/
Author: Постников М.М.
Tags: дифференциальная геометрия алгебраические и аналитические методы в геометрии геометрия топология математика естественные науки риманова геометрия издательство факториал
ISBN: 5-88688-020-8
Year: 1998
Text
ЛЕКЦИИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Семестр V
м. м. постников
РИМАНОВА
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ФАКТОРИАЛ»
МОСКВА, 1998
ББК 22.151.2
П 63
УДК 514.76 (075.8)
П63 Постников М. М. Лекции по геометрии.
Семестр V. Риманова геометрия. — М.: Изд-во «Факто-
риал», 1998. — 496 с.—ISBN 5-88688-020-8.
Данная книга является непосредственным продолжением учеб-
ных пособий того же автора «Лекции по геометрии. Семестр I. Ана-
литическая геометрия», «Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная
алгебра», «Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия»
и «Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия».
Эта книга посвящена подробному изложению римановой геометрии.
Для студентов математических специальностей вузов.
рфи
Издание осуществлено при финансовой под-
держке Российского фонда фундаментальных
исследований. Проект № 96-01-14039.
Научное. издание
ПОСТНИКОВ Михаил Михайлович
Лекции по геометрии
Семестр V
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
Редакторы А. А. Ошейков, Ю. П. Соловье*
Корректоры Д. А. Витер, О. А. Васильева
Формат 84 х 108/32. Гарнитура литературная. Усл. печ. л. 26,04. Бумага
офсетная № 1. Подписано к печати 10.7.1998. Тираж 1000 экз. Заказ № 4082
Издательство «Факториал», 117449, Москва, а/я 331; ЛР № 063537 от
22.07.1994
Оригинал-макет подготовлен с использованием макропакета АР-Т^Х
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука». 121099, Москва Г-99,
Шубинский пер., 6
ISBN 5-88688-020-8 © М. М. Постников, 1998
© «Факториал» оформление, 1998
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................... 8
ЛЕКЦИЯ 1 ................................................. И
Связность на многообразии. — Ковариантное дифференци-
рование и параллельный перенос вдоль кривой. — Геодезиче-
ские. — Экспоненциальное отображение и нормальные окрест-
ности. — Теорема Уайтхеда.
ЛЕКЦИЯ 2................................................. 25
Ковариантные дифференцирования относительно связно-
сти на многообразии. — Случай тензоров типа (г, 1). — Тен-
зор кручения и симметрические связности.—Геометрический
смысл симметричности связности. — Перестановочность вторых
ковариантных производных. — Тензор кривизны аффинной связ-
ности. — Пространства с абсолютным параллелизмом. — Тожде-
ства Бианки. — След тензора кривизны. — Тензор Риччи.
ЛЕКЦИЯ 3................................................. 43
Аффинные отображения. — Аффиннитеты. — Аффинные
накрытия. — Ограничение связности на подмногообразие. —
Индуцированная связность на нормализованном подмногообра-
зии. — Формула Гаусса и вторая основная форма нормализо-
ванного Подмногообразия. — Вполне геодезические и автопарал-
лельные подмногообразия. — Нормальная связность и формула
Вейнгартена. — Связность ван дер Вардена — Бортоллоти.
ЛЕКЦИЯ 4............................................... 63
Формы кручения и кривизны. — Структурные уравнения
Картана в полярных координатах. — Существование аффинных
локальных отображений. —Локально симметрические простран-
ства аффинной связности. — Локальные геодезические симме-
трии. — Полусимметрические пространства.
ЛЕКЦИЯ 5................................................. 78
Глобально симметрические пространства. — Ростки глад-
ких отображений. — Распространение аффинных отображе-
ний. — Теорема единственности. — Редукция локально симме-
трических пространств к глобально симметрическим простран-
ствам. — Свойства симметрий в глобально симметрических про-
странствах. — Симметрические пространства. — Примеры сим-
метрических пространств. — Совпадение классов симметриче-
ских и глобально симметрических пространств.
4
СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 6................................................ 94
Инвариантная конструкция канонической связности. —
Морфизмы симметрических пространств как аффинные отобра-
жения. — Левоинвариантные связности на группе Ли. — Связ-
ности Картана. —Левая связность Картана. —Правоинвариант-
ные векторные поля. — Правая связность Картана.
ЛЕКЦИЯ 7............................................... 106
Категории. — Функторы. — Функтор Ли. — Ядро и об-
раз гомоморфизма групп Ли. — Теорема Кемпбелла — Хаус-
дорфа. — Многочлены Дынкина. — Групускулы Ли. — Биектив-
ность функтора Ли.
ЛЕКЦИЯ 8............................................... 119
Аффинные поля. — Размерность алгебры Ли аффинных по-
лей. — Полнота аффинных полей. — Отображения левого и пра-
вого сдвига на симметрическом пространстве. — Дифференци-
рования на многообразиях с умножением. — Алгебра Ли диф-
ференцирований. — Инволютивный автоморфизм алгебры диф-
ференцирований симметрического пространства. — Симметри-
ческие алгебры и тернары Ли. — Тернар Ли симметрического
пространства.
ЛЕКЦИЯ 9............................................... 137
Функтор в. — Сравнение функтора s с функтором Ли I. —
Свойства функтора в. — Вычисление тернара Ли пространст-
ва (Q/H),,. —Фундаментальная группа факторпространства. —
Симметрическое пространство с данным тернаром Ли. — Накры-
тия Q/H, -♦ Q/H2.—Теорема Картана. — Отождествление од-
нородных пространств с факторпространствами. — Трансляции
симметрического пространства. —Доказательство теоремы Кар-
тана.
ЛЕКЦИЯ 10.............................................. 154
Бесконечномерные многообразия и группы Ли. — Век-
торные поля, индуцированные действием группы Ли. — Тео-
рема Пале. — Теорема Кобаяси. — Группа аффинных автомор-
физмов.— Группа автоморфизмов симметрического пространст-
ва.— Группа трансляций симметрического пространства.
ЛЕКЦИЯ 11.............................................. 171
Римановы и псевдоримановы пространства. — Римановы
связности. — Геодезические в римановом пространстве. — Про-
стейшая задача вариационного исчисления.—Уравнения Эйле-
ра — Лагранжа. — Кривые минимума и экстремали. — Регуляр-
ные лагранжианы. — Экстремали лагранжиана энергии.
СОДЕРЖАНИЕ
5
ЛЕКЦИЯ 12.............................................. 189
Длина кривой в римановом пространстве. —Натуральный
параметр.—Риманово расстояние и кратчайшие.—Экстрема-
ли лагранжиана длины. — Римановы координаты. — Лемма Гаус-
са. — Геодезические — локально кратчайшие. — Гладкость крат-
чайших. — Локальное существование кратчайших. — Внутрен-
няя метрика. — Теорема Хопфа — Ринова.
ЛЕКЦИЯ 13.............................................. 211
Риманов элемент объема. — Дискриминантный тензор. —
Формула Фосса — Вейля. — Случай п = 2. — Оператор Лапла-
са в римановом пространстве. — Формулы Грина. — Существо-
вание гармонических функций с отличным от нуля дифферен-
циалом. — Сопряженные гармонические функции. — Изотерми-
ческие координаты. — Полудекартовы координаты. — Декарто-
вы координаты.
ЛЕКЦИЯ 14.............................................. 231
Конформные координаты. — Конформные структуры. —
Минимальные поверхности. — Объяснение их названия. —Зада-
ча Плато. — Свободные релятивистские струны. — Простейшая
задача вариационного исчисления для функций двух перемен-
ных. — Экстремали функционала площади. — Случай п = 3. —
Представление минимальных поверхностей с помощью голо-
морфных функций. — Формулы Вейерштрасса. — Присоединен-
ные минимальные поверхности.
ЛЕКЦИЯ 15.............................................. 252
Риманов тензор кривизны. — Симметрии риманова тензо-
ра. — Риманов тензор как функционал. — Тождество Уокера и
его следствия. — Рекуррентные пространства. — Виртуальные
тензоры кривизны. — Восстановление тензора Бианки по его
значениям на бивекторах. — Секционные кривизны. — Формула
для секционной кривизны.
ЛЕКЦИЯ 16.............................................. 270
Тензоры Бианки как операторы. — Отщепление бесслед-
ных тензоров. — Гауссова кривизна и скалярная кривизна. —
Тензор кривизны при п ~ 2. — Геометрическая интерпретация
секционной кривизны. — Полная кривизна области на поверх-
ности. —‘ Вращение векторного поля иа кривой. — Вращение
поля касательных векторов. — Формула Гаусса — Бонне. — Три-
ангулируемые поверхности. — Теорема Гаусса — Бонне.
ЛЕКЦИЯ 17.............................................. 290
Характеристические числа.—Характеристическое число
Эйлера. — Оператор Ходжа. —Число Эйлера 4т-мерного много-
образия. — Эйлерова характеристика многообразий произволь-
ной размерности. —Теорема о сигнатуре. — Тензор Риччи рима-
нова пространства. — Тензор Риччи тензора Бианки. — Тензо-
ры Эйнштейна и Вейля. — Случай п = 3. — Пространства Эйн-
штейна. — Критерий Томаса.
6
СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 18................................................ 308
Конформные преобразования метрики. — Тензор конформ-
ной кривизны. — Конформные эквивалентности. — Конформно
плоские пространства. — Конформно эквивалентные поверхно-
сти.— Классификация поверхностей с конформной структурой.
ЛЕКЦИЯ 19................................................ 322
Локально изометрические отображения римановых про-
странств. — Метрические накрытия. — Теорема о растягива-
ющих отображениях. — Изометрические отображения римано-
вых пространств. — Группа изометрий риманова пространст-
ва. — Эллиптическая геометрия. — Доказательство предложе-
ния 1 лекции 18. —Размерность группы изометрий. —Поля Кил-
линга. —Риманова связность на подмногообразии риманова про-
странства. — Формулы Гаусса и Вейнгартена для подмногообра-
зий римановых пространств. — Нормаль средней кривизны. —
Соотношения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи. — Случай,
когда объемлющее пространство плоско.
ЛЕКЦИЯ 20................................................ 340
Локально симметрические подмногообразия. — Компакт-
ные подмногообразия. — Теорема Чжеия — Кюипера. — Первая
и вторая квадратичные формы гиперповерхности. — Гиперпо-
верхности, все точки которых омбиличны. — Главные кривизны
гиперповерхности. — Скалярная кривизна гиперповерхности. —
Гиперповерхности, являющиеся пространствами Эйнштейна. —
Жесткость сферы.
ЛЕКЦИЯ 21................................................ 358
Достаточное условие жесткости гиперповерхностей. — Ги-
перповерхности с данной второй основной формой. — Гиперпо-
верхности с данными первой и второй основными формами. —
Доказательство их единственности. — Доказательство их суще-
ствования. — Доказательство локального варианта теоремы су-
ществования и единственности.
ЛЕКЦИЯ 22................................................ 373
Пространства постоянной кривизны. — Модельные про-
странства постоянной кривизны. — Модельные пространства
как гиперповерхности. — Изометрии модельных пространств. —
Неподвижные точки изометрий. — Теорема Римана.
ЛЕКЦИЯ 23................................................ 386
Пространственные формы. — Теорема Картана — Киллии-
га. — (Псевдо)римановы симметрические пространства. — Клас-
сификация пространственных форм. — Сферические формы чет-
ной размерности. — Ориентируемые пространственные фор-
мы. — Комплексно аналитические и конформные фактормного-
образия. — Римановы пространства с группой изометрий мак-
симальной размерности. — Их перечисление. —Условие полной
подвижности.
СОДЕРЖАНИЕ
7
ЛЕКЦИЯ 24 ........................................... 400
Тензоры Бианки при п = 4. — Матричное представление
тензоров Бианки при п = 4. — Явный вид тензоров Бианки
при п = 4. — Числа Эйлера при п = 4. — Теорема Чженя —
Милнора. — Секционные кривизны четырехмерных пространств
Эйнштейна. — Теорема Берже. — Число Понтрягина четырех-
мерного риманова пространства. — Теорема Торпа. — Теорема
Сентенак.
ЛЕКЦИЯ 25............................................ 420
Левоинвариантные метрики на группе Ли. — Инвариант-
ные метрики на группе Ли. — Полупростые группы и алгебры
Ли. — Простые группы и алгебры Ли. — Внутренние дифферен-
цирования алгебр Ли. — Присоединенная группа. — Группы и
алгебры Ли без центра.
ЛЕКЦИЯ 26............................................ 431
Формы Маурера—Картана. — Левоинвариантные диффе-
ренциальные формы.—Мера Хаара на группе Ли. — Унимоду-
лярные группы Ли. — Инвариантные римановы метрики на ком-
пактной группе Ли. — Группы Ли с компактной алгеброй Ли. —
Теорема Вейля.
ЛЕКЦИЯ 27............................................ 445
Сопряженные точки. — Вторая вариация длины. — Форму-
ла для второй вариации. — Редукция задачи. — Минимальные
поля и поля Якоби. — Вариация Якоби. — Поля Якоби и сопря-
женные точки. — Свойства полей Якоби. — Минимальность нор-
мальных полей Якоби. — Доказательство теоремы Якоби.
ЛЕКЦИЯ 28............................................ 464
Точки схода. — Лемма о непрерывности. — Локусы схо-
да и максимальные нормальные окрестности. —Доказательство
леммы 1. — Пространства строго положительной кривизны Рич-
чи.— Теорема Майерса. — Пространства строго положительной
секционной кривизны. — Пространства неположительной секци-
онной кривизны.
ЛЕКЦИЯ 29............................................ 477
Теорема Картана —Адамара. — Ее следствия. — Теорема
Картана — Киллинга при К = 0. — Теорема Бохнера. — Опера-
торы Ах. — Инфинитезимальный вариант теоремы Бохнера.—
Группа изометрий компактного метрического пространства.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ................................. 490
ПРЕДИСЛОВИЕ
Хотя настоящая книга является непосредственным про-
должением книги этой серии*) и, подобно ей, предназначе-
на служить учебником по расширенному курсу геометрии
для студентов-математиков университетов, но в основном
она независима — все необходимые определения из Семе-
стра IV заново изложены в лекции 1, — и потому доступна
читателю, лишь приступающему к изучению римановой гео-
метрии (но, конечно, мотивировки и общие перспективы бу-
дут при этом выявлены не сразу и, вообще говоря, лишь ча-
стично). Также заново изложены необходимые сведения из
беззаконно вклинившегося в серию и давно ставшего библи-
ографической редкостью Семестра V**), по существу мало
связанного с другими Семестрами.
По известным причинам выход в свет этого Семестра
был задержан почти на десять лет. Чтобы не откладывать
публикацию еще более, было решено издать его в первона-
чальном виде без каких-либо изменений, хотя, безусловно,
сейчас я бы многое изложил совсем по-другому.
Общие принципы архитектуры книги (см. предисловие
к Семестру IV) сохранены прежними. В частности, имеется
в виду, что на практике лишь часть материала — завися-
щая от вкусов и намерения лектора — будет излагаться в
аудитории. Фактически, нынешний учебный план мехмата
предполагает, что в одном учебном семестре должны быть
изложены основные темы из обоих Семестров IV и V (и
еще довольно много иного материала), так что название
«Семестр VI» имеет довольно условный характер и выра-
жает главным образом надежду автора на время, когда курс
геометрии займет на мехмате подобающее ему место. (За
истекшие годы здесь произошли определенные — но все еще
недостаточные — сдвиги.)
*) Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Диф-
ференциальная геометрия.—М.: Наука, 1988.
**) Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы
и алгебры Ли.—М.: Наука, 1982.
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
Как и в Семестре IV, лекции несколько увеличены по
сравнению с устными. По-прежнему имеется в виду, что лек-
тор должен произвести определенный отбор и часть матери-
ала либо опускать, либо излагать в обзорном порядке.
Первые десять лекции посвящены геометрии про-
странств аффинной связности. В лекции 1 излагаются основ-
ные свойства геодезических в этих пространствах. Лекция 2
посвящена формализму ковариантных производных, тензору
кручения и тензору кривизны. Большая часть лекции 3 пос-
вящена геометрии подмногообразий пространства аффинной
связности (формулы Гаусса — Вейнгартена и т. п.).
В лекции 4 выводятся структурные уравнения Картана
в полярных координатах. Вторая половина этой лекции пос-
вящена локально симметрическим пространствам аффинной
связности.
Глобально симметрические пространства рассматрива-
ются в лекции 5 (и в начале лекции 6). В частности, здесь
доказывается их совпадение с симметрическими простран-
ствами в смысле Лооса. В основной части лекции 6 общая
теория иллюстрируется на примере групп Ли. В лекции 7
объясняется — этот материал приведен петитом — язык ка-
тегорий и функторов, а также излагаются по-существу, без
доказательств, основные теоремы о связи между группами
и алгебрами Ли из семестра V. В лекциях 8, 9 эти теоре-
мы обобщаются на случай симметрических пространств, а
в лекции 10 — на случай конечномерных алгебр Ли вектор-
ных полей.
В сокращенном обязательном курсе из всего этого ма-
териала может быть изложен, и то лишь частично, материал
только первых трех лекций (с добавлением отдельных при-
меров и замечаний из остальных лекций). Больше двух ре-
альных устных лекций для этого, как правило, не требуется.
С лекции 11 начинается собственно риманова геоме-
трия. Эта лекция, вместе со следующей лекцией 12, должна,
по-видимому, входить в любой обязательный курс (можно
лишь опустить конец лекции 11).
Лекции 13 и 14 посвящены, в основном, элементар-
ной теории поверхностей. Основное внимание уделено здесь
изотермическим координатам и минимальным поверхнос-
тям.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
В лекции 15 — также обязательной для включения в
курс, хотя, вообще говоря, с некоторыми сокращениями —
доказываются основные свойства тензора кривизны.
Главная тема лекции 16 — формула Гаусса — Бонне. В
следующей лекции 17 без доказательства — и с существен-
ным использованием материала Семестра IV — излагаются
ее обобщения на римановы пространства большей размер-
ности.
В этой же лекции рассматривается тензор Риччи рима-
нова пространства и вводятся пространства Эйнштейна.
Лекция 18 посвящена конформным преобразованиям
метрики. Особое внимание уделено случаю п = 2. В пер-
вой половине лекции 19 рассматриваются изометрии и по-
ля Киллинга, а ее остаток посвящен специализации на слу-
чай подмногообразий риманова пространства конструкций
из лекции 3. В лекции 20 рассматриваются некоторые специ-
альные классы подмногообразий (локально симметрические
и компактные) и начинается теория гиперповерхностей, пе-
реходящая в лекцию 21, целиком посвященную этой теме.
Лекции 22 и 23 посвящены пространствам постоян-
ной кривизны, лекция 24 — четырехмерным римановым про-
странствам, а лекции 25 и 26 — инвариантным метрикам на
группах Ли.
Лекция 27 посвящена теории Якоби второй вариации,
а заключительные лекции 28 и 29 — ее приложениям (до-
казываются, в частности, теорема Майерса и теорема Кар-
тана— Адамара). Лекция 29 завершается доказательством
теоремы Бохнера о конечности группы изометрий компакт-
ного риманова пространства с отрицательно определенным
тензором Риччи (а также необходимой для этого общетопо-
логической теоремы о компактности группы изометрий про-
извольного компактного метрического пространства).
При написании этого Семестра мною были использова-
ны известные учебники и монографии (П. К. Рашевского,
Ш. Кобаяси и К. Номидзу, Лооса и т. п.), а также разнооб-
разные журнальные статьи, но в тексте на них ссылок нет
(так как для специалистов они не инттересны, а для студен-
тов не нужны).
ЛЕКЦИЯ 1
Связность на многообразии. — Ковариантное дифференцирова-
ние и параллельный перенос вдоль кривой. —Геодезические. —
Экспоненциальное отображение и нормальные окрестности. —
Теорема Уайтхеда.
Связность на Пусть X — произвольное гладкое много-
многообразии образие размерности п > 0, и пусть тх =
= (ТХ,тг,Х)— его касательное расслоение.
Как мы знаем (см. лекцию IV.6), каждая карта (U, h) =
= (U,x1,.. -,хп). многообразия X определяет карту (T[/,T/i)
многообразия ТХ, для которой TU = ir~lU. Координатами
вектора A G TU в этой карте являются координаты х1,...
..хп точки р = тгЛ в карте (U, h) и координаты этого век-
тора в базисе / g \ / д \
wl’ (.5^1
г г
линеала ТрХ. Последние координаты мы будем обозна-
чать символами х',...,хп и в соответствии с этим точку
(Т/0(Л) G R2n = Rn х Rn — символом
(о:1,.. .,хп,х',.. .,хп) = (х,х),
где х = (а?1,.. .,хп), х = (х1,.. .,хп).
Подчеркнем, что вектор х (пробегающий открытое мно-
жество U с Rn), вообще говоря, никак не связан с векто-
ром х (пробегающим все пространство Rn).
Диффеоморфизм ТЛ. определяет тривиализацию рассло-
ения тх над U, являющуюся, как базис FlZ-модуля Г(тл,|г/) =
= aU всех векторных полей*) на U, не чем иным, как ко-
ординатным базисом Д а
— — (1)
дх1 ’ ' ’’ дхп v '
этого модуля, отвечающим локальным координатам х1,...
• -,хп.
*) Напомним (см. III, с. 270), что для любого X символ fX обозначает
алгебру всех гладких функций на X (см. III, с. 260), а символ о X обозначает
F-V-модуль (алгебру Ли) всех векторных полей на X.
12
СВЯЗНОСТЬ НА МНОГООБРАЗИИ
Лекция 1
Базисы модуля a U вида (1) называются также голо-
номными базисами (или голономными тривиализаци-
ями). Как правило, мы всегда будем пользоваться лишь ими.
Если (U,h) = (и,х',...,хп) и (U',h') = (U',x'',...
.. .,хп ) — две карты в X и х* = х*'(х), 1 О' и, — соот-
ветствующие функции перехода, то на TUПТ17' = T(Ur\U')
функции перехода карт (ТС7,ТЛ.) и (TU'^Th1) имеют вид
х* = а?‘ (®),
i
X г= ---г® ,
9Х1 ’
где 1 < i1 п (с точностью до обозначений — это форму-
лы (3) и (4) лекции III. 15). ,
В частности, это означает, что матрицей перехода ||у>} ||
между соответствующими тривналнзациями расслоения гх
является якобнева матрица
Эа!*'
dh дх*
В Семестре IV было введено и подробно изучено по-
нятие связности на произвольном векторном расслоении.
В частном случае векторного расслоения тх (сечения ко-
торого являются не чем иным, как векторными полями
на X) каждая связность V на тх представляет собой —
в одной из многих равносильных интерпретаций — отобра-
жение X сопоставляющее каждому векторному по-
лю X G аХ оператор ковариантного дифференцирова-
ния по X
Vx: аХ-+аХ,
обладающий следующими свойствами (см. предложение 2
лекции IV. 11).
а. Оператор линеен над R.
б. Для любой функции f G FX и любого векторного
поля У G аХ имеет место формула Лейбница
Х7х(/У) = Х/У + /Х7хУ.
в. Операция линейно над FX зависят от X, т. е.
Ух+у = Ук +
VfXy=f?XY
Лекция 1
СВЯЗНОСТЬ НА МНОГООБРАЗИИ
13
для любых полей X, Y G аХ и любой функции f G FX.
Определение 1. Связность V на расслоении тх назы-
вается связностью на многообразии X.
По традиции связности на многообразиях называются
также аффинными связностями. (Правда в последнее
время эти связности предпочитают называть линейными
связностями, сохраняя термин «аффинная связность» для
ассоциированной связности с аффинной структурной груп-
пой.) В соответствии с этим многообразие X с заданной
на нем связностью называется пространством аффин-
ной связности.
Заметим, что согласно следствию 1 предложения 2 лек-
ции IV. 18 на любом паракомпактно м хаусдорфовом
многообразии X существует хотя бы одна аффинная
связность.
В дальнейшем все рассматриваемые пространства аф-
финной связности мы будем предполагать хаусдорфовыми и
пар акомпактными.
В каждой тривиализации векторного расслоения тх аф-
финная связность задается (см. лекцию IV. 10) ^ функци-
ями Г^., i,j,k = 1,...,п, называемыми коэффициентами
этой связности. В голономной тривиализации (1) они выра-
жаются формулами
= ’ iJ^=\,...,n, (2)
где Vfc = V я — оператор ковариантного частного диффе-
ренцирования по координате х, к = 1,..., п. В двух различ-
ных тривиализациях эти коэффициенты связаны формулой
(см. формулу (17) лекции IV. 10):
г»' _ dxi &хк г* &х'' д2а?
дх' дхз' дхк' дх' дхэ'дх^ ’
имеющей в матричной записи вид
, ah' dh ah' л dh
w = — —г 4- — d —r.
dh ah' dh dh>'
(3')
где, как всегда, w = ||аф|| — матрица форм связности w'- =
~ (см. формулу (17") лекции IV. 10).
14
КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ ЛеКЦИЯ 1
Конечно, формулы преобразования (3) имеют место
только для коэффициентов Г^- вида (2), т. е. вычисленных
в голономных тривиализациях.
Компоненты (VrX)‘ ковариантных производных выра-
жаются с помощью коэффициентов Г^. по формуле
(ЯУ1 д ,
+ г=1,...,п. (4)
Ковариантное
дифферен-
цирование и
параллельный
перенос вдоль
кривой
Для каждой кривой 7: I —> X произ-
вольный ее подъем в ТХ является не чем
иным, как векторным полем
X: t~X(t)eTy(t)X,
tel,
v
на кривой 7, и операция — ковариантного дифферен-
цирования вдоль кривой (см. лекцию IV. 11) сопоставляет
VX
каждому такому полю поле с компонентами
где х1 = x'(t)— уравнения кривой 7, a X’(t) — компоненты
поля X в данной системе локальных координат.
Поле X на кривой 7 называется ковариантно посто-
янным (или состоящим из параллельных векторов), ес-
ли -5— = 0 (т. е. если, рассматриваемое как подъем кри-
at
вой 7, оно горизонтально). Для любой точки t0 G I и любого
вектора А е на кривой 7 существует единственное
ковариантно постоянное поле X, для которого X(t0) = А.
О векторах X(t), составляющих это поле, говорят, что они
параллельны вектору А вдоль кривой у, а отображение
П-г
определенное формулой
П7: Л X(t),
называется параллельным переносом вдоль у.
Лекция 1
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
15
Задача 1. Покажите, что для любого t е I
|im n?+hX(t + fc)-X(t)
где через nj+h обозначен оператор параллельного переноса ГЦ: T^t+h^X -♦
т7(0*.
_ Примером векторного поля на 7 является
поле 7, состоящее из касательных векто-
ров 7(t). Это поле называется касательным полем на 7
(или естественным подъемом кривой 7 в ТХ).
Определение 2. Кривая 7: I —> X в пространстве
аффинной связности X называется геодезической, если ее
касательное поле состоит из параллельных векторов (кова-
риантно постоянно), т. е. если ее естественный подъем го-
ризонтален.
Наглядно свойство кривой 7 быть геодезической состо-
ит в том, что при движении вдоль кривой касательные векто-
ры 7(t) переносятся параллельно, т. е. что кривая не искрив-
ляется. В этом смысле геодезические являются обобщением
прямых аффинной геометрии.
Аналитически геодезические характеризуются уравне-
нием
т. е. в локальных координатах — уравнениями
£l(i) + rj^.(x(t))®^(t)xk(t) = 0, i = 1,..., n. (5)
Это дифференциальные уравнения второго порядка,
разрешенные относительно старших производных. Поэтому
в силу стандартных теорем теории дифференциальных урав-
нений для любой точки р G X и любого вектора A G Т X су-
ществует максимальная (не продолжаемая ни на какой боль-
ший интервал оси R) геодезическая 7, для которой 7(0) — р
и 7(0) = А. По обычным соображениям (см. лекцию III. 17)
•>гпа геодезическая единственна. (Напомним, что много-
образие X мы предполагаем хаусдорфовым.) Мы будем обо-
значать ее символом 7 л, но вместо урА(1) будем, как пра-
вило, писать 7p(t, Л). Интервал оси R, на котором определе-
на геодезическая 7. А, мы будем обозначать символом I А
нли /р(А).
16
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
Лекция 1
Функции задающие в локальных координатах гео-
дезическую 7р Л, зависят, конечно, от точки р и вектора А,
т. е. являются на самом деле функциями от 2n + 1 аргу-
ментов — числа t, п координат точки р и п координат век-
тора Л. Согласно известной теореме о гладкой
зависимости решений дифференциальных
уравнений от начальных данных, эти функции
являются гладкими функциями от всех 2п+1 аргументов. В
этом смысле геодезическая гладко зависит от точ-
ки р и вектора А.
Обратим внимание, что аналогичные утверждения для
интервала 1рА (т. е. абсцисс его концов) неверны.
Пример 1. Пусть многообразие X является (и, и)-
плоскостью R , из которой удале- ♦
ны две полуокружности и2 + v2 = I
= 1, v 0 и и2 + и2 = 4, v $ 0.
Геодезическими урА, проходящи- " 1 "№ и
ми через точку р(0,0), служат пря- \ ] J
молиненные интервалы с направ- ।
ляющим вектором А, концы кото- ,
рых лежат на этих полуокружнос- 1
тях. Поэтому если угол наклона к оси абсцисс вектора А
(который мы для определенности предполагаем ортом) ра-
вен <Р, ТО
' (-2,1), если 0 < < тг,
1рА = < (—1,2), если я- < <р < 2тг,
.(-1,1), если <р = 0, нлн = тг.
Таким образом, при А — (±1,0) функция A 1рА претер-
певает разрыв.
Если IpA = R для любой точки р G X и любого вектора
A G ТрХ, то многообразие X со связностью V (а также
сама связность V) называется геодезически полным (ои).
Многообразие X из примера 1 не является геодезически
полным.
Если функции x'(t) удовлетворяют уравнениям (5),
то — в силу квадратичной зависимости левых частей этих
уравнений от первых производных — для любого Лей
функции y'(t) = также будут удовлетворять уравне-
ЛекЦИЯ 1
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
17
ниям (5). Поскольку у‘(0) = А®‘(0), отсюда следует, что
7р(А£,А) =7р(г,АА). (6)
Это означает, что при замене параметра t At геодези-
ческая УрД переходит в геодезическую 7Pixa- При этом,
конечно,
teip(XA) xteip(A).
Ряд Тейлора каждой из функций o:‘(t), задающих в ло-
кальных координатах геодезическую у А, имеет вид
®’(t) = 4- a't 4- c‘t2 4- • • 4- c'mtm 4-..,, (7)
где хJ, 1 г п, — координаты точки р, а а* = i‘(0), 1
г п, — координаты вектора А. [Для простоты мы пред-
полагаем здесь многообразие X аналитическим (класса Сш).
Для многообразий класса Сг при г = оо или г конечном
(но достаточно большом) нужно вместо ряда Тейлора рас-
сматривать его отрезки, что лишь неоправданно утяжелит
формулировки. J
Подставив ряд (7) в уравнения (5) (разложив предвари-
тельно функции Г*-*, в степенные ряды по ж1,.. ,,хп) и при-
равняв нулю коэффициенты при всех степенях t, мы полу-
чим для коэффициентов сгт систему уравнений
2с{ + Г^(хо)а^ак = О,
5Г*
6с‘ + 2Vkj(x0)(a^ 4- аМ) + (8)
из которой эти коэффициенты последовательно определя-
ются (эта процедура имеет в анализе техническое название
метода неопределенных коэффициентов).
Из уравнений (8) очевидным образом следует, что все
коэффициенты с'т являются многочленами от а1,...
• .,ап.
Кроме того, чуть более внимательный анализ этих урав-
нений показывает, что каждый многочлен с*т, i = 1,..., п,
однороден и его степень равна т.
18
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Лекция 1
[Впрочем, этот последний факт можно установить про-
ще, заметив, что соотношение (6) равносильно тождествам
с^(Аа) = Хтс'т(а), 1 гп, 2 < оо,
которые должны иметь место при любом достаточно ма-
лом |А|. Ср. аналогичное рассуждение для однопараметри-
ческих подгрупп в лекции IV. 14 (с. 241).]
Пусть р0 — произвольная точка простран-
ства аффинной связности X, и пусть
(t/'j/i) = ([Z',®1,.. ,,хп) — центрирован-
Экспоие ициаль-
ное отображение
и нормальные
окрестности
ная в точке р0 карта, для которой множество /i([/') 6 Rn
является открытым шаром пространства R” с центром в точ-
ке 0. Для каждой точки р е I/J мы будем считать линеал
ТрХ снабженным евклидовой структурой, по отношению к
которой базис . ь .
/ о \ I ° 1
ХсАг1/*,’ ’ \5о:п/р
этого линеала ортонормирован. Эта структура зависит от
выбора карты (U^h) и никакого внутреннего геометриче-
ского значения не имеет. Она нужна нам только для анали-
тических оценок.
(9)
Лемма 1. Существуют такое число е > 0 и такая
окрестность Uo С U® точки р0, что для любой точ-
ки р € Uo и любого вектора А 6 ТрЛ* с |Л| < е геоде-
зическая урА определена при |t| < 2 {интервал (—2,2)
содержится в интервале 1-д).
Доказательство. Из того, что геодезическая7 л
гладко (и, значит, непрерывно) зависит от р и А, непосред-
ственно вытекает существование такой окрестности Uo С
С Щ точки р0 и таких чисел е, > 0, е2 > 0, что для каж-
дой точки р е Uo и любого вектора А е ТрХ с |Л| < е,
геодезическая 7 А определена при |t| < 2е2 (на интервале
(-2е2,2е2)). Пусть 0 < е < EjEj. Тогда при |Л| < s будет
иметь место неравенство < ер и потому геодезиче-
ская 17p(t, е^Л) будет определена при |t| < 2е2, т. е. при
|s2-11| < 2. Так как t е /р(Л) <=> s2i 6 /p(s^^), лемма 1
доказана. □
Лекция 1
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
19
Уменьшив, если нужно, окрестность UQ, мы без ограни-
чения общности можем считать, что множество h(Ua) явля-
ется открытым шаром пространства R” с центром в точке О.
Определение 3. Вектор A G ТрХ называется жс-
поненцируемым, если геодезическая у А определена при
t = 1 (т. е. если 1 G 1р(А)). Для любого экспоненцируемого
вектора A G ТрХ точка
ехрр А = 7Р(1, Д)
называется экспонентой вектора А. Отображение
ехрр: Дь+ехррЛ
называется экспоненциальным отображением.
Заметим, что нуль 0 = 0р линеала ТрХ экспоненциру-
ем и
ехррО = р.
Множество всех экспоненцируемых векторов линеала
ТрХ (область определения отображения ехрр) мы будем
обозначать символом Ор. Оно содержит вектор 0 и — как
непосредственно вытекает из формулы (6) — по отношению
к этой точке обладает свойством звездности, т. е.
если A е Ор, то ХА G О для любого А, 0 А 1.
Равенство Ор = ТрХ для всех р G X имеет место тогда
и только тогда, когда многообразие X геодезически полно.
Согласно лемме 1 для любой точки р Е (70 множест-
во Ор содержит открытый шар |А| < е радиуса е с центром
в точке 0. В частности, отсюда следует, что множество
Int Ор содержит точку 0 (и, значит, является ее окрест-
ностью). В силу произвольности точки р0 это верно для
любой точки рЕ X.
Из формулы (7) при t = 1 следует, что координаты
(ехррЛ)*, 1 г п, точки ехррА (конечно, если эти ко-
ординаты определены, т. е. если ехррЛ G £/0) выражаются
формулой
(ехрр А)‘ = х' + а' +с\(х,а) + ... + с’т(:в,а) + ..., (10)
где х', 1 г п, — координаты точки р в карте (С70,7г),
= ®‘, 1 г п, —координаты вектора А в базисе (9),
20
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Лекция 1
a cJn(®, а), 1 г п, 2 m < оо, — гладкие функции от
х = (ж1,.. ,,хп) ио = (а1,..., а”), являющиеся однородными
многочленами степени т от а1,..ап. Поэтому для любых
i,j = 1,...,п
д(ехРИ)’ _ н , гЩх,а) дс^(х,а)
dai j + daj ”+ dai
дсг (х, а)
где —-.--------однородные многочлены положительной
даЭ
степени т - 1 от а1,..ат (и, значит, при а1 = 0,..., ап ~
= 0 равные нулю). Это доказывает, что в точке О G ХрХ
якобиева матрица функций (10) является единичной
матрицей Е = ||6J||.
Поэтому отображение ехрр этально в точке 0 (см.
определение 3 лекции III. 12) и, значит, точка 0 обладает
в ТрХ фундаментальной системой окрестностей (содержа-
щихся в Ор), на каждой из которых отображение ехрр яв-
ляется ее диффеоморфизмом на некоторую окрестность точ-
ки р.
Определение 4. Окрестность Um вектора 0 в ТрХ и
окрестность U точки р в X называются нормальными ок-
рестностями (вектора 0 и точки р, соответственно), если
окрестность обладает свойством звездности и отобра-
жение ехрр является ее диффеоморфизмом на U.
Согласно только что сказанному, нормальные ок-
рестности составляют фундаментальную систему
{базу) окрестностей (соответственно вектора 0 G ТрХ и
точки р G X).
Задача 2. Докажите, что любое открытое подмножество
п-мерного линейного пространства, обладающее свойством звезд-
ности, диффеоморфно шару Вп.
В частности, мы видим, что каждая нормальная ок-
рестность диффеоморфна шару В”.
Координаты х1,.. ,,хп в нормальной окрестности U на-
зываются нормальными координатами, если диффеомор-
физм ехр“1 переводит их в линейные координаты на ТрХ
(точнее, на СЛ0)). Нормальные координаты характеризуют-
ся тем, что проходящие через точку р геодезические имеют
ЛеКЦИЯ‘1
ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА
21
в них уравнения вида
х1 = a’t, г = 1,..., п. (11)
Задача 3. Докажите, что центрированные в р координаты х1,...
.. „ хп тогда, и только тогда нормальны, когда
= » = 1..п, (12)
тождественно по х*,,.хп. [У к а з а н и е. Решения уравнения (5) тогда и
только тогда имеют вид (11), когда выполнено условие (12).]
Замечание 1. Читатель безусловно уже обратил
внимание, что подобные рассуждения проводились в лек-
ции IV. 14. Причина этого выяснится в лекции 6.
Теорема Уайтхе- Полученные результаты можно сущест-
да венно усовершенствовать.
Пусть, как и выше, (U0,h0) — карты из леммы 1. Рас-
смотрим в многообразии ТX окрестность нуля 0_ линеала
Т X, состоящую из всех векторов А € Т X, р € Uo, pjia
'о р
которых |А| < е, и отображение f этой окрестности в мно-
гообразие X х X, определенное формулой
f(A) = (exppA,p).
В координатах х} = х1 о ргр.. .,:г” = х1 о ргр х2 =
- х1 о рг2,...,х? = хп о рг2, определенных в окрестности
Uo х Uo точки (р0,р0) многообразия X х X, где pr,: (р, д) >-+ р
и рг2: (р, q) i-> q — естественные проекции, и в координатах
х1,...,хп, а1 = х1,..., ап — хп, определенных в окрестности
Т(/„ точки 0_ многообразия ТХ, отображение f записыва-
ло
ется формулами
= а? + а’ 4- с2(х, а) 4-... 4- с'т(х, а) +
tCj —— 3? )
где г= l,...,n. dci
Так как все производные —% являются однородными
OXJ
многочленами степени т по а1,..., ап (и, значит, равны ну-
лю при а = 0), то якобиева матрица отображения f в точке
0„ е ТАГ имеет вид
'о
IIЕ Е||
Не oil’
22
ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА
Лекция 1
и потому невырождена. Значит, на некоторой окрестно-
сти W(0) вектора 0_ в ТА* отображение f является диффео-
морфизмом на окрестность W = f(W^) точки (р0,р0). При
этом без ограничения общности можно считать, что окрест-
ность V0O) состоит из всех векторов A G ТрХ, для которых
тгД G U' и | < 6, где U' — окрестность точки р0 (содер-
жащаяся в окрестности f70), а <5 — положительное число (не
превосходящее числа е из леммы 1). Другими словами, мож-
но считать, что
И’® = и Pg,
peU'
где Uf} — шар радиуса <5 пространства ТрЛ* с центром в
точке Ор.
Из того, что отображение f является на W(0) диффео-
морфизмом, непосредственно вытекает, р
что для любой точки р G U' отображение f
ехрр представляет собой диффеоморфизм / г-^—"V \
окрестности t/W на некоторую окрест- I \Я<' ) )
ность (75р точки р, т. е. что окрестности \ ——/ /
0р и ^б,р нормальны (шар U^p свойством У
звездности, конечно, обладает).
{Заметим, что окрестности и U&p зависят от вспо-
могательной евклидовой метрики на линеалах ТрД’, р G Uo
(т. е. от карты (U0,h)). При этом U6p С f70.]
С другой стороны, по определению топологии многооб-
разия X х X точка р0 обладает в X такой окрестностью
U с U1, что U х U с W. При этом так как рг2 of = тг, то
U с USp для любой точки р Е. U' и, в частности, для любой
точки р G U.
Этим доказано следующее предложение.
Предложение 1. Для любой точки р0 пространст-
ва аффинной связности X существуют такое число
6 > 0 и такая окрестность U точки р0, что для каж-
дой точки р G U окрестность U содержится в нор-
мальной 6-окрестности USp точки р. q
Без ограничения общности можно при этом считать, что
Лекция 1
ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА
23
множество h(U) С h(U0) является в шаром (концентрич-
ным шару h(U0)).
Однако, вообще говоря, окрестность U по отношению к
точке р G U не обладает свойством звездности и потому нор-
мальной окрестностью этой точки не является. Рассмотрим
этот вопрос подробнее.
Так как U С USp, а окрестность USp нормальна, то опре-
делено множество С/(°) = ехрр 1 U С и окрестность U
нормальна тогда и только тогда, когда это множество обла-
дает свойством звездности.
Пусть q G U. Поскольку U С USp и окрестность Ugp
нормальна, существует такой вектор A G ТрХ, что ехрр А =
= <7 и отрезок
Tp,g: t«-*exppiA,
О t 1,
(13)
геодезической у А соединяет в USp точку р с точкой q. Ясно,
что множество тогда и только тогда обладает свойством
звездности (окрестность U нормальна), когда для любой точ-
ки q g U отрезок (13) содержится в U (т. е. когда 7р>д(г) € U
для любого t, 0 t 1).
Предложение 2. (Теорема Уайтхеда). Каж-
дая точка р0 пространства аффинной связности X
обладает такой окрестностью U, что для любых то-
чек p,q G U отрезок ^р содержится в U.
Доказательство. Рассмотрим на координатной
окрестности (70 матрицу
Уменьшив (если нужно) окрестность £70, мы без ограничения
общности можем считать, что в каждой точке окрестно-
сти Uo эта матрица положительно определена.
Покажем, что при этом условии окрестность U точ-
ки р0, предусмотренная предложением 1 (и такая, что ее
образ h(U) в К” является шаром) обладает требуемым свой-
ством.
Пусть
х'= г=1,...,п, 0 < t 1,
24
ТЕОРЕМА УАЙТХЕДА
Лекция 1
— параметрические уравнения отрезка геодезической 7 д,
р, q G U, в карте (С70, h). (По построению отрезок тр заведо-
п
мо содержится в Uo.) Тогда для функции f(t) = 53(as*(t))2,
О 1, равной квадрату расстояния в Rn от точки 0 до
точки (h о 7p g)(t)) мы имеем
/(О = 2£[(х’(0)2 + х’(0?(0] =
= 2£ [(х’(0)2 - 1%(®(0)*(0®fc(0®*(01 =
= ®J > О,
L i=i -b(t)
откуда следует — как показывается в анализе — что
для любого t, 0 t 1, и, значит, что
f(t) тах[/(0),/(1)], О О «U.
Приведем для полноты доказательство. Согласно формуле Лагранжа
существуют такие числа (0 и что
/(0) = /(t) - t/(f0), /(1) = /(t) + (1 -
Умножив первое равенство на 1 -1, а второе — на t, и сложив, мы получим
тождество
(1 -1)/(0) + t/(l) = /(t) + (1 - - /(f0)].
Остается заметить, что если / 0 на [0,1], то /({J - /((0) > 0. q
Так как р, q G U, то числа /(0) и /(1) меньше радиуса г
шара h(U). Поэтому f(t) < г для любого t, 0 < t 1, и,
значит, точка 7Р)(?(0 принадлежит окрестности U. □
Следствие 1. Каждая точка р0 пространства аф-
финной связности обладает окрестностью U, являю-
щейся нормальной окрестностью любой своей точки.
Доказательство. Как уже выше было замече-
но, окрестность U из предложения 2 обладает этим свой-
ством. q
ЛЕКЦИЯ 2
Ковариантные дифференцирования относительно связности на
многообразии. — Случай тензоров типа (г, 1). — Тензор кру-
чения и симметрические связности. — Геометрический смысл
симметричности связности. — Перестановочность вторых кова-
риантных производных. — Тензор кривизны аффинной связно-
сти. — Пространства с абсолютным параллелизмом. —Тождест-
ва Бианки. — След тензора кривизны. — Тензор Риччи.
Ковариантные Обратимся теперь непосредственно к ко-
дифференциро- г Г, г
вания вариантным дифференцированиям, отве-
чающим аффинным связностям.
Как уже было сказано в лекции 1, ковариантные диффе-
ренцирования Vx относительно произвольной связности V
на многообразии X представляют собой операторы
Vx.aX^aX, (1)
определенные на линейном пространстве а Л* и обладающие
свойствами а, б и в из лекции 1. Более того, так как при £ =
= тх векторное расслоение Т££ является не чем иным, как
тензорным расслоением т^Х над многообразием X, то со-
гласно общим результатам лекции IV. 12 операторы (1) есте-
ственным образом распространяются до операторов
Vx: Т£Л’—► (2)
на линейных пространствах = Г(т^Л') тензорных по-
лей. В совокупности операторы задают перестановочное
со свертками дифференцирование алгебры тензорных полей
на X.
Напомним, — см. лекцию III. 17 — что дифференцированием алгеб-
ры тензорных полей называется семейство таких линейных операторов
D: Т‘Х -+ Т‘ГХ,
определенных для всех г и в, что
D(S®T)-DS®T + S®DT (3)
Для любых тензорных полей S и Т. При г = з = 0 каждое такое диф-
ференцирование является не чем иным, как дифференцированием алгебры
гладких функций FX = Т°Л' в смысле определения 1 лекции Ш.16, т. е. —
26
КОВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Лекция 2
см. теорему 1 лехции Ш.16 — нехоторым вехторным полем X е аХ. При
S = f и Т = У, где f е FX, Y ЕаХ, соотношение (3) имеет вид
D(fY) = Xf-Y + fDY, (4)
где D — линейный оператор аХ -* аХ. (См. свойство б операторов Vx из
лекции 1.)
Задача 1. Докажите, что каждый линейный (над полем К) опе-
ратор
D: аХ-*аХ,
удовлетворяющий (для некоторого X е а X) соотношению (4),
единственным образом распространяется до перестановочного
со свертками дифференцирования D алгебры тензорных полей
(совпадающего наРХ с X).
[Указание. См. доказательства предложений 1 и 2 лехции IV.12.]
На линейных дифференциальных формах а дифференцирование D
определяется формулой
(Da)(Y) = X(a(Y)) - a(DY), YeaX.
В частном случае, когда X = 0, условие (4) означает, что D является
линейным оператором над алгеброй FX. Таким образом, любой FX-ли-
нейный оператор D: аХ -♦ аХ единственным образом распростра-
няется до перестановочного со свертками дифференцирования ал-
гебры тензорных полей на многообразии X (обозначаемого тем же
символом D).
Это дифференцирование равно нулю на FX и действует на ли-
нейных дифференциальных формах по формуле
(Da)(Y) = -a(DY), YeaX.
Задача 2. Сформулируйте и докажите общую теорему, частными
случаями которой являются предложение 2 лехции IV.12 и утверждение
задачи 1.
В каждой карте (U,x\.. .,хп) оператор (2) представ-
ляет собой линейную комбинацию Vx = операторов
= V д частных ковариантных производных
vk-. TrX^TsrX,
причем для любого тензорного поля S из Т$Х (и даже из
T£t7) компоненты (VfeS)*.1 ”’* тензорного поля S7kS (опре-
деленного — подчеркнем — только на U) выражаются через
Лекция 2
СЛУЧАЙ ТЕНЗОРОВ ТИПА (г, 1)
27
компоненты S'’1'"’* поля S по формуле
J1 "’J г
. . д8*1"Л‘
= -"a1T~ +
V /с dxk
S г
а=1 Ь=1
(см. формулу (13) лекции IV.12; подчеркнем, что по индек-
сам р и q предполагается суммирование).
В частности, „у,-
(W = ^+^’ (6)
для любого векторного поля У G аХ. (См. формулу (4) лек-
ции 1.)
Тензорное поле S называется ковариантно постоян-
ным, если Vx5 = 0 для каждого векторного поля X на X
или — что равносильно — если в каждой карте = 0 для
любого k = 1,..., п.
Пример 1. Формула
дб'-
показывает, что тензор Кронекера <5J ковариантно по-
стоянен.
Ясно, что все ковариантно постоянные тензорные поля
данного типа образуют линейное подпространство линейно-
го пространства всех тензорных полей.
Случай тензоров Особо интересен случай тензорных полей
типа (г, 1) типа (г, 1).
Как известно (см. замечание 2 лекции Ш.18), такие
поля находятся в естественном биективном соответствии с
РЛ’-полилинейными отображениями вида
аХ х ... х а<¥ —► аХ (7)
Г
(отвечающее тензорному полю S отображение (7) сопостав-
ляет векторным полям Xt,.. .,ХГ свертку S(X1,...,Хг) по-
ля S с полями X,,.. ,,ХГ — векторное поле с компонентами
28
СЛУЧАЙ ТЕНЗОРОВ ТИПА (г, 1)
Лекция 2
S^ у Xf1,..Х3ГГ). Как правило, тензорные поля типа (г, 1)
и соответствующие отображения (7) мы будем отождеств-
лять.
Пользуясь этим отождествлением, мы каждому тензор-
ному полю S типа (г, 1) можем сопоставить тензорное поле
VS типа (г + 1,1), положив
(VS)(Xt,..., Xr,X) = (VxS')(X1,..., Хг) (8)
для любых полей X,,..., Хг, X G аХ.
Тензорное поле VS' называется ковариантным диф-
ференциалом тензорного поля S.
Задача 3. Обобщите эту конструкцию на тензорные поля произ-
вольного типа (г, s).
3 а д а ч й 4, В общей ситуации произвольного расслоения понятие
ковариантного дифференциала было введено в лекции IV. 13. Так как г* ®
«>т*Х — т‘+1Х, то при £ = т‘Х этот ковариантный дифференциал будет
отображением Х‘Х -♦ Т‘+1<¥. Покажите, что при s = 1 это в точности
отображение (8) (а для любого s — его обобщение из задачи 3).
Компонентами (VS')’( тензорного поля VS' в произ-
вольной карте являются компоненты
9s'i, i г, •
+
Ь=1
ковариантных частных производных X7-S поля S (см. фор-
мулу (5)).
Поэтому для любых полей X,,.. .,ХГ,Х
|(VS)(X,, .Хг, Х)Г = • xi'X’ =
= х’’х1'+ПЛ ..j/i' • • Xi'xl-
Ь=1
& ВЛ х’-хч
l)zi Х gTj х'х +
Ь=1
+ПЛ ..Л?' xi’xi - Е ‘ЬЛ Jxi' =
b=l ’
Лекция 2 СЛУЧАЙ ТЕНЗОРОВ ТИПА (г, 1) 29
= (-S(xldxi' х~ + ^PS(XI 1 • • ’ xr)p)xj-
г /Я Х^ь \
- А ~^ + г?л9) • • • -
J f’Jb Jr \ (7ЯХ •*" /
fen=l г
= ХГ)Г - X 5(Хр ..vxxb,..хгу,
Ь=1
и, следовательно,
(V5)(Xp...,Xr,X) =
= VxS(Xl,..., Xr) - £ S(X,,..VxXb,..., Xr). (9)
Ь=1
Например, при г = 1,2,3
(V5)(X, Y) = VYS(X) - S(VYX),
(V5)(X, У, Z) = VZS(X, Y) - S(VZX, Y) - S(X, VZY),
(VS)(X,Y,Z,T) = VTS(X,Y,Z)~
-S(VTX, Y, Z) - S(X, VTY, Z) - 5(X, У, VTZ),
или в других обозначениях
(VyS')(X) = VyS(X) - S(VyX),
(У^)(Х,У) = VZS(X,Y)-S(VZX,Y)-S(X,VZY),
(V7S)(X, У, Z) = VTS(X, У, Z)- 1 }
-S(VTX, У, Z) - S(X, VTY, Z) - 5(X, У, VTZ).
В первой из этих формул символы Vy5, S и Vy обозна-
чают операторы на аХ. Первое слагаемое справа представ-
ляет собой результат применения к полю X сначала опера-
тора S, а затем оператора Vy, а второе — результат приме-
нения сначала оператора Vy, а затем оператора S. Поэтому
употребляя во избежание двусмысленности для обозначе-
ния композиции операторов знак о (и заменяя У на X), мы
можем эту формулу записать в виде следующего соотноше-
ния между операторами:
^XS = о S — S о
30
ТЕНЗОР КРУЧЕНИЯ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ СВЯЗНОСТИ
Лекция 2
По определению это означает, что оператор 4XS яв-
ляется коммутатором операторов и S:
VXS = [VX,S]. (11)
Аналогичную интерпретацию допускают и остальные
формулы (10). Например, каждое тензорное поле S ти-
па (3,1) может быть отождествлено с отображением аХ х
х аХ —► Hom(a/t,aX), сопоставляющим любым двум век-
торным полям X, Y е аХ линейный оператор
S(X,Y): аХ—>аХ, Z S(X,Y,Z).
В силу этого отождествления третья формула (10) приобре-
тает (после соответствующего переименования аргументов)
следующий вид:
(VXS)(Y,Z) = IVx,Sf(y,Z)J - S(VXY,Z) - S(Y, VXZ), (12)
где X,Y,Z — произвольные векторные поля на многообра-
зии X.
Заметим, что тензорное поле S типа (г, 1) тогда и
только тогда ковариантно постоянно, когда VS = 0.
Поэтому, в частности (см. формулу (11)), тензорное
поле S типа (1,1) тогда и только тогда ковариантно
постоянно, когда рассматриваемое как FX-линейный
оператор аХ аХ оно перестановочно со всеми опе-
раторами V%.
Тензор кручения Поскольку для связности на многообразии
и симметриче- оператор Vx определен на том же линеале
ские связности a которому принадлежит X, можно для
любых полей X, Y е аХ в выражении VXY переставить X
и Y (операция, в общем случае смысла не имеющая). Это
позволяет ввести в рассмотрение векторное поле
Т(Х, У) = VXY - VYX - [X, У].
Отображение
Т: аХхаХ^аХ, (X,Y)^T(X,Y), (13)
очевидно, кососимметрично, т. е.
Т(Х, Y) = -T(Y, X),
Лекция 2
ТЕНЗОР КРУЧЕНИЯ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ СВЯЗНОСТИ
31
и R-линейно по каждому аргументу (R-билинейно).
Более того, так как для любой функции f € FX имеет
место равенство
[/Х,У] = ДХ,У]-У/-Х
(см. формулу (23) лекции III. 16), то
T(fX, У) = V/Xy - Vy(/X) -\fX, У] =
= /Vxy - fVYX - f[X, У] = fT(X, У)
и, значит, отображение (13) F<¥-билинейно. Следователь-
но, оно соответствует некоторому тензорному полю на X
типа (2,1), кососимметричному по нижним индексам.
Определение 1. Тензорное поле Т называется тен-
зором кручения аффинной связности V. В случае, когда
этот тензор равен нулю, т. е. когда для любых полей X, У G
G аХ
Vxy — VrX = [X, У], (14)
связность V называется симметрической (или симмет-
ричной).
В каждой координатной окрестности компоненты TJk
тензора Т выражаются формулой
г AY=/v AY’-fv AY'
jk \dxi ’ 0xk J \ J dxk J \ kdxi J '
t. e. (см. формулу (2) лекции 1) формулой
= = M,fc=l,...,n. (15)
В частности, мы видим, что связность V тогда и
только тогда симметрична, когда в каждой карте ее
коэффициенты связности симметричны по ниж-
ним индексам'.
Пу = Пь
для любых i,j, k= 1,..n.
Предложение 1. Если связность V на многообра-
зии X симметрична, то для любой точки р0 G X су-
ществуют центрированные в р0 локальные координа-
х1,.. .,хп, в которых коэффициенты связности Г^-
8 точке р0 обращаются в нуль'.
(Ц,)р=°. (16)
J *0
32 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СИММЕТРИЧНОСТИ связности Лекция 2
Этими координатами являются нормальные в точ-
ке р0 координаты.
Доказательство. Согласно утверждению зада-
чи 3 лекции 1, если координаты х1,..., хп нормальны в точке
Ро> то
тождественно по ж1,..хп. В частности, отсюда следует, что
при х' = аЧ
Vkj(ta)a? ак = 0, а= (а1,...,ап),
для любых а1,..., ап и t. При t — 0 мы получаем
(%о" = о.
что в силу симметричности коэффициентов (Г^)р по к и j
и произвольности чисел а1,. ..,ап возможно только тогда,
когда эти коэффициенты равны нулю, q
В чем состоит геометрический смысл тен-
зора кручения и условия симметричности
связности?
Геометрический
смысл симмет-
ричности связ-
ности
Пусть р0 е X и А, В е Тр X. Согласно следствию 1
леммы 2 лекции III. 18 на многообразии X существует такое
векторное поле X, что Х„ = А. Более того, если (U, h) —
Fo
= (U, х1,..., хп) — произвольная содержащая точку р0 кар-
та, то поле X можно выбрать так, чтобы в карте (U, h) его
компоненты X' были бы постоянны (и, значит, в базисе
( д \ ( д \ i ..
I —- I ,...,[ -— I равны координатам а’ вектора А).
\ ох1) \ охп )
Если поле X выбрано указанным образом, то интеграль-
ная кривая и: u(t) поля X, проходящая при 4 = 0 через
точку р0, будет задаваться в карте (U, h) линейными функ-
циями
s*(t) = хг0 + аЧ, i= 1,..., n,
где xlg, 1 i n, — координаты точки р0. Поэтому для
координат 6‘(t) вектора B(t), получающегося из вектора В
параллельным переносом вдоль кривой и в точку u(t), будут
Лекция 2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СИММЕТРИЧНОСТИ СВЯЗНОСТИ 33
иметь место равенства
t
Ь\1) = b* - j (t)akdt, x(t) = (xl(t),..xn(t)),
0
где b1, 1 гn, — координаты вектора В. Отсюда непо-
средственно вытекает, что
bi(t) = b‘-(n:y>0b’afct + O(t2))
где (ЦД — значения коэффициентов связности Г^. в точ-
ке р0.
Пусть теперь t фиксировано, и пусть Y — векторное
поле на X, компоненты которого в карте (U,h) постоянны
и равны b‘(t). Тогда интегральная кривая s v(s) поля У,
проходящая при s = 0 через точку u(t), будет задаваться
линейными по s функциями
s х*(0 + Ь*(0в, 2 = 1,...,71.
Обозначив через pt точку v(s) при s = t, мы получим, сле-
довательно, для координат x*t этой точки равенство
= х’ + (<? + b*)t - (Г*,-)/ aV + O(t3).
Наглядно точку pt можно представлять себе как результат
сдвига точки р0 на расстояние t q 0=vit\
сначала в направлении вектора A, _____—‘
а затем в направлении вектора В.
Аналогичные формулы (с пе- As"""“(О
рестановкой координат а’ иЬ!) бу- ''Г
дут иметь место и для точки qt, по-
лучающейся сдвигом точки р0 сначала в направлении векто-
ра В, а затем в направлении вектора А.
Поэтому разность координат точек qt и pt будет равна
+ O(t“) =
= l«rw )„ - + °<(I> = Т<Л B)V + 0(f),
где Т(А,В)* = (^[kj])oak^ — компоненты поля Т(Х, У) в
точке р0 (зависящие лишь от векторов А и В).
На инфинитезимальном языке это означает, что попыт-
ка построить в многообразии X на векторах А и В бес-
2 М. м. Постников
34
ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТЬ ВТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Лекция 2
конечно малый параллелограмм приводит к пятиугольнику,
замыкающая сторона которого является бесконечно малой
второго порядка, с точностью до бесконечно малых третьего
порядка равной Т(А, В).
Это дает наглядную геометрическую интерпретацию
тензора кручения и, в частности, показывает, что аффин-
ная связность тогда и только тогда симметрична,
когда каждый бесконечно малый параллелограмм за-
мыкается с точностью до бесконечно малых треть-
его порядка.
Перестановочность Формально иную, но по-существу ту же
вторых ковари- самую интерпретацию свойства симме-
антных пр о из- тричности связности можно получить на
водных языке ковариантных производных.
Пусть W — открытое множество (в,4)-плоскости R2 и
пусть р: W —► X — гладкое отображение (элементарная
поверхность в X). Пусть, далее, X: (s,t) к-* X(s,t)— та-
кое гладкое отображение W —► ТХ, что
для любой точки (s,t) 6 W (векторное поле на поверх-
ности р). уХ ух
Тогда на р определены два векторных поля -т— и -т—,
ot 08
компоненты которых в каждой карте (U, h) = (U,x',..., хп)
задаются формулами
/VXV _• vjdxk (VXV SX1' Yjdxk
\.-эГГ~аГ + Т*х-dt’ ',~а7Г~а7 + Гчх1й'
где
X* = X*(s,t) — компоненты вектора X(s,t) в карте
(С/,/1);
xk = xk(s,t) — функции, задающие в карте (U,h) по-
верхность р;
= rj.j(s,t) — значения коэффициентов связности V
в точке p(s,t). д
Примером векторного поля X является поле —, со-
стоящее из векторов, касательных к координатным линиям
др
s = const поверхности р, и аналогичное поле —, состоящее
из векторов, касательных к координатным линиям t = const.
Лекция 2 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
35
Для этих полей
dx' f dtp ‘ dx*
\ dt) ~ dt ’ \ds) ~ ds'
значит, имеют место равенства
/ V dtp' dt > aV / dsdt • dx> dxk + 1 * dt ds'
dtp' \dt ds, / dtds i dx> dxk + lki ds dt‘
Поэтому связность V тогда и только тогда симмет-
рична, когда для любой поверхности tp: W —> X имеет
место равенство
V dtp _ V dtp
ds dt dt ds
(17)
(тождественно no s и t).
Тензор кривизны Как мы знаем: (см. лекцию IV. 19), для
аффинной любой связности в векторном расслоении
связности над многообразием X и, в частности, для
любой аффинной связности на X определен тензор кри-
визны R этой связности, компоненты Rj kl которого в каж-
дой карте выражаются формулой
аг?. ап.
pi _ ___0 । г* ГР — Г* ГР
•j<kl dxk dxl +lfcPlV lipl*!J-
Для аффинной связности закон преобразования этих компо-
нент при замене координат имеет вид
Р dx1' daJ dxk dxl i
= ~d^d^d^ d^
(ср. формулу (33) лекции IV. 19), так что R является тен-
зором типа (3,1) на многообразии X. Рассматриваемый
как отображение
R: аХ х аХ х а<¥ —> аХ,
этот тензор сопоставляет векторным полям X,Y,Z Е аХ
векторное поле R(X, Y)Z, где
R(X,Y) = VxVy-VyVx-V[X>Y] (18)
(см. формулу (34) лекции IV. 19.) В каждой карте поле
2*
36
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ АФФИННОЙ связности
Лекция 2
R(X, Y)Z имеет компоненты R^klXkYlZJ, rjsp Xk,Yl, Z? —
компоненты полей X.Y.Z.
3 а д а я a 5. Покажите, что для любой элементарной поверхности <р
V V V V _ „ f^v\
9»д1~д18з~К^\дз’И)’
т. е. — подробнее —что
^х^ - aialx^ =
для любого векторного поля X на <р.
Согласно утверждению задачи 1 (точнее, ее частному
случаю, относящемуся к FX-л инейным операторам Z>), для
любых векторных полей X, Y е аХ оператор кривизны
Л(Х, У): аХ^аХ
однозначно распространяется до некоторого (обозначаемого
тем же символом) дифференцирования алгебры тензорных
полей на многообразии X, а так как — см. лекцию III. 16 —
коммутатор двух дифференцирований также представляет
собой дифференцирование, то правая часть формулы (18)
является ограничением на аХ дифференцирования V%Vy —
- VyVx - алгебры тензорных полей на многообра-
зии X. Последнее дифференцирование, как и дифференциро-
вание R(X, Y), перестановочно со свертками и равно нулю
на FX. Поэтому обе. части формулы (18) совпадают и
как дифференцирования, тензорных полей на X.
В частности, отсюда следует, что для любого тензо-
ра S типа (г, 1) и любых векторных полей X, У, Хр ...
..., Xr £ а X имеет место формула
(R(X, УуЗХХц.. .Xr) = R(X, Y)S(XV.. ,,Xr)-
-^S{Xv...,R{X,Y)Xb....,Xr). (19)
Ь=1
[Достаточно применить формулу (9) (левая часть которой
переписана в виде (VyS'XX,,.. .,ХГ)) к тензору VyS1, про-
альтернировать результат по X, У, вычесть формулу (9) для
поля [X, У] и всюду заменить VxVy - VyVx - V[Xyj на
ад у).]
Лекция 2 ПРОСТРАНСТВА С АБСОЛЮТНЫМ ПАРАЛЛЕЛИЗМОМ 37
При r==l формула (19) приобретает — ср. форму-
лу (Н) — вид
R(X, Y)S = \R{X, У), 5], (20)
где $ — произвольный F А?-линейный оператор аХ -> аХ
(тензор типа (1,1)), а при г = 3 —см. формулу (12) —ввд
(R(X, Y)S)(U, V) = [R(X, У), S(U, V)|-
- S(R(X, Y)U, V) - S(U, R(X, Y)V), (21)
где S — произвольный тензор типа (3,1) (и, значит, S(U, V),
где U,V 6
аХ-^аХ). .
а Д’, — некоторый FA?-линейный оператор
Определение 2. Связное пространство
аффинной связности X называется про-
странством с абсолютным паралле-
для любых двух точек р, q Е X и любого
Пространства
с абсолютным
параллелизмом
лизмом, если
соединяющего их пути u-. I —► X параллельный перенос
Пи: ТрА? TqX, р = ^0), q = u(l),
(см. лекцию 1) не зависит от выбора этого пути (т. е. если
связность на X является связностью с абсолютным парал-
лелизмом в смысле лекции IV.20).
В пространстве с абсолютным параллелизмом перенос
обозначается символом ПР, а векторы А Е ТрХ и В Е ТдА?,
связанные соотношением В = П$А, называются параллель-
ными. Векторное поле X Е аХ на пространстве X с абсо-
лютным параллелизмом называется полем параллельных
векторов, если для любых точек p,q Е X векторы Хр и Xq
параллельны. Все такие поля составляют, очевидно, п-мер-
ное линейное подпространство пространства а X.
Согласно общим результатам лекции IV.20 для того,
чтобы пространство аффинной связности было про-
странством с абсолютным параллелизмом, необхо-
димо, чтобы его тензор кривизны R был тождест-
венно равен нулю (связности, тензор кривизны которых
тождественно равен нулю, в лекции IV.20 назывались пло-
скими; однако, применительно к аффинным связностям этот
термин обычно используется лишь в дополнительном пред-
положении, что связность симметрична). Это необходимое
условие достаточно, если многообразие X односвязно.
38
ТОЖДЕСТВА БИАНКИ
Лекция 2
С другой стороны, легко видеть (покажите!), что для
пространства аффинной связности X тензор кри-
визны тогда и только тогда тождественно равен
нулю, когда пространство с Д’ ковариантно постоян-
ных векторных полей п-мерно (где, как всегда, п =
= dim Д’).
В частности, dim с Д’ = п для каждого простран-
ства X с абсолютным параллелизмом.
Вообще, размерность пространства сХ равна размерности простран-
ства всех векторов, остающихся инвариантными при всех преобразованиях
суженной группы голономии. (В силу общих результатов лекции IV.20 по-
следняя группа тривиальна тогда и только тогда, когда R = 0.)
Тождества Ковариантная производная^/? тензора/? 'так-
Бианкн же является тензором типа (3,1), и потому лю-
бым векторным полям X, Y 6 аХ сопоставляет оператор
(VZR)(X, Y): аХ^аХ.
Для этого оператора имеет место формула (12) (в которой,
естественно, S надо заменить на R).
Предложение 2. Если связность на многообра-
зии X симметрична, то для любых полей X,Y,Z 6 а Д’
имеют место равенства
R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0, (22)
(VXR)(Y,Z) + (Vy/?)(Z,X) + (VZR)(X, Y) = 0. (23)
Доказательство. Для любой функции S от аргу-
ментов X, Y и Z о сумме
S(X, Y, Z) + S(Y, Z, X) + S(Z, X, Y)
говорят, что она получается из S(X, Y,Z) циклированием.
В этой терминологии формула (22) утверждает, что цикли-
рование поля R(X, Y)Z дает нуль. Поскольку операция
циклирования, очевидно, линейна, для доказательства этой
формулы достаточно, следовательно, представить R(X, Y)Z
в виде суммы выражений, циклирование каждого из которых
заведомо равно нулю.
Но в случае, когда связность V симметрична, для поля
R(X, Y)Z = VXVYZ - VYVXZ - V.у „Z,
\ ' Л I I Л. I '
Лекция 2 ТОЖДЕСТВА БИАНКИ 39
согласно формуле (14) имеет место равенство
Ii(X, Y)Z = VX(VZV + [Y,Z]) - VYVXZ-
- (Гг[Х,У] + [[Х,У],2]),
т. e. равенство
R(X, Y)Z = (VxVzy - V/7XZ)+
+ (Vx[y,Z]- V^x,y])-nx,yj,zj. (24)
С другой стороны, автбматическое вычисление показы-
вает, что циклирование любой функции вида
S(X,Y,Z) — S(Y,Z,X)
равно нулю. Действительно,
S(X, Y, Z) - S(Y, Z, X) + S(Y, Z, X)-
- S(Z, X, У) + S(Z, X, У) - S(X, Y, Z) = 0
(заметим, что то же самое верно и для любой функции ви-
да S(X, У, Z) - S(X', Y', Z'), где X', Y1, Z' — произвольная
четная перестановка аргументов X, У, Z). Поэтому, в част-
ности, циклирование обеих скобок в правой части форму-
лы (24) дает нуль. Кроме того, согласно тождеству Яко-
би (см. формулу (22) лекции III. 16), циклирование третьего
слагаемого {[X, У],Х] также дает нуль.
Это доказывает формулу (22).
Аналогично, согласно формулам (12) и (15)
(VxR)(y,X) = [VX,R(Y,Z)] -R(VXY,Z) - R(Y, VXZ) =
= [Vx, R(V, Z)]- R(VyX, Z) - R([X, Y],Z)-R(Y, VXZ) =
= (|VX, R(Y, Z)]—R([X, yj, Z))+(R(Z, VyX)-R(Y, VxZ)),
где вторая скобка имеет ввд S(Z, У, X) - S(Y,X, Z), и по-
тому ее циклирование дает нуль (тройка У, X, Z получается
из тройки Z, У,Х четной перестановкой). С другой стороны,
IЧо ад Z)] - R([X, У1, Z) = [Vx, [Vr, VZ]J-
где циклирование первого и последнего слагаемых дает нуль
в силу тождества Якоби, а циклирование суммы средних
слагаемых дает нуль, потому что эту сумму можно записать
в виде
□
40
СЛЕД ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ
Лекция 2
Задача 6. Покажите, что для произвольной аффинной связности
на многообразии имеют место соотношения
6{Я(Л, y)Z} = е{т(т(х, У), z)} + ©{ vxt(y, z)},
&{(VXR)(Y,Z)} = @{R(X,T(Y,Z))},
где 6 — оператор циклирования.
В компонентах соотношения (22) и (23) имеют вид
+*«+*«»-°’ (22'>
М,ы+М,1.+Мл=°- <23')
Используя введенные в лекции IV. 19 обозначения, эти фор-
мулы можно записать короче:
Ч- .Ы) = °- <22">
- °- <23">
Интересно сравнить формулу (23") с формулой (42) лекции IV. 19 (на-
писанной для случая { = тх, т. е. для случая связности на многообразии).
Содержательно эти формулы различны, так как в формуле (23") символ V,
обозначает оператор частного ковариантного дифференцирования тензоров
типа (3,1) на многообразии X (при вычислении которого мы попеременно
свертываем коэффициенты связности Г]у со всеми индексами к, I, i и j), а
в формуле (42) лекции IV. 19 этот символ обозначает оператор частного ко-
вариантного дифференцирования {-тензорных полей типа (1,1) (когда мы
производим свертывание лишь по индексам i и j). Тем не менее, оказывает-
ся, что эти формулы следуют одна из другой (что, в частности, заново
доказывает формулу (23"), поскольку результаты применения обоих опера-
торов V, к тензору R имеют компоненты, отличающиеся на выражение
гРЛ +
циклирование которого по индексам в,к я I дает нуль.
Формулы (22") и (23") (а также равносильные им фор-
мулы (22) и (23)) называются первым и вторым тожде-
ствами Бианки для симметрических связностей. Первое
тождество Бианки называется также тождеством Риччи,
а второе — тождеством Бианки — Падова.
След тензора Поскольку для любых векторных полей
кривизны X Y € аХ оператор кривизны R(X,Y)
пространства аффинной связности X является линейным
Лекция 2
ТЕНЗОР РИЧЧИ
41
оператором аХ —* аХ, и поскольку над каждой координат-
ной окрестностью FAf-модуль аХ является свободным мо-
дулем конечного ранга, можно ввести в рассмотрение след
Уг R(X, Y) оператора R(X, У). Этот след FAf-линейно зави-
сит от X, Y, т. е. соответствие
ТгД: (X, У) •-> Тг7?(Х, У)
является кососимметрическим тензором типа (2,0) на про-
странстве X, или в другой терминологии, дифференциаль-
ной формой второй степени на X.
В каждой карте . .,хп) этот тензор имеет компо-
ненты
*’ы дхк дх1
(иб° ПуТГ, = ПД,)- Следовательно, рассматриваемый как
дифференциальная форма, тензор ТгЯ является внешним
дифференциалом dy линейной дифференциальной формы
7 = ltd®*. (25)
Подчеркнем, что в отличие от Tr R форма у зависит
от выбора локальных координат х1,..., хп; изменив эти коор-
динаты мы прибавим к у форму вида df, где f — некоторая
функция.
Задача 7. Докажите последнее утверждение. [Указание.
Функция f равна логарифму определителя матрицы перехода.]
Тензор Риччи Другой — на первый взгляд малоестест-
венный— способ построить по тензору кривизны тензор ти-
па (2,0) состоит в том, чтобы свернуть индекс i не с индек-
сом j, а с одним из индексов к или I (с точностью до знака
выбор индекса безразличен; мы выберем к).
Определение 3. Тензор типа (2,0) с компонентами
= ^i,kj
называется тензором Риччи пространства аффинной связ-
ности X. В современной литературе его принято обозначать
символом Ric X (но, тем не менее, для его компонент обыч-
но сохраняется классическое обозначение R^).
42
ТЕНЗОР РИЧЧИ
Лекция 2
Чтобы описать тензор Риччи в инвариантных бескоор-
динатных терминах, мы заметим, что для любых вектор-
ных полей X, У 6 аХ соответствие Z R(Z,Y)X, Z 6
g аХ, определяет некоторый линейный оператор на FX-мо-
дуле аХ. Так как над каждой координатной окрестностью
FX-модуль аХ является свободным модулем конечного ран-
га, то определен след Tr [Z i-» R(Z, У)Х] этого оператора,
являющийся функцией из FX, и непосредственное сравне-
ние определений показывает, что эта функция является не
чем иным, как значением Ric(X, У) на полях X, У тензо-
ра Ric (интерпретированного как отображение аХ х аХ —>
-+F<¥):
Ric(X, У) = Tr \Z ~ R(Z, У)Х]. (26)
Компоненты тензора Риччи выражаются через коэф-
фициенты связности по формуле
ЛГ7?. ЛГ^
<27>
и в каждой карте имеет место равенство
Ric(X, У) = Я-Х’У7, X,Y&aX, (28)
где X' и У7 —компоненты полей X и У в данной карте.
Задача 8. Покажите, что если связность V сим-
метрична, то для любых векторных полей X и Y
справедлива формула
Ric(X, У) - Ric(y, X) = Tr R(X, У).
[Указание. Для компонент эта формула утверждает,
В частности, отсюда следует, что тензор Риччи сим-
метрической связности тогда и только тогда сим-
метричен, когда тензор ТгД тождественно равен
нулю, т. е. когда
dr/ = О
(дифференциальная форма м замкнута).
ЛЕК ЦПЯ 3
Аффинные отображения. — Аффиннитеты. — Аффинные накры-
тия. — Ограничение связности на подмногообразие. — Индуци-
рованная связность на нормализованном подмногообразии. —
Формула Гаусса и вторая основная форма нормализованного
подмногообразия. — Вполне геодезические и автопараллельные
подмногообразия. — Нормальная связность и формула Вейнгар-
тена. — Связность ван дер Вардена — Бортолотти.
Аффинные Пусть X и У — пространства аффинной связ-
отображеиия ности с0 СВЯЗНОСТЯМИ VX И W. (Впрочем,
для упрощения формул мы часто вместо Vх будем писать V,
а вместо будем писать V.) На Каждой координатной ок-
рестности {/'многообразия X (координатной окрестности V
многообразия У) связность Vх (связность V^) задается ма-
трицей ш = шх (матрицей ш = форм связности. Каж-
дому касательному вектору А (точке тотального простран-
ства ТХ касательного расслоения тх) связность Vх отно-
сит горизонтальное подпространство Яд касательного про-
странства Тд(ТА^). Аналогично, каждой точке В е ТУ связ-
ность относит горизонтальное подпространство я£ С
СТВ(ТУ).
Пусть /: X —► У — произвольное гладкое отображение.
Карты (U,h)’ = (U,xl,...,xn) и (V, к) = --чУ™) мно-
гообразий X и У мы будем называть f-связанными, если
fU с V. В таких картах отображение f (или, точнее, инду-
цированное им отображение U —* V) задается функциями
вида
2/а = /а(ж ,...,жп), а=1,...,т.
Якобиева матрица
J/ =
dfa
дх*
1 г n, 1 а т,
этих функций называется якобиевой матрицей отобра-
жения f в картах (Я,/г) и (V,k) (см. лекцию III. 12).
Напомним (см. замечание 3 лекции III. 17), что вектор-
ные поля ХеаХъХеаУ называются f-связанными,
если
W)PXP = Xf(p)
(1)
44
АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Лекция 3
для любой точки р 6 X, т. е. если для любой пары /-связан-
ных карт (U.h) и (V,k) имеют место равенства
dfa ~
= Xaof, 1 О < n, 1 < а т,
дх1 J
где X' и Ха — компоненты полей X и X в картах (U, h)
к(У,к).
С другой стороны, ясно, что формула
(T/M = (df)pA АеТх,
где р е X — такая точка, что А е ТрХ, корректно опреде-
ляет гладкое отображение
Т/: ТХ -> ТУ
многообразий касательных векторов. Поскольку это отоб-
ражение гладко, дня любой точки А 6 ТХ определен его
дифференциал в этой точке
(dT/) : Т (TAf) —> Т (ТУ),
А А В
где В = (Vf)A.
Предложение 1. Следующие свойства гладкого
отображения f : X —* У равносильны.
А. Если поля Х,У 6 аХ f-связаны с полями $,У 6
€ аУ, то поле VXY f-связано с полем V^y.
Б. Для любых f-связанных карт (U, Л) и (V, к)
Jjw = +dJf на U. (2)
В. Для любой кривой^'. I —► X и любого векторного
поляХ: t>-yX(t)Hay
= (d/\(t)^x(t), t el. (3)
Г. Для любой кривой у: I —* X коммутативна
диаграмма
\х т4у,
п,| |п/„ (4)
ТРХ т%у,
Лекция 3'
АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
45
где р0 — начальная и рх — конечная точки кривой 7,
% = f(Po)> ?i = а Щ и П/<7 — паР<млелъные пере-
носы вдоль кривых7 и J 07.
Д. В каждой точке А 6 ТХ
(W)AH% с ну,
B=(Tf)A.
Доказательство. Если поля Х,Уе аХ иХ,У G
е аУ /-связаны, то для любых /-связанных карт (U,h)
и (V, k)
yi9fa -Y-of naff
С другой стороны, если Г^. и Г“ь — коэффициенты связнос-
тей V и V в этих картах, то
- - (9Y0, ~ -
Поэтому
(VjVfo/
+ (% »/)(?*«/)1<хс° Zi-
p'~ д . ,₽«. f.s/*,и8/°А
«9= /7а^ + <Гс> ^axiva^)x “
^<Уа°Л , аГ|^«Лу,-1
= , 3 (v>?TT.\ 4- <f“ о Y» =
5яЛ V ) + сЬ дхк^)х
'araj° + Yi^T_ + ,р. о _
дх‘дхк { Л "a^Sx^ j
вх‘Гч+axi'axl’+ г'вгза^гх '
Поскольку равенство (Х7хУ)‘-^-у = (Х7^У)“а/ означает, что
ОХ X
\ dxk 9х'
1 ’ дх’ 1
46
АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Лекция 3
поля и V_y /-связаны, а равенство
дГи o2fa , (fa с f}dfb dfc
дх' да>>дхк сЬ дх> дхк
после умножения на dxk переходит в равенство (2), это до-
казывает равносильность свойств А и Б.
Задача 1. Докажите равносильность свойств Б, В
н Г.
Задача 2. Докажите равносильность свойств Б
и Д. [Указание. В картах (177, СС , . . •, СС , X , • • •, X IT
(ТУ,?/1,.. ,,ут,у1,.. .,ут) (см. лекцию 1) якобиева матрица
отображения Т/ имеет ввд
Jf 0 „ 92fa ,к
J т , где Kf = . -.а;
Ay Jy f дхгдхк
( д \
векторами ( I
С другой стороны, подпространство Н* порождается век-
торами _ \jp~i) ’ а подпространство Н? —
~ ГаъУЬ(-^\ , где 1 О С n, 1 С с С
в \° V /в
ft]
Это доказывает предложение 1. q
Определение 1. Гладкое отображение /: X —> У,
обладающее свойствами А — Д, называется аффинным
отображением.
Задача 3. Каждый интервал I оси R является пространством
аффинной связности относительно тривиальной связности = d/dt.
Поэтому имеет смысл говорить о кривых 7: R —► X, являющихся аффинны-
ми отображениями. Покажите, что это в точности геодезические простран-
ства X.
Ясно, что свойство отображения быть аффинным явля-
ется локальным свойством, т. е. отображение f:X—>y
аффинно, если оно аффинно на некоторой окрестно-
сти любой точки рЕ X.
Кроме того, из свойства Г аффинных отображений непо-
средственно вытекает, что каждое аффинное отображе-
ние переводит геодезические в геодезические, и поэто-
му в нормальных координатах записывается линей-
ными функциями.
Лекция 3
АФФИННИТЕТЫ
47
Этот факт лежит в основе доказательства следующего
предложения.
Предложение2 (О единственности аффин-
ного отображения). Пусть аффинные отобра-
жения f,g: X —* У совпадают в точке р^Е X, и пусть
в этой точке совпадают их дифференциалы:
f(Po) = 9(Ро), (df) = (dg) .
₽о ₽о
Тогда f = g на компоненте многообразия X, содержа-
щей точку р0.
Доказательство. Пусть
С = {р £ X; f(p) = g(p), (df)p = (dg)p}
— множество всех точек р 6 X, в которых отображения f
и <? совпадают вместе с их дифференциалами. Так как отоб-
ражения fug непрерывны (а многообразие У хаусдорфо-
во), то множество С замкнуто. С другой стороны, из того
что каждое аффинное отображение в нормальных координа-
тах записывается линейными функциями, непосредственно
вытекает, что для любой точки р 6 С каждая ее нормальная
окрестность содержится в С. Следовательно, множество С
открыто. Являясь открыто-замкнутым множеством, содержа-
щим точку р0, множество С содержит компоненту Хо этой
точки. Значит, f = g на Хо. q
Аффиннитеты Ясно, что композиция аффинных отобра-
жений является аффинным отображением, и, следователь-
но, все пространства аффинной связности и все их аф-
финные отображения составляют категорию (см. ниже лек-
цию 7). Изоморфизмами этой категории являются, как лег-
ко видеть, аффинные отображения, являющиеся диффеомор-
физмами. Мы будем называть их аффинными изоморфиз-
мами или аффинными диффеоморфизмами (а изомор-
физмы X —> X пространства аффинной связности X на се-
бя— его аффинными автоморфизмами).
Аффинные диффеоморфизмы называются также аф-
финнитетами.
Для случая, когда f является диффеоморфизмом, усло-
вие (2) можно переписать в виде
ш = + JjldJf. (2')
48
АФФИННИТЕТЫ
Лекция 3
В частном случае, когда диффеоморфизм f действует по ра-
венству координат (т. е. каждую точку р 6 U переводит
в точку q eV, имеющую в карте (V, к) те же координаты,
что точка р в карте (U, к)), это условие приобретает вид ш =
= означающий, что ш переходит в ш при подстановке
у' = ®’, 1 < гп (формы шиш отличаются лишь обозна-
чениями переменных).
Каждый диффеоморфизм f: X —► У определяет по фор-
муле
(f,X)q = {df)pXp, p=f~l(q),
биективное отображение // аХ —► а У, обладающее тем
свойством, что поля X и ЦХ /-связаны. (Это в точности
отображение (/"*)* из лекции Ш.17.) Поэтому (см. свой-
ство А из предложения 1) диффеоморфизм f : X —► У
тогда и только тогда является аффиннитетом, ког-
да для любого поля X Е аХ диаграмма
аХ—aj?
аХ—*-♦ аУ
коммутативна.
Отсюда непосредственно следует, что каждый аффин-
нитет сохраняет тензоры кручения и кривизны, т. е.,
точнее, для любого аффиннитета /: X —> У имеет место
равенство
Тх = f*Ty, Rx = f*Ry, (6)
где Тх, Rx — тензоры кручения и кривизны пространст-
ва X, а Ту и Ry — тензоры кручения и кривизны простран-
ства у. (Отображение /* для тензорных полей определено
в лекции III. 17.)
Таким образом, равенства (6) необходимы, чтобы
диффеоморфизм /: X —► У был аффиннитетом. Однако, во-
обще говоря, они недостаточны. (Заметим, что в некоторых
учебниках и монографиях в этом месте допускается ошиб-
ка.) Мы рассмотрим этот вопрос в следующей лекции, а пока
обратимся к накрытиям и подмногообразиям пространств
аффинной связности.
Лекция 3
АФФИННЫЕ НАКРЫТИЯ
49
Аффинные В отношении накрытий ситуация по-существу
накрытия тривиальна.
Пусть X — произвольное гладкое многообразие (без аф-
финной связности) и f: X —>У — его этальное отображение
на пространство аффинной связности у.
3 а д а ча 4. Покажите, что на X существует един-
ственная связность, по отношению к которой отоб-
ражение f аффинно. [Указание. Если (Z7, х1,..., хп) и
(V, у\ •Уп) — такие карты многообразий X и У, что V =
= f U и f действует по равенству координат (т. е. ж’ = у'of
для всех i = 1,..., п), то формами связности Vх на U будут
формы где ш1- — формы связности на У (выраже-
ния форм и ш' в координатах отличаются друг от друга
лишь обозначениями переменных).]
В частности, мы видим, что для любого гладкого на-
крывающего отображения тг: X —> X пространства
аффинной связности X существует на X единствен-
ная связность, по отношению к которой отображе-
ние тг аффинно.
Гладкое накрытие (Х,тг,Х), проекция тг которого яв-
ляется аффинным отображением, называется аффинным
накрытием.
Если в гладком накрытии (X, тг, X) пространством аф-
финной связности является многообразие X то, вообще го-
воря, на многообразии X не существует связности, по отно-
шению к которой это накрытие было бы аффинным. Разбе-
рем этот вопрос подробнее.
Пусть Aut X — группа автоморфизмов (скольжений)
накрытия (Х,1Г,Х). Напомним (см. лекцию IV.5), что эта
группа дискретно и гладко действует на X.
Задача 5. Покажите, что для любого аффинного
накрытия (Х,к,Х) группа А.1ЛХ состоит из аффин-
ных автоморфизмов пространства X.
Поэтому, для того чтобы на многообразии X можно
было ввести связность, по отношению к которой накрытие
(Х,тг,Х) аффинно, необходимо, чтобы группа Aut А? состо-
яла из аффинных автоморфизмов.
50
АФФИННЫЕ НАКРЫТИЯ
Лекция 3
Когда это необходимое условие достаточно?
Напомним (см. лекцию IV. 5), что для любой группы Г,
дискретно и гладко действующей на гладком многообра-
зии X, тройка (X, тг, X), где X = X/Г — пространство ор-
бит, а тг — каноническое отображение X —> X, является
гладким регулярным накрытием с Aut X = Г, и любое регу-
лярное накрытие нзоморфно накрытию такого вида.
Задача 6. Покажите, что для любой группы Г
аффинных автоморфизмов, дискретно действующей
на пространстве аффинной связности X, на много-
образии X = X/Г существует единственная аффин-
ная связность, по отношению к которой накрытие
(X,ir,X) аффинно.
Ср. предложение 3 лекции IV.5.
Таким образом, мы видим, что справедливо следующее
предложение.
Предложение 3. Если в гладком регулярном на-
крытии (Х,1Г, X) многообразие X является простран-
ством аффинной связности, то на X тогда и только
тогда существует аффинная связность, по отноше-
нию к которой это накрытие аффинно, когда груп-
па AutX состоит из аффинных автоморфизмов про-
странства X. Q
В дальнейшем нам понадобится также следующее про-
стое — по существу, очевидное — предложение.
Предложение 4. В аффинном накрытии (Х,к,Х)
пространство X тогда и только тогда геодезически
полно, когда геодезически полно пространство X.
Доказательство. Пусть пространство X геодези-
чески полно, и пусть
рех, АеТ?Х, p = K(p), A = (dK)?A.
Рассмотрим геодезическую 7: t expptA. По условию эта
геодезическая определена для всех t G R. Согласно тео-
реме 1 лекции IV.2 (или, точнее, согласно ее варианту, от-
носящемуся к кривым вида R —> X и очевидным образом
вытекающему из теоремы 1 лекции IV.2), в многообразнн X
существует такая крнвая 7: R —> X, что 7Г07 = 7 и 7(0) = р.
Лекция 3 ОГРАНИЧЕНИЕ СВЯЗНОСТИ НА ПОДМНОГООБРАЗИЕ 51
Но тогда (йтг)^(7(0) = 7(0 Для любого t G R н, в частно-
сти, = 7(0) = А = (dir)p(A). Значит, 7(0) = А.
Кроме того, так как отображение тг аффинно, то кривая 7
локально (а потому и глобально) является геодезической.
Этим доказано, что для любой точки р G X и любого векто-
ра A G Т~Л* максимальная геодезическая пространства X,
проходящая при t = 0 через точку р и имеющая в этой точ-
ке касательный вектор А, определена для всех t. Значит,
пространство X геодезически полно.
Обратное утверждение доказывается еще проще. Пусть
пространство X геодезически полно, и пусть р G X, A G
6 УрХ. Поскольку отображения тг и(</тг)~ надьективны, су-
ществуют такая точка р G X и такой вектор A G ТхХ, что
р = тг(р), А = (dir)pA, а так как отображение тг аффинно,
то кривая тг о т~ ~, проходящая при t = 0 через точку р,
имеющая в этой точке касательный вектор А и определен-
ная для всех t G R, является геодезической. Следовательно,
пространство
геодезически полно, q
X
Ограничение Обратимся теперь к вложенным подмно-
связности на гообразиям, т. е. — собственно говоря —
подмногообразие к инъективным н монеоморфным погруже-
ниям X —> у. Впрочем, так как любое погружение X —> У
локально (в.окрестности каждой точки р0 G X) инъектив-
но и монеоморфно, то все наши результаты локального ха-
рактера будут применимы к любым погружениям X —> У,
т е. —как принято несколько неточно говорить — к любым
погруженным подмногообразиям X многообразия У. Наг-
лядно это означает, что мы допускаем у X самопересече-
ния (возможно, многократные); поэтому такие X называ-
ются также подмногообразиями с самопересечениями.
(Заметим, что это понятие погруженного подмногообразия
отличается от понятия погруженного подмногообра-
зия в смысле определений 2, 3 лекции III. 13. К сожалению,
оба употребления этого термина одинаково распространены.
Когда нужно будет провести различие, мы будем говорить
о погруженных подмногообразиях с самопересечениями или
без самопересечений.)
52
ОГРАНИЧЕНИЕ СВЯЗНОСТИ НА ПОДМНОГООБРАЗИЕ
Лекция 3
Рассмотрим сначала вопрос в общем виде для связнос-
тей в расслоениях.
Пусть У — произвольное гладкое многообразие, £ =
= (8, тг, У) — гладкое векторное расслоение над У и V —
связность на Тогда для любого подмногообразия X с У
определено расслоение
СЬ —
где £х = 7Г-1^ и -кх = тг^, называемое ограничением
расслоения £ на X.
Заметим, что поскольку отображение тг представляет
собой субмерсию, подпространство £х является вло-
женным подмногообразием многообразия £.
Задача?. Докажите, что
а. Расслоение является гладким векторным расслоением.
[Указание. Над каждой точкой Ь е X слоем ir^(b) расслоения
является слой Ръ = тг-1(Ь) расслоения
в. Расслоение изоморфно расслоению i*£, где с: X -+ У —
вложение (см. лекцию IV.10).
В каждой точке р 6 £х касательное пространство Тр£х
является подпространством касательного пространства Т„£,
содержащим вертикальное подпространство Тр Ь = щр).
Отсюда следует (докажите!), что если Нр — горизонтальные
подпространства связности V, то подпространства
я; = ярптр^, РЕ£Х> (7)
составляют связность на £|д.. Эта связность обозначается
символом Х7|д, и называется ограничением на X связно-
сти V.
Задача 8. Покажите, что V|* = i*V, где i: X -+ У —вложение
(см. лекцию IV .10).
Пусть (Я, х1,..., хп) и (V, р1,..., рт) — такие карты мно-
гообразий X и У, что U = V П X и
ЗГ1 |v = ж1,...,yn|r = хп, y"+I |г = о,.. .,y’n|r = 0 (8)
(см. лекцию Ш.13; таким образом, п = dim X и т = dim У).
Пусть, кроме того, расслоение £ тривиализируется над ок-
рестностью V и, значит, определены формы о>’- «в Г-yda^
ЛеКЦИЯ 3 ОГРАНИЧЕНИЕ СВЯЗНОСТИ НА ПОДМНОГООБРАЗИЕ 53
связности V. Тогда расслоение тривиализируется над U
и формами связности V|^ будут ограничения
форм йа U. В частности, коэффициентами связности
над U будут ограничения Г£у|р коэффициентов Г^у связно-
сти V с индексами к = 1,.. .,п (коэффициенты с к =
- п + 1,..., тп к связности отношения ие имеют).
Операция ограничения сечений а ь-+ а|р определяет го-
моморфизм Г(£, V) —> T(^|^,C7) модулей сечений, согласо-
ванный с гомоморфизмом ограничения FV —► FU, т. е. та-
кой, что
(Ж =
для любого сечения в G Г(£,У) и любой функции f G FV.
Этот гомоморфизм переводит базис {а,} FV-модуля Г(£, V) в
базис {а,-|а} FtZ-модуля U), я потому является эпи-
морфизмом. (Действительно, если в 6 (7) и а =
= где а’ = а‘(®1,.. .,хп) на U, то а = а'|а, где в' —
= 5г(?У,. ,.,уп)а,- на V.)
В частности, это верно для расслоения ту и, значит,
каждое векторное поле X на U является ограничением неко-
торого векторного поля X' на V. При этом, так как для лю-
бой функции f на V имеют место равенства
я/ = £Ш
дук и дх19 '
к = 1,.. ,,п,
то, как показывает очевидное вычисление (мы снова воз-
вращаемся к сечениям произвольного расслоения %),
= (9)
для любого сечения a G Г(^|аг,С7) (где, как и выше, вг —
такое сечение расслоения £ над V, что а'|р = а).
При желании формулу (9) можно прннять за опреде-
ление связности (Конечно, тогда надо доказывать его
корректность.)
В дальнейшем мы будем, как правило, вместо а' и X'
писать просто а и X, а вместо будем писать |^. В этих
Двусмысленных, но удобных обозначениях формула (9) при-
обретает вид
(V|A» = (VXB)L- (У)
54
ИНДУЦИРОВАННАЯ СВЯЗНОСТЬ НА ПОДМНОГООБРАЗИИ
Лекция 3
Надо помнить, что слева s и X определены над U, а справа
над V.
Задач а 9. Покажите, что любое сечение, s (в частности, любое
векторное поле X) над X является ограничением некоторого сече-
ния s' (векторного поля X') над у. [Указание. Сечение s' можно
построить в окрестности любой точки р е X. Эти локальные продолжения
склеиваются в одно с помощью разбиения единицы; см. лекцию III.22. ]
связность наГно* Конечно, все это автоматически прнмени-
ммиз°овТаиномОР мо к случаю, когда £ является касатель-
подмногообразии ным расслоением Ту (и, значит, V — связ-
ностью на У). В частности, формула (9') приобретает в этом
случае вид
тху=(^у)|„ (9")
где слева X и Y — векторные поля, определенные на X (или
на U), а справа — их продолжения на У (на У).
Однако, в этом случае ограниченне ту)* не будет каса-
тельным расслоением гх (и, .значит, связность V|* не бу-
дет связностью на Д’, а У и (V^^y — векторными полями
на X). Можно лишь утверждать, что для любой точки р G X
слон ТрХ расслоения тх будет подпространством слоя Тр^
расслоения ту]*, т. е. что расслоение тх является подрас-
слоением расслоения ту|^.
Задача 10. Покажите, что
а. На произвольном (паракомпактном и хаусдорфовом) много-
образии X для любого подрасслоения г) векторного расслоения { су-
ществует такое подрасслоение (, что
( = V®C (Ю)
(т. е. f£ = fg ® ft ддл ЛЮ(;ой точки р G X). [У к а з а и и е. Введя в (
метрику (см. предложение 3 лекции IV.7), положите ft = (>J)-L.|
б. Все. такие, подрасслоения ( изоморфны. [Указание. Опре-
делите факторрасслоение (/г] и покажите, что оно изоморфно расслое-
нию (.]
В частности, отсюда следует* что в расслоении ту су-
ществует — с точностью до изоморфизма единственное —
подрасслоение р, для которого
ту|^ = тд,®1/. (11)
Определение 2. Каждое подрасслоение г/, удовлетво-
ряющее соотношению (11), называется нормальным (нлн,
Лекция 3 ИНДУЦИРОВАННАЯ СВЯЗНОСТЬ НА ПОДМНОГООБРАЗИИ
55
точнее, аффинно нормальным) расслоением над подмно-
гообразием X в многообразии У. Его слой над точкой
р е X называется нормальным пространством подмно-
гообразия X в точке р и обозначается символом NpX.
Таким образом,
V = TZ +V
для любой точки р G X.
Ранг т — п расслоения v называется коразмерностью
подмногообразия X.
Подмногообразие X, для которого выбрано н зафикси-
ровано некоторое нормальное расслоение и называется нор-
мализованным. Сечения расслоения и называются поля-
ми нормальных векторов на X. (Такне поля называют
также нормальными векторными полями на X, Хотя,
строго говоря, векторными полями на X они не являются.)
Каждое разложение (10) очевидным образом определя-
ет морфизм £ г), ядром которого (в понятном смысле)
является расслоение £. (Заметим, что отнюдь не любой мор-
физм векторных расслоений обладает ядром.) Этот морфизм
для разложения (11) называется нормализующим мор-
физмом. Он однозначно определяется нормальным рассло-
ением и и, наоборот, однозначно его определяет.
По построению нормализующий морфизм Р является
отображением гладкого многообразия £х = £(ту|^) на мно-
гообразие £{гх) = ТХ. Легко видеть (докажите!), что это
отображение гладко. Поэтому в любой точке A G £х (яв-
ляющейся касательным вектором к многообразию У в точ-
ке р = тг(Л) подмногообразия X) определен его дифферен-
циал (dP)A, представляющий собой линейное отображение
линейного пространства ТА£Х на линейное пространство
Tfl(TAf), где В = Р(А)— касательный вектор к подмно-
гообразию X в точке р. Но в линейном пространстве ТА£Х
У нас выделено линейное подпространство НА, состоящее
из векторов, горизонтальных по отношению к связности V.
Поэтому в пространстве Tg(T^) у нас возникает подпро-
странство (dP)AHA.
Задача 11. Покажнте, что
а. Подпространство (dP)AHA зависит только от
точки В еТХ.
56
ФОРМУЛА ГАУССА И ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА
Лекция 3
и вторая основ'
ная форма нор-
мализованного
б. Поле подпространств
B^(dP)AHA (12)
наТХ является связностью на X.
Мы будем обозначать связность (12) символом V* и
будем говорить, что эта связность индуцирована на X связ-
ностью V = V3' на У.
Подчеркнем, что индуцированная связность V"* опре-
делена только для нормализованных подмногообразий. При
изменении нормализации (нормального расслоения) она, во-
обще говоря, меняется.
Для любого векторного поля X на X и
любого сечения s расслоения значе-
ние ((VI*),, s]p ковариантной производной
подмногообразия (Х7|*)х s в точке р G X является вектором
пространства ТрУ. Спроектировав его на подпространство
ТрХ вдоль подпространства NpX (т. е. применив линейное
отображение Рр), мы получим в ТрХ вектор РрК^!^)^ s]p.
Эта конструкция применима, в частности, когда сече-
ние s принимает значения в ТХ С £х, т. е. когда это сечение
является векторным полем Y на X.
С другой стороны, в этом случае в пространстве ТрХ
определен вектор (у£У)р, являющийся значением в точке р
ковариантной производной 57*У.
Задача 12. Покажите, что
(v*y)p = рр[(?1АЧ (13)
для любой точки р G X и любых векторных полей X, У на X.
Формулу (13) можно принять за определение
связности V*. Ее можно переписать в виде
V*Y + h(X,Y), (14)
где h(X, У) — некоторое нормальное векторное поле на X.
В этом виде она называется формулой Гаусса.
Легко ввдеть, что поле h(X, У) линейно (над FX) за-
висит от полей X uY, т. е. соответствие Х,У н Ь(Х, У)
представляет собой FX-линейное отображение
аХ® аХ -4 Го.
ЛеКЦИЯ 3 ФОРМУЛА ГАУССА И ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА 57
Действительно, R-линейность по У и FX-линейность по X
следует из соответствующих свойств ковариантных произ-
водных. Кроме того, для любой функции f на X
(V|A(/n = Xf Y + f .(V|^y
V*(fY) = Xf-Y + fV*Y
Поэтому
h(X,fY) = (ЩД/У) - V'(fY) =
= - V$Y] = fh(X, Y). □
Вариант формулы (14) имеет место и для векторных
полей на кривых.
Задача 13. Для любого векторного поля X: t Xt на кривой у.
Vх X
t н-+ -y(t) многообразия X определены его ковариантные производные —т—
dt
v
и —;— вдоль 7 относительно связностей Vх и Vy (соответственно в X и
at
в У). Покажите, что
уУх dt Vх X ъ, + h(y,X) at (14'1
Уу-у _ dt Vх-у —~- + h(-y,y). at (14")
В частности,
для каждой кривой у на X.
Для любой точки р G X и любых векторов А, В G ТрХ
мы положим-
hp(A,B) = h(X,Y)(p),
где X и Y — произвольные векторные поля на X, для кото-
рых Хр = A, Yp = В (см. следствие 1 леммы 2 Лекции III. 18).
Задача 14. Докажите, что эта конструкция кор-
ректно определяет на X гладкое поле р i-+ hp, т. е. что
вектор h (А, В) не зависит от выбора векторных полей X
и У.
Это поле по традиции называется второй основной
формой (или вторым основным тензором') нормализо-
ванного подмногообразия X.
Если связность V = симметрична, т. е.
58
ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Лекция 3
для любых полей X и Y на У, то
(Vxy)|^-(VyX)^ = lX,y^,
и, значит (см. формулу (9")),
для любых полей X и Y на X. Применив формулу (14) и
приравняв касательные компоненты, мы немедленно полу-
чим отсюда, что
V*X = [*.
т. е. что связность Vх симметрична. Приравняв же нор-
мальные компоненты, мы получим, что
h(X, Y) = h(Y,X).
Таким образом^ если связность симметрична, то
связность V* также симметрична, а вторая основ-
ная форма h(X, Y) симметрична по X и Y.
Вполне геодези-
ческие и авто-
параллельные
подмногообразия
Легко видеть, что каждая лежащая в
X геодезическая 7 многообразия У
(относительно связности W) явля-
ется и геодезической подмногообразия X (относительно
связности V*). [Действительно, если равна нулю левая
часть формулы (14"), то, будучи друг другу ортогональны-
ми, равны нулю и оба слагаемых левой части.] Обратное,
вообще говоря, неверно: геодезическая подмногообразия X
может и не быть геодезической во всем многообразии У (для
этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равен-
ство /1(7,7) — 0)
Определение 3. Нормализованное подмногообра-
зие X называется вполне геодезическим, если каждая его
геодезическая 7 (относительно связности V*) является ге-
одезической и всего многообразия У (относительно связно-
сти V^).
Предложение 5. Нормализованное подмногообра-
зие X тогда и только тогда является вполне геоде-
зическим подмногообразием пространства У с сим-
метрической аффинной связностью, когда его вторая
Лекция 3
ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
59
основная форма h тождественно равна нулю:
h(X,Y) = O (15)
для любых полей X,Y G аХ.
Доказательство. Если условие (15) выполнено,
то в силу формулы (14")
at at
для любой кривой 7: t ► y(t) на X (где слева кривая 7
рассматривается как кривая в У). Поэтому если кривая 7
является геодезической в X, то она будет геодезической и
в У
Обратно, пусть подмногообразие X вполне геодезичес-
кое. Тогда для любой точки р G X и любого вектора А €
е ТрХ геодезическая 7-4 в X (т. е. такая геодезическая 7,
что 7(0) = р и 7(0) = А) будет геодезической ур л и в у. Так
как геодезическая 7 регулярна, то на X существует такое
векторное поле X, что Х^ = 7(t) для всех достаточно ма-
лых |t|. Поэтому (см. задачу 2 лекции IV.11) на X в точке р
будет иметь место равенство
(^Х)Р = ^i(O) = о,
а на У — равенство
v Vy7
^(0)-0
(где, конечно, под X подразумевается его распростране-
ние X' на У). Следовательно, hp(A,A) = h(X,X)(p) = 0.
Так как это верно для любого вектора A G ТрХ и любой
точки р G X, то h(X,X) = 0 для любого поля X G аХ, что
Для симметрической формы h возможно только при h = 0. q
Определение 4. Подмногообразие X пространства
аффинной связности У называется автопараллельным,
если для любых двух точек p0,pI G X и любой кривой 7
в X, соединяющей эти точки, параллельный перенос
П-т У -> Т У
г ₽о ро
60
НОРМАЛЬНАЯ СВЯЗНОСТЬ И ФОРМУЛА ВЕЙНГАРТЕНА
Лекция 3
вдоль 7 отображает подпространство Тр X с Тр У на под-
пространство Тр X с Т У (т. е. вектор, касательный к Л",
остается касательным).
Задача 15. Докажите, что подмногообразие. X то-
гда и только тогда автопараллельно, когда для любых
двух векторных полей X, Y G аХ и любой точки р G X
вектор принадлежит ТрХ.
Отсюда следует, что для автопараллельного подмного-
образия X формула
(^хУ)р = КЧАЧ’ Р е х> x,Yeax,
определят на X некоторую связность Vх. Эта связность со-
впадает со связностью (13), отвечающей произвольной нор-
мализации многообразия X (и, значит, не зависит от ее вы-
бора).
Задача 16. Покажите, что,любое автопараллель-
ное подмногообразие вполне геодезично и, обратно, если
связность симметрично, то любое вполне геоде-
зическое подмногообразие автопараллельно.
В частности, мы видим, что связность, индуцирован-
ная симметричной связностью на вполне геодезиче-
ском многообразии, не зависит от выбора нормали-
зации.
Нормальная Пусть теперь s — произвольное нормаль-
и формула ное векторное поле на X (сечение рассло-
Вейнгартена ения iz). Поскольку s автоматически явля-
ется сечением расслоения Tyl^, то для любого векторного
поля X на X определено сечение (V|^,)zs последнего рас-
слоения. Разложив его на касательную и нормальную ком-
поненты, мы получим формулу вида
(V|,V = -A,X + P^> (16)
где ASX — векторное касательное, a Dxs — векторное нор-
мальное поле на Д’.
Формула (16) называется формулой Вейнгар-
тена.
Лекция 3 СВЯЗНОСТЬ ВАН ДЕР ВАРДЕНА—БОРТОЛОПИ 61
Согласно формуле (16) каждое касательное векторное
поле X G аХ определяет отображение s w Dxs моду-
ля в себя, а каждое нормальное векторное поле s G —
отображение X w АаХ модуля аХ = Г(т^) в себя.
Поля АаХ и Dxs, очевидно, R-линейно зависят от s и
F.Y-линейно от X. Более того, так как для любой функции
/eFA'
- AfsX + Dx(fs) = (?ШЛ) =
= Xf - а + f • (VIA* = “МЛ + (*/•« + J Dxsl
то ,
AfaX = fAaX и D^fs) = (Xf)s + f Dxs.
Следовательно, поле AaX на самом деле РЛ’-линейно
зависит от s, а операторы Dx обладают свойствами а, б,
в из лекции 1 (см. также предложение 2 лекции IV. 1 Г) и,
значит (см. теорему 1 лекции IV. 11), являются операторами
ковариантного дифференцирования относительно некоторой
связности D на и.
Связность В называется нормальной связностью
на X, индуцированной связностью V. (Заметим, что подоб-
но тому как нормальные векторные поля на X не являются
векторными полями на Д’, нормальная связность на Д’ не
является, собственно говоря, связностью на X.)
Связность вы Связности V* н D можно объединить в
дер Вардена— одну. Любые две связности V, н V2 в век-
ортолотти торных расслоениях и (над одним н
тем же многообразием X) естественным образом определя-
ют связность Vt© V2 в сумме Унтни £, ®£2 этих расслоений.
В частности, на векторном расслоении = тх © и (см.
формулу (11)) определена связность
7 = 7л’ф£>. (17)
Связность (17) называется связностью ван дер Варде-
На — Бортолотти.
Сечения расслоений вида
г^® ... ®r£®i/*® ... ®р*®та,® ... ®тА,®р® ... ®z/ (18)
62
СВЯЗНОСТЬ ВАН ДЕР ВАРДЕНА — БОРТОЛОПИ
Лекция 3
называются смешанными (т, и)-тензорными полями
на X. Так как (см. замечание 3 лекции IV. 12) Tyl^-теизор-
ные поля (данного типа (г, s)) представляют собой ие что
иное, как сечеиия расслоения
1"гту!йг = Тг(таг ® v) =
= (тх ® ")* ® • • • ® (ТХ Ф ® (тх ф I/) ® ® (тх ф iz),
Г S
являющегося прямой суммой расслоений вида (18), то лю-
бое Ту\х-тпензорное поле единственным образом раз-
лагается в сумму смешанных (т,и)-тензорных полей,
и, значит, ковариантные дифференцирования, отвечающие
связности (17), однозначно определяются их действиями на
смешанных полях.
Примером смешанного поля является (в силу очевид-
ных идентификаций) вторая основная форма или, вообще,
произвольное FA"-линейное отображение
h: аХ®аХ^Ги. (19)
Поэтому для любого такого поля h и любого векторного поля
X G X определено поле VY/i (также являющееся отображе-
нием вида (19)).
Задача 17. Докажите, что
(7ХЛ)(У,2) = Dxh(Y, Z) - h(VxY, Z) - h(Y, VXZ) (20)
для любых векторных полей X, Y, Z иа X (где, V = 4 х).
Задача 18. Докажите аналогичную формулу для смешанных
(г, 1/)-тензорных полей и запишите ее в координатах.
Связность (17) позволяет ввести в рассмотрение це-
лый ряд интересных классов подмногообразий. Например,
можно рассматривать нормализованные подмногообразия с
ковариантно постоянной (по отношению к связности (17))
второй основной формой, т. е. — см. формулу (20) — такие,
что
Dxh(Y, Z) = h(4xY, Z) + h(Y, 4XZ)
для любых векторных полей X, Y, Z иа X, или нормализо-
ванные подмногообразия с ковариантно постоянным (в том
же смысле) тензором кривизны связности (17) и т. д. и т. п.
ЛЕКЦИЯ 4
Формы кручения и кривизны. — Структурные уравнения Кар-
тана в полярных координатах. — Существование аффинных ло-
кальных отображений. — Локально симметрические простран-
ства аффинной связности. — Локальные геодезические симме-
трии. — Полусимметрические пространства.
Формы кручения Как мы знаем (см. лекцию IV. 19), вместо
и кривизны тензора кривизны удобно рассматривать
формы кривизны
QJ- = ^2 ,kl^xk A dxl = ^Rj kldxk A dxl.
k<l
Переход к формам Q’- адекватен из-за кососимметричности
компонент Rj kl по индексам к и I.
Напомним (см. лекцию IV. 19), что формы кривизны
связности V на векторном расслоении £ являются диф-
ференциальными формами над тривиализирующей окрест-
ностью U и выражаются через формы связности V со-
гласно структурному уравнению Картана
Q = dw + wAw, П = ||О}||, w=||w]||. (1)
Формы же wj определяются (см. лекцию IV. 13) формулой
Vey = Wj ® st-, i,j = 1,..n,
где Sj,..sn — базис модуля сечений Г£ расслоения £ над U
(тривиализация расслоения £ над (7).
В случае аффинной связности за базис s1,..., sn обычно
принимается голономный базис
— (2)
5а:1 ’ 9хп ' '
модуля векторных полей аХ = Гтх над U, отвечающий дан-
ной карте (С/, z1,.. .,хп). Однако, довольно часто удобно не
связывать себе руки свойством голономности и вместо ба-
зиса (2) рассматривать произвольный базис
Хр Хп (3)
64
ФОРМЫ КРУЧЕНИЯ И КРИВИЗНЫ
Лекция 4
модуля аХ над U. Специфику же расслоения тх лучше всего
в этом случае учесть, выражая дифференциальные формы ui
и Qj через базис
01, .... 6п (4)
модуля £11Х над U, сопряженный с базисом (3). (По опреде-
лению 0’(Ху) = 6'-; для базиса (2) О' = dx'.) Таким образом,
работая с базисом (3), мы полагаем
^ = rkj0k ж и (5)
и Щ = (6)
к<1
Функции (функции называются при этом коэф-
фициентами аффинной связности V (компонентами тензора
кривизны R) в базисе (3).
Подчеркнем, что функции Г^- являются коэффициента-
ми связности V в смысле лекции IV. 10 (а функции —
компонентами тензора R в смысле лекции IV. 19) только в
случае, когда базис (3) голономен (имеет вид (2)).
Задача 1. Докажите следующие формулы:
rij = <^(Х) = в‘(?хХД
я;.ы = 0ЧК(хк,хг)хр,
R = RjtkiXj ®& ®0к®61 =
= 22 Rj,ktXi ® V ® (0к л #r) = (X,. ® V ) ® п*.. (8)
к<1
Аналогичным образом, функции
T;k = ei(T(xj,xk))
называются компонентами тензора кручения Т в базисе (3)
При этом
Т = T'jkXi ®&'®0k = Y, Tjhxi ® Л 0*) = X,- ® в’’, (9)
j<k
Лекция 4 ФОРМЫ КРУЧЕНИЯ И КРИВИЗНЫ 65
©•' = Tjk^ лек=^т]к& л ек (Ю)
j<k
__формы кручения связности V в базисе (3).
Выражение компонент Т'-к через коэффициенты связ-
ности Г’й в случае произвольного базиса (3) усложняется и
приобретает вид
^ = ги*]-Ч’ (н>
где сУк — коэффициенты выражений полей через
поля (3):
[Х^Хк] = сГкХ{.
(Действительно, по определению
T(Xj, Хк) = Vx.Xk - ^xkXj - [Xj, XJ
и, следовательно, (?‘(Т(ХрХл)) = &^х.Хк) - Г^Х,) -
-^(1Х3-,Хк]).)
Умножив формулу (11) на №! Л вк и произведя сумми-
рование по j < к, мы слева получим форму кручения ©’.
Справа же первый член будет равен
EW"a«‘ = Iwa9‘ =
J<fc
= i г;.^ л-1 л «* = г;.^ л«‘ = 4 л.
Что же касается второго члена
j<k
то, как легко видеть, он равен дифференциалу dO' формы 0'.
[Действительно, если
j <fc
! М. м. Постников
66
УРАВНЕНИЯ КАРТАНА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Лекция 4
то а'-к = (d0’)(Xj, Хк). С другой стороны, как мы знаем (см.,
например, формулу (6) лекции III. 19),
(^’)(ХР Хк) = х^(хк) - хке\х^ - г\хр xj.
Но так как 0'(Хк) = 6к = const, то Х^0'(Хк) = 0 и, анало-
гично, -Xfc0’(Xj) = 0. Кроме того,
^,хк] = е‘^кхр) = сгк.
Следовательно, а^к = -cjfc.]
Таким образом,
& = dP + г=1,...,п, (12)
или, в матричной записи,
0 = d0 + wA0, (12')
где 0 и 0 — матрицы-столбцы
0 = (G1,...,©”)7, 0 = (0*,...,0П)Т-
Уравнение (12z) называется структурным уравнени-
ем Картана для форм кручения.
В голономном базисе (2) оно сводится к равенствам
О’ = wj Adas3 * *, равносильным формулам (15) лекции 2.
Структурные
уравнения
Картана в
полярных
В случае, когда U является нормальной
окрестностью точки р0 G X, каждая точ-
ка р G U может быть соединена с точ-
координатах кой р0 геодезическим сегментом вида t w
н+ exp tA, где A G Т X и 0 t 1.
ро ро
Мы будем обозначать этот сегмент символом у .
рор
Базис Х1,...,Хп модуля аХ над U называется адап-
тированным, если для любой точки р G U ба-
зис (Xj)p,..., (Хп)р линеала ТрЛ? получается из базиса
(Х.)„ ,(Хп) линеала Т_ X параллельным переносом
Р0 У0 ро
вдоль отрезка у„
3 а д а ч а 2. Докажите, что для любого базиса Aj,...
...,ЛП линеала Т X существует один и только один
ро
Лекция 4
УРАВНЕНИЯ КАРТАНА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
67
адаптированный базис Xlt...,Xn модуля аХ над U,
для которого
(Х^ = Л„ .... (Хп) = А . (13)
о о
[Указание. Конструкция векторных полей Xv...,Xn
очевидна. Доказательства требует лишь их гладкость.]
Мы будем говорить, что базис Х1,..., Хп адаптирован
к базису Лр..., Ап.
Пусть 01,..., 0п — базис над U модуля О1 X, сопряжен-
ный с адаптированным базисом Xv...,Xn модуля аХ, и
пусть, как и выше,
©* = Е л &к > щ = Е RWk л 01
j<k к<1
— соответствующие формы кручения и кривизны.
Здесь оказывается целесообразным технический трюк,
состоящий в том, что мы вводим в рассмотрение переопре-
деленные полярные координаты t,xl,.. .,хп. По опреде-
лению точка р eU имеет координаты t, х1,.. .,хп, если р =
= ехр (йх’Л,.).
Таким образом,
а. Если t, х1,..., хп — координаты точки р, то для любо-
го А О числа tA-1, Ах1,..., Ххп также будут координатами
точки р; при Р / Ро это единственный произвол в выборе
координат t, х1,..., хп.
б. Если х1,.. .,хп — нормальные координаты точки р,
отвечающие базису ЛЛп, то числа ^х1,.. .,х" будут
полярными координатами этой точки.
в. Точка р0 имеет координаты t,0,.. .,0, где t — любое,
и О,!1,.. .,х", где х1,.. ,,х" — любые.
Если С7(0) — подмножество пространства К”4-1 = Rx R",
состоящее из точек (t,x) = (t,x‘,.. .,хп), для которых точка
ехр (£х’Л.) определена и принадлежит U, то формула
/i(t,x) = expPo(tx’X) (14)
будет определять гладкое отображение h: С7(0) —> U и, зна-
чит, для любой формы а на U будет определена форма h*a
д*
68
УРАВНЕНИЯ КАРТАНА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Лекция 4
на СЛ°). О форме h*a мы будем говорить, что она является
выражением формы а в координатах t,xl,.. ,,хп и, как
правило, будем обозначать ее прежним символом а. [Заме-
тим, что ограничение формы h*a при t = 1 равно а.]
Пусть, в частности,
в' = g'dt +-(3',
— выражение формы в' в координатах t, х1,..., хп, где /3 * —
форма, не зависящая от dt, а д' — некоторая функция
на С7(0). Коэффициенты формы /3* зависят, вообще говоря,
от t, и при t = 1 эта форма является не чем иным, как
формой вг.
Что же касается функции д', то она представляет собой
значение формы О' (или, точнее, формы h*0') на векторном
поле —, и чтобы ее вычислить в точке (t,x), надо рассмо-
треть геодезический сегмент 7 = 7 , соединяющий в U
рор
точку р0 с точкой р = h(t,x). Так как касательный вектор
7(t) к геодезической 7 параллелен вдоль 7 вектору 7(0) =
= x'Ait и так как, по построению, векторы получа-
ются из векторов А,- параллельным переносом вдоль 7, то
7(t) = х^Х^щ, и потому
0’(т(О) = ж’> i=l,...,n.
С другой стороны, так как 7(0 = h(t,x), то 7*0’ = g'dt и,
значит,
5f(t,®) = (7*H(^) =0’(Т(О)-
Этим доказано, что выражение формы в' в координатах
t,xl,.. .,хп имеет вид
О' = x'dt + /3', i = 1,..., п,
где (3' — форма, не зависящая от dt (и такая, что
0‘U, = «•')•
Аналогично, значение в точке (t,x) коэффициента
при dt в выражении формы wj через координаты t, х1,.. ,,хп
равно
Лекция 4
УРАВНЕНИЯ КАРТАНА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
69
(см. вторую из формул (7)), и, значит, поскольку поле t
и-» на кривой 7 ковариантно постоянно, это зна-
чение равно нулю. Следовательно, выражение формы wj
через t1, х1,..., хп не содержит dt.
Напомним (см. лекцию III.20), что для любой формы а,
. ,х да
не содержащей dt символом мы обозначаем форму, по-
лучающуюся из формы а дифференцированием по t всех ее
коэффициентов. С внешним дифференциалом da эта форма
связана (см. формулу (6) лекции III.20) соотношением
да
da = да + dt Л —,
dt
где да — дифференциал формы а, вычисленный в предпо-
ложении, что t постоянно (и, значит, подобно форме а не
содержащий dt).
В частности, •
d? = д(? + dt Л
и потому дв*
dd' = dx' /\dt + dt/\ 4- д/3'.
оъ
В силу структурного уравнения Картана (12') отсюда сле-
дует, что выражение формы кручения 0’ через t,xl,...,xn
имеет вид . g t .
0’ = ( dx' —-—I- w'-r7 ) A dt + ...,
’ \ dt J J
где многоточие обозначает члены, не содержащие dt. Так
как, с другой стороны,
01' = | T^jdt + ^) Л (xkdt + (Зк) =
= | (Т^хк - Т]к^(Зк) *dt + ... = -Tjkx?(3k Adt + ...,
где TJk обозначает функции h*T]k = Т]к oh от t.x1,.. .,ccn,
то, следовательно,
dx<_^+^ = -rjkJ(3k,
т. е. 01
^ = dxi + ^ + rjkx’pk, г=1,...,п. (15)
nt J J
70 СУЩЕСТВОВАНИЕ АФФИННЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Лекция 4
Аналогично, в координатах ..,хп структурное
уравнение Картина (1) для форм кривизны имеет вид
(dui+dth~ft) +шкЛш%’
k<l ' '
т. е. вид Q^i
dt Л Н^ыхк0г + ... = dt Л 4-...,
где, как и выше, многоточие обозначает члены, не содержа-
щие dt. Следовательно,
-^ = Я}>ых*/Зг, м = 1,...,п. (16)
Уравнения (15) и (16) вместе составляют замкнутую
систему обыкновенных дифференциальных уравнений отно-
сительно коэффициентов форм (3' и ш*-, рассматриваемых
как функции от t (при фиксированных а?1,.. .,ж”).
Начальные условия для этих уравнений имеют вид
А=о = о, w‘-|t=o = O. (17)
(Действительно, так как Л(0, х) = р0 для любого х, то
н, значит, каждая форма вида h*a равна нулю на векторах
/ д \
I -—-г 1 . При а = в* это дает первое равенство (17), а
Z(0,B)
при а = ш‘- — второе).
Уравнения (15) и (16) называются структурными
уравнениями Картина в полярных координатах.
С их помощью можно легко ответить на поставленный
в лекции 3 вопрос об условиях, обеспечивающих аффин-
ность данного диффеоморфизма /: X —> у. При этом нам
будет удобно ограничиться вначале локальной ситуацией и
несколько видоизменить постановку вопроса.
Существование
аффинных
локальных
отображений
Пусть р0 G X, q0 G У, и пусть
(18)
Лекция 4 СУЩЕСТВОВАНИЕ АФФИННЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 71
__ произвольный изоморфизм линеала Т_ X на линеал
Т у. Из того, что нормальные окрестности составляют фун-
даментальную систему окрестностей, непосредственно сле-
дует, что в линеалах Тр X и Т^У существуют такие нор-
мальные окрестности нуля С7(0) и И°\ что = tpU*r>.
Пусть U = ехр С7(0> и V = ехр_ У<°> — соответству-
ет)
юшие нормальные окрестности точек и в многообра-
зиях X и У- Выбрав базис А.,...,Ап линеала Т X, обо-
значим через а?1,.. .,хп и у1,.,уп нормальные координаты
в окрестностях U и V, отвечающие базисам Д., ...,ДП и
= <Мр1 • •, Вп = Ч>Ап линеалов Тр X и Тд У. Тогда отоб-
ражение 0
f: U->V (19)
по равенству координат (задаваемое формулами у1 = х‘,...
. ,.,уп = хп) будет диффеоморфизмом окрестности U на ок-
рестность V, удовлетворяющим соотношению (df)
= <р.
Пусть, далее, Xlt...,Xn — базис модуля аХ wa&U,
адаптированный к базису Др..., Ап, а У,,..Уп — базис мо-
дуля аУ над V, адаптированный к базису В,,..., Вп.
Наконец, пусть Т]к и /?’• к1 — компоненты тензоров Тх
и Rx в базисе Xv ..., Хп, а Т*к и — компоненты тен-
зоров и R? в базисе Ур .. .,УП, в которых произведена
подстановка у1 = х1,...,уп = хп (т. е. композиции этих
компонент с диффеоморфизмом f:U—t V).
Подчеркнем, что, таким образом, все функции ТД,7?‘. к1
являются, подобно Tjk,R*- к1, функциями на U.
Предложение 1. Отображение (19) тогда и толь-
ко тогда является аффинным отображением, когда
на U имеют место равенства
711 ГТГ1 Dl ____ Dt
jk ~ 1jk^ Kj,kl ~ Kj,kl-
(20)
(Обратите внимание, что, вообще говоря, равенства (20) вы-
ражают нечто совсем иное, чем равенства (6) лекции 3 (при
X = U и У = V)).
72
ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Лекция 4
Доказательство. Аффинность отображения (19)
означает, что пространства аффинной связности X и У отли-
чаются лишь обозначением координат. Поэтому если отоб-
ражение (19) аффинно, то оно переводит базис Xv...,Xn
в базис Ур..Yn, и потому равенства (20) в точности равно-
сильны равенствам (6) лекции 3. Таким образом, если отоб-
ражение (19) аффинно, то равенства (20) справедливы.
Обратно, если имеют место равенства (20), то структур-
ные уравнения (15) и (16) для связностей 4 х и W отли-
чаются только обозначениями координат (переходят друг в
друга при подстановке у1 = х1,..., уп — хп). Поэтому их ре-
шения 3* и ш'-, удовлетворяющие начальным условиям (17),
также отличаются лишь обозначениями координат. Приме-
нительно к формам u'j при t = 1 это означает, что для форм
связностей Vх и V™ имеет место равенство шх =
Следовательно, отображение (19) аффинно. D
Конечно, громоздкий характер условий (20) оставляет
желать лучшего. Их можно усовершенствовать, наложив на
рассматриваемые связности те или иные дополнительные
условия.
Локально симметри- Определение 1. Пространство аффин-
ческие пространства ной связности X называется локально
симметрическим, если
1) связность на X симметрична (тензор кручения Т ра-
вен нулю);
2) тензор кривизны R ковариантно постоянен:
V/? = 0 (покомпонентно: VsjR‘- fcl = 0).
Задача 3. Покажите, что при V7? — 0 параллельный перенос ГЦ
вдоль произвольного пути -у: I —> X сохраняет тензор кривизны,
т. е. для любых векторов А, В б Т_ X, р0 = 7(0), коммутативна диаграмма
Fo
Я. (43)
Тр X .
р0
ч
\х
где Pi =7(1).
Лекция 4
ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
73
Обратно, если эта диаграмма коммутативна для любой геоде-
зической у, то V7? = 0.
Мы будем говорить, что пространства аффинной связ-
ности X и У имеют одну и ту же кривизну в точках
Ро& X и q0 е У, если существует изоморфизм
(21)
переводящий тензор Rx в точке р0 в тензор И? в точке q0,
т. е. если для любых векторов А, В е Т_ X коммутативна
ро
диаграмма
<(А,В)
tv 0 т v
.4 1*
R? (<рА,<рВ)
т„У -5--------► \ у
Ч> Ч0
Из утверждения задачи 3 непосредственно вытекает,
что каждое связное локально симметрическое про-
странство X имеет во всех своих точках одну и ту
же кривизну.
Мы будем говорить, что связные локально симметричес-
кие пространства X иУ имеют одну и ту же кривизну,
если для некоторых (а потому и любых) точек р0 е X и
q0 Е У они имеют одну и ту же кривизну в точках р0 и qQ.
Предложение 2. Если локально симметрические
пространства аффинной связности X и У имеют
одну и ту же кривизну, то любые их точки р0 Е X
и q0 е У обладают аффинно изоморфными окрест-
ностями U и V. Более того, для любого изоморфиз-
ма (21) (т. е. изоморфизма, переводящего Rx в R% )
- Р° °
существует такой аффиннитет
(22)
7(р0) = q0 и (#) = ч>.
Доказательство. За отображение (22) мы при-
мем отображение (19), построенное по изоморфизму (21).
74
ЛОКАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ
Лекция 4
В силу предложения 1 нам достаточно, поэтому, лишь про-
верить условие R*. kl = (см. формулы (20); условие
Tjk = Tjk выполнено автоматически в силу симметричности
связностей Vх и V?).
Но условие ковариантного постоянства тензорного поля
равносильно, очевидно, тому, что его компоненты в про-
извольном адаптированном базисе являются константами.
Поэтому для локально симметрических пространств X и у
функции w н fcl постоянны на U. Следовательно, равен-
ство Rj кг = Rj будет иметь место на всей окрестности U,
если оно имеет место в точке р0.
Поскольку же выполнение этого равенства в точке р0
в точности равносильно тому, что пространства X и У име-
ют в точках р0 и q0 одну и ту же кривизну, это доказывает
предложение 2. q
Замечание 1. Предложение 2 сохранит силу (вместе с доказа-
тельством), если условие Т = 0 для связностей V* и заменить более
слабым условием VT = 0.
Отображение (22) в инвариантной записи задается фор-
мулой
f (exp А) = ехр у>А, A G f/(0). (23)
р0 Ч)
Если многообразие У геодезически полно, то эта формула
имеет смысл для точек ехр А произвольной нор-
ро
мальной окрестности U точки р0 (но получающееся отобра-
жение f: U —> У, вообще говоря, не инъективно).
геодезические Применим предложение 2 к случаю, когда
симметрии X = У, р^ — q0, U = V, a ip представляет
собой центральную симметрию А >-> —А, т. е. к случаю,
когда отображение f:U—*U задается формулой
ехр А w exp (-А).
ро ро
(24)
Отображение (24) называется локальной геодезиче-
ской симметрией в точке р0.
Мы будем обозначать симметрию (24) символом
s„
ро
Лекция 4
ЛОКАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ
75
Предложение 3. Пространство аффинной связно-
сти X тогда и только тогда локально симметрично,
когда для любой точки р0 Е X локальная геодезическая
симметрия (24) является аффинным отображением.
Доказательство. Так как валентность (число ин-
дексов) тензора кривизны четна, то симметрия s перево-
де
дит его в себя. Поэтому если пространство X локально сим-
метрично, то как показано при доказательстве предложе-
ния 2 локальная симметрия (24) является аффинным отоб-
ражением.
Обратно, пусть для всех точек р0 пространства аффин-
ной связности X локальная симметрия s является аффин-
^0
ним отображением (некоторой нормальной окрестности U
точки р0 на себя). Так как аффинные отображения переводят
тензор кручения в тензор кручения, а тензор кривизны — в
тензор кривизны (см. формулы (6) лекции 3), то на U имеют
место равенства s* Т = Т и s* R = R. По определению это
ро ро
означает, что
(dspQ)pTp(A, В) = Tq((dsPo)pA, (ds^B)
и
(</Spo)p о Rp(A, В) = RqWd.Sp'jpA, (dsp<)pB) о (dsp<)p
для любой точки р е U и любых векторов А, В е ТрХ, где
Ч = sp Р-
fo
При р0 = р из первого равенства следует, что
-Тр (А,В) = Тр (—А,—В) = Тр (А, В)
и, значит, что Т = 0 (в точке р0, а потому — в силу произ-
вольности этой точки — и на всем X).
С другой стороны, равенство sp р = q по определению
означает, что существует такая геодезическая 7, заданная
на отрезке [-1,1], что р = 7(-1), р0 = 7(0), q = 7(1). При
этом, так как симметрия s_ является аффинным отображе-
но
нием, то (см. свойство Г из предложения 1 лекции 3) имеет
76
ПОЛУСИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Лекция 4
место коммутативная диаграмма
I
где 70 — отрезок 7|[_iio] геодезической 7. Но, ясно, что
вр О70 = 7“*, где 7] —дополнительный отрезок 7l[0,ij гео"
дезической 7. Кроме того, по определению
(ds ) А — -А
р0 р0
для любого вектора А е Тр X. Поскольку П? = ГЦ о П ,
этим доказано, что 0
<S0)p = -nv на V-
Следовательно, для любых векторов А, В е ТрХ
ГЦ о Лр(А, В) = RqtHyA, ИуВ) о Пу
и, значит (см. задачу 3), V7? = 0 (на U, а потому и на
всем X). q
Предложение 3 объясняет, почему пространства аффин-
ной связности с Т = 0 и VR = 0 называются локально
симметрическими.
Полусимметричес- Условие V7? = 0 означает, что Vx/? =
кие пространства _ Q для любОГО ПОЛЯ X € а X. Поэтому
согласно формуле (18) лекции 2
R(X, Y)R - 0 (25)
для любых полей X, Y е аХ. [Здесь R(X, Y) рассматривает-
ся как дифференцирование алгебры тензорных полей на X,
см. лекцию 2.]
Лекция 4 ПОЛУСИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 77
Таким образом, тензор кривизны любого локаль-
но симметрического пространства удовлетворяет
условию (25).
Пространства аффинной связности, обладающие этим
свойством (и такие, что Т = 0), называются полу симмет-
рическими).
Согласно формуле (21) лекции 2 (примененной к тен-
зору S = R), условие (25) равносильно тождеству
R(X, У) о R(U, V) - R(U, V) о R(X, Y) =
== R(R(X, Y)U, V) + R(U, R(X, Y)V), (26)
которое должно иметь место для любых векторных полей
X, Y,U,V еаХ.
Преимущество условий (25) и (26) перед условием
\7R — 0 состоит в их алгебраическом характере.
ЛЕКЦИЯ 5
Глобально симметрические пространства. — Ростки гладких
отображений. — Распространение аффинных отображений. —
Теорема единственности. —Редукция локально симметрических
пространств к глобально симметрическим пространствам. —
Свойства симметрий в глобально симметрических пространст-
вах. — Симметрические пространства. — Примеры симметриче-
ских пространств. — Совпадение классов симметрических и гло-
бально симметрических пространств.
Глобально
симметрические
пространства
Из предложения 2 лекции 3 следует, что
для любой точки р е X связного локально
симметрического пространства X сущест-
вует не более одного аффинного отображения X —> X, со-
впадающего на некоторой нормальной окрестности точки р с
локально геодезической симметрией sp. Это отображение —
когда оно существует — называется геодезической симме-
трией в точке р и обозначается прежним символом sp.
Определение 1. Пространство аффинной связности X
называется глобально симметрическим пространст-
вом, если оно связно и для любой точки р Е X сущест-
вует — по доказанному единственная — геодезическая сим-
метрия зр. X —> X.
Конечно, каждое глобально симметрическое простран-
ство локально симметрично (и потому его тензор кривизны
ковариантно постоянен).
Обратное утверждение имеет место в следующей фор-
мулировке.
Теорема. 1. Каждое геодезически полное, связное
и односвязное локально симметрическое пространст-
во X глобально симметрично.
Задача 1. Докажите, что любое глобально симме-
трическое пространство геодезически полно. [Ука-
зание. Каждая определенная на конечном интервале ге-
одезическая может быть продолжена посредством подходя-
щей симметрии].
Таким образом, в теореме 1 не является необходимым
лишь условие односвязности.
Лекция 5
РОСТКИ ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
79
Ростки гладких
отображений
Для доказательства теоремы 1 нам удоб-
но ввести одно понятие общематематиче-
ского характера. Пусть X, У — многообразия и р — точка
многообразия X. Введем в рассмотрение множество всевоз-
можных гладких отображении вида f:U—*y, где U — про-
извольная окрестность точки р в многообразии X. Элементы
f : Ц —> У, f2: U2—*y этого множества называются эквгд-
валентными, если существует такая окрестность U точки
р, что U С U{C\U2 nf{\v=. f2\D. Соответствующие классы эк-
вивалентности [/]р называются ростками в точке р € X
гладких отображений из X в У. Множество всех таких
ростков мы будем обозначать символом GJX,y), а дизъ-
юнктное объединение всех множеств Gp(X,y), р е X,—
символом G(X,y):
G(X,y)= Ц У).
Рех
Определим — очевидно, корректно — надъективные отобра-
жения
а;С(Х,У)-*Х, 0: G(X,У)—*У
формулами
Каждое отображение f ; U —> У открытого множества
U с X в У определяет над U сечение
<7: р>-> [Лр, реи,
отображения а. Легко видеть, что пополненное пустым под-
множеством множество {оу£/} всех подмножеств множест-
ва G(X,y) вида оуС/ замкнуто относительно пересечений.
[Действительно, если для отображений /: U —> У, g: V —>
-> У пересечение оуС/ П agV непусто, то существуют точки
peU nV, для которых = [р]р. Множество W всех таких
точек открыто и
ay U П agV = cr^W,
где h = /|w (с равным правом можно считать, что h = <7|w)]
Поэтому (см. лекцию III.7) множество {оу£7} является базой
некоторой топологии на G(X, У).
В дальнейшем мы всегда будем считать G(X,y) топо-
логическим пространством, снабженным этой топологией.
80
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Лекция 5
Ясно, что тогда отображения а и (3 непрерывны. (Заме-
тим, что f = /3 о оу на U для любого f: U —► у.)
3 а д а ч а 2. Покажите, что
а. Отображение- а является локальным гомеоморфизмом.
(Каждая точка [/| 6 G(X,y) обладает окрестностью, которую а гомео-
морфно отображает на окрестность точки р = а!/].)
б. Каждый слой С(Х,У)р = а~*(р) отображения а является дис-
кретным подпространством пространства G(X,y).
в. Топологическое, пространство G(X,y) не хаусдорфово (хотя —
напомним — многообразия X и У мы предполагаем хаусдорфовыми).
Свойство в показывает, что — несмотря на свойства а
и б — отображение а накрытием не является. Однако, оно
вполне может быть накрытием на некоторых подпростран-
ствах пространства G(X,y).
Распространение Пусть X и У являются пространствами
аффинных аффинной связности одной и той же раз-
отображений мерности п. Тогда в пространстве G(X, У)
будет определено подпространство А(Х,У), состоящее из
ростков аффинных отображений U —► у.
Лемма 1. Если f : U —♦ У и g: V —> У — такие
аффинные отображения, что для некоторой точки
[/1Ро=ыРо,
mo f = g на компоненте пересечения U П V, содержа-
щей точку р0.
Доказательство. Немедленно следует из предло-
жения 2 лекции 3. q
Лемма 2. Пусть пространства X и У связны, ло-
кально симметричны и имеют одну и ту же кривиз-
ну. Пусть, кроме того, пространство У геодезически
полно. Тогда пространство А(Х, У) непусто и на каж-
дой его компоненте отображение
а: А(Х,У)-*Х, [f]p^p,
является накрытием.
Доказательство. Достаточно доказать, что для
каждой точки р0 G X существует окрестность, ровно на-
крытая отображением а (см. определение в лекции IV.2).
Лекция 5
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
81
Оказывается, что этим, свойством, обладает окрест-
ность U, являющаяся нормальной окрестностью каж-
дой своей точки. Действительно, рассмотрим всевозмож-
ные множества вида оу U, f — произвольное аффинное
отображение U —► У. Все эти множества открыты, содер-
жатся в от1 U, и в силу леммы 1 любые два из них либо со-
впадают, либо не пересекаются. (Заметим, что окрестность
U, обладая свойством звездности, связна.) Кроме того, каж-
дое из этих множеств отображение а гомеоморфно отобра-
жает на U (докажите!). Поэтому нужно лишь показать, что
эти множества исчерпывают все множество a~'U в Л(Л*,У),
т. е. что для любого ростка [g]p G А(ХУ У), rjift р GU, сущест-
вует такое аффинное отображение f: U —*У, что [<7]р G оу(7
(и, значит, такое, что [д]р = [/]р).
Пусть q = g(p), и пусть <р: ТрХ —► Tqy — дифференци-
ал отображения g в точке р. Так как отображение g (опре-
деленное в некоторой окрестности V точки р, которую мы
можем считать связной) аффинно, то отображение пе-
реводит тензор Rp в тензор Rq . Следовательно, согласно
утверждению задачи 4 лекции 4 существует такое аффин-
ное отображение f: U У, что f(p) = ди (d/)p = <р. Для
завершения доказательства остается заметить, что соглас-
но лемме 1 это отображение совпадает на окрестности V
с отображением g. q
Предложение 1. Пусть X и У — связные, локально
симметрические пространства, и пусть U — связное
открытое подмножество пространства X. Если про-
странство X односвязно, а пространство У геодези-
чески полно, то для любого аффинного отображения
f : U —> У существует такое аффинное отображение
F: X —♦ У, что
f = F\m
Доказательство. Множество <tjU С А(ХУУ}, яв-
ляясь непрерывным образом связного множества U, связно.
Поэтому оно содержится в однозначно определенной ком-
поненте Af(X,y) пространства А(Х,У). Отображение
а\ Af(X,y)-*X,
82
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Лекция 5
будучи по лемме 2 накрытием, является в силу односвязно-
сти пространства X гомеоморфизмом. Поэтому формула
F = /3oa-1
корректно определяет непрерывное отображение F: X —► У,
замыкающее коммутативную диаграмму
Af(X,y) —X
Так как /3 о = /, а а о оу = г, где i — вложение U —► X, то
F\tj = F о г = 13 о а-1 о а о оу = /.
Кроме того, так как отображение а биективно, то для
любой точки р Е X существует такое (единственное с точ-
ностью до эквивалентности) аффинное отображение h: V -+
—> У, где V — некоторая связная окрестность точки р, что
(Л]у Е Af(X,y). Так как окрестность V связна, то для лю-
бой точки q Е V росток = <rh(q) принадлежит А^(Х,У),
и потому
h(q) = P[h]q = (Foa)[h]q==F(q).
Это доказывает, что вблизи каждой точки р Е X отобра-
жение F совпадает с некоторым аффинным отображением.
Поэтому отображение F также аффинно, q
Заметим, что согласно лемме 1 отображение. F един-
ственно.
3 ад а ч а 3. Пусть X, У и U — те же, что в предложе-
нии 1. Пусть, кроме того, S — произвольное многообразие и
/: S^U —► У — такое гладкое отображение, что для любого
s Е S отображение f3: р w f(s,p), р GU, аффинно. Соглас-
но предложению 1 существует — единственное! — отобра-
жение F\ S х X -+ у, обладающее тем свойством, что для
любого s G S отображение Fs: р F(s,p), р Е X, аффинно
и совпадает на U с отображением fs. Докажите, что отоб-
ражение F гладко.
Теперь мы уже можем доказать и теорему 1.
Лекция 5
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
83
Доказательство теоремы I. Достаточно
применить предложение 1 к случаю, когда У = X, a f пред-
ставляет собой локальную геодезическую симметрию, q
Теорема един- Теорема 2. Пусть X — односвязное гло-
ственности бально симметрическое пространство.
Тогда для любого геодезически полного локально сим-
метрического пространства У той же кривизны, лю-
бых точекр0 G X, 6 У и произвольного изоморфизма
ЧУ.ТрХ-+Т9У
’о
касательных пространств, переводящего тензор Rx
в точке р0 в тензор R? в точке qQ, существует един-
ственное аффинное отображение
f: Х->У,
для которого f(pa) = q0 и (df)- = <р.
Доказательство. Достаточно сопоставить пред-
ложение 1 с предложением 2 лекции 4. q
Следствие 1 (Теорема единственности).
Односвязные глобально симметрические пространст-
ва одной и той же кривизны аффинно изоморфны, q
Редукция локально
симметрических
пространств
к глобально,
симметрическим
пространствам
Так как свойство локальной симметрич-
ности имеет локальный характер, то ес-
ли в аффинном накрытии (Х,к,Х)
одно из пространств X или X ло-
кально симметрично, то второе
пространство также локально симметрично.
Аналогично, поскольку кривая 7 в X тогда и только то-
гда представляет собой геодезическую, когда геодезической
является ее проекция 7Г07, то же самое верно и для (нело-
кального!) свойства геодезической полноты, т. е. если в аф-
финном накрытии (X, тг, X) одно из пространств X
или X геодезически полно, то второе пространство
также геодезически полно.
Сопоставляя эти утверждения и вспоминая, что для
любого связного многообразия X существует накрытие
(X,ir,X) с односвязным многообразием X (см. теорему 1
84
РЕДУКЦИЯ ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Лекция 5
лекции IV.5), мы в силу теоремы 1 немедленно получим, что
для каждого связного и геодезически полного локаль-
но симметрического пространства существует гло-
бально симметрическое накрывающее пространство
{которое можно выбрать даже в классе односвязных
пространств).
3 а д ач а 4. Докажите, что если пространство У связно, то пре-
дусмотренное теоремой 2 отображение f является накрытием.
Поскольку для любого локально (и, в частности, гло-
бально) симметрического пространства X и любой его дис-
кретно действующей группы Г аффинных автоморфизмов
многообразие орбит X = X/V естественным образом опре-
деляется как локально симметрическое пространство (тогда
и только тогда геодезически полное, когда геодезически пол-
но пространство X), мы получаем отсюда следующее пред-
ложение.
Предложение 2. Связные и геодезически полные
локально симметрические пространства — это в
точности пространства аффинной связности, изо-
морфные пространствам вида X/V, где X — одно-
связное геодезически полное глобально симметриче-
ское пространство, а Г — дискретно действующая
группа его аффинных автоморфизмов, qj
Таким образом, описание всех геодезически полных ло-
кально (и, в частности, глобально) симметрических про-
странств сводится к описанию всех односвязных геодези-
чески полных глобально симметрических пространств и к
классификации всех дискретно действующих групп их аф-
финных автоморфизмов.
Свойства сим-
метрий в гло-
бально сим-
метрических
пространствах
В основе теории глобально симметриче-
ских пространств лежит следующее пред-
ложение.
Предложение 3. В каждом глобально
симметрическом пространстве X симметрии
Sp'. X —+ X, р € X,
обладают следующими свойствами.
а. Ото бражение
гладко.
X х X —> X, (р, <?) »-+ spq,
(1)
Лекция 5
СВОЙСТВА СИММЕТРИЙ
85
б. Каждая симметрия sp является инволютив-
ным преобразованием, т. е. 8ро sp — id.
в. Точка р является изолированной неподвижной
точкой симметрии sp, т. е. spp = р и существует
такая окрестность U точки р, что spq / q для любой
точки q Е (7\{р}.
г. Для любых двух точек p,q Е X имеет место
равенство
Sg°SpOsq = Spf, где p' = 8qp.
Доказательство. Пусть U — открытое множест-
во пространства X, являющееся нормальной окрестностью
каждой своей точки. Тогда отображение
U х U -4 X, (p,q)>~* spq,
очевидным образом гладко. Поэтому согласно утверждению
задачи 3 отображение (1) гладко на U х X. Поскольку мно-
жества U покрывают X, это доказывает свойство а.
Свойство б вытекает в силу предложения 2 лекции 3
из инволютивности центральной симметрии А -А, А Е
^ТрХ.
Свойство в следует из того, что в окрестности U сим-
метрия sp является локальной геодезической симметрией
expPo A w ехрРо(-А).
Для доказательства свойства г рассмотрим составное
отображение f = sq о sp о sq и точку р = sqp. Так как sqp' =
= р, то У(р') = (sq о 8р)(р) = sqp = р' = s^p'. Аналогично,
(<i/)pzA = -А = (dSpO^A для любого вектора А Е Тр,Х.
Следовательно, согласно предложению 2 лекции 3 / = Sy. g
Симметрические Предложение 3 служит мотивировкой сле-
пространства дующего определения.
Определение 2. Связное хаусдорфовое гладкое мно-
гообразие X называется симметрическим пространст-
вом, если каждой точке р Е X сопоставлен диффеоморфизм
8р. X ->Х
86
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Лекция 5
и эти диффеоморфизмы обладают свойствами а-г из пред-
ложения 3.
Подчеркнем, что в этом определении никаких диффе-
ренциально-геометрических понятий не используется. Оно
предложено Лоосом (который, впрочем, условия связности
не накладывает).
Гладкое отображение f: X —► У симметрических про-
странств называется их морфизмом, если для любой точки
р G X имеет место коммутативная диаграмма
X у
"4 Is’
х у
где q — f(p). Ясно, что все симметрические пространства и
все их морфизмы образуют категорию (тождественное отоб-
ражение и композиция двух морфизмов являются морфиз-
мами; см. ниже лекцию 7).
Замечание 1. Отображение (1) является не чем
иным, как некоторым умножением на X. Поэтому симметри-
ческие пространства можно определить как связные хаус-
дорфовые гладкие многообразия X, на которых задано такое
гладкое умножение
X х X —*Х, (p,q)^p q,
(1')
что
1) р • р = р, и существует такая окрестность U точки р,
ЧТО р - q^ q ДЛЯ любой ТОЧКИ q G U \ {р};
2) Р • (р q) = q;
3) q (p (q r)) = (q-p) r.
С этой точки зрения морфизмы симметрических про-
странств — это просто их гомоморфизмы в общеалгебраиче-
ском смысле (гладкие отображения /: X —♦ У, для которых
f(p • я) = f(p) • f(q), P,q € X). В частности, это доказыва-
ет, что морфизм симметрических пространств тогда
и только тогда представляет собой изоморфизм, ко-
гда он является диффеоморфизмом.
Лекция 5
ПРИМЕРЫ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
87
ПрИ..И,'₽“ЛТ' Пример-задача 1. Проверьте, что каж-
метрических г г rrZi
пространств доя связная группа Ли Q является сим-
метрическим пространством с симметриями
spq = pq~'p, p,qEQ. (2)
(Указание. Существует такая окрестность U единицы е
группы Q, что q2 = е, q G U, только при q = е.]
При Q = Rn симметрии (2) — это обычные центральные
симметрии х 2а - х.
Пример-задача 2. Рассмотрим в (n + 1 ^мер-
ном линейном пространстве V невырожденное (вообще го-
воря, не положительно определенное) скалярное умножение
х,у ху (в другой терминологии — см. лекцию II. 12а —
псевдоевклидову структуру на V). Пусть R / 0, и пусть X —
произвольная компонента сферы {®; х2 = R} пространст-
ва У (в стандартной евклидовой структуре на У это либо эл-
липсоид, либо пола гиперболоида). Покажите, что X явля-
ется симметрическим пространством с симметри-
ями
2хи
sxy=-^-^-y, (3)
(В евклидовом пространстве это симметрии относительно
прямых.)
Пример-задача 3. Пусть, как всегда, К = R, С
или Н, и пусть <7к(т, п) — многообразие всех т-мерных
подпространств пространства Кп (см. задачу 1 лек-
ции III.11). Покажите, что <7к(т, п) является симметри-
ческим пространством, симметрии которого инду-
цированы симметриями вр пространства Кп отно-
сительно подпространств Р G G^(m, п) (симметрия <т.р
оставляет на месте все векторы из Р, а каждый вектор, ор-
тогональный Р, заменяет на противоположный).
Пример-задача 4. Пусть Q — связная группа Ли,
er; Q —► Q — ее инволютивный автоморфизм, Fix (<т) — под-
группа группы д, состоящая из всех элементов a G д, для
которых аа= а, а да — подмножество группы д, состоящее
из всех элементов вида а<т(а)-1, a G д. Так как подгруппа
Fix(cr), очевидно, замкнута и, значит, является подгруппой
Ли (см. теорему 1 лекции IV. 15), то факторпространство
88 СОВПАДЕНИЕ КЛАССОВ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ ЛекЦия 5
<7/ Fix(cr) обладает естественной гладкостью (см. задачу 4
лекции IV. 15). Поскольку же отображение а асг(а)-1, а е
G Q, индуцирует, как легко видеть, биективное отображение
£7/ Fix(cr) —► Qa, эта гладкость естественным образом пе-
реносится в Qa. Проверьте, что гладкое многообразие
является симметрическим пространством с симме-
триями
spq = c<T(c)~1, (4)
где р = о<т(о)-1, q = b<r(b)~1 и с = а<т(а~1Ь).
(Симметрии (4) являются не чем иным, как ограниче-
ниями симметрии (2) на Qa.)
Покажите также, что Qa является замкнутым под-
многообразием группы Q.
Пример-задача 5. Рассмотрим в условиях при-
мера-задачи 4 произвольную подгруппу Н группы Q, удов-
летворяющую соотношениям
Fix(<r)e cFix(cr). (5)
Покажите, что
а. Подгруппа Н замкнута (и потому является под-
группой Ли, а факторпространство Q/H —гладким много-
образием).
б. Факторпространство Q/Н является симме-
трическим пространством с симметриями
spq = a<T(a-1b)W, р = аН, q = ЬН. (6)
Мы будем обозначать это пространство символом (Q/H)a.
При Н = Fix(cr) оно изоморфно пространству Qa из приме-
ра-задачи 4.
В лекции 9 мы увидим, что пространства вида ((7/ft)a
по существу исчерпывают все симметрические прост-
ранства.
Совпадение
классов симметри-
ческих и глобально
симметрических
пространств
ратное.
Согласно предложению 3 каждое гло-
бально симметрическое простран-
ство является симметрическим про-
странством. Оказывается, верно и об-
Лекция 5 СОВПАДЕНИЕ КЛАССОВ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
89
Предложение 4. Каждое симметрическое про-
странство X обладает симметрической связнос-
тью V, по отношению к которой оно является гло-
бально симметрическим пространством с симме-
триями sp. Эта связность единственна.
Таким образом, казалось бы очень общее определение 2
не дает фактически ничего нового.
Связность V из предложения 4 называется канониче-
ской связностью на симметрическом пространстве X.
Для доказательства предложения 4 нам понадобится
следующая лемма.
Лемма 3. Для любой точки р0 симметрического
пространства X в линеале Т X имеет место равен-
”о
ство и
(ds ) =-id.
Доказательство. Так как отображение s ннво-
ро
лютивно и s р0 = р0, то линейный оператор (ds ) также
ро ро р0
инволютивен, и, значит, линеал Т X является прямой сум-
ро
мой подпространств, на одном нз которых оператор (ds )
ро ро
тождественен, а на другом равен — id. Поэтому для доказа-
тельства леммы 3 достаточно доказать, что если для вектора
A е Т X имеет место равенство (ds ) А = А, то Д = 0.
р0 . р0 р0
Введя в X произвольную аффинную связность V' (впро-
чем, достаточно связность V' ввести лишь в некоторой ок-
рестности точки р0), рассмотрим связность
+ *р
____20
2
(см. лекцию IV. 18). Для этой связности V = V, т. е. по
ро
отношению к V отображение sp
дую геодезическую t exp
ро
tA
аффинно. Поэтому каж-
о
связности V, проходящую
при t = 0 через точку р0, отображение s переводит в ге-
ро
одезическую t ь-+ exp tB, где В = (ds„ )_ А. В частности,
ро ро ро
90 СОВПАДЕНИЕ КЛАССОВ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Лекция 5
при В = А отображение s оставляет на месте все точки
ро
ехр_ tA, что при А / 0 противоречит изолированности его
ро
неподвижной точки р0. Следовательно, А — 0. q
Замечание 2. Использованное в этом доказатель-
стве рассуждение доказывает также, что если в симметри-
ческое пространство X введена связность V, по отношению
к которой все симметрии sp, р g X, являются аффинными
отображениями, то локально эти симметрии будут геодези-
ческими симметриями и, значит, пространство X — глобаль-
но симметрическим пространством.
Имея все это в виду, мы можем теперь непосредственно
приступить к доказательству предложения 4.
Доказательство предложения 4. Рас-
смотрим произвольную карту (£7,х1,.. .,хп) многообразия X.
Из леммы 3 следует, что для любой точки pQ G U симме-
трия sv на окрестности U задается в карте (U,xl,.. .,хп)
ро
функциями вида
у* = 2х* - х' + (b'jk)o(x> - 4>(®fe - ®£)+ о(|х - х0|2), (7)
i = 1,..., п, где х^,..., х$ — координаты точки р0, a (b‘.fc) —
некоторые числа, гладко зависящие от точки р0, т. е. яв-
ляющиеся значениями в точке pQ гладких функций b‘.fc,
1 М, k ^п, определенных в окрестности U. (В условной,
1
но наглядной записи = 2 g^g^k на
Заметим, что в силу инволютивности х' выражается че-
рез у7 точно так же, как у' через хР\
- у* + (b'jk)Q(y> - х^(ук -хк)+...
(здесь — ив дальнейшем — мы заменяем о-член многото-
чием).
Пусть связность V существует, и пусть Г^. — коэффи-
циенты связности V в карте (U,xl,.. .,xn), a (Pfcj.) —их
значения в точке р0. Так как относительно связности $ отоб-
ражение s„ аффинно, то (см. свойство Б нз предложения 1
ро
ЛекЦИЯ 5 СОВПАДЕНИЕ КЛАССОВ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 91
лекции 3) на U имеет место тождество
= ду* 9х* Эх* ду{ &хг
% ° % дхг дук ду) ts + дхг dykdyi'
В частности
,г., J?£\ (¥.\ (?*\ (Г) +/'^'1 (-Ш-У =
=(-«;)<-ф(ч!)<г>л+(-4)<2%>о=-<ги - аду,-
и, значит,
(ПД = ~<W
В силу произвольности точки р0 G U этим доказано, что
Цу = на и.
(8)
Таким образом, коэффициенты связности V выражаются че-
рез коэффициенты рядов (7), задающих симметрии sp. Поэ-
тому связность V единственна.
Для доказательства существования связности V мы
определим в каждой карте ([7, х1,..хп) функции Г£. форму-
лой (8). Предложение 4 (будет доказано, если мы покажем,
что
а. Эти функции являются коэффициентами
некоторой связности, т. е. (см. формулы (3) лекции 1)
для любой другой карты (U',xl ,.. ,,хп) на пересечении
U r\U' имеет место равенство
(9)
_ дх^дх^ • дх'' 92х'
k i' дх* дхк' дхУ kj дх* дхк'дхЭ
где Г^, ., — функции (8), построенные для карты ([/', х1',...
б. Симметрии s„ являются по отношению
. Р° х
к этой связности аффинными отображениями.
Пусть на U П U'
а;*' = +<с’'(х* - ж’) + с'-к(х> - х>0)(хк - хк) -I-...
92
СОВПАДЕНИЕ КЛАССОВ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Лекция 5
х* = х'о + cj,(x*' - х'о) + с],# (а/ - 4 )(xfc' - xj') + . . .,
где _ (дх^\ ? = 1 / д2х<’ \
С* “ \ дх< )0' С^к ~ 2 \дхЗдхк)о
i (1 ( 52х* >
с<'“ wJ0’
Тогда, как мы знаем, матрицы ||с},|| и ||с},|| взаимно обратны.
Кроме того, как показывает очевидное вычисление,
J' _ J'i J'y
cjk ~ ci cj'k,cj ск •
В карте (U',x1',. ..,хп ) отображение sp> задается фор-
мулами 0
У1' = 2ха " х*' + (bj'k'XS^' ~ 4 )(4 ~ хо) + • • •,
где Ь'./к, — функции b‘fc, построенные для карты (U1, а?',...
.. .,хп'). С другой стороны,
/ = 4 + 4 (у* - 4)+4*^ ~ 4)(/ ~ 4) + • • •
и, значит,
у*' = х'о + с'-(-(х' - х'о) + (*}fc)0(^ - <4)(хк -х£) + ...)+
+ Cjki^ “ 4)(х>! - хо) + • • • =
= хо + ~ 4) ~ cj'k’(x?' ~ 4,)(a:fc, - хо) - • • •+
+(^)044(^' - 4')(^' - 4')+•••]+
+4^4'^ ~ 4,)(4 - хо)+ • •
Поэтому
+<
Поскольку
J J „к л' л J j „к л'л
tykCjity ci Ср/9/СУ Ck j'Ck' ~ ci cj'k! ’
Лекция 5 СОВПАДЕНИЕ КЛАССОВ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
93
этим доказано, что
Для завершения доказательства утверждения а остается за-
метить, что с точностью до обозначений это и есть соотно-
шение (9), написанное в точке р0.
Пусть теперь X и. У — изоморфные симметрические
пространства и X —> У — произвольный изомор-
физм. Легко видеть, что по отношению к (построенным
выше) каноническим связностям на X и У изомор-
физм <р является аффиннитетом.
Действительно, пусть ([7, х1,..., хп) и (V, у1,..., уп) —
такие карты многообразий X и У, что <pU = V и изомор-
физм на U задается формулами 1
у1=х\ ..., уп = хп (10)
(действует по равенству координат). Тогда для любой точ-
ки р0 G U симметрии sp и sgQ, где q0 = <р(р0), будут вы-
ражаться в картах (U,xl,.. .,хп) и (V,у1,..., уп) одними и
теми же формулами (отличающимися лишь обозначениями
координат). Поэтому для обеих симметрий функции b'-k так-
же будут совпадать и, значит, в картах U и V канониче-
ские связности будут иметь одни и те же коэффициенты
(точнее, коэффициенты одной связности будут переходить
в коэффициенты другой связности при подстановках (10)).
Следовательно, отображение аффинно.
При X = У и <р = S.. это дает утверждение б.
ро
Тем самым предложение 4 полностью доказано, q
ЛЕКЦИЯ 6
Инвариантная конструкция канонической связности. —
Морфизмы симметрических пространств как аффинные отобра-
жения. — Левоинвариантные связности на группе Ли. — Связ-
ности Картана. — Левая связность Картана. — Правоинвариант-
ные векторные поля. — Правая связность Картана.
Инвариантная Каноническую связность на симметрическом
конструкция пространстве X (или, точнее, — соответст-
канонической вующие ковариантные производные) можно
связности описать и инвариантным образом, не исполь-
зуя координат.
Каждая гладкая функция F на X х X и любая точка
q G X определяют на X гладкую функцию
Fq- Р>~* F(p,q), реХ
(след функции F на q-уровне). Пользуясь этим, мы можем
каждому векторному полю X на X сопоставить векторное
поле X1 на X х X, определив его действие на произвольной
функции F G Е(Х х X) формулой
(XlF)(p, q) = (Xty(p), (p,q)<=XxX.
(Мы интерпретируем здесь векторные поля как дифферен-
цирования алгебры функций; см. лекцию III. 16.) Аналогично
определяется поле Xй:
(XuF)(p, q) = (XFp)(q), (p,q)eXxX,
где F“ — функция q »-+ F(p, q) на X.
Так как для каждой функции f на X композиция fop,
где р — умножение в X (см. замечание 1 лекции 5), явля-
ется функцией на X х X, то эта конструкция позволяет для
любых двух полей X, Y G а X и любой функции / G FX
построить на X х X функцию
XlYu(f ор) = YnX\f о р).
Лекция 6 ИНВАРИАНТНАЯ КОНСТРУКЦИЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ 95
Композиция Х1}^/ о д) о Д этой функции с диагональ-
ным отображением Д: X —> X х X, (р,р), будет, сле-
довательно, функцией на X. Мы определим оператор
X Y: FX —> FX, положив
(ХУ)/ = Х1Уп(/од)оД (1)
для любой функции f е FX.
Найдем выражение этого оператора в координатах.
Пусть (U,xl,.. .,хп)— произвольная карта многообра-
зия X. Как мы знаем (см. лекцию III. 15), функции
®*оргр ..., ®поргр X1 орг2, ..., хпорг2
являются координатами на произведении U х U С X х X.
Мы обозначим координаты х1 о ргр .. ,,хп о рг1 символами
х',.. -,хп, а координаты х1 о рг2,.. ,,хп о рг2 — символами
у',.. ,,уп. Тогда для векторного поля X = Х‘ —7 на U поля
ОХ*
X1 и Xй на U х U будут задаваться формулами
X1 = Х>) Дт, X11 = Х’(у)^,
v 'ar*’ ""ду»
а умножение д будет записываться в координатах вектор-
функцией д(®, у) с компонентами
/Л®, у) = 2хг -уг + Цк(х)(у> - х>)(ук - хк) + ...
(это в точности формулы (7) лекции 5, в которых х'о заме-
нено на х\ а х' на у'). Поэтому
x'y“(/oM) = x<(I)A(r.(s)^»/ ) =
ах* \ иу? ахК /
\ дх'дуЭ dxk dxi dyj dxldxk J ’
где i
I" _24-24^-^) + ...,
aV* = _,.k .
dx'dyi ’
96
МОРФИЗМЫ КАК АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Лекция 6
и, следовательно,
Х’У"(/ О д = XV (-2Ь‘- 2^‘^е)
т. е.
(п2 а \
+ ) на и. (2)
дхгдхЭ ']дхЧ
(Таким образом, мы видим, что X • Y является дифференци-
альным оператором второго порядка.)
Чтобы получить дифференциальный оператор первого
порядка (векторное поле), мы заметим, что
Я2 9Y3 д
ХУ = Х’У'—+Х’^-^.
дхгдхЭ дх1 дх>
Поэтому
XY+l-X'Y=(xid^--1&Х’уЛ /г
2 \ дх* '3 J дхк
и, значит (см. формулу (8) лекции 5 и формулу (4) лек-
ции 1),
^Y (3)
(на U, а Потому — в силу произвольности окрестности U —
и на всем X).
Формулу (3) — с учетом формулы (1) — можно принять
за определение канонической связности на X.
Задача 1. Докажите, что оператор кривизны канонической связ-
ности действует по формуле
R(X, Y)Z = ^(X-(YZ)-Y(X-Z)), X, Y, Z e о X,
правая часть которой определяется очевидным образом.
(Указание. Докажите предварительно, что X(Y • Z) = XY Z +
+ У XZ.]
(4)
Морфизмы
как аффинные
отображения
Сравним теперь морфизмы и аффин-
ные отображения симметрических про-
странств.
Лекция 6
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГРУППЕ ЛИ
97
Предложение 1. Отображение f : X —> У симме-
трических пространств тогда и только тогда явля-
ется морфизмом, когда оно представляет собой аф-
финное отображение (по отношению к каноническим
связностям на X и У).
Доказательство. Если отображение f аффинно,
то для любой точки р е X отображения fosp и s^of также
аффинны (поскольку каждая симметрия является по отно-
шению к канонической связности аффинным отображени-
ем). С другой стороны, так как (dsp)p = - id и (<^/(р))/(р) =
= — id, то
d(f ° »р)р = ~(df)p = d(sf(p) ° f)P,
и, значит, согласно предложению 2 лекции 3 эти отображе-
ния совпадают:
/°*р = <7(р)°А
т. е. f является морфизмом.
Пусть теперь /: X —> У — произвольный морфизм сим-
метрических пространств.
Задача 2. Докажите, что если поля X, Y G аУ
f-связаны с полями X, Y G аХ, то оператор X Y
f -связан с оператором X • Y (т. е.
(X • Y)tp о f = (X • Y)(<p о f)
для любой гладкой функции на У).
Поскольку аналогичное свойство, очевидным образом,
имеет место и для оператора XY, это в силу формулы (3)
доказывает, что отображение f удовлетворяет условию А
из предложения 1 лекции 3, и, значит, это отображение аф-
финно. q
Левоинвариант-
ные связности
на группе Ли
Интересные примеры связностей возника-
ют в теории групп Ли. Пусть Q — произ-
вольная группа Ли.
Определение 1. Связность V на группе Ли Q называ-
ется левоинвариантной, если для любых двух левоинва-
риаитных векторных полей X и Y (элементов алгебры Ли
g = 1<7) поле VXK также левоинвариантно (принадлежит
алгебре Ли д).
4 М. М. Постников
98
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГРУППЕ ЛИ
Лекция 6
Задача 3. Покажите, что связность V на группе
Ли Q тогда и только тогда левоинвариантна, когда
каждый левый сдвиг
La: Q pi-> ар, а,р G Q,
является аффиннитетом. [Указание. См. свойст-
во А аффинных отображений из предложения 1 лекции 3.]
Для каждой левоинвариантной связности V формула
а(Х,У) = ^У, Х.У6 0,
определяет некоторое отображение
а- 0 х g -> д. (5)
Это отображение, очевидно, R-билинейно, т. е. является ум-
ножением на линейном пространстве д.
3 а д а ч а 4. Покажите, что каждый базис
*1, .... Хп (6)
алгебры g (над полем R) является также базисом мо-
дуля aQ (над алгеброй F0). [Указание. Для каждой
точки a G Q векторы . ,,(Хп)а составляют базис ли-
неала Та&.]
Поэтому каждая левоинвариантная связность на Q од-
нозначно определяется полями А- = а(Х{,Х^)\ если X =
= ГХ< *Y = cpXj, где е F0, то
Vxy = f[WHJ+?Afj.]. (7)
При этом, как показывает автоматическая проверка,
для любых полей А,у G g, i,j = 1,..п, формула (7) опре-
деляет левоинвариантное ковариантное дифференцирование
на &, для которого а(Х(-,Ху) = Afj-.
Следовательно, соответствие
связность V <=> умножение а
является биективным соответствием между лево-
инвариантными связностями на группе Ли <3 и умно-
жениями а на алгебре Ли g = 10.
Лекция 6
СВЯЗНОСТИ КАРТАНА
99
Ясно, что каждое умножение (5) единственным образом
представляется в виде
а = с/ + а",
где а' — коммутативное (симметрическое), а о" — антиком-
мутатнвное (кососимметрическое) умножения: достаточно
положить
У(Х. n _ ojX.Y^Y.X^ = а(Х,П-а(У,Х)
для любых полей X, Y е д.
Задача 5. Покажите, что умножение а тогда и
только тогда антикоммутативно (тп. е. о! = 0), ко-
гда а(Х,Х) = 0 для любого поля X G д. [Указание.
Рассмотрите поле а(Х + Y,X + У).]
Из утверждения задачи 4 следует, что каждое
FcJ-линейиое отображение
Т: aQ х aQ —> aQ
(тензор типа (2,1) на Q) однозначно определяется его зна-
чениями Т(Х, У) на полях X, У G д. В частности, это верно
для тензора кручения произвольной левоинвариантной связ-
ности V. Но так как для этого тензора
Т(Х, У) = Vxy- VYX-[X, У]=а(Х, У)-а(У,Х)-[Х, У]=
= 2а"(Х, У) - [X, У], X,YEg,
то, следовательно, левоинвариантная связность V на
группе Ли Q тогда и только тогда симметрична, ко-
гда
а"(х,У)Ц[х,У]
для любых полей X, У G д.
Связности При заданной на Q связности для каждого
Картана вектора A G TeQ через точку е группы Q
проходят две кривые, имеющие в этой точке касательный
вектор А, — однопараметрическая подгруппа /3А и геодези-
ческая 7а.
4*
100
СВЯЗНОСТИ КАРТАНА
Лекция 6
Определение 2. Левоинвариантная связность V на
группе Ли Q называется связностью Картона, если для
любого вектора A G Tf<7 кривые /3А и уА совпадают:
/Зл = 7л< АеТед.
Задача 6. Докажите, что для любой точки а Е Q и любого
вектора А 6 TOG геодезической связности Картана, проходящей
при t = 0 через точку а и имеющей в этой точке касательный
вектор А, является кривая Ra°(iAQ- Ь ^А0(4)а> г^е А) = (<ЗЯО-1)ОА.
В частности, отсюда следует, что по отношению
к произвольной связности Картана каждая группа Ли
геодезически полна.
Как мы знаем (см. лекцию IV. 14), каждая однопараме-
трическая подгруппа /3 = рА представляет собой интеграль-
ную кривую левоинвариантного векторного поля X G д, для
которого = А, т. е. ограничение поля X на /3 является
полем касательных векторов 1»-» /3(t). Следовательно,
^(0 = (VyX)/J(t) = a(X,X)3(t) для любого t G R;
откуда вытекает (поскольку левоинвариантное поле в том и
только том случае тождественно равно нулю, когда оно рав-
но нулю хотя бы в одной точке), что подгруппа /3А тогда
и только тогда является геодезической левоинвари-
антной связности V, когда а(Х,X) = 0.
Значит (см. задачу 5), левоинвариантная связ-
ность V тогда и только тогда является связностью
Картана, когда отвечающее этой связности умноже-
ние а антикоммутативно.
Проще всего задать такое умножение формулой
а(Х,У) = А[Х,У], X, YE 9,
где А — некоторое число. Тензор кручения соответствующей
связности будет принимать на полях X, У G g значение
Т(Х,У) = (2А-1)[Х,У], Х,Уед,
а для тензора кривизны будет иметь место формула
R(X, Y)Z = (А2 - А)[[Х, У], Z], X,Y,Ze g.
ЛеКЦИЯ 6
СВЯЗНОСТИ КАРТАНА
101
При А=1 и А = 0 мы получаем отсюда, что на любой
группе Ли Q существуют две естественные связно-
сти Картана, тензор кривизны которых тождест-
венно равен нулю. Для первой связности
Х7хУ = [X, У] при X, У е 0, (8)
а для второй
Х7хУ = 0 при Х,Уе9. (9)
Для тензоров кручения этих связностей имеет ме-
сто формула
Т(Х, У) = е[Х, У] при X, У 6 0,
где е.= 1 Эля связности (8) и е = —1 для связности (9).
Кроме того, мы видим, что на любой группе Ли Q су-
ществует единственная симметрическая связность
Картана. Для этой связности
VxY=hx,Y] приХ,Уе9 (10)
11 ' '
R(X,Y)Z = ~[[X,Y],Z] npuX,Y,ZEg. (11)
, Задача 7. Докажите, что для связностей (8) и (9) тензор кру-
чения Т ковариантно постоянен:
VT = 0.
|У к а з а и и е.’ Воспользуйтесь общей формулой (9) лекции 2 (при г = 2).]
Связность (10) является полусуммой связностей (8)
и (9) и на этом основании называется иногда средней связ-
ностью.
Тот факт, что однопараметрические подгруппы являют-
ся геодезическими связности Картана, объясняет отмечен-
ный в замечании 1 лекции 1 феномен.
Задача 8. Являясь симметрическим пространством (см. пример-
задачу 1 лекции 5), группа Q обладает канонической связностью. Покажите,
что этой связностью является средняя связность (10).
В частности, отсюда следует, что тензор кривизны
связности (10) ковариантно постоянен:
VR = 0.
102 ЛЕВАЯ СВЯЗНОСТЬ КАРТАНА ЛеКЦИЯ 6
Задача 9. Выведите это свойство непосредственно из форму-
лы (11).
Левая связность Ясно, что условие = О тогда и только
Кя₽т*на тогда выполнено для всех полей X е aQ,
когда оно выполнено для всех левоинвариантных полей X 6
G IQ. Поэтому если мы имеем дело со связностью (9), то
поле Y = ГХ{ (где Х„.. .,Хп — базис (6), a f\...,fn 6
G F<7) тогда и только тогда ковариантно постоянно (условие
= 0 выполнено для всех полей X е аХ), когда Xf' =
= 0 для любого i = 1,..п и любого поля X е IQ. Но если
Х/‘ = 0 для любого поля X 6 IQ, то, очевидно, Xf' = 0 для
любого поля X 6 aQ (см. задачу 4), и потому = const,
т. е. Y ElQ. Это доказывает, что поля Y Е aQ, ковариант-
но постоянные относительно связности (9), — это в
точности левоинвариантные поля Y Е IQ.
В частности, отсюда следует, что для любого пути
и: I —> Q, соединяющего точку р с точкой q, параллельный
перенос Пи, отвечающий связности (9), обладает тем свой-
ством, что rtuXp = Xq для любого поля X Е IQ. Но ясно,
во-первых, что это свойство однозначно характеризует ли-
нейное отображение Пи: TpQ —* TqQ и, во-вторых, что им
обладает также линейное отображение (d,La)p: TpQ —> TqQ,
где а = qp~l. Поэтому Пи = (dLa)p и, значит, Пи не зави-
сит от выбора пути и. Это означает, что по отношению к
связности (9) группа Ли Q является пространством с
абсолютным параллелизмом (даже если группа Q не од-
носвязна!). Параллельными переносами относительно этой
связности являются дифференциалы левых сдвигов La.
На этом основании связность (9) называется обычно
левой связностью Картана на группе Ли Q.
Правоиивариаитиые Векторное поле Y на группе Ли Q на-
векториые поля зывается правоинвариантным, если
для любых элементов a, b е Q выполнено равенство
(^О-1Ь)УО=У6 (12)
где Ra-ib: Q —> Q — правый сдвиг х »-» ха 1Ь на элемент
а~1Ь.
Лекция 6
ПРАВОИНВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
103
Диффеоморфизм обращения и: х •-» х-1 переводит пра-
вые сдвиги в левые и, значит, правоинвариантные поля в ле-
воинвариантные. Поэтому свойства правоинвариантных по-
лей полностью аналогичны свойствам полей левоинвариант-
ных. В частности
а. Проходящие, через точку е траектории право-
инвариантных векторных полей — это в точности
однопараметрические подгруппы группы Q (проходя-
щие через точку е траектории левоинвариантных
полей).
б. Правоинвариантные векторные поля составля-
ют подалгебру алгебры Ли aQ всех гладких вектор-
ных полей на Q.
в. Отображение Y i-+ Ye является изоморфизмом
линеала xQ на касательное пространство Те<7 (с об-
ратным изоморфизмом В •-+ Y, В G где Уа =
= (dRa)eB для любой точки a G Q).
г. Каждый базис
Yv •••, Yn (13)
линеала xQ (над полем R) является базисом (над ал-
геброй FQ) модуля а&.
3 а д а ч а 10. Докажите утверждения а-г непосредст-
венно, без ссылки на теорию левоинвариантных полей.
Задача 11. Докажите, что алгебра xQ изоморфна алгебре IQ.
[Указание. Изоморфизм задается отображением И: aQ -> aS, где и:
S б — диффеоморфизм обращения х н+ ®-1.]
Для любых векторов А, В 6 Теб мы положим
[А.В], = [Х,У]е,
где X, Y — такие левоинвариантные векторные поля на Q, что Хе = А,
Уе = В. (Операция [, ], является не чем иным, как операцией [, ] алгебры
Лн IS, перенесенной в линеал Т,6 посредством изоморфизма 16 -+ Т,6;
см. лекцию 1V.13.) Аналогично вТе6 переносится операция Ли и из алгебры
Лн хб'.
[A,B]r = [X, У)е,
где X, У — правоинвариантиые векторные поля на Q, для которых Хе = А,
Yt = в-
Задача 12. Покажите, что
[ЛВ]Г = -[А,ВЬ.
Предложение 2. Векторное поле Y на группе Ли Q
тогда и только тогда правоинвариантно, когда для
104
ПРАВОИНВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Лекция 6
любого левоинвариантного поля X 6 10 имеет место
равенство
Н,Г1 = 0. (14)
Доказательство. Напомним (см. формулу (14)
лекции III. 17), что для любого векторного поля Y & aQ и
любой гладкой функции f е Fg функция Yf может быть
определена формулой
(Yf)(p) = lim--, peg,
t—>0 t
где <рр: t »-» <pp(t) — траектория доля Y, проходящая при
t,s= 0 через точку р. В случае, когда поле Y правоинвари-
антно, траектория <рр задается формулой
У>(0 = /?(0р = Lp(t)P,
где /3: t»-» (3(t) — траектория, проходящая при 4 = 0 через
точку е (т. е. некоторая однопараметрическая подгруппа).
Поэтому в этом случае
Yf= lim^
J t-+0 t
где предел понимается как поточечный предел функций
на группе д. В частности, применив эту формулу к функ-
ции Xf, где X 6 ад, мы получим, что
(Xf) о Lat) - Xf
YXf = lim -------№--------.
t->0 t ;
С другой стороны, так как оператор X перестановочен, оче-
видно, с поточечным пределом, то
X(f ° Лип) ~ xf
XYf = lim —------
t-+0 t
Но если поле X левоинвариантно, то (Xf) о —
= X(f о L^), и, значит, в этом случае XYf = YXf, т. е.
[X, Y]f = 0. Этим доказано, что любое правоинвариантное
поле удовлетворяет условию (14).
Обратно, пусть Y — произвольное поле на группе д,
удовлетворяющее условию (14). Выбрав в линеале ?д ба-
зис (9), представим поле Y в виде где е Fg. Тогда
для любого поля X e ig будет иметь место равенство
{X, И = (Xf)5< + лх, 5<] = (ХГ)5<
Лекция 6
ПРАВАЯ СВЯЗНОСТЬ КАРТАНА
105
(ибо по уже доказанному [X, = 0). Поскольку [X, У] =
0, это возможно только при Хр = 0, т. е. при = const.
Следовательно, У er<7. g
Правая связность Теперь легко видеть, что векторное по-
Картана ле у на груПпе ди Q тогда и только
тогда ковариантно постоянно относительно связно-
сти (8), когда оно правоинвариантно. Действительно,
если X 6 Iff, то ковариантная производная Х7хУ относи-
тельно связности (8) произвольного поля У = PXj, где
X,, . .,Хп — базис (6), а /*,.. .,fn е Fff, будет выражаться
формулой
Х7хУ = (ХР)Х, + /[X, X,] = [X, f%] = [X, У],
и, значит, Х7хУ = 0 тогда и только тогда, когда [X, У] = 0.
С другой стороны, в силу утверждения задачи 4 равенство
7А,У = 0 тогда и только тогда имеет место для любого поля
X е aff, когда оно имеет место при X € Iff. □
Поэтому (см. выше аналогичное рассуждение для связ-
ности (9)) по отношению к связности (8) группа Ли ff
является пространством с абсолютным параллелиз-
мом, параллельными переносами в котором служат
дифференциалы правых сдвигов R„.
На этом основании связность (8) называется правой
связностью Картана на группе Ли.
3 а д а ч а 13. Докажите, что
а отображение f: Q -+ Q тогда и только тогда аффинно по
отношению к одной из связностей Картана (8), (9), (10), когда оно
аффинно по отношению к каждой из них;
б левые и правые сдвиги La, Ra: Q —♦ Q являются аффинните-
тами по отношению к каждой из связностей (8), (9), (10).
Замечание 1. Как уже отмечалось, для связно-
сти (9) равенство Х7хУ = 0 тогда и только тогда имеет место
для любого поля X е aff, когда У е Iff. Аналогично, для
связности (8) равенство Х7хУ = [X, У] тогда и только тогда
имеет место для любого поля У е aff, когда X е Iff.
ЛЕКЦИЯ 7
Категории. — Функторы. — Функтор Ли. — Ядро й об-
раз гомоморфизма групп Ли. — Теорема Кембелла — Хаусдор-
фа. — Многочлены Дынкина. — Групускулы Ли. — Биектив-
ность функтора Ли.
Категории Основная цель этой лекции — изложить про-
цедуру восстановления группы Ли по ее алгебре Ли. Кроме
того, пользуясь случаем, мы излагаем здесь некоторые обще-
математические понятия, которые нами уже неоднократно
упоминались en passant.
Опыт построения математических теорий уже сравнительно давно по-
казал, что наряду с объектами теории — являющимися обычно множества-
ми, снабженными той или иной структурой, — равноправную, а иногда и
более важную роль играют отображения, сохраняющие эту структуру: в ал-
гебре — гомоморфизмы, в топологии — непрерывные отображения, в теории
многообразий — гладкие отображения. Оказывается, что учет этого обсто-
ятельства позволяет дать абстрактную экспликацию интуитивного понятия
поля действия математической теории.
Пусть С —класс, являющийся дизъюнктным объединением двух клас-
сов ОЬС и Аг С. Элементы класса ОЬС называются объектами, а эле-
менты класса Ar С — стрелками или морфизмами.
Предполагается, что каждому морфизму / ё Ar С сопоставлено два
объекта А, В, что записывается формулой /: А -+ В (или А В). Все
морфизмы вида f: А -♦ В с данными А и В образуют множество, кото-
рое обозначается символом С(А, В) или Нотс(А, В) (употребляется так-
же обозначение Могс(А,В)). О морфизмах из С(А,В) говорят, что они
являются морфизмами из А в В.
Далее, предполагается, что для любых трех объектов А,В,С 6 ОЬС
задано отображение
С(А,В) х С(В,С) -♦ С(А,С),
сопоставляющее любым двум морфизмам f: А -♦ В, д: В -+ С морфизм
из А в С, обозначаемый Символом д»f (обратите внимание на порядок
записи!) и называемый композицией морфизмов fug. Операция »должна
обладать свойством ассоциативности, т. е. для любых объектов А, В, С, D
и любых морфизмов /: А -♦ В, д: В -♦ С, h: С -♦ D должно иметь место
равенство
Л»(3°/) = (h’S)0/.
Лекция 7
ФУНКТОРЫ
107
Наконец, предполагается, что для любого объекта Л = ОЬС в мно-
жестве С(Л, А) (обозначаемом также символом Endc А) указан некоторый
элемент id^, обладающий тем свойством, что для любых объектов В и С и
любых морфизмов /: А-* В яд: С —t А имеют место равенства
/*мЛ=/> Мл*9 = 9-
Морфизм 1<1д называется тождественным морфизмом объекта и часто
обозначается также символом 1А. Впрочем, обычно вместо idA (и 1А) пишут
просто id (или, соответственно, 1).
Класс С, обладающий описанной структурой, называется категорией.
Примеры категорий.
1) Категория UN(K) конечномерных линейных пространств над по-
лем К и их линейных отображений.
2) Категория ТОР топологических пространств и их непрерывных
отображений.
3) Категория DIFF гладких многообразий и их гладких отображений.
4) Категория GROUPS всех групп и всех их гомоморфизмов.
5) Категория 1ДЕ всех групп Ли и всех их гомоморфизмов (гладких
отображений g -t Я, сохраняющих умножение).
б) Категория lie = lie(R) всех конечномерных алгебр Ли над полем R
и всех их гомоморфизмов.
И т. д. и т. п.
О категориях ТОР и DIFF мы уже говорили в лекции Ш.7. Категории
LIE и lie уже рассматривались в Семестре V (См. Постников М. М.
Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. — М.: Наука,
1982), но обозначались они по иному.
Обратим внимание на то, что в примерах 1)~6) объектами являются
множества, снабженные той или иной структурой, а стрелками — отобра-
жения множеств. Подчеркнем, что, вообще говоря, от категории этого не
требуется. В случае же, когда объекты являются множествами, а стрел-
ки — их отображениями, для проверки того, что мы имеем дело с категори-
ей, достаточно убедиться, что тождественные отображения и композиции
морфизмов являются морфизмами.
Функторы Среди разнообразных математических конструкций (со-
поставляющих объектам одной категории объекты другой — или той же
самой — категории) выделяются конструкции, воспринимаемые нами как
«естественные». Интуитивно они характеризуются тем, что не содержат
никаких элементов произвола. Однако, формализовать это свойство, по-
видимому, не легко. Около пятидесяти лет тому назад Маклейн и Эйлен-
берг заметили, что естественные конструкции над объектами всегда могут
108
ФУНКТОРЫ
Лекция 7
быть распространены на морфизмы, и предложили положить это свойство
в основу формальной экспликации понятия естественной конструкции.
Пусть С и D—две категории. Отображение
<D:ObC-+ObD (1)
называется естественной конструкцией, если существует отображение
Ф: ArC ->ArD, (1')
удовлетворяющее одному из следующих двух наборов условий: либо
а если /: А -+ В, то Ф(/): Ф(А) -> Ф(В);
б если f — то Ф(/) = id^^;
в если f = h°g, то Ф(/) = Ф(й)«Ф(р),
либо
а' если /: А -+ В, то Ф(/): Ф(В) -+ Ф(А);
б' если f = idx, то Ф(/) = id^j;
в' если f = h«д, то Ф(/) = Ф(д)« Ф(й).
Об отображении (V), удовлетворяющем условиям а, б, в или а', б',
в', говорят, что оно обладает свойством функториальности, а об отоб-
ражениях (1) и (V) вместе, —что они составляют функтор (когда выпол-
нены условия а, б, в) или кофунктор (когда выполнены условия а', б',
в') из категории С в категорию D. При этом отображение (1) называется
объектной частью, а отображение (1') — стрелочной частью функ-
тора (кофунктора) Ф. Таким образом, конструкция естественна, если она
является объектной частью некоторого функтора или кофунктора.
Заметим, что стрелочная часть (Ко)функтора однозначно определяет
его объектную часть.
Функторы называются также ковариантными функторами, а ко-
функторы—контравариантными функторами.
Свойство функториальности у нас уже фактически многократно встре-
чалось. Напрймер, им обладают соответствия f f* из лекции Ш.18,
с. 296, и соответствие <р <р* из лекций Ш.20, с. 311. См. также в лек-
ции IV.4, с. 61, соответствие h н+ \, и в лекЦЙи IV.23, с. 409, соответствие
/-+/*. [Контрольный вопрос. Естественна ли конструкция X i->
н+ТЯ’ из лекции Ш.15, с. 252?]
Функтор Ли Рассмотрим вопрос об естественности
конструкции
группа Ли д ==> алгебра Ли IQ. (2)
[Весь дальнейший материал этой лекции может быть
найден в Семестре V (см., в частности, лекции V.3 — V.12),
но — как уже было сказано в предисловии — мы дадим здесь
Лекция 7
ФУНКТОР ли
109
независимое изложение (правда, опустив наиболее трудные
доказательства).]
Пусть ft ff Н — произвольный гомоморфизм групп
Ли. Напомним (см. лекцию 3), что поля X е aff, Y е аП
называются f-связанными, если
57(a) = (df)aXa
для любой точки а е ff.
Предложение 1. Для любого левоинвариантного
поля X е Iff существует единственное левоинвари-
антное поле Y G IW, которое f-связано с полем X.
Доказательство. Если поле Y существует, то
Ye - (df)eXe и Yb = (dLb)eYe для любой точки b е Н, т. е.
Yb = (dLb)e(df)eXe, ЪеН. (3)
Это доказывает единственность поля Y.
Для доказательства существования поля Y мы опреде-
лим его формулой (3), т. е. формулой
Yb = d(Lbof)exe, be к.
Ясно, что это поле левоинвариантно (принадлежит VH). Кро-
ме того, так как о f = f о La для любой точки а е ff
(ибо /(ал) = f(a)f(x)), то
У/(о) = d(f о До)еХе - (df)a(dLa)eXe = (df)aXa,
и, значит, поле Y /-связано с полем X. q
Обозначив поле Y через l(f)X, мы, следовательно, по-
лучим некоторое — очевидно, линейное — отображение
1(f): Iff-^IK
являющееся согласно утверждению задачи 5 лекции III. 17
гомоморфизмом алгебр Ли. Поскольку соответствие / •-> I (/)
обладает, как легко видеть, свойствами а, б, и в, это дока-
зывает, что конструкция (2) естественна.
При отождествлении алгебр Iff и VH. с касательными
пространствами Teff и ТеП (см. лекцию IV. 13) гомомор-
физм 1(f) будет не чем иным, как дифференциалом
(4f)e: Tea-> TeW (4)
отображения / в точке е.
Построенный функтор ff •-> Iff, /•"->!(/) из категории
LIE в категорию lie называется функтором Ли (левым).
по
ЯДРО И ОБРАЗ ГОМОМОРФИЗМА ГРУПП ЛИ
Лекция 7
Задача 1. Докажите, что при интерпретации элементов
алгебр Ли Iff и VH как однопараметрических подгрупп (см. лек-
цию IV.JJ)) гомоморфизм 1(f) задается соответствием
Д-+/оД, 0:R-tff. (5)
[Указание. Формула (5) означает, что для любого гомоморфизма /;
Q —» Н групп Ли имеет место коммутативная диаграмма
„ h
0 -----* Ч
ехр| jexp (6)
где 0 = 10, Ь=1К] ° —
Аналогично строится правый функтор Ли Q w xQ,
f
1 3 а д а ч a 2. Покажите, что при соответствующих отождествлениях
гомоморфизм x(f) задается теми же формулами (4) и (5). (Переход от IP
к хО меняет лишь направление движения на однопараметрических подгруп-
пах; ср. задачу 11 лекции 6.)
Ядро и образ Ядро Кег/ произвольного гомоморфизма
гомоморфизма 0 —> % групп Ли, являясь замкнутой
групп Ли подгруппой группы Ли Q, будет подгруп-
пой Ли этой группы (см. теорему 1 лекции IV. 15). Ее алгеб-
ра Ли состоит из таких полей X е д, что для всех t имеет
место равенство /(ехр tX) — е, т. е. — см. диаграмму (6) —
равенство ехр(Н(/)Х) = е. Поскольку равенство ехр4У = е
имеет место для всех t тогда и только тогда, когда У = О,
этим доказано, что алгеброй Ли ядра гомоморфизма f
служит ядро гомоморфизма 1(f):
I(Ker/) = KerI(/).
Аналогично, пусть 1т/ — образ гомоморфизма / (явля-
ющийся абстрактной, но в отличие от ядра, вообще говоря,
незамкнутой подгруппой группы И), и пусть J — связная
подгруппа Ли группы Н, отвечающая подалгебре Iml(/) =
= l( f)g алгебры Ли I) = 17/. Так как подгруппа J порожда-
ется элементами вида ехр l(f)X = /(ехр X), X 6 д, а компо-
нента единицы <7е группы Q — элементами ехр X, то / отоб-
ражает (7е на J. Так как
аёА
Лекция 7
ЯДРО И ОБРАЗ ГОМОМОРФИЗМА ГРУПП ЛИ
111
где А — семейство представителей смежных классов груп-
пы Q по подгруппе де, то, следовательно,
Im/= [pj,
ьев
где В — семейство представителей смежных классов аб-
страктной группы Im/ по ее подгруппе J. Мы перенесем
гладкость с J на bj, Ь е В посредством биективного отоб-
ражения Lb: х w Ьх, х е J, а затем введем в 1т/ топо-
логию (и гладкость), считая все гладкие многообразия bj
компонентами связности группы 1т/. Ясно, что тем самым
мы корректно введем на Im / структуру гладкой подгруппы
группы Ли Н, по отношению к которой отображение Q —>
1т/, а w /(а), а е <70, будет гладко. Таким образом,
образ ha.f любого гомоморфизма f : Q —> Н групп Ли
является подгруппой Ли группы Ли “Н.
При этом (Im /)е = J и, значит, алгеброй Ли подгруп-
пы Amf служит подалгебра Iml(/) алгебры Ли I) = I'M:
I(Im/) = ImI(/).
[Заметим, что подпространством топологического про-
странства Н подгруппа 1т/, вообще говоря, не явля-
ется. ]
Мы знаем (см. задачу 4 лекции IV. 15), что для любой
замкнутой подгруппы Н группы Ли Q в факторпространство
G/Н естественным образом вводится гладкая структура, по
отношению к которой каноническое отображение
g-+g/H, aw аН, aeg, (7)
гладко. С другой стороны, согласно общим теоретико-
групповым результатам, если подгруппа Н инвариантна, то
относительно операции
аН-ЬН = аЬН, a,beg, (8)
множество g/Н является группой, а отображение (7) гомо-
морфизмом.
3 а д а ч а 3. Покажите, что
а. Относительно умножения (8) гладкое многооб-
разие g/Н является группой Ли (и, значит, отобра-
жение (7) — гомоморфизмом групп Ли).
112
ТЕОРЕМА КЕМБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
Лекция 7
б. Алгеброй Ли группы Ли Q/H служит фактор-
алгебра g/Ij:
1(^/«) = 9/Ь> 9 = 10, b =
[Напомним — из курса алгебры, — что для любой алгебры А
и любого ее (двустороннего) идеала В факторпространство
A/В является алгеброй относительно операции (х + В)(у +
+ В) = ху + В, х,у G А. Эта алгебра называется фактор-
алгеброй алгебры А по идеалу В. В случае, когда А является
алгеброй Ли, алгебра А/В также будет алгеброй Ли.[
Группа Ли Q/H называется факторгруппой группы
Ли Q по ее инвариантной замкнутой подгруппе И.
Задача 4. Покажите, что каноническое отобра-
жение
0/Kerf-»Imf, a Ker f ьч f (а),
является изоморфизмом групп Ли.
Теорема Кембел- В своем месте (см. замечание 1 лек-
ла—Хаусдорфа цщ jv. 14) мы уже отмечали, что по опе-
рации Ли [ , ] в алгебре Ли (Р = Те<7 можно полностью
восстановить умножение в группе Ли Q. Опишем это вос-
становление подробнее.
Одночленом Ли степени п от X, Y называется вы-
ражение вида
[.. .пхрх2], Х3],.. ,,ХП],
где каждое Х{, г= 1,..., л, есть либо X, либо У, а многоч-
леном Ли от X, Y (над полем Q) — конечная формальная
сумма
|=22а,л,
где >pi — одночлены Ли, а а,- — рациональные числа. Если
все одночлены Ли <pit для которых а,- / 0, имеют одну и ту
же степень л, то многочлен Ли f называется однородным,
а л называется его степенью.
Формальным рядом Ли называется бесконечная фор-
мальная сумма вида
f=fo + f1+-.- + fn + ---. (9)
где fn — однородный многочлен Ли степени л.
Лекция 7
МНОГОЧЛЕНЫ ДЫНКИНА
113
Если X и У — элементы некоторой алгебры Ли 9 (над
произвольным полем К характеристики нуль), то для любого
многочлена Ли f от X, Y определено его значение f(X, У),
являющееся элементом алгебры 9. Для ряда (9) это дает
бесконечный ряд
f((X, У) + ... + fn(X, У) + ...
в д. Если (при К = R или С) этот ряд сходится, то его сум-
ма обозначается символом f(X, У) и называется значением
ряда (9) на элементах X, У.
Допуская общепринятую вольность, мы будем употреб-
лять символ f(X, У) и для обозначения ряда f.
Теорема. 1. Существует такой формальный
ряд Ли
3(Х, У) = 3, (X, ¥) + ... + Зп(Х, У) + ..., (10)
что для любой группы Ли Q и любых элементов X, У G
6 \Q, принадлежащих некоторой нормальной окрест-
ности UQ нуля алгебры Ли 1<7 = 9, значение 3(Х, У) ря-
да (10) определено и имеет место равенство
ехрХ • ехр У = ехрЭ(Х, У). (11)
Эта теорема известна как теорема Кембелла —
Хаусдорфа.
Доказывать ее мы здесь не будем. См. Семестр V.
Многочлены
Дыикина
(12)
Начальные члены ряда (10) имеют вид
Э1(Х,У) = Х + У, 32(Х,У)=|[Х,У],
33(Х, У) = ^ЩХ, У], У] - ЦХ, У], X]).
Первые две формулы составляют содержание теоремы 1 лек-
ции IV. 14. Тем же методом можно найти и следующие чле-
ны, но с ростом степени вычисления стремительно усложня-
ются. Тем не менее, оказывается, что можно указать явную
формулу для ЭП(Х, У). Эта формула принадлежит Дынкину
и имеет вид
(О)
fc-l
P^-PkW-
114
МНОГОЧЛЕНЫ ДЫНКИНА
Лекция 7
где внутреннее суммирование распространено на все целые
неотрицательные показатели . .,Pj.,gj., для которых
Pi + ?i> 0, pk + qk>0,
(Pi + <7i) + • + (Pfc + <7fc) = n,
и где положено
[X₽iy«i =
= [.. 4Х,Х],Х,...,Х|У],...,У|, • •
Р, 91 Рк Чк
Замечание 1. Считая переменные X и Y некоммутирующими,
рассмотрим формальный ряд 1п(ехеу), где
Пусть
1п(е*еу)=У>п(*-У)’
п-1
где гп(Х, Y) — некоторые однородные многочлены степени п от некомму-
тирующих переменных X, Y, и пусть [«n(X, У)] — многочлен Ли, получаю-
щийся из многочлена жп(Х, У) при подстановках
XpiYgi ...X^Y^ => [Лр1У?‘...Х^У’*].
Оказывается, что
Эп(Х,У)=1[жп(Х,У)1.
См. Семестр V.
Это позволяет легко запомнить формулу Дынкина (и дает намек на ее
доказательство).
Обратим внимание на то, что формула (13) содер-
жит, вообще говоря, много неприведенных подобных чле-
нов (в том числе равных нулю). Например, при л = 3 эта
формула дает (члены, равные нулю, мы не выписываем)
yi. VILL21I1 _ If ВШ! 4. ПУЛ1Л],
’ 3\ 112! 2\ 0!1!1!1! 0’1’210!
.11ХУ1.У] . 11ХПУ1 . ,
1’0!0’2! Ш!0!1! 1!Ш!0! /
1/ЦУ,Х],У] [[У,Х],Х] [[Х,У1,У] , ЦХ,У],ХП\
3 \ О’. 1! 1 !0!0! 1 ’ О’ 1! 1 !0! 1 !0! 1 !0!0! 1 ’О’. 1! 1 ’010! 1 ’ 1 '.О'.) ) ’
Лекция 7
групускулы ли
115
и формула для Э3(Х, У) из (12) получается отсюда только
после приведения подобных членов.
Групускулы Ли Задача 5. Докажите, что:
а в любой алгебре Ли g существует такая окрест-
ность нуля U, что элемент Э(Х, У) определен для лю-
бых X, Y е U;
6 имеют место равенства
3(Х,3(У,2)) = 0(аду),2),
2(Х,-Х) = 3(-Х,Х) = 0,
ЭД0)= 3(0,Х) = Х
(предполагается, что все участвующие в этих фор-
мулах элементы определены). [Указание. Восполь-
зуйтесь замечанием 1.]
Утверждение задачи 5 означает, что при 2(Х, У) G U
формула
ХУ=5(Х,У) (14)
определяет в U умножение, которое удовлетворяет всем
групповым тождествам, когда они имеют смысл. (При этом
элемент 0 является единицей, а обратный элемент опреде-
ляется формулой Х~{ = —X.) Множество U, обладающее
такого рода структурой, называется, вообще, групускулой
Ли (или локальной группой Ли). Таким образом, задача 5
дает нам способ построения групускулы Ли U = Z7(g) по
любой алгебре Ли д.
Конструкция алгебры дословно проходит для любой
групускулы Ли и доставляет нам алгебру Ли, которая назы-
вается алгеброй Ли этой групускулы.
Задача 6. Покажите, что алгебра Ли групускулы Ли 17(g) изо-
морфна исходной алгебре Ли д.
Построение групускулы Ли с данной алгеброй Ли g
было впервые осуществлено — другим методом — са-
мим Ли. Тот факт, что эта групускула вложима в группу Ли,
т. е. изоморфна (в понятном смысле) групускуле, являющей-
ся окрестностью единицы некоторой группы Лн (имеющей,
следовательно, алгебру Ли д), был — как мы уже упомина-
ли в лекции IV. 15 — доказан существенно позже Картавом.
116
БИЕКТИВНОСТЬ ФУНКТОРА ЛИ
Лекция 7
(Подобно теореме 1, мы оставляем теорему Картана без до-
казательства. См. Семестр V, лекция 10.)
Обратим внимание, что задаваемое формулой (14) про-
изведение является вещественно аналитической функцией
множителей (т. е. координаты произведения в произвольном
базисе алгебры g являются вещественно аналитическими
функциями координат множителей). С этим связан тот факт,
что предусмотренная теоремой Картана группа Ли Q явля-
ется вещественно аналитической группой, т. е. много-
образием класса умножение Q х Q —> Q в котором также
является отображением класса Вместе с тем построе-
ние алгебры Ли IQ имеет, очевидно, смысл для произволь-
ной группы Ли Q класса СТ, г 2. Отсюда легко следует
(проведите подробно соответствующее рассуждение!), что
любая группа Ли класса Сг, г 2, изоморфна (в ка-
тегории групп Ли класса Сг) вещественно аналити-
ческой группе Ли.
Таким образом, в теории групп Ли можно без ограни-
чения общности рассматривать лишь вещественно аналити-
ческие группы (что мы фактически всегда и делали).
Биективность Пусть 17 — окрестность единицы группы
функтора Ли Ли Q. Гладкое отображение /: U —>Н ок-
рестности 17 в группу Ли Н называется локальным гомо-
морфизмом, если для любых элементов a,b е U с ab Е U
имеет место равенство
f(ab) = f(a)f(b).
Ср. определение локального изоморфизма в лекции IV. 15.
Ясно, что конструкция гомоморфизма 1(f) имеет смысл
для любого локального гомоморфизма /: U —> Н (и дает
гомоморфизм алгебр Ли I(/): 1(7 —> I7Y).
Задача 7. Покажите, что
а при ехрХ G U имеет место равенство
ДехрХ) = ехр(^Х), X е 10,' (15)
где <р = 1(f) (ср. диаграмму (6));
б для любой нормальной окрестности U единицы
группы Q и любого гомоморфизма алгебр Ли
ч>:
ЛекЦИЯ 7
БИЕКГИБНОСТЬ ФУНКТОРА ЛИ
117
формула (15) корректно определяет локальный гомо-
морфизм
f:U—^'H,
для которого I (/) = р.
Это означает, что формула f i-> 1(f) определяет
биективное соответствие между локальными гомо-
морфизмами из Q в Н (точнее, их ростками в в) и
гомоморфизмами алгебр Ли 19 —> 1'Н.
Как дело обстоит для глобальных гомоморфизмов?
Из формулы (1,5) немедленно вытекает, что если для
гомоморфизмов f,g: Q —> Н имеет место равенство 1(f) =
= 1(g), то f = g на любой нормальной окрестности 17 еди-
ницы группы 9. Поскольку связная группа Ли порождается
каждой окрестностью единицы (см. задачу 12 лекции IV. 14),
отсюда следует, что это равенство выполняется на всей ком-
поненте единицы группы Q. Таким образом, если группа Q
связна, то f = g тогда и только тогда, когда I (f) =
= 1(Р)-
Предложение 2. Если группа 9 связна и односвяз-
на, то для любого гомоморфизма
<р: ig -> I7Y
алгебр Ли существует такой гомоморфизм
f : 9-* Н
групп Ли, что 1(f) = <р. Этот гомоморфизм единст-
венен.
Таким образом, если группа g связна и односвязна, то
биективность соответствия f w I (f) имеет место и для го-
моморфизмов f : 9 —> Н групп Ли. Это означает, что на ка-
тегории LIE (°) связных и односвязных групп Ли функ-
тор Ли биективен на морфизмах.
Доказательство предложения 2 мы опустим.
3 а д а ч а 8. Докажите, что гомоморфизм f из пред-
ложения 2 тогда и только тогда является изомор-
физмом, когда изоморфизмом является гомомор-
физм <р. [Указание. Воспользуйтесь единственностью
гомоморфизма /.]
118
ВИЕКПШНОСП» ФУНКТОРА ЛИ
Лекция 7
В частности, мы видим, что группа Aut Q автомор-
физмов произвольной связной и односвязной группы
Ли Q канонически изоморфна группе Aut g автомор-
физмов ее алгебры Ли у = 16 (и, значит, — см. пример 2
лекции IV. 15 — является группой Ли).
Кроме того, одаосвязные группы Ли Q и Н тогда и толь-
ко тогда изоморфны, когда изоморфны их алгебры Ли 16
и IW. Ввиду теоремы Картана это означает, что на кате-
гории LIE(0’ функтор Ли биективен и на объектах (но
лишь с точностью до изоморфизма). На объектах категории
UE функтор Ли биективен с точностью до локального изо-
морфизма (см. лекцию IV. 15).
ЛЕКЦНЯ 8
Аффинные поля. — Размерность алгебры Ли аффинных по-
лей. — Полнота аффинных полей. — Отображения левого и пра-
вого сдвига на симметрическом пространстве, — Дифференци-
рования на многообразиях с умножением. — Алгебра Ли диф-
ференцирований. — Инволютивный автоморфизм алгебры диф-
ференцирований симметрического пространства. — Симметри-
ческие алгебры и тернары Ли. — Териар Ли симметрического
пространства.
Как показывает пример-задача 1 лекции 5, группы Ли
являются частным случаем симметрических пространств.
Это наводит на мысль обобщить на симметрические про-
странства конструкцию алгебры Ли группы Ли. Оказывает-
ся, что это можно сделать, хотя вместо алгебр Ли получают-
ся — как, собственно говоря, и следовало ожидать — более
общие алгебраические объекты.
Аффинные Пусть сначала X — произвольное простран-
поля ство аффинной связности.
Определение 1. Векторное поле X на пространстве
аффинной связности X называется аффинным, если по-
рожденный им максимальный поток (см. лекцию III. 17)
состоит из аффинных отображений, т. е. для любого t G R
отображение <pt, определенное на непустом открытом под-
множестве Dt С X, является аффинным отображением
Dt-+X.
Предложение 1. Векторное поле X 6 аХ тогда и
только тогда аффинно, когда
[X,VyZ] = Vy[X,Z] + V(XyiZ (1)
для любых полей Y, Z G аХ.
Доказательство. Как мы знаем (см. форму-
лы (12) и (18) лекции III. 17), для коммутатора [X, У] полей
X, Y G аХ имеет место формула
[Х)У]
Р—kU V
где {<pt} — поток, порожденный полем X. С другой стороны,
120
АФФИННЫЕ ПОЛЯ
Лекция 8
если отображение аффинно, то для любых полей У, Z е
ЕаХ
Pt^YZ = ^YtZV (2)
где Yt = $Y, Zt = <PtZ (см. диаграмму (5) лекции 3), и,
значит,
4>'tvYz - VYZ = VyJZt - Z] + vytz - vyz.
Поэтому если поле X аффинно, то
(Zt-Z\ VYZ-VYZ
[X, VyZ] = lim VJ -------) + lim -------— =
11 r J ho r‘ \ t J t-o t
= = vrtx, Z| + vwnz.
t-Jo ’
Для доказательства обратного утверждения мы поло-
жим
VyftjZ =
Тогда для любых s и t будут иметь место равенства
Vy(t+.)H - ^Y(t)Z _
— Vy Zf <p*^v Z* — Vy zt
.♦ 4>»Yt\rs t' rt 1 . .♦ 3 Yt t Yt t
- v-t-s------------------+^-t-----------z---------
= ‘f-t-s
Vy Zt — Vy Zt
+ ^tLzL2U------rL2.
Поэтому 8
ta = Z11 + V|„11Z,)-
-v'-t[X,VrtZt\.
Следовательно, если соотношение (1) выполнено (для лю-
бых полей X, Y, Z и, в частности, для полей X, Yt, Zt), то
нт.^)£-.7у<о2=о.
3—»о 8
Лекция 8 АФФИННЫЕ ПОЛЯ 121
Для компонент поля рассматриваемых как функции
от L, это означает, что их производные тождественно равны
нулю. Стало быть, эти компоненты — а потому и сами поля
S7y(t)Z — от t фактически не зависят. Это доказывает, что
= Vy(0)Z = VyZ.
Поскольку это в точности равенство (2) (лишь в иных обо-
значениях), отображения аффинны. Следовательно, аф-
финно и поле X. g
В операторной форме условие (1) имеет вид
У[«ах)г = [ad X, Vy], (3)
которое должно иметь место для любого поля Y е аХ.
Следствие 1. Множество affX всех аффинных по-
лей X 6 аХ является подалгеброй алгебры Ли аХ.
Доказательство. Если поля Х{ и Х2 удовлетво-
ряют соотношению (1) (для любых полей У,Z 6 аХ), то
любая их линейная комбинация также, очевидно, удовлет-
воряет этому соотношению. Кроме того, согласно тождеству
Якоби -
[[x{,x2]yYz] = [X.AX^yZ]] - [X2,[X^YZ]],
и в то же время
[X,, [ х2, yYz п = [X,, Vy[X2, Z]] + [X,, yX2Y]Z] =
=Vy[X„ [X2, Z]]+^(Xj,y][-^2> ^]+V(x2,y]Hii z]+vlXt>lX2>Y]]z
и, аналогично,
[X2, [X,, VYZ]] = [X2, vytx1, Z]] + [X2, VlXiiy)Z] =
=Vy[X2, [Xp Z]+V(X11У][Х2, Z]+yX2[XiY]]Z.
Поэтому
[[Xj, X2], VyZ] = Vy([X,, [X2, Zll - [X2, [X,, Z]])+
+ = Wp X2], Z] + V((X1 X2] ^Z.
Следовательно, поле [XPX2] также удовлетворяет соотно-
шению (1). Это доказывает, что affX — подалгебра. □
122
РАЗМЕРНОСТЬ АЛГЕБРЫ ЛИ АФФИННЫХ ПОЛЕЙ
Лекция 8
3 а д а ч а 1. Покажите, что векторное поле X на группе Ли Q то-
гда и только тогда аффинно по отношению к левой, средней или
правой связности Картана V на Q, когда для любого левоинвари-
антного векторного поля Y поле [X, У] также левоинвариантно.
[У к а з а н и е. Пусть Zv,,,, Zn — базис алгебры Ли К7, и пусть Z =
= KZ^ Покажите, что поля X, У, Z тогда и только тогда удовлетворяют
условию (1), когда этому условию удовлетворяют поля X, У и Zit 1 i п.
С другой стороны, если поле Z левоинвариантна, а связность V левая, то
для полей X, У, Z условие (1) сводится к равенству Vr[X, Z] = 0, которое,
как мы знаем, тогда и только тогда имеет место для всех У & aG, когда
\Х, Z] € IQ. Аналогично, если связность V правая, то при У € 1(7 и [X, У] =
= g'Zi условие (1) сводится к равенству Zg' • Zi = Q, которое имеет место
для всех Z тогда и только тогда, когда д' = const.]
Заметим, что, таким образом, все три связности Картана облада-
ют одними и теми же аффинными полями. Ср. утверждение задачи 13
лекции 6.
Размерность
алгебры Ли
аффинных
полей
Предложение 2. Если многообразие X
связно, то алгебра Ли aff X конечномерна
и ее размерность не превосходит п + п2,
где п = dim X.
Доказательство. Для любого поля X 6 аХ и
любой функции f 6 FX определена функция Xf € FX. По-
этому, выбрав и раз навсегда зафиксировав точку р0 G X,
мы можем каждому вектору А е Т X сопоставить число
ро
AXf. Тем самым мы получим иа FX некоторый — очевид-
но, линейный—функционал АХ: f t-> AXf, т. е. элемент
сопряженного линейного пространства (F<¥)*. Соответствие
A ь-> АХ является поэтому — также линейным — отобра-
жением ТрХ - (FX)*, т. е. элементом линейного (веско-
го
иечномериого!) пространства Hom(T X, (R¥)*). Обозначив
ро
это отображение символом 1-Х, мы получим — снова ли-
ро
иейиое — отображение
L : аХ Hom(T_ X, (F*)*), X w I X.
р0 р0 р0
Пусть (U, х‘,..., хп) — произвольная карта многообразия X,
центрированная в точке р0, и пусть X = Х'-—^ иа U. Так
как векторы х
д \
д \
р0
(4)
Лекция 8
РАЗМЕРНОСТЬ АЛГЕБРЫ ЛИ АФФИННЫХ ПОЛЕЙ
123
составляют базис пространства Т X, то отображение I X:
₽о ₽о
1 и-* АХ однозначно задается своими значениями
V’(^) :F^R’ i=1..."
ро
на этих векторах. Но по определению для любой функ-
ции f € FX имеем
(1РХ)
₽о
₽о
₽о
т. e.
V /₽о
йо
(6)
' V’ Й’ ) • (5)
₽о ро ро ро
Это доказывает, что образ отображения I принадле-
ро
жит подпространству линеала Hom(T X, (FAf)*), со-
р0 -г
стоящему из отображений, переводящих линеал Тр X
в линейную оболочку функционалов 0
/ 9 \ / 82 \
\ дх*)' \ дх'дхЭ )'
’ *0 ^0
Поскольку размерность линейной оболочки функциона-
лов (6) не превосходит их числа п + п2, для доказательства
предложения 2 остается лишь доказать, что отображение
1р инъективно на подалгебре aff X, т. е. что при X €
G aff X равенство I X = 0 возможно только при X = 0.
Но согласно формуле (5) равенство I X = 0 означает,
ро
что
а»>
для всех i,i = 1,..п. В частности, если ln X = 0, то Х„ =
ро ”о
= 0, и потому <pt(p ) = р0 для любого t 6 В {для которого
’(Po) = O,
124
ПОЛНОТА АФФИННЫХ ПОЛЕЙ
Лекция 8
(7)
(8)
точка <pt(p0) определена), где, как и выше, {<pt} — поток, по-
рожденный полем X. Значит, на линеале ТрХ определены
линейные операторы 0
ро ро Р0
составляющие однопараметрическую подгруппу группы
Aut Т_ X всех невырожденных линейных операторов
₽о
Тр Л* —> Тр Л*. Эта однопараметрическая подгруппа пол-
ностью определяется своим начальным вектором
'd . ч
37 (^t)»
о t=o
являющимся линейным оператором из EndT X.
ро
Подчеркнем, что этот оператор определен для любого
векторного поля X е аХ, для которого X = 0.
Задача 2? Покажите, что в базисе (4) простран-
ства Т X линейный оператор (8) имеет матрицу
ро
(9Х'\
\dxj)pn
При X = 0 эта матрица равна нулю и, следовательно,
ро
однопараметрическая подгруппа (8) состоит из тождествен-
ных отображений:
(dtPt)P = id
Если теперь X е aff X и, значит,, все отображения y>t
аффинны, то согласно предложению 2 лекции 3 из равенств
<pt{p ) = р и (d<pt) = id вытекает — ввиду связности мно-
0 0 Pq
гообразия X, — что <pt = id и, значит, что X = 0. Следо-
вательно, на aff X отображение I инъективно, и потому
dim aff X п + п2. q 0
Полнота аф- Особо важен случай, когда пространство аф-
финных полей финной связности X геодезически полно.
Предложение 3. На геодезически полном про-
странстве аффинной связности X каждое аффинное
векторное поле X полно. i
для любого t е R.
Лекция 8 ПОЛНОТА АФФИННЫХ ПОЛЕЙ 125
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Если для максимального потока {<^>(} на
многообразии X существует такое число е0 > 0, что
для любой точки р Е X и любого t с |t| < е0 точка <pt(p)
определена, то поток {<^Д полон (точка y>t(p), р 6 X,
определена для ecext 6R).
Доказательство. Пусть 0 < е < е0. Для любо-
го t е R существует такое однозначно определенное целое
число т, что t = те + з, где 0 < з < е. Мы положим
= уе ° • • • °<Ре°'Рз-
т .
Задача 3. Проверьте, что отображения X —>
—> X, t 6 R, составляют поток на X.
По построению поток {^t} полон. Кроме того, так как
= <pt при |t| < е, а поток {<pt} максимален, то V>t = <pt
при всех t 6 R. Следовательно, поток {<pt} полон, q
Замечание!. Из этой леммы непосредственно вы-
текает, что каждое векторное поле X 6 аХ, равное нулю
вне компактного множества С С X, является полным по-
лем. В частности, на компактном многообразии каждое
векторное поле полно.
Доказательство предложения 3. Пусть
Хо — произвольная компонента многообразия X, и пусть
Ро е Хо. Рассмотрим поток {<pt}, порожденный полем X. По
теореме о гладкой зависимости решений дифференциальных
уравнений от начальных данных существуют такое е0 > О
и такая окрестность V точки р0, что точка <pt(g) определе-
на при q G Vo и |t| < £0. Зафиксировав это е0, рассмотрим
множество W С X всех точек р 6 X, для которых найдется
такая окрестность V, что точка <pt(q) определена при q е
£ V и |t| < е0. Это множество открыто и непусто (содержит
точку р0).
Лемма 2. Множество W содержит каждую нор-
мальную окрестность любой своей точки.
Предполагая эту лемму доказанной, рассмотрим произ-
вольную точку р замыкания W множества W. По опреде-
лению каждая окрестность U точки р пересекается с мно-
жеством W. В частности, это верно для окрестности U,
126
ПОЛНОТА АФФИННЫХ ПОЛЕЙ
Лекция 8
являющейся нормальной окрестностью каждой своей точ-
ки (см. лекцию 1). Но по лемме 2 такая окрестность U вся
содержится в W. Следовательно, р 6 W и, значит, множе-
ство W замкнуто.
Являясь открыто-замкнутым множеством, содержащим
точку р0, множество W содержит всю компоненту Х„ точ-
ки р0. Это означает, что точка <pt(q) определена при |t] < е0
для каждой точки q 6 Хо. Поэтому согласно лемме 1 по-
ток на Хо полон. Таким образом, поток {<pt} полон на
каждой компоненте многообразия X. Следовательно, он по-
лон и на всем X. g
Осталось доказать лемму 2.
Доказательство леммы 2. Пусть U — нор-
мальная окрестность точки р е W, а V — такая ее окрест-
ность, что точка <pt(q) определена при q е V н |t| < е0.
Пусть, далее, pt € U, 70: I —♦ X — геодезический сегмент,
соединяющий в U точку р с точкой рр и Ао = 7о(О). Нако-
нец, пусть тг: ТХ —> X — проекция касательного расслоения
над многообразием X. Так как пространство аффинной связ-
ности X геодезически полно, то для любого вектора А е ТХ
определена геодезическая 7Л: R —> X, для которой 7л(0) =
= irA и 7л(0) = -А. (В частности, 70 = 740!/ ) Определим
отображение
h: ТХ -> ТХ
формулой
Л(А) = 7л(1).
(Вектор h(A) является не чем иным, как результатом парал-
лельного переноса вектора А вдоль геодезического сегмен-
та 7Л|Г) Легко видеть, что это отображение является диф-
феоморфизмом. Поэтому, в частности, множество Л(тг-1У)
открыто в ТХ н, значит, множество
= (тг о Л.)(тг-1 V)
открыто в X. Кроме того, так как Л(-Ао) = 7Л((1) = 7о( 1), то
Р( 6 V\, т. е. Vt является окрестностью точки р,. Поэтому
лемма 2 будет доказана, если мы покажем, что при |t| <
< е0 точка 4>t(q{) определена для любой точки g, eV,. Мы
сделаем это, указав для точки «pjg,) явную формулу.
Лекция 8
ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕВОГО И ПРАВОГО СДВИГА
127
Так как поле X аффинно и, значит, аффинны все отоб-
ражения tpt, то параллельные переносы перестановочны
с дифференциалами этих отображений (см. диаграмму (4)
лекции 3). В частности, это означает, что для любой точки
q е V, любого t, |t| < е0, и любого вектора A G TqX имеет
место равенство
(d^t)9i Л(А) = h((dtpt)qA), где = 7л(1).
(Заметим, что, распорядившись q и А, мы можем предста-
вить любую точку окрестности V\ в виде д, = Тл(1) )
Но ясно, что для отображения
d<pt: ТХ-+ТХ
(действующего по формуле A i-> (d<pt)qA, где q = тгА) имеет
место коммутативная диаграмма
ТАГ ТХ
4 к
X > х
Поэтому л
) = 7r((diPt)qi Л(А)) = (тг О h)((d<pt)qA) при |t| < е0,
что все и доказывает. □
Отображения
левого и пра-
вого сдвига на
симметрическом
пространстве
Пусть теперь X — симметрическое про-
странство. Интерпретируя X как про-
странство с умножением (см. замеча-
ние 1 лекции 5), мы каждой точке р € X
поставим в соответствие два отображения
Lp,Rp-. XX,
действующие по формулам
Lpq = pq, Rpq = qp,
т. e. по формулам
Lpq = spq, Rpq = sqp
qex,
(точку в обозначении произведения pq = spq мы опускаем).
128
ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕВОГО И ПРАВОГО СДВИГА
Лекция 8
Отображение Lp является не чем иным, как симметри-
ей зр, и поэтому (см. свойства б и г из предложения 3 лек-
ции 5) удовлетворяет соотношениям
Lp°Lp = id, Lqp = Lqo Lpo Lq. (9)
Кроме того (см. лемму 3 лекции 5)
(dLp)p = - id. (10)
3 а д а ч а 4. Докажите, что
Rpq = Lp о Rq о Lp, p,qEX. (11)
Напомним (см. лемму 1 лекции IV.21), что для любых
многообразий X и У и любой точки (р, q) 6 X х У каждый
вектор С 6 единственным образом представля-
ется в виде (А, В), где А е ТрХ, В е Т?У и
A=(dpr1)(p>g)C, B = (dpr2)(p>g)C. (12)
При этом (см. формулу (5) лекции IV.21) для любого отоб-
ражения g: X х У —> Z имеет место формула
(dp}MC = (dRq)pA + (dLp)qB, (13)
где RqvtLp — отображения г н* p(r, q) иг i-> p(p, r), r 6 X.
Пусть У = X, и пусть Д: X —> X х X — диагональное
отображение р (р,р). Поскольку рг, оД = рг2оД = id, из
формул (12) непосредственно следует, что
(йД)рА = (А,А)
для любого вектора А 6 ТрХ и, значит, что
d(p О Д)рА = (dRp)pA + (dLp)pA. (14)
При Z = X (когда р является умножением X х X —> X)
и при р о Д = id (т. е. в предположении, что умножение р
идемпотентно) отсюда следует, что
A = (dRp)pA + (dLp)pA.
Лекция 8
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
129
В частности, эта формула имеет место в симметрическом
пространстве X. Но тогда (<1Ьр)рД = —А (см. формулу (10))
и, значит, в симметрическом пространстве X для лю-
бого вектора А 6 ТрЛ* имеет место формула
(dRp)pA = 2А.
(15)
Дифференциро-
вания на много-
образиях с умно-
жениями
Определение 2. Векторное поле X е а X
называется дифференцированием на X,
если порожденный им поток {<pt} состоит
из автоморфизмов (вообще говоря, — если
поле X не полно — локальных).
Это определение имеет смысл для любого многообра-
зия X с умножением. В случае же, когда X является симме-
трическим пространством, из предложения 1 лекции б сле-
дует, что дифференцирования на симметрическом про-
странстве X — это в точности аффинные (по от-
ношению к канонической связности) векторные поля
на X.
Поэтому в силу предложения 3 (и утверждения зада-
чи 1 лекции 5) каждое дифференцирование на симме-
трическом пространстве X является полным полем
(и потому для симметрических пространств поле X в опре-
делении 2 можно, не теряя общности, априори предполагать
полным).
Задача 5. Как мы знаем (ср. пример 5 лекции IV.13), векторные
поля на произвольной алгебре А естественным образом отождествляются
с отображениями А -» А В частности, произвольное дифференцирование
А А (см. определение 1 лекции III.16) мы можем считать векторным
полем на А. Покажите, что порожденный этим полем поток {<₽(} со-
стоит из автоморфизмов алгебры А (ср. задачу 3 лекции IV.15).
Это объясняет нашу терминологию.
Предложение 4. Векторное поле X Е аХ тогда и
только тогда является дифференцированием, когда
Xpq = (dLp)qXq + (dRq)pXp (16)
для любых точек p,q Е X.
Доказательство. Пусть {y?t} — поток, порожден-
ный полем X. Вычислим касательный вектор й(0) кривой
5 М. М. Постников
130
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Лекция 8
и: t i-> <pt(p)<pt(q) при t = 0. По определению для любой
функции f G FAf
ад/ _ Lm /fr<Wy<(i))-Z(w) _
t—>0 t
= Um + Jim f(<Pt(P)9) ~ /(УД) =
t-»0 t t->0 t
t->0 t
-I- Um-----2----------------2----=
t-*o t
= Xq(f о Lp) + Xp(f о Rq) = ((dLp)qXq)f + ((dRq)pXp)f,
и, значит,,
u^ = (dLp)qXq + (dRq)pXp.
Поэтому условие (16) означает, что кривая и имеет при t =
as 0 тот же касательный вектор Хм, что и траектория v:
t i-> <pt(pq} поля X, проходящая при t = 0 через точку pq.
Следовательно, если поток {y>t} состоит из автоморфизмов
(и потому и =t -у), то условие (16) выполнено.
Обратно, пусть условие (16) выполнено. Для любого
s е R рассмотрим кривую
us: t u(t + s) = <Pt+a(p)<Pt+a(q) = <pt(<pa(p))<pt(<pa(q))-
Это есть кривая и, построенная для точек <ра(р) и <pa(q).
Значит, по доказанному, касательный вектор йа(0) к этой
кривой при t = 0 совпадает с касательным вектором траек-
тории
* •-> ^МрМчУ) = 4>t№))
поля X, проходящей при t = 0 через точку ti(s), т. е. с век-
тором Х^. Поскольку вектор йа(0) является, очевидно, ка-
сательным вектором й(а) кривой и при t = s, этим доказано,
что
й(а) = Хщу
т. е. что кривая и является траекторией v поля X, прохо-
дящей при t = 0 через точку pq. Поэтому u(t) = v(t) для
всех t и, значит, поток {tpt} состоит из автоморфизмов. □
Лекция 8
АЛГЕБРА ЛИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ
131
Заметим, что утверждение предложения 4 имеет смысл (и справедли-
во) для любого гладкого многообразия X, на котором задано умножение
(например, для алгебр или групп Ли).
3 а д а ч а 6. Докажите, что
а. В случае., когда X является алгеброй А, условие (16) озна-
чает, что векторное поле X — интерпретированное, как отобра-
жение. А —> А — является дифференцированием (см. определение 1
лекции Ш.16).
б. В случае, когда X является группой Ли Q, любое поле X,
удовлетворяющее, условию (16), является аффинным полем по от-
ношению к связностям Картана из лекции 6. [У к а з а н и е. Проверь-
те, что для любого левоинвариантного поля Y поле [X, У] также левоинва-
риантно; см. задачу 1.]
Ал еб а Ли <ь- Сравнение определений немедленно пока-
ференцирований зывает, что для любого поля X € аХ поле
X1 G а(Х х X) (см. лекцию 6) задается
формулой (р, q) (Хр, 0), а поле Хп — формулой (р, q)
(0, Хд). Поэтому при А = Хр и В = Хд соотношение (13)
дает нам формулу
(dri^X1 + Хп)(р19) = (d/?9)pXp + (dLp)gXg.
Следовательно, условие (16) равносильно соотношению
(</М)(Р)9)(Х1 4- Х*^ = Хр9, pq = р(р, q),
по определению означающему, что поля X1 + Хп и X
g-связаны.
Таким образом, мы видим, что векторное поле X на
многообразии X с умножением X х X —> X тогда
и только тогда является дифференцированием, когда
оно р,-связано с полем X1 + Хц на X х X.
Но нетрудно проверить, что для любых полей X и У
на X
[Х’.У1] = [X, У]1, [Х1,Уп] = 0, [Хи,Уп] = [Х,У]п
и, значит
[X1 + X11, У1 4- У11] = [X, У]1 4- [X, У]п.
Поэтому (см. утверждение задачи 5 лекции III. 17) если поля
X и У g-связаны с полями Х^Х11 и У14-У11 соответственно
5*
132
АВТОМОРФИЗМ АЛГЕБРЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ
Лекция 8
(являются дифференцированиями), то поле {X, У] ц-связано
с полем [X, Ур + [Х, У]и (также является дифференцирова-
нием). Это означает, что множество Э-У всех дифферен-
цирований на X является подалгеброй алгебры Ли аХ
(и потому представляет собой алгебру Ли).
Для симметрического пространства X это, конечно, все-
го лишь иная формулировка следствия 1 предложения 1,
которое мы тем самым в этом случае заново доказали.
Инволютивный
автоморфизм алгебры
дифференцирований
симметрического
пространства
деленное формулой
Выбрав и раз навсегда зафиксиро-
вав в симметрическом пространстве
X некоторую точку р0, мы каждому
полю X G аХ отнесем поле аХ, опре-
mVA’ рЕХ- (|7>
Это поле, очевидно, гладко и в случае, когда X является
дифференцированием, удовлетворяет соотношению
(^9)р(<тХ)р4-(^р)9(<тХ)9 =
= d(Rg о Lp)p^pXp^p 4- d(Lp о Lp)p^qXp^q =
= d(LPo о Rp^pXPoP 4- d(Lp° о LPoP)Pq9XPo9 =
= (d-£'po)(pop)(po9)l(d^po9)pop'ypop + =
= (ЙЛ>0)(Р0Р)(Р09)^(Р0Р)(Р09) = (dLpo)po(pq)Xpo(pq) = (cr-^)pg>
т. e. также является дифференцированием. Это означает,
что соответствие <г. X —► оХ задает линейное — и, очевид-
но, инволютивное — отображение
ст: ЪХ^ЪХ (18)
алгебры Ли ЪХ на себя.
Так как отображение ст инволютивно, то формула (17)
в точности означает, что поле стХ Lp -связано с полем X.
Поэтому (см. задачу 5 лекции III.if) для любых полей
X, У G аХ имеет место равенство
[<тХ, сгУ] = <т[Х, У],
Лекция 8
СИММЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ И ТЕРНАРЫ ЛИ
133
означающее, что отображение (18) является автомор-
физмом алгебры Ли ЪХ.
симметрические Рассмотрим ситуацию в общем виде,
алгебры и терна- Определение 3, Симметрической ал-
Ры Ли геброй Ли называется пара (д, сг), состоя-
щая из алгебры Ли g и инволютивного автоморфизма
<т: g —> д-
Автоморфизм ст называется структурным автомор-
физмом симметрической алгебры Ли. Как правило, во всех
обозначениях он подразумевается. Например, вместо (д, сг)
обычно пишется просто д.
Согласно общим теоремам линейной алгебры каждая
симметрическая алгебра Ли д разлагается в прямую сумму
д = 0(+) Ф 0(-)
собственного пространства д(+) автоморфизма сг, принадле-
жащего собственному значению +1, и собственного про-
странства д(_), принадлежащего собственному значению -1.
Собственное подпространство д(+) называется коцоко-
лем симметрической алгебры Ли 0 и обозначается также
символом I) (или 0(в)), а собственное пространство д(_) на-
зывается ее цоколем и обозначается символом s (или s(g)).
Пусть X, У G д. Очевидно, что
[X, У] G д(+)., если X, У G д(+) или X, У G д(_),
[X, У] G д(->, если X G д(+>, У G д(~> или X е д<"), У G д(+>,
т. е., в других обозначениях,
[М]СЬ, [Mies- (19)
Пусть алгебра Ли 0 разложена в прямую сумму
0 = I) Ф « (20)
подпространств, удовлетворяющих соотношениям (19).
Определим линейное инволютивное отображение сг: g —> g,
положив
/ X если X G 1),
(Т X — s __
I -X если X е, s.
134
СИММЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ И ТЕРНАРЫ ЛИ
Лекция 8
Задача 7. Покажите, что пара (д,ст) является
симметрической алгеброй Ли с коцоколем 1) и цоко-
лем а.
Таким образом, симметрические алгебры Ли g —
это в точности алгебры Ли, для которых задано раз-
ложение (20), удовлетворяющее условиям (19).
Эта точка зрения часто удобнее исходной.
Первое соотношение (19) означает, что коцоколъ
симметрической алгебры Ли g является ее подалгеб-
рой. Что же касается цоколя в, то из соотношении (19) непо-
средственно вытекает, что для любых элементов X, Y,Z Ge
элемент
[X,Y,Z] = [[X,Y],Z] (21)
также принадлежит а, т. е.< что линеал а замкнут относи-
тельно тернарной операции
X,Y,Z^[X,Y,Z].
Ясно, что
[Х,Х,Х] = 0, (22)
[Х,У,Х] + [У,Х,Х] + [И,Х,У] = 0 , (23)
для любых элементов X, У, Z G а.
3 а д а ч а 8. Покажите, что кроме того
[X, У, [С7, V, IV]] = ЦХ, У, <7], V, Ж] + [С/, [X, У, V], Ж]+
+ Р,У,[Х,У,Ж]] (24)
Определение 4. Линейное пространство а, в котором
задана трилинейная тернарная операция
X,Y,Z^[X,Y,Z], (25)
удовлетворяющая тождествам (22), (23) и (24), называется
тернаром Ли (или тройной системой Ли, последний —
более распространенный—термин, к сожалению, длинен и
маловыразителен).
Таким образом, в силу этого определения цоколь лю-
бой симметрической алгебры Ли g является терна-
ром Ли (относительно операции (21)).
Лекция 8
ТЕРНАР ЛИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
135
Оказывается, что это дает все тернары Ли.
Предложение 5. Для любого тернара Ли в суще-
ствует симметрическая алгебра Ли g с цоколем в.
Доказательство. Пусть ad(X,y)— линейный
оператор Z [X,Y,ZJ, X,Y,Z G в, и пусть ads — подпро-
странство пространства линейных операторов в —> в, порож-
денное всеми операторами вида ad(X, У), X, Y G в. Пусть,
далее, g = ads Фе. Определим в g билинейную операцию
[, ] и линейный оператор о: g —» g формулами
(АВ - В А,
А*'
ad(X, У),
если Л, В е ads,
если A G ads, В = X, X ев,
если А = X, X е в, В е ads,
если А = X, В = У, X, У G в,
ад_ { А, если -А 6 ads,
1 —X, если А = X, X е в.
Задача 9. Проверьте, что g является алгеброй
Ли, а отображение о — ее инволютивным автомор-
физмом.
Это доказывает предложение 4. q
Очевидно, что размерность алгебры Ли g не превосхо-
дит п2 + п, где п — размерность тернара Ли в.
Замечание^. Для любой алгебры Ли g форму-
ла (21) определяет на g тернарную операцию, по отношению
к которой алгебра g является тернаром Ли. Однако, оказы-
вается, что удобнее определять на g структуру тернара Ли
формулой
[X,Y,Z] = ±[[X,Y],Z], X,Y,Zeg. (26)
В дальнейшем мы всегда будем так поступать.
По построению для любого симметриче-
ского пространства X алгебра Ли ЪХ его
дифференцирований является симметри-
Тернар Лн
симметрического
пространства
ческой алгеброй Ли со структурным автоморфизмом (18).
136
ТЕРНАР ЛИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Лекция 8
Ее цоколь обозначается символом sX и называется терна-
ром Ли симметрического пространства X. Векторные поля
X из sX называются существенными дифференцирова-
ниями симметрического пространства X.
Заметим, что коцоколь !)(&¥) алгебры Ли ЪХ состоит
из дифференцирований X, для которых
3 а д а ч а 10. Докажите, что для дифференцирований X, У, Z е sX
имеет место формула
[Х,У,И] = -|(Х • (У • Z) -У • (X • И))
и, значит (см. задачу 1 лекции 6),
R(X, Y)Z = -[X, Y, Z], X,Y,Ze »Х, (27)
где R — тензор кривизны канонической связности на X.
Замечание 3. В каждом пространстве аффинной
связности формула
[X,Y,Z] = R(X,Y)Z (28)
определяет тернарную операцию, удовлетворяющую услови-
ям (22) и (23). Что же касается условия (24), то для опера-
ции (28) оно имеет вид
R(X, Y)R(U, V)W = R(R(X, Y)U, V) W+
+ R(U, R(X, Y)V)W + R(U, V)R(X, У)W,
что равносильно тождеству (26) лекции 4. Это означает, что
пространство аффинной связности тогда и только
тогда полусимметрично, когда относительно опера-
ции (28) оно является тернаром Ли (и выполнено усло-
вие Т = 0).
ЛЕКЦИЯ 9
Функтор в. — Сравнение функтора g с функтором Ли I. —
Свойства функтора в. — Вычисление териара Ли пространст-
ва (0/М)„. — Фундаментальная группа факторпространства. —
Симметрическое пространство с данным тернаром Ли. — Накры-
тия р/Й, —> р/М2. — Теорема Картана. — Отождествление од-
нородных пространств с факторпространствами. — Трансляции
симметрического пространства. —Доказательство теоремы Кар-
тана.
Функтор « Построенный в предыдущей лекции тернар Ли
sX зависит от выбора точки р0 G X, т. е. явля-
ется функцией пары (X, р0). Такие пары называются пунк-
тированными симметрическими пространствами.
Морфизмом f: (X, р0) —► (У, д0) пунктированных про-
странств называется такой морфизм f: X —*У, что /(р0) =
= q0. Ясно, что все пунктированные симметрические про-
странства и все их морфизмы составляют категорию.
Предложение 1. Пусть f: (Х,р0)—> (У, q0) — произ-
вольный морфизм пунктированных симметрических
пространств. Тогда для любого существенного диф-
ференцирования X 6 sX существует единственное су-
щественное дифференцирование У 6 вУ, f-связанное
с X.
Докажем предварительно две леммы.
Лемма 1. Для любого существенного дифференци-
рования X G аХ и любой точки р G X имеет место
равенство
Хр = ^rPqP)pxPq. (1)
Доказательство. Условие аХ = —X, характери-
зующее существенные дифференцирования, означает, что
= (2)
для любой точки ре X. Поэтому
хо = —(dLn )„ „Х„ „ =
р ' ро'рор рор
- +=
138
ФУНКТОР s
Лекция 9
С другой стороны, так как (dLn )_ X = —X и Lo oRD =
Fo Fo Fo *
= R„ „ о L„ (см. формулы (10) и (11) лекции 6), то
Fo
d(L oR) X ——(dR ) X .
y ^0 *<r ^0
Следовательно, X„ — (dRn ) X - X , что равносиль-
P У(г У0 У0 y
HO (!)• о
Лемма 2. Для любого вектора A G Т X формула
1 0
х=-(^рр)рл, рех, (3)
r z о о
определяет на X существенное дифференцирова-
ние X, для которого Х_ = А.
уо
Доказательство. Ясно, что заданное форму-
лой (3) поле X гладко. Кроме того, из формулы (15) лек-
ции 8 (и равенства роро = р0) непосредственно следует, что
Х_ = Л, а из формулы L_ о R = R о L (см. форму-
ле го Лг г го
лы (11) и (10) лекции 8), что
° W —
т. е. что аХ = -X. Таким образом, нужно лишь доказать,
что поле X является дифференцированием.
С этой целью мы рассмотрим диаграмму
ХхХхХ —idxid, ХхХхХхХ idxT-d> ХхХхХхХ
1<1хд|
ХхХ X ХхХ,
где Т — отображение (р, q) (q, р) транспонирования коор-
динат, ар — умножение (р, q) i-> pq.
При движении из левого верхнего угла этой диаграм-
мы по часовой стрелке в центр X нижней строки точка
(р,9,r) G ХхХхХ переходит в точку (pg)(pr) G X, а при
движении против часовой стрелки — в точку p(qr) G X. По-
этому для каждого симметрического пространства X эта ди-
аграмма коммутативна. Значит, коммутативна и соответст-
вующая диаграмма касательных пространств и дифференци-
алов, т. е. (см. общую формулу (13) лекции 8) для любых
Лекция 9
ФУНКТОР»
139
векторов А е ТрХ, В G ТдХ, С G ТГХ имеет место равен-
ство
(dRgr)pA + (dLp)gr((d/?r)gB 4- (dLg)rC) =
= (dftpr)M((^g^+(dLp)gB)+(dLM)pr((d/?r)p^+(dLp)rC').
При В = С = 0 это дает соотношение
(dR^A = (dRpr)pq(dRq)pA + (dLpq)pr(dRr)pA.
(При А = С='0ъА = В = 0 получаются следствия соот-
ношения (11) и второго из соотношений (9) лекции 8.)
При p,q и г, равных, соответственно, ро,рор и род, от-
сюда следует (в силу равенств ро(род) = q и ро(рор) = р),
что
= <dRAxf+Л
Поскольку (рор)(ро?) = Ро(р?) и, значит,
2^Д(рор)(ро9)^роЛ = 2^dRpo^poA =
это доказывает, что X —дифференцирование. □
Доказательство предложения 1. Пусть
дифференцирование У существует. Тогда Y. = (df) X и,
чо ро ро
значит, согласно формуле (1)
yg=|(d/?gg)g (df)pXp
4 2 чоч чо
для любой точки q е у. Это доказывает единственность по-
ля У.
Для доказательства его существования мы определим
на У поле У формулой (4). Согласно лемме 2 это по-
ле принадлежит &У и удовлетворяет соотношению Уд =
= (df)_ Хо . С другой стороны, так как f является морфиз-
ро ро
мом, то f о R = R о /, где q = /(р), и потому
Ч)''
(df)po(dRрр)р =(dR ) O(df)
r ro о о 0
(4)
140
СРАВНЕНИЕ ФУНКТОРА Я С ФУНКТОРОМ ЛИ I
Лекция 9
Следовательно, У/(р) = ^(df)p{dRp^p)p^Xp^ = (df)pXp и,
значит, поле У р-связано с полем X. □
Положив У = s(f)X, мы получим, следовательно, неко-
торое отображение
*(/): gX-*ey,
являющееся, очевидно; гомоморфизмом тернаров Ли. Это
отображение обладает, конечно, свойством функториально-
сти, т. е. соответствия X и-> gX, f я(/) представляют
собой функтор из категории пунктированных симметриче-
ских пространств в категорию тернаров Ли.
Сравнение функ- В случае, когда симметрическое про-
тора« с функто- странство X является группой Ли Q
ром Ли I (См. пример-задачу 1 лекции 5), а р0 =
= е, где, как всегда, е — единица группы Q, оператор Rq
выражается формулой
В случае, когда симметрическое пространство X явля-
ется группой Ли Q (см. пример-задачу 1 лекции 5), а р0 = е,
где, как всегда, е — единица группы Q, оператор Rq выра-
жается формулой . , „. .
/?g = Mo(idx£f)oA,
где р— умножение в группе Q, a cf = q~l и —левый
сдвиг на по отношению к умножению р. Поэтому в силу
общих формул (13) и (14) лекции 8 для любого вектора А G
G TpQ будет иметь место равенство
(dRq)pA = (dR$p)pA + (dI^)pA,
где q' = q~l и Rjp — правый сдвиг на q'p по отношению
к умножению р. В частности, при р = е
(dRq)eA = (dR^A 4- (dtyeA, A G TeQ.
Полагая q = e • p = p~l, мы немедленно получаем отсюда,
что в рассматриваемом случае формула (3) имеет вид
_ (dR^A + (dI^A
Хр- 2
Лекция 9
СВОЙСТВА ФУНКТОРА Я
141
где XL — левоинвариантное, a XR — правоинвариантное
векторные поля на Q, для которых Х^ = XR = Хе.
Таким образом, формула (3') дает общий вид полей X €
е s<3-
Задача 1. Докажите, что для любой группы Ли Q
соответствие X Х^ определяет изоморфизм тер-
нара Ли sQ на алгебру Ли IQ, рассматриваемую как
тернар Ли (с операцией, задаваемой формулой (26)
секции 8).
В этом смысле функтор я: X ► gX является обобще-
нием функтора I: Q и-> IQ.
Свойства Свойства функтора я аналогичны свойствам
функтора а функтора I. Например, из лемм 1 и 2 непо-
средственно вытекает, что так же как и для функтора I,
соответствие X и-> Хе определяет изоморфизм лине-
ала sX с касательным пространством Т_ X (обратный
ро
изоморфизмом A i-> X задается формулой (3)).
Как правило, мы будем отождествлять gX и Тр X по-
средством этого изоморфизма. 0
Задача 2. Докажите, что для любого морфизма f: X —» У
симметрических пространств гомоморфизм вХ —» вУ терна-
ров Ли является в силу этого отождествления нечем иным, как
дифференциалом (df)p : Т_ X —»Т_ У морфизма f в точке р0.
Свойства биективности функтора I (см. лекцию 7) так-
же сохраняются для функтора я.
Теорема 1. Для любого морфизма tp: SX —* вУ
тернаров Ли существует не более одного морфиз-
ма f\ X —* У пунктированных симметрических про-
странств, для которого
я(/) = ф.
Если пространство X односвязно, а гомомор-
физм Ф является изоморфизмом, то такой морфизм
существует (и является накрытием).
Доказательство. Согласно утверждению зада-
чи 2 равенство я(/) = я(д) для морфизмов f,g: X -» У
равносильно равенству (<(/)_ = (dg\n , а согласно утверж-
ро ро
дению предложения 1 лекции 6 морфизмы f и g являются
142 ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРНАРА ЛИ ПРОСТРАНСТВА (G/'H)a Лекция 9
аффинными отображениями. Поэтому если я(/) = в(д), то
f = д согласно предложению 2 лекции 3 (напомним, что
по определению все симметрические пространства связны).
Это доказывает первое утверждение теоремы 1.
Пусть теперь <р является изоморфизмом. Из форму-
лы (27) лекции 8 следует, что рассматриваемый как отобра-
жение Т X —> Т- У изоморфизм tp переводит тензор кри-
£ °
визны R* пространства X в точке р0 в тензор кривизны
R% пространства У в точке д0 = /(р0). Поэтому соглас-
но теореме 2 лекции 5 (и утверждению задачи 4 лекции 5)
существует аффинное накрытие /: X —* У, ддя которого
(#)е = <Р- Остается заметить, что согласно предложению 1
лекции 6 это накрытие является морфизмом симметричес-
ких пространств, g
Вычисление терна-
ра Лн простран-
ства (0/Я),
Теорема 2. Для любого тернара Ли
в (конечномерного и над полем R)
существует односвязное пункти-
рованное симметрическое пространство X с вХ =
= я. Любое другое пунктированное симметрическое
пространство X' с вХ' = в накрывается пространст-
вом X.
В частности, отсюда следует, что с точностью до
изоморфизма пространство X определено единствен-
ным образом.
3 а д а ч а 3. Докажите второе утверждение этой тео-
ремы. [Указание. Воспользуйтесь вторым утверждением
теоремы 1.]
Для доказательства первого утверждения теоремы 2
нам нужно предварительно вычислить тернар Ли симметри-
ческого пространства вида (см. пример-задачу 5 лек-
ции 5). Для доказательства первого утверждения теоремы 2
нам нужно предварительно вычислить тернар Ли симметри-
ческого пространства вида (^/'Н)о. (см. пример-задачу 5 лек-
ции 5).
Пусть Q — связная группа Ли, о — ее инволютивный
автоморфизм и Н — такая (необходимо замкнутая) подгруп-
па группы Q, что
(Fix ff)e С W С Fix сг.
(5)
Лекция 9
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРНАРА ЛИ ПРОСТРАНСТВА (6/W)a
143
Соответствующее симметрическое пространство (Q/H)a бу-
дет ничем иным, как факторпространством (7/W с отмечен-
ной точкой р0 = еН, в котором симметрии действуют по
формуле
spq = аа(а~1ЬуН, р = aW, q = ЪН.
Чтобы вычислить тернар Ли этого симметрического
пространства, мы введем в рассмотрение алгебру Ли g = vQ
правоинвариантных векторных полей на группе
Ли Q. Относительно индуцированного автоморфизмом а ав-
томорфизма т(<т) этой алгебры (который мы для упрощения
формул будем обозначать прежним символом <т) она явля-
ется симметрической алгеброй Ли.
Задача 4. Покажите, что коцоколъ I) симметри-
ческой алгебры Ли g изоморфен алгебре Ли подгруп-
пы И. (Ясно, что все подгруппы И, удовлетворяющие усло-
вию (5), имеют изоморфные алгебры Ли.)
Пусть я — цоколь симметрической алгебры Ли д.
Согласно полученным выше результатам для каждого
поля X G в существует единственное дифференцирование
№ G sX, X = для которого
=(dj)eXe,
го
где j — каноническое отображение
j.Q —► X, а и-> а'Н, а € Q.
Это дифференцирование задается равенством
xl = |(£/ДрорЧ(£/ПЛр- = |й(Др0*°Я<Л1’
где отображение Rp р
oj: g —> X действует по формуле
(RP р °j)(x)=j(xcr(x~la(a)))=j(xo(x l)a), xEQ, (6)
в которой а — такой элемент группы Qt что р = j(a) (и, зна-
чит, pop = y(a(a))).
Формула (6) означает, что
Rp р°3 = > ° м° (id хГа)о Д,
144 ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРНАРА ЛИ ПРОСТРАНСТВА (6/W)a Лекция 9
где Д— диагональное отображение х i-> (х,х), р— умно-
жение (®, у) i-> ху, а Та — отображение
Ra о а о w. х i-> <т(х~1 )а, XEQ
(здесь Ra — правый сдвиг х и-> ха в группе Q, a v — диф-
феоморфизм обращения х и-> ж-1). Поэтому
d(RP()P °j)e = (dM)(e,a) ° (id x(dTa)e) о (йД)е,
где, поскольку (dv)e = - id,
(dra)e = -(d7?a)eo(da)e.
В частности, мы видим, что если вектор A 6 Те(7 имеет
вид Хе, где X G я (и, значит, (da)tA = -X), то
(йга)ел = (й/га)ел.
Поскольку (йД)еЛ = (Л,Х) и (см. формулу (13) лекции 8)
(dg)(e>a)(X, В) = (dRa)eA + (dLJaB = (dRa)eA + В
для любых A G Те0, В G TaQ, этим доказано, что при А =
= Хе, X G я, имеет место равенство
d{R^p о j )еА = (dj)a«dRa)eA + (dRa)eA) =
= 2(dj)a(dRa)eA = 2(dj)aXa
и, значит, равенство
Так как р = j(a), то по определению это означает, что по-
ля X и Х^ j-связаны.
Задача 5. Покажите, что X** является единст-
венным полем из gX j-связанным с полем X.
Поскольку (ср. задачу 5 лекции III. 17) для любых по-
лей X, Y, Z G я поле [X, У, Z] j-связано с полем [Xй, У1*, Xй],
отсюда следует, что
[X,y,^ = [X",y«,Zl],
т. е. что отображение X i-+ Xй является изоморфизмом тер-
нара Ли я на тернар Ли gX.
ЛеКЦИЯ 9
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА
145
Таким образом, тернар Ли sX симметрического
пространства X = естественно изоморфен
цоколю s = я(д) симметрической алгебры Ли д = xQ.
Конечно, алгебру xG здесь можно заменить изоморф-
ной — и более привычной — алгеброй IQ. [Вопрос. Что
изменится, если с самого начала работать с алгеброй [0?]
3 а д ач а 6. Задайте изоморфизм fX —»явной формулой.
Фундаментальная Для дальнейшего нам нужно рассмо-
группа факторпро- треть вопрос, как соотносятся друг с
странства другом фундаментальные группы и
7г( (<//?<) группы Ли Q (предполагаемой связной) и фактор-
пространства Q/Н (в силу связности группы Q также связ-
ного) по ее замкнутой подгруппе Н (вообще говоря, не связ-
ной).
Так как компонента единицы Не группы Ли Н является
ее инвариантной подгруппой, то множество
7Г0« = Н/Не
всех компонент связности группы Н является группой от-
носительно умножения
аНе • ЬНе = abHe, a,b ЕН.
Пусть, как и выше, j: Q —► Q/H — каноническое отоб-
ражение a i-> аН, a EG, и пусть
j,-. ^G^n^Q/H) (7)
— индуцированный этим отображением гомоморфизм фун-
даментальных групп (см. лекцию ГУЛ).
Так как отображение j является расслоением в смыс-
ле Гуревича (см. задачу 1 лекции IV.26), то любая петля и:
I Q/Н пространства Q/Н в точке р0 = еН накрывает-
ся некоторым путем v. I —► G группы Q, начинающимся в
точке е (и кончающимся в некоторой точке подгруппы Н).
[Для (кусочно) гладких петель и существование накрываю-
щего пути v следует также из существования для гладкого
главного расслоения {Q,j,Q/H) хотя бы одной связности;
см. лекцию IV.20. Заметим, что в силу леммы 1 лекции IV.3
этот случай для наших целей вполне достаточен.]
146
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА
Лекция 9
Если г»,: I —* д —другой путь, накрывающий петлю ц
(и также начинающийся в точке е), то формула
w(t) = 0 t 1,
определяет путь w: I ->Н, начинающийся в точке е и, зна-
чит, такой, что w(t) € Не. Поскольку ^(1) = t>(l)w(l), это
доказывает, что элемент и(\уНе группы ir0T-l не зависит
от выбора накрывающего пути v.
Задача 7. Докажите, что формула
корректно определяет гомоморфизм
6- -> 7Г0« (8)
группы ^(д/Н) в группу т^'Н.
Предложение 2. Гомоморфизм (8) является эпи-
морфизмом. Его ядром служит образ гомомор-
физма (7).
На языке точных последовательностей (см. лек-
цию IV.4) предложение 2 утверждает, что имеет место
точная последовательность
(9)
{Поскольку, как выше уже было отмечено, отображение j:
g —* g/U. представляет собой расслоение в смысле Гуре-
вича, предложение 2 является поэтому частным случаем
утверждения задачи 5 лекции IV. 26, но мы дадим ему пря-
мое доказательство.]
Доказательство. Так как группа Ли g связна, то
для любой точки a G И в g существует путь и, соединяющий
точку е с точкой а. Тогда путь j о v: I g/H будет петлей
в точке р0 и в группе будет иметь место равенство
<5[? о®] = аНе.
Следовательно, отображение (8) эпиморфно.
Если и = j о v, где v — петля в д, то <5[u] = еНе =
и, значит, [u] G Кет<5. Это доказывает, что Im;„ С Кег6.
Обратно, пусть [и] G Кег <5, т. е. пусть для и существует
такой накрывающий путь и, что г>(1) е Ws. Тогда мы можем
Лекция 9
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА
147
построить путь v * v0, где v0 — произвольный путь в Не,
соединяющий точку v(l) с точкой е. Этот путь накрывает
путь и * (j о v0) = j о (v * t>0), где j о v0 — постоянный путь
в точке р0. Так как [и] = [и* (j о t>0)] в группе тг^Я/'Н), то,
следовательно, [и] = {3 o(t>*t>0)] = y»[v*v0] 6 Значит,
Ker 6 с Im у*, и потому Кегб = ImJ*. g
Следствие 1. Если группа Q односвязна, то группа
изоморфна группе тг0Н. q
Следствие 2. Если подгруппа Ti. связна, то груп-
па является гомоморфным образом груп-
пы kxQ. g
Следствие 3. Если подгруппа W связна, а группа Q
односвязна, то пространство Q/Н односвязно, q
Задача 8. Докажите, что ядром гомоморфиз-
ма (7) является образ группы тг^ = Kj'Hg при гомо-
морфизме TTjW —► TTjS» индуцированном вложением
i: н->д.
В частности, отсюда следует, что если подгруппа Н
связна и односвязна, то группа ^(<7/%) изоморфна
группе ТГ] Q.
3 а д а ч а 9. Постройте гомоморфизм
6: -кх'Н (10)
и докажите, что Im 5 = Кегг#.
Замечание 1. Можно доказать — это трудная тео-
рема! — что тг2<7 = 0 для любой связной группы Ли Q.
Поэтому в силу общего утверждения о точности гомотопи-
ческой последовательности расслоения (см. задачу 5 лек-
ции IV.26) гомоморфизм (10) является мономорфизмом.
Вместе с утверждениями задач 8 и 9 это означает, что точ-
ная последовательность (9) является отрезком точ-
ной последовательности
0 тг2(Я/'Н) А А тг^ А tt^/W) 4 тг0Н -> 1.
В частности, если группа Q односвязна, то кхН «
«ТГ2(^/«).
148
накрытия д/н1 -> д/нч
Лекция 9
Симметрическое Теперь у нас все готово для доказатель-
С данным тер. ства теоремы 2.
иаромЛи Доказательство теоремы 2.
В доказательстве нуждается — см. задачу 3 — лишь первое
утверждение этой теоремы, т. е. тот факт, что для любого
(конечномерного и над полем К) тернара Ли я существует
односвязное пунктированное симметрическое пространство
X с gX яз я.
С этой целью мы рассмотрим произвольную симметри-
ческую алгебру Ли g с я(д) «ян односвязную группу Ли
Q с \Q « g. (Существование алгебры Ли g обеспечивается
предложением 5 лекции 8, а существование группы Ли Q —
теоремой Картана; см. лекцию 7). Согласно предложению 2
лекции 7 существует инволютивный автоморфизм группы Q
(который мы обозначим прежним символом о), индуцирую-
щий структурный автоморфизм сг симметрической алгебры
Ли g и, значит, определено пунктированное симметрическое
пространство X = (Q/Fix(cr)e)cr. Так как группа Q односвяз-
на, а группа Fix(<r)e связна, то это пространство односвяз-
но. С другой стороны, согласно проделанному выше вычис-
лению тернар Ли gX этого пространства изоморфен цоколю
алгебры Ли g и, значит, изоморфен данному тернару Ли я. □
Накрытия Для несвязной подгруппы Н отображение
0/я, — д/г^
(И)
индуцированное включением смежных классов, является
локально тривиальным расслоением с дискретным слоем
Н/Нъ, т. е. представляет собой накрытие. Согласно след-
ствию 1, в случае, когда группа Q односвязна, накры-
тие (11) является универсальным накрытием.
Вообще, если для подгрупп с С Фак~
торпространство 'Н2/'Н1 дискретно, то имеет место
накрытие
Q/K -> д/Нг
со слоем
3 ад ач а 10. Покажите, что факторпространство Н,/?<1 тогда
и только тогда дискретно, когда компоненты единицы подгрупп Н,
и совпадают:
(«1)е = («2)е-
ДеКНИЯ 9
ТЕОРЕМА КАРТАНА
149
Отсюда следует, что для любого инволютивного ав-
томорфизма а связной группы Q каждое симметриче-
ское. пространство вида накрывается симме-
трическим пространством (Q/Fix(cr)e)a (обычно обо-
значаемым символом Qa} и накрывает симметрическое
пространство (7/Fix(a) (изоморфное — напомним — сим-
метрическому пространству Qa из примера-задачи 4 лек-
ции 5). , ,
С топологической точки зрения наиболее просто устро-
ено пространство Qa (скажем, для односвязной группы Q
оно односвязно), но, тем не менее, часто удобнее простран-
ство Qa с большей фундаментальной группой, поскольку оно
вложено в группу Ли Q в качестве — как мы увидим — впол-
не геодезического подмногообразия.
Теорема Пусть теперь опять X — произвольное симме-
Картана трическое пространство.
Применив конструкцию, использованную выше для до-
казательства теоремы 2, к тернару Ли sX и воспользовав-
шись теоремой 1 (точнее — ее вторым утверждением), мы
немедленно получим, что для любого симметрического
пространства X существует аффинное универсаль-
ное накрытие вида
0° -ч X.
В частности, это доказывает, что каждое односвязное сим-
метрическое пространство изоморфно пространст-
ву вида Qa. .
Оказывается, что условие односвязности здесь можно
снять.
Теорема 3. (К ар тан) Каждое симметрическое
пространство X изоморфно пространству вида
3 ад ач а 11. Убедитесь в справедливости теоремы 3 для симметри-
ческих пространств из примеров-задач 1-3 лекции 5. [Указание. Для
любой группы Ли Q имеет место равенство Q = ((S я где Д — ди-
агональная подгруппа, состоящая из элементов вида (а, а) ё Q х Q, а ё Q,
a <г; (а,Ь) (Ъ,а), а,Ь ё Q. С другой стороны,
6^(771, 71) = (SO(7l)/W)„,
где « = Нх(<7), <7 = intj.- А JAJ-1, J = (-Ет) ф
150
ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Лекция g
Отождествление
однородных
пространств
с факторпро-
странствамн
Для доказательства теоремы 3 нам понадо-
бится следующая общая лемма.
Лемма 3. Каждое, гладкое многообра-
зие X, на котором гладко и транзи-
тивно действует группа Ли Q, диффеоморфно фак-
тормногообразию Q/Н, где Н — стабилизатор произ-
вольно выбранной точки р0 G X. Диффеоморфизм
<р: Q/Н X
задается формулой
<р(аН) = ар0, a G Q.
(12)
[По определению подгруппа Н состоит из всех элемен-
тов a G б, для которых ар0 = р0. Эта подгруппа, очевидно,
замкнута, и потому — см. теорему 1 лекции IV. 15 — являет-
ся подгруппой Ли. Являясь факторпространством по замкну-
той подгруппе Ли, пространство Q/Н представляет собой —
см. задачу 4 лекции IV. 15 — гладкое многообразие.]
Доказательство. Биективность и гладкость отоб-
ражения очевидны. Поскольку надъективное гладкое отоб-
ражение, являющееся погружением, необходимо этально,
нам иужно лишь доказать, что отображение <р представляет
собой погружение. Конечно, это достаточно сделать лишь в
точке еН.
Но вспомнив определение карт многообразия Q/H
(см. лекцию IV. 15), мы немедленно получим, что отобра-
жение тогда и только тогда является погружением в точ-
ке еН, когда дифференциал
WV- тед-чтрлг
о
в точке е отображения
Q —* X, а>-> ар0, а£.б,
обладает тем свойством, что его ядро Ker(dV>)e совпадает
с касательным подпространством TeW подгруппы Н. По-
скольку включение TeW С Кег(^)е очевидным образом вы-
полнено, нам, следовательно, достаточно лишь доказать, что
из равенства (с1/ф)еА = 0, A G Те<7, следует включение A G
е TeW.
Пусть /3: t exptA — однопараметрическая подгруппа
группы Q с начальным вектором А. Так как по определению
Лекция 9 ТРАНСЛЯЦИИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 151
(drt)e0(O) = (d^>)eA, а по условию (d^)eA = 0, то для любой
гладкой вблизи точки р0 функции f имеет место равенство
#[(ехрМ)р0] _ d(f о ^)(/3(t))
dt
=к^)лад = о.
t=fl
t=o &
В частности, это верно для функции /д, определенной фор-
мулой
Л<Р) = f<(e*psA)p),
где з — произвольное достаточно близкое к нулю вещест-
венное число. Поскольку
<УКехрМ)р0]
<УдЦехрЫ)р0]
dt
5
t=0
отсюда следует, что функция t i-> f((exptA)p0) постоянна
вблизи точки t = 0. В силу произвольности функции f это
возможно только тогда, когда (ехр4Л)р0 = р0, т. е. когда
ехр£Л е Н. Следовательно, Л 6 TeW. q
Трансляции По понятной ассоциации идей автомор-
симметрического физмы симметрического пространства X,
пространства являющиеся композициями четного
числа симметрий sp, р е X, называются его трансляция-
ми. Все трансляции составляют подгруппу Trans X группы
Aut X автоморфизмов пространства X — группу трансля-
ций.
Группа Trans X, являясь подгруппой группы автомор-
физмов, естественным образом действует на многообра-
зии X. Легко видеть, что это действие транзитивно,
т. е. для любых двух точек р, q е X существует такой эле-
мент а группы Trans Д’, что ар = q. Действительно, из того
что любая точка пространства X обладает нормальной ок-
рестностью, немедленно вытекает (напомним, что простран-
ство X предполагается связным), что точки р и q можно
соединить кусочно гладкой кривой, составленной из нор-
мальных геодезических сегментов, и композиция симметрий
в средних точках этих сегментов переводит, очевидно, р в q.
(Если число сегментов нечетно, следует добавить, скажем,
симметрию зр.) q
152
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КАРТАНА
Лекция 9
Предложение 3. Группа Trans X обладает глад-
костью, по отношению к которой она является связ-
ной группой Ли, гладко действующей на многообра-
зии X.
Мы докажем это предложение в следующей лекции.
Доказательство Доказательство 1в0РемЫ 3
теоремы Картана Пусть Q = Trans X. Выбрав точку р0 е
е X, рассмотрим отображение a: Q Q,
определенное формулой
а а = s as , a EQ.
Fo Fo
Ясно, что а является инволютивным автоморфизмом груп-
пы Q.
Пусть Н — стабилизатор точки р0 в группе <7. Так как
для любого автоморфизма <р: X -+ X и любой точки р е X
имеет место равенство <р о зр о <p~l = sq, где q = <р(р), то
s_ = as„a~l при а G Н и, значит, <та = а. Следовательно,
о - Q
Н С Fix(a).
Пусть А е Te(Fix(a)). Тогда (da)eA = А и, значит,
ст(ехр tA) = exp tA
для любого t е R. Следовательно,
а ((expt4)p0) = (s о ехрМ)р0 =
о г0
= (exp tA О S )р0 = (exp tA)p0,
т. е. точка (exp tA)p0 является неподвижной точкой симме-
трии s . Поэтому — ввиду изолированности неподвижной
точки р0 — должно иметь место равенство
(ехрМ)р0 = р0
(для малых, а значит и для любых t G R). Это означает,
что exp tA G Н, откуда в силу произвольности вектора А и
связности группы Fix (<г)е следует, что Fix(<r)f с Н.
Таким образом, для автоморфизма а и подгруппы Н вы-
полнены условия (5) и, значит, определено симметрическое
пространство {3/Н)^.
Лекция 9
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КАРТАНА
153
С другой стороны, так как группа Ли Q транзитивно и
гладко действует на многообразии X, то согласно лемме 3
формула (12) корректно определяет диффеоморфизм
X.
При этом так как
аа(а~1Ь) = as а~1Ьз = з Ьз , а,Ьед,
ТО Р0 р0 *0 Ро
Ма'Ш = sap(bP0)
и, значит, диффеоморфизм <р является изоморфизмом сим-
метрических пространств, q
ЛЕКЦИЯ 10
Бесконечномерные многообразия и группы Ли. — Век-
торные поля, индуцированные действием группы Ли. — Тео-
рема Пале. — Теорема Кобаяси. — Группа аффинных автомор-
физмов. — Группа автоморфизмов симметрического пространст-
ва. — Группа трансляций симметрического пространства.
Бесконечномерные Понятие дифференцируемости (гладко-
многообразия сти) Ие требует, вообще говоря, конечно-
н группы Лн мерности и может быть определено для
отображений открытых множеств произвольного линейно-
го топологического пространства £. Это позволяет очевид-
ным образом определить гладкие многообразия с карта-
ми из £'. достаточно в обычном определении гладкого мно-
гообразия (см. лекцию III.6) всюду заменить открытые мно-
жества пространства Rn открытыми множествами простран-
ства £. В зависимости от типа пространства £ тем самым
возникают гильбертовы, банаховы, локально выпуклые
и т. д. многообразия. Все такие многообразия принято назы-
вать бесконечномерными многообразиями, хотя, конеч-
но, этот термин и нельзя признать очень удачным. Их те-
ория — при тех или иных условиях на пространство £ —
почти дословно повторяет в своей начальной части теорию
конечномерных многообразий, но, например, иа бесконеч-
номерном многообразии гладкое векторное поле может не
иметь интегральных кривых.
Бесконечномерные группы Ли определяются обыч-
ным образом как многообразия Q с гладким умножением
Q х Q Q. Также обычиым образом определяется алгебра
Ли IQ каждой такой группы (как линейное пространство эта
алгебра изоморфна базисному пространству £). Для бана-
ховых групп Ли (над банаховым пространством £) теория
может быть продвинута довольно далеко параллельно тео-
рии конечномерных групп Ли. Для более общих групп па-
раллелизм нарушается, и о них известно мало. Неизвестно
даже, всегда ли существуют однопараметрические подгруп-
пы с данным начальным вектором, т. е., иначе говоря, все-
гда ли определено экспоненциальное отображение IQ —* Q
(хотя контрпримеров также, по-видимому, неизвестно). Од-
ДеКЦИЯ 10
ПОЛЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ ДЕЙСТВИЕМ ГРУППЫ ЛИ
155
нако, если экспоненциальное отображение и существует, то,
вообще говоря, оно не инъективно н не покрывает никакой
окрестности единицы.
Отсутствие общей теории не мешает, конечно, изуче-
нию тех или иных конкретных классов бесконечномерных
групп Ли (и даже, скорее, стимулирует особое внимание
к ним). Так, например, за последние годы усиленно раз-
вивалась теория так называемых групп токов, элемента-
ми которых являются гладкие отображения X —> Q данного
компактного многообразия X (особенно интересен и далеко
продвинут случай X = S1) в данную конечномерную груп-
пу Q- Другой важный класс бесконечномерных небанахо-
вых групп Ли, о котором известно существенно меньше, —
это группы Diff X диффеоморфизмов конечномерных глад-
ких многообразий X.
Алгеброй Ли группы Diff X является алгебра а X всех
векторных полей на X и, значит, алгебрами Лн подгрупп
группы DiffX — подалгебры алгебры аХ. По аналогии
со случаем конечномерных групп Ли (см. лекцию IV. 14)
естественно ожидать — быть может, с некоторыми оговор-
ками— биективного соответствия между подгруппами груп-
пы Diff X и подалгебрами алгебры аХ. Мы рассмотрим этот
вопрос для конечномерных подгрупп (т. е. подгрупп, являю-
щихся обычными группами Ли) н конечномерных подалгебр,
когда все исследование может быть проведено в рамках тео-
рии конечномерных многообразий.
Конечно, .ограничение лишь конечномерными многооб-
разиями деформирует общую картину и лишает изложение
истинной перспективы, но мы вынуждены на него пойти.
В дальнейшем бесконечномерные многообразия нигде явно
упоминаться не будут, н их тема будет проходить только
sotto voce. В частности, в группу Diff X мы не будем вво-
дить ни топологии, нн гладкости.
Векторные поля,
индуцированные
Действием
группы Лн
Если группа Ли Q гладко и эффективно
действует на гладком многообразии X, то
для любого элемента а е Q отображение
La: р ар, PCX,
будет диффеоморфизмом многообразия X на себя, и соот-
ветствие L: а 1-+ La будет мономорфным отображением
156
ПОЛЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ ДЕЙСТВИЕМ ГРУППЫ ЛИ
Лекция 10
группы Q в группу Diff X всех диффеоморфизмов X —» х.
Следовательно, группу Q мы можем рассматривать как под.
группу (абстрактной) группы Diff X. При этом вложении
каждая однопараметрическая подгруппа /Зх: t ь-» expt Д’,
X е 15, группы Q окажется потоком (см. лекцию III. 17)
на многообразии X, определенным для всех t е R. Вектор-
ное поле, порождающее этот поток, мы обозначим симво-
лом —X*. (Обратите внимание на знак! Чтобы его не вво-
дить, надо вместо левоинвариантных полей X рассматри-
вать правоинвариантные поля.) Как дифференцирование ал-
гебры гладких функций FX, поле X* действует по формуле
(Х*/)(р) = Hm рех, feFX.
Поэтому для любых элементов X, Y алгебры Ли имеем
(Z.y.Z)(p) _ Um (УУ)(Р)-(У/(ехр»ХН =
s—>0 s
_Цт/(р)-/((ехр^У)р-/((ехр sX)p)+/((expty)(exp sX)p)
s—Ю st
t—>0
r ljm /((expty)(exptX)p)-/((exptX)p)-/((expty)p)+/(p)
t—»o t2
и, значит,
(|X% У*]/)(р) = (Х*У*/)(р) - (У*Х*/)(р) =
= _ lim <(exP tX)(exP ty)p) - /((exp ty)(exp tX)p)
t-л t2
Пусть — нормальные координаты в окрестно-
сти единицы группы G, отвечающие базису Хр.. .,Хт ал-
гебры Ли д, а х1,..., хп — локальные координаты на X, опре-
деленные в окрестности точки р и равные нулю в р. Пусть,
далее, f = f(x) — выражение функции f в координатах
х1,.. ,,хп, а х = ®(t) — вектор-функция, задающая в коор-
динатах t1,.. ,,tm и х1,.. ,,хп отображение а ар. Так как
ер = р, то компоненты ®’(t),i = 1,.. .,п, последней функции
имеют вид
x\t) = ciata + ciabtatb + ...,
ДеКЦИЯ 10 ПОЛЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ ДЕЙСТВИЕМ ГРУППЫ ЛИ 157
где многоточие обозначает члены степени 3 по t1,.. ,,tm
(И = сгЬа). Поэтому для любого элемента X = taXa ал-
гебры Ли g имеем
/((ехрХ)р) = /(»(«)) =
= ™ + (Й9 + ( + • • • =
\о& /р \ОХ1О^ /р
= Ю> + (g£)I (ci,t“+4t¥ + ...) +
+ (з&) (44rt‘+ )+ .
\ох*ох? Jp
и, значит,
(X7)(rt - Jim 4х“,
t—»0 t \ OX Jp
где вместо ta мы написали Ха. Кроме того, поскольку в силу
формулы (12) лекции IV. 14 (см. также формулы (11) и (12)
лекции 7)
f ((ехр tX)(exp tY)p) = / (exp(t(X + У) + ^[х> У] + • • •)?),
отсюда также следует, — в понятных обозначениях — что
Д(ехр(Х)(ехр (У)р) - / W + * (^?) + у”>+
+12[г (^)„С“[Х’У1“+ (^?)/^х°+У°),х‘+У‘>+
+ П(Х‘ + ^ + -
где по-прежнему многоточие обозначает члены степени 3
по t, и, значит, что
f ((exptX)(expty)p) - /((ехр£У)(ехр£Х)р) =
= у (J£) 4({Х, УГ - [У, Xf) +... =
= е с“[х’ у1°+ • • • = -*2«х’ +• • •
158
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
Лекция Ю
Следовательно,
([Х*,У*]/)(р) =
= _ Um f((e?q>tX)(expty)p) - f((expty)(exptX)p) =
t—>о t2
= ([Х,У]?)(Р).
Этим доказано, что [X, У]* = {Х*,У*|, т. е. что соот-
ветствие X X* является гомоморфизмом алгебры
Ли д = IS группы Ли Q в алгебру Ли аХ векторных
полей на X.
Если X* = 0, то ехр(—tX)p = р для любой точки р е X
и любого t е R, что ввиду эффективности действия груп-
пы Q на многообразии X возможно только при X = 0. Сле-
довательно, гомоморфизм X н-> X* является мономор-
физмом.
Это означает, что, отождествив X с X*, мы можем
(и будем) считать алгебру Ли д подалгеброй алгебры Ли аХ.
Подчеркнем, что в отличие от всей алгебры аХ эта подал-
гебра конечномерна. Кроме того, она состоит из полных
полей, т. е. из таких.полей, что соответствующий макси-
мальный поток определен для всех t е R. Оказывается,
эти свойства полностью характеризуют подалгебры алгеб-
ры Ли аХ, являющиеся алгебрами Ли групп Ли, гладко и
эффективно действующих на многообразии X. Более того,
это утверждение можно даже несколько усилить.
Теорема Пале Мы будем говорить, что подмножество S
алгебры Ли д порождает д, если каждая
подалгебра алгебры д, содержащая S, совпадает с д. Анало-
гично, мы будем говорить, что множество S линейно по-
рождает д, если оно полно в смысле определения 4 лекции
1.3 (т. е. содержит некоторый базис алгебры д).
Для каждого полного поля X е аХ поток на X, индуци-
рованный этим полем, мы будем обозначать символом {у?*}.
Теорема 1. Пусть g — подалгебра алгебры Ли аХ, и
пусть Q —подгруппа группы DiffX, порожденная все-
ми диффеоморфизмами вида <р^, где t G R, аХ — про-
извольное полное поле из д. Если алгебра Ли д
а конечномерна;,
Лекция 10
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
159
б порождена множеством, состоящим из полных
полей,
то группа Q обладает гладкостью, по отношению
к которой она является связной группой Ли, глад-
ко и эффективно действующей на многообразии X,
причем отвечающий этому действию мономорфизм
X н-> X* является изоморфизмом алгебры IQ на под-
алгебру д.
Доказательство. Согласно теореме Картана из
лекции V.10 существует связная и односвязная группа Ли Q,
алгебра Ли IQ которой изоморфна алгебре д. Элемент алгеб-
ры Ли (левоинвариантное векторное поле на Q), отвеча-
ющий при этом изоморфизме векторному полю X G д, мы
будем обозначать символом X.
Как мы зиаем (см. лекцию IV.21)^ в каждой точке
(а,р) € Q х X прямого произведения Q х X касательное
пространство Т(ор)(<7 х X) естественным образом разлага-
ется в прямую сумму касательных пространств То<7 и ТрХ.
Поэтому каждое поле Хед определяет в х X) век-
тор (Ха, Хр) (напомнйм, что g С а X), и все такие векторы
составляют в Т(ор)(С7 х X) подпространство Т>^ру
Задача 1. Покажите, что
а подпространства гладко зависят от точ-
ки (а,р), т. е; составляют на Q х X распределение ТУ,
б распределение Т) инволютивно.
(Указание. Векторные поля (а,р) w (Ха,Хр) порож-
дают F(C? х Х)-модуль аТУ, о распределениях и связанных
с ними понятиях см. лекцию IV. 14.]
Поэтому, согласно теореме Фробениуса (теорема 3 лек-
ции IV. 14), через любую точку (а,р) е§хХ проходит един-
ственное максимальное интегральное многообразие распре-
деления ТУ Для сокращения речи мы будем называть эти
интегральные многообразия листами.
Заметим, что по определению каждый лист явля-
ется связным подмногообразием многообразия Q х X
(вообще говоря, лишь погруженным).
160
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
Лекция Ю
Лист, проходящий через точку (е,р), где е — единица
группы Q, мы обозначим символом £р.
Формула
а(Ь,р) = (оЬ,р), а,ь ед, рех,
очевидно, определяет гладкое и эффективное (даже свобод-
ное) действие группы д на многообразии Q х X. Для любого
элемента aeQ соответствующий левый сдвиг
Ьа: (Ь, р) •-> (ab, р), (b, р)е§х X,
обладает тем свойством, что его дифференциал
действует на векторы (Хь, Хр) по формуле
(dLa)(b>p)(Xb,Xp) = ((dLa)bXb,Xp) = (Хл,Хр),
Wifi La — левый сдвиг в группе д (см. формулу (5) лекции
IV.21). Следовательно,
(dZ'a)(b,p)2?(b,p) = Л«Ь,р)
для любой точки (Ь, р) е д х X и любого элемента а е д
(по определению это означает, что распределение Т) инва-
риантно относительно действия группы д на д х X).
Отсюда непосредственно вытекает, что для любого
листа £ подмногообразие а£ = La£ также является
листом.
Таким образом, соответствие £ >-> а£ определяет дейст-
вие группы g на множестве {£| всех листов. Если (а,р) е £,
то (е,р) е а-1£ и, значит, а~‘£ = £р, т. е. £ = а£р. Этим
доказано, что любой лист £ имеет вид а£р, где а е g,p G
е X. По определению это означает, что каждая орбита дей-
ствия группы § на множестве {£} содержит лист вида £р.
Заметим, что поскольку каждый лист является консер-
вативным подмногообразием (см. лекцию IV. 14), отобра-
жение
£-*а£, (Ь,р)>-> (аЬ,р), (Ъ,р)е£,
листа £ на лист а£, индуцированное левым сдви-
гом La, является диффеоморфизмом.
Лекция 10
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
161
Пусть тгр: £р —> Q — ограничение проекции
рГ]: Q х X -> в, (a, д) >-> а
на £ В силу консервативности подмногообразия £р отоб-
ражение тгр гладко.
Так как (dpr^ у(Ха, Xq) = Ха для любого поля X е g
и любой точки (a,q) е <3 х X, то дифференциал {d-Kp)^q^
отображения тгр в точке (a, q) е £р является изоморфизмом
пространства Т>( > = T(ag)£p на пространство Та<7. Сле-
довательно, отображение тгр этально, и потому на неко-
торой окрестности Vp точки (е,р) в £р оно обратимо, т. е.
существуют такая окрестность Up единицы е группы Q и
такое гладкое отображение
<Рр- Up-^£p, (1)
что 7гр о <рр = id на Up.
Лемма. 1. Окрестность Up можно выбрать одну и
ту же для всех точек р Е X.
Так выбранную окрестность Up мы обозначим сим-
волом U.
Ясно, что без ограничения общности можно считать,
что окрестность U связна.
Чтобы не прерывать рассуждение, доказательство лем-
мы 1 мы пока отложим.
Пусть т 1, и пусть Um — множество всех элементов
группы Q ai-...- ат, где а,,..., ат е U. Предположим,
что Um с тгр£р. (Так как 'Л’рОУ’р = id на U, то при т = 1 это
верно.) По определению включение Um с itpZp означает,
что для любого элемента а е Um существует такая точка
q Е X, что (а,д) е £р, т. е. такая, что £р = a£q. Но так как
тг9 о = id на U, то U с irq£q и, значит,
aU С a(Trq£q) = тгр£р.
Поэтому, поскольку элемент а е Um произволен, Um+i =
= UmU с тгр£р. По индукции этим доказано, что Um с
С тгр£р для любого т 1 и, следовательно, — посколь-
ку группа Q порождается окрестностью U (см. задачу 12
6 М. М. Постников
162
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
Лекция 10
лекции IV. 14) — что Q = тг £ . Таким образом, отображе-
ние лр: £р —> Q надъективно.
В частности, отсюда следует, что для любого элемен-
та а е 0 в листе £р существует точка вида (a~1,g)i
где q е X. При этом (е, q) 6 а£р и, значит, £q = а£р.
Поскольку листы вида а£р — это, как мы знаем, все листы
распределения этим доказано, что любой лист распре-
деления Т) имеет вид £р, р ЕХ, т. е. что отображение
р £р многообразия X на множество {£р} надъективно.
Рассмотрим теперь более внимательно открытое (в £р,
а значит и в 1г~*и = £pn(U х Д’)) множество Vp = <PpU,
диффеоморфно проектирующееся на U. Пусть (a, q) — та-
кая точка из £р, что тгр(а,д) е U, но (a, q) $ Vp (т. е. та-
кая, что а е U, но (a, д) / <рр(а)). Так как многообра-
зие Q х X хаусдорфово, то многообразие £р также хаус-
дорфово (докажите!), и потому точки (a,g) и <рр(а) облада-
ют в £р непересекающимися окрестностями и О2 С V.
Поскольку тгр(а, q) = irp(<pp(a)), можно, не теряя общ-
ности, предполагать, что тг^О] = тгрО2, и, следователь-
но, — поскольку на Vp отображение irp инъективно — что
О1 П Vp = 0. Таким образом, каждая точка (a, q) Е ir~lU, не
принадлежащая Vp, обладает в £р окрестностью, не пересе-
кающейся с Vp. Это означает, что множество Vp не только
открыто, но и замкнуто в тгр'77. Поскольку множество Vp —
будучи диффеоморфным окрестности U — связно, этим до-
казано, что множество Vp является компонентой связ-
ности множества k~1U.
Эта компонента характеризуется тем, что (е,р) е Vp-
Любая другая компонента множества ^plU содержит точ-
ку вида (е, д), и потому имеет вид Vq, где g — такая точка,
что £q = £ . Поскольку Vq также диффеоморфно проекти-
руется на U, этим доказано, что отображение тгр ровно
накрывает окрестность U.
Для любой точки а е Q множество aU является ее ок-
рестностью, и поскольку любая компонента связности мно-
жества тг-ГЧаТУ) имеет вид aVa, где (а, д) е £„, причем
У 3 У
Лекция 10
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
163
я [aV = а о тгд|у о а *, отображение тгр ровно накрывает
эту окрестность. Следовательно, отображение тгр являет-
ся накрытием. (Напомним, что как лист £р, так и груп-
па Q являются связными многообразиями.) Так как группа
д по условию односвязна и, значит, обладает лишь триви-
альными накрытиями, то, следовательно, отображение тгр
представляет собой диффеоморфизм.
В частности, это означает, что любой лист £ = £р со-
держит только одну точку вида (е, q), q е X (а именно,
точку (е,р)), т. е. что отображение р £р многооб-
разия X на множество {£} листов распределения Т>
биективно. ~
Поэтому действие группы Q на множестве {£} пере-
носится на X. (Для любого элемента а е Q и любой точ-
ки р е X точка ар е X по определению представляет собой
такую точку q из X, что £q = а£р.) Чтобы исследовать это
действие, нам нужно уточнить выбор окрестности U и в яв-
ном виде описать отображения tpp.
Лемма 2. Алгебра Ли g обладает базисом
Xv .., Хт, (2)
состоящим из полных векторных полей.
Доказательство леммы 2 мы также пока отложим.
Из этой леммы следует, что формулы
+ • + tmXm) = exp tiXi .... exp tmXm,
v(tlXl + ... + tmXm) = ^o...o^
корректно определяют некоторые отображения
&' 0 -+ в, <?: 0 -► £7.
Как мы знаем (см. лемму 5 лекции IV. 15), отображение (3
этально в точке 0, т. е. эта точка обладает в алгебре
Ли g окрестностью С7(0\ на которой отображение /3 является
Диффеоморфизмом этой окрестности на некоторую окрест-
ность U единицы группы Q (ниже мы увидим, что послед-
няя окрестность является окрестностью Up для любой точ-
ки р е X, и потому — как и подсказывает обозначение —
мы можем считать ее предусмотренной леммой 1 окрест-
ностью U).
в*
164
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
Лекция 10
Лемма 3. Формула
<рр(а) = (а,((<р о 0~l)a)p), р(=Х, a<=U (3)
определяет гладкое отображение
•рр- и~*£р-
Доказательство этой леммы мы также пока отложим.
Так как по построению <рр(е) = (е, р) и тгр о <рр = id, то
лемма 1 является непосредственным следствием леммы 3
(а отображения <рр являются отображениями (1)).
Если q = ((<ро f}~x)a)~xp, то y>q(a) = (а,р) и, значит,
(а,р) е £q, т. е. (е,р) Е a~l£q. Поэтому £q = а£р, т. е.
q = ар. Это означает, что действие
Q х X —> Л", (а,р) ар (4)
задается на U х X формулой
ар= ((sp о 0~1)а)~1р,
откуда непосредственно следует, что это действие гладко
(на U, а потому и на всей группе Q).
Кроме того, мы видим, что при a EU и а = (3(tiXi +...
... + tmXm) для отображения La: р^ ар имеет место фор-
мула
Это показывает, в частности, что La е Q. Так как окрест-
ность U порождает связную группу Q (см. задачу 12 лек-
ции IV. 14), то это включение остается верным и для любого
элемента а е Q. Таким образом, формула
L(a) = La, a£Q.
задает (очевидно, гомоморфное) отображение
L: Q-+Q.
При а = ехр 1Х{ мы имеем La = <p^Xi. По определению
это означает, что индуцированный действием (4| мономор-
физм \.Q аX (см. с. 155) задается формулой X X (на
векторах базиса, а потому и всюду), т. е. совпадает с исход-
Лекция 10
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
165
ным изоморфизмом -+ д. Поэтому, во-первых, все век-
торные поля Хед полны, и, во-вторых, для каждого такого
поля _
L(exptX) = <pt .
Поскольку все диффеоморфизмы t е R, X е д, порож-
дают, по условию, группу Q, отсюда следует, что гомомор-
физм L является эпиморфизмом (и, значит, индуцирует
изоморфизм А: Q/K —> Q, где К = КегД).
Если ехр tX е К для всех t е R, то = id, что возмож-
но только при X = 0. Поэтому IК = 0 и, значит, К является
дискретной инвариантной подгруппой группы Q. В частно-
сти, подгруппа К замкнута, и потому факторгруппа Q/К яв-
ляется группой Ди, гладко действующей на X (и локально
изоморфной группе Ли Q). Перенеся посредством изомор-
физма А гладкость с Q/К на Q, мы и получим на группе Q
гладкость, удовлетворяющую условиям теоремы 1.
Задача 2. Докажите, что преЭустиотре.нная теоремой 1 глад-
кость на Q единственна.
Для завершения доказательства теоремы 1 осталось до-
казать леммы 2 и 3 (как уже было отмечено, лемма 1 выте-
кает из леммы 3).
Лемма 4. Для любых полных полей Хр..Xk 6 g и
любой точки р G X формула
7p(i) = (ехр t,Xt •... • ехр tkXk, о ... о (5)
t=(t1,...,tfc)eRfc,
определяет гладкое отображение ур: > £р.
Доказательство. Так как подмногообразие £р
консервативно, то достаточно доказать, что 7p(t) 6 £р для
всех t е
Пусть сначала k = 1. В этом случае ур является кривой
t (/3(t),v?(t)), где /3(0 = exptX, <p(t) = <rf(p), X = Хр
проходящей при t = 0 через точку (е,р). При этом 7р(0 =
= (4(0.У>(0). W /3(0 = Xp{t} и 9?(t) = Xy(f), и, значит,
7р(0 G Для любого t е R. Это означает, что ур являет-
ся интегральной кривой распределения Т>. Следовательно,
7р(0 G £р для всех t е R.
166
ТЕОРЕМА ПАЛЕ
Лекция 10
Пусть лемма 4 уже доказана для полей Хр..
к > 1, и пусть
a = expt1X1 •...•exptfc_1Xfc_1,
Тогда (a, q) e £p и, значит, a£^ = £ С другой стороны,
применив уже доказанный случаи к = 1 к полю Хк и точке q,
мы получим, что
(exptfcXfc,^(?))e£g.
Следовательно, yp(t) е £р. a
Доказательство леммы 3. Отображение (5),
построенное для базиса (2) (при к = т), связано с отобра-
жением (3) формулой
Tp = V’poi3ox-1 на#,
где X 0 •“* — координатный изоморфизм, отвечающий
базису (2). a
Заметим, что в этом доказательстве мы использовали
лемму 2. Таким образом, все сводится к доказательству по-
следней леммы. Для этого нам понадобится следующее эле-
ментарное алгебраическое утверждение.
Лемма 5. Пусть алгебра Ли g порождена множест-
вом S. Если S замкнуто относительно умножения на
числа (m. е. tX 6 S для любых X 6 S и t 6 R) и если
eadxYeS для любых X,YeS, (6)
то S линейно порождает д.
Доказательство. Пусть 5 — линейная оболочка
множества S. Так как (см. задачу 15 лекции IV. 14 и опре-
деление экспоненты линейного оператора в лекции III. 11)
Л ad X у _ у
[X, У] = (adX)y = lim ----—
t—>о t
то [X, У] е 5 для любых X, У е S, а значит, — по линей-
ности — и для любых X, У е 5. Следовательно, 5 является
содержащей S подалгеброй алгебры Ли д, и потому 5 = д. q
Лекция 10
ТЕОРЕМА КОБАЯСИ
167
Доказательство леммы 2. Лемма 2 равно-
сильна утверждению, что множество S всех полных полей
из g (по условию порождающее алгебру Ли д) линейно по-
рождает д. Так как это множество очевидным образом замк-
нуто относительно умножения на числа, то, следовательно,
в силу леммы 5 достаточно доказать, что множество S удов-
летворяет условию (6).
Пусть X, Y € S, t е R, и пусть
fl(t) = exp X exp tY exp(-X),
= (<pf ° <Pt ° Ч>*Ур-
Так как /3(t) = inta(exp tY), где a = exp X, и, значит,
/3(t) = expt(Ad a)Y = expte^^Y
(см. диаграмму (6) лекции 7 и задачу 16 лекции IV.14); на-
помним— см. лекцию IV.14,—что по определению Ada =
= I(inta)), то /3(0) = Ze, где Z = eadxK. Но так как со-
гласно лемме 4 для любого t € R имеет место включе-
ние (/3(t),y>(t)) € то (/3(0),р(0)) е Т>(ер) и, значит,
(Zf,yj(O)) е Т. е. <р(0) = Ир. В силу произвольности
точки р это означает, что поток {<р^ о<р%о<р* } порождается
векторным полем Z. Следовательно, это поле полно. Кроме
того, так как (Ze, Zp) е Для любой точки р е X, то по
определению подпространств £\е,р) поле Z принадлежит д.
Являясь полным полем из д, поле Z лежит в S. q
Тем самым теорема 1 полностью доказана, q
Замечание 1.В процессе доказательства теоремы 1
мы показали, что любая подалгебра g алгебры Ли аХ,
удовлетворяющая условиям Л иб теоремы 1, состоит
из полных векторных полей.
Теорема 1 известна как теорема Пале.
Теорема Кобаяси Задача 3. Пусть Q — группа и £70 —
ее инвариантная подгруппа. Покажите, что если
а группа является группой Ли,
б все внутренние автоморфизмы
inta: жьчажа-1, a,xEQ
являются на гладкими отображениями,
168
ТЕОРЕМА КОБАЯСИ
Лекция Ю
то на ff существует единственная гладкость, по от-
ношению к которой группа ff является группой Ли
с компонентой единицы ffQ.
На этом утверждении основывается доказательство
следующего варианта теоремы Пале, известного как
теоремаКобаяси.
Теорема 2. Пусть ff — подгруппа группы диффе-
оморфизмов многообразия X и S — множество всех
полных полей X 6 аХ, обладающих тем свойством,
что Е ff для любого t 6 R. Тогда если S порождает в
алгебре Ли а X конечномерную подалгебру д, то S = д,
а группа ff обладает единственной гладкостью, по
отношению к которой она является группой Ли, эф-
фективно и гладко действующей на многообразии X,
причем отвечающий этому действию мономорфизм
X >-> X* является изоморфизмом алгебры Ли Iff на
подалгебру д.
Доказательство. Пусть ff0 — подгруппа груп-
пы ff, порожденная всеми диффеоморфизмами вида <р*, где
t е R, а X — произвольное (полное) поле из д. Так как
алгебра Ли д удовлетворяет, очевидно, условиям а и б те-
оремы 1, то группа ff0 обладает указанной в этой теореме
гладкостью (и согласно утверждению задачи 2 эта гладкость
единственна). Согласно замечанию Г все поля из g полны,
и так как они порождают однопараметрические подгруппы
группы ff, то g С S и, значит, S = д.
Для любого потока {<р*}, X G д, и любого диффеомор-
физма ip е ff диффеоморфизмы <р-1 о <р* о <р составляют пол-
ный поток и содержатся в ff, Поэтому <р~1 о о <р е ff^.
Поскольку диффеоморфизмы вида порождают подгруп-
пу ffv отсюда следует, что <р-1^0<р с ffb, т. е. что подгруп-
па ff^ инвариантна.
Задача 4. Покажите, что для инвариантной под-
группы ff0 выполнено усЛовие б задачи 3.
Поэтому на ff существует единственная гладкость, по
отношению к которой группа ff является группой Ли с ком-
понентой единицы ff0. Очевидная проверка показывает, что
эта гладкость удовлетворяет всем условиям теоремы 2. g
ДеКЦИЯ 10 ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ СИММЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 169
Группа аффинных Применим полученные, общие теоремы
автоморфизмов к группам^ возникающим в дифференци-
альной геометрии.
Предложение 1. Группа Aff X аффинных автомор-
физмов произвольного связного пространства аффин-
ной связности X обладает естественной гладкостью,
по отношению к которой она является группой Ли,
гладко действующей на X. В случае, когда простран-
ство X геодезически полно, алгеброй Ли группы Aff Д’
служит алгебра Ли ajjX аффинных полей.
Доказательство. Согласно предложению 2 лек-
ции 8 группа Aff X удовлетворяет условиям теоремы 2. Если
пространство X геодезически полно, то согласно предложе-
нию 3 лекции 8 соответствующая алгебра Лн g будет совпа-
дать с алгеброй affX.jj
Группа автоиорфиз- Следствие 1. Группа Aut Л" авто-
мов симметрическо- морфизмов произвольного симме-
ГО пространства трического пространства X явля-
ется группой Ли с алгеброй Ли Ъ X.
Доказательство. Согласно предложению 1 лек-
ции 6 группа Aut Д’ совпадает с группой Aff Д’, а алгеб-
ра Лн ЪХ — с алгеброй Лн affX. Кроме того, согласно
утверждению задачи 1 лекции 5 пространство X геодези-
чески полно. Q
3 а д а ч а 5. Пусть Р: R -> X — крива» в пунктированном симметри-
ческом пространстве X, проходящая при t = 0 через точку р0. Докажите,
что следующие утверждения равносильны:
а. Кривая Р является морфизмом симметрических про-
странств (где R рассматривается как симметрическое пространство с ум-
ножением в t = 2s -1; см. пример-задачу 2 лекции 5).
б. Кривая Р является интегральной кривой некоторого диффе-
ренцирования X е в X.
в. Для потока индуцированного полем X, имеет место
формула
Pit = s0(t) ° t 6 R. (7)
Г. Кривая Р является геодезической канонической связности.
д. Параллельные переносы вдоль кривой Р являются дифферен-
циалами отображений <pt.
170 ГРУППА ТРАНСЛЯЦИЙ СИММЕТРИЧЕСКОГО пространства Лекция ю
Группа трансляций Предложение 2. Группа трансля-
сннметрического
пространства
ций Trans X произвольного симме-
трического пространства X явля-
ется связной подгруппой группы Ли Aut X. Ее алгеброй
Ли trans X является подалгебра алгебры Ли D X, порож-
денная всеми полями X EsX..
Ср. предложение 3 лекции 9.
Доказательство. Подалгебра g алгебры Ли 5X,
порожденная всеми полямиX EsX, удовлетворяет услови-
ям а и б теоремы 1, и потому соответствующая группа Q яв-
ляется связной группой Ли, гладко действующей на X. При
этом согласно формуле (7) группа Q порождается всевоз-
можными преобразованиями вида о вр , где р0 — отме-
ченная точка пунктированного симметрического простран-
ства X, а /3: R -+ X — произвольная геодезическая про-
странства X, проходящая при t = 0 через точку р0. Поэтому
Q С Trans X.
Чтобы доказать обратное включение, мы для любой точ-
ки р Е X рассмотрим множество Wp всех точек q Е X, для
которых sq о вр G Q.
Если р0 G Wp и U — произвольная нормальная окрест-
ность точки р0, то, поскольку любая точка q Е U имеет
вид /?(t), преобразование s принадлежит Q. Кроме того,
я р0
ПО условию 8„ О 8_ G Q. Поэтому 8-О 3_ = 8„ О S„ OS„ OS„ Е
yQ у 4 у у у0 р0 4
G Q и, значит, U С Wp. Таким образом, произвольная нор-
мальная окрестность каждой точки из Wp содержится в Wp,
откуда непосредственно следует (ср. доказательство пред-
ложения 3 лекции 8), что множество Wp открыто и замк-
нуто в X. Поскольку множество Wp непусто (ибо р G Wp),
а пространство X по условию связно, этим доказано, что
Wp = X, т. е. что sq о 8р Е Q дяя любой точки q € X и,
значит, что Trans X С Q.
Таким образом, Trans X = Q, что, очевидно, и доказы-
вает предложение 2. □
Заметим, что алгебра Ли trans X очевидным образом
симметрична и является минимальной симметрической ал-
геброй Ли с цоколем s X.
ЛЕКЦИЯ 11
Римановы и псевдоримановы пространства. — Римановы
связности.—Геодезические в римановом пространстве.—Про-
стейшая задача вариационного исчисления.—Уравнения Эйле-
ра — Лагранжа. — Кривые минимума и экстремали. — Регуляр-
ные лагранжианы. — Экстремали лагранжиана энергии.
Римановы Определение 1. Риманов ой структу-
и псевдорнмано- рОц на гладком n-мерном многообразии X
вы пространства называется гладкая евклидова метрика на
касательном расслоении тх, т. е., иными словами, тензорное
поле д типа (2,0) на X, обладающее тем свойством, что для
любой точки р € X билинейный функционал на линейном
пространстве ТрХ является скалярным произведением (сим-
метричен и положительно определен). Многообразие X, на
котором задана риманова структура, называется римано-
вым пространством.
Тензорное поле д называется также метрическим
тензором риманова пространства или просто метрикой
(иногда римановой метрикой).
Для любых векторов А, В G ТрХ их скалярное произве-
дение др(А, В) относительно метрики др обозначается также
символом (А,В)р или просто (А, В).
С помощью тензора д мы можем осуществлять спуск
и подъем индексов тензорных полей, т. е. отождествлять
тензорные поля типа (а,Ъ), для которых сумма а 4- Ъ одна
и та же (ср. лекцию П.6). Например, векторное поле X с
компонентами X' мы можем отождествлять с ковекторным
полем (линейной дифференциальной формой), получающим-
ся в результате свертки тензора д с полем X (и имеющим
компоненты д^Х?, где gi:j — компоненты метрики д). Ана-
логично, свернув с тензором (удовлетворяющим соотно-
шению g^gjk = ^1) дифференциал du произвольной гладкой
функции и на X (или, точнее, соответствующее ковекторное
поле Vu), мы получим векторное поле градиента grad и
с компонентами
(grad u)1 = PV^7> i=l,...,n. (1)
172
РИМАНОВЫ И ПСЕВДОРИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Лекция 11
Для произвольного подмногообразия У риманова мно-
гообразия X линейное пространство ТрУ в каждой точ-
ке р G У является подпространством пространства ТрХ и,
следовательно, несет евклидову метрику ур|у. Это зада-
ет на У структуру риманова пространства. Говорят, что
эта структура индуцирована римановой структурой на X.
Подмногообразие У, снабженное индуцированной структу-
рой, называется римановым подпространством. В даль-
нейшем, рассматривая подмногообразия римановых про-
странств, мы всегда — если только явно не оговорено про-
тивное— будем предполагать, что на них введена индуци-
рованная риманова структура.
Конечно, любое евклйдово точечное пространство явля-
ется римановым пространством. Поэтому каждое подмно-
гообразие евклидова пространства обладает естест-
венной римановой структурой (индуцированной евкли-
довой структурой объемлющего пространства).
При п = 2 эта структура является не чем иным, как пер-
вой квадратичной формой поверхности (см. лекцию Ш.З).
Согласно следствию предложения 3 лекции IV.7 ри-
манова структура существует на любом хаусдор-
фовом паракомпактном многообразии X. [Другое
доказательство. Поскольку — см. замечание 2 лек-
ции III.24 — многообразие тогда и только тогда параком-
пактно, когда каждая его компонента удовлетворяет вто-
рой аксиоме счетности, можно без ограничения общности
предполагать, что многообразие X удовлетворяет второй
аксиоме счетности и, следовательно, — см. теорему 1 лек-
ции III. 14 (правда, у нас не доказанную) — вложимо в евк-
лидово пространство.]
Более общим образом, можно рассматривать многообра-
зие X, на котором задано тензорное поле g типа (2,0), опре-
деляющее в каждой точке р G X псевдоевклидову струк-
туру на ТрХ, т. е. симметрический невырожденный, но,
вообще говоря, не положительно определенный билиней-
ный функционал др. Такое поле называется псевдорима-
новой структурой на X, я многообразие X, снабженное
псевдоримановой структурой, называется псевдоримано-
вым пространством.
Лекция 11
РИМАНОВЫ И ПСЕВДОРИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
173
Если многообразие X связно, то по очевидным сообра-
жениям непрерывности индекс (сигнатура) псевдоевклидо-
вой метрики др не зависит от р. Этот индекс (сигнатура)
называется индексом (сигнатурой) псевдориманова про-
странства X.
Заметим, что подмногообразие псевдориманова про-
странства, вообще говоря, не несет никакой естественной
псевдоримановой структуры (ограничение на У псевдори-
мановой метрики может оказаться вырожденным), и для
любого k, 0 < k < п, существуют гладкие n-мерные хаус-
дорфовые многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме
счетности (и, значит, паракомпактные), на которых нельзя
ввести псевдоримановой структуры индекса k. Оказывает-
ся, что для существования такой структуры необходимо,
чтобы определенные характеристические классы (см. лек-
цию IV.22) касательного расслоения многообразия X обра-
щались в нуль.
Задача 1. Покажите, что для существования псевдоримановой
структуры индекса 1 на ориентируемом многообразии X необходимо, чтобы
был равен нулю класс Эйлера расслоения гх. [Указание. Собствен-
ные векторы функционалов др, отвечающие отрицательному собственному
значению, составляют на X всюду отличное от нуля поле касательных век-
торов, что при е[Х] / 0 невозможно. См. лекцию IV.23, стр. 407.]
Для любых гладких векторных полей X, У на псев-
доримановом (и, в частности, римановом) пространстве X
их свертка д(Х, У) с тензором д является гладкой функ-
цией на X. Эта функция называется скалярным про-
изведением полей X,Y и обозначается символом (X, Y)
(так что, по определению (Х,У) = р(Х, У)). Соответ-
ствие X, У >-» (Х,У) представляет собой билинейный
(над алгеброй FX) функционал на FX-модуле аХ, называе-
мый скалярным умножением.
Заметим, что (X, Y)(p) = (Хр, Yp)p для любой точ-
ки р 6 X.
Вместо (X, Y)(p) мы будем также писать (X, У)р.
В каждой карте (U, х1,..., хп) функция (X, У) выража-
формулой {XtY) = SijXiYi на£/
( д д \ vi
где д.. = д{ —компоненты тензора д, а X’
J \ОХ1 OX-1 J
y.Y3 — компоненты векторных полей X и У.
174
РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
Лекция 1]
Римаяовы Определение 2. Говорят, что связность V
связности на псевдоримановом (в частности, римано-
вом) пространстве X согласована с метрикой д, если для
любых трех векторных полей X, У, Z € аХ имеет место ра-
венство
X(y,z) = (vxr,z).+ (y;vxz). (2)
(Ср. определение 3 лекции IV. 11.)
Ясно, что соотношение (2) тогда и только тогда име-
ет место для любых полей X.Y. Z, когда в каждой карте
(С/,®1,.. .,а?п) оно имеет место для координатных базисных
. д д д . .
полей —г, —т, —-г, 1 1,7, к п, т. е. — в силу равенств
ox* OXJ охк
( д д \ /_ д V
(.eZ'aj)’ “ Г‘^7)-Югда
где
ГМ = 9кРЦ) (3)
— так называемые коэффициенты связности первого
рода (со спущенным верхним индексом). [Коэффициенты
же Г)П называются коэффициентами связности второго
рода.]
Формулы (2') могут быть переписаны в следующем
виде:
Поскольку выражение слева — это в точности компоненты
ковариантных производных Vkg тензора д, этим доказано,
что риманова структура тогда и только тогда согла-
сована со связностью V, когда метрический тензор g
ковариантно постоянен.
3 ад а ч а 2. Пусть и: I X — кривая в (псевдо)рима-
новом пространстве X, и пусть X,Y: t -+ X(t),Y(t) —два
векторных поля на кривой и. Покажите, что для ковариант-
ных производных относительно согласованной с римановой
структурой связности имеет место формула
d fVX \ ( VY \
-(X(t), Y(t)) = —(t), K(t) + X(t), —(t) . (4)
at \ at / \ at /
ЛеКЦИЯ 11
РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
175
1 Теорема 1. На любом (псевдо)римановом про-
странстве X существует единственная симметри-
ческая связность, согласованная с (псевдо)римановой
структурой на X.
Доказательство. Эта теорема доказывается пря-
мым вычислением, которое можно производить либо в коор-
динатах, либо в инвариантной форме. Как всегда для теорем
существования и единственности, докажем сначала единст-
венность.
Единственность. Пусть связность V существует.
Тогда согласно (2')
^ = Г -+-Г
дхк
_ р , р
дх* k’ij j’ik‘
Так как в силу симметричности связности коэффициен-
ты (а потому и коэффициенты rifcy) симметричны
по к nj, то вторые слагаемые справа в первых двух равенст-
вах одинаковы, а первые совпадают со слагаемыми в правой
части третьего равенства. Поэтому, сложив первые два ра-
венства и вычтя третье, мы после деления на 2 получим,
что
Г = +
. ^к 2\дхк дхз дх' J’ ' '
и значит, — после подъема индекса i вверх — что
г* . Х^(д9рз . д9рк 9gjk\
2* \ дхк dxi дхР)
(5')
Таким образом, коэффициенты связности V выражаются че-
рез компоненты тензора g и, значит, эта связность единст-
венна.
То же рассуждение в инвариантной форме имеет следующий вид. Так
как связность V симметрична, то
VXZ - VZX = [X, Z]
для любых полей X,Z € аХ, и потому соотношение (2) равносильно соот-
ношению
Х(У, Z) = (yxY, Z) + (У VZX) + (У, [X, ZJ).
176
РИМЛНОВЫ связности
Лекция 11
Циклически переставив здесь X, Y и И, мы получим еще два соотношения.
Сложив первое со вторым и вычтя третье, мы получим тождество
2( Z) = X(Y,Z) + Y(Z, X} - Z(X, У)+
+ (X, [Z, У]) - (У, [Л, Z]) - (2, [У, X]), (6)
которое в силу произвольности поля Z и невырожденности тензора д одно-
значно определяет ковариантную производную Vxy.
Существование. Мы определим связность V,
приняв за ее коэффициенты Г^к в каждой карте (U,x\.. .,а?п)
функции (5'). Чтобы оправдать эту конструкцию, надо про-
верить, что для любой карты (U',х1'.,хп) функции
г*' - 1 *'/ (d9p'? u. дд?* - d9?v А
J'fc' 29 \dx* + dx? dx? J'
где — компоненты метрического тензора g в карте
(U1 ,х1'. .,хп>), связаны на U Г) U' с функциями фор-
мулами
р' _ ®хк г* &х'' &2х'
i & дх* дх? дхк' дх* дх?дхк>
(см. формулы (3) лекции 1). Но так как
_ дх* дх1
9*'? ~ дх'1 дх?9*?
и потому
99i>j' д2х* дх? дх* d2xi дх* дх? дхк dg{j
дх^ дх^дх*' dx?9ij дх*' дхкдх? 9*^дх*' дх? дх*^ дхк ’
то
ог д2х' дх? ( дх' д2х]
~ дх^дх* dx?9ij + д^дх^дх?9*^
дх* дх1 дхк ®9ij д2х* дхк дх* д2хк
^дх^дх^д^дх^ + дх?дх*' дхй9*к + дх*' dxJ'dxy9ik+
дх' дхк дх? dgik д2х^ дхк
+дх*' дх^ дх? дх^ дх*'дх? дхМ9^
dxi д2хк dxi дхк дх* dgjk
дхЗ' дх*' дх^ 9jk dxJ' дх& дх*' дх*
ЛеКЦИЯ 11
РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
177
Справа второй член равен пятому, а первый и четвертый
сокращаются с восьмым и седьмым. Поэтому
г дх* д2х? _ , дх* дх? дхк г
1 ?’j,kf ~ дх*' дхг'дхн9* + дх? дх?' дх* *^к'
Поскольку . .
дх' дх? ii
у дх* дх?у ’
дх? дхР1 дхР lq = дх? lq _ дх?
дх1 дхя дхР19 9pj ~ дх19 9qj ~ дх? ’
дх^ дхР lq _ >р_ _ —J
дхчдхР19 Tp’jk 9 lp,jk rjk’
отсюда и следует, что
la\fdxP 9*xj ^.^L^Lr V
?'к' \дх* дхЧ 9 JxjdxP1 дх?' дхк'9р:,+ дхР1 дх?' дх* P’?kJ
дх? д2х? дх? дх? дхк г
дх? дх?'дх^ дх1 дх?' дхк' ik
_ дх? дх? дхк • дх? д2х*
дх* дх?' дх^ ik + дх* дх?'дхк>
Так как правая часть формулы (5) симметрична по / и к,
то построенная связность симметрична. Кроме того, так как
Г -иГ _ 1 (д9^ д9?к д9*\ I
j,ik T-4,jk 2 \ дхк дх< дх? J
. _ d9jk\ =
2 \ дхк дх? дх' ) дхк ’
то эта связность согласована с g. q
В инвариантной форме это рассуждение имеет следующий вид. Мы
принимаем за VXY поле, однозначно характеризуемое соотношением (6).
Так как правая часть этого соотношения FA2-линейна по X и R-линейиа
по У, то поле VXY также РА'-линейно по X и R-линейно по У. Кроме того,
если в правой части соотношения (6) заменить У на /У, где f е FX, то вос-
пользовавшись тем, что операции X и Z являются дифференцированиями.
178
РИМАНОВЫ связности
Лекция 11
a [Z, /У] = f[Z, У] + Zf У и [/У, X] = /[У, X] - Xf • У (см. форму,
лу (23) лекции Ш.16), мы немедленно получим, что она будет равна сумме
умноженной на / прежней части и четырех слагаемых: Xf (У, Z) (от пер-
вого члена первой строки), -Zf (X, У) (от третьего члена первой строки),
Zf -(X, У) (от первого члена второй строки) и Xf (Z, У) (от третьего члена
второй строки). Поэтому
(Vx(/y), Z) = 7(Vxy, Z) + Xf (У, Z) = (/vxy + Xf • У, Z)
и, значит, Vx(/y) = Xf • У + f^xY. Это доказывает, что соответствие V:
X >-> является связностью. Вычтя из формулы (6) ее же с переставлен-
ными X, У и сократив на 2, мы аналогично получим, что
(Vxy-VrX,Z) = aX,y],H),
т. е. что связность V симметрична. Наконец, переставив в формуле (6) Z, У
и сложив, мы получим, что связность V согласована с д. q
Теорема 1 известна как теорема Леви-Чиви-
т а. Предусмотренная ею связность V называется рима-
новой связностью или связностью Леви-Чивита, ъяду-
цированной метрикой д.
Задача 3. Докажите, что параллельный перенос относитель-
но римановой связности является изометрическим отображением
касательных пространств. [Указание. Воспользуйтесь форму-
лой (4).]
Аффинная связность V называется метрической, если
существует псевдориманова метрика, индуцирующая V, т. е.
существует ковариантно постоянное (по отношению к V)
симметрическое тензорное поле д^, невырожденное в каж-
дой точке.
Очевидно, что условие ^д^ = 0 ковариантного по-
стоянства линейно по g{j. Поэтому если поля д^ и ин-
дуцируют метрическую связность V, то для любого А е R
поля А^у- и ду+Ь^ будут индуцировать ту же связность, при
условии, конечно, что эти поля невырождены. Это означает,
что множество всех полей д^, индуцирующих данную мет-
рическую связность V, представляет собой подмножество
некоторого линейного подпространства линейного простран-
ства всех симметрических полей д^, состоящее из невырож-
денных полей (а в случае, когда мы интересуемся только
римановыми метриками, — еще и из положительно опреде-
ленных полей).
Лекция 11
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
179
В дальнейшем, рассматривая (псевдо)риманово про-
странство X, мы всегда будем предполагать, что оно снаб-
жено римановой связностью.
Поскольку относительно этой связности метрический
тензор ковариантно постоянен, операция свертывания с д
(спуск и подъем индексов) перестановочна с операция-
ми ковариантного дифференцирования.
Например, для любой гладкой функции и G FX и любо-
го векторного поля X G аХ в каждой координатной окрест-
ности имеет место формула
9ij(Vx gradu)7 = (VxVu),., i = 1,.. ,,n, (7)
где Vu — дифференциал du функции и, рассматриваемый
/ ди\
как ковекторное поле I т. е. поле с компонентами ——: I.
Геодезические Геодезическими (псевдо)риманового про-
в римаиовом странства X называются геодезические
пространстве относительно римановой связности. В ло-
кальных координатах они задаются уравнениями (5) лек-
ции 1 с коэффициентами Tjfc из формулы (5'), т. е. урав-
нениями
+Итв-+ W =°- («>
i = ..,п,
которые можно переписать в следующем виде:
+ 9* (~ xj(t)xk(t) = 0, (8')
' ' * \ дхк 2 дхР) ' 1 ' ' v '
i= 1,..., n.
Легко видеть (докажите!), что если геодезическая у
риманова пространства X целиком расположена на
подмногообразии У С X, то, как кривая в У, она так-
же будет геодезической (относительно индуцирован-
ной на У римановой метрики).
Так как параллельный перенос относительно римано-
вой связности является изометричным отображением, то
для любой геодезической уА = урА вектор iA(t) при всех t
имеет одну и ту же длину, равную длине вектора -уА(0) = А:
1Та(01 = И1 ДОЯ всех t G 1А. (9)
180 ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 11
(Напомним, что символом 1А мы обозначаем интервал оси R,
на котором определена максимальная геодезическая 7Л.)
Конечно, в псевдоримановом пространстве число |Л| мо-
жет быть равным нулю даже прн А / 0. Соответствующие
геодезические называются изотропными.
Для (псевдо)риманова пространства X
полученные в лекции 1 результаты о ге-
одезических могут быть существенно до-
Простейшая зада-
ча вариационного
исчисления
полнены и уточнены.
Изложим предварительно необходимые общие понятия
н результаты.
Пусть X — связное хаусдорфово гладкое многообразие
и ТХ — многообразие его касательных векторов (тотальное
пространство его касательного расслоения тх).
Как мы знаем, каждая карта (С7, h) многообразия X
определяет карту (TU,Th) многообразия ТХ, для кото-
рой ТЛ, является послойным диффеоморфизмом откры-
того множества TU = тг-1С7 на произведение h(U) х Rn.
В отличие от предыдущих (и последующих!) лекций
мы будем сейчас обозначать локальные координаты кар-
ты (U, h) символами ql,..qn, а локальные координаты кар-
ты (TU,Th) — символами ql,.. ,,qn, q1,.. ,,qn. [По определе-
нию вектор А 6 TU имеет координаты ql,..qn, ql,..qn,
если h(irA) = (g1,. . .,gn) и A = g‘f —г ] .]
Определение 3. Гладкая функция L, заданная на мно-
гообразии ТА* (или некотором его открытом подмножестве),
называется лагранжианом на X.
[Можно рассматривать также лагранжианы, завися-
щие от времени t, т. е. гладкие функции на произведении
ТХ х R. Они нам в этой лекции не понадобятся.]
В каждой карте (U, h) (точнее — в соответствующей
карте (ТС/, ТЛ,)) лагранжиан L задается гладкой функцией
L(g,g) = ^(g1,.. ,,qn,ql. ,,qn) от 2п переменных g ,.. .,gn,
g1,..., qn. Как правило, мы не будем проводить педантичного
различия между L и L(g,g).
В аналитической механике роль многообразия X играет конфигура-
ционное пространство механической системы, а роль многообразия ТХ—
Лекций 11 ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 181
ее фазовое пространство скоростей. Числа ql,...,qn— это обобщенные
координаты системы, а числа ql,..qn — обобщенные скорости.
Пусть на многообразии X задан лагранжиан L и две
точки р0 и Тогда для любой кусочно гладкой кривой 7:
[а, Ь] —* X, соединяющей точки р0 и р{ (и обладающей тем
свойством, что ее естественный подъем 7: [а, 6] —> ТХ ле-
жит в области определения лагранжиана L), определен ин-
теграл ь
S — j L(7(t))rft. (10)
а
Если кривая 7 содержится в карте (U, gl,.. ,,qn)
(т. е. 7(t) 6 U для любого t е [а, 6]) и задается в этой карте
вектор-функцией g(t) = (g1 (t),.. .,gn(t)) (имеет параметри-
ческие уравнения g1 = ql(t),.. .,qn = gn(t)), то
b
5=j L(q(t),q(t))dt, (10')
a
где g(t) = (g1(t),->9n(t))-
Простейшая задача вариационного
исчисления состоит в том, чтобы для данного лагран-
жиана L и данных точек potpt найти кривую 7, для которой
интеграл (10) принимает наименьшее значение. [Согласно
так называемому вариационному принципу Ла-
гранжа такие кривые минимума являются траекториями
движения механической системы с лагранжианом £.] Мы
ограничимся здесь тем, что найдем необходимые условия,
которым должна удовлетворять каждая кривая минимума
(а вопрос об условиях, обеспечивающих ее существование,
рассмотрим лишь в лекции 25 и только в частном случае
лагранжиана длины).
В элементарных учебниках вариационного исчисления простейшая за-
дача вариационного исчисления формулируется как задача отыскания на
данном отрезке [а, Ь] оси R функции у = у(х), доставляющей минимум ин-
тегралу вида Ъ
j F(x, у, у1) dx.
а
Это есть простейшая задача в нашем смысле для лагранжиана на много-
образии X — R. При этом лагранжиан зависит от времени, роль которого
играет х.
182
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА
Лекция 11
Уравнении Пусть сначала кривая минимума 7
Эйлера—Лагранжа гладка и содержится В карте (U,h) =
= (t/.g1,.. .,gn) (и, значит, интеграл (10) для этой кривой
задается формулой (IO')). Провариируем эту кривую, т. е.
включим ее в такое семейство гладких кривых
7е: *»->7е(0. |е| < е0,
на U, что 70 = 7- При этом мы будем требовать, чтобы
кривые 7е гладко зависели от е при е = 0, т. е. чтобы
задающие их в карте (С/, h) функции
g‘ = g‘(t,£), te[a,i>], |е| < £0, 00
имели при £ = 0 гладкие частные производные
^(t)=^£) , г=1,...,п. (12)
О£ е=0
Заметим, что для произвольных гладких функций rf,
1 г п, заданных на отрезке [а, Ь], существует ва-
риация (11) кривой у, для которой производные (12)
совпадают с функциями ф. [Такую вариацию можно, на-
пример, задать формулами
g‘(t,£) = g‘(t) + £?7‘(0> *G[a,fe], |£| < £0, (13)
где £q — некоторое достаточно малое положительное число.]
Вариация (10) называется вариацией с закрепленны-
ми концами, если 7Е(а) = р0 и 7<.(fe) = р{ для всех £,
|е| < £0. В этом случае в силу минимальности интеграла (10)
на кривой 7 функция
ъ ь
5(£)= j L('ye(t))dt = j L(g(t,£),g(t,£))dt (14)
a a
от £ имеет при £ = 0 минимум и, значит, <9'(0) = 0. Но по
правилу дифференцирования интегралов по параметру
дЬдф^е) дЬд<М,£у\ л =
dq1 де дф де е=.о
b
j [yq
5'(0)= ]
a
Лекция 11
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА - ЛАГРАНЖА
183
. 0g‘(t, е)
(так как по определению q'(t, е) = —5—-
д^а,е) д dq'(t,e)
= ~дадГ = дГ-дГ- значит’
откуда, интегрируя второе слагаемое по частям, мы немед-
ленно получаем, что
> *
^‘(0 +
a J
а
S"(0) =
од'
££
,0g*
dt
dq'(t, £)
де
де
= й’(0),
<15>
, ТО
дь дь
в и 7П7 осуществлены под-
dq' dq'
(Здесь имеется в виду, что
становки q* = ql(t) и g* = g‘(t).) Для вариации с закреплен-
ными концами имеют место равенства т)'(а) = 0, т?(Ь) = 0,
и потому проинтегрированный член в правой части форму-
лы (15) исчезает. Ввиду сделанного выше замечания этим
доказано, что гладкая кривая минимума, содержащаяся
в карте (U,h), обладает тем свойством, что для лю-
бых гладких функций rfft), t 6 [а, Ь], i = 1,..п, равных
нулю при t = а и t = b, имеет место равенство
Ъ
Г Г d dL dL~\ if.',. n
) [йЛ?“а7]’'(1,А = 0-
а
(16)
Из анализа известна следующая лемма (называемая
обычно основной леммой вариационного ис-
числений).
Лемма 1. Пусть A^t), i = 1,..., п, — гладкие функ-
ции, заданные на отрезке [а, Ь]. Если для любых за-
данных на [а, 5] гладких (класса С°°) функций if(t), г =
= 1,..., п, удовлетворяющих соотношениям
т,\а) = 0, п‘(Ь) = О,
г=
имеет место равенство
Ь
j 4,(t)?7*(t)<tt = 0, (17)
а
то Aft) = 0 для всех t 6 [а, 5] и всех i = 1,..., п.
184
КРИВЫЕ МИНИМУМА И ЭКСТРЕМАЛИ
Лекция 11
Приведем для полноты доказательство этой леммы.
Доказательство леммы 1. Если лемма Неверна, то суще-
ствует такой номер i0, 1 п, и такой интервал (а,Р) С [а, Ь], что
А (0 / О п₽и “ < < < /?• По теореме Дарбу функция Ai (t) сохрани-
О о
ет на (аг,/3) постоянный знак. Пусть, для определенности, А^ (t) > О при
О
a <t<0.
Мы знаем (см. лекцию П1.1), что на R существует такая функция у
класса С00, что <p(t) > 0 при а < t < (3 и <p(t) = 0 при t £ а и t (3. Тогда
для функций rf, 1 $ i < п, на [а, Ь], заданных формулами
если t = t0,
если • / »0,
будет иметь место соотношение
ь ь
АД4)»?’(4)Л = ( A, (t)y>(t)dt > О,
J о
а а
ЧТО противоречит условию, Q
Поскольку равенство (16) имеет вид (17), из леммы 1
следует, что функции q'(t), задающие гладкую кривую ми-
нимума, удовлетворяют дифференциальным уравнениям
г = 1,..., п.
dt Эд* Эд*
(18)
Эти уравнения называются уравнениями Эйлера — Ла-
гранжа (в механике — уравнениями Лагранжа', некоторые
геометры называют их уравнениями Эйлера).
Кривые минимума Определение 4. Гладкая кривая 7:
н экстремали [а, Ь] д/ называется экстремалью
лагранжиана L, если для любого отрезка I С [а, Ь], обла-
дающего тем свойством, что ограничение 7^ кривой 7 на I
целиком содержится в некоторой карте (U, h), функции д’ =
= q'(t), г= 1,..., п, задающие в этой карте кривую 7 (т. е.,
точнее, — кривую 7|/), удовлетворяют уравнениям (18).
Подчеркнем, что по определению любая экстремаль
является гладкой кривой.
Поскольку для любого отрезка [a., bj С [а, Ь] ограниче-
ние 7|[а1,ь1] кривой минимума 7: [а, Ь] —> X также, очевид-
но, является кривой минимума (среди кривых, соединяющих
точки 7(а,) И7(Ь1)), проведенные рассуждения доказывают,
Лекция 11
КРИВЫЕ МИНИМУМА И ЭКСТРЕМАЛИ
185
что Любая гладкая кривая минимума является экстре-
Что же касается кусочно гладких кривых минимума
(когда они существуют), то экстремалью будет любой их
отрезок, являющийся гладкой кривой.
Замечание 1. Экстремалями будут и гладкие кри-
вые локального минимума, для которых интеграл (10)
имеет наименьшее значение лишь по сравнению со всеми
достаточно близкими (в понятном смысле) кривыми. Нам
этот факт не понадобится.
Конечно, экстремаль, вообще говоря, может и не быть
кривой минимума (даже локального). Ситуация здесь впол-
не аналогична соотношению между точками минимума и
критическими точками (точками экстремума) функций.
Левая часть уравнения (18) обозначается символом
6L
6qx
и называется i-ой частной вариационной производной
лагранжиана L по кривой qx = <?*(£)• [Таким образом, кри-
вая тогда и только тогда является экстремалью, когда все ва-
риационные производные лагранжиана по этой кривой рав-
ны нулю. Это еще раз подчеркивает аналогию между экстре-
малями и точками экстремума.]
За м ечан и е 2. В рамках теории бесконечномерных многообразий
(см. начало лекции 10) совокупность всех кривых в X, соединяющих точ-
ку р0 с точкой будет банаховым многообразием, интеграл (10) будет
гладкой функцией на этом многообразии, вариационные производные будут
компонентами дифференциала этой функции, а экстремали — ее критичес-
кими точками.
В развернутой форме вариационные производные име-
ют вид
6L d2L . d2L dL . ,
= <) + W’*=1,
ж d2L d2L dL
где предполагается, что в функциях о,.о. . и -—г
oq'oql oq'oql dqx
произведена подстановка q = q(t), q = q(t), и, значит, урав-
нения Эйлера — Лагранжа имеют вид
92 L . qi(t) + -^l^^(t) - ^ = 0. (18')
dq'dtf4 U dq'dql4 dq' V ’
186
РЕГУЛЯРНЫЕ ЛАГРАНЖИАНЫ
Лекция 11
Таким образом, уравнения Эйлера — Лагранжа являют-
ся дифференциальными уравнениями второго поряд-
ка для функций i = 1,...,п, линейными по вто-
рым производным q3(t) (первые производные gJ(t) входят
в них, вообще говоря, нелинейно).
В задачах механики лагранжиан L, как правило, естественным обра-
зом представляется в виде L = Т - U (или, точнее, L = Т - U о ir), где
Т — функция на ТЛ’, называемая кинетической энергией, a U — функ-
ция на X, называемая потенциальной энергией. В соответствии с этим
уравнения Лагранжа (18) приобретают вид
dj8T\ _ дТ _dU ,=
<Й\Эд’/ dq’ dq1’ * >•••>”•
(19)
Более общим образом, можно ввести в рассмотрение произвольную линей-
ную горизонтальную форму 0 на ТХ (называемую силовым полем) и вме-
сто уравнений (19) рассматривать уравнения вида
/£Т\ _
dt \ dq’ ) dq’
(19')
t= l,...,n,
где = ^(g,g) — коэффициенты формы 9. Впрочем, обычно, в силовом
поле выделяют по физическим соображениям потенциальное поле VU и
уравнения (197) пишут в виде
/0Т\ _ dT _dU
dt \ dq’) dq’ ’ dq'
i = 1,..n,
(19")
где — компоненты поля непотенциальных сил.
Регулярные Важно иметь в виду, что уравнения (18') не
лагранжианы разрешены относительно вторых производных.
Определение 5. Лагранжиан L называется регуляр-
ным лагранжианом, если для любой карты (U, д1,.. .,дп)
матрица
it d2L
дфддз
(20)
невырождена.
3 а д а ч а 4. Докажите, что невырожденность матрицы (20) не зави-
сит от выбора локальных координат.
Для регулярного лагранжиана уравнения (18') можно,
разрешив относительно вторых производных, представить
в виде
g’(t) = Ff(g(0,«(O), г=1,...,п,
Лекция 11
ЭКСТРЕМАЛИ ЛАГРАНЖИАНА ЭНЕРГИИ
187
где jF” — некоторые функции. Поэтому к этим уравнениям
будет применима стандартная теорема о существовании и
единственности решений систем дифференциальных уравне-
ний, согласно которой для любой точки р0 6 X,и любого
вектора А G Т_ X существует единственная макси-
сальная (не продолжаемая на больший отрезок) эк-
стремаль 7 лагранжиана L, проходящая при t = 0 че-
рез точку р0 и имеющая в этой точке касательный
вектор А.
[Конечно, эта теорема ничего не говорит о существова-
нии экстремалей, и тем более, — кривых минимума, соеди-
няющих данную точку р0 с данной точкой
Для нерегулярных лагранжианов экстремаль с данным
касательным вектором может не существовать, а в случае,
когда она существует, — может быть неединственна.
В лагранжианах механики L = Т-U кинетическая энергия Т является
обычно положительно определенной квадратичной формой от обобщенных
скоростей ql,...,qn. В этом случае матрица (20) не зависит от скоростей
и является не чем иным, как удвоенной матрицей формы Т. Поэтому все
лагранжианы механики L = T — U регулярны.
Экстремали С точки зрения геометрии положительно
лагранжиана определенная кинетическая энергия Т явля-
энергни
ется не чем иным, как римановой метрикой
на X. Это определяет тесное взаимодействие аналитической
механики с римановой геометрией, взаимно обогащающее
обе дисциплины. Не имея возможности вдаваться здесь в
этот предмет сколь-нибудь подробно, мы ограничимся рас-
смотрением движения по инерции (в отсутствие каких-либо
сил, в том числе и потенциальных). Это означает, что мы
будем иметь дело с римановым пространством X и лагран-
жианом L, заданным на ТА* формулой
£(А) = |(А,А), АеТХ
(21)
(множитель 1/2 не играет, конечно, никакой принципиаль-
ной роли и вводится лишь для упрощения формул). Обычно
лагранжиан (21) называется лагранжианом энергии рима-
нова пространства X, но некоторые авторы предпочитают
называть его лагранжианом действия.
188
ЭКСТРЕМАЛИ ЛАГРАНЖИАНА ЭНЕРГИИ
Лекция 11
В локальных координатах лагранжиан (21) выражается
посредством функции
Ь(?,д)= (21')
Заметим, что он имеет смысл для любого псевдорима-
нового пространства X.
Для лагранжиана энергии
dL = ,к d2L
и д? ~9ik9 ’ dq'dqi ~ 9*>
dql 2 dq1 ’ dq'dqi dq'
Поэтому уравнения (18') для. этого лагранжиана имеют вид
M'G) + ~ W(0 = О-
Свернув левые части этих уравнений с тензором д'1, мы тем
самым разрешим Их относительно вторых производных:
Поскольку последние уравнения лишь обозначениями
отличаются от уравнении геодезических (8'), этим доказано
следующее предложение.
Предложение 1. Экстремали лагранжиана энер-
гии— это в точности геодезические (псевдо)римановой
метрики, q
Таким образом, геодезические — это не что иное, как
траектории движения по инерции.
ЛЕКЦИЯ 12
Длина кривой в римановом пространстве. —Натуральный
параметр. —Риманово расстояние и кратчайшие. — Экстрема-
ли лагранжиана длины. — Римановы координаты. — Лемма Гаус-
са. — Геодезические — локально кратчайшие. —Гладкость крат-
чайших. — Локальное существование кратчайших. — Внутрен-
няя метрика. — Теорема Хопфа — Ринова.
Длина кривой Для риманова (но не псевдориманова!) про-
в римановом странства X наряду с лагранжианом энергии
пространстве можно рассмотреть также лагранжиан
L(A) = |A|, А G ТХ, (1)
выражающийся в локальных координатах формулой
Цх,х) = Лд^-х'ЛР.
(V)
(Учитывая, что этот лагранжиан механического смысла не
имеет, мы возвращаемся к обычным обозначениям ж1,.. ,,хп
локальных координат. Заметим, что лагранжиан (1) являет-
ся гладкой функцией лишь вне нулевой секущей поверхнос-
ти касательного расслоения, т. е. при А / 0.)
Соответствующий интеграл имеет вид
ь
S = j l?(0l^
а
(по традиции для его обозначения используется не пропис-
ная, а строчная буква) и называется длиной кривой 7 в мет-
рике g (при п = 2 это в точности длина кривой на поверх-
ности; см. формулу (27) лекции Ш.З).
В соответствии с этим лагранжиан (1) называется лаг-
ранжианом длины.
Если кривая 7 целиком расположена в карте (U, h) =
= (U, х1,.. .,хп), то
ь
4= ( ^дь(х(1))х^1)хЗЦ)<И, x(t) = (xl(t),...,xn(t)), (2)
190
НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР
Лекция 12
где xl(t),.. .,xn(t) — функции, задающие в карте (U, h) кри-
вую 7, а gtj = d ), 1 М п, — компоненты
тензора g в этой карте.
В условном мнемоническом виде формулу (2) можно
записать в виде
= j ^g^dx'dxi
у
или даже в виде
ds2 = g^dx'dx3.
При желании символ ds1 можно рассматривать как обозначение поля
квадратичных функционалов, в котором каждой точке р 6 U отвечает
квадратичный функционал
А^др(А,А), АеТрХ,
на пространстве ТрЛ1.
Заметим, что > 0, причем sy = 0 тогда и только
тогда, когда кривая 7 постоянна (является отображением
в точку).
Интеграл (2) можно, конечно, рассматривать и для кри-
вых на псевдоримановом пространстве X. Однако в этом
случае он, вообще говоря, будет комплексным числом (и мо-
жет быть равен нулю для непостоянных кривых).
Задача 1. Докажите, что при перепараметризации кривой у
(даже. необратимой) ее. длина не меняется.
Натуральный Как и для кривых в евклидовом пространст-
параметр ве (см лекцию Ш.1), параметр t на кривой
7 называется натуральным, если py(t)( = 1. В этом слу-
чае длина любого отрезка 7k t i кривой 7 равна - t0.
rr 1 о’ 11
Поэтому с точностью до перепараметризации вида t t-ч t -
-10 натуральный параметр на (ориентированной) кривой 7
определен однозначно. Чтобы его полностью фиксировать,
достаточно выбрать на кривой точку р0 и потребовать, что-
бы значение t0 параметра t в этой точке было равно нулю.
При таком выборе натурального параметра его значение для
любой точки р кривой с точностью до знака равно длине
отрезка кривой от р0 до р. На этом основании натуральный
параметр называется также длиной дуги.
Лекция 12
РИМАНОВО РАССТОЯНИЕ И КРАТЧАЙШИЕ
191
Заметим, что согласно формуле (9) лекции 11 пара-
метр t на геодезической уА тогда и только тогда на-
турален, когда |А| = 1.
3 а д а ч а 2. Докажите, что при перепараметризации геодезическая
тогда и только тогда остается геодезической, когда перепараметризация ли-
нейна (имеет вид t >-+ at 4- Ь, где а / 0).
Если для кривой 7 вектор 7(0 всюду отличен от нуля
(такие кривые называются регулярными-, см. лекцию III. 1),
то, выбрав на кривой точку р0 = 7(t0), мы можем пере-
параметризировать кривую к натуральному параметру s =
= s(0, W t
«(0 = j l?(0ldt-
4 о
Такого рода перепараметризация возможна и для нере-
гулярных кривых, но она уже не будет, вообще говоря, об-
ратимой.
Риманово Пусть многообразие X связно и, значит, для
расстояние и любых двух точек р, q 6 X существуют ку-
кратчайшие СОЧНо гладкие (даже гладкие; см. задачу 7
лекции III. 11) кривые, соединяющие эти точки.
Определение 1. Наибольшая нижняя грань
р(р, q) = inf j |7(0|dt (3)
7
длин всех кривых 7, соединяющих точку р с точкой q, на-
зывается риманоеым (или внутренние) расстоянием
между точками р и q.
Кусочно гладкая кривая (когда она существует), на ко-
торой нижняя грань (3) достигается, т. е. длина которой
равна расстоянию р(р, q), называется кратчайшей. Такая
кривая не всегда существует и, вообще говоря, не единст-
венна (даже с точностью до параметризации).
Пример 1. Пусть X — евклидова плоскость R2, из
которой удален круг х2 -t-y2 1. Для точек (—2,0) и (0,2)
не существует соединяющей их кратчайшей.
П р и м е р 2. На двумерной сфере (поверхности Зем-
ли) кратчайшими служат дуги меридианов (больших кру-
гов). Для диаметрально противоположных точек соединяю-
щих их меридианов бесконечно много.
192
ЭКСТРЕМАЛИ ЛАГРАНЖИАНА ДЛИНЫ
Лекция 12
Конечно, при любой перепараметризации кратчайшая
остается кратчайшей.
Экстремали лаг- По определению каждая кратчайшая явля-
ранжиана длины ется кривой минимума лагранжиана длины.
3 а д а ч а 3. Выведите отсюда, что лагранжиан длины
нерегулярен. [Указание. Нет свойства единственнос-
ти кривых минимума и, тем более, экстремалей.]
3 ад ач а 4. Докажите прямым вычислением, что для лагранжиана
длины матрица
вырождена; см. определение 5 лекции 11. [Указание. Учитывая, что
лагранжиан (1') является однородной функцией степени 1 обобщенных ско-
ростей, воспользуйтесь дважды теоремой Эйлера об однородных функциях.]
3 ад а ч а 5. Докажите, что при любой перепараметризации экст-
ремаль лагранжиана длины остается экстремалью.
3 ад ач а 6. Докажите, что для лагранжиана длины ранг матри-
цы (4) равен п - 1.
Из утверждения задачи 6 следует, что для лагранжи-
ана длины среди уравнений Эйлера — Лагранжа (уравне-
ний (18) лекции 11) имеется точно n- 1 независимых урав-
нений. Поэтому можно надеяться восстановить единствен-
ность, присоединив к этим уравнениям еще одно дополни-
тельное уравнение.
В качестве такого дополнительного уравнения мы вы-
берем уравнение
= const, (5)
означающее, что параметр t на экстремали пропорционален
натуральному параметру (длине дуги). Оказывается, что это
условие позволяет найти экстремали лагранжиана длины
почти без вычислений.
Пусть — лагранжиан энергии риманова пространст-
ва X. Тогда = ^L2, и потому
dL, _ l&L dLl _ &L
dq' dq' ’ dq* dq*
(мы снова возвращаемся к q-обозначениям). В частности,
^•(0(0, «(0) = b(g(t),g(t))|^(g(t),g(t)).
Лекция 12'
РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ
193
[4о условие (5) в точности означает, что L(g(t),g(t)) = const.
Поэтому (мы опять опускаем аргументы)
ddL, _ Ld 9L
dt dq' dt dq' ’
и, значит,
6Lt l8L
6q' 6q'
i = 1,..., n.
Поскольку L 0, это доказывает, что при выполнении усло-
вия (5) равенства = 0 в точности равносильны равенст-
вам -т-4- = 0, характеризующим, как мы уже знаем, геоде-
OQ*
зические.
Таким образом, геодезические римановой метри-
ки — это в точности экстремали лагранжиана дли-
ны, удовлетворяющие условию (5) (т. е. отнесенные
к параметру, пропорциональному натуральному).
Заметим, что в силу формулы (9) лекции 11 любая гео-
дезическая априори удовлетворяет условию (5).
Мы видим, в частности, что в любом римановом про-
странстве экстремали энергии и длины совпадают.
Это является дифференциально-геометрическим выражени-
ем принципа наименьшего действия Mo-
ri е р т ю и.
Применительно к кратчайшим мы получаем теперь, что
каждая гладкая кратчайшая, отнесенная к натураль-
ному параметру, является геодезической.
Оказывается, что оговорка о гладкости здесь излишняя
(любая кратчайшая является гладкой кривой), но доказа-
тельство этого факта требует довольно длинных приготов-
лений.
Ри мановы Для любой точки р0 риманова пространст-
координаты ва х экспоненциальное отображение
ехр : Т X -> X
ро Л)
(отвечающее римановой связности V) позволяет перенести
полярные (равно как и сферические) координаты в евклидо-
вом пространстве Т„Х в произвольную нормальную окрест-
ив
У М. М. Постников
194
ЛЕММА ГАУССА
Лекция 12
ность Uo точки р0. Впрочем, во избежание излишних ого-
ворок нам будет удобно считать здесь нормальную окрест-
ность Uo шаровой, т. е. являющейся ехр -образом некото-
"о
рого открытого шара пространства Т_ X с центром в точке О
ро
(Заметим, что радиус этого шара называется радиусом нор-
мальной шаровой окрестности 1/0.)
Перенесенные в (/0 полярные координаты называются
римановыми или полу геодезическими координатами. По
определению точка р 6 Uo имеет полугеодезические коорди-
наты t, а1,..ап-1, если р = exp tA, где А — орт евклидова
. "о .
пространства Т X, имеющий на единичной сфере этого про-
”о
странства «географические координаты» а1,..а"-*..[Таким
образом, строго говоря, координаты t,a1,.. .,ап-1 определе-
ны не всюду в Uo, а лишь в некоторой области, являющейся
ехр_-образом конуса пространства Т_ X с удаленной верши-
ло Ч)
ной. (Основанием этого конуса служит область на единич-
ной сфере, в которой определены координаты а*,.. .,ап-1.)
Для упрощения формулировок обычно принято это обстоя-
тельство игнорировать.]
Координатными t-линиями полугеодезической системы
координат являются геодезические
7/ t exp tA, (6)
проходящие при t = 0 через точку р0, а координатными по-
верхностями t — const — геодезические сферы (вложенные
(п - 1)-мерные подмногообразия Et, t / 0, являющиеся об-
разами при диффеоморфизме ехр сфер |А| = t евклидова
"о
пространства Т„Х).
ро
Лемм* Гаусса для каждой точки р = ехр tA сферы Et
(д\ л °
первый вектор [ — ) координатного базиса
\dt/P
(д\ ( д \ ( 9 \
\dt)p' W~7P
пространства ТрХ является не чем иным, как касательным
Лекция 12
ЛЕММА ГАУССА
195
вектором 7л(0 геодезической (6), а остальные векторы
/ д \ ( 9 \
/р’ /р
составляют базис касательного пространства сфе-
ры £$•
Так как вектор А является ортом, то согласно форму-
ле (9) лекции 11
f = 1
\dt’dt)
всюду на Uo.
Предложение 1. В любой точке р G £г вектор
ортогонален подпространству TpS4.
Это важное предложение известно как лемма Га-
усса. В наглядной переформулировке оно утверждает,
что — подобно обычным евклидовым сферам— геодезичес-
кие сферы ортогональны своим радиусам.
Другая полезная переформулировка состоит в том, что
в полугеодезических координатах матрица • || метрическо-
го тензора имеет вид
1 0 ... О
О
G
О
(7)
где G — матрица порядка п — 1.
Доказательство предложения 1. Для лю-
бого t, |t| < <50, и любой кривой s w A(s), |A(s)| = 1, |s| < s0,
на единичной сфере пространства ТрХ, проходящей при s =
~ 0 через точку А (т. е. такой, что А(0) = А), кривая
s ехрр tA(s)
является кривой на геодезической сфере и потому
ее касательный вектор г^(0) принадлежит подпространст-
ву Т £г, р = ехр_ tA. Поскольку произвольный вектор по-
” ”о
7*
196
ЛЕММА ГАУССА
Лекция 12
следнего подпространства, очевидно, может быть представ-
лен в виде Uf(0) (при соответствующим образом подобран-
ной кривой s н-* A(s)), для доказательства предложения 1
достаточно, следовательно, показать, что для каждой кривой
s и-* A(s) имеет место равенство
((sU<°o=°-
\ \ /р /
С этой целью мы введем в рассмотрение элементарную
поверхность
определенную на квадрате {(s,t); |s| < s0, |t| < <50} плоскос-
ти R2 формулой
y>(s,t) = exp tA(s).
ro
Координатными линиями s = const этой поверхности слу-
жат геодезические (в частности, при s = 0 — геоде-
зическая 7Л), а координатными линиями t = const — кри-
вые г^. Поэтому
(8)
откуда следует, что предложение 1 будет доказано, если мы
покажем, что функция
•/др др
\di’ д!
переменных s и t тождественно равна нулю. Поскольку при
t = 0 функция (8) заведомо равна нулю (так как u0(s) = р0
( &р\
ддя всех s и, значит I — 1 = Uq(s) = 0), для этого в свою
\ os j
очередь достаточно показать, что
Но согласно формуле (4) лекции 11
d / др др\ _ / V dip др\ /др V др\
dt\dt’ds) \ dt dt ’ ds J + \ dt ’ dt ds )'
Лекция 12
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ — ЛОКАЛЬНО КРАТЧАЙШИЕ
197
причем, так как кривые s = const являются геодезически-
ми, то = О, а так как риманова связность по опреде-
V dtp V dtp
лению симметрична, то -г- — = — —
ot os .
лекции 2). С другой стороны, так как
dsdt (см> формулу (17)
dtp dtp \ _ ( d d V _
~dt'~dt) ~ \dt’dt) ~
TO
dtp V dtp
dt ’ ds dt
1 d /dtp dtp\
2 ds \dt ’ dt )
d f dtp dtp\
Поэтому, Действительно, —I -т2-, — I = 0. n
dt \ dt os )
Предложение l имеет много важных следствий.
Геодезические— Напомним (см. формулу (13) лекции 1),
локально крат- что для любой точки q, принадлежащей
чаишие , нормальной окрестности U точки р, опре-
делен отрезок геодезической 7 9, соединяющий в U точку р
с точкой q.
Предположим дополнительно, что окрестность U явля-
ется нормальной шаровой окрестностью. Оказывается, при
этом предположении справедливо следующее утверждение.
Предложение 2. Отрезок 7р>9 является кратчай-
шей.
Доказательство. Пусть(t,а) = (t,а1,. . ,,ап-1)—
полугеодезические координаты в окрестности U. Утвержде-
ние о том, что метрический тензор имеет в этих координатах
вид.(7), означает, что
ds2 = dt2 + G(da),
где G(da) — некоторая положительно определенная квадра-
тичная форма от da1,.. .,dan"1 (с коэффициентами, зави-
сящими не только от a‘,...,an-1, но и от t). Поэтому для
любой кривой 7: s *—► 7(3), соединяющей точку р с точкой q
198
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ-ЛОКАЛЬНО КРАТЧАЙШИЕ
Лекция 12
и целиком расположенной в U, справедлива оценка
|7(s)|ds= I V(t(s))2 + <7(d(s))ds > I |t(e)1ds >
7
>
t{s) ds
где t(s) и a(s) — функции, задающие в координатах (t, а)
кривую 7, a t0 — значение координаты t в точке q (т. е. та-
кое число, что q 6 Е^). При этом равенство достигается
только при a(s) = 0 и t(s) > 0, т. е. на кривой, которая при
перепараметризации t = t(s) (вообще говоря, необратимой)
переходит в отрезок 7
Таким образом, мы доказали, что
а длина отрезка ур^ равна t0, где t0 — такое число,
что q G ;
б длина любой кривой, соединяющей в U точку р с
точкой q, не меньше t0.
Осталось рассмотреть кривые, соединяющие точки р и q
и выходящие за пределы окрестности U.
Здесь нам и понадобится предположение, что окрест-
ность U является, шаровой и, следовательно, что она огра-
ничена геодезической сферой Е5, где 6 — радиус окрестнос-
ти U. Поскольку кривая, соединяющая точки р, q и не содер-
жащаяся в окрестности U, необходимо пересекает сферу
из уже доказанного утверждения б (примененного к первой
точке пересечения кривой со сферой Ев) вытекает, что дли-
на каждой такой кривой не меньше 6. Поскольку t0 < 6,
эти кривые не влияют на нижнюю грань, которая поэтому
в силу а равна t0. Следовательно, р(р, q) = t0 и отрезок 7 9
является кратчайшей, □
По ходу доказательства предложения 2 мы получили
также следующие два предложения (которые для удобства
ссылок мы ие совсем правомерно назовем следствиями).
Следствие 1. С точностью до перепараметриза-
ции отрезок ур д является единственной кратчайшей,
соединяющей точку р с точкой q. q
Следствие 2. Расстояние от точки р до любой
точки q геодезической сферы St равно ее радиусу t^. q
Лекция 12
ГЛАДКОСТЬ КРАТЧАЙШИХ
199
Из предложения 2, в частности, следует, что каждый
достаточно малый отрезок геодезической является
кратчайшей, т. е. что для лагранжиана длины в римановом
пространстве каждый достаточно малый отрезок экстремали
является кривой минимума.
Для произвольных лагранжианов это уже не так, т. е. существуют
лагранжианы, обладающие экстремалями, никакой отрезок которых не яв-
ляется кривой минимума.
ПримерЗ. Для лагранжиана L = i2 - у2 на (х, у)-плоскости R2 ось
абсцисс х = at, у = О является экстремалью. Пусть А — точка (а, 0), а > 0,
этой экстремали. Интеграл
| (i’-y’jdi
о
О Л по отрезку О А этой экстремали равен, оче-
видно, а2. Вместе с тем тот же интеграл
по (соответствующим образом параметризованной) ломаной ОБА, где В —
точка (а/2,Ь/2), Ь > 0, равен а2 -Ь2. Поэтому отрезок О А кривой минимума
не является^
Заметим, что, как показывает произведенное вычисление, для лагран-
жиана L = i?—yl кривой минимума, соединяющей точки О и А, вообще нет.
Гл Теперь мы уже можем доказать, что кратчай-
кратчайших шие римановой метрики являются гладкими
кривыми.
Предложение 3. С точностью до перепарамет-
ризации любая кратчайшая является геодезической
[и, следовательно, представляет собой гладкую кри-
вую).
Доказательство. Каждый отрезок кратчайшей
является, очевидно, кратчайшей (в противном случае его
можно заменить более коротким отрезком, что уменьшит
длину и всей кратчайшей). Но если концы р и q этого отрез-
ка достаточно близки (точка q содержится в нормальной ша-
ровой окрестности точки р), то согласно следствию 1 пред-
ложения 2 этим отрезком будет отрезок геодезической
Таким образом, локально (в окрестности любой точки) крат-
чайшая является геодезической. Для завершения доказа-
тельства остается заметить, что свойство быть геодезичес-
кой выражается дифференциальными уравнениями, и пото-
200
ЛОКАЛЬНОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ КРАТЧАЙШИХ
Лекция 12
му кривая, локально являющаяся геодезической, будет гео-
дезической и глобально, q
Заметим, что обратное утверждение неверно — геоде-
зическая может и не быть кратчайшей.
П р и м е р 4. На двумерной сфере каждая кривая, обегающая несколь-
ко раз сферу по экватору, является геодезической, но, конечно, не крат-
чайшей.
Заметим также, что для произвольных лагранжианов
кривая минимума не обязана, вообще говоря, быть гладкой
кривой.
П р и м е р 5. Рассмотрим на (х, у)-плоскости R2 лагранжиан
у2(х - у)2
1J =
X
(определенный при i / 0) и точки Qo(-l,O) и Q2(l, 1). Кусочно гладкая
кривая в R2, соединяющая точку Qo с точкой Qp естественное поднятие
которой лежит в области определения лагранжиана L, не имеет вертикаль-
ных касательных, и потому составлена из гладких кривых с уравнениями
вида у = у(х). Но так как для таких кривых
= гдеУ = ^,
х ах
то интеграл от L по каждой кривой у = у(х) равен интегралу от функции
1^(1 - j/)2 по соответствующему отрезку оси абс- |
цисс и, значит, неотрицателен. При этом он равен ’
нулю тогда и только тогда, когда эта кривая являет- ____/
ся либо отрезком оси абсцисс у = 0, либо отрезком' Qo
биссектрисы у = х. Поскольку существует ломаная,
состоящая из отрезка оси абсцисс и отрезка биссек-
трисы у = х и соединяющая точку Qo с точкой Qp этим доказано, что
минимум интегралов от L существует, равен нулю и достигается на ука-
занной ломаной. Таким образом, в этом случае кривая минимума (заметим,
единственная!) заведомо не является гладкой кривой в R2.
Локальное Предложение 4. Существует такая ок-
существование рвстностпь U точки р0 € X, что любые
кратчайших ^ве точки p^q £(J соединяются единст-
венной (с точностью до перепараметризации) крат-
чайшей.
Этой кратчайшей служит отрезок геодезиче-
С^'Гр,д-
Лекция 12
ЛОКАЛЬНОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ КРАТЧАЙШИХ
201
Существует такое число е > 0, что для лю-
бых точек p,q € U длина кратчайшей у (расстоя-
ние p(p,q\) меньше е.
Доказательство. На первый взгляд кажется, что
за U можно принять окрестность, указанную в предложе-
нии 1 лекции 1. Действительно, так как для любой точки
р eU имеет место включение U с USp, где Us,p — нормаль-
ная шаровая окрестность точки р, то для сегмента ур вы-
полнены условия предложения 2 и его длина меньше 6. Од-
нако, это рассуждение дефектно, поскольку окрестность USp
является шаровой окрестностью не по отношению к метри-
ке др на ГрХ, а по отношению к введенной в лекции 1
вспомогательной метрике (которую мы теперь обозначим че-
рез д^). Тем не менее его можно спасти, и даже двумя спо-
собами.
Способ первый. Просмотрев еще раз рассуж-
дения из лекции 1, в которых использовалась метрика ^0),
мы немедленно обнаружим, что в них нигде не участвовал
специальный метод ее построения, и что все эти рассужде-
ния дословно сохраняются, если под д^ понимать произ-
вольную риманову структуру на U. В частности, за д^ мы
можем принять ограничение римановой структуры д на U.
Тогда окрестности U6p будут нормальными шаровыми ок-
рестностями по отношению к метрике др и произведенное
рассуждение окажется абсолютно безупречным.
Способ второй. Обе метрики др и <^0), являясь
евклидовыми метриками на одном и том же конечномерном
линеале, эквивалентны, т. е. существуют такие числа т > 0
и М > 0, что
т|Л|<0) |Л| АГ|Л|(°> (9)
для любого вектора А € ТрХ, где |Л|<°) — длина вектора А
в метрике д^\ а |Л| — его длина в метрике др. При этом —
ввиду компактности множества Uo — числа т и М можно
считать одними и теми же для всех р € Uo. Поэтому шаровая
<5-окрестность относительно метрики д^ будет содержаться
в шаровой М<5-окрестности относительно метрики др. Это
снова спасает наше рассуждение, только число 6 придется
202
ВНУТРЕННЯЯ МЕТРИКА
Лекция 12
заменить числом Мб (что, конечно, никакого значения не
имеет), q
Внутренняя Вернемся теперь к риманову расстоянию р,
метрика определенному формулой (3).
Предложение Б. По отношению к расстоянию р
каждое связное риманово пространство X является
метрическим пространством, т. е.
°) Р(Р>9) = 0 тогда и только тогда, когда р = q
(невырожденность)',
б) P(Pi Я) = p(.Qi Р) для любых точек p,q Е X (сим-
метричность);
в) р(р, г) р(р, q)+p(q, г) для любых точек p,q,r G X
(аксиома треугольника).
Топология на X, индуцированная метрикой р, сов-
падает с топологией многообразия X.
Доказательство. Симметричность немедленно
следует из того, что кривая, пробегаемая в противополож-
ном направлении, имеет ту же длину. Для доказательства
аксиомы треугольника достаточно заметить, что для любой
кривой 71( соединяющей точку р с точкой q, и любой кри-
вой 72, соединяющей точку q с точкой г, составная кри-
вая 7]72 соединяет точку р с точкой г, и ее длина равна
сумме длин кривых 7j и 72. Наконец, из следствия 2 пред-
ложения 2 непосредственно вытекает, что каждая нормаль-
ная шаровая 6-окрестность Us произвольной точки р е X
является ее шаровой 6-окрестностью и по отношению к рас-
стоянию р (т. е. состоит из всех точек q € X, для кото-
рых р(р, q) < 6). Поэтому метрика р невырождена и опре-
деляемая ею топология совпадает с топологией многообра-
зия X. q
Метрика р называется римановой (или внутренней)
метрикой на римановом пространстве X.
Замечание 1. Невырожденность метрики р мож-
но доказать и иначе, не используя предложение 2 (и, зна-
чит, лемму Гаусса). Пусть р0 — метрика в координатной ок-
рестности Uo, являющаяся результатом переноса посредст-
вом координатного отображения Л: UQ —> Rn стандартной
евклидовой метрики на Rn (точнее, ее ограничения на ша-
ре h(U0)). Эта метрика, конечно, невырожденная. С другой
Лекция 12
ВНУТРЕННЯЯ МЕТРИКА
203
стороны, легко видеть, что она является внутренней метри-
кой на Uo, отвечающей вспомогательной римановой структу-
ре д(й\ введенной в лекции 1. Поэтому из оценок (9) следует,
что аналогичные оценки
тр0(р, д) р(р, д) Мр0(р, д), р,д е Uo,
имеют место и для метрик р0 и р. Значит, метрика р также
невырождена.
Отметим два следствия предложения 5.
Следствие 1. Каждое паракомпактное и хаусдор-
фово гладкое многообразие метризуемо. q
Этот факт мы уже анонсировали в замечании 2 лек-
ции III.24.
Согласно — очень трудной! — теореме Стоуна
любое метризуемое пространство паракомпактно.
Поэтому паракомпактность (выполнение для каждой ком-
поненты второй аксиомы счетности; см. замечание 2 лек-
ции III.24) гладкого хаусдорфова многообразия X не только
достаточна, но и необходима для существования на X рима-
новой структуры.
Следствие 2. Для любого компактного риманова
пространства X существует такое число р0 > 0, что
любые две точки р,д £ X, расстояние между кото-
рыми меньше р0, соединяются единственной крат-
чайшей.
Доказательство. Рассмотрим открытое покрытие
пространства X, состоящее из окрестностей U всевозмож-
ных точек Pq е X, обладающих указанным в предложении 4
свойством. Так как пространство X компактно, то согласно
лемме Лебега (см. лекцию III.8) существует такое р0 > 0,
что любые две точки p,g € X, для которых р(р,д) < р0,
содержатся в одном элементе этого покрытия и, значит, со-
единяются единственной кратчайшей, q
Число р0 называется числом Морса риманова про-
странства X.
Подмножество U риманова пространства X называется
выпуклым, если
а любые две точки р, д е U соединяются единственной
кратчайшей у ;
б эта кратчайшая целиком лежит в U.
204
ТЕОРЕМА ХОПФА—РИНОВА
Лекция 12
Задача 7. Докажите, что для любого риманова
пространства существует открытое покрытие, со-
стоящее из выпуклых множеств.
[Указание. Воспользуйтесь теоремой Уайтхеда из
лекции 1.]
Ясно, что любое выпуклое множество диффеоморфно
шару и что пересечение двух выпуклых множеств (когда оно
непусто) выпукло. Следовательно, покрытие, состоящее из
выпуклых множеств, является покрытием Лере (см. опре-
деление 2 лекции III.22). Поэтому теорема 3 лекции III.22
является непосредственным следствием утверждения зада-
чи 7.
Теорем* Хоп- Определение 2. Связное риманово про-
ф* Ринов* странство X называется
а метрически полным, если в метрике р оно является
полным метрическим пространством (каждая фундаменталь-
ная последовательность сходится);
б геодезически полным, если оно геодезически пол-
но по отношению к римановой связности, т. е. каждая его
максимальная геодезическая 7Р)А определена на всей оси R.
Теорема 1. Оба понятия полноты совпадают,
т. е. из каждого из условий а, б следует другое.
Кроме того, из условий а и (или) б следует, что
в любые две точки пространства X можно соеди-
нить кратчайшей (вообще говоря, не единственной).
Доказательство. Достаточно доказать, что из а
следует б, из б следует в, а из б и в следует а.
Импликация а => б. Пусть геодезическая 7 = -ур л
определена на интервале с конечным правым концом Ь (слу-
чай, когда конечен левый конец, сводится к этому заменой
А иа —А), и пусть {tk,k > 1} — монотонно возрастаю-
щая последовательность значений параметра t, сходящаяся
к b, a pk = 'y(tfe). Так как для любых k и I > k расстоя-
ние p(pu,Pi) между точками и не превосходит длины
(tj — tfc)|A| геодезического сегмента то последова-
тельность {pfc} фундаментальна. Следовательно, поскольку
метрическое пространство по условию полно, эта последо-
вательность сходится. Пусть р0 — ее предел.
Лекция 12
ТЕОРЕМА ХОПФА - РИНОВА
205
Задача 8. Покажите, что точка р0 не зависит
от выбора последовательности {tfc}.
Для произвольной центрированной в точке р0 карты
(U,xl,.. .,хп) отрезок геодезической у, содержащийся в U,
задается функциями х' = x'(t), i = 1,...,п, определенны-
ми на некотором интервале вида (а, Ь) и обладающими тем
свойством, что x'(t) —» 0 при t —> Ь. Так как длина векто-
ра 7(0 равна |А|, то первые производные ®‘(0 этих функций
ограничены на (а, Ь) и, следовательно, поскольку на интер-
вале (а, Ь) функции x'(t) удовлетворяют уравнениям
их вторые производные x'(t) также ограничены на (а,Ь).
Поэтому первые производные ®‘(0 равномерно непрерывны
на (а,Ь) и, значит, при t —> b существуют пределы
aj = limi’(t), г=1,...,п.
Пусть Ао — вектор из Т X, имеющий в карте (U, х1,..хп)
координаты aj,..а™, и пусть 70 — геодезическая ур
3 а д а ч а 9. Пусть с — такое число, с > Ь, что кривая
70(t — Ь) определена на полуинтервале [Ь, с). Докажите, что
кривая у, определенная на интервале (а, с) формулой
• \ ( 7(0, если a <t<b,
y{t) = <
I 7oG — &)> если b t < c,
является гладкой кривой (и, следовательно, представляет
собой геодезическую).
Таким образом, максимальная геодезическая у продол-
жается за точку Ь, что невозможно. Полученное противоре-
чие доказывает импликацию а => б.
Импликация б & в => а. Метрическое пространст-
во X называется больцановым, если любое его замкнутое
ограниченное подмножество компактно (в X выполнена тео-
рема Больцано — Вейерштрасса).
Задача 10. Покажите, что любое больцаново мет-
рическое пространство полно.
206
ТЕОРЕМА ХОПФА — РИНОВА
Лекция 12
Поэтому нам достаточно показать, что риманов о про-
странство X, удовлетворяющее условиям б ив, боль-
цаново.
Пусть С — произвольное замкнутое ограниченное мно-
жество пространства X, и пусть р0 € С. Согласно условию б
отображение ехр„ определено на всем пространстве Т X,
о , ро
а согласно условию в — поскольку каждая кратчайшая яв-
ляется геодезической — его образ совпадает со всем мно-
гообразием X и, значит, в частности, содержит С. Более
того, если R —диаметр множества С, то С содержится даже
в множестве ехрр (Вл), где Вл —замкнутый шар радиуса R
пространства Т„ X. Последнее множество компактно — по-
уо
скольку шар Вя компактен, — поэтому компактно и множес-
тво С. Следовательно, пространство X больцаново.
Замечание 2. Последнее рассуждение справедли-
во и при р0 £ С (достаточно заменить С на {р0} U С). По-
этому связное риманово пространство X метрически
(а потому и геодезически) полно, если область опре-
деления Оо экспоненциального отображения ехр„ ис-
уо ро
черпывает все пространство ТрХ хотя бы для одной
точки р0 € X. 0
Продолжим доказательство теоремы 1.
Импликация б => в (по существу, единственно
нетривиальная). Пусть р0 — произвольная точка геодезичес-
ки полного риманова многообразия X. Нам нужно доказать,
что для любой другой точки q € X существует хотя бы одна
кратчайшая, соединяющая точку р0 с точкой q.
С этой целью мы рассмотрим нормальную шаровую
6-окрестность Us точки р0 и ее граничную геодезическую
сферу 'Sg. Поскольку при q EUS доказывать нечего, мы без
ограничения общности можем предполагать, что q U6, т. е.
что р(р0, q) > 6.
Пусть р = ехр 6А, |А| = 1,—точка сферы Ег, для
уо
которой расстояние до точки q достигает минимума (в силу
компактности сферы точка р существует).
Докажем прежде всего следующую лемму.
Лемма 1. Имеет место равенство
Р(РО><1) = <5 + Р(Р,Я)-
Лекция 12
ТЕОРЕМА ХОПФА — РИНОВА
207
Доказательство. Так как 6 = р(р0,р), то по нера-
венству треугольника
Р(Р0>9) < <5 + р(Р>9)- (10)
С другой стороны, по определению наибольшей нижней гра-
ни для любого е > 0 существует соединяющая точки р0 и q
кривой 7 со сферой (хотя бы одна такая точка сущест-
вует, так как по условию q Us, а р0 е Us). Тогда
s-У > р(.Ро> г) + Р(г> 9) = 6 + P(r, q)> 6 + р(р, q)
и, значит, 6+p(p,q) р(р0, д)4-е, что в силу произвольности
выбора числа е > 0 возможно только при
6 + p(p,q) ^p(pQ,q)-
Вместе с (10) это доказывает лемму, q
Пусть 7 = 7„ А — геодезическая, t ехр„ tA, и пусть
уо’ ро
Ро = Р(Ро>9)-
Лемма 2. Для любого t, 6 t р0, 'имеет место
равенство
Р(т(0,9) = Ро ~ *•
(И)
Доказательство. При t = 6 равенство (11) пе-
реходит в утверждение леммы 1. Это означает, что мно-
жество С всех чисел t отрезка [6, р0]
оси R, для которых имеет место (11),
непусто. Пусть t0 — его наименьшая
верхняя грань. Лемма 2 будет доказа-
на, если мы покажем, что t0 = р0.
Пусть t0 < р0. Тогда существует
нормальная шаровая б'-окрестность
точки р'о = 7(t0), не содержащая точ-
ки q, и точка р' геодезической сфе-
208
ТЕОРЕМА ХОПФА - РИНОВА
Лекция 12
ры Lgi, для которой расстояние до точки q достигает мини-
мума. При этом согласно лемме 1 будет иметь место равен-
ство
р(Ро’ Ч) = <*' + р(р', я)
и, значит, равенство
р(р',я) = P0-(t0 + 6') (!2)
(так как по непрерывности р(р'о, q) = р0 -t0). Поэтому в силу
неравенства треугольника (примененного к точкам рй,р' и <?)
имеем
Р(?о, ?') Р(РО> Я) ~ р(р', Я) = Ро - (Ро ~ (*о + *')) = *о + 6>-
С другой стороны, мы можем непосредственно предъя-
вить кусочно гладкую кривую длины t0 + 6', соединяющую
точку р0 с точкой pf, — ею будет геодезическая ломаная,
составленная из сегмента геодезической 7 от р0 до р'о (дли-
ны t0) и нормального геодезического сегмента 7 z z (дли-
ны 6'). Поэтому, во-первых, р(р0,р') = t0 + 6' и, во-вторых,
эта геодезическая ломаная является кратчайшей. Но явля-
ясь кратчайшей и, значит, гладкой кривой, эта ломаная не
может иметь излома (и потому является геодезической).
Имея с максимальной геодезической 7 = ур А общий сег-
мент, она сама должна быть сегментом этой геодезической.
Поэтому точка y(t0 + 6') геодезической 7 (находящаяся от
точки р0 на расстоянии t0+6') должна совпадать с точкой р'.
В силу (12) это означает, что имеет место включение t0+
+ 6' е С, для верхней грани t0 невозможное. Полученное
противоречие доказывает, что fc0 = р0. q
Контрольный вопрос. Где в этом рассуждении использовано
условие геодезической полноты?
Теперь мы уже без труда можем завершить доказатель-
ство теоремы 1.
Действительно, при t = р0 из равенства (11) следу-
ет, что q = 7(р0), а так как длина геодезического сегмен-
та 7|[0,р ] равна р0 = р(р0, q), то, следовательно, этот сегмент
и будет кратчайшей, соединяющей точку р0 с точкой q. □
Теорема 1 известна как теорема Хопфа — Ри-
нова.
Лекция 12
ТЕОРЕМА ХОПФА — РИНОВА
209
Связные римановы пространства, обладающие свойст-
вами а и (или) б из теоремы 1, называются полными.
Замечание 3. Как показывает пример 3, на псев-
доримановы пространства теорема Хопфа — Ринова непо-
средственно не переносится. Вместе с тем можно пока-
зать (попробуйте сделать это самостоятельно!), что теорему
Хопфа — Ринова (а также и другие результаты этой лекции,
например, гладкость кривых минимума и свойство экстре-
малей быть локально кривыми минимума) можно перенес-
ти на любые лагранжианы L, для которых в каждой карте
(U, ql,..qn) симметрическая матрица
д2ь
dq'dqi
положительно определена (в любой точке окрестности U).
Замечание 4. Свойство в означает, в частности, что
любые две точки пространства X можно соединить геодези-
ческой. В этом ослабленном виде оно имеет смысл для лю-
бого пространства аффинной связности, и возникает вопрос,
не вытекает ли оно из геодезической полноты, и для каких
пространств? Ответ оказывается отрицательным. Контрпри-
мер доставляет связность Картана (как мы знаем, геодези-
чески полная; см. лекцию 6) на группе Лн SL (2; R) унимо-
дулярных матриц второго порядка. Действительно, алгебра
Ли этой группы состоит из вещественных матриц X вида
h ли-
Так как X2 = 6Е, где 6 = х2 + yz = — detX, то
ех = ch ^5 • Е + (1/^5) sh ^5 • X
(при <5^0; если <5 = 0, то ех = Е + X), и, значит, для того,
чтобы матрица
Л = ||» ‘||eSL(2iR)
имела вид ех — н, следовательно, принадлежала некото-
рой однопараметрической подгруппе, — необходимо выпол-
нение неравенства a+d -2. [Заметим, что число у/б либо
210
ТЕОРЕМА ХОПФА—РИНОВА
Лекция 12
вещественно, либо чисто мнимо; на самом деле для того,
чтобы матрица А е SL (2; R) имела вид ех, необходимо и
достаточно, — докажите! — чтобы либо а +• d > —2, либо
а = d = -1, b = с = 0, т. е. А = -Е.] Таким образом, от-
нюдь не любой элемент группы SL(2; R) принадлежит хотя
бы одной однопараметрической подгруппе, т. е. может быть
соединен с элементом Е геодезической связности Картана.
Замечание 5. В лекции 26 мы покажем — см. пред-
ложение 2 лекции 26, — что на любой компактной груп-
пе Ли связность Картана порождается римановой метри-
кой и, значит, указанный в замечании 4 феномен для этой
связности невозможен, т. е. любой элемент компактной
группы Ли содержится в некоторой однопараметри-
ческой подгруппе (экспоненциальное отображение надъ-
ективно). Тем не меиее, можно ли соединить геодезичес-
кой любые точки произвольного геодезически полного ком-
пактного пространства аффинной связности, до сих пор,
по-видимому, неизвестно.
Замечание 6. Любопытно, что на компактном
многообразии могут существовать и не геодезичес-
ки полные аффинные связности. Примером может слу-
жить —докажите! — перенесенная иа S1 метрическая связ-
ность на R, индуцированная метрикой ds2 = exdx2.
ЛЕКЦИЯ 13
Риманов элемент объема. — Дискриминантный тензор. —
Формула Фосса — Вейля. — Случай п = 2. — Оператор Лапла-
са в римановом пространстве. — Формулы Грина. — Существо-
вание гармонических функций с отличным от нуля дифферен-
циалом. — Сопряженные гармонические функции. — Изотерми-
ческие координаты. — Полудекартовы координаты. — Декарто-
вы координаты.
Риманов але- В римановом (и псевдоримановом) простран-
мент объема стве Д’ можно измерять не только длины, но
и объемы, т. е. (см. лекцию III. 24) на X можно определить
естественную плотность объема dV.
Действительно, пусть (U, h) — произвольная карта
(псевдо)риманового пространства X, и пусть ||<^ -|| — матри-
ца компонент метрического тензора д в карте (и, Л), а
det 5=
— ее определитель. Из формулы преобразования матрицы
квадратичной формы при замене базиса (см. формулу (5)
лекции II.5) непосредственно вытекает, что при замене коор-
динат определитель det умножается на квадрат якобиана
функций перехода. Следовательно, положив
dVu = V|detff|
(как всегда, имеется в виду арифметический квадратный ко-
рень), мы получим на X некоторую плотность объема dV.
(Конечно, в случае риманова пространства переходить от
dets к I detg| нет нужды.)
Плотность dV принято обозначать символом
\/| detр| da:1 ... dxn или \/| dets| da:. (1)
Определение 1. Плотность (1) называется римано-
вым элементом объема на (псевдо)римановом многооб-
разии X.
При п = 2 это уже известный нам элемент площади
у/EG - F2dudv на поверхности (см. лекцию III. 3).
212
ДИСКРИМИНАНТНЫЙ ТЕНЗОР
Лекция 13
Если многообразие X ориентируемо и ориентировано,
то — см. предложение 1 лекции III. 25 — от плотности dV
можно перейти к соответствующей форме максимальной
степени. Эта форма также называется элементом объе-
ма (иногда — элементом ориентированного объема) и
обозначается прежним символом dV.
По определению
dV = \/| det <?| dxl Л ... Л dxn
в каждой положительно ориентированной карте (17, х1,...
...,хп).
Дискриминант- Коэффициенты формы dV составляют тен-
ный тензор зорное поле типа (п,0) на X. Это поле назы-
вается дискриминантным тензором (псевдо)риманова
многообразия X. По традиции этот тензор обозначается
символом е (употребляется также символ е), а его компонен-
ты — символом eti л- (или ). Таким образом, в каждой
карте (17, h.)
е _ Г e<rei...n> если индексы г’р.. .,гп различны;
‘i-’n [О в противном случае,
где — знак подстановки
<7=(! • •
\ г, ... г /
\ 1 п /
и
ei...n = Vldetffl,
если карта (17, h) положительно ориентирована;
ei...n = -vTdetffi,
если ориентация этой карты отрицательна.
Например, при п = 2
где знаки ± зависят от ориентации карты.
Лекция 13
ФОРМУЛА ФОССА — ВЕЙЛЯ
213
Формула С дискриминантным тензором тесно связа-
Фосса — Вейля на линейная дифференциальная форма
7 = (3)
(см. лекцию 2).
Предложение 1. Имеет место формула
7 = d In х/| detffl- (4)
Доказательство. Из формулы (5') лекции 11 сле-
дует, что
г: = _ daA =
ik 2У \dxk dxi дхР) 2У дхк ’
7 = ^dg^ =
где g— матрица ||<7,у||. С другой стороны, по правилам мат-
ричного исчисления
dIn У| det = ^dln| det^l = irflneTrlnp = ^dTrlnp =
it It £
= |тг(й1п5)=1тг(5-1^);
см., в частности, формулы (6) и (12) лекции Ш.И. q
Формула (4) известна как формула Фосса —
Вейля.
Следствие 1. Дискриминантный тензор кова-
риантно постоянен.
V%e = О
для любого векторного поля X на X.
Доказательство. Достаточно показать, что
(VU = °
для любых индексов j иг,,.. .,in. Поскольку, согласно об-
щим правилам ковариантного дифференцирования (см. фор-
мулу (5) лекции 2),
5е. п
(Vye)ii...in = qxj
5=1
214
ФОРМУЛА ФОССА — ВЕЙЛЯ
Лекция 13
для этого нужно показать, что для любых индексов j и .
.. .,in равна нулю правая часть этой формулы.
Случай 1. Среди ивдексов »,,...,tn есть одина-
ковые. Если существует более двух одинаковых индексов
э’р.. ,,гп, то правая часть формулы (5) очевидным образом
равна нулю. Поэтому без ограничения общности мы можем
считать, что среди индексов гр.. ,,гп имеется два и только
два одинаковых индекса и, значит, в ряду 1,...,п имеется
один и только один индекс, отличный от всех индексов г\,...
..., гп. При этом если ia — ib и k / гр..., in, то правая часть
формулы (5) будет равна
FjV*! -’о-1 +
(суммирование по k не производится!), т. е. с точностью
до множителя Г£- = Г£- будет равна + eT)eu.n, где еа
и ет — знаки подстановок
1.....................п
гГ • -га-1 га+Г • -гп
И
Г= (?: ........"Y
\гГ • гЬ-1 * гЬ+Г • гп/
Но так как эти подстановки отличаются, как легко видеть,
на транспозицию (ik), где i = ia = ib, то ет = -ес. Поэтому
в рассматриваемом случае правая часть формулы (5) равна
нулю.
Случай 2. Все индексы гр..., гп различны. Тогда
в каждой сумме j будет отлично от нуля
только одно слагаемое (отвечающее индексу р = is). Поэто-
му правая часть формулы (5) будет в этом случае равна
dxi
V Г**, е = - 11 - П е =
2^Shei-4-n gxj Ь»е1..п
з=4
где — знак подстановки
ДекЦИЯ 13
СЛУЧАЙ п = 2
215
С другой стороны, согласно формуле Фосса — Вейля (4)
(напомним, что риманова связность по определению симмет-
рична и, значит, rj,- = TJy), и, значит, выражение в скобках
равно нулю. □
Геометрически это следствие означает, что параллель-
ный перенос сохраняет риманов объем. С этой точки
зрения оно наглядно очевидно.
Случай п = 2 При п = 2 дискриминантный тензор часто ис-
пользуется для спуска и подъема индексов.
Так, например, свертка тензора е с векторным полем даст
линейную дифференциальную форму. Если поле имело ком-
поненты X1 = X, X2 = У, то форма будет иметь коэффици-
енты еУ,-еХ, где для упрощения формул обозначено е =
= VEG — F2, т. е. будет иметь вид
еУ du — еХ dv, (6)
где и и v — локальные координаты. Конечно, это сопоставле-
ние полей формам отличается от сопоставления, осуществ-
ляемого метрическим тензором (см. лекцию 11), но подобно
последнему перестановочно с ковариантными дифференци-
рованиями.
Иногда удобно комбинировать эти сопоставления.
Например, свернув форму (6) с метрическим тензором д'?,
мы снова получим векторное поле, но уже с компонентами
FX + GY ЕХ + FY ...
—;— "---------------— <7>
[Здесь мы пользуемся стандартными в теории поверхностей
обозначениями
ffll = В, ff12 = 922 =
Напомним, что в этих обозначениях
ff g2 ’ 9 g2 ’ 3 g2 ’
где e2 = EG - F2.]
216
СЛУЧАЙ п= 2
Лекция 13
Задача 1. Покажите, что поле. (7) ортогональ-
но (в каждой точке) исходному полю. (Указание
д^Х^кек1Х1 = е^Х1 = 0.] .
Подняв с помощью метрического тензора оба индекса
дискриминантного тензора, мы получим тензор типа (0,2)
с компонентами
ё^д^1ек1. (9)
Этот тензор также кососимметричен (ибо е’’ = gjkgilekl =
— —ff,l9}keik = а ег0 компонента е12 выражается фор-
мулой
е“ = „“Ай = «(S11?2 -/V) =
Поскольку
Г 5!I-L% ?»
это означает, что матрица ||еу|| обратна матрице
-||е,у||. (Подобно тому как матрица ||^|| обратна матрице
И.9у |Г) ,
Полезно также иметь в виду соотношение
А»-«*«»• <*°>
означающее, что для матрицу = Н^-Ц и е = ||е»уII выполнены
тождества ‘
-1 -1
д е = —е 1д.
Проще всего соотношение (10) проверяется непосредствен-
ным вычислением:
= g'VgMgjktpq = gipePk = g'Jejk-
В обозначениях Гаусса оно имеет вид
II G/e2 -F/e2|| l| 0 е II || 0 1/е|| || Е FII
II —F/e2 Е/е2 ||’||-е о||“||-1/е 0 I! ’ II F G ||
и также проверяется непосредственным вычислением.
Лекция 13
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
217
оператор Лапласа Пусть снова п 2. По определе-
в римановом про- Нню (см. формулу (1) лекции 11) для
страистве любой гладкой функции и на (псев-
до)римановом пространстве X компоненты (grad и)’ ее гра-
диента grad и в каждой карте (U, х1,..., хп) многообразия X
выражаются формулами
. . iU ди .
(gradu)’ = 5 г=1,...,п.
Задача 2. Покажите, что инвариантным образом поле grad и ха-
рактеризуется соотношением
Хи = (X,gradu),
которое должно быть выполнено для любого векторного поля X 6 аХ.
Так как операция Vx ковариантного дифференцирова-
ния FX-линейна по X, то компоненты
(Vfcgradu)’ = 9^gJkU~ + ^(gradup
частных ковариантных производных поля grad и являются
компонентами тензорного поля типа (1,1) на X. Поэтому
след
Ди= (V,-grad и/ (И)
этого тензорного поля является корректно определенной
функцией на X. Это означает, что формула (11) определяет
некоторый — очевидно, линейный над R — оператор
A-.FX^FX. (12)
(Здесь существенно используется предположение о том, что
многообразие X принадлежит классу С°°. Для многообра-
зий класса Сг, г < оо, функции Ди будут, вообще говоря,
функциями лишь класса Сг~2.)
В случае, когда X является евклидовым пространст-
вом, а х1,..., хп — прямоугольными координатами х1,..., хп,
функция Ди выражается формулой
Ди =
д2и д2и
д^ + '" + д^'
т. е. оператор Д является известным из анализа оператором
Лапласа. На этом основании оператор (12) и в общем слу-
чае называется оператором Лапласа (впрочем, употреб-
ляется также название оператор Бельтрами; см. ниже),
218
ФОРМУЛЫ ГРИНА
Лекция 13
а функции и е FX, для которых Ди = 0, называются гар-
моническими (по отношению к данной римановой метри-
ке на X).
По определению в каждой карте функция Ди выража-
ется формулой
ах* 3
Но согласно формуле Фосса — Вейля (4)
где для сокращения формул, как и выше в случае п = 2,
положено е = i/| det<?|. Поэтому
. <9(gradu)’ 1 де - Id
д“- —а?— +
т. е.
Д=1А(%й-£Л. (13)
е дх1 \ дх? }
При п = 2 (для поверхностей) оператор (13) в обозначениях
Гаусса выражается — см. равенства (8) — формулой
a . a + Ш
Д = du\y/~EG-F2J dv\ y/EG-F2 ) п4)
у/EG - F2 ' '
(как всегда в теории поверхностей, символы и и г> обозна-
чают здесь локальные координаты).
Эта формула была впервые получена Бельтрами, ко-
торый обозначил результат применения оператора (14)
к функции f через Д2/ и назвал его вторым диф-
ференциальным параметром этой функции.
(Первый дифференциальный параметр Бельтрами Д^ явля-
ется не чем иным, как скалярным квадратом (grad/, grad/)
градиента; см. лекцию III.3.) Этот термин (вместе с обозна-
чением Д2/) некоторые авторы употребляют до сих пор.
Фошделы Гпнна Задача 3. Пусть — в предположении, что много-
р у р образне X ориентировано — оператор div: аX -»fX
определен формулой
(div JC)u> = X е аХ,
(15)
ДеКНИЯ 13
ФОРМУЛЫ ГРИНА
219
где — риманов элемент объема dV. a — его производная Ли по X
(см. лекцию Ш.17). Покажите, что на каждой координатной окрестности
и, значит, в частности,
Au = div grad и, (16)
как и в элементарном анализе (см. лекцию Ш.28).
Требование ориентируемости многообразия X здесь на
самом деле излишне.
Задача 4. Пусть V.X —линейный оператор аХ -» аХ, опреде-
ленный формулой Y w VrX, и пусть Тг V.X — его след. Покажите, что:
а если многообразие. X ориентируемо, то
divX = TrV.X для любого поля X е аХ; (17)
б если принять (17) за определение оператора div, то форму-
ла (16) сохранится.
В силу формулы (7) лекции III. 19 формулу (15) можно
переписать в следующем виде:
(divX)w = d(X_Jw).
Поэтому если многообразие X компактно, то
J divXdV = 0 (18)
х
для любого поля Хе аХ (мы снова обозначаем форму объ-
ема символом dV) и, в частности,
j AudV = 0. (18')
х
[Это обобщение первой формулы Грина (см. формулу (22)
лекции III.28) или, точнее, ее частного случая, получаю-
щегося при 8D — 0. На этом основании формула (18')
(а иногда и формула (18)) называется обычно формулой
Грина.]
Задача 5. Докажите, что для любой функции и е FX юиеет
место формула
Дл? = 2и Ди + 2| grad и|2.
220 СУЩЕСТВОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Лекция 13
В силу формулы Грина (18') отсюда следует, что при
Ди = 0 с
I | grad u|2dV = 0,
X
и потому grad и = 0, т. е. и — const. Таким образом, на
компактном ориентируемом многообразии X не су-
ществует гармонических функций, отличных от кон-
стант.
Задача 6. Докажите, что это верно и для неориентируемого много-
образия X. [Указание. Перейдите к двулистно накрывающему ориен-
тируемому многообразию; см. предложение 1 лекции IV.9.)
Существование
гармонических
функций с от-
личным от нуля
дифференциалом
Согласно формуле (13) для любой функ-
ции и имеет место равенство
А 17”
Ди = оу -—г-----г
дх'дхЗ
где многоточие обозначает члены, зависящие только от пер-
вых производных функции и. Поскольку для риманова про-
странства матрица положительно определена, это по
определению означает, что на римановом пространстве опе-
ратор Д является линейным эллиптическим дифференциаль-
ным оператором второго порядка.
Нам понадобится следующая лемма из теории эллипти-
ческих уравнений.
Лемма 1. Пусть в окрестности точки 0 6 R” за-
дан линейный эллиптический дифференциальный one-
,т’П°Р ” « " Я
L = Ё + Ё (19>
lj=l 1=1
второго порядка (с переменными коэффициентами).
Если с 0, то в некоторой окрестности U точ-
ки 0 существует такая гладкая функция и, Что Lu =
= 0 и du 0 всюду на U.
Несмотря на то, что лемма 1, как мы увидим, имеет в теории поверх-
ностей основополагающее значение, мне неизвестны учебники или моно-
графии по дифференциальной геометрии или теории уравнений в частных
производных, где бы она доказывалась (или хотя бы четко формулирова-
лась). Конечно, эта лемма является непосредственным следствием теоремы
Лекция 13
СУЩЕСТВОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
221
о локальной разрешимости задачи Коши, но ссылка на эту теорему не очень
удовлетворительна, поскольку задача Коши для эллиптических уравнений
обычно считается плохо поставленной (хотя бы потому, что ее решение за-
ведомо не единственно) и теорема о ее локальной разрешимости излагается
только в некоторых особо полных — или нестандартно ориентированных —
монографиях (см., например, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М.
Уравнения с частными производными.—М.: Мир, 1966, с. 237) и во вся-
ком случае не включается в обязательный университетский курс. Поэто-
му мы дадим здесь доказательство леммы 1 (идея которого сообщена мне
Е. М. Ландисом), опирающееся лишь иа факты, о которых с определен-
ной уверенностью можно полагать, что они известны каждому студенту-
математику. (Главным образом мы имеем здесь в виду теорему о разреши-
мости задачи Дирихле и так называемую оценку Шаудера; см. ниже утвер-
ждения 1 и 2.)
Пусть k— целое неотрицательное число, 0 < а < 1, D — ограничен-
ная область пространства Rn и D — ее замыкание; Линейное пространство
к раз дифференцируемых в D функций и: D —> R, все к-е частные про-
изводные которых удовлетворяют в D условию Гёльдера с показателем а,
мы будем обозначать символом Cfc+Q(D). (О функциях из Cfc+o(D) говорят
обычно, что они в D принадлежат классу Ск+а.) Известно, что относитель-
но нормы
k
14ь.м = У>тР)>х su₽
1/0 Р1 + ...+Р„=и
Л/f ...tok™ +
+ (diamD)*+Q max sup , .
*...₽- _ z.veD, I» “ Vl“
Pl+-+P.=*
линеал Ck+a(D) является банаховым пространством.
Вместо ||«||c*+»(D) мы, 11311 правило, будем писать просто
Пусть область D ограничена трижды дифференцируемой (класса С3)
гиперповерхностью dD, и пусть
tj==l V=1
— эллиптический оператор с коэффициентами из С“(П).
Утверждение 1 (оценка Шаудера). Существует такая
константа С > 0, что для любой функции и С C3+a(D) с Lu С Ca(D)
и = 0 имеет место неравенство
(20)
222
СУЩЕСТВОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Лекция 13
Константа С зависит только от области D, константы эл-
липтичности оператора L и максимума норм его коэффициентов
в пространстве Ca(D).
Замечание!. Собственно говоря, неравенство (20) является лишь
частным случаем классической оценки Шаудера, относящимся к случаю,
когда и|#р = 0- Для наших целей этот частный случай вполне достаточен.
Замечание 2. ОценкаШаудера часто приводится (см., например,
упомянутую выше книгу Берса, Джона и Шехтера, с. 244) в несколько ином
виде, с заменой на ||Ьи||о -I- ||и||0. Но можно показать (см., напри-
мер, Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и
параболического типов.—М.: Физматгиз, 1971, стр 272-273), что ||и||0
< С] ||Lu||o, где СА —некоторая константа, и поэтому эта оценка влечет за
собой оценку (20).
Утверждение 2 (разрешимость задачи Дирихле).
Если с $5 0 в D, то для любой функции f ё Ci+a(dD) существует
такая функция и ё Ci+a(D), что
Lu = 0 и = /.
(По определению / ё C’+a(9D), если в каждой карте гладкого мно-
гообразия 8D функция / задается функциями класса Ct+a.)
Пусть теперь, как всегда, Вг — шар ||х || г пространства Rn радиу-
са г > 0 с центром в точке 0. Вг — его внутренность ||х|| < г, a Sr — ограни-
чивающая его сфера. Пусть, далее, L — эллиптический оператор вида (19'),
заданный в области D, содержащей точку 0, а г0 — такое число, что шар Вг
о
(а потому и каждый шар Вг, 0 < г г0) содержится в D.
Ограничив коэффициенты оператора L на Вг, 0 < г г0, мы по-
лучим — очевидно, также эллиптический — оператор с коэффициентами
из С“(ВГ). Допуская определенную вольность, мы будем обозначать этот
оператор прежним символом L.
Лемма 2. Существует такая константа С > 0, зависящая
только от оператора L и числа г0, что для любого г, 0 < г 4J г0,
и любой функции w ё <72+а(Вг) с = 0 имеет место неравенство
<Сгг||Ьш||а на Вг.
Доказательство. Пусть А: Вг -> В] — гомотетия х >-» х/r. Эта
гомотетия переводит оператор L в оператор £ = (A*)-1 oLoh*, действующий
на С5+а(В1), где h* сопоставляет функции и на В] функцию h*v: х н+
о(х/г) на Вг. Очевидное вычисление показывает, что оператор Iq = r2L
Лекция 13
СУЩЕСТВОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
223
на (7®+а(В1) задается формулой
= Е а^дм
1J=1 1=1
Если v = и f = (Л*)-1(Ьш), то LjV = гг/, и, значит, согласно
оценке Шаудера (примененной к оператору в области BJ
ММ^211Я
на В],
где С зависит только от оператора L на В1 и числа г0. (Заметим, что v|Si = О
тогда и только тогда, когда ш|^ = 0.) Поскольку отображение h* очевидным
образом сохраняет нормы || • ||*+а, это доказывает, что в условиях леммы 2
имеет место неравенство
И«'И»+а < C'r2|lL’"lla На Вг.
о I &w I
Для завершения доказательства леммы 2 остается заметить, что ——
$ IHl^a на Вг. □
Доказательство леммы 1. Поскольку оператор (19) имеет
вид (19') с с 0, к нему применимы утверждение 2 и лемма 2. Пусть,
как и выше, г0 —такое число, что оператор L определен, на Вг . Согласно
___ о
утверждению 2 для любого г, 0 < г г0, существует на Вг такая функция и,
что Ъи = 0 в Вг и и = —X] на Sr.
Пусть ш = и + Xj. Тогда
Lw = Lu + Lxt = Lu + bj + cij = f на Br,
где f = bt + ехр и w = 0 на Sr. Поэтому согласно лемме 2
I &W I
<Ctr2
на Br,
где
С] — С • max||/|lc“(B,)
не зависит от г. Поскольку
дш _ ди .
дхх дхх ’
ди
это доказывает, что при достаточно малом г функция - (а значит, и фор-
ма du) всюду в Вг отлична от нуля, q 1
Следствие 1. Для любой точки р0 риманова про-
странства X существуют такая ее окрестность U
и такая гармоническая в U функция и, что du / 0
всюду на U.
224
СОПРЯЖЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Лекция 13
Доказательство. Оператор (14) имеет вид (19)
с с = 0. а
Только это следствие нам и будет нужно.
Сопряженные При п = 2 дифференциал du произвольной
гармонические линейной дифференциальной формы и =
функции _ c^xi с^х2 на координатной окрест-
ности U (мы сейчас отступаем от обыкновения обозначать
локальные координаты на поверхности буквами и и v) вы-
ражается формулой
du = ( jdx1 Л dx2 = (\7.с<> — \7<,Ct)dxl Л dx2,
\дх' дх2 J ' 1 2 2
где (см. формулу (10) лекции IV.12)
VjC’' = dxi ~ Г^Ск’ = 1 ’2’
(поскольку Г|2 = Tgp члены, содержащие Г^, сокращают-
ся). Поэтому форма и тогда и только тогда замкнута,
когда VjCj = V2Cj, т. е. когда
ei3\7jci = Q. (21)
Имея это в виду, рассмотрим дифференциальную фор-
му ии, являющуюся результатом свертывания дискрими-
нантного тензора с векторным полем grad и, где и — про-
извольная гладкая функция на U. Для этой формы с,- =
= eifc(gradu)fc, и, значит, ввиду ковариантного постоянства
тензора е,
VjC.^e.-fcfVygradu)*.
Следовательно,
evVjct- = el3eik(\7:Jgradu)fc = (Vy gradu)J = Ди,
и потому форма ии тогда и только тогда замкнута,
когда функция и гармонична.
Но если форма и& замкнута, то согласно лемм!е Пуан-
каре в любой круговой координатной окрестности U произ-
вольной точки р0 G X она является точным дифференциа-
лом, т. е. на U существует такая функция и, что dv = ии и,
ДеКЦИЯ 13 СОПРЯЖЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 225
значит,
(gradv)’ = gij^j = ^efc(gradu)fc.
ох-> J
Ввиду ковариантного постоянства тензоров д и е отсюда сле-
дует, что для функции Дг> имеет место формула
Ди = (V(gradi>)’ = 5uejfc(V'gradu)fc,
т. е. — см. соотношение (10) — формула
Дг, = e%(V,.gradu)fc =
где \7и — форма du, рассматриваемая как ковекторное поле
(т. е. поле с компонентами-^—j = gjfc(gradu)A'J, и
— компоненты г-й частной ковариантной производной
поля V-u. Поскольку — как показывает формула (22) — ком-
поненты (V,Vu) • симметричны по i и j, а тензор еи косо-
симметричен, отсюда следует, что Дг> = 0, т. е. v так-
же является гармонической функцией. Она называет-
ся гармонической функцией, сопряженной с гармонической
функцией и.
Заметим, что функция v определена только локально (в круговых коор-
динатных окрестностях) и лишь с точностью до постоянного слагаемого.
Задача • 7. Докажите, что если Н1Х = 0 (см. лекцию III.20), то,
распорядившись постоянными, можно локальные функции и выбрать так,
чтобы они были ограничениями единой функции, определенной на всем мно-
гообразии X. (В этом случае принято говорить, что сопряженная функция v
определена глобально.)
Задача 8. Докажите, что функция и сопряжена с функцией —и
(с точностью до знака отношение сопряженности гармонических функций
взаимно).
Отметим, что
а Градиенты функций и и v ортогональны'.
(grad и, grad v) = 0.
б Длины этих градиентов одинаковы:
(grad и, grad и) = (grad v, grad v).
*M,M. Постников
226
ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Лекция 13
3 а д а ч а 9. Докажите эти утверждения.
В частности, мы видим, что если grad и / 0 в ок-
рестности U, то векторы grad и и grad и составляют
в каждой точке р G U ортонормированный базис дву-
мерного евклидова пространства ТрЛ*.
С другой стороны, легко видеть (проверьте!), что яко-
биан функции и и v с точностью до множителя е2 равен
определителю
I (grad и)1 (grad и)21
I1 (grad v)1 (gradi>)2r
составленному из координат векторов grad и и grad и. Поэто-
му если grad и / Ои, значит, векторы grad и и gradv со-
ставляют базис, то этот якобиан отличен от нуля, и потому
в некоторой окрестности точки р0 — которую мы снова обо-
значим через U — функции и и v будут локальными коорди-
натами.
Поскольку условию grad и / 0 (которое равносильно,
очевидно, условию du 0) мы в силу следствия леммы 1
всегда можем удовлетворить (выбрав окрестность U доста-
точно малой), этим доказано, что в окрестности каж-
дой точки р0 Е X существуют локальные координа-
ты и, Р, являющиеся сопряженными гармоническими
функциями.
Задача 10. Покажите, что в этих координатах
первая квадратичная форма поверхности имеет вид
ds2 = X2(du2 + dv2), (23)
где А = (grad u, grad и)-1/2. [Указание. Воспользуйтесь
свойствами а и б.]
Изотермические Определение 2. Локальные координаты и
координаты и г>, в которых первая квадратичная форма
поверхности имеет вид (23), называется изотермически-
ми координатами.
Это название объясняется тем, что, как показывается в теории тепла,
на термически изолированной нагретой поверхности, выполненной из ма-
териала с постоянной теплопроводностью, , координатные линии и = const
и v = const тогда и только тогда являются изотермами, когда первая квад-
ратичная форма поверхности имеет вид (23).
ЛеКЦИЯ 13
ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
227
Предложение 2. В окрестности любой точки про-
извольной поверхности существуют изотермические,,
координаты.
Доказательство. Ими будут координаты, являю-
щиеся сопряженными гармоническими функциями и и v. q
Пример 1. Географические координаты и и v на
сфере трехмерного евклидова пространства не изотермич-
ны (первая квадратичная форма сферы в этих координатах
имеет вид
ds2 = du2 + cos2udi>2;
см. формулу (36) лекции Ш.З). Чтобы получить изотерми-
ческие координаты! надо, оставив неизменной долготу v,
преобразовать широту и по формуле
, х [и к\
и, = Intg (j + .
Действительно, как показывает очевидное вычисление,
в координатах , v — которые мы снова обозначим че-
рез и, v — первая квадратичная форма сферы имеет вид
ds2 = 1 (du2 + dv2),
сп и
т. е. вид (23) с А = Изотермичны и координаты
х = еи cos v, у = еи sin v,
поскольку в этих координатах
^“ТГ+^+тй^' + ^Л- (24>
I I У )
[Обратим внимание на то, что х + iy = e“+,v.]
В изотермических координатах оператор Лапласа выра-
жается формулой ,
Х*\диг+ ди*)\
которая лишь множителем отличается от формулы для опе-
ратора Лапласа в прямоугольных координатах на плоско-
сти. Поэтому гармонические функции на поверхности — это
8»
228
ПОЛУДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
Лекция 13
в точности функции, выражающиеся в изотермических коор-
динатах обычными гармоническими функциями двух пере-
менных. В частности, отсюда следует, что локальные коор-
динаты и,и тогда и только тогда изотермичны, ког-
да они являются гармоническими функциями (они ав-
томатически окажутся сопряженными).
Полудекартовы В определенном отношении изотермиче-
коордннаты ские координаты аналогичны евклидовым
координатам на плоскости. Другие координаты, аналогич-
ные евклидовым, строятся следующим образом.
Пусть р0 — произвольная точка поверхности X, а и, и —
локальные координаты, определенные в окрестности точ-
ки р0 и равные нулю в р0. Пусть, далее, /30 — произвольная
Уу регулярная кривая на X, проходящая
через точку р0. Параметр на кривой /30
мы обозначим через у и будем считать,
|у , что точке р0 отвечает значение у = 0.
Для каждого у ,(для которого определе-
/ на точка /30(у)) мы обозначим через 7у
/з0 геодезическую, проходящую через точ-
ку Му) п°Д прямым углом к кривой /30.
(В частности, 70 — это геодезическая, проходящая через
точку р0 под прямым углом к кривой,/30.) Пусть х — нату-
ральный параметр на геодезической 7у, отсчитываемый от
точки Му)< и пУсть
и — и(х,у), v = v(x,y) (25)
— уравнения геодезической 7у в локальных координа-
тах и, и (числа х и у мы считаем по абсолютной величине
достаточно малыми).
Так как и = п(0, у) и и = г>(0, у) — это, очевидно, не
что иное, как уравнения кривой /30, то для любого у0 част-
ные производные иу(0, р0), г>у(0, у0) представляют собой ком-
поненты касательного вектора к кривой (30 в точке /Зо(УоУ
В частности, компонентами этого вектора в точке р0 явля-
ются числа uy(Q,Q),vy(Qb0).
С другой стороны, компонентами касательного векто-
ра в точке р0 к кривой 70 являются числа ux(0,0),vx(0,0).
Лекция 13
ПОЛУДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
229
Поскольку эти два вектора в точке р0 по условию ортого-
нальны и, значит, линейно независимы, отсюда следует, что
д(и и)
якобиан а; ’ функций (25) отличен от нуля в точке р0
у)
(а значит, и в некоторой окрестности этой точки). Поэтому
х и у являются вблизи точки р0 локальными координатами
на X. Обозначив х и у. снова через и и г>, мы видим, что
нами доказано следующее предложение.
Предложение 3. В окрестности любой точки р0
поверхности X существуют такие центрированные
в р0 локальные координаты и, и,, что ь
а координатные линии v = const (отнесенные к па-
раметру и) являются геодезическими;
6 эти геодезические ортогональны координатной
линии и = 0;
в на каждой геодезической v — const координата и
является натуральным параметром.,
Эти координаты называются полуд екартовыми.
Из условия в следует, что в полудекартовых координа-
тах и, v коэффициент Е первой квадратичной формы по-
верхности тождественно равен 1. Поэтому Ev = 0 и, значит
(см. вторую из формул (3) лекции П1.5),
FT},+(7^ = ^.
Задача 11. Покажите, что условие а выполнено
тогда и только тогда, когда Гц =0 и Гц *₽ 0.
Мы видим, следовательно, что в координатах и, v имеет
место тождественное равенства Fu = 0, откуда вытекает,
что F(u, г>) = F(0, г>) для любых и и и. Поскольку, с другой
стороны, согласно условию б, F(0, г>). = 0 для всех и, этим
доказано, что F = 0 тождественно.
Таким образом, в полудекартовых координатах и, v
первая квадратичная форма поверхности имеет вид
ds2 = du2 + Gdv2. (26)
Замечание 3. В частности, мы видим, что все ли-
нии и = const ортогонально пересекают геодезические
v = const. Это утверждение, аналогичное лемме Гаусса из
лекции 12, часто также называется леммой Гаусса.
230
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
Лекция 13
Обратим внимание на то, что — в отличие от полугео-
дезических координат — полудекартовы координаты и, v
определены в точке р0. <
Декартовы В определённом отношении изотермические
координаты координаты аналогичны евклидовым коорди-
натам на плоскости. Другие координаты, аналогичные евк-
лидовым, строятся следующим образом.
По построению координатная линия и = 0 Может быть
любой. В случае, когда эта линия является геодезической,
а координата и является на этой линии натуральным пара-
метром, полудекартовы координаты и, и называются декар-
тов ими координатами.
Подчеркнем, что для декартовых координат линии и = с
при с / 0 геодезическими, вообще говоря, не являются.
П р и м е р 2. Декартовыми Координатами на сфере яв-
ляются обычные географические координаты (и—широта,
v — долгота). Линиями и = const являются меридианы, а ли-
нией и = 0 — экватор. При с / 0 параллели и = с геодези-
ческими не являются. .
Задача 12. Вычислите первую квадратичную форму плоскости
Лобачевского в декартовых координатах. Выразите декартовы координа-
ты иа плоскости Лобачевского через бельтрамиевы координаты (см. лек-
цию П.12в).
Так как на линии и = 0 декартова координата и явля-
ется натуральным параметром, то <7(0, и) =е 1 для любого v,
а так как эта линия является геодезической, то Г22(0, и) =
® 0 и Г|2(0, и) = 0 (ср. утверждение задачи 11). Поэто-
му (см. формулы (3) лекции III.5) <7и(0, и) — О (а Также
Gv(0, и) = 0). Мы видим, следовательно, что для декарто-
вых координат и, и имеют место равенства
G(0,«)=l, Gw(0,t>)»0. (27)
Утверждение о существовании локальных коорди-
нат и,и, в которых первая квадратичная форма имеет
вид (26) с коэффициентом G, обладающим свойствами (27),
составляет содержание «леммы Гаусса» из лекции Ш.5. Тем
самым мы можем теперь Считать эту лемму доказанной.
ЛЕКЦИЯ 14
Конформные координаты. — Конформные структуры. —
Минимальные поверхности. — Объяснение их названия. — Зада-
ча Плато. — Свободные релятивистские струны. — Простейшая
задача вариационного исчисления для функций двух перемен-
ных. — Экстремали функционала площади. — Случай п = 3. —
Представление минимальных поверхностей с помощью голо-
морфных функций. — Формулы Вейерштрасса. — Присоединен-
ные минимальные поверхности.
Конформные Вещественные координаты и и v на поверх-
координаты ности X можно заменить одной комплексной
координатой w = и 4- iv. В случае, когда координаты и и v
изотермичны, мы будем называть координату w конформ-
ной координатой на поверхности. (Некоторые авторы при-
меняют это название Н к координатам и и v.)
Формула (23) лекций 13 означает, что в конформной
координате линейный элемент поверхности имеет вид
ds2 = X2dwdw; (1)
иначе говоря,
ds = A|dw,|, (2)
Пусть z = х + iy и w = и + iv —две конформные коор-
динаты (определенные соответственно в координатных ок-
рестностях U и V). Тогда на пересечении Un V будут иметь
место равенства
dw , dvs - dw- dw
dw = -z~dz + -^az, dw = -^—dz + ~z~dz
az oz o2 dz
(мы пользуемся обозначениями, подробно_объяснёнными
в лекции Ш.12; заметим, что dz = ctz и dz = dz), а зна-
чит, и равенство
(dwdw dwl)w\ . - dwfiw , ,
——7— + — -7— ]dzdz + — —dzr + —- dzr.
9z dz dz dz J dz d~z &z dz
Но так как обе координаты z и w конформны, И потому
формы dzdS и dwdffi пропорциональны, 'то это равенство
dw dw Л dw .
возможно тогда, когда -т—-т— = 0, .т. е. когда либо —- = О,
dz dz . oz
либо — = 0 в каждой точке пересечения U nV.
232
КОНФОРМНЫЕ СТРУКТУРЫ
Лекция 14
Но легко ввдеть (проверьте!), что якобиан функций и, v
по х, у выражается формулой
ди дх ди ди ду ди = dw dz скй dw dz dw .= dw dz 2 dw 2 dz " . (3)
дх ду ~dz dz dw
Поэтому ни в одной точке из U П V функции dz и dz
в нуль одновременно не обращаются. Значит, множества ну-
лей этих функций (являющиеся — в силу непрерывности —
замкнутыми множествами в U n V) взаимно дополнительны
(и потому открыты). Следовательно, если множество U Г} V
связно, то либо — — О; либо — = 0 всюду на U n V.
i , OZ
В Нёрвом случае функция перехода w = w(z) голоморфна
на U Г) V и карты (U, z), (V, w) ориентированы согласован-
но, а во втором — функция w = w(z) антиголоморфна и
ориентации карт (U, z), (V, w) не согласованы.
Заметим, что функция w = w(z) тогда и только тогда антиголо-
морфна, когда функция w = w(2) голоморфна.
Конформные Все это мотивирует следующее определение,
структуры в котором X— произвольная поверхность,
вообще говоря, римановой метрикой не снабженная.
Определение 1. Комплексные карты (17, z) и (У, w) на
поверхности X называются конформно согласованными,
если на каждой компоненте множества U n V (при U n V /
/ 0) одна координата (скажем, w) является либо голоморф-
ной, либо антиголоморфной функцией другой координаты z.
Атлас, состоящий из конформно согласованных карт, назы-
вается конформным атласом. О двух конформных атла-
сах говорят, что они определяют на X одну и ту же кон-
формную структуру.
Задача 1. Докажите, что любой конформный ат-
лас содержится в единственном максимальном кон-
формном атласе.
Поэтому конформные структуры можно отождествлять
с максимальными конформными атласами.
Накрытие X —> X (в частности, диффеоморфизм) по-
верхностей с конформной структурой называется кон-
Лекция 14
КОНФОРМНЫЕ СТРУКТУРЫ
233
формным, если в конформных атласах оно записывается
голоморфными или антиголоморфными функциями.
Задача 2. Докажите, что
А. Для любого гладкого накрытия X —► X поверх-
ности X с конформной структурой существует на
поверхности X единственная конформная структу-
ра, по отношению к которой накрытие конформно.
Б. Для любого конформного накрытия X —> X
группа AutA его автоморфизмов (скольжений) со-
стоит из конформных диффеоморфизмов поверхнос-
ти X. __ '
В. Если в гладком накрытии X —► X многообра-
зие X является поверхностью с конформной струк-
турой, и если
а накрытие регулярно;
6 его группа автоморфизмов состоит из конформ-
ных диффеоморфизмов,
то на X существует единственная конформная
структура, по отношению к которой накрытие кон-
формно.
Ср. задачи 4, 5 и 6 лекции 3.
Задача 3. Докажите, что любая изометрия поверхностей
(см. определение 6 лекции Ш.З) задается в конформных координатах
голоморфными или антиголоморфными функциями (является по от-
ношению к индуцированным на поверхностях конформным структурам кон-
формным диффеоморфизмом).
Конечно; каждый комплексно аналитический атлас кон-
формен (и обладает тем свойством, что любые две его кар-
ты положительно согласованы). Обратно, из формулы (3)
непосредственно следует, что любой конформный атлас,
состоящий из положительно согласованных карт, являет-
ся комплексно аналитическим атласом. Поэтому ориенти-
рованные поверхности с конформной структурой —
это в точности одномерные комплексно аналити-
ческие (хаусдорфовы и паракомпактные) многообра-
зия (которые мы, пользуясь заимствованной из теории
функций терминологией, будем называть римановыми по-
в ерхностями).
[Стоит, однако, заметить, что класс конформных
отображений римановых поверхностей шире класса их
234
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Лекция 14
комплексно аналитических изоморфизмов (он включает
и диффеоморфизмы, задаваемые антиголоморфными функ-
циями).]
В свете определения 1 предшествующие ему рассужде-
ния доказывают следующее предложение.
Предложение 1. Каждая риманова метрика на
поверхности однозначно определяет на X некото-
рую конформную структуру {являющуюся для ориен-
тируемой^ поверхности комплексно аналитической
структурой), q
Следствие 1. На любой поверхности существует
хотя бы одна конформная структура, q
Следствие 2. Каждая ориентируемая поверх-
ность комплексифицируема {является овеществле-
нием одномерного комплексно аналитического мно-
гообразия). Q
Этот последний факт мы уже отмечали в лекции IV.8.
Заметим, что риманова метрика на поверхности в фор-
мулировке следствии 1 и 2 никак не участвует. Она была
нужна лишь для доказательства.
Минимальные' Один из наиболее замечательных классов по-
поверхностн верхностей — в теории которых изотермиче-
ские (конформные) координаты играют решающую роль —
вводится следующим определением.
Определение 2. Поверхность’Д’ в трехмерном евкли-
довом пространстве R3 называется минимальной поверх-
ностью, ес^ли ее средняя кривизна’Я тождественно равна
нулю: .
’ ' Я = 0,
т. е. если в каждой ее точке главные кривизны кГ и к2 по-
верхности X- отличаются лишь знаком:
(индикатриса Дюпена — в предположении, что к{к2 /О—
является равнобочной гиперболой). . <
Рибокур называл минимальные поверхности элласои-
дами, но этот термин не привился.
Лекция И
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
235
Согласно проделанным в лекции Ш.4 вычислениям, при-
мером минимальных поверхностей служит катеноид,
r(u, v), = ch v cos и • i + ch v sin и • j + vk, (4)
а также геликоид
r(u, v) = sh v cos и • i + sh v sin и,- j + uk. (5)
Геликоид
Другой пример доставляет нам так называемая поверх-
ность Эннепера । <
r(u,v) = u(3 + 3i>2 — u2)i — v(3 + 3u2 — v2}j — 3(u2 — y2)k. (6)
3 ад ач a 4. Докажите, что поверхность (6) минимальна.
Поверхность
Эннепера
Поверхность Эннепера имеет самопересечения, т. е. яв-
ляется погруженным двумерным многообразием (см. лек-
цию 3). Напротив, катеноид и геликоид (а также, конечно, и
плоскость, тривиальным образом являющаяся минимальной
поверхностью) представляют собой
вложенные поверхности без самопе-
ресечений.
Можно показать (см. ниже за-
мечание 1), что. ни одна полная ми-
нимальная поверхность не может со-
держаться в конечной части про-
странства R3 (и, в частности, не ком-
пактна). С топологической точки зре-
ния простейшие некомпактные по-
верхности — это поверхности, получающиеся из компакт-
ных удалением конечного числа точек (проколов) или — что
236
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Лекция 14
равносильно — неперёсекающихся кругов. Например, топо-
логически плоскость, а также геликоид — это сфера (ком-
пактная поверхность) с одним проколом, а катеноид — это
сфера с двумя проколами. Геометрически каждому проколу
отвечает уходящий в бесконечность раструб поверхности.
На катеноиде оба раструба отчетливо видны, но, например,
единственный раструб геликоида настолько закручен, что
едва ли заслуживает этого наименования. На техническом
языке топологии уходящие в бесконечность раструбы по-
верхности называются ее концами. Таким образом, пло-
скость и геликоид имеют один конец, катеноид имеет их
два.
Полной кривизной поверхности X называется интег-
рал по Л" от ее гауссовой кривизны К (ср.' ниже лекцию 16).
Для некомпактной поверхности эта кривизна вполне может
быть бесконечна.
Задача 5. Докажите, что полная кривизна геликоида равна -оо,
а катеноида равна -4тг.
•
Полная кривизна плоскости равна, конечно, нулю.
Вложенную полную поверхность, гомеоморфную ком-
пактной поверхности с конечным числом проколов и имею-
щую конечную полную кривизну, мы — для сокращения
формулировок — будем называть поверхностью конечно-
го типа.
Сравнительно давно было показано — хотя и затрудни-
тельно указать, кто сделал это первым, — что плоскость яв-
ляется единственной минимальной поверхностью конечного
типа с одним концом. В 1982 г. Шен доказал аналогичный
результат в отношении поверхностей конечного типа с дву-
мя концами — единственной такой поверхностью является
катеноид.
До 1984 г., кроме плоскости и катеноида, фактичес-
ки не было известно никаких других минимальных по-
верхностей конечного типа. Решающий прорыв был сделан
в 1984 г. молодыми американскими математиками Д. Хофф-
маном н У. Мииксом, которые с существенным использо-
ванием компьютерной графики, в чем им помогал однофа-
милец Д. Хоффмана программист Дж. Хоффман, построили
целую серию новых минимальных поверхностей конечного
Лекция 14
ОБЪЯСНЕНИЕ ИХ НАЗВАНИЯ
237
типа с тремя концами. Поверхности Хоффмана и Миикса
отличаются красотой и симметричностью. Простейшая из
этих поверхностей, го-
меоморфная тору с тре-
мя отверстиями, изобра-
жена на рисунке сле-
ва. А на рисунке спра-
ва изображен так назы-
ваемый триноид — ми-
нимальная поверхность
с самопересечениями, гомеоморфная сфере с тремя отвер-
стиями. (Заметим, что реализовать сферу с тремя отверсти-
ями в виде вложенной минимальной поверхности нельзя.)
объяснение Чтобы объяснить, почему поверхности с Н =
их названия — о называются минимальными, мы рассмо-
трим на классе Рс всех поверхностей X в R3 с данным краем
С функционал площади:
поверхность X => ее площадь <тХ.
Если поверхность X подвергается деформации, гладко
(в понятном смысле) зависящей от параметра t и неподвиж-
ной на С, то ее пдощадь <тХ (предполагаемая конечной) ока-
зывается гладкой функцией от t. В случае, когда для любой
деформации производная этой функции при значении пара-
метра, отвечающем исходной поверхности X, равна нулю,
говорят — по очевидной аналогии с рассмотренным в лек-
ции 12 функционалом длины, — что поверхность X является
экстремалью функционала площади в Рс. В частности,
поверхность X является экстремалью функционала площа-
ди, если среди всех близких поверхностей из Рс ее площадь
минимальна.
Полная (без края) поверхность называется экстре-
малью функционала площади, если любая ее часть, огра-
ниченная произвольной кусочно гладкой кривой С, является
экстремалью этого функционала в Рс.
Так вот, оказывается-—и ниже мы это покажем, — что
минимальные поверхности — это в точности экст-
ремали функционала площади. Это и объясняет их назва-
ние (в XIX веке — когда оно было предложено — не очень
беспокоились по поводу различия минимумов и экстрему-
мов; кроме того, можно показать — мы этого делать не бу-
238
ЗАДАЧА ПЛАТО
Лекция 14
дем, — что каждая достаточно малая часть минимальной
поверхности, ограниченная кусочно гладкой кривой, имеет
наименьшую площадь среди всех поверхностей с тем же кра-
ем— подобно тому, как каждый достаточно малый отрезок
геодезической является кратчайшей).
Чтобы подчеркнуть последнее обстоятельство, мини-
мальные поверхности называются иногда локально мини-
мальными поверхностями.
Задача Плато Согласно общему физическому принципу
равновесия мыльная плейка, натянутая на
контур, занимает под воздействием сил поверхностного на-
тяжения положение, энергия которого ие может быть умень-
шена малыми вариациями. Поскольку эта энергия — как по-
казывается в теории гибких эластичных пленок — пропор-
циональна площади, Отсюда следует, что мыльные пленки
физически реализуют минимальные поверхности.
Здесь имеются в виду поверхности с краем. Для поверхностей без
края, разбивающих пространство на две области — внутреннюю и внеш-
нюю, ситуация контролируется теоремой Пуассона, утверждаю-
щей, что граница раздела двух находящихся в равновесии сред является
поверхностью постоянной средней кривизны Н' = НДр, где h— коэффици-
ент поверхностного натяжения, а Др — разность давлений1 внутри и снару-
жи поверхности (для поверхности с краем, не разбивающей пространство.
Др = 0 и, значит, Н = 0). Эта теорема объясняет, в частности, почему
мыльные пузыри —когда они не очень-Велики и можно пренебрегать силой
тяжести — имеют сферическую форму.
Впервые мыльные пленки изучал бельгийский физик
Плато, в честь которого задача построения минимальных
поверхностей с данным краем (а также ее многомерные ана-
логи) называется задачей Плато. Эта задача оказа-
лась очень трудной и связанной с самыми рафинированными
вопросами современной математики. Мы ею заниматься не
будем.
Свободные Минимальные поверхности — правда, не в
релятивист- пространстве R3 — неожиданным образом
ские струны появляются также в теории элементарных
частиц или, более точно, — в теории адронов.
По современным представлениям — убедительно под-
крепленным экспериментальными данными — адроны состо-
Лекция 14
СВОБОДНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СТРУНЫ
239
ят из кварков, связанных друг с другом глюонными поля-
ми Янга — Миллса. Чтобы объяснить так называемое невы-
детание кварков (отсутствие нх в свободном состоянии),
предполагается, что на малых расстояниях (порядка раз-
мера адрона) энергетически более выгодны конфигурации
глюонных полей, не заполняющих — подобно классическим
полям — все пространство, а концентрирующихся вдоль ли-
ний, соединяющих кварки. Тогда сила притяжения между
кварками, независимо от расстояния между ними, будет —
как можно показать — постоянной, и потому никакое внеш-
нее воздействие не может развести кварки и породить сво-
бодный кварк. Наглядно можно представить себе, что квар-
ки соединены тонкой трубкой глюонного поля, в пределе
вырождающейся в линию — струну. Сами кварки также, по-
видимому, полезно представлять себе в виде маленькой —
возможно, заузленной — замкнутой трубки глюонного поля.
На далеких расстояниях такие трубки ведут себя как не-
взаимодействующие частицы, но достаточно сближенные,
они сплетаются в один адрон. [Представление о частицах
как трубках поля очень старое. Еще в начале этого века
электрон пытались рассматривать как кольцо, свитое из си-
ловых линий электромагнитного поля. Эта точка зрения ока-
залась тупиковой н была отброшена. С кварками н глюонами
дело обстоит — будем надеяться—иначе.]
В классическом релятивистском приближении мы, та-
ким образом, приходим — отвлекаясь от полей и становясь
на феноменологическую точку зрения — к задаче изуче-
ния динамики одномерно протяженных объектов — струн.
В процессе своего движения струна заметает в четырехмер-
ном пространстве-времени Минковского некоторую поверх-
ность (ее «мировую линию»), которую мы и будем рассмат-
ривать как адекватный геометрический образ струны.
Конечно, не любая поверхность в пространстве Мин-
ковского будет в этом смысле струной. Для этого в первую
очередь необходимо, чтобы в каждой точке поверхности ка-
сательная плоскость имела сигнатуру (1,1)/ И, значит, что-
бы в этой точке можно было говорить о времениподобных
векторах (в направлении которых — в соответствующей сис-
теме отсчета — течет время) и о пространственноподобных
векторах (задающих — в сечении — мгновенное положение
240
СВОБОДНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СТРУНЫ
Лекция 14
струны). Если
г = r(u, и)
— параметризация струны в окрестности некоторой точки,
то это условие равносильно (докажите!) отрицательности
определителя Грама
г2
* и
rurv
г г
и* v
= EG - F2.
Мы будем называть такие поверхности поверхностями
сигнатуры (1,1).
3 а д а ч а 6. Докажите, что элемент площади поверхности сигна-
туры (1,1) равен y/\EG - F2! = y/F2 — EG. [Указание. О площади
фигур на псевдоевклидовой плоскости см. лекцию П.12а.]
Локальные координаты u,v на поверхности сигнатуры
(1,1) называются изотермическими, если первая квадра-
тичная форма поверхности имеет в этих координатах вид
de2 = X(du2 - dv2), А > 0.
Ср. определение 2 лекции 13.
Задача?. Докажите, что в окрестности произвольной точ-
ки поверхности сигнатуры (1,1) существуют изотермические коор-
динаты.
В физике изотермические координаты называются ор-
тонормированной калибровкой. Таким образом, ортонорми-
рованная калибровка струны (поверхности сигнатуры (1,1))
характеризуется равенствами
+ г2 = 0, rur„ = 0
или — что равносильно — равенствами
(ru + »\,)2 = 0-
Определенные условия накладывает также и динамика
струны.
Вообще говоря, уравнения движения механической сис-
темы определяются из соответствующего вариационного
принципа, т. е. (см. лекцию 11) представляют собой экст-
ремали отвечающего этой системе лагранжиана. Например,
лагранжианом свободной (не подверженной никаким внеш-
ним воздействиям) материальной точки служит длина ка-
сательного вектора, и, соответственно этому, траектори-
ей такой частицы является геодезическая, т. е. в пустом
ЛеКЦИЯ 14 ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
241
(плоском) пространстве — прямая. Представляя себе стру-
ну, состоящую из материальных точек, взаимодействие меж-
ду которыми не внорнт никакого вклада в действие (в част-
ности, это означает отсутствие обычных сил упругости;
представление с позиций классической физики абсурдное,
но для глюонных струн, по-видимому, оправданное), мы —
как нетрудно понять — получим отсюда в качестве лагран-
жиана струны не длину, а площадь, т. е. придем к уже
известному нам функционалу площади. Поэтому с мате-
матической точки зрения свободная релятивистская
струна — это не что иное, как минимальная поверх-
ность сигнатуры (1,1) в пространстве Минковского.
Простейшая задача Решению задачи об экстремалях функ-
вариациоиного ис- ционала площади мы предпошлем об-
числения для фуик- щее обсуждение многомерных вариа-
ции двух переменных цдощщ задач (подобно тому, как это
мы сделали в лекции 11 в отношении функционала длины).
Для простоты мы ограничимся двумерными задачами перво-
го порядка в пространстве Rn.
Пусть L — произвольная гладкая функция на евклидо-
вом пространстве R3n (которую мы в дальнейшем будем на-
зывать лагранжианом). Точки пространства R3” мы отож-
дествим с тройками вида (г,ги, г„), где г = (х1,..., хп), ги =
= (х'и,.. .,х”), rv = (xj,,...,x") —произвольные векторы
пространства R3 (вопреки обозначению, никак друг с дру-
гом не связанные).
Пусть, далее, W — произвольное открытое множест-
во плоскости R2 (удобно считать это множество выпуклым
и ограниченным кусочно гладкой линией; в принципе эти
условия излишни, но без них формулировки и доказатель-
ства, вообще говоря, усложняются без особой на то нужды).
Параметризацией мы будем называть произвольное
гладкое отображение г: W —► Rn, т. е. гладкую вектор-
функцию rsp(UtV) r(ti,1))ERn, (7)
точки (и, v) е W (Ср. определение I лекции Ш.З; условий
регулярности и мономорфности мы теперь не налагаем.)
Каждая параметризация (7) определяет по формулам
, . дг дг. . ,0.
r = r(u,t>), ’Ч* = rv = d^u'v) <8)
242 ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Лекция 14
гладкое отображение W -+ R3n и, значит, при заданном лаг-
ранжиане L = £(г,ги,г„), — функцию
(и, v) Н4 L(r(u, v), ru(u, v), rv(u, v))
на области W. Пусть />/•.
, S = II Ldudv (9)
- w
— интеграл От этой функций по области W (или — что то
же самое — по ее замыканию Й7).
Поступая так же, как в лекции И, мы введем в рас-
смотрение произвольное гладкое отображение 77: W -+ Rn,
r]n(u,v)), равное нулю на границе 9W
области W, и параметризацию г = rt(u,v), определенную
формулой
re(utv) = r(u,v) + Eij(utv)^ |е| < е0. (10)
Интеграл (9) для параметризации ,(10) является гладкой
функцией от е, и потому можно говорить- о его производ-
ной ,S'(0) в точке е = 0.
По правилу дифференцирования интегралов, по пара-
метру
_,/л. ff fOL , 9L 9L \ J .
w
где
9L\
9r ~ \9x1' " '9xn J'
9L = (9L_ , 9L\ 9L = / 9L_ 9L\
9ru ~ ‘9x™) ’ 9rv “ ‘ ‘ ’’ 9x”) ’
_ W dr)n\ 9rin\
' ' 1,u~ \9u'"' 9u )' “ V •’ 9v ) '
9L =9£< 9L =dLJW_ dL _ 9L 9^
9r^ Эх'7) ’ 9rJ^u 9x{u 9u' 9rv^v 9x'v 9v
— скалярные произведений этих векторов. Но
аг f9L \ £.1 (9L\
ar„’i‘" 9и\ ,дг и 11) 9и ’ к^-иГ’
9L 9 / ' 9L \ 9 ( '9L\
дт^~ 9v \ 9v \
ЛеКЦИЯ 14 ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
243
й потому, согласно формуле Грнна (см. формулу (7) лек.
ции Ш.27),
5'(0> = jj
w
аь 9 (&L\
dr du\dru)
a fdL \
dv \ drv/
ifdudv+
{ (8L , dL
J \drv dru
dW.
Поскольку i] = 0 на dW, интеграл no dW равен нулю, н,
значит, * •
S'(G)=
w
аь / g / _ 9 (9L\
5r , a«\9rW(J 5t? \drv/_
i)dudv.
' 3 а д а ч a 8. Выведите из этой формулы, что <S"(0) = О
для всех ч тогда и только тогда, когда
а (эь\ д fdL\ аь
du\dTuJ dv\drv) dr'
[Указание. Докажите аналог леммы 1 лекции 11.]
Векторное дифференциальное уравнение (11) называет-
ся уравнением Эйлера — Остроградского.
Определение 3. Параметризация (7), удовлетворяю-
щая уравнению (11), называется экстремалью лагранжи-
ана L (или интеграла (9)).
Ср. определение 4 лекции И.
Таким образом, в частности; каждая параметри-
зация (7), доставляющая минимум интегралу (9)
в классе всех параметризаций, совпадающих друг
с другом на 3W, является экстремалью лагран-
жиана L. .,
Пример 1 (Интеграл Дирихле). Пусть,
г Е G „ 2 /-1 2
L=—7r—, где Е = ru, G.= r2v.
(Соответствующий интеграл
| ff (E + G)dudv
£» Jv
w
(12)
244
ЭКСТРЕМАЛИ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОЩАДИ
Лекция 14
называется интегралом Дирихле.) В этом случае
dL 9L 9L п
дти~Ги' drv~rv' 9г “ °
и уравнение (11) имеет вид
ruu + rvv = b (13)
означающий, что все компоненты х'(и, v) параметриза-
ции г{щи) являются гармоническими функциями.
Называя параметризацию, удовлетворяющую уравне-
нию (13), гармонической, мы, таким образом, получаем,
что экстремали интеграла Дирихле — это в точнос-
ти гармонические параметризации.
Экстремали Рассмотрим теперь интересующий нас в пер-
функцнонала ВуЮ очередь функционал площади
площади
JJ V'jBG - (14)
являющийся интегралом вида (9) с лагранжианом L =
— x/EG - F2, где Е и G — те же, что и выше, a F = rurv.
Интеграл (14) не меняется при переходе к эквивалент-
ной (см. лекцию Ш.З) параметризации. (Лагранжиан L за-
дает на W плотность; см. пример 2 лекции III.24.) Поэтому
(ср. в лекции 12 случай лагранжиана длины) необходимо на-
ложить на рассматриваемые параметризации дополнитель-
ное условие. ।
Определение 4. Параметризация (7) называется изо-
термической, если Е = G и F = 0.
Ср. определение 2 лекции 13.
Для изотермической параметризации интеграл (14) сов-
падает с интегралом Дирихле (12), и, значит, изотермичес-
кая параметризация тогда и только тогда служит экстре-
малью лагранжиана площади x/EG - F2, когда она являет-
ся экстремалью интеграла Дирихле, т. е. представляет собой
гармоническую параметризацию.
Таким образом, экстремали лагранжиана площа-
ди — это в точности гармонические и одновремен-
но изотермические параметризации (и все параметри-
зации, им эквивалентные).
Лекция 14
ЭКСТРЕМАЛИ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОЩАДИ
245
Чтобы применить этот результат к поверхностям, мы
для любой поверхности X пространства Rn (вообще говоря,
с самопересечениями) введем в рассмотрение гладкое отоб-
ражение г. X —> Rn, осуществляющее погружение поверх-
ности X в Rn. Тогда для любой карты (U, h) на X (для ко-
торой множество W = h(U) представляет собой выпуклую
область с кусочно гладкой границей) отображение гоЛ-1, яв-
ляющееся в силу наших определений некоторой параметри-
зацией г: W —► Rn, будет тем;, что обычно называется пара-
метризацией поверхности X в окрестности U. Утвер-
ждение, что эта, параметризация изотермична, в точности
означает, что изотермична карта (U,h) (т. е. изотермичны
локальные координаты и, v этой карты), а утверждение, что
эта параметризация гармонична, — что отображение г запи-
сывается в карте (С/, h) гармоническими функциями, т. е. —
ввиду изотермичности координат и и v — функциями, гар-
моническими в U по отношению к римановой метрике на X.
С другой стороны, ясно, что поверхности, являю-
щиеся экстремалями функционала площади в введенном
выше смысле, — это в точности поверхности, параметриза-
ции которых являются, экстремалями лагранжиана площа-
ди у/EG — F2. Следовательно, экстремали функционала
площади — это в точности поверхности X, погруже-
ние X —* Rn которых задается гармоническими на X
функциями, т. е., на менее инвариантном языке, — поверх-
ности, локально задающиеся такими вектор-функциями
г = r(u, v),
что
ru = ^> rurv = 0, (15)
ruu + rvv = °- (16)
Условие (15) обеспечивает изотермичность, а усло-
вие (16) — в присутствии условия (15) — гармоничность.
3 а д ач а 9. Покажите, что для поверхности сигнатуры (1,1) в про-
странстве Минковского условие минимальности в изотермических коорди-
натах имеет вид
Гт=Гт. (16')
С точки зрения физики (16') есть уравнение движения струны в ор-
тонормальной калибровке.
246
СЛУЧАЙ П = 3
Лекция 14
Подчеркнем, что в отличие от уравнения (16), являющегося уравне-
нием эллиптического типа, уравнение (16') представляет собой уравнение
гиперболического типа. Это определяет принципиальное различие в пове-
дении струи (минимальных поверхностей пространства Минковского) и ми-
нимальных поверхностей евклидова пространства. Например, как известно
из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (16')
имеет вцд
г =/(u+v)+/(u-tl),
где / — произвольная — даже не гладкая, если допустить к рассмотре-
нию обобщенные производные — функция, тогда как решения уравне-
ния (16), являясь гармоническими функциями, необходимо вещественно
аналитичны. 1
Случай Пусть теперь п = 3. В изотермических координа-
п = 3 тах известная формула для средней кривизны
1 EN + GL-2FM
Н 2 EG - F2
(см. лекцию III.4, стр. 79) приобретает вид
Н~2~Ё~'
где L = тиип и N = rvvn. Поскольку вектор п коллинеарен
вектору ru х г„, это доказывает, что в изотермических
координатах равенство Н = 0 равносильно соотно-
шению
(ruu + rvv)rurv = Q. (17)
Но продифференцировав соотношения (15), характери-
зующие изотермические координаты, по и и v, мы получим,
что
гг = г г t г г =0
U UU v’ UV' 1 UU’V ' U UV 47’’
ruruv = rvrvv< ruvrv + rurvv = О,
и, значит, — что
(*"иц "Ь **t»t»)**U (гии + ^VV^V = О»
т. е. что вектор г^+г^ ортогонален обоим векторам ги и г„.
Поэтому этот вектор коллинеарен (отличному от нуля!) век-
Т0РУ ru х rw и> следовательно, равенство (17) возможно
Лекция 14
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
247
только тогда, когда вектор ruu + rVv равен нулю, т. е.
когда изотермическая параметризация г = r(u, и) поверхно-
сти гармонична.
Этим и доказано высказанное выше утверждение о сов-
падении класса минимальных в смысле определения 2 по-
верхностей в й3 с поверхностями, являющимися экстрема-
лями функционала площади.
На этом основании мы и для любого п 3 будем назы-
вать поверхности в Rn, являющиеся экстремалями функцио-
нала площади, минимальными поверхностями. По дока-
занному, это в точности поверхности с параметризациями
г = r(u, и), обладающими свойствами (15) и (16), или, на бо-
лее инвариантном языке, поверхности, погружение X —► Rn
которых в Rn задается гармоническими на X функциями.
Замечание 1. Так как (см. лекцию,13) на компакт-
ной поверхности любая гармоническая функция постоянна,
то, как уже отмечалось выше, в Rn не существует ком-
пактных минимальных поверхностей.
Представление
минимальных
поверхностей
с помощью
голоморфных
функций ; , ,
Из анализа известно, что любая гармони-
ческая функция от и и v является — вооб-
ще говоря, лишь локально — веществен-
ной частью некоторой голоморфной (од-
нозначной аналитической) функции ком-
плексного переменного w = и + w. Следовательно, любую
гармоническую (удовлетворяющую условию (16)) параме-
тризацию мы можем — вообще говоря, лишь в некоторой
окрестности произвольной точки ее области определения —
записать в виде
г = Re/(w),
(18)
где /(w) — некоторая голоморфная (т. е. имеющая голо-
морфные компоненты) вектор-функция. При этом согласно
соотношениям Коши — Римана f' = ти - irv, и потому
/'2 = (fl ~ г1) ~ 2irUrv>
откуда следует, что условия изотермичности (15) равносиль-
ны равенству /'2 = 0.
Таким образом, мы видим, что минимальные по-
верхности евклидова пространства — это в точ-
ности поверхности, допускающие параметризацию
248
ФОРМУЛЫ ВЕЙЕРШТРАССА
Лекция 14
вида (18), где f = f(w) — такая голоморфная вектор-
функция, что f'2 = 0.
Замечание 2. Комплексные кривые г = f(w) в про-
странстве Сп (являющиеся с вещественной точки зрения по-
верхностями), для которых /'2 = 0, называются изотроп-
ными кривыми. Они замечательны тем, что расстояние
между любыми их точками — вычисленное по обычной фор-
муле— равно нулю. Доказанное утверждение означает, та-
ким образом, что минимальные поверхности являют-
ся проекциями изотропных кривых при отображении
Re: Сп —► Rn. На этом основании изотропные кривые назы-
ваются также минимальными линиями.
Формулы Пусть снова п = 3 и пусть f1 = ал + у + dt.
Вейерштрасса Предполагая, что с 0, и полагая х = а/с,
у = ib/c, мы можем записать условие f'2 = 0, т. е. условие
а2 + Ь2 + с2 = 0, в виде уравнения гиперболы
х2 - у2 = 1.
Рациональная параметризация
1/ Ц И
гиперболы подсказывает нам перейти от переменной ш к пе-
ременной t (также комплексной!), связанной с w формулой
п_
2 V t) ” х’
х =
т. е. формулой
I _ °+ >/а2 + с2
с
(напомним, что а и с являются функциями от w). Этот пере-
ход законен, если х / const.
Задача 10. Покажите, что х = const тогда и толь-
ко тогда, когда рассматриваемая поверхность явля-
ется плоскостью.
В новой переменной вектор-функция/' приобретает вид
1 ( п . 1 ( 1\ .
2С“ё)с ’+2i(t+t)C J+C *-
ДекЦИЯ 14
ФОРМУЛЫ ВЕЙЕРШТРАССА
249
где теперь с 0 — функция от t (вообще говоря, не подчи-
ненная никаким условиям, кроме голоморфности). Удобно
положить с = , где <р — голоморфная функция. Тогда
1 - а2 1 -и t2
J =-г—g*+—2—'З+Мф *
Интегрируя и переходя к вещественным частям, мы получим
параметризацию г = xi + yj + zk, для которой
/1 -12 \
х = Iml 2 -<р" + tip' -<р\,
( . 1 +12 .Д
y = Re(<p-t^ +—<р L
'z = Im(</ -
(19)
где t — комплексный параметр, а <р = <p{t) — голоморф-
ная функция от t, не являющаяся квадратным трехчленом
(т е. такая, что 0).
Этим доказано следующее предложейие.
Предложение 2. Вблизи любой своей точки каж-
дая минимальная поверхность в R3, не являющаяся
плоскостью, обладает параметризацией вида (19).
Обратно, для любой голоморфной функции <р =
= tp(t) с <р"' 0 формулы (19) задают параметриза-
цию некоторой минимальной поверхности, q
Например, при <р = it3, когда <р' =>= 3zt2 и <р" = 6it,
получается параметризация
х = Re(3t - t3), у = -Im(3t +t3), z = -Re3t2,
совпадающая (если положить t = и + iv) с параметризаци-
ей (6) поверхности Эннепера. Таким образом, при <р = it3
получается поверхность Эннепера.
При <р = tint -1, когда у/ = Ini и <р" = 1/t, получается
параметризация
х = Im
1 +t2\
2t /
Л -t2\
y = Rel—2^-j, ^ = Imlnt,
250 ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Лекция 14
переходящая при подстановке t = ew в параметризацию
x = Imchw, у — — Reshw, ^ = Imw, (20)
т. е., ввиду тождеств
ch w = ch и cos v + i sh и sin v,
shw ±= shucosv + tchtisinw,
где w = и + iv, в параметризацию
® = shusinv, y=— shucosv, z — v.
Заменив в последней параметризации и на v, a v на и, и
одновременно х на у, а у на —х, мы получим уже знакомую
нам параметризацию геликоида (5).
Таким образом, при = tint - t получается гелико-
ид.
Присоединенные Конечно, если в (18) заменить Re на Im,
минимальные (чт0 соответствует умножению вектор-
поверхности функции f(w) на -г), то снова получится
параметризация минимальной поверхности, но, вообще го-
воря, другой. Эта поверхность называется присоединенной
к данной. Койечно, если в (18) заменить Re на Im, (что соот-
ветствует умножению вектор-функции f(w) на -г), то снова
получитсй параметризация минимальной поверхности, но,
вообще говоря, другой. Эта поверхность называется присо-
единенной к данной.
Замене Re на Im в (18) соответствует, как легко понять,
замена Re на Im и Im на - Re в (19). В частности, при этой
замене из параметризации (20) получается параметризация
x = -Rechw, у = — Im shw, z — -Rew,
т. е. параметризация
х = -chucosv, j/=-chusinv, z = -и,
переходящая при заменах и -v, v ►-» -и и х -х в па-
раметризацию катеноида (4)
Таким образом, к геликоиду присоединен катеноид
(и обратно).
ЛеКЦИЯ 14 ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 251
Задача 11, Докажите, что присоединенные минимальные по-
верхности изоме.тричны.
Для катеноида и геликоида мы это уже знаем из лек-
ции III.4.
Формулы (19) называются формулами Вейерштрас-
са (а также формулами Эннепера — Вейерштрасса).
В литературе их можно найти в нескольких различных ви-
дах, впрочем, легко преобразующихся друг в друга.
ЛЕКЦИЯ 15
Риманов тензор кривизны. — Симметрии риманова тензо-
ра. — Риманов тензор как функционал. — Тождество Уокера и
его следствия. — Рекуррентные пространства. —Виртуальные
тензоры кривизны. — Восстановление тензора Бианки по его
значениям на бивекторах. — Секционные кривизны. — Формула
для секционной кривизны.
Риманов тензор Для (псевдо)риманова пространства X
кривизны можно посредством метрического тензо-
ра д спустить вниз верхний индекс тензора кривизны R, т. е.
ввести в рассмотрение тензор типа (4,0) с компонентами
Rij,kl = 9ipRPj,ki- (1)
Обратим внимание, что спущенный индекс мы считаем
первым. Именно по этой причине компоненты тензора R
обозначаются символом RJ {к1.
Определение 1. Тензор с компонентами (1) называ-
ется римановым (или ковариантным) тензором кри-
визны. Мы будем обозначать его прежним символом R.
Заметим, что в отличие от контравариантного тензо-
ра кривизны, определяющегося исключительно связностью,
риманов тензор зависит от метрики д и при не меня-
ющем связности переходе от д к Хд, А / 0, (см. лекцию 11)
умножается на А.
Идентифицированный (см. замечание 2 лекции III. 18)
с полилинейным отображением
аХ х аХ х аХ х аХ —> FX,
(х,у,г,к)~я^х<у^кк1,
риманов тензор задается формулой
R(X,Y,Z,W) = (R(Z,W)Y,X) (2)
для любых X, У, Z,W е аХ.
Симметрии Все симметрии тензора кривизны сохраняются,
риманова конечно, и для риманова тензора. В частности,
тензора этот тензор удовлетворяет тождеству Бианки
R(X, У, Z, ТУ) + R(X, Z, W, Y) + R(X, W, Y, Z) = 0 (3)
ДеКНИЯ 15 СИММЕТРИИ РИМАНОВА ТЕНЗОРА 253
и кососимметричен по последним двум аргументам:
R(X, Y, W, Z) = -R(X, Y, Z, ТУ), (4)
т е. его компоненты кососимметричны по последним двум
индексам:
Неожиданным является тот факт, что он кососимметри-
чен и по первым двум аргументам.
Предложение 1. Для любых векторных полей
X, Y,Z, W 6 аХ имеет место тождество
R(Y, X, Z, ТУ) = -Я(Х, У, Z, ТУ) (5)
Мы дадим три доказательства этого важного предложе-
ния.
Первое д о к а з а т е ль с т в о. Тождество (5) рав-
носильно (ср. задачу 5 лекции 6) тождеству
R(X, X, Z, ТУ) = О, (У)
которое мы поэтому и будем доказывать.
Сначала мы докажем тождество (5Z) в дополнительном
предположении, что
[И,ТУ] = О. (6)
В этом предположении
R(X, X, Z, ТУ) = (vzvwx - vwvzx, Х)=,
~(VZVWX,X)-(VWVZX,X),
и, значит, тождество (5Z) равносильно утверждению, что
скалярное произведение (VWV2X, X) симметрично по Z
и W.
Имея это в виду, мы применим к функции |Х |2 = (X, X)
на X сначала оператор Z, а затем оператор ТУ: ,
. Z(X, X) = (V2X, X) + (X, V2X) = 2(V2X, X),
WZ(X, X) = 2(VWVZX, X) + 2(V2X, V^X).
Конечно, скалярное произведение (V2X, V^X) симметрич-
но no Z и ТУ. Кроме того, так как ZW - WZ = [Z, ТУ],
254
СИММЕТРИИ РИМАНОВА ТЕНЗОРА
Лекция 15
то в силу условия, (6) выражение WZ(X,X) также симме-
трично по Z и W. Следовательно, скалярное произведение
(V^V^X, X) действительно симметрично по Z и W.
Это доказывает тождество (5') (а потому и тождест-
во (5)) при условии (6).
Условие (6) выполнено, в частности, над произвольной
координатной окрестностью U для базисных координатных
, „ д д „
полей Z = W = Следовательно, по доказанному,
компоненты
R _ r ( ± A -L A'l
tt^-K\dx^dx3,dxk'idxiJ
риманова тензора кососимметричны по i и j. Поэтому тож-
дество (5) выполнено для любых полей X, У, Z\ W. □
Второе доказательство. Достаточно пока-
зать, что в каждой карте ((7,.х1?..„,х*) компоненты
риманова тензора кососимметричны по i и j, т. е. что косо-
снмметрична матрица
« = 1КМ>
состоящая из форм
= У Ri:^kldxk Л dx1.
fe<l
Введем с этой целью ортонормированный (не голономный!)
базис X,,. ..,Хп модуля aU = Г(ту][/) и свяжем матрицу Q
с матрицей Й форм кривизны' римановой связности в бази-
се Х{,...,Хп, являющейся — как непосредственно вытека-
ет из предложения 4 лекции IV.11 и структурного уравне-
ния Картана (формула (1) лекции 4) — кососимметричной
матрицей.
Пусть С — матрица перехода от ортонормированного
базиса Хр.. .,Хп к голономному базису
А А (7)
дх1' дхп' { )
Тогда, как известно из линейной алгебры,
П = С-‘Й(7,
Лекция 15
СИММЕТРИИ РИМАНОВА ТЕНЗОРА
255
где И = |Щ}11 —матрица форм кривизны римановой связно-
сти в базисе (7). С другой стороны, как мы знаем из лек-
ции IV. 19,
к<1
и, значит,
ft.. = a ft?,
‘у JAp j’
т. е. 1
ft = 6rft,
где G = —матрица метрического тензора д в бази-
се (7). ' ' •'
Поскольку G «= СТС (см. формулу (19) лекции 1.12),
этим доказано, что
ft = CTftC. (8)
Следовательно, матрица ft одновременно с матрицей ft
кососимметрична. □
Третье доказательство. Так как
Sip^jk ~
Г = ддМ
*^к 2\дхк дхЗ дх* )'
д93к _ г . г
. дх* 1к>*3+13,*к
(см. формулы (2'), (3) и (5) лекции 11), то
9*(S+rW) - +Г-.*Л “
— 1 | \ _ гр , р чрР , р р9 _
2 дхк \ дх* дхз дх*) ' ’-fcp ?'ki) У У
1 / д2дл _ &9fl Л _ р
2 \ дхкдх* дхЗдхк дх*дхк) У
Переставив k, I и вычитая, мы — после очевидного преобра-
зования — получим для компонент R{jtki риманова тензора
256 СИММЕТРИИ РИМАНОВА ТЕНЗОРА Лекция 15
формулу
/?.. 1 ( d29il d29jl d29ik 1 \ ,
2 \dxidx^ дх'дх^ да?дх1 дх'дх1 /
+ 9и(Ф^ИУу>- (9)
Поскольку оба слагаемые этой формулы очевидным образом
кососимметричны по г и j, это доказывает предложение 1. q
Замечание 1. Если локальные координаты х1,...
.. .,хп являются нормальными координатами, центрирован-
ными в точке р0, и, значит (см. предложение 1 лекции 2),
коэффициенты связности Г^. равны нулю в точке р0, то для
значения R^u компонент в точке р0 в формуле (9)
остается лишь первое слагаемое:
Я» 1 ( , аЧ* Г
V№ 2 \ дх?дх^ дх'дх^ дх? дх^ дх'дх1)
Замечание 2. Использованный в- первом доказа-
тельстве трюк с условием (6) имеет общий характер. Его
можно, например, применить для упрощения доказательства
предложения 2 лекции 2. С другой стороны, за счет некото-
рого усложнения вычислений можно, конечно, всегда обой-
тись и без него.
Задача 1. Переделайте первое доказательство предложения 1 в до-
казательство, не использующее предположения (6). Докажите также пред-
ложение 2 лекции 2, используя это предположение.
Из доказанных симметрий риманова тензора уже чисто
алгебраически вытекает еще одна замечательная симметрия
этого тензора.
Предложение 2. При перестановке первой и вто-
рой пар аргументов риманов тензор не меняется:
r(z,w,x'y) = r(x,y,z,w): (Ю)
Доказательство. Сопоставим вершинам октаэд-
ра перестановки букв X, Y,Z„W\ как указано на схеме (пе-
рестановки, получающиеся друг от друга одновременными
транспозициями первой и второй пары, считаем одинако-
выми). Тогда для четырех заштрихованных граней октаэдра
Декиия
СИММЕТРИИ РИМАНОВА ТЕНЗОРА
257
перестановки, отвечающие их вершинам, будут иметь одну
и ту же первую компоненту (указанную на схеме в цен-
тре грани), а остальные три компоненты будут получаться
XYZW= YXWZ
WXZY=XWYZ
YZXW = ZYWX
ZWXY=WZYX
X
ZXYW = XZWY
WYXZ= YWZX
друг из друга циклированием. Поэтому каждой такой грани
будет соответствовать тождество Бнанки (3). Сложив тож-
дества, отвечающие двум верхним заштрихованным граням,
и вычтя тождества, отвечающие двум нижним граням, мы
после деления на 2 как раз и получим тождество (10) (так
как все члены, отвечающие вершинам экваториального квад-
рата, сократятся), q
Формула (10) немедленно следует также из форму-
лы (9).
На основании предложения 2 мы имеем право запи-
сывать значения риманова тензора на векторных полях
X, Y, Z, W € аХ формулой
R(X, У, Z, W) = (R(X, Y)W, Z)
или формулой
R(X, У, Z, W) = -(Я(Х, У)И, W),
где слева и справа поля X, У, Z, W расположены в одной
последовательности. (Кстати сказать, последняя формула
объясняет, почему многие авторы предпочитают определять
тензор кривизны с противоположным знаком; см. замеча-
ние 1 лекции IV. 19.)
Поэтому, в частности, тождество Бианки мы можем пи-
сать в виде
R(X, У, Z, W) 4- R(Z, X, У, W} + Я(У, Z, X, W) = 0.
9 М. М. Постников
258
РИМАНОВ ТЕНЗОР КАК ФУНКЦИОНАЛ
Лекция 15
Риманов тензор Для изучения следствии свойств симме-
как функционал трии риманова тензора удобно ввести в
рассмотрение РА"-модуль Л2Х всех кососимметрических
тензорных полей типа (0,2) на многообразии X. В произ-
вольной карте (U,xl,.. ,,хп) многообразия X компоненты
X'3 каждого поля X из Л2А" составляют кососимметриче-
скую матрицу || X'31| и поле X на U выражается через коор-
, д д
динатные бивекторы N —т по формуле
дх' дх3
дх' дх> 2 дх' дх3
'<3
Для любых векторных полей X, У G аХ формула
(XbY)p = XpbYp,. рех
определяет поле X Л У G Л2 А* (внешнее произведение по-
лей X и У), для которого
(X Л YY3 = Х‘У’ - X3Y*
в каждой карте (U,xl,.. .,хп): Поля вида X Л У мы бу-
дем называть бивекторными полями на X и их мйожест-
во будем обозначать символом Л2А. Подчеркнем (ср. лек-
цию II.8), что, вообще говоря, множество Л2А" линейным
подпространством (и, тем более, подмодулем) не является.
Риманов тензор R естественным образом отождествля-
ется с симметрическим ЕУ-билинейным функционалом R на
К2Х, задаваемым в каждой карте формулой
д(х,у)“ЕЕ^.«^уы- а»
»<У к<1
Так как при Xi3' = X'Y3 - Х3У' иУи = ZkWl - ZlWk
ЕЕя0.н*’уИ =
i<j к<1
(раскрываем скобки)
= - EE/W'pz'rt'‘-
i<j к<1 i<j к<1
- EEfl».«x’y<z‘w'‘+ЕЕ =
i<j к<1 i<j к<1
Лекция 15 ТОЖДЕСТВО УОКЕРА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 259
(переименовываем индексы суммирования)
- ЕЕ- £ 2 r^x'yWw'-
i<j к<1 i<j l<k
- ЕЕДЛ«^'^2*И'1 + ЕЕЯЛ1Л,К’2‘И'1 =
j<i k<l j<i l<k
(переставляем индексы у компонент тензора и объединяем
суммы) ’
= ЕЕй«,«х‘у’г‘и''-
' ij к,I '
то для любых векторных полей X, У, Z, W € аХ
R(X А У, Z A W) « R^X^ ZkWl (12)
в каждой карте U и, значит,
R(X bY,Z bW) = R(X,Y,Z,W) (13)
на всем многообразии X.
При инвариантном определении функционала (11) он задается на А*Х
посредством формулы (13), а затем по линейности распространяется на
весь модуль А2 Л". Конечно, при этом подходе требуется доказывать как
возможность распространения, так и его единственность.
Замечание 3. Обратим внимание на то, что при
выводе формул (12) и (13) мы использовали лишь кососим-
метричность компонент Rijja по г,; и к,1.
Тождество Так как оператор кривизны R(X, У) (см. фор-
Уокер* и его мулу (18) лекции 2) кососимметричен по X и
следствия у( т0 п0 аналогичным соображениям для лю-
бого поля Z € К2Х определен оператор jR(Z), при Z = X А
А У совпадающий с оператором R(X, У) (мы пишем R(Z)
вместо естественного R(Z), потому что последний символ
мы ниже будем употреблять в другом смысле). Этот опера-
тор представляет собой дифференцирование тензорных по-
лей на X и, значит, в частности, применим к риманову тен-
зору кривизны. Поэтому для любых полей X,Y,Z е Л?Х
на X определена функция (R(Z)R)(X ,Y) и ясно, что ри-
маново пространство X, рассматриваемое как пространство
9*
260 ТОЖДЕСТВО УОКЕРА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ Лекция 15
аффинной связности, тогда и только тогда полусимметрично
(удовлетворяет условию (30) лекции 4), когда
(Я(ВД(ХУ)“0 (14)
тождественно, X, Y, Z G К2Х.
Задача 2. Докажите следующее тождество
Уокера:
(R(Z)R)(X, Y) + (R(X)R)(Y,Z) + (R(Y)R)(Z,X) = 0.
Запишите это тождество в компоиеитах двумя разными спо-
собами (в виде квадратичного соотношения на компоиенты
и в виде линейного соотношения иа их вторые частные ко-
вариантные производные).
Предположим, что на №Х существуют такой FAf-линей-
ный функционал £ и такой FX-билинейный симметрический
функционал S, что
(R(Z)R)(X,Y) = £(Z)S(X,Y) (15)
для любых полей X,Y,Z G А2 А”. Оказывается, что тогда
в каждой точке р G X хотя бы один из функционалов £
или S равен нулю и, значит, равен нулю и тензор R{Z)R
(риманов о пространство, тензор кривизны которого
обладает свойством (15), полусимметрично). Дейст-
вительно, в силу тождества Уокера
£(Z)S(X, Y) + £(X)S(Y, Z) + £(Y)S(Z,X) = 0. (16)
Пусть в точке р е X функционал £ не равен нулю, т. е.
существует такое поле ZQ Е Л.2Х, что £(Z0)p = 1. Тогда при
Z = Ио из (16) следует, что
S(X,Y)p ^£(X)pS(Y,Z^)p + £(Y)pS(Z0,X)p = 0, (16')
и далее, при Y = Zo, — что
2S(X,Z0)p + £(X)pS(Z0,Z0)p = 0, (16")
и, наконец, при X = Zo, — что
3S(Zo,Zo)p = O,
Лекция 15 РЕКУРРЕНТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 261
т. е. что S(Z0,Z0)p = 0. Но тогда в,силу (16zz) S(X,Z0)p = 0,
и потому в силу (16') S(X, Y)p = 0 для любых X, Y € Л?Х,
т. е. функционал S в точке р G X равен нулю.
рекуррентные Тензор Р на римановом пространстве X на-
пространства зывается рекуррентным, если на аХ суще-
ствует такой FAf-л инейный функционал £, что
vxp=e(X)p <17)
для любого поля X 6 аХ. Пространство X называется ре-
куррентным, если рекуррентен его тензор кривизны R.
Оказывается, что каждое рекуррентное простран-
ство X полусимметрично. Действительно, если (17) вы-
полнено при Р = R, то
VxVyP = Vx(t(Y)R) = X£(Y)R + t(Y)t(X)R
для любых полей X, Y 6 аХ, и потому равенство
R(X, Y)R = (VxVy - VyVx - V(xyj)P =
= (Х«У) - Y^X) - <¥, У]))Я = {^{X, Y))R
(см. формулу (6) лекции Ш.19) означает, что тензор R удов-
летворяет условию (15) с S = R я £(Z) = d^(X,Y) при
Z - / л У. Поэтому пространство X полусимметрично, q
Замечание 4. Если R 0 (пространство X не пло-
ское), то d£(X, У) = 0 для любых полей X, У 6 аХ. Отсюда
следует (докажите!), что на пространстве X существует (во-
обще говоря, только локально) такая функция у>, что
&Х) = Х<р
для любого поля X 6 аХ (ковектор £ является градиентом).
Задача 3. Докажите, что если на римановом пространстве. X
существует такое отличное от нуля тензорное поле( типа (т,0),
т 2, что для любых полей ..., Хт £ аХ имеет место равенство
Vx1...Vx,R = e(Xt.Xm)R,
то пространство X локально симметрично.
262
ВИРТУАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ
Лекция 15
Виртуальные тен- Тождество Бианки для тензора кривиз-
зоры кривизны ны означает, что на АгХ функционал R
удовлетворяет тождеству
R(XaY, ZaW)+R(YaZ, XaW)+R(ZaX, YaW) .= 0. (18)
Это тождество также называется тождеством Бианки.
Определение 2. Произвольный симметрический би-
линейный функционал R на А2Х, (т. е., иначе говоря, тензор
типа (4,0), кососимметричный по первой и второй паре ин-
дексов и не меняющийся при Перестановке этих пар), удов-
летворяющий на А2Х тождеству (18), называется вирту-
альным тензором кривизны (или тензором Бианки) на
многообразии X.
Заметим, что в этом определении не предполагается,
что многообразие X является римановым (или псевдорима-
новым) пространством.
В силу известного из линейной алгебры биективного со-
ответствия между симметрическими билинейными и квадра-
тичными функционалами, мы каждый тензор Бианки будем
отождествлять с соответствующим квадратичным функцио-
налом X w R(X) на к2Х, где R(X) = R(X,X).
Все тензоры Бианки на многообразии X образуют
РЛ’-модуль ВХ.
Для произвольного FrV-подмодуля А модуля всех тен-
зорных полей на многообразии X (некоторого фиксирован-
ного типа) и любой координатной окрестности U С X мы
будем символом А)у обозначать FtZ-модуль, состоящий из
ограничений полей из А на U. В случае, когда все модули
вида свободны и имеют одну и ту же размерность т
(над Ft/), мы будем говорить, что размерность модуля А
равна т, и будем писать
dim А = т
(а базисы модулей А|[/ будем называть — впрочем, мы это
уже неоднократно делали — базисами модуля А над U).
Например, ясно, что
2
где, как всегда, n = dim X.
декиия 15
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕНЗОРА БИАНКИ
263
3 аД ач а 4. Докажите, что
(Указание. Имеющиеся у компонент произвольного тензора Бианки
симметрии показывают, что если у его отличной от нуля компоненты Ry#
имеется только два различных индекса (скажем, i и j), то эта компонента
с точностью до знака равна компоненте R^, а если только три (скажем,
i j и fc), то эта компонента равна — опять с точностью до знака — одной
из трех компонент Ry^< Ryjk и R&jb- В случае, когда все четыре индек-
са i,j, k,l различны, также остаются только три компоненты Rytkb R-ikji и
Однако, в последнем случае одна из компонент выражается в силу
тождества Бианки через две другие, так что в этом случае независимы толь-
ко две компоненты. Поэтому общее число независимых компонент тензора
Бианки равно
В частности,
’ 1
dim В Д’ = • 6
. 20
при п = 2,
при п = 3,
при п = 4
(для больших п нам эти размерности не понадобятся).
Восстановление
тензора Бианки
по его значениям
на бивекторах
Пусть R 6 ВХ яре X.
Задача 5. Покажите, что для любого
поля X 6 А2 Д’ значение R(X)p функ-
ции R(X) в точке р зависит только
от значения А = Хр поля X в точке р. (Указание.
Пусть А'3 — компоненты тензора А 6 А2(ТрД) в произволь-
ной карте (U, х1,..., хп) (содержащей точку р). Тогда число
й(Х)р равно
i<j k<l
где R<$ki — значения компонент тензора R в точке р.(
Это значение обозначается символом R(A). В случае,
когда А является бивектором А Л В, А, В 6 ТрХ, оно выра-
жается формулой
R(A Л В) = Bg^A’B* А*Вг. (19)
Ср. формулу (12).
264
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕНЗОРА БИАНКИ
Лекция 15
Таким образом, по определению для любых векторных
полей X, Y е аХ для значения R(X Л У)р функции R(X л Y)
в точке р 6 X имеет место формула
Я(ХлУ)р = Я(ХрлУр).
Особая роль функций R(X Л У) определяется тем, что
по ним полностью восстанавливается тензор R.
Предложение 3. Если два тензора Бианки (рас-
сматриваемые как квадратичные функционалы) совпа-
дают на А2Х, то они совпадают и на всем моду-
ле КгХ.
Доказательство. Достаточно доказать, что если
R(X Л У) = 0 для любых векторных полей X, У 6 аХ, то
R = 0. С другой стороны, так как над каждой координатной
окрестностью бивекторные поля порождают модуль №Х, то
R = 0 тогда и только тогда, когда для любых векторных
полей X, Y,Z,W е аХ функция
R(X, У, Z, W) = R(X Л Y,ZK W)
тождественно равна нулю.
Итак, нам дано, что R(X, У, X, У) = 0, а нужно дока-
зать, что R(X, У, Z, УУ) = 0.
С этой целью мы подставим в тождество R(X, У, X, У)=
= 0 вместо поля X поле X + Z. Так как
B(x + zty,x + z,y) =
= R(X, Y, X, У) + 2R(X, У, Z, У) + R(Z, У, Z, У),
то
R(X,Y,Z,Y) = 0.
Применив это соотношение вместо поля У к полю
У + W и учитывая, что
R(X, У + W, Z, У + W) = R(X, У, Z, У) + R(X, Y, Z, УУ)+
+ R(X, W, Z, У) + R(X, W, Z, W),
мы далее получим, что
R(X, Y, Z, УУ) + R(X, W, Z, У) = 0,
Лекция 15
СЕКЦИОННЫЕ КРИВИЗНЫ
265
т. е. что
R(X, У, Z, W) = R(Y, Z, X, W).
Это означает, что при циклической перестановке по-
лей X, Y, Z функция R(X, Y, Z, W) не меняется. Поэтому ее
циклирование по X, У, Z лишь умножит эту функцию на 3.
Поскольку же, согласно тождеству Бианки,' результат это-
го циклирования должен быть равен нулю, это возможно
только при R = 0. q
Секционные Чтобы найти геометрический смысл чисел
кривизны Д(ДлВ) (для случая, когда R является тензо-
ром кривизны риманова пространства X), мы воспользуемся
конструкцией из лекции IV. 19.
Пусть р0 е X и £0 6 Т_ X (нам теперь удобно несколько
“о
отойти от стандартных обозначений; в лекции IV. 19 точка
р0 обозначалась символом Ьо, а вектор 40 — символом р0).
Как было показано в лекции IV. 19, при параллельном пере-
носе по «параллелограмму» со сторонами аД, 8В, где А, В 6
€ Тр X, вектор £0 переходит в вектор
° ^^^-82R(A,B^0 + O(83).
Пусть вектор (0 принадлежит плоскости тг векторов А
и В (т. е. касательной плоскости к рассмотренной в лек-
ции IV. 19 вспомогательной двумерной поверхности). Тогда,
вообще говоря, вектор этой плоскости принадлежать не
будет. Пусть — ортогональная проекция вектора f j на
плоскость тг. Мы хотим вычислить угол у? между векторами
£0 И $ В ПЛОСКОСТИ ТГ.
Не теряя общности, мы можем, конечно, считать век-
тор единичным. Дополним его до ортонормированного ба-
зиса £0, По плоскости тг, задающего ту же ориентацию, что
и базис А, В. Тогда для вектора - 40 будет иметь место
равенство вида
~£о = °4о + ^?о>
и интересующий нас угол <р будет удовлетворять соотноше-
нию
Ь
= ГТ7-
1 + а
266
СЕКЦИОННЫЕ КРИВИЗНЫ
Лекция 15
При этом
«=«1-еоЛо)=(е,-^»
= - 8\R(A, В^)+О(л’) = O(s3)
(ибо (R(A, B)f0,f0) = 0 в силу кососимметричности рима-
иова тензора по первой паре аргументов) и, аналогично,
ъ = - €оЛо) = ((1 - е0Ло) = -Лй(А, ВХО,Ъ) + О(?).
Поскольку .
= Ь + О(а)
1 + а
и
V? = arctg(tg¥>) = tgy> + O(tgV),
отсюда следует, что
¥>=-а2(Я(Л,.Б)е(>л0) + О(в3).
С другой стороны,
- (Я(А,В)£о,ч0) = R(A,B,£O,1IO) = R(A Л Мо) =
= R(A Л В,АлВ) _ R(A Л В)
|Л ЛВ| |Л ЛВ| ’
где |Л л В\ — величина (ориентированная площадь) бивек-
тора Ал В (для которой А Л В = |АЛ В|(40 Лп0) — см. лек-
цию 1.14), и, значит,
2R(AaB) -.4
’-W+0(A
Поэтому
л-+о s2 |Л Л В\
Поскольку число s2|A Л В\ равно ориентированной площа-
ди а параллелограмма плоскости тг, построенного на векто-
рах sA и sB, этим доказано, что
=
«-♦о сг |А л В|2
Лекция 15
ФОРМУЛА ДЛЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ
267
Положив
(20)
(21)
|ДЛВ|2 ’
мы запишем эту формулу в следующем виде
К„ (тг) = lim -.
7 s->0cr
Задача 6. Покажите, что число К„(7Г)
р0
зависит
только от (неориентированной^) плоскости тг (что и
оправдывает его обозначение).
Это число называется секционной кривизной рима-
нова пространства X в точке р0 по двумерному на-
правлению тг.
Для псевдориманова пространства X кривизна К (тг)
м)
определена в случае, когда плоскость тг не изотропна.
Петлю, по которой мы обносим вектор £0, чтобы по-
лучить угол <р, наглядно следует представлять себе как
результат обхода в положительном направлении границы
некоторого «искривленного параллелограмма», лежащего в
многообразии X (точное описание которого, использующее
фиксированные локальные координаты, а потому не име-
ющее инвариантного геометрического смысла, дано в лек-
ции IV. 19), а число а — как площадь этого параллело-
грамма. С этой точки зрения формула (21) утверждает, что
секционная кривизна К„ (тг) представляет собой пре-
ро
дельное значение угла <р, отнесенного к площади об-
ходимой области.
Формул* для Чтобы получить аналитическую формулу для
секционной к (тг), нам понадобятся некоторые сведения
Кривизны Ро
из линейной алгебры.
Задача 7. Докажите, что для любого (псев-
до) евклидова пространства V на пространстве Л2У
кососимметрических тензоров типа (0,2) существу-
ет единственная (псевдо)евклидова метрика, удов-
летворяющая для любых векторов а,Ь,х,у 6 V соот-
ношению , . .
268
ФОРМУЛА аля СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ
Лекция is
Ср. формулу (6) лекции 1.15.
Задача 8. При п = 3 пространство A’V = A’V естественно изо-
морфно (см. лекцию 1.15) пространству V. Покажите, что этот изомор.
физм является изометрией.
Задача 9. Докажите, что для любых векторов
a,b Е V квадрат площади бивектора ahb равен его
скалярному квадрату.
|а Л Ь|2 = (а Л Ь, а Л Ь).
При п = 3 это в точности формула (9) лекции 1.15.
.Пусть ер.. .,еп— произвольный базис пространства V.
Тогда, как мы знаем (см. лекцию П.8), бивекторы вида е{ л
Лву, i < j, составляют базис пространства Л2У = УЛV. По
определению матрица i < j, k < I, метрических
коэффициентов этого базиса задается формулой
%\- (22>
Это означает, что для любых тензоров
Х-£л«е,Л«,, В=£виекле,
i<j k<l
из Л2У их скалярное произведение выражается формулой
(Л.В)-ЕЕ ’« * А*ВЫ. (23)
i<jk<l 93k W
Числа д&ы определены формулой (22) не только при
i < j и k < I, но и для любых г,з и к,1, причем получа-
ющийся массив чисел д^^ кососимметричен по i,j и к.1.
Поэтому (см. вывод формулы (12) из формулы (11) и заме-
чание 3) для любых векторов a,b Е V квадрат |а Л Ь|2
площади бивектора а ЛЬ выражается формулой
А Ь|2 = gijtiklaVakbl.
Мы будем применять эти утверждения — с соответст-
вующими изменениями в обозначениях — к случаю, когда V
Декция 15 ФОРМУЛА ДЛЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ 269
представляет собой касательное пространство Тр X (псев-
до)риманова пространства X в некоторой его точке р0.
Например, в этом случае для любых векторов А, В е
£ Т X будет иметь место формула
ро
(24)
|ДлВ|2=^гЛ1ВМ*Вг,
где Д’, В7 —координаты векторов А и В в произвольной
(содержащей точку р0) карте U многообразия X, a gW^ —
значения в точке р0 функций определенных на U фор-
мулой (22). [В дальнейшем индекс <о) при д^ы мы будем,
как правило, опускать.]
Для секционной кривизны это дает формулу
В®ыА*&АкВ1
К (тг) = V’*——-----
V' S^№AkBl '
где А* и В7 — координаты векторов пространства Т_ X, со-
ставляющих произвольный базис плоскости тг (a R^ki —
значения функций Я^в точке р0).
Задача 10. Покажите, что определенные формулой (22) функ-
ции Sij ы являются компонентами некоторого тензора Бианки.
(25)
ЛЕКЦИЯ 16
Тензоры Бианки как операторы. — Отщепление бесслед-
ных тензоров. — Гауссова кривизна и скалярная кривизна. —
Тензор кривизны при п = 2. — Геометрическая интерпретация
секционной кривизны. — Полная кривизна области на поверх-
ности. — Вращение векторного поля на кривой.. — Вращение
поля касательных векторов. — Формула Гаусса — Бонне. — Три-
ангулируемые поверхности. — Теорема Гаусса—Бонне.
Тензоры Конструкция скалярного произведения (23)
Бианки как лекции 15 немедленно переносится и на тен-
операторы зорные поля из А2Х.
Пусть X, Y е А2Х, и пусть в некоторой карте (U, х1,...
»<у к<1
Тогда формула
i<j к<1
определяет на U функцию {X, Y), не зависящую от выбора
координат х1,.. ,,хп. Поэтому эта формула корректно опре-
деляет функцию (X,Y) на всем многообразии X.
Инвариантно функция {X, Y) задается формулой
{X,Y}(p) = (Xp,Yp), рех,
где справа имеется в виду скалярное произведение (23) лек-
ции 15 в (псевдо)евклидовом пространстве lyv.
Мы будем называть функцию (X, Y) скалярным про-
изведением полей X и Y. (Острые скобки (...) вместо
обычных круглых употребляются здесь по традиции.)
Используя это скалярное произведение, мы можем каж-
дый тензор Бианки R отождествить с линейным (над алгеб-
рой FX) оператором
R: А2Х -> К2Х. (2)
Для любых полей X, Y € А2 X этот оператор удовлетворяет
соотношению
{RX,Y)=R(X,Y).
Лекция 16
ОТЩЕПЛЕНИЕ БЕССЛЕДНЫХ ТЕНЗОРОВ
271
В произвольной карте компоненты поля Z = RX зада-
ются формулой .
Z'3 =£я'7ыхы=
k<l
коэффициенты № которой (элементы матрицы операто-
д д
pa R в базисе Л -—г, г < j, модуля №Х над U) получа-
ются подъемом индексов в компонентах тензора кривизны:
а<Ь'
(3)
где
у,И=|^ <7*1
9 ' 9>к I
— компоненты метрического тензора с поднятыми индек-
сами.
1 ' »
3 а д а я а 1. Покажите, что при » < j и к<1
1, если' ('»,j) = (fc,I),
О, в противном случае.
£*,<***
а<Ь
(4)
Заметим, что
в точном соответствии с правилами подъема индексов.
Поскольку функционал R симметричен, оператор R
самосопряжен, т. е.
{RX,Y) = {X,RY)
для любых полей X, Y g Л2 Л”.
бе’с^ледныТ След оператора (2) выражается формулой
”’”р“ Y&v - (5)
»<J
Удвоенный след (5) мы будем обозначать символом 1Z:
Tl = sVRiiikl^si,Rlu. (6)
272 ГАУССОВА КРИВИЗНА И СКАЛЯРНАЯ КРИВИЗНА Лекция 16
(7)
Кроме того, мы положим
К = —2L-.
п(п — 1)
Сравнение формул (3) и (4) немедленно обнаружива-
ет, что тензор Бианки с компонентами д^^ (см. задачу Ю
лекции 15), интерпретированный как оператор №Х Л2Аг,
имеет компоненты , т. е. является тождественным опе-
ратором. На этом основании этот тензор обозначается снм-
“““Я- _ п(п-1)
След тензора Е равен ——- и, значит, для него
К = 1. Поэтому произвольный тензор Бианки R един-
ственным образом представляется в виде
R = KE + Rq, (8)
где Ro — бесследный тензор (для которого К = 0).
Гауссом кривиа- Определение 1. В случае, когда R
на и скалярная является тензором кривизны (псевдо)римано-
кривизна пространства X, функция К называется
гауссовой кривизной этого пространства, а функция R—
его скалярной кривизной.
Эта терминология объясняется тем, что в случае, ко-
гда X является поверхностью евклидова пространст-
ва, функция К совпадает с гауссовой кривизной этой
поверхности в смысле лекции Ш.4. Действительно, пред-
положим, для упрощения вычислении, что поверхность от-
несена к полудекартовым координатам и, и, в которых ее
первая квадратичная форма имеет вид
d? = du2 + Gdv2 (9)
(см. лекцию 13). Тогда для коэффициентов связности r’fc
будут иметь место (см. формулы (3) лекции Ш.5) равенства
r2jk —
если 0;Л)^(2,2),
если О',/г) = (2,2),
если (j,k) = (1,1),
если (/,&)> (1,2) или (2,1),
если О',/г) = (2,2).
Лекция 16
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ ПРИ п = 2
273
(Так как при п = 2 формулы (5’) лекции 11 равносильны
формулам (2’) лекции 11, идентичным — с точностью до
обозначений — формулам (3) лекции Ш.5, то коэффициенты
связности из лекции III.5 — зто в точности коэффици-
енты римановой связности на X.)
Поэтому
pl — ^22 дГ{2 _р _ pl рР _
212 “ ТЙ1 dv + * 22 * 12 _
-S-r'r2 =-1g 4-^
ди 122112 2Cr“u+4G’
и, значит, так как у21 = 0 и р22 = G-1,
яи 2C„,C-Gj, (У5)ма
4G1 ~ VC '
В то же время в рассматриваемом случае К = Rl2l2. Следо-
вательно, _
к =
что полностью согласуется с формулой (8) лекции Ш.5. □
Кривизны Н и К, подобно риманову тензору, не опре-
деляются только связностью и при не меняющем связности
переходе от g к Хд, Л / 0, приобретают множитель 1/А.
Выбор между R и К определяется обычно соображени-
ями удобства и традицией.
Тензор кривизны При п — 2 (в случае, когда многообразие
при п=2 д/ является поверхностью) тензор кривиз-
ны алгебраически выражается через метрический тензор и
гауссову кривизну.
Предложение 1. При п = 2 любой тензор Бианки R
имеет вид КЕ, т. е. его компоненты выражаются
формулой
Rij,kl = K(9ik9jl ~ 9u9jk)- (1°)
Доказательство. Так как dimВХ = 1, то в раз-
ложении (8) член Rq равеи нулю. □
В этом смысле тензор кривизны поверхности полностью
характеризуется ее гауссовой кривизной К.
274 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ Лекция 16
(КУ)
В формуле (10) все отличные от нуля компоненты рав-
ны ±Л1212. Поэтому эта формула фактически сводится к
одному равенству
в « = К 912.
12,12 I 521 522 I ’
в Обозначениях Гаусса имеющему вид
Я,21И = K(EG - F12). (10")
(Подчеркнем, что компонента Я1212 и определитель
EG - F2 зависят опт выбора локальных координат. Инвари-
антное значение имеет только их отношение К.)
В случае, когда X является поверхностью трехмерного
евклидова пространства, сравнение формулы (10") с фор-
мулой для гауссовой кривизны поверхности из лекции III.4
(стр. 79) немедленно показывает, что компонента Rl212
тензора кривизны равна определителю LN — М1 вто-
рой квадратичной формы поверхности.
При п = 2 в пространстве Т_ X имеется только одна
ро
двумерная плоскость я — само Т_ X. Поэтому секционная
го
кривизна К. (я*) гоже только одна.
*о
Задача 2. Докажите, что этой секционной кри-
визной является значение К„ гауссовой кривизны К
в точке р0. и
Это, в частности, объясняет, почему KpJ?) называется
кривизной.
Геометрическая
интерпретация
секционной
кривизны
гауссовы кривизны.
Двумерные подмногообразия пространства X мы будем
называть поверхностями в X.
Пусть р0 G X, — нормальная окрестность векто-
ра 0 линеала Т_ X, и -л С Т_ X — произвольная плоскость
в Т X. Пусть, далее, Х_ = ехр_ (С/(0) Г) тг) — поверхность
в X, являющаяся образом этой плоскости (или — точнее —
ее части СЛ0) Птг) при диффеоморфизме ехрр [Нагляд-
но, поверхность Х^ заметается геодезическими, исходящими
Ро
Секционные кривизны риманова про-
странства X произвольной размерности
также могут быть интерпретированы как
ДеКЦИЯ 16 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ 275
из точки р0 и касающимися в р0 плоскости тг. ] Ясно, что ка-
сательной плоскостью к поверхности Х^ в точке р0 является
плоскость тг.
Предложение 2. Гауссова кривизна К(Х^)_ по-
верхности Х^ в точке р0 равна секционной кривизне
К (”) риманова пространства X в точке р0 по дву-
^0
мерному направлению тг.
Доказательство. Выбрав в Тр X базис, первые
два вектора которого порождают плоскост?, тг, рассмотрим в
нормальной окрестности U — ехр_ 17(0) точки р0 соответст-
вующие нормальные координаты х',..., хп.
/ д \
Согласно формуле (25) лекции 15, при А = ( ——
v \°х А»
/ д \ ро
и В — I I г секционная кривизна К (тг) выражается в
\ох*/
этих координатах формулой
Я<°2>12
Кр№ ~ я(0}_(0> J /_(6)Х2 •
0 9ц 9ц 1512 )
С другой стороны, поверхность Хк (целиком лежащая в U)
имеет в координатах х1,.. .,хп уравнения х3 = 0,..., хп =
= 0, а функции и = х1 и г> = х2 являются иа Х^ локальны-
ми координатами (определенными, впрочем, иа всей поверх-
ности Х^). Поэтому если R — тензор римановой кривизны
этой поверхности, то согласно формуле (10)
где 9^j — значения в точке р0 метрического тензора поверх-
ности Х^. Поскольку по определению — д$, отсюда сле-
дует, что для доказательства предложения 2 достаточно до-
казать, что
(Ц)
С этой целью мы заметим, что так как координаты х1,...
•. .,хп нормальны, то (см. замечание 1 лекции 15) для ком-
276
ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ОБЛАСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ
Лекция 16
поненты имеет место формула
1 ( 92512 929а 929и 92921 \(0)
12,12 2 х&г2^1 дх1дх1 дх2дх2 дх1дх2 )
1 / fl*g12, дгдп д2д22 У°>
2 \ дхгдх2 дх2дх2 дх1дх1)
(см. формулу (9') лекции 15).
Но так как координаты и и v на X* также нормаль-
ны (почему?), то для числа Я(12>12 имеет место аналогичная
формула
Б(°) — Lf g^2^i2 _ 929ц _ 92 9ц Y )
12,12 2 \ dudv dvdv диди)
Поскольку g^ = g^ на U н и = xl, v = x2, это доказывает
равенство (11) и вместе с ним предложение 2. q
Полная кривиз-
на области на
поверхности
Возвращаясь к поверхностям (которые
для наглядности мы можем считать по-
верхностями евклидова пространства), мы
заметим, что согласно формуле (21) лекции 15 (и утверж-
дению задачи 2) для гауссовой кривизны К произвольной
поверхности X имеет место формула
К = lim (12)
а->0 а
Здесь в первую очередь следует иметь в виду, что при
п = 2 ситуация, к которой относится формула (12), сущест-
венно упрощается, поскольку теперь нет нужды ни выбирать
вспомогательную двумерную поверхность — ее роль будет
играть само многообразие X, — ни проектировать обнесен-
ный вектор на ее касательную плоскость. В частности, это
означает, что угол <р в формуле (12) является не чем иным,
как углом поворота вектора £0 при его параллельном об-
несении вдоль петли.
Это позволяет проинтегрировать дифференциальное со-
отношение (12) и найти поворот у вдрль любой гомотоп-
ной нулю петли или — в более геометрической, но по су-
ществу равносильной постановке — вдоль любой простой
Лекция 16
ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ОБЛАСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ
277
замкнутой кривой, ограничивающей область, диффеоморф-
ную кругу.
Дальнейшие рассуждения фактически будут реализацией для случая
п = 2 намеченного в начале лекции IV.20 интеграционного подхода к вычи-
слению суженной группы голономии. Этот подход удается провести срав-
нительно легко благодаря абелевости группы SO (2) 5s S*.
Пусть сначала поверхность X элементарна, т. е. по-
крывается единственной картой (которую мы будем считать
диффеоморфной открытому кругу (и, г>)-плоскости R2). Для
случая, когда X является поверхностью евклидова простран-
ства, это по определению (ср. лекцию Ш.З) означает, что X
обладает параметризацией вида
г = r(u, г>),
(13)
где (и, о) пробегает открытый круг В плоскости R2.
В силу этого предположения мы можем применять к об-
ластям на X результаты, доказанные в курсе анализа для
плоских областей.
Кроме того, поверхность X мы можем считать ориенти-
рованной.
Задача 3. Пусть G — область на элементарной по-
верхности, ограниченная кусочно гладкой простой замкну-
той кривой Г. Докажите, что
а. Для любой точки р0 € Г угол поворота векто-
ра € Т„ Д’ при обходе области G в положительном
направлении (так, чтобы область оставалась слева)
не зависит от выбора вектора и один и тот же
для всех точек р0 G Г.
Это означает, что <р зависит исключительно от обла-
сти G, т. е. — на принятом
в анализе языке — является
функцией области.
б. Функция области <р
аддитивна, т. е. если об-
ласть G разрезана некото-
рой простой кривой 7 на две области С1 и С2, то
y,(G) = y,(G,) + y>(G2).
278
ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ НА КРИВОЙ
Лекция 16
(Указание. При обходе областей Gt и G2 мы дважды
проходим кривую 7 в противоположных направлениях.]
в. Функция области <р гладка, т. е. для любой точки р
поверхности X и любой последовательности областей {Gm},
содержащих точку р0 н стягивающихся к этой точке (т. е.
таких, что dianaGm —» 0 при m —> оо), существует предел
lira (14)
nwoo |Gm|
где |Gm(— площадь области Gm (этот предел называется —
см. курс анализа— плотностью аддитивной функции об-
ласти </> в точке р).
г. Плотность (14) равна гауссовой кривизне Кр
поверхности X в точке р. [Указание. См. фор-
мулу (12)].
В силу известной теоремы анализа о восстановлении
гладкой аддитивной функции области по ее плотности от-
сюда немедленно вытекает следующее предложение.
Предложение 3. Для любой области G на элемен-
тарной поверхности X, ограниченной кусочно глад-
кой простой замкнутой кривой, угол поворота каса-
тельных векторов при обходе границы Г этой области
равен интегралу по области G от гауссовой кривизны
поверхности:
<р = jj Kda. q (15)
Здесь do = у/EG — du dv — элемент площади по-
верхности (см. лекцию Ш.З или Ш.24).
Фигурирующий в формуле (15) интеграл называется
полной кривизной области G на поверхности X.
3 а д а ч а 4. Пусть поверхность X не элементарна, и пусть G — ори-
ентированная область на X, диффеоморфная плоской области с кусочно
гладкой границей (состоящей, вообще говоря, из нескольких кусочно глад-
ких простых замкнутых кривых). Пусть, далее, <р — сумма углов поворота
по всем граничным кривым, снабженных индуцированной ориентацией. До-
кажите, что формула (15) остается в силе и в этом более общем случае.
Вращение век- Предложение 3 можно с Пользой перефор-
торного поля мулировать. Пусть на поверхности X (ко-
на кривой торую мы по-прежнему предполагаем эле-
ментарной) задано всюду отличное от нуля векторное поле
Лекция 16
ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ НА КРИВОЙ
279
а(и, v). [Мы будем называть это иоле референтным. При-
мером референтного поля может служить координатное по-
ле гт", т. е. при отождествлении X с В — поле единичных
векторов, параллельных оси абсцисс и направленных в ее
положительную сторону, а в случае, когда X представляет
собой поверхность евклидова пространства с параметриза-
цией (13),—поле координатных векторов ru.]
Пусть, далее, Г — произвольная жорданова кривая на
поверхности X с параметрическими уравнениями и = Це),
v =с Це), О t 1, а С — С(0— непрерывное векторное
поле на кривой Г, ни в одной точке этой кривой не равное
нулю.
Тогда для любого tel однозначно определен угол 0(e)
от вектора a(t) к вектору £(е), принадлежащий полуинтер-
валу (-я, я].
Вообще говоря, функция: 0(t) разрывна — в отдельных
точках она может испытывать скачок в ±2тг.
3 а д а ч а 5. Докажите что существует одна и толь-
ко одна непрерывная функция 6: I —♦ R, обладающая
тем свойством, что 0(0) = 0(0), и такая, что
0(t) — 0(t) = 2irN для любого tel, (16)
где N — некоторое целое число (зависящее от t).
Мы будем называть функцию 0(t) угловой функцией
поля С на кривой Г (при данном референтном Поле а), а раз-
ность
дг(0 = 0(0 -0(0)
ее значений в начальной и конечной точках кривой Г —
поворотом поля £ на Г;
! Если кривая Г замкнута и £(0) = £(1), то в силу свой-
ства (16) отношение
W) = ^Дг(0 <17)
является целым числом. Оно называется вращением
поля С вдоль кривой Г.
3адач а 6. Пусть для простотыкоэффициент F первой квадратич-
ной формы поверхности равен нулю (координатная сеть ортогональна). По-
кажите, что в этом случае для вращения произвольного гладкого поля (
280
ВРАЩЕНИЕ ПОЛЯ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
Лекция 16
вдоль замкнутой кривой Г имеет место формула
гК) 2х J E^+Gri1 ' (18)
Г
где ( и ч — компоненты поля (. Подчеркнем, что в этой формуле кри-
вая Г гладкой не предполагается.
Пусть кривая Г вместе с полем С непрерывно дефор-
мируется (подвергается гомотопии), причем в процессе де-
формации кривая Г остается замкнутой, а поле С нигде не
обращается в нуль. (Такие деформации мы назовем допу-
стимыми.) Более того, пусть непрерывно варьируется ре-
ферентное поле а и даже заданная на X риманова метри-
ка ds2, т. е. непрерывно меняются (с сохранением свойства
положительной определенности—неравенств Е > 0 и EG-
- F2 > 0) коэффициенты Е, F, G этой метрики (для поверх-
ности в евклидовом пространстве это означает, что поверх-
ность подвергается изотопии—непрерывной деформации,
изменяющей, вообще говоря, длины кривых на поверхности
и углы между ними). Тогда вращение Ц-(С) поля £ также
будет меняться непрерывно и, следовательно, являясь це-
лым числом, останется прежним. Таким образом, враще-
ние. Vj-(£) не меняется при всех допустимых дефор-
мациях (кривой Г, поля метрики ds2 и поля а).
Задача 7. Покажите, что любые два референтных поля (а также
любые две римановы метрики ds3) деформируемы друг в друга (иа поверх-
ности, диффеоморфной кругу).
Поэтому вращение Уг(£) фактически не зависит ни от поля а,
ни от метрики (5).
Вращение поля Если кривая Г гладка, то на ней опреде-
касательиых лено поле касательных векторов т (с
векторов компонентами й и г>). Если кривая Г регу-
лярна, то это поле всюду отлично от нуля, и потому — если
кривая Г замкнута—определено его вращение Ц-(т).
Лемма 1. Для произвольной замкнутой регулярной
кривой Г вращение поля касательных векторов равно
единице:
Vr(r)=l. (19)
Мы дадим два доказательства этой леммы.
ЛеКЦИЯ 16
ВРАЩЕНИЕ ПОЛЯ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
281
Первое доказательство. Согласно утвержде-
нию задачи 7, мы без ограничения общности можем счи-
тать поверхность X евклидовой плоскостью (или открытым
кругом плоскости), а референтное поле — постоянным по-
лем —. Тогда для любого t € I тангенс tg0(t) значения 0(t)
угловой функции поля т в точке t будет не чем иным, как
наклоном касательной к кривой Г в ее точке T(t) (с коорди-
натами u(t), Поэтому будет существовать такое раз-
биение
О = t0 < . < tn » 1 (20)
отрезка I, что для любого к = 1,..п угол (из полуинтерва-
ла (—7г,тг]) между ориентированными касательными к кри-
вой Г (т. е. между соот-
ветствующими касательными
векторами) в точках Г(^_,)
и r(tfc) равен приращению
0(tk) - ^(tfc.,) этой функции.
Более того, наглядно очевид-
но, что при достаточной мел-
кости разбиения (20) каса-
тельные в точках Г((д.) при продолжении до пересечения с
касательными в точках Ц^^'и ) (условно считается,
что будут образо-
вывать простой (не имеющий
7^4 самопересечений) замкнутый
/ 2’ I а многоугольник (с внешними
“iM угламЬ
5 дРе Поскольку сумма внешних
углов произвольного простого
многоугольника равна 2тг (по известной теореме элементар-
ной геометрии сумма внутренних углов простого п-угольни-
ка равна (п- 2)тг, а каждый внутренний угол ак, 1 к п,
связан со смежным внешним углом @к соотношением ак +
+ /Зк = тг; поэтому
п п п
~ “*) = П7Г ~ = П7Г ~ (п ~ 2)7Г = 27Г)>
k—l к=1 к=1
282 вращение поля касательных векторов Лекция 16
это доказывает, что
0(1) -0(0) = £[0(tfc) - 0(tA_,)] = 2ТГ,
fe=i
т. е. что Уг(т) = 1. □
Апелляция к наглядной очевидности в этом доказатель-
стве устраняется с трудом. В следующем доказательстве де-
монстрируется общий метод, как это можно (и нужно) де-
лать.
Второе доказательство. Введем на евклидо-
вой плоскости комплексную координату z. Тогда кривая Г
будет иметь уравнение вида z = «(t), 0 t 1, а каждое
векторное поле £ на Г будет не чем иным, как комплексно-
значной функцией £ на Г.
Задача 8. Покажите, что
у-
Z7T J s
Г
(Ср. формулу (18).)
Из теории функций комплексного переменного извест-
на теорема Римана, согласно которой на области G,
ограниченной простой кривой Г, существует голоморфная
функция w = w(z), осуществляющая конформное отобра-
жение этой области на единичный круг |w| < 1. При этом
по теореме о соответствии драниц функ-
ция w(z) непрерывна в замкнутой области G и осуществляет
ее гомеоморфизм на замкнутый круг ]w] = 1. Следовательно,
уравнение
w = w(z(t))
задает на w-плоскости окружность ww = 1. Без ограничения
общности можно, конечно, считать, что параметр t на кри-
вой Г выбран таким образом, что на окружности ww = 1 он
является натуральным параметром, и потому производная
w(t) по t функции w(t) = w(z(t)) в каждой точке t рав-
на iw(t). С другой стороны по правилу дифференцирования
сложной функции
w(t) = w'(z(t))z(t)
и, следовательно,
Ф(0)
ЛекЦИЯ 16
ВРАЩЕНИЕ ПОЛЯ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
283
Это означает, что векторное поле т на кривой Г (задающееся
функцией z(t)) является ограничением на Г функции С =
= и потому
Мт)=^-1т
г г
(см. задачу 8). Но функция w' не имеет нулей в области G,
и, значит, по теореме Коши
Следовательно,
Vr(r) = ±ta|
Г
dw 1 т
— = — Im
w 2тг
Н=1
О
Здесь вся трудность доказательства переложена на пле-
чи теории функций комплексного переменного.
Лемму 1 можно обобщить и на кривые, которые лишь
кусочно регулярны, т. е. составлены из конечного числа ре-
гулярных дуг. Каждая такая кривая имеет конечное число
точек излома, в которых касательный вектор скачком по-
ворачивается на некоторый угол. Общий поворот касатель-
ного вектора на кривой (являющийся суммой поворотов на
регулярных дугах и скачков в точках излома) мы снова обо-
значим через Др(т) — 2тгУр(т). Так как разбиения (20), об-
ладающие указанными выше свойствами, существуют, оче-
видно, и для кусочно регулярных кривых (нужно лишь точки
разбиения выбирать вне точек излома), то лемма 1 спра-
ведлива для любых кусочно регулярных кривых
Заметим, что для прямолинейных многоугольников на евклидовой пло-
скости обобщенная таким образом лемма 1 сводится к теореме о сумме
внутренних углов п-угольника.
Лемма 1 позволяет отказаться от референтного поля
(вносящего неприятный элемент произвола) и измерять все
углы от касательных векторов, т. е. для произвольного век-
торного поля С на кривой Г заменить угловую функцию 0(t)
функцией i?(t) = 8(t) — 0r(t), где вт — угловая функция поля
касательных векторов. Это изменит вращение Vp точно на
единицу.
284
ФОРМУЛА ГАУССА—БОННЕ
Лекция 16
Формула Пусть поле С состоит из параллельных
Гаусса — Бонне (ВДОЛЬ кривой Г) векторов.
В случае, когда поверхность X представляет собой пло-
скость и, значит, все векторы £(t) параллельны в обычном
элементарно-геометрическом смысле (равны как свободные
векторы), производная $(t) функции tf(t) является (с точ-
ностью до знака) не чем иным, как крнвизной плоской кри-
вой Г (см. лекцию III.2). В общем случае эта производная,
взятая с противоположным знаком, называется геодезиче-
ской кривизной кривой Г на поверхности X и обозначается
символом kg(t).
Заметим, что от выбора поля £ кривизна кд не за-
висит (но зависит от ориентации кривой Г).
Очевидно, что кривая Г тогда и только тогда явля-
ется геодезической, когда ее геодезическая кривизна kg
тождественно равна нулю.
Так как для поля С параллельных векторов &(t) =
= ~kg(t), то
i?(l)-i?(0) = - k dt,
и потому j
ДГ(0=<?(1)-<?(О) =
= [М1)-М0)1 + Р(О-1?(0)1 = Дг(^)-J kgdt,
т. е. ' г
ДрЮ + j kgdt = Дг(т)
Г
(кривую Г мы пока замкнутой не предполагаем).
В случае, когда кривая Г кусочно регулярна, эта фор-
мула приобретает, очевидно, вид
Др(О + j kgdt + У2 = Дг(т)»
г
где 52 — сумма углов в,- поворота касательного вектора
в точках излома. С другой стороны, если кривая Г замк-
нута (и, следовательно, — ввиду элементарности поверхно-
сти X — ограничивает некоторую область G), то поворот
ДГ(С) поля С является не чем иным, как углом у> из форму-
лы (15), и потому согласно этой формуле равен интегралу по
Лекция. 16
ФОРМУЛА ГАУССА—БОННЕ
285
области G от кривизны К. Ввиду леммы 1 это доказывает,
что ..
II Яйет+Ф kg dt + 0,- = 2тг. (21)
G Г
Определение 2. Область G на произвольной (вообще
говоря, не элементарной) поверхности X называется кри-
волинейным многоугольником, если она ограничена про-
стой кусочно регулярной кривой Г и диффеоморфна кругу.
(Для областей на элементарной поверхности второе условие
вытекает из первого, но в общем случае эти условия неза-
висимы.) Точки излома границы Г называются вершинами
многоугольника G, а углы 0,- поворота касательной к кри-
вой Г в этих точках — в предположении, что многоуголь-
ник G, а, значит, и кривая Г ориентированы — внешними
углами многоугольника. Дополнительные углы тг — 0,- назы-
ваются внутренними углами многоугольника, а чнсло
6G = Е(тг — 0,) — (п — 2)тг = 2тг - 0{,
где п — число вершин многоугольника G, — его угловым
избытком.
Формула (21) может быть теперь переписана в следую-
щем виде
6G= jj Kdo+^ kg.dt. (21')
G г
По доказанному она справедлива для любого ориентиро-
ванного криволинейного многоугольника G, содержащегося
в некоторой карте поверхности X.
Задача 9. Докажите, что последняя оговорка из-
лишня, т. е. что формула (21') справедлива для любо-
го ориентированного криволинейного многоугольника
на поверхности X. [ У к а з а н и е. Многоугольник G мо-
жет быть разложен на многоугольники, каждый из которых
содержится в некоторой карте.]
Формула (21) (или (21')) называется формулой
Г аусса — Бонне.
В частном случае геодезического многоугольника G
(граница которого состоит из дуг геодезических) криволи-
нейный интеграл по границе равен нулю и формула (21')
286
ТРИАНГУЛИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Лекция 16
приобретает вид
(21")
G
(угловой избыток геодезического многоугольника G ра.
вен интегралу по G от гауссовой кривизны К).
При К = const (для поверхностей постоянной кривиз-
ны; см. лекцию 111.5} отсюда следует, что угловой избыток
геодезического многоугольника равен его площади, ум-
ноженной на К. В частности, при К = 0 (на евклидовой
плоскости) угловой избыток всегда равен нулю, при К > О
(на. сфере) угловой избыток положителен, а при К < 0 (на
псевдосфере) угловой избыток отрицателен (в последнем
случае обычно рассматривают величину -6G и называют
ее угловым недостатком).
Задача 10. Докажите последние утверждения в рамках со-
ответствующих геометрий (евклидовой, сферической и Лобачевского).
[Указание. В первую очередь рассмотрите случай треугольника. Конеч-
но, случай евклидовой геометрии тривиален.]
Триангули- Формула Гаусса — Бонне имеет интересные и
руемые по- важные чисто топологические следствия.
верхяости Определение 3. Двумерное гладкое многооб-
разие (поверхность) называется триангулируемым, если
существует такое конечное семейство точек р,,.. ,,ра е X и
такое семейство простых дуг 7,,..., с концами в этих точ-
ках (и попарно не имеющих никаких других общих точек),
что любая точка поверхности X, не принадлежащая дугам
7Р.. .,7Ь, принадлежит одному (и только одному) криволи-
нейному многоугольнику, граница которого составлена из
некоторых этих дуг (короче говоря, поверхность триангули-
руема, если она может быть разложена в объединение ко-
нечного числа криволинейных многоугольников <7Р..., Gc,
соприкасающихся лишь по сторонам).
Задача 11. Покажите, что что для любой триангулируемой
поверхности существует ее. разложение {Gl,...,Gc}, состоящее из
криволинейных треугольников.
Это объясняет термин «триангулируемая поверхность».
Ясно, что любая триангулируемая поверхность ком-
пактна.
Для гладких поверхностей верно и обратное.
ДеКЦИЯ 16
ТРИАНГУЛИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
287
Лемма 2. Любая компактная гладкая поверх-
ность X триангулируема.
Доказательство. Введем на поверхности X ри-
манову метрику р. Рассуждение, доказывающее существо-
вание числа Морса (см. следствие 2 предложения 5 лек-
ции 12), применимо не только к двуэлементным, но и
к трехэлементным множествам. Поэтому для поверхности X
существует такое число р0, что любые три точки р, q, г G X,
для которых
р(Р, 9) < Ро, Р(Р»г) < Ро» Р(9,г) < Ро>
содержатся в одной нормальной выпуклой окрестности, и
потому являются вершинами некоторого геодезического
треугольника (открытого множества, ограниченного тремя
геодезическими сегментами ~ур , '74ir')-
Несложное рассуждение (проведите его!) показывает
теперь, что каждая точка поверхности X принадлежит неко-
торому геодезическому треугольнику, и, значит, — ввиду
компактности поверхности X — что поверхность покрывает-
ся конечным семейством геодезических треугольников (во-
обще говоря, пересекающихся). Всевозможные непустые пе-
ресечения этих треугольников и будут составлять триангу-
ляцию поверхности X. q
Замечание!. Можно показать (это трудная теорема Радо),
что утверждение о триангулируемости справедливо для любой (вообще го-
воря, негладкой) компактной поверхности, и, более того, если допустить так
называемые бесконечные триангуляции, то триангулируемой окажется
вообще любая поверхность (двумерное паракомпактиое хаусдорфово топо-
логическое многообразие).
Многоугольники Gp..., Gc называются гранями, дуги
7р..., 7Ь — ребрами, а точки рр...,рв — вершинами
поверхности X (или, точнее, данного ее разложения
{Gp.. .,(7С}). Число
Х(Х) = а-Ь + с
(число вершин минус число ребер плюс число граней) назы-
вается эйлеровой характеристикой компактной поверх-
ности X.
288
ТЕОРЕМА ГАУССА - ВОННЕ
Лекция 16
Теорема Предложение 4. Для компактной
Гаусса Бонне ориентируемой гладкой поверхно-
сти X эйлерова характеристика определена коррект-
но (не зависит от выбора разложения {(?,,..., <7С} по-
верхности X на многоугольники) и является тополо-
гическим инвариантом (одна и та же для всех диф-
феоморфных поверхностей).
Доказательство. Выбрав на поверхности ори-
ентацию и риманову метрику, применим к каждому кри-
волинейному многоугольнику некоторой ее триангуляции
{(?,,..., С?с} формулу Гаусса — Бонне:
<5(7, = jj kgdt.
Gi Г.
(Предполагается, что ориентации многоугольников индуци-
рованы ориентацией поверхности.) Сложив все эти форму-
лы, мы получим равенство вида
С с л. с *
= Е II КЛа + ^2 Ф k,dl. ,
1=1 ' 1=1 Q. 1=1 р.
Первая сумма справа равна полной кривизне
К da
X
поверхности X. Что же касается второй суммы, то, посколь-
ку для каждого ребра ук оба многоугольника Git примыкаю-
щие к этому ребру, индуцируют на ребре ук противополож-
ные ориентации, эта сумма равна сумме интегралов от кд
по парам противоположно ориентированных дуг и, значит,
равна нулю.
С другой стороны, сумма слева равна
С
1=1 J=1
(22)
где /?л,.. .t0in. —внутренние углы многоугольника (7;,
а п,- — число его сторон.
Лекция 16
ТЕОРЕМА ГАУССА-БОННЕ
289
Но так как сумма углов, сходящихся в каждой вершине,
равна 2тг, то п
;=1 з=1
а так как каждое ребро является стороной двух и только
двух многоугольников Git то
с
EX = 2L
i=i
Поэтому
(п, - 2)тг = 2тг(Ь - с),
t=l
и сумма (22) равна 2тг(а - Ь + с) = 2тг%(ЛГ).
Этим доказано, что
*<*)= оЬ (( <23)
Z7T JJ
X
Предложение 4 следует отсюда непосредственно, по-
скольку правая часть этого равенства от выбора многоуголь-
ников Gt,..., Gc не зависит, q
Утверждение о справедливости формулы (23) называ-
ется теоремой Гаусса — Бонне.
Замечание2. Эйлерова характеристика определена
корректно и для неориентируемых многообразий, но доказа-
тельство этого факта требует совсем других методов. 10
10 M. M. Постников
ЛЕКЦИЯ 17
Характеристические числа. — Характеристическое число
Эйлера. — Оператор Ходжа. —Число Эйлера 4т-мерного много-
образия. — Эйлерова характеристика многообразий произволь-
ной размерности. —Теорема о сигнатуре. —Тензор Риччи рима-
нова пространства. — Тензор Риччи тензора Бианки. — Тензо-
ры Эйнштейна и Вейля. — Случай п = 3. — Пространства Эйн-
штейна. — Критерий Томаса.
Характери- Из теоремы Гаусса — Бонне предыдущей лек-
стические ции непосредственно следует, что полная кри-
числа визна ™
И Kda (1)
X
поверхности X не зависит от выбора на X римано-
вой метрики (одна и та же для всех метрик). Этот
факт может быть независимо выведен также из результатов
лекции IV. 23.
Пусть X — пока произвольное гладкое многообразие.
Определение 1. Характеристические классы (см. лек-
цию IV.22) касательного расслоения многообразия X на-
зываются характеристическими классами многообра-
зия X.
В случае, когда многообразие X компактно и ориенти-
руемо, группа НпХ, п = dim X, изоморфна, как мы знаем
(см. следствие 1 теоремы 2 лекции III.25), группе R. Изомор-
физм зависит от ориентации и при выбранной ориентации
задается формулой с w с[X], где
с[X] = j с, с G НпХ.
с х г
[Символом I с обозначается интеграл I ш, где ш —
х х
произвольная замкнутая форма класса с. Как мы знаем
(см. лекцию III.29), последний интеграл не зависит от выбо-
ра формы о?.]
Для каждого характеристического класса с степени п
число c[A"] называется характеристическим с-числом
Лекция 17
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ЭЙЛЕРА
291
ориентированного многообразия X. (Ср. в лекции IV.23
определения характеристических чисел Чженя и Понтря-
гина).
Числа с[Х] зависят от ориентации многообразия X и
при смеие ее меняют знак:
<=[-*] =
Характеристи- Исключение составляет характеристиче-
ческое число сков число Эйлера
Эйлера г
е[АГ] = j е(тх),
X
которое, как непосредственно следует из утверждения зада-
чи 6 лекции IV.23, не зависит от выбора ориентации мно-
гообразия X (и, значит, фактически определено для любого
компактного ориентируемого многообразия Д’).
По определению, чтобы найти efA"], мы должны выб-
рать в тх некоторую связность. Естественно взять связность
Леви-Чивита, отвечающую некоторой римановой метрике д
на X. Тогда при п = 21 для числа efA"] будет иметь место
формула
е[АЛ = ( ИЛ,
1 J \2тг/ J
х
где PfjR —дифференциальная форма, на каждой координат-
ной окрестности U являющаяся пфаффианом РШ матри-
цы П форм кривизны метрики д в некотором положительно
ориентированном ортонормированием (но, вообще говоря,
не голономном!) базисе Хр .. .,Хп модуля аХ над окрест-
ностью U. (См. определение 5 лекции IV.23; мы опускаем
теперь множитель (-1)г.)
Пусть С — матрица перехода от ортонормированного
базиса Хр..., Хп к одноименному голономному базису
— — (2)
9х1’ ’ ’ 9хп 1 7
Тогда согласно формуле (8) лекции 15
CTQ,C = Q,
ю»
292 характеристическое число ЭЙЛЕРА Лекция 17
где П — матрица с элементами
= ^2^ij,kl^xk л dz1- (3)
k<l
Поэтому (см. формулу (8) лекции 11.10)
PfQ = det С • PfQ.
Поскольку (det С)2 = det д, где д — матрица ||5^||, этим
доказано, что в каждой карте (U,x1,.. .,хп) форма Pf У?
имеет вид
-у= И й’ <4>
\/detp
где Q — матрица с элементами (3).
При п = 2 (и I = 1) пфаффианом Pf Q является форма
Q|2 = ^12,12 dtA Л d*V,
т. е. (см. формулу (10") лекции 16) форма
K(EG-F2)dubdv,
где EG - F2 = det g. Следовательно, при п = 2 форма (4)
имеет вид ________
К \/EG — F2 du Л dv.
Поскольку у/EG — F12 du f\dv— это в точности элемент пло-
щади поверхности X, тем самым доказано, что при п = 2
число Эйлера е[Х] выражается формулой
е[Х]=^~ ff К da. (5)
Z7T JJ
х
Этим, во-первых, заново установлена независимость ин-
теграла (1) от выбора метрики, а, во-вторых, доказано, что
характеристическое число Эйлера совпадает с эйле-
ровой характеристикой:
е[Х] = Х(Х). (6)
В частности, это объясняет, почему названия чи-
сел е jX] и х(Л") по существу идентичны.
Лекция 17
ОПЕРАТОР ХОДЖА
293
(7)
(8)
(9)
оператор Аналог формулы (5) имеет место для любого
Ходжа П) ио чтобы его вывести, надо серьезно потру-
диться. Мы ограничимся случаем п = 4т.
Из линейной алгебры мы зиаем (см. теорему 1 лек-
ции 11.96), что для любого n-мериого ориентированного евк-
лидова пространства V и любого к, 0 к п, на линей-
ном пространстве AfeV кососимметрических тензоров сте-
пени к действует оператор Ходжа *, переводящий каждый
тензор из AfeV в тензор из A"_feV. В частности, для любо-
го n-мериого ориентированного риманова пространства X
оператор * действует иа пространствах AfeTpA’ = (АкХ)р,
р е X. Поэтому формула
(*Х)р = *(Хр), р&Х, ХЕКкХ,
корректно определяет FAf-линейный оператор
* : КкХ -4 Ап~кХ,
также называемый оператором Ходжа.
В частности, при п = 21 и к = I
* : А1Х -> А1Х.
При этом согласно формуле (17) лекции П.96
* 2 = (-1 )(”+»)*
(н, в частности, *2 = (-1)г при к = I).
Элемент объема dV риманова пространства X, трактуе-
мый как кососимметрический тензор степени п (типа (0, п))
на X, мы будем в этой лекции обозначать символом е.
Задача 1. Пусть X,,..., Хп — ортоиормироваиный
положительно ориентированный базис модуля а X над ко-
ординатной окрестностью U (т. е. такой, что в любой точке
Р е U векторы (XJ ,...,(Хп)р составляют положительно
ориентированный базис пространства Т^/Г). Покажите, что
е = X, Л ... Л Хп над U.
Тензор е составляет базис РЛ’-модуля КпХ иад X,
т. е. произвольный кососимметрический тензор степени п
294
ЧИСЛО ЭЙЛЕРА 4пг-МЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ
Лекция 17
на X единственным образом представляется в виде /е
где / е FA*.
В частности, для любых тензоров € А* А", 0
к п, тензор X Л *У, имея степень п, представляется
в таком виде. Соответствующую функцию / мы обозначим
через (X, Y) Таким образом, по определению
Хл*У=(Х,У)е. (10)
Задача 2. Покажите что функционал X, Y
(X,Y) является скалярным умножением, т. е. что
этот функционал билинеен, симметричен и положительно
определен (в том смысле, что число (Х,Х) положительно
в любой точке, где X / 0). Покажите также, что при к = 2
это скалярное умножение совпадает с умножением,
определенным формулой (I) лекции 16.
Для любых индексов гп.. .,ik, 1 С »’,<••. < Ч п>
мы положим
X. i = Xi Л . . . Л Х{ ,
где, как и выше, Xv...,Xn— векторные поля, составля-
ющие положительно ориентированный ортонормированный
базис модуля аХ над координатной окрестностью U.
Задача 3. Покажите, что тензоры Х^ ik,
1 г, < ... < ik п, составляют ортонормированный
базис модуля KkX над U.
Задача 4. Покажите, что при п = 4т оператор
Ходжа (8) самосопряжен (т. е. (*Х, Y) = {X, *У) для лю-
бых тензоров X,Y е KimX).
Число Эйлера Кроме этих сравнительно простых общих
4т-мериого сведений об операторах Ходжа, имеющих
многообразия безусловно и самостоятельный интерес,
нам понадобятся также некоторые довольно головоломные
вычисления с кососимметрическими матрицами более спе-
циального характера.
Задач а 5. Докажите, что для пфаффиана PfA кососимметри-
ческой матрицы А = ||а} || порядка п = 21 илсеепт место формула
(11)
Лекция 17
ЧИСЛО ЭЙЛЕРА 4тп-МЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ
295
где суммирование- распространено на все подстановки а степени п,
а t-a, как всегда,—знак подстановки а. (Указание. Докажите, что
мНогочлен (11) удовлетворяет тождеству Pf(CTAC) = detC-Pf А. Выведите
отсюда, что он обладает характеристическими свойствами пфаффиана из
предложения 2 лекции П.Ю.]
Задача 6. Покажите, что для любого тензора Бианки R на
п-мерном (п — 21) римановом пространстве X и каждого k, 1 $ k $
I, существует единственный FX-линейный оператор
Лк-. Л2**-> Л2**,
обладающий тем свойством, что для любых векторных полей
A’j.ХЛ ё аХ имеет место формула
Ru(Xi Л ... Л Xu) = 52 Л Хр<?д Л • • Л Л
(12)
где суммирование распространено на все подстановки р степени 2k.
| Указание. Формула (12) однозначно определяет компоненты тензо-
ра Нк в каждой карте.]
Покажите, что оператор (12) самосопряжен.
Задача?. Пусть, как всегда. П = У — матрица форм кривизны
метрики g в ортонормированном базисе Xv .. ,,Хп модуля аХ над коорди-
натной окрестностью V, и пусть, как и выше, п = 21. Покажите, что
Pfft= WA'(X,A"AXn)’ (13)
где Яг — тензор Лк из задачи 6 при k = I, построенный по риманову тензору
кривизны пространства X. [Указание. Так как базис Xv.. „Хп орто-
нормирован, то П}(Хр, Xq) = R(Xt, Xj, Хр, Xq) для любых i,j,p, g. Поэтому
согласно формуле (11) для любых полей Ур..., Уп имеет место равенство
...Х.) =
- 2П1Е Л... Л гф*’)^ •’ у"> =
= 4Ц|Ее»гГД^^»(1)’ Xa(W ^(1)’ ^р(2)) ' "^(^(n-l)’ Ха(пр ^р(п-1)> ^р(п))'
”,Р
С другой стороны,
адл.-лх^у,........Уп) =
= (^)i (Е ePR(x^ * хм> R(XP(^ * х₽(п))) ....К.) =
~ 21(21)1 ЕЕе/’й^р(>)’ Хр&' ^(1)’ • •
• • • R(Xp(n-ip Хр(пр Хг(п-1)> Уа(п))-1
296
ЧИСЛО ЭЙЛЕРА 4т-МЕРН0Г0 МНОГООБРАЗИЯ
Лекция 17
Задача 8. Пусть п = 4т (и, значит, I = 2т). Докажите, что
в введенных выше обозначениях
W л... л Хп) = g £... £ Rm(Xh^) л ят(*х<1„л). (14)
[Указание. Пусть р — произвольная подстановка степени п, и пусть
I, < ... < i[—числа р(\),...,р(1), расположенные в порядке возрастания.
Аналогично, пусть < ... < з) — расположенные в порядке возрастания
числа р{1 + 1),.. .,р{п). Пусть, далее, а и /3 —такие подстановки степени I,
что
»о(1) = РП). • • ; '<,(1) = P(lY З/Цц = p(l + 1),.. = Р(п).
Числа ip...,!; н подстановки а, 0 однозначно определяют подстановку р,
причем ер = (-l)weQe^, где w — число инверсий в перестановке (»„...
В силу формулы (10) и самосопряженности операто-
ров * и Rm
а в силу ортонормированности базиса i(, 1 г\ < ...
. . < Н п}
Е -Е (•«»>• • r„).
Поэтому, снова обозначив элемент объема е традиционным
символом dV, мы ввиду формул (13) и (14) немедленно по-
лучим, что
HR = |Tr(.fim.Rm)dV
(на U а, значит, и на всем X), т. е. что
(15)
Это и есть аналог формулы (5) при п = 4т.
ЛеКЦИЯ 17 ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА МНОГООБРАЗИЙ 297
эйлерова Имеет ли место для любого п аналог фор-
*нРогоо?амй“ МУЛЫ (6)? Здесь прежде всего мы для
произвольной любого п должны определить ее правую
размерности часть %(Х).
Можно показать (это трудная теорема!), что для лю-
бой компактной триангулируемой поверхности X эйлерова
характеристика х(Л") равна альтернированной сумме /г° -
- hl + h2 чисел h' — dim Н'Х (т. е. — в случае, когда по-
верхность X связна и компактна — равна 2 - hl).
Для многообразий X произвольной размерности это на-
водит на мысль определить их эйлерову характери-
стику хС^) формулой п
Х(Х) = ^(-1 h' = dim &Х.
»'=1
[Если многообразие компактно, то согласно следствию 3 тео-
ремы 3 лекции Ш.22 все линеалы Н1Х конечномерны, и,
значит, числа h' определены.]
В топологии доказывается, что числа h', а, значит, и их
альтернативная сумма х(Х) являются топологическими ин-
вариантами, т. е. они одни и те же для любых гомеоморфных
(даже не гладко!) многообразий.
Оказывается (это снова трудная теорема!), что при та-
ком определении характеристики х(%) равенство (6) со-
храняется для компактных и ориентируемых много-
образий X произвольной размерности. В частности, это
означает, что формула (15) (и аналогичная формула при п =
= 4m+2) дает дифференциально-геометрический метод вы-
числения эйлеровой характеристики любых компактных и
ориентируемых четномерных многообразий. {Так как е(£) =
~ 0 при dim£ нечетном, то согласно той же формуле (6) эй-
лерова характеристика любого нечетномерного мно-
гообразия равна нулю. (Это следует также из доказы-
ваемой в топологии теоремы двойственности
Пуанкаре, утверждающей, что для любого i, 0 i
п, имеет место равенство Л.’ = й”-’.)]
Теорема о Равенство (6) (которое — заметим — мы до-
сигнатуре казали только при п = 2) является лишь од-
ним из целого ряда замечательных соотношений, отожде-
ствляющих те или иные топологические инварианты с ха-
298
ТЕОРЕМА О СИГНАТУРЕ
Лекция 17
рактеристическими числами. Чтобы дать представление 0
имеющихся здесь теоремах, мы сформулируем сейчас —к
сожалению, без доказательства — знаменитую теорему
Хирцебруха о сигнатуре.
Пусть X —гладкое ориентированное многообразие раз-
мерности п = 4m. Тогда формула
Q(x) = j ш Л W, х = [о>] G Н2тХ,
X
корректно определяет на линеале Н2тХ квадратичный
функционал Q. Сигнатура этого функционала (разность по-
ложительного и отрицательного индексов инерции) обозна-
чается символом sign X и называется сигнатурой много-
образия X.
3 а д а ч а 9. Покажите, что функционал Q невырожден.
В топологии показывается, что подобно эйлеровой
характеристике сигнатура является топологическим инва-
риантом.
В лекции IV.23 была описана конструкция, позволяю-
щая по любому формальному ряду
F = Fo + Fl + ... + Fr + ...,
где Fr — однородный симметрический многочлен от п пе-
ременных Ap...,An степени г, строить неоднородный ха-
рактеристический класс cF. Пусть с^[Л’] — значение п-й
компоненты этого класса на касательном расслоении много-
образия X. Мы определим характеристическое F-число
формулой ’
тЧ*] = J cF[XJ.
х
Особо интересен частный случай, когда формальный
ряд F определяется формулой
F(A1,...,An) = Q(A1)...Q(A„),
где Q(A) — некоторый формальный степенной ряд от пе-
ременной А. В этом случае F-число называется
Q-родом многообразия и обозначается символом QfA’l.
ДекЦИЯ 17
ТЕНЗОР РИЧЧИ РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА
299
Теорема (о сигнатуре). Имеет место равенство
sign Д’ = ЦА*],
где
Г\ 00 о2*
Здесь Bk, к 1 — так называемые числа Бернулли;.
о_1 в - 1 в - 1 в - -L в - 5
1-6’ 2 — 30’ 3~ 42’ 4“30’ 5 “66’
д = 691 в =L R =3617 43867
6 2730’ 7 6’ 8 510’ 9 798
[Существует несколько конкурирующих обозначений чисел
Бернулли. Мы выбрали то, в котором все числа Бернулли
положительны и отличны от 1/2.]
Доказательство теоремы о сигнатуре выходит за рамки
этого курса.
Задача 10. Докажите, что
• Ы*1
при п = 4,
при п = 8,
. g|j(62p3 - 13р{р2 + 2р?)[^] при п = 12,
где PpPj.Pj,.-.. — классы Понтрягина многообразия X.
Тензор Риччи Обратимся теперь к тензорам Риччи.
риманова про- Определение 2. Тензор Риччи (см. опре-
страиства деление 3 лекции 2) римановой связности
(псевдо)риманова пространства X называется тензором
Риччи пространства X и обозначается символом RicA*
(а его компоненты — символами R^).
По определению
«.у =
и, значит,
(16)
300 тензор риччи тензора бианки Лекция 17
Задача 11. Покажите, что на каждой координатной
окрестности U (или, более общо, на каждом открытом мно-
жестве U С X, над которым касательное расслоение тх па-
раллелизуемо) тензор Риччн задается формулой
Н1с(Х,У) = £Я(Х,.,У,Х,.,Х), X,Y(=aX, (17)
»=1
где Xi,...,Xn— произвольный ортонормированный базис
модуля аХ над U.
Предложение 1. Тензор Риччи каждого (псев-
до)риманова пространства симметричен:
Rij = Rjf, i,j — 1,..п.
Мы дадим два доказательства этого предложения.
Первое доказательство. В силу симметрий
риманова тензора кривизны
== = — Rji- □
Второе доказательство. Согласно формуле
Фосса — Вейля (предложение 1 лекции 13) форма 7, отве-
чающая римановой связности, является точным дифферен-
циалом. Следовательно, она замкнута, и потому (см. следст-
вие из утверждения задачи 8 лекции 2) тензор Ric симмет-
ричен. q
Тензор Риччи Формула (16) — на (псевдо)римановом
тензора Бианки пространстве! — имеет смысл для любого
тензора Бианки R.
Определение 3. Тензор типа (2,0) с компонента-
ми (16) называется тензором Риччи тензора Бианки R
и обозначается символом Ric R.
Таким образом, согласно этому определению Ric X =
= Ric Rx, где Rx — риманов тензор кривизны прост-
ранства X.
Первое доказательство предложения 1 сохраняется,
очевидно, для каждого тензора Бианки R. Следовательно,
тензор Риччи RicR симметричен для каждого тен-
зора R.
Лекция 17
ТЕНЗОР РИЧЧИ ТЕНЗОРА БИАНКИ
301
Пользуясь метрикой, мы можем поднять в тензоре Ric R
первый индекс, т. е. перейти к тензору с компонентами
(на инвариантном языке этому отвечает переход от симмет-
рического билинейного функционала Ric R к соответствую-
щему самосопряженному оператору а X —> а X).
След
TrRicR = R‘-
этого тензора выражается формулой
si”Rpl = 9lrR^ = 9i'R^
и, значит (см. формулу (6) лекции 16), равен скалярной кри-
визне 7Z:
R=R}.
(Скалярная кривизна есть след тензора Риччи.)
Симметричность тензора Ric R означает, что отображе-
ние
Ric: R^ Ric R (18)
является — очевидно, FX-линейным — отображением FX-
модуля ВХ в FAf-модуль S2X всех симметрических FX-би-
линейных функционалов
aXxaX—^FX
(или — что равносильно — всех самосопряженных FX-ли-
нейных операторов аХ —» аХ).
Задача 12. Покажите, что если R = КЕ, где Е —
тензор Бианки с компонентами д^^ (см. формулы (7), (8)
лекции 16), то
RicR = (n-l)R5 = -5,
п
где, как всегда, д — метрический тензор.
В частности, мы видим, что при п = 2
Ric R = (19)
302
ТЕНЗОРЫ ЭЙНШТЕЙНА И ВЕЙЛЯ
Лекция 17
Поэтому при п = 2 отображение (18) заведомо не надь-
ективно.
Теняо ы Эйн При п 3 дело обстоит как раз наоборот,
штейнахВейля Предложение 2. При п^З отображе-
ние (18) надъективно и, более того,
обладает сечением, т. е. для него существует обрат-
ное справа FX-линейное отображение
Q: S2X-+BX. (20)
Доказательство. Для произвольного тензораS е
G S2X рассмотрим тензор Р с компонентами
Pij,kl + Sjl^ik
— 9ik Sil । &ik &il
&jk &jl Sjk Sji
(21)
где 5,-у — компоненты тензора S. В инвариантном виде тен-
зор Р определяется формулой
Р(Х, У, Z, W) = g(X, Z)S(Yt W) - g(X, W)S(Y, Z)+
+ g(Y, W)S(X, Z) - g(Y, Z)S(X, W) =
_lg(X,Z) g(X,W)l IS(X,Z) S(X,W)1
~ I S(Y,Z) S(Y, W) I + I g(Y, Z) g(Y, W) I ’
где X, Y,Z,W — произвольные векторные поля на X.
Задача 13. Проверьте, что тензор с компонента-
ми (21) является тензором Бианки.
Тензор Риччи тензора (21) имеет компоненты
= «V» - =
= (TrS)91J - + nStj = (Tr S)gv + („ - 2)S,3,
т. e. выражается формулой
Ric P = (Tr S)g + (n - 2)5, (22)
где Tr S = д^Брд — след тензора S.
С другой стороны, непосредственная подстановка пока-
зывает, что при S — д тензор (21) является тензором Биан-
ки 2Е. Поэтому, во-первых,
RicjE = (n—1)р (23)
Лекция 17
СЛУЧАЙ п= 3
303
(что доказывает, кстати сказать, утверждение задачи 12) и,
во-вторых,
Ric fp-^Ц-Е) = (п-2)5.
Поэтому формула
Р Тг 8
^=-2-(п-^2)В <М>
определяет FAf-линейное отображение (20), для которого
RicoQ = id. q
Следствие 1. При п > 3 подмодуль Im Q модуля ВХ
изоморфен модулю S2X и выделяется в ВХ прямым
слагаемым.
Доказательство. Дополнительное прямое сла-
гаемое состоит из тензоров Бианки R, для которых
Ric R = 0. □
Тензоры Бианки R, для которых Ric R = 0, называются
тензорами Вейля (физики называют их также безриччи^
евыми тензорами), а тензоры вида Q(S) — тензорами
Эйнштейна.
Таким образом, следствие 1 утверждает, что любой
тензор Бианки единственным образом разлагается в сумму
некоторого тензора Эйнштейна и некоторого тензора Вейля.
Случай п = 3- Применим полученные результаты к случаю
п = 3.
Следствие 2. При п = 3 подмодуль Im Q исчерпыва-
ет весь модуль ВХ (любой тензор БианкиR является
тензором Эйнштейна Q(Ric R)).
Доказательство. Размерность FAf-модуля тензо-
ров Вейля равна
dims*-dim**- _*!+1> .
n(n+ l)(n2 — n — 6)
и при n = 3 это число равно нулю, q
304
ПРОСТРАНСТВА ЭЙНШТЕЙНА
Лекция 17
Из следствия 2, в частности, вытекает, что при п = 3
риманов тензор кривизны R выражается через тен-
зор Риччи и гауссову кривизну:
Rij,ld = 9ikRjl ~ 9nRjk + 9jiRik ~ 9jkRil~
- (25)
Действительно, слева здесь компоненты тензора (24) при
л = 3 и S' = Ric R. q
Пространства Определение 4. Риманово (или псевдори-
Эйнштейна маново) пространство X называется про-
странств ом Эйнштейна, если его тензор Риччи Ric X
пропорционален метрическому тензору, т. е. если сущест-
вует такая функция А, что
Ric X = Хд (в компонентах Ri} = Хд^). (26)
Легко, впрочем, видеть, что функция А лишь числовым
множителем отличается от скалярной кривизны R. Дейст-
вительно, перейдя в (26) к следам (и учитывая, что Тг^ =
= ~ п)> мы немедленно получим, что
А = —. (27)
п
При п = 2 условие (26) автоматически выполнено
(см. формулу (19)), так что любое двумерное риманово
пространство является пространством Эйнштейна.
Поэтому условие (26) интересно лишь при п > 3.
Предложение 3. При п > 3 скалярная кривиз-
на пространства Эйнштейна постоянна (и, значит,
функция X из соотношения (26) также постоянна).
Доказательство. Ниже мы докажем следующую
лемму:
Лемма 1. В произвольном (псевдо)римановом про-
странстве X в каждой карте имеет место равенст-
во
^=2^Rlk, fc = l,...,n, (28)
где, как и выше,
Лекция 17
ПРОСТРАНСТВА ЭЙНШТЕЙНА
305
С другой стороны, если X — пространство Эйн-
штейна, то
й потому (напомним, что тензор 61к коварианто постоянен)
V,fl‘k =
эх с1 _ эх_
dxl6k ~ дхк'
дл п дх
Следовательно, согласно лемме, —г = 2—-г, и в то же вре-
дх11 дх*
мя (см. формулу (27)) —г = п—г. При п 3 это возможно
_____________ дх* дх*
Q'D
только при = 0. q
Осталось доказать лемму 1.
Доказательство леммы 1. Согласно тождес-
тву Бианки — Падова (см. формулу (23z) лекции 2)
M,fcI + ^kR},n + = о,
и, значит,
Rj,kl + 'ViRjk = 'V kRjl • (29)
С другой стороны, так как метрический тензор ковариантно
постоянен, то
дП = &ff>lRji
дхк дхк
И
-S*V<«U-S*V<R* = ’7 X-
Поэтому, свернув (29) с мы и получим (28). q
На лемме 1 основываются, кстати сказать, соображения, на основе ко-
торых Эйнштейн (одновременно с Гильбертом) пришел к уравнениям общей
теории относительности.
306 ПРОСТРАНСТВА ЭЙНШТЕЙНА Лекция [7
ЗадачаИ. Покажите, что формула (28) равносильна соотношу
ям
V<T®=0, j = l......п, (30)
- -^Spqj — Тензор Ric-yp с поднятыми вверх ин-
дексами.
С другой стороны, в рамках четырехмерной формализации специаль-
ной теории относительности закон сохранения энергии и импульса — запи-
санный в инвариантной форме — также имеет вид (30), где Т® — компо-
ненты так называемого тензора энергии-импульса Т (левая часть фор.
мулы (30) представляет собой не что иное, как компоненты дивергенции
тензорного поля Т, равенство нулю которой означает отсутствие у поля Т
источников и стоков; ср. в лекции III.28 обсуждение этого вопроса для век-
торных полей).
На этом основании Эйнштейн предположил, что эти тензоры совпада-
ют (при соответствующем выборе единиц измерения), т. е. что в физическом
пространстве-времени имеют место равенства
Rij-%9H=Tv’ i,j = 0,1,2,3, (31)
где — тензор Т со спущенными вниз индексами. Справедли-
вость этого предположения обосновывается согласием вытекающих из него
заключений с экспериментальными фактами.
Относительно д^ соотношения (31) являются (при данных Т*) диф-
ференциальными уравнениями второго порядка, и потому в принципе од-
нозначно характеризуют метрику (при данных начальных и граничных ус-
ловиях).
Заметим, что эти уравнения существенно нелинейны.
Из предложения 3 следует, что в каждом простран-
стве Эйнштейна тензор Риччи Ric ковариантно по-
стоянен:
^kRij = 0
и либо тождественно равен нулю, либо является всюду
невырожденным симметрическим тензором.
Обратно, если в пространстве аффинной связно-
сти X тензор Риччи ковариантно постоянен, сим-
метричен и невырожден, то связность на X является
метрической связностью и индуцируется метрикой,
по отношению к которой X является пространст-
вом Эйнштейна.
Лекция 17 КРИТЕРИЙ ТОМАСА 307
Действительно, если тензор Ric невырожден, то мы мо-
жем принять его за риманову метрику д на X. Будучи кова-
риантно постоянной, эта метрика индуцирует на X данную
связность (см. теорему 1 лекции 11), а так как Ric = д, то по
отношению к ней пространство X является пространством
Эйнштейна, q
Критерий Томаса Пусть пространство X риманово.
Задача 15. Покажите, что симметрический тензор S € №Х
в римановом пространстве X тогда и только тогда тождественно
равен нулю, когда равна нулю функция
W'S'Sh, (32)
где Sq — его компоненты. [Указание. Функция (32) равна сумме
квадратов компонент S* = g'kSq.]
Ддя тензора R^ — Xg^ функция (32) имеет вид
^М(л.у-а5,у)(яы-а5ы) =
=д*д^Нм - 2Xgik^9ijRkl + A2gikд?1gij9kl =
=R{iRij - 2X^Ri + Х2п = R^R* - 2АЯ + A2n,
72- • • • 722
и при A = — равна R^R'i-----. Поэтому риманово про-
п J п
странство X тогда и только тогда является про-
странством Эйнштейна, когда
К2 = пЯ^ (33)
(критерий Томаса).
ЛЕКЦИЯ 18
Конформные преобразования метрики. — Тензор конформ-
ной кривизны. — Конформные эквивалентности. — Конформно
плоские пространства. — Конформно эквивалентные поверхно-
сти. — Классификация поверхностей с конформной структурой.
Конформные Согласно следствию 1 предложения 2
преобразования предыдущей лекции тензор кривизны R
метрики (псевдо)риманова пространства X дыц.
скает разложение вида
R = Q(Ric) + W,
где W — тензор Бианки с компонентами
ш о 9ikRjl - 9nRjk + 9jiRik - 9jkRil ,
wij,kl ~ Kij,kl тГ=~2------------+
. 9jk9ji ~ 9jk9n —
(n—l)(n —2)
— вейлевская компонента тензора кривизны.
Последний тензор имеет интересный геометрический
смысл.
Определение 1. Говорят, что метрика д на многооб-
разии X получена конформным преобразованием метри-
ки д, если д отличается от д положительным множителем.
Этот множитель удобно обозначить через е2а, где а — неко-
торая функция на X:
9 = <?”д-
При конформном преобразовании длины кривых меня-
ются, но углы между кривыми остаются прежними.
Все объекты, относящиеся к метрике д, мы будем от-
мечать чертой наверху. В частности, символом н мы
будем обозначать компоненты риманова тензора кривизны
этой метрики (в некоторой карте, которую мы считаем раз
и навсегда фиксированной).
Если а = const, то, как мы знаем (см. лекцию 11), связ-
ность V при преобразовании д д не меняется, а потому
Лекция 18
КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕТРИКИ
309
не меняется и тензор кривизны Rjja- Что же касается рима-
нова тензора кривизны, то он приобретает множитель е2", и
потому разность равна нулю.
Вычислим эту разность в общем случае.
Это вычисление если не головоломно, то во всяком слу-
чае весьма громоздко. Чтобы сократить его объем, мы усло-
вимся для любого выражения вида Р&, зависящего от индек-
сов k, I (и, быть может, еще от других индексов), обозначать
результат = Рм — Ргк его альтернирования символом
Pki[kl]. Например, в этих обозначениях формула для R'. к1
из лекции 2 сокращается вдвое:
а формула для и приобретает вид
9ikRjl ~ 9jkRil 9ik9ji ~ 9jk9il ГМ1 /1Ч
=-------п"="2 +2(п-1)(п-2)Я (1)
Условимся также равенства вида PfcI[fcZ) = запи’
сывать формулой
<эи-
Кроме того, мы будем использовать и сокращенные класси-
ческие обозначения
<41 “V,,,.
В этих обозначениях
дх1
и потому
Поскольку = е^д'?, отсюда следует, что
Лу = Гу + Ч> т^В^=6}аг + 6^-д^р,
310
КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕТРИКИ
Лекция 18
и, значит,
<ЭГ1 -п <ЭГ1 9В[- . „ . „ „
= ^+^+П,Д+в)ЛлПЛ,+^Лг
Но
В'^ ® -1^В',Г,
dBi ...
+ W
и Г£г В1^ 1=10. Поэтому
- Rj,kl = + В<крВ? [Ы]. (2)
С другой стороны, так как Vj<5J- = 0 (тензор <$’ ковари-
антно постоянен), то
^kBlj = 6jal,k + 6laj,k ~ 9jid'Pcrp,k^
и в то же время
BkPBij = (fa + fa ~ 9Pk9fa)(fa + fa - 9jl9fa) =
= fa*k + 6halaj - 9jk9ia^s+
+ 6l°j°h + 6kajal ~ 9lk9iS(Tja3-
~ 9jl9lt^tak - ttejig^pVt + 9jl9,S<7ka3-
Поскольку
[Ы] n xi [W] n is [fcl] n
al,k = °> + 6kajal - 0, 9ik9 ^s = 0
отсюда следует, что
ЛеКЦИЯ 18 ТЕНЗОР КОНФОРМНОЙ КРИВИЗНЫ 311
-1 6Kaj,k - ajak) - 6k9jl9St^s^t - 9ji9ip(^p,k-^k) =
= 6l(Sjk ~ ^9jk9at^t) ~ Sk9jl9St^t~
- 9ji9'P(Spk ~ ^9pk9st^t) =
= $Sjk - 9jl9^Spk - ^at(6j9j.k + 6'k9jl) ®
где
shl = ak,l ~ °kal + 29kl9Stas<Tt’ <3>
Поэтому
«„(VjBj + B^BJ) Щ!
и, значит,
e~2aRij,kl ~ Rij,kl = 9nsjh ~ 9ji$ik [^1- (4)
В раскрытом виде эта формула имеет вид
е Rij,kl ~ Rij,kl = 9ilSjk ~ 9jlRik ~ 9ikRjl + 9jkRib (4 )
а в классических скобочных обозначениях (ср. лекцию П.9а,
стр. 100, а также лекцию IV. 19, стр. 341) — вид
~ Rij,kl = Я[,|[1^ф] (4")
(здесь мы воспользовались симметричностью Skl = Stk тен-
зора Skl).
Тем самым наша задача полностью решена.
Тензор конформ- Свертка тождества (4') с тензором gik =
ной кривизны _ glitgik дает дЛЯ тензоров Риччи формулу
Rjl ~ RH = ~9jlS “ (n “ 2)5'у?> гДе S = 9ikRik^ (5)
уже не содержащую слева е~2а, а дальнейшая свертка с <^г
дает формулу для скалярных кривизн:
е2°П-П= -2(n- 1)S, (6)
в которой е2" снова появляется.
312
ТЕНЗОР КОНФОРМНОЙ КРИВИЗНЫ
Лекция 18
Из формул (5) и (6) следует (при п > 2), что
с RH~Rjl .
п-2 г 2(п — 1)(п-2р7’
и потому
_ с - с _ "* Sjk^il 9ik^jl ~ 9jk^il
9^-9^ = г ------------------------~2--------
_ -2<r 3ih9jl ~9jk9ii = , 9ih9jl ~ 9jk9il
2(n—l)(n-2) 2(n-l)(n-2)
Согласно формуле (4) альтернация [fcZJ левой части это-
го равенства равна а согласно формуле (1)
альтернация правой части равна +
+ - Rjjjd- Поэтому после альтернации равенство (7)
приобретает вид
= W^. (8)
Здесь удобно перейти к компонентам Wj w тензора W
с поднятым первым индексом, связанным с компонента-
ми Я^к1 тензора кривизны формулой
= _ + М- (9)
n—Z z(n — l)(n — Z)
Для этих компонент формула (8) имеет вид
Кы = w;tkl,
означающий, что при конформном преобразовании ме-
трики тензор W с компонентами WJkl не меняется.
Этот тензор называется тензором конформной кри-
визны Вейля.
Для пространства Эйнштейна
“ Ri* - <10)
Лекция 18
КОНФОРМНО ПЛОСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
313
Конформные Утверждению о конформной инвариант-
эквимлентности ности тензора Вейля может быть придан
несколько иной — часто более удобный — вид.
Пусть X и У — римановы (или псевдоримановы) про-
странства с метрическими тензорами дх и ду соответст-
венно. Ясно, что для любого диффеоморфизма f: X —> У
тензор fgy является (псевдо)римановой метрикой на X.
Определение 2. Диффеоморфизм f: X —> у на-
зывается конформной эквивалентностью, если метри-
ка f*gy на X получается из метрики дх конформным пре-
образованием, т. е. если на X существует такая всюду по-
ложительная функция <р, что
f*9y = Р9х-
На этом языке конформная инвариантность тензора
Вейля означает, что для любой конформной эквивалент-
ности f: X —>У имеет место равенство
fWy = Wx,
где Wx и Wy — тензоры Вейля пространств X и У
соответственно.
Заметим, что при п = 2 конформные эквивалентно-
сти— это в точности конформные отображения относитель-
но индуцированных конформных структур на поверхнос-
тях X и У (т. е. — см. лекцию 14 —диффеоморфизмы, запи-
сывающиеся в конформных координатах голоморфными или
антиголоморфными функциями).
Кояформяо Риманово пространство X называется кон-
плоские формно плоским, если его метрика может
пространства быть конформно преобразована в плоскую
метрику (с тождественно равным нулю тензором кривизны).
Для такого пространства тензор W тождественно равен ну-
лю.
Тензор W равен нулю и в случае, когда каждая точка
пространства X обладает окрестностью, на которой метрика
может быть конформно преобразована в плоскую метрику,
т. е. когда пространство X локально конформно плоско.
Замечание 1. Оказывается, прн п 4 верно и
обратное утверждение: если W = 0, то пространств
314
КОНФОРМНО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Лекция 18
во X локально конформно плоско. Мы доказывать это
ие будем.
Согласно следствию 2 предложения 2 лекции 17 при
п = 3 тензор W тождественно равен нулю.
3 а д а ч а 1. Приведите пример трехмерного риманова пространства,
не являющегося локально конформно плоским.
При п = 3 роль тензора W играет тензор V с компо-
нентами
V7 р •' V7 р 871 „ _ 971 _
у — У*
У*5 n —2 2(n—l)(n —2)‘
3 а д а ч a 2. Покажите, что:
а если трехмерное риманово пространство' локально конформ-
но плоско, то V — 0;
б при n 4 из равенства W = 0 следует равенство V = 0.
Замечание 2. Можно показать, что при п = 3 ра-
венство V = 0 не только необходимо, но и достаточно для
того, чтобы риманово пространство было локально конформ-
но плоским. Ср. замечание 1.
При п = 2 факт существования изотермических коор-
динат (см. предложение 2 лекции 13) показывает, что при
п = 2 каждая метрика локально конформно плоска.
Однако утверждение о том, что любая по-
верхность глобально конформно плоска,
неверно. Справедливо лишь следующее
Конформно
эквивалентные
поверхности
более слабое предложение.
Предложение 1. Любая поверхность конформно
эквивалентна геодезически полной поверхности по-
стоянной гауссовой кривизны.
Здесь под поверхностью понимается произвольное дву-
мерное риманово пространство X — двумерное гладкое мно-
гообразие (паракомпактное и хаусдорфово), снабженное ри-
маиовой метрикой. Гауссова кривизна К такого пространст-
ва вычисляется по формуле (5) (или (8)) лекции III.5.
Следствие 1. На любой поверхности X существу-
ет геодезически полная метрика постоянной гауссо-
вой кривизны.
Лекция 18
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
315
Здесь под поверхностью понимается произвольное дву-
мерное паракомпактное и хаусдорфово гладкое многообра-
зие, вообще говоря, без метрики.
Конечно, без ограничения общности мы можем — как
в предложении 1, так и в следствии 1 — считать по-
верхность X связной (и потому — см. замечание 2 лек-
ции Ш.24 — удовлетворяющей второй аксиоме счетности).
Классификация
поверхностей
с конформной
структурой
Доказательство предложения 1 основы-
вается на классификации всевозмож-
ных связных поверхностей с конформ-
ной структурой (см. определение 1 лек-
ции 14). Поэтому нам нужно в первую очередь заняться этой
классификацией.
Пусть X — произвольная поверхность с конформной
структурой, и пусть X — односвязная поверхность, универ-
сально накрывающая поверхность X. Как мы знаем (см. за-
дачу 2 лекции 14), на X существует единственная конформ-
ная структура, по отношению к которой накрывающее отоб-
ражение тг: X —► X конформно. При этом так как поверх-
ность X, будучи односвязной, ориентируема, то эта струк-
тура комплексно аналитична (определяет X как риманову
поверхность). С другой стороны согласно известной в те-
ории функций теореме Римана об унифор-
м и з а ц и и . (называемой также теоремой Кёбе)
любая односвязная риманова поверхность комплексно
аналитически эквивалентна либо сфере Римана С+,
либо плоскости комплексных чисел С, либо единично-
му кругу А = {w е С; |w| $ 1} (или — что равносиль-
но — верхней полуплоскости Р = {z G С; Imz > 0}).
А поскольку X = Х/Т, где Г — группа автоморфизмов на-
крытия X —► X (состоящая — см. утверждение Б задачи 2
лекции 14 — из конформных диффеоморфизмов X —> X),
это доказывает, что любая поверхность X с конформ-
ной структурой имеет вид Х/V, где X —либо сфе-
ра С+, либо плоскость С, либо полуплоскость Р, а Г —
некоторая дискретно действующая группа конформ-
ных диффеоморфизмов X —> X.
316
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Лекция 18
При X = Cf поверхность X называется поверхностью
эллиптического типа, при X = С—поверхностью пара.
болического типа, а при X — Р — поверхностью гипербо-
лического типа.
Поверхности параболического типа.
На языке теории функций комплексно аналитические пре-
образования /: С —> С — это не что иное, как однолистные
целые функции. Если такая функция имеет в оо сущест-
венно особую точку, то по теореме Вейерштрасса она будет
принимать вблизи оо значения, сколь угодно близкие к /(0),
и, следовательно, — поскольку множество /(Д) открыто —
вблизи оо (и, значит, вне Д) будет существовать такая точ-
ка z0, что /(z0) G /(Д), т. е. такая, что /(^) = /(zj, где
zi G Д. Так как это противоречит однолистности (точки z0
н Zj заведомо различны), то, следовательно, для функции f
точка оо не может быть существенно особой точкой, и, зна-
чит, эта функция— не являясь постоянной — имеет в точ-
ке оо полюс, т. е. является многочленом (положительной
степени). Поскольку же многочлен степени п осуществля-
ет — по основной теореме алгебры — n-листное отображе-
ние С —> С, степень многочлена f равна 1, т. е. f = az + b,
где а / 0. Таким образом, комплексно аналитические
диффеоморфизмы С —► С — это в точности линей-
ные преобразования
z' = az + b,
а/0.
Если а / 1, то такое преобразование имеет неподвижную
b
точку ----, и потому не может принадлежать дискретно
действующей группе Г. Значит, любая дискретно дейст-
вующая группа Г комплексно аналитических преобра-
зований С —> С состоит из параллельных переносов
z/ = z + b.
(ID
Поскольку же для конформного, но не комплексно анали-
тического преобразования f: С —> С преобразование z
f(z) комплексно аналитично, мы получаем, далее, что
любая дискретно действующая группа Г конформных
диффеоморфизмов С —> С, кроме параллельных пере-
ДеКЦИЯ 18 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 317
носов (1), может содержать только преобразования
вида
zf = z + b (12)
(композиции параллельных переносов с симметриями отно-
сительно вещественной оси).
Поскольку преобразования (11) и (12) являются (соб-
ственными или несобственными) движениями плоскости С
(по отношению к евклидовой метрике на С = JR2), этим до-
казано, что каждая поверхность параболического типа
имеет вид R2/T, где Г — некоторая дискретно дейст-
вующая группа движений евклидовой плоскости R2.
Все эти поверхности легко перечисляются (по крайней
мере, с точностью до диффеоморфизма). При Г = {id} в ка-
честве поверхности Ц2/Г получается сама плоскость R2. Да-
лее, можно показать, что любая дискретно действующая
на IR2 группа параллельных переносов (11) состоит либо
из переносов вида z' = z + nb0, где Ьо — фиксированное
отличное от нуля комплексное число и п G Z, либо из
переносов вида z' = z + mb{ + nb2, где b{,b2 — линейно
независимые над полем R комплексные числа, а т, п G Z.
В первом случае факторпространство Й2/Г диффеоморфно
цилиндру S1 х (0,1) (без краевых окружностей), а во вто-
ром — тору S1 x S1. Если же группа Г содержит преобра-
зования вида (12), то факторпространство R2/T диффео-
морфно либо листу Мёбиуса, либо так называемой бутыл-
ке Клейна, получающейся из цилиндра склеиванием крае-
вых окружностей с обращением ориентации (при склеива-
нии с сохранением ориентации получается тор).
Таким образом, имеется только пять недиффео-
морфных поверхностей параболического типа: пло-
скость, цилиндр, тор, лист Мёбиуса и бутылка
Клейна.
Это утверждение нам фактически сейчас не нужно, и
мы отложим его доказательство до следующего Семестра.
(Впрочем, оно настолько просто, что читатель, безусловно,
сможет самостоятельно справиться с ним уже сейчас.) Там
мы получим и классификацию поверхностей параболиче-
ского типа не только с точностью до диффеоморфизма, но и
с точностью до конформной эквивалентности (и изометрич-
Ности).
318
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Лекция 18
Поверхности эллиптического типа
Примером комплексно аналитического преобразования
С+ —► С+ является произвольное дробно-линейное преоб-
разование
az + b
<p(z) = ег"^_ ad —fee/О, a, b, с, de С. (13)
Если комплексно аналитическое преобразование ft С+ -ч
—► С+ переводит точку z0€ С в точку оо, то преобразование
9 = f ° ¥>о> гДе
z0z
z+l'
будет оставлять точку оо на месте, и, значит, его ограниче-
ние на С будет диффеоморфизмом С —► С, т. е. согласно до-
казанному выше будет линейным преобразованием вида z' =
= az + b, a / 0. Поэтому преобразование f = до<р^1 дробно-
линейно. Значит, дробно-линейные преобразования (13)
исчерпывают все комплексно аналитические диффео-
морфизмы С+ —► С+. Но мы знаем — см. лекцию 1.32,—
что каждое нетождественное преобразование (13) непремен-
но имеет неподвижные точки, и потому не может принад-
лежать дискретно действующей группе Г. Это доказывает,
что дискретно действующая группа комплексно аналитиче-
ских преобразований С+ —> С+ необходимо состоит только
из тождественного преобразования id, и, значит, что сфера
С+ = S2 является единственной ориентируемой по-
верхностью эллиптического типа.
Что же касается не комплексно аналитических кон-
формных преобразований С+ —► С+, то все они имеют вид
/ = ad-fee/0, a,b,с,de С. (14)
cz + d
С другой стороны, поскольку композиция любых двух пре-
образований (14) имеет, очевидно, вид (13), дискретно дей-
ствующая группа Г может содержать не более одного пре-
образования (14) и это преобразование должно быть инво-
лютивно (его квадрат должен быть тождественным преоб-
разованием id). Примером такого преобразования служит
преобразование
М (15)
деКЦИЯ 18 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 319
(композиция инверсии относительно единичной окружности
|^| = 1 и центральной симметрии относительно точки 0).
Задача 3. Покажите, что
а. Отвечающая преобразованию (15) поверхность
С+ /Г является не чем иным, как проективной пло-
скостью RP2. [Указание. Стереографическая проекция
§2 С+ переводит антиподальное отображение х »-+ —х,
х е S2, в преобразование (15).]
б. Каждая инволюция С+ —> С+, действующая
на С+ без неподвижных точек, сопряжена инволю-
ции (15). [Указание. При ad — be = 1 преобразова-
ние (14) инволютвно тогда и только тогда, когда либо Ь,с е
е R и d = —а, либо ib,ic € R и d = а, причем преобразова-
ние не имеет неподвижных точек только в первом случае.]
Это означает, что проективная плоскость SLP2 явля-
ется единственной неориентируемой поверхностью
эллиптического типа.
Обратим внимание, что для поверхностей эллипти-
ческого типа группа Г также состоит из движений
(но на этот раз не плоскости, а сферы).
Поверхности гиперболического типа.
Оказывается, что последний вывод сохраняется и для по-
верхностей гиперболического типа при условии, что Р
(или А) мы будем трактовать как модель геометрии Ло-
бачевского, а движения Р —► Р будем понимать в смысле
этой геометрии. Действительно, согласно так называемому
принципу соответствия границ любое ком-
плексно аналитическое преобразование f : Р —> Р_по непре-
рывности распространяется до гомеоморфизма Р —► Р на
себя замкнутой полуплоскости (переводящего в себя веще-
ственную ось), а потому— согласно принципу сим-
метрии — и до комплексно аналитического преобразова-
ния С+ —► С+ (действующего по формулам z »-+ f(z), ес-
ли z е Р, и z /(г), если z £ Р), т. е. по доказанному
выше — до дробно-линейного преобразования (13). С другой
стороны, чтобы преобразование (13) было преобразованием
Р —> Р, необходимо — согласно тому же принципу соответ-
ствия границ, — чтобы Im г/ = 0 при Im z = 0. Но если
л j Ъ , , а + b
z = 0, то г = -г, если z = 1, то / =--, а если z = оо,
d с + d
320 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 1g
то d = -. Поэтому если Lm z' = 0 при Im z = 0, то b = dr
a = csaa + b= R(c + d), где r, s и R — вещественные чис-
ла. При стандартной нормировке ad - be = 1 это, как легко
видеть, возможно, только когда все коэффициенты a,b,c,d
вещественны или чисто мнимы. Но случаи, когда все коэф,
фициенты a, b, с, d чисто мнимы, невозможен, поскольку в
этом случае
ai+b (ai + b)(c + id) (ai+b)(c — id)
Im —; = Im —;-------—5----= Im----:-----75— =
сг + d \ci + d|2 \сг + d|2
= = -1 n
|c» + d|2 |ct + d|2
и, значит, образ точки i G P при преобразовании (13) не
принадлежит Р. Обратно, если эти коэффициенты вещест-
венны (и ad - be = 1), то
. Im(az + d)(c?+d) Imz Imz
Imz =——:-------------=(ad — bc)-.---7^=7-----(16)
[cz + dl2 'lcz + dl2 |cz + d|2
и потому преобразование (13) переводит Р в Р.
Таким образом, комплексно аналитические преоб-
разования Р —♦ Р задаются формулой (13) с вещест-
венными коэффициентами (при нормировке ad — bc =
= 1). Но мы знаем (см. формулу (3) лекции 1.33), что это
в точности все собственные движения плоскости Лобачев-
ского (и, значит, — см. формулу (4) лекции 1.33 — конформ-
ные, но не аналитические преобразования Р —► Р — это
несобственные движения этой плоскости).
Все это доказывает следующее предложение.
Предложение 2. Каждая поверхность с конформ-
ной структурой имеет вид M./Y, где JA = S2, R2 или Р,
а Г — группа движений соответствующей геометрии
(евклидовой, сферической или Лобачевского), дискрет-
но действующая hoM.q
Предложение 1 мы, выведем отсюда в следующей
лекции.
Замечание 3. Представление поверхности в виде
Л4/Г позволило нам выше описать — по крайней мере с точ-
Лекция 18
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
321
ностыо до диффеоморфизма — все поверхности параболиче-
ского и эллиптического типов. Ничего похожего нельзя сде-
лать для поверхностей гиперболического типа — их слиш-
ком много и они слишком сложно устроены. Однако ком-
пактных поверхностей гиперболического типа сравнитель-
но мало (две счетные серии), и их топологическое строение
вполне обозримо. Мы опишем их в следующем Семестре.
11 М. M. Постников
ЛЕКЦИЯ 19
Локально изометрические отображения римановых про-
странств. — Метрические накрытия. — Теорема о растягива-
ющих отображениях. — Изометрические отображения римано-
вых пространств. — Группа изометрий риманова пространст-
ва. — Эллиптическая геометрия. — Доказательство предложе-
ния 1 лекции 18. — Размерность группы изометрий. — Поля Кил-
линга. — Риманова связность на подмногообразии риманова про-
странства. — Формулы Гаусса и Вейнгартена для подмногообра-
зий римановых пространств. — Нормаль средней кривизны. —
Соотношения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи. — Случай,
когда объемлющее пространство плоско.
?еХ?отоб?Х^ия ПУСТЬ Х и У — римановы (или псевдо-
римановых про- римановы) пространства с метрически-
странств ми тензорами дх и ду и римановыми
связностями Vх и Х7У. Пусть, кроме того, n = dim Д’ и т =
— dim у.
Определение 1. Гладкое отображение f : X У на-
зывается локально изометрическим отображением, ес-
ли f*gy = дх, т. е. (см. замечание 3 лекции III.18) если для
любой точки р G X отображение
Tpx-+iqy,
Ч = /М
является изометрическим отображением (псевдо)евклидова
пространства ТрХ на подпространство (псевдо)евклидова
пространства ТдУ
Ясно, что любое такое отображение является погруже-
нием в смысле определения 1 лекции III. 13. Поэтому для
того, чтобы локально изометрические отображения X У
существовали, необходимо, чтобы было выполнено неравен-
ство
п т.
(Кроме того, сигнатуры тензоров дх и ду должны быть таки-
ми, чтобы в пространствах Tqy существовали подпростран-
ства, изометричные пространствам ТрХ; конечно, это заме-
чание релевантно только для псевдоримановых пространств
Хи У.)
Лекция 19
ЛОКАЛЬНО ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
323
Так как для каждого локально изометрического отобра-
жения f \ X у и любой кривой 7: I X на X длина
кривой /07: I -4 у равна, очевидно, длине кривой 7, то
Р(/(р)»/(9))<Р(Р,9) (О
для любых точек р, q G X (локально изометрическое
отображение не увеличивает расстояний', конечно,
пространства X и У предполагаются здесь римановыми и
связными).
Пусть теперь п = т (и, значит, каждое локально изоме-
трическое погружение является этальным отображением).
Задача 1. Докажите, что каждое локально изо-
метрическое отображение римановых пространств
одной и той же размерности является аффинным
отображением (по отношению к связностям Vх и Х7У).
[Указание. Воспользуйтесь единственностью римано-
вой связности.]
Предложение 1. Гладкое отображение
f: Х-*У
связного (псевдо)риманова пространства X в (псевдо)
риманово пространство У той же размерности тогда
и только тогда локально изометрично, когда
1) оно аффинно',
2) существует такая точка pQ G X, что отобра-
жение
' (df) : Т X—*Тqy, q0 = f(p0)
является изометрическим отображением простран-
ства Т X на пространство Т_ У.
ро чо
Доказательство. Достаточно заметить, что со-
гласно утверждению Г предложения 1 лекции 3 для любых
точек р0,р е X и любой кривой 7: I —+ X, соединяющей
точку р0 с точкой р, имеет место коммутативная диаграмма
V “ V
«0,4 |«0,
V
11«
324
МЕТРИЧЕСКИЕ НАКРЫТИЯ
Лекция 19
где q0 = f{p0), q = f(p), а ГЦ и — изометрии (см. зада-
чу 3 лекции 11). □
Метрические Задача 2. Пусть X — гладкое многообра-
накрытия зие, у — риманово пространство той же раз-
мерности и f : X —+ У — этальное отображение. Докажите,
что на X существует единственная метрика дх, по
отношению к которой отображение f локально изо-
метрично. [Указание. Положите дх = f*gy]
Ср. задачу 4 лекции 3 и утверждение А задачи 2 лек-
ции 14.
В частности, мы видим, что для любого гладко-
го накрывающего отображения к: X —* X {псевдо)
риманова пространства X на многообразии X суще-
ствует единственная {псевдо)романов а метрика, по
отношению к которой отображение тг локально изо-
метрично.
Эта метрика задается формулой g = тг*р, где g — ме-
трика на X-
Гладкое накрытие {Х,к, X), проекция -тг которого яв-
ляется локально изометричным отображением, называется
метрическим накрытием. Оно, конечно, будет аффин-
ным накрытием в смысле лекции 3. Поэтому (см. предложе-
ние 4 лекции 3) для метрического накрытия {Х,к, X)
пространство X тогда и только тогда полно, когда
полно пространство X.
Замечательно, что в категорий полных римановых про-
странств метрические накрытия исчерпывают все локально
изометричные отображения.
Теорема 1. Каждое локально изометрическое
отображение
/ Х-* У
полных римановых пространств одной и той же раз-
мерности является накрытием {автоматически оно
будет метрическим).
(Напомним, — см. лекцию 12 — что полные римановы
пространства по определению связны.)
Доказательство. Пусть р0 6 X и q0 = f{p0)
Так как пространство У полно, то согласно теореме Хоп-
ДекЦИЯ 19 МЕТРИЧЕСКИЕ НАКРЫТИЯ 325
фа — Ринова для любой точки q Е У существует геодези-
ческая 7: t Н-+ exp.tB, 0 t 1, соединяющая точку q0 с
чо
точкой q. Так как отображение f этально, то в пространст-
ве Т X существует такой вектор А, что (df) А = В, а так
"о *0
как отображение f аффинно, то /(ехр_ А) = ехр В = q.
Fo ч0
Следовательно, отображение f надъективно.
Поэтому для доказательства теоремы 1 нужно лишь
доказать, что произвольная точка q Е У обладает окрест-
ностью V, ровно накрытой отображением /, т. е. такой, что
ее прообраз f~lV является дизъюнктным объединением от-
крытый множеств, диффеоморфно отображающихся посред-
ством f на V.
Для любого е > Омы обозначим символом У(е) ша-
ровую е-окрестность точки q, а символом Up(e) — шаровую
e-окрестность произвольной точки р Е f~l(q).
Пусть 6 > 0 — такое число, что 26-окрестности Up(26)
и V(26) точек р и q нормальны. Покажем, что за V можно
принять 6-окрестность V(6).
Так как в коммутативной диаграмме
B2fi(V) b25(V)
ехрр| |ехр?
Up(26) У(26)
все отображения, кроме отображения f, являются диффео-
морфизмами, то отображение f также будет диффеоморфиз-
мом. Кроме того, если для точек рх,р2 Е /-1(ч) пересечение
U (6) П Uo (6) непусто, то в силу неравенства треугольника
Р2 G Uo (26) и, значит, р. — р2. Таким образом, Up (6) Г)
П Up (6) / 0 только при рх — р2. Наконец, пусть а е f~lV,
где V — У(6), и пусть Ь = f(a). Так как b Е V, то p(b,q) =
= p(g,6) < 6. Поэтому существует такой вектор В Е ТЬУ,
|В| < 6, что q = ехрьВ. Пусть (df)aA = В, А Е ТаХ и
Р = ехроЛ. Так как /(ехроЛ) = ехрьВ = q, то р Е f~l(q) и
326 ТЕОРЕМА о РАСТЯГИВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ Лекция 19
р(р, а) = р(а,р) — p(b, q) < 6, т. е. а Е Up(6). Следовательно,
r'v~ Ц о
'(9)
Задача 3. Докажите, что если римановы про-
странства X и У одной и той же размерности связ-
ны, пространство X полно и существует локально
изометрическое отображение f: X У, то простран-
ство У также полно.
Теорема о рас-
тягивающих
отображениях
ющим, если
Определение 2. Отображение f ; X —►
У римановых пространств одной и той
же размерности п называется растягива-
\(df)pA\ >
для любой точки р 6 X и любого вектора A Е ТрХ.
Следствие 1. Любое растягивающее отображение
f : X —» У полного риманова пространства X в связное
риманово пространство У той же размерности яв-
ляется накрытием (вообще говоря, неметрическим1.).
Если такое отображение существует, то простран-
ство У полно.
Доказательство. Растягивающее отображение,
очевидно, этально. Поэтому на X определена риманова ме-
трика f*gy, и, следовательно, по отношению к метрикам
f*gy я 9у отображение f локально изометрично. С другой
стороны, ясно, что длина любой кривой 7 в пространстве X
относительно метрики дх не больше длины кривой /07В
пространстве У относительно метрики ду, т. е. длины ис-
ходной кривой 7 относительно метрики J*gy. Поэтому для
любых точек р, q Е X имеет место неравенство
Р'(Р, 9) > Р(Р, «),
где р’ и р — римановы расстояния в X, отвечающие ме-
трикам f*gy til дх, соответственно. Следовательно, каждая
фундаментальная относительно метрики р' последователь-
ность будет фундаментальной последовательностью и отно-
сительно метрики р, и потому — в силу полноты простран-
ства X относительно метрики р — будет сходящейся после-
довательностью. Таким образом, пространство X полно и
Лекция 19
ГРУППА ИЗОМЕТРИЙ РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА
327
относительно метрики f*gy- Следовательно пространство У
также полно (см. задачу 3). Поэтому к пространствам Х,У
и отображению f применима теорема 1. q
Изометрические Определение 3. Локально изометриче-
отображени» ское отображение f : X —> у (псев-
рнмановых до)римановых пространств называется
пространств изометрическим отображением или
просто изометрией, если оно биективно (и, значит, пред-
ставляет собой диффеоморфизм).
Примером изометрии является каждая параметризация
г = r{u,v), (u,v) € U, произвольной элементарной поверх-
ности X. [Здесь роль X играет U, а роль У играет X. Роль ду
играет метрический тензор д поверхности X, а роль дх —
он же, но рассматриваемый как тензор на С/.]
Римановы (или псевдоримановы) пространства X и У
называются изометричными, если существует хотя бы од-
на изометрия X у. [Отметим, что по отношению к ло-
кально иэометричным отображениям принята иная термино-
логия. Именно, пространства X и У называются локально
изометричными, если любая точка пространства X об-
ладает окрестностью, изометричной окрестности некоторой
точки пространства j?.]
Для изометрий неравенство (1) превращается, конечно,
в равенство, т. е. каждая изометрия f : X У рима-
новых пространств X и У сохраняет риманово рас-
стояние (является их изометрией, как метрических про-
странств).
Задача 4. Покажите, что и обратно, каждый диффеоморфизм
f: X -+ у римановых пространств, сохраняющий риманово рассто-
яние, является изометрией. (Указание. См. предложение 1 лек-
ции Ш.З.]
Группа изоме-
трий риманова
пространства
лом Iso X.
Изометрии (псевдо)риманова пространства
X на себя составляют, очевидно, группу.
Мы будем обозначать эту группу симво-
3 а д а ч а 5. Покажите, что
А. Для любого метрического накрытия (X,ir, X)
328
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Лекция 19
группа к\ЛХ его автоморфизмов (скольжении) состо-
ит из изометрий (является подгруппой группы Iso %)
Б. Если в гладком накрытии (Х,к,Х) прострой-
ство X (псевдо)риманово и если
а накрытие регулярно',
б его группа автоморфизмов состоит из изоме-
трий пространства X,
то на X существует единственная (псевдо)риманова
структура, по отношению к которой накрытие
(X, к, X) является метрическим накрытием.
В частности, для любой дискретно действующей
группы Г изометрий (псевдо)риманова пространст-
ва X фактормногообразие X/V обладает единствен-
ной (псевдо}римановой структурой, по отношению
к которой проекция тг. X —* X/V является локаль-
но изометрическим отображением (метрическим на-
крытием).
Ср. задачи 5 и 6 лекции 3 и задачу 2 лекции 14.
Эллиптическая Пример 1. Пусть §д — сфера радиуса
геометрия /? > 0 с центром в (n + 1 )-мерном простран-
стве R”*1 и Г — группа второго порядка, порожденная ан-
типодальным отображением х н-> -х. Так как последнее
отображение является изометрией сферы (рассматрива-
емой как риманово пространство с метрикой, индуцирован-
ной стандартной евклидовой метрикой пространства R"'1).
то согласно утверждению Б задачи 5 проективное п-мерное
пространство
обладает единственной римановой метрикой, по отношению
к которой естественная проекция Бд —+ RjPJJ является ло-
кально изометричным отображением.
Снабженное этой метрикой проективное пространст-
во RPn называется эллиптическим пространством.
Подобно тому как пространство Rn является носите-
лем геометрии Евклида (иначе называемой параболической
геометрией), шар Вд радиуса R > 0 — носителем геоме-
трии Лобачевского (иначе — гиперболической геометрии;
см. лекцию П.12в), а сфера Бд— носителем сферической
ДеКЦИЯ 19 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 1 ЛЕКЦИИ 18 329
геометрии, пространство R Р£ служит носителем так назы-
ваемой эллиптической геометрии (или геометрии Риг-
мана; не путать с римановой геометрией!). В эллиптиче-
ской геометрии — так же как и в геометриях Евклида и Ло-
бачевского — любые две различные геодезические (которые
здесь также называются прямыми) пересекаются не более
чем в одной точке, но — в отличие от геометрий Евклида и
Лобачевского — в эллиптической геометрии любые две пря-
мые непременно пересекаются (параллельных прямых нет),
и каждая прямая представляет собой замкнутую линию ко-
нечной длины irR. (Тогда как в сферической геометрии гео-
дезические — которыми являются большие круги сферы —
пересекаются в двух точках.)
Эллиптическую геометрию — подобно геометриям Евк-
лида и Лобачевского — можно строить чисто синтетически
на основе аксиом, но все это далеко выходит за рамки на-
шего изложения.
Доказательство Теперь мы можем доказать и предложение 1
предложения! лвКЦИИ 18.
лекции 18 Доказательство предложения 1
лекции 18. Пусть Д’ — произвольная поверхность с ри-
мановой метрикой д. Согласно предложению 2 лекции 18 по-
верхность X с конформной структурой, индуцированной ме-
тиной д, конформно эквивалентна факторпространству вида
М/Г, где М = S2, R2 или Р, а Г — дискретно действующая
группа движений соответствующей геометрии, т. е. изоме-
трий М М. Поэтому метрика пространства М (имею-
щая, как мы зиаем, постоянную кривизну и полная) инду-
цирует некоторую метрику д0 на поверхности X (также, ко-
нечно, имеющую постоянную кривизну и полную). Метри-
ка дй задает ту же конформную структуру, что и метрика д,
и, значит, ей конформно эквивалентна. □
Отметим также следующеее предложение, являющееся
непосредственным следствием утверждений А и Б задачи 5.
Предложение 2. Каждое связное (псевдо) риманов о
пространство изометрично пространству вида X/V,
где X — односвязное (псевдо) риманово пространство,
«Г — некоторая дискретно действующая группа его
Изометрий, q
330
РАЗМЕРНОСТЬ ГРУППЫ ИЗОМЕТРИЙ
Лекция 19
Размерность Согласно утверждению задачи 1 группа изо-
группы изо- метрий Iso Д' является подгруппой группы
метрик а всех аффинных отображений X
—► X пространства X на себя, являющейся, как мы знаем
(см. предложение 1 лекции 10), группой Лн.
Задача 6. Докажите, что группа IsoAf замкнута в группе.
Ли Aff Д’.
Согласно теореме Картана (теорема 1 лекции IV. 15),
это доказывает первое утверждение следующего предло-
жения.
Предложение 3. Для любого связного (псев-
до)риманова пространства X группа IsoAf его изоме-
трий является группой Ли. Ее размерность не пре-
п(п+1)
восходит-------, где, как всегда, п = dim л.
Поля Киллинга Впрочем, это утверждение можно доказать
н иначе (одновременно получив доказатель-
ство и второго утверждения).
Определение 4. Векторное поле X на (псев-
до)римановом пространстве X называется полем Киллин-
га (или инфинитезимальной изометрией), если порож-
денный этим полем поток состоит из изометрий.
Конечно, каждое поле Киллинга является аффин-
ным полем, (см. определение 1 лекции 8), т. е. множество
isoX всех полей Киллинга содержится в алгебре Ли aff Д'
аффинных полей.
Задача 7. Докажите, что поле X G аХ тогда и
только тогда является полем Киллинга, когда
£Х9 = О
(где, как всегда, g — метрический тензор пространства X, а
£х— производная Ли; см. лекцию III. 17).
В силу тождества [£x,£r] = £[X<Y] (см. задачу 3 лек-
ции III. 19) отсюда следует, что множество iao X является
подалгеброй алгебры Ли aff X.
В координатах равенство £х g = 0 имеет вид
д9ц vk дХк дХк
дхкХ +9ikdxj +9ki dxi
= 0.
Лекция 19
ПОЛЯ ХИЛЛИНГА
331
(2)
Если координаты х',...,хп нормальны в точке р и отвечают
ортоиормнрованному базису пространства Tp<Y (для просто-
ты мы считаем пространство X римановым), то (р.) =
(q \ * *
) = 0 (пото-
му что (Г]^)р= 0; см. предложение 1 лекции 2). Поэтому
в координатах х1,.. ,,хп условие £хд = 0 в точке р имеет
вид
(дх^\ (дх*\ п
—- I + —- I = 0.
\ дхг /р \ дх> /р
Это означает (см. задачу 2 лекции 8), что при инъективном
(на aff X, а потому и на isoX) отображении
lp: аХ —> Hom[TpX,(FXy]
из лекции 8 каждое поле Киллннга X переходит в отобра-
жение v v
( д \ д \ о2 \
\дх')р ’ \дх> )р \дх*дх> /р
с кососимметрической матрицей ||aj||. Поскольку все отоб-
ражения вида (2) составляют подпространство линейного
пространства Hom[TpAf,(FAf)*] размерности
п(п~ О , п(п+1)
2 2 ’
это доказывает, что dim iao X n(n+ 1 )/2. [Проверьте, что
это заключение остается верным и для псевдориманова про-
странства X.]
Доказательство предложения 3. Группа
Q = Iso Д' удовлетворяет условиям теоремы 2 лекции 10
(с g = isoX). q
Заметим, что на полном (псевдо)римановом про-
странстве X каждое поле Киллинга X полно (см. пред-
ложение 3 лекции 8). Поэтому для такого пространст-
ва X алгеброй Ли группы Ли Iso X служит алгебра Ли
\soX.
О пространствах, для которых dim iso X = n(n+ 1)/2,
см. конец лекции 23.
332
РИМАНОВА СВЯЗНОСТЬ НА ПОДМНОГООБРАЗИИ
Лекция 19
Риманова связность Перейдем теперь к исследованию слу.
на подмногообразии чая, когда размерность п многообразия
риманова простран- х меньше размерности т много-
ства образия у.
Здесь мы ограничимся важнейшим случаем, когда ло-
кально изометрическое погружение f : X —» У инъектив-
но, т. е. фактически случаем, когда X является подмно-
гообразием многообразия У, a f — отображением вложе-
ния (н, значит, метрика дх на X является не чем иным,
как ограничением д!х на X метрики д = ду на У\ см. лек-
цию 11), хотя с точностью до тривиальных вариаций терми-
нологии все наши результаты будут справедливы для любых
погруженных подмногообразий, даже с самопересечениями;
ср. лекцию 3. Нашей основной целью будет сравнение в
этом случае связностей V* и V5' (в духе лекции 3).
Как было уже замечено в лекции 11, метрика дх опре-
делена для произвольного подмногообразия X С У только
в случае, когда метрика ду риманова (положительно опреде-
лена). В общем же случае, чтобы тензор д\х был метрикой
(обладал свойством невырожденности), нужно потребовать
(см. ниже задачу 8), чтобы в каждой точке р G X подпро-
странство ТрХ С ТрУ не касалось изотропного конуса,
состоящего нз векторов В G Т^У, для которых |В| = 0.
Такие подмногообразия X мы будем называть вполне неи-
зотропными подмногообразиями.
Задач а 8. Докажите, что метрика псевдоевклидова простран-
ства V тогда и только тогда индуцирует на подпространстве. Р С
С У невырожденную метрику, когда это подпространство не каса-
ется изотропного конуса пространства V. [Указание. Вектор
х е У тогда и только тогда касается изотропного конуса в точке с радиус-
вектором а, когда ах = 0; здесь, как и в Семестре 1, символом ах мы
обозначаем скалярное произведение векторов а и и.]
Для любой точки р G X мы обозначим через Np X ор-
тогональное дополнение в пространстве Тр У подпростран-
ства Тр X.
Задача 9. Покажите, что подпространства
являются слоями некоторого векторного расслое-
ния v (являющегося подрасслоением расслоения Tyl*).
Лекция 19
РИМАНОВА СВЯЗНОСТЬ НА ПОДМНОГООБРАЗИИ
333
В случае, когда подмногообразие X вполне неизотроп-
но, в каждой точке р g X имеет место равенство
ТрУ = Тр Д'ф Np Д'.
Согласно определению 2 лекции 3 это означает, что v пред-
ставляет собой нормальное расслоение над подмногообра-
зием X. Оно называется римановым (или метрическим)
нормальным расслоением. Говоря о нормальном рассло-
ении вполне неизотропного подмногообразия псевдорима-
нова многообразия, всегда имеют в ввду именно это рас-
слоение.
Таким образом, в псевдоримановом пространстве У
каждое вполне неизотропное подмногообразие X естествен-
ным образом нормализовано, и потому любая связность на У
однозначно индуцирует некоторую связность на X.
В частности, риманова связность V = на У индуци-
рует на X некоторую связность Vх.
Предложение 4. Связность Vх, индуцированная
на X римановой связностью V = на У, является
римановой связностью, отвечающей метрике дх.
Доказательство. Так как связность V симме-
трична, то связность V* также симметрична (см. лекцию 3).
Поэтому надо лишь доказать, что связность Vх согласована
с метрикой дх.
Пусть X, У, Z — произвольные векторные поля на X.
Рассмотрим на X поле
h(X,Y) = (V\x)xY-VxY (3)
(см. формулу (14) лекции 3). Как мы знаем, это поле нор-
мально (принадлежит Г и) и, значит, g(h(X, У), Z) = 0. По-
этому
gx(VxYZ) = g((V\x)xY,Z) = gC7xY,Z)\x,
где справа X, Y, Z — продолжения полей X, У, Z на У
(см. формулу (9) лекции 3). По аналогичным соображениям
gx(Y,VxZ) = gVyxZ)\x.
С другой стороны, ясно, что
Xgx(Y,Z) = XgiX,Z)\x,
334
ФОРМУЛЫ ГАУССА И ВЕЙНГАРТЕНА
Лекция 19
где справа X, У, Z — продолжения полей X, У, Z на У. Поэ-
тому
Х^(У.И) = Xg(Y,Z)\x = g(VxY,Z)\x + g(Y,VxZ)\x =
= gx(V*Y,Z) + gx(Y,V*Z).
Значит, связность Vх согласована с метрикой дх. □
Задача 10. Покажите, что для связности D на расслоении v
(см. лекцию 3) имеет место формула
Xg(s,t) = g(Dxs,t) + g(s,Dxt), s.teTiA (4)
По определению это означает, что связность D согласована с метри-
кой д на V.
В дальнейшем вместо дх мы будем писать просто д.
Формулы Гаусса
м Вейнгартена
для подмногооб-
разий римановых
пространств
Кроме задаваемого формулой (3) отоб-
ражения
h: аX ® аХ —* Гг/
(называемого — напомним — второй основной формой
подмногообразия X), для нормализованного подмногообра-
зия X определены также линейные операторы
Аа. аХ —» аХ, в€Гр,
удовлетворяющие для любого поля X G аХ формуле Вейн-
гартена
(VL)Ys = — А.Х + Dxs^ в G Г и
(см. формулу (16) лекции 3).
Оказывается, что в рассматриваемом сейчас случае
имеет место формула
jfV.IWMW). Х,УбаХ, SGI4 (5)
(где слева д = дх, ъ справа д = ду), и, значит, форма h и
операторы Аа взаимно друг друга определяют (так что
самостоятельное значение имеет только h). Действительно,
так как g(Dxs, У) = 0, то согласно формуле Вейнгартена
g(AsX, У) = -g((V\x)xs, У) = -g(Vxst У)!*,
и потому
g(AsX,Y) = g(s,VxY)\x
Лекция 19
НОРМАЛЬ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
335
(так как g(s, Y) = 0, то g(Vxst Y)+g(s, У) = 0). С другой
стороны, так как g(VxY,s) = 0, то согласно формуле (3)
g(h(X, У), з) = 5((Vh)zy, s) = g(VxY, s)|*.
Следовательно, д(А3Х, У) = g(h(X, У), з). q
Поскольку форма h симметрична (см. лекцию 3), из
формулы (5) следует, что
g(A3XtY) — g(XtAtY)
для любых полей X, У G аХ. По определению это означает,
что операторы А3 самосопряжены.
Соберем все доказанные здесь (и в лекции 3) факты
в одну теорему.
Теорема 2. Для любого подмногообразия X рима-
нова пространства У (любого вполне неизотропного
подмногообразия X псевдориманова пространства У)
имеют место формулы Гаусса и Вейнгартена
^Y = V^Y + h(X,Y), X,Y€aX, (6)
yVs = -А,Х + Dxs, X G a X, s G Гр, (7)
Л в A ' ' \ '
где
h — симметрическое FX-билинейное отображение
aX®aX—»Гр (вторая основная форма),
А3, з G Гр, —линейные самосопряженные опера-
торы аХ —* аХ, связанные с h формулой (5), а
D — связность на нормальном расслоении и
подмногообразия X, удовлетворяющая соотноше-
нию (4)-D
Формулы (6) и (7) получены из формул (14) и (16)
лекции 3 преобразованием их левых частей в соответствии
с формулой (9) лекции 3. Таким образом, слева в этих фор-
мулах под полями X, У и з понимаются их продолжения
с X на У. Кроме того, подразумевается, что их левые части
должны быть ограничены на X.
Нормаль сред- Так как след ТгЛ5 оператора As линейно
ней кривизны зависит от з, то формула
зн Тг А3
336 СООТНОШЕНИЯ ГАУССА, ПЕТЕРСОНА - КОДДОДИ И РИЧЧИ Лекция 19
определяет на Г и линейный функционал, н потому суще-
ствует такое сечение t G Г v (нормальное векторное поле
на X), что
(в, t) = — ТгЛ
п 3
для любого s 6 Гр, где как всегда n = dim X. Если .
..., — ортонормированный базис модуля Г и над неко-
торой координатной окрестностью U (для определенности
мы предполагаем пространство У римановым), то над U име-
ет место равенство
- m-n
t = ;;ETrVe‘
»-1
Сечение t называется полем нормалей средней кри-
визны.
В случае, когда оно тождественно равно нулю
(т. е. Тг At = 0 для любого s G Г и), подмногообразие X (на-
помним, вообще говоря, имеющее самопересечения) назы-
вается минимальным подмногообразием риманова про-
странства У. (Ниже мы покажем, что при п = 2 и У = R3
это в точности минимальные поверхности в смысле опреде-
ления 2 лекции 14. Можно доказать — мы этого делать не
будем, — что и в общем случае они также обладают соот-
ветствующим экстремальным свойством.)
Соотношения Пусть Rx и Ry — тензоры кривизны
Гаусса, Петерсо- (псевдо)рнмановых пространств X н У.
на — Кодацции Согласно формулам Гаусса — Вейнгарте-
р,,ччи на (6) н (7) для любых полей X, У, Z G а X
имеет место равенство (где в первой строке X, У, Z — про-
должения этих полей на У)
RV(X, Y)Z = VXVYZ - - VrYyiZ =
jf s ' ' Л I X A J
=vx((v*)yz+/»(y;z))-vy((v*)xz+/»(x,z))-v[xnz.»
= (V*)z(V*)rZ + Л(Х, (V%Z) - Ah(r>z)x + РХЛ(У, Z)-
- ^)Y(^)XZ - h(Y, Z) + AhMY - DyhiX, Z)-
-(^W-Mx,y],z) =
= Rx(X, Y)Z + h(X, V*)YZ) -h(Y, V*)XZ) - Л([Х, У], Z)-
- Ah{Y<z)X + Ah(x<z)Y+ Dxh(Y, Z) - DYh(X, Z). (8)
Лекция 19 СООТНОШЕНИЯ ГАУССА, ПЕТЕРСОНА-КОДАЦЦИ И РИЧЧИ 337
Скалярно умножив это равенство на векторное поле W G
е аХ и учтя соотношения (5) (а также тот факт, что поля
вида h(X, Y) и Dxs ортогональны в каждой точке полю Ж),
мы немедленно получим, что для любых полей X, Y,Z,W G
g аХ имеет место равенство
Rx(X, Y, Z, Ж) = Ry(X, Y Z, Ж) - (Л(Х, Ж), Л(У, Z))+
+ (h(YtW),h(X,Z)). (9)
(Вместо g(X, Y) мы пишем просто (X, У); ср. лекцию 11.)
Это соотношение называется соотношением Гаусса.
Кроме того, так как [X, У] = VXY — VyX (см. форму-
лу (14) лекции 2), то из (8) следует также, что нормаль-
ная компонента Ry (X,Y)Z поля Ry(X,Y)Z выражает-
ся формулой
Ry(X, Y)Z = (Vxh)(Y, Z) - (7yh)(X, Z), (10)
где
(Vxh)(y, Z) = Dxh(Y\ Z) - h(V*Y, Z) - h(Y, V*Z}
(см. формулу (20) лекции 3).
Соотношение (10) называется соотношением Петер-
сона — Кодацци.
Далее, если з и t — нормальные векторные поля на X,
то (мы снова опускаем д)
— Ry(X, У, в, t) = (Vx Vys, t) — (VyVxs, t) — (V[X yjS, t) =
= (Vx(-A3Y + DyS), t) - (Vr(-A.x + Dxs), 0-
-(-AJX,y] + D[rf,t) =
= -(h(X, A3Y),t) + (DxDy8,t) + (h(Y,A3X),t)~
— (PYDxs, t) — (D^X y^8, t).
Введя в рассмотрение аналог
—Rd(X, У, з, t) — (DxDYs, t) — (DYDX8, t) — 0
риманова тензора кривизны для связности D и учтя, что со-
гласно формуле (5) (h(X,AiY),s) = (A3X,AtY), мы немед-
ленно получим отсюда, что
Rd(X, У, в, t) = Ry(X, У, з, 0 - (AtX, A3Y) + (А3Х, AtY),
338 СЛУЧАЙ, КОГДА ОБЪЕМЛЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО ПЛОСКО Лекция 19
т. е. — поскольку операторы As самосопряжены — что
Rd(X, У, з, t) = Ry(X, У, з, t) - <[Лв, AJX, У). (11)
Соотношение (11) называется соотношением Риччи.
Из соотношения (11), в частности, следует, что функ-
ции RD(X,Y,s,t) кососимметрично зависят от aut
(и, конечно, от X и У).
Случай, когда
объемлющее
пространство
плоско
В случае, когда объемлющее многообразие
У плоско (его тензор кривизны равен ну-
лю), соотношения (9), (10) и (11) приобре-
тают вид
Rx(X, У, Z, W)=\h(Y\ W), h(X, Z))-(h(X, W), h(Y, Z)), (9')
(V^)(y,Z) = (V^)(X,Z), (10')
flD(X,y,e,t) = -([A4,AJX,y). (11')
В частности, эти соотношения имеют место для
любого подмногообразия евклидова пространства (лю-
бого вполне неизотропного подмногообразия псевдо-
евклидова пространства).
В каждой карте (U,x{,.. ,,хп) = (U,h) подмногообра-
зия X формула Гаусса (3) при X = -х-* и У = —г имеет
___ ОХ* 0X3
вид
= ^d^ + h^’ м = 1, <12)
, J 9 9 \
где Лу- = h I 1 — некоторые нормальные векто-
ры. В случае, когда X является подмногообразием (псев-
до)евклидова пространства V и локально задается вектор-
ным уравнением
г = г(х), х = (ж1,.. .,хп) G U С ИГ, (13)
где U = h(U) (т. е. если г(х) — радиус-вектор точки из U
с координатами х1,.. .,хп), векторы г известным образом
С/Х *
Лекция 19 СЛУЧАЙ, КОГДА ОБЪЕМЛЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО ПЛОСКО 339
От
(см. лекцию Ш.12), отождествляется с векторами г,- = —:.
у- 5 _к. д'
Поэтому первое слагаемое vf —7 = гЪ.—г правой части
дхР J дхк
формулы (12), где Г^- — коэффициенты' связности Vх в кар-
те (U, К), мы можем записать в виде Т^гк. Кроме того, в этом
случае ковариантные производные в У являются обычными
производными (все коэффициенты плоской связности тож-
дественно равны нулю), и потому левая часть формулы р2)
является не чем иным, как второй производной г- =
радиус-вектора (13). Следовательно, в этом случае форму-
лы (12) приобретают вид
гу=Фъ + Ч’ М = Ъ >« (14)
(чтобы подчеркнуть векторный характер величин h-, мы
вместо hfj пишем теперь й^).
ЛЕКЦИЯ 20
Локально симметрические подмногообразия. — Компакт-
ные подмногообразия. — Теорема Чженя — Кюипера. — Первая
и вторая квадратичные формы гиперповерхности. — Гиперпо-
верхности, все точки которых омбиличны. — Главные кривизны
гиперповерхности. — Скалярная кривизна гиперповерхности. —
Гиперповерхности, являющиеся пространствами Эйнштейна. —
Жесткость сферы.
Для любой точки р подмногообразия X с
С У мы будем обозначать символом <тр сим-
метрию относительно нормали в точке р, т. е.
Применим общие результаты предыдущей лекции
к некоторым замечательным классам подмногообразий евк-
лидова пространства У.
Локально
симметриче-
ские подмно-
гообразия
изометрию пространства У, оставляющую на месте точку р,
индуцирующую тождественное преобразование векторного
пространства и антиподальное преобразование (с ма-
трицей -Е) векторного пространства ТрХ.
Определение 1. Подмногообразие X называется (ло-
кально) симметрическим подмногообразием, если для
каждой точки р е X существует такое е > О, что для любого
вектора А е ТрХ, )А| = 1, и любого в, |з| < е, имеет место
равенство
о-р(ехррзД) = ехрр(-зА).
Конечно, каждое такое подмногообразие является ло-
кально симметрическим пространством в смысле лекции 4.
Предложение 1. (Теорема Феруса — Штр ю-
бинга.) Подмногообразие X тогда и только тогда
локально симметрично, когда его вторая основная
форма ковариантно постоянна относительно связ-
ности ван дер Вардена — Бортолотти, т. е. когда
Vxh(Y,Z) = 0
для любых векторных полей X,Y,Z G аХ.
Доказательство. Пусть р е X, А е ТрХ, | А | = 1,
и 7 — геодезическая ур А, для которой 7(0) = р, 7(0) = А-
Лекция 20
ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
341
Пусть, далее, U — такая окрестность (в X) точки р, X —
такое векторное поле на U и е > 0 — такое положительное
число, что 7(5) е U и 7(5) = при любом s, |s| < е.
Пусть, наконец, г = r(s) — уравнение геодезической 7|(_е
(которую мы впредь будем обозначать просто через 7) как
кривой объемлющего евклидова пространства. Тогда в силу
обычных отождествлений (и формул (14") и (16) лекции 3)
для любого s, |а| < е, будут иметь место равенства
r(s) = X^sy
r(s) = h(X, Х)7(л),
'<•'(») = - + [схМ X, Х)]7(„ -
(так как (V*X)l(„ = ^±(а) = 0, то [адХ, Х)]7(а) =
— [Угл(-Х’>см- формулу (20) лекции 3).
Если подмногообразие X локально симметрично, то
кривая Стр о 7 является геодезической 7р,-д и> значит,
<Гр(г(з)) = r(-s)
для любого s, |s| < е. Поэтому
°р(г(аУ) = -г(-з),
<гр(г(а)) =
<Гр('г(а)) =
и, в частности,
Ор№) = -г(0),
^(г(0)) = ^(0),
<гр(г(0)) - - г(0).
Так как стр|т х — -id и х = id, то первые два из
этих уравнений удовлетворяются автоматически (посколь-
ку г(0) 6 Т„Х и r(0) 6 Np/V), а из третьего следует, что
342
ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Лекция 20
Задача 1. Докажите, что трилинейный симме-
трический оператор X, Y„Z ь-ь f\XTYrZ) тогда и толь-
ко тогда тождественно равен, нулю, когда он равен
нулю при X = Y = Z. [Указание. Воспользуйтесь тож-
деством
6f(X,YrZ) = f(X + Y + Z,X + Y + Z,X+Y+Z)-
- f(X + Y,X + Y,X + У) - f(X +Z,X + Z,X + Z)-
-f(Y+Z, Y+Z, Y+Z)+f(X, X, X)+f(Y, Y, Y)+f(Z, Z, Z).]
Применительно к функционалу X, Y,Z •-* [ухЛ(У, Z)]p
(симметрическому в силу соотношений Петерсона — Кодац-
ци; см. формулу (КУ) лекции 19) это — ввиду произволь-
ности точки р и орта A G ТрХ — немедленно дает, что
Vxft(y, Z) = 0 для всех X, У, Z G аХ.
Чтобы доказать обратное утверждение, нам нужно бо-
лее подробно изучить кривую г = r(s), |s| < е.
Пусть сначала г = r(s) — произвольная кривая в евк-
лидовом пространстве, отнесенная к натуральному параме-
тру s (и определенная при |s| < е). Мы будем говорить, что
эта кривая обладает рангом т, если для каждого s, |s| < е,
векторы
r(s), ..{r\s)
лннеино независимы, а вектор г (s) через них линейно
выражается. [Конечно, отнюдь не любая кривая обладает
рангом.]
Об ортонормированных векторах
ti(s), ..., tm(s),
получающихся применением к векторам r(s),..., r(s) про-
цесса ортогонализации Грама — Шмидта, мы будем гово-
рить, что они составляют репер Френе на кривой г = r(s).
3 а д а ч а 2. Докажите, что
а имеют место формулы Френе
= AA-i + fyti+l, i = 1,..., т,
где fcj = k.(s),..fcm_, = km_l(s) — некоторые положительные функ-
ции от в, |з| < е (а ка = 0, кт = 0);
б функции fcp.. .,кт_1 вместе с точкой г0 = г(0) и векторами
4,(0),.. ,,tm(0) однозначно определяют кривую г = г(з).
(Указание. См. в лекции Ш.2 доказательство соответствующих
утверждений для кривых общего типа.]
Лекция 20
ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
343
Функции к1,...,кт называются кривизнами кривой
г = r(s). Кривая, для которой все кривизны постоянны, на-
зывается винтовой линией. (Ср. пример 4 лекции Ш.2.)
Предложение 2. Если вторая основная форма
подмногообразия X ковариантно постоянна, то гео-
дезическаяг = г[в) как кривая в пространстве облада-
ет рангом и является винтовой линией. На окрестно-
сти U существуют такие векторные поля Хр..., Хт
(где т —ранг кривой), что
а поля ,..., на кривой7 параллель-
ны для любого з, |в] < е);
б для векторов t^s), г = репера Френе на
кривой г = г(в) имеют место равенства
t,(s) = <
если г нечетно,
если г четно,
где X — введенное выше векторное поле на окрестно-
сти U (для которого X^sj = 7(5), |s| < s).
В частности, t^s) 6 если i нечетно, и
t,(s) 6 NpA*, если i четно, и, значит,
VM0)) = (-1)4(0)
для любого i= 1,..., т.
Мы докажем это предложение ниже, а сейчас продол-
жим доказательство предложения 1.
Пусть
r(s) = VpM-s)), |s| < Е.
Ясно, что кривая г = r(s), |s| < е, также обладает ран-
гом т, и потому для нее определен репер Френе tp.. -,tm.
3 а д ач а 3. Докажите, что
а кривая г = f(s) имеет те же (постоянные!) кри-
визны kIt.. -,km_l, что и кривая г = г(з);
б для любого i = 1,..., т имеют место равенства
*,(*) = (-l)4p(t,(-s)), |s| < е.
[Указание. Проведите индукцию по г.]
344
ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Лекция 20
В частности, мы видим, что
t,.(O) = (-l)’ap(t,.(O)) = t,(O)
для любого i = 1,.. .т. Поскольку кривые г = r(s) и г =
= r(s) имеют одни и те же кривизны fcp.. отсюда
следует — см. утверждение б задачи 2, —что r(s) = r(s)
для всех s, т. е. что
Так как r(s) = ехрраД, то, следовательно, подмногообра-
зие X локально симметрично, q
Осталось доказать предложение 2.
Доказательство предложения 2. Так как
tj(s) = r(s), то за поле мы можем принять поле X. Пусть
для некоторого i1 уже доказано, что векторы г,..., $ во
всех точках кривой т = r(s) линейно независимы (и, значит,
векторы tp.. .,t, определены), построены поля .. .,Xit и
кривизны fcp..постоянны. Если г нечетно, то
»<(«) = + h (X, X,.)lW = h (X,
и, значит,
(*» + = h(X, -X,-)7(4) + h(X, fc,_i-^,_i)7(a) =
= h(X,Xi + ki_lXi_l)y{sy
Но так как форма h по условию ковариантно постоянна (от-
носительно связности V) и (^х^)7(4)= 0, то (см. форму-
лу (20) лекции 3) [£)хЛ(Х, Х,)]^ = 0 для любого », и пото-
му нормальный вектор + ki_lti_l ковариантно постоянен
вдоль кривой 7 (относительно нормальной связности D).
В частности, его длина fc,- = |it- + ki_lti_l | постоянна, и по-
тому он либо тождественно равен нулю, либо во всех точ-
ках кривой 7 отличен от нуля. В первом случае предло-
жение 2 очевидным образом справедливо (с т == г), а во
. + fy-A..!
втором случае определены вектор t,+1 = -— и поле
Xi+l = ——~——, связанные соотношением =
= Л (Х,Х1+1)^ар причем векторы (Х,+1) . параллельны
вдоль 7-
Лекция 20
ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
345
Аналогично, если i четно, то
*,(а) = _ . + [£>хЛ(Х, X,)] (л) =
U Jl\s) ' '
= -^«,л]7(а)+[^МХ.х,.)]1М =
= - [а(м,>*]7(д)
и, значит,
(*» + fe,_A-i)(s) = [-АЛ(Х Х )Х + Х,.,] .
Если для векторного поля Y на U векторы Y^y |s| < е,
параллельны вдоль 7, то
(з? = lX^Ah(x,Xi)^ У)]7(л)=
= [Хд(к(Х,У),к(Х,Х^{з} =
= L(V МХ,У),Ь(Х,Х{))+д(Ь(Х,У)УхЬ(Х,Х{))] =
L А ]7(Л)
= [5((^Л)(Х,У)Л(Х,Х,.))+5(Л(Х,У),(^Л)(Х,Х,.))]7(л)=
= 0
(см. формулу (4) лекции 19) и, значит, — jXj < = О,
т. е. векторное поле [a^X(X jXj < параллельно вдоль кри-
вой 7 Поэтому поле tf + также параллельно вдоль 7
и, значит, функция fci = jt,; + fc.-_jt.-_jl постоянна. Следова-
тельно, это поле либо тождественно равно нулю (что до-
казывает предложение 2 с т = г), либо всюду отлично от
нуля, н тогда определены вектор
t.- + к{ .t; .
ж ____ I 1 1—1 1—1
’+1" fc,.
и поле
„ ~АЬ(х,х{)Х + ki-ixi-i
i+l ~ fc,’
связанные соотношением t,+1(s) = (Xi+1)7^, причем векто-
ры (-У<+1)7(в) параллельны вдбль 7.
346
КОМПАКТНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
Лекция 20
Поскольку в обоих случаях кривизна fc,- постоянна, это
по индукции полностью доказывает предложение 2. q
Компактные Рассмотрим теперь случаи, когда — вооб-
подмногообразия ще ГОВОрЯ) погруженное — подмногообра-
зие X евклидова пространства компактно.
Лемма 1. В каждом компактном подмногообра-
зии X евклидова пространства V существует такая
точка р0 € X, что
hp (Д,Д)/0
для любого вектора А / 0 пространства Т X.
ро
Доказательство. Выбрав в пространстве V на-
чало отсчета О, рассмотрим в X точку р0, длина радиус-
вектора которой максимальна. (Такая точка существует, так
как многообразие X компактно.) Пусть в окрестности точ-
ки р0 подмногообразие X задается уравнением (13) лек-
ции 19. Тогда для любого i = 1,...,п частная производ-
ная 2г,г функции г2 по х' равна нулю в точке р0, т. е. равны
нулю все скалярные произведения г,г, и, значит, для вторых
частных производных в точке р0 этой функции имеет место
формула
(г% = 2(rfyr + г.Гу) = 2(\уГ + г,Гу)
(здесь мы пользуемся формулой (14) лекции 19). Но так как
точка р0 является точкой максимума функции г2, то матри-
ца (|(г2)<у|| вторых производных в этой точке отрицательно
определена. Поскольку же матрица ||г,Гу|| = ||р^||, положи-
тельно определена, это доказывает, что в точке р0 матри-
ца ||\уг|| отрицательно определена. Следовательно, если/^у
и г(°) — значения векторов и г в точке р0, то для любого
отличного от нуля вектора A G Т_ X число
ро
(Ag>rwMMJ' = ^(Д, Д)т<°>
отлично от нуля (оно даже отрицательно). Поэтому отличен
от нуля и вектор Л(0)(Д, Д) = (Д, Д). □
ро
Отрицательность чисел ^‘(Д, А}т^ имеет и другие ин-
тересные следствия.
Лекция 20
ТЕОРЕМА ЧЖЕНЯ — КЮИПЕРА
347
Так как вектор г(0) ортогонален всем векторам г,-, то он
нормален к подмногообразию X в точке р0, и, значит, на X
существует такое нормальное векторное поле s € Гг/, что
А-(/>0) = г<0)- Отвечающий этому полю оператор As удовлет-
воряет для каждого X S аХ соотношению
(ASX,X) = (h(X,X),s)
и, следовательно, обладает тем свойством, что при Хо
£ 0 функция (Д8Х,Х) принимает в точке р0 отрицательное
значение (функционал X w (ДЛХ,Х) отрицательно опреде-
лен в точке р0). Поэтому след Тг Дв оператора As в точке р0
отрицателен и, значит, отличен от нуля. Для поля t норма-
лей средней кривизны это означает, что в точке р0 поле t
отлично от нуля. Следовательно, подмногообразие X заве-
домо не минимально.
Таким образом, мы видим, что ни одно минимальное
подмногообразие евклидова пространства не может
быть компактным.
Ср. замечание 1 лекции 14.
Теорема Чже- Для вывода более интересных следствий
ня Кюипера нам понадобится еще одна лемма чисто
алгебраического характера.
Лемма 2. Пусть V и W — евклидовы пространст-
ва, и пусть
h: V®V->W
— такое симметрическое билинейное отображение,
что
h(x,x)h(y,y) $ h(x,y)2
для любых векторов х,у 6 V. Тогда если dimW < dimV,
то существует такой отличный от нуля вектор
х0 е V, что
Л(®О’®о) = °-
Доказательство. Пусть п = dimV, т = dimW.
Векторное уравнение h(z,z) = 0 равносильно квадратным
числовым уравнениям для п компонент вектора z. Поэто-
му при т < п оно имеет — вообще говоря, комплексное —
отличное от нуля решение
«о - ®0 +
348
ТЕОРЕМА ЧЖЕНЯ — КЮИПЕРА
Лекция 20
Так как х0 / 0, то без ограничения общности можно пред-
полагать, что х0 0. С другой стороны, так как
^(^О’^о) ~ л(«о>«о) — ^(Уо’Уо) + 2t‘A(as0, у0),
то Л(®0,®0) = Л(у0,у0) и Л(®о>»о) = °- Но по условию
Л(®0>«о)Л(»о>»о) < л(®о>Уо)2
и, значит, Л(®0, ®0)2 0, что возможно только при Л(®0, ®0) =
= °- □
Предложение 3. (Теорема Чженя — Кюип е-
р а). Пусть X — компактное п-мерное подмногооб-
разие т-мерного евклидова пространства V. Предпо-
ложим, что для любой точки р G X линеал ТрХ со-
держит k-мерное подпространство ТрХ, обладающее
тем свойством, что для секционной кривизны Кр(тг)
по каждому двумерному направлению к С
Кр{к) 0.
Тогда т п+ к.
Доказательство. Из условия на секционную кри-
визну следует в силу соотношения Гаусса (см. формулу (9')
лекции 19), что на каждом линеале ТрХ и, в частности, на
линеале Т_ X, где р0 — точка, предусмотренная леммой 1,
форма h удовлетворяет условиям леммы 2 (с W = N_ ). По-
ро
этому если т-п < к, то вопреки лемме 1 существует такой
вектор А е Т_ X с Т_ X, что (А, Д) = 0. Следовательно,
м) ^0 *0
Следствие 1. Компактное п-мерное риманово про-
странство X неположительной секционной кривизны
не может быть изометрически погружено в R2n-1. ц
В частности, в R2n-1 не может быть изометриче-
ски погружено никакое компактное п-мерное плоское
пространство.
Например, в трехмерном пространстве не существу-
ет поверхности (даже с самопересечениями), изометричной
Лекция 20
ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
349
факторпространству R2/Z2 (тору, снабженному евклидовой
метрикой).
Первая и вторая
квадратичные
формы
В случае т = п + 1, т. е. когда X являет-
ся (вполне неизотропной) гиперповерх-
ностью пространства V (которое мы те-
перь считаем, вообще говоря, псевдоевклидовым), нормаль-
ное подпространство NpA* в каждой точке р е X одномерно,
и потому порождается некоторым вектором п, называемым
вектором нормали гиперповерхности X в точке р. Так
как гиперповерхность X вполне неизотропна, то вектор п
неизотропен, т. е. п2 / 0. (В противном случае этот вектор
принадлежал бы подпространству ТрХ и был бы ортогона-
лен каждому вектору из ТрХ, следовательно, метрика на
ТрХ была бы вырождена.) Поэтому без ограничения общ-
ности можно считать, что вектор п нормирован, т. е. что
где е = ±1 одно и то же для всех точек р G X.
Задача 4. Пусть (а, Ь)— сигнатура псевдоевклидова пространст-
ва V. Докажите, что сигнатура гиперповерхности X равна (а - 1,Ь)
при е = 1 и равна (а,Ъ — 1) при е = — 1.
Выбрать векторы п во всех точках р G X так, чтобы
они составляли гладкое нормальное поле на X, вообще го-
воря, нельзя. Когда это можно сделать, гиперповерхность X
называется двусторонней, а в противном случае — од-
носторонней. (Стандартным примером односторонней по-
верхности в трехмерном пространстве служит лист Мебиу-
са; см. лекцию 1.31.)
Гладкое нормальное поле на двусторонней гиперповерх-
ности называется ее оснащением, а гиперповерхность, на
которой выбрано оснащение, называется оснащенной ги-
перповерхностью.
На связной двусторонней поверхности существуют два
и только два оснащения, отличающиеся знаком.
Задача 5. Покажите, что гиперповерхность пространства V
тогда и только тогда является двусторонней гиперповерхностью,
когда она представляет собой ориентируемое многообразие.
Отсюда следует — но, впрочем, легко доказывается и
непосредственно, — что оснащение существует на любой ко-
ординатной окрестности U.
350
ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНЫЕ'ФОРМЫ
Лекция 20
Выбрав на U оснащение п, мы можем переписать фор.
мулы (14) лекции 19 в следующем виде:
rij = rijrk + hij^ м = 1,...,п, (1)
где — некоторые гладкие функции на U, составляю-
щие симметрическую матрицу ||Л.у||. Квадратичная форма
hijdxldx>> с этой матрицей называется второй основной
формой гиперповерхности X. (Ее первой основной фор-
мой является форма ds2 = g^dx'dx1.)
Это, кстати, и объясняет применение термина «вторая
основная форма» к отображению h в общем случае.
Для оснащенной двусторонней гиперповерхности X
ферма h определена на всей этой гиперповерхности (пред-
ставляет собой поле симметрических тензоров типа (2,0)
на X).
Для поверхности трехмерного евклидова пространства
(случай п = 2 и е = 1) формулы (1) — это в точности три
первые формулы Вейнгартена из лекции Ш.5.
Аналогичным образом может быть проинтерпретирова-
на и формула (7) лекции 19.
Так как ir = ±1, то для любого поля X Е аХ имеет
место равенство
п • Dxn = 0.
Поскольку поле п составляет базис одномерного ЯАЛмоду-
ля Г и над (7, отсюда следует, что Dxn = 0 тождественно.
Поэтому при s = п в формуле (7) лекции 19 остается справа
„ д
лишь первое слагаемое, и при X — —эта формула приоб-
ретает вид дх'
ni =
On j Л л
где a aj — элементы матрицы оператора А = А„
в базисе г(,.. .,гп. Поскольку al = Ehikgki (см. формулу (5)
лекции 19), этим доказано, что
«. = -£hik9kjrj- (2)
При п = 2 и е = 1 это в точности две последние формулы
Вейнгартена из лекции III. 5.
Лекция 20
ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
351
Соотношение Гаусса (формула (9’) лекции 19) для ги-
, v & &
перповерхности приобретает — при X = -%—:, Y = —
ох* дх?
д д
z = а? "lv= э?“в1и1
sRij,kl = hikhjl - hjkhil> k,l = l,...,n. (3)
Таким образом, для гиперповерхности евклидова про-
странства (вполне неизотропной гиперповерхности
псевдоевклидова пространства) тензор кривизны вы-
ражается через коэффициенты второй основной
формы.
Для поверхности трехмерного евклидова пространства
(случай п = 2 и е = 1) формулы (3) сводятся к формуле
^12,12 = \1^22 — ^12’
с точностью до обозначений совпадающей с установленной
в лекции 16 формулой для Ri212.
Для случая гиперповерхности формула (11') лекции 19
(соотношение Риччи) удовлетворяется автоматически (обе
ее части тождественно равны нулю). Кроме того, так как
Dxn = 0, то Dx(h-n) = Xhi:j • п, и потому
— ( д д \ fdh-- ’ п \
Поскольку коэффициент при п в правой части этой форму-
лы является не чем иным, как компонентой (^Ь),у част-
ной ковариантной производной тензора h с компонен-
тами , отсюда следует, что для гиперповерхности в (псев-
до )евклидовом пространстве формула (1(У) лекции 19 (соот-
ношение Петерсона — Кодацци) равносильна формуле
(We = (4)
означающей, что тензор симметричен (по всем
индексам).
352 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ, ВСЕ ТОЧКИ КОТОРЫХ ОМВИЛИЧНЫ Лекция 20
Гиперповерхности, Точка гиперповерхности X называется
все точки кото- омбилической, если в этой точке тензоры
н д и п пропорциональны, т. е. существует
такое число А (возможно, равное нулю), что в каждой карте
(U,xl,...,xn)
^ij X9ij (5)
для всех i,j = 1,..., п. Если все точки гиперповерхности X
омбилические, то формула (5) определяет на X — очевидно,
гладкую — функцию А: X —» R. Оказывается, эта функция
постоянна (если, конечно, многообразие X связно). Дей-
ствительно, из (5) следует — ввиду ковариантного постоян-
ства тензора д, — что
(^ = А^., где Afc = g
Поэтому в силу формулы (4)
xk9ij = xi9kj-
Свертывая с тензором £v, мы немедленно получаем отсюда
равенство nXk = Afc, возможное (поскольку п > 2) только
при Afc = 0. Так как это верно для любого k = 1,..., п, то,
следовательно, А = const, q
Теперь легко видеть, что связная гиперповерх-
ность X, все точки которой омбиличны, расположена
либо на гиперплоскости, либо на сфере пространст-
ва V (т. е. получается из сферы или гиперплоскости уда-
лением некоторого замкнутого, возможно, пустого, множе-
ства). Действительно, если г, как и выше, — радиус-вектор
точек гиперповерхности X и п — вектор нормали, то в каж-
дой карте (U, х1,..., хп)
~£hik9kJrj = = -еАг,-
Поэтому (Аг+еп); = 0 для любого г = 1,..., п, и, значит век-
тор Аг 4- еп постоянен (на U, а потому и на всем X). Пусть
Л £
Хг+еп = а, где а = const. Если А / 0, то г—- = -- п, и по-
Л Л
I “I2 1 гг
тому |г - -1 = V7 • Поскольку последнее уравнение задает
сферу радиуса 1 /|А| с центром в точке а/Х, это доказывает
утверждение при А / 0. Если же А = 0, то рассмотрим на X
функцию nr. Так как вектор еп = а постоянен, то в каж-
дой карте производные этой функции равны пг,- и, значит,
П.
Лекция 20
ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
353
равны нулю. Следовательно, nr = const, и для завершения
доказательства остается заметить, что уравнение nr = const
задает в пространстве V гиперплоскость, q
Если подмногообразие X полно, то X совпадает со всей
гиперплоскостью или сферой (в псевдоевклидовом случае —
с одной полой сферы).
Нетрудное вычисление (которое нам, однако, удобно от-
ложить до лекции 22; см. формулу (11) лекции 22) показы-
вает, что и обратно, все точки сферы или гиперплоскости
в (псевдо)евклидовом пространстве являются омбилически-
ми точками. (При п = 2 это наглядно очевидно, поскольку
в этом случае омбиличность равносильна тому, что индикат-
риса Дюпена является окружностью.)
Таким образом, свойство омбиличности всех точек
характеризует сферы и гиперплоскости.
Главные кривиз- Пусть снова объемлющее пространство V
ны гиперповерх- евклидово.
ности Являясь в каждой точке р € X симме-
трической билинейной формой на евклидовом пространстве
ТрХ, вторая основная форма h гиперповерхности X (пред-
полагаемой оснащенной) локально приводится к нормаль-
ному виду, т. е. в окрестности U любой точки р G X су-
ществует такой ортонормированный (не голономный!) базис
..., Хп модуля аХ, что
й(Х,.,Хр = 0 при г/j.
Диагональные коэффициенты = h(X^ X,) формы h в этом
базисе называются главными кривизнами гиперповерхно-
сти X. Будучи собственными значениями самосопряженно-
го оператора А = Ап (см. лекцию 19), эти кривизны не
зависят от выбора базиса Xv .. .,Хп и, значит, представля-
ют собой — очевидно, гладкие — функции, определенные на
всей гиперповерхности X.
Задача 6. Докажите, что при п = 2 это в точности главные кри-
визны fcpfc, поверхности X в смысле лекции Ш.4.
Точка гиперповерхности X тогда и только тогда омби-
лична, когда в этой точке все главные кривизны равны друг
другу.
12 М. М. Постников
354
ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
Лекция 20
Заметим, что кривизны h{,.. ,,hn определены с точ-
ностью до знака; при замене оснащения все они одновре-
менно меняют знак.
Особое значение имеют элементарные симметрические
функции
Ki = ari(hv-
от главных кривизн, которые алгебраически выражаются че-
рез компоненты тензоров g и h.
Функция Н = —Яр т. е. функция
Я= + • • • +
п
называется средней кривизной гиперповерхности X, а
функция
Яп — hx ...hn
— ее полной кривизной.
При п — 2 это средняя и гауссова кривизна поверхности
в смысле лекции III.4.
При замене оснащения п на -п средняя кривизна ме-
няет знак, а полная меняет знак при нечетном п н остается
прежней при четном п.
Согласно формуле (О') лекции 19 компоненты Rijjd =
= R(Xi, Xj,Хк,Хг) тензора кривизны R = Rx гиперповерх-
ности X в базисе Xv...,Xn выражаются формулой
Rij,kl ^Ь(Х{,Хк)ЦХ^Хг) - ЦХ^Хк)ЦХ{,Хг) =
- hiSikhj6jl ~ hjSjkhiSil>
т. е. формулой
Rij,kl — hihj(sik6jl ~ 6jk6n)- (6)
Следовательно, попарные произведения h^hj главных
кривизн не Зависят от погружения (и оснащения) ги-
перповерхности X и определяются исключительно ее
внутренней геометрией (метрическим тензором д)-
Поэтому при четном п полная кривизна Кп также яв-
ляется инвариантом внутренней геометрии.
Секция 20
СКАЛЯРНАЯ КРИВИЗНА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
355
При п = 2 это дает инвариантность гауссовой кри-
визны при изгибаниях (theorema egregium Гаусса; см. лек-
цию Ш.4).
скалярная Из формулы (6) следует, что компоненты
кривизна гипер- тензора Риччи гиперповерхности X в
поверхности базисе Xj,..Хп выражаются формулой
и, значит, его след Л (скалярная кривизна; см. определе-
ние 1 лекции 16) равен
(п \ 2 п
i-l ' i—1
Таким образом, скалярная кривизна гиперповерхности
выражается формулой
Л = 2KV
(В частности, мы видим, что гауссова кривизна К гипер-
2К2
поверхности равна ——и, вообще говоря, отлична —
п(п — 1)
при п > 2 — от ее полной кривизны Кп.)
Гиперповерхности, в случае, когда гиперповерхность X яв-
странстмми П₽°' ляется пространством Эйнштейна, из по-
эйнштейна следней формулы следует (см. предложе-
ние 3 лекции.17), что при п > 3
К2 = const.
Кроме того, поскольку в ортонормированием базисе
X,,.. ,,ХП метрический тензор имеет компоненты 6^, усло-
, „ г,.Л
вие эйнштеиновости Ric = —о сводится к п равенствам
п
9
h/h, + ... + hn)-h? = - Х2, г= 1,...,п,
означающим, что главные кривизны hv...,hn являются кор-
нями квадратного уравнения
2
X2 -К{Х + ^К2 = Ъ. (7)
12*
356
ПРОСТРАНСТВА ЭЙНШТЕЙНА
Лекция 20
Поэтому существует такое к, I к п, что — возможно,
после перенумерации кривизн hv.. ,,hn — имеют место ра-
венства
hi - • • - hk “ hk+\ - ~hn-
где Aj и Д2 — корни уравнения (7) (при к = п вторые ра-
венства отсутствуют; в случае At = Д2 условно считается,
что к — п). [Заметим, что корни А,, А, необходимо вещест-
8
венны, и потому К2 —К2. Это означает, что для любой
гиперповерхности, являющейся пространством Эйн-
штейна, имеет место неравенство
п2Н2 >4(п-1)К (8)
При п = 2 это сводится к очевидному неравенству Н2 К,
справедливому для любой поверхности трехмерного про-
странства. Оно называется неравенством Эйлера.]
Задача 7. Докажите неравенство (8) прямым вычислением.
[Указание. Отдельно рассмотрите случаи п = 2 и п = 3.[
Так как по формуле Виета At + Д2 = К{, а с другой
стороны
Я, = й, 4-... 4- hn = fcA, 4- (n - й)А2,
то
(fc-l)A,4-(n-fc-1)А2 = 0. (9)
2
Кроме того, А,А2 = -К2.
Можно показать (это трудная теорема!), что функ-
ция К2 (напомним, при п > 3 постоянная) не может быть
отрицательной, т. е. либо К2 = 0, либо К2 > 0.
Пусть К2 = 0 (т. е. R — 0). Тогда, не теряя общности,
мы можем считать, что А2 = 0, и, значит, что (к - 1)А, = 0.
Поэтому либо Aj = 0, либо к = 1. В обоих случаях й,- = 0
при i > I, и потому, согласно формуле (6), тензор R тож-
дественно равен нулю. Поскольку при R = 0 необходимо
R = 0, этим доказано, что гиперповерхность евклидо-
ва пространства, являющаяся пространством Эйн-
штейна, тогда и только тогда локально евклидова
(представляет собой плоское риманово пространст-
во), когда ее скалярная кривизна равна нулю (а главные
Лекция 20
ЖЕСТКОСТЬ СФЕРЫ
357
кривизны все равны нулю, за исключением, быть может,
одной).
При п = 2 это в точности развертывающиеся по-
верхности.
Пусть К2 > 0. Тогда А, и А2 отличны от нуля и имеют
одинаковые знаки.
Поэтому соотношение (9) может быть выполнено либо
при к = 1 и п = к + I, либо при к = п и А2 = (п - 1)А(.
В первом случае п = 2, а во втором h{ = ... = hn тож-
дественно, следовательно, все точки гиперповерхности X
омбиличны (и, значит, эта гиперповерхность локально яв-
ляется сферой). Этим доказано, что при п > 3 гиперпо-
верхность евклидова пространства, представляющая
собой п-мерное пространство Эйнштейна и имеющая
отличную от нуля (и, значит, положительную) ска-
лярную кривизну, локально является сферой.
В лекции 22 мы докажем, что и обратно, каждая сфера
евклидова пространства представляет собой пространство
Эйнштейна положительной скалярной кривизны.
Таким образом, при п 3 сферы представляют со-
бой единственные гиперповерхности евклидового про-
странства, являющиеся полными пространствами
Эйнштейна отличной от нуля скалярной кривизны.
Жесткость Отсюда, в частности, следует, что при п > 3
сферы любая гиперповерхность (п+ 1)-мерного
евклидова пространства, изометричная сфере, сама
является сферой.
Гиперповерхность X евклидова пространства называет-
ся жесткой, если любая гиперповерхность, ей изометрич-
ная, может быть совмещена с X движением (вообще говоря,
несобственным).
В этой терминологии доказанное утверждение означа-
ет, что сферы размерности п 3 являются жесткими
гиперповерхностями (теорема о жесткости
сферы).
Замечание!. Эта теорема имеет место и при п = 2,
но доказательство значительно труднее и требует совсем
иных методов.
ЛЕКЦИЯ 21
Достаточное условие жесткости гиперповерхностей. — Ги-
перповерхности с данной второй основной формой. — Гиперпо-
верхности с данными первой и второй основными формами. —
Доказательство их единственности. — Доказательство их суще-
ствования. — Доказательство локального варианта теоремы су-
ществования и единственности.
Достаточное Свойстйо жесткости имеет — по край-
условие жесткости ней мере при п > 3 — весьма общий ха-
гнперповерхностей рактер и выполнено не только для сфер,
но и для любых двусторонних (не обязательно полных!) ги-
перповерхностей, у которых в каждой точке по крайней мере
три главные кривизны отличны от нуля.
Теорема 1. Чтобы двусторонняя гиперповерх-
ность евклидова пространства была жестка, доста-
точно, чтобы в каждой ее точке по крайней мере три
главные кривизны были отличны от нуля.
Мы выведем теорему 1 из следующей теоремы.
Теорема 2. Для связных двусторонних гиперпо-
верхностей X, X* евклидова пространства тогда и
только тогда существует изометрия X —* X*, пере-
водящая вторую основную форму гиперповерхности X
во вторую основную форму гиперповерхности X*, ко-
гда эти гиперповерхности можно совместить движе-
нием.
Иначе говоря, связная двусторонняя гиперповерх-
ность евклидова пространства однозначно определя-
ется — с точностью до движения — ее первой и вто-
рой основными формами
Конечно, гиперповерхности предполагаются здесь осна-
щенными, а движения — переводящими одно оснащение в
другое. Без последнего условия изометрия, индуцированная
движением, может менять знак второй основной формы.
В дальнейшем, для сокращения формулировок, изоме-
трии, удовлетворяющие условиям теоремы 2, мы будем на-
зывать изометриями, сохраняющими вторые основные
формы.
Лекция 21
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ДАННОЙ ВТОРОЙ ФОРМОЙ
359
Доказательство теоремы 1. Согласно тео-
реме 2 для доказательства теоремы 1 достаточно показать,
что для изометричных связных двусторонних гиперповерх-
ностей X и X*, удовлетворяющих условиям этой теоремы,
каждая изометрия X —» X* сохраняет — с точностью до
знака — вторые основные формы, т. е. главные кривизны
гиперповерхностей X и X* в соответствующих точках либо
одинаковы, либо могут быть сделаны одинаковыми умноже-
нием всех кривизн на -1. Поскольку же для изометричных
поверхностей тензоры кривизны в соответствующих точках
совпадают, в сиду формулы (6) лекции 20 все сводится к сле-
дующей алгебраической лемме.
Лемм* t. Пусть h = (йр..hn) « k = (kx,.. ,,kn) —
такие вектор-строки длины п, что при i j
hihj = kify
для любых i,j — 1,..п. Тогда если хотя бы три ком-
поненты вектора h, отличны от нуля, то h = ±k.
Дока з ательство. Пусть для определенности hx /
/ 0, / О’ и h3 / 0. Тогда кх = Xhl и k2 = А~1 h2, где А / 0.
Поэтому для любого j / 1
hxhj = kxkj — Xhxkj
и, значит, hj, = Xkj. Аналогично для любого г / 2
k^k2 = A к{Н2
и, значит, hit = A-1fc,-. В частности, Хк3 = Х~1к3, что при
k3 О'возможно только при А = ±1. Следовательно, h =
= ±й. О
Тём самым по модулю теоремы 2 теорема 1 доказана, □
Гиперповерхности Что же касается теоремы 2, то ясно,
с данной второй чт0 ограничение на X произвольного
основной формой движения пространства У, совмещаю-
щего X с X* (и переводящего оснащение гиперповерхно-
сти X в оснащение гиперповерхности X*), будет изометри-
ей X —► ЛГ*,, сохраняющей вторые основные формы.
Обратно, пусть существует сохраняющая вторые основ-
ные формы; изометрия X -+ X* оснащенных гиперпо-
верхностей^ и X*. Выбрав в пространстве X точку р0, а
360
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ДАННОЙ ВТОРОЙ ФОРМОЙ
Лекция 21
в линеале Т_ X базис Ар..А , рассмотрим движение ф.
У —> V, переводящее точку р0 в точку <р(р0), базис Ар...
• • •> Ап — в базис (d<p)^ Aj,..(dtp)^Ап линеала Т^Л”,
а нормальный вектор Пр— в нормальный вектор nJ. (Такое
движение всегда существует и единственно.) Пусть X' —
образ гиперповерхности Д’* при движении Ф-1. Тогда р0 е
G X', Ар..., Ап е.Тр X', и отображение .
°V> = (Ф^Г1 ° ч> (1)
будет сохраняющей вторые основные формы изометрией
X —> X, оставляющей на месте точку р0 и векторы
Ар..., Ап. Если изометрия ф индуцируется движением Ф, то
изометрия <р будет ивдуцироваться движением ФоФ. Поэто-
му теорему 2 достаточно доказать для изометрий вида (1).
Это сводит теорему 2 к следующему ее частному случаю
(утверждающему, кроме того, что Ф = id).
Теорема 2'. Пусть X и X* — такие связные дву-
сторонние оснащенные гиперповерхности, имеющие
общую точку р0> что Т X = Т X*. Если существует
ро "о
сохраняющая вторые основные формы изометрия: <р:
X —► X*, оставляющая на месте точку р0 и такая,
что (dtp) = id, то X = X* и <р = id.
ро
Пусть f — произвольное изометрическое погружение
n-мериого риманова пространства X в (n + 1 )-мерное евк-
лидово пространство У. Считая f вложением, мы можем
рассматривать пространство X как гиперповерхность в У,
и потому — выбрав оснащение п — говорить о его второй
основной форме h. Для сокращения формулировок погру-
жение /, для которого на X выбрано оснащение п, мы
будем называть оснащенным погружением, а соответст-
вующую вторую основную форму на А* — второй основ-
ной формой оснащенного погружения f. [Заметим, что
если пространство X связно, то оснащение п однозначно
определяется, его значением Пр в некоторой точке р0 G X,
т. е. единичным вектором Пр, ортогональным гиперплоско-
сти (df)_ Т_ X. На этом основании мы будем называть век-
тор Пр оснащающим вектором погружения f.]
В этой терминологии теорема 2' может быть перефор-
мулирована следующим образом.
Лекция 21
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ДАННЫМИ ФОРМАМИ
361
Теорема 2". Пусть f и f* — два оснащенных изо-
метрических погружения связного ориентируемого п-
мерного риманова пространства X в (п + \)-мерное
евклидово пространство V. Если
а для некоторой точки р0 Е X имеют место ра-
венства
f(p0) = f(p0) и
б вторые основные формы погружений f и f* сов-
падают,
mof = f*.
Эта теорема единственности может быть
дополнена соответствующей теоремой существо-
вания.
Гиперповерхности с
данными первой и
второй основными
формами
По построению каждая гиперповерх-
ность X представляет собой риманово
пространство с дополнительной струк-
турой — симметрическим тензорным
полем h типа (2,0), связанным с метрическим тензором СО'
отношениями Гаусса
Rij,kl ~ hikhjl ~ (2)
и Петерсона — Кодацци
= (Vih)kj (3)
(см. формулы (3) и (4) лекции 20; теперь е = 1, так как
объемлющее Пространство V евклидово), которые должны
иметь место в каждой карте многообразия X. Это означает,
что соотношения (2) и (3) необходимы для того, что-
бы для симметрического тензорного поля h, заданного на
римановом пространстве X, существовала реализация этого
пространства в виде гиперплоскости евклидова пространст-
ва, второй основной формой которой является h. Будут ли
эти соотношения достаточны? Для односвязных многообра-
зий ответ оказывается утвердительным.
Теорема 3. Пусть X — связное и односвязное
п-мерное риманово пространство, на котором задано
симметрическое тензорное поле h типа (2,0), связан-
ное с метрическим тензором g соотношениями Гаус-
са (2) и Петерсона — Кодацци (3). Пусть, далее, р0 —
362
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ДАННЫМИ ФОРМАМИ
Лекция 21
произвольная точка пространства X, и А1,...,Ап —
базис пространства Т_ X. Наконец, пусть У — евк-
ро
лидово (п + 1)-мерное пространство, г0 — его точ-
ка, alt...,an — такое семейство векторов простран-
ства У, что
для всех i,j = 1 , . . ., п,
а<аэ = д^(р0)
и Пр — единичный вектор пространства У, ортого-
нальный векторам аг,.. ,,ап.
Тогда существует такое изометрическое погру-
жение
(4)
что
f(Po) = roi (^)ро^1 = а> ’ .^^Ро^п = (5)
причем по отношению к оснащающему вектору nQ
второй основной формой погружения f служит h.
Согласно тебреме 2" погружение (4) единственно.
Обе теоремы 2" и 3 имеют локальные аналоги. Мы объ-
единим их в одну теорему и одновременно обобщим на слу-
чай псевдоевклидова пространства V. (Конечно, аналогич-
ное обобщение возможно и по отношению к самим теоре-
мам 2" иЗ. Вопрос: переносится ли на случай гипер-
поверхностей псевдоевклвдова пространства теорема о1?)
Пусть в некотором связном открытом множестве U евк-
лидова пространства R” заданы два симметрических тензо-
ра g и h типа (2,0) с компонентами д^ и fy-. Предположим,
что в каждой точке множества U:
а тензор д невырожден (является псевдоримано-
вой метрикой);
б имеют место соотношения (3) и (4) лекции 20,
где и V*. построены по римановой связности, от-
вечающей метрике д, а е = ±1.
Пусть, далее, (k, I) — сигнатура тензора д, и пусть
У — псевдоевклидово (n + 1 )-мерное пространство сигнату-
ры (fc + 1, I), если е = 1, и сигнатуры (fc, I - 1), если е = -1,
где е = ±1 —число, фигурирующее в соотношении (3) лек-
ции 20.
Лекция 21
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ДАЮШМИ ФОРМАМИ
363
Пусть ®0 6 и, и пусть
а1> • • •>ап’П0
—такой базис пространства V, что
1) имеют место равенства
в»Я? = М*о)> = 1, • • -, п;
2) вектор п0 ортогонален векторам а,,.. .,ап;
, 3) выполнено соотношение
-2 _
По “ е-
Наконец, пусть г0 — произвольный вектор пространства V.
Рассмотрим всевозможные вектор-функции г = r(x) € V,
определенные в некоторой окрестности точки х0, и такие,
что
г(а5°) = г°’ £(®о) = а1’ :* = (6)
В Достаточно малой окрестности точки х0 каждая такая
функция удовлетворяет условию регулярности
dr дг . п
и потому уравнение г = г(х) определяет в V элемен-
тарную — очевидно, вполне неизотропную — гиперповерх-
ность X. Эта гиперповерхность обладает оснащением п, при-
нимающим в точке г0 значение п,,.
Мы будем считать, что вторая основная форма гиперпо-
верхности X строится именно с помощью этого оснащения.
Теорема 4. Если тензоры g и h удовлетворяют
вблизи точки х0условиям Я и б, то существует един-
ственная вектор-функция г = т(х), удовлетворяющая
условиям (6) и такая, что первая и вторая основные
формы гиперповерхности X совпадают вблизи х0 с g
и h соответственно.
Другими словами, эта теорема утверждает существо-
вание и единственность оснащенного погружения в (псев-
до)евклцдово пространство V окрестности точки риманова
пространства X с метрикой д, второй основной формой ко-
торого является h и которое удовлетворяет начальным усло-
виям (6).
364
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ
Лекция 21
Прежде чем доказывать эту теорему, мы выведем из нее
глобальные теоремы 2" и 3.
Доказательство их Доказательство теоремы 2".
единственности Утверждение теоремы 4 об единственно-
сти вектор-функции г — г(х) означает, что погружения f и
/*, обладающие свойствами а и б из теоремы 2 , совпадают
в некоторой окрестности точки р0. Пусть С — множество
всех точек р G X, для которых /(р) = f*(P) и ($)р —
Это множество содержит точку р0, и потому непусто. Кроме
того, если р € С, то по тому же утверждению единственно-
сти (примененному вместо р0 к р) существует такая окрест-
ность U точки р, что U С С. Следовательно, множество С
открыто.
Докажем, что множество С также и замкнуто.
Пусть р 6 С, и пусть Ф — движение пространства V,
переводящее точку /(р) в точку f*(p), гиперплоскость
(df )ТрХ— в гиперплоскость (d/*)pTpA’, а вектор нормали
к fX в точке /(р) —в вектор нормали к f*X в точке f*(p).
Тогда погружения f и Ф-1 о/* удовлетворяют в точке р усло-
виям теоремы 2", и потому — согласно уже доказанному —
совпадают в некоторой окрестности U этой точки. Следова-
тельно, f* = Ф о f иа U. Но так как р е Ц то существует
такая точка q € С, что q Е U. Тогда движение Ф оставляет
на месте точку f (q) и индуцирует тождественное отобра-
жение ассоциированного с V линеала. Поэтому Ф = id и,
следовательно, /♦ = f иа U. Значит, U С С и, в частности,
р G С.
Являясь непустым открыто-замкнутым подмножеством
связного многообразия X, множество С совпадает со
всеМ'Л?. Следовательно, f = /*. q
Докааательство их Перейдем теперь к доказательству тео-
существования ремы 3
Для упрощения формулировок изометрические погру-
жения вида U —► V, где U — открытое множество в X,
второй основной формой которых (при некотором выборе
оснащения п) служит ограничение данной формы h на V,
мы будем называть в этом доказательстве допустимыми
погружениями.
Лекция 21
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ
365
Пусть J(X,V)— подмножество пространства G(X,V)
ростков гладких отображений из X в V (см. лекцию 5), со-
стоящее из ростков [/]р допустимых погружений /: U —> V,
р б и, и С X. (Ясно, что если [/]р = [/J и / — погру-
жение в р, то /] — также погружение в р. Более того, без
ограничения общности можно считать, что является изо-
метрическим вложением.)
Очевидно, что подпространство J(X, V) непусто.
Лемма 2. На каждой компоненте пространства
J(X,V) отображение
a: J(X,V)->X,
[f]p^P,
(7)
является накрытием.
Доказательство. Согласно уже доказанной тео-
реме 2", если /: U —> V и ft: U{ —> V — такие допустимые
погружения, что для некоторой точки р0 G U Г) Ц имеют
место равенства
7(Ро) = /.(Ро). (#)р =(#!)₽ >
О
го f = /( на компоненте (U Г) пересечения U П Ц,
содержащей точку р0, и, значит, [/]р = [/(]р для любой точки
р G (U П Ц) . Ср. лемму 1 лекции 5.
Это означает (ср. доказательство леммы 2 лекции 5),
что открытые (в a-1 U, а потому и в J(X, V)) множества
*fu = {[/1р. реи},
(8)
построенные для всех связных открытых множеств U С X
и любых допустимых погружений /: U —► У, либо совпада-
ют, либо не пересекаются. Кроме того, на каждом из них
отображение является (докажите!) гомеоморфизмом на U.
Поэтому для доказательства леммы 2 нужно лишь показать,
что для каждой точки р0 G X существует такая ее связная
окрестность U, что любая точка [/Jp G a-1 U принадлежит
какому-нибудь множеству вида (8), т. е. для любой точки
peU каждое допустимое отображение /, вида Ц —> У, где
р G Ul С U, является в окрестности точки р ограничением
некоторого допустимого отображения U —> У.
366 ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ Лекция 21
Мы примем за U произвольную окрестность точки р
для которой существует хотя бы одно допустимое потру’
жение f : U -* V. Существование такой окрестности обес-
печивается теоремой 4. Пусть Ф — движение пространства
V, переводящее точку /(р) в точку гиперплоскость
(<#)_ "ГЛ"—в гиперплоскость (<Ц\)рТрХ, а вектор нормали
к f(U) в точке /(р) — в соответствующий вектор нормали
в точке /,(р). Тогда погружение Фо/: U —► У допустимо и
согласно теореме 4 совпадает с Д в окрестности точки р. ц
Доказательство теоремы 3. Согласно тео-
реме 4 существует окрестность U точки р0 и допустимое по-
гружение /: U —► У, удовлетворяющее условиям (5). Пусть
/0(Л?,У)— компонента пространства J(X,V), содержащая
росток i/JPo этого погружения. Так как пространство X по
условию связно и односвязно, то отображение (7) на ком-
поненте 70(А^,У), будучи накрытием, является гомеомор-
физмом, и потому обладает обратным отображением а-1:
X —► /0(<¥,У). Мы примем за погружение (4) компози-
цию /Зоог1, где /3: J0(Af, У) -+ У — отображение [/}р w /(р).
Ясно, что эта композиция является допустимым погружени-
ем X —► У и удовлетворяет условиям (5). □
Замечание 1. Изложенное доказательство теоре-
мы 3 подсказывает, как можно сформулировать и доказать
ее аналог для подмногообразий любой коразмерности (а не
только гиперповерхностей). Мы оставим это инициативе чи-
тателя.
Обратимся теперь к доказательству теоремы 4.
Доказательство
локального ва-
рианта теоремы
существования и
единственности
Доказательство теоремы 4.
Рассмотрим следующую систему линей-
ных дифференциальных уравнений отно-
сительно п +1 вектор-функций гр .. .,гп
и п, где коэффициенты Г^- определяются
по тензору д формулами (5') лекции 11:
dr, ь
дп , ki 1
Лекция 21
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
367
Если вектор-функция г = г(ас) из теоремы 4 существует,
то эти уравнения имеют решение, для которого п является
единичным вектором нормали гиперповерхности Д’, а функ-
дг дг
ции Г],.. .,гп — частными производными • •, ЭТОЙ
функций (см. формулы (1) и (2) лекции 20). Обратно, пред-
положив, что эти уравнения имеют решение .. .,гп,п, для
которого
’•1(®о) = а1> •••> гп(«о) = ап> «(«о) = по,
(10)
рассмотрим линейную дифференциальную форму r^dx?
с векторными коэффициентами (т. е. — если быть педан-
тично точным — семейство линейных дифференциальных
форм, коэффициентами которых служат координаты вектор-
функций Гу). Так как в силу первого из уравнений (9) част-
<Эг •
ные производные —4 симметричны по i и j, то эта фор-
их*
ма замкнута. Поэтому, согласно лемме Пуанкаре (см. лек-
цию III.20), в каждой шаровой окрестности точки х0 она яв-
ляется дифференциалом d* некоторой вектор-функции г =
= г(®). Прибавляя константу, мы всегда можем добиться,
чтобы имело место равенство г(®0) = г0;, и ясно, что удов-
летворяющая этому условию функция г = г (®) определена
единственным образом.
Пусть X — гиперповерхность с уравнением г = г(ж).
т дг.
Так как векторы ri = —г = 1,.. .,п, являются для этой
Х' д
гиперповерхности не чем иным, как векторами i =
дх1
= 1,..., п, то скалярные произведения г,Ту представляют со-
бой компоненты метрического тензора гиперповерхности X.
С другой стороны, так как
дхк dxk:i+idxk ki р 3 + 1
и (см. формулы (2') и (3) лекции И)
|5=r^+rUp- <п>
то функции г,Гу и являются решениями одной и той же
системы дифференциальных уравнений (11) с одними и теми
368
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Лекция 21
же начальными условиями (г,-Гу)(®0) = а;ау « д-(х0). Поэ-
тому эти функции совпадают:
9ij j, I, J 1»• • •, л.
Этим доказано, что первой основной формой гиперпо-
верхности X является тензор д.
Далее, так как
Эгп Эг дп , » .
far “ si»+“A«n “А'»=
= Лоя2 - ehikgk?gjp = (n2 - е)Л,у
и
<Эп2 л дп п , м
^“2^П=~2'А*9 Г,"'
ТО функции и0 = П2 И Uj = туп, j = 1,...,п, являются
решениями системы дифференциальных уравнении
|j = -2eWS’ ^ = («0-е)Л (12)
с начальными условиями и0(х0) = е, и-(х0) = 0. Поскольку
же уравнения (12) удовлетворяются постоянными функци-
ями щ = е, uj = 0, это доказывает, что равенства
п2 = е, г^п = 0
выполняются тождественно. Следовательно, п является еди-
ничным вектором нормали гиперповерхности X.
Сравнив теперь формулу Гаусса (1) лекции 20 для ги-
перповерхности X с первым уравнением (9), мы немедленно
обнаружим, что второй основной формой гиперповерх-
ности X является тензор h.
Таким образом, для завершения доказательства теоре-
мы 4 нужно лишь доказать, что уравнения (9) имеют един-
ственное решение r1(.. .,гп,п, удовлетворяющее начальным
условиям (10).
Уравнения (9), написанные для координат векторов г?
и п, принадлежат классу уравнений вида
ди*
0^ = Ay <*,*•)> 1 Оn, 1 j т, (13)
ЛекЦИЯ 21
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
369
где = А^(х, и) — гладкие функции векторов х = (х1,...
.. ,,хп) и и = (tip.. -,ит), пробегающих связные открытые
множества U С и V с R171. Начальные же условия (10)
имеют ввд u(x0) = и0, где х0 G U и и0 G V.
Напомним основы теории уравнений (13).
Пусть — линейные дифференциальные операторы (векторные
поля), определенные в области W = U х V пространства R"+m = Rn х
х Rm формулами
‘-1..."• <“>
Пусть, далее, р = (x,u) е W, а £р— линейная оболочка векторов
(Х^р....(-^п)р- Ясно, что £р является п-мерным подпространством каса-
тельного пространства ТуW = Rn+m, гладко зависящим от р, т. е. соответ-
ствие р >-» £р представляет собой распределение на W (см. лекцию IV.14).
Так как каждое пространство £р биективно проектируется на XxV = Rn, то
интегральными многообразиями распределения £ являются графики задан-
ных на 17 вектор-функций и = и(х) (подмногообразия пространства Rn+m,
состоящие из всех точек вада (х,и(х))). Касательное пространство к графи-
ку функции u = и(х) в точке р = (х,и) порождается, очевидно, векторами
д duj д
дх* + Эх* ’
откуда непосредственно вытекает, что график вектор-функции и = и(х)
тогда и только тогда представляет собой интегральное многообра-
зие распределения £, когда эта вектор-функция является решением
уравнений (13).
В силу теоремы Фробениуса (см. лекцию IV.14) отсюда следует, что
уравнения (13) тогда и только тогда имеют единственное решение, удов-
летворяющее начальному условию вида и(ж0) = и0, когда распределение £
инволютивно, т. е. когда для любых i,j = 1...п коммутатор [Х^Ху]
линейно выражается через операторы (14). Но так как
где многоточие обозначает члены, содержащие дифференцирования второго
порядка, то
где
дА#
(15)
370
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Лекция 21
(а = Byi - В]й). В частности, мы видим, что операторы [Xit X,] выра-
д
жаются только через -—. Поскольку, с другой стороны, никакая нетриви-
диц
альная линейная комбинация операторов (14) не может, очевидно, обладать
этим свойством, тем самым доказано, что распределение £ тогда и только
тогда инволютивно, когда
(Х^, ] = 0 для любых i,j = 1,..., п,
т. е. когда
Д&1 Bjil
(16)
для любых i,j = 1,.. ,,п и I = 1,.. ,,т.
Следовательно, уравнения (13) тогда и только тогда имеют
единственное, решение и — и(х), удовлетворяющее начальному усло-
вию вида и(ха) =и0, когда выполнены соотношения (16).
Этому условию можно придать другой — более удобный для запоми-
нания — вид.
Пусть F = F(x, и) — произвольная гладкая функция от х и и. Если
и является функцией от х, то производная от F по х', как известно, равна
8F ди* dF
дх' дх' дик
Поэтому если и удовлетворяет уравнениям (13), то эта производная может
быть записана в виде
(17)
дх' + Aikduk
На этом основании функция (17) от х и и называется производной от
функции F по х' в силу уравнений (13). (Подчеркнем, что в (17) аргу-
менты tip.. ,,ит функциями от а:1,.. ,,хп не предполагаются.)
Так как при F = Ац функция (17) является не чем иным, как функ-
цией (15), то в этой терминологии условие (16) равносильно тому, что
для каждого I = 1,.. ,,т и всех i,j = 1,..., п производная по xi в силу
уравнений (13) правой части j-го уравнения для функции Wj совпа-
дает с производной по Xj правой части i-го уравнения,
[В этой форме необходимость условия (16) очевидна из-за симметрич-
на,
ности по i и У вторых частных производных .7* ]
ох'дх>
Замечание 2. В предположении, что все функции А^ вещест-
венно аналитичны (являются функциями класса Cw), достаточность усло-
вия (16) можно доказать методом неопределенных коэффициентов. Для это-
го нужно, разложив функции А^ в степенные ряды по переменным х1,.. •
..., хп, и,.. подставить в уравнения (13) вместо функций «,.ит
степенные ряды с неопределенными коэффициентами и приравнять коэф-
фициенты при одинаковых одночленах от х1,.. ,,хп. Получится система ли-
нейных уравнений для неизвестных коэффициентов, условие совместности
Лекция 21
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
371
которой в точности равносильно симметричности по i w j всех коэффициен-
тов разложения в степенной ряд функций (15). Поэтому если условие (16)
выполнено, то для uL..um получатся единственные разложения в степен-
ные ряды. Остается доказать — например, методом мажорант, — что> эти
ряды сходятся (в окрестности точки х0). Это рассуждение справедливо, ко-
нечно, и в комплексной области;
Для уравнений (9) производные в силу этих уравнений
их правых частей по а? имеют вид. (мы заменяем индекс j,
в первых из этих уравнений на I, а во вторых — на р):
+ r!i(rjfcrf + *д»>+ =
- @+г^-г^л<=х+ (^‘+ W )*
- +V»-
=
Поэтому условие (16) для этих уравнений сводится к сле-
(18)
дующим четырем соотношениям:
§+- ^htthjk = +
r^ + ^ = r)At + ^,
т . = «‘’V-p-
Таким образом, для завершения доказательства теоре-
мы 4 нам осталось лишь убедиться в том, что эти соотноше-
ния выполнены.
Вычтя из левой части первого соотношения (18) его
правую часть, мы получим выражение
ЯГр дГр
S7 “ а# + - >чМ =
— e^^ilhjk hjihik) — eg h.^hjf. + hjih^),
в силу соотношения Гаусса (формула (3) лекции 20) равное
нулю. Это доказывает первое соотношение (18).
372
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Лекция 21
Переписав второе соотношение (18) в виде
и вычтя из обеих его частей мы представим его в
виде соотношения Петерсона —Кодацци
= (Vyh)rt.
Поэтому второе соотношение также выполнено.
Третье соотношение (18) аналогичным образом пред-
ставляется в виде равенства ковариантных частных произ-
водных
(V,.^ = (V.^ (19)
тензора h с поднятым вторым индексом (имеющего компо-
ненты hp = gkphik). [Достаточно из обеих его частей вы-
честь Но так как метрический тензор g ковариантно
постоянен, то (\7,Ji)? = gk9(Vih):jk. Поэтому после свертки
с тензором д соотношение (19) переходит в соотношение
Петерсона — Кодацци.
Поскольку четвертое соотношение (18), очевидным об-
разом, выполнено, теорема 4 тем самым полностью дока-
зана. ц
Нам эта теорема понадобится только в случае, когда
тензор д положительно определен (имеет сигнатуру (п,0)).
В этом случае X является римановым пространством, вло-
женным в евклидово пространство при е = 1 и в псевдоевк-
лидово пространство сигнатуры (n, 1) при е = -1.
ЛЕКЦИЯ 22
Пространства постоянной кривизны. — Модельные про-
странства постоянной кривизны. — Модельные пространства
как гиперповерхности. — Изометрии модельных пространств. —
Неподвижные точки изометрий. —Теорема Римана.
постмнно™* Пусть риманово пространство X обладает
кривизны следующим свойством.
★ В каждой точке р G X секционная кривиз-
на Кр(к) пространства X одна и та же для всех дву-
мерных направлений тг С ТрХ.
Таким образом, если это свойство выполнено, то фор-
мула _ _
Кр = Кр(к), реХ,ксТрХ, (1)
корректно определяет на X некоторую функцию К: р^ Кр.
На языке риманова тензора R пространства X, ин-
терпретированного как квадратичный функционал иа Л2 Д’
(см. лекцию 15), свойство ★ означает, что для любого би-
векториого поля Р G А2 Д’ значение R(P) тензора R на Р
выражается формулой
R(P) = K\P\2 (2)
(ср. формулу (20) лекции 15). С другой стороны, та же фор-
мула (2) имеет место, очевидно, и для тензора Бианки КЕ,
где Е — тензор Бианки, являющийся тождественным опера-
тором Л2 Д’ Л2Л* (см. лекцию 16). Таким образом, R = КЕ
на А2 Д’, а потому — см. предложение 3 лекции 15 — и на
всем Л2 Д’. Этим доказано, что риманово пространство X
тогда и только тогда обладает свойством когда
для его риманова тензора кривизны имеет место ра-
венство
R = КЕ, (3)
где К — некоторая функция на X (связанная с секцион-
ной кривизной формулой (1)). [Условие (3) у нас уже неод-
нократно встречалось; см., например, предложение 3 лек-
ции 18.]
Для компонент тензора кривизны условие (3)
означает — см. лекцию 15, — что
Rijjd = ~ 9il9jk)’
(3'>
374 ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ Лекция 22
а для компонент /?’ к1 — что
= (3")
Прж п = 2 это дает новое доказательство предложения I лекции 16,
поскольку в этом случае условие ♦ выполнено автоматически. [Заметим,
что> в этом случае К является не чем иным, как гауссовой кривизной по-
верхности Д’.)
Рассмотрим тензор W с компонентами
=к;,« - ^7f<M - М>
или
Wij,kl = Rij,kl ~ ~ Rjk9il)‘
Легко видеть, что тензор W является тензором Вей-
ля. Он называется тензором проективной кривизны.
(Мы здесь не имеем возможности объяснить это название.)
Предложение 1. Тензор W тогда и только то-
гда равен нулю, когда риманов тензор кривизны про-
странства X имеет вид (3).
72-
До казательство. Ясно, что если Я,-. = — о,, (про-
V п "V
странство X является пространством Эйнштейна), то тож-
дество (3') равносильно равенству = 0 (см. форму-
лы (10) лекции 18 и (7) лекции 16). С другой стороны, как
мы знаем (см. задачу 12 лекции 17), если (3') выполнено,
то пространство X эйнштейново, а если = 0, т. е.
Rij,kl ~ п _ । (Rjl9ik ~ Rjk9il)>
ТО
Rik = 9^lRij,kl = - Rik)>
TZ
и снова Rij = —g^. D
Пусть n 3.
Предложение2. (Теорема Шура). Для любого
связного риманова пространства X размерности п
3, удовлетворяющего условию ★, функция К, опре-
деленная формулой (1), постоянна.
Доказательство. Из (3") следует, что для любых
ЛеКЦИЯ 22 МОДЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
375
индексов г, j, k,l и з
^sRiki = gji6k9sK-gjk6idsK,
а гу Ж /и
где oaK = (Напомним, что тензоры с компонентами д^
и 6'- ковариантно постоянны.) Поэтому в силу второй фор-
мулы Бианки (формула (23") лекции 2) циклирование по k, I
и s правой части этого равенства дает нуль:
9^кда}К-9Лк61да)К = 0. (4)
Так как по условию п 3, то для любого индекса з су-
ществуют отличные от него и друг от друга индексы к и I.
Но если все три индекса к,1 и з различны, то при г = к
равенство (4) приобретает вид
gjsdlK-gjld3K = 0.
Свернув это равенство с тензором gpi, мы получим, что
6pdlK-6fdaK = 0.
В частности, при р = I отсюда следует (поскольку =
== 0), что даК = 0. Так как это верно для любого з, то,
следовательно, К = const, g
Задача!. Изложите это рассуждение в инвариантной (ие исполь-
зующей компонент) форме.
Предложение 2 мотивирует следующее определение.
Определение 1. Связное риманово пространство X
называется пространств ом постоянной кривизны К,
если для каждой его точки р 6 X и любого двумерного на-
правления тг С ТрХ его секционная кривизна Кр{к) рав-
на К, т. е., иначе говоря, если для его риманова тензора
кривизны имеет место равенство (3).
При п 3 это, согласно предложению 2, в точности
связные римановы пространства, для которых имеет место
равенство (2), а при п = 2 уже известные нам (см. лек-
цию III.5) поверхности постоянной гауссовой кривизны.
Модельные
пространства
постоянной
кривизны
странствами постоянной кривизны.
Следующие три примера пространств посто-
янной кривизны имеют, как мы увидим, осо-
бое значение. Указанные в этих примерах
пространства называются модельными про-
376 МОДЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ Лекция 22
Пример 1. Пусть X = Rn с обычной евклидовой
метрикой
ds2 = (dx1)2 + ... + (dxn)2. (5)
Так как д^ = const, то Г£. = 0 и, тем более, R^kl = 0.
Поэтому равенство (3") имеет место при К = 0.
Таким образом, пространство Rn является про-
странством нулевой постоянной кривизны.
П р и м е р 2. Пусть X = Вд — открытый шар |®| < R
пространства Кп с метрикой
* - “--------• <6>
где |®|2 = (а?)2 + ... + (хп)2.
Непосредственное вычисление тензора кривизны в этом
случае хотя и вполне автоматично, но представляет собой
задачу в достаточной мере утомительную. Поэтому мы из-
берем обходной путь.
В первую очередь мы заметим, что шар Вд с метри-
кой (6) — это в точности модель Пуанкаре n-мерного про-
странства Лобачевского (см. формулу (16) лекции П.12в).
Поэтому для его исследования мы можем применить гео-
метрию Лобачевского.
Пусть сначала п = 2. Тогда мы можем перейти к модели
Пуанкаре на верхней полуплоскости, для которой
V2
(см. формулу (21) лекции П.12в). Дальнейшее преобразова-
ние у
« = /?1п —, v = х
R
(с обратным преобразованием х = v, у = Reu?R) переводит
эту квадратичную форму в форму
ds2 = du2 + e~^Rdv2,
т. е. в форму, задаваемую формулой (9) лекции 16 (с G =
= е-2“/к). Поэтому согласно произведенному в лекции 16
вычислению гауссова кривизна в этом случае будет равна
(JG)UU e~u!R 1
y/G R2e~u/R R2'
Лекция 22 МОДЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА постоянной кривизны
377
Этим доказано, что при п = 2 наше риманово пространство
(плоскость Лобачевского) является пространством постоян-
ной отрицательной кривизны К = — —т.
Пусть теперь п > 2.
В геометрии Лобачевского прямые являются, как мы
знаем (см. лекцию П.12в), кратчайшими и, значит, геодези-
ческими. Поэтому для любой точки р0 G X и любой дву-
мерной плоскости тг с Тп X поверхность из предложения 2
ро
лекции 16 (заметаемая исходящими из точки р0 геодезиче-
скими) будет не чем иным, как плоскостью Лобачевского в
пространстве Лобачевского, и, значит, сама будет двумер-
ным пространством Лобачевского. Следовательно, по уже
доказанному, ее гауссова кривизна, т. е — согласно пред-
ложению 2 лекции 16 — секционная кривизна Ко (тг), бу-
1
дет равна —-xj. Это доказывает, что при любом п 2
пространство Лобачевского Вд является римановым
пространством постоянной отрицательной кривиз-
ИЫК = -^.
Заметим, что метрика (6) (после умножения всех коор-
динат на 2) может быть также записана в виде
(7)
При К = 0 эта метрика переходит в евклидову метрику (5)
из примера 1.
Пример 3. Пусть X = — сфера |£|2 = R2, t =
~ (t°,tl,.. радиуса Я пространства Rn+1 с метрикой,
индуцированной евклидовой метрикой пространства Rre+1,
и пусть х1,.. ,,хп — стереографические координаты иа сфе-
ре связанные с координатами .. ,,tn формулами
,о оД2-|*12
Я2+|®|2’
• _ 2Д2 •
R2 +1®|2 ’
И2 = (х1)2 + ... + (хп)2,
г = 1,.. .,п
378 МОДЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА постоянной Кривизны Лекция 22
(см. пример 10 лекции III.6). Тогда в понятных обозначениях
4/?Wr , 2R2dx'
= ~(Д2^Д|а;|2)2^2(а;(/а;)а;* ~ (R2 +
и потому
(dt0)2 + (dt1)2 + ... + (dtn)2 =
16R6 . , j 47?* .. ljV'/
~ (R2 + |x|2)4(®<te) + (Д2 + |®|2)4 ~
-4(/?2 + |x|2 )(xdx) £ + (R2 + |x|2)2 ^(d®’)2 =
i-l »=1 *
= (R2T\x\2yl4R2(3edX}2 + 4(®<te>2l®^-
- 4(/?2 + |x|2 )(xdx)2 + (R2 + |x|2) W] = ^^2
Это означает, что риманова метрика на S-jj задает-
ся в координатах х1.,хп формулой
.а_1л4(^1)2 + ... + (^)2
(R2 + ^2)2
(8)
Чтобы вычислить кривизну этой метрики, можно посту-
пить, как выше в примере 2 (следует только предварительно
убедиться, что геодезическими на сфере являются дуги боль-
ших кругов), но можно поступить и еще проще,, заметив,
что полученный в примере 2 результат означает, что если
при К < 0 для метрики (7) произвести все полагающиеся
для вычисления тензора кривизны выкладки, то получится
тензор с компонентами (3). Но ясно, что эти выкладки ни-
как не могут зависеть от знака постоянного параметра К
и при К положительном (или равном нулю) дадут тот же
Лекция 22
МОДЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА КАК ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
379
результат. Поскольку метрика (8) имеет (после умножения
всех координат на 2) вид (7) с К = это доказывает,
что сфера §д с метрикой (8) является пространст-
вом постоянной кривизны К = —.
К*
Подчеркнем, что метрику вида (7) имеют все три
пространства Вп, Вд и §д. Различие между этими про-
странствами только в том, что К равно нулю для Вп, отри-
цательно для Вд и положительно для §д. (Кроме того, для
пространств Вп и Вд координаты х1,...,хп определены всю-
ду, а для сферы §д — лишь вне полюса стереографической
проекции.)
Для единства обозначений мы будем пространства Вп,
Вд1 и §д с метрикой (7) обозначать символом М%, где
К = 0 для пространства Вп и К = для про-
странств §д и BJ.
Модельные про- По определению при К > 0 пространст-
странства как ги- во мк является гиперповерхностью §д,
перповерхности R=\/y/K, евклидова пространства В”4-1
и риманова метрика на М% индуцирована евклидовой ме-
трикой на В”4-1. Аналогично, при К = 0 пространство
= Вп мы можем отождествить с гиперповерхностью
j.n+1 _ Q пространства Bn+1, и тогда метрика на Мк будет
также индуцироваться метрикой на В”4"1. Что яге касает-
ся пространства М.% при К < 0, то (см. лекцию П.12в)
оно может быть отождествлено с гиперповерхностью псев-
доевклидова пространства В”4-1 сигнатуры (1, п), являющей-
ся полой сферы радиуса R = 1 /v'-А' этого пространства.
Поскольку эта гиперповерхность очевидным образом впол-
не неизотропна, метрика пространства В”4-1 индуцирует на
Мк, К < 0, некоторую риманову метрику (точнее, римано-
ва метрика получается дополнительным изменением знака).
Задача 2. Покажите, что последняя метрика совпадает с метри-
кой (7).
Таким образом, каждое пространство /Л % являет-
ся гиперповерхностью пространства В”4-1 (евклидова
380 МОДЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА КАК ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
Лекция 22
при К 0 и псевдоевклидова при К < 0), снабженной
индуцированной римановой метрикой.
Вычислим вторую основную форму h этой гиперповерх-
ности.
Так как радиус сферы направлен по нормали к этой
сфере, то единичный вектор ее нормали в точке с радиус-
вектором а задается формулой
п=-|. (9)
Оказывается, что формула (9) остается в силе и
для сферы псевдоевклидова пространства (если, конеч-
но, ортогональность и длину понимать по отношению к псев-
доевклидову скалярному умножению). Действительно, сфе-
ра радиуса R как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом
пространстве имеет уравнение
t2-/?2 = 0 (10)
(но в псевдоевклидовом пространстве t2 = (t0)2 — (t1)2 - ...
.. .-(tn)2; мы предполагаем — поскольку только этот случай
нам и нужен, — что псевдоевклидова метрика имеет сигна-
туру (l,n)). С другой стороны, из курса анализа известно,
что касательная гиперплоскость в точке с радиус-вектором
а = (а0, а1,..ап) к гиперповерхности с уравнение^ F(t) =
= 0 задается уравнением
_0\, /9F\ . . M(9F\(fn n.
WA( " } W/a " )+ ‘ +WA( "° )-°‘
Это уравнение для сферы (1.0) имеет (в случае псевдоевк-
лидова пространства сигнатуры (1, п) и после сокращения
на 2) вид
a°(t° — а°) — a1 (t1 — а*) — ... — an(tn — ап) = 0,
означающий, что вектор а ортогонален (по отношению
к псевдоевклидовой метрике) каждому вектору t — а этой
гиперплоскости, т. е.—на другом языке — что этот век-
тор является в рассматриваемой точке вектором норма-
ли сферы (10). Следовательно, единичный вектор норма-
ли имеет вид Да, где А — обратная величина длины век-
тора а (в псевдоевклидовой метрике). Для завершения до-
казательства осталось заметить, что по условию эта длина
равна Я. q
Лекция 22
ИЗОМЕТРИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ
381
Заметим, что мы фактически повторили обычное рас-
суждение, доказывающее формулу (9) для сферы евклидова
пространства.
Пусть — риманова метрика на гиперповерхности
Мц-, которая в случае К > О индуцирована метрикой про-
странства Rn+I, а в случае К < 0 отличается от индуци-
рованной метрики знаком. Докажем, что для каждой из
гиперповерхностей имеет место равенство
hi:j =-<ry/\K\gij, (11)
где <7 = 4-1 при К 0 и <7 = —1 при К < 0 (и,
значит, все точки гиперповерхности Мц омбиличны;
см. лекцию 20). Действительно, согласно формуле (1) лек-
ции 20, если а = а(х) — векторное параметрическое урав-
нение гиперповерхности М%, то
= ауП,
поскольку п2 = 1. С другой стороны, так как а,п = 0, то
аг-п = -а,п-, а согласно формуле (9) при К/0
Поскольку afa = <75^, это доказывает (11). (При К = 0
формула (9) не применима, но в этом случае n = const, и
потому = 0.) о
Изометрии Интерпретация пространства Мк как под-
модельных пространства (псевдо)евклидова пространст-
пространств ва позволяет без особого труда найти также
его группу изометрий Iso Mr.
Пусть сначала К > 0. Каждое ортогональное преоб-
разование пространства Rn+I (элемент группы О(п 4- 1))
переводит сферу в себя и, значит, — будучи изометри-
ей пространства Rn+I —индуцирует некоторую изометрию
Возникающее отображение О(п 4- 1) —> IsoS^
является, очевидно, мономорфизмом. Это позволяет отож-
дествлять ортогональное преобразование из O(n4- 1) с его
образом в Iso и, значит, считать, что
О(п4-1) С IsoSj£. (12)
382
ИЗОМЕТРИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Лекция 22
При К < 0 аналогичным образом возникает включение
О^(1,п) С Iso Вд, (13)
где (Я(1,п)— группа всех ортохронных (сохраняющих на-
правление оси времени) дсевдоортогональных преобразова-
ний (п+ 1)-мерного псевдоевклидова пространства сигнату-
ры (1, п).
Наконец, при К = 0 имеет место включение
Еис (та) С Iso Rn, (14)
где Еис (л) — группа всех движений (собственных и несоб-
ственных) евклидова пространства R”. (С алгебраической
точки зрения группа Еис (п) является полупрямым произ-
ведением Traus (n) х О(п) группы трансляций Trans (п) »
« Rn и группы О(п). Геометрическим выражением этого
обстоятельства является представление любого движения
Rn -♦ Rn формулой х i-> Лх + а, где А 6 О(п), а 6 Rn.|
Группы
Euc(n), О(я+1), 0^(1, п) (15)
(элементы которых мы будем для сокращения речи называть
здесь движениями соответствующих геометрий) являются
группами Ли, состоящими из двух компонент связности. Их
компонентами единицы являются соответственно группы
Euc+(n) = Trans(n) к SO(n), SO(n+l), 0^(1, n) (16)
(группы собственных движений). С другой стороны, со-
гласно предложению 3 лекции 19 группы Iso Мк также яв-
ляются группами Ли, причем их размерность не превосхо-
п(п+1) „
дат числа —. по размерность групп (16) равна этому
числу! Поэтому на самом деле
,. т .. п(п+1)
dim Iso Мк (17)
и, значит, — поскольку подгруппа Ли связной группы Ли,
размерность которой равна размерности группы, совпада-
ет со всей группой — компонентой единицы группы
IsoA4^ является соответствующая группа (16).
Лекция 22
НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ИЗОМЕТРИЙ
383
Это утверждение — и даже его усиление, относящее-
ся ко всей группе Iso Мк — можно доказать и по-другому,
заменив ссылку на предложение 3 лекции 19 ссылкой на
предложение 2 лекции 3, согласно которому каждая изо-
метрия /: М.к -+ будучи аффиннитетом, однозначно
определяется своим дифференциалом
т» Т? МК^ 9о = /(Ро)>
Ч) *0 ’о
в произвольной раз навсегда выбранной точке р0 G Мк.
С другой стороны, легко видеть, что для любых двух точек
Роу Чо £ М-К и лю^ого изометричного отображения
\мк -> TqMK
существует такое движение пространства
что fv(p0) = Ч0 и (df^ = <р.
3 а д а ч а 3. Докажите это утверждение.
В частности, движение f , построенное по дифферен-
циалу <р = (<//)_ , будет не чем иным, как изометрией /.
"о
Это заново доказывает, что каждая изометрия является
движением.
Таким образом, мы видим, что все три включения (12),
(13) и (14) являются равенствами:
Iso Mk = <
Еис (п),
O(n+1),
C>T(l,n),
если К = 0,
если К > 0,
если К < 0,
(18)
т. е. изометрии пространств №% — это в точности
их движения.
Кроме того, мы видим, что группа IsoM# транзи-
тивно действует на пространстве М%.
Неподвижные Неподвижные точки евклидова движения 7:
точки иэоме- х -ч Ах + а определяются из уравнения
Трий (А-Е)® + а = 0,
задающего в пространстве Rn некоторую плоскость. (Ее раз-
мерность г может быть любым целым числом от —1 до п;
384
ТЕОРЕМА РИМАНА
Лекция 22
при г = — 1 эта плоскость является пустым множеством,
при г = 0 — точкой, а при г = 1 — прямой. Равенство г = ц
означает, что движение 7 тождественно.)
Поскольку движениями сферы являются вращения
(вообще говоря, несобственные) объемлющего пространст-
ва Rn+1, т. е. элементы группы O(n + 1), а движениями
пространства Лобачевского Вд — элементы группы Лорен-
ца 0^(1, п), то этот вывод остается в силе и в неевклидовых
пространствах и Вд. Для удобства ссылок мы сформули-
руем этот результат в виде отдельного предложения.
Предложение 3. В произвольном модельном про-
странстве постоянной кривизны неподвижные
точки каждого движения —♦ Мд составляют
некоторую плоскость, q
Теорема Римана Характеристика пространств Мд, как мо-
дельных, объясняется следующей теоремой Римана.
Теорема. 1. Каждое пространство X постоянной
кривизны локально изометрично пространству М%,
т. е. любая его точка обладает окрестностью, изо-
метрично отображающейся на окрестность некото-
рой точки пространства М%.
(Так как группа Iso Мк транзитивно действует на про-
странстве Мд, то любые две точки этого пространства об-
ладают изометричными окрестностями.)
На координатном языке теорема 1 утверждает, что про-
странство X обладает атласом, в каждой карте кото-
рого метрика этого пространства имеет вид (7).
Доказательство теоремы 1. Из форму-
лы (11) следует, что для доказательства теоремы 1 доста-
точно показать, что тензор <тд, где д — метрический тензор
пространства X, и тензор h с компонентами
hij = -<ry/\K\gij (19)
удовлетворяют соотношениям Гаусса и Петерсона — Ко-
дацци. (Действительно, тогда согласно теореме 4 лекции 21
некоторая окрестность любой точки пространства X будет
изометрично вкладываться в Rn+1 в качестве элементарной
гиперповерхности с основными тензорами сгд и h. Поэтому
Лекция 22
ТЕОРЕМА РИМАНА
385
в силу утверждения об единственности этой гиперповерх-
ности она — при соответствующем выборе начальных усло-
вий— будет содержаться в гиперповерхности Мк в каче-
стве открытого множества.)
Но тензор кривизны пространства X связан с метрикой
дг] формулой (3') и, значит, тензор кривизны для метрики
ад^ выражается формулой
Rij,kl “ ffK(9ik9jl ~ 9u9jkl
что в силу (19) немедленно дает соотношение Гаусса (фор-
мулу (3) лекции 20) для тензоров ад и h. Далее, так как
тензор ад ковариантно постоянен, то тензор с компонента-
ми (19) также ковариантно постоянен, т. е. (V^/i),^ — 0 для
всех г,J,к = 1,...,п. Поэтому соотношение Петерсона —
Кодацци (формула (4) лекции 20) также выполнено, q
13 М. М. Постников
ЛЕКЦИЯ 23
Пространственные формы. — Теорема Картана — Киллин-
га. — (Псевдо)римановы симметрические пространства. — Клас-
сификация пространственных форм. — Сферические формы чет-
ной размерности. — Ориентируемые пространственные фор-
мы. — Комплексно аналитические и конформные фактормного-
образия. — Римановы пространства с группой изометрий мак-
симальной размерности. —Их перечисление. —Условие полной
подвижности.
Пространствен- Из пространств Мк можно получать и дру-
ные формы гие пространства постоянной кривизны.
Ясно, что если в римановом накрытии (X,ir,X) одно
из пространств X или X является римановым пространст-
вом постоянной кривизны К, то другое пространство также
будет пространством постоянной кривизны К.
В частности, для любой дискретно действующей
группы Г изометрий пространства Mg факторпро-
странство Л4^-/Г является пространством постоян-
ной кривизны К.
Определение 1. Факторпространства вида Л4А-/Г на-
зываются пространственными формами (при К = 0 —
евклидовыми, или параболическими, при К > 0—сфе-
рическими или эллиптическими и при К < 0 — гипер-
болическим^ .
Группа Г называется фундаментальной группой про-
странственной формы Мк/Т.
(Легко видеть, что каждое из пространств од-
носвязно (при п > 2). Поэтому (см. предложение 3 лек-
ции IV.4) группа Г является фундаментальной группой про-
странства X — Мк/V в смысле определения 1 лекции IV.3.]
Предложение 1. Две пространственные формы
Mjf/r и тогда и только тогда изометричны,
когда группы Г и А сопряжены в группе Iso/zt^- всех
изометрий пространства
Доказательство. Если А = /Г/-1, f G IsoM#,
то формула Af(p), р G Мк, корректно определяет
отображение /: -♦ М^/Д, замыкающее коммута-
Лекция 23
ТЕОРЕМА КАРТАНА — КИЛЛИНГА
387
тивную диаграмму
M.g -------►
4 b w
► А4^/Д
вертикальными стрелками которой являются канонические
проекции. Так как f — изометрия, то f — также изометрия
(и обратно). Таким образом, если группы Г и Д сопряжены,
то пространственные формы Мк/У и М.к/& изометричны.
Обратно, пусть существует изометрия /: М^/У —»
—> Мк/А. Так как пространство односвязно, то отоб-
ражение _
f о -it: Мк -+ Мк/&
поднимаемо (см. следствие теоремы I лекции IV.4), т. е.
существует отображение /: Мк -+ Мк, замыкающее диаг-
рамму (I). Так как f — изометрия, то f — также изометрия.
Кроме того, для любого элемента 7 G Г и любой точки р0 G
6 Mj( имеет место равенство
(тг о /)(7Ро) = (/ о тг)(7р0) = (7° ^)(Р0) = (* 0 /)(Ро)>
означающее, что /(7Р0) = 6f(p0) для некоторого 6 G Д,
т. е. что отображения 6~'fy и / одинаково действуют на
точку р0. Поскольку отображение <5_|/7 также, очевидно,
накрывает отображение 7 о тг, отсюда — в силу утвержде-
ния единственности из следствия теоремы I лекции IV.4 —
следует, что <5-l/7 = f всюду, т. е. что fyf~l = 6. Следова-
тельно, /Г/-1 = Д, т. е. группы Г и Д сопряжены, q
Теорема Каждое из модельных пространств Л4#,. яв-
Картана— ляясь замкнутым подпространством полного
Киллинга метрического пространства, полно. (Оно пол-
но также по теореме Хопфа — Ринова; см. теорему 1 лек-
ции 12.) Следовательно (см. задачу 3 лекции 19), каждое
пространство М.%/У также полно.
Таким образом, каждая пространственная фор-
ма М-к/У является полным пространством посто-
янной кривизны.
Замечательно, что верно и обратное.
13*
388 (ПСЕВДО)РИМАНОВЫ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Лекция 23
Теорема 1. Каждое связное полное пространст-
во X постоянной кривизны К изометрично некото-
рой пространственной форме Мк/Т.
Эта теорема называется теоремой Картана —
Киллинга. Она еще раз оправдывает представление
о пространствах Mg как модельных пространствах посто-
янной кривизны.
Отметим следующий частный случай теоремы 1.
Теорема 2. Каждое связное и односвязное полное
пространство постоянной кривизны К изометрично
пространству М%.
Эта теорема также называется теоремой Карта-
на— Киллинга.
Заметим, что теорема 1 легко следует из теоре-
мы 2. Действительно, пространство X, универсально на-
крывающее пространство X, является — очевидно, полным
и односвязным — пространством постоянной кривизны К.
Следовательно, согласно теореме 2 оно изометрично про-
странству Поэтому без ограничения общности можно
считать, что X = Мк. С другой стороны, согласно след-
ствию 2 теоремы 2 лекции IV.5, если Г — группа автомор-
физмов накрытия -♦ X (состоящая согласно утверж-
дению А задачи 5 лекции 19 из изометрий), то факторпро-
странство Мк/Г гомеоморфно (а в наших условиях и диф-
феоморфно) многообразию X. Ддя завершения доказатель-
ства остается заметить, что этот диффеоморфизм является,
очевидно, изометрией, q
Поэтому нам достаточно доказать лишь теорему 2. Мы
сделаем это в более общем контексте симметрических про-
странств.
(Псевдо)римановы Пусть X — (псевдо)риманово пространст-
симметрические В0) являющееся одновременно симметри-
пространства ческим пространством (в смысле опреде-
ления 2 лекции 5).
Определение 2. Пространство X называется (псев-
до)римановым симметрическим пространством, ес-
ли все симметрии
sp: Х-*Х, реХ,
представляют собой изометрии.
Лекция 23 (ПСЕВДО)РИМАНОВЫ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 389
Будучи изометриями, симметрии зр являются по отно-
шению к связности Леви-Чивита V на X аффинными отобра-
жениями. Поэтому (см. замечание 2 лекции 5) относительно
связности V пространство X будет глобально симметриче-
ским пространством, и, значит, — в силу единственности
канонической связности — связность V является кано-
нической связностью на X.
Задача 1. Докажите, что если (псевдо)риманово
пространство имеет ковариантно постоянный тен-
зор кривизны (является по отношению к связности
Леви-Чивита локально симметрическим простран-
ством), то для любой точки р0 G X локальная гео-
дезическая симметрия
ехр A w ехр (-Д), А е Т X,
Fo .о Fo
является изометрией. [Указание. Отображение
A > —А пространства Т X на себя изометрично.]
Задача 2. Докажите, что связное и односвяз-
ное (псевдо)риманово пространство тогда и только
тогда является (псевдо)римановым симметрическим
пространством, когда оно полно и его тензор кривиз-
ны ковариантно постоянен.
В частности, любое связное и односвязное полное
пространство постоянной кривизны является рима-
новым симметрическим пространством.
Задача 3. Докажите, что связные и односвязные
(псевдо)римановы симметрические пространства од-
ной и той же сигнатуры и кривизны изометричны.
[Указание. В случае, когда пространства X и У из тео-
ремы 2 лекции 5 являются (псевдо)римановыми простран-
ствами одной и той же сигнатуры, за фигурирующий в этой
теореме изоморфизм р может быть принята изометрия.]
, Теперь мы можем доказать и теорему 2
Доказательство теоремы 2. Эта теорема
непосредственно вытекает из утверждений задач 2 и 3. g
Обратим также внимание иа то, что каждое связ-
ное полное (псевдо)риманово локально симметри-
ческое пространство (в частности, любое (псев-
до) риманов о симметрическое пространство) имеет
390
КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ
Лекция 23
вид Х/V, где X — односвязное (псевдо)риманово сим-
метрическое пространство, а Г — дискретно дейст-
вующая группа его изометрий.
Ср. предложение 2 лекции 5.
Классификация Согласно теореме Картана — Киллинга за-
пространстаен- дача перечисления всех пространствен-
ных форм ных форм сводится к задаче перечисле-
ния — с точностью до сопряжения — всех дискретно дей-
ствующих подгрупп групп (15) лекции 22.
Наиболее простой — и до конца изученный — слу-
чай возникает при К > 0, т. е. для сферических
пространственных форм. Дело здесь в том, что
в силу компактности группы O(n + 1) любая дискретная
группа изометрий сферы необходимо конечна. Вместе с тре-
бованием, чтобы ни одно нетождественное преобразование
группы не имело неподвижных точек, это позволяет найти
все подгруппы Г группы O(n+ 1), дискретно действующие
на сфере и, тем самым, описать все сферические формы.
Ответ, полученный в 1966 г. Винсентом, имеет вид доволь-
но длинного и малообозримого списка. Поэтому мы рассмот-
рим ниже лишь случай сфер четной размерности, когда от-
вет неожиданно прост, а также — в следующем Семестре —
случай п = 3, когда еще сохраняется геометрическая наг-
лядность. (Любопытно, что случай n = 3(mod4) является
самым сложным; при n = l(mod4) ситуация оказывается
существенно более простой.)
Полная классификация гиперболических про-
странственных форм известна только при п = 2
(и то лишь в предположении, что группа Г имеет конечное
число образующих). Эти формы возникают как римановы
поверхности аналитических функций, и их теория относит-
ся не столько к геометрии, сколько к теории функций (но
все же мы их вкратце рассмотрим в следующем Семестре).
При п 3 теория гиперболических форм делает пока лишь
первые шаги и весьма далека от какой-либо законченности.
Евклидовы пространственные формы
занимают промежуточное положение. Хотя они пока про-
классифицированы лишь при п 4, о них известно доволь-
но много и имеется целый ряд обещающих подходов к их
Лекция 23
СФЕРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ЧЕТНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
391
полной классификации. В следующем Семестре мы найдем
их все при п 3 и, кроме того, для любого п найдем все
евклидовы формы, фундаментальная группа которых состо-
ит только из параллельных переносов (трансляций).
Сферические Простейший пример нетривиальной сфе-
формы четной рической формы доставляет нам уже зна-
размерности комое (см. пример 1 лекции 19) эллипти-
ческое пространство
RPJ? = S£/{i<U},
представляющее собой факторпространство сферы по
группе второго порядка {id, сг}, порожденной антиподаль-
ным отображением
сг: ® н-> -®, х G
Предложение 2. Любая сферическая, пространст-
венная форма X четной размерности п = 2т изоме-
трична либо сфере либо проективному простран-
ству RPft.
Доказательство. Каждое преобразование группы
S0(2m + 1) имеет — см. теорему 2 лекции 11.23 — собст-
венный вектор, принадлежащий собственному значению 1,
и потому, рассматриваемое как преобразование из Iso S^*,
обладает неподвижной точкой. Поэтому для фундаменталь-
ной группы Г С Iso = O(2m + 1) должно иметь место
равенство Г Г» SO (2m + 1) = {id}. Так как квадрат 72 любо-
го элемента 7 G O(n + 1) принадлежит SO(n+ 1), отсюда
следует, что 72 = id, т. е. группа Г состоит только из ин-
волюций. С другой стороны, так как каждый инволютивный
линейный оператор 7 диагонализируем (и имеет собствен-
ные значения ±1), то оператор 7 / id тогда и только тогда
не имеет неподвижных точек, когда 7: х w — х. q
В частности, сферы и проективные {эллипти-
ческие') плоскости ИСРд исчерпывают все двумерные
сферические формы. Вместе с тем, скажем, при п = 3
имеется — как мы покажем в следующем Семестре, — кро-
ме сфер и проективных пространств, еще шесть серий сфе-
рических пространственных форм.
392
ОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
Лекция 23
Ясно, что каждое модельное пространст-
во представляет собой ориентиру-
емое (см. определение 1 лекции III.25)
Ориентируемые
пространствен-
ные формы
гладкое многообразие. Тем не менее существуют и неориен-
тируемые пространственные формы MKJV. Как по группе Г
узнать, ориентируемо ли многообразие Л1к/Г? Мы разбе-
рем этот вопрос в общем контексте произвольного многооб-
разия Х/Т, где X— связное ориентируемое гладкое много-
образие и Г — дискретно действующая на X группа диффе-
оморфизмов.
Определение 3. Говорят, что диффеоморфизм 7:
X —► X связного ориентируемого многообразия X иа себя
сохраняет ориентацию, если в картах любого ориентиру-
ющего атласа (см. определение 1 лекции Ш.25) он задается
функциями с положительным якобианом.
Задача 4. Покажите, что это определение кор-
ректно, т. е. не зависит от выбора ориентирующего атласа.
При X = Мк движение 7 G IsoA4K тогда и только
тогда сохраняет ориентацию, когда оно является собствен-
ным движением (принадлежит компоненте единицы груп-
пы IsoAd^-).
3 а д а ч а 5. Покажите, что для любого ориентирую-
щего атласа А многообразия X и любого сохраняющего
ориентации диффеоморфизма у: X —> X каждая кар-
та (U,h) многообразия X, обладающая тем свойст-
вом, что карта (уи,Ь,оу~1) принадлежит атласу А,
положительно согласована с картами атласа А.
Пусть Г — дискретно действующая группа диффеомор-
физмов связного и ориентируемого многообразия X.
Предложение 3. Фактормногообразие X/V много-
образия X по группе Г тогда и только тогда ориенти-
руемо, когда все элементы группы Г сохраняют ори-
ентацию.
Доказательство. Назовем атлас {(V,к)} много-
образия Х/Г ровно накрытым, если носитель V каждой
его карты ровно накрыт отображением *jt: X -+ Х/Т. Ясно,
что в этом случае все карты вида (U, кок), где U — открытое
множество в X, диффеоморфно отображающееся посредст-
вом тг на носитель V некоторой карты атласа {(V, fc)}, со-
ставляют атлас многообразия X. Мы будем говорить, что
Лекция 23
ОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
393
атлас {(U, котт)} является прообразом ровно накрытого ат-
ласа {(V, к)}. Так как функции перехода атласов {(V, k)} и
{(U,k о тг)} очевидным образом совпадают, то эти атласы
одновременно являются или не являются ориентирующими
атласами.
С другой стороны, каждый диффеоморфизм 7 G Г, явля-
ясь преобразованием скольжения, переводит каждую карту
(U, котт) в карту (yU, котт) того же вида и, значит, действует
в этих картах по равенству координат. Поскольку якобиан
тождественного преобразования положителен, этим доказа-
но, что в картах атласа {(U, k отг)} все диффеоморфизмы из
Г задаются функциями с положительным якобианом и, зна-
чит, в случае, когда этот атлас ориентирующий, являются
диффеоморфизмами, сохраняющими ориентацию. Этим до-
казано, что если для Х/Г существует ровно накрытый ори-
ентирующий атлас {(V, к)}, то группа Г состоит из диффео-
морфизмов, сохраняющих ориентацию.
Поскольку для ориентируемого многообразия X/Г тако-
го рода атлас очевидным образом существует, мы видим, что
в случае, когда многообразие X/Г ориентируемо, все диффе-
оморфизмы из группы Г действительно сохраняют ориента-
цию. Таким образом, нам остается лишь доказать обратное
утверждение.
Задача 6. Докажите, что для многообразия X су-
ществует такой ориентирующий атлас А, что
а носитель каждой карты этого атласа диффео-
морфно отрбражается посредством тг на некоторое
ровно накрытое множество многообразия X/Г;
б каждая карта многообразия X, положительно
согласованная с картами атласа А и обладающая
свойством а, содержится в атласе А (атлас А мак-
симален по отношению к свойству а).
Пусть V — такое ровно накрытое множество многооб-
разия Х/Г, что в атласе А существует карта (U0,h0), для
которой тгГ70 = V. Выбрав такую карту, мы положим
fc = А0о(7г|с/о)-1.
Тогда пара (V, к) будет картой многообразия Х/Г, и все
карты такого вида будут составлять ровно накрытый ат-
лас {(V, к)} этого многообразия. Рассмотрим прообраз
394
ОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
Лекция 23
{(U, к о тг)} атласа {(V,к)}. Для каждой карты (tZ, fc о тг) ат-
ласа {(U, к о тг)} имеют место равенства
U = yU0, к о тг = \о7-1,
где 7 G Г, а (С70, Ло) — выбранная для V = карта атла-
са Л.
Поэтому (см. задачу 5) если 7 сохраняет ориентацию,
то карта (U, к 01г) положительно согласована с картами атла-
са А и, значит, в силу свойства 6 этого атласа принадлежит
атласу А.
Таким образом, если все диффеоморфизмы из группы Г
сохраняют ориентацию, то атлас {(U,k о тг)} содержится
в ориентирующем атласе Л, и потому сам является ориенти-
рующим атласом. В этом случае атлас {(V, fc)} также будет
ориентирующим атласом и, значит многообразие Х/Г, обла-
дая ориентирующим атласом, ориентируемо, q
Ср. предложение 3 лекции IV.5.
Следствие!. Пространственная формаMK/V то-
гда и только тогда является ориентируемым много-
образием, когда ее фундаментальная группа Г состо-
ит из собственных движений, q
Например, проективное пространство RPn тогда
и только тогда ориентируемо, когда его размер-
ность п нечетна (поскольку только в этом случае анти-
подальное отображение х w —х сферы §п в себя сохраняет
ориентацию). Ср. задачу 1 лекции Ш.25.
Вообще, имеет место следующее следствие.
Следствие 2. Каждая нечетномерная сферическая
форма §П/Г, n = 2m — 1, является ориентируемым
многообразием.
Доказательство. Согласно теореме 2 лекции П.23
каждое несобственное ортогональное преобразование четно-
мерного пространства R.2m необходимо имеет собственный
вектор с собственным значением 1, и потому, рассматривае-
мое как преобразование сферы S2m-1, обладает неподвижной
точкой. Поэтому дискретно действующая группа Г изомет-
рий сферы S2m~* является подгруппой группы SO (2m). □
Таким образом, единственными неориентируемы-
ми сферическими формами являются четномерные
эллиптические пространства ^LP^n.
Лекция 23 КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ факгормногообразия 395
Кмаплексно
аналитические
и конформные
фактормиогооб-
рааия
па диффеоморфизмов связного комплексно аналитического
многообразия X.
Аналог предложения 3 имеет место и
для комплексно аналитических (см. лек-
цию Ш.11) многообразий.
Пусть Г — дискретно действующая груп-
Задача 7. Докажите, что фактормногообра-
зие Х/Г многообразия X по группе Г тогда и толь-
ко тогда обладает комплексной структурой, по от-
ношению к которой естественное отображение X —>
—> Х/Г комплексно аналитично, когда все элементы
группы Г являются комплексно аналитическими диф-
феоморфизмами.
Докажите также, что при п = 2 аналогичное утвержде-
ние имеет место и по отношению к конформным структурам.
(См. лекцию 14.)
Римановы про-
странства с груп-
пой изометрий
максимальной
размерности
В заключение этой лекции мы дадим
еще одну характеризацию модельных
пространств постоянной кривизны, объ-
ясняющую их уникальное положение
среди всех так называемых «неевклидо-
(вместе, правда, с эллиптическим про-
вых пространств»
странством ШРд).
Напомним, что символом Iso Д’ мы обозначаем группу
всех изометрий X —* X риманова пространства X. Соглас-
но предложению 3 лекции 19 эта группа является груп-
пой Ли, размерность dim Iso X которой не превосходит чис-
п(п+1) .. v
ла ——у—где n = dim X.
Предложение 4. Если
.. , v n(n+l)
dim Iso X = —^"2—-
(2)
то X является пространством постоянной кри-
визны.
Доказательство. Выбрав точку р G X, рассмот-
рим ее стабилизатор IsOpA1 в группе Iso Д’. Для любого
элемента у G IsOpA1 его дифференциал (dy)p представля-
ет собой ортогональное отображение евклидова простран-
396 ПРОСТРАНСТВА С МАКСИМАЛЬНОЙ ГРУППОЙ ИЗОМЕТРИЙ Лекция 23
ства Tp/V на себя, т. е. является элементом ортогональной
группы О(п). Возникающее отображение
IsopAf -♦ О(п), у (Й7)р, (3)
группы Ли Isop X в группу Ли О(п), очевидно, представляет
собой гомоморфизм.
Задача 8. Докажите, что индуцированный этим
гомоморфизмом гомоморфизм алгебр Ли
\sop X —> so(n) (4)
является мономорфизмом. [Указание. Гомомор-
физм (4) совпадает с ограничением на isopX мономорфизма,
сопоставляющего векторному полю X линейный оператор,
задаваемый формулой (8) лекции 8.]
Задача 9. Докажите, что при выполнении равен-
ства (2) имеет место равенство
dim IsOp/V = (5)
и, значит, мономорфизм (4) является изоморфиз-
мом.
Лемма I. Пусть Q и'Н — связные группы Ли одной
и той же размерности. Тогда каждый гомоморфизм
Э-Н, (6)
индуцирующий изоморфизм алгебр Ли, является эпи-
морфизмом.
Доказательство. Гомоморфизм (6), индуцирую-
щий изоморфизм алгебр Ли, этален в единице группы Q,
т. е. является диффеоморфизмом некоторой окрестности
этой единицы на некоторую окрестность U единицы груп-
пы Н. Следовательно, подгруппа <pQ группы Н содержит
окрестность U. Но поскольку группа TL связна, она порож-
дается этой окрестностью (см. задачу 12 лекции IV. 14). По-
этому <pQ = Н. □
Замечание!. Полезно иметь в виду, что гомомор-
физм (6) тогда и только тогда индуцирует изомор-
физм алгебр Ли, когда его ядро дискретно.
Из леммы 1 (и утверждения задачи 9) вытекает, в част-
ности, что образ гомоморфизма (3) содержит компо-
ненту единицы SO(n) группы О(п).
Лекция 23
ИХ ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ
397
Поскольку группа SO(n) транзитивно действует на
множестве всех двумерных плоскостей n-мерного евклидо-
ва пространства, отсюда следует, что для любых двух пло-
скостей тг, У С ТрХ в группе Isop X существует такая
изометрия у, что
(dy)pK = /. (7)
Поскольку при выполнении равенства (7) секцион-
ные кривизны Кр(я) н Кр(я') по двумерным направлени-
ям тг и У, очевидно, совпадают, отсюда непосредственно
следует, что риманово пространство X обладает рассмотрен-
ным в начале лекции 22 свойством ★. Поэтому согласно
теореме Шура (предложение 2 лекции 22) это пространство
при п > 3 является пространством постоянной кривизны.
Задача 10. Докажите последнее утверждение и
при п = 2. [Указание. Из равенств (2) и (5) сле-
дует, что для любого вектора A G ТрХ существует такое
поле Киллинга X G iso Д’, что Хр = А.]
Тем самым предложение 4 полностью доказано. □
Их перечне- Как мы знаем (см. формулу (17) лекции 22),
л*ние каждое модельное пространство постоянной
кривизны удовлетворяет условию (2). Однако, этому усло-
вию удовлетворяет н еще одно пространство.
Задача 11. Покажите, что условие (2) выполнено
и при X = КРд.
Таким образом, условие (2) выполнено не только для
модельных пространств М = Rn, Вд, но и для эллипти-
ческого пространства КРд.
Оказывается, однако, что это исключение единственно.
Теорема 3. Связное полное риманово пространст-
во X, удовлетворяющее, условию (2), является либо
одним из модельных пространств Rn, §д, Вд, либо эл-
липтическим пространством RP$.
Доказательство. Пусть М — модельное про-
странство, универсально накрывающее пространство X,
и пусть тг: М —> X — соответствующая проекция (накрыва-
ющее отображение). Так как для каждой точки р G М отоб-
ражение (dir)p: ТрМ -+ Ттг(р)^ является изоморфизмом, то
398
УСЛОВИЕ ПОЛНОЙ подвижности
Лекция 23
для любого векторного поля X G аХ существует единствен-
ное векторное поле У G аМ, которое тг-связано с полем X
(поле У определяется формулой Yp = (dir)p{X^, р G М).
Ясно, что поле У тогда и только тогда является полем Кил-
линга, когда полем Киллинга является поле X. Поэтому со-
ответствие X w У представляет собой гомоморфизм ал-
гебр Ли
\soX —> isoA4.
Этот гомоморфизм является, очевидно, мономорфизмом и,
значит, — так как по условию
dim isoX = = dim isoM
t Л/
— изоморфизмом. Поэтому если N — число листов накры-
тия тг: М —> X (возможно, бесконечное), то число нулей
каждого поля У G iso М (точек, в которых оно обращается
в нуль) делится на N (при N = оо это число либо равно ну-
лю, либо бесконечно). С другой стороны, легко видеть, что
на пространствах Rn и Вд существует поле Киллин-
га, обращающееся в нуль только в одной точке, а на
пространстве §д — только в двух диаметрально про-
тивоположных точках.
Задач а 12. Докажите последнее утверждение. [Указание. Рас-
смотрите однопараметрическую подгруппу, состоящую из вращений с цен-
тром в данной точке.]
Поэтому при М = Rn, Вд необходимо N = Г (и, значит,
X = М, т. е. X = Кп,Вд), а при М = §д либо N = 1
(и тогда X = §д), либо N = 2 (и тогда X = ЖРд). □
Задача 13. Докажите, что в теареме 3 условие, полноты про-
странства X излишне.
Условие пол- Репером в римановом пространстве X на-
мой подвижности зывается семейство (р, А1,..., Ап), состо-
ящее из точки р G X и базиса А,,. - -,Ап пространства ТрХ.
Образом репера (р, А],..., Ап) при изометрии у: X —> X на-
зывается репер (ур, (dy)pA],..., (dy)pAn). Говорят, что связ-
ное риманово пространство X удовлетворяет условию сво-
бодной подвижности, если для любых двух реперов суще-
ствует изометрия, переводящая один репер в другой (т. е.
если группа Iso# транзитивна на реперах).
Лекция 23 условие полной подвижности 399
Задача 14. Докажите, что связное риманова про-
странство X тогда и только тогда удовлетворяет
условию свободной подвижности, когда для него име-
ет место равенство (2). [У Казани е. Для такого про-
<• т -и п(п ~ О
странства X число dim Iso Л; не меньше, чем пЧ——- =
2 1
Поэтому единственными римановыми простран-
ствами, удовлетворяющими условию свободной под-
вижности, являются пространства Rn,Sn,Bn и ВРП.
Это объясняет, почему кроме гиперболической, сфери-
ческой и эллиптической геометрии других «хороших» неевк-
лидовых геометрий нет.
Аналогичным образом объясняется особая роль аффин-
ных пространств.
Задача 15. Докажите, что каждое. связное п-мерное простран-
ство аффинной связности X, для которого dimAffAf = п+ п}, явля-
ется аффинным пространством Ап.
ЛЕКЦИЯ 24
Тензоры Бианки при п = 4. — Матричное представление
тензоров Бианки при п = 4. — Явный вид тензоров Бианки
при п = 4. — Числа Эйлера при п - 4, — Теорема Чженя —
Милнора. — Секционные кривизны четырехмерных пространств
Эйнштейна. — Теорема Берже. — Число Понтрягина четырех-
мерного риманова пространства. — Теорема Торпа. — Теорема
Сентенак.
Тензоры
Бианки при
п = 4
В этой лекции мы изучим четырехмерные
римановы пространства (случай п = 4) и,
в частности, полностью опишем их тензоры
кривизны (для п = 2 это было сделано в лекции 16, а для
п = 3 — в лекции 17; см. формулу (10) лекции 16 и фор-
мулу (25) лекции 17). Особое внимание, которое мы уделя-
ем этому случаю, объясняется не только тем, что для него
имеют место элегантные теоремы, справедливые только при
п = 4, но также и тем, что согласно общей теории относи-
тельности Эйнштейна физическое пространство-время явля-
ется псевдоримановым пространством сигнатуры (1,3), ме-
трика которого задается распределением тяготеющих масс.
(Впрочем, мы сосредоточим наше внимание лишь на случае
римановых пространств.)
Основным нашим орудием в исследовании геометрии
четырехмерного риманова пространства X будет оператор
Ходжа
*: Л2 АГ -> Л2 АГ
(см. формулу (7) лекции 17).
Как мы знаем (см. утверждение задачи 3 лекции 17),
для любого ортонормированного базиса Х1,Х2,Х3, моду-
ля аХ над координатной окрестностью U бивекторы =
= Xi Л Xj, 1 i < j ^4, составляют ортонормированный
базис модуля Л2 АГ над U.
Впрочем, нам будет более удобен базис
(1)
Л12> Л31 ~ Л13> Л1Ч> Л23> Л24' л34’
получающийся заменой Х13 на Х31.
Задача 1. Покажите, что в базисе (1) оператор *
Лекция 24
ТЕНЗОРЫ БИАНКИ ПРИ П = 4
401
имеет матрицу
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 /о\
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
Пусть R — произвольный тензор Бианки на многообра-
зии X, и пусть |ВД| — его матрица как оператора Л.гХ —*
-» Л?Х (см. лекцию 16) в базисе (1). Поскольку оператор R
самосопряжен, а базис (1) ортонормирован, матрица ||jRJ?J|
симметрична (jR^ = jR^) и, кроме того, спуск индексов не
меняет числового значения компонент:
«й = «.ли-
Поэтому при (г',У,А:,0 = (1,2,3,4) тождество Бианки для
тензора R имеет вид
й“ + Я® + Л’|хО. (3)
Умножив это тождество на 2 и воспользовавшись симмет-
ричностью матрицы ||jR^||, мы получим тождество
+ R* + R" + R* + Л* + R3* = 0, (4)
означающее, что в матрице ||Кы|| равна нулю сумма всех
элементов побочной диагонали (состоящей в матрице (2) из
единиц).
С другой стороны, умножив матрицу (2) на матри-
цу ||Kjy||, мы, как легко видеть, получим матрицу, глав-
ная диагональ которой будет побочной диагональю матри-
цы Ц/г^Н и, значит, след которой будет равен сумме (4).
Это доказывает, что тождество Бианки (3) равно-
сильно соотношению
Tr(*jR) = 0. (5)
Так как dim Л2# = 6, то размерность модуля всех само-
сопряженных операторов Л?Х —* Л2 Л” равна
6(6 4-1) _
2 “
402 МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ ВИАНКИ ПРИ П = 4 ЛвКЦИЯ 24
и, значит, размерность его подмодуля, состоящего из опера-
торов, удовлетворяющих соотношению (5), равна 21 - 1 =
= 20, т. е. (см. задачу 4 лекции 15) равна размерности моду-
ля ВХ. Это доказывает, что при п = 4 условие (5) харак-
теризует тензоры Бианки (каждое тождество Бианки
является следствием тождества (5)).
Матричное
представле-
ние тензоров
Бианки при
п = 4
Чтобы, не писать матриц шестого порядка,
удобно ввести в рассмотрение собственные
подпространства
Л2+Х = {Х еЛ.2Х;*Х = Х },
К2_Х = {X е А2*; *Х = -X} (6)
оператора *, принадлежащие собственным значениям +1
и —1. Эта подпространства являются, очевидно, подмодуля-
ми FAf-модуля К2Х. При этом, так как оператор * инволюти-
вен (см. формулу (9) лекции 17), то модуль А2 Л? разлагается
в прямую сумму
К2Х = А2_ЛГ + А2_ЛГ (7)
подмодулей (6).
Задача 2. Покажите, что подмодули (6) ортого-
нальны, т. е. что {X, У) = 0 для любых тензоров X е №+Х,
Y е№_Х. [Указание. Оператор * самосопряжен.]
3 а д а ч а 3. Покажите, что
dimA^ = 3, dimA^.A^ = 3.
[Указание. Над каждой координатной окрестностью U
тензоры
^12'^^34 ^31+-^24 -^14 '*^23 /о\
Л ' х/2 ’ л (8)
образуют ортонормированный базис модуля №+Х, а тензоры
^12 ~ ^34 *3, ~ -^24 ^14 — "^23 zn\
Л ’ Л ’ ”уГ “ (9)
— ортонормированный базис модуля №_Х.]
В соответствии с разложением (7) каждый самосопря-
женный оператор R: А2 Л/ —> К2Х может быть записан
Лекция 24 ЯВНЫЙ ВИД ТЕНЗОРОВ БИАНКИ ПРИ п = 4 403
в виде матрицы
И СII,
где операторы
А: А2+Х А2+Х, С. А2_ХК2_Х
самосопряжены, оператор
В: Л2_Х -> А2+Х
(Ю)
произволен, а оператор В': А2+Х —> №_Х сопряжен с опе-
ратором В (т. е. для любых тензоров X е А2+Х, Y G К2_Х
удовлетворяет соотношению (В'Х.У) = (X, BY)).
Для тензора Бианки Е матрица (10) имеет вид
II? SII,
а для оператора Ходжа *—ввд
II? ли.
Поэтому для любого оператора R оператор *R имеет мат-
РЩУ II А ВЦ
\\-в' -с II,
откуда следует, что условие (5) равносильно равенству
ТгА = ТгС. (11)
Таким образом, оператор (10) тогда и только тогда
является тензором Бианки, когда он удовлетворяет
условию (11).
При этом для его инварианта К (гауссовой кривизны)
будет иметь место равенство
# = |тгА;
О
см. формулу (7) лекции 16.
Явный вид Чтобы найти явный вид тензоров Бианки (и,
Бианки^ри значит, в частности, риманова тензора кри-
п = 4 визны пространства X), мы опишем сначала
все тензоры Эйнштейна Q(S) (см. лекцию 17).
404
ЯВНЫЙ ВИД ТЕНЗОРОВ ВИАНКИ ПРИ п = 4
Лекция 24
Пусть S — произвольный функционал из 8гХ (см. лек-
цию 17). Поскольку рассматриваемый как оператор аХ
—> аХ этот функционал самосопряжен, модуль аХ обладает
над произвольной координатной окрестностью U ортонор-
мированным базисом X,, Х2, Х3, Xv состоящим из собствен-
ных векторов оператора S, т. е. таким, что S имеет в этом
базисе диагональную матрицу вида
А! 0 0 0
0 А2 0 0
0 О А3 О
О О О А4
(12)
Отвечающий функционалу S тензор Бианки Р (определен-
ный формулой (21) лекции 17) будет иметь в соответствую-
щем базисе (1) компоненты
pij,td = 6ik6ji\ ~ 6a6jk\ + 6ji6ik\ ~ 6jk6u\ =
= (6ik6ji ~ 6u6jk)(\ + \)-
При i < j и к < l это означает, что
о _ I Аи’ если (t,j) = (fc,i),
I 0 в противном случае,
где для сокращения формул положено А^ = А,- + Ау.
Операторы А и С, отвечающие этому тензору, имеют,
следовательно, в базисах (8) и (9) одну и ту же матрицу
1
2
2
А ° О А
ОАО =«id,
О О А 2
где А = At + А2 + А3 + А4 = Тг S, а оператор В — матрицу
А|2 ^34 9
9 0 А13 ~ *24 О
О О А14 — А23
(13)
Следовательно, оператор
Q(S')=y-^
Лекция 24
ЯВНЫЙ ВИД ТЕНЗОРОВ БИАНКИ ПРИ п = 4
405
(см. формулу (24) лекции 17) будет иметь матрицу
12 ld
к
Этим доказано, что при
штейна имеет вид
п = 4 любой тензор
Эйн-
(И)
где К — оператор Kid умножения на К, а В — неко-
торый оператор №_Х —> А^Л*.
При этом так как размерность модуля всех операто-
ров В равна 9 = 3 х 3, а размерность модуля тензоров
Эйнштейна равна 10, то оператор (14) является тен-
зором Эйнштейна для любого оператора В и любой
функции К.
Задача 4. Докажите, что тензор Бианки R тогда и только
тогда является:
а бесследным тензором Эйнштейна, когда
= —R*;
б тензором Вейля, когда его след равен нулю и
*R = Л » .
Поэтому тензоры Вейля при п = 4 — это в точ-
ности операторы вида
А 0 11
0 <711,
где ТгА = ТгС = 0.
Резюмируя, мы видим, что разложение матрицы (10)
в сумму матриц
>1»
и
id
0
ТгА = ТгС = 0,
в точности отражает разложение произвольного
тензора Бианки в сумму тензора, кратного тен-
зору Е, бесследного тензора Эйнштейна и тензора
Вейля.
406
ЧИСЛА ЭЙЛЕРА ПРИ п = 4
Лекция 24
В частности, это дает общин вид риманова тензора
кривизны произвольного четырехмериого риманова прост-
ранства X.
При этом тензор Риччи Ric R тензора Бианки R
с матрицей (10) выражается через оператор В и
след ТгЛ = ТгС операторов А и С. Именно, если
ХРХ2,Х3,Х4 — такой ортонормированный базис моду-
ля аХ над координатной окрестностью U, что в соответ-
ствующих базисах (8) и (9) модулей N\X и №_Х матрица
оператора В диагональна (такой базис непременно суще-
ствует), то тензор Риччи RicjR является не чем иным, как
оператором аХ —» аХ, имеющим в базисе Х2, Х3, Х4 мат-
рицу (12) с диагональными элементами
Aj = +•1>2 +•Ь3 +• Тг А,
А2= ^-Ьг-Ьз + ТгЛ,
А3 = - Ь. +1>2 — Ь* + Тг А,
О 1 4 О '
А4 = —— 1>2 +Ь3 + Тг А,
где i>!,t>2,t>3 — диагональные элементы матрицы оператора
В в базисах (8) и (9). [Для доказательства достаточно при-
равнять удвоенную матрицу diag(&p&2,53) матрице (13) и
учесть, что Aj + А2 + А3 + А4 = TrRicjR = 2TrjR = 4Тг А (см.
формулу (5) лекции 16).] q
Числа Эйлера Как следует из теоремы Гаусса — Бон-
прип = 4 не, топология многообразия X накладыва-
ет определенные — подчас довольно сильные — ограни-
чения, которым должны удовлетворять возможные на X
дифференциально-геометрические структуры. Мы проиллю-
стрируем сейчас этот общий принцип на примере связных,
компактных и ориентируемых четырехмерных многообра-
зий.
Согласно формуле (15) лекции 17 (при п = 4)
е[ЛГ] = J- ( Тг(*/г*Я)</Г, (16)
О7Г2 J
X
где R — риманов тензор кривизны многообразия X.
С другой стороны, если R имеет вид (10), то
II А2~вв' ав-вс\\
к к ~ II СВ' - В'А С2 - В'В ||
Лекция 24
ТЕОРЕМА ЧЖЕНЯ — МИЛНОРА
407
и, следовательно,
Tr(*jR * R) = Тг(А2 + С2 - 2ВВ').
Таким образом, характеристическое число Эйлера связ-
ного четырехмерного компактного ориентируемого
риманова многообразия X с тензором кривизны (10)
выражается формулой
е[Х] = i [ ТгМ2 + & ~ 2ВВ>)dV- (17)
61Г* J
X
[Эту формулу можно, конечно, доказать прямым вычислени-
ем, не ссылаясь на общую формулу (15) лекции 17, подобно
тому как в лекции 17 была доказана формула (5). Одна-
ко, это вычисление хотя и вполне автоматично, но довольно
громоздко.]
Задача 5. Докажите следующую формулу д’Аве :
4*1 = А ( [ТгЯ2 - Tr(Ricft)2 + (ТгB)2]dV.
ОТТ' J
X
[Указание. ТгК2 = Тг(А2 + С2 + 2ВВ'), и в обозначениях из форму-
лы (15)
Tr(Rjc К)2 = А2+А2 + А2+А2 = 4(Ь2+Ь2 + Ь2)+4(ТгА)2 = 4ТгВВ'+(ТгК)2.]
Теорема Чже- Если разложить тензор кривизны R про-
ня—Милнора странства X в сумму
R = w + Z (18)
Тензора W с матрицей | g || и бесследного тензора Эйн-
штейна Z с матрицей | ® ||, то .для следа Тг(А2 + С2 -
- 2ВВ') будет иметь место формула
Тг(А2 + С2 - 2ВВ') = Тг(1У2 - Z2).
Поэтому формулу (17) можно записать в виде
е[*]=~ ( 1r(W2 — Z2)dV. (17')
оТГ^ J
408
ТЕОРЕМА ЧЖЕНЯ— МИЛНОРА
Лекция 24
Так как
*Я* = w - Z
(см. задачу 4), то для любого бивектора Р (в произвольной
точке рЕ X) имеет место формула
(Р(*Р),*Р) = ((*Р*)(Р),Р) =
= ((W - И)(Р),Р) = (W(P).P) - (2(Р),Р),
тогда как
(P(P),P) = (W(P),P) + (Z(P),P).
Следовательно,
(_R(P),P) + (_R(*P),*P) = 2(W(P),P),
(Р(Р),Р) - (Р(*Р),*Р) = 2(И(Р),Р). Ц }
По определению если площадь |Р| = ^/(Р,Р) бивек-
тора Р равна единице, то число (Р(Р),Р) является не чем
иным, как секционной кривизной Кр(тг) риманова простран-
ства X, где тг — двумерное направление в точке р, задавае-
мое бивектором Р (плоскость пространства ТрХ с направ-
ляющим бивектором Р), а число (_Й(*Р), *Р) — секционной
кривизной /^(тг1) по ортогональному направлению я-1- (так
как п = 4, то сПттг1 = сИттг = 2). Поэтому формулу (19)
мы можем переписать в следующем виде
^(7г) + К-р(7г1) = 2(1У(Р),Р),
I ( 1 V /
/<р(7г)-2<р(7г1) = 2(И(Р),Р).
Будучи тензором Эйнштейна, тензор Z имеет вид Q(S'),
где S — самосопряженный оператор аХ —♦ аХ со следом,
равным нулю. Пусть, как и выше, Х2, Х3, — орто-
иормированиый базис модуля аХ над координатной окрест-
ностью U, в котором оператор S' имеет диагональную матри-
цу (12).
Задача 6. Покажите, что в ортонормирован-
ием базисе. (1) линеала К2Х, отвечающем базису
Х1УХ2,Х3,Х4, матрица оператора Z = Q(S) также
диагоналъна. [Указание. Оператор Z имеет вид (14),
где К = 0, а оператор В представляется в базисах (8) и (9)
диагональной матрицей.]
Лекция 24
ТЕОРЕМА ЧЖЕНЯ — МИЛНОРА
409
Диагональными элементами матрицы оператора Z яв-
ляются числа (Z(Xfj-),X,y), 1<*<у<4,а матрицы опе-
ратора Z2— их квадраты {2(Х^),Х^}2. Поэтому согласно
второй из формул (19х)
тг 2' = £(Z(x#),xe)! = |
i<3 '<3
где — плоскость бивектора .Х^ = Х,ЛХ- (в данной точке
р е U). (Заметим, что |Х^-| = 1.)
С другой стороны, если все кривизны Хр(тг) имеют один
и тот же знак, то
(Кр(^) - Кр(тг))г < (Кр(^) + (тг))2
для произвольной плоскости тг С ТрХ. Поэтому в данном
случае
( TrZ! « + =
«3
= ^W(Xij),Xij)!«TrWI.
«3
[Для любой симметрической матрицы А = ||а^|| след Тг А2
ее квадрата равен сумме квадратов ее элементов
п п
rrA2=^aijaii=Y/^
ij=l
и потому оценивается снизу суммой квадратов ее диагональ-
п
ных элементов: ТгА2 >
»=1
В силу формулы (17х) этим доказано следующее пред-
ложение.
Предложение 1. (Теорема Чженя — Мил-
нора). Если в связном компактном и ориенти-
руемом четырехмерном римановом пространстве X
секционная кривизна имеет во всех точках и по всем
двумерным направлениям один и тот же знак, то
число Эйлера этого пространства неотрицательно'.
e[X]^0. D
410
СЕКЦИОННЫЕ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВ ЭЙНШТЕЙНА
Лекция 24
Замечание 1. Интересно, что неравенство е[А'] <
< 0 (и даже неравенство е[Х] < 2) возможно (при п =
= 4) только для неодносвязных (компактных и ори-
ентируемых) многообразий X. [Если многообразие X од-
носвязно, то, как можно довольно легко понять, его первое
число Бетти h1 равно нулю. Поэтому в силу теоремы двой-
ственности Пуанкаре — см. лекцию 17, с. 297 — равно нулю
и число /г3, и, значит, эйлерова характеристика х(Х) равна
Л° + h2 + h4 = 2 4- h2 ^2 (напомним, что для компактного
связного и ориентируемого многообразия h° = hn = 1).]
Секционные
кривизны
четырехмерных
пространств
Эйнштейна
Особый интерес представляют, конечно,
четырехмерные пространства Эйнштейна.
Приведенное выше вычисление показыва-
ет, что четырехмерное риманово про-
странство тогда и только тогда яв-
ляется пространством Эйнштейна, когда его тензор
кривизны имеет вид
Ио ° II, ТгЛ-ТгС, (20)
т. е. является тензором Вейля (в разложении (18)
равна нулю его эйнштейнова компонента Z).
С другой стороны, из второй формулы (19') непосред-
ственно следует, что в пространстве X во всех точках р €
€ X для всех двумерных направлений тг с ТрХ тогда и
только тогда имеет место равенство /^(тг1) = Kp(ir), когда
(Z(P),P) = 0 для всех бивекторов Р, т. е. — см. предло-
жение 3 лекции 15 — когда Z = 0. Следовательно, четы-
рехмерное риманово пространство X тогда и толь-
ко тогда является пространством Эйнштейна, ког-
да в каждой точке р Е X для любого двумерного на-
правления тг С Ту Д' имеет место равенство
Ку(тг1) = Ку(тг), (21)
где тг-1- — ортогональное направление:
Теорема Берже
Для пространства Эйнштейна X форму-
ла (17) принимает вид
е[*1 = ёМ Tr^ + cW.
X
(22)
Лекция 24
ТЕОРЕМА ВЕРЖЕ
411
Предложение 2. (Теорема Берже). Число
Эйлера (эйлерова характеристика) связного четырех-
мерного компактного и ориентируемого пространст-
ва Эйнштейна X неотрицательно:
е[Х] > 0.
При этом если е[Х] = 0, то пространство X плоско
(его тензор кривизны тождественно равен нулю).
Доказательство. Для самосопряженных опера-
торов АиС след Тг(Л2 4- С2) неотрицателен и равен нулю
только при А = С = 0. q
Удивительно, как два совершенно различных дифферен-
циально-геометрических свойства приводят к одному и тому
же топологическому условию.
Теорему Берже можно усилить.
Для этого нам понадобится, ориентире-
ЧСТЫМхМСПИ ОГО ' г г
четырехмерного
риманова про-
странства
вав многообразие X, рассмотреть его чи-
сло Понтрягина р,[Х] (равное — см. за-
дачу 10 лекции 17 — утроенной сигнатуре 3sign X много-
образия X).
Пусть — положительно ориентирован-
ный ортонормированный базис модуля аХ над координат-
ной окрестностью U, и пусть, как всегда, Л Xj,
1 i < j4.
Прежде всего мы заметим, что по определению внеш-
него умножения (см. формулу (14) лекции 11.96) для любой
дифференциальной формы П степени 2 имеет место равен-
ство
(П Л П)(Х,, Х2, Х3,Х4) = £ (-1 )wQ(Xti, Х,.2)П(ХЛ, xj2),
«1 <*2
где < j2 — такие индексы, что последовательность
(г1’г2’^1’Л) является перестановкой последовательности
(1,2,3,4), a w — число инверсий в этой перестановке.
Сравнив это равенство с определением оператора Ход-
жа (формула (16) лекции 11.96) и учтя, что
П(Х, У) = П(Х Л У),
412
ЧИСЛО ПОНТРЯГИНА ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Лекция 24
мы немедленно получим, что
(QaQ)(X,,X2,X3,X4) = £ Cl(Xiii2W*Xiii2).
»1 <’2
С другой стороны, так как для любой кососимметричес-
кой матрицы А = число
KJ » 3
равно
О а’.
-а’- О
то класс Понтрягина pt = pAjx) многообразия X задается
(см. определение 2 лекции 1V.23) дифференциальной фор-
мой, имеющей на U вид
Aftj,
4тг2 < з ,, з ’
где О’ — форма кривизны многообразия X на U.
Поэтому значение рДе] этой формы на элементе объема
е = Х1 Л Х2 Л Х3 Л Х4 выражается формулой
><3 ’1<’2
При этом так как базис Х1(Х2, Х3,Х4 ортонормирован и,
следовательно,
Q’(Xf ,Х,- ) = R(Xi,Xj,Xi , X- ),
•'12 •'12
ТО
Аналогично,
Кроме того, так как числа (П(Х^),Х{ , ), i < j, ix < i2,
являются не чем иным, как элементами1 матрицы оператора
Лекция 24
ТЕОРЕМА ТОРПА
413
кривизны R в (ортонормированием!) базисе {X^,i < j], то
X (*Я(Х£.),Х,. ,.) <= ((Я * Я)(Х..),Х{>)
и 1 2
ЕЕ
= £((Я * Я)(Х,у),Х,у) = Тг(Я * R).
< i<j
Следовательно,
pje] = 4^Тг(Я* R),
и, значит, класс когомологий р1 задается формой
-±-2Tr(R*R)dV
(на U, а потому й на всем X).
Этим доказано, что число Понтрягина рх{X] связно-
го четырехмерного компактного и ориентированного
риманова пространства X выражается формулой
Р'[Х] = ^ J Tr(R*R)dV, (23)
X
где R —романов тензор кривизны многообразия X.
Задача 7.. Аналогичным вычислением покажите, что при n = 4k
имеет место формула
где Rk задается формулой (12) лекции 17.
Теорема Торпа Если
§11.
Т0 -р-Н А2-ВВ' АВ-ВС\\
н Wb'A-CB1 В'В-СЧ,
и потому Тг(Я * R) = Тг(А2 - С2).
414
ТЕОРЕМА ТОРПА
Лекция 24
Это показывает, что формулу (23) мы можем перепи-
сать в следующем виде:
Р.И1 = j (ТГ Л2 - TrC2) dy. (23')
х
Сравнив формулы (22) и (23'), мы немедленно получим,
что в случае, когда X является пространством Эйнштейна,
2е[А’1-р1[А’1=-L f TrC2<fV^O (24)
27Г J
X
и, значит,
«(*] >
При смене ориентации многообразия X число «[Д’] оста-
ется прежним, а число р, [Д'] меняет знак. Поэтому получен-
ное неравенство на самом деле имеет вид
е[Х]>
Р,[*]
(25)
2
Этим доказано следующее предложение, уточняющее
теорему Берже.
Предложение 3. (Теорема Торпа). Для лю-
бого связного четырехмерного компактного и ориен-
тированного пространства Эйнштейна имеет место
неравенство (25).
В силу равенств е[Х] = х(<¥) и pJX] = 3sign X нера-
венство (25) может быть переписано также в следующем
виде
3
-|sign Х\ $ Х(Х). (25')
Равенство здесь может иметь место и для неплоских
метрик, но в этом случае, как показал Хитчин, многообра-
зие X обязано быть одним из трех совершенно конкретных
комплексных алгебраических многообразий (имеющих над
полем С размерность 2 и называемых поверхностями Эн-
риквеса и поверхностью КЗ).
Задача 8. Покажите, что если в (25) имеет место знак равен-
ства, то тензор Риччи многообразия X равен нулю.
Лекция 24
ТЕОРЕМА СЕНТЕНАК
415
Существуют односвязные четырехмерные многообра-
зия, не удовлетворяющие условию (25), на которых, сле-
довательно, не может быть метрики Эйнштейна.
Теорема Сен- Аналогичное уточнение —для пространств
тенак Эйнштейна! — допускает и теорема Чже-
ня — Милнора.
Предложение 4. Если в связном четырехмерном
компактном ориентируемом пространстве Эйн-
штейна X секционные кривизны во всех точках и по
всем направлениям имеют один и тот же знак, то
/о\3/2
£ | sign Д'] ^Х(Х). (26)
4 7 /З\3/2
Так как число (-J иррационально, то равенство
здесь возможно только при sign X = 0 и х(Д') = 0. Но если
х(Х) = е[X] = 0, то (см. формулу (22)) R = 0, т. е. метри-
ка на X плоская. Следовательно, равенство в (26) имеет
место только для плоских метрик Эйнштейна.
Предложение 4 было впервые доказано Сентенак. Ее
доказательство основывается на следующей лемме.
Лемма 1. Над каждой координатной ок-
рестностью U произвольного четырехмерного про-
странства Эйнштейна X модуль векторных по-
лей аХ обладает таким ортонормированным базисом
Xi,X2,X3,Xi, что в соответствующем базисе X^Xj,
1 i < j ^4, модуля А2 Д' тензор кривизны R про-
странства X, рассматриваемый как оператор А2 Д' —>
—» А2 Д', имеет — при соответствующем расположе-
нии бивекторов Xi Л Xj — матрицу вида
(27)
По условию тензор R имеет
Доказательство.
вид (20), где А и С — самосопряженные — и, следователь-
но, ортогонально диагонализируемые — операторы с Тг А =
= Тг<7. Поэтому подмодули Л±Х и №_Х обладают над U
416
ТЕОРЕМА СЕНТЕНАК
Лекция 24
такими ортонормированными базисами и ч1(»72,1?3,
Л^1 = Oj^p А£2 = а2^2> Л^3 = °з€з’
Cfy = Ml' Cth = М2> Cth = Мз'
где а, + аг + а3 = ct + с2 + с3. Мы положим
р — ^1 *71 л ’ pl _ £1 ~ *71 л ’ р — ^2 ^2 р — ^3 2 /л ’ Л 3 /л * / / (28) р± _ 12 ^2 pl _ 13 5з у/2 ’ 3 Л ’
Тогда в базисе РГР2,Р3, Р^,Р2,Р%- оператор R будет
иметь матрицу вида (27) с
для которой
и + и + и - <о- + а2 + оз)-(£1+^ + <:з) _ о
М, Мг ' Мз — 2 ~ и>
Поэтому для завершения доказательства леммы 1 надо лишь
доказать, что этот базис состоит из бивекторов вида Х,-ЛХ-,
1 г < j 4.
С этой целью мы заметим, что согласно формуле (10)
лекции 17
С л = -4,- л *1)3- = -(4,-лу)е = о
и, аналогично,
= »7,ЛПу = -^е.
Поэтому
Р, ЛР = ^i±^i Л = О
’ J V2 х/2
для любых i,j = 1,2,3 и, значит, (Р(-,*Р.) — 0.
Аналогично показывается, что
(29)
(Р^) = 6^ М = 1,2,3.
3 а д а ч а 9. Докажите, что для кососимметрического тензора Р
степени 2 е четырехмерном пространстве равенство (Р,»Р) = О
имеет место тогда и только тогда, когда тензор Р является би-
вектором. [Указание. Число (Р, »Р) равно левой части соотношения
Плюккера (см. пример 2 лекции 11.8).)
Лекция 24
ТЕОРЕМА CEHTEHAK
417
В частности, отсюда следует, что все тензоры Pt-, i =
= 1,2,3 являются бивекторами (точнее, бивекторными по-
лями).
Задача 10. Докажите, что для бивекторов Р uQ в четырех-
мерном пространстве, равенство Р A Q = 0 имеет место тогда и
только тогда, когда существует вектор, параллельный обоим би-
векторам.
Поскольку PjAP2 = 0 (и (РрР^ = (Р2,Р2) = 1), отсю-
да следует, что на U существуют такие ортонормированные
векторные поля Х1, Х2, Х3, что
Р.=Х.ЛХ2, Р2 = Х.ЛХ3.
Дополним эти поля полем Х4 до ортонормированного бази-
са Х!,Х2,Х3,Х4 модуля аХ над U. Так как Р1 АР3 = 0 и
Р2 л = 0, то в разложении бивектора Р3 по базису X,- Л
Л Ху, 1 i < j ^4, коэффициенты при бивекторах Х3 Л Х4
и Х2 Л Х4 равны нулю. Кроме того, так как {Pt,P3) = 0 и
(Л,Л) = о, то же самое верно и для коэффициентов при
бивекторах X, Л Х2 = Р1 и X, ЛХ3 = Р2. Следовательно,
Р3 = а(Х1 Л Х4) + Ь(Х2 Л Х3), где а2 + b2 = 1. Но поскольку
Р3 — бивектор, это равенство возможно только при а = ± 1
или Ъ = ±1. Так как, очевидно, *Рг- = Р+, i = 1,2,3, то,
заменив, если нужно, Х4 на — Х4, мы получим, что с точ-
ностью до порядка бивекторы Xi Л Xj совпадают с бивекто-
рами (28). □
Доказательство предложения 4. Так как
оператор R имеет в базисе P^Pj-, i = 1,2,3, матрицу (27),
то
\={ЩР1),Р^ г= 1,2,3,
и, значит, элементы Af являются секционными кривизнами
пространства X. Поэтому в условиях предложения 4 они
имеют один и тот же знак.
С другой стороны, так как в этом базисе оператор Ход-
жа имеет матрицу
IIS oil,
то операторы R * R и *R * R имеют матрицы
\\LM + ML L2 + М2 II || M2 + L2 ML+LM\\
II M2 + L2 ml+lm\\, \\lm + ml L2 + M2 II.
14 M. M. Постников
418
ТЕОРЕМА СЕНТЕНАК
Лекция 24
Следовательно,
(30)
Тг(Я * R) = 2Tr(LM 4- Л/А) = 4(А1/х1 4- А2д2 + А3д3) = 4Ад,
Tr(*ft*ft) = 2Tr(L2+M2) =
— 2(А2 4- А| 4- А2 4- д2 4- д2 4- Мз) = 2(А2 4- д2),
где А = (А,, Aj, А3), д = (Дд, д2, ДзХ
Лемма 2. Если числа АрА2,А3 имеют один и тот
же знак, а числа р,1,у2,у3 удовлетворяют соотноше-
нию дд 4- д2 4- Дэ = 0, то
АД -U (А2 4- Д2),
VO
где А = (Aj,A2, А3), д = (др д2, д3).
Согласно этой лемме
Тг(Я*Я) 4=Тг(*Я*Я),
V 6
и, значит (см. формулы (16) и (23)),
р.НиАеН].
V о
Меняя — если нужно — ориентацию многообразия X, мы
немедленно получаем отсюда неравенство
4
-=е[ЛГ],
V о
равносильное неравенству (26). q
Осталось доказать лемму 2.
Доказательство леммы 2. Если А = 0 или
д = 0, то неравенство (30) очевидно, а случай А,- < 0, i =
= 1,2,3, сводится к случаю Af > 0, i = 1,2,3, изменением
знака у д. Поэтому без ограничений общности мы можем
считать, что А,- > 0, г = 1,2,3, и что д / 0.
Пусть 0 — угол между векторами Аид пространства R3.
Так как наименьшее значение этого угла при фиксирован-
ном векторе А и переменном векторе д равно углу между
вектором А и плоскостью д, 4- Дг 4- д3 = 0, то
. л . Хе 1 А. 4- А2 4- А3
sin0 > , = — -^==4====,
|А| • |е| 73 ^/А24-А24-А3
Лекция 24
ТЕОРЕМА CEHTEHAK
419
где е = (1,1,1) —вектор, ортогональный плоскости д, 4-д24-
4- М3 = 0. Поскольку, как легко видеть,
А, 4- А2 4- А3
пип —. . л == = 1,
А^О ул? 4- л| 4- А3
этим доказано, что sin 0 1 /\/3 и, значит, что cos 0 д/2/3.
Так как А2 4- д2 = |А|2 4- |д|2 2|А| • |д|, то
2лГ^«]аПй = <:05(’«
что равносильно неравенству (30). □
14*
ЛЕКЦИЯ 25
Левоинвариантные метрики на группе Ли. — Инвариант-
ные метрики на группе Ли. — Полупростые группы и алгебры
Ли.—Простые группы и алгебры Ли. — Внутренние дифферен-
цирования алгебр Ли.—Присоединенная группа. — Группы и
алгебры Ли без центра.
Левоинва- Интересные римановы метрики возникают в
метрики на теории групп Ли.
группе Лн Пусть Q — произвольная связная группа Ли
ид — ее алгебра Ли.
Напомним, что символом Lo, a G Q, мы обозначаем ле-
вый сдвиг
La\ Q -+Q, ар, pEQ.
Определение 1. Риманова (или псевдориманова) мет-
рика д на группе Ли Q называется левоинвариантной,
если Ь\д = д для любого элемента a G Q, т. е. если для
любой точки р 6 Q и любых векторов А, В G TpQ
др(А, В) = gap((dLa)pA, (dLa)pB). (1)
Иными словами, метрика левоинвариантна, если все
левые сдвиги La являются изометриями.
Поэтому (см. задачу 3 лекции 6 и задачу 1 лек-
ции 19) связность Леви-Чивита, отвечающая левоин-
вариантной метрике, левоинвариантна.
В интерпретации поля д как РА'-морфизма ag® ад —> FX
условие (1) равносильно тому, что
д(Х, У) = const
для любых левоинвариантных полей X, Y G д, т. е. тому,
что для любого базиса
Хх,...,Хп (2)
алгебры Ли д функции
д^=д(Х^),
i,j = 1,.. ,,п,
Лекция 25
ИНВАРИАНТНЫЕ МЕТРИКИ НА ГРУППЕ ЛИ
421
являются константами. Это означает, что левоинвариантп-
ные (псевдо) римановы метрики на группе Ли Q на-
ходятся в естественном биективном соответст-
вии с (псевдо)евклидовыми структурами на линей-
ном пространстве д, и поэтому могут быть с ними
отождествлены.
Как правило, вместо д(Х, У) мы будем писать просто
(X, У); ср. лекцию 11.
Инвариантные Конечно, наибольший интерес на группе Ли
метрики на имеют метрики, для которых проходящие че-
группе Ли рез Т0ЧКу е геодезические совпадают с одно-
параметрическими подгруппами, т. е. для которых отвеча-
ющая им связность Леви-Чивита является связностью Кар-
тана (см. определение 2 лекции 6). Поскольку в силу един-
ственности симметрической связности Картана, последняя
связность должна задаваться формулой (10) лекции 6, лево-
инвариантная метрика тогда и только тогда обладает этим
свойством, когда
([X, У], Z) + (У, [X, Z]) = 0 (3)
для любых полей X, y,Z G g (См. формулу (2) лекции 11;
так как метрика д левоинвариантна, то (У, Z) = const, и по-
тому левая часть этой формулы равна нулю.)
Задача 1. Покажите, что условие (3) выполнено
тогда и только тогда, когда
(Х,[Х, У]) = 0 (3')
для любых полей X, У G д.
(Псевдо)евклидова метрика на алгебре Ли д, удовлетво-
ряющая условию (3) (и/или условию (3')), называется ин-
вариантной метрикой.
Основания для этой терминологии следующие.
Пусть для простоты метрика g на алгебре Ли g евклидова. Тогда усло-
вие (3) в точности означает, что оператор
adX: У~[Х,У) (4)
на евклидовом пространстве g кососимметричен. (См. определение 5 лек-
ции П.20.) Поэтому (см. лекцию 1П.11) линейный оператор
eadX: g-*g
422
ИНВАРИАНТНЫЕ МЕТРИКИ НА ГРУППЕ ЛИ
Лекция 25
ортогонален (изометричен). Поскольку eaix = (dinta)e, где а = ехрХ
(см. задачу 16 лекции IV.14) и
Лв = Lba ° inta~i obj1, a, beG,
а потому и
(dAa)b = (dL^ о (dinta-i )е о (dLbl)b,
это доказывает, что отображение. Ra: Q —♦ Q является изометрией (для
точек а из некоторой окрестности единицы, а значит, — ввиду связности
группы G — и для всех точек а е G). Обратно, если все отображения Аа, а е
G G, являются изометриями, то изометриями будут и все отображения inta.
В частности, для любого поля X G g изометрией будет оператор е&ЛХ, т. е.
оператор adX будет кососимметричен. Называя метрику д на группе Ли
инвариантной, если по отношению к этой метрике изометриями являются
как все левые, так и все правые сдвиги La и Ra, мы видим, следовательно,
что условие (3) для левоинвариантной метрики д на группе. Ли Q
равносильно тому, что эта метрика инвариантна.
Не на каждой группе Ли существует инвариантная мет-
рика.
Пример 1. Пусть Q — группа всех 2 х 2-матриц вида
(эта группа изоморфна группе всех аффинных преобразова-
ний у = ах 4- b прямой). Алгебра Ли g группы Q состоит из
матриц вида
Но 311
(докажите!) и порождается матрицами
связанными соотношением = Е2. Поэтому при X =
= Elt Y = Е2 соотношение (3') дает (ЕИЕ2) = 0, а при
X = Е2, Y = Et дает (Е2,Е2) = 0. Следовательно, эле-
мент Е2 ортогонален всем элементам из д, что противо-
речит невырожденности метрики. Поэтому удовлетворяю-
щей условию (3) метрики на алгебре Ли g существовать
не может.
Лекция 25
ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ
423
Полупростые Положив
группы и
алгебры Ли эд у) = Tr (adХ о ad у), X, У G 0,
мы, очевидно, получим на алгебре Ли 0 билинейный симмет-
рический функционал (форму) Kil. Этот функционал называ-
ется формой Киллинга на 0. (Некоторые авторы называют
его формой Картана — Киллинга.)
Так как для любого автоморфизма р: 0 —> 0 алгебры
Ли 0
= Х,Уб0,
то
ad(<^X) = <ро adX о у>-1, X G 0, (5)
откуда непосредственно следует, что
КИ(рХ,у>У) = К11(Х,У), Х,У6 0
(форма Kil инвариантна относительно автомор-
физмов).
Кроме того, так как ad[X, У] = [ad X, ad У] и ТгАВ =
= Тг ВЛ, то форма Kil удовлетворяет условию (3'):
Kil (X, [X, У]) = Tr (ad X о ad [X, У]) =
= Tr (ad X о ad X о ad У - ad X о ad У о adX) = 0.
Однако, вообще говоря, эта форма вырождена.
Определение 2. Алгебра Ли 0 (а также соответствую-
щая группа Ли Q) называется полупростой, если форма
Киллинга Kil невырождена.
Замечание 1. Это определение имеет смысл для
алгебр Ли над произвольным полем К (и, в частности, над
полем С).
Таким образом, на полупростой алгебре Ли (над по-
лем R) форма Киллинга является инвариантной метрикой
(и, значит, на группе Ли Q задает инвариантную (псев-
до)риманову метрику). В дальнейшем мы всегда будем счи-
тать, что полупростая алгебра 0 снабжена этой метрикой, и
вместо Kil (X, У) будем, как правило, писать просто (X, У).
В соответствии с общими алгебраическими определени-
ями подалгебра I) алгебры Ли 0 называется идеалом, если
424
ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ
Лекция 25
[X, У] б I) для любых X б g и У б I), т. е. если для любого
X б g эта подалгебра является инвариантным подпростран-
ством оператора adX: g —> g.
Задача 2. Покажите, что подалгебра t) тогда и только тогда
является идеалом алгебры Ли д, когда отвечающая ей (см. теорему
2 лекции IV. 14) связная подгруппа "Н группы Ли Q инвариантна.
Если Ь — подпространство, дополнительное к идеалу I),
то для каждого X б I) оператор adX отображает I) и Ь в fy.
Схематически
Ь Ь
ad„X *
0 0
где ad^X — оператор adX для алгебры Ли I), а * — некото-
рый линейный оператор, нам неинтересный. Поэтому опе-
ратор adX о ad У при X, У б I) (и даже при X б I), У б д)
имеет вид
Ь ь
adjj X о ad,, У *
0 0
откуда непосредственно следует, что ограничение формы
Киллинга алгебры Ли g на идеале I) является формой
Киллинга алгебры Ли I). В условных, но понятных обозна-
чениях
KH’ljx» = KU".
Подчеркнем, что это верно только в предположении,
что I) — идеал.
Далее, легко видеть, что для любого идеала I) С g его
ортогональное дополнение f)_L также является идеа-
лом. Действительно, если X б д, У б l)1 и Z б I), то
(X, Z] б I), и потому
([X, У],И) =-(У, [X, Z]) = 0. D
При этом если X, У б I) Г) J)1, то для любого Z б g
((X, y],Z) = —(У, (X, Z]) = 0,
Лекция 25
ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ
425
так как [X, Z] 6 I). Поэтому, если метрика невы-
рождена (алгебра Ли полупроста), то [X, У] = 0.
Алгебра Ли g с нулевым умножением, т. е. такая, что
[X, У] = 0 для любых элементов X, У G д, называется абе-
левой. На такой алгебре форма Киллинга тождественно рав-
на нулю.
Таким образом, мы доказали, что для любого идеала
f) С g полупростой алгебры Ли g идеал fy П fy1 абелев, q
3 а д а ч а 3. Покажите, что связная группа Ли Q тогда и только
тогда абелева (коммутативна), когда ее алгебра Ли g = IQ абелева.
Это объясняет терминологию.
С другой стороны, легко видеть, что полупростая ал-
гебра Ли g не содержит ненулевых абелевых идеалов.
Действительно, если а С g — абелев идеал, то для любых
элементов X G а, У G g оператор ad X о ad У имеет вид
а
Ь
а о
0 *
0 0
где, как и выше, b — подпространство, дополнительное к
идеалу а = fy, и, значит, Kil (X, У) = 0, что в силу невырож-
денности формы Kil возможно только при X = 0. q
Замечание 2. Можно доказать (это трудная теорема!), что и об-
ратно, алгебра Ли полупроста, если она не содержит ненулевых абе-
левых идеалов. Нам это утверждение (принадлежащее Э. Картану) не по-
надобится.
Сопоставив последние два утверждения, мы немедлен-
но получим, что в полупростой алгебре Ли g для любого иде-
ала 1) имеет место равенство Г1 fy-1- = 0. Поскольку в силу
невырожденности метрики dim!) + dim!)-1- = dimg (см. фор-
мулу (9) лекции II.5), отсюда следует, что полупростая
алгебра Ли g является прямой суммой идеалов I) и fy1:
g = b®b’L- (6)
Но тогда форма Киллинга алгебры g будет в понятном
смысле прямой суммой форм Киллинга алгебр Ли I) и fy1,
426
ПРОСТЫЕ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ
Лекция 25
и потому обе последние формы будут невырождены. Таким
образом, каждый идеал I) полупростой алгебры Ли g сам
является полупростой алгеброй Ли. q
Простые Алгебра Ли g (а также соответствующая
группы и группа Ли G) называется простой, если она
алгебры Ли полупростая и не содержит никаких нетри-
виальных идеалов (отличных от нулевого идеала 0 и всей
алгебры д).
Замечание 3. Это определение предложено Хелга-
соном. В силу теоремы Картана, указанной в замечании 2,
оно равносильно классическому определению, в котором
вместо полупростоты требуется лишь неабелевость.
Замечание 4. В общей теории алгебр алгебра на-
зывается простой, если она не имеет нетривиальных иде-
алов. С этой точки зрения к простым алгебрам Ли следу-
ет причислять также одномерную (автоматически абелеву)
алгебру Ли. Однако в теории алгебр Ли это оказывается
неудобным. Точно так же в теории групп Ли оказывается
неудобным общегрупповое определение простых групп как
групп, не содержащих нетривиальных инвариантных под-
групп (согласно нашему определению простая группа Ли
может иметь нетривиальные инвариантные подгруппы, но —
см. задачу 2 — эти подгруппы должны быть обязательно дис-
кретны).
Так как в разложении (6) оба слагаемые являются иде-
алами, то (X, У] = 0 при X G I) и Y б I)-1-. Поэтому любой
идеал алгебры Ли I) является также идеалом алгебры
Ли g. п
Очевидной индукцией отсюда следует, что каждая по-
лупростая алгебра Ли g является ортогональной пря-
мой суммой идеалов
g = g1®...®gr, (7)
являющихся простыми алгебрами Ли. q
Задача 4. Покажите, что каждый идеал I) полу-
простой алгебры Ли g является суммой простых иде-
алов из разложения (7).
Лекция 25
ВНУТРЕННИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ АЛГЕБР ЛИ
427
дифферен-
цирования
алгебр Ли
Внутренние Общие результаты лекции IV. 15, карающие-
ся групп автоморфизмов конечномерных алгебр
(см. пример 2 и задачу 3 лекции IV. 15), при-
менимы, в частности, к произвольной алгебре
Ли д. Таким образом, для каждой (конечномерной) алгеб-
ры Ли g группа Aut g ее автоморфизмов является группой
Ли (вообще говоря, несвязной), причем алгеброй Ли этой
группы служит алгебра Ли Derg всех дифференцирований
алгебры д, т. е. таких линейных отображений D: д —> д, что
D[X, У] = [DX, У] + (X, ГУ] (8)
для любых элементов X, У 6 д.
Из тождества Якоби непосредственно вытекает, что
каждое отображение adX, X 6 g, является дифферен-
цированием алгебры Ли д, а отображение
ad: д —► Derg, X н-> adX, X б д (9)
— гомоморфизмом алгебр Ли. q
В частности, мы видим, что отображения adX, X б
б д, составляют подалгебру алгебры Ли Derg. Эта подалгеб-
ра обозначается символом ad g, а ее элементы называются
внутренними дифференцированиями алгебры Ли д.
Так как
adDX = ]D,adX]
для любых D б Derg и X б g (это лишь иная форма тож-
дества (8)), то подалгебра ad g является идеалом алгеб-
ры Ли Der g. q
Ядром отображения (9) является центр j алгебры Ли
g — ее абелев идеал, состоящий из элементов X б д, для
которых
(Х,У] = 0
при любом У б д. Поэтому если з = 0, то алгебра adg
изоморфна алгебре д.
В частности, ad д = д для любой полупростой алгеб-
ры Ли д. q
Следовательно, если алгебра Ли д полупроста, то ал-
гебра ad д также полупроста и, значит, ограничение формы
428
ВНУТРЕННИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ АЛГЕБР ЛИ
Лекция 25
Киллинга алгебры Ли Derg на ее идеале adg невырожде-
но. Поэтому если (adg)-1- — ортогональное дополнение ал-
гебры adg в алгебре Derg относительно формы Киллинга
алгебры Derg, то идеал adдП (adg)1 алгебры Derg (явля-
ющийся не чем иным, как нуль-пространством формы Кил-
линга алгебры adg) равен нулю. Поскольку для любых D е
б (adg)1 и X 6 g имеет место включение
ad(DX) = [D,adX] eadgn(adg)1,
этим доказано, что ad (DX) = 0 и, значит (поскольку ядро
отображения ad равно нулю), что DX = 0, т. е. что D = 0.
Таким образом, (adg)1 = 0, и потому adg = Derg. Это озна-
чает, что. любое дифференцирование полупростой алгеб-
ры Ли g является внутренним, q
Связная подгруппа группы Ли Aut g, отвечающая подал-
гебре (идеалу) adg (см. теорему 2 лекции IV.14), обознача-
ется символом Int g. Будучи связной, она содержится в ком-
поненте единицы (Autg)0 группы Autg, и совпадает с этой
компонентой в том и только в том случае, когда ad g = Der g.
В частности, мы видим, что для любой полупростой ал-
гебры Ли g группа Int g является компонентой едини-
цы группы Autg (и потому замкнута), q
Существуют алгебры Ли (заведомо не полупростые),
для которых это не так.
Пример-задача 1 (по ван Эсту и Хохшильду). Зафиксировав
некоторое иррациональное число h, определим в линеале g = СфСфй над
полем R операцию [ , ] формулой
[(«p«2,r),(wpw2,s)]= (2»ri(rw1 - sz1),2hiri(rw2 -s«2),0),
где «p^.WpWj eC, r,seR.
Покажите, что
а относительно этой операции линеал g является алгеброй Ли',
б для любых s, t Е R формула
z2,r) = (ei1ti‘zl,eiiatz2, г)
определяет автоморфизм алгебры Ли д;
в если t = (« + n\h, где п — целое число, то а., = е^х, где
X = (0,0, s + п);
г автоморфизм <*01/3 алгебры Ли д не принадлежит группе Int д;
Д если вп —♦ s и tn —♦t, то at t -*att в группе Autg.
Из в, г и д следует, что группа Intg незамкнута в группе Aut g.
Лекция 25
ПРИСОЕДИНЕННАЯ ГРУППА
429
Присоединен- Согласно общим результатам лекции 7 для
ная группа любой группы Ли Q функтор Ли определяет
гомоморфное отображение
I: Aut <7 —> Autg (10)
группы автоморфизмов Aut <7 группы Q в группу автомор-
физмов Autg ее алгебры Ли д, для связной группы Q яв-
ляющееся мономорфизмом (а для связной и односвязной —
даже изоморфизмом). [Поэтому в случае, когда группа Q
связна и односвязна, группа Aut <7 автоматически оказыва-
ется группой Ли.] По определению (см. лекцию IV. 14) ком-
позиция с этим отображением гомоморфизма
int: <7—► Aut<7, ah-4inta, а ев (11)
является не чем иным, как присоединенным представлени-
ем Ad:
Ioint = Ad: <7—► Autg. (12)
Образ Ad <7 группы Q при гомоморфизме (12) называ-
ется присоединенной группой. Так как ядром гомоморфиз-
ма (11) (а потому — в случае, когда группа Q связна — и го-
моморфизма (12)) является центр Z группы Q, то (см. зада-
чу 4 лекции 7) для связной группы Ли Q группа Ли Ad Q
изоморфна факторгруппе Q/Z, а так как по определению
[(Ad) = ad (см. лекцию IV. 14), то алгеброй Ли группы Ad <7
служит алгебра adg, и, значит, группа Ad <7 является не
чем иным, как введенной выше группой Int g:
Ad <7 = Intg.
(Подчеркнем, что группа Ли Q предполагается здесь
связной.)
Задача 5. Покажите, что группа AdQ (а также группа AutG) об-
ладает естественной структурой группы Ли и для любой группы Ли Q
(не обязательно связной и односвязной).
В этом случае Intg = (Ad<7)e.
Группы и Группа Q называется группой без центра, ес-
алгебры Ли ли ее центр Z состоит только из единицы. Ана-
без центра логично, алгебра Ли g называется алгеброй
430
ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ БЕЗ ЦЕНТРА
Лекция 25
без центра, если ее центр j состоит только из нуля. Ко-
нечно, любая полупростая алгебра Ли является алгеброй
без центра.
Согласно сказанному выше, связная группа Ли Q без
центра изоморфна присоединенной группе M.Q. q
Задача 6. Докажите, что алгеброй Ли центра Z
группы Ли Q является центр j алгебры Ли д:
Поэтому алгебра Ли g группы Ли Q тогда и толь-
ко тогда является алгеброй без центра, когда центр
группы Q дискретен (и в этом случае гомоморфизм Ad:
Q —> Ad Q является — для связной группы Q — группо-
вым накрытием). В частности, центр полупростой груп-
пы Ли Q дискретен.
Предложение 1. Для алгебры Ли g без центра груп-
па Ли Int g является группой без центра.
Доказательство. Так как для любого автомор-
физма р: g —> g в группе Aut g имеет место равенство
int¥3(eadX) = <poeadXo^-1 =ead^, Хёд
(см. формулу (5)), то
(dint^)f(adX) = ady?X,
т. е.
(d = ad о р о ad-1
(так как алгебра Ли g центра, по условию, не имеет, то отоб-
ражение ad: g —> adg является изоморфизмом, и потому
отображение ad-1 определено). Применительно к р ё Intg
это означает, что присоединенное представление Int g —»
—> Aut(adg) группы Intg действует по формуле
р •—> ad оу? о ad-1.
Следовательно, оно является мономорфизмом и, значит,
группа Int g центра не имеет, q
Для алгебры Ли с нетривиальным центром группа Int g
также может иметь нетривиальный центр.
Пример-задача 2. Пусть g — трехмерная алгебра Ли с базисом
XpXj.Xj, для которого
1Х1,Х41 = Х„ [Х„Х3] = 0, [Х4,Х,] = 0.
Покажите, что группа Int g абелева (и двумерна).
ЛЕКЦИЯ 26
Формы Маурера — Картана. — Левоинвариантные диффе-
ренциальные формы. —Мера Хаара на группе Ли. — Унимоду-
лярные группы Ли. — Инвариантные римановы метрики на ком-
пактной группе Ли. — Группы Ли с компактной алгеброй Ли. —
Теорема Вейля.
Для более глубокого изучения полупростых групп и ал-
гебр Ли нам понадобятся некоторые дополнительные све-
дения из теории групп Ли, имеющие, впрочем, и самостоя-
тельный интерес.
Формы Как непосредственно следует из утверждения
Маурера — задачи 4 лекции 6, каждая линейная дифферен-
Картана циальная форма ш на группе Ли Q однозначно
характеризуется ее значениями на полях X ё д. В
частности, для любого базиса
Xp.-..Х,, (1)
алгебры Ли g на группе Q существуют однозначно опреде-
ленные формы
(2)
для которых ^‘(Хр = 6J, г,j = 1,..., п.
Определение 1. Формы (2) называются формами
Маурера — Картана на группе Ли Q, отвечающими бази-
су (I) алгебры Ли д.
Внешний дифференциал dw1 каждой из форм (14) одно-
значно характеризуется его значениями tL?(Xp, Xg), р, q =
= 1,..., п, на элементах базиса (1). Но по формуле Картана
(см. формулу (6) лекции III. 19)
(dw’)(Xp> Xq) = Xpu\Xq) - Х^(Хр) - ш*([Хр, Xq}) =
= —о?([Хр, XJ)
(так как функции w'(Xq) = 6q и ш'(Хр) = 6р постоянны, то
XpcJ(Xq) = 0 и Хд<?(Хр) = 0). Поэтому если
[Хр,Хд] = с^Хг, p,q,r=l,...,n,
432
ФОРМЫ МАУРЕРА —КАРТАНА
Лекция 26
ТО
(d<J)(Xp,Xq) = -с^ = -с^6$ = -c^(Xp)uk(Xq) =
= -|с^Ихр)а?(х9) - ^(^р)^'(^)) =
= -|c}fc(aPA^)(Xp,Xg)
и, значит,
do? =АоЛ, i,j,k = 1,.. .,n. (3)
Формулы (3) известны как формулы Маурера — Кар-
Эти формулы можно записать в элегантной безиндексной форме, если
ввести в рассмотрение g-значные линейные дифференциальные формы на
группе Ли Q. По определению (см. формулу (30) лекции IV.16) такие формы
имеют вид ы = ы' ® Xi и естественным образом отождествляется с Fy-мор-
физмами вида
где ад —как всегда, линеал (точнее, рУ-модуль) гладких векторных полей
на группе Ли д, a Fg6— линеал (Рб-модуль) гладких g-значных функций
на б).
Задача 1. Покажите, что Fd-модуль F Q естественно изомор-
фен Fd-модулю ад. [Указание. Полю л е ад отвечает функция
р I-+ Х(р), р е д, где Х(р) —левоинвариантное поле на группе Ли д, сов-
падающее в точке р с полем X.]
В силу этого изоморфизма g-значные формы на д являются не чем
иным, как Fy-морфизмами вида
ад -»ад- (4)
В частности, мы можем рассмотреть на д форму ш, которой отвечает
тождественный морфизм (4). Коэффициенты ш' этой формы характеризу-
ются тем свойством, что
и?(Ху = р, » = 1.п,
для любого поля X = f'Xi из ад- Поэтому, в частности, для форм име-
ют место равенства w’(Xj) = 6j. Поскольку эти равенства характеризуют
формы (2), тем самым доказано, что формы Маурера — Картана (2) яв-
ляются не чем иным, как коэффициентами в базисе. (1) д-значноы
формы на д, отвечающей тождественному морфизму (4).
Лекция 26
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
433
С другой стороны, поскольку g является алгеброй Ли, определена
(см. лекцию IV.20, стр. 355) форма
[w, w] = (о? Л wk) ® [АГ,-, XjJ = Л w*) ® Xf.
' i ’
Следовательно, формулы (3) равносильны соотношению
dto = -i[w,to]. (5)
В этом виде формулы Маурера — Картана обычно теперь и записыва-
ются.
Левоинварнант- Дифференциальная (не обязательно ли-
ные дифферен- нейная) форма ш на группе Ли Q называ-
циальные формы ется M&OUH6apUaHrnw}^ если w
для любого элемента |ti €; Q.
Предложение 1. Линейная дифференциальная фор-
ма ш на группе Ли Q тогда и только тогда левоинва-
риантна, когда w(X) = const для любого левоинвари-
антного векторного поля X € д.
Доказательство. Операция переноса тензорного
поля посредством диффеоморфизма сохраняет все алгебраи-
ческие операции над полями (см. указание к задаче 4 лек-
ции III. 17) и, в частности, свертку. Применительно к вектор-
ным полям X и линейным дифференциальным формам о? это
означает, что для любого диффеоморфизма <р имеет место
равенство
(<р*о>)(Х) = ш(<р^Х) о <р.
В частности, при <р = La и X G g
(L>)(X) = a>(X)oLa,
т. е.
(L»(X)(p) = a>(X)(ap)
для любой точки р е Q. Следовательно, если Ь*аш = со, то
w(X)(a~1) = ш(Х)(е) для любого a G Q и, значит, ш(Х) =
= const. Обратно, если ш(Х) = const, то (L*a>)(X)(p) =
= ш(Х)(р) и, значит, = ш. □
Следствие 1. Левоинвариантные лилейные диффе-
ренциальные формы на группе Ли Q образуют линей-
ное пространство д* размерности п = dim £7. Формы
15 М. М. Постников
434
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Лекция 26
Маурера — Картана — это в точности формы, со-
ставляющие некоторый базис этого пространства.
Доказательство. Пусть о?,.. .,о>п— формы (2).
Если X = c'Xj, с* ё R, то ш1(Х) = с1. Поэтому формы (2) ле-
воинвариантны. Если ш(Х*) = cit с. ё R, то (ш - ctw‘)(Xfc) =
= 0 для любого k = 1,..., п, и потому ш = с{ш1 (напомним,
что любая форма на Q однозначно характеризуется ее огра-
ничением на д). Поэтому формы (2) составляют базис про-
странства левоинвариантных линейных дифференциальных
форм. Следовательно, это пространство n-мерное и формы
Маурера—Картана (2) составляют его базис.
> Обратно, пусть — произвольный базис про-
странства д*. Выбрав базис Xlt,..., Х^ линеала д, рассмот-
рим соответствующие формы Маурера Картана о/,...
.. .^шп . По доказанному эти формы составляют базие'про-
странства д*, и'потому имеют место формулы ввда
со1' » с*/о?, г, г7 = 1,..., п.
Тогда поля X, с'-Х^ будут, очевидно, составлять базис
пространства g и данные формы о;1,.. .,шп будут отвечаю-
щими этому базису формами Маурера — Картана. q
На основании этого следствия семейство (2) называется
также базисом Маурера — Картана.
Пример1 (Левоинвариантные формы на матрич-
ных группах Ли). На полной .линейной группе GL(n;R) локаль-
ными координатами являются элементы х’- произвольной матрицы X =
= ||iy || С GL (n; R), и, значит, каждая линейная дифференциальная форма ш
на GL (n; R) имеет вид
u = fjdx'j, i,j = 1,...,п,
где // — некоторые функции на GL(n; R). Вводя матрицу дифференциалов
dX = ||Лв} || и матрицу функций F = ||//1|, мы можем форму ш записать
в виде следа
w = Tr(FdX) (6)
дифференциальной матрицы FdX. С другой стороны, как мы знаем (см. при-
мер 5 лекции IV.13), алгеброй Ли gI(n;R) группы Ли GL(n;R) является
коммутаторная алгебра [MatnR],
Лекция 26
МЕРА ХААРА НА ГРУППЕ ЛИ
435
3 а д а ч а 2. Покажите, чт о для любой матрицы А е GL (n; R) и любой
формы (6) имеет место равенство
l> = Tr(FAdX),
где FA(Jf) = F(AX)A, X е GL(n;R) (т. е. FA = RA о F о ЬА).
[Указание. Касательные векторы в каждой точке X е GL (n; R) естест-
венным образом отождествляются с матрицами С е MatnR и в силу этого
отождествления каждое отображение (dLA)x является левым сдвигом ЬА:
С >-> АС, а значение ых(С) формы (6) на векторе С равно Тг(К(Л)С).
Ср. пример 5 лекции IV.13.]
Поэтому форма (6) тогда и только тогда левоинвариантна, когда
F(AJf)A = F(X) для любых матриц А,Х<е GL(n;R). Поскольку об-
щее решение этого уравнения имеет, очевидно, вид F(X) = DX~', где
D =, F(E) — произвольная фиксированная матрица (достаточно положить
X = Е), мы получаем, следовательно, что левоинвариантные линейные,
дифференциальные формы на группе Ли GL(n; R) — это в точности
формы вида ,
J = Tr(DX-‘dX), ' (7)
где D —произвольная матрица. .
ВвеДя в рассмотрение матрицу X~ldX дифференциальных форм, мы
немедленно получим отсюда, что элементы матрицы X~ldX состав-
ляют базис линеала gl(n;R)* (представляют собой формы Маурера —
Картана).
Для произвольной матричной группы Ли G мы также можем соста-
вить матрицу X^dX; однако, ее элементы будут, вообще говоря, линейно
зависимы.
Задача 3. Покажите, что элементы матрицы X~ldX порож-
дают линеал-д* (и, значит, из них можно выбрать базис Маурера — Кар-
тана). '
В этом смысле матрица X~ldX доставляет нам все формы Маурера —
Картана на матричной группе Ли Q.
Мера Хаара Так как формы (2) левоинвариантны, то их
на группе Ли внешнее произведение
ш0 = ш1 А ... Л шп (8)
(являющееся дифференциальной формой максимальной сте-
пени на группе Ли Q) также левоинвариантно. При этом, так
как формы (2) доставляют базис, то форма о?0 ни в одной
точке не обращается в нуль и, значит, любая другая фор-
ма ш максимальной степени на группе Ли Q имеет вцд /о>0,
15»
436
МЕРА ХААРА НА ГРУППЕ ЛИ
Лекция 26
где f — некоторая функция на Q. Если форма ш левоинва-
риантна, то f о La = f для любого элемента а ё Q, что воз-
можно только при f = const. Таким образом, все левоин-
вариантные формы максимальной степени на груп-
пе Ли Q исчерпываются формами вида сш0, где с ё R,
а ш0 — форма (8).
Как мы знаем (см. предложение 1 лекции Ш.25), формы
максимальной степени на ориентированном многообразии
находятся в естественном биективном соответствии с плот-
ностями. С другой стороны, каждый базис (1) алгебры Ли д,
являясь в каждой точке р e Q базисом пространства TpQ,
задает некоторую ориентацию многообразия Q. Пусть р0 —
плотность на Q, отвечающая форме (8) в этой ориентации.
Эта плотность зависит только от базиса (1).
Задача 4. Покажите, что:
а плотность р0 положительна (является плот-
ностью объема; см. лекцию П1.24);
б для любого другого базиса алгебры Ли g отвеча-
ющая ему плотность имеет вид ср^, где с > 0, с ё R.
Таким образом, мы видим, что на любой группе Ли
имеется единственная — с точностью до положи-
тельного числового множителя — левоинвариантная
плотность объема, q
Эта плотность объема называется мерой Хаара на
группе Q.
Зафиксировав некоторую меру Хаара р0, мы можем для
любой финитной, локально ограниченной и почти непрерыв-
ной функции f на, группе Q рассмотреть интеграл
I /Ро
(см. лекцию III.24). Этот интеграл называется интегралом
Хаара функции f и по Традиции обозначается символом
j f(p)dp (или j f(p)dp). (9)
Подчеркнем, что подынтегральное выражение /(р) dp
здесь никакого отдельного смысла не имеет. Впрочем, до-
пуская определенную вольность, иногда удобно считать его
Лекция 26
МЕРА ХААРА НА ГРУППЕ ЛИ
437
обозначением для плотности fp0 (и, в соответствии с этим,
употреблять символ dp для обозначения меры Хаара р0).
Задача 5. Докажите, что для любого элемента
a & Q интегралы Хаара функций f о La и f совпадают,
т. е. в обозначении (9)
j f(ap)dp= j f(p)dp. (10)
[Указание. /-4(/Ч) ='(/ о La)L* w0.[ -
Свойство (10) называется левоинвариантностью
меры (интеграла) Хаара.
В каждой Карте (U,h)'*= .,irn) мера Хаара р0
Задается некоторой функцией р0 = р0(®), х = (х1,...,хп),
на открытом множестве h(U) С Rn. Эта функция называ-
ется ядром Хаара. Если U = Q (или хотя бы U = Q), то
для любой функции / интеграл Хаара (9) равен интегралу
Римана
j /(®)ро(ж) (йр, dx = dx1 ... dxn. (11)
h(U)
В общем случае интеграл (9) является суммой ийтегралов
вида (11).
3 а д а ч а 6. Покажите, что на группе GL (n; R) ядро Хаара выража-
ется (в координатах х’) формулой
Ядро'Хаара, записанное в канонических Координатах,
может рассматриваться как функция на алгебре Ли д. Ока-
зывается, что для этой функций имеет место формула
р0(Х) = const det[/0(-adX)], X eg, (12)
где _ 1 °° zn
оз)
n=0 ' '
Доказательство основывается на формуле
exp(X+ty)exp(-X)=exp(t/0(adX)yyi-o(t), X, Y G д. (14)
Задача 7. Выведите из формулы (14) формулу (12).
438
УНИМОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ ли
Лекция 26
3 а д а ч а 8. Докажите формулу (14) для матричных групп Лн (когда
exp X — ех).
Так как правые и левые сдвиги перестановочны, то для
любого элемента a е Q форма также левоинвариантна
и, значит, имеет вид Д(а)о>0, где Д(а)— некоторая отлич-
ная от нуля константа, зависящая только от элемента а (но
не от выбора формы ш0).
3 а д а ч а 9. Покажите, что константа Д(а) гладко зависит от а,
т. е. что соответствие а >-» Д(а) является гладкой функцией на группе Ли Q.
Будучи гладкой, функция Д непрерывна и, значит, не
обращаясь нигде в нуль, сохраняет на каждой компоненте
группы Q постоянный знак. Поскольку Д(е) — I, этим дока-
зано, что на сеязной группе Ли Q функция Д положи-
тельна. q
Функция Д называется модулем группы Ли (j. Так как
RbRa = Rgb, то ввиду коммутативности умножения вещест-
венных чисел
' Д(аЬ) = Д(а)Д(Ь) . (15)
для любых элементов а, b e Q (модуль является гомо-
морфизмом, группы Q в мультипликативную группу
отличных от нуля вещественных чисел).
Задача 10. Докажите, что
Д(ехр X) = еТг х
для любого Хед. [Указан и'е. Воспользуйтесь формулой (12).]
Унимодулярные Группа Ли Q называется унимодуляр-
группыЛи ной, если каждая левоинвариантная , фор-
ма ш максимальной степени на группе, <3 правоннвариант-
на (Я*а? = ш для любого а ё Q), т. е. если модуль Д этой
группы тождественно равен единице. < .
Из утверждения задачи 10 следует, что связная группа
Ли Q тогда и только тогда унимодулярна, когда
TradX=0 (16)
для любого X е д. [Гомоморфизм Д, тождественно равный
единице на окрестности, точки е ё Q, равен единице всюду.]
Задача!!. Покажите, что на унимодулярной груп-
пе Q мера Хаара правоинвариантна, т. е.
f f(pa)dp = f f(p)dp (17)
Лекция 26
ИНВАРИАНТНЫЕ РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
439
для любого элемента a G Q и любой функции /.
Задача 12. Покажите, что группа GL(n;R) унимодулярна.
[Указание. См. задачу 6.]
3 ад а ч а 13. Выведите унимодулярность группы GL (n; R) (или, точ-
нее, ее компоненты единицы) из критерия (16). [Указание. Для любой
матрицы X = II®’-1| = a’.Ej из gl(n;R) имеет место равенство
(adX)J^ ' (18)
гДе Е? —матричные единицы (с элементами (jEj)J = djd?).]
Если группа Ли Q компактна, то имеет смысл интеграл
j Д(р)с£р = j Д(ар) dp = Д(а) j Д(р)йр. (19)
С другой стороны, если группа Q связна, то
j Д(р) dp О
(ибо Д(р) > 0). Поэтому в этом случае равенство (19) воз-
можно только при Д(д) = 1. Это доказывает, что каждая
компактная связная группа ЛиQ унимодулярна. q
Для любой меры Хаара dp на компактной группе Q име-
ет смысл также интеграл
j dp- .< (20)
9
Мера Хаара dp называется нормированной, если этот
интеграл равен единице. Чтобы ^получить нормированную
меру, достаточно произвольную меру dp разделить на ин-
теграл (20).
Нормированная мера Хаара, конечно, единственна.
Инвариантные Предложение 2. На любой компактной
римановы ме- группе Ли Q существует инвариантная
тp,,к,, риманова метрика.
Доказательство. Пусть д^ — произвольная
левоинвариантйая риманова метрика на <7 (евклидова метри-
ка на а). Для каждой точки b G Q мы определим на простран-
стве Тьд положительно определенный симметрический би-
линейный тензор дь типа (2,0) (скалярное произведение),
440
ИНВАРИАНТНЫЕ РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
Лекция 26
положив для любых векторов Л, В G Тьд
дь(А, В) = J g$((dRp)bA, (dRp)bB) dp,
где dp — произвольная мера Хаара на Q. Ясно, что тензор дь
гладко зависит от, Ь и, значит, тензорное поле b дь явля-
ется римановой метрикой на Q.
Для любых элементов a, b G Q и любых векторов А, В е
€ Ть<7 мы имеем
<адь(Л, В) = gab((dLa)bA, (dLa)bB) =
= J 5;%p((dApU(dba)H>(^P)ai>(^o)bB)dp =
= J 55)bp)((^a)bp(^p)H>(^a)()p(d7?p)bB)dp =
= j (L^\«dRp)bA, (dRp)bB) dp =
= J 9$((dRp)bA, (dRp)bB) dp = gb(A, B).
(Напомним, что по условию L* gW = </°\) Это означает, что
= д, т. е. что метрика д левоинвариантна.
С другой стороны, так как мера dp левоинвариантна, то
(RMA, В) = 9ba((dRa)bA, (dRJbB). =
= j 9^a)p((dRp)ba(dRa)bA, (dRp)ba(dRa)bB) dp =
= j g^((dRp)bA,(dRp)bB)dp = gb(A,B),
и, значит, метрика g правоинвариантна, q
[Контрольный вопрос: Где в этом доказатель-
стве использована компактность группы </?] <
Использованный в доказательстве предложения 2 при-
ем называется усреднением по группе. Впервые
он был предложен А. Гурвицем.
Лекция 26
ГРУППЫ ЛИ С КОМПАКТНОЙ АЛГЕБРОЙ ЛИ
441
Группы Ли с Предложение 2 мотивирует следующее опре-
компжктнон деление.
алгеброй Ли Определение 2. Алгебра Ли, на которой
существует инвариантная евклидова метрика, называется
компактной алгеброй Ли.
Иначе говоря, алгебра Ли g компактна, если на g су-
ществует положительно определенное скалярное произве-
дение, по отношению к которому все операторы
adX: Y~[X,Y]t Y е g,
кососимметричны.
Согласно предложению 2 алгебра Ли компактной
группы Ли компактна.
Обратное утверждение имеет следующий вид.
Предложение 3. Для любой компактной алгебры
Ли g существует компактная группа Ли Q, алгебра
Ли которой изоморфна алгебре д.
Доказательство. Рассмотрим алгебру Ли adg.
Относительно инвариантной евклидовой метрики на g каж-
дый элемент adX этой алгебры является кососимметриче-
ским оператором на евклидовом пространстве д, и потому
в произвольном ортонормированием базисе имеет кососим-
метрическую матрицу а^(Х). Но тогда
Tr(ad X)2 = £ = - £ <^(Х)2
и, значит, Tr(ad X)2 0, причем равенство здесь имеет мес-
то тогда и только тогда, когда ad X = 0, т. е. когда X при-
надлежит центру з алгебры Ли д. Поэтому если з = 0, то
Tr(adX)2 < 0 при X 0, т. е. форма Киллинга Kil ком-
пактной алгебры Ли без центра отрицательно опре-
делена.
В частности, эта форма невырождена, и, значит, ком-
пактная алгебра Ли без центра полупроста.
Кроме того, мы видим, что при j = 0 форма - Kil зада-
ет на g инвариантную евклидову метрику. Таким образом,
без ограничения общности мы можем в этом случае счи-
тать, что метрикой g на g является метрика — Kil и, следо-
вательно, что все автоморфизмы алгебры Ли g являются ее
442
ГРУППЫ ЛИ С КОМПАКТНОЙ АЛГЕБРОЙ ЛИ
Лекция 26
ортогональными преобразованиями, т. е. что группа Autg
представляет собой подгруппу группы всех ортогональных
преобразований g —> g евклидова линейногб пространства д.
Так как последняя группа компактна, а группа Autg замк-
нута в ней (докажите!), то, следовательно, при j = 0 груп-
па Autg компактна^ ,,
С другой стороны, так как, в рассматриваемом случае
алгебра Ли g полупроста, то группа Int g замкнута в груп-
пе Autg (является ее компонентой единицы). Поэтому эта
группа также компактна. Поскольку при 3 = 0 алгебра Ли g
изоморфна алгебре Ли ad g группы Int g, это доказывает
предложение 3, при з = 0.
Пусть теперь центр з алгебры Ли g произволен. Рас-
смотрим его ортогональное дополнение зх. Так как линеал g
евклидов, то
, / 0 = 3®3х.' А
Кроме того, з1 является идеалом, не, имеющим центра и
являющимся компактной алгеброй Ли относительно огра-
ничения на зх инвариантной метрики на д,: Следовательно,
по доказанному, идеал зх является алгеброй Ли некоторой
компактной группы Ли Н = Int зх.
Что же касается центра 3, то он, очевидно, является
алгеброй Ли тора
Т* = S1 х ... х
где k = dim 3. k
Задача 14. Покажите, что алгебра Ли д, являю-
щаяся прямой суммой идеалов, изоморфна алгебре Ли
прямого произведения группы Ли, алгебрами Ли кото-
рых служат эти идеалы:
если д= gj © д2, где gj = К7Р02 = 1^2> то 9 = х ^2)-
Следовательно, в частности, рассматриваемая нами ал-
гебра Ли g изоморфна алгебре Ли прямого произведе-
ния Т* х 7Y. >
Для завершения доказательства остается заметить, что
в силу предложения 3 лекции III.8 группа х Н ком-
пактна. Q
Лекция 26
ТЕОРЕМА ВЕЙЛЯ
443
По ходу дела мы также доказали, что для полупростой и
компактной алгебры Ли форма Киллинга отрицательно опре-
делена. Поскольку обратное утверждение очевидным обра-
зом верно, мы видим, что справедливо следующее предло-
жение.
Предложение 4. Алгебра Ли тогда и только тогда
полупроста и компактна, когда ее форма Киллинга
отрицательно определена, q
’ Согласно этому предложению на любой группе Ли G
с поЛупростой и компактной алгеброй Ли g формула' g —
= —Kil определяет на этой группе инвариантную рнманову
метрику. Так как эта метрика индуцирует на G симметри-
ческую связность Картана, то (см., формулу (11) лекции 6)
для ее тензора кривизны R имеет, место тождество
R(X,Y)Z = -X-[[X,Y],Z], ! Х,У,Иед.
Но тогда
Тг (Z ~R(Z, X)Y) = Тг (Z w -1 [[Z, XJ, У]) =
= Tr(-4 adyoadX^I =-1 Тг fadX о ad У ) = yg(X,Y)
\ 4 7 4 \ J 4
для любых X, У, Z G g и, значит, Ric = з/4 (на д, а потому
и на а<7), т. е. группа G является римановым пространст-
вом Эйнштейна положительной скалярной кривизны п/4,
где п — dim Q.
Для удобства ссылок сформулируем этот результат
в виде отдельного предложения.
Предложение 5. Относительно метрики — Kil
каждая группа Ли с полупростой и компактной ал-
геброй Ли является пространством Эйнштейна по-
стоянной положительной скалярной кривизны, q
Теорема Конечно, группа Ли с компактной алгеброй Лн
Вейля может и не быть компактной — примером явля-
ется группа по сложению Rn с абелевой алгеброй Ли. Од-
нако, в определенном отношении этот пример являет нам
единственное исключение.
444
ТЕОРЕМА ВЕЙЛЯ
Лекция 26
Теорема 1 (теоремаВейля). Каждая группа Ли
с полупростой и компактной алгеброй Ли компакт-
на. Ее фундаментальная группа -k{Q конечна.
Следствие 1. Каждая полупростая компактная
группа Ли является факторгруппой Q/Г компактной
односвязной группы Ли Q по некоторой конечной абе-
левой инвариантной подгруппе Г ее центра, q
Следствие 2. Каждая односвязная группа Ли
с компактной алгеброй Ли является произведением
Rn х Q группы по сложению Rn и компактной одно-
связной полупростой ^группы Ли Q. q
Произвольная же группа Ли скомпактной алгеброй Ли
локально изоморфна группе Rn х Q, т. е. является фактор-
группой (Rn х Q)/V произведения Rn х Q по некоторой дис-
кретной абелевой инвариантной подгруппе Г его центра.
См. задачи 9 и 10 лекции IV. 15.
Таким образом, подобно тому как описание — с точ-
ностью до локального изоморфизма — всех связных полу-
простых групп Ли сводится к описанию всех полупростых
алгебр Ли и, значит, — см. разложение (7) лекции 25 — к
описанию всех простых алгебр Ли, описание всех связных
групп Ли с компактной алгеброй Ли сводится к описанию
компактных простых алгебр Ли.
Теорему Вейля мы докажем в лекции 28, после того как
изложим, необходимые для этого сведения из общей теории
римановых пространств.
ЛЕКЦИЯ 27
Сопряженные точки. — Вторая вариация длины. — Форму-
ла для второй вариации. — Редукция задачи. — Минимальные
поля и поля Якоби. —Вариация Якоби. — Поля Якоби и сопря-
женные точки. — Свойства полей Якоби. — Минимальность нор-
мальных полей Якоби. —Доказательство теоремы Якоби.
I
В этой лекции, возвращаясь к общей теории римано-
вых пространств, мы на примере геодезических рассмотрим
вопрос о необходимых условиях того, что экстремаль явля-
ется кривой минимума (геодезическая — кратчайшей). Этот
вопрос непосредственно примыкает к материалу лекции 12,
но лишь теперь у нас имеется все необходимое, чтобы его
успешно рассмотреть. Оказывается, что ответ на него тесно
связан с критическими точками (или, точнее, с критически-
ми значениями) экспоненциального отображения.
Сопряжен- Пусть X — риманово пространство, р0 — его
ные точки произвольная точка и 7: t t-ч ехрр tA, А =
= 7(0), — произвольная геодезическая, проходящая при t =
= 0 через точку р0.
Определение 1. Говорят, что точка q — exppt0X,
t0 > 0, геодезической 7 сопряжена точке р0 (или с точ-
кой р0) вдоль геодезической у, если она является крити-
ческим значением экспоненциального отображения, т. е. ес-
ли вектор t0A служит критической точкой этого отображе-
ния (линейное отображение
(dexp )t А: ТХ-.ТХ
ро о 4
имеет нетривиальное ядро; как всегда, мы отождествляем
\л(\Х) с Т, *)
Заметим, что это определение имеет смысл в произволь-
ном пространстве аффинной связности X.
Так как множество всех критических точек экспоненци-
ального отображения очевидным образом замкнуто (и не со-
держит вектора 0), то — в случае, когда множество сопря-
женных точек непусто — среди всех сопряженных точек на
446
ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ДЛИНЫ
Лекция 27
геодезической 7 существует точка с наименьшим t0 > 0. Она
называется первой сопряженной точкой.
Основной целью этой лекции является доказательство
следующей теоремы, известной как теорема Якоби.
Теорема 1. Если геодезическая у: I —> X, 7(0) =
= р0, является кратчайшей, то ни одна ее точка — за
возможным исключением концевой точки р1 =7(1) —
не сопряжена с точкой р0.
Для доказательства этой теоремы нам нужно связать
сопряженные точки с вариациями геодезических.
Вторая вариа- В соответствии с общими определениями
ция длины лекции 11 вариацией кривой 7: I —> X на-
зывается такое гладкое отображение
у. [0,1] х (-е,е) — ЛГ, 1 (I)
что <p(t,O)' = 7(f) для любого t G I. Вариация естествен-
ным образом отождествляется с семейством {7Т} кривых
7Т: tt->y?(t,r), — е < г < е, O^t^l. (2)
Вариация называется вариацией с закрепленными кон-
цами, если <р(0,т) = 7(0) и у?(1,т) = 70) для любого т,
|т| < е (все кривые (2) начинаются и кончаются в одних
и тех же точках).
Нам будет удобно несколько расширить понятие вари-
ации и допускать к рассмотрению кусочно гладкие ва-
риации. По определению каждая такая вариация являет-
ся непрерывным отображением вида (1) (удовлетворяющим
условию <p(t,O) = 7(t), ОШ 1), для которого
а существует такое разбиение
0 = t0 < t, < ... < tr = 1
отрезка I = [0,1] (свое для каждой вариации у?), что на
каждом прямоугольнике [tt-_p tj х (-е,е), г = 1,. . ^^. отоб-
ражение р гладко;
б векторное поле X: t t-ч X(t), определенное формулой
X(t)=^(t,O), 0<t<l, (3)
от
является кусочно гладким непрерывным векторным полем
на кривой 7 (и, значит, во всех точках кривой 7 кроме точек
Лекция 27
ФОРМУЛА ДЛЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ
447
T(t,). i = О,;
г, определена его ковариантная производ-
ив dt '
полем на
являющаяся вне этих точек гладким векторным
7).
Заметим, что для вариации с закрепленными концами
поле X равно нулю при t = 0 и t = 1.
Для кусочно гладкой вариации <р каждая кривая 7Т ку-
сочна гладка, и потому определена ее длина
VT) = J 11^(01 dt>
о
-е < т < г.
При этом ввиду условия б функция s = sv(t) дифференци-
руема в точке т = О интервала (-е, е).
С другой стороны, если <р является вариацией с закреп-
ленными концами, то в случае, когда кривая 7 является
кратчайшей, функция s = s^fr) имеет в точке т = 0 ми-
нимум, а в случае, когда кривая 7 является геодезической,
в точке т = 0 имеет место равенство s^(0) = 0 (штрихом
мы обозначаем дифференцирование по' т). Поскольку, как
известно из элементарного курса анализа, при s^,(0) = 0 и
s"(0) < 0 точка т = 0 не может быть точкой минимума
функции s = sv(r) (она будет точкой локального максиму-
ма), мы видим, следовательно, что для доказательства тео-
ремы 1 нам достаточно доказать следующее предложение
(часто также называемое теоремой Якоби).
Предложение I. Если для некоторого t0, 0 < t0 <
< 1, точка q = 7(t0) сопряжена с точкой р0 = 7(0)
вдоль геодезической 7: I —> X, то существует такая
кусочно гладкая вариация <р кривой'} с закрепленными
концами, что s"(0) < 0.
Число s"(0) называется второй вариацией длины.
Формула для Чтобы доказать это предложение, мы най-
второй вариации дем ЯВНуЮ формулу ДЛЯ ЧИСЛЯ в"(0).
Так как по правилам дифференцирования интегралов по
параметру 1
^(0)= j (|7T(t)l")U^,
о
448
ФОРМУЛА ДЛЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ
Лекция 27
то ддя этого мы прежде всего должны вычислить при т = О
vtvpjv производную |7T(t)|" = ^2l7T(0| (существующую
вне конечного числа точек; в дальнейшем эти точки мы иг-
норируем).
По определению,
Нт(0|2 = (7т(0,7г(0) = 7г)
(для упрощения формул мы здесь и в дальнейшем, как пра-
вило, опускаем у функций аргументы), и, значит, по прави-
лу дифференцирования скалярного произведения векторных
полей (см. формулу (4) лекции 11)
|7т(01' =
1 / V dtp ®р\
|7T(t)| ) ’
и, далее,
l7T(t)|" =
1
l7r(t)|3
V др др\2
дт dt ’ dt /
1
+ l7T(t)l
V V др др\ / V др V
дтдт dt' dt / \дт dt' дт dt )
Так как (см. формулу (17) лекции 2)
V др _ V др
дт dt dt дт ’
где
др
-----поле касательных векторов кривой т ь-» 7T(t),
t = const (мы по-прежиему опускаем аргументы), и (см. за-
дачу 5 лекции 2)
V V др V V др __ V V др /др др\ др
дт дт dt дт dt дт dt дт дт \ дт ’ dt ) дт ’
то (см. формулу (3))
/ V др\
\drdi )
т-0 dt
V V др\
дтдт dt)
т«*0
у
dt
V др\
дт дт )
+ R(X,j)X,
и
Лекция 27
ФОРМУЛА ДЛЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ
449
где для упрощения формул мы вместо Ry^ пишем просто R.
dtp
(Здесь -у = — — поле t -y(t) касательных векторов на
9t т=0
кривой 7-)
Кроме того, так как (см. формулу (4) лекции 11) для
любого поля У на кривой 7 имеет место равенство .
VK V d
(напомним, что поле 7 ковариантно постоянно), то
Предположив для упрощения формул, что геодезическая 7
отнесена к натуральному параметру, т. е. что |-у(£)| = 1, мы
для (|7т(0|//)|т_о немедленно получим отсюда формулу
(|7т(О|")1т=0 =
dt + dt\\drdrj
-R(X,i,X,j) +
УХ УХ\
dt ’ dt )
(напомним — см. формулу (2) лекции 15, — что
(Л(Х,.7)Х,7) = W>XXi) = -Л(Х,7,Х,7).
Поскольку
У dtp
dr dr
. \ ((V д<Р
Г Г "((а? 57
= 0
t»0
dtp
(ибо ввиду закрепленности вариации tp в концах
от
= 0 тождественно по т), этим доказано, что
t=i
dtp
И
от
= 0
t=o
о
УХ УХ\
dt ’ dt )
21
о
450
РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧИ
Лекция 27
Таким образом, для доказательства предложения 1 (и вместе
с ним теоремы 1) нам достаточно найти вариацию у? геоде-
зической 7, для которой правая часть формулы (4) отрица-
тельна.
Редукция задачи 3Десь1 в пеРвую очередь обращает на -се-
бя внимание то обстоятельство, что чис-
ло л"(0) зависит только от векторного поля X (и кривой 7).
При этом легко видеть, что для любого кусочно гладкого
векторного поля X на кривой 7, равного нулю при t = 0
и t = I, существует вариация с закрепленными концами,
индуцирующая по формуле (3) это поле. (На каждом отрез-
ке кривой 7, содержащемся в одной карте и не содержа-
щем точек излома поля X, вариация <р стройней очевидным
образом; эти частичные вариации без труда склеиваются в
единую кусочно гладкую вариацию всей кривой.) Поэтому
предложение 1 будет доказано, если мы построим йа геоде-
зической 7 кусочно гладкое поле X, равное нулю при 4 = 0
и t = 1, для которого интеграл в правой части формулы (4)
отрицателен. ' .
Поле X называется полем нормальных векторов
(или, короче, нормальным полем), если
(X(t),7(«)) = 0
для любого I, 0 t 1.
Так как —— ,7 = —(Л,7), то для такого поля
\ at / at .
град из формулы (4) упрощается и принимает вид
инте-
f Г/VX. 1
НГ’-ЙГ -адъХ,7) dt. ’ , (5)
J L \ ut /
о
Положив для Любых а и Ь, 0 < а < b 1,
i(x)=
а
Ъ ..
f r/vx vxa . 1
(6)
мы видим, что нами доказано следующее предложение.
Лекция 27
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОЛЯ И ПОЛЯ ЯКОБИ
451
Предложение 2. Пусть на геодезической 7: I —> X
существует такое кусочно гладкое векторное поле X,
что
а поле X равно нулю (при t = 0 и t = 1:
Х(0) = 0, Х(1) = 0;.
б поле X нормально;
в имеет место неравенство
1^Х)<0.
Тогда существует такая вариация <р геодезической у,
что s^(0) < 0 (и, значит, геодезическая 7 не является
кратчайшей), q \
Минимальные Определение 2. Поле Х^ на отрезке 7|fa>bj
поля и поля геодезической 7, 0 а < b < 1, называется
Яко6и минимальным полем, если оно доставля-
ет строгий минимум интегралу (6) в классе всех кусочно
гладких полей X на кривой 71[а,Ь)’ для КОТОРЫХ
Х(а) = Х^(а), Х(Ь) = Х™(Ь),
т. е. если 1^(Х) 1^(Х^) для любого такого поля X, при-
чем равенство имеет место только при X = Х^.
Выбрав в пространстве Т_ X ортонормнрованный базис
ро
А> Ап (?)
и параллельно перенеся его во все точки геодезической 7,
мы получим на 7 векторные поля
Хр .... Хп, (8)
обладающие тем свойством, что любое поле X на 7 единст-
венным образом представляется в виде их линейной комби-
нации:
X = g1X1 + ... + gnX„ = giX,-,
где g1 = ql(t),.. .,qn — qn(t) — функции на I (гладкие, если
поле X гладко, н кусочно гладкие, если поле X кусочно
гладко). При этом
(9)
452
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОЛЯ И ПОЛЯ ЯКОБИ
Лекция 27
• aq It) , »'<
где g’(t) = —-—, г = 1,..п, так что поле параллельных
dt
векторов характеризуется условием g’ = const, i = 1,...
..п. Кроме того, тай как поля (8) в каждой точке кривой
7 ортонормированье то
VX VX\
dt ’ dt )
= E(W-
Наконец,
Й(1,7,Х,Т) = Rij>kiqi(t)d>qk(t)al,
где Я,- • ы = Rl- к1 и а? — компоненты тензора R и век-
J» Jj Рл
тора А = -у(О) в базисе^; (7). [Заметим, что R^j^ =
= (R(Xk,Xl)Xj,Xi), а’ = (7Л,)и7 = а%.]
Это показывает, что интеграл (6) принадлежит к клас-
су интегралов, рассмотренных в лекции 11.; Конфигураци-
онным пространством этого интеграла является простран-
ство Кп, а лагранжиан задается формулой
' п
Ь(д,д) = 2(д’)2-^д^дка1.
„ 9L ' ' 1=1
Поскольку —— = 2ql и
dq*
Q~i - 9fc°Z -
уравнения Эйлера — Лагранжа для интеграла (6) имеют вид
2g*(0 + (Rijjd + Rkj,i№ <£qk(t) = 0.
Но согласно тождеству Бианки (формула (3) лекции 15)
Rij,kl + Rjk,il + Rkijl ~ 0>
и потому
Rij,ki + Rkj,a = 2Rij,ki + Rkiji-
При этом, так как тензор кососимметричен по индек-
сам j и I, то
Rkiji <jal = 0-
Лекция 27
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОЛЯ И ПОЛЯ ЯКОБИ
453
Следовательно, уравнения Эйлера — Лагранжа для интегра-
ла (6) мы можем (после сокращения на 2) записать в сле-
дующем виде:
?’(0 + = 0, i = 1,..п. (10)
Умножив эти уравнения на X,- и просуммировав, мы полу-
чим уравнение
п
g’(t)X,- + YlRij,kl^^9k(t)Xi = 0,
»=i
где VV
д’(£)Х,- = -г-гХ
4 ' ' ’ dtdt
(ср. формулу (9)), а
^R^a^X, = £(Л(Х*,Х^Ху,Х^О^(*)Х,. =
1*1 1*1
п
= ^(fl(X,7h,X,)X, = Я(Х,7И.
t“l
(Напомним, что базис (8) ортонормирован, н потому
п
52(У,Х,)Х,- = У для любого поля У на 7.)
1*1
Это доказывает, что в инвариантной бескоординатной
форме уравнения Эйлера — Лагранжа для интеграла (6)
имеют вид
X^X + fl(X,7h = 0. (11)
dt dt
Определение 3. Уравнение (11) называется урав-
нением Якоби, а его гладкие решения— полями Якоби
(на геодезической 7).
Таким образом, поля Якоби — это в точности экстре-
мали интеграла 1^, а их ограничения на [а,Ь] — экстремали
интеграла 1^ (относительно вариаций постоянных на концах
отрезка).
Б частности, мы видим, что любое гладкое минималь-
ное поле является полем Якоби.
Так как в координатах д1,...,дп уравнение (11) запи-
сывается в виде системы (10) линейных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка, то согласно стандартным
454
ВАРИАЦИЯ ЯКОБИ
Лекция 27
теоремам теории дифференциальных уравнений все поля
Якоби на геодезической 7 составляют 2п-мерное, ли-
нейное пространство и каждое поле Якоби X одно-
значно определяется его начальным значением Х(0)
VX
и начальным значением >-—(0) его ковариантной
dt
производной {являющимися векторами пространст-
ваТрХ).
Нас в первую очередь будут интересовать поля Якоби
с Х(0) = 0. Онн составляют n-мерное линейное простран-
ство J<0), и каждое поле X 6 J<0) однозначно определяется
VX „
вектором -т— (0) 6 Т_ X.
at ро
Вариация Гладкая вариация <р = {'у7-} геодезической 7 на-
Якоби зывается вариацией Якоби, если она состоит
из геодезических и закреплена в точке р0, т. е. если
7T(t) = expptА(т), -е < т < е, (12)
где т 1-> А(т) — некоторая гладкая кривая пространст-
ва Тр X, проходящая при т = 0 через точку А = 7(0).
Т°ак как для поля (t, г) i-> jT(t) на поверхности имеет
место равенство
V V V V / ду (t)\
8^(0 - = 'Ч»
(см‘. задачу 5 лекции 2), а
V V /ду (t) \
W = 0.
Полагая г = 0 (и опуская, как всегда, аргументы), мынемед-
ленно получим отсюда, что индуцированное вариацией (12)
поле (3) удовлетворяет уравнению (11), т. е. является полем
Якоби.
Так как вариация (12) закреплена при t = 0, то Х(0) =
= 0, Tj е. X G. JW. Кроме того, согласно формуле (17)
Лекция 27
ПОЛЯ ЯКОБИ И СОПРЯЖЕННЫЕ ТОЧКИ
455
лекции 2 имеем
dt dt \ дт
где справа т w 7r(t) рассматривается как векторное поле
на кривой г»-+ 7T(t), t = const. Поскольку при t — 0 послед-
няя кривая постоянна и, значит, ковариантные производные
полей на этой кривой совпадают с их обыкновенными про-
изводными по т, а каждый вектор 7т(0) является не чем
иным, как вектором А(т), этим доказано, что
— (0) = Az(0). (13)
at
Таким образом, для любой вариации Якоби (12) индуци-
рованное векторное поле (3) является полем Якоби
из •№, для которого имеет место (13).
В явном виде это поле задается формулой
X(t) = (dexpp XA(tA'(O)) (14)
(см. формулу (3) лекции IV. 14).
Пусть теперь X' — произвольное поле Якоби из
VX'
и пусть В = —;—(Q). Рассмотрим вариацию (12) с
at
А(г) = А + тВ
и индуцированное этой вариацией поле Якоби X. Так как
тг V
А'(0) = В, то ——(0) = ——(0) и, значит, X = X'. Следо-
at at
вательно, любое поле Якоби из индуцируется неко-
торой вариацией Якоби (12).
Итак, поля Якоби из — это в точности векторные
поля, индуцированные вариациями Якоби.
Поля Якоби и Теперь мы уже можем вернуться к сопряжен-
сопряженные ным точкам.
точки Лредложеяие 3. Точка q '• ?(t0),
0 < t0 $ 1, геодезической у: I —* X тогда и только то-
гда сопряжена с точкой = 7(0), когда на у сущест-
вует такое поле Якоби X 0, что Х(0)'== 0 и X(t0) =
= 0.
456
СВОЙСТВА ПОЛЕЙ ЯКОБИ
Лекция 27
Доказательство. Достаточно заметить, что для
поля (14) равенство X(t0) = 0 имеет место тогда и только
тогда, когда А'(0) 6 Ker(dexp )t А, и что X / 0 тогда и
00
только тогда, когда А'(0) / 0- □
Следствие 1. Отношение сопряженности сим-
метрично, т. е. если точка q сопряжена с точкой р0,
то точка р0 сопряжена с точкой q (на геодезической у,
пробегаемой в обратном направлении).
Доказательство. Уравнение Якоби (11) инвари-
антно относительно замены t t-ч -t. q
Следствие 2. Пусть 0 $ t0 < t, $ 1. Если точ-
ка ^(t.) не сопряжена с точкой 7(t0) вдоль геодезичес-
кой 7|[t t j, то для любых векторов Ао 6 T^t ^Х, At 6
G T^t )Х на геодезической 7|[t t j существует единст-
венное поле Якоби X, для
которого
X(t0) = A0, X(tl) = Ai.
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что t0 = 0 и tt = 1.
Рассмотрим отображение а: X н (Х(0), Х(1)) линеа-
ла J в прямую сумму Т X ф Т X, р0 = 7(t0), р, = y(tt).
о 1
Согласно предложению 3 это (очевидно, линейное) отобра-
жение инъективно. Но линейные пространства J и Т X ф
ф Т X имеют одну и ту же размерность 2п. Поэтому отоб-
ражение а биективно, q
Свойств* Интересно, что предусмотренное предложе-
полей Якоби нием 3 поле Якоби X, во-первых, нормально,
а во-вторых, интеграл 10°(Х) для него равен нулю. Это вы-
текает из следующего общего предложения.
Предложение 4. Если для поля Якоби X сущест-
вуют такие точки t0, , 0 $ t0 < t, < 1, что
Wo),7(to)) = O, (X(t,),7(t,)) = 0,
Лекция 27
СВОЙСТВА ПОЛЕЙ ЯКОБИ
457
то (X(t),7(t)) = 0 тождественно по t (поле X нор-
мально) .
Если же X(t0) = 0 и X(tv) — 0, то
kl(X) = o.
о
Доказательство. Так как для любого поля X на 7
имеет место равенство
at
(напомним, что = 0), то
dt
dt2<X>T) \dtdtXn)'
Поэтому если X является полем Якоби, то
d2
—(Л'.'у) = -(/?(%,7)7,7) = -Я(7,7,Х,7)
и, в силу кососимметричности тензора R по первым двум
индексам, полученное выражение равно нулю. Это доказы-
вает, что для любого поля Якоби X 6
(X(t),7(0) = at + b, где a,6eR. (15)
Если теперь (X(t0),y(t0)) = 0 и (X(t1),7(t1)) = 0, то
at0 + b = 0, at1 + b = 0,
что для t0 < tj возможно только при а = b = 0. Следова-
тельно, (Х,7) = 0.
Далее, так как
— (XXL (Y.Y2L И (XXL
dt \ dt ’ ) \dt dt ’ у \ dt ’ dt )
«(R(X,i)i,X) = Я(Х,7, Х,7), то для любого поля Якоби X
1 (XXL И = (XXL
dt \ dt J у dt dt J
-R(X^,X,^
458
МИНИМАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ ЯКОБИ
Лекция 27
и, значит,
t, /VX \ S
W) = -т-Л . (16)
О \ J л
7>
t
Поэтому если X(t0) = 0 и X(t{) = 0, то Itl(X) = 0. g
о
Так как ^7 = 0 и /2(7,7) = 0, то поле 7: t i-> 7(4)
является полем Якоби. По аналогичным соображениям
полем Якоби является и поле Хо: 1i-> 4-у(4).
Поле 7 нигде не обращается в нуль, а поле Хо обраща-
ется в нуль только в точке р0 (при 4 = 0).
Предложение 5. Любое поле Якоби X G един-
ственным образом представляется в виде
X = аХ0 + бу + Х^,
где Х^ — нормальное поле Якоби.
При этом X G Л® тогда и только тогда, когда
b = 0 и Х^ G 4°>.
Дока за тельство. Без Ограничения общности мы
можем предполагать, что параметр на геодезической 7 на-
турален (|7| = 1). Тогда для каждого поля Якоби X имеет
место равенство
(X-aXo-fry,7) = O,
где а и Ь — числа нз формулы (15), означающее, что поле
= X - аХ0 — try нормально, g
Следствие 1. Подпространство J^°°> пространст-
ва состоящее из нормальных полей Якоби, имеет
размерность п — 1. g
Минимальность
нормальных
полей Якоби
Подобно тому как геодезические локально
являются кратчайшими, поля Якоби — по
крайней мере, нормальные — локально (на
достаточно малых отрезках кривой 7) минимальны. Точное
утверждение имеет следующий вид.
Предложение 6. Если на геодезической 7|[а,Ь1’
0 а < b $ 1, нет точек, сопряженных с точкой 7(a),
то каждое нормальное поле Якоби Х<^ на у, равное
Лекция 27
МИНИМАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ ЯКОБИ
459
нулю при t = а, минимально на 7|[a,b] (его ограничение
на [а, Ь] является минимальным полем на 'у|[л>ьу)-
Доказательству этого предложения мы предпошлем
некоторые вспомогательные рассмотрения.
Пусть
Хп_, (17)
— произвольный базис (n — 1 )-мерного линейного простран-
ства JfW. Так как на геодезической нет сопряженных точек
и, значит, ни одно поле из J^,00) при t > 0 не обращается в
нуль, то при любом t > 0 все поля (1) линейно независимы.
Поэтому каждое нормальное кусочно гладкое поле X на 7,
равное нулю при t — 0, единственным образом представля-
ется в виде
Х = ГХ, (18)
где i = 1,..., п - 1, — некоторые кусочно гладкие функ-
ции на отрезке I = (0,1].
Лемма 1. Имеет место формула
4(*)= J
о
l/’X.fdt+ZW
(19)
где Ь’=/’(1).
Доказательство. Имеем
vx Z£A = (fiy ,
dt ’ dt j V ’
.. , .. ./ VX,\ . ./vx- vx,
= iw+2fr (х,-у)+дг v
где |/‘X,-|2 = (/’X,-,/’X,), и аналогично
fl(X,7,X,7) = («(X,7h,^) =
= = -f!1 •
Поскольку
£ (vx.~ Y A _ (ZZ Y Y V
dt\ dt ' j) \dtdt *’ v \ dt ’ dt )'
460
МИНИМАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ ЯКОБИ
Лекция 27
отсюда следует, что
vx vx\ „,v . г ,ч
'5Г'-5Г)-ВД7’Х’7) =
, vx,\!
= |/’Х,|2 + 2/’Г X,,—
\ сгг /
7*1 X
dt 'Хз
С другой стороны, .
Л (fi™i \ x.kfpl (™L x'
dt V dt i) dt \ dt ’ 7 J J dt\ dt ’ >
и '
m
dt
Поэтому
vx vx\ a . r
IT'IF Л < •7' '7)"
„ ... Г/ VX,.
= |/%12 + ГГ
\ Orl
V*.- x
dt 'Xi
Заметим теперь, что
dt\ dt ’ j
W \ /VX- VX,\
V V V V 1 I I V 1 J \
“7“ ““ Л ', A I “Г“ I _ , , I
dtdt ’ 3 J \ dt dt J
d
+ dt
(fi^b
v dt ’
УХ,- УХД
dt ’ dt )
~(Я(Х^,Х^ =
vx- VXA
-dF^-dT)-R^x^
Лекция 27
МИНИМАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ ЯКОБИ
461
и аналогично
£
dt
УХ,
dt ’ dt
-ЩХ^,Х^).
Поскольку правые части этих тождеств совпадают (см. пред-
ложение 2 лекции 15), отсюда следует, что
±\(х х
dt I ’’’ dt ) k dt ’ >
= 0,
t. e. что
(x’’^)"(^’x')=const-
Но так как Х,(0) = 0, Xj(0) — 0, то эта константа равна
нулю:
(х (,x*i х \ _ о ’
I**’ dt .) \ dt ’X>) °'
Этим доказано, что
(vx vx\ r. я,;,.d (-^х-
dt <
Интегрируя (и учитывая, что ХДО) = 0), мы немедленно
получаем отсюда формулу (19).
Доказательство предложения 6. Без по-
тери общности можно считать, что а = 0, b = 1, т. е. что ни
одна точка геодезической 7: J —> X не сопряжена с точкой
р0 = 7(0) (и, значит, что Х(0) G J^). 1
Применим формулу (19) к нормальному полю Якоби
Х(0Ь Это поле имеет вид (18) с /’ = const. Следователь-
но
I‘(X<°>) = W (——ьу.
\ dt J 1
t=i
и, значит, для любого нормального кусочно гладкого поля X,
совпадающего с полем Х(0) при t = 0 и t = 1, имеет место
неравенство '
I‘(X)-/*(X<°>)= j |/%|4t^0.
о
462
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ
Лекция 27
Таким образом,
(20)
для любого нормального поля X, причем равенство имеет
место только при X = Х(0).
Задача 1. Покажите, что для любого кусочно глад-
кого поля X на геодезической 7 имеет место неравенство
Z‘(Xx)</‘(X),
где X1 — нормальная составляющая поля X (т. е. такое
поле на 7, что для каждого t вектор X(t) - Xx(t) коллинеа-
рен вектору 7ft)).
Вместе с неравенством (20) это, очевидно, доказывает
предложение 6. □
Следствие I. Если' на отрезке 7|[o,tol геодезиче-
ской у нет точек, сопряженных с точкой р0 = 7(0),
то 4°(Х) 0 для каждого кусочно гладкого поля X
на у, равного нулю при t = 0 и t = tQ. q
Доказательство Теперь мы уже можем доказать предложе-
теоремы Якоби ние [ (и, вместе с ним теорему 1).
Доказательство предложения 1. Соглас-
но предложению 3 на 7l[o,tol существует такое поле Яко-
би Х(0) =£ 0 (согласно предложению 4 нормальное), что
Х(0)(О) = 0 и Xw(t0) = 0, а согласно предложению 1 лек-
ции 1 существует окрестность U точки q = 7(t0), содер-
жащаяся в нормальной, окрестности каждой своей точки и,
следовательно, такая, что для любой точки р G U отобра-
жение ехрр не имеет в U критических значений. Поэтому
существует такое 6 > 0, 6 t0, t0 + <5 1 (напомним, что по
условию 0 < t0 < I), что ни одна точка отрезка 7l[t0-«,t0+5]
геодезической 7 не сопряжена с точкой — 6). В частно-
сти, точка 7(t0+<5) не сопряжена с точкой 7(t0—<5) и, значит
(см. следствие 1 предложения 3), на отрезке [t0 — 6,t0 + 6]
существует такое поле Якоби Х(1) (согласно предложению 4
нормальное),* что .
Х^ - <5) = X<°>(t0 - <5), X<‘)(t0 + <5) = 0.
Лекция 27
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ
463
Мы определим векторное поле X на 7 формулами
Х(0)(«), если 0 С t t0 - <5,
X^^t), если t0 - 6 t t0 + 6,
0, если t0 + 6 t 1.
Поле X кусочно гладко иХ(0) = 0, Х(1) = 0. Кроме того,
так как оба поля Х<°> и Х<‘> нормальны, то поле X также
нормально. Поэтому (см. предложение 2) для доказательст-
ва предложения 1 достаточно показать, что /д(Х) < 0.
Так как Х<°)(0) = 0 и X^(t0) = 0, то /‘°(Х<0)) = 0
(см. предложение 4). С другой стороны, .
/*(Х) = 4°+6(Х) - 4<>-6(XW) + /t^(X(‘)) =
= 4°(Х<°)) - /4‘О°_6(Х<°)) + ^(Х(‘>),
и потому
Но так как согласно предложению 6 поле Х(1) на отрезке
[t0 — 6, t0 + 6] минимально, то
для любого кусочно гладкого поля Y на 7|[t _6 t +5р отлич-
ного от поля Хр и такого, что
У(40 - 6) = X<°>(t0 - <5), Y(t0 + 6) = 0.
В частности, это верно для поля Y, определенного формулой
Y(t) = / Х<0)’ еСЛИ *о - 5 * Оо>
(. 0, ' если t0 О + $
Поскольку ^°_tf(X<°>) = fi°+g(Y), это доказывает, что
/‘(Х)<0. D°
ЛЕКЦИЯ 28
Точки схода. — Лемма о непрерывности. — Локусы схо-
да и максимальные нормальные окрестности. — Доказательство
леммы 1. — Пространства строго положительной кривизны Рич-
чи. — Теорема Майерса. —Пространства строго положительной
секционной кривизны. — Пространства неположительной секци-
онной кривизны.
Тпции гупня Предложение 3 и формула (11) лекции 27 по-
казывают, чтд сопряженные точки связаны че-
рез поля Якоби с тензором кривизны, который: во многом
определяет — через характеристические классы (см. лек-
цию IV.23) — топологию многообразия X. Поэтому топо-
логия и сопряженные точки весьма тесно взаимодействуют
друг с другом.
В первую очередь мы проиллюстрируем это общее за-
мечание в связи с понятием нормальной окрестности.
Пусть X— связное полное риманово пространство,
р0 — его произвольная точка, н пусть 7 — геодезическая
t ехр_£Д, А = 7(0), проходящая при t = 0 через точ-
0 ,
ку рр н отнесенная к натуральному параметру (т. е. такая,
что |А| = 1). Рассмотрим множество 7^ всех чисел t > 0,
для которых отрезок геодезической 7 является крат-
чайшей.
Задача 1. Докажите, что либо — (0,0о), либо Ту = (0, ], где
— некоторое, положительное. число. [Указание. Если t е Ту и
0 < з < t, то з е Если з € Т7 для любого з < t, то t е Т7.)
Определение 1. При Ту = (0, м0] точка ?(Мо) называ-
ется точкой схода геодезической 7.
Замечание 1. Точки схода называются также точками среза.
Это неудачный перевод английского термина cut point.
Предложение I. Точка схода q = 7(д0) геодезичес-
кой ч является первой точкой на у, для которой вы-
полнено хотя бы одно из следующих условий:
а точка q сопряжена точке р0 на геодезической у;
либо
б кроме кратчайшей 7|[о,р | 6 % существует
по меньшей мере еще одна кратчайшая, соединя-
ющая точку р0 с точкой q.
Лекция 28
ТОЧКИ СХОДА
465
Доказательство. Выбрав монотонно убывающую
последовательность t, > t2 > ... > t,- > ..., сходящуюся
к точке д0, и положив pi = р(р0,Р{), р< = рассмотрим
отнесенную к натуральному параметру кратчайшую
7,< [0>Р,]-►'*, twexp-tA,., |А,-| = 1,
г0
соединяющую точку р0 с точкой р,-. (Существование крат-
чайшей 7,- обеспечивается теоремой Хопфа — Ринова;
см. лекцию 12.) Так как t,- > р^, а 7(^0) — точка схода,
то А,/ А и С
другой стороны, так как
Pi = p(Po>Pi) *Pi <Ь то
р,- —> Яд, и потому после-
довательность {р,} огра-
ничена. Следовательно,
согласно , теореме Боль-
цано — Вейерштрасса мы,
не теряя общности, можем считать, что векторы р,А,- схо-
дятся к некоторому вектору вида р^В, где |В| = 1. Так как
ехр р^В = lim ехр р,А,- = lim р,- = q,
r0 woo F0 t—к»
то геодезическая у': t »-+ ехр_ tB, 0 t р^, соединяет
о ,
точку р0 с точкой q и, имея длину р0, является кратчай-
шей. Следовательно, при 7' / 7 имеет место свойство б, и,
значит, для доказательства предложения 1 достаточно дока-
зать, что при 7 = 7',' т. е. при В = А, реализуется случай а.
Мы проведем рассуждение от противного.
Пусть В = А, и пусть точка q не сопряжена с точкой р0
вдоль геодезической 7. Тогда по определению отображение
ехр : Т X -4 X
этально в точке р^А и, значит, является диффеоморфизмом
некоторой окрестности точки р0А на некоторую окрестность
точки q. Поэтому если i достаточно велико, то из равенства
exp t,А = pi = ехр р,-А,-
Ч) О
16 м. М. Постников
466
ЛЕММА О НЕПРЕРЫВНОСТИ
Лекция 28
следует равенство t{A = возможное только при t,- =
= р,- я А = Л,-. Так как по условию t- > р,-, этим доказа-
но, что при В = А точка q сопряжена с точкой р0. При
этом поскольку геодезическая 7|[0>м ] является кратчайшей,
эта точка будет — в силу теоремы Якоби — первой сопря-
женной с р0 точкой геодезической 7. Наконец, для любого
положительного р < .р» кратчайшая 7|[а,д ] является един-
ственной кратчайшей, соединяющей точку р с точкой 7(g),
поскольку любая другая кратчайшая, соединяющая точку р0
с точкой 7(р), образовывала бы вместе с отрезком.7|[Д1М']>
р < р'< Ръ, геодезической 7 ломаную кратчайшую, соеди-
няющую точку р0 с точкой у(р,)> в то время как мы знаем
(предложение 3 лекции 12), что каждая кратчайшая явля-
ется гладкой кривой, q х
Лемма
о непре-
рывности
для которых |Д| = 1). Определим на S функцию
р: S_ -+'RU {+fto},' (1)
Пусть S —единичная сфера пространства
ро
Т_ X (множество всех векторов А € Т„X,
Fo . . . Fo
полагая р(А) = если 7(р0) — точка схода геодезичес-
кой 7: t»-+ ехрр tA (т. е. если во введенных выше обозначе-
ниях = (0, и р(А) = оо, если Ту = (0, оо).
Задач а,2. Пусть X — хаусдорфово локально компактное, но не
компактное пространство, и пусть оо — точка, не лежащая в X. Будем счи-
тать множество V С X U {оо} открытым, если либо U С X н U открыто
в X, либо оо е U, множество Ц' = U \ {оо} открыто в Л* и его дополне-
ние X\U' компактно. Докажите, что это вводит в XU{оо} топологию, по
отношению к которой X и {оо} является компактным хаусдорфовым про-
странством, содержащим X в качестве всюду плотного подпространства (то-
пология пространства X индуцируется топологией пространства X U {оо}
и^=Л'и{оо}).
Пространство Л’и{оо} называется одноточечной компактифика-
цией (или компактификацией Александрова) пространства X.
' • .4 1
В частности, эта конструкция применима к X, = R и
дает компактное хаусдорфово пространство. R(J<{oo}.
3 а д ач а 3. Докажите, что пространство R U {оо} гомеоморфно
сфере 8*. 1
Лекция 28
ЛОКУСЫ СХОДА
467
Поскольку RU{oo} является топологическим простран-
ством, осмыслен вопрос, непрерывна ли функция (1). Ответ
на этот вопрос оказывается утвердительным.
Лемма 1. Функция (1) непрерывна.
Чтобы не прерывать изложения, мы докажем эту лемму
позже.
ПУСТЬ Со<Ро) — Множество всех векторов
нормальные линеала Тр X вида р(А)А, где A G Sp и
окрестности С(р0) — его образ в X при
экспоненциальном отображении:
С(р0) = ехрРоС0(р0).
Таким образом, <7(р0) — это не что иное, как множество
всех точек схода иа геодезических, исходящих из точки р0.
Определение 2. Множество (7(р0) (множество
^о(Рд)) называется, локусом схода точки р0 в пространст-
ве X (соответственно, в касательном пространстве Т_ X).
ро
Пример 1. Локусом схода произвольной точки р0
сферы Sn является в касательном пространстве ,TD Sn сфера
।
радиуса, тг, а в самой сфере S” •>— диаметрально противопо-
ложная точка (для северного полюса — южный полюс).
П р и м е р 2. Локусомсхода Произвольной точки р0 эл-
липтического пространства RP” (см. пример 1 лекции 19)
является в Т_ (RPn) сфера радиуса тг/2, а в RPn — гипер-
• о ,
плоскость RP .
Пусть UJp0) — множество всех векторов линеала Т X
вида tA, где A G S и 0 $ К р(А), a U(р0) — его образ в X
ро ,
при экспоненциальном отображении:
(7(p0) = exp(70(p0).
о
Согласно предложению 1 множество U(p0) состоит из всех
точек р g X, которые
1) соединены с точкой р0 единственной кратчайшей;
2) не сопряжены на этой кратчайшей с точкой р0.
Ясно, что множество U0(p0) обладает свойством звезд-
ности (если A G U0(p0), то АА G Ц>(р0) Для любого А,
0^1).
16*
468
ЛОКУСЫ СХОДА
Лекция 28
3 а д а ч а 4. Докажите, что
а множество U0(p0) открыто;
б локус схода С0(р0) является его границей:
(и, следовательно, представляет собой замкнутое
множество). (Указание. Воспользуйтесь леммой 1.]
Являясь открытым, и звездным множеством, множе-
ство Ц/р0) гомеоморфно открытому шару Вп ради-
уса 1 пространства Т_ X. [В явном виде гомеоморфизм
ро
Ц>(р0) —* ®п можно задать, например, формулой
1 + С ,0
оо + 1 .
(считается, что-----= 1).]
В силу свойств I) и 2) точек р е 1/0(р0) отображение
exPp0: U0(p0) -ч Щр0)
биективно и этально, т. е. является диффеоморфизмом.
По определению (см. определение 4 лекции 1) это озна-
чает, что открытые множества С^(р0) и Щр0) явля-
ются нормальными окрестностями (точек 0 G ~ГроХ и
р0 € X соответственно). Следующее предложение, в часто-
ности, показывает, что эти окрестности максимальны,
т. е. не содержатся ни в каких больших нормальных окрест-
ностях.
Предложение 2. • Каждое полное риманово про-
странство X является дизъюнктным объединением
максимальной нормальной окрестности U(р0) его про-
извольной точки р0 и соответствующего локуса схо-
да С(р0):
X = U(p0)UC(p0).
Доказател ьство. Пусть р€ <¥, и пусть
7: t exp_L4, |Л| = 1,
ро
— отнесенная к натуральному параметру геодезическая, об-
ладающая тем свойством, что отрезок 7,|[O t । является крат-
чайшей, соединяющей точку р0 с точкой р. Тогда t0 е Ту
Лекция 28
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 1
469
и, значит, t0 ц(Ау Если < ц(А), то р G U(p0), а если
t0 = д(Л), то р G С(р0). D
Следствие I. Каждый локус схода С(р0) является
замкнутым множеством, g
-t. Следствие 2. Максимальная нормальная окрест-
ность U(р0) всюду Плотна в X, т. е.
U(Po) = X. gj
Следствие 3. Если хотя бы для одной точки р0 Е X
функция-конечна (не принимает значения оо), то
пространство X компактно.
Доказательство. Будучи непрерывной числовой
(принимающей значения в R) функцией на компактном про-
странстве S_, функция (1) ограничена, т. е. существует та-
Fo
кое число d > О, что д(Л) d для любого вектора А € S_ .
- о
Тогда замкнутый шар Bd радиуса d пространства Т X содер-
жит замыкание U0(p0) окрестности U0(p0) и, значит, при экс-
поненциальном отображении ехр отображается на все про-
странство X. Следовательно, являясь непрерывным образом
компактного множества Bd, пространство X компактно, g
Заметим, что обратное утверждение справедливо в сле-
дующей усиленной формулировке. Если риманово про-
странствах компактно, то для любой точки р0 G X
функция (1) ограничена. Действительно, так как компакт-
ное метрическое пространство имеет конечный диаметр d,
то при t0 > d отрезок 71[0,^] произвольной геодезической 7:
t ertp tA, |А| = 1, не может быть кратчайшей. Следова-
ро
тельно, /х(А) d. g
Обратим внимание на то, что, таким образом, каждое
гладкое связное компактное многообразие получается
из евклидова шара некоторым отождествлением его
граничных точек
Доказательство Докажем теперь лемму 1'.
леммы 1 Доказательство леммы 1. Если
470
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 1
Лекция 28
= t^Ak\ Яо = ,Um Д*Г
с—*оо
Пусть д(А) > Мц- Согласйо пред-
= ехр_ /La геодезической 7: t w
re _
А
Ро
<?
к т*
функция (1) не непрерывна, то существует такая сходяща-
яся последовательность {Afc, k > 1} векторов Ак € S„ , что
*0
м(Jim Afc) / lira д(Аь)
Л5-4ОО fc“4OO
(так как пространство R U {оо} компактно, то без ограни-
чения общности можно предполагать, что предел справа су-
ществует). Пусть
А = lira At,
Ь—LOO
Случай 1.
ложению 1 точка q
•о
w expBtA не сопряжена с точкой а, и, значит, отображе-
но
ние ехрр этально в точке д^А. Поэтому точка ДщА облада-
ет окрестностью V, на которой отображение ехрр является
диффеоморфизмом. С другой сторо-
ны, так как д^А^ —► д^А, то суще-
ствует такое > 1, что ц^Ак G
G V при к к* и, значит, отобра-
,Pfc жение ехрр зталыю в точке д$.А&,
т. е. точка рк = ехррцкАк геодези-
ческой 7fc: t i-» exp_tAfc не сопряже-
, , на с точкой р0 вдоль этой геодези-
ческой. Таким образом, для точки рк и геодезической ук
случай а предложения. 1 места не имеет. Поэтому имеет
место случай б, т. е. кроме кратчайшей 7*.|[о,дк| существует
другая кратчайшая ; .
, . 7ь: t ~ 0 |Bfc| = 1,
соединяющая точку р0 с точкой рк. При этом так как Ак
expPoMfcAfe = рк - ехрр^кВк,
то цкВк ф V. Перейдя — если нужно — к подпоследователь-
ности, мы без ограничения общности можем считать, что
существует предел
В = lira Вк.
fc-+oo
Лекция 28
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ I
471
При этом так как цкВк -♦ i^B, то р^В $ V (и, значит,
В А). Вместе с тем
ехр i^B = ехр ( lim ркВк) = lim (ехр ркВк) =
*0 г0 ж—»оо к—юо *0
= lim (ехр ркАк) = ехр ( lim ркАк) = ехр р^А,
k—юо О k—юо *0
и, значит, точка ехрр р^А соединена с точкой р0 дву-
мя различными кратчайшими t >-+ ехр tA и t»-» ехрй tB,
° °
Поскольку при /А,, < р(А) это невозможно, тем самым
доказано, что случай 1 места иметь ие может.
Случай 2. Пусть р(А) < д0. Выбрав на интервале
(р[А),р0) число t0, мы без ограничения общности можем
считать, что t0 < рк для всех k > 1. ,
Так как t0 > д(Л), то расстояние р0 д -----------
от точки р0 до точки р = ехрр t0A if
меньше f0 и кратчайшая 7*, соеди- ' [\Чк
няющая точку р0 с точкой р, имеет р°\^2 4
ввд'. 7*
7*: |О,ро)-+*» ti->expptB, *
где |В| = 1. С другой стороны, так как exp_toJ4fc —♦
—♦ ехрр t0A = р, то без ограничения общности мы можем
считать® что
Р(Р>9ь) < ^-2^’ где ft = exP₽0Mfe-
Тогда длина кривой, составленной из’ кратчайшей 7* и крат-
чайшей, соединяющей точку р с точкой qk, равна
Ро + Р(Р< 9ь) < - у-’ < *0’
т. е. меньше длины t0 геодезической
7fc: t w ехр tAk, 0 С t С t0,
о ,
являющейся — ввиду неравенства t0 < цк — кратчайшей,
соединяющей точку р0 с точкой qk. Значит, случай 2 также
невозможен. , t>.
Следовательно, вопреки предположению, д(Л) =
Это противоречие доказывает лемму 1. q
472 ПРОСТРАНСТВА СТРОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ РИЧЧИ Лекция 28
Обсудим теперь более непосредственные связи между
кривизной и топологией пространства X.
Пространства стро- Определение 3. Говорят, что риманово
го положительной пространство X имеет кривизну Риччи
кривизны Рнччн где £ есди теиз0р Rjc -kQg
неотрицательно определен, т. е. если для любого поля X G
(=аХ
Ric (X, X) k0(X, X} всюду иа X.
Определение 4.; Говорят, что риманово пространст-
во X имеет строго положительную кривизну Риччи, ес-
ли существует такое число > 0, что кривизна Риччи этого
пространства к0.
Предложение 3. В римановом пространстве X,
имеющем кривизну Риччи к0, где к0 > 0, длина
отрезка 7|[л,ь] геодезической у, не содержащего точек,
сопряженных с точкой 7(a); не превосходит Ку/п/к0.
Доказательство. Это предложение равносильно
утверждению, что если на геодезической7: 11—> ехр_£Л ни
уо
одна точка 7(t), 0 < t < 1, не сопряжена с точкой р0 =
= 7(0), то
|Л| irjn/ko.
(2)
В этой форме мы и будем его доказывать.
Снова (см. лекцию 27) рассмотрим на кривой 7 поля
Xv...,Xn, получающиеся параллельным переносом орто-
иормированного базиса Л,,..Лп линеала Тр X. Тогда для
любых двух полей X и У иа 7 значение Ric (X, У) тензора
Риччи будет выражаться формулой
Pic(X,Y) = YiR(Xi,X,Xi,Y)
»=i '
(см. формулу (17) лекции 17) и, в частности,
Ис(7.7) = Ёед.,7,Х,-,7).
i=l
Лекция 28 ПРОСТРАНСТВА СТРОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ РИЧЧИ 473
Имея это в виду и выбрав произвольное число t0, 0 < t0 < 1,
рассмотрим функцию
f(t) = sinp.
0 • : rv '
Эта функция равна нулю при t- = 0 и t = t0, и, значит,
для каждого г к полю fXi на отрезке 7||o,to] применимо
следствие 1 предложения 6 лекции 27. Поэтому
Л <
i=i
*о
([(/х,,/х,.)-/2ад.,7,х,-,7)1^ =
и, значит,
п п
o<W)-E
1=1 1=1
*0 *0
= j [n/2 ~/2Ric(7,7)]d£ с j [n/2 ~/2fc0(7,7)]^
о о
(напомним, что
доказано, что
——i = 0). Поскольку (7,7) == |А|2, этим
dt
*0
j [nf2 — к0\А\2f2\dt Q,
т. е. что
Но
*о *
f f2 dt = — f sin2® dx =
J 7Г J 2
0 0
f Г -тг2
I f2dt = — I cos2®d® = —.
J • to J 2t0
о 0
Следовательно, fc0|A|2 C -3-• Для завершения доказа-
тельства осталось перейти к пределу при t0 —> 1 и извлечь
квадратный корень. □
474
ТЕОРЕМА МАЙЕРСА
Лекция 28
Задача 5. Покажите, что в оценке (2) множитель п можно
заменить на п-1. [Указание. Можно считать, что поле Хп касается
в каждой точке кривой 7.]
Теорема Теорема 1. Каждое связное полное римано-
Майерса во пространство X строго положительной
кривизны Риччи
а является по отношению к римановой метрике
метрическим пространством конечного диаметра;
б компактно;
в имеет конечную фундаментальную группу.
Доказательство. Пусть кривизна Риччи > fc0, где
k0 > 0. Согласно теореме Хопфа — Ринова (теорема 1 лек-
ции 12) любые две точки р, q G X можно соединить крат-
чайшей 7. Согласно теореме Якоби (теорема 1 лекции 27)
ни одна точка этой кратчайшей не сопряжена с точкой р.
Поэтому согласно предложению 3 длина кривой 7, т. е. рас-
стояние р(р, q) между точками р и q, не больше 7Ti/n/fc0.
Это доказывает утверждение а.
. . Поскольку метрическое пространство X больцаново
(см. доказательство теоремы Хопфа — Ринова), утвержде-
ние б является непосредственным следствием утвержде-
ния а.
Для доказательства утверждения в рассмотрим универ-
сальное накрывающее пространство X пространства X. Так
как условие строгой положительности кривизны Риччи име-
ет локальный характер, то относительно индуцированной
римановой метрики пространство X также будет простран-
ством строго положительной кривизны Риччи. Следователь-
но, согласно утверждению б это пространство компактно,
и, значит, оно конечнолистно накрывает пространство X.
Поэтому фундаментальная группа пространства X — нахо-
дящаяся (см. предложение 2 лекции IV.4) в биективном со-
ответствии с прообразом в X произвольной точки простран-
ства X — состоит из конечного числа элементов, q
Теорема I известна как теорема Майерса.
Следствие 1. Каждое связное и полное, простран-
ство Эйнштейна, скалярная кривизна которого огра-
ничен снйзу положительной константой, обладает
свойствами а, б и в.
Лекция 2ft
ПРОСТРАНСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
475
Теорема Вейля (теорема 1 лекции 26) непосредственно
вытекает из сопоставления этого следствия с предложени-
ем 5 лекции 26.
Простравства строго Теорема Майерса имеет и другие инте-
положителыюй сек- ресиые следствия.
ционной кривизны ( Определение 5. Говорят, что римано-
во пространство X является пространством строго поло-
жительной секционной кривизны, если существует такое
число k0 > 0, что Хр(тг) k0 для любой точки р G X и лю-
бого двумерного подпространства тг С ТрХ.
Каждое векторное поле X на любой координатной ок-
рестности U, состоящее из векторов длины 1, мы можем,
очевидно, дополнить до ортонормироваиного базиса
Х = Х„Х2,...,Х^
модуля аХ над U. Пусть р G U, и пусть тг^ — двумерное на-
правление в точке р, задаваемое бивектором {Xi Л Xj) . По
определению (см. формулу (20) лекции 15) секционная кри-
визна Кр[к^) пространства X в точке р по направлению тг^
равна значению в точке р функции
Я(Х, Л Xj) = Я(Х,., Xj, X,-, X,).
Следовательно, если Кр{к) > fc0 для всех р и всех тг, то для
любого j = 1,.. .,п
Шс(ХрХу) - 2й(ХйХрХ,,Ху) =
t
= £/Z(Xt,XJ,Xt.,XJ.)>(n-'l)fc0
на U (напомним, что 7?(Xt.,Xt-,Xt.,Xt) = 0), и потому (на-
помним, что X = Xj)
Ric (Х,Х) > (n — l)fc0.
Это означает, что на U, а, значит, —в силу произвольности
окрестности U — и на всем X кривизна Риччи пространства
X не меньше, чем (n — l)fc0.
476
ПРОСТРАНСТВА НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
Лекция 26
Таким образом, каждое риманово пространство
строго положительной секционной кривизны имеет
строго положительную кривизну Риччи, и потому об-
ладает свойствами а, б ив из теоремы 1.
Пространства непо-
ложительной секци-
онной кривизны
Противоположные свойства имеют про-
странства неположительной сек-
ционной кривизны, в которых
ЯрООСО
для любой точки р G X и любого двумерного подпростран-
ства тг G TyV.
Предложение. 4. В пространстве неположитель-
ной секционной кривизны никакие две точки никакой
геодезической не сопряжены.
Доказательс тво. Пусть X — поле Якоби на гео-
дезической 7, равное нулю при t = 0. Нужно показать, что
либо X = 0 тождественно, либо X(t) £ 0 для каждого t > 0.
С этой целью мы заметим, что
d (ЧХ \
dt \dt ’ )
'V V (VX
dt dt ) \ dt dt J
где тг — двумерная плоскость с направляющим бивекто-
ром {X Л 7)р, причем знак равенства имеет место только
/VX \
при X = 0. Поэтому при X / 0 функция I —тг,Х ) моно-
t \ dt )
тонно возрастает и, значит, при t > 0 не обращается в нуль.
Значит, X(t) 0 при t > 0. □
ЛЕКЦИЯ 29
Теорема Картана — Адамара. — Ее следствия. — Теорема
Картана — Киллинга при К = 0. — Теорема Бохнера. — Опера-
торы Ах. — Инфинитезимальный вариант теоремы Бохнера. —
Группа изометрий компактного метрического пространства.
Теорема Предложение 4 лекции 28 означает, что для
Картана!— каждой точки р0 риманова пространства X
Адамара неположительной секционной кривизны (пред-
полагаемого полным) экспоненциальное отображение
ехр : ТрХ^Х (1)
не имеет критических точек и, значит, является этальным
отображением. На самом же деле, как мы сейчас покажем
(в естественном дополнительном предположении связности
пространства X), это отображение представляет собой даже
накрытие.
Теорема! (теорема Картана —Адамара).
Для любого связного полного риманова пространст-
ва X неположительной секционной кривизны экспо-
ненциальное отображение (1) является накрывающим
отображением.
Доказательство. Согласно следствию 1 теоре-
мы Д лекции 19 достаточно доказать, что в условиях теоре-
мы 1 экспоненциальное отображение (1) является растяги-
вающим отображением, т. е. что для любых векторов А, В е
G Т X имеет место неравенство
ро
|В| < |(dexpPo)xB| (2)
9, °
—> Т„Х, р = ехр„ А). При этом можно, конечно,
р ро
что А пеО.
как
(отображение (dexpp )л мы считаем здесь — в силу стан-
дартного отождествления Тл(Тр X) = Тр X — отображени-
ем Т X
считать,
Так
|(dexPp )хА| = |7(1)| = |7(0)| = |А|, (3)
478
ТЕОРЕМА КАРТАНА—АДАМАРА
Лекция 29
где 7 — геодезическая t i-> ехр_ tA, то неравенство (2) за-
ведомо выполнено при В = А, а значит, и тогда, когда век-
тор В коллинеарен вектору А. Поэтому неравенство (2)
достаточно доказать лишь для векторов В, ортого-
нальных вектору А. [Действительно, если В = В1+В2, где
вектор В1 коллинеарен вектору А, а вектор В2 ему ортого-
нален (и, значит, ортогонален вектору Ц), то по лемме Га-
усса (предложение 1 лекции 12) векторы Ci = (dexp )ABl
иС2 = (dexp_ )АВ2 ортогональны, и потому |(dexp }ХВ|2 =
= Щ +С2|2 = Щ!2 + [Cjl2. С другой'стороны, если |В2| $
1Щ, то |В|2 = |Щ2 + |В2|2 |Ц|2 + 1Щ2, так как по
доказанному |BJ = 1ЦIJ
С этой целью мы рассмотрим на геодезической 7: t >
1—* ехрр tA нормальное поле Якоби
X{t) = (dexp . )iAtB
.• °
1
(см. формулу (14) лекции 27).
Пусть |В| = 1 (что, конечно, общности не ограни-
чивает), и пусть
лонад2-
(4)
Так как неравенство (3) (при |В| = 1) равносильно
неравенству 1 < /(1), то теорема 1 будет доказана, если
мы докажем, что для любого t имеет место оценка!2 /(t),
для чего, в свою очередь, достаточно доказать, что при t > О
имеет место аналогичная оценка
2 > Г(0
t " /(t)
для логарифмических производных, и что
Итф-1
t-»0 t2
(5)
(6)
[если функция u(t) = ln/(t) — Int2 непрерывна при t > О,
равна нулю при t = 0 и z/(t) > 0 при t > 0, то /(t) > t2 для
Лекция 29
ТЕОРЕМА КАРТАНА—АДАМАРА
479
всех t > 0]. Но так как
/ V X \
/'(0 = 2 —(0,X(t) ,
\ at /
f“(t) = 2 + 2 (^г(0,
\ at* / \ at at f
и по правилу Лопиталя
Шпф.шф.Шпф,
t-»o t2 t-»o 2t t-+o 2
то
t->0 t2
vx 2
^±(0) = |B|2 = 1
at
[в нормальных координатах с центром в р0 вектор X(t)
имеет те же координаты, что и вектор tB, ковариантные
производные совпадают с обычными (поскольку (Ц.7)р =
= 0; см. предложение 1 лекции 2, и отображение (d ехрр )
действует по равенству координат)]. 0
Таким образом, для доказательства теоремы 1 нам оста-
лось доказать лишь неравенство (5) (что фактически только
и является основной трудностью; идея излагаемого ниже до-
казательства принадлежит, по-видимому, Рауху).
Пусть t0 > 0. Обозначив для любого t через Пд*° парал-
лельный перенос —> T7^t ^Х вдоль геодезической 7,
мы положим 0
где <р: xAf —> Т_ X — некоторая фиксированная изо-
o' ро
метрия, переводящая единичный вектор X(t0)/|X(t0)| в еди-
ничный вектор В. Функцию К: t м Y(t), подобно функ-
ции 5^: 11-> tB, мы можем считать векторным полем иа
луче 1•-» tА евклидова линеала Т X. Оба этих поля равны
нулю при t = 0 и принимают одно и то же значение
при t = t0. Кроме того, поле Yo является (в евклидовой ме-
трике линеала ТрЛ) нормальным .полем Якоби, и потому
480
ТЕОРЕМА КАРТАНА - АДАМАРА
Лекция 29
минимально (см. предложение 6 лекции 27; на луче t w tA
сопряженных точек, очевидно, нет). Значит, в частности,
где
и
I^tyx — ( ^¥-(t\ dt = *° [
0 (У) J dt ( > f(t0) J
о 0
2
dt
(изометрия <p перестановочна, очевидно, с операцией диф-
ференцирования вектор-функций). С другой стороны,
ai;°x _ п&А(»+м-п;»х(0
dt ' ' h-*0 h
=п^
n}+kX(t+h)-X(t)
h
= П^(0
(см. задачу 1 лекции 1), и потому
^<0
(параллельный перенос является изометрией).
Следовательно,
t t2 f* VX 2
4°(П=7^т I dt^
/(t0) J dt
0 <
tn / к
, к . t2 f ( TJX 2 \ t2 t
77м Hr -W7,X,7)U=
J Ho/ J \ ac /J
0 х z
(так как K(ir) $ 0 для плоскости тг с направляющим би-
вектором X Л7, то -Л(Х,7,Х,7) = -К(7г)|Х Л*?]2 0),
Лекция 29
СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ КАРТАНА - АДАМАРА
461
где 1*°(Х) = №-(t0)tX(t0)} = (см. формулу (16)
\ CLir j £
лекции 27; напомним, что X{t) является нормальным полем
Якоби, равным нулю при t = 0).
Таким образом,
(*)< 2 №).
что и требовалось доказать, g
Следствие 1. Каждое п-мерное связное и односвяз-
ное полное риманово пространство неположитель-
ной секционной кривизны диффеоморфно простран-
ству Rn. Любые две точки такого пространства со-
единяются единственной геодезической, q
Следствия тео- Связное топологическое пространство X
ремы Картана — называется пространств ом типа К(тг, 1),
Адамара если = о при m > 2, a TqA' = тг. (О
гомотопических группах ктХ см. лекцию IV.25.)
Следствие 2. Каждое связное полное риманово
пространство X неположительной секционной кри-
визны является пространством типа К (к, 1).
Доказательство. Как мы знаем (см. лек-
цию IV.27), каждое накрывающее отображение индуцирует
в размерностях m > 2 изоморфизм гомотопических групп.
С другой стороны, все гомотопические группы пространст-
ва Rn равны, очевидно, нулю, g
Задача 1. Докажите, что фундаментальная группа к^Х связно-
го полного риманова пространства X неположительной секционной
кривизны не имеет элементов конечного порядка. [Указание.
Достаточно доказать, что любая изометрия f: «
X -+ X конечного порядка односвязного J
полного риманова пространства X непо- \
ложительной секционной кривизны име- j
ет неподвижную точку. Пусть Г — цикли- /
ческая подгруппа группы IsoX, порожденная ”о /
изометрией /, Ц — нормальная выпуклая ок-
рестиость с компактным замыканием, содер-
жащая хотя бы одну орбиту группы Г (та- 'ро
кая окрестность, как легко видеть, существует),.
иК — множество всех точек, Г-орбиты которых содержатся в 17. Это мно-
жество выпукло, компактно и непусто. Поэтому оно содержит такую точ-
ку р0, что
PiPo’fPo) < /Р>
482
ТЕОРЕМА КАРТАНА - КИЛЛИНГА ПРИ К = О
Лекция 29
для любой точки р 6 К. Если /р0 У р0, то точки р0, /р0 и /2р0 ие лежат на
одной геодезической (почему?) и, значит,
р(ч, f<f) < /Ро) + P(fPo> fa) =,p(q, fpa) + P(Po,«) = p(Po- /Ро)
для любой точки q, принадлежащей кратчайшей, соединяющей'точки р0
и fp0 (см. рис.), что противоречит выбору ТОЧКИ р0.;|
Из теоремы 1 вытекает также, что каждое связное
полное риманово пространство X неположительной
секционной кривизны диффеоморфно пространству
вида Йп/Г, где Г — некоторая дискретно действующая на
К" группа диффеоморфизмов {изоморфная фундаменталь-
ной группе тг, ^пространства А’).’
В Частности, это верно для любого связного полного
пространства постоянной кривизны К 0.
Теорема Карта-
ва — Кшшга
при К = 0
Для случая, когда пространство X плоско
{является пространством постоянной кри-
визны К « 0), можнб получить1 более точ-
ные результаты.
Действительно, для плоского пространства X функция
/(t) = (X(t),X(t)), где, как и выше.Х — поле (4) (постро-
енное для некоторого вектора В), в силу уравнения Якоби
(и равенства R — 0) обладает тем свойством, что
<£/ _ (ух УХ\
di2 . \ dt ’ dt /
d3f '
И^ = 0-
- d2f • /УХ УХ\
Следовательно, -г-г = const, и, значит, I -г-., —г— I =
at2 , \ dt dt /
= |В|2. Кроме того, так как Х(0) = 0, то /(0) =
= (Х(0),Х(0)) = 0 и /(0) = 2(В, Х(0)) = 0. Следовательно,
f(t) = |B|2r, и потому /(1) = |В|2, т. е. |Х( 1)| = |В|. Таким
образом, в этом случае отображение ехр_ локально изоме-'
р0
трично. В частности, если пространство односвязно, то это
отображение является изометрией. „
Этим доказано следующее предложение.
Предложение 1. Каждое связное и односвязное
полное плоское пространство изометрично евклидову
пространству Rn. ,
Лекция 29
ТЕОРЕМА БОХНЕРА
483
’ Это в точности теорема Картана — Киллинга (теорема 2
лекции 23) при К *= 0.
Как мы знаем, из нее следует, что каждое связное полное простран-
ство постоянной кривизны К = 0 ие только’ диффеоморфно, но и изомет-
рично пространству вида йп/Г, гдаГ—дискретно действующая группа изо-
метрий.
Теорема Бохнера Ийтересные свойства имеют и римановы
пространства А*, тензор Риччи которых
отрицательно определен. Ограничиваясь случаем, когда про-
странство А? компактно, мы докажем в качестве иллюстра-
ции следующее предложение, известное как теорема
Бохнера.
Предложение 2. Группа изометрий Iso X про-
извольного компактного риманова пространства X
с отрицательно определенным тензором Риччи яв-
ляется конечной группой.
Доказательству этого предложения мы предпошлем вы-
вод нескольких необходимых формул.
Операторы Л любого векторного поля X е аХ мы по-
х ложйм
Ах = Ах _^х> (7)
где £х — производная Ли по полю X (см. определение 4
лекции III. 17).
Так как (см. лекции 2 и III. 17) оба оператора £х и
являются перестановочными со свертками дифференциро-
ваниями алгебры тензорных полей на многообразии X, то
перестановочным со свертками дифференцированием явля-
ется и оператор Ах.
При этом так как £xf = Xf = для любой функ-
ции f € FX, то нй, функциях оператор Ах равен нулю и,
значит, на векторных полях является РА^^линейным отобра-
жением аХ —► аХ. В явном виде это отображение задается
формулой
AxY±-VyX, YeaX. (8)
[Действительно, согласно формуле (18) лекции III. 17
Axy = [X,y]-Vxy,
484
ОПЕРАТОРЫ Ах
Лекция 29
а в силу симметричности связности V правая, часть этой
формулы равна (см. формулу (14) лекции 2). правой части
формулы (8).]
По определению для любого дифференцирования А, лю-
бого тензорного поля S типа (2,0) и любых векторных полей
ХрХ2 G аХ имеет место равенство
A(S'®X1®X2). = AS'®X1®X2-|-S'®AXF®X2+S'®X1® ах2,
и, значит, если дифференцирование А перестановочно со
свертками, и равенство
A(S(XvXt» = (AS')(X1, Х2) 4- S(AX ltx2) + S(Xi,AX2)
(иапомйим, что значение S(XVX2) поля S иа векторных
полях Х1 и Х2 является ие чем иным, как результатом пол-
ного свертывания тензора S'® Х{ ®Х2 типа (2,2)). Поэтому
если, кроме того, дифференцирование А иа функциях равно
нулю, то
(AS)(Xl,X2) = -S(AXi,X2)-S(Xi,AX2). ' (9)
В частности, формула (9) имеет место для каждого
дифференцирования вида Ах.
Конечно, аналог формулы (9) справедлив и для любых
тензорных полей S типа (г,0) и, в частности, для диффе-
ренциальных форм. Например, если многообразие X ориен-
тировано и j — его римаиов элемент объема, то для любых
полей Xj,..., Хп € аХ
п
(Aa,)(Xj,.. ,,Хп) = -^>(Xj,..?; АХ;,..., Хп).
«=1
Если поля Xv....,Xn образуют базис модуля аХ (над
некоторой координатной окрестностью U или, более общо,
над окрестностью U, тривиализнрующей касательное рас-
слоение тХ) и если ||А’-1|,— матрица оператора А в этом
базисе, то в силу кососимметричности формы ш
"(Х,,..., АХ,-,.. ,,ХП) = АНХ,,.. .,Х,,.. ,,ХП)
(суммирование по i ие производится!) и, значит,
(П ч
£A}U(Xj,...,Xn),
i=i '
Лекция 29 ОПЕРАТОРЫ Ах 485
Т. е.
Аш=-(ТгА)ш (10)
(на U, а потому и на всем X).
Так как = 0 (см. следствие 1 предложения 1 лек-
ции 13), то при А = Ах формула (10) приобретает вид
£хш = “(ТгЛх)ш.
По определению (см. формулу (15) лекции 13) это означает,
что
divX = -TrAx. (11)
Поскольку AXY = -VyX (см. формулу (8)), эту фор-
мулу можно переписать в следующем виде:
divX = Tr[y~ VyX]. (12)
Пусть теперь поле X аффинно, и потому (см. предло-
жение 1 лекции 8) для любых полей У, Z G оХ имеет место
равенство
[X,VyZ] = VyIX,Z] + V[xy)Z,
т. е. равенство (напомним, что £х Y =я [X, У); см. форму-
лу (18) лекции Ш. 17)
£х ~ ^У ^Х % + ^.у,^ О®)
(в операторной форме [£х, Vy] = V(xy]).
Тогда
R(X, Y)Z = VxVyZ - VyVxZ - V[Xy)Z =
= Vy VyZ — Vy Yi — £x ^yZ "I" Vy £x Z =
= —AJ4VZ + VYAXZ — АуА,У -+ VYAYZ
Л л I Л Л ti I A
(см. формулу (8)). Меняя обозначения и переходя к следам,
мы получаем отсюда, что
Тг [Z ~ R(Y, Z)X] = Тг AXAY + Тг [Z VZAYX].
1
Левая часть этой формулы равна - Ric (X, У) (см. фор-
мулу (26) лекции 2), а второе слагаемое справа равно
div(AyX). Таким образом,
div(АУХ) = - Ric (X, У) - Тг АхАу.
486
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ ТЕОРЕМЫ БОХНЕРА
Лекция 29
При У = X мы получаем, что
div(AxX) = - Ric (X, X) - Tr А’ .
В случае, когда многообразие X компактно и ориен-
тируемо, отсюда в силу формулы Грина (см. формулу (18)
лекции 13) следует, что
j (Ric(X,X) + TrA^)dV = O (14)
X
для любого аффинного поля X.
Иифннятеэи- В частности,' эта формула имеет место для
мяльный вариант любого поля Киллинга X е iso Л”, т. е.
теоремы Бохнера задачу 7 лекции 19) такого вектор-
ного поля X на X, что £хд = 0. Но если £хд = 0, то и
Ахд = 0 (поскольку Т7хд = 0) и, значит, (см. формулу (9)
при S = д)
(AxXi,X2) + (Xi,AxX2) = Q (15)
для любых полей Х{, Х2 G аХ, т. е. оператор Ах кососим-
метричен. (Заметим, что этот вывод полностью обратим, и
потому оператор Ах тогда и только тогда кососим-
метричен, когда X является полем Киллинга.)
Из (15) следует, что в ортонормированием базисе
Xv...,Xn матрица ||А’-|| оператора Ах кососимметрична,
и поэтому след Тг Ах оператора Ах выражается формулой
ТгЛ’ =
и, значит, неположителен:
ТгА2х<СО
(причем Тг А2х = 0 только при Ах = 0).
Следовательно, если тензор Риччи отрицательно опре-
делен (Ric (Х,Х) 0, причем равенство имеет место толь-
ко при X = 0), то равенство (14) возможно только при
Ric (Х,Х) = 0 (и Тг А2Х = 0), т. е. только при X = 0.
Этим доказано следующее предложение.
Лекция 29
ГРУППА ИЗОМЕТРИЙ КОМПАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА
487
Предлммкеме 3 (инфинитезимальный ва-
риант теоремы Бохнера). На компактном ори-
ентированном рймановом пространстве X с отрица-
тельно определенным тензором Риччи не существу-
ет отличных от нуля полей Киллинга:
iso X = 0. д
Задач а 2. Покажите, что это верно и для неориентируемого про-
странства X. (Указание. Перейдите к ориентированному двулистному
накрывающему; см. лекцию IV.7.]
Поскольку алгебра Ли iso X всех полей Киллинга явля-
ется алгеброй Ли группы изометрий IsoTt (см. лекцию 19),
предложение 3 означает, что группа изометрий Iso X про-
странства X дискретна. Поэтому для доказательства
теоремы Бохнера достаточно доказать, что для любого ком-
пактного риманова пространства X группа Iso Д’ ком-
пактна.
Группа изоме- Оказывается, что последнее утверждение
трий компактно* имеет чисто топологический характер.
го пространства Предложение 4. Группа' изометрий
Iso Д’ произвольного компактного метрического про-
странства X является — относительно топологии
поточечной сходимости — компактным топологиче-
ским пространством. , ,
Доказательство. Нам понадобятся три элемен-
тарные общетопологические теоремы, которые мы сформу-
лируем в качестве задач.
3 а Д а ч а 3. Докажите, что каждое, компактное метрическое про-
странство-Х содержит счетное всюду плотное множество, т. е.
такое счетное, множество С, что С = X. [Указание. Для-лю-
бого п > 1 существует конечное покрытие пространства X, состоящее из
шаровых (1/п)-окрестностей. Обозначив множество всех центров этих ок-
рестностей, через Сп, положите С — IJ^n-I
Задача 4. Докажите, что '
1) для любого компактного метрического пространства X
формула
рех
определяет метрику в множестве всех непрерывных отображений
Х-^Х-,
488
ГРУППА ИЗОМЕТРИЙ КОМПАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА
Лекция 29
2) отвечающая зтай метрике топология совпадает с тополо-
гией поточечной сходимости. [У Казание. Это означает, что после-
довательность отображений <рп: X —• X тогда и только тогда равномерно
сходится, когда она сходится в каждой точке р € X.]
Задача 5. Докажите, что метрическое пространство тогда
и только тогда компактно, когда каждая последовательность его
точек содержит сходящуюся подпоследовательность. [Указание.
См. теорему Гейне — Бореля из курса анализа.]
Из утверждении задач 4 и 5 следует, что для доказатель-
ства предложения 4 нам достаточно доказать следующие два
утверждения.
А. Любая последовательность {у>п} изометрий
компактного метрического пространства X содер-
жит сходящуюся (в пространстве непрерывных отоб-
ражений X —> X) подпоследовательность.
Б. Предел <р любой сходящейся последовательнос-
ти {<рп} изометрий пространства X является изо-
метрией.
Доказательство утверждения А. Пусть
С= {cpCj,...} — счетное всюду плотное подмножество
пространства X. Так как пространство X компактно, то по-
следовательность {<рп} содержит такую подпоследователь-
ность {у’ц.}» что последовательность точек (с,)} сходит-
ся. Положив мы аналогично получим, что после-
довательность {<рп} содержит подпоследовательность {<р2
для которой сходится последовательность точек
и т. д. Продолжая процесс, мы для любого 1 полу-
чим такую подпоследовательность {<££,} последовательно-
сти {<рп}, что последовательность точек {<pk ,(cfe)} сходит-
ся. Тогда подпоследовательность где фп = <рпп, бу-
дет обладать тем свойством, что {^>n(cfe)} сходится для лю-
бой точки cfe, fc > 1. (Это известный диагональный
процесс Кантора.) ,
Если теперь е > 0, р е X, с — такая точка из С, что
р(р,с) < е и N — такой номер, что p(^n(c),^m(c)) < е при
n, т > N, то
Р(Фп(Р)^т(Р» P(V’n(P)>V’n(c))+
+ p(V’n(c),V’rn(c)) +p(V’m(c),V’m(p)) Зе
при n, т > N (так как фп и 'фт — изометрии, то
Лекция 29
ГРУППА ИЗОМЕТРИЙ КОМПАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА
489
pCV’Jp),= Р(Р>С) < е и аналогично р(^т(с), V’m(p)) <
< е). Это означает, что последовательность {V’n(p)} фун-
даментальна. Следовательно, эта последовательность схо-
дится (каждое компактное метрическое пространство пол-
но). Таким образом, последовательность {^n} сходится всю-
ду на X. п
Доказательство утверждения Б. Согласно
утверждению А последовательность изометрий {<р”’} содер-
жит сходящуюся подпоследовательность Пусть <р'—
ее предел.
Ясно — по непрерывности, — что
р(<р(р)> = р(р, ?) = р(<р'(р), <р'(я)) (16)
для любых точек p,q G X. В частности, для любой точ-
ки р G X
Р&'МрУЬр) = Нт р(<р^(<р(р))>Р) =
“ .Нт р(<р(р), <Рп.(р)) = р(<р(р),<р(р)) = О
1—*ОО Ч
(напомним, что по условию последовательность {<р„} схо-
дится), и потому <р'(<р(р)) = р, т. е. <р' о <р = id. Аналогично
доказывается, что <ро<р' = id. Следовательно, отображение <р
биективно. Удовлетворяя соотношению (16), оно является
изометрией, q
[Заметим, что в случае, когда X является римановым
пространством, утверждение Б — составляющее предмет за-
дачи 6 лекции 19 — тривиальным образом верно, посколь-
ку предел изометрий является в этом случае аффиннитетом
(принадлежит группе Ли Ай<¥), и потому заведомо биек-
тивен.]
Задача 6. Докажите, что Iso X является топологической груп-
пой. [Указание. В доказательстве нуждается не только непрерывность
умножения, но и непрерывность отображения обращения <р >-» <р~ .[
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм аффинный 47"
— структурный симметрической ал-
гебры Ли 133
алгебра Ли абелева 425
----без центра 429
----групускулы Ли 115
----компактная 441 .
----простая 426
---- полупростая 423
— —.симметрическая 133 .
атлас конформный 232
аффиннитет 47
Базис адаптированный 66 .
— голономный 12
— Маурера — Картана 434
— неголоноиный 63
— тривиализации 12
Вариация 181, 446'
— кусочно-гладкая 446
— с закрепленными концами 446
— Якоби 454
вариационный принцип Лагранжа
181
вектор оснащающий 360
— экспоненцируемый 19
векторное поле аффинное 119
— градиента 171
— нормальное ,55
— ковариантно постоянное , 14
— на группе Ли левоинвариантное ‘
97
— на группе Ли правоинвариант-.
ное 102 ,
— на кривой 14
— на поверхности 34
— референтное 279
векторы параллельные 14
вейлевская компонента тензора кри-
визны 308
вращение поля вдоль кривой 279
вторая вариация длины 447
вторая основная форма 57
Группа Ли банахова 154
1------без центра 429
----бесконечномерная 154 ’
----полупростая 423
---- локальная 115
---- простая 426
----унимодулярная 438
— присоединенная 429
— токов 115
— трансляций 151
групускула Ли 115
гиперповерхность 349
— двусторонняя 349
— жесткая 357
— односторонняя 349
— оснащенная 349
геометрия гиперболическая 328
— Лобачевского 320 <.
. — параболическая 328
— сферическая 320
— Римана 329
— эллиптическая 329 :
геликоид 235
геодезическая 15
геодезические изотропные 180
— (псевдо)риманова пространства
179
гомоморфизм локальный групп Ли
116
Движение 382
— собственное 382
двойственность Пуанкаре 297
диффеоморфизм аффинный 47
дифференциальная форма левоинва-
риантная 433
дифференциальный параметр Бель-
трами первый 218
------- второй 218
Дифференцирование алгебры тен-
зорных полей 25
----Ли внутреннее 427
— ковариантное вдоль кривой 14
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифференцирование на многообра-
зии с умножением 129
— существенное симметрического
пространства 136
длина кривой 189
— дуги 190
Естественный подъем кривой 15
естественная конструкция 198
Задача Плато 238
Идеал алгебры Ли 422
изометрия 327
— инфинитезимальная 330
изоморфизм аффинный 47
индекс псевдориманова пространст-
ва 173
интеграл Дирихле 243
— Хаара 436
Карты комплексные конформно со-
гласованные 232
категория 107
катеноид 235
ковариантный дифференциал тен-
зорного поля . 28
Координаты декартовы 230
— изотерические 226
— иэотервтсше на поверхности
сигнатуры (I, I) 240
— конформные 2.31,.,
— нормальные 20
— полугевдеэические 194
— полудекартаиы 229
— полярные 67,
— римановы 194
конус изотропный 332
коразмерность подмногообразия
55 , . .
кофунктор 108 <
коцоколь симметрической алгебры
Ли 133
коэффициенты связности 13
---в неголономном базисе 64
---первого рода 174
---второго рода 174
кратчайшая 191
кривая изотропная 248
— локального, минимума . 1,85
— регулярная 191
Кривизна гауссова (псевдо )римано-
ва пространства 272
— геодезическая кривой 284
кривизна гиперповерхности средняя
354
---- полная 354
— Риччи 472
----строго положительная 472
— секционная по двумерному на-
правлению 275
— скалярная (псевдо)риманова про-
странства 272
кривизны кривой 343
— главные гиперповерхности
353
критерий Томаса 307
Лагранжиан 180
— действия 187
— длины 187
— регулярный 186
— энергии 187
лемма Гаусса 195
линия винтовая 343
локус схода 467
Матрица форм связности 13
мера Хаара 436
----нормированная 439
метрика инвариантная на алгебре
Ли 421
— инвариантная иа группе Ли
422
— левоинвариантная на группе
Ли 420
— риманова 171
---- (внутренняя) 202
— минимальная поверхность 234
---- присоединенная 250
----конечного типа 236
многочлен Динкина 113
модуль группы Ли 438
модельные пространства постоян-
ной кривизны 375
монеоморфизм 51
многообразие геодезически полное
16
— вполне геодезическое 58
— двумерное триангулируемое
286
— риманово 172
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
многоугольник геодезический 285
— криволинейный 285
многочлен Ли 112
---- однородный 112
морфизм нормализующий 55
— симметрических пространств
85
— пунктированных симметричес-
ких пространств 137
Накрытие аффинное 49
— конформное 233
— метрическое 324
неравенство Эйлера 356
Ограничение расслоения 52
— связности 52
одночлен Ли 112
окрестность нормальная 20
----максимальная 468
— шаровая 194
оператор Бельтрами 217
— ковариантного дифференциро-
вания по X. 12
— Лапласа 217 ,
— Ходжа 293
оснащение 349
основная лемма вариационного ис-
числения 183
— форма гиперповерхности пер-
вая 350
— вторая 350
отображение аффинное 46
— изометрическое 327
— локально изометрическое 322
'— надъективное 51
— растягивающее 326
— экспоненциальное 19
— этальное 20
оценка Шаудера 221
Параллельный перенос 14
параметр натуральный 190
параметризация 241
— гармоническая 244
— изотермическая 243
плотность аддитивной функции об-
ласти . 278
поверхность гиперболического типа
319
— конечного типа 236
поверхность параболического типа
316
— сигнатуры (1,1) 240
— элементарная 34
— эллиптического типа 318
— Эннепера 235
поворот поля 279
погружение оснащенное 360
подгруппа Ли 87
замкнутая 88
— инвариантная 111
подмногообразие автопараллельное
59
— вложенное 51
— вполне неиэотропное 332
— погруженное 51
— погруженное с самопересечени-
ями 51
подмногообразие минимальное
— нормализованное 55
вполне геодезическое 58
— симметрическое (локально)
340
подпространство риманово 172
подрасслоение 54
покрытие Лере 204
поле бивекторное 258
— касательное 15
— Киллинга 330
— минимальное на кривой 451
— непотенциальных сил 186
— нормалей средней кривизны
336
— нормальное на кривой 450
— нормальных векторов 55
-------на кривой 450
— параллельных векторов 37
— потенциальное 186
— силовое 186
— Якоби 453
преобразование метрики конформ-
ное 308
принцип наименьшего действия Мон-
пертюи 193
произведение векторных полей внеш-
нее 258
------- скалярное 173
простейшая задача вариационного
исчисления 181
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
пространство аффинной связности
13
-------глобально симметрическое
78
-------локально симметрическое
72
-------полусимметрическое 77
— больцаново метрическое 205
— подмногообразия нормальное
55
— постоянной кривизны 375
— псевдориманово 172
— рекуррентное ,261
— риманово 171
----конформно плоское (локаль-
но) 313
— с абсолютным параллелизмом
37
— симметрическое 85
— строго положительной секцион-
ной кривизны 475
— неположительной секционной
кривизны 475
----(псевдо)риманово 388
---- пунктированное 137
— типа К(7г, 1) 481
— Эйнштейна 304
— эллиптическое 328
пространства изотерические (псев-
до) римановы 327
-------локально 327
Расслоение аффинно нормальное
55
— метрическое нормальное 333
— нормальное 54
— риманово (внутреннее) 191
— риманово нормальное 333
расстояние риманово 191
репер в римановом пространстве
398
— Френе 342
риманова поверхность 233
риманово пространство полное 209
------- геодезически 204
----конформно плоское1 313
--------- локальное 313
----метрически полное 204
росток гладкого отображения 79
ряд Ли формальный 112
Свойство звездности 19
— функториальности 108
связность аффинная 13
---- метрическая 178
— ван дер Вардена — Бортолотти
61
— геодезически полная 16
— индуцированная 56
— каноническая на симметриче-
ском пространстве 89
— Картана на группе Ли 100
--------- левая 102
--------- правая 105
— Леви-Чивита 178
— линейная 13
— на группе Ли левоинвариант-
ная 97
------- средняя 101
— на многообразии 13
— нормальная 61
----на нормализованном подмно-
гообразии 61
— риманова 178
— симметрическая (симметричная)
31
— согласованная с метрикой 174
сегмент геодезический 66
----нормальный 151
соотношение Гаусса 337
— Риччи 338 ,
соотношения Петерсона — Кодацци
337
сигнатура многообразия 298
— псевдориманова пространства
173 ,
симметрия геодезическая 78
---- локально .74
структура конформная 232
— псевдориманова 172
— риманова 171
----индуцированная .172
Теорема Берже 411
— Бохнера 483
— Вейля 444
— Гаусса—Бонне 289
— двойственности Пуанкаре 297
— Кемпбелла — Хаусдорфа 113
— Картана 115
— Картана о симметрических про-
странствах 149
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Картана—Адамара 476
— Картана — Киллинга 387
— Кббе 315
— Кобаяси* 168
— Коши 283
— Леви-Чивита 178
— Майерса 474
— о жесткости сферы 357
— о соответствии границ 282
— Пале 167
— Пуассона 238 ,
— Радо 287
— Римана 282," 384
— Римана об униформизации
315
— Сентенак 415
— Стоуна 203
— Торпа 414
— Хицебруха о сигнатуре 298
— Хопфа — Ринова 1 208
— Уайтхеда 23
— Чженя — Кюиппера 348
— Чженя —Милнора 409
— Феруса—Штрюбинга 340
— Шура 374
— Якоби 446
тензор Бианки 282
— Вейля 303
— дискриминантный (псевдо)ри-
манова многообразия 212
тензор конформной кривизны Вейля
312
— кривизны 35
---виртуальный 262
---риманов (ковариантный)
262
— кручения аффинной связности
31
— метрический 171
— проективной кривизны 374
— рекуррентный 261
— Риччи 41
---тензора Бианки 300
— Эйнштейна 303
тензорное поле ковариантно посто-
янное 27
тернар Ли 134
---симметрического простран-
ства 1,36
точка омбилическая 352
— сопряженная 445
---- первая 446
— среза 464
— схода 464 •
трансляция симметрического про-
странства 151
треугольник геодезический 287
триноид 237
тройная система Ли 134
тождества 1 Бианки для симметрич-
ных связностей 40 *
----для тензора кривизны 262
тождество Бианки — Пддова 40
'— Риччи 40
— Уокера 260
Угловой избыток 285
— угловая функция на кривой
279_________ .
уравнение Картана в полярных ко-
ординатах . 70 . ;
----структурное для форм кри-
визны 70
---------- кручения 66
— Якоби 453
уравнения Эйлера — Лагранжа
184
— Эйлера — Остроградского 243
условие свободной подвижности
398
Факторгруппа группы Ли 112
форма Картана — Киллинга 423
— Киллинга . 423
— кривизны 63
— кручения г 65, ,
— Маурера—Картана 431
— пространственная 386
— —. гиперболическая 386
---- евклидова 386
---- параболическая 386 .
----сферическая. 386 ,
----эллиптическая 386
форма связности 13
формула Вейнгартена, 60
— д'Аве 407
— Гаусса—Бонне. 285
— Гаусса 56
----для векторного поля на кри-
вой 57
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формула Фосса — Вейля 213
формулы Вейерштрасса 251
— Гаусса — Вейнгартена 335
— Грина 219
— Маурера — Картана 432
— Френе 342
— Эннепера — Вейерштрасса
251
фундаментальная группа простран-
ственной' формы 286
функтор 108
— Ли. левый- 109
---правый 110'
— « 137
функции сопряженные гармониче-
ские 225
— гармонические 218
функционал длины 189
— площади 237
Характеристические классы многоб-
разия 290
характеристическое число Эйлера
291
— F-число 298
— с-число многообразия 290
циклирование 38
циклирования оператор 40
цоколь симметрической алгебры Ли
133
Частная вариационная производная
лагранжиана по кривой 185
числа Бернулли 299
число Морса риманова пространст-
ва 203
Эйлерова характеристика 287
эквивалентность конформная 313
экспонента вектора 19
экстремаль лагранжиана 184
-----площади 244
— функционала Дирихле 244
-----площади 237
элемент объема риманов 211
энергия кинетическая 186
— потенциальная 186
Ядро Хаара 437
/-связанные векторные поля 436
109
— карты 43
Q-род многообразия 298
(т, 1/)-тензорные поля смешанные
62