассматриваемой -точке.
(Свойства поверхности Ф, зависящие только от этой римановой структуры,
называют внутренней геометрией поверхности). Если Ф задается ре-
. 12
гулярнои вектор-функцией г от локальных координат х , х , то
£11 = (п, П ), £12 = {П,г2), £22 = (Г2, П), где г,- = дг/дх1. В теории
поверхностей, следуя Гауссу, часто обозначают E = g\\, F = g\2,
G - g22-
6.2.5. Обобщением предыдущего примера является естественное
индуцирование римановой структуры на любом гладком
многообразии М размерности к < п при его погружении <р : М -» Ef1 в
евклидово пространство. Для каждой точки х Е М и векторов u,vETxM
индуцированное погружением <р скалярное произведение
определяют равенством
(и, v )х := (dx <p(u ), dx ф) )jf. (4)
Замечание. В теории гладких многообразий доказывается,
30

что всякое ^-мерное многообразие М можно (многими способами)
вложить в евклидово пространство достаточно большой размерности
(теорема Уитни). Это вновь ведет к возможности задавать на любом
М риманову структуру.
6.2.6. Аналогично предыдущему погружение <р : N -» М £-мерно-
го многообразия N в л-мерное (к < п) риманово многообразие М
индуцирует по правилу (4) скалярные произведения на всех Тх N.
Только на этот раз в (4) справа стоит скалярное произведение не в
Ef1, а в Тф) М.
6.2.7. Пусть М, N — римановы многообразия. У их прямого
топологического произведения М х N в каждой точке (х, у) касательное
пространство Т(х,у) (.М х N ) канонически изоморфно прямому
произведению ТХМ х Ту N. Поэтому каждый касательный вектор
w £ Т(х,у) (М х N) представим в виде w = (и, v ), где и £ Тх М,
v £ Ту N. В М х N полагают, по определению,
(w\, W2) := (и\, Ы2> + (v\, V2)- (5)
Риманово многообразие М х N с введенными равенством (5)
скалярными произведениями называют прямым метрическим
произведением многообразий М и N. Например, прямой „плоский тор"
Т2 = S1 х S1. Аналогично л-мерныйтор 7м = S1 x...x S1.
*6.2.8. Другой подход к плоским торам: фактор-пространство ев-
клидовой плоскости Е подействиюабелевойгруппыЖ+Ж
параллельных переносов с двумя непараллельными переносами в роли
образующих группы; плоский тор будет прямым, если эти образующие
перпендикулярны друг другу.
6.2.9. Пусть р: X -* В — накрытие риманова многообразия В
связным топологическим пространством X. Как описано в 5.3.8, при
этом на X поднимается с В структура гладкого многообразия.
Отображение р становится погружением. Погружение р индуцирует (см.
6.2.6) в X риманову структуру. При этом отображение р локально
оказывается изометрией. Такое накрытие называют римановым
накрытием.
6.2.10. Примеры римановых структур на группах Ли читатель
найдет в §29 и §30.
6.3. Длина.
6.3.1. Пусть у : [а, Ь]-* М — кусочно-гладкий путь в римановом
многообразии М. При каждом t £ [а, Ъ ] определен вектор скорости
у'(О (на стыке участков гладкости пути — два односторонних
вектора скорости). „_^__^
Вектор у' имеет длину \у'\ = V {у', у' ). Длина s (у ) пути у
определяется равенством
ь ь
s(Y):= /ly'(OI^=/V (Y'(t),y\t)) dt. (6)
a a
Введенная таким образом длина пути обладает привычными свойст-
31

вами длины: она неотрицательна, аддитивна при разбиении пути на
участки, сохраняется при строго монотонной кусочно-гладкой
замене параметра. Это следует из обычных свойств интеграла (6).
В локальных координатах правая часть (6) принимает вид
Ь . ,
s(Y) = / V lij{dxlldt) (dxlldt) dt. (7)
a
Здесь xl (t) — уравнения кривой у ° А, а черта над gy напоминает,
что рассматриваются функции координат х , ..., хп, т. е. ~gy = gy • h.
6.3.2. Если рассматривать длину s (t) сужения у I . пути у на
участок [0, t ], то по общей формуле (7)
t ,
s (О = / V gij (dxl I dt) (dx> I dt) dt. (8)
a
Дифференцируя (8) no t, домножая на dt и возводя в квадрат,
получаем традиционную запись
ds2 = gy dx1 dx/, (9)
объясняющую точку зрения на первую квадратичную форму как на
квадрат элемента длины дуги.
6.3.3. Строго говоря, формула (7) имеет смысл только тогда,
когда весь путь у содержится в одной карте у([а, b ]) С HJU). Однако
всегда можно разбить у на участки, каждый из которых содержится в
одной карте, и применять (7) к этим участкам. Поэтому, используя
запись (7), мы всегда неявно подразумеваем, что правая часть (7)
может представлять собой сумму интегралов по участкам пути,
лежащим каждый в своей карте.
6.4. Метрика.
6.4.1. Пусть М — риманово многообразие. Оно по определению
связно. В связном гладком многообразии любые две точки
соединимы гладким путем. Назовем расстоянием между точками р, q G М
число
р(р, q ) = inf s(y ), (10)
где inf берется по всем кусочно-гладким путям у, соединяющим pcq.
6.4.2. Теорема. Функция р, определенная равенством (10),
является метрикой на М, т. е.: l)p(p, q ) > 0, 2) р(р, q) = p(q, p),
3) р(р, I) + p(l, q ) > р(р, q ), 4) р{р, р ) = 0, 5) если р * q, то
р{р, q)>0.
Функцию р называют римановой метрикой.
Свойства 1)—4) совсем очевидны. Остановимся на свойстве 5).
Пусть р * q, рассмотрим карту (I/, h ), для которой р G h (I/ ). Пусть
В = Bih~ р, г) — шар в UС R" с центром h~lp и настолько ма-
32

дым радиусом г > О, что его замыкание В С U, и даже если
q G h(U), то h~l q & В. Пусть теперь у : [а, Ъ ] -*■ М —
произвольный кусочно-гладкий путь, соединяющий ред. Обозначим t$ =
= inf{* G [a, b ]l A-1 • (у (* )) £ £}. При этом to * а и to * Ь, так как
A~V £ В ,ГГ1д& В. Для пути у0 = УI [а t] имеем:
'о _ __
s(Yo) = S V gij(dxi/dt)(dxJ/dt) dt.
а
Под знаком корня стоит значение зависящей от точки х G В
квадратичной формы Ах(£, £ ) = gjy £' ^ в точке х = h~ (у (t)) на векторе
£ G R" с координатами £' = dxl/dt.
Экстремальные значения формы Ах на единичных векторах —
это собственные значения матрицы (gij) в точке х. Все собственные
значения положительны. Обозначим Х\(х ) > О наименьшее из них,
Хо = inf {Ai(jc ) Ijc G В). Поскольку в компактной области В
непрерывная функция Х\{х ) достигает минимума, то Aq > 0. Поэтому для
любого х Е Ви любого £ будет А^, £ ) > Ао£ .
Теперь имеем:
s(y)>s (у0) ^ /( Ао f ( ^) 2) 1/2Л - ^ /( f ( ^)2) U2dt.
a i=l a i=l
Стоящий справа интеграл есть длина пути й-1 • уо в евклидовой
метрике пространства R". Этот путь соединяет центр шара В с его
границей, поэтому длина пути не меньше г. В итоге s(y ) 5: VXo г. Ш
6.4.3. Задача. Доказать, что функция р : М х М -» R
непрерывна. (В силу неравенства треугольника достаточно проверить, что
р (xi, х ) -*■ 0 при сходимости х;-»хв топологии многообразия М).
6.4.4. Погружение <р : N -* М риманова многообразия N в рима-
ново многообразие М (в частности, в £") называют изометрическим,
если индуцированные погружением у> скалярные произведения
совпадают с теми, которые были на N, т.е. для любых х Е N и
и, v G TXN
(dx <р (и ), dx<p(v))M = (и, v )N. (11)
Каждому пути у в N отвечает путь <р ° у в М. Если мы
отождествляем # с у>(# ), что часто делают, когда <р — вложение, то у
отождествляется с <р ' у. При этом в силу (11) длина такого пути одинакова,
измеряется ли она в N или в М.
33

Рис. 15.
Подчеркнем, что, несмотря на это, расстояния между парами
точек р, q в N и их образами <p(p),<p(q) в М, как правило, различны.
Это связано с тем, что в определении расстояния (10) для метрик на
N ина М являются разными классы допустимых путей (для М класс
более богатый). Поэтому на парах точек р, q погруженного в римано-
во многообразие М многообразия N есть две метрики:
индуцированная погружением (см. 6.2.6) внутренняя метрикар и сужение р
метрики объемлющего многообразия М на подмножество <p(N).
Например, на поверхности сферы S в Ег расстояние р(р, q ) во внутренней
метрике равно длине кратчайшей дуги pq большого круга на сфере,
а расстояниер*(р, q) равно длине хорды pq в пространстве.
6.4.5. Задача. Определить, какую область на сфере S
покрывает карта географических координат (рис. 15, а): широта
-90° < <р < 90° и долгота -180° < Я < 180°. Почему нельзя покрыть
S одной картой? Какую область на S покрывает карта (£/, h ), если
U = R , ah: R -» S — обратная стереографическая проекция (рис.
15, б)? Как выглядит линейный элемент единичной сферы для
каждой из этих двух карт?
6.4.6. Задача. Рассмотрим две модели плоскости Лобачевского
2 2
(кривизны -к): 1) открытый круг u + v < 1 комплексной
плоскости w = и + iv, в котором линейный элемент определен равенством
ds = 4 (du2 + dv2) lk(\ - и2 - v2)2; 2) верхняя полуплоскость у > 0
комплексной плоскости z = х + iy с линейным элементом
ds = (dx + dy) Iky2. Докажите, что отображение <р первой модели
на вторую, действующее по правилу z = <р (w) = (1 + w) Ц(\ - w),
является изометрией.
34

6.5. Объем.
6.5.1. Пусть h: U -» М — карта в римановом многообразии М, где
U — область Rre с декартовыми координатами (х1, ..., хп). Тогда в U
определена функция g = det (gtJ), где gy = (d,- dj).
Отображению h: U-*■ M в каждой точке х = (x , ..., x11) £ U
сопутствует отображение dxh : T^Rre -» T^x^ M. При линейном
отображении dxh единичный куб, ребрами которого служат базисные
векторы ей переходит в косоугольный параллелепипед со сторонами д,-.
При этом объем меняется в -fg раз (Vg является якобианом
отображения dxh). Поэтому естественно так определить объем в М, чтобы
Vg характеризовал искажение объема в „бесконечно малой"
окрестности точки хС U при переходе к соответствующей окрестности
точки h(x) £ М. Это подводит к следующему определению объема в М.
6.5.2. Объемом VoLC измеримого подмножества ЕС h(U) С М
называется интеграл Лебега
VolE:= / Vgdx^.-dx!1.
к\е)
Для любого измеримого множества ЕС. М объем VoLE определяется
как V Vol Ei, где Е = U£;, множества E-t попарно не пересекаются,
i
измеримы и каждое содержится в одной карте.
Из свойств интеграла Лебега следует, что определение объема не
зависит от выбора локальных координат, а также что объем
(конечный или бесконечный) определен на кольце всех измеримых
подмножеств вМи вполне аддитивен.
§ 7. Линейные связности
7.1. Наводящие соображения.
7.1.1. В евклидовом пространстве Ef1 определен (см. 1.2.2)
параллельный перенос Ри: Ef1 -» Ef1 на любой вектор и. Дифференциал
dx Ри этого отображения в точке х £ Ef1 осуществляет линейный
изоморфизм Тх Еп на Ту Еп, где у = Ри (х). Этот изоморфизм транзити-
вен в том смысле, что dx Pu+V = dyPv° dx Pu.
Наличие канонического отображения d Р : Тх Ef1 -*■ Ту Ef1
касательных пространств позволяет для евклидова пространства дать
инвариантное (не зависящее от выбора координат) определение
производной векторного поля X в направлении данного вектора и.
Именно, пусть через точку х Е. Ef1 в направлении вектора и проходит
прямолинейный путь y{t) = х + (t— to)u и пусть поле X определено в
35

окрестности точки хЕ Ef1, тогда производная (Vtt X )х поля X в точке
х в направлении и определяется равенством
(Vtt X)x= lim -±- (Pj0 *у(0 -Хх), (1)
где Pt° — параллельный перенос из точки y(t) в точку y(to) = х. В
локальных координатах (U, h) на Ef1 (не обязательно декартовых)
(Vtt*)* =
И г д
5 X
(2)
(суммирование по i и по /). Здесь и1 — координаты вектора и в
базисе {dj} в точке х, a XJ = XJ ° h, где -Ху — координатные функции
поля X.
ПАЛ. Для гладкого многообразия М, отличного от Ef1, отсутствие
параллельного переноса делает определение (1) лишенным смысла, а
правая часть (2) не может служить определением геометрического
понятия, поскольку она изменяется при замене координат. Чтобы
корректно определить на гладком многообразии М производную
векторного поля в данном направлении, необходимо снабдить М
некоторой дополнительной структурой, которая позволяла бы сопоставлять
друг другу элементы касательных пространств в разных точках
идущего в этом направлении пути.
Векторное поле вдоль пути в М можно рассматривать как путь в ТМ
(см. 4.1.1). В каждой точке этого пути в ТМ его скорость есть элемент
пространства, касательного к ТМ, т.е. „второго касательного
пространства". Дополнительная структура призвана выбрать правило
„проектирования" этого второго пространства в ТМ. В частности,
для пути у в М определено вдоль у векторное поле у' его скоростей.
Но без введения дополнительной структуры, о которой идет речь,
невозможно ввести понятие вектора ускорения как элемента в ТМ.
7.1.3. Естественно ввести в качестве дополнительной структуры
на М для каждого кусочно-гладкого пути у : [а, Ъ ] -» М линейные
отображения Ptl : Ty(tl)M -» Ty(t2)M, обладающие свойством транзи-
тивности Ptl = Рц ° Ptl для любых t\, t2, *з £ [я> Ъ ]. Эти
отображения установят вдоль каждого такого пути у (зависящую от
выбранного пути у) „линейную связь" между касательными пространствами в
точках y{t\) и y(t2). Если и есть вектор скорости пути у в точке
х = у (to), то теперь аналогом определения (1) будет
(VUX )х = lim -3- (pt° Xy(t)- Xx) . (3)
f-»f0 ' *0 \ /
Отображения Р;1 в этом случае естественно назвать „параллель-
36

ным переносом" касательных пространств вдоль у из точки y(t\) в
точку y(ti). Хотелось бы, чтобы предел (3) существовал и зависел не
от самого пути у, а лишь от его вектора скорости и = у'(to). Однако
на самом деле удобнее поступать в обратном порядке: сначала ввести
на М дополнительную структуру в виде специальных „ковариант-
ных" производных (VUX )х (см. 7.2), а затем с их помощью
построить параллельные переносы вдоль путей (см. § 8).
7.1.4. Одна из возможностей непосредственно ввести „ковариант-
ные" производные на гладком многообразии М состоит в том, чтобы
определить (VUX )х формулой типа (2) в локальных координатах, но
добавить в ее правую часть дополнительные члены, делающие ее
инвариантной относительно замены координат. В некотором смысле
простейшим является добавление выражения, линейного
относительно координат векторов X и и. (Это как раз соответствует
представлению о том, что касательные пространства в различных точках
х и х' связаны между собой линейными отображениями, которые
зависят от пути, соединяющего х с х', но при х' -» х это различие
сходит на нет, нивелируется, если пути имели в точке х одинаковый
вектор скорости). В таком случае формула (2) заменится формулой
<УиХ)х:= (иЧЩ+ГЬХ*) Bj)x. (4)
дх
Остается выбрать функции Г|^ координат х , ..., хп так, чтобы
обеспечить инвариантность правой части (4). Выбор функции Г|^ и будет
определять дополнительную структуру на М.
Прямым вычислением можно проверить, что гладкие функции
Г|£ в одной системе координат можно взять произвольно, после чего
для любой системы координат эти функции Г|^ в той же области
могут быть найдены, притом единственным образом, только исходя из
требования независимости (Vtt X )х от системы координат. Формулы
перехода от Г^ в координатах (х , ..., хп) к Г^ в координатах
(у , ..., уп ) носят своеобразный характер.* Мы не будем
детализировать этот подход, а обратимся к эквивалентному ему
аксиоматическому введению ковариантного дифференцирования.
7.2. Ковариантное дифференцирование.
7.2.1. Пусть М — гладкое многообразие ихЕМ. Правило V,
которое каждому вектору и G ТХМ и гладкому векторному полю X, за-
*Формулы перехода содержат члены, зависящие от вторых производных новых
координат по старым:
pV -izifr'- дхР дхЧ ... О**' 1 f5>
dx I ду ду ду ду
37

данному в окрестности точки х, сопоставляет некоторый вектор
V'UX £ ТХМ, называется коварианшным дифференцированием в
точке х, если для любых и, у Е ТХМ, а, Ъ £ R, гладких векторных
полей X, У и гладкой функции / в окрестности точки х выполняются
равенства (аксиомы):
Уаи+Ы Х=аУиХ+ЬУ,Х,
Vu(aX+ bY) = aVuX+ bVuY, (6)
VJfX) = (uf) Xx + ftx)VuX.
Здесь, как обычно, uf есть производная функции / в направлении
вектора и, а Хх — значение поля X в точке х. Вектор V'иХ называют
ковариантной производной векторного поля X в направлении
вектора и.
Ковариантное дифференцирование V, заданное во всех точках
области G С М, сопоставляет каждой паре гладких векторных полей
X, У в G новое векторное поле Ух У'- вектор (Ух Y)x является его
значением в точке х. По определению значение этого поля в точке
х £ G зависит только от вектора Хх и не зависит от значений поля X
в других точках. Если поле Ух У гладко для любых гладких полей X
и У, то ковариантное дифференцирование V называют гладким.
Гладкое ковариантное дифференцирование называют также
линейной связностью.
В дальнейшем, говоря о гладком векторном поле, гладком
дифференцировании, линейной связности, мы часто будем опускать
слова „гладкое", „линейная", так как с другими полями,
дифференцированиями и связностями не будем иметь дела. Мы увидим, что на
каждом гладком многообразии существует бесконечно много
различных связностей. Пока же ограничимся следующим примером.
7.2.2. Гладкое п-мерное многообразие М называют параллелизуе-
мым, если на нем существует п гладких векторных полей £,-,
значения которых в любой точке линейно независимы.* Пусть такие поля
Ei на М выбраны. Тогда каждое векторное поле X на М имеет
разложение X = X' Ei (суммирование по i), где коэффициенты X' зависят
от точки jtEM.B этой ситуации равенством
(VxY)x=Xi(x)(EiYi)x(EJ)x
определяется связность V на М. Здесь (£,- Y1 )х — производная
функции Y1 в точке х в направлении вектора {Е^х. Каждой параллелиза-
ции соответствует своя связность.
7.2.3. Слово „дифференцирование" в названии заставляет ожи-
*Параллелизуемыми являются, например, R", тор Т2, а из сфер — только сферы
S1, S3' S1 (и вообще любая группа Ли).
38

дать, что значение V„ X в точке х зависит только от свойств поля X в
окрестности точки х. (Непосредственно из (6) это не видно).
Следующая лемма показывает, что это действительно так. Справедливость
леммы позволяет изучать связность, пользуясь локальными
координатами.
7.2.4. Лемма. Если и £ ТрМ и векторные поля X, X
совпадают в некоторой окрестности точки р, то V„ X = V„ X в точке р.
Доказательство. Если поле У = 0 во всей области его
задания, то V„ У = 0, поскольку в этом случае V„ У= УЫ2У= 2УЫУ.
Нам достаточно показать, что V„ У = 0 и в случае, когда У = 0 лишь
в некоторой окрестности точки р. После этого, полагая К - X = У,
будем иметь: VUX-VUX = VU(X~ -X) = VuY=0.
Пусть рЕСиУ=Ов области G. Найдется гладкая функция / на
М, равная нулю вне G и единице в некоторой другой окрестности G\,
где р £ G\ С G. Тогда поле / У = 0 во всей области его задания.
Согласно (6) имеем:
о = у и (/у ) = Ар) v„ у + (uf)Yp = 1 -v„ у + о- ур = v„ у ■
7.3. Символы Кристоффеля.
7.3.1. В системе координат карты ([/, h) будем обозначать й,
базисные векторные поля, значения 3,-х которых в точке х суть
векторы скорости для координатных линий в этой точке. Тогда каждое
векторное поле X разлагается по базисным полям X = X1 й/, где
X , ..., Хп —-координатные функции поля X. При этом, пользуясь
(6), найдем:
(V;^ )х= VxxY=(Vx'di У" dj)=XXdi У )х dJx+Xx Fi (Va. dj )x. (7)
Поля Va;-3y в свою очередь разлагаются по базисным полям с
некоторыми коэффициентами, являющимися функциями на h (U) СМ:
Va, dj = ф*. (8)
Поскольку базисные поля и ковариантное дифференцирование были
гладкими, то и функции Г у — гладкие. Подставив (8) в правую часть
(7) и переобозначив в первой сумме правой части (7) индекс
суммирования j на к, получим:
(Ух Y)X=XX (dt Yk + TkijYj) дкх. (9)
Обозначая чертой наверху переход от функции на М к функциям от
— i i — к к
координат соответствующих точек, X = X ° h, Г у = Гу ° h,
перепишем (9) в виде:
39

<^у>* = *'(17 + г&у')1ла*- (10)
Функции Гф как и функции Г fj, называют символами, или
коэффициентами Кристоффеля, связности V в карте (U, И).
В частном случае для поля X = Э; вектор (VdY )x имеет
координаты д; У* + г| У* (здесь г фиксировано, по ;' — суммирование, к —
номер координаты).
7.3.2. Как видно из (9), связность полностью определяется
заданием ее коэффициентов Кристоффеля. Кроме того, если в некоторой
координатной окрестности h(U) задано п произвольных гладких
функций Гу, то правило V, определенное равенством (9), будет
удовлетворять аксиомам (6). Проверьте это сами. Тем самым V будет
(гладкой) связностью в области h(U ).
Из только что сказанного выводится теорема.
7.3.3. Теорема. На любом гладком многообразии М в целом
существуют (гладкие) связности.
Доказательство. Проверьте сами, что если связности
V'(i= 1, ..., m) и гладкие функции ft > О заданы на М, причем
2 // = 1' то равенство
(VxY)x= £ Я*) (V^)x
i
определяет связность V. (Решите сначала задачу 7.3.4 и обдумайте,
почему в доказательстве теоремы условие ^ ft = 1 существенно).
Выберем на М локально конечный атлас ([/,-, Л,), и пусть {/,-} —
соответствующее покрытию М областями G, = hv (l/;) разложение
единицы. В каждой области G; введем связность V ', выбрав в G;
произвольно гладкие символы Кристоффеля. После чего положим:
(VxY)x= £ /К*) ^У)я.
Стоящая справа сумма осмысленна: где связность V ' не была
определена, там равно нулю/;; кроме того, в каждой точке х лишь конечное
число слагаемых этой суммы отлично от нуля. ■
7.3.4. Задача. Доказать, что выпуклая комбинация
(1 - *) V +*У,гдеО<г<1, двух связностей V1, V2 на М снова
являются связностью. Убедиться, что V - V связностью не
является.
7.3.5. Задача. Пусть М = М\ X Мг и V1 — связность на Мь а
40

V — связность на Мг. Доказать, что формула У^У:=
:= (Vxi ^ь V^2 У2 ) определяет связность на М. Здесь X = (Х\, Xi)
и i = (Yi, Y2) — векторные поля на М. Эту связность называют
12 12
произведением V = V XV связностей V и V .
7.4. Симметричная связность.
7.4.1. Связность V называют симметричной (или связностью без
кручения), если для любых гладких векторных полей X, У на М
VXY-VYX= [X, У], (11)
где [, ] — скобка Ли (см. 4.3).
Поскольку для базисных векторных полей всегда [Э„ Эу ] = 0, то
для этих полей равенство (11) означает, что
о = va. dj - va. а, = ткц вк - rf, эк = (rg - rft) dk,
т.е. что для симметричной связности символы Кристоффеля
симметричны: Г,у = Гд. Верно и обратное. Действительно, если все символы
Кристоффеля симметричны, то (11) выполняется для базисных
векторных полей. Но тогда (11) верно и для любых полей X, У:
Ух Y-VYX= {Xl dj X> - У4' dt Х> ) dj + X1 Yi (Г* - Г*, ) дк =
= [X, У ] + 0 = [X, У ],
т.е. связность V симметрична.
Если в доказательстве теоремы 7.3.3 выбрать все Гу = Гд, то мы
получим, что на любом гладком многообразии М существуют
симметричные связности.
7.4.2. Роль требования симметричности связности проясняется в
§ 8. Мы не беремся дать геометрически наглядную интерпретацию
этого свойства, так же как и кручения Т := Ух Y-VyX- [X, У ],
характеризующего несимметричность связности.
§ 8. Связность Леви—Чивита
8.1. Риманова связность.
8.1.1. Пусть М — риманово многообразие со скалярным
произведением ( ,). Оказывается, в этом случае среди всевозможных
связностей на М существует, притом единственная, симметричная
связность, удачным образом „согласованная" с римановой метрикой.
Придадим термину „согласованная" точный смысл. Связность V
называется согласованной с римановой метрикой, или просто
римановой связностью, если для любых гладких векторных полей X, У, Z
на М выполняется равенство
X(Y, Z) = {VXY,Z) + {Y,VXZ), (l)
41

т.е. в любой точке х £ М, в окрестности которой определены эти
поля, Хх (Y,Z) = (VXx Y,ZX) + {Yx, VXxZ). Здесь (У, Z) —
функция, значения которой в каждой точке у Е. М равно {Yy, Zy), a
Xx{Y, Z) означает производную функции (У, Z) в точке л: в
направлении вектора Хх.
Нам будет удобно писать (1) в форме
X{Y,Z)-{VXY,Z)-{Y,VXZ) = 0. (2)
Равенство вида (1), (2) принято называть тождеством Риччи.
Доказательству существования и единственности симметричной
римановой связности (см. 8.2) мы предпошлем предварительные
сведения.
8.1.2. Лемма. Пусть L : £-» V — линейное над
^отображение векторного пространства Хвсех гладких векторных полей на
М в некоторое векторное пространство V. И пусть для
некоторой точки р Е М для каждого поля X Е X и каждой гладкой
функции/на М выполняется равенство
L(fX)=f(p)L(X). (3)
Тогда значение L(X) зависит только от значения Хр поля X в
точке р.
Доказательство. Как и в лемме 7.2.4, можно проверить,
что L (X) зависит в данном случае только от значения поля X в
произвольной окрестности точки р. Поэтому можно воспользоваться
локальными координатами. Если X = X1 д/, то, по линейности L и
условию (3), имеем:
L (X ) = L (X1 в/ ) = L (X1 а,- ) = X* (р ) L (Э, ).
Поскольку правая часть зависит только от Хр, лемма доказана. ■
8.1.3. Лемма. Для любой связности V значение стоящего в
левой части равенства (2) выражения в каждой точке х G М
зависит только от значений Хх, Yx, Zx полей X, Y, Z в этой точке.
В отношении поля X это очевидно. Поля Y, Z входят в
рассматриваемое выражение симметрично. Зафиксируем поля X, Z и
обозначим значение левой части (2) в точке х через L(Y). Проверим, что
для любой гладкой функции / выполняется равенство
L(f Y) = f(x ) L(Y). Действительно, учитывая (2) из 3.1 и (6) из 7.2,
имеем:
Ц/Y) = Xx{fY,Z)-{ VXJY, Zx)-{ f{x)Yx, VXxZ) =
= {XJ ■ {Yx, Zx ) + f{x) ■ Xx {Y,Z )) - (f(x) { VXxY, Zx ) +
+ XJ ■ {Yx, Zx )) -f(x) {Yx, VXxZ) = f{x) UY).
Отсюда, по лемме 8.1.2, следует, что L(Y) зависит только от Yx. Ш
42

8.2. Связность Леви—Чивита.
8.2.1. Теорема. На любом римановом многообразии М
существует, притом единственная, симметричная риманова
связность. Ее называют связностью Леви—Чивита римановой метрики
наМ.
8.2.2. Доказательство начнем с единственности. Пусть V — такая
связность. Запишем тождество Риччи трижды, циклически
переставляя поля X, Y, Z:
X{Y,Z)-{VXY,Z)-{Y,VXZ) = 0,
Y{Z,X)-(VYZ,X)-{Z,VyX) = 0, (4)
Z (X, Y) - { VZX, Y) - (X, VZY) = 0.
Сложим первые два равенства и вычтем третье. Поскольку связность
симметрична, то
VXY- VyX = [X, Y ], VXZ- VZX = [X, Z ], VyZ- Vzy = [Y, Z ].
Учитывая это, получим так называемую формулу Кошуля:
2(VXY,Z)= {X(Y,Z)-(Y, [X,Z])} + {Y{Z,X)-{X, [Y, Z ])} -
~{Z(X, Y)-(Z, [X, Y ])}. (5)
Правая часть (5) не зависит от V. Поэтому при наличии двух
таких связностей, V и V, в любой точке х Е М будет выполняться
равенство
(VxxY,Zx) = {V'XxY,Zx)
для любых полей Z, т.е.
(VxxY-V'XxY,Zx) = 0
при любом векторе Zx. Следовательно, (Vxx Y)x = (V'Xx Y)x. Это
верно для любой точки х и любых полей X, Y. Значит, V = V. ■
8.2.3. Прежде чем доказывать существование, убедимся, что
(независимо от справедливости равенства (5)) значение его правой
части в любой точке х не зависит от значений поля Z вне этой точки х.
Чтобы избежать счета, воспользуемся уже доказанным. Зададим на
М произвольную симметричную связность V. Согласно лемме 8.1.3,
требуемым свойством будут обладать левые части каждого из
выражений (4), а потому и разность между правой и левой частями
равенства (5). Но левая часть (5), т.е. 2( VXx Y, Zx), а тем самым и
правая не зависят от значений поля Z вне точки х.
Теперь ясно, что поскольку при фиксированных полях X, Y
значение правой части (5) в точке х G М зависит только от Zx G Тх М,
то правая часть (5) определяет линейный функционал L на Тх М.
43

Поэтому существует вектор w £ Тх М (зависящий от полей X, У),
для которого ( w, Zx) - L (Zx ) при всех Zx G Тх М.
Полагая по определению Vxx Y= w/2, мы получим связность
Леви—Чивита. Действительно, введенная операция V удовлетворяет
первым двум требованиям (6) из 7.2. По построению V
удовлетворяет соотношению (5) для любых полей X, Y, Z. Применяя (5) к
тройкам X, Y, Z и X, Z, У и складывая результаты, убеждаемся, что для
операции V выполняется тождество Риччи (1). Применяя (1) к
произвольным полям X, fY, Z, легко убедимся, что
((Xf)- Y,Z)+f-{VxY,Z) = ( Vxi/Y), Z ).
Отсюда, ввиду произвольности поля Z, имеем
Vx(fY) = (Xf) ■ Y+f-VxY,
а это означает выполнение третьего требования (6) из 7.2 и
доказывает, что V — связность. Наконец, применяя (5) к тройкам X, Y, Z и
Y, X, Z и вычитая результаты, получим:
(VXY- VYX - [X, Y ], Z) = 0.
Это показывает, что Ух Y-УуХ = [X, Y ], т.е. симметричность
введенной связности. ■
8.2.4. Тождество Риччи (2) в локальных координатах
равносильно системе равенств
di gjk ~ (V3;. dj, dk) - (dj, Va. дц) = 0; i, j, к = 1, ..., n, (6)
или, что то же,*
di gjk ~ Г;у &к ~ Г?* gsj = 0, (7)
если учесть, что
Va, dj = Tjj ds, ( Э„ дк) = gsh (8)
Действительно, каждое равенство (6) есть тождество Риччи (2),
примененное к базисным полям d,-, dj, д^, поэтому равенства (6)
следуют из (2). Чтобы вывести (2) из (6), вспомним, что по лемме 8.1.3
значение левой части (2) в каждой точке х G М зависит только от
значений Хх, Yx, Zx полей в этой точке. Поэтому левую часть (2) для
произвольных полей X, Y, Z можно представить как линейную
комбинацию аналогичных выражений для всевозможных троек
базисных полей. Но для них эти выражения равны нулю в силу (6).
*Для тех, кто знаком с тензорами, отметим, что левая часть (7) служит
определением ковариантной производной V/ поля дважды ковариантного тензора
(gjt), независимо от того, является ли он именно метрическим. Тождество Риччи
означает, что метрический тензор g = {, > „коварентно постоянен": для него все
44

8.2.5. В локальных координатах равенство (5) для базисных
полей di, dj, dk принимает вид
2ГЬ85к=д-&+дМ-д-Ц. (9)
" дх1 дх> Эх*
При фиксированных i, у из системы равенств (9) при s = 1, ..., п явно
находятся коэффициенты Кристоффеля
1 2 I дх1 dx1 дхГ\
где (/*) — матрица, обратная матрице (gsk )■
8.2.6. Мы в основном будем иметь дело с римановой метрикой и
ее связностью Леви—Чивита. Однако доказательства многих
основных свойств связностей не требуют привлечения римановой метрики
и проводятся для общих связностей не сложнее, чем для связности
Леви—Чивита. Кроме того, общие связности находят применение во
многих вопросах, выходящих за рамки этой книги. Поэтому в
настоящей главе мы часто будем сначала останавливаться на свойствах
общих связностей, а потом — отмечать особенности связностей Леви—
Чивита.
*8.2.7. Не следует думать, что каждая симметричная связность
является римановой (и тем самым — связностью Леви—Чивита) для
некоторой римановой метрики. Не останавливаясь на этом подробно,
ограничимся примером. (Необходимые и достаточные условия, при
которых связность является связностью Леви—Чивита, известны
лишь в частных классах связностей).
Рассмотрим в полуплоскости у > О плоскости (jc, у )
симметричную связность V с символами Кристоффеля
Гц = Ti2 = Г21 = с, Г22 = Ti2 = Г21 = --, Г22 = -с, Гц = -.
Это — связность Леви—Чивита для линейного элемента ds = е2сх X
X (dx + dy) I у в полуплоскости у > 0. (При с = 0 получается
модель Пуанкаре плоскости Лобачевского). Факторизуем
полуплоскость по группе Ж, действующей сдвигом вдоль оси Ох. При этом
наша связность V, как видно из формул для Г^-, корректно
„переносится" на фактор-пространство, т.е. на цилиндр. Но соответствующая
метрика при с * 0, очевидно, туда не „переносится". Более того, на
полуцилиндре невозможна никакая риманова метрика, для которой
V была бы связностью Леви—Чивита. (Чтобы в этом убедиться,
достаточно проинтегрировать тождества Риччи, см. 8.2.4, вдоль
замкнутой линии у = const). В этом примере препятствие носит
„глобальный" характер, так как локально связность и на полуцилиндре
остается связанной с метрикой. Однако если в этом примере изменить
45

связность, положив Г 22 = с (вместо Г 22 = -с), то новая связность,
как можно проверить, будет даже в полосе 0 < у < I /2с „неметризу-
ема", т.е. не будет связностью Леви—Чивита никакой метрики. По
этим вопросам см. [107, 16].
8.2.8. Задача. Пусть ip : М-> Е™ — изометрическое вложение
риманова многообразия в евклидово пространство. Тогда каждым
векторным полям X, Yна М соответствуют (по отображению dip)
поля X, Т в Ет. Обозначим Dx У обычную производную (в некоторой
точке) поля У в направлении X в Е , a (Dx У) } — касательную к
<р (М ) (в рассматриваемой точке), составляющую этого вектора.
Доказать, что формула
VxY:=(d<pTl(DxYf
определяет именно связность Леви—Чивита на М.
8.2.9. Пример. Пусть поверхность Ф в Ег задается регулярной
1 2
вектор-функцией г от локальных координат х , х . В каждой точке
р = г (х , х ) векторы г\ = дг/дх , г2 = дг/дх образуют базис в
Тр Ф. Как обычно, мы отождествляем Тр Ф с касательной плоскостью
кФвГв точке р. Для векторных полей г\, Г2 на Ф определим кова-
риантные производные вдоль координатных линий равенствами
°П _ (г чэ Dn _ Dr2 _ 3 Dr2 _
Г-(Щ) . —у~—Т ~ V12) . —7 ~ (г22) ,
дх дх* дх Ъх1
где гц = д r/Эх'Эл/, а э означает касательную к Ф составляющую
вектора. По этим ковариантным производным естественно
определяется на Ф связность V. Именно, полагаем V/-;- r/ = Drj /drh после чего
значение Vx Y определяется (по линейности) для любых гладких
векторных полей X = X г\ + ХГ2, Y = Y r\ + Y^ п.
Проверить, что такое V является связностью Леви—Чивита для
внутренней метрики ds = Е (dx1 ) + IF dx1 dx + G (dx )2
поверхности Ф (см. 6.2.4 и 8.2.7). Символы Кристоффеля этой связности
совпадают с обычными символами Кристоффеля, входящими в
деривационные формулы теории поверхностей.
8.2.10. Задача. Проверить, что произведение связностей
Леви—Чивита на метрическом произведении римановых многообразий
является связностью Леви—Чивита для метрики прямого
произведения.
§ 9. Ковариантное дифференцирование вдоль пути
9.1. Векторное поле вдоль отображения.
9.1.1. Пусть <р : N -» М есть гладкое отображение гладкого много-
46

образия (или гладкого „многообразия с краем") N в гладкое
многообразие М. Векторным полем вдоль ф называют отображение X,
сопоставляющее каждой точке х Е N вектор Х(х) Е Т^^М, т.е. подъем
X отображения ф в ТМ (см. 5.3.2). Иными словами, векторное поле
вдоль ф — это такое отображение N в ТМ, что л ° X = ф, где
л : ТМ -» М — проектирование. Векторное поле X вдоль ф называют
гладким, если оно гладко, как отображение X : N -* ТМ.
В локальных координатах ([/, h) на М, при которых #>(л:) G Aft/A
поле X вдоль ф допускает представление
Х(х) = Х1(х) (дг ф ) (х), (1)
где д/ — базисные поля локальных координат (U, h) на М. Из
гладкости ф и определения гладкой структуры многообразия М следует,
что гладкость поля X равносильна гладкости его координатных
функций X1.
Фактически нам понадобятся векторные поля вдоль отображения
<р : N -» М только для случаев, когда N есть либо отрезок [а, Ъ ], либо
прямоугольник Q= [а < ? < й ] X [а<т</3 ].
9.1.2. Ясно, что векторное поле вдоль отображения может
порождать семейство векторов на М, не являющееся векторным полем в
обычном смысле. В качестве примера рассмотрим „постоянный" путь
у : [а, Ъ ] -» М, для которого y(t) = р = const при всех t Е [а, Ъ ]. В
этом случае все векторы X (t) векторные поля X вдоль у
„приложены" в одной точке многообразия М и не образуют на самом М поля.
(В этом примере все X(t) принадлежат одному пространству ТрМ и
на поле X можно смотреть двояко: как на векторное поле вдоль у и
как на обычную вектор-функцию одной переменной (в смысле
традиционного анализа) в пространстве ТрМ).
9.2. Ковариантная производная вдоль пути.
9.2.1. Пусть у : [а, Ъ ] -» М — гладкий путь в М, и пусть на М
задана связность V. Для каждого гладкого векторного поля X вдоль у
наличие на М связности V позволяет ввести „ковариантную
производную" DXI dt поля X в каждой точке t E [а, Ъ ].
Чтобы мотивировать приводимое ниже определение,
предположим сначала, что у — вложение. Тогда X можно рассматривать как
векторное поле в М, заданное на подмногообразии А = у ([а, Ъ ]). На
том же А определено поле векторов у'. Поле X можно распространить
до гладкого поля Х~ на М, после чего положить
Tlr=(V«"X)*»' (2)
В локальных координатах ([/, h) на М равенство (2) принимает вид
^|,= ^а'+**(0(^(0'*). (3)
47

где X'(t) — координаты вектора X(t) в базисе д i, ..., дп в точке y(t).
При этом i-я координата вектора DX / dt равна
где rj/t — координаты разложения Vay dk = T'jk dt, a x (t) —
координаты точки y(t).
9.2.2. Если у не является вложением, то определение (2)
утрачивает смысл, поскольку X нельзя рассматривать как сужение
векторного поля в М (см. пример 9.1.2), но правая часть (3) смысл
сохраняет. Поэтому именно (3) мы будем считать определением ковариант-
ной производной DXIdt поля вдоль отображения, тем самым (4)
верно в общем случае.
Определение (3) корректно в том смысле, что правая часть (3) не
зависит от выбора локальной системы координат. Мы в этом
убедимся ниже, в п. 9.2.4.
9.2.3. Непосредственно из определения (3) видно, что кавариант-
ные производные вдоль пути обладают следующими свойствами,
аналогичными свойствам ковариантного дифференцирования:
DnV^ V\ 3 DX _!. DY D //v\ dfV^fDX /вч
Jt(XX + nY)=X^- + n^, Jtm = 1FtX + f^r (5)
для любых полей X, У вдоль у, чисел Я, /и £ R, гладкой функции/на
[а, Ь ].
Кроме того, если произвести гладкую монотонную замену
параметра t = сс(т) и положить у (г) = (у ° а ) (г ), X = X ° а, то
DX _ da DX ,
dx dx dt ' (0)
Действительно,
(DX \ D ~< d X'(x ) ~i, ч „
[-dT)t = Txx,ai = --±-L*t+xXx)vnt)3i =
_ dXl da - da _ da (DX)
9.2.4. Проверим, что правая часть (3) не меняется при переходе
от координат (jc , ..., хп) к другим координатам (х , ..., хп).
Действительно, при этом старые и новые базисные векторы связаны
соотношениями
dk = ai д, , d"s = bs dk , a'k bs = d's ,
48

откуда
X = Xkdk = Xs'ds = Xsbkdk, Хк = Xs Ьк.
Поэтому
^ дк + Xk(Vy. дк) = ft (bk Xs) с/кд1 + Х* bks(VY> ак Ц =
= Xsaif(bkdi+aikbk^di+Xs^fta^ bk dt +
+ Х°(4 bfo V/ Э/ = ^ U + Х1(Чу дд. Ш
9.2.5. Обратимся к дифференцированию скалярного произведения.
Пусть вдоль отображения у : [a, b ] -* М заданы два векторных поля
X, Y. Тогда для согласованной с (,) связности V имеет место аналог
тождества Риччи:
£{Х,У) = (%,У) + (Х,%). (7)
Равенство (7) очевидно в точках регулярности пути у* Введем
локальные координаты и обозначим х (t), ..., x\t) координаты
точки у (t). Тогда
f((X, Y)= f( gij(x\t), ...,х\())Х1(0 Yj{t) =
" dx* dt 8lJ dt V + 8l' X dt "
* Вблизи рассматриваемого значения t гладкие векторные поля_Х, У вдоль у могут
быть в окрестности точки y(t) гладко распространены до полей X, Y на М. При этом
ft(X, Y)=y'({X,Y)). (8)
Так обстоит дело в каждой точке регулярности пути, т. е. там, где y'(f) *■ 0. Правую
часть (7) можно обозначать у'({ X, Y)), поскольку ее значение не зависит от способа
распространения X, Y до X, Y . Но когда y'(t) = 0, то правая часть (8) теряет смысл.
В этом случае, например, левая часть (8) может не равняться нулю, даже если
49

-*["+*%*)*+»*[**+*%*)-
Последнее равенство следует из (4).
§ 10. Параллельный перенос
Одно из основных назначений связности состоит во введении с ее
помощью параллельного переноса векторов вдоль путей.
10.1. Параллельное векторное поле.
10.1.1. Векторное поле X вдоль кусочно-гладкого пути
у : [а, Ъ ] -» М, где М — гладкое многообразие с фиксированной
связностью, называется параллельным, если при каждом t £ [а, Ъ ]
В локальных координатах уравнение (1) равносильно системе
дифференциальных уравнений
^ + I>^V = 0; i=l,...,n, (2)
где У = У (t) — уравнение пути h~ ° у, т.е. пути у в локальных
координатах, a X1 — локальные координаты вектора X как функции на
1а, Ъ ].
10.1.2. Система (2) состоит из п обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений первого порядка. На любом интервале
[t\, tj] С [а, Ъ ] задача Коши для системы (2) имеет решение
(притом единственное и гладкое). Иными словами, для любого вектора
и G TY{t{jM существует единственное параллельное векторное поле
X вдоль у на участке [t\, t2], для которого X (у (ti)) = и. Значение
этого поля в точке tj будем обозначать р\\ и и называть
параллельным переносом вектора и из точки у (t\) в точку у (t?) вдоль пути у.
10.1.3. Задача. Пусть М — двумерное многообразие с
координатами -т/2 < <р < л/2, -ж < X < л, с римановой метрикой, опреде-
9 9 9 9
ленной линейным элементом ds = d<p + cos <p dk , и со связностью
Леви—Чивита этой метрики. Доказать, что вдоль координатной
линии <р (т.е. при Я = const) базисные векторы Э^, а также базисные
векторы дх образуют параллельные векторные поля. Убедиться, что
вдоль координатной линии Я (т.е. при <р = const) в случае <р * 0 ни
3^, ни дх параллельными векторными полями не являются.
Доказать, что вдоль координатной линии Я векторы W(k ) = cos <p X
50

x cos(A sinp)d^, + sin(A sin<p)dx образуют параллельное векторное поле.
(Указание: воспользоваться изометрическим погружением М в R в
виде области на стандартной единичной сфере и представлением кова-
риантной производной как касательной составляющей от
производной в R3).
10.1.4. Из линейности системы (2) следует, что параллельные
векторные поля вдоль пути образуют векторное пространство (как
пространство решений однородной системы линейных
дифференциальных уравнений). Геометрически это означает, что если
и,к£ Ту(а)М и w = Хи + fiv, где X,fi £ R , то при любом t E. [а, Ъ ]
будет P^w = X Раи + fi Р*ау. Поэтому если значения в точке у(а )
параллельных вдоль пути у векторных полей Е\, ..., Еп образуют базис
пространства Ту/ау М, то каждое параллельное вдоль у векторное
поле есть линейная комбинация полей Е\, ..., Еп с постоянными
коэффициентами. Тем самым пространство параллельных векторных
полей вдоль у п-мерно.
10.2. Параллельный перенос.
10.2.1. Для любых t\, t2 Е [a, b ] правило u>-^Pt2 и определяет
отображение Pt2 : Ty(tly M -» TY{t2) M касательных пространств,
которое является линейным изоморфизмом. Этот изоморфизм называют
параллельным переносом касательного пространства вдоль пути у
из точки у (t{) в точку у (7г). Из определения следует, что
Р% = (Р\\у\ Pfc = id, (3)
кроме того, перенос вдоль у транзитивен в том смысле, что для
любых t\, t2, ft G [a, b ]
Р% = Р\\ • P% (4)
Подчеркнем, что перенос из точки р £ М в точку q £ М зависит от
пути, вдоль которого осуществляется перенос.
Отметим обратную связь параллельного переноса с ковариант-
ным дифференцированием вдоль пути.
10.2.2.Т е о р е м а . Для векторного поля X вдоль пути у
справедливо равенство
^о= Й Л (^ *<'>-*<*>)• (5>
Действительно, пусть Е\, ..., Еп — базис в пространстве
параллельных вдоль у векторных полей. Тогда X (t) = X\t) £,-. Поскольку
DEi/dt = 0 и ptfXit) = X'(f) Et (to), то
51

Таким образом, наличие параллельного переноса позволяет в свою
очередь определить ковариантную производную формулой (5), т.е.
точно так же, как обычную производную вектор-функции.
10.2.3. В случае риманова многообразия М и согласованной с ри-
мановой метрикой связности параллельный перенос обладает
важным дополнительным свойством: вдоль любого пути у : [а, Ъ ]-* М
для параллельных векторных полей X, Y
{ X(t), Y(t) ) = const. (6)
В частности, \Х (t) I = const, *£.(X (t), Y(t)) = const, а
отображения p\\ являются в этом случае изометриями. Действительно, из
DXIdt = 0 и DY/dt = 0, согласно формуле (7) §9, следует:
ft(X(t),Y(t)) = (^,Y) + (X,^j=0 + 0 = 0,
что влечет (6).
10.2.4. Вернемся к общим связностям. При изучении векторного
поля часто удобно с помощью параллельных переносов „собрать" все
векторы поля в одно касательное пространство, где на полученное
семейство векторов можно смотреть как на обычную вектор-функцию,
в частности дифференцировать и интегрировать ее.
Вот характерный пример. Пусть X — векторное поле вдоль пути
у : [а, Ъ ] -» М. После параллельного переноса каждого из векторов
X (t) вдоль у в точку у(а ) получаем семейство векторов Pf X (t) в
пространстве Гу(а) М, на которое можно смотреть и как на поле вдоль
отображения Р ° у : [а, Ъ ] ■* Ту^ М, и как на обычную
вектор-функцию. Обычная производная (d I dt) Pf X(t) этой вектор-функции
совпадает с ковариантной производной (D/dt) P? X (t) векторного
поля X вдоль отображения Р • у.
Оказывается, что обе они совпадают с перенесенной вдоль у в(
точку у (а) ковариантной производной DXI dt поля X вдоль пути у:
|/?*(0 = /?^Р- (7)
Иными словами, ковариантное дифференцирование перестановочно
(коммутирует) с параллельным переносом. Действительно,
d_
dt
P?X(t) = lim \ (р?+д X(t + d)-PfX(t)) =
= Pf lim i (pUa X(t + d)- X(t)) =Pf
<5-0 \ /
DX{t)
dt '
52

10.2.5. Из (7) следует формула Ньютона—Лейбница для
векторного поля вдоль пути у : [а, Ь ]-* М
РаьХ(Ъ)-Х(а) = / Pf^-dt, (8)
а
где Pf — параллельный перенос вдоль у из точки у (О в у {а).
Равенство (8) получается интегрированием (7).
10.2.6. Широко известна лемма Адамара, которую можно
сформулировать следующим образом. Если в координатной окрестности
точки р £ М задана С -гладкая функция <р, то существуют такие
С°°-гладкие функции #,-, что
<р(х)-<р(р) = х'Ш(х), О
причем gi{p) = -^1 .
Действительно,
1 , 1 ,
<р(х ) - <р(р ) = / f (<p(tx\ ..., tx11)) dt = xif ^ (fie1, .... txn) dt,
0 0 dx
и достаточно положить
gi(xl,...,xn):= J ^-.(txl,...,txn)dt.m
о дх
10.2.7. Следствие. Если X — векторное поле гладкого пути
у : [а, Ъ ] -*■ М, to £ [а, А ] и X (<о ) = 0, то поле X представимо в
виде
X(t) = (t-t0)Y(t), (10)
где поле У G С00, Y(to) = ^\^.
к / dt \ to
Действительно, если {ЕЦ — базис параллельных полей вдоль у,
X = X1 Еь то по лемме Адамара X' (t) = (t- t0) Y(t), где Y1 E С00,
Jyl
^*('o) = —тг I ) и, полагая Y = Y1 Et, имеем:
"5Гко" Л |,0^-П<0).«
Нам понадобится еще один аналог леммы Адамара для
векторных полей. Пусть в окрестности точки р £ М введены локальные
координаты jc1, ..., хп. Для упрощения записи считаем, что сама точка
53

р имеет координаты (0,...., 0). Для каждой точки х с координатами
(х , ..., х ) рассмотрим такой путь ух : [0, 1 ] -» М, что yx(t) имеет
координаты (tx , ..., txn). Ограничимся такой окрестностью G точки
р, что для каждой точки х Е G путь ух определен, т.е. „не выходит"
из области задания локальных координат.
10.2.8. Лемма. Для любого гладкого векторного поля X в
области G существуют гладкие векторные поля У/ в G, для которых
выполняется равенство
Pf)lXx-Xp = xiYi\x, (11)
где Р[ — параллельный перенос вдоль ух. При этом в самой точке р
Yi\p=(Vd.X)p. (12)
Доказательство. Согласно (8),
tixx-xp = s$ZZp2-dt = /ji$vaixdt, 03)
о о
поскольку
Остается обозначить стоящие в (13) справа интегралы через (У/)х и
заметить, что
1
(Yi)p = f(Vdi.x)pdt=(Vd.x)p.m
о
§ 11. Геодезические и экспоненциальное отображение
11.1. Геодезические.
11.1.1. Прямые в евклидовом пространстве обладают рядом
характеристических свойств, в частности:
1) прямая может рассматриваться как путь, проходимый с
постоянной скоростью, т. е. путь, у которого поле векторов скорости
постоянно по величине и направлению; это равносильно требованию
нулевого ускорения;
2) кривизна прямой во всех ее точках равна нулю;
3) прямая есть кратчайший путь между любыми ее точками.
11.1.2. Рассмотрим теперь гладкое многообразие М со связностью
V. Путь у : [а, Ъ ] -» М называют геодезической, если
ftY'(O = 0, (1)
54

т.е. поле векторов скорости у' пути у параллельно вдоль у. Это
определение — аналог свойства 1) прямых в евклидовом пространстве.
В случае, когда М — риманово многообразие, а параметр t —
длина пути, вектор Dy' I dt трактуют (см. также 12.1.5) как вектор
кривизны пути у в точке y(t), его длину \Dy' I dt I — как кривизну
пути у, а единичный вектор его направления (при ненулевой
кривизне) — как главную нормаль. При таком определении геодезические в
римановом многообразии являются кривыми нулевой кривизны.
Какие свойства геодезических в римановых многообразиях
соответствуют свойству 3) евклидовых прямых, мы увидим ниже (см. 12.1.6,
12.1.7, 12.4). А сейчас сосредоточимся на многообразиях со
связностью (не требуя римановой структуры).
11.1.3. Перепишем уравнение (1) геодезической в локальных
координатах. Если геодезическая у задается уравнениями л:' = x'(t), то
вектор y'(t) имеет координаты dxl Idt и, согласно (4) § 9, уравнение
(1) равносильно системе из п обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка:
d2 х1 , ri dxl dxk 0
Задача Коши для системы (2) состоит в нахождении функций
x\t), удовлетворяющих системе (2) и начальным данным
■ dx1
x\to) = а1, *-т-\ = Ь1. Хорошо известно, что задача Коши для
системы (2) при любых начальных данных {а1}, {Ь1} в некоторой
окрестности точки to разрешима, притом единственным образом.* При этом
решение является гладким и гладко зависит от начальных данных.
Геометрически утверждение о локальной разрешимости задачи
Коши для системы (2) означает, что для любой точки р£Ми
любого вектора и £ Тр М существует геодезическая уи, такая, что
Yu(to) = Р, Yu(to ) = и- Эта геодезическая единственна с точностью
до возможности ее продолжить или, наоборот, ограничить на
меньший интервал изменения t.
11.1.4. Постоянный путь y(t) = р = const при всех t G [а, Ъ ]
всегда является геодезической. Такие геодезические называют
вырожденными. Из единственности решения уравнения (2) следует,
что если на геодезической у хотя бы в одной точке y'(to) = 0, то и во
всех точках y\t ) = 0 и геодезическая — вырожденная. Поэтому
невырожденная геодезическая всегда является регулярным путем,
т.е. погружением.
11.1.5. Геодезическая была определена как путь. Путь,
отличающийся от геодезической монотонной заменой параметра, может не
*Разумеется, если точка (а а") принадлежит области задания функций Гд..
55

быть геодезической. Действительно, пусть у : [а < t < Ъ \ -* М —
геодезическая. После гладкой замены параметра t = а(х ) для вектора
скорости (у ° а )' пути у ° а имеем:
Rt у = R (<ХУ ° а)) _ (Е М W 2 dy d2a
dxKy°a) dx [ dx J (dtdtj(dx) dt dr2 •
Отсюда следует, что для невырожденной геодезической у путь у ° а
будет геодезической в том и только в том случае, когда d a/dx = О,
т.е. когда параметры t и г связаны линейной зависимостью:
t = с\х + С2. Такие геодезические будем считать эквивалентными.
Все геодезические, вырожденные в одну и ту же точку, также
считаем эквивалентными друг другу.
11.2. Существование геодезических.
11.2.1. Зафиксируем точку р£Ми для и G ТрМ обозначим уи
такую геодезическую, чтоу„(0) = р, у'и(0) = и.
Лемма. Если геодезическая уи продолжима до значения
параметра Xt, где X G R, то геодезическая у^и продолжима до значения
параметра t, причем
Уи (*0 = YXu{t )■ (3)
О необходимости требования продолжимости см. п. 11.2.2.
Доказательство. Положим yu(Xt) = o(t). Ясно, что о —
геодезическая, так как замена параметра линейная. При этом о(0) = р.
Поскольку -£\ 0 = -jt (yu (Xt)) 10 = -^-1QX = Хи , то а = уХи, и тем
самым верно (3) • ■
Источник справедливости этой леммы „об однородности"
решений системы (2) кроется в том, что левые части (2) суть однородные
формы (степени 2) относительно t. Наглядно лемма означает, что
если двигаться из точки р по геодезической один раз с начальной
скоростью и, а другой раз — с начальной скоростью Хи, то во втором
случае мы будем проходить ту же самую геометрическую кривую, но
только в X раз „быстрее". Именно в этом смысле верны слова:„Из
каждой точки в каждом направлении идет ровно одна
геодезическая". В этом высказывании геодезические рассматриваются с
точностью до эквивалентности.
11.2.2. Ввиду нелинейности системы (2) решение для нее задачи
Коши с начальными данными y(to) = р, y'(to) = и, существующее в
некоторой окрестности точки Iq, может не допускать продолжения на
больший интервал значений t. Поясним это примером.
Для простоты ограничимся случаем, когда п = 1, так что система
(2) состоит из одного уравнения с неизвестной функцией х , которую
будем обозначать х. Пусть единственный коэффициент Гц (х) в
этом уравнении равен -2 th x.* Уравнение
*3десь th — гиперболический тангенс: th х = (е" - е'х)/(ех + е'х).
56

при начальных данных <0 = 0, *(0) = О, dx(0)/dt - 1 имеет
решение
^(0 = 2lnT^7-
Оно не продлевается за пределы интервала -1 < t < 1.
11.2.3. Определение. Связность V называется полной, если
каждая ее геодезическая продолжима на любой интервал значений
параметра.
11.2.4. Обратимся к достаточному признаку возможности
продолжить геодезическую на некоторый участок изменения параметра.
Для простоты доказательства мы временно откажемся от
рассмотрения многообразий с произвольной связностью (к ним мы вернемся в
п. 11.3) и рассмотрим риманово многообразие с его связностью Ле-
ви—Чивита.
11.2.5. Лемма. Пусть карте (U, h ) риманова многообразия М
принадлежат все точки „координатного куба" Ijc' I < а при всех
i = 1,..., п. И пусть из точки с координатами (0,..., 0) выходит
геодезическая у и с начальной скоростью у'„(0) = и. Тогда
существует такое е > 0, что при I и I < е геодезическая уи может быть
продолжена на участок уи: [0, 1 ] -» М.
Доказательство совсем просто. Из
dxl dx1 , , ,..,2 . , .2 . „2
8iJ~dT~dt= y"( ) =const=l«l <£,
следует, что для каждой производной по отдельности
г2
dt
(dxk)\ з (dA* л
dt
где Я — наименьшее собственное число квадратичной формы gij £' &
п
по отношению к евклидовой метрике {£, £) = ^ (£') . В кубе
\х\ < а значения Я ограничены снизу некоторым числом Ао > 0.
Поэтому при £ < Яо а решение системы (2) вплоть до t = 1, если оно
есть, не выйдет из куба I xl I < а. А равномерная ограниченность и
непрерывность в этом кубе F'jk и производных dxr/dt обеспечивают
существование такого решения в пределах этого куба. ■
57

11.3. Экспоненциальное отображение.
11.3.1. Для фиксированной точки р G М и любого вектора
и G ТрМ обозначим ехрри = уи (1), если только геодезическая уи
продолжима до значения параметра t = 1. Отображение
ехрр : ТрМ -* М, действующее по правилу
ехрр и = уи (1), (4)
называют экспоненциальным отображением (рис. 16). Это
определение относится к любым многообразиям со связностью.
В случае риманова многообразия отображение ехрр: ТрМ -* М
состоит в том, что каждый луч в ТрМ, идущий из начала в
направлении вектора и, равномерно по длине „налагается" на геодезическую
в М, идущую из р в направлении и (пока эта геодезическая есть).
Для риманова многообразия из леммы 11.2.5 следует, что
отображение ехрр заведомо определено в некоторой окрестности начала
пространства ТрМ. Тот же факт для произвольного многообразия со
связностью следует из более общей, чем 11.2.5, леммы 11.3.2.
11.3.2. Лемма. Пусть в карте (U, h ) многообразия М со
связностью его коэффициенты Кристоффеля равномерно ограничены :
I Гд I < С при всех р£ h(U) и всех i, j, k. (5)
Пусть Ф — такое подмножество в h(U), что для любой точки
р£Ф координатный куб с ребром 1а и центром h (р) =
= (р , ..., рп ) содержится в U, т.е.:
{(х , ..., хп) I \xl-pl I < anpuecexi}C U. (6)
Тогда существует зависящее лишь от С, от а и от п число е > 0,
такое, что для всех рЕФ, и G ТРМ при 1"1=(2 (и')) <е
i=l
геодезическая у и определена на [0, 1 ] и у«([0, 1 ]) С h(U).
Эта лемма является частным, случаем общих теорем о решениях
систем обыкновенных дифференциальных уравнений, и мы будем ею
пользоваться. (Для замкнутости изложения ее доказательство
приведем в конце параграфа).
11.3.3. Теорема. Для любой точки р G М существует такая
окрестность V нуля в пространстве ТрМ, что экспоненциальное
отображение ехрр определено для всех и£ V и является
диффеоморфизмом окрестности Уна ее образ exppVe M.
Доказательство: 1. Зафиксируем локальные координаты
(U, h) так, чтобы U было областью с компактным замыканием и
h(U ) содержало точку р. В h (U ) будут равномерно ограничены по
абсолютной величине коэффициенты Кристоффеля, т.е. при
некотором С будет выполнено условие (5). Выберем содержащую точку р
58

Рис. 16.
окрестность Ф, вместе с замыканием содержащуюся в h(U). Для Ф
при некотором а > О будет выполнено условие (6). По лемме 11.3.2,
все геодезические уи с началом в точке р будут при I и I < е (С, а, п )
продолжимы на участке 0 < t < 1. Поэтому в некоторой окрестности
нуля пространства ТрМ отображение ехрр определено.
2. По теореме о гладкой зависимости решений системы (2) от
начальных данных отображение ехрр является в области своего задания
гладким. Чтобы убедиться, что в некоторой окрестности нуля оно
является диффеоморфизмом, достаточно проверить, что в нуле
дифференциал отображения ехрр является линейным изоморфизмом, и
сослаться на теорему об обратном отображении.
Докажем, что в действительности этот дифференциал в нуле
является даже тождественным отображением ТрМ на себя:
do expp = id. (7)
Рассмотрим в ТРМ путь о и i [О, 1 ] -> ТрМ, где ou(t) — tu. По лем-
ме 11.2.1
exppcr„0) = expptu = yte(l) = yu(t).
Отсюда, по определению дифференциала отображения, имеем (там,
где определено expptu):
{dtu ехрр) (и ) = (dtu expp) ~ = -^ (expp ou(t)) = ^У«0 )• (8)
(В самой левой части цепочки равенства (8) подразумевается, что
касательное пространство Ttu(TpM ) пространства ТРМ канонически
отождествлено с самим ТРМ, так что (dtu ехрр)(и ) — это значение на
векторе и G Ttu(TpM ) = ТРМ дифференциала отображения ехрр в
точке tu).
Из (8), полагая t = 0, получаем
d0exppu = у'и(0) = и,
что доказывает (7) и с ним — теорему. ■
11.3.4. Из теоремы 11.3.2 следует, что у каждой точки р G Мсу-
59

ществует такая окрестность Up, что для каждой точки х Е Up
имеется, притом единственная, геодезическая, идущая в Up и
соединяющая р с х.
Действительно, достаточно рассмотреть шаровую окрестность V
нуля в ТрМ, в пределах которой ехрр является диффеоморфизмом, и
положить ир = exppV. Такие окрестности V, Up будем называть
нормальными шаровыми окрестностями.
11.3.5. Рассмотрим отображение <р = л х ехр из области в ТМ в
М X М, действующее по правилу <р (х, и ) = (х, ехрх и ).
Отображение <р определено не во всякой области касательного расслоения ТМ,
поскольку геодезическая ух,и с началом х и начальной скоростью и
может не продолжаться до параметра t = 1, и тогда не определено
ехр* и. Однако у точки (р, 0) Е ТМ существует в ТМ окрестность G,
в которой <р определено.
Действительно, введем на М локальные координаты (U, h), в
которых р имеет координаты (0, ..., 0) и для BGex x Е h(U)
коэффициенты Кристоффеля равномерно ограничены: 1Гд1 < С. В области
h(U) выберем такую окрестность Ф точки р, что при некотором
а > 0 для любой точки q Е Ф координатный куб с ребром 2а и
центром /Г (q) целиком содержится в U. Тогда в силу леммы 11.3.2 в
окрестности G = {(х, и) | х G Ф, Iи11 < £ (С, а, п ) при всех /} точки
(р, 0) отображение <р определено. ■
Отсюда следует, что <р определено в окрестности „нулевого
сечения", т.е. в окрестности множества {(р, 0)} С ТМ всех точек вида
(р, 0) по всем р ЕМ.
11.3.6. Лемма. Для любой точки рЕМ отображение
<р = л х ехр является в достаточно малой окрестности точки
(р, 0) диффеоморфизмом.
Доказательство. Как отмечено в 11.3.5, отображение <р в
некоторой окрестности точки (р, 0) определено. Это — гладкое
отображение многообразий одинаковой размерности 2п. В
локальных координатах оно действует по правилу
(х1, ..., хп, и1, ..., ип) *-* (х1, ..., хп, (ехрхи )', ..., (ехрхи)п). Чтобы
убедиться, что <р вблизи точки (р, 0) = (0, ..., 0, 0, ..., 0) является
диффеоморфизмом, достаточно показать, что в точке (р, 0) якобиан
/ отображения <р в этих координатах отличен от нуля. Но
д (ехр^и/
дх>
\ J
д (ехрхи/
ди/
\ 1
0
0
= / (doexpp) =1*0.
60
<д (ехрхи)^
ди1

Здесь мы воспользовались тем, что, согласно (7), отображение с/оехРр —
тождественное, и потому его якобиан равен 1. ■
11.3.7. Теорема. У любой точки рЕ. М существуют такие
окрестности Up С Vp, что каждые две точки х, у Е Up соединимы в
Vp геодезической, притом единственной.
Доказательство. У точки (р,0)Е.ТМ, согласно лемме
11.3.6, найдется окрестность d С ТМ, в пределах которой
отображение <р = я х ехр определено и является диффеоморфизмом.
Можно считать, что р имеет координаты (0, ..., 0). Сузим G\ до
окрестности Gi С Gi вида Сг2 = {(х, и)| \х1\ < Я, \и1\ < ц при всех /}.
Обозначим: Vp = я (Gi). При некотором д > 0 для любой точки (х, и) из
окрестности G3 = {(х, u)\\xl\<Xd,\ul\<fid] геодезическая ух, и
при 0 < t < 1 будет лежать в Vp. Обозначим: Up = я (G3). Тогда для
любых двух точек х, у Е Up точка (х, у ) Е М X М имеет прообраз
ip~ (х, у ) = (х, и ) Е Gz и геодезическая ух, и соединяет точки х и у,
не выходя из Vp. Она является единственной такой геодезической
ввиду диффеоморфности <р в пределах Gi. ■
♦ 11.3.8. Доказательство леммы 11.3.2. Гладкое решение
задачи Коши для системы (2) единственно и всегда существует в
некоторой окрестности начальной точки р. Пусть у «(О =
= {х (t), ..., xn(t)}, 0 < t < to, — такое решение. Достаточно
доказать существование такого е > 0 (не зависящего от to), что при
I и I < e выполняются неравенства
\Лр)-Р1 I < а,
dt
<d,
где С\ = const, a pl — координаты точки р. Действительно, первое
неравенство гарантирует, что решение не выйдет из U, а оба вместе —
что решение продолжимо на весь отрезок [0, 1 ].
Итак, предположим, что решение системы (2) при уи (0) = р,
У'и(0) = и, I и I < £ существует на участке [0, t§ ] и лежит в U.
Обозначим
~ = 1\ I =&,...,l\ M\ =V(fl)2+...+ (f«)2, y= |f|2.
Из (2) имеем dt I dt = -T)k t %k, откуда
ч2
dy
dt
d(\S\Y
dt
2 2 ff?
/=l
= 2
2 iVW
<2Сп3у3/2= С уЪП.
61

Из дифференциального неравенства
dy
dt
* С ' уЪ/2, у(0)= I и 12 < £2
следует, что 0 < y(t) < z(t), где z — решение уравнения
dz
~di
С z3/2, z(0) = £2.
Решение последнего имеет вид
z(t)
2е
2-С Et '
оно ограничено на [0, 1 ] при е < 2/С.
Отсюда вытекает, что при 0 < t < 1 справедливы оценки
dxl
dt
= l£''l < l£l =y(t)l/2<z(t)l/2
2е
2е
2-C'Et ~ 2-Се '
(9)
jc'-p'
о
2е
^/оТ7Г77Л =
2е
2-Се
2-С'е
т-<а,
если выбор £ подчиняется условию 2е/(2 - 2 С/г е) < а. Оценки (9)
обеспечивают справедливость леммы 11.3.3.
§ 12. Геодезические в римановом многообразии
12.1. Формула первой вариации длины.
12.1.1. Обратимся теперь к риманову многообразию М со
связностью Леви—Чивита V. Геодезические у по-прежнему
характеризуются тем, что вдоль каждой из них поле векторов скорости у'
параллельно. Напомним, что в случае связности Леви—Чивита
параллельный перенос сохраняет скалярное произведение, так что для
геодезической \y'(t)I = {у', у' )1/2 = const.
Геодезическая называется нормальной, если она
параметризована длиной дуги, т.е. \y'(t)\ = 1. При этом за счет замены параметра
х = ±t + а, а = const, можно отсчитывать длину от любой точки, в
любом направлении. Чаще всего мы будем сопоставлять t = 0 началу
пути.
12.1.2. Вариацией (или гладкой гомотопией) пути у : [а, Ъ ] -» М
называют такое гладкое отображение а : Q -» М прямоугольника
Q = {(t, г ) £ R2I a < t < b, -e < т < е}, что о (t, 0) = y(t) при всех
t £ [a, b ]. Пути ог : t1^* o(t, г ), где г фиксировано, называют
продольными линиями вариации, в частности Oq = у, а пути
62

Рис. 17.
ot: t ^* a (t, t ), где t фиксировано, — поперечными линиями
вариации (рис. 17).
С каждой вариацией связаны два векторных поля вдоль
отображения о (см. 9.1). Это — отображения X : Q -» ТМ и У: Q -» ТМ,
определяемые равенствами*
X (t, t) := do \j-V Y(t,t):=do (^
(1)
При фиксированном т0 поля X (t, Tq), Y (t, Tq) суть векторные
поля вдоль продольной линии ох , причем X (t, tQ) — поле скоростей
пути оГо.
Для дальнейшего важна следующая лемма.
12.1.3. Л e*t м а. Справедливо равенство
DX(t,t) _ D Y(t,t)
dt ~ dt
(2)
Доказательство. Пусть в локальных координатах ([/, h) го-
мотопия о задается уравнениями х1 = x'(t, t);i = l, ..., п. Тогда
дх'
v дх1 дх' ( д
X = —- д,- • о, У = — д,- ° а, где д,- = dft
По формуле (4) § 9 имеем:
У*' ,; дх/ дХ^
dtdt + Jk dt dt
DX
dt
DY
dt
d2xl i дх* д/
dtdt + kj dt dt
*Векторные поля (1) часто не различают в обозначениях с векторными полями
d(h °o)/dt (рис. 18, 1), д{кЛ °о)/дг (рис. 18, 2) и сокращенно обозначают то и
другое через da/dt, да/да.
63

Рис. 18.
утверждение леммы следует из равенства вторых смешанных
производных и симметричности связности: Т)к = Г1/. ■
Обозначим s (г ) длину продольной линии аг вариации и
положим для краткости записи
ds(r) |
dx U=o
= <5s.
12.1.4. Теорема. (Формула первой вариации). Если,
путь у = oq параметризован длиной дуги, то
ds = <у'(Ь ), Y(b, 0) ) - < у'(а ), Y{a, 0) ) - / < Y(t, 0), ^L ) Л. (3)
Доказательство. Имеем:
1/2
s(r) = / < X, X )UL dt.
(4)
и \Х (t, 0)1 = 1. Поэтому, дифференцируя (4) по г при г = 0 и
пользуясь тождеством (7) §9 для дифференцирования скалярного
произведения, получаем:
ds = U^x)\z=Qdi.
а
В силу леммы 12.1.3 и тождества (7) § 9
64

откуда с учетом X (t, 0) = y'(t), (D/dt )X (t, 0) = (D/dt) y'(t)
немедленно следует (З). ■
12.1.5. Обсудим формулу (3). Во-первых, ds зависит не от всей
вариации о, а только от порождаемого ею векторного поля
t О Y(t, 0) вдоль у. Это дает основания для обозначения dys. Вог
вторых, формуле (3) можно придать еще один вид. Как отмечалось в
П.1.2, величину к := \Dy' Idt I, где t — длина, принято называть
кривизной пути у, а единичный вектор п = (1 lk){Dy' /dt) при
к * 0 — главной нормалью. В этих обозначениях (3) принимает вид
ds=(y',Y)\ba-S(Y,n)kdt. (5)
а
Здесь, как обычно, I означает двойную подстановку от t = а до
t = Ъ. Из (5) видно, что ds имеет такой же вид, как в евклидовом
пространстве.
Если у — геодезическая, то (D/dt) у' = 0 и формула (3)
принимает вид
<5s=<y', Y)\ba. (6)
Если, кроме того, при вариации о были закреплены концы, т.е.
о(а, т ) = const, o(b, т ) = const при всех г, то У (а, 0) = У (Ь, 0) = 0,
так что ds = 0.
С точки зрения вариационного исчисления уравнения
геодезической (2) §11 для связности Леви—Чивита оказываются в точности
уравнениями Лагранжа—Эйлера для нахождения экстремумов
функционала длины (4). Равенство ds = 0 и выражает то обстоятельство,
что геодезические являются критическими точками этого
функционала на множестве путей с закрепленными концами.
12.1.6. Кратчайшей называем кусочно-гладкий путь, длина
которого равна расстоянию между его концами. Упоминание о
кусочной гладкости связано с тем, что длина пока определена только для
таких путей. Если учесть определение расстояния в римановом
многообразии (10) § 6, то можно сказать: путь является кратчайшей,
если он имеет наименьшую длину в классе кусочно-гладких путей с
теми же концами.
Кратчайшие с данными концами не всегда существуют и не
всегда единственны. Например, диаметрально противоположные точки
сферы соединимы на сфере бесконечным числом кратчайших.
Удалив из плоскости середину отрезка ab, мы получим двумерное рима-
ново многообразие, в котором нет кратчайшей с концами а и Ъ. В
подобном случае говорят, что а, Ъ несоединимы кратчайшей.
65

Рис. 19.
12.1.7. Лемма. С точностью до монотонной замены
параметра каждая кратчайшая является геодезической.*
Доказательство. Пусть у — кратчайшая. Введем на ней в
качестве параметра длину дуги и убедимся, что после этого она
оказывается геодезической. По определению, у — кусочно-гладкий
путь. Сначала покажем, что каждый его участок гладкости является
геодезической. Действительно, пусть у о: [а, Ъ ]-* М — такой
участок гладкости. Допустим, что оказалось DyQ I dt = 1p *■ О при
некотором t G [а, Ъ ]. Тогда найдется целый участок [а, /3 ] С (а, Ъ ), на
котором I D/'q I dt I > р. Следуя стандартному приему вариационного
исчисления, мы построим вариацию, сокращающую путь уо, как бы
„срезая поворот", на участке (а, /?).
Пусть р - а = Зе > 0. Выберем гладкую вспомогательную
функцию <р : [а, Ъ ] -* R, удовлетворяющую требованиям 0 < <р < 1,
<p(t) = 0 при t G [а, а ] и t G |j3, b ], <p(t) = 1 при а + e < t < b- e,
после чего подвергнем путь уо вариации:
o(t, г) = ехр.
Vo(0
<p(t)r
Dy,
dt
(7)
Вариация (7) порождает векторное поле Y (t, 0)
Поэтому по формуле первой вариации
<p(t)(Dy'0/dt).
&s = -f<p(t)
°К(]
dt
2 а+2е
dt< -/
°Kfl
dt
dt < -Ер2 < 0.
Значит, участок уо можно сократить, что противоречит определений
кратчайшей.
Теперь убедимся, что на стыках участков гладкости пути у эти
участки С -гладко продолжают друг друга. Отсюда уже будет следо-
*То, что экстремалями длины являются не только геодезические, но и пути,
получающиеся из геодезических заменой параметра, создает известные трудности. В этом
— одна из причин того, что вместо длины часто удобнее использовать другой
функционал, энергию (см. 18.1).
66

вать, что они вместе составляют одну геодезическую. Допустим, что
на у есть точка y(t\), в которой угол а между полукасательными
левой и правой ветвей отличен от нуля (рис. 19). В малой окрестности
точки y(t\) нетрудно построить гладкую вариацию о участка у I
пути у, как это показано на рис. 19. Заменяя участок ly(to), y(t) ]
кратчайшей у на продольную линию Of этой вариации, мы изменяем
общую длину пути на величину fit) = s(ot) - (t- to). По формуле
первой вариации, при t = to
df, ds{ot)
4L_, = —77^ - 1 = cosa - 1 < 0.
at I t-t0 dt
Значит, путь у может быть сокращен, что противоречит
определению кратчайшей. ■
Обратное к лемме 12.1.7 утверждение неверно: не каждая
геодезическая является кратчайшей. Например, превосходящая
полуокружность дуга большого круга на сфере служит геодезической, но
она не только не кратчайшая, но даже сколь угодно близко от нее
проходят более короткие пути, соединяющие ее концы. Ниже эти
вопросы исследуются детальнее, но сначала остановимся на
некоторых свойствах экспоненциального отображения.
12.2. Лемма Гаусса.
12.2.1. Начнем с простого замечания. Если отображение ехрр
определено в точке v = Хи Е ТрМ, т.е. геодезическая yu(t) = expptu
существует на участке 0 < t < Я, то отображение ехрр в каждой такой
точке v изометрично в „радиальном" направлении — в направлении
вектора иЕ Ту(ТрМ) = ТрМ. Действительно, пользуясь (8) §11 и
тем фактом, что вдоль всякой геодезической у постоянен \у' I,
имеем:
(dv expp) и| =
ir&)
= |у'„(0)| = \и\. (8)
В частности, если определено ехрри, то длина s геодезической
у и : [0, 1 ] -* М, гдеу»(<) = ехрр£и, равна I и I. Действительно,
1 1
s = S \y'u(t)\dt = S \y'u(0)\dt= |у'и(0)1 = \u\. (9)
о о
12.2.2. Лемма. Пусть вектор и G ТрМ принадлежит области
определения отображения ехрр, и пусть из двух векторов
v, w Е Ти(ТрМ) = ТрМ первый параллелен и, т.е. v = Хи, а второй
ему ортогонален: {v, w) = 0. Тогда их образы при отображении
duexpp ортогональны в пространстве Техр иМ- Мы обозначим эти
образы:
v:= (du ехррУ, w = (du expp)w .
67

Рис. 20.
Лемма утверждает, что
• {v,w) = Q. (10)
В невырожденных случаях лемма имеет простой геометрический
смысл. В пространстве ТрМ через точку и проходит сфера S*~ с
центром в нуле и радиусом I и I. Отображение ехрр переводит участок
этой сферы (прилегающий к и) в участок „геодезической" сферы в М
с центром ври геодезическими радиусами той же длины (рис. 20).
Лемма утверждает, что в М радиус ортогонален „геодезической"
сфере. (Вообще же не исключено, что эта „сфера" имеет
самопересечения, изломы и другие особенности. Например, на стандартной
сфере Sn радиуса 1 геодезическая сфера радиуса п состоит из одной
точки. Но (10) выполняется).
12.2.3. Доказательство леммы 12.2.2. Ввиду линейности
дифференциала можно считать v = u, I w I = \v\. Рассмотрим в ТрМ
вариацию a(t, т) = цу cost + wsinr), и пусть o(t, т) = exppo(t, т).
Ввиду (9) длины s(r) продольных линий вариации а постоянны, и по
формуле (6) первой вариации
0 = ds = {{<1и ехррУ, (du expp)w) - ( v, w >,
поскольку
д о, _ Э_а, _
dt\t=l,z=o~ u' dr\t=l,T"0~w'
Из равенств (8) и (10) следует утверждение, которое обычно
называют леммой Гаусса.
12.2.4. Лемма Гаусса. Пусть и G ТрМ принадлежит
области определения отображения ехрр. Тогда для любых
v, w G Ти(ТрМ) = ТрМ, таких что v = Я и, справедливо равенство
(v,w) = (v,w). (11)
где v=du expp v, w = duexpp w, см. рис. 21.
68

Рис.21.
Действительно, так как du expp — линейное отображение, то,
полагая w = av + w\, где ( w\, v) = 0, имеем:
( v, w) = alp I ,
< v, w > = of2 + < v, w\ ) = a \v 12 + 0,
что доказывает (11). ■
12.3. Шары и кратчайшие.
12.3.1. Лемма. Если кусочно-гладкий путь у о '■ [0, а ] -*■ ТрМ с
началом в нуле лежит в области определения ехрр, то длина пути
у = ехрр • уо не меньше, чем длина векторауо(а).
Здесь не требуется, чтобы путь уо лежал в области, где ехрр
является диффеоморфизмом.
Доказательство. За счет С -малого изменения координатных
функций пути можно, произвольно мало изменив длину пути,
добиться, чтобы путь уо не проходил через нуль. Тогда путь уо можно
задать вектор-функцией вида yo(t) = <p(t) u(t), где u(t) —
единичный вектор. При этом у'о = (р'и + (ри', где и' X и. Поэтому длина
„радиальной" составляющей вектора у'о равна |(у'о>«)| = ly'l-
Отсюда
а
fv'dt
о
/|<у'о,и>|Л = / W\dt>
о о
= Ма)\ = |уо(а)|.(12)
Дифференциал отображения ехрр в точке уо(*) переводит вектор
у'о в у'. Отсюда, учитывая (8), затем лемму Гаусса 12.2.4, потом
(12), имеем:*
*Из доказательства нетрудно заметить, что равенство s(y) = lyo(a)' может
достигаться только, если вектор-функция u(t) всюду радиальна, а функция (pit)
строго монотонна, т.е. когда у лишь заменой параметра отличается от геодезической.
69

Рис. 22.
а а
s(Y) = / \y'\dt> f |< у', (dy0(t) expp\ u(t)) \dt =
о о I v i '
= / I<y'o. " >I dt* \Уо(а)\.т
0 ' '
12.3.2. Следствие. Если для некоторого и £ ТрМ
отображение ехрр определено для отрезка, состоящего из всех векторов tu
при О < t < 1, в ТрМ, и во всех точках этого отрезка
дифференциал dexpp не вырожден, то геодезическая у :t*^* expp tu, О < t < 1,
является кратчайшей среди всех достаточно близких к ней путей
с теми же концами. (Близких в смысле равномерной близости точек
с общим параметром t G [0, 1 ], рис. 22).
Действительно, в ТрМ найдется окрестность U отрезка [0, и ], в
которой ехрр является локальным диффеоморфизмом. Если путь о
достаточно близок к у, то путь о представим в виде а - ехрр ° о0, где
°0 — путь в U. К пути сто применима лемма 12.3.1, и по этой лемме
s (о) > \и \ = s (у ), причем равенство может иметь место только,
если а отличается от у лишь заменой параметра.
12.3.3. В римановом многообразии М как метрическом
пространстве (см. 6.4) определены метрические шары В(р,г):=
:={х£М | р(р, х ) < г}. Кроме того, можно рассматривать в М
образы шаров Bq(0, r) С ТрМ при экспоненциальном отображении.
Обозначим эти образы D (р, г) := ехррВо(0, г). Совпадают ли
В(р, г) и Щр, г )?
12.3.4. Лемма. Если отображение ехрр определено в Bq(0, r),
то D(p,r)CB(p,r).
Доказательство. Пусть q G D(p, r ), т.е. q = ехрри для
некоторого и Е Бо(0, г). Геодезическая уи: t*~* ехррш, 0 < t < 1,
соединяет р = уи(0) с q = yu(l) и имеет длину s(yu) = \и I < г. Поэтому
р(р, q) < г и q G В(р, г).Ш
12.3.5. Лемма. Если Bq(0, R ) С ТрМ — нормальная шаровая
окрестность (т.е. отображение ехрр в шаре В0(0, R ) определено и
является диффеоморфизмом), то в этом случае заведомо
70

В(р, г ) = D(p, r ) при всех г < R и каждая точка q £ В(р, г )
соединима с р кратчайшей, притом единственной.
Доказательство. Каждая точка q £ D(p, r) представима
единственным образом в виде q = ехрри, и £ Bq(Q, R ).
Геодезическая уи : 11-» expptu, О < t<\, соединяет р с q и имеет длину
\и \ < R. По лемме 12.3.1 любой другой кусочно-гладкий путь о из р
в q, если он лежит в D(p, r), не короче уи. Тем более он будет
длиннее уи, если он выходит из D(p, R ), поскольку уже его участок от р
до границы dD(p, R ) будет длиннее уи. Значит, уи — кратчайшая.*
Поскольку q £ D(p, R ), то эта кратчайшая как геодезическая pq в
D(p, R ) единственна, т.е. уи — единственная кратчайшая pq с
точностью до замены параметра.
По лемме 12.3.4 D(p, г) С В(р, г). Допустим, что обратное
включение неверно и существует точка q £ В(р, г) \ D(p, r ). Пусть
о — любой кусочно-гладкий путь из р в q. Обозначим q' первую
точку пересечения пути о с д D(p, г) = {ехрри | \и I = г}. Тогда
s(o ) > р(р, q') = г, ибо единственная кратчайшая pq' имеет длину г.
Но последнее противоречит тому, что pq < г.Ш
Утверждение леммы справедливо и при г = R, поскольку
В(р, R ) = U В{р, г) = U D(p, г) = D(p, R ).
12.3.6. Из леммы 12.3.5 следует, между прочим, что риманова
метрика индуцирует на М ту же топологию, какая была у М как
гладкого многообразия.
В связи с последним утверждением леммы 12.3.5 отметим одно
полезное следствие теоремы 11.3.7.
Рис. 23.
"Предостережение. Если вместо шара Bq(Q, R ) взять другую выпуклую
окрестность, V С Т„М нуля, в которой отображение ехр „ определено и является
диффеоморфизмом, то аналогичная геодезическая уц, лежащая в exp^f/, как
показывают простые примеры, может ие быть кратчайшей в М (рис. 23).
71

Рис. 24.
12.3.7. Лемма. У каждой точки р риманова многообразия М
существует такая окрестность U, что любые две точки х, у €Е U
соединимы в М единственной кратчайшей.
Действительно, по теореме 11.3.7, существуют такие окрестности
Up С Vp точки р, что любые две точки х, у G Up соединимы в Vp
единственной кратчайшей. При этом Up можно, сузив, считать столь
малой нормальной шаровой окрестностью U = В(р, е ) точки р, что
2е <p(p,dvp).m
12.3.8. Лемма. Каковы бы ни были различные точки р, q Е М,
существует сколь угодно близкая к р и отличная от нее точка х,
соединимая с р единственной кратчайшей и такая, что
Р(Р, Q ) = Р(Р, х ) + р(х, q ). (13)
Доказательство. Выберем нормальную шаровую
окрестность В(р, е ) так, чтобы она содержалась в большей нормальной
шаровой окрестности В(р, е + 6 ), не включающей q. Ввиду
непрерывности р (см. 6.4.3) на компакте дВ(р, е ) существует точка х,
ближайшая к q, т.е. такая, что p(q, х ) = inf{p(q, у) \ у £ дВ(р, е )}. Каждый
кусочно-гладкий путь а из р в q пересекает дВ(р, е ). Поэтому
s(o) > е + р(х, q ) (рис. 24). Отсюда р(р, q) > p(q, x ) + р(х, q ). По
неравенству треугольника здесь обязано быть равенство. Ввиду
х G В(р, е + д ) точка х соединима с р единственной кратчайшей. ■
12.3.9. Теорема. Если отображение ехрр определено в
Bq(0, г) С ТрМ, то каждая точка q G В(р, г) соединима с р
кратчайшей иВ(р, г) = D(p, r).
В отличие от леммы 12.3.5 на этот раз не требуется, чтобы ехрр
было в Bq(Q, г ) диффеоморфизмом, но зато кратчайшая pq на этот
раз может быть не единственной. Теорема 12.3.9 послужит
ключевым моментом для доказательства теоремы Хопфа—Ринова в
следующем параграфе.
Доказательство. Пусть q G B(p, r), q ^ р. Выберем по
лемме 12.3.8 точку х так, чтобы выполнялось (13) и х соединялось с р
единственной кратчайшей. После чего рассмотрим такую
нормальную геодезическую уи : <>-» expptu, 0 < t < t\ := p(p, q), I и I = 1,
что уи(Е ) = х. Обозначим А множество тех t G [0, t\ ], при которых
p(p,q) = t + p(yu(t),q). (14)
Множество А не пусто, так как ему принадлежит t - 0. Очевидно, А
72

замкнуто, поэтому Iq := max{t G A}G А. Если мы докажем, что
to=h, то, подставляя t\ в (14), получим р(р, д) = р(р, д) +
+ Р(Уи(Н), Q ), откуда следует уи(Ц) = д.
Допустим, что to < t\. Тогда yu(to) * д и по лемме 12.3.8
найдется соединимая с yjjo) единственной кратчайшей а точка у, для
которой p(yu(to), У ) = <5 > 0 и p(yu(to), Q ) = P(Yu(to), У ) + Р(У, Q )•
Вместе с (14) это дает/э(р, д ) = to + 6 + р(у, д ), а потому
to + <5 = /о(р, ? ) -/о(у, д ) < /о(р, у ).
Двузвенная ломаная из участка [0, to ] геодезической уи и
геодезической о имеет длину to + б < р(р, у), а потому является кратчайшей,
и у = yu(to + 6). Но тогда р(р, д ) = to + (5 + p(yu(to + <5 ), д ), что
противоречит выбору to- Значит, д = yu(h) и уи соединяет р с д и
является кратчайшей.
Включение D(p, г) С В(р, г ) было доказано в 12.3.4. Но для
любого д G В(р, г ), по доказанному, д = yu(t\) = expp t\u E Z)(p, r ). ■
12.4. Длина и кратчайшие в классе всех путей.
12.4.1. Риманово многообразие М является метрическим
пространством. Его метрикар определялась в 6.4 на базе понятия длины
s(y) пути у, причем длина сопоставлялась только кусочно-гладким
путям. Однако в метрическом пространстве М с метрикой р принято
определять длину любого пути у : [а, Ъ ] -* М как
N
s\y) := sup 2 Р (У (h-i), Y Щ , (15)
;=i
где точная верхняя граница берется по всем конечным разбиениям
а = to < t\ < ... < tN = Ъ. Априори не исключается, что s*(y) = °°.
При s*(y) < оо кривая у называется спрямляемой.
Естественно, возникают вопросы: 1. Совпадет ли для кусочно-
гладких путей у новая длина s*(y) с ранее определенной s (у)? 2.
Будет ли метрика р внутренней, т.е. будет ли р (х, у ) совпадать с
нижней гранью длин s* (у) любых спрямляемых путей,
соединяющих точки х и у ? 3. Если в классе кусочно-гладких кривых,
соединяющих х и у, существовала кратчайшая (ее длина равна р (х, у ) ),
то будет ли она также самой короткой среди любых путей,
соединяющих х и у ? 4. Если две точки удалось соединить самой короткой
среди любых путей кривой, обязательно ли она (возможно, после
монотонной замены параметра на ней) окажется геодезической? Ответы
на все эти вопросы положительные.
Непосредственно из определения (10) § 6 римановой метрики
следует, что для кусочно-гладкого пути у в М всегда s*(y) > s(y). В
действительности здесь всегда s (у) = s(y). Если у — кратчайшая, то
доказательство этого совсем просто: для любого разбиения (15)
73

N N
Р (У (a), У (*)) = s(y) = 2 s (у [tt-u *,-]) > 2p (У Ом), У (0) >
1=1 1=1
>p(y(a),y (b)),
так что все неравенства здесь обязаны быть равенствами. Ввиду
произвольности разбиения это дает s*(y) = р(у(а ), у(Ь )) = s(y). ■
Доказательство того, что s*(y) = s(y) для любого
кусочно-гладкого пути, предоставим читателю.
12.4.2. Из s > s следует, что кратчайшая имеет наименьшую
длину не только среди кусочно-гладких, но и в классе всех путей с
теми же концами.
12.4.3. Теорема. Если у : [а, Ъ ]-* М — путь с концами р, q и
s*(y) = р(р, q ), то у отличается от геодезической разве лишь
монотонной заменой параметра.
Для кусочно-гладкого пути у такое утверждение уже доказано в
12.1.7. На этот раз у — произвольный путь.
Доказательство. Поскольку утверждение по существу
имеет локальный характер, будем считать, что у содержится в
нормальной шаровой окрестности В(р, г) точки р = у (а). В шаре В(р, г)
точки р и q можно соединить кратчайшей о, являющейся нормальной
геодезической. Параметризуем кривую у длиной дуги, т.е. так, что
s*(y [0, t ]) = t, y(0) = р. Напомним, что s*(y) = s(o) = p(p, q).
Кривые у и а могут совпадать на некотором прилегающем к q участке
[to,P(p,q)]- Если to = 0, то у = а. Пусть to > 0. Обозначим
у = y(to). В нормальной шаровой окрестности В(у, д) найдется точка
z = y(h), h < *0, не лежащая на а. Точку z можно соединить
кратчайшими ср ну. Сумма длин этих кратчайших не более длины
участка ру пути у, т.е. не больше чем to = р(р, У). Поэтому двузвенная
ломаная, составленная из этих кратчайших, является кратчайшей,
тем самым по 12.1.7 — геодезической. Но в нормальной шаровой
окрестности В(р, г ) геодезическая ру единственна, а это противоречит
предположению, что z не лежит на а. Итак, выходящий из точки р
„правый" участок у после перепараметризации — геодезическая. По
той же причине и „левый" участок у — локально-геодезическая. Их
угол в точке р равен нулю (иначе у допускала бы сокращение).
Значит, у — геодезическая в окрестности каждой своей точки р и
потому — геодезическая в целом. ■
12.5. Сходимость геодезических.
12.5.1. О последовательности путей у,-: [а, Ъ ] -» М (с общим
промежутком [а, Ъ ] изменения параметра) в метрическом
пространстве М говорят, что эти пути сходятся (limy,- = у0) к пути уо, если
их точки yt{t) равномерно по всем t G [а, Ъ ] сходятся к точкам пути
Уо, т.е.
ton sup p (уit), у0(О) =0. (16)
i-»«> te [a,b\ х '
74

При рассмотрении не путей, а геометрических кривых у,
(допускающих монотонные замены параметра), заданных
параметризациями у,: [a,, bi ] -* М, говорят, что они сходятся к кривой
уо : [а, Ъ ] -» М, если существуют такие строго монотонные замены
параметра [a,, Z», ] '-* [а, Ъ ], что после перехода к новым параметрам
пути у, сходятся куо в смысле (16). В этом случае для кривых у,
также пишут
lim у,- = у0. (17)
i -* оо
Из этих определений и их сопоставления с определением (15) длины
s* легко выводится, что при у; -» уо всегда
s*(Yo)^ lim s*(y,). (18)
i-*oo
12.5.2. На каждой геодезической у : [а, Ъ ] -* М можно в
качестве параметра выбрать отношение s(\a, t ])/s([a, b ]). Такой
параметр (его называют относительной длиной дуги) всегда изменяется
в промежутке [О, 1 ].
Будем говорить, что последовательность у, геодезических
сходится к уд : [О, 1 ] -» М, если при выборе на каждой из у, в качестве
параметра ее относительной длины дуги выполняется
lim sup p (п(1), уо(О) =0. (19)
i-»oo te [0,1] \ I
Поскольку для кратчайших s* = s, то из (18) вытекает, что
предел геодезических, являющихся кратчайшими, всегда снова есть
кратчайшая, притом именно геодезическая, параметризованная
относительной длиной дуги.
Отсюда следует, что вообще предел геодезических всегда
является геодезической, поскольку в достаточно малой
окрестности любой предельной точки (см. 11.3.6) все сходящиеся
геодезические являются кратчайшими, а также что для сходящихся
геодезических у, -* уо всегда имеет место сходимость длин
s(Yi) -> s(yq).
12.5.3. Из непрерывной зависимости решений уравнений
геодезической от начальных данных следует, что если у нормальных
геодезических у,, лежащих в компактной области, сходятся начальные
точки, сходятся векторы у', в начальных точках и длины s (у,)
ограничены в совокупности, то для некоторой подпоследовательности
геодезические у, сходятся к некоторой геодезической уо,
параметризованной относительной длиной дуги.
Отсюда вытекает и простой признак компактности. Если в
компактной области расположена бесконечная последовательность
нормальных геодезических у, с равномерно ограниченными длинами, то
75

из этих геодезических можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность.
12.6. Специальные координаты. В заключение этого параграфа
упомянем некоторые специальные системы локальных координат.
Их введение тесно связано с геодезическими линиями и
экспоненциальным отображением.
12.6.1. Нормальные координаты Римана. Выберем в
касательном пространстве ТрМ ортонормированный базис е\, ..., еп и
рассмотрим в ТрМ декартовы координаты (и , ..., и ) относительно
этого базиса. В нормальной шаровой окрестности Bq нуля в ТрМ
отображение ехрр является диффеоморфизмом, и в окрестности ехрр(Во)
точки р мы можем ввести координаты (и , ..., ип), полагая и(х ) =
= и'(ехрр | (х)). Такие координаты называют римановыми нор-
мольными координатами в окрестности точки р.
В этих координатах в самой точке р
glfy>) = 6ij, ltO) = 0. (20)
Действительно, первые равенства следуют из того, что do expp есть
тождественное отображение (см. доказательство теоремы 11.3.2).
Чтобы подтвердить последние из равенств (20), рассмотрим
геодезическую t >-* expp tv, v £ ТрМ. Точка ехрр tv имеет координаты
tv1, где (v , ..., Vя) — координаты вектора v. Поэтому уравнения
этой геодезической (см. 11.1.3) имеют вид 0 + Гук'^ = 0;
k=\,...,n. Ввиду произвольности вектора v отсюда следует
r$j(P) = o.
Вторые равенства (20) равносильны тому, что в точке р все
производные (д/ди ) (gij) | = 0. Таким образом, вблизи р отображение
ехрр является изометриеи с точностью не только до первого, но и до
второго порядка малости. Это утверждение будет ниже уточнено (см.
19.5).
12.6.2. Координаты Ферми. Вдоль нормальной
геодезической у: [0 < t < s ] -» М выберем параллельные векторные поля
Е\, ..., Еп, образующие в начальной (а потому и в любой) точке y(t)
ортонормированный базис, причем возьмемEn(t) = y'(t). В
„окрестности" отрезка х1 = х2 = ... = х"~1 = 0, 0 < хп < s пространства R"
зададим отображение h правилом
h(x1,..., xn) = ехр^") X *'£<• (2D
i=i
Покажем, что отображение h определяет в некоторой
„трубчатой" окрестности геодезической у координаты (х , ..., хп). Отображе-
76

ние h — гладкое, так что достаточно проверить, что в точках
геодезической у линейное отображение dh : То,..., о, х"^1 ~* ^у{х")^ не вы~
рождается по размерности. Но dh (д/дхп ) = у' (хп ) = Еп, а как
следует из (21), при i < п имеем dh (д/дх1) = £,-. ■
Построенные координаты (х , ..., хп) называют координатами
Ферми в окрестности геодезической у. Проверим, что в координатах
Ферми
giJ (0, ..., О, хп ) = дц , rfj (О, ..., О, хп ) = 0. (22)
Первые равенства очевидны, так как gy = { dj, dj) = { Ей Ej). Рас-
п-\
смотрим геодезическую t •-» ехру(х") < ^ с Ek- Она имеет уравнения
0 + rfj с' с*' = 0, & = 1, ..., п, суммирования по / и по у от 1 до п - 1.
Ввиду произвольности с', с/ отсюда следуют последние равенства
(22) при г, у" = 1, ..., /г - 1. Наконец, поле векторов (0, ..., 0, 1)
является параллельным вдоль у, что дает Г/у- = Г(и = 0. ■
Ввиду последних равенств (22) все (dgi/dxn )(0, ..., 0, х") = 0,
поэтому в некоторой окрестности геодезической у
\g,j(x\...,j<*)-dij\ <C£2, (23)
п-1
где С = const > 0, £ = ^ (х1) . Отсюда нетрудно вывести, что ес-
i=i
ли путь а : х (t), ..., xn(t) лежит в такой окрестности, то
I s (a) - s (ff0) I s С s (о0) г2, (24)
где s{Oq) — евклидова длина пути h ° о.
12.6.3. В связи с координатами Ферми упомянем одно общее
понятие. Пусть N — вложенное подмногообразие риманова
многообразия М. В пространстве касательного расслоения ТМ (см. 3.3.2)
рассмотрим подмножество v(N), состоящее из таких пар (р, и), что
р G N, и G ТрМ, причем и ортогонально к TpN. Можно показать, что
v(N) является гладко вложенным подмногообразием в ТМ. Это
подмногообразие называется пространством нормального расслоения
подмногообразия N в М. При этом естественное проектирование
п : v(N) -» N, где л(р, и) = р, является гладким отображением и
даже субмерсией.*
•Мы не приводим в 12.6.3, 12.6.4 доказательств. Они идейно просты, но заняли
бы довольно много места.
77

*12.6.4. Экспоненциальное отображение подмногообразия N —
это отображение ехрдг: v(N) -» М, определяемое равенством
ехрдг(р, и ) = ехрр и. Это гладкое отображение. Нетрудно показать,
что в некоторой окрестности нулевого сечения N х {0} нормального
расслоения v(N) отображение ехрдг является диффеоморфизмом.
Если N — одноточечно, то ехрдг — обычное экспоненциальное
отображение. Следующий по значимости частный случай — когда N
есть геодезическая у : [а, Ъ ] -» М. В этом случае v(N ) естественно
(послойно) диффеоморфно области (a, b) х R"~ евклидова пространства
Е". Если в М вдоль у задан ортонормированный набор из п параллельных
векторных полей Е\, ..., Еп, как сделано в 12.6.2, то правило (21) есть
задание ехру в соответствующих локальных координатах.
§ 13. Полнота
13.1. Теорема Хопфа—Ринова.
13.1.1. Метрическое пространство X с метрикой р называется
полным, если для любой фундаментальной* последовательности
точек xi Е X существует предельная точка, т.е. такая точка х G X, что
/э(х„ х ) -» 0 при i-* оо. В метрическом пространстве для его полноты
достаточно, чтобы все замкнутые ограниченные множества
(достаточно, чтобы замкнутые шары, можно — с фиксированным центром)
были компактны. В случае риманова многообразия это и необходимо,
т.е. для полноты необходимо и достаточно, чтобы для некоторой точ-
ки р G X и любых R > 0 замкнутые шары
В(р, R ) = {л: Е X I р (х, р ) < R} были компактами. Риманово
многообразие называют метрически полным, если оно полно как
метрическое пространство.
Пусть теперь М — многообразие с некоторой связностью V.
Такое многообразие М называют геодезически полным, если в нем
каждая геодезическая продолжима на интервал (-оо, со) изменения
параметра или, что то же, для любой точки р G М экспоненциальное
отображение ехрр определено на всем касательном пространстве ТрМ
(ср. 11.2.3).
Риманово многообразие является одновременно и метрическим
пространством и многообразием со связностью Леви—Чивита. Имеет
место фундаментальная теорема Хопфа—Ринова, которую мы
сформулируем в виде трех утверждений.
13.1.2. Теорема: 1) риманово многообразие М метрически
полно тогда и только тогда, когда оно геодезически полно (такое
М естественно называть полным);
*Фундаментальной (или сходящейся в себе, или последовательностью Коши)
называют последовательность х/, для которой при любом е > 0 существует такое N(e),
чтор (Xj, Xj) < е при любых /, у > N(e).
78

2) чтобы риманово многообразие М было полным, достаточно,
чтобы хотя бы для одной точки р Е М отображение ехрр было
определено на всем ТрМ;
3) в полном римановом многообразии любые две точки
соединимы хотя бы одной кратчайшей.
Метрическая полнота представляется весьма естественным
условием. Например, каждое замкнутое риманово многообразие является
полным. В применениях наиболее важным является утверждение 3)
теоремы 13.1.2, позволяющее рассматривать конструкции из
кратчайших. Далее мы будем иметь дело, как правило, с полными рима-
новыми многообразиями.
Доказательство теоремы. Согласно 12.3.9, из
геодезической полноты следует утверждение 3) теоремы. Очевидно, из
геодезической полноты следует, что отображение ехрр определено
на всем ТрМ для любой точки р. Пусть теперь для некоторой
точки р отображение ехрр определено на всем ТрМ. Тогда,
опять по теореме 12.3.9, метрические шары В(р, г) совпадают с
ехрр-образами шаров Bq(0, r) С ТрМ. Поэтому замкнутые шары
В(р, г) компактны как образы компактов Bq(0, г ) при
непрерывном отображении. Но тогда М — метрически полно (см. 13.1.1).
Осталось доказать, что из метрической полноты следует
геодезическая полнота.
Допустим, что некоторая нормальная геодезическая у непродол-
жима на интервал (-<*>, °°), и пусть максимальный интервал, в
котором определена у, есть (а, Ь ), где для определенности именно Ъ < °°.
Выберем последовательность Ц/Ъ при i-» со. Точки y{t\) образуют
фундаментальную последовательность, так как
Р (У ('/)> У Ш * I U ~ Ь | =* * - min ('/> *J >•
Ввиду метрической полноты существует такая точка р G М, что
y(tf) -» р. По лемме 11.2.5 найдутся такое д > 0 и такая окрестность U
точки р, что каждая геодезическая с началом в U продолжима по
крайней мере на длину д. Но приy(tf) G Uab- Ц< д геодезическая у
непродолжима за точку y(ti) на длину, большую Ь - Ц. Полученное
противоречие доказывает геодезическую полноту М. Ш
13.1.3. Пусть М — полное риманово многообразие. Рассмотрим
последовательность нормальных геодезических уь представив их в
виде yi(t) = expp.t щ, где \щ\ = 1 и 0 < t < s,-. Предположим, точки
(Pi, ui) сходятся в топологии ТМ к (р, и ) и s/ -» s. Ввиду полноты М
существует геодезическая у, определенная равенством
y(t) = expp tu, а ввиду гладкости экспоненциального отображения
геодезические у,- сходятся к у.
Отсюда вытекает простой признак компактности семейства
геодезических в полном М. Если у геодезических у; начальные точки
лежат в компакте Q С М и длины ограничены в совокупности
79

Sj *£ с < oot то из у; можно выбрать подпоследовательность у^
сходящуюся при к -* °° к некоторой геодезической.
13.2. Замкнутые геодезические.
13.2.1. Напомним, что замкнутые пути уо'. S -*■ М шу\ : S -*■ М
называются свободно гомотопными, если существует непрерывное
отображение о : S х [О, 1 ] -» М, такое, что o(t, 0) = yo(t),
o(t, 1) = yi(t) при всех tES. Свободная гомотопность есть
эквивалентность. (Однако классы свободно гомотопных замкнутых путей
не образуют группу).
13.2.2. Теорема. На замкнутом римановом многообразии М в
каждом (непустом) свободном гомотопическом классе нестягивае-
мых путей есть хоть один путь с наименьшей длиной
(являющийся, конечно, замкнутой геодезической). Кроме того, существует
хоть одна замкнутая геодезическая, имеющая наименьшую длину
среди всех нестягиваемых замкнутых путей (если такие пути
есть).
Разумеется, теорема содержательна только для неодносвязных М.
Доказательство. Пусть К — непустой класс свободно
гомотопных друг другу замкнутых нестягиваемых путей в М. Так как
всякий путь свободно гомотопен гладкому, то в К есть пути конечной
длины. Пусть у,- (i = 1,2,...) — минимизирующая длину
последовательность путей из К, s(yi) -* Ъ. Ввиду компактности М значение
Ъ > 0. Можно считать s(y,) < lb.
Согласно 11.3.6, опять ввиду компактности М, найдется такое
д > 0, что любые точки х, у Е М, удаленные на более чем на д,
соединимы единственной кратчайшей. Каждый путь у,- разобьем
точками х,0 = yih),..., xit лм = y(tN-i), xiN = y(tN) = Yi(t0), где
to < t\ < ... < tu-i, N= [4b/d] +1, на участки длины
s(yi) IN < 2b IN *£ д 11. Заменим каждый путь у,- замкнутой
геодезической ломаной yi с вершинами л;,^, получаемой последовательным
соединением этих вершин кратчайшими. При любом непрерывном
отображении <р участка пути у,- на соответствующее ему звено
ломаной yi расстоянияр{х, <р{х)) < д. Поэтому х и <р(х ) соединимы
единственной кратчайшей. В силу единственности в ввиду 12.5.2 эта
кратчайшая непрерывно зависит от х. Сдвигая каждую точку х вдоль
кратчайшей х (р(х ) со скоростью, равной длине этой кратчайшей, мы
гомотопно преобразуем у,- в yt. Поэтому все у; Е К. Поскольку
s(yi) < s(y,-),Tos(y;.)-» b.
Из номеров i можно выбрать такую подпоследовательность ij, что
при любом к = 0, ..., N точки Х[. к образуют сходящуюся
последовательность. Сохранив для новой последовательности ij обозначения
Xik, имеем: ад -» х^ при / -» °° для всех к = 0, ..., N. Ломаная у с
вершинами хк будет гомотопна ломаным у} по тем же причинам, по
которым гомотопны yi и у,-. По непрерывности расстояния
80

p(xk-i, Xk) = Urn p(xiy k-\, xik), так что s(y) = lim s(y,) = b. Ясно,
/ -* 00 / -* 00
что у — замкнутая геодезическая. ■
Второе утверждение теоремы 13.2.2 доказывается аналогично, с
очевидными упрощениями.
*13.2.3. Хотя в доказательстве теоремы 13.2.2 существенно
использовалась римановость М, в частности свойства коротких
геодезических, в основе этой теоремы лежат простые общие факты
метрической геометрии. Поэтому полезно познакомиться с ее
доказательством прямыми методами вариационного исчисления.
Пусть X — метрическое пространство с метрикой р. Длина пути
у : [a, b ] -» М определяется формулой (15) § 12. Если путь у имеет
конечную длину (спрямляем), то он эквивалентен пути,
параметризованному „относительной длиной" t = s/s(y), где s — длина дуги,
отсчитываемой от начала, a s(y) — длина всего пути. Ясно, что
0< t< 1.
Такие пути у : [О, 1 ] -» X образуют метрическое пространство
С(Х ) с расстоянием d{y\, уг) = max p(y\{t), yi(t ))• Напомним, что
t
семейство путей уа : [О, 1 ] -» X называют равностепенно
непрерывным, если для любого е > 0 найдется такое д(е) > 0, что из
I Ц - t2 I < д(е) следует p(ya(h), Ya(t2)) < е одновременно для всех
а. Имеет место известная теорема.
Теорема Арцела—Асколи. Если метрическое
пространство X ограниченно компактно, а семейство А С С(Х)
ограниченно и равностепенно непрерывно, то замыкание семейства А
компактно.
Если длины путей семейства А, параметризованных
относительной длиной, были равномерно ограничены, то это семейство
равностепенно непрерывно. Кроме того, длина пути является
полунепрерывным снизу функционалом, т.е. если lim у,- = у в метрике
/ -» 00
СрО,то
s(y) < lim s(y,).
/ -» 00
Поэтому из теоремы Арцела—Асколи следует, что если X —
ограниченно компактно, А С С(Х) — ограниченное замкнутое семейство
путей, имеющих равномерно ограниченные длины и
параметризованных относительной длиной, то в А существует путь наименьшей
длины.
Теперь для доказательства теоремы 13.2.2 остается заметить, что
если X — риманово многообразие и гомотопные между собой пути у,
сходятся к пути у, то у,- и у гомотопны. (Это, конечно, не имеет места
для произвольных метрических пространств). Все сказанное остается
справедливым и для замкнутых путей. ■
Наконец, отметим, что в 13.1.3 требование полноты М можно
заменить условием, что все геодезические у,- лежат в компакте Q С М.
81

13.3. Лемма Берже. Следующие результаты служат
характерными примерами использования сходимости кратчайших и формулы
первой вариации длины для изучения расположения кратчайших в
полном римановом многообразии М.
13.3.1. Расстояние между двумя множествами А, В С М
определяем здесь равенством
р (А, В ) := Ш{р (х,у) | хЕА,УеВ]. (1)
Если геодезическая у имеет концы у(а ) G А и y(b ) G В и ее
длина s(y) = р(А, В), то у называют кратчайшей, соединяющей А и В.
Для компактов А, В хоть одна соединяющая их кратчайшая всегда
существует. Действительно, из последовательности кратчайших у,
между точками pt G А, <?,- G В, для которых р{рь <?,) -» р(А, В ),
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Ее предел будет
кратчайшей, соединяющей А с В.
13.3.2. Теорема. Если N\, N2 — погруженные в М
многообразия без края и если существует соединяющая их кратчайшая
у : [а, Ь ] -» М с концами р = у(а ) G N\, q — у{Ъ) G Nj, то она
перпендикулярна этим подмногообразиям, т.е. y'(a)±TpNi,
у'(Ъ) ± TqN2-
Размерности многообразий N\, N2 могут быть любыми (в
частности, нулевыми) и не обязательно одинаковыми. Соединяющая N\ с
#2 кратчайшая заведомо существует, когда N\, N2 — замкнутые
многообразия.
Доказательство. Если, например, вектор у'(а) не
перпендикулярен Ni, то найдется и G Tp N\, для которого {и, у'(а)) > 0.
Тогда при вариации геодезической у, оставляющей q на месте и
сдвигающей р вдоль N\ в направлении и, длина пути уменьшается. Это
противоречит выбору у. Ш
13.3.3. Пусть G ^ М — область с компактным замыканием в
полном римановом многообразии М. Ввиду непрерывности расстояния
найдется точка р G G, наиболее удаленная от границы BG области.
(Такая точка не обязательно единственна). При этом будут
существовать такие точки q G dG, что расстояния р(р, q) =
= р(р, dG) := inf{p (р, х ) I x G dG}. Здесь р, так сказать, центр
вписанного в G шара, a q — точки касания его замыкания с dG. По
теореме Хопфа—Ринова существуют кратчайшие между р и q. Ясно,
что они проходят в G U {<?}. Такие кратчайшие назовем
радиальными.
13.3.4. Лемма. В условиях п. 13.3.3 для любого и G ТрМ
найдется такая радиальная кратчайшая у с началом р = у(0), что
{и,у'(0))>0.
Из 13.3.4 немедленно следует лемма.
13.3.5. Лемма Берже. Пусть М — замкнутое риманово
многообразие, а р и q — диаметрально противоположные точки, т.е.
Р(Р, q ) = шах {р(х, у) | х, у Е М}. Тогда для любого и G ТрМ най-
82

дется такая кратчайшая у с началом у(0) = р и концом q, что
( и, у'(0)) > 0.
Действительно, достаточно в 13.3.4 положить G - М \ {q}.
13.3.6. Перейдем к доказательству леммы 13.3.4. Рассмотрим
путь £ : х >-> ехрр хи. Каждую точку f (г ) соединим с dG кратчайшей
ух длины s(yx) = /э(£ (г ), dG). Считаем f(r ) = ут(0). Если найдется
последовательность т,- \0, такая, что (|'(г,-), у'т. (0)) > 0, то
требуемая радиальная кратчайшая возникает как предел сходящейся
подпоследовательности кратчайших ух.. Поэтому будем считать, что для
некоторого х\ > 0 выполняется (|'(г), у'т(0)) < 0 при всех
х £ (0, ti). Зафиксировав любое to £ (0, ti), рассмотрим гладкую
вариацию o(t, x) геодезической уТо, при которой начало уТо сдвигается
по ^ в сторону уменьшения г, т.е. в сторону точки р, а конец q на dG
остается неподвижным. Для всех достаточно близких к То значений
х < xq получим:
p(q,£{r)) < s(o(-,x)) < s(o(-, t0)) = s(yTo) =p(q,£ (T0)).
Значит (возможно, недифференцируемая), функция /(г) =
= р(£(т), dG) вблизи х = 0 строго возрастает. Но это противоречит
выбору точки р. Ш
§ 14. Кривизна
14.1. Искривленность как отличие от евклидова пространства.
14.1.1. Из курса дифференциальной геометрии известно, что у
поверхности в пространстве Е различают два аспекта: внешнюю
искривленность — отличие ее формы от плоскости и внутреннюю —
отличие внутренней метрики поверхности от евклидовой. Первая
проявляется локально в том, что в данной точке поверхности все или
некоторые ее нормальные кривизны отличны от нуля. Произведение
наибольшей и наименьшей из этих кривизн называют гауссовой
кривизной поверхности. Согласно теореме Гаусса, несмотря на
„внешнее" определение, гауссова кривизна принадлежит внутренней
геометрии поверхности и характеризует ее внутреннюю
искривленность.
Внутренняя искривленность неминуемо влечет внешнюю.
Обратное, как показывает пример цилиндра, не обязательно. Внутренняя
искривленность поверхности проявляется наглядно, в частности, в
трех явлениях.
1. Точки двух геодезических с общим началом, равно отстоящие
от начала, удаляются друг от друга непропорционально их удалению
от начала.
2. В треугольнике из трех кратчайших сумма углов не равна я.
3. Внутренней метрике поверхности отвечает ее связность Ле-
ви—Чивита (именно ее символы Кристоффеля фигурируют в дери-
83

вационных формулах теории поверхностей). Поэтому определен
параллельный перенос касательного к поверхности вектора вдоль пути
на поверхности. Характер отклонения вектора от исходного
положения после его переноса по замкнутому контуру может служить
характеристикой внутренней искривленности поверхности.
В двумерном случае все эти явления количественно выражаются
через гауссову кривизну.
14.1.2. Чтобы пояснить, что имеют в виду, говоря о возможной
искривленности риманова многообразия М размерности п > 2,
рассмотрим некоторые стандартные двумерные поверхности в М,
проходящие через точку р. Зафиксируем в ТрМ двумерное
подпространство а и рассмотрим поверхность Ф = ехрр£/, где U есть пересечение
плоскости а с нормальной шаровой окрестностью нуля в ТрМ.
Поверхность Ф вложена в М, а потому сама является двумерным рима-
новым многообразием и имеет в точке р некоторую гауссову
кривизну Ка. Значение Ка называют секционной кривизной пространства М
в точке р в двумерном направлении а. В одной и той же точке
кривизна Ка в разных направлениях о может быть различной.
Рекомендуем обдумать примеры римановых многообразий, явля-
9 9
ющихся прямыми метрическими произведениями S х R, S х Н,
где S — стандартная единичная сфера, Н — плоскость Лобачевского
кривизны —1. В первом случае легко выделить двумерные
направления с секционными кривизнами 1 и 0, во втором — с секционными
кривизнами 1 и —1. Эти примеры поясняют, почему локальную
искривленность риманова многообразия размерности, большей двух,
нельзя характеризовать одним числом.
14.1.3. Малую окрестность точки р в римановом многообразии р
можно отобразить в евклидово пространство той же размерности
(например, отображением ехр^ ) так, что искажения расстояний будут
выше первого порядка малости по сравнению с расстояниями до р.
Поэтому количественное описание искривленности риманова
многообразия как отличия последнего от евклидова пространства
потребует в координатах рассмотрения вторых производных от координат
метрического тензора.
14.1.4. Подобно тому как параллельный перенос было
целесообразно определять через инфинитезимальный объект — ковариантное
дифференцирование, так и секционные кривизны удобно описывать
и вычислять через более алгебраизованные объекты — так
называемые преобразование и тензор кривизны. В принципе к этим
понятиям можно прийти, отправляясь от анализа любого из явлений 1,2,3,
упомянутых в п. 14.1.1. Целесообразно, однако, обратиться к
третьему из них, в частности потому, что это позволяет ввести понятие
преобразования кривизны в произвольном многообразии со
связностью, а не только в римановом многообразии со связностью Леви—
Чивита.
14.2. Преобразование кривизны. Итак, пусть М — гладкое
многообразие со связностью V.
84

14.2.1. Лемма. Для любых (гладких) векторных полей X, У, Z
на М значение векторного поля
R{X, y,Z):= VxVyZ-VyVxZ-V№y]Z (l)
в точке р Е М зависит только от значений Хр, Yp, Zp этих полей в
самой точке р.*
Доказательство. Пусть X— линейное пространство над Е
(гладких) векторных полей на М. Ясно, что отображение
R : Хх. Хх X -* X, определенное равенством (1), трилинейно, т.е.
линейно отдельно по каждому из трех аргументов X, У, Z. Поэтому
ввиду 8.1.2 для доказательства леммы достаточно проверить, что для
любой гладкой функции / выполняется равенство
R (fX, Y, Z)p= f(p) R( X, Y,Z)P и аналогично — по второму и
третьему аргументам.
Из свойств линейной связности (6) § 7 и свойства (9) § 4 скобки
Ли имеем:
R(fX, y,Z)p=(V/xVyZ-VyV/xZ-V[/X)y]Z)p =
= /(p)(VxVyZ)p-(y/)p(VxZ)p-/(p)(VyVxZ)p-
~f(p )(V№ Y] Z )p+ (Yf)p(yx Z)p=f(p)R (X, Y,Z)p.
Остальные случаи аналогичны. ■
14.2.2. Лемма 14.2.1 делает корректным следующее
определение.
Для каждой точки р Е М и любых векторов и,к£ ТрМ
преобразованием кривизны называют отображение R (и, v) : ТрМ -*• ТрМ,
действующее по правилу
R(u,v)w=(yxVYZ-VYVxZ-V[x,Y}Z), (2)
где X, Y, Z — любые гладкие векторные поля на М,
удовлетворяющие условию Хр = и, Ур = v, Zp = w.
Из определения (2) следует, что отображение R : (и, v, w) -*•
-*• R ( и, v ) w трилинейно. Кроме того, оно кососимметрично по
аргументам и, v, т.е. R ( и, v )w = -Л (v, и )w. Отсюда следует, что для
линейно зависимых и, к всегда R (и, v )w — 0.
14.2.3. Пример. Для евклидова пространства Ef1 с
канонической связностью V всегда R (и, v ) w = 0. Действительно, векторы
и, v, w можно распространить в £" параллельным переносом (вдоль
любых путей) в поля X, У, Z. Тогда V^Z = VyZ = V^ y]Z = 0, и
потому R (и, v ) w - 0.
Аналогично R (и, v )w = 0 для канонической плоской связности
на параллелизуемом многообразии (см. пример 7.2.2).
♦Проверьте, что ни одно из слагаемых правой части (1), ни их суммы по два
таким свойством, вообще говоря, не обладают.
85

14.2.4. Пример. Найдем преобразование кривизны для внут-
ренней метрики поверхности Ф в Е . Считаем, что поверхность Ф
1 9
задана регулярно вектор-функцией г (х , х ). Ввиду линейности
преобразования кривизны по каждому аргументу и
кососимметричности по первым двум аргументам достаточно найти R (г\, г2) г\ и
R (п, П ) г2, где г,- = дг/дх'.
Учитывая пример 8.2.8, запишем деривационные формулы
теории поверхностей в виде
гп = Dxlri + Ln>
rl2 = Dx2 r{ + Mn = Dxi r2 + Mn,
r22 = Dx2 r2 + Nn, (3)
_ FM-GL FL-EM
EG-F2 EG-F2
_ FN-GM FM-EN
EG-F2 EG-F2
где E, F, G — коэффициенты первой, a L, M, N — второй основой
формы поверхности, п — единичная нормаль поверхности,
Щ = дп/дх1, rij = д r/дх' Зл/, D^ = D/dx'.
Из (3) находим для касательной составляющей третьих
производных, помеченной знаком Т:
0 = (г112 - r12l)T = Dxl Dxl r\ ~ Dxl Dxl r\ + Ln2 ~ Mn\ =
= Vr2 Vri n ~ Vri Vr2 п+ К (Fn ~ Er2),
где К = (LN - M )/(EG- F) — гауссова кривизна поверхности, т.е.
произведение главных кривизн. Учитывая, что скобка Ли
[Гу, г2] = 0, имеем:
R (гь г2) п = К (Fry - Ег2). (4)
Совершенно аналогично из 0 = (r22l - r2l2)T находим:
R(rur2)r2 = K(Gri-Fr2). (5)
Если специализировать координаты так, чтобы в
рассматриваемой точке р выполнялись требования E=G= 1, F = 0, т.е.
I r\ I = I r2 I = 1 и г у ± г2, то R (г\, г2) действует на Тр Ф особенно
просто и наглядно: оно состоит из поворота на угол л/2 в направле-
ниии от г2 к г у и гомотетии с коэффициентом К относительно начала.
14.3. Геометрическая интерпретация преобразования
кривизны.
14.3.1. Зафиксируем точку р G М и линейно независимые векто-
86

Рис. 25.
ры и, v 6 ТрМ. Выберем локальные координаты х1, ..., х11 так, чтобы
точка р имела координаты (0, ..., 0) и в этой точке di = и, д2 = V-
Обозначим Pst параллельный перенос в М по замкнутому контуру,
служащему границей координатного „прямоугольника" 0 *£ х *£ s,
0 *£ х *£ t, как показано на рис. 25.
14.3.2. Теорема. В принятых обозначениях для любого
w G Т„М
R(u,v)w= lim — (Pstw -w). (6)
s, t-*0 st \ i
Доказательство. Построим в окрестности точки р гладкое
векторное поле Z, удовлетворяющее условиям
Zp=w, VlZ(x\0,x3,...,xn) = 0, V2Z=0. (7)
(Здесь и далее Vi := Va , V2 := Va ). Для этого сначала на подмного-
1 7
образии х = х = 0 выбираем любое гладкое поле Z,
удовлетворяющее условию Zp = w. Затем распространяем его на подмногообразие
х = 0 посредством параллельных переносов вдоль координатных
линий х и, наконец, — на всю координатную окрестность \х' I < е;
/ = 1, ..., п, точки р посредством параллельных переносов вдоль
линий х .
В дальнейшем нас будут интересовать лишь точки
подмногообразия х =...= хп = 0. Поэтому для краткости положим х = s, x = t,
1 7
Z ( х , х , 0, ..., 0) = Z (s, t). Параллельный перенос Pst (см. выше)
можно представить в виде суперпозиции четырех параллельных
переносов Pst = Qt Ps Qq Pq, где Р — переносы вдоль координатной ли-
1 7
нии х , a Q — вдоль линии х . В этих обозначениях Z ( s, t ) =
= Qo ^0 Z (0, 0) = Q^Pb w. Поэтому
Pstw-w=Q? (p°sZ(s, t)-Z(0, O). (8)
87

По формуле Ньютона—Лейбница для векторных полей (см. 10.2.5),
P°sZ(s,t)-Z(0,t)= / /£(V, Z)0,,<for. (9)
о
Воспользуемся тем, что ввиду последнего из свойств (7) поля Z и
того, что [ дь дг 1 = 0. справедливо равенство
(л (dud2)Z)s0= (V, V2Z-V2V,Z-V[9l,j2,Z) = -(V2V,Z) Si0, (10)
а также тем, что ввиду второго из свойств (7) и леммы Адамара (см.
10.2.7)
(VlZ)CT,= (VlZ)c,reo(v'z)CT,o = /y(a'?)' (11)
где Y — некоторое гладкое векторное поле, причем, согласно лемме
Адамара и равенству (10),
Y(o, 0) = -(V2ViZ)0io = (R(du d2)Z)a,0. (12)
Подставив (11) в (9), а затем (9) в (8), получаем:
s s
Pstw-w = (ft J Pa(tY(o, t))da= t J Q?P% Y(o, 1 )da.
0 0
Поскольку вектор-функция Qt Pa Y ( a, t) является гладкой и в силу
(12) ее предел при s, t -*• 0 равен R ( и, v )w, то
lim —(Pstw-w) = R(u,v)w.M
s,t-*0sl
14.3.3. Следствие. Если параллельный перенос не зависит
от пути, соединяющего точки, то R = 0. Здесь под R понимается
отображение R(u,v,w) = R(u,v)w.
Действительно, в этом случае параллельный перенос по любому
замкнутому пути равносилен переносу вдоль постоянного пути, т. е.
переводит вектор в себя. Поэтому Pstw = w, и из 14.3.2 следует
R = 0. Заметим, что достаточно было ограничиться требованием
независимости переноса от пути только в классе связанно гомотопных
путей, чтобы заключить, что R = 0.
На самом деле верно и обратное: если R = 0, то для любых
связанно гомотопных путей из р в q параллельный перенос вектора
вдоль этих путей из р в q дает один и тот же результат. Это
доказывается ниже, в 14.10.3—14.10.4.
14.3.4. Поскольку в римановом многообразии при параллельном
переносе сохраняется длина вектора, то из (6) следует, что R ( и, v )w
ортогонально w, т. е.
88

< R (и, v )w, w) = 0
14.4. Тензор кривизны и его алгебраические свойства.
14.4.1. Пусть М — риманово многообразие со связностью Леви—
Чивита V. С помощью преобразования кривизны R ( и, v)w можно
образовать линейный по каждому из четырех аргументов
функционал ( R ( и, v ) w, z). Его называют тензором кривизны.
14.4.2. Лемма. При любых и, v, w, z E ТрМ верны равенства
R (и, v)w=-R (v, и )w, (13)
R(u,v)w+ R(v,w)u+ R(w, u)v= 0, (14)
{R(u, v)w, z) = ~{R(u,v)z, w). (15)
Как уже упоминалось, свойство (13) справедливо для любой
связности. Свойство (14), как будет ясно из доказательства,
справедливо для любой симметричной связности. Наконец, свойство (15)
верно для любой римановой связности (не обязательно
симметричной).
Равенство (14) называют тождеством Риччи, или первым
тождеством Бианки.
Умножая равенства (13) и (14) скалярно на z, получаем еще два
свойства тензора кривизны:
(R(u,v)w,z) = -(R(v,u)w,z), (16)
(R(u,v)w, z) + {R(v, w)u, z> + (R(w,u)v,z) = 0. (17)
Перейдем к доказательствам. Свойство (13) ясно из определения
(2). Чтобы доказать (14), предположим сначала, что п > 2 и векторы
и, v, w линейно независимы. Тогда их можно считать первыми тремя
базисными векторами некоторой локальной системы координат
"= diG?)> v = djip), w= д$(р). Ввиду симметричности связности
0 = [д,-, ду] = V,- dj- Vy д,-, где V#:= V^, поэтому левая часть (14)
равна
ViV2d3 - V2V!d3 + V2V3d! - V3V2di + V3V!d2 - ViV3d2.
Это выражение равно нулю, поскольку первый член сокращается с
последним, второй — с третьим, четвертый — с пятым. При
линейной зависимости u,v,w,b частности при п = 2, один из векторов
есть комбинация двух других. Пусть w = Хи + fiv. Тогда левая часть
(14)
XR(u,v)u + fiR(u,v)v + XR(v,u)u + fiR{v,v)u + XR(u,u)v + fiR(v,u)v
равна нулю в силу (13).
Докажем (15). При фиксированных и, v значение
( R( и, v) w, z) есть билинейная форма от w и z; обозначим ее
Ь (w, z ). Кососимметричность Ъ (w, z ), которую мы хотим доказать,
равносильна тому, что Ь (w, w ) = 0; действительно, в этом случае
89

О = b (w + z, w + z) = b(w,w) + b(w, z) + b(z, w) + b(z, z) =
= b(w, z) + b(z, w) .
Но равенство b (w, w) = ( R (и, v )w, w) = 0 при любом w уже было
доказано в 14.3.4. ■
14.4.3. Свойства (13) — (15) являются основными для
преобразования кривизны в том смысле, что для каждого трилинейного
отображения R : Е"х Е"х Rn -* Ега, удовлетворяющего условиям (13) —
(15), существует «-мерное риманово многообразие, для которого R
является преобразованием кривизны в некоторой точке.
14.4.4. Из свойств (13), (15), (17) чисто алгебраическим путем
выводится еще одно важное свойство:
{R(u,v)w,z) = {R(w,z)u,v). (18)
Действительно, обозначим левую часть (17) через S (и, v, w, z ). Она
равна нулю при любых аргументах из ТРМ, в частности
S (и, v, w, z ) + S {у, w, z, и)- S (w, z, u,v)~ S (z, u,v,w) = 0.
Заменяя каждое слагаемое девой частью (17) и сокращая члены,
противоположные по знаку в силу (13) и (15), получаем
2< R(u, v)w,z)-2( R(w, z)u,v) = 0,
т.е. свойство (18). ■
14.4.5. Возвращаясь к преобразованию кривизны, отметим, что
значения R (и, v )w для любых трех аргументов вполне
определяются значениями этого преобразования для случаев, когда два из
трех аргументов одинаковы. Это следует из тождества
6R (и, v )w - R (и, V + w )(у + w ) - R (у, и + w )(и + w ) -
- R (и, v ~ w )(у - w ) + R (у, и - w )(u -w). (19)
Для доказательства (19) достаточно раскрыть скобки, пользуясь три-
линейностью преобразования кривизны, и учесть равенства (13) и
(14).
14.4.6. Производная преобразования кривизны.
Отображение R : ТрМ х ТрМ х ТрМ -» ТрМпо правилу R (x, y,z):~
:= R ( х, y)z линейно по каждому из аргументов. Ниже, в 31.2.3,
нам понадобится также линейное по каждому из аргументов,
включая w, отображение V^ R : ТрМ х ТрМ х ТрМ -» ТрМ,
называемое ковариантной производной тензора кривизны по вектору
w G ТрМ. Оператор V^ R определяется следующим образом.
Каждый из векторов х, у, z G ТрМ распространяется в
окрестности точки р до гладкого векторного поля X, Y, Z, после чего
определяется
90

VWR (х, y,z):= VW(R (X, Y) Z)-R (V„X, у) z-
-R(x,VwY)z-R(x,y)VwZ. (20)
Независимость результата от способа распространения векторов
х, у, z до полей X, Y, Z (см. следующую лемму) делает определение
(20) корректным. Такая независимость не имеет места, если в
правой части (20) отбросить три последних слагаемых.
*14.4.7. Лемма. Правая часть (20) не зависит от способа
распространения векторов х, у, zdo гладких векторных полей.
Доказательство состоит в стандартном вичислении на основе
8.1.2. Действительно, ввиду 8.1.2 достаточно проверить, что для
любой гладкой скалярной функции / на М замена в правой части (20)
поля X полем /X дает результат / (р )VW R (х, у, z ), и аналогично —
для полей Y и Z. Проверим одно из этих равенств:
Vj^RifX, Y)Z)-R(VwfX,y)z-R(f(p)x,VwY)z-
-R(f(p)x,y)VwZ=Vw(f(-)R(X, Y)Z)-R(w(f)pX,y)z-
~f(p ) R ( VwX,y)z-f(p )R (x, VwY)z-f(p )R (x, y) V„Z =
= w(f)pR (x, y) z + f(p)Vw(R(X, Y)Z)-w(f)pR(x,y)z-
-f(p ) R ( VnJf, y)z-f(p )R (x, VwY)z-f(p )R (x, y) VWZ =
= f(p)VwR(x,y)z.
Остальные равенства проверяются аналогично. ■
14.4.8. Если поля X, Y, Z выбраны так, что в точке р
VWX = Vw Y = VWZ = 0
(что всегда возможно), то
VwR(x,y, z) = VW(R(X, Y)Z).
*14.4.9. Для оператора Vw R справедливо так называемое второе
тождество Бианки:
VwR(x,y,z) + VXR (у, w,z) + VyR(w,x,z) = 0. (21)
Доказательство. Обозначим A (w, x, у, z) левую часть (21).
Оператор А линеен по каждому аргументу. Поэтому равенство (21)
достаточно проверить для случаев, когда в роли w, x, у, z выступают
всевозможные четверки, е„ еу, е#, е/, базисных векторов
еа (а = 1, ..., п ) в ТрМ. Среди номеров /, у, к, I допускаются и
одинаковые.
Выберем в окрестности точки р нормальные координаты Римана
(см. 12.6.1), и пусть Еа (а = 1, ..., п ) — базисные поля, а еа — их
значения в точке р. При нормальных координатах Римана в точке р
все Г&0 = (Уе„ Щ У - 0, т.е. все V£ En I = 0. Поэтому, обозначая
для краткости Va : = V^ , имеем:
91

V,- R (ej, eh ei)\p = V,- (R (Ej, Ek) Et) | p.
Поскольку для базисных полей все скобки Ли нулевые, то
R (Ej, Ек) Ei = Vy V* Ei - Vk Vy Et,
V,- R (ej, ek, ei) = (V; V, V* - V; V* Vy) EL | p,
аналогично
Vy R (ek, eu eft = (Vy V* V; - Vy V,- V*) Et | p,
Vk R (еь ej, ei) = (Vk V,- Vy - V* Vy V;) Et | p.
Складывая последние три равенства, получаем:
А (еи ej, ек, et) = (V,- Vy - Vy V,- )Vk Et +
+ (Vy Vk ~ Vk Vy )V; E( + (Vk V/ - V; Vk) Vy EL =
= R (eh ej)0+ R (ej, ek ) 0 + R (ek, et ) 0 = 0. ■
*14.5. Преобразование и тензор кривизны в локальных
координатах.
14.5.1. По исторически сложившейся традиции, рассматривая
{ R(u,v )w, z) как „тензор", т.е. как линейный по каждому из
векторных аргументов в отдельности функционал, первым считают
аргумент z, вторым w, затем и и v. Аналогично аргументы
преобразования кривизны R (u, v )w нумеруют в порядке w, и, v. Мы будем
следовать этой традиции, чем объясняется расположение индексов у
координат в п. 14.5.2.
14.5.2. Из трилинейности преобразования кривизны следует, что
в локальных координатах
R (и, v )w = w' J Vм Rsijk ds, (22)
где Rjjk — коэффициенты разложения вектора R (dj, dk) di по
базисным векторам .ds; s = 1, ..., п. Отсюда для тензора кривизны
имеем:
(R(u,v)w,z) = ziwiukvtRijkl, (23)
где
Rijki = (R(а*, Э[) dj, di) = { rfjktds, di> = rsjugsl ■ (24)
Коэффициенты R'jki или Rtjki называют координатами (или
компонентами) тензора кривизны. Ясно, что их заданием
преобразование и тензор кривизны полностью определяются.
92

14.5.3. Координаты Л'д/ нетрудно выразить через символы Кри-
стоффеля:
дх1
(25)
Действительно, так как V/ д/ = Г}/ д/, то
v* V/ dj
а 4-
в,- + 4-V* Э,-
з,-.
Вычитая отсюда аналогичное разложение для V/ V# д/ и учитывая,
что [дк, di ] = 0, получаем (25).
Подставляя в (25) выражение символов Кристоффеля через
производные координат метрического тензора (10) §8, получим
выражение R'jki непосредственно через координаты метрического тензора и
их первые и вторые производные.
14.5.4. Ввиду соотношений (13)—(17) из и компонент Л/д/
тензора кривизны лишь (п — п )/12 оказываются независимыми. При
п — 2 среди 16 компонент все компоненты вида /?/д&> Ящк нулевые.
Остаются Л1212 = ~^1221 = ~^2П2 = #2121- Значит тензор кривизны
в точке двумерного риманова многообразия характеризуется одним
числом. Но уже в случае и = 3 независимых компонент у тензора
кривизны шесть.*
14.6. Кривизна Римана.
14.6.1. Кривизной Римана называют отображение
к : ТрМ х ТрМ -*• R, действующее по правилу
к (и, v) := ( R (и, v )v, и ).
(26)
Отображение к симметрично: к (и, v) = к (у, и ). Оно не линейное, а
„квадратичное" по каждому из своих двух аргументов. Очевидно,
отображение к определяется тензором кривизны.
14.6.2. Лемма. Тензор кривизны полностью восстанавливается
по кривизне Римана. Это следует из тождества:
12( R (и, v )w, z )= k(u + z,v + w) - k (и, v + w) - k (z, v + w) -
- k (v + z, и + w) + k (v, и + w) + k (z, и + w) ~
-k(u + z,v~w) +k(u,v-w) +k(z,v-w) +
+ k(v + z, u-w) -k(v, u-w) -k(z, и -w) .
(27)
Докажем (27). Из (19) имеем:
*0 строении тензора кривизны специально в трехместном случае см. 14.7.4.
93

6(R(u,v)w,z) = {R(u,v+w)(y+w), z)-{R(v,u +w)(u +w),z)~
- { R(u, v ~ w)(u -w), z) + {R(v, u- w)(u -w),z).
Удваивая это равенство и применяя к каждому слагаемому правой
части легко проверяемое из определения (26) тождество
к(а + с,Ь)-к(а,Ь)-к(с,Ь) = 2(Я(а,Ь)Ь,с) , (28)
получаем (27). ■
14.7. Секционная кривизна.
14.7.1. Для линейно независимых векторов и, у G ТрМ полагают
г ._ к (и, у ) ( R (и, у) у, и )
\и Г\у Г-{и,у)1 (и,и)(у,у)-{и,у)
Знаменатель в (29) можно интерпретировать как квадрат площади
параллелограмма, построенного на векторах и, у или, иначе — как
квадрат нормы бивектора и А у.
Если в двумерной плоскости о, определяемой векторами и, у,
выбрать вместо и, у другой базис, и = аи + ($v, v = Аи + fiy, и
обозначить А := det , ^ 0, то, как показывает прямое вычисление,
к (и, у) = А2 к (и, у ), и2у2-{ и, v)2 = А2 [и2 у2-(и, у )2), (30)
поэтому KZhv = Ku^v. Таким образом, величина KUhV зависит
только от плоскости а, натянутой на и и к. Поэтому величину Ки л ^
мы будем, как это принято, обозначать Ка. Ее называют секционной
кривизной риманова многообразия М в точке р в двумерном
направлении а. (В 15.5.3 будет доказано, что это определение равносильно
данному выше, в 14.1.2).
Ограничения на секционные кривизны являются одними из
наиболее употребительных условий, налагаемых в римановой геометрии
на изучаемые многообразия. Так, специально исследуют
многообразия с Ка > 0 или с Ка < 0 и т.п. Мы с этим встретимся в следующих
главах. Геометрический смысл секционной кривизны проясняет
эквивалентность определения (29) с определением из 14.1.2.
14.7.2. Пример 1. Пусть Ф — гладкая двумерная поверхность в
Е . Убедимся, что секционная кривизна Ка этой поверхности как
риманова многообразия совпадает с ее гауссовой кривизной К как
произведением главных кривизн.
Согласно (5), имеем R (r\, r2) г2 = К (Gr\ - Fri), откуда
( R in, n) r2, n )=K (GE -F2). Ho r\ r%-(ru r2 )2= EG - F2, поэтому
„ (R{r\,n)r2,ri)
K° ~ 2 2, v2 ~ A •
94

14.7.3. Пример 2. Напомним, что гауссова кривизна поверхно-
сти в Е может быть выражена через коэффициенты g,y и их
производные (до второго порядка). В случае абстрактно заданного
двумерного риманова многообразия это выражение принимают за
определение гауссовой кривизны К. Убедимся, что и в этом случае К
совпадает с Ка.
1 7
Выберем на Ф полугеодезические локальные координаты х , х , в
которых ds = (dx ) + В (xl, x )(dx ) . При этом, как известно,
•2 11
К = -В\\/В, где В\\ = д В/(дх дх ). В этих координатах матрицы
Х1 0 \ ,;. (\ О
(gij)
О В'
2 ,(«") =
О ЕГ
_2 , откуда по формуле
1ч 2
dgjk , dgkj dgij
dxf
дх'
+
1 дх1
ik
находим:
г!,
г2
1 и
г1
1 12
О,
г2 _ В1
Г,2 - -J.
Г22 = -ВВ\, Г22
ih
в'
Теперь по (25) находим R 212 = -ВВ\\. Для единственной плоскости
о = Тр Ф, в которой лежат базисные векторы дь дг с координатами
1.
я2
1 7
='0, д2 = 0, дг = 1, имеем:
*а =
< Л (31,32)32,31)
<3i,3i)<32, з2)-(зьа2)2
a* at
д\ ih Ь\ д2 Rijkl _
BL
Л1212 Rl2Y2 8U R 212
В*
В*
В*
В
= к.
*14.7.4. Пример 3. Секционные кривизны
трехмерного риманова многообразия М . Линейное отобра-
жение L = R (и, у) : ТрМ -» ТрМ является кососимметриче-
ским: { L(a), b) = -{a, L(b)) для любых а, Ь Е ТрМ . Поэтому в
ортонормированном базисе в ТрМ оно задается кососимметрической
матрицей
L(w) =
0
-а
1-0
а
0
-у
в
У
oj
/ 1\
W2
IV
Отсюда легко видеть, что L (w) = Q x w, где х — знак векторного
умножения, а вектор £2 имеет координаты (-у, /?, -a ), так что
95

R (и, у ) w = Q x w,
(31)
где вектор £2 G TPM зависит лишь от R (и, у), тем самым
Q = Q (и, у ). Легко видеть (ср. (30)), что из и х у = их Гследует:
R (и, у ) = R ( и, у). Тем самым Q (и, v ) = Q (z), где z = и х у.
Вектор £2 (z ) называют вектором вращения, присоединенным к z.
Убедимся, что Q (z) зависит от z линейно. Ясно, что
Q (X z) = X Q (z ), поскольку z = и х у, Xz = X и х у. Пусть
z = Zj + z2. Возьмем в качестве и единичный вектор,
перпендикулярный Zj и z2, и подберем такие vx, у2, что zx = и xvx, z2 = и х ^2.
Тогда zj, z2, z получаются соответственно из vx, у2, vx + v2
поворотом на я/2 в одном и том же направлении вокруг и. Поэтому й(г( +
+ z2) X w =/? (и, уг + у2) w = R (и, ух) w +R (и, y2) w =Q (Zj) X w +
+ Q (z2) X w. ■
Ввиду линейности £2 выражение -( Q (z), z), где z G R , есть
квадратичная форма. Приведем ее к диагональному виду, т.е.
выберем в R такой ортонормированный базис е\, е2, ез, в котором
3
-<Q(z),z>= 2 Ki(z')2> (32)
i=\
где z = zl ei.
Пусть теперь z — единичная нормаль к двумерному подпростран-
ству а в R = ТрМ, а и, у — такой ортонормированный базис в о,
что z = и х у. Тогда
Ка = { R (и, у )у, и ) = { Q (z) X у, и ) = { Q (z), ^ X и } =
= -{Q(z),z).
Вместе с (32) это дает
Ка = Ал cos2a + А2 cos2/? + А3 cos2y, (33)
где z = (cos a, cos/?, cosy) в базисе е\, ег, ез. Ясно, что К\, Кг, Аз
являются секционными кривизнами в направлениях
ег Л ез, ез t\ е\, е\ Л ег- Направления е\, ег, ез называют главными
направлениями (или осями) тензора кривизны трехмерного римано-
ва многообразия М в точке р, а К\, Кг, Аз — главными секционными
кривизнами.
*14.7.5. Нормой II R II преобразования кривизны в точке р G М
называют sup I R (и, у) w I по всем единичным векторам
u,y,wE ТрМ. Поскольку чаще всего классы римановых
многообразий выделяют ограничениями на секционные кривизны, то полезно
уметь оценивать II R II через секционные кривизны в точке р.
*14.7.6. Лемма. Справедливо неравенство
96

ИЛИ < ^ max \К<, I. (34)
Л аСТрМ
Доказательство. Для любого ненулевого вектора aGR"
имеем: I a I = max {( а, х) | I x I < I a I}, причем стоящий справа
максимум достигается только при х = а. В частности, для
а = R (и, v) w, где и, к, w G ГрМ,
|Л(и,к) И2 = max {( R (и, v)w, z> | lz I < \R(u,v)w\} ,
причем стоящий справа максимум достигается при z = R (и, v) w.
Отсюда следует, что
II Л II = max {( R (и, v)w, z)\ \u I = \v I = I w I = lz I = l}. (35)
Оценим правую часть (35). Предварительно напомним, что если
А (х, у) — билинейная симметричная форма от х, у G R", то
тах{л О, у) | \х I = \у I = l} = тах{|Л(>, х)\ \ \х I = l} .
(Это легко проверить, например, найдя оба максимума с помощью
метода отыскания относительных экстремумов). Билинейная форма
Ra{u, v ) := ( R (и, а) а, у ) симметрична. Это следует из (18), (16),
(15). Поэтому
max{( R(u,a)a,y)\\u\ = \у \ = l} =
и,у
= тах{ I ( R (и, а )а, и)\ \ \и I = l} < тах{|Л:иЛа| \а I2} . (36)
и и
Умножим тождество (19) скалярно на z и к каждому из четырех
слагаемых правой части полученного тождества применим (36).
Получим:
6\{R(u,v)w, z)l< maxl/y ((^+w)2+ (y-w)2+ (u+w)2+ (u-w)2) =
= maxlA^I (2^+ 4w^+ 2м2) = 8 maxlA^I .
Отсюда и из (35) следует (34). ■
*14.7.7. Замечание. В ряде случаев полезно оценивать ИЛИ
не через max Ka, а через близость всех Ко к некоторой постоянной С
(лемму 14.7.6 можно рассматривать как частный случай С = 0). При
этом полезно учесть, что в пространстве постоянной кривизны С
преобразование кривизны, согласно 14.8.3, имеет вид
RC (и, v)w=C({y,w)u-{u,w )y ). (37)
97

Пусть I Ка - С I < £ при всех а С ТрМ. Положим Т = R - Rc.
Тогда при I и I = I v I = 1
sup {T(u,v )v, и ) = sup I к (и, v ) - кс (и, v ) I ^ е.
Поскольку преобразование 71 обладает теми же алгебраическими
„симметриями", что и R, то, повторяя почти дословно
доказательство леммы 14.7.6 с заменой R на Т, получим при
I и I = I v I = I w I = 1
II R-Rc 11 = И ГИ =sup{(T(u,v)w,z)\\z\ = 1 } < -дБ,
откуда
ИЛИ < |е + 11ЛсИ. (38)
Более детализованные оценки при различных дополнительных
предположениях см. в [60, 58 ].
14.8. Пространства постоянной кривизны (начальные
сведения).
14.8.1. Риманово многообразие называют многообразием или,
когда оно полное, — пространством постоянной кривизны, если
его секционные кривизны Ка постоянны, т.е. не зависят ни от точки
многообразия, ни от выбора двумерного направления а. Примерами
пространств постоянной кривизны служат (при « > 2) евклидовы
пространства 1? (для них очевидно Ка = 0); сферы Sn в R" с
индуцированной в Sn внутренней метрикой (как показано в 15.4.4, для
них Ка= 1 /г , где г — радиус сферы); пространства Лобачевского Нп
(для них Ка < 0). В качестве модели пространств Нп можно взять,
например, модель Пуанкаре: Нп = {(х , ..., х11) Е R" | хп > 0 } с
метрикой
ds2 = J_ (dx1)2 +...+ (dx11)2
~к (х11)2
Другую модель см. в п. 16.3.3.
*14.8.2. Информация. Два пространства одинаковой
постоянной кривизны локально изометричны, а если они полные и односвяз-
ные, то они изометричны в целом (см. 19.4). Поэтому
перечисленными примерами R", Sn, Hn по существу исчерпываются все такие
пространства. Для пространств постоянной отрицательной кривизны
размерности п > 3 имеет место замечательная „теорема жесткости"
Мостова: два таких полных пространства одинаковой кривизны,
компактных или с конечным объемом, изометричны, если их фундамен-
98

тальные группы изоморфны [124 ]. Для пространств нулевой или
положительной кривизны это не так. В случае нулевой кривизны
контрпримером могут служить два плоских тора „разных размеров",
а в случае положительной кривизны — линзовые пространства (см.
18.5.4).
14.8.3. Если в римановом многообразии М тензор кривизны
{ R (и, у ) w, z ) в каждой точке допускает представление
{R(u,v)w,z) = K({z,u){w,v)-{w,u){z,v)), (39)
где К = const, то М — многообразие постоянной кривизны Ка = К.
Это непосредственно следует из определения Ка (см. (29)).
Верно и обратное: если риманово многообразие имеет
постоянную кривизну Ка = К, то его тензор кривизны в каждой точке имеет
вид (39). Действительно, постоянство кривизны означает, что для
фиксированной точки р и любых u,vE. TpM имеет место равенство
к (и, v ) = { R (и, v )v, и ) = К (( и, и > ( v, v) - { и, v )2 ).
Применяя это к тождеству (28), получаем
(R(a,b)b,c) = K((c,a){b,b)-{b,a)(c,b)),
после чего из формулы, предшествующей (28), следует (39). ■
В частности, для базисных векторов равенство (30) имеет вид
{ r (дк, a/) dj, di) = K({ dh дк){эу, 3/>-< эу, дк){э,, 3/)),
т.е. для пространства постоянной кривизны
Rijkl = К (gik gji - gjk gu ). (40)
Легко видеть, что условия (40) и достаточны для постоянства
кривизны риманова многообразия М.
*14.8.4. Информация. Теорема Шура. Если при п > 3 в
каждой точке риманова многообразия значения Ка не зависят от
а, то Ка не зависит также и от выбора точки.
Доказательство см., например, в [19, т.1, с. 192].
* 14.8.5. Информация. Пусть/: Мп -» Nn — диффеоморфизм
одного риманова многообразия на другое. Если при этом для любой
точки р £ Мп и любого двумерного направления о в ТрМ
выполняется равенство Ка = К- , где а = (dpf )ст, то говорят, что / сохраняет
кривизну. Ясно, что каждая изометрия сохраняет кривизну.
Обратное неверно: из сохранения кривизны не следует, что / —
изометрия. Когда Мп и N"' — пространства одной и той же
постоянной кривизны, то кривизну сохраняет просто любой
диффеоморфизм. В двумерном случае легко привести примеры замкнутых
многообразий непостоянной кривизны, между которыми можно устано-
99

вить сохраняющий кривизну изоморфизм, не являющийся изомет-
рией. (Примером может служить вытянутый эллипсоид вращения и
поверхность вращения с такими же кривизнами в полюсе и на
экваторе, но с другим режимом нарастания кривизны от экватора к
полюсу).
Однако при п > 2 картина меняется. Это объясняется тем, что с
увеличением размерности число компонент тензора кривизны растет
быстрее, чем число компонент метрического тензора. При п > 4,
если точки непостоянства кривизны (точки, в которых есть хотя бы два
направления с разными секционными кривизнами) везде плотны, то
диффеоморфизм, сохраняющий кривизну, является изометрией.
(При п = 3 такое утверждение, вообще говоря, неверно, однако оно
справедливо для замкнутых многообразий). Таким образом, при
п > 4 в некоторой окрестности точки непостоянства кривизны рима-
нова метрика полностью определяется секционными кривизнами. В
этом смысле секционные кривизны являются основными
инвариантами риманова многообразия. Более подробно см. [115].
14.9. Кривизна Риччи и скалярная кривизна.
14.9.1. Пусть {е,} — ортонормированный базис в ТрМ.
Билинейная форма
п
Ric(u,v):= 2 (R(ehu)v,ei) (41)
i=l
называется тензором Риччи. По свойствам симметрии тензора
кривизны она симметрична: Ric (и, v) = Ric (у, и). Из дальнейшего
будет ясно, что значения Ric (и, v ) не зависят от выбора ортонормиро-
ванного базиса {е,}; разумеется, это можно проверить и прямым
подсчетом.
Значение R (е, е) при I e I = 1 называется кривизной Риччи в
направлении вектора е и обозначается Ric е. Из (41) следует, что
п-1
Rice= 2 Ка., (42)
i=l
где {ст,} — набор попарно ортогональных двумерных плоскостей в
ТРМ, содержащих вектор е.
Скалярной кривизной в точке р G М называют число
К (р ) = 2 Ric в«' = 2 2 Ке,ле/ , (43)
i'= 1 i<j
где {ei} — ортогональный базис в ТРМ. Как и тензор Риччи,
скалярная кривизна К (р ) не зависит от выбора базиса {ei}, это будет
проверено чуть ниже.
14.9.2. Тензор Риччи и скалярную кривизну можно определить и
инвариантным образом. Для этого напомним предварительно, что
100

следом tr А линейного отображения (оператора) А : R" -» R"
называется сумма его собственных чисел (собственные числа берутся в
комплексной области и с учетом кратности). Если (о{-) — матрица
оператора А в некотором, не обязательно ортонормированном, базисе
е\, ..., еп, т.е. если А е, = о{- еу, то tr А = ^ а\ .* Поэтому tr А — ве-
I
щественное число и tr A = tr А*, где А* — сопряженный к А
оператор. Отсюда ясно, что след является линейным функционалом на
пространстве линейных операторов А: Rn -» R". В частности,
tr A = tr (A + А*)/2. Оператор (А + А*)/2, очевидно,
самосопряженный. Для самосопряженных операторов след имеет особенно
наглядный смысл: он равен сумме полуосей того эллипсоида, в который при
отображении переходит единичная сфера.
14.9.3. Определим тензор Риччи равенством
Ric (и, v ) = tr LUtV, где Luy (w) = R (w, и ) v. (44)
По определению компонент R'jkl преобразования кривизны имеем в
произвольном базисе
Lu,v (в/) = R (в/, u)v= (RkjitV* и1) ек, (45)
так что
Ric (u,v) = tr LU)„ = Rjiv* и1, (46)
где Rji: = ^ R'jH — координаты тензора Риччи.
i
Если базис {в/J — ортонормированный, то, умножая (45) на е, ,
суммируя по i и учитывая (46), получаем равенство (41). Это
показывает, что новое определение (44) равносильно ранее данному
определению (41). Отсюда, в частности, следует, что правая часть (41)
не зависела от выбора ортонормированного базиса.
14.9.4. Симметричной билинейной форме Ric (и, v)
соответствует единственный линейный самосопряженный оператор В : Rn -» R ,
такой, что
Ric(u,v) = (B(u),v). (47)
Проверим, что tr В равен скалярной кривизне К {р ) риманова
многообразия М в рассматриваемой точке р.
♦Линейному оператору А часто сопоставляют также матрицу чисел
a/j := {A e/, ej ). Но мы имеем в виду матрицу а/-, = aIk g1 . Читатель, знакомый с
тензорной алгеброй, узнает ■ У nj свертку тензора О/, и независимость следа от
выбора базиса будет ему очевидна.
101

Действительно, если (ty ) — матрица оператора В в
ортонормированием базисе е\, ..., еп, то
tr В = ^ Ь\ = 2 ( В (ед, et)= 2 Ric fa, е<) = к (Р )•
/ /=l /=l
В случае произвольного базиса имеем из (46)
Rij = Ric (ej, et) = { В (ej), е,-) = < Z>y ek, e,-) = Z>y &* ,
откуда А/ = /?// g* . Поэтому
АГСР) = 2 Ц = Щ£'- (48)
14.10. Преобразование кривизны и параллельный перенос.
14.10.1. Рассмотрим гладкое отображение <р прямоугольника
Q = {0 < t < \, 0 < т < 1 } в риманово многообразие М. Это
отображение можно рассматривать как гомотопию пути <р (•, 0) в путь
*>(•, 1).
14.10.2. Лемма. Для любого гладкого векторного поля Z вдоль
отображения <р
R (Dt, Dx ) Z (t, t) = DtDxZ (t, t) -DxDtZ (t, t). (49)
Поясним смысл левой части (49). Вдоль отображения <р (см. § 9)
определены два „касательных" к ip векторных поля:
"•■-%-*$■ *=-£-*(£)•
Левая часть (49) — это значение преобразования кривизны
многообразия М в точке <р (t, t) для векторов Z, D/'dt, D/dt £ T<p(f, т) М.
Поясним правую часть (49). При каждом фиксированном t$ вдоль
„поперечной" линии <р (to, •) имеется векторное поле Z (to, г). Его
ковариантная производная (D/dt) Z (to, t) образует векторное поле
вдоль tp (to, ). Эти поля при всевозможных to дают поле
(D/dt) Z (t, <р) вдоль <р. При каждом фиксированном tq возникает
векторное поле ковариантной производной
Dt Dr Z (t, t)
вдоль „продольной" линии ip (■, г0). Так, вдоль <р задается это
векторное поле в целом. Аналогично определяется второе слагаемое
правой части (50).
Равенство (49) очевидно, когда <р в окрестности U точки
(t, t) £ Q является вложением. В этом случае векторные поля
102

D/dt, D/дт, Z можно рассматривать как векторные поля в М,
определенные на множестве tp (U). Их можно распространить в М на
некоторую окрестность этого множества в виде полей X, У, Z, так что
[X, У ]= 0. Тогда (49) следует из определения (2) преобразования
кривизна и того, что для любого гладкого в этой окрестности
векторного поля W в точках <р (t, г)
DtW=VxW, DXW = Vy W.
Доказательство леммы. Векторное поле Z вдоль <р можно
представить в виде Z (t, г) = Z'(t, г) д,-, где д,- — базисные векторы в
точке ip (t, т) в локальных координатах многообразия М. По
определению
И 71
Dxz = -^di + zl vT dh
где VT d,- означает производную поля д,- в направлении вектора D/'dx.
Отсюда
DtDxZ = 4tv- й/ + ^Г" vf ai + ^" vt 3/ + Z'Vf VT а,-.
Вычитая аналогичное выражение для Dx Dt Z, получим:
DtDxZ-DxDtZ = Z' ( V, VT Э,- VT V, a,).
Теперь ясно, что достаточно доказать (49) для векторных полей
Z (t, z ) = (dj° <p )(t, т ). Обозначая ^(t, т) локальные координаты
точки <р (t,r )в М, имеем
D _ (V' ■ D _ d(pj .
откуда для поля Э,- находим:
v,vT a, = v,
'' bJ „ . \ aV „ зр7 а«?* „ „
где Vy означает Va.. Вычитая аналогичное выражение для VT Vt Э„
получим:
Но
R (Dt, Dx) di = R( ZL- ЭЬ ^ Эу ) а, = ^ ^ Л (дк, Bj) Bi.
dtp В^_ , , _ dtp dy/
103

Совпадение в силу определения (2) правых частей последних двух
равенств доказывает лемму для полей 3/, а тем самым — для всех
полей Z. ■
14.10.3. Лемма. Пусть гладкая гомотопия <p:Q-*M (см.
14.10.1) удовлетворяет условиям <р (0, х ) = р = const,
<р (l,r) = q = const. Тогда для любого вектора и £ ТрМ и его
параллельных переносов Pq, P\ из р в q вдоль путей <Ро,<р\, где
<Рг = <Р (' Iх )> верна оценка
\Р\ и-Р0и I < \u I S max ИДИ, (51)
xtE<p(Q)
где S — площадь гомотопии <р, a WR II— норма преобразования
кривизны (см. 14.7.5).
Доказательство. Положим Z (t, х ) = Рх (и ), где Рх —
параллельный перенос вдоль ipx из точки р в точку <р (t, х ). Тогда
\РХ и-Р0и I = IZ(1, 1)-Z(1,0) I = / DxZ(l,z)dr
0
Поскольку Dx Z (0, x ) = 0, то и Px Eh Z (0, r ) = 0, поэтому
\P\u-Pqu\ =
$ \DXZ (\,x)- P\-1 DXZ {0,x)\
dx
где под Рх понимается перенос до точки р (1, х ). Отсюда, по
формуле Ньютона—Лейбница, следует:*
I /»i и - Р0 и I
1 1
dx
/ Pi'1 DtDxZ(t,x)dt
0
1 1
< / / | Dt Dx Z (t, x) | dtdx = J / \R (Dt, Dx) Z \ dt dx
0 0 ' ' 0 0 ' '
Последнее равенство справедливо по лемме 14.10.2, если учесть, что
(D/dt) Z = 0, по построению поля Z, и потому (D/дх )(D/dt) Z н 0.
Теперь из
I R (Du DX)Z\ < \\ R \\ \Z\ \Dt A Dx\
1 1
/ / | Dt Л Dx | dtdx = S
0 0 ' '
вытекает (51).
♦Формулу (9) из 10.2.5 мы применили к X (t):= RiZ (t,x) при
а= \,Ь = 0.
104

14.10.4. Следствие. Если R = 0, то параллельный перенос
вектора вдоль любых двух связанно гомотопных путей дает
одинаковый результат. В частности, если R = 0 и М — односвязно, то
параллельный перенос вообще не зависит от пути. Сопоставьте с
14.3.3.
14.10.5. 3 а м е ч а н и е. Из (51) выводится оценка для угла
между векторамиPquyiP\ и:
^(Р0 u,Piu)<S max ИДИ. (52)
Действительно, можно считать \и I = 1. Разобьем интервал
изменения г на малые участки 0 = то <...< tN = 1. При этом
N
4L(PQ и, Р\ и ) < ^ A ah где а (г) := ^L(P0u, Рхи), Аа,=
/=1
= Л-{Рх.^и, Рх.и ) . Поскольку
\Рх.и-Рх.Ли I = 2 sin
Да
то из
. А а,- . ч
| 2 sin -у1 - А щ | < С 1Да,- Г,
2 I УТ/ы - Л,,!" I ^ 5 max ИЛИ
!=1 I "I
в пределе получаем (52). ■
14.10.6. Следствие. Из (51), (52) и оценки (34) вытекает, что
\P{u-Pqu I < -^ \и \5т&кКа, 4L{Pqu,P\u) < -у S max Ka, (53)
в частности при обносе ы по замкнутому контуру
\Piu-u I < -^ \и \SmaxKa, Л.{и,Р\и) < -ySmax^,
(54)
где S — площадь гомотопии <р, a max Ко взят по всем точкам <р (t, т )
и всем двумерным направлениям о в этих точках.
14.11. Локальная изометрия.
14.11.1. Отображение <р : М-» N риманова многообразия М в ри-
маново многообразие N называют локальной изометрией, если в
некоторой окрестности Up каждой точки р £ М отображение <р
является диффеоморфизмом и для любых u,v (= TpM выполняется
равенство
105

(u,v)m = (d<p (и ), dtp (v ) )n-
(55)
Примером локальной изометрии может служить любое риманово
накрытие (см. 6.2.9).
14.11.2.Упражнение. Докажите, что для гладкого <р,
удовлетворяющего (55), требование, чтобы <р было локальным
диффеоморфизмом, равносильно требованию dim M = dim N.
* 14.11.3. Упражнение. Чтобы локальный диффеоморфизм
<р : М -» Л' был локальной изометрией, необходимо и достаточно,
чтобы для любого гладкого пути у : [0, 1 ] -» М имело место
равенство длин
s (у ) = s (<p ° у ). (56)
14.11.4. Пусть <р : М -» N — локальная изометрия, рЕМ,
(Up, h) — локальная карта в М. Окрестность Up мы вправе считать
настолько малой, что <р | — диффеоморфизм. Обозначим
ир
Я = <Р (Р)> Uq ~ <P {Up)- Тогда (Ug, h ° ip~x) — локальная карта в N.
Задаваемые в М и N картами (Up, h ), (Uq, h° <p~ ) координаты
естественно называть соответственными.
Из (55) следует, что в соответственных координатах
gij = {д/дх1, д/дх1) в многообразиях М и N являются одинаковыми
функциями локальных координат х , ..., х11.
14.11.5. Из 14.11.1 заключаем, что в соответствующих по
локальной изометрии точках р Е. М, q E. N в соответствующих координатах
одинаковы все величины, выражающиеся через значения функций
gij и их производных, в частности величины Г^-, Rijkl- Отсюда
вытекает ряд естественных свойств локальной изометрии:
1) если у — геодезическая в М, то <р • у — геодезическая в N;
2) если X — векторное поле вдоль пути у : [0 ^ t ^ 1 ] -» М, то
d<p(DtX(t)) = Dtd<p(X(t));
3)если X — векторное поле в М, р G M, u G ТрМ, то
dip (УиХ ) = Vd<p(u) dip (X ),
где V — связность Леви—Чивита в М, а V — связность в N;
4) если X — параллельное поле вдоль пути у : [0, 1 ] -» М, то поле
dip X параллельно вдоль пути ip ° у : [0, 1 ] -» N;
5) если х, у, z E ТрМ, то
dip R(x,y)z = R (dip (x ), dip (у ), dtp (z ));
6) dip Vw R(x,y,z) = Vd<p(w) R (dtp(x ),d<p(y ), dip(z )),
см. (20);
106

7) к (х, у ) = к {dip (x ), dtp (у ));
8) КхАу = Kd<p(x)Ad<p(y)-
Справедливость равенств 1)—8) следует из того, что их левые и
правые ч'асти выражаются совершенно одинаково в соответствующих
по локальной изометрии координатах.
14.12. Риманова субмерсия. Формула О'Нейла.
14.12.1. Гладкое отображение/: N -» М называется регулярным в
точке х £ N, если rank dj = min{k, п], где к = dim N, п = dim M.
Напомним (см. п. 3.5), что при к < п везде регулярное отображение/
называют погружением, а при к > п — субмерсией.
Пусть / — субмерсия, так что rank df = п < к. Тогда, по теореме
о неявной функции, полные прообразы/ (у), у Е. f(N ) С М
являются в N гладкими (к- п )-мерными подмногообразиями. Их
касательные пространства Тх = Ker dj называют вертикальными
подпространствами пространства TXN.
14.12.2. Предположим дополнительно, что N — риманово
многообразие. Тогда в каждом TXN определено ортогональное дополнение
Т~£ к вертикальному подпространству Тх; это подпространство Т~£
называют горизонтальным. Элементы называются
соответственно вертикальными и горизонтальными векторами. Каждый
вектор и £ TXN разлагается единственным образом на вертикальную
и горизонтальную составляющие: и = и + и . Аналогично вектор-
V Н
ное поле X на N допускает разложение X = X + X .
Для любого вектора и £ ТуМ и любой точки х £ f (у)
существует единственный вектор их £ Т% такой, что dj (их) = и.
Действительно, горизонтальная составляющая \г^ любого вектора
v £ (dxf) и, как легко видеть, одна и та же; она и есть их. Вектор их
называют горизонтальным подъемом вектора и в точку х. Дл£
векторного поля X на М определен его горизонтальный подъем X: это
векторное поле на N, значение которого в каждой точке х является
горизонтальным подъемом вектора Х/^ху Ясно, что если X — гладкое,
то и X — гладкое поле.
*14.12.3. Гладкий путь а в N называется горизонтальным, если
горизонтальны все его касательные векторы do/dt. Легко видеть, что
всегда (о') = (о)'. Если у — гладкий путь в М с началом у и
х £ / {у), то существует единственный горизонтальный путь у с
началом jc, являющийся подъемом пути у в том смысле, что у = / ° у.
Действительно, пусть для простоты у — вложение. Продолжим
векторное поле dy/dt в окрестность пути у, рассмотрим подъем
продолженного поля и в качестве у возьмем интегральную кривую
поднятого поля. В общем случае (когда у — не вложение) рассуждение лишь
несколько усложняется. ■
14.12.4. Пусть теперь не только N, но и М — риманово многооб-
107

разие. Субмерсия /: N-» М называется римановой, если при
горизонтальном подъеме сохраняется длина векторов, т.е. для любых
уем, иё ТуМ, х = f~ (у) справедливо 1ых1 = \и I. Разумеется,
это равносильно тому, что всегда ( ы, v) = ( и, v), ибо 2 ( и, v) =
= 1ы + с I2- 1ы I2- 1к I2.
*14.12.5. Замечание. При римановой субмерсии f:N^*M
среди гладких путей у в М у геодезических, и только у них,
горизонтальный подъему является геодезической в N.
Действительно, распространим поле у' вдоль у в некоторую
окрестность пути у. Сохраняя для нового поля прежние обозначения, из
доказываемой ниже формулы (65) получаем:
|Vfy' | = |V^7 + i[y',y' ]| = |V^7| = |Vy.y' |.
Поэтому обращение в нуль У у у', которое служит признаком
геодезической у в N, равносильно обращению в нуль Vy< у' — признаку
геодезической у в М.
В § 29 будет использоваться важная связь между кривизнами Ри-
мана (26) многообразий N и М. Эта связь выражается следующей
формулой (УНейла (57).
14.12.6.Теорема. Пусть /: N -» М риманова субмерсия. Тогда
для любых точек yE.M,xE.f~(y)u любых векторов и, v 6 ТуМ
для кривизн Римана (26) выполняется равенство
*(и,к) = *(5я,Кх) + || [X,Y\VX\2, (57)
где X, Y — любые гладкие векторные поля на М со значениями
Ху = и, Yy = v, а X, Y— горизонтальные подъемы этих полей в N.
Из (57) следует, что | [X, Y ]х | зависит только от и, v, но не от
способа их распространения до полей X, Y. Однако полезно доказать
этот факт предварительно, чтобы при доказательстве теоремы
удобным образом специализировать поля X, Y.
14.12.7. Лемма. В условиях теоремы 14.12.6 значение [X, Y ]х
полностью определяется точкой х и векторами и, v 6 ТуМ.
Доказательству. Пусть V — произвольное вертикальное
векторное поле на N, а V — связность Леви—Чивита римановой
метрики на N. Тогда, учитывая, что (X,V) = (7, V) = 0, имеем:
< [X, Y ],V)X = < V^7- VjX, V) =
= (X(Y, F>-(y,V-F>)-(7(X, V)-(X,VyV)) =
= (x,yyV)x-(Y,v^v) = (Zx,%xV)-
108

Ввиду произвольности вертикального векторного поля V отсюда
следует утверждение леммы. ■
14.12.8. При доказательстве теоремы 14.12.6 нам понадобится
следующее определение. Пусть Ф : N -* М — произвольное гладкое
отображение двух многообразий. Векторные поля X на М нХ на N
называются Ф-согласованными, если для любой точки х (= N
с1хФ(Хх) = ХЧх). (58)
В частности, при римановой субмерсии/: N -* М всякое
векторное поле ХнаМ является /-согласованным с его горизонтальным
подъемом X, а нулевое поле на М является /-согласованным с любым
вертикальным полем Уна N.
Нетрудно проверить, что если X, У — поля, Ф-согласованные с
X, У, то поле [X, У ] является Ф-согласованным с [X, У ], т.е.
с1Ф(\Х, У]) = [X, Y]. (59)
Действительно, пусть <р — произвольная гладкая функция на М.
Тогда
(с1Ф (\Х, 7]))<р= [X, 7](<р°Ф) = Х (У (р - Ф) - У (X (<р - Ф))) =
= Х{<1Ф {¥)(р)-¥ (<1Ф (Х)(р) = X (Y (<р) ° Ф) -7 (X (<р) ° Ф ) =
= XY<p-YX<p = [X,Y]<p.m
В частности, для римановой субмерсии /: N -* М
df(\X,Y\)= [X, У]. (60)
14.12.9. Доказательство теоремы 14.12.6 носит вычислительный
характер. При этом лемма 14.12.7 позволяет считать поля X, У
выбранными так, что [X, У ] = 0. Докажем, что тогда
[X, У Iя = 0. (61)
(Это отчасти поясняет^рис. 26, на котором изображены интегральные
кривые полейX, YnX, У).
Действительно, при [X, У ] = 0, согласно (60), df [X, У ] = 0,
т.е. будет выполнено (61). ■ При этом для любого горизонтального
векторного поля Hh&N
<[Х,У],#> = 0. (62)
14.12.10. Установим еще несколько вспомогательных равенств,
полезных при доказательстве теоремы 14.12.6. Для любых
векторных полей X, У, Z на М и их горизонтальных подъемов X, Y, Z на N
справедливы равенства вида
Х( У, Z) = X(Y, Z), (63)
т. е.
109

I
I
Рис. 26.
хАх)({у,г)) = хх((у,г)).
Действительно, по определению df, имеем для функции <р := { Y,Z)
на М:
X(Y,Z)=df(X)(p = X(p°f) = X(Y,Z),
где последнее_равенство следует из римановости субмерсии /. ■
Пусть V, V — связность Леви—Чивита римановых метрик
соответственно на N и М. Тогда для выбранных полей X, Y с [X, Y ] = О
и любого векторного поля Z на М справедливо равенство
{VxY,Z)Ax) = (VxY,Z)x. (64)
Действительно, обе части этого равенства зависят от значений Z, Z в
точках / ( х ), jc, а не от всего поля Z. Поэтому можно считать, что не
только [X, Y ] = 0, но и [X, Z J/^x) = [Y, Z ]дХ) = 0. Теперь
достаточно выразить левую и правую части (64) по формуле Кошуля (5)
из 8.2.2. Ввиду [X, Y ] = [X, Z ] = [У, Z ] = 0 и соответствующих
равенств (62) доказываемое равенство (64) примет вид:
X ( У, Z)+ Y(Z, X)-Z(X, Y) = X( T, Z)+ Y (Z, X)-Z(X, Y).
Последнее равенство верно в силу (63).
Убедимся теперь, что
V*y= ъГу+~[Х, У ]. (65)
Действительно, для любого векторного поля Z на М имеем в виду
(64) и римановости субмерсии:
по

<v-y,z> = <v*y,z> = <v*y.z>.
Поэтому Vx У = (Vj£ У) . Остается проверить, что
(V-XY)V=^[X, У]. (66)
Согласно (62), поле [А', У ]—вертикальное. Поэтому (66)
равносильно тому, что для любого вертикального векторного поля V
2<%У, V)={ [X, У], V). (67)
Применение _к левой части (67) формулы Кошуля ввиду
< У, Т/) = (V, *> = 0дает:
2{V-7, Т/) = -(У, [*, К], )-(Х, [Y,V])-
-V{X,Y) + {V, [X,Y]).
Справа первые два слагаемых равны нулю. Действительно,
поскольку с полем V является /-согласованным нулевое поле, то, по (60),
df([X, V ]) = [*, 0] = 0, т.е. [X, V f = Ои, значит,
(Y,(X,V]) = 0. (68)
Третье слагаемое также равно нулю, поскольку
V{X,Y) = df(V)({X, У}) = 0.
Этим доказано (67) и с ним (65). ■
Равенство (65) применимо, в частности, к парам полей X, X и
У, У, поэтому
V- X = VXX, V- У = V^T. (69)
Наконец, нам понадобится еще равенство
{VVX,Y) = -\{\X,Y],V), (70)
где V— вертикальное поле и по-прежнему [X, У ] = 0.
Чтобы проверить (70), воспользуемся симметричностью
связности V:
(VVX, Y) = {V-V, Y) + { [V,X], У).
Второе слагаемое правой части равно нулю ввиду (68), а для первого
слагаемого, учитывая (67), имеем:
in

14.12.11. Завершим доказательство теоремы 14.12.6. По
определению
k(ux,Vx) = (V^VyY,X)-(VyVJ(Y,X)~{V[jlY]Y,X). (71)
Вычислим поочередно все три стоящих справа члена. Применяя (65)
и (69), а затем (63), находим:
{V^VyY,X) = X(VyY,X)-{VyY,V^X) =
= X { Vy Y, X ) - { Vy У, Vx X > = { VX Vy У, X ). (72)
Аналогично
<v-v-y,*>= y<v-y, *>-<v^y,v-*> =
= Y(VX-Y,X)-(WX-Y+~[X,Y], Vy~X + ~1 Y,X ]) =
= Y{VxY,X)-{VxY,VyX) + \\ [X, У] |2 =
= (VYVX'Y,X) + ±\[X,Y]\2. (73)
Поскольку у нас [X, У ] = 0, то, согласно (61), поле V := [Л', У ] —
вертикальное. Поэтому, согласно (70), имеем для последнего
слагаемого в (71):
(WvY,X) = -^(i?,X],V) = ^\ [X,Y]\2. (74)
Из (72)—(74) следует:
k(Ux,vx) = (VxVYY,X)-(VYVx Г,*>-| ! \X,Y] I2.
Учитывая, что справа первые два члена составляют к (и, v ), а
последний член, согласно лемме 14.12.7, при отказе от специализации
полей X, У обращается в -г \ [X, У ]v\ , получаем равенство (57) . ■
§ 15. Подмногообразия
15.1. Индуцированная связность.
15.1.1. Рассмотрим погружение <р : N -» М гладкого многообразия
N размерности к в риманово многообразие М размерности п > к. Как
уже отмечалось в 6.2.6, погружение <р индуцирует на N риманову
структуру по правилу
112

(u,v)p:= (dp<p (и ), dp<p(v) >, (1)
где u,k£ TpN. Квадратичную форму (и, и)р называют первой
основной формой подмногообразия N в точке р.
Если в N введены локальные координаты (х , ..., х ), авМ —
координаты (у , ..., уп),то отображение tp задается функциями
У = У (л1, ...,**); /= 1, ..., п.
При этом метрический тензор многообразия N имеет координаты
где 8сф — координаты метрического тензора многообразия М.
Действительно, если {д(}, {3,} — базисные поля в N и М, то
Г - I Я Я \ - / ду(Х Я ^ ~Я0 \ - ^ ^ а Ш
Наши рассмотрения будут носить локальный характер. Поэтому
будем считать, что N — вложенное в М подмногообразие. Это
позволяет не различать в обозначениях точки р £ N и их образы
<р(р) £ М, а также касательное пространство TpN и его образ
d#> (T„N ) в Т^р)М.
Поскольку <р — вложение, то для каждого векторного поля X на
N корректно определено на <р (N) поле dip (X) по правилу
(d<p X )^,(р) = dpip (Xp ). Это поле можно распространить до гладкого
поля X в открытой области в М. В дальнейшем «волна» над буквой
почти всегда будет указывать на такое фиксированное
распространение. Разумеется, распространение не единственно.
15.1.2. Теорема. Связность Леей—Чивита V римановой
метрики на N, индуцированной вложением N ^*М, находится по
формуле
VaX = (VaX)T, (2)
где и £ TpN, X — векторное поле HaN в окрестности точки р,Х —
распространение поля X в М, V — связность Леей—Чивита в М, а
знак Т означает касательную к TpN составляющую вектора в
ТРМ.
Доказательство. 1. Проверим, что V, определенное
равенством (2), является связностью. Поскольку первые два требования
определения (6) из 7.2 очевидно выполняются, нам остается
проверить третье условие — справедливость для любой гладкой функции /
на N и любого и £ TpN равенства
из

Vu(fX) = (uf)Xp+f(p)VuX.
Пусть/— распространение/в окрестность точки р на М. Тогда
vu(fx) = (vu(fx))T = ((иГ)Хр + Г(Р)чиХ)т =
= (uf)Xp + f(p )(УиХ)Т = ("Я ХР + f(P ) vu*-
2. Проверим, что связность V симметрична. Согласно свойству
скобки Ли (см. (10) из 4.3), имеем
[X, Т]Тр= [X, Г]р= [X, У ]р , (3)
поэтому в точке р
vxy-vyx = (Vx^-VTX)T= [Х,Г]Тр= [х, Y]p.
3. Убедимся, что связность V согласована с римановой метрикой
на N. Для любого и Е TpN
u({X,Y)N) = u({X,r)M) = {VuX,rp)M + (Xp,Vur)M =
= ((VUX)T, Yp)N + (Xp,(Vu7)T)N=(VuX, Y)p + {X,VuY)p.
4. Наконец, заметим, что ввиду единственности связности
Леей—Чивита правая часть (2) не зависит от способа распространения
X до X. В последнем легко убедиться и непосредственно, введя на М
локальные координаты у , ..., уп так, чтобы N задавалось
уравнениями уг+ — ... = у11 = 0. Наличие таких координат было доказано в
3.5.3. ■
15.2. Вторая основная форма. _
15.2.1. Лемма. Разность V„ X-Vv X, где vE TpN (т.е.
нормальная к TpN в ТрМ составляющая (V„ X )х вектора V„- X),
зависит только от значения Хр = и Е TpN, но не зависит от выбора
векторного поля X и его распространения X.
Доказательство. Пусть Y — любое гладкое векторное поле
на N, такое, что Yp = v, и пусть У — его распространение на М. Для
доказательства леммы достаточно проверить, что
%Х-УУХ= VUY-VUY, (4)
так как правая часть (4) зависит только от и, а не от X, X. Но ввиду
симметричности связностей V, V и (2) имеем
V„X-Vuy=(V„X-Vuy)T= [Y,X ]T= [Y,X ] = V„X-VUY,
что равносильно (4). ■
15.2.2. Доказанная лемма 15.2.1 делает корректным следующее
определение. Второй основной формой подмногообразия N в точке р
114

называется билинейная форма В : TpN x TpN -» ZpN, где ZpN —
ортогональное дополнение к TpN в ТрМ, которая определена равенством
В (и, v) - ( Vu X )± = Vu X - Vu X . (5)
Здесь и, к_£ TPN, X — любое векторное поле на N со значением
Хр = v, а X — его распространение на М. Из (4) следует, что
билинейная форма В симметрична.
Из определения (2) связности V и формы В имеем разложение
V„ X = V„ X + В (v, Хр). (6)
15.2.3. Разложение (6) представляет собой прямое обобщение
деривационных формул теории поверхностей в R . Действительно,
пусть Ф — гладкая регулярная поверхность в R , заданная в
локальных координатах х , х вектор-функцией г (х , х ).
Возьмем в качестве X поле определенных на Ф векторов
/•[ = дг/дх , а в качестве v — вектор r2 ~ дг/дх . Тогда
V, X = г12 = —~ , V, X = (г12)Т = Г}2 г, + Т2п г2 ,
дх дх
B(v, Х) = (/-12)± = М«.
Здесь п — единичная нормаль к Ф, а М — коэффициент
классической „второй основной формы поверхности". Таким образом, (6)
совпадает для нашего выбора X и v со второй из деривационных формул
(3) из 14.2.4. Аналогично частными случаями (6) являются и
остальные две формулы (3) из 14.2.4.
15.3. Теорема Гаусса. Для любых и, v £ TpN справедливо
равенство
(R{u,v)v, u)-{R(u,v)v, и ) =
= {B(u,u),B(v,v))-B(u,v )2, (7)
где R uR — соответственно преобразования кривизны римановых
метрик многообразия М и его подмногообразия N, а В — вторая
основная форма N.
Доказательство. Будем считать, что и, v — линейно
независимы, иначе (7) тривиально. Пусть X, Y — гладкие векторные поля
на N со значениями Хр = и, Yp = v. Выберем эти поля так, чтобы в
точке р выполнялось [X, Y ]р = 0.
Поскольку значения формы В ортогональны к TPN, то из
разложения (6) следует:
(VuY,V„X) = B(u,v)2 + (VuY,VvX), (8)
115

< V„ X, V, У > = < В (и, и ), В (v, v )) + { V„ X, V, У). (9)
Для всех точек д Е. N выполняется равенство
(VY7-VYY,X)g = 0.
Дифференцируя это равенство в направлении Хр, получаем, что в
точке р
< V* V? У, X) + ( VY7, VXX) - ( Vx Vy У, X) - { Vy У, Vx X) = О,
или, с учетом (9),
(УхУгГ,Х)-(УхУуУ,Х) + (B(X,X),B(Y, У)) = 0. (10)
Аналогично для всех точек д Е N
(VXT-VXY,X) \q = 0,
что после дифференцирования в направлении Yp дает с учетом (8):
<VTVX У, X)-<VyVxy, X) + В(Х, У)2 = 0. (11)
Вычитая из (11) равенство (10) и учитывая, что [X, V ]р =
= [X, У ]р = 0, получаем (7). ■
Если перейти к секционным кривизнам, то теорема Гаусса (7)
принимает вид
г тр _ (В {и, и), В (у,у))- В {и,у? »
ЛСТ ЛСТ — 9 7,.? ' ^ '
где а = и A v. Конкретный выбор линейно независимых векторов и, v
в плоскости а не влияет на значение правой части (12).
15.4. Вторая форма относительно нормали.
15.4.1. Для нормали z Е ZpN положим:
Bz(u,v) = (B(u,v),z). (13)
Билинейная симметричная форма Bz : TpN х TpN -» R называется
второй основной формой подмногообразия N в точке р
относительно нормали z. По линейности скалярного произведения,
Baw + bz = aBw+bBz; a,i£R; w, г Е TpN .
Каждой билинейной симметричной форме Bz соответствует
единственное линейное отображение Az : TpN -» TpN, такое что для
любых и, v £ TpN
116

Bz(u,v) = -{Azu,v).
(14)
В силу симметричности Bz оператор Az самосопряженный:
{Azu,v) = (u,Azv). (15)
Az называют основным оператором, или отображением Вейнга-
ртена.
15.4.2. Пусть I z I = 1. Собственные числа к[ оператора —Az
называют главными кривизнами подмногообразия N в точке р
относительно нормали z. Известно, что Л; являются критическими
значениями квадратичной формы В2 (и, и) на единичной сфере I и I = 1.
Пусть и £ TpN, \и \ =1. Проведем на N через точку р гладкую
кривую г/ : [-Е < s < е]-» Nс натуральным параметром s, r\ (0) = р,
?7(0) = и. Напомним, что вектор k = Dij'(0)/ds называют вектором
кривизны кривой г\ в точке р. Величину
*„:= (k, z),
где z — единичная нормаль к N, называют нормальной кривизной
подмногообразия N в точке р относительно нормали z в направлении
и. Нетрудно проследить, что значение кн не зависит от выбора
кривой г/ и равно В*(и, и ).
Главные кривизны k-t суть критические значения кн.
Направления ±щ, для которых они достигаются, называют главными
направлениями на N в точке р относительно z. Всегда существует
к = dimN взаимно ортогональных главных направлений и верна
теорема Эйлера:
к
*н О ) = 2 *« cos2"*'
где щ — угол между и и щ. Конечно, к[, щ зависят от выбора z.
15.4.3. Замечание. В курсе дифференциальной геометриии,
когда поверхность задавалась вектор-функцией г: Q -» R , где Q —
область на плоскости с координатами (х , дг), вторая форма
поверхности задавалась двумя способами: (dr(X,Y),z) и
- ( dr (X), dz (У)), где z: Q -» S — сферическое отображение
поверхности.
Проверьте, что первое определение соответствует данному выше
определению (13) для В*(Х, У), а второе — правой части
равенства (14).
15.4.4. Пусть Z — гладкое поле нормалей к N, причем Zp = z, a
поля X, У, как и прежде, — касательные к N. Дифференцируя
равенство (Z, У ) = 0 в направлении и = Хр, получаем:
117

<V„Z, Yp) = -{Zp,VuY) = -{z,VuY) = -Bz(u, Yp),
откуда
Az(u) = (VUZ)T. (16)
15.4.5. Пример. Рассмотрим в Rrt+ , n > 2, стандартную сферу
Sn радиусаp, заданную локально вектор-функцией г (х , ..., хп). Для
поля нормалей Z = \р \~ г и касательного к Sn поля X имеем:
A*(X) = (Vxzf = ^(Vxrf=^X<J!-i = ^TX.
Поэтому Az есть гомотетия с коэффициентом \р \ , а В(Х, Y) =
= - \р I (X, Y). Вместе с теоремой Гаусса это дает
{R(u,v)v,u) = \p r2(u2v2-{u,v)2),
где u, v — любые касательные к Sn в некоторой точке вектора. Тем
самым доказано, что сфера является пространством постоянной
кривизны \р \~ .
15.4.6. Если N — гиперповерхность в М, то ZpN — одномерно и
единичная нормаль z в точке р единственна с точностью до знака. В
этом случае В (u, v ) = z В*(и, v ).
Пусть N — гиперповерхность в R", а (е\, ..., еп-\) — ортонорми-
рованный базис в TpN, в котором квадратичная форма Bz(u, и )
имеет диагональный вид:
л-1
В\и, и ) = ^ *,<и*)2, (17)
i=l
где и = и1 ei, а коэффициенты ki суть главные кривизны
многообразия N относительно нормали z. В этом случае теорема Гаусса (7),
(12) принимает вид:
Ke.he. = {R(ei,ej)ej,ei) = kikj, i* } . (18)
Отсюда, в частности, легко видеть, что гиперповерхность N в
R", п > 3, является локально строго выпуклой (в том смысле, что все
ki■ ^ 0 и имеют один и тот же знак) в том и только в том случае, когда
все ее секционные кривизны положительны. Действительно, из
К-е- л е- > 0 следует &,• kj > 0, и обратно, из общности знака всех &,•
следует знакоопределенность формы (17), откуда вытекает
положительность правой части (12), а Ка в R" равно нулю.
118

Суммируя равенства (18) по всем сочетаниям i < j, получаем,
что так называемая кривизна Липшица—Киллинга ^ &,• kj гиперпо-
i<i
верхности N в евклидовом пространстве равна (см. 14.9.1)
половине скалярной кривизны внутренней метрики гиперповерхности N.
Заметим еще, что при п > 3 из равенств (18) по значениям всех
секционных кривизн можно найти (с точностью до общего
множителя ±1) все&,(/ = 1, ..., п - 1).
Наконец, для случая, когда М трехмерно, а N двумерно,
теорема Гаусса принимает вид
К - Ка = кх к2, (19)
где К — „внутренняя кривизна" поверхности N как риманова
многообразия, Ка — секционная кривизна объемлющего пространства М
в направлении о = TPN , а к\ кг — „внешняя кривизна"
поверхности N.
15.4.7. Пусть п-к> 1. Если в пространстве ZpN, т.е. в
ортогональном дополнении к ТрЬГ в ТрМп, выбрать ортонормированный
базис z\, ..., zn-k, то
п-к
B(u,v) = ^ В\и, v ) zh (20)
i=l
где В' = {В, zt}. Это позволяет переписать формулу Гаусса (7) в
виде:
{R (и, v )v, и ) -{ Л (и, v )v, и ) =
п-к
= 2 (Я'Си, « )B\v, v ) -B\u, v )2) . (21)
1=1
* 15.4.8. Замечание. Каждая симметричная билинейная форма
В1 задана на TpN x TpN. Ее сужение на о х о, где о — плоскость,
определяемая выбранной парой линейно независимых векторов
и, v G TpN, имеет свои, зависящие от а, два собственных числа:
£i(tf), к'г(о). Каждое слагаемое правой части (21) равно их
произведению. Но мы не имеем простого выражения правой части (21) через
собственные числа форм В' на всем TpN x TpN, т.е. через главные
кривизны kj (/' = 1, ..., к ) подмногообразия N относительно
нормалей z,-. Исключение составляет случай к = dim N - 2, когда TPN = о
и В\и, и ) B\v, v ) - В\и, v)2 = k\ к2.
15.5. Вполне геодезические подмногообразия.
15.5.1. Подмногообразие N^M называют вполне геодезическим
в точке р, если в этой точке В = 0, т.е. В (и, v) = 0 при любых
", v G ТрМ.
119

Пусть Q — подпространство в ТрМ, a U — нормальная шаровая
окрестность нуля. Тогда N = ехрр (Q П U ) является гладким
подмногообразием в М.
15.5.2. Лемма. Подмногообразие N = expp(Q Г\ U) — вполне
геодезическое в точке р.
Действительно, пусть и G TpN. Поле касательных векторов
геодезической уи : 11-» ехрр tu, t G (-£, е), продолжим до гладкого поля
X на N и далее до гладкого поля X в М. По построению Хр = и и поле
X параллельно вдоль пути уи. Поэтому Vu X = 0, откуда
В (и, и ) = 0. Поскольку последнее верно для любых и G TPN, а
форма В симметрична, то В (и, v ) = 0 для любых и, v G 7yV.
15.5.3. Если а — двумерное подпространство в TpN, то, как
следует из леммы 15.5.2 и теоремы Гаусса (12), двумерная поверхность
N = ехрр(а П U ) с индуцированной на ней вложением в М
внутренней метрикой имеет в точке р гауссову кривизну, совпадающую с
секционной кривизной Ка риманова многообразия М. Сопоставьте
это с 14.7.1.
15.5.4. Подмногообразие называют вполне геодезическим, если
оно вполне геодезическое в каждой своей точке. Такие
подмногообразия размерностей к > 1 существуют не в каждом римановом
многообразии; более того, наличие вполне геодезических
подмногообразий размерности к > 1 есть ситуация в некотором смысле
исключительная.
Чтобы подмногообразие N <^*М было вполне геодезическим,
необходимо и достаточно, чтобы каждая геодезическая в N была
одновременно геодезической вМ.
Действительно, пусть у — геодезическая в N, гладкое векторное
поле X на N получено распространением с у на N поля у', а гладкое
поле X в М — распространением поля X. Тогда в любой точке
геодезической у, учитывая (6), имеем:
VyX= VfX+B(y',y').
Если В = 0, то из V/ X = 0 следует V/ X = 0, и потому у —
геодезическая ивМ. Если каждая геодезическая в N есть геодезическая в М,
то из V/ X = V/ X = 0 следует В (у', у') = 0, т.е. В (и, и ) = 0 для
любого и G TPN, p G N, а потому и В (и, v ) = 0 для любых
и, v G TPN. Ш
§ 16. Псевдоримановы многообразия
16.1. Псевдоевклидовы пространства.
16.1.1. Конечномерное векторное пространство с заданной на нем
невырожденной симметричной билинейной формой, не обязательно
знакоопределенной, называют псевдоевклидовым пространством?
Эту билинейную форму будем обозначать ( , } и называть скалярным
120

произведением. Если форма ( ,} положительно определенная, то это
обычное евклидово пространство.
Из алгебры известно, что в псевдоевклидовом пространстве
размерности п существуют базисы (е\, ..., ел), для которых
( ей еу} = А дф где дц — символы Кронекера. Такие базисы
называют ортонормированными. В ортонормированном базисе для любого
вектора и — и1 е; имеем
и2:* Си. «> = -iul)2-...-(us)2 + (и+1)2 +...+ (ип)2, (1)
причем, согласно известному „закону инерции" квадратичных форм,
число s „отрицательных квадратов" не зависит от выбора ортонорми-
рованного базиса. Число s называют индексом билинейной формы
( ,} . Мы будем обозначать V? псевдоевклидово n-мерное векторное
пространство с билинейной формой индекса s, а пару (п, s) называть
типом этого пространства, V§ — евклидово пространство; Yk
отличается от евклидова пространства лишь несущественным
множителем -1 перед всеми скалярными произведениями, аналогично
связаны V? и Vn-S. При 0 < s < n пространства V? существенно
отличаются от евклидовых. При этом рядом общих свойств выделяются
пространства V{ и Vn-i. Особо важную роль в физике — в частной
теории относительности — играет пространство У\.
16.1.2. Замечания. 1. В V? имеется естественная топология,
согласованная с линейной структурой; сходимости в этой топологии
отвечает покоординатная сходимость в произвольном базисе.
2. В евклидовом случае скалярное произведение ( ,} порождало
метрику по правилу р(и, v) = {v~u, v-u) . Но в V% при
s ^ 0, х ^ л подобного порождения скалярным произведением
метрики нет. Тем не менее существует традиция само задание в V?
скалярного произведения называть „псевдоевклидовой метрикой".
3. Как и в евклидовом случае, по векторному пространству V%
строится соответствующее ему точечное пространство Е% (см. п. 1.2).
При этом каждой точке р££? соответствует свой „экземпляр"
пространства V% — касательное пространство Тр £? в точке р к £?, на
котором задано отображение ехрр : Тр £? -* £?, причем для каждых
Р, а £ £? пространства Тр Е%, Tq Е% связаны каноническим
параллельным переносом.
4. Псевдоримановы многообразия вводятся вполне аналогично
римановым, только на их касательных пространствах вводится не
евклидова, а псевдоевклидова структура (одного и того же для всех
точек типа). Существенные отличия псевдоримановых многообразий
°т римановых обусловлены в первую очередь отличиями
псевдоевклидовых пространств от евклидовых.
121

*16.1.3. Геометрия всегда была тесно связана с физикой,
предоставляя в распоряжение последней необходимый математический
аппарат. Для описания форм, размеров и взаимного расположения
предметов было достаточно евклидовой геометрии пространства Ег.
Классическая механика оперирует с четвертой „координатой" —
временем. Но для нее четырехмерное пространство событий
(предельно локализованных в пространстве и времени) остается
канонически разделенным на трехмерный пространственный слой и ось
времени.
Изучение электромагнитных явлений и механики больших
скоростей привело к созданию специальной теории относительности, в
которой четырехмерное пространство-время представляется единым
многообразием, а его разделение на „пространство" и „время"
условно: оно связано с выбором инерциальной системы координат.
Математической моделью такого пространства-времени служит
псевдоевклидово пространство Щ.
Исследование тяготения привело к созданию общей теории
относительности. Ее математической моделью пространства-времени
служит псевдориманово многообразие м\, неоднородности которого
связаны с распределением материи-энергии. Стремление объединить
в единой системе также другие виды взаимодействий повлекло
использование математических моделей в форме так называемых
расслоенных пространств над пространством общей теории
относительности.
16.1.4. Псевдоевклидово пространство Щ называют
пространством Минковского,* илилоренцевым.
Условимся, что для любого ортонормированного базиса в Щ с
началом О и векторами e$, e\, в2, ез, для которых {ео,ео) = —\,
{ е,, ei) = 1, i = 1, 2, 3, координаты точки р £ Щ имеют следующий
смысл: х = ct, где t — время (в данной системе координат), с — аб-
12 3
солютная постоянная (скорость света в вакууме), а х , х , х —
пространственные координаты точки р в момент времени t (в данной
системе координат).
„История жизни" материальной частицы представляет собой
некоторый путь у : [а < г < Ь ] -» Щ. При этом предполагается, что
для любой частицы ненулевой массы всегда {у', у' ) < 0 при всех г.
Такие пути называют мировыми линиями. В силу предположения,
3
что {у', у' ) = -(dx°/dr)2 + 2 (dx'/dr)2 < 0, всегда (dt/dr)2 > 0.
г=1
Это позволяет ввести на пути у в качестве нового параметра t. Обоз-
*Теми же словами — „пространство Минковского" — называют совсем другой
объект — конечномерное банахово (т.е. полное нормированное) линейное
пространство.
122

3
начим v := dy/dt. Тогда < v, v) = -с2 + ^ (dx'/dt )2 < 0, т.е. для
„пространственной" скорости v* := (dxx / dt, dx2/dt, dx3/dt)
частицы
\v* I :=
1=1
Л
1/2
< с. (2)
Подчеркнем, что скорость v* зависит от выбранной системы ортонор-
мированных координат: она является проекцией вектора v на
подпространство, ортогональное выбранной оси t (оси ео), а сам выбор
параметра t зависит от выбранной системы координат.
В каждой точке p££i „разрешенные" скорости v образуют
конус v = {v, v) < 0. Этот конус состоит из двух компонент
связности, каждая из которых — выпуклый конус. Интуитивному
представлению об однонаправленности течения времени соответствует
выбор в каждой точке одного из этих конусов — конуса „будущего"
К , так, чтобы семейство конусов К+ было непрерывно. Это
равносильно выбору на всем Щ непрерывного векторного поля X так,
чтобы в каждой точке р вектор Хр принадлежал конусу { v, v) < 0.
Такой выбор называют ориентацией времени. Предполагается, что для
мировой линии частицы обязательно должно быть у' G К+.
Поскольку, независимо от ориентации времени, само пространство Щ
допускает две обычные ориентации, то Щ может быть ориентировано
четырьмя способами. Ориентация самого Щ и ориентация времени
порождают ориентацию на ортогональных к оси t подпространствах.
9 2
Векторы и при и < 0 называют времяподобными, при и = 0 —
2 п
изотропными, или световыми, при и > 0 — пространственнопо-
добными. Если р, q G Щ и вектор pq G К+, то говорят, что событие р
предшествует событию q или что q следует за р. В каждой ортонорми-
рованной системе координат длины проекций вектора pq,
соединяющего произвольные точки р и q, на подпространство, ортогональное
оси t, и на ось t считаются соответственно пространственным
расстоянием между событиями р и q и интервалом времени между этими
событиями. Ясно, что и расстояние, и интервал времени вместе с
направлением оси t зависят от выбора системы координат; инвариантен
лишь сам вектор pq (см. классический пример 16.1.9).
Таковы самые начальные представления частной теории
относительности. Более подробно с ней можно познакомиться по многим
книгам, например [36, 126, 5].
Сказанное в настоящем пункте почти дословно обобщается на
случай пространств Е\, которые также называют пространствами
123

Минковского, или лоренцевыми. Но при п = 2,3 и п > 4 они не
имеют столь прямого физического смысла.
16.1.5. Упражнение. Докажите, что в пространстве V\ для
каждого времяподобного вектора и ортогональный ему, т.е. такой,
что { и, v ) = 0, ненулевой вектор v непременно является пространст-
венноподобным.
16.1.6. В общих псевдоевклидовых пространствах V% при
О < s < п векторы и 6 V% также делят на времяподобные (и < 0),
изотропные, или световые (и = 0), и пространственноподобные
(и > 0). Конус и — 0 называют световым-, или изотропным. При
s = 1 конус и2 < 0, а при s = п - 1 конус и > 0 состоит из двух
выпуклых связных компонент (конусов). Когда же I < s < п— 1, то
2 2
каждый из конусов и < 0 и и > 0 является связным и невыпуклым.
16.1.7. Псевдоевклидовы векторные пространства называют изо-
метричными, если между ними существует линейный изоморфизм,
сохраняющий скалярное произведение. Легко видеть, что
пространства одного типа (п, s ) всегда изометричны. Более хлопотно
доказывается, что псевдоевклидовы пространства разных типов всегда не-
изометричны (см., например, [11, с. 80—82]). Таким образом, с
точностью до изометрии каждой паре чисел (п, s ), 0 < s < n,
соответствует в точности одно псевдоевклидово пространство V%. Его можно
считать координатным пространством со скалярным произведением
< и, v) = -uV -...- uV + us+V+l +...+ «V.
Линейные отображения пространства V% на себя, сохраняющие
скалярное произведение, называют псевдоортогональными
отображениями. Они образуют группу, обозначаемую О (я, s ) и
называемую псевдоортогональной. Ясно, что при псевдоортогональных
отображениях ортонормированный базис переходит в ортонормирован-
ный, времяподобные векторы — во времяподобные,
пространственноподобные — в пространственноподобные, световой конус — в себя.
С этим связан тот факт, что в каждом псевдоевклидовом
пространстве V%, 0 < s < n, возможны четыре ориентации: можно независимо
приписывать положительную или отрицательную ориентацию
порознь каждому из наборов {е\, ..., es) и (es+\,..., еп) (ср. 16.1.4)
векторов некоторого ортонормированного базиса.
*Если зафиксировать один ортонормированный базис, то
каждому элементу g Е О (п, s ) будет соответствовать свой
ортонормированный базис — положение исходного базиса после отображения g.
Этот новый базис можно отождествить с элементом g, а последний —
с матрицей преобразования, переводящего первый базис во второй.
Поскольку такие матрицы образуют гладкое многообразие, то
группу О (п, s ) в смысле топологии этого многообразия можно
рассматривать как группу Ли. Можно показать, что она состоит из четырех
124

компонент связности. Каждой ориентации V? соответствует
гомоморфизм группы О (п, s ) на группу 2г х ^2, отображающий
каждую из компонент в один из четырех элементов группы Ж2 x Z2.
16.1.8. Пример. Пусть в пространстве V\ псевдоортогональное
отображение переводит ортонормированный базис {е±, е2) в новый
базис (<'j = all el + d^e?, 7% = a\ie\ + а-це-}). Требование
псевдоортогональности базиса (el5 ё^) налагает на коэффициенты матрицы
(аф требования:
2 2 7 9
-ап + а^ = -1, -ап ап + а^ а^ = 0, -а12 + а22 = 1.
Обозначив аг\/а\ \ = \\чр, получим возможный вид матрицы (а/у ):
/ch y> sh <p\ /ch у> -sh <p\ /-ch y> sh уЛ /-ch у> -sh уЛ
I sh <р сЪ<р\' I sh р -ch <pJ' I-sh <p ch p J' I-sh y> -ch <py
где -oo < y> < oo. Эти четыре вида матриц соответствуют четырем
компонентам связности группы О (2, 1). Единица группы входит в
первую компоненту, которую называют группой собственных
поворотов SO (2, 1).
Как видим, группа О (2, 1) в отличие от группы О (2) поворотов
евклидова пространства V не только состоит из другого числа
компонент, но, кроме того, эти компоненты и вся группа О (2, 1)
некомпактны.
16.1.9. Пр и м е р. Рассмотрим в щ переход от ортонормирован-
ного базиса (О, е0, ер е2, е3) к ортонормированному базису
(О, е~0, £р е2, е3), где е~0 = e0ch<p + e^shfp, e[ = eosh<p + eich<p,
<р = const. Тогда для произвольной точки пространства Щ ее коорди-
наты (ct, х , х , х ) и (с t, х , х ,х )в этих базисах связаны
формулами перехода
ct = сГсЬ(р + xlsh(p, xl= ctship + х1сЪ(р, х2= х2, х3= х3.(4)
Рассмотрим любую частицу, которая во второй системе „про-
странственно" неподвижна, т.е. для нее х , х , х постоянны и
изменяется только Г Дифференцируя по Гформулы (4), находим, что
для такой частицы
1
откуда
dt , dx .
dx „ dx n dx
_ = cth^ _ = o, w = 0, (5)
т.е. любая такая частица с точки зрения первого базиса движется
равномерно со скоростью v = cthip в направлении е\. Аналогично
125

частицы, неподвижные в первом базисе в пространстве (х , х , х ),
движутся с точки зрения второго базиса с изменением Гс такой же
скоростью v, но в направлении —е^.
Если два наблюдателя жестко связаны: первый — с трехмерным
12 3 Л 2 3
пространством (х , х , х ), а второй — с (х , х , х ), то они
движутся относительно друг друга (с точки зрения каждого) с
пространственной скоростью v, но оси времени ео и ео для них направлены в
Щ немного по-разному.
Первые две формулы (4) обычно выражают через v.
<=Г+(,/с2)*',„х1= х1 + уГ (6)
V 1 - vl/cl V 1 - vL/cL
Это так называемые преобразования Лоренца, связывающие
пространственные координаты и время для двух различных „инерциаль-
ных" систем координат,*
16.2. Псевдоримановы многообразия.
16.2.1. Псевдоримановы многообразия М%, уже упоминавшиеся в
16.1.2, — это связные гладкие многообразия размерности п > 2,
касательные пространства которых суть псевдоевклидовы пространства
одного типа (п, s ), причем скалярные произведения ( ,) гладко
зависят от точки р £ М?(ср. 6.1.1).
В локальных координатах (х , ..., хп ) псевдориманова структура
задается полем „метрического тензора": набором гладких функций
Sij = { ей ej )> где Ц — базисные векторы в данных локальных
координатах (или, что то же, — „линейным элементом" ds = gydx' dx1).
При этом матрица (&у) неособая и симметричная, но квадратичная фор-
ма ds не обязана быть положительно определенной. При переходе к
другим локальным координатам, как обычно, JJ/ = Q 9 gu, где Щ = Щ е^.
16.2.2. Та или иная линейная связность V и определяемые через
нее параллельный перенос, геодезические, экспоненциальное
отображение, преобразование кривизны могут вводиться на любом
гладком многообразии. Линейная связность V на псевдоримановом
многообразии М? называется псевдоримановой, если выполнено
тождество Риччи (2) из 8.1.1:
X { Y, Z) = ( Wx Y, Z) + ( У, Vx Z) (7)
для любых гладких векторных полей X, Y, Z на М?.
*С различными разбиениями Щ на трехмерное пространство Ос , х , х ) и ось t
связано пресловутое „сокращение" движущегося тела. Само тело в EJ не меняется.
Просто при проектировании связанного с телом трехмерного пространства на другое
трехмерное пространство, связанное с „неподвижным наблюдателем", проекция тела,
естественно, несколько короче.
126

Дословно перносится на псевдориманов случай доказательство
теоремы 8.2.1, так что на любом псевдоримановом многообразии
существует, притом единственная, псевдориманова симметричная
связность. Ее называют, как и в римановом случае, связностью
Леви—Чивща. Свойства, касающиеся самой связности Леви—Чивита,
в псевдоримановом многообразии такие же, как в римановом, но
свойства, проявляющиеся во взаимодействии со скалярным
произведением, во многом иные. Впрочем, некоторые из таких свойств
сохраняются. Например, как видно из (7), при параллельном переносе
сохраняется скалярное произведение. Остается верной лемма Гаусса
12.2.4, сохраняются алгебраические „симметрии" тензора
{R(u,v)w,z).
*16.2.3. Псевдоевклидовы пространства Е$ представляют
собой аффинное пространство Ап, на котором заданы ( ,). В Ап
имеется абсолютное параллельное перенесение векторов. Оно порождает в
Е% как раз связность Леви—Чивита псевдориманова многообразия
Е% , независимо от значения s. Геодезическими в этой связности
являются прямые, а преобразование кривизны — тождественно
нулевым.
16.2.4. Существует, однако, ряд качественных различий между
псевдоримановыми многообразиями М%, О < s < п, и римановыми.
Прежде всего псевдориманову структуру (в отличие от римано-
вой) можно задать не на любом гладком многообразии. Дело в том,
что касательное расслоение ТМ% псевдориманова М? должно
допускать s-мерное подрасслоение. Действительно, зададим на М%
кроме ( , ) еще какое-либо риманово скалярное произведение
( , )R . Тогда в каждой точке р £ М" симметричной билинейной
форме ( ,) можно придать вид (u,v) = { Au, v )r, где А —
самосопряженное линейное преобразование. Среди собственных чисел
А будет s отрицательных. Натянутое на соответствующие им
собственные векторы s-мерное подпространство будет в ГМ"
непрерывно зависеть от р.
Условия, при которых на многообразии М существует s-мерное
подрасслоение, известны в дифференциальной топологии [42 ]. В
частности, для существования на М™ псевдоримановой структуры типа
(п, 1) необходимо и достаточно, чтобы М™ было либо незамкнутым,
либо же замкнутым, но с нулевой эйлеровой характеристикой. На-
пример, на сфере S нельзя задать псевдориманову структуру типа
(2, 1).
16.2.5. Другое отличие связно с полнотой. В М% при 0 < s < n нет
канонической метрики, поэтому нет смысла говорить о метрической
полноте. Но в М% есть связность Леви—Чивита, и можно ставить
вопрос о геодезической полноте, т. е. о возможности неограниченно
127

(по параметру) продолжать решение уравнения любой
геодезической. Вопрос этот допускает в данном случае более тонкую
дифференциацию.
Вектор скорости у' геодезической у может быть одного из трех
типов: времяподобным, пространственноподобным, световым.
Поскольку у' переносится вдоль у параллельно, то сохраняется
значение ( у', у' ), и тем самым вдоль у сохраняется тип вектора у'.
Поэтому есть геодезические трех видов: времяподобные, пространственно-
подобные, световые. Можно рассматривать полноту (геодезическую)
отдельно для каждого из этих трех классов геодезических.
Оказывается, что эти три полноты независимы.
16.2.6. Упражнение. Проверьте, что в следующем примере
Герока псевдориманово многообразие М\ не обладает времяподобной
полнотой, но обладает полнотой пространственноподобной и
световой.
На плоскости с координатами (t, x ) задана гладкая
положительная функция /, удовлетворяющая условиям: f(t,x)=f(t,-x);
00
f{t, x) = 1 при Ijc I > 1; / f(t, 0) dt < °°. Затем плоскость превра-
o
2 13.
щена в М\ заданием „линейного элемента" ds = r(t,x)x
x(-dt2 + dx2).
16.2.7. Кроме того, из геодезической полноты псевдориманова
многообразия в отличие от риманова многообразия (ср. 13.1.2),
вообще говоря, не следует возможность соединять любые две точки
хотя бы одной геодезической. Соответствующий пример см. в п.
16.3.4.
16.2.8. Наличие скалярных произведений позволяет сопоставлять
каждому кусочно-гладкому пути у : [а < г < Ъ ] -» М% его длину по
следующему правилу. Назовем длиной I и I вектора и значение
V-( и, и) для времяподобного и,
V( и, и ) для пространственноподобного и, (8)
О для светового и,
после чего определим длину s (у) пути у равенством
Ь
*(У):=/ Ir'OOl *• (9)
а
Обычно рассматривают только пути у, вдоль которых тип вектора
у' сохраняется; такие пути называют соответственно времяподобны-
ми, пространственноподобными, световыми. Длина любого светового
пути равна нулю, так что, например, на световой геодезической
длина не может служить параметром.
16.2.9. В лоренцевых псевдоримановых многообразиях hf[ конус
времяподобных векторов в каждой точке состоит из двух компонент.
128

Рис. 27.
Если на М\ можно задать непрерывное поле времяподобных
векторов, то М\ называют времяориентируемым. Выбор такого поля
выделяет в каждой точке р £ М\ компоненту К^ времяподобных
векторов, называемую конусом будущего.
На времяориентируемом М? вводят структуру, называемую
расстоянием, хотя последнее не обладает свойствами расстояния в
смысле, принятом для метрического пространства. Поясним эту
структуру. Кусочно-гладкий времяподобный путь у называют
направленным в будущее, если в каждой его точке у '(г) £ -Ку(т> (В
точках нарушения гладкости имеются в виду правые односторонние
производные). Пусть точки р, q £ М? таковы, что существует
направленный в будущее кусочно-гладкий путь с началом р и концом
q. Тогда говорят, что р предшествует q. Для таких р, q определяют
расстояние d (p, q) как точную верхнюю границу длин путей
указанного типа. (Рис. 27 на примере щ поясняет, почему точная
нижняя граница длин таких путей равна нулю).
Непосредственно из определения d (p, q) следует так
называемое обратное неравенство треугольника (неравенство Эйнштейна)
d(p,q)>d(p,r) + d(r,q), (10)
справедливое всякий раз, когда имеют смысл члены этого
неравенства. Расстояние d определено не для всех пар р, q. Иногда его
доопределяют, полагая d (p, q) = 0, если р не предшествует q. Ясно, что,
вообще говоря, d (p, q) ^ d (q, p ), хотя не исключено, что р
предшествует q и q предшествует р. В последнем случае в М? существует на-
129

правленный в будущее замкнутый путь, и говорят, что М? не
является „причинным".
16.3. Подмногообразия в псевдоримановом многообразии.
16.3.1. Пусть N — гладкое подмногообразие псевдориманова
многообразия М. В каждой точке р £ N определена на TpN X TpN
симметричная билинейная форма ( и, v )n — сужение на TpN X TpN
скалярного произведения многообразия М. Эта форма ( , )#, вообще
говоря, может быть полностью вырожденной (если TpN содержит
только изотропные векторы пространства ТрМ).
Подмногообразие N называют пространственноподобным, если в
каждой его точке р все его касательные векторы являются простран-
ственноподобными в ТрМ. Ясно, что форма ( , )# в этом случае
является положительно определенной. На пространственноподобном
подмногообразии N <^*М положительно определенная форма ( , )#
определяет риманову метрику; ее называют индуцированной.
*16.3.2. Дословно так же, как в случае риманова многообразия М
(см. 15.1.2), доказывается, что связности Леви—Чивита V и V
индуцированной римановой метрики на пространственноподобном
подмногообразии N и в объемлющем псевдоримановом многообразии М
удовлетворяют соотношению
Vxy=(Vxy)T, (11)
где X, Y — гладкие векторные поля, касательные к N.
Вторая основная форма В на N определяется равенством
В (X, Y) ~ Vx Y- Vx Y. Как и для риманова М (15.2),
доказывается, что В (X, Y )р зависит лишь от Хр, Yp и является билинейной
симметричной формой. Как и в 15.3, проверяется справедливость
теоремы Гаусса
(R(u,v)v,u)-(R(u,v)v,u) = B(u,u)B(v,v)-B(u,v )2, (12)
где R, R — преобразования кривизны в многообразиях N иМв точке
р, а векторы u, v €E TpN.
16.3.3. Пример. В пространстве Минковского Щ рассмотрим так
называемую псевдосферу — подмногообразие Я (рис. 28), заданное
уравнением
-(х1)2 + (х2)2 + (х3)2 + г2 = 0, х1 > 0. (13)
Поскольку ранг матрицы Якоби (-2* , 2х , 2х ) — максимальный,
то Н есть гладкое подмногообразие в щ.
Из (13) следует, что в каждой точке р (х , х , х )ЁЯ вектор с
координатами (х , х , х ) — времяподобный. Для любого выходяще-
го из р гладкого пути х (t), x (t), x (t) на Н выполняется равенство
130

Рис. 28.
Рис. 29.
11 9 9 Ч Ч
-х (dx /dt) + х (dx /dt) + x (dx /dt) = 0, т.е. каждый
касательный к Я в точке р вектор ортогонален в Щ к времяподобному векто-
12 3
ру (х , х , х ) и потому (см. 16.1.5) сам является пространственно-
подобным. Поэтому Н — пространственноподобное
подмногообразие.
На Н можно ввести „полярные" координаты (р, (р ), полагая
12 3
х = rchp, х =rshpcos<p, x = rshp sin<p,
где 0 < р < °о,0<р< 2я. В этих координатах внутренняя метрика
на Н задается, как легко подсчитать, линейным элементом
ds2 = r2dp2 + r2 sh2 p cUp2. (14)
По известной из дифференциальной геометриии формуле (уже
использовавшейся в примере 14.7.2) находим гауссову кривизну
к = 1 d2(rshp) _ 1
r3shp dp2
(15)
Следовательно, Н является пространством постоянной
отрицательной кривизны. Это — одна из моделей плоскости Лобачевского.
Геодезическими в Н (прямыми плоскости Лобачевского) оказываются
пересечения Н с плоскостями в Е\, проходящими через начало
координат.
131

Заметим, что псевдоортогональные преобразования в щ, и
только они, индуцируют изометрии Н на себя.
16.3.4. Пример. Рассмотрим в щ подмногообразие N (рис. 29),
задаваемое уравнением
-(х1)2 + (х2)2 + (х3)2 - г2 = 0 . (16)
По тем же причинам, что иН , N является гладким
подмногообразием в Щ. Но N не является пространственноподобным.
Индуцированное вложением N <^*М, скалярное произведение задает на N струк-
туру псевдориманова многообразия JV j.
Как можно показать, геодезическими на N{ оказываются линии,
являющиеся пересечениями N с плоскостями в Щ, проходящими
через начало координат. На рис. 29 изображены некоторые из таких
геодезических. Отмеченные на рисунке точки рад, очевидно, не
соединимы на N{ ни одной геодезической.
§ 17. Комплексные римановы многообразия
Большой раздел математики •>— теория комплексных римановых
(в частности, кэлеровых) многообразий остается за пределами этой
книги. Здесь мы только приведем определения нескольких исходных
понятий этого раздела.
17.1. Почти комплексные структуры.
17.1.1. Линейное отображение / векторного пространства V (над
полем вещественных чисел) на себя называется комплексной
структурой, если для каждого c£F
J2(v) = -v. (1)
Очевидно, / — биективно.
Пространство V с комплексной структурой / можно превратить в
комплексное (т.е. над полем комплексных чисел) векторное
пространство, если определить умножение элементов v на комплексные
числа правилом (а + ib)v = ay + Ы (v ).
17.1.2. Упражнение. Докажите, что конечномерное
вещественное векторное пространство V с комплексной структурой / всегда
четномерно, причем в V существует базис, состоящий из векторов
е\, ..., еп, J Oi), ..., J {en).
17.1.3. Пусть С" — комплексное векторное пространство,
элементами которого служат наборы из п комплексных чисел
Z = (z , ..., z"). Оно имеет комплексную размерность п, т.е. в нем
существует п (и не более п) линейно независимых (при допущении
комплексных коэффициентов) векторов. Каждое комплексное
векторное пространство комплексной размерности п изоморфно С".
132

Чтобы убедиться в этом, достаточно зафиксировать базис из п
векторов и затем сопоставить каждому вектору его координаты (z , ..., zn )
в этом базисе.
17.1.4. Пространство С" можно рассматривать как In-мерное
вещественное векторное пространство R п, канонически сопоставляя
вектору (z1, ..., zn ) G С" вектор (дс1, ..., хп, у\ ...,/), где
к к к
z = х + iy. Такое сопоставление называют овеществлением.
При овеществлении в R п фиксируем каноническую
комплексную структуру
J(x\...,xn, y\ ...,/) = (-у1, ...,-/, х\...,хп). (2)
Она соответствует в С" умножению на /.
17.2. Комплексное многообразие.
17.2.1. Комплексным многообразием М (комплексной)
размерности dime M = п называют топологическое пространство, имеющее
атлас {(Ga, ha)} из открытых областей Ga, для которых так
фиксированы гомеоморфизмы ha на области пространства С" (этим в Ga
вводятся комплексные координаты), что для любых Ga, Gp в области их
пересечения переход от одних координат к другим задается
голоморфными функциями, т.е. голоморфны отображения
hahf :hp(Gan Gp) -» ha (Ga П Gp).
17.2.2. На М в каждой локальной карте (G, h) определены
локальные координаты z , ..., z", а потому — и вещественные коорди-
1 п 1 п к к к
наты х , ..., х , у , ..., у , где z = х + iyr. Поэтому на М можно
смотреть как на вещественное 2л-мерное гладкое многообразие, в
каждом касательном пространстве которого определена
ассоциированная комплексная структура /, действующая по правилу
*17.2.3. Вообще 2л-мерное гладкое многообразие называют
почти комплексным многообразием, если на нем фиксировано гладкое
поле комплексных структур в касательных пространствах. Такое
поле может не являться ассоциированным ни с какой структурой
комплексного многообразия. Чтобы почти комплексное многообразие
было комплексным, необходимо и достаточно, чтобы у каждой его
точки существовала окрестность, в которой поле / задавалось бы
правилом (3).
*17.2.4. Упражнение. Докажите, что комплексное
многообразие всегда ориентируемо. Для этого проверьте, что из голоморфной
зависимости z1, ..., zn от w1, ..., wn для zk = xk + *'/, иА = uk + ivk
следует:
133

D{x\..., xn, y\ ...,/) . Q
£>(«',..., и",И к")
17.2.5. Касательное пространство ТрМ в точкер £ М
комплексного л-мерного многообразия М есть 2л-мерное вещественное
векторное пространство. Это — линейное пространство
„дифференцирований" в точке р С°°-гладких вещественнозначных функций на М.
Базисом в ТрМ служат д/дх\ ..., д/дхп, д/ду1, ..., д/ду11.
Пространство ТрМ канонически снабжается комплексной структурой /,
определенной правилом (3). Ввиду голоморфности допустимых замен
локальных координат структура / инвариантна относительно выбора
координат (г г")вМ.
Комплексное касательное пространство ТрМ — это л-мерное
С-линейное пространство „дифференцирований" в точке р С
-гладких комплекснозначных функций на М. Иногда рассматривают еще
специальные голоморфное и антиголоморфное касательные
пространства в точке комплексного многообразия (см., например, [12,
с. 28]).
17.3. Эрмитовы и кэлеровы многообразия.
17.3.1. Пусть на комплексном многообразии М фиксировано
гладкое поле комплекснозначного „скалярного произведения"
(,):7JMX Гд М -» С, для которого при всех р £ М;
X, У, Z £ Тр М и всех а £ С выполняются аксиомы:
{X, Y) = {TJT),
{aX,Y) = a{X,Y), (4)
{X, Y+Z) = (X, Y) + (X,Z),
откуда {X,a Y) = a{X,Y), { X + Y, Z) = {X, Z) + < У, Z ). Здесь
черта сверху означает переход к комплексно-сопряженному числу.
При разделении вещественной и мнимой частей:
(X, Y) = g(X, У) + iw(X, У), (5)
слагаемое g (X, У) оказывается симметричной билинейной формой,
а ш (X, У) — кососимметрической билинейной формой.
17.3.2. Если квадратичная форма g (X, X) — невырожденная, то
она может быть выбрана в качестве метрической формы на М
(возможно, псевдоримановой). Если при этом форма g (X, X) —
положительно определенная, то М с римановой метрикой g называют
эрмитовым многообразием, а если, кроме того, еще кососимметрическая
форма w замкнута, т.е. d ш = 0, то М с римановой метрикой g
называют кэлеровым многообразием. В п. 30.2.3, 30.7.5 рассмотрен
пример комплексного проективного пространства СРп, являющегося
кэлеровым многообразием.
134

*17.3.3. Можно показать, что эрмитово многообразие
характеризуется тем, что в каждом касательном пространстве для любых
векторов X, Y имеет место равенство g (X, У) = g(JX, JY).
Кэлерово многообразие характеризуется тем, что, кроме того,
J ^x Y ~, Vx JY, где V — связность Леви—Чивита, соответствующая
метрикеg. (Подробнее см. [19, т. 2; 116]).

Глава 3
ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ВАРИАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 18. Формула второй вариации
18.1. Энергия пути.
18.1.1. Энергией гладкого пути у : [0, а ] -» М, где М — римано-
во многообразие, называется число
1 а
E(Y) = -j S \У'1*)\ dt. (1)
z о ' '
В отличие от длины пути энергия существенно зависит от
параметризации. Но энергия имеет много общего с длиной пути. По ряду
причин, как это будет видно в дальнейшем, энергия оказывается
более удобным функционалом, чем длина. Например, энергия „гладко
зависит от пути", а для длины это не всегда верно. Кроме того, она
отличает геодезическую от других параметризаций той же
геодезической кривой.
18.1.2. Лемма. Длина и энергия пути у : [0, а ] -» М связаны
неравенством
s (у)2 <2аЕ (у), (2)
причем равенство достигается, только если параметр
пропорционален длине дуги.
Действительно, по неравенству Коши—Буняковского
а а а
s(Y)2 = ( /1 • 1/(0 I dt) </ \2dt / \y'\2dt = 2aE(y).m
О 0 0
Из (2) следует, в частности, что в классе путей с
фиксированными концами энергия имеет наименьшее значение в точности на
геодезических наименьшей длины, т.е. на кратчайших. Среди
эквивалентных путей, т.е. среди параметризаций одной кривой, энергия
минимальна, если параметр пропорционален длине дуги.
136

Будем пользоваться обозначениями §12. В частности, пусть
а : Q-* М — вариация (гладкая гомотопия) пути у( •) = а( •, 0), где
Q — прямоугольник {(t, r) G R2, 0<г<а, -£<г<е}. Как и
раньше, положим: aT{t) = a(t, r), X = da (д/dt), Y = da (д/дт). Для
краткости обозначим:
бЕ = ±Е(ат)\т = 0.
18.1.3. Лемма. Для вариации а пуши у справедливо равенство
а
6E = (y'(t), Y(t))
-](^-,Y)dU (3)
0 °
называемое формулой первой вариации энергии.
Доказательство. Как и при вычислении первой вариации
длины, имеем с учетом 12.1.3:
■ а а
о Е = ^ / 2 < X, DTX )dt= / (X, DtY) dt =
2 0 0
= (X,Y)
а
а
-f(DtX,Y)dt,m (4)
о
где Dt = D/dt, DT - D/dT. Таким образом, первая вариация энергии
дЕ зависит только от поля скоростей Y вдоль у; в связи с этим мы
будем часто употреблять обозначение д уЕ.
Сравнивая (3) с равенством (3) из 12.1.4, мы видим, что для
пути, параметризованного длиной дуги, дЕ совпадает с первой
вариацией длины ds* В частности, в классе путей с закрепленными
концами „экстремали" энергии (т.е. пути, для которых дуЕ = 0 для
любого векторного поля У) — это в точности геодезические. Иными
словами, экстремали энергии те же, что и экстремали длины, но во втором
случае — только при параметризациях, пропорциональных длине.
Для нормальной геодезической энергия равна длине.
18.1.4. Замечание. Для замкнутых путей у : S -» М энергия
определяется аналогично. Для такого пути у (как и в случае путей с
фиксированными концами)
дЕ = f(2£-, y)dt.
, dt
s
*Еще одним преимуществом энергии является то, что формула (3), а также
следующая ниже формула (5) не требуют, чтобы параметризация на у бьша
натуральной.
137

Экстремалями здесь будут замкнутые геодезические, включая
постоянные отображения у : 5 -» М, где y{t) = р €Е М, р = const при всех
te sl.
18.2. Вторая вариация энергии.
18.2.1. Обозначим для краткости д2 Е = (д2/дт ) Е (стт) | % = .
Имеет место следующая теорема.
18.2.2. Теорема. Для гладкой гомошопии а геодезической у
справедлива „формула второй вариации"
а
«2
dzE = (DtY,y'(t))
+ / ЦЯ,У) -<Л(У,у')у',У>] dt. (5)
Доказательство. Дифференцируя первую строку формулы
(4) по г и учитывая, что по лемме 12.1.3 DXX — DtY, получаем:
д2Е = / NDtY\2 + (X, DxDtY)\ dt. (6)
По лемме 14.10.2 и с учетом того, что DtX = 0 вдоль геодезической у,
имеем при г - 0:
< X, Dx Dt У) = < R (У, X )У, X ) + < X, Dt DT У ) =
= -{й(УД)Х,У) + ^,5тУ>.
Подставляя это выражение в (6), получаем (5). ■
Если внеинтегральный член в правой части (5) равен нулю, то
д Е зависит только от значений поля скоростей У вдоль у, но не от
конкретного вида самой вариации о. Это имеет место, например,
если концы у закреплены, а также в случае замкнутой геодезической у.
В этих случаях будем пользоваться обозначением д у Е.
18.2.3. Следствие. Если концы геодезической у закреплены
или если у — замкнутая геодезическая, то
д2уЕ = / ({DtY) 2 - Ка | Ух |2) dt, (7)
где Ка — секционная кривизна в направлении а = У Л у', а Ух —
нормальная к у составляющая поля У, т.е. Ух = У- ( У, у' ) у'.
Действительно, в условиях следствия внеинтегральный член в (5)
нулевой, а < R (У, у')у\ У) = Аа | У Л у' | 2 = К„ | Ух | .
Во многих случаях удобно ограничиться нормальными
векторными полями, т.е. такими векторными полями У вдоль у', что У ± у' в
138

каждой точке y(t). В связи с этим отметим два простых, но полезных
обстоятельства. Пусть Y = YT + Yx — разложение варьирующего
поля У на касательную Ут и нормальную Ух составляющие, т. е.
YT(t) =X(t)y'(t), (Yx(t),y'(t)) = 0 при всех t; ясно, что
Я(0 = \У Г2 < У, У' ) при у' * 0.
18.2.4. Лемма. Если у — геодезическая, то операция взятия
касательной и нормальной составляющих варьирующего поля У
коммутирует с ковариантным дифференцированием вдоль у, т.е.
для векторного поля У вдоль у
Dt УТ = (DtY)r , Dt Yx = (DtY)x. (8)
Достаточно доказать первое из равенств (8). Поскольку у —
геодезическая, то Dty' = 0. Поэтому, дифференцируя равенство
Ут = с ( Ут , у' ) у', где с = | у' | = const, получаем:
DtYT=c{DtY,y')y' =(DtY)T.M
Из доказанной леммы следует, что если поле У — нормальное,
т.е. если Y = Yx, то нормальными являются и поля
DY/dt, D2Y/dt2,... Действительно, DY/dt = DYx/dt = (DY/dt )x.
Это же можно доказать и непосредственно, дифференцируя
равенство ( У, у' ) = 0. Получаем:
0 = ^ < У, у' > = < ВД у' > + < У, Dty' )= { DtY, у' ).
*18.3. Вторая вариация длины.
18.3.1. Сравним для геодезической у вторые вариации энергии и
длины. Пусть а — гладкая гомотопия невырожденной геодезической
у; как и выше, aT(t) = a (t, г), X = da(d/dt), Y = da (д/дт).
Обозначим:
л2.. rf2s I
о s := —г .
dr2 т = 0
Дифференцируя дважды по г выражение для длины s (о%), находим:
Отсюда следует теорема.
18.3.2. Теорема. Для нормальной геодезической у и
ортогонального к ней векторного поля У вдоль у
d2s = д2Е. (10)
139

Если же поле У не обязательно нормальное, то
+ / ^DtY^y-{R(Y,y')y', У)) dt. (11)
d2s = < DXY, у' )
Действительно, при г = О имеем: \Х I = I у' I = 1. Кроме того,
опять при х = О
<!<">
= 2 |<Х, £>т*>| =2 |<Х,/^У)| = 2 £>,У
•т
Подставляя это в (9), получаем:
а
d2s = д2Е- / lDtУт \ Л. (12)
О ^ '
Если поле У — нормальное, то второе слагаемое в (12) равно нулю,
что сразу дает (10). В общем случае, подставляя в (12) выражение
для д Е и учитывая, что (DtY) - (DtY ) = (DtY ) , получаем
(11).
18.4. Некоторые применения формулы второй вариации.
18.4.1. Иногда простое применение формулы второй вариации
позволяет установить связь между свойствами кривизны и
строением риманова многообразия в целом. Приведем два классических
примера.
18.4.2. Теорема Майерса. Если кривизны Риччи полного
риманова многообразия М™, п > 2, удовлетворяют условию
Ric и > (п - 1) к> 0 для любого единичного вектора и G Тр Л/" в
любой точкер G М*1, то diam М*1 < n/Vk; в частности, такое М*1
замкнуто.
Напомним, что диаметром риманова многообразия называется
точная верхняя грань расстояний между его точками.
Доказательство. Если diamM*> п/^Гк, то найдется
нормальная геодезическая у : [0, а ] -» М™ длины а > л/VJc,
являющаяся кратчайшей. Такая геодезическая имеет наименьшую энергию
среди путей с теми же концами. Поэтому дуЕ > 0 для любого
векторного поля У вдоль у, обращающегося в нуль на концах у.
Рассмотрим векторные поля Y[(t) = sin (nt/a ) E[(t), где Е\, ..., Е„-\ — ор-
тонормированный набор нормальных к у параллельных векторных
полей вдоль у. Каждое поле У,- является полем скоростей некоторой
вариации. Например, в качестве такой вариации можно выбрать
ст,(г, г) = expy(f) rYj(t). По формуле (5) второй вариации
62у. E = ](Y2-{R(Yh у') у', Yi» dt =
0
140

% (In Jlt\2 . 2 nt „ \ ..
= J — cos — - sin — • K„. dt,
где У =. DY/dt, a,- = Et А у'. Суммируя по i, находим
i=l 0
dt <
. 2
. , , ЛЛ 2<Kt . 2 nt n. ,
(л-1) — cos sin —Kiev
v n aj a a '
<(»-'>(!ПН?-!'"2?)л=0-
Следовательно, при некотором i имеем <5у,- Е < 0. Получаем
противоречие. ■
18.4.3. Следствие. В условиях теоремы Майерса 18.4.2
фундаментальная группа л 1 (М*1) многообразия Мп конечна.
Действительно, пусть р: Яп -*■ М*1 — универсальное риманово
накрытие; л^М11) действует на Яп изометриями (см. 5.4). По
теореме Майерса Kin компактно. Поэтому полный прообраз связной
правильной окрестности любой точки xq 6 А/" состоит из конечного
числа изометричных между собой компонент. В частности, конечно
множество р (хо). Но группа л^М") действует на р (*о)
эффективно, поэтому она конечна. ■
18.5. Теорема Синга.
18.5.1. Теорема. Если все секционные кривизны четномерного
ориентируемого замкнутого риманова многообразия М т
положительны, то его фундаментальная группа л\(М т) тривиальна.
Доказательство. Допустим, что группа л\(М т ) нетривиаль-
"Ут
на. Тогда в М есть нестягиваемые замкнутые пути. По теореме
13.2,2. среди них есть путь наименьшей длины; он является
нетривиальной замкнутой геодезической.
Покажем, что в условиях теоремы вдоль любой замкнутой геоде-
1 От
зической существует параллельное векторное поле Y: S -* ТМ ,
причем ненулевое и нормальное к у. Зафиксируем to ^ S1; пусть
От
р = y(to ), а Q — ортогональное дополнение в ТрМ к линейной
оболочке у'(to ). Параллельный перенос вдоль у осуществляет
ортогональное преобразование <р : Q-* Q. Поскольку Q нечетномерно, <р
имеет нечетное число вещественных собственных чисел. Такие
собственные числа равны ± 1, ибо <р — ортогональное преобразование.
Ввиду ориентируемости М m произведение вещественных
собственных чисел равно +1, и, значит, хотя бы одно из таких чисел равно +1.
141

Пусть и^О — собственный вектор, соответствующий собственному
числу +1, тогда <ри — и. Ясно, что параллельный перенос вектора и
вдоль у порождает искомое векторное поле Y.
Рассмотрим теперь такую гладкую гомотопию о замкнутой
геодезической у наименьшей длины, которая имеет своим полем
скоростей построенное векторное поле Y. По формуле (7) имеем:
dyE = -f K„ Y2dt< О,
S1
что говорит о неминимальности энергии, а потому противоречит
минимальности длины пути у. Ш
18.5.2. Следствие. Для замкнутого четномерного риманова
многообразия положительной кривизны ориентируемость
равносильна односвязности, а в неориентируемом случае л^М") изоморфна
группе TL 2-
Действительно, если М т неориентируемо, то, по 5.3.7, оно
допускает двулистное накрытие ориентируемым многообразием, а по
теореме Синга это многообразие односвязно. ■
18.5.3. Замечание. Если односвязное М т имеет постоянную
кривизну, то М т изометрично стандартной сфере 5 т (см. 19.4).
Поэтому теорему Синга можно рассматривать как прямое обобщение
того хорошо известного факта, что среди дискретных подгрупп
ортогональной группы О (2т + 1) свободно действовать на сфере 5 т
изометриями могут лишь тривиальная подгруппа и Жг; напомним,
4to5VZ2 = P".
18.5.4. Для нечетномерных замкнутых многообразий
положительной кривизны фундаментальные группы, наоборот, могут быть
весьма разнообразны, как это показывает уже пример линзовых
пространств.
Напомним, что трехмерные линзовые пространства могут быть
описаны следующим образом. Представим R как С х С, где С —
комплексная плоскость. Тогда точки сферы S СЕ — это такие пары
(a, /? ) комплексных чисел, что \а I2 + I/? I2 = 1. Пусть натураль-
ные числа р, q взаимно просты. Тогда на 5 действует следующим
образом циклическая группа 7Lq: если г £ Ж?, то
r:(a,p)~(aeblH/Q, /* ebipri/c') .
Легко видеть, что это — действие изометриями без неподвижных
точек, причем при различных р группа Жд действует на 5 неоди-
наково. Фактор-пространства 5 /7LQ называются линзовыми
пространствами. Их фундаментальные группы изоморфны Z?. Однако
при разных р эти линзовые пространства, как можно видеть, неизо-
метричны.
142

18.5.5. Информация. Каких-либо общих ограничений на
возможное строение фундаментальных групп нечетномерных
замкнутых многообразий положительной кривизны неизвестно, за
исключением размерности п = 3. В этом случае все возможные
фундаментальные, группы — такие же, как и те, что могут свободно и без не-
подвижных точек действовать изометриями на стандартной сфере 5
(см. [105] и 25.2.3).
Слова „такие же" означают следующее: для любого замкнутого
односвязного многообразия. М3 положительной кривизны существует
такой диффеоморфизм /: \г -» 5 и такой гомоморфизм Г группы
изометрий / многообразиям в ортогональную группу О(4), что
для любых х £ М3, (р Е I выполняется Г(ф)(/(х)) = f(<p (х)), т. е.
18.5.6. Упражнение. Докажите, что нечетномерное
замкнутое риманово многообразие положительной кривизны всегда
ориентируемо.
Указание. Если есть дезориентирующий замкнутый путь, то
найдется дезориентирующая замкнутая геодезическая у, имеющая
наименьшую длину в своем свободном гомотопическом классе.
Параллельный перенос вдоль у индуцирует меняющее ориентацию
ортогональное преобразование ф в ортогональном к у' пространстве
Q С ТрМ для некоторой (любой) точки р £ у. Четномерное Q
разлагается на двумерные ф-инвариантные подпространства, причем хотя бы в
одном из них ф меняет ориентацию. Но тогда это подпространство
содержит нужный собственный вектор и * 0, соответствующий
собственному числу +1, и доказательство завершается, как в теореме Синга.
§19. Уравнение Якоби
19.1. Поля Якоби.
19.1.1. Векторное поле У вдоль геодезической у риманова
многообразия М называют полем Якоби (или якобиевым полем), если оно
удовлетворяет уравнению Якоби
Y" + R(Y, у'У =0, (1)
где Y" = D2 Y/dt2. Пусть, как и раньше, Q = {(t, г ) С R2,
0 < t < а, -Е < г < е] . Гладкая вариация а : Q -» М называется
геодезической вариацией, если все ее продольные линии а% суть
геодезические. Следующая простая лемма проясняет геометрический
смысл полей Якоби.
19.1.2. Лемма. Если а : Q -» М — геодезическая вариация., то
поле скоростей Y = do (д/дт) является полем Якоби вдоль любой
продольной линии ах этой вариации.
Доказательство. Пусть X = do (d/dt). По условию DfX = 0.
Отсюда, по леммам 14.10.2 и 12.1.3,
143

R ( У, у' ) у' = Dx Dt X - Dt Dx X = - ^ Y = - Y". ■
дГ
Верно и обратное: каждое поле Якоби может быть получено с
помощью геодезической вариации (как и с помощью бесконечного
множества других вариаций). Для частного случая, когда У (0) = 0, это
будет следовать из 19.3.2.
19.1.3. Уравнение (1) равносильно системе обыкновенных
линейных однородных уравнений второго порядка. Действительно, пусть
Е\, ..., Еп — параллельные вдоль у линейно независимые векторные
поля. Рассмотрим разложения
У = Y1 Еь R (Ej, у')у' = R) Et. (2)
Тогда (1) равносильно системе уравнений
(Y1)" + R) Y1 = 0, i=l,..., п, (3)
где (Y1)" = (d /dt )Yl. Множество решений системы (3), а тем самым
и множество полей Якоби вдоль у, образует линейное пространство
над R Обозначим его через 3R.
Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений
следует, что для любых и,кё ТущМ существует, притом единственное,
поле Якоби Yuy вдоль у, такое, что Yuy (0) = и, Y'uy (0) = v.
Отображение (и, v ) >-» Yuv есть линейный изоморфизм ТущМ X ТущМ
на 3R. Отсюда, в частности, следует, что dim 3R = 2л, а
подпространство ЗПо С ЛИ, состоящее из векторных полей вида Yq>v, л-мерно,
причем отображение v >-» Yq<v есть линейный изоморфизм пространства
:гу(о)Мна 10.-
Разумеется, за счет линейной замены параметра в качестве у(0)
может быть взята любая точка геодезической у.
Нам будет полезна следующая простая лемма.
19.1.4. Лемма. Если Y, Z — поля Якоби вдоль геодезической у,
то функция f={Y',Z)-{Y,Z') постоянна. В частности, если
У (0) = Z (0) = 0, то < Г, Z > = < У, Z' ).
Для доказательства достаточно предифференцировать /,
воспользоваться уравнением Якоби, тождеством Риччи, а затем
симметрией тензора кривизны. ■
Непосредственно ясно, что векторное поле У = (at + b)y', где
a, b — постоянные, является полем Якоби. (Действительно, из
Dy'/dt = 0 следует У" = 0 и, очевидно, R (у', у' )у' = 0). Верно и
следующее обратное утверждение.
19.1.5. Л е м м а. Если поле Якоби У всюду касательно к
геодезической у, то У = (at + b) у', где a, b — постоянные.
Действительно, применим лемму 19.1.4 к якобиевым полям
У = X(t) у' и Z = у'. Получим:
144

const = < r,Z)-(Z', У) = A'<y',y')-0 = A' \y' I2.
Поскольку для геодезической I y' I = const, то A' = const, откуда
X(t) = at + b. ■
19.1.6. Лемма. Касательная Ут и нормальная У1
составляющие поля Якоби Y вдоль геодезической у также являются полями
Якоби.
Достаточно считать \у' I = 1 и показать, что векторное поле
Ут = ( У, у' ) у' есть поле Якоби. Опять по лемме 19.1.4
(примененной к якобиевым полям У и у')
^<y,y') = <r,y') = <r,y')-<y,^) = const
и, значит, ( У, у' ) = at + b, так что Ут = {at + b ) у'.
Замечание. Попутно мы доказали, что если У(0) = 0,
( У, у' ) | = 0, то якобиево поле У всюду ортогонально к у.
Действительно, как только что доказано, (У, у' ) = const. Поскольку
< Г, у' ) | = 0, то и всюду 0 = < У, у' ) = (d/dt) < У, у' ). Значит,
< У, у' ) = const = < У, у' ) | 0 = 0, т.е. У ± у'.
Леммы 19.1.5 и 19.1.6 позволяют в большинстве случаев
ограничиться рассмотрением полей Якоби, ортогональных к геодезической
у. Такие поля Якоби называются нормальными.
19.1.7. В качестве примера опишем нормальные поля Якоби для
пространств постоянной кривизны (см. 14.8). Пусть Е\, ..., Еп-\ —
попарно ортогональные и ортогональные к у параллельные
векторные поля вдоль нормальной геодезической у. Ввиду 14.8.3
R (Eh у') у> =k((y',y') Et-(Eb Y')Y') = kEt,
где к = const — значение кривизны. Тем самым система (3)
распадается и принимает вид:
(Yl)" + kYl = 0, i = 1 л— 1. (4)
Отсюда ясно, что общий вид нормальных полей Якоби для
пространств постоянной кривизны следующий:
(a cosVJc t + b sinV£ t) E при к > 0,
У (t) = \(at + b )_E _ при к = 0, (5)
(a ch V^ t + b sh V^k t) E при к < 0,
где Е — единичное параллельное поле вдоль у, причем ( Е, у' ) = 0.
19.2. Сопряженные и фокальные точки.
19.2.1. Точки р = у (г0) и q = у (^) называют сопряженными
(вдоль геодезической у), если существует нетривиальное поле Якоби
У вдоль у, обращающееся в нуль в этих точках: Y (to) = 0 = У (t\).
145

Рис. 30.
Из лемм 19.1.5, 19.1.6 следует, что У является нормальным полем
Якоби. Ясно, что свойство точек — быть сопряженными
симметрично, т.е. если y(t\) сопряжена с y(to), то и y(to) сопряжена с y(t\).
Наглядно сопряженность означает следующее: если из точки
р = у (to) „выпустить" геодезические у,-, образующие с у углы
<pi -» 0 при i -» оо, то эти геодезические будут проходить на
расстоянии o((pi) отточки q = у (t\) (рис. 30):
Точка q = у (t\) называется фокальной (вдоль геодезической у)
для точки р = у (to), если существует нетривиальное поле Якоби У
вдоль у, такое, что У (to) = 0 = У(^).Излемм 19.1.5и 19.1.6
следует, что У является нормальным полем Якоби. Геометрические
фокальные точки характеризуются так: пусть F — проходящая через
точку р = у (to) гиперповерхность, ортогональная к у'(to) и вполне
геодезическая в точке р. Точка q = у (t\) является фокальной для р,
если существует последовательность точек р, G F, сходящихся к р
при i -» оо и таких, что геодезические yt, „выходящие" из точек р,-
ортогонально к F, проходят от q на расстояниях о (<5,), где <5,- —
расстояние между р и р[ (рис. 31).*
В отличие от сопряженности точек отношение фокальности не
симметрично.
19.2.2. Пример. Сфера Sn радиуса г является пространством
постоянной кривизны к = \/г (см. 15.4.4). Из (5) следует, что
диаметрально противоположные точки сферы сопряжены друг другу
(вдоль любой соединяющей их геодезической); иных пар
сопряженных точек нет. То, что выходящие из точки p£S" геодезические
все пересекаются в сопряженной с р точке q, — специфическое
*Существует более общее понятие фокальной точки (см. [35, 6]), но мы
ограничимся приведенным определением.
146

Рис.31.
свойство сферы; в общем случае это, конечно, не так. Фокальными
для точки р сферы кривизны к являются точки, отстоящие от р на
расстояние л/Ъяк (полюс — фокальная точка для точек на
экваторе).
Из (5) следует, что при к < 0 в пространствах постоянной
кривизны к нет ни сопряженных, ни фокальных точек.
19.2.3. Лемма. Если точка q = у (t) не является сопряженной
(соответственно фокальной для точки р — у (0) вдоль
геодезической у, то отображение <ро '■ и >-» Уо)И (t) (соответственно
<pl = и 1-» УИ)о (t)) есть линейный изоморфизм между ТрМ и Т^М.
(Напомним, что, по данному в 19.1.3 определению, УИк, означает
поле Якоби с начальными условиями Yuy (0) = и, Yuy (0) = v).
Доказательство. Ясно, что отображения <ро, <р\ линейны,
так что достаточно проверить, что Кег <ро = 0 (соответственно
Kerpi = 0). Но если УИ)о (t) = 0 для некоторого и * 0, то точка
Q — У {t\) сопряжена с р — у (0). Аналогично если Yq^ (t) = 0 для
v * 0, то q — фокальная точка для р. Ш
19.2.4. Следствие. Если векторы и\, ..., ип образуют базис в
ТрМ, где р = у (0), и на геодезической у : [0, а ] -* М нет
сопряженных (соответственно фокальных) для р точек, то поля Якоби Yqu.
(соответственно УИ)о) линейно независимы во всех точках у.
19.2.5. Следствие. В условиях следствия 19.2.4 каждое
гладкое векторное поле Z вдоль геодезической у : [0, а ] -*■ М,
удовлетворяющее условию Z (0) = 0, если предполагается отсутствие
сопряженных (соответственно фокальных) точек, допускает разложение
Z = Z1 Уо)И/ (соответственно Z = Z1 УИ/)о), где Z1 — гладкие на [0, а ]
функции.
В доказательстве здесь нуждается лишь гладкость Z1 в точке t = 0
в первом (при отсутствии сопряженных точек) случае. Поскольку
^0,и (0) = 0, то, по лемме Адамара для векторных полей (см. 10.2.7),
^о,и/С^) = t Ui(t), где Ui — гладкие на [0, а ] векторные поля и
147

£/,•(0) = YqiU .(0) = щ, так что £//(0) линейно независимы и при t = 0.
Ясно, что для разложения Z = A'i/,- функции А' являются гладкими
на [0, а ] и А'(0) = 0. По лемме Адамара X\t) = t Z\t), где Z' —
гладкие на [0, а ] функции. Теперь Z = t Z'f/,- = Z'Yo,U/. ■
19.3. Сопряженные точки как критические точки
экспоненциального отображения.
19.3.1. Имеет место простая и очень полезная связь между
экспоненциальным отображением и полями Якоби. Именно, если
„поворачивать" в касательном пространстве ТрМ луч с началом в нуле
вокруг его начала, то образ этого луча при экспоненциальном
отображении будет „зачерчивать" геодезическую вариацию. При этом
дифференциал экспоненциального отображения dexpp переводит
(линейное) поле скоростей движения точек луча в поле Якоби вдоль
геодезической — образа луча. Опишем это более формально.
19.3.2. Лемма. Пусть ехрр определено в точках гомотопий
ao(U х ) = (и + xv)t, где и, v £ ТрМ. Положим а = ехрр сто. Тогда
векторное поле Y = do(д/дт) является полем Якоби вдоль
продольных линий вариации о, причем Y (о, х ) = 0, Dx Y (0, х ) = v.
Замечание. В обозначениях 19.1.3 лемма утверждает, что
вдоль геодезической у : t •-» ехрр tu
У0, v (О = dtu ехрр W. (6)
Напомним, что мы условились не различать в обозначениях
касательные к ТрМ векторы с векторами из ТрМ, так что, например, в
правой части (6) вектор v — это образ вектора v E ТрМ при
каноническом изоморфизме ТрМ -> TfU (ТрМ).
Доказательство. По определению ехрр, продольные линии
вариации ст — геодезические. Поэтому Y — поле Якоби. Поскольку
doexpp — тождественное отображение, то
y(0,r) = (rf0expp)|^j =-|^(0,r) = 0.
По лемме 12.1.3 имеем: DTX = DtY, где X (t, x ) = do (d/dt).
Поскольку сто(0, г ) = 0, то
DtY (0, х ) = DTX = Dx (d0 ехрр )(и + xv) = -^ (u + xv ) = v. Ш
Из леммы 19.3.2 почти непосредственно следует теорема.
19.3.3. Теорема. Пусть у — геодезическая с концами р = у (0),
Я ~ У (to)- Точка q сопряжена с р вдоль у тогда и только тогда,
когда ранг duexpp, где и = <оу'(0), немаксимален, т.е. когда и
является критической точкой отображения ехрр.
Доказательство. Если р и q сопряжены вдоль у, тосуществу-
148

ет нетривиальное поле Якоби У вдоль у, такое, что Y (0) = Y (to) = 0.
Пусть Г(0) = v. Тогда v * 0 и по лемме 19.3.2
(du expp )(tov ) = Y (to) = 0, где и = to y'(0), так что q = ехрри.
Значит, Ker (du ехрр ) Э к ^ 0. Обратно, пусть существует вектор v ^ 0,
такой, что (du ехрр )к = 0. Рассмотрим вариацию а = ехрр ° Oq, где
а0 С' х ) = (и + х v й) )'• Поле Якоби Y = da (д/дт ) нетривиально,
ибо Y(0) = vio ^ 0, и удовлетворяет условиям У(0) = 0,
Фокальные точки можно также описать сходным образом как
критические точки некоторого отображения — экспоненциального
отображения подмногообразия (12.6.4). Однако мы пока не будем
этого делать.
19.3.4. Следствие. Так как любая точка р риманова
многообразия М имеет нормальную шаровую окрестность, в пределах
которой ехр^ — диффеоморфизм, то на выходящих из р геодезических
сопряженные с р точки не могут лежать произвольно близко к р: по
теореме 19.3.3, они не могут находиться в нормальной шаровой
окрестности точки р.
Отметим еще несколько свойств сопряженных точек.
19.3.5. Лемма. На геодезической у: [0, а ] -» М может
лежать лишь конечное число сопряженных с р = у (0) точек.
Доказательство. Пусть у(Щ — точка, сопряженная с р
вдоль у. В пространстве ЯПо (см. 19.1.3) якобиевых полей вдоль у,
удовлетворяющих условию X (0) = 0, специализируем выбор базиса
следующим образом. Сначала выберем базис Х\, ..., Хк, 0 < k < га,
подпространства 31оС!Шо > состоящего из тех полей Якоби, которые
обращаются в нуль в точке to- При этом векторы X,- (to) линейно
независимы. Заметим, что если X б!П(ь а У£ЭЛо\!П(Ь то по лемме
19.1.4 (X'(to), Y (to) > = < X (to), Г (t0) > = 0. Поэтому мы можем
дополнить набор Х\, ..., Х^ до базиса Х\, ..., Хп пространства ЗПо >
выбрав поля Xk+i, ..., Хп так, что векторы Xj(to) при j > к линейно
независимы и ортогональны ко всем X^to), i ^ к.
Применение леммы Адамара в форме 10.2.7 к векторным полям
Xt, i < к, в окрестности точки to позволяет получить для них
представления
Xi(t) = (t-to)Yi(t), (7)
где Yi — некоторые С°°-гладкие поля и У/ (to ) = Xi (to ).
Напомним, что, согласно 19.3.3, сопряженные с у (0) точки —
это точки, в которых dexpy(o) несюръективен. Будем для векторов
а\, ..., ап £ R" обозначать
| а\ Л...Л ап | = |det(o() |,
149

где (а], ..., а?) — координаты вектора щ. Согласно сказанному,
точки, сопряженные с р, характеризуются условием
/(*):= 1*1(0 Л...Л Xn(t) | = 0.
С учетом (7) имеем в окрестности точки to:
/(0 = (*-<o)V(0>
где ip (t ) = | Yi Л ... Л Yk Л Xk+i Л ... Л Хп |. При этом по выбору
базиса ip6C , >р {to ) ^ 0. Отсюда ясно, что to — изолированный
нуль функции /. ■
19.3.6. Замечание. Сопряженные с р точки, „порожденные"
линейно независимыми полями Якоби, могут лежать произвольно
близко на [0, а ], могут и совпадать.
Поскольку в число базисных якобиевых полей Y\, ..., Yn можно
включить поле Y = t у', которое не „порождает" сопряженных точек,
то при га = 2 все сопряженные с р вдоль у точки порождены одним по-'
лем Якоби. Поэтому при га = 2 две точки, сопряженные вдоль у с
третьей, сопряжены между собой; в частности, сопряженные с
р = у(0) точки лежат изолированно друг от друга.
19.3.7. Лемма. Для отображения ip : ТМ -» М х М,
рассмотренного в 11.3.4, действующего по правилу >р{р, и ) = (р, ехрр и ),
дифференциал dip невырожден в точке (р, и) £ ТМ тогда и только
тогда, когда невырожден duexpp.
Отметим, что если М — полное, то отображение <р определено на
всем ТМ, а иначе — в некоторой окрестности „нулевого сечения"
многообразия ТМ, т.е. в окрестности множества всех точек вида
(р, 0) G ТМ.
19.3.8. Из леммы 19.3.7 и теоремы 19.3.3 следует, что dip
вырождается в точке (р, и) в том и только том случае, когда точка
ехрри сопряжена с р вдоль геодезической уи : t ■-» ехрр tu.
19.3.9. Доказательство леммы 19.3.7 вполне аналогично
доказательству леммы 11.3.5. В локальных координатах (координаты в М х М
выберем согласованно со структурой прямого произведения, т.е.
первые га координат — это координаты в окрестности точки р, а вторые
— в окрестности точки ехрр и) отображение <р действует по правилу
ip : О1,...,*", и1, ...,и">-н. (дс1, ..., хп, (ехрри)1,..., (ехрри )"). Матри-
1 и
ца Якоби отображения <р в точке (р, и ) = (0, ..., 0, и , ..., и ) в
блочной записи имеет вид
' (сЦехрхиА
дх>
Р,и
д (ехррц)'
ди>
\
Р,и
150

где / — единичная матрица. Поскольку ( д(ехрр и )l)/duJ) есть
матрица Якоби отображения ехрр, то утверждение леммы становится
очевидным. ■
19.3.10. Двуугольником (геодезическим) называют фигуру из
двух различных геодезических с общими концами — вершинами
двуугольника; сами геодезические называют его сторонами.
Двуугольник с вершинами р, q будем кратко называть двуугольником
pq, когда ясно, о каких геодезических идет речь. Нам понадобится
следующая простая лемма..
19.3.11. Лемма. Пусть в римановом многообразии М имеется
последовательность двуугольников pt qi, причем pt -» p, qi -» q, a
стороны двуугольников piqi сходятся к фиксированной
геодезической у с концами р, q. Тогда точки puq сопряжены вдоль у.
Доказательство. Пусть р = у (0), q = у (1). Положим
и = у'(0), так что q = expp и. Из условий леммы следует, что
определенное в 19.3.7 отображение <р не является инъективным ни в какой
окрестности точки (р, и) £ ТМ. Поэтому дифференциал d(p,u) <p
вырожден. Согласно 19.3.8, точка q = ехрри сопряжена с р вдоль у. ■
Хотя сопряженность двух точек вдоль геодезической описывается
условием типа равенства, множество всех пар сопряженных между
собой (вдоль каких-либо геодезических) точек может не быть
замкнутым в М х М. Действительно, возможна ситуация, когда р, -» р,
Qi "* Q-, каждая.точка р\ сопряжена с qt вдоль своей геодезической у,,
но р и q не сопряжены между собой. Это возможно в случаях, когда
длины геодезических у,-, соединяющих р,- с qi, в совокупности
неограниченны и из этих геодезических нельзя выбрать сходящуюся
подпоследовательность. Однако это препятствие — единственное, как
показывает следующее простое утверждение.
19.3.12. Лемма. Пусть у\: t >-» ехрр. tut, I щ I = 1, 0 < t < S[ —
нормальные геодезические в полном римановом многообразии М с
концами pi = у; (0), q\ = у,- (s,-). Если точки р/, qt сопряжены вдоль
Yi, S[ < с < оо и pi -» p, qi -» q при i -» оо, то точки р, q сопряжены
вдоль некоторой геодезической. Точнее, puq сопряжены вдоль
каждой геодезической, предельной для сходящейся
подпоследовательности геодезических у{.
Доказательство. Ввиду 13.1.3 найдется
подпоследовательность уь сходящаяся вместе с длинами s,- -» s к геодезической
y-:~tfc^_expfl tu, причем в топологии ТМ сходятся (р,-, щ ) -» (р, и ).
Рассмотрим Ъпределенное в 19.3.7 отображение ip. Согласно 19.3.8,
дифференциал dtp вырожден в точках (р/, s/ щ ). Тогда dip вырожден
ввиду гладкости ip и в предельной точке (р, su ). Тем самым по 19.3.8
точка q = exp^sw сопряжена с р вдоль у. ■
19.4. Об изометриях пространств постоянной кривизны. В
качестве важного применения леммы 19.3.2 докажем следующее
утверждение.
151

19.4.1. Теорема. Два римановых многообразия М\, М2 одной
размерности и одной и той же постоянной кривизны локально
изометричны между собой в том смысле, что для любых р G М\,
q G Mi существует такая изометрия <р : U\ -» U2 некоторой
окрестности U\ точки р на окрестность U2 точки q, что<р (р) - q.
Доказательство. Выберем г > О столь малым, чтобы р и q
обладали нормальными шаровыми окрестностями радиуса г. Пусть
/ — любая линейная изометрия ТрМ\ на ТдМ2. Рассмотрим
отображение <р = ехр9 • / • ехрл , где ехрл — сужение ехрр на шар
В (О, г ) С ТрМ\. Тогда по лемме 19.3.2 и последующему замечанию,
для любого якобиевого поля Уо,^ вдоль у : t >-» expptu имеем:
Yo,iv(t) = (dtu<P) YQ,v(t).
Из формул (5) следует, что ввиду равенства кривизн
I Yq,w (О I = I Yq,v (О I • Значит, dfU <p есть изометрия для любого
tu G В (0, г ). Тем самым изометрией является и отображение (р. Ш
Отметим, что локальная изометрия <р полностью определяется
выбором линейной изометрии /.
19.4.2. Замечание. Пусть <р : М\ -» Мг — локальная изометрия
и римановы многообразия М\, Мг — полные. Независимо от того,
являются ли Mi, M2 пространствами постоянной кривизны, можно
локальную изометрию в окрестности точки рЕМ) однозначно
продолжать вдоль любого пути с началом р. Если, кроме того, Mi одно-
связно, то это продолжение не зависит от выбора пути. При этом <р
оказывается накрытием (что в 20.1.3 для частного случая
проверяется) и ввиду локальной изометрии — римановым накрытием. Оно
полностью определяется парой точек р и q = <р (р) и изометрией
d<pp:TpMx-> Tq М2.
В условиях теоремы 19.4.1 при односвязном Mi отображение <р
определяется произвольным выбором точек р G Mi, q G М2 и
изометрии / : Тр Mi -» Tq Mi- В частности, полные односвязные
многообразия одной размерности и одной и той же постоянной кривизны
изометричны между собой. Как уже отмечалось в 14.8.2, с точностью
до изометрии существуют только следующие полные односвязные
многообразия постоянной кривизны: евклидовы пространства Ef1
(нулевой кривизны), сферические Sn (положительной кривизны 1 /г) и
гиперболические пространства (или пространства Лобачевского) Нп
(отрицательной кривизны). Каждое полное риманово многообразие
М постоянной кривизны допускает риманово накрытие одним из
перечисленных. При этом 7rj(M) можно рассматривать как группу Г
изометрии универсального накрывающего пространства М,
действующую свободно и вполне разрывно. Ясно, что М =■ M/Y. Обратно,
если группа Г действует изометриями свободно и вполне разрывно на
полном односвязном М постоянной кривизны, то М = M/Y —
риманово многообразие постоянной кривизны.
152

19.5. Искажения расстояний при экспоненциальном
отображении.
19.5.1. Поскольку doexpp есть тождественное отображение
евклидова пространства ТрМ на себя, то в малой шаровой окрестности
нуля ехрр является „почти изометрией". На языке локальных
координат это выражается в том, что в нормальных координатах Римана
(см. 12.6.1) gtj (0) = <5/у. Кроме того, в этих координатах Гу (0) = 0, и
вблизи нуля ехрр отличается от изометрии лишь на величину выше
первого порядка малости. Оценим теперь отличие ехрр от изометрии
более точно.
19.5.2. Близость ехрр к изометрии можно охарактеризовать
отношением
А = \v\~1\(ducxpp)v\, (8)
где и, v б ТрМ. Для вычисления А рассмотрим вариацию
сто : (U г ) н-» (ц + xv )t пути у : t >-*■ ut, I и I = 1. По лемме 19.3.2 и
последующему замечанию поле скоростей геодезической вариации
ст = ехрр • ств есть поле Якоби У (t) = (dtu expp )(t v). Поэтому в
точке tu Е ТрМ имеем:
А = А(и,к,0= "г l_1 \Y(t)\-
Для нахождения А подсчитаем производные поля У в нуле. По
лемме 19.3.2 У (0) = 0, Г(0) = к. Далее, Y" = -R(Y, у' )у', так что
У "(0) = 0. Полагая Y = Yl Ei, где 2J,- — линейно независимые
параллельные вдоль у векторные поля, получаем:
Y-= -Vy. (Л ( У, у' ) у' ) = -( Yl)'R ( £,, у' ) у' -У' Vy Л ( Еь у' ) у',
так что
У"'(0) = -( У*'(0))'Л (Eh y')y'=-R( Г(0), у' ) y'= -R (v,y') у'.
Теперь получаем сразу
(У, У>10 = 0, (У, У>'|0 = 2(У, Г>|0 = 0,
( У, У>"|0= 2< У, Г >|0+ 2< Г, Г >|0= 2к2,
( У, У>'" |0= 2 ( У, У" >|0+ 6 ( Г, Г >|0= 0 + 0 = 0,
( У, У)1У|о= 2< У, У1У>10+ 8 ( Г, У"' >|0+ б< Г, Г>|0=
= 0-8<Д(к,у')у',к>+0.
Отсюда по формуле Тейлора
153

(У, Y)\t=v2t2-±{R(v,Y')y',v)t4+0(t5).
Таким образом,
А = 1 -^is^sinV^) ? + О ( Г3), (9)
где Ка — секционная кривизна в направлении и Л к.
Таким образом, не только ехрр является в окрестности нуля изо-
метрией с точностью до второго порядка малости, но и отличие от
изометрии во втором порядке полностью определяется секционными
кривизнами. Формула (9) показывает, в частности, что для
многообразий всюду положительной секционной кривизны отображение ехрр
в малой окрестности нуля не увеличивает расстояния (является не-
растягивающим), а для многообразий всюду отрицательной
кривизны — не уменьшает расстояния. Ниже (см. 22.3.7) мы обобщим этот
вывод.
*19.5.3. Информация. Аналогичные 19.5.2 вычисления
можно выполнить в случае экспоненциального отображения
геодезической ехру (см. 12.6.4). При этом тоже получается асимптотическая
формула типа (9), но с одной существенной разницей: коэффициент
при г в этом случае не определяется непосредственно секционными
кривизнами, а существенно зависит от их производных. Это
приводит, в частности, к тому, что в случае многообразия знакоопределен-
ной секционной кривизны ехру не будет, вообще говоря, нерастяги-
вающим или несжимающим. Эти особенности связаны с тем, что для
двух якобиевых полей У, Z вдоль геодезической rj: t •-» ?7 (*) их
„взаимное скручивание" (d/dt){{ У, Z)/\Y I IZ I) не
контролируется непосредственно с помощью секционных кривизн.
§ 20. Римановы многообразия неположительной кривизны
20.1. Теорема Картана—Адамара. Если секционные кривизны
риманова многообразия М все неположительны, то М называют
многообразием неположительной кривизны.
20.1.1. Лемма. В многообразии неположительной кривизны
нет пар сопряженных точек.
Действительно, пусть Y — нетривиальное поле Якоби вдоль гео-
дезической у. Положим / (t) = I Y (t) I /2. Тогда
/"=<у,Г>'=<У, Г')+(Г)2>(У, Г')=-<Л(У,у')/, У)=
= -Ka\YAy'\2> 0,
так что функция / — выпуклая и неотрицательная, в частности, не
может обращаться в нуль более чем в одной точке.
154

Рис. 32.
Отсюда и из теоремы 19.3.3 следует, что в случае многообразия
М неположительной кривизны для любой точки р £ М отображение
ехрр является локальным диффеоморфизмом, т.е.
диффеоморфизмом в некоторой окрестности любой точки и £ ТрМ из области
определения ехрр.
20.1.2. Полные односвязные римановы многообразия
неположительной кривизны называют многообразиями Адамара.
20.1.3. ТеоремаКартана—Адамара. Каждое многообразие
Адамара М, dim M = п, диффеоморфно евклидову пространству
R". Таким диффеоморфизмом является, в частности, ехрр : ТрМ —
= R" -*• М для любой фиксированной точки р £ М.
Доказательство. Так как М односвязно, то достаточно
доказать, что ехрр является накрытием. Поскольку ехрр — локальный
диффеоморфизм, то можно определить на ТрМ риманову метрику,
полагая (и,у)1,:= { dw exppu, dw exppK), где u,v £ Tw (Tp M ).
Относительно этой метрики и исходной метрики на М отображение ехрр
является локальной изометрией. Метрика (, )* на ТрМ является
полной, так как лучи в ТрМ с началом в нуле — геодезические и в
этой метрике.
Для любой точки х £ М найдется такое г > 0, что открытый шар
В = В (х, г ) в М является нормальной шаровой окрестностью точки
х, т.е. диффеоморфным образом шара радиуса г в ТХМ при
отображении ехрх. Пусть у,- £ ехр^ х. Поскольку ехрр — локальный
диффеоморфизм, то точки yi, даже если их бесконечно много, лежат в
ТрМ дискретно, поэтому их число не более чем счетно. Рассмотрим
для каждой из них в ТрМ открытый шар £>,• = D (у,-, г ) в метрике
(, )* (рис. 32). Покажем, что сужение ехрр на £>/ есть
диффеоморфизм на В, причем шары £>/ попарно не пересекаются.
Прежде всего ехрр Д- С В. Действительно, если у £ £),-, то точка
у соединима с yi кратчайшей у, длина s (у) которой меньше г. Но
тоща s (ехрр ° у ) = s (у ) < г, и тем самым ехрр у £ В. Допустим
теперь. ч"~ гхрр £>,- 5* В. Тогда ввиду полноты метрики (, )* найдется
155

точка у G BDi, такая, что z = ехрр у G В. Точка у соединима с у,-
хоть одной кратчайшей у длины г. Ее образ ехрру — геодезическая
длины г, которая соединяет х с точкой z G В. Но это противоречит
выбору шара В. Итак, ехрр £>,- = В.
Наконец, ехрр| взаимно однозначно. Действительно, пусть
У, у" е. Dt, у' * у", ехрру = ехрру" = z. Кратчайшие у\, уг,
соединяющие У, у" с у,-, лежат в £>,- и имеют длины, меньшие г, поэтому
ехРр У1 и ехрр уг — две разные геодезические длины, меньшей г,
соединяющие z с х, что противоречит выбору В.
Проверим, что £>; П Dj = 0 при i ^ у. Если это не так, то
кратчайшая у между у; и уу имеет длину меньше 1г. Она лежит в
£>, U £>/ и переходит при ехрр в геодезическую петлю с вершиной х,
лежащую в В, что противоречит выбору В.
Чтобы убедиться, что ехрр — накрытие, осталось проверить, что
U £>,- исчерпывает собою ехрр В. Пусть и G ТрМ таково, что
i
ехрр и = z G В. Поскольку для метрики (, )* .в ТрМ отображение
ехрр — локальная изометрия, то, двигаясь из и по геодезической в
направлении, соответствующем кратчайшей zy^ С В, мы придем в
одну из точек у,-. Значит, и G £>,-. ■
Ниже (см. 24.3.5, 28.1.6) будут приведены другие доказательства
этой теоремы.
20.1.4. Следствие. Каждая геодезическая в многообразии
Адамара является единственной кратчайшей между своими
концами.
В частности, такое М не содержит геодезических двуугольников,
тем более — геодезических петель и замкнутых геодезических.
20.1.5. Лемма. Пусть М — многообразие неположительной
кривизны (не обязательно односвязное), a a:Q->M, где Q =
= {(t, г)£Е \ 0 < t < а, -б < г < е} — геодезическая вариация пути
о (•, 0), т.е. все продольные линии вариации — геодезические. Пусть,
кроме того, зачерчиваемые концами пути On = о (0, • ) и
аа = а (а, • ) — также геодезические. Тогда функция
/(т) = Е(о(-,т)), где Е — энергия, является выпуклой, т.е.
d f/dx > 0. Кроме того, если все секционные кривизны Ка < 0 и
хотя бы одна из геодезических Oq, aa невырожденная и не касается
1 1
продольных линий вариации, то d f/dx > 0.
Доказательство. Положим X = da (д/dt), Y = do (д/дх ). По
формуле (5) из 18.2.2 для вариации энергии, учитывая, что oq, oa —
геодезические, вследствие чего внеинтегральный член в этой формуле
равен нулю, имеем:
& = f ((DtY)2-Kx,y\XAY\2)dt.
156

Рис. 33.
Отсюда при К„ < 0 следует d2f/dt2 > 0, а при Ка < О и
выполнении хотя бы на одном из концов условия IX Л Y I т* 0 следует
d2f/dt2> 0. ■
20.1.6. Совершенно аналогично в условиях леммы 20.1.4 для
длин s (г) геодезических о(-, т) из формулы (11) п. 18.3.2 заключа-
2 2
ем, что J s/dx > 0.
20.1.7. Следствие. В многообразии Адамара М для любой
фиксированной точки р расстояние р(р, х ) есть выпуклая на М
функция. То есть это расстояние является выпуклой функцией вдоль
любой геодезической в М. ( Чтобы в этом убедиться, достаточно в
качестве сто взять постоянную точку р, а в качестве оа —
геодезическую, вдоль которой мы хотим проверить выпуклость).
Для не обязательно односвязного многообразия неотрицательной
кривизны можно утверждать, что р(р, х ) выпукло в нормальной
шаровой окрестности точки р.
20.2. Фундаментальная группа многообразий неположительной
кривизны.
20.2.1. Теорема Прессмана. ПустьМ— замкнутоериманово
многообразие отрицательной кривизны, тогда каждая абелева
подгруппа в Я\(М ) является бесконечной циклической. В частности, в
3il(M ) нет элементов конечного порядка.
20.2.2. Докажем сначала последнее частное утверждение. Пусть
М — риманово универсальное накрывающее многообразия М.
Группа Я\(М ) действует на М изометриями (см. 5.4) вполне разрывно и
без неподвижных точек. Предположим, что a G Л\(М), а * е и
а = е, где е — единица группы ж\(М ). Для каждой точки х\ G М
рассмотрим „многоугольник" Р (рис. 33) с вершинами х\, xj = axi,
хз = ах2, ..., Хк = axk-i = х\, последовательно соединенными в М
кратчайшими (эти кратчайшие единственны). Изометрия а
переводит Р в себя, циклически переставляя вершины. Углы между
последовательными сторонами многоугольника Р равны между собой. Они
отличны от я, иначе Р был бы замкнутой геодезической, а Л? их не
содержит. Поскольку М замкнуто, то среди всех таких Р, соответст-
157

вующих разным начальным точкам jci £ Kf, найдется многоугольник
Pq с наименьшим периметром. (Pq не вырождается в точку ввиду
отсутствия неподвижных точек). Но если в качестве исходной точки х\
взять середину стороны Pq, to получим многоугольник с еще
меньшим периметром. ■
20.2.3. Докажем теперь общее утверждение 2) теоремы 20.2.1.
Пусть Ti — некоторая абелева подгруппа п\ (М, *i ). Рассмотрим
элемент а\ £ Y\, а\ * е, и пусть у\ — петля с вершиной jci ,
представляющая класс а\. Ввиду замкнутости М петля у\ свободно
гомотопна некоторой замкнутой геодезической у. При этой гомотопии
вершине х\ соответствует некоторая точка х на у. Обозначим а, Г
образы элемента а\ и подгруппы Т\ при соответсвующем изоморфизме
л\ (М, xi ) -* ж\ (М, х).
Пусть р: Kf -» М — риманово универсальное накрытие, а
у: (-оо, оо ) -» Kf — такая геодезическая, что р {у) = у. Группа
л\ (М, х ) действует на Kf изометриями без неподвижных точек,
притом вполне разрывно. Ее^щклическая подгруппа {а}, порожденная
элементом а, переводит у в себя и, поскольку не имеет
неподвижных точек, действует на у сдвигами. Зафиксируем точку уо £ р (х ),
и пусть {yi = а' (уо)} — орбита точки уо при действии подгруппы {а}.
Возьмем теперь произвольный элемент Ъ £ Г, отличный от
единицы е группы. Допустим, что Ъ (у) ^ у. Положим z,- = fry/. По
лемме 20.1.5 функция /, сопоставляющая каждому числу г £ (—оо, оо )
энергию единственной геодезической, соединяющей у {х) с
Ъ (у(г )), — строго выпуклая. С другой стороны, геодезические yi z,-
имеют равные энергии: они последовательно переходят друг в друга
при изометрии а, поскольку zl+\ = byi+\ = bayi = abyt = azt.
Получаем противоречие. Значит, Ь (у) = у. Итак, не только подгруппа {а},
но и вся группа л\ действует на у сдвигами.
Поскольку группа л\(М, х ) действует на М вполне разрывно, то
в ней, а потому и в Г, не более чем счетное число элементов. Пусть
{£,} — все отличные от е элементы подгруппы Г. Каждому й,-
соответствует свой сдвиг вдоль у, причем для bt, bj при i ^ /' эти сдвиги
различны, иначе элемент fr,- bj ^ e оставлял бы все точки у на месте.
Сдвиги bi | _ можно отождествить с числами bt * 0.
Воспользуемся хорошо известным из арифметики вещественных чисел фактом.
Если для чисел {bi} множество всех чисел вида ^ mi *i (где Щ —
I
целые, а число слагаемых конечно) не имеет точек сгущения, то
существует такое с = 2 mi h > 0 (число слагаемых конечно, т,- —
целые), что каждое bi = щ с , где щ — целые числа. (Таким с
является достижимая точная нижняя граница положительных сумм
2 ггц bi). Рассмотрим изометрию
i
158

с = П bf1 e г.
i
Легко проверить, что А/ = си/, иначе изометрия bj сп' * е имеет
неподвижными все точки у. Итак, Г — бесконечная циклическая
группа, порожденная элементом с. Ш
20.2.4. Замечания. 1. Доказанное в 20.2.2 утверждение об отсутствии в яг(М)
элементов конечного порядка верно и при Ка < 0. (Это можно видеть из
приведенного доказательства, поскольку в нем используются лишь компактность М и
отсутствие в М замкнутых геодезических). Более того, это утверждение остается верным и
для открытых некомпактных М с К, < 0. Соответствующее доказательство имеет
топологическую природу, оно опирается лишь на то, что М диффеоморфно R", а
группа я1 действует на М вполне разрывно и без неподвижных точек (см. [13,
с. 224]).
2. Общее утверждение теоремы 20.2.1 становится неверным при К, < 0.
Простейший пример дает плоский тор: фундаментальная группа тора Т2 — абе-
лева, но не циклическая. При К, < 0 на этот раз нельзя отказаться от
требования замкнутости. Рассмотрим некомпактное гладкое многообразие М = Т2 х R.
Его фундаментальная группа — та же, что у тора Т2. Это группа Ж.+ Ж, она абе-
лева, но не циклическая. Пусть ds§ — плоская метрика на Т2, at — на R.
Зададим в М риманову метрику ds2 = dt2 + efdsfo. Прямым вычислением можно
проверить, что полученное риманово многообразие имеет постоянную
отрицательную кривизну.
Для знающего геометрию Лобачевского этот пример можно пояснить более
наглядно. Рассмотрим конформную модель пространства Н3 внутри евклидова шара.
Пусть А — точка на абсолюте, а Е2 — орисфера с центром А (рис. 34). Метрика на
Е2 — евклидова. Выделим в Е2 прямоугольник Q2 и проведем из А через все точки Q2
прямые пространства Н3. Они заполнят четырехгранный конус Q3 с бесконечно
удаленной вершиной А. Склеим противоположные стороны Q2 так, чтобы вышел тор Т2.
Одновременно склеим соответствующим образом и грани конуса Q3. После
склеивания Q3 превратится в риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны с
топологическим строением Т2 х IR.
3. Из утверждения теоремы 20.2.1 о том, что фундаментальная группа
замкнутого риманова многообразия с К, < 0 не имеет нециклических абелевых подгрупп,
можно вывести, что на прямом произведении М = N х L двух замкнутых
многообразий ненулевых размерностей невозможна риманова метрика отрицательной
кривизны.
Действительно, в этом случае было бы М - В$л, и потому ях(1Ч ) * 0: иначе R"
распадалось бы в прямое произведение с сомножителем N, что невозможно ввиду
замкнутости N и dim N > 1. По той же причине xx(L ) * 0. Но тогда нетривиальные
элементы аЕ ^(VV), ftEi^L) порождают нециклическую абелеву подгруппу в
я1(М).
4. Вся фундаментальная группа замкнутого многообразия М отрицательной
кривизны не может быть абелевой. Действительно, в этом случае она, как видно из
доказательства 20.2.3, была бы циклической и действовала бы на некоторой геодезической
уъМ сдвигами, кратными отрезку с > 0. Отметим на у шкалу с шагом с. Все
геодезические, идущие в Л? из точек /-го отрезка шкалы ортогонально с у, заполняют в Л?
область Ф/. Внутренности областей Ф/, Фу при i з" / не могут иметь общих точек (такая
точка была бы вершиной геодезического треугольника с основанием на у" и прямыми
углами при основании; этот треугольник имел бы сумму углов, большую я, что
невозможно при К, < 0, см. 22.4.2). Значит, Ф/ — фундаментальные области накрытия. Но
Фу некомпактны. Это противоречит замкнутости М.
Для сравнения напомним, что для замкнутого М положительной кривизны группа
159

Рис. 34.
3Tj(M ) может быть циклической (линзовые пространства, см. 18.5.4); но в силу
теоремы Майерса 18.4.2 она всегда конечна.
5. Утверждение, доказанное в 20.2.2, допускает такое обобщение. Если на
многообразии Адамара Л? действует группа изометрий Г, при которой хоть одна точка имеет
ограниченную орбиту О, то для Г существует на Л? неподвижная точка, т.е.
одноточечная орбита. Действительно, как заметил Эберлейн [77], несложное геометрическое
рассмотрение показывает, что шар наименьшего радиуса, содержащий орбиту О,
единствен, а тогда его центр обязан быть неподвижной точкой. Высказанное выше
замечание 1 соответствует частному случаю конечной циклической группы.
6. Если фундаментальная группа л^{М ) замкнутого риманова многообразия с
К, £ 0 содержит абелеву подгруппу Г ранга к, то М содержит вполне геодезический
плоский тор Тк размерности к. Это — простейшая версия теоремы
Громола—Вольфа—Лауссона—Яо (см. [46, 90, 117]), которая обобщает 20.2.1 на случай
многообразий неположительной кривизны. По этой теореме существование в М вполне
геодезического плоского компактного подмногообразия (не обязательно тора) размерности
> 1 следует уже из наличия в л^{М ) разрешимой подгруппы, отличной от
циклической. Кроме того, теорема обобщается на случай группы Г, действующей равномерно и
вполне разрывно (но не обязательно свободно) на односвязном М с Ко & О
(подробнее см. [68]).
7. Пусть М имеет конечно-порожденную фундаментальную группу я±, и пусть
aj, ..., аш — ее образующие. Обозначим через gr{k ) число элементов группы jtj ,
которые могут быть записаны в виде слов длины < к в алфавите {а,}. Согласно Милнору
[121], для замкнутого М с Ко < 0 функция gr растет экспоненциально при к -» оо
независимо от выбора образующих (см. также [95]).
Для сравнения: если Ко > 0, то по теореме Майерса группа Jfj конечна. Если М
имеет только Ric г 0 и не обязательно компактно, то любая конечно-порожденная
подгруппа в jfj имеет не более чем полиномиальный рост. По поводу оценок числа
образующих в jfj при Ко & а > -оо см. [91].
8. Дополнительные сведения о геометрии римановых многообразий с К, £ 0
можно найти в п. 32.2.3 и в упомянутой там литературе.
160

§21. Индексная форма
21.1. Индексная форма геодезической и вторая вариация
энергии.
21.1.1. Обозначим через X линейное пространство всех кусочно-
гладких (но, конечно, непрерывных) векторных полей вдоль
геодезической у : [0, а ] -* М. Индексной формой I геодезической у
называется билинейная форма на X, определённая равенством
/( Y,Z) = j ({r,Z')-{R(Y,y')y',Z)\ dt, (1)
О V '
где Y, Z G X. В силу свойств симметрии тензора кривизны форма /
симметрична и, следовательно, вполне определяется
соответствующей ей квадратичной формой. Последняя для гладких полей У £ £
имеет ясный геометрический смысл: продлим Y до поля скоростей
вдоль некоторой гладкой вариации а геодезической у таким
образом, чтобы на концах у выполнялось равенство ( D% Y, у' ) = 0.* Тогда
в силу (1) и формулы (5) из 18.2 имеем:
I(Y,Y) = dl(E). (2)
Иначе говоря, I(Y, Y) — это та „часть" второй вариации энергии,
которая зависит только от поля Y. Отметим, что (2) заведомо
выполняется, если Y (0 ) = Y (а ) = 0.
Индексную форму сужения у | будем обозначать It, в
частности / = 1а.
*21.1.2. Сама индексная форма I(Y, Z) также может быть
интерпретирована как вторая (смешанная) производная энергии при
двухпараметрической вариации геодезической у — отображении
параллелепипеда в М.
21.1.3. Условимся, что если У — некоторое линейное
пространство векторных полей вдоль геодезической у, то У —
подпространство в У, состоящее из ортогональных к у векторных полей, а *Уо —
подпространство в У , образованное векторными полями,
обращающимися в нуль на концах у. Полагаем У& = СУХ>0= СУо)Х -Чаще
всего индексная форма / будет рассматриваться не на пространстве
X всех кусочно-гладких векторных полей вдоль у, а на Xх, Xq
или Xх •
*Такие вариации а существуют: достаточно положить a{t, т) = ехру„угУ (t).
Действительно, если 7(t, т) = d(tl) а (3/дт), то ¥(?,0) = Y(t) и DiY - 0, поскольку
поперечные линии t = const нашей вариации — геодезические, в частности
(DIY,y') = Q.
161

21.2. Индексная форма и поля Якоби.
21.2.1. Если векторные поля У, Z вдоль у гладкие, то, интегрируя
тождество( Y,Z') = (d/dt) ( Г, Z > - ( У", Z >, получаем:
I(Y,Z) = {r,Z)
а а
-j{Z,Y"+R(Y,y')y')dt. (3)
О °
Это равенство остается справедливым и в случае, когда гладким
является только поле Y, a Z — любое кусочно-гладкое. Действительно,
достаточно аппроксимировать Z гладкими векторными полями Z/,
представить / ( У, Z/) в виде (3) и перейти к пределу Z\ -» Z.
21.2.2. Если же оба поля Y, Z только кусочно-гладкие, то вместо
(3) имеет место представление
/( Y, Z) = (r,Z)
а
а
■f{Z,Y"+R(Y,y')y')dt +
О °
+ ^{Y:{t])-Y'+{tj),Z(tj)), (4)
I
где Y-, Y+ означают левую и правую односторонние производные, а
сумма берется по всем точкам tj нарушения гладкости поля Y.
Доказательство. Занумеруем точки нарушения гладкости
поля У в порядке возрастания параметра и добавим к ним для удобства
обозначений концы у, так что 0 = to < t\ <...< tu-\ < t^ = а.
Стоящий в правой части (1) интеграл есть сумма аналогичных
интегралов по промежуткам [tj-\, tj ]. Каждый из этих интегралов
преобразуется к виду, аналогичному правой части (3). Складывая их,
получаем (4).И
21.2.3. Отметим важный частный случай формулы (3): если У —
поле Якоби, aZ G X, то
I(Y,Z) = (Y',Z)\a0. (5)
Верно и обратное утверждение: если для фиксированного гладкого
векторного поля У и любого Z G X выполняется равенство (5), то У —
поле Якоби. Действительно, сравнивая (3) с (5), видим, что интеграл
в правой части (3) равен нулю для любого Z £ X. Полагая в нем
Z = У" + R (У, у' )у', убеждаемся, что У —якобиево поле. Это
утверждение понадобится нам в несколько усиленном виде.
Сформулируем такое усиление в виде леммы.
21.2.4. Лемма. Если для фиксированного У£ X и любого
Z G Xq выполняется равенство (5), то У— поле Якоби.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями из
доказательства 21.2.2. Сравнивая (4) и (5), получаем:
162

a N-\
f{Z,Y"+R(Y,y')y')dt+2( Mb) -Yi(tj), Z{tj) ) = 0. (6)
0 j=\
Выберем векторное поле Z£Xo следующим образом. Пусть
0 < д <min {tj+\ - tj ) /2. Возьмем Z = Y" + R (Y, y')y' в каждом
интервале [tj + д, tj+i -д ]; j = 0, ..., N - 1; далее полагаем Z (tj) = О
при /' = 0, ..., N и продолжаем Z на оставшиеся интервалы линейно.
Подставляя построенное поле Z в (6) и переходя к пределу при б -» О,
получаем:
ЛМ tJ+1
2 / (Г' + Л(Т,)/)у')2Л = 0,
у=0 tj
так что поле У является якобиевым в каждом интервале [tj, tj+i ]. В
частности, интеграл в левой части (6) равен нулю для любого
Z E Xq. Выбирая теперь для каждого jq = \, ..., N—\ свое поле
Z£ Хо так, чтобы | Z (tj0 ) | = 1, Z (</ ) = 0 при / 5* /о, убеждаемся
из (6), что Y- (to ) = Y+ (to ). Значит, поле Y — якобиево в целом
ввиду единственности решения задачи Коши для уравнения Якоби. ■
21.2.5. Замечание. Векторные поля У£ Хо, такие, что для
любого Z G Хо выполнено условие /( Y, Z ) = 0, образуют так
называемое нулевое пространство билинейной формы / на Xq. Из леммы
21.2.4 следует, что нулевое пространство формы / на Хо состоит в
точности из полей Якоби. В частности, форма I невырождена, т.е.
нулевое пространство тривиально (состоит из одного нуля) тогда
и только тогда, когда тонка у(а ) не сопряжена с у(0).
21.2.6. Связь нормальных кривизн сфер с полями
Якоби. Пусть у:[0,а]-*М — нормальная геодезическая,
Р = У (0), S (p, t ) — сферы с центром р и радиусом t, и пусть y(to ) не
сопряжено с р вдоль у. Тогда для любого поля Якоби Y вдоль у с
Y (0) = 0 при t = to справедливы равенства
Y'=-A(Y), (7)
It(Y, У) = <У, Y) = kH\Y\2. (8)
Здесь А — основной оператор сферы S (p, t) в точке у (t)
относительно традиционно направляемой к центру сферы нормали — у', а
&н — нормальная кривизна сферы в направлении Y (t).
(Определения см. в 15.4.1, 15.4.2, 21.1.1).
Доказательство. Рассмотрим геодезическую вариацию
Do,
v : Q-* М, для которой а (0, г ) = р, а поле -т— \ _ п совпадает с яко-
биевым полем Y. Ясно, что a (t, т ) £ S (p, t), а поле X := -D а/Ы
единичное.
163

Ввиду несопряженности y(t) с р сферы S (р, t) локально
являются гладкими гиперповерхностями. Распространим поле X до
единичного поля X нормалей к сферам S (р, t), притом направленных к
центрам сфер. Тогда, согласно формуле (16) из 15.4.4, а затем по
лемме 12.1.3 имеем:
Пусть теперь Z — произвольное гладкое векторное поле вдоль у.
Тогда, согласно 21.2.3,
/,(y,z) = <r,z>|£,
в частности
It(Y, У) = (Г, У> = Ь4(У),-У>,
откуда, согласно 15.4.1,
It(Y, Y) = ETy\Y, Y) = kH\Y\2.M
21.2.7. Замечания. Равенства (7) и (8) проясняют
геометрический смысл внеинтегральных членов ( Y', Y) в формуле второй
вариации энергии и длины. Эти равенства используются ниже в лемме
22.3.2, на которую опираются приводимые доказательства теорем
сравнения Рауха и Берже. Они применяются также при выводе
операторного уравнения Рикатти для оператора —А (см. 22.3.9), а также
объясняют выпуклость сфер в многообразиях Адамара и дают
нижнюю оценку радиусов, до которых сохраняется выпуклость сфер в
многообразиях с Ка < k = const.
Предположение о несопряженности у(<о) с р можно снять,
переходя к обобщенному пониманию оператора А для „вырожденной"
гиперповерхности.
21.3. Экстремальное свойство полей Якоби.
21.3.1. Основная лемма. Пусть у : [0, а ] -» М — нормальная
геодезическая; Y, Z G X, причем Y — поле Якоби, Y(а) = Z (а), и
выполнено одно из следующих условий:
\) на у нет точек, сопряженных с р = у (0) и Y(0) = Z (0) = 0;
2) на у нет точек, фокальных для р = у (0) и У(0) = 0.
Тогда
/(У, y)</(Z,Z), (9)
причем равенство имеет место только при Y = Z.
Доказательство достаточно провести для гладкого поля Z. Общий
случай следует тогда из возможности соответствующей
аппроксимации Z гладкими полями Z,.
Пусть щ, ..., ип — произвольный базис в ТрМ. Положим
164

Yi ~ Yo,Ui в случае 1) и У,- = УЦ/>о в случае 2). Напомним, что Yu^ —
это поле Якоби с начальными условиями Уц>1, (0) = и, Y'^v (0) = v.
Векторные поля Z и У допускают разложения Z (t) = fl(t) Y£t),
Y{t) = f\a) Y((t), где, согласно следствию 19.2.5, функции
/'GC" ([0, а ]). По определению У,- (0) = 0 в случае 1) и у/(0) = 0
в случае 2).
Имеем Z' = {/')' У,- + /' У,. Обозначим слагаемые в правой
части этого равенства через Р nQ, так что Z' = Р + Q. Согласно лемме
19.1.4, имеем (У,-, У,) = ( У,, У) ), поскольку либо У* (0) = 0, либо
У*(0) = 0 при к, = 1, ..., п. Поэтому
ft{Q,Z) = (/')'/' ( У/, Yj) + /VyV ( У/, У]) +
+ fifI(Y;,Yj')+fifj'{Y;', y;) =
= 2 (Л Q) + (Q, Q)-fifJ(R(Yi,Y,)Y', *])>
так что окончательно
ft{Q,Z) = 2{P,Q) + {Q,Q)-{R(Z,y')y',Z). (10)
Ввиду (10)
(Z', Z' ) = </> + Q, /> + Q) = (Р, Р) + 2 (Р, Q) + ( Q, Q) =
= (P,P) + (R(Z,y')y',Z) + ft(Q,Z).
Поэтому
/ ( Z, Z ) = / ( ( Z', Z' ) - ( R ( Z, у' ) у', Z)) Л =
о
= /<p,*>a + <q,z>|;s<q,z>|; =
= /''(а)//(а)(У/(а), УДя)> = <У, У')|а = /(У, У). (11)
Этим неравенство (9) доказано. Если (9) — равенство, то из (11)
имеем
а
S(p,p)dt = o,
о
так чтоР = (/')' У,- = 0. Ввиду линейной независимости полей У,-при
всех 15* 0 отсюда следует f\t) = const = fl(a) и, значит, Y = Z.m
165

21.3-2. Замечание. В условиях основной леммы индексная
форма / геодезической у положительно определена на
подпространстве V С X векторных полей Z вдоль у, удовлетворяющих условию
1) (аналогично — условию 2) и Z (а ) = 0) основной леммы 21.3.1.
Действительно, сравнивая поле Z по этой лемме с тривиальным яко-
биевым полем Y = 0, имеем:
/ (Z, Z) > / (0, 0) = 0
с равенством лишь при Z = 0.
Верно и обратное: если индексная форма / положительно
определена на V, то выполняется неравенство (9). Действительно, пусть Y и
Z — такие же поля, как и в основной лемме. Тогда из положительной
определенности формы / получаем:
0< /(Z- Y, Z- Y) = I(Z, Z)-2l(Y, Z) + I(Y, Y). (12)
Поскольку Y — поле Якоби, то / (Y, Z) = ( Г, Z) | °= ( У, Z) | д=
= ( Г, Y) | = / (У, У). Поэтому из (12) следует
0<I(Z,Z)-2I(Y,Y) + I(Y,Y) = I(Z,Z)-I(Y,Y)
с равенством только в случае Y = Z. ш
21.3.3. Приведенное в 21.3.1 доказательство основной леммы
выглядит несколько искусственным и недостаточно проясняет суть
дела. Поэтому дадим еще одно доказательство, ограничиваясь случаем
1). Это доказательство почти дословно переносится и на случай 2),
если ввести понятие экспоненциального отображения
подмногообразия, о котором упоминалось в 12.6.4.
21.3.4. Теорема. Следующие три утверждения равносильны:
1) на геодезической у : [0, а ] -» М нет точек, сопряженных с
р = у (0);
2) во всех точках отрезка {ty'(0), 0 < t < а) С ТрМ
дифференциал отображения ехрР имеет максимальный ранг;
3) индексная форма I геодезической у положительно определена
на Xq.
Кроме того, из 1)—3) следует:
4) геодезическая у является единственной (с точностью до
замены на ней параметра) кратчайшей среди достаточно близких к
ней путей с теми же концами.
21.3.5. Из теоремы 21.3.4 вытекает случай 1) основной леммы
21.3.1. Действительно, согласно 21.3.4, из условия 1) леммы 21.3.1
следует положительная определенность формы / на Xq, а из нее,
согласно замечанию 21.3.2, — неравенство (9).
21.3.6. Упражнение. Из свойства 4), упомянутого в теореме
21.3.4, вообще говоря, не следуют утверждения 1)—3). Можно по-
строить пример двумерного риманова многообразия М и некоторой
геодезической у : [0, а ] -» М , которая является единственной крат-
166

чайшей (с точностью до ее перепараметризации) между р = у (0) и
q = у (а ), но точки ри? будут сопряжены вдоль у, и тем самым
свойства 1)—3) для у не выполняются. Постройте такой пример.
21.3.7. Хотя 4) не влечет 1)—3), но из свойств 4) следует:
Г) в полуоткрытом интервале [0, а ) на геодезической у нет
точек, сопряженных с р = у (0);
2) дифференциал отображения ехрр имеет максимальный ранг в
полуоткрытом интервале {ty'(0), 0 < t < а} С Т-М;
3') индексная форма / неотрицательно определена на Xq.
Это будет доказано в 21.3.9.
21.3.8. Докажем теорему 21.3.4. Равносильность 1) и 2) уже была
доказана в 19.3.3. То, что из 2) следует 4), было доказано в 12.3.2.
Поэтому достаточно проверить равносильность утверждений 1) и 3).
Докажем, что из 1) следует 3). Допустим, что I (Y, Y) < 0 для
некоторого Y 6 Xq. He нарушая неравенства, можно считать Y
гладким. Вариация о (t,t) = ехру^ t Y (t) геодезической у имеет Y
полем скоростей, причем
д\Е = I(Y, Y) < 0.
Поэтому продольные линии ах такой вариации при достаточно
малых х > 0 имеют меньшую энергию, а значит, и меньшую длину, чем
у. Это противбречит тому, что из 1) следует 4). Значит, /
неотрицательно определена.
Допустим теперь, что I (Y, Y) = 0 для некоторого ненулевого
поля Y 6 Xq. При любом Z 6 Xq и любом б имеем, по только что
доказанному,
0 < / (Y + £ Z, Y + £ Z ) = 2 £ / ( Y, Z ) + £2 / (Z, Z ).
Отсюда следует, что / ( У, Z ) = 0. Действительно, пусть / (У, Z ) ^ 0
для некоторого ненулевого Z G. Хо, и пусть для определенности
/ (Y, Z ) > 0. Тогда при любом б < 0 имеем 2/( Y, Z ) < -е I (Z, Z ),
что невозможно при достаточно малом I £ I. Аналогично отвергается
случай I (Y, Z ) < 0, следует лишь взять б > 0. Итак, / (Y, Z ) = 0
при любом Z G Xq. Тогда по лемме 21.2.4 поле Y G Xq — якобиево.
Но это противоречит отсутствию на у сопряженных точек.
Наконец, докажем, что из 3) следует 1). Допустим, что на у
существует точка, сопряженная с р = у (0). Это значит, что для
некоторого tQ G (0, а ] существует на у | . нетривиальное поле Якоби
I", r0j
Y, удовлетворяющее условиям Y (0) = У(tQ) = 0. Заметим, что
Y '(tQ ) 5* 0, ибо поле Y нетривиально. Продолжим поле Y нулем до
векторного поля на у. Существует такое гладкое векторное поле Z,
что Z (0) = Z (а ) = 0 и Z(t0) = -Y '(%)• Имеем:
I(Y+XZ, Y + XZ) = I(Y, Y) + 2AI(Y,Z)+X2I(Z,Z) =
167

= 2X(Y',Z)\ + X2 /( Z,Z) = -21\Y'(t0)\2+ I2 I( Z, Z).
'o
Последнее выражение при достаточно малых А > 0 становится
меньше нуля, что противоречит утверждению 3). ■
Из последней части приведенного доказательства следует важное
утверждение.
21.3.9. Следствие. Геодезическая не может быть
кратчайшей, если на ней есть внутренняя точка, сопряженная с началом.
Такая геодезическая не будет кратчайшей даже среди произвольно
близких к ней путей.
Действительно, при наличии на у сопряженной с у (0) точки
нашлось такое векторное поле W = Y + X Z вдоль у, что
/ (W, W) < 0. Значит вариация с полем скоростей W уменьшает
энергию, а тем самым и длину у.
Этим попутно доказано, что из утверждения 4) следует Г).
Равносильность Г) и 2') была доказана в 19.3.3. Наконец, из Г) следует,
что Iq-£ положительно определена при любом 0 < £ < а. Отсюда при
£ -» 0 получаем 3').
21.4. Индекс геодезической.
21.4.1. Индексом indy геодезической у: [0, а ] -» М, или, что
то же, индексом ind / ее индексной формы, называют точную
верхнюю грань размерностей подпространств V С Xq, на которых /
отрицательно определена. Значение этого понятия для римановой
геометрии проясняется в 23.2.
Кратностью точки q = у (to ), сопряженной с точкой р = у (0)
вдоль геодезической у, называют размерность пространства полей
Якоби У, удовлетворяющих условию У (0) = У (to ) = 0.
Имеет место следующая „теорема об индексе", которую мы не
доказываем, поскольку в нашем изложении она не будет
использоваться. С ее доказательством можно ознакомиться, например, по
книгам [25, 33 ].
*21.4.2. Теорема об ин деке е . Индекс indy геодезической
у: [0, а ]-* М равен сумме кратностей всех сопряженных с
р = у(0) точек геодезической у.
Из этой теоремы, с учетом леммы 19.3.5, следует, в частности,
что индекс геодезической у всегда конечен.
§ 22. Теоремы сравнения
22.1. Поля Якоби при ограниченной сверху кривизне.
22.1.1. Будем сравнивать длины полей Якоби вдоль двух
нормальных геодезических у, у одинаковой длины в римановых
многообразиях М, М в условиях, когда секционные кривизны одного из
многообразий мажорируют секционные кривизны другого.
В большинстве случаев в качестве эталонного объекта сравнения
М используют пространство постоянной кривизны, т.е. на секцион-
168

ные кривизны Ка многообразия М накладывается одно из условий:
Ка < k или Ка > к, где к = const. Когда Ка < к, оценки для полей
Якоби в М получаются особенно просто. Этот случай рассмотрим в
первую очередь. Если же Ка> к, то предположение постоянства
кривизны Л? не дает существенного упрощения. Поэтому мы затем
рассмотрим общую ситуацию двух многообразий не обязательно
постоянной кривизны. При этом будет охвачен и первоначально
выделенный случай Ка < к.
22.1.2. Напомним еще раз, что через УЦ)„ обозначено поле Якоби
вдоль геодезической у, удовлетворяющее условиям Уц„ (0) = и,
Yu,v(fy = У- Обозначим через ga<b решение скалярного уравнения
g" + kg = 0, где к = const, с начальными условиями ga>£ (0) = а,
8а,Ь (0) = Ь. Считаем, что либо а > 0, либо а = 0, Ъ > 0. Функция ga^
допускает явное выражение
8а,Ь(* )
a cos Vk~ t + -f= sin VX t при к > 0,
a + bt при к = 0, (1)
a ch ^/Чс t + -j=F sh V^ic t при к < 0.
Пусть (0, г) — максимальный интервал, на котором gaj, > 0, не
исключается /• = °°.
22.1.3. Теорема. Если все секционные
кривизныКамногообразия М не превосходят числа к, то для нормальных полей Якоби
вдоль любой нормальной геодезической у : [0, г ] -» М
выполняются неравенства
|уц,о(0 | **|И|,о(0. \Уо,ЛП | **»!(<)• <2)
22.1.4. Следствие. В условиях теоремы при к > 0
сопряженные между собой точки отстоят друг от друга не менее чем на я/vX,
а точка от фокальной ей — не менее чем на я/ЪГк. (При к < 0, как
было доказано в 20.1.1, не бывает сопряженных точек. Аналогично
легко убедиться, что в этом случае нет и фокальных точек).
22.1.5. Доказательство теоремы. Пусть У= УЦ)о в
первом случае и У = Yq<v — во втором и соответственно g - g\u\to или
S — go, I v I • Если и = 0 в первом случае или v = 0 — во втором, то
утверждение теоремы тривиально. Исключим эти случаи из
рассмотрения. Тогда при достаточно малых t > 0 будет I У I > 0, g > 0.
Рассмотрим функцию / = ^ {Y, Y). Простым вычислением получаем
/"=-{¥, У>"3/2< У, У')2 + 7УТ(1 У \2+{¥,¥")) =
= I У Г3 ( I У I 2 I У' I 2 - < У, У ' )2) - Ка\ У I > -Ка\ У I > -kf.
169

Таким образом, функция / удовлетворяет дифференциальному
неравенству/" + kf > 0.
Считая t Е (0, г) столь малым, что I У I > 0, умножим это
дифференциальное неравенство на g и вычтем из него (g" + kg)f — 0.
Получим:
Значит, функция g2(f/g)' не убывает. Так как в обоих
рассматриваемых случаях
lim g2 M' = Hm (f'g-fg')-O,
f-»o v*/ t-»o
то g2(f/g)' > 0, и тем самым отношение f/g не убывает. В случае
У = Уц,0 имеем / (0) = g (0) = I и I s* 0, откуда сразу / > g. Если
У = Уо,/, то, по правилу Лопиталя,
lim (I)' = lim{Up. = lim 1у'|22+<У'у,,) =
f-»o \£) f-»o s? f^o g1 + gg"
= у'(0)2-*(Ту(0)\ i„i2^ i
g'(0)2-kg(0)2 W\2
Следовательно, и в этом случае I У I = / > g. Эти неравенства
доказаны пока при дополнительном условии I У I > 0. Но из неубывания
функции f/g следует, что / = I У I не может обратиться в нуль в
(0,/•).■
22.2. Основная конструкция.
22.2.1. Перейдем к общему случаю. Пусть у : [0, а ] -» М и
у: [0, а ] -» М — нормальные геодезические в двух римановых
многообразиях М, Ki одной и той же размерности.* Предположим, что
секционные кривизны Ка многообразия М мажорируют секционные
кривизны Kg многообразия fit в следующем смысле.
Условие А. Для любого t Е [0, а ] и любых двумерных
направлений о С Ty(t)M, ffC Ty(f )Л5Г, таких, что y'(t) Е a, y'(t) Е а,
справедливо неравенство Ка > Kg.
В такой форме условие А представляется труднопроверяемым.
Чаще проверяется большее, а именно что Kg > Kg для любых х Е М,
а С ТХМ и у Е fit, а С ТуМ. Особенно важны случаи, когда одно из
многообразий имеет постоянную кривизну; один из таких случаев
был рассмотрен в 22.1.
"Требование равенства размерностей в действительности может быть отброшено,
см. [140].
170

22.2.2. Далее будем пользоваться следующей стандартной
конструкцией. Выберем вдоль нормальной геодезической у : [О, а ] -» М
параллельные векторные поля Е\ = у', Еъ, ..-, Еп, образующие в
некоторой (а значит, и в каждой) точке y(t) ортонормированный
базис пространства Ту^)М. Аналогично выберем параллельные орто-
нормированные поля Е\ — у', i?2> ..., Еп вдоль у. Каждое векторное
поле У €Е Ж (см. 21.1.1) допускает разложение Y = Y1 £,-. Определим
отображение <р : Х-* X , где X — линейное пространство кусочно-
гладких векторных полей вдоль у, полагая <рУ = У' £,-. Ясно, что
<р — изоморфизм. Этот изоморфизм зависит от выбора векторных
полей Ei, Ei и определен с точностью до ортогонального
преобразования (и — 1)-мерного евклидова пространства — ортогонального
дополнения к у' (0) в Ty(tyM.
Отметим, что \Y \ = \<pY \, и, поскольку (<pY)' -
= (Y1)' Ei = ipY', то I У I = \(<pY)' I. Отображение ip позволяет
сравнить индексные формы геодезических у, у.
22.2.3. Лемма. Если выполнено условие А, то для любого
У €Е X и любого t €Е [0, а ] имеем:
It(Y,Y)<It(<pY,<pY). (3)
Напомним: индекс t означает, что речь идет о сужениях
У' [0,t]' У' [0,f]"
Доказательство. В силу отмеченных только что свойств
отображения ip
t t
It(Y,Y) = f(r2- KoY2) dt=f [((*> У )')2- (fp Y )2Ka ] dt <
0 0
t
S/ l((<pY)')2-(<pY)2Kd]dt= It(<pY,<pY),
0
где Ко, Кз — секционные кривизны в двумерных направлениях
у' со л У(О.Г'СО A<pY(t).m
Если в (3) при t = to выполняется равенство, то при всех
t Е [0, to ] имеет место равенство Ка = К%.
22.2.4. Следствие (теорема сравнения индексов). Если
выполнено условие А, то ind у > ind у.
22.2.5. Следствие. Если все секционные кривизны Ка
многообразия М" удовлетворяют условию К„ > k > 0, где k = const, и
а > я/Vk, то индекс любой нормальной геодезической
У : [0, а ] -» М не меньше чем п - 1. ■
Доказательство. В качестве W1 возьмем сферу Sn кривизны
к. Если длина а нормальной геодезической у: [0, а ]-* Мп больше
171

я/Vk, то indy">M-l. Действительно, пусть У(<) =
- sin (nt/a )E (t), ще E — ненулевое параллельное векторное поле
вдоль у, причем {Е, у' ) = 0. Тогда /(У, У) < 0. Это легко
проверить прямым вычислением. Ясно, что векторные поля вида У (вместе
с нулевым) образуют (я-1)-мерное подпространство, поэтому
ind у > п — 1. Теперь следствие 22.2.5 доказывается применением
22.2.4 к М" и Й п = Sn.
22.2.6. Следствие. В условиях следствия 22.2.5 на
геодезической у : [0, а ] -* М есть точка, сопряженная с у (0). Это следует из
22.2.5, ибо до первой сопряженной точки форма / остается
положительно определенной (см. 21.3.4).
22.3. Теоремы Рауха и Берже.
22.3.1. Лемма. Пусть для нормальных геодезических
у : [0, а ] -» М, у: [0, а ] -» fit и нормальных полей Якоби Y, Увдоль
у, у соответственно выполнено условие А и, кроме того,
справедливо одно из следующих положений.
81. На у нет сопряженных с р - у (0) точек и У (0) - 0 = У(0).
82. На у нет фокальных для р = у (0) точек и У (0) = 0 = У '(0).
Если, кроме того, У* 0, то справедливы следующие
равносильные утверждения:
1) функция I У1 I У I- не убывает на (0, а ];
2)(d/dt)ln(\7 I2 1У Г2) >0;
3) IУ 12 < У, Г ) < I У 12 < У, У ). (4)
Доказательство. Ввиду условий В1 и В2 на (0, а ] поле
У т* 0, поэтому IУ I I У I ~ определено на (0, а ]. Функция In
возрастающая. Отсюда 1) равносильно 2). Равносильность 2) и 3)
очевидна. Остается доказать 3). Зафиксируем to £ (0, а ]. Если У (to) = 0,
то при t = to неравенство^ (4) справедливо. Пусть У(<о) ** 0.
Выберем изоморфизм <р : Х-> X, определенный в 22.2.2 таким образом,
чтобы ipY(to) = АУ(<о), где А > 0. Поскольку \ipY I = I У I, то
А = I У (Г0) I 1У(<0) I"1. (5)
Положим Z (<) = A ip~l (У (г)); по построению Z(t0) - У (<о )•
Вместе с условием В1 или В2 это позволяет применить к векторным
полям Z и У вдоль у | основную лемму 21.3.1:
lo,r0j
It0(Y,Y)<Ito(Z,Z). (6)
Для полей Якоби У, У в силу условия В1 или В2
/,о(У, Y)^(Y, Y\, /,о(У, У) = < У, У>,о. (7)
Наконец, согласно (3),
172

It0(<P~lr,v>-1r)<Ito(r,T). (8)
Из (6)—(8) следует
< i".r>v* ^0(y'y) - Vz,z) = АЧ^"1у. ^_1у) * а2/*0(У,*),
что ввиду (5) равносильно (4). ■
Если в (4) выполняется равенство при t = to, то при всех
t G [0, to ] справедливо К3=Ка', где (Г = /(()ЛУ((),
о = у'(1) л ^ (О* Кроме того, на этом участке построенное в
доказательстве поле <р Y якобиево вдоль у.
Отметим лемму, вытекающую из 22.3.1.
22.3.2. Лемма. Пусть р G М,у : [О, г ] -» М — нормальная
геодезическая, являющаяся одним из радиусов шара В (р, г), и точка
у(г) не сопряжена с р вдоль у. Пусть радиус г таков, что и в
пространстве постоянной кривизны К в пределах радиуса длины г нет
сопряженных с его началом точек. Тогда если в каждой точке у (t)
секционные кривизны Ка многообразия М не превосходят К, то
нормальные кривизны &„ сферы S (р, г) в точке у (г)
относительно нормали — у' не меньше чем аналогичная кривизна ки сферы
радиуса г в пространстве постоянной кривизны К.
Действительно, для любого якобиева поля У вдоль у с У (0) = О
из 21.2.6 и леммы 22.3.1 заключаем:
!сИ= 1УГ2<Г, У)г> \ГГ2{Т,Г)Г = 1&.Ш (9)
Из леммы 22.3.1 следуют также две известные теоремы.
22.3.3. Теорема Рауха. Пусть для нормальных геодезических
у : [О, а ] -* М, у: [О, а ] -* fit и нормальных полей Якоби У, У
соответственно вдоль у, у выполнены условия:
1) для каждого t G [0, а ] и любых двумерных направлений
а С Ty(t^M, аС Tfft) Kl, содержащих векторы y'(t) G о, y'{t) £ о,
выполняется неравенство Ка > К$;
2) на у нет сопряженных с р = у(0) точек, и У (0) = У (0) = 0;
3) I Г(0) I < IT (0) I.
Тогда на у нет сопряженных с р = у(0) точек и при всех
t е [0, а ]
1У(0 I < \T(t) I. (10)
22.3.4. Теорема Берже. Пусть для нормальных геодезических
у: [0, а ] -* М, у: [0, а ] -» fit и нормальных полей Якоби У, ¥
соответственно вдоль у, у выполняются условия:
1) то же, что в теореме Рауха;
2) на у нет точек, фокальных для р — у(0), и У(0) = Т(0) = 0;
3) I У(0) I <; IТ (0) I.
173

Тогда на у нет точек, фокальных для р = у(Щ, и при всех
t £ [0, а ] выполняется неравенство (10).
22.3.5. Д о к а з а тел ьст в о теорем Рауха и Берже.
Начнем с теоремы Рауха. Отсутствие на у сопряженных точек
следует из (10) и из отсутствия сопряженных точек на у. Докажем (10).
Если Y = 0, то неравенство (10) тривиально. Пусть У* 0. Тогда
У'(0) 5* 0 и на (0, а ] везде Y Ф 0. К полям Y, У применима лемма
22.3.1, и достаточно проверить, что при t\0 limlf^) II Y(f)\~l > 1.
Дважды применяя правило Лопиталя, точно так же как в 22.1.5,
находим:
t\0\Y(f)\* r\o<y'y> t\0 1ГГ+ < Y, У") 1Г(0)Г
Доказательство теоремы Берже даже проще: при Y = 0
неравенство (10) тривиально, а при У* 0, с учетом отсутствия фокальных
точек, заключаем, что У ^ 0 на [0, а ]. К полям У, V применима
лемма 22.3.1, и (10) следует из I У (0) I < IV (0) I. ■
В теоремах 22.3.3 и 22.3.4 равенство в (10) при t = to влечет
Ка = Кз при всех t £ [0, t0], где о = у'ЛУ, о' = у' Л У.
22.3.6. Следствие. (Аналог 22.1.3 для Ка > к). Пусть все
Ка > к. Тогда:
1) если на нормальной геодезической у: [0, а ] -» М нет точек,
сопряженных с у(0), а У — поле Якоби, для которого У(0) = 0,
I У (0) I = 1, то при всех t G [0, а ]
\Y(t)\ 2^,(0
-rr sinVX t при к > 0,
< при Л = 0,
-т=г sh V^ t при & < 0;
ly(OI S*1)0(Q
2) если на нормальной геодезической у : [0, а ] -» М нет точек,
фокальных для у (0), а У — поле Якоби, для которого I У (0) I = 1,
У (0) = 0, то при всех t G [0, а ]
cosVX t при к > 0,
1 при Л = 0,
ch V-£ < при к < 0.
В частности, если £ > 0, то сопряженная с у(0) точка отстоит
от у (0) не более чем на n/Vk, а фокальная для у (0) — не более
чем на л/ЪГк.
После сопряженной точки оценка 1) может нарушаться. Более
того, I У (t) I может далее иметь „экспоненциальный" рост. То же
относится к оценке 2).
Обычно применяются не сами теоремы Рауха и Берже, а их
следствия, которые, собственно, и раскрывают геометрический смысл
этих теорем.
174

Г-ТМ— Т~М
Рис. 35.
22.3.7. Следствие теоремы Рауха. Зафиксируем точки
р Е М, р Е М и изометрию /: ТрМ -* ТрМ. Рассмотрим в ТрМ
кусочно-гладкий путь у0 : [О < х < а ] -» ГрМ, и пусть у = ехрр ° у0,
f = ехр~ ° I ° у0 — его образы в М, М (рис. 35). Предположим, что
при каждом х Е [0, а ] на геодезической < ь-» ехрр< у0 (х ), О < < < 1,
нет сопряженных с р точек. Тогда если для всех двумерных
направлений Ка > К„, то длины
s(y)<s(y). (11)
При доказательстве будем считать, что путь у0 в ТрМ не
проходит через начало О Е ТрМ. (Этого можно достичь шевелением пути
уо, произвольно мало изменяющим длины). Рассмотрим
геодезическую вариацию a (t,x ) = ехрр (t уо (х )), 0 < t < 1, 0 < х < а, с
продольными линиями ах : t •-» о (t, х ). При каждом фиксированным х
вдоль ах определено поле Якоби Y (t) = да (t, x )/дх. Обозначим
X (t) = dox (t )/dt. По лемме 19.3.2 поля Y и X удовлетворяют
начальным условиям У (0) = 0, DtY.(0) = у0\х ), X (0) = уо(х ).
Аналогично вдоль продольной линии ах вариации
a{t, х ) = exp-pit I ° y0(x )) определены поле Якоби ¥ и касательное
поле X, причем V (0) = 0, Dt 7 (0) = / ° у0\х ), X (0) = / ° у0(х ).
Учитывая, что / — изометрия, видим, что при t = 0
<У6 (*), уо(*))I \уо(г)\~1,
\DtYT(0)\ = \Dt7T(0)
\DtY±(0)
I
Dt Г x (0) I.
Применяя к полям Yx , У х теорему Рауха,
1УХ(1) I < |УХ(1) I. Кроме того, 1УТ(1)1
85 ' ( ^о(г)' ^о(г)) ' ' У° (г) ' ' и по те°Реме Пифагора
f = |^x(i)| + \yt(1)\
откуда, по определению длины, следует (11).
получаем:
|УТ(1) I =
dy
dt
175

Рис. 36.
Равенство в (11) имеет место тогда и только тогда, когда для
построенных в доказательстве вариаций о, а при всех % и всех t
одинаковы кривизныКа, Л а, = Kff. л 3;.
22.3.8. Следствие теоремы Берже. Пусть у : [О < % < а] -» М,
у:[0<т<а]-*Й — нормальные геодезические, аЕ,Е —
единичные параллельные векторные поля вдоль них. Положим
£(г) = ехру(г)/(т)Е(т), f(r) = ехру(т)/(т)Ё(т),
где / — гладкая неотрицательная функция (рис. 36). Предположим,
что при каждом % £ [0, a ] на геодезической ot: t <-» ехру (Т) < Е (т ),
0<<</(Y), нет фокальных для у (V) точек и что
{ Е (0), у' (0)) = { Ё (0), у"'(0) )• Тогда если для всех двумерных
направлений Ка ^ А"а> то
s(g)^«(f). (12)
Доказательство. Рассмотрим отображение а : Q -» М
четырехугольника Q= [0 < t < f (т ), 0 < т < а ], определенное
равенством о (t, т ) = or(t). Аналогично, определяется o(t,x), так что
1;(т) = о(/(т),т), f (т) = о (/ (г ), т ). Пусть Л: = до/ди
У = дст/дг = У т + У х. Поля У т, У х являются полями Якоби вдоль
геодезических ах.
Поскольку d^/dt = да/дт + ( do/dt)f', то с учетом 1X1=1
имеем:
2
= \Y 12+ 2(Х, Y)f'+f2= (УТ)2+(УХ)2+ 21 Ут |/'+/'2.
^ 2
Сравнивая это равенство с аналогичной формулой для I d^/dx I ,
видим, что для доказательства неравенства (12) достаточно
убедиться в правильности при всех t соотношений I Ут I = IVт I,
|ух I < 1УХ|.
Поля Е,у' параллельны вдоль у. Поэтому {Е(х ), у' (V ) ) =
= < Е (0), у' (0)) =: а при всех г £ [0, а ]. Поскольку X (0, г ) =
176

= E(x ), У (О, г ) = ( Э/Эт )ехРу (т) (0 • Е(г )) = у' (т ), то < У(0, т ),
А: (0, х )> = <£, у' ) = а.
По лемме 12.1.3 поле DtY (О, т ) = £>ТАГ (0, г ) = £>т£(0, т ) = 0.
Поскольку поле У т вдоль ох как якобиево имеет вид (at + Ь )Х, где
at + Ъ = { X, У), то YT (t,r) = аХ. Аналогично Тт (t,z) = а X,
так что 1УТ1 =а= 1УТ1. По доказанному для поля Ух имеем:
I У х (0, х ) I = \у' -аЕ\ = IУ х (0, т ) I. Ввиду £>^(0, т ) = 0
имеем: £>,У х (0, г ) = 0 = Dt 7 х (0, г ).
Применяя к полям У х, У х вдоль геодезических сгт, ах теорему
Берже, получаем: I У х I < IУ х I при всех t£ [0, а ],
< £ [0, / (т ) ]. Этим (12) доказано.
Как ив (11), из равенства в (12) вытекает, что для построенных
вариаций о, а при всех т и t совпадают кривизны
Ка; л а, ~ КЭI л ЗУ •
*22.3.9. Отметим операторную точку зрения на уравнения Яко-
би. Хорошо известно, что „одномерное" уравнение Якоби
у" + k (t )у = 0 заменой неизвестной функции у на z = у 'у~
сводится к нелинейному уравнению первого порядка — уравнению Рикатти
z' + z + k(t) = 0. Таким образом, интегрирование уравнения
Якоби распадается на два шага: решение уравнения Рикатти и затем
решение однородного уравнения у' = zy. Оказывается, что и в
многомерном случае решение уравнения Якоби также может быть сведено
к решению, на этот раз операторного, уравнения Рикатти, а затем —
линейной однородной системы.
Чтобы описать эту точку зрения, приведем определение
производной от оператора. Пусть у : (0, а ] -» М — гладкий путь, А —
гладкое поле линейных операторов вдоль у, т.е. гладкое отображение
t -» At, где At — линейные операторы на соответствующих Ту а )М.
v а,\ °А\
Ковариантные производные А \ = —т- \ определяются равенством
А'X := (АХ )'- АХ' (13)
для любого гладкого векторного поля X вдоль у. Это равносильно
тому, что А' \ v = ~y\ AEv, где Еу — параллельное поле вдоль у со
значением Еу (to ) = v.
Обратимся к уравнению Якоби У" + R ( У, у' ) у' = 0. Для любых
q G М и ы£ ТдМ равенство Ru(y) := R (V, и )и определяет
линейный оператор Ru на TqM. Пусть у — нормальная геодезическая с
началом р = у (0). Вдоль у, за исключением сопряженных с р точек,
рассмотрим основные операторы А сфер S (p, t), на этот раз относи-
177

тельно нормали у'. (В сопряженных точках, как уже упоминалось в
21.2.7, операторы могут быть доопределены в некотором обобщенном
смысле). Покажем, что эти операторы удовлетворяют уравнению Ри-
катти
А' + А2 + Ry = 0. (14)
Действительно, пусть v Е Туп^М. Тогда найдется такое поле
Якоби У вдоль у, что У (<о) = v, У (0) = 0. Из 21.2.6, учитывая
направление нормали у' сферы, имбем равенство У = AY.
Дифференцируя его по t, получаем:
У" = (AY)' = A'Y + AY' = A'Y+ A2Y,
и уравнение Якоби в точке to принимает вид
A V + A2v + RfV = 0,
что ввиду произвольности v совпадает с (14).
Доказательства теорем Рауха и Берже с этих позиций можно
найти в работах [111, 79, 84 ], а также в дополнении книги [ 120 ].
22.4. Сравнение углов треугольников.
22.4.1. Треугольником в римановом многообразии М называется
набор из трех кратчайших (сторон треугольника) с попарно общими
концами (вершинами треугольника). Вообще говоря, треугольник не
определяется своими вершинами: соединяющие их кратчайшие
могут быть не единственными.
Будем сравнивать углы треугольника в римановом многообразии
М с соответствующими углами имеющего те же длины сторон
треугольника в некотором эталонном пространстве. Начнем с более
простого случая — оценки углов сверху.
22.4.2. Теорема. Пусть М — полное односвязноемногообразие
неположительной кривизны. Тогда каждый угол любого
треугольника А в М не превосходит соответствующего ему угла в плоском
треугольнике с теми же длинами сторон.
Доказательство. Обозначим А, В, С — вершины
треугольника А; а, р,у — углы при них; а, Ь, с — длины противолежащих
сторон. Пусть у : [0, а ] -» М — нормальная геодезическая, которой
является сторона треугольника А, противолежащая А. В условиях
теоремы отображение ехр^ является диффеоморфизмом (ср. 20.1.3),
поэтому определен путь уо = ехРА ° У- Рассмотрим в евклидовом
пространстве ТрМ треугольник Aq с вершинами 0, уо(0), уо(а ). Его
стороны, выходящие из вершины 0, имеют длины Ъ и с, а угол при
этой вершине равен а. По следствию 22.3.7 имеем:
I уо(а ) - уо(0) I ^ * (уо) ^ s (у ) = а. Поэтому угол а треугольника
Ао не больше, чем угол в соответствующей вершине плоского
треугольника со сторонами а, Ь, с. Ш
Эта теорема может быть обобщена следующим образом. Под k-
178

Рис. 37. Рис. 38.
плоскостью понимаем евклидову плоскость при к = О, сферу
радиуса 1 /Vk при k > О, плоскость Лобачевского кривизны к при к < 0.
Напомним, что если положительные числа а, Ь, с удовлетворяют
неравенству треугольника а + b > с, b + с > а, с + а > Ь, то при
к < 0 на ^-плоскости существует, притом единственный с
точностью до движения, треугольник с длинами сторон а, Ь, с. Это верно и
для к > 0 при дополнительном требовании а + b + с < 2n/Vk. Если
к > 0 и а + b + с > 2jt/Vk, то такого треугольника нет, а если
а + Ъ + с = 2лУ vT, то такой треугольник существует, но он не
единствен в случае, когда длина одной из сторон равна сумме длин
других (рис. 37).
*22.4.3. Теорема.* Пусть в римановом многообразии М все
секционные кривизны Ка < k = const, и пусть любые две точки на
сторонах треугольника А в М соединимы единственной
кратчайшей. Если к > 0, то дополнительно потребуем, чтобы сумма
сторон А была меньше 2n/Vk. Тогда каждый угол треугольника А не
больше, чем соответствующий ему угол треугольника с теми же
длинами сторон на к-плоскости.
Теорема эта доказывается так же, как предыдущая, и мы
оставляем ее доказательство читателю в качестве упражнения.
Условие соединимости точек на сторонах треугольника
единственными кратчайшими в этой теореме отбросить нельзя. Это
подтверждает пример изображенного на рис. 38 треугольника на
поверхности. В этом примере все углы треугольника равны п, а
поверхность — полная, односвязная, и для любого е > 0 подобным
увеличением можно добиться, чтобы гауссова кривизна поверхности
удовлетворяла неравенству \К \ < £.
Перейдем к оценкам углов треугольников снизу. Здесь имеет ме-
Теорема 22.4.3 в более общей ситуации — для так называемых пространств
кривизны, не большей К, доказана А.Д. Александровым [ 1 ].
179

сто следующая фундаментальная теорема, доказанная А.Д.
Александровым для п = 2 и обобщенная В.И. Топоноговым на любые я > 2.
22.4.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
[39, 50]. Пусть в полном римановом многообразии М все
секционные кривизны Ка> k = const. Тогда для любого треугольника А в М
найдется на k-плоскости такой треугольник An с теми же
длинами сторон, у которого каждый из углов не больше
соответствующего ему угла треугольника А.
Поясним формулировку теоремы. Пусть а, Ь, с — длины сторон
А. При к < 0 треугольник с такими сторонами на ^-плоскости
единствен (с точностью до движения). Он и есть An. При к > 0 теорема
попутно утверждает, что а + Ъ + с < Ъп/^Гк, иначе не существовало
бы An. При этом „выбор" An среди возможных не равных друг другу
треугольников на ^-плоскости с длинами сторон а, Ъ, с относится
только к случаю, когда а+ Ъ + с = 2n/Vk и сумма двух сторон
равна третьей; в этом случае такие неравные треугольники существуют.
Доказательство теоремы проведем для случая к > 0. При к < 0
рассуждения лишь упрощаются. Нам понадобятся две элементарные
леммы о сферических треугольниках, которые мы приведем без
доказательств.
22.4.5. Лемма. Пусть ABC и А'В'С — два треугольника из
2
кратчайших длины, меньшей лг, на сфере S радиуса г. Если длины
сторон АВ = А'В', АС = А'С, то LA > LA' в том и только том
случае, когда ВС > В'С", причем равенство в одном из этих
неравенств влечет равенство в другом.
22.4.6. Лемма. Пусть ABC и ACD — два треугольника из
2
кратчайших на сфере S радиуса г, имеющих общую сторону АС и
расположенных по разные стороны от большой окружности, на
которой лежит сторона АС. Пусть, кроме того, выполнено
неравенство АВ + ВС + CD + DA < Ълг. Тогда на S существует
треугольник A'B'D' со сторонами А'В' = АВ, B'D' = ВС + CD,
D'A' = DA, полученный из четырехугольника ABCD
„распрямлением в одну" двух его сторон, ВС и CD (рис. 39). Если для углов Р\,Рг
этих треугольников' при вершине С выполняется условие
Р\ + fa ^ ^, то
LB > АВ', LD > LD'.
22.4.7. Условимся об обозначениях. Хотя треугольник в
римановом многообразии М, вообще говоря, не определяется своими
вершинами, мы все же будем треугольник с вершинами А, В, С обозначать
ABC, подразумевая, что выбор сторон ясен из контекста. Длину
стороны будем обозначать соответственно противоположной вершине,
но строчной буквой. Треугольнику ABC в М сопоставим треугольник
А'В'С' с теми же длинами сторон на ^-плоскости, если последний
существует. Треугольник А'В'С' будем также обозначать А (а, Ь, с ),
где а = ВС, Ь = АС, с = АВ. Кроме того, треугольнику ABC будем
180

с
А А
Рис. 39.
сопоставлять такой треугольник А"В"С" на ^-плоскости, что А'В' = с,
А"С" = b, LA' = LA =: а; такой треугольник А'В"С" обозначаем
также А (Ь, с; а). Под единственностью треугольника на ^-плоскости
понимаем его единственность с точностью до движения — изометрии
сферы, включая зеркальное отражение. Сумму длин сторон
треугольника ABC называем его периметром и обозначаем р(АВС ).
22.4.8. Приступим к доказательству теоремы 22.4.4. Сначала
докажем теорему в ослабленном виде.
1. Сравнение углов треугольника А = ABC будем вести с углами
треугольника не на ^-плоскости, а на к' -плоскости, где
к' = к-е > 0.
2. Будем считать известным, что р(АВС ) < 2rr/vX.
Позже мы снимем эти ограничения. Условия 1, 2 удобны тем, что
они гарантируют существование и единственность треугольника
А В'С на к '-плоскости.
Первый шаг будет состоять в доказательстве ослабленной
теоремы для „узких" треугольников. Именно, предполагая, что сторона
ВС „достаточно мала" (точный смысл этого сейчас будет указан), мы
покажем, что тогда LB > LB', Z.C > Z.C", a LA и LA при этом не
будут сравниваться.
Уточним понятие „узости". Зафиксируем достаточно большой
компакт Q, содержащий исходный треугольник А = ABC, скажем,
Q = В (A, 3diam A ). Секционные кривизны Ка в пределах Q
ограничены сверху некоторым числом Н > 0. Поэтому если геодезическая у
содержится в Q и ее длина s (у)< п/ЪГн, то на у нет фокальных для
у (0) точек.
Рассмотрим на к '-плоскости треугольник LPR, такой, что
PL < 7t/Vk. Его стороны PR, PL суть соответственно нормальные
геодезические о, у на к'-плоскости, о (0) = у (0) = Р, y(l) = L. Вдоль
у рассмотрим такое параллельное векторное поле E(t), где t —
натуральный параметр вдоль у, что Е_ (0) = о' (0) (рис. 40). Тогда сторона
Л/,допускает параметризацию £ (t) параметром 0 < t < / по
правилу £ (t) = exp ^(f j / (t) Ё (t) (см. рис. 40), где / (t) — гладкая
функция; эта параметризация не обязана быть пропорциональной длине.
Так как LP, LR < л/Vk, а меридиан сферы, которой является к'-
плоскость, равен л/у/к - е , то нетрудно видеть, что найдется такое
д = д (к, е, Н) > 0, чтоизРЛ < <5следует0 < f(t) < 71/2VW.
181

Рис.40. Рис.41.
Треугольник ADF в М, вершины D, F которого лежат на стороне
ВС исходного треугольника А, называем узким, если DF < д.
Подчеркнем, что при этом стороны AD, AF совсем не обязательно
проходят близко друг от друга (рис. 41). Докажем, что для узкого
треугольника ADF и соответствующего ему треугольника A'D'F' на к'-
плоскости LD > LD', LF > LF.
Действительно, пусть DF, DA — нормальные геодезические а, у,
причем о (0) = у (0) = D. Рассмотрим на к' -плоскости треугольник
1У'Р"А" = A (DA, DF; LD), т.е. такой, что DA" = DA, D'F" = DF,
LD" = LD, и, как и выше, параметризуем его сторону F"A" как
путь f (t) = exp -(0 / (t) E (t), где у — сторона D'A", y(0) = D',E —
параллельное (на к' -плоскости) векторное поле вдоль у, причем
Е (0) — единичный касательный вектор к D'F".
В многообразии М рассмотрим соответствующий путь £,
определенный равенством £ (t) = expy^f(t) E(t), где Е — параллельное
поле вдоль DA, причем Е (0) — единичный касательный вектор к
стороне DF. При этом £ (0) = F, $ (I) = А.
Так как на геодезических т >-»• ехру^т Е (t), 0 < т < f(t), нет
фокальных, точек, то, по следствию 22.3.8 теоремы Берже^
s (£ ) < s (£ ) = DA", тем самым AD < s (£ ) < AD'. Сравнивая по
лемме 22.4.5 треугольники A'D'F' и A'D'F" на к'-плоскости,
заключаем, что LD' < LD" = LD.m
22.4.9. Завершение доказательства ослабленной условиями 1, 2
теоремы 22.4.4 просто. Разобьем сторону ВС треугольника ABC
точками В = Bq, В\, ..., Вт = С на участки Bi~\Bi так, чтобы все
треугольники ABj-\Bi были узкие. Докажем индукцией по у, что в
каждом треугольнике ABBj углы при основании BBj не меньше
соответствующих углов треугольника А В'В! на к' -плоскости. При/ = 1 это
уже доказано.
Пусть j > 1, по индуктивному предположению углы LB, LBj-i
треугольника ABBj-\ не меньше соответствующих углов AB'Bj-\.
Аналогичное верно.для узкого треугольника ABj-\Bj. Треугольники
AB'Bj_x и А'В-_ХВ- на к' -плоскости приложим по стороне А'В!^ и
обозначим /?i, /?2 их углы при вершине В '. j. Имеем:
182

Рис. 42.
/?1 + /?2 ^ ZB5y-i Л + Z^5y-i Bj = Я.
Применяя лемму 22.4.6, получаем доказываемое неравенство для
номера у. При j - т это дает для треугольника Л.ВС в М и Л'5'С на &'-
плоскости неравенства Z..B > Z..B', LC > LC. ■
22.4.10. Для завершения доказательства теоремы 22.4.4 осталось
снять ограничения 1 и 2.
Устремляя £ V) и выбирая из последовательности треугольников
А В'С на стандартных сферах кривизны к! = к-г
подпоследовательность, сходящуюся к треугольнику А В'С на сфере кривизны к,
снимаем условие 1.
Докажем, что условие 2 в действительности всегда выполнено
при Ка > к > 0. Допустим, что для некоторого треугольника
А = ABC _т кратчайших р (ABC ) > 2лУУХ. Тогда р (ABC ) >
> 2jt/Vk — е при достаточно малом е > 0. Поскольку каждая из
сторон А как кратчайшая ввиду Ка> к меньше чем л/^к~-е и по
непрерывности расстояния, на стороне ВС найдется такая точка D, что
p(ABD) = Ъп/^Гк-е (рис. 42). Пусть A'B'D' — соответствующий
треугольник на (к - е )-плоскости. Так как его периметр
р (A'B'D' ) = lai/^Ik — к, а все стороны меньше чем л/^к~-е, то
А'В'D' представляет собой большой круг на сфере кривизны к - е с
тремя отмеченными на нем точками — вершинами А', В', ГУ.
Поэтому LA' — LB' = LD' = л. Значит, по доказанной ослабленной
теореме LBAD = LB = LBDA = л.
Отсюда следует, что кратчайшая DA, условно изображенная на
рис. 42 прерывистой линией, в действительности налегает на
геодезическую DC. По тем же причинам, что и для /.В, имеем LC = л и
DA идет после С по С А. Поэтому исходный треугольник ABC и
треугольник ABD представляют собой одну и ту же замкнутую
геодезическую, различаясь лишь расстановкой вершин на ней. Значит,
р(АВС ) = p(ABD ) == 2 л/Vk- е, что противоречит предположению
р(АВС ) > 2 tt/VF^T. ■
22.4.11.Замечание. Можно проследить, что при строгом
неравенстве Ка > к в теореме 22.4.4 неравенства LA > LA', LB > LB'',
LC > LC также будут строгими, за исключением единственного
случая, когда в треугольнике ABC сумма длин двух сторон равна
третьей.
183

22.4.12. Упражнение. Проследите, что утверждение теоремы
22.4.4 для LB, LC останется верным, если в треугольнике ABC лишь
стороны АВ, АС — кратчайшие, а сторона ВС — геодезическая, но
выполнено дополнительное условие s(BC ) ^ АВ + АС.
*22.5. Сравнение объемов. Обозначаем В^ (г) шар радиуса г в п-
мерном односвязном пространстве Л?* постоянной кривизны к и
В (р, г) — шар радиуса г с центром р в «-мерном римановом
многообразии М. Набор из п -1 линейно независимых векторов
{v\, ..., vn-\) в касательном (к любому риманову многообразию)
пространстве будем кратко обозначать у, а (и - 1)-мерный объем
построенного на них параллелепипеда II у II .
22.5.1. Для объема шара Во(г ) в Rn имеем:
г
Vol B0(r) = / / Л1 da dt, (15).
о sn-i
где rfcr — элемент (п - 1)-шющади единичной сферы Sn .
Пусть уо — радиус шара Вц{г ), рассматриваемый как нормальная
геодезическая, уо(0) = 0, и пусть {е\, ..., еп-\] — ортонормирован-
ный набор векторов в Rn, ортогональный у^. Если задать вдоль уо
векторные поля ц со значениями ц (t) = t e/, то для набора
У°(0 = {У? (П, •••> У?-1(0} будет II У0 (О II = f*""1, поэтому (15)
можно понимать как
г
Vol£0(/-) = / /11У°(П11ЛгЛ. <16>
о 5л-1
Пусть радиус уо шара 5о(г) С ТрМ (с центром в нуле) лежит в
области инъективности отображения ехрр. Тогда у = ехрр уо —
геодезическая в М, а поля У,- отображениями rfexpp переводятся в
линейно независимые нормальные якобиевы поля У, вдоль у.
Обозначим Y(t) - {Yi(t), ..., Yn-i (<)}. При отображении ехрр в точке
yo(t) элемент объема изменяется в II У (t) II / II r(t) II раз.
Пусть Мк — односвязное пространство постоянной кривизны к, и
пусть г < л/Sk, если к > 0. Тогда все радиусы уо длины г лежат в
области инъективности ехрр, а поля Якоби У\, ..., Уй_1 остаются
ортогональными друг другу при всех t £ (0, г ], причем (см. 22.1.2)
7/(01 =s*(0:=
-r= sin VT <
при к > О,
при /с = О,
(17)
/=*
sh V^ t при /с < 0.
184

Поэтому
г
Vol Bk(r)= J / «Г* it) dt. (18)
0 sn-i
22.5.2. Лемма (Бишоп [6, с. 315]). Пусть на нормальной
геодезической у : [0, а ] -* М нет сопряженных с р = у (0) точек,
У = {Уь ..., Уп-i} — набор ортогональных к у полей Якоби, причем
все У,- (0) = 0, а векторы У- (0) линейно независимы. Если при этом
Ric у' > (и - 1)&, то отношение sj?~ (t) / II У (7) II не убывает на
(0, а ].
Доказательство. В условиях леммы 11У(г)11т*0 при
0 < t < а, поэтому значения s?_1 (t)/ II Y(f) II определены в (0, а ].
Рассмотрим в Л?* набор У = {rj, ..., "Yn-\] полей Якоби вдоль
геодезической у" длины а, где все У/(0) = 0, а У,- (0) линейно независимы и
ортогональны у'(0). Тогда II У (t) II = cs£~ (£), где с — зависящая от
выбранного набора У постоянная. Поэтому утверждение леммы
равносильно справедливости при каждом to £ (0, а ] неравенства
(ш и у (о и );о< (in и у (о и );о. (19)
Следующее замечание упрощает рассмотрение. Перейдем от
набора У к другому набору, Z, также ортогональных к у якобиевых
полей Z,- = a/i Yj, где (ali) — произвольно фиксированная неособая
матрица. Тогда IIZ(i)ll=det(4)-ll^(Oll> и потому (In \\Z(t) II)' =
= (In II Y(t) II)'. Аналогичное справедливо для У (t). Поэтому,
доказывая (19), можно специализировать наборы полей У и У.
Специализируем их так, чтобы в точке to поля У,- (to ) были ортонормирован-
ными; то же — для У,- (to ).
Квадрат (п - 1)-объема II Y(t) II выражается определителем Гра-
ма II Y(t) II 2 = det (( У,- (t), У) (t))). В точке to матрица этого
определителя — единичная. Поэтому
1 - и~1
(In II У (О II)' = т (det (< Yt (t), Yj (t)») « 2 < Yi W, lY(fo) >=
n-l
Здесь первое равенство верно потому, что II Y(t0) II = 1; второе —
потому, что производная определителя равна сумме произведений
производных его элементов на их алгебраические дополнения Ац, а
последние равны <5у. В третьем равенстве It0 — индексная форма
геодезической у. Такое же представление справедливо для (In II "Y(t) II )to.
185

Пусть Ei — поле параллельного переноса вектора У; (<о ) вдоль у,
a Ki — секционная кривизна многообразия М в двумерном
направлении у' Л Ei. Рассмотрим поля Z; — (sk/ sk (^o )) E[. По
экстремальному свойству якобиевых полей имеем:
n-l n-l n-l 'о
2 л0( у/. у0 * 2 Ч2ь zi) = ттт^ 2 / (s'k - кы) л <
;=i ;=i S*W ;=i о
to n-l
s 7777 / (^ -ksk)dt= 2 V^' U) = (In II У (П N )r0- ■
Wo) 0 /=1
22.5.3. Следствие. Если в условиях леммы для У =
= {У'ь ..., Y'п-\} выполнено II У (0) II = 1, то при всех t Е (0, а ]
II У (О И < «Г1 (* )• (20)
Действительно, как читатель может сам проследить, в этом
случае sk~l (О/ и у (О и -» 1при<\0.
Отметим, что если вместо Ric у' > (п— \)к наложено более
сильное требование Ко > к, то (20) немедленно вытекает из теоремы Рау-
ха, примененной к каждому из полей Yt, поскольку II У (О II <
< I Ух (О i •...• iy„-i(o I.
22.5.4. Теорема (Громов [93]). Пусть М—полное п-мерное
риманово многообразие, р Е М. Если в М везде Ric > (п — 1)к, то
отношение
Vol В (р, г )/Vol Вк (г )
является невозрастающей функцией радиуса г при всех г > 0.
Доказательство. Сопоставим каждому v E ТрМ, 1^1 = 1
максимальную длину / (у), в пределах которой геодезическая
у : t<-* expp W еще остается кратчайшей. Рассмотрим в ТрМ звездную
относительно 0 область Q = {0} U {и Е ТрМ \ 0 | I и I < / (и/1 и I)}.
В области Q отображение ехрр является диффеоморфизмом, а
Vol (М \ ехрр Q ) = 0. (Границу области ехрр Q называют
множеством раздела, см. 24.2.6).
Обозначим 2( центральную проекцию множества fiflS" (0, О
на единичную сферу S"~l = 5n_1 (0, 1) в ТрМ и положим
ak = f sfl (t)da, a(t) = f \\Y(t)\\da,
так что
186
г г
Vol Bk(r) = / ak(t)dt, \olB(p,r) = fa(t) dt.
о о

Так как множества I.t с ростом t не расширяются, то из 22.5.2
следует неубывание отношения ак (t )/a (t). Теперь имеем:
(Vol Bk(r })2 fr [WyJ{j$rrj\ = а (г) / ak(t) dt ~ak(r ))a(t) dt.Q\)
Но поскольку
Vol Bk(r) , 0 0
/<ч(Г)Л5/в(*)^Л = ^/в(*)Л,
то правая часть (21) неположительна.
22.5.5. Следствие. В условиях теоремы 22.5.4 при всех г
Vol Я (р, г) > Vol Я* (г).
22.5.6. Следствие. Если к > 0, то в условиях 22.5.4 при всех г
Vol В (р, г) > ЩИ Vol Bk(r),
где Vn — объем «-мерной сферы радиуса 1/VX.
22.5.7. Подчеркнем, что в лемме 22.5.2 оказывается достаточным
ограничить снизу кривизны Риччи, а ее следствие и теорема 22.5.4
имеет глобальный характер. Иначе обстоит дело при наложении
ограничений на кривизну сверху. Здесь приходится налагать
ограничения на Ка, и результаты носят более скромный характер. Вот они.
22.5.8. Лемма. Если в М для любого двумерного направления о,
содержащего у', выполнено неравенство Ка < к {кроме того, при
к > 0 предполагается, что длина геодезической а < п/^Пс), то на
участке (0, а ] не возрастает отношение
II У( О II Af1 СО-
Доказательство в основном аналогично 22.5.2.
22.5.9. Теорема. Если в М все Ка> к, а при к > 0 еще
г < n/yfk, то отношение Vol В (р, г )/Vol Bk (г) не убывает при
тех г > 0, для которых ехрр является диффеоморфизмом в Bq (г ).
Доказательство аналогично 22.5.4.
22.5.10. Мы привели теоремы о сравнении объемов шаров, т.е. г-
окрестностей точек. Результаты сходного типа имеются для
трубчатых окрестностей геодезических и для трубчатых окрестностей
подмногообразий (см. [106, 10]).
22.6. Теорема компактности Громова и пространства
Александрова.
22.6.1. Пусть X, Y— компактные метрические пространства.
Будем говорить, что они отстоят друг от друга не далее чем на А, если
187

для любогое > 0 найдутся е-сети {а,} С X, {£,} С Y, i = I, ..., N(е ),
такие что
\рх (a,-, uj)-pY(b-„ bj)\ ^ h для всех /, j. (22)
Здесь рх, ру — расстояния в пространствах X и У.
Расстоянием Громова—Хаусдорфа dist(X, У) называется
точная нижняя граница таких чисел А. (Несколько отличных от
приведенного, но равносильных ему определений этого расстояния см. в
[97,112]).
Нетрудно убедиться, что dist есть метрика на множестве всех
метрических компактов, рассматриваемых с точностью до изомет-
рии. Требование компактности обеспечивает не только конечность
dist, но и то, что из dist(X, У ) = 0 следует изометричность X и У.
22.6.2. Замечание. Пусть X это отрезок [0, 1 ], а У,-=
= {0, —, ..., ——, 1}. В указанной метрике У,- -*.Х, однако у всех У,-
топология отлична от топологии X. Этот пример показывает, что
топологическое строение метрических компактов не обладает
устойчивостью в метрике Громова—Хаусдорфа.
*22.6.3. Расстояние Громова—Хаусдорфа можно ввести и для
некомпактных (но полных) метрических пространств с отмеченной в
каждом из них точкой. Для этого по-существу достаточно
рассмотреть расстояния между шарами радиуса R с центрами в отмеченных
точках и перейти к пределу при R -» <». Такое обобщение полезно,
например, если мы хотим ввести понятие касательного пространства
ТрХ к метрическому пространству X в точке р. Естественно
положить ТрХ = lim (XX, р), где Я X означает умножение всех растоя-
X -* оо
ний на Я, а предел берется в метрике Громова—Хаусдорфа.
(Конечно, этот предел может и не существовать).
Напомним, что метрическое пространство называется предком-
пактным, если для любого г > 0 в нем существует конечная е-сеть.
В случае полноты пространства предкомпактность равносильна
компактности. Пополнение предкомпактного пространства компактно.
22.6.4. Лемма. Пусть А — некоторое множество метрических
компактов X с метрикой Громова—Хаусдорфа. Предположим, что
диаметры всех X Е А равномерно ограничены: diam X < D. Тогда
для любого предкомпактности множества А достаточно, чтобы
для г > 0 нашлось такое N (е ), что в каждом X G А существует е-
сеть из не более чем N (е) (а потому и из N (е )) элементов.
Доказательство. Пусть {х?} это £-сеть в пространстве X из
N (е ) элементов. Обозначим
ctx:={px(xf,4) I U= l,...,N(e)\
набор попарных расстояний точек сети. Каждый такой набор можно
2
рассматривать как точку bR '£ ' . Множество {d | X G А) лежит в
188

замкнутом кубе со стороной D и потому предкомпактно. Поэтому в
нем найдется конечная (е/3)-сеть. Соответствующие этой сети
пространства X образуют, как легко проследить, £-сеть в А. Ш
22.6.5. Теорема компактности Громова [97]. Пусть
Л — мн&жество всех компактных римановых многообразий М,
удовлетворяющих условиям: 1) dim М < п, 2) diam М < D, 3)
Ric М > (л - 1) к — для некоторых фиксированных п, D, к. Тогда Л
предкомпактно в метрике dist.
Доказательство. Согласно 22.5.4, для любого М Е % и любой
точкир £Мфункция
f(r) = VolB(p,r)/VolBk(r),
где Вк(г) — шар радиуса г в пространстве постоянной кривизны к,
является невозрастающей. Поэтому для любых М Е Л , х Е М и
е > 0 имеем
Vol В (х, г ) > с (е ) Vol M, (23)
где с (е ) = Vol Вк (е )/Vol Вк (D ). Разумеется, с (е ) зависит также
от л, D, к, но эти величины у нас фиксированы.
Ввиду компактности многообразия М, в нем для любого г > О
найдется максимальный по числу точек набор {х,-}, такой что
р (xi, Xj ) > £ при z * /. Из (22) следует, что число точек в таком
наборе не превышает с (е/2). Остается заметить, что набор {х,}
является е-сетью, и сослаться на лемму 22.6.4. ■
22.6.6. Естественно рассмотреть метрическое пополнение
пространства lR = 'R(n, D, к ). При этом полезно иметь в виду следующее
легко проверяемое предложение. Если X, — пространства с
внутренней метрикой и X,- -* X в метрике Громова—Хаусдорфа, то
метрика пространства X тоже внутренняя.
Поэтому пополнение 'R пространства К состоит из пространств с
внутренней метрикой. К сожалению, мало что известно о геометрии
пространств из К \ К . Это связано с тем, что прямое геометрическое
(не инфинитезимальное) описание условия Ric > (л- 1) или хотя
бы условия Ric > 0 неизвестно.
Ситуация кардинально меняется, если в определении класса Л
вместо кривизн Риччи ограничить снизу секционные кривизны:
К„> к. Дело в том, что последнее условие может быть
переформулировано на языке синтетической геометрии. Возможность такого
описания (давно осуществленного А. Д. Александровым [52 ])
подсказывает теорема сравнения углов Топоногова 22.4.4. Однако удобнее
использовать несколько иную формулировку, не требующую введения
понятия угла между кривыми (или хотя бы кратчайшими) в
метрическом пространстве.
22.6.7. Пространства Александрова ограниченной
снизу кривизны. Пусть X — пространство с внутренней
метрикой, а к — вещественное число. Каждой четверке точек (а; Ь, с, d)
189

пространства X, среди которых точка а выделена, соответствуют три
треугольника: abc, abd, acd. Каждому из них, как в 22.4.7, поставим
в соответствие треугольники a'b'c', a'b'd', a'c'd' на ^-плоскости с
теми же длинами сторон. В отличие от 22.4.7 мы не фиксируем
кратчайших — сторон исходных треугольников, а интересуемся только
расстояниями между вершинами. (Более того, такие кратчайшие
могут даже не существовать, если, например, X не локально
компактно).
Будем говорить, что X — пространство Александрова кривизны
> к, если для любой четверки
Lb'а'с' + Lb'a'd' + Lc'a'd' < 2л . (24)
Из теоремы Топоногова легко следует, что у полного риманова
многообразия все секционные кривизны будут > к тогда и только
тогда, когда оно является пространством Александрова кривизны
> к.
В действительности условие (24) достаточно накладывать
локально, т.е. только для достаточно близких друг к другу точек а, Ь, с,
d. Как следствие этого, условие (24) будет выполняться для любых
четверок. (Это обобщение теоремы Топоногова).
Теперь ясно, что К = К(л, D, к) при замене условия
Ric > (л - 1) к на Ка > к состоит из пространств Александрова
кривизны > к. Нетрудно также проследить, что предельные
метрические пространства будут иметь хаусдорфову размерность < л.
Однако не каждое компактное пространство Александрова X ха-
усдорфовой размерности л, кривизны > к с diam X < D
принадлежит Л . Дело в том, что оно может не быть многообразием (иметь
топологические сингулярности), в то время как существует теорема о
том, что пространство, предельное для римановых многообразий из
К (л, D, к), всегда имеет хаусдорфову размерность < л и является
многообразием, если эта размерность равна л (см. [8 ]).
Несмотря на определение, далекое от аналитического аппарата,
пространства Александрова имеют весьма обозримое строение, а их
теория богата результатами. Эти пространства интересны не только
сами по себе. С их помощью удается получать продвижения и в
традиционной римановой геометриии. О пространствах Александрова
мы еще упомянем в п. 32.4.

Глава 4
ТЕОРЕМА О СФЕРЕ
§ 23. Элементы теории Морса
В этом параграфе для замкнутости изложения приводятся
используемые в дальнейшем начальные сведения из теории Морса.
Читатель, знакомый с теорией Морса, например по книгам [25, 33 ],
может пропустить § 23, за исключением формулировки нужной далее
основной леммы 23.1.7.
23.1. Функции Морса.
23.1.1. Пусть/— гладкая функция на (гладком) многообразии
М. Если в точке р£М дифференциал dp / = 0, то р называют
критической точкой функции/, а число/(р) — критическим
значением функции /. Локальные экстремумы (максимумы и минимумы)
функции служат примерами критических значений.
Пусть р — критическая точка функции /. Тогда на ТрМ можно
следующим образом определить симметричную билинейную форму
Я/, называемую гессианом функции /. Пусть и, v Е ТрМ;
распространим и до гладкого векторного поля X в окрестности точки р и
положим
Hf(u,v):=v(Xf). (1)
Докажем корректность этого определения. Распространим v до
гладкого векторного поля У. Поскольку точка р — критическая для /, то
для любого w Е ТРМ имеем: wf = 0. В частности, [X, Y]pf = 0. По
определению скобки Ли, это дает
0= [X, Y)pf=u(Yf)-v(Xf),
т.е. u(Yf) = v(Xf). Этим сразу доказаны и независимость значения
H/(u,v) от способа продолжения и до поля X, и симметричность
формы Hf.
Легко видеть, что в локальных координатах
2
tf/(«,K) = «V-yA, (2)
дх' dxJ
191

где и1, v1 — координаты векторов и, v. Матрица (д f/Bx' BxJ)
называется матрицей Гессе.
Критическую точку р называют невырожденной, если в этой
точке не вырожден гессиан Hf, т.е. если
det
< B2f ^
Вх' BxJ
\ 1
* 0. (3)
Гладкая функция /наМ называется функцией Морса, если все ее
критические точки невырождены.
*23.1.2. Информация. На любом гладком многообразии
существуют функции Морса. Для любой ограниченной гладкой
функции на М и любого е > 0 существуют е, близкие к / функции Морса.
Более того, / можно при любом натуральном т так
аппроксимировать функциями Морса /,, чтобы на любом компакте Q С М
функции /, равномерно сходились к / вместе с производными до m-го
порядка включительно.
Мы не приводим доказательство, поскольку в полном объеме это
утверждение нам не понадобится. Необходимый в дальнейшем
специальный случай будет доказан в 24.3.8.
23.1.3. Ле м м a Mo p с а . В некоторой окрестности
невырожденной критической точки р гладкой функции f на М можно так
выбрать координаты (х , ..., хп), что точка р будет иметь
координаты (0, ..., 0) и
f(x)=f(p)-(xl)2-...-(xs)2 + (xs+l)2 + ... + (У1)2. (4)
Доказательство. Выберем локальные координаты У в
окрестности точки р так, что р = (0, ..., 0). Поскольку точка р —
критическая, то все (<Э//дУ)(0) = 0, а ввиду ее невырожденности
det
v.
*0.
By1 By1
По лемме Адамара 10.2.6, всякая гладкая функция <р : R" -* R,
<р (0) = 0 допускает в окрестности нуля представление
¥> С1, .-.,/) = У fi (У1, •»,/). <5>
где gi — гладкие функции и gi (0) = (д<р/ду1)(0). Применяя (5) к
функции f-f(p ), получаем:
f(yl,...,yn)-f(p) = yigi(yl,...,yn),
где& (0) = (df/dy')(0) = 0, и, снова применяя (5) к каждой из
функций g(, имеем:
192

f(y1,...,yn)=f(p) + yiyJhiJ(y1,...,f),
(6)
где hij — гладкие функции. За счет симметризации считаем, что
hi/ = hfi. При этом из (6) следует:
- 2
М°> = 17-777 (0>-
Теперь лемма Морса доказывается по индукции. Ход индукции
аналогичен процессу диагонализации квадратичной формы:
последовательно выделяются квадраты переменных. Началом индукции
служит (6). Пусть в некоторой окрестности U точки р уже выбрана
система координат (и , ..., ип), в которой/имеет представление
f(u и") =/(/>) + 2 (±"')2+ 2 и^Н^и1 и\
i < г -1 (',/' > г
где Нц = Нц £ С°°. За счет линейной замены последних п — г + 1
координат мы вправе считать, чтоЯп{0) ^ 0. Обозначим^ = V^ \Hrr I ;
это — гладкая функция, не обращающаяся в нуль в некоторой
окрестности V С U точки р. Определим (v , ..., vn) формулами vl := и1
при i ^ r и
vr{u ип):=у>(и\...,ип)
v jHjrJU1 и")
По теореме о неявной функции, {v , ..., vn) могут служить
координатами в некоторой окрестности W С V точки р. Отправляясь от (6),
мы после п таких шагов придем к (4). ■
23.1.4. Из (4) следует, что невырожденные критические точки
лежат на М изолированно. Действительно, в рассматриваемых
координатах df/дх1 = ±2 х1, так что из df/dx' = 0 следует х' = 0. В
частности, функция Морса имеет только изолированные критические
точки.
Индексом критической точки называется максимальная из
размерностей подпространств, на которых гессиан отрицательно
определен. Для невырожденной критической точки размерность эта
совпадает, конечно, с числом s „отрицательных квадратов" в разложении
(4). Например, точки локального максимума и точки локального
минимума гладкой функции/на М имеют, если они невырождены,
соответственно индексы и и 0.
23.1.5. Между топологическим строением многообразия М и
индексами критических точек функции Морса на М существует
глубокая связь. Описывающий эту связь результат называют основной
теоремой теории Морса. Мы приведем эту теорему без доказательства,
поскольку не будем ею пользоваться.
193

*23.1.6. Основная теорема теории Морса. Если на
многообразии М задана функция Морса f: М -» R, причем для
любого а £1 множество /~ ((—°°, а ]) компактно, то многообразие М
имеет гомотопический тип клеточного комплекса; его клетки
взаимно однозначно соответствуют критическим точкам функции f,
причем размерность клетки равна индексу соответствующей
критической точки.
Остановимся на нужной нам основной лемме. Ее доказательство
использует идеи некоторых этапов стандартного доказательства
теоремы 23.1.6. Пусть на многообразии М задана функция Морса /. Для
сокращения записи введем обозначение Маф = f ([а,/?]); всегда
считаем а < /?.
23.1.7. Основная лемма. Пусть множество Ма,р компактно
и функция Морса / не имеет на Маф \ / (а) критических точек
индекса 1, а в / (/?) вообще нет критических точек. Тогда для
любого £ > 0 каждый путь у : [0, а ] -* Ма,р с концами ej (а)
связанно гомотопен в Ма,р пути, лежащему в Ма, a+e.
Доказательству этой леммы предпошлем ряд пояснений и
вспомогательных утверждений. Прежде всего вспомним, что если у
гладкой функции / на Мп нет критических точек на непустом множестве
/~ (t), то /~ (t) есть гладкое (п - 1)-мерное подмногообразие в Мп.
Действительно, по теореме о неявной функции, каждая точка
х G / (t) имеет на М окрестность U, в которой для U Г\ f~ (t)
определено распрямляющее (см. 3.5.3) отображение. Аналогично если
на непустом Ма о нет критических точек гладкой функции/, то Ма^
является гладким и-мерным многообразием с краем/- (а ) U / ф ).
Напомним еще, что подмножество А топологического
пространства X называется его строгим деформационным ретрактом, если
существует гомотопия а : X X [0, 1 ] -* X, такая, что а (х, 0) = х,
о (х, 1) G Л при всех х El X и а (х, t) = x при х£Л и любых
t G [0, 1 ]. В этом случае А и X гомотопически эквивалентны, а
каждый путь у: [0<т<а]-*Хс концами у (0), у (а ) G А связанно
гомотопен пути г н-» а (у (х ), 1), идущему в А.
23.1.8. Лемма. Если в М„в нет критических точек гладкой
функции f, то f (a ) является строгим деформационным
ретрактом для Ма, р. (Поэтому если а < а < fi и в Ма, р нет критических
точек, то любой путь у в Мая с концами в /~ (а ) связанно
гомотопен пути в Ма, а )•
Доказательство. Снабдим М любой римановой метрикой
(,) . Тогда- равенство (V /, и )х := (и / )х, где и G ТХМ определяет на
М векторное поле V / градиента функции /. В локальных
координатах ( V/)' = glJ (df/dxJ). Градиент V/ обращается в нуль как раз в
критических точках функции /. Доказательство леммы состоит в
194

том, что каждая точка х G Ма,р \/ (а ) „опускается" на уровень
f~l(a ) вдоль интегральных кривых векторного поля V/ с удачно вы-
бранной скоростью. Именно, обозначим X = IV / I V / и,
зафиксировав произвольную точку хо, рассмотрим отвечающее ей векторное
поле (а -/(хо)) X. Пусть а (т ) — интегральная кривая этого поля,
удовлетворяющая условию о (0) = хо. Тогда
^(/^) = (V/,-^) = (V/,(a-/(xo))|V/r2V/) = a-/(x0).(7)
Тем самым f (о (1)) =/(ст(0)) + а-/(х0) = а. Значит, гомотопия
а (хо, г ) >-» ст (г ) является искомой ретракцией. ■
23.1.9. Лемма. Пустьf— функция Морса на М. Предположим,
что f (а,-) компактно и содержит ровно одну критическую точку
р, причем ее индекс равен s > 1. Тогда из М можно удалить
содержащий точку р и лежащий в ее произвольно малой окрестности
(п — s )-мерный замкнутый диск Q, так, что для всех достаточно
малых Д > 0 множество f~ (а, —Д ) будет деформационным ре-
трактом для Ма.- д, « + д \ Q. (.Поэтому если а < а,- < /? и у —
путь в Ма_ а.+д, имеющий концы ef~ (a ) и не пересекающий Q, то
путь у связанно гомотопен пути в Ма^ «. - д).
Доказательство. Идея построения требуемой ретракции
проста. Вне малой окрестности U точки р, как и в лемме 23.1.8,
будем опускаться по интегральным кривым векторного поля V /, а
ближе к точке р пути движения точек постепенно „заворачиваем" так,
чтобы в некоторой меньшей окрестности Bs диска Q их движение
было направлено от диска Q в сторону /~ (а,- — Д ).
По лемме Морса 23.1.3, в некоторой окрестности U точки р
существуют координаты (х , ..., х11), в которых функция / имеет
представление (4), причем р = (0, ..., 0). По условию s > I. Пусть Bs —
координатный шар: Bs = {x G U\ 2 С*')2 < $)• Выберем д G (0, 1)
i
столь малым, чтобы замыкание 5^ с U. Пусть 0 < Д < д2.
Рассмотрим пересечение (п - s )-мерного подмногообразия Р : х =
= ... = Xs = 0 с Ма.- д, «. + д (рис. 43). Это пересечение
представляет собой некоторый замкнутый (п - s )-мерный диск Q, который
содержится в Bs. Действительно, если х G Р П Ма. _ д_ „ + д, то
(х1)2+...+ (;С'1)2 = 0+...+ 0 + (/+1)2+...+ (л;п)2=/(л;) < Д < д.
Возьмем такую функцию ip G С°°(М ), что <р = 0 вне Bis и <р = 1
в Bs. Зафиксируем произвольную точку хо G Ма.-^ а. + д \ Q и
рассмотрим на Ма. - д, «. + д \ Q векторное поле
195

Рис. 43.
Z = X(x0)((<p-l)\Vf\~2Vf+<pX),
где множитель Я (xq) = f (x$) - at + Д,-, а поле X определено в Вы \Q
и имеет координаты X1 = (ja. (х))~ х1 при i = 1, ..., s и X1 = 0 при i>s,
а ц(х) = 2((х )2 +...+ (*s)2). Пусть а — интегральная кривая поля
Z с начальной точкой а (0) = xq. Тогда (ср. с выкладкой (7)) имеем:
А(/. а) = { V/, ~) = Я(|У/Г2 ( V/, V/) (<p-l) + <p{Vf,X)) =
s
= А( Р-1-2Р/Г1 ^ (**)2) =-А = о4-Д-/(хо); (8)
/=1
мы учли, что df/дх1 = -2 *' при i < s.
Ввиду (8) путь о при г = 1 достигает уровня / (ct; - Д ), если
только он прежде не „встретит" диск Q. Убедимся, что последнее
невозможно. Рассмотрим функцию fi ° ст. Имеем: (ц ° о )(г ) =
= 2 ((Дг ))2 +...+ (хп(т ))2). Если а (г ) £ В6 П М«. - д, «. + д \ Q,
то
^ = (V,,f>^(VM>=Aif^2>0,
196

так что, попав в В&, путь а может лишь удаляться от Q. В то же время
очевидно, что путь о не может достигнуть Q, не попав
предварительно в Вд- Теперь ясно, что гомотопия а (хо, т )*-* о (т ) является
искомой ретракцией. ■
23.1.10. Лемма. Пусть Ef — плоскость в Ef1 размерности
s < и - 1. Тогда любой путь у : [0, а ] -* Ef1 можно непрерывно
деформировать в сколь угодно близкий к нему путь, не
пересекающий Ef.
Имеется в виду С -близость, т.е. пути у, ^считаются е-6лизкими,
если расстояния \у (t)-y'(t) I < е при всех £Е [0, а ].
Утверждение леммы очевидно: достаточно деформировать у в близкую к у
ломаную, а затем малыми шевелениями вершин ломаной добиться,
чтобы ее звенья не пересекали Ef.
23.1.11. Перейдем непосредственно к доказательству основной
леммы 23.1.7.
1. За счет малых шевелений функции / можно считать, что
каждому ее критическому значению ct,- E (а, /? ) соответствует ровно
одна критическая точкар,-. (Считаем, что/? > а\ > :..> а^> а ).
Поясним, о каких малых шевелениях идет речь. Пусть р —
критическая точка, причем а < f(p) < /?. Выбрав отделяющие точку р
от других критических точек ее произвольно малые окрестности
U С U (Z Vn гладкую функцию <р, равную 1 в U и 0 вне V, заменим/
на/ 4- <рд. Если 16 I достаточно мало, то при таком шевелении
функции/сохранится множество Мая, не изменятся критические точки и
их индексы, изменится только на д критическое значение в точке р.
Теперь приступим к „опусканию" пути у.
2. По лемме 23.1.8, путь у связанно гомотопен пути в Ма^а +е при
произвольно малом е > 0.
3. Пусть мы умеем опускать путь у в Ма,а.+е при любом е > 0.
Выберем для точки р = р,-, как указано в лемме 23.1.9, диск Q и
значение Д. Опустим у в А/аа/+д/2. Если у после этого пересекает Q, то,
пользуясь леммой 23.1.10, непрерывно деформируем путь у так,
чтобы он лежал в Ма>а.+д.\ Q- После чего, по лемме 23.1.9, опускаем
его в Ма<а. - д и затем, по лемме 23.1.8, — в MaiCC.+1+e.
После JV шагов 3 при i = I, ..., N путь у будет лежать в Ма,а+е. Ш
23.2. Пространство путей и его конечномерная аппроксимация.
23.2.1. Зафиксируем точки р, q G М; случай р = q не
исключается. Множество Q всех путей из р в q, имеющих равномерно
ограниченную некоторой постоянной энергию, можно снабдить такой
топологией, что длина и энергия будут непрерывными функциями на Q.
В полном виде пространство Q и исследование его топологии нам
здесь не понадобятся; Q бесконечномерно. Полезно, а для наших
целей и достаточно, построить и использовать его гладкую
конечномерную аппроксимацию.
197

23.2.2. Считаем М полным я-мерным римановым многообразием.
Зафиксируем сначала число Q так, чтобы выполнялись условия
Q > р (р, q ) и VTQ > р(р, q ). Далее зафиксируем достаточно
большое целое N и выделим из Q множество Ф всех N-звенных
геодезических ломаных с началом р и концом q, имеющих энергию,
меньшую Q. (Требование Q > р (р, q ) делает непустым).
Уточним, что путь у : [0, 1 ] -* М мы называем геодезической
ломаной, если существует такое разбиение 0 = to < t\ < ... < tN ~ 1
отрезка [0, 1 ] на равные части, что сужение у,- = у \ . , является
геодезической. Пути у,- называем звеньями ломаной, а точки у (ti) —
ее вершинами. В соответствии с определением геодезической каждый
путь у,- параметризован пропорционально длине дуги, но
коэффициенты пропорциональности могут быть различными.
Ниже, получив оценку (10), мы покажем, что число N можно
выбрать настолько большим, чтобы каждая геодезическая ломаная
у G Ф вполне определялась своими вершинами, т.е. ее звенья были
единственными кратчайшими, соединяющими очередные вершины.
Если такие QnNвыбраны, то отображение
<Р : У -* (У (to),..., У Ш) Ё.МХ...ХМ =:(Mf (9)
N раз
определено и инъективно. Это отображение индуцирует в множестве
структуру гладкого JVw-мерного многообразия, диффеоморфного
открытому множеству в (М ) .
23.2.3. Убедимся, что требуемый выбор числа N всегда возможен.
Рассмотрим множество 2 точек х G М, удаленных от р не более чем
на V2Q. Множество 2 компактно, поэтому найдется такое д > 0, что
каждая лежащая в 2 геодезическая длины < д является
кратчайшей. За счет уменьшения д можно обеспечить, чтобы концы такой
геодезической не были сопряжены между собой.
Выберем теперь N = • [2Q д~2 ] + 1. Тогда для любой ломаной у с
вершинами у (ti) G 2 и энергией Е (у ) < Q в силу 18.1.2 и по выбору
N имеем:
s (у,)2 s 2 (t, - thl) E (Yi) <Щ< -&Х = д2. (10)
N Qd2
Тем самым каждое звено ломаной у не длиннее д. Остается
заметить, что при E(y)<Q, опять согласно 18.1.2, обязательно
s (у) < V2Q, и потому у заведомо содержится в 2. ■
Заметим, что функция Е на Ф, сопоставляющая каждой
ломаной у G Йу ее энергию Е (у), является гладкой. Действительно,
длины s(yi) звеньев являются гладкими функциями, поскольку гладко
зависят от концов, а Е (у,-) = (N/2) s (у,)2.
198

23.2.4. Перейдем к изучению критических точек гладкой
функции Е на Q^. Зафиксируем разбиение отрезка [0, 1 ] точками
О = to < ... < tN = 1, к = i/N. Гомотопию а пути у в М, заданную на
[О, 1 ] х .[-£, £ ], называем кусочно-гладкой, если сужение а на
каждый прямоугольник [ti-i, ti] x [-£, £ ] является гладким
отображением. (Нарушение гладкости вне фиксированных точек ц не
допускается, т.е. здесь слово „кусочно-гладкая" употреблено в несколько ином
смысле, чем обычно). Если, кроме того, сужение гомотопии о на
каждый такой прямоугольник является геодезической вариацией, то
о называем ломаной вариацией. Ясно, что гладкий путь в Qy
является ломаной вариацией в М. Обратно, за счет уменьшения числа £
можно каждую ломаную вариацию в М рассматривать как путь в Q .
Поскольку путь а в Q^ — это отображение а : [О, 1 ] -* (М) по
правилу т >-> (о (to, х ),..., a (<#, г )), то касательный вектор пути а в
точке г = 0 можно отождествить с набором (У(to), ■■-, Y(tw)), где
Y = do ( -r~) | С другой стороны, кусочно-ломаной вариации о
соответствует поле скоростей У. Поскольку продольные линии
вариации о на каждом отрезке \Ц-\, <,•] — геодезические, то поле У на
каждом таком участке является полем Якоби; для краткости будем
называть такое поле кусочно-якобиевым. Покажем, что кусочно-яко-
биево поле У полностью определяется набором Y(to), ..., Y(t^) и
что, кроме того, для любого кусочно-якобиева поля У найдется
порождающая его ломаная вариация. Тем самым касательные векторы
к Qy можно отождествить с кусочно-якобиевыми полями. Все это не-
медлено вытекает из следующей леммы.
23.2.5. Лемма. Пусть точки р = у (а) и q = у (Ь) не
сопряжены вдоль геодезической у. Тогда для любых и £ ТрМ, v £ TQM
существует единственное якобиево поле У вдоль у, такое, что
Y(a)= u,Y(b) = v.
Доказательство. Пусть ЗП — пространство всех якобиевых
полей вдоль у. Правило Yl~>(Y(a), Y(b)) определяет линейное
отображение пространства ЗП в ТрМ х TqM. Это отображение инъек-
тивно, ибо р и q не сопряжены вдоль у. Кроме того, dimjn=
= 2п = dim (ТрМ х TqM). Поэтому наше отображение —
изоморфизм. ■
23.2.6. Для кусочно-гладкой вариации а пути у : [0, 1 ] -» М
справедливо (см. 18.1.3) равенство
' ' Dv' N~l
-1<иГ> Y>dt+ 2 (y(ti),Y--Y+), (ID
n dt
0 ° ,= 1
дЕ=(у', У)
где У = do (д/дг), a yl, y+ — левая и правая производные в точке Ц
199

нарушения гладкости. Из (11) легко следует, что геодезические, и
только они, являются критическими точками функции Е на
23.2.7 Аналогично из определения гессиана видно, что если
геодезическая у то
HE(Y,Y) = d2yE = I(Y,Y), (12)
где Не — гессиан энергии; b\ E — вторая вариация энергии
геодезической у, а I — ее индексная форма. Здесь опять мы воспользовались
тем, что касательный вектор У = (Уо, ..., Yn ) 6 Ту & можно
отождествить с кусочно-якобиевым полем Z вдоль у, для которого
Z (М) = Yi-
Из (12) следует, что в критической точке функции Е на £2 , т.е.
для геодезической у с концами р, д и энергией Е (у) < Q, индекс
формы НЕ равен индексу сужения индексной формы / на
подпространство кусочно-якобиевых полей вдоль у. Покажем теперь, что
такое сужение не меняет индексы, т.е. что
ind He = ind у. (13)
Напомним, что если в линейном пространстве У фиксирована
симметричная билинейная форма А, то элементы х, у G У, для
которых А (х, у ) = 0, называют ортогональными относительно А.
Аналогично подпространства У\, Уг С У называют ортогональными, ес-
ли А (х, у ) = 0 для любых х G У\, у G У2- Если форма А
невырождена, то для таких V\, У2 пересечение У\ П У2 состоит лишь из нуля.
Ортогональным дополнением подпространства У\ С У относительно
А называется подпространство У2 С V, состоящее из тех у G V, для
которых А (х, у ) = 0 при всех х Е. V\. Если форма А —
вырожденная, то у подпространства V\ и его ортогонального дополнения У2
пересечение может оказываться подпространством ненулевой
размерности.
Пусть Хо — линейное пространство всех кусочно-гладких (в
обычном смысле) векторных полей вдоль геодезической у G Й^,
обращающихся в нуль на концах у (0), у (1). Через 'Уо обозначим
подпространство в Хо, состоящее из всех кусочно-якобиевых (в смысле
23.2.4) полей У G Хо, и пусть Но — ортогональное (относительно
формы I) дополнение к 'Уо в Хо-
23.2.8. Теорема. Индексная форма I геодезической у G Q^
положительно определена на Но, а ее индекс равен индексу ее
сужения на 'Уо-
Доказательство. 1. Покажем, что Z G Хо принадлежит Но в
том и только том случае, когда
Z (tt) = 0 при всех i = 0,..., N. (14)
200

Действительно, пусть выполнено (14). Тогда для любого У G Хо,
согласно 21.2.2, имеем:
1
/ ( У, Z ) = -/ { Z, У" + R ( У, у') у' ) dt +
О
N-1
+ 2 <z ('<•)> у-(//) - у;«л >. (15)
(=1
Если У — кусочно-якобиево, а все Z (U) = 0, то / ( У, Z ) = 0.
Поэтому Z G Но- Обратно, если Z G Но, т.е. / (У, Z ) = 0 при любом У £*Уо,
N-\
то из (15) следует ^ { Z (£,), У-(<,) - У+U,-)) = 0. Ввиду произволь-
(=1
ности У G % отсюда вытекает (14).
2. Пусть Z б'УоПИо .Тогда из (14) вытекает, что Z = 0.
Действительно, из того что поле на участке от Ц до £,+i — якобиево, а на
концах этого участка — нулевое, согласно лемме 23.2.5, заключаем
(ввиду несопряженности точек Ц, Ц+\), что Z = 0. Следовательно,
■УоПНоМО}.
N
3. Для каждого Z 6 Но имеем: I (Z, Z) = ^ Л' (Z, Z), где /,• —
(=1
индексная форма сужения у\ . По построению Q^ на [<,-i, <,•]
1Г/_1, Г/J
нет сопряженных точек. Поэтому (см. 21.3.4) каждая из форм /,
положительно определена. Отсюда, поскольку Z (tf) = 0 при всех
i = 0, ..., N, получаем первое утверждение теоремы.
4. Второе утверждение следует из первого и того, что % П Но =
={0}.И
§ 24. Радиус инъективности и множество раздела
24.1. Радиус инъективности.
24.1.1. Радиусом инъективности ri(p ) риманова многообразия
М в точке р называют точную верхнюю границу тех t, для которых
экспоненциальное отображение ехрр определено и инъективно в
(открытом) шаре В (0, t) С ТРМ. Мы будем в дальнейшей части этого
параграфа предполагать М полным. Тогда упоминание об
определенности ехрр становится излишним.
Ясно, что ехрр инъективно также в открытом шаре В(0, /■,(/>)) =
= U В (0, t). Заметим, что в В (0, г,), где г, := rt{p ), отображение
ехрр является диффеоморфизмом. Действительно, достаточно
убедиться, что dexpp нигде в В (0, г,-) не вырожден. Но если при
и G В (0, г,-) дифференциал duexpp вырождается-, то (см. 19.3.8) точка
201

q = ехррЫ сопряжена с р вдоль геодезической уи : t >-» expptu и, по
21.3.9, геодезическая уи от своего начала до точек, следующих за д,
не является кратчайшей.
24.1.2. Можно сказать, что /•,(/>) — это радиус наибольшей
нормальной шаровой окрестности точки р. Из существования
нормальных шаровых окрестностей следует, что всегда /■,(/>) > 0. Если все
секционные кривизны Ка > с > 0, то из 22.2.5 вытекает, что
/-,(/>) < п/^Гс.
24.1.3. Можно также сказать, что /-,(/>) — это точная верхняя
граница тех t, для которых все геодезические длины t с началом р
являются кратчайшими. Действительно, в нормальных шаровых
окрестностях последнее верно. Обратно, если при некотором t это так, то в
каждую точку q шаровой окрестности идет из р единственная
геодезическая: иначе при продолжении за точку q такие геодезические
переставали бы быть кратчайшими ввиду невозможности их
„разветвления". Значит, эта шаровая окрестность — нормальная.
24.1.4. Число г,- = rt(M) := inf {/-,(/>) | р G М} называют
радиусом инъективности многообразия М. Иначе говоря, г,- — это точная
верхняя грань таких t, что каждая геодезическая длины t является
кратчайшей. Если риманово многообразие М — открытое (т.е.
полное, некомпактное), то даже при ограничении IКа I < с < °° и
односвязности М может оказаться, что г£М) = 0. Пример: трубка
псевдосферы, гладко надставленная „шапочкой" (рис. 44). Но если М
замкнуто, то всегда /-,(М) > 0. Действительно, у каждой точки
р G М найдется такая шаровая окрестность Вр, что любые точки
х, у G Вр соединены в М единственной кратчайшей (см. 12.3.7).
Открытые шары Вр по всем р G М образуют покрытие многообразия М.
Если t > 0 взято столь малым, что любой замкнутый шар диаметра t
умещается в одном из элементов Вр этого покрытия (такое t
существует по лемме Лебега, поскольку тождественное отображение
М -* М есть отображение метризованного компакта в пространство с
фиксированным покрытием), то все геодезические длины t
оказываются кратчайшими. ■
24.1.5. При достаточно малых г > 0 сужение ехрр на замкнутый
шар В (0, г ) С ТрМ является диффеоморфизмом. При возрастании г
это свойство может нарушиться. Значение г, при котором такое
нарушение впервые происходит, и есть rt(p ).
Сужение ехрр на В (0, г ) при возрастании г может перестать быть
диффеоморфизмом только по двум причинам (напомним, что М —
полное). Или оно перестает быть локальным диффеоморфизмом, или
нарушается его взаимная однозначность (инъективность); конечно,
может одновременно произойти и то и другое. Первое означает, что в
некоторой точке и G ТрМ с I и\ = г дифференциал duexpp
вырождается, т.е. (по теореме 19.3.3) точка ехрры сопряжена с р. Если же на
границе шара ехррЛ (0, г) нет точек, сопряженных с р, то должно
202

Рис. 44. Рис. 45. Рис. 46.
быть нарушение инъективности, которое может произойти только
благодаря тому, что шар exppi? (0, г) „коснулся сам себя с внешней
стороны" в некоторой точке q (рис. 45). Наглядно ясно, что в этом
случае идущие из р в q „радиусы" продолжают друг друга, т.е.
образуют вместе геодезическую петлю. Это наглядное соображение
лежит в основе следующей теоремы Клингенберга.
24.1.6. Теорема. Пусть М — полное риманово многообразие.
Тогда:
1) для любой точки р £ М
rip ) = min J rc (p), ^ s (p ) L (1)
где rc (p) — минимальное расстояние от р до сопряженных с р
точек, если таковые есть, и гс(р ) = =», если их нет, a s (р) — длина
наиболее короткой геодезической петли с вершиной р (или <», если
такой петли нет);
2) если М замкнуто, то
П(М) = min \rc, ^ sj., (2)
где гс — минимальное из расстояний между парами сопряженных
точек вдоль всевозможных геодезических, as — длина наиболее
короткой нетривиальной замкнутой геодезической; ri (M ) := °°, если
ни сопряженных точек, ни такой петли нет.
Согласно 22.1.4, если все Ка < 0, то гс=оо, а если все
Ка < К = const > 0, то гс > л/Vk.
24.1.7. Следствия. 1. Если все Ка < 0 и при этом /-,-(/>) конечно
или если все Ка < К = const > 0 и /-,(/>) < л/Vk, то существует
геодезическая петля с вершиной р, причем такая, что ее длина не
больше 2/7 (р).
2. Если М замкнуто и все Ка < 0, то г,- (М ) = s/2.
3. Если М замкнуто и все Ка < К = const > 0, то
?03

n (M) > min { л/Vk, ^ s }. (3)
24.1.8. Доказательства утверждений 1) и 2) теоремы 24.1.6
аналогичны, и мы детально докажем только утверждение 1). Поскольку
заведомо г,- (р ) < min | гс (р ), -= s (р )}, то достаточно проверить, что
при Г[(р ) < г^р) < оо найдется геодезическая петля с вершиной р
длины 2/-,- (р ). Пусть г,- (р ) < г с (р ) < °°. Тогда отображение ехрр в
шаре В (0, гс (р)) С ТрМ неинъективно. Значит, в шаре
В (р, гс (р )) С М найдется геодезический двуугольник pq, сумма
длин сторон которого меньше 1гс (р ). Пусть 1а — точная нижняя
граница для периметров (суммы длин обеих сторон) по всем
геодезическим двуугольникам с вершиной р. Очевидно, а > 0. Из
минимизирующей периметр последовательности двуугольников выберем
сходящуюся подпоследовательность двуугольников pqt. Их стороны
не могут сходиться к одной геодезической pq, так как тогда, по лемме
19.3.11, точка q была бы сопряжена с р, что противоречит условию
ri (Р ) < rc(q). Значит, pq — двуугольник с периметром 2а.
Если угол /? двуугольника pq при вершине q отличен от л (рис.
46), то, поскольку р и q не сопряжены вдоль сторон двуугольника,
существует гладкая геодезическая вариация одной (любой) его
стороны, при которой конец р варьируемой геодезической неподвижен,
а другой конец qT „скользит" по второй стороне двуугольника от
точки q в сторону р. Здесь г — длина вдоль второй геодезической. По
формуле первой вариации при этом
■£ s (p, qT) I т=0 = ссй(я -/?) < 1,
где s (p, qt) — длина продольной линии вариации. Значит, при
малых г > 0 периметр двуугольника pq% меньше 2а, что противоречит
выбору а. Значит, /? = л и двуугольник pq есть геодезическая петля
длины 2а.
При доказательстве утверждения 2) теоремы рассуждение
совершенно аналогично, только надо рассматривать минимизирующую
периметр последовательность геодезических двуугольников р,- qt с
двумя „свободными" вершинами. ■
24.1.9. Замечание. Как видно из доказательства, в случае,
когда г,- (р ) = s/2, геодезическая петля длины s с началом р является
одновременно геодезическим двуугольником pq наименьшего
периметра среди всех двуугольников с вершиной р. А в замкнутом
многообразии М при г,- (М ) = s/2 замкнутая геодезическая длины s, если
отметить на ней любые две точки р, q, является двуугольником
наименьшего периметра среди всех геодезических двуугольников в М.
24.1.10. Из утверждения 1) теоремы 24.1.6 следует, что г,-(р)
есть непрерывная функция точки р £ М.
204

Действительно, пусть pj -* р, причем ц (pj) -* а при /-*<».
Подчеркнем, что заведомо а > 0, поскольку у точки р существует
окрестность, в которой любые две точки соединимы единственной
кратчайшей. Для любой точки q G В(р, а ) при достаточно больших j
имеем q G B(pj, rj), где rs := ц (pj). Значит, через q проходит
кратчайшая, соединяющая pj с границей B(pj, rj). Предел таких
кратчайших (для сходящейся подпоследовательности) есть кратчайшая с
началом р, идущая через q и имеющая длину а. Значит, q не может
быть сопряжена с р и не может быть вершиной двуугольника из
кратчайших. Поэтому а </-,(/>). Но из теоремы 24.1.6 следует, что
а > г,- (р ). Действительно, если а < rt (р ), то при г = (r-t (р)- а )/2
в шаре В (р, г[ (р ) - г) при достаточно больших j найдутся либо
точки qj, сопряженные с pj, либо геодезические петли с вершинами ps.
Первое невозможно потому, что (см. лемму 19.3.12) тогда у точки р
вдоль предельной (для подпоследовательности) геодезической была
бы сопряженная точка на расстоянии, меньшем rt (р ). Второе
невозможно потому, что нашлась бы предельная (для
подпоследовательности) геодезическая петля длины 1а с вершиной р, лежащая в
В(Р, ri (р У), что также невозможно. Значит, а = г/ (р ). ■
*24. 2. Точка раздела вдоль геодезической и множество раздела.
24.2.1. Пусть р G М и уи — геодезическая с началом уи(0) = р,
для которой уа'(0) = и * 0. Рассмотрим точную верхнюю границу <о
тех t, для которых участок pyu(t) геодезической уи является
кратчайшей. Если to < оо, то точку yu(to) называем точкой раздела для
точки р вдоль уи и обозначаем С (р, и). Очевидно, С (р, и) =
= С (р, Хи ) при Я > 0.
Участок pyu(to) геодезической уи также является кратчайшей,
поскольку он — предел кратчайших р yu(ti) при *,- / to- Поэтому
можно говорить, что С(р, и) — последняя точка, до которой уи является
кратчайшей.
Примеры. 1. На стандартной сфере Sn для любой точки р G Sn
точкой раздела вдоль любой геодезической служит точка,
диаметрально противоположная р.
2. На прямом круговом цилиндре для точки р точка С(р, и) не
существует, если вектор и параллелен прямолинейной образующей
цилиндра, а в остальных случаях С(р, и ) лежит на
образующей, проходящей через точку, симметричную р относительно оси
цилиндра.
24.2.2 Лемма. Точка q = С (р, и) раздела для точки р вдоль
геодезической уи есть первая из точек на уш для которых выполнено
хотя бы одно из следующих двух утверждений: а) р и q сопряжены
вдоль уи; б) точки р и q соединены по крайней мере двумя
различными кратчайшими.
Если в точке q выполнено условие а) или условие б), то
геодезическая уи на участке от р до точек, следующих за q, заведомо не
может быть кратчайшей. В случае а) это следует из 21.3.9, а в случае
205

б) — из невозможности „разветвления" геодезических. Поэтому для
доказательства леммы достаточно убедиться, что в точке раздела
д = С (р, и) выполняется хотя бы одно из условий а), б). Случаи а),
б) не исключают друг друга, как видно на примере сферы.
Доказательство. Пусть точка д = С (р, и ), Iи I = 1, не
сопряжена с р вдоль уи. По определению С (р, и ), найдется такая
последовательность t[ > г (р, и) := р (р, д ), ti \ г (р, и ), что точка р
соединима с yu(ti) хотя бы одной кратчайшей, отличной от участка
уи. Пусть щ — единичные касательные векторы к этим кратчайшим в
точке р. Выберем сходящуюся подпоследовательность щ -» uq.
Заведомо uq не сонаправлено с и, иначе отображение ехрр ни в какой
окрестности точки ыЕ ТрМ не было бы диффеоморфизмом, а это
противоречит предположению, что ри дне сопряжены вдоль уи.
Геодезическая уи~ : г >-> ехрр tu0 проходит через д, и ее участок
между ряд является кратчайшей как предел кратчайших р yu(U)-
Значит, р и д соединимы хотя бы двумя кратчайшими. ■
Из леммы следует, что если д = С (р, и ), то р = С (д, -Ри ), где
Р — параллельный перенос из р в д вдоль уи.
24.2.3. Упражнение. Если риманово многообразие М
замкнуто, то для любой точки р и любой идущей из нее геодезической
существует точка раздела, притом, очевидно, одна. Верно и обратное:
если для некоторой р G М и всех и G ТрМ точки раздела С{р, и )
существуют, то М замкнуто. Докажите сами эти утверждения.
Расстояние от точки р до С(р, и ), быть может бесконечное,
обозначаем г (р, и ) и называем дистанцией раздела.
24.2.4. Лемма. Пусть (р,-, щ) G ТМ, \щ I = 1, и (р,-, щ) -»
-» (р, и ) при i -» оо. Если при этом г (р,-, ы;) -» г < оо, то г = г (р, и).
Тем самым С (р, и) = lim С (р,-, щ).
i -» оо
Доказательство. Обозначим gi =С (р/,ы,), g = ехрр ги =
= lim С (pi, uj). Участок pg геодезической yu'-t>-^ expptu является
j -» 00
кратчайшей как предел кратчайших р; g-t. Поэтому г (р, и) > г. Если
для некоторой подпоследовательности номеров точки gt сопряжены с р,-
вдоль yU/, то по лемме 19.3.11 точка g сопряжена с р вдоль уи и,
следовательно, g = С (р, и). Если такой подпоследовательности нет, то
начиная с некоторого номера го существуют двуугольники р,- gi, причем
одной из сторон каждого служит yU/. Если все стороны двуугольников
сходятся к участку pg геодезическойуи, то р сопряжено cgnayu по лемме
19.3.11. В противном случае есть как минимум две кратчайшие pg. В
обоих случаях, по 24.2.2, заключаем, что g = С (р, и ). ■
24.2.5. Следствие. Функция г, сопоставляющая каждому
(р, и ) G ТМ при и *■ 0 дистанцию раздела г (р, и ), непрерывна.
24.2.6. Множеством раздела для точки р в касательном
пространстве ТрМ называем множество Ср тех и G ТрМ, для которых
206

С (р, и) — exppU. Образ Ср = ехррСр называют множеством
раздела риманова многообразия М для точки р. Множество Ср состоит из
точек раздела точки р вдоль всех выходящих из р геодезических.
Из 24.2.4 следует, что множества Ср, Ср замкнуты. На каждом
луче / в ТрМ с началом в нуле и на каждой (невырожденной)
геодезической у с началом в р лежит не более чем по одной точке из Ср, Ср
соответственно. Вместе с замкнутостью Ср это показывает, что
содержащая нуль компонента связности D множества ТрМ \ Ср
звездна относительно нуля и гомеоморфна открытому диску. Она может
быть как ограниченной, так и неограниченной, может совпадать с
ТрМ. В пределах диска D отображение ехрр является
диффеоморфизмом. Ясно, что exppD = М \ Ср. Поэтому М\СР гомеоморфно
открытому диску.
24.2.7. Таким образом, любое полное риманово многообразие М
может быть с точностью до гомеоморфизма получено из замкнутого
диска путем отбрасывания части (или всей) его границы
(отбрасывание нужно только в случае, когда М некомпактно) и затем
факторизации оставшейся части границы по отображению ехрр. Результатом
факторизации границы и будет множество Ср. В этом смысле
гомотопический тип многообразия М полностью определяется строением
множества раздела Ср для одной произвольно выбранной точки р.
24.2.8. Информация. Если М — аналитическое риманово
многообразие, то множество раздела Ср допускает локально
конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы [59 ]. Без
аналитичности М множество Ср может быть даже нетриангулируе-
мым.
24.3. Оценки радиуса инъективности снизу.
24.3.1. Если у полного односвязного риманова многообразия М
все секционные кривизны К0 < 0, то г,- (М) = оо. Иначе обстоит дело
при наличии также положительных К0. В примере рис. 44
г,- (М) = 0. Тем не менее две приводимые ниже теоремы Клинген-
берга дают условия, когда при всех К0 > 0 можно оценить rt (M)
снизу положительным числом. Характерно, что условия эти
существенно зависят от четности или нечетности размерности
многообразия. Полученные оценки будут использованы в следующей главе.
24.3.2. Теорема. Пусть М — односвязное риманово
многообразие четной размерности, причем все его секционные кривизны
заключены в пределах 0 < Ка S К, где К = const. Тогда
П(М) > л/VK.
Пример сферы показывает неулучшаемость этой оценки.
В силу 18.5.2 условие односвязности М здесь равносильно
условию ориентируемости М.
Перейдем к доказательству теоремы. Ввиду компактности
многообразия ri = г,- (М ) > 0. Допустим, что rt < л/VK. Тогда, по (3), в М
207

существует наиболее короткая замкнутая геодезическая у, причем ее
длина s (у ) = 2г{. Ввиду четной размерности мы находимся в
условиях теоремы Синга 18.5.1. В ходе ее доказательства было установлено,
что существует нетривиальное ортогональное к у параллельное
векторное поле У вдоль у. Ввиду положительности Ка для любой
соответствующей полю У вариации а геодезической у при достаточно
малых г > О выполняется условие s (ах) < s (у) — 2г,-. Отметим на у
„начальную" точку р, и пусть г *-» рх — проходящая через точку р
поперечная линия вариации. Обозначим через дх наиболее
удаленную от рт точку продольной линии ах. Так как расстояние
Р (Рт. Qx) ^ s {Pt)/2 < ri при малых г > О, то кратчайшая цх между рх
и дх единственна. По формуле первой вариации кратчайшая fix в
точке дх ортогональна к ах.
Выберем подпоследовательность кратчайших цх., сходящихся
при г,- \ 0 к некоторой кратчайшей ц между р и д. Ввиду гладкости
гомотопии а кратчайшая ц будет ортогональна в точке д к у = oq.
Кратчайшая ц и одна из дуг рд геодезической у образуют
двуугольник рд с периметром < 2г/ и с отличным от л углом при вершине д.
Варьированием любой из сторон при неподвижной вершине р он
может быть превращен в двуугольник рд с еще меньшим периметром.
Это противоречит тому, что у — двуугольник минимально
возможного периметра (ср. 24.1.9). ■
В нечетномерном случае аналогичная 24.3.2 теорема неверна.
Это показывает нетривиальный пример Берже (см. ниже 29.6).
24.3.3. Теорема. Пусть М — односвязное замкнутое римано-
во многообразие, причем все его секционные кривизны
удовлетворяют условию
^К<Ка< К, (4)
где К = const > 0. Тогда п(М) > л/VK.
Эта теорема содержательна лишь при нечетной размерности
многообразия М, так как при четной размерности она следует из
предыдущей теоремы 24.3.2. Строгое неравенство в левой части условия
(4) можно заменить нестрогим, но доказательство в этом случае
усложняется, хотя и основывается на тех же идеях. Не исключено, что
в (4) коэффициент 1/4 может быть заменен меньшим числом д > 0,
однако при д < 1/9 теорема заведомо перестает быть верной.
(Именно это показывает уже упомянутый пример Берже).
Доказательство теоремы 24.3.3 (см. 24.3.9) предварим
вспомогательными утверждениями.
24.3.4. Лемма. Пусть в открытом шаре В(0, R)C TpM
отображение ехрр является локальным диффеоморфизмом.
Предположим, что петля у с вершиной р (кусочно-гладко) гомотопна в шаре
В = ехррВ (0, R ) „постоянной" петле при неподвижном начале р
208

(т.е. стягивается в начало р). Тогда у не может быть
геодезическим двуугольником с вершиной р.
Доказательство. По предположению, существует гладкая
гомотопия а : [0 < t < 1 ]х [0 < г < 1 ] -* В, для которой
a (t, 1) = у (t), a (t, 0) = р при всех t; а (0, г ) = а (1, г ) = р при
всех г. Пусть при этом у (■) = а (•, 1) — геодезический двуугольник.
Заметим, что геодезический двуугольник pq не допускает подъема в
ТрМ (при отображении ехрр) в виде петли с вершиной в нуле.
Действительно, подъем каждой стороны двуугольника pq представляет
собой отрезок с началом в нуле, концы таких отрезков не могут
совпасть.
Теперь докажем, что множество Q тех г G [0, 1 ], для которых ах
поднимается в ТрМ, непусто, открыто и замкнуто. Тем самым
Q = [0, 1 ], что противоречит только что сделанному замечанию. Это
завершит доказательство. Множество Q непусто, так как 0 G Q,
поскольку постоянная петля а (•, 0) поднимается в ТрМ. Далее, если
го G Q, то при всех достаточно близких к го значениях г будет r£Q.
Это доказывается точно так же, как лемма о накрывающей гомото-
пии: достаточно заметить, что найдется замкнутый шар
В (0, Ri) CB(0,R ), такой, что ст( [0, 1 ]Х [0, 1 ]) С ехрр В (0, Ri).
Остается доказать, что Q замкнуто. Пусть г,- -» г при / -» °° и
т, G Q. Ввиду гладкости а длины s (а (•, г,)) < Со < °°. В замкнутом
шаре В (0, R[) нормы* НА 11с линейных операторов duexpp
равномерно ограничены снизу положительным числом А > 0, поскольку
эти нормы отличны от нуля и непрерывно зависят от и G ТрМ.
Отсюда следует, что длины петель а,- — подъемов при ехрр петель аТ.
равномерно ограничены, поскольку
s (ot)
1
/
о
!
А
do.
dt
dt<U
dot
da,it) expp -^
dt
l
/
0
dar.
dt
dt = js (ctt.) < j Cq.
Из последовательности петель а,- можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой петле oq. Ясно, что ехрр • ст0 =
= ах , так что петля ах поднимается в ТрМ. Ш
*24.3.5. Замечание. Лемма 24.3.4 позволяет дать другое
доказательство теоремы Картана—Адамара 20.1.3. Пусть в условиях этой
теоремы найдутся такие и, v G ТрМ, и & v, что ехрри = exppv = q.
По односвязности М двуугольник pq связанно гомотопен постоянной
петле с вершиной р. Пусть а — одна из таких гомотопий. При доста-
sup j
Аи\ Iы I =11
209

точно большом R все a (t, г ) G ехррВ (О, R ). Остается применить
лемму 24.3.4, вспомнив, что ехрр при Ка < 0 всегда является
локальным диффеоморфизмом из-за отсутствия в М сопряженных точек. ■
24.3.6. Нам понадобится известная теорема Сарда. Мы
сформулируем ее в достаточной для наших целей форме. Доказательство
читатель может найти во многих книгах.
Говорят, что множество Е в гладком многообразии М имеет меру
нуль, если для некоторой римановой метрики на М и любого £ > О
найдется открытое множество GD Е, такое, что объем Vol G < е.
Легко видеть, что это определение корректно, т.е. класс множеств
меры нуль не зависит от выбора римановой метрики. Множество,
дополнение которого имеет в М меру нуль, всюду плотно, т.е. имеет
непустое пересечение с любым непустым открытым множеством.
24.3.7. Теорема Сарда. Пусть <р : М -> N — гладкое
отображение многообразий одинаковой размерности. Тогда tp-образ
множества всех тех х G М, в которых дифференциал dx <p вырожден
(неинъективен), имеет в N меру нуль.
Доказательство см., например, в монографии [38, с. 56 ] или [35 ].
24.3.8. Следствие. Для любой точки р полного риманова
многообразия М множество тех точек q, которые не сопряжены с р вдоль
каждой геодезической pq, всюду плотно. И тем самым для таких р, q
энергия Е является функцией Морса на построенном в 23.2
пространстве Qy ломаных с концами р, q (см. 23.1.1, 23.2.6, 21.2.5).
Действительно, отображение ехрр : ТрМ -» М определено на всем
ТрМ. Согласно 19.3.8, дифференциал due\pp вырожден при тех и
только тех и G ТрМ, для которых точка ехрры сопряжена с р вдоль
геодезической t *-» e\pptu. Поэтому 24.3.8 следует из 24.3.7. ■
24.3.9. Докажем теперь теорему 24.3.3. Будем считать, что
размерность многообразия п > 3, так как при п = 2 теорема 24.3.3
следует из 24.3.2. За счет „гомотетии", т.е. умножения метрики на
постоянное число, можно считать, что К = 1 и 1/4< Ка < 1.
Допустим, что г,- = г,(М) < л. Тогда, согласно (3), существует
замкнутая геодезическая у длины s (у ) = 2г; < 2п. Из Ка < 1
следует, что в каждом шаре .6(0, я ) С ТХМ, где х G М, отображение ехрх
есть локальный диффеоморфизм (см. 22.1.4 и 19.3.8).
Зафиксируем точку р G у и будем рассматривать у как
геодезическую петлю с концами у(0) = у(1) = р. Покажем, что сколь угодно
близко к у существует такой геодезический двуугольник pq, что q
лежит сколь угодно близко к р и q не сопряжена с р вдоль каждой
геодезической pq. Действительно, выберем на у точку р' = y(to) со
значением to, близким к 1, так, чтобы р' не была сопряжена с р вдоль
у | г , (рис. 47). Это можно сделать, поскольку сопряженные с р
вдоль у точки лежат на у изолированно. Для некоторой окрестности
U вектора t0y'(0) С ТрМ сужение <р = ехрр| есть диффеоморфизм
на окрестность <p(U) точки р'. В <p(U), согласно 24.3.8, найдется
210

Рис. 47.
произвольно близкая к р точка д, такая, что р и д не сопряжены
вдоль какой бы то ни было геодезической. Геодезический
двуугольник рд, образованный единственной кратчайшей рд и геодезической
ц : 11-» ехрр(р~ (g)t,0<t<\,vi будет искомым.
За счет близости р к р и близости д к р' можно считать, что
геодезическая ц и кратчайшая рд лежат вместе с у в шаре В (р, л),
причем длина s (/г) < 2л-2е их (до) < £. Выбор малого £ > 0 подчиним,
кроме требования 2е < 2л - s (у), условию 2л - 2е > л/VS, где
с5 > 1/4 — такая постоянная, что на нашем компактном М все
*а > д. _
Ввиду односвязности М геодезическая ft и кратчайшая до
связанно гомотопны. Ниже мы покажем, что эту гомотопию можно
осуществить в шаре В (р, л). Отсюда будет следовать, что петля из ц и
проходимой в обратном направлении кратчайшей рд связанно
гомотопна точке р в В(р,л), что противоречит лемме 24.3.4. Это
завершает доказательство теоремы 24.3.3.
Итак, пусть а — некоторая гомотопия между р и рд. За счет
аппроксимации (ср. 13.2.2) можно считать а путем в £Щд при
достаточно большом Q. По выбору точки д энергия Е является функцией
Морса на Qp,q- Из теоремы сравнения индексов следует (см. 22.2.5),
что все геодезические в М, длина которых больше л/VJ, имеют
индекс не меньше п-\, т.е. не меньше 2 (мы пользуемся тем, что
п > 3). Для геодезических, параметризованных интервалом [0, 1 ],
длина и энергия связаны соотношением s = 2 Е. Поэтому в
множестве Е~\[л /2d, Q ]) пространства QptQ нет критических точек,
являющихся геодезическими, более короткими, чем л/VJ, так что все
критические точки имеют там индекс ^ 2. Энергия геодезической ц
211

Е (м ) = \ sfy ) < \ (bi - 2г f = 2 (я - £ )2.
2 2
По выбору £ имеем: 2 (я - £ ) > я /д.
По основной лемме 23.1.7, путь а можно „опустить" в
подмножество Е ~1 ([0,2 (я - £ )2 ]), оставляя концы пути а неподвижными. Для
опущенного пути, т.е. новой гомотопии о*, энергии всех продольных
линий не превосходят 2 (я - £) , значит, их длины < 2я - 2е, а
вместе с pq каждая из этих линий составляет петлю длины < 2я - £ с
началом р и потому лежит в шаре В (р, я). ■
§ 25. Теорема о сфере
25.1. Теорема о сфере.
25.1.1. Теорема. Если секционные кривизны Ка замкнутого
односвязного многообразия М удовлетворяют условию
^К<Ка<К, (1)
где К = const > 0, то М гомеоморфно сфере Sn, n = dim M.
За счет умножения метрики на постоянную будем при
доказательстве считать К = 1.
25.1.2. Замечание. Нам понадобится элементарный факт: ес-
ли на стандартной сфере S радиуса 1 расположен треугольник с
длинами сторон а, Ъ, с, причем
л , л л
2-<й<я, iy< с <л, а<тГ>
где а — угол, противоположный стороне а, то а < л/1. Это следует
из „формулы косинусов" сферической тригонометрии
cosa = cosi • cose + sini • sine • cosa > 0. ■
25.1.3. Приступим к доказательству теоремы 25.1.1. Пусть р, q —
пара наиболее удаленных друг от друга точек М, т.е.
Р (Р> Я) — diam M. По теореме 24.3.3 о радиусе инъективности, для
любой точки х G М метрический шар В (х, л ) диффеоморфен
стандартному шару Ои = {и 6 К" | I и I < 1}.
Покажем, что В (р, л ) U В (q, л ) = М. Пусть х G М и
р (р, х) > л. Тогда и р (р, q ) > я. Зафиксируем кратчайшую у из р
в х. По лемме Берже 13.3.5, найдется кратчайшая у\ из р в q, такая,
что а = ^£(у'(0), yi(0)) < я/2. Так как Ка>1/4, то заведомо
Р (Р, Я ) < 2гг. Если а = 0, то отсюда следует: р (q, x) =
= р (р, q) - р (р, х) < я. Пусть а > 0. По теореме Топоногова
212

Рис. 48.
22.4.4, для треугольника рдх на сфере кривизны 1/4 (радиуса 2)
существует треугольник р'д'х' с теми же длинами сторон, причем
а' < а. Уменьшив сферу вдвое и воспользовавшись замечанием
25.1.2, получаем: р (д, х) < л.Ш
25.1.4. Справедлива общая топологическая теорема, по которой
n-мерное связное замкнутое многообразие, являющееся
объединением двух дисков Dn, гомеоморфно Sn. Из этой теоремы и 25.1.3 уже
следует теорема 25.1.1. Однако можно избежать ссылки на эту
теорему, прямо указав требуемый гомеоморфизм. Сделаем это.
25.1.5. Рассмотрим три множества:
Щ = {х \р(р,х) <р (д, х)}, Mq = {х \р(р,х) = р (д, х )},
Щ= {х \р(Р,х) >р(д,х)}.
Ввиду 25.1.3 МРС В(р,п),МдС В(д,л), МоС В(р,л) ПВ(д, л).
Пусть и Е ТрМ, \и I = 1. Геодезическая уи : t^expptu при
О < t < л является кратчайшей из р в уц(?). Поэтому найдется
tu Е (0, л ), такое, что х = yu(tu) Е Mq. Это tu единственно.
Действительно, пусть есть точка у - yu(tu) £ Mo, x 5* у. Можно считать
tu < tu. Тогда для расстояний будет уд = ур = ух + хр = ух + хд.
Поэтому (рис. 48) кратчайшие ух и хд образуют в точке х угол л.
Значит, кратчайшие ухр и ухд с общим начальным участком где-то
разветвляются, что для геодезических невозможно. Итак, на каждой
геодезической уи есть ровно одна точка множества Мо, причем каждая
точка Mq лежит на некоторой уи.
Рассмотрим отображение замкнутого диска Dp = Bq(0, 1) С ТрМ
в М, определенное правилом
/р(у ) = expp tv/\v\v при v * 0, /р(0) = р.
Из сказанного выше ясно, что /р есть гомеоморфизм (в
действительности даже диффеоморфизм) на Мр.
Аналогично tu определяем ти условиями ехр9 tuuE Mq,
^ £ (0, я), где и Е ТдМ, I и I = 1, и строим гомеоморфизм fq
замкнутого диска Dq = До(0, 1) С ТдМ в М по правилу
213

fq(y) = expgWiH г при v * 0, /?(0) = 9.
На единичной (n - 1)-мерной сфере dDp = {« E ГрМ | I и I = 1}
определен гомеоморфизм (p := fq~ ° fp на аналогичную сферу
dZ)? С TqM. Склеивая края дисков Dp и Dq по гомеоморфизму ^,
получаем сферу Sn = DPU Dg. Отображение Sn на М, сужение кото-
Ф
рого на Dp есть fp, а на Dq есть /?, является требуемым
гомеоморфизмом. ■
25.2. Обзор. Различные доказательства теоремы о сфере.
Обобщения и родственные результаты.
25.2.1. Наряду с теоремой Картана—Адамара теорема о сфере явилась одним из
первых и наиболее известных результатов римановой геометрии в целом. Впервые эта
теорема (но при более тесном офаничении на секционные кривизны) была получена
Раухом на основе его теоремы сравнения 22.3.3. В полном объеме теорема о сфере
впервые доказана Клингенбергом с помощью теоремы Топоногова о сравнении углов
22.4.4. Ключевым моментом доказательства Клингенберга (мы в основном ему
следовали) служит точная оценка снизу для радиуса инъективности (теорема 24.1.6).
25.2.2. Малые размерности. Из формулы Гаусса—Бонне следует, что
двумерное замкнутое риманово многообразие М2 с неотрицательной и не тождественно
нулевой гауссовой кривизной диффеоморфно либо сфере S2-; либо проективному
пространству R Р2. Напомним, что последнее неориентируемо.
25.2.3. Если замкнутое трехмерное риманово многообразие М3 имеет только
неотрицательные кривизны Риччи и хотя бы в одной точке кривизны Риччи во всех
направлениях положительны, то М3 диффеоморфно пространству постоянной
кривизны 1. В частности, если такое М3 односвязно, то оно диффеоморфно S3. Это
доказано Гамильтоном [105] на аналитическом пути, с помощью теоремы о
разрешимости уравнения в частных производных, описывающего удачно выбранную
непрерывную деформацию исходной метрики в метрику постоянной кривизны.
Упомянем для сравнения, что открытое М3 с положительными кривизнами Риччи гомео-
морфно!?3 [134].
Требование неотрицательности кривизн Риччи при п > 3 скромнее, чем
требование неотрицательности секционных кривизн. Может показаться, что это не так при
п = 3, поскольку в этой размерности кривизны Риччи полностью определяют
секционные кривизны. Но неотрицательность первых еще не влечет неотрицательность
вторых.
25.2.4. При п = 2 существование на замкнутом двумерном многообразии
римановой метрики знакопостоянной кривизны исключает возможность наличия на том же
многообразии метрики с кривизной противоположного знака. Но уже на S наряду со
стандартной метрикой положительной кривизны существуют римановы метрики, все
кривизны Риччи которых отрицательны [133].
25.2.5. При п < 7, /1/4 гладкая структура на Sn единственна. Поэтому при
таких размерностях в условиях теоремы 25.1.1 многообразие М не только гомеоморфно,
но и диффеоморфно Sn. Так ли это в больших размерностях, пока неизвестно. О диф-
феоморфности в случае более узкого, чемв (1), „защемления" кривизн см. 25.2.12.
25.2.6. Другие доказательства теоремы о сфере. Опубликованы
два доказательства теоремы о сфере, принципиально отличных от приведенного выше.
Они не используют ни теорему сравнения углов, ни оценку радиуса инъективности.
Первое было предложено Громовым и реализовано Эшенбургом [78]. Основу этого
доказательства составляет следующее утверждение.
25.2.7. Теорема. Пусть /: N"-1 -» М" — погружение гладкого замкнутого
многообразия N0'1 в полное риманово многообразие Мп неотрицательной
секционной кривизны, причем для некоторого непрерывного поля нормалей v все главные
кривизны гиперповерхности (N"'1, /) положительны. Тогда N"'1 способно служить
границей некоторого замкнутого диска ТУ и отображение / продолжимо до погру-
214

женил!: D" -» М" так, что полег направлено „внутрь" подмногообразия (£>",/) с
краем.
Если при этом секционные кривизны многообразия М" в точках / (N я_1) все
положительны, то достаточно требовать неотрицательности нормальных кривизн
гиперповерхности (N"~l, /) относительно v. При п — 2 теорема 25.2.7 неверна: рассмотрите
пример, когда М" — R2, а/— отображение окружности JV1 в локально выпуклую
кривую, „дважды обходящую" начало координат на R2. В частном случае М" = R"
отображение 7 является вложением. Этот случай теоремы 25.2.7 хорошо известен как
теорема Адамара—Хопфа.
Идея доказательства теоремы 25.2.7 довольна проста. Диск D" строится
одновременно с построением отображения 7, притом делается это „послойно", постепенным
отступлением от „края" f(N"~l). Поясним это. Погружение /индуцирует на N"'1 ри-
манову метрику. Очевидно, /можно продолжить до локального изометричного
погружения ft некоторого „слоя" Qs = N"~l x [0, г ], так что поле v направлено в сторону
(бг, Л )• Отступая в Qt от N"'1 эквидистантно, получим семейство строго локально
выпуклых гиперповерхностей №:={x£ft \ p (x, N"'1) — <5}, 0 < <5 < е. Затем вся
процедура может быть продолжена с заменой N"'1 на Ns, где <5 близко к е. При этом
гиперповерхности Ns могут перестать быть гладкими, но это не создает существенных
трудностей. В конце концов гиперповерхности Ns, как можно доказать, „схлопнутся"
в точку. (Сравните это с 27.2.5 и 27.2.1).
Из теоремы 25.2.7 легко следует теорема о сфере. Действительно, в условиях
теоремы 25.1.1 найдется такое г > 1/4, что секционные кривизны многообразия М
удовлетворяют условию е < Ка < \. Для любой точки р е М отображение ехрр является
локальным диффеоморфизмом в замкнутом шаре D^ = В (0, г ) для любого г < я.
Поскольку я > ж/2 VF, то можно взять г е (зг/2 VF, ж). В этом случае гиперповерхность
(dDlt ехрр | ) имеет положительные нормальные кривизны относительно поля
нормалей, направленных вовне подмногообразия (D1, ехрр).
К гиперповерхности f(N"~l ) = dDl в М можно применить теорему 25.2.7. Тем
самым М оказывается накрытым двумя дисками: диском Dj_ из ТрМ и некоторым
диском £>2 с границей N"~l, существующим в силу теоремы 25.2.7. Эти диски склеены по
своим границам, так что в целом М накрыто сферой S". Ввиду односвязности М
накрытие это оказывается гомеоморфизмом. (Отображения ехрр, 7 дисков D^, D2 были
диффеоморфизмами, но в районе склейки границ диффеоморфизм мог нарушиться).
Отсюда, в частности, следует, что ехр^ — диффеоморфизм в В (0, г) для любых точек
(1ёМигЕ(0,я). Тем самым г,(М ) > ж.
25.2.8. Другое доказательство теоремы о сфере получено Миколевым и Муром
[119]. Они доказали существенно более сильное, чем теорема о сфере, утверждение,
содержащее в себе, в частности, теорему 25.2.9, которую мы предварим следующими
определениями.
Риманово многообразие М называют д-защемленным, <5 > 0, если все его
секционные кривизны лежат в пределах
<5 К< Ка< К, К= const. (2)
М называют поточечно д-защемленным, если существует такая положительная
функция К : М -» R, что для каждой точки р е М
дК{р)<К,<К{р) (3)
для всех двумерных направлений а в точке р.
25.2.9. Теорема. Пусть М" — замкнутое, поточечно (1/4)-защемленное, од-
носвязное риманово многообразие. Тогда М" — гомотопическая сфера.
Тем самым при п > 4 такое многообразие М" гомеоморфно S". (Для п > 5 это
следует из теоремы об Л-кобордизме [26], а при п = 4 — из решенности
четырехмерной гипотезы Пуанкаре [81]).
Доказательство Миколева и Мура основывается на теории минимальных поверх-
215

ностей и использовании для таких поверхностей теории Морса, аналогичной
вариационной теории геодезических.
25.2.10. Нерасширяемость защемления при четных размерностях.
Теорема о сфере при четном п становится неверной при замене требования (1)
„нестрогим" защемлением
^К<К>< К. (4)
4
Это подтверждает пример комплексного проектного пространства, подробно
рассмотренный в 30.7.5. Чуть ниже (см. 25.2.21) будет перечислено, какие именно
многообразия (их всего три типа) удовлетворяют (4), не будучи гомеоморфными
сфере.
25.2.11. Расширение защемления при нечетной размерности.
Для римановых многообразий нечетной размерности п переход от строгого
(1/4)-защемления (1) к нестрогому (4) не нарушает справедливости теоремы о сфере. Более
того, при нечетных п существуют такие д(п ) < 1/4, что теорема справедлива при
д(п ) К < Кг < К. Это доказано Берже [57]. Однако эффективных оценок для д(п )
пока неизвестно.
25.2.12. Диффеоморфизм при узком защемлении. Поскольку в
размерностях п > 7 и при п = 4 из гомеоморфности сфере S" не следует диффеоморф-
ность ей, возникает вопрос, нельзя ли в теореме о сфере все же обеспечить
диффеоморфизм ценой более узкого защемления кривизны.
25.2.13. Теорема [ 103]. Существует такое (не зависящее от п ) <5 > 0, что
замкнутое, д-защемленное, односвязное риманово многообразие М"
диффеоморфно S".
Аналогичная теорема, но для д (п )-защемленных многообразий, где д(п ) -» 1
при п -» о°, была ранее почти одновременно доказана Громолом, Калаби, Шиката.
25.2.14. В связи со сказанным возник вопрос, будет ли неодносвязное
^-защемленное риманово многообразие М" при достаточно большом д < 1 диффеоморфно
сферической пространственной форме, т.е. полному риманову многообразию постоянной
кривизны 1. В частности, если фундаментальная группа л^{Мп ) такого многообразия
изоморфна Zj, то верно ли, что М" диффеоморфно или гомеоморфно проективному
пространству R Я"? Положительный ответ на последний вопрос впервые получен в
работе [102]: для д > 0.56—гомеоморфизм и для д > 0.7 — диффеоморфизм.
Несколько позднее получен следующий результат.
25.2.15. Теорема. При д е (0.66; 1) каждое д-защемленное замкнутое
риманово многообразие М" диффеоморфно сферической пространственной форме.
Более того, пусть на односвязном М" с ^-защемленной, как в теореме, кривизной
эффективно действует изометриями группа Г. Тогда существуют такое действие
группы Г на стандартной сфере и такой диффеоморфизм F: Ш" -» S", что
Fy (х) = у F (х) для любых х е М", у е Г или, короче, Fy = у F. (В этом случае
говорят, что диффеоморфизм .Рэквивариантен относительно действий группы Г или,
короче, Г-эквивариантен). В частности, если Г действует свободно и вполне разрывно
(это выполнено, если Л? " — универсальная накрывающая для М", Г = jt1(M"),
М" = Л? Я/Г), то риманово многообразие Л? Я/Г диффеоморфно сферической форме
S"/r<CM. [103, 109]).
25.2.16. Упомянутая <5-защемленность кривизн влечет не только диффеоморфизм
М" сферической пространственной форме S"/r. Этот диффеоморфизм, как
прослеживается в доказательствах, можно еще выбрать так, что он будет (в обе стороны)
изменять расстояния липшицевым образом с постоянной Липшица С (<5 ), где С (<5 ) -» 1
при д -» 1. Эти результаты можно трактовать как теоремы об устойчивости
сферических пространственных форм относительно изменений секционных кривизн. Речь
идет об устойчивости как топологии, так и метрики.
Подобные теоремы устойчивости имеют место также для компактных
симметрических пространств, а также и некомпактных симметрических пространств ранга > 1
(см. [62, 122, 123]). Но формулировки этих теорем сложнее, ибо зависят от способа
216

оценки близости кривизн риманова многообразия к кривизнам модельного
симметрического пространства.
Упомянем, что гиперболические пространственные формы, т.е. полные римановы
многообразия постоянной кривизны -1, такой устойчивостью по кривизне не
обладают: для любого г > 0 найдется замкнутое риманово четырехмерное многообразие с
секционными кривизнами -1-£<Л^<-1,не гомеоморфное никакому
пространству постоянной кривизны -1 ([100], см. также [80]).
25.2.17. Родственные результаты. В теореме о сфере секционные
кривизны ограничены с обеих сторон. Оказывается, верхнюю оценку для кривизн можно
заменить подходящим ограничением снизу на диаметр или объем многообразия. Так,
имеют место следующие теоремы.
25.2.18. Теорема [104]. Если М" — замкнутое риманово многообразие с
секционными кривизнами
К, >д >0
и, кроме того,
diam M" > *f,
то Мп гомеоморфно S".*
25.2.19. Теорема [127]. Существует такое е (п ) > 0, что если Мп —
замкнутое риманово многообразие с Кг & <5 > 0 и
Vol М" > Vol S" (д ) - s (п ), (5)
то Мп диффеоморфно S".
Для гомеоморфности (вместо диффеоморфности) М" и S" достаточно кроме (5)
требовать Ric >(п-1)<$>0иЛ^> -а2 с заменой в (5) значения е (п ) на е (п, а ) (см.
[135]).
Если в 25.2.19 вместо (5) предполагать, что
Vol М" > \- Vol S"(S ) - г (и ),
то Ма диффеоморфно или S", или R Р".
25.2.20. Экстремальные случаи.В ситуациях, когда на кривизны, диаметр
или объем многообразия наложено крайнее, предельно допустимое (при прочих
принятых условиях) офаничение, нередко оказывается, что удовлетворять наложенным
офаничениям может только одно или несколько вполне конкретных многообразий.
Такими условиями многообразия часто определяются с точностью до изометрии
некоторому образцу. Укажем примеры таких теорем.
25.2.21. Теорема Берже [56] (экстремальная теорема к „теореме
о сфере", см. также [68, с. 122]). Если при четном п кривизны замкнутого
риманова многообразия М" лежат в пределах (4) и М" негомеоморфно сфере S", то М"
изометрично одному из следующих компактных симметрических (см. гл. 6)
пространств: комплексному проективному пространству С РП, или кватернионному
проективному пространству Н Р", или плоскости Кэли с их канонической
метрикой.
Эти пространства, включая S", называют симметрическими пространствами
ранга 1, так как среди компактных симметрических пространств только они не содержат
плоских вполне геодезических подмногообразий размерности, большей 1 (см.
подробнее [41], [23]).
25.2.22. Т е о р е м а. Если у замкнутого риманова многообразия М"
*Этот результат уже содержится в более ранней теореме Берже (см. [13, с. 281]),
если учесть для исключенных там размерностей 3 и 4 работы [ 105] и [81].
217

Ric > (и- 1)<5 > 0, diam Mtt = -?f,
то Мп изометртно S" (см. [73] или [135, ПО]).
Ранее этот результат был получен Топоноговым при более сильном требовании
К, > д > 0 вместо Ric > (и- 1)<5 >.0 (см., например, [13, с. 232]). В таком виде он
оказывался экстремальной теоремой для 25.2.18.
25.2.23, Теорема (экстремальная для теоремы 25.2.19). Если у
замкнутого риманова многообразия Мп
Ко> д > 0, Vol Mn = Vol S"(S ),
то Мп изометрично S"(S ).

Глава 5
ВЫПУКЛОСТЬ
Эта глава мало прибавляет к изложенному ранее аппарату
римановой геометрии. Но она демонстрирует, как сочетание
этого аппарата с наглядными геометрическими соображениями
ведет к содержательным результатам. Здесь, как и в евклидовой
геометрии, привлечение к рассмотрению общих выпуклых
множеств, часто не гладких, позволяет получать новые результаты
для классических гладких объектов.
§ 26. Выпуклые множества
26.1. Различные типы выпуклости.
26.1.1. Расщепление понятия выпуклости при переходе от
евклидовых пространств к произвольным римановым
многообразиям связано прежде всего с тем, что в последних не всякая
геодезическая является кратчайшей и две точки могут
соединяться не единственной кратчайшей. Специальные нюансы
возникают также при неполноте многообразия или наличия у него
края.
26.1.2. Для простоты мы будем предполагать риманово
многообразие М полным. Это снимает вопрос о существовании
геодезических и кратчайших геодезических, соединяющих две
точки. Ниже используем следующие определения:
1) множество А С М называется абсолютно выпуклым,
если каждая геодезическая с концами в А целиком
содержится в А;
2) А С М называется выпуклым, если каждая кратчайшая
с концами в А содержится в А;
3) А С М локально выпукло, если каждая точка р Е А
имеет в М окрестность £/_, для которой множество Up П А
выпукло;
4) множество А С М, А & М называем строго гранично
выпуклым, если у Л в каждой граничной точке есть „внешняя
вогнутая опора" (см. рис. 49) и, кроме того, А локально
выпукло.
219

Рис. 49. Рис. 50.
Внешней вогнутой опорой множества А в точке р Е дА
называем такую гиперповерхность (вложенное (и - 1)-мерное
подмногообразие) F ^* М, где п = dim М, что р Е F и F
разбивает некоторую шаровую окрестность В точки р на две
компоненты (в каждую из которых мы включаем F П В ),
причем АГ\ В содержится в одной из этих компонент, а главные
кривизны F в точке р относительно направленной в эту
компоненту нормали все положительны.
Ясно, что абсолютная выпуклость влечет выпуклость, а
последняя — локальную выпуклость. Рис. 50, если А — замкнутая
полусфера, дает на S пример локально выпуклого, но не
выпуклого множества, а если А — круг, меньший полусферы,
то дает пример выпуклого, но не абсолютно выпуклого
множества. Локально выпуклое множество может не быть связным.
В определении 4) отдельное требование локальной
выпуклости не является лишним. На рис. 51 приведен пример
множества А на плоскости, имеющего внешнюю вогнутую опору
в каждой граничной точке, но не являющегося локально
выпуклым в точке О.
26.2. Выпуклые окрестности.
26.2.1. Обозначим 7"conv(/?) максимальное число, при котором
все шары В (р, г) радиуса г < гсот (р) строго гранично
выпуклы (но не обязательно выпуклы).
26.2.2. Теорема. Пусть М — полное риманово
многообразие и р Е М. Тогда, если все Ка < 0, то
а если все Ка < К, где К > 0, то
rcom{p)>mm[ri{p), 7t/ly/K). (2)
Неулучшаемость оценки (2) видна на примере стандар-
2
тной сферы S . Сравните эту теорему с теоремой 24.1.6 и,
особенно, — с ее следствиями 24.1.7.
Доказательство. Положительность всех нормальных
кривизн сферы Т = дВ(р, г) при г, меньших правых частей
(1), (2), следует из леммы 22.3.2. (При этом достаточно,
чтобы ограничения Ка < 0 или Ка< К соблюдались в обла-
220

сти, в которой умещается шар В(р,г)) Так что сама сфера
Г служит локальной вогнутой опорой в любой точке
границы дВ{р,г).
Остается убедиться, что шары В(р,г) локально выпуклы.
Это следует из приводимой ниже леммы 26.2.4. ■
26.2.3. Теорема. Если в условиях теоремы 26.2.2. радиус
г не только меньше правых частей (1), (2), но, кроме того,
настолько'мал, что любые две точки шара В~(р,г) соединимы
единственной кратчайшей, то шары В(р,г), В(р,г) выпуклы.
Проверим это для шара В = В(р,г). Допустим, что нашлись
точки х, у Е В, для которых кратчайшая ху выходит из В.
Выберем путь у : [О, 1 ] -* В, у ( 0) = х, у ( 1) = у и рассмотрим
кратчайшие х у (t). Они единственны и непрерывно зависят
от t. При t = 0 кратчайшая ху лежит в В, а при t = 1 выходит
из В. Найдется t0 Е ( 0, 1), при котором кратчайшая ху(?0)
лежит в В, касаясь его границы. Но это противоречит
положительности формальных кривизн границы в точке касания.
Для шара В выпуклость проверяется аналогично. Только
путь у надо выбрать идущим (кроме, быть может, концов) в
В, и если х Е дБ, то выходящим из х в направлении, не
касательном к дБ. Ш
26.2.4. Лемма. Пусть Q не обязательно связное
открытое множество в М, ограниченное вложенной в М гладкой
гиперповерхностью Г, все главные кривизны которой по
отношению к направленным в £2 нормалям положительны. Тогда
множества Q и Q являются строго гранично выпуклыми.
Действительно, для любой точки р G д Q = Г роль внешней
вогнутой опоры выполняет Г. Остается проверить, что Q и
Q локально выпуклы. Для точки р множества Q (или
внутренности Q) найдется, согласно 26.2.3, малая выпуклая
окрестность В = В П Q = В П Q. Пусть теперь р G д Q = Г.
Возьмем окрестность В столь малой, чтобы она делилась гладкой
гиперповерхностью Г на две связные компоненты, была
выпуклой и любые две ее точки соединялись единственной крат-
0&&ffffi$>i / \
Рис. 51. Рис. 52.
221

чайшей. Тогда компонента Вр П £2 будет выпуклой. Это
проверяется точно так же, как доказывалась теорема 26.2.3. ■
*26.2.5. Упражнение. Пример открытой полусферы на
2
сфере S показывает, что замыкание выпуклого множества
может не быть выпуклым. Докажите, что замыкание локально
выпуклого множества в полном римановом многообразии
локально выпукло.
Отметим некоторые следствия теоремы 26.2.3.
26.2.6. Следствие. В многообразиях Адамара (см. 20.1.2)
все шары любого радиуса, открытые и замкнутые, абсолютно
выпуклы и строго гранично выпуклы.
Это следует из того, что в многообразиях Адамара любые
две точки соединимы единственной геодезической (она же
кратчайшая) и все г,- (р ) = °°. ■
26.2.7. Следствие. На каждом полном римановом
многообразии М найдется такая непрерывная функция р: М -» R ,
что для всех р ЕМ при 0<г<р(р) шары В(р,г), В(р,г)
строго гранично выпуклы.
Для доказательства достаточно вспомнить (см. 24.1.10), что
/",(/>) непрерывно зависит от р, и учесть даваемые теоремой
26.2.2 оценки (1), (2). ■
26.2.8. Следствие. Если (в услов_иях теоремы 26.2.2)
0 < /•< ( l/2)/-convO), то шары В(р,г),В(р,г) выпуклы.
Действительно, если бы кратчайшая с концами в В(р,г)
или В(р,г) выходила из этого множества, то ввиду
0 < г < ( 1/2) rconv (p) она все же лежала бы в шаре
S (p, rconv(p)\ и потому касалась бы „изнутри" сферы
дВ(р, /д) при некотором r0 Е (г, гсот (р )\ , что противоречит
строгой граничной выпуклости В (р, г0). ■
26.2.9. Теорема. На полном римановом многообразии М
всегда существует строго положительная непрерывная
функция £, такая, что для всех р Е М при 0 < г < г (р) шары
В(р,г), В(р,г) выпуклы, строго гранично выпуклы, любые две
их точки соединимы в М единственной кратчайшей и в
пределах соответствующих шаров радиуса г в ТрМ отображение
ехр является диффеоморфизмом.
Такие шары В (р, /•) будем называть нормальной выпуклой
окрестностью точки р.
Справедливость теоремы вытекает из 26.2.7, 26.2.8, 12.3.7.
26.3. Строение выпуклого множества.
26.3.1. Пусть М — полное риманово многообразие. Связное
замкнутое локально выпуклое множество N С М, непустое и
отличное от М, будем для краткости называть нормальным
локально выпуклым множеством. Нормальным, в частности,
является непустое замкнутое выпуклое множество N ^ М.
Требование полноты М можно в этом определении заменить
условием, чтобы каждая последовательность Коши точек из N
222

имела предельную точку. Иными словами, если М —
пополнение М как метрического пространства, то требуется, чтобы
замыкание ./V в топологии М не пересекалось с Ш\М.
Строение нормального локально выпуклого множества во
многом аналогично строению выпуклых множеств в Rn.
Замкнутое выпуклое множество в Rn всегда является вполне
геодезическим подмногообразием, без края или с краем
(возможно, негладким). Если ./V ограниченно, то край непуст и связен.
В римановых многообразиях первое утверждение также верно.
Но на этот раз ограниченное нормальное локально выпуклое
./V может не иметь края (оказаться замкнутым
подмногообразием), пример дает рис. 52. Кроме того, край bN может быть
несвязным. Пример дает кольцевой пояс на поверхности
цилиндра.
Следует отличать край bN от границы SN множества ./V в
М. Например, если М = R , а N — плоский треугольник, то
dN = N, a bN — лишь контур треугольника.
26.3.2. Прежде чем сформулировать теорему, напомним, что
гладкое подмногообразие ./V риманова многообразия М
называется вполне геодезическим, если в каждой точке р
подмногообразия ./V его вторая основная форма В = 0.
Чтобы N <^М было вполне геодезическим, необходимо и
достаточно (см. 15.5.4), чтобы каждая геодезическая
подмногообразия ./V (в индуцированной погружением метрике) была
одновременно геодезической в М. Отсюда сразу следует, что
если р & N, и ЕТ N, то геодезическая t "-» ехрр tu в М
содержится в ./V при малых \t \. Кроме того, каждая точка
р Е. N имеет такую окрестность U в М, что любые две точки
из N П U соединимы в М единственной кратчайшей, и она
лежит в N.
26.3.3. Теорема (Чигер и Громол). Нормальное локально
выпуклое множество N в римановом многообразии М с
индуцированной в нем включением N ^*М топологией
является С -многообразием с {возможно, пустым) краем bN.
Внутренняя часть inXwN := N\ bN многообразия ./V является
гладким вполне геодезическим подмногообразием в М. Край
bN может быть негладким;* он может быть и несвязным.
26.3.4. Начало доказательства теоремы 26.3.3.
Пусть т — максимальная размерность содержащихся в ./V
гладких подмногообразий многообразия М, очевидно,
0 < т < п = dim M. Если т = 0, то ./V одноточечно, и теорема
тривиальна. Пусть т > 1. Обозначим \Аа\ множество всех
/таможне доказать, что bN является липшицевым многообразием (см.
[2, 139]).
223

подмногообразий Аа ъ N к убедимся, что А = Ua Aa — гладкое
вполне геодезическое подмногообразие в М.
Каждая точка р G А принадлежит некоторому Аа. Ввиду
гладкости Аа найдется шаровая окрестность Вр точки р в М,
такая, что для любой точки q G Вр существует хоть одна
ближайшая q'&Aa. Окрестность Вр выберем настолько малой,
чтобы кратчайшие q q' были единственными, а их концы — не
сопряженными между собой. Тогда
Вр П N = Вр П Аа; (3)
действительно, допустим, что нашлась точка qE(BpDN)\Aa.
Соединим q кратчайшими с точками малой окрестности U точки
q' в Аа. Кратчайшая qq' ортогональна к Аа в точке q'.
Кратчайшие qx, x G U, „гладко зависят" от х, в частности,
не могут касаться Аа при достаточной малости U. Поэтому
кратчайшие q х за вычетом их концов образуют (т + 1 )-мерное
гладкое подмногообразие в М, содержащееся (ввиду выпуклости
N) в N. Это противоречит максимальности т, что доказывает
(3).
Из (3) следует, что А является /и-мерным гладким
подмногообразием в М, притом вполне геодезическим, поскольку
достаточно короткие кратчайшие (в М) с концами на А ввиду
(3) содержатся в А. Случай т = 1 тривиален.
Для завершения доказательства при /и > 2 воспользуемся
леммой, еще раз подчеркивающей аналогию между выпуклыми
множествами в М и в R™.
26.3.5. Лемма. Пусть А — построенное выше
подмногообразие, т > 1, р G A, q G N, а кратчайшая pq единственна
и точки р, q не сопряжены вдоль нее. Обозначим Q
произвольную гладкую гиперповерхность в многообразии А,
проходящую через точку р трансверсально к pq. Тогда в Q
существует такая окрестность V точки р, что объединение
кратчайших qx, х G V, за вычетом их концов, есть открытая
область в А. В частности, отсюда следует, что q Gl
Действительно, выберем V столь малой, чтобы кратчайшие
qx, х G V, были единственны и их концы q, x не были
сопряженными. (Такая окрестность V существует, иначе точки
р, q были бы сопряженными вдоль pq). Кратчайшие qx гладко
зависят от х и по выпуклости ./V лежат в N. Их объединение
(за вычетом концов) будет /и-мерным гладким
подмногообразием ъ N п потому содержится в А. Будучи связным
подмногообразием той же размерности, что и А, оно является областью
в А. Ш
26.3.6. Завершим доказательство теоремы при т ^ 2.
Покажем, что N=^A и N\A, если оно не пусто, есть край N. Раз
N замкнуто, А С N. Если Е - N\A~ не пусто, то оно (ввиду
224

связности ЛО не является замкнутым, и существует х G
ЕЕ\Е. По выбору точки х, в любой ее окрестности есть
точки из Л и из Е. Выберем р G A, q ЕЕ столь близкими к
х, что для них выполняются условия леммы 26.3.5. Тогда, по
этой лемме, q E А, что противоречит q Е Е. Итак, N = А.
Рассмотрим множество N\A, если оно не пусто. Пусть
q G N\A, выберем р Е А столь близко к q, чтобы
выполнялись условия леммы 26.3.5. Из нее следует, что продолжение
кратчайшей р q за q на некотором участке, примыкающем к
q, не принадлежит N. Поэтому геодезические, исходящие из
р в направлениях, касательных к А и достаточно близких к
направлению р q, все пересекают N\A вблизи q и
непосредственно за точкой такого пересечения идут на некотором своем
участке вне N. Отсюда нетрудно вывести, что N является
многообразием с краем bN = N\A.M
*26.3.7. Упражнения. Следующие утверждения,
дополнительно поясняющие строение нормального локально
выпуклого множества ./V в М, рекомендуется доказать после прочтения
§26, 27.
1. Изменяя М только вне некоторой окрестности N, можно
добиться, чтобы ./V было выпуклым в новом, притом полном,
многообразии М.
2. Если q Е bN, то векторы начальной скорости у' всех
геодезических у , идущих из q в близкие точки intvN, образуют
в Т' М открытый выпуклый конус Q; его аффинную оболочку
естественно обозначать Т N; dim ГqN= dim(intv./V); границу Q
в Т N называют касательным конусом к bN в точке q (см.
[70, 9]).
3. У JV в каждой граничной точке р G д N есть хоть одна
локально опорная (см. 26.4.3) гиперплоскость. (Ввиду 25.4.1
достаточно показать, что проектирование я :/?>-»/?' (см. 26.4.2)
сюръективно).
26,4. Расстояние до выпуклого множества.
26.4.1. Обозначим h функцию расстояния на М до
нормального локально выпуклого множества NCM, т. е.
h(p) := р (р, N). Если д N компактно, то из 26.2.9 следует
существование такой (5-окрестности U$ N множества N в М, что
для любой точки р G U$ N\ N справедливо h (р ) < £ (р), и
потому шары В(р, г) при г < h(p) являются нормальными
выпуклыми окрестностями. Такую область U$N\N назовем
правильным слоем и обозначим BN.
По существу понятие правильного слоя носит
локальный характер: если даже 8N некомпактно, то для р G dN мы
можем при достаточно малом £ > 0 правильный слой выпуклого
множества NС\ В (р,г), за вычетом его части, не
попавшей в В (р, е), считать вблизи р локальным правильным слоем
Для N.
225

Для каждой точки р Е В N ближайшая к ней точка
р'Е N (проекция р на N) единственна. Действительно, если
бы в N нашлись две ближайшие к р точки р', р", то
соединяющая их кратчайшая содержалась бы в N Г) В (р, h(p)\,
значит, в д В (р, h(p)\, что противоречит строгой граничной
выпуклости шара В (р, h(p)\.
26.4.2. Из единственности р' следует, что отображение
71 :/?>-»/?' проектирования BN в N непрерывно. (Действительно,
пусть р- -» р Е В N. За счет выбора подпоследовательности
можно считать, что р\ сходятся к некоторой точке q Е N. Тогда
p(p,q)=p(p,N), и потому q = p').
Обозначим rj нормальную геодезическую, являющуюся
единственной кратчайшей, между р и р'; '/„(.0) = /?,
VD(h(P)\ — Р'• Из непрерывности отображения л следует, что
отображение р*-* (р, rj' (0)\ правильного слоя BN в касательное
расслоение ТМ также непрерывно.
26.4.3. Гиперплоскость НСТрМ назовем (локально)
опорной к нормальному локально выпуклому N СМ, если
р Е д N и существует такая шаровая окрестность В нуля в
Т N, что гиперповерхность ехр (Н П В) разбивает шар
ехр В на две компоненты (в каждую мы включаем
ехр (НОВ)) и N П ехр В содержится в одной из этих
компонент (ср. с определением внешней вогнутой опоры в 26.1.2.)
26.4.4. Лемма. Пусть, как и выше, р Е В N и rj —
нормальная геодезическая, реализующая расстояние
s = р (р, р') = р(р, N) от p = ijp(0) до N. Если гиперплоскость
Н С Тр, М перпендикулярна r\ (s), mo H является (локально)
опорной к N.
Доказательство. Ограничимся малой выпуклой
окрестностью В нуля в Т , М. Пусть ехр a EN, а ЕВ. Тогда
ехрр, ta Е N при t Е [0, 1 ]. Если бы *£. (a, ~^l'(s)\ был меньше
л/2, то, по формуле первой вариации, мы бы имели при малых
t> 0
p(expp,ta,p) < р{р',р) - s,
что противоречит выбору р'. Значит, {а, ц (s )} > 0, что
доказывает лемму. ■
26.4.5. Теорема. Функция расстояния h:BN^R до
нормального локально выпуклого N ЕМ является С -гладкой.
При этом (grad/i)p = —>]'р(<)).
Доказательство. Пусть р Е В N. Рассмотрим в
окрестности точки р наряду с функцией h еще две- функции, Л, /г,
определяя их равенствами
И(х) = р(х,р'), h(x)=p{x, expp, Я),
226

Рис. 53.
где Н — фигурировшая в лемме 26.4.4 гиперплоскость,
ортогональная i]'p{s) в Тр,М. В достаточно малой окрестности точки
р функции Л\ А гладкие, причем (dH)p = (dh)p.
Ясно (см. рис. 53), что Ъ(х) > h(x), Ъ(р) = h(p), и по
лемме 26.4.4 также А(х) < А(х), h(p) = h(p). Отсюда следует,
что существует (dА) = (dH)p = (afA)_. Значит, существует
(gradA)p, но тогда он равен -г/'р(0). Как отмечалось в 26.4.2,
отображение p>-^rj'„(0) непрерывно. Поэтому gradA EC , и тем
самым A G С . ■
26.4.6. Следствие. В условиях теоремы 26.4.5 множество
Nt := {xEM\h(x) = t} для любого t Е (0, г), где £ —
минимальная „толщина" слоя BN, является С -гладким
подмногообразием в М.
*26.4.7. Можно доказать, что в условиях теоремы
26.4.5 функция А : В N -* R является даже С ' -гладкой,
т. е. ее первые производные удовлетворяют условию
Липшица. Соответственно и подмногообразия Nt являются С '
-гладкими (см. [9, с. 25]).
§ 27. Вогнутые функции на многообразии
27.1 Выпуклые и вогнутые функции.
27.1.1. Функция / :M-*R , заданная на полном римановом
многообразии М, называется выпуклой, если для любой
геодезической у : [а, /3 ] -* М функция одной переменной /• у выпукла
на [а, /б ], т. е. для любых а, Ъ G [а, /? ], Я G [ 0, 1 ]
/•y((l-A)a + Ai) < (l-A)/.y(a)+A/.y(i) . (1)
Функция / называется вогнутой, если выпукла -/, т. е. если
/°у ((1 -А)а + А*\ > (1 -А)/°у(а) + А/°у(й) . (2)
Нам будет удобнее говорить о вогнутых функциях.
Аналогично можно определять вогнутые функции, заданные,
например, на абсолютно выпуклых, или на локально выпуклых
227

множествах, или просто на открытых подмножествах риманова
многообразия. В этих случаях условие (2) налагается на
каждую геодезическую, умещающуюся в области задания функции.
Хорошо известно, что вогнутые функции непрерывны внутри
области задания.
27.1.2. На полном М геодезическую можно неограниченно
продолжать. Вогнутая функция на таком М вдоль геодезической
либо постоянна, либо неограничена снизу. Поэтому на
замкнутом М вообще нет вогнутых (и выпуклых) функций,
отличных от постоянных. Интерес представляют вогнутые функции
на открытых (т. е. полных некомпактных) римановых
многообразиях М и на некоторых многообразиях с краем.
27.2. Вогнутые функции и выпуклые множества.
27.2.1. Если / — вогнутая функция на полном М, то
множества больших значений Ма := {х £М \f(x)> а)
абсолютно выпуклы. Действительно, если у — геодезическая и
у {а), у(Ь)ЕМа, с = (1 -Х)а + ХЬ, 0<А< 1 , то f°y(c)>
>(1-А)/«у(а) + А/»у(А)>(1-А)а + Аа, т. е. у(с)ЕМа.Ш
Аналогично для выпуклой функции / абсолютно выпуклы
множества меньших значений та :={х ЕМ \f(x)<a}.
27.2.2. Непостоянная вогнутая функция / на полном М не
может иметь локальный минимум, а множество ее локальных
максимумов либо пусто, либо представляет собой абсолютно
выпуклое (в частности — связное) множество Мшах, на котором
/ принимает свое наибольшее значение.
27.2.3. Функцию /:M-»R обычно называют собственной,
если прообраз / (Q) любого компакта Q С R является
компактом. Мы позволим себе называть функцию / собственной,
если являются компактами все ее множества уровня Еа —
= {х GM 1/(х) = а}.
27.2.4. Легко проверить, что когда на полном многообразии
М вогнутая функция / : М -» R ограничена сверху и достигает
своего максимума, то для того чтобы она была собственной,
достаточно, чтобы было компактом множество Мшах, на котором
/ принимает наибольшее значение.
27.2.5. Теорема. Пусть N — нормальное локально
выпуклое множество с непустым краем bN в римановом
многообразии М неотрицательной кривизны, ар — внутренняя
метрика в множестве N. Тогда функция /:7V-*R , где
f(x) — р (х, bN), является вогнутой.
Напомним, что, согласно 26.3.3, intvTV есть вполне
геодезическое подмногообразие в М, а по предположению непустой
край bN С -гладкий.
Прежде чем перейти к доказательству, сформулируем два
следствия и как упражнение — родственное второму из них
утверждение.
228

27.2.6. Следствие. Если идущая в N геодезическая у
с началом р Е intvTV впервые достигает края bN в точке
Я - Y (*о)» то на некотором участке сразу за q она идет вне N.
При неотрицательности кривизны в М это следствие почти
очевидно. Действительно, предположение, что у идет за
точкой q в N, противоречит вогнутости функции f(t) в
окрестности /0.
Однако следствие 27.2.6 верно и без предположения
неотрицательности кривизны в М. В такой форме оно легко
вытекает из леммы 26.3.5.
27.2.7. Следствие. Пусть N — абсолютно выпуклое
замкнутое множество с непустым краем bN в полном римановом
многообразии М неотрицательной кривизны. Тогда внутренние
эквидистантные множества Na := {xE.N \p(x, bN)>a} тоже
абсолютно выпуклы. Аналогично если N — нормальное
локально выпуклое множество с непустым краем, то непустые Na —
тоже нормальные локально выпуклые.
Докажем только первое. Достаточно убедиться, что при
а > О абсолютно выпуклы множества intvJVa : =
:= {xEN \p(x,bN)>a). Пусть х, у Е intv Na. Если бы
геодезическая у с концами х, у не содержалась бы в intv Na, то
у содержалась бы в некотором Na, /? G [ 0, а), и имела
внутреннюю общую точку с bNa. Но это противоречит вогнутости
функции f(t)=p(y(t), bN)=p(y(t), bNp)+p.
*27.2.8. Упражнение. Доказать, что в многообразии Ада-
мара, т. е. полном односвязном многообразии М
неположительной кривизны, у непустого выпуклого множества N,
отличного от М, внешние эквидистантные множества Na :=
:={хЕМ \ р(х, N) < а) выпуклы. Убедиться на примерах, что
в отличие от 27.2.7 здесь существенна односвязность М.
Для доказательства теоремы 27.2.5 кроме леммы 26.4.4
удобно использовать следующий достаточный признак вогнутости
функции одной переменной.
27.2.9. Лемма. Пусть f : [а, Ъ ] -» R — непрерывная фун-
кция, и пусть для любого tQ G (а, Ь) существует С -гладкая
функция (р, определенная в некоторой окрестности U точки
%, такая, что
<p>f, (p(xQ) = /(xq), <p"(tQ) <0.
Тогда функция f вогнута.
Доказательство. Допустим, что на графике функции /
нашлись точки р, q, между которыми график pq функции /
хоть один раз опускается ниже отрезка pq (рис. 54).
Несколько удлиним с обоих концов отрезок р q до отрезка
p'q' и построим параболу с концами p'q', идущую ниже
отрезка р'q' и ниже pq. Сжимая эту параболу к отрезку
229

Рис. 54.
p'q', прикоснемся к pq снизу. Это противоречит условиям
леммы для t0, отвечающего точке касания. ■
27.2.10. Доказательство теоремы 27.2.5. Проверим,
что для любой нормальной геодезической у : [a, b ]-*■ intv N
функция f'y вогнута. Пусть tQE(a, b) и р' — ближайшая к
P = y(to) в метрике р точка края bN. .Обозначим
о: [0<s<d]-*N нормальную геодезическую, реализующую
расстояние в метрике р от р до р '. Рассмотрим вдоль о
векторное поле Z = X + Y (рис. 55), где X — параллельное вдоль
а поле, ортогональное к ег, а У имеет вид (as + fl)o ' (s). За
счет выбора ^(0) и постоянных а,/? обеспечим, чтобы
Z (0) = у ' (tQ ), Z(d) ± о' (d). Для этого положим
p = (y'(tQ),o'(0)), «=-§ , X(0)=y'(t0)-po'(0),
Y(s)=pfl-j)o'(s). (5)
Пусть os(t) = a(s, t) := e.xpa,sstZ(s). Ясно, что
d° \~dl I - =Z' CT0^ ) = ^o^o + О- По лемме 26.4.4, путь
ad на некотором участке -е<ке проходит вне intvTV.
Продольные линии at = а ( ■, t) при t, близких к t0, идут сначала
в intvjV, но заканчиваются вне intv//, достигая od. Значит,
они пересекают bN, и длины <р (t) этих продольных линий не
Рис. 55.
230

меньше, чем f(t)=p(y(t),bN). Очевидно, <р (t0) = f(t0). Для
завершения доказательства остается применить лемму 27.2.9,
а для этого проверить, что <р " (t0) < 0.
По формуле второй вариации длины (см. 18.3.2) находим,
учитывая неотрицательность кривизн:
d
<P"(h)= ~ S(R(X,a')a', X)ds < 0. ■
о
27.2.11. Замечание. Если в условиях теоремы 27.2.5
функция /'у постоянна вдоль геодезической у, то построенная в
ходе доказательства 27.2.10 поверхность o(s, t) является вполне
геодезической и изометрична плоскому прямоугольнику, причем
ее продольные и поперечные линии ot, os — попарно
ортогональные геодезические. В частности, секционные кривизны
К% в направлении 1. = до/д s h до/д t все равны нулю.
Действительно, обратимся к доказательству теоремы 27.2.5.
В случае /°у = const = d имеем о'(0) ± y'{tQ), иначе на у
есть точки, отстоящие от bN менее чем на d. Значит,
У = 0, a Z = X — параллельное вдоль о поле.
По теореме Берже 22.3.4 для поля Якоби д о/д s вдоль
каждой поперечной линии s = s0 имеем: \(д о/д s (t) I <
< \(до/д s) (tQ) \. Но продольные линии of не короче
d=s(pt). Поэтому поля Якоби do/ds имеют постоянную
длину I (д о /д s ) (tQ) I = 1, а все продольные линии ot имеют длину
d. Случай равенства в следствии 22.3.8 теоремы Берже дает
К2 = 0.
Таким образом, векторные поля д о/д sad о/д t —
единичные и ортогональные друг другу- Тем самым поверхность
о изометрична плоскому прямоугольнику, а значит, ее гауссова
кривизна К = 0. Для любой нормали v к поверхности о
произведение главных кривизн поверхности о неположительно,
поскольку через каждую точку проходят две лежащие на о
различные геодезические многообразия М. Отсюда с учетом
К=0 = К^, по теореме Гаусса (21) из 15.4.6 и 15.4.7, следует,
что поверхность о — вполне геодезическое подмногообразие. ■
27.2.12. Теорема. Пусть N — нормальное локально
выпуклое множество с непустым краем bN в полном римановом
многообразии М неотрицательной кривизны. Тогда число
компонент края bN не более двух. Если компонент края две,
то эти компоненты гладкие, любая точка одной компоненты
находится на одном и том же расстоянии h от другой, и
множество N с индуцированной вложением N С» М внутренней
метрикой р изометрично прямому метрическому произведению
отрезка [ 0, h ] на одну из компонент края.
Доказательство начнем со следующей леммы.
231

27.2.13. Лемма. Пусть в условиях теоремы р 6 intv TV;
S = IvE TpN \ \v \ = l\; yv — нормальные геодезические
Yv rr^exp tv. Тогда подмножество ECS, состоящее из тех
v, для которых геодезические Yv и^я в N, достигают края
bN, открыто в S. Если у — любая кратчайшая от р до
компоненты (bN) края bN, то Е содержит открытую
полусферу SQ={w G S \{w,vQ) > 0}, более того, для всех w из
компоненты (Е) множества Е, содержащей S0, все Yw
достигают именно компоненты (bN).
Доказательство. 1. Проверим замкнутость S\E. Пусть
wi CS\E и и^-» w. Геодезические yw. на любом участке
[ 0, t ] идут в intv N. Поэтому предельная геодезическая yw идет
в N. Если бы некоторая точка yw(t0) принадлежала bN, то
после этой точки yw на некотором участке шла бы вне N
(см. 27.2.6). ■
2. Пусть у — кратчайшая от р до компоненты (bN) и
w 6 Sq. Подчеркнем, что ввиду 27.2.6 эта кратчайшая идет до
(bN) в intv N. Проверим, что w С Е. Действительно, функция
f(t)=p(yw(t),bN) вогнута, по теореме 27.2.5, и заведомо
убывает при t = 0 (легко проверить по формуле первой
вариации, что df/dt 1? = 0 < 0)- Значит, f(tQ) = 0 при некотором
t0 С ( 0, а. ) и w С Е. Ш
3. Множества тех v £ Е, для которых у„, идя в N, достигает
одной и той же компоненты края, согласно 27.2.6, не
пересекаются. Чтобы завершить доказательство леммы, нам
достаточно доказать, что каждое из этих множеств открыто.
4. Пусть идущая из р геодезическая yv достигает некоторой
компоненты (bN) края bN в точке q. Выберем выпуклую
шаровую окрестность Bq в М столь малого радиуса г > 0, чтобы
N П В было выпукло и для любой точки х 6 N П В ближайшей
компонентой края была (bN). В пределах intvTV отметим на
у„ точку £>j на расстоянии 2/V3 от q и обозначим
Bl=B(pl,r/6) ее шаровую окрестность в intvJV. Очевидно,
fijCB и для любой точки х G fij расстояние
p(x,bN) > г/2.
Также в пределах intvTV выберем на yv точку р2 на малом
расстоянии £ > 0 от q и обозначим В2 = В (р2, £ /2 ) ее шаровую
окрестность в intvN (рис. 56). Для любой точки у £ В2
расстояние р (у, bN) < Зе /2.
Пусть теперь вектор w E S столь близок к v, что
геодезическая yw имеет хоть одну точку х = yw (t^ ) £ fij и хоть одну
точку у = yw (t2 ) G В2 и что w £ Е. Рассмотрим вогнутую
функцию f(t)=p(yw(t), bN\ на участке после tt. Имеем:
t2~h=p(x,y) <p(x,pl)+p(pl,p2)+p(p2,y)<
232

Рис. 56.
1 , (2 ) е 5 е 5
<6Г+[зг-Е]+2 = 6г-2<6г-
На участке [tl,t2 ] функция / убывает от значений, больших
г/2, до значений, меньших Зе/2, т. е. убывает со средней
скоростью, большей (г/2 - Зе/2) / 5 г/6. Будучи вогнутой, она
и дальше должна убывать с не меньшей скоростью, и если
£ было достаточно мало, то / обязательно достигнет нуля,
притом раньше, чем точка f(t) удалится от у настолько, что
выйдет из N П В„. Поэтому yw достигнет именно компоненты
(bN). Ш
27.2.14. Докажем теперь теорему 27.2.12, сохраняя
обозначения из 27.2.13. Пусть компонент края bN — не одна. Возьмем
р 6 intv N, и пусть yv , yv — кратчайшие от р до двух
компонент I'j и Г2 края bN. Множество Е ввиду леммы 27.2.13
исчерпывается открытыми полусферами {w E S \{w, V{) > 0},
{w G S \{w, v2) > 0 }. Поэтому в bN нет других компонент,
v2~ ~V\, кратчайшие yv , yV2 единственны.
Рассмотрим всевозможные геодезические yw с wE. S,
(w, vi) = 0. Очевидно, w (£. E и yw неограниченно следуют в
intv TV, при этом расстояние до bN вдоль yw постоянно. Эти
геодезические yw в совокупности заполняют некоторое
многообразие Г. Нетрудно проверить, что Г — вполне геодезическое
подмногообразие в intvTV, а потому и в М, и что Г отстоит
во всех своих точках на постоянное расстояние от каждой из
компонент Tj, Г2. Ввиду произвольности рЕ. intvN
многообразие intvN расслаивается на такие подмногообразия Г,
являющиеся эквидистантами края. При этом и сами Tj, Г2
эквидистантны друг другу на некоторое расстояние h.
233

Из каждой точки р Е intv TV геодезическая у„ приходит в
некоторую точку р'ЕГ^. Это позволяет сопоставить точкам р
пары (/>', дл. у ), что задает отображение 7У'-»Г1 х [ 0, h ].
Нетрудно проверить, что это отображение взаимно однозначно и
является локальной изометрией, а потому и изометрией в
целом.
27.3. Оришары и функция Буземана.
27.3.1. Напомним, что лучом называется нормальная
геодезическая у : [ О, «1) -» М, любой отрезок которой является
кратчайшей.
27.3.2. Лемма. Если N — некомпактное замкнутое
выпуклое множество в полном римановом многообразии
М, р Е N, то в N содержится хотя бы один луч с началом
р. Случай N = М не исключается.
Действительно, найдутся последовательность точек
xt E N, р (р, Х[) -» °°, и лежащая в N последовательность
кратчайших у,- с общим началом р и концами х(. Выберем из
yJ-(O) сходящуюся подпоследовательность у- (0) -» и ETpN.
Легко видеть, что геодезическая t >-» ехрр t и является искомым
лучом. ■
27.3.3. Оришары. Пусть у : [ 0, °° ) -* М— луч.
Рассмотрим шары В (y{t),t\. Из свойств расстояния следует, что при
Ц > t всегда в(у(Ц), tA Э В (у (t), t\. Множество
Я := U В (у (О, 0 (3)
f>0 v ;
называется оришаром.
Фактически мы можем лучу у сопоставить семейство
вложенных друг в друга оришаров
Ва := U В (y(t), t + a), a S 0. (4)
f>0 V '
Здесь В — оришар (3), соответствующий лучу у |
I [-а, оо)
Можно оришары определить равенством (4) без условия
а < 0. Это несколько обобщает понятие оришара. Новое
определение совпадает с исходным, если луч у при продолжении
за свое начало на длину а остается лучом.
Очевидно, Ва С Во при а < /?. Кроме того, при а < /?
Вр=Щ_а{Ва), (5)
где Ue означает е-окрестность.
Действительно, пусть х Е Во. Тогда х Е В (у (t),t + рА для
некоторого /?j£(a,/?) и всех достаточно больших t. Поэтому
р (*, В (у (О, t + a )) < /?, - а, откуда p (x, Ba) < /?, - a < p - a.
234

Обратно, пусть xEUp_a(Ba). Тогда p(x,y(t)}<
< (t + а ) + (/? - а ), т. е. х Е Вр.
27.3.4. Функция Буземана. Шары В(р,г) с центром
р Е М можно рассматривать как множества меньших значений
функции расстояния р ( •, р). Аналогично оришары Ва служат
множествами меньших значений для некоторой функции Ъ ,
тесно связанной с функцией расстояния р ( ~,р). Построим
такую функцию.
Зафиксируем луч у с началом р и предварительно введем
функцию bt, полагая при < > О
bt(x)=p (x,y(t)\ -t. (6)
При a>-t множество {xEM\bt(x)<a}, т. е. множество
меньших значений функции bt есть шар В (y(t),t + a\. Кроме
того, функция bt является 1-липшицевой, т. е. удовлетворяет
условию Липшица с постоянной 1:
\bt(x)-bt(y) | < \р (дс,у(0) -Р (У,У(0) | *р(х,У). (7)
Для фиксированной точки х ЕМ функция t •-* bt(x)
монотонно убывает и ограничена снизу. Действительно, если
t{ > t, то по неравенству треугольника (рис. 57)
btl(x)-bt(x)=p (x,y(tx)) -p (дс,у(0) -Й-OSO.
Кроме того, bt (х) =р (х, у (t) \ - t > -р(х,р).
Ввиду монотонности и ограниченности существует предел
Ъу(х) :=lim bt(x). (8)
t -* оо
Функцию b называют функцией Буземана, соответствующей
лучу у. Ввиду (7) функция Ъ является 1-липшицевой и потому
непрерывной.
Поскольку множества меньших значений
{х Е М \bt(x) < а} являются при а > -t < 0 шарами
B(y(t),t + a\, то множествами меньших значений функции
Ъ оказываются оришары:
235

\x £ M \b (x) <a\ = U В (y(t),t + a) = Ba.
Напомним, что для последних выполняется равенство (5),
которое можно назвать свойством эквидистантности.
27.4. Признак существования вогнутой функции.
27.4.1. Теорема. Пусть М — открытое (т. е. полное
некомпактное) риманово многообразие с Ка £ 0. Тогда для
любого луча у в М функция Буземана Ъ является вогнутой.
27.4.2. Следствие. Дополнения Са~ М \Ва оришаров
Ва = { х £ М I b (х) < а } в таком многообразии М абсолютно
выпуклы.
27.4.3. Доказательство. Чтобы проверить вогнутость
функции b вдоль любой нормальной геодезической п,
рассмотрим произвольные точки р = п (Sj ), q = n (s ), r= n (s2), где
s - Sj = a > 0, s2 _ s = (3 > 0. Нам требуется убедиться, что
(a+f$)by(q)>f$bY(p)+abY(r). (9)
Положим р (P,y(t)) = /l(0> <° («.У(О) = /(0> <° (Г»У(0) =
= /2(0 (рис. 58). Для доказательства неравенства (9)
достаточно проверить, что
(a+p)l(t) > ^(O + a^CO-eCO,
где £ (О ~* 0 при t-* оо, или (преобразуя последнее неравенство
и опуская аргумент О показать, что при больших t
а(12-1)+р(1х-1)<г. (10)
Рассмотрим на плоскости треугольники со сторонами тех
же длин, что у треугольников р qy(t), q ry(t) в М, и пусть
^«V* — углы этих плоских треугольников при вершине,
соответствующей q. По теореме Топоногова о сравнении углов
22.4.4 имеем <р + 1р<л, откуда cos<p + cos тр ^ 0. Теперь
неравенство (10) легко проверяется. По теореме косинусов
2 2 2
I \ = I + а —11а cosy?, откуда находим:
Рис. 58.
236

2 ,i ,ч2 2
Аналогично
/j - / + a cos р = у: *— < -jj
12-1 + Цсо*гр=Р2-{Ь1-1? <^
2 „ ,ч2 2
2/ "
Поэтому
р(1х-1) + а (12~ I) ^ [£(*i - l) + a(3cos<p 1 +
+ Га(/2-/) + а£со8»1 <aP(?.+P) -» О.И
*27.4.4. В пространстве Лобачевского шары, а вслед за ними
и оришары абсолютно выпуклы. Это же справедливо и для
любого многообразия Адамара. Пусть М — многообразие Ада-
мара. Лучи у и п в нем считаем эквивалентными, если
р(У(0'1 (О) - ^ к ^ пРи всех t>Q. Нетрудно доказать, что
функции Буземана, соответствующие эквивалентным лучам,
различаются лишь на постоянную, так что семейство оришаров
у этих лучей фактически одно и то же.
Множество классов эквивалентных лучей называют
абсолютом многообразия Адамара М. Из каждой точки р идет ровно
по одному лучу каждого класса. На абсолюте удобно вводить
так называемую угловую топологию. Она вводится следующим
образом. Для произвольно фиксированной точки р G М
рассматривают все возможные открытые множества G на единичной
сфере S в Т_ М, где и = dim M. Каждому такому G ставится
в соответствие объявляемое открытым множество всех тех
классов, для которых идущий из р луч этого класса имеет в своем
начале скорость и (EG. Легко видеть, что эта топология не
зависит от выбора точки р. Весь абсолют в этой топологии
гомеоморфен S . Можно доказать, что в многообразии
Адамара функция Буземана (для любого луча) выпукла.
Абсолют Мт многообразия Адамара М можно снабдить не
только топологией, но и метрикой. Зафиксируем точку
р G М и для любых х, у G М„ положим dp (x, у) равным углу
между лучами 1Х, I с началом р, представляющим классы х
и у. (Метрика dp зависит от выбора точки р, но индуцирует
на Мп угловую топологию, не зависящую от р). Далее
положим d (х, у) = sup d (х, у). Метрика d, вообще говоря, не
внутренняя и не всегда хорошо описывает геометрию Мю.
Пусть, например, многообразие Адамара М удовлетворяет так
называемому условию видимости: для любых х, у G Мх в М
существует геодезическая, представляющая классы х и у,
т. е. „соединяющая точки" х,уЕ:Мх. В этом случае
237

d (x, у) = л для любых х, у 6 Мж. Геометрия же разных таких
многообразий Адамара может сильно различаться. Поэтому
полезно перейти к внутренней метрике d , индуцированной
метрикой d. Эту метрику d принято, (см. [55]) называть
метрикой Титце. Для d не исключаются значения °°. В случае
Е метрика d есть стандартная метрика сферы S . А для
пространства Лобачевского (и вообще для римановых
многообразий, у которых все Ка < с < 0) d (х,у) = <*> при любых
х, у.
Вернемся к многообразиям неотрицательной кривизны.
27.5. Теорема о расщеплении.
27.5.1. Геодезическая у :(-«>, оо )-» м называется прямой,
если любой ее интервал является кратчайшим путем между
концами.
27.5.2. Теорема. Если открытое риманово многообразие
М с Ка> 0 содержит прямую, то оно представляет собою
прямое метрическое произведение М = Е х N. (Очевидно, N
при dim N >2 — также многообразие с Ка > 0 ).
27.5.3. Следствие. Каждое открытое риманово
многообразие М разлагается в прямое метрическое произведение
к
М = Е х N, где 0 < к < dim M, a JV не содержит прямых.
27.5.4. Теорема П.5.2 получена Топоноговым [40]. Случай
и = 2 был много раньше доказан Кон-Фоссеном [20, с. 256 ].
Приводимое ниже доказательство в основном следует работе
[70]. На самом деле теорема остается справедливой, если
условие неотрицательности кривизны ослабить до
неотрицательности кривизн Риччи [71 ].
27.5.5. Доказательство. Пусть у — нормальная
геодезическая, являющаяся прямой, р = у ( 0). Рассмотрим функции
Буземана bn, b , соответствующие лучам, на которые точка р
разбивает прямую у. Согласно следствию 27.4.2, множества
С~ :=1хЕМ \b~ (х) >а\ замкнуты и абсолютно выпуклы.
При а < 0 множество Са ПСЯ =: D имеет непустую
внутренность (поскольку содержит некоторую окрестность точки р).
По неравенству треугольника, для любых х, у & М
р(х,у)+р (x,y(t)) +p (у.у(-О) ^2г,
откуда для точек х, у с Ъ (х) = Ъ {у) - а, по определению
функции Буземана,
р(х,у)> -Ь+(х) -Ь~(у)= -2а.
Значит, Ъ Са и Ъ Са не пересекаются и край Ъ D состоит по
крайней мере из двух компонент, а по теореме 27.2.12, точно
238

из двух компонент Ъ Са и Ъ Са, и D есть прямое метрическое
произведение: D — [а, -а ] х ЪСа. Отсюда ввиду произвольности
а < О следует теорема. ■
§ 28. Многообразия, допускающие вогнутые функции
28.1. Строение многообразия, допускающего вогнутую
функцию.
28.1.1. Топология открытого риманова многообразия М, на
котором существует собственная вогнутая функция /, почти
полностью определяется строением множества Мтах. При этом
не имеет значения, является ли функция / гладкой. Последнее
обстоятельство существенно, так как на некоторых
многообразиях легко удается построить негладкую собственную вогнутую
функцию, а аппроксимировать ее гладкими вогнутыми
функциями не всегда возможно.
Выяснение строения М по строению Мшах осуществляется
по сути дела методами теории Морса (см. 23.1), только на
этот раз вместо невырожденных критических точек приходится
рассматривать множество Мшах. Это множество, вообще говоря,
негладкое, может иметь нетривиальную топологию.
*28.1.2. Замечание. Для дальнейшего существенна не
сама вогнутость рассматриваемой функции /, а только выпуклость
ее множеств больших значений Ма и их эквидистантность,
т. е. тот факт, что Мо—{хЕ.М \p{x,'dMa)>fi — a} при
/3 > а. (Это требование к семейству множеств Ма можно еще
несколько ослабить, см. [43, 143]).
28.1.3. Предварительное замечание. Как известно
из общей теории гладких многообразий (см., например, [37,
с. 225]), на каждом С -гладком многообразии существует также
„» „1
С -гладкая структура, С -гладко согласованная с исходной.
Кроме того, если между двумя С -гладкими многообразиями
установлен С -гладкий диффеоморфизм, то между ними
существует и С -гладкий диффеоморфизм, причем он может быть
выбран С -близким к исходному. Это позволяет, говоря о диф-
феоморфности двух гладких многообразий, не указывать степень
их гладкости и прослеживать только их С -диффеоморфность.
Например, достаточно малая открытая е-окрестность Ue(N)
выпуклого компактного множества N С М является С
-гладким подмногообразием в М и тем самым С -гладким
многообразием. Если некоторое С -гладкое многообразие Мj является
С -диффеоморфным US(N), то М1 и С -диффеоморфно
Ue(N) относительно С -гладкой структуры на U£(N), С -со-
239

гласованной с исходной. (Но если (р : Мj -* Ue(N) — такой
С -диффеоморфизм, то суперпозиция i°<p \ Mj -»М, где i —
включение, уже может быть отображением лишь гладкости С ).
28.1.4. Теорема. Пусть на открытом римановом
многообразии М существует собственная вогнутая функция /.
Тогда многообразие М \Мшах диффеоморфно прямому
произведению N X Е, где гладкое многообразие N гомеоморфно
любому из множеств уровня Оц := {xGWI/(x) = a} при
а < max/.
Доказательство. 1. Ввиду сказанного в 28.1.3
достаточно убедиться, что в М существует такое С -гладкое
подмногообразие N, гомеоморфное Qa, что М \Мшах С
-диффеоморфно N X Е.
2. Будем предполагать, что функция / не ограничена сверху;
т. е. что Мшах = 0. В противном случае рассуждения лишь
упрощаются.
Множества Ма = (х£М1/(х) > а } абсолютно выпуклы (см.
27.2.1), замкнуты и и-мерны, где n = dimM, причем д Ма —
компакт. В силу 26.4.1 найдется такая положительная
непрерывная функция (5(a), что области и$(а)(Ма) \Ма являются
правильными слоями для Ма.
3. Покажем, что существует С -гладкая функция <р, для
которой при любом а выполняются условия
д(а)>(р(а)>0 и d (p/d a < 1. Для этого рассмотрим на
плоскости (а, 6) (рис. 59) надграфики функции д отдельно на
участке (—°о, 0 ] и на участке [0, °°). Выпуклые оболочки
каждого из этих надграфиков ограничены лучом прямой
а = 0 и графиком положительной выпуклой функции. Между
объединением этих двух выпуклых оболочек (они заштрихованы
на рис. 59) и осью а с большим произволом можно разместить
график функции <р с требуемыми свойствами.
4. Обозначим Са := U,p(a) (Ma)> Еа := 3 Са. По построению
Еа является С -гладким подмногообразием в М и U Са = М.
Рис. 59.
240

*.
Рис. 60.
Убедимся, что Со С Са при /? > а, иначе существовала бы точка
р €■ Ер \Са (рис. 60). Пусть р' — ее проекция на Mo, a д —
на Ма. Кратчайшая рр' пересекает 3 Ма в некоторой точке
р0. Тогда (см. рис. 60)
<рф)-<р(а) > р(р, р')-р(р, д) =
= Р (Р ' Ро) + Р (Ро . Р ') - Р (Р , Я) 2: р(р0, Р') > ji-a,
что противоречит условию d<p/da<l.
Таким образом, М оказывается „расслоенным" на С
-гладкие многообразия Еа, — оо < ее < оо. При этом каждой точке
дЕМ отвечает'„номер" а(д) проходящего через д
многообразия Еа. Иными словами, многообразия Еа являются
множествами уровня функции а, определенной условием а (р) = t, если
PEEt
5. Рассмотрим на М единичное векторное поле X, где для
каждой точки р G М вектор Хр направлен по идущей внутрь
Са нормали к проходящему через р подмногообразию Еа, у
Поле X непрерывно. Действительно, по выбору функции <р,
проекция р' точки р на Ма, •. единственна. Если
Pj--» р, то р\-* р', а поскольку нормальные кратчайшие Pvp\
единственны и их концы р., р\ не сопряжены, то сходятся и
векторы скорости этих кратчайших в их начальных точках,
т. е. X -* Хр. По сути дела поле X — это как бы
нормированный градиент функции а.
6. Аппроксимируем векторное поле X С -гладким
единичным векторным полем У так, чтобы всюду
<£. (Хр, Y ) < л/4. (Для этого достаточно в координатных
областях некоторого локально конечного атласа аппроксимировать
координатные функции поля X и воспользоваться разложением
единицы).
241

7. Пусть у — интегральная кривая поля Y с началом
рЕМ, т. е. dyp/dt = Yy (f), yp ( 0) = р, -» < f< ».
Зафиксируем временно любое подмногообразие £а. Интегральные
кривые у , р Е Еа, по построению поля Y, пересекают Еа транс-
версально „снаружи внутрь", и, по свойствам решений
обыкновенных дифференциальных уравнений, отображение
гра f : Еа X [-£,£]-» М по правилу тра< £(р, t) = yp (t) при
достаточно малом £ > 0 есть диффеоморфизм в некоторую
окрестность многообразия Еа в М.
8. Теперь ясно, что отображение хр : Е0 X R -* М по тому
же правилу хр (p, t) = yp(t) является диффеоморфизмом.
Действительно, чр, как и гра е, есть локальный диффеоморфизм.
Далее, интегральные кривые у. не могут пересекаться и, кроме
того, не имеют самопересечений (в частности, не могут быть
замкнутыми), ибо вдоль у функция а строго монотонна.
Поэтому отображение гр инъективно. Остается проверить сюръек-
тивность гр. Для этого достаточно убедиться, что для любой
точки q E M интегральная кривая у „достигает" Е0.
Действительно, пусть для определенности и(д)<0, и допустим, что
а0= supaiy (t)\ < оо. Это значит, что найдутся такие t, что
значения а (у0(О) сколь угодно близки к а0. Но тогда,
согласно 7, кривая у пересекает Еа и, значит, при некоторых
t имеем a (yq{i)\ > ao- Получаем противоречие.
Следовательно, а0=оо. В частности, при некотором t0 будет yQ(t0)EE0.
9. Наконец, £0 (как и любое Еа) гомеоморфно Q0 (как и
любому из множеств уровня Qa). Действительно, пусть £>0
столь мало, что С0 = V,ф/ q\ (Mq ) D М£. Для каждой точки
р Е Е0 = д С0 ближайшая точка на М0 единственна и соединима
с р единственной кратчайшей. Каждая из этих кратчайших
а пересекает Q0 в одной точке х , чем определяется
гомеоморфизм р н^ х . Ш
28.1.5. Теорема. Пусть на открытом римановом
многообразии М существует собственная вогнутая функция
/, достигающая максимума. Тогда многообразие М в целом
С -диффеоморфно окрестности U£ (Mmax) множества Mmax
функции f при достаточно малом £ > 0.
Детальное доказательство теоремы 28.1.5 почти полностью
аналогично доказательству предыдущей теоремы, и мы его не
будем приводить.
28.1.6. Пример. Пусть М — многообразие Адамара и
р — фиксированная его точка. Тогда функция f(x) =
2
= —р (х,р) — собственная вогнутая функция (ср. 20.2.2).
(Здесь квадрат расстояния взят только для того, чтобы сделать
функцию / гладкой даже в точке р). Множество М х одно-
242

точечно, поэтому из теоремы 28.1.5 следует, что М диффео-
морфно R , где п = dim M.
28.2. Открытые многообразия неотрицательной кривизны.
28.2.1. Теорема [61]. На открытом многообразии М
неотрицательной кривизны существует ограниченная сверху
собственная вогнутая функция.
Доказательство. Пусть {у„}ц — множество всех лучей
с общим произвольно фиксированным началом р 6 М и А —
функции Буземана, соответствующие этим лучам. Функция
b : М -» R, определенная равенством
Ь(х) = inf А„ (jc),
вогнута. Действительно, вдоль любой геодезической г\ под-
график функции b ° ц является пересечением выпуклых
множеств — подграфиков функций Ь„ ° г\ и потому — выпуклым
2
множеством в R . Это пересечение не пусто, ибо
b (x) = 1im (p(x,y(t)-t) > -р(х,р).
t-» оо ^ ^ '
Убедимся, что множество Са не меньших значений функции
b компактно. По определению
Са={хЕМ \Ь(х)>а] = П с£ := П|х£М \Ъ^х)*а} .
Очевидно, Са замкнуто и абсолютно выпукло (как пересечение
замкнутых абсолютно выпуклых множеств С%). Допустим, что
Са некомпактно. Тогда, по лемме 27.3.2, в Са содержится луч
у с началом р. Он лежит в каждом С£. В его точках при
любом t выполняется неравенство A (y(t)\>a. Но это
противоречит тому, что в силу определения функции А имеем
Из компактности множеств Са следует, что вогнутая
функция Ъ ограничена сверху и что ее множества уровня тоже
компактны. Это завершает доказательство теоремы. ■
Множество, на котором функция Ъ достигает максимума,
как прежде обозначим Мтах. Исходная точка р может и не
принадлежать Мтах.
28.2.2. В качестве простейших примеров рассмотрим
несколько полных поверхностей неотрицательной кривизны.
1. На параболоиде или на поверхности вращения —
полуцилиндре с подклеенной полусферой и заглаженным
сопряжением (рис. 61) отметим вершину р0. Если лучи у шли
243

Рис. 61.
Рис. 62.
h
Рис. 63.
Рис. 64.
Г**
\ W
Рис. 65.
7<
Рис. 66.
244

из точки р = Pq, to этих лучей бесконечно много, а множество
Мшах = С0 = р0. Если же р/ р0, то луч у с началом р единствен.
Множество С0 на рис. 61 заштриховано окружностями, а
множество Мшах и в этом случае есть точка р0.
В дальнейших примерах мы допускаем особые точки,
выводящие, строго говоря, поверхность из класса римановых
многообразий. Но в районе особенностей эти поверхности нетрудно
загладить, переходя к римановым многообразиям и сохраняя
качественное содержание примеров.
2. Рассмотрим конус с вершиной р0, склеенный из плоского
сектора с углом в < п. При р = р0 лучи у идут из р0 во всех
направлениях; Мшах = С0 = р0. При р * р0 (рис. 62) лучи у
заполняют на развертке конуса сектор с углом в; множество
С0 на рис. 62 и 63 заштриховано; Мшах = р0- Во всех этих
примерах для каждого отдельного луча у дополнение оришара
компактно.
3. Рассмотрим конус, склеенный из сектора с углом
в £ (л, 2 п ]. На рис. 64 изображена его развертка и для одного
из лучей у заштриховано дополнение к оришару. На этот раз
оно некомпактно. Пересечение же дополнений таких оришаров
для всех идущих из р лучей у есть сама точка р. Здесь
мшах = с0 = Р-
4. Цилиндр (рис. 65). Для любой точки р имеем два
прямо противоположных луча ylt y2. Дополнения оришаров —
полуцилиндры. Множеством С0 служит замкнутая геодезическая
г], она же есть Мшах. Она включает точку р.
5. Рассмотрим поверхность бесконечного в одну сторону
прямоугольника бруса (рис. 66) и точку р на его боковой грани.
На этот раз множеством Мшах служит отрезок [ а, Ъ ], лежащий
на основании бруса и параллельный большей из сторон
прямоугольного основания.
28.2.3. Открытое риманово многообразие М неотрицательной
кривизны, согласно теореме 28.1.5, С -диффеоморфно малой
£-окрестности множества Мшах ={хЕ М \b(x) = max }.
Компактное абсолютно выпуклое множество Мшах может иметь как
непустой край (см. 28.2.2, пример 5), так и нетривиальную
топологию (см. 28.2.2, пример 4). Множество Мшах служит
(среди непустых) „самым внутренним" в семействе вложенных
друг в друга абсолютно выпуклых множеств Са, объединением
которых является М и которые в некотором смысле
эквидистантны.
При непустом крае ЬМтах теорема 27.2.5 позволяет с
помощью эквидистантного отступления от края внутрь Мшах
представить само Мшах в виде объединения вложенных друг в друга
компактных абсолютно выпуклых множеств меньшей, чем
dimM, размерности! (Точки края каждого из этих множеств
удалены на постоянное расстояние от ЬМтах). Среди них вновь
245

выделяется „самое внутреннее" множество. Если и оно имеет
непустой край, то эквидистантные отступления от края можно
повторить, снова с уменьшением размерности. Это приводит к
следующему утверждению о стратификации.
28.2.4. Теорема [70]. Пусть М — открытое риманово
многообразие неотрицательной кривизны. Тогда существует
семейство абсолютно выпуклых непустых компактных
множеств CfCM, t > 0, обладающее следующими свойствами.
Г. С(гСС( при t' < t, причем М = U Ct и край ЬС0 пуст,
а края Ъ Ct при t>0 непусты.
2°. Существуют такие 0 = t0 < Ц < ... < tk < °°, где к > 0,
что
dim Ct. _. < dim Ct. при 0 < i < к ,
dim Ct, = dim Ct при tt_i<t'<t<ti,
Ct. = lxE.Ct \p(x, bCt)> t- t'\ при Ц_х< t' < t< Ц.
Фигурирующее в теореме абсолютно выпуклое вполне
геодезическое подмногообразие без края С0 называют душой
многообразия М. Существует традиция обозначать его 5 по
начальной букве английского слова soul — душа.
Уточним некоторые формальные моменты доказательства
теоремы 28.2.4, которое по сути дела уже содержалось в 28.2.3.
Согласно теореме 28.2.1, на М существует ограниченная
сверху собственная вогнутая функция Ъ. Перечисленные
свойства функции Ъ не нарушатся, если к ней добавить постоянную
с. Эту постоянную выберем позднее.
Положим при t > aQ = max b
Ct := {x£M \b(x) > -*}.
Множества Ct компактны и абсолютно выпуклы, Ct, С Ct при
t' < t, dim Cf = n := dim M при t > aQ, dim С < п.
Если край ЬСа = 0, в частности если dimCa =0, то за
счет выбора с обеспечим а0 = 0, положим к = 0, tQ = aQ = 0, и
искомое семейство построено. Пусть Ъ С 5* 0. Рассмотрим
множества
ct'= {*eC«0 И*,*Сао)>*-а0}
при aQ < t < aj := max { t > aQ I Ct * 0 }.
Если опять край b С = 0, то за счет выбора с считаем
a j =0, полагаем к=1, tQ = at , ^ = а0, и искомое семейство
множеств Ct построено. Если bCa.^<Z>, то продолжаем процесс,
полагая на очередном шаге
246

7
о ькт t
Рис. 67.
Ct:={xECai \p{x,bCai)>t-ai]
при ai < t < ai+ j = max { t > ai ICf^0}. Так как на каждом
шаге dim Са. < dim Ca., то на некотором шаге будем иметь
ЪС = 0. Остается выбрать постоянную с так, чтобы ак = О,
и положить tt = ак__ [. Ш
28.2.5. Теорема.* Открытое риманово многообразие М
неотрицательной кривизны диффеоморфно пространству
v (5) нормального расслоения в М его души S или, что по
сути дела эквивалентно, малой е-окрестности души S.
Доказательство почти целиком аналогично доказательству
теоремы 28.1.4, поэтому мы лишь напомним этапы
доказательства. Пусть {Ct }, 0<*<°o, CQ = S — то семейство абсолютно
выпуклых множеств, о которых шла речь в теореме 28.2.4.
Как и в доказательстве теоремы 28.1.4, найдется такая С -
гладкая функция <р : R+ -» R+ (рис. 67), что: 1) <р монотонно
возрастает на участке 0<t<T, где T>tk; 2) всюду
d(p/dt > — 1 ; 3) при каждом t > 0 множество U ,t^{Ct) \ Ct есть
правильный слой для Ct (см. 26.4.1). Ввиду 1)—2) всегда
~Са С Са при р < а.
Затем строится на М \ 5 единичное векторное поле X.
Каждый вектор ХрЕ Т М направлен по нормали к С -гладкой
гиперповерхности Ъ Са, проходящей через точку р, притом
направлен внутрь Са. Поле X аппроксимируется С -гладким
единичным полем У. При этом можно считать, что X = Y в
некотором правильном слое — окрестности 5.
Наконец, рассматривается отображение -ф : v (5) -» М ,
определенное следующим образом. Элементу a G v (5 ) , т. е. паре
а=(р, v), где pES,vET M,v _L T S, сопоставляется точка
гр (а) = ур( \v I) G М интегральной кривой у_ поля -У,
выходящей из точки р с начальной скоростью у'р = v/1 v I .
Соответствие ip является искомым диффеоморфизмом. ■
* Результат анонсирован в [70] без доказательств, которые
опубликованы Пу (Poor) и Шарафутдиновым в [43]; простое доказательство см.
также в [9].
247

*28.2.6. Замечание. Как видно из 28.2.1, семейство
множеств Ct, а тем самым и душа S = С0, зависели от выбора
точки р £ М при построении функции Ъ. Однако в
действительности этот выбор мало влияет на S: души,
построенные для различных Aj, b2, оказываются изометричными
ДРУГ другу [45].

Глава 6
ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Построение примеров /г-мерных римановых многообразий
нетривиального топологического строения с предписанными
ограничениями на секционные кривизны весьма затруднительно.
Даже когда риманово многообразие М задано как подмногооб-
разие в К . системой сравнительно простых уравнении,
вычисление его секционных кривизн уже при п = 4 представляет
непростую задачу. Общих приемов строить примеры римановых
многообразий, контролируя одновременно топологическое
строение и секционные кривизны, нет.
Вычисления упрощаются, если построенное многообразие
имеет достаточно богатую группу изометрий, в частности в
случае однородных римановых многообразий, у которых группа
изометрий транзитивна и тензор кривизны во всех точках
устроен одинаково. С однородными римановыми многообразиями
естественно связаны алгебраические объекты: группы и алгебры
Ли с определенными свойствами, причем открывается
возможность описывать геодезические и находить секционные кривизны
в терминах скобки Ли. Это позволяет на основе
алгебраических конструкций строить столь нужные геометрии примеры
римановых многообразий с предписанными свойствами
кривизны.
Наиболее обозримы ситуации, когда многообразие является
либо группой Ли, либо так называемым симметрическим
пространством. Симметрические пространства (простейшими среди
них являются R , S , Н ) служат основными моделями для
сравнения при изучении более общих римановых многообразий.
Настоящая глава не претендует на изложение даже основ
теории групп Ли, однородных и, отдельно, симметрических
пространств. Мы ограничиваемся описанием римановых метрик на
этих многообразиях. Но определения и необходимый для
изложения минимум сведений из теории групп Ли приводим.
Более подробно о группах Ли можно прочесть во многих книгах
(см., например, [41, 34, 47]).
249

§ 29. Римановы метрики на группах Ли
29.1. Группы Ли.
29.1.1. Группой Ли называется группа G, являющаяся
одновременно аналитическим многообразием, причем групповая и
гладкая ее структуры связаны требованием, чтобы отображения
Ч> :G^G, V :GxG^ G, (1)
определяемые равенствами <p(g) = g , ip (g, h) = gh, были
аналитическими.
*Фактически достаточно предполагать, что отображения
(р, ip являются С -гладкими. Отсюда уже вытекает их
аналитичность (см. [34, с. 11]).
29.1.2. Пример. Множество всех вещественных неособых
( пх п )-матриц с обычным матричным умножением образует
группу Ли, обозначаемую GL(n). Действительно, множество
всех (их и)-матриц A = (a'J), включая и особые, образует
векторное пространство размерности п . Его базисом могут служить
матрицы, один элемент которых — единица, а остальные —
нули. Тогда GL(n) есть открытое подмножество в этом
2
R /выделенное условием detA ^ 0. Операции (Л, В) |-*^4 В,
А>-^А являются аналитическими, так как в указанном базисе
они задаются рациональными функциями, например
АВ= (2aikbkJ).
v к >
Группа Ли GL(n) состоит из двух компонент. Если
deXA > 0, то матрица А принадлежит той же компоненте, что
и единица группы (компонента единицы), а если det^4 < 0, —
то второй компоненте. Компонента единицы сама является
группой Ли. В ней выделяют подгруппу SL(n) матриц А с
det.4 = 1.
Аналогично множество комплексных неособых ( пх п )-мат-
риц образует группу Ли, обозначаемую GL(n, С).
29.1.3. Подгруппой Ли группы Ли G называют подгруппу
И группы G, являющуюся одновременно гладким
подмногообразием. Ясно, что подгруппа Ли в свою очередь является
группой Ли.
Справедливо (см. [34, с. 242 ]) следующее полезное
предложение.
Предложение. Если подгруппа Н группы Ли G является
в G замкнутым подмножеством, то Я — подгруппа Ли.
29.1.4. Упомянем некоторые особенно часто встречающиеся
группы Ли.
Ортогональная группа О(п) — это подгруппа в GL(n),
образованная ортогональными матрицами, т. е. такими, что
250

A = A . Как и GL(n), группа O(n) состоит из двух
компонент. Ее компоненту единицы называют специальной
ортогональной группой и обозначают SO(n).
Унитарная группа U(n) — это подгруппа в GL(n, С),
образованная унитарными матрицами, т. е. такими, что
-1 —т
А = А , где черта над А означает переход к матрице с
комплексно-сопряженными элементами.
Поскольку группы О (и), U(n) выделяются каждая системой
равенств, то это — замкнутые множества, и на основании
предложения 29.1.3 они являются группами Ли. (Впрочем,
можно и непосредственно проверить, что системы уравнений
А = А или А =А задают в G L(n) и соответственно в
GL(n, С) подмногообразия без особенностей).
29.1.5. Выбор базиса в векторном пространстве R
устанавливает изоморфизм между группой G L(n) неособых матриц и
группой линейных преобразований пространства R . Аналогично
группу О (п) естественно рассматривать как группу линейных
изометрий евклидова пространства R , a U (п) — как группу
комплексно-линейных изометрий пространства С . Напомним,
что в последнем случае имеется в виду эрмитово скалярное
п _
произведение {и, у) = ^ и1 v '.
/= 1
29.1.6. Упражнение. Проверьте, что компонента единицы
G0 группы Ли G является ее подгруппой Ли. (Достаточно
проверить, что G0 — подгруппа G, ибо G0, очевидно, замкнута
в G как компонента связности). Кроме того, G0 является в G
нормальным делителем.
29.1.7. Упражнение. Проверьте, что универсальная
накрывающая М группы Ли допускает структуру группы Ли,
притом так, что накрытие f:M^*G оказывается гладким
гомоморфизмом. Указание. Зафиксируем в М в качестве единицы
любую точку е£/ (е), и для точек х, у £ М их произведение
определим следующим образом. Соединим е с х и у
произвольными путями ух : [ 0, 1 ]-» М, уу : [ 0, 1 ]-» М. Пусть
Ух= /°Ух' Yy = f°Yy Рассмотрим в G путь уху, где
YxyV) =УХ(*)УУ(П, и положим ху = уху(1), где уху — подъем
пути у с началом е.
29.2. Левоинвариантные поля и метрики.
29.2.1. Каждому элементу g группы Ли G можно сопоставить
два ее автоморфизма, Lg : G -» G и R :G^* G, действующие по
правилу L h = gh, R h= hg. Эти отображения называют левым
и правым сдвигами. Ясно, что Lg и Rg —. аналитические
отображения.
251

Векторное поле X на группе Ли G называют левоинвари-
антным, если для любого g£G выполняется равенство
d L X = X, или, подробнее, если для любого h G G
{dhLg)Xh = Xgh. (2)
Для любого вектора uETeG, где е — единица группы G,
равенство Xg— (deLg)u определяет левоинвариантное векторное
поле. Говорят, что оно получено из и левыми сдвигами. Каждое
левоинвариантное поле получается, таким образом, по его
значению в точке е. Ясно, что левоинвариантные поля являются
гладкими. Все левоинвариантные поля образуют векторное
пространство той же размерности п, что и пространство
TeG.
Аналогично равенство Xg = (deRg) Xe для каждого gG G
определяет правоинвариантное векторное поле. Между
пространствами левоинвариантных и правоинвариантных векторных
полей можно зафиксировать канонический изоморфизм,
сопоставляя каждому левоинвариантному полю X то правоинвариантное
поле У, для которого Ye = —Хе.* Поэтому выбор в качестве
основного объекта именно пространства левоинвариантных (а
не правоинвариантных) векторных полей — вопрос
договоренности.
29.2.2. Риманова метрика (,) на группе Ли G называется
левоинвариантной, если для любых g, h G G и любых
и, KG TgG
{dLhu, dLhv )hg = {u, v )g. (3)
Аналогично определяется правоинвариантная метрика.
Требование (3) левоинвариантности метрики (,)
равносильно требованию, чтобы для любых левоинвариантных векторных
полей
< X , У } = const. (4)
Разумеется, чтобы метрика (,) была левоинвариантной,
достаточно, чтобы (3) выполнялось при g = е и любых h G G.
На каждой группе Ли G существует бесконечно много
левоинвариантных (аналогично — правоинвариантных) метрик:
достаточно в TeG произвольно задать скалярное произведение
и затем „разнести" его по всей группе согласно (3) при
g= е.
* Введение в канонический изоморфизм знака „минус" мотивируется тем,
что в этом случае Y = (d <р ) X , где отображение <р : G-* G— это инволюция,
которая сопоставляет каждому элементу группы обратный ему.
252

Риманова метрика, являющаяся одновременно и лево- , и
правоинвариантной, называется биинвариантной. Биинвариант-
ные римановы метрики существуют не на всех группах Ли
(см. [126]), однако имеет место следующая теорема.
29.2.3. Теорема. На каждой компактной группе Ли G
существует хотя бы одна биинвариантная риманова метрика.
Биинвариантные метрики особенно интересны для геометрии.
В частности, при них формулы для Ка имеют совсем простой
вид.
29.2.4. Доказательству теоремы предпошлем два важных в
теории групп Ли понятия. С каждым элементом g £ G
связывают автоморфизм группы Ли, действующий на элементах
h G G по правилу h^ghg' . Этот автоморфизм
L R -1 :G-»G называют внутренним, или сопряжением с
элементом g. Каждый такой автоморфизм оставляет единицу е
группы на месте.
Дифференциал преобразования L R -i в единице группы
представляет собой некоторое линейное отображение
TeG-*TgG, это отображение обозначают AcL. Поскольку
Adg :TgG-* TgG есть линейное отображение, то AcL есть
элемент группы GL(n). (Последняя понимается здесь как группа
невырожденных линейных отображений Tg G на себя; она
становится группой неособых матриц, как только в TgG
фиксируется базис). Этим определено отображение
Ad :G^GL(n), где Ad(g) = AcL.
Согласно общему правилу для суперпозиций отображений
d{f2°fi) = df2°dfi, имеем в нашем случае
AdgA = Adg • AdA , Adg-i = (Adg)"1 , (5)
т. е. отображение Ad :G-*GL(n) является гомоморфизмом
групп. Этот гомоморфизм называют присоединенным
представлением группы G б GL(n).
29.2.5. Определение. Пусть на множестве М действует
(см. 5.4.1) группа Г. Если на М задан некоторый „объект"
<Э, т. е. функция <Э : М -»Р со значениями в некотором
множестве Р, и для любых х G М и у G Г выполнено равенство
<Э(у х) = Q(x), то Q называют Y-инвариантным.
29.2.6. Лемма. Для того чтобы на группе Ли G
существовала биинвариантная метрика, необходимо и достаточно,
чтобы на Tg G существовало Ad (G ^-инвариантное скалярное
произведение.
Здесь Ad (G) — образ группы G при отображении Ad.
Действительно, пусть скалярное произведение (,) на Tg G
является Ad (G )-инвариантным. Построим по нему левоинвари-
антную риманову метрику на G по формуле (3). Тогда для
любых и, v £ TgG и AG G имеем
253

{dRhu, dRhv ) = {dLh-idRhu, dLh-idRhv ) =
= ( AdA-i и , AdA-i v ) = < u, v),
т. е. наша метрика не только лево-, но и правоинвариантная.
Обратно, если наша метрика не только лево-, но и
правоинвариантная, то
(Adgu, Mgv ) = (dLgdRg-lU, dLgdRg-xv ) =
= {dRg-iu, dRg-iv ) = {u, v),
т. е. метрика (,) на TeG является Ad (G )-инвариантной.
29.2.7. Доказательство теоремы 29.2.3. Воспользуемся
тем, что на каждой компактной группе Ли G существует
правоинвариантная мера ,ы, т. е. такая мера, что /u.(Eg) =
= ц(Е) для любого измеримого множества ECG и любого
g^G. Действительно, возьмем любую правоинвариантную ри-
манову метрику на С и в качестве ц выберем соответствующий
риманов объем (см. 6.5.2).
Далее, пусть (,) — любое скалярное произведение на
Tg G. Введем на Те G новое скалярное произведение (,) ,
полагая
< и , v ) * := / < Adg и , Adg v ) dgp . (6)
G
Очевидно, что (,) будет скалярным произведением на Те G.
Легко проверяется, что это произведение Ad (С)-инвариантно.
Действительно,
< AdA и , Adh v ) * = / < Adg ° AdA и , Adg - AdA v ) dgn =
G
= / (Adghu> Mghv )dgti = /<Adg,u, Adg^ )dg,h-rn =
G G
= / <kdg, и , Adg, v ) dg,fi = { и , v ) * .
G
По лемме 29.2.6, скалярное произведение (, )* порождает
биинвариантную риманову метрику на G. ■
*29.2.8. Из доказательства видно, что в условиях теоремы
29.2.3 вместо компактности группы G достаточно предположить
компактность группы G/KerAd. В доказательстве придется лишь
заменить интегрирование по мере на G интегрированием по
правоинвариантной мере /и. на G/KerAd.
29.2.9. Биинвариантная метрика на G иногда может быть
2 11
не единственной. Например, на торе Т = 5 х 5 любое ска-
254

2 2
лярное произведение на Те Т после распространения на Т
левыми сдвигами дает биинвариантную метрику.
29.3. Вспомогательные предложения.
29.3.1. Пусть X — ненулевое левоинвариантное векторное
поле на группе Ли G. Для каждой точки р £ G существует
некоторый участок интегральной кривой поля X
ар:= (-e<.t<e) + G, ар{0) = р, ^p- = Xap(f). (7)
Выделим особо путь ag, для него индекс е будем опускать.*
29.3.2. Лемма. Для левоинвариантного поля X пути
ар и ра совпадают:
ap{t) = pa(t). (8)
Действительно, при t = О имеем: а ( 0) = р = р е = р а ( 0).
Сравним касательные векторы путей ар и ра:
da£(t)= d{pa{t))_ d , , _
dt X> dt dt\LPa(t))
= dLp^=dLpX = X.,
29.3.3. Следствие. Результат леммы 4.3.6 можно для
случая левоинвариантных векторных полей X, Y на G переписать
в виде
[*'y]P = iH=o(^«(V4(o))- (9>
Равенство (9) остается верным и для левоинвариантного поля
Х = 0.
*29.3.4. Следствие. Для левоинвариантных векторных
полей X, Y на G
[Хе>*е] =iU = o(Ad««>M- (10)
Действительно, положим в (9) р=е и учтем, что
Ya(t) = dLa(t)Y<r ВВИДУ Rg-lLg=Lg-lRg ИМСеМ
d(Ra(-t)La(t)) = Ас1а(0' и ^ превращается в (10). ■
* Точки пути а обозначают также exptXe, потому что в случае матричных
t х
групп оказывается a (t) = е е-
255

29.4. Свойства биинвариантных метрик. Кривизна.
29.4.1. Теорема. Для биинвариантной метрики на группе
Ли G и любых левоинвариантных векторных полей X, Y, Z
на G
{X, [Y,Z]) = {[X,Y], Z) . (11)
Доказательство. Ввиду левоинвариантности полей
(X, Z) = const. Подвергнем окрестность той точки р £ G, в
которой рассматривается (11), сдвигу Ra,ty Ввиду (8) имеем:
a {t) • a (-t) = pa (t) a {-t) = р. Поэтому формулы
X{t):=dRa(_t)Xap{t), Z(t):=dRa(_t)Zap(t) (12)
определяют обычные вектор-функции в Т G.
Ввиду левоинвариантности полей X, Z имеем (X, Z) =
= const, а тогда ввиду правоинвариантности метрики из (12)
следует:
(X(t),Z(t))\ ={X,Z)\ = const . (13)
1 Р I ap (О
Дифференцируя (13) по t, получаем:
(-ftX(t),Z(t)) + (X(t),j-tZ{t)) = О,
что при t = 0 ввиду (9) дает равенство
<[У, X], Z)p + (X, [У, Z])p = О,
равносильное (11).
*29.4.2. Упражнение. Доказать, что равенство (11)
является характеристическим для биинвариантных метрик в том
смысле, что выполнение (11) для любых левоинвариантных
полей X, Y, Z на G влечет биинвариантность (,).
29.4.3. Теорема. Для левоинвариантных векторных
полей X, Y связность Леей—Чивита биинвариантной римановой
метрики на группе Ли G имеет вид
VXY = | [X, У]. (14)
Доказательство. Пусть Z — произвольное левоинвар^-
антное поле. Ввиду левоинвариантности полей X, У, Z функции
(X, У ), (Y, Z ), {Z, X) являются постоянными, поэтому
формула Кошу ля (5) из 8.2.2 принимает вид
2<Vxy,Z) = <[Z, Y],Z)-([Y,Z],X) + (Y, [Z, X ]) . (15)
256

В силу правила (11) последние два члена взаимно
уничтожаются. Из оставшегося равенства ввиду произвольности Z следует
(14). ■
29.4.4. Следствие. На группе G с биинвариантной
метрикой гесдезичские с началом е £ G — это в точности
интегральные кривые а = ае из 29.3.
Действительно, согласно (7), поле скоростей пути а имеет
вид t>-*Xa(t<. и по (14) имеем:
dt\dt\ dt Л«(0
*— = v*<o* = I iX'X] = °
Ясно, что путями а исчерпываются все геодезические с
началом е.
Упражнение. Доказать, что если все геодезические с
началом е на группе G с левоинвариантной римановой метрикой
совпадают с интегральными кривыми а, то метрика биинвари-
антна.
29.4.5. Следствие. Для биинвариантной метрики на G
преобразование кривизны в точке р £ G выражается формулой
R{xP>YP)zP = -\[ix>Y ]>zL'
(i6)
где X, Y, Z — левоинвариантные векторные поля.
Для получения (16) достаточно переписать формулу (2) из
14.2.2, согласно (14), и учесть тождество Якоби
[[X, Y],Z] + [[y,Z],x] + [[Z,X], У] =0.И
29.4.6. Следствие. Для биинвариантной метрики на G
секционная кривизна в точке pGG в направлении
о = Хр Л Yp выражается формулой
^ Р Р> 4 (X, X)(Y, Y)-(X, Y)2 \р
где X, Y — левоинвариантные векторные поля.
Равенство (17) следует из формулы (29) (см. 14.7.1) и того
факта, что в силу (16) и (11)
4 (R ( Хр, Yp) Yp, Xp) = - ( [ [X, Y ], У] , X) =
= < [ X, У ], [ X, У ]). ■
29.4.7. Из (17) следует, что секционные кривизны
биинвариантной метрики на группе Ли всегда неотрицательны. Особый
интерес представляет выявление случаев, когда секционные
кривизны строго положительны. См. примеры 29.5.6, 29.5.7.
257

*29.4.8. Если риманова метрика (,} на G не биинвариантна,
а только левоинвариантна, то выражение для ее связности Ле-
ви—Чивита V имеет более сложный вид. Именно, рассмотрим
для X £z TeG линейное отображение а<\х : TgG^> TeG по
правилу adx Y = [X, Y ]. Сопряженный с adx линейный оператор
обозначим ad^-. Это значит, что для любых Y, Z G TgG
(adxY,Z) = {Y, ad*xZ) .
Тогда
Vx Y = ^ ( [X , Y ] - ad*x Y - ad*YX ) (18)
для любых левоинвариантных векторных полей X, Y на G.
Это доказывается так же, как теорема 29.4.3, но без
использования (11).
Далее, из (18) непосредственно, по определению тензора
кривизны, следует громоздкая формула для кривизны Римана
к(X, Y) = \ad*xY+ ady* | - (ad^-X, ady Y ) -
-|([*,n)2-|<[[*,n,r],*>-
-±<[[У,Х],Х],У>. (19)
29.5. Алгебра Ли группы Ли.
29.5.1. Как отмечалось в 4.3.2, гладкие векторные поля на
гладком многообразии М (в частности, на группе Ли) с
операцией [, ] — скобкой Ли образуют алгебру Ли. Для каждого
диффеоморфизма <р : М -» М
[d<pX, d<pY] = d<p[X,Y]. (20)
Пусть G — группа Ли и X, Y — левоинвариантные
векторные поля. Заменяя в (20) <р на левый сдвиг L , видим,
что [X, Y ] — тоже левоинвариантное векторное поле. Поэтому
левоинвариантные векторные поля на группе Ли G образуют
подалгебру © в алгебре всех гладких векторных полей на G.
Алгебра (э будет играть далее важную роль. Ее называют
алгеброй Ли группы Ли и обычно обозначают готической буквой,
соответствующей латинскому обозначению группы.
29.5.2. Алгебра © как векторное пространство изоморфна
Те G (достаточно сопоставить каждому X £ © его значение
Хе). Пространство TeG превращается в алгебру Ли,
изоморфную ©, если для любых u,v £ TeG положить
[u,v] := [X,Y ]e, (21)
где Xg= Lgu, Yg = Lg v.
258

Ввиду изоморфности алгебры Ли левоинвариантных -.ектор-
ных полей и Те G как алгебры с умножением (21) эти алгебры
просто друг с другом отождествляют и под © понимают любую
из них.
29.5.3. Если ip — автоморфизм группы G, то отображение
dtp ввиду (20) является автоморфизмом ее алгебры Ли. В
частности, для каждого внутреннего автоморфизма
LgR -1 : G^G его дифференциал Adg : TeG^feG (или, что
то же, Adg : © -» ©) удовлетворяет соотношению
[Adg* , AdgY ] = Adg[X,Y], (22)
т. е. является автоморфизмом алгебры Ли ©.
29.5.4. Пример. Найдем алгебру Ли для группы GL(n)
неособых вещественных (п х п )-матриц. Напомним (см. 29.1.2),
что GL(n) можно рассматривать как открытое подмножество
2
в векторном пространстве R" всех (п х п )-матриц А = (а ),
где i — номер строки, а / — номер столбца. Это подмножество
выделено условием det^4 ^ 0. Числа а1 служат координатами
2
в R" и в GL(n).
Касательное пространство TAGL(n) как касательное про-
2
странство к открытому множеству в R" можно отождествить
2
с самим R" , т. е. TAGL(n) оказывается векторным
пространством всевозможных (не только невырожденных) (n x n )-мат-
риц. В GL(n) левый сдвиг LA , А = (а'1), переводит элемент
B = (bU) в элемент АВ= ( 2 aikЪк'г
Пусть из единицы ЕG GL(n) выходит путь
U(t)= (u'J(t)\. Его начальная скорость XE=(x'J), где
хlJ = -J- u'J(t) I . Левоинвариантное поле X на GL(n) со
значением Х„ = (хv) будет иметь в точке А = (a1J) значение
XA = dLA(XE)=-ft(LAU(t))t^Q =
rf^ ( Г
'"*«*'"о) = 2 а|'**ш" = ^^я- <23>
Вычислим в координатах ау по формуле (7) из 4.3.2 скобку
Ли в точке Е для левоинвариантных векторных полей X, Y.
Обозначим ХЕ = (x'J) , YE = (y'J), тогда
259

HAYEf Л,„„*(АХЕ)У
дарч dapq
_ xpq ' « _ „ РЯ L.
daPQ bapq
= х">»*
у«-у«х« = (XEYEy- (YEXE)lJ.
Таким образом, в алгебре Ли TEGL(n), обозначаемой
©£(/г) скобка Ли выражается через умножение матриц:
\Х, У] = XY - YX. (24)
29.5.5. Пример. Группа О (/г) ортогональных (иХ/г)-мат-
риц является подгруппой Ли размерности п(п—1)/2 в
GL(n). Если t*-*A(t) — выходящий из Е путь в О (и) с
начальной скоростью X, то ввиду A(t)AT(t) = Е имеем:
что при t = 0 дает X + Хт = 0. Таким образом, пространство
ТеО(п) состоит только из кососимметрических матриц X. При
этом ТеО(п) содержит каждую кососимметрическую матрицу
X. Это сразу следует из рассмотрения пути
t~>A{t) = etx := E+tX + jj X2 + ...,
все точки которого при кососимметрической матрице X, как
легко видеть, лежат в 0{п). (Действительно, A(t)AT(t) =
Т Т
= etxet* =et(* + x ) = etO = Ey умножение [,] в алгебре
Ли ТеО(п) также имеет вид (24).
29.5.6. Пример. Для группы 0{п) можно ввести в
ТеО(п) скалярное произведение, полагая для кососимметрических
матриц X = ( хij), Y = ( уij) G ТЕ О (п)
(X,Y):= -ij xikyki=-±tr(XY) = ±1г(*Ут) . (25)
Это скалярное произведение распространяется до римановой
метрики левыми сдвигами; для U, VE ТаО(п) и
U= dLAX = AX, V= dLAY= AY полагаем:
260

{U,V)A := <*, K>£ = ±tr (XYT) =\\v(AXYTAT) =
= jtr(AX(AYy) = ±tr (C/FT) . (26),
Введенная таким образом метрика биинвариантна.
Действительно,
(dRBU, dRBV)AB = (UB,VB)AB = jtr(UB(VB)T) =
= jtr (UBBTVT) =^tr(t/FT) = <£/, К)Л. ■
При п > 3 размерность dim О (и) > 2 и компонента единицы
ХО(я) многообразия О(п) с метрикой (26) является римано-
вым многообразием. Его секционную кривизну Ка в точке Е
в направлении о = Х AY легко вычислить по формуле (17),
учитывая (24) и (25):
2 (2
xikyki
2 У***
*о=4
'</
):
2(J.'),2(7»)1-(2J.V)
(27)
к/
i</
'</
29.5.7. Убедимся, что SO (3) с метрикой (26) имеет
постоянную кривизну (равную 1/4). Из этого уже следует, что
универсальной римановой накрывающей для SO (3) служит сфе-
з
ра 5 радиуса 2. Как доказывается в топологии [34 ],
л:) ( SO ( 3) \ = Z2, так что упомянутое накрытие двулистно. Это
позволяет отождествлять SO (3) с вещественным проективным
з
пространством R Р .
Но вернемся к вычислению кривизны многообразия
SO ( 3). Выберем в пространстве Г£ SO ( 3) базис
(28)
В метрике (26) этот базис — ортонормированный, а скобка
Ли, как следует из (24), задается в этом базисе таблицей
^Х{ , Х2 J ~ -^3 > [ "^2 > -^3 J = -^1 > [ -^3 > -^1 J = -^2 * (™)
Если сопоставить базису Х{,Х2,Х3 базисные векторы
л:, = ( 1, 0, 0), х2 = (0, 1, 0), х3 = (0, 0, 1) в R, то линейный
3 «
изоморфизм между ТЕ SO (3) и R оказывается изометриеи,
причем скобке Ли [ X, Y ] соответствует векторное произведе-
261
( 0 0 0 >
0 0-1
0 1 0
, Х2 —
foon
0 0 0
-10 0
. *з =
(°
1
0
-1 0)
0 0
0 0

ние хх у в R , т. е. алгеброй Ли группы SO (3) служит
евклидово пространство R с обычным векторным умножением.
Учитывая, что метрика (26) на SO (3) биинвариантна,
находим из (17):
к = I (IX, Y], IX, Y]) = I \хху\2 = I (30)
" 4 (Х,Х) (X,Y)-(X,Y)2 А x2y2~(xyf 4'
При п > 4 у многообразия О (и) с метрикой (26) значения
Ка (очевидно, неотрицательные) в некоторых направлениях
обращаются в нуль. Достаточно для примера взять X с
12 21 , tin ,, 34 43 ,
х = ~х = 1 и остальными х =0 и К с j = ~У = 1 и
остальными уlJ = 0.
*29.5.8. Для группы Ли G каждому элементу X ее алгебры
Ли © = Те G, как упоминалось в 29.4.8, соответствует
линейное (быть может, вырожденное) отображение adx :©-»©,
действующее по правилу
adxY := [X, Y ]. (31)
Полезно знать следующую связь отображения adx с Ad.
Для присоединенного представления Ad := G^GL{n) (см.
29.2.4) его дифференциал deAd в единице e£G обозначают
ad. Это — линейное отображение TeG в TEGL(n), т. е.
ad :б-б2(п). (32)
Для каждого Х£§ значение ad AT есть элемент в
TEGL(n), т. е., согласно 29.5.4, есть некоторое линейное (быть
может, вырожденное) отображение пространства TeG в себя.
Из (10) вытекает, что
ad AT = adx. (33)
Наконец, если применить (20) к отображению <р = Ad,
получаем
dAd [X, Y ] = [rfAdZ, dAd Y] ,
что вместе с (31) дает:
a^[x, Y] ~ \a<*x> ас*у] • (34)
Поэтому отображение (32) есть гомоморфизм алгебр Ли.
29.6. Пример Берже.
29.6.1. Наша цель — построить трехмерное риманово
многообразие 2, секционные кривизны Ка которого лежат в
пределах 0 < Ка < К = const и на котором имеются замкнутые
геодезические длины, меньшей 2п/^/к. Тем самым у 2 радиус
262

инъективности rt ( 2 ) < л/чК.. (Согласно теореме 24.3.2,
последнее невозможно для четномерного многообразия).
29.6.2. Обозначим 5 трехмерную сферу радиуса 2 с ее
стандартной римановой метрикой. Как отмечено в 29.5.7, она
служит универсальной римановой накрывающей группы Ли
50(3) с метрикой (26) и поэтому (см. 29.1.7) сама является
з
группой Ли. Метрика на 5 биинвариантна. Так как накрытие
/ : 5 -» SO ( 3) есть групповой гомоморфизм, то алгебра Ли
з
группы 5 та же, что и у SO (3). В базисе Хх , Х2, ^3 ^См-
(28)) эта алгебра определяется соотношениями (29).
з
Векторы Хх , Х2 , Х3 в стандартной метрике сферы 5 об-
разуют ортонормированный базис в Те S , а как левоинвари-
антные поля — ортонормированные базисы для любой точки
з з
p£S . При этом для любых X, YE.T S , X = At Хх +
+ Х2Х2 + Х3Х3, Y = Р\ Х\ +Ц2Х2 + /и3Х3 скалярное
произведение {X, Y )р = Х,Ц\ + Х2ц2 +Х^Цу
Введем на 5 новую метрику «, », полагая по определению
{{X, Y)) = агХхН + X2fi2 + Х3ц3, (35)
где 0 < а < 1. Отличие метрики «,» от <,> состоит в том,
что каждое касательное пространство как бы „сжимается" (с
постоянным множителем а) в направлении вектора Х±. Сфера
з
S с новой метрикой «,» при разумно выбранном а и будет
требуемым римановым многообразием 2. Проверим это.
з
29.6.3. Рассмотрим группу Ли G = S X R с метрикой пря-
з
мого произведения сферы 5 радиуса 2 и прямой. Эта метрика
биинвариантна. Алгебра Ли группы G получается из алгебры
з
Ли группы 5 добавлением к Хх , Х2, Х3 касательного к R
единичного вектора Х^ и соотношений [ X,-, Х4 ] = 0 при всех
/. В метрике группы G базис Х^ , Х2, Х$ , Х4 —
ортонормированный.
Зададим на G два ортогональных друг другу векторных
поля:
Zl=aXl+^X4, Z2= ~рХх+ аХ4, а2 + /32= 1 , а>0, /3>0,
з
и пусть tt:G-»5 х{0} — проектирование многообразия G
з
на сферу 5 х {0} С G, осуществляемое вдоль интегральных
кривых линий поля Z2 (рис. 68).
з
Сферу 5 х {0} с метрикой (30) мы и обозначаем 2. При
этом проектирование л : G-»2 является римановой субмерсией:
263

Рис. 68.
поле Zj — горизонтальное, а поле Z2 — вертикальное, так
что
I dnZx I = |Zj I = 1 , \dnZ2 I =0,
откуда 1й?я^]1 = а, поскольку I] =aZ] -j5Z2.
29.6.4. Воспользуемся субмерсией л, чтобы по формуле
О'Нейла 14.12.6 вычислить кривизны Ка многообразия 2. Пусть
X, У G Гр2, примем
А' = — Х1 + Х2 Х2 + А3 ^з > Y ~ ~а ^1 + <"2 ^2 + Из х3 '
так что
|ХЛУ|* = «Х,Х»«У,У» - {{X,Y))2 = v\ + v\ + v\,
где
v\ -Ъ-гИъ-ЧИг* уг = ЧИ\ -*\Из> уъ = х\Иг~ хгИ\-
Ввиду Xi = a Zj — /3 Z2 горизонтальными подъемами в G
векторов А , У служат векторы
А = Л| Zj + л2 Л2 "Ь Ао Лэ = л, СС Aj + л2 А7 + Яо А^ + л, р Ад ,
У = А*!г! +(Ы2Х2+(Ыз^З:=-и1аАГ1 + ^2 Х2 + -"3 Х3 + -"l Z3 Х4 •
Отсюда
[X, У ] = v1X1 +av2X2 + av3X3
и вертикальная составляющая
[X, У ]У = -pv1Z2.
264

Пользуясь формулой О'Нейла 14.12.6 и формулой (17) для
биинвариантной метрики на G, находим для а-ХА Y:
Г = k(x>Y) = k(X,~Y)G + {3/4)( [X,Y ]v)l =
"а \Х Л Г l| 1Х,У||
G
= (l+3/32)y? + a2(^+vf)
4 (v2 + v2. + v2 )
Отсюда следует, что
0<^^i^M!=l-fa2=:K.
4 a 4 4
29.6.5. Убедимся, что в многообразии £ есть замкнутые
геодезические длины 4 я а.
з
На сфере 5 х {0} как на группе Ли с биинвариантной
метрикой интегральная кривая левоинвариантного поля Х{
является геодезической (см. 29.4.4), т. е. окружностью 5 длины
3 1
4 я. В G= S X R цилиндр С = S X R (см. рис. 68) является
вполне геодезическим подмногообразием и локально изометри-
чен плоскости. Интегральные кривые полей Z( и Z2, идущие
через любую точку р Е С, целиком лежат на С. Поскольку
поле Z, на G левоинвариантно, а метрика на G биинвариантна,
то интегральная кривая поля Z( — геодезическая в G.
Поскольку эта кривая относительно субмерсии л горизонтальна,
то (см. 14.12.5) ее я-образ — геодезическая, т. е. 5 —
замкнутая геодезическая в 2 с метрикой (30). Ее длина отличается
з
от длины в 5 х {0} множителем а, т. е. равна 4 ла.
Теперь достаточно взять а Е (0, 1/3), чтобы удовлетворить
2 2
неравенству a (4-За ) < 1. Тогда
Ала< 1л (\ -ja2\~l/2 = 2л/л[к . Ш
29.6.6. Если отнормировать метрику «, », домножая все дли-
2 1/2
ны на (1 -За /4) , то в новой метрике
а2 ±к<х.
4 - За
265

Беря ai / 1/3, получим примеры метрик на сфере S с
1/9<Ка<1, в которых есть замкнутые геодезические короче
2л. Беря «-\0, получим примеры метрик на сфере S с
0<Ка<1, в которых есть произвольно короткие замкнутые
геодезические.
*29.6.7. Построенные выше римановы многообразия 2
„реализуются" в комплексном проективном пространстве С Р со
стандартной метрикой (см. 30.7.5), нормированной так, что все
1 < Ка < 4 представляются в виде геодезических сфер, радиус
2
г которых удовлетворяет требованию sin г > 2/3 (см. [141]).
§ 30. Римановы метрики на однородных пространствах
ЗОЛ. Однородные пространства.
30.1.1. Каждая подгруппа Н группы G позволяет разбить
G на классы эквивалентности, считая элементы g,g'GG
эквивалентными g' — g , если g'=gh, где h £ Н. Эти классы
называют (левыми) смежными классами группы G по подгруппе
Н. Содержащий g смежный класс обозначают [gH ], а класс
[еН] обозначают [Н]. Ясно, что [gH]-{gh \hGH}.
Множество смежных классов обозначают G/H. Отображение
л : G^G/H, где n{g) := [gH J, называют проектированием.
Если G — топологическая группа , то множество G/H
канонически снабжено топологией, это — сильнейшая топология,
при которой проектирование л непрерывно. Иными словами,
открытыми в G/H считаются образы открытых множеств в G,
и только они. G/H с этой топологией называют
фактор-пространством.
Мы воспользуемся без доказательства следующим
утверждением (см. [41, с. 132]).
30.1.2. Теорема. Пусть G — группа Ли, а Н — ее
замкнутая подгруппа (тем самым — подгруппа Ли, см. 29.1.3).
Тогда на фактор-пространстве G/H существует единственная
гладкая структура (она согласована с топологией), при
которой проектирование л : G^G/H является субмерсией.
30.1.3. Фактор-пространство G/H с этой гладкой структурой
называют однородным пространством группы Ли G по
замкнутой подгруппе Н. Саму группу Ли G можно рассматривать
как однородное пространство G/{e} по тривиальной подгруппе,
состоящей только из единицы группы G.
Т. е. группа, являющаяся топологическим пространством, в которой
действия умножения и взятия обратного элемента непрерывны.
266

*30.1.4. Напомним, что главным расслоением принято
называть такую четверку (X, В, Н,л), где л — гладкая субмерсия
тотального пространства А" на базу В, что группа Н действует
(справа) на X транзитивно на слоях л~ (р), р G В, причем
выполнено следующее условие: для любой точки р G В найдутся
ее окрестность U и диффеоморфизм <р : U X Н '-» л (U), такие,
что ip (у, h h ' ) = ip (у, h) h '.
С каждым однородным пространством G/Н = М естественно
связать главное расслоение ( G, М, Н, л ). Действительно,
действие подгруппы Я на С правыми сдвигами R^ сохраняет слои
gH = n~ ([gH]\; каждая точка [g0H]GM имеет
окрестность U, в которой существует гладкое сечение s: U -» G, и
достаточно положить <p([gH], h\ = s ( [gH ]h\. Ш
При рассмотрении примеров однородных пространств будет
удобна следующая лемма.
30.1.5. Лемма. Пусть G,M,N — гладкие многообразия.
Предположим, диаграмма
G
* fz X
коммутативна, /] — гладкое отображение, ал — субмерсия.
Тогда /2 — тоже гладкое отображение, причем
rank dxл,)/2 = rank d„fl при каждом g£G. В частности, если
rank d„/] всюду одинаков, а отображение /2 — биекция, то
/2 — диффеоморфизм.
Действительно, выберем локальные координаты в G и в М
так, чтобы проектирование л имело вид
я(*\...*и) = (*1,...,*т),
1 к
где п = dim G, т = dim М, и локальные координаты у , ... , у
в N. Кроме того, можно считать, что рассматриваемая точка
р G М имеет координаты (Q,.._. , 0) и в нее проектируется точка
m
gG G с координатами (0, ... , 0). Пусть в этих координатах ото-
п
бражение /] задается гладкими функциями у (х , ... , хп) , ...
...,/(л:1,...,*")• Тогда f2{x\...,xm)=fx(x\...,xm,
Ol-.v^O) = { УХ (*'• ••• > х"1' 0, ••• , 0),... , /(х\ ..., хт, 0,... , 0)}.
п.- т.
* См. 4.1.1.
267

Ввиду /j = /2 ° я из последних равенств следует, что
/,0с1, ..., хп) = f2(x\ ... ,хт) = fx(x\ ... ,хт,0,... ,0),
откуда кроме гладкости отображения /2 следует, что
rankdgfi = гапк<1Ж(му/2. ■
30.2. Примеры.
30.2.1. Зафиксируем в Rre+1 ортонормированный базис
е\> • • •' еп + 1 • Каждому элементу g группы Ли О (га + 1 ) орто-
и 4- 1
тональных преобразований пространства R соответствует
точка /j (g) := ge, G 5re, где 5ге — стандартная единичная
сфера в Rre+1. Отображение /1:0(га+1)-»5'г гладкое.
Элементы группы 0(га+1) в базисе ej,...,en+1 задаются
ортогональными (га + 1 ) X (га + 1 )-матрицами. Подгруппа в
0(га+1), оставляющая е, на месте, состоит из матриц вида
0
0 ■ (1)
\
где Ап — ортогональная (га X га )-матрица. Из (1) видно, что
эта подгруппа изоморфна О (га). (Последнее ясно и
непосредственно: это — подгруппа, состоящая из всевозможных
ортогональных преобразований подпространства Rre, натянутого на
e2'"->en+l)-
Каждому элементу [gO(ra)] фактор-пространства
0(га+1)/0(га) соответствует точка /2 ([gO(n)]\ := g° h(e{) G
£5n; очевидно, она не зависит от выбора A G О (га).
Легко видеть, что диаграмма
0(п + 1)/О(п)
коммутативна. Кроме того, /2 взаимно однозначно. Убедимся,
что ранг dfi во всех точках одинаков. Пусть
g, g(E О (-га + 1 ), А = gg"1. Тогда
/l (*) = g(ex ) = (As) ex = А (*(*,)) = А (/, (*)) = А»/, (е, ) ,
268

где последнее А — отображение Sп -» Sп, отождествляемое с
так же обозначенной ортогональной матрицей А. Отсюда
dgfi^df (g)h*dgfv Но dh имеет всюду „полный" ранг,
откуда rank d~fx = rank dfx. Теперь, по лемме 30.1.5,
следует, что /2 — диффеоморфизм. Именно в смысле этого
диффеоморфизма
S п = О (га + 1 у О (га ) . (2)
Аналогично можно убедиться, что
Sn = SO(n+ 1)/50(га). (3)
•30.2.2. Грассманово многообразие G(n,k) определяется как
множество всех неориентированных ^-мерных подпространств в
Rre(l<£<ra), естественным образом снабженное гладкой
структурой (см. [37, с. 174]). Нетрудно видеть, что грассмановы
многообразия G (га, к) оказываются однородными
пространствами:
G(ra,/fc) = 0(ra)/(0(/fc)xO(ra-/fc)) . (4)
(Преобразование gGO(ra) переводит R в новое положение,
а преобразование hx £ О (к) переводит подпространство R в
себя, и А2£0(и-4) переводит в себя ортогональное
дополнение Rre_ к подпространству R ). В частности, при к = 1
многообразие G (га, 1 ) — это (га — 1 )-мерное вещественное
проективное пространство
ЕР""1 = G(ra, 1) = 0(га)/(Ж2х О (га- 1)) . (5)
Аналогично для грассмановых многообразий G(ra, к) ориенти-
к п
рованных ^-мерных подпространств R в R
G(n,k) = SO(n)/(SO(k)xSO(n-k)\ =
= О (га ) / (5 О (к ) X О (га - к )) . (6)
30.2.3. Элементами (га + 1 )-мерного комплексного
пространства Сп+Х (см. 17.1.3) служат наборы комплексных чисел
(zj ,... ,zn+l). Если факторизовать Сге + ' \ 0, относя в один
класс эквивалентности наборы {zv... ,zn+x) и
(Я Zj ,..., Я zn + j ) при любом комплексном Я ^ 0, то получаемое
фактор-пространство называют га-мерным комплексным
проективным пространством и обозначают СРп. На СРп вводится
атлас из га+1 карты с координатными системами
( 1» z2 < ••• < zn+ 1 ) > (zl > 1> z3 ' ••• > zn+ 1 ) ' ••• > vzi> ••• ' zn> ' )• ™a-
269

ким образом, С Рп является комплексным многообразием
(см. 17.2.1) комплексной размерности п.
Отметим сразу, что, как известно из топологии (см. [37,
с. 417]), многообразие СРп при п > 2 не гомеоморфно ни
одному из многообразий R2" , Н2п , S 2п , R Р 2п. (В отличие от
двух первых оно компактно, а в отличие от последних двух
обладает нетривиальной группой тг2).
В Сп+ вводят эрмитово скалярное произведение
п+ 1 _
<(z,, ... ,zre+ , ), Oi,..., w i )} := 2 z-w-, (7)
где черта сверху означает переход к комплексно-сопряженным
числам.*
В С"+ , трактуемом как К п + 2, стандартной единичной
сферой служит S п ; ее можно задавать в виде
S2n+l = | (z, z„+1) |"2 z;.i;.= ll. (8)
В частности, S состоит из комплексных чисел е11р.
В общей группе GL(n+ 1,C) комплексно-линейных
взаимнооднозначных преобразований С"+ -» С"+ выделяют
подгруппу U (п + 1) отображений, сохраняющих эрмитово скалярное
произведение (7). Эти преобразования переводят в себя сферу
е 2п+ 1
Компоненты zx, ..., zn + , элемента (zj, ... , zn + j ) можно рас-
сматривать как координаты этого элемента в базисе
а, = ( 1,0, ...,0), а2(0, 1,0, ...,0), ..., а„+i = ( 0, ..., 0, 1)
комплексного векторного пространства Сп+ . Выбор базиса
устанавливает изоморфизм группы GL(n+ 1, С) с группой Ли всех
комплексных (п + 1 ) х (п + 1 )-матриц с ненулевым
определителем и между U (п + 1 ) и компактной группой Ли унитарных
матриц (см. 29.1.4), т. е. группой матриц U, для которых
— 1 — т
U = U . Отметим, что группа U(l) изоморфна окружности
S , т. е. группе чисел е11р с действием умножения.
Использованную при определении СРп факторизацию
р : С" \ 0 -» СРп естественно сузить на сферу
♦Теперь нередко (z, w) определяют иначе: как Sz.-vv.-, что влечет
соответствующие изменения формул.
270

P = P\ -2и-1 : S
2n + 1
£Pn.
(9)
Из (9) очевидна компактность многообразия СРп.
ге+ 1 _
Выделим в группе U(п + 1 ), сохраняющей ^ z-i"-, подгруп-
п+ 1
пу Н = U( I) X U(n), сохраняющую порознь z, Z] и ^ z=z-.
у = 2
Подгруппа Я состоит из матриц вида
,«Р
О
О
(10)
где Ап — унитарные (их п )-матрицы.
Убедимся, что £Рп диффеоморфно U(n + 1) /Н. В смысле
этого диффеоморфизма С Рп есть однородное пространство:
СР
п _
U{n+ \)/(U(\) X U(n)\ .
(П)
Сопоставим каждому элементу gGU(n+l) элемент
fi(g) ■= P°g(ai)GCPn. Соответствие /, : U(n + 1) -> £Рп —
аналитическое. Каждому элементу [gH ] фактор-пространства
U {п + 1 ) /Я сопоставим элемент /2 ( [gH \\ := р° g° h(ax), где
hG Я. Значение f2( [gH ]\ не зависит от выбора hG H, и
диаграмма
(/fn+0
ТС
U(n+1)/H
коммутативна. Действительно, h(ax ) = (е1<р ,0, ... , 0), элементы
^(а,) и g(h(ax)\ различаются лишь множителем е^. Легко
проследить, что отображение /2 взаимно однозначно. Далее
аналогично 30.2.1, по лемме 30.1.5, заключаем, что /2 —
диффеоморфизм. ■
*30.2.4. Упражнение. Описать канонические вложения
0(п- l)<=*SO(n), U(n)^*SU(n+l) (12)
и на этой основе доказать, что вещественное и комплексное
проективные пространства наряду с представлениями (5), (И)
допускают представления
271

RP"_1 = 5 О (п) /О (п- 1), £Pn = SU(n+ 1)/£/(«), (13)
где SU(n + l) — группа тех унитарных матриц
t/G U(n + 1), для которых det£/= 1.
30.3. Сдвиги.
30.3.1. На однородном пространстве M-G/H естественно
определяется действие I группы G. Именно, если gG G и
х = [g' Н ] G М, то по определению
l(g,x) = [(gg')H] . (14)
Это определение корректно в том смысле, что результат не
зависит от выбора g', представляющего х£Я; действительно,
если взять другой элемент, g" = g' h, то [gg"H] =
= [gg'hH]= [gg'H].
В дальнейшем вместо I (g, x) будем писать lg (x) и называть
отображение I : М -* М сдвигом однородного пространства М
с помощью элемента g.
30.3.2. Действие группы G на М транзитивно, т. е. для
любых х, у G М найдется такой элемент g £ G, что Zg (х) = >»
(если х = [g[ Я ], у= [g2 И ], то в качестве g достаточно взять
30.3.3. Из теоремы 30.1.2 следует, что сдвиги I являются
диффеоморфизмами и, более того, что действие / группы G
на М гладкое (см. определение в 5АЛ). Докажем это. Имеем:
lg{ng') = lg([g' Н}) = [gg' H] = n (Lg(g')), т. е.
lg°n = n°Lg, (15)
откуда, по лемме 30.1.5, отображение lg гладкое.
Проследите сами наглядный смысл сдвигов I для каждого
из примеров 30.2.
30.3.4. Отметим два простых, но полезных равенства.
1. Из (15) немедленно следует:
dlg°dn = dn° dLg.M (16)
2. Если Лея, то
dn« dRh = dn . (17)
Действительно, правые сдвиги /?Л сохраняют слои gH, т. е.
n°Rg = n. Проверим это: ж (R^g) = л (gh) = [ghH ] =
= [g#] = 7r(g). Отсюда следует (17). ■
Отметим, что действие группы Н правыми сдвигами R^ на
каждом слое gH в пределах этого слоя транзитивно: если
g' £ gH, то g' = gh = Rhg для некоторого /г£Я.
272

30.3.5. Поскольку сдвиги ZA, где h £ Я, переводят точку
L//] в себя, мы можем определить линейные отображения
Ad, :=
^[Я] k-
(18)
Из lh° lh'= lhh'I le = id' следует:
A"dA-AdA, = AdAA,, Ade = id,
поэтому отображение
Ad : H-+GL (т
(ТШМ)
(19)
по правилу A'~*AdA есть гомоморфизм групп.
Согласно (16), для всех h G Я, ХЕТгщМ имеет место
AdA* = rfe7r°AdA*,
(20)
где X — любой „подъем" вектора X, т. е. <1ел (X) = X.
30.3.6. При субмерсии л : G -* G/Я = М подгруппе Я
соответствует точка [Я ] £ М (рис. 69).
Рассмотрим фактор-пространство ©/^ векторного
пространства TeG( = §) по эквивалентности: X ~Y , если
Jf- У£ТеЯ( = 5), т. е. векторное фактор-пространство TeG
по подпространству ТеН. Это векторное пространство Щ/§
канонически изоморфно касательному пространству Т^щМ:
изоморфизм i определяется равенством i ( [X ]\ =dn(X), где
[X ] G © / 5 есть класс эквивалентности вектора X G Те G = ©.
Ввиду изоморфизма г мы вправе в дальнейшем не различать
6/5 и 7\Я]М.
30.4. Инвариантные метрики.
30.4.1. Риманова метрика < , > на однородном пространстве
М = G/H называется инвариантной (или, подробнее, G-инва-
риантной), если для любых р G М, X, YE.TpM, gEG
273

(X. Y )p = {dlgX,dlgY)gp . (21)
Из транзитивности действия G на М следует, что для
инвариантности метрики достаточно, чтобы (21) выполнялось хотя
бы для одной точки р при всех g&G.
Примерами инвариантных римановых метрик являются, в
частности, левоинвариантные метрики на группах Ли.
30.4.2. Определение (21) означает, что по отношению к
инвариантной метрике группа G действует на М = G/H изо-
метриями. Как отмечалось в 30.3.2, это действие транзитивно.
Однако группа G может не исчерпывать собою группу /
всех изометрий пространства М с инвариантной метрикой. На-
2 2
пример, сфера S есть однородное пространство S =
= SO ( 3) /SO ( 1). Но группа SO ( 3) — лишь „половина" всей
7
группы О (3) изометрий сферы S .
■2
Более яркий пример. Как отмечено в 29.5.7, сфера S сама
является группой Ли, тем самым — однородным пространством
•а "a -а
S = S /{е}. Но группа S трехмерна, тогда как полная груп-
•а
па изометрий сферы S есть шестимерная группа О (4).
Кроме того, действие группы G на однородном пространстве
М = G/H не обязательно эффективно, т. е. не обязательно из
равенства I х = х при всех х £ М следует, что g — е. Пусть,
например, М = G/H и Л — нетривиальная группа Ли.
Рассмотрим новЪе представление М = (G X А )/(Н X А ). Докажите
сами, что любой элемент (е, a) G G X А, где е — единица
группы G, а а — любой неединичный элемент группы А, действует
на М так же, как единичный элемент (е, еА) группы G X А.
30.4.3. Инвариантные метрики существуют не на каждом
однородном пространстве. Ниже, в п. 30.6, приводятся
эффективно проверяемые необходимые и достаточные признаки
существования инвариантных метрик.
30.5. Римановы однородные пространства.
30.5.1. Риманово многообразие М называют римановым
однородным пространством, если группа / его изометрий тран-
зитивна, т. е. для любых р, q G М найдется такая изометрия
g&I, что q = g(p).
30.5.2. Если однородное пространство G/H имеет
инвариантную метрику и связно, то оно является римановым однородным
пространством, поскольку его группа изометрий заведомо тран-
зитивна (см. 30.3.2). (В 6.1.1 мы условились, что риманово
многообразие всегда связно. Поэтому несвязные однородные
пространства G/H, снабженные инвариантной метрикой, мы не
считаем римановыми многообразиями).
Оказывается, что имеет место и обратное: каждое риманово
однородное пространство М можно представить в виде
однородного пространства G/H с инвариантной метрикой. Чтобы
придать этому утверждению точный смысл и описать, как стро-
274

ятся G и Я по М, нам понадобится следующая теорема,
которую мы приведем без доказательства.
30.5.3. Теорема. Группа I изометрий любого риманова
многообразия *М допускает структуру группы Ли (может быть
нуль-мерной и несвязной), причем действие группы I на М
изометриями является гладким.
Доказательство см. в работах [125] или [41, с. 193].
30.5.4. Пусть М — риманово многообразие и / — группа
его изометрий. Зафиксируем произвольную точку р £ М, и
пусть Я — подгруппа изотропии (.стабилизатор) точки р в
группе /, т. е. H={hE.I\h(p) = p}. Тогда Я замкнута в /
и потому Я — подгруппа Ли группы /.
30.5.5. Теорема. Пусть М — риманово однородное
пространство. Тогда отображение f:I/H->'M no^правилу
f ( [gH ]\ — g(p) определено корректно и является
диффеоморфизмом однородного пространства I/H на М. При этом
индуцированная отображением /~ риманова метрика на
I/H инвариантна.
Доказательство. 1. Если [gxH]=[gH], т. е. g1=gh,
где h £ Я, то gx (р) = g° h (p) = g (p), поэтому / определено
корректно.
2. Группа изометрий / действует на М транзитивно, т. е.
для любой точки q&M существует gEI, для которого
Я- g(p)- Тогда / ( [gH ]\ = g(p) = д. Значит, / — отображение
на все М.
3. Убедимся, что / взаимно однозначно. Пусть
/ ( [£i Н ]) = / ( [gH ]) , т. е. gx(p) = g(p). Тогда g _1 g{ (p ) =
= р, т. е. g~X g,£ Я и тем самым [g{ Я ] = [gH ].
4. Сужение lp := l\ : ixipl^M — гладкое, и его
l/xjp} 1^1
можно рассматривать как гладкое отображение lp :I^ M.
Поскольку /р = /°тг, т. е. диаграмма
коммутативна, а / взаимно однозначно, то аналогично 30.2.1,
по лемме 30.1.5, отображение / является диффеоморфизмом
I/H на М.
5. Обозначим I , I действия группы / на М и на I/H
соответственно: lg (х) = g (x), lg([g'H]\ = [gg' Я ].
275

По определению изометрии, метрика (,) на М инвариантна
относительно /_:
{dfgX, dfgY) = (X, У).
Индуцированная на I/H отображением / метрика (,)
определяется для X, У£ Tygh] I/H по правилу
(X, У>* = (dfX, dfY). (22)
Покажем, что метрика (,) является инвариантной.
_3аметим, что l„°f = f°lg. Действительно, I g° f ( [g' H ]\ =
= lg(g'(pj) =gg'ip)=f(\gg'H]) = f°lg([g'H])> Поэтому
(dlgX, dlgY)* = (dfdlgX, dfdlgY) =
= (dlgdfX, dlgdfY) = (dfX, dfY) = (X, У>*. ■
30.5.6. Замечание. Пусть /0 — компонента единицы
группы I; p — фиксированная точка, а Н0 — подгруппа
изотропии точки р в группе /0, т. е. #0 = {g£ IQ I g(p) = р}.
Ясно, что /0 — группа Ли, а Щ — ее замкнутая подгруппа.
Отображение /0 : Iq/Hq ^ М по правилу /0 С [gH0 ]\ = g(p)
также является диффеоморфизмом однородного пространства
Iq/Hq на М. Представление риманова однородного пространства
М в виде Iq/Hq в некоторых случаях более удобно, чем в
виде I/H.
Доказательство диффеоморфности М и Iq/Hq дословно такое
же, что и доказательство теоремы 30.5.5, если предварительно
убедиться, что /0 действует на М транзитивно. Докажем
последнее.
Отображение l:lx. M-* М гладкое, поэтому для любой
точки х G М гладко сужение Iх := l\ : Jx {jcl-» Af. У
последнего отображения ранг в точке (g, x) не зависит
от g £ /, поскольку / — группа.
Ввиду транзитивности / отображение Iх есть отображение
на все М. По теореме Сарда множество регулярных значений
этого отображения не пусто. Для регулярного значения
а£ М ранг отображения Iх в точке (g, х) G (/х) ~ а
максимальный (равный dimM). Значит, он равен dimM во всех
точках (g,'x). Отсюда следует, что Iх — открытое
отображение,* в частности, для окрестности UС /0 единицы е£/ су-
* Т. е. отображение, при котором открытые множества переходят в
открытые.
276

жение /I : U X j x 1 -» M покрывает в М некоторую £-ок-
рестность точки х. Поскольку все элементы ъ U — изометрии,
то это £ > 0 не зависит от х.
Рассмотрим произвольные точки р, q(E М. В связном
многообразии М их можно соединить путем. Отметим на этом
пути точки Xq = p, хх,... ,xN_x,xN= q, такие, что
p(xi_1, xt)<£. Тогда в UCI0 найдутся изометрии gt, для
которых gt(х,-_ j) = л:,-. Изометрия g = gN...g\ будет
принадлежать группе Iq и переводить р в q. U
30.6. Признаки существования инвариантных метрик.
Доказательства приводимых здесь теорем 30.6.1, 30.6.2 в основном
аналогичны доказательствам 29^2.6, 29.2.7.
30.6.1. Теорема. Каждое Ad-инвариантное скалярное
произведение на Т,н-, М определяет (очевидно, единственную с
точностью до множителя) инвариантную риманову
метрику на однородном пространстве М = G/H. Обратно, сужение
на Т,Н] М инвариантной римановой метрики на М является
Ad-инвариантным.
Из этой теоремы очевидно следует, что для существования
на М = G/H инвариантной римановой метрики, необходимо и
достаточно, чтобы на 7\я i M существовало Ad-инвариантное
скалярное произведение. „
Доказательство теоремы. 1. Пусть (, )я есть
Ad-инвариантное скалярное произведение на 7\я i M. Положим для
X,YET[gH]M
<X, У ) [gH] := < d lg-! X, d lg-i Y )H. (23)
Это определение не зависит от выбора g £ [g H ].
Действительно, если gj = gh, AG Я, то в силу (18) и Ad-инвариантности
(, )я имеем:
<X'Y>[glH) =<dlh-lg-1X,dlh-lg-1Y) =
= (d /Л_1 d lg-x X, d /л-1 d lg-x Y) = < Adri d lg-! X, Adri d lg-i Y )H =
= (dlg-!X, dlg.,Y)H = (X, Y)[gN] .
Теперь из (21) немедленно следует, что метрика (23) является
инвариантной.
2. Пусть на М = G/H задана инвариантная риманова
метрика. Убедимся, что ее сужение на 7\#i M является
Ad-инвариантным. Ввиду (18) из инвариантности метрики на М
имеем для X, У£ Т[я] М:
(Ad^, AdhY) = (dlhX, dlhY) = (X, У). ■
277

30.6.2. Теорема. Пусть Я — замкнутая подгруппа группы
Ли G. Если замыкание clAd.// группы Ad (H) компактно в
GL(n), то на TeG существует Ad (Н)-инвариантное
скалярное произведение. Тем самым на G существует левоинвари-
антная и Н-правоинвариантная риманова метрика.
Доказательство. Замыкание clAd(#) есть замкнутая
подгруппа в GL(n), следовательно подгруппа Ли. По условию
теоремы она компактна. Поэтому на cl Ad (Я) существует пра-
воинвариантная мера /* (ср. 29.2.7).
Пусть {,} — любое скалярное произведение на Те G.
Полагая для любых X, YG TeG
{X, Y)* := / (А(Х), A(Y) ) dAft ,
clAd(#)
получим Ad (Я )-инвариантное скалярное произведение {,}*.
Действительно,
{AdhX, AdhY)* = / {AAdhX, AAdhY)dAti =
clAd(#)
(после замены переменной А ( Ad^) = А{ \
Г {А,Х, A,Y )d, .,,-1/* =
ciAd(//) l l ' AlMh
= J {A{X, AxY)dAu = {X, Yf. Ш
cl Ad (Я) х
30.6.3. Лемма. Если риманова метрика {,) на группе Ли
G левоинвариантна, а И — подгруппа в G, то Н-правоинва-
риантность метрики {,} равносильна тому, что сужение
скалярного произведения {,) на TgG является Ad (Я)-
инвариантным.
Утверждение это является прямым обобщением леммы
и доказывается точно так же. ■
Поэтому каждое Ad (Я )-инвариантное скалярное
произведение на TgG не только единственным образом распространяется
до левоинвариантной метрики на G (см. 29.2.6), но эта метрика
является еще Я-правоинвариантной.
30.6.4. Теорема. Пусть M=G/H — однородное
пространство. Если на G существует левоинвариантная и Н-
правоинвариантная риманова метрика {,), то на М
существует такая инвариантная метрика, что проекция n:G^M
является римановой субмерсией.
Доказательство. 1. Согласно лемме 30.6.3, сужение
римановой метрики {,} на Те G является Ad (И )-инвариантным
скалярным произведением.
278

2. Обозначим через ЗП ортогональное дополнение в
TeG = (•!> к ТеН=§ в нашей метрике. Сужение на JR
проектирования л : (5 -» (§/$) = Т^ М взаимно однозначно, а
пространство ЦП в TeG инвариантно относительно ортогональных
преобразований АсЦ. _ _
Пусть X, У6_Т[Я]М. Выберем X, YG1 так, чтобы
(1л (X) = А:, /</тг (У) = У, и положим
{X, У)я:= <Х, r)g . (24)
Согласно (20), для любого h G Я имеем: А"ЙЛ X = dn AdA X.
Отсюда, учитывая Ad (Я )-инвариантность ЦП, получаем:
<AdAX, AdhY)H = {<1лAdhX, djiAdh~Y)H =
= {AdAX, AdA У }g = (5, Y }g = <X, У )н ,
т. е. определенное равенством (24) скалярное произведение
{, )н является Ad-инвариантным.
3. Согласно п. 1 доказательства 30.6.1, равенство
<Х> Y>W] = (dlg-iX, dlg^Y)H
определяет инвариантную риманову метрику на М. Остается
проверить, что для этой метрики пректирование л является
субмерсией.
4. Пусть XGTgG, причем X ортогонален „вертикальному
слою" gH. Тогда ввиду левоинвариантности метрики на G
вектор Х0 := d L _i X ортогонален Я, т. е. XQ G JR, причем
\Х I = \Х0 I. g
Напомним, что, согласно (16), dлX=dлdL Х0 =
= d I^л Х0. Поэтому
{dnX, dлX )[gH] = {dlgdлX0, dlgd^XQ )[gIf] =
= {dлxQ, dnx0 )H = {x0, x0> = (x, x }.
Этим доказано, что л — риманова субмерсия.
Из теорем 30.6.2, 30.6.4 немедленно вытекает следствие.
30.6.5. Следствие. Если M=G/H есть однородное
пространство и группа clAd^) компактна в GL(n), то на М
существует инвариантная риманова метрика. Более того, в
условиях следствия на G существует левоинвариантная и Я-
правоинвариантная риманова метрика и инвариантная метрика
на М может быть выбрана таким образом, что 7r:G-»M будет
римановой субмерсией.
30.7. Кривизны римановых однородных пространств.
30.7.1. Пусть на группе Ли G задана биинвариантная
метрика. Согласно теореме 30.6.4, на однородном
пространстве М = G/H существует такая инвариантная метрика, что
279

ж : G -» М является римановой субмерсией. Однородное
пространство М с такой метрикой называется нормальным (а его
метрика — нормальной). В силу однородности М достаточно найти
его секционные кривизны в одной точке [Я].
Сочетание формулы О'Нейла из 14.12.6 и формулы (17)
из 29.4.6 для кривизн биинвариантной римановой метрики на
группе Ли позволяет получить простое выражение для кривизн
нормального однородного пространства в точке [Н ] через би-
инвариантную метрику на G и алгебру Ли группы G. Именно,
если «,к£Г[Я]М и й, v — их горизонтальные подъемы в
Те G при субмерсии л, а X, Т — левоинвариантные поля со
значениями ~Хе = й, Те = v, то для кривизны Римана к (и, v)
имеем
k(u,v) = ([X,Y ]Ь)2 + ^([Х, Y ]ш)2 (25)
где индексы *}, JR означают проекцию вектора, около которого
они стоят, на подпространство *} = ТеН Е ТеМ и его
ортогональное дополнение JR.
30.7.2. Из 14.12.5 следует, что геодезические в нормальном
однородном пространстве М — это в точности проекции
интегральных кривых левоинвариантных полей в G. Если
геодезическая в М исходит из [Н ], а ее подъем в G исходит из
е, то этот подъем является однопараметрической подгруппой в
G.
*30.7.3. Если однородное пространство М = G/H не является
нормальным, но метрика на G левоинвариантна и n:G-*>M
есть риманова субмерсия, то выражение (19) для кривизн
левоинвариантных метрик на G из 29.4.8 и формула О'Нейла
позволяют дать выражение для к (и, v) и в этом случае. Но
формула имеет более громоздкий вид:
k(u,v) = -|([Х, У]ш)2~
-j{llX,Y],Y],X)-±{[[Y,X],X],Y) +
+ ((ad-)*7+(ad-)*^)2 - <(ad = )*u, (ad-)*K > . (26)
30.7.4. Для примера вычислим секционные кривизны
стандартной сферы Sп как однородного пространства
О(п + 1)/0(п). Конечно, у нас получится, что Ка= 1. Но наши
вычисления послужат образцом для более содержательного
примера — вычисления кривизн С Рп.
Напомним, что для группы Ли О (п + 1) вещественных
ортогональных (га + 1 ) X (га + 1 )-матриц касательное пространство
ТеО(п + 1 ) является алгеброй Ли © (га + 1 ), элементами ко-
280

торой служат кососимметрические (п + 1) X (п + 1 )-матрицы
вида A = (aiJ), aJt = -а1' (см. 29.5.5). Скобка Ли в © (п + 1)
имеет вид
[А,В] = АВ-ВА.
Риманова метрика, вводимая на О (п + 1) по правилу (25),
(26) из 29.5.6
{X, У) = -^tr (*У) , (27)
биинвариантна.
Заметим, что для любой левоинвариантной метрики на
О (п + 1), если она О (п )-правоинвариантна (такие метрики
существуют, согласно 30.6.2), в частности для биинвариант-
ной метрики (27), метрика на О (п + 1 ) индуцирует на
многообразии 0(п + 1)/0(п) (которое диффеоморфно Sп, см.
30.2.1) О (п + 1)-инвариантную метрику, причем отображение
л :0 (п + 1)-» S п становится римановой субмерсией (см. 30.6.4).
Но из геометрического смысла действия 0(п + 1) на S п ясно,
что такая метрика на Sп (с точностью до постоянного
множителя) совпадает с канонической метрикой сферы, так что
отображение л является римановой субмерсией на сферу с ее
обычной метрикой.
Определим секционные кривизны сферы 5 п, пользуясь
формулой (25). В группе О (п + 1 ) ортогональных матриц
содержится изоморфная О (п) подгруппа Я, состоящая из матриц
вида (1) (см. 30.2.1). Алгебра Щ = ТеО(п + I) состоит из ко-
сосимметрических (п + 1 ) X (п + 1 )-матриц (см. 29.5.5), а ее
подалгебра *} = ТЕН — из кососимметрических матриц вида
(°
1°
0 ^
Вп,
Ортогональным дополнением к подпространству *} в Щ в
метрике (27) служит подпространство ЗП, состоящее из матриц
/ \
0
-ах
■
~ап
ах...а,
0
/
В силу (27) скалярное произведение для а,/?ЕЗП выражается
формулой
281

{a, P) = 2, a,b, , (29)
i = i
где bx,...,bn — элементы матрицы /3, аналогичные alt...,an
для а.
Выберем в T^H,Sn произвольную ортонормированную пару
векторов u,v. Их горизонтальные подъемы в ТеО(п+ 1) будут
некоторыми ортонормированными в метрике (29) векторами
a,j3Gm. При этом, согласно равенству [a,fi ] = afi - pa,
вектор [а,р] имеет вид (28), где Вп = (b iJ), bJi = -A ij =
= a,-A,- — A,- a-. Ввиду [a,j3 ]e^ имеем по формуле (25),
учитывая ортонормированность и, v:
ХиЛ„ = Л(и,к)= [a,/3 ]2=-^г(я2) =i J (а,-Ау-А(.аЛ2.
Учитывая, что 2 a; = 2 */ = 1> 2 a; A,-= О, получаем:
30.7.5. Вычислим по тому же плану секционные кривизны
комплексного проективного пространства С Рп.
На однородном пространстве С Рп = U {п + 1 )/#, где
Н= U( l)x U(n) (см. 30.2.3), согласно 30.6.4, существует
нормальная метрика, при которой проекция л: U(n + 1) -» С Рге
является римановой субмерсией. Речь идет о вычислении кривизн
многообразия С?" с этой естественной метрикой.
Для группы Ли U(п + 1 ) всех унитарных
(п + 1 ) х (п + 1 ) комплексных матриц касательным
пространством TEU (п + 1 ) служит алгебра Ли (?, состоящая из всех
антиэрмитовых (п + 1) X (п + 1 )-матриц А, тех, для которых
А + А Т = 0. Это проверяется аналогично 29.5.5. Скобка Ли
выражается через умножение матриц обычным образом:
[А,В]~АВ-ВА. Это проверяется аналогично 29.5.4. На
алгебре (? вводится скалярное произведение
{А, В) := -^Retr(i4B) , (30)
оно порождает на группе Ли U(n + 1 ), как это легко
проверить, биинвариантную метрику.
Подгруппа Н (см. 30.2.3) состоит из матриц вида (10).
Подалгебра $} = ТЕ Н алгебры Щ = ТЕ U (п + 1) состоит из
матриц вида
282

1У
о
(31)
где у — любые вещественные числа, а Вп — антиэрмитовы
(п х п )-матрицы. Ортогональным дополнением к *} в % в
метрике (30) служит (комплексно и-мерное) подпространство ЦП,
состоящее из матриц вида
0
-~z\
-~zn
\
z\ ... zn
0
/
(32)
В силу (30) скалярное произведение в ЯП выражается формулой
п
(а, $ > = Re 2 Z)W/ ,
(33)
где wl,...,wtl — элементы матрицы /?, аналогичные элементам
Z], ... , zn матрицы а.
Выберем в Т,Нл€.Рп произвольную ортонормированную
пару векторов и, v. Их горизонтальные подъемы a,fi образуют
ортонормированную в смысмле (33) пару векторов в ЯП. Ввиду
Re J) zjWj = 0 имеем J) zjWj=i\ 2) z/^y I > 2 ~*jwj =
n _
= — г I 2< z/w/ I- Поэтому находим
/=l
/=l
[a,/? ] = a/?-/?a =
-2i| S z.w.
1 j=\
0
5„;
где элементами матрицы Вп служат Ъ1 = ZjWk - z^Wj = -5 J.
Тем самым [a,/J ] имеет вид (31) и потому принадлежит *}.
Учитывая ортонормированность и, v и формулу (25),
находим для двумерного направления а = и Л к:
ЛГа = *(и,г) = {[а,р ], [а,0 ]) =
= -2Re
/ = 1 y y * = 1 / = 1 v y
^k~zkwj) x
283

x(\wj~z.wk) =2 %zw -±Re ( % IjWj) X
j j= l * ^4/=l
x (JM^o - 2(Д^)(Д^)+ (jI^j) x
(J,2*"*)
1 + 3
£ ziwj
/ = 1
(34)
Поскольку Re 2) zj^j=0, то 2z/w/ = '2 (bjcj ~ ajdj) > Где
/ = l у = l / = l
Zy = a:+ i bj, W/ = C/+ i dj. Поэтому
.2 f,wy = X (bjcj-ajdj)
/=1
Вместе с (34) это дает
1 < К„ < 4.
(35)
Метрику £Рп обычно нормируют так, чтобы вместо (35)
иметь
4 ст
*30.7.6. Если рассматривать СРге как пучок комплексных
прямых в С , то каждая из этих прямых с вещественной
точки зрения является плоскостью в отвечающем С
п+ 1
про-
In 4- 1
странстве R . Такие плоскости называют голоморфными,
ибо они переходят в себя при умножении на i. Можно
проверить (см. [13, с. 255—256]), что максимальное значение
Ка = 1 достигается тоща, коща а имеет направление любой
голоморфной плоскости, а наименьшее Ка= 1/4 — коща а есть
направление плоскости, образ которой при умножении на i
образует с исходной плоскостью угол я/2.
Вообще- в комплексных многообразиях кривизну Ка в
„голоморфном" направлении о принято называть комплексной
кривизной. У пространства СРп с нормированной нормальной
метрикой комплексная кривизна Кс = 1.
*30.7.7. Опишем кратко еще один пример. Матрицы вида
284

(1
0
0
X
1
0
у)
z
ч
образуют (нильпотентную) группу Ли
денная матрицами
G. Пусть Н — порож-
f 1 1 <л
0 1 0
0 0 1
> В2 =
( 1 0 1)
0 1 0
0 0 1
V /
, в3 —
( 1 о о)
0 1 1
0 0 1
подгруппа в G. Группа Н дискретна, это — нуль-мерная
группа Ли.
Матрицы вида А удобно отождествлять с точками (х, у, z)
евклидова пространства R . Легко видеть, что при этом
матрицы Вх и В2 действуют справа на A G R сдвигами на
расстояние 1 соответственно вдоль осей Ох и Оу. Матрица же
В3 кроме сдвига на 1 вдоль оси Oz осуществляет еще „косой
сдвиг" в плоскости Оху:
А В,
( 1 х у)
0 1 z
0 0 1
( l ° °1
0 1 1
0 0 1
=
( 1 х х + у'
О 1 z+ 1
0 0 1
Однородное пространство М = G/H обладает следующим
интересным свойством. На нем для каждого е > 0 найдется на Л/
инвариантная риманова метрика с \Ка\ <е, в которой
diamM= 1.
Алгебра Ли группы G состоит из матриц вида
( 0 а Р\
0 0 у
0 0 0
с обычной скобкой Ли [X, Y ] = XY- YX. Римановы метрики
с упомянутым свойством возникают, если в Те G выбрать
скалярное произведение
(Х,Х) :-
a2+n2p2+v2y2
где fi,v — параметры, выбор которых обеспечивает малость
\Ка\. Хотя кривизны Ка находятся по формуле (26), однако
их прямое вычисление и оценка весьма громоздки.
Интересно, чт», как оказывается, на этом многообразии М
нет плоской метрики, т. е. с Ка=0 (см. [60]).
*30.8. Подъем метрики с однородного пространства на
исходную группу.
30.8.1. В случае римановой субмерсии группы Ли с лево-
инвариантной метрикой на риманово многообразие М формула
285

О'Нейла, как мы видели, позволяет вычислять кривизны
многообразия М по алгебре Ли группы G. Облегчается и
нахождение геодезических. Поэтому естествен следующий вопрос.
Пусть М = G/H — однородное пространство с инвариантной
римановои метрикой (например, риманово однородное
пространство). Существует ли на группе G такая левоинвариантная
метрика, что проектирование я : G ^ М оказывается римановои
субмерсией?
Для ответа на этот вопрос нам понадобится следующее
утверждение, обратное теореме 30.6.2.
30.8.2. Теорема. Если группа Ли G связна и действует
на М = G/H эффективно (т. е. из L(x) = х при всех
х €Е М следует g = е), то условие компактности cl Ad (Я) в
GL(n) не только достаточно, но и необходимо для
существования инвариантной метрики на М.
30.8.3. Замечание. Если G действует на М = G/H
неэффективно, то можно положить Gj = G/Hmax, Нх = H/Hmetx, где
Яшах — наибольшая содержащаяся в Я нормальная подгруппа
группы G. Тогда Gl/Hl диффеоморфно G/H = М, причем группа
Gj действует на М эффективно (проверьте!).
30.8.4. Доказательство теоремы 30.8.2. 1.
Поскольку G связна, то М связно. Значит, М с его инвариантной
метрикой (,} есть риманово однородное пространство. Согласно
теореме 30.5.5 и замечанию 30.5.6, оно пред ставимо в виде
М = Iq/Hq, где /0 — компонента единицы группы изометрий
пространства М, а Я0 — подгруппа изотропии точки р €Е М в
группе /0. Обозначим k = dim М, N = dim /0.
2. Рассмотрим действующее по правилу g^lg отображение
/: G -» Iq. Это действительно отображение в /0 ввиду
инвариантности метрики (,) и связности группы G. Кроме того, ввиду
эффективности действия группы G на М это отображение есть
биекция группы G на подмножество 1(G) С Iq. Эта биекция
порождает биекции (также, вообще говоря, „в")
dl:TeG^TeI0, Zl :я-я0.
I И
3. Группа Ли Я0 замкнута в /0. Кроме того, каждому
hE Я0 отвечает изометрия dph:TpM^ T М, причем это
соответствие й'-*• dphE О (к) есть гладкое инъективное
отображение Hq^> О(к), где О (к) — группа изометрий пространства
ТрМ с метрикой (,}. В смысле этой инъекции Я0 С О (к).
Поскольку группа Ли О (к) компактна, то компактна и группа
Я0, так что Я0 — замкнутое многообразие.
4. Для однородного пространства М = /0/Я0 при
отображении Ad : IQ -» G L(N) множество Ad (Я0) как образ компакта
при гладком отображении компактен в GL(N). Поэтому, со-
286

гласно теореме 30.6.2, на Те10 существует Ad (Я0
^инвариантное скалярное произведение. Обозначим его «,».
5. Перенесем по биекции d I скалярное произведение «,»
в Те G. Получим Ad (Я )-инвариантное скалярное произведение
в Те G. Следовательно, Ad (Я) С О (п ) С GL (и), где О (и) —
группа изометрий пространства TeG с метрикой «,». Но
О(п) компактна в GL(n), поэтому и clAd^) компактно в
GL(n). Ш
Следующее утверждение в известном смысле обратно
теореме 30.6.4.
30.8.5. Теорема. Если связная группа Ли G действует
эффективно на однородном пространстве М = G/H с
инвариантной римановой метрикой, то на G существует такая
левоинвариантная и Н-правоинвариантная метрика, что
проектирование n:G^M является римановой субмерсией.
30.8.6. Следствие. Пусть М — риманово однородное
пространство, /0 — компонента единицы группы изометрий
пространства М, Я0 — подгруппа изотропии некоторой точки
р G М. Тогда на /0 существует такая левоинвариантная и Я0-
правоинвариантная риманова метрика, что проектирование
п : /0 -» М по правилу л (g) = g(p) есть риманова субмерсия.
Действительно, М канонически диффеоморфно Iq/Hq,
причем /0 действует на М транзитивно (см. 30.5.6) и очевидно
эффективно. ■
30.8.7. Доказательство теоремы 30.8.5. 1.
Поскольку, согласно 30.8.2, в условиях теоремы 30.8.5 множество
clAd^) компактно в GL(dimG), то, по теореме 30.6.2, на
Те G существует Ad (Я )-инвариантное скалярное произведение,
обозначим его « , ».
2. Выделим в TeG подпространство ЭП, ортогональное к
ТеН = $3 в метрике «,». По построению оба подпространства
5} и Ш являются Ad (Я )-инвариантными.
3. Сохраним на 5 метрику «,», а на ЭП введем новую
метрику, „поднятую" с М. Именно, для векторов X", У" G ЭП
положим, по определению,
{Х",У")Ш = {dnX", d7tY")M.
4. Теперь введем на TeG новое скалярное произведение.
Пусть X, YETeG, разложим Х = Х'+Х", Y=Y' + Y', где
X', У G *}; X", Y" G ЭП, и положим
{X, Y)TeG:= {{Х\ У »ft + {X", У }1,
после чего распространим это скалярное произведение левыми
сдвигами до римановой метрики на всю группу G.
287

5. Построенная на G метрика левоинвариантна и Я-право-
инвариантна. Из п. 4 доказательства теоремы 30.6.4 ясно, что
отображение я :G -» М есть риманова субмерсия. ■
30.8.8. Замечание. Наличие на G левоинвариантной и
Я-правоинвариантной метрики, согласно 30.6.3, равносильно
наличию Ad (Я )-инвариантного скалярного произведения на
TeG. В этом случае ортогональное дополнение ЭП к ТеН в
Те G является Ad (Я )-инвариантным. Наличие Ad (Я
^инвариантного подпространства ЭП в TeG, дополнительного к ТеН,
явилось существенным моментом в доказательстве как теоремы
30.6.4, так и теоремы 30.8.5. Это подсказывает полезность
следующего определения. ±
Однородное пространство М = G/H называется редукпгивным,
если в % = TeG существует Ad (Я)-инвариантное
подпространство ЭП, дополнительное к $ = ТеН. Замкнутость ЭП
относительно скобки Ли не предполагается и обычно не имеет места.
Однако непосредственно по определению имеем: [$}, ЭП ] С ЭП.
Действительно, если ХЕ?), УеЭП и X = dh/dt, где точки
h(t) пути А лежат в Н, то, по определению ЭП, имеем
AdA(f) У G 1, откуда [X, У ] = ad* Y=deMdh/dt У G ЭП.
Редуктивное однородное пространство М = G/H с
инвариантной римановой метрикой (,) называется естественно редук-
тивным, если для любых X, У, Z G ЭП
(1х,У]ш,г) = (х,[У,г]ш), (36)
где индекс ЭП означает проекцию на ЭП при разложении
Если при этом на *) существует Ad (Я )-инвариантное
скалярное произведение «,», то на G существует такая левоин-
вариантная и Я-правоинвариантная метрика, что ЭП -L ?3 и
л : G -»М — риманова субмерсия. Это прослеживается точно
так же, как в п. 3 и п. 4 доказательства 30.8.7 (в частности,
нужное скалярное произведение «,» всегда существует, если
группа G связна и действует на М эффективно).
Нетрудно проверить, что при субмерсии п геодезические в
М суть прекции интегральных кривых левоинвариантных
векторных полей в G.
Кроме того, можно проследить, что благодаря равенству (36)
формула для нахождения римановых кривизн естественно ре-
дуктивного однородного пространства М приобретает почти
такой же простой вид, как в случае нормальных однородных
пространств:
При Н={е) равенство (36) сводится к равенству (11) из 29.4.1,
последнее служило ключевым свойством биинвариантных метрик на группе Ли.
288

* (X, Y) = \ ( [ X, Y ]д )2 + ( [ [ X, Y ]&, X ]g, У ) (37)
(см. [17; 19, т. 2, с 186—190]).
§ 31. Симметрические пространства
31.1. Симметрические пространства.
31.1.1. Риманово многообразие М называют симметрическим
пространством, если для любой точки р определено на всем
М и является изометрией отображение s , переводящее каждую
точку q G М в точку s (g) по следующему правилу: q допускает
представление в виде q = exp и, после чего определяется
sp (q) = expp (-и). Это отображение естественно называть
симметрией относительно точки р.
Отметим сразу, что dQsp = -id, т. е. dQs (X) = -X для
каждого X £ Т' М. Действительно, в нормальной шаровой
окрестности точки р, где отображение ехр обратимо, имеем
sp = exPp°(-id),,exp~1,
откуда dQ s = dQ expp • (-id) • dQ exp"1 = -id . ■
31.1.2. Каждое симметрическое пространство является
полным римановым многообразием. Действительно, пусть
нормальная геодезическая у определена в интервале [а, Ъ ]. Поскольку
симметрия s'уф\ есть изометрия, то У\ = К^уу — тоже
геодезическая. При этом Yi(b) = у (Ь), у\ (Ь) = - у ' (Ь), и потому
проходимая „в обратном порядке" геодезическая у^ продолжает
у на интервал [а, Ъ + (Ь — а) ]. Повторяя такой процесс, можно
неограниченно продолжать у в обе стороны. Значит, М
геодезически полно, а по теореме Хопфа—Ринова 13.1, и метрически
полно. ■
31.1.3. Каждое симметрическое пространство является
однородным римановым многообразием и тем самым — однородным
пространством. Действительно, легко проверить, что его группа
изометрий транзитивна. Пусть р, q Е М; соединим р с q
геодезической, и пусть г — ее срединная точка. Тогда изометрия
sr переводит р в q. Ш
В 31.4 приведены необходимые и достаточные признаки,
выделяющие симметрические пространства среди однородных.
31.1.4. Простейшими примерами симметрических пространств
служат пространственные формы: сферы 5 й, евклидовы
пространства Еп, гиперболические пространства Нп, а также их
прямые произведения.
Рангом симметрического пространства называют
максимальную размерность его вполне геодезического локально евклидова
289

(„плоского") подмногообразия. Ввиду однородности и наличия
трансвекций (см. 31.3) такое подмногообразие является полным.
У Rn ранг равен п, у Нп и Sn он равен 1. Вообще
симметрические пространства ранга 1 — это кроме Нп и Sп еще
только СРп, кватернионное проективное пространство и
плоскость Кэли. Существует более общее понятие ранга
произвольного риманова многообразия, совпадающее для
симметрических пространств с приведенным.
31.1.5. Построение примеров симметрических пространств и
их значимость основывается на том обстоятельстве, что
симметрические пространства могут быть описаны чисто
алгебраически. Каждому n-мерному симметрическому пространству
можно сопоставить алгебраический объект — n-мерную
алгебру Ли, обладающую рядом специальных свойств
(некоторым „оснащением"), и, обратно, каждой такой „оснащенной"
алгебре Ли соответствует симметрическое пространство, причем
его секционные кривизны вычисляются через скобку Ли этой
алгебры. Хотя нас интересуют в первую очередь геометрические
свойства симметрических пространств, мы все же остановимся
на этой связи, именно потому что она позволяет
алгебраическими средствами строить примеры симметрических пространств
(см. 31.4.8). На этом пути еще Эли Картаном были построены
основы теорем симметрических пространств. Ему же удалось
полностью расклассифицировать симметрические пространства
(см., например, [41, 23]).
Краткое описание алгебраических конструкций, приводящих
к симметрическим пространствам, приведено в 31.4. При этом
используемые утверждения из теории групп и алгебр Ли
формулируются без доказательств. Классификацию мы не
затрагиваем. Сначала рассмотрим локальные геометрические свойства
симметрических пространств.
31.2. Локально-симметрические многообразия.
31.2.1. Теорема. Пусть М риманово многообразие. Тогда
следующие требования равносильны.
1°. Для любой нормальной шаровой окрестности В ото-
брожение s : В -* В , где s = exp ° (-id) • ехр , является
изометрией.
2°. ( VWR ) (X, Y, Z ) = О для любых векторных полей
W, X, Y, Z на М (определение V^,J? см. в 14.4.6).
3°. Для любых параллельных вдоль регулярного пути у
векторных полей X, Y, Z векторное поле R(X, Y)Z также
параллельно вдоль у.
4°. При параллельном переносе двумерного направления о
вдоль любого регулярного пути у секционные кривизны в
переносимом направлении о не меняются.
Доказательству теоремы предпошлем несколько замечаний.
290

31.2.2. При выполнении любого из равносильных условий
1°—4° риманово многообразие М называется
локально-симметрическим. Симметрическое пространство, очевидно, является
локально-симметрическим, поскольку в нем выполнено условие
Г, тем самым для симметрического пространства выполняются
и свойства 2°—4°. Предположение о регулярности пути у в
формулировках свойств 3°, 4° не существенно, оно сделано
только для упрощения доказательств.
31.2.3. Начало доказательства теоремы. 1. Почти
очевидны импликации 2° => 3° => 4°. Действительно, ввиду
у ' *■ О векторные поля X, Y, Z вдоль у можно распространить
до полей X , Y , Z в окрестности точки у (t) в М. Тогда в
силу 14.4.8 и 2°
Dt(R(X,Y)Z) = yy,R (*, У,£ ) =0,
т. е. поле R(X, Y)Z параллельно вдоль у.
Пусть поле параллельных вдоль у двумерны* направлений
о (t) задано с помощью параллельных вдоль у векторных полей
X, Y, для которых II X Л Y II = X2 Y2 - {X, Y )2 = 1. Тогда
JF*»(0 = j-t{R(x^)y^) = {Dt(R(X,Y)Y),X) +
+ {R(X, Y) Y,DtX > = 0 + 0.
2. Докажем Г => 2°. Поскольку d sp = -id (см. 31.1.1), то
dspVwR (X,Y,Z^ = -VWR (X,Y,zy (1)
С другой стороны, поскольку s — изометрия, то, согласно
14.11.4,
dspywR (X,Y.Z) =ydSpWR (dspX, dspY, dspZ) .
С учетом того, что d s = —id, в точке р это дает:
dspVwR (X, Y,Z) =V_WR (-Я.-У.-Z) = VWR (x, Y, Z). (2)
Последнее из равенств (2) следует из представления 14.4.8.
Из (1) и (2) вытекает: S?WR (X, Y, Z) = 0.
3. Убедимся, что 4° => 3°. Пусть U, V — параллельные
векторные поля вдоль у. Ввиду постоянства вдоль у секционной
кривизны KUAV={R(U, V) V,U ){U2V2 - {U, V)2)~\ а также
значений I Ui I, I V I, {U, V ) заключаем, что вдоль у для
любых параллельных векторных полей U, V постоянно значение
{R (U, V) V, U ). Но тогда в силу тождества (27) из 14.6.2
постоянно и значение {R(X, Y)Z, W) для любых
параллельных вдоль у векторных полей Х, Y, Z, W. Тем самым вдоль
у является параллельным и поле R(X,Y)Z.
291

4. Осталось доказать 3° => 1°. Для этого выясним сначала,
как выглядит поле Якоби в римановом многообразии,
удовлетворяющем 3°, 4°, после чего завершим доказательство.
31.2.4. Пусть у — нормальная геодезическая в любом
римановом многообразии М. В Т ,^М рассмотрим линейное
отображение L, действующее по правилу L(X) = R (X, у ' )у '. Это
отображение является самосопряженным, ибо
(L(X),Y) = (R(X,y')y',Y) = (R(Y,y')y',X) = (X,L(Y)).
Поэтому в Т' , 0. М существует ортонормированный базис из
собственных векторов uj = у ' (0), и2,..., ип оператора L.
Обозначим Aj = 0, А2,... , А„ отвечающие им собственные числа.
Пусть Е( — такие параллельные векторные поля вдоль у, что
Е( ( 0) = щ. При соблюдении условия 3° собственные векторы
оператора L параллельно переносятся вдоль у.
31.2.5. Лемма. Если выполнено условие 3° теоремы 31.2.1,
то векторные поля X,-= /,£,-, где
/»(') =
1
уГ=*Г
sinvftT"*
t
sh-V^AT t
при А. > 0
при А,- = 0,
при А,- < 0 ,
(3)
l
образуют базис пространства тех якобиевых полей вдоль у,
которые обращаются в нуль в точке у (0). Ясно, что функции
/,- являются решениями задачи Коши:
/; + А,/, = 0, /,(0) = 0, /■'(<>)= 1.
Доказательство. Поскольку пространство
рассматриваемых полей и-мерно, а поля Xi линейно независимы, то
достаточно доказать, что поля Xi удовлеторяют уравнению Якоби.
Но по выбору полей Et имеем
R(Eb Y')Y'=L[Et) = ltEt,
и поскольку Х- = /,- Et, то
x; + R(Xt,y')y'= [fl + A,-/,) Et = 0. ■
31.2.6. Окончание доказательства теоремы 31.2.1
(доказательство 3°=>Г). Для доказательства того, что в
окрестности В отображение s — изометрия, достаточно
проверить, что для любых х £ В , uGTxM выполняется равенство
\и I = \dxsp(u) I.
Выберем а£ТрМ, Ь£ТаТрМ= ТрМ так, чтобы
ехр а = х, da exp Ъ = и, и рассмотрим вариацию
292

a :Q(-l < t< 1, ~E<t<e)^TpM; o(t,r) = (a + br)t.
По выбору a, b имеем:
x = ехррст( 1,0), u = (daexpp)a( 1,0).
Тогда векторное поле Y=do I—I I является полем Якоби
вдоль геодезической у(г) = ехрраг, причем У( 1) = и.
Поскольку sp - ехрр ° (-id) ° ехр~ , то
(dxsP) u= (d-aexPP° (~id)' daexp~l) и =
= rf_a expn ( - -г— I \ = d_„ expn —- I = У(-1).
a ГР1 dr |(i,o)/ a pdrl(-i,o) y
Но из леммы 31.2.5 ясно, что \Y(t) I = \Y(-t) I, в частности
\{dxsp)u\ = 1У(-1) I = 1У(1) I = lul. ■
31.2.7. Следствие. В локально-симметрическом
многообразии векторные поля /j-Е,-, где f- определены в (3), образуют
базис пространства тех якобиевых полей вдоль геодезической
у, которые обращаются в нуль в точке у (0).
*31.2.8. Полное локально-симметрическое многообразие не
обязательно должно быть симметрическим. Для примера
выделим из плоскости Лобачевского два ,•, идеальных" треугольника
(с бесконечно удаленными вершинами) и склеим их друг с
другом по граничным прямым. Получим неодносвязное полное
локально-симметрическое многообразие. Нетрудно видеть, что
оно не является симметрическим пространством.
Однако справедливо следующее утверждение: полное одно-
связное локально-симметрическое многообразие является
симметрическим пространством (доказательство см. [41, 11] и
др.). Тем самым каждое полное локально-симметрическое
многообразие допускает риманово накрытие симметрическим
пространством и является фактор-пространством симметрического
пространства по некоторой группе его изометрий, действующей
вполне разрывно и без неподвижных точек. Обратное
утверждение, конечно, неверно: симметрические пространства не
обязательно односвязны, например проективные пространства
RPn.
31.3. Трансвекции.
31.3.1. Трансвекцией (или сдвигом) полного риманова
многообразия М вдоль нормальной геодезической у :(-оо,оо)^М
на расстояние t называется такая изометрия Т( : М -* М, при
которой: 1) Tt(y(s)) = y(s+t); 2) d Tt является вдоль у
параллельным переносом.
Ясно, что если трансвекции Tt существуют, то каждая из
них полностью определяется геодезической у и числом t; кроме
293

Рис. 70.
того, Tt +1 = Tt ° Tt = Tt °Tt , так что трансвекции вдоль
у образуют однопараметрическую группу. В случае неполного
риманова многообразия трансвекция может быть определена
аналогично, как локальная изометрия.
31.3.2. Лемма. В симметрическом пространстве М для
любой нормальной геодезической у : (—°°, °° ) ^ М и любого t
существует трансвекция Т( вдоль у.
Доказательство. Пусть р = у(0), о = y(t/2). Рассмотрим
изометрию sq°sp- Поскольку s_ (у (s)\ = y(-s), то
sg°sp(y(.s)) =sq(.Y(-s)) =Y(s+t)- Поскольку sQ°sp —
изометрия, переводящая у в себя, то для любого параллельного
вдоль у векторного поля Е поле d(s ° s )Е — тоже
параллельное вдоль у (см. 14.11.5, п. 4)). Как уже отмечалось,
dp sp = -id. Поэтому
dp(sQ°Sp)E(0) = dsQ(-E(0)) =£ СО-
Тем самым d(s ° sp)Е(s) = Е(s + t). Значит, sQ° s = Tf. ■
31.3.3. Пусть Тт — семейство трансвекции (сдвигов) вдоль
некоторой геодезической у в симметрическом пространстве М.
Эти сдвиги порождают на всем М векторное поле V, где
У _ := -j- I ТАх).
х dt 1т = 0 т
Предположим, что геодезическая у — замкнутая. Тогда
через каждую точку хЕМ проходит хотя бы одна геодезическая
rj, пересекающая у и ортогональная к ней. (При х ^ у в
качестве г] можно взять кратчайшую от х до у и продолжать
ее в обе стороны). Пусть t — нормальный параметр вдоль
щ и щ ( 0) = у (г0) (рис. 70). Сдвиги Тт порождают
геодезическую вариацию а : [-а < t < а, г0-£<г<г0 + £ ]^М, где
o(t,T) = TTrj(t). Поля Х= do(d/dt) и Y=da('d/dx)
коммутируют, причем поле Y — якобиево вдоль ц.
Поскольку Тт — сдвиг вдоль у, то
294

Dt\t n Y^T0) = Dt \ *(0,O =
' Г — U f T = Tq
= DA Dt |,_n TTrj(t) = DT I Гт7'(0) = 0.
Кроме того, У(0, r0) = у ' (г0 ). Значит, векторное поле Y,
„суженное на ij", т. е. поле Y = Y°ij, является
нетривиальным якибиевым полем вдоль ц с начальными условиями
Y (0) = у'(г), У '(0) = 0.
Из сказанного сразу следует лемма.
31.3.4. Лемма. Симметрическое пространство М
отрицательной кривизны всегда некомпактно.
Действительно, если бы такое М было компактно, то, по
теореме Адамара—Картана 20.1.3, оно было бы неодносвязно.
В нем нашлась бы замкнутая геодезическая у. Построенное
выше поле Y на компактном М ограниченно. Но в компактном
М с Ка < 0 всегда Ка < с < 0, с = const, и потому нетривиальное
якобиево поле Y вдоль rj, не касательное к rj, должно в силу
представления (3) хотя бы в одну сторону неограниченно
возрастать, что ввиду Y (t) = Y Irj (t)\ противоречит
ограниченности Y . Ш
31.4. Характеризация симметрических пространств среди
однородных.
31.4.1. Как отмечалось в 31.1.3, симметрическое
пространство М является однородным римановым многообразием.
Поэтому, согласно 30.5.5, оно допускает представление М = I/H,
где / — группа изометрий М, а Н — ее подгруппа изотропии
для произвольной фиксированной точки р£М. Группа Н
компактна как замкнутая подгруппа в О (п), где п = dim M.
Естественно спросить: каким условиям должны
удовлетворять группа Ли G и ее замкнутая подгруппа Н, чтобы
однородное пространство G/H с инвариантной римановой метрикой
являлось симметрическим пространством? Приводимая ниже
лемма 31.4.2 может служить наводящим соображением для
ответа, который дает затем теорема 31.4.4.
Пусть М — I/H — симметрическое пространство, / — его
группа изометрий и Я — подгруппа изотропии для точки
р£М. Симметрии 's относительно р сопоставим внутренний
автоморфизм о : /-» / по правилу o(g) = sgs = sgs , т. е. со-
пряжение с элементом «ЕЯ. Из s = id следует, что о —
инволюция, т. е. а = id.
Обозначим через Fa множество неподвижных точек
инволюции а, а через F^ — компоненту единицы этого множества.
31.4.2. Лемма. Для симметрического пространства М
имеют место включения
295

h(x)
/ ^~~~—
sk(x) =Tis(x)
Рис. 71.
F? = H0CHCFa, (4)
где Hq — компонента единицы группы Н.
Доказательство. 1. Отметим, что
я ° а = s ° n , (5)
где п : I -» М — естественное проектирование / -* I/H.
Действительно, поскольку s E. Н, то
(7t°o)g=n(sgs) = [sgsH ]= [sgH ] = s[gH ] = s°n(g).
2. Докажем, что Н С Fa, т. е. что из hEH следует
o(h) = shs = h. Это равносильно sh = hs, но последнее
очевидно из равенства изображенных на рис. 71 треугольников.
3. Из Я С Fa следует #0 С Fa. Поэтому остается проверить,
что F® С HQ. Если gEFa, то ng= [gH ] принадлежит
множеству Fs неподвижных точек симметрии s (действительно, ввиду
(5) имеем: я g = no (g) = s°ng). Но точка р — изолированная
неподвижная точка симметрии s (поскольку в нормальной
шаровой окрестности точки р нет других неподвижных точек).
Так как единица е £ Fa и я е = р, то Fa содержится в той
компоненте множества Н = я~ (р), которая содержит е, т. е.
в Я0. ■
31.4.3. Напомним, что если линейное отображение
/ : R" -» R" инволютивно, т. е. / = id, то все собственные
числа оператора / вещественны и равны ±1. Действительно,
если А — (быть может, комплексное) собственное число, то
X = f2(X)=X2X для некоторого О^ХеС", откуда А2 = 1 и
А= ±1. Поэтому R" разлагается в прямую сумму двух
инвариантных подпространств А +, А ~ оператора /: сужение / на
А+ есть id, а на А ~ имеем f(X) = -X (т. е. /I _=-id)-
296

31.4.4. Теорема. Пусть М = G/H — однородное
пространство с инвариантной римановой метрикой {,), и пусть
на G определен такой инволютивный автоморфизм о, что
Fa С Н С Fa, где Fa — множество неподвижных точек
автоморфизма о, a Fa — компонента единицы этого множества.
Тогда равенство
П "О = S "П , (6)
где л — естественное проектирование G -» G/H = М,
корректно определяет симметрию s однородного пространства М
с метрикой {,) относительно точки р = [Н ]Е М.
Тем самым М с метрикой {,} является симметрическим
пространством: для любой точки a Е М существует изометрия
iq :M^M, для которой iQ(p) = g, и преобразование
s := i ° s ° С дает симметрию относительно точки q.
Доказательство. 1. Убедимся, что определение (6)
корректно. Пусть х Е М, т. е. х= [gH ]. Проверим, что значение
s(x), в силу (6) равное я(о (g)), не изменится, если мы
заменим g на g' = gh, где hE H. Имеем:
о(g') = о (gh) = о (g)o (h) = о (g) h = Rho (g)
(во втором равенстве мы учли, что о — автоморфизм, а в
третьем — что Н С Fa). Поэтому
я (o(g')} =n (Rho(g)} =n (o(g^ .
2. s = id. Действительно, если g — любой подъем точки
х Е М, то
s2(x) = s (sn(g)^ = s(no(g)) =no2(g) = ng= x.
3. Все s — изометрии; для того чтобы убедиться в этом,
достаточно проверить, что изометрией является симметрия s.
4. Докажем, что симметрия s в самой точке р является
изометрией. Из Fa С Н С Fa имеем HQ = Fa. Отсюда следует,
что а-инвариантное подпространство А С TeG (обозначим его
$3), на котором deo = id, совпадает с ТеН, а а-инвариантное
подпространство А~ (обозначим его ЭП), на котором
d„a = -id, изоморфно Тп М, причем таким изоморфизмом яв-
с у
ляется den. __ _
Пусть ХЕТрМ, ХЕШ, причем den(X)=X. Тогда
dps(X) = dpsden(X) = dendeo(X)= -den(X) = -X. Отсюда
{ dp s (X), dp s (X ) } = {-X, -X ) = (X, X ).
297

5. Заметим, что для каждого g£G
где, как обычно, L — левый сдвиг в М. Действительно, для
любого x — nfEM имеем:
slg(x) = slgn{f) = snLgf=no(gf) = л (o(g)o(f)^ =
= nLa(g)o(f) = la(g)K (^(/)) =la(!f)s(7if) = la(g)s(x).
Поскольку о — инволюция, то из (7) следует s ° la,g-. = lg° s.
6. Теперь ввиду левоинвариантности метрики (,} имеем для
любых х = л gE М и X ЕТХМ:
{dxs(X),dxs(X)) = (dlg-idxs(X), dlg-idxs(X))p =
= {dps dlaig-i}(X), dps dlaig-i}(X) > =
= (dlaig-i}X, dla(g-,)X) = {X,X).
Тем самым симметрия s является изометрией всюду, а не
только в точке р. Значит, все s. — изометрии. ■
31.4.5. Вместе с леммой 31.4.2 теорема 31.4.4 показывает,
что сделанные в этой теореме предположения необходимы и
достаточмы для того, чтобы однородное пространство М =
— G/H было симметрическим. Эти условия накладывают
жесткие ограничения на алгебру Ли Щ группы Ли G.
Действительно, как видно из п. 4 доказательства теоремы, на Щ должна
существовать линейная инволюция do, при которой ^ = ТеН
совпадает с тем подпространством в Щ, на котором do — id.
Кроме того, подпространство ЗП, на котором do= —id,
должно быть Ad (H )-инвариантным в том смысле, что если
ХЕШ, то АйнХЕШ при hEH.
Действительно, пусть ХЕШ, т. е. do(Х) = —X. Поскольку
о — автоморфизм и о (h) = h для любых hEH, то
о (LhRh-ig) =a (hgh~l) =o(h)o(g)o(h-l) =
= ho(g)h-l = LhRh-1o(g).
Соответственно равны дифференциалы левой и правой частей
этого равенства:
d о ° Ad^ = Ad^ ° d о ;
отсюда
do(AdhX) = kdkdo(X) = kdk{-X) = -AAkX. ■
Наконец, имеют место включения
298

fb, bicb, [Ь, ЗЛ ]сЗП, [ffll, ffln.cS.
Первое очевидно, ибо ^ — подалгебра. Второе и третье
проверяются одинаково. Пусть, например, Х£$), У£5П. Тогда
do [х, у] = [do(X), </а(У)] = [х, -у] = -[х, у] ,
т. е. [*, У ] G ffll ■
*31.4.6. Из сказанного, в частности, следует, что
симметрическое пространство является „естественно редуктивным"
(см. 30.8.8). Действительно, подпространство ^с ® имеет
Ас1(Я)-инвариантное дополнение ffli = {X \do(X) = -X), а
ключевое условие (36) (см. 30.8.8) тривиально следует из
включения [ffll, ffll ] С 5-
*31.4.7. Из только что сказанного, согласно (37) (см. 30.8.8),
следует, в частности, что для симметрических пространств
кривизна Римана выражается формулой
к(Х, У) = ~([Х,~У]Ш )2 + {[[X,Y]b,X],Y), (8)
где X, У — подъемы векторов X, У в ffli. Поскольку
[fflj,_ffl] ] С ^ jro первое слагаемое в (8) равно нулю, а
[ X, У Ц - [ X, У ], так что окончательно
к (*, У) =( [[X, У],*], У). (9)
*31.4.8. Информация. Каждая четвертка (G, Н,о,{,}), где
Я — замкнутая подгруппа группы Ли G, а — такая инволюция
группы G, что F® С Я С Fa, а (,} является A d (Я
^инвариантным скалярным произведением на ffll =
= {XE$\do(X)=-X}, определяет, притом единственное,
симметрическое пространство. Действительно, согласно 31.4.4,
таковым будет однородное пространство G/H с инвариантной
метрикой, определяемой скалярным произведением (,}.
Каждому симметрическому пространству можно сопоставить
его „ортогональную инволютивную алгебру Ли": тройку
(JB,do, Q), состоящую из его алгебры Ли 6, ее инволюции
do п билинейной симметрической формы Q на 6,
удовлетворяющей условию: сужение Q на II совпадают с (,}. Отметим,
что алгебра Ли $Э подгруппы изотропии Я не содержит
ненулевых идеалов алгебры Щ, ибо действует на ffll точно.
Обратно, каждая тройка (6,§, Q), состоящая из
конечномерной алгебры Ли Щ, ее инволютивного автоморфизма § и
положительно определенной билинейной симметрической формы
Q на S, называется абстрактной ортогональной инволютивной
алгеброй Ли, если при разложении 6 = ?} + ffl] на
подпространства, соответствующие собственным числам +1 и —1 инволюции
|, подалгебра $} не содержит ненулевых идеалов алгебры 6 и
299

форма Q является ^-инвариантной и ad ( •)) -инвариантной.
Каждая абстрактная ортогональная инволютивная алгебра Ли
определяет (притом единственное) односвязное симметрическое
пространство.
На алгебре Ли 6 всегда определена форма Киллинга
А(Х, Y) = -tr^ad^ • ady). Алгебра 6 называется полупростой,
если форма Киллинга невырождена. Случай полупростой
алгебры Ли 6 является основным с точки зрения теории
симметрических пространств. Если форма Киллинга не только
невырождена, но и положительно определена, то ее естественно
взять в качестве формы Q для построения ортогональной ин-
волютивной алгебры Ли. Подробности см. в книгах [41, 11].
§ 32. Путеводитель по литературе
32.1. Учебники и обзоры. На русском языке кроме давно
изданных и частично устаревших книг [17, 48, 36] можно
рекомендовать [41, 6, 13, 19]. (Впрочем, нам кажется, что
они трудны для первого знакомства с предметом). Начальные
вопросы римановой геометрии затронуты во многих
монографиях, посвященных другим темам или специальным разделам
римановой геометрии (см., например, [25, 33, 4, 11]). Из не
переведенных на русский язык выделим книги [68, 61, 113,
126, 84], обзоры [132, 101, 111] и своеобразное изложение
римановой геометрии в дополнении Громова к книге [120].
По более специальным вопросам см.: о келеровых
многообразиях [19, 116]; о псевдоримановых многообразиях [31, 5,
27 ]; о связности на расслоениях, например, [22, 14 ]; о методе
гармонических функций [49, 86]. Ниже мы выделим некоторые
разделы римановой геометрии, особо интересные с нашей точки
зрения, и укажем ключевую литературу по ним. Дальнейшую
библиографию читатель сможет найти в этой литературе.
32.2. Многообразия с кривизнами, не меняющими знака.
При изучении римановых многообразий обычно налагают
ограничения на секционные кривизны Ка, или кривизны Риччи,
или скалярную кривизну *', чаще всего — это требование
постоянства знака, см. обзор [96].
32.2.1. Постоянная кривизна. Требование Ка = const
определяет пространства постоянной кривизны, их
классификации при Ка > 0 посвящена значительная часть книги [11]. В
случае постоянной отрицательной кривизны эти пространства
Наряду с этим имеются результаты, связанные с рассмотрением
собственных чисел оператора кривизны [58], с так называемыми изотропными
кривизнами 1119], а в комплексном случае — бисекционными кривизнами
[19, т. 2, с. 337].
300

весьма разнообразны, их теория очень интересна (см. [138])
и далека от завершения. Теория пространства с Ric = const —
это теория пространств Эйнштейна, она тесно связана с теорией
относительности [31, 126]. Но уже требование постоянства
скалярной кривизны не более ограничительно для топологии
многообразия, чем требование ее знакопостоянства (см. 32.2.6).
32.2.2. Многообразия с Ка>0. Примеры таких
многообразий М в первую очередь поставляет теория однородных
пространств; при этом возникают и примеры М, не диффео-
морфных однородным пространствам [78, 64]. Вопросы,
группирующиеся вокруг теоремы о сфере, уже обсуждались в 25.2,
а строение открытых М с Ка > 0 — в 28.2.
Важное ограничение на топологию многообразий с Ка,
ограниченными снизу, дает следующая теорема.
Теорема [93]. Существует такое с(п)>0, что
п
2^ bt< с(п) для любого замкнутого М с Ка> 0.
i= 1
Здесь bi — числа Бетти, т. е. размерности групп гомологии
Hi (M, F) над любым полем F коэффициентов. Более общо:
если Ка>-к2, то 2 bt< c(n)i+kD, где D — диаметр М.
i=l
Значения с (и), полученные в [93], далеки от точных.
Известна, по-видимому, лишь точная оценка Ь± < п с равенством
только для плоского М (см. [49]).
32.2.3. Многообразия с Ка < 0. К сведениям § 20
добавим следующее. Согласно теореме Картана— Адамара 20.1,
универсальная накрывающая пространства М с Ка < 0 диффе-
оморфна R", так что фундаментальная группа л^ (М)
полностью определяет гомотопический тип М. Во многих случаях
л j(M) для М с Ка < 0 определяет даже метрические свойства
М, например в теореме Мостова 14.8.2 и в ее обобщении для
симметрических пространств [124].
Для многообразий с Ка < 0 можно ввести понятие ранга,
обощающее ранг симметрического пространства. Это понятие
формулируется довольно сложно, притом в терминах
фундаментальной группы [55]. При Ка<0 и ранге > 2 для М
справедлива теорема жесткости Громова [58 ]: такое М изометрично
симметрическому пространству. При ранге 1 картина менее
ясна. Во всяком случае здесь возможно явление неустойчивости:
для любого £ > 0 существует М с 1^+ 1 I < б, не диффео-
морфное никакому пространству постоянной кривизны Ка =
= -1 (см. [100, 80]).
Если dim М > 3 и Ка < 0, то Vol M мажорирует сверху
diamM, что приводит к конечности числа топологических типов
301

римановых многообразий с Vol M < с. В размерности 3 это не
так [92].
Геометрия римановых многообразий с Ка ^ 0 тесно связана
с теорией геодезических потоков и, более общо, —
динамических систем (см. обзоры [30, 77].
32.2.4. Почти плоские многообразия. Теорема
Громова (см. [60, 92] и некоторое уточнение в [131]). Для любого
п > 2 существует такое е (п) > 0, что если у замкнутого it-
мерного риманова многообразия М все \Ка \ <к и
&(diamM) <е(п), то М диффеоморфно компактному
фактор-пространству нильпотентной группы Ли по вполне
разрывной подгруппе изометрий.
32.2.5. Кривизны Риччи. Эти кривизны уже появлялись
в ряде теорем в 18.4.2, 25.2.3, 27.5.4. В отличие от секционных
кривизн ограничения на кривизны Риччи не препятствуют
естественным деформациям метрик. Например, если везде
Ric > 0 и в некоторой точке все Ric > 0, то метрику можно
деформировать так, что всюду будет Ric > 0 [54 ]. Другие
результаты с участием кривизны Риччи: изопериметрическое
неравенство Громова [120], существование метрик с Ric s 0 на
трехмерной сфере [85], теорема компактности (см. 32.4.1). Все
же геометрический смысл кривизны Риччи не совсем ясен, и
результаты с ее участием носят пока фрагментарный характер,
несмотря на ряд новых сильных результатов (см. [51 ]).
32.2.6. Скалярная кривизна. Наименее ограничительны
условия, налагаемые на скалярную кривизну. Здесь получена
довольна полная картина. Она особенно проста для замкну-
тых поверхностей М . Пусть % — эйлерова характеристика, а
К — гауссова кривизна поверхности. По теореме Гаусса—Бонне,
при х > 0 на М2 есть точки, где К > 0, при х < 0 — есть
точки, где К < 0, а при % = 0 — либо есть точки обоих типов,
либо К = 0. Это необходимое требование к гладкой функции
К : М -» R оказывается достаточным, чтобы К была гауссовой
■у
кривизной некоторой римановой метрики на М . Аналогичное
2
верно и для полных метрик на некомпактных М [7 ]. (Более
тонкий вопрос — существование римановой метрики с данной
скалярной кривизной и в данном конформном классе, см. [15,
108]).
При dim M > 3 положение сложнее. Каждая где-либо
отрицательная гладкая функция / на замкнутом М является
скалярной кривизной римановой метрики. Кроме того, если М
допускает метрику с кск > 0, то М допускает также метрику
с кск = 0. Эти и примыкающие результаты описаны в сборнике
[15]. Могут быть препятствия к существованию римановых
метрик положительной (и нулевой) скалярной кривизны, например,
302

на торах Тп, п > 2, нет метрик с кск > О [133]. В работах
[98, 99] дано почти исчерпывающее описание всех
многообразий, допускающих метрики с &ск > 0.
32.3. Теоремы о конечности и коллапс. В ряде случаев
удается, имея оценки инвариантов для римановой метрики,
установить, что многообразие М, на котором она задана, может
иметь лишь конечное число топологических типов. Обычно эти
результаты связаны с ограниченностью сверху объема
многообразия и ограниченностью снизу его радиуса инъективности,
что позволяет покрыть М равномерно ограниченным числом
шаров, гомеоморфных евклидовым (см. [63]). Другой подход
основывается на том, что при определенных условиях римановы
многообразия, достаточно близкие в метрике Хаусдорфа—Громова
(см. 22.6), оказываются диффеоморфными [97].
Многообразие М называют коллапсирующим, если на нем
можно задать последовательность римановых метрик рт, для
каждой из которых \Ка I < 1, а радиусы инъективности
Г} т(х) в m-й метрике равномерно стремятся к нулю при
т^оо. (Из замкнутых поверхностей М коллапсируют только
тор и бутылка Клейна). Способность М коллапсировать следует
из существования на М всего одной „сильно коллапсной"
метрики. На коллапсирующем многообразии существует
специальная топологическая структура — так называемая F-структура
положительного ранга [72]. Наличие F-структуры может
служить основанием для заключения о коллапсе. По этим вопросам
см. [72, 142, 82, 83, 129].
Весьма общим является результат [72,12],
устанавливающий, что каждое замкнутое n-мерное риманово многообразие
можно представить как объединение двух подмногообразий той
же размерности (быть может, несвязных), причем так что,
грубо говоря, первое допускает F-структуру положительного
ранга, а второе относится к одному из конечного числа типов.
32.4. Пространства Александрова. О них уже шла речь в
п. 22.6. Кроме упомянутой там статьи [8] и тесно прилегающих
к ней содержательных .статей Перельмана и Петрунина [28,
29 ] пространствам Александрова в последнее время посвящено
много статей и препринтов Грове и Петерсона, Шиойа [136],
Ямагучи [144], Отсу и Шиойа [128], Плаута.
32.4.1. Наряду с пространствами ограниченной снизу
кривизны (см. 22.6) естественно рассмотреть пространства
Александрова кривизны < к. Между этими двумя классами нет
прямой аналогии. В частности потому, что локальное условие
ограниченности кривизны сверху не влечет глобального
выполнения этого условия. И класс не является замкнутым. Об этих
пространствах см. обзор [3 ].
303

Случай именно неположительной кривизны отличается от
других верхних ограничений кривизны в значительно большей
мере, чем это имеет место для ограничений снизу. Для полных
односвязных пространств Александрова локально определенная
неположительность кривизны на самом деле имеет глобальный
характер. Для таких пространств верно обобщение теоремы Кар-
тана—Адамара [53], в частности любые две точки соединимы
единственной геодезической, а само пространство стягиваемо.
Обобщением односвязных пространств отрицательной,
равномерно отделенной от нуля кривизны являются
гиперболические (по Громову) пространства [94 ].
32.4.2. Если пространство Александрова ограниченной
кривизны и сверху и снизу и, кроме того, является конечномерным
многообразием (последнее условие равносильно конечномерности
и локальной продолжимости кратчайших), то оно по своим
свойствам мало отличается от риманова многообразия (см [3]).
Мы назовем такие пространства почти римановыми. (При
отсутствии локальной продолжимости кратчайших могут лишь
появиться многообразия с краем).
Почти римановы многообразия являются естественным
замыканием для класса римановых многообразий с двусторонне
равномерно ограниченными секционными кривизнами. Это
показывают следующие результаты.
32.4.3. Теорема [3]. Каждое почти риманово
пространство допускает такой атлас гладкости С ,а (при любом
a £ (0, 1)), относительно которого метрика задается с
помощью метрического тензора g{- гладкости С '". (Факти-
чески gtj G Wp для любого р > 1, что, по теоремам вложения,
влечет gtjE С1'").
32.4.4. Теорема [3]. Пусть 31(Дк,«) — метрическое
пространство с метрикой Хаусдорфа—Громова dH, состоящее
из n-мерных римановых многообразий М, удовлетворяющих
условиям: diamM< D, I Ка I < 1, VolM>v. (В этих условиях
ri (М ) > с ( D, v, п ) ). Тогда пополнение Л ( D, v, n ) содержит
только почти римановы пространства с кривизной между
-1 и +1.
Это — достаточно простой результат.
32.4.5. Следствие. Пополнение пространства Л ( D, v, n ) в
метрике dH содержит только С '"-гладкие „римановы" метрики.
Это следствие независимо доказывалось рядом авторов
[130, 87].
32.4.6. Теорема (Николаев [3]). Каждое почти риманово
пространство с кривизной между —1 и +1 принадлежит
пополнению пространства Л ( D, v, п ) для некоторых D, v, п.
Этот результат выводится из 32.4.3.

ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А.Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом
пространстве и некоторые ее приложения//Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова.
1951. Т. 38. С. 5—23.
2. Ананов Н.Г., Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Трехмерные многообразия
неотрицательной кривизны Риччи с краем//Мат. сб. 1985. Т. 128, № 2.
С. 169—193.
3. Берестовский В.Н., Николаев И.Г. Многомерные обобщенные римановы
пространства//Современные проблемы математики: Фундаментальные
направления. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1989. Т. 70. С. 190—277.
4. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.: Мир, 1981.
322 с.
5. Бим Дж., Эрлих 77. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985.
400 с.
6. Бишоп К, Криттенден К. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. 335
с.
7. Бураго Ю.Д. Существование на некомпактной поверхности полной метрики
с данной кривизной//Укр. геометр, сб. 1982. Вып. 25. С. 8—11.
8. Бураго Ю.Д, Громов М., Перельман Г. Пространства с ограниченными
снизу кривизнами//Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, № 2. С. 3—51.
9. Бураго Ю.Д, Залгаллер В.А. Выпуклые множества в римановых про-
странствах//Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, № 3. С. 3—55.
10. Буяло СВ. Теорема сравнения для объемов в римановой геометрии//Укр.
геометр, сб. 1978. Вып. 21. С. 15—20.
11. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука, 1982. 480 с.
12. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.:
Мир, 1982. Т. 1. 496 с.
13. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.:
Мир, 1971. 343 с.
14. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.:
Мир, 1975. 348 с.
15. Исследования по метрической теории поверхностей//Математика, новое
в зарубежной науке: Сб. переводов. М.: Мир, 1980. Вып. 18. 292 с.
16. Кайгородов В.Р. Метризуемость аффинносвязных многообразий//Движения
в обобщенных пространствах. Рязань: Изд-во Гос. пед. ин-та, 1985.
С. 48—55.
17. Картан Э. Геометрия римановых пространств. М.: Гл. ред. общетехн.
лит. и номографии, 1936. 244 с.
18. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир, 1982.
414 с.
19. Кобаяси Ш., Номидзу К Основы дифференциальной геометрии. М.: На-
у .<., 1981. Т. 1. 344 с; Т. 2. 414 с.
20. Кон-Фоссен СЭ. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в
целом. М.; Л.: Наука, 1959. 303 с.
21. Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической геометрии. М.: Мир, 1983.
302 с.
305

22. Лихнерович А. Теория связности в целом и группы голономии. М.: Изд-во
иностр. лит., 1960. 216 с.
23. Лоос О. Симметрические пространства. М.: Наука, 1985. 208 с.
24. Масси У., Столпите Дж. Алгебраическая топология: Введение. М.: Мир,
1977. 343 с.
25. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965. 184 с.
26. Милнор Дж. Теорема об /г-кобордизме. М.: Мир, 1978. 115 с.
27. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство—время. М.: Мир,
1987. Т. 1. 528 с; 1988. Т. 2. 574 с.
28. Перельман Г.Я. Начала теории Морса на пространствах Александрова//Ал-
гебра и анализ. 1993. Т. 5, № 2. С. 232—241.
29. Перельман Г.Я., Петрунин A.M. Экстремальные подмножества в
пространствах Александрова и обобщенная теорема Либермана//Алгебра и
анализ. 1993. Т. 5, № 2. С. 242—256.
30. Лесин Я.Б. Геодезические потоки с гиперболическим поведением
траекторий и связанные с ними объекты//Успехи мат. наук. 1981. Т. 36,
№ 4. С. 3—51.
31. Петров A3. Пространства Эйнштейна. М.: Физматгиз, 1961. 463 с.
32. Постников М.М. Вариационная теория геодезических. М.: Наука, 1965.
248 с.
33. Постников М.М. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971. 567 с.
34. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982. 447 с.
35. Постников М.М. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987. 478 с.
36. Рашевский ПК. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: ГИТТЛ,
1953. 636 с; Изд. 3. М.: Наука, 1967. 664 с.
37. Рохлин В.А., Фукс ДБ. Начальный курс топологии: Геометрические главы.
М.: Наука, 1977. 487 с.
38. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.
410 с.
39. Топоногов В.А. Римановы пространства кривизны, ограниченной
снизу//Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, № 1. С. 87—130.
40. Топоногов В.А. Метрическое строение римановых пространств
неотрицательной кривизны, содержащих прямые линии//Сиб. мат. журн. 1964.
Т. 5, № 6. С. 1358—1369.
41. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.
М.: Мир, 1964. 534 с.
42. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970. 442 с.
43. Шарафутдинов В.А. Полные открытые многообразия неотрицательной
кривизны//Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, № 1. С. 177—191,
44. Шарафутдинов В.А Теорема Погорелова—Клингенберга для
многообразий, гомеоморфных Нп//Сиб. мат. журн. 1977. Т. 18, № 4. С. 915—925.
45. Шарафутдинов В.А. О выпуклых множествах в многообразиях
неотрицательной кривизны//Мат. заметки. 1979. Т. 26, № 1. С. 129—136.
46. Шварц А.С. Объемный инвариант накрывающих//Докл. АН СССР. 1955.
Т. 105, № 1. С. 32—34.
47. Шевалле Кл. Теория групп Ли. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. Т. 1.
316 с.
48. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
316 с.
49. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. М.: Изд-во иностр. лит.,
1957. 152 с.
50. Abresck U. Lower curvature bounds, Toponogov's theorem, and bounded
topology. II//Ann. sci. Ecole norm. sup. 1987. Vol. 20, N 3. P. 475—502.
51. Abresch U., Gromoll D. On complete manifolds with nonnegative Ricci
curvature//J. Amer. Math.Soc. 1990. Vol. 3, N 2. P. 355—374.
52. Alexandrov A.D. Uber eine Verallgemeinerung der Riemannschen
Geometre//Schr.-R. Inst. Math. Deutsch. Acad. Wiss. Berlin, 1957. H. 1.
S. 33—84.
53. Alexander S., Bishop R. The Hadamared-Cartan theorem in locally convex
metric spaces//L'Enseign. Math. 1990. Vol. 36. P. 309—320.
306

54. Aubin Т. Metriques riemanniennes et courbure//J. Diff. Geom. 1970. Vol.
4, N 4. P. 119—128.
55. Ballman W., Gromov M., Schroeder V. Manifolds of nonpositive
curvature//Progress in Math. Birkhauser, 1985. Vol. ,61. 263 p.
56. BergerM. Sur les varietes a courbure positive de diametre minimum//Comment.
Math. Helv. 1961. Vol. 35, N 1. P. 28—34.
57. Berger M. Sur les varietes riemanniennes piritees juste audessous de l/4//Ann.
Inst. Fourier. 1983. Vol. 33, N 2. P. 135—150.
58. Bourguignon J.P., Karcher H. Curvature operators: Pinching estimates and
geometric examples//Ann. sci. Ecole norm. sup. 1978. Vol. 11, N 1.
P. 71—92.
59. Buchner M.A. Simplicial structure of the real analitic cut locus//Proc. Amer.
Math. Soc. 1977. Vol. 64, N 1. P. 118—121.
60. Baser P., Karcher H. Gromov's almost flat manifolds. Paris, 1981. 148 p.
(Asterisque 81. Soc. Math. France).
61. Do Carmo M.P. Geometria Riemanniana. Rio de Janeiro, 1979. 247 p.
62. Cheeger J. Pinching theorems for a certain class of Riemannian
manifolds//Amer. J. Math. 1969. Vol. 91, N 3. P. 807—834.
63. Cheeger J. Finiteness theorems for Riemannian manifolds//Amer. J. Math.
1970. Vol. 92, N 1. P. 61—74.
64. Cheeger J. Some examples of manifolds of non-negative curvature//J. Diff.
Geom. 1973. Vol. 8, N 4, P. 623—628.
65. Cheeger J. Critical points of distance functions and applications//Preprint.
1990. C.I.M.E. 42 p.
66. Cheeger /., Anderson M.T. С "-compactness of manifolds with Ricci curvature
and injectivity radius bounded below//Preprint. 1990. 17 p.
67. Cheeger J., Anderson M.T. Diffeomorphism finiteness for manifolds with Ricci
curvature and Ln -norm of curvature bounded//Preprint. 1991. 19 p.
68. Cheeger J., Ebin D. Comparison theorems in Riemannian geometry. Amsterdam;
Oxford, 1975. 179 p. (North-Holland math, library, 9).
69. Cheeger J., Fukaya K., Gromov M. Nilpotent structures and invariant metrics
on collapsed manifolds//J. Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 5, N 2. P. 327—372.
70. Cheeger J., Gromoll D. On the structure of complete manifolds of nonnegative
curvature//Bull. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 74, N 6. P. 1147—1150;
Ann. Math. 1972. Vol. 96, N 3. P. 413—443.
71. Cheeger J., Gromoll D. The splitting theorem for manifolds of non-negative
Ricci curvature//J. Diff. Geom. 1971. Vol. 6, N 1. P. 119—128.
72. Cheeger J., Gromov M. Collapsing Riemannian manifolds while keeping their
curvature bounded. I, II//J. Diff. Geom. 1986. Vol. 23, N 3. P. 306—346.
73. Cheng S.-Y. Eigenvalue comparison theorems and its geometric
application//Math. Ztschr. 1975. Bd 143. S. 289—297.
74. Curvature and topology of Riemannian manifolds//Lect. Notes Math. 1985.
Vol. 1201. 336 p.
75. Differential geometry//Lect. Notes Math. 1985. Vol. 1263. 293 p.
76. Durumeric O. A generalization of Berger's on almost 1/4-pinched manifolds
theorem//I. Bull. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 12, N 2. P. 260—264; II.
J. Diff. Geom. 1987. Vol. 26, N I. P. 101—139.
77. Eberlein P. Manifolds of nonpositive curvature//Global Differential Geometry.
Editor S.S. Chern. N.Y., 1989. P. 223—258. (MAA Studies in Math.
Vol. 27).
78. Eschenburg J.H. New examples of manifolds of strictly positive curvature//
Invent. Math. 1982. Vol. 66, N 3. P. 469—480.
79. Eschenburg J.H. Local convexity and nonnegative curvature—Gromov's proof
of the sphere theorem//Invent. Math. 1986. Vol. 84, N 3. P. 507—522.
80. Farrell F.T., Johnes M.E. Negatively curved manifolds with exotic smooth
structures//Amer. Math. Soc. N.Y., 1989. 12 p. (Preprint).
81. Freedman M. The topology of fourdimentional manifolds//J. Diff. Geom.
1982. Vol. 17, N 3. P. 357—454.
82. Fukaya K. On a compactification of the set Riemannian manifolds with bounded
curvature and diameters//Lect. Notes Math. 1986. Vol. 1201. P. 89—107.
307

83. Fukaya K. Collapsing Riemannian manifolds to ones of lower dimensions//.!.
Diff. Geom. 1987. Vol. 25, N 1. P. 139—156.
84. Gallo S., Hulin D., Lafontaine J. Riemannian geometry. Berlin etc.: Springer,
1987. 248 с
85. Gao L.Z., Yau S.T. The existence of negatively Ricci curved metrics on
three manifolds//Invent. Math. 1986. Vol. 85, N 3. P. 651—655.
86. Goldberg S. Curvature and homology. N.Y.: Acad. Press, 1962. 315 p.
87. Greene R.E., Wu H. Lipschitz convergence of Riemannian manifolds//Pacif.
J. Math. 1988. Vol. 131, N 1. P. 119—141.
88. Gromoll D., Grove K. Rigidity of positively curved manifolds with large
diameter//Seminar on diff. geom. ann. math, studies. Paris, 1982. P. 203—208.
89. Gromoll D., Grove K. A generalization of Berger's rigidity theorem for
positively curved manifolds//Ann. sci Ecole norm. sup. 1987. Vol. 20, N 2.
P. 227—239.
90. Gromoll D., Wolf J-A. Some relations between the metric structure and the
algebraic structure of the fundamental groups in manifolds of nonpositive
curvature//Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77, N 4. P. 545—552.
91. Gromov M. Manifolds of negative curvatures//J. Diff. Geom. 1978. Vol.
13, N 2. P. 223—230.
92. Gromov M. Almost flat manifolds//J. Diff. Geom. 1978. Vol. 13, N 2. P.
231—241.
93. Gromov M. Curvature, Diameter and Betti numbers//Comment. Math. Helv.
1981. Vol. 56, N 2. P. 179—195.
94. Gromov M. Hyperbolic manifolds, groups and actions//Ann. Math. Studies.
1981. Vol. 97. P. 183—213.
95. Gromov M. Hyperbolic groups//Essays in group theory/Editor S.M. Gersten.
Berlin: Springer, 1987. P. 75—263.
96. Gromov M. Sign and geometric meaning of curvature//Preprint. 1990.
122 p.
97. Gromov M., Lafontaine /., Pansu P. Structures metriques pour les varietes
riemanniennes. Paris: Fernand Nathan, 1981. 152 p.
98. Gromov M., Lawson H.B. Spin and scalar curvature in the presence of a
fundamental group. I//Ann. Math. 1980. Vol. Ill, N 2. P. 209—230.
99. Gromov M., Lawson H.B. The classification of simply connected manifolds
of positive scalar curvature//Ann. Math. 1980. Vol. Ill, N 3. P. 423—434.
100. Gromov M., Thurston W. Pinching constants for hyperbolic manifolds//Invent.
Math. 1987. Vol. 89, N 1. P. 1 — 12.
101. Grove K. Metric differential geometry//Lect. Notes Math. 1987. Vol. 1263.
P. 171—227.
102. Grove K, Karcher H. On pinched manifolds with fundamental group
Z2 //Compos. Math. 1973. Vol. 27, N 1. P. 49—61.
103. Grove K, Karcher #., Ruh E. Jacobi fields and Finsler metrics on compact
Lie groups with an application to differentiable pinching problems//Math. Ann.
1974. Vol. 211, N 1. P. 7—21.
104. Grove K., Shiohama К A generalized sphere theorem//Ann. Math. 1977.
Vol. 106, N 2. P. 201—211.
105. Hamilton R.S. Three-manifolds with positive Ricci curvature//!. Diff. Geom.
1982. Vol. 17, N 2. P. 255—306.
106. Heintze E., Karcher H. A general comparison theorem with applications//Ann.
sci. Ecole norm. sup. 1978. Vol. 11, N 4. P. 451—470.
107. Hlavaty V. The general Ln with symmetric connection//.!. Math. Mech. I.
1959. Vol. 8. P. 285—307; II. P. 597—622; 1960. III. Vol. 9. P. 89—122;
IV. P. 453—496.
108. Hulin D., Troyanov M. Prescribing curvature of open surfaces. Paris, 1990.
45 p. (Preprint/Centre de Math. Ecole poly technique).
109. Im Hof H.-C, Ruh E. An equivariant pinching theorem//Comment. Math.
Helv. 1975. Vol. 50, N 3. P. 389—402.
110. Itokawa Y. On certain Riemannian manifolds with positive Ricci curvature:
Diss. doct. philos. N. Y., 1982. (State Univ.).
308

111. Karcher H. Riemannian comparison constructions//Global Differential
Geometry/Editor S.S. Chern. N.Y., 1989. P. 170—222. (MAA Studies in
Math. Vol. 27).
112. Katsuda A. Gromov's convergence theorem and its application//Nagoya Math.
J. 1985. Vol. 100. P. 11—48.
113. Kiingenberg W. Riemannian geometry. Berlin etc., 1982. 396 S. (De Gryter
stud, in Math. Vol. 1).
114. Kiingenberg W., Sakai T. Injectivity radius estimate for 1/4-pinched
manifolds//Arch. Math. 1980- Vol. 34, N 4- P. 371—376.
115. Kulkarni R.S. Curvature and metric//Ann. Math. 1970. Vol. 91, N 2.
P. 311—331.
116- Lawson H.B. Lectures on minimal submanifolds. Berkley: Publish or Perlish,
1980- Vol. 1. 178 p.
117. Lawson H.B., Yau S.T. Compact manifolds of nonpositive curvature//J. Diff.
Geom. 1972. Vol. 7, N 2. P. 211—228.
118. Meeks W., Simon L., Yau S.T. Embedded minimal surfaces, exotic spheres
and manifolds with positive Ricci curvature//Ann. Math. 1982. Vol. 116,
N 3. P. 621—659.
119. Micallef M.J., Moore J.D. Minimal two-spheres and the topology of manifolds
with positive curvature on totaly isotropic two-planes//Ann. Math. 1988.
Vol. 127, N 1. P. 199—227.
120. Mil man V.D., Schechtman G. Asymptotic theory of finite dimensional normal
spaces//Lect. Notes Math. 1986. Vol. 1200. 156 p.
121. Milnor J. A note on curvature and fundamental group//J. Diff. Geom. 1968.
Vol. 2, N 1. P. 1—7.
122. Min-Oo, Ruh E. Comparison theorems for compact symmetric spaces//Ann.
sci. Ecole norm. sup. 1979. Vol. 12, N 3. P. 335—353.
123. Min-Oo, Ruh E. Vanishing theorems and almost symmetric spaces of non-
compact type//Math. Ann. 1987. Vol. 257, N 4. P. 419—433.
124. Mostow G.D. Strong rigidity of locally symmetric space//Ann. Math. Studies.
1973. Vol. 78. 195 p.
125. Myers S., Steenrod N. The group oT isometries of a Riemannian
manifolds//Ann. Math. 1939. Vol. 40, N 2. P. 400—416.
126. O'Neill B. Semi-Riemannian geometry (with applications to relativity). N.Y.
etc.: Acad. Press, 1983. 468 p.
127- Otsu Y., Sniohama K, Yamaguchi T A new version of differentiable sphere
theorem//Invent. Math. 1989. Vol. 98, N 2. P. 219—228.
128. Otsu Y., Shioya T. The Riemannian structure of Alexandrov spaces//Preprint
Univ. Tokyo. 1992. 26 p.
129. Peng X.W. Kollaps Riemannscher Mannigfaltigkeiten//Bonner Math. Schr. 1988.
N 189. 90 S.
130. Peters S. Konvergence of Riemannian manifolds//Compos. Math. 1987.
Vol. 62, N 1. P. 3—16.
131. Ruh E. Almost flat manifolds//J. Diff. Geom. 1982. Vol. 17, N 1. P. 1 — 14-
132. Sakai T. Comparison and finiteness theorems in Riemannian
geometry//Geometry of geodesies and related topics. Amsterdam, 1984.
P. 125—181. (Studies in Pure Math. Vol. 3).
133. Schoen R., Yau S.T. The structure of manifolds with positive scalar
curvature//Manuscr. Math. 1979. Vol. 28. P. 159—183.
134. Schoen R., Yau S.T. Complete three-dimensional manifolds with positive Ricci
curvature and scalar curvature//Ann. Math. Studies. 1982. Vol. 102. P. 209—
228.
135. Sniohama К A sphere theorem for manifolds of positive Ricci curvature//
Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 275, N 2. P. 811—829.
136. Shioya T. Mass of rays in Alexandrov spaces of nonnegative curvature//
Preprint. 1993.
137. Sugimoto M., Sniohama К On the differentiable pinching problem//Math.
Ann. 1971- Vol. 195, N 1. P. 1 — 16.
138. Thurston W. The geometry and topology of 3-manifolds. Providens, 1978.
183 p. (Preprint AMS).
309

139. Walter R. Some analitical properties of geodesically convex sets//Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg. 1976. Bd 45. S. 263—282.
140. Warner F. Extensions of the Rauch comparison theorem to
submanifolds//Trans. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 122, N 2. P. 341 — 356.
141. Welnsteln A. Distance spheres in complex projective spaces//Proc. Amer.
Math. Soc. 1973. Vol. 39, N 3. P. 649—650.
142. Yamaguchi T. Uniformly locally convex filtrations on complete Riemannian
manifolds//Lect. Notes Math. Vol. 1201. 1985. P. 308—318.
143. Yamaguchi T. Collapsing and pinching in lower curvature bound. Kyushu,
1989. 54 p. (Preprint).
144. Yamaguchi T. A convergence theorem in the geometry of Alexandrov
space//Preprint 92—42 Max-Plank-Inst. Math. 1992. 25 p.

ПРЕДМЕТНЫЙ
Абсолют 159, 237
Автоморфизм внутренний в группе 253
— инволютивный 297
„Аджойнт" ad 258, 262
— Ad 253
Алгебра антиэрмитовых матриц 282
— Ли 19
— векторных полей 20
— группы Ли 258
кососимметрических матриц 260
неособых вещественных матриц 259
ортогональная инволютивная 299
ортогональных матриц 260, 268
полу простая 300
псевдоортогональная 124
Антиизоморфизм 28
Атлас 10
База накрытия 24
— расслоения 267
Базис канонически индуцированный 14
— ортонормированный 118, 124
Вариация 62
— геодезическая 143
— длины 64, 139
— ломаная 199
— энергии 137
Вектор 12, 14
— вращения присоединенный 96
— времяподобный, изотропный или
световой, пространственноподобный 123
— касатр -. ный 12
— кривизны 55
— скорости 12
Вложение 16
Вогнутая опора 220
Выпуклости типы 219
УКАЗАТЕЛЬ
Геодезическая 55
— в многообразии со связностью 55
— вопрос о продолжимости 57
— в римановом многообразии 62
— вырожденная 55
— замкнутая 80
— нормальная 62
— сходимость 74
— эквивалентные 56
Геодезические потоки 302
Геометрия и физика 122
Гессиан 192
— энергии 200
Гиперплоскость локально опорная 226
Главная нормаль кривой 55, 65
Гомотопия 23
— кусочно гладкая 23, 199
Группа изометрий 275
— изотропии 275
— Г-инвариантность 253
— Ли 250
— ортогональная 250
— псевдоортогональная 124
— скольжения 27
— собственных поворотов 125
— унитарная 251, 270
— фундаментальная 23, 143, 157
Двуугольник 151
Действие группы на многообразии 27
— вполне разрывное 27
— свободное 27
— транзитивное 27, 272
— эффективное 27
Деформационный ретракт 194
Дистанция раздела 206
Диффеоморфизм 11
Дифференциал отображения 15
Дифференцирование ковариантное 38
311

Длина в псевдоримановом многообразии
128
— кусочно гладкого пути 31
— относительная 75
— произвольного пути 73
Душа 246
Изометрия 29, 106
Индекс билинейной формы 121
— геодезической 168
— критической точки 193
Искажение расстояний при
экспоненциальном отображении 153
Карта 8
Касательное расслоение 14
Классы смежности 266
Ковариантная производная 38
тензора кривизны 90
Коллапс 303
Компактность ограниченная 81
Компонента единицы 250
Конус будущего 129
— световой или изотропный 124
— касательный 225
Координаты локальные 8
— метрического тензора 29
— нормальные Римана 76
— тензора кривизны 92
— Ферми 76
Кратность сопряженной точки 168
Кратчайшая 65, 74, 82, 156, 168
Кривизна 83
— бисекционная 300
— внешняя 119
— внутренняя 119
— гауссова 86
— главная относительно нормали 117
— главная секционная 84, 96
— изотропная 300
— комплексная 284
— кривой 55
— Липшица-Киллинга 119
— нормальная 117
сфер 163
— пути 65
— риманова однородного пространства
279
— Римана 93
— РиччиЮО, 302
— секционная 84, 94, 257
трехмерного многообразия 95
— скалярная 100, 302
Кристоффеля символы 37, 40, 45
Критическая точка 191
Критическое значение функции 191
— множество 239
Кручение связности 41
Лемма Адамара 53, 54
— Берже 82
— Бишопа 185
— Гаусса 67, 127
— Морса 192
Листы накрытия 26
Линии вариации, продольные и
поперечные 63
Лучи, их эквивалентность 237
Матрица Гессе 192
Матрицы антиэрмитовы 282
Мера правоинвариантная 254
Метрика 32
— биинвариантная 253
— внутренняя 73
— G-инвариантная 273
— левоинвариантная и
правоинвариантная 252
— риманова 32
— Титце 238
Мировая линия 122
Многообразия Адамара 155
— гладкие 9
— Грассмана 269
— диффеоморфные 11
— допускающие вогнутую функцию 239
— д -защемленные 215
— коллапсирующие 303
— комплексные 133
— кэлеровы 134
— локально-симметрические 290
— неотрицательной кривизны, открытые
243
— ориентируемые и неориентируемые 22
— открытые 236
— параллелизуемые 38
— почти комплексные 133
плоские 302
— псевдоримановы 126
— римановы 29
312

, их топология 71
— эрмитовы 134
Множество больших и меньших
значений 228
— выпуклое в разных смыслах 219
— критическое 239
— нормальное локально выпуклое 222,
231
— раздела 206
— эквидистантное (внутреннее и
внешнее) 229
Накрытие 24
— дифференцируемое 27
— нормальное 26
— риманово31
— универсальное 26
— эквивалентные 27
Направления главные 117
тензора кривизны трехмерного
многообразия 96
Неравенство треугольника и неравенство
Эйнштейна 129
Норма преобразования кривизны 96
Нормальное расслоение 77
Объем 35, 186
Овеществление 133
Окрестность выпуклая 220
— нормальная выпуклая 222
шаровая 60
— правильная 24
— строго гранично-выпуклая 221
Орбита 27
Ориентация многообразия 22
— времени 123
Ори шары 234
Ортогональность относительно формы 200
Основная форма поверхности 30, 115
подмногообразия первая 113
— вторая 114
относительно нормали 116
Основной оператор подмногообразия 117
Отображение Вайнгартена 117
— инволютивное " Л
— кососимметрическое 95
— открытое 276
— псевдоортогональное 124
— распрямляющее 17
— регулярное 107
— экспоненциальное 58,153
относительно геодезической 78, 154
— подмногообразия 77
Параллельный перенос 8, 50, 88, 105
Петли, связанно-гомотопные 24
Плоскости голоморфные 284
Поверхность в R 3 30,50, 87, 94, 115
Погружение 16
— изометрическое 33
Подгруппа Ли 250
Подмногообразие 11, 113
— в псевдоримановом многообразии
130
— вполне геодезическое 119, 120
Подпространство вертикальное и
горизонтальное 107
Подъем горизонтальный 107
— метрики с однородного пространства
в группу 285
— отображения 25
— при накрытии -25
Поле векторное 17
— базисное 39
— вдоль отображения 47
пути 47
— вертикальное и горизонтальное 107
— гладкое 18
— кусочно-якобиево 199
— лево- и правоинвариантное 252
— параллельное 50
— Ф-согласованное 109
— якобиево 143, 162, 164, 169
нормальное 145
Полнота геодезическая 78
— в псевдоримановом многообразии
127—128
— метрическая 78
Предкомпактность 188
Представление группы присоединенное
253
Преобразование комплексно-линейное
270
— кривизны 85, 92, 257
— Лоренца 127
— псевдоортогональное 125
Пример Берже 262
— Герока 128
Продолжение геодезической 56
Проектирование в фактор-группу 266
313

— из касательного расслоения в
многообразие 14
— при накрытии 25
Произведение скалярное 5, 29, 252
на группе О(п) 260
G-инвариантное 273
эрмитово 270
— прямое метрическое 31
— связностей 41
Производная в направлении пути 12
— ковариантная 12
— вдоль пути 48
— преобразования кривизны 90
Пространство Александрова 190, 303
— векторное 5
— векторных полей 19
— второе касательное 36
— гиперболическое 304
— евклидово векторное 7
точечное 7
— касательное 7, 12, 134
комплексное 134
— комплексное 132
проективное 269
— Лобачевского 45, 98, 131, 159
— лоренцево 122
— Минковского 122
— накрывающее 25
— нулевое билинейной формы 163
— однородное 266
нормальное 280
редуктивное 288
риманово 274
— полное 78, 127
— постоянной кривизны 98, 152, 300
— проективное вещественное 269
комплексное 269
— псевдоевклидово 120
— путей 197
— риманово однородное 274
— симметрическое 289
— тотального расслоения 267
— Эйнштейна 301
Прямая 238
Псевдосфера 130
Путь 11
— времяподобный 128
— горизонтальный 107
— гомотопный другому 23
— дезориентирующий 23
— эквивалентный другому 12
Радиус инъективности 201
— выпуклости 222
Разложение единицы 10
Размерность комплексная 132
Ранг симметрического пространства 289,
301
— дифференциала отображения 16
Распространение векторного поля 18
Расслоение главное 267
— касательное 14
— нормальное 77, 247
— s-мерное 127
Расстояние Громова—Хаусдорфа 188
— в псевдоевклидовом пространстве 129
— до выпуклого множества 225
Риманова структура 29
Связность индуцированная 113
— Леви—Чивита 43, 256
— линейная 38
— псевдориманова 126
— полная 57
— риманова 41
— симметричная (без кручения) 41, 45
Сдвиг левый и правый 251
— однородного пространства 272 (см.
также „трансвекция")
Сечение 17
Симметрия пространства относительно
точки 290
Скобка Ли 19,20,260
След линейного оператора 101
Слой правильный 225
Сопряжение с элементом в группе 253
Стабилизатор 275
Структура комплексная 132
— ассоциированная 133
Субмерсия 17
— риманова 108
Сходимость путей и геодезических 74
Тензор кривизны 89, 92, 99
в трехмерном многообразии 96
— метрический 6, 29
— Риччи 100
Теорема Арцела—Асколи 81
— Берже 218
314

— Гамильтона 214
— Гаусса 115—116
— Картана—Адамара 155
— Клингенберга 203
— компактности Громова 189
— Майерса 140
— Мостова 98
— о сфере 212
— об индексе 168
— основная теории Морса 194
— о расслоении над душой 247
— Прессмана 157
— Сарда 210
— Синга 141
— Топоногова о цилиндре 238
— Уитни 31
— Хопфа—Ринова 78
— Чигера—Громола 223
— Шура 99
— Эйлера 117
Теорема сравнения Александрова и
Топоногова для углов треугольников 179,
190
Берже 173, 176
индексов 171
объемов 186—187
РаухаПЗ, 175
треугольников 178
Теория относительности 122
Тип псевдоевклидова пространства 121
Тождество Бианки первое 89
второе 91
— Риччи42, 44, 89
Топология на абсолюте 237
Тор плоский 31
Точки критические 191
невырожденные 192
— раздела 205
— сопряженные 145
— фокальные 146
Трансвекции 293
Треугольник 178
— узкий 181
Уравнения геодезической 55
— Якоби 143
Условие А 170
— видимости 237
Фактор-пространство 27
Форма индексная геодезической 161, 200
— Киллинга 300
— первая и вторая 113, 114
Формула второй вариации 138
— Кошуля 43
— Ньютона—Лейбница для векторного
поля 53
— О'Нейла108
— первой вариации 64
Функция Буземана 235
— выпуклая и вогнутая 227
— координатная 9
— Морса 192
— собственная 228
Числа Бетти 301
Шары 221
Экстремальные теоремы 217
Энергия пути 136
ее первая вариация 137
— геодезической 138
ее вторая вариация 138
— и длина 136

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
От авторов 3
Глава 1. Предватирельные сведения 5
§ 1. Евклидово пространство 5
1.1. Евклидово векторное пространство (5). 1.2. Евклидово точечное
пространство (7).
§ 2. Гладкие многообразия 8
2.1. Локальные координаты (8). 2.2. Гладкое многообразие (8). 2.3.
Гладкое отображение (11).
§ 3. Касательное пространство и дифференциал гладкого отображения 12
3.1. Векторы (12). 3.2. Касательное пространство (12). 3.3. Касательное
расслоение (14). 3.4. Дифференциал отображения (14). 3.5. Погружение,
вложение, субмерсия (16).
§ 4. Векторные поля на многообразии 17
4.1. Векторное поле (17). 4.2. Пространство векторных полей (19). 4.3.
Скобка Ли (19).
§ 5. Ориентация. Фундаментальная группа. Накрытие 22
5.1. Ориентация (22). 5.2. Фундаментальная группа (23). 5.3. Накрытие
(24). 5.4. Действие группы и накрытие (27).
Глава 2. Основы римановой геометрии 29
§ 6. Риманово многообразие 29
6.1. Риманова структура (29). 6.2. Примеры (30). 6.3. Длина (31). 6.4.
Метрика (32). 6.5. Объем (35).
§ 7. Линейные связности 35
7.1. Наводящие соображения (35). 7.2. Ковариантное
дифференцирование (37). 7.3. Символы Кристоффеля (39). 7.4. Симметричная связность
(41).
§ 8. Связность Леви—Чивита 41
8.1. Римаиова связность (41). 8.2. Связность Леви—Чивита (43).
§ 9. Ковариаитиое дифференцирование вдоль пути 46
9.1. Векторное поле вдоль отображения (46). 9.2. Ковариантная
производная вдоль пути (47).
§ 10. Параллельный перенос 50
10.1. Параллельное векторное поле (50). 10.2. Параллельный перенос
(51).
§11. Геодезические и экспоненциальное отображение 54
11.1. Геодезические (54). 11.2. Существование геодезических (56). 11.3.
Экспоненциальное отображение (58).
§ 12. Геодезические в римановом многообразии 62
316

12.1. Формула первой вариации длины (62). 12.2. Лемма Гаусса (67).
12.3. Шары и кратчайшие (69). 12.4. Длина и кратчайшие в классе всех
путей (73). 12.5. Сходимость геодезических (74). 12.6. Специальные
координаты (76).
§ 13. Полнота 78
13.1. Теорема Хопфа—Ринова (78). 13.2. Замкнутые геодезические (80).
13.3. Лемма Берже (82).
§ 14. Кривизна 83
14.1. Искривленность как отличие от евклидова пространства (83). 14.2.
Преобразование кривизны (84). 14.3. Геометрическая интерпретация
преобразования кривизны (86). 14.4. Тензор кривизны и его алгебраические
свойства (89). 14.5. Преобразование и тензор кривизны в локальных
координатах (92). 14.6. Кривизна Римана (93). 14.7. Секционная кривизна
(94). 14.8. Пространства постоянной кривизны (начальные сведения)
(98). 14.9. Кривизна Риччи и скалярная кривизна (100). 14.10.
Преобразование кривизны и параллельный перенос (102). 14.11. Локальная изо-
метрия (105). 14.12. Риманова субмерсия. Формула О'Нейла (107).
§ 15. Подмногообразия 112
15.1. Индуцированная связность (112). 15.2. Вторая основная форма
(114). 15.3. Теорема Гаусса (115). 15.4. Вторая форма относительно
нормали (116). 15.5. Вполне геодезические подмногообразия (119).
§ 16. Псевдоримановы многообразия 120
16.1. Псевдоевклидовы пространства (120). 16.2. Псевдоримановы
многообразия (126). 16.3. Подмногообразия в псевдоримановом многообразии
(130).
§ 17. Комплексное римановы многообразия 132
17.1. Почти комплексные структуры (132). 17.2. Комплексное
многообразие (133). 17.3. Эрмитовы и кэлеровы многообразия (134).
Глава 3. Применения элементов вариационной теории геодезических в римано-
вой геометрии 136
§ 18. Формула второй вариации 136
18.1. Энергия пути (136). 18.2. Вторая вариация энергии (138). 18.3.
Вторая вариация длины (139). 18.4. Некоторые применения формулы второй
вариации (140). 18.5. Теорема Синга (141).
§ 19. Уравнения Якоби 143
19.1. Поля Якоби (143). 19.2. Сопряженные и фокальные точки (145).
19.3. Сопряженные точки как критические точки экспоненциального
отображения (148). 19.4. Об изометриях пространств постоянной кривизны
(151). 19.5. Искажения расстояний при экспоненциальном отображении
(153).
§ 20. Римановы многообразия неположительной кривизны 154
20.1. Теорема Картана—Адамара (154). 20.2. Фундаментальная группа
многообразий неположительной кривизны (157).
§ 21. Индексная форма 161
21.1. Индексная форма геодезической и вторая вариация энергии (161).
21.2. Индексная форма и поля Якоби (162). 21.3. Экстремальное свойство
полей Якоби (164). 21.4. Индекс геодезической (168).
§ 22. Теоремы сравнения 168
22.1. Поля 9 -Лби при ограниченной сверху кривизне (168). 22.2.
Основная конструкция (170). 22.3. Теоремы Рауха и Берже (172). 22.4.
Сравнение углов треугольников (178). 22.5. Сравнение объемов (184). 22.6.
Теорема компактности Громова и пространства Александрова (187).
317

Глава 4. Теорема о сфере 191
§ 23. Элементы теории Морса 191
23.1. Функции Морса (191). 23.2. Пространство путей и его
конечномерная аппроксимация (197).
§ 24. Радиус инъективности и множество раздела 201
24.1. Радиус инъективности(201). 24.2. Точка раздела вдоль
геодезической и множество раздела (205). 24.3. Оценки радиуса инъективности
снизу (207).
§ 25. Теорема о сфере 212
25.1. Теорема о сфере (212). 25.2. Обзор. Различные доказательства
теоремы о сфере. Обобщения и родственные результаты (214).
Глава 5. Выпуклость 219
§ 26. Выпуклые множества 219
26.1. Различные типы выпуклости (219). 26.2. Выпуклые окрестности
(220). 26.3. Строение выпуклого множества (222). 26.4. Расстояние до
выпуклого множества (225).
§ 27. Вогнутые функции на многообразии 227
27.1. Выпуклые и вогнутые функции (227). 27.2. Вогнутые функции и
выпуклые множества (228). 27.3. Оришары и функция Буземана (234). 27.4.
Признак существования вогнутой функции (236). 27.5. Теорема о
расщеплении (238).
§ 28. Многообразия, допускающие вогнутые функции 239
28.1. Строение многообразия, допускающего вогнутую функцию (239).
28.2. Открытые многообразия неотрицательной кривизны (243).
Глава 6. Однородные пространства 249
§ 29. Римановы метрики на группах Ли 250
29.1. Группы Ли (250). 29.2. Левоинвариантные поля и метрики (251).
29.3. Вспомогательные предложения (255). 29.4. Свойства биинвариант-
ных метрик. Кривизна (256). 29.5. Алгебра Ли группы Ли (258). 29.6.
Пример Берже (262).
§ 30. Римановы метрики на однородных пространствах 266
30.1. Однородные пространства (266). 30.2. Примеры (268). 30.3. Сдвиги
(272). 30.4. Инвариантные метрики (273). 30.5. Римановы однородные
пространства (274). 30.6. Признаки существования инвариантных метрик
(277). 30.7. Кривизны римановых однородных пространств (279). 30.8.
Подъем метрики с однородного пространства на исходную группу (285).
§31. Симметрические пространства 289
31.1. Симметрические пространства (289). 31.2.
Локально-симметрические многообразия (290). 31.3. Трансвекции (293). 31.4. Характеризация
симметрических пространств среди однородных (295).
§ 32. Путеводитель по литературе 300
32.1. Учебники и обзоры (300). 32.2. Многообразия с кривизнами, не
меняющими знака (300). 32.3. Теоремы о конечности и коллапс (303). 32.4.
Пространства Александрова (303).
Литература 305
Предметный указатель,
• 311

Научное издание
Юрий Дмитриевич Бураго,
Виктор Абрамович Залгаллер
ВВЕДЕНИЕ В РИМАНОВУ ГЕОМЕТРИЮ
Утверждено к печати
Санкт-Петербургским отделением
Математического института им. В. А. Стеклова
РАН
Художник О. М. Разулевич
Технический редактор Я. Ф. Соколова
Корректоры О. М. Бобылева, О. И. Буркова,
М. В. Орлова и Ф. Я. Петрова
ИБ 454
ЛР № 020297 от 27.11.91. Подписано к печати 20.06.94.
Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная № 1. Гарнитура тайме.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 24.7. Тираж 620.
Тип.зак. №3118. С 780.
Санкт-Петербургская издательская фирма ВО „Наука"
199034, Санкт-Петербург, В-34, Менделеевская лин., 1.
Санкт-Петербургская типография № 1 ВО „Наука"
199034, Санкт-Петербург, В-34, 9 лин., 12.