Ф. Г. Серова
А.А.Янкина
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических факультетов
педагогических институтов
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1988

ББК 22.31
С32
Рецензенты:
кафедра теоретической физики Челябинского
государственного педагогического института,
зав. кафедрой профессор М. С. Свирский;
Э. Д. Годяев, кандидат физ.-мат. наук, ст. препо-
преподаватель кафедры теоретической физики Арза-
Арзамасского пединститута
Серова Ф. Г., Янкина А. А.
С32 Сборник задач по теоретической физике: Электронная теория
вещества: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.—
М.: Просвещение, 1988.—192 с: ил.
ISBN 5-09-000891-4
В книге содержатся задачи по электронной теории вещества, подобранные в соответствии
с программой курса теоретической физики для физико-математических факультетов педагоги-
педагогических институтов.
г 4309000000-298 ™ 7Й 71 10Я_ ББК 22.31
С КБ28711987
103@3)-88 КБ287
ISBN 5-09-000891-4 © Издательство «Просвещение», 1988

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по электронной теории вещества пред-
предназначен для студентов физических специальностей педагогических
институтов.
При составлении и подборе задач авторы, используя свой опыт пре-
преподавания электронной теории вещества как раздела теоретической
физики в Горьковском государственном педагогическом институте, руко-
руководствовались следующими принципами: 1) органическая связь с теоре-
теоретическим курсом; 2) последовательность; 3) доступность математиче-
математического аппарата.
В задачнике содержится свыше 300 задач по основным разделам
этого курса: в начале каждого параграфа имеется краткое теоретическое
введение, где приводятся основные формулы; наиболее важные и слож-
сложные задачи снабжены решениями, к остальным даны ответы. Многие
задачи взяты из опубликованных пособий, часть задач и большинство
решений составлены авторами. Изложение ведется в Международной
системе единиц (СИ).
Авторы благодарны профессору М. С. Свирскому, доценту
Э. Д. Годяеву, к. п. н. В. М. Шитову за их труд по рецензированию посо-
пособия и ценные замечания, которые способствовали его улучшению, а
также всем читателям, которые пришлют свои замечания и предложения
по улучшению данного сборника.

§ 1. ТИПЫ СВЯЗЕЙ АТОМОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
И ГЕОМЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Энергия связи кристаллов
Кристаллические твердые тела по характеру межатомных сил
делятся на ионные, ковалентные, молекулярные, металлические и
кристаллы с водородной связью.
Энергия ионных кристаллов, отнесенная к паре разноименных ионов,
выражается формулой
??. а»
где q — заряд иона, ее — постоянная Маделунга, г—расстояние между бли-
ближайшими ионами, /?, « — постоянные. Первое слагаемое в формуле A.1)
представляет энергию кулоновского межионного взаимодействия, вто-
второе—энергию короткодействующих сил отталкивания, обусловленных
перекрытием электронных оболочек соседних атомов. Значения постоян-
постоянной Маделунга а для различных типов кристаллических структур при-
приведены в таблице 3 (см. приложение).
В молекулярных кристаллах в узлах решетки находятся молекулы
или нейтральные атомы. Между атомами, находящимися друг от друга
на расстоянии г, возникает слабое флуктуационно-дипольное притяже-
притяжение (силы Ван-дер-Ваальса), при этом потенциальная энергия равна:
С/(г) = —-—-, С = const. A.2)
В металлических кристаллах связь обусловлена взаимодействием
положительно заряженных ионов и электронов проводимости. Согласно
простейшей модели щелочных металлов ионы рассматриваются как
точечные заряды, локализованные в узлах решетки, а электроны про-
проводимости—как постоянный однородный фон отрицательного заряда.
В этом случае энергия щелочного металла в расчете на один атом пред-
представляется выражением

где е, т0—заряд и масса электрона соответственно, rs — радиус сферы
Вигнера—Зейтца, т. е. радиус сферической области, содержащей один
электрон (в центре сферы расположен точечный ион), /* —постоянная
Планка.
Модуль всестороннего сжатия кристалла определяется по
формуле
B = 7 = -VW' (U)'
где я —коэффициент сжимаемости, V—объем кристалла, Р—давле-
Р—давление.
1.1. Вычислить постоянную Маделунга для линейной бесконеч-
бесконечной цепочки ионов, чередующихся по знаку электрического заряда
(±е).
1.2. Найти полную энергию в равновесном состоянии одномерного
ионного кристалла, состоящего из 2N чередующихся по знаку заряда
(± ё) ионов. Считать потенциальную энергию отталкивания для ближай-
ближайших соседей пропорциональной —, где п>1. Равновесное расстояние
между соседними ионами равно а0.
1.3. Вычислить постоянную Маделунга для двумерной решетки
NaCl. Суммирование провести для последовательности атомных слоев,
каждый из которых включает в себя электронейтральную группу атомов
(метод Эвьена). При подсчете учесть атомы трех электронейтральных
групп.
1.4. Вычислить постоянную Маделунга для структуры хлорида нат-
натрия NaCL
Указание. Воспользовавшись методом Эвьена, провести расчет по
двум электронейтральным группам ионов.
1.5. Используя выражение для энергии ионного кристалла A.1),
показать, что молярная энергия связи, соответствующая равновес-
равновесному кратчайшему расстоянию между ионами г = г0, выражается
в виде
и 4пе0г0
где No — постоянная Авогадро.
1.6. Зная постоянную решетки а, константу Маделунга а и молярную
энергию связи в равновесном состоянии, оценить значение показателя
степени п в формуле A.1) для энергии ионных кристаллов:
a) NaCl; б) КС1.
1.7. Как изменится равновесное расстояние г0 между ближайшими
ионами и энергия связи решетки NaCl, если заряд каждого иона возра-
возрастет вдвое?
1.8. Энергию ионных кристаллов, отнесенную к одной паре разно-
разноименных ионов, можно представить выражением
5

где е, А ~ const. Найти выражение для молярной энергии связи Есв ион-
ионного кристалла в равновесном состоянии. Используя табличные данные
для постоянной решетки я, константы Маделунга а и молярной энергии
связи, вычислить значение*q для кристаллов: а) поваренной соли NaCl;
б) хлорида цезия CsCl.
1.9. Кристалл поваренной соли NaCl со всех сторон сжали, в резуль-
результате этого его объем уменьшился на 0,5%. Зная коэффициент сжимае-
сжимаемости хлорида натрия яад = 3,4 • 101 м2 • Н, определить, насколько уве-
увеличились при этом давление Р и объемная плотность энергии кри-
кристалла Ли.
1.10. Найти коэффициент сжимаемости ионных кристаллов с решет-
решетками типа NaCl через постоянные, характеризующие энергию кристалла
в равновесном состоянии.
1.11. Используя табличные значения постоянной решетки а и кон-
константы Маделунга а кристалла NaCl, оценить размеры области, в кото-
которой проявляется действие сил отталкивания между ближайшими сосе-
соседями в решетке, если объемный модуль упругости равен 2,9 ¦ 1010 Н/м2.
Вычислить также молярную энергию связи в равновесном состоянии
кристалла.
1.12. Определить показатель степени п в выражении для энергии
ионного кристалла NaCl, если известны коэффициент адиабатической
сжимаемости тс = 3,4 • 101 м2 • Н, константа Маделунга а = 1,75, по-
постоянная решетки а = 5,64 • 10~10 м. Вычислить также молярную энергию
связи в равновесном состоянии кристалла.
1.13. Энергия одномерного молекулярного кристалла в расчете на
один атом представляется выражением
где # —расстояние между соседними атомами, Л и о — постоянные.
Найти выражения для равновесного межатомного расстояния #0,
энергии связи в расчете на один атом, коэффициента сжимаемости моле-
молекулярного кристалла.
1.14. Рассчитать коэффициент теплового расширения одномерного
молекулярного кристалла, используя выражение для его энергии из пре-
предыдущей задачи.
1.15. Вычислить изменения плотности кинетической энергии элек-
электронов в области перекрытия электронных оболочек атомов а и Ъ. При
расчете ограничиться нулевым приближением, считая, что эффект пере-
перекрытия не изменяет плотности электронов па и щ свободных атомов.
Электроны атомов рассматривать как Ферми-газ при абсолютном нуле
температуры.
Каков физический смысл полученного результата?
6

1.16. На основе классических представлений получить выражение
для энергии ван-дер-ваальсового взаимодействия двух одинаковых ато-
атомов, находящихся на расстоянии г друг от друга, в виде
l/(r) = -?, С = const.
Оценить значение этой энергии в кристалле меди, имеющем меж-
межатомное расстояние 2,55 • 100 м и постоянную С - 10~58 эрг • см6.
Указание. При расчете учесть взаимодействие мгновенного
дипольного момента одного атома с индуцированным дипольным
моментом другого.
1.17. Используя простейшую квантовомеханическую модель линей-
линейных осцилляторов для двух атомов, находящихся на расстоянии г, рас-
рассчитать уменьшение энергии нулевых колебаний такой системы за счет
диполь-дипольного взаимодействия. Показать, что этим обусловлено
ван-дер-ваальсовое притяжение между атомами.
1.18. С помощью теории возмущений получить выражение для энер-
энергии ван-дер-ваальсового взаимодействия двух атомов водорода, находя-
находящихся в s-состояниях на достаточно большом расстоянии друг от друга,
когда электронные волновые функции не перекрываются.
Указание. В качестве возмущения системы учесть лишь диполь-
дипольное взаимодействие атомов.
1.19. Используя простейшую модель одновалентного металла,
согласно которой точечные ионы с зарядом I e I погружены в однород-
однородную отрицательно заряженную среду электронов проводимости, пока-
показать, что его энергия в расчете на один атом определяется формулой
A.3), т. е.
Ц(г)- 9g2 4 3h2 (9п\3
V sJ 40ne0rs 10m0r2 \ 4 / *
1.20. На основе выражения для энергии одновалентных металлов
оценить постоянную решетки кристаллического натрия. Вычислить
также модуль всестороннего сжатия при температуре абсолютного нуля
и скорость звука.
1.21. В реальном металле валентные электроны практически не про-
проникают в область, занимаемую ионами. Считая заряд каждого электрона
в щелочном металле равномерно распределенным в области между сфе-
сферами с радиусами тс и rs вокруг каждого иона, показать, что электростати-
электростатическая энергия, приходящаяся на один электрон, выражается в виде
где гс—радиус иона, rs — радиус сферы Вигнера —Зейтца.
1.22. Используя результаты предыдущей задачи и учитывая поправку
к кинетической энергии электронов за счет обменных эффектов, равную
12 5
^обм = f— эВ/атом (а0 — радиус первой боровской орбиты), вычис-
7*/До

лить постоянную решетки и энергию связи кристаллического нат-
натрия.
Геометрия кристаллической решетки
Структура идеального кристалла описывается пространственной
решеткой, в узлах которой расположены атомы. Положение узлов опре-
определяется векторами
= 1Х ах + 12 а2 + 1Ъ аъ, A.4)
где 1г, 12, /3 — целые числа; ях, л2 > ^з"" векторы основных пространствен-
пространственных периодов.
Векторы ах, я2 > Лз образуют многогранник, называемый элементар-
элементарной ячейкой кристалла. Элементарная ячейка —это наиболее простая
пространственная структура, повторением которой строится кристалл.
Величины, определяющие размер элементарной ячейки, называют пос-
постоянными решетки.
Если в элементарной ячейке находится несколько атомов, то решетка
такого вида называется решеткой с базисом. При этом решетка описы-
описывается векторами alf a2, аъ и базисными—Д, которые определяют сме-
смещения дополнительных простых решеток относительно решетки с век-
векторами основных пространственных периодов (аг, а2, аъ).
Для кубических структур (аг = а2 = аъ = а) характерны простая,
объемноцентрированная (ОЦК) и гранецентрированная (ГЦК) решетки,
элементарные* ячейки которых указаны на рисунке 1.
Рис. 1. Элементарные ячейки кубических структур.
Расположение атомных центров в: а) простой кубической решетке; б) ОЦК
ракш.
f. f, f);
« ГЦК р«,,п»,
, Л,(|, |. о); Я, (|, 0.
* Здесь и далее имеется в виду не примитивная, а условная ячейка.

Решетка типа алмаза состоит из
двух взаимопроникающих ГЦК реше-
решеток, смещенных вдоль простран-
пространственной диагонали кубической
решетки на V4 длины этой диагонали
(рис. 2).
У многих кристаллов структу-
структура характеризуется гексагональной
плотной упаковкой (ГПУ). Она со-
состоит из двух простых гексагональ-
_ -? I a aVb c\
ных решеток с оазисом А I —, —Е—, —
\ 2 6 2/
по отношению к прямоугольным
осям xyz (рис. 3). В идеальной ГПУ
решетке модуль базисного вектора
равен I Я I = I аг I = I a21 = а, при
этом справедливо соотношение
A.5)
Часто встречаются соединения со
структурой типа хлорида натрия
(NaCl). Кристалл NaCl состоит из рав-
равного числа ионов Na+ и СГ~, разме-
размещенных в узлах простой кубической
решетки таким образом, что ближай-
ближайшими соседями каждого иона
являются шесть ионов другого вида
(рис. 4). Эта структура описывается
как ГЦК решетка с базисом Л, состоя-
состоящим из иона Na+ @, 0, 0) и иона СГ
2 ' 2 ' 2/*
Представляют интерес следую-
следующие геометрические свойства кри-
кристаллических решеток:
а) количество ближайших сосе-
соседей N для каждого атома (иона) —
координационное число;
б) атомный радиус гп, определяе-
определяемый 72 расстояния между ближай-
ближайшими соседями;
в) степень упаковки /, равная
отношению объема, занятого ато-
Рис. 2. Элементарная кубическая
ячейка решетки алмаза. Узлы, соот-
соответствующие ГЦК решетке, сме-
смещенной на вектор А
(_fL _я_ аЛ
4' 4' 4J
вдоль пространственной диагонали,
оставлены светлыми; связи между
ближайшими соседями выделены
жирными линиями.
Рис. 3. Относительное расположе-
расположение атомов в структуре с гексаго-
гексагональной плотной упаковкой; три
элементарные ячейки составляют
шестигранную призму.
9

Рис. 4. Структура кристалла NaCl:
ф—ионы Na+, О ~~ионы СГ.
мами (как твердыми шарами) в эле-
элементарной ячейке, к ее объему.
Для обозначения направлений и
плоскостей в кристалле исполь-
используются индексы Миллера.
Совместим начало системы
координат с одним из узлов ре-
решетки, направив оси параллельно
векторам аъ аъ аъ. Тогда индексы
направления или узла с радиусом-
вектором тг есть наименьшие целые
числа [и v го\ пропорциональные
соответствующим проекциям век-
вектора гг (#!, уъ гг) на оси координат,
выраженным в единицах длин ребер
элементарной ячейки, т. е.
= u:v:w. A.6)
Индексы Миллера для плоскости записываются в круглых скобках
{hkl) и представляют собой наименьшие целые числа, которые удовлет-
удовлетворяют соотношению
^А :"н" :^~ = h:k:l> (I-7)
где А, В, С—длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях, парал-
параллельных ребрам элементарной ячейки.
Расстояние между соседними плоскостями с индексами Миллера
(hkl) вычисляется по формулам
A.8)
где аъ а2, аъ — утлы между нормалью к плоскости и осями аъ а2, аъ соот-
соответственно.
Положение интерференционных максимумов при отражении рентге-
рентгеновских лучей от атомных параллельных плоскостей кристалла опреде-
определяется формулой Byльфа—Брэггов:
2d sin в = пА,
A.9)
где 0 —угол скольжения, порядок максимума п — 1, 2, 3, ..., А —длина
волны, d — межплоскостное расстояние.
1.23. Рассчитать, сколько атомов приходится на одну элементарную
ячейку в кристаллах: а) с гранецентрированной кубической решеткой;
б) с объемноцентрированной кубической решеткой.
1.24. Для кристалла с решеткой типа алмаза записать координаты
10

всех атомов в элементарной ячейке (см. рис. 2). Сколько атомов z прихо-
приходится на одну элементарную ячейку такой структуры?
1.25. Рассчитать, сколько атомов приходится на одну элементарную
ячейку в кристаллах с идеальной плогноупакованной гексагональной
структурой (см. рис. 3). Доказать, что отношение — = 1/-=-.
1.26. Вычислить степень упаковки атомов (/) в кристаллах, имеющих:
а) простую кубическую структуру; б) ОЦК структуру; в) ГЦК структуру;
г) ГПУ структуру.
1.27. Произведя соответствующие вычисления, заполнить следую-
следующую таблицу для кубических структур:
Характеристика
решетки
Атомный радиус
Число атомов в элементарном кубе
Степень упаковки
Координационное число
Тип решетки
простая
кубическая
ОЦК
ГЦК
решетка
алмаза
1.28. Плотность меди, имеющей гранецентрированную кубическую
решетку, равна 8,96 • 103 кг/м3. Вычислить объем элементарной ячейки
и атомный радиус для этой кристаллической структуры. Сколько атомов
содержится в объеме, равном 1 м3?
1.29. Принимая во внимание ГЦК структуру у золота, вычислить по-
постоянную решетки, атомный радиус и число атомов в объеме, равном
1 м3. Плотность золота равна 1,932 • 104 кг/м3.
1.30. По табличным значениям молярной массы и плотности опреде-
определить постоянную кристаллической решетки молибдена, имеющего ОЦК
структуру.
1.31. Кристаллы NaCl имеют кубическую структуру (см. рис. 4). Зная
молярную массу у = 5,844 • 10~2 кг/моль и плотность q = 2,167 • 103 кг/м3
поваренной соли, вычислить постоянную решетки.
1.32. У кристаллического сильвина (КС1), имеющего структуру типа
хлорида натрия, постоянная решетки равна 6,29 • 10~10 м. Оценить плот-
плотность этого вещества, если молярная масса его равна 7,455 • 10~2 кг/моль.
1.33. я-Железо при температуре ниже 910 °С имеет ОЦК струк-
структуру (а = 2,86 • 10~10 м). При нагревании свыше 910 °С ^-железо перехо-
переходит в у-модификацию, приобретая ГЦК структуру (а = 3,56 • 10~10 м).
Как изменится плотность железа в указанном превращении?
1.34. Кристалл цинка имеет ГПУ структуру с постоянными
а = 2,66 • Ю0 м и с = 4,95 • 100 м. Вычислить объем элементарной
ячейки такой структуры и плотность цинка.
11

1.35. Доказать, что в бесконечной кристаллической решетке воз-
возможны оси симметрии лишь второго, третьего, четвертого и шестого
порядков.
1.36. Определить индексы Миллера для: а) плоскости, отсекаю-
отсекающей на осях кубической решетки отрезки А = а, В = 0,5а, С = 1,5а, где
а —постоянная решетки; б) диагоналей кубической решетки.
137. Определить отрезки, отсекаемые на осях кубической решетки
плоскостью A 2 3). Изобразить для кубической системы эту плоскость и
направления [0 0 1]; [1 0 0]; [1 1 0].
1.38. Записать с помощью индексов Миллера плоскости, харак-
характеризующиеся наибольшей плотностью упаковки атомов, в структурах:
а) ГЦК; б) ОЦК. Отметить также в этих плоскостях направления с макси-
максимальной линейной плотностью расположения атомов.
1.39. Доказать, что направление [hkl] в кристалле с кубической струк-
структурой перпендикулярно плоскости (hkl).
1.40. Доказать, что расстояние d между двумя соседними пло-
плоскостями типа (hkl) в кубической,решетке с ребром а определяется соот-
соотношением
1.41. Зная постоянную а кубической решетки, вычислить расстоя-
расстояния между кристаллографическими плоскостями d100, dno, din для:
а) простой кубической структуры; б) ОЦК структуры; в) ГЦК струк-
структуры.
1.42. Сколько плоскостей типа {111} имеется в кубических струк-
структурах? Изобразить эти плоскости на чертеже.
1.43. Зная молярную массу кристалла AgBr (тип решетки NaCl)
\i = 0,1878 кг/моль и плотность q = 6,5 • 103 кг/м3, рассчитать расстояния
между кристаллографическими плоскостями d100, d110, dni.
1.44. Для пучка рентгеновских лучей с длиной волны
X = 1,537 • 10~10 м, падающего на кристалл алюминия, наблюдается брэг-
говское отражение первого порядка от плоскостей A11) под углом сколь-
скольжения 19°20'. Определить по этим экспериментальным данным постоян-
постоянную Авогадро, если известно, что алюминий имеет ГЦК структуру, плот-
плотность q = 2,7 • 103 кг/м3 и молярную массу [л = 2,698 • 10 кг/моль.
1.45. Вычислить длину волны рентгеновских лучей, которые
отражаются во втором порядке от системы плоскостей A00) кристалла
NaCl под углом скольжения 0 = 17°22'.
1.46. Найти постоянную решетки кристалла AgBr (структура типа
NaCl), если известно, что отражение рентгеновских лучей с длиной
волны Л = 2,52 • 10~10 м в первом порядке от системы плоскостей A00)
происходит под углом скольжения в = 25,9°.
1.47. Какие порядки отражения монохроматического рентгеновского
12

излучения от плоскостей A00) кристалла с кубической структурой
пропадут при переходе от простой кубической решетки к гранецентри-
рованной?
§2. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Многоэлектронная задача для кристалла с помощью метода Хартри —
Фока сводится к одноэлектронной:
где т0 — масса, ?—энергия электрона с волновым вектором k,
V( r ) — потенциальная энергия, обладающая свойством периодичности,
т. е. V(r + l) = V(r).
Волновая функция Ч7* (г ) электрона является функцией Блоха:
W,{r) = uk{r)erk\ щ(г + 1) = щ(г). B.2)
В кристалле конечных размеров волновая функция удовлетворяет
условиям цикличности Борна—Кармана:
Vd?) = 4'k(?+N1a1) = Vb(r + N2a2) = Vj;(;+N5a5)y B.3)
где N1-N2-N5 = N—полное число элементарных ячеек; аъ а2, аъ —
основные векторы решетки. Волновой вектор k можно представить
в виде:
где пъ пъ щ-целые числа; bi = -^ [л2Я3], Ь2 = ^ [а3аJ, Ь3 = ^- [аха2]-
основные векторы обратной решетки, v = {ax\a2a^). На один волновой
вектор k в fe-пространстве приходится объем
^ЬЛЬА]). B.5)
Все неэквивалентные волновые векторы k лежат в первой зоне Брил-
люэна:
-п<каг<п, i = l, 2, 3. B.6)
Зависимость энергии электрона в периодическом поле от волно-
волнового вектора (в пределах первой зоны Бриллюэна) не является однознач-
однозначной функцией, а состоит из множества областей en(k ), где п — номер
разрешенной зоны энергии. Таким образом, энергетический спектр элек-
электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, имеет зонную
13

sinoca-t-cosoca
oca
Рис. 5.
структуру. Так, у электрона, движущегося в одномерном кристалле
(модель Кронига—Пенни) с потенциальной энергией
B.7)
где d = a + Ь; п = О, +1, +2, ..., уравнение для энергетического спектра
при e<V0 имеет вид:
sh /?Ь sin аа + ch /?Ь cos сш = cos k(a + b),
B.8)
здесь а2 = —j—, ($2 = —^ (Vo — е). Графическое решение этого уравнения
для предельного случая, когда Ъ -> О, Уо -+ <» так, что прозрачность потен-
потенциальных барьеров не меняется, т. е. Vob = const и Р = т°а2 ° = -^-,
представлено на рисунке 5. Жирными отрезками на оси абсцисс выде-
выделены разрешенные значения энергии, образующие энергетические зоны.
В приближении слабой связи, когда периодический потенциал V(г)
можно считать малым возмущением свободного движения электрона,
энергия с точностью до членов второго порядка малости представляется
выражением
I У к л 12
B.9)
где
k1k = \ll/l (r )
щения; 4°) = 1Ьг> ^^ = * з/2
бодного электрона соответственно.
14
(r ) dr — матричный элемент оператора возму-
возмуeikr — энергия и волновая функция сво-

своВблизи границ зоны Бриллюэна периодический потенциал решетки
вызывает расщепление энергетических уровней:
ъ=цо)+4°У I+v«
Для электронов на глубоких энергетических уровнях атомов лучшее
приближение дает метод сильной связи. В этом случае волновая функция
электрона в периодическом поле кристалла выбирается в виде суммы:
ШУ/п(г-11 B.11)
Г
где N—число узлов решетки, у/п (г — I) — сильно локализованная волно-
волновая функция электрона в п-ы состоянии атома, центр которого совпадает
с узлом кристаллической решетки и определяется вектором решетки I.
Энергия электрона в приближении сильной связи вычисляется по
формуле
еп(к)=^Яйеп(Н), B.12)
h
где h = l — lx и интеграл перекрытия en(h) определяется выражением
en(h)=\v*n (r^h)H?n(r)dr. B.13)
г
В простой энергетической зоне, возникшей из невырожденного атомного
s-уровня, имеется N энергетических уровней и соответственно 2N кван-
квантовых состояний. Следовательно, такая зона может вместить не более
2N электронов, где N—число узлов в решетке кристалла. /-Кратно
вырожденная зона может вместить 2fN электронов, f = 2l+ I, l — орби-
орбитальное квантовое число.
Движение электрона в кристалле у дна и потолка энергетических зон
под действием внешнего поля, действующего на него с силой F, описы-
описывается уравнениями
dt
где vt — проекции вектора групповой скорости на соответствующие оси
координат, величины
т% h2 dktdkj ^'iD)
образуют тензор второго ранга, называемый тензором обратной эффек-
эффективной массы.
2.1. Показать, что метод самосогласованного поля для валентных
электронов кристалла позволяет многоэлектронную задачу свести к
одноэлектронной: Ну/(г) =еу/(г), где Я, у/(г), г —соответственно
гамильтониан, волновая функция и энергия электрона в кристалле.
15

2.2. Показать, ч*о волновые функции электрона, движущегося в
одномерном периодическом потенциальном поле V(x) = V(x + па), где
я = 0, ±1, +2, ..., представляют волновые функции Блоха.
2.3. Доказать, что волновая функция электрона, движущегося в
периодическом поле кристалла, удовлетворяет условию Блоха, т. е. при
трансляции на вектор решетки Г изменяется на фазовый множитель el*\
где k — волновой вектор.
2.4. Доказать, что средняя скорость электрона, движущегося
в кристалле, связана с производной от его энергии г по квазиимпульсу
hk соотношением
Сравнить это выражение со скоростью свободного электрона.
2.5. Используя циклические условия Борна—Кармана для волновой
функции электрона, движущегося в периодическом поле кристалличе-
кристаллической решетки, получить уравнение Шредингера для стационарных
состояний в импульсном представлении. Привести это уравнение к без-
безразмерному виду, выбрав в качестве единиц измерения атомные единицы
длины и энергии (первый боровский радиус и энергию связи электрона в
атоме водорода соответственно).
2.6. Потенциальная энергия электрона, движущегося в периодиче-
периодическом поле одномерного кристалла, выражается в виде
4ne0a0
cos
2я# \
a I
где а = яа0 — период кристаллической решетки, а0 — первый боровский
радиус. Используя уравнение Шредингера для стационарных состояний
электрона в импульсном представлении, найти вид детерминантного
уравнения для определения собственных значений энергии. Обосновать
зонную структуру энергетического спектра.
2.7. С помощью детерминантного уравнения, полученного в
предыдущей задаче, вычислить для квантовых состояний k = 0, k —
2#о
значения энергии электрона, уточняя их методом последовательных при-
приближений, т. е. увеличивая число плоских волн в разложении волновой
функции электрона.
2.8. Используя условия задачи 2.6, оценить для электрона ширину
энергетической щели на границе первой зоны Бриллюэна [k = + — 1.
\ ао I
2.9. Доказать, что вектор обратной решетки g кристалла удовлетво-
удовлетворяет уравнению
gl = 2nn
(п — целое число, Г—вектор прямой решетки), которое при заданном
16

значении п определяет кристаллическую плоскость, перпендикулярную
вектору g и находящуюся на расстоянии 2nn\g от начала координат.
2.10. Найти расстояние между соседними кристаллическими
плоскостями, перпендикулярными вектору обратной решетки g.
2.11. Показать, что кристаллические плоскости, перпендику-
перпендикулярные вектору обратной решетки g = 2я (Ь1п1 + Ь2п2 + Ьъпъ), харак-
характеризуются индексами Миллера (hkl), пропорциональными целым
числам пх, п2, Щ.
2.12. Найти связь между объемами параллелепипедов, построенных
на базисных векторах прямой и обратной решеток.
2.13. Показать, что решетка, обратная простой кубической ре-
решетке с параметром а, есть также простая кубическая решетка. Вы-
Вычислить постоянную обратной решетки и объем v' первой зоны
Бриллюэна.
2.14. Доказать, что: а) решетка, обратная ОЦК решетке, является
гранецентрированной (ГЦК); б) обратная ГЦК решетке будет ОЦК
решеткой.
2.15. Построить первую зону Бриллюэна для: а) линейной одномер-
одномерной решетки с параметром а; б) двумерной косоугольной решетки с
основными векторами а = 2i, b = i + 2/, где i, j — орты декартовой
системы координат.
2.16. Построить первые три зоны Бриллюэна для плоской квадратной
решетки с межатомным расстоянием а.
2.17. Найти число квантовых состояний для электронов в невырож-
невырожденной энергетической зоне кристалла, имеющего простую кубическую
решетку с параметром а и объем L3.
2.18. Вычислить объем первой зоны Бриллюэна и плотность кванто-
квантовых состояний для электронов в простой энергетической зоне кристалла,
имеющего: а) ОЦК решетку; б) ГЦК решетку. Длина ребра элементар-
элементарного куба равна а.
2.19. Оценить среднюю плотность электронных состояний в послед-
последней заполненной зоне шириной АЕ для 1 моль ионного кристалла:
а) КВг, у которого АЕ = 0,55 эВ; б) KF, у которого АЕ = 1,5 эВ.
2.20. Показать, что в случае плоской квадратной решетки кинетиче-
кинетическая энергия свободного электрона в 2 раза больше в углу первой зоны
Бриллюэна, чем в середине бокового ребра этой зоны.
2.21. Сравнить кинетические энергии свободных электронов в
состояниях, относящихся к углу е (k) и центру грани е(к) первой зоны
Бриллюэна, для кристалла с простой кубической решеткой.
2.22. В единице объема кристалла с простой кубической решеткой
содержится п атомов, причем каждый атом имеет z валентных электро-
электронов. Получить выражение для радиуса сферы Ферми в приближении сво-
свободных электронов.
2.23. С помощью волнового уравнения Шредингера определить энер-
17

гетический спектр электрона, движущегося в одномерном кристалле,
периодическое поле которого представляется дираковской потенциаль-
потенциальной «гребенкой»:
где а — расстояние между барьерами, отношение соответствует пло-
щади потенциального барьера.
2.24. С помощью уравнения для энергетического спектра, найден-
найденного в предыдущей задаче, получить уравнения для минимальных значе-
значений энергии электрона в разрешенных зонах.
2.25. Получить уравнение для энергетического спектра электрона,
движущегося в периодическом поле одномерного кристалла, если потен-
потенциальная энергия апроксимируется рядом чередующихся прямоуголь-
прямоугольных потенциальных ям и барьеров (модель Кронига—Пенни):
где а — ширина ямы, d = a + b, Ъ — ширина барьера, причем энер-
энергия электрона меньше высоты потенциального барьера Уо, п = 0,
±1, ±2, ....
2.26. Преобразовать уравнение для энергетического спектра, полу-
полученное в предыдущей задаче, к виду
— sin aa + cqs aa = cos ka
aa
для предельного случая, когда высота потенциального барьера Vo -+ оо и
ширина барьера Ъ -+ 0 таким образом, что величина Р = ^^ bV0, харак-
характеризующая прозрачность барьера, остается постоянной. Оценить
значения энергии электрона у потолка зон, приняв постоянную
решетки
а = 4-КГ10 м.
2.27. Из условий предыдущей задачи, полагая Р > 1 (промежуточный
случай между очень сильной и очень слабой связью электронов с ато-
атомами), получить закон дисперсии для электронов в энергетической зоне
номера п.
2.28. Для одномерного кристалла, в котором периодическое поле для
электрона представляется дираковской потенциальной «гребенкой»,
получить выражение для ширины п-и энергетической зоны, полагая про-
прозрачность потенциального барьера Р > 1 и постоянную кристаллической
решетки равной а.
2.29. Используя результаты задачи 2.27, получить выражение для
18

ширины запрещенной зоны, расположенной между разрешенными энер-
энергетическими зонами п и (и + 1).
2.30. С помощью выражения для ширины запрещенной зоны, полу-
полученного в предыдущей задаче, показать, что с ростом номера п энергети-
энергетической зоны ширина запрещенной зоны между соседними п и (п + 1)
зонами уменьшается (Р принять равной 10).
2.31. Используя приближение почти свободных электронов, вычис-
вычислить энергетическую щель на границе зоны Бриллюэна в одномерном
кристалле, если потенциальная энергия электрона в периодическом поле
описывается функцией V(x) = V\ cos .
2.32. Показать, что изоэнергетические поверхности пересекают гра-
границы зоны Бриллюэна под прямым углом.
2.33. Показать, что существование разрывов в энергетическом
спектре электрона на границах зон Бриллюэна эквивалентно условию
брегговского отражения электронных волн.
2.34. Показать, что волновая функция электрона в периодическом
поле кристаллической решетки, записанная в приближении сильной
связи в виде B.11), удовлетворяет условию Блоха.
2.35. На основе метода сильной связи показать, что энергия элек-
электрона в периодическом поле кристалла описывается выражением B.12),
удовлетворяющим условию периодичности ?и (&)=?л(& —g)> где g—
вектор обратной решетки. Упростить выражение B.12) в приближении
ближайших соседей.
2.36. С помощью метода сильной связи в приближении ближайших
соседей найти закон дисперсии en = en(k) у электронов в кристалле с
простой кубической решеткой и выражение для ширины АЕ„ разрешен-
разрешенной энергетической зоны.
2.37. На основе результатов, полученных в предыдущей задаче,
объяснить расщепление атомных энергетических уровней и образование
энергетических зон при сближении атомов. Вычислить максимальное
число электронов, вмещаемых s-зоной (зоной, получившейся в резуль-
результате расщепления s-уровня).
2.38. В приближении сильной связи найти закон дисперсии e = e(k)
у электронов в s-зоне для кристалла с объемноцентрированной кубиче-
кубической (ОЦК) решеткой. Показать также, что у дна зоны эффективная
масса изотропна и положительна.
2.39. С помощью метода сильной связи в приближении ближайших
соседей найти энергию электронов в зоне, образованной из s-уровня, в
кристалле с ГЦК решеткой. Показать, что вблизи центра зоны Брил-
Бриллюэна изоэнергетические поверхности представляют собой сферы.
2.40. Закон дисперсии для электронов в кристалле с простой кубичес-
кубической решеткой имеет вид:
en(k) = еп@) + 2еп(a) {coskxa + coskya + coskza\,
19

где а—параметр решетки, еп @) — энергия электрона в «-состоянии изо-
изолированного атома. Сравнить эффективные массы электронов в центре и
вблизи вершин зоны Бриллюэна. Доказать, что групповая скорость элек-
электронов на границе зоны Бриллюэна обращается в нуль.
2.41. В однородном кристалле с параметром а энергия электрона опи-
описывается выражением
е(&)=-#- U -cos ka + ± cos 2ka).
ТПои \ 8 о /
Найти эффективную массу вблизи дна энергетической зоны: а) раз-
разложив e{k) по малому параметру ka до членов второго порядка
малости; б) пользуясь соотношениями для средней скорости электрона в
кристалле
d(hk)
2.42. Нижняя граница зоны проводимости висмута (Bi) характери-
характеризуется тензором обратной эффективной массы вида
0
0
0
«УУ
0
0
0
&zz
Определить характер изоэнергетических поверхностей у дна зоны про-
проводимости, если известно, что ахх, ауу, azz — положительные величины.
2.43. У дна зоны проводимости некоторого кристалла энергию элек-
электрона как функцию компонент волнового вектора можно представить в
виде e = axkl + ayky + azk2z.
а) Найти компоненты тензора обратной эффективной массы и урав-
уравнения движения электрона, соответствующие ньютоновским уравнениям
б) Показать, что направление квазиимпульса p = hknQ всегда совпа-
совпадает с направлением скорости v движения электрона в кристалле.
§3. ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ.
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
При распространении упругой волны вдоль одного из направлений
[100], [ill] и [110] кубического кристалла все атомные плоскости сме-
смещаются синфазно. Смещения атомов параллельны направлению распро-
распространения, т. е. волновому вектору д, для продольных волн и перпенди-
перпендикулярны q в случае поперечных волн.
Колебания решетки, состоящей из одинаковых атомов, при сме-
смещении в одном направлении описываются следующими уравнениями
движения:
20

^а{п-й)у^ C.1)
п'
где М —масса атома или иона, у#—смещение атома с «номером» п (пъ
«2, пъ) из положения равновесия, а (п — «О — упругие коэффициенты, вхо-
входящие в выражение потенциальной энергии кристалла в гармоническом
приближении в виде
C.2)
п,п'
Закон дисперсии упругих волн, выражающий зависимость цикличе-
циклической частоты (О от волнового вектора q, для простой решетки описы-
описывается формулой
о2(q) = — 2^ as (I — cossaq), C.3)
s>0
где а —расстояние между соседними шюскос!ями.
Если учитывать взаимодействие только между ближайшими сосе-
соседями, то C.3) сводится к выражению
sin-
2
C.4)
из которого в длинноволновом пределе, когда aq < 1, следует линейный
закон дисперсии
- C.5)
В кристаллах, которые содержат г атомов в элементарной ячейке, для
каждого значения q имеется Ъг нормальных мод (ветвей) колебаний
решетки. Три ветви, частоты которых приближаются к нулю в пределе
длинных волн (д->()), называются акустическими. Остальные (Зг —3)
ветви называются оптическими. Их частоты в длинноволновом пределе
не обращаются в нуль.
Энергия колебаний решетки квантуется. Квант энергии упругой
волны называется фононом. Энергия е и квазиимпульс фонона р опреде-
определяются соотношениями
е = Ш, p = hq. C.6)
Тепловые колебания решетки можно рассматривать как термическое
возбуждение фононов. В состоянии теплового равновесия при темпера-
температуре Г среднее число фононов в квантовом состоянии с частотой со опре-
определяется формулой Планка
«»=—7^—-, C.7)
получающейся из функции распределения Бозе — Эйнштейна с учетом
21

того, что химический потенциал фононного газа вследствие несохране-
несохранения числа фононов равен нулю.
Средняя энергия Ё тепловых колебаний кристаллической решетки в
расчете на 1 моль в приближении теории Дебая как функция темпера-
температуры описывается выражением
Тщт
I
д
в котором первое слагаемое Ео = —- КГД есть энергия нулевых колебаний
8
решетки,
Тд = -*аш._ C.9)
температура Дебая, где ютах—максимальная частота колебаний.
Экспериментальным доказательством квантования энергии упругих
волн явилось наблюдение того, что вклад решетки в теплоемкость кри-
кристаллов приближается к нулю вместе со стремлением температуры к
абсолютному нулю.
Используя соотношение Cv = (-т=г 1 , для молярной теплоемкости Cv
\ ai Iv
решетки получим выражение
При экспериментальном изучении фононного спектра кристалличе-
кристаллических твердых тел применяют метод неупругого рассеяния нейтронов или
рентгеновских лучей на колебаниях решетки. Если при рассеянии ней-
нейтрона его импульс р после рассеяния становится равным р', то для про-
процессов рассеяния с участием фонона с частотой o)q и волновым вектором
q справедливы соотношения
где g—вектор обратной решетки, тпп — масса нейтрона. Знак «+» соответ-
соответствует процессу рождения фонона, знак «—» —процессу поглощения
фонона.
3.1. Получить дифференциальное уравнение малых колебаний
для неограниченной решетки из одинаковых атомов массой М, исполь-
используя упрощенную модель, в которой все атомы смещаются лишь вдоль
оси у.
3.2. Используя модель кристаллической решетки, описанную в
предыдущей задаче, получить для нее закон дисперсии, т. е. функ-
22

циональную связь между циклической частотой со и волновым век-
вектором q.
3.3. Учитывая взаимодействие ближайших соседей и результат пре-
предыдущей задачи, получить закон дисперсии для простой кубической
решетки с постоянной а. Рассмотреть случай длинноволновых колеба-
колебаний, когда qa<\.
3.4. Показать, что в случае простой одномерной решетки при учете
взаимодействия ближайших соседей закон дисперсии имеет вид:
где а — постоянная решетки, а0 — силовая константа си = О.
3.5. Найти дифференциальное уравнение малых колебаний и закон
дисперсии для плоской квадратной решетки, у которой масса атомов
одинакова и они смещаются в направлении, перпендикулярном плос-
плоскости решетки. Считать, что основной вклад в энергию взаимодействия
вносят ближайшие соседи.
3.6. Используя закон дисперсии, приведенный в задаче 3.4, опреде-
определить групповую скорость упругих волн для одномерной решетки из оди-
одинаковых атомов массой М, расстояние между которыми в равновесном
состоянии равно а.
3.7. Для линейной цепочки, состоящей из чередующихся атомов мас-
массами т1 и га2, получить и проанализировать закон дисперсии для нор-
нормальных мод, учитывая взаимодействие между ближайшими соседями.
Упругую константу считать одинаковой и равной /?. Построить также
график зависимости 0){q) для оптической и акустической ветвей при
т1 > т2.
3.8. Предполагая, что скорости распространения продольных vx и
поперечных vt колебаний не зависят от частоты и направления волно-
волнового вектора, найти число акустических фононов в интервале частот
о — (о + do) и температуру Дебая для пространственной решетки, состоя-
состоящей из N одинаковых атомов.
3.9. Оценить скорость акустических волн в кристаллическом натрии
(Na), если известно, что температура Дебая и плотность массы равны
соответственно: Гд = 160 К, 0 = 0,97 г/см3.
3.10. Зная температуру Дебая Тд = 365 К и плотность Q = 5,32 г/см3
германия (Ge), оценить максимальные значения энергии и квазиим-
квазиимпульса акустического фонона, если известно, что германий имеет
решетку типа алмаза.
3.11. Оценить максимальные значения энергии и квазиимпульса
фонона алюминия (А1), если температура Дебая Гд = 374 К, его плот-
плотность Q = 2,7 г/см3, молярная масса [г = 26,98 г/моль. Решетка алюминия
кубическая гранецентрированная.
3.12. Учитывая результат задачи 3.8, получить через температуру
Дебая число акустических фононов для решетки, состоящей из N ато-
23

мов с частотой в заданном интервале & — а + do), и определить наи-
вероятнейшие значения частоты и энергии фонона при температуре,
равной -j-Гд, Гд —температура Дебая. При какой температуре наи-
вероятнейшие значения е и (о равны их максимальным значениям?
3.13. Найти зависимость полного числа фононов в кристалле, состоя-
состоящем из N атомов, от температуры. Рассмотреть предельные случаи,
когда: а) Т>ТД\ б) Т<ТД.
3.14. Из таблицы, в которой указаны приближенные значения темпе-
температуры Дебая для щелочных металлов, видно, что Гд убывает с увеличе-
увеличением атомного номера. Показать, что приведенные данные в основном
согласуются с теорией Дебая.
Металл
Li
400
Na
160
к
100
Rb
65
Cs
55
3.15. Полагая, что скорости распространения поперечных и продоль-
продольных колебаний не зависят от частоты, одинаковы и равны V, найти для
двумерного кристалла —квадратной решетки, содержащей N одинако-
одинаковых атомов, площадью S число колебаний в интервале частот о — о + do
и характеристическую температуру Тд.
3.16. Оценить температуру Дебая для двумерного кристалла, содер-
содержащего 1014 атом/см2, считая скорость тепловых колебаний ~106 см/с.
3.17. Определить приближенно скорость звука в алмазе, зная, что
температура Дебая Гд = 1860 К, решетка кубическая с постоянной
а =1,54-100 м.
3.18. Найти выражение внутренней энергии кристаллической
решетки в зависимости от температуры с учетом энергии нулевых коле-
колебаний. Рассмотреть предельные случаи Т > Тд и Т < Гд.
3.19. Используя результат, полученный в предыдущей задаче, вычис-
¦р
лить отношение —, где Е — энергия решетки при температуре Дебая,
Ео — энергия нулевых колебаний. Найти также изменение энергии
решетки германия Ge, количество вещества которого равно 1 моль, при
нагревании от Г = — Гд до температуры Дебая. Температуру Дебая Ge
положить равной 365 К.
3.20. Найти температурную зависимость решеточной теплоемкости
для твердых тел, имеющих двумерную (слоистую) структуру. Рассмот-
Рассмотреть случай Т < Гд.
3.21. Вычислить энергию «одномерного» кристалла—линейной
цепочки длиной L, состоящей из N одинаковых атомов.
3.22. Показать, что теплоемкость одномерной решетки, содержащей
24

одинаковые атомы, в приближении Дебая в области низких температур
(Г <^ Гц) пропорциональна температуре.
3.23. Используя выражение для внутренней энергии кристалла C.6),
получить зависимость молярной теплоемкости твердого тела от темпера-
температуры в виде
Смоль = 9jLi.
3.24. На основе законов термодинамики показать, что разность удель-
удельных теплоемкостей твердых тел выражается формулой
9а2тТ
Ср~Су = -1^>
где ат — температурный коэффициент линейного расширения, Q — плот-
плотность вещества, х — изотермическая сжимаемость. Оценить разность
(ср — cv) для меди (Си) при комнатной температуре и сравнить ее со зна-
значением Сусп = 390 Дж/(кг • К). Для меди ат и х равны соответственно
1,7 • 1(Г5 К и 1(Г10 м7Дж.
3.25. Найти температурную зависимость среднего квадратичного
уклонения и относительную флуктуацию энергии твердого тела в при-
приближении Дебая в области низких температур.
3.26. Для некоторого элемента, находящегося в кристаллическом
состоянии, теплоемкость Cv при постоянном объеме и температуре
Тх = 373 К равна 16 Дж/(моль • К). Считая температуру Дебая постоян-
постоянной, найти значение Cv при температуре Т2 —173 К.
Указание. Использовать табличные значения функции Дебая.
3.27. Определить максимальную частоту тепловых колебаний
кристаллической решетки меди (Си), у которой при температуре 125 К
теплоемкость Cv отличается от классического значения на 25%.
3.28. Используя табличные значения функции Дебая, найти моляр-
молярную теплоемкость Cv алюминия (А1) при температуре 100 К, если при
температуре 280 К она равна 22,5 Дж/(моль • К).
3.29. Определить температуру Дебая и максимальную энергию
фонона для серебра (Ag), если известно, что при температуре 65 К его
молярная теплоемкость 0^15 Дж/(мольК).
330. Рассматривая процесс рассеяния света прозрачным кристалли-
кристаллическим телом как рассеяние фотонов на фононах, показать, что свет, рас-
рассеянный под углом 0, кроме несмещенной компоненты, содержит две
смещенные линии с частотами 01>2 = & (l ± 2-j sin у), где (У —частота
падающего света, г/ —скорость звука, с—скорость света в данном
веществе.
Указание. Использовать законы сохранения энергии и импульса,
полагая вектор обратной решетки равным нулю.
25

§4. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Периодическое поле кристаллической решетки существенным обра-
образом изменяет характер энергетического спектра электронов металла по
сравнению с энергетическим спектром свободных электронов. Однако
при рассмотрении электронов проводимости для большинства металлов
можно использовать в первом приближении изотропный квадратичный
зако*н дисперсии
где е(k) — кинетическая энергия электрона с волновым вектором
&, т* —его эффективная масса.
В соответствии с принципом Паули числа заполнения электронами
состояний, характеризующимися волновым вектором k и проекцией
спина sZ9 равны либо 0, либо 1. Поэтому равновесная функция распреде-
распределения электронов /о (?&) с заданной проекцией спина представляет собой
функцию распределения Ферми —Дирака
/ofo)=-^ , D.2)
ek°T +l
химический потенциал или энергия Ферми. При температуре, равной
абсолютному нулю, энергия Ферми tj0 равна:
\2/3 N ....
) '*=~^ D-4)
Внутренняя энергия вырожденного электронного газа, содержащего N
частиц, при температуре Г определяется формулой
Во внешнем электрическом поле на тепловое движение электронов
накладывается дрейфовое движение со скоростью vd9 которая опреде-
определяет плотность тока согласно соотношению
/ = eonvd. D.6)
Дрейфовая скорость, рассчитанная на единицу напряженности электри-
электрического поля, называется дрейфовой подвижностью
^ = f. D.7)
В соответствии с законом. Ома f=o? удельная электропроводность о
выражается через дрейфовую подвижность равенством
о = е0 nixd. D.8)
26

Чтобы выразить подвижность через время релаксации т, надо рассчи-
рассчитать плотность тока с помощью неравновесной функции распределения
f(e), удовлетворяющей в стационарном случае кинетическому уравнению
Больцмана:
X + X
дг т* dv
D.9)
Электропроводность металлов вследствие сильного вырождения элек-
электронного газа связана со временем релаксации т соотношением
D.10)
D.11)
Тогда для подвижности справедлива формула
Вследствие того что в переносе теплоты в металлах определяющую
роль играют электроны, электропроводность о и теплопроводность %
подчиняются закону Видемана—Франца:
D.12)
где L0 = -y-
Вт. Ом/К2 - число Лоренца.
В проводнике, помещенном в однородное магнитное поле индук-
индукцией 23, перпендикулярной плотности тока (рис. 6), возникает холловская
разность потенциалов L(p = q>l — q>2^ 0. В слабом магнитном поле, для
которого выполняется неравенство (ла^< 1> холловская разность потен-
потенциалов пропорциональна плотности тока и магнитной индукции:
где Ъ — ширина пластины,
Я1
н ==
еоп
D.13)
D.14)
— постоянная Холла.
При наличии в проводнике гра-
градиента температуры в нем возни-
возникают термоэлектрические эффекты:
эффект Зеебека, эффект Пельтье и
эффект Томсона.
Эффект Зеебека заключается в
том, что в замкнутой цепи, состоя-
состоящей из двух различных проводни-
проводников, места соединений которых под-
поддерживаются при разных температу-
Рис. 6.
27

pax, возникает термоэлектрический ток. На концах такой разомкнутой
цепи появляется разность потенциалов ST или термоэдс. Разность потен-
потенциалов, зависящая от проводника и температуры, характеризуется абсо-
абсолютной дифференциальной термоэдс а:
D-15)
где ^ — потенциал электрического поля, в—заряд носителей тока. В слу-
случае металлов е = — е0. Обычно явление Зеебека сопровождают термо-
термоэлектрические явления Пельтье и Томсона, характеризующиеся коэффи-
коэффициентами П и тт соответственно. Между термоэлектрическими коэффи-
коэффициентами справедливы соотношения Томсона:
П = аТ, D.16)
тг = Г^. D.17)
4.1. Предположим, что в зоне проводимости металла с простой
кубической решеткой энергетический спектр электронов имеет вид
h2k2
€ = ~2тп*> где т* ~~ эФФективная масса. Найти зависимость плотности
состояний g(c) от энергии. При какой энергии поверхность Ферми кос-
коснется границы зоны Бриллюэна?
4.2. Найти интервал (в электрон-вольтах) между соседними энергети-
энергетическими уровнями электронов проводимости вблизи уровня Ферми при
абсолютном нуле температуры для серебра (Ag), если объем металла
V = 1 см3, т* = т0 и на каждый атом приходится один свободный
электрон.
4.3. Считая поверхность Ферми серебра сферой, вычислить: а) радиус
сферы Ферми kF в ^-пространстве; б) площадь поперечного сечения
сферы Ферми; в) скорость электронов с энергией Ферми.
Плотность и атомный вес серебра (Ag) равны соответственно
Q = 10,5 г/см3, А = 107,87. Эффективную массу электрона принять равной
массе свободного электрона т0.
4.4. Вычислить энергию Ферми электронов проводимости при абсо-
абсолютном нуле температуры для натрия (Na) и лития (Li), полагая, что
эффективная масса электрона т* в обоих случаях равна массе свобод-
свободного электрона т0.
4.5. Получить с помощью распределения Ферми выражение для мак-
максимальной кинетической энергии электронов проводимости в металле
при абсолютном нуле температуры, если их концентрация равна п.
Вычислить *4ах Д™ золота, считая, что на каждый атом приходится один
свободный электрон и т* = 1,2т0.
4.6. Найти суммарную кинетическую энергию электронов прово-
проводимости золота объемом 1 см3 при Т = 0 К, считая справедливыми усло-
28

вия предыдущей задачи и плотность состояний g{e) пропорциональной
у? (?—энергия электрона).
4.7. Вычислить температуру идеального газа, у которого средняя
кинетическая энергия частиц равна средней кинетической энергии
электронов серебра при абсолютном нуле температуры. Считать,
что на каждый атом серебра приходится один свободный электрон
И Ш* = 7П0.
4.8. При расчетах часто пренебрегают различием значений энер-
энергии Ферми rj при температуре Т и энергии Ферми 7]0 при То = О К.
Оценить в процентах отношение —гг-2" для серебра при Т = 300 К, пред-
40
полагая, что m* = mQ и на каждый атом приходится один свободный
электрон.
4.9. Объяснить, почему теплоемкость газа свободных электронов
при низких температурах Т<Те (Те—температура вырождения)
много меньше, чем для газа, состоящего из классических частиц.
с(е)
Чему приближенно равняется отношение -?- для натрия (Na) при
Скл
Г = 300 К?
4.10. Показать, что давление электронного газа в металле выра-
2 Е
жается через его кинетическую энергию Е соотношением Р = у у,
V —объем металла. Найти давление электронного газа в металлическом
натрии при абсолютном нуле температуры, считая, что эффективная
масса электрона уп* = пг0, пг0 — масса свободного электрона.
4.11. Исходя из модели свободных электронов, показать, что
число электронов, вылетающих за секунду с единичной площади
поверхности металла со скоростью (v — v + dv), определяется вы-
выражением
где Авых — работа выхода электрона из металла. Считать, что
Лых > k0T.
4.12. Используя результат, полученный в предыдущей задаче, найти
плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии из металла,
имеющего работу выхода Авых и нагретого до температуры Г.
4.13. Вычислить силу тока термоэлектронной эмиссии от серебряной
проволоки длиной 5 см и диаметром 2 мм, нагретой до температуры
2000 К. Указать также один из способов экспериментального определе-
определения работы выхода электронов из металла, основанный на изучении
явления термоэлектронной эмиссии.
4.14. С помощью формулы Ричардсона —Дэшмана найти работу
выхода металлического катода, если известно, что при нагревании его
29

от температуры Тх = 1500 К до температуры Т2 = 2000 К термоэмиссион-
термоэмиссионный ток увеличивается в 5 • 103 раз.
4.15. Для лития (Li) работа выхода равна 2,36 эВ, а плотность
qu = 0,534 г/см3. Вычислить потенциальную энергию Uo (глубину потен-
потенциальной ямы) электронов в литии.
4.16. Металл I имеет глубину потенциальной ямы для электронов
Uo = 4 эВ и энергию Ферми т]0 = 3 эВ, для металла II С70 = 3,5 эВ
и т]о = 2 эВ. Какова будет контактная разность потенциалов, если эти
металлы привести в соприкосновение? Какой из металлов будет иметь
более высокий потенциал?
4.17. Используя известные значения энергии Ферми для Na
/7О = 3,2 эВ и удельной электропроводности вблизи абсолютного нуля
о = 2,3 • 107 Ом м, оценить время релаксации электронов проводи-
проводимости, если га* = т0.
4.18. Энергия Ферми калия (К) rj0 — 2,1 эВ, а электропроводность
при Т = 0К а = 1,6 107 Ом^м. Рассчитать с помощью этих данных
среднюю длину свободного пробега Л электронов проводимости, пола-
полагая т* = т0.
4.19. Концентрация электронов в одновалентном стандартном
металле Пиппарда равна 6,0 • 1028 м~3. Покажите, что при средней длине
свободного пробега Л электропроводность такого металла равна
а =1,21.10" Л Ом м.
4.20. По медной проволоке с площадью поперечного сечения S = 0,01
см2 проходит ток / = 20 А. Оценить скорость дрейфа электронов в элек-
электрическом поле и сравнить ее со скоростью Ферми при Т = 0 К. Считать,
что m* = m0.
4.21. В случае натрия (Na) электропроводность при Г = 300 К равна
2,17-107 Ом!* и т* = 1,2т0. Вычислить: а) среднюю длину свобод-
свободного пробега электрона при Т = 300 К; б) дрейфовую скорость в поле
напряженностью 100 В/м; в) расстояние, на которое переместится элек-
электрон в нити накала лампы длиной 1 м, если к ней приложено переменное
напряжение НО В с частотой 60 Гц.
4.22. Используя кинетическое уравнение Больцмана в приближении
времени релаксации и считая т скалярной функцией энергии электрона,
е^пт (rj)
показать, что электропроводность о = —^j* > где п — концентрация
электронов проводимости.
4.23. Показать, что коэффициент электронной теплопроводности
ке металлов с изотропным квадратичным законом дисперсии е (k) и ска-
скалярным временем релаксации т(е) определяется формулой
*e = — I л* —
где
30

/о(^) — равновесная функция распределения Ферми —Дирака, т* — эффек-
эффективная масса.
4.24. Показать, что в случае изотропного квадратичного закона дис-
дисперсии и изотропного рассеяния, характеризующегося временем релакса-
г—L
ции т = roe 2 (т0 не зависит от энергии, а г —постоянное число), спра-
справедлив закон Видемана—Франца:
где
= -=- —- — число Лоренца.
4.25. Используя экспериментальные значения электропроводно-
электропроводности о и теплопроводности тс некоторых металлов при комнатной тем-
температуре B93 К), приведенные в таблице, и считая справедливым
закон Видемана—Франца, вычислить экспериментальное значение
чисел Лоренца и сравнить их с теоретическим значением
Lo = 2,45-1(T8(Bt.Om)/K2.
Металл
0, Ю'Ом-'м
х, Дж/(м.с-К)
Ag
6,15
459,8
Си
5,82
384,6
Аи
4,03
296,8
А1
3,55
209
Cd
1,30
100,3
Ni
1,28
58,5
Fe
1,00
66,9
4.26. Удельное сопротивление чистой меди при температуре 273 К
Qcu^ 1,55 • 10~8 Ом • м возрастает примерно на 10~8 Ом • м при добавлении
1 % атомов одновалентной примеси в твердом растворе. Предполагая
случайное распределение примесей и считая их сферическими рассеи-
рассеивающими центрами, оценить из приведенных данных среднюю длину
свободного пробега электронов, обусловленную рассеянием на при-
примесях, найти также сечение рассеяния примесей. На сколько процентов
уменьшается электропроводность при введении примесей?
4.27. Пластинка из серебра шириной Ъ = 2 см и толщиной d = 0,6 мм
помещейа в однородное магнитное поле индукцией В = 1Тл, перпенди-
перпендикулярной широкой грани. Вдоль пластинки течет ток / = 30 А. Разность
потенциалов, обусловленная эффектом Хотла, равна 10 мкВ, соответ-
соответствующая напряженность поля Холла образует правовинтовую систему
с векторами / и В. Найти постоянную Холла, знак заряда носителей
и их концентрацию. Заряд носителя по модулю считать равным
ео = 1,6-КГ19Кл.
4.28. При комнатной температуре Т = 293 К холловская подвижность
электронов и постоянная Холла натрия (Na) соответственно равны
5,3 • 10~3 м2/(В • с) и —2,5 • 10~10 м3/Кл. Согласуются ли эти данные с элек-
электропроводностью Na а = 2,17 Ю7 Ом м при комнатной температуре?
4.29. Постоянная Холла алюмийия (А1) равна приблизительно
-0,3 • 10~10 м3/Кл. Сколько электронов в расчете на 1 атом участ-
31

вуют в проводимости? Какие сведения можно отсюда извлечь отно-
относительно энергетической зонной структуры кристаллического алю-
алюминия?
4.30. С помощью кинетического уравнения Больцмана в приближе-
приближении времени релаксации, считая т скалярной функцией энергии элек-
электрона, получить выражение для дифференциальной термоэдс.
4.31. Используя результат предыдущей задачи и считая т(е) = хое^,
где то = const, показать, что абсолютная дифференциальная термоэдс
металлов определяется выражением
где rj — энергия Ферми.
Закон дисперсии e(k) считать изотропным квадратичным ? = 2^
4.32. Оценить абсолютную дифференциальную термоэдс натрия (Na)
и меди (Си) при комнатной температуре (Г = 293 К), зная, что энергия
Ферми tjq для них равна соответственно 3,2 эВ и 7,04 эВ.
4.33. Используя значения энергии Ферми для серебра 77а8 = 5,5 эВ и
золота г]Аи = 4,7 эВ, определить для них коэффициенты Пельтье и Том-
сона при температуре Г = 300 К.
§5. ПОЛУПРОВОДНИКИ
Электронные свойства однородных полупроводников
В кристалле полупроводника при температуре абсолютного нуля все
энергетические уровни валентной зоны заполнены электронами, а
уровни зоны проводимости свободны. Эти зоны разделены запрещенной
зоной, ширина которой Eg у разных полупроводников может иметь значе-
значения от сотых долей до 2 эВ. При температурах, отличных от абсолют-
абсолютного нуля, часть электронов переходит из валентной зоны в зону про-
проводимости.
Концентрации электронов п в зоне проводимости и дырок р в валент-
валентной зоне определяются формулами
E.1)
E.2)
в которых интегрирование по волновому вектору распространяется на
зону Бриллюэна, fn (s*) и fp (ец) — 1 — fn (г^) — функцрш распределения
электронов и дырок соответственно.
Дефекты в кристалле создают локальные энергетические уровни в
запрещенной зоне. Примесные энергетические уровни атомов элементов
32

V группы в кристалле германия (Ge) или кремния (Si) располагаются
вблизи дна зоны проводимости. Поскольку энергия активации таких
уровней значительно меньше ширины запрещенной зоны, то при невысо-
невысоких температурах проводимость обусловливается электронами, которые
переходят с донорных уровней в зону проводимости. Такой полупровод-
полупроводник называется полупроводником и-типа. Примесные локальные уровни
атомов элементов III группы в кристалле Ge (или Si) располагаются
вблизи потолка валентной зоны. Энергетические уровни примесей в этом
случае являются акцепторными, а полупроводник, содержащий такие
примеси, называется полупроводником р-типа.
Химический потенциал или уровень Ферми г] полупроводника опре-
определяется из уравнения электрической нейтральности
Р + 2Ж- = я, E.3)
/'
где N; — концентрация примесных ионов с зарядовым числом Z;.
Концентрации ионизованных однозарядных атомов акцепторной
Na(Za = — 1) и донорной N;f(Zd=+l) примесей выражаются через
концентрации нейтральных примесных атомов Na и Nd соотношениями
E.4)
N+d= ^ -, E.5)
()
гДе & (&) *~ фактор вырождения примесного уровня, Еа (Ed) — энергия
акцепторного (или донорного) уровня.
В случае простой параболической зоны, характеризующейся изотроп-
изотропным квадратичным законом дисперсии
E-6)
(га* — эффективная масса электронов), концентрация электронов в
зоне проводимости невырожденного полупроводника определяется
формулой
E.7)
в которой величина
»>=2Щ-Т E-8)
называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости.
33
2 Заказ 295

При тех же условиях концентрация дырок в валентной зоне выра-
выражается равенством
Еа + Г}
p = Nve-hr, E.9)
/ m*knT \3/2
где Eg—ширина запрещенной зоны, Nv = 2 1 р °2 1 —эффективная
плотность состояний в валентной зоне.
Для невырожденного полупроводника справедлив закон дейст-
действующих масс
^^iS^jV*»,, E.10)
где п{i — концентрация равновесных носителей в собственном полупро-
полупроводнике. Электропроводность о и коэффициент Холла RH полупровод-
полупроводника выражаются через дрейфовые подвижности электронов \in и дырок
\iv соотношениями
o = eQ{wn + piip), E.11)
E.12)
где гн —фактор Холла, зависящий от механизма рассеяния.
Свободные электроны и дырки, не находящиеся в термодинамиче-
термодинамическом равновесии, называются неравновесными носителями заряда. Воз-
Возникновение неравновесных носителей приводит к изменению проводи-
проводимости полупроводника:
<7 = ат + Да, E.13)
где ат —темновая проводимость,
Да = е0 (Ащп + Др^р) - E.14)
фотопроводимость, Дя и Др—концентрации неравновесных электронов
и дырок соответственно.
Релаксация неравновесных носителей в простейшем случае описы-
описывается уравнениями
i!L _ АН (* i <n
dt "" тп ' (ЬЛЬ^
dp Др
dt " " Tp ?
где тп, (тр) — время жизни электронов (дырок) по отношению к рекомби-
рекомбинации.
5.1. Слиток германия изготовлен из сплава германия массой
100 г и сурьмы массой 6,44 • 10" г. Предполагая, что сурьма рас-
распределилась по образцу равномерно, вычислить концентрацию ато-
34

мов сурьмы. Плотность германия 5,46 г/см3, атомная масса сурьмы
121,75 г/моль.
5.2. Применяя модель атома Бора для описания состояний при-
примесных атомов, оценить радиус электронной «орбиты» пятивалентных
примесных атомов в германии, если относительная диэлектрическая
проницаемость германия г' = 16 и эффективная масса электронов
m* = 0,5m0, m0—масса покоя электрона.
5.3. Антимонид галлия (GaSb) имеет запрещенную зону шириной
Eg = 0,8 эВ и г/= 15,2. Эффективные массы электронов и дырок этого
полупроводника равны соответственно т* = 0,047т0 и тр = 0,4т0.
Найти энергии ионизации доноров и акцепторов для основного состоя-
состояния примесей в GaSb и сравнить их с энергией генерации пары
электрон + дырка.
5.4. Определить положение уровня Ферми в собственном невырож-
невырожденном полупроводнике, если известно, что ширина запрещенной зоны
линейно зависит от температуры: Eg = Е® — ?Т, где € = const > 0.
5.5. Показать, что концентрация электронов в зоне проводимости
невырожденного беспримесного полупроводника определяется выраже-
выражением
где Eg — ширина запрещенной зоны, т* и т* — эффективные массы
электронов и дырок соответственно.
5.6. Концентрация электронов в собственном полупроводнике при
температуре 400 К оказалась равной 1,38 • 1021 м. Найти произведение
эффективных масс электрона и дырки, если известно, что ширина запре-
запрещенной зоны в зависимости от температуры меняется по закону
Eg = @,785-4-10-4T) эВ.
5.7. Считая ширину запрещенной зоны кремния (Si) не зависящей от
температуры и равной 1,10 эВ, найти химический потенциал и концентра-
концентрацию электронов и дырок в области собственной проводимости при тем-
температурах 7\ = 300К и Г2 = 400К, если ^ = 6 и -^ = 0,8 (га0-масса
свободного электрона).
5.8. Оценить химический потенциал и концентрацию носителей
кристаллического беспримесного германия (Ge) при температуре
300 К, если ширина запрещенной зоны ?g = 0,68 эВ и эффективные
массы электронов и дырок принять равными массе свободного элек-
электрона га0.
5.9. Используя результаты предыдущей задачи и известные зна-
значения подвижностей электронов и дырок ^„ = 0,39 м2/(В-с) и
jUp = 0,19m2/(B-c) германия, оценить удельную электропроводность
при температуре 300 К. Какова должна быть напряженность
электрического поля, чтобы плотность тока в таком образце была
равна 10 А/см2?
35

5.10. Исследовать температурную зависимость энергии Ферми невы-
невырожденного примесного полупроводника, содержащего один тип одно-
одновалентной донорной примеси с концентрацией атомов Nd. Энергия
донорного уровня Ed.
5.11. Найти концентрацию электронов в полупроводнике с одним
типом одновалентных доноров в примесной области с концентрацией
атомов Nd. Кратность вырождения энергетического примесного уровня
Ей равна gd.
5.12. Определить концентрацию электронов в кристаллическом гер-
германии при температуре 300 К, если образец содержит примесь атомов
сурьмы с концентрацией 2 • 1021 м, кратность вырождения примесного
уровня gd = 2 и глубина его залегания по отношению к дну зоны про-
проводимости характеризуется энергией 0,01 эВ.
5.13. Исследовать температурную зависимость химического потен-
потенциала в примесной области невырожденного полупроводника, содержа-
содержащего один тип одновалентных акцепторов с концентрацией атомов Na.
Энергия акцепторного уровня ?а, кратность вырождения ga.
5.14. Используя кинетическое уравнение в приближении времени
релаксации т и считая его (г) функцией скорости, показать, что электро-
электропроводность невырожденного полупроводника выражается через кон-
концентрации носителей п, р и их подвижности \in, \ip формулой
о = е0 (щп + р(лр).
5.15. Найти температурную зависимость подвижности электронов
невырожденного полупроводника, если известно, что основным меха-
механизмом рассеяния электронов является их рассеяние на акустических
колебаниях решетки, для которого время релаксации пропорционально
(Tv)~ \ где v — скорость электрона.
5.16. В кристалле кремния (Si) массой 120 г распределены равно-
равномерно по объему фосфор (Р) массой 25,7 • 10~6 г и галлий (Ga) массой
38,2 • КГ6 г. Считая атомы примеси полностью ионизованными и извест-
известными подвижности носителей ^/„ = 0,12 м2/(В-с), fip = 0,05 м2/(В-с),
вычислить удельное сопротивление кристалла. Плотность кремния
равна 2,33 г/см3.
5.17. Красная граница фотопроводимости чистого беспримесного
германия (Ge) при низких температурах соответствует длине волны
Яо= 1,7 мкм. Используя эти данные, вычислить температурный коэффи-
1 dg
циент удельного сопротивления а0 = —-^- германия при комнатной
е Q иТ
температуре Т = 293 К.
5.18. Известно, что удельное сопротивление чистого теллура (Те)
при нагревании его от Тх = 300 К до Т2 = 400 К уменьшается примерно
в 5,2 раза. Определить минимальную энергию образования пары
электрон — дырка в чистом теллуре при абсолютном нуле тем-
температуры.
5.19. Подвижность электронов в беспримесном германии при
36

температуре 300 К равна 3800 см2/(В • с), отношение подвижностей
электронов и дырок Ъ = — = 2,1, эффективные массы носителей можно
Vp
считать не зависящими от температуры и равными т* = 0,56ш0,
га* = 0,37га0. Найти удельную проводимость германия при температурах
Тх = 300 К и Г2 = 30 К, если подвижности пропорциональны Г~3/2,
а ширина запрещенной зоны изменяется в зависимости от температуры
по линейному закону Eg = @,75 — 4 • 10~4 Т) эВ.
5.20. Определить дрейфовую подвижность и концентрацию электро-
электронов проводимости в германии и-типа, если известно, что его удельное
сопротивление и постоянная Холла при выбранных условиях равны
соответственно Q = 1,8 • 10~2 Ом • м, Ru = 8,2 • 10~3 м3/Кл. Рассеяние
носителей решеточное.
5.21. Пластинку из полупроводника р-типа шириной d = 0,5 см и дли-
длиной а = 2 см поместили в однородное магнитное поле индукцией
В = 0,2 Тл, перпендикулярное ее верхней грани (см. рис. 6). Определить
постоянную Холла и дрейфовую подвижность дырок, зная, что удельное
сопротивление образца Q = 0,03 Ом • м и при продольном напряжении на
концах 12 В возникает холловская разность потенциалов А^н = <рг — ф2,
равная 0,06 В. Рассеяние носителей решеточное.
5.22. В некотором образце германия, у которого подвижность элек-
электронов в 2,1 раза больше подвижности дырок, эффект Холла не наблю-
наблюдается. Найти для такого образца отношение концентрации электро-
электронов п к концентрации дырок р и долю электропроводности, обусловлен-
обусловленную электронами.
5.23. В полупроводниковом образце и-типа плотность тока вдоль
оси у (см. рис. 6) )у — 0,2 А/см2. Вектор магнитной индукции направлен по
оси 2, а его модуль В = 0,1 Тл. Определить напряженность поля Холла,
постоянную Холла, если известно, что концентрация электронов
п = 1015 см. Рассеяние решеточное.
5.24. Определить постоянную Холла в полупроводниковом образце
при температуре 300 К, содержащем акцепторную примесь концентра-
концентрацией Na = 5-1016см, если известно, что -^- = 80, равновесная кон-
Ир
центрация носителей в собственном полупроводнике пг— 1,6- 101бсм~3,
магнитное поле слабое; рассеяние решеточное, примеси полностью
ионизованы.
5.25. Используя закон действующих масс, показать, что удельная
электропроводность невырожденного примесного полупроводника
минимальна при концентрации электронов п = -#¦, где щ — концентра-
концентрация носителей зарядов в собственном полупроводнике, Ъ = — — отноше-
i*p
ние подвижностей электронов и дырок. Чему равен в этом случае коэф-
коэффициент Холла?
5.26. Удельное сопротивление чистого беспримесного германия при
37

комнатной температуре Qo = 0,6 Ом • м. После включения источника
света оно стало ?i = 0,5 Ом • м> а через промежуток времени t = 5 • 10~2 с
после выключения источника—?2 = 0,58 Ом м. Найти среднее время
жизни электронов и дырок.
5.27. В момент времени ?1 = 2-10'~4с после выключения равномер-
равномерной по объему генерации электронно-дырочных пар неравновесная кон-
концентрация носителей оказалась в k = 8 раз больше равновесной. Опре-
Определить среднее время жизни электронов и дырок по отношению к реком-
рекомбинации.
5.28. Используя выражение для полной плотности электрического
тока электронов и дырок с учетом дрейфа и диффузии, получить в общем
случае соотношения между подвижностями (лп, /гр -и коэффициентами
диффузии Dn, Dp в виде Dn = т" , Dp = —~^-, где rj — химический
е0 —
потенциал полупроводника.
5.29. Показать, что в случае невырожденных полупроводников спра-
_ „ =
5.30. Вычислить коэффициент диффузии при Т = 300 К в невырож-
невырожденном германии, если известно, что (лп = 3800 см2/(В • с). Получить
выражение для коэффициента диффузии вырожденного электронного
газа в полупроводнике, если зависимость энергии от волнового вектора
представляется квадратичным изотропным законом дисперсии вида
2m* '
5.31. Предполагая, что время релаксации носителей характеризуется
степенной зависимостью от энергии т = то?5(то и s — постоянные), пока-
показать, что абсолютная термоэдс невырожденных примесных полупровод-
полупроводников определяется формулой а = — (s + -7 — т^ I > гДе Л ~~ химический
б \ ^ k0T I
потенциал, е — заряд носителей тока.
5.32. Показать, что в примесном полупроводнике с носителями
двух типов дифференциальная термоэдс выражается соотношением
а = a?oJ ^ а^°п ; в частности, в области собственной проводимости при
р = п величина а = прг++ ?п , где b-jf-; an, оп, ^„-дифференциаль-
^„-дифференциальная термоэдс, удельная электропроводность и подвижность электронов;
ар, ору {ip — аналогичные величины для дырок.
Контактные явления
В приконтактной области двух разнородных кристаллических твер-
твердых тел возникает ряд новых физических явлений, обусловленных обме-
обменом через границу раздела свободных носителей заряда.
38

При контакте двух металлов различают внешнюю контактную
разность потенциалов, выражающуюся через работы выхода электронов
из первого Ai и второго металла ^2 формулой
УЛ {А2АХ1
и внутреннюю контактную разность потенциалов
E.16)
*ъ> E.17)
где «1 и «2 —концентрации свободных электронов в металлах.
В месте контакта металла с полупроводником, обладающим меньшей
работой выхода по сравнению с металлом, образуется запорный слой с
односторонней проводимостью. Контактное поле запорного слоя
искривляет энергетические уровни полупроводника. Уравнение вольт-
амперной характеристики выпрямляющего контакта имеет вид:
| ер I VI
-1),
E.18)
где знак «+» соответствует прямому направлению внешнего поля,
знак «—» — обратному, Is — ток насыщения.
Контакт двух полупроводников с различным типом проводимостей
получил название электронно-дырочного перехода или р — «-перехода.
Вольт-амперная характеристика идеального р — «-перехода (рис. 7)
определяется тем же уравнением E.18). Ток насыщения р —«-перехода
Is равен:
Is = e0S (-^ + пг^), E.19)
где S — площадь перехода; Ln, Lp, Dn, Dp — диффузионные длины
и коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно; «р, р„ —
равновесные концентрации неосновных
носителей.
Вольт-амперная характеристика E.18)
получена для одномерной модели р — «-
перехода при установившемся режиме в
отсутствие генерации и рекомбинации
носителей в нем и в предположении, что
все поле сосредоточено внутри перехода
(идеальный р — «-переход).
Контактная разность потенциалов VK
р — «-перехода для невырожденных
полупроводников
ством
определяется равен-
39
ео Щ Рис. 7.

где «„, рр—концентрации основных носителей, «,— концентрация соб-
собственных носителей.
В области р — w-перехода находятся неподвижные, нескомпен-
сированные положительно заряженные доноры с концентрацией
N1 и отрицательно заряженные акцепторы, концентрация которых JV",
создающие электрическое поле. В результате р — «-переход ведет себя
как конденсатор определенной емкости, называемой барьерной
емкостью.
Барьерная емкость резкого р — «-перехода, вне которого заряды
ионизованных примесей полностью скомпенсированы, определяется
зарядами собственных носителей, а внутри него, где нет подвижных
зарядов,—формулой емкости плоского конденсатора
Сб = ^, E.20)
где ?а — абсолютная диэлектрическая проницаемость полупроводника,
S — площадь и Л — толщина р — «-перехода.
Электронно-дырочный переход может служить источником ЭДС,
преобразующим лучистую или тепловую энергию в электрическую
(полупроводниковые фото- и термоэлементы), а также может быть
использован для усиления и генерирования высокочастотных токов
(транзисторы).
5.33. Используя известные значения работ выхода электронов
из металлов, показать, что при комнатной температуре внешняя кон-
контактная разность потенциалов двух металлов Va гораздо больше
внутренней Viy если отношение концентраций свободных электронов
равно -^- = 3.
5.34. Считая толщину двойного электрического слоя, возникаю-
возникающего в месте контакта двух металлов, порядка постоянной решетки
d « 3 А, контактную разность потенциалов порядка 1 В, а концентрацию
свободных электронов равной «« 1023м~3, оценить изменение концен-
концентрации электронного газа в контактном слое. Как влияет это изменение
на электропроводность контактного слоя?
5.35. Оценить толщину двойного электрического слоя, возникаю-
возникающего в месте контакта металл — полупроводник, если концентрация сво-
свободных электронов в полупроводнике « « 1021 м~3, его относительная
диэлектрическая проницаемость е'« 10, контактная разность потенциа-
потенциалов VK« 1 В, постоянная решетки d = 5 А, а из полупроводника в металл
(S = 1 м2) перетекает А« « 1017 электронов. Показать, что такой слой дол-
должен обладать удельным сопротивлением, значительно превосходящим
сопротивление объема полупроводника.
5.36. Используя формулу Ричардсона — Дэшмана для термотока, про-
протекающего из металла в полупроводник и из полупроводника в металл,
найти уравнение вольт-амперной характеристики выпрямляющего кон-
контакта металл — полупроводник.
40

5.37. Вычислить сопротивление запорного слоя металл —полупро-
—полупроводник постоянному току при малых положительных смещениях и ком-
комнатной температуре, т. е. когда e0V < k0T, если обратный ток насыщения
при данной температуре /s = 10mkA.
5.38. Найти дифференциальное сопротивление выпрямляющего
контакта металл —полупроводник в зависимости от температуры при
нулевом смещении и указать путь экспериментального определения кон-
контактной разности потенциалов.
5.39. Найти концентрацию дырок в р-области для германиево-
германиевого перехода при комнатной температуре, если контактная раз-
разность потенциалов Ук=0,32 В, концентрация электронов в и-области
пп = 1015 см" 3, а концентрация собственных носителей nt = 2-1013 см.
5.40. Найти зависимость контактной разности потенциалов VK
р - «-перехода от удельных проводимостей оп, ор и подвижностей //„, \хр
электронов и дырок.
5.41. Определить толщину идеального р - и-перехода при ступенча-
ступенчатом изменении концентрации ионизованных примесей:
JV" (х) - N - N - I ~Ро' х<0>
iV W-iVd iV.- |N x>Q
Ось х направлена перпендикулярно плоскости перехода, а начало
координат выбрано в плоскости контакта. Рассмотреть случай, когда
5.42. Определить толщину идеального р — и-перехода в случае, когда
концентрации ионизованных примесей меняются по линейному закону:
N (х) = Nd — N& = ах, где а — const. Ось х и начало координат выбраны,
как и в предыдущей задаче.
5.43. Найти контактную разность потенциалов р — гс-перехода при
температуре Г = 300 К с линейным законом изменения концентрации
примесей, если градиент концентрации а = 1019 см, толщина перехода
ft = 1,7 мкм, а концентрация собственных носителей при данной темпера-
температуре щ = 2 • 1013 см.
5.44. Вычислить силу тока, проходящего через идеальный р — и-пере-
ход при комнатной температуре, если площадь перехода S = 1 мм2,
коэффициент диффузии дырок Dp = 50 см2/с, их среднее время жизни
тр = 3,0 • 1022 с, оп < ор = 5 (Ом • см), rif — 10м см. На переход подано
напряжение в пропускном направлении V = 0,3B.
5.45. Из полупроводника р-типа с концентрацией дырок рр - 1016 см
и полупроводника n-типа, проводимость которого оп — 2 (Ом • см),
изготовлен р - и-переход. Рассчитать отношение дырочного тока к элек-
электронному, если известны подвижность дырок /гр= 1000см2/(Вс),
диффузионные длины дырок и электронов Lp = 10~2cm, Lii = 10cm.
Переход считать идеальным.
5.46. Диод с р — л-переходом изготовлен из материала, для кото-
которого известны отношение диффузионных длин и проводимостей:
41

¦7й* = 10, -^ = 12. Считая р — «-переход идеальным, определить,
во сколько раз электронный ток меньше дырочного.
5.47. Из температурной зависимости обратного тока насыщения
плоскостного диода /s = Се к°т, где С = const, найти ширину запрещен-
запрещенной зоны Eg материала диода.
5.48. Используя вольт-амперную характеристику резкого р — и-пере-
хода, вычислить при Т = 290 К и положительном напряжении V = 0,1 В
плотность тока через р — «-переход, если плотность тока насыщения
равна 1А/м2.
5.49. Индий вплавляется в кристалл германия, содержащий мышьяк
в количестве 1015 атом/см3. После охлаждения сплава индия в нем содер-
содержится 1017 атом/см3. Вычислить разность потенциалов на таком р — п-
переходе при Т = 300 К, предполагая, что все примеси ионизованы и кон-
концентрация носителей в собственном полупроводнике равна 2,4 • 1013 см.
5.50. Найти выражение для барьерной емкости р — «-перехода, харак-
характеризующегося ступенчатым распределением примесей (см. задачу 5.41).
Рассмотреть случай po>Non указать способ экспериментального опре-
определения концентрации примесей в базе, т. е. ЛГ0.
5.51. Определить барьерную емкость р — «-перехода с линейным
законом распределения примесей в нем (см. задачу 5.42). Указать путь
экспериментального определения градиента концентрации примесей.
5.52. Найти фотоэдс полупроводникового фотоэлемента в зависи-
зависимости от тока короткого замыкания /ф и тока насыщения /s. Рассмотреть
частный случай, когда /ф<^/8.
§6. ПОЛЯРИЗАЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
Электрическое состояние диэлектрика в электрическом поле € ха-
характеризуется вектором поляризации Р, который определяют равенством
где pi-, — электрический дипольный момент i-й молекулы из объема V.
В случае ионного кристалла под pt следует понимать электрический
момент элементарной ячейки.
По механизму поляризации различают:
а) Диэлектрики с квазиупругими диполями. В отсутствие внеш-
внешнего электрического поля молекулы таких диэлектриков не обла-
обладают электрическими моментами. Но во внешнем поле появляются
дипольные моменты, пропорциональные напряженности действующего
поля ёд:
р = аеоёп. F.2)
42

Коэффициент а называется поляризуемостью молекулы. Поскольку
действующее (локальное) поле ?п связано с макроскопическим € соот-
соотношением
8п = ё + аР, F.3)
где а = const и в некоторых случаях а = —, то для диэлектриков с
квазиупругими диполями справедливо соотношение Клаузиуса —Мос-
сотти:
Qm * + 2 3 ' V }
где М — молярная масса, (^ — плотность, No — постоянная Авогадро.
б) Полярные диэлектрики. Их молекулы обладают дипольными
моментами р0 и в отсутствие внешнего электрического поля.
У полярных диэлектриков основную роль играет ориентационный
механизм поляризации.
При р0 € д <^ k0T (Т — абсолютная температура, k0 — постоянная
Больцмана) относительная диэлектрическая проницаемость е' при
постоянном числе молекул в единице объема линейно зависит
от у, т. е.
В очень сильных полях (po€u>koT) дипольные моменты всех молекул
р0 ориентированы по полю, и поляризация достигает своего максималь-
максимального значения
Ртах = Рнас = ЛГр0. F.6)
в) Ионные диэлектрики во внешнем поле поляризуются не только за
счет смещения под действием поля разноименных зарядов внутри каж-
каждого иона, но и за счет смещения разноименных ионов.
Сегнетоэлектрики (титанат бария, сегнетовая соль и др.) харак-
характеризуются нелинейной зависимостью поляризации от напряженности
внешнего поля. В малых областях (доменах) у сегнетоэлектриков
наблюдается спонтанная поляризация. Относительная диэлектрическая
проницаемость сегнетоэлектриков велика, иногда достигает нескольких
тысяч.
Зависимость показателя преломления п от частоты о электромагнит-
электромагнитной волны называется дисперсией:
^ dn ~
Ьсли — > 0, что выполняется для прозрачной части спектра,
43

то дисперсия называется нормальной. В области аномальной диспер-
сии — <0.
do
Вдали от резонансных частот сок показатель преломления разрежен-
разреженных газов определяется формулой
У W F.8)
ek и тк—заряд и масса соответствующего осциллятора, N* = Nkfk,
Nk — число осцилляторов данного сорта в единице объема, /*—сила
осциллятора, указывающая на степень его участия в преломлении света.
Значения сил осцилляторов могут быть вычислены лишь на основе кван-
квантовой механики.
Согласно формуле F.8) в прозрачной области спектра дисперсия
является нормальной (-—• > 01. Аномальная дисперсия наблюдается
\d(o I
для частот (У, близких к собственным частотам (Dk.
С «помощью соотношения п = ]/?", справедливого для слабо магнит-
магнитных сред с jt/'«l, из формулы Клаузиуса —Моссотти F.4) получается
формула Лорентц—Лоренца:
М п2-\
Qm n2 + 2 3m0e0 {col - о2) '
Величина Rq = 2~~ (молярная рефракция), обладающая свойством
Qm п +2
аддитивности, характерна для каждого вещества и почти не зависит от
температуры и давления, о0 — резонансная частота.
Вещества, молекулы которых обладают анизотропией поляризуе-
поляризуемости, в постоянном электрическом поле ?0 приобретают свойства
одноосных кристаллов с оптической осью, параллельной вектору ?0.
Двойное лучепреломление, появляющееся под действием постоян-
постоянного электрического поля, называется эффектом Керра. Постоянная
Керра определяется равенством
где Ао —длина волны в вакууме, ri и п" — показатели преломления двух
линейно поляризованных перпендикулярно к вектору напряженности
постоянного электрического поля €0 и относительно друг друга электро-
электромагнитных волн.
6.1. Используя модель атома Томсона, найти поляризуемость атома
водорода. Согласно модели Томсона атом представляет собой поло-
положительно заряженный шар, в центре которого находится точечный
44

электрон зарядом — е0. Положительный заряд атома е0 равномерно
распределен по объему шара радиусом а.
6.2. Вычислить поляризуемость атома водорода с помощью модели
Резерфорда—Бора, предполагая, что электрон обращается вокруг ядра
по первой стационарной орбите радиусом 0,529 • 10~10 м.
6.3. Используя квантовомеханическую модель атома, показать, что
поляризуемость атома водорода в основном состоянии в слабом электри-
электрическом поле определяется формулой а = Ъпа\, где а0—боровский
радиус.
6.4. Относительная диэлектрическая проницаемость гелия е! при нор-
нормальных условиях равна 1,000074. Вычислить дипольный момент атома
гелия при нормальных условиях: а) в однородном электрическом поле
напряженностью €г = 105 В/м; б) в поле световой волны солнечного
излучения, если известно, что средняя напряженность электрического
поля световой волны у земной поверхности равна 7 В/см. Сравнить най-
найденные значения с постоянным дипольным моментом полярных моле-
молекул рр«10-30Клм.
6.5. При нормальных условиях относительная диэлектрическая про-
проницаемость газообразного дисульфида углерода CS2 e\ = 1,0029. Плот-
Плотность жидкого CS2 при температуре Т = 293К в 381 раз больше, чем
газообразного. Предполагая, что атомная поляризуемость дисульфида
углерода не меняется при его конденсации в жидкое состояние, опреде-
определить диэлектрическую проницаемость жидкого CS2.
6.6. Найти относительную диэлектрическую проницаемость аммиака
при нормальных условиях, если постоянный дипольный момент моле-
молекулы NH3 Ро = 4,6 • 10~30 Кл • м и ее поляризуемость а = 1,37 • 10~29 м3.
6.7. По значениям относительной диэлектрической проницаемости
и плотности газов О2, Аг, СС14 при нормальных условиях, приведен-
приведенным в таблице, определить с помощью формулы Клаузиуса —Моссотти
диэлектрическую проницаемость указанных веществ в жидком состоя-
состоянии и сравнить с экспериментальными значениями, указанными в той же
таблице.
Вещество
Аг
о2
ссц
е'
1,00055
1,00052
1,0030
Газ
р-103, кг/м3
0,00178
0,00143
0,0090
Жидкость
Р-101, кг/м3
1,44
1,19
1,59
бэксп
1,5*
1,507
2,24
6.8. У газообразного аргона относительная диэлектрическая про-
проницаемость при нормальных условиях составляет 1,000517. Жидкий
аргон при температуре 83 К и давлении в 1 атм имеет е' = 1,53. Считая
справедливой формулу Клаузиуса — Моссотти, найти плотность жидкого
аргона.
6.9. Газообразный аммиак NH3> молекулы которого обладают по-
45

стоянными дипольными моментами ро = 4,9-10 30Кл-м, помещен в
однородное электрическое поле напряженностью ? = 500 В/м. У какой
части молекул при температуре 273 К дипольные моменты образуют с
направлением вектора напряженности угол, не превышающий 45°?
6.10. Для газообразного хлористого водорода, находящегося в равно-
равновесном состоянии при температуре 300 К, определить, при какой напря-
напряженности действующего поля второй член разложения функции Ланже-
вена L((S) по степеням (S — р^ гд дает поправку порядка 1% к прибли-
приближенному выражению L(/?) »-j /?. Дипольный момент молекулы НС1
равен 3,5-100Кл-м.
6.11. Предполагая, что на электрон в атоме действует квазиупругая
сила, и используя классическое соотношение между поляризуемостью и
радиусом атома я, вычислить напряженность действующего поля, если
известно, что а = 0,53 • 10~10 м. Какими зарядами создается действующее
поле?
6.12. Аргон в твердом состоянии содержит примерно 2,5 • 1028 атомов
в объеме 1 м3. Его поляризуемость равна 2,03 • 10~29 м3. Вычислить
отношение действующего поля к приложенному, считая справедливой
формулу ?д = В + —- Р.
6.13. В приведенной таблице представлены опытные данные темпе-
температурной зависимости относительной диэлектрической проницаемости
водяного пара. Считая водяной пар идеальным газом, найти поляризуе-
поляризуемость как функцию температуры и дипольный момент молекулы воды.
г, к
Р, мм рт. ст.
(e'-i).lO5
393
564,9
400,2
423
609,3
371,7
453
653,4
348,8
483
697,5
328,7
6.14. На рисунке 8 приведены графики экспериментальной зависи-
зависимости диэлектрической проницаемости от абсолютной температуры для
разных веществ: I —для СН3С1; II —для СН2С12; III —для СНС13; IV —для
СС14. Что можно сказать о дипольных моментах молекул этих веществ?
Считая число молекул в единице объема у всех веществ примерно оди-
одинаковым, найти отношение дипольных моментов молекул -^- и
Рои Рот '
где р01, роп, рош — дипольные моменты молекул СН3С1, СН2С12, СНС13
соответственно.
6.15. Наблюдаемые значения поляризации насыщения титаната
бария ВаТЮ3 Ps = 16- 10~2Кл/м2. Зная длину ребра элементарного куба
а = 4- 100м, найти дипольный момент элементарного куба и оценить
смещение центрального иона Ti4+, считая, что поляризация кристалла
обусловлена смещением таких ионов.
46

(еЧ)-ю3
6.16. Водород при температуре
О °С и давлении 760 мм рт. ст. имеет
плотность @! = 8,96 • 10~5 г/см3, его
показатель преломления щ равен
1,000138. Плотность жидкого водо-
водорода бг = 0,068 г/см3. Считая, что
формула Лорентц — Лоренца при-
применима к этому случаю, найти пока-
показатель преломления жидкого водо-
водорода.
6.17. Определить поляризуе-
поляризуемость молекулы СО2, если
известно, что при нормальных усло-
условиях показатель преломления равен
1,000449.
6.18. Найти максимальную ско-
скорость свободного электрона при вы-
вынужденных колебаниях его в поле
солнечного излучения вблизи зем-
земной поверхности. Показать, что мак-
максимальная сила со стороны магнит-
магнитного поля Fm много меньше максимальной силы Fe, действующей на
электрон со стороны электрического поля световой волны. Поле солнеч-
солнечного излучения в данной точке заменить монохроматическим излуче-
излучением 8 = €0 cos cot с частотой <о = 3,42 • 1015 с и ?0« 103 В/м.
6.19. У хлористого натрия показатель преломления п — 1,5, статиче-
статическая диэлектрическая проницаемость е'ст = 5,62. Различие между п и
У^7 в случае ионных кристаллов обусловлено ионной поляризуемостью.
Определить долю относительной диэлектрической проницаемости моно-
монокристалла NaCl, которая связана с ионной поляризуемостью. При оценке
А*/ использовать следующие экспериментальные данные: собственная
частота молекулы NaCl равна 5,6 • 106с~1; объем, приходящийся на одну
молекулу в кристалле, V = 2аъ = 4,48 • 109м3. При расчетах пренебречь
различием между действующим и макроскопическим полем.
6.20. На основе представлений классической электронной теории
с учетом действующего поля показать, что в прозрачной части спектра
для показателя преломления справедливо выражение
Рис. 8.
п2=1
6.21. Используя результат предыдущей задачи, определить, при
каких давлениях газа и частотах падающего света для атомарного водо-
водорода при температуре 5000 К для показателя преломления в прозрачной
области спектра справедливо соотношение
47

5Г-
- or)
Найти на основе классических представлений резонансную частоту элек-
электрона в атоме водорода диаметром d«10~10M.
6.22. Найти приближенно число оптических электронов в единице
объема вещества, если для рентгеновского излучения с длиной волны
А = 3 • 10~10 м показатель преломления п = 0,99999.
6.23. Пренебрегая столкновениями между ионами и электронами и
действием магнитного поля на заряженные частицы, получить выраже-
выражение для относительной диэлектрической проницаемости е' (о) и показа-
показателя преломления п разреженной плазмы в поле монохроматической
ВОЛНЫ ?=? еЫ-кг)^
6.2А. Показатель преломления ионосферы для радиоволн с частотой
100 мкс равен п = 0,90. Определить концентрацию электронов ионо-
ионосферы.
6.25. Предполагая, что на электрон в атоме действует квазиупругая
сила, найти поляризуемость атома a (cj ) в поле электромагнитной моно-
монохроматической волны с частотой со, учитывая силу лучистого трения
/L = — 2m0yr, где у = J*°e &0 , щ — собственная частота электрона.
\2птп$с
6.26. Электрическое поле В световой волны, проходящей через среду
с показателем преломления л, равно ? = ?ое
а) Показать, что если п = п0 — ix, то
N&* 1
б) Используя выражение п — 1 = ъ 5—:—» найти, по какому
2е0т0 пГ0-пг + коу '
закону ослабляется интенсивность световой волны с частотой (У, равной
собственной частоте 0H электрона.
6.27. Найти показатель преломления алюминия и графита для рент-
рентгеновских лучей с длиной волны X = 1,56 • 10~10м, предполагая, что соб-
собственная частота электронов много меньше частоты рентгеновского
излучения.
6.28. Вычислить разность показателей преломления nz и пу газа, со-
состоящего из полностью анизотропных молекул, для электромагнитных
волн, электрические векторы которых колеблются соответственно вдоль
осей у и z в зависимости от распределения осей молекул по углам в
(угол между Oz и осью молекулы). Считать, что разность (nz — ny)<n0
и п0 (показатель преломления при изотропном распределении молекул)
близок к единице.
6.29. Найти постоянную Керра для газа, состоящего из полностью
анизотропных молекул без постоянного дипольного момента. Напряжен-
48

ность постоянного электрического поля ?0 параллельна оси z. Безразмер-
Безразмерен €2
ная величина /? = „, ° < 1.
2k0T
6.30. Определить постоянную Керра для газа из полностью анизот-
анизотропных молекул с постоянным дипольным моментом р0, направление
которого совпадает с направлением поляризуемости молекулы. Безраз-
Безразмерная величина /?г = ^°г° < 1 и ринд<р0.
§7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Диа- и парамагнетизм
Диамагнетизм присущ всем телам, но в чистом виде встречается
у тех веществ, собственный магнитный момент атомов которых ра-
равен нулю. Индуцированный магнитный момент атома, обусловленный
прецессией электронов вокруг направления внешнего магнитного поля
В, равен: z
??|Я С7.1)
где 2 —число электронов в атоме, г? —среднее значение квадрата рас-
расстояния z-ro электрона от ядра.
Диамагнитная восприимчивость идеального газа определяется
формулой г
I — намагниченность или магнитный момент единицы объема вещества,
N — концентрация атомов, (л0 — магнитная постоянная.
Вещества, атомы которых обладают собственным магнитным момен-
моментом /с/, будут парамагнитными, если взаимодействие между ними
(магнитными моментами атомов) пренебрежимо мало. Намагниченность
парамагнетика в магнитном поле В без учета явления пространственного
квантования определяется выражением
/ = Nil (cth /? -1) = N(iL((S), G.3)
где /? = -У-—, L(j8) — функция Ланжевена.
KqT
С учетом пространственного квантования намагниченность равна:
j (x), G.4)
где х = g^f ' , Вт (х) — функция Бриллюэна, g—фактор Ланде, / — кван-
49

товое число полного механического момента. При х < 1 (слабые маг-
магнитные поля и не слишком низкие температуры) разложение функции
Bf{x) дает
T
Отсюда следует закон Кюри для парамагнитной восприимчивости:
* = f' <7-6>
где постоянная Кюри
^ = ^Hk ~ = ^Ък Б ' ^'^
рБ —эффективное число магнетонов Бора, приходящееся на атом.
Магнитная восприимчивость х твердого тела складывается из диама-
диамагнитной восприимчивости кристаллической решетки xllm и восприимчи-
восприимчивости Хе носителей заряда:
Л —Лреш т/е. \1*и)
Восприимчивость электронов проводимости металла равна:
G.9)
где и —концентрация, гп* — эффективная масса электронов, г]0 — энергия
Ферми при Г = 0К, [л0 — магнитная постоянная, ^Б —магнетон Бора.
7.1. Атом водорода в основном состоянии находится в однородном
магнитном поле В. Вычислить напряженность магнитного поля НОу
обусловленную прецессией электронного облака, в центре атома.
7.2. Определить диамагнитную восприимчивость атомарного водо-
водорода при нормальных условиях @ °С и нормальное атмосферное давле-
давление), если распределение плотности заряда электрического облака в
атоме равно де (г) = -^т е ~2г1а°, где а0 — радиус первой боровской
орбиты.
7.3. Рассчитать молярную диамагнитную восприимчивость газо-
газообразного гелия, принимая во внимание амплитуду вероятности атома
2Не4 в основном состоянии:
4
где 2' = тг, ао = О,528-1О-1Ом.
ID
50

7.4. Используя результат предыдущей задачи, вычислить магнитный
момент атома гелия 2Не4, находящегося в основном состоянии в магнит-
магнитном поле В = 1 Тл.
7.5. Диамагнитная молярная восприимчивость ионизованного ли-
лития Li+ равна /мол = - 8,8- 10~12м3/моль. Найти среднее расстояние
электронов от ядра, считая разброс значений расстояний незначи-
незначительным.
7.6. Учитывая, что основной вклад в диамагнетизм вносят внешние
электроны атома, оценить радиусы внешних оболочек ионов Na+ и СГ,
если их молярные диамагнитные восприимчивости равны соответ-
соответственно -7,6 • ИГ" и -3,04 • 10~10 м3/моль.
7.7. Разреженный парамагнитный газ, содержащий N = 109 молекул,
находится в магнитном поле индукцией В = 10Тл при Г = 100 К.
Магнитный момент каждой молекулы равен магнетону Бора. Найти
число молекул JV,, магнитные моменты которых образуют с направле-
направлением поля угол, не превышающий 30°.
Пространственное квантование не учитывать. Как влияют на число
N, «повышение температуры и уменьшение магнитной индукции?
7.8. Определить намагниченность разреженного газа, молекулы кото-
которого обладают магнитным моментом fi = 2,5^Б, помещенного при тем-
температуре Г == 300 К во внешнее магнитное поле с индукцией 2 Тл. Кон-
Концентрация газа N=1O2Om~3.
7.9. Молярная намагниченность некоторого разреженного пара-
парамагнитного газа, находящегося при температуре 300 К в слабом маг-
магнитном поле В = 10~2 Тл, равна 1,5 • 10~4 Дж/(Тл • моль). Определить
постоянную Кюри, отнесенную к 1 моль газа, и магнитный момент
молекулы.
7.10. Вычислить парамагнитную восприимчивость (единицы объема)
кислорода при нормальных условиях в слабом магнитном поле. Магнит-
Магнитный момент молекулы О2 равен 2,8 fib.
7.11. Показать, что намагниченность парамагнетика с учетом явления
пространственного квантования описывается формулой G.4). Упростить
полученное выражение для: а) классического предела /-+<», когда
магнитный момент атома имеет бесконечное множество разрешенных
ориентации в магнитном поле В; б) слабых магнитных полей и высоких
температур; в) квантового предела / — —-.
7.12. Парамагнитный газ, содержащий атомы в состоянии !Р, нахо-
находится при температуре 300 К в магнитном поле индукцией В = 1 Тл.
Вычислить отношение —, где AN —разность чисел атомов с положи-
положительной и отрицательной проекциями магнитных моментов на направле-
направление поля, N — полное число атомов. Вычисление провести: а) с учетом
пространственного квантования; б) классически —без учета простран-
пространственного квантования.
51

7.13. Парамагнитный одноатомный газ помещен в магнитное поле
индукцией В = 2Тл при температуре 300К. Рассчитать магнитный
момент газа объемом 1 м\ содержащего N=1025 атомов в 2Si/2 со-
состоянии.
7.14. Вычислить постоянную Кюри парамагнитного газа (v = 1 моль),
состоящего из атомов Na в основном состоянии. Определить также
удельную намагниченность этого газа при температуре Т = 300 К в
магнитном поле индукцией В = 0,1 Тл.
7.15. Вычислить удельную парамагнитную восприимчивость атомар-
атомарного кислорода в слабом магнитном поле при температуре Г= 1500 К,
если атомы газа находятся в основном состоянии.
7.16. Найти значение намагниченности / и магнитной индукции В в
куске металлического ниобия, помещенного в поле напряженностью
106А/м, если магнитная восприимчивость ниобия равна 2,4 • 10. Как
изменяется В в ниобии по сравнению с Во в вакууме?
7.17. Германий обладает диамагнитной восприимчивостью
X = — 0,8-10~5. Вычислить магнитную индукцию В для Ge в поле
Я=106А/м.
7.18. Оценить парамагнитную восприимчивость свободных элек-
электронов при Т = 0 К, учитывая, что уменьшение энергии электрона,
обусловленное переориентацией магнитного момента по полю В,
больше увеличения энергии при переходе на более высокий энергетиче-
энергетический уровень.
7.19. Определить температурную зависимость спиновой парамагнит-
парамагнитной восприимчивости электронов в зоне проводимости металла, поме-
помещенного в слабое магнитное поле.
7.20. Получить выражение для парамагнитной восприимчивости
невырожденных электронов проводимости в полупроводнике в слабом
магнитном поле.
7.21. Показать, что в квазиклассическом приближении диамагнитная
восприимчивость свободных электронов равна нулю.
7.22. Оценить спиновую парамагнитную восприимчивость металли-
металлического натрия (Na), полагая концентрацию электронов проводимости
равной и = 2,5 1028м~3 и рассматривая их свободными частицами.
7.23. Рассчитать магнитную восприимчивость металлического
натрия (Na), если известны концентрация « = 2,55- 1028м~3 и эффектив-
эффективная масса m*=l,5raQ электронов в зоне проводимости. Молярная
диамагнитная восприимчивость ионов кристаллической решетки
практически совпадает с соответствующей величиной для неона
(*моел = -9,04.10-пм3/ моль).
7.24. Определить эффективную массу электронов проводимости
металлического калия (К), если известны экспериментальные значения
магнитной восприимчивости /*ксп = 6,03 • 10~6 и диамагнитной восприим-
восприимчивости решетки %™ш = —3,64 • 10~6.
7.25. Магнитная восприимчивость меди (Си) в твердом состоя-
52

нии равна Хси — — 0>95 • 10 5. Определить среднее расстояние 3d элек-
электронов от ядра в атоме Си, считая, что они вносят основной вклад в
диамагнитную восприимчивость решетки. Концентрация атомов меди
в кристалле ЛГ = 6- 1028м~3, эффективная масса электронов проводи-
проводимости т* = т0.
Ферромагнетизм
Тела, атомы которых обладают собственным магнитным моментом
//, являются ферромагнитными, если моменты (л соседних атомов при
взаимодействии между собой ориентируются параллельно друг другу.
Самопроизвольная параллельная ориентация формально может быть
объяснена введением внутреннего или молекулярного поля Вм (поле
Вейсса):
ВМ = Д/, G.10)
где Д — постоянная молекулярного поля. Тогда, учитывая действующее
поле на ион решетки в виде Вп = В + AJ, намагниченность / вещества
определяется формулой
-^^-cth-^^-*- — cth— =NgvBsBs(x), G.11)
2s 2s 2s 2s ] °
где s — спин узла решетки, x = g\B д , g—фактор Ланде, Bs (x) — функция
fcor
Бриллюэна, N—число атомов в единице объема.
Температура перехода вещества из ферромагнитного состояния в
парамагнитное (температура Кюри) равна:
'-Ш-. G.12)
При Т>ТС магнитная восприимчивость подчиняется закону Кюри—
Вейсса:
= const G-13)
Согласно модели Изинга каждый узел решетки ферромагнетика обла-
обладает спином s, который может ориентироваться либо в одном направле-
направлении (а = + 1), либо в противоположном (а = — 1); при этом учитывается
только парное обменное взаимодействие электронов соседних узлов
решетки. Энергия электронов, связанная с взаимной ориентацией их спи-
спинов в узлах кубической решетки, может быть записана в виде
ton G.14)
53

где Л —обменный интеграл, соответствующий паре соседних узлов. Если
А > 0, то в неравновесном состоянии кристалла спины соседних узлов
располагаются параллельно, т. е. тело будет ферромагнитным. Если же
А < 0, то соседние спины стремятся выстроиться антипараллельно друг
другу, вещество в этом случае будет антиферромагнетиком или ферри-
ферритом (нескомпенсированный антиферромагнетизм).
7.26. Исходя из модели молекулярного поля Вейсса для ферро-
ферромагнитного кристалла и пользуясь выражением намагниченности че-
через функцию Ланжевена, оценить постоянную Ах молекулярного поля,
считая известными для железа температуру Кюри Тс == 1043 К, маг-
магнитный момент атома // = 2,8^Б и число атомов в единице объема
N=1029m.
7.27. В приближении молекулярного поля вычислить температуру
Кюри для ферромагнетика, спин атомов которого равен s.
7.28. Используя результат предыдущей задачи, оценить внутреннее
поле Вейсса в железе, для которого температура Кюри Тс = 1043 К, фак-
фактор Ланде g = 2 и спин атомов s = 1.
7.29. При каких значениях индукции внешнего магнитного поля в
железе действующее поле Вп совпадает с молекулярным полем Вейсса
Бм с относительной погрешностью б, не превышающей 1%, если темпе-
температура Кюри равна 1043 К, намагничение насыщения /0 = 2 • 106 А/м, кон-
концентрация атомов N ~ 1029 м~3 ?
7.30. Показать, что при температурах Т>ТС для магнит-
магнитной восприимчивости ферромагнетика справедлив закон Кюри —
Вейсса:
i
10
8
6
4
2
/
/
/
1
/
/
х =
т-тс
0 400 600 800
т,к
9.
7.31. В области температур, ука-
указанных на рисунке 9, восприимчи-
восприимчивость никеля (Ni) всюду следует за-
закону Кюри— Вейсса, за исключени-
исключением области температур, непосредст-
непосредственно примыкающей к Тс сверху. Из
прямолинейного участка кривой
найти постоянную в уравнении Кю-
Кюри—Вейсса, а по этой константе —
эффективное число магнетонов Бо-
Бора, приходящихся на атом Ni, если
концентрация атомов N = 5 1028 м~3.
7.32. Предполагая никель (Ni)
при любой температуре парамаг-
парамагнетиком, восприимчивость которо-
которого подчиняется закону Кюри с
постоянной С = 6 • 10~2 К, вычис-
вычислить внешнее магнитное поле Я,
54

необходимое для того, чтобы создать в этом парамагнитном металле при
комнатной температуре (Г = 300 К) намагничение / = 0,44 • 10б А/м,
спонтанно существующее при этой температуре в ферромагнитном
никеле.
7.33. Значения обратной величины удельной магнитной восприим-
восприимчивости для железа с объемноцентрированной кубической (ОЦК) решет-
решеткой выше ферромагнитной точки Кюри даны в таблице:
Температура,
°С
824
838
846
872
875
[ Lя-10-6,
кг/м3
1,125
1,650
2,430
2,860
3,030
Температура,
°С
884
894
904
909
(JLLn.io-.
Худ
кг/м3
3,39
3,680
3,970
4,260
Показать, что восприимчивость подчиняется закону Кюри —Вейсса
во всей указанной области температур. Найти значение температуры
Кюри и эффективное число магнетонов Бора на атом.
7.34. Зная постоянную Кюри для железа С = 1,2676 К, оценить в
магнетонах Бора среднее значение магнитного момента атома Fe. Кон-
Концентрацию атомов в кристалле считать равной 1029м~3.
7.35. Принимая во внимание обменную природу сил, ориентирующих
спиновые моменты атомов (s = 1), и используя модель Изинга для фер-
ферромагнетика, найти приближенно связь между постоянной молекуляр-
молекулярного поля Вейсса Ах и обменным интегралом А для пары соседних узлов
решетки. Выразить температуру Кюри через обменный интеграл и число
Z соседних спинов для данного узла.
7.36. Зная температуру Кюри для железа Гс=1043К и магнитный
момент атома (л = 2,22^/Б, оценить значение энергии обменного взаимо-
взаимодействия, приходящееся на один атом. Показать также, что обменное
взаимодействие не является магнитным взаимодействием.
7.37. Получить температурную зависимость спонтанного намагниче-
намагничения ферромагнетика вблизи точки Кюри.
7.38. В приближении молекулярного поля показать, что теплоем-
теплоемкость ферромагнетика, для атомов которого / = s = — и g = 2, в точке
Кюри имеет скачок.
7.39. Для кубического магнитоодноосного кристалла с ребром L рас-
рассчитать толщину доменов.
7.40. Поверхностная плотность энергии междоменных стенок
в железе составляет о = 10~3 Дж/м2. Полагая, что в образце раз-
размагниченного поликристаллического железа домены имеют форму
параллелепипедов размером ОД х 0,01 х 0,01 см, вычислить общую
55

Рис. 10. Кристаллическая структура
МпО:
# — марганец, О ~~ кислород.
площадь доменных стенок и полную
энергию их в куске железа массой
0,5 кг.
7.41. В рамках приближения моле-
молекулярного поля определить темпера-
температурную зависимость парамагнитной
восприимчивости х Для компенсиро-
компенсированного антиферромагнетика при
Т > Тс, учитывая лишь отрицательное
обменное взаимодействие между спи-
спинами, принадлежащими разным подре-
шеткам а и Ъ.
7.42. Кристаллическая структура
МпО представляет совокупность двух
гранецентрированных кубических
(ГЦК) подрешеток, образованных
ионами Мп++ и О"" (рис. 10). Маг-
Магнитная структура металлических ионов
такова, что спины ионов, распо-
расположенных в плоскостях (III), парал-
параллельны, а спины ионов смежных слоев
антипараллельны. Показать, что спон-
спонтанное намагничение такой структуры равно нулю (компенсированный
антиферромагнетизм).
7.43. Вычислить намагничение насыщения магнетита Fe3O4
(ре2+рез+oj"), элементарная кубическая ячейка которого с ребром
8,37 А содержит 32 иона О2", 8 ионов Fe2+ и 16 ионов Fe3+, причем
спиновые моменты ионов Fe3+ упорядочены антиферромагнитно,
а ионы Fe2+ занимают в элементарной ячейке позицию одного и того же
типа.
7.44. Ион Мп2+ замещает ион Fe2+ в кристалле Fe3O4 почти без изме-
изменения параметра решетки {а = 8,37 А), в результате чего образуется фер-
феррит MnFe2O4. Вычислить намагничение насыщения марганцевого
феррита.
7.45. Намагничение насыщения феррита NiFe2O4 составляет
0,25 • 106 А/м. Вычислить размеры ребра элементарной кубической ячейки
феррита.
7.46. Вывести закон дисперсии в) = o)(k) для спиновых волн в одно-
одномерном ферромагнетике, используя модель, в которой учитывается взаи-
взаимодействие лишь ближайших соседей. Рассмотреть случай длинных
волн (ka< 1, где k—волновой вектор спиновой волны, а — постоянная
решетки).
7.47. Известно, что для магнонов в ферромагнетиках с простой куби-
кубической решеткой имеет место приближенный закон дисперсии: со = bk2,
где со и k — частота и волновой вектор магнона соответственно, Ъ — по-
56

стоянная величина. Определить, какой вклад вносят магноны в тепло-
теплоемкость кристаллов при низких температурах.
7.48. Используя приближенный закон дисперсии для магнонов в фер-
ферромагнетиках с кубической решеткой, указанный в задаче 7.47, найти
температурную зависимость намагниченности / = 1{Т) ферромагнитного
кристалла в области низких температур.
7.49. Показать, что дисперсионный закон для магнонов в одномер-
одномерном антиферромагнетике с двумя подрешетками в приближении ближай-
ближайших соседей имеет вид:
0) = —j— I sin ка I,
где Л —обменный интеграл, соответствующий паре соседних узлов,
s —спин узла решетки с параметром я, 0) и к — частота и волновой вектор
магнона. Рассмотреть закон дисперсии в случае ka<l.
§8. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Явление сверхпроводимости состоит в исчезновении у некоторых
металлов и сплавов электрического сопротивления при некоторой харак-
характерной для каждого вещества температуре Тс, называемой критической
температурой. Для чистых металлов значения температур Тс опреде-
определяются интервалом от 0,35 К (Hf) до 9,22 К (Nb), у сплавов-от 0,155 К
(BiPt) до 23,2 К (Nb3Ge).
Сверхпроводящие свойства проводников исчезают при пропускании
через них достаточно сильного тока. Это связано с действием на провод-
проводник магнитного поля, вызывающего при данной температуре переход
вещества из сверхпроводящего состояния в нормальное. Такое поле
называется критическим. С понижением температуры напряженность
критического поля Нс увеличивается согласно соотношению
(8.1)
где Н® — напряженность критического поля при абсолютном нуле тем-
температуры.
Магнитные поля слабее крити-
ческого не проникают в толщу
сверхпроводника: магнитная индук-
ция В внутри сверхпроводника г\ Т—п
равна нулю (рис. 11). Сверхпровод- \2 ~~~
ник является идеальным магнети- _,
ком с магнитной восприимчивостью ВФО
Это свойство сверхпроводника *~
известно как эффект Мейснера, Рис. 11.
57

объяснение которому было дано на основе уравнения Лондонов:
в котором ns — концентрация, js — плотность тока сверхпроводящих элек-
электронов.
Убывание индукции магнитного поля вдоль нормали в плоском мас-
массивном сверхпроводнике происходит по закону
БB)=Б@)^Г, (8.3)
где В @) —индукция поля на поверхности образца, z — расстояние от
поверхности, XL—глубина проникновения магнитного поля в сверхпро-
сверхпроводник, определяемая формулой
Глубина проникновения зависит от температуры:
Согласно термодинамической теории сверхпроводимости нормаль-
нормальное и сверхпроводящее состояния являются двумя фазами вещества.
Переход сверхпроводника в нормальное состояние под действием
магнитного поля, т. е. при Т <ТС, является фазовым переходом первого
рода: изотермический переход связан с поглощением (или выделением
при обратном процессе) теплоты и скачкообразным изменением
теплоемкости и теплопроводности. Переход проводника в нормальное
состояние в отсутствие магнитного поля является фазовым переходом
второго рода.
Важную роль для понимания природы сверхпроводимости сыграло
открытие изотопического эффекта, согласно которому критическая тем-
температура Тс зависит от массового числа М изотопа:
rp const /Q -ч
ма '
причем а « 0,5.
Согласно современной теории явление сверхпроводимости возникает
благодаря межэлектронному взаимодействию, обусловленному обменом
виртуальными фононами, т. е. происходящему через кристаллическую
решетку.
Если импульсы электронов расположены вблизи поверхности Ферми,
то вследствие сколь угодно слабого притяжения между электронами
образуются связанные, или куперовские, пары.
Согласно теории Бардина —Купера —Шриффера (БКШ) в нулевом
58

магнитном поле критическая температура Тс определяется соот-
соотношением
Ш^-ШЯп (8-6)
где go(cF) — плотность электронных уровней вблизи поверхности Ферми,
отвечающих одному из направлений спина, в нормальном состоянии;
о и Vo — параметры модельного гамильтониана.
Для энергетической щели при нулевой температуре из теории БКШ
следует формула
(8.7)
Следовательно, Тс и А@) связаны фундаментальным соотношением,
не зависящим от феноменологических параметров о) и Vo:
Д@) = l,76fc0Tc. (8.8)
Элементарная теория также предсказывает, что вблизи критической тем-
температуры в отсутствие магнитного поля энергетическая щель зависит от
температуры:
[^]1/2. (8.9)
Электронная теплоемкость при низких температурах в сверхпроводя-
сверхпроводящем состоянии связана с шириной щели Д@) соотношением
где у — коэффициент при линейном члене в температурной зависимости
теплоемкости металла в нормальном состоянии.
Наиболее убедительным свидетельством существования куперовских
пар является квантование магнитного потока в сверхпроводящем
кольце:
\Ф\ = \\Bds\ =пФ0. (8.11)
Величина Фо = ~ = 2,0679 • 10 Гс • см2 = —^— = 1,863 • 10 Тл • м2
называется флюксоидом или квантом потока.
Квантование магнитного потока возможно также в односвязных
сверхпроводниках II рода в смешанном состоянии, когда магнитное поле
проникает внутрь сверхпроводника в виде отдельных нитей. При этом
центры нитей, находящихся в нормальном состоянии, играют роль
полости кольца, квантуется магнитный поток, связанный с каждой
нитью.
Явление сверхпроводимости обнаружено также у некоторых полу-
59

0,45cm
Рис. 12.
проводников (например, GeTe и
титанат стронция SrTiO3). У тита-
ната стронция при низких темпера-
температурах относительная диэлектричес-
диэлектрическая проницаемость велика, что спо-
способствует возникновению связан-
связанных куперовских пар электронов.
8.1. Электрический ток индуци-
индуцируется так, что обтекает стенки тон-
тонкой свинцовой трубки, имеющей
указанные на рисунке 12 размеры и
поддерживаемой при температуре
4,2 К. Измерения показали, что за время t = 2,5 • 104с затухание тока со-
составило менее 2%.
Предполагая, что магнитное поле проникает в сверхпроводник на
глубину 5 • 10~6 см, определить предельное значение удельного сопро-
сопротивления образца.
8.2. Найти критическое термодинамическое магнитное поле олова
(Sn) при температуре Г = ЗК.
8.3. Используя известную зависимость напряженности критического
магнитного поля от температуры (8.1), определить максимальную силу
тока в оловянной проволоке диаметром й = 2мм при температуре
Тх = 2 К, если критическая напряженность поля при абсолютном нуле
Нс@) = 2,44 • 104 А/м и критическая температура перехода Тс из нормаль-
нормального состояния в сверхпроводящее составляет 3,7 К. При каком диаметре
проволоки по ней может протекать ток 200 А без перехода в нормальное
состояние?
8.4. Свинцовый цилиндр находится при температуре Г = 4,2 К в
однородном магнитном поле, параллельном его оси. Поле на поверх-
поверхности цилиндра равно Н0 = 2,5Ю4А/м. Найти плотность магнитной
энергии в РЬ на расстоянии 3 • 10~8 м от поверхности цилиндра. Учесть
зависимость длины проникновения от температуры. Диаметр цилиндра
много больше глубины проникновения слабого магнитного поля в сверх-
сверхпроводник.
8.5. Принимая во внимание зависимость глубины проникнове-
проникновения магнитного поля в сверхпроводник от температуры в виде
(т \~х'4
1 1 , оценить концентрацию сверхпроводящих элек-
электронов в свинце (РЬ) при температуре Т = 4,2К.
8.6. Бесконечная сверхпроводящая пластина, ограниченная плоско-
плоскостями у = ± d, помещена в однородное магнитное поле Яо, направлен-
направленное вдоль оси z . Используя граничные условия для тангенциальной со-
составляющей вектора магнитной индукции, получить из уравнения Лон-
донов и уравнения Максвелла rot B = (toj зависимость индукции магнит-
магнитного поля от координаты у.
60

8.7. Используя результат предыдущей задачи, найти плотность
сверхпроводящего тока в пластине.
8.8. Сверхпроводящее кольцо, которое может двигаться только в
вертикальном направлении, лежит на столе над витком проводника.
Определить высоту, на которую поднимется сверхпроводящее кольцо
массой т, когда через виток начинает идти ток /. Коэффициент самоин-
самоиндукции сверхпроводящего кольца — Ln, его взаимная индуктивность с
витком проводника на высоте z равна L12(z). Ускорение свободного паде-
падения считать постоянным и равным g.
8.9. В массивном сверхпроводнике имеется отверстие диаметром
0,1 мм, в котором захвачено 10 квантов магнитного потока. Определить
индукцию и напряженность магнитного поля в отверстии.
8.10. В массивном сверхпроводнике имеется цилиндрическое отвер-
отверстие диаметром 2 см. В нем захвачено магнитное поле напряженностью
Н = 24-103 А/м. Найти модуль векторного потенциала I Л I на расстоя-
расстоянии К = 2см от центра отверстия.
8.11. Сверхпроводящая сфера радиусом а помещена в однородное
магнитное поле индукцией Во. Магнитное поле в свободном про-
пространстве является безвихревым. Его силовые линии не замкнуты.
В сверхпроводнике поле равно нулю. Показать, что максимальное значе-
значение индукции поля на поверхности сферы равно -- Во.
8.12. На сколько изменится свободная энергия свинца объемом
1 см3 при переходе в сверхпроводящее состояние при температуре
Г = 4,2 К?
8.13. Равновесное состояние сверхпроводника в однородном магнит-
магнитном поле при фиксированном давлении определяется температурой Т и
напряженностью магнитного поля Н. Используя характеристические
свойства термодинамического потенциала Ф (Т, Н), получить формулу
dHc _ sn-ss
dT
где Sn, Mn — удельная энтропия и намагниченность в нормальном сос-
состоянии; Ss, Ms — соответствующие величины сверхпроводника; jU0 —
магнитная постоянная.
8.14. Получить выражение для скачка удельной энтропии при фазо-
фазовом переходе из нормального состояния в сверхпроводящее в присут-
присутствии магнитного поля. Найти также теплоту фазового перехода.
8.15. Используя выражение для скачка удельной энтропии
5„ — Ss = (ЛОНС —f, показать, что в отсутствие магнитного поля при
переходе из нормального состояния в сверхпроводящее существует ска-
скачок удельной теплоемкости, определяемый соотношением
61

8.16. Какое количество теплоты выделится при переходе ниобия
объемом 1 см3 при температуре Г = 5,3 К из нормального состояния в
сверхпроводящее в присутствии магнитного поля?
8.17. Вычислить скачок теплоемкости свинца объемом 1 см3 при
переходе из сверхпроводящего состояния в нормальное при критической
температуре в отсутствие магнитного поля.
8.18. Найти температуру, при которой оказываются равными
теплоемкости нормальной и сверхпроводящей фаз а-ртути в магнитном
поле. Необходимые данные взять из таблиц.
8.19. Получить значения для скачка удельных теплоемкостей олова
(Sn) и таллия (Т1) при переходе в сверхпроводящее состояние при крити-
критической температуре в отсутствие магнитного поля, сравнить вычислен-
вычисленные значения AC = CS — Cn с экспериментальными, указанными в таб-
таблице.
Таблица 8.1
Металл
Олово
Таллий
р, кг/м3
7,3-103
11,9-103
ц, кг/молъ
118,7
204,4
Тс, К
3,72
2,38
305-Ь2
178±5
(ДС)ЭКСП = С5-С„,
Дж/(кмоль-К)
12,2
6,2
8.20. Экспериментальные исследования показывают, что критиче-
критическая температура Тс для сверхпроводников зависит от атомной массы М.
В таблице приведены опытные данные для олова (Sn) и ртути (Hg).
Таблица 8.2
М, кг/моль
Те, К
Олово
113,6
3,806
118,7
3,731
123,8
3,659
Ртуть
119,5
4,185
200,7
4,173
202,0
4,159
209,3
4,146
Предполагая, что зависимость Тс от М является степенной: Тс ~ Ма,
определить показатель степени для олова и ртути. Показать также, что
для изотопов определенного элемента отношение —г", где Гд—темпера-
тура Дебая, постоянно. Какие выводы отсюда следуют относительно
природы сверхпроводимости?
8.21. Критическая температура смеси изотопов ртути со средней
атомной массой 199,7 равна 4,161 К. На сколько и в какую сторону изме-
изменится критическая температура для смеси изотопов со средней атомной
массой 200,7?
8.22. В таблице приведены молярные теплоемкости олова (Sn) в
сверхпроводящем Cs и нормальном С„ состояниях:
62

Таблица 8.3
т, к
1,08
1,24
1,46
1,62
1,91
2,48
С. мДж/(моль-К)
0,65
1,14
2,10
3,03
5,01
10,33
СР, мДж/(моль-К)
2,18
2,62
3,31
3,89
5,10
8,29
Используя эти данные, определить вклад электронов Ces в теплоем-
теплоемкость в сверхпроводящем состоянии. Построить график зависимости
In Ces от обратной температуры. Проанализировать полученный ре-
результат.
8.23. Используя результат предыдущей задачи, оценить ширину энер-
энергетической щели для олова (Sn).
8.24. Туннельный эксперимент с использованием слабо связанных
сверхпроводников для энергетической щели индия (In) дает
Ао = 5,3 • 10~4 эВ. Какая должна быть по теории БКШ критическая темпе-
температура In? Сравнить вычисленное значение с экспериментальным, рав-
равным 3,4 К.
8.25. Определить константу связи g@)V для олова (Sn) и ин-
индия (In) по известным значениям их критических Тс и дебаевских
Тд температур: Тс (Sn) = 3,74K,
Тс (Ш) = 3,4 К,
Гд (Sn) = 195K,
Гд (In) = 120 К.
8.26. Зная критическую температуру алюминия А1 и цинка Zn, оце-
оценить для них ширину энергетической щели для абсолютного нуля темпе-
температуры.
8.27. Вычислить критический импульс рс куперовской пары электро-
электронов для сверхпроводящего олова (Sn) и сравнить его с импульсом
Ферми, если известно, что критическая температура Sn ГС = 3,72К и
vF = 0,65 • 106 м/с. Критический импульс связан с шириной щели Ао соот-
соотношением рс = —-.
8.28. Рассматривая пару электронов в синглетном состоянии, описы-
описываемую пространственной волновой функцией
в присутствии вырожденного электронного газа показать, что при нали-
наличии сколь угодно слабого взаимодействия между электронами с потен-
потенциалом
lkl I 0, в остальных случаях,
существует связанное состояние с энергией ?, определяемой из условия
63

где ?F —энергия Ферми, g(s) — плотность электронных уровней, отвечаю-
отвечающих данной проекции спина.
8.29. Предполагая, что плотность электронных уровней g(e) в
области eF<e<eF + h(O практически не отличается от g(eF), и исполь-
используя результат предыдущей задачи, определить энергию связи купе-
ровской пары Д(Д = 2?р — ?). Рассмотреть предельный случай слабой
связи.
830. Считая выполненными условия задачи 8.28, вычислить средний
квадратичный радиус куперовской пары.
Указание. Использовать соотношение
)\?(ri-r2)\2dR
8.31. На примере стандартного металла, т. е. одновалентного ме-
металла с концентрацией электронов 6 • 1028 частиц на 1 м3, положив де-
баевскую температуру Тд=300К, а температуру перехода в сверх-
сверхпроводящее состояние Тс = 0,5 К, оценить следующие параметры:
а) энергию куперовской пары; б) длину волны фотона, способного
ее разорвать; в) средний квадратичный радиус куперовской пары;
г) константу связи.
§9. ПЛАЗМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
Условие электрической нейтральности плазмы выражается ра-
равенством
«e = 2>i2i> (9.1)
i
где пе—концентрация электронов, «. — концентрация ионов с заря-
зарядом eozt.
Электронная температура Те определяется средней энергией тепло-
теплового движения электронной компоненты:
(9.2)
Аналогичным соотношением определяется ионная температура Tt.
Квазинейтральность плазмы соблюдается в области, линейные раз-
размеры которой удовлетворяют неравенству
г>1^ (9.3)
где 1Д — дебаевский радиус экранирования, определяемый по формуле
64

Эта формула справедлива для равновесной плазмы, в которой
При разделении зарядов в плазме возникают колебания электронов
относительно ионов с плазменной частотой
(9.5)
В равновесной плазме, состоящей из электронов и однородных ионов с
зарядом Ze0, средняя продолжительность т свободного пробега описы-
описывается приближенной формулой
* -
где а « 105 м~3 с К~3/2.
9.1. Определить относительную диэлектрическую проницаемость
холодной плазмы в монохроматическом электрическом поле
? = ?Q cos (ot. Различием между действующим и макроскопическим
полем пренебречь.
9.2. Относительная диэлектрическая проницаемость холодной
плазмы, определяемая выражением е' = 1 — -~-, при о) < щ отрица-
отрицаем
тельна. Поэтому показатель преломления п = *{? оказывается мнимым.
Выяснить физический смысл мнимого показателя преломления.
93. Принимая ионосферу за холодную плазму, получить выражения
для фазовой и групповой скоростей радиоволн в зависимости от их
длины волны X в ионосфере.
9.4. Радиосигнал частоты v, посылаемый наземным передатчиком в
атмосферу вертикально вверх, на некоторой высоте полностью отра-
отражается. Определить концентрацию свободных электронов в точке отра-
отражения.
9.5. Определить концентрацию электронов в плазме, для которой
наблюдается запирание радиоизлучения с длиной волны, большей
Ао = 2,5 см.
9.6. С помощью уравнения Пуассона показать, что потенциал
электрического поля <р точечного заряда в изотермической плазме
убьюает с расстоянием г пропорционально — е~*г (где — = /д — дебаев-
ский радиус экранирования). Считать, что пространственное распределе-
распределение частиц описывается формулой Больцмана и I е0 <р I < k0T (где
Т = Tt = Te — температура плазмы). Получить выражение для дебаев-
ского радиуса экранирования.
65
3 Заказ 295

9.7. Дейтериевая изотермическая плазма с концентрацией дейтронов
nd = 1022 м имеет температуру Г = 107 К. Вычислить дебаевский радиус
экранирования и число ионов внутри сферы Дебая.
9.8. Показать, что квадрат дебаевского радиуса экранирования неизо-
неизотермической плазмы, в которой температуры электронного и ионного
компонентов различны (Ге=?Гг), пропорционален приведенной темпе-
температуре Т* = J^e .
9.9. Считая заданной константу равновесия К по отношению к иони-
ионизации нейтрального атома, вычислить равновесную степень ионизации
—L малой примеси и основного компонента плазмы.
щ
9.10. Определить внутреннюю энергию разреженной изотермической
плазмы, занимающей объем V и состоящей из N однозарядных ионов и
такого же числа электронов.
9.11. Используя результат предыдущей задачи, получить условие
того, что изотермическая плазма в термодинамическом отношении
является идеальным газом.
9.12. Найти выражения для свободной энергии, энтропии и давления
разреженной изотермической плазмы температурой Т. Считать, что кон-
концентрации ионов nt и электронов пе одинаковы.
9.13. Определить зависимость эффективного сечения соударений
электронов с ионами в изотермической плазме от температуры Т, учиты-
учитывая только такие соударения, которые сопровождаются отклонениями
электронов на большие углы.
9.14. Используя выражение для сечения рассеяния электронов
/ ze2 \2
на ионах в виде oei = A ¦— (где Те~электронная температура,
\ 4ne0k0Te I
А = const = 14), получить приближенную формулу для удельной про-
проводимости плазмы и объяснить, почему она не зависит от концентрации
электронов.
9.15. Оценить электронную температуру водородной плазмы, при
которой ее удельная электропроводность по порядку величины такова
же, что и удельная проводимость меди при температуре Г = 300 К,
т. е. о = 5 • 107 Ом • м.
9.16. Получить приближенное выражение для теплопроводности
высокотемпературной плазмы, считая справедливым для нее закон Виде-
мана — Франца. Какова зависимость теплопроводности плазмы от элек-
электронной температуры?
9.17. Внутри малого объема, выделенного в высокотемпера-
высокотемпературной изотермической дейтериевой плазме и имеющего форму
шара радиусом г0 = 2 см, поддерживается температура Г = 107 К.
Вне этого объема температура убывает в соответствии с законом
теплопроводности. Какой должна быть мощность подвода энер-
энергии к этому объему, чтобы компенсировать потери энергии за
66

счет теплопроводности? К остальным частям плазмы энергия не под-
подводится.
9.18. Используя выражение для диэлектрической проницаемости
плазмы е' = 1 — -^у (где ol = -^ I, рассмотреть возможность распро-
о) \ еоте I
странения в плазме продольных колебаний. Найти частоту, фазовую и
групповую скорости таких волн.
9.19. Ток протекает вдоль тонкого скин-слоя цилиндрического плаз-
плазменного шнура радиусом г0. Показать, что магнитное давление рт
(сила Ампера в расчете на единицу поверхности шнура) определяется
формулой Pm = "Z VoHl (где Но — напряженность магнитного поля
на поверхности шнура).
9.20. Ток / протекает вдоль водородного плазменного шнура цилин-
цилиндрической формы с равновесным радиусом R. Считая плотность тока в
шнуре не зависящей от координат, определить среднее электродинами-
электродинамическое давление по поперечному сечению шнура. Вычислить темпера-
температуру плазмы, если / = 10б А и число ядер на единицу длины шнура равно
N = 61019 м.
9.21. Рассчитать распределение концентрации электронов п(г) по
цилиндрическому сечению радиусом R равновесного водородного плаз-
плазменного шнура, предполагая температуру и плотность тока постоян-
постоянными. Число электронов на единицу длины шнура равно N.
9.22. Найти ЭДС и максимальную полезную мощность магнитогид-
родинамического (МГД) генератора с площадью пластин S = 0,5 м2 и
расстоянием между ними I = 0,5 м, если считать магнитную индукцию
В = 4 Тл, скорость плазменного потока v = 5 • 102 м/с и удельную про-
проводимость плазмы о = 100 Ом^-м.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.1. Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия иона,
находящегося в начале системы координат (рис. 13), с ионом номера п
е2
выразится: [/„ = (—1)" . Полная энергия взаимодействия кон-
4Я€()ПГ
кретного иона со всеми другими ионами цепочки представится суммой:
r/M-oYf IV — 2-^-/l 1 + 1-1+ \ jf2ln2
l/W-2 2^1-4 4леоПГ --2 4л?ог ^1- 2 + з 4 +...]- 4w ,
и = 1
множитель 2 обусловлен наличием ионов (Те), расположенных слева от
выбранного. Тогда кулоновская энергия в линейном кристалле, содержа-
содержащем 2N ионов (N-*oo), запишется в виде
2N
2 '
что в расчете на одну пару разноименных ионов дает:
4пе0г
С другой стороны, эту же энергию можно записать через постоянную
Маделунга а:
и{г) = -^.
Следовательно, аг = 21п2.
-е +е -е
о———•——о-
Рис. 13.
68

Рис. 14.
1.2. Для нахождения энергии ионного кристалла воспользуемся
формулой
Из условия (—1~-\ = 0 находим постоянную /?= л а?.
\ or Ian А-П?пП
4яе0п
Тогда
1.3. Схема двумерной решетки, иллюстрирующая метод Эвьена,
изображена на рисунке 14. Группы ионов в решетке выделяются так,
чтобы сумма зарядов их была электрически нейтральной. При этом
заряды ионов в вершинах элементарной плоской ячейки рассматри-
69

ваются распределенными между четырьмя ячейками, заряды на сторо-
сторонах—между двумя ячейками. Поэтому при подсчете суммарного элек-
электрического заряда группы (ячейки Эвьена) следует учитывать 74 заряда
каждого иона, находящегося в вершине внешнего квадрата, и 3/4 заряда
иона —в вершине внутреннего квадрата. Соответственно каждый ион,
расположенный на одной из сторон квадратов, ограничивающих группу,
вносит 72 заряда в суммарный заряд ячейки Эвьена. На рисунке 14 около
узлов решетки указаны доли, на которые условно разделяется заряд
данного иона. Суммарный заряд любой, например второй, группы равен
4 ( -f)+4 (+i
ную Маделунга можно представить в виде быстро сходящегося ряда
где я; — вклад в константу от /-й группы (ячейки Эвьена), причем
¦?
*, ~—доля заряда и относительное расстояние i-ro
иона от центрального соответственно. Для первых трех групп получим:
+ ЬМ
Отсюда постоянная Маделунга с указанной степенью точности (три
ячейки Эвьена) равна а «1,71.
1.4. а = ^а;, af=/ ~Т вклад в константу Маделунга от
/-Й группы (ячейки Эвьена); здесь zi7 т^Гщ — доля заряда и относительное
расстояние /-го иона от центрального соответственно. Первая ячейка
Эвьена, в центре которой находится отрицательный ион, имеет 8 поло-
положительных ионов в вершинах куба, 6 положительных на гранях и
12 отрицательных на ребрах (см. рис. 4), поэтому суммарный за-
заряд группы с учетом вносимой доли каждым ионом равен
(--1)+"г-8 + 7Г-6+ ( — --1 • 12 = О. Вклад этой группы в постоянную
8 2 \ 4 /
Маделунга составляет:
1/8-8 1/2-6 (-1/4) -12
70

Для второй группы аналогичный расчет:
G/8) ¦ 8 A/2) ¦ 6 (-1/8) -8 (-1/2)-6 (-1/2)-24 A/2) ¦ 24
a2~j/J+l+2]/J+ 2 + j/б +i/5 +
+ i=SI^ + S^^ + Sll^mOa96m
Отсюда в этом приближении а « а1 + а2 « 1,752.
1.5. Энергия кристалла в равновесном состоянии описывается выра-
выражением 17™ (г0) = — N —^— A 1 (см. 1.2), где г0—равновесное зна-
4я?о^о \ п I
чение расстояния между ближайшими ионами. Учитывая соотношение
JECB = — IL, (г0), получаем Есв = No -^— A ), постоянная Авогадро
4Я?о^О \ п I
No равна числу пар ионов в одном моле.
1.6. Согласно формуле A.1) получено выражение Есв =
= No —— A 1, где г0 = ~. Отсюда п = —. Подставляя
4яе0г0 \ п у 2 1_ 2пе0аЕсь
Noae*
табличные значения а, а, ЕСВ9 находим:
а) для NaCl n « 9,04;
б) дая КС1 п « 9,61.
1.7. Из условия —КЕ-^- = 0 для равновесного расстояния следует
дг
выражение r0 = I n^ J , с помощью которого для случая qx = 2q
находим т{о] — то4г л, т. е. равновесное расстояние между ближайшими
ионами уменьшается в 4" раз. Энергия связи при этом возра-
стает:
1.8. Используя условие (-— 1 = 0 для равновесного состояния
\ or /r0
кристалла, находим Есв = No —^— A — —).
4ne0r0 \ г0 I
Отсюда
Подставляя табличные данные для а, а, ?св, получаем:
а) для NaCl (>«3,12-10~n м; при этом учтено, что равновес-
71

ное расстояние между ближайшими разноименными ионами равно
б) для CsCl q « 3,13 • 10~п м, так как для этого кристалла характерна
ОЦК структура и го = ^—.
1.9. По определению х — — — —-, откуда dP = — —-—dV, т. е.
VQ UP VQX
Р — Ро = —— « 1,5 • 108 Н/м2; Ро, Vo—равновесные значения давле-
давления и объема. Из основного уравнения термодинамики TdS — dE + PdV
(dF \
—-1 . Полагая энергию кристалла Е « l/, что воз-
dV IS
можно при низких температурах (Г» О К), получаем соотношение
Используя затем разложение U(V) возле равновесного значений
() с точностью до членов второго порядка малости, нахо-
находим i^ = i-(?L). Следовательно, дм = ?? = i^-. 25 • Ю~6«
Уо 2ж \ Vo / Vo 2 • 3,4
«3,7 105Дж/м3.
1.10. Модуль всестороннего сжатия равен B = — = V0 (тгаг) , где
/?JL\ JBL(*L\2\ .1ш\ (?l\
\ dV2 ]v0 1 дг2 \dv) \v0 \дг )v0 \dV2)vo '
В равновесном состоянии (—) = 0, поэтому — = Vo \ —т х
\ дг /Vq х [ дг
х ~^7 \ -В ионном кристалле с решеткой типа NaCl одна молекула
\dvI Jvo
занимает объем 2Г3, где г— расстояние между ближайшими разноимен-
разноименными ионами (см. рис. 4). Отсюда объем кристалла из N молекул равен
V = N2r3. Следовательно, [-/-) = т, г0—равновесное значение рас-
\ dV /го oNtq
СТОЯНИЯ Г.
а) Если UKP(r) = — N (-^ ~), то из условия (-ттЧ =0 нахо-
\ 4я?оГ г I \ дг /го
дим /? и, подставляя в выражение —%-, получаем:
lU\ жт ае2 и-1
дг2 }г0 4пе0
72

Тогда — = - 7ГТ"- ^ Учетом соотношения го = -~ коэффициент
X 4Я?о \oTq 2
сжимаемости ионных кристаллов типа NaCl оказывается равным
2^G1-1) *
б) Если UKp(r) = -N [~—Ае б), то из условия (-^Ц =0
находим A = ^jer«le. Тогда (-§-) ^n-«?-. (-й._2), т. е.
4п€0г1 \ дг2 /г0 4п€04 \ Q Г
__?—^r°~ Ql t Учитывая для ионных кристаллов типа NaCl соот-
х 4пе0 • ISqyq
ношение ^о = "|', получаем
_
1.11. Воспользуемся выражением для объемного модуля упругости
1 СС(Р" (fn — id) w m
В = — = . ° 4 > полученным в предыдущей задаче. Тогда
Q =
В- = Wo т^- A - —) - 7,75 • 105 Дж/моль.
1.12. и = ?*?- + 1« 9,3, ?св = No -г2^- (l - -)« 7,68 • 105 Дж/моль,
2ае*х 2я^оЛ \ п I
No—постоянная Авогадро.
1.13. Энергия молекулярного кристалла, содержащего No атомов,
запишется в виде U(x) =Nou(x). В равновесном состоянии кристалла
( —) =0. Из этого условия находим х0 = о. Энергия связи равна
\ ах /хо
Есв = — U(x0) = AN о, что в расчете на один атом дает Е'св = —~ = А.
Модуль упругости Б = — = Vo (—j ] , где V = N&. Отсюда — =
1.14. По определению коэффициент теплового расширения равен
а~1Г ("^"L > гДе Vq—равновесный объем. В одномерном кристалле
V0 \ О1 /Vq
73

V = Nx, значит, ее = — I — I . Для расчета х воспользуемся распре-
Xq \ О! /Xq
делением Больцмана:
\ ехр —I dx
k0T i
при этом считаем kQT<A, но в то же время температура такова, что
можно пользоваться классическим распределением. Чтобы получить
а 4" 0, нужно сохранить в разложении U(x) вблизи равновесного значения
члены до третьего порядка малости включительно:
U(x) - Uo + -g-l о (* - х0) + -р-
= - А + Ъ {х - х0J - с (х - х0У,
h-L[?M.\ _i^t !.(??-] 252А _
-Ш -Af -^J" I W ^з
экспоненту в виде е k°T~ek°Te k°T l+ c^^; [ что соот-
ветствует точному учету гармонического члена Ъ (х — #0J и приближен-
приближенному учету ангармонического члена с (х — #0K, после замены переменной
х — хо = у получим:
) exp(-P&y2)(l + ^cy3)(«o + y)dy
я-^Ц.
1 °°
где р = —~. Используя затем значения интегралов 1г=\ е~уу dy =
RqI -co
= я1/2у~1/2, /2 = J e~yy^y"dy = O при нечетных п, 1ъ—\ у4е~уу dy =
— СО —00
J
— СО
„айдем г.я:о[, + -|_],а;.[1+1М:]. отсюда f-
1.15. Кршетическую энергию электронов в расчете на единицу
объема найдем по формуле
74
=\ efg(e)de,
о

где плотность квантовых состояний
g(e) выражается в виде
g(e)=
BmoK'V2.
Учитывая значения квантовой функ-
функции распределения / при абсолют-
абсолютном нуле температуры, получим:
Рис. 15.
где ij0—энергия Ферми. Из выражения концентрации электронов
Т 4 <\а I зп \2/3 л2я2 „ „
и=)о fg(e)de определим Щ = [—) ^. Тогда Ек =
Изменение плотности кинетической энергии электронов в области
перекрытия электронных оболочек (рис. 15) оказывается равным
ЬЕК = 55;'я4/3д2 [ (л. + «ьM/3 - nf - nf ] > 0. Это означает, что в силу
lOttio
принципа Паули электроны перекрывающихся оболочек у атомов а и &,
имеющие параллельную ориентацию спинов, переходят на уровни с
более высокой энергией. Возрастание энергии системы АЕК > 0 приводит
к возникновению сил отталкивания между атомами а и Ь.
1.16. Пусть первый атом с мгновенным дипольным моментом рх
создает электрическое поле напряженностью ?12 = pl 3 в месте рас-
расположения второго атома, радиус-вектор которого относительно первого
г 11 px. Тогда индуцированный электрический момент второго атома
р2 = #?12, где а —его поляризуемость. Энергия взаимодействия атомов
запишется в виде
Для меди
\U(r)r._
1Q-5*.1Q-7
B,55N • 10
-48
С
r6 •
3 • 100 Дж.
1.17. Совокупность двух ато-
атомов, находящихся на расстоянии г,
заменим системой идентичных ^ 00 0000 ^
линейных осцилляторов 1 и 2 I—#—^
(рис. 16), совершающих колебания i
вдоль оси х. ^ ^
Гамильтониан невозмущенной г
системы представляется выраже-
выражением
ППГШИ
Рис. 16.
75

где /? —коэффициент квазиупругой силы; т, р1у р2 — масса и импульсы
осцилляторов. Собственные частоты невзаимодействующих осциллято-
осцилляторов одинаковы и равны 0)^ = о)^ = о)о = У—. Принимая во внимание
* т
2е2ХлХо
энергию диполь-дипольного взаимодействия W = — —¦—^, запишем
полный гамильтониан системы в нормальных координатах xs =
и Ха =
где е—заряд электрического диполя, ps и рв—импульсы, соответст-
соответствующие симметричной и антисимметричной моделям. С помощью
этого выражения можно найти две собственные частоты связанных
осцилляторов:
Изменение энергии нулевых колебаний системы, приводящее к измене-
изменению полной энергии из-за диполь-дипольного взаимодействия, оказы-
оказывается равным:
Знак «—» указывает, что диполь-дипольное взаимодействие проявляется
в притяжении, сила которого обратно пропорциональна седьмой степени
расстояния между двумя осцилляторами (атомами).
1.18. Гамильтониан Н системы двух атомов а и Ъ водорода, нахо-
находящихся в s-состояниях на расстоянии г друг от друга (рис. 17), имеет
вид:
Рис. 17.

T)-\ =
J
где V = -L- \?ik _ 3(pir)(p2T)\ = _J_ ь_оператор ВОзмущения
за счет диполь-дипольного взаимодействия атомов; р1 = ег1, р2 = ег2—
дипольные моменты; v = ххх2 + уху2 — 2zxz2; хх, ух, zx, х2, у2, ^—коор-
^—координаты электронов по отношению к одному и тому же началу отсчета.
Следовательно, потенциальная энергия ван-дер-ваальсового взаимо-
взаимодействия во втором приближении оказывается равной
где С>0.
1.19. Энергию электростатического взаимодействия точечного иона
I е I с отрицательным зарядом е электрона, равномерно распределен-
распределенного с плотностью е = т-^з" по объему, ограниченному сферой ра-
радиуса rs, вычислим по формуле
,Т7 Ъе2
"f ИОН м' v Л )
'^ S7t€Ors
I В I
где ^Ион = ~; . Электростатическую энергию электрона рассчитаем
согласно выражению
rs
о
где 0>э = —^—13 —^( — потенциал поля электрона на расстоянии г
*К)-
от центра указанной сферы.
В результате получим:
Зе2
2
20ne0rs
Среднюю кинетическую энергию электрона оценим для абсолютного
- 3 / Ъп \2/3
I 1
3 / Ъп \
нуля температур с помощью соотношения е = -• rj0, где г/0 = I — 1 х
h2n2
х- энергия Ферми при Г = 0 К, концентрация электронов п свя-
/ Ъп \2
= I — 1
зана с радиусом сферы rs равенством иуяг?=1. В итоге находим
Зй2 / 9я
77

Энергия металла в расчете на один атом представится выражением
1.20. Воспользуемся выражением A.3):
и(г) (
UV°>- 40ne0rs + 10m0r52 \ 4
Равновесное расстояние, найденное из условия ( —] =0, равно
\ ors /го
го= пе° ( —) «1,3-КГ10 м. Учитывая связь г0 с постоянной а
ЗтО?Г \ 4 /
объемноцентрированной решетки (—¦ nri = ~-1, получим а = 2г0У^~ «
« 2,64 • 10~10 м. Модуль всестороннего сжатия при Т = 0 К определим
по формуле Б = | V —$ \ • Д™ этого энергию U (rs) удобно предста-
I о\ jro
I эи\ Л
вить с помощью условия — =0 в другом виде:
\ drs /r0
U(rs) = - —^— (l --?-). Тогда Б = ign5f 4 « 1,93 • 1010 Н/м2.
4 s/ 40я?0^ \ 2rs/ 16Оя2?Ог<)
Скорость звука в металле определим из соотношения vs= —,
плотность вещества — q = , М —масса атома натрия.
Следовательно,
к 2,16-10 м/с.
1.21. Энергию электростатического притяжения между ионом и
валентным электроном, заряд которого равномерно распределен по
объему между сферами с радиусами гс и rs (рис. 18), вычислим по
формуле
s
?o J
v
rs
f

Так как — < 1, то с точностью до членов второго порядка малости
r
rs
включительно получим:
Sneors Sneors \ rs
Электростатическая энергия электрона выражается интегралом
где
Интегрируя, находим:
С точностью до членов второго порядка малости включительно
20ne0 rs
Отсюда
c7t? Of?
uKyArs)~-
1.22. Энергия металла при абсолютном нуле температур (без учета
энергии нулевых колебаний решетки) складывается из энергии электро-
электростатического взаимодействия, кинетической энергии валентных электро-
электронов и энергии за счет обменных эффектов. В расчете на атом энергия
металла представится выражением
о I \ 2/3
*" 10m0 \~l Tf+ обш
-где гс—радиус иона, rs —радиус сферы Вигнера—Зейтца. Пользуясь
атомными единицами длины и энергии, запишем:
и 1 л.\ = | _ 1 -±- + з /^-^2 г + - /—Г —1 12>5 1
\ «о / 1 5 г5/л0 \ а01 (г5/ЛоK 5 \ 4 / (г5/л0J 13,6 г5/
i J ат
Учитывая табличное значение радиуса иона Na+ (rc = 0,95 • 10~10 м) и зна-
значение атомной единицы энергии IRy—13,6 эВ, находим:
24,48 , 131,38 , 30,09 12,5 ] эВ _
79

где <!;= —, а0—радиус первой боровской орбиты.
по
Из условия -^7 = 0 получаем равновесное значение ?*«4,17. Сле-
довательно, равновесное значение rf = г0« 2,20 • 100 м. Постоянную
4 х аъ
решетки вычислим с помощью соотношения у пт% = —, откуда
(8я
—
I г0« 4,47 • 10~10 м. Экспериментальное значение для постоян-
постоянной решетки равно аэксп « 4,28 • 10~10 м. Подставляя найденное значение
<!;* в вьфажение для энергии металла и учитывая, что Е'св = — U (г0),
находим:
j 56,98 50,09 151,58 1 эВ - -, эВ
Порядок величины ?св Для кристаллического натрия согласуется с экспе-
экспериментальными данными.
1.23. Каждый атом, находящийся в вершине кубической ячейки, при-
принадлежит 8 элементарным ячейкам, каждый атом на грани—2 ячейкам,
каждый атом на ребре —4 кубам. Тогда число атомов 2, приходящихся на
кубическую элементарную ячейку, можно представить формулой
где Nc, Nf, Ne, N, — числа атомов в вершинах, на гранях, ребрах, внутри
элементарной ячейки соответственно. Следовательно,
а) 2Гцк = 7 -8 + ^-6 = 4; б) Zom = j -8 + 1 = 2.
1.24. Координаты атомов, находящихся в вершинах кубической
элементарной ячейки, для решетки алмаза (начало декартовой систе-
системы координат совмещено с одним из таких атомов, см. рис. 2): @, 0, 0);
(а, 0, 0); (а, а, 0); @, а, 0); @, 0, а); (а, 0, а); (а, а, а); @, а, а). Коорди-
Координаты атомов, расположенных в центрах граней: ("f»"f»Oj;f-j, 0,-^1;
(*' f' f); (f' п> f); (°' f' f); (f' f' п)' Ко°Рданаты атомов,
расположенных на диагоналях куба: (-7, -f-, 7-); (-гя> т/таь
\4 4 4/ \4 4 4 /
(— а, — а, —); (-7, — а, — а ). Для решетки типа алмаза Nc = 8, Nf = 6,
\444/\444/ '
JV, = 4, Ne = 0, поэтому

2 = |-8 + |.6 + 4 = 8.
1.25. Элементарная ячейка ГПУ решетки представляет собой прямую
призму, в основании которой лежит ромб с углами 60° и 120° (см. рис. 3).
Каждый атом в вершине призмы принадлежит 8 элементарным ячейкам.
Тогда для числа атомов 2, приходящихся на одну элементарную ячейку,
с учетом одного атома внутри призмы получим:
8 + l 2
1.26. Степень упаковки атомов в кристалле определяется по формуле
где га — атомный радиус, VQ — объем элементарной ячейки, на который
приходится z атомов.
а) Направления максимальной упаковки атомов в простой куби-
кубической структуре совладают с ребрами элементарной ячейки, поэтому
б) В ОЦК решетке 2 = 2, направления максимальной упаковки совпа-
совпадают с диагоналями куба (см. рис. 1), т. е. га = -^—, отсюда
f = 2 3-64V = ~°'68-
в) В ГЦК решетке 2 = 4 и га = -^т~, следовательно, / = ^— « 0,74.
4 о
г) В идеальной ГПУ решетке расстояние между центрами соседних
атомов равно а, т. е. г* = ~- Объем элементарной ячейки как объем
прямой призмы, в основании которой лежит ромб со стороной а и углами
60° и 120°, вычисляется по формуле
Учитывая значение 2 = 2, получаем:
1.28. Зная число атомов в элементарной ячейке для ГЦК решетки
B = 4), найдем объем, приходящийся на один атом, VaT = — и мо-
81

лярный объем VMOJ1 = N0—, где No — постоянная Авогадро. Тогда
плотность q кристалла выразится через молярную массу \i\
4 N0tf3 •
Отсюда
з__?? 4 6,354 1Q-2* _Л7\ 1Q-*> 3
U ~ Noq — 6,023 • 1023 • 8,96 103 ~ ' ' M'
ra = ~-— = 1,28-10~10 м. Число атомов меди в объеме 1 м3 равно
л = -~=8,49-1028 м~3.
1.29. а = 4,08 10-10 м, га« 1,44-1О'10 м, п « 5,91 • 1028 м.
1.30. а « 3,15 • 100 м.
1.31. Элементарная ячейка структуры NaQ содержит 8 кубов
объемом (--М , в вершинах которых расположены ионы Na+ и СГ,
причем каждый куб содержит z = — • 8 = 1 ион или — молекулы. Зная
8 2
объем, приходящийся на одну молекулу, У,= (--М —-, находим
\ 2 / z/2
молярный объем:
у — /у V •
мол
Тогда плотность вещества оказывается равной q = -~— = -~V» откуда
4гИ
1/3
, т. е. а =
4 • 5,844 • Ю-2
1/3
«5,64-Ю-10 м.
6,023 1023-2,167 103
—ягх.1,99-103 кг/м3.
«- б,о2з
1.33. Плотность вещества с кубической структурой выражается
формулой
где /л — молярная масса, No — постоянная Авогадро. Число атомов, прихо-
приходящихся на одну элементарную ячейку, для ОЦК решетки (с постоянной
ах) zx = 2, для ГЦК решетки (с постоянной а2) z2 = 4. Тогда относитель-
относительное изменение плотности железа в указанном превращении оказывается
равным:
82

6 =
боцк
-100% = A,037 - 1). 100% - 3,7%
1.34. Объем элементарной ячейки ГПУ структуры равен
у0 = ' * с « 3,03 • 10~29 м3. Учитывая объем, приходящийся на 1 атом,
VaT = - ? запишем формулу для плотности вещества:
Отсюда
2 • 6,538 .10 • 2
1,732 • B,66J • 100 • 4,95 • Ю0 • 6,023 .1023
«7,16-Ю3 КГ/М3.
1.36. a) C 62); 6) [ill]; [ill]; [111]; [ill].
1.37. Ax= a, B! = 0,5a, Cx = --a. Кристаллографическая плоскость
отсекает на осях кубической решетки отрезки А = 6а, В = За, С — 2а
(рис. 19).
1.38. а) Плоскости {1 11} в ГЦК структуре характеризуются наиболь-
наибольшей плотностью упаковки атомов. Действительно, коэффициенты упа-
упаковки атомов в плоскостях A00), A10) и A11) (рис. 20) равны
/ Т 2_ х Т Т /2 , "б" +Т
/A00)- о -Я2> /(ПО)" оп> - J1 у /(HI)— ,/F
соответственно, т. е. /ою >/(,«»>/о ю).
Рис. 19.
Рис. 20.
83

Линейная плотность упаковки атомов в плоскостях {111} макси-
максимальна в направлениях (ПО).
б) Плоскости {1 1 0} и направления <1 1 1) в этих плоскостях ОЦК
структуры характеризуются наибольшей плотностью упаковки атомов.
1.40. Из формулы A.8) для кубической решетки с ребром а
, __ a cos а 1 _ a cos а2 __ a cos аз
находим выражения для направляющих косинусов углов, образованных
нормалью к плоскости (hkl) с осями декартовой системы координат xyz,
совпадающими с ребрами кубической ячейки:
hd kd Id
cos a, = —; cos a2 = —; cos аъ = —.
a , a a
Учитывая, что cos2 ax + cos2 a2 + cos2 аъ = 1, получим:
1.41. a)
6)
a A a
' 1I1==7T*
1.42. Восемь октаэдрических плоскостей (ill), (ill), (ill),
A11), A11), A11), A11), A11) обозначаются {111}.
1.43. Вычисляя постоянную кубической решетки AgBr по формуле
I 4гц 11/3
= \~Г—}
(см. решение задачи 1.31), получим:
_ 4 0,1878 \1/3 __ ,о
/ 4-0Д878 \1
\ 6,023-1023.6,5-103/
Длина ребра куба, в вершинах которого находятся ионы Ag+ и Вг",
равна -2.«2,28-100 м. Тогда dloo = -2-« 2,88 • 100 м, dUQ = -A-**
2 2 2 у 2
»2,04-100 м, ^111="^* 1,67 Ю0 м.
1.44. Из формулы для плотности кубических кристаллических
структур q = -^-t найдем постоянную Авогадро N0 = -^r, где z — число
Nqu qq
атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку. Для ГЦК решетки
2 = 4. Постоянную решетки а найдем по межплоскостному расстоянию
84

= -7~, которое в свою очередь определяется из соотношения
— nX] n — порядок максимума. Следовательно,
ю 8г Ц sin3 в
Подставляя числовые данные, получим N0«6,11023 моль.
1.45. А = Ш^— 9 а — постоянная решетки NaCl, п — порядок интерфе-
п
ренционного максимума при отражении.
Л= 5,64 ¦ Ю-'»sin 17'22'
1.46. я--г^--5,77-Ю-10 м.
sin с*
1.47. Порядок отражения от кристаллографических плоскостей (hkl)
определяется формулой п = —ш^—. Для простой кубической
, 2д sin в ^ г^ттт/- л а
решетки dlQ0 = a, поэтому лку6 = —я—• Для ^Ц^ решетки dloo = y
и ^ruK=flSI^ » т. е. yirilK = -2HL=l, 2, 3, .... Отсюда следует, что при
переходе к ГЦК структуре останутся только четные порядки отражения
лкуб = 2, 4, 6, .... Нечетные порядки пропадут.
2.1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний системы
частиц в кристалле имеет вид:
rl1 .., fи; ^, ..., RN),
где ? —энергия кристалла, Ф — собственная функция гамильтониана
j if/
l/(ri, ..., гя, Rlf ..,, RN),
в правой части которого два первых слагаемых — операторы кинети-
кинетических энергий электронов и ядер соответственно, третье — потенциаль-
потенциальная энергия попарного взаимодействия электронов, четвертое — потен-
потенциальная энергия взаимодействия ядер, последнее слагаемое учитывает
энергию взаимодействия электронов с ядрами; m0, Af«, rif Я, —массы
и радиусы-векторы электронов и ядер.
В приближении покоящихся ядер (R, = Ra0 = const, так как Ма > т0),
используя валентную апроксимацию, при которой все электроны атома,
кроме валентных, вместе с ядром образуют неподвижный ион, получим:
85

где ^ — волновая функция, а Ее — энергия валентных электронов. Заме-
Заменяя энергию попарного взаимодействия валентных электронов энергией
электрона в усредненном поле всех остальных, т. е. энергией в само-
самосогласованном поле
и представляя U (rt,...., г„, Rl0,..., Rn0) = ? Ut (r,), преобразуем уравнение
Шредингера к виду
i
Это уравнение допускает разделение переменных. Действительно, если
представить \ре = П Wt (г/) и ^е = X ?« > г^е ^/ (г<)» ^/"" волновая функция и
энергия f-го электрона, то находим:
Hii//i{ri)=eiti/i(ri); i=l, 2, ..., п.
Таким образом, задача многих частиц сводится к одноэлектронной
задаче:
Нщ(г) = су/{г).
2.2. В периодическом поле V(x) = V(x + па) решения уравнения
Шредингера обладают тем свойством, что у/{х + па) = С„у/ {х). Из
условия нормировки I Си 12 = 1 следует, что можно положить С„ = eifeml,
где fe имеет вещественное значение и играет роль волнового чис-
числа, характеризующего квантовое состояние электрона. Тогда
у/к (х + па) = elkna y/k (x), откуда получаем решения уравнения Шредин-
Шредингера в виде функций Блоха y/k {x) = e~ikna y/k {x + па) — eikx uk {x), где
uk (x) = e~ikx y/k (x) = e~ik{x + na) y/k {х + па) = ик(х + па).
23. Волновая функция электрона в периодическом поле кристалла
^(r) sse^'iij(г), причем щ(г -f Г) = щ{г). Тогда
w(f+ Г) = е'*(;+Г) и«(г + D = ^V*(r).
2.4. Волновая функция электрона, движущегося в периодическом
86

поле решетки, есть функция Блоха у/а (г) = е'*гщ(г). С помощью
выражения рхщ(г) = еikr(hkx + рх)щ(г) можно проверить справедли-
справедливость соотношения
Тогда из уравнения Шредингера
после
сокращения на ёкг получим -—tRL + у( г) \щ (г) = €щ (r) #
L 2mo J
Обозначая через Н — о+р + V( г), находим —?- = — (ftk + р).
2/Ло (Ж /Wq
Действуя этим оператором на функцию щ (г), после умножения
слева на е'*г^!(г) и интегрирования по объему получим -•=• =
= h\wt(r)
J
выражению г; = —* для свободного электрона.
др
2.5. Волновую функцию электрона в кристалле, удовлетворяющую
циклическим граничным условиям Борна — Кармана
^(Г+ли) = ^(Г), / = 1, 2, з?
где а, —основные векторы решетки, N, —целые числа, причем
Nj N2N5 = N — полное число элементарных ячеек в кристалле, можно
представить в виде ряда Фурье:
— y/k{r)dT, т. е. (#)= — -^. Эта формула аналогична
(g—вектор обратной решетки). Поскольку потенциальная энергия элек-
электрона V есть периодическая функция с периодом решетки, то справед-
справедливо разложение по векторам обратной решетки: V(r) = ^ Vgielgir.
Подставляя выражения ^(г) и V(r) в уравнение Шредингера для ста-
стационарных состояний, получим:
87

Умножая последнее соотношение на е lkxr и интегрируя по г, находим:
Заменяя ft, -> k + g и переходя к атомным единицам, запишем:
где К и ?—безразмерный волновой вектор и энергия электрона соответ-
соответственно, G = ao& Яо"~ первый боровский радиус. С учетом последних
выражений уравнение Шредингера в импульсном представлении при-
приводится к безразмерному виду:
[(K + GJ-€] С(К + 6) + ^ V^CCK + G-GJ^O.
2.6. Выбирая в качестве единиц измерения атомную единицу длины
(первый боровский радиус а0) и атомную единицу энергии (энергию
связи электрона в атоме водорода 1 Ry = « 13,59 эВ), преобразуем
оле0 а0
выражение потенциальной энергии к безразмерному виду:
где <J = — — безразмерная координата. Разложим V(?) в ряд Фурье:
V(<J) = ^ VGeiGi, где G = a^y g—вектор обратной решетки. Из усло-
G
вия периодичности V(f) = V(f + я) следует J.VGeiGi = J.VGe 'с(«+ л),
G G
откуда еЮя = 1, т. е. G = 0, ±2, ±4, .... Преобразуя
V(€) = — 3 - 2 cos 2f = - 3 — е ы — е ~ы, найдем коэффициенты разложе-
разложения V{() в ряд Фурье: Vo=-3, V2^=-l, V_2=-l.
Воспользуемся уравнением Шредингера в импульсном представле-
представлении в безразмерной форме:
[{K + GJ-€] C{K + G) + J. Vg, C(K + G-G,) = 0,
G,
где X = fea0 — безразмерное волновое число, € = —ф-- ^ • Учитывая зна-
значения коэффициентов разложения Vd, которые отличны от нуля лишь
при Gi = 0, ±2, получим уравнение
[(K + GJ-?-3] C(K + G)
88

в котором совокупность коэффициентов С (К + G) есть волновая
функция электрона в К-представлении. Эти коэффициенты связаны
системой линейных однородных алгебраических уравнений. Систе-
Система же имеет нетривиальное решение лишь в случае, если ее опре-
определитель равен нулю (А = 0). Это детерминантное уравнение имеет
вид:
(К-4J-?-3 -1 0
-1 (К~2J-?-3 -1
0 -1 К2-€-Ъ -1
0 -1 (К + 2J-?-3
0 -1 (К
Отсюда следует, что каждому значению К отвечает множество кор-
корней детерминантного уравнения, т. е. собственных значений энергии €„,
относящихся к различным зонам (для перечисления корней используют
цомер зоны п). Таким образом, энергетический спектр электрона состоит
из областей разрешенных значений еп (k), называемых энергетическими
зонами.
2.7. В нулевом приближении в разложении y/k (?) =
= 2 С(К + G)ei(k + GU следует учесть лишь член с G = 0. Тогда для
G
квантового состояния электрона К = 0 в этом приближении получим
уравнение (—€ — 3) = 0, откуда €х = — 3. В следующем приближении,
когда в разложении учитываются три волны с G = 0, ±2, детерминант-
детерминантное уравнение для энерпии принимает вид:
= 0.
Корни этого уравнения ?^ =—3,4495, ?2=1,00, €ъ— 1,4495 есть зна-
значения энергии электрона с волновым числом К = 0 в первой, второй
и третьей зонах соответственно, причем корень €х — —3,4495 представ-
представляет уточненное значение энергии электрона в первой зоне по отноше-
отношению к ?, = —3.
Собственные значения энергии электрона с К = 0,5 (k - -^—) в пер-
\ 2а0 I
вом приближении (G = 0, ±2) являются корнями детерминантного
уравнения
89
1-е
-i
0
-l
— (з +
-i
е)
0
-1
A-е)

-1
О
-1
11
-1
о
-1
-е
= о
и оказываются равными ?х = -3,2956, ?2 = -0,3731, ?3 = 3,4187. Учет
пяти волн в разложении приводит к уравнению пятой степени относи-
относительно энергии, что позволяет уточнить значения уже вычисленных
величин ?19 ?2, ?3 и найти значения энергии электрона в четвертой и
пятой зонах.
Результаты расчета энергии электрона на основе решения детерми-
нантных уравнений представлены в таблице:
к
0
1
2а0
Число
волн в
разло-
разложении
1
3
5
3
5
Номер зоны
1
3
4
5
?, эВ
-40,77
-46,88
-46,95
— 44,79
— 44,95
13,59
12,46
-5,07
-6,28
19,70
18,64
46,46
45,51
177,76
127,07
177,76
235,38
2.8. На границе первой зоны Бриллюэна безразмерное волновое
число К= 1. Тогда в разложение волновой функции электрона входит
четное число плоских волн с нечетными значениями суммы I К + G I
коэффициентов С (К + G). Поэтому детерминантное уравнение, полу-
полученное при определении коэффициентов Сх и С_х,
¦(? + 2)
-1
-1
= 0
приводит к безразмерным собственным значениям энергии Сх = —3
и ?2 = — 1. Ширина энергетической щели на границе первой зоны
Бриллюэна в этом приближении оказывается равной
А* = [-1 - (-3) ] • 13,59 эВ = 27,18 эВ.
2.9. Потенциальная энергия электрона в кристалле V(r) = V(r + I),
где I — lYax + 12п2 + 1ъпъ~~вектор кристаллической решетки. Используя
разложение потенциальной энергии в ряд Фурье V( г) = ^ Vg е *lg r
90

и свойство периодичности, полу-
получаем eigl=l, т. е. gl = 2nn, где
п — целое число.
Если и = const, то проекция
¦ш 2пп
L = определяет плоскость, пер-
g
пендикулярную вектору g и находя-
п+1
щуюся на расстоянии
2пп
от начала
координат (рис. 21). Это кристалло-
кристаллографическая плоскость, так как на
ней лежит бесконечное число узлов
кристаллической решетки. Действи-
Действительно, если Г—вектор решетки, Рис- 21-
определяющий один из ее узлов,
причем конец этого вектора лежит на указанной плоскости, то узлы
решетки, определяемые векторами
У = ?+ N [пъ {ах + а2) - (пг + п2) а3],
где N—любое целое число, также расположены на этой плоскости,
поскольку gl' = gl.
2.10. d = ^(n + l)-^n = ^.
g g g
2.11. Ig = 2n {nxlx + n2l2 + n3l3) = 2nn, где « — целое число.
Если кристаллографическая плоскость, перпендикулярная g, пересе-
пересекает ось Ох, то координата точки пересечения равна — ах. Аналогично
координаты точек пересечения указанной плоскости с осями Оу и Oz
оказываются равными — а2 и — аъ соответственно, где аг, а2, аъ —
п2 пъ
периоды прямой решетки. Следовательно, эта плоскость имеет индексы
(щ п2 п3), которые после сокращения на общий множитель дают индексы
Миллера (hkt).
2.12. Вектор обратной, решетки g = 2п (пг Ьг + n2b2 + щ Ьъ), где
2пЪх = — [а2 а5], 2пЪ2 = -2.
векторы примитивных трансляций обратной решетки, v = {ax
Объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах обратной
2пЪъ = — [аг aj — периоды или
решетки, равен т/ = BяK (В, [В2 Ь3]) = BяK
так как
91

; (В,[Ь2Въ]) = ± &[а2аъ]) = j.
2.13. Базисные векторы простой кубической решетки можно выбрать:
ах = ал, а2 = aj, аъ = ak0, причем объем элементарной ячейки
v — (di [а2 аъ]) = а3. Векторы примитивных трансляций обратной решетки
определяют по формулам
= 2пЬ1 =
= 2п$2
, С = 2я$3 = 2л
Отсюда А = — i, В = —— ;, С = —— k^, т. е. постоянная обратной
а а а
2п г , BяK BяK
решетки равна — и объем элементарной ячейки v = 3 =-—?-
(рис. 22). Первая зона Бриллюэна есть ячейка Вигнера—Зейтца в обрат-
обратной решетке. В данном случае это параллелепипед, ограниченный плос-
плоскостями, перпендикулярными к следующим 6 векторам:
Bя V
1 .
2.14. а) Запишем векторы примитивных трансляций ОЦК решетки
(рис. 23):
Они определяют объем примитивной ячейки v = (a[bc\) = —,
т. е. объем, приходящийся на один атом в ОЦК решетке. Тогда векторы
Ку
Рис. 22.
Рис. 23.
92

примитивных трансляций обратной решетки
совпадут с векторами примитивных трансляций ГЦК решетки. Следова-
Следовательно, обратная решетка является ГЦК решеткой.
б) Учитывая векторы примитивных трансляций ГЦК решетки
и объем примитивной ячейки
определим базисные векторы обратной решетки:
Следовательно, обратной ГЦК решетке будет объемноцентрированная
кубическая (ОЦК решетка).
2.15. б) Двумерная кристаллическая решетка с базисными векторами
a1 = ai> a2 = — i + aj, где i, / — орты декартовой системы координат,
а = 2, изображена на рисунке 24.
Для определения векторов решетки направим аъ по оси z, причем
I аъ I =1. Тогда А = 2п и В = 2я располагаются в
плоскости векторов аг, а2. Учитывая объем г; = (аг [а2 а3]) = я2, находим
О О О О
Рис. 24.
93

/Су
Рис. 25.
Д = —i— — /, B = —j. Обратная двумерная решетка на плоскости
kxy ky изображена на рисунке 25.
Для построения первой зоны Бриллюэна точку О, совпадающую
с одним из узлов обратной решетки, соединяем векторами g с ближай-
ближайшими узлами. Через середины этих векторов перпендикулярно к ним
проводим прямые (плоскости). Получаемый при этом многоугольник с
наименьшей площадью и есть первая зона Бриллюэна.
2.16. Плоская квадратная решетка с параметром а имеет векторы
примитивных трансляций аг = ai, a2 = а). Объем примитивной ячейки
v = (аг [а2 аъ]) = а2, где аъ = k0; j, /, feo~~ орты осей декартовой системы
координат. Векторами примитивных трансляций обратной решетки
будут
v a ' а ''
Плоская обратная решетка в пространстве fe-вектора изображена на
рисунке 26.
Первая зона Бриллюэна построена с помощью наименьших по абсо-
абсолютному значению векторов gx, проведенных из точки О к ближайшим
узлам обратной решетки. Эта зона есть квадрат, выделенный на рисун-
рисунке 26 косой штриховкой.
2.17. На один волновой вектор в fe-пространстве приходится объем
Дг/х = з . Число разрешенных значений для k в любой зоне равно их
Li
Bп \3
— | . Значит,
число квантовых состояний в простой энергетической зоне, возникшей
94

Ку
• • • © ф
Рис. 26.
из невырожденного атомного уровня, равно Z = -
2L3
Bп?
где множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина.
2.18. а) Векторы примитивных трансляций обратной решетки есть
где i, j, ko—орты осей, направленных вдоль ребер элементарного куба.
Поэтому объем первой зоны Бриллюэна равен:
В кристалле единичного объема на один волновой вектор в ft-про-
странстве приходится объем vx = BяK. Плотность квантовых состояний
электронов в простой энергетической зоне равна удвоенной плотности
волновых векторов в первой зоне Бриллюэна:
Z =
аъBп)ъ
б) г/ = 4Иг , Z=4-
95

2.19. а) В любой кубической структуре каждый атом дает 2 квантовых
состояния в простую зону и 2g состояний в g-кратно вырожденную зону.
Последняя заполненная зона в кристалле КВг образована из уровней Ар
ионов Вг", поэтому число электронных состояний в ней для 1 моль кри-
кристалла равно 2N0 B1 + 1), где орбитальное квантовое число I = 1. Сле-
Следовательно, плотность электронных состояний выразится отношением
б) 1,5 1043 Дж^моль.
2.20. Волновой вектор электрона в углу первой зоны Бриллюэна
l/2 -
равен \k\ =-г- \g\ , где g—вектор обратной решетки с минимальным
модулем. Для середины боковых ребер первой зоны kx = ~ , поэтому с
помощью формулы ек = -— находим -~г- = 2.
2м0 jfti)
2.22. В приближении свободных электронов собственные значения
энергии электрона определяются по формуле
где kx = — п1 у ky = -— п2, kz = — щ ; L—длина ребра кристалла, взя-
Li Lj Li
того в форме куба; п1} п2, щ — целые числа. Представляя в fe-прост-
ранстве разрешенные энергетические состояния системой ячеек объема
Bп \3 -*¦
—) , получим их число в единице объема ^-пространства
1 L3
2 • . K = —j; множитель 2 в левой части появляется за счет двух
ориентации спина электрона. Сферическая поверхность Ферми радиусом
kF охватывает в ^-пространстве ячейки, содержащие Nz электронов,
т. е. т- nkl • —j = Nz, где N—число атомов в кристалле. Отсюда
где И? — концентрация свободных электронов в кристалле.
2.23. Решение уравнения Шредингера в области 0 < х < а имеет вид
у/г = Aeixx + Be~ixx, где х2 = т\е . В соседнем интервале а<х<2а,
учитывая периодичность поля одномерного кристалла, для волновой
функции будем иметь:
96

ш = eika \Ае ы (х~а) + Be ~ ix 'кХ ~ ЛП
причем при х = а волновая функция должна быть непрерывна, т. е.
щ (а + 0) = у/, (а - 0).
С помощью уравнения Шредингера
d? м/
можно получить граничные условия для первой производной:
Поэтому коэффициенты А и В удовлетворяют системе двух линейных
однородных уравнений
eika (А + В) = Aeixa + Be~lxa,
ikeika (A - В) = ix (Aeixa -Be~ixa) + 2 -j {Аеixa + Be ~ixa),
детерминант которой А = 0, т. е.
cos ka = cos хал sin xa.
уса
Разрешенные значения х9 а следовательно, и зоны разрешенных значе-
значений энергии электрона определяются неравенством
Р
\ cos xa + -— sin xa I < 1,
xa ~
или
Icos (ха - arctg —) !
Это неравенство решается графически (рис. 27). Точки пересечения кри-
Рис. 27.
эеа
97
Заказ 295

Рис. 28.
вых, аналитическое выражение которых суть левая и правая части нера-
неравенства, изображены кружочками, а интервалы значений ж, для которых
выполняется неравенство, т. е. разрешенные энергетические зоны, отме-
отмечены на оси абсцисс жирными отрезками.
п <* л . ш ха
2.24. ctg — = --—для энергетических зон с нечетными номерами;
ха ха
tg— = ---z—для четных зон.
Оба уравнения решаются графически. Так, например, на рисунке 28
абсциссы точек пересечения графиков ctg — и прямой — (при за-
заi> гДе и2 = У и « = 0, 13 2, ....
данном значении Р) определяют
2.25. Волновая функция электрона y/k (х) = щ (х) еikx, где
щ = (# -f d) = wfe (л). Подставляя ^ (л;) в уравнение Шредингера для
стационарных состояний
получим:
Решение этого уравнения имеет вид:
при 0<х<а, а2 = -
-its+ik)x при а<х<а + Ь, g2=

Постоянные А, В, С, D выбираются так, чтобы функция ик(х) и ее
производная -—• были непрерывны при х = 0 и х = а. Тогда для по-
постоянных А, В, С, D получим систему четырех линейных однородных
алгебраических уравнений
A + B-C-D-0,
г {а - ft) А - i (a + ft) В - (/? - /ft) С + 0? + ifc) D = О,
/ (а - ft) Aei{a-k)a -i(a + k)Be-l{a+k)a - (/? - ift) Ce(/J"'*)b +
i IQ i ¦» ti\ Г*Ъ .«-» — (/* ¦+¦ '^) ^ _ Г\
"T" \м "T" irCt > 'К* ~* \J»
При записи 2-го и 4-го уравнений принято во внимание условие
Чг~ I = ("Т^) • Эта система уравне-
иХ fa \ их f~b
ний имеет нетривиальные решения лишь в том случае, когда А = 0, т. е.
1 1 -1-1
еНа-к)а е-х{алЪ)а _ eifi-ik)b _e~^ +
i (а —к) — i (а -ь ft) — (/? — ift) (/? + и
i(a-k)ei{a-k)a -i(a+k)e'iia+k)a ~{^-1к)е^-1к)ь (^+ik)e~{
Отсюда находим уравнение для энергетического спектра электрона
~~ ** sh /?& sin aa + ch /?b cos aa = cos k{a + b).
2.26. Если Уо-> oo и b-*07 но VoЬ = const, то a + b-+a,
Поэтому
Вводя постоянную величину Р = т°а2 ° , характеризующую про-
прозрачность потенциальных барьеров, преобразуем уравнение
~a sh /?Ь sin aa + ch /?Ь cos aa = cos ft (a + &)
к виду
— sin aa + cos aa = cos ft^.
99

На рисунке 5 приведено графическое решение этого уравнения для
Р = —. Отсюда видно, что значения энергии у потолка зон опреде-
определяются соотношением а2а2 — (япJ, где п = 1, 2, ...— номер зоны. Учи-
Учитывая выражение а2 = m"? , получим:
m"? , получим:
^2 2 эВ.
2т0 я2
2.27. Разрешенные значения #я в энергетических зонах (см. рис. 5)
представим суммой аа = лп + <5, где I <51 <^ 1, п = ± 1, ±2, .... Тогда
= sin {nn + 6) = sin nn cos <5 + sin 6 cos яи = (—l)"sin6 « (—1)"<5,
cos aa « cos яп = (—1)". Уравнение — sin aa + cos ад = cos ka npe-
образуется к виду (— l)n 6—н- (~l)" = cos/ea. Отсюда находим
<5==—[(—l)"cos^a—l]. Значит, разрешенные значения аа предста-
представятся выражением аа = лп 1 + (-1)" — cos ka - — . Принимая
во
"т1г
внимание a = ]l "т1г , получим закон дисперсии:
Я2Й2
2.28. АЕп-
2.29. Е2 =
2т0а2
2.30. Е^ + 1'И = Л
где Л»-2^-. Тогда разность A?8 = ?g(" + 1'n)-?g("+2'" + 1) =
2/Wq я
х (-271 - 3) + 2и + 1} = А - 0,8 (п - 1) > 0 при п>1.
2.31. Для почти свободных электронов периодическое поле кри-
кристалла можно рассматривать как возмущение. Представим оператор воз-
возмущения в виде
. 2пх . 2пх
100

Согласно теории возмущений энергия электрона во втором приближе-
приближении равна:
где г40) —энергия электрона при V = 0; Vkk, Vkik —матричные элементы
00
оператора возмущения. Из выражения Vklk— j щ{?]* V у/к0) dx, где
— оо
y/k0) = Bn)-ll2eikx, y/f* = Bn)-ll2e-iklX--волновые функции свободного
электрона, следует, что Vkl k =f О лишь для kl — k± —. Значит, на
границе зоны Бриллюэна (при &=+"j) волновое число k1 = ±-^
11
и е^ = е^ = ——г" > т- е- имеет место двукратное вырождение невозму-
щенных уровней; одному и тому же значению энергии принадлежат вол-
волновые функции \f/f и ^@) 2п (или у/{0) 2п на другой границе зоны
k + — k
а а
Бриллюэна). В этом случае волновую функцию в нулевом приближении
следует взять в виде
где g = — — вектор обратной решетки. Подставляя y/k в уравнение
Шредингера (Яо + У)щ = ek y/k, находим:
= akeky/f + ak+gek\i/f+g.
Умножая это выражение слева сначала на ^i0)*, а затем на y/^+g и инте-
интегрируя по х, получим:
где Vkt k+g = Vk+gy k = -?-, ^k} = ^k\g- Эта система уравнений имеет не-
нетривиальные решения, если определитель равен нулю:
Vx/2 ef+g-ek
101

Отсюда
Следовательно, ширина энергетической щели на границе зоны Брил-
люэна равна:
2.32. Разложим волновой вектор на две составляющие k = kg + knb
где kg перпендикулярна границе зоны, kn параллельна границе, т. е. пер-
перпендикулярна вектору обратной решетки g. Тогда
* 2m0 2m0 g *Я ; '
2т0
Вычисляя
находим:
¦М
dke
Учитывая выражение для энергии электрона вблизи границы зоны Брил-
люэна B.10), получим:
TftQ
Рис, 29.
S
= —-|-» тогда
На границе зоны г\ =
—"¦ = 0. Следовательно, изоэнергетические
поверхности ортогональны границам зоны
Бриллюэна.
2.33, Вектор g определяет семейство пер-
перпендикулярных к нему кристаллографических
плоскостей, расстояние между которыми
d = — (рис. 29). Условие Вульфа—Бреггов
для отражения электронных волн 2d sin 0 = иА,
102

где w = ±l, ±2, ..., запишется в виде 2 — sin9 = ra -~-, откуда
g &
& sin 0 = —, т. е. I kg I = ~ п. Значит, концы векторов k электронных
волн лежат на границах зон Бриллюэна, где и существуют энергетиче-
энергетические щели для электронов кристалла.
2.34. При трансляции на вектор решетки Тх волновая функция при-
мет вид ^n(r + /i)=-^y eikl\j/n{r + h — l). Обозначив l — lx = h,
i
запишем:
Сравнивая последнее выражение с
полечим:
2.35. Энергия электрона в состоянии с
1
определяется по формуле
-% -+ S fc2 _* _*
где Н(г,р) = — -— V2 + V(r), V(r) — потенциальная энергия электрона.
2ntQ
Подставляя ^^и(^) в эту формулу, получим:
h i
Полагая t+r1 = r, l — li = h, запишем:
103

при эюм преобразовании учтено равенство 2 1 = N. Проверим условие
i
периодичности:
так как е~г&ь = е-*
В связи с малым радиусом локализации функций у/п (г) интегралы
перекрытия гп {h) резко уменьшаются с ростом расстояния 1 h I между
центрами волновых функций у/п 00 и ^л (г + Я). Поэтому в приближении
ближайших соседей, имея в виду лишь члены с h = 0 и h — йг, запишем
?„(?) = ?„ @) + 2 ^ ' * ^ ?« №i)> где Ьх — векторы, соединяющие данный
узел решетки с ближайшими соседними узлами.
2.36. Воспользуемся выражением е„ (k) = еп @) + ]Г ?'^] ?« (Ai )>
полученным в предыдущей задаче. В простой кубической решетке
векторы hi от любого узла до ближайших шести соседей имеют
проекции (а, 0, 0), (-я, 0, 0), @, а, 0), @, -а, 0), @, 0, а), @, 0, -а).
Поэтому для закона дисперсии получим:
?„(?) = ?«@) + е„(a) [eik*a + e-ik*a + eikya + e~ikya + e'**e + е~ш*а] =
= г„ @) + 2^w (a) {cos fc* a + cos fey a + cos fe2 a}.
Учитывая соотношение — 1 < cos kta< 1, находим ширину энергети-
энергетической зоны Д?п = «Г - ^nmin = 12 I си (a) I .
2.37. Если а->», то ^я (а) -> 0, так как ги (а) = f;^* (г + a) Ну/п (г) dr
и перекрытие волновых функций у/$(г + а) и уп{г) отсутствует. При
этом €„(&)-+ еп @) и ширина энергетической зоны А?и-> 0, т. е. каждый
энергетический уровень оказывается ЛГ-кратно вырожденным, где
N — число атомов, равное числу элементарных ячеек в кристалле. При
уменьшении расстояния между атомами они возмущают друг друга, что
приводит к снятию вырождения и расщеплению атомного уровня в энер-
энергетическую зону. 5-Зона, получившаяся в результате расщепления
s-уровня, может вместить 2N электронов.
2.38. В ОЦК решетке векторы hi от любого узла до восьми ближай-
ближайших соседей имеют проекции |-|, у, -||, |~, -~, - j|, | - -|, j, jj,
104

~, — ~, — —). Поэтому в приближении ближайших соседей за-
z Z Z ,
пишем:
/ Г~ \ i ¦ а (Ь Ь Ъ \ ' а (Ъ Ъ Ъ \
' — (k h h ) ' — (k k h )
? 2 у i p 2
a 1/3 \ &я я &v a kza
—* cos —- cos —x~ cos —~-
2 2 2
/ a]R\ /«l/3\ 2
Для s-зоны интеграл перекрытия еп I —~-1 < 0 или еп (—~— J = — (s .
Вблизи центра зоны Бриллюэна, т. е. у дна энергетической зоны
-^-«1, где г = х, у, г. Тогда, представляя cos -т~« 1 — т ("Г") »
2 _^ 2 2 \ 2 /
находим ?s (fe) = г:5 @) — 8/?2 + Д2 а2 к2. Отсюда эффективная масса
й2 h2
т* = ~2"~ = —т~2 > 0 и одинакова по всем направлениям.
dk2
-* - - -* \ I k \
2"lQ о (fe ^ > & i' k h\ p (pi \ — p A.R \ рлс ( -— I phq
S, I \ 2 /
~?— cos (—— + cos I —^— cos (—s— I, где ?s ( ~~L— j = —jS —
интеграл перекрытия, а —длина ребра элементарного куба кристалличе-
кристаллической решетки, е So—энергия электрона в s-состоянии в изолированном
атоме.
Вблизи точки к = 0 закон дисперсии имеет вид:
?.(*) = ?S0 - 12/S2 + /?2 а2 (к* + % + h\),
откуда следует сферическая симметрия для изоэнергетических поверх-
поверхностей.
2.40. Вблизи центра зоны Бриллюэна kta<ly где i = я, у, 2, поэтому
cos к, а ~ 1 - — (fef лJ. Значит, еп (к) = ?:„ @) + б?„ (а) — еп (a) a2 (k2x + k2 +
+ k2z) = г?я (О) + б?„ (й) — еп (a) a2 k2. Отсюда находим эффективную массу
(центр зоны Бриллюэна): wiJH0 = ft2/-p- =
= - Н2/2а2еп{а). Знак эффективной массы зависит от знака интеграла
перекрытия е„(а), для s-зоны еп(а)<0 и m*H0 = —Т—р—>0. Вбли-
105
у дна энергетической зоны (центр зоны Бриллюэна): шно й /g
Oft

зи вершин зоны Бриллюэна (потолок энергетической зоны)
ft. а = ± я + k'i а, где к\а<\. Учитывая разложение в ряд по малому пара-
параметру с точностью до члечов второго порядка малости, запишем
cos ki a « - 1 + —¦ (ft- аJ. Тогда
?п (&) = ?„ @) - 6еп (а) + еп (а) а2 к2, т. е. т*т =
У потолка s-зоны
I i^v
2а2ея (а)'
. Следовательно, ш*но =
Значения, полученные из выражений g[v = — 2gw (д) a sin kL а на гра-
Cffij
ницах зоны Бриллюэна (kt а = ± я), равны нулю. Это означает, что груп-
групповая скорость электронов на границе зоны обращается в нуль, так как
2.41. /я* = 2га0.
2.42. Отсчитывая энергию от дна зоны проводимости и используя
разложение е (k) в рад Тейлора, получим с точностью до членов второго
порядка малости:
е = ~ Л2 (ff« ftj + ayy ftj + агг ft?).
Значит, поверхности постоянной энергии имеют форму эллипсоидов.
2.43. а) — = -jjj- — -~? = -р- 2й; бу, где i, / пробегают значения
л, у, -г. Тензор обратной эффективной массы будет диагональным:
2ах
h2
0
о
о
о
о
2az
П2
Уравнения движения имеют вид: -j- = Fi9 где i = x, у, z и F(FX,
2п( at
Fy, Fz) — внешняя сила, действующая на электрон в кристалле. Электрон
характеризуется различной эффективной массой: ти* = -—, гщ = —,
2пх 2пу
h2
т* =-— при движении вдоль Осей х, у, z соответственно.
2аг
б) Запишем выражение для энергии электрона в малой окрестности
вблизи экстремума р0, для этого разложим е(р) в ряд по степеням
компонент (р — ро) и ограничимся членами второго порядка малости
106

по (р-ро):
ew) e$o)+ +
^' ^0/ 2wi 2m2 2m3
Отсюда получаем уравнение для энергетических поверхностей
(Рх-РохJ , (Pv-POvJ , fe-POzJ -I
2 "" 2 "¦" 2 — А>
полуоси эллипсоида, направленные по осям х, у, Z, : г!оделяются из
соотношений a? = 2mf [е(р) — f(p0)], i = l, 2, 3. Ско:,г-огь движения
электрона v = —т направлена по нормали к изоэнергегическои поверх-
ности, значит, совпадает с направлением квазиимпульса р лишь при дви-
движении вдоль осей эллипсоида.
ЗЛ. Потенциальную энергию решетки волизрх положения равнове-
равновесия, где \—г) =0 и можно принять L>T0 = 0, представим разложением
\ дп /0
^ n')y(n)y(n'), (!)
где у (п) — смещение частицы, положение которой определяется
вектором п(пг, п2, п3), щ — целые числа. Для неограниченного кри-
кристалла функция (S{n, ri) зависит только от разности {п — п')л г. е.
[/ = — N а(« — и7) у(и) у(^),причем jS(п, п') = а(п — ^).Тогдаурав-
п, it'
нения малых колебаний решетки, состоящей из частиц с одинаковой
массой М, примут вид:
^ B)
it'
Если все атомы сместились бы как целое: у (п) = у0 = const, то по-
потенциальная энергия не изменится по сравнению с равновесным зна-
значением, т. е.
п' I
Учитывая последнее соотношение, преобразуем уравнение движе-
движения B) к виду
107

т. е.
Му{п) = -^а{п-п') [у(п)~у(«')]•
it'
3.2. Рассмотрим случай стационарных колебаний, когда все динами-
динамические переменные зависят от времени по гармоническому закону. В дан-
данном случае можно искать решение в виде
где А = const, q — волновой вектор.
Подставляя предполагаемое решение в дифференциальное уравне-
уравнение движения, получим:
0J = м
А п1
Так как для вектора решетки г справедливо тождество
то
«2 = --^ > «(«)|l-(
При получении последнего соотношения учтено, что 2 а (п) = 0.
и
В простой решетке каждый атом является центром инверсии, поэтому
а(п) = а(-п). Тогда
М L Z ?—d A Ammmi - J
п
n —n
откуда следует, что
бJ = -^^ а(п) [cosqr(n)-l].
п
3.3. В простой кубической решетке основные векторы трансляции
tf/(z = l, 2, 3) можно направить вдоль осей 4-го порядка, и тогда
I ах I = I а21 = I аъ I = а. Целочисленный вектор п, соединяющий бли-
ближайших соседей, пробегает значения (±1, 0, 0), @, ±1, 0), @, 0, ±1).
Для всех этих векторов коэффициенты а (п) одинаковы, пусть это ах.
При я = 0 а@) обозначим через а0. Раскрывая равенство ]Га(и) = О,
п
108

получим ах — — -~. Так как
6
п
то при суммировании по вышеуказанным векторам имеем:
оJ = — {2аг[ cos qx a + cos qy a + cos qz a ] -I- a0},
или, заменяя ах на —-т2-, получим:
6
= — 11 — — (cos дж а + cos qy a + cos ^z a) | =
M I 3 )
Частота 6) принимает максимальное значение 0)тах = у ~~ в вершинах
* м
элементарной ячейки обратной решетки при qx = ± qy = ± qz = ± —.
В случае длинноволновых колебаний разложим sin -^- в ряд по степе-
степеням aqt < 1 и, ограничиваясь главным членом, т. е. sin ^-
будем иметь линейный закон дисперсии:
2 2 tf0 fl2 /_2 , п2 , „2\ a0a2 2
или о) = s<7, где s = a ..
ом
3.4. Закон дисперсии для одномерной простой решетки можно за-
записать в виде
оJ = — N сги (cos «9Д — 1) • A)
/г
В случае учета ближайших соседей п пробегает значения 0, ±1.
Очевидно, я_i = ах. Из тождества ^ ап = 0 следует, что tfi = — —. Тогда
из A) получим:
(о = — B#! cos ^й + дг0), т. е. со2 = —— sin2 ——.
М М 2
3.5. Принимая во внимание, что в разложение потенциальной энер-
109

гии в гармоническом приближении войдут только квадратичные по сме-
смещению члены, дифференциальное уравнение малых колебаний плоской
неограниченной решетки можно представить в виде
2)=-1«(п-п')у(п'), A)
где n — nli + n2j, M — масса атома.
Поскольку все ближайшие соседи расположены на одном и том же
расстоянии, то упругие коэффициенты а{п-п!) при п' =/= п одинаковы.
Выполняя в правой части уравнения A) суммирование по п\ получим
М d y{ndlt2 щ) = -аоу{п19 п2)-а1\у(п1-19 п2) + у{п1 + 1} п2) + у(п19
Щ — 1) + У (щ, Щ + 1) ] • Выразим далее а0 через ах. Пользуясь соотно-
соотношением 2 а (п ~ п')== 0> раскрывая которое получим а0 + 4а{ — О,
п'
т. е. ах = - -^. Тогда уравнение движения примет вид:
1, п2) + у(П1-1, п2)~2у(п1у
+ [у («1, «2 + 1) + У (Щ, и2 - 1) - 2у (и,, м2) ]}. B)
Полагая у (т^ , п2) = Ае'{q n" wrt, после подстановки в уравнение B) имеем:
^ - l] + 2[cosq2a- l]}
или
где л— постоянная решетки, дх и ^""проекции вектора q на единичные
орты i и /'. В длинноволновом пределе W:=T 1/T7 9-
3.6. Групповая скорость определя
Используя выражения для o)(q) в виде
3.6. Групповая скорость определяется соотношением #я = ——.
получим:
ПО

и* Q * * Q >i< a
*
2/7 2/7+/ 2/7+2
Рис. 30.
В случае, когда qa < 1 (длинноволновой предел), vg« ]/ -~- д; на гра-
границе зоны Бриллюэна при q = ± ~ групповая скорость #g = 0.
3.7. Уравнения движения линейной цепочки из чередующихся
частиц массами тх и т2, находящихся в равновесном состоянии на рас-
расстоянии а друг от друга, при учете взаимодействия между ближайшими
соседями (рис. 30) имеют вид:
+ 2 + У2я-2у2и + 1),
+ У2и-1-2у2и). A)
Решение уравнений будем искать в виде
где Аг и А2—постоянные.
Подставляя B) в A) и производя деление на один и тот же множи-
множитель, получим для Аг и А2 систему двух линейных однородных урав-
уравнений:
+ 2/? Ах - т2 п}2Ах - 2/? А2 cos qa = 0
- 2/S Л, cos qa + 2$A2- тг оJА2 = 0
Система уравнений C) имеет нетривиальное решение в том и только в
том случае, если ее детерминант равен нулю. Частоты со поэтому должны
удовлетворять «секулярному» уравнению
2j3 - т2 со2 -2(S cos qa
—2/$ cos qa 2/? — mx оJ
решения которого суть
= 0,
A Ytl\ Tito
где m =—-—-—приведенная масса.
m\ + m2 . _

В длинноволновом пределе
[qa < 1)
оптическая ветвь,
акустическая ветвь.
На границе зоны Бриллюзна (при
я
2/5
1/2
\
1С
Рис. 31.
Графики дисперсионных кривых
представлены на рисунке 31 (для
случая т2>т1).
3.8. Число различных значений q, попадающих в интервал
q — q + dq, равно
Vdq
(У —объем кристалла). Мы учли, что на одно
квантовое состояние в пространстве волновых векторов приходится эле-
элемент объемом B#K. Следовательно, число продольных колебаний с
законом дисперсии co = vtq, имеющих частоту в интервале со — со + do,
равно:
dq j V(o2 do
Учитывая, что поперечные колебания имеют две независимые поляриза-
поляризации, для Zt (со) dco имеем:
Zt (со) dco = ¦
Полное число колебаний представится формулой
Z(co)dco = Zl(co)dco + Zt((o)dco=^p-
Максимальную частоту колебаний, определяющую температуру
Дебая согласно соотношению Гд = ^°" , найдем из условия, что полное
«о
число колебаний решетки, состоящей из N атомов, равно числу степеней
«max
свободы, т. е. 3JV или j z (о)) dco = 5N. Отсюда
о
112

V I -г -Г -г
-г -Г
3.9. При оценке скорости акустических волн предположим, что
vt = t)i — v. Тогда формула для температуры Дебая примет вид:
Гд = т- [бя2«атГг>, A)
где п&т — число атомов в единице объема.
Из A) находим скорость акустических волн:
Число атомов в единице объема пат выражаем через плотность Q, моляр-
молярную массу [л и постоянную Авогадро No:
Тогда
Подставляя числовые значения (j/Na«23 г/см3), получим
v = 1,7 • 103 м/с.
ЗЛО. Максимальная энергия фонона выражается через максимальную
частоту:
?тах = Ыпах = k0 Гд = 1,38 • К)3 «365 Дж « 3 ¦ 10 эВ.
Максимальное значение волнового числа qmax = — , а — постоянная
решетки. Поэтому pmax = hqmax = —. Величину а выразим через
I U v \1/3
плотность: а = I — —- , v = 8 — число атомов на элементарную ячейку,
\ Q Nq /
li — молярная масса. Следовательно,
Ртах = пП [^Т « 0,5 • 109 (г. см)/с.
3.11. Задача решается аналогично предыдущей:
?тах = 3525 • 10 эВ, ртах = 109 (г • см)/с.
3.12. Число акустических фононов с частотой в интервале 0 — 0) + dco
найдем из произведения числа колебаний dz {(о) на среднее число фоно-
фононов пф (со) в одном состоянии:
ИЗ

Тогда
Так как
V / 1 2 \ 9АГ
2я2 \ P? + »? / " «i« '
то
в>2 do
Для нахождения ^ наивероятнейшей (й>в) используем необходимое усло-
условие максимума
т. е. 2-х = 2е~х, где х
Уравнение решаем графически: корень уравнения х0« 1,6 определяет
наивероятнейшее значение 0b^ly6-koTjh. Соответственно энергия
ев = toB = 1,6ЛоГ. При Г = j Тд
й)в = 0,4&0 Гд /^, fB = 0,4fe0 Гд.
Наивероятнейшие значения г: и су совпадут с их максимальными значе-
значениями, начиная с температуры, определяемой равенством й)в = <Утах,
или 1,6 • koTjh = йоТ'д /А. Отсюда искомая температура Г = -г^г = 0,625Гд.
3.13, Полное число фононов получим интегрированием с1п(б>) по
частоте от 0 да &т9Х:
Производя замену переменных интеграла вида —— = л;, получим:
Гд/Т
114

При высоких температурах (Т>ГД) отношение
1, поэтому
е? —
и
-^г
XCiX *— r" /V 17°*" "" * •
При T<Tjx отношение -^г > 1, г: - гому
3.14. Согласно теории Дебая Тд = -
йо
Частота колебаний
ПГ
&~ 1/—, где /? —упругая постоянная, М—масса атома. Масса атомов
г м
щелочных металлов растет с увеличением их атомного номера, о /?
можно судить по энергии связи: у щелочных металлов она одного
порядка. Из этого следует, что у щелочных металлов Na, К, Rb, Cs экспе-
экспериментальные значения Гд должны уменьшаться с увеличением атом-
атомного номера. Только Тд Li не совсем укладывается в закономерность.
ЗЛ5. В двумерном случае элемент фазового объема dQ равен про-
произведению S на «объем» кольца в пространстве волновых чисел q между
двумя близкими окружностями радиусами q и q + dq (рис. 32), т. е.
dQ = S 2nqdq\ на каждое колебание в фазовом пространстве V — q в дву-
двумерном случае приходится элементарная ячейка объемом BяJ. Поэтому
d _JQ__Sqdq_
Для нахождения dZ& надо учесть связь между <о и q:
где v — скорость распространения колебаний и два возможных типа волн:
продольные и поперечные. Тогда
dZ(o>)
Scodco
nv2
A)
Характеристическую температуру Тд найдем из
условия, что
©max
j dZ(o) = 2N, B)
о
так как каждый атом имеет две степени свободы.
Подставляя A) в B) и интегрируя при v = const,
получим:
Рис. 32.
115

3.16. Согласно результату, полученному в задаче 3.15, температура
Дебая двумерного кристалла определяется выражением
«о \ S / S
Подставляя числовые данные, получим:
3.17. Для трехмерной решетки формула, определяющая температуру
Дебая при vt^vt^ v, имеет вид:
? ^'Ч A)
где плт — число атомов в единице объема.
Из формулы A) определяем v:
/е0Гд _ v
v"" hien^nj1'3' п*т~ а3'
где v = 8 — число атомов в расчете на одну элементарную ячейку. Тогда
Подставляя числовые значения, получим v = 1,2 • 104 м/с.
3.18. Внутренняя энергия кристалла выразится формулой
«max
?= j ё(о, T)dZ(o), A)
о
где гг (еа, Г) = —— + —^~ средняя энергия гармонического осцил-
е г
лятора с частотой су, dZ (со) = 9N —^ число нормальных колебаний
wmax
с частотами о) — 0) + d«.
Таким образом,
«max «max
или
ГД/Т
j 717 C)
О
116

При Т>ТД вследствие малости верхнего предела в C) разложим е?\
Гд/Т
о
При этом ? = Ео + 3Nk0T, ? со Т.
т
В области низких температур —>1 и
Гд/Г
Г x3tfx _ Г x3dx ^ я4
J е* - 1 ~ J ех - 1 15 *
О О
Для внутренней энергии в этом случае справедливо выражение
3.19. Используя результат, полученный в предыдущей задаче, для
отношения —тг^ запишем:
1
x5dx
ех-1'
о
Так как интеграл, входящий в последнее выражение, имеет определен-
1
$¦
ное значение, а именно \ * = 0,225,
то
-^-=1 + 80,225 = 2,8.
При нагревании германия, количество вещества которого равно 1 моль,
от Тх = ¦— Гд до температуры Дебая внутренняя энергия изменяется на
о о
Подставляя в это равенство известные значения интегралов
3
5 я3 dx л оог [ хъ dx ~ сс к„
—х—- = 0,225 и \ —х—- = 2,56 для АЕ, найдем:
о о
(АЕ)М0Л = 9КГД @,225 - ^ = 1,74 • КГД.
Конкретно для германия с температурой Дебая 365 К изменение внутрен-
117

ней энергии при нагревании от 7\ = -г- до Т2 = Тд составит:
(AE)Zn = 1,74 • 8,31 • 365 Дж/моль « 5,3 -103 Дж/моль.
3.20. В случае двумерного кристалла площадью L2 число нормальных
колебаний выразится:
Считая скорость продольных и поперечных колебаний одинаковой
и учитывая связь частоты и волнового числа v = -~- #, получим, что
число нормальных колебаний с частотами v — v-f dv равно:
dN{v)=—— vdv = 6N
где vmax—предельная частота, определяемая из соотношения
о
Тогда, используя формулу для средней энергии гармонического осцилля-
осциллятора с частотой v
g(v т) hv I }v
g(v т) I }
* \г> J / — 2 т ehvjkoT _i 9
получим для внутренней энергии кристалла выражение
e(v, T)dN(v).
о
Теплоемкость Cv при постоянном объеме равна:
_\2 vdv
где
При температурах Т<Т% теплоемкость Cv можно представить в виде
118

о
т. е. Cv пропорциональна квадрату температуры.
3.21. Число колебашш линейной цепочки длиной L в интервале
частот о — п) + d(o равно:
dq = ^9 A)
2n * 2nv
где v — скорость распространения колебаний, G) — vq. Энергия предста-
представится выражением
«max
- f / h&
- ) \ 2
hco
причем 0max определяется из условия, что полное число нормальных
колебаний равно N, т. е.
-N или й>тах =
Следовательно, -— = —— и
2UV Ю
Ш I1 i
©max «max
о
или
Тд/Г
J
о
При записи формулы B) введена характеристическая температура
Гц = ^"^ и вместо g> введена новая переменная х = -т^г • При Г > Гд,
КО «0-*
когда х <^ 1, заменяя е* выражением A + л), получим:
г, т. е. jb<vi.
3,22. Используя выражение для энергии одномерного кристалла
«max
«max
О
для теплоемкости Cv получим:
119

«max
f д
о
«max
JV/z A f aJ ehQ)lkoT d@
J
0
Далее преобразуем интеграл, вводя переменную х = -т~г и характери-
Pi ft
стическую температуру Гд = та* . Тогда имеем:
Гд/Г Тд/Г
Л /
J
0
При T < Гд отношение —— > 1 и
f j^?dx__NkoJ^ f д;2еу^
J (^-lJ" Гд J ^-lJ*
0 0
oo
Nk0T f
—^—
о
_ 2 = зг
о
или
Г, следовательно, Cv со Т;
с
с ATI. T2 С
= E0 + Nk0—
Гд J
Гд J e*-l ~° ' 6 AT'V0 Гд>
0
{&Tlv ЗГД -"--•
3.23. Согласно формуле C.6) внутренняя энергия кристалла суть
ой™
Отсюда
Cv= 1^1 =!
о
Преобразуем полученное выражение путем введения переменных
И in =
х
В результате этого получим:
Гд/Г
Г \3 Г x4exdx
СТ = 9R
120
:П

3.24. На основе первого начала термодинамики имеем:
С*-С"= [ Шг + Р] ШР (^-Давление). A)
Рассматривая энтропию как функцию переменных Р и V, можно полу-
получить тождество ( —] +Р = Т( —) , с помощью которого выраже-
\дУ /т \ дТ fv
ние A) перепишем в виде
Г г -т(^\ 1
L,p — L,v—1 I —I Г
\дТ /у V #
Исключая ( —] с помощью соотношения
\дТ v
для разности теплоемкостеи найдем:
т
(др\ 1дт\ lav\ =
\dTJv\dv)P\dP It
л:
\ар)
Согласно определению — (—) =jSr —коэффициент объемного рас-
V \дТ /р
ширения, причем Дт = Ъат; ат — коэффициент линейного расширения.
Следовательно,
{— j —% — коэффициент изотермической сжимаемости,
V \ дР 1т
[lt)r=~VX- D)
Подставляя C) и D) в B), получим:
В этом равенстве имеются в виду теплоемкости для вещества объ-
объемом V. При переходе к удельным теплоемкостям правую часть E) раз-
разделим на массу m = qV, q — плотность, в результате найдем:
9Та1
Ср — Су =
QX
В случае Си ят = 1,7-1(Г5 К, ^-Ю0 м3/Д;к, е = 8,9 г/см3
и cP — cv^ 0,95 Дж/(кг • К) <^ (су)экс.
121

3.25. Квадратичная флуктуация энергии определяется формулой
Для твердого тела в дебаевском приближении при Т <$ Т,
Е
Тогда (Д?J = '^Z— и относительная флуктуация
У'2 / ГД \3'2 1
г) (т) 7S
(А?J 2l^Vff2fenT5P / 20 \х/2 / Тд \3''2
20
3 „4
326. Согласно теории Деба$1
Тд/Г
J (е«-1Г
о
Гд J
о
Функция /д (~) протабулирована (см. приложение). При T — Tt
/д ("V" I *= Т^" ^ 0>б45. С помощью таблицы для /д определяем -^- = 3,1.
\ 1 i зк гх
Следовательно, Гд = 3,1-Г! = 1563 К. Тогда ^- = -^^^^ = 6,87. По
12 173
СB)
табличным значениям находим -—- = 0,21. Отсюда
С$ - ЗЯ. 0,21 = 5,2 Дж/(моль • К).
3.27. <угаах = 4,Ы013 рад/с.
3.28. Cv =12,5 Дж/(моль-К).
3.29. Гд » 220 К, ^ « 1,9 • 10~2 эВ.
3J0. Согласно закону сохранения энергии частота рассеянного
фотона б/ определяется соотношением
haj = йб> ± Лй)?, A)
где а) — частота падающего света, &ч — частота фонона. Из закона сохра-
сохранения импульса следует равенство
G — угол рассеяния, г> —скорость звука, с—скорость света. Из A) и B)
получим:
122

Учитывая, что v<c и @q<o)y имеем ' 2 - ~ 4 ( —) sin2 —. Отсюда
v \ с I 2
4.1. Число состояний с волновьш вектором в интервале k — k + dk
в расчете на единицу объема равно:
A)
h2k2
Из закона дисперсии е = —™- выражав &2d& и Подставляем в равен-
равенство A). Тогда имеем:
т. е.
An
, где Л = -3* Bm*)*.
Поскольку границы зоны Бриллюэна кристалла с простой кубической
решеткой определяются формулой &,^ + —(z~l, 2, 3; а— ребро
элементарного куба), то поверхнос!ь Ферми коснется границ первой
зоны Бриллюэна при энергии
C°^lzm*l2= ImFo2*
При а = 3 • 10~10 м для е0 получим примерно 3,7 эВ.
4.2. Плотность состояний в расчете на единицу объема (V = 1см3)
вблизи уровня Ферми при Г = О К определяется выражением g (//0) =
= -— Bm*K/2 j/jt7, т10~-—- {-—) —энергия Ферми. Поэтому интер-
п 2Ш \ оя J
вал между соседними энергетическими уровнями вблизи уровня Ферми
определится формулой
Отсюда
В случае серебра п = 6,02 -1023 • т?т!г см«:6 1022 см и
107,87
Де « 1,3 • 102 эВ.
43. а) Выразим радиус сферы Ферми kF через концентрацию электро-
123

нов проводимости п:
2^V = N, A)
где У—объем, IV—число электронов в этом объеме. Множитель 2 в фор-
формуле A) учитывает две ориентации спина. pF = hkF-~импульс Ферми.
Из A) получим -у =3/1, или kF = (Зя2яI/3. Так как
см,
то
kP = (Зя2 • 5,5 • 1028I/3 м = 1,2 • 1010 м.
б) Площадь поперечного сечения поверхности Ферми в ^-про-
^-пространстве есть площадь круга радиусом kF. Поэтому
SF = nk\ = 3,14 • 1,22 • 1020 м = 4,5 • 1016 см.
в) Скорость Ферми выразится через kF соотношением
F т* т*
Тогда
1,05 Ю~34-1,2 Ю10 . 8
VF — 0,91 • 100 М С - ,4 • СМ С.
4.4. Энергия Ферми г]0 при абсолютном нуле выражается через кон-
концентрацию п электронов проводимости соотношением
Учитывая, что т* = тои п = иат = No —, где No — постоянная Авогадро,
Q — плотность, [I — хмолярная масса, получим:
h2
*-
(*¦». f Г-
2т0
Используя табличные значения q и /i, имеем ди — 0,534 г/см3,
ри = 6,94 г/моль, пи = 4,63 • 1028 м; ?Na = 0,97 г/см3 = 0,97 • 103 кг/м3,
^uNa«23 г/моль = 23 • 10 кг/моль, пш = 6,02-1023 моль ¦ °?7'^-1 х
м-з wNa _ 1,O521Q-68 /-о .95. Ю28J/3 Лж « 3 2 эВ
^ = 7,55 • 109 Дж = 4,7 эВ.
4.5. При Т = 0 К все состояния с энергией f]0 = emax заняты двумя
124

электронами, имеющими противоположные спины. Поэтому число всех
частиц связано с максимальным импульсом р0 соотношением
г.3
N_2V4np
Отсюда
Используя выражение энергии Е = -^Ц-, получим:
Учитывая, что на каждый атом приходится один свободный электрон,
выразим п через плотность q и молярную массу ц\
Так как @Аи = 19,3 г/см3, а ^ = 197 г/моль, то w = 5,9-1028 м~3. Тогда
с помощью формулы A) находим ?тах«4,73 эВ. Средняя энергия
электронов с учетом того, что плотность состояний g(e) =Aye, где
А = const, определяется соотношением
i gffi)de
о
Значит, ^ « 2,8 эВ.
4.6. Кинетическая энергия электронов проводимости в единице
объема золота равна:
Ek = en = j rjon.
Согласно результату, полученному в предыдущей задаче,
/i = 5,9-1028 м, Щ~4У73 эВ.
Следовательно,
?fe«25,8 Дж/см3.
4.7. Согласно решению предыдущей задачи средняя энергия элек-
электронов проводимости в металле при Г = 0 К равна:
*
125

В случае серебра Q = 10,5 г/см7', у, =107,87 г/моль и г «3,3 эВ «
« 5,28 • 109 Дж.
Средняя энергия классических частиц при температуре Т опреде-
определяется равенством €KJl — '—k0T, где kQ—постоянная Больцмана. Тогда
согласно условию задачи для Т получим:
2 ё _ 2-5,25» ИГ19 Дж _ ?- 1п4 ^
т_
5 fe0 ~ 3 • 1,38 ¦ Ю-23 Дж/К ~ А '
4.В. Эиер1ия Ферми при T=f 0 К определяется формулой
Отсюда
В случае серебра при условии, что ш* = ш0, ?7о ** 5,5 эВ, а
= 1,38 • 105 • 300 Дж - 4,14 • НТ21 Дж,
Да.
Следовательно,
Ь^.. 25. Ю-6 - 0,2 • Ю-4 = 0,2. Ю-2 %.
4.9. В тепловом движении из-за принципа Паули принимают участие
только те электроны, которые находятся в состояниях с энергией, отли-
отличающейся от энергии Ферми на ~йоГ. Доля таких электронов для
металлов равна примерно -^—^1. Чтобы найти теплоемкость элек-
тронного газа, воспользуемся термодинамическим соотношением
где Ё = — t]0,N 1 + -^- {—~ 1 —средняя энергия АГ частиц, заклю-
5 I 12 \ tjq i j
ченных в объеме V.
Вычислив производную от энергии по температуре, получим:
Теплоемкость идеального газа классических частиц
(CvL==-|fe0N.
126

Поэтому
Для Na щ « 3,2 эВ. Поэтому при Г = 300 К |8 « 0,03.
4.10. Давление Р выражается че?ез производную по объему V от сво-
свободной энергии F формулой
р _. „ / z?- \
\dVJr'
т
причем F = U — TS7 где S = \ ~- dT—энтропия. Используя выражение
о
для энергии вырожденного электронного газа
получим:
а затем и энтропию
Тогда
и
Р = —
Поскольку
ди\ я2
дТ !v 2
^ /
~~ 2тщ \
a
^ j^f _
" 2m0 [ SxV / "" У2/3 '
ТО
\ dV /г 3 У *
Значит,
При абсолютном нуле
127

В случае натрия п = 2,5 • 1028 м , ij0 = 3,2 эВ, поэтому
Ро « 5 • 109 Н/м2.
4.11. Выбрав ось Ох по нормали к поверхности металла, запишем
условие, которое выполняется для электронов, вылетающих из металла:
*f- = *?+V,rf, = v,,tf.-vt, A)
где V = fj + Лвых — потенциальный барьер на границе металла, Лвых —
работа выхода электронов из металла в вакуум, а штрихами обозначены
величины, относящиеся к электронам внутри металла. Число электро-
электронов, вылетающих в 1 с с единичной поверхности металла со скоростями
(v, v f dv), равно:
dv - v<x n(i3) dd = 2 (^l) V#o^ + 1 • B)
Из A) следует, что
v'xdv' = vxdv и ^-// = ^ + Авых,
поэтому
- ——* * у. \ . C)
\ / (т0гг/2+Лвых) ——
в *ог + 1
При ABbIx^>fe0T выражение C) примет вид:
з 1 / тру2
,, v) =-^ е" ^т^ 2
з
dv(vx, v,, v.) =-^ е" ^т^ 2
Вводя в пространстве скоростей сферические координаты vx = v cos &,
dvx dvy dvz« y2 sin ddvdd d(p и интегрируя по углу (р в пределах от 0 до 2я
и по углу & в пределах от 0 до я/2, получим:
4.12. Согласно определению для плотности тока насыщения имеем:
U = е0 j v(») dv.
о
Так как
е~к°т{ 2
ТО
128

v3dv.
Учитьгоая, что
2fejjr2
ml '
получим формулу Ричардсона —Дэшмана:
где Во = 4я*°*°т° = 120 А/см2К2.
4.13. Из формулы Ричардсона—Дэшмана следует, что I=js2n -~Z,
где d—диаметр проволоки, I — ее длина, js = B0T2e *°T . Таким
образом,
/ = ndl В0Т2 е ""гаг « 1,58 • 10 А.
Одним из методов определения АВЬ1Х может быть следующий: измеряется
ток насыщения /s при разных температурах и строится график зависи-
зависимости In -А- от — (рис. 33). Согласно формуле Ричардсона—Дэшмана это
должна быть прямая с - угловым коэффициентом
-—г^
. Поэтому
где а — угол наклона прямой с обратным направлением оси #, причем
4.14. Плотность тока термоэмис-
термоэмиссии равна:
Значит,
h
Отсюда
= Ш. \ * *o \:
* 2 - -Г 1
Рис. 33.
129
5 Заказ 295

_ 1,58.10-^20.15.10^
лвых«6,56 1(Г19 Дж«4Д эВ.
4.15. Работа выхода Авых определяется формулой Лвых = [70 — //, где
Uo—глубина потенциальной ямы, если считать потенциальную энергию
электрона в металле постоянной величиной. Тогда
Энергию Ферми выражаем через концентрацию:
причем п = No —. Значит,
По = 21о^1.11°о-''» • ^ •4'63 •10М) ДЖ " 7'55 ' 10~19 ДЖ = 4'7°
Тогда t/0 = B,36 + 4,70) эВ = 7,06 эВ.
4.16. Определяем работы выхода для I и II металлов:
А®ж=1/^-1Й=D-3)эВ = 1эВ,
4"}х = С/? - Я? = C,5 - 2) эВ = 1,5 эВ.
При соприкосновении металлов возникнет контактная разность потен-
потенциалов:
Ап -А1
,,Л ВЫХ •/*ВЫХ ?\ С "Г>
^конт= = 0,5 В.
Металл I будет иметь более высокий потенциал, так как электроны из
металла I перейдут в металл II (рис. 34).
4.17. Время релаксации определяется из соотношения
т*о
Т 9 1
где концентрацию п можно выразить через энергию Ферми t]0 формулой
life
i л
-1—
вых
I
д •'•-я?
вых
Тогда
I
U
ио Подставляя числовые данные, полу-
//I чим:
Рис. 34. т « 3 • 104 с.
130

4.18. Аналогично предыдущей задаче определяем сначала время
релаксации:
Ъп2Пъа
Т == ~~?
Длина свободного пробега связана с временем релаксации т формулой
A = vFx, где vF = ]/-— — скорость электрона с энергией Ферми. Тогда
л Ъп2 Пъа
ИЛИ
л 3-9,86 1,0563. Ю-102» 1,б> 107
УА~ о^ыо^.г.^.ю^.гд.^.ю-19^3'70 м*
4.19. Удельная электропроводность выражается через среднюю
длину свободного пробега Л:
е$пт е$пЛ
m* m*vF '
где vF = V—^г — скорость Ферми.
Используя формулу для энергии Ферми, найдем m*vF:
m*vF = ]/2m/7o h (Щ
Тогда
Подставляя значения е0, h и п = 6,0 • 1028 м, получим:
4.20. С одной стороны, плотность тока / равна отношению
)=j, a)
с другой—7 можно выразить через дрейфовую скорость равенством
где ^ — дрейфовая скорость. Поэтому
Vd = eonS '
Для меди (Си)
пе = пат = -J|^. 6,02 • 1023 см = 8,5 • 1028 м
131

20
V' = 1,6-ИГ»-8,5-10»
Скорость Ферми t;F, выраженная через концентрацию электронов, равна:
щ=ъ*\п) ' Ъ**1'610 м/с.
Значит,
4.21. Найдем сначала время релаксации:
т*о
Концентрация электронов в кристаллическом натрии
п = i No = -^ • 6,02.1023 см~3 = 2,5 • 1028 м.
Для времени релаксации получим:
0,9Ы0-30-1,2-2,17. Ю7 14
Т~ 1,62.10-382,5.1028 ~3'10 С*
Из решения предыдущей задачи
Тогда
Л = t^f « 2,7 • 10~8 м.
Дрейфовая скорость пропорциональна напряженности электрического
поля ?:
где [/—приложенное напряжение. Значит,
1,б.10-19.3.10-14100
V = «
М/С'
о . Г 1 1
За полпериода ^ = —• = — = —- с электрон переместится на расстояние
4.22. Неравновесная функция распределения электронов, обуслов-
обусловленная действием постоянного электрического поля напряженностью
132

?(?, О, 0), согласно уравнению Больцмана равна:
'~'0 + n ?x dkx'
Тогда в случае изотропного квадратичного закона дисперсии плотность
электрического тока преобразуется в выражение
где g(e) = 4Я Kzm з——— плотность состояний. Поскольку при сильном
вырождении электронного газа производную (—"тЧ можно заменить
<5-функцией Дирака, то плотность тока
. = 2. JL
1* ~ 3 т*
гу
Принимая во внимание, что концентрация электронов n = —g(rj)ri, для
электропроводности о найдем:
_ е*т М
а~" т*
4.23. Вычисляя плотность тока ;,. и потока теплоты в проводнике,
находящемся в электрическом поле напряженностью €х и градиентом
температуры —, по формулам
ох
A)
и используя для f(e) выражение
получим:
^2, О)
f)t, + ifK.. D)
при этом введено обозначение
133

E)
Поскольку теплопроводность измеряется в отсутствие электрического
тока, то, полагая jx = 0, найдем:
«L «\iL. F)
Вьфазим затем Q^ только через градиент температуры —:
ох
г\ * ^1 &з — К2 дТ
Согласно закону Фурье для изотропного проводника
Q* = -*-g-, (8)
где х — удельная теплопроводность.
Из G) и (8) имеем:
4.24. Теплопроводность металлов в случае изотропного квадратич-
квадратичного закона дисперсии и изотропного рассеяния имеет вид:
где
о
При т = то?г~1/2 интегралы Хи примут вид:
Принимая во внимание сильное вьфождение электронного газа в метал-
металлах, интегралы вычислим по формуле
Тогда для Кп получим Кп = Ко \rf+п + -^- (k0TJ (г + п) (г + и - 1) х
г + и-21-К г + и [l —(г п)(г П-1)(??-J} гсК- 2 Bт*I/2 т0
134

Для коэффициента теплопроводности получим:
Аналогичным путем для коэффициента электропроводности в нуле-
нулевом приближении относительно -2— имеем:
2 Bт*
Ъпг
Поэтому
ОС ^^ Jt RrQ rp
где Lo = -^-, Lo« 2,45 • 10
4,25, Число Лоренца для металлов, указанных в условии задачи,
вычисляем по формуле
L
Результаты сведем в
Металлы
L 10~8 Вт«Ом
таблицу
Ag
2,55
Си
2,26
Аи
2,51
А1
2,01
Cd
1,6
Fe
2,3
4.26. Длину пробега, обусловленную рассеянием на примесях, выра-
выражаем через удельное сопротивление g7:
где п = 8,5 • 1028 м — концентрация электронов проводимости в кристал-
кристаллической меди. Концентрация атомов примеси согласно условию задачи
равна:
Скорость электронов vF с энергией Ферми выражается через концентра-
концентрацию отношением
2т0
— =1,6 10 м/с.
Значит, Aj« 6,7 • 10"8 м.
135

Эффективное сечение рассеяния примесей
Относительное уменьшение электропроводности будет
On — О л On Л ,л I АG I - лл/
_2 — 1 ?«— « 0,40, или « 40%.
О0 Qo + Qi O0
4.27. Вектор напряженности электрического поля Холла согласно
условию задачи образует правовинтовую систему с векторами / и В
(см. рис. 6). Поэтому Аф имеет отрицательный знак, что приводит к тому,
что постоянная Холла RH тоже имеет отрицательный знак:
RH ^«-2.10-10 м7Кл.
Знак «—» означает, что носителями тока в металлическом серебре
являются электроны. Их концентрацию определяем из соотношения
jRh = —, отсюда п = . Значит, л«3 1028 м.
en eRu
4.28. Из выражения для постоянной Холла определяем концентра-
концентрацию электронов проводимости натрия:
п = — — 25-1028 м
eRH " 2,50 • 1,6. Ю-19 ~ Zp iU M *
Так как для металлов холловская подвижность равна дрейфовой, то
электропроводность
о = е0 (лн п = 2,12 • 107 Ом м,
что практически совпадает со значением а, данным в условии задачи.
4.29. Концентрация электронов проводимости
м.
Для концентрации атомов имеем:
где No — постоянная Авогадро, Q и ^ — плотность и молярная масса соот-
соответственно. Значит, (tOai « 6,02 • 1028 м. На 1 атом в А1 приходится
v = — = 3 электрона проводимости. Этот факт говорит о том, что зона
«ат
проводимости 3s алюминия перекрывается с вышележащей зоной Зр.
4.30. Пусть в однородном проводнике в направлении оси х действует
электрическое поле напряженностью ?(?, 0, 0) и поддерживается по-
постоянный градиент температуры VT I —, 0, 01. В проводнике появится
136

ток, плотность которого )х определяется выражением
(e)vx-^. A)
Неравновесную функцию распределения f(e) найдем из уравнения
Больцмана, взяв его в приближении времени релаксации. Тогда
Подставляя B) в равенство A) и учитывая, что равновесная функция
распределения fo(e) тока не дает, получим:
где
00
О
причем
Приравнивая вьфажение C) для плотности тока jx к нулю и используя
определение дифференциальной термоэдс
эт
дх
получим:
4.31. Дифференциальная термоэдс выражается формулой
где г} — химический потенциал,
Ъп2Пъ )
де
о
Если т = т0е312, то отношение
137

Тогда
432. Используя результат предыдущей задачи, имеем:
аш = - -2^L « _ б7. Ю-6 В/К,
аСи«-з,ою-6 в/к.
При расчете учтено, что —2—<^1, поэтому
' '° 2т*
433. Дифференциальная термоэдс а металлов
связана с коэффициентами Пельтье П и Томсона тт соотношениями
Томсона:
Л«Та,тт-т?.
Следовательно,
Подставляя в эти выражения значения Т — 300 К и энергий Ферми для Ag
и Аи, получим:
HAg = - 1,2 мВ, аКг = (tT)Ag = - 4,02 мкВ/К;
ПАи = - 1,4 мВ, (тт)Аи = аАи = - 4,7 мкВ/К.
5.1. Объем слитка выразим через массу и плотность германия:
6Ge 5,46
Так как сурьма занимает тот же объем, то ее плотность
esb = Цл. _ 5,46 ¦ 6'4410^0 г/см3 = 3,61 ¦ Ю-7 г/см3.
138

Концентрацию атомов сурьмы выразим через плотность QSb, ее атомный
вес и постоянную Авогадро No:
NSb = iV0 ¦«*¦ = 6,022 • 1023 Ъ^2™~1 ~ 1,8 • 1015 см.
5.2. Согласно теории Бора радиус орбиты и энергия w-го состояния
водородоподобного атома при 2 = 1 определяются выражениями
4ne0h2n2 _
Для основного состояния отсюда имеем:
П2
4ле0П2 пд2Й Ю0 м Е т°е° 15 6
При использовании модели Бора для описания примесных атомов в
кристалле массу свободного электрона следует заменить на эффектив-
эффективную массу т*, а диэлектрическую проницаемость вакуума е0 — на диэлек-
диэлектрическую проницаемость кристалла ea = eoef. Тогда
Значение Е"™ « 0,026 эВ для Ge удовлетворительно согласуется с опре-
определением этой величины по инфракрасному поглощению и низкотемпе-
низкотемпературной проводимости.
5.3. ?S« 0,003 эВ, -^«0,004, Еаик°цн« 0,0236 эВ, -^«0,03.
5.4. Из условия электронейтральности п = р для невырожденного
полупроводника имеем:
2nh2 I6 ~Z\ 2nh
где Ес—нижний уровень (дно) зоны проводимости, Ev — верхний уровень
(потолок) валентной зоны, тп и тр—эффективные массы электронов и
дырок соответственно.
Преобразуя A), получим:
¦ tef-
Отсчитьшая энергию от потолка валентной зоны, находим:
139

5.5. Согласно результату предыдущей задачи концентрация электро-
электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне при п—р удовлетво-
удовлетворяет соотношению
/— I ъ Т \3/2 Еу-Ес
nt = Упр=2 (^g-j (ш, mpK'4 e 2*ог а)
ИЛИ
где
5.6. С учетом зависимости ширины запрещенной зоны от темпера-
температуры из формулы B) следует:
где с = '
Отсюда получим:
или
тптр
т. е.
mnmD
0,21, или тй тр « 0,21 mg,
т0 — масса свободного электрона.
5.7. Положение уровня Ферми собственного полупроводника, если за
начало отсчета энергии берется потолок валентной зоны, определяется
формулой
где Eg—ширина запрещенной зоны.
Учитывая, что при Тх = 300 К коТх = — эВ, имеем для rj:
т = п (Тг) = (о,55О + 0,75. ± In б) эВ « 0,589 эВ,
щ = г\ (Т2) = @,550 + 0,078) эВ = 0,628 эВ.
Концентрация равновесных носителей в зависимости от температуры
140

выражается соотношением
При т* = 4,8т0 это соотношение примет вид:
2_
е k°T м
При Тг = 300 К для щ = р! получим nl=pl^ 1,2 • 1014 м~3 и при
Г2 = 400 К и2 = р2~ 0,8 • 1020 м.
5.8. Химический потенциал при отсчете энергии от потолка валент-
валентной зоны определяется выражением
При тр = тп получим:
*7 =-^- = 0,34 эВ.
Концентрацию носителей вычислим по формуле
Подставляя числовые данные, получим:
л=р~3,Ы019 м.
5.9. Удельную электропроводность найдем с помощью уравнения
о г = пе0 ({in + (гр) = 3,1 • 1019 • 1,6 • 109 • 0,58 (Ом • м) = 2,9 (Ом • м).
Используя затем закон Ома в дифференциальной форме, определим тре-
требуемое значение напряженности € электрического поля для получения
заданной плотности тока /:
? = ± = 121 В/м«3,5104 В/м.
Ог 2,9
5.10. Используем условие электронейтральности
п = Щ+р, A)
где
п = 2\ 2nh2 e koT =Nc e k°T y ^
2п°2 ) —эффективная плотность со-
141

стояний в зоне проводимости, Nd ~ концентрация ионов примеси. Кон-
Концентрацию дырок в валентной зоне считаем малой (р^п), а для Nd
имеем Nd = Nd + Nd, причем Nf] = Ndgd e koT , где gd — кратность вы-
вырождения донорного уровня. Значит,
С учетом сказанного равенство A) запишем в виде
АТ Л^Ь. Nd
или
е =
При записи D) введено обозначение rf — ^~ ? . Преобразуем D)
к виду
?^ , АТ Ed-Ec
o, E)
gd & Nc
Положительный корень (е^^О) уравнения E) равен:
?d-gc г / 77 ?С-Дё 1
2gd L F ^c J
F)
Ec-Ed
а) При низких температурах (Г -> 0), когда Nc<Nd е ьот 9 сомно-
Г l/ N Ec-Ed -I / \1/2 Ec-Ed
житель из F) р + 4—*- gde ът -1 «2 l^—1) е 2к0т и
L I с J \ "С /
г Ч* = I --- I о 2fevT дли
2 ш Ncgd >
т. е.
^' G)
б)
EQ-Ed I ~ Ec-Ed
При Nc>Nd e kor выражение у 1 + 4 —f gd e ьот
142

Таким образом, при повышении
температуры уровень Ферми сна-
чала возрастает от
, а затем,
пройдя через максимальное значе-
значение, начинает убывать.
Примерный ход уровня Ферми в
примесной области полупроводника
w-типа показан на рисунке 35.
5.11. Концентрация электронов
в зоне проводимости невырожден-
невырожденного полупроводника определяется
формулой
где JVC = 2
проводимости,
у/лзоиа прооооимости
ТУ//////////////////,
Рис. 35.
— эффективная плотность состояний в зоне
k0T
Согласно результатам предыдущей задачи в случае примесного полупро-
полупроводника w-типа целесообразно различать два случая:
И
а)
б)
Низкие температуры,
когда Nc<
2k0T ¦*¦ 2 "
~ Ed-Ec
- е 2k0T =
При более высоких температурах,
Nd e кот . в
n Nd
gd° c(T)
nrw Ed~Ei
r &
когда Nc>Nd
этом случае
Ec-Ed
и п = Nd. Таким образом, в примесной области невырожденного ,полу-
проводника n-типа с повышением температуры концентрация электро-
Ed-Ec
нов возрастает от
е 2koT до Nd, которая соответствует полной
ионизации всех примесных атомов.
5.12. Из условия электронейтральности (при p<ri) n = Nd с исполь-
143

зованием выражения
(г,-ЕлIк0Т
получим равенство
1 +&Г
n •¦
A)
B)
где
ri-Ec
n = Nce~
nd = Nc e
Уравнение B) по отношению к п является квадратным:
2 , nnd NdJld ~
Положительный корень (п>6) будет равен:
^d-^d).
При низких температурах, когда nd
Ed-Ec
C)
B0
C0
г & У &
Если же nd>4gdNd, то n = Nd. При Г = 300 К в германии (gd = 2)
4gdNd = l,6 1022 м. С учетом того, что Ed - Ес = - 0,01 эВ,
nd«0,7 1025 м. В рассматриваемом случае nd>AgdNd. Поэтому
м

5.13. Из условия нейтральности p = Nd +п с использованием выра-
выражений для концентрации дырок p = Nv ехр ( V~J} ) \NV = 2 ( ml \ 1 —
\ koT I \ \ 2пп /
эффективная плотность состояний валентной зоны) и концентрации
ионизованных атомов акцепторной примеси N~ = ~J
акцепторный уровень кратности ga) получим (при п<р) уравнение
1 + & е ехр
/ ?а~М ?
\-S3F-J
144

где г\* = 2—^. Отсюда
/7 +
И
Ev-Ea
Ea-Ev
Ч
/ E -E \
а) При низких температурах, когда Nv < Na exp I —\—-1,
Ev-Ea
ы --^гг + т111"^-Отсюда
k0T 2k0T 2
б) Если же Nv > Naexp I a * ], что справедливо при более высоких
температурах, то
Nv v о Na *
Таким образом, при повышении температуры уровень Ферми полупро-
полупроводника р-типа сначала уменьшается от v+ a, а затем, пройдя
минимум, начинает почти линейно возрастать (рис. 36).
5.14. Стационарное уравнение Больцмана при наличии однородного
электрического поля напряженностью ?{€, 0, 0) имеет вид:
хп—время релаксации электронов.
Если электрическое поле доста-
достаточно слабое, то
При получении B) использовано
соотношение
df
дрх
а/о 1
dvx mn
С помощью B) определяем плот-
плотность тока, обусловленную упорядо-
2
Рис. 36.
145

ченным движением электронов:
№ = -eo\fvx^ = ^Ex = eownEx, C)
где
j v*Tn{v)h{v)dv
—* D)
тп тп *
3kQT\ v2f0(v)dv
О
подвижность электронов.
Аналогичное выражение получается для дырочной плотности тока:
Полная плотность тока равна сумме электронной и дырочной плот-
плотностей тока:
U = 7? + if = eQ{}inn + piip)8x.
Сравнивая это равенство с дифференциальной формулой закона Ома,
получим:
о = е0 (тц1п + рцр).
5.15. Используя результат решения предыдущей задачи, запишем:
, где а =
е
о
Полагая согласно условию задачи т (v) = т0 v~5, где т0 = ~г (т? не
зависит от температуры и энергии), получим:
Ътп
где у не зависит от Г.
5.16. б = 4,3 • 10~3 Ом • м.
5.17. Температурный коэффициент а удельного сопротивления
характеризует его относительное изменение в расчете на изменение тем-
температуры на 1 К, т. е.
где Eg—ширина запрещенной зоны, qq = const. Поэтому
146

?g = ftv0 = -^, где Ло—длина волны красной границы фотопроводимости,
Ло
А — постоянная Планка. Значит,
* 2к0Л0Т2 *
При Г = 293 К искомая величина а = - 0,045 К.
5.18. Принимая во внимание зависимость удельного сопротивления q
от температуры
имеем:
62
Отсюда
р 2 1,38 1,2 1,65
5.19. Удельная проводимость собственного полупроводника опреде-
определяется выражением
о =
п ,
где Ь = — = 2,1 — отношение подвижностей,
" 2ftor -концентрация электронов.
Значит,
При температуре Тх = 300 К ширина запрещенной зоны
Ef = @,785 - 0,120) эВ = 0,665 эВ и ^«1,75 Ом^м.
При температуре Т2 = 30 К В® = 0,773 эВ,
Тогда а2« 109 Ом • м.
5.20. Из вьфажения для постоянной Холла при решеточном рас-
рассеянии
147

определяем концентрацию электронов:
Затем находим подвижность через удельное сопротивление q и кон-
концентрацию:
^„ 0,39^
^п еопд ' В-с
5.21. Напряженность поля Холла
где / — плотность тока, Б —индукция магнитного поля. Для плотности
тока согласно закону Ома справедливо соотношение
j — о ?0 = , где Q — удельное сопротивление.
Тогда
118 1
Используя выражения для RK и q RK = —— и q = , для подвиж-
еор eopfip
ности дырок получим:
^ = ^¦«0,085 м2/(В-с).
5.22. С учетом двух видов носителей заряда постоянная Холла опре-
определяется выражением
А rf-nd! где л-court,
е0 (piip + щпJ
зависящая от механизма рассеяния.
По условию задачи эффект Холла в рассматриваемом образце не
наблюдается, следовательно, RK = 0, а поэтому
Отсюда
iL(ik\2l« 0,226.
212
Р
Удельная электропроводность образца равна:
о = е0 (пц„ + рцр) = еои//„
oe =
148

Следовательно,
 = ~1~ = ТТгТ * °>32*
5.23. Постоянная Холла при решеточном рассеянии определяется
выражением
JRH = - -^ = - 1б хо-19 102i м3/Кл « - 7,4 • 10 mVKji.
Тогда напряженность Холла будет:
т. е. ?н = 2,96 В/м.
5.24. Постоянная Холла определяется формулой
где
Определим концентрацию р и п из уравнения электронейтральности
p = n + Na и соотношения ри = и2, где wz—концентрация носителей в
собственном полупроводнике. Тогда для концентрации дырок имеем
уравнение
R 1,18 {W2n-piil) _ 1,18 р-я&2
Н е {щ + р//J е0 (р + и&J '
Значит,
см,
Р
Для постоянной Холла получим значение
U8 р^2-^2
е0 W + nVJ
см.
5.25. Электропроводность примесного полупроводника
о = е0 {щп + piip). A)
п2
Выражая концентрацию дырок р через концентрацию электронов р = —,
преобразуем A):
lb ?), где 6 = -
149

Из необходимого условия экстремума о(п) следует, что
a = tfmin при п = ^-
Коэффициент Холла RH в этом случае равен Rn= r" ~2 , тк—фактор
4е0 щ у о
Холла, зависящий от механизма рассеяния. Поскольку Ъ > 1, то RH< 0.
5.26. Согласно закону релаксации фотопроводимости имеем:
а2 — ао = {°i — °о)е т, A)
где т —среднее время жизни электронов.
Используя связь между о и Q, запишем A) в виде
too - Q2) Qi _с г
(Qo-Qi)Q2
Отсюда
F0-62N1
Подставляя числовые данные, получим:
П 0,02 0,5
5.27. Релаксация неравновесной концентрации подчиняется уравне-
уравнению
&Ьп Aw
dt т '
где Ьп — п — щ, щ — равновесная концентрация. Разделяя переменные в
уравнении A) и интегрируя, получим:
bn{t) = Aw@) e~fl\
Тогда
Ли (^
Отсюда
5.28. Полные плотности электронного и дырочного токов при не-
150

однородном распределении носителей заряда в полупроводнике опреде-
определяются уравнениями
jp = -e0Dpgradp ? I
где DM, Dp—коэффициенты диффузии; iin, ^ — подвижности носителей
заряда.
Первые слагаемые в равенстве A) учитывают диффузионный ток,
а вторые — дрейфовый ток. В случае простой параболической зоны кон-
концентрация электронов может быть представлена выражением
где
1 k0T
Учтя в этих выражениях сдвиг дна зоны проводимости на — е0 <р (г), где
ср (г) — электростатический потенциал, преобразуем диффузионный ток с
помощью соотношения
H = Dn ^eograd<p = -Dn ^eo€.
В состоянии равновесия ток в униполярном, например, электронном
полупроводнике отсутствует:
Jn = e2QDn -2- gradp + еощп€ = 0.
Отсюда
D П?п_
п дп '
Аналогично получим:
5.29. В случае невырожденных полупроводников
/ т к Т \3/2 v~Ec
п = 2 1 " °2 j e koT —концентрация электронов, отсюда
дп _ 1
drj kQT '
151

и для коэффициента диффузии на основе формулы
имеем:
В случае германия, у которого подвижность электронов
^„ = 3800 см2/(В-с), получим:
/л 0,38 • 1,38 • 10~23 • 300 пппело 2/
D" 1N.10-i9 = 0,0098 м7с.
5.30. Согласно формуле
в случае сильно вырожденного электронного газа справедливо соотно-
соотношение
Тогда — = и для коэффициента диффузии имеем:
drj 2 77
n 3 e0 3e0 \ 8e0 j mn '
531. Дифференциальная термоэдс невьфожденных полупроводни-
полупроводников с одним типом носителей заряда е, характеризующихся изотропным
квадратичным законом дисперсии, определяется формулой
где
v~'~ де '
о
:0 = е k°T —функция распределения Максвелла—Больцмана. Если
• = тое$, где т0 и s — постоянные, то
00 _5_ ?_ со _ 5
\е$+2е koT de
152

00
Г (п) = ] хп е~х dx — гамма-функция. Учитывая одно из свойств
где
о
Г-функций
получим:
При подстановке полученного выражения в формулу A) найдем:
2 /Е0Т/
5.32. При наличии в проводнике градиента температуры -— и элек-
ал;
трического поля ? (?, О, 0) суммарная плотность тока jx электронов и
дырок представится выражением
где ор, оп — дырочная и электронная электропроводности,
ар, ап — их дифференциальные термоэдс.
В разомкнутой цепи )х = 0, поэтому
oJL_oJL
о Оу av + аи о:и аТ g0 g0 ^/y
"" ор + оп dx ор + оп dx'
Интегрируя это выражение по # и предполагая, что начальная и конечная
точки находятся в одном и том же полупроводнике, для полной тер-
термоэдс получим:
2
? Г арар + опап rfJ
J ор + о„
Отсюда следует, что
^ ОуССу + оп ап
и для собственного полупроводника при п = р имеем:
где & = — — отношениГе подвижностей.
153

5.34. Принимая двойной электрический слой за плоский конденса-
конденсатор, для заряда, перетекающего с каждого квадратного мегра первого
металла на второй, найдем q = -—-—¦, что соответствует поверхностной
плотности частиц An = — « 2 • 1017 м. Так как поверх* пая плот-
плотно
ность электронного газа металлов ns**nd** 1019 м, то изменение кон-
концентрации электронов в слое — « 0,02. Это незначительное изменение
щ
концентрации электронного газа в контактном слое и малая толщина
слоя по сравнению с длиной свободного пробега электронов не могут
привести к сколько-нибудь заметному изменению электропроводности
слоя по сравнению с объемной электропроводностью.
5.35. Принимая, как и в предыдущей задаче, двойной электрический
слой за плоский конденсатор емкостью С = —,—, где ft — толщина двой-
п
ного электрического слоя, S — площадь контакта, и учитывая, что
С = -^-, причем q = e0AnSh, находим:
h = ]/-^~^« 7,5 • 10 м.
Поверхностная плотность электронов в полупроводнике ns«nd«
« 5 • 1011 м~2, что связано с «оголением» k = — « 2 • 105 атомных слоев
ns
полупроводника. Толщина граничного слоя, практически лишенного
свободных электронов, достигает значения, значительно превосходя-
превосходящего длину свободного пробега электронов. Поэтому этот слой обладает
большим сопротивлением, т. е. в месте контакта возникает запорный
слой.
5.36. При приложении к контакту внешнего поля V потенциальный
барьер со стороны полупроводника станет равным е0 {Vk ± V), а сила
тока, обусловленная эмиссией электронов из полупроводника в металл,
будет I1=zAe~e°^Vk + v^k°T. Ток 1г направлен от металла к полупровод-
полупроводнику. Так как величина барьера со стороны металла при этом не изме-
изменяется, то сила тока, обусловленного эмиссией электронов из металла в
полупроводник, равна /2 = Is = Ae~eQV^k°T. Поэтому результирующая
сила тока равна:
где /s = Aexp ( — -S?—*-J —обратный ток насыщения.
154

V
5.37. К- j~
—. Разлагая eRQl в ряд и ограничиваясь
линейными членами относительно V, получим R = -^j- = 2,6 • 103 Ом,
т. е. при малых напряжениях сопротивление перехода не зависит от
смещения.
e0Vk
5.38. Rn = — I = ^- е koT . Зависимость сопротивления от тем-
dl I v = o Ae0
пературы определяется практически экспоненциальным множителем,
поэтому с достаточным приближением можно записать:
Отсюда следует, что
ko\n
/JbL\
U02/
где Rq19 Ro2—дифференциальные сопротивления контакта при темпера-
температурах Тх и Т2 соответственно.
5.39. pD =
5.40.
«1017 см
= —ln
5.41. Распределение потенциа-
потенциала в идеальном р—«-переходе
описывается уравнением Пуассона
_ Ш. с граничными усло-
dx2
ВИЯМИ
dx
=0,где
хр, хп—границы р—«-перехода в
областях р и л (рис. 37). Плотность
объемного заряда выражается через
разность концентраций доноров Nd
и акцепторов Na:
N(x)
¦к
xp 0
Рис. 37.
155

Модули положительных и отрицательных зарядов в р—«-переходе
равны между собой, т. е.
\N{x)\dx.
Подставляя сюда N(x) из условия задачи и интегрируя, получим:
-poxp = Noxn,
откуда следует, что глубина проникновения электрического поля соот-
соответственно в область п и область р обратно пропорциональна концентра-
концентрации примесей в этих областях. Интегрирование уравнения Пуассона с
учетом граничных условий и выражения для модуля заряда дает:
-V-4-V _
k
Значит,
В случае po>No, что имеет место в сплавных диодах с однородной
базой из полупроводника «-типа, для толщины р — «-перехода имеем:
e0N0
5.42. Уравнение Пуассона для потенциала при заданном распределе-
распределении примесей примет вид:
d2<p eoax
dx2 ~~ efe0 '
Из условия симметрии очевидно, что —хр = хп = 0,5ft. Интегрируя урав-
уравнение Пуассона с учетом условий, аналогичных предыдущей задаче,
найдем:
„4
еоа
5.43. Vk = -^- to ^ = 0,61 B.
5.44. При ор>оп через переход будет идти в основном дырочный
ток:
Так как р„« пг и Lp = ]/Dptp , то
156

e0V
W - 1U 0,65 A.
/
U 0,6
/
5.45. Из вольт-амперной характеристики р—«-перехода следует:
/р DppnLn '
Принимая во внимание выражения для проводимостей а, = е0 nt fit и со-
соотношение Эйнштейна, получим:
OnLP =1,2. Ю-2.
5.46. -7е-=120.
5.47. ?g = -r у", гДе hi у /s2~обратные токи насыщения при тем-
температурах Тх и Т2 соответственно.
5.48. Дифференциальное сопротивление гЕ р—«-перехода опреде-
определяем путем дифференцирования уравнения
Тогда при V>0 имеем:
Te~^Hv
Согласно A)
поэтому
у _dV _ *0Г
Е dl eo(l + Isy
Для / из равенства A) получим / = 53,6 А/м2. Значит,
гЕ = —^— = 4,6-Ю-4 Омм2.
е0 Ц + Is)
5.49. Контактная разность потенциалов на р—«-переходе опреде-
определяется формулой
п? '
157

где N~ и JVJ — концентрации ионов акцепторной и донорной примесей
соответственно. При полной ионизации примесей они равны концентра-
концентрациям соответствующих нейтральных атомов JVa и JVd. Поэтому
^ = -й— 1П 2 .
е0 nf
Подставляя в это равенство числовые значения величин из условия
задачи, получим:
у/ = 0,32 В.
5.50. Принимая во внимание, что Сб = -^;—, и учитывая выражение
и
для толщины р—п-перехода (см. задачу 5.41), находим:
N0)(Vk-V) •
Если po>No, то
Ce = S]/eoe'eoNol2(Vk-V).
Отсюда
Значения параметра &, а следовательно, и iV0 (при постоянной гО опреде-
определяются по наклону экспериментальной прямой, описывающей зависи-
зависимость (-^-) от (Vk-V).
5.51. Из выражения C6 = S I/ ;f° *** следует, что
г 12 {Vk — V)
(-p\=IS(Vk-V), где )}¦
Значение коэффициента j8, содержащего градиент концентрации при-
примеси а, можно определить по наклону прямой, описывающей зависи-
/ s \3
мость — от (Vk-V).
5.52. Когда к освещенному р —«-переходу приложено внешнее
напряжение, то полный ток I через переход складывается из темнового
тока /т и фототока короткого замыкания /ф, т. е.
/ — \
При этом темновой ток /т = 7S I е *°т — 11. Фотоэдс Уф определяется из

условия / = 0. Следовательно,
При 1Ф<18 фотоэдс оказывается равной
т/ _ г koT _ I
где R— сопротивление р—«-перехода постоянному току при малых сме-
смещениях.
6.1. Во внешнем однородном электрическом поле напряженностью Е
электрон сместится из центра шара в новое положение равновесия, опре-
определяемое радиусом-вектором г. Со стороны положительно заряженной
части атома на электрон действует сила
где а —радиус атома.
Учитывая силу, действующую на злектрон со стороны внешнего
поля, P2 = — e0€g, ?g—напряженность действующего поля, из условия
равновесия Рг + F2 = 0 получим:
Следовательно, электрический дипольный момент атома р равен:
p = -eor = 4neoa3€g.
Отсюда а = 4яа5.
6.2. Предположим, что напря-
напряженность действующего поля ?д
направлена перпендикулярно плос-
плоскости орбиты электрона. Оно сме-
сместит центр орбиты относительно
ядра на расстояние I (рис. 38). Сила
кулоновского притяжения электрона
к ядру Fi = . е° 2 совместно с силой
F2 = — e0 ?д дает равно действую-
ШУЮ Fy лежащую в плоскости
орбиты. Отсюда следует, что
Рис. 38.
159

Тогда при наличии внешнего поля дипольный момент атома
где г = (Z2 ч- R2I!2« R, так как I < R. Для поляризуемости атома водорода
в основном состоянии получим a = 4nR? = 4na\, a0 — радиус первой
боровской орбиты. Подставляя сюда а0 = 0,529 • 100 м, окончательно
найдем а » 1,57 • 100 м3.
6.3. Под действием внешнего поля в атоме возникает дипольный
момент
p = eod, A)
где d — расстояние между центром симметрии электронного облака
и ядром. Расстояние d определяется из условия равновесия ядра, которое
с учетом действующего поля ?д и кулоновского поля со стороны элек-
электронного облака ?2 запишется в виде
?д = ?2. B)
Напряженность ?2 определяем с помощью теоремы Гусса —Остроград-
—Остроградского:
§s?2nds = ±-qe. C)
Выбрав в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом d с центром в
точке О, преобразуем C) к виду
And2 С2 = — \ е0 I y/ls 12 4nr2 dr, D)
е° о
г
где у/\s = , е а° — волновая функция основного состояния атома
Ула%
водорода.
Из D) определяем ?2\
С помощью B) и A) найдем затем дипольный момент:
р
Отсюда
а-
6.4. Дипольный момент атома в поле напряженностью ? равен:
Р_ (С-1)еое
Р N N '
160

где Р—вектор поляризации, N—число атомов в единице объема. При
нормальных условиях N = 2,69 • 1025 м.
а) Если ? = ?1:=105 В/м, то p! = 2,4 10-36 Клм, -^~2,4Ю-6.
Ро
б) В поле солнечного излучения р2 = 1,68 • 10~38 Клм, &- =
Ро
= 1,68 • 10"8.
6.5. Согласно формуле Клаузиуса —Моссотти
о' 1 . N2a
где а — поляризуемость молекулы, N2 — число молекул в единице объема
жидкого сульфида углерода.
Поскольку для газообразного состояния справедливо равенство
(А?! —число молекул в единице объема газа при нормальных усло-
условиях), то
По условию задачи —г = 381, ei — 1 = 2,9 • 10, поэтому
tf 1 | 381-2,9-Ю-3
что близко к экспериментальному значению
4с„ = 2,64.
6.6. Согласно формуле Ланжевена—Дебая
При нормальных условиях, которые характеризуются температурой
Т = 273 К и концентрацией молекул N = 2,69 • 1025 м, имеем:
* - 1 + 2,69 • 10» A,37 • 10-» +
т. е. d = 1 + 2,69 • 2,24 • 10 = 1,0060.
6.7. В жидком состоянии относительная диэлектрическая проницае-
проницаемость Аг, О2 и СС14 имеет значения:
161
6 Заказ 295

«eop)Ar=l,52, @^ = 1,54;
Dop)O2=l,509, Dсп)Ог = 1,507;
() ()
У всех веществ вычисленные значения d достаточно хорошо согла-
согласуются с экспериментальными. Это говорит о том, что рассматриваемые
вещества имеют электронный механизм поляризации.
6.8. 6=15-4".
см
6.9. Используя распределение Больцмана, запишем:
AN
N
о
В рассматриваемом случае
Тогда
\koT
AN \ 12/ 0,41
~=—v—~ттж~14;5%'
6.10. гд = 1,46109 В/м.
Следовательно, при ?д < Ю9 В/м можно использовать приближенное
выражение для функции Ланжевена L (/?) «-г i?.
6.11. Из условия равновесия электрона
вьфазим напряженность действующего поля Сд = г. Коэффициент
упругой связи & выражается через поляризуемость атома а. Дейст-
Действительно,
,---*?-А С...-А.
С другой стороны, согласно классической теории а = 4яа3. Отсюда
162

Тогда
е0
В/м.
Действующее поле создается зарядами, расположенными вне атома,
а не точечным зарядом е0, как это кажется на первый взгляд.
6.12. -^-1«10-29.
Практически действующее поле равно напряженности макроскопи-
макроскопического поля.
6.13. Из табличных данных с помощью уравнения состояния опреде-
определяем число молекул в единице объема Nx. Замечаем, что А/\ во всех сос-
состояниях одинаково:
k0Ti k0T2 kT kT
При фиксированном Nj температурная зависимость поляризуемости
имеет вид:
Для а
~-г, .„w —за-
—заполучаем следующую таблицу значений:
а-1028, м3
-j- Ю4, К
2,9
25,4
2,69
23,6
2,5
22,0
2,38
20,7
Построив зависимость a = f (^г), убеждаемся в том, что эксперимен-
экспериментальные точки ложатся на прямую. По тангенсу угла наклона находим
А =1,12-105 м3К. Тогда
Ро = ]/3e0k0A = 6,42 • Ю-30 Кл • м.
6.14. Согласно формуле Ланжевена —Дебая
Следовательно, зависимость (е! - 1) от -~ линейная, причем
где у — угол наклона прямой с осью абсцисс.
163

Из рисунка 8 видно, что молекулы СС14 не обладают дипольным
моментом. Наибольший дипольный момент у молекул СН3С1
{ро)и
1 2
][^2
(Ро)и Г ЪУ2 (Ро)ш
6.15. Объем элементарной ячейки BaTiO3 равен
»0 = о5 = 43.10-30 м3.
Поэтому дипольный момент р0 элементарного куба равен
p = pse/0«10-29 Кл-м.
Значит, смещение 6 центрального иона Ti4+ с зарядом 4е0 представится
отношением 6 = -^-« 0,16-10~10 м и от длины ребра элементарной
ячейки составит
а 4
6.16. Согласно формуле Лорентц — Лоренца справедливо равенство
1 п\-\ 1 п\-\
Ql п\ + 2 Q2 П\ + 2 '
Поскольку показатель преломления газообразного водорода пх мало
отличается от единицы, то путем несложных преобразований из A)
получим:
rt2 + 2 3 Q\
Подставляя сюда значения qx , q2 , пх, имеем:
^77 = o,O7i.
Отсюда и2= 1Д07.
6.17. а « ^ ' « 3,34 • 109 м3.
6.18.
^max = ia^«5,14 см/с, 4й-'
6.19. Во внешнем однородном электрическом поле С положительно
заряженные ионы натрия Na+ смещаются в направлении ?п~? на
х _ еое
164

а ионы хлора С1 — в противоположном направлении на
Мх и М2—массы ионов Na+ и СГ соответственно. Относительное смеще-
смещение ионов Na+ и СГ (по отношению друг к другу) равно:
= # — х2 =
1 1 \
МХ М21
Тогда вектор поляризации представится выражением
Р7\ Ajc 0п & /1 1 \
~ V ~ V \Mi М2/'
Отсюда с помощью соотношения
Р = ео(*-1)€
найдем относительную диэлектрическую проницаемость за счет ионной
поляризации:
Найденное значение A^0H достаточно близко к экспериментальному
(Л4>н)эксп = 5,62 -2,25 = 3,37.
6.20. Под действием электрического поля монохроматической волны
с частотой со оптические электроны с собственной частотой ш0 приобре-
приобретают дипольный электрический момент
Следовательно, вектор поляризации
Г-Np-
N—число электронов в единице объема.
Полагая ?д =
ческого поля Ь:
Полагая ?д = ? + —, выразим Р через напряженность макроскопи-
Тогда относительная диэлектрическая проницаемость е' равняется:
165

Следовательно,
6.21. Поляризуемость атома а согласно классической электронной
теории выражается через радиус R соотношением
Поэтому
G>0=f-!L=f^ pS -4,5-10м с"'.
1 т0 1 eomoa j/ пер ntpd
С учетом отличия действующего поля от макроскопического выражение
для показателя преломления в прозрачной части спектра при п, близких
к единице, определяется равенством
Отсюда получим приближенное выражение, приведенное в условии
задачи, если выполняется неравенство
Заменяя N на т^г (р—давление), находим:
kqT
р < 2 • 1031 2 • 1033 - со21 Н/м2.
6.22. N«2 1029 м.
6.23. tf(&) = 1 Ц- (-^^ + У 4т^)» гДе т0 и МЛ-массы элек-
k
трона и иона, Ne и Nk—nx концентрации. Так как Mk>m0, то
2 #Ne
щ = частота плазмы.
166

6.24. Ne = u""^ «5• 1011 м-3.
6.25. a (o>) =
6.26. 6) / = /0 exp I ^— z\.
6.27. иА1« 1 - 6,5 • lO, nrp ~ 1 - 7,1 • 1O0.
6.28. Компонента вектора поляризации в направлении действующего
поля €п выражается равенством
где а—поляризуемость молекулы, 2VX — число молекул в единице
объема. В случае беспорядочного распределения осей молекул среднее
значение cos20=-- и
При наличии однородного электрического поля вдоль оси 2 распределе-
распределение осей молекул зависит от угла в между «направлением поляризации»
и осью 2, и для электромагнитной волны, поляризованной вдоль оси 2,
имеем:
а для волны, поляризованной в направлении Оу,
Отсюда
(
-«у = л2-л* = 4 Ni* (cos26--).
2 \ 3 /
Учитывая, что (nz — ny)<n0, получим:
6.29. Согласно распределению Больцмана вероятность ориентации
оси молекулы по отношению €0 под углом & в интервале в— в + d&
равна dW@)=Ae k°T sinQdO, и — потенциальная энергия молекулы.
В рассматриваемом случае
167

Первое слагаемое есть энергия, необходимая для возникновения диполя
с моментом р = а?0 cos в, второй член — это энергия диполя во внешнем
поле. Тогда
cos20= —
J cos2 ЫЩв) ) COS вA+ 2k0T
\dW@)
о J У " 2fe0T
О
Выполняя интегрирование, получим:
3 45 k0T '
Используя результат решения предыдущей задачи, для постоянной
Керра имеем:
г* Ио — 1 / СС
5Ло По \ koT
6.30. Потенциальная энергия молекулы в постоянном поле €0 выра-
выражается соотношением
и = —p0€0cos&.
Подставляя это выражение в распределение Больцмана, для cos2 в
запишем:
? wcos0
cos2 в еПо1 sin Ode
Л
exp I i~-r cos01 si
о
Тогда
3 45
и
\ *0Г /
7.1. В основном состоянии атома водорода имеет место сферически
симметричное распределение электрического заряда, так как
е а° , где а0 = п€° ~ — радиус первой боровской орбиты.
168

Взяв в качестве элементарного заряда
2п
dq (г, в) = [(е\ Фи | VsinO dS dr) dq> = 2rte(r)rained9dr,
о
запишем выражение для тока прецессии вокруг BttOz:
В центре атома этот ток создает магнитное поле
dH0 = - -?j-e (r) rdr sin36de.
Интегрируя это выражение по г и в, получим:
2г
12лт0а0
О О
7.2. Воспользуемся формулой #диа = - -^—~ Л где 2 = 1,
3. Учитывая Q = g|^|2 = -~-e a°,
заключаем, что атом водорода находится в основном состоянии,
где Wiqq = т^ е'ж. Поэтому 7 = j r21^ls12dV = За2, тогда
7Л. Используя формулу для среднего значения
А + i =i W + г
находим:
_ 2 • (l,6J • 108 • 6,02 • 1023 • Ал • 10" 7 • 0,5292 • 100
" 27^
29,110 16.16
моль
7.4. /u = 3-10-V
169

7.5. г = 3,52 10-пм.
7.6. 5,2-КГ11 м, 1,041(Г10м.
7.7. Nx = iV~J~Г ~ 7Д • Ю7, где j8 = -^ « 6,72 • 10.
Повышение температуры и уменьшение магнитной индукции при-
приводит^ к уменьшению Nx.
7.8. ^«0,0112<^1, поэтому / = -^^-«8,65-10A/m.
7.9. Смол« 5,65 • 10~6 (К • м3)/моль, ц = 1,9/мБ.
7.10. * = 2,01 Ю-6.
7.11. a) I = Nn Uh^-^] = NiiL(^\, ц-магнитный момент
атома;
7.12. 1) Атом в состоянии гР характеризуется квантовыми числами
S = 0, L= 1, /=1 и g=l. Магнитный момент атома
значит, jW2 = //B, 0, — |t/B. Число атомов с положительной проекцией
магнитных моментов равно Nx = NAe ° , где постоянная Л определяет-
определяется из условия нормировки
l=A(ea + e-a + l)=A(l + 2cha)f где а = ^.
Отсюда
л
1 + 2cha '
Число атомов с отрицательной проекцией цг
N2 = NAe-".
Значит, ^ = Jh^ = 1^, где а =-g-«0,00224^ 1, поэтому
-^-f- 0,0015.
2) Без учета пространственного квантования
1 J ^-(^-l), где Ц=^ =
о
170

Аналогично
я
ЛГ2 = NA j e "cose sm&de = -^ A -
причем А определяется из условия
1 = А \ e^°°sesin&d0, откуда А •¦
о
Значит,
Величина
поэтому
7.13. Для атомов в ^д-состоянии L = 0, / = -, ^ = -~, g = 2, поэ-
поэтому \iz = 2\1ъту =±\1Ъ и / = N//Bth-^|-. Так как -—f-« 0,0045 < 1, то
/ = N-^¦ = 0,42 А/м.
7.14. Смол«4,7 10-6(Км3)/моль, /уд « 5,5-10A/(MKr).
7.15. Согласно правилу Хунда основное состояние атома кислорода
8О с электронной конфигурацией Is22s22p4 характеризуется квантовыми
числами S = 1, L = 1, / = L + S = 2. Фактор Ланде
1 /g + l)+S(S + l)-L(L+l) _ 3
ё 2/a+D 2*
Удельное намагничение выражается формулой
), где а =
В слабом магнитном поле a = ^—J <1 и функция БриллЪэна
Б'(а)=11Га' поэтому J^^ tr+1>B' Отсюда
Худ н
м/кг-
4-3-1,38-10" 23-1500
7.16. / = 200 А/м, В = 1,25694 Тл, АВ = В - Во = 0,0003 Тл.
7.17. В « 1,25664 Тл.
171

7.18. Вблизи уровня e = J]0 в энергетическом слое толщиной 2^/БВ
магнитные моменты электронов ориентированы по полю. Значит, на-
намагничение / представляется выражением
I =
где в зависимости от ориентации спинового магнитного момента плот-
плотность квантовых состояний на уровне Ферми с одной ориентацией спина
«Ы = 2Я(У5/2 Ч1'2 • Следовательно,
7.19. Приращение энергии электрона в магнитном поле В в зависи-
зависимости от ориентации спинового магнитного момента равно ±^БВ. На-
Намагничение системы электронов запишется в виде
- fo(e
где dg(e) — интервал квантовых состояний с одной ориентацией спина,
/0~равновесная функция распределения. В слабом магнитном поле
причем
?/о__ _ of о
де drj
Поэтому
о
где п — концентрация электронов.
При наличии сильного вырождения
k0T
поэтому с точностью до членов второго порядка малости по по-
п
лучим:
где г)*— энергия Ферми при абсолютном нуле температур для электронов
с эффективной массой т*. Отсюда видно, что х" очень слабо зависит от
Г. Значит, окончательно
172

т0
7.20. Для невырожденных электронов в полупроводнике п — Ае k°T,
задачу), получим Хе
поэтому — = -г^-. Используя выражение х" = 1*о(*1~г~ (см. предыдущую
k0T
7.21. Интеграл состояний системы п электронов запишется:
где р~ импульс электрона, а компоненты векторного потенциала А
магнитного поля В@, 0, В) можно выбрать равными Аж = 0, Ау = Вх,
Переходя к новым переменным ^ = л;,
e0At,
Ъп.
2
2
где i = х, у, z, получим Z = Vn Bnm0k0T) . Значит, хТа = °» так как
7.22. *" = 8Д -Ю-6.
7.23. jNa = 7,6 10-6.
7.24. w* = 1,6/и0.
7.25. г = 0,73 10-10м.
7.26. Относительная спонтанная намагниченность ферромагнетика
запишется в виде
A)
где у =
k0T '
С другой стороны,
1(Т) &м _ kQT
1@)
Ах — постоянная
поля.
Уравнение
NAlfi2 ' '
молекулярного
Ш1
B) КО)
(з)
можно решить графически (рис. 39).
При достаточно низкой температуре у»
Т<ТС уравнение C) имеет два °
корня: у0 = 0, ух f 0. В приближении
т=тс
My)
У;
Рис. 39.
173

молекулярного поля (BMJ= 0) при Т <ТС следует иметь в виду второе зна-
значение корня ух =? 0. Температуру Кюри Тс определим из условия
k0T _ \dL(y)\
NAni2 \ ду \у = 0'
Отсюда для постоянной молекулярного поля получим:
л 3fe0Tc
l~ Nil2 '
Подставляя численные значения величин, находим Ах«6 х
х10(Тл.м)/А.
7.27. Спонтанная намагниченность /, обусловленная молекулярным
полем BM = AJ, определяется функцией Бриллюэна
Ш, A)
где х= ут > 0ТКУДа
Уравнение
полученное с помощью A) и B), решается графически (см. задачу 7.26).
Температура Кюри определяется из условия
При х<1 функция Bs(x) ~"^Т~~Х> поэтому
т =
7.28. Вм « 1,6 • 103 Тл.
7.29. Магнитная ицдукция действующего поля ВД с высокой сте-
степенью точности равна индукции молекулярного поля Вейсса AJ, если
В < AJ. Принимая во внимание выражение постоянной Ах через темпе-
температуру Кюри и намагниченность насыщения 10, получим:
i> <—¦ «2-10 1л.
'о
Равенство Вя = AJ по условию справедливо с погрешностью не более
1%, т. е. при В < 0,01 AJ = 20 Тл.
g(, где «-
174

при Т>ТС и слабом магнитном поле. Поэтому
откуда
j_ __ ^_ Тс + (s + l)gfiBB
/0 /0 T 3k0T
Я
7.31. С = 1,9 • п • 1(Г2К, рБ = —
1*
|/^ 0,67 .
732. Я = 2,2Ю9А/м.
7.33. Гс=1068К.
7.34. рБ = 2,205.
7.35. Пусть z—число соседних спинов, расположенных вокруг дан-
данного спина; z+, z . — среднее число спинов, направленных по полю Вм
и против поля соответственно. Тогда z+ — z_ = z—, где I0 = NfiB.
Величина 11ЪВМ представляет среднее значение энергии взаимодействия
узла с ближайшими соседями, поэтому
Отсюда
zA
Температура Кюри для случая s = 7r> g = 2 равна
Л А
т* =
«-о ло
7.36. Учитывая, что при температуре Кюри разрушается спонтанное
упорядочение спинов атомов ферромагнетика, энергию обменного взаи-
взаимодействия ?обм, приходящуюся на один атом, по порядку величины
можно считать равной k0Tc. Тогда для железа ео6м ~ k0Tc «0,1 эВ. Энер-
Энергию магнитного взаимодействия оценим с помощью формулы
U = — (fa В), где fa — магнитный момент атома, В— индукция магнит-
магнитного поля, созданная соседним атомом с магнитным моментом fa. В рас-
расчете на один атом энергию магнитного взаимодействия можно предста-
вить выражением ?магн = ^ofi^21 где расстояние между атомами г равно
постоянной решетки а = 2,86 А. Значит, ?магн « 0,003 эВ < еобм. Следова-
Следовательно, взаимодействие, упорядочивающее магнитные моменты атомов,
не может быть магнитным взаимодействием.
175

7.37. Раскладывая выражение относительной спонтанной намагни-
намагниченности
i0 т\кот
Т I
в ряд по малому периметру х = —г т2" < 1 и ограничиваясь двумя чле-
т /о
нами разложения, получим:
7.38. Спонтанная намагниченность определяется уравнением
thl^-x\ = x, где х = — , I0 = NfiB. Энергия единицы объема ферро-
ферромагнетика равна:
U = U0-jNk0Tcx2.
Тогда
0j
где С^} — теплоемкость кристалла в отсутствие намагничения. Если
T \ dx 3 1
т. е.
Таким образом,
7.39. D= 1/-^—, а —поверхностная плотность энергии междоменных
границ, К —константа анизотропии.
7.40. 2,7 • 104 м2; 27 Дж.
7.41. При наличии внешнего магнитного поля В действующие поля
на атомы подрешеток а и Ъ задаются выражениями
176

Ba = B — yabIb, Bb = B — yabIa,
где уаЪ—постоянная молекулярного поля для взаимодействия типа аЬ\
1а, 1Ъ—намагниченность подрешеток а и Ъ. При тепловом равновесии
для компенсированного антиферромагнетика
iBs{xa), где ха =
h = \ NgiiB sBs (xb), где xb =
При достаточно высоких температурах (Г>ГС)# мало, поэтому
1а~ 2Т а' Ь 2Г 6' ~ 3fc0
Учитывая, что при Т>ТС векторы намагниченности 1а и 1Ъ направлены
вдоль поля В, получим:
a — D yab1bj Db~D УаЪ1а-> А- е- *¦ — 1а^1Ь~ 2J
откуда
св
где 0 =-г-уа6 С—температура Кюри.
Парамагнитная восприимчивость равна
/ с
*~ я ~ г + 0 '
7.43. С учетом электронной конфигурации ионов легко подсчитать
их магнитные моменты, а следовательно, и магнитный момент элемен-
элементарной ячейки:
рг (О2") = 0, iiz (Fe3+) = 5//Б, iiz (Fe2+) = 4//Б,
//яч = 8 • 5//Б + 8 • 4//Б — 8 • 5//Б = 32//Б.
Число элементарных кубов объемом 1 м3 равно (8,37 • 100), поэтому
намагниченность насыщения
h = /^ч(8,37 • Ю-10) « 0,5 • 106 А/м.
7.44. /0 = 0,625 • 106 А/м.
7.45. а =
\ *о I
177

7.46. со —B As I h) (l — cosfea), где А—обменный интеграл, соответ-
соответствующий паре соседних узлов, s —спин узла решетки.
В случае длинных спиновых волн (ka < 1) можно положить
cos ka « 1 — — k2 а2. Тогда закон дисперсии примет вид:
Asa2 l2
(о = —— к2.
п
ПАП. Плотность квантовых состояний для магнонов с учетом закона
дисперсии равна:
Тогда для внутренней энергии магнонной системы в расчете на еди-
единицу объема кристалла запишем:
При низких температурах верхний предел интегрирования можно счи-
считать равным бесконечности, поэтому
Учитывая табличное значение определенного интеграла
3 г
для вклада магнонов в теплоемкость получим известное выражение, под-
подтверждаемое экспериментом:
Г дЕ °'113 feo/2T5/2 „т3/2
w"ar" (ьпM'2 * '
7.48. Отклонение намагниченности / ферромагнетика от намагничен-
намагниченности насыщения /0 определяется плотностью пы магнонов:
/0-/ = 2//Блм, A)
где 2цъ — изменение проекции магнитного момента ферромагнетика при
появлении одного магнона. С учетом закона дисперсии {(о = bk2) для
плотности магнонов при низких температурах запишем выражение:
1 г а**® 1_1ы-\ъ12 [ aidx
Пм~ 4п2Ьъ12 ) exp(h<Dlk0T)-l 4я2 \ bh ) ) ех-1'
О О
Принимая во внимание значение интеграла
178

ex-l
Ъ
находим:
= 4я2-0,0587,
пи = 0,0587 (Щ*. B)
При Т = ТС намагниченность 1 = 0, поэтому из A) и B) легко опреде-
определить /0:
/„ = 2рБ-0,0587 (-^)'. C)
На основе соотношений A) —C) получаем:
т \3/2
откуда следует известный «закон трех вторых» Блоха:
7.49. При ka<\ дисперсионный закон для магнонов можно считать
линейным:
2\A\s u u
о) = ая ~ я.
h
8.1. Из приведенных данных следует, что время затухания т электри-
электрического тока
г ^ ^>J'1U с т е тч1 9«5.106 г
х ^> 2.1о~2 t ^> i,zo ±u с,
равно отношению индуктивности L к сопротивлению R:
индуктивность определяется формулой
в которой Z—длина трубки, d и Ь—эффективные глубина и ширина изо-
изолятора соответственно, (л0—магнитная постоянная. Поскольку ширина
трубки больше, чем ее глубина, то
где а—толщина свинцовой стенки верхней или нижней части трубки,
Q — удельное сопротивление образца. Тогда
r Vo da
2Q '
179

отсюда
2т
следовательно,
н 2,5 • 10б
Эффективная глубина изоляции d не больше, чем сумма действительной
глубины d0 = 5 • 10~7 м и удвоенной глубины проникновения поля,
т. е. d = 6.10-7 м. Значит, п<^Ж1Л^^Ж1 (Ом.м), или
б<3,6 105 Омм.
8.2. Нс C К) « 108 э « 8,6 • 103 А/м.
8.3. Критическое поле для олова при температуре Г = 2К может
быть найдено из соотношения
Нс B К) ~ 2,44 • 104 (l - -фЛ А/м « 1,73 • 104 А/м.
Напряженность магнитного поля на поверхности проволоки радиусом г
определяется формулой
я--*-.
2пг
Значит, /max = ndHc = 108,6 А. Критический ток пропорционален диа-
диаметру проволоки. Чтобы по проволоке протекал ток 200 А без перехода
олова в сверхпроводящее состояние, при температуре Т — 2 К диаметр
может быть увеличен до
8.4. WM«90 Дж/м3.
8.5. л, = 1,6.10м м.
8.6. В(у) = и0Н0 ct ,}.Я , где AL—глубина проникновения магнит-
сп (а/Я^)
ного поля.
8.8. h =
8.9. В « 2,63 • 10'5 Тл, Я = 20,9 А/м.
8.10. А = 7,5 10'4 Тлм.
8.11. Вектор индукции В магнитного поля (рис. 40) вне сверхпровод-
сверхпроводника определяется соотношениями
180

div В = О,
Br = Во cos в
ПРИ Г = оо,
при г = л,
A)
где Вг—радиальная по отношению к сфере
компонента вектора В.
Решение A) можно искать в виде
B = -grad<p. B)
Из A) и B) для <р следует уравнение Лапласа:
А^ = 0, C) В°
решение которого имеет вид:
л = оД, 2, .... П
Рп (cos 0) — полином Лежандра степени п.
Рис. 40.
Br = ^=(c1nr + c2(n + l)r)Pn(cose).
Из граничного условия на бесконечности следует, что п = 1 и сг = — Во.
Тогда
г, в)= (-B0
Значит,
cose.
Из граничного условия при г = а находим с2 = — —тр-. Следовательно,
не обращающаяся в нуль на поверхности сферы компонента Вв равна:
Поэтому максимальное значение индукции В на поверхности сферы
достигается при 0=— и равно:
8.12. АР = -
181

8.14. Для сверхпроводника в поле напряженностью Н дифференциал
химического потенциала представится выражением
A)
где S —удельная энтропия, М —намагниченность. Подставляя в A)
М = -Яи интегрируя при фиксированной температуре по Н, имеем:
^ (Я) = 77s(O)+^o Я2.
В точках кривой критического поля Нс (Г), где нормальное и сверхпрово-
сверхпроводящее состояния находятся в равновесии,
поэтому
() ±2 B)
Дифференцируя B) по температуре и учитывая, что S = — (-?1 , найдем
Следовательно, удельная теплота фазового перехода из нормального
состояния в сверхпроводящее в присутствии магнитного поля равна:
т. e.v переход в сверхпроводящее состояние сопровождается выделением
тепла.
8.16. Q « 2,25 • 10 Дж.
8.17. АС = Cs - Сп = 2,85 • 10~3 Дж/(см3 • К).
8.18. Т =-5s-«2,4 К.
8.19. (AC)Sn = 796 Дж/(м3-К), (АС)Т1 = 424 Дж/(м3-К);
(АС)|КПС = 750 Дж/(м3 • К), (АС)^С = 340 Дж/(м3 • К),
8.20. (tf)sn = -0,46, (a)Hg = -0,50.
Поскольку температура Дебая Гд пропорциональна -т= (Af — среднее
значение атомной массы), то для каждого элемента —^- = const. Это
Тс
говорит о том, что сверхпроводимость может быть следствием взаимо-
взаимодействия между электронами и решеткой.
8.21. Согласно теории сверхпроводимости БКШ критическая темпе-
температура определяется формулой
1
Т — 1Д4 • /г6>д
с~ ко
182

где g@) и У—параметры модельного гамильтониана, о)д ~-т=— дебаев-
ская частота колебаний решетки, М — средняя масса атомов.
Поскольку для изотопов одного и того же элемента g@) и V одина-
одинаковы, то квадраты их критических температур обратно пропорциональны
атомным массам:
Значит,
АГ
отсюда
8.22.
К.
т, к
1,08
1,24
1,46
1,62
1,91
2,48
Се, мДж-
• моль-'К~'
0,33
0,51
0,82
1,13
1,85
4,04
Ces, мДж-
•моль-'К
0,32
0,63
1,28
1,90
3,16
6,35
С 1
Зависимость In —— от ~- изображается прямой линией с отрица-
уТс Т
тельным угловым коэффициентом I k I « 5,6 (К). Это свидетельствует о
существовании энергетической щели в энергетическом спектре сверх-
сверхпроводника.
8.23. До « 1(Г3 эВ.
8.24. Тс = 3,49 К, Гскс = 3,4 К.
8.25. (g@)V)Sn« 0,245,
(g@)V)in-0,271.
8.26. (ГС)А1 = 1,196 К, (Tc)Zn«0,87 К.
8.27. Критический импульс рс куперовской пары выражается через
критическую температуру Тс с помощью соотношений
^ До =
где До—ширина энергетической щели,
гией Ферми. Поэтому
—скорость электрона с энер-
энер183

3,52 k0Tc
Подставляя числовые значения величин в последнее равенство, получим
рс« 2,8 • 10~28 (кг • м)/с. Так как импульс Ферми pF определяется форму-
формулой рр = movF, то
8.29. Преобразуя равенство
€f + Ни)
V [ ^г-=1 A)
к новой переменной ? = e — ef, получим:
ho)
V
где Асв = 2гг/ — Е — энергия связи куперовской пары.
Учитывая, что hoxef, положим g(e) ^g{ef) = g@). В результате
таких упрощений получим:
1 1 , Дев + 2hd)
m
или
В пределе слабого взаимодействия (g @) V <^ 1)
2
Асв = 2ho)e g@)v .
8.30. у q2 =-j~-p-, где J7F —скорость электронов с энергией
Ферми.
8.31. Асв = 2,410-23 Дж,
А«0,83-10~2 м,
q « 6 • 10 м,
g@)V«0,15.
9.1. г/ = 1 — —j, 0I = ° g .
9.2. Предположим, что в плазме распространяется плоская монохро-
монохроматическая волна
184

Если (Oq>(o, to волновое число k становится мнимой величиной:
fe==±/7nf ~1 = ±/а' где а>0'
Тогда экспоненциальный множитель в уравнении волны представляет
колебания с затухающей или нарастающей вдоль оси z амплитудой:
^ i (at - kz) __ ^ ±az g iat
Если в системе нет источников энергии колебаний, то множитель eaz
смысла не имеет. Второе решение ? = ?ое~агеш соответствует затухаю-
затухающему полю. С приближением со к плазменной частоте coQ показатель пре-
преломления стремится к нулю, и электромагнитная волна при падении на
плазму полностью отражается. Действительно, коэффициент отражения
R \п'21 + 1\2
стремится к единице при б)-+о)о.
9.3.
2пс
4я2
9.4. ne = -^k— v2 = 1,24- 10~2v2 m, где v выражено в герцах.
6)О — частота плазмы
9.5. и.>1,8-1018 м.
, где ие—концентрация электронов, ^ — зарядо-
зарядовое число ионов.
9.7. lD « 1,5 • 10 м, ND « 1,6 • 104.
9.9. При равновесной ионизации справедливо соотношение
где w, — концентрация ионов, щ — начальная концентрация для атомов,
причем па = п0 — nt. Поскольку концентрация электронов определяется
ионизацией основного компонента, то при нахождении \f для малой
примеси пе можно считать заданной величиной. Тогда
Концентрация ионов основного компонента nf* с большой степенью точ-
точности равна пе, поэтому
185

При nft<r$ отношение
9.10. Внутренняя энергия плазмы равна и = иИД + Ех, где мид =
= CVT = —• 2Nk0T—средняя кинетическая энергия частиц плазмы,
Ег = — Ne0 [ q>+ @) — (р_ @) ] — средняя энергия электростатического взаи-
взаимодействия частиц плазмы, q>+ @), ц>_ @) — потенциалы электростатиче-
электростатического поля в месте нахождения иона и электрона соответственно.
Согласно задаче 9.6
(lD—дебаевский радиус), п — — . Тогда
Е
1
9.11. ND > 1, где ND—число частиц внутри шара с радиусом, равным
дебаевскому радиусу экранирования.
9.12.
Ne30
9.13. Отклонения электрона на большие углы в результате его взаи-
взаимодействия с ионом могут происходить в тех случаях, когда кинетиче-
2
екая энергия электрона ° сравнима с потенциальной энергией взаи-
zek
модействия . при их максимальном сближении (ze0 — заряд иона).
4лег
186

/ \ / \
_2 л / ге0 \ / ге0 \
. = яг2 - 4я (-^j^r) - (^^т) , A)
так как среднее значение кинетической энергии равно -j k0T. Хотя взаи-
взаимодействия на больших расстояниях и вносят существенный вклад в
эффективное сечение, но их учет не сказывается на виде формулы A), а
только приводит к появлению числового множителя. Поэтому при каче-
качественном рассмотрении некоторых кинетических явлений для oei можно
использовать формулу A).
9.14. а = -2^!1, где а«0,5.10s м^с-К'2.
9.15. Те« 107 К.
9.16. х = Ъ U&
9.17. ^ « 10" кВт.
9.18. Будем искать решение уравнений Максвелла в виде плоских
монохроматических волн: ? = ?oei{a>t~^ и B = Boel{a>t~k?). Амплитуды
?0 и Во удовлетворяют системе уравнений
(k ё0) = п)В0, (k Во) = - @\1ф (п)) ?0.
В случае продольного электрического поля (k?0) = 0, поэтому В0 = 0
и 8 {(о) ?0 = 0. Из последнего равенства следует, что продольное электри-
электрическое поле в холодной плазме может существовать, если
т. е.
Согласно формуле A) со не зависит от волнового вектора, поэтому груп-
групповая скорость продольных плазменных волн равна нулю. Длина волно-
волнового вектора, а следовательно, в рассматриваемом приближении и фазо-
фазовая скорость могут быть любыми. Полученный результат верен только в
том случае, когда не учитывается пространственная неоднородность
электрического поля. Продольные плазменные волны представляют
собой колебания электронов плазмы относительно ионов.
з-ю8 к, K=
' э
9.22. € = vBl = 103 В, gmax = ^p- = 2,5 • 107 Вт.
187

Приложения
1.ЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ
Элементарный заряд
Масса покоя электрона
Постоянная Планка
Постоянная Планка
Первый боровский радиус
Скорость света в вакууме
Число Авогадро
Постоянная Больцмана
Газовая постоянная
Магнетон Бора
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
е0 = 1,602- 109Кл
т0 = 9,1 МО1 кг
h = 6,626.104Дж.с
-А-
1,054.104Дж.с
~и — 2- = °>529' 10~10 м
с = 2,998-108 —
с
No = 6,022-1023 моль
R = 8,314 Дж-моль"'-К
цБ = 9,273-10" 24Дж.Т-!
е0 =8,854-Ю-12 Кл
М-о = 1,257- Ю-6 —
2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КУБИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
Структура
Простая
кубическая
оцк
гцк
Решетка алмаза
Координационное
число W
6
8
12
4
Атомный радиус
(а — ребро куба)
а
Количество атомов
в элементарном
кубе
1
2
4
8
Плотность
упаковки
Я
лл/3
8
ял/2
6
лл/3
16
3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
ИОННЫХ КРИСТАЛЛОВ
Кристалл
NaCl
KCl
CsCl
Постоянная
решетки а,
КГ10 м
5,64
6,29
4,12
Постоянная
Маделунга а
1,748
1,748
1,763
Энергия связи,
кДж/моль
765
691
627
188

Металл
Алюминий
Барий
Бериллий
Ванадий
Висмут
Вольфрам
Железо
Золото
Калий
Кобальт
Литий
Магний
Медь
Молибден
Натрий
Никель
Олово
Платина
Свинец
Серебро
Титан
Цезий
Цинк
4. 1
Работа
выхода,
эВ
3,74
2,29
3,92
3,78
4,62
4,50
4,36
4,58
2,15
4,25
2,39
3,69
4,47
4,27
2,27
4,84
4,51
5,29
4,15
4,28
3,92
1,89
3,74
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
Ллотность,
103 т
2,7
3,75
1,85
5,87
9,8
19,1
7,8
19,3
0,86
8,9
0,53
1,74
8,9
10,2
0,97
8,9
7,4
21,5
11,3
10,5
4,5
1,87
7,0
Кристаллическая структура
Тип
гцк
оцк
ГПУ
оцк
ГЕКС
а-ОЦК
а-ОЦК
ГЦК
ОЦК
а-ГПУ
оцк
ГПУ
гцк
оцк
ОЦК
гцк
тоц
гцк
гцк
гцк
ГПУ
оцк
ГПУ
пар ячейки
ъ ю-
а
4,04
5,02
2,28
3,03
4,54
3,16
2,86
4,07
5,25
2,51
3,50
3,20
3,61
3,14
4,24
3,52
5,82
3,92
4,94
4,08
2,95
6,05
2,66
10 м
с
3,58
11,84
4,07
5,20
3,18
4,69
4,94
Температура
Дебая
гд, к
374
116
1100
413
80
315
467
164
132
397
404
350
329
357
226
425
111
212
89
210
300
60
213
Плавле-
Плавления, °С
658,7
704
1278
1715
271
3370
1535
1063
62,3
1480
186
650
1083
2620
97,5
1452
231,9
1775
327,5
960
1720
28,5
419,4
Обозначения: ГЦК—гранецентрированная кубическая решетка; ОЦК —
объемноцентрированная кубическая; ГЕКС.— гексагональная; ГПУ — гексагональ-
гексагональная плотноупакованная; ТОЦ — тетрагональная объемноцентрированная.
5. КРИТИЧЕСКИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
Элемент
А1 (алюминий)
Ti (титан)
V (ванадий)
Zn (цинк)
Ga (галлий)
Zr (цирконий)
Nb (ниобий)
Мо (молибден)
Тс (технеций)
Ru (рутений)
Cd (кадмий)
In (индий)
Sn (олово)
тк, к
1,19
0,40
5,30
0,91
1,09
0,56
9,22
0,95
8,2
0,49
0,56
3,407
3,722
"-4
7,92-103
8,00-103
1,05-105
4,24-103
4,08-103
3,76-103
1,56-106
—
—
5,28-103
2,40-103
22,64-103
24,48-103
Элемент
Та (тантал)
Re (рений)
Os (осмий)
Ir (иридий)
Hg — а (ртуть)
Hg-p (ртуть)
Т1 (таллий)
РЬ (свинец)
La—а (лантан)
La—а (лантан)
U —а (уран)
U —7 (уран)
тк, к
4,46
1,70
0,8
0,14
4,153
3,95
3,39
7,19
4,8
5,95
0,6
1,8
6,64-104
1,61-104
5,20-103—
6^6-103
1,60-103
3,29-104
2,72-104
1,30-104
6,42-104
—
1,28-105
1,60-105
—
189

6. ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Свойства
Атомный вес
Плотность при 298 К, —т-
см
Температура плавления, К
Диэлектрическая проницаемость
е' = 8а/е0
Ширина запрещенной зоны
при 0 К, эВ
Дрейфовая подвижность
дырок, см2/(В-с)
Дрейфовая подвижность
дырок, см2/(В-с)
Собственное сопротивление
при 300 К, Ом-см
Теплопроводность, Дж/(м«с«К)
Температура Дебая, К
Удельная теплоемкость
при 298 К, ^г
Г * i\
Удельная теплота
кал
плавления,
г
Германий Ge
72,60
5,33
1313
16
-0,758
3800
1800
47
62,85
362
0,074
8300
Кремний Si
28,08
2,33
1693
12
-1,2
1300
500
3-105
83,8
652
0,181
12095+100
Теллур Те
127,6
6,25
725
23
-0,34
1890
790
Pll Р±
0,307; 0,525
¦ *L= 1.5-S-2
X i
/V _|_
129
0,03—0,05
930
7. МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ АТОМОВ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ
И ИОНОВ В ЩЕЛОЧНО-ГАЛОИДНЫХ СОЕДИНЕНИЯХ
Элемент
Не
Li+
Ne
Na +
ci-
Ar
K+
Br"
Kr
J"
Xe
Cs +
Хнол(СИ),
1О_,о л_
" моль
—0,239
-0,088
-0,905
-0,766
-3,041
-2,438
-1,835
-4,335
-3,518
-6,358
-5,403
-4,461
Хмол(СГС),
ю-6-™!.
u моль
- 1,9
- 0,7
- 7,2
- 6,1
-24,2
-19,4
-14,6
-34,5
-28,0
-50,6
-43,0
-35,1
х(СИ)
-1,067-10"9
-3,928-100
—4,039-10"9
-3,42 -10"9
—1,358-10~8
-1,088- lO"8
— 8,192-10"9
—1,935-10"8
— 1,57 .10"8
-2,838-10"8
-2,41 .10"8
-1,99 .10"8
190

S. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ДЕБАЯ
-ifL 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 1,0000 0,9995 0,9980 0,9955 0,9920 0,9876 0,9822 0,9759 0,9687 0,9609
1 0,9517 0,9420 0,9315 0,9203 0,9085 0,8960 0,8828 0,8692 0,8550 0,8404
2 0,8254 0,8100 0,7943 0,7784 0,7622 0,7459 0,7294 0,7128 0,6961 0,6794
3 0,6628 0,6461 0,6296 0,6132 0,5968 0,5807 0,5647 0,5490 0,5334 0,5181
4 0,5031 0,4883 0,4738 0,4595 0,4456 0,4320 0,4187 0,4057 0,3930 0,3807
5 0,3686 0,3569 0,3455 0,3345 0,3237 0,3133 0,3031 0,2933 0,2838 0,2745
6 0,2656 0,2569 0,2486 0,2405 0,2326 0,2251 0,2177 0,2107 0,2038 0,1972
7 0,1909 0,1847 0,1788 0,1730 0,1675 0,1622 0,1570 0,1521 0,1473 0,1426
8 0,1382 0,1339 0,1297 0,1257 0,1219 0,1182 0,1146 0,1111 0,1078 0,1046
9 0,1015 0,0985 0,0956 0,0958 0,0901 0,0875 0,0850 0,0826 0,0803 0,0780
10 0,0758 0,0737 0,0717 0,0697 0,0678 0,0660 0,0642 0,0625 0,0609 0,0593
И 0,0577 0,0562 0,0548 0,0534 0,0520 0,0507 0,0495 0,0482 .0,0470 0,0459
12 0,0448 0,0437 0,0427 0,0416 0,0407 0,0397 0,0388 0,0379 0,0370 0,0362
13 0,0353 0,0346 0,0338 0,0330 0,0323 0,0316 0,0309 0,0302 0,0296 0,0290
14 0,0284 0,0278 0,0272 0,0266 0,0261 0,0255 0,0250 0,0245 0,0240 0,0235
15 0,0231 0,0226 0,0222 0,0217 0,0213 0,0209 0,0205 0,0201 0,0197 0,0194
16 0,0190 0,0187 0,0183 0,0180 0,0177 0,0173 0,0170 0,0167 0,0164 0,0161
17 0,0159
18 0,0134
19 0,0114
20 0,0097 ? ( Тп \ -- по ( Т \ з Гд
21 0,0084 /д \-f-J = 77>93 VttJ ПРИ -t > 24
22 0,0073 д
23 0,0064
24 0,0056
191

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
§ 1. Типы связей атомов в твердых телах и геометрия
кристаллической решетки 4
§ 2. Зонная теория твердых тел 13
§ 3. Динамика кристаллической решетки 20
§ 4. Электронная теория металлов 26
§ 5. Полупроводники 32
§ 6. Поляризация и дисперсия 42
§ 7. Магнитные свойства вещества 49
§ 8. Сверхпроводимость 57
§ 9. Плазменное состояние вещества 64
Ответы и решения 68
Учебное издание
Серова Феоктиста Григорьевна
Янкина Анастасия Александровна
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Электронная теория вещества
Зав. редакцией Я. В. Хрусталь
Редактор Т. П. Каткова
Младший редактор О. В. Агапова
Художественный редактор В. М. Прокофьев
Технический редактор С. С. Якушкина
Корректор Л. С. Вайтман
ИБ № 9163
Сдано в набор 23.01.86. Подписано к печати 18.12.87.
Бум. офс. № 2. Гарнитура тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,0. Усл.
кр.-отт. 12,19. Уч.-изд. л. 9,98. Тираж 15000 экз. Заказ № 295.
Цена 50 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Госу-
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с диапозитивов ордена Трудового Красного Знамени
ПО «Детская книга» Государственного комитета РСФСР по де-
делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 127018,
Москва, Сущевский вал, 49 на Саратовском ордена Трудового
Красного Знамени полиграфкомбинате Росглавполиграфпрома
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, поли-
полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышев-
Чернышевского, 59.