Author: Овчинкина В.А.
Tags: физика сборник задач по физике учебное пособие пособие для вузов
ISBN: 978-5-89155-I86-2
Year: 2006
Text
ББК 22.3
С35
УДК 53(075.8)
В. А. ОВЧИНКИН. А. О. РАЕВСКИЙ. Ю М. ШШ.ЕНЮК
Сборник задач до общему курсу физики: У чебн пособие: Для вузов. В
трех частях. Ч. 3. Атомная и ядерндя физика. Строение вещества / Под ред.
В. А. Овчиыкиыа. — М.: Издательство «Фнзмагкнига». 2006 — 512 с
ISBN 978-5-39L55-IS6-2
Третья часть сборника включает в себя 1235 задач, в основном по квантовой физике
атомов и молекул. ядерной физике, физике элементарных часпщ. физике излучения,
физике твердого тела и нязкоразмерных систем. Все задачи. авторами ко горых являются
преподаватели кафедры общей физики МФТИ, предлагались студентам МФТИ на пись-
менных экзаменах и олимпиадах. Свыше 20% задач снабжены подробными решениями,
так что задачник в какой-то мере является одновременно и учебником. Книга содержит
также большую подборку разнообразных (в том чисче комплексных) задач, предлагав-
шихся студентам на заключительном (Государственном) экзамене по обшей физике В
конце книги помешен традиционный справочный материал, а также некоторые теорети-
ческие приложения. В целом Сборник представляет собой уникальное издание, нс имею-
щее аналогов в мировой практике.
Для студентов физических специальностей вузов, а также преподавателей высшей и
средней школ.
Издание осуществлено на средства выпускников МФТИ: А Н. Жукова. А. А. Исаева.
О. А. Исаевой. А. И. Квасникова. В. П. Косицына. С. К. Косицыной. В. II. Красникова.
М. Б. Кузнецова. В. В. Максименко.
© Овчинкин В. А., 2001, 2009
© «Физматкнига». 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
От состоятелен .......
.................................... б
Задачи Ответы
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
< I. Фотоны. Фотоэффект Эффект Комптона..................... Ю э00
§ — Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей... 16 ?ю
§ 3. Уравнение Шредингера. Квантование.
Потенциальные барьеры.................................... 25 223
§4. Атом водорода и водородоподобные атомы ............... 35 23S
§ 5. Ширина линий. Спектры молекул.
Рентгеновское азлучение................................... 41 249
§ б. Спин. Атом в магнитном поле. Эффект Зеемана
Магнитный резонанс ....................................... 48 259
§ 7. Ядерные модели. Радиоактивность. Эффект Мессбауэра ... 59 279
§ 8. Нейтроны. Ядерные реакции........................... 69 295
§9. Деление ядер. Реакторы. Термоядерный синтез ......... 81 310
§ 10. Элементарные частили. Резонансы. Лептоны и кварки.
Реакции, пра высоких энергиях ............................ 89 321
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА
с г гт ЮЗ 339
§ I. Излучение ......................................
§2 . Кристаллическая решетка. Фононы. Теплоемкость.
Теплопроводность .........- -.......................
§3 . Электроны в металлах. Ферми-частипы................. ^5 387
§ 4. Электроны в полупроводниках и низкоразмерных
системах ........................-................. -
сг ......... 150 442
адачи
атомная и ядерная физика
§ 1. фотоны, фотоэффект. Эффект Комптона
1 1 Найта импульс фотона видимого света (А = 500 нм). Срав-
нить его с импульсом молекулы водорода при комнатной температуре.
1.2. При какой длине волны импульс фотона равен импульсу
молекулы водорода при комнатной температуре?
1.3. Излучение гелий-неонового лазера мощностью 17 = 1 мВт
сосредоточено в пучке диаметром d = 0,5 см. Длина волны X =
= 0,63 мкм. Определить плотность потока j фотонов в пучке.
1.^ Согласно общей теории относительности (ОТО) энергия лю-
бого объекта в статическом гравитационном поле <£ =
= £0(1 + 29/с2)-ш, где £0 —энергия объекта в «пустом» (т. е. сво-
бодном от гравитационных полей) пространстве, а 9 — гравитацион-
ный потенциал в точке нахождения объекта. Показать на основе этого
соотношения, что разница энергий Д<£ — £2 — <£[ между двумя состо-
яниями объекта, расположенного на поверхности Земли и на высоте
Н от нее, оказывается эквивалентной разнице «гравитационных энер-
гий» излученного объектом у-кванта с энергией и массой
т7 = <§7/с2, как это-было показано в опытах Паунда и Ребки с по-
мощью эффекта Мессбауэра.
1.5. Как следует из общей теории относительности (ОТО), ста-
тическое гравитационное поле по отношению к своему воздействию
на электромагнитные волны эквивалентно неоднородной среде с по-
казателем преломления п = (1 4- 2<р/с2')~1, где 9 — гравитационный
потенциал. Используя эту аналогию, найти угол отклонения 6 луча
света при прохождении его вблизи края Солнца. Масса Солнца
М= 1,99 • 1033 г, радиус его фотосферы R = 696 000 км.
1.6. Исходя из классического закона преломления света, пока-
зать, что при прохождении плоской границы двух прозрачных сред
сохраняется тангенциальная компонента импульса фотонов.
1.7. ^Электромагнитная волна с круговой частотой w =
— 10 с промоду лирована по амплитуде синусоидой с круговой
частотой Q —2-10^с \ Найти энергию фотоэлектронов, выбива-
??ЦХ.,ЭТ°“ В<>ЛН°Й ИЗ атомов водорода с энергией ионизации
®и “ 1о,Э эВ.
Найти напРяжение V на рентгеновской трубке, если извест-
0 0206 н^ИЗЛ-' чаемом ею сплошном спектре нет длин волн, меньших-
10 :
1 .*>• Шарик электроскопа облучается
поискам излучением. Ласточки электаоскпп.°Х₽О,,ОТ"ческ11м Ре“тге-
когда потенциал чирика равен 8 кВ OnueJ™Ррестают Раздаться,
дакмаето ас,лучения. определить длину волны к па.
1.10. В центре посеребренного нзнчтш,
баллона шаровой формы помечен маленький штпТ^ стекляи.яого
колем. Шарик освещается спетом от ртутной лте™ ’ покры™" »“•
X— 230.2 им. Между внутренней no₽nep™Sc™o сФоТчТ ""
приложена задерживающая разность т-ентп,» то. шариком
при увеличении этой разности до ц = о 75 В ни отп^Т’’00’’ что
роиов не понадает „а посеребренную ХностТ ф pTSX
„ая разность потенциалов между никелем и серебром
р„= I В. Вычислить максимальную скорость фотоэлеЙшнов
l.tt. Уединенный цинковый шарик облучается ультрафиолете
вым светом с длиной волны X = 250 нм. До какого максимального
пэтепй'ШДП зарядится шарик? Работа выхода электрона для цинка
1.12. При каких длинах волн X облучающего света шарик в
условиях предыдущем задачи заряжаться не будет?
1.13. Цинковый электрод вакуумного фотоэлемента освещается
монохроматическим светом с длиной волны Х = 250 нм. При нало-
жении задерживающей разности потенциалов фототок уменьшается
и обращается в нуль, когда она достигает значения У = 2 В. Опре-
делить внешнюю контактную разность потенциалов Ук между цин-
ком и материалом, из которого изготовлен другой электрод фотоэле-
мента. Работа выхода электрона из цинка А = 3,74 эВ.
1.14. Вакуумный фотоэлемент имеет в режиме насыщения чув-
ствительность к свету А = 0,12 A/Вт. Какова относительная флук-
туация а числа электронов, выбиваемых при падении на фотоэле-
мент светового потока мощно-
стью 1И = 1,3-10“и Вт? Время
регистрации равно t = Ю"3 с.
1.15! К фотокатоду фото-
электронного умножителя при-
жат сцинтиллятор (рис. 1).
При пролете через сцинтилля-
тор релятивистского электрона
молекулы сцинтиллятора воз-
буждаются, а затем испускают сцинтиллятор ' -
фотоны, переходя в основные • '
состояния. В свою очередь фо- рис> .. <
тоны, попадая на тонкий ><;, дг i ...
(МО"5 см) фотокатод, выбивают из него фотоэлекдаш. 9^нить,.
во сколько раз увеличится поток электронов .из
хой оптический контакт между фотоэлектронны-.У- ’
сцинтиллятором заменить на масляной .конт . . 5'
ломления сцинтиллятора, стекла, колбы ц .м* f, j
Л» 2 см, D= 16 см.
Фотокатод
11'
1
i I ff Показать, нто свободный электрон в вакууме не может ни
поглощать, ни излупить фотоны, а лишь рассеивать ни,
поглощи.ь м'1нималь!1У1О длительность импульса фототока
можно полупить в вакуумном фотоэлементе, между анодом и катодом
КОТОРОГО приложено напряжение в несколько сотен вольт, при осле-
щении фотокатода короткими ( < Ю с) импульсами света с длиной
волны Х = 500 нм- Красная граница материала фотокатода
_ 1QQQ нм, напряженность поля между диодом и фотокатодом
Е = 300 В/см,
1 18 По классической электромпгпитпои теории слета поток све-
товой энергии от источника непрерывно распространяется во все сто-
роны Через какой промежуток времени, согласно этой теории, от-
дельный атом танталового катода может накопить столько энергии,
чтобы стал возможен вылет фотоэлектрона, если катод находится на
расстоянии L = 10 м от 25-вдттиой лампочки? Работа выхода элект-
рона для тантала составляет /1 = 4 эВ, Считать, что фотоэлектрону
передается вся энергия, накапливающаяся в атоме тантала, диаметр
которого можно считать равным (I = 0,3 нм.
1.19! Исходя из представления о фотонах как о квантах света,
вывести формулу для эффекта Доплера в предположении, что ис-
точник света движется с нерелятивистской скоростью.
1.20! То же, но для источника, движущегося с релятивистской
скоростью.
1.21! В предыдущей задаче выяс-
нить характер зависимости частоты v от
угла между направлением скорости ис-
точника и направлением импульса ис-
пущенного фотона при р = и/с-*1.
Оценить угол 0, начиная с которого из-
лучаемая частота мала по сравнению с
частотой, излучаемой под углом 0 = 0°,
1.22. На рис. 2 изображены результаты, полученные Комптоном
при исследовании рассеяния рентгеновских лучей в графите. На-
блюдения велись под углом 0 = 135° к направлению падающего пуч-
ка. Определить длину волны Хо падающего излучения.
1.23. Фотон рентгеновского излучения с длиной волны 1 в ре-
зультате комптоновского рассеяния на неподвижном свободном
электроне отклонился от первоначального направления на угол 0-
Определить кинетическую ррергищ Те и импульс ре электрона от-
дачи, Дать численный ответ для Х = 0,02 нм и 0 = 90°.
1.24. В предыдущей задаче определить угол ‘р между направлени-
ем первичного фотона и направлением движения электрона отдачи.
1.25, Определить изменение длины волны при эффекте Компто-
на, если наблюдение ведется перпендикулярно к направлению пер-
вичнргр пучка излучения,
Ь26, В результате комптоновского рассеяния фотона на покоя-
щемся электроне последний получил импульс отдачи р. Определить,
в
jUL
Iq Aj-2X.q
Рис. 2
12
ю« какими углами ио отношению к направлению „
„а МОГ вылететь электрон с таким импкль™ падающего фото-
1.27. В результате комптоновского рассеяния И.
щемся электроне последний вылетел под умом ' а на ПОКМ-
пию падающего фотона. Какую максимальную ° К направле-
гиго Т может приобрести электрон отдачи вэто^ ё < 5Кую эвер"
1.28. в результате комптоновского рассеял? ж У С'
щемся электроне последний приобрел кинетическуюэТерги^Т"
иую его удвоенной энергии покоя. Под каким углом Р ’ рав-
„шо к направлению падающего фотона Мог вылйеть адмть ?“е'
1.29. Фотон (Ло = 662 „„) рассеивается на электроне Чтящем
перпендикулярно на,травлению движения фотона. Найти таТаХ?
„мпульс электрона /щ, если длина волпы Хо при рассеяниХ из™
няется. Угол рассеяния 0 = 60, адме-
1.30. Фотон с энергией S., = 2щес2 при рассеянии па покоящем-
ся электроне теряет половину своей энергии (ще _ масса элект-
рона). Найти угол разлета а между рассеянным фотоном и элек-
троном отдачи.
1.31. Фотон рассеивается на покоящемся протоне. Энергия рас-
сеянного фотона равна кинетической энергии протона отдачи, а
угол разлета между рассеянным фотоном и протоном Отдачи равен
90°. Найти энергию ёу падающего фотона,
1.32. С какой скоростью и должен двигаться электрон, чтобы ле-
тящий ему навстречу фотон с длиной волны X = 0,0024 нм не изме-
нил свою энергию при 180°-рассеянии?
1*33. Оптический фотон с энергией Aiw0 рассеивается назад на
электроне, движущемся ему навстречу с полной энергией<§ и импуль-
сом р. Какова энергия рассеянного фотона? Рассмотреть два предёлв-
ч 4> + pc 2/lcu0 (S + рс 2йси0 ,
ных случая: а)---*——5->*1: б)------?-—
nur нит тс1 те1
1.34. Определить энергию фотона hv', рассеянного назад покоя-
щимся электроном. Какова эта энергия, если энергия падающего фо-
тона hv удовлетворяет условию /i-v>*mec2 (me — масса электрона)?
1.35. Фотон от рубинового лазера (X = 0s6943 мкм) испытывает
лобовое соударение с электроном, имеющим кинетическую энергию
Т = 500 МэВ. Оценить энергию фотона, образующегося в резуль-
тате «обратного комптон-эффекта» (т. е.- при 180°-рассеянии фотона
на движущемся электроне). См. также задачу 4.51 этого раздела!
1.36. Определить длину волны X рентгеновского излучений для
которого комптоновское рассеяние на электроне на угол 90 удваи-
вает длину волны. ' . л, . . ...г
L37. При движении быстрой Заряженной частицы в обдаетепро-
странства, заполненной изотропным электромагнитным иалЯеййа*
(например, светом Солнца и звезд), ШтЖНт^рйёТ^ергаювр у
тате взаимодействия с этим излучением.- Считая чайййу у ,Р ,Р .
тистской (энергия <§о»щс2), а её сбуд» с
выми,- найти изменение энергии частицы и эн р
42
тона отдачи ha. Энергию фотонов (до соударения) считать малой
по сравнению с ha. Чему равна энергия ha, если движущейся части-
цей является электрон с энергией = 2,5 -10 эВ и Аш0 - I эВ?
1 38. Электрон с энергией <£0»щс рассеивается на фотоне с
энергией ha„«mc2. При каком условии энергия этого фотона в
системе отсчета, в которой электрон покоится, удовлетворяет усло-
вию ha«mc2'l
1.39* При прохождении '/-квантов через вещество образуются
две группы быстрых электронов: одна в результате фотоэффекта, а
другая — комптоновского рассеяния. Каково должно быть энергети-
ческое разрешение регистрирующей аппаратуры, чтобы отличать
фотоэлектроны от комптоновских электронов с максимальной энер-
гией? Энергия у-квантов известна: = 5 МэВ.
1.40! Фотоны с длиной волны Л = 1,4 А испытывают комптонов-
скоерассеяние на угол <р = 60° к первоначальному направлению. Фо-
тоны попадают в рентгеновский спектрограф, работающий по методу
интерференционного отражения Брэгга—Вульфа. При какой мини-
мальной толщине D кристаллической пластинки спектрографа можно
обнаружить изменение длины волны рассеянного излучения (компто-
новское смещение) в первом порядке, если постоянная кристалличе-
ской решетки d = I А?
1.41. В рентгеновском спектрографе, работающем по методу ин-
терференционного отражения Брэгга—Вульфа, применяется кристал-
лическая пластинка толщиной D. При какой минимальной толщине
этой пластинки можно обнаружить комптоновское смешение при рас-
сеянии фотонов под углом 0 = 90° к первоначальному направлению
их движения? Длина волны исходного рентгеновского излучения
Х = 0,07 нм. Рассеянное излучение падает на кристалл спектрографа
под углом скольжения <р = 30°.
1.42! Показать, что в вакууме рождение пары е+е" '/-квантом
невозможно.
1.43. При взаимодействии с веществом высокоэнергетичный фо-
тон (<£ > 2тес2, где тс — масса электрона) может родить электрон-
позитронную пару. Показать, что этот процесс невозможен для фото-
на, испытавшего рассеяние строго назад (на угол 180°) при комптон-
эффекте на неподвижном электроне.
1.44. Найти максимальный угол 0П1ах рассеяния '/-квантов при
комптон-эффекте на неподвижных электронах, вне которого рассе-
янный квант не может родить электрон-позитронную пару при по-
следующем взаимодействии с веществом. Рождение электрон-позит-
ронной пары возможно, если энергия '/-кванта превышает 2тсс2
(те — масса электрона).
1.45. При трехфотонной аннигиляции ортопозитрония оказалось,
7° *отонов имеет энергию £, = (1/2)<?0, а другой -
®2- (2/Д)б0 (40 — энергия покоя электрона). Найти углы 012, 013,
14
es между направлениями вылета фотонов. Считать
НИЙ покоился. ’что ортопозитро-
у казан не. Ортопозитроний представляет собой атомж™
тему, состоящую из электрона и позитрона спины ™™ У сис‘
лены в одну сторону. и спины вторых направ-
1.46. При трехфотонной аннигиляции оотопо™т„„
ЛОСь, что углы между направлениями выдета₽ фотонов Ши
0,.= ЮО. Найти энергию фотонов. Считать, что J
вначале покоился. г хрипни
Указ а н и е. См. указание к предыдущей задаче
1.47* Показать, что представление о фотонах позволяет полу-
чить формулу для продольного Доплер-эффекта из преобразования
Лоренца для^энергпп. н
1.48. Возоужденное ядро с энергией возбуждения = 1 МэВ с
д = 100 движется с кинетической энергией Т = 100 эВ и испускает
гамма-квант. Под кашш углом к направлению движения ядра сдвиг
у-кванта по энергии будет равен нулю?
1.49. Рассматривая процесс рождения фотона с энергией йсо при
прохождении в веществе с показателем преломления и релятивист-
ской частицы массой m со скоростью v (эффект Вавилова-Черенко-
ва), показать, что обычно приводимое условие возможности этого
процесса г > Гф = с/п справедливо только при определенном огра-
ничении на отношение Л/Х (Л — комптоновская длина волны час-
тицы, X — длина волны фотона). Найти явное выражение этого
ограничения в зависимости от релятивистского фактора у и п.
1.50. По современным представлениям в спектре солнечных ней-
трино должна существовать достаточно интенсивная монохроматиче-
ская линия с энергией <SV = 0,86 МэВ, что обусловлено идущей на
Солнце реакцией 7Ве + e~-»7U + ve. Для регистрации этих нейтри-
но был создан детектор BOREXINO с жидким сцинтилятором, в кото-
ром регистрируются электроны по реакции рассеяния (v, е"). Какова
максимальная кинетическая энергия регистрируемых электронов?
1.51! Гамма-кванты с энергией £ = 661 кэВ от источника
137Cs рассеиваются в воде. Каково должно быть относительное
энергетическое разрешение Д£/£ гамма-спектрометра, чтобы мож
но было по 90э-рассеянию гамма-квантов обнаружить примесь тя-
желой воды D2O?
1.52Т Б системе глобального позиционирования (GPS) иотшь-
зуегся высокоточный цезиевый генератор, У0™™ пг,охо^лении
нике. Определить высоту полета спутника, если р Ii
над приемником на Земле регистрируемая частота ^6 Й
нотой генератора. Учесть, что энергии квантовых даеи да
системы зависят от гравитационного потевди также- задачу
вия системы. Вращение Земли не учитывать!- (См.' также, зад у
1.4 в этом разделе.) , - .л
1-5
§ 2. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей
2 1 При каких кинетических энергиях электрона и протона нх
длины'волн де Бройля близки к размеру протона / ад 0,8 10~'Зсм
2 2 Определить кинетическую энергию Т электрона, при которой
его дебройлевская и комптоновская длины волн раш,'>| «е1ВДу собой.
2 3 Протон с дебройлевской длиной волны А — U,UU] нм упруго
рассеялся под углом лД на первоначально покоившейся а-часгице.
Определить дебройлевскую длину волны Л рассеянного протона.
2.4 ! В опытах по распространению радиоволн с длиной волны
А = 300 м было установлено, что скорость и их распространения в
вакууме совпадает со скоростью света с с точностью до 0,05%. Оце-
нить на основе этих результатов верхнюю границу массы фотона.
2.5 . В опытах при измерении расстояния между Землей и Луной
(L = 3,8-105км) локацией ее поверхности оказалось, что результаты
в оптическом и радиодиапазоне (А! = 20 см) не совпадают. Отличие
в результатах измерений объяснялось попаданием излучения в раз-
ные точки лунной поверхности, которые могли отличаться по высоте
на Д£ = ± 100 м. С другой стороны, этот результат можно интерпре-
тировать как результат отражения фотона с ненулевой массой от ров-
ной поверхности. Принимая это, оцепить возможную верхнюю гра-
ницу массы фотона ту (в эВ).
2.6. Найти выражение для показателя преломления п электрон-
ных волн через работу выхода A0 = eV0 (Ио — внутренний потен-
циал кристалла).
2.7 . Показать, что при преломлении электронной волны соблю-
дается закон преломления sin <p/sin «рг = и.
Указание. При проникновении в кристалл меняется лишь нор-
мальная компонента скорости электрона.
2.8 . Как нужно изменить формулу Брэгга—Вульфа, чтобы учесть
преломление волн на поверхности кристалла? Считать, что отражаю-
щая плоскость параллельна поверхности кристалла.
2.9 . Пучок электронов, ускоренный разностью
потенциалов У = 150 В, падает на поверхность се-
ребра, внутренний потенциал которого VQ = 15 В.
Найти показатель преломления электронных волн
в серебре.
2.10 ! Электроны с кинетической энергией
Г =100 эВ падают под углом 9 = 30° к нормали
на систему, состоящую из двух параллельных се-
v _ о,: р ток> междУ которыми создана разность потенциа-
лов и1 — 36^В (рис. 3). Полагая, что потенциал нижней сетки выше,
чем верхней, найти относительный показатель преломления п сред,
™ТПАЛ°т/енНЫХ ™ обе СТОР°ИЫ от сеток. При какой разности потен-
2 И рПР°изоидет палное отражение электронов от второй сетки?
гтяппИиАг./Ч0К электР°нов падает перпендикулярно на поликри-
ую пластинку п из хлористого натрия, постоянная ре-
Рис. 3
16
Рис, 4
щетки которого а — 0,56 нм. В результате бпаг
пучка на фотопластинке Ф, расположенной на па^™™ »“««
От пластинки П, возникают концентрическиеи Д = 25 ™
ц» (рис, 4). Определить энергию электро™ ®Фракционные доль-
ного кольца равен Я = 0,5 см. р ’ зная' ™ радиус пер
2.12Г На рис. 5 приведена кривая полу
ченная в опытах Дэвиссона п Джермера по
рассеянию электронов от монокристалла ни-
келя, падающих под углом скольжения 80а
Па оси абсцисс отложено значение /7 где
F - энергия электронов в вольтах, по оси
ординат — относительная интенсивность рас-
сеянных электронов. При больших порядках
' 7 порядках отражения т махги
мумы эквидистантны (расстояние между ними ЗОбтт
«алых эта закономерность, показанная стрелками, нар™»™
Оценить немонохроматичность используемых электронов в nSa
«ль преломления никеля для волны де Бройля электронов coot"
ветствующих 3-му, 4-му и 5-му максимумам, которые наб™дХ
ся при VI , равном соответственно 8,16, 11,42 и 14 68 В1/2 Н™
межплоскостное расстояние d никеля. ’ ’ ' аити
8.16 11,42 14.68
Рис. 5
>
2.13. Параллельный пучок моноэнергетическпх нерелятавист-
ских нейтронов, движущихся со скоростью v, падает на плоскую по-
верхность кристалла под углом скольжения 90 и испытывает на ней
брэгговское отражение /t-го порядка. Кристалл приводят в движение
с постоянной скоростью и в направлении нормали к отражающей пло-
скости (рис. 6). Под каким углом 9 к отражающей плоскости надо на-
править пучок таких же нейтронов, чтобы наблюдалось брэгговское
отражение их от движущегося кристалла в прежнем порядке п? При
какой скорости и такое отражение возможно?
2.14. При пропускании пучка нейтронов от
ядерного реактора через блок поликристалли-
ческого графита все нейтроны с длинами волн [
де Бройля короче А = 0,67 нм испытывают ин-
терференционное отражение Брэгга—Вульфа.
Проходят через блок только медленные, так _
называемые холодные нейтрОВДЮ Определить
, ‘‘.Могкоаскнй
физ»»!) технический институт
(госчдбрственныг* унлаеропетГ
н
17
Рис. 7
максима'ihiivio тяи.ерзгуру, соотаегет ющую lummm коротки» во.,,
нам де Бройли нейтронов, пропинаемым графтом, а также вы.„1с,
чнть постоянную d решетки графиы.
2.15* Чтооы нолачигь пучок нейтронов,
обладающих заданной анергией tb = 1 эВ, |)с_
пользуют брэгговское отражение первого по-
рядка от кристалла Lib', для которого рассто-
яние между плоскостями кристаллической
решетки </ — 2,32 А (.рис. 7L 11а кристалл на-
дает пучок нейтронов с различными энерги-
ями. Оценить разброс ней тронов ио энергиям
Д& в отраженном пучке, если угловая шири-
на этого пучка Лер = 0,1°. Какую толщину кристалла D следует вы-
бирать в этом эксперименте? Кристалл вырезан так, что отражающие
плоскости параллельны поверхности кристалла.
2.16! На рис. 8 представлены результаты опыта Штерна и Эстер-
мана (1930 г.) по дифракции молекул водорода на кристаллических
плоскостях решетки хлористого лития, отстоящих друг от друга на
расстояние d = 1,65 А. В опыте исполь-
зовались молекулы, которые вылетали
из окошка печи и, пройдя отверстие
коллиматора, падали узким пучком на
поверхность кристалла под углом сколь-
жения 0 к рассеивающей плоскости кри-
сталла. Определить, пользуясь рис. 8,
температуру Т печи, считая распределе-
ние молекул по скоростям в пучке мак-
свелловским.
2.17. В одном из способов монохро-
матмзацип медленных нейтронов при-
меняются два диска из кадмия (кадмий практически не пропускает
медленные нейтроны), насаженные на общую ось (рис. 9). На пери-
ферии дисков на одинаковых расстояниях R от оси сделаны два малых
круглых отверстия диаметром а. Отверстия повернуты относительно
друг друга на угол ф вокруг осн прибора, и в этом положении диски
хорошо закреплены на оси. Диски равномерно вращаются вокруг той
же оси с угловой скоростью Q. Определить длину волны де Бройля X,
а также степень монохроматичности нейтронов, пропускаемых таким
Рис. 9
18
мопохромиторрм, если расстояш.е между д„С1!;1ми
сти чнеленпып расчет для I = 1 м,R = 10 см о J I '10 <• Произве-
,, = 5мм. "“.«-ЗООрад/с, ф = 4°)
2.18. Один из способов моиохроматизации медленна „ -
состоит и следующем: в цилиндре радиусом А 10 см и Р°“™
1,0 м делается винтовой паз шириной 6 = 1см с „„„„ дллнои
угол ,р = 30" (рис. 10). Цилиндр вращаетея с Р°Т0М“?
U 3000 Об/мин. Определить длину волны X нейтронов, пропуХ*
„Ь1Х таким монохроматором, „ оценить степень их мокох^маХциц
ДХ/Х. Пучок центровоз направлен вдоль оси цилиндра. Оценитьon
„„альную ширппу паза, при которой достигается максимальная мш
цохроматичность пучка.
2.19. Нейтроны со скоростью а0 = 5'105 см/с падают на брэггов-
ский интерферометр, состоящий из трех тонких монокристалличе-
ских пластинок, вырезанных перпендикулярно главным кристалли-
ческим плоскостям. На каждой из пластинок волна де Бройля раз-
деляется на прошедшую и отраженную (рис. 11). Результат
интерференции фиксируется счетчиком нейтронов С, скорость счета
которого зависит от разности фаз в плечах интерферометра. В од-
ном из плеч с помощью электродов (не показанных на рис. 11) на
участке длиной / = 1 см создается электрическое поле с разностью
потенциалов V = 300 В. Если бы у нейтрона был электрический за-
ряд, то включение поля изменило бы скорость счета счетчика С.
Найти, какой предельный заряд q нейтрона может быть обнаружен
в таком опыте, если чувствительность интерферометра к сдвигу фаз
составляет Дф = 0,1 рад.
Рис. 10
Рис. И
2.20! Нейтроны со скоростью Ug = 5-105 см/с падают на брэггов-
ский интерферометр, описанный в задаче 2.19. В одном из плеч ин-
терферометра с помощью электродов (не показанных на рис. 11) на
участке длиной / = 1 см создается электрическое поле
£ = 3 • 104 В/см. Если бы у нейтрона был электрический дипольный
момент d, то включение поля повлияло бы на скорость счета счег-
чика. Найти, какая предельная величина d может быть обнаРУ д_
в таком опыте, если поле Е параллельно предполагаемому Р к
леиию дипольного момента, а чувствительность интерф р Р
сдвигу фаз Аф составляет 0,1 рад. ' и
2.21! Коллимированный пучок электронов с кине™ - го
гией Г « 1,65 кэВ пропускается через резонатор лазера, рабо Щ
19
ся брэгговское рассеяние o.'iei
, .. .J. J. ....... >1 IIITII
пня электронов.
2 22* Исходя из требования, чтооы групповая скорость и волн де
Бро»\» павштс!, скорости движеиш. о частицы, и иользувсь форму,
пой Ровен связывающей фазовую и групповую скорости, определить
фазовую скорость к‘ этих води, а также пшгги связь между энергией
частицы и частотой v.
2 23* Движение электрона описывается плоской монохроматиче-
ской’волной де Бройля. Электрон в таком состоянии обладает впол-
не определенным импульсом, но его координат совершенно не
определена. Для определения л'-координагы электрона на пути вол-
ны перпендикулярно к направлению ее распространения ставится
непрозрачнынэкран со щелью. Пусть координатная плоскость Л’У
расположена в плоскости экрана, причем ось А’ направлена перпен-
дикулярно к щели. Показать, что в результате дифракции на щели
возникает состояние электрона, в котором неопределенности коор-
динаты электрона .v и импульса удовлетворяют соотношению
Гейзенберга.
2.24! В мысленном опыте Гейзенберга положение электрона
определяется с помощью микроскопа при освещении электрона све-
том. Показать, что при таком методе измерения координата .у и им-
пульс рх электрона не могут быть определены более точно, чем тре-
бует соотношение неопределенностей Гейзенберга.
2.25! Скорость макроскопического тела измеряется по доплеров-
скому изменению частоты световой волны при отражении от этого
тела (зеркала). Показать, что соответствующие неточности измере-
ний импульса и положения тела удовлетворяют соотношению неоп-
ределенностей Гейзенберга.
2.26. Какова должна быть кинетическая энергия Т электронов
(протонов) для исследования распределения заряда и ядерной ма-
терии внутри ядра с точностью /" 1 фм (10_|3см), и структур с
линейными размерами /~10"4фм, что соответствует радиусу сла-
бого взаимодействия?
2.27. Из ускорителя через щель выводится короткий сгусток про-
тонов с энергией 6 = 100 кэВ. Оценить минимально достижимую ши-
рину пучка протонов на расстоянии L= 100 м от выходной щели.
2.28. Пучок протонов из ускорителя выводится через отверстие
диаметром, с/. Используя соотношение неопределенностей, найти ми-
нимальный размер пучка на экране, расположенном на расстоянии
L — I м от отверстия, если радиус орбиты в ускорителе г = 10 см, а
величина магнитного поля в момент вывода В = 300 Гс.
2.29. Оценить минимальный диаметр d пятна, создаваемого на
экране пучком электронов, если время пролета от коллиматора до
экрана равно Ю-8 с.
20
J.30. Оцудшч. MiimiMivibHO достижимый
|W MOW»' CO.CUU'H но детин тори НТЧИ\ЧЫ;1ТОМО!.?'3> 1цатаа' «'То-
чит 1ЮЧЫО с гсмщ'рнr.vpoii Г»йт4К,и’*л*’!™»’
«цд» почн до деток vol» рд1ВД0 t= I м Рас»»? ™''w6 m' в“х°3ной
;w нт H0.HHW4
очоннть PMWC -V денег»»» адернио w, теди ц Хнергад
подо» ннонон «у- - НО М;>в. "
Оценить мистическую оперт»» g Строна, локализован-
ною' » оюта-тн пространства, радиус которою Ю-'см (атом! и
,• " ЦЦ1“СМ V1 ГОМНОО ЯДро).
2.53- Оценить, при какой напряженности Е электрического поля
лазерное ихIV нения может произойти пробой вакуума, т.е. разрыв
внргултъных элекгрон-познтронных пар. См. также задачу 6.260 из
второй части задачника.
2.34. Определить теоретическое минимально разрешимое рассто-
яние d электронным микроскопом при ускоряющем напряжении
р = ЦК) кВ и числовой апертуре /I = 0,1.
2.35- Мезоатомы водорода (связанные состояния протона и мю-
она) исследуются с помощью электронного микроскопа с ускоряю-
щим напряжением I’ == 3 МВ. При какой числовой апертуре мик-
роскопа можно определить размер мезоатома? Энергия покоя элек-
трона =0,511 МэВ, масса мюона ^^200?пе.
2.36- В новых сверхпроводящих материалах расстояние $ между
соседними атомами около 4 А. Определить, какую апертуру должен
иметь электронный микроскоп с ускоряющим напряжением
Y = 50 кВ, чтобы можно было получить, изображение кристалличе-
ской решетки этих материалов,
2.37. У оптического микроскопа угловая апертура порядка 1, а у
электронного она равна 10"‘К При каком напряжении, ускоряющем
электроны, разрешающая сила этих приборов, оу дет одинакова.
2.38. Электрон притягивается к поверхности жидкого гедия
электростатическими силами изображения^ потенциальная энергия
которых, как известно, равна
где х - кратчайшее^—
Г«е °иРемя
«икнуть внутрь гелия из-за ^“д^тому MQW. WWW"
цатадьаое сродство “нергич wwAwaw
что иа поверхности (х - 0) * потеШ1ИМьной аде
бесконечный скачок и электрон окдзы^ч
^1
121 Пользую, ЭТОЙ моделью и еоотодоюпиом пеоирвдщ,е1).
иостей, оценить по порядку пелипипь. среднее рлсстопиис х ме|!.
тпоиа от поверхности гели» в основном состоянии и энергию спад
<£ электрона вблизи поверхности гелия.
с 2.391 Оценит!, энергию основного
состояния частицы массой hi и харак*
тарный размер области локализации
частииы в потенциальном коле, равном
, И -<<о,
,/(х) ~ [кх, х>0.
Сравнить с задачами 3.5 и 3.6.
2.40! Электрон движется со ско-
ростью v в плоскопараллельном слое
вещества толщиной d с показателем
Рис. 13
преломления л перпендикулярно к ограничивающим плоскостям.
Скорость электрона д> с/п, так что наблюдается излучение Вави-
лова-Черенкова. Определить угловую расходимость А<р излучения,
обусловленную конечной толщиной слоя (рис. 13).
2.41 ! Показать, что представление о
классическом движении электрона в атоме
водорода по первой боровской орбите проти=
воречит соотношению неопределенностей
Гейзенберга, т. е. неопределенность положе-
ния электрона порядка радиуса его орбиты,
2.42 . Показать, что в водородоподобных
атомах на круговой стационарной боровской
орбите укладывается целое число длин волн
де Бройля, Определить длину волны де
Бройля на круговой орбите с главным кван-
товым числом п.
2.43 ! Оценить на основании соотноше-
ния неопределенностей радиус атома водо-
рода в основном состоянии и энергию связи
электрона в том же сотоянии. Определить
на основании таких же оценок размер двух-
атомной молекулы и энергию ее основного состояния, рассматривая
молекулу как одномерный гармонический осциллятор с собственной
частотой (оо и приведенной массой ц,
2.44! Действие силы на свободно движущуюся частицу массой w
можнообнаружить, наблюдая изменение ее координаты во времени.
Оценить в соответствии с квантовомеханическими законами, какую
минимальную силу, действующую по направлению движения части-
цы. можно обнаружить таким способом за время наблюдения г.
2'45* Силу можно измерить по изменению энергии пробного те-
ла массой гп до и .после действия силы. Оценить в соответствии с
квантовомеханическими законами, какую минимальную силу5 дей-
. 22
«MMUI mW Л1 времч ea&wwwm Г^ЙХ,?**»
spww tv.-u. рташм <Ц,. много больше приращ^дд“^’wm
2,462 Желание намерить координату v anBvm,„
несть» hvvxm хменынення длины водны иДтоХП™''
^-^мпззцпч W в размере X, приводит
K1Waeevb реаденнч виртуальных (e-V)-wp. в Wy
«W алекеренев мы не можем отличить иоходньй\XxSX
елеьтрона р^адеткт пари. Оценить, к акй по?рещя(«и д? °
W« практически определяет размер электрона, это приводит’
2,47, Соотношение неопределенностей Mew энертвдй и време-
нем «Meet лна различных содержанта; одно из них относится к щхтГ-
бальным состояниям — оно определяет естественную ширину энепгр-
теского распределения излучения с энергией £, происходящего X
времч а другое относится к измерению - оно определяет время т
необходимое для измерения энергии £ о заданной точностью И<>
пользуя обе эти стороны соотношения неопределенностей, оценить
минимальное время д, ,ч, необходимое для определения того, находит-
ся ли W' ''?Fe в первом возбужденном состоянии с энергией
= 14,4 кэВ, или оно уже претерпело у-распад и находится в основ-
ном состоянии. Какова оудет ширина измеряемого при этом энерге-
тического распределения у-лучей,
2,481 Рассмотрим опыт по дифракции электронов на двух щелях
в незакрепленном экране. Определив место попадания частицы (по-
ложение максимума 1-го порядка) и измерив л'--компоненту импульса
отдачи экрана со щелями ДрЛ. (рис. 14), можно, казалось бы, опреде-
лить, через какую щель проходит электрон. Этот мысленный опыт
Эйнштейн предлагал Бору в качестве аргумента против соотношения
неопределенностей. Показать, что измерение импульса отдачи экра-
на с необходимой точностью приводит к неопределенности'в импульсе
рассеянного электрона и тем самым к размытию интерференционной
картины в полном соответствии с соотношением неопределенностей.
Рис. 14 ’ ; ‘
" 2 49’ Согласно принципу догюлщггельиости Бора невозможно
НЫЙ'Ча,проверку основ квантовой механики, . •,
- ?з.
мента обсуждалась Фейнманом в своих лекциях Как показано на
пис 15 пучок монохроматических атомов Na (н—1400 м/с) на-
правлялся на дифракционную решетку с периодом а = 200 нм, где
он расщеплялся на прямой пучок и продифрагировавшии в первый
порядок Затем второй решеткой пучки сводились, ооразовывалась
интерференционная картина, контраст которой измерялся. На рас-
стоянии z от первой решетки атомы Na возоуждались лазером
(Хф = 6000 А). При возвраще-
нии в исходное состояние атомы
испускали фотоны, которые в
принципе позволяют определить
траекторию атома. На каких
расстояниях с согласно принци-
пу дополнительности происходи-
ло размытие интерференционной
картины?
2.50. Пучок немонохромати-
ческих нейтронов с длиной вол-
ны от 2 до 6 А с концентрацией
Рис. 15
на единицу длины и на единицу интервала длин волн л(р) = п^/и
(у — скорость нейтронов), падает на толстый кусок поликристалли-
ческого бериллия, состоящего из большого числа ориентированных
в различных направлениях маленьких кристаллов. Считая рассея-
ние нейтронов в образце однократным, вычислить силу, действую-
щую на бериллий, если известно, что у Be межплоскостное рассто-
яние d 2 А, а п0 = I06 см-1с_|?
2.51. В октябре 1999 г. в Венском университете был осуществлен
эксперимент по дифракции очень массивных частиц — фуллере-
нов — молекул углерода С60. Пучок молекул направлялся на диф-
ракционную решетку с периодом d — 100 нм, а затем на расстоянии
1 = 1,25 м от решетки измерялось пространственное распределение
прошедших частиц. Как видно из приведенных на рис. 16 результа-
1200
О 1000
тов эксперимента, кроме
прямого пучка наблюдалось
еще два симметрично рас-
положенных максимума на
расстояниях Д= ±25мкм.
Какова была скорость фул-
леренов в пучке?
а 800
-50 о 50
Смещение, мкм
Рис. 16
2.52. Кластеры атомов
или молекул получаются
при расширении и, тем са-
мым, охлаждении вылетаю-
щих из сопла монохромати-
ческих частиц. В одном из
экспериментов с кластера-
ми гелия в 1994 г. в Геттив-
геме (Германия) на пути
24
пучка оьгла установлена дифпакпиптги«
2 = 200 нм и затем с помоД^ХХом^ С пе₽и°®м
спектр частиц под различными углами и ра “авизировали
ренции (рис. 17). Определить скорой геХХП°РЭДКе и®ерФе-
ров, состоящих из четырех атомов гелия и ой™! “асгеРов: диме-
№ (Не2)2 (в = 0,69 мрад), и гриме™сос_™Х ” РИС 17
гелия (Не2)3 (9 = 0,46 мрад). остоящих из шести атомов
Рис. 17
2.53. Оценить неопределенности отклонения от вертикали А<р и
момента импульса ДА математического маятника, совершающего ма-
лые колебания в поле силы тяжести. Масса маятника равна т, дли-
на — I.
2.54! Для гармонического осциллятора можно определить время
как «движение» фазы осциллятора: t = ip/co. Используя соотношение
неопределенностей энергия-время, найти связь между флуктуациями
АУ среднего числа N когерентных осцилляторов в системе и флукту-
ацией Д<р их фазы <р.
§ 3. Уравнение Шредингера. Квантование. Потенциаль-
ные барьеры
3.1! Найти плотность потока вероятности для: а) плоской волны
ty = exp^z^-zj = exp(zAz), б) сферической волны ip = ^-exp(iAr),
в) суммы сходящейся и расходящейся волн ф = 2fcr ^se ~ е
3.2. Волновая функция частицы массой т, совершающей. одно-
вид чр(х) = лгах. Найти потенциал
частица, и ее энергию если известно,
мерное движение, имеет
U(x), в котором двигается
что При X = 0, [/(х) = 0.
25
3 3 Принят Фуимши ч.и"1п in i i,ii'-i.iii.iu,iii,ji >„-ul0_
'Z' '"!i
!PCV) ~~ |у j/pjj \ - h
Оценить £ ПОМОРИЮ .соопюршш/я HWiipe.nxium^ ;w ‘ Р’-Юлою кине-
тическую энергию <'П тничш н ср.ишшь < ршуль/шом нтц^
расчета- Наитп Ulx) при а > '' “ н'ыную .лшрнло ч.чнпш Ь. счлн
известно. .470 f./tx')—-при а-- '''’
3.4. Волновая функция час/ппы мам ои /и. , <лшрш.,юш.ш одно-
мерное движение в поде с поченшылом 1/(х). с< м>
( Чл expf -х/ч) при v -- О
Ф(л) — ^у нрл , ().
Оценитр с помощью соотношения неопределенно! icn среднюю кине-
Тйрескую энергию {Т} чаеншы и гранишь < ре-уяыаюм ючного
расчета- Найти среднее значение коордлначы и <акже //(л) при
x>Q ц полную эне]7Г)но 6. если известно. чн; 1/1 \ )—-'<) ври д-—>%,
3.5^ Частица массы и/ ваходшея в одномерном лонглшшяе
-1“ ПРПА<1).
UW |U при \->П-
Оценить энергию основного состояния чаоллы в эюм лотенлиаде.
Исп.ользуя в качестве волновой функрнл ф = \ ехр<—В качест-
ве оценки взять минимальное значение средне)о значения полной
энергии частицы. Сравнить с задачей) 2.39.
3.6. Используя правило квантования Бора— Зоммерфельда. най-
ти закон квантования энергии частвиы массой ш ври больших зна-
чениях главного квантового числа п (в квазлкяа)сическом прибли-
жении) в одномерном потенциале
Wv)=J“ лр.. ,v<0.
' |Ал- при л- > 0.
Указание. Правило квантования Бора—Зоммерфельда:
^р (/I = п/1.
3.7. Б кулоновском поло простейшим сферически симметричным
р.ец/ением уравнения Шредингера является волновая функция
?|> ~ А ехр(—Какой энергии (в эВ) соответствует эго состояние
для электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Z = J 0? Чему
равна п?
3.8! Взаимодействие между нуклонами в дейтроне может быть
описано потенциалом Юкавы U(r) — —U(1 ехр ’ где ' - отн0"
.сит.едьдо.е расстояние, а — радиус взаимодействия ядерных сил,
^0 = М,ЭР; Дели аппроксимировать волновую функцию основного
.одстряния как водородоподобную ф(г, а) =
« „ параметр, при котором достигается ми
ионного охтояиия, -го энергия С1м,„ ИЛйл»я аиерлы
»М. Оделит» ЛчВДу® овдад«>ЗД ZS
Указание. Уравнение ГЦЩ = (> ,п„
., (1 + з)3 108 имеет коред, л = I 5
3.9. Взаимодействие между нуклонами „ , ’ '
. / Дейтроне может бот.
описано нотенииа.том P(r)=-ytapN * , ”да
да= 2,2фм, г ~ расстояние между иукдбнади д 10 , эВ,
козую^икнию основного состояния ®одороДододХой‘Ж'Ям°-
i а I чг \ УУ -> ч-)
eZ|’ I ?« I' ~ параметр, при котором достигается ми-
нимум энергии ос,/овиого состояния, «гайти эиергшо связи Деятрона
Указание. Уравнение = 22,6 имеет коретга х = 1 35
3,ю: Волновая функция трехмерного изотропного осад™™
^растеризуемого класс»веской частотой « и дриведен^З
р, имеет вид Ф = Л(1 т , где Л, а и р _ некоторые кон-
станты. Определит» величину констант аир, Энергию этого соао-
яния и главное квантовое число. Смотрите также задачу 4 10
3.11. Найти волновую функцию и уровни энергии стационарных
состоянии частицы массой т, локализованной в одномерной потен-
циальной яме прямоугольной формы с бесконечно высокими стейка -
ми (рис. 18). Ширина ямы равна 2а.
Рис. 18 Рис. 19
мм
1ИЯ
не
му
гть
го-
ст.
эго
где
3.12? Найти волновую функцию и уровни энергии стационарных
состояний частицы массой т, локализованной в симметричной од-
номерной потенциальной яме прямоугольной формы, глубина кото-
рой равна UQ> а ширина 2а (рис. 19).
3.13» В одномерной потенциальной яме шириной b с,бесконечны-
ми стенками находятся N электронов. Определить минимальное еда;
•чение полной энергии &га1я и силу р Давления электронов на £трнки
ямы. Взаимодействием электронов пренебречь,. . .... . >
3,14. Поток свободно распространяющихся нейтронов пада.^ на
непроницаемую стенку толщиной L, в ^И*.®^КЯ;,?ная-Х
моудольного поперечного сечения с высотой 4?= W *2ости
/>>4. Длина канала L»Z (рис. 20). При каких .значениях скорости
27- ,
У нейтронов в падаюшем пучке нейтроны могут пройти сквозь ка-
нал7 Чему равна минимальная скорость umin в случае квадратного
сечения канала d~X-d.
3 15 Поток нейтронов, летяших со скоростью У0 = 2э см/сек,
падает 'на широкую шель с абсолютно отражающими стенками
Спис 21) Длина шели / = 1 см, высота d 10 см. Сколько време-
ни нейтрон будет находиться внутри шели, если он в нее попадет?
3 16* Частица токализована в трехмерной прямоугольной потен-
циальной яме (рис. 22). Это значит, что потенциальная энергия час-
тицы сферически симметрична относительно силового центра О, т. е.
является функцией только расстояния г от силового центра:
Г —£7П при г < а.
= приг>а.
Найти волновые функции и уровни энергии связанных стационар-
ных состояний частицы, зависящие только от расстояния г. (В таких
состояниях момент импульса частицы равен нулю.)
Рис. 20 Рис. 21 Рис. 22
3.17. Частица массой гп локализована в трехмерной потенциаль-
ной яме прямоугольной формы, радиус которой равен а. Определить
хминимальную глубину ямы UQ. при которой появится первый уро-
вень энергии. Чему равна энергия частицы <5 на этом уровне?
3.18. Дейтрон — это ядро дейтерия, состоящее из протона и
нейтрона. Энергия связи дейтрона, измеренная экспериментально,
равна & = 2.225 МэВ. Аппроксимируя потенциальную энергию вза-
имодействия протона с нейтроном с помощью трехмерной прямо-
угольной потенциальной ямы, определить ее глубину £/0. при ко-
торой возможно такое связанное состояние. Радиус потенциальной
ямы а = 1,6-Ю-13 см.
3.19. Определить среднее значение квадрата импульса {р2} и
среднее значение квадрата координаты (х2) частицы массой т, на-
ходящейся в одномерной «мелкой» ft2/та2) симметричной по-
тенциальной яме, изображенной на рис. 23. Проверить выполнение
соотношения Гайзенберга {р2)(х2} ft2/4.
3.20* Потенциальную энергию взаимодействия £/(z) атома гелия
с плоской поверхностью твердого тела z = 0 можно аппроксимировать
прямоугольной ямой некоторой глубины £/0 и шириной а = 5 к, при-
28
li(r = 0) = у» (pnc. 24). Полагал, что Bnm,„
6й(йкшного. ато«а в основном cocra^^0®®^ Функция адсор.
_-=(Ша. нзнтн среднее зкачевие коорланХмТ ,гри
нык этомоб б основном состоянии адсорбирован-
3.21* Энергия взаимодействия- (/'(-')
пенкой аппрокеимируется прямоугольной п<^Л?орола ® «Чиой
бйаой шириной а =6 А и tf(r = Q) =, > „ 7®^^вдй w>a пгу-
wgOHttii — это разность наинизших уюобХй- Эне₽ГИ2 ад-
щего к стенке атома © = С/’о — j к Найти™000511010 и чрилип-
же значение координаты (-} адсорбированных' а^™7 U° н
Указание, т ctg =-1.21 при\,Дадатамов-
Рис-23
а
Рис-2?
Рис-24
максимальному значению
т
Рис.2б.
3-22. Электрон находится в одномерной симметричной потении-
®“ яме размером 2л =2 А. Отношение волновой фунищибс-
новного состояния на границе ямы к её- * j —
внутри ямы составляет а = 1/2. Найти
глубину ямы и энергию ионизации
электрона (б- эВ).
3-23. Найти глубину ямы и энергию
ионизации © электрона (в эВ), находя-
щегося в основном состоянии в одномер-
ной яме шириной а = 2 А с потенциа-
лом £Г(0) = да. U = — и'о при 0 < х< а и
£T=Q при х> а, если известно, что от-
ношение волновой функции на границе ямы (х = а)дк ее макси-
мальному значению в. яме равно а =уЭ72.
£24* Частица, находящаяся в потенциальной яме с бесконечно-
высокими стенками. излучает фотон, переходя из состояния с помет-
ром 4- I) в состояние п. Найту связьчастоты фотона с периодом» ко-
лебаний между стенками классической ямы частицы с энергией
3.25' Свободно движущаяся частица массой пт с энергией ^Гтгод-
ашг к границе раздела двух областей I и И, на- которой.потенци-
альная энергия частицы скачкообразно^ меняется от постоянного:
зваяетшу trL до постоянного, значения 26)ь«0лредел1Йь> ко-
эффициенты отряжения и пропускания частида н^этой-гранир^-по»
ампяитулц (г и б/) и до энергии (A.h75)j~Исследовать,случаи^ковда.
и 2), £ < й/2. Во втором б^аегопредедйж-ср^нюздг^й^
Ж'-проникновения 1 частицы ВО; BT0P-W Среда.-'Иц <_
3 26 Электрон, находящийся б одномерной прямоугольной 110Ген-
шириной
электоон-польт. поглощпет кв.шг гьиэ г »кп» i l.Ulv0. Qe
'J?- npe-щльная частота света, при когороп олектрон может к,„е.
теть из ямы Определить среднее число огр.пьении Л or краев ЯМЬ1>
которые испытывает электрон, прежде чем покпиг > ь ее. ( читать. чта
время радиационного перехода электрона г. основное сошояние мнад
больше времени вылета электрона из ямы.
□ 27 Электрон, находящийся в основном юиоянии в одномерной
потенциальной яме шириной и » 4 А " глуопнои =10 эВ (рис. 27)
переведен в возбужденное состояние с энергией е> д 10 - эВ („у.тьот-
счета энергии — состояние покоя вне ямы). Оцени ть время жизни воз-
бужденного состояния, считая, что оно ограничивается вылетом .пек-
трона из ямы. а не переходом в основное сосгояпче.
3.28. Электрон, введенный в жидким гелии, р.ц ылкиваег атомы
жидкости и образует в ней сферическую ваку\ мн\ ю полость, которая
является для электрона потенциальной ямой с нрак гически бесконеч-
но высокой стенкой. Вычислить радиус полости, если поверхностное
натяжение жидкого гелия равно О.Зодин/см. а электрон занимаете
полости наинизшнй квантовый уровень.
Внешнее давление считать равным нулю.
Смотрите также задачу 2.38.
3.29. Пусть в задаче 3.25 частицей явля-
ется электрон с «энергией о = 2 эВ. С(=0.
U2 = 5 эВ. Вычислить среднюю глубину его
проникновения в область II.
3.30! Частица массой т и энергией о из
области I проходит в область И через одно-
мерный потенциальный барьер (или яму) прямоугольной формы с
шириной I (рис. 28). Определить для случаев © > I/ и <!>' < U ампли-
тудные коэффициенты отражения г и
пропускания d частицы на этом препят-
ствии. предполагая, что потенциальные
энергии частицы в областях I, II и внут-
ри барьера постоянны и равны соответ-
ственно £/(, U2, U.
3.31. В предыдущей задаче (/[ = !/>
При каком условии частица не будет от-
ражаться от потенциального барьера (ямы)?
3.32. Найти энергию электрона, при которой он беспрепятствен-
но пройдет над прямоугольным барьером высотой U = 5 эВ и шири-
ной I = 1 А.
Рис. 27
Рис. 28
3.33. В 1920 г. Рамзауэр обнаружил, что в сечении рассеяния о5
медленных электронов на атомах криптона имеется глубокий мини-
мум (резко увеличивается проницаемость атомов) при энергии
© = 0,6 эВ (рис. 29). Этот эффект обусловлен волновыми свойствами
электронов. Считая, что для электрона потенциал атома является од-
30
. , Г “ ==2'5 А
3.34.' Электрон находится в основном 4f
Рис. 29
даиерной прямоугольной ямой глубиной и = 9 я О
атома криптона. См. также задачу 8.14 ’ зи> “Чевить радау
3 ад. Электоон находится в ni
состоянии в одномерной потенциадьвд^
зХе, изображенной на рас. 30, и имеет
Шерда> & = 1,5 эВ. Ширина ямы равна
^=3-Ю 3 см. Найти высоту потенциалы
№го барьера U и его проницаемость D. За
каткое* время т вероятное !, ь найти частицу
в; яме уменьшится в два раза? Отражени-
ем волновой функ пи и на задней границе
иотенпиального барьера пренебречь.
335. Электрон находится в одномер-
я. -.^т-отгт.и ТСЧПЙ амА irooSno __м.
ИЙ потенциальной яме, изображенной на ис 41
равна £ = 0.9999 эВ. а высота ноте^Х^^^™
Найи ширину ямы. если уровень с указанным значешем
является первым. Оценить время жизни т частицы в. яме (S?
наем волновой функции на задней границе потенциальной,
иеда-ет пренеоречь. ~ ™ гарьера
ш
Т] I
о d lew
Рис. 30
U(x)-
300а
Рис. 31
336' Вывести для а-распада закон Гейгера—Неттола, связыва-
ющий период полураспада с энергией © вылетаютлиу частил
соотношением 1пТ1/, = .4-|-^=, где А [/(г).
и В — постоянные. Считать, что по- °
трвлияльный барьер U(r) имеет вер-
такальную стенку при г = R (радиус £
ядра)' и определяется законом Кулона ____
при r&R (рис. 32). Энергия вылетаю- q
щей и-чаегицы (высоты барье-
ра}. Задачу считать одномерной.
ЗЗХ В сканирующем туннельном
микроскопе (изобретен Г. Биннингом и
Г. Рорером в 1982 г.; Нобелевская пре-
мия 1986 г.) регистрируется туннельный' ток электронов через, ва-
куумный зазор между поверхностью проводящего. образца,и.установ;
леннойперпендикулярно к ней острой металлической иглои^иценита,,
какизменится туннельный ток, если игла при своем поступательном
Движении параллельно поверхности обрадца пройдет над, ступенько^
ви®Л0й5-= 1 А. Работы выхода электронов из-иглы А - 4,зэи-иоо
• м
пазла А-» = 4,0 эВ. На иглу подано яапряжетше У = -кл 7 R
Z- J— D ОТНОгт,
тельно ооразцз.
У каза ян е. считать, что до приложения напряжения
максимальной энерлш электронов в материалах иг-щ и rj^Siai
°°Разца
совпадают.
3.38. В сканирующем туннельном микроскопе регистр;/^
туннельный ток электронов с? через вакуумный зазор между пов^?
ностьго проводящего образца и установленной перпендикуляру.
острой металлической иглои. Раооты выхода электронов щ
л, = 3.0 эВ я образца А2 = 4.0 эВ. На иглу подано Hanpaxeig
yz—_____о,5 В относительно ооразпа. Оценить. во сколько раз измени^
туннельный ток, если игла при своем поступательном перемете^
параллельно поверхности образца пройдет над участком, работа ту.
хода для которого оолыое на 15 /0. При оценках считать, что элект-
роны туннелируют сквозь одномерный потенциальный барьер а
электрическое иоле между иглой и ооразцом является олвврт^.
Величина зазора b = 10 А. См. указание к задаче 3.37.
3.39. В сканирующем туннельном микроскопе регистрируй
туннельный ток электронов £ через вакуумный зазор между по-
верхностью проводящего образца и установленной перпендикуляр-
но к ней острой металлической иглой. Для повышения чувстза-
тельности микроскопа величина зазора модулируется посредством
малых колебаний иглы вдоль ее оси с амплитудой кшебащш
а= 0,2 А. Работы выхода электронов из иглы .4] = 3.0 эВ и образ-
ца А2~2,0эВ. На иглу поддан напряжение )-’ = 4-0.5В относи-
тельно образца- Какова амплитуда колебаний туннельного тока
б©^= (с^макс ^мвн)/2, если ^макс= вА? При оценках считать,
что электроны туннелируют сквозь одномерный прямоугольный
потенциальный барьер. Поле между иглой и образцом можно счи-
тать однородным. См. указание к задаче 3.37.
3.40. В 1988 г. появилось сенсационное сообщение об осуществле-
нии холодного ядерного синтеза дейтерия, растворенного в металли-
ческом палладии- Можно считать, что при этом ядра дейтерия взав-
модействуют друг с другом по закону Кулона, если расстояние между
ними г удовлетворяет условию Я] = 2-10~33 см < г 5-10~9 см=К
При большем расстоянии между' ядрами энергия электрического от-
талкивания V = 0 за счет экранирования ядер дейтерия электронами
проводимости. Определить вероятность реакции синтеза d + d при
столкновении дейтронов внутри палладия при комнатной температу-
ре за счет туннельного эффекта. Считать, что реакция синтеза про-
исходит при г < Bj.
3.41. Рассчитать коэффициент прозрачности барьера деления
тяжелых ядер, аппроксимируя его параболическим барьером (то-
кая аппроксимация реально отражает форму барьера деления тя-
желых ядер) I
при|л-1<ц,
' '0 при | х | > а,
32
:рН5ПЗЯ;
(|рис. co.- и вырази» ь его через «квант»
а?шнй кривизне барьера. Энергия возбта™^ т ' С0О5вегсгву-
шпе также задачи 9.41 и 9.42. №eaffiI Wa равна £. Q(0^
3.42. Чсчипа массой т находятся водномрпилй
<ме П-П с непроницаемые стенками ^тщиальвдй
m дне (рис. 34> ~ “ я ад®Ж»
С=/ Ч иР‘г0<-г<^. 6,.>Gr
[_ 0 при а < х < Ь,
t wuiivnt-иаал ccv »WUH±1K с энергией 0 < £, <- ГГ
ееетг/ максимально возможных плотностей °™~
наспзцы при х < а и а < х < 4. НаЙ1п =
вне значения энергии. при которых ватапва/ашь“овюр₽ХТ«
3.43. При вращении сосуда со сверхтекуч» гелием в o&Xg
разтется линейные вихри (рнс. 35). Скорость атомов
с= К г. где г - расстояние от оси. К - константа, называема^
теосивнсстью вихря. Нагтти минимальное численное значение №
тезсяБНОСти вихря.
3.44. В жидком гелии ГГ при температуре ниже1 Хтточки могут
существовать вихревые нити. Вокруг вихревой ниши жидкость' дви-
жется по окружностя>с. причем момент количества движения атомов;
гелия относительно оси вихревой нити подчиняется правилу кванто-
вания Бора. Найти поле скоростей вокруг вихревой нити..
ЗЛ5. При прохождении нерелягивисткой .частицы с энергией <£>
нал прямо^тольным барьером высотой Z/=(3/4)^ коэффициент' от-
ражения по мощности оказался равным 2?'=9/2Я Определишь-мини-
мально возможную ширину барьера в- един идах еоошветствукяцфЕ
ент отражения по мощности оказался равным R чиз. Определить
минимально возможную глубину ямы в едининак соответствую^
ему дебройлевской длины волны.
Указание. Воспользоваться известным из оптики условием, что
при отражении от оптически оолее плотной среды фазы отраженной
и падаюшей волн отличаются на л.
3.47. Электрон находится в основном состоянии в одномерной
симметричной прямоугольной потенциальной яме с шириной
2а = 10 А с потенциалом U( ± СЛ) = О- Отношение вероятностей об-
наружить частицу внутри и вне ямы равно а = 0.1. Считая, что
изменение волновой функции внутри ямы мало, определить энер-
гию связи электрона и глуоину ямы (в эВ).
3.48. Нейтрон находится в основном состоянии в одномерной пря-
моугольной потенциальной яме с шириной а = 1.3 10 1J см. ограни-
ченной с одной стороны бесконечно высокой стенкой. ГГри этом
[f = 0 при 0 < х < а, а при х г а потенциал U равен постоянной конеч-
ной величине Lf0. Отношение вероятностей обнару жить частицу внут-
ри и вне ямы равно а = 0,1. Считая, что максиму м волновой функции
достигается вблизи границы ямы. определить энергию связи нейтрона
3.49. Микрочастица находится в прямоугольной потенциальной
яме заданной ширины. Одна стенка бесконечная, а вторая — конеч-
ная, высотой Со. Энергия частицы в яме £ = 36'0/4. Во сколько раз
надо квазистатически «сжатье яму при неизменной высоте, чтобы
частица стала свободной?
3.50. Микрочастица находится в одномерной потенциальной яме
заданной ширины. Одна ее стенка бесконечно высокая, а вторая —
конечной высоты Uo. Энергия частицы в яме a = С'о/2. Во сколько
раз надо квазистатически изменить высоту ямы при неизменной
ширине, чтобы частица стала свободной?
3.51. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенци-
альной яме с шириной д = 4 А (£//0) = «м U(a) = Li a -- 1 эВ) в состо-
янии с энергией = 0,88 эВ. На яму накладывается постоянное
электрическое поле Е = 3-105 В/см, направленное в отрицательную
сторону оси х. Оценить возникающую при этом ширину уровня энер-
гии. Считать, что энергия уровня не меняется при наложении поля.
3.52. Электрон находится в одномерной симметричной прямо-
угольной потенциальной яме с шириной 2a = 4 л (U(—a) = U(ai) —
= Uq — \ эВ) в состоянии, энергия которого £ = 0.8 эВ. На яму на-
кладывается постоянное электрическое поле Е = 3 • 105 В/см. направ-
ленное в отрицательную сторону оси.у. Оценить время, через которое
электрон покинет яму. Считать, что энергия уровня не меняется при
наложении поля.
34
4.1. Частица находится в центральном поле силового центра с
потенциальной энергией tf = -C/r*, где С - положительная посто-
янная, а г расстояние от силового центра. Исходя из соотноше-
ния неопределенностей, показать, что при s > 2 возможны стацио-
нарные состояния частицы со сколь угодно большими по абсолютной
величине отрицательными собственными значениями полной энер-
гии. Частица при этом условии будет переходить на нижележащие
энергетические уровни — произойдет ее «падение» в точку г = О,
т. s. на силовой центр. Если же s < 2, то наиболее низкий энергети-
ческий уровень оудет иметь конечное значение полной энергии,
т. е. падения на силовой центр не произойдет.
Пользуясь этими результатами, объяснить возможность сущест-
вования атомов, например атома водорода.
4.2. Показать, что в пределе, когда главное квантовое число п в
атоме водорода стремится к бесконечности, движение электрона пе-
реходит в классическое движение по круговой орбите.
4.3. Классические формулы следуют из квантовых в пределе вы-
соковозбужленных состояний (т. е. при п—*>»). в атоме водорода,
как и в задаче Кеплера, потенциальная энергия £/(r) сс 1. Исходя
из квантовых формул для уровней энергии <£п = —Ry/n2 и радиусов
состояний rn = an1 электрона в атоме водорода, получить для боль-
ших п третий закон Кеплера.
4.4. Показать, что среди сферически симметричных решений
уравнения Шредингера для водородоподобного атома, конечных при
г = 0 и обращающихся в нуль при г = со, имеется экспоненциальное
решение e~ar. Найти постоянную а и энергию атома в рассматрива-
емом состоянии. Что это за состояние?
4.5. Найти объемную плотность вероятности нахождения элект-
рона в водородоподобном атоме для основного состояния1).
4.6. Найти радиальную плотность вероятности нахождения
электрона в водородоподобном атоме для основного состояния. При
каких значениях г эта величина достигает максимума1).
4.7. Найти среднее расстояние (г ) электрона от ядра в ls-состо-
янии водородоподобного атома1).
4.8. Найти среднее значение обратного расстояния <1/г> электро-
на от ядра в основном состоянии водородоподобного атома1).
4.9. Найти средние значения потенциальной {U} и кинетиче-
ской (Т) энергий основного состояния водородрподобного атома ).
4.10. Волновая функция одного из состояний атома водорода име-
ет вид ip = Л(1 + аг)е"₽г, где А, а, ₽ — некоторые константы. Опре-
Ьдолновая функция основного состояния электоона в атоме водорода
где Г1 — радиус первой боровской орбиты. |
35
делить величину констант и и ₽. энергию этого состояния и его ква„-
товые I о'делт-b разрешающую способность Л спектрального
прибора необходимую для наблюдения изотопического сдвига сиекд.
XZx линий дейтерия относительно лини,, водорода. Какова дол-
жна быть ширина b основания призмы из тяжелого флинта с диспер-
сией dn/dX = 1000 аг1 (в диапазоне красного света) в призменном
спектрографе, применяемом для обнаружения изотопического сдвига
головной линии серии Бальмера?
4 12. Серия Лаймана наблюдается в смеси атомарных водорода
и трития (ядро атома трития состоит из протона и двух нейтронов).
Определить разрешающую способность спектрального прибора, ко-
торая достаточна для разрешения изотопической структуры спект-
ральных линий этой серии. Как меняется требуемая разрешающая
способность при переходе к другим сериям (Бальмера, Пашена) той
же смеси? Можно ли разрешить изотопическую структуру спект-
ральных линий той же смеси в видимой области спектра с помощью
стеклянной призмы с основанием b= 1 см и дисперсией показателя
преломления dnld\ = 1000 см"1? Каково должно быть эффективное
число отражений Мэфф 11 порядок т наблюдаемого спектра, чтобы
разрешить и исследовать ту же структуру с помощью интерферомет-
ра Фабри—Перо?
4.13. Серия Бальмера наблюдается в смеси атомарных водорода
и дейтерия. Определить разрешающую способность и число штрихов
N дифракционной решетки, которые необходимы для разрешения во
втором порядке изотопической структуры спектральных линий этой
серии. Как меняется эта разрешающая способность с увеличением
номера линии (т. е. с уменьшением длины волны) указанной серии?
4.14. В спектрах некоторых звезд наблюдается т «к 30 линий во-
дородной серии Бальмера. При каком наименьшем числе N штрихов
дифракционной решетки можно разрешить эти линии в спектре пер-
вого порядка?
4.15. Кварцевая пластинка, расположенная между скрещенными
поляроидами, образует поляризационный фильтр. Разрешенные на-
правления пластинки составляют угол 45° с главными направления-
ми поляроидов. Какую минимальную толщину должна иметь пла-
стинка, для того чтобы с помощью такого фильтра можно было от-
делить наиболее длинноволновую линию серии Бальмера для
водорода (Х = б56нм) от той же линии дейтерия? Показатели пре-
ломления для обыкновенного и необыкновенного лучей в кварце
’’о — 1,5442, п6 = 1,5533. Источником света является газоразрядная
водородно-дейтериевая лампа.
4.16. Каково должно быть минимальное расстояние между зер-
калами в интерферометре Фабри-Перо, чтобы по оптическому
спектру установить наличие двух изотопов калия и $К? Коэф-
фициент отражения зеркал по энергии 0,9, энергия ионизации это-.
36
4.17. Отрицательные мюоны могут захватываться атомом и заме-
щать в нем электроны электронной оболочки. Практически может за-
мещаться лишь один электрон. Получающиеся в результате такой за-
мены системы называются мезоатомами. Масса мюона т = 207m
Вычислить по теории Бора радиус первой круговой орбита (^-орби-
ты) мюона в мезоатоме. Рассчитать энергетические уровни мезоато-
ма. Какое излучение будет наблюдаться при переходе на К-орбиту
мюона с более высоких орбит? Почему исследование такого излуче-
ния применяется для выявления структуры тяжелых атомных ядер?
Массой мюона по сравнению с массой ядра пренебречь.
4.18. Позитроний представляет собой связанную систему из элек-
трона и его античастицы — позитрона. Найти уровни энергии, энер-
гию ионизации и соответствующую ей длину волны резонансной ли-
нии позитрония. Резонансным называют переход из первого возбуж-
денного состояния в основное.
4.19. Длина волны линии На водородной серии Бальмера равна
Х = 0,656 мкм. Определить по этим данным энергии ионизации £и
позитрония и мюония, находящихся в основном состоянии. Масса
мюона ти = 207те (/ис — масса электрона).
4.20. Рассчитать энергию излучения Д<£, испускаемого в мезоа-
томе водорода (мюония) при переходе мюона с N- на М-оболочку.
Как велик радиус 1-й боровской орбиты в этом случае?
4.21. Оценить скорость мюона |а“ в мезоатоме с зарядом ядра
Z=10. Найти радиус атома.
4.22. При переходе пиона лг с 4/-оболочки на Зе/-оболочку мезо-
атома с ядром фосфора (Z = 15) испускается рентгеновский квант с
энергией S — 40 кэВ. Определить массу пиона и радиус Зй-оболочки.
4.23. Какова была бы энергия связи и радиус водородоподобной
системы из двух нейтронов при учете только силы гравитационного
притяжения между ними?
4.24. Какой радиус имела бы 2р-оболочка атома из нейтрона и
электрона, связанных между собой только силой гравитационного
взаимодействия?
4.25. Найти потенциалы ионизации ионов Не+ и Li++.
4.26. Определить наименьшую энергию, которую надо сообщить
в основном состоянии трижды ионизованному атому бериллия, чтобы
возбудить полный спектр этого атома.
4.27. Энергия ионизации атома Не равна 24,5 эВ. Определить
энергию <9, необходимую для получения из нейтрального атома Не
дважды ионизованного иона Не++.
4.28. Ядро атома трития, находящееся в основном состоянии, ис-
пытывает 6"-распад. Считая, что за время вылета распадного элек-
трона состояние атомного электрона не успевает измениться; наити
его полную энергию сразу после распада.
4.29! В 1989 г. в ЦЕРНе при пропускании медленных антипрото-
нов через водородную камеру' наблюдалось образование протониу-
ма — атома состава (рр). Энергия излучения, соответствующая пере-
37.
^г-гпания Id в Is, оказалась равной 10.1 кэй
0™УедХ™ЯХад сильного взаимодействия,в разность энергий ука.'
данных уровней. Для какого из этих уровней вклад сильного взаимо.
прйствия оказывается наибольшим.
4 30. За счет сильного взаимодействия энергия основного состо-
яния протониума (системы (ppj) сдвигается на &£ - 0.7 кэВ отно-
сительно его «чисто кулоновского» значения. Считая, что сильное
взаимодействие описывается потенциалом Юкавы </(г) =
= -(g4r) exp (—r/r0), r0 = 0.8-10'13 см. оценить величину кон-
станты сильного взаимодействия ?/(fc) в системе (рр). Волновая
функция ls-состояния протониума гр - (jrrj>) exp (-r/rI5), Где
гБ — боровский радиус протоииума.
4.31. Фотон головной (наиболее длинноволновом) линии серии
Лаймана иона гелия Не+ поглощается водородным атомом в основ-
ном состоянии и ионизует его. Определить кинетическую энергию
Т, которую при этом получит электрон.
4.32. Атом водорода, вначале находившийся в неподвижном со-
стоянии, излучил квант света, соответствующий головной (наиболее
длинноволновой) линии серии Лаймана. Определить относительное
изменение частоты фотона Av/v0 из-за отдачи. Какую скорость при-
обрел атом за счет энергии отдачи?
4.33.- С какой скоростью и в каком направлении должна дви-
гаться светящаяся газоразрядная лампа, заполненная водородом,
чтобы в ней происходило поглощение света, излучаемого неподвиж-
ной газоразрядной лампой, заполненной дейтерием? Рассмотреть
движение вдоль прямой, соединяющей лампы.
4.34. При аннигиляции позитронов с электронами образуются
два ^-кванта, уносящие энергию покоя аннигилировавших частиц.
Если бы электрон и позитрон перед аннигиляцией покоились, у-
кванты разлетались бы в строго противоположных направлениях.
В реальном процессе аннигиляции замедленные в веществе позит-
роны сталкиваются с движущимися атомными электронами, и угол
конуса разлета у-квантов отличается от 180°. Оценить, насколько
этот угол отличается от развернутого, если аннигиляция происхо-
дит-на электронах L-оболочки углерода.
4.35. Позитроний поглощает фотон, образовавшийся при перехо-
де атомарного водорода из первого возбужденного состояния в основ-
ное. Определить скорости электрона и позитрона в случае их симмет-
ричного относительно направления движения фотона разлета. Атом в
исходном состоянии считать неподвижным.
4.36. При комптоновском рассеянии квантов на атомных электро-
нах явление осложняется тем, что электроны в атомах не находятся в
покое; Оценить связанный с этим разброс в углах разлета электронов 1
отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассеянии рентгеновских ;
квантов (Х\= 1 А) строго назад.
4-37. Решить предыдущую задачу для электронов отдачи, выби-
it оль’п I - О W" С“ИНЦа П₽и рассея«и“ гамма-квантов с
длиной ^Ш1НЫ X — 0,01 Л строго назад. Для свинца Z = 82.
4.38. Считая, что поправка на экранирование заряда ядра
электронами на /С-оболочке одинакова для атомов с 2 < 50, найти
кинетическую энергию Тс фотоэлектронов, вылетающих из /С-обо-
лочки атомов 30Zn под действием .«„-излучения серебра «Ае с
энергией 21,6 кэВ.
4.39. Во сколько раз отличаются средние длины свободного про-
бега атома водорода в основном и возбужденном состояниях (л = 10)
в разреженном одноатомном газе при одинаковой концентрации?
4.40. В электрическом поле возможна спонтанная ионизация ато-
мов. Оценить, при какой величине напряженности поля Е (в В/см)
окажется ионизованным атом водорода в состоянии сп ~ 10. Энергии
уровней! считать не зависящими от поля.
4.41! Задача об отыскании уровней энергии атомов обычно ре-
шается в предположении, что заряд ядра точечный. На самом деле
ядро имеет размер, и радиусы ядер = 1,3-10-13Л1/3 см, где А —
атомная масса. Определить знак и оценить порядок величины отно-
сительной поправки к энергии мюона на k-оболочке в мезо-
атоме неона (Z = 10, Л = 20), связанной с тем, что часть времени
мюон находится внутри ядра, т. е. в поле с потенциалом, отличным
от ZeHr. Волновая функция основного состояния электрона в атоме
водорода =—Д= е-г/''1, где — радиус первой боровской орбиты.
Масса мюона ти = 207тс.
4.42. Задача об отыскании уровней энергии атома решается в
предположении, что заряд ядра точечный. На самом деле ядро имеет
размер, и радиусы ядер 7?я = 1,3 • 10-13Л^3 см, где А — атомная масса.
Определить знак и оценить порядок величины относительной поправ-
ки Д&/& к энергии электрона на Х-оболочке в атоме неона (Z = 10,
Л = 20), связанной с тем, что часть времени электрон находится внут-
ри ядра, т. е. в поле, отличном от кулоновского. Нормированное выра-
жение для волновой функции основного состояния электрона в атоме
водорода 11> = -2= е-г/г", где П — радиус первой боровской орбиты.
Улг?
4.43. Положительно заряженный мюон (ти = 207те), образовав-
ший вместе с электроном водородоподобный атом мюоний, распал-
ся, причем продукты распада быстро разлетелись в разные стороны.
Каково среднее значение кинетической энергии оставшегося после
этого электрона, если в момент распада мюона мюонии находился в
состоянии 1з? Волновая функция основного состояния в атоме водо-
1 г-г/Г1, где Г1 — радиус первой боровской орбиты.
Рассчитать для этой же системы (см. задачу 4.43) среднее
кинетической энергии оставшегося после этого электро-
рода =
4.44.
значение
39
на если в момент распада мюона мюоний оасоюысп в саттиц,,,
2s.’ Волновал функция электрона ii.lMwme.оса в 2,-со, ю,,,,,,,, „
____ 1 /I — ' 1Ле /‘1 — 0Л;Ш\1 нвпп.о.
атоме водорода, тр —
боровскоп орбиты.
4 45 В атоме гелия одни из электронов замешен мюоном. 0це.
нить энергию электронного (З/.-2-s)-1lepesoua в швом а,оме.
4 46 В сложных атомах электрическое ноле, в котором движется
электрон, формируется как ядром, так и другими электронами. Одна-
ко в щелочных металлах с доста точной точное гаю можно cniri.m,, дте
внешний электрон движется в иоле ядра с эффектна.......... .1арядом
гзфф. Оценить величину эффективною заряда для .1/>-.мектропа Na,
если известно, что потенциал ионизации на грив равен //„ - 5,1 эВ, а
длина волны его яркой желтой линии 2 = 5S4 им (переход
4.47. Атом, пролегая через кристалл, подвергло ня воздействию
периодического поля решетки кристалла, в резулi>iaiе чего возмож-
но резонансное возбуждение ею уровней Iэффгк i Окорокова), Ка-
кова должна быть скорость двукратно ионизованного атома лития,
чтобы при пролете его через кристалл золота возбу клался уровень
с квантовым числом п = 2? Период решетки в наиравпепин движе-
ния иона л = 4,07 А. См. также задачу 7.3-1.
4.48’ Найти энергию основного состояния и первый потенциал
ионизации атома Не, использовав в качесше »р-ф\ акций произве-
дение ф-функцнй основного состояния алек1роиа в волородонодоб-
ном атоме тр0 = J... где a = r\J/} iuk чго ip(rh /ч) =
УЯ1Г
= ф0(г2). При вычислении энергии кулоновского расталки-
вания электронов воспользоваться теоремой Гаусса.
4.49. Атом водорода находи(ся в состоянии с энергией
(£ = —1,51 эВ и при этом радиальная часть волионон фу нкиии пи разу
не обращается в ноль на интервале 0 < г < со. Ч го э го за состояние?
4.50. Атом водорода находится в сосгоянин с энергией
<£ = —3,4 эВ и при этом радиальная часть волновой ф> пкцни один раз
обращается в ноль на интервале 0 < г < с®. Чго это за состояние?
4.51? Релятивистский пучок однократно ионизованных атомов
гелия, находящихся в основном состоянии, движемся навстречу ла-
зерному излучению с длиной волны Ао = 248 нм. Поны поглощают
это излучение, переходят в первое возбужденное состояние, а затем
испускают кванты света при обратном переходе. Панги длину полны
этого излучения (в направлении движения ионов) в ЛСО (лабора-
торной системе отчета), а также кинетическую энергию ионов.
4.52. Исходя из формулы, определяющей интенсивность диполь-
ного излучения /=—jib, где d — дипольный момент излучающей
системы, оценить время жизни первого возбужденного уровня одно-
кратно ионизованного атома гелия. Считать атом гармоническим ос-
циллятором.
40
4.53. Исход» га формул,,,, определяющей пптепсплпоогь диполь-
ного налу чипы —j а-, Рде а - дипольный момент излучающей
системы, оценить время жизни возбужденного состояния поит В^+
по отношению к переходу с уровня „ = 10 ка уровень " , = 9 Счи-
тать атом гармоническим осциллятором. С
4.54. Конечный размер атомных ядер приводит к смещению
энергетических уровней К-электронов по сравнепшо с Uo«ZoТ
вечного ядра. Иапример. согласно расчету в атоме неона этот сдвиг
составляет Ы, = 6-10-’. Оценить эту величину для К-электронов
4.55. Оценить, какой радиус должна иметь звезда с массой, рав-
ной массе Солнца М -2-10“ г, н магнитным полем на поверхности
Й —о к 1л, чтобы на экваторе звезды могла происходить ионизация
атома водорода межзвездного газа, падающего из бесконечности
Считать, что ионизация атома происходит, когда вершина возника-
ющего для электрона потенциального барьера сравнивается с энер-
гией основного состояния.
§ 5. Ширина линий. Спектры молекул. Рентгеновское из-
лучение
5.1. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии со-
ставляет около т-~10-8с. При переходе атома в основное состоя-
ние испускается фотон, средняя длина волны которого равна
Х = 500 нм. Оценить ширину АХ и относительную ширину АХ/Х
излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения
за счет других процессов. (Такая ширина называется естественной
шириной спектральной линии.)
5.2. В л-мезоатоме водорода роль электрона играет отрицатель-
ный пион л-, энергия покоя которого составляет 140 МэВ. Оценить
связанную с распадом пиона относительную ширину спектральной
линии, соответствующей переходу пиона cL на Х-оболочку. Время
жизни пиона равно 2,6-10-8 с.
5.3. Оценить минимальную ширину Llllln, которую должна иметь
дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было обнару-
жить естественную ширину линии, испускаемой атомами с време-
нем жизни возбужденного состояния т = 0,1 нс. (Все условия поста-
новки опыта предполагаются идеальными.)
5.4. Моноэнергетический параллельный пучок возбужденных
атомов движется вдоль оси вакуумной трубки со скоростью
v — 108 см/с. В стейках трубки сделаны окошки для регистрации из-
лучения атомов пучка в зависимости от пути, пройденного атомами.
Результаты этих измерений изображены на рис. 36. По осн абсцисс
отложено расстояние .v, пройденное атомами вдоль трубки, отсчи-
тайное от 1-го окошка, а по оси ординат - натуральный логарифм
отношения интенсивности света S к интенсивности Slt измеренной
41
детектором, стоящим в 1-м окошке. Определить естественную щи.
пину линии Av, излучаемой атомами пучка.
5 5. Температуру газовых облаков в межзвездном пространстве
можно оценить по доплеровскому уширению спектральных линий,
испускаемых атомами, входящими в состав газа. Для этой цели
обычно используют водородную линию с длиной волны X = 21 см
(см. также тексты задач 6.48 и 6.50, отменяющие природу этой
линии). Оценить температуру Т газового водородного облака, если
испускаемая им водородная линия имеет полуширину Ат = 5 кГц.
5.6. На рис. 37 изображено распределение энергии в спектраль-
ной линии дважды ионизованного углерода 12С (эту спектральную
линию можно наблюдать в дуговом разряде в сильном магнитном
поле). Уширение спектральной линии обусловлено движением из-
лучающих атомов (эффект Доплера). Оценить температуру т из-
лучающих атомов.
Рис. 36
5.7. Изучается спектр излучения газа в разрядной трубке. Счи-
тая, что при столкновениях возбужденные атомы мгновенно перехо-
дят в нижележащие состояния, оценить соотношение между допле-
ровской шириной спектральных линий в диапазоне видимого света
и их уширением за счет столкновений, если длина свободного про-
бега /я» 10-4 см.
5.8. Возбужденные атомы с временем жизни т~- Ю-10 с и энер-
гией ионизации <£и~10эВ ионизуются излучением с длиной волны
Л~100 А. Оценить относительный разброс фотоэлектронов по энер-
гиям.
5.9. Одна из причин уширения спектральных линий атомов в газе
связана со столкновениями, которые ограничивают время жизни воз-
бужденного состояния. Оценить вклад этого механизма в относитель-
ную ширину линии перехода в неоне на длине волны X = 0,63 мкм,
используемой в гелий-неоновом газовом лазере, в условиях, когда ко-
эффициент диффузии атомов неона D = 100 см2/с. Температуру газа
принять равной Т = 400 К.
5.10. Молекула СО2 имеет множество дискретных переходов,
пригодных для генерации лазерного излучения вблизи 1000 см'1 с
42
£ Г'*.?’1 ™aS-
ем, кота мирное уширение нрнводи^Гдашп^’1»1311111’^ д!?“‘11ен11"
1)КЖ’|т?"‘г "еобади,МОс дл» этою давление р ZSep'nype
Vt'4l!"l’c столкповепт) молекул о-» 1(Щ15емг.
*• ’ ' Z!!’1?1* с ««'«ч» молекулами измерялись анергии пеие-
хш> У W.» ||оеледо11а1‘сльш,|ми уровняманергш' врТщаХ
iioli полое),I диукаюмион молекулы (рис, 38а и б). найти квшговые
""Т^'С S’ "JS" »"«₽!»«/ молекулы в слу^х^щ
иГИоШеНИС ДЛИН ВОЛИ йлектро-
5.1 ж Из опыта известно
Miirtiiri'iioiо пзлучоиия, со-
цгистствующего переходам *
я молекулах I-ICI и ЦI па
Octioitiivio и первое враща-
тельное состояние! '
« —^пс|/^1П' Определить .
oi ношение междуядериых
рщх'тщший в этих Mwiei<y=
2'I (г4 SI)
I О"4 эВ
Рис. 38
5.13. Какова максимальная длила волны СЙЧ-ИЗЛучёЦпя, с по-
мощью которой можно вызнать переход между ротационными уров-
нями молекул хлора? Расстояние между ядрами атомов в молекуле
C’J^ ра/шо и = 1‘ W_fl ем, Относительная атомная масса йзотона хло-
ра /1 = 35.
5.14. Манти отношение частот линий поглощения наиболее длин-
новолновых вращательных переходов молекулы I-lCl для двух ИзОто-
иОв хлора -к’С1 и J7CI. Считать, что межатомные расстояния не зависят
от изотопического состава молекулы, Вычисления произвести с точ-
ностью 10"2%.
5Л5, Найти отношение наименьших энергий переходов между
вращательными уровнями гйзЩ состоящего из смеси водорода и дей-
терия. в котором присутствуют молекулы 1-1D и D2. Считать,
Что межатомное расстояние не зависит От ПЗОтОПйЧеСкОг'О состава.
5,16. Дальний инфракрасный спектр молекулы НВг, обуслов-
ленный переходами между соседними вращательными уровнями
молекул, состоит из ряда линий, отстоящих друг от друи на рас-
стояние = 17см_|, Найти расстояние мегкду ядрами в моле-
' 5,17. Оценить в видимой области спектра (X s 6000 А) разреша-
ющую способность Л спектральною прибора, ПрИгОдПОТО Дл)1 иссле-
дования спектра молекулярного водорода (т.е, спектра^ обусловлен-
ного переходами между алектроиновращательными уровнями моле-
кулы). Момент инерции молекулы Hz в основном Рлектронном
состоянии/ = 0,46‘1О"40 шсмА в
5,18. При каких величинах периода вращения 71 пеыйми с
характернь1м размером д = 0,1 мкм начинает нроявлятвея кванто-
43
вый характер вращения, т. е. дискретность вращательного спектра?
Плотность песчинки р принять равной о г/см .
5.19* При температурах ниже приблизительно Г — [00 К .моляр-
ная теплоемкость Су молекулярного водорода_составляет 3/?/2, тогда
как при комнатных температурах она равна 5R/2 (R — универсаль-
ная газовая постоянная). Пользуясь этими данными, оценить момент
инерции I молекулы водорода относительно оси. проходящей через ее
центр перпендикулярно к оси. проходящей через атомы, из которых
построена молекула. Оценить также частоты v и длины волн /. спек-
тральных линии. возникающих при переходах между вращательными
уровнями молекулы.
5.20. Оценить количество вращательных уровней молекулы НС!,
возбуждаемых при комнатной температуре. Межъядерное расстояние
у этой молекулы равно d = 1,27 А.
5.21. Показать, что в основном состоянии гармонического осцил-
лятора Др2-Дх2 = /Р/4, где Д/г и Дх2 — среднеквадратичные откло-
нения импульса и координаты от их средних значений. Волновая
функция основного состояния гармонического осциллятора
1р0(д:) = Q 1/4 ехр (- . где а = Смотрите также задачу 2.43.
5.22! Показать, что уравнение Шредингера, описывающее одно-
мерный гармонический осциллятор, помешенный в однородное элект-
рическое поле Е. может быть сведено к задаче о гармоническом ос-
цилляторе. т. е. движению в потенциале вида С = »ю2л-2/2. Каковы
уровни энергии частицы в этом случае?
5.23! В спектре испускания молекулярного азота имеются ли-
нии с длинами волн 3371 А. 3577 А и 3805 А. Можно ли интерп-
ретировать эти линии как переходы с изменением колебательного
квантового числа на 0. 1 и 2. если измерения сделаны с точностью
0,2%? Определить энергетическое расстояние мсжд} соответствую-
щими уровнями молекулы азота. С помощью полученных резуль-
татов по формулам классической физики оценить жесткость к уп-
ругой связи атомов в молекуле азота.
5.24! Оценить отношение кванта колебаний молекул Н2 и Ог к
характерной энергии возбуждения валентных электронов <?с, счи-
тая, что эффективный коэффициент упругости молекулярной свя-
зи к = £е/а2, где а — межатомное расстояние. Выразить ответ че-
рез отношение массы электрона т к массе ядра .W. Оценить амп-
литуду нулевых колебаний молекул и выразить ее через
отношение т/М и а.
В угарном газе СО из-за возбуждения колебаний молекул
наблюдается пик поглощения инфракрасного излучения на длине
волны Л = 4,61 мкм. Определить амплитуду ,-10 нулевых колебаний
молекулы СО. Оценить температуру, при которой амплитуда теп-
ловых колебаний превзойдет Ло.
44
5.26. Какова амплитуда колебаний
комнатной температуре, если известно что пТ'’’' югаои“ °г "₽“
лебательными уровнями равно = п’от сст0!,|1ие между ее ко-
5.27. На рис. 39 изображена часть гр-иЬикч
взаимодействия и атомов азота друг с долгом птЗ‘'“исимос’™ энергии
яния г. Считая яму параболической межатомного рассто-
кванта к энергии возбужде- ’ * тнощепие колебательного
ния первого вращательного
состояния в молекуле азота.
5.28. Пылинка с плот-
ностью р = 2 г/см3 и радиу-
сом г прикреплена к непод-
вижной стенке невесомым
стержнем длиной / = 4г и
диаметром d = 2r = 1 мкм
(рис. 40). Модуль Юнга
стержня £ = 10й Па. Опре-
делить энергию кванта ко-
лебаний пылинки вдоль
нормали к стенке, а также длину электромагнитной волны, способ-
ной) возбудить такие колебания, и амплитуду нулевых колебаний.
5.29 ? Разность энергий диссоциации молекул D2 и Н2 равна
Дб’ = 0,08 эВ, а потенциал взаимодействия атомов в этих молекулах
одинаков. Каковы энергии нулевых колебаний этих молекул (в эВ)?
5.30 . Оценить энергию нулевых колебаний атомов жидкого гелия
(плотность р = 0,145 г/см3).
5.31 ? Определить отношение энергий возбужде-
ния первого вращательного уровня молекулы азота ( р
в основном и первом возбужденном колебательном
состояниях. Расстояние между атомами азота в ос- L—£
новном состоянии молекулы г0 = 1,1 А, квант виб- р^с
рационных возбуждений /но = 0,3 эВ. См. также
задачу 5.57.
5.32. Поле, в котором движется атом жидкого гелия, хорошо опи-
сывается потенциалом Лепнард-Джонса U(r) = (р[(л/г)12_"
- 2(го/г)6|, где ~ 232 К, а г0 = 3-|0'8 см- Оценить энергию нуле-
вых колебаний.
5.33. Потенциал взаимодействия атомов в двухатомной молеку-
ле можно с достаточной точностью аппроксимировать потенциалом
Морса (/(г) = Dfexp (—2а(г ~/*о)) ““ 2 exp (~tt(r — fo))J« У моле-
кулы азота /7остояняая а « 4-108 см'1, энергия диссоциации равна
Д = 7,4эВ. Оценить расстояние между колебательными уровнями
5.34. Смесь атомов двух видов А и В имеет уровни возбужденных
состояний 6’д, <£в, причем <£л - <§й ~ ПРИ освещении излучением
с частотой -v, такой что hv = 6’л, кроме последующего о ратн
лучения той же частоты в результате соударении атомов А и В появ-
45
ляется также излечение с чаеготои v - ®В/Л и происходит уве.1цче.
ние кинетической энергии атомов. Нанта скорое, н атомов после соу-
дарений, если известны массы атомов тл и т... I чигать. что энергщ
теплового движения мала по сравнению с До.
5 35 При лазерном разделении изотопов и шзоооразнон фазе
ОДИН ИЗ разделяемых изотопов ионизуется лазерным лучом н за.
техм удаляется из смеси электростатическим нолем. 1акому разде-
лению изотопов препятствует тепловое движение атомов. Опред?.
лить, возможно ли подобное разделение изотопов °l.i ц ц с П(ь
мощью ультрафиолетовою лазера, если известно, чю энергия
ионизации лития 5,4 эВ; газообразный литии может с\ шествовать
при температуре f > SOO V. Принять, что /,фф для электрона не-
заполненной оболочки не зависит от массы изотона.
5.36. В атоме тантала (.Z = 731) совершается иерехо i с Л/-слоя на
L-слон. Определить длину волны Л пси\щепного фотона, если посто-
янная экранирования о = 5,5.
5.37. Вычислить приближенно частот) и ллнн\ волны А\.-линии
Мо. а также энергию кванта, соотвегств) юппю этой линии.
5.38. Найти приближенно минимальное напряжение I’ на рен-
тгеновской трубке, при котором начинают иоявля и>ся К’..-линии
Мо, Си. Fe.
5.39Т Найти границу А'-полосы излучения Мо. Си и Ге.
5.40. Какие линии Ni возбуждаются А-излхчением Со?
5.41. Известно, что длина А..-линии одного элемента равна
0,0788 нм. а другого 0.0713 нм. Выяснить, стоят ли эти элементы
рядом в таблице Менделеева. Какие эго элемешы?
5.42. Начиная с какого элемента появляекя I -серия?
5.43. Определить напряжение Г на рентаеновскои трубке с ни-
келевым антикатодом, если разность длин волн между А,.-линией и
коротковолновой границей сплошного рентгеновскою спектра равна
ДА = 84 нм.
5.44. Какой минимальной кинетической энергией должна обла-
дать а-частица, чтобы при бомбардировке такими частицами атомов
лития 7Li эти атомы начали излучать полный спектр своего харак-
теристического рентгеновского излечения?
5.45. Какова максимальная скорость с электронов, вырываемых
из свинца характеристическим изле чением железа?
5.46. У каких элементов характеристическое рентгеновское из-
лучение длинноволновой границы К-серии может испытывать брэг-
говское отражение от кристалла LiF. постоянная решетки которого
o'= 0,23 нм?
5.47. Какой потенциал V следует приложить к рентгеновской
трубке, чтобы тормозное рентгеновское излучение могло испыты-
вать брэгговское отражение от кристалла LiF, межплоскостное рас-
стояние в котором составляет d = 2,3 А?
5.48. Длина волны, соответствующая переходу между двумя со-
седними состояниями вращательного спектра молекулы НВг, равна
46
X = 202 мкм. Определить,
вращательными числами
яние d = 1,41 Л.
пппигуаС0СТ0ЯИИ1;ГМИ С какими квантовыми
происходит переход. Межъядерное рассто-
х.“« й!„: илт •<и'
5.50. С какой относительной точностью Ш надо измерить
длинноволновую часть вращательного спектра СО, чтобы увидеть
изотопическое расщепление спектра, появляющееся при Наличии
примеси С О в Сонином ,2С'6О? Чему равна наибольшая длина
волны вращательного кванта у молекул СО? Расстояние между яд-
рами С и О равно d = 1,13 Л. J
5.51. Природный хлор представляет собой смесь двух изотопов —
^°С1 и Cl. С какой относительной точностью ДХ/Хнадо измерять дли-
ну волны колеоательного кванта у молекулы НС], чтобы увидеть изо-
топическое расщепление колебательного спектра?
5.52. Одномерный осциллятор находится в состоянии с главным
квантовым числом п = 10. Оценить, какова вероятность обнаружить
частицу волизи положения равновесия в области размером порядка
плюс-минус амплитуда его нулевых колебаний.
Указание. При больших квантовых числах движение частицы
можно рассматривать как классическое.
5.53. Одномерный осциллятор находится в основном состоянии.
Оценить вероятность нахождения частицы в классически разрешен-
ной области. Волновая функция основного состояния
= .4 exp (—x2/2^6), где д0 == VA/wco.
Указание. Для оценки получающегося интеграла использовать
разложение подынтегральной функции в ряд.
5.54. Для молекулы азота Ь<2 оценить число вращательных
уровней, приходящихся на интервал между соседними колебатель-
ными уровнями.
5.55. Потенциальная энергия взаимодействия атомов в двух-
атомной молекуле не является чисто квадратичной (гармониче-
ской). При слабой ангармоничности уровни осциллятора можно
представить в виде &>п — (п + 1/2) — aAco (n + 1/2)2, где а —
коэффициент ангармоничности, со — частота осциллятора. Найти в
этой модели максимальное число колебательных уровней молекулы
Ы2, у которой « = 0,006145.
Указание. Для реальных состояний функция 6и(п) должна
быть монотонно возрастающей. u
5.56. Из-за конечного размера ядра энергетический уровень л-
электрона претерпевает небольшое смещение ра-
диус ядра, который находится по формуле R— >
относительная атомная масса. Оценить величину о от
сдвига &(Av)2o5 границы характеристического рентгеновского А“-и
лучения для ядра ^Т1, если известно, что для 81Т1 этот сдвиг
47
6(/гч)2оз = ~8,25 эВ, т. к. энергия ионизации А-электрона умень-
шается ио сравнению со случаем точечного ядра.
5.57: Считая, что взаимодействие атомов в молекуле HCI описы-
вается потенциалом Кратцера t/(r) = 2с [к) — ’ 0ПРеделить от-
носительное изменение частоты колебаний молекулы при возбуж-
дении ее с вращательного уровня с I = 0 на уровень Z = 10. В молеку-
ле НС1 е = 4,62 эВ, о = 1,27 А.
§ 6. Спин. Атом в магнитном поле.
Эффект Зеемана. Магнитный резонанс
6«1. Пучок циркулярно поляризованного света с длиной волны
Х = 0,5мкм падает на зачерненный диск, подвешенный на тонкой
нити так, что он может совершать крутильные колебания относи-
тельно оси. При этом измеряется установившийся угол поворота ди-
ска массой т = 1 г и радиусом г = 5 см. Найти период собственных
колебаний диска Т, если при мощности светового потока N = 10 Вт
угол поворота диска составил а= 1”.
6.2. Абсолютно черная пластинка площадью 5=10 см2 освещает-
ся монохроматическим светом с длиной волны X = 600 нм, поляризо-
ванным по кругу. Интенсивность света равна 3 = 30 Вт/см2. Какой
вращающий момент М испытывает пластинка? Зависит ли М от рас-
пределения интенсивности в пучке? Как изменится вращающий мо-
мент, если черную пластинку заменить на кристаллическую пластин-
ку в Х/4? Какую надо взять кристаллическую пластинку, чтобы вра-
щающий момент М удвоился?
6.3. Эллиптически поляризованный параллельный световой по-
ток с длиной волны X = 600 нм и интенсивностью о7 = 30 Вт/см2
падает перпендикулярно на абсолютно черную пластинку. Пло-
щадь поперечного сечения светового потока 5= 10 см2. Отношение
длин главных полуосей эллипса поляризации в световом пучке со-
ставляет alb — 1. Найти вращающий момент М, который испыты-
вает пластинка при поглощении света.
6.4. Поляризованный по правому кругу световой поток с длиной
волны Х = 500нм, интенсивность которого составляет 3 =
= 1,4-106 эрг/(с-см2) (такой интенсивностью обладает солнечное из-
лучение на границе земной атмосферы), падает на двоякопреломля-
ющую пластинку в Х/2. Как будет поляризован свет после прохожде-
ния пластинки? Определить вращающий момент на единицу площади
(М/S) такой пластинки.
6.5. На кварцевую пластинку в Х/4 перпендикулярно падает
пучок линейно поляризованного света с длиной волны X = 628 нм
и мощностью N = 3 Вт. При каких условиях пластинка будет
испытывать вращающий момент и каковы его значение и направ-
ление?
43
6.6. Некогерентная смесь естественного и линейно поляризован-
В0ЛНЫ Х = 500™ » интенсивной
3 - I’4 '° эрг/(с см ) (такой интенсивностью обладает солнечное
излучение на границе земной атмосферы) падает на двоякопрелом-
ляющую пластинку в Х/4._ Определить вращающий момент на еди-
ницу площади (MIS) такой пластинки, если направление колебаний
в линейно поляризованном свете составляет угол 45" с главными на-
правлениями пластинки. Известно, что при анализе падающего из-
лучения с помощью поляризатора соотношение = 3.
6.7* Параллельный пучок монохроматического излучения (дли-
на волны в вакууме Л = 496 мкм), поляризованного по кругу, пада-
ст нормально на решетку, изготовленную в виде натянутых прово-
лочек с расстоянием между ними d« При таких условиях решет-
ка полностью пропускает излучение, поляризованное так, что
электрический вектор направлен перпендикулярно проволочкам, и
отражает излучение с поляризацией, повернутой на 90°. Найти вра-
щающий момент М и силу F, действующих на решетку, если ин-
тенсивность потока в пучке <^=10Вт/см2, а облучаемая поверх-
ность решетки 5=10 см2.
6.8. Пучок продольно поляризованных по спину электронов с то-
ком 100 А и кинетической энергией 100 кэВ поглощается цилиндром
Фарадея. Определить силу и крутящий момент, действующие на ци-
линдр. Пучок электронов направлен параллельно оси цилиндра.
6.9. С какой угловой скоростью шив каком направлении дол-
жен начать вращаться цилиндр, подвешенный в магнитном поле В,
направленном параллельно его оси вертикально вверх, если изме-
нить направление поля на обратное? Считать, что цилиндр намаг-
ничивается до насыщения. (Момент импульса электрона в атоме ра-
вен Z, число атомов в цилиндре N, момент инерции цилиндра I.)
6.10. Какое значение для со следует ожидать в упрощенном опы-
те Эйнштейна—де Гааза (предыдущая задача), если длина цилиндра
L = 1 см, его масса т = 1 г, цилиндр сделан из железа и если пред-
положить, что момент импульса каждого атома равен таковому для
электрона на первой боровской орбите?
6.11. На сколько компонент расщепится при проведении опыта
Штерна—Герлаха пучок атомов водорода?
6.12! Пучок атомов натрия, находящихся в основном состоянии,
вылетает из печи, температура которой Т = 350 К. Пучок расщепля-
ется в поперечном неоднородном магнитном поле с градиентом
dB/dx = 50 Тл/м на пути I = 1 см. Детектор удален от магнита на
расстояние L = 6,5 м. Найти расстояние s между пятнами на экране.
6.13. Пучок атомов лития в основном состоянии с максималь-
ной кинетической энергией Т = 0,1 эВ проходит через магнит типа
Штерна-Герлаха длиной / = 6см с градиентом поля dB/dx-
= 5-104Гс/см. Сразу за магнитом расположена система из двух
одинаковых диафрагм S диаметром d, находящихся на расстоянии
L=1M одна от другой (рис. 41). При какой минимальной вели-
49
чине диаметра компонента, разделенного нучка пройдут через
систему даафрагм^ (л = 50). нах(ияши>.ся в состоянии
пропускается через сильное неоднородное^.,агнитное поле. На
н J ____,.о..плинЦ" ПЯДЛОЬеТСЯ таком TTVI1A..9
4-^3/2>
Рис. 41
сколько компонент разооьется такой пучок?
На какой угол разойдутся юседние компо-
ненты пучка, если участок, с неоднородным
полем имеет протяженность / = 25 см. гради-
ент поля в нем dlj/dx = о-10" Гс/см. а ско-
рость атомов с = 500 м/с.'
6.15. Параллельный пучок нейтронов с
энергией Т = 0.025 эВ проходит через колли-
мирующую шелк ширинои d ~ 0.1 мм и затем
через зазор в магните Штерна-Герлаха длиной L =1 м. Оненить зна-
чение градиента поля dB/dx- при котором угол магнитного отклоне-
ния компонент пучка равен углу дифракционного \ ширсния. Магнит-
ный момент нейтрона цп = 9.66-10 -4 эрг/Гс.
6.16Т В опытах Шалла (1968 г.) наблюдалось растепление пучка
нейтронов на два пучка при преломлении на границе однородного маг-
нитного поля. Найти малый угол 0 между направлениями преломле-
ния пучков. Однородное магнитное поле имеет индх i.uiiio В = 2.5 Тл.
Нейтроны с дебройлевской длиной волны 2 = 0.5 нм падают подхглом
Ф = 30° к достаточно резкой границе магнитного поля.
6.17Г Определить возможную мультиплетность атомов Ы. Не. Li.
Mg. Fe, Hg. U. Cl.
6.1S. Какова возможная мультиплетность Sr". Li". Ca~. C“.
04+?
6.19. Какова наивысшая мультиплетность атомов элементов
третьей группы?
6.20. Желтый дублет Na возникает при переходе электронов
32Р—*325 и соответствует длинам волн = 5896 А и Х2 = 5890 А.
Найти энергетическое расстояние До между соответствующими под-
уровнями терма 32Р (мультиплетное растепление). Оценить сред-
нюю величину магнитного поля 13. действующего на •-оптический»
электрон.
6.21: При переходе P—*S из возбужденного состояния атома в
основное испускается дублет ?ч= 455.1 нм и Х2 = 458.9 нм. Какие
линии, соответствующие переходу 251/2-* 2Р3,2. будут наблюдаться в
спектре поглощения газа, состоящего из таких атомов, при наложе-
нии магнитного поля 50 кГс при температуре Т = 0.5 К?
6.22. В отсутствии магнитного поля газ поглотает электро-
магнитное излучение с длиной волны X = 500 нм. соответствующее
переходу из основного состояния 2Pi/z в возбужденное 2Z?3/2- Как
изменится спектр поглощения этого газа в окрестности этой длины
волны при наложении магнитного поля 3 = 2 кГс при температуре,
близкой к комнатной? В спектре испускания этого газа в окрест-
50
|)0Сти л «ЯЮ ИМ наблюдается дублет с ДЛ = о,5им, соответству-
ющий переходам '!->т~*грцг, гОуг~^гр31г1 ' '
6.23. На сколько компонент расщепите/в слабом магнитном ио-
ле мулыипле'1 с заданным полным моментом Р
6.24. Найти энергетическое расщепление термов атомов группы
щелочных металлов, помещенных в слабое магнитное доле.
6.2S. На сколько компонент расщепится в слабом магнитном по-
ле линия Na, отвечающая переходу
6.26. Найти число компонент сложного эффекта Зеемана линии
Na, указанной в предыдущей задаче, которые поляризованы по маг-
нитному полю.
6,27’ Определить расщепление спектральной линии
~*25|/2 15 слабом магнитном поле. Для натрия эта линия является ко-
ротковолновой компонентой (Л = 589,0 нм) двойной линии D &
АТ. ~ 0,6 нм. Какие магнитные поля в этом случае являются слабыми?
6.28. На сколько уровней расщепится в сильном магнитном иоле
терм с Л = 3 и 5 = 0? Какова разность энергий соседних уровней?
6.29. На сколько компонент расщелится в магнитном поле спек-
тральная линия, связанная с оптическим переходом Ls3'*L-2
(излучается £3-фотон), при простом эффекте Зеемана?
6.30’ В сильном магнитном ноле В при наблюдении в направле-
нии, перпендикулярном полю (поперечный эффект Зеемана), в спек-
тре излучения имеется три линейно поляризованных линии; несме-
щенная спектральная линия с длиной волны Л и электрическим век-
тором, направленным вдоль магнитного доля, и две смешенные — с
электрическим вектором Е ±В, Это излучение пропускается через два
скрещенных поляризатора, между которыми находится анизотропная
кристаллическая пластинка с заданными Дл и d, Оптическая ось пла-
стины составляет углы 45° с направлениями поляроидов. При какой
величине магнитного поля в спектре излучения будут видны лишь две
крайние линии?
6.31. Атомарный водород помещен в магнитное доле2Тл, много
большее характерного поля атома, т, е, магнитного поля атома, дей-
ствующего на электрон, Определить максимальную дополнительную
энергию (в эВ), которую приобретает атом в состоянии с я = 3 и
нарисовать картину расщепления этого уровня,.
6,32. Наблюдается простой поперечный эффект Зеемана в маг-
нитном поле В — 5000 Fc. Какова должна быть минимальная длина
L дифракционной решетки, чтобы разрешить все линии зееманов-
ского триплета? .
633 При какой минимальной ширине Д дифракционной ре-
шетки, имеющей п = 600 лииий/мм, можно разрешить в первом
порядке дублет простого эффекта Зеемана для спектральной линии
0,612 мкм? Напряженность магнитного поля
6.М С помощью эшелона Майкельсона наблюдается зееманов-
ское оасшепление D-линии натрия в магнитном деле # — эуууас
^Хй ”кт). Какова докна быть максимальна;. толщина
d пластины, чтобы эшелон оыл пригоден для исследования рас-
щепления? Показатель преломления материала пластины 4 = 1,5.
Под D-линиями Na понимают две линии нерасщепленного полем
дублета З2/^-* 325ц2 и 32Pi/2—* 325j/2-
6.35. Определить верхний предел расстояния L max между зер-
калами интерферометра Фабри—Перо, чтобы с его помощью мож-
но было исследовать (без перекрытия спектров разных порядков)
простой эффект Зеемана в магнитном поле В = 1 Тл.
6.36. Какой эффект Зеемана — простой или сложный — наблю-
дается при расщеплении спектральной линии в магнитном
поле В = 104 Гс? В каких пределах должно лежать расстояние L меж-
ду зеркалами интерферометра Фабри—Перо, чтобы обнаружить и ис-
следовать зеемановское расщепление рассматриваемой линии? Зерка-
ла посеребрены так, что эффективное число отражений между ними
А^эфф = 20-
6.37! Найти зеемановское расщепление Дсо спектральной линии
zD2/2—>2Pi/2- Указать число компонент в расщепленной линии.
6.38. Цезий принадлежит к числу щелочных металлов. При
P-*S- переходе в атомарном цезии испускается дублет, состоящий
из двух линий: = 0,4555 мкм и Л2 = 0,4593 мкм. Найти расщеп-
ление термов этого дублета в магнитном поле. Какими формулами
описывается в этом случае расщепление линий в магнитном поле
с индукцией В—3 Тл: формулами для нормального или аномаль-
ного эффектов Зеемана?
6.39. В спектре лития две первые линии главной серии принад-
лежат переходам 22Pil2—>22S\l2 и 22Р212—> 2251/2. Длины волн этих
линий равны Xj = 0,670780 мкм и Х2 = 0.670795 мкм. Оценить ин-
дукцию В магнитного поля, которое создает орбитальное движение
электрона в атоме лития в состоянии 2Р.
6.40. Так как атом мюония состоит из двух «точечных» ча-
стиц, то для него не нужно вводить при расчете уровней энергии ни-
каких поправок на конечный размер ядра. В результате очень точных
измерений частоты перехода 1251/2^225]/2, проведенных в 1992 году,
было получено значение v = 2 455 529 ГГц. Найти из этих данных от-
ношение массы мюона к массе электрона.
6.41. Оценить расщепление уровня п=2, /=1 водорода из-за
магнитного взаимодействия спина с его орбитальным движением.
У к аза ни е. Энергия взаимодействия спина с орбитой пропорци-
ональна cos Is, где 1 — орбитальный ns — спиновый моменты.
6.42. Оценить дублетное расщепление первой линии серии Лай-
мана в спектре излучения водорода, предполагая, что состояние
л = 1 не расщепляется, а состояние п = 2 расщеплено на величину,
вычисленную в задаче 6.41.
6.43. Показать, учитывая магнитное взаимодействие спина с ор-
битой, что интервалы между компонентами одного мультиплета (в
шкале частот) относятся, как целые числа. Чему равны эти числа?
Указание: см. задачу 6.41.
52
6.44. Оценить, какое минимальное магнитное поле В можно об-
наружить у звезды типа Солнца (период вращения т = I0«TSX
£= 1О10 см, температура поверхности Солнца Г=6-КРК->ТХ
мопаю эффекта Зеемана в оптической области спектра
(gJq = 1U“C
о.чд. величину магнитного поли В в кото-
рой происходит перекрытие крайних компонент магнитных под-
уровней атома водорода в возбужденных состояниях с паавнышг
квантовыми числами <1[ = 10 и п2 = И. Собственный магнитный ио-
мент электрона не учитывать.
6.46. Оценить величину расщепления 2р-сосгояния позитрония
вызванного взаимодействием спиновых магнитных моментов позит-
рона и электрона.
6.47. Определить отношение интервалов между соседними под-
уровнями сверхтонкой структуры атомного мультиплета с заданным
значением полного момента Спин ядра равен I.
Указание. Спином ядра принято называть его полный момент
импульса.
6.48. Взамодействие ма± питых моментов протона и электрона в
атоме водорода приводит к расщеплению энкртстипегк-и-г уровней
а возникновению сверхтонкой структуры. Излучение межзвездного
атомарного водорода, находящегося в основном состомнии, вызвано
переориентацией электронного спина, т. е. переходами между ком-
понентами сверхтонкой структуры. Оценить длину волны X этого
излучения. Для оценки заменить истинное распределение плотно-
сти спинового магнитного момента электрона таким, которое дает
однородно намагниченный шар радиусом rg. Размагничивающий
фактор шара [3 = 4л/3.
Указание. Магнитное поле внутри шара Н =—|ЗМ, где М —
намагниченность. Магнитный момент протона равен Hp=&bIWp>
i^e- g-sp = 5,58 — оттиновый g-фактор протона, se — его спин, —
ядерный магнетон Бора.
6.49. Магнитное поле, создаваемое электроном с I ф О' в месте на-
хождения ядра., является суммой поля орбитального движения
В£-=—2 — = —2 gi |Лб -у и поля магнитного' диполя, связанного с рас-
пределением спиновой плотности. Аппроксимируя, последнее как
= —2 = -2&цб 4-, оттенить сверхтонкое расщепление, уровня
2рз/гв атоме водорода. Спиновые g-факторы для протона g5p=5,58,
для электрона gs = 2, g[ — i .
6.50. Хорошо1 известно, что космическое излучение'на длине,-вол
нее %. = 21 см обусловлено сверхтонким расщеплением оснцвт со-
стояния атомарного водорода. Оценить-на основе ^_M^_nq_nnHW
чину энергетического расщепления (в эВ-} 2р-сост -
-5Э:
6.5К BiuniMO/vei'iciвне магнитных моментов iicirrpoiia и электро-
па может формально привести к связанному стабильному состоя-
нию этик частиц. Каков получается характорпып размер такой си-
стемы? Движение электрона считать вере11ятпвистким.
6.52. Система из двух тождественных иси i ра.лыгых частиц со спи-
ном 1/2 находится и основном состоянии в одномерной потенциальной
яме шириной (I с бесконечно высокими стенками. Каждая частица об-
ладает массой т и манштным моментом р. направленным параллель-
но механическому моменту. Определить лслипипу магнитного поля,
которое необходимо приложить для пама! пичивапия ткой системы,
Дипольным взаимодействием частиц пренебречь.
6.53. Атом водорода в основном состоянии помещен в магнитное
поле В. Оставаясь в рамках боровской модели атома водорода, оце-
нить, при какой его величине размеры атома в плоскости, перпен-
дикулярной полю В. начнут уменьшаться.
6.54. Найти энергию магнитного взаимодействия двух атомов во-
дорода, находящихся на расстоянии .) i О' ° см. Считать, что электро-
ны в атомах движутся по первым боровскпм орбитам. 11лоскостп ор-
бит обоих атомов параллельны. Спин элекгропа нс учитывать.
6.55. Свободные атомы могут обладать магнитным моментом, но
не имеют дипольного электрического момента. А темы, входящие в со-
став кристаллической решетки, при известных условиях могут иметь
такой момент. В этом случае возможен лараэлектрический резонанс,
аналогичный парамагнитному. Найти дипольный момент атома р„,
если известно, что резонансное ноглощснне ;шектромштпггных воли
с длиной волны А = 5 мм наблюдается при напряженности постоян-
ного электрического поля Е — 2.5'10л кВ/м. Оценить размер / атом-
ного диполя.
6.56Т Известно, что в сильных магнитных полях, когда магнит-
ное расщепление fxZ? превышает расстояние между линиями тонкой
структуры USL, в оптических спектрах, соответствующих 2P-*2S
переходам, наблюдаются три линии. Однако при измерениях с вы-
сокой разрешающей способностью видно большее число линии спек-
тра. Их наличие обусловлено спин-орбитальным взаимодействием.
Вклад этого взаимодействия в энергию атома можно рассматривать
как малую добавку и считать его равным ,1 ((S. L)>, где /1 — кон-
станта, S, L — спиновый и орбитальный моменты атома, а угловые
скобки означают усреднение по основному состоянию. Нарисовать
истинную картину расщепления атомных уровней и результирую-
щую структуру спектра при учете енпп-орбптальиого взаимодейст-
вия. Чему равна величина тонкого расщепления спектра?
6.57. При наблюдении ЯМР на ядрах 25Mg обнаружено резонанс-
ное поглощение излучения на частоте v = 1,4 М Гц в поле В = 5,4 кГс.
У ядра MMg спин 1 = 5/2. Найти g-фактор и магнитный момент ядра
(см. указание к задаче 6.47).
6.58. Для измерения магнитных нолей /5^0,1 кГс используют
метод ЯМР в проточной воде, в котором вода предварительно на-
54
XWWVW-V.'IA'I пр<>ц.\х'кЛццем ее чеоеа Л™
‘'^Х^ХгТЖ ?елакадвд 0™ь
кины-м ЯМР в щщал’ццчекной воде цо сравнению с
сщ-вадем ллч цецдеивдадеидой, воды. сравнению с
а в.ива а не. В эксдерныентда обычно измеряют ногдошенне
дадалча V«WUO нерешенного, девд. Поэтому сигнал - этоцо
**•«*«* »«- чкЛХ
^W>-\ кьани. О.ц ].авно числу 51дер. (электронов), совершавших
переход хи ж ду двумя магнитными подуровнями, т. е. разности засе-
ленное оса двух (для простоты) уровнен при данной, температуре
О.ЛУ\ Как изменится величина сигнала ЯМР црц увеличении резо-
нансной частоты б два раза.. Считать, что магнитная энергия
. < м. хказанне к задаче6.58.
6.61). Ь методе адиабатического размагничивания низкая тем-
пература иолу чается при выключении внешнего магнитного ноля
за счет энергии, затрачиваемой на разорцентацию атомных или
чдераых магнитных моментов в теплоизолированном образце. Оце-
нить предельно низкую температуру, до которой можно охладить
систему ядер о3Си такам методом. Спин ядра 63Сц равен /~3/2,
среднее расстояние между ядрами в рещетке меди d = 2,5 А. Из-
вестно. что ядернын магнитный резонанс на ядрах 63Си наблюда-
ется на частоте v = Ц.31 МГц в ноле В-= ЮкГс.
6.61 .“ Электронная конфигурация трехвалентного иона иттербия
представляет собой полностью заполненные оболочки Хе + 4/4
На какой частоте наблюдается электронный парамагнитный резо-
нанс ня ионах Yb3+ солей трехвалентцого иттербия в магнитном
доле В = L03 Гс?
Указание. По правилу Хунда в основном состоянии J =
= j L — 5L если заполнено меньше половины оболочки, и J = L 4- 5,
если больше половины.
6-62. Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) обусловлен
переходами между подуровнями с различными. проекциями магнит-
ное момента. Найти частоту ЭПР для солей трехвалентцого. цразео-
дама в. магнитном поле # = 0.1 Тл. Электронная конфигурация РС+
представляет собой полностью заполненные оболочки. Хе -ф 4/2. См-
указание к задаче 6.61.
6.63 . Определить намагниченность насыщения MQ, образца ме-
татдцческого диспрозия (плотность, р = 8,55г/см3) при. температу-
ре., близкой к абсолэотцому нулю. Полный момент иона диспрозия
Ру3+ J. ~ 15/2. а электронный, парамтвдный резрнадс на ионах
диспрозия наблюдается в магнитном ноле #5Q31 = 1000 Гс на частоте
ц,= 1 р-фО? Гц.
6.64 , Определить намагниченность цдсыщенця MOlобразца метал-
лического эрбия (плотность р = 9^07 г/см3)
К абсолнхгному нулю, если известно, что электронная конфигурация
55.
иона Ьг-'*' предоав-г-км uoce.i ।-с.i' осiъ.с .ve.i-гончую ооолочку
\е -I- 4/ н. На какой час юге v наблюдает; гае^' оонныи парамагнит-
ный резонанс на ионах эрбия в магн'инсм ito.ie И = 1ССО Гс?
6.65 . В ломах юпсра. находящихся в основном состоянии 2Л,?.
один из электронов с /. = 1 из бд-оболочки переведен в Зй-ободоч-
ку. При этом подученная конфигх рация oe.'iajaei максимально воз-
можными L и S и минимально возможным J. На сколько компонент
расщепится пучок таких везб\жлеччых ломов xicoa. если его про-
пустить через прибор типа Штерна— > ерла\t. (.'сьясн'пь получен-
ный результат на основе векгорноп модели.
6.66 Г Образец тефлона (полимера с химической формулой
(С1?->)(1. где а — целое число) массой оО г намагничивается в магъят-
ном'аоле Д=20кГс при температуре Г = 0.05 К. Намагничивание
обусловлено расщеплением основного состояния ядра фтора 'qF (спин
ядра I = 1/2. см. указание к задаче 6.47) в магнитном поле на два под
уровня. При выключении поля образец получает момент импульса
L = 24.2-10“° эрге (аналог эффекта Эйнштейна—де Гааза в ферро-
магнетиках). Определит величину магнитного момента ядра фтора.
6.67 . В атоме гелия состояние -’Si оютопт от основного пример-
но на 20 эВ. Оценить, в какое магнитное поле нужно поместить
атом гелия, чтобы выстроить спины его электронов параллельно.
6.687 Образование молекул водорода происходит только в том
случае, если спины двух сталкивающихся атомов анттшараллельны.
В настоящее время предпринимаются попытки хранения атомарного
водорода при низких температурах в сильных магнитных полях. Оце-
нить степень деполяризации а атомарного водорода, определяемую
отношением числа атомов с антипара.стельными спинами к их полно-
. му числу, при температуре Т = 1 К в магнитном поле В = 10 Тл.
6.69? Атомы, обладающие магнитным моментом, могли бы обра-
зовывать упорядоченную структуру за счет магнитною взаимодейст-
вия. Оценить, при какой максимальной температуре это еще возмож-
но. если ме,жатомное расстояние и = ЗА (типичное значение посто-
янной решетки в твердом теле).
6.707 Электрон, движущийся с постоянной скоростью в плоско-
сти. перпендикулярной силовым линиям однородного магнитного
поля В = 103Гс. совершает финитное движение. Согласно кванто-
вой механике такое движение квантуется. Используя аналогию с
классическими уравнениями движения Гамильтона, определить
квантованные значения энергии электрона, соответствующие этому
орбитальному расщеплению (уровни Ландау). Какова возможная
минимальная энергия электрона? Как изменится спектр разрешен-
ных энергий при учете спина электрона?
Указание. В присутствии магнитного поля связь между ско-
ростью и импульсом заряженной частицы имеет вид p = wv4-^A.
где А — векторный потенциал. Для постоянного магнитного поля
5ь
oai"его “0Жйо 6 иие А=<°> °) -
5MawTO‘ перпендикулярной мак
8«Ш! “У'УД У14’ ' г<- Кас К любое другое финитное дни-
«яве. икот .дам» квантуется. Используя аналогию с кдасси-
чглшнн jjwwmwn лишения Гамильтона. найти минимальную
•ЛЙЭДМ». C-U‘4HK.<MJK> электроном в координатном и импульсном
хаэакче. Воспользоваться результатами задачи 6.70.
72*j' рентгеновском спектре нейтронной звезды массой
КТ-4 г нлолю.лается провал (поглощение излучения) при энергии.
>0 кэо и максимум при = 460 кэВ (рис. 42). Поглощение при
ллп <&• I созывают с квантовыми переходами свободных элекгро-
нов в магни сном поле звезды (уровнями Ландау)., а максимум, при
&>—'•сан.ннгщгяцеи электрон-позитронных пар. Учитывая смещение
спекгра в гравитационном поле звезды, оценить радиус звезды, и ве-
<е-ц
Рис. 42
6J3Z В экспериментах Цзяньсин
В\ с сотрудниками по наблюдению
кесохрйненнч четности в слабых вза-
имодействиях из) чался ^-распад
ядер. которые были внедрены & n<ipa-
чагнитну ю соль, Последняя слуасьыа
для получения низких температур,
(J* =5i 0.01 КУ четодом адиабатическо-
го размагничивания (см. зада-
чу 6.60:). Электроны парамагнитной, сода создавали на ядрах кобальг-
та ^гнидное поле Н = L05 Э и тем самым поляризовали ядра по спи-
ну. Какова была бы в экспериментах такого рода степень поляриза-
ции ядер ? = (Д'- — А-)/(№’ -Ь №), где №\ N~ — числа ядер го
спинами по полю а против поля, если бы изучался [Зграспад из воз-
будсденного состояния со спином Z = 1. g = 2?
6Л41 Атом водорода находится в состоянии с энергией
$=:—ЭЛ эВ. и при этом радиальная часть волновой функции ни
разу не обращается в нуль, на интервале- Qi < г < «.. На сколько,
подуровней. расщепится данный энергетический уровень в сальном,
магнитном поле?
6Л5*. Атом водорода находится в> состоянии с энергией
<§, = —3.4 эВ. и при этом радиальная, часть волновой функции один рад
обращается в нуль на интервале б < г < «м На сколько линии расще-
пится данный уровень энергии в слабом и сильном магнитных подах.
6,7'6* В спектрах газовых туманностей наблюдаются линии',, ко-
торые долго не могли приписать ни одному из. известных элементов;
и; поэтому приписывали их гипотетическому элементу «неоулию»
(nebitla; — туманность)'.. Впоследствии выяснидосьу что> элю — линии,
чоада кислорода и азота. Наиболее иитенсившда дай
соответствуют переходам >3Py (Al — 50Ш А)) и ;t
57'
{=-14)59 Л) иона О' '. Н.нни длину ли......ерехпла 3/‘, R
схеме Рассела—Саундерса (/Лчхема).
У к а зап п е. ' )нергпя 111 н н-opoi i) а л ы юг о ваа и модейп впя есть
& = ,-| ((L, S))> ‘Vie 4 — koih тан id (для иона О 1 1 коне га ига . I > 0)
а угловые скобки означают усреднение но направлению векторов ор-
битального момента I. и спина S.
6.77. В спектрах солнечной короны наблюдаются линии, которые
долго не могли нриппса гь ин одному на нанес ина элемитов, поэто-
му их приписывали гипотетическому алемеизу -корониктл Впослед-
ствии выяснилось, что это — в основном линии попов железа и нике-
ля. Средн наблюдаемых линий ^коронпя- <ч гь линии, соответствую-
щие переходам (X, = 26-19 Л) и (Х> = 3987 А)
иона железа FellH. llaii iu длину .липин перехода !Р, в схеме
Рассела—Саундерса (Лб-схема).
У к а з а н п е. 'Энергия еннн-орон i а явного взаимодействия есть
= .4 {(L, S)), где .1 — константа (для иона l-’e101 константа
.4 < 0), а угловые скобки означают усреднение по направлению век-
торов орбитального момента L и пиша S.
6.78. Возбужденное состояние атома юлпя 1№2х' может иметь
полный спин электронной оболочки 5 как I (opioi един ), лак и 0 (па-
рагелий). Энергии полной ионизации этих сот гояний II7,,,,,,, = 59,2 эВ
11 B'lhipa = 58,4 эВ. Кроме энергии взанмодейс i ния с ядром, в эти энер-
гии вносят вклад не зависящая от полною спина час. н> энергии куло-
новского отталкивания электронов и завистная oi полного спина
часть, называемая энергией обменно! о взаимодействия,
I7 = — у (1 + 4(s, где . I — констан га, S|, s2 — спины электронов
(S = S; + s2), а угловые скобки означают усреднение по направлени-
ям спинов. Найти .1 и £к считая, что оба элекирона находятся в поле
ядра с Z = 2, т. е. не учитывая экранировку поля ядра электронами.
6.79. Атом хлора, находящийся в основном соеюялии "/’д/т, по-
мещен в постоянное однородное магншное поле с индукцией
72= 104 Гс. Найти частоту переменного поля, при Koiopoii возникает
резонансное поглощение энергии атомами хлора. Расстояние между
подуровнями тонкой структуры атома хлора составляет 0,11 эВ. Уг-
ловой момент ядра не учитывать.
6.80. Пучок атомов, находящихся в основном состоянии, рас-
щепляется в эксперименте типа Штерна—Герлаха на 9 компонент.
Магнитный момент атома в этом состоянии равен 2,4р|,, Найти ор-
битальный момент атома, если мультиплетность данного состояния
равна 5. Момент в атомной физике — это величина его макси-
мальной проекции.
58
$ 7. Ядерныв модели. Радиоактивность.
Эффект Мессбауэра
7.1. Определите средте» плотноста ядерного «адрст». цодагаа,
чторедиуседраргГьенД L3 4' фч, где al — массовое чиио (число,
дададтеХ Энергия, связи на один цукдонй = 8,5 МэШутен S
да №’« ™х =“ Ш МэВ/?.!) WWQB-*
7.2. Определите. энергию Ф,, кулоновского расталкивания црото,-
да а ядре а цре/ню.'юженни, что протоны распределены цо ядру
равдомерно. Остановите зависимость <£к от чиеда нуклонов д Ди-
ряда ядра 2. Радиус ядра 75 = (ЗД'афад.
7.3: - Поверхностная энергия атомного ядра равняется примерно
-1,7,8 Л1'* МэВ. Радиус атомного ядра й=1,ЗДР3фм. Найти по-
верхностное натяжение о ядерного вещества- Сравнить найденное
даченне с поверхностным натяжением ртути (оНе = 470 эрг/смФ).
7.4! Энергия связи атомных ядер при заданном числе Л нукло-
нов, в ядре уменьшается с увеличением числа протонов, Z из-за, воз-
растания кулоновской энергии |,ФЕI = 0.71, МэВ. С другой сторсь
щц при отличим чцеда, нейтронов от чдела протонов энергия связи
уменьшается на величину S, — 47,,4‘^ Z)~ МэВ. Определить, при за-
данном А оптимальное значение Z, црц котором, энергия связи ядрд
мдццмальна. Определить Z/Д при А = 10; 50; 100; 150 и 200. Найти
из., справочных данных подходящие’ изотопы,.
7;5. С помощью формулы Вайцзеккера найти заряд Zo, наиболее
устойчивого ядра-изобары, при заданном нечетном значении Д, Выяс-
киков характер активности у ядер 27Mgx 29?\ 37К>, ^Си..
Разница, в энергиях связи ядер» трития и гелия Шо обус-
довдена, энергией электростатического, взаимодействия протонощ
Ценить размеры, ядра |Не. Энергии связи ядер- и Ше равны, ср-
ответственно && — 8:t482*МэВ, ^hq=?„7>^1S:M3S.l
7’..?^ Ядро ilSi переходит в «зеркальное», ядро. 2зМ- испытывая Р+-
пягпяд Максимальная кинетическая энергия выдетевщего позитрона
11пах= ЗЛ8 МэВ'. Оценить по этим данным велдчиду формуле для
?аадуса,ядрдЛ=МУЗ-. '
7.8. Нейта разность, энергий связи для. дар зеркин«шх «дсп l в,
*Т)> И C3N,, ,;,С). Показать что эта разность В значительной степени
о^усстрвдеыа кулоновским взаимодействием протонов; в; ядре. Энергиях
Связи ядер; взять из таблицы в. конце сборника.-
Ядро 4®о «церегрудсено» протонами и испытывает цревраще-
тезй-fcju.'Масси этих, атомов, раввд,, содайелвен^,. 7?„(Й6Э> и,
.'Хр.-т: / ••••“>’
?»
7,0160а. с. м. Определить гип бгта-раенала• "r,v< поп./пглающего э-10
превращение.
7.10. В 1942 г. американский (|шзпК Алчен пи-зерпл максималь-
ную энергию атомог’ ZL1. образующихся в рсгульгаге /С-захвага
в ядре 7Ве. и опа оказалась равной 50эВ. Uiirnnin па основе этих
данных разность масс атомов fBc и f'J.
7JI. Определив ь энергию отдачи ядра атома нипя. которое об-
радуется в основном состоянии при пиглишегнти электрона с /(-обо-
дочки ядром атома бериллия.
7JX Потенциальную унереню пj<iпмс»/тенс тлт/$с нуклонов в дейт-
роне можно аппроксимировать сфера чес к и симметричной прямо-
угольном ямой (си. задачи 3.16— .>. 18)- При атом в системе центра
масс волновая функция основною состояния имеет вне области ямы
следующий вил '['=/! с ’’Чг. где/I = cotisl. л — 2.J-101' см-1. Найти
красную границу реакции фоторасщепления дейтрона у-кватпамп.
7.13’ Согласно гидродинамической модели ядра Шгайнведеля-
Енсена протоны и нейтроны образуют сжимаемые и свободно прони-
кающие друг в друза жидкости. двигающиеся внутри жес гкоп оболов
кп исходного ядра. Гигантский резонанс л ядрах соответствует воз-
буждению противофазных колебаний утих жидкостей, при которых
протоны и нейтроны в ядре то пространственно разделяются, то рав-
номерно перемешиваются. Исттоль.зуя формулу Вайцзеккера, оценить
энергию гигантского дипольного резонанс;! 4фк тто .згой модели в сфе-
рическом ядре с /1 = 6-4 (Z = -V). который возникает при возбужде-
нии волны с kR = 2.08. тле к =2л/\ — волновое число, к— длина
волны, R — радиус ядра. Закон дисперсии этих волн считать линей-
ным (со = ku, где и — скорость расирос гранения колебаний, равная,
как в любой жидкости, и — Ч~К/М. где в данном случае К — жест-
кость ядра относительно смещений нуклонов. А7 — масса ядра).
7.14. Согласно оболочечтюй модели ядра нейтроны н протоны
независимо заполняют потенциальную яму. Определить число нук-
лонов Л. которые могут располагаться на грех первых ядерных обо-
лочках, считая потенциальную яму трехмерной параболической.
7.15* Простейшей оболочечной моделью ядра является трехмер-
ный гармонический осциллятор. Считая, что потенциальная яма яд-
ра имеет глубину 6ф = —70 МэВ, а 0/(/<()) = 0. где /?() — радиус яд-
ра, оценить энергию связи нуклона для ядра кислорода ((’О.
7.16. Аппроксимируя ядерный потенциал трехмерной параболи-
ческой ямой глубиной U{> = —60 МэВ. оценить энергию однонуклон-
ного возбуждения в ядре $Са. Считать, что б/(«о)=0, где Ао -
радиус ядра.
7.17. У ядра дейтерия — дейтрона d — нет стационарных воз-
бужденных состояний, а энергия связи нуклонов составляет
^св = 2,23 МэВ. Аппроксимируя эффективный потенциал нуклон-
нуклонного взаимодействия трехмерной сферически симметричной
прямоугольной потенциальной ямой глубиной t/0=—ЗОМэВ, оце-
нить радиус эффективного потенциала (см. также задачу 3.18).
60
дев^ ycX^e₽T^r^sr°~-^-
& — 2,23 МэВ. Аппроксимируя эффективный пХтдал ч-де™
донного взаимодействия трехмерной сферически rZX7Z7, yK‘
дательной потенциальной ямой, оценить спдеи.Л Р,иои ЯР®'
уйигрона, т. е. среднеквадрате^^Х^Т^РВД1-
U задачи 7.12, 3.18 и 3.20). Считать, фонами
сравнению с энергией уровня. луоита ямы велика по
7’19: На Р“;г43 ю°б₽ажен ™«тр низколежащих возбужденных
уровней ядра * U где & - энергия уровня, L - квантовое
иента импульса. Показать, что эти уровни сответствуют возбуждению
вращения ядра как целого относительно оси, суждению
перпендикулярной к оси симметрии ядра. Оце-
£,кэВ
нить из этих данных момент инерции J ядра. 297----------б
7.20. Ядро 234U является продуктом распа-
да основного изотопа урана 238U. Определить
период полураспада 234U, если его содержание
в естественном уране в настоящее время со- _____________ _
ставляет 0,0055%. Период полураспада 2381Г
равен Tg =4,51 • 109лет. Считать, что вначале 43------------г
«наработанного» 234U не было. °' О
7.21. В настоящее время в природном ура- Рис-43-
не содержится £s=99,28% M8U и —0,72%
Какое соотношение между 238U и было в момент- образо-
вания Земли, если возраст Земли равен 4-109 лет? Периоды полу-
распада Т5 = 0,713-Ю9 лет; Т& = 4,51'109>лет. Вычислить возраст
Земли в предположении, что в момент образования Земли содержа-
ние W и 238 U было одинаковым,
7.22. Период полураспада 234П равняется =2,48'105 лет; Ос-
тался ли хотя бы один атом ^U, который существовал в момент
образования Земли — 4-Ю9 лет тому назад? Как объяснить,.что в
природном уране содержится примесь И4и в количестве 0,655.%?'
7.23, Периоды полураспада 238U и равны соответственно
Tg = 4,51-Ю9 лет и Т5 — 0,713-109 лет. Определить средние време-
на жизни этих изотопов.
7.24. Полагая, что перед а-распадом в- ядреобразу.ется.самосто-
ятелъная а-частица, оценить отношение интенсивностей Sх/с^г-двух
групп а-частиц с кинетическими- энергиями 6,3 и 5,7 МэВ-,• испуска-
емых ядрами с Z = 86 и А = 220. В обоих случаях частоту ударов
о «стенку» потенциального барьера считать одинаковом.; -. •
7.25. Оценить период полураспада Тцъ радиоактивного1 ядра, ис-
пускающего а-частицы в энергией 1 МэВ;, если- ядро ^оТЬ имеет пе-
риод полураспада Тш = 1,4-1010 лет и испускает а-частицы с энер-
гией 4МэВ, а для ядра период полураспада равен
%=34(Г7с и ^^8-ЛМэК
6Ф.
7.26. Энергия ci-частиц. испускаемых тяжелыми ядрами (Z--90)
примерно равна £а "4.5 МэВ. а период их полу распада ->7- 10s дет.
Оценить период полураспада такого же ядра по отношению к вылету
протона той же энергии = 4.5 МэВ. Считать задачу одномерной,
кулоновский потенциал а^предэкспоненциальный множитель
в выражении для проницаемости оарьера константой.
7.27! Исследование свойств «-радиоактивных ядер показало, что
ядра в области Z1"90 испускают а-частлцы с энергией О("4МэВ
(например, ядро тйуТЬ). а в ооласти редкоземельных элементов, где
Z2"65. _ с энергией о2"2 МэВ. Оценить период полураспада ре-
дкоземельных ядер Т2. если известно, что у тяжелых ядер он лежит
в районе " 1О'°лет. Считать, что а-частицы при распаде преодо-
левают высокий одномерный! потенциальный барьер, г. е. а
предэкспоненциальный множитель в выражении для проницаемости
барьера — константа.
7.28. Оценить высот} кулоновского барьера для ц-частиц. испу-
скаемых ядрами 2;jRn. Какова у этих ядер ширина барьера (тун-
нельное расстояние") для п-частиц с энергией б = 5.5 МэВ?
7.29! При радиоактивном распаде t,cCo испускается электрон,
спин которого параллелен импульсу. Считая, что электроны выле-
тают из образца изотропно, оценить, на какой у гол -р повернется
диск, подвешенный на нити, если образец кобальта нанесен на одну
из поверхностей диска. Толщина диска достаточна для полного по-
глощения в нем электронов, вылетающих в сторону диска. Актив-
ность препарата’) -^- = 0-37 ТБк = 0.37-10'2 раси/с. модуль круче-
ния нити равен / = Ю-0 дин-с.м/рад.
7.30. Содержание изотопа U в природном у ране сейчас состав-
ляет 0.7196%. Свежеприготовленны!! препарат, содержащий 100мг
химически чистого природного урана, характеризуется п-активно-
стью в 0.043 мкКи. Такой же препарат урана, обогащенного до кон-
центрации в 50%. имеет активность 0.150 мкКп. Вычистить:
сколько лет назад содержание -’’и составляло 50'/.,? Сравнить поду-
ченный результат с возрастом Земли.
7.31! Оценить по порядку величины время жизни возбужденного
уровня ядра с радиусом 7?=4-10“1jc.m при электрическом мтльти-
польном (дипольном, квадрупольном и т. д.) излучении ‘/-кванта с
энергией <£.; = I МэВ.
Указание. Классическое выражение для интенсивности, т. е.
энергии дипольного излучения заряженного осцилятора в единицу
времени, есть W= —т d-. где d—вторая производная по времени ди-
польного момента.
э 1 inTo1* 1 Р‘Упзла в секунду установлено название 1 беккерель U Бк): I Ки (кюри)-
□,7-10 расп/с. к
62
ii32- З'Д-г.тьное содержание пзотопя l4r
лур^с i, z - dU лет. Определить возраст t деревянного предме-
та. еонадскеыиго при раскопках, если удельная активность 14С этого
предмета составляет 0.1 от удельной активности2) свежесрубленного
тсренИ-
7л.2- i Дельное содержание ^изотопа 14С, усвоенного деревом при
да, жизни- уменьшается затем олатодаря p-распаду с Ти, = 5700 лет
Бетой минимальный возраст дерева можно определить по активности
УС. еелг регистрируется № 10* актов распада? Считать, что ско-
рость осрааования С за счет оомбардировки атмосферы космически-
из: лицами от времени не зависит.
734- Ядро.. пролетая через кристалл, подвергается воздействию
пердшического поля решетки кристалла, в результате чего воз-
изш резонансное возбуждение ядерных уровней (эффект Окоро-
шзна смотрите также задачу 4.4/). Обусловлен этот эффект тем,
чш® е системе покоя ядра возникает переменное электрическое пен
де. Дсу какой полной энергии надо разогнать ядро i9F фтора, чтобы
арЕ прслете_ через кристалл вольфрама в нем возбуждался уровень
с энергией <6=110 кэВ? Период решетки в направлении движения
7-35? гдовой и магнитный момент ядра1 |С полностью опреде-
ляется неспаренным нейтроном, находящимся в состоянии 1р1/9 над
ггппчпетью заполненной подоболочкой 1 р3/2. Определить магнитный
мпмешг pi ядра (в ядерных магнетонах Бора).. Магнитный момент
сншодЕОТО нейтрона u^, =gsnp.„sn = -1,91р.ад , где gsn= -3,82 —
gnu новой Е-фактор нейтрона, sn = 1/2 — спин нейтрона.
Указание. Магнитным моментом ядра принято называть вели-
яину максимальной проекции магнитного момента на заданную ось.
7-3’6- Согласно оболочечной модели ядра в ядре неспаренный
притоне определяющий его угловой и магнитный моменты, находит-
ся! в состоянии lpt/2 сверх полностью заполненной подоболочки
П^/2_ Определить величину магнитного момента р. этого ядра (в
L)i Суга, радиоуглеродного метода определения1 возраста биологических объектов за-
кпочается а следчющем". В атмосфере Земли постоянно1 образуется радиоактивный
изотоп углерода LJC из атмосферного' азота при взаимодействии последнего с нейтро-
номилгасмичесхого излучения в верхних слоях атмосферы. Живые организмы потреб-
ляют его1 в: той или иной форме наряду со стабильным углеродом С. В* результате
обмена! веществ- в- живом организме, как полагают биологи, концентрация С при
жизни поддерживается постоянной и одинаковой во всех живых организмах. Полага-
ют также постоянной и не меняющейся в течение тысяч лет концентрацию С в
атмосферы. После биологической смерти, когда обмен-веществ прекращается, радио-
углерод! начинает распадаться, и- концентрация его уменьшается’ с временем., по ак-
тивности: препарата,- изготовленного из объекта,- и определяют его возраст.
Активностью’ называется величина XV — число ядер (из обВД-го числяЮ,- рас-
падающихся; а единицу времени,!—вероятность.распаданеста и _
вицу времени.. Удельная активность — активность-1 г радиоактив р< р~
лйиипша. называется также константой распада, т. к. по'определег
63-
ядерных магнетонах Бора). Магнитный момент свободного протона
Цр = &p|i.uSp = -Wu- гае &р = 5-5» — спиновой g-фактор прото.
на. Хр = 1/2 — спин протона. Смотрите указание к задаче 7.35.
7.377 При учете сверхтонкого взаимодействия интегралом движе-
ния является полный угловой момент атома F = I + J. где I. J — ПОл_
ные моменты ядра и электронной оболочки соответственно. Энергия
сверхтонкого взаимодействия может быть записана в виде
£ГСТ = где .4 = const . ар.е.Ня — магнитные моменты элект-
рона и ядра соответственно. Найти отношение сверхтонких расщеп-
лений основного состояния атомов водорода и дейтерия, т. е. расстоя-
ний между уровнями с разными значениями F. Спиновые g-факторы
протона и нейтрона равны = 5.58 и = —3.82. спины нуклонов
в дейтроне параллельны.
7.387 Спин ядра атома лития (его полный угловой момент)
I = 3/2. При учете сверхтонкого взаимодействия интегралом движе-
ния является полный момент атома F = I 4- J (J — угловой момент
электронной оболочки). Найти два возможных значения магнитного
момента атома лития, находящегося в состоянии 22Р1/2. Собственным
магнитным моментом ядра пренебречь.
7.397 Свободное покоящееся атомное ядро массой М переходит из
возбужденного состояния в основное, испуская у-квант. Найти энер-
гию у-кванта и энергию отдачи А. если энергия возбуждения равня-
лась <£. Получить числовой ответ для ^Ir. если © = 129 кэВ.
7.40. Свободное покоящееся атомное ядро массой М переходит в
возбужденное состояние с энергией возбуждения <э. поглошая
у-квант. Определить энергию у-кванта и энергию отдачи ядра R.
7.41. Ядра изотопа 1г. входящие в состав кристаллической ре-
шетки. испускают у-кванты с энергией 129 кэВ. Линия Мессбауэра
испускания и поглощения у-квантов имеет ширину Г =4.6-10“°эВ.
Предположим, что кристалл, испускающий у-кванты. движется со
скоростью с, а поглощающий кристалл покоится. Вычислить наимень-
шую скорость и источника, которую можно зарегистрировать по изме-
нению величины поглощения у-квантов. Предположить, что можно
уверенно зарегистрировать доплеровское смешение частоты у-квантов
движущегося источника, равное 1/6 ширины линии.
7.42. В первых экспериментах Мессбауэра источником излучения
служил радиоактивный изотоп '^Os. который в результате р-распада
переходил в возбужденное состояние изотопа Гг. Испускаемые им у
кванты с энергией = 129 кэВ поглощались иридиевой фольгой. Бы-
ло обнаружено, что даже при комнатной температуре наблюдается
значительный эффект резонансного поглощения. Вероятность эффек-
та Мессбауэра тем больше, чем меньше амплитуда колебаний атомов
в кристалле. Поскольку при конечной температуре атомы в кристалле
колеблются с разными частотами, то. усредняя по всем частотам, мы
получим, что кристаллу можно поставить в соответствие некоторую
эффективную температуру ТЭфф. Тогда условие резонансного погло-
ш
D
н
UJ
111
Р1
Я'
и
64
шепни можно записать в виде Л ы n где R _ П11Л
O = - уширение лннни (ш„рИна на полете?10™
нить эту эффективную температуру. у высоте;. Оце-
7.43. Если излучающее ядро находится в
шетке, то возможна ситуация (при температур^ мно ГУУ ₽е"
так называемой дебаевской температуры, которая характеризует™
„большую возможную энергию колебаний атомов крИстХвд/ской
решетки), когда излучение и поглощение у-кванта с большоТвеощ
„востыо происходит без возбуждения колебаний атомов ВыХ
л111.ь, каково при этом изменение энергии у-кванта для кристХа
1|р1Щ„я конечного размера с массой М= 100 мг, испускающ"^-
квант с энергией <Ц == 129 кэВ. ‘
7.44. Источник, содержащий ядра изотопа gFe, которые испуска-
ет у-кванты с энергией <Ц= 14,4 кэВ и шириной линии
Г = 4- Ю эВ, помещен в центр вращающегося диска, а поглотитель
из того же материала — на диске на расстоянии Л = 1 м от центра С
какой частотой Я нужно вращать диск, чтобы смещение Дш частоты
поглотителя относительно излучателя равнялось 1/10 ширины линии
Мессбауэра?
7.45. С какой относительной скоростью v надо сближать кри-
сталлический источник, содержащий возбужденные ядра L$Ir (энер-
гия возбуждения $ = 129 кэВ), с мишенью, содержащей свободные
ядра '$1г> чтобы наблюдать максимальное поглощение у-квантов в
мишени?
7.46. Используя эффект Мессбауэра, можно измерить гравита-
ционное смещение частоты. Для этой цели были использованы у-
лучи, испускаемые возбужденным ядром 57Fe (энергия у-лучей
£ =14,4 кэВ. ширина линии Г = 4-10~9эВ). При какой разности
высот между приемником (поглотителем) и источником у-линия
сместится на 1 % от ширины линии (при этом еще можно заметить
изменение поглощения у-лучей)? См. задачу 1.4.
7.47! Ядра в решетке кристалла совершают тепловые колебания,
что приводит в доплеровскому смещению частоты излучаемых квай-
тов. Однако в направлении излучения продольный эффект Доплера
при усреднении по времени дает ноль, т. к. время жизни ядра в воз-
бужденном состоянии (порядка 10"7 с) много больше периода колеба-
ний атомов в решетке (порядка 10-13 с). Поэтому остается только по-
перечный релятивистский эффект Доплера. Если эффективные тем-
пературы (см. задачу 7.42) источника и приемника различаются, то
частоты излучения и поглощения смещаются по-разному. Какой раз-
ности высот между источником и поглотителем в опытах с57Ре соот-
ветствует разность температур 6ТЭфф = 1 К?
7.48. На какой высоте Н надо поместить поглотитель отно-
сительно источника для проверки красного смещения, предсказывае-
мого общей теорией относительности? Используется эффект Мессбау-
эра на изотопе 67Zn, время жизни его возбужденного уровня с энергией
£МЗ кэВ равно т = 10 мкс. Считать, что для достижения иеобходи-
65
мои точности эффект смешения должен в И) риз превышать ширину
ЛИНИИ рСЗОНаШ’НОЮ НОГЛОШС'НИЯ.
У к а за и и с: см. заначу 1.4.
7.49. Оценить минимальные маеiу ш и размер /> железной пы-
линки. при которых можно наблюдать Меабпучри с анер-
гией перехода <*• - 14 кэВ и преминем жизни г I м<. ( читать, что
эффект еще наблюдаем, слила отдача нылшн.и приналег к доилсро!»-
скому смешению, ранному собспи'ннои ширине линии. 11лс>'1 носи,
7^5(С Исследование ядерник икни ib '’Шн на прецизионной уста-
новке TRISTAN н I ренобле (Франция) показало, что и результате
электронною за хит л и пос телу китч о ш нус кап и я лет рияо ло ядро
переходит в возбужденное ядро 1 "’Sin. а затем в шлейное состояние
путем испускания у-к нал ia с эиер> ней <!-• t ()h.i i. il’. Ширина этой ли-
нии оказалась ранной Ас-- - 1.5 зВ. а время жизни во Фужлсшюго со-
стояния г -= 40 фс. Оисни I и :»не(н ню нылосини') о лепт риио.
7.51. На спектрометре высокою разрешения GAMS4 в Гренобле
(Франция) у изогона 1 зарег пириронин каскадный переход и.» вы-
соковозбужденного в основное сосюянпс с иослсдовагельпым испу-
сканием двух у-квантов с энерг иями <•>। - 5 М>1> и б,. 1.5 МэВ. Пре-
цизионные измерения формы линии <!.z показали, то она hmcci ши-
рину AtL = 400 эВ. Онснить время жизни уровня с анергией &2.
Учесть, что детектор спектрометра регис ipupyci / излучение в узком
телесном угле вблизи нормали к окну дсюктора.
; ppn'fi
3 J.15I , (____
—5 --2.5 0 2,5 5 ". мм/i
Рис. АЛ
7.52. Широко используемое в мессбауэровской снек iроскошен яд-
ро 37Ре имеет спин л четность основного сосюянпя 1/2 -|- (д-фактор
равен 0,18), а нерпою возбужденнечо сосюянпя 3/2 ф
(&=—0J). Энергия перехода <Ф> = 14.4 к;>В. На рис. 44 показан
спектр резонансного поглощения этой исрасщсплспной линии железа
в металлическом железе, являющемся ферромагнетиком. Возбужден-
ное ядро57Ре* образуется в результате р-расиада ядра 57Со, внедрен-
ного в нержавеющую сталь, не являющуюся ферромагнет яком, поэто-
му в стали не наблюдается расщепление указанной линии излучения.
Расщепление линии обусловлено наличием внутреннего магнитного
поля на ядрах магнитного железа (ядерный Зееман-эффект). Образец
66
железа приводят в движение со скооогт. ш гт,™
™ J oc,;Ob“Z coX“aZoHTPOM “инца 2“рь- Оц“™ эне₽-
7.54. Мюон захватывается ядром свинца ?2РЬ. Оценить область
локализации мюона в основном состоянии.
7.55. Радии-226 за счет последовательных радиоактивных распа-
дов превращается в устойчивый изотоп свинца 206РЬ. Какая масса
М гелия выделится за время 1 = 1 месяц из т = 1 г радия, находя-
щегося в равновесии со своими продуктами распада? Период полу-
распада 2Z0Ra составляет Т1/2 = 1600 лет.
7.56. Радий был впервые выделен П. и М. Кюри из урановых
месторождений в Богемии. Являясь продуктом распада 238U (пери-
од полураспада Ти = 4,5’10^ лет), сам радий нестабилен, его пери-
од полураспада 7\а= 1600 лет. Считая, что в цепочке превраще-
ния урана установилось равновесие и что эффективность выделе-
ния радия составляет 100%, оценить, какую массу урановой руды
надо было переработать, чтобы выделить один грамм радия. Содер-
жание урана в руде и — 1 масс %.______________________
_Г7.57! Нуклон из незаполненной оболочки ядра углерода "^С, по-
глощает Е1-фотон и переходит в возбужденное состояние с наимень-
шей энергией). Найти спин ядра в конечном состоянии и указать его
спектроскопическое обозначение.
Указан и е. Последовательность расположения однонуклонных
ядерных уровней: N = Q ^=l (1р3/2, lp1/2); N=2 (W5/2»
2b'l/2> lt/3;2)j N = 3 ( 1/7/2! •••)•_________________ _______
7.5*5 ГПуклон из незаполненной оболочки ядра углерода15О’, по-
глощает Ml-фотон и переходит в возбужденное состояние с наимень-
шей энергией. Найти спин ядра в конечном состоянии и указать его
:пектроскопическое обозначение.
Указание. Последовательность расположения однонуклонных
адерных уровней: W=0 (lsi/2)j N=1 (1рз/2> lPi/г)» N=2 (1^5/2>
Zsl/2, W3/2); ^ = 3 (1/7/2, I
—’~7T59'.~'liS~0Sfiy сторону'йот^ОГщощеТГ^
активного 226Th (период полураспада Ti/2— 31 мин). При каком ми-
нимальном отношении масс тория и пластинки возможна левитация
системы в поле тяжести из-за отдачи, возникающей при испускании
а-частиц (<£а = 6,3 МэВ)? Самопоглощением а-частиц в ториевом
слое пренебречь.
7.60! Из-за нецентрального характера ядерных сил основное со-
стояние дейтрона представляет собой суперпозицию состоянии Si и
3Dlt Каков был бы магнитный момент дейтрона, если бы он нахо-
дался в «чистом» состоянии 3DJ Спиновые “ротона и
нейтрона равны соответственно &р = 5,58 и. 3,82. Разн цу
масс нуклонов не учитывать. Рассмотреть случаи Is- и уу-связи.
е
2s1/2, 1</3/2); к = 3 (1/7/2,
67
7 61 В силу нецентрального характера ядерных сил основяое с.
стояние дейтрона представляет собой суперпозицию состояний Зу и
Зп Экспериментальное значение магнитного момента основногосо.
стояния дейтрона равно 0,86цм. Используя тот факт, что магнитный
момент состояния дейтрона 3-О, равен 0,31 щ1л, определить вероятное
нахождения дейтрона в этом состоянии. Спиновьке^факторь, протощ
и нейтрона равны соответственно - 3,38, &„ - 3,82.
7 62. В 1998 г. Я. Джоли с сотрудниками было осуществлено пре-
цизионное измерение ширины линии у-перехода между двуМ!1 вм_
бужденными состояниями 1 и 2 ядра -62Sm. Это ядро образовьва-
лось в результате Х-захвата по схеме 'ЙЕи + е — 15622Sm + Выае.
ляемая при этом энергия составила Q = 962 кэВ. Энергия данного
7-перехода в неподвижном ядре ’liSm равна = 841 кэВ. На сколько
смещается линия S., в результате отдачи излучающего ядра? Каково
вызванное этим уширение линии? Оценить естественную ширину
этой линии, если времена жизни ядра в состояниях 1" и 2+ составля-
ют и = 29 фс и т2 = 2 нс соответственно.
7.63. В экспериментах Ф. Блоха по определению магнитного мо-
мента тритона использовался метод ЯМР на сверхтяжелой воде
(80% Т2О и 20% Н2О). При фиксированной частоте переменного по-
ля v = 41,5 МГц проводилось сканирование подмагничивающего по-
ля. Были обнаружены два пика: при = 9160 Гс и В2~ 9770 Гс, при-
чем первый пик был по величине примерно в четыре раза больше вто-
рого. Определить из этих данных магнитный момент тритона. Спив
тритона рассчитывать по однонуклонной оболочечной модели.
Указание. В магнитном поле расположение подуровней энер-
гии ядра трития аналогично таковому для протона.
7.64. В медицинской томографии внутрених органов используется
метод ЯМР на протонах, входящих в состав воды, а для томографии
легких — на ядрах газообразного Не-3 при его вдыхании. Определить
разницу между экспериментальны-
ми и теоретическими значениями
магнитного момента ядра 2Не, если
сигнал резонанса наблюдается во
внешнем поле В = 1,5 Тл на частоте
v = 48,75 МГц. Спин ядра и его маг-
нитный момент вычислять по одно-
нуклонной оболочечной модели.
Указание. В магнитном поле
расположение подуровней энергии
для ядра 3Не противоположно та-
ковому для протона.
7.65. В угловом распределении
электронов с энергией <£ = 750 МэВ,
рассеяных на дважды магическом
ядре кальция 2оСа, эксперименталь-
68
0-
h
о> ;
4Й I
Tb !
на !
Л™ минИмуМов,
«инншумов средний kmuye
вдть в данной задаче как черный шарик, и среднюю ветчину “в ф?р-
муле для радиусов ядер. у 0 1 р
ie-
13-
|Ц-
ie-
'Го ;
ко
•во
ну
1Я-
§ 8. Нейтроны, Ядерные реакции
8.1. Нейтрон упруго рассеивается на ядре. Какое минимальное
отличное от нуля прицельное расстояние Ъ может реализоваться для
нептрона с энергией б = 100 кэВ (рис. 46)?
3ZZ
so-
де
го- '
10-
ш*
го-
ни
*ся
ин
ГТЪ -
ьь
им
ли
во
иге !
lo-
ne
Й
а-
[ЙГ 1
В,
1
Рис. 46
8.2. Оценить отношение сечений образования компаунд-состоя-
ния (составного ядра) при бомбардировке ядер $Са нейтронами и
протонами с одной и той же начальной энергией <S0= 10 МэВ.
8.3. Оценить полное сечение о взаимодействия ультрарелятиви-
стского нейтрона с ядром урана. Приняв для сечения нуклон-нуклон-
ного взаимодействия величину oNN % 40 мбн. оценить длину свобод-
ного пробега такого нейтрона в ядре.
8.4! Медленный нейтрон упруго рассеивается на свободном яд-
ре со спином 1 = 3/2 в состоянии с орбитальным моментом L = 0.
Определить вероятность рассеяния в состояниях с параллельной и
антипараллельной взаимной ориентацией спинов нейтрона и ядра.
Указание. Учесть, что ядерные силы между нуклонами зави-
сят от взаимной ориентации их спинов и поэтому сечение рассеяния
зависит от полного углового момента сталкивающихся частиц, явля-
ющегося интегралом движения. Спином ядра называют его полный
момент. В данном случае (при L = 0) спин ядра является «чистым»
спином в традиционном его понимании.
8.5. Вплоть до энергий Т = 20 МэВ угловое распределение рассе-
янных нейтронов в реакции пр—»пр в лабораторной системе отсчета
хорошо описывается формулой rfcr(9) = A cos 9 c/Q. Как выглядит это
распределение в системе центра инерции? Какая оценка для радиуса
действия ядерных сил отсюда следует?
8.6! Тепловой нейтрон из реактора попадает по нормали в биоло-
гическую защиту (рис. 47), состоящую в основном из водорода (на-
пример, парафин), толщиной /=1м и плотностью ядер
л = Ю22 см"3. Сечение упругого рассеяния составляет сгрПСс =
= о*0 = 20 бн, сечение поглощения — опигл = o-j «= 0,3 бн и не зави-
69
8.8. Узкий пучок тепловых нейтронов проходит через слой во-
ды толщиной I см. Определить доли первоначального потока ней-
тронов, выбывающих из пучка в результате поглощения и рассея-
ния. Сечение поглощения для воды О'пог| = 0.66 бн, а сечение рас-
сеяния о'р;1СС = 69 он.
8.9. Определить, во сколько раз уменьшается интенсивность уз-
кого пучка тепловых нейтронов после прохождения пластинки А1 тол-
щиной с/ = 3см. На выходе из пластинки регистрируется пучок пер-
воначальной ширины. Сечение рассеяния для алюминия
°'расе = 1Л1 бн, а сечение поглощения о|Ю|., = 0.23 он.
8.50. Быстрые нейтроны, попав в воду, быстро замедляются до
тепловых скоростей у = 2,2 км/с и диффундируют в ней, пока не
захватятся ядрами водорода (захватом кислородом можно пренеб-
речь). Оценить время жизни т нейтронов в воде. Сечение захвата
(поглощения) теплового нейтрона протоном оппг, = о = 0.3 бн.
8.11. Исследование структуры жидкого или твердого 3Ие с по-
мощью пропускания нейтронов через слой вещества затруднено из-за
большой величины сечения экзотермической реакции 3Не(п. р)3Н. и
для нейтронов с энергией 300 К оно равно о() = 5400 бн. Определить
энергию нейтронов, с помошью которых можно изучать слои 3Не тол-
щиной d = 1 мм, чтобы проходило не менее 10% от потока падающих
нейтронов. Концентрация ядер3Не п = 1022 см-3.
Указание. Сечение указанной резкими для нейтронов с энер-
гией до 1 МэВ имеет нерезонансный характер.
8.12. Для регистрации медленных нейтронов широко использу-
ются счетчики, наполненные газообразным изотопом 3Не. Рассчи-
тать долю в регистрируемых частиц — эффективность счетчика,
9 В этой и последующей задачах приняты следующие определения: о = а 11(И1=
“ ° + 0 .,cw = %« + О пэгя “ ° ,л1р + О + О кл + • • •
70
т=300 дпщ,етра nZs
ST= 54OT бн.Р mK КОТ01Юй “ ^сгрпруемых нейгро-
8.13: Для детектирования меиенвых нейтронов широко исполь-
зуются ионизационныесчетчпкл. наполненные3Не. Регистрация ней-
тронов производится по реакции (п, -Не) ен. р). Показать на ос-
нове законов сохранения, что взаимодействие нейтронов с гелием-3 не
может приводить к образованию ’Не по реакции д + 3Не—>4Не См
также задачу 1.16.
8.14. В сечении рассеяния нейтронов на ядрах может проявлять-
ся «волновой резонанс», когда интерференция нейтронных волн де
Бройля приводит к «прозрачности» ядер (ялерный аналог эффекта
Рамзауэра). Оценить. при какой ьпшимальной энергии нейтронов
должны быть видны эти «резонансы проницаемости» на ядре 205РЬ.
Ядернын потенциал считать одномерной ямой. ширина которой рав-
на диаметру ядра, глубина ямы U = 40 МэВ (см. задачу 3.33).
8.15* Источник тепловых нейтронов установлен в центре большо-
го графитового куоа, и со временем нейтроны, многократно рассеива-
ясь на ядрах углерода и иногда поглощаясь, распространяются по все-
му объему. Оценить эффективный размер области, занимаемой в ре-
зультате нейтронами, если эффективное сечение рассеяния
нейтронов о-расс = 4,8 • 10-24 см2, а поглощения — стпогл = 3• 10~27 см2.
Плотность графита р = 2,2 г/см3.
8.16. Поликристаллический бериллий слабо поглощает, но ин-
тенсивно рассеивает нейтроны (брэгговское отражение на кристал-
ликах). На этом основано действие поликристаллического фильт-
ра, пропускающего нейтроны с энергией <S < Игр. Найти для бе-
риллия, у которого межплоскостное расстояние d = 2А.
8.17. Поток нейтронов из реактора, имеющих максвелловское
распределение по скоростям с температурой Т = 370 К, пропускает-
ся через толстый поликристаллический фильтр из спрессованного
порошка графита. Найти, какая доля нейтронов проходит через та-
кой фильтр. Максимальное межплоскостное расстояние для решетки
графита а = 3,35А.
8.18. Два цилиндрических стержня -----------__--
с одинаковыми диаметрами, один из . п-э0 с j Bi 'у
графита, другой из висмута, совмеще-
ны основаниями. Графитовый стержень
через открытый торец облучается па- Рис. 48
раллельно его оси потоком нейтронов, u
выходящих из замедлителя с комнатной.температурой 300 К
(рис. 48). Полагая рассеяние нейтронов в графите и висмуте брэгеов-
ским, оценить, во сколько раз средняя кинетическая э"еР™а нейтр
нов 4, выходящих из висмутового цилиндра через его боковую^по-
верхность, меньше энергии падающих нейтронов о-
71
расстояние между кристаллическими плоскостями для графита
<7с = 3,3.5 А и для висмута d^, = 4.05 Л. Длина стержней много боль-
ше их диаметров, которые сравнимы со средним пробегом нейтронов..
8-J9. Чему равна критическая скорость нейтронов, испытываю-
щих полное отражение на Гранине вещества при произвольном угле
падения? Число рассеивающие ядер в единице объема ,'/ и амплиту-
ду рассеяния нейтронов / считать заданными.
8.20. Найти критический угол скольжения для тепловых ней-
тронов с заданной длиной волны X при отражении от материала с
известными значениями /V и /. При ' <yCl нейтроны полностью от-
ражаются.
8.2 3. Вычислить коэффициент преломления нейтронов с энер-
гией <£ = 2• IО’-эВ в металлическом Be 1 85 г/смф. если амп-
литуда рассеяния / = — 0.77-10"12 см. '-[ему равен: у гол полного от-
ражения нейтронов'?
8.22. Максимальная скорость нейтронов, накапливаемых в ло-
вушке в силу полного отражения от медных стенок, равна м = 5.7 м/с.
Определить амплитуд^ рассеяния нейтронов на ядрах меди.
8.23. После прохождения свинцовой пластинки толшинои
d = 2 см интенсивность потока нейтронов с энергией <5=0.25 МэВ
уменьшилась и составила 70% от интенсивности падаюшсго пучка.
Показать, что это ослабление потока обусловлено преимущественно
упругим изотропным s-рассеянием нейтронов ядрами свинца. Счи-
тая. что величина амплитуды рассеяния равна радиусу ядра, оце-
нить размер ядра 20“РЬ. Плотность свинца р= 11.3 г/см1-.
8.24. Ультрахолодныс нейтроны выходят широким пучком из го-
ризонтального нейтроновода и затем движутся свободно над горизон-
тально расположенной пластинкой, упруго от нее отражаясь и тем са-
мым совершая периодическое дви/Кение. как показано на рис. 49. Это
движение в гравитационном поле квантуется, и поэтому пройдут над
пластинкой только те нейтроны, у которых высота движения Н соот-
ветствует разрешенной энергии. Оценить на основе правила кванто-
вания Бора—Зоммерфельда. какова третья разрешенная высота. См.
задачу 3.6.
¥УУТ;
Рис. 49
8.25. Гравитационный рефрактометр (рис. 50) дает возможность
определить амплитуду рассеяния медленных нейтронов атомными яд-
рами, используя падение нейтронов в гравитационном поле Земли.
Найти амплитуду рассеяния для если известно, что для него на
72
*^"/7$ W ₽еЗХ° Wwrb ,щад
Иучрь.
HCflipQfW11
изрсакюра
Рис. 5Q
|_J Детектор
Bj-зеркдпо
S.26: На рис. 51 показаны: реактор Р, ра^рта.кмций на тепловых
нейтронах, полая изогнутая труоа (неитроновод) и детектор нейт-
ронов Д. Распределение нейтронов в реакторе по скоростям макс-
врллрвское при температуре 7^400 К. Нейтроны, скорость у ко-
торых меньше граничной скорости (frp-lQм/с)', называют ульт-
радолодными. Особенностью таких нейтронов является то, что они
испытывают полное упругое отражение от стенок при любом угле
падения. Найти зависимость скорости счета детектора от высоты
колена Я, полагая, что детектор одинаково эффективно, регистри-
рует все ультрахолодные нейтроны. При каком, значении Н детек-
тор, не регистрирует ультрахолодные нейтроны?
8.27. В реакторах, работающих на тепловых нейтронах, имеют-
ся очень медленные ультрахолодные нейтроны (УХН). Особенно-
стью УХН. является то, что при скоростях и< угр (обычно, граничная
Скорость цр~ 10 м/с) нейтроны упруго отражаются от стенок при
любых углах падения. Для вывода УХН из реактора используют по-
лно трубы — нейтроноводы. На рис. 52 изображен реактор Р, ней-
троновод специальной формы и на его конце — детектор нейтронов
Д. Полагая, что распределение нейтронов по скоростям в реакторе
максвелловское (при температуре 7 ^ 400 К), найти, как зависит
прток нейтронов, доходящих до детектора, от высоты его, поднятия
Н. Оценить высоту Я|р, на которой поток нейтронов, исчезает.
Рис. 51
Рис., 52
8.28. В эвакуированном сосуде объемом. V = 1 д находятся уль
дахрлодные нейтроны, отражающиеся от сденод с крэффцциентом
Отражения, практически равным, одинице. В сосуде имеется, отвер-
стие площадью S, заклеенное фольгой,, полностью црозрачцри для
ультрахолодных нейтронов. Какова должна быть площадь окощк,
73,
$, если наблюдаемое время хранения нейтронов я ловушке в 2 Ра
за меньше среднего времени жизни свободных нейтронов т^^з '
Считать, что скорость всех ультрахолодных нейтронов одинакова
и равна v = 5 м/с.
8.29. Вхождение нейтронов из вакххма в оольшпнство веществ
связано с преодолением энергетического барьера. Поэтому в замкнх
той полости достаточно медленные нейтроны оказываются заперты^
и могут накапливаться. Определить, какая тохя из потока тепловых
нейтронов, распределение по скоростям которых максвелловское, ока-
жется запертой в медной камере. Предельный х гол скольжения при
полном «внешнем» отражении для нейтронов, движущихся сосредве-
квадратичной скоростью, составляет / = 10 у гл. мин. Соударе^
нейтронов со стенками камеры могут рассматриваться как упругое
8.30Т Монохроматические нейтроны с энергией <g = ]()-73g
транспортируются к мишени из источника (медной сферы радиусом
R) по длинному круглому алюминиевому нейтроноводу радиусом
г = 10 см'*®: R. Концентрация нейтронов в источнике п0 I см-з йсе
время поддерживается постоянной.^ плотности алюминия и не®
равны соответственно 2.7 и 8.9г/см-\ а их амплитуды когерентного
рассеяния — 3.5-Ю"’0 см и — 7.S-10-15 см. Вычислить поток нейтро-
нов на мишени (.распадом нейтронов пренебречь).
8.31. Параллельный пучок монохроматических нейтронов
(А. = 5 А) шириной b = 2.5 см попадает на вход длинного изогнутого
нейтроновода прямоугольного сечения радиусом Я = 50м (рис.53)
Внутренняя поверхность нейтроновода по-
крыта слоем ot,Ni (р = 8.9 г/см3. амплитуда
когерентного рассеяния / = —10 фм). Опре-
делить. какая часть нейтронов пройдет по
волновод}1 (распадом нейтронов пренебречь).
8.32. В конце 1980-х годов М. А. Кхмахов
предложил использовать тонкие полые стек- Рис. 53
лянные капилляры в качестве световодов для
рентгеновских лучей и медленных нейтронов. Для нейтронов сдлиной
волны А. = 2,4 А критический угол у стекла равен 0кр = 2.2-10-3 ра-
диан. При каком минимальном радиусе кривизны стеклянной трубки
диаметром d = 0,1 мм будет полностью передаваться попадающий на
ее вход параллельный пучок нейтронов с энергией & = 25 мэВ?
8.33. В рентгеновской и
нейтронной физике начи- * ; f
нает широко применяться п________ •-
так называемая «opaque ;
optics» (непрозрачная оп-
тика). Например, цилинд- Рис. 54
рической линзой может
2R =
сеяя
ноет
8
ИНТ;
12SL
I2SJ
луч-
пар-
НЛО
,QSA
В тс
но <
(ВТ
ной
служить цилиндрический канал в сплошном веществе. Рассчитать
для нейтронов с энергией <£ = 25 мэВ фокусное расстояние составной
никелевой линзы, образованной 10 * отверстиями диаметром
теп
пег
чг«
чег
197
этс
но1
7)
по
то
ак
м«
Зе
N
Mi
of
41
тг
В)
и
н
74
= 200 мкм, как это показано на рис. 54. Длина когерентного рас-
сеяния нейтронов в никеле естественного состава а - Ю-12 см плот-
ность никеля р = 8,9 г/см3.
8.34! Образец иода 1271 облучается нейтронным потоком такой
интенсивности, что в 1 с образуется 107 атомов радиоактивного иода
12SI, период полураспада Ti!2 которого 25 мин. Найти число атомов
128! и активность препарата через 1, 10, 25, 50 мин после начала об-
лучения. Каковы максимальные числа атомов ,281 и активность пре-
парата при долгом облучении (т. е. при облучении до насыщения)?
8.35! При облученииобразца золота в потоке тепловых нейтронов
плотностью /= 10,4см-2-с-' в реакторе в результате реакции
197Au(n, y)19sAu (сечение oj = 96 бн) образуется ^--активный нуклид
198Au, переходящий в 198Hg с периодом полураспада Т1/2 = 2,7 суток.
В то же время, сечение реакции198Au (п, у) 199Au очень велико и рав-
но = 26 000 бн, так что изотоп 198Аи активно поглощает нейтроны
(вторичная активация). На сколько уменьшается при учете вторич-
ной реакции число образующихся ядер ,98Hg при времени облучения
/=Ю7(/2?
8.36. Образец золота 197Au массой т = 10 мг облучали в потоке
тепловых нейтронов плотностью j = 1012 см-2-с-1 дважды: в течение
первого дня с 9 до 17 час и в то же время на следующий день. Найти
число образовавшихся радиоактивных ядер 198Au (Т1/2 = 2,7 сут, се-
чение активации, т. е. радиационного захвата нейтронов ядрами
197Аи, <т= 96 бн) к концу облучения во второй день. За какое время
это же количество ядер 198Аи может быть получено при непрерыв-
ном облучении?
8.37. Образец алюминия облучается дейтронами с энергией
7 МэВ, в результате чего происходит реакция 27Al(d, р)28А1. Период
полураспада ^А! равен Г1/2 = 2,24 мин. Облучение длится в течение
?! = 3,5 мин, какое-то время 12 уходит на перенос образца к детек-
тору, а затем в течение времени /3 = 6 мин производится измерение
активности образца. Какую часть распадов регистрирует детектор от
максимально возможного при том же времени переноса образца?
8.38. Распространенность группы легких элементов Li, Be, В в
Земле, Солнце, метеоритах намного меньше, чем более тяжелых С,
N, О, однако в космических лучах содержание группы легких эле-
ментов Li, Be, В относительно группы С, N, О равно а = 0,34. Jto
объясняется фрагментацией (развалом) С, N, О при прохождении
через межзвездную среду, состоящую в основном из водорода. Оце-
нить в г/см2 количество водорода, которое должны при этом проити
высокоэнергетичные ядра С, N, О. Сечение деления (фрагмента-
ции) тяжелых элементов с образованием легких ffy -WMOH, пол-
ное сечение их взаимодействия с водородом о0 = 200 мбн, фрагмен-
тацией легких элементов пренебречь.
75
$.40. Один ш
по отношению t
g 39. Сосуд овииои Г - I л »«««'«< ««иоиую WJiy
° „ '«^Ивонах с ялотиоиыо ч<лчу-‘ ) = IO'z«-<ci г*
поДетение нейтронов сТ - М «Ротоиоц,,^
Хшеая о сосуде за счет расиооа иент^иов в , = 0
- "• ...13 м^юдон определения времени жгини вейар^.
к (/-раслд.'г. состоиг в игмтр-.-ияи числа пршОй0.
образующихся при пролете- медленных иейт^
НОВ Bt-pei Df/rMe^CTOK и ’Р>Г'^РУКЖ‘Й СИ'Ъ
мы детеклора /гротонов U <\>^.55). Нгйп.
число «реповой V, "'лчу fbiKHjjuz на 7е1ек
V'W)U протру
5 '•'влио'.'чь
и- t. ~ 10;:си’2ч-1
Чфелшвд;^
распалаюи.». равна и *- 20 <_
r_a медленных Hvii'j'
СКОРОСТЬ ГШИ J fZJHOB > :
сбора лршояов 100/.
Рис.55 8-4К Наи™ гю ''Пергии ^ффеКш.
ное сечение о реакции о - О AI — р 4-
вестно. что при облучении толстой алюмяггяеьои мишени у-чат-
нами с энергией 8 .МэВ выход прогонов / р.гвен q = 8-J0*/ Д-щщ
пробега ц-частин в ьоэдухе ранил /. -- 7.0 см.
s 8.42. Толстая мишень. солер/, ;циз-л п,. ядер/а5.
е облучается а-частяллмя. Завясямслтч/ ли'рфч.-ренил-
альиого выхода q исслед;.см<.-я рс-агвкя от зиерпыг|
a-частио в шнервале 1 - 10 ’! !' слагалась кубиче-
ской: d^dc = Оярс'ле.гигь гтрябляхеино харак-
тер зависимости тинного сечения реакали и
энергия с(с/. Принять, "ю тор^мные потери обрат-
но пропорциональны энергия, т. е. difdx = А]Ь. де
А = сопя.
8.43. В одном из экспериментов со встречными
пучками электронов яспольг. иэтся два одинаковы},
накопительных кольца, в ютерых пучки улыраре-
5 лятивистских частно движутся в противоположных
Рис.56 направлениях, сталкиваясь друг с другом на длине
взаимодействия / = 0.5м «'ряс. 56/. Система счет-
чиков, окружающих область взаимодействия, установлена так. что
она регистрирует одно из J0 событии <. = 0. J) взаимодействия час-
т;Ш-
5 = ;'
|<1ЯК<
яу^х
СТрИ1
ногл
8
С'Л Л'>
сгве!
ТОВ !
отяо
ТОЙ :
8
нейт
но с.
}H40J
ноет
po^f
ней'
эейс
?
чесг
вог<
!
сто
тон
вза
да
эдр
KOI
сви
но
6Ь
5) Выходом ядерной реакции нгзыьаегс? <Т7И'-с-и-;'Я€ гг-джт? ^исла рожденныхf
мишени частиц к полному числу часгии. :и»-:гь'”кх иа *и-усмь
2) В толстом слое вещества погог частим будет кзм-.-ияиля глг вследствие мерных
реакций, так и вследствие иояизстгиоииого горм-?л.еия>- ших частиц. В aj®
реакций, вызванных заряженными частисг'/и. иич’изгцисч-х'ые иегери сущепюню
изменяют энергию этих частиц, и поэтом-, вылей рсашки — это Ч“у=
— „ f
~по I — где Г1'. —концентрация ядер мишени.
'Ь
на
ЭВ
-S1
ф<
О
Н)
76
,„,ц. Плошада, сечения циркулирующих пучков в КОль,,Як пя
S-5ММ ’ Тиие «'имодействия двух cowfpZ
щихся чащиц о - 10 бн. Наити Циркулирующий ток в котопмй
„уж„0 „аконит,, и каждом кольце, чтобы системой счетчиков X-
стрировалось в I с не менее К = 10г' событий. Считать что Lot
иость числа части. вдоль орбиты постоянна
8.44. При распаде ядра “Со одновременно (в каскаде) образуют-
ся два 7-кванта с энергиями 4, = 1,17 МэВ и й2= 1,33 МэВ соответ-
ственно. Определи, ь, как изменяйся отношение потоков этих т-кван-
тов после их прохождения через свинец толщиной d и вычислить это
отношение яри d — 5 см. Коэффициенты ослабления потока '/-кван-
тов в свинце равны соответственно ц, =0,7 см"1, ц2=0,62 смЧ
8.45. При просвечивании детали монохроматическими тепловыми
нейтронами с длиной волны X = 1 А на изображении было обнаруже-
но слабое темное пяз но, свидетельствующее о наличии внутри детали
инородного включения. Контраст изображения (отношениеинтенсив-
ностей прошедших нейтронов в области включения к соседним одно-
родным областям) был равен 1,26. Какова должна быть длина волны
нейтрона, чтобы контраст возрос до 2? Считать, что сечение взаимо-
действия нейтронов с веществом носит нерезонансный характер.
8.46. Оценить, какая доля ультрарелятивистких протонов косми-
ческого излучения дойдет до поверхности Земли, не испытав ядер-
иого взаимодействия.
8.47. Оценить длины свободного пробега и /N ультрарелятиви-
стских протонов и ядер азота в жидководородной камере. Радиус про-
тона Гр = 0,8-10-13 см, плотность жидкого водорода рн = 0,07 г/см3.
8.48. Для создания лучков быстрых нейтронов часто используют
взаимодействие релятивистских дейтронов с тяжелыми ядрами, ког-
да в результате периферийного взаимодействия протон поглощается
ядром — т.н. реакция срыва. Оценить сечение о-иогл такого процесса,
когда мишенью служит абсолютно поглощающее нуклоны ядро
свинца 20SPb. Среднее расстояние между нуклонами в дейтроне рав-
но 2/?d = 3,6 фм.
8.49. Определить кинетические энергии Тп нейтрона и Тя ядра
6Li, образующихся при фоторасщеплении ядра 7Li под действием
у-кванта с энергией = 15 МэВ, если нейтрон вылетает «вперед»,
т. е. по направлению пучка у-квантов. Энергии связи ядер L1 и
7U равны соответствено 6’, = 32 МэВ и <£2 = 39,2МэВ.
8.50. При какой кинетической энергии Тр налетающего прото-
на на покоящийся протон в реакции р + р-ч-б + я+ кинетическая
энергия пиона в лабораторной системе координат равна нулю.
8.511 Хорошо сколлимированный пучок у-квантов с энергией
S = 250 МэВ падает на мишень, содержащую деитерии. Вследствие
фоторасщепления дейтерия вторичный пучок “Держит_
Оценить угол разлета нуклонов после реакци . р д ~ 4 фм
ние между нуклонами в ядре дейтерия принять равным 2^ Ф
77
/ J )I6q«
- 8 52. Ядра кислорода 16О облучаются лучком протонов с
сом 0= 10ГэВ/с. Отбираются такие сооытия, когда в результате
акпии о + и0— “О* + Р возбужденные ядра кислорода 160* с
^возбуждения, равной S=J МэВ, вылетают в направлен^,
практически перпендикулярных лучку, и испускают монохроВДМче.
ские '/-кванты вдоль своей траектории (рис. 57). Детектор у-квавад
пешстрирует две линии, расстояние между которыми A<g = 200raJ.
р лэи. у Оценить импульс вылетевших ядер
кислорода и малый угол а, на который от-
клоняются протоны.
8-53. Реакция 7Li (р, п)7Ве является
удобным источником монохроматических
нейтронов в интервале 0,2 ч-1,5^эВ.
Для изменения энергии нейтронов можно
менять как энергию лерви чных протонов,
так и угол наблюдения. Найти: а) выделе^
ние энергии в реакции 71д (р, л)7Ве,зная
массу атомов 7 Li, 7Ве, ]Н и нейтрона в
атомных единицах; б) при какой мини-
малиной энергии протонов возможна это
реакция? Какова связь между энергиями
нейтрона и протона в лабораторной систе-
1 )J60*
ПФЭУ
Рис. 57
ме и системе центра масс?
8.54. Сечение взаимодействия (поглощения) нейтрино с нукло-
ном о= 10-43 см2. Какова вероятность взаимодействия нейтрино при
пролете до диаметру гипотетического железного шара с радиусом Я,
рядным одной астрономической единице (1,5- 10s км — среднее рас-
стояние от Солнца до Земли)? Шар считать несжимаемым с плотно-
стью р = 7,8 г/см3.
8.55. Считая, что сечение взаимодействия (поглощения) нейтри-
но с нуклонами о (в см2) зависит от энергии <5 нейтрино (в ГэВ)
как сг = Л£. где коэффициент А = 10'38 см2/ГэВ, оценить энергию
нейтрино, необходимую для его эффективного поглощения Землей.
Радиус Земли принять равным 7? = 6400 км, ее среднюю плотность
р=.5,5 г/см3.
8.56. Оценить, насколько толща Земли ослабляет поток нейтри-
но, приходящих с противоположной стороны земного шара. Усред-
ненное но энергетическому спектру сечение поглощения нейтрино
нануклонах равно <7 ~ 10-35 см2, средняя плотность Земли
•р=5;5г/.см3, эффективная относительная атомная масса Л=М
* -•‘8.-57! Для объяснения загадки тунгусского метеорита привлека-
лась гипотеза, что он состоял из антивещества. Оценить, можегли
подобный -«гость» долететь к нам от удаленных на несколько десят-
ков миллионов световых лет галактик, поскольку ближе антивеще-
ства нет из-за. отсутствия характерного аннмгиляционногогиздуч^
ния. В самых- «пустых» частях Вселенной обычно все же не бывает
менее .одного-протона в 1см3;
78
8.58. Ядерные реакции, проходящие на с
измеряя поток нейтрино от Солнца. Нейтрино с энергией ° несХь ’
то МэВ (эти нейтрино образуются при распаде ядер «В на заключи
тельн0и стадии превращения водорода в гелий) детектирую"^
акции тс+ С1-» Аг+е . Сечение такой реакции, усредненное
„о энергетическому спектру рассматриваемых нейтрино о =
=.1Л-‘° ?М , ЧТ° “ СеКУНДУ Смнце исп^ ««ело
нейтрино Л\. = 3- !0 с , определить, какова должна быть масса
м четыреххлористого углерода СС14 (естественной смеси изотопов)
чтобы в нем за время 1=1 год произошло п= 100 актов образова-
ния ядер igAr. В естественной смеси изотопов хлора содержится
д = 25% (по массе) ядер ??С|.
8.59* Время жизни ядра ^Аг из-за Х-за.хвата составляет
-[О = 32сут. На основе этого факта оценить эффективное сечение о
слабого взаимодействия в реакции
р + е
8.60. Мюон а, попав в свинцовую пластинку, очень быстро тор-
мозится. после чего захватывается на А-оболочку ядра 2g|Pb, на ко-
торой он живет т = 7* 10~8 с. Это время примерно в 30 раз меньше
времени жизни свободного мюона. Сравнить размер мюонной обо-
лочки с размерами ядра РЬ. Взаимодействие с каким из нуклонов
ограничивает время жизни мюона? Написать соответствующую ре-
акцию и оценить ее эффективное сечение.
8.61’ При комнатной температуре примерно /» 20% у-распадов
J]gSn в соединении Ва5пО3 происходит без возбуждения колебаний
атомов решетки (бесфонояный переход). Такой процесс называется
эффектом Мессбауэра. Оценить, какой должна быть толщина источ-
ника. чтобы в нем не происходило заметного самопоглощения месс-
бауэровских у-квантов, носящего упругий характер. Плотность
BaSnO3 р = 3 г/см3, содержание изотопа ’JoSn в естественной смеси
в = 8%, энергия у-квантов <S.; = 24 кэВ.
8.62. По современным расчетам плотность потока высокоэнерте-
тичных солнечных нейтрино на Земле должна быть равной
/ = 5,6-106 см-2 • с-’. Нейтрино регистрируются детектором, содержа-
щим М = 615 тонн перхлорэтилена C2CI4. В естественной смеси изо-
топов хлора содержится 25 массовых процентов изотопа 37С1, на ядрах
которого происходит реакция, обратная A-захвату. Среднее сечение
захвата ядрами 37С1 таких нейтрино составляет ст = 1,06-10 см .
Период полураспада Тщ образующегося ядра 37Аг равен 35 суткам.
Какое максимальное количество ядер 31 Аг можно выделить из веще-
ства детектора после экспозиции в течение времени I — Тщ.
8.63. По современным расчетам плотность потока низкоэнерге-
тичных солнечных нейтрино на Земле должна быть; ,равно
/ = 6,07-10‘° см^-сЧ Нейтрино регистрируются детектором, содер-
79
жащим М= 75,5 тонн хлорида галлия GaCI.,. В естественной смеси
Изотопов галлия содержится 40 массовых /, изогона^ ’Ga, на ядрах
которого происходит реакция, обратная К-захвату. Среднее сечение
этой реакции составляет а = 11,8-10 'см. Период полураспада
Т{/2 образующегося ядра 7lGe равен I 1,4 суток. Какое максимальное
количество ядер 7lGe можно извлечь из вещества детектора через
время экспозиции / = Тцг1
8,64. Оценить, во сколько раз сечение поглощения атомом на-
трия резонансной линии, соответствующей его (35 — 3/,)-переходу
и рассматриваемого как неупругий процесс, отличается от геомет-
рического поперечного сечения атома.
8.65. Коллимированный пучок монохроматических нейтронов
проходит через пластинку из железа толщиной d — 5 мм, для которо-
го эффективные сечения поглощения и рассеяния нейтронов данной
энергии равны соответственно о'||(„ ,, = 2,5 бн и ор.|( t = 11 бн. Опреде-
лить относительные доли падающего потока нейтронов, выбывших из
пучка в результате поглощения и рассеяния. Плотность железа
р = 7,9 г/см3.
8.66. Мак-Рейнольдс (1951 г.) измерил зависимость интенсивно-
сти / отражения медленных нейтронов, падающих под малым углом
скольжения на границу раздела
азот (газ) — этиленгликоль
(жидкость), от давления газа Р
при температуре Т = 300К
(рис. 58). Нейтроны падают из
азота (/) на границу раздела с
этиленгликолем (2). Показать,
что. действительно, должна на-
блюдаться зависимость 'Л&-Р.
Найти величину сечения коге-
рентного рассеяния нейтронов на
ядрах азота, если известно, что у
этиленгликоля плотность ядер
равна = 1,13-1023 см-3, сред-
нее сечение когерентного рассея-
ния равно 02 = 0,0055 бн. В эксперименте коэффициент отражения
нейтронов Я = const •(/?£-- /if)2; /ih пг — показатели преломления
соответственно газа и жидкости. Это выражение получается из фор-
мул Френеля при малых углах скольжения и близких к единице по-
казателей преломления.
8.67. - На рис. 59 точками показаны результаты Д. Юза с сотруд-
никами, которые измерили зависимость от угла скольжения 9 (в уг-
ловых минутах) интенсивности отражения нейтронов с длиной вол-
ны X = бДд от границы раздела между висмутом и жидким кисло-'
родом. Нейтроны падают из висмута (/) на границу с кислородом
(2). Штриховой линией показана следующая из измерений угловая
зависимость интенсивности отражения для монохроматичного па-
80
дайдашов. участвуют
ye. WK u даетдада Нцйта „’*“>*» нтвдсимц
да. ГО-W гогогастта а длины рдаеяшщ вд адгох^мГ WW>-
^vraw ?1=ад^'
£.$$.. Щш рблученцц ядра ll-sin
да;р-жмд с эиергаей <Г=1,44эВ
дадаго'-л ргостшдада щ>глсяд&-
да. йда гоставдого ядра црстк-да
дур да двум адналам — раднациоц-
дау (у- идадаа«даы, у-кидацв.) ц
дадах вмдатда нейтрона). Ццд-
даченно .стой реакции равцо
W = “'7'Щщ>чвд цейтрон-
вд» «дала расткн» Г,« 1,2-Ю^эВ.
.,Н5
> I
«ю
400
200
I
I
}
1
0, мин
фценнть- среднее- время жизни состав- Рис. 59
кого «Ара. относительно испускания у-
дато&ч счцтдя, что 1\»гп. Частицы считать. бессшщовылш.
$..6$? J3-p*r захвате тяжелым ядром медленного нейтрона с энер-
гарй <5 дараауется составное ядро. Снятие возбуждения происходит
ля^О адтоы упругого испускания нейтрона, либо, путем испускания
у-кштоа-. Найти отношение сечений испускания нейтрона при
й= 1 -!В и S = 10 кэВ. Вероятность, радиационного распада много
5WJK- вероятности вылета нейтрона. Считать, потенциал ядра пря-
моугР-яьноЙ потенциальной ямой, а процессы поглощения и испуска-
ние нейтронов — ыерезонансными.
§ 9., Деление ядер. Реакторы. Термоядерный синтез
9..U Кулоновские силы способствует делению атомного ядра., а. си-
год доверхцостцого натяжения препятствуют. Определить отношение
кудонрдской <£к ц поверхностной энергий атомного ядра, при кото-
ром-, деление на два равных осколка энергетически выгодно., Выразить
условие через параметр деления Z2/А>, пользуясь формулой Вай-
цзеккера для энергий и 4>п. Четности А и Z не учитывать.
9<2\ С помощью полуэмдирцческой формулы Вайцзеккера найти
мидима.дьноО' значение параметра. Z2/A, при котором становится
энйрцотичоскц возможным деление ядра с четным А и четцым, Z на
две одинаковые части. Рассмотреть три случая: О А/2 — нечетное,
произвольное;- 2} А/2 — четное,. Z/2 — нечетное;- 3). А/2 —
Z/2 — четное.
9.$ Предполагая, что форма ядра является сферической, полу-
жтк критерий, устойчивости ядер по. однощеншр' к. малым, статияе-
W1. деформациям формы.. Ядерную материв?, считать
цо. подученному критерия?- устойчвдоств
чгнцьгк ядер.. Как мржЦО- объяснить, явденця, спонтанного дел
Указание. Площадь поверхности вытянутого эллипсоида вра-
щения с полуосями а и Ь
(б и
s-2nab n + 77T7;,rcs,n-7—[
Энергия равномерно заряженного по объему эллипсоида с зарядом
Q р™а р з +
9.4* Оценить эффективное сечение деления ядра нейтро-
нами с энергиями 0,025 эВ (тепловые нейтроны) и 10 кэВ. Счи-
тать, что сечение деления равно сечению образования составного
ядра. Ядерный потенциал аппроксимировать прямоугольной потен-
циальной ямой глубиной 40 МэВ.
9.5. Сечение деления 23SU быстрыми нейтронами с энергией
^ = 5 МэВ равно о(//. /) — 0,0 бн. Какова относительная вероят-
ность этого нерезонансного процесса по отношению ко всем про-
цессам, идущим через компаунд-состояние? Глубину потенциаль-
ной ямы ядра урана принять равной U = эО МэВ.
9.6. Размножение нейтронов в делящейся среде можно условно
представить как смен}' поколений. Существовавшие в некоторое
время нейтроны будут все рано или поздно поглощены ядрами. На
смену «умершему» поколению нейтронов появится новое поколе-
ние нейтронов, которое опять через некоторое время «умрет», что-
бы дать «жизнь» следующем}' поколению. Конечно, время жизни
нейтронов неодинаково, но можно ввести среднее время жизни од-
ного поколения, точно так же. как это делается для человеческих
поколений. Отношение числа нейтронов второго поколения к чис-
лу нейтронов первого поколения в делящейся среде называется ко-
эффициентом размножения кх. Если k. < I, то говорят, что сис-
тема находится в подкритическом состоянии. Число нейтронов в
такой системе будет уменьшаться во времени. Пусть в подкрипь
ческой бесконечной системе в некоторый! момент времени появи-
лось No нейтронов. Определить общее число нейтронов, образую-
щихся в системе, если исходное их число равнялось Л?о.
9.7. Показать, что в системе из чистого 23SU нельзя достигнуть
к„ > 1 (см. задачу 9.6). Для энергии нейтронов больше 1,1 МэВ се-
чение поглощения не превышает величины 10-24см2: о-пО1Л =
= адел + оуахв < 10”24 см2, где оД(;1 — сечение деления, a cr3aXD —
сечение радиационного захвата. В то же время сечение упругого
рассеяния, при котором нейтрон теряет относительно большую часть
своей энергии, сграсс ^3-10-24 см2.
9.8. Реактивностью реактора называют величину р = ^-^, где
коэффициент размножения нейтронов; если |А— 11 т°
Л — 1. Найти в этом приближении изменение мощности ИД/) Ре’
82
«тора в надкритическом режиме, когда к > 1. Определит.,
ное дрем» Г реактора, т. е. время возрастания мощности^вемз’
Среднее время жизни одного поколения нейтронов равно т р
9.9. При каких значениях реактивности реактора р onDenP
пенного в предыдущей задаче, запаздывающие нейтроны определи
3!1В"о ООб?” Ы0ЩН0С™ °Т времени' Д°ля запаздывающих нейтронов
11 9.Ю! Активная зона ядерного реактора заполнена смесью урана и
графита, имеющей при бесконечных размерах коэффициент размно-
жения нейтронов — 1,05. Среднее расстояние, проходимое нейтро-
ном от места рождения до поглощения, L = 50 см. Оценить критиче-
ский радиус реактора R., при котором полное число нейтронов остает-
ся постоянным, считая, что плотность нейтронов изменяется линейно
по радиусу и равна нулю на границе.
9.11* В работающем ядерном реакторе в числе многих элемен-
тов из урана все время образуются изотопы иода 1351, претерпева-
ющие следующую последовательность бета-распадов (периоды по-
лураспада указаны)
135} ь,2Л‘е 135хе 135qs
3 Так как ядра 135Хе обладают очень большим сечением поглощения
□ ' нейтронов, в работающем реакторе накопления этого изотопа не про-
“ исходит. Однако при остановке реактора ксенон начинает накапли-
ваться, тем самым уменьшается коэффициент размножения нейтро-
нов и сразу же повторный! запуск реактора затрудняется (образуется
п так называемая иодная яма). Через какое время после остановки ре-
актора количество ядер 135Хе будет максимальным? Считать, что в
к момент остановки реактора ядер ксенона в нем нет.
9.12! Один из способов утилизации оружейного плутония (почти
- чистый ^Ри) состоит в его облучении в реакторе, где за счет захва-
та (поглощения) нейтронов ^Ри либо делится, либо переводится в
в 1 240Ри, который в свою очередь переходит в 241Ри. Сечения этих ре-
н акций равны Од = 741, сг(11 = 267, о,12 = 290 бн. Плутоний считает-
i“ , он непригодным для создания ядерного оружия, если содержание в
•- > нем М0Ри составляет 40% от М9Ри. Определить время, необходимое
для достижения этой концентрации 240Ри в образце оружейного
ь плутония в реакторе с массой М = 2,75 т U и мощностью
1К = 3500 МВт. Сечение деления W равно 073 = 579 бн, в одном
: 1 акте деления выделяется энергия е = 180 МэВ:
9.13. Под действием нейтронной компоненты космического излу-
о чения на поверхности Земли из образуется Ри. _читая, что
ь плотность потока космических нейтронов равна/п — м с
фективное сечение захвата (поглощения) нейгронов^адом ур
е равно сг = 3 бн, определить отношение концентрации Pu ~ Р
о : временах t» г1/2 от начала облучения (Тщ W w лс;
!- | полураспада плутония).
! 83
9.14. Много лет тому назад в урановом мех юрож,деним в Окло
(Габов. Африка) «работал» природный ядеримй реактор на 235U. И3
массы М = 200 т имевшеюся там урана выделилась энергия
& — 10й кВт- час. Оценить, какая часть массы A-U ЬМ/М была дрИ
этом израсходована, если его начальная коиценiраиия составляла
ц0=3,5%. Время «работы» реакюра мною меньше периода по,-и-
распада урана. Энергию бу. выделяют) юся при делении ядра 2,5U.
принять равной 200 МэВ.
9.15. Естественный span сосюю из 99.3% иооюна 2оЧ' и 0.7%
235U. При обогащении смеси изоюпов --U до 5 X возможна цепная
реакция деления. Какое время i юму назад такой природный реак-
тор мог «загореться»?
9.16. В урановом реакторе мош.ноиью W = 1 МВт ибраз\е1Ся в
среднем .V — 6 анти ней i рл но на один ак i деления ядра ) рана. Энер-
гия антинейтрино 6 = 1.5 МэВ. Реактор окружен биологической за-
щитой (бетон). Оценить плотность поюка антинейтрино j за биоло-
гической защитой на расстоянии L = -5 м и долю энергии q. уноси-
мой антинейтрино из реактора. Считать. чю реактор имеет
сферическую форм).
9.17’ При спонтанном делении тяжелых элеменюв (тория. ура-
на) внутри Земли выделяется мощноыь И7 15 ГВт. Делящиеся
элементы являются источниками антинешрино I 6 ан(инейтрино
на акт распада). Предполагая распределение элементов в Земле
равномерным, оценить плотность поюка ашинешрино на ее по-
верхности. Сечение поглощения антинеи i рино принять равным
о = 10-43 см2/н\ клон.
9.18. Во всем мире в 1978 г. была вырабоюна юпловая энергия,
эквивалентная сжиганию около 10’°т условною юплива. Условное
топливо имеет тепловыделение 7000 кал на J i. Какое количество ес-
тественного ) рана потребовалось бы взамен сжигания 101и т условного
топлива для получения такого же количества тепловой энергии? Счи-
тать. что в реакторах коэффициент воспроизводства «ядерного горю-
чего» кь = 0.8 (кь — это отношение числа атомов созданного «горюче-
го» к числу атомов затраченного). За один ani деления выделяется
200 МэВ энергии. В естественном уране содержжся ОПИХ235!?.
9.19. Один из перспективных методов получения новых изото-
пов — синтез сверхтяжелых ядер с их послед) ютим распадом. Най-
ти пороговую скорость г ядер урана, бомбардирующих урановую
мишень, для реакции
9.20Т В термоядерном реакторе концентрация дейтерия
= 2,5-1015 ядер/см0 поддерживается на постоянном уровне с по-
мощью внешнего источника дейтронов, который обеспечивает поступ-
ление q ядер/(с-см3). Принимая во внимание только реакции (d, d) и
(d, 1), найти: I) установившуюся концентрацию пх тритиз! 1; 2) веди-
84
muff r-3) МОЩНОСТЬ И', выделяемую в 1 см’лтавт., п
дазда т = 60 заВ усредненные но матеветаовда™щ®**
даиззедсизм сечензш реакций на огаоситьяьную^?? ₽еделвни®
psaciS= 1-6- Ю - см=-с-!: и^= ]0-15 ttl>pDrab частиц
9.21. Каково количество термоядерных реакций
,!ЯЦ 1с. гои известно сечение реакции “«зоаимх
цельная скорость реагирующих дейтронов а п — — ?я>
да з 1 см< ™rao Деюро-
9.22- Казсая плотность тепловой мощности W йог/с-см3!
ев термоядерными реакииямз^чисто дейтериевой плаз J
здациеи ядер ла = 10 »-=. С1>м = щ-и Ю№^
еиерате-ре плазмы ,.6-10- К или 40 кэВ в энергетических .тД.
дэ? При вычислениях учитывать лишь энергию реакций d + i
9.23. В первом поколении термоядерных реакторов предпшига-
етса использовать реакцию дейтерия с тритием:
d+1 4Не + п.
jauora реакции О = 17.6 МэВ. Предполагая, что хвазинейтралы
225 плазма содержит равное количество ядер дейтерия и трития при
шиносга электроне. л = 1014см'3, рассчитать плотность тепловой
мощности В', а также полную мощность N термоядерной устапоятеи.
©бьем плазмы Г = 500 м< Для данной реакции
— _ J6.2-10~21 см3/с при £7=1 кэВ,
С7'с1 |6-10~ь см3/с при £7=10кэВ.
924. Термоядерная реакция называется самоподдерживающей-
се. если выделяемая энергия полностью усколит на разогрев плаз-
мы (ядер дейтерия. трития и электронов) до необходимой темера-
туры т. Исходя из этого, найти минимально необходимое время
т удержания квазинейтральной дейтериево-тритиевой плазмы с
тиной концетрацией частиц п^-г пх~ и. Для данной реакции при
данной температуре величины Qd1 и ovdI считать заданными.
Примечание. Время удержания плазмы определяется в пер-
впо очередь различными неустойчивостями, а также процессами
диффузии и излучения.
9.25. Согласно критерию Лоусона в равнокомпонентной смеси
дейтерия и трития при ЛГ ~ 10 кэВ термоядерная реакция будет са-
моподдерживающейся. если пт= 1014 с/см-3,тдеп — плотностьэлек-
тпаов, т — время удержания плазмы (см. задачу 9-24). Какова для
этого случая должна быть плотность тепловой мощности, выделяемой
^реакторе, если л = 1024см-3.
Примечание. Такой режим работы называют режимом нул
20Й мощности. ' „ - п_
9.26. Экономии елей выгодным с чихается такой термоядерный
актор, в котором выделяемая энергия втрое превышает
зшрев плазмы. Это связано с тем, что часть выделямои
233 идти на поддержание работы различных вело ,
;85
устройств. Показать, что рая квазииейрааьиой рашюко.миоиентиой
дейтериево-тритиевой плазмы при к! — IOkjH кршерии Лоусона
имеет вид «т > 3-10'* с/см-3. Здесь п -- плотиось электронов, т _
время удержания плазмы (см. задачу 9.24). Яля данной реакции при
заданной температуре o'y(Jt = 6-10 )7см7с , а О,л — 17,6 МэВ.
9.27. Оиснить радиус плазменного лсйтерисвого шара, для кото-
рого термоядерная реакция станет самогюддс-ржившшлейся дрИ
£7 = (0 кэВ. Плазму можно рассматривав ь, как аосолюпю черное те-
ло, непрозрачное для излучения, и считать, ню основные потери
энергии связаны с излучением через поверхносп, (пара. Копнетрация
дейтерия равна z/d = 3,0- Ю20 см"3; ври данной температуре величина
I О-1* см3/с . Учитывать только реакции (d.d) и (d.I) (см. за-
дачу 9.20). Концентрации дейтерия и трития считат ь стационарными.
9.28! При классическом рассмотрении реакция термоядерною
синтеза (d, d) может произойти только тогда, когда кинетическая
энергия сталкивающихся дейтронов достаточна для преодоления ку-
лоновского барьера 7г>/1 = 0.5 МэВ. Однако, блаюдаря туннельному
эффект}' эта реакция возможна и при меньших энергиях. Оценить.
во сколько раз увеличивается скорость реакции при квантовом рас-
смотрении по сравнению с классическим. Температура дейтериевой
плазмы Т() = 10* К.
9.29Г Реакция термоядерного синтеза d + l-’ii + a при низких
энергиях идет преимущественно в состоянии с полным моментом им-
пульса сталкивающихся ядер / = 3/2. Во сколько раз изменится сред-
нее сечение этой реакции, если дейтериево-тритиевая плазма поме-
шена в магнитное поле, полностью поляризующее спины взаимодей-
ствующих ядер? Спины ядер дейтерия и трития равны соответственно
Sd = I и S, = 1/2 (см. указание к задаче 8.4).
9.30: В морской воде примерно на каждые 6000 молекул обыч-
ной воды приходится одна молекула тяжелой воды D2O- Учитывая
четыре основные реакции синтеза, возможные в дейтериевой плаз-
ме, определить, какая энергия выделится в термоядерном реакторе
при сжигании всего дейтерия, содержащегося в 1 л морской воды.
Какому количеству бензина эквивалентен по энергии 1 л воды, ес-
ли при сжигании I кг бензина выделяется 13 кВт-ч энергии?
9.31. Оценить запас термоядерной энергии 6 в 1 м3 морской
воды, если использовать 10% дейтерия, содержащегося в воде, для
осуществления реакции d + d. Число атомов дейтерия в природной
смеси изотопов равно 0,015%.
9.32. Определить отношение начальной кинетической энергии
частиц дейтериевой плазмы, нагретой до Т = 10ч К, к энергии, выде-
лившейся после «выгорания» всего дейтерия в результате реакции
термоядерного синтеза. Учитывать только реакции (d, d) и (d, l).
9.33. На рис. 60 изооражена предполагаемая схема термоядерной
электростанции. В реактор вводится подогретое до необходимой тем-
пературы топливо — дейтериевая плазма. Часть частиц покидает зо-
ну реакции, не испытав ядерного взаимодействия. Часть энергии за-
86
„„«иных члстпц, кот°Рая бесполезно излучается из зоны реакции за
* тормозного излучения,с помощью системы отражателей XiS
стоя обратно а реактор Коэффициент преобразования выделенной
Й ₽* “ 3JieK'rp" й№Г’и,) 11 я 3Q%-
«пневой плазмы 1 - Ю К. Наптн п(,т — произведение концевтра-
uuu ядер дейтерия па время удержания дейтериевой плазмы s 30не
пмкнвч. необходимое для протекания самоподдерживающейся реак-
1 Принят11 во внимание только реакции (d, d) и (d, I). При задан-
non температуре О1.щ|-2,э-10 см -с-'. Считать, что за единицу
юеменп 43 единицы объема плазмы уходит в среднем nji, частиц,
дитенспвпость тормозного излучения единицы объема 1Г,О, =
-I Вт/™3- Для упрощения расчета принять, что доля
в мощности потерь из-за тормозного излучения, возвращенная обрат-
m в реактор отражателями, равна КПД станции, т. е. р = ц.
11 д 34. Согласно современным представлениям на Солнце осущест-
мяется'звездный углеродный цикл, в результате которого из четырех
ппотоиов образуется о-частица. Конечной реакцией этого цикла яв-
ляется реакция' р + 15N |2С + 4Не. Оценить, какая доля энергии ц
от волной энергии цикла выделяется в указанной реакции.
И 9 35 Под действием медленных нейтронов нз литиевой мишени,
тсгояигей из изотопа “Li, вылетают тритоны. Они в свою очередь
попадают в дейтериевую мишень и могут приводить к реакции
У ()-»п + а. Какова при этом максимальная кинетическая энергия
ипЛ.тпил»-’
Рис. 60
реакция. Пробег протонов данной
' = 8-10"4 г/см2, сечение вза-
= 10~47см2.
l + d-*r. .
вторичных нейтронов?
9.36. Основная реакция в
водородной среде в центрах
звезд р + р-* d + е+ + ve
обусловлена слабым взаимо-
действием. Этот процесс мож-
но промоделировать в лабора-
торных условиях. Рассчитать,
какой ток 3 протонов с энер-
гией 1 МэВ должен падать на
водородную мишень, чтобы за
/=1ч произошла одна такая
энергии в мишени до взаимодействия / =
имодействия при данной энергии ст = .С ....
9.37’ В центре Солнца плотность ядер водорода р« 160 г/см3,
температура Т = 1,5-107К (кТ=* 1 кэВ). Рассчитать время выгора-
ния 50% ядер водорода в центре Солнца за счет реакции
p + p-»d + е+ + те. Считать, что все протоны в центре Солнца
имеют скорость, равную скорости при данной температуре, а се-
дине их взаимодействия сг = 10~51см2. . 1
938. Сечение деления ядер 23&U у-квантами с энергией- 3 МэВ
составляет о = 0,1 нбн (Ю"34 см2). Какова должна быть плотность
потока j [см“2-с-1] падающих на мишень у-квантов,- чтобы можно
81
было замешть вынужденное деление в /п - I mi урана на (|Ше
спонтанного деления (7\м = Ю' ’ -"er) при пролил,юнешнюстп ..?KL.
перимента (0 = 100 час?
9.39. Оценить критический радиус и массу шара из мегалл)ще.
ского урана-235 плогпостью р = 18,/ г/см' (наряда ялерноп бомбы),
если известно, что среднее сечение деления ядер рождающчмнмся
нейтронами <? = 1.5бн. среднее число рождающихся в одном акте
деления нейтронов v = 2,5. Всеми друипан каналами реакции, кро-
ме делительного, пренебречь. I (лотос н> нснсч.а непгринов считан
однородное!.
9.40. В бесконечной среде, сосчояшей ил мечаллоческото урана-
235, самопроизвольно разделилось одно ядро. Коэффициент размно-
жения нейтронов /с-е — 1.001, средняя анергия дели г ельных нейтронов
£ = (.6 МэВ, сечение деления этими нейтронами о = 1.5 би. Оце-
нить, за какое время в среде выделится онер/ня (И = 5 МДж. Плот-
ность урана р— 18.7 г/см3, неуируглмн процессами пренебречь.
9.41* Высота и форма барьера деления зависят от спина (полного
момента) и четности делящегося ядра (рис. 61). 1ак. например, в
уране-238, у которого спин л четность основного состояния 0 \ высо-
ты барьеров деления для возбужденных состояний ядра V и 1 “ равны
5,2 и 5.7 МэВ соответственно. Найти отношение (> вероятностей деле-
(j ния ядра через эти состояния под действием 7-
С/(<ф , квантов с энергией с-’ z = 6.0 МэВ. Как изменится
<°? / 2+\ вероятность деления через сос гояние 2’. еелгг по-
ч //\\ местить ядра в иоле интенсивного лазерного пзлу-
$ у \| чения (т. е. в случае, когда ядро практически од-
\ S / 1 повременно поглотает у-кьант и фотон)?
\£/ \ 9.42. Высота и форма барьера деления завн-
____________\ G сят от спина (полного момента) и четности де-
лящегося ядра (рис. 61). 'Гак. например, у ядра
PHC.6J *<’ри, основное состояние есть 0‘. высоты барь-
еров деления для возбужденных состояний ядра
2’ь и 1“ равны соответственно 5,2 и 5.7 МэВ. Оиенпть отношение
вероятностей деления ядра через эти состояния под действием 7-
квантов с энергией 6’7 = 5.4 МэВ. Форму барьера деления для со-
стояния 1 можно аппроксимировать «перевернутой параболой') с
характерным квантом Аш = 1,3 МэВ. См. также’задачу 3.41.
9.43. Источником питания находящегося на околоземной орби-
те спутника является ядерный реактор мощностью W = 3 кВт.
Оценить, на каком максимальном расстоянии от спутника можно
обнаружить наличие реактора с помощью у-телескопа. Считать,
что сигнал надежно регистрируется, если он вдвое превышает 7-
фон неба Фо = 10 2 см 2-с~’. В каждом акте деления в среднем ис-
пускается к = 1 у-квантов, защита реактора поглощает а = 95%
образующегося излучения. Считать, что угловое разрешение теле-
скопа равно угловому размеру спутника.
88
§10. Элементарные частицы. Резонансы
Лептоны и кварки. Реакции при высоких энергиях
10.1. При рождении и распаде частиц выполняется (помимо за-
ов'сохранения энергии, импульса и момента импульса) рядточ-
*он зяконов сохранения (тильда сверху в обозначении частицы яы
^ется знаком античастицы):
Л П закон сохранения электрического заряда;
J закон сохранения барионного заряда (барионный заряд равен
барионов, т.е., например, для нуклонов (п, р) и гиперонов
J д v Ц. —1 для антибарионов, т.е., например, для антинукло-
ов (Й "₽)*11 антигиперонов (Л, S, Е); 0 для всех остальных типов
частиц);
3) законы сохранения электронного лептонного заряда Le, мюон-
ного лептонного заряда Лр и таонного лептонного заряда Lr Для элек-
трона (е") и электронного нейтрино (vc) принято, что Le = 1, а для
позитрона и электронного антинейтрино Le = -1. Для всех осталь-
ных частиц Ле ~ 0- Аналогично, Ли отлично от нуля только для четы-
рех частиц: р“, v}l, ц+, (мюонов и мюонных нейтрино), причем для
первых двух частиц Лц = La для последних двух£ц = -1. Аналогич-
но вводятся лептонные заряды и для сверхтяжелого лептона т".
Указать, какие из приведенных
численными законами сохранения:
ниже реакций запрещены пере-
1. п —* р + е + тс.
2. р -» п + е+.
3. г -> е~ 4- ч, + ve.
4. К+ л- + 2е+.
5. л + р -> Л° + К0.
6. К- + п Л° + ял
7. л+ + л Л° + К+.
8. л+ + п -> К+ + К0.'
10.2. Рассмотреть приведенные ниже распады и реакции и ука-
зать, какие из них запрещены:
I. л- ц- Д- 6. 4- р л 4- е+.
2. л“ 4- ve. 7. ve 4- р -* п 4- ц+.
3. р.- —> е~ 4- тс 4- vc. 8. vc 4- р л 4- е+.
4. ц" е~ 4- vc 4- vg. 9. ц" е" 4- у.
5. vu 4- р -+ п 4- (А 10. т" -* рг 4-
10.3. Взаимодействие и распад частиц происходят в результате
сильного, электромагнитного или слабого взаимодействий. Вероят-
ность процессов при слабом взаимодействии на много порядков
меньше, чем при сильном. Сильное взаимодействие может происхо-
дить только между адронами. При сильном и электромагнитном вза-
имодействиях сохраняется квантовое число S (странность). При сла-
бом взаимодействии странность не сохраняется. Принято приписы-
вать странность 5 частицам следующим образом:
5 = 0 для нуклонов, антинуклонов, л-мезонов;
89
S = -l для A. 2+, 2', К~, 2°. («-мезонов. 2-гиперонов, Д-
частицы); .
5 = -2 для 2_. 2° (каскадных гиперонов);
5 = —3 для ^"(гиперона);
5 = +1 для Л, 2\ 2_. 2°, К 1 * *, К0;
5 = 4-2 для 2", 3°;
5 = 4-3 для Q+.
В этих формулах тильда сверху — знак античастицы. При измене-
нии странности на I вероятность процесса уменьшается в
[Qio 1Q12 раз п0 сравнению со случаем сильного взаимодействия,
а при изменении 5 на 2 реакция фактически не наблюдается, если
возможна реакция с изменением 5 только на I. При существующей
интенсивности частиц, генерируемых в ускорителях, реакции меж-
ду ними с нарушением странности практически ненаблюдаемы, Од-
нако распады частиц с нарушением закона сохранения странности
наблюдаются всегда.
Выяснить, какие из перечисленных реакции л распадов разреше-
ны по закону сохранения 5. какие не наблюдаются:
1. л- 4- р -* Л 4- К0. 8. л+ 4- п Д 4- КД
2. л- 4- р -* Л 4- л°. 9, К + р - 2+ 4- л.+.
3. Л -» р 4- л~. 10. р 4- 24 К+4- л:+.
4. Е_ —» Л 4- л-. 11, р 4- 2+ л+ 4- л+.
5. 3" —» 2л_ 4- р. 12. л- 4- р -+ 2“ 4- 2+ 4- п.
6. л+ 4- р -» 2+ 4- К-. 13. л." 4- р 2+ + К'.
7. л+ 4- р —» 2+ 4- л“. 14. л- 4- р —> Е_ 4- К+ 4- К0.
п
тл
м:
тг
вс
ш
тс
и:
Л
в:
Т
м
Г
Р
е
7
1
1
10.4 . При распадах странных адронов (барионов и мезонов), при-
водящих к рождению лептонов, существует эмпирическое правило,
управляющее вероятностью распада. Если изменение странности ад-
рона при реакции Д5 не равняется изменению заряда адронов AZ, то
такой распад не наблюдается. Например, наблюдается распад
2_ —* п 4-е~ 4-(Д2=Д5 = 4-1),
но не наблюдается распад
S+^n+e4vc (ДИ=-1; Д5 = -М).
Существование первого и отсутствие второго из этих распадов
молено рассматривать как потверждение кварковой структуры адро-
нов. Определить, какие из перечисленных ниже распадов разреше-
ны по правилу AZ= Д5, а какие запрещены:
1- К+ —» л+ 4- л;+ 4- е" 4~ v .
2. К+ -» л+ 4- л- 4- е+ 4- ve.
3. Е_ —» Л 4- е“ 4- v .
4. 2° Л 4- е_ 4- е\
5. Л р 4- е~ 4-
6. 2° 2+ 4- е" 4- vc.
7. Е° 2“ 4-е+4-те ,
8. К+ —> е+ 4- vc 4- л°,
9. К+ -» л+ 4- |Л+ 4- |л“.
10. К- -* л- 4- 4- е+ 4- vc.
90
10.5. Все частицы естественным образом разбиваются „
с близкими значениями масс (отличие масс в а Г₽У!ШЫ
Группу частиц с близкими массами называют изотопич»РЗДКа
яилетом (синглетом, дублетом, триплетом, квдрХмГ'?/5'”"
„улвтиплета можно трактовать как различные состоят obS™
явной частицы, отличающиеся значениями проекции™»^ Ф
га числа - изотопического спина Т. Как и
импульса), изотопический спин имеет 27 + 1 прХцйТо ь кваТ
тования в фиктивном изотопическом пространстве. Число пооекп^
изотопического спина совпадает с числом частиц ь мультиплете
№ 2Г 4- 1. При этом проекция изотопического спина на ось квант^
вания Т3 связывается с электрическим зарядом члена мультипл^
Т3 = 2 - У/2, где У —квантовое число, одинаковое для всех членов
мультиплета, называемое гиперзарядом (или унитарным спином).
Поскольку = 0, то У = 2 22Ср — удвоенный средний за-
ряд мультиплета. Оказалось, что странность 3 (см. задачу 10.3) свя-
зана с гиперзарядом У и барионным зарядом В простым соотношени-
ем: 8 = У — В. Пользуясь приведенными равенствами, определить 3,
Г, Тз» У для S~, Z_, Q~, я~, К~, -q-частиц.
Примечание. Для античастиц все заряды (электрический, ба-
рионный, лептонный, гиперзаряд) противоположны зарядам частиц.
Противоположны также странность 3 и проекция изотопического
спина Т3. Массы, времена жизни, спины и изотопические спины т
у частиц и античастиц совпадают. Частицы, у которых все заряды
равны нулю, называются истинно нейтральными.
10.6. Строгие законы сохранения (см. задачу 10.1) ограничивают
число типов реакций и распадов. Нестрогие законы сохранения огра-
ничивают типы взаимодействий. Какие из приведенных ниже реак-
ций и распадов разрешены законами сохранения, какие строго запре-
ненаблюдаемы? (См. задачу 10.3.)
4. ц" “* е" 4-е+4-е“. •
щены, какие практически
1. р -> п 4- е+ 4- ve.
-* е" 4- ve + 7.
2.
3.
10.7. Указать, какие из
дов невозможны или г,
законов сохранения:
1. Г + в.
1. Z“+p 31° + К°.
'7- 6. п -* р 4- е~ 4- ve.;
не из перечисленных ниже реакций -и распа-
практически ненаблюдаемы, из-за нарушения
5. яг 4- D S" 4~К+. , ! :>
б. 2°^'Л+7. г.' .
7. -» Л -f ё~'+' : - - ’ -=•>
8. 2°^
происходят процессы .1 >5;; 6, Л2;, г
ниже реакида и-фасдады.я’опре-
• К'- /f> -пки
' Я1 ,
4. тс 4* р —* S 4" К. .
По какому типу взаимодействия
-10.8. Рассмотреть приводимые
делить тип взаимодействия:
Л + iT-n-
1, ТГ1Р • . ,
2. f р + I4 •
3, 2» - л t У:
4. Е» Л -|- п°.
5. 7)/’ -> 7 + 7.
б. СТ -* 2' + ”"
1 0.9! Kai< ятличй1РТРя ДРУГ °т лругэ знамения квантовых кисел
кя-мйона И 1<в-ме«а а Я* эт° (Ж13ЫК)ется на поглощении К“ и К»,
мезонов вошеотдом? Возможны ли переходы этих частиц друг в друга?
1040 - Определят!» ТИПЫ взаимодействии ори следующих реак-
ция* И pt1CIWx: .....................
]. к~ + JHe IHe t Л + !Г- 5- >Не + 1Ие з1-1 + ?И + ж».
2- |Н + |Н — 1Не + л“- Ь. а- -* К- 4- Л.
3. pf*Не ^’He + fH. 7. ir^r + v
.4. ’Не + iff 1Не + fH- 8- о Р + е~ 7’
10.11, Возможны ЛИ следующие схемы распада частиц, и если
HPT? ТО по КЗК°Й Причине?
J. СГ -» Л9 f л”
2. S" П t
3, п Р + К t v
4- л -+ р t е“ Н- v(
5. р -* [?’ -|- Y
6. Q- — Н° t |i".
10.12 . Какая частица обязана образоваться одновременно с К°-
мезопом прц соударении л_-мезона с протоном? Реакция идет по
СИЛЬНОМУ рзайЫОДействик).
10,13 . «Экспериментом века» были названы опыты по опреде-
ленна времени жизни протона. Теория великого объединения пред-
Сказывает? чтр протон распадается на пион и лептоны со временем
ЖИЗНИ т~1031 лет. Оценить, какую массу вещества необходимо ис-
Ггр^ЬЗРВйТВг чтобы за время эксперимента 1 = I год произошло
jV=1Q т.акцх распадов.
10.14 . Определить время жизни мюона, образовавшегося при рас-
паде положительно заряженного каона. До распада каон покоился.
10.15 , Определить время жизни ипсилон-частицы У по ширине
ре ррзонаис,3 взятой на половине высоты и равной 25 кэВ.
10,16 ! НзЙТИ, какие из самых тяжелых ядер и антиядер могут
рбрдзов.аться в реакции р -J- р при соударении протона с энергией
= 3-JQ'2 эВ с неподвижным протоном и на встречных пучках
Протонов? ускоренных до такой же энергии.
1047? В 1976 Г.- Нобедерск.ая премия по физике была присужде-
на ЗД ОТКРЫТИЙ новой элементарной частицы — джи-мезона (ныне;
^/^"Ы0ВРн)г Открытие бв!ДО сделано практически одновременно и
НеВДВИОИЫО В двух разных лабораториях. В одной из них опыт был
ПРРТДРлен на встреннык пучках электронов и позитронов, ускорен-
ные ДО одинаковой энергий (^сцм ~ энергия сталкивающихся
НД^ТИК' Р риртемО'центра масс). Полученные в этом эксперименте
редуЛРТЙТЫ ПОКДЗ.анВ! Н;% рис. 62, Определить энергию покоя и оце-
ПИТТ? Нттжцюю границу времени жизни джи-частицы.
02
10,18. В 1984 г. появилось сообщение, впоследствии вв
„„шееся. открытии ^-частицы как продукта uacmnTv поДтаер-
ш» *’w 1072 МэВ' Эирр™я
1 10.19- В 1974 г. была открыта элементарная частица 4/->н в
„последствии чармонием, В одном „а опытов были
прироваиы продукты ее распада «на лету»: ,1/ы^ет + е- S'.
>i.V и скорост^мармоипя, если энергии и электрона, и пози™™
были равны 0-3,1 1.1В, а угол между направлениями разлета
электрона и позитрона составил 0 = 60 . разлета
Рис. 62
10.20. В 1976 г. были получены первые указания о существовании
заряженной «очарованной» Лё-частицы, распадающейся по схеме
Лё —* Л 4" л’" 4- л+ + л .
Найти кинетическую энергию, уносимую продуктами распада Лс-ча-
стицы в ее системе покоя.
10.21. Определить, выше какой минимальной энергии ©min
встречных электрон-позитронных пучков, имеющих одинаковую
энергию, могут рождаться частицы из семейства «красивых» (В-ме-
зоны). Энергия покоя В-мезона /пвс2 ~ 5279 МэВ.
10.22. Определить пороговую энергию <£пор рождения пары 2-ги-
перонов при облучении протонами жидководородной мишени. ,
10.23. Найти, чему равно наибольшее количество заряженных
или нейтральных пионов, которое может быть образовано при стол
^говении протона с энергией £р = 5 ГэВ с покоящимся протоно
93
10 24 Определить минимальную (пороговую) кинетически
энергию нейтрона, при столкновении которою с ядром водорода в
жвдководородной мишени образуется лямбда-частицш
10 25 Найти минимальную (пороговую) кины ическую энергию
налетающего протона, необходимую для рохадепи» парь, барион»
(E°S°), имеющих энергию покоя но 1.315 МэВ каждый, в (рр)-соу-
дарениях в жидководородной камере.
10.26. Определить максимальную энергию <Ьц1;1х электрона, обра-
зующегося при распаде покоящегося мюона.
16,27. Определить в лабораторной системе отсчета минимальную
и максимальную энергии электрона, образованного при распаде мю-
она с энергией <Sp ?= 10,5 ГэВ.
10.28. Нейтральный пион распался на два у-кванта с энергиями
^ = 3,1 и <£2 = 2,0ГэВ. Найти угол разлета 0 между у-квантами.
10.29. Оценить, при какой энергии & ультрарелятивистского за-
ряженного пиона его пробег до распада равен пробегу в воздухе при
плотности р = 10-5 г/см3. Собственное время жизни и энергия покоя
пиона равны т0 = 2,6 10~й с и щяс'2 = 140 МэВ,
10.30. Нейтральный пион л° с энергией покоя ///„с2 = 135 МэВ
распадается на лету на два одинаковых у-кванш, разлетающихся
под углом а = 2-10"2рад по отношению к направлению движения
пиона. Какова кинетическая энергия пиона л°? Чему равна неоп-
ределенность энергии покоя пиона л° и каково его время жизни в
лабораторной системе координат, если в собственной системе он
живет т0 — 0,84 • 10_J6 с?
10.31. П°-мезон распадается на лету на К"- и к4-мезоны. Рас-
стояние от точки его рождения до точки распада равно L = 350 мкм.
Импульсы каона и пиона равны /;к = 3,6 ГэВ/c и = 1,9 ГэВ/c и
направлены под углами 0К=13°ЗО' и 0Л = 27’50' к направлению
импульса П°-мезрна. Определить энергию покоя, скорость и время
жизни Р°--мезона,
10.32? При распаде «на лету» Й~-гиперона (Q~-»A 4- К” ) из-
мерены импульсы частиц распада рл = 5,7 ГэВ/c и /;к = 2,0 ГэВ/с
и угол разлета между ними 0 = 28,5°. Определить энергию покоя
0--гиперона.
10.33. За распадом остановившегося в ядерной фотоэмульсии К+-
мезона по схеме К+—» л+ + д° последовал распад нейтрального пиона
аг по .схеме л0-—» у + е+ 4- е“, причем точка рождения пары е+е“ на-
ходилась на расстоянии L ?= 0,04 мкм от места остановки К-мезона.
Оценить собственное время жизни нейтрального пиона тс°.
10.34. Какова средняя длина пути L до распада А-гиперона в воз-
духе, если его энергия <£л = 7 ГэВ?
10,35. Коллимированный монохроматический пучок заряжен-
ных пеонов, энергия которых <э- = 10 ГэВ, вследствие распада по-
степенно превращается в пучки мюонов и нейтрино. На каком рас-
стоянии L от области формирования пучка число образовавшихся
мюонов в три раза превышает число пионов? пазовавшихся
10.36. Оценить примесь мюонов в пучке заряженных каонов на
расстоянии L Юм от метта формирования пучка каонов Каоны в
пучке имеют энергию 6-3 ГэВ. Выходом мюонов из пучка в про-
цессе распада пренебречь. 1 в ПР°
10.37. При рождении и К^-мезонов в мишени ускорителя
с импульсами — Рк — Р - т. ГэВ/c их числа относятся как 100'1
Найти это отношение на расстоянии L = 50 м от мишени
10.38. Заряженный пион, имеющий энергию 6. = 420 МэВ рас
задается на лету на мюон и антинейтрино. Определить энергию мю-
она в лабораторной системе, если в системе покоя пиона мюон
вылетел под углом 90° к направлению полета пиона.
10.39Г Для получения пучков заряженных пионов на ускорите-
лях на пути пучка ускоренных протонов ставится тонкая мишень
Определить число заряженных пионов 2УЯ, образовавшихся в мише-
ни в секунду, если на расстоянии L = 5 м от мишени интенсивность
пионов равна н 5’10 с . Регистрация осуществляется детекто-
ром, площадь которого равна 5 = 100 см\ Кинетическая энергия пи-
онов Т = 500 МэВ. Считать, что из мишени пионы вылетают изо-
тропно, т. е. равновероятно под любыми углами в лабораторной си-
стеме координат.
10.40. Определить пороговую энергию <£пор для реакции на по-
коящемся протоне
\ + р п + е+.
10.41. Какова наибольшая энергия электрона, образованного при
распаде покоящегося т-лептона на мюон и два нейтрино, а мюона в
свою очередь на электрон и два нейтрино.
10.42. В результате облучения жидководородной мишени нейтро-
нами в реакции n + р—* d + наблюдаются гамма-кванты от распа-
да л°~* у + у, разлетающиеся в строго противоположных направле-
ниях в лабораторной системе отсчета. Какова кинетическая энергия
нейтронов облучения?
10.43. При какой энергии налетающего протона на покоящийся
протон в реакции р + p—*d + л+ кинетическая энергия дейтрона в
лабораторной системе координат может быть равна нулю?
10.44. Взаимодействие протонов космического излучения с релик-
товыми фотонами (средняя энергия квантов е**10“3эВ, а плотность
п =400 см-3) может, в частности, приводить к реакции
V + р -» р + л°, порог которой (кинетическая энергия) при бомбарди-
ровке покоящегося протона равен Т = 140 МэВ, а сечение
о» Ю-4 бн. При какой минимальной энергии протона <£ этот процесс
вдет в космосе? Каково время жизни т протона до взаимодействия.
10.45. Взаимодействие высокоэнергетичных у-квантов космиче-
ского излучения с реликтовыми фотонами (средняя энергия квантов
г-Ю“3 эВ, а плотность п = 400 см"3) может приводить к образова-
95
нию электрои-иозитроииых яаР- Определить пороговую эиерП1и
квантов Т (эВ) в этом процессе. Каково время жизни т надпорот
Z у-кваита до взаимодействия, если сечение этого прр™'
° 10 46, Мюоны космических лучей образуются, в основной
стратосфере Земли под действием первичного космического ®jv'J
иия, Оценить энергию мюона, достигающего поверхности Земли' .
ли он образовался на высоте^//— 40 км. Потерями энергии мюона
на ионизацию воздуха пренеоречь. ~
Ю 47. Мюоны космических лучей ооразуются в верхнем слое ат
мосферы Земли. Оценить, какую наименьшую энергию <£ЯЦГ1 Д0Мен
иметь мюон, чтобы достигнуть Земли, если он образовался на высоте
Н = 40 км. Потери энергии мюонов на ионизацию воздуха составля-
ют а- 1,8 МэВ-г"5-см2.
10.43. В настоящее время экспериментально установлено, что
верхняя граница энергии покоя мюонного нейтрино равна 0,17МэВ.
С какой относительной точностью нужно измерять кинетическую
энергию мюона, возникающего при распаде покоящегося пиона, что-
бы довести границу до более низкого значения, равного 0,1 МэВ?
10.49. На вход распадного канала длиной 1 км из ускорителя
попадают заряженные пионы с энергией 0,9 ТэВ. В результате рас-
пада пионов (7t~*|xv) в канале рождаются нейтрино с энергией по-
рядка 100 ГэВ. Каков относительный выход нейтрино? Какой вклад
в поток нейтрино дает распад родившихся мюонов? Нейтрино и ан-
тинейтрино считать одинаковыми частицами.
10.50. На Землю непрерывно приходят от Солнца нейтрино с
энергиями в диапазоне 0,1ч-15 МэВ. Детектором регистрируются
возникающие в его материале под действием этих нейтрино элек-
троны отдачи с кинетическими энергиями выше Тс = 5 МэВ. Какой
минимальной энергии нейтрино соответствует этот порог регистра-
ции для свободных электронов?
10.51. На Землю непрерывно приходят от Солнца нейтрино с
энергиями в диапазоне 0,1 ч- 15 МэВ. Детектором регистрируются
возникающие в его материале под действием этих нейтрино элек-
троны отдачи с кинетическими энергиями выше Ге»5МэВ. Каков
максимальный угол рассеяния свободных электронов от нейтрино
максимальной энергии?
10,52. Под действием протонов космических лучей в атмосфере
Земли генерируются заряженные пионы. По мере прохождения к
поверхности Земли они распадаются с образованием мюонов, кото-
рые также нестабильны. Какая должна быть зарегистрирована у по-
верхности Земли величина отношения потоков мюонных и элект-
ронных нейтрино, родившихся в результате распадов этих частиц?
нейтрино считать безмассовыми частицами. Частицы и античасти-
цы в эксперименте не различаются.
.53. В 1983 г, были открыты переносчики слабого взаимодейст-
osoHbi^w и W . В одном из первых обнаруженных распад®
е ve наблюдался след электрона с энергией £ = 58,5 ГэВ и
9,6'
„Лом вылета его относительно направления движения распадной ча-
0 = 45”' Какова ГХеТ бЫТЬ миним“ьная энергия покоя W"-
бшош в этом процессе?
10.54. Чему равно для электрона - продукта распада ультрапе-
дпивистского т-лептона — максимальное значение проекции им-
пульса на направление, перпендикулярное импульсу т-лептона?
' 10.55. в 1983 г. был_открыт нейтральный Z-бозон. При анализе
рго распада Z—> (<'Т !' найдены два следа мюонов с импульсами
п=:85ГэВ/с при угле разлета 6 = 70°. Найти энергию покоя и
скорость Z-бозона.
10.56. На рис. 63 представлена полученная экспериментально за-
висимость эффективного сечения реакции: е+ + е~ адроны от энер-
гии £с1№1 частиц в системе центра масс. Она свидетельствует о суще-
ствовании резонанса (ф-частиц) с энергией покоя М^с2 = 3,10 ГэВ.
Наблюдаемое при этом значительное возрастание сечения выше об-
аасти резонанса (асимметрия графика) объясняется рождением
ip-частицы с одновременным испусканием одного фотона. Оценить,
пользуясь графиком, минимальную длину волны фотонов, зарегист-
рированных в этом опыте.
10.57* При распаде покоящегося К+-мезона возникает мюон
(К+->ц+ + vg) . Определить ориентацию спина мюона относитель-
но его импульса. Найти путь, пройденный мюоном до момента сво-
его распада. Исходя из кварковой модели, начертить схему распада
К+-мезона.
10.58. Взяв радиус дейтрона 10 13 см и воспользовавшись со-
отношением неопределен-
ностей, оценить безраз-
мерную константу g2 =
нуклон-нуклонного взаи-
модействия в области ма-
лых энергий. Здесь q —
«заряд» нуклонов по отно-
шению к сильному взаимо-
сг СМ2,
;0-28-
10"29 -
Ю-зо .
ю-31 -
10-32:
ЗЛО ,3,12 3,14 £сцм, ГэВ
Рис. 63
^! = 3,1 ГэВ и
17 ф и ф' с энергиями покоя
считать соответственно основным и первым воз-
чр' с энергиями
действию.
10.59. ’ Мезоны J/ф и
<92=3,7 ГэВ можно считать _____
бужденным состояниями чармония — системы кварков (сс). Поль-
зуясь нерелятивистским приближением и считая, что потенциал
взаимодействия кварков U = —q2!r, где q — «цветовой заряд», оце-
нить характерный радиус J/ф-мезона.
10.60. Резонансы Y и Y' с энергиями покоя <^ = 9,46 ГэВ и
^2= 10,02 ГэВ (ипсилон-мезоны) можно считать соответственно, ос-
новным и первым возбужденным состояниями боттомония — пары
квраков (ЬЬ). Пользуясь нерелятивистским приближением и считая,
что потенциал взаимодействия кварков U — —q2!?> где q — «цвето-
97
вой заряд», оценить маету b-Kiyipaa <Ц, и о<'..|>.чзмериу1о коаетац,-,
„3 = <?/Ле сильного взаимодейс|чя1ч.
10 61 В 1983 г. были обнаружены 1Ю|>епогчпм1 е.чаоого взанч0.
действия W-бозоны, энергия покоя когорык оказалась равной
мерно S0 ГэВ. Оценить радиус дт-гхн» с.ааоого »за11мо,кй,
ствия. . .
10.62. В полном сечении реакции л р * л р при I = 190^
наблюдается резонанс с полной шириной Г - 120 МэВ, называемый
Д++-нзобарой. Определить время жп.шн и энергию покоя этой час-
тицы.
10.63! В сечении рассеяния пионов л ' на ядрах водорода наблкк
дается резонанс, соответствующий образованию А1 * (1232) с энер.
гией покоя 1232 МэВ. Оценить сечение этой реакции. Радиус протона
г 0,8' Ю-13 см. Экспериментальное значение о^1, 200 мбн.
Р Резонанс с энергией покоя 1232 МэВ порадуется также и в реакции
д-р—»jr-p. Полное сечение этой реакции оЩ11|| -= о8 мбн. Указать не-
упругий канал распада этого резонанса (А°-и.юбара) и найти сечение
этого процесса.
10.64. Пользуясь кварковой моделью, определить, из каких квар-
ков состоят протон, нейтрон, Q-гннерон.
10.65. Определить кварковый состав положительно заряженной)
пиона и положительно заряженного каонл.
10.66. Определить кварковый состав нейтрального каона.
10.67. Определить кварковый состав 5° н Л-гниерона.
10.68. В результате аннигиляции кварков и + и возможно обра-
зование пары мюонов р+ + р_. При соударении каких заряженных
мезонов с протонами можно ожидать появление мюонных пар?
10.69! В реакциях при больших энергиях ( -- 100 ГэВ) известны
полные сечения од и оэ соответственно для реакций (К1’ + Е+)и
(К++5°). Определить на основе кварковой модели сечение оу для
реакции (К+ + О').
10.70. При больших энергиях полное сечение нротон-протонного
рассеяния примерно постоянно и равно о(рр) = 39 мбн. Принимая во
внимание кварковую структуру прогона и пиона, оценить, какой бу-
дет в этих условиях величина полного сечения рассеяния о(лр). Счи-
тая, что для каон-нуклонного рассеяния o(KN) = 19 мбн, оценить из
всех приведенных данных сечения рассеяния o(AN) и o(5N).
10.71. В области больших энергий полные сечения пион-нуклон-
ного^и каон-нуклонного взаимодействий равны соответственно 26 п
19 мбн. Учитывая кварковую структуру адронов, оценить из этих
данных сечения процессов’(AN), '(EN)’n (QN).
10.72. Разница энергии покоя Л-гиперона и протона равна
175 МэВ. Исходя из кварковой структуры гиперонов, оценить энер-
гию покоя 5-частицы,
10.73. Исходя из законов сохранения, дописать следующие ре-
акции:
98
нту
мо-
'pis
1эВ
1ЫЙ
iao
1Ю-
iep-
она
-utn ,
пе-
ние ;
ap-
юго
а) Л, 4* р-“ в) у(1 4- р->
б) г}1 + п~* г) v(l + п —*•.
Найгн отношение аффективных сечении этих реакций
кварковые схемы реакций.
нарисовать
10.74: В разрабатываемой сейчас теорш, .великого объединен,,»
предполагаются превращения нары кварков в пару антилептон-ан-
тикварк за снег исиускапия очень тяжелого Х-бозона, существую-
щего в течение 10 -• с. Найти энергию покоя Л/х (выразить в ГэВ)
п заряд бозона, обеспечивающего распад протона р^л°4-е+ Ука-
зать схему превращения кварков в этом процессе.
10.75. В ряде теоретических работ предполагается существование
тяжелых Y-бозонов с энергией покоя Л/у = I0'5 ГэВ. Обмен таким бо-
зоном предположительно обусловливает взаимодействие, в результа-
те которого два кварка превращаются в аитплеп’гон и антикварк. Оце-
нить радиус этого гипотетического взаимодействия. Указать схему
преобразования кварков и найти заряд Y-бозона при распаде протона
на д' -мезон и антинейтрино.
10.76! В 1985 г. в ЦЕРНе в фото-
эмульсии были зарегесгрпрованы треки
(рис. 64). на которых видны рождение
(вершина /) и последующий распад
(вершина 2) тяжелого В"-мезоиа с
'V
pa-
<ых 1
ГНЫ
) И
для
ого !
I во
бу-
чн-
. из
он-
б и
гнх
1Н«1
ер-
ре-
предполагаемым кварковым составом р
(bii). Определить тяжелый продукт
распада X. не оставивший следа в фотоэмульсии. ио затем распавший-
ся в вершине S. Какие возможны продукты нелептоиного распада X?
10.77. В 1964 г. в США на брукхейвенском синхротроне Р. Шат-
том с сотрудниками в жндководородной камере, облучаемой пучком
отрицательных К-мезонов. был зарегистрирован процесс рождения
новой частицы X. схематически показанной на рис. 65. В этой ре-
акции одновременно образовалось три частицы — одна нейтральная
(штриховая линия) и две заряженные (сплошные лшшп). Неизве-
стная частица X распалась па —° и л*. Определить, рождение какой
частицы было зарегистрировано и какие еще две частицы при этом
образовались. Реакция К” 4- р идет по сильному взаимодействию.
Рис. 65
10.78; Исходя из кварковой модели, найти странностьjaeKtpiv-
чески нейтрального адрона с проекцией пзогопеппна
барионным зарядом /) = 0. Что это за частицы.
99
<0 79 На основе кварковой модели найти странность эдектр,,.
10.79- дапона с проекцией изотопического сц,1в.
чески нейтрального адрона с , ч частица-»
т. = 1Д и барионным зарядом Ь- 1- ™ это частица.
" 10 80 На основе кварковой модели нанта странность к гиперзз-
пял адрона с электрическим зарядом Q- 1. проекциеи нзоспищ
зарядом А’= + 1- Что это за частица?
° ю SI На основе кварковой модели наити странность и гидерза-
ряд электрически нейтрального аэрона с проекцией изоспящ
Е.ГО_ + I/) , барионным зарядом Ь = + 1. 1то это за частица?
3 10.82. Магнитные моменты кварков пропорциональны их а1еп.
пическим зарядам, причем для кварков I поколения коэффнциея
пронорционмьноста численно равен магнитному моменту протона.
Каков магнитный момент резонанса .’
10 83. Магнитные моменты кварков б нерелятивнстском праоли-
женин определяется, как и для электрона, формулой ц„ =^О,,
где, соответственно. и O,f — масса и зарядовое число кварка. Ка-
ков магнитный момент бариона Q”?
10.84’ В современных теориях великого объединения электро-
магнитного. слабого и сильного взаимодействии неооходимо сущест-
вование магнитного монополя ЭЛ с массой М= 10io ГэВ/c2 и маг-
нитным зарядом и = = 7^ Если такие МОНОПО-'1И существу-
ют, то они рождены на ранних стадиях развития Вселенной, имеют
энергию < около 1012ГэВ, обладают высокой проникающей способ-
ностью н могут «похсирать материю». инициируя распад протона
Оценить, какое количество таких монополей. находящихся внутри
Солнца, могло бы полностью обеспечить светимость Солнца
4-1033 эрг/с, если на пути I см s воде монополь инициирует
около одного распада протона. Считать, что вся масса Солнца сосре-
доточена в протонах.
10.85! При столкновении встречных протон-антипротонных пуч-
ков возможно рождение W-бозонов. Написать эту реакцию на квар-
ковом уровне. Оценить пороговую энергию протонов, если известно,
что импульс нуклона распределяется между кварками и глюонами в
соотношении 0,45 : 0,55. Энергия покоя W-бозона ДАус2 = 80,6 ГэВ.
10.86. При столкновении встречных протон-антипротонных пуч-
ков возможно рождение Z-бозонов. Написать эту реакцию на квар-
ковом уровне. Оценить пороговую энергию протонов, если известно,
что импульс нуклона распределяется между кварками и глюонами в
соотношении 0,45 : 0,55. Энергия покоя Z-бозона М^с2 = 91,2 ГэВ.
10.87. Красивый кварк (b-кварк) был экспериментально обнару-
жен в 1983 г. в (е+е“)-соударениях на Корнельском электронном
накопительном кольце (США). Проверке подвергалась гипотеза о
том, что ипсилон-мезон Y(4S) является возбужденным состоянием
100
боттомония (пары кварков (b,bH Ншиглоо^
цеп0ЧкУ распада (b.b), ведущую^ Тзкс-
периметс пары мезонов В , В , а затем распада в- на мезоны D„
и и- с последующим ооразованием К~-, л.+-мезонов.
10.88. Самым тяжелый t-кварк был открыт в 1995 г в экспепи-
ментак па веденных протов-антппротонных пучках в лаборатории
им. Ферми в США. Оказалось, что кварки пары (|,Т) распадаются
раньше, чем могут образоваться l-мезоны и t-барионы. В результате
распада рождающейся при столкновении ((, Q-пары образуется пара
мезонов В , В , позитрон и л -мезон, Нарисовать на кварковом
уровне последовательность распада (I, 1)-пары, ведущую к образо-
ванию указанных частиц. Какие реальные частицы образовались на
каждом этапе?
10.89. Нарисова гь па кварковом уровне диаграмму распада очаро-
ванного бариона Лс! —>Л() + д'1'. Время жизни A,t равно 2- I0-13 с.
10.90. На рисовая ь на кварковом уровне диаграмму распада очаро-
ванного бариона Л,Г —> р * + Ко. Время жизни равно 2-10~13 с.
10.91. Тяжелая вода D2O используется для регистрации нейтри-
но с энергиями, меньшими 15 МэВ, в реакции, обратной /С-захвату.
Детектор регистрирует образующиеся заряженные лептоны. Какой
тип нейтрино регистрируется и какие ядра захватывают нейтрино?
Найти пороговую энергию регистрируемых нейтрино. Энергии по-
коя ядер: р — 938,23 МэВ, d — 1875,6 МэВ, ^0 — 14895 МэВ,
_ 14910 МэВ.
10.92. Обыкновенная вода Н2О используется для регистрации
нейтрино по реакции, обратной К-захвату. Регистрируются вторич-
ные заряженные лептоны. Какова пороговая энергия регистрируемых
таким детектором нейтрино? При какой энергии нейтрино возможна
регистрация как электронных, так и мюонных нейтрино? Энергии по-
коя ядер: '§О — 14895 МэВ. ‘(JF — 14910 МэВ.
10.93! Структура протона и нейтрона описывается кварковой
моделью, согласно которой р = (и, и, d), п = (и, d, d). Вероятность,
что спины одинаковых кварков внутри нуклона параллельны, в два
раза больше, чем вероятность того, что они антипараллельны. Пред-
полагая. что магнитный момент кварка пропорционален его заряду,
найти отношение магнитного момента протона |лр к магнитному мо-
менту нейтрона цп и сравнить найденное значение с эксперимен-
тальными данными. Считать, что орбитальные моменты кварков в
нуклоне равны нулю.
10.94. Какую энергию надо затратить на переворот спина одного
из кварков в нуклоне?
10.95. Позитроний (система {е+, е-}) аннигилирует, еслирассто-
яние между электроном и позитроном меньше комптоновской длины
волны электрона Ае = й/тсс. Оценить время жизни основного состо-
яния парапозитрония '50.
101
При ffflMiwmffl,pppuwinPTi. рлняй|»(й1тп1
«ИЯ Й «» №f*U11 п Фотонов Р НПСТЙТЯИ Ч
и R"XГгв₽ я ’ - ПЙРПИННЙЯ тонной РТРУРТУР1,!.
’ io.jfi. Прятаннум (рнртямя 1я>Ю) яяяимиетря лренмушерп».
но мфнй миитмнян м пинии- Iwhiw что мяид пциющ»
«ш, когда прятан я янтннрятян ицхшити на р<)сстпчиии mpjjn
ШИЦЯ РММЙГЯ ВЯЯПМЯЛе(1РТЯ1И> ОНЯННТР время !М|зод ярцрцвд^
датоита протяниумя-
од?! g рряятяйтем варианта модели «чешка*» рчптзртря,
дарпи тм whom W2 ~ ИО МэВ яипиммется из анррпш'йсз-
МЗРРЯИМХ ЯЙПНП, «ММИИИНХ в иепрачшиечую сферу, и адепги
рпяянипт ИЙ а ятаО яфяря- Пялятая. что плотность *нерпщ имн-
няге лом пяятапнпа, япррделитл РЯЛНУР пуклонп и величину «Яги
тжвннятшВД|
УкззйНИР. Считать! HTOBflJIWiW фу»К1Ц|я безм,тссоии кИ[й
урявлятвярпят вялнявяму уравнению ДЧ< = Jy
II).98 . Седриир нрупругяго взанмодейтсрш! нейтрино р яцрт!
МЯЖНЯ ЯПИРЯТВ Я^)=7(Д) ’ да —геометрическое cei|fflB
прЯНЯРРЯ| I ~ «ЯРЯВТЯРНЯР anew *здим<иейст»чя, а вероятярргь (!
продери В единицу времрни yCgy «<65 (Б. М. Понтекорвр, 1ВД,
СрЯНИТВ ЯТНЯШЯНИе СЯНениЙ ПРИ энергиях нейтрино £ = | и 1Q щ,
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА
§ 1. Излучение
МТ Рассматривая равновесное тепловое излучение как идеаль-
яыи газ фотонов, содержащихся в вакуумированной полости с непод-
вижными непрозрачными стенками, имеющими постоянную темпе-
ратуру, получить формулу Р — р/3, связывающую плотность энергии
теплового излучения р с давлением излучения Р. Найти связь между
энергетической светимостью /? (интегральной излучательной способ-
ностью) абсолютно черного тела и плотностью энергии теплового из-
лучения р(7').
1.2* Используя тот ф<жт, что плотность энергии теплового излу-
чения р не зависит от объема системы, а также формулу Р = р/3
(см. задачу 1.1), найти с помощью законов термодинамики зависи-
мость р и энтропии s единицы объема от температуры Г.
1.3. Найти изменение энтропии равновесного теплового излуче-
ния абсолютно черного тела при расширении объема, занятого излу-
чением, от У} до У г при постоянной температуре Т.
1.4. Используя формулы для энергии и энтропии равновесного
теплового излучения, показать, что свободная энергия излучения
может быть представлена в виде Ф = -АУТ4, где V — объем,
Т — температура. Воспользовавшись законом Стефана—Больцма-
на, выразить А через постоянную Стефана—Больцмана о. Пользу-
ясь термодинамическими формулами, определить по найденному
Ф теплоемкость cv фотонного газа в расчете на единицу объема и
давление излучения Р. Сравнить ее с теплоемкостью единицы
объема идеального одноатомного газа при одинаковых значениях
Р и Т. Вычислить значение термодинамического потенциала Гиб-
бса Ф = 'Р + Р У.
1.5. Найти работу, которую совершает в цикле Карно равновес-
ное тепловое излучение абсолютно черного тела, полагая известными
температуры «горячей» и «холодной» изотерм Т\ и Т^, а также мак-
симальный и минимальный объемы Уг и И системы на изотерме Гр
1.6. Газообразный неон находится в замкнутом сосуде постоян-
ного объема в равновесии с тепловым излучением. При каком дав
леями Р неона его теплоемкость равна теплоемкости теплового из-
лучения в том же объеме при Т — 500 К?
1.7. Найти теплоемкость СР и уравнение адиабаты фотонного
газа, заключенного в сосуд с переменным объемом.
юз
1.8. При какой температуре Т давление равновесною 'Jejj/iOBOrv
излучения равно Р — 1 а™-
j 9 Яри какой кони.ен'1 рации и молс-кул fdxi jаял-инетическ^
давление равно давлению равновесно)о деплово. о и злу чеиия 11ри
же температуре Г = 300 К’
1.10. При расчете теплоемкости Су идеальною юза. находяще.
гося в равновесии с тепловым излучением в замкнутом сосуде Г1о_
стоянного объема, обычно пренебрегаю) вкладом равновесного из.т..
чения в теплоемкость системы. Hanin отепление 'еплоемкооёи
Су одноатомного газа и равновесною излучения. когда их давления
одинаковы.
1.11’ Цилиндрический сосуд разделен^на две чаии теплонепро-
ницаемым поршнем, который может свободно перемешаться вдоль
цилиндра герметично и без трения. В одной часги сосуда находится
идеальный газ. а в другой — равновесное тепловое излучение при
температуре Т = 103 К. Найти концентрацию агомов iaщ. если при
малых изменениях температуры в обеих частях соседа на одну и т\
же величину направление смешения поршня не зависит от знака
этой величины. Чему была равна начальная температура юза Tt‘!
1.12! Над плоскостью, зачерненной с обеих сюрон. на высоте/г
расположен центр шара радиусом a«-h. являющийся источником
равновесного теплового излучения с темпера;) рои 7‘0. Найти стаци-
онарное распределение температуры на плоскости. Считаю, что си-
стема находится в вакууме, фон теплового излучения отсутствует и
теплопроводностью вдоль плоскости можно пренебречь.
1.13. Решить предыдущую задачу, считая иеючником теплового
излучения бесконечный круглый цилиндр радиусом ц. Ось цилиндра
параллельна плоскости и находится на расстоянии h от нее.
1.14. Над плоскостью, зачерненной с обеих сторон, на высоте/;
расположен круглый диск радиусом а. являющийся источником рав-
новесного теплового излучения с температурой 7’(). Радиус диска
a«h. диск расположен параллельно плоскости. Наити стационар-
ное распределение температуры Т = 'Г(г) на плоскости, где г —
расстояние от проекции центра диска. Считать, чго система нахо-
дится в вакууме, фон теплового излучения огсу гсгвует и теплопро-
водностью вдоль плоскости можно пренебречь.
1.15. Имеются два полых тела, абсолютно отражающих снаружи
и черных внутри. Оба тела имеют отверстия радиусом г и располо-
жены на расстоянии 7? (>?»/•). Первое тело имеет температуру Tt
и является единственным источником тепла для второго тела. Найти
температуру второго тела Т2 при различных наклонах плоскостей
отверстий по отношению к соединяющей их прямой. Насколько из-
мените Т2 при изменении угла наклона второго тела от 0 до 45°?
1.16. Два одинаковых абсолютно черных шарика расположены в
вакууме на расстоянии 2/ = 8 см друг от друга. Посередине между
двумя шариками домешена линза диаметром D = 6 см. собирающая
излучение одного шарика на поверхность другого. Один из шариков
104
•Mi
в-
о-
у-
ай
dfl
С-
ль
ся
рн
рн
ту
ка
h
)М
и-
м-
н
го
ра
h
в-
ка
Р-
о-
01
о-
Г(
ГН
зй
з-
в
1У
|Я
ЗВ
il(KiU,PU до томпордтурь. Т, = 2000 К. Опреет,температуру дпу-
шарика, проиеорштш фоном тда,1вда „алу„В|1ччп,(е|
Д" |.17. В сферичоскоН оболочке д„ямвтром D отверстие
ДШ,метром Виутрещшя поверхность оболшши pacceSsaZ
„злучшше диффузио ио закону Ламберта с коэ(|)фи иецт» р,сРе-
„„„„ Р< I. Оцредечить коэффициент поглошеш я ?1 к рд™ „зу-
Ю.ШШ OU.OP1 .ио длч «шчииш-о Ш|бд,одятелч. При каком Хошен™
диамшрон ‘Ш> кМ>Фшии>ит пшующешш /I будет отличаться от I
цщищи!, ‘‘ем на (),!/,„ шли р=ь|?
1,18: Jlttina со сщмосилой 1:16 (это отношение £)2/f2) собирает
цуше-чныи игег на чонермюсгь черного шарика, помещенного в ва-
Куум. До какой ii-Miiepaiyphi г может нагреться шарик, диаметр ко-
ippoiO равен днамефу нзпоражеция Солнца? Считать Солнце абсо-
.могно черным голом с гемпературой Тс = 6000 К.
1,19. Обьемнн днамефом /J = 5cm п фокусным расстоянием
f = 5cM фок) i ир\ е i солнечный спет на абсолютно черный шар диа-
метром </ — 1 мм, обладающий высокой теплопроводностью и находя-
щийся и ньиоком вак\ \ ме вне Земли, ид ее орбите. Определить тем-
nepai,\p\ /’ шара. Прнюиь, чго плотность потока солнечной энергии
равна 7ц = 0,1-1 В i/см2, гемпература стенок сосуда То = 300 К. Поте-
рями оперши в обьекгиве пренебречь. Угловой размер Солнца
1.20. Пати оиюшенне плотностей потоков энергии корпуску-
лярного и алек громагшггного излучения Солнца в околоземном
пространснн*. CuiHaib, что корпускулярный поток представляет
собой ней фальцую плазму из протонов и электронов с концентра-
цией а = 5 см ’ частиц каждого сорта и скоростью потока
г= 300 км/с, а Солнце — источник равновесного теплового излу-
чения с темперапрон Г = 6000 К. Выразить результат через угло-
вой размер щ Солнца, г. е. угол, под которым с Земли виден ди-
аметр Сайта (щ =0,01 рад).
1.21. Солнечная посюянная Jc означает мощность излучения,
падающего на единицу площади, помещенной перпендикулярно
солнечным лучам за пределами земной атмосферы на расстоянии
от Солнца, равном среднему' расстоянию между Землей и Солнцем
(.= 1,5-10' км. Принимая Jc = 0,14 Вт/см2 и радиус Солнца
Яс = 710’км, определить радиационную температуру Трал иалу-
чающей поверхности Солнца.
1.22. Спектр излучения космического рентгеновского источника
соответствует спектру излучения абсолютно черного тела. Макси-
мум плотности излучения р(Х) наблюдается на длире волны
Д.так = 2 А, а суммарная по спектру (интегральная) плотность по-
тока на Земле /= 10 11 Вт/см2. Расстояние от Земли до истопника
L= 1,3-Ю4 световых лет. Оценить диаметр источника.
1.23. Абсолютно черное тело подвешено в вакуумной установке
так, что через оптическое окно на него падает солнечный
105
стенки установки охладить до температуры Ли - 77 К, ю тело б-,,
дет иметь Т, =275 К. Найти температуру тела 1г при Л.,г= 295 к
Теплопроводностью остаточных газов и подвески пренебречь.
1 24 На графитовый шарик радиусом г 1 см. подвешенный точ-
но в центре сферы с зеркальными стенками, находящейся в околозеч-
ном пространстве, с помощью линзы фокусируе гсч изооражение Со.,.
нца Срис. 66). Радиус сферы R — 0,25 м. диа.
s'" метр линзы D = 2.5 см. фокусное расстояние
/ а/ \ линзь| /?==0’25м- Умовой размер Солнца
> / / \ цс= 10"2. температура поверхности Солнца
?• / Тс ₽ 6-Ю3 К. Считая графит абсолютно чер-
*" \ 2r J ным телом, найти установившуюся темпера-
\___ туру шарика Г.
1.25. Хорошо теплопроводящий шарсза-
Рис. 66 черненной поверхностью находится в косми-
ческом пространстве на некотором расстоя-
нии г от центра Солнца. Найти температуру шара, если он находится
от Солнца на расстояниях, равных радиусам орбит Венеры. Земли.
Марса и Юпитера, равных (в млн км) /?п = 108. R-,t = 150. /?м = 228.
r}0 = 780. Солнце считать источником равновесного теплового излу-
чения с температурой Тс = 6000 К и радиусом /?с = 7• 105 км. Срав-
нить полученные величины с радиоастрономическими данными: сред-
ние температуры освещенной части поверхностен планет Венеры.
Земли, Марса и Юпитера оцениваются, соответственно, как
Ts = 735 К, Т3 = 275 К, = 235 К и Тю = 135 К. Чем можно объ-
яснить большое расхождение рассчитанной таким образом и получен-
ной в измерениях температуры поверхности Венеры?
1.26. Оценить температуру Солнца, исходя из его видимого уг-
лового размера <^ = 0.01 рад и температуры земной поверхность
(Тз^ЗООК).
1.27. Космонавт оказался в свободном пространстве в тени Земли.
Считая что его организм в процессе нормальной жизнедеятельности
выделяет мощность W = 100 Вт. оценить скорость изменения темпе-
ратуры космонавта. Коэффициент отражения скафандра е = 0.95.
1.28. Межпланетная станция имеет оболочку в форме шара ди-
аметром 2г=1м. На борту станции находится радиопередатчик
мощностью N=200Bt с КПД т| = 50%. Станция заполнена теп-
лообменным газом. Аппаратура станции может работать в интер-
вале температур t ~ — 50 -н 100 ’С. Определить, при каких удале-
ниях L от Солнца станция может работать: 1) при кратковремен-
ных включениях; 2)^в непрерывном режиме. Какова должна быть
отражательная способность а поверхности станции, чтобы станция
могла работать при сколь угодно большом удалении от Солнца?
Радиус Солнца Ас = ^’105км; считать, что оно излучает как аб-
солютно черное тело с температурой Тс = 6000 К.
1.29. В свободном пространстве находится железная пластина,
одна поверхность которой абсолютно «черная», а другая — идеально
106
I> "‘"'ал1,1пч''' mcwiit пластина пеком» и w темпе-
piiTVpn была pni'iiu I - 'О’ I'. До кокой мпк«1малыий скорости
Е может piworimTOn плпетппп при остывают? Теилимтост
iwiibi wnwь nopMiiiiiiioniellea пикону Дюлоигп-Пти,
1,30, В нпстоящее премч мощности них промышленных истории-
ко» анергии ни Земле . тетаттет И' 10IJ Вт, g то время_как средняя
.дапоят солнечной пиореи.., ностущнощей по Землю, Ти« Ю1’ Вт
К кпкому перегреву Л7' поверхности Земли приводят промышленные
11Сточпнкн? Онепитн кпн:еимп.п|>ное аипчщще B'„,„. если предельный
перегрел, доруггиммп пн 9g<wu4e«« сообрпж»пиЦ, составляет
примерно I К.
1,31, C'lirmu Землю nfK'wiioTiio первым телом, п орбиту Земли
круговой с радиусом /? = 1,5' К)1 м, он,спить среднюю температуру
земной поперяностн, если стстпмостп Солнца Le = 3,83 10?й Вт, Ис-
ходи и» экологических оценок, «.слоено которым величина допусти-
мого перегрели плпкегы Земли состппляет А'/та-1 к, определить до-
пустимый предел уменьшения ридиусп лемиой орбиты &R, См, так-
же япдичн 1.25 и I .?-<>.
1,32. Open.i'Hi. до kiiki.ii МПКС11МИЛЫ10Й температуры может разо-
греться л космосе «рериш'скнй кусочек металлического урапв-238
мвссой in ₽ 'I г ап счет естестпенпой радиоактивности, считая, что
продукты ртчшди ш‘ ичкишчот его, Плотность урана рз 18,7 г/смэ,
период спонтанном, делении 7"|’)Р = 10'" лет, характеристики я-раепа=
лл,у,./2= ю" лет, Д, = <1,2 МоВ, Влиянием солнечной радиации и кос-
' Iff,
МИЧССКИХ лучей пренебречь,
1,33. В криогенной технике для уменьшу
штсплопотерь, сшюа/шых с тепдолым н,лу-
чением, в ппкуумиый промежуток между Скь
лее ХОЛОДНОЙ (7\) и более нагретой (Tf) степ-
КЙМЛ плодит систему теплопых РКрлноп
(рис. 67). Считая обе стенки, как и псе экра-
ны, бесконечно протяженными и абсолютно
Чёрными, найти уменьшение радиационного
теплообмена между стенками пи счет введения
^экранов л стационарных условиях. Рассчитать установивщиеся тем-
пературы охраной.
ЛЭ4Т При напряжении на диоде К = 500 В температура диода
равна 800 К, Оцепить температуру анода при напряжении lOQQ В для
двух вариантов:
1) уже при напряжении 500 В диодный ток достигает насыщишя}
2) в интервале напряжений 500 +1000 В насыщения нет, а сила
тока определяется законом трех вторых: &7 a V?/~. Основные потери
тепла происходят за счет теплового излучения анода. По сравнению
с ними псе прочие потери могут считаться пренебрежимо малыми,
При оценке анод считать абсолютно черным телом,
‘ ЬЭ5/ Вакуумный диод с термокатодом, расположенным внутри
цилиндрического анода, включен в цепи с ЭДС 10 кВ и нагрузкой
107
Рис. 67
10 кОм. В нормальном режиме при мощности накала 100 Вт на Д1
падает 100 В, а температура анода равна 300 С. Оператор умещ ’
мощность накала до 50 Вт. При этом уменьшилась эмиссия и ток ста,
равным 0,5 А. Оценить установившуюся температуру анода, счта,
его абсолютно черным телом.
1.36. Межгалактическое пространство заполнено в основном пр0.
тонами с концентрацией п = 1 протон/м3, а также пронизано релик-
товым тепловым излучением с температурой Т = 3 К. Определить от.
ношение плотности энергии этого излучения к плотности энергии по-
коя вещества.
1.37. Межгалактическое пространство пронизано постоянным
магнитным полем с индукцией В & 2 -10 6 Гс, а также реликтовым
тепловым излучением с температурой Т = 3 К. Определить отно-
шение плотности энергии этого излучения к плотности магнитной
1.5У; ь откачанной
диаметром колбы 2 см
л*
энергии.
1.38. Напряжение в сети возросло на 5%. На сколько процентов
увеличится освещенность, создаваемая вакуумной лампой накали-
вания с температурой нити 1500 К на длине волны 500 нм? цпть
считать абсолютно черным телом. Рассмотреть случаи, когда сопро-
тивление нити R = const и когда R = R(T) = RQ + а(Т — То).
до высокого вакуума лампе накаливания с
температура нити равна Го = 2500К. Оце-
нить, на сколько процентов изменится яр-
кость лампы на длине волны Л = 5000 А,
если из-за дефекта изготовления в колбу
попал наружный воздух при температуре
?1 = 3001< и в ней установилось давление
Р = 6-10“2мм рт. ст. Молекула азота N2
имеет межъядерное расстояние с/= 0,77 А,
энергию диссоциации 9.74 эВ, квант коле-
бательной энергии /?ш = 0,29эВ.
1.40. Кварцевая пластина расположена в вакууме перпендику-
лярно солнечным лучам. В этих условиях полностью поглощающая
0 5 А, мкм
Рис. 68
0 ЗА, мкм
Рис. 69
пластина нагревается до Г] = 300 К.
Найти температуру кварца Тг. Спект-
ральную зависимость коэффициента по-
глощения /1 кварцевой пластины можно
аппроксимировать ступенчатой функци-
ей, изображенной на рис. 68. Излучени-
ем окружающих тел пренебречь, считать
я» 1 + х вплоть до х да 0,5, а темпера-
туру поверхности Солнца ТС = 6000К.
криостате круглое окно диаметром d = 2 см
1.41. В оптическом
______ * ---- vi\nu iinuincruum и — и
п^ппИЗ ст<?кла‘ Коэффициент прозрачности стекла F в зави-
дней ичлбп'!ИНЫ волны можно аппроксимировать ступенчатой функ-
РИС' б9' Отделить поток тепла, идущий
Р Р с а за счет теплового излучения из комнаты с темпера-
гурой T~V>5 К. Стекло охлаждается
излучением можно пренебречь. у
1.42. Слои вещества поглощает практически все фотоны солнеч-
ного спектра с энергией 4 э 0,2 эВ и полностью прозрачен для фо-
тонов с меньшей энергией. Оценить, какую долю х солнечной энер-
гии пропускает естество. Считать спектр Солнца планковским с
температурой f = 6000 К.
j.43. Слои вещества поглощает практически все фотоны солнеч-
ного спектра с энергией ь ть 12 эВ и полностью прозрачен для фото
нов с меньшей энергией. Оценить, какую долгах солнечной энергии
пропускает вещество. Считать спектр Солнца планковским с темпе-
ратурой Т = 6000 К.
1.44. Поверхность некоторою тела приготовлена таким обра-
зом, что коэффиииенi поглощении электромагнитного излучения
4=1 для частот (ои?() и Л = 0 при а> > си0, Это тело помешено
р, вакуум и в отсутствии других источников излучения нагревается
за счет внутреннего источника энергии до температуры Т. Опре-
делить эту температуру, если известно, что для такого же тела с
абсолютно черной поверхностью в тех /ке условиях равновесная
температура 7 “ = 300 К. Граничная частота соответствует темпера-
туре 0 = hoj(y/— 300 К.
1.45. Частотная зависимость коэффициента поглощения А неко-
торого тела. имеющего внутренний источник энергии, изображена на
рис. 70. Это тело помешено в космическом пространстве вдали от ис-
точников излучения. Такое же тело, но с абсолютно черной поверх-
ностью, нагревается там до температуры Т" = 100 К. Определить тем-
пературу тела, если величины (щ и а>2 соответствуют энергиям кван-
тов 0.015 эВ и 0,6 эВ.
1.46. Однородный слой плазмы находит-
ся в равновесии с излучением. С помощью
монохроматора выделяется спектральная со-
ставляющая собственного излучения плазмы
на некоторой длине волны, наблюдение ве-
дется в направлении, перпендикулярном
плоскости слоя. При какой толщине с! слоя
интенсивность такой составляющей окажет-
Рис. 70
ся равной 90% интенсивности равновесного
излучения? Линейный коэффициент поглощения данной длины
волны х = 0.1 см'1. Показатели преломления плазмы и окружаю-
щей среды считать при этом одинаковыми.
1 47 Излучение Солнца регистрируется селективным приемки-
ком на длине волны л = 300 ям с относительной шириной ооласти
чувствительности Ш=10'! за промежутки времени т = 10с.
Найти относительную среднеквадратичную флуктуацию ПР™™'
мото сигнала. Солнце считать аосолютно черным телом с темпера
турой Т = 6000 К и видимым угловым размером Ос-0,01. Ило
гладь приемной площадки равна S = 1 мм .
Ю9
Указание. Так как энергия кванта /?w»AhT, то среднее
планковское число заполнения (среднее число фотонов) и
поэтому к фотонам можно применять классическую, а не квантовую
статистику.
1.48. Радиоизлучение из межзвездного пространства (реликтовое
излучение) регистрируется приемником с фиксированной относи-
тельной полосой пропускания Д v/v = consl. Оказалось, что при пере-
ходе от приема на длине волны Х| = 3 см к приему иа длине волны
Х2 = 0,3 см величина сигнала возросла в 400 раз. причем при даль-
нейшем небольшом уменьшении X увеличилась незначительно. Исхо-
дя из этих данных, определить температуру реликтового излучения,
считая его равновесным тепловым излучением. Во сколько раз изме-
нится сигнал при переходе от X = 3 см к X = 30 см ?
Указание. Корнем уравнения е' — 2,5.v = 1, которое возника-
ет при решении задачи, является т 1,62.
1.49? Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью
т = 0,5мс энергию = 10 Дж в виде почти параллельного светового
пучка сечением 5 = 1 см2.. Рабочая длина волны лазера Х = 6943 А,
ширина линии ДХ = 0,01 А. Определить по спектральной плотности
излучаемой энергии эффективную температуру 7',фф1) в лазерном
пучке а) до фокусировки, б) при максимально возможном сужении
пучка (в фокусе).
1.50? Определить температуру абсолютно черного тела, спект-
ральная яркость излучения которого равна яркости лазерного излу-
чения с энергией в импульсе = 1 Дж. Считать, что расходимость
лазерного пучка определяется только дифракцией на выходном от-
верстии, а немонохроматичность — длительностью импульса.
1.51. При какой температуре интенсивность излучения поверх-
ности абсолютно черного тела в соответствующем спектральном ин-
тервале (энергия, уносимая с единицы поверхности в единицу вре-
мени в единицу телесного угла) сравнится с интенсивностью лазера
с плотностью потока энергии / = 1 мВт/см2 и относительной ста-
бильностью частоты Д-v/v = 10'12, работающего на длине волны
X = 6900 А? Диаметр пучка принять равным d = 1 см.
1.52. Оценить эффективную температуру гелий-неонового лазе-
ра, генерирующего в непрерывном режиме свет с шириной спектраль-
ной линии bv = Ю4 Гц. Мощность излучения лазера llz = I мВт.
1.53? Измерение интенсивности реликтового излучения Вселен-
ной производится радиоскопом вблизи X = 3 см. Его антенный тракт
находится при температуре Т = 300 К и поглощает а = 1 % поступа-
ющей мощности. Какой эффективной температуре абсолютно чер-
ного тела Гэфф соответствует тепловой шум антенного тракта в об-
ласти данной длины волны?
) В задачах 1.49-1.53 под эффективной температурой лазерного излучения TjAdi
понимается такая температура абсолютно черного тела, при которой оно дает излучение
той же удельной интенсивности на частоте что и лазер.
1
ПОТО
ИЗ CI
этой
кие
сеть
лить
при
1
ходи
Най
дуч(
спин
1
ятн<
роят
ИЗЛ'
1
ных
Выр
част
реп
лы
коп
ноп
СПО
реЗ'
МО/
НИ!
О
со
НИ!
Кр!
В 1
pat
вес
се$
УР
on
те
но
на
110
е
и
ю
>е
(.54: Атом Na находится в пучке лазерного овртп л
потока энергии / н мпнся волны z = 0>5$ МР совпадающей™
й сггектршшимх линии Na. Время спонтанной, «спуск™ N“"
этой лик»; = 16 нс. При оольтаих плотностях потока j > vt™
даА приобретаемое атомом за спет давления света, перестает X
сетвот/. Опенить знаиеиие плотности потока насыщенияОпХ
да также нрелелвную №лтину Доплеровским сдвигом часто™
при излуиешти движущегося атома пренебречь.
1.55. Возбужденный атом с анергией возбуждения & = 1 ЭВ на
ходится в поле равновесного излучения с температурой т = 300 К
Найти отношение вероятностей индуцированного и спонтанного из-
лучений атома. Наитп аналогичное отношение для электронного
слияа в магнитном поле с индукцией 5= 103 Гс.
J.56. Определить лиа позой частот излучения, при котором веро-
ятность спонтанного перехода более чем в 100 раз превосходит вен
роятноегь индуцированного перехода под влиянием разновесного
излучения температуры 'Г = 293 К.
(.57. Система, сосгояищя из атомов, имеющих два невырожден-
ных уровня энергии с>। и ы2> £|, находится в тепловом равновесии.
Выразить коэффициент поглощения света х(7, со) этой системой на
частоте со = (с^ - )/h через его значение'х0 при 7 = 0. Рассмот-
реть два предельных случая: 1) Аь7'»/?со и 2) къТ-^Ь(л.
1.58? Оценить вероятность Wcn спонтанного излучения молеку-
лы при переходе с возбужденного уровня на уровень <э,„ в случае,
когда молекула помещена внутрь объемного резонатора, настроен-
яого на частоту <-> = Соответствующая вероятность
спонтанного излучения в свободном пространстве равна И^л- Объем
резонатора равен У. его добротность — Q. Считать, что ширина Г
молекулярных уровней все время остается меньше ширины co/Q ли-
нии резонатора: Г < w/Q. Сделать численную оценку для случаев:
]) / = | см3, ?. = I см, Q ~ 104 и 2) V = 1 см3. X = 1 мкм, Q= 10б.
(.59. Резонатор лазера с кристаллом рубина имеет одно зеркало
со 100%-ным отражением, а другое — с коэффициентом пропуска-
ния т = 0,1 на длине волны, отвечающей генерации лазера. Длина
кристалла / = 12 см. Известно, что коэффициент поглощения света
в невозбужденном кристалле рубина в максимуме рабочей линии
равен = 0.4 см-'. Найти, какую часть атомов хрома нужно пере-
вести в возбужденное состояние, чтобы лазер начал работать. Рас-
сеянием света в кристалле пренебречь.
1.60. В спектре энергетических уровней молекулы воды есть два
уровня А и В с разностью энергий £0, между которыми разрешены
оптические переходы. Создавая в разреженном водяном паре при
температуре Т = 300 К тлеющий разряд, не нагревающий пар, мож-
но получить инверсную заселенность этих уровней. На этом основа-
на работа лазера, в котором электромагнитная волна с частотой
v0 = <£0/ft - 8,48 • 10" Гц усиливается по мощности на длине резона-
U1
тора в 0о= 1.04 раз. Расстояние межи зорка ыми реюн,тхР11 Mov
но слегка менять. регулируя тем самым соопвенимо м.итотх резо.
натора. Коэффициент отражения каждой) вл зеркал А’ - 0.pt). Оп|)с.
делить возможную перестройку частоты изтучеиич з.иера. прннц.
мая во внимание эффект Доплера, оон ювленный тентов^
движением молекул.
1.61. Реликтовое межгалактическое иттучение могло бы слу-
жить «абсолютной") системой отсчета л тя измерения сьороств кос-
мических объектов. Оценить, с какой точностью на ю и чморят ь пр11.
нимаемую мощность излучения, чтобы заменив t ишг спектрально
го распределения при изменении направления пае потения вдоль
«абсолютной"» скорости на 180 . С читан., что ••aoct'.iioiiia'.i" скорости
наблюдателя на Земле близка к скорости снижения с отнпа относи-
тельно центра Галактики г = 220 км/с.
Указание. Максимумы функции |л / J: — 1.5] )(
л‘2 = 5.23.
1.62. Вселенная, возраст которой i\ " 10'" лет. заполнена равно-
весным реликтовым излучением, температура которого в нас тмя-
щее время равна 7\^З К. Начиная с эпохи, koi та сто температу-
ра составляла Го — 3000 1\ и образовались нейтральные атомы, из-
лучение слабо взаимодействовало с вептеивом. расширяясь вместе
со Вселенной. Как указывают все космические тайные, .пот про-
цесс расширения можно считать адиабатическим, тйтешпь ее воз-
раст I к моменту образования нейтральных атомов, t корпеть ли-
нейного расширения Вселенной считать постоянной.
1.63. Оцепить световое давление внутри я торной храповотт бом-
бы в момент ее взрыва, предполагая, что излечение — равновесное,
а температура внутри бомбы 7’= К) кэВ. Каково при этом газокине-
тическое давление? Плотность урана р = 18.7 т 'см\ Л тя оценки
считать, что происходит полная иоипзапия атомов трапа.
1.64. Звезда 51 в созвездии Пегас — почти двойник нашего Сол-
нца. Предполагается, что около этой звезды находится планета с ат-
мосферой схожей с атмосферой Земли. Ге чернот обращения ио ор-
бите составляет около т,и = 4 су ток. Оценить темттсрагхрт поверх-
ности планеты Т,,.,.
1.65. Для уничтожения в нижних слоях атмосферы старого кос-
мического аппарата — шара радиусом /? = I м — с Земли запуска-
ют ракету, которая летит прямо иавстречх цели. При спуске шар
раскалился, причем температура его поверхности 7’= 7Л cos2 О
(Го = 1000 К. угол 0 отсчитывается от направления его движения).
С какого наибольшего расстояния L головка самонаведения ракеты
начнет регистрировать тепловое излучение тиара, если ее чувстви-
тельность/= 5-10-7 Вт/м2?
1.66. В центре сферической полости радиусом R = ! м с матовой
поверхностью, коэффициент диффузного отражения которой равен 1.
подвешен абсолютно черный шарик радиусом г — I см. об.та'лаюшнй
112
высокой теплог.ротол.юстою. В стенке полости имеется ™
сгие диаметром d - I см, через которое солнечное и, УРУ 'гвер‘
ет точно на шарик. Оценить установившуюся те учение попада-
г предполагая. что в полости устанавливается о“roe>wW шарика
излучение. Угловой размер
поверхности Тс = 6000 К. с ° ’ температура его
1,67. В замкнутом вакуумированном объеме стенки ™
греты до температуры Т= 1000 К, подвешены’ и L аð На'
рданусои «= 1 см охлаждаемые до низких температур Расстотшие
между шариками L= I м. Оценить направление и величину™™.
дее"е6Уе°.шеИ " “K"”"‘W' Д*ак™™™ эффектами
"Ре|,68. Оценить расстояние от наблюдателя до источника первич-
ных космических лучен (протонов) с энергией б’ = 10мэВ считая
что оно определяется пробегом частиц до взаимодействия с’фотона-
МИ реликтового излучения с температурой Т = 2,7 К. Сечение рас-
сеяния о = Ю“'! барн. р‘
1.69. Полый резонатор электромагнитных волн изготовлен из
листа меди и имеет форму куба со стороной а = 32 см. Оценить, на
каких частотах пропадут его резонансные свойства, т. е. в спектре
колебаний уже нельзя будет различить отдельные пики. Доброт-
ность резонатора () = где /ск — скиновая глубина проникно-
вения. Проводимость меди во всем диапазоне частот считать посто-
янной и равной о = 5' I017 с-1. Плотность мод колебаний поля в ре-
зонаторе считать равной плотности мод в свободном пространстве.
1.70. Зеркальный металлический прямоугольный волновод с по-
перечным сечением 34 х 72 мм и длиной L = 10 м замкнут накорот-
ко с обоих концов и через малое отверстие соединен с абсолютно
черной полостью, нагретой до температуры Т = 600 К. Оценить
плотность электромагнитной энергии в волноводе (в эрг/Гц) в диа-
пазоне длин волн 10 см.
1.71. Как показал в 1974 г. С. Хокинг, «черная дыра» массой
М за счет квантовых эффектов и конечных размеров излучает как
абсолютно черное тело с температурой Т(М) = Лс3/(8лА:БуМ). Оце-
нить время жизни черной дыры с массой М= 1015 г до ее полного
испарения.
1.72. Яркая желто-зеленая линия полярного сияния (aurora
borealis) возникает при возбуждении атомов кислорода в верхних сло-
ях атмосферы пол действием солнечного ветра (потока быстрых элек-
тронов и протонов). Время жизни возбужденного состояния атома
кислорода относительно спонтанного перехода составляет 0,74 с.
Однако столкновения атомов кислорода с молекулами атмосферы мо-
гут снять это возбуждение безызлучательным способом. Эффективное
сечение этого процесса о- = 7 • 1О-15 см2. Оценить, на какой высоте над
Землей «загорается» эта линия. Атмосферу считать изотермическом с
7 = 240 К.
113
1.73! Рекомбинация ионов и электронов в межзвездной среде
приводит к образованию атомов в высоковозбужденных состояниях
с главным квантовым числом (ридоерговских атомов). При
переходах с Дп = 1 очень высоковозбужденные атомы излучают
радиоволны, что было обнаружено в 1964 г радиотелескопом РТ-22
в г. Пушино. В межзвездной среде есть и изотропное магнитотор-
мозное излучение со спектральной интенсивностью в коротковол-
новом радиодиапазоне 7(со) — 2 • 10~15^'’С1|1|ТЬ максималь-
но возможное п для атома водорода в этих условиях. Спонтанное
время жизни высоковозбужденных состояний атома водорода в ва-
кууме (с л~103) равно теп(?|) — 6-10_|2л5 с.
1.74! Взаимодействие электрона в атоме водорода с нулевыми
колебаниями электромагнитного поля в вакууме, приводящее в ча-
стности к расщеплению по энергии состояний 2х|уг и ^/’i/2 («лэмбов-
ский сдвиг») можно в интервале частот (Ry//?, 2/??с2//?) рассматри-
вать, как взаимодействие свободного электрона с однородным пере-
менным электромагнитным полем, которое приводит к случайным
смещениям электрона на орбите. Оценить величину среднеквадра-
тичного смещения электрона.
§ 2. Кристаллическая решетка. Фононы. Теплоемкость.
Теплопроводность.
2.1. Рассматривая атомы, из которых построены кристаллические
решетки, как твердые шары, найти плотность упаковки (т. е. запол-
ненную часть объема элементарного куба) для простой, гранецентри-
рованной и объемноцентрированной кубических решеток.
2.2. Найти число атомов, приходящихся на примитивную ячейку
для лития, кристаллизующегося в объемноцентрированную решетку,
и то же самое для кристалла CsCl, когда в вершинах куба находятся
атомы Cs, а в центре атом CI.
2.3. В некоторых металлах при определенной температуре про-
исходит структурный фазовый переход от объемноцентрированной к
гранецентрированной кубической решетке, практически не сопро-
вождающийся изменением объема тела. Найти отношение d\ldi. r^e
d\_, di — кратчайшие расстояния между атомами в гранецентриро-
ванной и объемноцентрированной решетках.
2.4. Ионные кристаллы хорошо описываются моделью соприка-
сающихся шаров. Вычислить на основе этой модели период решетки
NaCl (гранецентрированный куб), исходя из его плотности
р = 2,17 г/см3 и молярной массы ц = 58,45 г/моль.
2.5! Для простой кубической решетки, постоянная которой рав-
на а, найти расстояние d^ между соседними атомными плоскостя-
ми с Миллеровскими индексами й, к, I.
2,6. Вычислить расстояния dloo, с[ d
*’ *“
“да® (0O't) наблюдается спектр четвертого порадТГ*™™4 “°'
2.S. Определить постоянную решетки сильвина^КС!) если г
«.теза отражается от грани (001) под углом
цРрЯДКС-.
2Ж Рентгеновское излучение с частотой т = 1 i.lnisn-i
„ее в направлении Ц00] на моноатомньш кристалл с градент’
идашшои куонческои решеткой, испытывает брэгговское отпажст
«е первого порядка в направлении [122]. Найти наименьше №
аямное расстояние d„-m в кристалле. ж
МО, Определить колебательную теплоемкость газообразного
азошас а) при^ комнатной температуре; б) при температуре 1700 К.
Частота колебаний атомов в молекуле азота v = 7 08 • 1013 с~!
Указание. Корнем уравнения sh (х/2) = 0,775.x, возникаюше-
Го) при решении задачи. является х = 3,38.
MU Определить вращательную теплоемкость паров HD: а) вбли-
зи: температуры конденсации 7\ = 22 К; б) при температуре 600 К.
й2
Ддя дейтероводорода параметр-^^- = 64 К, где I — момент инерции
молекулы.
2Д2: При температуре 17 °C показатель адиабаты углекислого
газа '/= 1-30. Молекула СО^ — линейная. При данной температу-
ре,. кроме полностью возбужденных поступательных и вращатель-
ных степеней свободы, частично возбуждены две колебательные
степени свободы с идентичными спектрами. Оценить длину волны
излучения, соответствующего переходам с первого возбужденного
колебательного уровня на невозбужденный.
2с13. Кристаллы существуют благодаря тому, что среднее меж-
атомное расстояние а в них велико по сравнению с амплитудой «ну-
левых колебаний атомов» ц0. задаваемой соотношением неопределен-
ностей Гайзенберга: а^>а0. Это неравенство выполняется вследствие
малости «адиабатического параметра» (/и/М)1/4<^1, где т и М —
мает электрона и атомного ядра. Пользуясь моделью двухатомной
молекулы, показать, что: 1) а$/а~ (т/МУ14', 2) йсо~Ку(щШ) ,
вде щ — частота колебаний атомов, Ry = 13,6 эВ — энергия с®^и
электрона в основном состоянии атома водорода; 3) A<9Bp~Ry(w-^)>
ще Д4рг — расстояние между нижними вращательными уровнями
молекулы. п
- 2*14: Цепочка из одинаковых атомов замкнута в кольцо. Под
(катать, число возможных (допустимых) бегущих волн и сравни
^числом степеней свободы системы. Рассмотреть случаи р
115
к поперечных колебаний, когда а.омы ^сщапшя що и. шчючкн ц
перпендикулярно ей.
2.15! Одиомернач щ>Щ'чьр ичипи на аюмок «ми«и "A i рсдие,.
pamwnnie между ипорыми реши ч, а 'м'1 lu" "' nwi мщь t,
ними у. Агомы маимолеш rojioi , о.|ичаипшми ичеоош но !<|К1,
ну у(д„-ч - u„V/2, где u„ - i мощеное « о' щш .щдмщ*
положения равновесия. Ilauin вю н|ччо и.име норма наше иед.ба-
ния и спектр н\ uacior ч.(Л), А волновое чщ ю. II.пои фа,„.
вую И гр\ 1И1ОВСЮ СКОРОСТИ ВОЛН I..U. Щ ШЛЧВ ЧТИ Щ Д'.
Построить гратфжи noovietuiMK ааьжнмо. ion. Si.aiau. тчтаатп..
отвечающую звуковым волнам, н вырл.ииь t корох н> шх кл s через
Hi п у.
2.16’ Найти имих лье одномерной цепочки, нц юящец hi \ оди-
наковых атомов с махсой А/, в коюроч возо\ -к ieua ио uui х волно-
вым вектором К. 11снольз\ я перноднчех кие (циничные \х юаня, по-
казать, что этот пмнх лье равен н\ лю для in ex A — 0. I lonx инн, фи-
зический смысл полеченною реяхльiaia.
2.17! Оценить темпера!) рныи ко н|н|ч1циенi пшенною цаыин-
ренпя п кристалла, иснользхя в качсхпи* mou-iii шххаiomh)to мо-
лекулу, в коюрон noienmid шаля шертя в мимо teiti iвия юман-
ляющих ее атомов имее! вид I (\1 — fx- А\' 'I'x1, 1.ц- \ —
смещение атома оыюсшелыи» ноло кеннч p.ihhoihihm при (1 К. \щ
гармонический член A.xJ ошпывае! autMMcipino имнмною ott.it-
кивания и отвечает за шпловое раиннренне, чк'н рх* ontubiHaet
сглаживание колебании при хбольшнх .imh.ihix им Оштниь вели-
чины у и [э, а также п, выразив их через х|\\ н именшльныс фи-
зические константы. Cuutaib, то нш кенне я top поршпяеця за-
конам классической механики.
2.18. Поюнциальная энер! ня а юма в к pin ia t io хорошо хини пиш-
ется функцией = у.\“•- Av1, причем мо мю иннаш, чю
U {а} — 0, где д — отклонение a i ома oi но. to кон ня равнонет ня, а и —
постоянная решетки. Оцепив нарамшры у и А, наиш (в эВ) энерипо
связи атома в кристалле серебра, счтая ее примерно равной глубине
потенциала. Скорость звука в серебре \ — 2,6 • 10' < м,\ .
2.19. Как изменится uacioia колебании ошомерпои моноаюм-
ной цепочки, если сдвш б>азы междх колебаниями соседних то-
мов возрастает от л/3 до л?
2.20. В одномерной цепочке, щч троенной из одинаковых атомов,
скорость звука равна \ = 2-10'см/с, а иотюянная решшкп <! =
= 0,3 нм. При какой частоте колебаний ш хдви! фаз междх двумя
атомами, находящимися на расстоянии 10ц, составш л/2'.1
2.21. Цепочка, описанная в зад. 2.20, находи ня в тепловом рав-
новесии при температхре /' = 500 К. Каково ототиение среднего чис-
ла фононов с величиной к ваз ним пульса, соо гве tea в \ кицеи границе зо-
ны Бриллюэна pIIWX — Ад/а к среднем) числу фононов с квазиимпуль-
сомрП1ах/2? Каково это отношение при температуре 10 К’.'
116
2.22. Каково отношение числа фононов <•
(И = А-в0/Л к числу фононов с ш„/2 в криста ’баевск1>й частотой
д’ао Дебая, при температурах Г| = 9 „ Тг = °™сываемом мо-
2.23: Для некоторых металлоорганических соединений ич
яйЫо молекулы может служить одномерная цепочка
паковых атомов In. Цепочка находится при '' = /(; ди~
изолирована от окружающей среды. Ядро одного из атомов ™°СТЬ1°
иееся в возбужденном состоянии, испускает
£ = 350 кэВ. Определить температуру т Цепочки носле^становл™™
«илового равновесия между атомами !п. Учесть '
В1Й. Считать усредненное значение скорости звука s = 1 5 0з
межатомное расстояние а = 3 А. цч ю см/с,
2.24. Найти закон дисперсии Ш(К) для продольных фононов в
бесконечной цепочке, содержащей в элементарной ячейке два атщ
ма с массами гп и М. Расстояние между соседними атомами равно
а жесткость связей между ними у. Построить график получен-
ной зависимости. Проследить предельный переход к одноатомной
цепочке при tu/M-* I.
2.25. Найти поляризуемость а(ш) в длинноволновой области
спектра (в расчете на одну элементарную ячейку) для цепочки, со-
держащей в элементарной ячейке два разноименных однозарядных
нова. Остальные условия такие же, как и в задаче 2.24. Электри-
ческий вектор возбуждающей электромагнитной волны с частотой
о ориентирован вдоль цепочки. Влиянием кулоновских сил, вызван-
ных переменной поляризацией, пренебречь.
2.26. Статические диэлектрические проницаемости е(0) ионных
кристаллов NaF и NaBr. обусловленные поляризацией решетки, рав-
ны 5,1 и 6,4, а их плотности — 2,79 и 3,21 г/см3. Полагая, что е обус-
ловлено только поляризуемостью смещения, оценить отношение час-
тот поперечных оптических фононов.
Указание: воспользоваться соотношением Клаузиуса—Моссот-
тн.
2.27. Для колебаний плоской квадратной решетки одинаковых
атомов, упругое силы между которыми характеризуются постоянной
•у, закон дисперсии имеет вид w2 — ~ (2 — cos Кха — cos Куа), где
оси х и у направлены вдоль сторон квадрата, а — постоянная ре-
шетки. Показать, что для длинных волн закон дисперсии изотропен,
т.е. со зависит только от модуля волнового вектора. Используя при-
ближение Дебая, определить граничную дебаевскую частоту coD и
величину волнового вектора Кд.
2.28* Из экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов на
кристалле КВг известно, что максимальная частота поперечных аку-
стических фононов, бегущих вдоль ребер элементарного куба, состав-
ляет °тах = 7,85-10'2 с-г. Оценить в рамках модели одномерной це-
лочки скорость звука. Плотность кристалла р = 2,75 г/см3. Решетка
117
КВг — гранецентрированная кубическая. >ила j/и '<.<1 (си ,,а.
дачу 2.4).
2.29. Оценить частоту ко.теоаиий атомов в KpHoa.i.ie меди, счи-
тая ее решетку лросюй кубической с лоыояинои •/-/ /-.. •юдуль уп-
ругости кристалла равен Д = 130 I Ла. _
2.30. Оценить, какую долю постоянной рсше1ки л ^0-8 А твердо-
го криптона составляет амплшуда продольны/, ко..т-онии атомоь
вдоль одного из ребер элементарного куба при юмпср._ .ре плавления
Ttl;i = 117 К. Учесть, что дебаевская jewnepaiy ра /ргп'-.-я? b = 72 К
2.3К Пользуясь законами сохранения оперши ; и .лкльса. рас-
смотреть в идеальном кристалле неулруюе рассеяние нейfроков с
рождением и поглощением фононов. Оосудигь ьо-л-южносю восста-
новления закона дисперсии фононов vAK) но неи<роннои; рассе-
янию.
2.32’ Найти температурную зависимосль решеюинои теплоемко-
сти одномерных (CJ и двумерных (С J криыаллок в облаши низки?
температур. Учитывать только продольные колиоания ._i i• 'мов.
2.33. Используя аналогию между фоюнаии и длинноволновыми
фононами, выразить низкоюмпературную рсшсюиную еллоемкость
кристаллов через скорость поперечною (ч,1 и продольною 1' ; звл-.а
2.34Т Одномерная цепочка состоит из атомов о массами т и
М = 9т. Оценить относительный вклад в теплоемкое'ъ продольны?,
оптических колебаний атомов цепочки при i ем пера j у ре 1 = 6/10. где
9 — температура, соответсгву юшая максимальном энергии реального
спектра акустических колебании. Для оценки можно считать 6 рав-
ной дебаевской температуре в соответствующей модели.
2.35. Следуя приближениям модели .Зебая. определяю отноше-
ние теплоемкостей образцов бериллия Be и меди Си одинакового
объема при 7 = 400 К. Плотности pf Be) = J .85 г 'см-. p(Cu) =
= 8.96 г/см3. Температуры Дебая 6bL. = 148 I К. 6. , = 347 К.
2.36. При измерении теплоемкости металла ь- области низки.ч
температур (7«0) получены следующие- результат:
7. К jl.08 |1.24~~" 1.46 ~~Гб2 Л .91 ~
С;-. мДж/град• моль |2.18 |2.62 (3.31 3.89 '5.10 1
Оценить величину дебаевской температуры эюю металла.
2.37. В кристалле поваренной соли NaCl (ГЦПКР) при темпера-
туре 7 = 10 К теплоемкость единицы объема с — 6.2- 10;Дж/( К-см3,).
Оценить усредненную скорость звука ? в кристалле и ею дебаевскую
температуру 0. Постоянная решетки 2с/ = 5.63 А. Считать, что деба-
евская температура относится ко всему спектру колебаний.
2.38. Найти максимально возможное увеличение Л7 температу-
ры кусочка сереора с исходной температурой 70 при падении его с вы-
соты h = 1 см. Рассмотреть два случая 1) 70 = 4.2 К и 2) 70 = 300 К-
Температура Дебая для серебра О = 227 К. (Теплоемкостью электро-
нов по сравнению с решеточной теплоемкостью можно пренебречь.)
118
2.39- Железный шарик радиксом Я=и гг.г
сосуда, откачдшюгодо высокого вакуума В начХ°57СЯ Е центре
меии температу ра шарика Гп = 10 К' 'сиг^ началъньги момент вре-
рое температура его изменится на а = 1«/ дУ,РеМ Т’ через кот0"
Laeaa В = 477 К. концентрация атомо Л“
тура стенок Т: = 80 К. Поверхности шарика и с схдточитЙГХ
ЛЮДНО черными. считать аосо-
2.40. Одинаковые массы свинца -°4 ръ и 28с-
С помощью жидкого гелия от температуры т’ = 20 К доТХ!Т
Оттенить отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлаждУ
НИЯ свинца и кремния, если известно, что дебаевские т».™
равны: О(РЬ) = 105 К и 0(81) =645 К. TeXZcrXXSX
пренеоречь. г
2.41. После предварительного охлаждения железа 56Fe с массой
у=1кг жидким азотом до температуры Г, = 77 К производят
дальнейшее понижение температуры до 7, = 4.2 К с помощью жид-
кого гелия. Определить объем испарившегося при этом гелия, если
теплота испарения жидкого гелия q = 2,6 Дж/см3 и дебаевская тем-
пература железа 0 = 4/1 К. Вкладом электронной теплоемкости же-
леза пренеоречь.
2.42. Параметры кристаллических решеток кремния и германия
практически одинаковы, также как одинаковы их модули упруго-
сти. Оценить, как соотносятся между собой дебаевские температу-
ры этих элементов.
2.43. Вакансией называется дефект кристалла, возникающий
при удалении атома из узла кристаллической решетки. При быст-
ром охлаждении кристалла чисто вакансий, соответствовавших
термодинамическому равновесию при высокой температуре, почти
не изменяется, т. е. вакансии могут быть «заморожены». После че-
го при низкой температуре происходит медленный процесс уста-
новления нового термодинамического равновесия, как говорят, «от-
жиг» вакансий. Определить изменение температуры алюминиевого
образца при адиабатическом отжиге вакансий, замороженных в ре-
зультате быстрого охлаждения образца от температуры плавления
алюминия /| — 660 'С до комнатной температуры ti- Теплоемкость
алюминия можно определить из классической теории. Энергия об-
разования вакансий в алюминии £ = 0,75 эВ.
2.44. Ядро 3Не имеет спин I = 1/2. Найти молярную энтропию S
кристаллического 3Не при низкой температуре Т. Считать, что тем-
пература Т«0 (0 — дебаевская температура), так что практически
все колебательные степени свободы «выморожены», но ядерные спины
остаются тем не менее полностью разупорядоченными. При этих же
предположениях найти энтропию кристаллического аргона-3/, спин
ядра аргона равен I = 3/2.
2.45. Оценить, при какой температуре энергия тепловых коле-
баний кристаллической решетки AI равна тепловой энергии жидкого
гелия при 1 К (в обоих случаях сравнивается энергия на единицу
119
объема). Считать все возбуждения зк»сги«лжимч фоноилми. Ско-
рости звука: sbk = 240 м/с. продольного у - 0-Л> мЧ. еон.-речною
к/1 = 3080 м/с.
2.46. Энергетический спектр, фононов в к|чкс
вечных размеров кристаллов явлчен'ч (искрегны
больший размер L кристалла поваренной соли.
кубика, при котором аго обе ioh гол ьсгво скlaw.’
ной теплоемкости при leMiicpaiypc < — lv
тура кристалла 0 = 275 К. п.югиосгь ;? — --I
* -кк / Г4 .... .. >.1 .11,УМ I >.>«< '(>
ний можно пренебречь.
2.47Т Оценить, насколько измени юч количссюо юн.юыя. tpeoy-
емое для нагрева единицы обьема к рис га. f. bi ческою к кц । сра. состо-
ящего из нескольких сосен атомов, ог /|=0К ю юмнера(урь1
74 = 0/30. по отношению к количеству юпло1ы. t реоуемою для та-
кого же нагрева единицы объема юге же веще*. <<« ое<. коп очных раз-
меров. если характерный размер к нигера / = IlV. i ю — посто-
янная решетки, a 0— гемпершура 1.еоич t ч1иль. чю возбужда-
ются только объемные фононы, а вкладом ионерх'кччных колебании
можно пренебречь. Кроме юго. гкижеиие к.’цкюра хак целою и ею
вращение не учитывать.
2.48* На часть плоской поверхности -iiimcKi ричеию.о крисилла.
граничащего с вакххмом. нанесена мшалличсскач пленка (рис 71)
толщиной 0 = 0.1 мкм. По пленке ючщ олемрическии юк с иоверх-
ноистной плотностью i — 1А/см. Кристалл охлажден ю юмперагуры
7>0К. Определить температуру пленки. нренебгююч (силовым со-
противлением границы между пленкой и кристаллом и иолагач про-
бег фононов в кристалле много большим поперечною размера пленки.
пленки р = 10 l’0m cm. у сродненная ско-
рость звука в крис(алле \ = 3- 10? см/с.
2.49. Сквозь крис1алл шолек!рнка.
охлажденный до i емпера <у ры вблизи аб-
солю1ною нуля, пропуukaeiCH луч света
диамором J = 1 см. Размеры кристалла
P»i/. В кристалле поглошаеюч мош-
единицу длины луча). Оценить юмперату-
ру кристалла Т внутри пучка. Для оценки считать, то все тепло уно-
сится акустическими фононами с длиной пробега /| .7 вну три нагре-
той области пучка и вне печка. Дебаевская температура кри-
сталла 0= 300 К. концентрация атомов п = Юг’ см-3.
2.50. Одной из причин (нарушения работы сверхпроводящих со-
леноидов является скачкообразное движение витков под действием
пондеромоторных сил. в результате которого происходит тепловыде-
ление и нагрев сверхпроводника выше критической температуры. В
современных сверхпроводящих кабелях основную массу кабеля со-
ставляет не сам сверхпроводник, а медь. ' плотность которой
р = 8.96 г/см3, а температура Дебая 9 = 347 К. Пренебрегая гепло-
Удельное сопротивление
<г///-7///////^/'7 я/ '/-///, -/
Рис. 71
ность W = 100 Вт/см ( на
120
да»» Ч'<' ч5мЧ'1«и, чиеншь долускаемре смещение «»
^тсдтЩ1К1Юч/ш: работающего при тетера™™ Г =
гпед/}## плотность тока в обмотке / = 5000 А/см2 1 ecjJiI
/»-4<ЫГе, а «о»
cpqjWPOWPUUKa равна 72 = 8 К. Д9 У тимаа температура
ухр за и не: ирштетн, что витки раотг
<МЙ радиус. а тепловыделение при таком перемещении увели™вая
работе пондеромоторных сил. ? Ш' ад витка равно
М>- В обмотках больший сверхпроводящих соленою™ . „
напряжения, ооусдовденные поидеромоторньши силамиТ
даают предела упругости материала. При низких темпера™ „
pWx механических нагрузках, как показывают опыты, вомо™
суащсообразные изменения величины механического напряжений
кабеле, в результате которых происходит тепловыделение способ
дое нарушить работу сверхпроводящего соленоида. В современных
сверхпроводящих каоелях основную массу кабеля составляет де сам
сверхпроводник, а медь, плотность которой р = 8,96 г/см3, модуль
Жд £-10 Н/ом , температура Дебая 0 = 347 К. Пренебрегая
теддортводом от оомотки, найти максимально возмождое повыше-
дде температуры некоторого элемента обмотки сверхпроводящего
соленоида, работающего при температуре 7 = 4,2 К, при скачкооб-
разном уменьшении напряжения о- = 1Q4 Н/см2 на величину
6 = 5%.
Указание: принять, что освобождающаяся упругая энергия це-
ддосом дереходит в тепло.
%52. В ферромагнетиках при низких температурах заметный
дкдад в тепловые процессы вносят колебания в системе поляризован-
ных спидовых моментов — спиновые волны, для которых закон дис-
дерсии имеет вид <х> — А!<\ гж А — некоторая константа, К — вол-
новой вектор, а среднее число квантов — магнонов — в тепловоз рав-
новесии определяется той же формулой Планка, что и для фононов.
Дцдснить характер температурной зависимости вклада магнонов в
теплоемкость ферромагнетиков.
J2.53. В антиферромагнетиках (спиново упорядоченных магнети-
ках с антилараллельными магнитными моментами соседних атомов)
заход дисперсии длинноволновых магнонов (см. задачу 2.52) имеет
эдд щ = | К | и, где фазовая скорость v = const. Отдачитедьдым свой-
ством магнонов в антиферромагнетиках является то, что для каждого
значения волнового вектора К возможны два состояния поляризации.
отношение вкладов магнонов и фононов в теплоемкость при
ндзддх температурах для кристалла с величиной и = 3,0-10 см/с и
усредненной скоростью звука s = 5,0-105 см/с.
' (2.^. Капиллярные волны на поверхности (закон дисцерсии
.(/АцЛУр) могут вносить при низких температурах значитель-
да далад в теплоемкость асидкого гелия. Какова температурная
зддисимость «поверхностной» (на единицу площади) тепл, ,
г^Йи при Т х 0 К?
1»
1 55. В4Не. который при чтмчифернои дш * t г,етс я жщ,;,,,
пввТвО К- колебания в облает» низки: ineejri. р uc.1)n.0M Од1._
сываются продольными ах*-.точе'ТОЧТО ср? ' ... .. Нм. форм*,
л; для низкотемпературной теыклд 1 ' 1 то-то щ.-иь
пои Т= 0.1 К. прима для скороети oioi.<- ..начес. -ч*.
? 56 На рис. 72 приведена фононная оолас,, то-, пчрщ,читальни
определенного закона дисперсии ивиточисточито ишотждсиии в
жидком 4Не. Энергия квантов выражена > «: с =
Исходя из этих данных, определить скор-х-п. нто-р-чнщ. Л-,Е i.tw
рых при рассеянии в жидком 'Не на 1и0 г реж.сто.. испускание
или поглощения одного фонона проис.хо.ио тон.-.анальное измены
ние энергии нейтронов. 4 _
9.57. Тепловые свойства жидкого Не при • < .kt 1. в основном
обусловлены длинноволновыми фононами.
<=• KI Исходя из данных. привсиенных на рис. 72.
20' определить теплоемкостг. жидкого 4Не при
/'"“Х 7 = 0.1 к. какова энергия ц,, фононов, воз-
бужденных в наибольшем количестве при
~-----1—-ж tj этой температуре'.' Во сколько раз среднее
1,0 А‘ с'" число фононов с энергией с„ больше сред-
Рис. 72 них чисел срононог с энергиями с = 3г,„.
е = е,„/3? Температхра Дебая 19 К.
Указан и е: Трансцендентное уравнение ле — 2с 4-2 = 0 имеет
корень л ае 1.59.
2.58. При температурах Т = 0 К газ фононог в жидком гелии
можно считать идеальным. Полагая, что энтропия жидкою ге.ны
определяется фононами, найти ее удельное значение при темпера-
туре Т = 0,5 К. если плотность гелия р = 0. 145 i or' и скорость
звука s = 240 м/с. Температура Дебая 19 k.
2.59. Два сосуда, разделенные теплонепроницаемой перегородкой
с отверстием площадью А = 1 мм2, заполнены жидким гелием и под-
держиваются при температурах Т। = 4 К и Тг = 0.5 К. Считая, что
при этих температурах фононы являются единственным типом теп-
ловых возбуждений п представляют собой идеальный газ. найти теп-
ловой поток Ф между сосудами, если скорость звука > = 240 м/с. а
температура Дебая ] 9 К.
2.60* Получить формулу тонкой структхры линии рэлеевского
рассеяния, исходя из представлений о фотонах и фононах.
2.61. Найти максимальную частоту фонона Q. который может ро-
диться в жидкости под действием света с данной волны 7. = 4000 А.
Похсазатель преломления среды н = 1.5. скорость звхка в жидкости
х= 1,5НО5 см/с.
2.62. Спектрометром анализируется свет от лазера с длиной
волны X = 6328 А. рассеянный под углом ф = 90" в воде (ri = 1.33).
Какова должна быть разрешающая способность спектрометра, чтобы
различить линию, соответствующую неупругому рассеянию света с
рождением фонона? Скорость звука в воде х =1.5'105 см/с.
122
2.63. Излучение рубинового лазера рассеивает,<, „
колебаниях в воде. При рассеянии происходит п,™ звуковых
частоты света. Оценить число штриховР°“СКОе смеще-
иетки, с помощью которой в первом дифраквдонн™акционнои Ре’
но обнаружить смещение частоты в све?е м
углом. Скорость звука в воде равна s= 1500 м/с, показатель”™
ЧТ° В ВОДе “аховые во=-
2.64. Фононы рассеиваются в кристалле на примесных центрах с
поперечником рассеяния сг порядка геометрического (10“15 см21 Опр
нить фононную теплопроводность кристалла при темпеоатХ
7= 30 К. если концентрация примесей „ = 10>3 см’3, а скорость зву-
ка s = 3-10" см/с. Оценить также толщину d кристалла, при которой
начнет сказываться рассеяние фононов на границах образца.
2.65. Измерения коэффициента теплопроводности х кристалла
LiF показали, что в области температур, меньших 7 К, величина
х/Т3 не зависит от температуры, а зависит только от толщины об-
разца 6. и Для 6= 1 мм величина х/Т3 = 22,5 мВт/(см-К4). Как из-
менится эта величина при увеличении толщины образца в 4 раза?
2.66. При достаточно высоких температурах (в диапазоне от 30
до 100 К) в твердом аргоне (9Лг = 92 К) произведение коэффициен-
та теплопроводности х на температуру Т в пределах ошибок прини-
мает постоянное значение, равное примерно 235 мВт/см. Оценить,
как изменится длина свободного пробега фононов в твердом аргоне
при изменении температуры от 50 до 100 К.
2.67. При Т < 0,6 К основным типом возбуждений в жидком
4Не являются фононы, и, как показывают эксперименты, величина
теплопроводности прямо пропорциональна диаметру капилляра, в
котором проводятся измерения. Чему равен коэффициент теплопро-
водности х при Т = 0.3 К, если при 0,6 К он в таких экспериментах
равен 0,2 Вт/ (см • К) ?
2.68. Оценить максимально возможную величину коэффициента
теплопроводности цилиндра диаметром d = 3 мм из кристаллического
искусственного сапфира при температуре 30 К. Температура Дебая у
сапфира О = 1040 К, скорость звука s = 104 м/с, а его теплоемкость
при Т«е определяется выражением си = = 0,1-7'3 Дж/(м -К).
2.69! Теплопроводность цилиндра из сапфира максимальна при
Т=30К. Пользуясь результатом предыдущей задачи, оценить ве-
личину и при температуре жидкого азота Т - 80 К. В области за
максимумом коэффициент теплопроводности хорошо описывается
зависимостью х ос 7'3 exp (0/2Т). Температура Дебаяi у сапфира
9= 1040 К. (Экспоненциальный сомножитель в выражении для
х(Т) возникает из-за того, что вклад в теплопроводность дают толь-
ко процессы переброса). V
2.70! При малых (упругих) деформациях сдвигу
много меньше постоянной решетки а,
123
a~ Gгде а — напряжение сдвига, G — модуль сдвига, d — рас-
стояние между атомными плоскостями, вдоль которых приложено
напряжение сдвига. Для идеализированной модели кристалла
Я. И. Френкель дал теоретическую оценку критического напряже-
ния сдвига, при котором произойдет необратимая деформация кри-
стаяла сгс — G/6. Получить эту оценку.
2.71. В одномерной цепочке SnO найти отношение средних квад-
ратов амплитуд нулевых колебаний, соответству юших акустической
и оптической ветвям в узком диапазоне волновых векторов вблизи ко-
ротковолновой границы первой зоны Бриллюэна.
2.72! В очень длинной (№>100) одномерной цепочке, на один
из атомов, расположенный далеко от концов, воздействуют внеш-
ним источником с частотой / = 1.001 /о- где /р максимальная ча-
стота собственных колебаний цепочки. Найти отношение смешения
данного атома и атома, отстояшего от него на Д’ = 100 межатомных
расстояний.
2.73. Титановый шар-зонд (радиусом R= 1 м. толщина стенки
d = 1 мм), нагретый до температуры Т = 1000 К. вылу шен из искус-
ственного спутника, находящегося в тени Земли. За какое время его
температура упадет на АТ = 10 К. и какую энергию при этом потеря-
ет оболочка шара, а какую тепловое излучение внутри шара? Дебаев-
ская температура титана 0 = 420 К, плотность р = 4.5 г/см*. относи-
тельная атомная масса .4 = 48. Внутреннюю поверхность шара можно
считать абсолютно черной, коэффициент отражения наружной по-
верхности г = 0.77.
2.74. Найти в дебаевском приближении среднеквадратичную ам-
плитуду' нулевых колебаний атома в кристалле с плотностью
р=19,2г/см3, дебаевской температурой 0 = 383 К и усредненной
скоростью звука s = 3.13-103 см/с.
2.75. Если отношение среднего квадрата амплитуды нулевых ко-
лебаний атомов к квадрату постоянной решетки составит при
Т = 0 К величину а = 0,01. то велика вероятность их делокализации
(такое состояние называется «квантовый кристалла). Оценить в де-
бавской модели длину одномерной цепочки атомов, при которой на-
ступает делокализация. Масса атома m = 50 а. е. м.. межатомное рас-
стояние а = ЗА, скорость звука s — 3-105 см/с. Учитывать только
продольные колебания. Граничные условия — периодические.
Указание. Для оценки считать, что суммирование по всем мо-
дам колебаний можно заменить интегралом.
2.76! Оценить в дебаевской модели размер L двумерной квад-
ратной решетки атомов, при котором отношение среднего квадрата
амплитуды колебаний к квадрату постоянной решетки составит
при температуре Т = 650 К величину а = 0,025. Относительная
масса атома А =150. межатомное расстояние п = 5А. скорость
звука з = 4-105см/с. Учитывать колебания только в плоскости ре-
шетки. Граничные условия — нулевые.
124
у |( а 3а II и е. Дли оценки считать, что счммчп
даН колебаний можно заменить интегралом ₽ "е по всем м0-
2,77. Нерадиациоипые переходы для подуровней
датояни» атомов парамагнетика в магнитном полеM„JP°™oro ls"
д,|Т„за счет передачи энергии фоиопу, а момента импулкз ПР°"СХ°’
кристаллу (за счет спин-решеточной релаксаниН л а ~ всему
м.1Л„,,„,е линейные размеры кристаллов парам
«рое снятие возбуждения возможно. Усреднено™ Р КОТОРЫХ
кристалле s = 3,2 км/с, индукция магнитного поля в - 0С ?т “
щевие атомов на границах кристалла считать равным нулю СМе’
2.78: В алмазных наковальнях сжатие Tnennuv '
„аляется до мегабарпых давлений. Потенциал отолтоТниямеХ
атомами можно аппроксимировать степенной функцией иЫ о- / в
(?»I), ™е -v ~ относительное расстояние между двумя соХими
атомами. Определить, во сколько раз изменится температура м™
такого кристалла при увеличении давления от Р, = 200 кбар до
j>2=l,8M6ap. Жесткость кристалла в сжатом состоянии опреде-
ляется втором производной от отталкивательной части потенциала.
§ 3. Электроны в металлах. Ферми-частицы
3.17 При сближении атомов происходит перекрытие волновых
функций внешних валентных электронов, которые получают воз-
можность двигаться по кристаллу благодаря туннельному эффекту.
При этом ТУ стационарных атомных уровней расщепляются в полосу
(зону), содержащую W квазинепрерывных (при №>1) стационар-
ных уровней. Считая, что в атоме электрон находится в одномерной
прямоугольной потенциальной яме шириной а = 2 к. на глубине
равной энергии ионизации Uo = 10 эВ, а ширина барьера, разделя-
ющего ямы, d = а, оценить ширину зоны. Формально ширина зоны
может быть оценена, как уширение уровня энергии электрона при
туннелировании в соседнюю яму. Учесть, что при слабом перекры-
тии волновая функция электрона в кристалле является линейной
комбинацией атомных волновых функций.
3.2! Вычислить фермиевские энергию, импульс и скорость при
Г = 0 для металла с изотропным квадратичным законом дисперсии
электронов с эффективной массой т*, равной 0,8 массы свободного
электрона, и концентрацией электронов п == Ю23 см .
3.3. Для электронов с квадратичным законом дисперсии наити
связь между средней энергией ё и фермиевской энергией ер при
температуре Т = 0 К. ' _
3.4. Металлический Na кристаллизуется в кубическую объемно
центрированную решетку с расстоянием между ближайшими атома-
ми 0,37 нм. Найти среднюю кинетическую энергию электронов,
предполагая, что их закон дисперсии является квадратичным.
125
3 5 Оценить, каково относительное увеличение средней эцер.
о.о. с Е_ = 5 эВ при увеличении теиггепатл-...
пш электронов в металле <- ьг г
от т=0 К ло комнатной.
3 6 Найти при температуре 7 = 0 К среднюю длину во.1пы к
Бройля I свободного электрона в одновалентном .металле с просто,;
кубической решеткой, имеюшеи постоянную и.
3.7Т Найти фермиевский импульс р? электронов проводимости в
Na если максимальное отклонение \гла разлета двух у-квантов.
возникающих при аннигиляции замедленных до тепловых скоростей
позитронов с электронами проводимости, от 180 равно 'Р = 0.2();
Поверхность Ферми считать сферической.
3.8’ При те>гаературе Г О К электроны в металле рассеивают-
ся. испуская или поглошая фононы. Считая, что 7"« 9. где 9 — ле.
баевская температура. оценить средний угол рассеяния
3.9. На какой максимальный угол может отклониться электрон
при поглощении или испускании одного фонона в одновалентноч
металле с простой кубической решеткой, хорошо описывающемся
моделью Дебая и моделью свооодных электронов.
3.10. Свойства электронов в монокристаллических образцах
металлов с большими длинами свободного пробега электронов мо-
магнитного поля
Рис. 73
гут изучаться с помошью двух ?.шкроконтак.тов. прижатых к по-
верхности металла вдоль линии, перпендикулярной напряженности
Н (рис. 73). Один из контактов является эмит-
тером электронов, а второй — зондом (кол-
лектором). регистрирующим приход электро-
нов. Определить максимальное значение
при которо?м электроны еше могут достичь
коллектора. Концентрация электронов прово-
димости равна п = 8.5-10" см~3. а расстояние
между микроконтактами d = 1 мм. Воспользо-
ваться моделью свободных электронов.
3.11. Электронный спектр щелочных метал-
лов хорошо описывается моделью свободных
электронов с концентрацией один электрон на
атом. В магнитном поле напряженностью Н тра-
ектории электронов являются спиралями. Определить максимальный
диаметр спирали для электронов в калии при Н — 100 Э. Объем,
приходящийся на атом, равен V = 74-10"2! мм-:.
3.12. Оценить отношение средней потенциальной энергии И вза-
имодействия двух электронов к энергии Ферми ef для одновалентного
металла, электроны которого наполовину заполняют зонт проводимо-
сти. Концентрация атомов п = 3-102~ см~\ эффективн'. ю массу элек-
тронов считать равной массе свободного электрона.
3.13. Улътрахолодные нейтроны содержатся в ловмшке при столь
низкой температуре, что газ нейтронов вырожден. Как изменится
средняя кинетическая энергия нейтронов при изотермическом вклю-
чении сильного магнитного поля. полностью поляризхюшего маг-
126
,„„„ые моменты нейтронов? Процессами распада нейтронов пренеб-
^114. Оценить, сколько ультрахолодных нейтронов может быть
накоплено в медной ловушке (рнс. 74) объемом V = 10 л Ко™?
ПВО поступающих нейтронов компенсирует их убыль за счет
да- Критическая скорость нейтронов для меди у,
идть, что температура стенок ловушки О К, а *
вырожден.
распа-
’кр = 5,7 м/с. При-
нейтронный ферми-
Рис. 74
3.15? Рассматривая гипотетическое тяже-
лое ядро с Z = 'V и считая распределение нук-
jqhos в ядре однородным. оценить юс ферми-
еескую скорость в модели свободных нуклонов.
3.16. Оценить среднюю энергию на один
нуклон б модели нуклонного ферми-газа. Счи-
тать А‘ = 2 = А/2.
3.17? Оценить минимальную энергию <§.
гамма-кванта, необходимою для однонуклон-
ного возбуждения тяжелого ядра с Z = N,
^1=2э8. рассматривая нуклоны в ядре как ферми-газ. Каким будет
по порядку величины эффективное сечение такого прппесса?
3-18. Оценить в модели ферми-газа глубину нейтронной потен-
Егпальнон ямы в ядре 235U, если энергия отделения нейтрона в этом
ядре (его энергия связи) равна <&СБ = 7,6 МэВ.
3-19? Иля тяжелого -ядра с Z~ N вычислить кулоновскую энер-
гию атомного ядра и кинетическую энергию нуклонов в модели фер-
ми-газа при равномерном распределении протонов и нейтронов в ядре
и в гипотетическом случае, когда протоны полностью вытеснены ку-
лоновским отталкиванием на периферию. Какое состояние, является
энергетически более выгодным? Ядро считать имеющим жесткую
сферическую форму. «объем» нуклонов считать равным объему ядра.
3.20. В некоторых опытах по измерению времени жизни протона
используются протоны атомных ядер, например ядер атомов железа.
Производится поиск продуктов распада для одной из возможных мод
распада р—>6^ 4- л°. Оценить наименьший угол 9 разлета частиц е+
в л° с учетом фермиевского импульса рр протона, входящего в состав
ядра железа.
3.21. Во сколько раз уменьшается пороговая кинетическая энер-
гия протона при генерации пары протон и антипротон, если в каче-
стве мишени использовать не покоящийся протон жидкого водорода,
а протон, входящий в состав тяжелого ядра. - ,
3.22. Давление электронного газа является основным фактором,
определяющим сжимаемость металлов при низких температурах.
Найти. давление Р и сжимаемость 0j- электронного газа для меди
при температуре Т = 0 К, если концентрация электронов проводи-
мости равна п = 8,5-1022 см“3. Эффективную массу т* считать рав-
ной зшссе свободного электрона те. . - ч
;127
. 23 Найти скорость звука л в нейтронном газе при темпер
т Jo К, если максимальная скорость нейтронов в ,азе „ = 2(ю ;;;-
(СМЗМЖТев3ер^й вотород является диэлектриком, г.эОТнОСТЬ
пого' при нормальном давлении равна 0,076 г/см . Чтоон
стат металлом, энергия Ферми его электронов должна быть м, „
потенциалу ионизации. При каком давлении возможен ггерехоз
дорода в металлическое состояние/ Какой плотности водород, Ло
соответствует?
3 25* Оценить температуру в центре «желедноил звезды (/ — ((у
представляющей собой полностью ионизованный плазменный
радиусом R = Юб " плотностью р = Ю кг/см-.
Указание. Уравнение 7,56х +0,414х- 140-0 имеет
х а 2,072. '
X.V.X Показать, что для оелых карликов (звезда, состоящая 1П
полностью ионизованных атомов с зарядом Z) из условия равенства
гравитационного давления и давления электронного газа следуете
отношение MR* — const. Электроны считать нерелятивистскими.
3.27. Определить плотность энергии и давление электронного га-
за, в котором максимальная энергия электронов гр = f ГэВ, темпера-
тура у = 0 К, а кулоновское отталкивание компенсируется однородно
распределенными положительными зарядами (идеальный вырожден-
ный ультрарелятивистский газ).
3.28. В плотном холодном веществе звезды (белых карликах)
существуют только голые ядра и электроны, образующие вырожден-
ный электронный газ. Найти уравнение состояния этого газа в пе-
ременных (Р, И) для случая столь сильного сжатия (р>> 106 г/см3),
что энергия Ферми sF>>mec2.
3.29? Пульсары — космические радиоисточкики, излучающие пе-
риодические последовательности импульсов — представляют собой
вращающиеся нейтронные звезды. При радиусе порядка (0 км пуль-
сары обычно имеют массу порядка солнечной (!033 г). Почему звезда
таких размеров и массы не может состоять из протонов и электронов?
3.30. При всестороннем сжатии металла относительное измене-
ние энергии Ферми электронов составило 0,1 %. Оценить относитель-
ное изменение температуры Дебая решетки. Скорость звука считать
постоянной.
3.31. Оценить фермиевскую энергию электронов проводимости
некоторого одновалентного металла с простой кубической решеткой,
зная усредненную скорость звука s = 2 км/с и дебаевскую темпера-
туру Э = 200 К. Эффективную массу считать равной массе свобод-
ного электрона.
3.32. Вычислить частоту обращения электрона <дс (циклотрон-
ную частоту) в постоянном однородном произвольно ориентирован-
ном магнитном поле В при квадратичном анизотропном законе дис-
Персии S(p) = + p?/(2m<).
[28
133. Электрон с законом дисперсии <6 = &(„ > „и„„о
„ятном поле В, параллельном оси х. Решить уравдение “Г"
134! В металле, кристаллическая решетка K1WnnJ 7
жью симметрии z не ниже 3-го порядка, закон диспГрХ элект3®*”
^простейшем случае может бьпъ пр’едТХТн “ТТи”
Др) = (Р? + Р?)/(2т )• С™т‘™. “То «а элементарную ячейку нри-
даЯится один электрон проводимости, постоянная решетки вдоль оси
г равна а = 0,3 нм, объем элементарной ячейки v = 0,85а3, а эффек
двная масса т* — те — массе свободного электрона. Найти ферми-
евскую скорость электронов и определить частоту обращения элек-
тронов Шс в магнитном поле в зависимости от угла .р между напря-
женностью магнитного поля Н и осью z.
3.351 Проводимость высокотемпературных сверхпроводников
обусловлена электронами, движущимися по плоской квадратной
атомной решетке с периодом «. Закон дисперсии электронов
$(k) = — $o(cos кха + cos Считая, что каждый атом отдает в
зону проводимости один электрон, нарисовать, как выглядит об-
ласть заполненных электронных состояний в ^-пространстве (по-
верхность Ферми) в первой зоне Бриллюэна, и найти ее площадь.
Найти также распределение скоростей электронов на ферми-поверх-
иссти. Считать, что зона проводимости построена из атомных з-со-
СТОЯНИЙ.
3.36! В металле с одним электроном на элементарную ячейку и
квазиодномерным законом дисперсии d>(k) = cos kzci, где
£0 = 0,5 эВ и а = 0,3 нм, найти фермиевскую скорость uF и энергию
£F электронов. Как выглядит в данном случае ферми-поверхность?
Считать, что зона проводимости построена из атомных s-состояний.
3.37! Электрон с законом дисперсии <£ = <э0 cos кха движется в
постоянном однородном электрическом поле напряженностью Е, на-
правленном вдоль оси х. Решить уравнение движения и дать физи-
ческую интерпретацию результата. Сделать численный расчет для
случая тока 10 А, текущего по медному проводу сечением 1мм2;
удельное сопротивление меди равно 1,7-106 Ом-см, а = 3 к, ширина
зоны проводимости — 5 эВ.
3.38. Простейший модельный закон дисперсии электронов _в
металле с простой кубической решеткой имеет вид ©(р) —
= £0[3- cos кха - cos куа - cos Л2«], р = Йк, где д - постоянная
решетки. Металл находится в постоянном однородном магнитном
поле напряженностью Н, направленном вдоль оси z. Рассматрива-
ется электрон, квазиимпульс которого в заданный момент времени
направлен вдоль оси х и равен р = 5%Л/(6й). Найти скорость и и
ускорение v в этот момент. . . . ,г И1
Указание. Использовать уравнения движения р — (е/сц ],
ЗЗгРВ металле, описанном в задаче 3.38, концентрация
нов такова, что фермиевский импульс в направлении о L Р
129
вен Pr = гей/(2«). Чему равна энергия ферма е,,? Чему рап,п„ фе|ш
евские импульсы в направлениях П0| и |1П| (диагональ гранн(
ппостранственная диагональ куОа).
Р 3 40 Показать, что в металле, описанном в задаче 3.38,
малых импульсов закон дисперсии электронов проводимости ,130.
тропен. Определить эффективную массу электрона
3 41 В металле, описанном в задаче наити скорости нахо
дящпхся на уровне Ферми электронов, которые движутся в напра3.
лениях [100], [НО], [1П|- _
3.42. Электроны металла, описанною в зада и. 3.38, находятся
в постоянном электрическом поле Е. направленном вдоль оси у,
Рассматривается находящийся на уровне Ферми электрон, который
в начальный момент двигался вдоль осн .v. Пренебрегая всеми про.
цессами рассеяния, определить время, через которое электрон бу-
дет двигаться под углом 45° к первоначальному направлению. Ка-
ково ускорение и энергия электрона в этот момент? На какой мак-
симальный угол может отклониться электрон от первоначального
направления движения?
Замечание. В действительности электрон, энергия которою
превышает энергию Ферми, будет испускать фононы, и такое иде-
ализированное рассмотрение оказывается неверным.
3.43! Оценить ширину зоны проводимости в кристалле с про-
стой кубической решеткой, используя модельный закон дисперсии,
приведенный в задаче 3.38 с <Ь'О > 0. Считать эффективную массу
электрона т* вблизи дна зоны проводимости равной массе свобод-
ного электрона. Постоянная решетки и = 3 А.
3.44. Для значений параметров металлов 1 группы Na
(ер = 3,22 эВ, 0 = 158 К) и Си (ер = 7 эВ, О = 347 К) найти темпера-
туру 7”, при которой электронная и решеточная теплоемкости стано-
вятся равными.
3.45. Оценить решеточный и электронный вклады в теплоем-
кость серебра при температурах 300 и 3 К. Дебаевская температура
равна 0 = 220 К. Электронную теплоемкость считать по модели сво-
бодных электронов, концентрация которых равна п = 5,9- 1022см3.
3.46. Для одновалентного металла, описываемого моделью сво-
бодных электронов, энергия Ферми С[.-=7.0эВ. а отношение эф-
фективной массы к массе свободного электрона т*/тс = 1,5. Найти
электронный вклад в теплоемкость кристалла при 1 К и величину
дебаевского волнового вектора фононов Кп.
3.47. Оценить дебаевскую температуру' некоторого одновалент-
ного металла с простой кубической решеткой, если известно, что
скорость звука 5 = 3000 м/с, а коэффициент пропорциональности в
температурной зависимости электронного вклада в теплоемкость
при низких температурах у = 60 Дж/(м3-град). Эффективную мас-
су считать равной массе свободного электрона.
3.48. В модели свободных электронов найти энергию Ферми ef
магния, если его теплоемкость СР1 = 6 мДж/(моль-К) при темпера-
130
туре П-4К « с?г = 2.25 мДж/ (моль-К) при температуре
72-2К.
3.49. Кусок серебра с температурой 74 = 0,1 К приводится в теп-
ловой контакт с куском золота той же массы, имеющим температуру
Тг = 0,2К. Наити их конечную температуру. Учесть, что металлы
имеют одинаковые типы и практически одинаковые параметры кои-
сталлических решеток. * v
3.50. При измерении теплоемкости металла в области низких
температур (T«Q) получены следующие результаты:
т,к 1,41 2 2,45 3 1
Су, Ю^кал/град-моль 3,1 6,26 9,8 15,7
Оценить величину температуры Ферми этого металла.
3.51“ Энергетический спектр электронов в кристаллах конеч-
ных размеров является дискретным. Используя модель свободных
электронов, оценить наименьший линейный размер L кристалла
меди, при котором это обстоятельство еще не сказывается на его
удельной электронной теплоемкости при температуре Т = 1 К. Ре-
шетка меди является гранецентрированной кубической, плотность
меди р = 8,96г/см3.
3.52! В отсутствии электрического тока внешнее статическое
электрическое поле, нормальное к поверхности, проникает лишь в
тонкий приповерхностный слой металла. Определить закон, по кото-
рому потенциал ф(х) убывает в глубь металла, считая, что полное па-
дение потенциала ф«Ер/е. Оценить глубину проникновения поля
(длину экранирования Томаса—Ферми /TF) для обычного металла ти-
па Na (n0~ 1023 см”3, £Г«5эВ, диэлектрическая проницаемость
е«1) и полуметалла типа Bi («о ~ 3'1017 см-3, Ер«2-10-2эВ,
100). Температура Т = 0 К.
Указание. Диэлектрическая проницаемость е определяется
поляризацией электронов внутренних оболочек, не участвующих в
электропроводности.
3.53. Образцы натрия и меди, каждый объемом 7 = 1 см , распо-
ложены таким образом, что емкость между ними С = 1 пФ. Образцы
спедитгигш проволокой. Каково относительное изменение числа элек-
тронов проводимости в натрии при установлении равновесия? Исход-
ное значение концентрации электронов в Na п = 2,65-10 см .Ра-
бота выхода, т. е. разность энергий электрона в вакууме и внутри ме-
талла на уровне Ферми, для Na равна А[ = 2,3 эВ, а для Си равна
41 = 4,5 эВ.
Указание. В металлах, находящихся в электрическом контак-
те, электроны на уровне Ферми должны иметь одинаковую энергию.
3.54. Провести оценку Дл/n (см. предыдущую задачу) при непос-
редственном соприкосновении кусков Na и Си объемом и размерами
/=1x1x1 см3, считая, что контакт осуществляется в нескольких
точках, а средняя величина зазора остается равной d ~ мкм.
131
([ см.
3 56’ Получить закон преломления для электронов, лрок<ш
через плоскую грлчицу раздела двух мегауюв с копре,,rPalt„e(lw
тронов а, = 1 10-’- СМ-1 » п, = S' КГ - ем . Ь каком ,к, мегалло»
ПОНЫ претерпевают полное внутреннее отражение, Закон дцсперсиц
в обоих металлах изотропен. Ilanrit yiwi полного внутреннего оТрь
жения электронов с фермпеископ энергией.
3.57. Плоская граница (плоскость \?) отделяет монокрип^
металла одной ориентации or кристалла эгого же металла, ориента-
ция которого повернута на ‘КГ вокруг осн <>;, периеидикулярпой
плоскости (рис. 75). Закон дисперсии электронов в одном кристалл
© =
Найти закон дисперсит
преломления электронных
Рис. 7з
в другом кристалле н определить закон
волн на ме'ккрнс1ал.1ической границ
исходя из закона сохранения энергии и
тангенциальной компоненты импульса.
Написать закон преломления для C1V.
чая малых \ глов падения. Для просто-
ты рассмд трипагь только электроны,
движущиеся в плоскости лу.
3.58’ Ч\ вствигельносгыотермопары
(рассматривается сиди различных ме-
таллов) называется отношение р = А<р/.\/’ разности потенциалов
Д<р на ее концах к разности темперагу р АГ ее спаев. Оценить, во
сколько раз чувствительность [5 термопары вблизи комнатной темпе-
ратуры Го отличается от ее чувс гни гельносги при температуре жид-
кого гелия Тне ~ 4,2 К.
3.59. В металле, помещенном в магнитное ноле напряженностью
Я, полная энергия электрона включает зеемановскую энергию
± рБЯ, где ри — магнетон Бора. В условиях термодинамического
равновесия энергия Ферми ?;• одинакова для электронов с различ-
ным направлением спина. Исходя из этого, определить относитель-
ную разность фермиевских импульсов д/’У/д = (/’г — /’-V/’r и отно-
сительную разность концентраций Ьп/п = (н h — п_Уп (где /< =
= п+ 4- п_) для электронов с противоположными направлениям
спинов, а также удельный магнитный момент Л/ (намагниченность)
электронного газа (парамагнетизм Паули). Считать, что
Вычислить парамагнитную восприимчивость x\1( для натрия, у
торого п = 2,65-102*см'3, а отношение эффективной массы к массе
свободного электрона йГ/ш? ъ 0,8.
3.60. При не слишком высоких давлениях гелий остается жидким
вплоть до температуры Т = 0 К. Так как изотоп 3Не имеет полуцелий
132
спин (см. задачу 2.44), тоатомы, составляющие жидкий гелий 3
ч„няюго, .статистике Ферми Определит., температур, ™ записи'
м0ст„ молярной теплоемкости С(Т) жидкого гелия-3 при ,Х„х тем'
„ературах и оценит,, числовое значение коэффициента в этой зави'
с,.мости, пренебрегая межатомным взаимодействием. Молярный
объем жидкого гелия при нормальном давлении V = 37 см3/мол(
3.61. В области температур от 3 до 100 мК жидкий ^Не ведет
себя во многих отношениях подобно слабовзаимодействуюшему
вырожденному газу ферми-частиц. Из экспериментов известно что
при Т-ЗмК молярная теплоемкость гелия-3 равна С =
= 4,5-10 эрг/(К-моль), а его плотность р — 0,115 г/см3. Оценить
эффективную массу атомов Не при этой температуре.
3.62: Считая, что электроны в проводниках имеют эффектив-
ную массу т\ а их концентрация равна п, и они находятся в среде
с диэлектрической проницаемостью с, найти частоту их собственных
длинноволновых продольных колеоаний — плазменную частоту со
Диссипацией энергии пренебречь. ’’
3.63. Найти отношение среднего расстояния между электронами
в вырожденном электронном газе к классическому радиусу электро-
на в условиях, когда фермиевская энергия электронов равна энер-
гии кванта плазменных колебаний.
3.64. Найти энерипо плазмона (кванта плазменных колебаний) в
металле, в котором фермиевская энергия равна 4.- = 5,5 эВ. Эффек-
тивная масса равна массе свободных электронов, диэлектрической
восприимчивостью атомных остовов пренебречь.
3.65. Характерная величина удельного сопротивления металлов
при комнатной температуре Ю-5О.м-см. Приняв для постоян-
ной кристаллической решетки значение а = 3 А, оценить длину сво-
бодного пробега электрона Л.
3.66. В тонких металлических проволоках длины свободного
пробега электронов при низких температурах обычно лимитируют-
ся диаметром проволоки. Исходя из этого, оценить эффективную
с'лельнею проводимость g тонкой металлической проволоки диа-
метром" (1 = 0.1 мм. приняв для остальных необходимых парамет-
ров значения, типичные для металлов.
3.67! Найти закон растекания объемного заряда в проводниках и
характерное время этого процесса — т. н. максвелловское время ре-
лаксации т,,. Определить т,, для кристалла чистого германия при ком-
натной температуре (g = 0,014 Ом-1 - см-1, с = I б). Считать, что из-
быточная концентрация электронов, создающих ооъемный заряд, ма-
ла по сравнению со средней концентрацией электронов проводимости.
3.68: Найти частотную зависимость комплексной диэлект-
рической проницаемости c(w) проводника. Объяснить причину про-
зрачности металлов в ультрафиолетовой области спектра. Считать,
что электроны проводимости описываются эффективной массой m
и временем свободного пробега т.
(33
3 69* При прохождении электромагнитной зеины через тощ;,.,
медную плени ее интенсивность уменьшается з и _ 20 раз. вОлва
распространяется по нормали к поверхности пленки. лл,на волав
в вакууме X - «00 Л. Оценить толщине- пленки I. если энерщ,
Ферми'электронов в меди зР = 7 эВ. эффективная масса близо ;
массе свободного электрона. Столкновения электронов с решетку
не учитывать, статическая диэлектрическая проницаемость E = L
3.70. Определить толшину скин-слоя о. т. е. глуонну проникнове-
ния касательного к поверхности электромагнитного поля с частотой
со в металл с удельной проводимостью о. читать ил<к.1_ пе т__
время свободного пробега (время релаксации импульса). Вычистить
3 для меди при комнатной температуре (с = 0.6 • 10° Ом 1-см-1)на
частоте v = 10^ Гц. См. задачи о.66 и 3.6/.
3.71“ Рассмотреть движение электрона в кристалле в скрещен-
ных, электрическом (Е) и магнитном (Н) полян |£,1Н). Эффектив-
ная масса электронов равна т\ а время свободного пробега — т,
Применить полученные результаты к вычислению удельной прово-
димости как функции магнитного поля а[Н)з следующих случаях:
ток течет через диск Коронно (в диске Коронно электроды имеют
форму концентрических окружностей, а магнитное поле приклады-
вается перпендикулярно плоскости диска): ток течет по бесконеч-
ной пластине, причем Е и Н лежат в плоскости пластины. Пояснить
физическую причину возникновения магнитосопротивления (т. е.
уменьшения сг(Я) с ростом Я) в диске Коронно и причину отсутст-
вия магнитосопротивления в пластине.
3.72. Вычислить форму кривой циклотронного резонанса (т. е.
зависимость проводимости от частоты) для электронов с изотропной
эффективной, массой и временем свободного пробега т. Электро-
магнитная волна циркулярно поляризована в плоскости, перпенди-
кулярной постоянному магнитному полю.
3.73. Электронная теплопроводность х тонких металлических
проволок, как и их электрическая проводимость (задача 3.66), при
низких температурах лимитируется диаметром проволоки. Оценить
в этих условиях х для проволоки диаметром J = 0,1 мм при темпе-
ратуре Т — 10 К, приняв для остальных параметров значения, ти-
пичные для металлов.
3.74. В тонких проволочках длины свободного пробега лимити-
руются диаметром проволочки; поэтому длины свободного пробега
электронов и фононов практически совпадают. Оценить, при какой
температуре в этих условиях сравниваются электронная и решеточ-
ная теплопроводности.
3.75. Удельное сопротивление сплава Ag •+- I % Ni при темпера-
туре Г —0К. равно р = 10~й Ом-см. Считая, что это сопротивле-
ние определяется только примесными атомами никеля, оценить ве-
личину сечения рассеяния электронов на атомах никеля. Постоян-
ная ГЦК решетки серебра a = 4,1 А.
134
3.76. Ou
считая. что
знх клтебэн
,:',,'Т7ЬНС,е '-°прсчив.1ение одновалентного металла с
1‘я0" массой -4= 100 при температуре 7=300 К.
-*ВПЬП1 ради> С рассеяния электронов на тепловых
’j по поряшл величины равен амплитуде тепло-
воз. фермиевская скорость^ =1.4- 10ь см/с. Счи-
д^ээи-.мпзи. --о MatLx элеК1рова равной массе свободного электро-
на. 1 емперату рз Деозя 6 = 200 К. -
.еч-нис рассеяния электронов на фононах при
- > _ мол-о iiJi j3 j d равным о = л с л у £2 — амплитуда тепловых
колеоанпи атомов. Оценить для одновалентного металла с концент-
рацией евоосшных алейронов п 5- 1022 см"3 и постоянной решетки
А при .чомна1нои_температуре среднюю длину свободного про-
бега электрона А. обусловленную электрон-фононным взаимодейст-
вием ^моду.ь Юнга считать равным Е = 1012дин/см2).
3. /8. OurHiiib скороеj ь звука в металлическом стержне с плотно-
стью р = 9 г-см- при комнатной температуре. Т^> Q. Кристалличе-
скую решетку считать простой кубической с постоянной а — 3 А. Ам-
плитуда тепловых колебаний при комнатной температуре
уЮ - 0.04а.
3.79! На поверхности металлической пластины толщиной
j = 0.1 см выделяется некоторая энергия, так что изменение темпе-
ратуры пластины АГ«Го = 300 К. 70 — начальная температура
Полагая, что длина пробега электрона в металле
А = 10~~ см. оценить характерное время, за которое противополож-
ная поверхность пластины ч-почувствует» это изменение температу-
ры. Считать металл пластины одновалентным с простой кубической
решеткой и j — 3 А.
3.80. Оценить эффективное время выравнивания температуры в
медном стержне длиной L =10 см в вакууме. Плотность меди
p=S.96r/CMs. коэффициент теплопроводности х= 3.8 Вт/(см-К).
7» 9. тле 9 — дебаевская температура. Остыванием за счет излу-
чения пренебречь.
3.81. В области температур от 1 до 10 мК растворенные в ’Не ато-
мы 3Не ведут себя как идеальный фермм-газ. Насколько уменьшится
удельная теплопроводность такого раствора в этом_ диапазоне темпе-
ратур. если концентрацию5Не в "Неуменьшить с 5% до 1.2э%? Теп-
лопроводностью атомов ’Не можно пренебречь.
3.82. Термодинамические свойства жидкого 3Не хорошо описы-
ваются ферми-газовой моделью. Определить на основе этой модели
насколько уменьшается вязкость JHe при уменьшении температуры
с 2 до 1 К.
Аказанпе Учесть, что вероятность перехода частицы из на-
чального состояния в конечное пропорциональна плотности конеч-
ных состояний.
135
, 83. Вычислить плотность тока ,/(П тевмстлесттонноа Э»1ИЩ1
nQXo^-<^
на уровне Феомь меть.;
масса электронов к мета
,!c!- ^Ффы’.тив^.
ле pctBHci rrf.
ЭМИЗТИРОЙН-
5ДН. ДВ)1Л-.\Кй
ешнего злепт(
Рис. 76
рического поля напряженностью £ U1_
зеркального изображения. Совмеспно-
действие этих сил приводит г. понижению
работы выхода на границе металл-ваш-
vm. Найти зависимое"’!, работы выхода
А(£) 1! плотности термоэмиссионного то-
ка i(T.£) от поля (рис. 76).
3 85 Серебро кристаллизуется в гранецентрированую кубиче-
скую решетку с периодом rz = 4.1 А. Красная граница фотоэффекта
для серебра Хо=268ОА. Оценить (в электрон-вольтах) положение
дна зоны проводимости серебра относительно вакуума. Эффективен)
массу электронов принять равной массе свооодного электрона.
Рис. 77
3.86. Для описания свойств металлов часто используется так на-
зываемая модель «желе», в которой считается, что точечные ионы по-
гружены в электронную жидкость. Найти на основе этой модели ско-
рость звука в металлическом калин, у которого постоянная ОЦК-ре-
шетки равна а = 5.23 к. Считать, что упругие свойства калия
обусловлены только электронами, которые можно рассматривать как
свободный электронный газ. Эффективную массх электронов считать
равной массе свободных электронов.
3.87. Электронные и решеточные свойства некоторых типов
углеродных нанотрубок можно описать в рамках одномерной моде-
ли. Оценить отношение теплоемкостей решетки и электронов в та-
ких нанотрубках при низких температурах. Считать, что скорость
звука 5= 106 см/с, а скорость Ферми = 10s см/с.
136
3..SS. Согласно А. Ф. Иоффе » д. Р. Регел10 (1960 г) талл
№Xp;’H;SZl‘ rTTUe С№йс™ « пор, пока длина свобод-
ного щхюш. «емронов превышает дебройлевсктю длину волны.
Искод» ш. awio, оценить максимальную величину удельного со-
тчмивленич разу порчдочеииого металла (в ОмахУ. Эффективную
идею алеырона ечитать равной массе свободного электрона, плЖ
...... Ге 'Л ГПАНЛВ >|— 111--,-...—э
С помощью те ннельпого микроскопа в 1993 г. исследовалось
распределение плотноегн двхмерного электронного газа на поверх-
ности монокршмллла меди, где есть два точечных дефекта, на которых
происходит интерференция волн де Бройля (см, фото—рис. 77), Рас-
стояние между дефектами равно 42 А. Оценить поверхностную плот-
ность электронов проводимости этого образца меди.
3.90. Ь об.ин in низких температур от 3 до 100 мК свойства рас-
творов -'Не в 4Не можно описать, рассматривая процесс растворения
как обратимое расширение вырожденного ферми-газа 3Не с эффек-
тивной массой = 2,4/??‘Нч. в объем 4Не. Найти конечную темпера-
туру системы при адиабатическом растворении I моля 3Не в 19 мо-
лях 4Не, если исходная температура компонент Т = 50 мК., Оценку
геплоемкосгн ’Не проводить по дебаевской модели с 0=19 К.
Плотность жидкого 'Не равна р3 = 0.08 г/см3, а плотность жидкого
’Не _ = 0.14 г/см'.
3.91. 3 облай и низких температур от 3 до 100 мК тепловые
свойства растворов -'Не в 4Не молено описать, рассматривая процесс
растворения как обратимое расширение вырожденного фермн-газа
-’Не с .х{хфекшвнон массой глц = ЗЛмг-'щ. в объем 4Не. Найти коли-
чество тепла, коюрое может поглотить система при растворении од-
ного моля 3Не в 19 молях 4Не при Т = 50 мК. Дебаевская темпера-
тура 4Не 0= 19 К, Плотность -жидкого 3Не равна р0-= 0,08 г/см°, а
жидкого 4Не — р4 = 0.14 г/см3.
3.92. С понижением концентрации в электронной ферми-жидко-
стн в металлах может произойти фазовый переход с образованием
решетки электронов на фоне однородного «размазанного» положи-
тельного заряда ионов — т.н. вагнеровского кристалла. Однако ну-
левые колебания электронов могут приводить к их делокализации,
если сношение амплитуд нулевых колебаний к межэлектронному
расстоянию превысит а =1/4. Оценить, при каких концентрациях
электронов это произойдет. Кристалл рассматривать как систему
сферических элементарных ячеек, суммарный ооъем которых равен
объему кристалла. Ячейки считать невзаимодействующими.
3 93* В метшт тах основной вклад в энергию связи, т.е. в рабо-
те- котормо надо совершить для превращения кристалла в сово-
купность невзаимодействующих атомов, дает понижение средней
энергии электронов по сравнению с таковой в свооодном атоме.
Используя данные по теплотам плавления
таллической меди у = 13 кДж/моль и А — 302 кДж/моль, наити
137
qo-WUie дна зоны цровпдимоин, а;|« сн ширни,, у = Н
энергия iiauiiaaHiiu ;|s-a“ei;Tpon.i мшш II --/ / .,н э не,.грпн,, ,
металле сннтать споооднымн, . .
3 94 В м^талллх основной bk.-щл в лн-рноч i вя.ш. (.е. fl р;1(-)й|
которую надо соверрнпь для nperspioueoioi крш ыю ь t1111йкуr|)(J
невзаимрдейству|О|ЦПХ атомов, лае г иошъкениЕ i рс пюи энергии э,|С1.
ТРОНОВ по сравнению с таковой в свооодиоматоме. Иля мси1ллц.|еС|ч0.
го кадря эта величина составляем <Ltb - й,')-1 I эВ л энергия ^-3iieiC(.
рона в свободном атоме калия <1>.ь — 1.3-1 эВ. Наши положение^
зоны проводимости в металлическом калии. Калин крис|аллизуетс'|Г
объемноцентрированную кубическую решечку с периодом п = 5,22а‘
Закон дисперсии электронов в зоне проводимой ги счшагь квалрацщ.
ным с эффективной массой, равной массе свободного электрона.
3.95. Длина волны характеристическою нздучслня в изпобраз-
ном натрии (переход 3s — 2ц) составляет 2. 485 А. Оценить относи-
тельное уширение AVX этой линии в металлическом натрин. Натрии
кристаллизуется в объем!ioiшнгрироваiиiyю кубическую решетку с
постоянной ci = 4,23 А. Закон дисперсии электронов считать квадра-
тичным с эффективной массой, равной массе свободного электрона
Образованием зоны из 2/)-состояиий агома иагрия пренебречь.'
3.96! Элементы первой группы — щелочные металлы — кристал-
лизуются в объемноцентрированную кубическу ю решетку. В прибли-
жении сильной связи закон дисперсии электронов и этих металлу
может быть представлен в виде:
к а к а А э
£(к) = —Л COS COS -у- cos
где А = const, а — постоянная решетки. Определить, какой вид имела
бы поверхность Ферми в этом приближении и пай гп объем первой зо-
ны Бриллюэна для металлического Na с и = 4,23 А.
3.97! Если ферми-поверхлость имеет кош руэнтные участки, ко-
торые совмещаются друг с другом (вкладываются друг в друга) при
переносе в пространстве квазиимпульсов на некоторый вектор Q, то
такая ситуация носит название «нестннгэ, а вектору называется век-
тором нестинга. Реально речь идет о плоских участках поверхности
Ферми. Наличие нестинга приводит к ряду особенностей в физиче-
ских свойствах полупроводников. Определить век тор нестинга в усло-
виях задач 3.35*и 3.96!
3.98! При нормальном падении плоской электромагнитной волны
частотой со = 3 • 10-3 с-1 на толстый образец из легированного GaAs п-
типа наблюдается минимум отражения. Определить концентрацию
электронов в зоне проводимости. Эффективная масса электрона
т = 0,07те, диэлектрическая проницаемость решетки е/ = II. По-
движность электронов в Ga As ц = 8500 см2/В - с, влиянием дырок пре-
небречь.
138
S 'L .....°"У*.ронод..... .....
(,H< (ОМОН )
........... " ’"»'«>**); » тмуороисинит
...... "1»"''ОПМО. U.IMOOIO „ mohoulk/w J«T
ll0to no ix npoiM nun .1, < чтая внешнее позе гпабым. Ьцснш глубину
( I шщ >н p.liinpoii.iiuiri lljWlll-Хюкксли) дли по-
“.Ц»,|П1,Й ;11, > 1ц'к'ГрИ ЧОИ-, Oil UpOllupaOMOCTMO
, IP II I IIIIIICIII p.lllIll'll ! lol, i ронин проводимости I|O т IOH см~’ при
,|* 4 i ОН 11, I \ '.I II IIU'I | OIJO форм) JIM Д 11| , lllopi nil I'll 11.1 II 0.110стропа
u .ihiMr но iopo 1.1 и порош 1.010 радива /’i,, нолучитв аналогичные
фор ^i \ 1Ы । 111 tipiiMCk ною iioii t pa oo. ii.tiioi о радих ca в i юлу проводи и-
м' ю u.iiii'iriia'ii ш । irk।ричпкои проницаемопью i и эффектив-
ной M.iio'H »iri. i роил /и . (hteiin 11. a i и не. hi чины дач донорных цен-
ipoii ч орт 1.1 i io ln.Sb, i io in' 0,01.1m — масса свободного элект-
рона , a • IО
\ i. a 'anno I'.i inn Петра сатан, боаыним, если он зпачи-
u-n.iio нpeni.tiliae i itoi loiiHHC I0 ренЮГКИ.
4.3. II.они тернно i вязи Л1К, радикс г и эффективную массу
,\/,s in нlO'i.i, । е но iopo юно юбноы образования, построенного из
iicKipoua и tt.ipi и >ффс1. । ивные массы электрона и дырки равны
nt' и ej‘. , < । а । инею..Hi in 11ек । pioiei кач проницаемость иолупровод-
никл равна t
4.4? I о н । .pi и ин । П1Н..1 но ы проводника находи гея в вакууме при
ic'.uicpa । *. ре / 300 К. (hi.i пометена во внешнее электрическое по-
,е / - 1(Г 1! V м. tiaiip.Hi leiinoe перпендикулярно к поверхност^пла-
i ИН1КИ । hi ре io in и. обком их ю кончен I рацию носителей тока вблизи
1Юв(-р\н0ч । и ио 1> нропо |ннка. (’|.и11ческая диэлектрическая проии-
цаемоуН. но п проно uini.a । 10.
4.5, При какой п toi hoi in выро.кденною электронном газа в силь-
но ici проданном ио 1\ проводнике энер! ня д ншноволновых плазмонов
(квитов ила.менных колебании) равна фермиевской энергии при
/’ = О V >фф'ек i пвная мака элек1ронов проводимости пГ = 0,015ш
(/)! _ nioooiitoio .vieKipona), синнческая диэлектрическая
И|юннцаем011 ь не.нчнрованною крималла г = 16. Вклад примесных
элемронон в t не хчн1ына1ь.
IljX'ik' BIM.K Hi
139
4 6’ Получить формулы, описывающие зависимость концентр
НИИ носителей тока я. и .т в невырожденном собственное, „о/
проводнике от температуры Т. Эффективные массы электрону
дырок равны т'_ и тУ Считать химически,, потенциал систем
и заданным.
4.7. Найти зависимость химического потенциала и от темпера
туры Т в невырожденном собственном полупроводнике с ширину,
запрещенной зоны А. Использовать условие электронейтралькоств'
Параметры носителей тока: л_. ш_ и ??_. т~.
4.8. Спектр носителей тока в валентном зоне многих полупро-
водников характеризуется несколькими ветвями £(.<). каждой Вз
которых соответствует свой тип дырок. Так. например, в Ge ?
центре зоны Бриллюэна имеются минимумы энергии двух ветвей
с эффективными массами т-х= 0.04/??с и т_2 = 0.34«?е. Оценил,
долю легких дырок от общего их числа в Ge.
4.9. При не слишком низких температурах все мелкие донорные
примеси, содержащиеся в полупроводнике /г-типа. оказывают^ пр
ионизованными. Найти концентрацию электронов п_ и дырок е<- ат
ли известна концентрация п,- собственных носителей (т. е. концепт- го
рация электронов и дырок в полупроводнике без примесей). Концен- Я1
трацпя доноров = 6• Ю1 см-3, а п, = 2- 1О’! см~-\ и:
4.10! Исследовать и схематически изобразить на графике тем-
пературную зависимость концентрации электронов и дырок &
7i+(T) в полупроводнике с мелкими донорными уровнями. Энергия
связи электрона на донорах <Sd«A. А — ширина запрещенной зо- с'
ны. Концентрация доноров задана. Спиновые состояния элект- н
ронов на доноре не учитывать.
4.11. Пластинка собственного полупроводника с шириной за- п
прешенной зоны А = 1 эВ. площадь боковых поверхностей которой
5 = 1 см2, а толщина — много больше дебаевской длины этого по-
лупроводника, отделена от электродов слоями изоляторов. Толщи-
на слоев I = 1 мкм. их диэлектрическая проницаемость с = 200. К
системе подводится прямоугольное импульсное напряжение с амп-
литудой пмпульсов t/o=100B и частотой следования т=103Гц.
В момент приложения импульса в полупроводнике происходит раз-
ряд, подобный газовому. В результате ударной ионизации образу-
ются свободные электроны и дырки, которые разводятся полем к
краям пластинки и полностью экранируют от поля внутреннюю
часть полупроводника. После снятия импульса электроны и дырки
рекомбинируют. Определить полный световой поток Ф данного ис-
точника света, считая, что все рекомбинации излучательные и по-
глощение света отсутствует.
4.12. Полуметаллом называется вещество, в котором имеется сла-
бое перекрытие валентной зоны и зоны проводимости. При этом экс-
тремумы соответствующих законов дисперсии расположены в различ-
ных точках зоны Бриллюэна. В результате при Т = 0 К в одной из них
140
имеется небольшое число электоонов
да нисло дырок (рис. 78). Найт₽и ~
" рИ ИпХоГТ™Ия,?еРМИ Е” ” Ер ’ еСЛИ величина перекрытия зон
д^ —0,04 эВ, эффективная масса электрона ml = 0,05т, дырки
m* = 0,03m, где т — масса свободного электрона.
Электроны
Рис. 78
4.13. При малом содержании примесей других атомов в полу-
проводниковых материалах энергетические состояния примесных
атомов можно описывать аналогично состояниям водородоподобно-
го атома. Исходя из этого, оценить для примесных атомов мышь-
яка в германии энергию ионизации <£ион (вблизи Т = 0 К), если
известно, что эффективная масса электронов проводимости в Ge с
внедренными в него атомами As ml = 0,25m, где m — масса сво-
бодного электрона, а диэлектрическая проницаемость Ge e==16,3.
4.14. Используя законы сохранения энергии и импульса, рас-
смотреть рассеяние медленного электрона в полупроводнике с по-
глощением или испусканием длинноволнового акустического фоно-
на. Найти зависимость угла q> между волновым вектором фонона
К и начальным импульсом электрона р от р и К. Показать, что
при u<s (о — скорость электрона, s — скорость звука) электрон
не может испустить фонон, а при электроны рассеиваются
почти упруго, т. е. их энергия при рассеянии меняется мало. Счи-
тать, что дисперсионные зависимости для электрона и фонона име-
ют вид & = р2/(2ml) и йсо(К) = hsK.
4.15. При Т = 0 К электроны, находящиеся в инверсном слое
полупроводника, могут рассматриваться как двумерный вырожден-
ный газ. Найти фермиевский импульс таких электронов, если их
концентрация в расчете на единицу поверхности ns«1013 см 2.
4.16. Вблизи поверхности гетероструктуры GaAs - AlGaAs суще-
ствует инверсный слой, электроны в котором представляют собой дву-
мерный вырожденный газ с поверхностной плотностью ns =
= 5- 10п см-2. В наиболее совершенных образцах при низких темпе-
ратурах сопротивление любого квадратного участка такого слоя
имеет порядок 10 Ом. Оценить длину свободного пробега Л электро-
нов в слое.
4.17. (р — п)-переход изготовлен из материала, характеризую-
щегося при Т = 300 К концентрацией собственных • носителей
п, = 2-10ц см”3. Концентрации доноров и акцепторов по обе сто-
141
ПОНЫ перехода одинаковы п равны п = б-101' с>г\ Определить ве-
личину потенциального барьера на переходе.
4.18! Как изменится ток насыщения полупроводникового ДНода
при понижении температуры от 20 до О С. За счет какого механизма
возникает этот ток? Вследствие какого процесса и примерно при к:ь
кой температуре Г эффект выпрямления начнет исчезать? ДИОд 113.
готовлен из материала с шириной запрещенной зоны Д = 0.7 эВ ц с
одинаковыми эффективными массами электронов и ДЫрок
/м* = О.З/н. т — масса свободного электрона. Концентрация приме-
сей по обе стороны перехода равна /zltp = IOL см -. Считать, что вре-
мя жизни неравновесных носителей тока от температуры не зависит.
4.19. Сопротивление (/’ — //^-перехода при небольшом положи-
тельном напряжении (еГ/АГ« В равно /\ = 400 Ом. а его площадь
5 = 0.5см2. Предполагая, что ток переносится главным образом
дырками, оценить максимальную плотность обратного тока д (тока
насыщения') при температуре Т= 300 К.
4.20. В некоторых полупроводниках длина свободного пробега
электронов оказывается порядка межатомных расстояний. В такой
ситуации движение электронов можно рассматривать как случай-
ные «прыжки-» между соседними узлами. Оценить при температуре
Т =г 300 К удельную проводимость ст такого полупроводника, если
концентрация электронов /г Ю1'4 см"-', средняя частот;! прыжков
v 1013 с“1. а межатомное расстояние и 3 А.
4.21. При освещении электронного полупроводника вблизи его
поверхности генерируются дырки, которые затем диффундируют в
объем, где рекомбинируют с электронами проводимости. Определить
эффективную глубину проникновения /,фф дырок, если их время
жизни равно т=10~3с. подвижность и = 2000 см-/(В-с). Темпера-
тура полупроводника Т=300 К.
4.22. В кристалле кремния, легированного донорными примеся-
ми с энергией ионизации £„ = 0.01 эВ. концентрация носителей в
зоне проводимости возрастает в а = 10 раз при повышении темпе-
ратуры от 0 °C до 100 °C. Оценить концентрацию доноров /ц. При-
нять. что ширина запрещенной зоны в кремнии равна Д= 1.1 эВ.
эффективная масса носителей ?< = 0.2/п.
4.23. Кристалл кремния Si с плотностью р = 2.4 г/см3 легиро-
ван акцепторами с концентрацией пл = 1012см--' и энергией иони-
зации 6„ = 0,01эВ. Облучение нейтронами вызывает реакцию:
n + ^Si—►-SAI + р. Во сколько раз изменится концентрация пт ды-
рок в кристалле при комнатной температуре? Сечение реакции
ст = 1 бн. плотность потока нейтронов / = 1010 нейтрон/(см2-с).
время облучения /= 10° с.
4.24. Если нанести пленку металла на плоскую поверхность леги-
рованного кремния, то получится контакт Шоттки — выпрямляющий
переход. При определенной полярности напряжения И между плен-
кой металла и ооъемом полупроводника ток через контакт пренебре-
142
мал. При этом контакт эквивалентен плоскому конденсатору, у
которого роль одной из обкладок играет слой ионизованных примесей,
^айти толщину Н этого слоя объемного заряда Q и дифференциаль-
ную емкость С ~ {dQ/dV) контакта с площадью S = 1 см2. Считать,
чТ0 примеси ионизованы однократно в поле£ * 0 и нейтральны в по-
ле £ = 0. Концентрация примесей п = 101бсм“3, напряжение
/ = 5 В и диэлектрическая проницаемость е = 12.
4.25: В германий введены примеси золота (nAu = 10м см-3), ато-
мы которого могут захватить один (на уровень Au-) или два (один
да уровень Au", а второй — на уровень Ап2-) электрона, и сурьмы
(nsb = 1,5-10й см-3). Акцепторные уровни атомов золота АлГ и
ди2- лежат выше потолка валентной зоны на «§] = 0,15эВ и
= 0,5 эВ соответственно. Донорный уровень атомов сурьмы лежит
на <§з = 0,01 эВ ниже дна зоны проводимости
(рис. 79). Определить тип проводимости леги-
рованного кристалла и оценить концентрацию
носителей при температуре Т = 77 К. Шири-
на запрещенной зоны А = 0,7 эВ, а эффек-
тивные плотности состояний для зоны прово-
димости и валентной зоны (статфакторы зо-
ны) Q- = <2+ = 10ls см-3.
Указание. Специфика акцепторных
уровней Au состоит в том, что уровень с энер-
гией <§2 — А появляется только после того,
•----Sb-------- I
Л
•Au------1-
Рис. 79
как будет заполнен электронами уровень с
энергией — Д (так называемые альтерна- ®’
тивные уровни). GaAs
4.26. Оценить отношение электронной ---------\
теплоемкости чистого Si к его решеточной \ \ Но
теплоемкости при температуре Г=Ю00К. ------1
Считать, что концентрация электронов про- \ j
водимости п_= 1,5-1018 см-3, ширина запре- inGaAs
щенной зоны Д = 0,75 эВ, дебаевская темпе-
ратура 0 = 540 К, концентрация атомов Рис-80
А = 5-102,2 см-3.
4.27. Квантоворазмерная структура GaAs — InGaAs — GaAs
представляет собой слой InGaAs, расположенный между толстыми
слоями GaAs. В такой структуре движение электронов в параллель-
ном к слоям направлении является свободным, а в перпендикуляр-
ном к слоям направлении электроны оказываются в одномерной по-
тенциальной яме (рис. 80). В этом потенциале имеется только одно
связанное состояние электронов с энергией связи <§0 = 50 мэВ. Эф-
фективная масса электронов mt = 0,08m, где m — масса свободного
электрона. Какова максимальная поверхностная плотность электро-
нов ns, которые могут быть локализованы в слое InGaAs при нуле-
вой температуре.
143
ваемые’квантовые проволоки - чроволчщчй к.то.л но. пол, провод,,.
ХвХ-pvKTvpe AlGaAs - CaAs - AlU.As, в которое .u«,Wlbl se.
ДУт себя как одномерный газ с .фректовнон матоон т 0.07,Ц;
гп — масса свободного электрона. При лгом в поперечном нацраьле.
нии электроны находятся в потенциальной чме в которой
только один уровень с энергией связи юо-эОмзЬ (рщ. М). каков,(
температурах. Оценить
. ....HV-
нов rtj (на единицу длины), которые мои,t
быть локализованы в такой структуре при
нх левой темпера ту ре.’
4.20. Нобелевская премия но физике
за открытие квантовою аффекта Хол-
ла — явления, при котором наблюдается
квантование электропроводности двумер-
лое число), сформированного на поверх-
пости полупроводника при очень низких
величин} кванта проводимости опреде-
лив его как минимально возможное значение проводимости дву-
мерного металла и выразить ею в сименсах (С м. задачу 3.88).
4.30. Тонкие пленки характеризуют сопротивлением «на квад-
Рис. 82
рат» Ad, т. е. сопротивлением квадра та произвольного размера
LxL. Определить /?□ (в омах) для двумерной системы с мишь
мольной металлической проводимостью, в которой длина пробега
электронов равна межатомному расстоянию. Решетка кристалла —
простая квадратная, концентрация носителей — I электрон/атом,
температура Т = О К.
4.31 ! В инверсных сдоях па поверхности ле-
гированных полупроводников электроны образу-
ют двумерный вырожденный газ ферми-мастццс
поверхностной плотностью определяемой
степенью легирования. Методами литографии в
таких слоях можно формировать длинные и уз-
кие мостики шириной </ 1 мкм между широ-
кими «берегами» />/->' (рис. 82). При приложении
к «берегам» мостика напряжения по обе стороны
мостика возникает разность плотностей электро-
нов. Однако при температуре Т = 0 К и при малых в силу волно-
вых свойств электронов проводимость мостика равна нулю. Опреде-
лить при какой величине появится конечная проводимость мос-
тика. Оценить при данном ns величину сопротивления мостика.
Оценку проводить в модели свободных электронов. Считать, что
длина свободного пробега электрона много меньше длины мостика.
4.32 . В системе с квазидвумерным электронным газом прило-
женное перпендикулярно к слою магнитное ноле называется кван-
144
,/)/K)iiuim. есан тепловая энергия элек-(Ро..пн <
wl)twU рнещеп.по,,^ Д<!( ' ч-кдо меньше зеема_
lljill какой темпера гуре в иоле II = j£ т ’> Ландау. Оценим,,
а ю |,и;1 больше теплоноп энергии электро,!., “ое Расщепление
4,ЗЭ : При коиешних температурах '
„„упорном электронном газе в условиях ие.ю“'°е “"Ротпвление в
31|,фек10 Аолла окааьищегся хотя „ MaaljlM ква«™»о™
jlliifiiPV проволимостп в кремниевой МОП cti е1ИЬ1м- Уценить ве-
шЮ.пюПью электронов п(1 = Ю^См-2
„троим уровне Ландау (фактор заполнения v= , заполненном
„отока равно числу электронов.) и температуре Т! КВантов
мгац,,и электронов, определяемое «р,,«с„„ рав„0
Э|М)ект„вш1я масса электронов = 0,2,„. где и, _ масса сво6°двоУ
нейрона.
4.34 . Холловское соирсм пвление
МДП-струкчуры г. магнитом иоле
у/= 2.5'Гл равно Кп = 4.3кОм. Какова
г1Лсггность элек!ромов?
4.35 . Для наб.шолеипядробногокван-
гового эффекта Холла необходимо, что-
бы кулоновское взаимодействие U между
электронами играло решающую роль,
г,, е. было существенно больше их кине-
тической энергии Оценить, насколько
надо изменить плотность электронов ns в
двумерном электронном газе, чтобы от-
ношение U/& увеличилось в 10 раз.
4.36 ' Построить зависимость магнит-
ного момента УЙ и химического потенци-
ала £Г едииииы плошали двумерного ме-
талла (см. задачу 4.37) ог магнитного поля 13 при Т = 0 К. Для упро-
щения спин электрона не учитывать (см. указание к задаче 4.37”).
4.37 ! Манги магнитный момент Ш1 единицы площади двумерно-
го электронного газа с плотностью //s = 4,8-1011 см~2, образованно-
го ни поверхности кремниевой структуры во внешнем магнитном
поле 1J = 8.28 Тл. Температуру считать равной Т = О К, эффектив-
ную массу /п1 = 0.2ш. где ш — масса свободного электрона.
Указан и е: ио определению Ш1 = ~'д&1д13, $ — энергия системы.
4.38! На поверхность /глинной кварцевой нити нанесен тонкий
слой лития. На рис. 83 приведем результат измерения продольного
(вдоль нити) магнитосопротивления этого слоя, т. е. зависимости из-
менения сопротивления от величины приложенного продольного маг-
нитного поля, при температуре ~ I К (Д. Ю. Шарвин, Ю. В. Шарвин,
(981 г). Оценить диаметр нити.
4.39! В J 986 г. Осакабе с соавторами с целью проверки эффекта
Ааронова—Бома провел следующий эксперимент. Монохроматиче-
145
ские электроны из источника Л' проколол" в,к- и внутри торо,ца;,„.
него магнита, покрытого достаточно толстым слоем с верх и ро„оД|111ка
ст =9 2 К и попадая па экран, создавали ниирфь|Д'шцю;шу(0
картину’(рис. 84). Эксперимент проводился вначале при -/, = щ,
п магнитный поток через тороидальный магнитным сердечник, со-
Рис. 84
зданием ын внешним источником
тока. Ф = 2,8Ф() = З.Мс/г. Зачем
при неизменной величине тока че-
рез обмотку магнита темпера’[ур;|
понижалась до 7‘. = 5 К. ||;1 какую
часть полосы сдвинулась при
интерференционная картина? Слой
сверхпроводника, которым покрыт
магнит, значительно превышает
ловдопояскую глубину проникно-
вения Л.
Указание. Учесть, что квант магнитною потока в свсрхпро-
. еп /,е ф“
водниках составляет Ф() ~2е~""Г'
4.40. На рис, 85 изображены положения химического потенциал;!
р., дна зоны проводимости и потолка валентной зоны, в собственном
полупроводнике типа InSb при температуре / — 600 К. Используя
данные рис. 85, найти концентрация электронов и дырок при jjukhj-
110Й температуре. Эффективные массы элек-
тронов и дырок; т\ = 0.05///. /л'=0,4и
(/и — масса свободною электрона),
4.41. Найти отношении ширины зовы
проводимости к ширине вален гной зоны в
кристалле Ge, у которою oi ношение по-
движностей электронов и дырок при низ-
ких температурах равно р /i*f =2. Счи-
тать, что закон дисперсии электронов п
ипа £(А-) =(>’() — 2.-1 сох к и. и что ироволи-
эВ
„,025 дж
-0.125
WWW £v
Рис. 85
мость определяется рассеянием на нейтральных примесях, причем
сечение рассеяния подчиняется закону Бете и обратно пропорцио-
нально квадрату эффективной массы носителя
—НН 1 ** (формула Эрджинсоя).
lz\ X 4.42. Полупроводниковый диод использует-
° I Т И ся ° К‘1'1сстпе переменною резистора в аттеню-
Т I аторе (рис. 86). Смешение на диоде задается
источником постоянного тока <7, а связь меж-
Рис. 86 ду сигналами осуществляется через конденса-
тор, реактивное сопротивление которою пре-
небрежимо мало по сравнению с сопротивлением резистора
Л =10 кОм. Ток насыщения диода <У()= ) мкЛ, 7’= 300 К, Каково
ослабление входного сигнала по напряжению при <7 = 1 мА в де-
цибеллах («(дБ) = 20 1g (П/Ио)).
146
4.43 . Спектр фотопоглощения (зависимость коя,ы™,
„щения от энергии квантов) кремния, легированнойX™ П°‘
гелиевых температурах и энергии фотонов, меньших ?0м,п ’ "РИ
давляет собой серию пиков. При этом пик, соотХтвуюшийХ’
симальнои энергии поглощаемых квантов т™
м = 43 мэВ Оценить по этим данным эффех^вщю плотностьТ
стояний Q+ (стат-фактор) в валентной зоне кремния при темпера-
туре т = 4,2 К. Диэлектрическая проницаемость кремния “12
ширина запрещенной зоны в кремнии при дайной температ™ п ’
ряди 1 эВ. Закон дисперсии в валентной 30не считать из₽отрХым
И квадратичным. уоиным
4.44 . Электроны в гетерострухтуре AlGaAs/GaAs при низких тем-
пературах образуют вырожденный двумерный электронный газ. Если
отношение средней потенциальной к средней кинетической энергии
на один электрон превышает 50, то возможно образование устойчи-
вого периодического расположения электронов в пространстве_так
называемого вигнеровского кристалла. Оценить при какой поверх-
ностной плотности электронов это возможно. Эффективная масса
электронов в структуре /л’ = 0,067/пс, статическая диэлектрическая
проницаемость решетки е = 12. Оценку средней потенциальной энер-
гии электрона проводить для ближайших соседей в центрированной
гексогональной решетке.
4.45 ' Сплав 95% Bi и 5% Sb является полуметаллом, т. е. вещест-
вом, у которого потолок (максимум) валентной зоны и дно (мини-
мум) зоны проводимости перекрываются. В квантующем магнитном
поле, большем = 46,5 Тл, происходит переход металл — диэлект-
рик и сопротивление сплава резко возрастает. Оценить величину пе-
рекрытия зон при В = 0. Эффективные массы электронов, дырок и их
g-факторы равны: /н! = 0,128wc, m*+ = 0,21 gc = 5,56, gh = 1,34.
Указание. Рассмотреть смещение экстремумов зон в магнит-
ном поле, учитывая орбитальное и спиновое квантование спектра
носителей тока.
4.46 . Сплав 91 % Bi и 9% Sb является полупроводником, у которо-
го дно (минимум) зоны проводимости и потолок (максимум) валент-
ной зоны не перекрываются. В квантующем магнитном поле, превы-
шающем Як = 40,2 Тл, происходит переход полупроводник — металл
и сопротивление сплава резко падает. Оценить ширину запрещенной
зоны А при В = 0. Эффективные массы электронов, дырок и их g-фак-
торы равны: m*_ = 0,065mc, ni*+ = 0,064mc, ge ~ 18,18,gh — 0» •
Указание. Рассмотреть смещение экстремумов зон в магнитном
иоле, учитывая только орбитальное и спиновое квантование спектра
носителей тока. „ , а_ая<эк
4.47 . Полупроводник с шириной запрещеннойзоны ЛW
помещен в квантующее магнитное поле Л — 40 кГс- У ® вления
облучается циркулярно поляризованным относится . .
В светом. Найти минимально возможные энергии ®ов
тонов правой и левой поляризации. Эффективнь
147’
и дырок, а также их g-факторыртвны соответственно: =0,|%
т**УказаНИ?Раамотрйъ смещение экстремумов зон в маге„гаоч
пол? упитывая орбитальное и спиновое квантование спектра ИВДтЕ„
448 В тонких металлических пленках поперечное движение
электрона ограничено, т. е. его волновая функция на граннщвд
поверхностях должна обращаться в ноль, и появляется квангава.
ние поперечного импульса. Оценить, какова должна оыть ддщ
свободного пробега электрона I вдоль пленки висмута, чтобы в не8
можно было наблюдать два первых уровня размерного квантова-
ния Толщина пленки rf= 1,3-10'5 см, энергия Ферми продольного
движения ег = 10-2эВ. Эффективную массу электрона считать
изотропной и равной ml = 0,01mc. Температура пленки много
меньше комнатной.
4.49. Из-за большой величины амплитуды нулевых колебаний
атомов в кристалле Не-4 вакансии (пустые места в узлах решет-
ки) могут туннелировать и превращаться в делокализованные ква-
ятпгяститты — вакансионы. В результате образ} ется вакансионвая
зона с шириной Д—10-4эВ. Оценить эффективную массу вакан-
сиона вблизи дна зоны в модели сильной связи для одномерной
решетки. Постоянную решетки оценить из молярного объема кри-
сталла V* = 21 см3/моль.
,4.50. У кристалла 1д8Ь статическая диэлектрическая проница-
емость е = 17, усредненное значение эффективной массы электро-
нов т* = 0,015те. Оценить, при какой минимальной концентрации
донорных атомов начнется образование примесной зоны. Темпера-
тура Т 0 К.
4.51 . При изменении внешнего магнитного поля В у металлов
наблюдаются осцилляции физических свойств (эффекты де Гааза—
ван Альфвена, Шубникова—де Гааза). Это обусловлено периодиче-
ским прохождением уровней Ландау через уровень Ферми. Найти
период Д(1/В) этих осцилляций для одновалентного металла с по-
стоянной ОЦК-решетки а = 3 А. Закон дисперсии электронов счи-
тать квадратичным, Т = 0 К. Спиновое расщепление энергии элект-
рона не учитывать.
4.52 ! В молекуле бензола С6Нб три валентных электрона атома
углерода образуют ковалентные связи с соседними атомами углерода
и водорода, а четвертый делокализуется и имеет возможность перехо-
дить от одного атома углерода к другому. В результате энергия этого
электрона принимает вид £(к) = £0 - 2А cos ка, где <S0 — энергия
электрона, локализованного на атоме; Л = 2,8 эВ; к — волновое чис-
. ло; а — 1,4 А расстояние между атомами углерода (сторона шеста-
• Молекула бензола помещена в магнитное поле
н°рмальное к плоскости молекулы. Оценить наведенный
диамагнитный ток. Электроны считать невзаимодействующими.
148г
4.53 ! Оценить относительный сдвиг частота
са на ядрах водорода в молекуле бензола (см, задачу 4^™ ре30нан’
в,«о со «свободным» протоном. Расстояние меход Хами ,°° С₽аВД&'
водорода равно d = 1,1 А. ду яД₽ами углерода и
4.54 ! Графеном называется плоская двумер-
ная сетка из атомов углерода, которые расположе-
ны в вершинах правильных шестиугольников со
стороной Ъ — 1,42 а (рис. 87). Три валентных
электрона атома углерода образуют ковалентные
связи с соседними атомами углерода, а четвертый
делокализуется и имеет возможность переходить
„годного атома углерода к другому. В результате Р„,. „
энергия этого электрона (отсчитываемая от уров- '
ия энергии локализованного электрона) принимает вид
2кИ P*
3b
<g(p) = ф(
1 4- 4cos рха cos 4- 4 cos:
энергия электрона, локализованного на атоме; верхний знак со-
ответствует зоне проводимости, а нижний — валентной зоне;
/1 = 2,8 эВ: р = (z\, ру) — вектор квазиимпульса; « = Первая зо-
на Бриллюэна решетки графена имеет вид правильного шестиуголь-
ника со стороной (рис. 87). Как
выглядит поверхность Ферми графена
и чему равна ее площадь? Электроны
считать невзаимодействующими.
Указание. Примитивная ячейка
графена содержит два атома.
4.55 ! Используя вид спектра и зна-
чения параметров для графена из пре-
дыдущей задачи, определить вид зако-
на дисперсии элементарных возбужде-
нии в электронной подсистеме вблизи
вершин шестиугольников и найти ве-
личину плотности состояний в этих точках.
4.56 ! Из бесконечного листа графена вырезают полосу для глад-
кого сворачивания в трубку: один раз параллельно оси х (вдоль пря-
мой АЛ' на рис. 88), а второй раз — параллельно оси у (вдоль прямой
АА" на рис. 88). При этом закон дисперсии электронов в полосе при-
обретает вид
,pva
£(р) = <§0± А'М 1 ± 4cos рха cos
№тъ качественное объяснение различия законов дисперсии листа
и полосы и определить тип проводимости (металлический или полу
проводниковый) полученных трубок.
149
§ 5. Сверхпроводимость
5 1 Из сверхпроводящей проволоки радиусом г=]мм было
свернуто кольцо диаметром D = 5 см, а концы проволоки соединена
с помощью точечной сварки. Измерения показали, что контакт ока-
зался не очень хорошим, ибо за один час ток в кольце уменьшали
на 1 %. Каково сопротивление кольца.
5 2 Из широкой сверхпроводящей ленты оыл свернут длинный
цилиндр радиусом а = 1 см и края ленты сварены вдоль образующей.
Измерения показали, что электрический контакт в месте сварки ока-
зался не очень хорошим, ибо за один час ток в цилиндре уменьшался
на 1%. Каково сопротивление /? единицы длины сварного шва?
5.3. Используя метод зеркальных изображений, найти распреде-
ление поверхностных токов на плоской поверхности сверхпроводни-
ка, если на расстоянии А = 1 см от нее расположен прямолинейный
достаточно длинный тонкий провод, параллельный плоскости сверх-
проводника. По проводу течет ток силой А/ = 10 А. Найти также си-
лу /, действующую на единицу длины провода.
5.4. Над сверхпроводящей плоскостью на изолирующем слое вы-
сотой А — 3 мм лежит проволочное кольцо из тонкой проволоки ра-
диусом г = 10 см. Масса кольца т = 1 г. По кольцу течет постоян-
ный ток 3. Оценить, при каком значении Л кольцо начнет парить
в воздухе (левитировать).
5.5. На расстоянии а = 9 см над поверхностью сверхпроводника
парит в поле тяжести тонкий постоянный магнит, длина которого
мала по сравнению с расстоянием а. Если магнит слегка вывести из
равновесия, то он совершает малые колебания в вертикальной пло-
скости. Найти период этих колебаний.
5.6. Шар массой М = 10 г и радиусом R = 1 см, изготовленный из
сверхпроводника I рода, покоится в магнитном поле В ~ 1 кГс. мень-
шем критического, при температуре ниже точки перехода. Темпера-
тура шара постепенно повышается так, что сверхпроводимость исче-
зает, а шар начинает вращаться. Найти угловую скорость ш вращения
шара.
5.7. В классическом опыте, поставленном И. К. Кикоиным, ци-
линдр из сверхпроводника I рода массой Л/ = 80 г, высотой А = 20 см.
радиусом R = 0,5 см при температуре ниже точки перехода подвешен
вертикально на упругой нити в магнитном поле, меньшем критиче-
ского и направленном вдоль оси цилиндра. Нить подвеса в исходном
состоянии не закручена. При постоянной температуре величину маг-
нитного поля постепенно повышают, и при поле /7 = I кЭ сверхпрово-
димость исчезает. В результате этого цилиндр поворачивается, а нить
закручивается. Определить максимальный угол закручивания, если
модуль кручения нити а = 1 эрг/рад.
5.8. Для исключения потерь электроэнергии на джоулево тепло в
линиях передачи постоянного тока предложено использовать коакси-
альный кабель, внутренняя жила и наружная оболочка которого вы-
полнены из сверхпроводника. Кабель подключен к нагрузке, как это
150
показано на рис. 89. Максимально допустим,,о ..
нндукцин на поверхности сверхпроводника ГЛХИНЫ магки™ой
ПОСТИ электрического поля изолирующей с и «апряжен-
£ = 30 кВ/см. При каком соотношении диХтповРХ°ИКИ кабеля
почки можно передать наибольшую мощност, IV? „ .жилы и °бо-
)У, приняв диаметр наружной оболочки D =, 20 см НаИТ” величинУ
Рис. 89
5.9. На рис. 90 „зооражена схема магнитного насоса для «накач
в„> потока в соленоид. Насос представляет собой два сверхпроводя
ПП.Х контура с ключам,, К, и к2. Контур 2 включает в себя солёнщ
га с оольшои самоиндукцией L в то время как контур 1 обладает
малой самоиндукцией /«£. Работа насоса заключается в том что
при закрытом ключе Кг и открытом ключе в контуре 1 с по-
мошью электромагнита создается
магнитное поле. Ключ К| замы-
кается. магнит удаляется и после
этого размыкается ключ К2. Эта
операция повторяется много раз.
Какого увеличения потока можно
достичь в такой системе?
5.10! Найти лондоновскую
глубину проникновения Л для
типичного сверхпроводника с
Контур 1
Контур 2-
Электромагнит
Рис. 90
концентрацией сверхпроводящих электронов п$с= 1022см-3.
5.11. Найти распределение поля и тока в бесконечной пластине
сверхпроводника толщиной d. помещенной в однородное парал-
лельное пластине магнитное поле Во.
5.12. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить харак-
терный линейный размер (длину когерентности) электронной пары в
сверхпроводнике с энергетической щелью А = 3 мэВ в электронном
спектре. Учесть, что в образовании пар участвуют электроны вблизи
поверхности Ферми, скорость которых принять равной vF~108 см/с.
5.13. В сверхпроводнике электроны образуют пары с противопо-
ложно направленными спинами. В каком магнитном поле произой-
дет разрушение таких пар. сопровождаемое изменением направле-
ния спина одного из электронов пары, если в нулевом магнитном
поле критическая температура сверхпроводника равна Тс = 92 К.
Считать, что разрушение пары происходит при 7 = 0 К.
5.14! В 1962 г. Литтлом и Парксом была обнаружена осцилляци-
онная зависимость продольного сопротивления пленки сверхпровод
151
толщиной </, нанссеннон на дщмектрита кую нить диаметр»,
D>>J о внешнего магнитного .юля В, oaup.uo.eHi.oro ,ТОл„
Изменения проводились в области сдерхпроводяще.о перехода „р„
етошшой температуре пленю. Т„. Зависимость соирогньлен.п,
от температурь, в пулевом .. копенном вне., .нем мп... .г. пом иоле „ока.
члиз in рис 91а. По результатам измерении была построена .ишиси-
мость критической температурь, пленки от ми..... того no;,,, f
диаграмма), изображенная на рис. )1б. Используя обобщенную фор.
„улу квантования Вора-Зоммерфельда Ф (|>,<Л) = 2д„/,
(р _ 2,fJVs I- — Л — обобщенный импульс пары), обьясннзт, полу-
ченную зависимость 7\.(Н) и ВЫЧИСЛИ',., диаметр ии ,Учесть,
глубина прош.к.юпеш», Л(7'„) » </, И порт ому аффектом квантован,,,,
магнитного потока можно пренебречь.
Рис. 91
5.15. Какой максимальный ток течет по нонерхносги сверхпро-
водника I рода, находящегося во внешнем касательном магнитном
поле, если величина критического магнитного поля //t =400 Л/см,
а лондоновская глубина проникновения Л = 0,5' 10-5 см?
5.16? Подлежащий измерению ток г7 течет по ниобиевой прово-
локе диаметром 2rNb = 0,1 мм, образующей точечные контакты А и
В в капле припоя из сверхпроводящего металла Pb + Sil Из-за при-
сутствия на поверхности ниобия окисной пленки капля смачивает
проволоку не полностью, а касается ниобия только в отдельных точ-
ках. Пусть таких точек лишь две — А и В с расстоянием между ни-
ми /дд = 5 мм (рис. 92). Толщину изолирующей пленки на поверх'*
ности ниобия можно считать малой по сравнению с глубиной про-
никновения. Оценить силу тока, при которой через поверхность
152
Длины
капли пройдет один квант магнитного потока Па
для ниобия и припоя равны ANb = 5. l0-4 см_
Рис. 92
5 17! Рассматривается тонкая пленка сверхпроводника I рода тол-
ной нанесенная на поверхности диэлектрической нити, ра-
Й vc которой d. Сначала нить вносится в продольное магнитное
диу прй комнатной температуре, а затем температура нити понижа-
поЛ ниже критической температуры Тс. После этого внешнее магнит-
6 поле выключается. Как квантуется магнитный поток, захвачен-
“ай нитью с пленкой?
Указание. Воспользоваться условием квантования Бора-Зом-
мерфельда ф где ps — обобщенный импульс пары (см.
задачу 5.14).
5.18. Криотрон — это управляющее устройство, изобретенное Ба-
комв 1956 г. (рис. 93). Управляющий ток 3 создает поле в соленоиде
длиной Т = 2мм с числом витков N = 20. В соленоид помещена
сверхпроводящая танталовая проволока АВ диаметром 2а —
= 0,2 мм, по которой пропускается ток критическое поле Нс для
тантала при 4,2 К равно 100 Гс. Переводя полем соленоида проволоку
из сверхпроводящего в нормальное состояние, можно управлять теку-
щим через проволоку током, и поэтому криотрон может быть исполь-
зован в логических схемах в качестве активного элемента, а также в
качестве запоминающего элемента в вычислительных машинах. Ка-
кое усиление по току G — 313' можно достичь в данном устройстве?
5.19Т Тантал (Та) кристаллизуется в д в
объемноцентрированную кубическую ре- -^.-w у
щетку с постоянной a = 3 А и является
сверхпроводником I рода (ТС = 4,4К). 1
Считая, что каждый атом Та отдает в зону ‘ [
проводимости один электрон, эффективная
масса которого равна массе свободного Рис. 93
электрона, оценить из энергетических со-
ображений величину критического магнитного поля Нс при Т ~ 0 К,
как поля, в котором разрушаются куперовские пары.
5.20. Оценить плотность критического тока распаривания jc при
Г= О К для свинца, у которого Тс « 7,2 К, л5С — 3* 1022 см"3, vF ъ
108 см/с.
5,21* Длинный цилиндр из сверхпроводника II рода, у которого
нижнее критическое поле Нс1 = 400Э, помещен в магнитное поле
# = 500Э, параллельно его образующей, и при этом его намагни-
153
ценность составила половину ioi\' jn.i'icuii'i, коц.рог окно ln.
^vl. Оценить среднее ршсгоянне мсм\ вихрями m.h111i11K4v
ка в роле Н.
5.22. В 106-1 Р, KpiiOf.r С Ю1Р.' IHUK.IMH I помощью Mip\)V)V (1(ч .
яния нейтронов на нноонп экснернмены н.но но ui>ep pt 1, ч)0 11и ''
проводниках II рода в магнитном nuie/- - /•, t оэрл л си ч । lVlhl(
вихревая решетка Лбрпкосовл. В опыслх ияе но <л к м м.1и hMS м ‘
вого порядка в огрлженин neinpoiion < 1 тнои во ты \ р д )|(|[ J
0 = 20'по отношению к плюющем) папа oi и цн нч щ-щ р, !(.
ленных расстоянием л Щыимл рлшнн tщнюне)<> । (>t4 lt> н.нкм i ищ'.
туры). В каком нагни гном пшс право ш ц м н.чц-рнмен i '
5.23? Найти выражение рш кнпс1нчп >.ои шерпш,’. > lci.t(M1[0h
на единицу длины вихря млнимичо шнека, и)>ai111кuh-iu n
проводник II рода при tl "- шпиля ла шинами n юицч it. ич.1>х
проводящих дчекгронов щч, i txoiniy 11poiиiк।mnri।mi \ n ипщ
герентностн Счиед!1., 'ио щ<ч|м. i.iiiiim.ici no p.ftn\i\ imim-п
...... “ I И.Н.» lb> IM,. I. in III 111 , ,
левого момента.
5.24. Найти машина ю .»ie|H ню а типцы i ишы вихря во внеш-
нем поле /-/>//,(, еннглм з.цлннымн нюнили. иц-|>\11роноипцц\
электронов Ни. и глубнн\ НрОННКНОНСННч \ - 1 1 ИН11.1 KOlcpctuuiV
стн). Считать, нм вихрь занимас! но рл пин рл .мер oi !. ю Л, а
пары обладают .мнннма няю n{wi<iiu<-ti и и>»он> мочен
та. Получить выражение длм //u, iuiioh.um pea h.i.h лл ычи 5,23,
5.25. Для высокоюмнер.Ы) рпою ии-рхнроно 111111..1 5 В.д'и3). А,
где d < 1, критические ноля । I (>' > и Н_: К)" >. Ош-ннн, । и-
бмну проникновения Л и длине koi ерей нкч i и при / ОК.
5.26. Цилиндр ил сверхнроно 1ННКЛ II рою млчои \! - 251 и
длиной /=10см подвешен вдоль tn и нл юнкои innii, Июль осп
цилиндра прикладываеня i.ikoc м.и ни 1 ное пот И |(Г‘)
что индукция И=^Н. Вначале юмиерлцхрл niiiiiiiip.i / - ци-
линдр покоился, а затем >емиерл1\рл \ не iiihii i.u в выше криною
ской. Найти устаповиши) юс я \1лов>к' члсыче прошения цилиндр:!.
Глубина проникновения млнниною поля \ 10 ’’см, илошоегь
сверхпроводящих электронов - lO’Ji\!
5.27. Плоская цчнл шириной b -- 0,5 см
из сверхпроводника II рою в с мешанном со-
ciomhhh noMt'iiieita и маиннное поле
/<’=10 Тл, //1?, перпендикулярное
поверхности деты (рщ. 94). Но ленте бея
диссипации теме! юк , ' -- 10 А. При .ном
Рис. 94 вихри неполнижиы, удср.-кнвлемые сгрук!')'|>
ними дефекшми сверхпроводника. Вычислить
силу Г, действующую на отдельный вихри со с юроны дефектов кри-
сталла. Считать, что ток с> однородно распределен по образцу, а
вихревую структуру создают другие, независимые 01 <1/ токи.
154
5.28: Пластинка из сверхпроводника II рода расположена в маг-
нитном поле Н <прк этам И > Иа>’ перпендикулярном ее плоско-
я Вели вдоль пластины пропустить ток плотностью], то в оезуль-
!Гте взаимодействия с этим током вихри приходят в движение с ко-
сной скоростью и, определяемой силой трения (приходящейся на
„аИ1пщу длины вихря) —y|d. Такое движение называется вяз-
у1М течением вихрей. Какое электрическое поле появится в сверх-
Т1роводнике?
г 5 29’ Наити эффективную проводимость сверхпроводника II ро-
'режиме вязкого течения вихрей (См. задачу 5.28).
5 30. В сверхпроводнике, содержащем примеси, электрон упруго
пассеивается на примесных атомах без потери фазы. Если среднее рас-
стояние между примесными атомами много меньше длины когерент-
ости то электрон движется подобно броуновской частице. Исходя
з этих соображений, оценить эффективную длину когерентности £ в
И епхпроводнике с постоянной решетки а = 3 А, средним расстоянием
между примесями b 30 А и критической температурой Тс = 25 К.
5 31- Величину верхнего критического поля Яс2 для сверхпро-
олников П рода можно оценить из того условия, что разрушение
Перовских пар происходит вследствие их закручивания в магнит-
лм поле Иначе говоря, пара может сохраняться лишь до тех пор,
пока ларморовский радиус больше ее размера. Выразить через
аллву когерентности i; и квант магнитного потока Ф?. ,
S3! При каком напряжении начнет течь ток через .тушгель-
внй переход нормальный металл-изолятор-сверхпроводник, если
7 =92 К, а измерения проводятся при Г«ТС?
с -«» g i960 г Гиавер измерил вольт-амперную характеристику
свевпгроводящей системы алюминий-свинец при температуре, мень-
vnm-tnjpcKnx температур обоих металлов (рис. 95). Она имела
, tiphV'^^ ьГв ирминимум пр>^=!-4 мВ-Найта ве“г
"энергетических щелей (в эВ) и критические температуры свин-
ца и алюминия.
5.34. Оценить радиус эффективного
взаимодействия сверхпроводящих элек-
тровоз, исходя из следующих сообра-
жений: проходящий около иона элект-
рон «толкает» его, создавая тем самым
поляризацию решетки. Радиус взаимо-
действия соответствует расстоянию,
которое успел уйти этот электрон з^
время, равное полупериоду колебании
кона. Оценку провести А™ Оческой’ решеткой. Скорость звука
твого металла с простои куби I' ать равной мас-
з = 3-105 см/с, эффективную массу электрона
се свободного электрона. моделью свободных электро-
. 5.35. Для металла, описываво~ «рйчноии для элект-
нов, найти, отношение предельно Д
155
немагнитных волн в нормальном состоянии к лондонощ-кой г.пбц.
не^проннкновення в сверхпроводящем сосюяшш.
5 36 В сверхпроводниках 11 рода, находящими но внешнем м1г
нцтном’поле алектроны в коре вихрен находя^ в
нормальном состоянии. Как зависит нкла i апл >ек 1ронов в reiL.lo.
емкость сверхпроводника от величины внешнею ноля и revuepaiv
ры? Считать корреляционною длину не завшчщеи oi ivxuiep;iiypbl
5.37! Решетка квантованных вихрен в v верхнронодннках Н рода
подобна системе вихревых нитей, возникающих во вращающема
сверхтекучем 4Не. Исходя на этой аналогии, оцешнь на основе кри-
терия сверхтекучести Ландах1) раунут нормальной тердцевнны (ко-
ра) магнитного вихря н соотнесетющую ему нютосгь юка. Ве-
личина энергетической щели сверхпроводника равна А^7 ), имщ.-щ
Ферми А-, концентрация сверхпроводящих элекцчшов -
5.38. Используя полученное в предыдущей за щче выражение
для радиальном зависимости плогност сверхпроводящею юкадг)
в вихре, найти распределение магнитною поля /(/) в вихре и оце-
нить поле в его центре. Ответ выра.иыь через кваш магнитного по-
тока Фр" И характерные длины \ и t
§ 6. Избранные задачи заключительного
(Государственного] мв;лын.1 Ф'ЧИ и > общей физике
6.1. Столкновение атома .1 с двухаюмнои молекулой АЛ мок-
ло рассматривать как столкновение двух свободных часыщ .1 в В
(рис. 96). Показать, что при эюм передаваемая энериш перерас-
пределяется поровну между вращательным движением молекулы н
поступательным движением ее центра масс. (1996 г)
6.2. Показать, что при лобовом сюлкповенип леткой частицы
массой >п с неподвижной тяжелой частицей массой
М относительная потеря энергии не зависит о г ско- Се-
рости. Предполагая, что быстрый нейтрон в среде А
испытывает только лобовые упругие столкновения, Q i
определить, сколько соударении потребуется нейт-
рону с энергией 1 МэВ, чтобы замедлиться в графи- Рис. 96
те до тепловой скорости. (1996 г)
6.3. В 1932 г. Чадвик, облучая нейтронами малых (по сравнению
с энергией покоя) энергий парафин (СН2)(| и воздух, обнаружил, что
') Критерий сверх гекучесш Ландау заключаемся a iom, то /ки \khii '1 1с. н’кущпи
при Т<1; (7С = 2,!9 К> но капилляру с ноиояннои ско|441ыо и = Д/р, где
А — щель в систре элементарных возбуждений жидкою гелия, не oyaei исньпывать
трения, если в гелии не буду! появляйся элсментарные возбу/кденич — колебание
плотности фононы и ротоны. Для появления гверхгекучесш элскiрепной фсрми-
жидкосги в металлах необходимо, шопы она сосюяла из бозонов, i с. кунеровскях
пар, а также наличие энергетическое! щели д вблизи уровня Ферми. Hc.'inA — жр-
гиа связи электронов в паре, то кригерий сверхпроводимост иш электронов прини-
мает аналогичный вид и “iCD/p,,
156
4.7-II;, lw„fJITO ’ см/‘4 “ «1>
„„редел,,.', млсеу „её,pona. 1<;,кос m.ll0llвпсрп„,е
„рот,,,,;, о„ получил? То,,,;, s.,,,,0 ‘Д Д , 'T":l h Mi,m‘
i-Kitx измерений, что масса атома тит г™ ' 1 ult-KIP<KKonii4t-
р;и больше массы атома водорода (>000 г) "кХ|Ь|° (|°1’ядка 1 % и 14
6;*b‘ -'‘Т.. il'mT 7"" плотность атомов п щ,.1ке
_ 10 см , ОШ pi ня с — 1 кэЬ. сечей не пучка X =• О 1 см-1') пч’»-
порма.пыю на движущую^, навстречу зеркальную стенке с
нон скороеИ.10 //<> — 10 см/с и массой л/ = | р Чепет 1'41’^
сгепка остановится? (1992 г) ' 1 1 смч z
6 5 При каку и,,,,,,м;,л,„,„б „„„„„„«rail Э11ер1.1и1
о,,;, (.1 - -0) при , юлкиопеиш, „X е ;ггом;,м„ кальцпя (,1 = 403
X“'=l(K|:'“i'''(W2,r)'IU''1 "0CJ,e;,"ux? еыергпя K;u„i
6.6. Может ли иропдоёти „ОШ,;,;,,,.,,,, ;1ТОМ;| уд.1ром .1том:|
кпелорол;, е кипетичееко,, оиереией <С = 4 ;>В? Эпертиа „опирай.,,,,
атомов цезия II' — 3.9 ;>!!, относительная атомная масса .4=133
(1972 г)
6.7. С какой скоростью атом аргона должен двигаться навстречу
атому пеона, обладающему кинетической энергией о,. = 1 эВ, чтобы
при их \нруюм раиеяннн под произвольным углом модуль скорости
атома неона не изменился? (1975 г)
6.8. В цилиндре может без трения дви-
гаться поршень массой Л/. Между поршнем
и неподвижными стенками колеблются лег-
кие шарики массой т«М (рис. 97). В рав-
новесном положении поршня посредине ци-
линдра частота столкновений каждою ша- Рис.97
рика с поршнем равна v |Гц|. Найти часто-
ту /«v малых медленных колебаний поршня. Движение шариков
считать одномерным, удары — абсолютно упругими. (1986 г)
6.9. Сталкиваются две упругие параллельно ориентированные
пластины с одинаковой массой т. Первая пластина имеет скорость
И, направленную под углом ip к поверхности, вторая — покоится.
Коэффициент трения между их поверхностями равен к. Найти ско-
рость первой пластины после удара и
угол <р, при котором работа сил трения
при ударе максимальна. (1966 г)
6.10. С каким угловым ускорением
с = ip будет вращаться мельничка Крук-
са (рис. 98), если на центр ее лопасти
падает пучок электронов с силой тока
с7 = 3,3 мЛ, ускоренных потенциалом
И = 900 В? Колесо мельнички состоит
из шести алюминиевых лопастей радиу-
сом Л=10мм, шириной г/=10мм и
толщиной с = 0,05 мм. Отражением
)57
...“»>.
6.1i: На горизонта-'11,11'"1 "О-» .Hi‘p'k'«WJ1
лента длиной L = "Му -i;«wa
'СНЯЧ s ] ‘
J'?lw W'ii
Ч'51 CftfC.
Рис. W о-l-- (rou'io 'шитшц рго
наго ччи-ршни.. нгоон иерец1,,^'
магетю неренкс с абогоиото магоои на шероуовапю иоверу,^'
медленно перемета» верхний нонен веревм, горми^^,
соте Я = 0,5 м ipuc. 1W>. I5n.i-i.ii.- e.epei.H.i нахо щл.кт. на глцщ
поверхности. Масса веревки - 0..' м. I гона I --- I м. ксл^
ент трения веревки о шеро\ог.ак к- нов,-реке, ч. и =. 0„у (;Wor)
Указание. PaccMOtpeu- проекции л i. картельные к ллеченг,
длины висящей веревки.
6.13. Полечить, например, из «.ooop.i *еиин разчерщхаен вад.
жение для плотности энерши ipaBHiamioHnoiv поля вблизи Здщ
и оценки.. г.о сколько разеезщ-
“Г* чеши- о» тчаецч oi значения^
nioitiOviH .Hiepuui ц^магнитнок
н но ы Л * 0.5 L. 11074 г)
И*0 ц 0.1-1. Оценни. доп\етич«
„л......! , -, сроннн н.шрч KctnuKiii внешня?
алек (рнчсч кою и щх'днороднктв
Рис-ЮО (ipamenia) машинною полей, 01
коюрых cieixei .жраннроватьос-
тановку, чтобы можно было нзмершь \<корение иччхиного паде-
ния протона 8 поле тяжести Земли. (|О7о г!
6.15. Можно ли измерить > равн ищиоин) ю иоеючннх ю у с точ-
ностью 6=10%, подкатывая свинцовый шар к ироонош гр\з>.
подвешенному к чашке пружинных аналнiнческнх весов с относи-
тельной чувствительностью i) = 0.l mi, ki.‘ (Noor)
6.16. Существует ли приншишальнач возмоквость определить
ускорение ракеты чисто электрическим меюдом'.1 Провести числен-
ные оценка для а — Ю5 и длины проводника I = Юм. Внешними
электрическими и магнитными нолями пренебречь. (1%6г)
6.17. На каком расстоянии or Солнца плонцхль энергии солнеч-
ного света станет равной плотности ouepi ни межзвездного магнитного
поля 5 = 2-10-10Тл? Солнечная постоянная 1,4-1(РВт/м’
(плотность потока энергии солнечного пзтхченич вблизи Земли!
(1968 г)
6.18. Межгалактическое пространство, содержащее вещество в
количестве 1 протон на м\ пронизано постоянным магнитнымпол№
2-10 Тл и реликтовым тепловым излечением с температуройЗК.
158
________________....__________ —
«urfBWWwm- Оценить гравитащюииый радиус Вселенной с указан-
ной плотное гаю материн и ныразнть его в световых годах. (1968 г)
6.19. Самые точные современные гравиметры (приборы для из-
мерения ускорения свободного падения) измеряют g по времени па-
дения пробного тела в вакууме, п 11р„ этом достигается точность из-
мерешш порядка 0.04 мкм/с2 па базе Л = 20 см. Какую ошибку при
измерении на поверхности Земли вносит неоднородность я? (2003 г)
6.20. Нефтяные месторождения в России расположены, как пра-
вило, в области вечной мерзлоты, где часто на глубине около 5 м
появляются плоские слои расплавившегося льда толщиной порядка
h = 3 м. Э’Ю создае1 большие опасности при разведке и бурении
скважин. Современный метод обнаружения таких водяных просло-
ек — картирование местности с помощью гравиметров. Какова дол-
жна быть точность этих приборов? Плотность льда рл = 0,917 г/см3.
(2003 г)
6.21. На поверхности Земли производится измерение ускорения
свободного падения с точностью 10-8 м/с2. Оцепить, на сколько дол-
жно измениться атмосферное давление (по сравнению с обычным),
чтобы это сказалось на точности измерений. Атмосферу считать
изотермической, кривизну земной поверхности и изменение ускоре-
ния свободного падения с высотой не учитывать. Изменение давле-
ния происходит только за счет изменения локальной плотности ат-
мосферы на поверхности Земли. (2002 г)
6.22. Экспериментально установлено, что период малых колеба-
ний математического маятника в шахте глубиной h = 500 м на
5 = 0,0025% меньше, чем у поверхности Земли. Оценить на основе
этих данных среднюю плотность земной коры в пятисотметровом
слое, считая Землю шаром с плотностью, зависящей только от рассто-
яния до центра. Средняя плотность Земли р0 = 5,6 г/см3. (2007 г)
6.23. При движении в очень разреженных слоях атмосферы ме-
теорит испаряется за счет столкновений с молекулами воздуха, ко-
торые передают веществу метеорита всю свою кинетическую энер-
гию, но к поверхности не прилипают. Определить скорость метеори-
та v при уменьшении его массы в 10 раз. Начальная скорость
уо=:40 км/с, энергия, необходимая для нагрева и испарения веще-
ства метеорита, (/= 8-106Дж/кг. (1991г)
6 24 При движении в верхних слоях атмосферы сферический
метеорит испытывает неупругие столкновения с молекулами воз-
духа. в результате чего он равномерно прогревается до температу-
ры Т = 1000 К. Оценить скорость метеорита щ считая ее
ной. Давление и температура воздуха: Р = 0,001 Ila,
(2°6?2S.) Определить мощность фотонной ракеты, движущейся за
пределами Солнечной системы снерелятивистскои ° ниХ
стоянным ускорением а = 10 м/с . Масса ракеты . р
159
мощность ракет,„ е мощностью братской ЮС (4,5 MJ|||
(1Тр6 Пои вертикальном взлете космическою кораол,, |;|&,
nep парте равнялась /с„ = (« + «,)/« ~ .25. ОисЦ^
му будет равна кратность перегрузки к = (g + u)/g в М0М№|.
“иУ кода скорость корабля относительно Земли станет ра„110й '
"«истечения газов относительно корабля. Раскол горючего сч,,,^
"ОСуОка”'да<’ие°0Учесть, что к интересующему нас моменчу „ре
значительная часть горючего будет израсходована.
6.27. При вертикальном взлете космическою корабля космонащ
испытывает перегрузку ко = U' + "oW = 1,25, которая во 1!ремя
взлета возрастает и в некоторый момент становиться рг1В1 -
А = (g + a)/g = 8. Во сколько раз в этот момен т скорость космическо-
го корабля относительно Земли больше скорости истечения газовой
носительно ракеты? Расход горючего считать постоянным. (2006 г)
6.28. Непосредственно иод дном океана в районе БермудСк010
треугольника находится металлический метеорит в виде шара радиу-
сом Л = 2 км. Глубина океана И = 6 км. Оцепить прогиб поверхности
океана в этом месте. Плотность пород, образующих дно океана, пр)1.
пять рп = 2,5 г/см3, плотность вещества метеорита рм = 7,5 г/см3.
(1977 г)
6.29. Старые айсберги иногда опрокидываются, поворачиваясь на
90°. Оценить, через какое время айсберг в форме параллелепипеда с
начальными размерами L~x.Lx.H = 3x3x2 км3, потеряет устойчи-
вость. При таянии размеры айсберга меняются, но он всегда сохра-
няет форму параллелепипеда. Считать, что айсберг обменивается
теплом с водой океана, а вода, образовавшаяся в результате таяния,
быстро удаляется. Удельная теплота плавления льда
Л = 334 кДж/кг, скорость теплообмена считать пропорциональной
разности температур воды и льда Д7 = 5 К с коэффициентом пропор-
циональности а = 250 Вт/(м2-К). (2007 г)
6.30. В течении своей «жизни» айсберги несколько раз опроки-
дываются, поворачиваясь на 90°. Для моделирования этого процесса
был проделан следующий опыт: тающий кусок льда в форме парал-
лелепипеда размером с/xZjx/? = 10x10x8 см3 опускался в ванну с
водой при температуре /о = 20°С. В процессе таяния такой «айс-
берг», оставаясь параллелепипедом, изменялся в размерах, и через
т0 = 20 мин опрокидывается. Оценить на основе этого опыта время
опрокидывания айсберга с размерами 500 х 500 х 300 м3 в океане с
температурой воды / = 5°С. Считать, что теплоподвод происходит
только по воде и скорость таяния пропорциональна разности темпе
ратур льда и воды. (2007 г)
6.31. Предельная высота гор па Венере /-/,,= 10 км, на Земле
Я3 —9 км, отношение радиусов Венеры и Земли Яв/Я3 = 0,949.
ценить массу Венеры и средние плотности планет, считая, что
лотность горного вещества каждой из планет постоянна и что мак-
160
(®9оТЯ В“С0Та Г0Р °ПРеДеЛЯСТ“ пР“ел°« упругости пород.
6 32. Космический корабль подходит к Пуша го>
траектории. почти касающейся поверхности Луш. ЧтооТпе™
да таящуюся круговую ороиту. В момент наибольшего сблХнш,
включают тормозной двигатель, выбрасывающий газы со скоростью
«= 4 км/с относительно кораоля в направлении его движения
да часть оошеи массы должно составить израсходованное горючее’
Оценить температуру горения, если удельная теплоемкость выбра-
сываемых тазов с,, составляет 2,2-103 Дж/(кг-К). (1966 г)
6.33. Орбита космической станции массой т= 100 т расположе
да в верхних слоях атмосферы на высоте h= 250 км. Если орбиту
де корректировать, то за счет торможения станция снижается на ве-
личину _Д/? = 100 м слтки. Оценить, какой требуется расход топ-
лива (кг/сутки) • чтобы поддерживать высоту орбиты станции. Ско-
рость истечения отработанных газов относительно станции при ра-
боте двигателей и= 3 км/с. (2001 г)
6.34. Найти минимальную скорость удара о поверхность Лутты
неуправляемого космического аппарата, выпушенного с Земли по
траектории. соединяющей центры Земли и Луны. (1966 г)
6.35. Крупный метеорит массой т = 106 тонн летит по направле-
нию к центр} Земли^Чтобы избежать катастрофы, запускается раке-
та с водородной бомбой, которая попадает в метеорит по нормали к
-его траектории и взрывается. Предполагая, что при взрыве из метео-
рита вылетает а = 10“г часть его массы перпендикулярно траектории
швея энергия бомбы перешла в кинетическую энергию отброшенного
-вещества, оценить, на каком расстоянии от Земли ракета должна
встретить метеорит, чтобы он пролетел на расстоянии радиуса Земли
j?3= 6400 км от ее поверхности. Скорость метеорита на бесконечно-
сти равна нулю, удар центральный, тротиловый эквивалент бомбы
W= 10 Мт. энергия взрыва 1 кг тротила равна 4.2 МДж. (1995 г)
6.36. Сейсмический датчик, установленный советским космиче-
ским аппаратом на Луне, зарегистрировал временную вариацию
плотности налетающего на нее метеоритного облака. Было выдвинуто
предположение, что вызвано это гигантским спутником Юпитера Ио,
мимо которого пролетал стационарный метеоритный поток. Оценить,
какой период временной вариации показаний сейсмодатчика зареги-
стрирован? Масса Юпитера М = 1,9-1027 кг, расстояние Ио от Юпи-
тера Х= 422 000 км. (2003 г)
6.37. Известно, что для сбивания спутника с орбиты достаточно
приложить к нему импульс, много меньший собственного импульса,
если правильно выбрать направление воздействия. Существует про-
ект сбивания спутников за счет отдачи, возникающей при испаре-
нии материала спутника под действием мощного лазерного излуче-
ния. Найти минимальную энергию лазерного излучения, необходи-
мую для перевода спутника массой т = 100 кг с круговой орбиты на
высоте Я—200 км на орбиту, касающуюся поверхности Земли. Им
пульс отдачи спутника, возникающий при воздействии излучения
161
СП)-,.
, Пж равен «=ЗдиН'с/Дж. Изменением мас
мощностью 1 ДЖ. Pd000 г)
НИК<«еКак сказали спектроскопические иСслеДОМ,н1га. с
6.38. Как по __ содержит атмосферу, состоящую „у "
СаТУяка 'вычислить и сравнить вторые космические скорост„ «
пММТи Титана и оценить температуру поверхности I ита,а.
Утк почему Луна лишена атмосферы, а Гитан еше сохранил
™ть’ г Титана Ят = м7° км’ р:щиус Лу"ы Л-" ~ 740 км' мавд Т»'
РаДИпа1на 1/45, а Луны —1/81 массы Земли Радиус Орбиты q
тана равна > у земной ороиты и 9,04 раза, f 1969г)
туР6Н39РЗемлн ближе3 /сего подход „г к Со.тнцу I ч„варя,
расстояние между ними Я, - М7 млн. км, а июля ого |)аЮоян
я =152 млн. км. Угол наклона земно» ос» к плоскости
в2-66 5° Определить разницу М' в длительности солнечных сущ.
в указанные дни. Их отличием от дней зимнего и летнего солнце-
ст2ния (22 декабря и 22 июня) можно пренсоречь. (!990г)
6 40. Дни летнего и зимнего солнцесгоянпя (22 июня и 22 д-.
кабря) делят год пополам, а летним период между днями весенне-
го и осеннего равноденствия Тл (с 21 марта по 23 сентября)
должительнее зимнего Т3 на 7 дней. Оценить эксцентриситет зем-
ной орбиты. (2004 г)
6.41. В романе А. Толстого «Аэлита-/ полет на Марс начинается’
момент противостояния, когда Солиие, Земля и Марс находятся на
прямой. При каком угле Земля-Солнце-Марс (рис. 101) следует %
самом деле стартовать с Земли, чтобы расход топлива был минималь-
ным при кратковременной работе двигателя? Считать
орбиты Земли и Марса круговыми, лежащими в одной
плоскости, притяжением между ракетой и планетами
в межпланетном перелете пренебречь. Период обра-
щения Марса равен 1.88 гола. (1988 г)
6.42. Каким должен быть угол Марс-Солнце-
Земля (рис. 101). при котором становится энергетя-
Рис. 101 чески выгодным перелет с Марса на Землю при
кратковременной! работе стартового двигателя? Ди
упрощения расчетов считать орбиты планет Земля и Марс круговы-
ми, лежащими в одной плоскости, притяжением между ракетой в
планетами при перелете пренебречь. Радиус орбиты Марса принять
равным 1,5 радиуса земной орбиты. (1988 г)
6.43. Звезда 51 в созвездии Пегас практически является двойни-
ком нашего Солнца. Изучение ее оптических спектров показало регу-
лярное изменение скорости звезды по закону и — иа sin (2%(/Т)
(сплошная линия на рис. 102) с периодом Т = 4.23 суток и амплиту-
дой ц0 — 56 м/с. Предполагается, что эти временные вариации изу-
чения обусловлены вращением вокруг нее намного более легкой п.’З-
неты. По какой траектории движется планета и какова должна быть
ее масса? (2002 г)
162
5.4-^ . ./jA'-dz движется в Солнечной системе в плоско-
сти ороиты гСлигсра с периодом Тг. Если она пролетает близко от
Юпитера, она разрушается за счет приливных сил (из-за градиента
гравитационною поля). Оценить число оборотов вокрхт Солнца, ко-
торое может совершить комета размером г0 = 10 км. не разрушаясь.
Прочность ядра ледяной кометы cr0 = J05 дин/см2. период обраще-
ния Юпитер* вокруг Солнца 7\; = 12лет«Гг. его масса состаляет
^=10"-' массы Солнца. (2000 ij
6.45. Космонавт А. Пеонов, выйдя из корабля в открытый кос-
мос. оросил крышку фотоаппарата но направлению к центру Земли
со скоростью <л = 0.5 м/с относительно корабля. Спустя некоторое
время он с удивлением обнаружил, что крышка возвращается к ко-
раблю. Описать периодическое движение крышки относительно ко-
рабля. определив период и параметры ее относительного движения.
Считать, что корабль движется по круговой орбите с радихсом
= "000 км. (1982 т;
6.46. Спхтник массой гп = 200 кг. запушенный на круговую око-
лоземную орбиту, тормозится в верхних слоях атмосферы. Сила тре-
ния Е=Сг3. (С = 3- 10’1С кг'с/м2). С какой радиальной скоростью
спускается спутник? (J999 г)
6.47. Космический корабль сферической формы движется равно-
мерно со скоростью v в области космической пыли плотностью р. ко-
торая прилипает к кораблю. КПД реактивного двигателя корабля -q.
Оценить установившуюся температуру обшивки кораоля Т, считая ее
черным телом. Изменением массы корабля вследствие налипания пы-
ли и расхода топлива пренебречь. (1999 г)
6.48. В 1979 г. открыли два квазара-«близнеца» с абсолютно оди-
наковыми спектральными характеристиками. Предполагается, что
это сам квазар и его изображение — мираж, создаваемый удаленной
галактикой, расположенной между квазаром и Землей (рис. 103). Уг-
163
J3
Рис. ЮЗ
на между квазарами-«близнецамш> равно 6". п
ЛОВое Р»™" “ “(т0 отклонение луна слета волна., С„л„вд *
маа во внпма ' , „ единицах массы Соанщ;,. с„ •
'75 ' °ЦеН™ paZ-c галоши 2- КРо- лет, радиус СОад^
,’К вен 7-10s км. (19м г> .,
,] 6 49 Согласно одной на гипотез, пульсар
/ ! нейтронной звездой, образующейся в результате ,в,;
' i тдаонного сжатия (коллапса). Оценить ио пор„дку
г'Г)1 ™?,нны С каким периодом оудез вращаться Со)в„,
' ЮШ ОНО превратится в нейтронную звезду. Масса с«-
нца М- 2-Ю3“ кг, радиус №7-10- км, период вр
ни0 Т = 2,2-106с. (1971 г)
6,50! Оценить время с, за коюрое нейтронная звезд
может потерять свое магнитное иоле.
Указание. Рассмотреть следующую модель: нев,.
ройная звезда - металлический тар с радиусом Л - I06 км, т.
ная проводимость вещества звезды о- 10с . (1966 г)
6.51. Звезда с массой Солнца т — 2• 1 ()• г н начальным радиусом
г =7-Ю10см сжимается и в результате превращается в белый кар-
лик со средней плотностью р ~ Ю7 г/см3, а затем в нейтронную звез-
ду с ю14 г/см3. Характерное магнитное ноле звезды (например,
поле у полюса) в начальном состоянии /щ = 1 Гс. Найти характернее
магнитное поле белого карлика и нейтронной звезды. (1979г)
6.52. Оценить, какую величину магнитного поля звезды типа
Солнца (период вращения Т= IО6 с, радиус R = 1010 см, температура
поверхности Т = 6-1О3К) можно обнаружить в оптической области
спектра (w = 1015 с~‘) на основании измерения эффекта Зеемана
(1974 г)
6.53! Для звездного скопления определить среднее время меж-
ду столкновениями двух звезд типа Солнца (А/с-== 2-1033 г), если
их средняя относительная скорость и = 60 км/с, а число звезд в
кубическом световом годе TV--10. Уточнит], понятие столкновения,
которым вы пользуетесь. (1968 г)
6.54. Астероиды — малые планеты с радиусом /' — 5 км в ко-
личестве N— 104, их возраст 4,5 млрд. лет. Они движутся между
орбитами Юпитера и Марса, образуя пояс астероидов толщиной
Л^106км, простирающийся от /?1 = 2,5'10s км до A2 = 7-10skm
В результате возмущения их орбит планетами они все время из-
меняют траектории и могут сталкиваться, что приводит к их дроб-
лению и возникновению метеоритов. Относительная скорость асте-
роидов г» = 5 км/с. Оценить, сколько раз за свою историю астеро-
иды сталкиваются между собой. (2005 г)
6.55. Согласно астрономическим наблюдениям мы живем в рас-
ширяющейся Вселенной, причем скорость расширения и пропорцио-
нальна ее_^текущему радиусу А: <;(/?) = HR, где постоянная
Я-2,4-10 1 с 1 называется постоянной Хаббла. Оценить крнтиче-
164
CKVIO плотность сферически симметричной Вселенной, при которой
расишРею1е никогда не сменится сжатием. (1996 г)
6-56. Для «черной» дыры гравитационное притяжение столь ве-
лико. что ни л\ч света и ни одна частица не могут вырваться за ее
пределы. Оценить ради) с «черной» дыры, имеющей массу Солнца
^=2-Ю33 г. См. также задачх 1.71 этого раздела. (1982 г)
6.57. По современным представлениям звезды могут переходить
в гравитационно неустойчивые состояния, в которых силы тяготения
при стремлении радиуса звезды к определенном}’ пределу (называ-
емому гравитационным радиусом) стремятся к бесконечности, в то
время как давление внутри звезды остается конечным. Это приводит
к катастрофическому сжатию (релятивистскому коллапсу) звезды.
Для полного описания такого процесса закон всемирного тяготения
Ньютона неприменим. Пользуясь формулой Эйнштейна для энергии
покоя с = №<'-. найти условие применимости ньютонова закона тя-
готения. Сделать численную оценку для звезды, масса которой рав-
на массе Солнца U = 2- 10*-' г. (1969 г)
6.5S. Оценить размер пылинки, при котором она будет выду-
ваться из солнечной системы световым давлением Солнца. (1984 г)
6.59. В космическом излучении из источника Лебедь-ХЗ. нахо-
дящегося от нт на расстоянии L — 40 000 свет. лет. с интервалом
5 7= 1с было зарегистрировано несколько событий, обусловлен-
ных частицами с энергией е=1011’ эВ. Это можно интерпретиро-
вать как налу чение из вращающегося там объекта. Оценить верх-
нее значение энергии покоя этих частиц и размер излучающей об-
ласти. при которые такая временная структура излучения может
наблюдаться на Земле, считая, что разброс по энергии рождаю-
щихся частиц Хс/с = 0.1. (1993 г)
6.60. При взрыве сверхновой 27 февраля 1987 г. в Малом Магел-
лановом облаке, находящемся от Земли на расстоянии L —
= 180 000 свет. лет. были зарегистрированы две группы нейтрино с
интервалом в Д/=1 час. Согласно одной из гипотез, эти две группы
нейтрино родились одновременно, но обусловлены разными процесса-
ми и соответственно имеют ну левую и нему левую (около 20 эВ) энер-
гию покоя. Оценить энергию второй группы нейтрино, при которой та-
кое объяснение возможно. (1993 г) z
6.61. Согласно некоторым прогнозам, тенден- у-,* _
ция к общему потеплению нашей планеты грозит /*\Р
таянием приполярных льдов в Арктике и Аитар- / 'х
ктиде. Оценить, насколько изменится продолжи- 7
дельность земных суток, если подъем уровня мп- / \
рового океана составит 40 м. (1992г) 4
6.62. Из точки .•! (рис. 104) на спутник, летя- рис. jq4
шин со скоростью V. падает лазерный луч с часто-
той соо. Отраженный луч регистрируется в точке В. Чему будет рав-
на частота принимаемого света? Оценить разрешающую способность
регистрирующего спектрального прибора, необходимую для обнару-
жения релятивистской поправки к смешению частоты. (1966 г)
165
, « Пчч света от импульсного лазера попадает на зеркало
Л6!' ЛУ расположенное под углом - 30 к лучу (угол мга2*
- сои т = 1 г, рас (V ль|0 ,< поверхности зеркала). Коэфф»»,*
правлениемЛУ‘<1 ' энергии) R = 0;5. Зеркало полностьювд„*
ХГопрХить ско^ ‘’^учении его Ивду
Ла36М- Ш плоскую поверхность стеклянной пластинки с тааз
лем преломления л = М "3 ««0™ "a®eL пеРнендикуляр1и
ХХи световой пучок интенсивностью ^ = 10 Вт/см* Найти „
личину и направление силы, действующей на единицу „Л0Щд^
вериост» ри™ поляризованная световая волна с направлеН1
электрического вектора в плоскости падении и с интенсивно^
<7=1 Вт/см2 падает из вакуума под углом Брюстера на круглую
плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной
диаметром £>=Юсм. Показатель преломления стекла /1==ц
Найти момент сил, действующий на пластинку. В какую сторону
будет разворачиваться пластинка/ (19-ю г)
6.66. На четвертьволновую кварцевую пластинку падает нор-
мально пучок плоско-поляризованного света с длиной волны
Л = 6280 А мощностью Ж = ЗВт. При каких условиях пластинка
будет испытывать крутящий момент и какова его величина и на-
правление? (1966 г)
6.67. Горизонтальный диск радиусом R и массой т подвешен ват
мосфере некоторого газа на упругой нити с модулем кручения/щ
расстоянии h от горизонтальной неподвижной поверхности.
Найти коэффициент внутреннего трения т] в газе по результатам из-
мерения логарифмического декремента затухания cl крутильных ко-
лебаний. Движение воздуха между диском и неподвижной поверх-
ностью считать ламинарным; краевыми эффектами пренебречь.
(1966 г)
6.68. Оценить частоту, затухание и добротность малых колеба-
ний ртути в {/ — образной трубке с площадью поперечного сечете
5=1 см2 и высотой столба L = 50 см. Вязкость ртути т| = 0,0155П,
краевыми эффектами пренебречь. (1995 г)
6.69. Два цилиндра, оси которьгх параллельны друг другу, на-
ходятся в водном потоке, скорость которого v= 10 см/с перпенди-
кулярна осям цилиндров. Оценить, с какой силой притягиваются
цилиндры радиусом R = 1 см и длиной L = 10 см, если зазор меж-
ду ними a-R. (1993 г)
6.70! В бассейне испытывается модель корабля в 1/100 нату-
ральной величины. Проектная скорость корабля равна 36 км/час.
С какой скоростью и надо буксировать модель, чтобы картина гра-
витационных волн была подобна натуре? (1966 г)
,, 6.71. Оценить методом размерностей фазовую скорость гравита-
ционных волн на поверхности жидкости, пренебрегая влиянием по-
?атяжения и конечной глубины. Найти соотношение
между фазовой и групповой скоростями этих волн. (1967 г)
.Ш
б(
Н'
6i
О)
е-
д-
CI
Р1
н
о
CJ
м
н
э
ч
э
в
г
г
, ?.;< ,fl‘"р-Д,гЛ,?рИ гголхоле к оерегу выстраиваются вдоль
оерегово'^у н/.. а с И|ать, под каким углом к нормали к прямоли-
нейвом} ot.pc.ry пишщду г волны, если далеко в море на большой глу-
бине. где длина волн /. = 50 м; а фазовая скорость yft = (gV2x),/2,
они движ; тся под ?, глом «0 = 15 . Глубина моря постепенно уменьша-
ется до А — О.з и. где скорость волн и = \Tgfr. (2008 г)
6.73. Ясли глубина Н и ширина / канала много меньше
длины гравитационных волн на поверхности жидкости в нем, то
скорость этих (длинных) гравитационных волн у = у£Я. Рассмот-
реть отражение и прохождение волн при резком изменении глубины
канала. Хак изменшсй амплитуда проходящей волны при измене-
нии глуоины в 4 раза’.' (1966 г)
6./4. м воздухе при нормальных условиях распространяется
очень сильная звуковая волна, вызывающая боль в ушах. Ее отно-
сительная интенсивность Р — [/ [^ = 150 дБ, где /0 = 10_|2Вт/м2 —
минимальная интенсивность звука, которую слышит человек. Оце-
нить отношение } дельней звуковой энергии к плотности тепловой
энергии воздуха. (2006 г)
6.75. .Зля создания подземного нефтехранилища в полости с на-
чальным объемом Р о производят взрыв, при котором высвобождается
энергия О = л-2 ГЕж. Образовавшиеся газообразные продукты взры-
ва. расширяясь адиабатически, в доли секунды образуют хранилище.
При каком начальном объеме полости увеличение ее объема будет
максимальным? Взрыв производится на глубинеЯ= 100 м. плотность
грунта р = 3 г. см’. Для опенки считать грунт несжимаемой жидко-
стью. а прозу кты взрыва — двухатомным газом. (1985 г)
6.76. Идеальный газ. поляризуемость молекул которого
а = Ю"'4 смъ находится в большом сосуде при температуре 300 К. В
сосуде находится плоский конденсатор с напряженностью поля
£ = 3-10J В/см. Найти относительные разности концентраций п и
давлений Р в конденсаторе и вне его. Где давление больше? (1968 г)
6.77. В результате импульсного разряда конденсатора через раз-
реженный газ — водород — происходит нагревание газа до темпера-
туры Т. Оиенить величину Т. предполагая, что вся энергия разряда
пошла на нагревание газа. Напряжение на конденсаторе U = 30 кВ,
е?.гкость С =18 мкФ, газ занимал объем 10 л при давлении
Ю"2 мм рт. ст. и температуре до разряда То = 293 К. (1971 г)
6.78. В холодильнике сломался выключатель и внутренняя лам-
почка продолжала гореть при закрытой дверце. Считая, что вся мощ-
ность лампочки (N = 25 Вт) переходит в тепло, определить, на сколь-
ко изменилась потребляемая холодильником мощность. Обычно при
комнатной температуре Tj = 295 К внутри холодильника поддержи-
вается температура 7’;= 275 К. Холодильник считать идеальным.
(2000 г)
6.79. Найти максимальную мощность тепловой машины, у ко-
торой нагреватель — пластина площадью 5=1 м2, одна из его по-
верхностей зеркальная, а другая полностью поглощающая. Холо-
167
Рис. 105
дилышком служит корпус орбитальной станции с фиксированной
температурой 7\ = 300 К. Солнце считать абсолютно черным те-
лом с Тс = 6000 К и угловым диаметром а = 0,01 рал. Теплопро-
водность рабочего тела считать очень большой.
Указание. Уравнение для нахождения оптимальной темпера-
туры решать методом подбора, (2007 г)
6.80. Найти максимальную мощность тепловой машины, у ко-
торой нагревателем является корпус орбитальной станции с фик-
сированной температурой Т„ = 500 К, а холодильником — полно-
стью поглощающая пластина площадью 5=1 м2. Теплопровод-
ность рабочего тела считать очень большой. (2007 г)
6.81. Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл Карно
между изотермами с температурами Т и Г\. Теплообмен между рабо-
чим веществом и холодильником при температуре 7^ = 200 К <7"'
осуществляется вследствие теплопроводности по закону а(Т — Т2),
где а = 1 кВт/K. Теплообмен рабочего вещества с нагревателем про-
исходит при температуре 7\ = 800 К, Полагая, что длительности изо-
термических процессов одинаковы, а адиабатических весьма малы,
найти температуру Т, при которой мощность N,
развиваемая тепловой машиной, максимальна.
Найти также величину /VM;1KC. (1987 г)
6.82. Измерение теплоемкости серебра осу-
ществляется путем проведения показанного на
рис. 105 термодинамического цикла. Какова ве-
личина удельной теплоемкости при температуре
То — 15 К, если образцу массой m = 0.1 г на изо-
термическом участке подводится тепловая энер-
гия Q|2 = 4,75 мДж, 7’j = 24 К, а температура в
конце второго участка Т3 = II К? (2001 г)
из двух теплоизолированных сосудов находится
6.83. В одном i”1 .n,-yv ...... .....
1 кг льда при температуре /я ~ О °C, а в другом — I кг воды при
О °C. В воду опущен
Рис. 106
нагреватель, замыкающий цепь термопары
(рис. 106), один спай которой опущен
в лед, а другой поддерживается при
тем пературе /к = 27 °C. Пренебрегая
сопротивлением проводов и спаев по
сравнению с сопротивлением нагрева-
теля и теплопроводностью проводов,
определить, на сколько градусов нагре-
ется вода, когда в другом сосуде пол-
ностью растает лед. Теплоемкость воды
с = 4,2 кДж/(кгтрад). и теплоту плав-
ления льда </ = 80 ккал/кг считать не
зависящими от температуры. (1981 г)
6-84. В холодильной машине Клода газ поступает при темпера-
туре Т] = 300 К и под постоянным давлением в цилиндр с поршнем
(детандер), где он адиабатически расширяется до фиксированного
168
конечно! о лаввения. При ,пОМ r;i f t0|,eni.r..pl. lvlf< ,
на M'. ISO iko.ukko pa.; уме,|,„шг,П| /у те ' ‘ °M'™1'CT?1
............ способ „X» “Z™ -
W-’»" n„4,.емпсрагура буле, pa,,,,;, тг = .50 К7 Теплоем-
кис 11- шзл с чи га i ь ищ тянной (1996 Г)
6.85. Ол™'томный н/шальпый ,аз находн.ея пол поршнем в ад„-
;,б,пинен и inpo;.,ж,юм цилиндре. М:|га ,,pv;,,, ||а |10риш1,.
.,e.r,ni4ihia л,и..иное la.M. иi,е.;аI!ио упеличилась вдвое. Нисколько
воцлкла juiponii'.i. орихоляпштя „а „дну молекулу газа. после уста-
пивления новою равновес ия.' (1983 г) ‘ '
(,.«6. Опреле in । в мпкспмплы|у,о рпбету, которую можно Полу-
нин, 01 ДВУХ 11,1 коляптахея в адиабатической оболочке сосудов с оди-
hukob.i.imii он 110,11омiiiiiми идеальными тазами. Начальные давления
„ чины час । ин N и «п улах одинаковы, но у них разные объемы и
icMiiep.i г\ры Г, и /’г. (2002 г)
6-8/. Одним и.1 । [’o.ioi ичсских процессов является просачивание
коды сквои- пористые породы и.1 областей с высоким давлением
/' |ООО <н л п по юс (и. иахолящиеся при атмосферном давлении /?0.
Опеннгь ю по \ ис парившейся при лом волы, если начальная ее тем-
пера ’х' 1 ы /(1-“00( . | еп.тообмемом с сорными породами пренебречь,
v.ie/ibfivio reirioiv парообразования 2 принять равной 2260 Дж/г.
(1986 г )
6.88. В cia.-п.нои ободочке находится вода при температуре
= 0 ( и л,п: кчши /' — 1000 атм. Оболочка внезапно теряет жест-
кое гь. и давление воды адиабатически быстро падает до 1 атм. Найти
конечн’.ю (сыпера г_\ ру /> воды. Теплоемкостью оболочки пренебречь.
I [лепное । ь воды и мест максимум при температуре /м = 4 °C, причем
ра шос г ь пленное ।eii при 4 0 и О “С Др = 0,13 мг/см3. (1989 г)
6.89’ Определим, гремя разными методами удельную теплоем-
кость при пос гоянном объеме си для этилового спирта при температу-
ре 7 = 300 К. используя а) закон равномерного распределения энер-
гии по с гспеням с ноболы. б) соотношение Майера, в) точное термоди-
намичес кое с оо г ношение. Считать известными с> = 2,42 Дж/ (г - К), а
также термодинамические коэффициенты: объемного расширения
(<=]гУ..1 = 1,1’JO 'К'1, изотермическую сжимаемость fi, =
= - =7.6'10 1,1 я плотность этилового спирта р =
= 0.79 г/см’’. Соиос гагиыь полученные результаты. (1966 г)
6 90 I Icon вытекает в вакуум из теплоизолированного сосуда че-
рез этверстие размер кэторого мал по сравнению с длиной свободного
пробе», неона. Опре,читать его температуру, когда в с0^е останется
половина количества газа. Начальные его условия нормальные. Теп-
лоемкостью стенок пренебречь. (1987 г) пм
6 91 Современная полупроводниковая технология требует для
изготовления полупроводниковых микросхем очень чистых поверх-
ностей кристаллов. Какой должен быть создан вакуум
169
чтобы можно было работать с атомно-чистыми поверхностями, т.
е. за время изготовления микросхемы 1 — 1 час на поверхности
«нарастет» лишь моноатомный слой газа? Считать, что все моле-
кулы газа, достигающие поверхности, прилипают к ней в виде от-
дельных атомов. Т = 300 К. (2001 г)
6.92. Одноатомный идеальный газ находится между двумя непро-
ницаемыми стенками, причем дебройлевская длина волны молекул
газа много больше расстояния между ними. Газ адиаоагнческн сжш
мают, так что объем газа уменьшается вдвое. Найти конечную тем-
пературу, если начальная температура газа То = 300 К. (1997 г)
6.93. Во сколько раз отличаются средние свободные пробеги ато-
ма водорода в основном и возбужденном состояниях (главное кван-
товое число возбужденного состояния п = 10) в разреженном одно-
атомном газе при одинаковой концентрации? (1967 г)
6.94. Для получения свободных молекул при низкой темпера-
туре широко применяется их охлаждение при адиабатическом ис-
течении газа через небольшое отверстие в вакуум. Оценить конеч-
ную температуре струи молекулярного водорода Т 11рс t. если газ
первоначально находился при нормальных условиях. Диаметр от-
верстия d = 0,3 мм. сечение столкновения молекул водорода друг
с другом сг = 2.4-10"15 см2. Для оценки принять, что на расстоя-
нии д- от отверстия диаметр струи d — х. скорость струи считать
постоянной. (2001 г)
6.95. По распространению радиоактивных газов после ядерных
взрывов известно, что благодаря турбулентности время перемеши-
вания по всей земной атмосфере составляет около одного года. Во
сколько раз быстрее происходит процесс турбулентного перемеши-
вания в условиях земной атмосферы по сравнению с молекулярной
диффузией? (1967 г)
6.96. При наблюдении за поведением капли жидкости, несущей
на себе единичный электрический заряд (/. в камере, наполненной
водородом, было обнаружено, что сила тяжести, действующая на
каплю, может быть уравновешена электрическим полем с напря-
женностью £=104В/см. Наблюдение за каплей при включенном
поле показало, что за время т= 100 с она передвигалась по слож-
ной траектории и отошла от своего первоначального положения на
расстояние Я=10-2см. Найти скорость установившегося падения
капли при выключенном поле. Давление водорода в камере
Р=1атм, плотность р = 0.09г/л. (1966 г)
6.97. Оценить температуру Г электронов, двигающихся под дей-
ствием электрического поля напряженностью £ = 100 В/см в воздухе
при нормальных условиях. Концентрация электронов мала, сечение
столкновения их с молекулами воздуха о = 10“15 см2. (1989 г)
6.98. В ультрафиолетовых лучах (Л= 1000 А) производится фо-
тографирование биомолекулы, находящейся в растворе. Оценить
максимальное время экспозиции, при которой еще может быть полу-
чено ыа фотографии предельное разрешение? Температура раствора
Г = 300 К, подвижность молекулы В = 104 см/(с-днн). (1999 г)
170
'Чина ™Счнн|ч> ирнбепа од!юза|идно-
110м чзе равна К)-'см. оцеппгь сред-
>У —1ппп7 ппд лейспшен одпород-
' '• .«111 в/та. 1 емпература газа комнат-
HW. При 1ВЧМЧ- чини бысрых заряженных настнн через ка-
,„,ре Ви нянин, напоапеннхч, аргоном ,,р„ заваенин Р = I а™ н
„.пвпнеинвнип парами но н„. иронехоЛИ| образование ионов аргона
................... юннчванпп паров волы. Считая. ч.о ляп-
.,.,.,0,0 попов one, W1BW |П||,!О ннффузпен. орепть ширину счч
чзчпп. е'. in owm.nm aauuiaei через 1=0.01 , после про-
Л1ча ч<цн1п Ф>ре> ’нвное сечение рассеяния ионов аргона па ато-
мах — 10 Лм' I смперапра газа ?' = 300 К. (1981г)
* киш и 1 ь ра ьмср .i номинновой частицы. взвешенной в жил-
кОХ 1 " ' И 1O1|H4lb1х' р,1 — I I / X М1 И ВЯЗКОСТЬЮ 1] = I 1k для которой
fkOp’Hib b'imimv' 11,1 ienini х равняйся со скоростью т силового движе-
ния при I "мн и ион 1 гм пера, \ ре. Ь\ д \ i ли такие чахтпцы выпадать в
v44l 1(м и л помп 1 пи-вой 1 рах те? ( I968 1)
р.10?.. Опешив мат iпма шныи размер водяной капли, падение
опорой и чот и хе мо । ci оын, ешс опихано законом Стокса. (2005 г)
6.ЮЗ. 1\-и ота наноо 1ын,н1 i горох i ь п сферических частиц раднх-
\0М — 'О Ml М. HI-HIOX 11МЫХ 1О11ОЧНЫМ IH3OM из дымовой тртбы? Ско-
|КЧ1|- ы’<’ на охи iр\бы о — 30.5 хм/с. коэффициент динамической
пяНхОх 1 и 1| — ’.и Ю Па х. п нииохть газа р, = 7.2-10’ 4 г/см3, час-
тиц _ | J 1 ( м!. IIaii 1 и чнх.ю Рейнольдса для движущихся час-
тно. (2008 1 1
6.Ю4. II нн’ пи । он цшхаюр с расстоянием между пластинами
,/=|<м поп мочен । б.парсе и заполнен азотом. Вблизи одной
пламмпы и” 1Л1О1СЧ ионы азота N‘. которые движутся к другой
разнхн 1 и
свободною пробою
пых хслоничх I — I мем. (1989 1)
6.106. В схнх io х юанем (рашус
гия пониланчи И7,, — -....
дится нропх’лочная каишка
и \nioiaioi мокч.хлы газа, чю приводит к появлению
швцний \Р — 0.01 мм pi. ст. при плотности тока ионов
.Дм'. Onpoie.Hiib пхивижность р ионов, которую измеря-
ют обычно г х '-1 ’ / ( В -1 ). ( 1981 i)
6.105. Пхчог аюмов аргона ’'’’Ar из сосуда, находящегося при
1\ ре. noiiaiat'i в пары гелия 3Ь1е, имеющие тем-
п ывтеине /’ = 0.03 мм рг. ст. Найти расстояние
in аргона О1лал\1 и = 0,9 своей энергии. Длина
атомов аргопа-Ф) в парах гслия-3 при нормаль-
, ...... атома гелия г= 1-2 А. энер-
= 24 5чВ) при давлении Р = 2 мм рт. ст. нахо-
" 1. состоящая из N = Ювитков радиусом
по которой протекает переменный ток
с частотой v= 'О MI п. "пробоя электрон дол-
бд"ине свободного пробега онерго.о. досрочную
для ионпзаиии атомов. (1984 г)
171
6.107. Для зашиты от газообразных радиоактивных продуктов
распада ториевую руду засыпают песком. При этом радиоактивный
газ торон 2j£'Rn. выделяемый рудой, во время прохохиення через
песок в значительной мере распадается. Вычислить расстояние, на
котором концентрация торона падает в 10-' раз. Период полурас-
пада торона Т = 54.5 с. коэффициент диффузии его в песке £) =
= 0.04 см2/с. Диффузию можно считать одномерной. (.1075 г)
6.108. По теплоизолированной трубке. разность давлений на кон-
цах которой равна 100 атм. течет вода. Температура воды на входе
fi = 20 'С. На сколько градусов повысится ее температура на выходе?
(.1995 г)
6.109. Чтобы уменьшить поток тепла в криостат по механической
подвеске, экспериментатор решил сделать тепловой замок в виде
утоньшения на высокотемпературном конце (рис. 107и). Однако за-
тем ему посоветовали перевернуть подвес, то есть утоньшенпе сде-
лать на низкотемпературном конце, где меньше коэффициент тепло-
проводности (.рис. 1076'1. Показать, что на самом деле теплопритоки
в обоих случаях одинаковы. Зависимость коэффициента теплопро-
водности х от температуры считать известной, длины и площади по-
перечного сечения тонкой и толстой частей
соответственно равны /(. 5( и /2. 52. темпера-
туры равны Т\. Ту (.1995 г)
Z,l
Рис. 107
6.110. Небольшая уединенная планета
покрыта тонким слоем льда с температурой
наружной поверхности 7\ = 60 К. Тепло под-
водится к поверхности льда из недр планеты
за счет теплопроводности льда. Считая теп-
лоту плавления и коэффициент теплопровод-
ности х = 2-10- эрг/(см• с• град) не завися-
щими от температуры и коэффициент серо-
Г
сти льда £ = 0.75. оценить максимально возможную толщину ледяной
корки такой планеты. (1998 г)
6.111. Внутри Земли вследствие радиоактивных превращений
выделяется тепло со скоростью О |эрг/(г-с)] в результате чего ни-
же глубины й от поверхности земные породы плавятся. Оценить
величины О и й. считая Землю однородным шаром. Средняя плот-
ность Земли р = 5,5 г/смФ коэффициент теплопроводности пород
х = 3,5-10° эрг/(см-с-К) не зависит от температуры, температура
плавления пород Т1И = 2000 К при давлении Р = 1.2-Ю12дин/см2.
(2000 г)
6.112. Внутри сферы радиусом R помещен шарик из плутония ра-
диусом г0 (г0«Л). Вследствие радиоактивного распада Ри темпера-
тура поверхности шарика постоянна и равна То = 300 К. Температу-
ра сферы также поддерживается постоянной и равной TR — 290 К.
Коэффициент теплопроводности воздуха, заполняющего пространст-
во между шариком и сферой, х = 2500 эрг/(см-с-К). Считая поверх-
ности шарика и сферы абсолютно черными, оценить величину радш
172
;ie, pane,, потом u-в.,а за ече, тоидонровод.юс, (2СЮОг)
<’•'1 поверхности шарика из „следи вне
,,а ПОСТОЯННОЙ нрн
я--?., «1.1 , (см К). Счтоая поверх,юс, ь шарика абсолютно
.„.рвов, on.enun, м|,ппма.тыты|Т радиус шарика т„. при котором по-
ток топла о, inapiiKa за сче, излечения оказывается равным потоке
тепла за счет ,еп.юпровотпшлп. При решении счесть зависимость
)С or Iсмиера 1 х ры, (,2000 г)
(».ИЛ. На длинный ишфировый стержень радиусом г = 1 см на-
ходящийся в космосе вдали ог каких-либо )ел. нанесена тонкая плен-
ка толщиной н — 0.2 мм с ) дельным сопротивлением р = 1 мкОм-см.
а затем слой диэлектрика толщиной Ь = 0,2 мм. его коэффициент ien-
лоприводносги х = X- |(Р эрт/(ссм-К). По пленке пропускается ток
пло) пост ыо ; = 100 Л/см-. Считая диэлектрический слой абсолютно
черным зелом, оценить )емперагуру внешней и внутренней поверх-
ностей диэлектрической пленки. (1998 г)
6.115. 1 онкая проволока, охватывающая петлей брусок льда, под
действием нагрхзкп способна пройти сквозь лед. Полагая, чго ско-
рость движения проволоки о определяется скоростью подвода тепла
через проволок) ог области над проволокой, где вода замерзает, к об-
ласти под проволокой, где плавится лед. оценить величин) скорости
г. Теплопроводностью льда пренебречь. Температ)ра льда 0 °C: теп-
лота плавления ц = 335 Дж/г: плотность льда р = 0.917 г/см3. Диа-
метр проволоки i/ = 0.1 мм; коэффициет теплопроводности
и = 130 В г/ (м • К1: давление Р. создаваемое под проволокой, принять
равным 10 атм. ( 1986 г)
6.116. Оценить максимальное давление, при котором водяной пар
може) оставаться пересыщенным при температуре 100 °C. находясь в
сосуде с песмачиваемымп стенками. Принять, чзо минимальная )с-
тойчпвая капля воды содержи! 105 молексл. а коэффициент поверх-
нос гного на i я жен и я воды о = 70 дни/см. (1985 г)
6 117 Переохлажденный водяной пар находится при давлении
Р0=1атм и юмнерагуре /0 = 99 °C в сосуде с песмачиваемымп
стенками. Каков минимальный размер капли, которая должна об-
разовагься. чтобы произошла конденсация пара? Коэффициент по-
верхностною натяжения воды принять ст = 70 дшт/с-м. здельная
теплота испарения / = 2.3 кДж/г. (1985 г)
6.118. Под действием внешних звуковых волн в воде Р™«™т
ся пгзырьки из растворенного в ней воздуха радиусом i - 10 мкм
с конце,,грацией № КРсмЧ ' "У'
зырькамн. если в воде она равна х„ - 1500 м/с.
173
ненпе энтропии и температур) капл.и Темпера ^ра о5.,Ика
/ = 27°С коэффициент поверхшч »ного нтяжсння о—70дцц/См
a do-/dT = —0,15 дпн/(см-К). (1986 г)
6 120 Растяжение нитевидного оездефгк того кристалла Ni (вц-
скера) приводит к образованию тадкой новерхнопн разрыва При на-
тяжении Г = 3- 10н) дн/см2. Оценить у дельт ю поверхностную энер-
гию U этого материала. (2005 г)
6 121? Известно, что точка кипения неоднородной системы, по-
мещенной в стакане (рис. 10S5 п состоящей на с.юев намешиваю-
щихся жидкостей: «чегыреххлоркп» I ( 1( и йоты Н>() — равна
t __ 66 °C, чтс ниже точки кипения воды, равной /( = 100'С, и ццС.
том «четыреххлорки», равном м = 76, / "С. Эги данные относятся к
нормальному давлению. Как нзментся точка кипения такой систе-
мы, если внешнее давление возрастет па 10%., I оплота парообразо-
вания воды ранты А[ = -10,о кДж/моль, «четырех-
--------хлорки» — А2 = 29 кДж/моль. ( 1990 г)
н20 6.122. Определи и. теплоiу испарения жидкого ге-
------ дня при Т —*0, считая, что гелий подчиняется уравне-
СС14 нию Ван-дер-Ваальса, Известно, что для гелия кри-
тическая гемперапра /‘ч, = 5,2 К. (1991 г)
Рис. 108 6.123. В 1911 г. Г. Камер нин-Оннес при изме-
рении сопротивления
ргхти, ох ыждаемои жидким
гелием, обнаружил, что при откачке титров гелия из криостата со-
противление ртути исчезает, и гак оыло открыто явление сверх-
проводимости. Вычислить, до какою давления надо было откачи-
вать пары гелия, если температура кипения Не при давлении
1 атм ТК11и = 4,22 К, молярная теплота испарения при этом давле-
нии Л = 84Дж/моль, а критическая температура сверхпроводяще-
го перехода ртути ТС = 4,15К. (1997 г)
6.124. Газообразный азот, находящийся при температуре
Г, = 100 К в объеме 1Д = 1 л при давлении = 10 атм, однократ-
но адиабатически расширяется до давления l\~ I а гм. Какое мак-
симальное количество жидкою азота (в смЭ мо кет быть получено
при этом? Теплота испарения азота Х= 160 Цж/см3, температура
кипения 'Г2=77К. (1997 г)
6.125. Кривая плавления изотопа 3Не при очень низких темпера-
турах имеет минимум и далее — отрицательный наклон dP/dT <0.
При увеличении внешнего давления в камере, содержащей жидкяйи
твердый 3Не, часть жидкости затвердевает с поглощением тепла, что
используется иногда для получения еще более низких температур.
Определить конечную температуру смеси и долю .v затвердевшего
3Не при адиабатическом увеличении давления на А/’= 1 атм. На-
чальная температура Го = 0,04К, давление /’0 = 33 атм. Разность
молярных объемов жидкой и твердой фаз Г4 — Ит = 1,31 см3/мгмь
можно считать постоянной. Теплоемкость жидкого 3Не в нужном ди-
апазоне линейно растет с температурой Сх = 4,6/?Т. Энтропия твер-
174
«ого 3Не обусловлена лишь наличием спина 1/2 у ядра 3Не и равна
постоянной величине R In 2. Теплоемкостью стенок и возможным
тепловыделением при сдавливании пренебречь. Считать, что в на-
чальный момент в камере находится только жидкий3Не (1975 г')
6.126. При конечной температуре в результате флуктуаций мо-
Гут самопроизвольно возникнуть колебания математического маят-
ника. Каково при этом изменение энтропии маятника (температу-
ра поддерживается неизменной)? (1999 г)
6.127. За какое время электрон притянется к бесконечной пла-
стине из металла. Вначале он покоился на расстоянии й=1мм.
Потерями энергии из-за токов проводимости в металле пренебречь
(1987 г)
6.128. Найти, какую максимальную разность потенциалов можно
поддерживать между проводами бесконечной двухпроводной линии,
если напряженность проооя воздуха Е = 30 кВ/см, диаметр проводов
1 см и расстояние между проводами L = 5 м. (1977 г)
6.129. На высоте Н = 1 см над плоскостью горизонтально лежа-
щего металлического листа расположен равномерно заряженный
диск радиусом R= 1 см с полным зарядом Q = W-9 Кл. Плоскость
диска параллельна плоскости листа. Найти плотность о индуциро-
ванного заряда в точке, расположенной на поверхности листа непос-
редственно под центром диска. (1982 г)
6.130. Для измерения напряженности электрического поля у по-
верхности Земли используют две проводящие пластины, расположен-
ные горизонтально с небольшим зазором между ними (рис. 109).
Верхняя пластина заземлена и вращается вокруг вертикальной оси,
проходящей через край пластины, делая п = 1200 об/мин и периоди-
чески закрывая нижнюю пластину. При этом перезарядка нижней
пластины вызывает падение напряжения на сопротивлении
107 Ом, соединяющем нижнюю пластину с Землей. Найти сред-
нее по модулю значение V, если напряженность электрического поля
у поверхности Земли £=1,5 В/см. Считать, что нижняя пластина
успевает полностью перезарядиться за один цикл вращения. Площадь
пластины 5 = 600 см2. (1978 г)
6.131. В танталовых электролитических , —
конденсаторах роль одной из обкладок иг- ,
рает пористый тантал, поверхность которо- ’^7777777777777777777777777^'v.
Рис. 109
го можно представить как совокупность
спеченных шариков с суммарной площадью
5= 1м2 (в объеме 1 см3). Для получения
диэлектрического слоя всю поверхность окисляют, а поры
ют проводящим диоксидом марганца, который и^аетР071Ь’ JJ ,
обкладки. Толщина окисла <7 = 0,1 мкм, е —27. К* Р £
должен быть такой конденсатор в форме куба, чтобы его емко
равнялась 1 Ф? Оценить также радиус шариков. (2008 г)
6 132 Оценить силу, действующую на атом, находящийся на ра
стоянии / = 200 А от поверхности острия металлической иглы с ради-
175
?=100А. Потенциал на игле равен у _
атома о - порядка его^о&ьема. (1973 г)__ "
Рис. ИО
Источник
усом ®кРУ™е®Иатда
П0Л/?«У6На фотокатод К электронно-оптического преобразо
6.133. На фо работу выхода Л = 2 эВ, падает излучен,» ”
(рис. ПО), яме ого лазера X » 0.5 мкм Диаметр иетового е *
„а фотокатоде d = 0,1 мм. На ускоряют,,,-, „ ?
анод Д преобразователя, расположенный на ««<
X О = 30 мм, подано напряжение К, = 4 кВ. Оп" '
лить диаметр пятна па экране Э, расположенном^'
зи анода- (1973 г)
6.134. Действие времяпролетного масс-спектоп
метра основано на разделении ионов по времени поп.
лета ими определенного расстояния. Но из-за разброс,
Ду начальных скоростей даже одинаковые ионы додж
ны приходить к приемнику с некоторым разбросом Д, „о врема,;
Пда устранения этого недостатка пспользуегся^лектростат„чеа||,
отоажатель, на выходе которого указанный разорос компенсируй
Гпис Ш) Оценить напряженность L поля отражателя. необходнмую
для‘точной регистрации однозарядных ионов. прошедШ11х п(ть
2~ Юсм с начальной энергией о I кэВ. 5 гол отражения считать
малым. (1984 г)
6 135. Поверхностное натяжение сферическою мыльного пузы-
ря о = 5*0 дин/см, радиус г=1см. наружное атмосферное давле-
ние р = 106 дин/см2. Какой заряд Q надо сообщить пузырю, чтобы
его радиус увеличился вдвое? При каких размерах пузыря поверх-
постное натяжение практически
Отражаге.-и.'^, не влияет на результат и при
каких оно является опреде-
ляющим? (1969 г)
6.136. Плоский конденсатор
состоит из дну х одинаковых квад-
ратных пластин, расположенных
Приемник
Рис. 1 1 1
в вакух ме вертикально на рассто-
янии d= 1 мм друг от друга. Одна из пластин закреплена, а другаямо
жет двигаться без трения по гладким вертикальным направляющим.
При какой разности потенциалов V между пластинами подвижная
пластина не упадет вниз? Масса подвижной пластины А7 = 1 г, сторо-
на квадрата а = 10 см. (1986 г)
6.137. В цилиндрическом пропорциональном счетчике пучок ча-
стиц образует объемную ионизацию. Оценит), время собирания ионов
т в таком счетчике, наполненном аргоном при нормальном давлении.
Радиус катода R= I см, радиус анода г = 2-10“2 см. разность потен-
циалов между анодом и катодом У = 2500 В. подвижность положи-
тельных ионова ргона ц= 1,4 см2/(В-с). (1974 г)
6.138. В пространстве между пластинами плоского конденсатора,
заполненного газом и подсоединенного к батарее, образуется пара
ионов с зарядами ± е (е — заряд электрона). Какой заряд протечете
це
от
тя
ни
ме
тр
ем
Н;
У
ЦП
СО1
ри
нъ
гл
R
ри
ко
СХ
тр
ст
ре
ги
Ц1
св
У1
щ
ВТ
Н(
м.
м.
В!
П1
да
Т)
м
и
в
в
н
н
176
,lC,n, n результате движения ионов? дат„ Г|Мф1)к завиС1|
ог времена. С.чп 1.1 II, подвижное™, ионон в газе постояипой ((983г)
6.139. Основная трудность в методе коллективного ускорения
„.«лык положительно заряженных частиц заключаете в созда-
UUU плотных 9jtLk 1 роипых сгустков. Рассмотрите сферически сим-
метричныи сгусток радиусом г0 = 1 см, содержащий W = [О13 элек-
тронов; » начальный момент электроны неподвижны. Под действи-
ем сил кулоновского отталкивания сгусток начинает расширяться.
Цайтн кинетическую энергию 7’ и скорость внешних электронов
г при увеличении радиуса сгустка в два раза. Оценить время рас-
ширения сгустка. (1977 г) н р
6.140. Элек । ройный пучок линейного ускорителя представляет
собой последовательность сгустков, следующих друг за другом с пе-
риодом 7=3-10 с. Для измерения электрического тока ускорен-
ных частиц псиользуося цилиндр Фарадея (рис. 112), полностью по-
глощающий пучок. Цилиндр Фарадея заземлен через сопротивление
R = 100 Ом. cnnia;i с которого подается через кабель на вход регист-
рирующего прибора с большим входным сопротивлением (7?11Х»7?),
который шунтируется емкостью кабеля С = 200 пФ (эквивалентная
схема измерительной цепи дана на рисунке). Определить число элек-
тронов в сгустке, если показание реги-
стрирующего прибора U = 1 В. При
рехвенип воспользоваться тем, что ре-
гистрирующий прибор является инер-
ционным /?С»7'). (1974 г)
6.141. В опытах А. Д. Сахарова
сверхсильные магнитные поля пол-
учались взрывным сжатием отрезка
проводящей цилиндрической трубы,
внутри которой создавалось началь-
ное магнитное поле Ио. Определить
магнитное поле В в момент макси-
мального сжатия трубы. Начальный
внутренний радиус трубы Я = 5см,
а в момент максимального сжатия г = 0,5 см, начальное магнитное
поле В0 = 50 000 Гс. Оболочку, окружающую магнитное поле, счи-
тать идеально проводящей. Определить также давление В, необхо-
димое для получения такого сжатия. (1969 г)
6.142. Сверхсильные магнитные поля получают взрывным сжа-
тием отрезка проводящей трубы, в которой заключено начальное
магнитное поле. Найти индукции полей до и после взрыва, если
известно, что радиус трубы уменьшился в 10 раз при давлении от
взрыва в 106атм. (1971 г)
6.143. Тонкое металлическое кольцо быстро вращается вокруг
вертикальной оси, проходящей через его диаметр и перпендикуляр-
ной однородному магнитному' полю с индукцией В — 1001с. Пре-
небрегая трением в оси, найти время т, за которое угловая скорость
177
в
ru'iPTCii в е раз. Плотность материала КОльиа
^ZeZXocTB o ^lO-W-'-CM-1. потер,, оперта,, за
"^^^^ZZZZnZnoe зарядом ч непроводящее топкое
° Zmfi X быстро вращается вокруг своей оси во внешнем од.
КОЛ1>Ц С Нородном°маг1шт!юм поле 13 (рис 113). Найти уп,2-
вую скорость прецессии Q. (1971 г)
6.145. Электрический диполь движется в однород-
ном магнитном поле В со скоростью v, перпендикуляр-
ной В Дипольный момент р составляет малый угол с
направлением |vB] (рис. 1 14). Найти угловую частоту
малых колебаний диполя ш(), считая известными его
момент инерции /0, скорость v, дипольный момент р и
напряженность поля В. (1971 г)
6.146. Тонкостенный металлический ста-
кан радиусом /?2= । см. длиной /= ]0 см и
массой М = 1 г и расположенный внутри та-
кой же длины и массы цилиндр радиусом
R{= 1,5 см подвешены в вакууме на тонкой
нити в направленном вдоль их осей магнит-
ном поле 13 = К)4 Гс (рис. I 15). Цилиндр и
Рис. 113
Рис. 114
стакан заряжены разноименными и одинако-
выми по величине зарядами до разности по-
тенциалов И = 3000 Вив какой-то момент
внутренний цилиндр касается дна наружного
стакана, и разность потенциалов падает до
нуля. На сколько градусов повернется систе-
ма в результате за 1 час? (1997 г)
6.147. По двум горизонтальным парал-
лельным проводам, находящимся на расстоя-
нии 2п = 1 см друг от друга, текут одинаковые
по величине, но противоположно направлен-
ные токи силой <'/ = 10’ А. Точно посередине
между проводами находится шарик с диамаг-
нитной восприимчивостью х= —10-5 и плот-
ностью р = 2,0 г/см3. Найти период Т малых
колебаний шарика в горизонтальной плоско-
сти. Считать, что вертикальное движение ша-
Рис. 115 рика отсутствует, трения при его движении
нет. (1986 г)
6.148! Чтобы заставить левитировать кап-
лю воды в атмосфере кислорода эту систему помещали в неоднородное
магнитное поле с градиентом ) '-ilL = и = 4,2- 10s (Гс)2/см
(Я. Икезоз, Н. Хирота, Дж. Накатана и К. Кптазапа — 1998 г). Най-
ти, при каком давлении Рх кислорода возможна левитация. Кислород
является парамагнетиком с магнитной восприимчивостью
178
х(ОЪ = 10 ’ "Р" ла^ении />„ = | ;|тм и температуре 20-С, а
воля — лнлмагиегпком с восприимчивостью х(Н2О) = -0,72-10 4
Плотность кислород:! при этих условиях р(О2) = 1,43-IO'3 г/см3
Температуру счиаать постониной, размагничивающие поля (влияние
формы) не учитывать. (2004 г)
6.149. На оси кругового витка радиусом г = 1 см на расстоянии
/,= 10см от нею в некоторый момент времени оказывается точеч-
мый магнитный диполь, параллельный оси витка и движущийся
моль псе со скоростью <>= I км/с. Оценить силу тока §1 в витке,
если его сопрогиг; icune /< — 0,001 Ом и величина магнитного мо-
мента диполя ч = 0,1 Гс-см‘. (1986 г)
6.150. Найти относительное изменение частоты регулярной пре-
цессии намагниченного тяжелого гироскопа в поле тяжести, если при-
ложить магнииюе ноле с индукцией /3 = 1 кГс, направленное верти-
кально вверх. Намагниченность I считать постоянной, однородной и
направленной по осп гироскопа, причем величина 4л/ = 2 кГс, плот-
ность материала гироскопа р = 8 г/см3 и расстояние отточки опоры
до центра масс гироскопа / = 2 см. (1980 г)
6.151. Некоторый! ферромагнитный материал имеет остаточную
намагниченное гь /(, = 500 Гс. а коэрцитивную силу Но = 500 Э, при-
чем кривая намагниченности /(//) представляет собой четверть ок-
ружности (рис. 1 16). ГГ: этого материала изготовлен постоянный маг-
нит. представляющий собой! тор квадратного сечения с поперечным
разрезом. Внутренний! радиус тора Г| = 1,5 см, внешний —
= 2,5 см. ширина разреза il = 5 мм. Определить величину магнит-
ного поля в за юре. Г’ассеянием магнитного поля пренебречь. (1972г)
6.152. В торцевых плоскостях на оси
длинного соленоида помешают одинаковые
магнитики объемом Г = I см1 и намагничен-
ностью 4л/ = 12,5 кГс. повернутые друг к
другу разноименными полюсами, магнитики
отпускают, и они затем слипаются в центре
соленоида, замкнутого на сопротивление
/?= 1 Ом. Какой заряд Q протечет при этом
в цепи соленоида, витки которого намотаны
с плотностью и — И)1 см'1? (1990 г)
6.153. Определить период малых кру-
тильных колебаний магнитного бруска
(,5’= 1 мм2. 1 -= 10 см). подвешенного гори-
зонтально за середину на неупругом „подвесе
Земли (
6.154. Компас располагают под проводом, по которому течет по-
стоянный ток, на расстоянии Л = 10 см от оси провода, а_ ’
при котором стрелка приподнимется над своей опор А
индукция стали стрелки равна индукции насыще
Плотность стал» р = 2.8 г/см3. (1968 г)
Рис. 1 16
wv oil ......, в магнитном поле
(горизонтальная составляющая /7о = 0,2 Гс). Плотность ста-
= 7,8г/см\ остаточная индукция //= 10 кГс. 0968 г)
179
еле прохождения сквозь него монополя,
кольце
*-'55Л°Д~озар^Г^^^
Гтотй’ст'сгеме отпит g„ = Л</(’<'> ''|1"м'1 быи, |>m,c,Wul'’
А™,™го тока. возшиототсчо в сперм,говгто.ит, „0,
электрического ок а м01|0,„Г1|||„|И|х «*
™^к™НостоюЛ = 0.!мкГ". ' а«
,, не. Гипогсла П. Лирика оривгатог к с„»,»,е,|№а
Максвелла, гак чго очно и., иис иреобралтои-я к в,а).
уравнений
гае ‘f — ЭДС. BoaiiuKaioiuas, в кошуре. '! - поив, мяiluiTiioii
ДУКЦ11И <?ч — магнитный гок моно,юли H.TI, магии ini,,i, заряд. про.
тёкающпй в елшищу времен,, чере., u.uouumim . о, раничеив» ю кда
туром. (1983 г)
6.156. Монополь Дирака (?лемснгарная паенща массой А/. об.
ладающая магнитным зарядом />) нахоннюя ci рою посередине зазо-
ра между пластинами незаряженного разомкну юю плоского кон-
денсатора, изготовленными из идеальною сверхпроводника. Оце-
нить частоту малых колебаний монопотч в направлении нормали к
плоскостям. При каком расстоянии мс;к iy iriui iинами d лги коле-
бания будут затухающими? Все размеры копдетлора много больше
расстояния между пласгппамп. (1993 i )
6.157. Над сверхпроводящей плоскосныо параллельно ей на рас-
стоянии /г = 40см находится сверхпроводящий ыннныи провод ди-
аметром d = 2 см. по котором) гене г юк . ' — 1 А Провод находится
под напряжением И = I кВ отпостслыю плоское in. Вычислить силу
взаимодействия единицы длины провою с нюскос iыо. Силой тяже-
сти пренебречь. (2007 г)
6.158. Точечный магнитный шиодь с манппным моментом
Эй = 1000 Гс-см3 висит над повсрхносп.ю сверхпроводника I-го ро-
да (температура Г^ОК). у коюрою крп1пчсское магнитное поле
/4 = 500 3. Каков максимально допуипмый вес диполя? Ось ди-
поля перпендикулярна плоскости свсрхпрово шика. (1999 г)
6.159. Частичка пыли радиусом /• = К)’5 см взвешена в воздухе
при комнатной температуре. Оценить магшнный момент частички
(в ядерных магнетонах Бора), коюрый познпкас! в результате
«броуновского» вращательною движения. Заряд часгпчкп д=10е.
плотность р = 2г/см3. (2004 г)
6.160. Сепаратор частиц устроен следующим образом: на вход
цилиндрического конденсатора с внешним и виу|ренним радиуса-
ми /'2 и /•] попадают ионы разных масс и. двигаясь по окружности,
попадают затем в магнитное поле /? (рис. 117). Каково отношение
M/q массы иона к его заряду, если он прошел этот сепаратор при
напряжении на конденсаторе V. а радиус ею траектории в магнит-
ном поле равен Яг? (1996 г)
6.161. В омегатроне (приборе для исследования газового гостш
в каком-либо объеме) ион остаточного газа раскручивается поепщм-
180
менпгь
скручнпа гься
•ш и скрещенных переменном электппиог>-,«,
у = I В/см и IIIMMII!»! магнитном по.те/ji .ДУД с, ;1МП;1П1УДОЙ
тогу, нрн ногорон ноны N1 бтлтт-,о.т,',г., Р"С' 118)-Най-
аепте раануе с„„ра.п, б)дД .,оХ“ Пр"
•ног коллектора ил радн\се « = I гм г/ сх П0|3“ пока ”он не
го нон батог некоторое время a«pZ"wcZ "еМН0ГО "3~
nvin.p,, обратно к источнику. Оцснш-ь inc^.xn ",а4нет
ыстог\. чтобы ток на колич ...............' ‘ ;У1к0„ н.адо пзме-
Рнс. 117
0.102. По цилиндрическому провод-
нику протекает ток. плотность которого
I однородна ио сечению. Концентрация
электронов проводимости п. Пренебрегая
сопротивлением и учитывая поле Холла,
определить величину н направление век-
тора Пойнтннга в проводнике в зависи-
мости от расстояния г до оси. Величины рис цз
£=и= I. (1991 г)
6.163. Одна на металлических пластин плоского конденсатора со-
единена с Хчссткой стенкой через пружину (.рис. 119). а к другой (не-
подвижной) подводится переменное напряжение 1Z = lz0cos (аИ/2).
где ю = 100 с"1 — резонансная частота механи-
ческих колебаний пластины добротностью
Q= 100. Найти амплитуду ,v() колебаний пла-
стины конденсатора. Расстояние между пласти-
нами d = 1 мм. площадь пластины 5 = 5 см2, ее
масса М = 1 г. a lz() = 100 В. (1997 г)
6.164. При измерении добротности Q резо-
нансного контура из параллельно включенных
катушки с индуктивностью L = 0,1 Гн и сопро-
тивлением г — 30 Ом и конденсатора с емко-
Рис. 119
181
етью С != 30 пФ поступили следующим образом. Контуп п
к клеммам осциллографа и, включая и лыклющщ э/с П°л/<Л,Очи^
тока, наблюдали затухающие электрические колебанияП<КТ°9,,н»го
(рис, 120). Сраояитьдобротиости контура при разомкну, ” КОЯтУРе
гарей в случае, когда входное сопротивление /г оси ил/, °и !Г'епи ба~
--------------------------------, велико и когда' оно^™ 01|е®
------ >лл ..г,.. '«Меч,и ,
РИС. 120
равно 100 кОм. (1977 г) И
6.165. Конденсатор, Запад
неииый сегнетоэлектриком, лод-
ключей к розетке переменного
тока с чаа отой / = 50Гц и на-
пряжением £/ = 220 В. Через
конденсатор с сопротивлением
утечки /?=ЮкОм течет ток !
г-1 А Зависимость электрического смешения D от напряженно- i
сти £ электрического поля л сегнетоэлектрике, объем которого
V= 100 см3, представляет собой петлю гистерезиса с площадью
S = 12 5 мДж/см3. Найти активное сопротивление гс и емкость с
конденсатора. (1988 г) I
6 166. Дроссель подключен к розетке сети переменного тока с 1
частотой'/ = 50 Гц и напряжением U = 220 В. Через обмотку с оми-
ческим сопротивлением r = 1 Ом течет ток I = I А. Мощность, вы- ।
деляемая токами Фуко в пластинах сердечника, равна W=IOBT.
Зависимость индукции /? от напряженности // магнитного поля в
ферромагнетике сердечника, объем которого Iх = 100 см3, представ-
ляет собой петлю гистерезиса с площадью 5= 25 кГс-Э. Найти ак-
тивное сопротивление R и индуктивность L дросселя. Считать, что
сердечник набран из тонких пластин и поле внутри сердечника од-
нородное. (1988 г)
6.167. Сердечник трансформатора изготовлен из пермаллоя (маг-
нитомягкий сплав Ni с Fe, средняя атомная масса А 57), его гисте-
резисная кривая, показанная на рис. 121, хорошо аппроксимируется '
прямоугольной петлей. Плотность пермаллоя р — 8 г/см3, обмотка со-
здает в сердечнике полеН = HQ sin 2л// с амплитудой Но = 3 Э, час-
, тота / = 50Гц. Считая теплоемкость
R Пн Гп,
lu 1L материала классической, оценить ско-
___I рость нагрева сердечника, пренебрегая
тепловыми потерями. (1999 г)
6.168. Тонкая серебряная трубка с
-2 о 2 Тдэ толщиной стенки /? = 0,1 мм помеше-
на в однородное высокочастотное
—---------- (/ = 1,5 ГГц) поле СВЧ-печки с амп-
литудой Bq — 10 Гс. Ось трубки на-
Рис 121 правлена вдоль линий магнитного по-
-i ’ ля. Оценить время, через которое
температура трубки достигнет темпе-
ратуры плавления серебра /пл = 961 °C. Удельное сопротивление
серебра1 р —1,6-10 60м-см и его удельную теплоемкость
•182’
, = о,235 Дж/(г-К) считать независящими от температуры Плот-
ить серебра рА«= 10,5 г/см3. (2007 г)
6.169. Определить добротность катушки, намотанной на тонко-
стенную медную трубку с внешним диаметром D = 2 см и толщиной
стенок 6 = 0,05 см. Удельное сопротивление меди равно р =
= 1,8' Ю 6 Ом’СМ. Катушка подключена к цепи переменного тока с
частотой f — Гц. Длины трубки и катушки считать одинаковыми
и гораздо большими диаметра. (1974 г)
6.170. Индуктивностью резонансного контура (/0 = 10 МГц) слу-
жит длинная однослойная катушка диаметром!? = 10 мм. На сколько
изменятся резонансная частота контура, если внутрь катушки вста-
вить на всю длину латунный цилиндр диаметром 0/2? Сопротивление
латуш1р = 8-Ю“80м'М. (1993 г)
6.171. По оси длинного короткозамкнутого сверхпроводящего со-
леноида пролетает с постоянной скоростью у=105см/с намагни-
ченный (М = 800 Гс) стальной цилиндр. Оценить максимальную
силу в соленоиде. Внутренний диаметр соленоида
£1 = 10,4 см, его длина /с = 50 см, число витков А = 100. Диаметр
стального цилиндра = 10 см, длина /ц = 60 см, проводимость ста-
ла а = 0,8-1017 с"!. Учесть, что на частотах, больших 103Гц, маг-
нитная проницаемость железа в полях, больших 104Э, практически
равна единице. (2002 г)
6.172. По оси длинного короткозамкнутого сверхпроводящего со-
леноида с током с?0 = 3 • I03 А пролетает медный цилиндр с постоян-
ной скоростью н = 105 см/с, Оценить максимальную силу тока в
соленоиде. Внутренний диаметр соленоида Д. = 10,4 см, его длина
/с = 50см, число витков N=100. Диаметр медного цилиндра
£ц=10см, длина /ц = 60см, проводимость меди ег = 5,1-1017с-1
(2002 г)
6.173. Катушка колебательного контура I
имеет добротность 2 = 100. Если один виток [к
катушки замкнуть накоротко, то ее индук- ' i
тивность почти не меняется, а добротность Д
уменьшится вдвое. Определить по этим дан- Лх2) = = 2
ним число витков/V катушки. (1985 г) ГЬ-
6.174. Параллельный колебательный |j
контур подключен, как показано на
рис. 122, через сопротивление R =10 кОм Рис. 122
к источнику переменного напряжения. Ак-
тивное сопротивление катушки г = 5 Ом. Для измерения добротно-
сти колебательного контура к сопротивлению R подключили парал-
лельно такое же сопротивление (замкнув ключ К). При этом амп-
литуда колебаний напряжения на контуре при резонансе токов уве-
личилась в 1,5 раза. Чему оказалась равной добротность контура,
если известно соотношение между параметрами контура ^-^г2.
(2001 г)
183
g. rn. Дж тодертатта-я «BSWJTtawnwx 'кллэбанпй в
’ ipe ((4=4- П4Г5 IK <C =1® 10 Ф- R — 1,0м' г1'л гасть танлеясатора У
^Т?35' тая^ях^пт^
раетв вджа, а ч» Ч«» '=,м"1,0 , *’ *ЗДад»Г
«идаиг. ©Ч’И®™®’ «f-0’™™-4' я жа с А< - П ЭДо т I ' ®-
8.1Ж Wes жюЗДбжатор 'колябатвльтюго кот-ра с резонанс,,.
частотой ®0=»’'С"' тараллелмо п.тасгогя.ья пропо-скаете» эж°"
ройный тугою. четностьто зэпалнятлаий пространство между . '
«Mt 3— I w*. аичям < = 1 и®, ача, ле сточка S = 100 Д »111
етсопжо тематик» резонансная частота? (1 ЭД2 Г) '> «а-
вЛЭТ! Телиртиигь. желая дать возможность старсте crrocoi®
«дайеть нккрнадежвй мексякансяти сериал. <лтоа второй телец^
эвд V. WKaasvva его с помощью таоеля к разрезу талого же каВеия
давшего ®т адаенны ж первому телевизору. Оба телевизора ва®.’
пись .включенными параллельно. Считая, что до переаевд
®ыл ©яяаоивя жав с телевизором, так -и с антенной (отражении
волн в кабеле ие было}, найти, во сколько раз уменьшилась .ти®
нрредежи амплитуда .сигнала на входе телевизора. (1997т)
®.1Ж Ренрратор электромагнитного излучения с длиной вила
1=8 мм и мощностью X = i Вт настроен на основную моду щи^.
ЗЖиьяеК) резонатора с металлическим^^ стенками. объем -которого
F=iMсм3 и добротность Q = 10s. Система 'Соединения генератора
и резонатора 'обеопечивает полное поглошенне энергии генератора
внутри ]резонатора. ''Определить максималънл ю напря-женнодъ
электрического поля .в резонаторе. (, 19S8 г)
ОВ Прямоугольный сверхпронодятиий резонатор гнсот&н
й.=3 см имеет* плане форму квадрата со стороной д = 10 см. Ияп>
рирезйнаторпокрътт'сверхпроводником. критическоемагнитяоетж
Д. которого в условиях опыта равно 1 кЭ. Во избежание тгробоя на-
пряжетность Е электрического поля всюд> но должна быть больше
Eq*= 30 х^ал. Измеренная на низшей резонансной частоте доброт-
ность резонатора ^оказалась равной 10\ Как-то мощностьКможь
подводить непрерывно к резонатору зй
'! этой частоте-, чтобы поддерлотватъколь
Птп 1) ,|-- бания с максимально допустимой змп-
* I литудой? (1990 г)
-------п-------1-----6.180. Тороидальный квазисгадпй-
ii-------------------я-1 парный СВЧ-резонатор, показанный эд
ч « I рис. 123, изготовлен из сверхтгроводай*
—“ II — ка 1 .рода, критическое магнитное
которого равно 7?с ~ 500 Э. Какая ж*-
симальная напряженность электри-
ческого поля может быть получена
мел<ду 'его егж)сшьмп обкладками радиусом г0 = 3 см? Резоняй»®1
частота *©0=Ф'Ш9<сА (Г999г)
. 6.I8L В качестве дилатометра — прибора для измерена
щений — В. М. Пудалов и М. С. Хайкин в 1968 г. использовШ185’
334
ЛкСЙЙЛЬ'НЧЙ реЗОНДГОр — 3 СМ). ЯВЛЯВШИЙСЯ И’ЬМЯ m dh u
|й. стенка резонатора можег ,тегк0 oST
;ulWe МНШ.ма.змюе тмешенне может быть зерегпп-рйром?^еем’
кмша зазора между подвижной стенкой резоНатораТвдтпа??
ИРМ стержня ./ = 2 МКМ. а нестабильность частоты айтомератот
^• = М)1ц. Радиус инугреннего сгерж- ‘1и>игенератора
Рис. 124
Рис. 125
Рис. 126
6.182. В 1Й63г. 11. JI. Капица осуще-
viuna измерение амплитуды электро-
Maviiunw поля в объемном резонаторе
1фй uoMt'iun полого металлического ша-
рика радиусом и = 10 мм и массой
W=ir. подвешенного на нити длиной
й = 125мм. Подвес вместе с шариком
можно было перемешай, вдоль оси резо-
натора длиной 2/=20 см. Возбуждались
колебания Глина. при которых амплитуда аксиального поля на осн
резонатора изменялась по закону А?:(г. ?) = £0 cos (nz/27) cos
= 3000 В/см. Н = 0. Найш максимальное отклонение шарика.
кГОрдпнага : зшсь оп-шпываегом от левого
горца резонаtopa (рис. 125). (2006 г)
6.185. В 1%5 г. II. Л. Капица осуществил
измерение амплгоулы дюмромагнигного поля
в объемном резонаторе при помощи полого ме-
ГйллВЧеского шарика радиусом и —10 мм и
массой m = I | . по1вешенно1\> на нити длиной
й =1'25 мм. Шарик можно было перемешать
вдоль оси резонатора длиной 11 = 20 см. В резо-
наторе возбуждались колебания ll-типа. при которых амплитуда ак-
сиального поля на оси резонатора изменялась по закону'
О = //о sin ( п.т/2/) cos го/, а Е = 0. Найти Яо> если максималь-
ное отклонение шарика было равно А = 0.5 мм. Считать, что тол Шина
скнн-слоя много меньше голшины стенки Ша-
рика. Координата z здесь отчитывается от
левого торца резонатора (рис. 126). (.2006 г)
6.184. Подводная лодка, находящаяся На
ЬлубИНе L = 50 м. принимает сигнал на час-
тоте f= I кГц. Чувствительность приемника
£=1мкВ/см. Найти амплитуду сигнала в
Ше V Поверхности моря. В объеме lz = 1 л
морской воды содержится т — 35 г NaCl. ,
Степень диссоциации соли равна В = ^’5‘ионов.
ll(Na+) = 5,2-10-* смг/(В с) h и(С1*) = 8-10"4 Л2ЦЙДД?®°6 О
6.185. Непрерывное лазерное излучений (to- М эВ) Фокуст
[1уе+сй на Плоскую поверхность металла Й вакууме, j’a^a Ш Л
Металла Л = 4 эВ. В результате фотоэффекта вблизи поверхНостН
Металла, образуется стационарное облако фотоэлектронов, а сама
hOiiepxHOcrb заряжается положительно, Т. е. возникает д
185
«0,1, Толщина дчойнога слоя -= i у- ра.шссн
«сто Опткцелтт, щнюлыщт момент <! 'ikouho.o ело,,. (W4|,J
6Л80. Ненрернннюе лазерное нал, неоне с
„остт.то потока /=10«1)г/ем- па.ще, на нлоскт ю полер.,,^
талла в вакууме. Работа выкол.1 испила .1 -I эВ. в ре.,у,„
фотоэффекта вблнап поверхнос.п металла образуема, стащ.р,,,,^'
облако фотоэлектронов, а сама нощркиот и, заряжается и0.1м
тем,но, т. е. возникает двопноп слон, (читая, что электро,,,,,
р,„вактгся из металла е одинаковой скоросм.ю и ч,о екороеп, ,1»
тоэвектронов в каждой точке облака направлена нерпе|,д„„
поверхности, найти концентрацию электронов в точке, где П01‘я,
циал двойного слоя умети,таете,, в,нюе Вероятности uoe.10u,ail|I
фотона электроном металла а— 10 '• (1999 •')
6.187. Непрерывное лазерное излучение (/мо = 10 нВ) фок,иЖ.
ется на плоскую поверхность металла и вакууме. Работа выхода мр.
талла Л < /;со. поэтому в результате фогоэффек га вблизи поверхц0СП1
металла образсется стационарное облако фогоэлек тронов, а саму по
верхностъ заряжается положительно, г. е. возникает двойной слон.
Полагая, что радиус пятна в фокусе /\ — 1 см ^>а — юл шины двойно-
го слоя, найти работу выхода . 1. если дипольный момент двойного слоя
</= 1.5 В-см2. (1999 И
6.188. Оценить, с какого расстояния можно видел, раздельно свет
от двух фар автомобиля. (1981 г)
6.189. Фотографирование пейзажа во время снегопада произво-
дилось с фотовспышкой. На фотографии (рис. 127) оказались видны
многочисленные резко очерченные круги различного диаметра. На
каком расстоянии от объектива с фокусным расстоянием j’ = 3§мм
находилась снежника, которая на фотографии 10 \ 15 см выглядите
виде круга диаметром /? = 5мм? Фотоаппарат считать однолинзо-
вым. диаметр зрачка фотоап-
парата </ = 5мм. размер фото-
кадра 29 х 36 мм. (2005 г)
6.190. Излучение фтори-
сго-водородного лазера, работа-
ющего в одномодовом режиме
на длине волны X = 3 мкм.
формируется зеркалами диа-
метром D = 3 м. На каком мак-
симальном расстоянии L может
находиться
плотность
ней была ............
плотности потока на зеркале?
(1986 г)
6.191. Положение летящего
самолета определяется радио-
локатором, излучающим им-
пульсы длительностью 3 мкс.
Рис. 127
мишень, чтобы
потока энергии из
практически равна
186
(lslC1p лнюнны 4 м. с' какой 10ч
п иль'1.1 с.пк'лги, |Uccio«Hllt. д0 с;1М0 «,,Т'2’|^ел1,ть в«“
,„ы Rll.Ui .> И1.1Ч л - Ц| Цри KJk0M „ _ - 0° “I. Длина
11.11,14 upipcniiuvri. К oiine,.. ,?./, антенны ДОСТИ-
p2004,' ,с 1,11,1 “W»™ „ ,,eMy 0Ha
>e upitoopw
мощна u-
x ..v .< >i x правления в космосе посредством
.ионною воздействия на иолупроводннко-
.-я ленное п» i- л юк грической компоненты
ьпь. ио оцснкч1м, 6.'^- ЮОВ/см. Оценить
i \H\re)p4MHMV> илпчення (длина волны
нош. а 1\ц\фер\ Ирак i оческа без поглоще-
Ц-м ш можно бы ю нарушить работу систе-
нин 1 1000 км, если излучение иаправ-
и щ.менч'ч I'1'' 10 " ',п‘'п
о.|9.
X --- 0,6 мкм, ширина допле-
U5 I I ц. Оценить расстояние
...... V
и. ю тиерференцнонная картина за экра-
>а.< iочине мс^дч отверстиями равно раднд-
ию< mi u-.eia (1099 14
•м коюреникч in видимой части спектра сол-
.in.'IHkhV IU 4 ...........
D.IQ5.
р *
изменения
М.к hi юбныс
ан.। tn ш|н>-
Рис. 128
♦
чечного ш lOHHHi.j. t 2002 i I
t>.19p. Pa 1И0.10К.ЩНОННЛЯ ианция принимает сигнал, отражен-
ный от .1\ ны. поднимакнисш я из-за i оризон га. После усиления сиг-
нал смешиваеия в клекюре с опорным сигналом излучаемой час-
тоты 10 П ц. а з.ием < леюкюра подашся на вход усилителя низкой
частоты. Какая частота может наблюдаться на выходе этого усили-
теля'? Считать, что чанция сстановлена на экваторе, плоскость ор-
биты Линч coraia.iaei с плоскостью экватора. (1988 г)
6.197. Дифракционная решетка шириной а = 3 см с числом
штрихов Л == I04 оквешаеюя параллельным пучком света от натри-
евой лампы .7. П\чок г|юрмируется с помощью щели 5 шириной
187
, n ns помещенной в фокеее .чннзы L с фокусным расстояцц.
128). Далее сведут стандартное Фраунгоф^
ем/— )Р порядке спекгрд наэхрпне У можег <
расположение, в Дадет н₽.р1И (588.996 н 989..-,93 нм)? (1992 г) ь
’‘ТГВД дТфра^ноннан решета - ое»ещаегся „арб
6.IPS. днщр ог натриевом лампы, при .-пом О й/»Д2 —
ИЯ длина МИНЫ. :> М - между
X - средн» я оянии ! гюмещена липла . I диамя ром О. а в ее я
Та'Да?а птоскостп-2»'Р-,н э наллюденич ?рщ. 129). Какому ч.м.
К£1ЛЬлотжно удовлетворять расстояние чirww -Kej гьш йуолст натрия
виюдолжнс уд <588.996 и э89.л9з нм) разрешался натк.
ране? (1992 г)
6.199- Электрон движешя в вак>>ме
| я со скоростью с вблизи поверхности диф.
ракцнонной решежи i периодом d. Ско-
рое i ь элек i poiia 1 юра. стельна поверх-
пости решежи и перпендикулярна к ее
штрихам. Какие длины волн могут изле-
чатся под углом 0 к нормали решетки'в
pane? ( 1 992 г)
L
Рис. 129
результате взаимодействия электрона с решении С>ФФекi Схшта-
Парселла)? (1969 г)
6-200. Монохроматический исючник свет заданной часютыдви-
жется равномерно по нормали к дифракционной рсшеже длиной
L = 5 см и периодом d = 10"3 см. Какс ю минимально ю нерелятиви-
стскую скорость источника можно обнару жиi ь, наблюдая дифракцию
первого порядка? (2007 г)
6.201. Наблюдается фраунгоферова дифракция монохроматиче-
ского света с длиной волны X = 0.6 мкм на плоской амплитудной ре-
шетке. Как изменятся расстояние меж iy дифракционными макси-
мумами и интенсивность нулевого максимума, если каждую вторую
щель закрыть полимерной пленкой юлидинои d — 13.5 мкм, показа-
тель преломления которой п — 1.Г? О>раженисм света от пленки
пренебречь. (1985 г)
6.202. Параллельный пучок импульсного лазера с длительностью
импульсов 1 пс падает нормально на дифракциониу ю решетку с высо-
ким разрешением. Излучение, цифра) ированное под углом 45° к оси
падающего пучка, регистрируется быстродеис жующим фотопрмем-
ником, установленным в фокусе удаленного ог решетки объектива ди-
аметром D = 3 см. Оценить длительное гь импульсов, регистрируемых
фотоприемником. Считать, что оптическая плоскость объектива уста-
новлена перпендикулярно оси дифрагированного пучка, разрешение
определяется дифракцией на объективе. (1988 г)
6.203. Лазер испускает световые импульсы с центральной длиной
волны X == 0,6 мкм, длительностью Т| = 1 пс и скважностью (отноше-
ние периода повторения импульсов к длительности каждого из них)
Qi = 103. Это излучение пропускается через монохроматор с разреша-
ющей способностью Л = 5-104. Оценить скважность импульсов <2по
выходе из монохроматора. (1988 г)
188
>1)4 Чл-i дифракционной решетки с числом штрихов
^^рщгрих. мм предел разрешения в спектре первого порядка от-
^:=‘\ линиям с разностью длин волн dX = 1 при средней длине
ре‘|'к'Г/\ = О.о мкм. 11зобра.жение спектра получается на экране с по-
Б'?Л11Ь\/ -цшзьн Определить минимальный допустимый диаметр линзы
чС,и1ЬК\огором и.юора'кение спектра может Снять разрешено. (1979 г)
рлЧ’иД1 ^.} дцфрлктюнн) ю решетку с Д' = Ю5 числом щелей,
Ь-*1 * ’KCXVpt-i\ раг-на половине периода, нормально падает пло-
шцринзщ '^фракционная картина фокусируется линзой на фото-
оДЯ “0ценИ1ь допустимые изменения атмосферного давления
ид;ь.'т" . • время дксиозиции. чтобы можно было полностью
s ;kuX,^e\Vi, рлцч'шаюшчю способность решетки. Показатель пре-
испсль^ ' ухх1 увязан с атмосферным давлением Р (в паска-
W'LW™'’ УД ' м I „ 10 »/>. цч% ,0
,.ч) cOOlHOlllcTUKM '•
о 206- При измерении \гдокы\ размеров удаленных источников
к>п?юм Фнзо пере I обьекншом телескопа, имеющего фокусное
..-сгояние К. чсышав шваеюч экран с двумя параллельными щеля-
чп'ширинон раиюло ценными на расстоянии с/ друг от друга.
РктчинН’ь pauipe ц-леннс ннюнсивности . Цх) в фокальной плоско-
сгясбьеюива ! 14 С1\чая ючечною источника, испускающего свет
пянои волны и сиро [елись, сколько интерференционных полос
чо'кно н.юлю юл ( н пределах [данного ишерференционного макси-
мум?.. I ’
О.207. С помощью ин 1 срфероме! ра Фаб- ' I
7;1-Перо исслслускч выделенный системой Т
фильтров учлсюк cucKip.i шириной
у;. = 2 А. Минимальна i разно». 1 ь длин волн
пхедних спектральных линии бл = 0.01 А. п _ 1 \
Оценить максимальное значение козффици- г \
енп проихсканич i = I — р [где р — коэф-
фициент отражения .«еркал ио оперши). при
логосом разрешаюгсч гохедние линии.
ilOTQr) ' —
6.208. Полу прог.одниковыи лазер на р
пан;, волны ). = 1 мкм прел», [анлчет собой ис. 130
кристалл полу проводника, нл грани которого нанесены зеркала, об-
разующие резонатор Фабрн-Псро. Определить расстояние между мо-
дами колебании лазера AZ. .’[дина резонатора L = 6- Ю~2 см. показа-
тель преломления пол;, проводника в рабочей области длин волн
п = 3.1. а дисперсия Jn d) = - L2-Ю4 см-'. (2001 г)
6.209. В одно из плеч радиоинтерферометра Майкелъсона вместо
отражающего зеркала помешена непоглошаюшая пластина с полу-
прозрачной передней л зеркальной задней стенками (рис. 130). Тол-
щина пластины d = 2 мм. показатель преломления п — 5. спектр па-
дающего излучения простирается от 0 до 110 ГГц. При перемещении
зеркала во втором плече детектор регистрирует ряд пиков интенсив-
ности излучения. Каково расстояние ме;кду пиками в единицах дли-
ны перемещения зеркала? (1993 г)
189
, кв,„цевая пластинка Х/2 пспо.ш.аусгся как анализатор
6.210- Кв‘|р“' „..зеппых импульсов. Оцепить минималки»,„ „Л
пени поляр1,1’“нймпульсов, для которых еще можно полиоЛ*
дельность лазе( если длина волны света Л = 0.63 мкм акт?
з=^=г^'ве11.|’К)в,.ер..................во ,ере„;
повой момент фотона. В этих зщпервменг.ах (рщ. UI) лщ,еф,0 „0.
ляри сыанныГ1 свет, направленно иолярвааппи которого ,ток
стрелкой, интенсивностью /„ = I Вт/схг и л;.он во;.. Z=5(MJ
Ходил СНИЗУ вверх мере» нижнюю плас,инку V4. .кггом через „оц.
вешенную на торсионном маятнике плат, н о X/.. т которой оса
вешенн} и перцу)ы на Q() . non;i,ui.i на пластику
А/4 с посеребренным верхом.отражал-
ся И проходил в обратном направле-
пин. Какой вращательный момент пе-
рславался плас тпике А/2 площадью
д' 5 с м;? 11от.'ЮИ1СИИСМ света ппенеб
речь. (2001 । )
6.212. 11 а ралл с‘л ыт ын монохрома-
тичсскчй их чок спои) проходит через
диафрагму. л затем фокусируетсялин-
зой. Во сколько рал у велнчпгея напря-
женное I 1> НОЛЯ .>.114.1 рОМ31 IIHTHOli вол-
ны в фокальной нлос кос. in линзы, если
плошали лиафратмы увеличить В/тпое7
(2007 и
6.213. Луч лазера сфокусируется
идеальной оптинескои системой со
посеребрено _ _
* светосилой Оценить мощ-
Рис. 131 ноет>' ла тера 1Г. при которой в элект-
рическом ноле фокуса системы элек-
троны смогут приобретать дперппо *те1. Кат. )И зависит от длины
волны А? Какова будет при лом величина м.н нт него поля в фоку-
се? (1968 г)
6.214. Солнечное излучение фокус пру сн я линзой диаметром
22 = 5см и фокусным расстоянием !' — К) см. Оценить напряжен-
ность электрического поля в фокусе. Солнечная постоянная
/с = 1,37 кВт/м2, угловой диаметр Солона п( — 10 2 рад. (1997 г)
6.215. Лазерный пучок (А = 0.532 мкм) диаметром /7 = 2,5мм
фокусируется линзой с фокусным расстоянием /-'=25 см. Оценить
продольные и поперечные размеры области (фокальной перетяжки
пучка. В качестве длины перетяжки считать расстояние, на кото-
ром в приближении геометрической оптики радиус пятна равен ра-
диусу перетяжки. (2005 г)
6.216. Для защиты от механических повреждений стекла совре-
менных очков покрывают алмазной пленкой. Какая часть падаюше-
190
tV светового потока отражается or пленки на длине воты
A- com голтнпа пленки равна </ = 625 А. показатель пре-
ч1Ялевия <u'Kja 'Ч'- Lz' г-'м;'-’’ио" пленки /7| = 2.4? (1997 г)
' °6.217- певерхностьсгсклянадйпластитщинанесенапросветля-
п11зя к желгой ооласти спектра (Х;.ч — 6000 А) пленка минимальной
пИшпвы с коэффициентом преломления чп = 1.3. Какая доля падаю-
melv ПО нормалн к пластинке фиолетового света (Хф = 4000 А) отра-
3(1Тся? Коэффициенты преломления не зависят от длины волны.
'(2000 г1
' 6.2(8. На гонкую п.тосковыпу клую линзу с Фокусным расстоя-
нием f = ™ со cr°P°1,w 'фоской пасти с радиусом 2? = 2 см нор-
^атьно uaiaci параллельный поток монохроматического излучения
'•'интенсивностью ! — 10 к В тусмл На линзу нанесено просветляю-
покрытие, llautn силе, действующую на линзу. Стекло счи-
гиь идеальным (без norepi>'i. (2004 г)
6.2( 9- На илоскопарал тельную прозрачную пластинку с показа-
ге1ем преломления и надает нормально плоская монохроматическая
здектромагнигнач волна. 1 олнпта пластинки равна длине волны в
пзаеп'нке. Найти змплиту шый коэффициент отражения ?• от пла-
ОИНКИ. (I960 ! 1
6.220- Пмп}.""- изучения неодимового лазера (К—1.05 мкм) с
Д111гслънос1ыо 1 = 10 4 с и диаметром лазерного пучка D = 0.5 см
ьок\сир\егся лнизоп с фокусным расстоянием F— 10см на поверх-
ность образна из алюминия. Опенитъ энергию лазерного импульса,
необходим'ю .тля на; рева алюминия до температуры плавления. Ко-
эффициеш тепюнроволнос 1 и алюминия х = 2.1 Вт/(см-К), темпе-
ратура плавления z„ , = 2200 ( . плотность р = 2.7 г/см3, коэффици-
ент поглощения и = Ю'’„. (1996 г)
6.221. Л in увеличения производительности установки для ла-
зерной резки, в которой излучение фокусируется линзой на по-
верхность металла, щпользу инея лазерные сборки — устройства,
объединяющие iруину лазерных трубок, излучающих синхронизи-
рованные (когерентные) между собой световые пучки. Оценить, во
сколько раз изменнмя нронзводнтелытоегь установки при переходе
от одной лазерной трубки диаметром <1 к сборке с общим диамет-
ром D=IO</. Ко.’||'фин.иепг заполнения (отношение суммарной
влошади лазерных трубок к общем площади сборки) к = 0,8. рас-
пределение HHieHiiiBHOi in в поперечном сечении лазерных пучков
считать однородным. Считать, что все падающее на металл излу-
чение поглощается. (2002 г)
6.222. Параллельный пучок рентгеновских лучей с длиной вол-
ны Х = 1 А падает на тонкую двояковыпуклую линзу из бериллия
(плотность материала р= 1.85 г/см3) с поверхностями одинакового
радиуса R = 40 см. Л па метр линзы считать равным О — 9 см. Найти
угол расхождения -р пучка после линзы. (1981 г)
6.223. Зеркало в виде сильно вы тянутого параболоида вращения
фокусирует мягкие рентгеновские лучи благодаря полному внутрен-
191
пни скользящих углах падения на далекие от цРп.,
нему отражению n| j 32). Оценит ь угол схождения папе,,”'
ны части параболоид- Р 6олоид;1 Л1Я pchtixsiiobckux L’**
„ого пучка лучей -р в фокусе 1^^.. = 2 |;эВ>
топлено из бериллия (плотность бет
лия Р= 1.85г/см3). ((970 г) Р1Д'
6.224. Импульсное
Рис. 132
,13лУчени{.
‘‘ частоте
v’=80 МГн достигает Земли
Al = 7 с позже, чем соответствующий
импульс на часюте ч2 = 2000МГц
ли известно, что средняя плотность
электронов в межзвездном пространст-
ве № 0,05 смТ (1975 г) ,
6 225. С какой точностью должна оы i ь с i аоилизпрована темпера-
тура одномодового лазерного резонатора, установленного на платфор-
ме из инвара, чтобы за счет флуктуации немопохроматичность излу-
чения была порядка теоретической ширины лазерной линии
дш/а)=10“14? Температурный коэффициент расширения инварз
а=10-6 К’1. (2000 г)
6.226. Лазер на СО2 излучает две близкие частоты v, и у, (сри.
няя длина волны X = 10,6 мкм). Излучение такого лазера смешивают
в нелинейном кристалле с излучением лазера на Nd (Х2 = 1,06 мкм).
Анализ излучения на комбинационных частотах (тд + и v2 + vj)
показал, что соответствующие им длины воли отличаются на
6Х = 5 А. Определить разность длин волн АХ = X] — Х2 излучения ла-
зера на СО2. (1978 г)
6.227. Найти время распространения электромагнитного импуль-
са заданной частоты вдоль основания стеклянной призмы с разреша-
ющей силой R = 104. Длина волны в веществе X = 9.35-10"5 см. «Оп-
тическая длина» основания призмы составляет Л = 17 см. (2003г)
6.228. При прохождении света через среду наряду с упругим
происходит и неупругое рассеяние фотонов, связанное, в частности,
с их взаимодействием с колебательными степенями свободы моле-
кул — комбинационное рассеяние. Оценить отношение интенсивно-
стей фиолетового и красного спутников в спектре рассеянногомоно-
хроматического излучения от молекул четыреххлористого углерода
СС14 при температуре / = 27 °C, если’ известно, что для соответству-
ющих гармонических колебаний величина 1/Х = 217 см-1. (1993г)
/оп'л?' & методе внутрирезонаторной лазерной спектроскопии
(ВРЛС), предложенном и реализованным в 1970 г. А. Ф. Сучковым
и Э. А. Свириденковым, непосредственно в резонатор широполосного
лазера вносится кювета с поглощающим веществом. Отношениед>
ны кюветы к длине резонатора а = 0,9. Спектр поглощения исследу-
емых линий проявляется в виде провалов глубиной А/ в спектре До-
ходного излучения /0. Оценить минимальное значение коэффиш,№
192
ад.
ад
reftc
ГЗГ0-
PJbi-
ад I
Tore ।
на
ад
(ГЧ. ]
ec- .
асгь I
ЧСГ- |
spa-
top- 1
лу-
кии !
ара •
К#.
ItoT
w).
на ,
та-
a- i
№
It
ar
%
e> 1
o-
0-
ta
f-
ir
к
b’
f' I
,a X, которое возможно зарегистрировать методом ВРЛС
„пи длительности генерации т = 200мс. Считать, что минимально
?тстрируе«ое поглощение Д///о составляет 5 %. (2004 г)
6,230- Резонансное поглощение света было обнаружено впервые
Р, Вудом в 1904 г. Может ли наблюдаться резонансное поглощен™
атомами з’К этического излучения от 21 К? Температура паров ка-
равна t — 2W и. (1 j jj rj
' 6.23J. Лазерное разделение изотопов основано на селективном
аоабуждении изотопов одного сорта. Для эффективного разделения
веооходимо, чтооы изотопический сдвиг линии поглощения был не
иеиее полущириньг линии. Оценить максимальную температуру
„аров натрия, чтобы можно было таким способом выделить изотоп
из смеси изотопов 22Na и йМа. (1999 г)
6.232. Энергия возбуждения ядра может быть измерена по изо-
мерному сдвигу частоты спектральной линии атома за счет утяже-
ления возбужденного ядра на величину ДМ = £яд/с^ (в. с. Лето-
хов, 1972). При измерении частоты спектральной линии паров
атомов при температуре Т для этого необходимо, чтобы изомерный
сдвиг был больше доплеровского уширения. При какой температу-
ре это условие будет выполнено для атома с Л = 100 и энергии
изомерного уровня ядра <£ял = 0,ЗМэВ. (1999 г)
6.233. В ионосфере Земли (на высоте ~ 100 км), где концентра-
ция свободных электронов N = 105 см-3 и постоянное магнитное поле
^«=0,5 Гс, вдоль силовых линий магнитного поля могут распростра-
няться электромагнитные волны (так называемые геликоны или сви-
стящие атмосферики) с законом дисперсии вида: !сг— (4лУесо)/(с5),
— волновое число, со — угловая частота. Найти фазовую и груп-
повую скорости таких волн, если со = 10б см*"1. (1990 г)
6,234. Коэффициент преломления п для электромагнитных волн
с частотой v, распространяющихся в чистых полупроводниках вдоль
магнитного поля В, выражается формулой: w2= (2№c)/(vB), где
У — концентрация электронов. Оказалось, что на частоте v =
я 33 ГГц при изменении поля В следующие друг за другом резонансы
стоячих воли в пластине полупроводника толщиной d — 1 мм наблю-
даются при Bi = 3,6 кГс и Вг = 8,1 кГс. Найти концентрацию элект-
ронов. (1990 г)
6,235, Плазма заполняет полупространство х > 0, причем концен-
трация электронов растет вглубь по закону Х(х) = = const.
Перпендикулярно границе х = 0 падает электромагнитный волновой
пакет со средней частотой со, уходит в плазму, отражается от зоны
крйтической плотности и через некоторое время т регистрируется при
£=01 Определить время г. (1992 г)
При изучении прохождения плоской электромагнитной
еоййьгс частотой -V = 8 МГц через плоские однородные слои плазмы
t концентрацией свободных электронов jV=106cm 3 найдено’, что
энергетические коэффициенты пропускания волны отличаются в 10 .
pay для слоев плазмы, толщины которых отличаются в два раза. 11ре-
193
„омпстыо волны, отраженной от задней границу
не6регая п=^..„ь. и </, (1980 г)
ЯОГО“°7 ’р“ета-зонд, на борту которой установи, передат
6.237. пакетаi 10 ЫГц_ дв„жетС1| вертикально... ’*
диосигналов с > с. При прохожден„„ верхних слоев атмо*’
скоростью “ -О’ з „ле сигнал оказался смещенным по част **
ПдРД“0Гц“нек^плотност,. электронов в верхних слоях
РЫ'б 2385 Плоский слой плазма, толщиной ,1 нагревается мощна,,
верным излучением (рис. 133свооолн счюпр^ фотащ »
отношению к поглощению) ш / !п . кщ ...слота лазе^
излучения, п н 7 - концентрация и температура плазмы. 0пЛе.
л“ь зависимость установившейся темпера.,уры плазмы от ф Ш] а.
л т в процессе нагрева слои не разле. ае. с я. /, щk Т.продольный ра.
лн в 1ф м мер слоя много оольше cl. HaL
Т.п Г1Т11М1.1 11 \ |-rllinnii»...,... |Л'°
плазмы в установившемся состо-
янии компенсируется потерями
(1994г) рнп'
6.239. Найти проводимо^
плазмы а с концентрацией элек-
тронов и числом стодкнове-
ним в единицу времени vf, пред,
полагая, что электрон при стол-
кновении с ионом полностью те-
Рис. 133
ряет направление своего импульса. (1996 г)
6.240. Плазменный шнур удерживается с помощью магнитного
поля, параллельного оси шнура, вследствие того, что поле не про-
никает внутрь плазмы. Оценить величину магнитного поля, необ-
ходимого для удержания плазмы, если концентрация частиц m
мы л = 1016см-3, а ее температура Г — 10ч К. (1973 г)
6.241. Z-пинч представляет собой плазменный шнур, вдоль осн
которого течет ток с7. В равновесии давление его собственного маг-
нитного поля уравновешивает газокннстичсское давление плазмы.В
одной из моделей плазма считается нейтрал иной с однородным рас-
пределением плотностей частиц и тока по поперечному сечению шну-
ра. Оценить температуру Т плазмы на оси шнура. Принять, что внеш-
ний радиус шнура Л = 5 см, сила тока <•'/ = 400 кЛ, плотность частиц
п = 10!6 см-3, магнитная проницаемость плазмы ц = 1. (1987 г)
6.242. Рельсотроном называют два параллельных проводника, за-
короченных свободно лежащей на них медной проволочкой. При про-
пускании по системе импульса тока со средней силой <3 = 1 МА, про-
волочка испаряется, а образующаяся проводящая плазма разгоняется
магнитным полем тока, толкая перед собой непроводящий снаряд
массой М = 1 г. Оценить его конечную скорость и. Длина рельсотрона
/ = 1 м, линейные размеры снаряда равны примерно расстоянию меж-
ду проводниками. (1989 г)
194
"11 ш’и ННк"1Wl“'» "«-А «<иы»АЮ( v»i revs ™«-1И 1В-
НЫЧ ni'.'f.VlHIUi « I) Mh>u„ ПрН..ЮХЕ.[Ю выя>№. HanpslSveHlie
Ирр ЬЩ.Ы. ммыщ В вднн „в К01щов сцсгемы u водоррда в(ъни.
hilBf |'АЗ(’>Ц и ^рдзхвт, 11р,,водвщг1а
su„ PH fHMM но. н м к>ка. Оцени гв конечи, „ с,.11рл,тв ,, о5 ,ака ,шяы
\,ннн njiuKH -!«, внешннн wwei-p D1 = 5cm, вттррншш
Oi “ —' 2*’ ' Рллиа“ ‘» та това в нннулвсе „!/ = о, I МЛ, плотнол в во-
цо|м;0 р-1’,1 ш-сы . .Пинанные размеры облака плазмы равны при-
мерно вих греннем\ диаметру пх шкн. (1989 г)
‘••'44. Оцениль показатель преломления неполярного диэлект-
рика со г гасическоц диэлектрической проницаемостью е(0) = 1,5 на
чдс(оте, ранной удвоенной частоте собственных колебаний электро-
нов. Очнгснь иоле, действующее на атом, равным внешнему. (1984 г)
Пхчок электронов, проходя через воздух, порождает че-
ренковвкое излечение иод углом и = 3° к направлению движения
электронов- Считая показатель преломления воздуха при нормаль-
ных условиях равным 1,0003, оценить минимальное давление воз-
духа (при нормальной температуре), для которого возможен ука-
занный процесс. (2005 г)
6.346. Их чок протонов, полная энергия которых <£ = 5 ГэВ, на-
правляется в контейнер с углекислым газом. При каком давлении
газа возникнет черепковское излучение? Известно, что при нор-
ма льном давлении н$ — 1 = 0,00045 (п0 — показатель преломления
газа). (1983 г)
6.247. Определить кинетическую энергию
Т протона, если при движении в азоте он вы-
зывает свечение Вавилова—Черенкова при
давлении Р = 50 атм н выше. Показатель пре-
ломления азота при нормальном давлении ра-
вен л = 1,0003. (1973 г)
6.248. Пи-мезоны и мюоны с импульсами
р = НО МэВ/c проходят через прозрачное ве-
щество. Найти диапазон показателей прелом-
ления этого вещества, при которых только мюоны будут создавать
свечение Вавилова—Черенкова. Энергии покоя пионов и мюонов рав-
ны соответственно /пдс2 140 МэВ, гн^с2 106 МэВ. (1970 г)
Рис. 134
6.249. На плоскую границу раздела двух сред падает под неко-
торым углом тр световой импульс из плоских волн (рис. 134). Он об-
разует на плоскости раздела бегущий световой «зайчик». Показать,
что направления преломленной и отраженной волн совпадают с на-
правлениями образующих конуса черепковского излучения электро-
на, движущегося вдоль поверхности раздела с той же скоростью, что
и световой «зайчик». (1977 г)
6.250’ В жидком гелии вокруг электрически заряженной части-
цы, например, иона Не+, образуется область повышенного давления
и в непосредственной близости от заряда гелий затвердевает. При-
чиной повышения давления является притяжение атомов гелия к
195
“/а₽"ка из тв"ра»го°^
p^2Sa™ Премб'речь сжимаемостью те.™. Внешнее и >
X™*® Сватать, «о Рв^ ша₽нка зна^н» пре»^*
дабМ1‘₽0да»дать, да какую высоту mwciw^
е ™«цчМ1-1 Тл »вдкий №О₽ОД п₽и ' = 80 к- На «а®,
% ка№даГСИ ДК' этеКТ₽Она в сет*<
WM ОР?итальш.ш моментом н параллельными спинами. (1967 г)
« 252 В Серпуховском протонном ускорителе частицы ускорь
Ki aS энергии 76 ГэВ, двигаясь в течение двух секунд в нарастаю,,
Sthhtoqm полено замкнутой кольцевой оронте радиусом R= w
Оценить минимальную мощность генераторов, неооходимую « ,
тавдя магнитов ускорителя, если площадь между полюсами магнвд,
составляет516 Х40 смл (1976 г)
6 253. Рассмотрим эксперимент по измерению круговой ЩЛ1.
ризадаи у-излучения. Ожидаемая степень поляризации раМ)
PQ-у (Такое сдабопо.тяризованное у-излучение получается, наира-
мер, в результате реакции п + р = Bd + у вследствие несохранаи,
пространственной четности при слабых взаимодействиях). Измерь
нив производится с помощью поляриметра, в котором разделяют
цртоки' у-квантов с разным знаком круговой поляризации, Какое
минимальное время потребуется для измерения примеси круговой
цодярцзациц с-точностью 10%, если имеется источник излучения
о интенсивностью 1012квантов/с? (1970 г)
6.254 . При поглощении поляризованного пучка электронов веще-
ством происходит-их полная деполяризация. Найти изменение энтро-
пни, вследствие деориентации спинов пучка, содержащего 106 элекь
родов., (1970, г)
6,2.5 5. Оценить» при какой плотности потока лазерного излучения
эджет произойти пробой вакуума, т. е. разрыв виртуальных электрон-
Позитронных: пар? (1992 г)
6.,25 6. Оценить, какую минимальную энергию должен иметь им-
пульсами ддз,ер (Х=?=-1,25мкм, т= 100 фс). чтобы движение элект-
рона в, доле излучения было релятивистским. (2005 г)
6s257t Оценить отношение потоков нейтрино и фотонов на по--
вер.хности: звезды, в которой происходит превращение водорода в ге-
лий., Нейтривд образуется в реакции: р 4- p—>d + е+ 4- ve. Осталь-
энергия,, выделяющаяся при синтезе 4Не из водорода, в конеч-
ном счёте переходит в энергию электромагнитного излучения-
^читать горение, звезды стационарным, а температуру на поверх-
ности звлзлы Т = 5000 к._ (1980 г)
м Счцтая, что основным источником энергии Солнца
^Шотсд термоядерные реакции водородного цикла в конечном виде:
оценит,
темпер-
видимь
6.25
прими*
однако
ре Дм1
перехо
ние с
роя—п
ственн
новесн
7= 1С
6.2
прини
все со»
рака»
элект;
рожда
ра (с*
роятн
поле <
ности
6.
в кач
МИКр1
nepei
сжим
нить
50 mi
вива
если
приь
о(п,
6
сей
>; ра
меж
све(
дук
лоп
на (
лен
С К)
4р^Не + 2е+ + 2ve + 2V + 25 МэВ,
оценить плотность потока нейтрино J, вблизи Земли. Принять, что
температура поверхности Солнца 7= 6000 К, угловой диаметр его,
видимый с поверхности Земли, ц = 0,01 рад. (1989 г)
6.259 . Согласно ГТ. Дираку энергия электрона в вакууме может
принимать значения как от тс? до 4- со, так и от —со до _т<?
однако все состояния с отрицательной энергией заняты, и это «мо-
ре Дирака» реально не проявляется в физических процессах. При
переходе электрона из «моря» отрицательных значений в состоя-
ние с рождается пара электрон 4- «дырка», т. е. элект-
рон— позитронная пара, точно так же, как это происходит в соб-
ственном полупроводнике. Используя эту аналогию, оценить рав-
новесные концентрации электронов и позитронов при температуре
Г=ЮЯК. (2000 г)
6.260 ! Согласно П. Дираку энергия электрона в вакууме может
принимать значения как от тсг до 4- «, так и от —со до —тс2, однако
все состояния с отрицательной энергией заполнены, и это «море Ди-
рака» реально не проявляется в физических процессах. При переходе
электрона из «моря» отрицательных значений в состояние с <& > тс2
рождается пара электрон 4- «дырка», т. е. электрон-позитронная па-
ра (см. задачу 6.259). Оценить в квазиклассическом приближении ве-
роятность такого процесса в однородном статическом электрическом
поле с напряженностью Е «s 1015 В/см (такое поле имеется у поверх-
ности тяжелых ядер). (2000г)
6.261 ! Советский физик Г. А. Аскарьян предложил использовать
в качестве сверхмощных импульсных источников нейтронов ядерные
микровзрывы миллиграммовых количеств делящихся веществ. Для
перевода делящегося вещества в критическое состояние он предлагал
сжимать такие микродозы импульсным лазерным излучением. Оце-
нить, во сколько раз нужно уменьшить радиус шарика из массой
50 мг, чтобы началось размножение нейтронов. Какое давление раз-
вивается в веществе непосредственно перед началом цепной реакции,
если процесс сжатия считать адиабатическим? Валентность урана
принять равной 2. Для быстрых нейтронов деления сг(л, /) =2бн,
о-(лг у) =0Д бн, плотность урана р = 18,7 г/см3. (2000 г)
6.262 ! В сверхпроводниках И рода с большим количеством приме-
ни эффективная длина пространственной когерентности электронов
равна среднему геометрическому между £ и средним расстоянием
между примесными атомами. Оценка полей, до которых сохраняется
сверхпроводимость в таких веществах, может быть получена из сле-
дующего условия: ларморовский радиус закручивания пары как це-
лого в магнитном поле не должен быть меньше ее размеров. Оценить
на основе этих соображений величину Яс2 при Т — 0 К для «однова-
лентного» сверхпроводника с Тс —10 К, периодом решетки а—1' А и
с количеством примесей Л'г~-' Ю21 см“3. (1992 г)
Г97
I
!|
j
a 764 На расстоянии L —20 ± 0,01м от полихроМати
„ntSoTO источндаа нейтронов расположен поликрц^
^Т^пазен УПРУГО рассеяные нентроны регистрирую»?®*
юдая^Рн®гаого. большее длительности нейтронной вс^ J
£онной вспышки детектором, расположенным под уГЛ011 Л
rt ЖУ событию восстанавливается межплоскостное рас '«'
в кмстлле. Какова должна быть точность измерения време^
хода нейтронов, I, чтобы ооеспечнть относительную точное *
рений межплоскостных расстоянии 10 У гловое разрешен ‘
тора ДО = 0,06е. (200э г)
6 264. Воздух при. условиях, олизких к нормальным, медленно^
чет по закрытой с одной стороны стеклянным окном нагретой
диаметром D = 1 см и длиной L = 10 м, так что у стенок трубы L
цература на ST = 10 К больше, чем на оси. Для света, расцр0СГ1й1:
ющегося в трубе вдоль ее оси и выходящего через окно, система Z
Отделяет собой линзу. Определить форму волнового фронта на bkxJ
трубы и оценить фокусное расстояние такой линзы. При нормалью
условиях коэффициент преломления воздуха равен n0 = 1,0003. Ik
домлением света на выходе из трубы пренебречь. (2003 г)
6.265. На нелинейную среду толщиной L = 1 см с показать^
преломления п, зависящим от интенсивности I проходящего света
как л = ц0-Х7 (% = 2,5-10-s см2/Вт), падает пучок света 1=
= 452 нм с плоским волновым фронтом и распределением твд.
сивносги в поперечном сечении Z(r) = Zo exp (~r2/w2), где l0=
= 5 ДО3 Вт/см2, да=1-10-3см. В результате взаимодействия свеп
со средой в дальней зоне возникает устойчивая интерференционна
картина в, виде системы колец. Определить число интерференцион-
ных крлец в. наблюдаемой картине. (2003 г)
6.266. На нелинейную среду толщиной L = 1 см с показателен
преломления п, зависящим от интенсивности I проходящего, свеп
как и = п0 — х/ (х = 2,5-Ю-8 см2/Вт), падает пучок света с ад-
ским водновым фронтом и распределением интенсивности в пове-
рочном сечении Z(r) = Zo exp (—r2/w?), где Zo = 5-Ю3 Вт/см2, а>=
= 1-10-3 см. В дальней зоне возникает устойчивая интерференци-
онная картина в- виде системы колец. Определить форму волнового
фронта непосредственно за образцом и максимальную угловую рас-
ходимость наблюдаемой картины. (2003 г)
6^2.67. В магнитных компьютерных дисках запись информаций
происходит за счет намагничивания мелких ферромагнитных частиц
Для поворота вектора магнитного момента такой частицы необходим
.преодолевать,энергетический барьер, величина которого Acs —.aV,W
а.= 1Q2эрг/см3 — постоянная анизотропии, V — объем частицы-
• (^ценить предельное значение поверхностной плотности записи ин-
формации (вбит/см2), которое ограничивается тепловыми флуктЯ
ЦИЯМИ ориентации магнитного момента. (2001 г)
^тветы
(/и избранные
решения
АТОМНАЯ и ядерная физика
§ 1, Фотоны. Фотоэффект. Эффект Комптона
1.1. Импульс фотона р - — - '.о см/с. С;»днеЕвадл
тичнмй импульс молекулы водорода Р" /з/с7М л 5,4-иг19 г.си/с
1,2. 7 «0,12 нм.
,1 ,.=.JSLto1,7.)016^.
Лед2,/2 см'-с
1.4! Решение. Рассмотрим атом (ядро) в статическом гравитации»,
поле.”Согласно условию задачи разность энергий Д<§ между основным и
буждеяным состоянием зависит от положения атома (ядра) в гратвдщ,’
ном поле Земли г
Д«.= «2-й, = (^-^)р +^j , (1|
где £2 и — энергии уровней в «иус/ом» пространстве. Таким образом, и
блюдатель на поверхности Земли обнаружит, что энергия излучения ающ
(ядра), находящегося на высоте Я над поверхностью Земли ( радиус Я3) р
совпадает с таковой у поверхности, и наоборот. Именно это и было обнаруже-
но в экспериментах Паунда и Ребки. При эюм
да(д3) р +^3>-’P№3+mj. (а
Здесь мы учли, что гравитационный потенциал Земли слабый:
2ф(^з) _ 2уМ3 _ 9
9 n Z • J U .
с Лзс
Наивное (но неверное, хотя и часто используемое) объяснение наблюдае-
мого эффекта смещения уровней состоит в том, что у-кванту с энергией6
приписывается гравитационная масса inпосле чего для фотона при-
меняется нерелятивистская формула Д<§ = — /м^Д<р (так же, как для какого-
нибудь камня). Фотон (как и камень) ускоряется; относительное изменен®
его энергии
_ &£ (31
5 с2'
Это полностью совпадает с результатом (2):
200
Дф_ Y-Мз „ __ gjf
ра-
ом
юз-
он-
(II
на-
•ма
не
те-
Следует подчеркнуть, что согласно ОТО ход времени зависит от величи-
ны гравитационного потенциала. Иначе говоря, если ввести мировое время
Т(), измеряемое часами в отсутствии гравитационных полей, то в точке с по-
тенциалом 1р(г) ход часов меняется:
т = тЦ1+2*2) "2
Это означает, что наблюдатель в точке с пулевым потенциалом видит, что
частота света в любом месте одинакова, а скорость света меняется, и стати-
ческое гравитационное поле эквивалентно среде с показателем преломления
а (см. задачу 1.5). Для наблюдателя, находящегося в ненулевом потенциале,
частота (т.е. прошедшее мимо него за единицу времени число «горбов», явля-
ющееся инвариантом) изменилась. Однако скорость света в его системе рав-
на с.
Отмстим, что можно говорить о «красном смещении» фотона по отноше-
нию к наблюдателю в точке с нулевым гравитационным потенциалом, если
относить это не к частоте, а к длине волны (импульсу) фотона.
1.5. а = 0,84-10-5 рад = 1,75".
Rc
Гравитационный потенциал Солнца на расстоянии г от него
= — уМ/г. Если обозначить через а угол падения луча света, т. е. угол
между лучом света, упавшим на слой «среды» толщиной dr, и радиальным
направлением к центру Солнца, то согласно закону Снеллиуса
sin (а — с/а) _ »(r —dr)
sin а п(г)
I где а — — угол преломления луча света гравитиационным полем. Отсюда
| следует, что etg a da = ~ 1п л (г). В силу того, что гравитационный потенци-
, , , 2W . Л cos a . п,
ал Солнца мал, легко установить, что1п н(г) ъ ий/ = — —5—da. 1а-
। с г sin а
1 ким образом, искомый угол поворота луча света б равен удвоенному углу от-
клонения на пути из бесконечности (а = л/2) до R (а = 0) (в силу обратимо-
сти световых лучей):
'i
и- ”'2
о- I откуда и следует ответ.
4е j 1.7. £ = *(co + Q)-£„~0,9эВ.
1 1.8. V =60 кВ.
1.9. X = 0,154 нм.
" ; 1.10. = Ле(« + Гк)/Иц= 784 км/с.
1.11. у - №сЛ) = 1.78 В
е
1.12. Х>2лйсМ~331 нм.
201
(IriicMzA-- -0,79 В. Отрицательный знак п,о
1 13. ---------~ изначаез
чт0 „ри контакте «инка с материалом второ.о электрода фотозле,ЧеН1а
"вдиал «инка окажется ниже.
I е _ jQ—2, Где е — заряд электрона.
! 15- Решение. При «.сухом» коигак.е потери на отражение от траЩг
„„тиллятор-фотокагод составляют несколько процентов, и ич '
пренебречь. Гораздо большую во....ШУ составляю, по.сри „а „м •
при выходе из сцинтиллятора.
Пои «сухом» контакте «а фогокаюд попадаю, фотоны, идущие
углами 0.<arcsin (1/«). Когда оптически,, ко.иак. заполнен масло», _
углом e2<arctg (D/2S). Поскольку в с«ипгил..|я.орс фоюны ис„уеНЮ1и
изотропно, то отношение потоков равно
ф2
Ф1
1.16! Решение. Рассмотрим сначала случай поглощения фотона нере-
лятивистским электроном. Выберем такую систему оючета. в которой элек-
трон сначала покоился. Законы сохранения энергии и импульса:
4. mv'
Й(1> = —-
= IllV.
Из написанных равенств следует с — 2с. чю невозможно. Рслятивисткое
рассмотрение приводит к следующей системе уравнений:
«... Л“=
откуда следует—1 = 1, т. е. либо р = 0, либо [3=1. Первое условиеозна-
V1-02
чает, что поглощения не произошло, а второе — нереализуемо для массивной
частицы. Таким образом показано, что свободный электрон нс способен по-
глотить квант энергии. На частном случае показано, чю трехчастичные реак-
ции, т.е. реакции типа а 4- b с невозможны (смотрите также задачу 8.13).
Лишь при участии в реакции четвертой частицы законы сохранения могут
быть соблюдены.
Так как процессы поглощения и испускания обратимы по времени,тою
невозможности прямого процесса следует нсвозможност ь обратного. Конечно,
невозможность такого процесса можно показать и прямым вычислением, как
это было сделано выше для случая поглощения.
1.17. Длительность импульса определяется разбросом времени пролета
электронов, вылетевших из фотокатода в направлении к аноду с различными
направлениями начальной скорости, т. е. с величиной продольной составля-
202
куней скорости от- пуда де максимально аоаможиой. Если
^на даижепич до анода ц то
обозначить вре-
- A=j = (.2-10-Wp,
MS. Г-> » 'V ™ чрщиость. д9Ч№ч(;и.
Ui9t Решение- Пусть М масса источника, а р его скорость
цуне-. Энергия исючпнка слагается из кинетической энергии Мс2/2 и
ьнутрепией энергии <э аозбужденных атомов,, при испускании одного, фотона
апутрепняя энергия © изменяется па ьподне определенную величину (энер-
гия дпанп’етеяО & -= &' где vQ — частота фо,-
испускаемого поподашкпым источником, При
испускании фотона тело испытывает отдачу, и его
скорость меняется- По закону сохранения энергии
1 №'3- т- S | М1>'г + <§' + К
v = частота фогона, излучаемого движущимся Рис-135
источником-. Написав закон сохранения импульса
Н СПрСОКТИрОвав его па направление скорости v и на перпендикулярное на-
правдепие» подучим
Мн == л/j/' cos И -р СОЗ 9, 0 == Му sin а — М sin О,
г^ 0 н а — углу мехкду направлением скорое?и и ц направлениями импульсов
МСПУЩеНПОАХ’1 фотона И источника после испускания. Исключая и и о, найдем
2Ж(У - VQ) --2№ ~ cos 0 + = О,
Еоди масса источника м достаточно ведика, то можно пренебречь по-
С-ТеДПНМ членом, и МЫ получим, учитывая, что по условию г>/с<к 1,
V . -У° - ??- Vo [ 1 + - cos
l— ^COS0 Xе /
Feme н и e. Пусть S и S' --- полные энергии тела до и после излу-
чення, Соответственно $q и <So — энергия покоя, а р и р — импульсы, обоз-
начим также энергию и импульс излученного, фотона как е и q и запишем за-
ксны сохранения
£' =$- Е; р = р' +-Ч-
Вшедем ЭТИ уравнения В, квадрат и вычтем, предварительно^ домножив
второе соотношение на с2- Учитывая, что &а г -рс .0 и
^=^?сз = ^ получим
- ^ = ^'-2<§£ф2с2рД-
203
^„вистокий - "/c ,l0-—
)/«..№ уравнение. 2, _
cos Oj.
где 0 — угол между импульсом гола p и направлением ы.ще7,
(рис. 135). , ' '"
Дли массивного тела Л/Лг^-Ле. о/сула С, ~~ £,f), и /ог./д
^-«jwXea-f«»»). и.™ <£(|-г;,;’/| -р-e(f_;
Поскольку £$ — ^>0 = ^v- ‘I С- — hv io получим ИС'/ОМук» СВЯ'П
подвижного и движущеюся источников <<С7°‘ ь
При fl = — смещение частоты
Av = VO — 7.
2<
а при :'> '< 1 принимаемая^
стога v ъ vQ р -р ~ cos Oj и Л v — - со1, 11
1.21* Ре те fi и с. При 0 = 0 vfD) = liCi—‘--^.
При 0 - ± эта частота
v(jt/2) = v0Vl - В2. Если В-> 1. то v(0) » vГтг/2) Огсюла ясно, что в узко-v
окрестности угла 0=0 частоты юлучасмо/о стима особенно велики Найдем
угол В, для которого vfft) = av(0), г ле а х I. Пл я огог о угла нетрудно пот;-
Так как \/1 — В2 — тсг1&
1 -рсЦрАр. Это лает
энергия частицы то
При а = 1/2 получаем О = /пс2/6‘, иначе говоря, частота излучения пада-
ет вдвое под углом fl = mc2/^ = \/1 — р>2 — ;
1.22. = Ае(1 — cos fl) = Zj
1 23 7 = 2flc Ле sin2
Е A + 2Aesin2 (S/2)’
_;0 = ;.0-4-io Знм.
, (рес)2= Г2 -У 2тсс2Те.
Здесь Ле —2,4263-10 2 нм — комптоновская >(лина волны электрона.
При fl = 90°
204
- Т “ °-,0S Т- °-67-104 »В- - «• io* ,В.
г.е. "PP2J-H мжгрон? около 10% своей энергии, а импутьс Э1ек.
грй,а оеадпи по посолю. „о„ величине окааался вольше импульса п_
яоГо фотона
1J4’ Решение. Как видно
чз со:* ранения импульса с
Почленным делением находим
то .г = .________sin а
Рис. 136
- cos е
Отсюда с учс-юм сео’ношепия -L- I = J^Sin20 легко получить
V <ПеС"
[g .г = CIg <g/2\
1 2Г7
При. н = 90' 12 г =0.891о. (- = -11°43'.
125. = 2л. >тЦ = ~—= 2.4263-10“2 им.
Решение Запишем закон сохранения импульса в соответствии с
с т. р = р — р. огглаа по юорсмс косинусов
Определим знак числителя-
(рс'.2-Т2 =
= (per - (.per - рос2)2 - 2У(рс)2 + (шс2)2-и1с2 + (П1С2)2! =
= 2o.c2(V(pc)2 + (Hie2)2 - PIC2) > 0
всегда. Так как Av > 0. то и знаменатель полученной дроби тоже положите-
лен: ре cos -г - Т > 0. откуда cos Т > ^ = FTW ” Т‘ Ta“M °6tM'
205
а0М, диапазон углов, "«< к0ТОрЫМ М°Г ВЬ'Ж''т Ж"Р°" С зада""ь« им-
впульсом, лежит в пределах -----
J, , т с _ /пс
О < <р < arccos I \] 1 + —— р j
1.27. - Т < 2mc2ctg2 <р = 0-34 МэВ.
1,28. 0«<р<45°.
joo п =2яй (ge^6.10-23r.CM/c,
I.29. До- Хо *2
1.30. а = 90°.
1.31. £ =2/лрс2« 1.9 ГэВ, где /пр - масса протона.
1.32. <> = -7=^=^ 4- где Ле = ^°’0024 нм ~ комптоновская
V1+ Х/Ле
длина волны электрона. 2
р’+лЛ
1,33. ^’ = ^0--^р-------, где р - импульс электрона.
V i«co0tf+pc
1 т<? тс*~
fa, / Случай a) h<£> = ? S.
// Ультрарелятивистский электрон (& » рс) передает
// фотону всю свою энергию (пунктир на рис. 137),
/ / Случай б) h<x>' = Лсо0^ + д^ где
-------.у 7 Vi-Л?
Рис 137 Таким образом, в этом случае йо>' ос у2 (рис. 137).
1.34. hv =—. Если йт’»/пес2, то
тес2
йУ«Л1еС2/2.
1.35. При условии Т » йсо0 ответ имеет вид <В /ico0---- -----
7 (mecz)7(2T)+2S©o
(кинетическая энергия электрона Т»/нес2, поэтому полная его энергия
S0^T). Здесь возможны два случая:
2 / \ 2
1) йа>0«:тес2- е —, Тогда <£ я» йсо0|-27'а-| яе 7,2 МэВ (этот случай и
7 V”eC /
реализуется в задаче).
2) й(о0 » №ес2 —~~. Тогда = йо т. В задаче этот случай не выпол-
няется.
-Указание: рассмотреть два последовательных преобразования частоты
из-за эффекта Доплера.
1.36. X = 2,4 пм.
20'6
р- оI".
V"' 1 '
<v •», V'U "4'hv0\, ц> (2&hiu'-}-hM «£ n
K ' I» про IHBOHO-
up, V I’-’h"’ ' >' ”•' li привода,,„рщ,ере Al„ = 10s 31!
|.фе форм\ '> b" эффекта Доющра
1 “
„N>p„ „ ’."IW „.«у,,,,,,,,,,., „авсгрсчу др)тдрт, „ричеч
ppp'll, дамир»:, P Ь x 'ырврчлятависсхом с,.1учае 01сюдаеЛеду_
s. ЧIn* ч\> - ' ‘\v u '1 'юиие /hi. « ц1С' принимай! вид
Щ vcrl^2)2
I
t-W' j . — ' |1( ) ~ 'Mb, где и тк — кинетические энергии
UCMpeiH4i фоючрфсыл и 'ффеыа Комнюна, ДТ = Тф — Тк.
Решена, опишем закон hiiiiinemia для фоюэффскта
— Мкш м Л + Тф,
[ф. Гф - кин; 1НЧч ск.ia mcpi ич фо юэлек i рона, Я — работа выхода вещества,
5 - .чкрны иеникщнн .'.ivkipoiia аюма. Поскольку для самых глубоких
Х-дюк!ролов \111( --- 13.O-Z2 I >В 1. 1де Z — заряд ядра, то даже для Z ~ Ю2
£uii •- о, l3o М »В Л»' Вс потна работы выхода, как правило, не превышает
ЮоВ. hooioms иод -а нсiвием у-кванюв (выокоэнергегичных фенонов) при
фО1ОЭЩфсК IV ! j, —
Нрн KoMitlOH- >фф'К!с ef Г Л\.с2 — о'. -Г П!ес2 + £11(М1 + Тк. Следовательно,
(. _ he _ he _ he АХ
k » ' X X -Ь AX X X + AX
Энсмнч о.юк ipon.i в >ффск ic Комн юна максимальна, когда фотон рассеива-
щея назад, t v
АХ с0мр): = 2А« = 2М'
Таким „бравом, л , 2Sj t
! к - / д' 77-----V,---°Т 2 X. ’
'ЛсеХ l)t е2
Введем разрешение ainiapaiypbi но энергии как ДТ — Тф Тк. Тогда
А/' J____~ 0 05 (5%).
---- —Z гк
1Ф «, j +
»;с с
1.40! D = -—= 11,4 нм.
2лЛ sin” (р/З)
207
требуй ₽м₽е“ам1*я «юсоб«ость “««рафа
» = А = Мл,
ОА
W = Ш« Охрй»«» "«*' " - waw* По фор
Bp^W-Ф* »=^ W ° - У™л екоМия; 1ВШвщ)
!»=в«луда sinfl=X
2d
»«'« “®ы сметевпе)
ДХ = 2нА4(1 -,С05Ч') = 4KiVesili2i. где Лс = ~ 3.S6-10'» cs
Такай 66W* 02rfM<i_ X
R M" rf X L,\,sin2 <p/2)'
OrtldW ,2 Xrfm,..-
£ _________*_________=-----—j------= 1 1,4 HM.
4дЛе Sil! <ф/2) sill e b?i Sill if/2)
Ml. ДЙМ =--------X;------= 2 "M- Л» = °'0024 H!" ~ “««*»
4Ле sin (0/2) sm ф
длина волны электрона.
L42t Решение. Перейдем в систему центра масс пары. Навороте
рождения скорбеть продуктов реакций равна нулю. Но у-квант и в этой й<-
Отеме движется со скоростью света, кто противоречит закону сокращения
импульса-. Рав процесс невозможен в системе центра масс, то он невозможен
й в Других инерциальных системах, т. с. невозможен вообще.
l-44- 9щ» = 60’.
1.45. е12 = 90"; 013 = л - arclg | а 127"; 0а = и - arctg | х U3".
1.46. £, = О.85<80 = 432 кэВ; ^2= 3+2д ^0^ 216 кэВ; аз=®гк
и 374 КЭВ.
К47-. Решение. Преобразование Лоренца для энергии частицы ё, мм-
пудье которой <.,_S-»pcos0
VFT?/?'
НДе V — Скорость Штрихованной (движущейся) системы отсчета, а 9 - угол
В неподвижной системе между направлением движения фотона й скороШю
источника'. Энергия фотона £ = hv = рс\ тогда
1 — (о/с) cos 0
Здесь V частота света в неподвижной системе отсчета, v' — в движу-
щейся вместе с ИСТОЧНИКОМ. Переписывая ее в общепринятом виде, Гголуч'вй
1,^.1
1 — (и/с) COS 0
1.4S. MS6= - =0.116, 0 = 83,3"; где »1шс2 = Л-931,5'М
j»гж л = ж
(WlfflW-’<),'!KM' ”ей'Ри,)0 1,11 электронах). Л
ь5); Длина вопим гамма-квантов от источника равда. .
«Осм^, поэтому -митоиовскоера^сиж Х ;
„Л«»- а "а адРе 8 цедом <1то «э «а молекуле, т к Л«й
Комитои-эффекг на протоне ДЛН отличается от соответХ^Т
ва дейтроне A/.D. Таким образом, 7 ™
1д^1 |ДХн-ДЛо| g .-,
kl ^~^=3’6-jo4
J,5# // = у^ 3200 км.
Решение. Если счжать Землю шаром, то гравитационный потевци-
и Ва поверхности Земли fj = — 7^- = — где wx — первая космиче-
оая скорость. На расстоянии г от центра Земли гравитационный потен-
М
IfflSfl I у
фотон, испущенный на спутнике, имеет энергию
где<У0 — частота генератора в нулевом поле.
Из-за движения спутника (вследствие поперечного эффекта Доплера)
де Зеиле этот сигнал будет иметь частоту
a>2=к1 f1
’ О \ с ) \ 2с J
Тде v = — скорость спутника. Расстояние между энергетическими
уррднями Приемника на Земле ..
Йш, =йш0У1 +2^»to0fl+^j. \
наегготы не будет, если <Oj = откуда
Р2_ чг - W „„„
7 7?"7 '7 7. ..
Прдамдая рдачения, получим -у —+ ч = ИкВДа г.^Яз,
Л ,#3 .• *•'' •' < - 1,я ।
§ 2. Волны де бройля. Соотношение неопределенное^
2.1. Г = 880 №В. Тс = ро * l-Ч» MjB
2Х Г =/Hc'2(vT— I) =0.^12 МоВ
23. л'=VS7SX = 0-00125 ни
2.4‘. m <’.10-43г: .'!./< 1.1-!0 нВ.
Решение. Депусги.н. ото ше-oi- шшг : ie« эемш нптнои енергин/
имеет энергию покой ш.е“. loi по с.1.с се.г.. ..ril.iri. ио n(JJ]
н,ч Я энергия ,-т—:----
щ — V р-с~ — iTi-C
гае р —релятивистский импульс cot-л-д Слорсоь w’ioiij
п = = —»'-5
W у'р-л-т-с' L
В этом выражении л = fa? — деосоилсвсхал ллл.л волны фотона. Заме-
тим что скорость фотона. s вакууме зазлеи1 ci лиihm волны л. г е. в атом
стучае должна наблюдаться дисперсия элемрем.2.-н.т:ы". волн в вакууме
По условию задачи о = о • 10 - посему /•?. г.- —т---
2Л- Как следует из решения задачи 2 л сели ;• «ссюна ненулевая масса,
то его энергия покоя /п.,с- -=^- О.о • 1и эВ
2.6. п = ^.= ^1—11 = 1 ф 1д (£ и I- ccei sci ci вен но энергия элект-
рона а вакууме и разность потенциалов. ороиденле ; нм)
2JJ. 2dVn2 — cos" (? = »t/0, где /0 — длина аелны в вакууме, п — пока-
затель преломления волн де Бройля, й — угол сколь.хення
2.9. 1.05
iT^. 1ер • г
2.10“ п= у------= 1.1". l-'i = —- -— = —75 В. где е — заряд элек-
трона.
Решение. Очевидно, что полная энергия элсмрона. преодолевающего
потенциальный барьер, сокраняется. е — Т С = const, откуда Т =
= 7"L + e^L. где Г и 7^ — кинетическая знерг ия до и после барьера. При этом
г_ Р" _ '714~/7'|
2гп 2m
рд, ир|| — нормальная и касательная к границе раздела компоненты импуль-
са. Поскольку скачок U связан с силами, действующими перпендикулярно к
границе (электрического поля), то рц = const. Откуда р sin = Pi sin ’Pi- От’
носительнымкоэффициентом преломления сред являсюя величина
,, э- _ ^/р _ р£_ sin ip _ i/~ —ek'i _ J j U'|
Aj. Л/р; p $in !pL V T V ' T
210
lkwtoo отраженно электропон произойдет, когда 3in tn -f ,
naerb поичшиплоп равна ГН, т, е, ' '} 1 ПРИ
sin .р|--т=ЙД==
Vi HldiW
следует агорой огнет,
- 1 пли 1 = ] -к lllll
4 7’ '
- 1,2-10й эВ,
Цл,| nepwiimunicTcroTO зяеетрщщ £ = =
2|||
искомую 1ЮМОЦО}(ромлтич1юсть электронов дад
|пых= '2. откуда следует
я_Л\л-' Потому
ДиХ’ х
легкоош'пни- по числу наблюдаемых отражений ш
tv 11 IAtI =
Ж них | |^| 6'
Пне МС1ПЛЛД скоросгь электрона
«-I-и. где Го -- нпугрешшй потенциал
Heuijiint. Таким образом, показатель нреломле-
внутри металла v2ос
Рис, 138
Эканднсиинное расположение максимумов
itHioieiiinioeiи сраженных электронов паблю-
длеи'П. когда вну1ренний ио1енциал металла
I'q-s;!'. Эю еооjне>етуеi показателю прелом-
ления кр1к’1«ллн п ~ 1 (для т > 6), В этом случае в соответствии с форму-
лой Брэпм-Вульфа (рис. 138)
VI sin ip = ml;
'2meV ’ W2»ie'
Последнее cooi ношение обычно записывают так
XlAT 2(/ sin ip’
где (/следует подстаплять в ангстремах [А], а результат/Й" получается в В^2,
В пашем случае ирит = I VF « 3,06 В1/2, и поэтому межплоскостное рассто^
яшю </ = 2,03 А. Из рис, 5 и условия задачи следует, что при in < 6 максиму-
мы ннтенсинности пеэквидистантны, Это означает, что при соответствующих,
энергиях показатель преломления отличается от 1, ’ 1 '' •
Закон преломления волн де Бройля идентичен классическому закону
Сиеллнуса: _
Ш = л. сое Vl — я1пй Ч”= —V^—coe’-p.
Sin Ф , ' I •-'= "4i!1‘ 15
По формуле Брэгга-Вульфа п-М sin в г= пЛ или nW cos Ф - пЛ, отеу-
Мымуот _____ ' 11
2f/VfA^-cos^f = 'ink
Ш-
Обозначим через V ускоряющий потенциал, соответствующий
электронов, когда п * 1. Тогда
/-? __ 12,26 _ 12,26»!
A [AT 2(/vV-cos2 ф
Из соотношения Й мь, и определим
. 1/2
в= [Xsin^ + cosM
Для т = 5- '/>7?= 14.68 В1'2; /F= 15.3 в1'2; п= 1,04.
для ,„ = 4^= 11.42 в»2; 7и = 12,24 В1'2; „ = 1,07.
Для т = 3; VF = 8.16 В»2; Jv = 9.18 В»2; „=>.12.
2.13. sin 0 = sin 0о± (»/>'). где опак ± определяет направление ДВИе.
ния кристалла (« + » - вниз. «-> " вверх). Сражение возможно при»
ростах и, удовлетворяющих соотношению I sin 0о± (//Л’) | < I.
2 [4 т = - — 14 К, d = — = 0,335 им.
3»i*X2 2
2.151 £>> — =82 Л.
2Дф
Решение. Согласно условию Брэгга —Вульфа первый порядок (м = ц
отражения соответствуют углу
sin.p = A.
Длина волны, соответствующая энергии нсшроиа о = I эВ, равна 0,287Л,
поэтому U(2d) ~ 0,06. Это означает, чю sin «р % «р 0.06. Очевидно, что
А£. = —. Дебройлевская длина волны /. = — = « &~1/г. Поэтому
Ф X Р v2»i6
|т|4|т|'Откуда
д<5 = 2S 4^. = 2S а 0,58 эВ.
X ф
Толщину кристалла D выберем из тех соображений, что разрешающая
способность такой системы R = mN )./&)., г. е. при /п = I и числе интер-
ферирующих пучков, равном числу слоев, /V = D/d:
Д X _ ф X
d ДХ Дф 2с/Дф’
откуда
А.
2Дф
Приведем другое решение этой задачи. Рассмотрим бесконечную решетку
в направлении оси X (рис. 139). Волновая функция всей решетки представ-
ляет собой плоскую волну Лехр |г ^.|, где п — импульс решетки в лаправ-
i Ti х
212
PUP WWW WPft
«Й W’l'W1'/ IWHWsW (Ивднч УМ’
и>дат-ч M wp * P wwm <w
WW® M ”’®Шт '!• p- WWW.
SrtW-wWMWft (WWW. miVWWl! При
Л»' W'w""" Py~2?SWip. ИЗД
,пда(3(МН1 f “ ВЦЙ^> “«rt. T*HM «(jpwy. MK
rrt*
fpuu w риштеп ограиичетч вя -v. тр, црргагаммй -- к w
до )4wfif*w дапдамитда» «^цв. р.
^=_зрУ(?.йр>1 -зрдаf Пдамня дар.« \, тр
Рор
Рит- 139
врчучвди угага ?рэр-
PWfffP им-
"1 СТОррны,
р
Й>Р = ^>_±_ИЛ
2р D,2p 2D'
ШНМ ПОрНДОМ» ПРКОМДЯ ТОДЦудаа, КР.Цсуаддд Р>—. Полагая
ррл Ар = й'Г\ пмучим теге 1,1
5Тц((<в
Р^ЩРПНО- ПйЦ VUГ1еОДОДП0СТ>Ю. ПУЧкд 1у1рдедул дрнд^ардая рлртцрсть
додада МОДРКУ-'I Р рД3К'РрН0РТьЮ [ 1/(рм2-.р) ]. Плрднрс^ь педока мрдекул, ес-
•Щ £-'WW^ Н* ОДРПрОДОДОДие Пр скрррсдя^ М^сведлрвркцмл в'ццтервале
ОД *1 МО 1' + 0 тОЧНОСтда до цзвесунь(х констант равца '
4/(1') « и ехр <’>
£$дре ПУЧОД Црдекуд vicnblT4?aH ОДС^РОДЛ? № кр.истдддиуес^их плоско-
(дде V1PV По ¥₽М0?ОД0 Б.рлгга-Дум^фг| Ц s.iri 0, =ОД = 2дЙ/(тд), где сорлас-
110 ГрЯфНКУ ПОрОДОД ИПТОВфереццгш равен I, д ?д — (даа молекулы водо-
реза-. №ЮОД ододует II = ^^-Q- Из, ПУЧКИ ШЧрНЧРЙ дафрдаодрндре
иоддатдадают мрдакудм ИЗ ицтервода скоррстей да, при Э.трм
2(Zcps,a^9,= -^4dv,
/ну
ШУМ fh‘ * POS. О(р) rfO р TpHHp.CTbVQ др рдевидчьц копЧОДь Подставляя
$' й ПРИУЧИМ да1рржецие ДДд прлрррр дисда актов расреяния адрледул
^ЗДдаОДЧ ПОДРКДТ й Уг°Д ffi, уддекдцнх ркррррть из заддннргд интервала
таррсШ о точпродюр до да.дастгда-х кодододт
(INv. р “ ИВ ®“2 Р'Ч 0(“) !$
Пмапж чтя да й<» I (рчрдя J*). Л-даМе мйям «дадада эт₽й
Фдатн;'
J.L?«т (-£&;)]-9, чтиуда и^к-ЯГ-
<» I ' I 2№l\
2(3
Таким образом- 2 зг2
7 5/с \jnd sin в У
При вычислениях из iрафика взято
217 7 = 2UL-=0.92"'i- ^ = -=0.072
2Л1- так 1 ,р .__
2.18. = 0.6 ..м; *»-' U = 2'6'10'3« <=а»
тим. ЧТО ФЛйСД™'™» 0.ве. амуеаи в. » к.<коп форме юя,ъ
шение неопреде.»еннос1ей: -\/Ф = Л н-" "
,10 .<***2в5-мг»«а.С1ГЭ.
2.1У- Ч '' у!
2Ж сто КГ* ем. гае е арщ
электрона в ед СГСЭ _
Решение. Без ноля сдвиг фаз па участке длинен / <разность хода!)
>p027t Uh = /р0/Й, где р0 - импульс частицы При включенном поле импульс
нейтрона должен измениться па Фр. и появится сдвиг фщ
tpi = /(р0 4- Д/?)/Й Разность сдвиюв фаз Г । — 'Гр — -^Т = lAp/Ti. Изменение
импульса найдем из закона сохранения эттерт-птт работа ноля равна измене
нию кинетической энергии —
(Ро _ Ру
2ш 1т
Из этого уравнения следуем чю До > £7//’-0 Отсюда получим A<p>£^lt
h уй
дипольный момент d < 11
2.21! 9 т hi - I0"4 рад. где гн = 1. 2. 3. ...
V2?nc7’X
Решение. В резонаторе лазера усманавливаося стоячая волна типа
Е(х, /) « sin к.хе~,ш1 (рис. 14-0). Элск1ронная дебройлевская волна рассеи-
вается на пучностях поля Е стоячей волны, которые от стоят друг от друга на
д/2. Это и есть период структуры. 01 этих -плоскостей'» происходит зеркаль-
ное отражение. Условие Брэтта —Вульфа (рис. 1-4-1) Id sin ф = «1^;
Рис. 140
^дБ ^!Р- Поскольку кинетическая энергия элект ронов Т <к ?псс2. то их мож-
но считать нерелятивистскими. Поэтому Т = р2/(2?пе) и р = х/2ш,У. По уело-
214
,1W JIUI aa*w»" f < I. kimisi образом.
T s= Agl = £
W2aT
ук.комые углы уклонения ‘
2h
рад.
w 4- const.
РУпиовая скорость =
1 » рассмасривд двихение с нермэти
,, __ d .
= — 4- const, w ~ £ 4. const
2 2 и ’
v = Д. = = /?!v2Z2 + const
л hl{>nv) д
произвольные постоянные, входящие в выражения для
tn. Их можно положить равными нулю
то можно распространить и на движения с релятиви-
loi-ца, если отбросить не играющие роли постоянные
2Эж Рcine н яе. Если o.iCKipoH прошел через щель, то в плоскости са-
ч'йще.ш координат х oyaei фиксирована с точностью Дх~ d, где d — щи-
гчь’а, щели. Однако в результат дифракции на щели волновая функция элек-
фенз oyaet иметь максимумы и минимумы. Электрон может быть обнару-
жь в любом чес ю. где ф ~ 0. Наиболее интенсивным получится максимум
ьутевого порядка. Его угловая ширина равна 29, причем d sin 0 = X. Практи-
чески достаточно принять во внимание именно такой максимум. Б этом при-
шхении после прохождения через щель неопределенность Дрх импульса
элшроаа получится порядка Spx = р sin 0 = (Л/Х) sin 9 = hid. Таким обра-
зом, ДхДрг h. Более определенное неравенство, которому должны удовлет-
ворять At и Др с помощью тих соображений указать нельзя, поскольку не
указан точный смысл самих величин Дх и Дрг.
22£ При рассеянии фотона на электроне рассеянный фотон может по-
пасть в любую точку плоскости изображения. Дифракционная картина в
згой плоскоегн состоит из концентрических светлых и темных колец с цен-
тршны.ч светлым кружком, называемым кружком Эйри, радиус которого
равенRъ А./р (рис L4-2>. Практически, рассеянный фотон может быть за-
фиксирован только внутри кружка, поскольку интенсивность там наиболь-
шая Б этом приближении положение точки попадания фотона в плоскости
215
_________r------ изображения может быть определено с точнос1ью „
\ \ ка И- Негочносгь положения Дх алейрона в нрад
\ ₽\ плоскости найдется из условия синусов
\ \ лр = Дх sin а, г. е. /. = Дх sin а. При рассеянии фПо
\ \ на электроне последний испытывает отдачу, в резуль "
\ \ Чего импульс электрона получает иско1нрОлируеч01,Лт'
рашение Дйа.~^з!п а. Таким образом, ДхДр^4
2.25: Решение. Пусть телом является идсальтто
ражаюшее зеркало, а свет надает нормально на его по-
Е? верхность. На основании законов сохранения энергии,
.... импульса
Рис. 142 , 1 э Лш» *
1 М«го = Лш +1MV-. — + М»О =
где м __ масса тела, т-0 и ’’ — С1° скорости до и после отражения света,
ш и(и - частоты падающего и отраженною фотонов. Переписав эти урав.
нения в виде
А/(г2- t'o) = 2й(ш " %) м” ”о) ~ (ш + %), (')
почленным делением находим
Для массивного зеркала Л/т*2/2»/к». Поэтому v = <’о, и тогда
<А>0—OJ
г — ’’0 — с--;.
Шц Т OJ
Измерив частоты а>0 и от, можно но эюй формуле вычислить скорость
зеркала v. Частоту а>0 можно считать измеренной точно. Тогда ошибкаДгв
значении скорости будет определяться ттсточностью измерения частотно
Чтобы измерить от с точностью Деи. надо производить измерение в течение
времени AZ, удовлетворяющего условию ДсиДГ ~ 2л. На основании <**)
д = -с % -с
(а>о + <д)~ 2ш[)
Так как моменты отражения фотона известны с ошибкой Д/, то неточ-
ность в значении скорости о поведет к ошибке Д.х в определении координаты
зеркала:
Дх ~ I ДрД/1 ~ I Дшдг I ~ 5£.
2а>о а>о
Согласно (*) при взаимодействии с фот оном зеркало получает неконтро- ;
лируемое изменение импульса Др~ 2щой/с. Следовательно, ДлДр~2лЙ/с«
ДхДр~2лй = й.
2.26. Т > mv2 V1 4- (Д/Z)2 — тс2, где А = й/(/?гс) — комптоновская д> ,
на волны электрона (протона).
216
" 600 M3B 8,2ГэВ ю
) =z э ,Ые1
111111 ~ V—5Г
I' ‘ ......................... '‘^'Н'ИМП - ОИЮЩЮЙ мыв ОГШРО
НИИ «!<«,. U.1W мо.м» р. часг|щ11МИ в сеансовой теорий ловя'
BI1|„14|U.U,|.| ч.н 11111,1 - .11,1 Членит, время жизни 11оторой олредеяяекя со'
monpc.m.iciium щ л не какими-либо другими физическим,,
чвн,'(.-,1Ч11 i uiipi 1 auiaioi, и.имины оси, энергия <В. импульс р, масса т
IW ял» 01'0 mmuuimuuicici, стычное роля,ивисткое соотношение, и ноэто-
Ч lSs г + ни. 2Г . ll.uip.TMcp, виртуальный фото,, может обладать
*|>|Ч»11 и 1,01.011, Keill О.,.. же часI,ша, в зависимости от ситуации мо
„Ы бы и. шло ре,, ibii.ui, „ибо iiupiyaJH.iiou. В связи с возникновением такой
W'lhlW в сиеh'Mu возникни! неопределенность энергии Д<£, которая и опре-
оН “P^hl “‘lullli ‘1‘1СН1И|’1 т *- Через время т ~ 2L пошатается либо
Аю д£
Kf.i.ui пещ е 1 ныне! । <с pL.i iiMioii чает пней пли другой реальной частицей, и
jiicpieiичьскпи баланс в uiicicmc восстанавливается. В процессах испуска-
1|Ш1 и iioriioiiicHiiii выполнятся закон сохранения импульса (хотя и направ-
импульса Mo.i.ci н не connauaib с классическим).
При рассмо।реши। низкоэнергстическнх процессов, когда <£2— р2с2«
« (шс"1' , молено ечн i a i ь, ню Д(В ~ шс2, и тогда т ~ За это время ча-
ше
дица може! ирошн рассюянис ст-----------— = Лк — т. е. расстояние, рав-
тс
иве крмпlOHoucKiHi длине BQjiHiii частицы. Эго п есть радиус взаимодействия,
рпуелрвленный обменом виртуальными квантами.
2.32. 4! > h2/8mr2. Для электрона в атоме <8 > I эВ, для электрона в атом-
ной ячре £> 10|() эВ = 10ц МэВ. Элек1рон, будучи лептоном, может быть
удержан в ядре юлько кулоновскими силами. Однако энергия взаимодейеч-
П11Я ~Ze2/Ki(il-- I МэВ«<8- 104МэВ.
2.33! Решение. В нолях laKOii напряженности пз-за рождения внрту-
аиы||,|х пар вакуум с iaiiobhiся «поляризованной средой», а уравнения Макс-
₽£Длг| (еряю| ciiOnciHO линейност. Виртуальная пара живет время
. Чюбы В1!р!уалы1ыс часгицы стали реальными, на длине ст
2"tC~ Р ЛАП
1на комптоновской длине волны) за счет работы электрического поля h дол
2] 7
чнеогия большая, чем 2mcz. т. е. 2тс2 & еЕсх
жна набираться эиер 2?«с’ откуДа
_ 4m V ~ 2. ю14 №. СГСЭ = 6- I016 В/см.
ей ~ ,
, ,, д-n 6| _*_ = 0.024 нм.
2.34. й-U.Ol A/2mV
2 35 А = 0 S3 (в перенятивистском приближении. Л= 1,73), числм
апертура А определяется из соотношения для минимально разрешаи®
микроскопом расстояния />0,61—. где I = - размер мезоат0М1
. __ h_______h______— дебройлевская длина волны электрона.
е Р V(eV)2-
236 Aa-J— = 1.37-10'2
Z"50, dJlmeV
2 I - \2
237 v = —_____J— |Sin “°—| 450 В, где п — угловая апертува
2mce ^sin -
2.38 . x & ~ 76 r«e ri = ^4 = °'53'] °“8 CM - Радиус пер-
вой боровской орбиты в атоме водорода. Энергия связи
И2=£™' Тб М2" “б'5,1 °"эв'
где <£нон — ”'ег = = 13,6 эВ — энергия ионизации атома водорода.
2.39 ! <S0 1,5 I —-
0 \ т J */с,п
Решение. В zi-м стационарном состоянии квантовой системы, как сле-
дует из уравнений Шредингера, средние значения кинетической и потенци-
альной энергии удовлеторяют соотношению
~2 ti2 d2
где f = -^~ “ 2иГуТ2’ & = U(х) - ~ поучая энергия системы, а угловые
скобки означают квантово-механическое среднее. Таким образом,
+ Для оценки энергии основного состояния воспользуемся тем,
что в основном состоянии (и = 0) неопределенное।ь координаты дл'~(.\),а
неопределенность импульса Ьр — (р) и (р)2 ~ (р2). Согласно соотношению не-
определенностей получаем (р)(х)~Й, откуда выражая, например (х) через
(р), получим
В основном состоянии энергия системы минимальна. Поэтому
5^0/а(р) = 0, т. е.
(р) _ А/? _ п
т (Р)2 ’
218
«'1‘ '/"У J Часгнцы в данной
V... Д ,ч "Ш-prun «о.к,„ого госташня нмущеч
; I . 1/3
-1,5
и-1 ер.тштнттч ючныи рсгу.чыад, полученный из решения
Uhw.m.viM ич щчеицнала<£„= 1 85Л * А п
° ° Г7Г -Видно.
«».•» ц.Шк‘1,' пр.... .«MUW W1MUMe, „р.77 20Х
‘'777 7.7: 777 '"',,ИеМ ™га и наорав.
ч.;,,1,-м .iA"4uuir. .ми', ., и., ич щ раяеттеiва к
лу'
.... выражение .1 ымпмеч дифференциалы конечны.
МП s'_\.р -% .V- = —L-. Ар.
n>n,.v~
•• ' >vV вещества толщиной </, имеет неопределен-
им :ю.т \ ' •'. elк> да следует неопределенность угла
.
dnm,.v~ sin ф
2.4l ! Г1 ' е •! и г Hii'oi) имело смысл нредсявление о классическом
_мх.--.<|и ? -доч.! ИО нерпой Юровской орбше. необходимо выполнение
лу-юшсчлч Л- i ю — радиус эюй орбиты, а Дг — неоп-
v.'ioc• :• 'е ом-ьы .•JcKipoiia но радуису. Но тогда по соотношению
'-л',‘роде 'дююесеен.стсилющдч неопределенность в импульсе будет
л,.« 7'. =
Аг П Л
> ,• гавна самом) ими).!!>с) юкIришт р = nie~/ti. Однако по мере увеличе-
s’za-ч ооб.иы \увс тмченич квантового числа н). движение становится все бо-
fiv «s.uecii'-iccK'.iMv, 4iv и iюсi)лирусюя принципом соответствия Бора.
2.42 . ч. < - -ГД 3.32-IO-s--cm.
•' 2i»’u-‘Z Z
2.43 ? Рд in е и яс В стационарном состоянии квантово-механические
средние дначснич кинешческои и потенциальной энергий системы связаны
«отношением
(Т) + (У) = £.
где & — полная оперт яя системы.
В случае uniow J — —=
219
вж WQM WAQWTO** состоянии- TO zv~
л„дг~й ЧО.&В-Д;--- Пра’ИЯ часто дос гнгает минимум, цри
и ' 2»'- Г д2
чем « ощедадаетоя а»РВД« величины размера атома водорода в таоЛда
даоядда, Соотвотостующая анергия
<8г-Ж-
2»"
а слулле деуланюмкоИ молекулы (если не учшывать ее вращения).
<7’) = ^. (У) = 1.ишр.
причем в силу соогношения неопределенное гей в форме Вейля
В силу симметрии потенциальной ямы рх = V = 0 и тогда
Таким образом. ____ Л2
Девая часть достигает минимума при х2 = й/(2уло0). Следовательно,
S » Т А«о.
Основное состояние — это состояние с минимально возможной энергией,
ц для него
& = | йсоо.
Размер, молекулы порядка
2.44 ? F»
А-г = JL.
2[ли>о
Ношение. Минимальная сила, действие которой может быть определено
до. отклику свободной частицы (пробного тела) определяется квантово-меха-
НИЧсскими особенностями пробного тела и временем действия силы. ЦриФ
наружрнии малого внешнего воздействия на пробную квантово-механинес^Ю'
чД01ицу требуется как минимум, два измерения: начальной координаты: и-ко?
Ночной, (через, время т). Цри. этом, мы не рассматриваем «снос». чарт.иды:
•^= vqT, вдеи0.— скорость свободной частицы, поскольку он не влияет Мфдф-
Цоддействием силы частица движется с ускорением а, и за времят пере-
местится на. расстояние I = = yL_. Этот результат справедлив И;в,ква1пР’
вой механике.. Зная координату частицы х (0), т..е. в момент^ 0л-мь,1>м(1Ш>
бы; знать, положение- частицы в- момент t = т: х(т) = х(0) 4-1. Следрват^Ш.
п,о>край,неймереодао,измерение координаты нам было бы необходимо..
едаи-iw оспочным чреде «тлениям квантовой мм.,„
я1|„ „„ччисч пскопгролпруемая иеоиРедоМ1||,оп.ь /д.,2
„,.,т.«иаго "«'ЛС измерения коорЯ1щт.ы возникает °' * ' ~ W ’ 8
ko,op,jn мож,ю ‘°
Откуда (М)»
Через врем» , зю .....одиг к иеоиределепности в npotan™, „
пни (конечную „мртит.у м„, ножен измерить сколь У₽ГОХ “по) Т™‘
(Лл'3 =. л2
™г
Cs.'iii-lbuiiui о&- лненерет., „ еплу „х статистической ]|иавис11мости
;iy‘lHM
Мтшмшнрзр плоченное мрш№ „о <A.v§), определяем неопределен-
нее^ первого шмерспго! координат, догорая обеспечит минимальную не-
„„рааепнги-м. пройдет,ого .к, прет,» г „ут„ <A.vg)luiH = йт/2еп. Это соответ-
«« - Л1/т.
Силу можно буле, заре, ucrpiipoium,, сели смещение I под действием си-
ди лаже,ем ЙО.1Ы11С неопределенное, и пути
откуда
in
2.45 ! F . = л)^Л.
\-j-r
Решен нс. В атом случае мы измеряем энергию частицы до действия си-
лы н после. Первое измерение дает значение начальной энергии. Точность
if такого измерения зависит от длительности измерения тр т. е. Д& = fi/ij
(в принципе при достаточно большом Т| она может быть сделана сколь угод-
но малой). Поскольку полное время наблюдения ограничено величиной т, то
часть этого времени должна быть затрачена на измерение начальной энергии,
а в оставшуюся часть времени т — т( будет происходить изменение энергии
за счет работы силы F.
За время т — Т] при условии /гт1<крд изменение энергии
Р'у'-Р _ . №-’1) ;
Afio = -^i---~
Эю изменение энергии можно обнаружить, если Дй0 > Л/тр откуда
POTl(T-Tl)
221
Вводя А> = у7 " Mi|UIMII3,ll).''!l "° 'I' "Обучаем
Звмсшм, чга при подобных ..............х необходимо уменьши,,
фдудгуацпп энергии невпдп.опоп природы (па.....mop, ISHMUel^’
меньше квантовых.
2.46 ? Пороговая энергия рождения нары^',, 2шсс . Эта энергия адОяв.и I
С1СЯ" при пониже локализован, шп
я роомороЛЛ елеЛ^ММП1и“*
длина волны патрона. Допеiвтельно
П,Я’ Лл’ ига|||1Кает 1ВДрщ.
лсниоси, и энертн Д6’ = —_ ..
-л ?’ MI0
2"Д(Дь)
рая раина 2п1гт< Таким образом „6®,
- Л,,/2 алом рои не может рассматрк-
ваи»ся как .-ючечпыВ» обьскт.
2.47 . t„,ч« — = 4-10 20 с; Д£ -— = 15 кэВ
"ЛМ <£.. 'Ч’М
2.48 ? Решение. Условие возникновения первого максимума 5.-$.=
= ХдБ. Из гсомс!рии разное)ь хода (рис. 143)
5| - S1 - - -\fДу - /? .
где использовано обычное условие экспсримс!11 а £» D, Д.г.
Если электрон прошел через течь /. ю изменение импульса экрана
I дРл11
Ал-ч-/7/2
^(Дл -I- /7/2? Ч-1.‘
а если через щель 2, ю
|W=„ .
У(Да-~/7/2)24-Л
Чтобы определить по измерению импульса, через которую шельвро»
электрон, нужно суметь различить по величине |A/>vl| и |Дрд.2Ь т. е. тот
iiOctb Измерений импульса должна быть лучше, чем
Др» = I Др», | - I Др,21 « р Дд+ЛА _ р ДД22«2 = р ®
Согласно соотношению неопределенностей
бЛ'бр ~Л, откуда 6x-~_Ls _/!_=*£ = Ы.
ЬР' pD D
222
Так как л.^ — та 5х Дх- Тем caM6(W неопределенность в положе'
щелей (обе шели смешаются как. целое вместе с экраном) будет больше,-
П>1И масштаб интерференционного расщепления, и картина размоется..
149" Решение- Пока расстояние d между расщепленными пучками
енъ'ше 0 61Ц, (результат, хорошо известный в оптике как предельное ра^
4 ние двух светящихся точек), определить,, каким путем движется атом,
рбШзможно. Поэтому первое размытие- картины Произойдет при
!'-°0 61Хф Так как угол дифракции мал, то,, как следует из рис. 144,- раз-
______ - - между пуч-
чиж яятерференциочвой картины произойдет при расстоянии
ками
d Z0 = z
Поэтому
т=0,6П “ =2;$^=(?мм_
4ц Б /I
Следует отметить, что при таком способе измерения координат атомов из-
за их: большой массы Дрх, возникающее из соотношения неопределенностей,
очень мало.
2.50. F=^(4-lf) «5-Ю'21дйн, где
4d
).,=4-A.k Х1 =2а (упруго рассеиваться будут
нее нейтроны с длиной волны Л < 4 А).
2.51. и =-*- = 2,77-104 см/с, где 7=^.—
MX- I
длина волны фуллеренов.
2.52. Скорость тримеров и димеров одинако-
ва: у =——— 1,8-106 см/с, где N —число атск
QMNd
мов гелия в кластере.
2.53. - Д<р 1/4. Легко проверить-, что’Д<рД£—й.
ЗЛ# Решение. Флуктуация энергии в системе4 осцилляторов
Д$=Д/Уйа); в свою очередь, Поэтому М Аф =* 1 -
§ 3., Уравнение Шредингера. Квантование.
Потенциальные барьеры.
ЗХ Решение. Плотность потока вероятности вычисляется по-формуле
или в одномерном случае - * '1":
L Г ’А.. ..,
а) В случае плоской волны ip(z) = e,,v- плотность потока
определим прямой подстановкой волновой функции в (*). 8ер°Ятносги
Л=“=п.
т
т е. равна скорости частицы у.
б) В случае сферической расходящейся водим >|>(г) =
лектор плотности потока вероятности j направлен по радиусу.веП11ру р >
Кроме того будем считать кг » ). Поэтому
v г = v В
1 »i {кг}2 r ~{kr> г {кг}2
В последнем равенстве учтено, что k || г || v. Можно было бы восполь>
ваться декартовыми координатами, направив ось z по радиусу-вектору Епе. о
ственно, ответ получился бы таким же:
' (krf
в) Для суммы сходящейся и расходящейся волновых функций приведем
только ответ:
(2кг}'
3.2. U(x) =^^-х2 (гармонический осциллятор), S = —.
Указание: в задачах 3.2; 3.3; 3,4 предпочтительнее не интегрирован
по частям, а наоборот — дифференцировать по параметру а определений
интеграл f е~аХ dx = —.
J а
3.3. {ТУ&—-—~ (точное значение (У) = ——U(х) ~ — (Л~—1
32ma2 I. бта2/ I?
*2
<Е= —----j (см. указание к задаче 3.2).
2та ,
3.4. {ТУ& точное значение {ТУ = —- т|; (х) — - a; U {х) = - —;
‘ 8та2 V ' 2,на2 2
Т2
S ~(см. указание к задаче 3.2).
2та
3.5. S(
, параметр а = . См. также задачу 2>
\2h У
Полученный ответ совпадает с точным решением с точностью Ь%.
зСт 2Л
3.6. = „из.
3.7. <8 = -/2^1 =-1,36 кэВ; а =-2ц. = 0.053 А.
М_________ Zme2
3’S; 0 = 8 V<n1+.“> я, 1,54-10~'3 см.
’ 2р.1/о«(а+3)
224
fe,Умппл»» сферическую амт|!И10 оадачй(
^ = <,' + У) = Г|”[^ + У(г)]ч>^
„,/> = 4яггй‘: и =н1д,/г - приводе,Пйя маеод дскрода. Оператор
/Н = —Л2Д.. = ~й2(-^С + £ &
1</7 г dr)'
бмч(К71«М шпегралы. получаем
_«L
8р(/ (1-4-а)1
Ociwbhw тчочнпе соответствует минимуму энергии:
® = 0. откуда П W -
' «(ЗЧ-U) •
Далее нахоапм
«» = («> =
и + (й > (1+аГ
lloiiwioys указание к задаче, находим, что в = 1,5, Таким bSpaspM, '
U = Л 1(г13 ем.
V 2ц1/|)й(й + 3)
19, (6(П)) = *Х-ил —-2,2МэВ, где а = has.
8)4, <1+Д)3
.1.11)! I > п - - j р = ИТ.; £ = 1 fta, поскольку ^Л, = fito (д' +, , то
» = 1 11 ,•’
2>а = 0: Е = 2л,о. N = 0.
РсШепне. 8 трехмерном случае в сферических коордйиаш (Л Вч\р)
лапласиан Д нмсс) вид
Л - Д,. + Jj Лс, ф.
АбсКольку ф-функдия нс зависит от углов (Сферически симметричней
Случай, изотроииьи‘1 осциллятор), то лапласиан в нашей задаче сбодиея к
радиальной Части Дг
. _ . _ / 1 2 Й , .2,
Л 7r1+f4i‘' ' '*“
Дифференцируя исходную ф-фуиицйю» получим ,г...
= 2Ле"₽г1 (й - fa? ~ ttpr3]’,
dr г
£t = iAe-P* 12e₽M |3 (5e - г₽) r1 + (#Й! ‘
Ar
Таким обриом. уравнение Шредитера имеем вид
„£ I- Я-Т « £,;,. ,|Я„
2у [,!,- г <1г)
_MS + 4frt'2- 14орГ4 6“ , , ,
-7f2~ ''?r4“=->>
Поекотя аиергш. £ = eo.isl и щ- меже! а.шисеп. or г, t0 „N
фпциептоп при кек сгепеиах , делж.м давай. О 4
6(«- р) I ~f! о 0.
Г-: - 14r<|i I 4|l; ly;1- I уу а = 0.
г4: 4<г(’2 — -v к - 0.
Из этой сиоемы и следуюi искомые значения a, |S, £ п /у приведение
а ответе.
(' cos^H (и-- !. 3. 5,...). Л^2
3.11. ф= С." Л' =• в обоих случит
Д.sin— (/I = 4, о....), Suu/
[у« 2<t
Вследствие cummciричносiu iloietiпиала решения подразделяются начнк
и нечетные. В силу граничных условии (Ч'( д. и) - 0) ни ширине ямым
жно укладываться целое число полуволн де Бройля, как эю имеет месит
электромагнитных волн в случае шисрфсромсфа Фабри —Перо или вс®
вода с металлическими сюнкамн.
3.12! Решение. Примем за начало коордити центр дна will
(см. рис. 19 к условию задачи). Тогда уравнение IИрсдннгсра для связан-
ных состояний BHYIpH ямы будс!
а вне ямы
где введены обозначения
j 2/>i (То -Т)
Внутри ямы общее решение имеет вид
Вне ямы решение, удовлетворяющее условиям на бесконечности i|>(±")'^
будет
11' = Сс™ при
Ч* — DeaX при х < — fi-
226
Из соображении симметрии следует, что плот,,ость вероятности ! то Р дол
И11бьггь смметроннои функцией относительно начала координат СледХ
„цельно, должно быть С - D , т. С. возможны два случая: С = О и С = -о
Пост„жь,с Л, 13 С D надо выбрать так, чтобы „а Kpaax Ямь, функция ф „
се производная йф/rf.v были непрерывны. На границе х = +а Зто\ает
Л cos ка + В sin ка = Се~аа,
кА sin ка + кВ cos ка = — аСе~аа
а на границе .г = — а
A cos ка — В sin ка = Ое~аа,
кА sin ка + кВ cos ка = и£)е~аа.
2zl cos ка — (С 4- D}e a<1, 2к A sin ка = а(С + D)e~aCI,
2В sin ка = (С — D)e~atl, 2кВ cos ка = —а(С — £))е-а°.
Если zl 0 п С = D, то
к tfi ка = а.
Если же В =А 0 и С — — D, то
(4)
/cctg£a=-a, (5)
Эти условия не могут быть удовлетворены одновременно, так как в про-
тивном случае получилось бы к^= — а2, а зто невозможно ввиду веществен-
ности к и а. Решение, когда все коэффициенты А, В, С, D равны нулю,
физического смысла нс имеет. Таким образом, все возможные решения раз-
деляются на два класса: решения с четной волновой функцией, когда
д^О, /?=0, C — D и решения с нечетной волновой функцией, когда
4 = 0, В^О, С= -D.
Уровни энергии найдутся путем графического или численного решения
уравнения (4) или уравнения (5), в которых положительные величины к и
а определяю гоя выражениями (3). Для графического решения удобно ввести
безразмерные величины = ак, т) = «а. (6)
Тогда , 2mUoa2 с/ + i]2 = 2 Й (7)
причем для решений с четной волновой функцией П = £ <g (4а)
а для решений с нечетной волновой функцией ,)= -?clg^. (5а)
На рис. 145а поаросны кривые 1) = £ tg £• "а рис. 1456 кривые
’) = —£ctg£. Вертикальными штриховыми линиями изображены асимпто-
ты этих кривых. Ввиду положительности 5- и т) нужны только э™*
кривых, расположенные в положительном квадранте >_ . Д '
сечем эти кривые окружностью (7). радиус которой V2mU0 а/Л должен
227
Рис. 145
мулам (3) легко иайш значения е Число уровнен всегда конечно и оп^
деляется глубиной UQ и шириной 2а поiсчиталиюй ямы. Например, есы
л/2 л 3ir/2 2л ка
Рис. 146
Следует еще раз подчеркнут,
радиус окружности равен 7, ц
получайся пять уровней. Т«
кам пересечения 1, J, у соот.
нсчс । вую1 петые, а точкам J
4 — псчетые волновые фут-
пин. Пели 0 < UQ(i2 < sV/ta,
ю имейся юлько одна точа
пересечения, которой соответст-
вуем мешав волновая фунт.
чюо симметричное/ одномерной яме afi
бы один уровень, отвечающий
чепгой ф-функции. Ана»
imino обсюит дело в двумер-
ном случае. Принципиально
по-другому обстоит дело 1
случае трехмерной потенци-
альной прямоугольной ямы
(задача 3.16*), где уровень
ест не всегда.
ДР
одииак
Дл
|sifi к(‘
etg
bin ка
ГраФ* 1
урав11,
147.
Bi
чины
даннг
ции
вень
3
3
Пр|
ДИН1
Т0Л1
любой ее глубине и ширине всегда есть хоти
бьк
фу
(sin ка\'
Рис. 147
щ;
Дадим также другой спо-
соб решения уравнений (4) и (5).
d т /1 + к
Рассмотрим четное решение к Ц> ка = а, откуда J + tgг‘ка~—^~’^
1 _ 2шУ0а2 1 I
—Г---------?2--------о-; I cos ка = Л------т ка-
cos ка Ъ1 (ка) ^2mUoa
ГД
228
Рис. 148
tl|Jl'Л '.Глпакн' '6 к“ > 0> IW№tC’' Т6 ““еИИ' We S1" к° и ™ « «>№
yilllfiiuiOblc знаки.
ДЛЯ iic'lci Иого решения получаем
" ‘'ji-
сн>/щ<0( 'io 1ОДЯ1СЯ те четверти, где
tl сов кч имеют развис знаки.
]Д(1фШ1есКое pcdleiiiie иолуЧсИНых
ypabitcitliii изображено На рис. 14б и
РГ/.
UlUiiOt 'Но в зависимости of вели-
чины 1/0 (1'Р11 ДйП11ом «) пли а (при
данном (ДР в случае четной ф-функ-
1(1111 ХО1Я бы одно решение есть всегда! Это будет иметь место при
П? 1—2 , ,, 7?Л2 ...
ШШ U<>Cl > ри дйльпейшем Уменьшении Uo уро-
вень ноДНПмаегся к потолку ямы, но частица из ямы не вылетает (рис. 148)!
- Л2 w-iw+D. Л2 ад+гж-И)
311J. ©tllill , ,2 А ’ J ,3 -----г--------
4ml> b 2inb 6
3,14. Вообще 0>-^Vtf2 + /2. При tZ«l о j = « 2 см/с.
ан/i 11,1,1 //к/
ПрИ tl = I (квадратное сечение канала) umljl = 2,8 см/с.
3.154 ( — 0,065 c.
ЗЛО* Решение. В сферической системе координат уравнение Шре-
диигерй Для стационарных состояний с волновыми функциями, зависящими
гоЛЬко от г, имеет вид
1 rf Г.2сАф'| +2Ш [£_(/(,.)],[, = () (!)
;.2 dr dr/ fi2-
Решение этого уравнения должно быть конечным при г = 0 и достаточно
быстро убывать при /•-><» (чтобы j |ф|2dV сходился). Введем новую
ФУНКЦИЮ / = гф. Тогда
A-|-Zj^-£/(r)l)' =0. (2)
d2r h
Надо Найти решения этого уравнения, убывающие при г-» +«>и обра-
щающееся в Пуль при /• = 0. Это будут
X = В sin kf при г а,
= Се~а>' при г > л,
№ ____________________________ __________. .
, . .кш^-риь) г. _ щ О)
/с= + V—п2-------- V '
ЗйДДЧй свелась к задаче об одномерной ПотёнцйальМой ЯМе —• уровйй
энеряйй определяются точно так же, надо только отбросить сосюякйя с'Чег-
ИЫМИ И сохранить сос+оЯйиЯ ЛИШЬ С нечетными вСДНовЫМИ функциями,
229
ЧТ
i
ЗД7. «0ДИИ'“ K реШ"““Ю ,Ра“СЦе',ДИ1™^ХШ1!.
. , _ -\LjE2 r*'s'2=(л'м-ри 14эд-
|да\а|~ s , л
Минимальная «юии»"-. U& мыы. при кспорои ио»^
уровень, 1/d»!=A=/(S-b). ПР" «Н = Л/2)>РЧ
«-в т е. уровень дат на «Л» .мы. При увеличении (/, •
вень опускает^ в W. Из Р"е- ш». '"О в юрой ур«нь
Ц«-£ третий -при »«>£ > >.4. И.ак, <4-^7
Зл ka
Рис. U9
3.18. Уо = ^Д + <S * 42 МэВ, 1.к- и - Д. Эю довольно гру^я оцрщ
8^ш"
Точное решение грдисценден<ного ^рдвнештя дне) Z70 53МэВ.
задачу 3.17. Из
, э, Л4 , ч 4ш"и'6б , К , а. /г А4
3.15. (-Х2 — —Д2-->'- (/г> = — ТУ “• \л > “ "7 > V
' V 8»i uUq /Г 2 2
7., , По
3.20? (г).л-7-^ 20я = 100 Л. где 0-0,01 (ючное значение (;)=
л Ь, ' " '
= -\ л 140 М-
/2л &.
Решение. Разобьем облаоь нахождения атома гелия надвечастиП-
внутри потенциальной ямы (0 < z а) и // — вне се при z > а. В об^шетн/-
ЧЧ + 42Ч’1 = 0, r.lefc-^. «I Н‘
/I 'ОД
Решение этого дифференциального уравнения очевидно;
H>!(z). = sin kz. поскольку при z = 0 должно быть Ч’1$)'=|\ вр
В области II:
фц ~ Х2фц = 0, где х = 1 /2тн (1/0-^У !й э
Решение последнего, уравнения
Фц(г) =Л<?“Х‘,
Р^'А— константа. Заметим, что, формадшны^ решенЖ
э^2^Х1>ав,нен,ия могла, бы быть, положительная экспонента.
ф(з),что.не имело бы физическогр.ст^ыср^ 1-V’
23Q,
•'М
при
HJ vela г. с. ори с = „ „№бход„м., №шад сщщга >f
1\НЙ'
4'1 (u) - v. е sin ка =
'I'jtu) - Ц'ц(и), т, е, A cos =—лхе~>(“
01КУЧП ivev
cig An = —AA. (3)
Но ус.кчшм »««ви фуикцич адсорбированного атома а основном со-
„«W »•»•*> максимума при ; = с = о,99а = (1 - 6)„. где & = 0 01
Млепмум лежш и облает /, г. е.
‘М-Ч — sin Az* — 1, откуда kz* = *,
Я oavii.'i определим А
‘(1 + 6>’
Но интегралами ио области / можно пренебречь в
одновременно расширив область интегрирования в
\ze~-i:;dz \ze-2K1dz
О 1 а _ 1 + 2хД
вшельно, ---------, но -----------------------
J е--" <1: J Л
ЭЮ очень близкие выражения. Поэтому
силу их малого вклада,
области 11 до 0. Дейст-
Так как 2хд» Ю-2, то
i7\~2______= ± = 2t»20<i= 100 А.
Р'2“"2
О
231
На рис 150 приведен график зависимости | т|>(г) р. Хоп
функции и лежит внутри потенциальной ямы. но среднее значение Л*
ты М - далеко за ее пределами, поскольку ф-фупкция крайне мс„”М*
дает при 2 > а. Точное интегрирование дает н»о>
Здесь t = H = lV2»i(t/0-<V= ~ <S, = О0-«• f«-
чет показывает, что (з) ~ 5.4 A, i. и. «в среднем» аюм находится не вне ящ
а все-таки внутри нее.
3.22. UQ = 2:1 \ = 16.6 эВ; о ~ — !' , = 12,45 эВ.
9?«й'
3.23. U0= S*tl\ = 5,53 эВ; <S = — = 1.38 эВ.
21та~ 4
3.24! Решение. Энергия частицы т. находящейся в одномерной по-
тенциальной яме шириной а. квашусчея
При переходе частицы из состояния п-I- 1 в состояние п излучаект
квант энергии с частотой
-Л.
% + 1.(2н + I).
'* 2та
Классическая частица колеблется в ямс с частотой юК1 = 2п1Т, ре
Т = 2alv, где в свою очередь г — скорое i ь част ины при движении от стенки
к стенке — определяется ее энергией. Для сравнения примем значение энер-
гии равным Е . Тогда
Теперь сравним a>,I + I n с <оК1;
f>Zl+l.Z> ]
-----------= 1 + —► 1 При
^к.1-------2н к
232
Эта задача является иллюстрацией принципа соответствия Бора Пои
больших значениях квантовых чисел квантово-механическое поведение си
сгеМы переходит в классическое.
3.25: Решение. Запишем уравнение Шредингера в виде
п
В области / волновая функция частицы состоит из падающей волны
п отраженной
= re_'(A'ix+“0,
а в области // — из прошедшей волны
ф2 =
где индексами 1 и 2 отмечены волновые векторы в областях I и II соответ-
ственно. Амнлшуда падающей волны принята равной единице, что, очевид-
но. не нарушает общности получаемых ниже результатов. Волновая функ-
ция и ее производная по х на границе раздела должны быть непрерывны.
Это приводит к соотношениям
I + г = d, kv — k<r = k2d.
из которых находим
I) Если о > £/->, го волна однородна, так же как падающая волна
Ф, и отраженная i|»j. Вычислим плотности потоков вероятностей для отра-
женной волны
и для прошедшей волны
,J 2т [ I) 2 dx 2 dx J т
Плотность потока вероятностей для падающей волны ;e = »k1/m = Vi
(равна скорости частицы, налетающей па барьер). Вычислим энергетиче-
ские коэффициенты отражения R и прохождения D:
233
Величины этих коэффициентов находятся в согласии с законом
нения энергии! R + Д = '•
2) Если £ < 1/2, то к2 - чисто мнимое, т. е. волна во второй Q6na
однородна, В атом случае Л = I. т, е. отражение полное. Полиад k J
дм W“ 80 8TOPq(l оЬшстн *'*
ф = e'nV
2 Ч+*2 ' IS|
т, о, амплитуда волны в области II эксноненцпалкио затухает при УдаЩ)
от границы раздела областей, щ
Глубина проникновения I определяется как расстояние, на котором щ».
ность потока энергии убывает в е раз, Для нее получаем
/ = 1О = _Л-----------.
2 2У2,>1№-4’> |()
3.26. Л|к-Т«1^-2Т- = 2.5, где D - коэффициент прохождения.
Примечание. Видно, чго число ударов очень мало, т.е. здесь состо-
яние «слабо стационарное», и обычно используемое выражение дла числа
ударов через коэффициент отражения плоской волны от барьера в даннад
случае является очень грубой оценкой, дающей представление лишь оно
рядке величины числа отражений.
3.27, т«т >0~,5с. где ~ частота умр
4 1 2© U у III ‘
г\ л &) . п! £
о стенки ямы; D = 4--------------Аг 4 \1—----коэффициент проховд.
°”
ния, См, также примечание к ответу предыдущей задачи.
3.28. Я = & 20 А, см. также решение задачи 3.16.
' 3.29, I = 0,56 нм.
3,30! Решение. В области / (д < 0) vp, = etkix + re~ikix, г®
&j- = 2m(<S — В области барьера (0 < ,г < /) ф = aeiks + 6е_,Ч где
£2 = 2wi((S — В области// (д- > /) i|i;/ = rfe,A2-v. где А? —
Сшивая волновые функции и их производные в точках д- = 0 и х = 1, по-
лучим систему уравнений относительно г, т/, а и Ь:
1 + г ~ а + b', aeikt + be~ikl = deik2l;
= ka — kb\ kaeikt — kbe~iki = kzde*^1.
Отсюда получаем
(*1-Л)Ц+^) + ц1+вц^вдег"
<kl + »(Л + + (i, -tt tt - fa)e2M'
________
<*1 + *) tt +k2) + Ъ>еИ‘
- . 44 1:-’-С!ицы ниже высоты барьера, г.е &<.(/, вол-
к оелаши бартера имеет вид ip = ае хХ4-бсх\ где
'? ^.л • - 4 в ?юм случае в формулах для г и d нужно провести
. „ .-.х иссчольку б области 11 мы по-прежнему име-
j4‘4 ч • асхМх' -'О ю получаем важный вывод — квантово-ме-
4 ’ .... ,г- . .... мох." npexeaaib сквозь барьер даже в юм случае, ког-
л''""' ., ч м.'-г-с в.-.се’ь. барьера У'лупнельный оффекл»).
-J '* ' .• , . 'ж с делена бьль больше потенциальной энергии U
, .. , ё».е -ос '-лл:' Толщина барьера (ямы) должна быть
* у у 2 -• 1 -’.е ‘ = г \ 2/гце — U} — длина волны де Брой-
. •, • ч-- , \ ччмыЛ. или. иначе, I = n.ft.pWZnv,.^-—(/'у и зд-
де -> - I. 2. . , i е. оиертия частицы до-’1жна
•ос-4-'4' у •
ч . ,-сёс"'--с -ых э’Д1чен'а>1 .mcpiww в бесконечно глубокой
о?с,v . г че\'.\т' ’цсноло'хсно на высок* барьера.
’ - •• 1,2,0, . или в числах <э„ =
значение R = 1.9S М.
-101:
счр (-59Sux)
i подбарьерный переход а-час-
[bi Z —2. го оставшаяся часть
L (n =Z'Z</r. По условию
ачнесги барьера по известной
-i \ Т, ;''' I—
чкмию npowSpe» « в «ОТ У^ч™го в
,. ?тет интсгра-ч
= \r-,'Kr =
= _ ДУДгдТк? i1'
235
Из рне. 151 чга
очевидное нераВе1|„
К. справедливое в силу заданного у^
Таким образом,
,1Я приближенной оценкн иерОятносП(
i:ui в единицу дремот (постоянной^
Рнс. 151 нала) X необходимо прежде всего оцеинц
число столкновений а-чаегицы е иотоициалыюй стопкой за I с:
где v - скорость а-чаепщы внутри ядра, которую оценим из соотношенщ
неопределенностей:
Вероятность распада в единицу времени
Рнс. 152
X п» Л-
2in„R‘
Период полураспада Г ядра, как взвесь
но, равен
где <1 и b — очевидные константы. Пролога-
рифмировав эго выражение, получим закон
Гейгера—Нстгола
1ЕГ.Л+-»,.
3.37! Решение. Оценка изменения туннельного тока может быть прове-
дена при рассмотрении одномерной задачи (рнс. 152). Обратим внимание,
что на такой энергетической диаграмме потенциальная энергия электроне*
возрастает снизу вверх, а потенциал поля — наоборот.
Очевидно, что туннельный ток пропорционален прозрачности барьера,
изображенного на рис. 152.
D = О0 схр
( л>>| (Л, </.,
й э
где напряженность электрического поля Е = (Л( — Л2— eV)ld. Интеграл
показателе экспоненты легко вычисляется:
d
у ( Лт(Л,+ cE.v) = А — I Из + еИ)И -
п 2 За еЕ
236
Следова'ельно, прозрачность барьера
yTiJnd .
НА ~<1\
цр„ иерез.ещевпи ига,., над сгупеиъкой оысогай 4 в полу,1еино„
В* слсдуе> мжпчи >1 на <7 Ь. Таким образом, ток g возрастот в ’
4v^ 1 , >
JW)
8 раз.
J.38. Ток уменьшится; = с o s" ^ 0,44.
3.39- = "Л.
3.40. D = охр зОР7] кв ИГ'А где р = ^ = ,„ „ „р„.
веденная масса системы на двух дейтронов.
„ | л<п^»Г(1/0-<&П f l/0-.g\
3,41- ехР 1 j ” Сх^ I — 2л —^—— I > гДе 4> — энергия
^збуждеиия ядра, а — координата классической точки поворота.
3.42- / = “г =--------т'----2---’ где = ~ (<S 4- с/0), а, — макси-
(’21 i + llWAe ft2 0 2
мяльное значение Ц'-фуикиин в области 0 < х«л; А2 — в области
« « л- < Ь.
При Uq <8 величина / -» 0 при всех 8, кроме «резонансных» значений
«ООП ОТ -1-^ = 0>- Пр" Р”»’ S„ = (2^Т± 1)2р|2 - и0, „ = о, 1. 2.a f = 1.
8нш
3.43’ Решение. Атом гелия участвует во вращательном движении. Мо-
мент импульса этого движения квантуется
/"iie’,r = ц^' = Р 2, 3, ...
По услоаню. если и — скорость атомов гелия в вихре, то нг = К — ин-
TCiiciiBHOCib вихря. OiKyna
11
»'11е
min
= 1.6 10“4 см2/с.
3.44. -Чг)=^.
?л((сл
3-45. L„,„ = W.
3.46. = W.
^ = 1l^=3,8-10-43B, =
8гна 4111а2,
iioieiiiuiaJibiiQii ямы U « (U — <8) 4- <£ =
3.47. Энергия связи
= 7.63-IO-3 эВ. Глубина
= _Т_ la + -!bj =8-10-3 эВ.
4/ин \ 2 /
3.48. S„=C/0-S=^4='23k:>B'
Cli и 2»i«
237
3.49. n. — $ 1,54, где a' — ширина «сжатой» ямы.
д' 3-/3
3 50 £2 = 2 = 4,5, где U’q — измененная высота ямы
' ' 2 Г7
3.51. V77 = 3'6'10 эБ> где "Р°ииодемос'1Ъвоз11ИКаЮщеП)барь
ера треугольной формы (рис. 153). D exp 2 _AJ£o, — (t/Q — <gJ
^7,8-LO'5. •!
Рис. 153
Параметры задачи подобраны 1ак. что в ямс есть только один урск
вень: sin Ла=д1—-—?ка = 0А88ка. откуда Ла =1,92. Величина еЕа=
* ImU^a
= 0,012 эВ «: UQ- £ = 0.12 эВ.
3.52. — = Ю-0 с, где проницаемость возникающего баш,-
vD D ’ 2ю ________ и
ера треугольной формы D ехр | — 2 — (t/0 ~ ~ 1,45 10“9.
Параметры задачи подобраны так, что в яме есть только один четный
уровень: cos ка = V—-—? ка = 1,94Ла, откуда ка = 0,46.
2/л1)ол
§ 4. Атом водорода и водородоподобные атомы
4.1! Решение. Пусть частица локализована вблизи силового центра
внутри сферы, радиус которой г. Ее потенциальная энергия будет порядка
—С/г5. Неопределенность координаты будет порядка г, а, следовательно, не
определенность импульса — порядка й/г. Такого же порядка будет и сам им-
пульс. Следовательно, средняя кинетическая энергия будет порядка
а полная энергия
_Г
nirJ
Если т > 2, то может принимать сколь угодно большие отрицательные
значения. Но в таком случае должны существовать и уровни энергии со
238
Л«1Ь угедно большими по абсолютной величин» ™
»» £ - ®««ие частицы на силовойцеХТ"™ 3“ачеи"-
си№ угодно большие но абсолютной величине 3начениГ/СЛИ ® ™
„„чу невозможно имение на силовой цента и . ® ые»«мо»ш, цц.
^ного СОСЮ.ЧНИЯ с <S < 0. ЦеЮр И в®м«® образование свя-
4-3. -^ = —— = const. (Классический закпи г
Г >.<“ Закон Кеплера в системе Солн-
Г3 Y=VC
ие-Зечхя -т = —т- = const).
uc 7“ 4л'
4.4. ч>« е-“г- ше а = ф. = X, Г( _ радиус юрвдй
t« годородоподобного атома, а функция ф _ с точно,™ „„
юа константы - описывает основное состояние boZXZX:
I -г/г,\ о _ _ rnZrе
1
AS. I ti’l2 = ™ г~^г. где а — -2те^е\
fi~
. = 2mZe2 ~
‘ j.2"-4величина максимальна при
г—— т = г1- где ri — радиус первой боровской орбиты
? mZe
4.7. W = |rt.
4л
«-® = 7Г
Примечание. Здесь можно обойтись без интегралов». Достаточно исг
пользовать теорему вириала для кулоновского поля
2{Т) = —((/)> откуда:
£п = (Г) 4- и при п = 1
Таким образом.
(1)=±.
V/ Г1
(£/) = — Ze ; (Т) = Ze = — (См. примечание .к сивегву .задачи
4Д0. а = — В = ^4-; ~ откуда л ==2;ч ,
2Г 2Г 8Я , ы >, .^._-
Поскольку Тр =» 1р(г), то / = 0. Это 2s — состояние? Если сс- 0; то это.
основное состояние 1s; при этом Р — — = 4
решите задачи 3.10. _ -ч> -13
«1.R>2^Sa370°;i>^-3.7cM , , в
4 12. Разрешающая способность должна быть нс меньше
2 ine zs00
Она одинакова для всех линий спектральных серин смеси. Разрешаю^
способность призмы ^=|000' , с’ ,lc«oc,f,|tHina для разрешения. д1?
интерферометра Фабри-Перо должны выполняться неравенства:
3 "Й- л;
4.13. Требуемая разрешающая способноеть А - -- 37()0
одинакова для всех линий серин, N > — 1^0.
4.14. Wss^-^ 3400 штрихов.
. _ . _ *iAd I X2 ______________________
4 >Э. C/niin 2(Х|?_Х||) 2ДХ лс
13,24 см, А~
АХ
3700
4-16. Amin
Мhe 1 — _
(М2~Л'/р/Щ. IT У''
4.17. Г!=-3—~ 1-0.0026- 10 8 см, чю примерно в 200 размен»
е iiiyZ z
соответствующего значения г, для водородонодобною иона с гем же значе-
нием заряда ядра Z. Результат получен в предположении, что /С-орбигамю-
она проходит вне ядра. Электронная оболочка практически не оказывает
влияния на этот результат, гак как из-за сферической симметрии электрон-
ного облака создаваемое им электрическое иоле в месте нахождения мюона
считается равным нулю. В том же предположении
<£
">,.еЛ 7}
1hl и1
7^
-2810 ~ эВ.
Отсюда видно, что излучение, возникающее при переходе мюона на Сор-
биту с более высоких орбит, будем расположено в реи псковской области спек-
тра, а при больших Z — в области у-лучей. При больших Z /(-орбита мюона
проходит внутри ядра атома. В лом случае приведенные выше формулы ста-
новятся неприменимыми. Результаты сильно зависят от распределения элект-
рического заряда в ядре, с чем и связана возможность использования мезоато-
мов для изучения распределения электрического заряда в атомном ядре.
4.18. = <§„=-<£, = 11^ = 6,80 эВ, XpeJ = ^ =
2п 2 н iKx
= 243,0045 нм, где постоянная Ридберга /?да = 109737,3 см"1.
4.19. $и = 6,8эВ (для позитрония); <£>,, = 2,6 кэВ (для мюония).
4.20. Д£ = И^-А —А] а- 125 эВ, где и — _ приведенная мас-
2Г1 А 4/ ' "ф + 'нр
/Пр , <
са мезоатома; = _£ Г| = 2,8-10'“ см, где г, = 0,53 А - радиус первой
боровской орбиты в атоме водорода.
240
800
’Щая
Для
Она
700.
>ше
тче-
тю-
>ает
он-
она
>Р-
ек-
«а
а-
(Т-
го-
4.21. I’ у---Z(Lc = 2,3- 109 см/с- /•
11 Z0Ti----Г1 2,8-10~*2 см
« = ^ = тЬ - пос™>™п структуры. ’ ,,Р"”
4 22. и <'2ъ 137 МэВ, где р == 2^,
JL "in + w,, ':с чриведенная масса ме-
зоатома. w, — масса пиона, — масса ядра г
, я3 т,^'1^1’2'10 см.
4.23. 1°, I = Ю"83срс; r,= 10^ см.
W 7»1п
размер «бинейтровного атома» лак велик, Ч1о I{ev^T
масс Вселенной, очевидно, совершенно недопустим. Д ДрУ™х
4.24. г„ = 1Г —5-; г2 4 • I03f см, где п = ) ? 3
пГсутп ‘ ’• L' -3’ - - главное кван-
товое число.
4.25. Ице - 4ИН - 54,4 В; К, . - 9ИН - 122,4 В.
4.26. = ’1 к = 2 1 7,6 эВ.
4.27. 5 = 78.9 эВ.
4.2S. (Sy) = (Г) + (Уу) = -40.8 эВ. где (у) = 1з,6 эВ, <0^ = =
= — = “54.4 эВ. Здесь усреднение идет по волновой функции атома
трития.
4.29* Вклад сильною взаимодействия Д<о = 0,7кэВ.
Решение. Прежде всею, определим энергию излучения протониума,
определяемую исключительно кулоновским взаимодействием, возникающим
между прогоном р и антипротоном р. Связанная система (рр) аналогична
позитронию. Поэтому для расчета кулоновского взаимодействия можно ис-
пользовать результат задачи 4.18 с заменой массы электрона на массу про-
тона. Это дасг уровни энергии ттротониума
а,, = - ^ = - Ry—А® -'w Л юВ.
’ 2/1 п "'е 2п п
Следовательно, вклад кулоновского взаимодействия в энергию перехода
2р-> 1s в атоме нрогониума составляет
A5kV,= 12,5 ~9-4 кэВ-
чл ^2
Расхождение с экспериментальным значением обусловлено вкладом
сильного взаимодействия. Таким образом,
Д^л^^кшт-^кул^'О’1-9'4-0’7^
В силу короткодействия ядсриых сил их влияние на положение 2р со
стояния незначительно по сравнению с is-состоянием, поскольку в кУло”°®
ском потенциале вероятность частице в 2р-состоянии попасть в окрестность
начала координат близка к нулю.
241
4.32.
430. = Сравните с 10.59 и 10.60.
Лс 4/1еГо
431. Т = 2<S„ = 27,2 эВ, где £„ - энергия ионизации атома водороа1
±^ = А^а2 = 5,44-10-’; г = 3^а2, = „/'
т„с 16 8 т„ «б СИ/,
где a = e2/fc = J/137 __ постоянная тонкой структуры.
433. Водородная лампа должна удаляться от дейтериевой со скорос
и яг 82 км/с.
434. Угол конуса разлета у-квантов отличается от развернутой)
а « 1.2-IO’2 рад. “
435 у = у-= _£=—» 8-107 см/с (угол разлета ft 180°)
е е 2v2 л
436! Д<р = ' ‘ , ft 0,15 рад ft 10°.
4лЛ
Решение. Разброс в углах разлета электронов происходит из-за налк
чия перпендикулярно направленной импульсу фотона составляющей
пульса электрона; ее наличие связано с движением электронов в атоме. Пол-
ный импульс электрона р = Vp2 + р\
Перпендикулярную составляющую р±, обеспечивающую максимальное
отклонение, легко оценить из сооотношения неопределенностей:
ДрДг~й, где Apftp±. Дг = г1=2Ц._
те1
Таким образом,
= тас.
где а = е2/йс — постоянная тонкой структуры. Для нахождения составляю-
щей импульса рц, направленной вдоль движения электрона, достаточно на-
писать закон сохранения импульса:
хТы?
Величина комптоновского смещения дХ определяется по известной формуле
дХ = 4лЛе ft 0,0485 А « X = 1 А.
Таким образом,
_ 2Л
р ft 0,15 рад ft 8,6°.
Максимальный угол отклонения электрона
~ — р ~ те\ л , с
tg ip = — =-----_=oj5> т. е.
2Л/А- 4лЙ2
Заметим, что для получения ответа можно было бы воспользоваться и зако-
ном сохранения энергии.
T + ^ = x^I + V"1V + ',2c2'
242
«*Wl очевидно, чго
4,1 "Ч рс,|"ч,г,||«гао кнлщд Mi = |214 кэВ
''11'““' |Ш11С1,е|()м Падому
2| л'
"Ж1Ж ''"Чччпчшч .................
J1 , oi куда /) и л; _ 2/i . э/.
' II V ,з-------р где дХ = А
, А А inc
" ............. M'UJI" JllePni» ™«. излученного при пе-
' ....... "I ua vp.iuein, ,1, (заряд ядра Z, а о — поправка
1 hi- 2 Поскольку энергия такого кванта в спектре
» । ны и равна i‘ = 21,6 кэВ, то из приведенной форму-
• на жраииронанне заряда ядра электронами на К-обо-
)ш.р| ня. in .и» - ,и'hi.ч .ня освобождения элекiрона из К-оболочки атома
1 (нср, дч.1 i « - I i> н - •<->. ранни
,u - (ZZll I)2 = 13.6-292 = 11,4 кэВ,
icpiHii 1С вылен’вшею опуда электрона равна
♦ Л. ,)/п -- 21,о - 11,4 = 10,2 кэВ.
4.39.
4.40.
4.41'
д£
- 2.53- 10-2 (ядро - заряженная сфера),
(ядро — однородно заряженный шар).
№ГР1 =
243
ешение. Считаем, что решение задачи оо уровнях энергии R
невском ноле точечного заряда
известно- Н'р = <£<1’, где
4 2т V
о Z'me ! п
® = ра«'Юф„ч„=1тег
Да Ф1 = ?7‘'~*'' Ис1н“™й Югевщ.
ал ара г а совпадай с гютеИЩШс,
гоночного ядра и отличается от него при
г<Ля. Если считав ядро равномерно
заряженной по поверхности сферой,
t/(r < Кч) = — ; если равномерно за-
ряженным шаром, то 1/(г<й)г-
= ~ j 1 “ ~Ч| <рис. 154).
2 Я, зл^
Представим истинный гамильтониан в виде
Н = S1 - ~ + ill.
2т г
где для шара
ъи =
и для сферы
О,
Ze' _ 3 Ze2 (
г 2 Ля I
Так как все отличие происходит ирит < RH « гр го рассматриваем &U как
поправку. Среднее значение 51/ в основном сое гоянии и есть сдвиг уровня:
1Г1) + (.г,|ди|1|Ч) = -^Фс + д«,
Д£ = j гЛЛр; 61/,^ = ^ 4л с-2г'П ,
пгт 0 -JL-
е
т. к. —3’^'10 1Т~ 0,1, то e-2r/ri 1. Тогда
Г1 25,6-10^
Ze' _ Ze'
г Ля
г2 dr.
Д<£ «е 4Л
Г1 0
dr =
244
Q4 10 t>tapo - ^ряженная сфера),
Ю (ядро - o;itlop0;ill(1 заряженный шар),
4,4,1. , < И 5 эВ. Г| - \ % о,5. |0-s
4.44. 7* ‘ ь 5 4 ,»В. < Де г J - 0.5- IO"‘S cm.
5 ’ • we"
445, 1 .is. >..u, p.i-uoc мк'оннон opoitibi г --—5,—IO~” cm «—
" 2е-шн b
i\'№cx.civ n.i-iiiu .i ‘0.53 X io оставшийся электрон фактически движется
$ iv.v с зарядом Z 1 ‘тч'дородоиодобнмй аюм). Энергия перехода между
spC.MHMH >' - 5 и 'i - - равна ото линия
J- К,|Л - --| - у- 1.52-104 см-1; Х32 = 656 нм,
где Л. = 109737.3 см’’
4.46. Энср.мя Зп сссточния находится из условия = &3S + — =
= -Г0- у-- -3.0.»В Пссхо и.ку £,р= -Ry^. ю получаем «г 2;
'-4
4.47. г = 1 Rx —0-10' см/с.
4 ' - Й2
4.4S! £VK = - ~ Z|Z - = -74.8 эВ; где обозначено ГБ-^?
= 0.529 A; £1W(| < ^4 7 । Z " 11 * 20'4 ЭВ' ГДС Z = 2'
245
, Р'еШенй’е. Вычй’слйм энергию кулоновского расталкивания электродов
в атоме бел'ия. Это интеграл в
«йл = П *’('!• ri ♦(Г1’Г2) =
= г2П I То(г,) I2-14>о(г2) |2-££т£2_
О 1Г1-Г;|-
Введем плотностй зарядов
р(п') =е|<Ыг1) I2 и р(г2> =е1Ч’о(г2)12
Тдгда
=4 И "ч rfr2=2.1 j р с.-, > <Р (г,)
где ip(r^ = j |к.Р^ । rir2 потенциал, создаваемый в точке rt распределе-
нием заряда р(г2) — аналог формулы q^pj (в силу симметрии можно
было бы написать <£кул = 2-^ j р(г2)Ф(г2) ^г2).
2 о
^г1)-г(г,2;44Г-
о 1 1 21
Разобьем область интегрирования на две части j = j -|- Тогда первый
о о г,
интеграл есть потенциал, создаваемый сферически симметричным распре-
делением заряда при r2 < rt. По теореме Гаусса он равен потенциалу точеч-
н'бго заряда; находящегося в центре сферы. То есть
jp^^j'pWM<Zr^Aj'eXp(_^),.2rfr2.
о о 'Б о
Для вычисления поля, создаваемого распределением заряда приг2>гЬ
разбиваем всю ббла'сть на вложенные друг в друга сферы толщиной dr. t
зарядом HQ = р(г2) -4лг2 dr2 (рис. 155). По теореме Гаусса потенциал вйут-
247
Так как j е">’ V" <Гу = >’(« + Г - п!- ™
о
= 4(,2 1 - -2- -- -Ц = 5 &!
гь]4 64 Iftj Zf, 64 sTp
= - ЖУ + Екул = -2 н- 1= -7- (z - |j i- = —74.8 эВ.
После ионизации, т. с. отрыва одного элемрона, останется водородопо-
добный ион с зарядов +2. Энергия связи оставшееся электрона есть
= -Z2Ry = -Z2 -С-.
^ИОН - ^св _ ^осн - Z
4.49. З^-состоянис.
4.50. 2у-состояние.
4.5 it X" = 3,7 нм: Т = тс
2/‘б
11.6 ГэВ.
= 20.4 э8.
Решение. Частота лазерного излучения в ЛСО <о0 = 2лс/Х0. В системе
отсчета ионов (где они неподвижны) эта же частота
=“о г;ю=х
Энергия перехода иона гелия из основное состояния в первое возбужден-
ное cS1. = RyZ2|,-L--!r| =3Rv = W. Поскольку = 1±&, то 6 =
\1 2 / (/io) *—Р
= (^12,8д°) «0,97. Здесь »Юо = ^ = 5 oli
Частота излучения в ЛСО (см. задачу 1.35)
со = со V1 ' Р =- сол —..Р.
*]-₽ °1-р
Эта Частота соответствует длине волны
X" = ~~
Кинетическая энергия ионов
Т = тс‘
бб.бСОд.
11,6 ГэВ.
4752. т=^ = |^аЛ<^=6,6-10-|2с. гас Ли = Ry Z2 = 40,8эВ.
,?> / х П (й<1>) 4
-Z-=2, n-=X’a=J- = J_.
afP;0-'- ' Tic 137
= 9,51 э&.
4.5 < FT = T 7ЖГ^= Wt6^
» / Ph \ ® / Ma (Z//K_Yk,. W •
4.55 . /? й 5 i 2 J 6500' KW> =
оовский радиус (см. задачу 4.40>.
Ж/'
O.sik - к-
§ 5. Ширина линий. Спектры Молекул,
Рентгеновское излучение 1
5.L Да - -±- ~ 10“4 нм, 1'^7
сМ х сЫ и -
5.2. 1.4-10_п.гдеЕ->|=^йЛА^)‘^- „
' Т£21 " 21 g Ис И , р — ;. (£ - ПЬСТОЯЙ-
ная тонкой структуры. р
Anin = СТ = 3 см.
SA. iv « -г1 = ГО МГц. где t = -
^33 К.
4А
М/\2ис2
5.6. Т = j = 8• IО5 К, где R — уНйв'ер'Са'лЬНаЯ' гаёОВая ДОсТояй1-
ная, Да — ширина на половине высоты резонансной ХрйВ'оЙ-
3.6.
Лй>—^1!0Я
5.9.- = -SL
-----— «6-10-S. ' •
2хЙе/л-£И0К . •, ... .?:•,.
_____ _________^3,5-10~8.
v rrt^teDc .‘. .. ’.: . ..
о’З i <йГ:-;-£'й’увг'
Р'еш’ени’е. Ударное уширений' спей1рйЛ1й^лййй1?с^^то>-^-^,’^(?
прд- определенны/ давлениях Газа бремя' >к^П!'йтбй'Р^,^.'ййб^^ё'^^^^'
Сгоянии определяется временем* между" cTOnXHPBef^S^pii^K^^^'''^ _<>
ут n6v'i с,-, V'^'Z's'/ ' '" '-1--''"' -
длина свободного пробега мбле^Х-‘Qj — ..... '
мблйб/л', соответствующая температуре Ту 'Т"^'V’ •• /.'.•
($$-(?—- сечениестолкновенйй. Так^обра^^н'Й^ЬдШ'бедавле^^ '
10
С другой стороны, время жизни атомов в возбужде,и,ом состоянии, Опре
делаемое столкновениями атомов, и уширение спектральных линий смза|Щ
соотношением неопределенностей-. Дтстт« 1 (или До>с1т »: 2л).
Если расстояние между спектральными линиями (в обратных саптимп.
рах) Др станет равным ударному уширению, то произойдет слияние этих
линий, т. е. _
AvCT£Av = д(0 =2лс Д«/. где // = ^Е.»Дд.
Отсюда искомое время жизни т 1 ~ 2лсД</. Окончательно необходимое
для слияния линий давление
р = _L л 2лсД<? ъ 440- )06 длн/см2 ъ 440 атм
от ’ 3 о ' 3
5.11. а) / = 0, 1,2; 7-6.9-10"39 г-см2.
б) /= 1, 2, 3; /= 13,8- Ю"39 гем2
5.12. l.OlTcT, где ц — приведенная .масса молекулы
' Hhci
. лсАтоа~ _ ,
5-13. *„ = —J-^2-1 =>'
5.14. = = 1,0015, где индексы 35 и 37 опюсягся к изотопам хло-
Ш37 hs
ра 35С1 и 37С1, / — моменты инерции молекул оиюсигслыю центра масс.
5.15. «h3"Shd:«d1 = 2,-|: I-
/ П 1 1/2
5.16. г=|- - =1.4-10 5 см. где Р]][}г~шп — приведенная
^линвг^у *
масса молекулы НВг.
5.17. R = А. = 140, г. с. гоебтемая разрешающая способ-
ДХ Дш йХ
ность Я> 140. Такое разрешение может бьнь получено в спектрометре, ис-
пользующем призму.
S
5.18. т z 500 с.
5.19* Реше н ие. Теплоемкость молекулярного водорода С =
— ^пост + АР + Скол. Поскольку рассюяния между колебательными уров-
нями велики <Д£К0Л-'- yZZ40Д<911р), то при комнатных температурах
колебательные уровни не возбуждены, а вращательные уровни возбуждены
все, поскольку по условию Су = (5/2)Я. При Т = 100 К вращательные уров-
ни не возбуждены вовсе. Таким образом,
ЛТйДё =А, откуда I <, ~ — 1О-40 г- см2.
г 1 кТ
где к постоянная Больцмана. Следовательно,
*V = |J2(/+1) »*T(Z+ I); v = *T(Z+l), еде / = 0,1,2,...;
250
10 |ц' Ч,ах« 1.5-10-2см = 0>15 мм
дочк-гсгоующая линия лежит в далекой пнфпадасипй к
5.20. Количество вращательных уровней / ~ f ° o6jlacTH спектра.
. \ •’2 *"1пх ”4'
5.221 <§„ = /!«> л + 1 - ,.дс „ = 0 1
\ “/ 2ш«Г ' .....
решение. Запишем уравнение Шпрпиигап
«юго оекплля.ора в :,лек,рпчеекоЛо« Ё " °ДПОМерного гармони-
w»L’ = — («Л2 „ \
“w 0.v~ 2 е^л I '!’•
Перепишем eiv в i.ikom виде;
Полученное уравнение мохно свес.и к уравнению колебаний осцилло
гора со смешеннымцо.тохением равновесия, если выделить полный квадрат
Б выражении в скооках в правой части уравнения р
Тогда уравнение Шредиш-ера примет вид
Уровни энергии в этом случае, очевидно, следующие:
S* = йю(п -г -М . или 5(1 = й(о(п 4-1^ —.с где « = 0,1,2,...
\ -I I 2/ 2тш‘
523*. «)| — сэ2 ~ (м2 ““ ("з = == 0.32-1015 с~1 = УЛ/ц, откуда вычисляем
fc* 1,2-106дин/см.
Реш с Ji не. Найдем частоты, соответствующие заданным переходам
(ряс, 156).
= 2“ = 5.59-1015 с-1;
(|>2 = = 5.27 1015 С-1;
Шз = 2Л£ = 4,95-Ю15 с"1.
При вычислении мы сделаем округление в третьем знаке. Это дает точ-
ность (0,01/5) • 100% = 0.2%, что укладывается в интервал измерений
(0,2% — по условию). Вычислим разности частот
Ш] -(о2 = 0,32-1015 с"1; й>2-«3 = 0,32-1015 с'1.
251
TMN «аими»» яивмк*»-"" "om УРО“"ей I. 2, 3. Сл»
MTOIWIO, ОНИ МОГУТ СЫТЬ сии-зииы с КОЛобПГСЛЬИЫМИ УРОПШ1МИ молекулы
<О| -<|>2 = «>2“ <О3-П “
где Л — жесткость упругой связи, р приведенная масса молекулы
Иг, Таким образом, искомая жсс1кость
Ли р02сз 1,2* I О6 дип/см, где р ~ 11,69- КГ24 г.
Заметим, что найденный
колсбптелыiый киант молекулы азота
Дф’-/Ю = 0,21 эВ. Табличное значение
0.29 эВ.
Электр.
М — масса атома.
Pc in он не. Двухатомную молекулу
можно рассматривать как квантовый гар-
монический осциллятор. На рис. 157 изо-
бражен потенциал взаимодействия атомов
рис< |5б в такой молекуле. Вблизи положения рав-
новесия форма ямы приближенно парабо-
лическая. Однако из-за соотношения неопределенностей квантово-механиче-
ская система не может находиться в этом положении — на дне потенциаль-
ной ямы. В результате возникают пулевые колебания с полной энергией
<S0 =s Л<о0/2. Далее идут эквидистантные
уровни возбужденных состояний двух-
атомной молекулы с Д<£ = йо)0. где а)0 -
частота колебаний двухатомной молекулы
<о0 = VA/р = у/2к!М, где к — коэффици-
ент упругой молекулярной связи, ц-
приведенная масса молекулы. М — масса
атома в молекуле типа Н2 или О2.
Согласно соотношению неопределен-
ностей и теореме вириала для осцилятора
можно записать <S ~ 2 (очи-
с 2»'е »|ев2
таем, что область локализации электрона
порядка межатомного расстояния). Отсюда искомое отношение
Ям _ «С Я2 »й _ д/2н,е [0.035 для Н2,
«е V a2l,ieAf£c М ~ jo.OI для О2.
Для оценки амплитуды нулевых колебаний воспользуемся приведенной
в условие ^соотношением к « 5е/а2. Как указывалось выше, энергия нулевых
колебаний \ . .<, . -
- _ кА2 .о йохх?2
Ч?=-т-=:-г-’ откуда Z2 = —.
z 2 £е
252
Постановкой найдем
°-15а для н2,
°-08а для О2.
га
ie
'У
4 Ь»е
= ^- НОСИТ название параметра неадна6ат„чвости (см.
Величина К —
задачу 5.29).
5.25. А)=У2^|Гл4’74'1(Г10см; ’’ЬЗЮОК.
5.26. Молекула О2 находится в осповпом состоянии, так как
1Г = 0,025эВ«Д4. Поэтому Ло = _Л=0,058А
v Vдд<£ л- *Де И — приведенная
масса О2.
„ Д4ал _ Иго“ 1Rn ,,
5'27- ----Г,--180> ’Де ~ приведенная масса молекулы азота,
^-положение минимума кривой, берется из графика.
5.28. X = 2лср^£ «31 см; /гы = 4- 10-6эВ; Дп =
3w ’«ко
»4-10"и см.
5.29. &он“~^----7JT.J - О.27 эВ; = __Д_=019эВ
Решение. Поскольку масса электрона много меньше массы ядер, то
скорости движения последних малы по сравнению со скоростями электро-
нов. Тогда в первом приближении можно найти энергию электронов при
неподвижных ядрах, а затем учесть движение ядер. Такой подход носит
название адиабатического приближения.
Энергия молекулы с учетом движения ядер может быть записана как
« = <83л(Л)+^” + ‘6-
При этом энергия электронов зависит от межъядерного расстояния как от
параметра. В энергию <Son(/?) включена также энергия электростатического
отталкивания ядер, поэтому <§0Л(Я) фактически является полной энергией
молекулы при фиксированном положении ядер. Полагая далее, что
R = Яо + дЯ, где Ro — равновесное расстояние между ядрами, а дК — откло-
нение от него вследствие движения ядер, запишем &ЭЛ(Я) »
^ЭЛ(ЯО) + ~ 3 ^Д) | j* я (6Я)2. Второй член представляет собой потен-
циальную энергию ядер т. е. усредненный потенциал, создаваемый
электронами. Вместе с кинетической энергией они образуют энергию колеба-
ний + £/"^т=:^кол. Если сюда добавить энергию вращения молекулы
как целого <эБр, то получим энергию молекулы в адиабатическом приближе-
«ИИ S = (До) + Заменяя по принципу соответствия классиче-
ские выражения двух последних членов их квантовыми аналогами, получим
+ В/(/+ 1),
<§0 — ^элС^о) + ^школ
253
где 13 - постоянная вращения, р - нрнвсдснная масса адср
2|лЛр
2 _ I iftim I __ ,11шдр0| ujcionj i-ojicoaPTOi ядер. Можно показа,.
““ и Ъ-«„
что «3„(/;0) : /(ш„„ : В = I : К2 : A-J <СЫ. задач» Я '-О.
Энергия диссоциации — ло разнила между -Hicpi нами основною состоя-
ния молекулы и энергии дву;< удалспнык ломов водорода (делирия), )ф11Ш|.
маемую равной нулю. Т. о / = ^р- Энершя основною сосюяиня молекулы
£0 = 4jji W +|/,ц)1.шг
Разнос । в эн с pi ни диссоннании молекул ))2 и Н
Д<£ = /Dj — /л, = 2^d 2<^э.ч- Г ' *11
Поскольку
т„М / ш.\
где ц — ___!:-xzin, I—— — приведенная мае* <i hick i рола, ю с учетом
Л1е + Л/ 1V А//
одинаковости ло)енцналов взаимодсиснл1Я, получим
От1!ошеш|е — — 'М-— ожуда cacjyci —М . . 0,19 эВ и
за, 1рц 2 72 -I
“~=0,27эВ.
2 V2-1
5.30. £„» Л'ц.яя 1,2- ю-’‘эрг- 0.7S- I0-4 эВ, >дс 2г л J,5- Ю-* см -
8/п/
характерный размер облает, занимаемым озншм ан>мом и жидкол! гетш,
5.3Г УМ =Л^.= I.63-I0-3.
Д^КОЛ Шрго
Р е ш е н и е. С ростом номера колебаicjibijoiо возбуждения меняется сред-
ний квадрат расстояния между аюмами в молекуле и, следоиа1елвпо, момент
инерции молекулы (рис. 158) эависш о) п.
'бкоя = Л
— (К) + (и) — — icopeMa вирнала. Далее. (U) =
, |де р — прнве-
Рис. 158
2х,
денная масса ядер. При эюм (.v£) = - —
и 2 ро)
задачу 5.25). Тогда
(см.
254
{,>•'/(/1 нЛшЛишп
11 v»'
.2 -
<•. . . > ик0.1)'
. i)
Kah ,mw ».> pcmei..,.., vy,„l44nyci 1гаапмодеПе>вНе Между вращением
............ "','’1'- '"" vooineicinvci выходу за предель! аДМОдыческого
П|НЮ/|||>*еин»| (i м Jfi'ia’in 5 2У и 5.57).
5..U. -м/ЬЧ- I.W. 10-^11^226 К
’• Ж Hi
5.J.I, АЛ..., - Ли Г1' > (1..l нН.
* ' ’ж
,1 I ЗДА’жд н
9"и' 'л~ Кл1,„...... "П’ WiX+Тад' W А« = *Ф--<Ь
5<J5. I’fiuan п. »нгр1ип ионизации «юМОй §LI II |Ы Д<£ = 7110-5 эВ}
|1ИНИ1|1а линии nuf.-foHivHiiH иэ-зн эффек1а Доплера &/ки
b
5-4,4’HJ ‘ »J>, iiw <c го шм кплффшШеЮя 1 2\ сМ, Д. Й; Сйвухйн
•Обшип курс <|нмнм1 Оинн-.п». формула 89.11) 5(17‘10“5ЗЙ. Поскольку
Огри HfiD'O. pn.vtc.'tciiiie naoiotios Возможно.
5,Jo. ) -1 — = 1.44110"1 см, где « = 11 III = 3,
и>-</ >> <ihr - l/ill'l
5.37. «-/iv-Ry(Z - l)(-7---^) * 17.15 ksBi V «4,14‘lD1» ГЦ,
«0,072 НЧ. Hi л1'.11|г|||1чннвлы11>1л данных пзвеепщ, ч-w ДЛЯ 10 < t < 30
WfO.UhPrt» ^ряиирплпним 1ДЗ.
<?<!)&. Чн»Г»м iioHRH/ifit'i, линия Км нужно BblOlitb электрон ИВ Л-обОЯОЧкй;
й (•рубОМ приближении апя лгено трсбусюя моИШоВатЬ StOM; Нрй ЭУдМ
i^ = Ry(Z-J)2. Гнкнм образом. 1'М(1»23 кВ, 1^11
9tli резулыагы можно ушчшнь. Так< й аЮМеМо ё^рук^ура йевано-ШН-
ни мевipuHiiux оболочек - -liPss1, i. е. ееН> йовмние Маи*s «чЛ»к
= 21,4 kali, В а+аме Си едадв
«е, в1ВДа et'Mn = ky(Z-
2SS
внешних электронных оболочек — Зг/10-!.?1, при этом в 3</-Обо
и, следовательно, требуемый переход — в 4у. Поэтому V Jl0l^e мес1
. , •’Cl) ~ 10 кВ A. Ict
тура внешних электронных ооолочек be — arf°4s2, откуда у
5.39: Решение. К-полоса образуется при переходах
сиобояные места. При таких переходах наиболее вероятно из?*ктро"® и
родиполмых иди Bl-фотопов. Самое коротковолновое ИЗДу,,1У‘1СЩс W
дри перехода внешнего электрона, т. е. 5s -> Is. Но такой пеД1" 6‘"1’ «и
пнем гп-фотона является (0-0)-переходом п поэтому запреаД с lllW
отбора то 4. Кроме того, для Bl-фотопа этот переход за„ 1,ра,1“«*
закону сохранения четности. Таким образом, границы К-сеои**1 еи,е н«•
ют переходу 4р-электрона (rf-олектропы не дают электоояп,, “ CWn'W
ни» потому что &L= 2>. Возич». “ЫЮ|’ "=W
ния, потому что AL= 2). Возможные и запрев
ные переходы изображены на рцс. 159
регая расщеплением уровней из-за спин^
тальното расщепления, получаем
A£ = Ry(Z- 1)2^-_^,
Т-5?>/2
— 42/)5/2
' — 42°3/2
—42Р3/2
.-42Р1/2
—
'51/2
Рис. 159
откуда Агр = 5,79-10“9 см 0,058 нм.
Для атома меди (Си) с конфигурацией элек-
тронных оболочек lx22s22p63s23p63<Z104? грани-
цы соответствуют переходу Зр-электрона
Хго % 0,013 нм.
Для атома железа (Fe) конфигурация электронной оболочки имеетввд
— все аналогично меди
Хгр = 1,64-10-9 см 0,016 нм.
5.40. Электронная конфигурация атома Со ls22x22p63$23p63d74?. Учи-
тывая» что для этого атома переход 4s—Is с излучением El-фотона запре-
щен, 8,172 кэВ. Минимальная энергия для возбуждения К-излученни
№. (линия Кц) есть 8,813 кэВ. Поскольку > <££0. то Х-серияато-
ма № не возбуждается. Остальные линии — возбуждаются.
5.41. Zr и Мо; между ними находится элемент Nb.
542. Na (35-+2Р -переходы).
5.43. V 15 кВ.
‘ 5Л4- Т'шщ = ----= 85,5 эВ, гДе « - постоянная тонкой
2[1 - т0/(тц+м„)]
структуры.
5.45. 5.ю’см/с.
..з 5.46. Минимальное значение Z находится из условия Брэгга-Вуй
(« = !).. Тогда Zmtn= 18.
< S.47/T» JS-- V . =2 7 кВ
n 2ei "“л
. 5.48. Переход из 1 = 3 в I = 2.
'’еСЬот,,ошен® засвлеипотей
записано с учетом их статистических весов (кратвотой
уш-н_^.+'е./р _ад>-М , ( И^^яа,т):
>‘-я^ ^+' I кт ;“3ехр^й7,)-
5-50' Т=^= 2'5'10Л '* Р - ”P>«<«BHa» масса ИОЛ(жуль1. Наи.
мыиев дайне волны соответствует переход вы . i п
",2,65 мм. ” Z = o- °™№
SJl- Т = ^= 7,7'10~4, ГЛС 11 ~ ”Рив«дам масса молекулы.
5^- й,(0,=да-=0’Н'
Г 2/ 2
J Г 'Ъ dx
553. а>=тг------=» 0,865.
j dx
[4l4M^
+1 = 18, где Маз — масса атома азота, те —
масса электрона. Квадратные скобки здесь и в следующей задаче означают
операцию взятия целой части числа.
5-55. JVmax = + 1 = 81, где «тах 80,9.
5-56- 6<§205 — ^203 = ^203 — э®' ^0ГАа ^205 = ^203 + 0»^ =
= -8,2 эВ (энергия ионизации в атоме с ядром 205Т1 меньше, чем в атоме с
ядром W1).
557! —0,046.
СО0
Решение. Гамильтониан относительного движения атомов в молекуле
имеет вид
^!.д + A2/(Z + 1) +£р2_? ер,
2ц г 2цг2 ~т^ т
ддеДг = А,
dr‘
о д тв>пс\
z.—— радиальная часть лаплассиана, ц. — —- — ” тн
/* *ЛН "г ” ^С1
приведенная масса. Следовательно, эффективный потенциал
At В- '
^3*4,W=f/«fiex<W+t/«=7~7-
+ ео2 = ео2 fl +«М+1>] = е«Ч1 +»1). м8-
2(1 L J. .,.., Uf:~ . шм'п&.
вииум эффективного потенциала находится при ra~~g~r Расклапыва^ .
тенциал вблизи минимума
-
J d '^Zidjtb
«WO
WSaeM чьуда^ие да» ко»Ффич«»га «'"
_ 1 Л«ц I = //
г d/ L 8лГ
'r-rо
„ „Д-М'М/Н'
Частота колебании ш, - у (л \ \ 8р -
, -Я2К1 +1) _ л Q24 <с 1 ю
Дядьку Ь> ~^Г t
м, ~ 4( I - гм!й1 + h 14
х </ * «И к *) ’ рх> \ 2 1]
Ддедемюбозна?еи.ие"о= - часю,а колебаний в основном сои?и>
»да , .
<>/ = <»<>(’-4j » ^—^,= - 0.046.
,См- так.же редтедие задачи 5.31. <_
. , Заметим, что квант колебаний ^cjq = Д' 2е-^ = 0,146 эВ. Равновесие
расстояние между атомами rQ яе о.
Дсди ввести обозначения - = - 1 ~ и 2ео = (/*)2 и
-додучим гамильтониан атома водорода. Используя известный результат, по-
лучаем полную энергию молекулы ё = — -----i----=., Если п ‘
' " ' 2/4 -н)2
jo полученную формулу можно разложи 1ь в ряд и получить
Л
.е=^4^Х+|ЬЛМ2-
•* рхг \ 2|Ю I 2/
- +1О
. . 2|ло \ 2у 2р. о4 ’ 2а \ 2Д 2/
Дервуде три чдена этой формулы соответствуют- электронной, колебатель-
Дои и Вращательной энергиям молекулы (задача 5.29). Четвертый .член ср-
даОТв^-ствует .энгармонизму колебаний (задача 5.55), а пятый — взаимой-
(с;$цю додебаний и вращений ядер (задачи 5.3J и 5.51). Не смотря яа*свою
. ДКк9?РТУ>-. которая дозволяет получить аналитическое решение, потенции
К-^а^ера дадо^со рд^ертврет реальную форму потенциала взаимодейс$.эд'.$
/•(алых расстояниях,отталкивание атомов в молекулах сильнее. а на(больв!и
расстояниях ~t протяжение слабее. Поэтому в теории молекул .обыун0^'
|99^®н.р.иа^ {4орса (задача 5.33), а в конденсированных^среда!»-
^ед^рла—Джонса. , 4
j 6, Спим, Атом в магнитном поле. r»AA
-лтиый р^уоиаис, W-K7 ^еемаиа. Маг-
< ! '' - - ’’' 'I^-’.— -- 5 мил.
zt.- ' ' ' см Oi распределения интенсивное™ в
' Л', -. д.- ... > Л7,ИиКИ вращающий момент такой же,
ил ' ' ,с ‘1!'<и вращающий момент удвоится, если
гд'Тм л-. - . • '• -
т~~ й’' ' । дин • см
54. О'-Т-Ю-’ щ-.ляризочан по левому кругу.
•у ~ = "./•I0“ч дин/см
$,д. вращающий момент возникает, когда главные на-
--ди’0 ' 1 < • ИС, I । преданны под углом 45 0 к плоскости поляри-
= lO-S дин-CM.
2.тс
о.о. /. ,11;i. ltin = 3 следует, что линейно поляризованный
сз-у 'от >',сz- .щ. ючилу всей мощности
—- = = 1,9 • I О-9 дин/см.
о.7 '/=7-— «’ !О~*зи»-ем; Т-££«0,03дии.
? с е .• / е Чсмо;' импулкса проходящей и отраженной волн равен ну-
ле в см.’у .’Иг'сй.-сй 1.0 щризании. Согласно закону сохранения момента им-
пульса АЛх„;ц = ~ЛЛ{)11Т (изменению момента импульса фотонов).
, , -Ч-ы.г l}e7Si\t _ е?5 _ 5Х - , Л_4
lica.na.O'.iZM momcmi W =------=---------— — ------^3-10 дин-см.
_W ^соЛС ед 2лс
C<ia дав'с^ия F соус юн юна изменением импульса той части потока,
кстосая испытывает отражение Поэтому
f 2^4^- = —«0,03 дин.
с 2л и) с
ФЗ. jc = р 2. = 12 - 10д дин,
гае д = 1 V Н7ТЛ = 1.78 I 0-17 г см/с; М = = 3.3 I О-7 дин см.
6.9, П1 ~ пилиидр закрутится против часовой стрелки (вектор со на-
правлен вверх)
6.10. щ ~ 2Л> д/; Ло = 1.1 • Ю-3 с-!, где - число Авогадро, А - атом-
Ат
лая масса железа [г/моль), р — его плотность.
6.11. На два <2.3 + 1=2).
259
Эи 4 гм
зк!Г
S -области магнита на атом действует постоянная
ст d.B а
.где—проекция магнитного момента -атома на направление поля^
= "1.Г&-ЧЗ-
~ фактар Ланде- В оснм“ом
:Na4.='O. 3=та,7= 1/2. г = 2, »<,= ±11бЗа время .< = £
с л ичеще-
:ние-частицы= а скорость на выходе Т7 = _Ji£
убедимся ниже). Зне магнита атом движется по инерции ,и
"*:V mv" '
За .-время i = Hv атомы приобретают скорость
V,. = ± Нк ^г~ -!— ± 20 см/с,
ах inv
(Приводящую к -смещению пучков на детекторе
dB HLI2+L)
х2 ' - ИБ -37-----2—•
и л mv
'Средняя кинетическая энергия атомов в пучке равна 2_- = |х-т’>.ОфДа
-'600 м/.се».дх, :а искомое расстояние между пятнами на детекторе
f___о„ ___о.. dB /(^/2-г1.) д
5_.2х2-2Иб — —------------4 мм.
«3-^ = ^.^(.1+^ = 1Т9ем.
/6Л'4. Дунок 'разобьется на четыре компоненты. Угол между :нм
!»2-10“2РВД «1-у-
' :CLX Am?v
/В-.области магнита на атом действует постоянная сила Fx =.
r.jbB— (Проекция -магнитного момента атома на направление1 лом
где:g — ~ +-lS(-t>1)7L(f' + 1) — ФактоР ЛандеЛИз^оприе-
.4 '.Д/ \ J т 1J у
глениящпектроскопического-символа ^^Fj имеем S = 3/2; 3 =ЗЙ;и!Ь=^''
поэтому ^-фактор '(фактор Ланде) g=2l5.
ЛЛ5.^=^Ж«д30Ге/сМ.
:<бЯб?у,6~=, ? -.wn:tg-<p=r86'MK-pafl-^~3f. ’
22яЛ . я
решение. Выберем координатные оси таким -
.ясно по осн Z, а нормаль к области поля есть ось°хТ°М: В напРа»-
альпая энергия нейтрона в магнитном поле Л <рис. 160>- Потенчи-
U= -рВ- -,нядВАпт5,
где Ряд — ядерпый магнетон Бора,
gn=— 3,82— спиновый g-фактор нейт-
рона (аналог фактора Ланде для свободно-
го электрона),
Поскольку потенциальная энергия од-
нородна и различна в областях х <0 и
л-> 0, то это приводит к силам, действую-
щим на нейтрон в направленнии по нор-
Рис. 160
Мали к поверхности, а вдоль поверхности силы не действуют Поэтому кя
сательная компонента импульса нейтрона будет сохраняться _
масса нейтрона): П
nii'j sin <р = sin ф, т. е. sin <р _ уд
sin i|> V[
Получили аналог оптического закона преломления. Из закона сохране-
ния энергии 2 -> ________
'””1 мгуП . ,, I 2L!a
~Y~ = ~T~±^° получаем 71 = "\11+____________°.
Возможен другой спосоо получения выражения для показателя прелом
ления нейтронов. На рис. 161 приведен график зависимости потенциаль
ной энергии нейтрона U (,г) от коорди-
наты .V. Из рисунка видно, что данную
задачу можно рассматривать как зада-
чу о надбарьерном отражении нейт-
ронной волны де Бройля. Волновая
функция нейтрона ф = Ае'кс = AelkA
(к = const и к. = const). Используя
известный результат задачи (3.25), за-
Рис. 161
пишем коэффициент отражения
_ pi cos ip—Ап cos _ Feos ф— (Ац/А]) cos ф
\Axi + Ахп/ cos ф + Ац cos [cos ф+САц/А]) cos xpj
Если сравнить это выражение с соответствующей формулой Френеля, то
получим, что
При этом условие непрерывности ф на границе соответствует условию не-
прерывности Е;, а условие непрерывности ф[. — условию непрерывности
Плотность потока частиц соответствует плотности потока электромагнитной
энергии (вектору Пойнтинга).
261
Оценим отличие п от I:
2mUo 1т}ЬядВ . 2 — е Б X 7. ,п-1з
____ t-z--г—~— л. - - 1 и *« 2
^П~ *с е 4<
Здесь было подставлено значение = ^г- Таким образом,
_ mUo ,2
п Яг 1 -,-=г^- л .
4--h~
Это значение, очевидно, разное для разных значений проекции cmm
нейтрона на направление магнитного поля.
Ддз. ms = j
2
1,91|ДцДХ2
1,9111^ 512
Из закона преломления получим
sinlp =SM; sin,p_=5i£i,
п+ п~
или
И- — Пл
sin ф , — sin ф = sin е----!_.
+ п~п+
При разложении разности синусов двух близких углов появляются oit
видные соотношения
|ф+— Ф_| Ф+ + Ф_ «г 2«р-. н+п_я&1.
Окончательно
9 = Дф=ф -ф_= (п~ — nx) tg ,p=L’9L^^x mtg
Подстановка чисел дает 9 ss 86-10 6 рад % 3'.
Рис. 162
6.17! н — 2; Li — 2; Fe — 1, 3, 5, 7, 9; Cl — 2, 4, 6, 8; Не - 1, 3; Mg-
L.3'; Hg— 1, 3; U — 1„ 3, 5, 7.
Решение,.Рассмотрим в качестве примера атомы Fe и С1. Электроаш
конфигурация' атома железа представляет собой заполненные оболочки,'ки
у Аг, • сверх которых имеются 8 электронов З^Фг2. Максимально возмож-
ный спин атома 5= 1/2-8 = 4. Для этого один электрон из З^-оболочкИ'И
’ 262!
:ni(!ia
ОДИН из ^.«-оболочки должны перейти в 4р-оболрчку (рис, 162), При этом
муль'пииюпюсгь 2S -I- I - 2-4 -|- I = 9, Если из 4р-оболочки один электрон
о 11ЛИ ^/-оболочку, то он обязан «перевернуть» спин, и общий
eftiui уменьшJггся ил I, и получим 254-1=2.34-1=7. Возврат второго
,ieKT()O(ia даст уменьшение еще па 1, и получим 25 4- I =5,
3 Шесть электронов в ^/-оболочке могут дать суммарный спин 2, 1 и О,
Получаются мультннлетпостн 5, 3 и I (см, ответ).
у атома С1 электронная конфигурация ls22s22p\ Максимальный спин
с = 711/2 = 7/2; мультпплетпость 2S + 1 == 8, Это достигается переходом од-
ного электрона в Зя-оболочку и двух — в Зр-оболочку и т. д.
1 6.18- Sr1’ - 2; Li4' ~ 1, 3; Са+ - 2; С2+ - I, 3; 04+ - 1,3,
6.19- <
6.20. Д« = 2л.Ле(Д - Д те 2,1 10-3 ЭВ; в = М« 1,8.1 о5 Гс
(А1 *2) 2[ХЕ
6.2i: А^ = 1'г>й|р|; (три линии)-
Решен ие, Для определения типа эффекта Зеемана (простой или слож-
ный) необходимо сначала оценить величину спип-орбитального расщепле-
ния, пользуясь данными задачи,
Д1| ^?^Лгаг.,й-гэЪ,
Далее оценим произведение 2,9' 10~4 эВ, Сравнивая две получен-
ные величины, мы видим, что цБВ « Д[/т, е, поле является слабым.
»|J g»lj
3/2 2
1/2 2/3
-1/2 —2/3
-3/2 —2
1/2 1
-1/2 -1
Рис. 163
Вычислим g-факторы СОСТОЯНИЙ 2Р%2 И 2|^1/2!
!.£_ ] .2
3 + 5(5 + 1)-/,(2. + 1)^ 3 + 2 2 4. 2 ( £=0)
gl 2Т 2Л/ + 1) 2~ 2.3,1 3’ i2
2 2 2
Определим возможные переходы по формуле
Д<§в = B(gKOtlm^an - gHa4т1}ач).,‘,
• Однако в силу очень низкой, температуры (Т — 0,5 К) кТ ш
4< Ю'-5 эВ «к 2цБ 7? (расщепление терма 2$Ц2>- Таким образом, при этой
263',
температуре заселен только нижний подуровень уровня 25]Д {т
Поэтому в спектре поглощения возможны только три ли„ии (рис I
3 3'
-2- (-1) =-1.
6.22. В спектре поглощения газа в магнитном поле будут наблк»^
шесть компонент расщепленной линии 2Р|/2 -» 2О3/2. Это сложный эфф 'i
Зеемана (рБ S « U1S; Рв « « « °-026 эВ)' |
6.23. 2/+1. !
6.24. £ = <£„ + Рвв?"!у. где <S — энергия атома в магнитном поле, £г
без поля, g = —tl; a J = }/|. /.-орбитальный момент валентной зв
трона, nij = —/,—/ + U •••> + /• |
6.25. Д«Б = ЦБ5(?! - g2m<?>) = I ± 1; ±|; + ±Л + Л ±«, j
I t oj / J3 45 1
-t-^L +—• ±— j. iiKB (18 линий).
— 35’ 35 35j rb
6.26. Это линии c A??Zj = 0 (колебания вдоль поля В не испытываю! ।
{262^ '
±у; ±зу> ±35[ — линий. Такие ля '
нии называются л-линиями. ини видны при наблюдении поперек поля ине I
видны при наблюдении вдоль поля.
6.27! Решение. Множитель Ланде
3 + 5(54-l)-L(L-f-l)
4 2 2JG/+1)
Для состояния 2Рз/2 (/ = 3/2, L= 1, $ = 1/2) этот множитель равен ;
= 4/3; для состояния 2S1/2 (/= 1/2, L=0, S= 1/2), g2 = 2. Смщеж j
расщепленных компонент мультиплета приведены в таблице:
2Р312 mJ -3/2 — 1/2 +1/2 +3/2
gmj — 2 — 2/3 +2/3 +2
М/2 mj — 1/2 +1/2
g>nj -i +1
Разрешенные переходы между компонентами мультиплетов (компой* i
тами тонкой структуры) 2Р3у2 и 2^1/2 Удовлетворяют правилу отбор! |
Дтп7'= т$У — т^У = 0, ±1. Остальные переходы сильно подавлены. Разре- ,
шенные;переходы и соответствующие им номера испускаемых спектра^’ ;
ных линий с указанием поляризации (л или о) приведены в таблице: i
264'
“"“Переходы Поляризация (гм,)(1) _ (гт^(2) № линии
-^2--Ы/2 -3/2--V2 подавлен G —2— (— п т
-1/2-^- 1/2 G л 2 1
'^н72->^1/2 4-1/2 —1/2. л СГ 2^3^- 1 -- —1/3 2/3 -г 1 —5/ч 4 3
K^ + l/2 3/2-* —1/2 G подавлен б 5
Смешенные линии расположеньГ^^^р^Д^^ „й; три ИИИ1 сжщены влево (1, 2, 3), остальные три - Всего1 получается шесть, смещенных компонент. ельно несмещен- вправо (4, 5, 6).
Магнитное поле стегается слабим, если ларморовская частота О =
= eS/'(2mec)' малапо сравнению с частотой 2лсД(Л2. Это дает В«
«(а1ИПес2ДЦ/(А2). В этом случае получается сложный эффект Зеемана
6^8. Дйв - р.Б В - Лй - Й число уровней равно числу проекций L
не В и равно 2L 4- I = 7.
6.29. Д^я =цБВ(Дт£ +2^), = ±(ТБВ, 0, т.е. как и должно быть в
сильном поле на три компоненты, поскольку для: электродипольных перехо-
див. Am.s = О, — ± 1, О (правила отбора).
Решение. Из трех линий спектра центральная несмещенная линия не
пройдет, если пластинка для нее имеет толщину тк.
Боковые линии пройдут, если для их длин волн к! и к” толлтиня пла-
стинки будет тк! -г к!/2 иг соответственно, тк" — к”/2. Таким образом, кри-
сталлическая: пластинка с заданным d и Ди (рис. 164) должна удовлетво-
рять. условию
dДп. — тк — к! = jjnz — к”„
т /' 2я:с т гг 2лс r\ sB: п
пде к. =-----, а к =-------ег ларморовская частота Q ———. Отсюда
<й-г-Я со—Й 2т&с
Вычитая эти равенства, получим • _ .
। _ cZArr 2Q, _ dAn еВ'
2лс - ' 2лс
откуда найдем искомое магнитное поле
2згтес -
edAn
Ж
Ответ не зависит ни от длины волны исходной линии, ни от орие
пластинки относительно поля (рис. 164). *
6.31. В сильном магнитном поле 6 = ®о + ("'t + 2ms). ypM[i
расщепится на 7 подуровней (рис. 165). Максимальная дополните®,?
энергия Д[/ = 3|1рВ = 3,5’10 4 эВ.
Рис. t64 рис- 165
6.32. £ =
4зпнес
----1— = 4,3 см.
еВ
6.33. L = ——=2,8 см.
2нХ|Аб В
6.34. Одна из линий дублета (переход 2Р3/2-> 2S1/2) расщепляется в маг-
нитном поле на 6 компонент ^±1; ±-^1 ±-|) £2 с расстоянием между крайни- j
ми компонентами
Дсо =
з
где Q = еВ/(2mtc) — ларморовская частота. (Аналогично, но на 4 компоненты
^±2; ±^Q, расщепляется вторая линия дублета — переход
Спектральный прибор для исследования расщепления должен не только раз-
решать расщепленные линии, но и не должен давать перекрытия порядков 1
Значит," область дисперсии ДА. должна быть не меньше J
X Ю g-g _ £ Х2еД
w 2л:с 3 2mec б ХШеС2’
Подставляя сюда ДХ = Х/ги, где т = d(n — 1)/X — порядок спектра, получим
. 6ятес2
5 ТТ7---гг 2’6 см-
5еВ{п — 1) , »
6.35. L = 2я/ПеС'
' тах .^В~
1,1 см.
:266
6J6. Нормальный (простой), так как рассматриваемая линия -- синт
лег. разрешающая спосооность интерферометра «зффМ ДОЛМа 6ыт“”;
меньше гае дш = П = ^. Величина 4). = 5ш долма 6ыть миь_
ше дисперсионной области к/,п, где m=L/k - Порядок спектра Из этих
условий получаем
2~тес <L<2zmec2
~ еВ '
пли в рассматриваемом случае 0,54 мм < L < 10,7 мм
_ . еВ 13 . 11 . 1 \ ,,
^т- Д“ = ^7Ьт?' *15' ±W; <6 компонент).
решение. Определим g-факторы состояний 2£>3/2 и 2Р1/2. Квантовые
числа состояния гО3/2 соответственно равны = 3/2; Lt = 2; Sx = 1/2. Кван-
товые числа состояния 2Р1/2 соответственно равны J2 = 1/2, = 1, S2 = 1/2.
е _3 , ЗД + П-ЙОт + П _4
81 2 2Л(Л+1) 5’
Аналогично, §2 ~ ^/3. Таким образом, состояние 2Ву2 расщепляется в
магнитном поле на 4 подуровня (рис. 166) по Состояние 2Р1/2 расщеп-
ляется по tn, на два подуровня. Поскольку g2, то спектральная линия
расщепляется в магнитном поле В в соответствии с правилами отбора
=о, ±1) на шесть компонент. Это сложный эффект Зеемана. Общая
формула для расчета расщепления
со = соо -j-— g2mj2) ’
или
До, = ш ~ ш0 = (glmJI - g2mJ2) = П (±]|;
где Q — ларморовская частота.
mi
1/3
-1/3
gffij
6/5
2/5
-2/5
-6/5
д^г
поле AXj
6.38. Зеемановское расщепление в магнитном
Р-бВХ2
~2^— 0,1 Д«: Дд = 38А (расщепление в результате спин-орбитального
267
= 204,585.
взаимодействия). Поэтому поле слабое, эффект аномальный (слож,„,,
на линия дублета расщепится на шесть линии, другая - на четыр,,™'-'
дачу 6.34).
639.В~^~;
6.41. Д<5.(«-Л~6=Г* cos °’9’' 10“‘1 JPr~ 0,57-10'5эВ
2мес п п
можно найти приближенно. Для этого надо перейти в систем)’
ординат, связанную с электроном. В этой системе вращающийся прото
здает магнитное поле В. с которым и взаимодействует спиновой магний
моменту. Для оценки достаточно считать, что векторы В ищ коадинеа^
(точный расчет должен был бы учесть, что cos Is* 1). Укажем, ЧТо
|S|-(11-^, еде |s|=s; (1|=/; cossl=±i
«ИЛ
Тогда
д£ к Is cos G « 0,91 10"17 opr «0.57- l(rs эВ.
5 2mec~n ri
При точном расчете
д^ ,=^-l7117'1 + 1)~/2(j2 -‘- = 4=4.53.10'5эВ,
4га2с2 ri п3г(1+йи + 1> 8г1
рии Лаймана (переход n = 3
где n = 2; /=1; ]\ = 3/2; /2 = ~ ^2- где ri — Р&ДиУс первой боровской
орбиты.
Отличие в 8 раз!
6.42. ДХ = 2лйс|—„ -1 - • I /?С % (А. + Д2) ^0.0004н.ч
^0,2-&2 10,2+Д^ (10,2)
где 10,2 эВ — значение энергии кванта нерасщспленной первой линии се-
л4. д2=-4-
32 гГ 2 32 г=
АИ+1Щ_/ + 1
6.43. ;--=---7—.
6-44! Решение. Зеемановское расщепление должно быть больше до-
плеровского уширения за счет теплового движения атомов (в основном, во-
дорода) и вращения звезды, т. е.
Д(О _ 2рвВ /ДоА j (ДъА
<|>0 ЙФо У^/тепл Х^0/;
Окончательно получим
Л^-Л^.ЗкГс,
2рБс ' /ир
___________ ’'тепл । ^вращ
вращ С С
£68
! =* , г
j fc®. ЕЛ-Гб^зВ.
1 ^^^//“/^Г,))::С'Г^/-Ч'::'”-11Ра»«о.йЯтер1алЖ.Лида
. ,'=^=ZS'1 ГДеft =2 -
, , «паич? зяаетрввз- Эгетгр-иментаиьгае значите 1=21 ем Зтог
даяугажж « ггри тмрегиче-жз» ржсияревди е летоя р^да/гХ
'» t даяродага-)' распределение гаотаости cmwoaow иагнин®, ^йХ
ifif заметим однако, что для оттенки величины сверхтонкого расщепления'
fe ' азняетх состояний обычно’ считается,. что это диполь-дипольное взаимо-
дз^тдае магнитных моментов. электронов, и ядра.. В* данной задаче это май
яитнее взаимодействие- электрона: и протона;. что приводит к оценке
я это, роответетвуетг длмне; ваяяи 3
. (jubiks достаточно сильно отличается: от экспериментального значения:
л =2С см- Ясно, что это1 обусловлено грубостей приближения;. поскольку
вгектронная- орбита здесь считается1 классической; Йа> самом деле злекчг-
рплнат плотность, «размазана^ в. объеме порядка, jitrf-.. Нели считать,- как.
тезенно ® условии,, что1 электронная плотность однородна, по объему шара
радиусом Kgy. то- модельная оценка и эксперимент отличаются: намного
ц 1 ЯЕНЫПЕ^
64?. ^=«„(^=2) -£ст(Л=Е) =4гз?;.!,.^2-=б;9’-Ю-гГэв,. гдк
, Ч ГК
J фактор Ланде для электрона..
(^т/р-р- р/т. =»2:
( F==j-pe - /л—г — это1 гтолный’угловой момент атома.-
6Ж Дб^^О^Л-О'^зВ.. Радиус позитрония в- 2р'-состоянии:
рде Гц — радиус боровской-. орбиты, Отношения частоты излучения позит-
{ЮНйя к частоте излучения атомарного1 водорода-
йгГ.Ш- откуда Д^.^б.-Тб-М^эВХ
тн; 8У-^.79ть
1 <£5lC Такое состояние невозможна- Если бьп оно’было1 возможно;, тфр®-
3 даус электронной орбиты в> таком «атоме»- бьгл: бы много' меньше компота
£'1 невской длины вблиьп нейтрона, ’
g.i Р^шеяяте, Й^и нерелятивистском! ра'стотрении.полная1энерита _
|R йшгдбпжна быть отрицатеивной:: ' ' s „ ^-^у. ...,, -....
| . £eyL-^<o>
К' К’. ! . 2>ЯХ' г3 '-ft ,._.дЛ '-’->4-7^'^
tiitoft,. - .
Цз. соотношения неопределенностей pr — ft выразим импульс ЭЛр
чррер. г и. подс-тавим В предыдущее неравенство: ^'рона
Радиус- стационарной орбиты электрона оценим из минимума энер
« 0. рткуда. Г = * 8 10-« см « =» 2 1 о-w см _ Вдмад)’я"
одой, длины, волны нейтрона- Последнее очевидное неравенство показыва
прдвомернроть рас<?мРтРения нейтрона в этой задаче как точечной частиц^
6.52.
6.53..<?®-!!!¥«W,re-
й
6.5,4. S
3,2-. 10-24 эрг = 2- 10-12эВ.
6.55. ,в»^»4>3.КГ“<«. СГСЭ; !-*=» 1 X.
$.5(£ Решение. Поскольку в сильных полях LS-связь разрывается
модщо. считать, что векторы L и S прецессируют вокруг вектора В независи-
мо.. Таким образом, сохраняющимися величинами являются £2, s2, L, s и
Wsi) = ASL> = <AA- + LySy + Lzs=) > = A< (.^S2)) = Am^.
а л а
Рис. 167
^..Расщепление линий показано штрихами на рис. 167. В спектре издучь
ния л-линия не расщепляется (у нее mL = 0), а a-линии становятся jiyfe-
Тами;. раздвинутыми, на величину. Л/й [с'1]. Экспериментально эффект и*.
‘О^юдался -на IH.
магнипюм поле пропорционален разности заселенное!
' ILL Увсчиченне сигнала « = —~ —— 100.
к Г -Г В
^17
Г- е. увеличится в четыре
о.оО* 1 (
решение. В меюде адиабашческого размагничивания поле В перево-
дш peiueiKy г> парамагнитное состояние, в котором магнитные моменты ядер
ориентир) Ю1ся но по по В. При этом &Гп.1Ч<К1лвдв. При снятии внешнего
,,1Я происходит разуиорядочеиие системы н понижение ее температуры.
Вы'1е'(ив\ноеся юнло oibohuvcw. и процесс можно повторить. При полном
упорядочении можно нолучшь Т ъ О К. Однако этого не происходит, по-
жо-шку еси> глш!iMoaeiiciвис. приводящее систему к установлению апти-
ф'рромлпннного у иорядочештя. В принципе наличие энергии взаимодейст-
вия тюбой природы усганаалнваег предел на .минимально достижимую тем-
Uw.vp> Г„„. условием Ц Ц Ц
Рис. 168
Установление анн [ферромагнитного упорядоче-
ния в цепочке ядер OjCu (рис. 168) происходит за
счет машинного (динолъ-д!шолыюго) взаимодейст-
вия атомов. В приближении бдижгииинк соседей энергия взаимодействия
£ , = Из условия на яцерпый магнитный резонанс следует, что маг-
ннгныи момеш ядра 0JCu Ц = W Si = ~—
11яд-
куда энергия взаимодсйсишя атомов
1П1П
izt
Т"т
W
ht
tl
к(Г
Рис. 169
иопа определяются 13
6.6Г уре,= 1.6 ГГц.
Решение. Поскольку элск1ронные оболочки 5s
5р полное 1ью заполнены, го парамагнитные свойства
электронами незаполненной 4/-оболочки. В соответствии с первым прави-
лом Хунда эш электроны располагаются так, чтобы образовать максималь-
ный спин 5П1ах. и при данном 5 х — максимальный орбитальный момент
Апач *Р,|С' 169>. На /-оболочке (/ = 3) имеется 2(2/ + I) = 14 мест, тринад-
цать из которых заняты. Поскольку в квантовой физике за велечину момента
принимаю! значение его максимальной проекции на заданную ось (в еди-
ницах Д), (О
2’ (АЛпах
271
g СО№*еТСТйИИ co ятормм правилом Хуида
J =b + s' = 3 + l = |.
ВЫЧИСЛИМ ^-факТбр
3 lSGS-H)-MA-I-I)_8
ё 2 Г 2/(У-М) 7’
Резонансную частоту ЭПР найдем ио формуле
>'„ез = ^=1.6ГГЦ.
6,62, Д = 1,12 ГГЦ (S=ls L—5; Г = 4; g = il5'i.
Ме = = ZfrSfi Гс. J# Л - ЙТОМИЙЯ Wttj D/
6,64, M(j = ^^^s/ = ^23rc, где А ~ аюмим Matta э(,бМ ь;
,, fM-fe 1,08 ГГЦ, где g = 6/5.
6«б5, ДЛЯ полученной конфигурации атома 5Jllax = 3/2, L^ax = 2,
j =1/2; Т; ё; С’ОСтбЯ’ййе 4£>(/2- При этом g = 0, Что означает, ЧТо |ifcyi.wlj.
Таким образом = 0( а значит, пучок нё расщепится.
6.66* g = J& = 2,62 |^д= 13,25-КГ24 эрг/Гс.
Вё'Шё И Йе.- МОйярйаЯ масса тефлона п-50 г/моль, Поэтому образецтеф-
ЛОйа Массой 50 г содержит l/п Молей тефлона. В этом образце в собтвётСтвйи
С хИМИЧёСкбй формулой содержится /Vy = ZN^ii = 2МЛ атоМов фтбра. Ий
рИс. 170 изображена схема рас-
щепления уровней- ядра фтора в
магнитом поле. Так как спЯн ядра
равен 1/2, то Получается Двух-
уровневая система. Из Полного
числа Mq ядер на верхнем уровне
находятся N2 ядер фтора< Пусть
Рис.- i70 М} = нижнем уровне осту
ется TVj = No — N ядер. РазИбсть
АЛ/ =.Л/^ — Л/^ = Л/^ — 2-Л/.- В Соответствий с распределением БольЦМЙЙй
W'fA^^2p5; р. — мят'ййт'имй момент ядер ф-fopa.
"Из ‘ следуем
1 ' у _Hiext>(.-&№r> _
' • |"1 • ’ 1 ФехЦ (^АИИ-)'
''М ЧД'А'.- г,........ .
' 5?' 11. 'AW =- #(,. - Р кт> -^L-
‘ ° ЛЛ », дв tT 1
l+bxp-W 1-tr
32есь'’Ь' .'ч-*". -ни кТ 1,4-10 °« ! и поэтому разложим экспоненты
а При снятии поля половина ядер из ДЛ' разориентируется, т е обра-
',пучит момент импульса
Л = !^й = 1£В*Л’
1 1 кт ° tT ’
.... v определим магшггнын момент ядра фтора
и =-УД-= 13.23-!0-г-зрпТс = 2,62и„,
ВпУ д ' ял
ц = 5.05 • 10--- эрг/Гс — ядерный магнетон Бора. При написании этой
'ш’. 'ч-~и- ч"° ',а-гн5ПКЬ11*1 момент ядра lgF определяется неспарея-
-cioTOnOM. находящемся в состоянии 2зЕ/2 (это один протон сверх за-
—4V'« оболочки из 8 протонов). Поскольку Б ЭТОМ СОСТОЯНИИ Орбиталь-
/ = 0. то v этого протона угловой момент явд
' •Го-з-’Н й'2. При перевороте спина угловой момент
6.67. Б
является чисто спино-
•vuT изменяется над.
решение. В магнитном поле атомы
стела поляризуются из-за того, что
поля принимает два значения
IB
----------тИъв } (Спин |)
P-E-S | (Спин )
Рис. 171
олное число атомов .Vo — N. 4- N t. Отношение числа атомов Н со
'ч по полю .V t к числу атомов со спином против поля ЛЦ (рис. 171).
Nl =--------
1 4-exp
Псо.ольку Л, <Д.. то число атомов с антипараллельными спинами
давно 2А'|. а их относительное число
г,- 22uEв/ат-л 9 L2!^ ~..,0-б
-V-. I-схр [—2р.БП а I ~
6.№Г. ГюХ^гг.1Г\.
ка'
Решение. См. также задачу 6.60. Нагревание всегда разупорядочивает
структуру. Поэтому ЛГтахяе <SB3. Энергия магнитного взаимодействия ато-
чов п'/сг5. Для опенки мапиггкого момента атома разумно взять мал-
нетон Бора, поскольку электронный магнитный момент и S иБ. Отсюда
!-1б/)^2-10 "К.
273
где п
Эта оценка ЯСНО [юкйавдаег. что чисю магишно-дниодьное
вде не может объяснить наблюдаемую величину темцературм КювчТ^' 1
матеетико» Гк~ 10* ЮОО К. Магнитное упорядочение у феррол^Р₽<>
имеет другую природу — обменное взаимодеисгвие. которое ио своей
ляотоя электростатическим (см. задачу 6-78). Величина электростатиГ1*81’
взаимодействия дву-х электронов. находящихся на рассщяниц й
&г1а. что соответствует температуре упорядочения т - е21^а\ ?°ря®а
Т. к- обменное взаимодействие составляет обычно (0.01 + од) дооюэ ° К-
статического, то видно чк> это обеспечивает наблюдаемые Гк'Пра^^
всех материалов. w
6.7o:«,( = fec(«+|).raen = o, ,
стота; $Q=S.8'iO-^3B.
Решение. В магнитном поле электрон движется по окружностцс
дотронной частотой c&f = — Такое движение можно описать изменение
только одной координаты — угла поворота. Тем самым задача сводится
даче об одномерном осцилляторе с законом квантования & fox
Покажем как это можно получить используя уравнения Гамадь
магнитном поле соотношение между импульсом р и скоростью у част На' &
имеет привычной формы р= znv. Соотношение между р ц v в прису*^
магнитного поля можно получить двумя способами. Первый из щц ^Тсй1ш 1
в том. что когда частица из области В = 0 попадает в область
Я как-либо меняется от нуля до £0), го возникает вихревое электричек
поле R Согласно уравнению Максвелла
ГО1В= - 1А£= -1A rot А.
откуда следует, что В= —1-2У За время возникновения поля оно метя
скорость частицы
Л с ill
откуда инегрированием получаем
",1' = р»~Н^л = ₽»-7а-
Отсюда одедует, что «т + Я А = const, и эта константа не заввдн и »
дичия поля. Эту константу можно рассматривать как эффективный импульс
р =i.jnv + ~ А. Для электрона (<? = — е) р = щу — - А
спос°6 состоит в том. что полный импульс заряженной частно
nv^T17™ Ш АВУХ ЧЗСТеЙ Р = Рк»я + р™.м Ркик = «V, а - № /
/ э едтромагнитного поля, образованного электрическим (кулоногсш) .
подем.чаотицы и постоянным магнитным полем внешних kckww^- '
₽цол = 4тс $ [ЕВ1ЙК- П» dlvB(r) = 4лр = 4п9б(г-r'ji '
ft
7ПЪ
ICK
'ро-
ков
ив-
C0fl3
Дка
'к.
гро-
ски
ча-
ш-
тем
«эа-
/2).
а. В
>1 не
гвии
tout
кибо
ское
НОЛОЖОТ'-'С частицы (при п«с сс можно с
^„•ь магтиио» поля, создаваемого е,о самой). По’Хку'Т- *“УЧИ'
.«110 показать, что а этих предположениях п _ ч . т1 А' ™
"°* ™л “ 7 А’ т' с- Р = mv + « а
Энергия частицы в постоянном магнитном поле ест, , с А'
(6В учета спина), поэтому гамильтониан 1ито кинетическая
л =
~"1<М2 + р*].
— циклотронная частота. Мы
,„с мы расСМатри,аем общий случай
^0. Классические ураопспия движения Гамильтона
? = □= _ ад
эр' р 7)7
где <ос ~
h
дают
, _ Ру—тшсХ
— т
P.v “ (Ру -mwcx)w(
а также ! pv — О,
няет
Видно, что р, и р. являются интегралами движения, а у - не является
интегралом движения. Это есть проявление того факта, что в магнитном по-
де B0||OZ х- и ^-компоненты скорости частицы не могут иметь одновремен-
но определенных соотношений. Обозначим ру = ру0 = const; рг = р20 =
«const. Поскольку по условию задачи vJ-B, то ргО==о,
Тогда Л = ~ + (pyQ - лш)с-г}2].
Сделаем замену переменных х = х + Тогда рг = р' и
»кас х ‘х
1 р2,+^
2т х 2
Мы свели таким образом гамильтониан частицы к гамильтониану одно-
мерного гармонического осциллятора. Воспользовавшись результатами
квантово-механической задачи о квантовом осциляторе, запишем по анало-
гии энергию уровней, называемых уровнями Ландау:
,№ «,, = я«с („ + !).
Это— система эквидистантных уровней, Каждый уровень имеет бесконечную
кратность вырождения, т. к. энергия не зависит от ру, —» <ру<+ж- При
атом координата положения равновесия осциллятора х =0, т. е.
им- -
не определена.
О'/ Минимальная энергия электрона йа)с/2 = 5,8*10 6эВ. Учет спина элех
X’ трона приводит к добавке Q1B) в энергию и спиновому расщеплению уров-
275
ней 2т^ъВ, {ms= ±1/2). Для свободного электрона цБв = ^/2
рис? 172 изображено расщепление уровней. Стрелками изображено наппа
ление магнитных моментов электрона. Низшее состояние определяется т
что ц |[В. При этом спин s антипараллелен полю В. ем’
6.71! S₽in = 5^ « 1,66 • 1<Г43 эрг-г; S*ln = ^ = 6,56 • 10-“ смг.
Решение. Условие вращения электрона в магнитном поле по округе
ности 2
R с х
дает в координатном пространстве (R-пространстве) радиус ларморовского
кружка
Преобразуем это выражение:
{тс\ 2 — 2mc2 ,nvi-
__ 2тс
В2 =
где — кинетическая энергия поперечного движения частицы. Так как
<£± квантуется, т. е. — Йе>с (n + —j • то квантуется и квадрат радиуса ор-
биты, т. е. площадь
5„ = Л^ = 2ЛДДЛШс(П+Д.
е В ' 2/
Запишем далее уравнение движения (R — это проекция г на плоскость,
перпендикулярную В)
m^ = £[vB],
at с
dr
dt'
dv
dt
Интегрируя и отбрасывая постоянную
=—|±, в].
тс dt
интегрирования,
получаем
стей — тоже окружность и
v = —[гВ]. Поскольку V1B и
тс
r±B, TOY, = — [R, Z],
-1- тс
Отсюда видно, что в импульс-
ном пространстве (или простран-
стве скоростей) траектория полу-
чается умножением на еВ((тс) и
ее поворотом на 90° вправо (по
часовой стрелке), если смотреть с
конца вектора В.
Таким образом, траектория
электрона в пространстве скоро-
В
s; = = як; 2 = 2л (п + Д.
п\тс/ т \ 2/
“ - ' ' " "М"ут™“' нропра,^,
u,"z“" “^=>.Ы,.|(т«эрг,
см2.
Mih'iuiiuiM и'кмцадц a R-npocrn'iiirio»
ирошиы.жида,, ор6и,у шекгр™ДУеГ ™"~
................... Ю11™'1 огруктуры, а Ф„ -
1кван । mui iiiiiuoro иоюка).
,,
7 UM> л= 4,77-Ю12Гс.
|Ф‘ 1‘ -
Решение Ноинн th тронной звезды находится другая звезда (крас-
на IIIUUH). образ! кинам с th Hipoituon звездой двойную систему. За счет
,1Ш'Ю (р-пиилиноннлю нож происходи! аккреция, г.е. захват протонно-
'^цыннон и ы.-мы красном» ынаша и се падение на нейтронную звезду.
ц1Ш нам tieiipcpi.H.Hoc < юрмознос) рсниеновскос излучение уносит выде-
Mniiiuiiioc но к ' н, иIроннон звезды возникает в силу сохранения маг-
41Ш1ЛР иоюка н.< нсреонама it.iioio ноля звезды н ее «раскрутки». Предпо-
1дд и<1. 'но ж хо.шоя вы ia звезда tuna Солнца. На поверхности звезды
aiinitiii ыинонныи ; hi-diii hmcci дпернно, равную »iec2 = 5Н кэВ. После
। jticpi ню d>, — 460 кэВ. Таким образом,
Вчаьтшоч ио а- , рении ки рши свободного электрона (уровни Лав-
м)4 .h... « = >nh/in Как и в первом стучав, это излучение преодолевает
ipaBiHdiiuoHHOx но tc н<
энергию - 50 кэВ 1<
и на поверхности Земли имеет
у\t
B = £!mZ=4J7.|Ol2rc
2рг,^2
Решение. В си.|> пссохрапепия чсшосги прп fl-распаде ’1'‘сд° д
(ЮНОВ, вылееевишх по и прошв пип» ядра. Оди различным^
«ядер се спикем вверх п вниз буре.' одинаковым, то рез
аенммегрия выле1а исчезпе., п эффеке косохраиения четное Р
277
ся Поэтому необходимо иметь преимущественную поляризацию ядер, ,
достигается в магнитном поле при низких температурах.
В магнитном поле уровень ядра с 1 - I расщепляется на три подури,,,я
соответствующие значениям магнитного квантового числа ш,= 10,
расстояние между ними A£ = gHwW. Отношение заселенностей подури,(ей
равно:
-exp[i"l'~"'.2)t't‘l"4 =‘‘“ гда '"1 = + > '«2= -1.
лч»!?) L ьт J
Искомая поляризация ядер
Это означает, что только 30% распадов даду| асимметричный эффект
который наблюдается на симметричном фоне распадов остальных ядер,
6.74* ц = 2, 1= 1, число подуровней 5.
Решение. Главное квантовое число // = ^^ = 2. При этом
п = п +/ + 1, где радиальное квантовое число иг определяет число нулей
радиальной части волновой функции на (0, «=), i. с. л,. — 0. Отсюда следует,
что /=1, и мы имеем 2/>-сосгоянис. Число подуровней равно 5
(/Пу + 2ms = ±2; ± 1; 0).
6.75. 2^-состояние (/ = 0); 2s + 1 = 2 — число подуровней. Оно не за-
висит от величины поля В, т. к. данный уровень — синглет.
6.767 Х= 1 034 571,4 А» 0.01 см.
А-1 —А-2
Решение. В схеме Рассела—Саундерса снято вырождения и расщеп-
ления терма 3Р по величине полного момента J с образованием подуровней
тонкой структуры 3Р2> 3/3 о ссть результат снин-орбиюльного взаимо-
действия. Энергия подуровней ошнчастся oi энергии юрма па величину
энергии спин-орбитального взаимодействия
£LS = n((LS))=l(J2-L2-S2) = ^|y(/ + I) -/.(Z.+ 1) -S(S + 1)|.
При этом
^(3Р2) = 1М3О +S,.s(J = 2) | - |<S(3;>) +S,s(/ = |)| = 24>о.
Знак константы спин-орбиталыюго взаимодействия однозначно связан с
правилом Хуида: если занято меньше половины свободных мест, то ниже по
энергии лежит состояние с меньшим J и получается т. и. нормальный муль-
типлет. Действительно, электронная конфигурация О2+: Is22s22p2 и в неза-
полненной L-оболочкс, содержащей 2(2/ + I) = 6 мест, занято всего 2 места.
Аналогично
£(3Р1) -£(3Р0) = [£(3Р) + £,,.,(./= 1)| - |£(3Р) +£,„(/ = 0)1 =А
Согласно правилам Бора
Й(3Р2) -<S(3P,) = [£(‘о2) -*£1 - Ь(1д ; _Л£| =Лс -1Y
[ Ajj I Аг m2 М)
278
no Via.»114110
„ Ч, ~ t Ч Ч = j «(3/,2) - <S(-’P,), = Л£ П _ M
" 0!1О.«№а«я Ч1*
ей 2>,-7
' ЧЧт" 1 034 571'4 A «= O.OI см.
6.77. У =-
6.78. -4 - 9
" ' С'"- Р“'С'1Ие жт“ 6^. Од,«„ здссь по_
.1ЫИИ.1С1 (( г иНР..
- -“’t-pjим СОСТОЯНИЯ 3Р2).
ВОДОуждсННОЮ сосгпакиа
,/• = _ltz сосгоиния атома гелия
'’l"° »%(1Ifl - 6 + <gK _ д -r к энсрП1Я
-.•H.S'f.S 4- i) _ i) _ l~A для ортогелия,
| + А для парагелия,
р.шяи 1Л 2 J равна 6'= -68 эВ.
6.79. •
6Л0. /
§ 7. Ядерные модели. Радиоактивность.
Эффект Мессбауэра
7.1. ” 1.8- 10!Д г/см3
4-.А
12 . С, - 3 ' - O/.6Z-1 ь" |М:Ш|
13 .-.:: .^Л-: OM4r:3.|0''„||g
Ре.• >.•/.- ,!."<>.! ’.п,и-.ш ядра можно но аналогии с жидкой кап-
лей > •-;<>! натялснис
- 1 . 1 . J? Ц^^^=1,4.10“зРГ/см^
‘ -'.-.Н- 4л 1,у !0 -.4 см
’П лрсгыглдс-; г> -и < натяжение ргутя примерно в 3-1017 раз.
74! Р с <jj г н и ' ’>н'.р; ия связи ядра
г,. |/дП(. , lA-Zim„-M,(A.Z^c2.
Крс,'*: дето.
== /(Л) - £г -
%р~з рА, сл-сзначсны вклады в энергию связи, нс зависящие от Z.
frcajs ’-caeca ядра
М,!Л. Z) Zmf -г (Л - Z)m„ + [£, + £ - /(А) №2-
279
^-активен; °'Cu — 6 -активен.
Решение. Прежде всего предполагаем, что расстояние между протона-
ми не может быть больше размеров ядра в приближении точечных протонов
т. е. Ляд (г). Кроме того, считаем, чю разнила в энергиях связи обоих ядео
Д<£св = <£'н — <£Не целиком кулоновского происхождения, т.е. A<SCB = <g
Энергия кулоновского взаимодействия протонов в ядре 3Не есть
Здесь ф — волновая функция системы нуклонов в ядре, г — расстояние
между протонами. Интегрирование идет по объему ядра, г.е. считается, что
ядро имеет жесткую форму и вне ядра >[' == 0. Конкретный вид ip-функцни
в данном случае не нужен.
J 1'Г12-р1-' = е20
Будем считать, что " М' И вс;1и’1и||у примем за размер ядра. Та-
ким образом,
R.. = ^— = 1,9- 10"13 см
А£„,
7.7! г„= 1,4-Ю-'3 см.
Решение. По отношению к ядерпым силам протон и нейтрон ведут се-
бя совершенно одинаково. Эта эквивалентность ядерных взаимодействий да
протонов и нейтронов проявляется в так называемых зеркальных ядрах, пол-
учающихся друг из друга заменой протонов на нейтроны и наоборот. Имен-
но такими парами и являются ядра £JSi (14р + 1 Зп) и ^А1 (13р + 14п). Оди-
наковость ядерных взаимодействий для протона и нейтрона носит название
зарядовой независимости ядерных сил и является проявлением более обще
го свойства — изотопической инвариантности сильного взаимодействия.
280
£гл, бы !'ЗС1
•(Ом HOliCOJbi !С
j-jcnaJ бы -ы о;
^елстэые щру.н?.
эпическая инвариангнпгт.. „
““ ^ркальг.ых «X™" “^"«зако.
!|?рСШС" сохр,„тм о, ° “ Мита™»« «li-
о. независимость „ „/'ф Kyj0"““»« М»
,7с. „ J ает Распад возможным
US. -> Г’А] + е+ + „
пХ Х" "У"еСГИ” ”;!ЬШе Э“РГ”И- ч“ “«ся ори рас-
1 W,Si’ ~ -W(A1) |с2 =
= ~ ‘ [Zsit2Sl ~ ‘ZA1(ZA, -!)] =
- Р"«-"‘р>с2 + |^ (14-13—13-12),
X~^ll'""-"'P + n,c)c2 + ^l-
!'[ ОКОН1’,: i С'1Ы !С Г() — 1 .-1 - | о 13 см.
7.3. "С ''В ЛшС11 = 2.8 МэВ; Д$к as 3,19 МэВ;
X. '3\ Дсга = 3 0 МэВ: Д<£к as 3,62 МэВ.
ilojc-'er в_ зыпо шлется по формуле 0,71Z24_|/3.
7.9. /<-захза'. •“-распад энергетически невозможен.
7.10. АМС- == Р 237,1С-^о « 0.81 МэВ.
7.11. с <= 57 эВ
7J2T е[р = 2.1 МэВ.
Решение Красная граница фоторасщепле-
ния леятрона опреиеляется энергией связи прото-
на и нейтэона На рис I 73 изображены потенци-
альная яча и волновая функция дейтрона. Вне
ямы. где Ci/-’ =0 уравнение Шредингера для
Настины с приведенной массой н = nt^/2 имеет
зид
— X. хф = £ф,
где Д(. Ф 1 А. — радиальная часть оператора Лапласа.
Подставляя а уравнение ,р = А ехр(-хг)Л'. получим х¥ + 2у« = 0,от-
Таким обраэом. минимальное значение энергии, достаточной для рас-
шепления дейтрона,
р = TiV = fi2Lis2,23M3B.
^гр 2а »>N
281
7.131: 6GR = & ~ \'7фф p-7 1 !c ‘ 23,7 H>B ~ кгаФФициент
в оимметрнйном члене в Ф^Р414 ю Вайцзеккера. л - о.2 ф'М.
Решение Если жесткость системы равна Л. то упругая энертия
£ = Х£3/2. где £ - отноентельшх- смещение Всмвращающая сила, обуслоа.
ленная енммофийным ч юном в формуле Вайцзеккера. стремится восстано-
вить равномерную иютноегь протонов и нейтронов Симметричный член в
энергии меняется н рисчеме ни ( с.те.тующим обравом-
где йч = 23.7 МэВ - коэффициентт в форм» ю Нвннлхкери, V - число ней-
тронов.
Измененном кулоновском энерт нм при сжатии про юнев вдвое можно пре-
небречь в силу относительной малости к\ юновското ч тепа в формуле Вайц-
зеккера. Сравнивая еч с унрьюн энергией £ и нолатач, что (Д' - Z)/A-or.
носительное смещение ттротонов относите тьно нейтронов. можно сделать вы-
вод. что в расчете на один пук юн хлесткость системы К = 2^. По формуле
данной в условии задачи, скорость распространения колебаний (скорость
звука) и2 = К/»\ = । де и\ — масса н\ к 'юна
Таким образом, энергия iuuihtckoio дипольною резонанса ^CR в сфери-
ческом ядре с -А = 64 (при Z = Д >
SrJ. = МВ = л Л2* и = Л Ш \'-Л 5= 17.7 МэВ.
Приведем другое решение данной задачи. Подсчитаем изменение энер-
гии, непосредственно возникающее при смещении L нейтронов вправо, а£
прогонов влево. Тогда в левой половине будет А72 — L нейтронов и Z/2 + L
протонов, а в правой половине ядра А'/2 — I ней i ронов и Z/2 + L протонов
(рис. 174).
В момент I В мо.мсн г ? + (через
полу период колебаний)
Рис. 174
Полная энергия, связанная с нарушением симметрии, есть
g = W2 + ^-Z/2 + L)2 (.V/2-A-Z/2-L)2 л _ 16L2 „
' All Л/2------°»-ЛГ ''
282
ферму.» ктомужсв.вд^^
жмчпмч очоюцно. Что максимально' « <«,. 11ервю рещ
репе» ровно .4/4. Таким образу ЧИС1,° « прото.
Ч>. ЧТО мы приходим к ТОМУ
.... —Ольку „олучсииос к о е Г'Г “
? подс.ннь на А та-, пл ’ ед5ег-чнбо привести к
приведенной в условии задачи^05^* форм’'Лой для
Замгшм. что .щ модель достаточно хорошо описывает п<мжмте
№w рсвопаиеа. Наир,шер „ ядре меди, у которого как разд = 64 0„
аткиаетеч пр" этюргни возбуждения 16 МэВ
7.14. Ной, ре,и., и иро,о,„„ заполняют своп уровни независимо Лр),г ог
ар,,-., , к. от, по являются тождестве,<„ь,мп частицами. Первая оболочка
г* ' Т 2; V ’ Ь'ерм оспочка Z = Л- = 8; Л = 16 (О). Третья оЬ_
.ючкз — Л — -'•к •' — (ta)
7.15? £,в |Ь0| 2 \ МэВ, где ii)x, — змасса нуклона.
Решение. Радихс ядра кислорода ’|О Ro = 1,3. Ю-13
% 3.3-Ю'1’’ем Поювииальная энергия в однонуклонном приближении
описывается выражением
При r> llQ потенциал U(r) = 0. в следовательно
Картина уровней изображена на
рис 175. В пренебрежении конеч-
ным размером ямы уровни энергии
эквидистанты. В силу зарядовой
независимости ядерных сил (задача
7.7) уровни протонов и нейтронов в
ядрах е N = Z должны совпадать. В
легких ядрах это действительно имеет
невскою взаимодействия в энергию связи
полностью оказываются з<..------
место, поскольку в них вклад куло-
незначителен. В случае ядра *gO
заполненными протонные и нейтронные уровни с
« = о'н « =7 (дважды магическое число 8 - по протонам и по нейтронам).
283
На рис. 156 показано также, как отсчитывасгся искомая энергия связи £
(от верхнего заполненного уровня до «поюлка» ямы). Таким образом еь
|y„l-+
где N= I (внешний нуклон). После преобразований получим
_____- * ' IHKq
7.16. = = 15.8 МэВ.
Rq V »1
7.17. »2 = ТпГГ; аХ '.S'10-13 см- r"c - "РИведеиная мщ.
б|Х | ио | z
дейтрона. Приведем также резулыат точного решения, полученного из ус.
ловия сшивки волновых функций на границе (см. также задачи 3.18 и 3.12)
« = 11 - агссоь= 1,82- Ю"13 см.
У0| - <%,,) |Уо1
7.18. Rd = V(r^ = -^—г^З-10-13см, где - масса нуклона
Здесь для оценки можно воспользоваться волновой функцией основного со-
стояния дейтрона (см. задачу 7.12) ф я; Ае~уГ/г, где у. = 1 V»in£.
7.19. J 1,4-10-47 г-см2.
7.20. В силу радиоактивного равновесия между и У4и
A.4?/4 = Xg//g (вековое уравнение), ожуда
15 = ^ = ^ = 5,5.|0“3; Та = 2.48-105 лет.
7 8 /Уд
Период полураспада 234U много меньше возраста Земли (ss 109 лет); та-
ким образом, ваше предположение о наличии радиоактивного равновесия
между и “4U оправдано.
7-21-
Если подставить числовые значения, то получается, что 4-109 лет лому
назад содержание 235U составляло 16,08%. Примерно 6 109 лет тому назад
содержания и 238U могли быть равными. Конечно, в момент образова-
ния Земли в се составе имелись и другие изотопы урана (см.задачу 7.22).
7.22. С момента образования Земли за время 1 = 4 109 лет содержание
а4и на Земле должно уменьшиться в e(z ln 2)(ti яг е11180 сг 104855 раз. Если
даже предположить, что в момент образования Земли на ней существовали
только изотопы 234U, то и тогда на Земле уже давно не осталось бы ни
одного атома ^U. Изотоп 234U существует в природе благодаря а-распаду
238U и Р'-распадам 234Th и ^Ра
«и »Th “Ра »и-
4,5.10’лст 24дпя 9 6,7час
284
равновесия
'‘•евск№ барьера экспонен-
0Ка3ыва«^ ^звы-
-*• I ГРИ возможных фор-
==744;
= *42.
сг-ш вне ядра а-частица описы-
' = !<). чго приближенно спра-
маненп-е с высотой кулонсвско-
iSo. также при вылете а-частицы
jr’> центробежный барьер. При
1 ijiji точного интегрирования;
ри а формула 3) есть
?1:СрП1Я < В №В1 .хорошо ОПИ-
148.0. Искомый период по-
. /и . — v nj )
спенвая прогонная радиоактивность не
?-ксяерн'-1ентально лишь в том случае,
«ный ,5-рас1Шд.
2 проницаемость
285
тогда
(здесь Z =2)
Откуда Г2~ '0,2 _
Заметим, НТО реальное «ДР0 651Ь 1,меет период ПРлур^рПадй
1J-. Ю^лет При энергии а-часпщы 2,14 МэВ.
' 7,28. У0 = 2<^= 30,7 МэВ; <7 = - к = 36 фч,
% = Г|]Л1П 7,9 Фм - радиус тара.
7.29 * ,р = *3^3- 1СГ11 рал = 50 ирад.
Решение. Электроны, вылетающие с поверхности диска, делятся на
две равные части. Одна из них поглощается диском, а вторая, вылетающая
в телесный угол 2л, покидает диск, унося момент
j j импульса. Электрон, вылетающий с поверхности ди-
Ц/р, 8 ска под углом (1 (рис. 176), уносит момент импульса
--------х-----------й/2. Проекция этого момента на ось вращения равна
---------------------—--' (й/2) cos 0. Поскольку все направления вылета рав-
Рис. 176 невероятны, то изменение момента импульса в еди-
ницу времени ~ = у cos 0, где черта означает ус-
реднение по телесному углу 2л.
____ 5l/2
cos 0 = J_ f cos 0 c/Q = — ( 2л sin 0 cos 0 dQ =
2л 3 2л J 2
Таким образом dL!dt = С другой стороны
откуда и следует ответ
т=х 5' 10-11 ₽ад-
OJ
7.30 , 1= 1,57-1017 ся= 5-. 10® лет (практически равно времени жизди
Вселенной). Т. е. таких условий на Земле, по-видимому, не существовало.
7.31 . тдип —2-10 16 с; \вад —5-10 13 с.
Решение. Число у-квантов, излучаемых в единицу времени,
= 1
Йа> т’
где т — время жизни возбужденного уровня относительно излучения,
Дипольный момент d = eR sin cot, где R — радиус ядра. Прэтоду
4 & eRw2 * с точностью до коэффициента порядка единицы,
выражение (данное в условии) для энергии дипольцрго излучения в^Ч-,
ницу времени можно привести к виду:
2 е2/?2ш4.
Зс
Таким образом, для дипольного излучение
^н>авРМмзяиЮз5ухдешои
2д.ш = >-
ЕгЛИ ББ^ГН X - - - _____ [фм] _ пртеденную
С энергией © б МэВ. то искомое время жизни
w * lcJ-_
ПрН ® — I МэВ И R = 4 фм (vcircmira .
/2Р1(Г1бе, Ф ™°ВИе Задачи> Формула Дает
Для мультипольных (б частности — квадоупопъяыг} ™
КВ фор>.™ будет примерно такой же. Изтаится только ст™™"*®’'
(размера системы). Из электродинамики известно, то при р“X
зтектрическото поля в ряд по мультиполям параметром разложен™
отношение размеров систем к расстояния, да точит наблюдения
мерная величина). Если в дипольный момент входит Я в первой степени
г. е. <г ~ aR. то в квадрупольный момент входит R2. а в момент порядка м -
S'”. Таким образом, время излучения с моментом т равняется
т - 8'10 20 fZQO^2”
m~ 4 (,4л/ '
Так. для т = 2 (квадруполь) R = 4 фм, S = 1 МэВ, тквадя»5-10-13 с.
_ ~ _ Т1^1110,1 - 1 о ш4
732. : — —--------яг 1,9-104 лет.
tn 2
. 0.01 Т1Р_ ол
7-м- Тдщ, = 2 к 80 лет.
Указание. Минимальный возраст, который можно определить, огра-
ничивается статистикой отсчетов.
734. р2 = (~1~= СД-^Д7<еЛ>]2 гда Д1Е = 110кзБ. 7 = у-^)-1П =
1‘7 1 + [Д4а/(сЛ)) . ’ '
=^.а 28.5; й = -гМ„с2» 510 ГэВ. ,
ch и
Указан не. Для возбуждения уровня в системе покоя ядра нужна ча-
стота, огтрюуп я? мя я из условия /rv = A<S. Частота возбуждения есть
v' v поскольку эффективный, размер решетки сокращается.,
а> а^1-и2/сг ’ ' ; ,, _ .. . v
в направлении движения ядра. ’
U5ttT = -t.9(-.nM/3)wO,64ne. • Л . ... ....
Решение. Векторная модель сложения угловых моментов ядра
fJ=L4-S) и магнитных моментов <^Сум=11ь в. с3404 0 щем виде
изображена на рис. 177, на котором векторы моментов импульса Должны
бить отложены в единицах А, "а векторы мапштных моментов
магнетонах Бора. Но в. силу того, что, длярпротона . Д-12-. СИТР° ,
, =0 <» силу его электрической нейтральности), а спиновые г.фа
соответственно, g^S,™ « г„= -3.82, рис. 177 не отражает (в
масштабов) условие задачи, а лишь помогает
fHSTb правило сложения моментов. Средний Z
нитный момент ядра может быть направлен толь
вдоль J, единственного сохраняющегося вектора^
системе, <ясум) = Н Умножим это равен- :
ство скалярно на J и усредним по состоянию с.за-
данными /, Д S. Тогда в силу того, что J -
храняющийся вектор, его можно внести под знак I
5 усреднения, и мы получаем:
)
Рис. 177 Поскольку Hl = 5’ъиядь и Hs = ^s^S, то
gs(SJ) + sy/I-O “ ДгО2)-
Используя теорему косинусов, получим
^j2+2S2-L2> + = ^2).
В квантовой физике справедливы соотношения
(J2) = 7(7 + 1); (S2) = S(S+1); (L2) = 7(7+l).
Используя их, получим
_ , gs~gc S(5 + 1) —L(L + I)
Sj 2 T 2 ' 7(7+1)
В' нашем случае магнитный момент ядра определяется состоянием ней-
трона, находящегося на уровне 1Р1/2’ т-е- Для нейтрона =
=-— 3,82, S'= 1/2; L= I; J = 1/2. Подставляя эти данные, получим
£г= 1,91 Т» 1,273; р = « 0,64ряд.
736. р. я» — 0,26р.яд.
737! ± =4,23.
Д<£ст 3 §sp "И Ssn
Ееш е н и е. В основном состоянии L = 0, и магнитный момент имеет чи-
сто спиновую природу. Спин водородного ядра SH = 1/2, а дейтронаSd = l.
Магнитный момент электрона ji е = ^sp.sSe = 2р.Б5е, а ядра р.я = £|аяд8я.
определению для дейтерия
Ия — (^SpSp ^SHSn)fSm £Р-ЯД®В’
откуда' * ' :
Ssp + Ssn
.и, • , §_2
'“Лт>Д[пЯГ- водорода;: естественно,. = ^5рр-Яд^р- Полный момент’ атома1
F а- величина сверхтонкого- расщепления
288?
Л 2,?(S,.S> rJ' „ = S2)|V ^ =
= W + I; ~se(S(+ j) (s
Дя атома водорода S.-I/2, S . |д „_ * ’ ’"'•’’w
f., I и,ш 0. Для дейтерия, соответственно,
|/г. Петому величина свсрхгОН1<ого ~ 3^"ли
А«^ = ^р(1-2-0)ряЛ = 2ЛМи||&
а для дейтерия
A&d = Ag(l-S _^.З'!
г А^И 2 2)Ияг^Б ~ 3^ИЯдНб-
. ^4т
Таким ооразом. ——
2#sp
3.?
tHr-'4’23-
3 &sp + #sn
Реш е н и е. Магнитный момент атома^ складывается из магнитных^
ментов электронной оболочки и ядра р.ат—Не’^Р’я Ие’т' s я
состоянии с заданным J средний магнитный момент электро
3 S(S + l)-^ + 12.
^e = 2WJ’ где 2^ 2Л/ + 1)
289
в нашем случае ® - УЗ. При наличии вваимодействня ядр1с
ми сохраняющая аекчором чвлявгая F = J + 1. и средой ‘
мент агама «Г„) амии» ёьгга направлен no F. г. с. -Р-Д-цР Умн ►
части скалярно на F и внося вектор F под знак усреднедщ, п «
p(FF)=fj(JF)Ps. “-™
n(F2)=olii?j”.<F2raJ--l-l Отсюда К =
_ 1 , JU-bD-HZ + t1
где Sp—-'7' -W+ И
Поскольку Z = 3/2. J то или F = 2 и gF = -Н 1/4 или
^.=—1/4 Следовательно.
, ’ I \ ДБ
<iMF=->i=|u'U|i'2 * *=T-
(^^=|Г = |1““Ьв'| = -v;
Примечание. Возможность гакого подхода для вычисления цатсвяза-
на с малоегью энергии сверхтонкого взаимодействия по сравнению с.энер.
гией спин-орбитального взаимодейстоия. Строго говоря, в векторной моде®
атома нужно сложить |i5 H|it и спроецировать сумму на направление^
Мы же проецируем сначала па J. а йогом на F. Частота прецессии J вокруг
F много меньше частоты прецессии L и S вокруг J (см. рис. 178а иб).
7.39! Решение. При испускании •,'-кванта должны выполняться зако-
ны сохранения энергии и импульса
(3 — Леи -г R,
ря = 1 V«(2Afc24- R) .
где pR — импульс ядра после испускания у-кван га. Решая эти уравнений
получим
<>2 „2
R =------= 0.0468 эВ,
2(Mc‘ + S) 2Мс~
Йш = ©--------—г о = 129 кэВ.
2Мс~
тип о £2 * р.п
7.40. R --у; йсо — © ~r R.
2Мс~
7.41. Изменение энергии у-кванта из-за эффекта Доплера Д&=<§ ^-По-
лагая Д<£ =--Г/6, получаем v/c = 6-10 !2, и = 0.18 см/с.
7.42. Условие резонансного поглощения принимает вид Т^ф
2
скольку R =.—L,
2Мс
S'Na ™ Т -Я ”"?jVA
ЭФФ~'^~
Л.1Г0-
4*б;, г,
135 К.
290
> -J /.
7.43. При излучен,,,, у-ква„та э
„2 ° аачи R »еир,11Шмае|с!, всем
крпега.злом и поэтому М-Я»_Ь_-, ? )л-п
z,»?-1'5'10 эВ,
7.44. Смещение 42ic-,o, aSi = £21 Е Лю ,
» 2е2 ’ ~ у'10 Ь. то О. = 74 рад/с.
7.45. '’ = ^;S3 I О4 см/с.
I с то
100<©.,5» ~ М’ *Де 8 ~ Ускорение свободного падения.
7.47 ! Решение. Из-за различия эффективных темперап-р изттча.етя
„ поглотителя частоты излученного и поглощенной, .-квантов'буду. 'смещХ
ны на величину порядка dv v „
А7с2 * ~ д ГДе R ~ УиивеРсальная
газовая постоянная, Л - атомная в,веса железа" Именно это смещение дол-
жно быть меньше гравитационного Дт = ,, S* (см. задачу 1.4). Разность
темнера,ур эквивалентна высоте S/i = £^S*~ is м. что сравнимо с выел
roil башни в эксперименте Паунда и Ребки. Таким образом, для того, чтобы
при помощи эффекта Мессоауэра можно было наблюдать гравитационное
смещение частоты у-квантов, температуры излучателя и поглотителя долж-
ны быть одинаковыми с очень высокой степенью точности.
7.48 . Н 400 м.
р2 / х MS
7.49 . ш = Щ-а5,3-1(Г13г; Ь= Щ!- г 0.2S мкм.
Лс“ Нару
7.50 t S =^ЩДаь 960 кэВ.
2^,
Решение. Естественная ширина возбужденного состояния очень мала
и равна до = Й/т — 1,5-Ю-2эВ. Уширение возникает из-за доплеровского
сдвига, связанного с отдачей ядра при испускании нейтрино. Согласно за-
кону сохранения импульса РЯд = ^/с’ а доплеровский сдвиг равен
Д(М =/ivE = _L,
с IHC
A<S
откуда следует
£ _ 960 кэВ.
2^
Ю-17 с, где Мдоп ^’ 160 эВ.
(Д<£—2 6©доп) . . тт
Указание При испускании у-кванта с энергией 5 МэВ ядро испыты-
вает отдачу, и поэтому линия излучения с энергией 1.S МэВ оказывается
уширенной на 2<5<£ПОГГ
7 52. При переходах излучаются магнитно-дипольные (Ml) у-кванты
Р Р ,+ также задачу 7.57). Рассматривая крайние
моментом и четностью 1 (см. также зада у
291
расщепления (Дн = 10,5 мм/с), соответствующие
{_3/2-»-1/2 н +3/2—» + 1/2), получим
Изме!*Ч
компоненты
спина ядра
В =
_ ftrut-----------=-330 кГс.
СИяй^1/2 + 3ЙЗ/2)
7.53! £0=-М МэВ.
Решение. Предположим, чю ядро - равномерно заряженный шдп
диусом Л (см. задачу 4.41 и рис. 135 к ней). Мюон являйся лСПТо р^
этому он может взаимодействовать с ядром только за счет электромап,^
сил. Тогда потенциальная энср|ия мюона внуфи ядра
У (г < ц\ = -- — [1 —Ц-1) = - <Л> + f2 где и0 ~
Видно, что эго потенциал трехмерною изотропного гармоническогом.
циллятора т.ш2г2
U{r) = -U() + ~1T^.
2 2 7 ?
Гпе 'WL=Ze_, откуда следует, чго ш2 = -^Ц.
д 2 2R m,tl<
,z,,2
Подсчет дает Uo = МэВ; энергия основного состояния
£0 = -и0 +1Йси; Йш = = 9173 МэВ- Окончательно, 60= -8.4МэВ.
7.54. Для оценки областй локализации можно принять, что она союз- '
дает с амплитудой колебаний трехмерного гармонического осциллятора в ос-
новном состоянии
Jp = -yll! = 1.06- IO"12 см
’ Vm« ’ z<-2
и больше радиуса ядра свипца ЯрЬ = 7.7-10 13 см.
7.55. М = 5N{i)m ъ 3,2-10"6 г, тде число расщепившихся ядерN(f)»
ягДЦ £*£2=0,975-1017.
ТШ
7.56. Л/% 300 т (точно по Маяковскому).
7.57! /кон = ^; 25]/2-сосгоянис.
Решение. Уравнение Шредингера для осциллятора допускает разделе-
ние переменных как в прямоугольной, гак и в сферической системе коорди-
нат. С этим же связано и случайное вырождение уровней энергии в данном
потенциале. В декартовой системе уровни осциллятора характеризуются
квантовым числом N = пх + + пг. В сферической системе можно характе-
ризовать их по моменту / и радиальному квантовому числу пг При этом ।
2иг+ /, а уровни записываются как (nr + 1)/. Таким образом, !
ответствует пг = 1=0, т. е. это k-состоянис. N= \ соответствует’Я/=0< :
/= 1, и этб lp-состояние. N = 2 соответствует н = 1, / = 0 и’игя'М??-:1
292
. с эго2.«и Ш-состояпия, которые в данном приближении вырождены. Уче1
,|Н11Норопталы101'0 взаимодействия приводит к расщеплению lp-состояния
на 1 pjp 11 '1 «/-состояния на Iи Ic/j/j. Как показывает эксперимент,
u ядре уровень с большим / лежит ниже но энергии.
При поглощении фотона Е) {j — 1 — момент импульса фотона) должны
выполнять»1 правила отбора
Кроме того, должен выполняться закон сохранения четности состояний
f(-l)7 ДЛЯ EJ - фотонов;
коп пап | ( — l)J+l для MJ — фотонов,
где 731<ОИ и /’идя — четности конечного и начального состояний ядра, откуда
следует, что конечная четность должна быть равна РК011 = + !. С другой
стороны, РК0П = (— l/wii, где /К01, — орбитальный момент конечного состоя-
ния. Таким образом, получается, что оно четное. А значит, подходят два
нуклонных СОСТОЯНИЯ ИЗ JV = 2; состояние 25^2
а также состояние 1«/3/2 (/К01| = 2)
||-j| + т.е. <1 < 1 «2).
Условию задачи удовлетворяет состояние с наименьшей энергией Is^ спин
ВДра AtniI = у
7-58- /кон=4; 1^з/2-сосгояние'
0,52.
7 59 А- Мт - I ~V2"'A ^А11
МГ|Л 4g Т 1/2А
7.60! | =0,31 р__ длЯ случая Zs-связи;
p(2) = - J5i5S J3182’| = Q 373 _ ддя случая //.СБЯзН,
Решен и е. Нецентральное^ ядерных сил ведет к несохранснию мо-
мента импульса, поэтому основное состояние не есть чистое s-состояние
(Е=0), а содержит также примесь состояния cL~2 (D-состоянис). На-
293
Д.К -sSusx'M о ««мя» S «мморн привит*
рота «ц.-н fc.’ ° ?.»м ^:щ). gs(Z=tJ|
fa- -J-K- к'а*1- :>SK *”*•' •*’*:|wa4- “я»Ч.ч,
eiv-y лчрХ-ТО^й HOAWieaveciM p -I a -. •• '-.’ерных сад 1^ = 1
= Si> = S,'2. Гакнм eoiv.x'M. mox:,o лшяс.и ь
K-feVSA-S-5-’-'- j; ' I]
Дгил- ««- =№S« ji, u.i 1ш1ра8.«ше j юли
n называется магнитным ve'ieiitw .»;r.'.\'4.i в сбчэи
7.6*
nut
OCK
3«O. iU = W «lU». W -u Д «V J J-' Л5 I - ККВД1М
(S MS (SJ>> =
Подсчитаем-
(S«>SJSJ>> = 1J 'J ' l’ ’ Sl-X ~ ” ' (L+ 1)1 =~?
Отсюда и следует первый oibci u^1’ - Q.3lu4l
Чго же касается магиигнегс momciii.i acnipou.i при рсализациму/чад
то б этом случае подсчет следует осу uieeir. im ик
При этом
Определим g-факгоры протона и нейтрона ₽ и glV Имеем
W = .«„“„Х,- гдс
Умножая оба выражения на j„ и усредняя при этом скалярное произведение,
получим
^Л> = ^ад0;) = ^пИЯд(М,Л w-ja следует, что
о ._ (SJn} п Sn ($n+ I) +)п (Jn-r I) — /п (/n+ D __ &П_3,1Й
®п /j2< °5Л °sn--------------—Т-—ГТГ-----------~ ~ 2 Я '
W 2/n0n+J) 3 4
294
аэа.юги-шо опере;к;,ЯС1ся
g, ~ „ <«JLJ
0.373,
2
1 c- .»У = 0 373„Л1
:<y ooe модели .
ПоСКОДг.
них на основе
ИИ близкие pay,-1ьга[ь, г[,
эксг|срииенгальиых да„„м ,X
_ , J - Л/1СМ также замечание в н
' бд> ?.с.м означить искомую вероятность как >
нигиый момент дейтрона, измеряемый в опыте, ес’ть
ачате решения золами
го тогда средг1ИИ V;il.
Ы (1 - и (3Sj) 4-
откуда и следует приведенный ответ.
?.«. -—i-5,7 эВ; 64 =JL=25yB
,!с 2Мс ° Т1 1?
- А = 2-1 О-2 эВ
7.63. Амплитуда сигнала ЯМР пропорциональна количсову cooibctct-
вуюших ядер Поэтому первый пик соответствует ЯМР на ядрах |ригия
1,14 =^Г=2'97и-«= 1,5-10-23 эрг/с, где 1 = 1 (,(1)-ргар||) =
= (2,97-2,79)1.,, , = 0,18ряд.
7.64. Др.Не= иж„ - Р геор = 0,22Ря, = 0.11 I0-23 эрг/Г с, где р 11,рп =
= -2.13р„, Р,еор=
7-&'- '"= '’2.3; Лср = 3.5.|0^3о< (Д>>ср = ^ <.2
«» Sin в„, к и 4J/’
§ 8. Нейтроны. Ядерные реакции
8.1. По закону сохранения момента импульса A = + ТУ Ми-
, , , Tr</2 fi'Tl _ ft -i in-12,.,,
нималыюе значение / = 1, откуда omin-----L U C
8.Z 54^0,5.
ос(л)
Решение. Рассмотрим сначала случай рассеяния нейтрона на ядре
(рис. 179). Возможные значения прицельных расстояний 6, определяются из
правила квантования момента импульса
pbf = йУ/(/ + 1)”•
295
Импульс иейгроча !> = IM- В квазиклассичсском приближении ,ге
j ~й Разобьем прострапство, занимаемое падающим ny4Koa ,,^1)
кольцевые золь., ширина которых равна А. В каждой из эти
двигаться частицы с определенным значением момента имлульса ч W
erm. в такой зоне (при условии их равномерного распределения в n„ ®’1
сгве> пропорционально площади кольца со средним радиусом 4, *
,s, = 1 я - й2_.) = л Л2 (2/ -I- I),
Полученная величина S, — эго геометрическое сечение, пропорции,
ное доле всех частиц, имеющих квантовое число Л из всего потока ла»к
щих па ядро нейтронов у,.,,
S, на вероятность w, погло,ВД||и *'
/ спицы ядром, получим „арвда
сечение образования составного,,,
"Ч для частицы с моментом/,
'К—Т---------! Вероятность поглощения Jam
__________________(—ХТО j о. внутренних свойств ядра иота
• г / рактерисгики сил, действующих,
\ / частицу вне ядра. В обо.» и„а
---" она пропорциональна вероятности ;
проникновения через кулоновским !
Рис. 179 центробежный барьеры. Конечно, '
существует отражение и при /=о
Представим саг/ в виде ,
где /’/ — вероятность проникновения через внешний барьер, ^-вероят-
ность «прилипания» частицы к ядру. Тогда полное сечение поглощения (об-
разования составного ядра), включая случай с / = О, сеть
ad")=5; р/+'w2'w
/ = 0
Чтобы ядро поглотило частицу, она должна попасть в область действия
ядерных сил, т, с. (А/)тах<Л, откуда /П1ах fe Л/Л. Что касается величины
£/, то будем считать, что ядро поглощает все падающие на него частицы
(модель черного ядра). Тогда = I при / < Л/Л и
КМ
ос(п) =2 (2/+ 1)лЛ2Р,.
/ = 0
В области энергий нейтронов порядка нескольких МэВ и выше, ко®
Л «Л, можно считать, что и тогда , ,
КМ ' i -
°с(п) =Е (2/4- 1) лЛ2 = л (Л + Л)2.
/=0 л-
296
Т"'" «™» пренебречь^ дм ll)l™JI“'“‘ эффектом
' I'cj.eu.unoM (i) К1,к »шш„ lu ’ГО"'™"Я И“Ч« ио-
Р-'.тъ.м « -|- > Цуси. Щ) - ' “ 1 Ф’РМУ-еы, эффЖ1иаш,,й
пре ion., psinn,., е „ л г ' , эиеР‘'1|я 11 "Р'Шель-
— тире и'ИМ“"“^'е"н»э«р™,даИ
‘а импульса —
Щра np[^
«чЦК +
= 4,45-10 13 см (вели-
,., ,, 2 '.К[ =г 4,1 он В реляншпсгоком случае дебройлевская
'’•>' ; А (шпг) = 2-10“14 см. что много меньше R^k
\ч 1.нич оиразом. сечение поглощения пеупругого рассеяния
,/ч( • 5 лА’(. । с. нес чаешцы с прицельным рассюянием,
к»। н.1 н)чка и ноглощаюгоя. Ядро ведет себя как погло-
in.ip < ’•юл.- н- .loco.uoi но черного ядра-»). Дснс1внтельно, длина про-
,М1Л : - - -22?' й 2-10“13 ем « Ry. Однако из-за дифракции
i ;p.t h:\mic\o.ihi oik юнсние части, or первоначального направле-
тц\- р.итсчиие Coi.iaciio принципу Бабине для дифракции Фра-
\.о Hi-1, ci го cr.ei.i. рассеянного на черном теле, равно количеству
i.iR'UU-iO на нею и 1101 лоншемого им, ^IKO = °АНФ- следовательно,
- 1 ! -2л|Ю11 (дифракционное удвоение), поэтому
гноем, рассеяния с параллельной ориентацией спинов
, / _ 3
ли 1 пиара. 1.ю.н.пои - — g-
297
Р&ш'сние. Для медленных частиц минимальное прицельн
' (см", задачу &.D много больше размеров ядра, и поэтому peaKI1HP 5*4
ТОЛЬКО При I =--0. Таким образом, полный момент является чисто СПвв 4
число спиновых-Состояний системы из двух частиц есть (2s + n
_=^(2/ -Н). Приэтом-полный момент (спин) может приниматьдаази< а
/4-1/2 и /- 1/2- Первому моменту соответствует 2(7 + 1/^ + ]
значений проекции момента, второму 2(7 - 1/2) + 1 = 27. (Р+'1)
Вероятность рассеяния пропорциональна относительной доле состп'
с заданной проекцией полного момента, т. к. энергия взаимодействия
висит ст значения проекции. е &
dOjtaS’ д/_ JC\‘ _ , „
ss----------- --------dS~' ~ т " итр™ •
центра масс (СЦМ) рассеиваются изотропно. Rxte КГ^ см. п
формулы следуют из векторных диаграмм рассеяния в ЛСО и СЦМ. W
Приведем для сведения формулу для пересчета дифференциально^ г
чения из «Л» - лабораторной системы в «ЦМ» - систему центра мас^
общем виде
/<7а(8)) __ ро(е')] (i/i'i + 2ш[Ш2 cos в + т^)311
\ dQ ) П dQ / ЦМ H12(»I2 + H11 cos 0 )
где штрихом обозначены углы в СЦМ. />г2 — покоящаяся масса, m
жущаяея:
8. 6? w ^4- Ю'9
Решение. Уменьшение потока нейтронов связано с актами захват#
рассеяния. Так, в слое защиты толщиной dx, находящемся на расстояния
х от' места входа нейтронов, их поток уменьшится на величину
гдеХй?--^-----длина свободного пробега нейтрона. Полное сечение реакции
(как захват,.так и упругоьрассаяние) ппол„ = П]М„ + арасс а Ораи =-„оЛ.
ким’образом,
/(*) = /ое "°°л>
где/д- — поток нейтронов на входе. Перепишем это выражение в дифферен-
циально» форме
< , • dj — — /олаое /1°ох dx. ....
Таким1 образом"вероятность упругого рассеяния нейтрона в сЛоСтолщи1-
н’ЬЙ5dx~расстоянии х'от входа в защиту
> г dm = = н<5ое-,1°ох dx.
.... После? столкновения, нейтроны проходят путь ——Определим;среднее^
................. <cosе) ! -Л"
Значение-косинуса угла рассеяния, имея в виду замечание в условии^
что- в-системе центра масс угловое распределение упруго рассеянных'-
показано в
8Л “этом случае»
“s “ dQ- Таким образом,
Т J cos3 в Д (cos в)
j cose (/(Cos ед
rKJ“ra'-3"6° ’’«имодействия „осле рас-
.. рдссгочииил-ог места входа,
испытав лишь одно упругое стол-
dx
’• fJe ~ " '‘рлсс апОгл = 1-64 бн,
с OiMeuni. что s области справедливости
'!•; жизни нейтрона в среде не зависит от
•л-4 эВ. где ©0 = 0.025 эВ.
CHUI! ’Нс равна 7.7 МэВ, а 4Не — 28,3 МэВ,
•••рмнчсская. Однако грс.хчастичная реакция
:о ион фотоэффекте на свободном электроне,
<2 =
Тогда
Ol:-W=JVT. SV- + ^- = 0.
!’i т
эавеистза видно, что реакция невозможна при(?>0.
рстаиса 2Я = Р i = - г Jraf'--. «„ > 0 (энергия от-
“ +• U)
годка ямы), откуда /г-0,864 МэВ>(/. Минимальное целое
299
п, WWW XW»*W*f aww З'м™№- *И* «-г
^, = ад4М^ ' ™к*,
8 15* L , , =-*=Л-----44 РЦ.
Ppmmw. Дшв етейжот «р«б?и w w а = Д-. ецш«,с
сууцеотвуют мехдни&м^ взаимодействия пейтроцод о ядрами угле
Сддавддарда. '"“««'ГСАДвродцвд™'
wm чрЛпк *₽?» д? захвата /ЦИЛ=-ад. иркрЛ1|?^
ргрдар, зэдчэдтй «РЙЦ’Р>И'ЧЧ. тордадаеда врсмецэд ""1'
4,фф = •
ГДР №.»®Щ\РВД диффузии а в f W WPMB етгррдедад рарС(ЭД1,„, ,
тррда, р. р. Д= (1/3) 4pfcp. Црдс даоврой ммучнм *™**М
I. -л!гХ 1-Хвд1'а-Л^2Х X - I u °адл<?₽а$,
^эфф, v, ' лцщ-.члрасс j—
Плотность ДТОМОВ углерода /1= рЛ'дЛЧ. Таким о^рдзом,
Чфф, “ Л/Т*’ 107 см-
рЛ'дСОрасс Puaui)
8.Д6. Условие пропускания: А > 2d, уде X — длина волны
2Л2
^дашцвд. О^деда £ = А® «, 5. 10~3 эВ.
2»1(1
-й
А? Бдрйлэд !
8,17. « =
= 0,16%.
: - 4
>В‘ м!'
а
8,18, £» = —.«34, да Sc = ~^, <8,
<£к {&с + 8ъ$12 2/лХс
Xbi^ 2-Bi (неЙТро-HW с длинами волн от Хс до ХВ1 рассеиваются я ?Жде
И дыходяд через еур, поверхность),. ' 1
$.Д9Л v^p = црлх услрв,иц. что f < 0, _ ,ч;Я1гз,
'»о«4
8,21, 1-па= -
ВД48>>,
$,22, /= - -i=,- « -0„78,10-12 cm.
(йл
Ж Qa®re wwgre wmww nfem «=
- «Иядом адц» инмн. При яш*
Ж.ЭДЖ WSW^t” Д * §4' W*? «*
$&
ss 12* (
„„„„-рассеяние, т. е. рассеяние с нулевым моментомим л
подсчете квантового числа I в условии = У^2^.ОМ1Ю >«
I а 0,4, т. с. в самом деле преобладает s-рассеяние " “ HV/+ 1) • откУ«а
I ^„h \2'3
8.24.
н =
0,034 мм.
gHAm^
„ f2 .. “8,4* 10 13 см.
2лЙ р^/д
Решение. Скорость счета, т е чиепл
_____________________ е’ число нейтронов, попавших в де-
1 потока нейтронов /
в реакторе макс-
8.25.
8.26:
тектор в единицу времени, есть произведение плотности по
на площадь детектора. Поскольку распределение нейтронов
велловское, то
С//(П) = (J =Ли.у2ехр dVt
где А — нормировочная постоянная.
Для ультрахолодных нейтронов = 6-10~з К«7', поэтому с
хорошей точностью экспоненту можно считать равной 1. Тогда dj(y) =
= Ли3 dv = А S dS. (де <£ = mv^/2. При «падении» нейтронов вниз их ско-
рость увеличивается и может превысить граничное значение дг , вследствие
чего такой нейтрон покинет трубу и не попадет в счетчик. Предельная энер-
гия £' = <5гр — ,,lS^ = —— Суммарная плотность потока нейтронов
/ = д' = i S'2 = i ^4 - mgH
Счет прекратится при 5' = 0, откуда предельное значение
Я = ^ = 5м.
2S
8.27. / « - mgwj; Hrf = = 5 м.
8.28. 5 = — = 0.8 мм2,
иг
8.29. а = У^(з!п/)3 = 3,4-10-8.
83К /- 18 900 нейтронов/с.
Ре шс н и с. Чтобы попять, как ведут себя нейтроны с заданной энергией
&= Ю-7 эВ в меди и алюминии, вычислим длину волны таких нейтронов:
„= = 4,38 м/с; Z = A=9,05-10-6cm.
I т
Предельные длины волн для нейтронов в меди и алюминии
ГТ~ I |б,9-10"6см (с“),
Хтр = ТУ|77 ~ 'p^Al/l [12,2-10“6 см (Al). , .
301
Таким дврадсм, дайна. №™ы нейтронов данной энергии удовл^^.
, раванода 1С«<Х<ХА1.
ЭТОаТстедаи медной сфер* Д™ нейтронов непроницаемы;
« „о алюминиевому нейтроноводу пойдут лише те, что падавд
и' ку под углом оольше критического
<р = arcsin п = arcsin
Рис,. 1.80
Поток, нейтронов, падающих'
Ф = (/[[)£• = лл2 —
а </ц> — тангенциальная по
оси нейтроновода компонента
тока нейтронов, усредненная
углу Й. (рис. 180,), предельное значение которого
а’ =. Zn (1 - COS 9Kp) = 2n I" I - cos - pKpR
Итак,
</||) --"о1
d£2.
4л
2л ^“Фкр
. f dy { cos 9 sin 9 t/9 =-
на. мищеш.
- площадь детектора,
отношению^
плотности ПО-
ПО телесному-
ПО и .
—-------51П-
«о v >-
нейтронов на мишени
Таким образом, искомый поток
Ф —Т'-^-соэ^фкр c°s2 ^Ркр 18 900 нейтронов/с.
831. а ,=д
2лАЬ
«:• 0,076. Как видно из рис. 181, по нейтроноводу
пройдут лишь те нейтроны, которые падают на его поверхность под; углом
0 ^~0Кр. Относительное их число а, очевидно, равно отношению hlb: Кроме,
того; приведем очевидные соотношения (г — угол падения): Р
sin2-i =--cosze = м2; 1 — sin2 6KD = 1 ~ Х
кр кр л
832.. Я 75 м.
Л ®кр
833'. Отличие показателя преломления от 1
есть l'.— n = NApa~ =4,74-10~6. Тогда-фокусное
2лА
КН ’
расстояние одного отверстия Fj 1
~ 10;5'м, фокусное расстояние, системы
верстий Jrss 1 м-.
8,34t При облучении до насыщения число оасп»™»,
йода (Т. С. ак'1И1июст|. препарата) равно числу атом™ Т™ ’ 1 с атомов
кку|.д110. т. с. «М = А = I07 расп/с. Число ата™ а °бра3ующи“я
насыщения равно ов йода при активации до
"лае = = I о7 = г, 16 10!о атомов.
число атомов йода через время I после облучения
" = "вас(1-с--^)
ИЛИ при малых I {I <КТ)
"=",.ас =
При / = I ми"
N=At= 10’. 60 = 6-10» атомов.
При / = 25 мин
= ^нпс (* — е ^) = 1,08- 1О10 атомов.
Й10Ы X _
8J5: /V(107'i/2) Х + /О2 °’53,
Решение. Пусть Ао - исходное число ядер I97Au, А* - число ядер
i98Au. На изогонах золота идут следующие реакции:
п + 197Ли —► 198Аи + у;
I98Au X 198Hg;
n + 198Au l99Au + y.
Уравнение баланса для ядер 198Аи имеет вид:
^l=oi;W0-ZW-a2;W. (•)
Обратим внимание на то, что в правой части в первом члене OjjW0 вме-
сто текущего числа ядер 197Аи поставлено их исходное число NQ (этим и
обусловлен значок приближенного равенства). Простая оценка показывает,
что за I — 27 суток (t = 107*1/2) исчезнет всего ' .,
/о, !07'|/2а 2'Ю-3 = 0,2% ядер . 197 A.U, ... ..
что и обусловливает справедливость сделанного приближения. , .
Вычислим постоянную ^"-распада ядер 198Аи
X = 2,97-Ю-6 с-1,
Tlf2 , «2
а также второй коэффициент при № в уравнении (*) .
о2/ = 2,6-10-6с-1. ' .н ' 3
Решение дифференциального уравнения (*) имеет вид
"'(0 = {<’17-{1 -exp [-(X+yoj)'!}-
-303
Вычислим показатель экспоненты
(л+'/^2)'Ю7’|/2л; 13.
Таким образом, 1 - <Г)3 ~ 1 Отсюда следует, ото
1 Х + /а2
Если бы за счет радиационного захвата нейтронов не «выгорали» д -
^Дц;, ТО Д₽а
Искомое уменьшение числа образующихся ядер l98Hg равно
х'(10Т1а) X
iV(lOTi^) X + ja-z
MS. W = <vo(l-e"v)(l +г->т) = 1,4-iO1
(рис. 1’82). При непрерывном облучении N = «„(1 - е~У.?у
f=il" Л'°-у= 14.5 т-
X Nq—N
ядер, где Г = 24Ч; ; = 8,ч
откуда
Рис. 182
’ кзт- (Г -e-W)( 1 - e-Vi-i = 0,5S. где Л”ах = пое-И.
« ^ШП + а^/Сф) =^Гг/емд
О^А
&39.- За б месяцев накопится 1,08- 10м протонов (1,8- 1О“10 г).
Ш>' №„ ^7'„- ехр (- Л-)] » Г, | 1’0« см-2-с-‘,
где-' тп,й? $4® £ — время жизни нейтрона.
8.41v сР=- ^0,04 бн.
йЛ-Л^А
₽егш1еэд!й^ПЬ определению сечения ядерной реакции
где dMH - ™сл0 л™в wore взаимодействия в единицу времени шс1.
ф нлотиость потока частиц, облучающих м„ше11ь [ 1/см<с].
ядер мишени. м ;
Выход протонов определяется как
п = d^ldt
jS '
где S — площадь поперечного сечения пучка. Тогда
t] = OJi (*)
1 з и"м’
где М l/cf,|2l поверхностная плотность ядер мешени.
Иногда эту же формулу записывают в несколько ином виде:
-g = ™п'1м-
где «п " числ0 частиц Г|Учка’ приходящееся на 1 см2 сечения пучка, N —
число прореагировавших ядер мишени (число происшедших реакций).
Пробег а-часгицы ограничен из-за потери энергии на ионизацию атомов.
Очевидно, что потери пропорциональны плотности вещества, т. к. имеется
приближенная пропорциональность между плотностью и порядковым номе-
ром Z элемента, а произведение пробега частицы / на эту плотность есть
величина постоянная, практически не зависящая от рода вещества, а только
от начальной энергии частицы. Таким образом,
^>Рв = ^Л|РлГ
Использую помеченные соотношения (*) и (**), получим
haj^ai’
где лА1 — концентрация ядер в алюминиевой мишени в [см“3], — пробег
а-частин в ней. Однако в условии задан пробег 1В — в воздухе. Подставляя
(**) в выражение для а. получим
о = ’И-'Ц =4-Ю-26 см2= 0,04 бн. ..
Здесь использовано, что рА1 — тм Пм, где /нЛ1 — масса атома алюми-
ния. Платность воздуха при нормальных условиях подсчитывается по изве-
стной формуле для идеального газа , * .
843. <? = еТ^Я= 1,96 А. ' ' "
844. При х = 5см
8.45. X' ~ За = ЗА.
I ур0,у \ \
8.46. Л = ехр |-----— * | -12-10 ° где а = л/-г _ ^.2,2/3 ,
'Vo ( v О.у 'это Ге-
ометрическое сечение неунругого процесса поглощения. и поэтому *
ционную упругую добавку учитывать не нукпо). р() _ нормальное^3*’
ферное давление, и — молярная масса дзота. ГОс"
3.47. 1 =---= US см. \ а 24 (
р 2лрА у.-ч,• 'VM- также
комментарий к ответу задачи 8.3 о дифракционном удвоении )
8.48. спогл = ^ (22?Pb-^/?d =0.385 бн.
8.49. Т —'—- -1 — - 0.7 МэВ: Г. = « 4- _\£ - -г — ; < п
п г-нУ/ч/А/ь Li w-_. т-оС13 'п- 1,1 МэВ, Гпе
Д<§св=(э->— <£д. 57у — масса ядра °Li.
85Г 9 = 7^“^ °’4 рал-
«•Л
Решение. Энергия связи нуклонов мала ио сравнению с энергией па-
дающих на мишень фотонов. Поэтом}' продольный импульс нуклонов можно
оценить как рц $Jc. Поперечный импульс нуклонов обусловлен движени-
ем нуклонов в ядре. Импульс нуклона в ядре оценим из соотношения неоп-
ределенностей
р± Др— — '00 с — скорость света.
R>s с
Таким образом, угол рассеяния нуклонов в пучке по порядку величины равен
р ~ Зь 0.4 рад.
8-52, р , = тоь с = 1,49 а ъ г: 0.15 рад.
0 0 26 с р
8.53. а) При реакции поглощается энергия (см. табл. 7 в конце книги!
Q= —931,5(7,016004 4* 1.007825- 7.016930 - 1.008665) МэВ = 1,б45МэВ
б) Из закона сохранения энергии и импульса для неупругого процесса
найдем, полагая inn = шр = /Нде /7 = nij, /7:
1) а системе центра масс
2) в лабораторной системе
= Д [т®; cos а + yl4T^9-|ej
306
гж SJ « - жргии «ей-грсиа в системе вднтра масс к
ме. “ :ке 1М прОТОНа; “с и а - углы между управлениям, «прости
„„„па » ««’J® 2 центра масс и лабораторной системе
йе формул ясно, что _ЛЬЙая энергия f 7р
’=*- ” ^7 х 1 10 ”• где mN ~ масса нуклона. Нейтрино вааимодей-
raver только с нейтронами ядер.
S55-£>|g^5-102 ГэВ.
356- Ослабление потока нейтрино ^2. = atVAp2^3 _ 4
Ф 2А
^.Решение. Сечение взаимодействия нуклонов убывает е ростом
сырости и стремится к .геометрическому» сечению а ~ 10~и см2 (радиус
жяа гя ;= °'8'10-13 см>' Дп™» пробега при п= 1 см"3
* = —« 1025 смге (О7 св. лет
НС
([ св. год Ю13 см). Для массивных частиц в рамках геометрической мо-
дели рассеяния о —10 24 см2, а длина их свободного пробега
\ — 10° св. лет. Т. о. прилет массивного «гостя» с такого расстояния крайне
маловеооятен. Заметим также, что полет комет по сильно выраженным ги-
пеоболическим траекториям не зафиксирован в истории астрономии.
зчя Vf = —— as546 т, где L — расстояние от Солнца до Земли,
Л'ЛЛ‘7 иоТт]
а _ молярная масса СС14.
85# <r=3-10-f6 см2.
Решен не. Длина свободного пробега X электрона в ядре, сечение вза-
имодействия с и концентрация протонов пр.в ядре связаны известным соот-
ношением AGMp = I. При этом X = 2ут, где t - время, проведенное Л-элек-
тронами в ядре за т0 = 32 дня, коэффициент «2» учитывает, что на К-обо-
лочке на:содятся два электрона. Таким образом, искомое эффективное
сечение
a —----.
2nvT
Концентрация протонов в ядре
п = . = 5,3-1037 см'
р 4 з.
тяМ
а время оценим как
307
где Ля=1,3.10-‘3А>В=4.3-10-‘3с>.. а радиус орбиты К-эле^
_ ТБ з ]. Ю"'° см. Таким образом, с ~ 0,0074 с.
Оценку скорости К-электрона проведем, исходя из соотношения
2SL=Ry(Z- I)2.
откуда
= 3,7-109—.
’ III с
Таким образом, искомое сечение
а = —I— —3-10-46см2.
2/н»т
8.60. Арь = гоА1/3»7.7-10_13 см. Для Я-оболочки мюона в атоме Рь
r = rB_^i»3-I0-13 см <ЯРЬ- Мюон взаимодействует с протоном по схеме
а- 4-р-»п + v ; о~ « 1.9-10 41 см2, где а = £- = _!_
и р Ле 137
8.611 Ослабление потока у-квантов /(L) =;(0)е_““'- будет малым при
условии по£«к1, где п — концентрация «поглотителей» — ядер 119Sn, о-
сечение поглощения. Самопоглощение мессбауэровских квантов носит ре-
зонансный характер. Из формулы Брейта—Вигнера для сечения упругого
процесса при = <5рез получаем о = g Здесь g = _
статистический фактор, учитывающий число начальных (возбужденное яд-
ро с моментом J*) и конечных (ядро в нормальном состоянии с моментом
J плюс у-квант) состояний. Здесь 2 = 2J + 1 — число возможных проек-
ций момента у-кванта. Для ядра ll9Sn J* = 3/2, J = 1/2 и g= 1. Кроме то-
го, п = р — г/. Отсюда £« —=-------it--------= 1,24-10“3 см, гаек-
1е па 4лЙ срЛ/дс/
молярная масса BaSnO3.
30 ядер, где Na » 2,2- 10ю, X=Jil
8.62. ff.
«2.3-10-7 с-1.
8-63- ^^5 ядер.
8-64. Ю6, Здесь сечение поглощения в центре резонансной ли- •
нии определяется формулой Брейта—Вигнера для неупругого поглощения
ареэ = та2=Х2/4п. '
“погл=^=
/о
= 1— e~n»^dai 0,37.
О 1- a =Z5_2e5= ,
’ ' /о
^2^2—
^2 (Mt
8J& <*1 - 1 II бн,
— Х&хр/к — ^2i22 + ?/iaf
’ -2.8-10-«сМ. При рассетя
юйтр«юв на электронах, показатель преломления пг= I_. ZjVe„iJ
Кроме того, в данной задаче 0 Jp зе пг _ '
Возможны два различных механизма взаимодействия п™.
рассеянию нейтронов на электронах. Еще » 15+7 гл' п,»водащих к
„ояиеть существования специфического взаимодействий?22®"/8 кв'
и электроном, не сводящегося к взаимодействию- м/^ , ЛУ №йгР°но«
гами этих частиц. Появление этого взаимодействияXS”“"“ М°“™'
и представления о том, что ядерное взаимодействие
виртуальными пионами между „уклонами, так что часть
проводит в диссоциированном состоянии пггр+д- ₽
возникать силы притяжения, обусловленные электростатиче^ХХТ
даем между электроном и протоном. Как следуст из экснериментЛХа
рассеяния оченьмала и поэтому эти силы должны быть весьма коротко2-
ствуюшихи. Нейтрон состоит из трех заряженных кварков; и сто взаи»
действие фактически есть взаимодействие между составляющими нейтоон
кварками и электроном. • - г . >
Второй механизм - это так называемое фолдиевское взаимодействие -
5«л получен и рассчитан Л. Фолди, Не вдаваясь в подробности,, отметим что
взаимодействие медленного нейтрона с электростатическим полем-возникает
в результате учета квантовых эффектов и связано с «дрожанием»- нейтрона в
области размером в комптоновскую длину волны виртуальных пионов1.. Натал
ких расстояниях нейтрон уже нельзя считать- точечной частицей. :
8.68. r«^|^= = 4,1.10-ISc.
8_69t 1, т. е. сечения примерно равны.
<ъ№> .
Решение. Парциальное сечение нейтронного'распада составного ядра
где сечение образования составного ядра а В = 4
— вероятность проникновения нейтрона .в...тяжелое. яДро>
Здесь £ = 172теГ; к' = 11/2т(Г/0, +&} »%.. к=гЪГ~. Вероятность яе*-
И Л V2/n$ ,. ,
трону покинуть составное ядро1 также пропорциональна- D Таким„ обра-
им, aff х ni?D2 х1 & = const откуда к atexfes т «некие ^ЙЙЛю-
ставного ядра по нейтронному каналу от & не зависит
§ 9. Деление ядер. Реакторы. Термоядерный синтез
9.1 ! Решение. При делении ядер на два ранных осколка
дви-«„(2'»- о. = |).
где £„ = -17,8Л2Н I МэВ 1. <SKy4 = -0.71 -р,т |М:>П|.
Деление энергетически вьподно, когда /\о„ -I- Дс>кул >0. i.c.
- |«,||(21'3 - 1) -I- R„l( J -2-Щ) >0.
Отсюда находим
I р I -Д/-' 1 /2
-= Л 7(1 или 17,6.
i^.l 1-2 7 J
9,2 . |) 17,62 -I- 129.4/Г1’42; 2) > I 7,62 564,8Д"1-42-, 3)
.-1 •1 Л
> 17.62 4- 305.9?Г1,42.
Наметим путь решения задачи. Энергия связи чп но-чстною ядра
гс„и. z) = <s,/i-<syi2'J-л3-й., _Й0-ЗМ,
где = 15,75; <S2 = 17,8; 6’3 = 0.71; 6’^ - 23.7; с->5 - 34 [ МэВ]. Энергия свя-
Условно распада
Далее легко получить приведенные выше ответы.
9.3 ! Решение. При деформации формы ядра изменяются энергия по-
верхностного натяжения и энергия кулоновского взаимодействия. Если
А^кул + ** О- '10 энергия в конечном состоянии больше, и исходное
сферическое ядро устойчиво:
д«г1„„ = a (S»« - S»"'P).
где а — коэффициент поверхностного натяжения ядра. Будем статически «вы-
тягивать» сферическое ядро радиусом г, превратная его в эллипсоид вращения
с полуосями а и Ь. Введем эксцентриситет меридионального сечения
Тогда а = г(1 — е2) 1/6; ab = г2( 1 - е2)1/б.
3 Г 2= 1—р’
S = 4лг211~£
2s
При малых деформациях е «0. Эти выражения
Ды и мы получаем:
-arcsin e .
можно разложить в ря-
, й’лл = £шар I , 1
пов ®по/1--—.
\ 45
Отсюда следует условие устойчивости ядра
Использовав формулу Вайцзеккера
£ПО» - 17.8>1аз [МоВ] и ^кул = 0,71 [МэВ],
дао получить искомый критерий устойчивости ядер к статическим дефор-
маниям формы н
Рассмотренная задача - модельная, потому что большинство тяжелых
ядер имеют несфсричсскую форму.
Реально, конечно, процесс деления ядра — динамический. При взаимо-
действии нейтрона с ядром возникают колебания формы капли практически
несжимаемой ядерной жидкости. Частота этих колебаний определяется соот-
ношением 5кул и <£1[ов- При £кул/£пов < 2 частота становится мнимой (коле-
бания апериодическими), и амплитуда колебаний нарастает со временем.
Это приводит к возникновению перетяжки, и ядро делится на два осколка.
2600 бн (тепловые нейтроны),
4,1 бн (при $ = 10 кэВ),
где к ~ V2/h<S, к' = ± V2m(S 4- UQ).
л л
Решение. При энергиях тепловых нейтронов дебройлевская длина
волны нейтрона Л = Й/У2м& = 3-10-9 см » = 8-КГ13 см и сечение об-
разования составного ядра о ~ лЛ2£), где D — коэффициент прохождения
нейтронной волной границы ядра. Коэффициент прохождения D опреде-
ляется соотношением (см. задачу 3.25)
9.4* о = &
кк
D _ Мк' 4к,
<fc + fc')2
№ волновые числа Ли*' определяются как коэффициенты в уравнениях
Шредингера для областей вне ядра и внутри ядра (рис. 183) , .
* = 1 ^2mS, к' = у V2m(<5 + f0) 1 ‘
П Л
311
Ида» wwwwwv1
»26QP 5|1
Fwf- 183
.d? 5; 2lT2i
kk ~iii^ Si
uei'iipoiia c WtW
см, u искомое ссчс1ше р^41/
Как видно нз форму -и,т, нрр данньче - '<
п К (А/о ос 1А-. (акая зависимость сече
деления oi скорост нетироиов называется?
коном 1кчне Здесь он имеет место, пОСКОл fl’
рассматриваемые энергии лежат далеко Д
реддцацсирт’О, поглощения нейтронов ядрами 23ЧТ (| ч- Щ0Э‘В) '
9-5- рс = л (А + 2) 2.0 = 2,3 би, где D = о,7. Относительна,
^рр^Црсть дедерря к 1|0Л,1°11 ^Pollllloc|11 реакций, идущих через составное
Гпел Рдел iT 9
<WP*.fr- = -Z---Q’2’
1 1 COCT qC
M- ^ = -Д?
9.7. ---- в данном случае У,с = 0,75 < 1, что и,р*.
' Рпогл °ПОГЛ °|>.1СС
цадрсь црказа^ь.
9.$. p.(i) =P(PU"lK 7’(0)е,1||П> />|0)еР"ч Т = i
9.9. При р < р. В отсутствие запаздывающих нейтронов Л - [3 < I реак-
циятолько, на мгновенных делительных нейтронах затухла бы. Прир>^ре-
акцид может развиваться и без запаздывающих петтгронов.
?.1(Г 7? = У^Ц1£=4М,
Решение. Поднос число нейтронов
N
4лг4 dr = —!—.
W I'o, ~ £ЯЦЦ?иТРДЦИя нейтронов при г = 0. Полагая А«А, подставляя
ц^сдрв.эде дацные получим, что из тонкого наружного слоя реактора, со-
нейтронов (где — средняя плотность нейтрото
?,WpH эдргр слоя), примерно половина этих нейтронов уйдет из реакто-
Р>^’. останется. За это же время внутри реактора появится
($c0—I)JY tip^bix нейтронов. Таким образом,
^'l0i2=l™0«3(t„~ I),
И ?.“.дат OTWT i = 400 см.
О ,,_’’17-21М7-2/Г1) ' Т. !
*-ЛгЛ 77—тд 1 --^11 час.
V2 —Г() In 2
,u с И 14' 1 '.'‘n. II|«I I - 0 чмеегся ядер Стада J, a ядер ксенона Хе -
- о 11 poiшсс Г’ P‘U'nana / онисывасюя уравнением
у "
<W1 = -Л9Ч (Ц,
(V [() Nl)t ~v, где А, - посгояшшя распада ядер йода. Ядра ксенона
( росюяши' образуюicsi но нода, no и одновременно распадаются с
1С ' иной распада А> Запишем уравнение этого процесса и его решение:
1 j/zVj =—N>Xt (// +WSX;
N >(П — iu~h‘ + be"*:1.
jh.Kirom.KV - 0. го a = ~b, N = h{e^i _ e~V). Подста|
Й(А, X,) - д>пх,. откуда Л = _Л'°Х1
Успение максимума числа ядер ксенона ^2 = о, откуда In
Таким образом, искомое время
Г\'1'2 In (7S/7T) __
(7'2-7\) |п 2
11 час.
9.12’ ! = 3,4 • Ю7 с =г 390 дней.
Решение Полное ficiiipoinioc сечение а, 239Ри складывается из сече-
ния деления л,| и сечения радиационного захвата нейтрона оп1 (переход в
240Ри), I. с ~‘i — -F лп1 — 1008 бн.
Пусп. 11.1011 юс I ь погона нейтронов, облучающих 239Ри, равна
j [см-2-с“* |. 1о1да число ядер jVj 239Pu убывает но закону
(M'i . ,.
-^-=-/пЛ.
Уравнение, онисынаюшие накопление ядер 240PLI с учетом их распада
IIMCCI вид:
ЛЛ'г ..
-^=^1-^2-
Решение згой сипемы уравнений (см. задачу 9.11) есть
Л1 = Л1|0 схр (-1'0,1}; N2 = [СХР ГОМО - “Р ГОГОО]
Требуемое oifioiJicimc концечнрацнй
= 0,4 = ^ = ^ГО. 11 - схр I-до„2 - ч,)'1).
Л'ззо Л'| а112- о, 1
313
откуда
°п2~ о,
аП1
Плотность потока / накопится из энергетических соображений. Morn,
реактора W равна (N3 - мисло ялер горючего) *т.
IV = ~ ^12,5.
откуда искомый поток нейтронов
235^^ 3.1О!3 см-2.с-1
7 го/зЛ/Л’д
Время наработки необходимой концентрации 240Ри равно
= = 3.4 -! О7 с 390 дней
/(а,-ог.2)
913 Щп72”а з.з- кг10
ни 1п 2
9.14. ЛМ=£Д^~о.63. |ДсЛь= 235.
Л/ £qjW«o
’•15- (ЙттЬ '•’•|0Ъ=Г- ™ Л=4,5.ю>.в.
т2= 0.7-L09 лет — периоды полураспада ^'U и 2J5U.
9.16. j = Wl^ ~6-10IQ см'2-с’’. n = 4г = 0-045. где Q = 200МэВ-
kcLTQ v
энергия, выделяемая при делении ядра урана.
9.17* . Земля практически нс поглотает антинейтрино, поэтому /=
— А; 6-105 см"2-с“].
Q^z
Решение. В соответствии с законами сохранения электрического и
лептонного зарядов антинейтрино взаимодействуют только с протонами-.
vc -I- р п 4- с+.
Реакция взаимодействия ve с нейтронами невозможна в силу закона сохране-
ния лептонного заряда. Наибольшее поглощение толщей Земли будут испыты-
вать антинейтрино, проходящие внутри Земли максимальный путь, равный
диаметру Земли. Концентрация нуклонов п = р/щц = р^д/^н’ где тв-масса
нуклона; |ЛК= 1 г/моль. Поскольку Земля состоит в основном изэлементовс
As60, то числа протонов и нейтронов примерно равны, т.е. нр = и/2.Тогда
число протонов в «столбике» длиной 2Я3 с поперечным сечением 1 см2
м 9Р _1 P^a9D _pA'a-«3
Ар - /1р2Я3 - 2/?3 = —----.
* рн Ни
Уравнение, описывающее убыль антинейтрино из потока,
= -oN dN
V V Р
314
цигегрчруя Уравнение, получим
"v = N„e о". = еХр | _о РЗД 1
1.4.10-Ю
ГО Л = No. г. с. Земля практически не ослабляет ч„т
поглощением а., „и,ей три,,о Землей можно „реХчь ШТИ,КЙТр™.
Полный поток антинейтрино на поверхности Зе
деленных по объему ядер тяжелых элементов равен пот" °Т РаСПада распре'
гошихся ядер, помещенных в центре Земли. По сущее™? °Т распа®-
росгагическои юоремы Гаусса. Поэтому УЩ тву это аналог элект-
/ = ft11 = б. j q5 нейтрино
СМ^'С
= 15 ТВ!
где ~~ 15 TBt мощность, выделяемая подземными
2= 200 МэВ - энергия. выдсляЮ1цаяся при Од[|ом ак™иками
Деления.
9.18. гч = 282,6-103 г естественного урана.
CM/с. где Z, М, Л„ _ ПорЯДКОВЬ1й номер, мас;
9.19.
са и радиус ядра урана.
МК 1, «,= )0“см->; 2> ,= 1.25-10'4 C-I.CM-S; 3)1Г = 99,6 Вт/см3
Решение. От.мегнч энергооыделение при указанных реакциях синтеза
ядер
, , , I ' + р- С[= 3,94 МэВ;
d d -* k,, .
|JHc + n. 22=3,26 МэВ;
d-r l-*4llc + п, 23=17,6МэВ.
Первые две реакции (d. d) идут с равной вероятностью в силу зеркаль-
ности ядер « и 3Нс. Изменение со временем концентрации частиц в резуль-
тате взаимодействия определяется скоростями реакций (d, 6)и (d, t) и ско-
ростью поступления ядер извне. - • , ,
Скорость реакции — это число столкновений частиц сорта 1 и 2 в еди-
ницу времени, приводящее к реакции. Пусть /j (vt) и /2(уг) ~ функции
распределения частик сортов I и 2 по скоростям. Будем считать, что эти
функции нормированы. т. с. j /(v) dv = 1. Тогда каждую секун^в,каж-
дом см3 объема плазмы число актов взаимодействия частиц, имеющих ско-
рости ат г, до г, 4* d’j. и от о2 до v2 ^v2 Равно
AV12=Ii|/|(V|)n2/2(v2)|V|-v2|o(lv,-v2l)<*vl</v2.1 ' О'
где П| и пг — плотности частиц, a(v) — сечение реакции, зависящее соот-
носительной скорости частиц, v = Vj-v2 (рис. 184). Следовательно,;
/V|2= [см-’-с-1].
Счшал. чю H'KMWUi. if, н а, исн.чмсит,,. 1ючучаП11
4|,-=1I1«Z'. 1‘К' ,5''- И ,/Vl ,/V2
Запишем с|шшшшш а............... ...кшЧ'шиш „к,р 1К|1|с^
”ljeMCI,CM a„( ......а. ... ,
"'м "л","”,,, I ,/
Здесь вдп«. cra-.w еииш-шп. , Ч«м пп.т иеше........ С1М
дрггсЭДК’М ОШИ' «'H'l’J IC.IIVI llimm™.........1'Ш'Шае па ец.>
Z Л|,;’........... 'rH ''-'И' ipilllls яад,
t>t^zZ WHKMt'
Рис. IM ,h 1 Т-
.................................................................... с |;|'.'К-.ЮМ первый коэффи
цпент 1/2 учитывает верея ин юн. но’кчепич трптч г< |н-зу>|ыгпс eio.'iMtcw-
!шя пары цейцк'нен laetrt (iftpa<ti\t
В с iai(попарном сооочнип и реп «не тыг п|( п й( раины нулю, it мы по.ъ-
чаем уравнения баланса
огкуда вычисляем еiакнонар!iyк> i oiHieHtpantHo ч.чер ipiiiim
а гакже шпенснвпрсп» носiуrr'ici11hi и «еи\ pein.intif дейтронов oi внешнего
источника
ns-w"»t
Выделяющаяся в термоядерных реакция'; мощность Hz может быть вы-
ражена через скорости изменения концентраций ядер дейтерия но каналам
(d, d) и (d, !)
316
гда Gad и 2d. - энерговыделения в реаииад dl .
1/2 учитывает, что для реакции (d, d) нужно V “ °’ 4' КоэФФициеИт
реакция идет е равной вероятностью 1Ю ®а житр™а. Поскольку эга
п, -.п-, дум Каналам, то п —
QdI = 23- Окончательно, Qdd~
'd OT,d(1 £1122 + 03
L tM CM
; » 3 ем3, равно л2о(Ж;й
относительных скоростей а™
9.21- Число реакций, происходящих в I с
черТа означает усреднение по всем значениям
мов дейтерия (см. задачу 9.20).
922. W = y оЦ ^194 + 326j = 2,88 107.
дачу 9.20).
9-23- W =
n=wv.
—3 (см. также за-
ем
"d">°'’d>2dT - Т °"d.e4l. гае на = п, = п/2. (С„. задачу 9.20).
При кТ = I кэВ И/= 4,36-IO’5 Вт/см3, /У=2] 8 кВт
При кТ = Ю кэВ W — 0,422 Вт/см3, N = 211 МВт
9. 24. т > ЛкТ .
ovdt«2di
925. 1+,ш = W „„„ = = 0,48^,.
,т см
926. пт > « 31014 с/см3.
OVdlC/dt
927. R > 12°с7 = 3,45-1010 см = 3,45-105 км,
2«d°vdd
Q = Q{ Ч- Qi 4- (2з = 24,8 МэВ — выделение энергии, соответствующие сум-
марному уравнению синтеза 5d -> 3Не 4- 4Не + р + 2п, ос — константа Сте-
фана-Больцмана.
9J8*. —1,6-1021.
Решение. Как следует из решения задачи 9.20, скорость реакции
(d, d) можно представить в виде
2 “ / 2\
гда 5"J? = ^(ni,7’) Ju3cxp
где ц = /и/2 — приведенная масса, v — относительная скорость.
При классическом рассмотрении реакция произойдет только тогда, когда
кинетическая энергия относительного движения будет больше высоты куло-
невского барьера pv2/2> yKyJ = e2/(2«d), где Rd - классический радиус
дейтрона (Rd= 1,7-10-13 см). В этом случае сечение взаимодействия
“ий =4л«2 и '
317
^лЩ2(ет°)2^+') “р
/ г \ 2
Я;Лл| —— kTnU еХп | {/ю,\
(<м »"кулехР --W
П Rf0
УКУЛ со -s> 1 '
поскольку 00
При вычислениях были введены обозначения <S = щ.г/2, A = A(llv\i
В квантовом случае определяющую роль играет проницаемость kyriOHo.
ского барьера. При 5<к1/кул (это условие выполняется в задаче, посаду
<S~ (3/2)fcT« 1.4-104эВ<с0,5МэВ)
D(<S) — схр
В этом случае сечение взаимодействия — о(<В).О(<§)1 где о(^)
геометрическое сечение образования составного ядра, и
oKB(<g) = о(£)£)(£) о(©) exp .
Выражение для ой£§ содержит интеграл с произведением двух экспонент
(падающей и медленно растущей). Главную роль здесь играет область зна-
чений энергий вблизи максимума показателя экспоненциальной функции
=о,
d£ \кТо у
откуда
«»ах = 2^оУ-Ж-=3.1-Ю4эВ.
Соответствующая длина волны де Бройля Л — _ =- 3,66-10-11 смЖа.
V2p$max
Таким образом, в наиболее существенной области значений энергий справед-
лива аппроксимация о(<8) = лЛ2 = пй2/(2p<g) и
V j“p aS-
, . Подынтегральное выражение представляет собой функцию с острым мак-
симумом и шириной порядка kTQ. Т. к. kTQ <Smax, то спадание функции
вблизи экстремума определяется экспонентой exp (—S!kTQ). Таким образом,
zp.
= ^70eXp[-6^g.
,£tm_ 4eVgrl
J
318
,,К» .2 / _
M« В W« цда 9TO ташдаещч Вд¥т л „
/, = $/2 в среднее tww хвдцчшдада и 1S- “+/ «««тем вдщдаи
?»»»«»»• При нияшк террвд., X » Цои ш
„доьач щадя волям ечснь в?лши w 5рм^ *W WTOWs^ дабр9й,
lWW дацдаия МС.ЧецТа надула в^имсдейо™^^'4,CT*' 110
досдан О L = 0„ и №.ВДЫЙ мред B«W ТОЛЬКО, к
дои/вый. Полный момент импульса системуГ+Т” 4"fTQ
„„мауа два значения I = 3/2 ц I = 1/2, ' ялепнм^ * *
дода егдапдадася частиц ц полный евдке^ТЩ«^^ S
(с> = 1«з/з°з/г + »1гаою,
Здоь (с> - среднее сечение реакции; ц _ ?ечецад
додоукщие ! - 3/2 и 1 - 1/2; t»3;2 ч _ долц №(дак1Д> _
ющис значениям полного момента импульса I иа обвк™ ’ '
,9<г । not j. п гт ' 0Г?Щегр числа состояний
равного (^d-rl)(2St+l). По условию Q, -щвда, = w^^=_
= (2++ 1)(2-1/2+1) °3/2 3 С'3/2' Е MW*WHQM поле, цолцос-тью поляризу-
kWm спины взаимодействующих ядер, возмог Wo, одн.о, состояние
= 1 » *t. - 1/2; /3 - 3/2 (ось 2 совпадает с направлением, магнитного
поля В>. Тогда (<*{£)) = о3/2 и, следовательно, среднее сечение возражает в
раза. " '
9.30! Если учесть четыре реакции
d + d -» t + р + 3,94 МэВ;,
d + d ->• 3Це +д+3,2ШэВ;
d 4- 3Не ->. а + р,-^ 1,8,.3,МэВ^
d + t -» а + п +-17.6 МэВ,,
то на один «сгоревший» дейтрон выделяется энергия У.Д^М^В. Пользуясь
этим, легко найти, что при полном сгорании, дейтерия,, содержащегося в, 1, л,
воды, выделится энергия 3,6-103 кВт-ч, что. равно, энергии,, получающейся,
при сгорании 277 кг бензина.
9.31. £ = 3-107 кДж. ' ,
9.32. =ЗЩ«0.06,
ЗЙ1 + 223 + 223
где Qp. Q2, 23 — энергии, выделяющиеся, прц реЩЩЙ^
ответственно 3,3; 4; 17,6 МэВ.
ЗкТ
m п,г =----------23-^-----------..
* Т) ------22dd + &h in-34V^ ' ‘ " , ? , -
Р^шовие.’реакция будет «моподдаржвдадг^
реадтрре- плотность мощности превысит' плртндс^'^рЩВДсти. qqbj>, ,,дых.
потерь: W * Послед::»» состоит из тепловых потерь, м„за
пом частиц из зоны реакции, и потерь па тормозное излуча1ке. '»
рр = 1У1+исюл.
Выделяема» в реакторе мощность W борется из мощное™
синтеза Жо и частичного полезного преобразования мощ,Ис1и / ®*Ц
„усе реактора, так и в окружающей защите ь",
ие = лик0 + ₽(Икт + ик„зл).
Таким образом, условие стационарной работы на уровне 8Лч
Пости при ц = ₽ > Ч
Л-(Це0 + Иег+ИК„и) =1Ут + Ж1вл,
Используя выражения для 1У0 и IV,. полученные в задачах 9а „ц
= "Мй { + 2щ) • ’’'т =
получим
ЗкТ
па1 ----------20 +о----------------~ 7 1015 с/см3,
° -п _______lVdd+Vd< , _ . л-34 «=-
^Zj-oUdd----4----1,5'10 УГ
О =1964 = о>2
1 Qn 24,68
^ах= 19,8 МэВ.
^ = £^^9300 А.
alt
tl/2= 1,2- 10J° лет — время, за которое концентрация протонов^
вает в два раза.
Решение. Согласно решению задачи 9.20 уравнение, описывающее»
менение концентрации протонов, имеет вид
dt 2 рр ~ 2 ’
гДе Нр(0) = pTVA = 9,25-1025 см-3 начальная плотность ядер водоред
У ==5,6-107 см/с — средняя тепловая скорость протонов. Интегра
руя это уравнение, получаем
9.34.
935.
9.36.
9.31*. i.
1 ___ 1 _ avt
iip(t) /ip(0) ~
Откуда сЛёдует, что концентрация протонов уменьшается вдвое за врем
1-2-Ю10лет.
»p(0)ov /
9.38. Эффект можно заметить, если число ядер, подверженкьй вйр ,
^ййойу делению,- JVBbm превысит дисперсию фона, т. е. дисперсию' «й
деющихся ядер JVcn. Дисперсия фона
3., ,рс>н r„ ,V„. - »*»» «ер урана ,
р.1кИ« ебразом. у > - 5. jою сьг2.^,
времени г.
M
"» P-Vac^4'2™. «’куда масса .шари.
рассчет дает R
op.VA (v-i)’ 8-3 см и
9.40.
~ концентрация ядер 2^ м _
зона, п — число поколений нейтпоппв -
ИЛ.41ЮГО Шх.ИШ экер,-™ деления' „ нахоХТТ V™Z
= где <§дел 200 МэВ/акт деления, п
3,27-iQ4.
9.41'
Решение Фогоделсние через состояние Г происходит при поглоще-
нии Е1 (электрических дипольных) квантов, а через состояние 2+ - пои
попешении Е2 ивадрупольпых) квантов Так как энергия гамма-квантов
больше высоты оарьеров. то отношение вероятностей деления определяется
гольм? отношением сечений поглощения квантов ядром, равным
5= {л.Ел}~- Здесь 7. = //2л — приведенная длина волны у-кванта, a R —
заднее ядра. Таким образом, отношение равно
Это значит, что происходит преимущественное деление под действием
EI-йотонов При двухфотопном поглощении световой квант, практически
не меняя энергии ядра, фактически меняет спин и четность основного со-
стояния и деление уже будет происходить под действием El-квантов через
состояние 2~. Вероятность деления через канал 2+ увеличится в 17 раз и
будет равна сечению деления через канал 1 под действием Е1-квантов.
- (Г а-./Г) „ о ( X V J 2л(1/0-^)1
9.42.^^------= ..£)(&)= — exp 1 —-----------j-----( = 4,8, где
0-^(2') 1 {Rxx) I J
£)(<§.) — проницаемость параболического барьера (см. задачу 3.41). См. так-
же решение задачи 9.41.
9.43. «||0
п,а< Ч 8лФ0
§ 10. Элементарные частицы. Резонансы. Лептоны и квар-
ки. Реакции при высоких энергиях
как не сохраняется лептонный за-
барионный заряд; в распаде 2 на-
10.1. Запрещены распады 2 и 4, так
ряд, и распад 8. так как не сохраняется
рушается еше закон сохранения энергии.
321
10 2. Распады 2, 3, 9, W и реакции 6, 7 запрещены, И1.
сохраняется лептонный заряд. При изучении взаиМодайОТщ
„ученных в распаде 1, с протонами было показано, что идег
не 6 хотя последняя энергетически более выгодна. Тем саиь,,7*1
рано’существование двух типов нейтрино. *4
10.3. в реакциях 1, 6, 8, 10, 12, 14 |Д5| — 0, и ониидут'П9
взаимодействию с характерными временами 10~ищ 1р-М с «Ч
мена). В реакциях 2, 7, 9, Il IД5| = I. и они практически
В распадах 3 и 4 |Дб| = 1. и они идут по слабому взаиаожй "Ч
рактерными временами ~ 10 10 с. В процессах 5 и 13 |ду| =г
такие процессы не наблюдаются.
10.4. По указанному правилу разрешены распады 2, 3, 4,5,6 j. ।
щены распады 1, 7, 9, 10. ’
10.5. 1. Барион Л — синглет с зарядом Z = 0. Следователе t
Т = 0, 2ср = 0, 5 = -1. У = 0, Т3 = 0.
2. Барион 2 — триплет с зарядом ± 1 и 0. Следовательно, 2 г1
3. Барион S — дублет с зарядами 0 и -1. Следовательво «-•
7=1/2, Zcp=—1/2, 5=-2, У=—1, 7'3=—1/2 для Z=-b
Т3 = ± 1/2 для 2=0.
4. Отрицательно заряженный барион Q~ — синглет. Следовать
N = 0, Zcp = -1. S = -3, У = -2, Т = О. Т3 = 0. '
5. Мезон л с зарядами ±1, 0. Следовательно, W = 3, 7=1,7^
5 = О, У = 0. Заметим, что если в составе мультиплета имеется истияш
тральная частица, то при вычислении числа частиц в мультиплетеЯар
вместе считать частицы и античастицы. Во всех других случаяхподКе-
разумевается число частиц. ’ ;
6. Мезон К. — дублет с зарядами О и +1. Следовательно, Ф!
Zcp=l/2, S= 1, Т= 1/2, Т3= 1/2 для К+ и Т3 = -1/2 для К0.
7. Мезон т] — нейтральный синглет. Следовательно, //=1, Т=5;
= Zcp = 7’3 = 0. ' ,
10.6. Распады 2 и 4 запрещены законом сохранения лептонного яр
Реакция 5 практически ненаблюдаема из-за несохранения странности^
пад 3 и 6 разрешены. Распад 1 запрещен законом сохранения энергии.
10.7. Реакция 2 и распад 8 невозможны, так как не сохраняется^
онный заряд. Реакции 3 и 4 практически ненаблюдаемы из-за наохравя,
странности. Распады I и 7 происходят по слабому взаимодействию, р®
6 по электромагнитному. Реакция 5 происходит по сильному взашей
ствию. х »;
10.8. Реакции 1 и 2 происходят по сильному взаимодействий; Р*8®1
~~ п.о электромагнитному; 4 и 6 — по слабому взаимодейстй®^ ,
। 10.9. Странность К°-мезона равна + 1, а странность
-~Л Поскольку странность нуклонов равна 0, а странность дрУП^^
л^бр-раВ-на н7лю, либо отрицательна, то поглощение К°-мгарнайй«*
..ходить с сохранением странности, т. е. по сильному взаимодевЯЧЙй1,
! [1РОИСХОДИГЬ .1ЦШьс
"ессираяеиием странности, т. е.
К '.мезон б отличив ст 1б0 --
--Поскольку при переходах К° «к“
с-™ероятаы(сч ,задау103) 11 И-2
’ РХ™ Распа-
’ ~ по электромагнитному взаимо-
! = 2. го возможна, но маловероятна
о возможна, но маловероятна.
- л?'. •- .рлняеюч лептонный заряд,
о л::, г'.' се чД.-р-’яз'ся барионный заряд,
с со '.о.и'чс:cs .'снгонный заряд.
10.12. .X- : ере-’ или S^-rnnepoH.
10.13. '! ~ т - к 1-0 г. глет, та С7-1СГ24 г — масса нуклона.
о.- м.%ч. где т0 собственное время жизни мюона.
10.15- т - — = 2.0-10"2° с.
10.Ю’ Э 4- = cS ‘ на неподвижной мишени) 2. Ах 3000 (на встречных
—.--.дг • _• ~ес ззесп’ые ядра.
? г •_ -с • ;• е Найдем сначала скорость центра масс системы. Пусть энер-
ч^сгииы ([. а покоящейся т?с~. Суммарная энергия сис-
темы с = с- — Полный импульс системы pt. Рассматривая эту систе-
т. ".а.*. с.'с-;"-;/ю -щсгийп. находим скорость центра масс
vL1 м _ Рц-
Э -еогии -^сгид в системе центра масс (СЦМ) равны
.. _ С;-Р1*цм. = п^2~°
Vj— (уц м/с)“ ” — (Уц м/с)”
Таким сбдазсм. суммарная энергия в СЦМ
£_ . 2щ2с2^.
тле ввело испо.таооаано релятивистское выражение для полной энергии ча^
(Р^)2 + (nlrC'2)2.
» «ЬОРЧУЛ» МОЖНО было бы получить и без преобразований Лоренца,
считая, что две частицы в СЦМ рождают одну с массоиМс - ИсП0 ’
323
зуя инвариант, получим ? (Me2)2 = <g2 ч> - О2 = f ,
-ь Л22?)2 - [£? - ("'1е2)2] • 0ТКУДа следует то же выра^^
. j,,. = V/nfC* 4- т^с4 4- 2/h2c^;
Для двух одинаковых частиц Mt = т2 — т получав
р 4* р —* М 4- М 4- р 4* р
и 1L = +rnpc1) -
Очевидно, что £* ,,.» (2-4mp + 2тр|с2, откуда 2m(|?g1 -уг(,Л[1!
»4(тесг-)г(Л + I)2- Если учесть, что й, » трег. то толучим
случае (столкновения с неподвижным протоном) №"
А< "V-—Ц- — 1 5 39, т. е. А = 38 (включительно).
2л?рС
На встречных пучках
2S' = 2Ат?с2 + 2шрс2 % 2Я/прс2,
откуда Л» 3000, т. е, практически все известные ядра.
10.17! tftS-lO'22с; тс2% 3.1 ГэВ.
Решение. Масса частицы в данном случае равна $сим, соответству-
ющей положению максимума на графике. Полуширина резонанснойкрм
на уровне 1/2 высоты Д<£ 2 МэВ. Время жизни находим из соотношещ
неопределенностей т « Й/Д£ 3-10~22 с.
10.18. тъс2~^/т-^с2(п1ус2— 2S ) =8,32 ГэВ. 0 = —Ь-—я«0,13.
/ПуС —
10.19. ядас2 = £Л(1-соз0) =3,1 ГэВ; |3 = -Д+™5-8.
10.20. У га 751 МэВ.
1021. 10.56 ГэВ.
2
1022. ®по„ = 4mvc2 + пне1 + 2 — с1 = 8,8 ГэВ.
нор А р
10.23. 2—- =5.2 (пар пионов), всего»
2/ПхС2
родиться не более 10 пионов.
10.24. Т ^^±j^-<2m)2c2= 1>6ГэВ1 где ,п «тл = т;
\ 2т е
.'“WA.^"MK* г*е мк — масса либо К0-, либо К+-мезона. ,^7
10.25. ^=8,94ГэВ.
- •‘«•26-'5n.aI^G +
Ю.27. <8,„ln = 'V2^0,SlvbB; -^«105r_
i* 2£ J
Ю.28. sin 1 = ^73F[57 = °-027-
_ > 2/lfq
10.29. о m,f t.,DpWA0 ~ *"4 ТэВ, где — атомная масса азота
„ = Ml - сечение рассеяния быстрых „ионов, рав„ое удвоен„ому
р,вескому сечению ядра. KN = 1,3- 1<Г13Л^3.
10.30. Т = 6,6 15 ГэВ; d<S Яг 7,8 эВ; т = 4Д. 1Q-15 с
1031. mDc2^ 1,85 ГэВ; р == 0,94; т. я» 4,2-Ю"13 с.
10.32* mQe2^ 1.7 ГэВ.
Решение. Для нахождения массы Q_-rnnepona
антностью квадрата чегырехимпульса
воспользуемся январи-
ms2;c4 = (<§, + <S2)2- (Р] + р2)2с2
Нетрудно видеть, чго Л°-гапсрон и К°-мезон можно считать.ультраре-
ЛЯП1ВНСТСКИМИ. поскольку массы этих частиц малы „о сравнению с произ-
ведениями рс: галс2а 1.1 ГэВ; шкс2«0,49 ГэВ (табличные данные). Поэто-
му Pjc; р2с. Раскрывая скобки, получим СТдС4 ~ 2<7|<1>2 —
- Ip^iC2 cos 0 яг 2plp1c2( \ — cosO), откуда
oinc2ft 2\^рЛркс sin у = 1,68 ГэВяг1,7ГэВ.
ЮЗЗ.Дд ft 0.88- Ю"'6 с, р = 0,835.
10.34. £ = 2?^. а 50 см, где т0 к 2,66-10“1° с; галс2= ШбМэВ.
/ПдС"
1035Т L = (2 In 2) СТр£у = 770 м, где т0 = 2,6-10~8 с; ткс2ъ 140 МэВ.
жя<г
Решение. За период полураспада Т1/2 пиона (по схеме л+ -* |х+ + v^)
половина пионов переходит в мюоны. Еще через число мюонов в потоке
превышает число пионов в три раза. Таким образом, искомая длина
I
д=глс 7=~ ^7'
Скорость пионов близка к скорости света, поскольку . Пе-
риод полураспада T1/2=xoln2, где т0 - собственное время жизни я+
(т0= 2,6-10-s с). Окончательно _
Lx (2 In 770 м.
»1лС -
Можно решить задачу иначе. Поскольку 10 ГэВ то пион
можно считать ультрарелятивистскими. Мюоны, вылетающие в направле-
.‘325.
нии движения пионов, также имеют скорость н«с. с .
жизни мюона примерно в 100 раз больше времени жизни пио"*Л
распадом мюонов в данной задаче пренебрегаем. Тогда ^(l) ’'Ч
= Лу0). По закону радиоактивного распада '
<W„(x) = -XW,(x) dt = J
Здесь т = ут„ = то А' а 11 Л = с d< = dx- ™<УДа А-v
/няС ах
или W„(x) = //„(О) exp
. По условию 3« (Ц = и '
4 exp
= 1, откуда и следует приведенный выше ответ ;
1О6-^=1'еЧ“^Ч= 0’364' Где To=lWtJ
время жизни К .
1037. 1800.
jVk(Z-)
10.38. г„т,,|У+У Ате 330 Мзб.
ц 2тлс тлс
10.39! & 3,6 • 107 частиц/с.
'°,-
N '
Решение. Число пионов, достигших детектора, — n = _iQe-iK
4л' А’1
Nn — число всех генерированных пионов, Q = S/Z,2 — телесный угол,щ
которым виден детектор из точки генерации пионов, t — время пролетам
оном пути L, х — время жизни пиона в лабораторной системе otcw
г = _ Т° = т _£
^l-p2
Окончательно получаем
Ч=" Аехр [л , Z
о ^ст0 у/т +2тлс1Т I
1.8 МэВ.
10.40. S.
10.41.
2тпхс'
0,894 ГэВ, <g™ax я» <gm«x
10.42. У-^^А^А^ЗЗОМзВ.
2(/np-m^
10.43. &р = т С^1 ГэВ.
/ЛаС
«3.6-107 ^™н
0,9 ГэВ. Точнее:
•326
пае 3-107лет,
10.44. «, - т^-^. 6,57- IO'Sb; t
10.45. 7'<2.6-IO1'1 all; Tfe8.|ol»c,
10.46. ft, - in ci.!LK (,b4 p.,1!
10-47. ftM„ - Л4 « (>«// ь- 9 ГэВ. ™й ЛФ
ю 1|(ЯСРИ впортии на иониза-
10.48. "i' f—"Р“ "VM'l’MsB,
= 0,1 МэВ.
|0,15-10-4
|о,8б‘Ю"5 .......... _v f шэп
10.49. Выход мюонных шпиксйщиио !и^гпнп^ V" Wc>D'
.. 1 ‘ши '''СИ! рИПО) СОСТЯПЛЯЛТ 7 ллл^о/
01 числа ШЮПОП. Выход элсюронпых tlllTWItrArmin,, к 2,0002 '<>
J.0002% m чнс/ra пионов. «’‘инсйгрипо (^итрино) соотдвляот
Ю 50. Процесс „„ссепш, №<>,₽>,„о „„ 3№ро,1м _
гоноффск! (рассеяние фогоно» 1111 электронах):
= 5,24 МэВ,
10.51. со, Il - .’ .= 0.927; (1*22" Ш 41= 15 МэВ).
IV !f(l( -t- 2fittc )
*t'(v )
I0,52, фГ%7 2 •“блюдснис потоков (пмосферпых нейтрино на уста-
новке Super-Kamiokandc не нод1всрждист отот результат. Таким образом, сле-
дуег npujiia 11. фак i нссохраиспия лептонного заряда и нейтринных осциля-
ний. ню яиаяе1сн следе ишем наличия у нейтрино массы.
1053. ('Hw<-'2)m(n-- (' 4-72/2)4>'100 ГэВ. (Современное значение
80.22 ‘ 0.26 ГэВ.)
10.54. Элек।рои — продукт распада т-» с“ 4-v0 + vt, Искомая проек-
ции oncKtjKHia максимальна, когда pv = pv и когда она перпендикулярна
р(, Тогда ре s с - 4tte2/Z ж 0.896 ГэВ.
10.55. »izc2 2/у »1п (0/2) = 97,5 ГэВ; 0 = cos (0/2) = 0,82 (Современ-
ное значение Шуе1 — 91.173^:0.020 ГэВ). . <
10.56. Минимальная длина волны у-кванта соответствует максимальной
энергии. Как лидно из графика, максимальная зарегистрированная энергия
(у-киант 4” ч») СОСГ1ЮЯЯСГ 3.14 ГэВ.
). =?л4£. £ = 40 МэВ«3,1 ГэВ; 1 «3,1-10'12см (пре-
/ I max у <
асбрсгасм огдачей ф-мезоид).
10.57! Спин мюона поправлен проги» его импульса; /« 1470 м.
1’с UI с II и с. Опрелслсиие спина собственного момента импульса! т, с.
момента импульса о системе покоя частицы, оклеивается Цбпрвмбнмым к
бсзмассовым частицам, обладающим нулевой энергией покоя, т.е, Щ 0.
Для пик принято вводить спиршна^б. т. е, npMKiM робот»ап о/»_мбмв«-
та импульса на направление движения частицы ~ пствщ и® даен, J
направление для частиц с »1«0. При стом даетицы е SftP паеываются
132J;
Г,“ ™а, a Z-трипо - прдвоспиральпдя.
Так как каоп К+ «' спи" 5" °' т0 \ + s, = 0. Кр011е,
„ + „ = 0. Отсюда следует, что 8ц дптипараллеле,, р[( (S^ Пр , >
„5 второй вопрос задачи. Запишем закон сохранения энергии „ри ра[^
„1кс2 = Sv + = pc + ^ч^ + pV, где Р)Л = = р
Возведя это равенство в квадрат, получим
кн
Рис. 185
РС 2т^? ~235.6Мв|
Полная энергия мюона
«, = /??+??«258*1.
Из релятивистской формулы <S(l = ly2//1 - 02 = -ру2 onptJB]j
у а? 2,444 и р = 0,912 (относительная скорость мюона). Пробег мюона в№
бораторной системе отсчета
I = |3сто7 = 1,47 • 105 см = 1,47 км.
При этом использовались табличные данные шкс2 = 493,6МзВ,
т^с2= 105,7 МэВ; = т0 = 2,2 мкс. Схема распада приведена на рис. Ш
10.58. £-----------0,1.
tic 2iiincR^
10.59! гТ/, = — 1------—----------= 1,5-10“14 см.
2 V(4<£2~<Si)(<S2-£i)
Решение. Связанная система кварк-антикварк (в данном случае
(сс)) с потенциалом взаимодействия U = —цг1г аналогична позитроннюм
спектр ее возбуждений подобен энергетическому спектру атома водорода
Поэтому можно записать, что массы мезонов складываются из энергий по-
коя кварков за вычетом их энергии связи
> .
2п 1
где р. тпс/2. приведенная масса. Здесь тс обозначает массу с-кварка.Он
в энергиях покоя двух состояний чармония (т. е. J/тр-мезона и if'-ме-
3™а? ~ &2~ = ТК И3 ДВУХ Уравнений находим 1 !
, •, ' । 2 4<£2—<£i г' ,г'
тсс2 = _ 2 1 = [ ,95 ГэВ
о
‘-['323
it характерный радиус чармония
см.
/Г 7 „ „ —= 1,5-КГ14
^(4©2~ <О1)(<П2~ <5[)
Поскольку кварки О1сутствуюг в свободном состоянии, то определение
их онер1'1111 невозможно. Эго связано с тем, что в адронах кварки окружены
/коопами и виртуальными парами кварк-аптикварк. и масса кварка дложна
зависев oi расстояния, на котором она определяется. На расстояниях
х< Ю'14 см, где начинается асимптотическая свобода и «облака» глюонов
п виртуальны* кварковых пар «рсдсюг», принято говорить о токовых (сво-
бодных) кварках. На больших расстояниях мы имеем дело с «одетыми»
кварками, коюрые называются блоковыми или конституевтными. (см. При-
южение Ш, iao.'i.5).
В рамках данного приолнжения по результатам эксперимента можно
шредстшь. как энергию покоя кварков, так и энергию их взаимодействия.
5.1 ГэВ; g4 = W =32-^-f- «0,585,
\"с) (4^2 — £j)
10.60. /льс
г 0,765 —
10.61. R
10.62. т.с
10.63" Решен не. Резонансный характер поглощения пионов свиде-
тельствует об образовании составного ядра, которое можно уподобить ко-
роткоживущей часшне. Сечение образования составного ядра в резонанс-
ной об.тасш (рис. 186) определяется для бесспиновых частиц формулой
Брейта—Вигнера
поли
Рис. 186
где А — ——, /. — длина волны падающей час-
2л
тицы в системе центра масс, S — суммарная
энергия частиц в этой системе, <8() — энергия
составного ядра (резонанса). ГуПр и
г»еу„р= глш„ - Гупр - ширины резонанса,
связанные с распадом по упругому и неупругим каналам.
Согласно закону сохранения электрического заряда распад резонанса
возможен только по каналу Д -> л+р, то есть происходит только упругое рас-
сеяние и в резонансе сечение
.2
. л-2 _ 4лй'
‘поли = °упр - 4М
329
Импульс сталкИ0ИЮ1Ц1,хся частиц » системе центра массд^
дптёя IB усдааия ---------- ----------,------.--
откуда
<м1 + »1р-’"Ь'
р =
= 227 МэВ/c;
, л = 15Й = 95-1(Г27 см2 = 95 мбц.
ПОЛИ Д
Экспериментальное значение для данной реакции antulH=b200Mfc,fa
личне связано с тем, что в простейшем варианте формулы Брейта-в»
вера не учитываются спиновые состояния начального и конечной сто-
ни» системы. Имеются (2Sp + 1) (25^ + 1) начальных состояний сипм,
н 22 + 1 конечных состояний Д-резонанса, приводящих к одинаковому к,
чению.
В результате в формуле Брейта-Вигнера появляется
2-L+1----------, учитывающий стастистический вес входного и им»»,
* (25р+1)(25л+1) ‘ка-
кого состояний системы. Сравнение теоретического и экспериментальна
значений позволяет определить, что g 2, откуда находится полный над
резонанса J = 3/2.
Полученный результат требует пояснения. Так как Sp= 1/2; Хл=0,15
в сумме они не могут дать J = 3/2. Поэтому необходимо учитывать и ор5ц.
тальное движение, т. е. закон сохранения момента нужно записывать в вида
J = S + Sn +Lnp, где — орбитальный момент относительного движе-
ния. Считая, что радиус протона гр 0,8-10-13 см (фактически это комп-
тоновская длина волны протона), получаем дгр =SVL(L4-1), или
VZ(i.+ 1ТТак как Л = 0,87-10“13 см, то 4 — 0,83. Следователь®, воз-
можные значения L = 0, 1. Соображения, основанные на законе сохранен®
четности, показывают, что L = 1 и J = 1/2 4- 1 = 3/2. Образно говоря, про-
летающий пион захватывается за счет сильного взаимодействия протонем®
орбиту с L= 1, делает несколько оборотов и затем улетает.
Во второй реакции (в отличие от предыдущей) возможен распад резо-
нанса
?ткУД»
== -
q гмети>
меиы »*“
рассмо'
,ми из°тог
Полный и:
с11Стема ‘
т.= 1/2,
’ 10,б4-
10.65
10.66
10.61
10.61
10.6'
Pel
Обе
могут
НИЯ, з
сеяни
образ.
обо:
ШТ]
ста
в :
ст
4°
и. таким, образам .появляется «неупругий» канал.
полн иупр т* °неупр’
где в резонансе
’пои = 8li*2 то52- или 68 » 190-^2-,
1 ПОЛИ. , Гцолн
агкуда
Q'3SS; a’“r”!’"
Отмегим. что другие кеупругие працессы_типакМ-п или:лгл?р- запрет
еНн ‘•аьанаин сохранения энергии.
^семитренные резонансные состояния ДУ~т- и. Др различаются--npnpynw-
иаагопическога спина. Изотопический, спин пианов L, а нуклонов VIZ.
изаспин резонанса поэтому может быть 3/Z и и^.Приэтом?(я:+'р)-
cHcre-'ta обладает проекцией изоспина-Tj =372, а. (л~р) — проекцией
j- =1/’. г. е. является суперпозицией состояний.сГ=3/ги.Т'= V2L
= 1/2. г. e. является суперпозицией состояний.с.Г=:
LQ.fri. g=(uad); n=-(udd); 2~ = (sss).
Ш.65. K.*=(.us).
(ds).
(uds).
lff.67.
ta-ssr <?z = Зет, - стг
Решен и е. Кварковый состав частиц из warar
КГ — (us). 2Г = (иив), S0=(usa), Q.~=(sss).
Обозначим сечения взаимодействия кварков.- имея~ в виду-., что, в яяляшу
могут взаимаденстваеать кварки двух поколений; и. — ив первого: поколег-
ния. s — на второго. Кроме тога, заметим,, что- при. dT^-mc2- сечения рас.-
сеяния частицы и античастицы одинаковы, (теорема. ГГомеранчука). Таким
образом.
=?cr(ud) =a(udj =cr(ud);-
a& = o(us) —a(us) aicr(ds) =cr(us.) И-.т.-д;;,
crc =cr(ss) — <?(ss) =a-(ss)'..
Рассмотрим в качестве примера первую реакцию (рис. 187) „ Стрелками:
обозначены взаимодействия кваркоэт сплошная стрелка.—с сечением.,аа;
штриховая стрелка — с сечением о^,;- волни-
стая стрелка — с сечением <тс. При указанных,
д задаче энергиях дебройлевская длина волны,
кварков- оказывается много меньше размера ча^
етиц. Поэтому можно считать, что происходят.;
Рис;, t.8.7.'.
только одаочастичные взаимодействия кварков;. .. ------------ :
я каждой из указанных реакций, сечения надо? просултмироваш пог всем/
возможным каналам; Таким образом-;, сечение-взаимодействия
длинное рассмотрение взаимодействия К+ + а-пргаодго к
выражению о3 = Зс6 б-Зос.
Решая подученную- систему уравнений, выражаем неизвестное
oj через заданные сечения о3 и оу
ар1
1070. =26мбн, o(AN) =32 мбн; о(=ЛГ) = 25 мба.
10 71 о(ЛЛ> = 32 мбн; o(SjV) = 25 мбн, o(QlV) = 18 мбн.
ioIl к 3- 2т, « ти + 2 (Д + ™ц) « 1290 МэВ.
Замечание. Речь идет о блоковых (тяжелых) кварках,
Поэтому Шд — еМр =ms — mtt.
10.73.
(рис. 188>:
’-Д++. Здесь возможны две схемы рв1цвв
Рис. 188
Отношение эффективных сечений этих реакций оа: об: og:o=.
= 1:2:2:!..
10-74" Решение.. Схема распада протона р->л° + е+ изображена на
рис. 189. Масса Х-бозона определяется из соотношения неопределенностей
Мс2^ 0,6-1023 эВ = 0,6-1014 ГэВ.
Зарад: Х-бозоыа равен сумме зарядов двух и-кварков
Рис. 190
Рис; 189
10.75- 2?«2'-10’ см; Qy = -|--e/3. Схема распада изображена на
=рйс.. 190.
- А 10-76’- Решение. На рис.. 191 и 192 показаны все 24 (2 X 12) перехода
- v между кварками, и лептонами, идущих через нейтральный Z0 и заряженные1
^сочные бозоны допустимые oq. теории электрослабего. вдадне-
u1jqMQ- ?rQM нс наблюдавшиеся, экспериментально переходы t,**s и
^^ичобр^^41”1 штриховыми, линиями. Приведем примеры наблюдаемых
п$рско№- ~
+ 4. —> Zv —* V[ + где / = е. v,_ т— лептоны,
хкпенис нейтринных пар в результатее^-столхновений;
__ pro рСЖА1»
- рождение Б ^-столкновениях и распад в адроны, либо
столкновениях и распад на пару лептрн-антилегцон;
рождение в pg-.
d -> u 4- W“ -> ц 4- e 4- -?Q,
_ распад, нейтрона;
u + d -* W+ “* ( + W i S-O. x — лептоны
- рождение в рр-столкновениях и распад на пару лептон-антилецтон.
Как следует из рис. 191 в процессах о участием г°-бозона. аромат квар-
ков не меняется. На рис. 193 приведены доминирующие при слабых распа-
дах адронов переходы между кварками, идущие через, обмен. W*-6o3OHaMH.
В то же время допустимые законом сохранения заряда переходы c-*d,
b->u и другие, изображенные на рис. 192, так же возможны. Например,
экспериментально наблюдается как распад D°-> К- +-я+, соответствующий
переход* с—>s (рис. 194), так и распад В°-*л~ 4- л\соответствующий пе-
реходу c->d. Отношение вероятностей этих переходов составляет $• 10-2.
Переходы же через поколение подавлены еще сильнее.
В условии задачи В -мезон-,, имеющий, кваркрвый; состав, Д вершине
? (рис. 64 из условия) распадается-. Наиболее вероятный! процесс -’--это рас-
пад Ь-кварка по схеме b ~*-q-KW-~ (преобразование в-, ближайший^ бЗДее-
легкий кварк второго поколения).. - ' =
Таким образом, в вершине 2 рожда.етдя. тяжслая,частида. <^ к§ар§£вым
составом, (ей). Это О0-мезон,. т..е. Кром$т<яо>. втэмудьсиц.остадид
след возможно мюон, поскольку образовавшийся при ряепад ь
след вио бозон мог распасться по схеме F 3 W '
W--» e- + ,7f
D»-fc)z^f=z:(~R k+''-
W Далее в вершине 3 D°-MB0B рас„
Рас. 194 ется. Схема его распада изобпа»»,*'
рис. 194. Наиболее вероятен расщ,""
кварка в рамках второго поколения по схеме '
c-»s 4* W+.
В свою очередь А¥+-бозон распадается, как сказано в условии задачи Пп
нелептонному каналу. Наиболее вероятен такой распад:
W+->u + da=n+.
Таким образом, в вершине 3 П°-мезон распадается по схеме:
D0->K~ + л+. гАе К- = (su).
Возможны и другие каналы распада О°-мезона через К"-мезон с обра-
зованием любого числа пионов: D0—>К 4- л+тс° или, наприадр,
D°->K_ 4- л+ 4- п+ + п".
10.77. Неизвестная частица X — это ^“-гиперон. При соударении К’и
р кроме Q- образовались еще две частицы. Это пара каонов К0 и К+
10.78! Странность частицы 5=1. Это могут быть К0, а также
D0, или В0.
Решение. По условию задачи электрический и барионный заряды ча-
стицы равны Q = 0, В = 0, а проекция изотопического спина Т3 =-1/2.
Ответ надо искать, очевидно, среди мезонов, т. е. частиц, имеющих состав
(кварк, антикварк).
По условию это может быть странный мезон, хотя не исключен очаро-
ванный или красивый мезон. Воспользуемся формулой Гелл-Мана-Нишвд-
жимы
Q = 7’3+l(B + S + C + i + 0=r3+iy,
где В — барионный заряд, 5 — странность, С — очарование, b — красота,
t — правдивость, У — гиперзаряд. Подстановка в эту формулу данных за-
дачи дает уравнение (для случая поиска странного мезона)
°=-| + |(0 + 5),
откуда 5=1. Таким образом, это К0 = (ds). В принципе, это может быть и
очарованный мезон D° = (ис). В этом случае по формуле Гелл-Мана-Ни-
шиджимы должно быть С= 1, Также не исключен случай совсем редкой
частицы с кварками третьего поколения В°-мезон.
10.79. Антинейтрон п.
10.80. У = —2, 5 = —3. й~-гиперон.
У = — 1; 5 = —2. Е° = (uss)-гиперон.
334
м®- ?л" = 2-ui> “
t№ = '’Т'«- Масс» страдает» Лвалй. < Й': >--
й;|%/3« 557МЭВ.
й« 3 -1027 м'ойлтол'ей-.
f-sitre»«е. Моиодал», летящий ср скрррстмда,, nfjU
т/ распадов прогой» <tf _ еедаййе „ ’‘21* “**
^-гонЕвУ- Прй ЭТОЙ освобождается эдаркй ' П
= atrntn^,
«₽»*««“ тотио прй дамощенда «озиСрода й. ^йа#№#. &
<»к -
против#'йаяодйтся из условия распадаодарго1 преданаяЛдлйдаJскси’»^ р.
0=1'/^= 3'-1(1-24 «2- зло Пр - коаделэдцйя продаж», д j tft# 46^
l&VA(m/p) ю 3,3- Ю23 СМ-3, (в мояекжвояы № протон»,
Ч'исл'о протонов в 1’ см3 Солнца'
п = р = . X,
тр (4/3fr лЯс J
wvmpc
£liOp 270 ГэВ. ' ' x
Решение. На встречных Пучках n'poToHotf (utfd)l И айтиНр-дт'бтЙ- fifutfj1
может род'Итьсп реальный Л’Л-бозон в- реакции ui+,d'=:W+,3 ddjiH
В уяътрарелятйвистсКоМ случае энергия1 раепределйетс'Я'Мёж'ду'
/заркаш точно так ^е, как й ймНулЬс'.- По' зйКойу со^а/генйй' эНергйИ
= (л, + 6i«i^ n •• -
Отсюда
т^с‘
Откуда1
d и'и/мЬжег^бД1Гй>йА
Соверптенно аналогично при столкйоввНйт кварков
'У'-бозон. Порог реакции будет таким1 Ж
Ж ъ 300 ГэВ. : : •
(6М CW. prtc. 195.
tfy я
РйК. i95
10.88. см. рис. <96.
10.89. См. рис, 197,
ЮМ См. рИс, 198.
Рис. 198
Рис. 196
10,91. Заметим, что реакция ve + р-* п + с+ не идет, поскольку запре-
щена законом сохранения лептонного заряда. Поэтому реакция может идти
только на Нейтронах. Причем, так как энергия нейтрино меньше 15 МэВ,то
возможно Детектирование только электронных нейтрино те на нейтронах
дейтерия в реакции ve + fd -* р + р + с-, откуда <SIIOp = 1,37 МэВ.
10.92, = 15,5 МэВ; <gf,°P= 121,5 МэВ.
ve
10.93? — = - - = —0,667 (эксперимент дает —= —0,685).
ftp 3 Цр
Решение. ДДя Протона вероятность спинового состояния
(|Ц,- f u, | d) равняется 2/3, а спинового состояния (t и, |u, |d) равня-
'ётсЯ 1/3 (согласно условию). Следовательно, предполагая, что магнитный
МОмей? кварка пропорционален его заряду, получим, что р0=-Ц|<
(Ц== — где — «элементарный» магнитный момент. Таким образом,
МйРййт'НМй Момбйт НрОтоИй равен
4 (I _-Ьн) +| [l^i +f - (“4 =*•!
Аналогично для нейтрона состояние (f d, f d, j, u) имеет вероятность2/3,
а сос-№ЯйЙё/,| d, |d, f ti) - вероятность 1/3. Поэтому
"I111 _+|t] =-2|t
йскоМоё'РтНдШёИйё —0,667, тогда как эксперименталь-
’'Ибб’шадше fe| '• =-0,685?- -- г
1WZ
Покажем, почему появляются вероятности 1/3 „ ,,,
„стояниях протона. Каждый кварк имеет сдан г/, “РК Рази« ™>«>-
дай СПИК системы из трех кварков равен 3/2 - ‘ 1 1га9юмГ макивед.
и(Я6стствую1Дее Д+-изобаре. стояние (t n, f п, f
Если перевернуть спин одного из кварков в д+ и„й
1еда- СО спином 112. Таких состояний возможно е’ТОП°лутаиа'с-
fliu. fd) и (I u. tn. ИЬПриэтомпос^ХсГ J4>-
ЭТГМБГ физически — это одно состояние Такидг * ^ершенно неразли-
tu. id) вдвое выше состояния „Гт Кр°”®с-состоя-
ли в последнем случае. - и составляет 2/3 про.
Лиатогично можно поступить И в системе кварков fd
и,. (fu. и t«) и (tB, fd,
зиески неотличимы. Поэтому вероятность состояния [Г|47?.Ф
болше состояния ( t u. Id. t d) и составляет 2/3 против 1/3 ' f ' даое
Заметим, что разность масс Д-изобар и нуклонов связана толью с ™
разоротом спина, а не с возникновением орбитального момента кварка. И
Еухлзн и Д-язобары — это S-состояния с различными 7: [/2 и 3/2
' Сейчас к проблеме магнитных моментов нуклонов развит более" нагляд-
выЙ подзол, основанный на обобщенном принципе Паули. Согласно, этому
принципу волновая функция нуклона (произведение орбитальной,, спино-
вой изоспиновой и цветовой функций кварков) должна быть антисиммет-
рична относительно перестановки любой пары тождественных кварков. От-
сюда следует, что спины одинаковых кварков в нуклонах параллельны (две-
гдаая функция всегда антисимметрична, орбитальная функция при I=0 —
симметрична, следовательно изоспиновая и спиновая функции — симмет-
ричны). Тем самым задача вычисления магнитных моментов'нуклонов'сво-
дится к вычислению суммарного магнитного момента двух частиц со спином
I (пара одинаковых кварков с параллельными спинами) и одной со спином
1/2 (оставшийся кварк).
10.94. $ = (гпд — тя) = 1231 — 939 = 292 МэВ. (См. решение задачи
10.93.)
10.95.
электрона
-и-—= —g—= 5-10 10 с, где гБ — боровский радиус
а'/ПеС* Ле а с
2
в атоме водорода, ги'-Ц — классический радиус электрона.
тс
14.96. /„ ==/я, is = 0,32 10-18 с, где Л =_^=1,+-10-Ч'.ем— гамтгТ
р ”3aJ 1
таяовская длина волны пиона (радиус сильного . взаж^дёййжия>;’
ffr5-I0“23c — характерное «ядерное время»,.-^..радиус-асповного;
состояния протониума.
Ю-9Г£ =.^<;Я =^.=«2,б4фм.-
га 4 n тас ' .U
p-pffietiMe Волновая функция основного сферически симметрии.,.
еоеТЙМИЯ (орбитальный момент равен пулю) частицы в трехмерное 6фе^
чеекой Ле с непроницаемыми стенками ф = Л Условие (а
ф(К) = 0 Лает разрешенные значения волновых чисел к = п. Таким о6Р1.
зом, минимальная энергия трех бсзмассовых кварков в непроницаемой оф,,
ре & ц = ЗЙкс = к- из-за различия в цвете они метут втроем вВр.
датся на НИЖНеМ уровне. Обозначим плотнос, в энергии глюонного ,1о'„я №
рез г. Тогда энергия кварков и глюонов
«=«„+««=^г+4л"3-
минимизируя это выражение, получаем
„ (здаум й £ _ <ло,. [ \114 - дада
Поскольку <Smln = 1п„сг, то
Л„ = «mln = 4я 7Г = = 2?ет = 2'1 .зг'10-13 Фм-
Эйёргйя гЛ(оонНоГо Поля составляет:
т. ё; Четверть эйергйи покоя нуклона.
,. 10з98.- Поскольку о(<8) ос <g2, то 1 — [Q-2-
а(«£ = 10МэВ)
,(’й'и;К'5Ч>
СТР0^евЕЩества
§ I, Итл/исни*
\! ' 'ШС ;м фотонов (In
о с частотами вблизи
пределах телесного угла
cos о Таким образом, фотоны создают
-И' . -- 2/<zi л = d(>^ cos2 0 sin 0
'!>• . । -fo< tb шсргии фотонов с частотами вблизи to. Дав-
фс.пнмми частотой со,
л12
(1 р л ~ г/р,,, j cos2 0 sin 0 с/0 = |
’ > б
Полн.-z „ав
и..=4И«4₽'
0,>1 (о,)
Мало/' отд/ре сИ<- , полос ги ведет себя как абсолютно черное тело, по-
CKOzib^y из/ту'тс-нис. гюладтпсс через ото отверстие внутрь полости, в резуль-
тате многократное отражения от стопок практически полностью поглоща-
гюл. гак чго кооффипиенг поглощения отверстия можно считать равным
единипе Излучение, покидающее полость через малое отверстие, по интен-
сивности и спектра тному cociasy идентично излучению абсолютно черного
339
лда с температурой т- Вычислим, какую энергию в интервад ,а
испускает в единицу времени полость через стверстие площадью i5
“2юсти излучения в полости. Энергия этого излучения. н«„Л *
из отверстия под углом В к нормали к площадке в телесаом у
^ = 2«sintW <Р№. 19S>- очегидао' Равна
its cos в = 1 <?fV ‘IS cos в sin В Л.
Суммарное количество энергии в интервале частот t/ш, исходящее от
версгия в единицу времени, найдем интегрированием по полуггрОСТранству
( cos Osin е</0 = 4фые</5.
Т Гог J 4
4 О
Интегрирование по всем частотам дает полное количество энергии, ис-
ходящее из отверстия в единицу времени: </5. С другой стороны, щве?.
стие имеет ту же излучательную способность, что и абсолютно черная по-
верхность, той же площади: /</£. где f [эрг/см2-с] — плотность потока.энер-
гии излучения. Таким образом, мы получаем
Лт)=£^. ci
Иногда (в. фотометрии, например) интегральную (по всем частотам)
плотность потока энергии, излучаемой с единицы поверхности протяженного
источника излучения в телесный угол dQ под углом 9 к нормали к поверх-
ности, записывают так:
d]Q =Bq cos 9 t/Q.
Коэффициент пропорциональности BQ называют в этом случае яркостью
протяженного источника в направлении угла 9. Если BQ не зависит от угла
9; т- е_ Bq,=В; то такой источник называют ламбертовым. Абсолютно чер-
ное тело — ламбертов источник излучения. Вычислим суммарную плотность
потока энергии излучения Д посылаемую единицей поверхности абсолютно
черного. тела в, телесный угол 2л:
гс/2
- i = £ В cos 9 -2л sin 9 dQ = tlB. '
О'
Кроме того,, эта же величина в соответствии с законом Стефана-Боль-
цмана: равна сйГ*, гдеа — 5,,67-Ю-5 эрг/(с-см2-К4). Приравнивая (**>кпог
лученному ранее- выражению (*)-, получаем, что яркость
<fet л . -
\ :,;;,.Вп®ЕнесЕЬ,.потока энергии,, излучаемой на всех частотах с единицы;плt
'Щ^ци^абеощолгна черного? тела* имеющего, температуру Г, а телесный Ж-
2го.ад=ыазывается энергетической .светимостью (интегральной излучательной,
сдособлостью).-
01 C/Oj
s ’Фи
^щего
1 Угле
В соответствии с вышеприведенными р-1г
яюМб.«- абсолюию Черного .ст1а „а частст^ХТ" “’"'“Ч»
,10Ж!!0 записал.. >ак к «„,4“
Из 0].
‘Нстеу
и, ис-
сп вер.
ая по-
энер-
(*)
готам)
-МНОГО
Ж-pz-
Эго выражение называется законом Ламберта
J.2T fl(T) = аТ<- stT) = ±L уз, 1Ж а = 4о
Решение. Пусть равновесное -тепловое излучение г
j/ Тогда его внутренняя энергия U и эшро/шя у содеРЖИ1ся в объеме
Воспользуемся |ср.молинамичсскими тождествами
tei tete .Hte =с..= м
Подставляя в первое из них уравнение состояния излучения Р=сттая
соотношение <•>. находим, что р">'3 и
v/7) = 1
' ’ 3dT <**>
Подставляя полученный результат и первое из соотношений (*> во второе
тождество, находим уравнение для р(7) р
f/2p _ 3 с/р
(IT2 Т dT'
остью
г угла
о чес-
тность
лютко
(*Ъ
Боль-
к по-
I я>
( угол
льной
откуда о(Т) = аТ4, а также
1 3 (IT з
Полученная постоянная а в этих выражениях может быть выражена че-
рез постоянную Стефана —Больцмана о = 5,67- Ю-5 эрг/(с-см2-К4). Интег-
ральная плотность потока тепловою излучения / [эрг/(см2-с)] зависит от
температуры но закону Стефана —Больцмана / —о?4. Кроме того, j = cplA
Фм. задачу Li), откуда постоянная а = 4о/с = 7,56-10"15эрг/(см3-К4).
Заметим, что соотношение j = с[>/4 легко получить, если рассматривать
излучение как идеальный таз фотонов, движущихся со скоростью с. Как
известно из .молекулярно-кинетической теории газов, плотность потока ча-
стик, т. е. число частик z, движущихся со средней тепловой скоростью и
и пересекающих за ! с единицу площади поверхности стенки сосуда, рав-
но z = riv/4. В отой формуле п — концентрация молекул газа, в нашем слу-
чае — это число фотонов в единице объема.
13. S2-SI=^T3(V2-I'I).
М А = С — — 7"3- Р = 40 т4- cv = 8cite ф = 0.
Зс’ v Зс Зс '
34!
& р = 320 Г4 = 1126'10-3ДИЙ/ем2= 1,26-10 4 Па « 10~<
11. С» = «> = const.™ рИ'3 = const.
, \1/4
i4 Т- ЗД «М-10 к-
ь»к 1" 14о ;
а ^Д-Г^М'Ю7 СМ 3.
*‘у зг&в
с?" _ 1
1‘10- -(л?л В'
1Л1. aLl^-r^O-lO10 см-3, Гг = Т=250 К.
РеШенйе. Температуры в обеих частях сосуда разные. Запишемм
Вйё механического равновесия поршня
Р1=«1'бЛ=377'2=Р2. <•)
1* индекс 1 ОТНОСИТСЯ к тазу, а 2 - к излучению. Естественно Вред»»
жить, Что Г[ «Тг, так что давлением излучения при Tt можно пренебречь
По условию задачи при малых изменениях температуры в обеих части»
суда на одну и ту же величину направление смещения поршня не МВ1в
от знака Отой величины. Это означает, что в зависимости объема одной и.
Частей сосуда от температуры имеется экстремум (минимум, если спей,
устойчива), в окрестности которого 3V/aT = 0. Так как N = nT=co«, то
в линейном приближении По отклонениям от равновесия п + у ^.=j
и, СЛеДОВательНо, МЯТ = 0. Тогда из соотношения (*) следует
По условию задачи d7\ = dT2, откуда
„ =152?!= 7,3.Ю10 см-3.
ЗС&Б
Начальная температура газа 7\ = Тг/4- = 250 К. Поэтому отношение давлений
, А
рйзл (-гД
излучения 1у! = Ь что оправдывает сделанное Предполйже-
НЙё б маЛбСТИ температуры газа в сравнении с температурой излучения.
Решение. Поток энергии, излученный элементом поверхности t/Sp
падающий на элемент другой поверхности dS2, определяется соотйоШейШ
^2ф = dS2 COS COS02
Л.
|ДС в соответствии с рис. 200 П1 и п2 - единит
„„егствующим площадкам, R _ paccTM ™““еКтары “°Р«алсй к со-
Лф|щист- пропорциональности, называемый „„ площажами, в _ „„
задачу I.D, вообще говора, зависящий от углаТ₽,Х"°с™ой ’Ркостью (см
1 « также азимутального
угла 'Рр 11С изображенного па рисунке)
Для абсолютно черного тела В = consl (за-
кон Ламберта) и В — ?2—. Если ввести те-
zn _ <^'2 cos 02
лесный угол ---------------- иод которым
видна площадка </S2 113 Центра первой пло-
щадки, то
с/2Ф — £1_cos о,</й2.
На рис. 201 изображен шар — источник
равновесного излучения, а под ним — за-
черненная с обеих сторон поверхность, где
ds2
dSl
Рис. 200
„ надо найти распределение температур. Из соображений симметрии ясно
,то т = Г(г). При условии h » а телесный угол, под котарь,„ из Р,„
ра видно кольцо радиусом г па плоскости
ио. - 2arrfr cose;_ 2„dr д
кроме того, условие h » а позволяет считать, что 0t ft <р, где <р — угол меж-
ду нормалью к dSt (т. с. радиусом) и вертикалью. По-
этому t/Sj cos 0( ft ft </S| cos <p = t/Sp где e/Sj — про-
екция dSt на экваториальную плоскость шара. Сум-
мирование (интегрирование) по всем элементам полу-
сферы даст паг. Поэтому ноток излученной шаром
энергии и поглощенный кольцом
(/<!> = ла‘
та-
В равновесии этот поток псреизлучастся кольцом по
обе стороны плоскости:
^Ф = 2лг^г-2оГ4(г).
Из равенства этих потоков и следует ответ
Рис. 201
1 13 Г* (г) = Т4 где г - расстояние на плоскости До проек;(
° 2(Л2 + А
ции оси цилиндра.
L14-r4w=T°ra
sit'
f— 4 ___________7’2(6 = 0) „./о
' 1.15. T2 тда^йу-2 «=1,09.
ij6-t ^=г'€ЕжЫ“1125к-
1.18! T = ]ly = IMO K.
Решение. Вычислим величину телесного угла Q, под которым бы
бы видна линза из центра Солнца. Пусть L - расстояние от Сол1Ща до 3еЛа
ли, a D — диаметр линзы. Угол а, под которым. из центра Солнца виден
радиус линзы, равен а = £)/2£, отсюда
Q = 2jl(I - cos а) = 4я sin2^ ла2 = л UL
Плотность потока энергии, излучаемой с поверхности Солнца, j = oT*c. По-
ток энергии, излучаемой с поверхности Солнца в единицу телесного угла,
равен аТс^£. Мощность солнечного излучения, падающего на линзу,
Нагреваясь, шарик, излучает. Когда поток энергии, полученной от Солнца
сравняется с потоком излученной энергии, установится равновесная темпе-
ратура шарика. Поток энергии с поверхности шарика диаметром d
. rf2
Л’ш = ст7’ 411 V
По условию размер изображения Солнца acF равен диаметру d шарика,
2У?р
где аг =---— угловой размер Солнца, a F — фокусное расстояние линзы.
u L
Таким образом,
JV = aTW1 = оТ4ла2Г2 = оТ4лГ2
ш £2
Приравнивая потоки энергии Д/с и ?/ш, получаем
= <зТ4Р2п ‘УЦ-,
4L LT
откуда и находим искомую температуру шарика
r = 15°°К.
’34'4
|.ЗД-
w-.urt
|.2|.
«5850 К.
|.22.
I»
1-И
' |WI
D=^^=l'5S-’pt,^ = i5'5''M.w^j!29_= ,
Л= н +^2-71,1)1,1 *340 к. Vw '
'М' ?'з1т ~ 29?1Гт WT ВТ РМ"НЙ *
IVffllfTH: Л) ~ 340 (О’ тз ~ 290 К', Ту * 230 К; Т-|Р к (30 К
Порегрер IWPXWPTH Вецерц Sfi3(WWT BpWTW Вдр фф
И- ЛШРФРР‘1 Р^РРН TOW ИWTIW зездл в ₽р сй^Р е
»|(>W WWWT Р02- ШЙРФРРЧ ПЙЯПУСНН тдавдмй ТД р f=?
а-даоА (йОРР К), кя пр пропуогает 1« (0мкМ гзррк) '
(,2(i. Тр = 2ТзГ1р1'2«00рД(р. "
I’27' 47) д/с «0.,25’10 ’’p/'2 + 0,9(j К/’t, рдр ррирятп:
дан ДОДОН М = 7₽ 8Г. првердвдруь црдрврчрркргр трлд S ~ 1 м2, удрдь-
1103 Т₽ПЛПРЧ80.с'|‘ь урча реррвекр с — 4,2 Дж/+-К) (удельная терлррмкрсуь
BWJ)- МРжДО ТП1‘жР РКСРИТЬ WTMHWTb ПРРрНВДНЧ
«ИМ Ч РТРРЧТРМ дамрре (рез прнпудит₽льнрй ярптрдарщу). EpW вд-
мпч яи» hwwwihio «wMwm тагарциум чад wwiwro ths
Т||1Р = 3(5К (42°СЬ ™ ТОЙ 47’!!|,х = 5.4К. . Пвдра/ тедаяуй
ffi= pppsl, ПРЛУЧИМ т о ч- Уцрт нрчццрйцррти ПЯРИЧВРЦНРЙ ТРЗЧФ УЧРЩУ
вдт у (^-» Й Р ррртрч Г И ПРОТОЧУ Р1ДЧРП11Р т wpsfw!-
" 7
Rc Тс
I-2?,
= (0,905 + 2,53) -IP8».
' L' ’Ы JtAr^l-p)' . " " -
8 даре I) РТЙеТ ЦО зависит от ртрдждтрчьндй' рпрс$нрсуА gj i) с одр 2) дид-
дод В ОПРОдеЛЯеТРЯ днодэмод ТРЧПРРЧТУр И WWWM (ftf/Й2 > О (ПР9ВЯ8
ЧЗРТЗ пр;(ржоТРЛьЙЯ)- ОтрЧя<0Трлр11Ч8 РПРоЙпОРТВ О Лп;!ж![£1 Л₽жзть в ppepp-
лах 0,773 < В < 0,97|
’ 'Отсюда PWYPT, ЧТО ПРИ РгР’О7! РТЧЦНВД.«Р-МИТО PSfiBW »-1W
шцод рржцме Н9 Д(Р₽ЧХ рдссточниях рт СрДПЦР (И Й?Р РОЛВД ЙУЯРТ ПФ
егррв): ПРИ И «О,773 ПРЛУПЙОМ Ай Й^Й’10" КМ,-Т; р:
Цтр 119 РПОЛЬ УГРДПР fiMMWM Р9РРТРЧНИИ ОТ Ррчщя; при д-и
L»(fi,93-r2,0) -(рв-км. - ’ - ' '•"• -
1 29» и = Ж « Р, 1 см/р, где 4 - » р/» - ШИН WW )
t,^x ............ 1 с
Так как пластинка излучает лишь в полу I rpoc'i panel во, ю она получает
ставляющую плотности потока импульса в направлении угла 0:
Clp = -T
4л
Понятно, что только проекция
составляющей импульса dp. даст двизд^
пластинки вдоль ио оси z (рис. 202)
<4- = с“2 0 Лг = cos2 0 U 8 Л
Полная плотность потока импульса, кото-
рая в силу симметрии направлена нор-
мально к пластинке, равна
5l/2
n = £ (cos2 0 sin 0 dO = £ =
г 2 J 6 3с’
Рис. 202 Найденная величина — эго нормальная
компонента импульса с единицы площади
в единицу времени, т. е. нормальное давление. Полный импульс, получен-
ный пластинкой, находится интегрированием нормального давления по пло-
щади пластины S и по времени излучения (. В соответствии с законом со-
хранения энергии он равен
р„ол,Н₽*ж "=£ И4Л=£
где S — полная внутренняя энергия пластинки, переходящая в излучение, В
соответствии с законом Дюлонга—Пти <8 = 3&(;7W, где N = — = JV.—— чис-
" т ЛД
ло атомов железа в пластинке, М — ее масса, А — атомная масса. Использо-
ванное для <£ приближение является довольно грубым, т. к. не учитывает
уменьшения теплоемкости при остывании пластины ниже температуры Дебая
(для железа примерно 500 К). Тем не менее его можно использовать для оцен-
ки максимальной скорости, развиваемой пластинкой. Таким образом,
п — ^П0Л|1________2RT
‘max м — ~
0,1 см/с.
1.30. ДТ = Тз-^«7-10 3 К, где Т3 средняя температура поверх-
4Т7
пости Земли. ъ 1,5-1015 Вт= 150 И7.
1.31. Т = Д —= 278 К; ДЛ = - 2Д АТ----------------|09м.
’ 16л7? о Т
346
1сГ„пиая оропга Земли аллпнгичсскащ Кп1„л 152 млн км, а Rml„sa
\ м Подученная оценка допустимых отклонений но порядку ве-
s i48 м-11,uuier с этими шклонсниямк. Следовательно, реальная опенка
днчн111’1 гс>п'ср;мур"ого перегрева Земли несколько занижена.
ддауь-гамоа
1.32. Г
о3 : ” ~'VA^ ~ число ядер в кусочке
. = М _ постоянная распада. S = 4л (Ml®’ - площадь понсок-
ур.ша. r;/7 U”P/
-in кусочка. Вклад осколков деления в разогрев шарика несущественен в
"°С ’ большой равнины их парциальных времен полураспада.
С"1')| 33.' теплообмен падаее в N + 1 раз,
п.4 UV + I-^tJ + h?’2 * 4
п д72р] •> "—1,2, ... W.
1.34* 1) Т 12 = 950 К: 2) Тл2= 1230 К.
Решение. И В первом случае ток не изменится. При повышении на-
цряжен!>я вдвое .мощность юка увеличится также вдвое. В стационарном со-
стоянии излучаемая мощность возрастает в VT раз и будет равной
^.950 К. Анзл1<н<ческ1< зю записывается следующим образом
И'л = •'Ц|,Л1 е7л = const; ^1 = £Л1 = Щ,1
ИА2 ОТ^
I г \ 1/4
откуда =ь950 К.
2) Во вюром случае ток возрастет в 23/2 раз, а мощность в 25/2 раз. При
этом iCMiiepaiypa анода повысится в 251& раз и достигнет величины
~ 1230 К. Запишем это:
/ / 1 1/4
1.35. T,u=r .u|^j =1083 К,
W = <7Л| Гл, + цлпаК11, к ^Гд| + „,ти1 = 200 В1.
+ Ч'дакг = <^Л2(« - SM + 1V„„2 = 2350 Вт.
1.36. = ЮМ
С Шр/1
1.37. ^21 = з,8.
elf
1.38. = Ai ft 2 0,38 (38%) — с учетом зависимости со-
Л’ / 5 V
противления пиги ос температуры, --т^г^7“^ 0’48 (48%) — без уче-
Е 2 к$Т у
та этой зависимости.
347
, ,o> iB 0,0256 (2.56%).
LJy‘ в Р ^БТ0 Т0
дг^-^о&'йЗ-.бк
16 аТ
Решение. При данной температуре диссоциация азота не Пп0
дат, т. к. 9,74эВ » 0,216 эВ (/<БГ0). Концентрация молекул азота
_ р — 1 оз-Ю15см'-3. Длина свободного пробега молекул азота Д
— 1 7,Я гм > 2см — размера колбы лампы. Таким образом, движете
молекул внутри колбы — бесстолкиовительное. Для опенки будем счи
что всю энергию, полученную от спирали, молекула теряет при столку
вении с холодной стенкой, которая имеет температуру 300 К. чИсл
ударов в единицу времени о единицу поверхности стенки - —м
на среднюю энергию одной молекулы S — cvT&. интенсивнее
потери ‘энергии /Vn0T ^z<S), а вращательные возбуждены, т. к.
51=22 = 5-IO'" эВ«0.216эВ (W
п in^d
(здесь иг^ —масса атома азота). Теплоемкость, приходящаяся на одну w
лекулу, су =сП0СТ 4-свр =|-^Б, г- е- Таким образом, интенсив-
ность потерь энергии
л/пот=|/г'^Б7’о-
о
Уравнение теплового баланса
а(7’0-ДТ)4 + Л'1га, = П^.
Считая АТ«То, получаем
дт =А " -i|2Ll = 5,6 к.
4аГо 16 сТо Vx'?IN
При X =5000 А отношение —= 11,5, поэтому ей“^вто»| п
£бТ0 ХХбТ0
р(со) ос a)3eftco/Ai52"o. Отсюда следует, что при изменении температуры наД
0,0256 (2,56%).
Р *БЛ0 1 о
Поскольку излучательная способность (яркость лампы) однозначно опр№
ляется’ спектральной плотностью излучения, то искомое отношение равяо
^-=0,0256.
1.401 Т2»80К.
Решгение'. Частота, соответствующая граничной длине
Х0=5'мкм, равна <о0 = 2кс/Х0 =3.8-1014 с-1. Поскольку пластинка обя^
3'48
................. " ncwracMUI, абсолюню черной нласгин-
)О» (г..ч дчвиа )
Черпай и,I.к iiuu a iimcci ратитовсс- рис 2од
мую i(”tii''|i,i г/ру /j 300 К В cooi
пенсии < заюпом ( и фана I.ольпмана поток излучаемой ею энергии (с
двух сторон)
Ф’,...... 2,S'o/J —4,59' IO5'25| эрг/с] .
Кварцевая плас шика, находящаяся в гсх же условиях, излучает поток
(*)
На рис 204 ппка.:ана спектральная плотность равновесного теплового из-
лучения ккарппиш пластики при (смнсрагурс Т2- Штриховкой показана о&-
ласп, частот, в которой пластинка не излучает. Предполагаем, что
"-‘()»2.8Ль7'2/А. If пом случае интегралом J pr(w) dw в формуле ( ) можно
349
„оеневречь. Условием теплового равновесия является равенство Mow.
ZXU=MOK> потоков энергии, т. =. Ф = Ф и Ф,ерн =
С.’о
Ф' « М = J Рг<“) Лз ~ Ф',ер..
откуда Тп = —— или Т’’ ~ ____80 К-
отюдз-'з 170 - /по
В заключение убедимся, что со0 » 2.8ЛБ7'2/й. В самом деле
«0,3- Ю14 с'1 «3,8- Ю14 с"1 -- ш0- Таким образом, наше приближен^*
раздано, и задача решена.
1.41. Ф » S-Ц оТ4.Це’
8.1-10 6 Вт, где а-„ = ^.«1 6,2, s _
щадь окошка.
1.42.
^ 0,003.
1.43. х
1.44. Т
15 f
л4 ЦБТ/
х4
5 й34
3 £
1,63- Ю-7.
_л г*4
= «5840 К.
5 е
4 (t Т>\3
1.45. 7 = — ЦМ Т- » 370 К.
5 I ficoi )
1.46. d - - In = 23 см.
X JQ
1.47. {Mty к (MJ exP
f he \
= 5,9-10’.
Относигельш
Заметим, что в задаче требуется определить среднеквадратичную флук-
туацию сигнала, т. е. энергии, принимаемой приемником. Покажем, чтоир
условии это будет флуктуация числа фотонов. Строгая терчаи-
намическая формула для флуктуации энергии имеет вид
В интервале частот от е> до а> 4- dco
Соответственно
(<S) = Vpr(to)dto = -ЦЦ--4^-т----d<a.
л с ехр 1-рУ -1
ИБ )
(Д<В2) =
350
Сравшшая С |И И-лмагом для (|)>1УК|VUIU111 числа
Л („). МЫ ВИДИМ. -НО Я лип облает епштг,
''ИСИ1Ц Идеального газа
«о представление о фо-
Пв"1«"""' " Джи,|га сиро „Ш|||ОТ1>|1. ,11тас111Ш|ипи
(> CIH 11
1/,н- 1 |,(,Л,,А, при A, = ,J0 см сигнал умсиылиюя в 1000
I’»-1 . , i
|.,|ОГ I! иоии\ егошин Г 1(|1()1 --= 4,7-Ю’7 К.
Аьд с (ДА
|’eineHne '>11<‘|чи>1. уносимая излучением за время til с площадки
(/S’ 1Н’И YinoM •' к нои а ।елеепмй угол dU
tlt'< — /(1| () (/(в d£l dS dt,
/ 1 tns С падуча голыша способное! ь Л ЧТ па часгогс w под уг-
ии О 4;, J
О к нормали (.'опасно распределению Планка
»при
tOJib
I ели pact ма i рипа i ь излучение вдоль направления нормали к площадке, то
^Иеремия г .......... приращениям, запишем
л<(; -'р" 1\,;М1МЫ. &£ = £, ы-i. (,)
С.очои ч> и онунишс фокусировки AS = S=i~, Ла = 2я(1-
_ со, Т) - «» %шЛ *. «к т -- У'"'1 лмИпиии •ww* «™»ияи. По-
;мгая. Т,1Т,Л. иолуиим А«»^. в свою ИОРОАЬ.
После ИОЛСЛНООКИ илГ.ЛСИНМХ №№""" »
Вычислим нырнжсиис в скобках:
I 1т \ । =Л£1аГО»0,4ЛО-‘5«1.
351
Полученный результат означает, что « 1. Тогда
Т , , =_^-------= 4,7-I017 К.
э** Ат AUb
Заметим, что нолученпый ответ - чисто «классический», т.к.
Плавка в нем отсутствует. Это означает, что можно было восполи..
для вычисления р„ формулой Ролся-Джииса, а не Планка.
Случай в): При максимальной фокусировке с помощью линзы
пым расстоянием
'''"•-лват^
лучей
угол схождения
F площадь пятна в фокусе AS'= л '
/у) > а телесно
фокус АЯ'=^. Отсюда мяв
AQ'AS'=-^p т.е. такая же величина, что и в первом случае. Получу
ный результат AQAS = const является общим свойством оптических си
тем: поверхностная яркость предмета и его изображения одинаковы. Мохи
считать, что изображение «излучает» в телесный угол AQ'. Посколькув«
остальные параметры при фокусировке не меняются, то ответ будет так»
же, как и в случае а).
Фактически ответ можно получить и из качественных рассуждений.
Энергия <£ в интервале Дш излучается лазером с площадки S в телесный
угол AQ~X2/S за время т. Энергия, излучаемая абсолютно черным тад
с той же площадки, в тот же угол и за то же время есть p^AtoAQxS.rj
Сравнивая, получаем ^вЛфф ~-г~- Линза не меняет спел
сХ тДш
рального состава излучения, а значит, не меняет эффективную температур).
1.50? Г,фф = .^-=1,47.10иК.
Решение. Поскольку энергия лазерного излучения <§= 1 Дж(чтосо-
ответствует температуре £//сБ ~ 1023 К) сосредоточена в очень узком спект-
ральном .интервале, то можно с уверенностью считать, что для абсолютно
черного тела, имеющего температуру ТЭфф, ^вЛчффйа) (а) - частота»
лучения лазера, Йо — 2 эВ для красного цвета). Таким образом, спектраль-
ную плотность потока энергии излучения черного тела (спектральную®
тимость Лу(со)) можно записать, ограничившись классической формулой
Рэлея—Джинса.
W =М“) =7РгИ = =
4 4х с2 Г
Спектральная яркость излучения абсолютно черного тела ^(со) связана со
спектральной светимостью соотношением Яг(со) = лВг(о)), являющими
следствием закона Ламберта. Откуда Вг(со) —
лХ2
!352
Wr<*lln,
C Фокус-
тел'О»К
п„,1дам с,^Грш,ь,,уЮ яркость лазср]|ого
„«.ЫГЬ плотность потока энергии „а ВЫХОДе ' Если о6оз.
,(^о S = нО2М. а орем» импульса ИЗЛ„И1Ю х “К’’ “чи«= лучка на
А- ' ’ ™г® “чевидао, ч-го
</=-—-=: 4(s
Ширина спектра импульсного излучения Av~ 1
, а телесный угол и ы,
распространяется лазерный пучок. ’ котором
С*Л)П
Полу,с(
Кнх сие-
Можно
VMy Bte
ICI Шин
УЯДешй
гслесад
•IM talM
HtJ, щ
" спеи-
icparypy.
ЛП = 2л(|- соаРу^дО^Лй
Тикам образом, искомая спектральная яркость лазера
»,т>М =
AwAQ
По условию И, («>) = Л-1а ,(<»). откуда
1.47-1022К,
Эта колоссальная температура полностью
ческой формулы Рэлея—Джинса.
оправдывает применение класси-
Как л в 1-49 можно привести качественную оценку. Поскольку здесь
)• ’»о - 6.
'•5|-тлфф=^^=2'65-|0‘6к'
(‘ПО СО-
и спек-
солютио
тотаю
гктраль
<ую си-
зрелей
взнзео
0ШЯМСЗ
Как и в 1.49. считая, что 47т =-- р, получаем ksTa^^ pltiv.
1.52. Т= _?!£_= 1,47-1015 К.
Лк1>ч
Каки 1.49. поскольку <S = IVi, то Ч;73фф~ Ж/6у.
W3.T^,|, = e7- = 3X.
Решение. Антенный тракт представляет собой волновод, по которому
электромагнитное излучение передастся к приемнику. Поглощение возника-
ет главным образом из-за конечной проводимости стенок волновода. Пусть
дг(а>) — коэффициент ноглонюния (поглощательная способность), а
Лг(й>) — излуча гслъипя способность материала волновода при температуре
Т на частоте <и = 2лс/Х. Тогда по закону Кирхгофа
Rr((e) =аг(ш)ет(ш),
|де£у(1и) — излучательная способность па частоте со абсолютно черного тела,
имеющего температуру Т. По определению эффективной температуры
» Ry-'IT , откуда a-r(o>)zT(o)) = ЕгяМ,((и)- Очевидно, что 71эфф<7'-
Прецположим, что « Лв^эфф' Тог-1|а в приближении Рэлея—Джинса и при
условии, что а-г (со) s а, получаем
353
откуда и следует ответ Гэфф - аТ ЭК.
т., как _?£_= 0,16« 1, использованное приближение опва«,.
Так “ **
!=«, ~S*5.= 9.5'104 эрг/(см2-с) = 9,5 мВт/см2, а =
?о ,3 тах ТТ-~~-5
т "Чи
= 9,2-107 см/с2.
Решение. Существование силы светового давления обусловлено из
нением импульса атома за счет процессов «поглощение + спонтаннЛ
пускание.. При поглощении фотона импульс атома получает прира *
ЯС В то же время при спонтанном испускании фотон излучаетн ,,
извольном направлении, и поэтому при многократном повторении
сов поглощения и испускания сращ
импульс, уносимый фотонами, р2
нулю. Поэтому в среднем каждый^
цесс «поглощение + спонтанное нет
скание» изменяет импульс атома »
величину йк и = Шо/с). Однако*нар?
ду со спонтанным излучением, в w
ке излучения может происходить и
пужденное (индуцированное) им^
ние. при котором атом отдает импульс
вдоль заданного направления (волново-
го вектора излучения). В результате
совокупного действия поглощения^
тонов и их последующего индуциро
ванного и спонтанного излучения’двя
жение атома имеет характер систематического дрейфа в направлении и-
тора к (рис. 205) (длины стрелок одинаковы).
По определению сила, действующая на атом, равна
F = АР {•)
ДГ ’
где Др — изменение импульса атома. Промежуток времени Д/, когда систе-
му можно описывать классически, выбирается достаточно большим, таба
за это время произошло много актов поглощения и испускания. Имеется^
характерных масштаба времени: т и 1/(оФ). Характерное время споите
ного испускания т связано с шириной линии и вероятностью спонтанней
испускания 1УСП ~ 1/т. Характерное время процессов вынужденного й®
щения и испускания 1/(оФ) определяется сечением взаимодействия о fa
.тона с атомом и плотностью потока фотонов Ф [см“2-с-1]- Прижато
^'^,1Va sWacw где Wn и ^исп — вероятности вынужденного погложи
и вынужденного испускания фотона (рис. 206). Таким образом,дрой^
ток времени Д/ должен удовлетворять условию Д/»т, 1/(оФ).'
354
Пчс-.ь :• •:~'?1Н^‘-'Н1’ельные3асе
(рис. 206). omi га™еХ“Х
i!n.i р системе уравнений
<^2 __ п->
~гГ y - оФм2, (**>
/Ч +«2= I.
(7™ «»»»=»., МКР!!.ДШЖ1Ш
слезет условие баланса = Ц. + оф„2 н
2оф
нижнего уровня п1
щенаю S качестве предельного значения
ЧСЖНО 5-ччгь Фе -J-.
Плотность потока энергии насыщения
/. = *с.‘Фе =5 Поскольку сечение по-
Л:сс.ен'<!.я фсто.-.л — процесс резонанс-
аый. по согласно формуле Брейта—Виг-
Рис. 206
кера о - -л,г - и /0 5: £*£ = 9,5. ю4 эрг/ (СМ2.С) = 9 5 мВт/см2. Здесь
Л Л т
сечение процесса поглощения считается как сечение упругого рассеяния.
Эго связано с гем. чго в начальном состоянии были фотон и атом, а в ко-
нечном состоянии — асом к фотон. Как следует из вышесказанного.
р = ~=1^1
-ii -1- : сшит
„Щ = 0+МОФ("1-^=Л2^Т
Следовательно, при Ф-»®. получаем
р
* max
« о гкула = 9.2 10’ “ ( ~ 105 й
2х П1ЯЛ М 1А[чатЛ с2
Выражение для силы F может быть интерпретировано следующим обра-
зом: F = Лк —. г. е. произведение импульса одного кванта Лк на вероятность
2т
спонтанного излучения в единицу времени I/(2т). Последняя в свою очередь
есть произведение вероятности того, что атом находится в возбужденном со-
стоянии ( = 1/2) на вероятность спонтанного излучения при условии, что
атом возбужден ( — 1/т).
Отчета что если бы спонтанное излучение отсутствовало, то было бы
F = 0 (при т^«. 5^0). За большой (Д/»т^=о) промежуток времени
355
атом, поглотит и излучит в том же направлении одинаковое число
Спонтанное излучение нарушает этот баланс, и в результату
ма. равен импульсу тек поглощенных квантов, которые были „ереа**
спонтанно. 11
1.55. Обозначая вероятность индуцированного перехода с п-Го
, „ /п = п ), а спонтанное перехода W в P,V1 ua'H
уровень рпт <Рпт Ртп1' а к м пт’ ° случае
Р™. — 1----js, e-WAs7'1.6-10-17
«ы‘‘-1 в
Для электронного спина а магнитном поле
1« X < ---£>10,6-10 4 см.
1.30. л^т-jh 10l
1.57. х(Г) ’XpthJgp I) ЧП
2) х(Т)«><0|1-2ехр1-^У •
И-'сп л QC
1.3о., --О
и4 р»
Решение. В квантовой физике спонтанное излучение возникает из-а
возмущающего влияния на молекулу нулевых колебаний электромагнитна
поля. Вероятности спонтанного и вынужденного излучений выражаются че-
рез коэффициенты Эйнштейна А и В и плотность энергии излучения р^)
ИЛвын = Р(ш)в:
при этом В/А = [ЙсоЭ (со) ] 1, где (со) — спектральная плотность мод (ос-
цилляторов, числа колебаний) поля в единичном объеме. Таким образом,
= г),
И'сп Й<о©(<о)
где n(co, Т) — число фотонов данной моды колебаний.
Как известно, для невырожденных уровней одной моды молекулы (ато-
ма) вероятности вынужденного излучения и поглощения равны, рассмот-
рим молекулу в поле излучения со спектральной плотностью потока энергии
/ (со) ос ср (со). Здесь точное значение коэффициента пропорциональном
завидит от углового распределения излучения. Так для параллельного потока
/(<*>) =ср(со), а для изотропного излучения /(со) = ср(со)/4. В1 резонаторе
этот коэффициент зависит от пространственного распределения поля, ном
порядку величины он близок к единице.
Поглощаемая молекулой мощность
-^1 = ри О И Ло,
где о,(со)> — сечение поглощения молекулы. Поскольку функция о(со)>
тро спадает при удалении от резонансной частоты соо, то можно. ЗДДДОЛ
^-/(«о)'5аИ^осср(со0)5, -
356.
fJK S - площадь ПОД кривой Поглощения О(Щ) в
данною отметим, что в вакууме /(то; ямя ОЬос™=аНие вышеизлщ
в резонаторе ;(ш) занимает частотный интервалд“"_*ункц“ « то3, а
условию задачи превосходит собстве//ну» ши который по
кривой поглощения О(Ш). Если теперь записать^/Х= Г Т' С' ШиРинУ
сравнения получим ^О^вы,,- то из
W „ CPHS
Г1Ь|И ’ 0ТКУДа Лое с$
° ^0
инсзависи! с точностью до коэффициента оттого гиг ия
в свободном пространстве или в резонаторе. ’ с находится молекула:
Вероятность спонтанною излучения
>Ус" ~ У) = .
Запишем эту вероятность для двух случаев - в резонаторе (ж ) „ „
свободном ттросгранстве <ж°(|) сп
Жс„ = Лтчо'/)рс)(Шо)В; Ж»,, = йШо»(Шо)В.
Искомое отношение этих вероятностей есть
И'сп _ -Г4>рсз(яХ1)
Й'Г ®(«о) '
т. е вероятность перехода пропорциональна плотности конечных состояний
В свободном пространстве (вакууме) спектральная плотность мод
х- cjq
7д(а>0) Л s резонаторе, настроенном на частоту перехода, в интер-
вале частот имеется только одно колебание (мода). Тогда спектральная
плотность числа мод (осцилляторов) поля имеет порядок 2) ез(со0) ~
1 О
~ !—-------—. откуда следует ответ
Aw V чкУ
w<n ~ x2Q? (’>
И»3 '
В случае !) получаем ев 4 - ю2, ал случае 2) получим 4-103.
W сп №сп
Как видно, в зависимости от конкретных данных возможны различные ситу-
ации.
Приведем еще одно решение этой задачи. Вероятность спонтанного из-
лучения молекулы равна вероятности поглощения, т. е. вероятность вынуж-
денного испускания под действием одного фотона. В свою очередь вероят-
ность поглощения пропорциональна времени нахождения фотона вблизи мо-
лекулы в резонаторе тр. Из соотношения неопределенностей
л 1 1 - Q -
трДш~ 1, откуда тр ---
357
Минимальный объем резонатора при длине волны I. соответствует
У2 ~ Таким образом, tp = Если взять такой же у,
бедном пространстве, то время нахождения вблизи молекулы тсв„ уу^
Искомое отношение вероятностей спонтанного перехода Мя '
пх %
случаев и/сп = Ip q
я'
Очевидно, что это тот же результат, в чем легко убедиться, Лвд
7= (Х/2)3, со = 2лс/Л в соотношение (*).
>-59- = 0'5055'где Ni - ,исл° ™“
ходящихся в возбужденном состоянии, No - полное число атомов кроа>
1,60. Дт = 2т0 = 3'5 МГц'
Указание. При ^->14-0 1л (3 = (3—1.
1.61. Сдвиг частоты принимаемого сигнала при изменении направлен^
движения происходит за счет эффекта Доплера и составляет Д©~2
а, ~ частота, на которой производится измерение. При этом сдвиг распредели
ния излучения абсолютно черного тела Др Отсюда видно, что гаме,
рения надо проводить на тех частотах, где максимальна величина
Таким образом,
|Ае| ^1,55-Ю"3; |^р| ^2,52. К)’3.
1.62. t = t< — ~ 107 лет.
То
1.63. Рсв = ^Г*^4,6-1017дин/см2^4,6-10" атм; =
св Зс газ А в
= 7-Ю10 атм <Рср. Реально при йТ=10кэВ происходит лишь частичка
ионизация. Заметим, что в водородной бомбе именно световое «сдавливая»
термоядерного горючего (т. н. имплозия) играет решающую роль.
/ \ '/3
I т3 I
1.64. Т'пл = 7’з — 1350 К, где т, — период обращения Землу
\Тплу - 4
Т3 — температура ее поверхности.
,1.65. £„и = ^У|=1,5.103м«150км. то
г- , ' 2 , , 1/<
- ' 1.66. Т = Тс № f‘.+rf Z<16p. «430 К.
' 2 I. 1+Г/Л2 j . у, то
1.67. 77 = — 6- 10”7дин (притяжение). Если бы'в полосой
один шарик, то никаких сил на него не действовало бы (симметрия).,^.
ш.одиг к м-хрутсиию симметрии. Он «затеняет.»
з и нарушает баланс сил. В результате возникает
'кжл шариками Собственное излучение’ларм-
«'.-за сто изотропноеги.
ИЛ* см — 10'пк (парсек), т.е много больше
( - пк). где концентрация реликтовых фото-
400 см-3
пода предельно возможная частота в резонаторе
кмнльная частота колебаний в кубическом резо-
-1 О3 с-1 Резонансные свойства пропадут, когда
,-iiici больше или равно ширине самого пика (ана-
>• Ю'21 2Н
Гн
инов волновод с указанными размерами представ-
2
-.Hdfop. в котором закон дисперсии г~ = к2 =
сл
I/'. - к,. = л v> к. = I ю, п. I = 0, 1, 2, 3. По-
о h - L
1 го в диапазоне длин волн ). = 10 см поперечные
по соавнению с продольными. Продольные моды
.к и вся энергия сосредоточена в основном в них.
кий по )я распределены также, как колебания в од-
h.ciiml частоты продольных колебаний находятся из
, ,с число Число мод в частотном интервале Av рав-
I б эВ «кТ ~^5-10-2 эВ, то энергия одной моды
ty плотность электромагнитной энергии в волно-
1 11 4
б20 с. тле через А обозначено А = --~
15360яу
| ъ 1.6-10'5 м = 160 км, где (х и р — мо-
кислорода, J О5 Па — атмосферное давление
ррщенне- Рбриииино устойчивой атомной PWlW( f
адмида, волн уширение уровней меньше расстояния MKS„V
«„то = Л<». ’W|W
в поле магнтртормрзчого дао-чечня время жвдш возбужу
дадРДЯРТОЯ двумя факторами - временем сиоцтаниад переходи’*1
врамейРМ ипдударотаднь'х переходои. т- °- uulP"'ia атомчьч ;,ри„V
состоит ив двул слагаемы* — остоспюниой ширины, определяемой, “
епенташюто дариэд. и «шрнцч. ооусяовлетоюй времечеч ч«дувд"*
ГО ЦЗДУЧОйИЧ ,
Тилл реп Тт1!(У
Время ИНДУЦНРО90ПННХ переходов с «-Уровня под действие^ фо.тонр^
цитот0рмодиог° излучения рядно
, =М^ = 1 („) = т /»> 4“3
’«Сш> г“("’ Р««> ‘"(,)Л9ш
Здесь ЛШ - среднее число фотонов магнитотормозиоп) кзлл
©((О) =w2/(л2?) - пдотпоегь состояний, р(ш) =4/(ш)/с -сццТр^
плотность изотропного излучения на частоте fi(o^2R.y/n3,
В отсутствии вынужденного излучения, как это следует из условия Вр
естественная ширина уровней пропорциональна /Г5, и поэтому®
убывает быстрее, чем расстояние между уровнями, которое пррд0рцИош
но п-3. Поэтому спонтанное излучение не может привести к ограничен®
на величину »,
Одцакр фотоны магнитотормозного излучения существенно ув^лщиваи
щирицу уровне^, и предельное значение номера уровня находится из,уедав
Д 2Ry
Тшщ п3
р.ткуда
?<41У’6,10 = 0,26-1021,
л ей /(со)
,lniax ~ 825.
1 Отметим, что магнитотормозное излучение не является равдаэдшм
среднее число фотонов не описывается формулой Планка, а ндходит^Л
заданной спектральной интенсивности
/(») =^^ = |ta-®(«>)iV(ra),
Откуда ^(cй) 1,7*. 1011, Поскольку в космическом пространств? еедьHR
лидтод.ре излучение с температурой Т = 2,7 К, то в принципе этц’фй
ТДкжо Могут вызывать цндуццрованные переходы. Среднее число
Трнрв. в 'интересующем нас интервале частот равно
=-----SL7r=r“^“4,8-103«N(w),- Ж
ехр (Дсо/АбТ) йсо ,,лу
В шюскок э.ексрочщъптаой g-,-^ £2.U1) _
^cvx ic= — гаи.Сле!юзагельнад^^._^_ Поскольку
\ a-biCToT независимы. то надо просуммировать
= эго выражение по всем возможным колебаниям. Число
ir.r.,! \чнс.ю осцилляторов ПОЛЯ> В объеме F. ПрИХОДЯШНХ.СЯ
тьиЛ =J —~—j a\e. Поэтому
3_есь п — постоянная гонкой структуры. Ле — комптоновская длина волны
э.текгрона. Такем образом.
= 2 *е l/iln | = 8.5- IO-1" сх.
Такое смещение электрона на «орбите» может быть описано введением
дополнительного, по отношению к кулоновскому потенциалу ядра, отталки-
вательного потенциала. Этот потенциал должен быть сферически симметри-
чен и. как следмет из полученной опенки, его эффективный радиус намного
меньше боровского радтгуса. Поэтому он главным образом возмущает 25-со-
стояние. волновая функция которого в отличие от 2р-сосгояния конечна при
г = 0. В результате уровень 2к1Л> смешается вверх по энергии относительно
уровня 1р1/2.
361
§ 2. Кристаллическая решетка. Фононы. Теплоемкое
Теплопроводность.
2 1 3-
2Л' б‘ 6 S
22. Для Li w = L для СьС1
2.3-
Л = -J1/3 Д= 1,03
Л ” 'з
2.4. =5.64.J0~SCj4
2.5! 4 =
Р.икт а» оишначевщ
имя НЛОС1.К-1.-И V направлений в ,;рио .'
лй; потьиючя индексами Миллера,^’
начаечыии n. 1 При зааащи „
пранрсни о-феданякиея ,очи, s
плоскосчь ‘i'.-peccf.aei координатные х,
Зачем беру-ся ображые значения пад^
ны: чисел и умножаются на наиме^
общее 1.ратное и?, знаменателей. По.пуч-^
ный набор vjicc.-j тг.азывается в кр^&
скобка?.: <hkb.
Рис. 207 О’1 011Р'-'Ле;,.яеч не только данную од-
скост ь. но » ьсе плоскости, ей параду
ные. Дели плоскость пересекает ось координа, в области отрицательны!
чисел, то соответствующий индекс татит.с будет отрицательным. При»
знак минус указывается в виде черты над индексом-, (hkl). На-рис.15;
изображена плоскость, отсекающая на координат пых осях отрезки 4JJ
Соответственно индексы Миллера этой плоскости будут (142).
Для обозначения направлений применяются индексы, представляаше
собой проекции вектора, исходящего из начала координат, паралдщшт
данному направлению. Эти числа указываются в квадратных скобка
[Ш]. Такой набор чисел указывает не только данное направление, нои
Рис. 208
все ему параллельные. На рис. 70S изобра-
жено направление, связывающее центр ко-
ординат с точкой 1, lj. Индда
Миллера для этого направления записи»
ются в виде [] 2 2]. Для направления,
связывающего точку с координатами
(1,0, )) с точкой с координатами
^,2, —, проекции параллельного дата-
ра будут иметь вид ^1,2,-|^ а знаШ
индексы Миллера этого направления-дали-
шутся в виде [2129].
362
10 в кристаллах кубической сич,,,
ipoaauuas кубическая и гшш.ч, ' , РИ" '"Р«иая кубическая
""«сов соседние napXZ"'WP;“'MT' По ™р«-
ro.peaKniiic., " "““™—
* *' Г С'к«'“ыю. уравнение этих пло-
те: " "J ''ГОГО !'рав|,И1™ находим искомое меж-
2.0. 1> </цх) ‘ </ио—i-. ^iii=~?-:
v - ¥ 3
ЗЬ/и10 = ^ (Лю = ^Т.
2.7. л = 0.147 им.
2.8. J — 0.о28 нм.
« = ^ = 2-s9-5 А
Р с и: сипе. Во.лиевой вектор к падающего па кубический кристалл излу-
чения имеем направленно. иараллелыюе осн л-. г. е. [100] (см. решение зада-
чн 2.5k Таким образом. сам вектор можно обозначить как к = А(1, 0. 0), где
д- — 2чл = 2лс. Ъекгор к рассеянного излучения имеет направление
[122]. .'101X0 понять. что к = j А’(.1. 2, 2). |к] == |к’ |. При брэгговском рас-
сеянии первого иорядка должно выполняться условие
к' — к = 2лЪ:-.
ио Ь.- — один из грех векюров обратной решетки. Таким образом
V - к-1, 1).
Тля решения задачи необходимо найти базисные векторы обратной ре-
ШС1КН. При этом следует определить базисные векторы аР а2 и а3 прими-
тивной ячейки прямой решетки, построенной на базисе элементарной ячей-
ки 1-ранеценгрироваиной кубической решетки (ГЦК) с ребром а. На
рис. 209 ||окажп|ы племенграиая ячейка ГЦК решетки и примитивная ячей-
ка. посчроенная на векторах а^а-.а-. Сами векторы могут быть записаны
гак (l.j.k — орты осей координат):
ai=i(i+j)=i(l.l.O):
Ь=|(1 + Ю = |(°. >• Ч;
аз = ^1Ч-к)=|(1,0, 1).
363
Углы между векторами ад, фд и а3 равны 60”. Базисный вектор обращу
шетки Ь, определяется по формуле *
b _ [®2аз] [а2аз1
1 ~ <аАА) У
имеет
где смешанное произведение векторов (ада^а,,) равно объему прЖЮи,и
ячейки. Вычислим векторное произведение: [a^l = ^-(i + j-k).
компоненты (1, 1,-1). Тогда, очевидиц
V = а3/4, и вектор Ь, имеет Имл„„а.
ты i (J, 1, -1).
Аналогично находим и двадРуж
вектора Ь2 = 2 t, laftl
компонентами —(—I 1 n
тирующий
вектор
отметить, что эти век-
примитивную ячейку
Интересно
торы задают
ОЦК решетки, т. е. прямая - ГЦКР,
а обратная — ОЦКР и наоборот.
Сравнивая направления векторов
обратной решетки с разностью k'—к = 2лЪ =( — 1, ], 1), видим, что век-
тор b параллелен вектору b2, т. е.
2лЬ2 = ^(-1, 1, 1) 1. 1).
Отсюда получаем
а _ Зя __ Зс
к 2v
Нам требуется найти наименьшее межатомное расстояние dmjn в кристалле
с ГЦК решеткой. Очевидно, оно равно (рис. 209)
= ^ = W = 2,893 А'
Возможно также решение задачи без привлечения понятия обратной-#
шетки. • Согласно закону Брэгга—Вульфа переданный .импульс
ЙК. = й(к(—к2), где kj и к2 — волновые векторы падающего и отраженно!?
лучей. Так как |к,| = к2| то к,=~ (1, 0, 0), к,=^
Л Л Л yJ S> Jj, \
следовательно, К = . Таким образом, направление-этого'
к \3 3 3^
волнового вектора в решетке есть [1 1 1 ]. Поскольку переданный решетке^
импульс перпендикулярен системе отражающих плоскостей, то семёйспо,-
364 /«Jb
последних имеет Миллеровские индексы и Tn (
используя результат задачи 2.5. находим рас™™' решение за»ачи 2.5>.
а , Л'-' Расстояние между этими плоско
С№'" И3 векторов к„ к2, к навдим
4iKi 1.±
мп 1 падения sin ф =—.— = д ~ I ггЛ,
lki| 1 7Г Подставляя это В условие Брэгга—
Вгльфа 2</ sin . получаем MJ= =; ПТ|.„ПО
‘ Н 7Т VT " 0ТКУда постоянная кубической
решежн а -р.. Минимальное расстояние между атомами в ГЦК решетке
j™ = ?t=1-;=1t? = 2-8’3 к-
2Ю. е.^- Ь''-—'' — Г11’33 при Г — 300 К
КСЛ (/~зЧбг_i)' ‘ къТ |2 при 1700 К.
а> ‘•\№= кБ1^7т1 =* T5-lO“3fcB (при Т = 300 К);
1\ел ~ Ль —;—~ — 0-724А:б (при Т — 1700 К), где е — основание на-
врального логарифма.
Еса;. д_« tB7*. го с\ = а.'б (классический случай).
аг При Г - 22 К сЕр = 0.03кБ:
б) При Т = 600 К ^р = кБ-
2.12! / = 1.-5-10-3 см = 14.5 мкм.
Решение. По условию задачи у =1,30 = —, откуда получим
q — 12 Я На поступательные и вращательные степени свободы приходится,
: чззесг-о С; =3-1я -г2--К = -Я- Тогда на колебательные степени
_.г_. _„ГХОЛ= (12-i'l R = —R, или по—R на каждую степень.
CSOOCrw upH.-.kJ-.i&C-.Lp [ з 2/ 6 I2
С другой стороны, колебательная теплоемкость равна (см. задачу 2.10)
__ R(a'Ab7~) г 5 = 2_ R, где е = Av = -у--
12 Л
Обозначая Ш- = х. из уравнения R получаем
645 или sh |= о,775х,
365
откуда х= 3,38, Следооатслыго,
,2'£ - = 3,38; i = 14,5 мкм.
МеТ
2 14* Н продольных и 2N поперечных колебаний.
Решение. Путь а - размер элементарной ячеки (в дашиц
она содержит один атом, т.п. является примитивной) цепочки „.««
паковых атомов. Тогда полная длина цепочки L=aN. Смс|цм,ис ,Нъ ®
в бегущей волне ч„ = должно быть одинаковым „ри персидея
х — па к х -F Ь:
откуда следует, что etKaN = e,KL — 1 и
KL = 2nl, где / = 0, ± 1, ±2, ...
Таким образом, разрешенные значения волнового числа К представляют со-
бой дискретный набор значений
К, = /, где / = О, ± I, ±2, ...,
с расстоянием между соседними модами колебаний
ДК = ^Д/ - —.
Другими словами, интервал, приходящийся на одну моду колебаний, равен
—. Отсюда следует, что ширина интервала волновых чисел К, в котором
содержатся все физически различные моды колебаний, равна 2п/а. Этот ин-
тервал называется зоно& Бриллюэна. Пределы изменения К, т. с. положении
границ зоны Бриллюэна, при этом имеют вид: -у < К < — (один знак не-
строгого неравенства, т. к. точки —— и — являются физически эквивалент-
ными). Число разрешенных значений К в зоне Бриллюэна равно числу при-
митивных ячеек, т. е.
2itla N
2x/L а
В данном случае это число совпадает с числом атомов.
Для каждого значения К имеется три типа независимых колебаний (в
общем случае — с различными частотами): одно колебание — продольное,
когда частицы перемещаются вдоль цепочки, и два поперечных. Таким об-
разом, число мод поперечных колебаний равно 2N. Всего в данной цепочке
возможно 3N независимых колебаний, что равно числу степеней свободы
указанной системы.
2.15* ют=2^|щП^|; , =
Решение. Одномерная цепочка одинаковых атомов массой tn изобра-
жена на рис. 210. Координата д-го атома хп — ап, смещение п-го атома ОТ;
366
цоснтсльно положения равновесия обозначим как т . .
.пня u-го аюма запишется тк 01да УРав|1еиие дви-
Рис. 210
Решением того уравнения являемся функция вида
U) = пос’ЧЛ'<,,'-шО,
описывающая 6ciущую волну. Подстановка этого выражения в дифферен-
циальное уравнение движения приводит к условию
и0| — пни2 4- 2у(1 — cos Ка) ] - 0.
На этого условия е. 1едус(, ч ю о i лич нос от нуля Uq будет существовать, только
если aacioio и волновое число удовлеизоряют дисперсионному соотношению
»н - = 2у( I - cos Ка) или со (К) = 2 1U- sin—
’ ш I 2
График згой функции изображен на рис. 211. Периодическую зависи-
мое^ с.‘|К) можно было бы предвидеть заранее: в силу периодических
СВ0ЙС1В прямой решетки в координатном пространстве должны быть пери-
одические свойства обратен решетки в квазиимпулъсном пространстве.
При этом .элементарной- ячейкой в К-просгранствс, содержащей все физи-
чески неэквивалентные значения К, является зона Бриллюэна. Один из ва-
риантов выбора зоны Бриллюэна показан на рис. 212.
Фазовая скорое... упругих волн определяете» законом «испарен..
Ка
I— sill -й~
_ w<K) = ,. , Ц._____L.
!‘ф х ',N Ка12
367
%,В вЛНИ Ли « 1 <|Л1Ь. 212) ш(/<) « 2^ 2а Ku < +л Мк
W ЛВ dWHtettlW liefieW о+ Жкрб+Пой системы к прйЩйищ
ешвтм ВМЫ « ВДИОМеинВМ случае - К струне). Как йзвестПо, s н *
™ сРВДе «’У Нспрос^щ"
звуковые волны с законам т1И. ’
сйй ш = sK, t-» s - tKtf|itto(j ’
ка. Сравнивая две запйсИ, йм„’
сМ выражение ДлЧ скорости
то есть скорости расйроНращщ
упругих волн в ЦеиоЧкё
называется
ДйёрДйИ уйр'Укёй вОЛНЫ
Энергия колебаний одномерной
Цепойкй (как и трехмерного крй-
стаЛла), или энергия уйругой вол-
ны, может быть проквактовайа-
как и энергия осциллятора. Квай
фоПопом, по аналогии с фотб’ном1 -
ШЙДоМ ДЯекТр'бМаТНЙТНбй в'сМЙЫ, Также имеющим линейный закоН Дйпер'-
Wii to = ci,- г'Де с — Скор'бстЬ света в' среде.
ЗйёЧеЙЙя в'о'ЛйойоТО ЧЙсЛа X, такие, что )/С| > не дают Новых реш'е-
ЙЙЙ ДйСйерсйо'ййОТо ур’ДЬйенйя. Действительно,
цл+1 =eiKa
Url
Чтд ЬбЛастъ Ka G [— л, л) Включает все независимее значе-
ний sittf’o' эксйО'ЙейДйДЯьйбго ЫйО'жйТеЛЛ.
'ЙйЙЙсл'ЙМ гру'г/Йбв‘У(д’ скОр'ОСДЬ уйругйх волн в цейочке
' л. = ^ = «-Де6з^. = даоз*5,
rP dK Ън 2 2
1 8 8&№1стМ Ка<&1 Дгр — 5. На границах зоны Бриллюэна при£=±-
гр^'г/йбв'ДД скО'рб'стЬ’ О, Т. е. волна явЛяётся стоячей.
Зййёййй ЙСТЙЙЙЫЙ crtekTp ИоЯебаИЙй звуковЫм во всей зоне Бриллюэна'.
ТаЙ^Да'й/еЙД Дб’йжНД ёойр'ов'ождаться условйем равенства Числа нормальных
йрйб(?йййй Чйё’йу1 а'тбЙоЙ (тбЧйее, ЧЙслу йрйм'й^йвных ячеек) в цёп'бчкё'. Пр)<‘
р'йб^УДЙЙЯ йёжду сб'с'еДййЫЙ моДаЫй стремятся к нуЛю, и можно'счи-
ЙоЙ кв'аз'ййейрерЫвйьтм. Число нормальных колёба'ний,
^йййа'з'д’йё B'otfHOl'bix ЧйёёЯ от К До К + dK (расёматр'ив'ая
1 ' -Mt~v!dgL*%dk. • й-'<
ЧйсДйгёДё —-СЯёДбТвйё тоТо, что мы считаем К > О', но' учйтьь,
как.с К, так и с -К. Исходя
^^ой^^бУ^.'бб’б^бУДёЙЙя1,. ЙайДем .
ОГЮШЛЧИВ МЛКСИМПЛЬИуЮ
‘liic 101 у колебаний
4-уЛм
реальною спектра как
Л|' И)"
Полное Ч1ИЖ1 нормильпыл колебаний цепочки
« \ _ J _2^Ц,= 2Лж.с5к1 .|W_£
о л<( Vu>()- (,)• ин ш0 (/
..........w ............. ” х'фхше.пюм. спектре = Ks
л -its
Полное 4IU НО I О 'ICO.lHltl I
IIpnpa 1>ниная Ihii\'idini,it’ выражения, находим
л _ г/ л
(1,жач - ---- л у_. =_(1)()Л; 1>6с1)()
Ирон, аура -д прям.юпия» дисперсионной кривой называется приближе-
ние м /1< пая, л м.п.с!iмалаыя Hacioia — дебаевской! частотой wD. Этой час-
loif eouiix icn,y< । макеима.няюс волновое число К^:
,, шта\ л
=--------= -.
д а
Совпадение значении дебаевского волнового числа с границей зоны
Ьри ню ши наодюдж юя юлько в одномерном случае для продольных и по-
перечны?. води if являсюя, пи-видимому, случайным. В двух- и трехмерных
случая?. )Ю1 о совпадения nei, но мало отличается от значения л/о, ко-
iopoc сдул-.Hi ?.oponieii оценкой во всех расчетах, проводимых в дебаевском
приближении. См задачу 2 27.
Очевидно, ню при увеличении 1емперагуры растет н энергия квантов ко-
лебании (фононов) Макеималыюй энергии можно поставить в соответствие
юмнера । у ру (ie'.шера i ура Леба я 0), и в дебаевском приближении, когда ча-
cjoia колебииии дос1И!<ю1 своего предела
Л"Ъп..х = 1,а,п = *6°-
Гем самым
О = =^L Jx
Ад A-b’ni'
(б для К О,
. ,]—ехр(|/У/Л() I
2,l6t р - -/шЛ/и0<' _i^MNuoe-'^ дляЛ = О.
369
Найдем нмкудьс цепочки суммированием “мпу.чьед 0ТВДль
«ух атомов
s V ч-1 ,v“l
.=У«,Лм^ е>’л« =
,t.<i «-0 "-°
Пожелчу «,=«,1+«.то«р(тв) = 1 «Р=Н«аК*0,
Этот результат вполне очевидец. Согласно рис. 211 спектр вдрМиьн„,
колебаний четен то К. поэтому всегда есть колеоанн» е к « _к 0 «
ком стоит точка К=0. которая соответствует движению цепочки ви
доГОж При ^‘=5 дробь Р^вна Д'» и тогда импульс пеночки равен
р = — iK>MNuQe~tv>t.
В. цепочке конечной, длины при четном числе атомов оказывается, %
одно, из колебаний соответствует границе первой зоны Бриллюэна К =siK
л а
ему нет симметричного колебания с К = — - (потому что в первую эду
Бриллюэна включается только одна граница). Однако это непарное коле^
бание соответствует стоячей волне (t’rp = 0). в которой соседние атомы ко-
леблются в противофазе и импульс цепочки для такого колебания тоже ра-
вен нулю.
Отметимк что в гармоническом приближении отсутствует и поток импуль-
са фононойч к е, давление фононного газа равно нулю. Это связано с тем, что
коэффициент линейного расширения тоже равен нулю в гармоническом прд
бдижении ('.см. задачу 2\17). При учете ангармоничности это уже не так.
а -' — Ю-5 где а — расстояние между ато-
( дЧ у' й ®
мами в двухатомной молекуле при Г = О К, <£ •— энергия взаимодействия,
имеющая атомный (~ LQ эВ) порядок.
₽'е-цьение. Потенциальная энергия взаимодействия пары атомов ед
возникает вследств.ие взаимодействия электронных оболочек, имеющихраэ-
мер, порядка а„ И. само, взаимодействие имеет атомный порядок § -•< 10 эВ.
Поскольку,поправка,, связанная с ангармонизмом, мала, то при х<ка отно-
шение 1.. При этом равенство достигается только при л » а, вдао
мальце колебаниях. уже-и речи нет. Поэтому е уа2, нои^-~5д3. >
„ z:.-Для: опенки температурного коэффициента линейного расширения а
, вычислим. среднее значение, ? отклонения атома от положения равновесж
. Иййодьз-уя для этого функцию распределения Больцмана, которая позволяет
учесть, возможные значения
Ароятностью,
х в соответствии с их термодинамической к-
xe'^'V dx
Вычисление среднего существенно упроша
ангармонические члены в выражении У(Л) „а°ы “'™ Предполож“ть, Ч10
справедливо при малых смещениях х Тогаа “ Сравин1ию с *бг-Это
можно разложить в ряд подынтегральное выражение
$ xe-^IV dx х j л- + + И Л = 5<Wn
-« --со \ к^Т j 4 5Q •
Заметим, чго при интегрировании зпрг-к в
/ч + П л СЬ поопииют интегралы типа
о dx 2ol"+1,n’ ГДС гамма Функция Г при п- 1 равна 1 <Г(1) = 1>,
а „р„ „ = 4 опа равна Первый „ третий интн.ралЬ1 в
женин равны нулю, как интегралы от нечетной функции в симметричных
пределах. Поэтому ответ довольно очевиден. Нормированный интеграл тоже
легко вычисляется: ИйЛ 1У*е
e-U(»IV JX « ] е
Окончательно получаем
Температурный коэффициент линейного расширения а = -~, где
I dT'
. — .16, <£ . л —S гл —I
1 = а + х. Тогда а &---------------------10 5 К <
а Ч о a S2 &
Заметим, что коэффициент линейного расширения а можно получить из
других соображений. Запишем уравнение колебаний ангармонического ос-
циллятора (р. — приведенная масса молекулы)
цх=-2уА- + Збл’2 + 4р?.
Усредняя уравнение движения по периоду колебаний т (0 < I < т), по-
лучим по определению среднего и с учетом периодичности движения
=0.
Поэтому, пренебрегая третьим членом в потенциальной энергии, получим
При слабом ангармонизме можгга (Л взять в гармоиичвеком приближу
НИИ
Х 2 2 '
Поэтому X —
2.18.
2 У у ,
_ Г/ =_£ )L = Ams2= 1,12 эВ.
- ^min 27 62 27
371
2-19- Возрастает в. два раза-
t,05-10“c-‘.
, «W^4|ZP=I0'46 /P«r = ^K
----3,4-ICT4 приT = 10 К,
,,, П1 ’<“»> =4?^Е=1=1.,51 (приТ = В>;
И а{а)п/2) г-1
4(шп) г3-! d -3~ о,О27 (при Г=в/10).
2)rtSa" г10-( '
Решение. При излучении гамма-кванта одним из ядер овд
дает энергию отдачи <Sk = —Ц-, где М масса ядра. Эта энергия перерас-
2Л-/с
пределяется в цепочке и идет на увеличение внутренней энергии. Полагая;
что внутренняя энергия в исходном состоянии пренебрежимо мала, мовд
считать,, что <Sk — U(Г).
Внутренняя энергия цепочки, связанная с возбуждением в ней бегущих
волн (фононов),, может быть представлена в виде
<7(0 =2Л“кпк(г)-
к
где сумма берется по всем волновым- векторам из l-й зоны Бриллюэна.Здееь
пк(Т} — среднее число фононов с волновым вектором К и частотой
даваемое формулой Планка
При№>1 спектр фононов является квазинепрерывным йот суммири-
ваяй» можно перейти к интегрированию. При этом |
2' -> J Лакпк(Т) dNK = J Ла п(а) dNfa),
к
где-гГ^иДг/'^со), — числа возможных мод колебаний (число осцилляторов)1
в> интервале- от К до К +• еЖ. и от со до со Т dco соответственно'- Учитывая
продольные и поперечные колебания и тот факт, что dNfaty =dNj£r. можни
записать ;
2л ху
где коэффициент 3- перед формулой означает, что одной и той же' частоте: ,
колебаний, соответствует три «поляризации» — одно продольное колебание'^-
два поперечных.. Таким образом, • • -
щту = f
1 Л -ЛГ У e^lf^_r
Максимальная
час гога
:>го лебаевская частота а,.
Обозначив
кБТ’
. CMfk'pd 1 v ps,l tl —
/4f, 100 к- Предполагая, чтог^е,
\К(Л < г 'сра--.ч.г,-). < :,:л 2 15 и рис. 212).
2.25. ц' '! 1
2.26. .- \
Д"''-1-1 2 pN,Bf М[-
2.27.(,п=2^.
2,018.
373
2Ж Решение. Будем следовать обозначениям задачи 2.24, где пода
понимается расстояние от К+ до Вт", т. е. постоянная решетки Квг
ребро элементарного куба) равна 2а, тогда
2П =3J.4(A/ + m) = 6,6- 10-s см;
____ ’ Р
’ = '1<“ш.хОт=2'!2'105“'/С' ГЖ М = Мв‘" "1 = Л1к: №ш„ = Д _
максимальная частота на акустической вегви (при К = л/2д).
На акустической ветви при К -> 0 ш(Х) у— Отсюда еле-
weT s=ОА=° ОЬ?==2-12 1 °5 c,,/c-
2.29. м = 2лт^УЁ^“2-1013с-‘. .' = 3-1012Гц, т - масса атещ
меди,
2,зо. 22 = Ад 18.-JHL % 0,01, где М — масса атома криптона.
а 9« V к^М
Приведенный ответ следует из простого соотношения mto^къТ.
лее аккуратный расчет (см. задачи 2.74
2.75) дает AU
= Ад/18 Гал.^0,01.
Qa 1 кьМ
2.31? Решение. При поглощении и испускании фононов в процессе
неупругого рассеяния нейтрона энергия колебаний атомов кристалла изме-
няется на величину, кратную Йсо. При этом нейтрон получает или отдает
порцию импульса ЙК, где со и К — частота и волновой вектор соответст-
вующей бегущей волны (фонона). Пусть вначале в кристалле находилось
nK s фононов с частотой coKj s и поляризацией 5, а после рассеяния
» к, s- Тогда
« = £ + k»KiS(MKiS-n'KiS)
р' = Р + ЙК(пк.,-л'к.,) +Й-2лЬ*
где Ъ,— вектор обратной решетки, <£' и р' — энергия и импульс нейтронов
после рассеяния. Слагаемое й-2лЬ можно трактовать как импульс, переда-
ваемый кристаллической решетке в целом. При этом мы не суммируем по
всем К и s, рассматривая взаимодействие только с одним типом фононов.
В силу идеальности газа .фононов перераспределение энергии и импульса
методу различными фононными модами не происходит.
Рассмотрим как упругие, так и неупругие процессы.
I) Бесфононное упругое рассеяние нейтронов (брэгговское рассеяние):
[<Г = &
]р4 = р 4-й2лЬ ‘ °ектоРная диаграмма этого рассеяния изображена на.
рис, 214, откуда получается условие Брэгга—Вульфа
2р sin 8 = 2лй6 = — Й или Х — 2а sin 8.
а
~ ?i2nb.
> --.in, Ji jtiac _
-»°™:№Щ0011гажм^'№"ие За-
гл:т—
-Ь. [1Ш.0ДИМ ,„шго
Ч">’> до- и - нужно учит1|ватъ
а,‘/‘ и оолк фононов а раааами
' №™га.Н0[:ть погат1ЕНШ одюго
I 2z7ib
и l случае ?) и3
' ) равнений С точки
Рис. 215
периодич-
;> К пробегает все значения в 1-й зоне
ни р вылетают нейтроны произвопъ-
1J 5 изображена соответствующая экс-
|.1»троу изображена ситуация с бесконеч-
ные максимумы возникают из-за не-
зтвуют конечным временам жизни
Чисто отсчетов
232’ С- ж Т- С\ а Т2
ко-юбаний решеток которую можно отождествить
с гюнядиЛЛТ-Йнсй- энерпш решето. 1ЛТ). вводится cj-ммированвем
з«е?.вй все; вовбул:денныл фононов <сМ. задачу 2.23). Эта энергия есть
375
функция температуры. Тепдамнкть решетки С - Переход, ет сум.
мированйя к иншрй.рован.и*о^ можно записать:
(7 (Г) Д«кцк j й<0 п '
~ среднее ЧИСЛО фононов, имеющих частоту wK.
Число различных мод колебаний (число осцилляторов.) равно
f/VK
= число возможных по^ризаций фононов (нормальныхкек
деШи.йХ (ZdK. 2лЛЙК, 4&K2dK) = элементарный объем
ссранства ft одно--к деух-- и трехмерном случаях; Дк — объем Дщросгращ
етва^ приходящийся на одно состояние фонона. Очевидно, что
1?де п.«(1, 2_,3) = размерность, пространства.
Таким,- образом, число различных мод колебаний
dN
* (2л)"
Рассмотрим для определенности двумерный кристалл. Полагая, что ча-
стота фонона получим. £ИК = 32^ЁВ. (/> — {). Пусть «объем» дву-
$
мерного, кристалла,. т..е._ площадь. L2-=iS. Тогда dN = >SoLd(P, и внутренняя
2tis -
анергая; кристалла
«Яшах
Q k =rl AJVo
В нашем, случае низких температур будем использовать модель Дебая.
Тогда максимальной частотой будет о>^. При низких температурах
й> задолн.ены состояния с частотами <U<?<COD. Поэтому из-аабы.--
CTpQijQ! спадания подынтегральной функции при больших а> интегрирование
ft пределах: or- Qi до coD можно заменить на интегрирование от О до «ц Кроме,
tqi?q,. делаем замену- переменных д- = Тогда.
к^Г
- - ' М--Ц А / ч еУ_1
-Тдомуобразом^.теплоемкость,двумерного кристалла. С2(Г) =^<ктЧ'‘'
^^олучим выражения для. де^аевс^кой частоты и дебаев.ской температуры;
«•* W
V **/ *Б V ч /'
376,
" представить s видс
4.808
Sr
Г _ 'H-'4"> s
2 ~JT~ = l4'«4 NkKL
0;
AfM югично г, одномерном случае
ll: ; " 1 Гт " T <L ~ "oilKa« Длина цепочки).
Энерпк КО'КЧмНИе. UCHO4KII
?) ; ;l’¥l
юплосмкость единицы объема.
234- 1 / I Г/Н' 2.56-KT10,
PeiiK'ii'c Ирике кинам масса I1 — "' Поэтому оптическая
scesK имл' >)О.ч*. i M’u-ct.H iwicMiiin» частоту <иопт = л const. Энер-
гии Ol.-ИЧССд И •.'lOMlllll! Пеночки
- V Л со01п
где А, 2 число ко ’ейл ю'и.ных мол н одной из ветвей одномерной решетки
с дв\мя ра.ч 1ич11i.i’-и: люмлми
</с \ cKp(1w„mJkKT')
С’"И ‘!l 2 ’’НьП
Максимальнлч час гоiа на акустической ветви s™K?x — >/2у!М. Обозначим
й‘идТк М- О'ноигепис —'212.-й = 3, а отношение ^~= 30» 1. По-
4,;А Ьн
oiosiy выражение д 1я можно упростить
Л; Мшып] (,-пШо,Л|>г.
Ими 2( д.б7- J
377
Теперь рцссчнт&М ацерадо дкустичесдрд кллебдпрй цепочки (Cff)
iiie^e задали ?.32) ‘
„ _Ш)’ ( xrfx Г .rrf.r _
^‘-тЬ=г ,fle Urv
Заметим, что js дебаевской модели вводится некая предельная частота
звуковой .аппроксимации реального спектра. Ей соо1вегствует дебдедск°
температура 6р. Выразим скорость звука через дебаевскую темпердту?
Qd, полагая в соответствии с условием задачи 0D^s 0, введенной выше-
^Шо=жв = й‘^- = .МС. s =
' ' la л/; лй
Кроме того, длина цепочки L=Na. Таким образом,
£ и с
а“ 12е 6 (ej
Искомое отношение теплоемкостей
'ТшэопУ 256.]о-)О
< ^7 ) \Т}
~ « Све ~ 4^ ( Т \ рве Леи . ~ ~
--------------------------------Z,Z.
.Сси s \^Ве1 РСи -4ве
-2.36. Полагая, что при теплоемкость металла имеет вид С^Г) =
= аТ +ЬТ\ определим Ь. Тогда 6 = г» 195 К.
;?,37. f « 2,7 1 О’ см/с; 0 = (6л2) « = 286 к
ц \ / а'бч
Г / \ 3 11/4
•2.38. 1)7 = 7-01+^_ Щ —4.86К, Д7 = 0.66/С
[ Зя RTq \Toj J
:2) 47 = l^. = 4,;2.10-H<.
^..^.Z^fer^o^c.
СГ0' \'T су
•2.40. -g(Si> = 4£И W 3 = л 032
>W"4S ItaJ - М -
Г?#^^-7-5)«),1д.
- 1 аЛре8 д - - - , ,
** £ “ 4^ "* М V Л9 -табличным данным - Ж» W '*4/
'г . -YGe ?7v 1
=9'?бк-
;2.0, =.Д 1„ й/ г, ₽Ai? 1п ;2
Г.0.'.:-.гС7ЬЮ упорядоченною СОСТОЯНИЯ
7 - П Н4
2.45- ^ = 7н.!;—4—| *5,62 К.
принята равной нулю.
2.46. /.
ЛХ Йл
G.125 чи. Качественная оценка-, энерге-
тми модами должен быть больше тепловой
Достаточно большим числом и за-
Ре и:с н и с При и>.._•
- амл.’И.-}...-. fO
записано в вид.-
i раничных условиях
ранние равна нулю)
= 0,22.
(закрепленная граница,
смещение U может быть
'i = 1^1
Числа лх. „. ч. !:ринимллН все Целочисленные значения > 1. Энергия
..олсбаний
г = з у ——,
"етрМ~|
где коэффициент -3- — это три независимые поляризации. При больших
L с)мма молот быть заменена интегралом
’ ' т Г 2
tf гг; =з I (/< , /((<,74/ки. где =7г^гз<
•’ 2 %‘s
откуда энергия единицы объема кластера
Здесь о>тах = -г /т; -т »-)тах — — Д’, L = Na. Точное значение коэф-
фициента при низких температурах несущественно.
С другой стороны.
»y+»?)min-
’вил г
0 при£-*0-
2Н.^/З‘при^<с°'
L
379
Кроме того, в интеграле была сделана стандартная замена переменных
_ ЙФщзх _ rcsfi _ х = __ 9 i/3
хтах ~ ~ ак3Т Т' П|1Л кБТ \.QakGT Тцр
Таким образом, энергия единицы объема кластера
4 дГГ 1
__ 3 Г x3dx
“класт о 1 '
2 ял J Q v-J е ~1
ТТо
Количество теплоты, необходимое для нагрева единицы объема кластера
В этих интегралах верхний предел можно заменить на бесконечность, а по-
скольку е3^ 180» 1, то
30 з со 03 3 4
rt3to=l,43; [lA = iLa6,5.
J 1 v V 1 15
3VTe 37T о е 1
Отсюда ^= = Ь^=0,22.
Сгтела 0,5
Если же непосредственно подсчитать сумму всех возможных колебаний,
то ограничиваясь числами (пх, пу, п,): (1, I, 1); (1, 1,2); (1,2, 1); (2,1,1);
(2, 2, 1); (2, 1, 2); (1, 2, 2); (1, 1, 3); (1, 3, 1); (3, 1, 1) и (2, 2, 2), получаем
Скласт 0 13
/2 \ 1/4 Г 2 T 1/4
2.48* 7 = А-МД = ЦРкЫ « 1,04 К, где с - скорость
(а&Б « / L3 аа \с! J
света, о — постоянная Стефана —Больцмана.
Решение. Сопротивление пленки (рис. 216)
я = р Д-
аа
Мощность, выделяемая при пропускании тока
w = rs2 = p-Ls1.
аа
Поскольку в условии задачи задана линейная плотность тока i = <^ld, то
380
Мощность.
W. — — = Eil
0 S а -
Зга мошностч по условии задачи уходит цели.
som в кристалл, порождая в нем поток фононов
Плотность- потока фононов ЦТ) связана с плот-
лостыо энергии Фононов ц(Т) соотношением
Рис. 21'6
ч(7Ъ-
где
'.и) t«, V (ш) =
<2.-т) (J г □_[ s 2л hs J /-1 Ю
Приравнивая выделяемую мощность 1^, уносимую фононами, к мощности
(Л. получим
Т4 __ р? 40й3?
а к к л2
откуда и следует ответ.
Однако можно поступить гораздо проще, записав плотность потока фо-
нонов (уносиьтую мощность) в виде
ЦТ} =о,Т.
Это аналог закона Стефана—Больцмана, где под оу — понимается фононная
константа Стефана—Больимана. полученная из фотонной константы о сле-
дующим образом*.
-, = 1 а = 8.5-10-г-Щ.
' 2 \s) см -К
Коэффиииент 3Z2 ввезен потому, что у фононов 3 состояния поляриза-
ции (2 поперечных и оано продольное), а не 2, как у фотонов. Кроме того,
в выражении для константы Стефана—Больцмана
a==J^_^5,67*10-5-^;
60Л с*см К
следует заменить скорость- света с на-среднюю-скорость звука-s. Дал ел
получить ответ: 4
ао,
11/Ф
I , =гЗ;7К,
L?4<i<6<a)2'3J.
«А’'
381
Зя4срЛ(7'2-7’1) „п.1(ГЗрМ
2-50. Дх<-----3—~3’5 1U С '
з 11/4
- -- - Г-4 > 5^6Acu л75К1 дг^з.зк,
Зл'1р£Л J
•Л 5/2 о: o.j
_ J 2L_!*£ <х Т512, откуда С = ~Р- х ^3/2
2.51. 7\
2.52. U(T) «
- <?магн . . 2 М w 3,1.
Сфон 3 W
2.54. н (Т) = of’13. с(Т) = j aT*13, где а = const.
2.56. v =
255 c = И3«ЗО-¥-.
Х Э‘ 15 hs ) см -К
[2-Ю4 см/с, - соответствует поглощению |
-ЙХ0'1- 2/н [4-104 см/с, + соответствует испусканию '
KQ = 108 см—1, 15 К (см. график в условии, рис. 68). ' |
2.57. с«40 эрг/(см3-К), для ее подсчета следует воспользоваться фор. |
мулой (см. ответ задачи 2.55), где требуется вычислить скорость звука. Ск0
рость звука легко определить по графику, приведенному в условии задачи, i
<• = _!*£—«210 м/с; (в действительности s = 240 м/с) е= 1,6 kJ's
m Б
= 13-Ю-5эВ; =0,62; Д^=0,30.
П.(£,п)
5уд = 8,88-103 эрг/(Кт).
уд 45pKs !
2.55.
2.59.
Ф =
Q = 2kns sin где йй — энергия фонона, s — его скорость, п -
показатель преломления жидкости, ЙЛ = йа>/с — импульс падающего фото-
на, 0 — угол между направлениями движения падающего и рассеянного фо-
тонов.
Решение. Рэлеевское рассеяние света можно рассматривать как про-
цесс поглощения или излучения фонона фотоном. Запишем законы сохране-
ния энергии и импульса, обозначив штрихованными величинами состояние
фотона после рассеяния, нештрихованными — до рассеяния, а также уда
между направлениями падающего и рассеянного фотона 0, а угол между на-
правлениями движения падающего фотона и соответствующего фонона-а.
Йсо' = йа> ± fiQ;
ппк' cos 0 = nhk ± tiK cos а;
nhk' sin 9 = ± hK sin а.
Здесь о и к — частота и волновой вектор фотона, Q и К — частота и вол-
новой вектор фонона, и — показатель преломления жидкости. Знак плюс от-
2.60?
носится
что и«п
„лнокя
Так ка>
2.61
2кп
1+-‘
2.6
способ
2.6
ношен
рения
глоще
щеки
2.
го пр
2
ник
npi
(эт
ре(
KOI
ра
ля
ев
ш
р:
382
31П21
Q
SLQ-
го. отбрасывая свободный член. получаем
_ .6
й = sin —
'ьГо^с-^ РаадМИ“ “ета ш W. При
1
3 фор-
н Ско-
ндачд.
>, п -
фото-
'0 фо-
: про-
ране-
ояние
! угол
1уна-
[ вол-
,'СОТ-
'•S'I(’lOc 1 MH .M.Wf p
_ 1U- ^решающая
Я АД
ю5
_______ t ------------------------------------- - рассеянного света определяется ссот-
ь’ссгснием Д'-’ ~ Ф которое может быть получено или из рассмог-
геа-с брэггозского рассеяния на дгижушейся решетке или излучения <по-
гдошеагсч» фонона фотоном. Здесь 6 — угол рассеяния. Из условия раэре-
,.-ггС □ =л'\ 5s v/Av при m= i nojrv4HMN>-----------------S——1,1-Ю5.
C_.-rJ.LS rt н - 2sn (9/2)
^.v-s. ..
го пробега фонона; -
— — длина свободно-
= 90
2.66. = l
Л<50) 2
2.67. Н(0.3К) = 0.025 Вт/(см-К).
2.63. и^2,7Ч04Вт/(м-К).
2.69! х(80 К) =5 10 Вт/(м-К). При этом 2^91 = 37,5-10“5
х(30)
Решение. Тепловое сопротивление в диэлектрическом кристалле воз-
никает за счет процессов переброса, когда взаимодействие двух фононов
приводит к. рождению третьего фонона с волновым вектором Л>л/(2<г)
(этот вектор принадлежит второй зоне Бриллюэна). Поэтому процессы пе-
реброса могут происходить только с фононами, у которых энергия во вся-
ком случае ~ кБ6/2. Вероятность возбуждения таких фононов при темпе-
ратуре Т пропорциональна больнмановскому фактору ехр(—ЛБ9/2ЛБТ) =
= ехр( —0/27). Температурная зависимость теплопроводности опреде-
ляется произведением двух факторов — теплоемкости (она растет по деба-
евскому закону при низких температурах как 73, а при высоких выходит
на константу) и вероятности процессов переброса. Таким образом, форми-
руется максимум в теплопроводности совершенных диэлектрических кри-
383
сталлов, За этим максимумом, при температурах порядка stf»
определяется вероятностью процессов переброса - в этом диа
лбсопротивлеяйе» экспоненциально растет с температурой Паз°Не *та
иость — экспоненциально уменьшается. ’ Тегг^роюа.
При высоких температурах (Т > 0) практически все фоконь
то есть могут приводить к процессам переброса, а, значит, BeD 1 ЛебаевсЧ
процессов будет пропорциональна их полному числу. Это по
яейной зависимости теплосолротивления аг температуры, так А
энергия ЗМквТ nfabp (здесь N, п соответственно число' атомов*
и число фононов).
2.705 Решение. В исходном состоянии I (в отсутствиис
находитсяв'состояяииустойчивогоравновесия (рис. 217) Ав * реШе1*а
в состоянии неустойчивого равновесия. На рис. 217 показана пло^™^'
В, сдвинутая относад»*"
скости атомов л. В силу ° *
аио„„Ойитариат„Х±
М°СП в ид»,, *
стадле должна бвиьдерв»'
с периодом а. Простой^*
кой зависимости
де I
а -
нох
вол
Рис. 217
Z1
X,
1<т
вс
=-V0cos
a
В реальном кристалле этот чи
может рассматриваться кахт,^
вый член разложения (Z до
ГГ ^Vncr;(j)
Поскольку 0 2S—IL----, ТО ж-
(IX
но записать
2itd а
Действительно, при х«.а №j-
чаем о = G ~ — закон Гука. Кри-
а
котором решетка становиться го
тическое скалывающее напряжение, при кого;
устойчивой, соответствует максимуму ст, т. е.
О - Gg ~ G g
.... с 2лт/ 2л 6’
Здесь -Использовался случай, когда а ян d, т. е. когда сдвиг происходит в
"-....базовых- плоскостях.
.Заметим,» что экспериментальные значения отношения ac/G даже до са-
мых прочных материалов (сталь) едва достигает 10% от этой оценки,-т.е.®
у. „--поф^цок Меньше.. Это объясняется модельностью задачи и неучетом дефеЛ
. - ^йлйяргцйХея в реальных кристаллах.
7 2^ = ^>37, где ш = 16 а. е. м., М = 119 а. е. м,-
......
Рс ш - ii1! c в личпюй иегючг.е смешки-
г и = л е/Р ~ -J0 J. где К. - в0Л'!’Г? 210* описыва-.- .
Д’ ' ВОЛНОВОЙ Б'Ч’тпг. Li ь
, _ межатомное расстояние. При этом к и - • °Р и частот Boirii,
№>,? уравнению М7<) = Ш|) sjn (Ка/2). Н“-Лнаорвт 1аск?а^_
Посг.ольку часто, вынужденных Щле6аний зада,„
зошового вектора получаем уравнение ’ То ila °прсДслСИ1!Р
sin;V= ].00).
обозначая exp ЦКа/2) — Z, получаем уравнение
Z^Z.OOZiZ-^o.^
г,~ 1-0457 '• z2^°-9563i. Таким образом, вычислением п
/]S=4-/ 0.0447; К*- „ + /0.0894. Первмй корень не
1шХ,о<0. что соответствует нарастающему решению. Следовательно, ей
ношение амплитуд--= ехр (г’Х2й) =e-S'94= 1,3-10~4
2.73. t= 1,8 с; 0 = 3-^ Х-Б 4^^-Ду = 2>92-10^ эрг -
з . Л н ’ О
_16оГ 0 43.10-9.
сО
2.74, if? = 3(2Е39> = 0,059 А.
Г 4АрЙ
Поскольку нормальное колебание представляет собой совокупность коле-
баний всех атомов кристалла с одной и той же частотой, то верно и обрат-
ное: в смещение каждого атома вносят свой вклад все нормальные колебания
кристалла. Поэтому энергия кристалла, равная сумме энергий всех колеб-
лющихся атомов, равна сумме энергий всех нормальных колебаний.
Пусть у нас возбуждено одно нормальное колебание заданной поляриза-
ции с волновым вектором К. Так как амплитуды колебаний всех атомов оди-
наковы, то средняя энергия кристалла для этого нормального колебания
«к = у =цШк ,
где /и и М — массы атома и кристалла, и % — среднее число фононов. Т. к.
нормальное колебание эквивалентно осциллятору с частотой а>к. то мы при-
равняли классическое выражение для энергии колеблющихся атомов в нор-
мальной моде к энергии квантового осциллятора. Из написанного выраже
ния следует, что
Это выражение надо просуммировать по всем нормальнь
с учетом трех возможных поляризаций нормального коле ан
дольного и двух поперечных). Таким образом,
колебаниям
(одного про-
385
Л2=3£ Агк
Для нулевых колебаний — 0. Так как число Нормальных
то суммирование может быть заменено интегрированием, отк
ответ. и следуе.
Приведенные в условии данные относятся к вольфраму р й
тарного куба (постоянная решетки) ОЦК решетки вольфрама ЭЛЧ
Поэтому амплитуда нулевых колебаний составляет около 2°/ РаВН°3,,Ц>
решетки. ° °Т ЛОст,^щ,
~ г о Inamsa} пол
2.75. = 2а exp (——j = 280 см.
гл&- imin = У| “ «ч> = z.36 см-
Решение. Поскольку = fisKD = 2/лйд/а 1,4 10~2эВ, а j
='5,6-10"2 эВ, то для всех мод средние числа фононов пк велики (дахе
дебаевских фононов пк == йБГM<oD = 4 » 1). Амплитуда колебаний К-й
ды находится из условия Мш^А^/2 = 2пкЯ(ок. (см. задачу 2.74) Сумзд^
по всем нормальным модам колебаний, получаем
(Л2) = УА=(2^^К = 2 “ I
' ' Z х J мак к В ) м^. .
Здесь = 1 •== __ KdK ~ число осцилляторов поля на щ»
(2тс) 2х
вале' dKi S = LKL — площадь кристалла, N — полное число зд»
• а
;Верхний предел интегрирования К^ найдем из условия
т .У = 1 откуда КТ) =
( (2л)2 U о.
> • Нижний предел нужно взять равным минимально возможному значеяю
волнового'вектора в двумерном кристалле для нулевых граничных умеет
(закрепленных границ кристалла), т. е. Лпйп = (См. задачу 2.47)
Таким образом,
2 2Jnla
' М2У^_Ст [ 2jr KdK — г dK _2a2keT (Jzl}
' J (2,l> ^!LMsl ^!L
поскольку M — №n = (ZJa)2/n. Минимальное значение длины цепочки нада-
;дится из условия (А2) = аа2 откуда
а ехр
'Iff г Tju,!;_• , V )
Доставив числовые значения, получим Z,min = 6,27- Ю”8-*17’44 = 2,36р?«
§ 3. Элэхтрогш 8 металлах. Ферми-частицы
3.1* Л£ = Х7схр|/-^^4я= 1эВ-
та~ (, * /'
Решен и с. Ширина зоны Д$ л, h<xiD'. где ц> я& via s& й/ша2 — квазиклас-
сическая часгога колебаний электрона в, яме. Что касается коэффициента
|унне.'Шр>ования D', то он связан с коэффициентом туннелирования через
барьер соотношением £>'= = exp . Дело в том, что по-
скольку электрон находится в состоянии суперпозиции атомных волновых
функций, то для попадания в соседнюю яму (расположенную на расстоянии
387
d} электрону надо «пройти, только половину пути под барьерои т
та X ' р
3.2-рг = Л(ЗА)1/3 « 1.5- IO"19 г-см/с; „F = _« 2.1.10» см/С;
Ер«9.7эВ.
Решение. Число возможных состоянии для электронов, имеищ,
пульс от р до Р + dP определяется по общей формуле
dN(p) = 2V
arfiY
где коэффициент «2» — число состояний на каждой
энергетических уровней (спиновое вырождение) аУ
объем металла. При Т = 0 К заняты все возможные^
стояния электрона вплоть до граничного импульса ь
поскольку вероятность / занять состояние с энергией
£ равна единице для всех S вплоть до энергии ферчи
(рис. 218). В импульсном пространстве заняты все состояния вплоть до им-
пульса Ферми pF. Таким образом, полное число состояний в единице объема
Р? / , 1/3
Рис. 218
откуда и получается ответ.
2 / \ 21
33. г= | eF, где eF = ТЦ- I Зл2 ^-1
5 2т \ v /
3.4. Зл2 3 1,9 эВ.
5 2те 4d )
35. 1,3-10~4, где 7 = 300 К.
S к F /
3.6. I = | XF « За. где ).г =£»&
3.7! рг« IO”19 г-см/с.
Решение. Скорость позитрона пе-
ред аннигиляцией является тепловой и
ею можно пренебречь по сравнению со
Рис 219 г г г
’ скоростями электронов, которые поряд-
ка фермиевской скорости. Следователь-
но, до столкновения суммарный импульс системы равен импульсу элект-
рона pF. Как видно из рис. 219,
/’e = 2/’7si"y«P74>.
гДе Ру импульсы фотонов (аннигиляционных у-квантов). Энергия,выж;
ляющаяся при аннигиляции электрон-позитронной пары, в расчете на один
у-квант равна тс2 яз 0,5 МэВ, где т — масса электрона. Это намного пре;
388
J_ 1аким образом
1 ак как ,ис » Р л .
импуи,- ^‘^.юнение р от
^М1н.(ье аннигилнПуЮ1пр,.. к X
склонение vr-la n=, J ^*фона 1ак
I»*™ от 180' еалзетсп,,,., ,
\|)Л11
Р । рад.
XX "ро— --
. K^J В эт°и Обчасти а) = s-К где
ьлииВие число сЬононя о с ' Jt'
•X-.W. ИмпуЛЬсэ„еКХДС77у^“.Х’"У',ЬС
г- Иэч'-Др- J гол рассеяния
<р Я» Р,!”н 5- _ДЦ)
Р’Л spp
Фермиевским импульс /;р--h (ЗпХ)1/3 д i/з _1_
рость звука можно выразить через дебаевскую температуру fi:
М = Лсоц = яг Д Д s = sp
Ско-
Тзким образом,
Знаки приближенных равенств берутся потому, что в качестве монели
зыбран одновалентный металл с простой кубической решеткой что не ого-
ворено в условии.
3.9. ipltiax — 2arcsin (2‘“2/3) 78°.
ЗЛО. Я.„„. = (Зл2п\1/3 % (80 Э
— П)
. / 2\ 1/3
ma:
со
ЗЛ2.
2>пе~ , о
,-i, “242/3 1/3 ~ i,J-
h (3% ) n
Вырожденный ферми-газ тем идеальнее, чем он плотнее, так как
U кп1^; £р <х/Х3 и t//Sp—>0 при н-*оо. Данная задача показывает, что
при реальных металлических концентрациях O'/гр — 1, т. е. электроны в ме-
талле — это скорее ферми-жидкость, а не ферми-газ! Тот факт, что модель
свободных электронов дает правильные порядки и числа, есть следствие об-
ших закономерностей квантовой механики. Отметим, что ответ можно запи-
.. -1/3
сать так: — . Для «газовости» среднее расстояние между электрона-
ми должно быть меньше гв = 0,5А. В обратном предельном случае разря-
женного газа /1гБ«:1 электроны проводимости должны образовывать
упорядоченную структуру — т. н. вигнеровский кристалл (см. задачу 3.92).
389
3 13 92/3 «= 1-6.
' MO)
_ 4 __ ffftt/Kp [ JL.^ 2,5-Ю20 нейтронов.
‘ ‘ \ ft / 3л’
3-1* = Д=7,3.10’см/с.£. ™ Г»~
коэффициент в формуле для радиуса ядра Ля = г^А1'3.
Решение. Нуклоны как ферми-часгицы заполняют уровни эиер
своих потенциальных ям согласно принципу Паули: по два нуклона кадого
сорта на уровень. Счгггая. что уровни энергии нуклонов распределены а,
зинепрерывно и вероятность занятия состояний с р < pF равна единице, по
лучаем для полного числа нуклонов
TV = ?AV
о J Р-хЛ/
Коэффициент «4» отражает тот факт, что мы пренебрегаем различием
уровнях энергий нейтронов и протонов из-за кулоновского взаимодействия,
т. е. считаем их потенциальные ямы идентичными. Отсюда фермиевский
импульс нуклонов
р = ^А = 1.23- 10'14г-см/с.
ь ’ 8 г0
Так как mc^z 5-10-14 г-см/с > pF, то можно пользоваться нерелятивист-
ским приближением i'F =— • откуда и следует ответ.
3.16. Средняя энергия на один нуклон e’=-ef = - — яг 17,1 МэВ.
5 5 2т
3.17! = Ла = (Зя2)1/3 80 кэВ.
7 4тг$А
о лЛ2 = 1,9-10 19 СгМ2 — 1,9-Ю3 бн, где = 2.47-10 10 см.
Решение. Возбуждение ядра состоит в поглощении у-кванта нукло-
ном, находящемся на уровне ce=efh переходе его на свободный уро-
вень. В силу квазидискретности энергетических уровней расстояние между
НИМИ вбЛИЗИ Е — Ес 1
F Ле = 1 .
©(Ер)
где S)(ef) = ^А| — плотность состояний или число энергетических
уровней на единичный интервал энергии вблизи энергии Ферми. В мд
дели ферми-газа е = BN213- In e = 1п В 4- - In N, откуда
Фе _ 2 rfN и ^_\ = 3N
£ 3 N dz I 2 ef
IE —£F
390
НМЛ), WM,. „ ЗДМе , (5 найжм
^,,, = Дг = ^(&2)1И^°“В-
Сечение ф-сугоиотлопгеиия оПеиим как
' ce<reHtfe образования составного яд-
.; = >: (/d%t -Н Л )2, где 7. — 2ц — -2d? щ-1Л,-
1 1 2% £"»п хл/ 10 С^-
ЛМ='(/"3^-1<Н’ См « Z .
Окончательно
"~«( = |1,9,-1,0-|1’См2= f.i'9.1#s 6я
Аналогичную опенку для сечения можно получить, примени» формулу
крейта—Йигиера для неуиругого- процесса.
3- .U. U-+ &св = + <§св^40'М'эЕ (см, рис. 220), где pF~
3.1 У: Решение. Электростатическая энергия распределения зарядов с
плотностью р определяется как
П^рфУИ.
В случае равномерного распределения протонов по ядру плотность заря-
ла Р = v = 7Г ЗЛ“’17 = I = Т Хг3оА оИ"
ем ядра. Потенциал внутри равномерно заряжен-
ного- тара
<р = ZL (зл2-г2)'.
2ST
Поэтому интегрированием легко определить-
.. _ з W
1“ 5 Л
При неравномерном распределении протоков радиус нейронной серд-
цевины находиться' из условия- ПиейТр - Из или Л«еИ]) = Я3П, и мы имеем
заряженный сферический слой с плотностью р0 = -рА = = Зр- п<™и-
циал внутри этого слоя
, , _ z-д 2_ze
'PoW-3Tf А ''
Соответственно' электростатическая энергия
‘-'неравН 5 '
391
Таким образом, вынгрь"" “ кулоновской знсриш
,, =1'^6.2~5'3 = ^-:Г5М-^1- ^ 0.075.гМм
^равв ансравн 5 к 5 •)/' *'‘5b
При равномерном распределении прогонов в ядре импульс Фермиoilpt.
ДСЛЯСТСЯ из условия
.. , . / > . \ 1/3
Л = 4 —oiKViia 2л Г, -Л— .
(2лй) J \1(,д' /
Кинетическая энергия ядра при этом
депо = А ,.1С = А л ТТ.
к 5 5 2»!
В случае неравномерного распределения нуклонов
V/2 4
т. е. pF0 = 2l/3/>v, а кинетическая оперши
2т
Таким образом в кинетической энергии есн> проигрыш
^веравн_^равн —
Ле|;(22л,-1) зя юл |М.,В|.
Отсюда следует, что равномерное распределение нуклонов в ядре энергеиг
чески более вьнюдно, поскольку сравнивать пало полные энергии
= 0.075Д™- 10.-1 = 0.07.5 Л5'3
0,075.1'
Эта величина положительна при Л? (133.3)3|,г — 1540. Таким образом для
всех реальных ядер равномерное распределение нуклонов в ядре более вы-
годно.
392
3.2 Я toMO’K.
/'ешеииг. Гемпсратуру 0 центре зве-
равновесия. Гравитационному давлению npXfcS* °Прежлить из Условия
го излучения и давление электронного га-.» . яамеИие раввовесно-
радиуеоМ г и толщиной <!г. Сказываемое этим рТ?*” с*ерилрёкий слой
„ей ™" рлоем Давление на нижние
rf^aB = T^=7W)A/
S г 4rt/2
граничноеусловие „а пбверу„6еги звезда, Лгр„(^ = 0, ПЮ1учим
р ГОУ - ( о ^7] (-to2 * р)
to’“( ) ' -----= yV W= 1.4-1623дин/см2.
Концентрация электронов в звезде
* = 2^3 • 1 б27 ем-з
Атр 2тр и см '
Энергия Ферми этих электронов
й2
87 = 2пГе (3л,2/?)2/3 1 >2- 1 б"» эрг = 7,5 кэВ.
Соответствующая ей температура вырождения
Предположим-, что температура в- центре звезды Т >Тт. Тогда давление элек-
тронного газа можно подсчитать по Классической формуле (давлением ядер
можно пренебречь; т.- К. во-первы/ 2л»" 1, а; во-вторых тепловая энергия
^7 б. 1 МэВ-, что недостаточно для «развала»- ядра на нуКлбны)
Рэл=п&ът
Условие равновесия
%,. = £7'4 + '«У’-
Подставляя численные данные, получим'
1Д. I623 = 1,56-'16"15?4 + 4-, 14- 1б13Т.
Рйиениё'этого уравнения дает температуру в-цейтре:звезды Т = 2,07-1б9 К,
и" таКим' образом предположение о тбм-, что У >7^ выполнено.-
^.16? Решение. Оценка кбнцентрацйи'элеКтронов-
. Л/ у 1 _ _Л^
Пе^тя т-'Х'
Рассгоячии между электронами Скорость- элеКтронбв- определим'
из ёббтнбшения неопределенностей
К
-е Шеа
3W
Энергия одного электрона
£е =
Джгеяие адаетрмяот газа е точностью я® шоффиииаиа: «Иради
равно плотности энергии
.г-*3 е.2 f t(\ f7\ Sf2 r
n яе n : •*’ г । -4 V Г
P ЭТ -------------------Г '— 1 —r.
сраа j
Jis условия равенства давленггй Pe = Prpafi следует
« *2 {т\5,Ъ f
-= const.
м,пя-
3.27- и = -п£рг етеп=-Л: И' = 4,42-L039 см"2 (ср. сзадачейД®-
4 Зег \пс1
£Гя=5,3-ЕбзбДИн/'сид Р = -^ = ^77-1>(^6, дии/см1 1Д47-ЕО^аж.
3.2&. РУ413 = cotrat (см- предыдущую задачу).
3_29* Решение. Известно, что свободный нейтрон распадается пощад-
п -> р -г е" 4- ve + Q,
где М МэВ — выделяемая при распаде энергия (дефект массы)'. ЩЬха?-
жем, что нейтроны!, составляющие нейтронную звезду, не подвержены.ука-
занному распаду- Количество нейтронов в пульсаре: ~ D0^„ Ирщ
И1щ
распаде всех нейтронов появилось столько же электронов; 10s7,, а их кж- .
центрадия была бы порядка
— 10® см”3.
При таких плотностях электронный газ становится ультрареляшивжтскию
(ерЗр-^с2)!. Тогда EF=pjC==fc- (Зл2пе)Е/3* 600 МэВ. Таким образован®
при распаде одного нейтрона и выделяется энергия- порядка L МэВ, ночгрж- -
рьпш за счет' увеличения кинетической энергии электроне® составит'® растя® ।
на един электрон величину порядка £ £у — 360 МэВ . Это и делает' распэднвй-
троновэнергетическияевыгедяызс-Можно'Схазать, чтодавлениезлеоронного'
газа стабилизирует распад большого числа нейтронов.
-••• ® ' 2 е?
3.31. i?E= * ^«4,13В. 7;
, уЭ2 ms
Ж
|VBI; у = iW
получаем
coilhl;
U.K.-, " 1,°5' l°K eM/c; ai£
coa 0.
.. ep представляет собой
...’’"'I"' ......""'“'IbB... к k ,,p,n., p„ w.1Jle n зт„ивюс,„ 0T
..............................k, „ klal (,. c „ ;i„,„lc,lM0CTI1 Ol. „шщнп.ра^
...................... " ‘'"''''"'‘t"”1 “"I.. llfillteiКИ) она может быть зам-
ри юн. th....сюит,31 из нескольких несвязанных областей
п,на > М.тю им............и, |>т ин о, кви.шнмиульса является функцией нери-
дартч.он .1 от р.т II ИЧ.ЧТИОИ, 10 т у | |ЦЧ-1 „ у Ю , |тк|, экстремумов. В ЗВВИСИМР
Illi >’| ' 11 ’ .... 1 '‘Vjn.t и।ОМОН и ШИН симметрии решетки они могут
р.шпо 1.М.ПМ я ».о •’ iiciiipr .юны Криллюанн при к. = О, так и в других точ-
но.пин » > ।р* mvm.i '.им но puj.'iDWи।а зависимость <£(к) в ряд и ограни-
ЧИПЛ'Я |1»ри1.1М IHlIOh'I.IIUlllllM Ч/1Г1ЮМ.
' „к, ф, I, t (‘<“,:<li> +-
Itof .K- прян* -O'liiiii нои t.ihi.ipaiнчной формы к главным осям ферми—
попер>tux o. । hm.mi. вид ы.чнпсоидн. В случае кристаллов кубической
симмсiрии > LiHtHoH.i Bi.ipiM.HiiricH и шар. Такая картина имеет место при
(' pot ым t.oiiitcit 1 риини (и Л,. ) нужно учитывать другие члены
рлшотМ-нкх н ферми <ф«'рн деформирушея (по-рнзпому в разных направ-
нениял юны l.pli.i IMHI.T ч.-'-т ближе rpaiiuiui, тем сильнее деформация).
|'.И,Ч1Т||>ИЧ |||Т1'.1.Ю.> ™ньш л ,Ь|,И'Н' "Двумерный» закон дисперсии
i'(k) (kJ -I-kJ).
Im
Число троит», ровное по условию числу o««T»pin« ячеек W в объеме
крисылл.1 k, еси,
,V i </Л/к = 2 J J 5 llk> ,,к‘'
3 ,Ы
Иоеконт.ьу спектр от к. не зюшент, то интегрировать нужно но всем
У ' Гпнпшмпн Если размер элементарной
лозможным знач.-пиям к: в зоне Бриллюэна, ьсли р
п гл - *<к форма и раз-
ячейки основной решетки вдоль оси z е > . „ г «
reii v и У не имеют значения, если только
.мер ячейки вдоль осей л и у
395
*= 5р ^Иру'
,dkx.dky = M± dk±, откуда
^ = 2—^-т2л( кх
(2лГ 5
Вводя полярные координаты,
Wvhh
л/а
dk± j dkz =
-3t/a
У & 2л. . _ J2xV ~
Мт--
Поскольку объем элементарной ячейки равен по условию 0,85а3, то искомая
скорость Ферми
= _1_« 1,05- 10s см/с.
f тг т^а ’0,85
Поверхность Ферми здесь — цилиндр (открытая ферми-ловерхность).
3.351 $ — 2* см. рис. 221.
а
Решение. Поскольку примитивная ячейка квадратной решетки содер.
жит один атом, то число разрешенных значений квазиимлульса в первой
зоне Бриллюэна (равное числу примитивных ячеек) равно числу атомов Л.
Считая, что зона построена из s-состояний атомов, получаем, что из 2W мест
в зоне проводимости занято ровно половина и поэтому
’-I [?)-£'
В силу симметричного характера спектра половинное заполнение зоны
Бриллюэна соответствует = 0. Таким образом, уравнение поверхности
Ферми находится из условия
j.
cos к^а + cos kva = 0 или 2cos ——^a-cos——ia = 0,
x У 2 2
откуда
kx + ky = ^ (1 + 2m)
+2ni’
где m,n— 6t ±1., ±2, ...
В первой зоне Бриллюэна ]fcx[, \ку | < л/а, откуда подходят
т, п = 0, — 1, т. е,
кх + к = ±*
*'' х У а
кх-к=±^
у о
Таким образом, заняты все состояния внутри квадрата площадью 2л’г/й2
(см, рис, 221),
• :,-иДля..нахождения распределения скоростей на ферми-поверхности в.силу
^симметрии, рассмотрим ^только первый квадрант. По определению
-1-W) гг -
\Г" £ , поскольку градиент перпендикулярен линиям уровня,/го^^
^юсть электроно^^ерпендик^лярна ферми-поверхности. Следовательно в н<^ .?
шем случае компоненты вектора скорости электрона должны быть равный ,1
-Ж. "&.
h ?! * >' h
'<J ’\ ~ ’'.' Таким образом, vnopocib распределена вдоль сто-
ио В'Г.ону синуса — она максимальна в середине боковых
а нулю в yi.iar. квадрыа. Последннее очевидно В углу кдад-
э.-иллрола должна бьпь перпендикулярна двум смежным сто-
с Э;о возможно чолыю для нулевого вектора
336! ~ 2 3- И? см/с; = !’ь, = о
? д; •: н л •: (С м -|акже решение задачи 3,34). В этой задаче расс.мат-
-,иьь-.'ся *-одномер! 1Ь!Й>- закол дисперсии & (fc.) = &0 cos к.и По условию
?. из Д' о’юм.тарных ячеек, содержащихся в объеме У, поставляет в
-'о'-’ЬЗ'димок-; и по одному электрону, 1. е.
= 2 7^7 ) i = г-X,Stl
rj_- S; — плош.адь сечения золы Бриллюэна плоскостью /с. = const. Ис-
гю.-дС‘Я ьид за».она дисперсии (рис. 222), получаем
По условию S; не зависит oi к. и объем зоны Бриллюэна равен
= S; — Кроме того, объем зоны Бриллюэна легко вычислить иначе
’ ~ а
= IrE-L. где v = — — объем элементарной ячейки. Таким образом, под-
v .V
откуда в одномерном случае
Фермиевская скорость
г
F ^5<-U-.=±^f
rSasinJc-a " + Й '
397
Выражение для можно получить и другим путем. В зоне проводи^
сти для электронов имеется 2N мест, из которых занято N мест, т. е. no.»
вина. Таким образом, в силу симметричной формы спектра ег = о, 0T|q,ffl
cos к,а = 0, кг = к/2я. Ферми-поверхность в 1-ой зоне Бриллэюна имеет
вид двух параллельных плоскостей (в одномерном случае - две точки).
3.371 Решение. Из уравнения рх — еЕ следует
откуда с учетом х
_ £21 Sjn сЕа
др..
£q£T Гс’710(/—/0)
е^а и < \ ,
— и"‘ —jr~ (< — <о) получим
Таким образом, электрон осциллирует около равновесного положения
х0 с частотой ад = eEath, и средний ток равен нулю. Причина этого состоит
в том, что кинетическая энергия
So cos (кха) является ограниченной
функцией кх. В результате движе-
ние электрона в поле с потенциаль-
ной энергией U (х) = - еЕх ограни-
чено конечной областью (вследствие
закона сохранения энергии). Оче-
видны равенство нулю средней ско-
Рис. 223 ростп (Т\. = 0) и ограниченность ко-
ординаты (х = х0), что легко опреде-
лить по виду v(t) и л-(7). На рис. 223 изображена зависимость Av((). Уско-
ряясь, электрон достигает границы первой зоны Бриллюэна, отражается и
оказывается в эквивалентной точке кх = — х/а. Далее картина повторяется.
Подсчитаем, например, частоту и амплитуду осцилляций электрона Дх
по медному проводу
Е = ^£«5,7-10-6едСГСЭ= 1,71 НО”3 В/см; <о = 7,8-104 с-1.
>-> II
Так как Д<э = 2&0, то 1,5-103 см = 15 м.
Это явление крайне трудно, наблюдать, так как Дх Л (длины свободно-
го пробега): даже в самых чистых образцах Л g 1 см.
3.38. n = ^.; n = V = 0; i> = v = 0;
и у у у
3.39. гг = ^0; рр[1Ю) = 1,48—;
3 а а .
Рр[ 111]= ~ arccos — as 1,46 ~
а 3 а
3.40.
&0а
398
3.41. I'fl 10°l !’fI 1101 = 1>р[Ш] =-Д£^..
3-«- * = 0; £ = 2£o- =
3 43! Д«=-^ = 5эВ.
решение Согласно закону дисперсии
S(k) = (3 — cos k^a ~ cos k^a — cos k^a),
.Потолок- (максимальное значение энергии) зоны проводимости достига-
ется з углах зоны Бриллюэна при к = > а «дно» (мияималь-
значение энергии) - в центре зоны при i = 0. При этом £тах=б£0;
0. Ширина зоны =s SBtax — = 6^0. Вблизи дна зоны
Й2 (А2
и сйразом га* == тс = -—у. откуда Д& = = 5 эВ.
еей Шей
Отмстим, что эффективные массы можно было бы вычислить и непос-
дедстзенио из закона дисперсии (см. задачу 3.34)
Слезсватсльно. эллипсоид энергии здесь является шаром.
144. Г* = V-~ as 3.3 К для Си и 1,5 К. для Na.
24г"г^
ЗЛ5. S расчете «а I атом: теплоемкость решетки среш(Т)
W3Ki сР*ш!300К^3^Б. - . _
Электронная теплоемкость (в расчете на 1 атом); . - . , ,
' 2/3 t2T
WTj j сзл(3 К) « 2.32'10-4s; сэ^300 К) -2,324(Г^
1.’я* й ' '
3L46. Г =-'Г = ——Л.вЗ-КЯэрг/^К-моль);
«о= (бя^ра=2|Дсм"1’.
ЗЛ7. в=-;^Л-^54 = 330К- ' ’
X«.£f = ^A = 74!53?,^4=S^^^,J.
3.49. Т =
7'1Лдц + У'гЛлк _ gj44 к,
• Лди-Мдв
3.50. = 6.4-104 К.
.1/3 .2
351* L> (2_И = 86 А, Ср = —(12п2)2^3 7 эВ, где
кТп] 2ша
Решение. В металлах возбуждаются лишь тс электроны, энергия ко-
торых лежит вблизи энергии Ферми. Если ^)(ер) плот ность электронных
состояний, т. с. число состояний, приходящихся па единичный энергетиче-
ский интервал, то обратная ей величина
есть расстояние между энергетическими уровнями. В объеме V одновалент-
ного металла содержится N свободных электронов, которые размещены по
энергетическим уровням вплоть до энергии Ферми, Из выражения для ер
Следует, что 3/2
откуда легко найти плотность состояний вблизи уровня Ферми:
S(Erf="=2L
л„ 2jiz
Из полученного выражения находим
3/2
ЕМ2 = 1 N
1 7 г.,
где п — концентрация электронов, равная 4/<Д L — линейный размер кри-
сталла меди.
Условие, при котором дискретность уровней еще нс сказывается на
удельной теплоемкости, довольно очевидно:
€ АГ,
откуда следует ответ задачи
/ > 1/3 , , 1/3
L> 1121. =п II Ск I
" 1^3 mJ \6кТ) '
Постоянную решетки можно найти по формуле
° = От-= 3>62 А-
’рЛ<А
Энергия Ферми не задана в условии задачи. Поэтому вычислим ее:
ег = Т7 (ЗЛ)2В = _* (12и2)2й = 7 эВ, • '
z,/1 2та
что совпадает с табличным значением ef.
400
Or.on4aic.nJio получим размер криста ,,,
1В,.,„ даииик Р 'd"M ««и,
"«ом из вичиежвдвд
= 86 А.
3-52Г « ezp zil ,ае , , 4
Л'1 ,f УТ-?-------------•®(Ср)=2.5_
И«1Ь состояний на уровне Ферми, п„ _ ®ВД 2 * '
Решение. Распределение П01евииала Весная “"“нтрация.
г^-вя-
аиулри проводника описивастся уравнени-
ем Пуассона
д.р = 4?ie(n - п0 /г,
где £ — диэлектрическая проницаемость,
зозникаюшая ла счет электронов заполнен-
ных зон <1 е. всех элеклронов, за исключе-
нием электронов проводимости).
В состоянии гермодинамического равно-
гесия двух тел их химические потенциалы
равны, г с
!<,(/>. Г) = Т).
Однако. при наличии электрического потен-
циала роль и начинает играть другая вели-
чина ц -г U = н — ер = F. называемая элек-
трохимическим потенциалом, и тогда усло-
вием равновесия является F = const (рис.
224). При плавном изменении потенциала
р(х) на расстояниях порядка постоянной
решетки мо.кно считать, что дно зоны про-
водимости. соответствующее в этом прибли-
жении потенциальной энергии электрона.
меняется от точки к. точке, т. е. зависит от
координат. и в результате р. = ц(х). Если изгиб зон мал, то
и - л0= Др =-/Ч еф(х) =£)(р.)еч>(х),
где 2)(ц) — платность состояний (на единицу объема) вблизи уровня Фер-
ми. Будем полатать. что ®(р.) = <см- заДачи 3.17 и
351). Здесь п = п(х) — локальная плотность состояний, л0 - равновесная
концентрация при х-»«. Подставив это в уравнение Пуассона, получим
ДФ = ^-Э(еР)<р-
Решением этого уравнения
является функция
ф(х) «ехр ± Л-
401
I--------- / £SF [4,3-IO"9 CM ДЛЯ МСЮЛЛОВ,
где /TF = - 76to2j1(j ~ [ |,6. |0“6 см для (голуметаллов.
Заметим, что в металлах /ур S а — постоянной pciriciKH, т. с. внешнее ста-
тическое поле практически полностью экранируеюя на расстоянии одной
постоянной решетки и внутрь мешлла нс проникасн
353. А“ ~ С(/11~',‘г> ~. -5.2- |0"16.
« Упе
354 4,1 -4.6-Ю'13.
J п 4nd Vne1
3.5Я ----10 мВ.
/ kyks
Решение. Контактная разносю по1енцлалов Д'р связана с разными
начальными положениями уровней Ферми (относительно уровня вакуума)
в контактирующих объектах.
С уменьшением размеров кубиков расстояние между одноэлектронными
энергетическими уровнями увсличивас1ся. В предположении постоянной
электронной концентрации это приводит к повышению уровня Ферми в ма-
леньком кубике по сравнению с его положением в «массивном» металле. Что-
бы оценить величину Д<р такого повышения, замочим, что полное число сво-
бодных электронов в кубе размером L со сферической Ферми-поверхностью
определяется количеством ячеек объемом (2л)3 в Л-просгрансгвс и равно
jV~ (Ар£/2л)3, где кг — это величина фермиевского волнового вектора. При-
веденное выражение справедливо в пределе При конечной величине
k$L число электронов определяется количеством точек с координатами, крат-
ными (2л/Д), в пространстве волновых чисел. В эюм случае
где поправка, пропорциональная а~ 1, связана с «целочисленными» точка-
ми, расположенными в координатных плоскостях пространства волновых
чисел, а также с «целочисленными» точками, ближайшими к поверхности
Ферми-сферы, но не попавшими «под» псе. Отсюда для концентрации элек-
тронов n = N/L? получаем н ~ — a./(kvL) |, чю при kvL» 1 дает
kp(L) <х г№ 1 Полагая n = const и учитывая, чю энергия Ферми
£р « кр, находим
] + 2«/3
£f(®) £[•(»)/.’
откуда при £К~ 1 эВ, (03см‘'), £= 10-6см следует
&P=|leF(£) -eF(»)J»-^~ 10 мВ.
I \1/3
_ sin ai (n2|
sjn — I —I = 2; полное отражение будет при угле падения
электронов ty = 30° из среды с показателем преломления
402
;||>!С считать, что контакт жта,,
жрикасатощихси поверхностей (ото требуй с/’цес™«лся во всех
1от.и коитактиая pa3Hoctb потенциадо. Т ™ ™™ос™ об-
ЧИ той,таит. На траттитте раздеда'Х е
части электронов ио металла с ^ми^ ‘ потен,1Иалаиз-
> илней работой выхода. Этот ‘ шей раоотой выхода в ме-
работой выхода. Этот
с.<аюк г;эге.!(|иала произойдет на рас-
< порядка !ff<a — периода
решение задачи 3.52).
Х'л-ш—: -,-ач-.<1 находится из усло-
-/5 p>sc:'v.T.a Э-.ег .ро<имических ло-
:г-1иИд.:од ч. - t-f, =02-- е-р2, где и.
— '. :с- по.енпиалы после Г|Р°водимости
те-дит-я o.ip'-шл Для перетекае- Рис. 225
зардде. .охнэ мала (см зада-
53т П.‘т, г =- ги2. Таким образом, энергетическая диаграмм
-'т'т-ч.титс-т ь таком контакте, имеет вид, изображенный на
220 .... '' т-.счем гютештиальной анергии совмещен с дном одной
. ,.ештш:ла приводит к силам, перпендикулярным поверх-
).и Слэгл меняют нормальную составляющую скорости
и е&нюших барьер, но не меняют продольной составляю-
’•[., sin а, = t’p2 sin а2.
;.о '/ преломления для электронов
1/S
мп п; __ иг.2 _ .
S.n'M VF1 ,|j'3
Та«-им '-бот: у-'.-. .л с большей фермиевской скоростью является «опти-
..vvz-бг.Г ледова гс.тьно, полное внутреннее отражение насту-
.1Л_. )г, тронов на границу раздела из металла с большей кон-
:.«.итэ»:.и-;Л >"?•' F* п2 =" ♦ = аиз'ш 30°'
3.57. Иво.:? па.хикя и преломления<Р| и ч>2 ^ctgf = -~y получаем
закон г.ре-л-лх-мя хкжуроииых вол11 на межкристаллической границе
Sin 'pi ICOS^p? _ дНу
Sin >Р2 Vcos2.pl Чн'
При малых утятах паления и преломления
3.58:
403
Решение. Приведем схему термоэлемента. Эю колыто, спаянное
двух разных металлов. В отсутствии тока тсрмоЭДС возникает между ра>
рывами в одном из металлов (рис. 226). При этом предполагается, что том
псратура концов разрыва одинакова (ответ не зависит от конкретного Зи-
новия То). Появление тсрмоЭДС обусловлено различием электрохимических
потенциалов в двух металлах, и поэтому при ус.
пнювлеиии электрического контакта электроны
начнут переходить из одного металла в другой В
области границы возникает двойной электри-
ческий слой. Толщина эюю слоя порядка меж-
атомных расстояний и может рассматриваться как
бесконечно тонкая в задачах макроскопической
электродинамики (см. задачи 3.52—3.56). В этом
слое происходит скачок электрического потенциа-
ла, который выравнивает элскгрохимические по-
тенциалы. Такой скачок называется контактной
Рис. 226
разностью потенциалов.
Поскольку уровень «вакуума» одинаков для обоих металлов, то
е|Д‘рК011Т| = Мд — ^„1- где А — работа выхода из металла. Перенося заряд
по замкнутому контуру, получим
лт„,,г(Т) + А'Гкои.ЛЛ + A'r<,<T>) = 0:
I ДтЛЛ.) I = I л-рко,„(7'1) + Л'Г™„Л2> I =
= |-W,) -л,,(Г,) + л„о -/6(т2) | 1=||а,('О)-
- ЫгТЛ) -М’Т)1| Г =
Поскольку у металлов при любых температурах 'Г тд(Г) — |л(0) а
«Г2 (точный результат, как будет показано ниже, равен
то
=vl(v - 4)
I | I ^C|.- Cf.J I
Лб
где у = ——. Таким образом, считая ДТ = Тг — Т{ <к т{, получаем
------Sf-----~2Г>'
Тогда
pefp) __ Тр
Р(ТИс) Тне
404
13-
ЧХ
'1Ы
в
пт-
ах
Ой
04
fa-
ro-
ой
ен
C'l’1’"’...................."''w™,,»,,
ЛЙ1К11Я pc i pji.iPcH Юм оиск,р„чсско,о "«таопктокао,,
,У,,.,,„4.1. («и ..... с,ПРИ, ,,, U"W«1 т. а градИа1то“”^
7 к Vt- •> V/
~c»V
--- v v - М"ИКП2' 'IK к омическом/,™""6 ™еется"«
Vo ' V„ „ри / ^c„IBII || сос,ояШ1и1/КУ *баВляии диф_
I - ". 1! * о „ ,1, p,„ _ ,t ; __ P‘ рав,
откуда
e.l-'jyCl
(IT
............... и.ирферс.щнадьиой тсрмоЭЛС и
cR/Au!'!J' * ч».-н,11( 1СРИ0^ДС. В модели
За.чэ’м y-siifrff л из •,< юпнч 'равновесий'». г.е. равенства уровней Ферми
J.60. ( <Г) - 1
= 4.22 Г'-мзз'-рат/ра вырождения
л-и.^-'-нп 1Не при низких
хах я для л.V’’ > р^иг-в р тр зле
2 Г \2/3
= 2l Зл2— = 6,73- 1(Г15эрг =
2т \ У )
TF = Cp/kg^SO К. Таким образом,
температурах определяется так же,
c<n = i'^*br = «i. « г»-т£-|’>*1()':-
3<6L У ято'-wb ?Мс суммарный спин электронов равен нулю, а спин яд-
ра pase?/ \!2. Петому теплоемкость при столь малых температурах мала и
определяется так же. как для электронов в металле. Таким о разом,
40'5
3.62* шр = — 2-1016 с"1 (для металлов).
Решение. Пусть р = е Ъп = е (и — п0) « еп0 — отклонение плотности
электронов от равновесной и0. В результате этого отклонения возникает элект-
рическое поле Е, которое удовлетворяет уравнению Пуассона
div Е = 4|Р.
где е _ диэлектрическая проницаемость, обусловленная поляризуемостью
решетки и электронов внутренних оболочек.
Под действием поля Е электроны приобретают мгновенную скорость v,
модуль которой много меньше скорости хаотического движения ииог кото-
рая ~ vF в металлах и ~ в невырожденных полупроводниках. Она
определяется из уравнения
, dv ,6* D
л="' аГ = еЕ'
Мы пренебрегаем слабой зависимостью v от координат и учитываем
только зависимость от времени. Плотность тока j = env enQv удовлетворя-
ет закону сохранения заряда & + div j = 0. Продифференцируем это выра-
жение по времени и подставим туда выражение для j и Е. В результате по-
лучим уравнение
4+±фр=о.
дГ т*г
2
откуда Юр =-----.
р т’г
Отметим, что здесь н0 — концентрация электронов в зоне проводимости
(электроны заполненных зон дают вклад только в е). Численное значение
плазменной частоты для «типичного металла» (например, Си с
п0 — 8,5-1022 см-3, т* = те, г —I) — 2-1016 с-1. Для собственных по-
лупроводников (например, Ge с е= 16, т’««0,2те и «0— 1014см“3 при
Т = 300 К) Фр^г-1011 с-1.
Так как мы рассматриваем колебания с одной длиной волны, намного
превосходящей постоянную решетки, то справедливо приближение сплош-
ной среды для решетки, что и оправдывает введение диэлектрической про-
ницаемости среды е.
Приведем еще один вариант решения этой задачи. Рассматривая длин-
новолновые колебания, можно считать, что распределение электронов как
целое смещается относительно положительного фона (ионов решетки).
Пусть х — величина смещения электрона. Тогда дипольный момент едини-
цы объема (поляризация) Р = поех. Поскольку свободных зарядов нет (т. е.
div D = 0, а в силу однородности поля и D = 0), то ' ' г
Е-Ь4л.Р=0, .
откуда Е = —4лн0ех.
406
лчих/снии 'шекгросш
>п’х 4xnf)e2
'3'У>'Э чис -.i дифф; слсмсгеисм рагеХтоиГ "е!и6!’“"',пь “р от
З.«3. , 7 3‘4" ! -}4‘ глс гк = е? _ 1 hi? Тз7 ~~ rt0CT°9ffHaa
3.64- ( '2-zf> = МэВ.
3-45. •• -- ' - \ - i.i- 1б~6СМ.
3.66. ' , 21O'°'< 'см ' (серебро. ,,=5,85.11,22^-3)
з^г • . ' ‘ чистого германия).
Г 5 .. - - ! :^Ря-‘« описывается уравнением непрерывности
'.. -.х-'. ьпми уравнением, j = аЕ. В хороших проводниках : н свялапнос с избыточными носителями, образую-
1,.-,а-но мало по сравнению с равновесной прово- (:>ГЛ1 Используя соотношение D = ?E, где е- ди-
>. hi.u-.-'oc г>. связанная с электронами заполненных зон, и ’ с '.сончательно о - г4ло/е) р = о.
Г..'Г, !) --- p0(r) exp (-f'/'rj.
-;e f, '•'-г-, ,t '"/f) - распределение заряда в начальный момент
И; р-т ''' г'. < с го плотность р, не деформируясь в пространстве,
хс-.гл'е--' -;'rf - а.-.л' г рл времени, так что в тех областях пространства,
де заря.; ' ri лгсутсгяует. постоянно сохраняется электронейтраль-
чсст> Пои > ".м :-- >пенно, течет во всем пространстве. Для германия
rz:-j .'(Г1'-с .-г.-рг. формально млсии797ъ ?м для металла, скажем,
для С i. .'.см 'у ) 5-161 с’1 получим
т = f,б- 10_/9с.
4то
За cro,Ts малгл* зремл хескгрон проходит расстояние порядка 10-1Осм, что
намного длинны свободного пробега. Это значит, что в данном слу-
чае исполнзонзг.'ис соотношения j = oE было незаконным. Действительно,
решение уравнения движения для электрона в вязкой среде
РЕ-^ имеет вид 6
407
где т — среднее время между столкновениями. Очевидно, при />т
у « const = удр =^, и закон Ома с постоянной о справедлив. Наличиееще
одного масштаба времени тм показывает, что при / < тм успевает установить-
ся постоянная дрейфовая скорость электрона и закон Ома справедлив, При
обратном знаке неравенства это неверно. Оценка т по известным с, и,
показывает (см. следующую задачу), что неравенство тм > т выполняется в
плохих проводниках (полупроводниках) и нс выполняется в хороших (ме-
таллах). Это можно также видеть непосредственно из уравнения Максвелла
rolH = *£j + lf- = ^E + 4^.
Если характерное время изменения поля Е есть т (для периодических про-
цессов это 1/о>), то отношение двух последних членов есть — т. Таким об-
разом, |-^| =— 1^—1. Если т»тм (сотм <к 1), то можно пренебречь то-
( ею ) тм ^сотм^
ком смещения и вещество ведет себя как проводник. Прнт«:тм (<отм» 1)
оно ведет себя как диэлектрик,
. Г (a>n/co)2 I
3.68! е(со)=е 1———- , где е — статическая диэлектрическая
[ 1 -H/(wt)J
проницаемость.
Решение. Чтобы ввести комплексную диэлектрическую проницае-
мость £(а>), надо, имея в виду запись электромагнитной волны в виде
Е = Eq exp — со/) ], переписать уравнение Максвелла в следующем
виде:
rot Н = — — + ~ I = .
с dt с J с dt
С учетом материальных уравнений D = еЕ и j = oE, выражение для ди-
электрической проницаемости проводящей среды принимает вид
е (со) = е +1
со
где е — эффективная диэлектрическая проницаемость, обусловленная свя-
занными зарядами (см. 3.62). Здесь е считается константой, что справед-
ливо вдали от областей аномальной дисперсии и частот (линий) поглощения
для связанных электронов. Из уравнения движения электрона в вязкой среде
^•v=-/£v + eE
т
получаем выражение для проводимости
. , , о0
° (")=-:---;—. где
• -1 —1О)Т
е hi
in
Окончательно.
е(ш)=(='-Н^° =
4япе т
гдеш* = ^
»1*ш(1 —/сот)
408
II,, )|UCU0|Wll0lUloro еИУГЦоЖ0||||Ч ,
^Ui,i............
e" Ljjy
npu 1КЖ<™upwl0MJlf4ll,n I. Й' ₽***
„ »!>,»»(»>« (мши) cW|OTm, ’We ’Wwwnroj ffr
,BlW1nn« »ш. Мрачим дч, a»w
ne.'ni'iutiy i можно оцеищь на дапнму • г‘
<«•*«• "I....... -»=2- ю1"сч .„оTOTOTOTW1l;??*'’•*-
,„(» I |ч.шл'ш>и'Ич| С <»Ч1.Щ,|М МШ1ст|, '“"«А, уиянв
w’:' “ ~ гао А' * “«=-i £э«^
.и , 1 1
решение II среде полисное числа
«z;,,;» х’м........................... *-
2 ' 1
С(Ш) = | -^. -
ВЫЧИСЛИМ II Ui.lMi HII) к» ‘kU’IOiy
,.де „ = 2!^,
Тада , , ,
ч e'(Wn) . ,
'Up 3"’ Л3»(. '
Подсмиопкп ЧПГ.Ю1Ч.1Х значений ;|ает(Ор—|,64.!0|Йс‘->и = -Тс —
=4,2-10’5 с-1 н
Пусгь .-i„ — амилшуда хюктромагцнтиой волны на входе в цлйку
Рассматривая только затухающее решение, здрщцем ,1( ч-
= ЛоеМ»‘-«''> = Лое-'»' exp - “>3
Из выходе из титенки интенсивность волны по условию УМ§11Ь]ЙЙТ₽Я"В $-~,2й
раз.Таким образом, ,
1'Р<Л..,М" = ехр [-2 = а"1 1 '1 ‘ ‘ ,U1";
1Ф(о,о|2 I ’ °/ 1 *
откуда следует ответ: „
. с hi а Х1па. _
—r~i i--------Т7> 7* Зсоп-о? =?Ь..'
2 Шр-Ш ................................;‘"1'4'l'“i,u
Ms-
я
«Ж Каю следует из-решения задачи 3.6&, при не слишком- высоких «а
*" = 4rto/co- У Маллоя 4^1^^, и ,
*утйГйСй; области частот о" -4lt^r и следовательно, токПрозода.
й-(ЯЯ!й? ЗначйтелЬнС превышает тбк смешения. Тогда комплексное- волновое
ршй^ &[/г (!+,-).
^^//(ЙГсйй)1’^ —- скйновая глубина проникновения (толщина- скин-
ё^-Жя*тдейЖ?^йной ^стоте б«2- ИГ4 си.
; ‘ ^й&ТйИ,- чГО мы рассматриваем здесь- нормальный скин-эффект, когда
глубина ск'ин-слбЯ! много меньше длины свободного пробега. В этом случае
СббТйбШёяйё: Между' плотностью тока и полем носит локальный характер-
гйЮТйббтЫ тока-- ji в- данной точке г on ределяется полем Е в этой же точке. С
рбСтбИчастоты'указанное неравенство нарушится в металлах ещевобласти
когда <y=r-consf. У" полупроводников же с ростом частоты сначала
нарушаете# условие сот «П.
З-ЖРешТе-няе.-Уравнение движения электрона в вязкой среде:
m*v’='a£+ (е/с) [vHj — (m7r)v,
Н||д E-LH.
Ищем'только- среднюю скорость дрейфа v, опуская вращение вокруг на-
правления не дающее вклада в средний поток; для этого полагаем? = б
'Кяда „ „
м ₽ ____ .xl? F _
VfTWrlM, . Wclbr . .
4-= , / jу = ° = °-
Г-КбстУ J J+tocT)2
гд'СО5=?^Ч'1;/?п-в' —-удельная-проводимость при И — О, «>с = еН1{т*с} —-цик--
лотрбнная'чйстота.
Пфи'-£у=-б'продольная составляющая плотности тока равна
4 =----
Г+(й>стГ
Уменьшение Тока в этом" направлении с ростом И определяет магнитосбп--
рстяженж- Составляющая- плотности тока в перпендикулярном- направле-
ж^равй^
.! . 0>сТ «
1'^-^—---------7^
эСсйитОвсКОй^ Й’аблЮдейИя' в этих условиях производятся в диске-
^фбйнС’.- • :
'^..^^Тй^ё^ТйК.рдйлы нормали отсутствует (/ = 0), поэтому холловское
пода.Йу,-^-'со>,-1г^Й?’^-^'£Х^.ч. Е данной' случае- магнитосопротивлейиеютсуту'
бгеустГх ПрйчинЖ ^тогб’ сострит & Tow, что ток течет не только под действие^-
йнеШнбгб пол# ^,- Hpi И под!действием" холловского поля'Е . В сильных:по'^
дях? „
’ гда “й «ИКЛ0^н,’“чЛс*
еЙрйа) к-ривой - лореицева.
,, \.>!г -
л- nklTd
зЛЗ' х'ТПг^м“в,'М.
3.74- Полагая, что искомая температура ?«д
r s *70 к' м“ь: 5=зл 1 os см/с,
Й = З^К>.
получим
= 1-6-1О1оси/с,
3.75.tJ5s4ooeq_c2.l0-16
112я 1 п
тезпалохених> о независимых
Как показано в
2 -
дуй опенку.
см . Приведенный ответ
'вет соответствует
колебаниях отдел кии у
имельных атомов, т. е. что
задаче 2.74 ппк т х,д
при Г >6 это дает правиль.
2лЧ-г/хГир
3-76- о = —------1 -10-0 Ом-см.
Агг.-а^о <з
3.77. А = . = 4,6-10-“ см.
3.7S s = 15 У,— м 3.3-10-5 см/с.
Решение. Пусть 3 - амплитуда колебаний атомов. Тогда сила воз-
зрашаяшал атом а отложение равновесия,/ = -с^, где с - коэффициент
упругости. При колебаниях атома относительно положения равновесия на
сзеднмю пеяешигаАоную энергию таких колебаний приходится энергия
t6r.'i г. е.
gg~ __ k&F
~г
отхуда а = Если стержень имеет сечение S, то натяжение (давление),
извиваемое з стержне при прохождении звуковой волны,
= ^'Чшп = а^,!пов’
— поверхностная плотность атомов, оцениваемая как l/о2; Следова-
тельно,
..4
С другой стороны, согласно закону Гука натяжение пропорционально от-
нссйтельному ухтинению стержня
f F
S£-E'~
Приравнивая оба выражения, получим , г а
а Еа. *•
-4>
Скорость звука в стержне определяется по известной формуле
_ ' Р / opf
По условию задачи V — 16-10”<2‘. Тогда
25 Д,—— 3.3- 1СР см/с.
И2 g t/'/Jbt’F э л_2 , _ п
3-7К,"Т=7'ЖГ= г~йД|ом’
(ДЛЯ <2 = 3 А).
Решение. Характерное время i. через которое пластинка «лочувствуеь
изменение температуры, оценивается как ii2/D. где D — коэффициент диф.
фузии. Это время также известно, как время «выравнивания»
Коэффициент диффузии есть отношение коэффициентов теплопроводно,
сти кристалла >: к его теплоемкости С. При комнатных температурах теп-
лоемкость кристалла практически равна решеточной Срещ и согласно закону
Дюлонга—Пти С = Среш = ЗпкъТ. где п — плотность атомов. Таким образом
D ~
Коэффициент теплопроводности >: для переноса тепла в газе со средней
скоростью частиц г и длиной свободного пробега Л равен
где С), — теплоемкость единицы объема газа. При комнатных температурах
в большинстве металлов почти весь тепловой поток переносят электроны. В
применении к электронному газу в качестве ’ разумно взять vF, а
Cv = Счл = nXg ~ х Тогда коэффициент электронной теплопро-
msvy
водности
х=£дкл.
3mcvy
Таким образом, коэффициент диффузии
откуда искомое время
где (Ззт2)]/-’ — 10s см/с (рассчитано для постоянной решетки
<2—ЗА).
3.80. 1 — Р %. 90 с, где R — универсальная газовая постоянная, а р —
хр
молярная масса меди
412
j.31-
4 3 P ' 3 Р”рт. Так как p и »г постоянны, то
7т “б“ои‘к °К К" Жрт*Й
Б зо.кпи CF. Когда происходит обмен энергией
' ОМОВ гения, должны быть свободны все уровни, на
илы 1ак как энергетический интервал свободных
г. двух частии^ероятность найти два свободных
"" 'орТ) . а гем самым время релаксации,
Н'ОГ'Д.гьно вероятности переходов, обратно цронор-
j Р_:гс--'О' о.-м теомоэлекгронную эмиссию с поверхности ме-
• < .l--.- з ’с,- тронов из металла. Поскольку максимальная при
,-с.; c-ooccib испарения определяется равенством потоков
с . • м .. л п = а.-у ? м ।! из вакуума в металл, то вычислим послед-
:^г сдч’'с- - - з.'ск: роков в металле и в вакууме находятся в равнове-
- Поз ому и.-, химические потенциалы должны быть одинако-
с_ .. г.‘ с-; уровень отсчета энергии потенциальную энергию
-с '• С-: и га i ь ее нулем (1/мет = 0), то [/вак = Атц.
. о_с "-Ла плотности электронов в вакууме запишем
/ip) ijip2 dp = V J ®(£) /(e) di.
— плотность числа состояний, /(e) -
новую переменную е' = е- (A + nh получаем
/Fi/a'
чсская энергия эдектрона. отсчитываемая от
.^т !А~ 1 эВ, 0,025 эВ), то
рзк - X2/3 2 ‘ \ ХБ
Нормальная компонента плотности тока
(|г67-)3'2.
413
гдс z = ln у- — число ударов о единицу площади поверхности металла в
единицу времени, К — средняя скорость электронов в вакууме. Поскольку
мы заменили фермиевскую функцию распределения больцмановской, то
7= . Тогда
V Л7Ие
/ = (кБТ)гсхр
2л Л
3.84. Л(Е') = Л-еЦеЕ-. ЦТ. Е) = (*,/)2 охр Iexp tS'l
2л Л (, ‘вЦ \ къТ J
3.85. Ж =4*£ + ^(12л2)2«| =-10,1эВ.
пр |_*о 2m a J
3.86. s = oF = Ц- (6л2)1/3 = 1'85' '°5 см/с' Экмри-
V ЗА/:>т 111 а ’
ментальное значение скорости звука в направлении [ 100 ]: 5 = 1,82’ 105 см/с.
3.87. (здесь С = Болес грубая оценка: ес-
См 2?7 3 /ivj-
ли полагать, что С.1Ч^ —, то: ^и" = 30.
3.88. pfo ? г. = 3-10~4 Ом-см.
4е и
3.89. Из рис. 77 в условии задачи видно, что между двумя дефектами име-
ется примерно 6 интерференционных максимумов, чго соответствует 6 полу-
волнам. Поэтому длина волны фермиевских электронов Х=14Д, т. е.
кГ = — — 4,5-107 см-1. Так как kv = 72лп, гоп = — ^ 3 -1014 см-2.
F X 1 2л
3.90! Ткоп = 8 мК.
Решение. Рассчитаем температуру Ферми гелия-3:
улеразб = _У_ рл РЗ'4 = 2.05 К.
2шз«Б \ Из )
После 19-кратного разбавления гелия-3 гслием-4
> 2 ( \ 2/3
ТР.аз6= (3п2,^,6)2/3 ---- 3л2Р1М = 0,33 К.
2т3*Б 3 2т3*Б 20щ)
где оценку концентрации 3Не в растворе произвели по очевидному соотно-
шению
^разб _ Р^л
3 20д4 '
Поскольку Т = 0,05 К « 0,33 К, то в указанной области температур
жидкий гелий (3Не) ведет себя во многих отношениях как вырожденный
газ ферми-частиц (в отличие от 4Не).
414
Йфф1'1'.1 ............. I'PMIlPPBlJBb!
MSM Щ1П11Н ri‘ Л0 - T /Й = p tif. Рирадгаа^г"” iefB’®e обрати--
71 ra.Mpiirpsntfle | миИйепрчтаг
...............................
l^'!87?’M1?’197 JPL.
' K!mW -
‘'“'Й = 7т£Ь7’=?<)’И7Г= 10-7JIL
'’ К-адда'
н^тко nopWS08 эда(!1Вйг П0ИИ 3T8 п
“,Т" ',,1'iH|,4fi Я ^l^en BMSWET„
<lh.
f]i)<.*hi).ibKy 5ц ^5^, 10 изменением Э|<тропИИ ‘4Hg пренебрегаем. В зди^=
naHPiecbOM обратном процессе эптррпия lip рзменяртдя (AS = Q), прэудмУ
t-/>a»n _ yHtfjwjQ — t _ ^ .? =0 т e
л3 л3 ~m3/K0]i~ ^иерйб цач- и’ '• -е-
Z/|; LI р
,.paS
7\« = -,-jias т - S *iK’
3,01, Р иэоЕсрмическом проиесре р = 7’
=2,6Н06эрг<Р»!,ТМ‘Жрб1ЯЯИ?дачиЗ,9РЬ
3,021
Ре ш е и и е. л 4 I0'16 см
Обозначим радиус эдемснмрирр ячейвд дери «. ЙМИ Я ердав
pagcfoaoife между :McKipo|iaMii, тр 4яЛ?/3® А ПоеКРЛВД ОУММОрИЧЙ ?i*~
ода элсмёнтдриой ячейки криртдала равен ИУЛ19 »-вВД MUHW^W*
iiojTii, тр мы имеем праржителаир рвражнпый шар,» к=вгре
подами вдои, При омоцеийи
ёТВУРТ с|р|а, gpipgH<e|l|ie /('Iя котррсй МР/ЛРО,ЩфУфШЭ > -.л-..
й<!
F = ^r. Под дейс.висм э,ой силы мскгрои совсршаег гармония», ». «
-®3 6
чебання с часготой со = Сооюс.ссвующая аыидигуда нулевых кд
4 т > I— [1
дебаний находится из условия °^3 23 = Из усл,
27А2 _ 27гь
бия устойчивости А0<аа получаем «>^Г1 ^А- '* гь - боров. j
ский радиус. Для концен,рацш1 э.юнгропов получаем ’
< 4-1016 см-3.
3.93! <8С = - (W + + | Ч-> = - 'б. 16 оВ О' Уровня вакуума, где 8р =
= Д&2 = 7 эВ. |
Решение. Считая, чго энергия связи обусловлена исключи1ельно из-
менением энергии электронов, мы получим, чю опер! ия связи на один элек-
! ром cociaB.iHci 3.26 эВ Дсйо витально,
Sc„ = 1±A=3.26oB
Для э.1еме1иов первой группы зона про-
ВОДИМОС1И заполнена наполовину. Поэтому
энергия Ферми Ер = A<S/2 = 7 эВ. Средняя
энер!ия на один элем рои в модели свобод-
ных электронов составляй 4 Ер >см. задачу
3.3') Разница между энергией электрона в
атоме и уровнем средней энергии электро-
на в зоне проводимое!и (рис. 227) как раз
и равна энер! ни связи Таким образом, дно
зоны проводимости расположено на глубине <8С — — + <SC1) + =
= —(7,7 + 3,26-г 4,2) = —15,16 эВ oi уровня вакуума. Для простоты вы-
числений в условии задачи задан квадратичным закон дисперсии (модель
свободных электронов). В го же время схема ионной структуры соответст-
вует модели сильной связи (периодический закон дисперсии). Указанное
упрощение незначительно изменяем числовой ответ
3.94. &с = — [|<B4s| +‘9Cd + t£f| = “6.55 эВ, где £t.- = -т(6я2)2/3 =
V 5 / 2тса"
= 2,12эВ.
3.95. 0,126, где ег =-А/бя2)2/3 = 3,23 эВ, п
х 312 2теД
3.96 ! Решение. Поскольку элементы первой группы имеют валент-
ность равную единице, то в первой зоне Бриллюэна занята ровно половина
состояний. В силу симметричного вида спектра половинное заполнение со-
ответствует Ер = 0, откуда получаем уравнение границ ферми-поверхности:
Ион + свободный электрон
hv - энергия ионизации атома
Г Атом
Рис. 227
416
м
С - 2 j 0,52- IO*4 cm4,
Д.ч.ч обьсмноисн i рироилнной
peiuciKii первая эона Бриллюэ-
na предоuh’-hici собой ромби-
ческий додекаэдр -• ijp.ujii.-н,-
пый 12-1 patiniiK. cocioiuuiui из
pOMVOlt. При .MOM tioncpxiiocib
Ферми ППИС.ИМ « .чо< мною-
rpaHHUK (рис. 228) Д in данно-
iv аакона дисперсии скороен.
o.iCKipoiiou максимальна и цен-
ipe каждою кпалр.ыл. л на ре-
брах oopaiuacic'i п нуль (ем.
задачу 3 35) Опилим, чю в
приближения свободных элскг-
роноа фермн поперхносп- на-
грия должна бы1ь сферой. Экс-
периментальные исс ле лопания,
например, при помощи пиклогроннонз резонанса, показывают, чго в на-
трии она очень близка к сфере, а эффскипшая масса электрона почти рав-
на массе свободною электрона.
3.97 ? Решение .Четко пилен., что в задаче 3.35 существует 4 вектора
несгикга с длинами {Q| — V2 - и направленным вдоль биссектрис коорди-
натных углей, а в ^крмн-ктбе cyuiccinyei 6 векторов нссгипга с длинами
[Q[ =г 2 * и направленными вдоль грех осей координат. Указанные ептуа-
а
инн носят название по.шо/о iiecutura.
3.98 ? Решение Для проводящих тел эффективная диэлектрическая
проницаемость имеет вил (см. задачу 3.68) Е-^фф = + i -—’^с ИРОВО'
димоегь л(<о) =_____. л0 = = еЖ — концентрация носителей, т —
I — нот щ‘
время релаксации импульса (время свободного пробега). Показатель прелом-
ления среды
квадрат плазменной частоты.
где =
4я.У<Г
£(лт’
417
ПР УМЗДНЮ гимн да = W = Ш Поскольку <« » (. т„ вд
цриетади чнркн »“ ~ *1““!'“ отражения, естествен»,
ДОСТЩДОГОЯ ПрН Н = П ФТКУДД
ф<4 +|) =«^- Т-о. Л' = ^^^ = МЧ0%м-з,
V I г?у ty>i 4w
Конечно, « является комплексной величиной и = н0 4- ги ц поэтому на-
бдк?Д30ТСЯ именно МИНИМУМ отражения. Если бы мы имели диэлектрик, то
, >2
К= МД-1 . т. к, и=о. Поэтому ори н0= I мм имели бы R = 0. В общем
^Й+1/ ,
Ого — 1)“ + х" _,
СДУЧДе проводящей среды Д =----=>-2* u ПРИ 'го ~ мы имеем минимуц,
(«о + 1)' + х
| 4t Электронм в полупроводниках
и низкоразмерных системах1 )
4,1Hdh«tS^«3,5-10“5cm,
’ fywoe
Ре щец не- При помещении полупроводника в однородное электрическое
подо» нормальное к поверхности, вблизи нее происходит перераспределение
элек.ТРОНов и возникает неоднородная объемная плотность заряда
р(г) =е6л = е!п(г) - н0],
Это приводит К возникновению неоднородного потенциала <р(г), опреде-
ляемого уравнением Пуассона
V34>(r) s A^Jr) = - Р(Г) = - 1«(Г) - п01.
Для невырожденного электронного газа, подчиняющегося распределению,
Бодьдмаца можно записать
п(г) =поехр^— е>0.
Считая, что внешнее поле слабо возмущает равновесное распределение
эдектроцод, т-. е, е<р(г) можно записать.
v4>w=^>p«.
ЙО ВДОК задачах эдого раздела энергия электронов отсчитывается от дна зоны
НРОЙРДНМОЩИ,
Направив ось х вглубь полупроводника нормально к его
тая внешнее поле однородным, получим
поверхности и счи-
d2<p(x) _ 4те2л0
решение этого уравнения, затухающее вглубь полупроводника,
где 1DH = еГ
* 4ле hq
— радиус экранирования Дебая—Хюккеля или дебаевская длина экраниро-
вания, а <р0 потенциал на поверхности полупроводника. Подстановка чис-
ловых значений дает ZDH я» 5-10-5 см.
Так как Е(х) — — то внешнее поле спадает вглубь по тому же закону
Е(х) — EGe~x!l^>4, где Ео = — поле на поверхности.
£dh
Надо также учесть наличие в невырожденном (собственном) полупро-
воднике дырок с концентрацией = nQ (соотношение электронейтрально-
сти), и тогда _______
^DH —
= 3,5-10 5 см.
Если рассматривать электроны в полупроводнике как электронную ком-
поненту плазмы, то можно получить выражение для дебаевской длины эк-
ранирования иначе. Как известно, в этом случае существуют собственные
7 4ле2по ~
колебания электронов с частотой со2 =----. В невырожденном случае ха-
рактерная скорость электронов п0 — <в вырожденном vo“ у—) Зная
—, можно оценить характерный пространственный
временной масштаб т
масштаб
V0
? = д!___°— — в невырожденном случае;
’ 4лепо
4.2. S.
t2 £П>
/м*
I ~ Д| F - — в вырожденном случае.
TF ’ 4лЛ0
h±Ry= - Д-6,9-10-4эВ;
» г2 II
12-6,5-10-6
см.
• = *1- М„ = ml + ml. где И = _ приве’
Ж' х (X? ’ m+ + m-
денная масса.
4.3. S..
. - £ -о?. 1,07-1016 см'
пов ЪхкъТ1
419
Решение. Если внешнее электрическое поле Е перпендм*
верхности пластинки, то поле Епл внутри пластинки g /УЛяРаок^
(pln = D2n — граничное условие на вектор электрической
г. е. е£пл Под воздействием электрического поля электр^^*11 °!'
смещаться к одной из поверхностей пластинки. Кроме этого об' ‘
электронов возникает встречный диффузионный, связанный сЬ!ЧНОГОпЧ
стиц на одной из поверхностей пластинки. Этот поток в co
/Ъ .тпоотола VOV оГ dll ПТ1- п ' ° еоответствиис
коном Фика записывается как eD где D ~ коэффшш^ С3}
dx ЧтдиФфузии
ряженной частицы (считаем, что все переменные величины
ко вдоль оса Ох, направленной вглубь полупроводника ьМеНЯЮГс?Ч
поверхности). Далее и везде считаем е>0. Условием равно ₽Ма^й° *95
отсутствие в системе макроскопических потоков, т. е есия Явля^’ч
/ = ^пл + ~х - О
и, следовательно, в пластинке устанавливается неоднородное
электронов. Д£|С|,Рсд.,;т
Проводимость полупроводника о = епр, где р _ подвижное 1
связанная с коэффициентом диффузии формулой Эйнштейн / SXaf^
равновесного случая): (для слабое
кВТ'
Подставив это в первое уравнение, получим
-neEutl = кБт £1.
Из уравнения Пуассона л
div r^ 4лр _4ле
следует, что
а ^Епл
—ле = --------—.
4л dx
Перемножая два уравнения, получаем дифференциальное уравнение о
решение которого и дает искомую концентрацию электронов внутри под-
проводника вблизи его поверхности
%в = ДНт = = 1.07-1016 см-3.
П0Б 8^бТ 8^бП
«ц *з б ’
45. я=1«Х = 9,2-10»см-3.
Э4» I в3 , ,
4.6! л_ — (р, < Qy где стаТиетический фактор зоны проводит
. _ <2irmltE7-)3/2 ,
сти — 2 —.——L. Выражение для <2- можно переписать'-HW'.
(2лй) '
Удобной дл8 расчетов g_= ад. 1()1,
,420 -
РОШОЦНе. в ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ собствен/-,™
г = о к в доне проводимости нет J5SZ Пполупроводника "Р”
цпратары часть электронов из валентной зовы папаха ’ Пр "рвчщении тем'
f га. на 229 поражена функц4~^^^^^
ъ ехр
7(e) =-----
ехр
Это есть воровтиооть заполнения электронных состояний в полупроводнике
при т > о. Валентная зона почти полностью заполнена, а в зоне проводимости
электронов мало, и они представляют собой
Практически невырожденный идеальный газ.
Если в зоне проводимости содержится N
электронов, то
JV= $ 7(*) <ZN(fc),
где 7(А-) — вероятность заполнения состояния с
каазиимпульсом к> clty(Jc) — число возможных
электронных состояний, приходящихся на ин-
ev Ц 0 е
Рис. 229
тервал волновых чисел от к до к + elk- Оно вычисляется по известной формуле
dNIk'i = 2 У*.
где v — объем полупроводника. При подсчете N лучше перейти к энергиям
Пределы интегрирования при этом будут [О, Ж], где W — ширина зоны про-
водимости. Для большинства полупроводников W s 1 эВ, и при комнатной
температуре ехр (—W/kBT) <к 1. Поэтому верхний предел в интеграле мож-
но заменить на оо.
„ = N = 7 ^e-dV dt = 2 (2»,ДвП^ epJkcT
V (2лЙ)3 J (2лй)
Полученный результат иногда записывают и так:
п =2 e^ksTm^l2 = Q
\2лН2)
ГДе Q_ называется статическим фактором зоны проводимости.
Совершенно аналогично можно получить концентрацию п+ дырок в ва-
лентной зоце (потолок валентной зоны находиться при £ = — Д ):
-д
п+ = $ <р(£)
т 1 руп — веооятность появле-
где ф(ф) =(-/(£) = !--------/£_^ — ~ ехр кБт
еЧ>Щг|+1„, V
цид дырки (отсутствие электрода) на уровне с энергией е.
421
___________ f'.
N,.W = 'MA + e) -
V2l Л
_ плотность состояний в валентной зоне. Вычисляя интеграл, .rug^
3/2 ' 'Г'З*
»+=2йй
где g - статистический фактор валентной зоны. ' J-
4.7. п+п_ = е+й_ Г*»Г = "/ где п+ = л_ = и, - концентра^
телей в полупроводнике без примесей (собственном полупроводщ^',
Q - статфакторы валентной зоны и зоны проводимости, Aoogg
запрещенной зоны. s,. 'i
£4 nl- J'
Таким образом при Т — 0, а также при ш_ — т\ и Т^О, уровень_химод.'
тенциала (уровень Ферми) находится посередине запрещенной зоны
3/2
п+1 т+\
4.8. а =--------~—т---------та-~0,04.
”+1 + л+2 m+i + m+2
4.9. n_ = lnd+ ^-/1^ + М/= 6-Ю17 см 3;
« = - 1 п 4- 1/1^ 4- ^ — = 0,67 105 см"3.
+ 2 а * 4 ° «а
4.10! Решение. При не слишком высоких температурах период
электронов осуществляются главным образом с донорных уровней в'зощ
Проводимости.
пЛТ} ='!+(П +'id+(n,
где п% (Г) — концентрация ионизованных, т. е. потерявших электром»
ров. Последняя находится следующим образом:
4 “"в [!-/(£. П1=---------
I ®d+M
1+ехР
Здесь энергия донорного уровня <S = —<Sd, где <£d > 0. Используя резулмМ |
задачи 4.6, получаем г
2-ехр (^) - е+екр (- +-------'S )
1+ехр^| »
Обозначив = х. получаем уравнение
х3 + x2e~eJV — i-ej'k,T । 2+ -.it t'i 2+ (
+oZe ‘ Г~оГехр I~~K5m£
1^22 лЯЕ
'W",KO низкая, 4T0«l>t т т
1 елок I роды „ Эд|е “ 11 Тогда переходы «за-
1 '‘У'""0 можно пре,,2° ос 1" имеют примесное про-
То,д„ членами, „р0,10рХ
, ’ „ое уравденне
Q-
' -..ем нро,,^”^"^.....-'«Условна оаек-
uciliu, М“) "о сравнению с „„(ту ре.
26\
exp
(?-
V С Д|,/ / т 2 11 q уровень хнмпотенциала
pncu.vu.Kc nocpcnu,. между зонам,, проводимости „
'"ерсрда. к донорам), „ „ этой облас,„ гемнеравур mb, Z
О'1 ........°'' .'aiiojilcinic .донорных уровней алсктронамн.
С ............... K'Miiepaiypbi, хонда -^1«1ехр
А'бТГ
. "d гП г )1,1
•' - —. 1 аким образом, р = ккТ In —с.< 0, и в силу
ioio. чю lii -|- In ;i < -~©d, -г. e. видно, что хнмпотепцмал при
повышении icMiicpii lypm опускасюя ниже донорного уровня, что физически
о.я 1.Ш.1С। ои\ с lonicHitc донорного уровня — псе электроны с доноров уходят в
лону iipoiiojiiMociii: л_(7') = Q_-.v = nd. Из закона действующих масс (или
-правила рычша-) /1(н_ — nj найдем
_ л?(7')
При дальнейшем повышении температуры уровень химического потен-
циала оиускашся вглубь запрещенной зоны и величина х = -» 0. На-
помним 1акжс, чю для полупроводников с шириной запрещенной зоны
A I эВ при любых разумных температурах C“^V« ]. В этом случае в
исходном кубическом уравнении можно отбросить х но сравнению с
। Д— <£>д]
.г2д-<,«в', ,ак как Кроме того, ec;mad»Q+exp 1“-^]' полу-
ним уравнение
V2_T±V_ —<rijf = o,
А Q_ G- ”
423
_ Пй х л / Пй _1_ У+ { А \
решение которого есть х - -t- -|" gyexP I “ 1
Если А»2±е.р (^. т. е. »^-e+exP(^M(J
(что соответствует не очень высоким температурам), тол fld . I
а_Ия»»ч
дает с предыдущим случаем.
В обратном предельном случае, т. е. при высоких температуру
P=-| + |V|n;;
п_ (7) = Q^x = п, (Г). и ми приходим к слутаю беспримесного лолупр,’'
ника.
Итак, для полупроводника с примесью только одного типа выделяю
три характерные температурные зависимости концентрации носителей1"
1) «низкие» температуры Т -* 0 п_ (Т) = ехр - jM.
\ 2AeT j’
2) «средние» температуры къТ г <£d п_ (Т) = пй — const;
3) «высокие» температуры А » к-ъТ » £а:
"ХП = »гт = '/q^qJt) дар
Пренебрегая слабой степенной зависимостью Q_ (Т) по сравнению с экс-
понентой, получаем график In п_ (Г) = f , изображенный на рис. 230
где обозначены углы такие, что tg a = — и tg — ——
2кб 2Ьб
424
^0
Site/
0,92 Вт.
-0.329-ю^е^з пе n _
привезенная мас-
са о тех трона н дырки-, ед +.?+ _ . о
ь ~ Л(Ь- откуда £j7 s Д(§
= 0.015 эВ;
= 0.025 эВ.
4ЛЗ- '1“®поа = 0,0128 эВ,
4.(4. Согласно условию задачи
,(-а, ,('а« 1, где к и к' - волновые вектооы ",иеге" '«Я.тгаиим, 1 с
постоянная решетки. Так как для ктрона до и после рассеяния.
Ka«Кто закон сохранения импульса ™’нномлн“ых фононов также
Усол у между р и К определяется ф“мулой k=V±K
COS <Р
(2А-)’
где верхний знак отвечает испусканию, а нижний - вощению ф.нона
4.15. рг = Й (2juisy'2=8,32-10-21i-CM/c.
4.16. Л =
см == 14,5 мкм.
4.17. 4’Г=-2Л'БГ1п-2 = о,77эВ.
4лз:
му
Выпрямление начнет исчезать при
ехр ”^т5?Ь0',об;
1п
ъ 490 К.
2Аб
Решение, Оценим величину концентрации собственных носителей в
материале диода (она будет одна и та же как в полупроводнике я — типа.
так и р — типа) при 20 °C
.3/2
„ =2 e-iW) «3,34-1012 смЧ
' I, 21й2 I
Таким образом, видно, что при комнатной температуре и ,« п„р. и это означа-
ет, что по обо стороны (р - л)перехода основными носителями являются при-
меси (доноры в полупроводнике п-типа и акцепторы в полупроводнике р-ти-
па). Концентрации неосновных носителей (дырок в „-области н электронов в
р-области) ,
в-дМБп
425
Ток насыщение диода возникает при запорной HanpiDC Я'
дат основных носителей на границе (р тОлтерехода йозаикае
вый барьер,, а дая неосновных носителей — нет. Этот ток опрм””®®!».
изведатием концентрации неосновных носителей п на их подв
каю по условию задачи время жизни неосновных носителей ICRH°^Ta;
подвижности не зависит от температуры, то ’ а ЗНачИгй!)а
Л(7"АТ) _Д(Г-АТ) _ Л _ ДУЛ3 д
кСП ( Т / ’ [ kgT
Очевидно,, что условием исчезновения эффекта выпрямп
равенство токов основных и неосновных носителей, т е
, * Л3/2 *
Это1 транцеядеятное уравнение, но главная зависимость от т{
рьг — в экспоненте. Поэтому вне показателя экспоненты можно
Г* на Г, и тогда искомое
температу,
:°ч вменив
3/2
In
490 К.
ПОДВИЖНОСТИ
у« &
2£Б
( Дта- сравнения приведем точное решение: Т = 454 К).
4.»./,=^= 1,29 Мм2.
4.20. a» 0,02 ОкНсм"1.
З^Б7
Указание.. Воспользоваться формулой Эйнштейна для
носителей р. =-^-, где D — коэффициент диффузии.
ле7________________
«1-'эф*='1/^=:!0-23 «•
4.22. Концентрацию доноров можно найти из уравнения
- а=г Па+Гда + 4п?(П11Я
»d+ C4d + 4n?(To)l1Я’
® 1.18-10-11 см-з. п.(Го) х 1>4.10а см-3.
2/Д-(7г)'
' 4 23 ‘
с = =1.17-104 см-3 » 0,013'мй^?'.
Г-д ^ЙовоДимосгь.л-7ипа, концситрдция электронов ''
/'Й3е_ехр-=8,34.. ю4см-3. ' йЙ
,ГёР^
V c iii. с н и с- Пун vc.WAC’jWttjpe Т — О К электроны стремятся занять на-
[Uijninc энергет ические состояния. Поскольку в Валенсией зоне все состо-
1 тдкпы, ио имеются свободные состояния на акцепторах, то электро-
Я j допоров перейдут туда. В результате образуются положительно и отри-
" ' едино 'заряженный ноны. При температурах, больше нуля, но таких, что
’V' < К Г А час1Ь электронов с примесных уровней перейдет в зону про-
тести. *' собственные дырки в валентной зоне будут отсутствовать. В
"W(,U ««тс условно элскгронсйтрадыюсти примет вид:
;)11?м сл) > j
+ 'lAu + 2,tAu = "sir
i-де а — концентрация электронов в зоне проводимости. н^“ — концентра-
ция аюмов золота, захвативших один электрон (на уровень с энергией
j _ д £ ।), н д“ — захвативших два электрона (один на уровень с энергией
__ д другой на уровень с энергией — Д + &г). При этом, конечно, эти
атомы нужно рассматривать как, различные
f,Att ,lM = ,lAir
Из этих уравнений получаем:
Вероятность заполнения электроном уровня с энергией — Д + $2
Если HSb</)All, то уровень Ан2’ с энергией -Д + <92 заполнить нечем.
, как n = Q_fiV-lker, то обозначив ,х = еАг, получаем уравнение
Q_x-HiAu--------f A_^-”sb илн'
г+ехР [“ХП
откуда
HSb~~flAu
откуда ц=—А + n 2nAu-'iSb
427
При nSb = 1,5 »AU p = ~ A + «2 + ln 1 - - Л + «2 = -0,2 эВ, t
уровень Ферми совпадает с уровнем (-А + iS2) • Заметим, что наще '1
положение о полной занятости первого уровня (-Л+S,) оправдалоа. *
[а. — (—Д + <§i) — &2 ~ ~ 0’35 ЭВ -®> ~ 0,0066 эВ.
Так как -<£3 - ц Д ~ ~ ^3 19 эВ ^Б7’ то Уровень доноров пуст
а первый уровень (с энергией — Д -Ь <£х) заполнен полностью. ПолуПровод
ник является полупроводником n-типа, так как процесс перехода электпоя
со второго уровня (-Д + <S2) в зону проводимости намного более вероятие!
процесса захвата электрона из валентной зоны на второй уровень и образо-
вания там дырки:
Концентрация электронов в зоне проводимости
= 2_ exp « 8,3 • Ю4 см-3.
Заметим, что полупроводник с неравновесными концентрациями приме-
сей обоих типов называется частично компенсированным.
Приведем другое решение. Вероятность заполнения первого уровня (с
энергией — Д + cSp равна I, а уровня с энергией — Д + <§2
/(- Д + <S2) = =------Г1----------Г-
Л Au f—Д + йд—[X]
Из закона сохранения числа электронов и «числа акцепторов» при уело-
ВИИ nJ;:
ггАч 2йди = «Sbl
|«Ли + «а; = "Аи-
получаем совместно с определением /(—Д 4- S2)
Х428
4.29. 2.2-1 о» «. сгсэ * 2.4-10-4см/,
4.30. 10,3 кОм.
А =4
4.31*
’ ‘s "^•-1.0-10осм_<
Решение. Лебройлевская лии= „
= 2^,, гх = (сч. зад““ пРОЮД„ад
волновод. Если длина волны электрона / > 2d * Работает как
преодолеть. Условие прохождения " ’ Г° электР°ны не могут его
2d
Приложение к <-бере)ам» ББ нанпажрииа tz ...
разности г.оннешраиий Ди «л и> следствие3"^ '10ЯБление на них
и s v и, w следствие, возникновение диффу-
зионного тока.
Разнос-, ь концентраций зычис.тим. используя опредев
сосюяний на Минину обима Э(г) = ^-= где Ас = eV. С другой стсн
роны в двумерном электронном газе
2-хк dk _ Г 1 dz "I 1 _ т"
Ы2 de [з*
Плотность тока электронов (при условии Z<k/)
так как e(fc) — .
2т
; о. АпцР а. {~заряд~|
Г ~ . е | •
4 I с - см I
Коэффициент 1 /4 в последней формуле связан с двумерностью электронного
газа (в 3-х мерном случае он был бы равен 1/6, а в одномерном 1/2). Таким
образом
Ток через мостик 3 = jd = При ..открытии» мостика =
г 4 лл
или kfd = 71. Отсюда величина появившегося тока При этом иско-
мое сопротивление мостика
ц = _L = I 82-10-8 с/см « 16,4 кОм.
3 е2
4.32. Г~тД*Д ~~ 1-3 К.
[ОкБ'ПеС
4.33« а = 2 ЛЛГ = 2250 эд. СГСЭ = 2.5- 1Q-’ Ом’^-1,
т*
( Д^1г'| _9 1.]03см-2, где Д^12 = ^1хБ'гофо-
где н2 = к0ехр Н9’1
429
Решение Конечная проводимость возникает из-за термическотсвозбуж-
денИЯ еттедующега урони Ландау- Щель между 1-м и 2-м Уровнями
ризуитпг разными направлениями спина <gs - 2 - спиновый 8--фаЮор)
Д£и[эрг1 =2з?1рБВ = 2р1БД = 1,854- 10~мВ [Гс]..
По аналогии с собственными полупроводниками (щель играет роль Й1
„тонной зоны! дм концентрации электронов на 2-ом у ровне можно записать
( Д^12^
«2 = ^0^
Магнитное поле В находится из условия, что фактор заполнения v=p
Эффективная площадь, приходящаяся на один электрон, в этом случае равна
5эФФ = 7^-
Поскольку каждый электрон захватывает квант магнитного' потока
Фо=—, то искомое поле В = л0Ф0 4 I О5 Гс. Тогда = 7,67-ГО^эрг,
и м2 = 8,875-IO_'Mq.
С учетом того, что на первом уровне Ландау образуются дырки после
перехода электронов на второй уровень, запишем искомую проводимость
Ц = 2 Д1е/ ^2250 эд. СГСЭ = 2,5-10“9 Ом^м”1.
т*
Строго говоря, поскольку магнитное поле влияет на проводимость (см.
задачу 3.7L), то приведенное выражение для сг не совсем точно: его надо1
поделить на [ 1 4- (шст)2], где а>с — циклотронная частота, ат — время сво-
бодного пробега (т Ю-10 с). Так как (<dct)2~ 0,1, то влияние магнитного'
поля на проводимость можно не учитывать.
434. n=-^-=3,63-1011 см-2, где v=—, — квант холловского? со’-
у Фо R-н 0
противления, аФ0 — квант магнитного потока.
435. Поскольку то ns надо уменьшить в 100 раз.
43& Решение, (см. задачу 4.37) Уровни энергии электрона
'г т. с \ *) - '~Й1
: Кратность.вырождения Ст. е. число мест на уровне) на единицу площади^^
' =ф-..ПрИболБшихполях?>пг ивсеэлектроньгнаходятсянауровнесд'=<У
I ^T^2bM = -I = -^=“"St' 'Зл
t а ^имияескии потенциал? как. энергия, приходящаяся на одну частицы-сов-;-.
с|И4, падает- с энергией Ферми при Т=0 К.
Й»: - > Е ? ' "•
e^~S'g^~^^^=2=^ где' - циклотронная частота;/^
- Я
Рис. 231
Таким образом, при В-*п8Ф0 магнитный момент ЯЛт е ме-
2т с s’
пяется скачком. Следующий скачок произойдет при В = —2., затем при
?15Фо
В = —з~ и т. д. В промежутках линейно зависит от В (рис. 231а). Ана-
логичным образом ведет себя и химический потенциал (рис. 2316).
4.37! ОТ = - = ,иб|л .-4 А- -8^1 =
5Я БI 5 Фо ,„•) s Фо) J
= 4,45-10“10 эрг/ (Гс-см2).
Решение. Уровни энергии электрона в двумерном слое в магнитном
поле В
^=^вН)+гл^я' К=4
С — llC — ГПР
Эффективная площадь, приходящаяся на . электрон, дэфф g - д
Фо = А£ = 4,14. Ю“7 Гс-см2 — квант магнитного потока. Число электронов,
431
энергию
„„.толчея -оя (красть вырождения) и
= _L=JU 5-Ю11 сы'-, откуда следует, что зав„
8
^ = 22=2,4, т. е. два №«« уровня Ландау заполнены полностью, а,^
тий - на 40%. (см. рнс. 232).
Запишем энергию единицы площади электронного газа, учитывая, что
спиновый g-фактор gs = 2.
Магнитный момент единицы площади
= 1,4 мкм.
eh _
2тс
= 4,45-10”10 эрг/(Гс-см2).
4-38* d =
где Фо= —= 4,136-10 7 Гс• см2 — квант
магнитного потока.
Решение, В данном случае движение электрона можно рассматривать
квазиклассически, так как его дебройлевская длина волны много меньше
длины свободного пробега, определяемой дефектами решетки.
Рассмотрим движение электрона из точки А в точку А' (рис, 233л). В
силу упругого рассеяния электронов на дефектах разупорядоченной метал-
лической пленки, их движение будет диффузионным, как у броуновских
частиц. При этом каждое упругое рассеяние приводит к изменению фазы
волновой функции электрона на заданную величину. Неупругое рассеяние
электронов, в частности на фононах, приводит к случайному неконтроли-
руемому изменению фазы (сбою фазы) и потере когерентности. Однако та-
432
кие процессы крайне маловероятны в
p3Tvpa - 1 К). В СИЛУ малого
траектории электронов, движу,цихся в п„н
в „од действием приложенного электрид
поля с дрейфовой скоростью, много меньшей v
различны. Чтобы найти вероятность попадания’»
г. .Т. надо сложить амплитуды вероятностей сш
огзегсгвуюшис всем возможным траекториям и
вычислить квадрат модуля этой суммы. Указан-
ный выше процесс сбоя фазы определяет ту ха-
рактерную длину, на которую влияние интерфе-
ренционных членов существенно.
Все возможные траектории можно разбить
на два класса: траектории с самопересечением
(траектория 1 на рис. 233а) и без самопресече-
Ний (траектория {{). При движении по любой
траектории разность фаз равна
Фононов (Кмпе.
ЛГ, =т РЛ = ~Л f Ад.
л - лэ сП i
Для траектории без самопересечения интер-
ференция не важна, гак как они имеют разные
длины (больше характерной) и поэтому разно-
сти фаз на них сильно отличаются. В резуль-
тате суммирования по всем таким траекториям
интерференционный член обратится в нуль.
Для траекторий с самопересечением ситуа-
а
цяя кардинально меняется: каждой такой траек- б
тории можно сопоставить две волновые функ- Рис. 233
ции. соответствующие различным направлени-
ям обхода замкнутой петли — по (кривая 1) и против (кривая 2) часовой
стрелки, как это показано на рис. 2336, представляющем собой горизонталь-
ную проекцию петли. Если длина петли меньше длины сбоя фазы, то интер-
ференционный член не будет равен нулю. Это означает, что в отсутствии маг-
нитного поля вероятность попадания электрона в т. А' увеличивается, а зна-
чит с большей вероятностью он там рассеивается. При этом сопротивление
пленки также увеличивается.
Наличие магнитного поля, пронизывающего петлю, приведет к появле-
нию разности фаз
&Р = Лф (/) - Д,р (2) = ф V Л + ф Adi =
= 6(0)+|ф = 6(0)+2^,
, м г, „пгпгди (fs Az/1 = Ф — магнитному потоку,
где А — векторный потенциал, причем <у aqi
пронизывающему нить.
Таким образом возникает интерференция Электрой
фаз При этом интенсивность
волн с разностью
1 + cos - 1 +
433
+ cos f<5(0) + ЧТО и вызывает осцилляции сопротивления с пери-
одом по полю ДБ, соответствующему кванту магнитного потока ф^
Учет конечной толщины пленки приводит к затуханию осцилляций ц
отличия в величине магнитного потока через различные петли, а вклад3 32
тель, не охватывающих ось цилиндрд, приводит к монотонному ходу крив^'
ДА (В).
Отметим, что в данной задаче магнитное поле не «закручивает» электр0(1
(радиус циклотронной орбиты фермиевских электронов составляв
^2 мм»Ю, а только определяет разность фаз волновой функции элеКТроНа
аналогично эффекту Ааронова—Бома.
Примечание. В соответствии с квазиклассическим приближением
под словом «траектория» понимается не математическая линия, а трубка Дй.
аметром порядка лдБ ~ 6/pF. Соответствен-
Поле В
Рис. 234
но точка самопересечения траектории не
является точкой в математическом смысле,
а представляет собой некоторую область.'
4.39? Разность фаз по результатам
двух опытов составляет 0,6л, что соответ-
ствует сдвигу интерференционной картины
на 0,3 периода.
Решение. Пусть магнит на рис. 79
имеет очень большой радиус и круглое се-
чение (для простоты). Поскольку все сило-
вые линии поля В проходят внутри магни-
та, то снаружи В = 0. На рис. 234 сечение
магнита показано точкой. При этом вторая точка сечения кольца не показа-
на в связи с большим радиусом кольцевого магнита. Однако в области, ш
В = 0 существует поле векторного потенциала А, причем В = rot А. Собст-
венно, доказательству влияния поля А на физические процессы (так нт
ваемом бессиловому воздействию) и посвящен опыт. Обобщенный импульс
электрона в магнитном поле
р = mv — - А.
с
При этом фаза электронной волны де Бройля при переходе из точки а в
точку б изменяется на величину (dl — элемент пути траектории)
б б б б
Дф(В) ( pil = 4 ( vill- -- ( А<Л= Дф(0) -X- ( АЛ,
л J п > с7г о си j
а а а а
так как скорость частицы не меняется в магнитном поле. Разность фаз волн,
прошедших путем J или 2 (рис. 234)
Дф1(г) = Дч>1(0)-^ (ад, дч,г(д)=АЧ,2(0)-Х.(АЛ. ,
.Обозначив разность фаз в отсутствии поля 5(0) = Д^2(0) —
чаем-что в присутствии поля В - t...
'•434
-5 w + i A dl - S A =6 (0) + i А dl.
WJ11,C1,„ „яреме Скже» | АЛ- j tot AdS = J »<й -Ф, |-ю Ф - Mar.
s s
irubii' hoi'ok через контур, ограниченный траекториями, т. е. поток Через со-
|,Ц0)Ш \шнт>). Обозначив фц = /1£ = 4,136-10^ Гс-смг — к'вайт магнитного
ч получим величину разности эЛектроннЫч волн, приходящих в
\'Х'у иаблюдстпг
5(B) =S (ОН 2л Л.
Фо
11 данной задаче 5(B) =5(0) 2л-2,8 = 5(0) 4- 5 бл
При гомнературс ниже температуры перехода Сверхпроводник адьр
оаег» Полое число квантов магнитного потока Ф™ = ф°-2,07-10~7Гссм2
в pcoyjibiaic чего поток внутри контура будет равен 2,5Ф0 = 5Ф§П. СЛедо-
ва |елыю
8“ (77) = б (0) + 2л = б (0) + 5л,
Фо
II сдвиг фазы но двум опытам составит 0,6л или 0,3 Интерференциоййой
полосы.
4.40. л_ = п+ = Q+ exp j- = 9-1017 см’э где 2+ =
/ , 1 3/2 .3/2
„ ,1 ,„19 Г+ И .
2,5 ° (mJ (зоо) ksT
4.4L = —= ^± = t = 2.
Д<8+ Л+ И-+
4.42. У1 = _'!5— %2,б-10-4, где R, = 1‘‘Т — = 25,9 Ом Диффе-
Ио Ri + R д е(^+Л) '
V[ л
ренциальное сопротивление диода; а = 20 1g — « —52 дБ:
I , \ 3/2 3/2 t „Л
4.43. е+= 2,51-Щ «1,3-CM-’, где,
= е2^£= 0,455.
п б Уу?йА*> ' „укуда сЛ-ДУет
4.44. lis находится из условия =- ..
„ < 9-/3 /|<) = 1,4.10’сй'*. *' ...
’ 2-252eV/l ("‘4 ' '
... .•.’ГМ'.’.
4.4Я £,(0) ~«с(0) =ЦБЛ М =24,6.10'3 „
\т~ 2 2 т+1 и эВ-
Решение. Если обозначить положение дна зоны ппова
В~0 как <£с(0), а потолка валентной зоны — £ (0) тоДИМОсти При
*2,2 *2,2 V ’ ПРИ 5=*п.
£_=£с(0)+^4-; £+ = £у(0)-Щ-.
' 2»u- ’’’ 2m+
В магнитном поле возникают зеемановское расщепление п
квантование Ландау орбитального движения С!>Ицу и
<S- (S) = 4 (°) + ~г + (« + j) + gcmslisB-,
*2,2
^+(В) =£v(0) +^Г~ЙсОс
где w = • — ± №
т-(+)с
Для дна зоны проводимости к. — 0; п — 1 и ms---1/2, получим
4(Я)=^(0) +^-1гецБв = гс(0) +цБз
2 2 |«1_ 2
Поскольку ~ ~ - 5,03 > 0, то дно зоны проводимости в магнитном поле
П1_ 2
поднимается.
Рис. 235
Для потолка валентной зоны в магнитном поле В получаем
^V(B) =^v{0) +^£+|вулвв = ‘М0) +нбй fe—
2 2 I Z •»
В этом выражении ®t_Th. = _4 по л „ - ,
2 т» н»иу < V, поэтому потолок валентной зоны
опускается.
;И36
|| umlnen тип i- условием нри«)>в _
ин. II И uiiiupr 1К.ЙПШСЯ (Цель uw„K s = 4W'hl Мьшм»..
л. „ пюг.,,„«.„п Jnn„rl,X,; «««»»« ZZ ***
Ill'll'«(«««; " -Ч1ГНИ.1ЮМ
I""""'"' 1 ™> "РНрявщ,!!, „1
||. II' ""I1'''1'... •I'pniiiieiiiiii 1|ИК0 •**•«» в6(8,» =« (Set
и».................-I»
I1’"" "’I -p,A I м
I*’- 2
<М0) =
4 1)1 I -
I2 lit „A^ -
I "i, ( n, ё“* ьвегвйш®,
"i‘ m‘, ~ ~2------- V = M«2« эВ;
'I V = Mffiэй,
' ~ 5.S-IO''’ ем = «80 A.
if in. "'
-1.5 10 i
"<• nil- крфгкжвная масса вамйсша
Л
' I '5S •Ю'-’емЧ гас г, = сЛсва, «цо A-
• •' III
ЛЬ’)
-C5Z* • / - А Н мА
I'» 1м -ни* II г »ыу iif-pno/ni-iccKoi'O движения эЯек'^оМа^ набёг ф‘М1
snifif.ionp ф/и»-ими мри обходе бензольного КолЬЦа ДоЛжёИ 6М№ йрЗтёй 2flf
г - f>hi ~ /кН, 1'trvini /:ч - пп/З. ntc и = 0, ± I, ±2,- 3 (i№& iiisetli ЖЖ-'
пни, ,<• л-Mtitttr п И'-рпни .«»не Вриллюэна -Л/о <£ Отйеда АбЯУййё'й
/Р'.ЧМИ --Н' pl ИИ >||< ГГрОНЯ ' ;
^ffi — fff — ЛГ) — Z/t. Л'(л= ± 1) =^q—?4; $(/!= = ^'4:4;‘
£ (и ~ 3) = $0 4* 2Л.
Л о/ я/>пцг>'-1 (!>с гг>ян>т заиоляеим только 1рй tfefjfibfi Ур’6вйИ; ИЗ КаЖДбЙ
и» к(*гпрм' ижпляц'я ио два электрона с Нро,1'йв0Нбй0'жйЫ^И ИрбЖЦйЯМИ
сяиипч О.мросff> •ътеглроня в состояний с ЧНсЖпЛ k равйй
"Ik; = L ’^L1. I о. ci-.opocia элек-tpona на урв«йе^®^ = ^6с^^*йа
нут. нниуртнях Й(н = ±1) = «р-А о«« ?¥ffl Vs Z
жаагсаано. полны,1 гок (как И чотМ е^ХИ)
ес-есгаснеи. В силу симметрии расИре^ИМ « «««
тог, стгсугсгвуег. '
Ж
При помещении молекулы во внешнее магнитное поле волновое Чис,7о
меняется согласно уравнению
.Л = е£ = е = 12S_dH_
~dt ’шд бос dt бас 4 dt
Здесь использован закон индукции Фарадея /£11НД = у где / __
контура, S - его площадь. Интегрируя это уравнение, получаем прИраще.
ние волнового числа каждого электрона
4 a cnle
Последний сомножитель есть отношение потока через площадь молекулы
к кванту магнитного потока. Для Но = 10 кЭ это отношение порядка 1Q-5
Т.о. изменение волнового вектора много меньше самого значения волновою
вектора и поэтому изменение скоростей электронов можно записать в виде
М hdk1
Вычисляя производную, получаем при п = 0, ±1 <5ezQ =
4 2 4 '
&v=1 = Ьк. В результате нарушения симметрии в распределении элект-
ронов в k-пространстве, возникают токи:
_ 2е _ _ 2Лсе _ 2е _ 2е(и+1+6v+l)
^~Га--~6а---------ИГ3*’ ^1~Т^--------------&------ к
_ _ 2е _ 2е(|у-1(-д«ч>
--------65
Складывая все токи с учетом того, что о7+1 и направлены в разные
стороны, получаем суммарный ток
е1 АагНь
Подставляя числа, получаем S = 4,4-10 А = 4,4 кА.
4.53? Решение. Наведенный кольцевой ток создает на ядрах водорода
дополнительное (по отношению к внешнему) магнитное поле. Для оценки
величины поля будем считать, что кольцевой ток эквивалентен магнитному
моменту (диполю)
£S_ 1 е АаНр g о2Уз 1 __ е2 АаНу
с ЗуТ Йс й 4 с Йс 2ЙС
Такой диполь создает в плоскости кольца на расстоянии а 4- d от центра
магнитное поле |5Я| =—£—т~------Аа — < При этом относительный
(а + сГГ ^2hc(.a+dT
сдвиг частоты
jM__|6W|_e2 Аа4 ^1Ч1П-6
“ ^FcCo + tf)3 ’
438
значению 5>6-1О_&, которое можно попутать из
1льиык данных. Так как диамагнитный ток накрав-
ь внешнее магнитное поле внутри кольца, то созда-
ли колы'.а магнитное поле будет параллельно внеш-
,< сдвигу резонанса либо в область больших частот
мсн.ьших внешних полей. Данный эффект является
^соматических (циклических) углеводородов и слу-
- .Л.1Л0В - ИХ трансляционная
ш.-‘Сания кристалла можно воспользоваться сле-
чриста.1.1 конечных размеров и транслировать его
-,е -оснзпольнык размеров. При этом размер этого
। шшас'.ь) должен быть выбран так, чтобы сохра-
’ 'ierpw.i. ге на основных направлениях транс-
'е -.‘еле д теменгарных (примитивных) ячеек. При
р оу.-кчии зшкгрона вдоль соответствующего Ha-
lf j:0 приводит к дискретным значениям проек-
-с Боиллюэнз, определяемым размерами основной
с шку размер зоны Бриллюэна однозначно опреде-
•й -ей чиейки. число разрешенных значений ква-
равно числу примитивных ячеек. Если кри-
.гемов. а в примитивной ячейке графена со-
• •cic разрешенных значений будет равно N/2.
,у шея. как следует из закона дисперсии, со-
:.|.сргн:! один в валентной зоне, другой — в зоне
..‘с ч; 'icci для электронов с учетом спинового вы-
2 2 - 2..V Из них N мест будет в валентной зо-
1мгг.и Г к па один атом приходится по одному
• - гсего делокализованных электронов будет N.
• • юх > раны занимают наинизшие энергетические
с -1,ю симметричного характера спектра вся ва-
7 3 -0Нз проводимости будет пустой. Т.о. для
. ..мическин потенциал графена, отсчитываемый
тпм з атоме, равен нулю и уравнение для опре-
шести имеет вид
vT
равнение можно переписать так;
, . 1
CuS р i2 •—• 4 COS -}*-—---.
V3 р,,а
cos
' е среднем арифметическом и среднем геометри-
равнения при cos-^=->0, либо —4 при
439
Поскольку левая часть уравнения ограничена
• веиство возможно только если одновременно
то ра-
откуда
cos
или
cos рха — — 1
Рув 1
cos ~ т?’
Pxa = 2nm
V_= +-Л + 2ЯВ
или
£2=± 1п + 2я/.
Подставляя данные, получаем,
IИх зь
1_____4x5 I 4x5
ГУ “ “
что
или
Р,
3b 3b
, 2x5 I 4x5 ;
З-ТЗЬ V3b
Отбирая только те значения квазиимпульса, которые попадают в первую
зону Бриллюэна, получаем уравнение прямых линий в р-пространстве
или
4x5
3VT5
„ _ . 2x5
~ 34
„ = ± 151
1 3V34
Пересечение указанных линий дает вершины шестиугольника. Таким об-
разом, поверхность Ферми графена состоит из шести точек и ее площадь рав-
на нулю.
Как видно из закона дисперсии, для любого направления в обратном
пространстве кроме диагоналей шестиугольника, на границе зоны Бриллю-
эна возникает щель (запрещенная зона) в спектре электронов. Она макси-
мальна в середине сторон шестиугольника и уменьшается в стороны вер-
шин, где исчезает вовсе (зона проводимости соприкасается с валентной зо-
ной). С точки зрения своих электронных свойств, графен можно считать
либо бесщелевым полупроводником, либо полуметаллом с нулевым пере-
крытием зон.
4.55! Решение. Если отсчитывать энергию от уровня энергии элект-
рона в атоме, то раскладывая в ряд выражения для закона дисперсии вблизи
какой-либо вершины шестиугольника, получаем
<5<£(др , Ър ) = ±А у/Ърг + Ьр1 = ±с*Ър,
7 25 л у
где 6р= (5рх, Ьру) — двумерный вектор, отсчитываемый от данной верши-
ны шестиугольника, с* =^^. = А~= 10^ см/с — скорость элементарных
одр 2п
возбуждений. Т.о. изоэнергетические поверхности dpy) = const
представляют собой окружности — сечения конуса в пространстве
&Рх’ $РУ> В каждом углу шестиугольника сходятся три соседние зоны
Бриллюэна. Поэтому каждая изоэнергетическая поверхность принадлежит
-440
лаН1ЮЙ зоне па одну гре.ъ и полное число поверх
„дну зону Бриллюэна равно 6-1 = 2. Т.к. чис„„ „„ . ’ Прих°®1Дг«ся.ца
,1ИН1Й стаэиимпулки с’ояпии на интерв'ал'^^
= ,И,,,."'. ..
u„ S „лошадь крпс.адла. „лот1юс1.ь
х |бо|• Следовательно, на поверхности Феоми ж а.^p/dd&oc
К(1Г| равна пулю. р РаФена плотность состоя-’
4.56' Решение. Для сохранения кристаллине - ;
сворачивании полосы в (рубку, примитивная nuJZ™ симметрии при
должна преобразо-
ваться. В лисю она содержи! два атома углерода (1+4
/т. 7 и является
ромбом со с.орокои ез* и углом 60" (показана штрим .
88) н потому не можем обмене........ необходимую симметрию п" “ Т'
полхозящен ячейкой юпяйе, прямоугольник с размерами у/зм Т(РУбК“
.......................... ™,а из с.орои которого параллель^ „“s'
к.,к нидпо из рисунка, о,о. прямоугольник содержит 4 атомаХрода
|2 + 4Д + 2-у> Поскольку прими,„„пая ячейка увеличилась в два раза,
ГО число рлорешешпзк значений квазпимпульса станет вдвое меньше а
число всгоси в законе дисперсии - „двое больше (знак ± под корнем)
При том первый знак соо|вс,с|вуст зоне проводимости и валентной зо-
не. „горой знак ccwiBcicroyci сгарым (лист) и новым (полоса) ветвям
закона дисперсии, „озникаюпшм из-за уменьшения зоны Бриллюэна вдвое.
Эго ана.|01Ично появлению огинческой ветви при переходе от одноатомной
к двухатомной цепочке
При сттордчиаании листа в трубку, компонента квазпимпульса вдоль оси
трубки оетасюн непрерывной, л поперечная компонента будет квантоваться:
2nRpt = n2nh Здесь t -- (.v. у). Н — радиус напотрубки, /т= 1, 2,... В связи
с уменьшением числа степеней свободы электронов при сохранении полного
числа электронных состояний, плотность состояний в нанотрубке должны
измениться по сравнению с листом.
Условие гладкою сворачивания вдоль оси .г (точка А должна совпасть с
точкой Д' или кратной ей) имеет вид 2лЯ = 3/н6, где нт = 1, 2,..., п(т.н.
наногрубка типа armchair). В этом случае закон дисперсии приобретает вид
(Ру> = '1 /1±4создЛсов^ + 4созг^.
Одномерными зонами Бриллюэна являются теперь отрезки прямых ли-
-1_г -f -г А / 4.
НИЙ ДЛИНОЙ (or 110 паРаЛЛеЛЬ1,Ые 0СИ Ру “ 36 II
Число этих подзон будет равно 2л. Уровни с т=к и т — п-к оказыва
_ „к _ _ _—(„ -лД| Из-за этого вырож-
ЮТСЯ ВЫрОЖДСННЫМИ. Т.К. ± COS Л— — + COSln JV-I.
дения число уровней будет меньше, чем 4л. . пш^мх по-
Как видно из закона дисперсии "3"отрубкн ern.ctar п и л^ых др-
пустимых значениях квазиимпульса во всех подзонах ,
, ,..'.441>
КВёИГ1йВй1Ш0М Сйектре существуют |ЦелИ. при Эюм Уровни энергии В ва-
ЛСИТ110Й ЗОйе lipjlliodtbld зйНоЛне!1Ы, а В зойи Проводимости — пусть!
эТо^У iipiiJlcHkefillde к (!ййо!рубкс напряжение нс сыиже! вызвать элек-rbojL
НЫй ток. Только ДЛЯ НодзоН с m=il, проходящих через точки фёрми-п^.
верКиостй графёйа (рх = ± = ~ з/у/,'1' п'сль в этих т0Чкад
РбрДЩаСтсй в Нуль. ОтМеТпм, чю coivlaelio сказанному выше, в точках
ферМй-йОверХНЬсГй ИлоШосгь- состояний теперь оишчна or «уля.
ДЛЯ электронов валёй)1!ой эоны Возможно сколь угодно малое Изменение
эПсргйщ т.с. про!скапис юкй под дсйсюием приложенного напряжений
Условие Сладкого сворачивания лисп) вдоль линии осн у (точка Л дол
жНа совпадать с точкой А'1 нлн крашой ей) iimcci вид ZjiR = шбУз"( Где
III = 1. 2S ... Из условия квантования получаем значения поперечной компд.
Heldы кваэийМнульса = ± Б эюм случае имеем наногрубку ТИПа
zigzag. Здесь Также возникаю) 2п одномерных подзон. а зонами Бриллюэна
Являются о)рсзки прямых линий длиной 2л/3/> (о) — л/36 до л/Зй), парал-
лельные оси р .
Как было Показано выше, мс)аллическая проводимость возможна, если
Лййий подзОн будут прохоДшь через точки ферми-поверхности (вершины
шестиугольника). Эю приводит в данном случае к условию н = Зш. ЕсЛЙ
же //5* 3/Л. то в спектрах сооюеютвуюших подзон при любых разрешен-
ных рх имеются ЩсЛй. и проводимое i ь будем ноешь полупроводниковый
характер.
§ 5. Сверхпроводимость
5,1, R =L In—«4,4-10"13 Ом. щс /.= 2лО In —.
Л «О г
5.2. Л =4- bl I, I • 1СГ13 Ом.
с I Я (!)
где индуктивность единицы ленты
Lst- 4л2«2.
— 1 дин/см (рис. 236). Поверхностный
ток направлен в соотвектвйи с вектор-
РйС1 236 ным произведением 1=-^-[пВЬ т, еТ от
йас (перпендикулярно плоскости рй;
Дунка). __________
5.4.- S » с №s1L = 6,49 1010 ед. СГСЭ » 21,6 Л. „л
5,5. f = л р s 0,3 с. >,.*
„ 5Л. tl. 1.42'Ю'5с’1. ..„rfs
1 2 Me ' - •
442
1ПИ!М-«ги|||ч. II чаэд.вд 56 115.7
йН** игры, и двд |1ТО „ _ •“*“***> W .Mime,
—
.<3^7 10 5 рад,
5ЛИ _‘п! №=1.-Н0'йзрГ/о = 1,4,10,Вт
н<н\рачьного логарифма.
чои 2 =
vuv t^-- Н) 5 см-
I* - те н иг У равнение движения электрона в сверхпроводнике
Ш^ = еЕ.
ц, мы заметит полную цроцзаодную частной. Дто МР^ЧР оделить, если
чрансiBu.iiiibir изменения переменных мады = (yV),
i=~ —-уА = - —Ц А, где Л = 1 = Л
111ЧлЛ V 4г1д./'2 шр
Эю уравнение заменяет закон Ома в сверхпроводниках.
rot j = - —Ц-rot А= г- -JUВ.
4яЛ2 4яД2 '
Пснольэуя уравнение Максвелла го! В = —.j (в сверхпроводниках В»Н, а
юком смещения в металлах можно пренебречь), получаем
rot rot В — grad div В — V2B = —В/Л2..
Поскольку div В = 0, то окончательно
V2B = 4-
Если однородное внешнеемагнитное поле параллельно поверхности сверх--
j?n В •
Проводника, ю уравнение переходит в tL? = _i Где .у координата, па-
dy Л ,i
правленндя вглубь сверхпроводника по норм§ди к додерхнррщ,, Р§ш§эде
этого уравнения В(л-) а е'г'/Л, т. е. магнитное поде §кепрнепцнадьнс! за-
хает вглубь сверхпроводника. Поскольку частота днещнегр пол? де входит
0 Л, то результат в полной мере о/тцосится к постоянному МАГНИТНОМУ
Искомая глубина А = 5,3 • 10~5 см.
, «5
Лй/Л) . , = sM-c/A) , где =
5.11. BW -Водашад- /5- 4.тЛ <±[Л(2Л)1
лондоновская глубгсна-
5.12. t=
5ЛЗ-В=^= 1.4-10й Ге.
№
5.1« Реше ие. В сиду условий Л»</ »Л(Г0) можно пренебрег
магнитным потк» «Р» и ститать' 440 пож а Диэлектрике рии'
внешнему- Тогда можна записать
4 (psdl) = $ [2mvs A j <У1 = 2лшЛ,
откуда, используя теорему Стокса, получаем
„ гаеф=5Пв, B=rotA, Ф™=3«£
» 4 е
Дополнительная плотность полной энергий! сверхпроводника при темпера
туре 7"0. обусловленная внешним полем В. равна
. . 2mv; , в2
Да!=ппар<то) -— *
где Диар — концентрация сверхпроводящих пар. равная /цс/2 (л^. — конценг
тряггия сверхпроводящих электронов).
При заданном поле В квадрат скорости сверхпроводящих электронов ^
должен быть минимальным. чтобы обеспечить минимум полной энергии.
Таким, образом, при увеличении В должна меняться и величина ч в условии
квантования Бора—Зоммерфельда. Это приводит к периодической зависи-
мости ц2 от В (рис. 237)1.
Рис. 237
. Поскольку ||Да> J сс кБДТс (В}г то, периодическая зависимость пр
к периодической, зависимости Гс. а член В2/ (8л) приводит к. монс
ному изменению,^, (штриховая линия на рис. 826 к условию задшздЙ
период осцилляций связан с «вхождением» Сйлж)
дом^» квант’ м'алниЕного'потока ^^=фсп: откуда D — Л,4Фод ~-"Й^
ф11И находим Д»=ж 14 Гс и, следователь,|0
задачей 4.38 (эксперимент Шарвииых). ’ ,3^'Юсм< Сравнить
_ |5 , = с I'aa'j _ с//0 ' °
5 Л"“ Ы™х~ ^Л = 8,10,А^2.’.етокаатуи„
з,у же закону, что и поле. у ет по то-
5.16Г <7фо - 0.7 мА.
Решение. Магпилюе поле проходит между
там,. через поаерхпос гь, площадь которой практич. УМЯ ™Чеч"Ь|м" коптак-
рдсеюяпия между контактами 1ли 11а Сумму П]уВ“"рав,,а произведению
бий Лт и припой Л11Вл. Ропикновения в нио-
Л = ф = ns = ~ I Гл 4. л Т
trNb crNb 4ZJ[ANb + ApbSn],
' — (})СГ1 crNb
Ф" ° 2(„„|Лмь+л7^ ~ 6-9'10 A« 0,7 мА,
5.17Г <1> = пФ0-----'-------.
I +2Л l(M)
Pc 111 с н и с. Поскольку г/«Л,
однородно. В силу условия R»d
ТОК будет распределен по толщине пленки
магнитное поле в диэлектрике равно
н-
1И.
4И
И-
В = ±гЛ</
(как в соленоиде: Д<7 - линейная плотность тока). По определению
4 = <?;4c''s' где "sc — плотность сверхпроводящих электронов, vs - скорость
шлира масс пар. В .магнитном поле обощенный импульс пары
ps = 2/jivs-^A.
Используя условие квантования Бора—Зоммерфельда
ф (ps dl) = 2nnh,
получаем
2пп/1=2т 2лД / --Ф,
S С
гас Ф = j (rot A ds) = BnR2 — магнитный поток внутри цилиндра. Исклю-
чая /s, находим:
- Фо
Ф = II------т-----
1 +2Л7(Л«/)
Как видно из формулы, при Rd^ Л2 квантование магнитного потока в тон- •
костениом цилиндре происходит так же, как и в массивном образце,. Но,
вообще говоря, «квант потока» всегда меньше Фд11, .. : -
6, где Sc - предельный ток ЬряМого Про'во-
критическое поле Sc = -^-> ^min —
5.18. (7=-^=2лЛ4-«
иг, создающий разрушающее
44^' ;
нормального металла
НаНЦ.2
Рве. 238
кое {минимальное) знамение управляющего тока, переводящего др^
в нормальное состояние.
8- 2^ с Jmx -г-™ р~
5.191 -----П7Г - 750 1 с-
Й(3л) а
Решение. Плотность энергии сверхпроводника ниже плотности энергии
на величину плотности энергии связи куперовскмхпа
Поскольку энергия связи одной пары равна 2д (Под
на каждый электрон), го 'SCB = nnap 2д = -у24,Ч[
nsc — плотность сверхпроводящих электронов щ
аналогии с теплоемкостью металла nsc п Q (((рщ-
мытие распределения» примерно 2Д), где п = 2/а3-
плотность электронов проводимости. Считая, Ч10
^^2кБТс (в теории сверхпроводимости Бардина-
Купера—Шриффера: Д = 1,16кБТс), получаем
р 1баБГс)2_ 32{kETc)2ms
"= Л аЛ-аЛ213г2в'
Сверхпроводимость «разрушается», когда плот-
ность энергии магнитного поля сравнивается с плот-
ностью энергии связи
~ = «св-
За "
--------Г-ПГ у-------« 730 Гс.
ft/1-'\>JJ ’ и
Отметим, что экспериментальное значение критического поля тантала со-
ставляет 830 Гс. Заметим также, что ответ можно выразить и в такой
форме
Ф?
5-20. /с - 2*E7 ='i,rf a 10s А/см2,
J^F
521- . dx т|г5- » 2.6-10”5 см. где В2 = 300 Гс.
V Вг
Решение. В первом случае при внешнем поле Н = Нс[В-1=
= Я-Ь4л/1 = 0, откуда намагниченность 4n/t = —400 Э. Во втором случае
(см. графики на рис. 238) во внешнем поле Я = 500 Э В^ = Н 4* у (4Ц) ~
= 500—200 = 300 Гс. Поскольку Я>Яс1, то сверхпроводник находите»»
смешанном состоянии (полагаем, что Я<Нс2). Плотность вихрей,1 т.е; И
число, приходящееся на единицу площади оценим как -
д = ^-.
ф“
lol/UI I’OctIos... вихрями. Mal'UUtBoH llofcka .
й1г|ММ11 Абрикосова. иазЫваемЫми также
CM.
5.22. В ~ - г<1эд Ге. •*Ф'„“ =^|= 2,07-10-’ Ге-сМ:
,tll))lttBWo nmw.u U п^рх^рсфодшке.
5-»! >" ' -Т,„~ У
— квант
Ии иримшу квантований проекции Момента иМРулвса
I находим распределение скоростей Центров масс Нар в
v' 2>tir’
Эю ныряжсние спрявеД'шво при £ «г «Л, когда можко пренебречь вкла-
;(с,м ни гсг pfi.'ia (\’Л z/l в правиле квантования Бора-Зоммерфельда (см. за-
/|(|t|(i 5 |4 и 5 17). Если длина вихря равИаЛ, то кинетическая энергия элек-
Hsc2n/' ell-,
5.24. ИЛ(П = — WI//. где W1 = |аб ~ 2л/' — MafHMiHbift мо-
(( единицы длины вихря. Из условия <£-HFffi=0 Находим Z/cL =
Ji4_ hi И hi — (см. также задачу 5.25).
(-л' £ 2яЛ £
5.25. Л w « 0.8- 10-5см; 5 =
CM.
5.26. <о = z. !и-. с .
Ч>?М
3.Z/. /--------гг4-(0 ДИК.
с b
5.28! Е = 1 нВ = <^L!!L.
С цс2 ' ’
Р е /н е и и е. Условие^ равномерного двйжёнйЯ вйхр'Я йвНйё^ся равенст-
во сил |Frp| = |Faгде сила Ампера, ДействуКиКай На единицу дДйны
вихря
FA =
®« lei
447
скорость вихря v образует правую тропку о векторами j „ в
]_/ФоП в системе вихря, движущегося со скоростью v, При
только магнитное иоле В, следовательно в лабарзгорной сиСТеМе,
е“! также макроскопическое оасктрпческое позе
Е = 1|ВУ1.
- проводимопъ в ссрдцСВцце
Легко увидеть. ЧТО BIIJ
»с
5.29* оэф,|, = о„ -j7
проводимость сверхпроводника в порм.тдьпом состоянии.
Решение. Как следует ттз предыдущей задачи (5.2(
где эффективная проводимость о,ф1|,(Л) =
Поскольку при Л = Нс, сверхпроводимость исчезает и матер,,Мо1,
виться нормальным металлом.
_ Ф“»л
Пзфф^сЗ) .3
Фо
5.30.5 = ЛЛ^
зИИО=1Щ=ф',Л т,
сбивается фаза электронной волны.
Ле _ Ф?'
2е? 2alF
5.32. К = “яь—а 0.008 В. См.
5.31. Н.
1.8* КГ"
ем. где коэффициент^
- время до того момента,^
приложение II.
5.33! Ответ задачи следуем из уравнении
е1/1 ~ t,,zmax = “ ^1
Откуда следует:
= е —L—д =1,11 мдВ.
2 2
а, = е--^ 1,1 = 0,29 мэВ
Критическую температуру определяем из cooi ношения 2Д = 3,52^,^
да TciAi 1,9 К; Гс2 = 7,ЗК. Подробно эксперименты Гиавера рассмир
в Приложении II.
5.34. 5 = —= 1,2-10-5 см = 1200 А.
5.36. AC ос />' T.
5.3?:
,. ЛрР '
решение. ( коросп, движения це|1||Г. м
л (чо.шо.к.вской .'лубша,.) определим к„к к>"<=Ро»«ой 1ир|„ „„„
\см. задачу J 23) н
2m г'
''° С"С|»'«"»«-оеть ..рмр,„астс>В1 Тким
Лир
2&{Т)~^ТУ
Видно, чю ооласи. иормальдоп фазы ИМС(_
„„на,чал Нлоилч-п, .ока /(,-) = 2„, _ Р р ™ря®« длины ноге-
' O,'sc "(И . При г =, !; получим
у (У -Siio. ‘•"«ACT) .
Lie д 1ЧК распаривания (ем. задачу 5.20).
фп‘ Л ШСП
5.38. />(/') - -- -> In-:/?(0) =/,'(И=_2Л_|ПЛ_„ „
2л А" г 17 2л.Л2 ln теории Абрн-
ш-ова ючное выражение = 2//с1 (рассматривается область I-< г <Д).
§ 6. Задачи ।
заключительного (Государственного) экзамена МФТИ I
по общей физике. j
6-2. 11 = “ATTiTT ~ • Для '‘оптронов в графите: 4-Ю7 = , от- !i
куда ti ~52. j 1
6.3. = 1.5/нр.
А//Д) ''
6.4. I --5— 16 мкс. |,
2ntu~nS j,
6-5- (£„)., = |н' = 9.15э13. ।
6.6. Ионизация нс произойдет т. к. (<£К)1П|П = 4,37 эВ > 4 эВ, ;
6.7. a. д/3!1= 1,55км/с. !.[
Л| /л A, VUlNe '!
6.8. / = ~ = 7 I
Указание. Применить для каждого шарика адиабатический инвариант 11
/1 </.v = coast, который даст' о,,2(2±Л’) — 2vP = c°nst, t»0-2W, ifle 2/ l[
длила «octo ttH/nnwpa. о, и »2 - скорости шариков в зависимости от смеще- |
,шя .у иоршия, а0 - скорость .париков, когда порд.еиь находится строго яо- I
середине. J
449
6.0. Если направить oct С>Х перпендикулярно плоскости пластин -
Oct? &Y параллельна плоскости пластины, то V 1г = 0;
(V (cos q> — Arsin <р) при fg<|><_L:
1k
V 1
— cos'р при tg <р > _L
2- 2k
<ff=2-arctg~ (при этом значение угла Лгр максимальна).
«.ю. ё = ;р = -^_1Й!Т = о.б13 pia/c2.
2/icRp '
6.ЙТ Т = _к_±<10с.
VgH
На рис. 539 изображена лента в движении. Если .г — координата
зящего верхнего конца ленты, / — длина верхней части, то 21 4- г»
писав3 выражение для потенциальной энергии ‘
UM
где a — ширина ленты, мы легко определим силу, выпрямляющую леЧ7у
Р = — а, значит, и можем записать уравнение движения
дХ
±((L-X)Xl=gf/.
откуда и определим искомое время Т.
Рис. 239
6.15. A =lpmgj- = 0,15 Дж, где / = 35 см — длина части веревки,.Cfb
прикасающейся с шероховатой поверхностью. Л
6.13. 34-Ю13 Ьз
а’маги '/д
6.1'4 . Условие экранирования Е < 10”9 В/см;
Ю^Гс/ем; где т\ е, рр — масса, заряд и магнитный момент npoTwife j.;
6.15. Можно. ~~ > = 10-< Тогда радиус свинцового mapa'VJ^.'
и, где рз^- 5,5 г/см3 — плотность Земли,
— плбтйббтк йвинца. Массй ейинцового шара дСл^й5-^^'
«.Гб. ю-’в; ’ "
< ’• -г > уе-/- - "Х'п
_43fr
о-’7' г~в Кз = ЗЛ-10’а.е. (СГСЭ).
6.18.
^Г/“’3;ш«г=1.б-ю->зэрг/смз.
:'K,U ’ - Чсщ“6,1:1,6- 15-10“
Грлвшзиионныв радиус Вселенной можно оценит м '
постен «пенить из соотношения
R 'ту- 1029 см-К)"
ев. лет,
размер-
6.19.
2/i
6.20.
'6-10 . При атом в условии укам]м экспериментм^
• что много меньше неоднородности поля.
где ^ = 2^Л(р,^рл)=я10-здин/с112
V * °-24- ’О3 Па = 1,8 мм рт. ст, где у _ гравитации-
S.22. Г ~ J Ро [1 - <9 = °'453Ро = 2.54 г/см3,
6.23. г3 - г; = 4р In AL. откуда г а 3,9-104 м/с; Л= 0,977
,--------------- ‘° ’ «о ’ ’
6.24. 1 = \.AAL i 30 км/с. где р=2ь= 1,75.1Q-S кг/м3.
6.25. \ = = 3- 1013 Вт» 67CWr3c.
6.26. 7 = -i~ = k0~=1,S6, где У1 = е~т^= 0,165.
6.27. А= In A+ 1--L= 1.18.
и к Ао
6.28. 14 см- гдс " = Т- <Р» - ₽п)«3 = 167,6-10’ т.
,е (а + 11) 5
6.29. ! — — = 1J лет. где скорость таяния v — — — ^L= 130 м/год, а
г dt рлХ
v= | км — толщина растаявшего льда в момент поворота айсберга.
6.30, т 1.5 года — время поворота настоящего айсберга.
6.31. j = 0.81. Принимая 7?3«6370км и ^3 = 9,81м/с2,
получаем М3 5.97 1024 кг, М1} 4,83-1024 кг. Соответственно плотность
Рз « 5.52 17см3. рв « гз « 0.95р3 - 5,23 г/см3.
6 32 д'"~м - [ — схр(— «0,16. где Мо и М - началь-
° «пл v птппяя а V, — первая космическая
ная и конечная массы корабля, г2 — вторая, a i н
2
скорость для Луны (2,4 и 1,7 км/с). Т =
— скорость станции.
6.33. к = 211^. л 2 кг/сут, где v
' 2Tnv
451
6.34. Потенциальная энергия космического аппарата, как функция его
расстояния до центра Луны
утМз улМл
=
где М3 ъ 6-1024 кг; Мл & 1Л-Ю22 кг и т - массы Земли, Лупы и аппара-
та, £= 3,84-108 м — расстояние между центрами Земли и Луны. Полагая,
что в максимуме потенциальной энергии (это точка, где силы притяжения
аппарата к Земле и Луне сравниваются), кинетическая энергия аппарата
равна нулю, находим скорость аппарата у поверхности Луны
- -J2^» fi । __ дл (\/Ж+Жл)2~1
vmin~ +Mj]L-Rj} Л Мл J
или ___
JtyMji I( _ «Ji'l л '
nuri Мл I v Мл L)
6.35. Rn= /3V1K- -у 3,5- JO5 км, гдек,к — первая космическая скорость
w VlaWlm
6.36. Т = 2лД|-0- « 42.5 час.
V ум
6.37. Импульс отдачи р =— 6,25-103 кг-м/с, энергия лазера
И' = ^-^2-108 Дж.
а
6.38. Нгл = 2,4 км/с; и2Т = 2'^ км/с.
Наличие атмосферы на Титане связано с тем, что температура на по-
верхности Титана намного ниже температуры па поверхности Луны, что
объясняется большим удалением Титана от Солнца. = Т3 «90 К,
где г3 и гт — радиусы орбит Земли и Сатурна (Титана вмссте^с Сатур-
ном). При такой температура средние скорости молекул метана и аммиака
недостаточны для их удаления в пространство.
6.39. 57 я; [7,2 с. где coj — угловая скорость вращения
Земли вокруг Солнца, ш2 — угловая скорость вращения Земли вокруг оси.
6.40. е = л = 0,015. Табличное значение е = 0,0167.
4(/л + /3)
6.41. <р = л 1 — Z1 |_£_| = 0,778 рад » 44,6°, где 7Ч и Тм — пери-
L 'М y<3} J 5 м
оды обращения Земли и Марса вокруг Солнца, a a = ^м + ^3 _ большая по-
2
луось эллипса перелета.
/ \ / \3/2'
6.42. <Р = f - 1 j = 0,65 рад = 37,2», где Т = 11 5^) ,
= 0,707 года — время перелета.
452
масса звезды т
«аа планеты, то отношение масс
- «орость движения по к(то
! = 0Л25 • ICT3,
, , i/з
I !
’ [ '2 ~ 3600, где п____ гг
-Xrpr(>q/ -* р плотность льда.
направить ось ОХ пл па-гг,„
воля). ось OZ _ по касательнУ-К ВеП1₽У Земли (точка О —
ения го в условиях задачи траектория*?' К°РаЬм в наг[Рав-
Раектория крышки относительно
-слипе причем xl/) = _2sin а
ХГ не™"™™ КРЫШКИ ™~°
-О УГЛОЕО“ “оротоыо вращения корабля
•'^с' «^полуось b = 370 м и большую полуось а л 735 м.
6-46- — = — — — 1,2- I0'3 м/с.
6-47. Г < зс!|2-^.
6-4/3. V/. - J12L wc - 10lJ/Wc.
Г - , , / хг\ 1/3
6.49. г = / —, 1г 0,9- 10 3 с. где г = 1,3-Ю"13 —) см=ь14км
* ^Щп/
6-50' F ; :-г-' - и с Энергия магнитного поля переходит в тепло
<-/7й.': coO.eoj- roi В = — j: j = оЕ; rot Е = — — — ДВ;
с с ot at 4ла
D = Dr — R1. откуда г
2Л ,
6-51. В = | — | - где Ро == 1.4 г/см3 — начальная средняя плотность
твиды: вл. ир. SS 3.7- tО'* Гс. Я„.м.~ 1.7- 109Гс.
6-52 Зеемановское расщепление должно быть больше доплеровского
уширения та счет теплового движения атомов (в основном водорода) и вра-
шения звезды, г. е.
453
Рис. 240
6.53? Решение. Будем называть столкновением такой процесс, прИко-
тором центры звезд, проходят относительно дру1 Друга на расстоянии, не
бълыцрм суммы их радиусов (в
нашем случае — не большем
2ЛСХ
Для определения сечения
столкновений перейдем в систе-
му центра масс сталкивающихся
звезд. Пусть b — максимальный
параметр удара (относительно
центра масс), при котором про-
исходит столкновение. Тогда,
как видно цз, рцс. 240 сечение
столкновения о = л (2£)2. Из законов сохранения энергии и момента им-
пульса имеем
= Mcb“=McRcv,
2 (2) 2 2ЯС С 2 с с
где v — скорость каждой из звезд относительно неподвижного центра О, ког-
да они находятся на кратчайшем расстоянии друг от друга. Исключая от-
сюда v, получаем
I 4- 2^V/c Д5 2)'Л7с ю2
Лс *с“2 ~ АсЦ2 ~
Соответственно, сечение столкновения
a = W=8u5^.
и
А так как длина свободного пробега L = 1/(ла), где ?i~N/(cT)3 (с — ско-
рость света, Т = 1 год— 3,2-107 с), то время между столкновениями одной
и той же звезды
x = -L = _ii£Z2--= 2,2-1021 с — 7- to13 лет,
nun SnNRcyMc
т. е. в одном кубическом световом годе происходит в среднем одно столкно-
вение за время
'=ж~1()13лет-
6.54. т —_L_as2,7 109лет, т. е. за свою историю астероиды сталкива-
ются в. среднем примерно 1 раз. Здесь н » 0,75 • 1О~20 км-3 — концентрация
астероидов, о = 314 км2 — сечение столкновений.
ЗЯ2
6.55. рк^ — £— а» 10-29 г/ см3 (полная энергия Е = К + П = 0).
6.56. 1,5-105 см = 1,5 км (точный ответ R < Ящ = — Р**
диус сферы, Шварцшильда).
45,4
„.57. « - 7 , < 1.5 км. Шщ, „т.|и fc|w||Mira мщга
»» ":и1"У™М 11 ........... ="Ч>™» которая „РСМЩС11 к
ы1|„..„кк-и> при «--О. Но э,о 1гагатат, ,, к. о61ца11 авды1юшмм
]|1М nt: може> превышаю Me4,) R
6'5tl- 'Ч^0'6'10-"™' » /3^ОЛ36.|О4ЗРГ/(С.С„2) _ c№
||С„Ш111 «»«««!«» (шюиюси. ПОТОКИ энергии Со„„вд „„ Зем[|ой ор6иге)
р- ( ,/см' - ттлопшетт. ежи, S[. те 0,6 см/с1 _ уС|10рс||ис сю6адюга
плдинпя, создаваемое Солнцем па Земной орбше.
6-59. । I -jB. Размер излучающей области по край-
ней мере нс должен Сплю мсшлис I снег, секунды (300 тыс. км). Однако
ко cool всю । вуе i крашению обьскт co сисрхснсювой скоростью в~2ж’,
( (. oipanii'ic.... 11:1 размер излучающей области нет.
6.60. >: ' 560 кэВ.
6.61. .V 5/ '"м 2.7 к.
6 62- «>> '"о • ——ё----------г-, огкуда релятивистская поправка
р t у со-. (/1 (| - cos (И
||1Ц. 7 • 1Сг!(). Разрешающая способность К a 10Q.
К ‘ ' "> ,1 |)(. , (•
z 63 „ *' о I- -) соз2ф)‘/г« 1,3 мм/с.
' ' »|Г
, fA. ,, -7 'i(n-Ц 7-.--1,33-Ю“3 дин/см2.
6-М- ' <• а -I 1
р hi с и и <• Имиу,п.с фоюна
р = hfc = f)~ Д,
, u л ,„к.,1|;|а„ка. - часюта «о,а. с - скорость света а ваку-
. нокача1с;п. приюилеяия.
И'.шу.и.с пааакччеи, саста (аавлениа)
„к w . ....ело фов-ноа на слииииу площади » «««У »Р—
Импульс Otряженною света
,жг„К!Г..’- - амилИ.УЛПЫЙ™5Ф‘^цие"ТОТР“а,,“-
Импульс ПРОШС1Ш1ИХ фотонов
Рз=(,_г7)Л/^. = (1-бг)^
455
Искомое давление? ' |
F=P1-P2-P3=^(l+r2-« + »'-2) =
С? 2(П 1) — __; ; ; .
= ~7^ГИ 133 10' яи»Н
Т. е. » давления направлена про гав волнового вектора падающч
света Именно этот результат кажется на первый взгляд нарадоксалввыМ; и
якобы, не совместимым с представлениями о давлении света.
6.65. ~ лД~1'^ " Г1 =7'|п~3 тин-см. Если свет падает на м.
4С п(л'~г1) I
стинку под углом Брюстера слева направо, то пластинка будет поворачн- '
ваться по часовой стрелке. I
6.66. Если главные направления плас ганки повернуты на ±45° относи- i
тельно плоскости поляризации падающего света, го прошедший свет будет •
поляризован по кругу. При этом свет будет переносить за единицу времени ।
момент импульса L— +nh, где п — число фотонов, прошедших пластинку I
за 1 с. Пластинка же будет испытывать противоположно направленный мо- |
мент импульса отдачи
М= +.п/г~ т — = тб.28- [0-5ди(1-см. '
е > I
Если одно из главных направлений пластинки будет совпадать с пло-
скостью поляризации света, то М~0. !
6.67. ~
* -R .
6.68. Уравнение колебаний: Мх + 16л1]£.т + pgSx = 0, откуда затухание
6 =±Е21 = о,О143с-1, частота w = JА-= 3.13 с-1; добротность
ра ' М ’ 2Z
g=4»uo.
* 26
6.69. F— 4К£рг2^ 4- Ю3 дин.
6.70! Решение. Для гравитационных волн скорость и и длина волны
Л связаны соотношением Поэтому волновые картины будут.подо-
оны, если все размеры изменить пропорционально квадрату скорости дви-
жения. Следовательно, скорость модели должна быть равной
3,6 км/ч= 1 м/с. Отметим, что в данной задаче безразмерными параметра-
ми подобия являются отношения u/v = Vgk/v и X./L, где и — скорость кораб-
ля, L — его линейный размер. * "•1
6.71! Решение. Дисперсионное соотношение для гравитационный
волн на поверхности воды должно быть: ш = /(Л, р, g). При этом размерно;,
сти [р]= г/см3; [g] = см/с2; [4] = l/см. Отсюда ш = Ajgk, где Л —fc?
размерная константа. Фазовая скорость v = — = Ад—, а групповая'скорость,
г- k Н
!1=^=а1£=".
dk 2 “fc 2
6.72. sin. d = — sin an =» 0,065
VO u
jSi
6.73: Решение. Уравнение волны Dacnnn
ногти жидкости, вдоль оси х (ось кан^ Х*РаНяю^й<* по поверх-
зля простоты равна нулю) ’ ИМеет вид (начальная фаза <р
У = Л sin (оз/ — кх")-,
_ с <
Пусть при х = 0 происходит скачок глуби™
«>0>- Тогда 1ТЯ волн, распространяющие, в „Т'"” (1<0)даН2
„моем при х < 0 суперпозицию падающей „ arp^XXoL™"””1’"
У-Л,51П l<rf~fc,X)+<1Shl{,s,, + *ix + if(_^
а при х > 0 — проходящую волну
У = Л,з1п (o>f-fc2x + T2).
На границе (при х = 0) должны выполняться условия непрерывности высо-
ты волны и градиента выесть, волны (последнее отражает неТрерыв^Х
тока». Поэтому при люоом t Е
.4, sin M+X_,sin (ШТ + т_,) =лгыа (ш( + Т2);.
COS COT - М-. COS (0>f + р_,) = tylj cos (ffi( +
Отсюда подучаем;
Ь+*2 Ж+Ж
~k^,A{~ 4fT^4HiAi-
В чаелшхгти. при Я2= 4Я1: Л2 = л-1=|А- '
Таким образом, при переходе на глубокое место волны становятся выше
и реже. Приведем также выражения для коэффициентов отражения^ и про-
хождения Т. ' .
2 2 г \2 / ___ \2-
/л.., . . r_fe Иу =4 uXEsSe-r;'R+r=i.
Й=!ТС.! ~\7нТ^й;}' *1 W 1Ж+Ж)<..,.
674 L<= 1 2-1СГ3. гаеИг = —10®'10 = 30,2^-'ялотностьэнф™ив
u J СМ.
заитоеой волне. s=-^ = 331m/c --.скорость звука.» воздухе, a.s
= * кТп = 2.5- Ю6 - плотность внутренней энергии воздуха.-: :r..i
2 ’см ....... лу. - - Л <Л« е в
„_2 Q (хД\''=98,7Л ще^ = ^“|- конетойгобь®
6-75. ^о-у^я ( у ) . ,.t.
V 2 С (t-i) =342м?. ..........Т<5
нефтехранилища V—-—j? I f J , ., •»><».
.Дл _ ДР _ 1 £»» I.Z-ltr’.-flaBHe®®™»™®^0^;*;
... Т-Т _QuL-= Т.,91 Нагрев обкладки может сущ»,,, i
6.7/ • J — ‘ Q\iPV IBeHito
снизить температуру газа.
6.78. - И'о = * 1,8 ВТ'
6-19 Nluax = oS (^Г ~ Г'') ~ И8 B l’ W 7п НаХОДИтся и?
Т4 (т - ~Т = а2 После подстановки данных;?1 I
уравнения?’ 1'и 4 х) 16 “^К |
6.80. N„„ = ^p-1j=”B-^=P" = 225K- . j
6.81. 7’ = vTpT='*00 К; W„,„ = “ ^г)2 ~ l(W кВт, [
6.83.
c I Л
6 g4 АГ1 = 2Z = 11 = 6, где Vj и v2 — число молей газа при темпериту-
ДТ2 ?2
пол
бо^
pax Tj и Тг соответственно.
6.85. A5 = 5fc|n2±-*ln^»0,16kTe 0,22 1016 эрг/К.
2 I н ' н
a f ,---- ( W'2 \ 1/31
<>•»• A^‘=2Nk Г' +7'2-2'/’Т^2 ]'
Замечание. Условие равновесия двух сред ecib равенство их хими-
ческих потенциалов p-i (?- т) ~ Hz(?> т) • 01 кУДа следует равенство темпера-
Hl
T)
тур и давлений. Поэтому совершение рабо;ы можно представить в два этапа:
сначала мы выравниваем температуры, а затем изоюрмически выравниваем
и давления (которые различаются из-за разносит концентраций).
6,87. xmPv^Т- я» 2,6%. где л — удельный объем, а <? — удельна?
теплоемкость воды.
6.88. ДТ я» -- др, где Cfj _ удельная теплоемкость воды,;рм-
С?РмД(м
плотность воды при 4 °C, Д/м == 4 °C. Конечная температура воды я» 0,4$г •
6.89! Решение, а) Считая молекулу С2Н5ОН жесткой, I
= 0,54 Дж/(г-К); в предположении полного возбуждения всех колебате®- I
ных степеней свободы молекулы (так же как и вращательной
Я = 4,3Дж/(г-К), где/—3 (п-2) =21.
б) Если считать справедливым соотношение Майера Ср — Су =
пользуя экспериментальные данные о теплоемкости спирта при постоШДО
давлении (ср = 2,42 Дж/ (г- К), получим искомое су = 2,24 Дж/(г К) Э
4,58
I б р мод инами Чес* па
Z ”“ие
('1|/^55Г = ^ = ».бДж/(,,К),
I,»» при комнатной темнеоа,».. , ,
. нирта а знанию,1tM степени Ч,®КОММЬ"1® степени сво-
, 1,3 “СПИ заморожены <~70%>
ТО. «217 К.
6.92.
- 27',
/'- = 6 * В 9'И'10"5=7Л->0-%мрт.ст.
(рг'3 Б стой ситуаций веда себя как двумерный).
6.95. Время перемешивания, обусловленное диффузией, л ^йз)2
> 2- ]<>'' ', ,ле Л - 10 5 см - длина свободного пробега Молекулы^при
нормальны/ условиях, м~ 10 м/с — средняя скорость молекул. Турбулен-
тиь ускоряет процесс перемешивания примерно в 10й раз,
W6. k = ^^=7,2.10-W.
frri'/'_____________
6.97. 7 « 5000 К, где М — средняя масса молекул воздуха,
6.98. г — с- Здесь «4» в знаменателе — следствие не Д&умер-
ноии. а плоскою характера фотографии.
6,99, » — у^.£’^ ^z- 15 м/с, где т — масса Hcftisi Ат.
I 2»1 .——
6 100 'г^ = -»4- 10-zcMz; V/r2) «2мм ,
3 /'о ’ли
hi.e и - 12,4 г/моль — приведенная молярная масса Аг и Н20,
6.101. Применяя формулу Стокса для силы сопротивления при вязком
ляи^.спии, получим
к [П9 fr-f ~(о-зси,
рбя р(р—pt,J2g2J
В осада выпадут настппы, ДД« вторых сред» высота столба, одаеяяал
т бародарппеской формуле, А ~ “ Ма“а Ч1°
леитио условию f/4
кО.Й'М^ем,
~ ^4(р-рс№/
Следователь/!», в краске выпадет осадок.
45'9
_®J________~4-10~3см, при этом установивши™,
. 6.102. r,„„- Л|4рр„л ВДЯИ«>
18 см/с. Здесь обозначено р - плотно™. ,
рость капли «уи-2,.р„ ,ь"*,
р = ДЬ = 1,16-КГ3 Г/см3, п = | ^Рвоз" = 15.7'10 5г/см-с — динамиче.
с” вязкость воздуха, 4,8 • 104 см/с - ереш.яя скорость молекул.
б.1оз. « = - - Р'. = 5А см/с; Re = = °135-
6.104. р = ^ = O.’i см3/(В'С).
6.105. Требуемое число столкновении " 1п 10 16, гдеё^-.^
тическая энергия атома аргона массой Мх, Д<£ - передаваемая энергияатоду
гелия массой Мг. (максимальная энергия при лобовойч,
дарении вдвое больше). Требуемое расстояние « = «1 =
6.106- Электрическое поле пробоя Е1|р = ^ 2,38 ед, СГСЭ. В ка-
тушке электрическое поле складывасгся из осевого £0 и циркулярного внх-
ревого поля Ег. Полное поле Е= Ve3 + 1.89Ео. Здесь Е,=^р
Е,— 0,Ф, индуктивность катушки L 200 см.
/с2 2
ПриЯ = £пр = 4.51 • IO11 ед, СГСЭ 150 А.
6.107. .г = 105 = 20,4 см.
6.108. T-у — Т, =~—— л 2,4 К, где с ft 4,2 кДж/(кг-К) — удельш
2 1 рс
теплоемкость воды при 20 °C, ар — плотность воды,
6.110. /1 = ‘1<Г°~7'‘)«770 м.
вот’
6.111. Q = 4лухр Тг~ ’ д. а 2,3 10-9
й = йа- » 2880 км,
’ 2 лур .
где Тг == Тдд, a TR = 300 К — температура Земли у поверхности. .
6-ЧХго = ^.О.43см.
3/2-1
ft 0,153 см.
М14. 7-s=[Ap)V, = 77K
д/ = : 0.02 К.
температура
ШР»>« поверхности,
6.115.
Р 1р<?)2(/
и льда.
/Ч’ Ме Лр Раз,1ость плотно-
I ЗА'|Х
4лрЛ'А
180 м/с; где обозначено
Рв — ПЛОТНОСТЬ
6Л16- ‘о9а-
paauje «минимальной» капли жидкости
6.117. г = 225 А.
— скорое 1ь звука в воздухе при 20 °C
6.И9. ЛГ = АГ(П-7^=1,65К; ДУ = ДР^105эрг/к, где
Др - изменение поверхности, с = 4,19-107 эрг/(г-К) - удельная тилоем-
KOClb воды.
6.120. U — — — 300 эрг/см2, где d 2А — межатомное расстояние.
Л/ ДГ _ О rz
р Л +р Л 3 к> т' е' температура кипения системы
t = 69 “С. Здесь Р( 0,27Pq, Р-^ О,73Ро, где Ро — нормальное атмосфер-
ное давление.
Решение. Кипение начинается на границе соприкосновения жидко-
стей. когда сумма парциальных давлений паров обеих жидкостей равна
внешнему давлению. Для паров воды парциальное давление:
0,27Ро;
6.121! АТ =
Р, = Ро охр
аналогично вычисляется парциальное давление для паров СС14: Р2^ 0,73Ро.
При увеличении внешнего давления изменяются и парциальные давления па-
ров ДР =Р ДкЛТ и ДР2 = Р2АДГ' Тогда др=д!,1 + др2 =
1 Нт
= AZ_ (Р,,^ + Р2Д2), откуда и следует ответ.
6.122. Л(0) =‘-L = ^-RT№k 150Дж/моль.
I) о
6.123. Р = Р02^-схр
К1Ш L" л// "мм ПТ СТ )• Рл = 1 а™'
(экспериментальное значение 715 мм р • . о
= 0,945 атмл 718 мм рт. ст.
461
6.124. Величина максимального количества жидкого азота налогу
решения уравнения А = ~ *''• гле А ~ 2,ЗЗР(И2 — работа
батическом процессе Пауссона, равная изменению внутренней энергии
_________^(/2(',«-2 5^ = Н.Зсм3. 4
_______ SJTol-SJK) _ 4.6(70-7-,)
6.125. 7\-0,01-2 К; X SATA - S^TA ТгГг^ТбтГ'°’1». '*
— корень квадратного уравнения
. D 2,ЗЯ ,т-2 т-21 R In 2 ,j. у.
№ = u 277- (Гк 1 о) у~_у Vk-'o)-
6.126. 1^- х*Б. Знак зависит от начальных условий. Если виачад
маятник был неподвижен - и раскачался, то <.+•>; если вначале были и.
лебаяия, а в коние маятник остановился, то знак «—*.
6.127. т = £ = 4.4 10"6 с.
е ’ 2
6.123. Дч> = Ed fl -jin te- 11 =т Ы In Ц- = 207 кВ.
I 2L; \ a } a
6.129. 0=--^ flf» -2.6-10"11 Кл/см2.
4xR" \ '/H rR /
6.130. / = £5-?п- = 6,67-10~4 ед. СГСЭ = 0,2 В.
2л
6.131. £=7,48 см; г=с 1.6 мкм — радиус шариков.
6.132. 10-5дин, где = - пг3 4г3.
(J+Rf________ 3
6.133. D = 4L = 1,32 мм. При расчете полагалось, что даа-
V eVt
метр светового пятна на фотокатоде d « D.
6.134. £ = — = 1,33 ед. СГСЭ = 400 В/см.
еЬ
6.135. 2«4г2-/7лР= 1,876-104 ед. СГСЭ = 6,25-10~6Кл. (Формула
справедлива при = S- \0 5см). В случае r<iz^ величина заряда
Q — 8 Параметры задачи соответствуют первому условию.
6.136. =4,71 кВ.
2 °
6.137. т = £- ln^Zr), = 5,6-10~4 с.
2 у.У
6.138. Поскольку подвижности ионов постоянны, то постоянны их ско-
рости yj и v2 и ток меняется скачком в момент времени tj прихода одной
из ионов на пластину. Обозначив через х путь первого иона, a (d-x}~
путь второго, получим . ;,/
^'=^'1=^(Ц, +и2). o<(<l,=i
а 1 * vi
^ = #2 = j£L„2, = ...
462
0.130. Г
(..140. п
^"72МэП; "=44/mw,091c
чокм Mail.|J0M ’ * « - ПЩ„ИЯ
- > ПОМ v ..реме,,,, 1~, Р^пирсвд,,
11|ИП| Гл/с*. Э. 1Л-11 *1Ю
МО7.
I 5-Юп)’е- В2 п
' ^==О'995’1О12М/^ ,лб
йЯ Ю°атм,
см 1
'','10“''С; = = S' Ю4 Гс,
Й'1М‘ “ .................... П'»««отсюро„и,ра.
111ИПИ1 КО пли <0 и 01 VIли Между векюрами В и п Р
cool к< -IС > в\с I i.ipMoponcKoii часюге (ipeneceim “°луче11|’ый результат
.............. “га™11
0.145.
К‘Ь|'Я/
? 1. За i час угол поворота
0.147. / >-
I’ г hi с п и г /l.t дим к pat кос решение этой задачи. Магнитная восприим-
чнпоси. >-|Н?0) поды (пода ирак1ически несжимаема) от давления не зави-
ли Л hoi >:{()_») i.tjooCipajiioro кислорода зависит от давления. Полагая, что
с роеюм давления опа ранеi прямо пропорционально, запишем ее величину
при искомом Д.П1ЛСНПН /\ как х(02) Воспользуемся принципом сулер-
iio.iitmiii добавим и .шпинем» кислород в объеме капли. Тогда мы имеем од-
нородный фо11 кис юрода, на котором расположена капля воды с эффектив-
ном магнинюп восприимчивоегыо
= х(Н2О) — и(02)
Онредслпм мгипшный момент капли воды
= >v = кзфф//К w хэфФВК‘
Сила, лейе,»у.о,„аЯ „а Ь,ап,ит„Ый момелт капли в „«дородно» май
типом иоле равна .
F; = (| ^.= ^(Н20) -х(02) iij VB^.
463
Далее, рассматривая равновесие капли в гравитационном п
фере кислорода (учитывая закон Архимеда), получаем ответ- ЛеЭагМоо-
р p(H2O)g4-x(H2O)
=10,3,
F|) р(О2) £ + х(Ог) В
т. е. левитация капли наступает при давлениях г 10 атм
6.149. ^ = 1К112»0,19мА.
cl'b.
6Л5°- 10''’ * п’ ~ часто'га г,рецессии "ВД*ЙСТ»
ем силы тяжести. Два знака ДП означают, что есть два возможны
ления намагниченности I — Вдоль по вектору L и против него *
налра}-
6.151.
6.152.
5 = Л
5390 Г с, где R = —= 2 см
2 = ±Е^» 3,75-108ед. СГСЭ»0,125 Кл.
cR___________
6.153.
6.154. s % 2400 А.
6.155. ^ = 2^!= 124 ед. СГСЭ = 0.0413 А.
6.156. ш2 и-**, </>1 = 1
d м г 2 <о
85'
6.157. F =
h
дин/см — провод притягии-
ется К ПЛОСКОСТИ.
„ —2/3 ( и \
6.158. Ly) = 5.9-Ю4 дин = 0,59 И.
6.159. д = J-£= —= 1,12-10'24 Ж =0,022(1.,.
2тс с Ч lOitpr Гс ™
„ Л/ «У Г2 '
6-160. — = —— In —. г
с И fi .
6.161. V. = SL_= 164 кГц, Да = — 30 кГц,
0 2лтс RB
где т = 28-1,66-10-24 г — масса иона азота.
2.3 ,
6.162. S~^r -r2 ez, где ez — единичный' вектор в направлении Тока.
пес
4’64
(„1й.' < g у1"9,8 Om_L sT+
e 14.4 икф. <* *< = [rf ” 'i - W 0*
' 4.166. >< - ,7'Оч'_ "®^Л + Й + ^'Ж 4S>S
3,(,.7l>>, '<" s tsm
— M0iiuwcHHi0tgpbH&ffgpgMsnwww§^gpp9wwm,
(M6/« -(ij )'2;iflp '
6.16». t - -Sj-^nc, r№ Ce__jAL_.„F,
'' ' л ®K/e = №•-
„щлмйо №Ц15>и и» даиииюй
л,I(fl, О -%—-; = I» <4»рмуда задиеа!» в ядаеив СГСЭ).
7.з / /М
6.171. .7,., - W- W3 А. у-~з®
_______ A'f — «."g— *9/
&2 l2'lf/r<-\ ij—~e^2t2/:f4 --=- глубин ордаикдаееиш дол? л вд-
/Лд/Т
;1ИН/1р 1 — ?и~^ 5,5 МС'
/?с /'
6.172, ё/,„ - S/<, г - ‘ « 1,6' 10* А, Г® гягвш» цимпймм
Un (.1)^ — /А)
,,(-)'>‘^l:i ^Ре,^'А ироле1а х — 0,S£4£)--3g оцё^ш&я да фррмуда
о = с JU— = 0,28 см.
'4яо о , J»
6J7X Л = = Ю4 риткдв,
6,174 , о = -цАлзо.
" ’2г 3
0,175, IД<?| >-^^т^2,4И0чгФ, гда7’яг2я^»44Н€^да’
1бхЛг ,
рйед долебзиий; «= 2,4'/0^ .. .' . ’ .,
6,176 * Ретен и е. Наличие пучкд придали? к диэдактрида^дай лррии--
«дам0<гги
^Жх/ = . -=1,06, f . '
Поскольку искомое соотношение
/ 2 \ "1/2
^=1Ё!=1= 1-аЫ
ед R \ ?+ I
то отсюда следует: --— VT+ а — 1,435.
<1)0
6.177 ? Решение. При грамотном включении волновое сопротивление
кабеля равно сопротивлению излучения антенны и входному сопротивлению
телевизора, так что отраженного сигнала не возникает. Параллельное под.
ключение к одному кабелю двух телевизоров эквивалентно подключению ак-
тивного сопротивления, равного половине волнового. Из-за неточного сопря-
жения сигнал будет частично отражаться от разветвления, однако повторно-
го его отражения от антенны не будет. Если
обозначить амплитуды напряжений и токов в <------------1 |.
прямой волне как Uo и q70, а в отраженной — I J.
U< и S}> то в точке разветвления
У = Ц) + = = {<^0 + ®Л) у = у
Рис. 241
(.Я Я/ 2’
откуда
_ 1-1/2 _ 1
Uo 1+1/2 3'
Мощность отраженного сигнала будет равна 1/9, а рассеивающаяся на
половинном сопротивлении — 8/9 от первоначальной. В каждый телевизор
попадает 4/9 первоначальной мощности при амплитуде в 2/3 от исходной
(или 10 1g —= 10 lg^= -3,52 дБ).
N1 9
Можно предложить еще и такое решение. При оптимальном согласова-
нии кабеля и телевизора RK = RT (рис. 241) мощность в нагрузке
2
R =
uj
4R'
л R*
А при Ят = —- выделяемая мощность
1 ^ЗТг/2^ 2 9 7? 9 0
6.178. Е% = -6g/n; Еп ъ 4,6 ед. СГСЭ = 1,4 кВ/см.
и ус V
6.179. N = ^9^с_== о,4. Ю9 эрг/с = 40 Вт, — предельная мощность
16V2Q
определяется пробоем в электрическом поле Ео.
6180- Е„,ак = = 1-1 О4 ед СГгч
Wo 6 С«сгсэ=5.1о5в/га1
6.181. До/= 2о/^ = 2.|О-ц
6.183-Я(
6.182. Д - Д(2 _ А =
2 ^iitgT^ 0’049 ем ss q j
дина га центра шарика. 6 ’° Мм- где z0 - КОор.
!6"<gMmax ,
~ 4.3 Э, где д
/ па l! ^нах максимальноепткпг11,
шарика upn z0 = - (положение №„тра шарии)
6.184. Ео = = 455 мкВ/см, где скина.
||0М/ =w^= -820 ИЯ Г",бИ™
ll0JI>1 ‘сх л—=820 см
6.185. f/ = r3^Lwl = 1,5В.СМ2
6.186. iit.
1,22-ю13 см"3.
6.187. Л = /1<и-4!2Г = 4эв.
6.188. 1,л~л 10 км, где (т I „
k /~1м - расстояние между фарами.
с/л: 5 мм — диаметр зрачка глаза.
6.189. а = 15см.
6.190. Дя= гТдх 1200 км (более грубая оценка Д2/Х).
6.191. Размер ан гонцы должен быть равным минимальному размеру ши-
рины фроша A.vmin = ч/1,22XZ 110 м.
6.192. £ ^2Aj2^8rBT.
6.193. ^^-£L^2-1O5cm^2km.
6.194. 5-1О“9см3.
Ф
6.195. При восстановлении плоской волной с длиной волны k действи-
тельному изображению, т. е. сходящейся волне, соответствует граничное
условие ехр (-/-5—] = exp откуда следует условие, что
X()Loj AZ, tyLo}
предел разрешения д А д a = ^.qLq. Это означает, что предел разреше-
ния не изменится. Здесь L - расстояние от голограммы до действительного
изображения предмета, D — размер голограммы.
6.196. Здесь возникают биения разностной частоты, регистрируемые
низкочастотной системой. Частота биений
Д„ = „0^=70^Я'31КГЦ'
467
6 |97 m>*JL=2,5, т. с. III » 3.
9.12/ . т > f m
6I9S /<““: Кроме того О (условие малости углов).
2Х2
6.199 . |slnO| = s '
6.200 . 1.гу- = 2-10-4.
6.201 . Расстояние между главными максимумами, также как и интен-
сивность света в нулевом максимуме, уменьшается в два раза.
6.202. т = — ЮО нс,
6.203. Q = '°-
6.204. O^LS-^I.SCM.
6.205 . Дл»— (изменение показателя преломления); ДР as 3300 Па
6.206 . Распределение интенсивности c7(.v)=2c70
х -Ьсоз^У Число интерференционных полос (рис.
+ 2^1+^.
|~sin (k-DxlZF)]1
kDx!2F ] Х
242) N* 1 +
Рис. 242
6.207 . 1,5%.
Да
6.208 . л;. -—_2—
2L ,1-X‘S
I 4X1
6.209 . Длина когерентности /К01. яа _£_ « 0,3 см. Поэтому будет виден
лишь нулевой порядок: вначале при отражении от передней грани при
Дл = 0, затем от задней грани при х = 2dn — 2 см. Затем будут появляться
следующие порядки интерференции убывающей интенсивности.
6.210 . та/.. ,^3,4-10-Цс.
С(пе-по)
468
6.,и M='"=^=5.3.l0--8
/'
~-2
_ 4wL.c' , / \2
М1'" ' " * 3/4 ИУ“оре|« «трона
.........7"-|аюме"С|,ия"М9пв™-™-чИМ0ВМ0Ц2Х
6.214.
360 В/см
6.215.
6.216.
Ъ - ш см. /ф-4?1 |j_j %2см,
-[Ф, !-Ф2-ьЛу^СО5(Д^^л)1_1_=()126_ где Д1() =
я (Оi раженный поток от первой поверхности — =
Фо ^2+1)
ироик'.ппии ноток Фо = 0,83Фо, а отраженный от второй границы
6.217. Л " 0 034. ).ю R = r} + r\ г. =2lL_L = 0j3, >з=-п "с -
1 «п+1 2 «п + »с
0.13 />, — //- — 1.69 Здесь Г[ и г2 — амплитудные коэффициенты отра-
-ния ch границ вакуум —пленка, пленка—стекло.
6.2IR. F ~ МА, 0.42 дин = 4,6-IO“6H.
6.219. г - 0, г. с н<|б.1юдастся полное прохождение излучения без отра-
жения
6.220. <5 = Q» - (+-J хтрДТ- » 700 эрг= 7-10"5 Дж, где й.Т х
1П j = 2200 '‘С. /1 — атомная масса алюминия.
6.221. =8d03.
6 222 ф~ Г> Zp'Va''Zx =- I о-» ряд Дифракционная расходимость Лф~
6.223. .р = 47 - 5 •1 Х = Т ' ЯЛИ,И ₽“ТГСЯ°"
вских лучей. Д = « ^13 - - “ССИ,“ИЙ ₽ЩИУС Э“Т₽0НЯ'
; N = 4.9-ю23 см-3 - концентрация электронов.
469
6^24 J v2to 7- IO20
№ v? — vj i\'e~
6.223. = 10-W; 1^.1 = адт, ДТ = 10~s К
L w I co 1
I2
6.226. ДХ = i 6X = 50 bi.
A«
700 св. лет.
6-227- 1 =игтЖ) = 5’07'10 c-
6.228. Появление спутников при комбинационном рассеянии обусловле-
но процессами рассеяния фотонов с поглощением и испусканием колеба-
тельного кванта Йа>хси1 = Отношение интенсивностей
’крас
= s₽nT? = CXP ТДЦ ®<М«^0.34. В этой формуле обозначу
7г(со,7') = ехр|Л®-) — 1 — среднее число колебательных квантов
L гвГ' 1
6.229. Учитывая то оостоятельство, что не весь резонатор заполнен по-
глощающим веществом, эффективная длина пути, которую свет проходит за
время генерации, будет равна Д>фф = ста = 5,4-109 см. Интенсивность вол-
ны 7(соа,£) =/0(со0)е~х£зфф, откуда и 10-псм-1.
-С-эфф JQ
,\м тЛМл\ — ЛЛо) ,
6.230. Изотопическийс двиг — =-------------= 0,86-10 6 <
со т4рУ1з9
1,05-10-6. Резонансное поглощение будет наблюдаться
с V М
6.231. Т S ~ Г”.е<У2э.Т= 275 К.
Afi М23М22
/ \ 2 ,2 2
6.232. TS — 3,3-10~7 К
\М / \ ^ /
6.233. Иф = ^=^ = 0,5.10«>см/е; „гр = = 2„ф = 10«>ем/с.
6.234. N = —Ц----Б-^=г = = 7,67 • 10м см-3.
Sevd 8evd
6.235. 7 = ^4.
juice2
6.236. 13,5 M d = 2d, x 2J м (х = 0,508).
4лтх 4 1
6.237. Л=УЦ4^ = 9.3-10-5см-3, 1де£=£^ = 1.
( е v /о 4
,6.238.. Коэффициент поглощения излучения
.!>?) ’-“Р “ГТ »
-- а, =------_А_° Lх _л________
fe
уы,<имп(шниыья tHipiiuia twnwwfcu ,.
WJ rt-l 1.И = №'l»l. OH<yyf| ыьдж j. . „4§”^у iAiftckbfe te,i[iih_
Mill. /СТ ?8lllllt|;T a 60 кГц.
«.Ml. / - * — = 1.47-10* K.
r :xR ilka
'6km^
6. M.1. " у/^h — « 27,4 км/t, yt M = ЗпЙ|р
I . 4 32 ~~
SJ44. f = L |-I - e(0) I = b.83, «=1/T%6,9l
(U'K /’„,(„ = 4.(, aiM.
I '- illrlmc При скорости частицы Й>£ _ rfi.au. .. ..
ц '> Tl -фазОвои скорбктй свёттт в
eut'lc -- nrallilnat'i коНпЧсскпя поверхность огпЯт.!.и,„'ю
fcO-teiliH. Нстгачщсю о, движущегося электрона (рйс 243) w *!*
il cooihohiciihcm Р ‘ )• При ЭТОМ угол
tm " «Г ' ра ” 1 т где 0 - 3” - заданной угй|. Отсюда
с п ((—е2/2>'
Цц yHdrnifo задачи п — 1 = а <к 1, тогда
Ь =--------1---+ =
(1+«) (1-972) 2 с
А2
ЬгкуДа Слсдуег а ?—= 0.00137, т. е.
ЛЬкязагсль преломления лх., при кото- / £ *4 / Y^K
f/дм реалпзуе!ся указанный процесс, / п А 0 \
Р(ве'1ает условию /1Х — 1 ? 0,00137. ~ j ' —►
11ркйзЯ(ёль преломления воздуха \ 7^
//^ = ^ = 14- 4-hNci. где а — полярйзу- \ /
feMt/tfb молекул. N — концентрация
?ЖскуЦ, N = ~. Поскольку показа- , Рйс. 243
к'Г ____________
ifeilk преломления H=V1+ 4nNa
» I +1ANU, то II - 1 xl:Ml = ~±P- Таким ббр'жюм, при даШоЙ темпо
twtyjjb II - i ос р. Отсюда следует отношение
"т-1 =7 т. е. Рх = ?Ь Y = 4|S “™ = ^И'
llb-1 Рц ™"‘
Давление воздуха (при t = О °C), при котором реализуется черепковское
. излучение под углом 6 = 3°, должно быть больше 4,6 атм,
6.246. Р = Ро 40,3 атм. где и >£= 1,01812 — условие возник.
новення черепковского излучения.
6.247. Т = me2 I . ) = 4,54 ГэВ, где " = 1 + ъ; <"о “ О = 1.015.
6.248. у I + „ > Д|1 + 1.414 >„ > 1,254.
6.250* Решение. Потенциальная энергия атома в неоднородном поле
U (г) = — £е2(г), откуда сила, действующая па единицу объема
£ VE2 (г).
2 И
В условиях задачи эта сила паиравлска по радиусу к центру, Условие рае
новесня жидкости приводит к уравнению ~ — F. Интегрируя его с гранич-
ным условием /’(«>’) = 0, получим
Из условия задачи следует, что е = 1 + 4jtci/V/V£ «г I, О1куда Учи-
тывая граничное условие па поверхности шарика P(R) = PTU, находим ра-
диус шарика
6.251! Н = — as 40 см, где им — масса молекулы кислорода.
Решение. Проекция магнитного момента молекулы О2 (в пренебреже-
нии вращением молекулы как целого) на направление внешнего магнитного
поля В квантуется по правилу
Здесь gj — фактор Ланде, ,иБ — магнетон Бора, utj Е {—J, — J + 1,..., J}-
проекция полного момента количества движения нсспарспных электронов/.
Так как J = L 4- S и по условию задачи L = 0, то J = S — 1 и gj = 2. Следова-
тельно, возможны три значения проекции магнитного момента: —2^Б; 0;2рк.
Вероятность того, что молекула находится в состоянии с проекцией nijZpj
пропорциональна ехр
средняя энергия молекулы
( т,2л..В\
__ 1 nij2^B ехр-----—
^ = 2
ехр
472
>.69.10-2
1 "ОЭГОМу
к- О,
11 1}
.....—
“*М П»„у.
’•ИДКОС|И V
1' Т°"®
о ч“с« молекулы ог.та-
•S 'U|X р5
.1 ~ '|р|1рав||11к|>| э,у т1г ксу
Н
40 см.
<„ 2n,ts'- 26.2 МВт. где
еЛ
fit’<Я(ПШ((ИИ С ТОЧНОСТЬЮ (О-# 1рсбустс«
16
Необходимое время / = JL =
10
б-2»6, ' 11 9-Ю* ipi'-ЮчЛж. где лк1 = 2Ц — класси-
тс
• ’' ?•=••''' • {.г"*1нч. ч го движение электрона можно считать
r.prlcHHMM им импульс Чтобы эффектиа-
-ч •' •. ?. -'б.лдямп. чтобы вся энергия излучения падала на
6.257* • - 6 ') иг' ! и- С =2.7^7. а МэВ-энерговы-
/J 7 "
Ре;';- м скача та протон-протонный цикл образования в-
Jp-pJe -t-2e*+2vr
я габ.;;/>(,}ие значения избытков масс, можно получить выделяе.мую
“ Р’'2‘<ииял эгсго никла энергию
q = 24.68 МэВ 25 МэВ.
473
Определим подробнее энерговыдсленис в реакциях образования нейтрцНо
Если добавить слева и справа по два электрона, то получим
2}Н ->?D + с+ + с>-,
где |Н и — нейтральные атомы. Используя табличные данные для из-
бытков масс, получим
Q= (2-0.07325 - 0,014102) -931,5016 - 2-0.511 «е 0,42 МэВ.
Однозначно определить энергию нейтрино нельзя. Однако можно утвер-
ждать, что она не превосходит полученного значения 0,42 МэВ. Таким об-
разом, энергия, уносимая нейтрино, составляет менее 1,7% юду)
от энер[х>выделснмя цикла. При этом нейтрино сразу покидает звезду, о/
тальная энергия, выделяющаяся в реакциях протонного никла в центральной
части Солнца, поглощается окружающими слоями и в конце концов уносит-
ся фотонами с поверхности Солнца. При этом мы пренебрегаем энергией
уносимой корпускулами (например, солнечным ветром).
На каждый акт полного цикла рождаются два нейтрино. Определим те
перь среднее число фотонов, выделяющихся за полный цикл. Очевидно оно
равно
где ~ средняя энергия одного фотона, улетающего с поверхности звезды
Полная энергия
излучения
£=$»(«,) Ло.
где ©(со) =-^j — число осцилляторов поля в интервале частот от ш до
л с
со + d<x>. Число фотонов
г £>(о>) dw
J ? Ло> \
о ехр -гт -
Тогда искомая средняя энергия фотона
“ з
f со d<j>
Поскольку скорости нейтрино и фотона одинаковы, и можно считать, что
они вылетают изотропно, то искомое отношение потоков нейтрино и фотонов
Де^«^=0,93.10-’. мЙ
/у . У У
474
?WW ^.ВДХШ Ш.
i ‘ ц цршмц iu>W w w?mww C9W\ WM №
> ii,l.'V/\ stft^f3.
\ 1J? 1
t. iukar w^^WMWW W’> ШЖ
&v,\ - x7р2(2)^ f te$2, \tyO9M
u Qupc^wic» ур^шж Ц20,“
1 nn- - ^JEz^ (рцс. Щ}. Эде^ррц дода
., vuptj (Мрьер. Rcpo^yi^v ширдаш W
получим
ы. ( i bn <н “ гм ho.’-inюконская длина
u.i ilUt .* *. <- i jl.ili.i I 4i .«.I
.. - . :.(> , 41.hl ’< |<Г|Ь.
o.ioi: ' I I, !•„ I> llj л 8' 10" aiM.
P.. ш.. n ,i lb nil.;,) |к.и.||ия произойдет, когда
•пипа ип16>)4<1.п и Hpoikui tn.ii.1 порядка размеров
ciki./ii.i IL’ia.ii паи и iojiiocib ядер n0 == p/VAM,
(Ю-МЫСЮН rdr- Ц - frCl/r)i. ijc = 3»j/(4np).
LiMiM обр.ио.ч при взрыве
Бис. 24^
| Л; / - i * 4-"
и радиус надо \ мспыпигь в -^11 раз. '
Давление преимушссгвенио определяется эдекгрощшд| р^зрм;
Ильных условиях в металле
раЛ ,,г„^ ' =4,4-Ю11 Дип/см2% 4,5-105 атм,
5 *- 1 5Ш(. \ 71 /
где п = 2„0 _ концентрация электронного газа, 2 - валентность ура,а
Уравнение адиабата. PV™ = const. поэтому при взрыве
д=ы®=н5
Таким образом Р = Р0- И5 = 7-25’1О'0 а™'
6-«2 = ^“ 2500 Э'
Решение. Согласно условию задачи должно выполняться следую^
усЛОйИе
где b = jV"1/3 — среднее расстояние между атомами примеси, a R - лармо_
ровский радиус закручивания нары как целого. Так как Циклотронная час-
тотадля пары 10 Ра«иУс закручивания нары (а - мгаиен-
ная скорость центра масс пары)
n _ V _ vmc __ РпарС
~ш~ ell 2еВ '
Поскольку координата центра масс пары локализована на расстояниях по-
рядка то импульс центра масс пары рпар нс может иметь определенного
значения. Т. к. среднее значение импульса равно нулю, то согласно соот-
ношению неопределенностей
(/’пар) шах ” =
откуда Bmirl =//г, = -^3г = -^г. Используя известные соотношения
2е$
A«2V-
Д m ню
получаем
mcak&Tc
с2~^^~' 2500 Э'
6.263.
6.264.
6.265.
—='J(AQ)2 etg2 б-Ь |'^2+ f—) 2
Г 2 \ “ / \ ^ /
^ = -^—^25 см, где Дп = Ъпп~ =
4Д«£ ° 70
Так как разность хода между осевыми
= 1,3-10"3.
10-5, дп0 — п0 - 1.
и периферийными лучами
равна Д — Lyjfy то число колец N = I 4- А = 3. При этом центральный мак-
симум считаем за кольцо нулевого радиуса. ; .
-qoj 6*266. Волновой, фронт, сразу за нелинейным образцом станет не пло-
ским, а выпуклым и его форма вдоль по оси. г примет,,.-вид
s P//„ exp ( - '• /«d - Максимальный' угол
к волновому фронту и есть искомая угловая da« HW,
,С,„П К
................................................
П ютноегьзаписир~ _4.1<в
аккуратный подкол сое гоит в учете срока «fa**,. ~.
примерно '» -т, т. е, Z 109 с
у'°Н0ПРе®"*»вЖн»
"зЮр°” 0 еХР ' кар*»»
1|)~цГ',с Отсюда следует, что aV к и S
-3. Ю' н СИ2. <1Ю .lae’i плотность записи р ± 1 3.1oi2-c-M-2^ '
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Последовательность заполнения состояний в атомах и ядрах
Составные части атома: электроны, нейтроны, протоны являются-
мионашт, и поэтому как заполнение электронами квантовых состояний
атома, так и структура нуклонных состояний в ядре, полностью оплелЙ
лязотся принципом Паули. Однако форма атомного потенциала отличает
от таковой для ядерного потенциала. В атоме электроны связаны с ядпСЯ
кулоновским взаимодействием. а связанное состояние нуклонов в ядре во
никает за счет сильного взаимодействия. Поэтому, с одной стороны, струх
туры квантовых состояний в этих системах во многом подобны, а, с друдг
стороны, последовательности заполнения состояний в этих двух ’ системах
оказываются различными.
а) Атом водорода и водородоподобные атомы
Электрон в атоме водорода и водородопобных а гомах движется в чисто куло-
новском поле ядра с зарядом Ze. Поскольку при движении в центрально-сим-
метричном поле момент импульса сохраняется, то стационарные состояния
электронов можно характеризовать заданием энергии состояния & квадрат
момента импульса I и его проекции ;п(, а
также проекцией спина электрона
s Р d (так называемый полный набор квант-
вых чисел). При этом энергии стационар-
== — — ных состояний определяются формулой
где п > 0 — целое число. Это число назы-
<g _____ _______ _______ вается главным квантовым числом, так
как оно полностью определяет энергию
состояния. При заданном п орбитальное
квантовое число I может принимать зна-
^2 чения от 0 до п — I.
Независимость энергии состояния от
величины I носит название «случайное»
----- вырождение и присуща только кулонов-
скому и осцилляторному потенциалам: В
PjjC 245 общем случае (даже в центрально-сим1
метричном поле) это не имеет места..
В отсутствие внешнего магнитного
поля энергия состояния не зависит ни от магнитного квантового' чипа
mr—0;. ±li, ±2, от спинового-ms — ± 1/2. Поэтому число'состо-
яний с одинаковой энергией при заданном н (кратность вырождения)’ равна
п—1
(21+1) = 2п2 И)
4=0
478:
0,1 lUUHIKI, cun I lie I с I liyioliuic различии,,.,, „
„ими ...и >un|,niiHia Им|ММ/ивйна«.^
/ = 0,1,2 3 4 = p*"Saiei
(Ui-0.11' »"«• muiupmtH без у<!0|нЮИкОЙ ,
r” ... ,
11„„,лпш>- жк,|Ч1|И1 ч млотолеМрожи. и„ма/“*Ш
Ш,|Ш, но .нкже и нолем всех есЧЮЛиЩ Имщда
,#i(n4, ip,Л'1,!।is, Hiepfuil MwjpoiHta Сомощнй *¥>
иим* ч"‘"ч wmwriiM задача
„„„„ИРШ „ли,„о .«мрот» 8 эффективном **» »
сямм"I 'inii'DiiilllcM. Осташдада ЧайЬ мваг£-К,'Л“В[‘® ®
**'«”• плорля не ежиная к iioinpaawtony UeJM*W
гсыпиши, И *•*<•! быть гчгей» мк llollnaBks uarnm « ***** MUM
hmmu образом ЫЙЛ-давдада’Н)В *ЯИ**««И
*"»*
,„„,,,.4/ „ ,,,. ор.чянн,.;,,,,,. |(ри заданном/caWM(iJs э»Хь£“
«оря, IP,™» 1„т нрпняю нумеровать чдаломн, «рШМайтЬлдай
I t I. / * * Числоп ,«. аналогии с атомом Здоре® 1шш
““'J?атомл **•* **«ий»
C"W"“ о г дельного электрона в атоМё, зЙдаШе ШйтойШЙ W8MH
и. /. /'// >”< приняю ооозяяцягь цифрой, соагветбтву/офй кван-
н&ею листу " и буквой. соответствующей орбйтяльйоМу квгШТбйрму ШлУ
I Рели г. (П'юянни с данными л и I Имеется It электродов, тр ИШ
пдфиг/рдпия оГкииячаегся как (н1)* ИЛИ йросто’ Ц[{ ТаК,- ИййрШр,’ ct^
крушение .V'" «Hia'iacr. чго имеется два эЛеКТр'бйй С Ц = ^ Й Z= I. 6б
ке/грС'яах. имсиннп/. одинаковые кваНтовЫе Шла Н it i, fttftyitf йаЧ- о&
yf.^sa-Kiffnt,t< vifKipbHUK. Лля элих эЛектройов сгУрайй/Лй’ йр'ЙйЦйп Йа'у-
я состоянии iilni/nis может Находится то’лькб’ одЙй'эЖтрбй.
Тахим г»бря.«'М. при ладанных п и / в атоЫе имеется не'боЯёе'4-'fj
элехгромов. которые образуют .?, р. с/, /, ... обоЛочк-й.
'Гермином пбилпчка час го обозначайся состбй’йй# t ШйтЬйлм
лйслом п. (хна мсгжег быть зяполиейной йлй Дез'ап&ЛйейЙой; й Ш^йЙб'Стй
гл того, все иди нс все состояния в Ней эййя^Ы ДлеКДр’буДйй.-'О'ббДбШ б
п= | называется Х-оболочкой (она С Держйт сб'СтОЯ'Ййя' М\- СЙ= 2: йДз'Ы-^
ваеТся /лс.бояо’«ка (содержит 2s и 2р сосТО^)> й' «' -W«W Дб
алфавиту Л/-оболочка с состоянием 35,- ЗД 3// И Да'Ле'е'л'-У
В приближении центрального поля задаййе эДейроййбй £6y$W^«^
т е. величин п и / всех электродов. Полное^'_6rW«
При этом состояния, отличаюшйеся ПроеКЦйййй' htl
„я» являются ,ырозданными - э^ргйя' аЛ
зависит от взаимной ориентации
W*. Учет нецентральной части
тыого остаточным взаимодействием,. и
(отавным образом слин-орбиталбйого взаимодбйб р,. г, у ,
этрго вырождения. _
Чтобы Описать состояние атоМа, наДо
><Спиновый моменты. Опыт Показывает,- гГо
,пцнпе взаимодейсгБие больше спин-орбитального. В этом случа,
?аТьХ момен™ отдельных электрокод екладЫиюта в сучмар^'*
гальный момент атома *
Opfi.^
а спиновые - в спиновый
S = 2s„
„ потный момент агом равен векторной сумме L и S:
J = L-S.
Указанное приближение, при котором орбитальные моменты
этекгронов рассматриваются независимо от их спиновых моментов н2
название приближения Рассела-Саундерса. Говорят также, что имеет ме»
(А5)-связь или рассел-саундеровская связь. ' •
Состояния атома, характеризующиеся данными L hS, образуюттакн&-
ваемый терм и обозначаются большими латинскими
S Р D, F, G, Н. .... которые означают, что полный орбитальный момевтДр
вен соответственно 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Слева вверху указывается числом/
называемое мультиплетностью терма, внизу справа — величина полного^
мента/. Такая запись называется спектроскопическим символом терма. Та
например, символ 2P\n означает, что это терм с L = 1, S = 1/2, Z = 1/2(Вк
заданных 1 и 5 полный момент J может принимать и значение 3/2, тогдад.
будет терм 2Рз/2>-
В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием интегралами»
жения являются орбитальный и спиновый моменты, а также их проад
на ось квантования. Таким образом, полным набором яшвдп
п, L, S, Ml. Ms- Энергия терма зависит только от L и 5, но не зависит?
их проекции (т. е. имеется вырождение по величине полного момента/)
Так, например, энергии указанных выше термов ~Рц2 и 2Рзц один»
Поэтому все уровни терма имеют степень вырождения
(2S + 1) (2С-Ь 1) |[1
От
ul
и зав и
О 1
плет),
Д.т
ЯНИЯ т
уеньиь
ной эл
S) знс
Трс
разом.
Паули
ношен!
(макси
функш
коорди
П = Г2
с 5 =
мала, L
кивани
нескол!
снимет
МИНИМ’
Для
J=]L
больше
Напри?
HOBHOM
троског
ветстве
2Р, 2/>;
Учет спин-орбитального взаимодействия, которое в этом приближая сим^ол
трактуется как связь между моментами L и S, приводит к расщепе 10
состояний терма по величине J (мультиплетное расщепление), но оставлю предел!
их вырожденными по проекции Mj. При этом число состояний, относ» много ®
ся к данному терму, сохраняется. Действительно, имодей
L+s
2 (2/ + 1) = (2S + 1) (2L + 1). ’ пон£®
J=|L-S| СМЫСЛ,
Однако теперь интегралами движения являются полный момент,« ?ТаТ?м
проекция на выделенную ось и абсолютные значения орбитального и с®
нового моментов (полный набор есть nJMjLS). Что касается проели
моментов, то они по отдельности не сохраняются, а сохраняется тальм®
сумма. На языке векторной модели это означает переход от незавнск®
проекции вектров L и S вокруг оси квантования к их прецессии W Так
направления вектора J, который в свою очередь прецессирует вокруг®1 В т
квантования. До аргс
480
(8)
fL'UJe:
!_?лепаюжеине уровней . „
ра®аду011
гоое_В о НаЭДлыши/ =i J , , ? । ’““РММЬЩцй -
. «-.Mtem ,рожш с „аи^^ ^авЕЮх Ху,^°2
^уРа^ жчеты, s а
шсичадькости j мохст 5ить ™“
Д "лчалг “ктемУ ® ШУ! элеирХТв “имщ"» об-
- ---'-цм "Kre™ илкна быть Л”°"А СЩУ "РЯИИИ
т^аао злеиронов. Если спины адТ»₽",Н0Й “° »
.чс.кьвы суммарный спин), ТО спи™ "дралыыш
сиика огносятельно перестановки™™™^’’ "°”“,ой
ста .с(Г|. г2) должна быть антисим?^ ’ ? пгата“У
хция обращается в нуль Другими -в ричнои’ 11 ори
,-ть каткекдения обоих электрон™ вб "’ “ “Стоя™
л к значительно меньшему^Х XX"
иу и к меньшей энергии. А1а,„' "™Ч “тал‘
электронов наибольшему спину соответствует ХбХ“ ”
ал-, координатная часть волновой <Х ™ 6 = »
-шним’/му энергии электронкой. системы. приводит к
для определения J основного состояния используют следующие прввщ.
у=;Г-SI. если заполнено меньше половины оболочки, и 1 = 1 -уS“
бсльше половины оослочки; при половинном заполнении J = s (4=0)
Еалпимер. для конфигураций цр~ и пр4 возможны термы LS, 3Р. •*£), Ос-
новному СССТСЯЯИ.-О будет соответствовать терм 3Р, а соответствующим спек-
пзсскопическим символом для состояния пр2 является 3Р0, а для пр4 соот-
зегственнс 'Рд. Аналогично, для конфигурации пр3 возможны термы 4S,
:Р. 'D; термом основного состояния является 4S, а его спектроскопический
СИМВОЛ Sj/2
По мере увеличения атомного номера наблюдается переход к другому
лдедельному случаю, когда спин-орбитальное взаимодействие оказывается
много больше остаточного взаимодействия. Действительно, кулоновское вза-
имодействие электронов примерно пропорционально Z2 (Z электронов вза-
имодействуют с зарядом ядра Z), а спин-орбитальное «-Z4.
Однако, когда спин-орбитальное взаимодействие оказывается большим,
понятие спинового и орбитального моментов электрона в отдельности теряют
смысл, определяющим является только полный момент электрона ji — 1 st.
Поэтому полный .момент атома равен векторной сумме полных моментов со-
ставляющих его электронов
J = £jf.
Такой вид связи называется //-связью.
В таблице приведены квантовые характеристики
До аргона.
легких атомов вплоть
481
Элемент Электронная конфигурация Основное состояние Число электронов
К (I-') L (2s, 2p)
1Н 1л 2с 51/2 1
2Не 1? ‘So 2
3Li ls22s 251/2 2 1 —L--.
4Ве 1s22? ‘So 2 2
5В ls22s22p ^112 2 2 I
6С IsVlp1 3Po 2 2 2
10Ne IsVip6 'So 2 2 6
nNa 1?2?2р63? 251/2 2 2 6 "i
l«Ar 1?2?2р63?3р6 *So 2 2 6 2 6
Таблица показывает, что до бора у всех элементов (Не, Li, Be) полностью
заполнена Х-оболочка, а у L-оболочки заполнена 2л--подоболочка. Тем самым
у всех тяжелых элементов от бора до неона остовом служит электронная хон
фигурация 1?2?. В боре начинается заполнение р-состояний, в которых про-
екция орбитального момента т/ = 0, ± 1, а проекция спина может быть
± 1/2, Поэтому возникает вопрос о том, с какими значениями mi и электро-
ны будут последовательно заполнять р-оболочку? Здесь вступает в игру уже
рассмотренное нами выше правило Хунда для определения L, S, J основного
состояния, что иллюстрируется следующей таблицей.
A S L J
5Be 1/2 1 1/2 1 1/2 2PII1
бС 1/2, 1/2 0, 1 1 1 0
,N 1/2, 1/2, 1/2 0, 1, -I 3/2 0 3/2
8O 1/2, 1/2, 1/2, -1/2 0, I, -1, 1 1 1 2 3n
,F 1/2 1 3/2
loNe 0 0 0
Правда, не всё обстоит так просто с порядком заполнения элёктрЖИ
подоболочек у более тяжелых атомов, так как с ростом чиёла'ЭлейрбМН
атоме существенную роль начинает играть экранирование поля ядра)йу1-
ренними электронами. Действительно, с ростом квантового числа^ из-м
увеличения отталкивающего действия центробежного потенциала( 'Нлёп-
роны могут подходить ближе к ядру, чем d- или р-электроны и( на’ЙрйМ
состояние 4s лежит ниже по энергии состояния 3d, a 6s HHxej^W
Эмпирически установлено следующее правило (т.н. правило КдечкЬШ^
справедливое в подавляющем большинстве случаев: электроны
атомах располагаются в порядке возрастания величины п +1;
482 - 'Л5_
Б
IS
У "-тлмирации на рис ,
Sp:
6p
7dS
6d---
M----5f-
4d--- 4/.
4p-----
3d
3p--------
Рис. 246
Отметим следующее обстоятельство. В состоянии 4/ электрон находится
в среднем значительно ближе к ядру, чем в состояниях 5р и 6s. Поэтому
заполнение оболочки 4/ (при полностью или частично занятых оболочках
5р и 6s) у редкоземельных элементов практически не меняет их химических
свойств.
Особое место в таблице Менделеева занимают благородные газы. Благород-
ными называются газы химически почти полностью инертные, их потенциал
ионизации — энергия отрыва одного электрона — оказывается наибольшим по
сравнению с соседними элементами.
Атомные номера инертных элементов 2,10,18, 36,54 иногда называют ма-
гическими числами, ибо, казалось бы, в них нет никакой закономерности. Од-
нако с точки зрения квантовой механики благородные газы — это элементы, у
483
которых полностью заполнена соответствующая ^-оболочка и им соотв„
и основное состояние с S = L = J = 0. Химическая инертность бв15Ъ-
элементов обусловлена тем, что их электронные а-оболочки расЗ**
к ядру и не являются внешними, а химические свойства оппеп" *
Хне внешними электронами. Как видно из таблицы на стр. 46^*’°
"мнения л-той щоболочки начинает заполняться (н + 1)-я
приводит к периодичности химических свойств. ’
в) Нуклонные состояния в ядрах
Задача о структуре энергетических уровней ядра отличается от ан,
гичной задачи о сложном атоме прежде всего тем, что в атоме ИмТ'
центральное тело - ядро, и достаточно хорошим приближением
задача о движении электрона в заданном потенциале. Для яДра с, ®
задачи многих тел к одночастичной представляется на первый взгляд
надежным делом, ибо взаимодействие между нуклонами весьма велико
отсутствие центрального тела не позволяет решать задачу по аналогии с
атомом.
Однако квантовые свойства нуклонов накладывают свои особенностям
их движение. В основном состоянии ядра все нейтроны и протоны по однонт
заполняют все наинизшие энергетические состояния. Изменить состоя®
одного нуклона можно, только сообщив ему энергию, достаточную од
перехода вверх на одно из незанятых состояний. Если мы внесем в нашу
сложившуюся систему добавочный нуклон, то он может занять толад вк.
шележащий незанятый уровень. Двигаясь в поле ядра, добавочный нуклон
конечно будет сталкиваться с нуклонами ядра, но в большинстве своем эти
столкновения не могут привести к изменению состояния ядра, т. е. я
передаче импульса, и пробег добавочного нуклона в такой системе будет
достаточно велик. Таким образом, задача о спектре состояний нуклона
может быть сведена к одночастичной задаче движения нуклона в эффек-
тивном самосогласованном поле, образованном другими нуклонами. Соот-
ветственно состояние ядра в целом задается указанием состояний отдельны!
нуклонов аналогично электронной конфигурации в атоме. Такая модель
называется одночастичной оболочечной моделью, она достаточно правильно
описывает структуру одночастичных состояний, ио, естественно, не описы-
вает многочастичные (коллективные) возбуждения, возможные в системе
конечных размеров, в частности, поверхностные и объемные колебания
ядерной материи, вращательные состояния.
Как и в атоме, взаимодействия нуклона с эффективным самосоглаю
ванным нуклонным полем можно представить в виде суммы центрального
потенциала и малой нецентральной добавки (остаточного взаимодействия)
При этом центр поля совпадает с центром инерции ядра, а вследствие
короткодействующего характера ядерных сил форма этого потенциала дол-
жна быть похожа на форму распределения плотности нуклонов в ядре. В
средних и тяжелых ядрах хорошим приближением реалистичного ядерного
потенциала является потенциал трехмерного изотропного гармонического
осциллятора
1/(г) = ~и0+^Мш1г2. 1,№
В декартовой системе координат гамильтониан задачи распадается м
сумму трех независимых гамильтонианов, соответствующих колебаниям
вдоль осей х, у, z. Каждый одномерный осциллятор имеет энергетически
484
г
n
“ "OTWp"PpillaWMePHOro,.lpw
у = /,<„(Л + з/2)^а 1аРМ0||"ческого
/io-
гея
ген
file
>ез-
о 11
и с
' на
ому
кис
ад
ашу
вы-
лон.
зги
У’йсг
'юна
фск-
'оот-
.НЫХ
/дель
льно
псы-
теме
•ания
ласе
ыюго
пня),
отвис
доя-
ре. в
риого
ского
(10)
m-Kimmoi!oc4iic./io/v(и,
,|(. раснолппиогся И НПДС оболочек 'Tin Ист. 'г"иелын<щсла) 1,
Одном, ядерные оболочки оаиачиЦ^ ;™’»"мс>воваХ±
.im-pi'cтпческiimu нромежу ikjimii. Пии Д'^УровноЙ, разделен,
„сходи, рс.,кнси;,ме|Цч|,|яв 1аК|1хядсп,|ЬХ™Л!:°'вд,|0|10|»лочкикдп’тГ """
ччрч (" ЮТРИОЙ физике eiiiuioM ядра иазываегё^олкщ‘“‘“'’"“'“«зи.сХ
.,,,х,,,е,,|роиоп. .J,„ свойстш, ali 31ШШЬ1им“мснтЩра),сечс 3
..„„йстполемеи,™,, таблице Д, И. Мспдс„есва,, „S’"T4WCT“ «мчееких
iieic гну io,,inc .шиолиеиным оболочкам, 1ийЫ|шю,ся™“ 'llcJla "Уклонов, cook
II случае ipcSMopuoiu осциллягора группы »
pan Il eooiiicK',нуюг раоиым оболочкам. Уровни ™Д”“! С « как
„cinuunuopa Силине вырождены, гак как одно еР"°™ гар,юаич'скога
(,von,сто,вующее олиой н юй ясс дщшчи„е щ „™,*е ™"ч“ие э|®1>ган
.и,,.,, 1,.1 л КОМИ,„к,HUHX чисел л,.. щ„ Кратаоеп м , "™Учигь пр„ рю.
X ра,ч,а числу еиособов, ко.орымп число N может бы!ьТ"™ W’ra !’P™“
сумм,., 1|,сх целых (BK.nio'iaa значение 0) ‘
щкчмми. сто геи, число способов, которыми N одниатавых'Ц Д₽У"'М“
(il.ui, рапложгпы но ерем ящикам; оно равно ° Ы* Ш‘)ров !'югут
s = 6V + DW + 2)
(12)
ся на
1НИЯМ
ескне
1Ч-МИ еще учесп, eiuiuouoc вырождение, ю отсюда сразу следует что
должны бы и, числа 2, S, 20, 40, 70, 112, как это показано па
рнс, 2’1/.
11|i।( (юиюиии зшшч11 и I рехмерном гармоническом осцилляторе в сфериче-
ской сисюмс координат движение частицы характеризуется орбитальным мо-
менты /. и кваиюпым числом иг, определяющим величину проекции I па ка-
кую ли(ю осн. В гармоническом noienunaae уровни энергии эквидистантны,
но каждому aiieprci пческому уровню сооюстствуст несколько нуклонных со-
сюнций с разными значениями /, При этом каждому N соответствуют значе-
ния/: /V. N 2.... ЦО) — в зависимости от чстосги N (см, рис. 247). Различ-
ные значения орбитального момента обозначаются буквами^ д d, f...как
эю приияю и cHCKi росконнчсских обозначениях атомных электронов. Приня-
ю нумерован, уровни гармоническою осциллятора с помощью пары чисел
(/1. /), где и означай. чю данное значение / появляется в последовательности
уровней л-й раз, например. 1х, 1/к 1(/, 2/д 2х, I/, ит. д.
Конкрспюе расположение уровней после снятия вырождения зависит от
вида поправки к потенциалу (10). Однако наибольший вклад в смещение
уроннсн ДДС( исшребежная энергия.' чем больше/, тем ниже лежит уровень,
чю will» М11Ю на рнс. 247. Таким образом, в отличие от клаиификащш
уровней опер, ни атмо», где число щ стоящее перед обозначением состояния
(например. г.м> ЯВЛЯС1СЯ главным квантовым числом,
НПО состояния, в ядре числа, стоящие норм обозначением состояния, укв
вываю! порядок расположения уровней. тпех обо-
В гармоническом ио.сищщло лишь числа CZ“ 8₽20 28.
дочках совиадаюг с эксисрнме"сальпой последов протонов, так
50, S2, 120. ISc.au в ядре магическими 0Казь'“а“ГР гте'а<ими, они обладают
п нейтронов, го гакне ядра называются двавдвяз11). Такими дважды
наибольшей устойчивостью (наибольшей э р (альфа-частнца) с
магическими ядрами являются, например, Ч» ™"»
485
дау1,я протонами и двумя нейтронами, ядро кислорода >§0, изотопы^
^Ся и 2$Са, изотон свинца #Ь.
W=1
(Z=l)
jV = O-------------------1S----2-----------------П1/2 -------2-----2
(/ = 0)
Рис. 247
Правильное «магическое» заполнение всех оболочек получается, если
допустить, что в ядрах существует достаточно сильное спин-орбитальнсе
взаимодействие, которое сосредоточено в основном вблизи поверхности ядра,
поэтому оно более существенно именно для тяжелых ядер, для которых и
получается неверная последовательность магических чисел в простой модели
трехмерного осциллятора.
В ядрах спин-орбитальное взаимодействие оказывается больше остаточ-
ного, поэтому классификация ядерных уровней соответствует/у'-связи: спи-
новый s и орбитальный 1 моменты каждого нуклона складываются в полный
момент j = 1 + s, а векторы j отдельных нуклонов складываются в суммар-
ный момент ядра J (спин ядра). Для определения J основных состояний
ядер необходимо учитывать остаточное взаимодействие. В модели оболочек
считается, что оно приводит к спариванию одинаковых нуклонов с проти-
воположными j. В результате у четно-четных ядер полный момент равен
нулю, поскольку моменты всех нуклонов компенсируются, а у четно-нечет-
ных ядер полный момент ядра определяется моментом нуклона сверх за-
полненных оболочек или нуклона, недостающего до заполненных, С учетом
спин-орбитального взаимодействия сферически-симметричный потенциал
следует записывать в виде
U = U(r'i + К(г) (s, 1), , 1111
где член 47(г) может быть взят в виде потенциала терхмерного симметрична
гармонического осциллятора, а второй член описывает вклад спин-орбиталь-
ного взаимодействия. Знак и вид потенциала V(r) подбирается из соответ
486
^...дапдапьетитоьпщмдаппым.Прппад,
щ s „ярпц.че.чсп щадм»,,, моме11ту 1. кчго «.тостад ю„„
„адтоад «тошшетпда тэппетщпальпойп„е°!’ Р»“®г к .при"™”'
CTTOI-TO-CT" К пукшч. е rnnon орпетададе,^™;;""'»^
(..щпрк.кпет ко any чотепшшльпой ямы,>( При сво“ энергий
„екеорои s и I опертой пук.адппого сосrMfn а«“"«Рамеадной ориен.а
,МЫ естпоюих-и метьте). Такт, о6 “™аета Оффеитна,
, ротк-il о сттоппщм 1 па ааа «даровая с ; = (р“" ««мается расщеп.,яшс
е бадыпим ) тин мет,тую опертою. Это расщеп,» ' . ~ 1,2 11 «шит»
значение !. но уже при I > 4 оно оказывается настолькл евелнко> пока мало
,,Лздвигае1 тою подуровня в разные оболочки т е ‘ сущесТ|*нным. что
г.дтотсчурог.пн iR-’/i" ^0/2, lho/2 и 1Л1Ш, Пип и ..р^‘!ыхТочкахоказы-
с1Ч-1 справа внизу). В состоянии с заданными » / ,-3/2 вел11Чина /указыва-
е„‘о „о 6.,,,ее 2/ + ) про,„„„в „ "j ">»««« ещад
Г.ич-метреипые эакопомерпости приводят к последовательное™
,т« „удаепакт етепмтп, в ядре, показанной па рпс 24-! на ,™‘™е’
тоет, пок.мапм ет'цпллягорныс оболочки и уровни получаемые П ₽“СУ““
k,,4.*KW тоурондаипя при небольшом изменении вида потеппад,а“»а’
....„„а надпитому страд терне токи уровней и полное число нуклонов“го„ы
МП можно лнидань яму вн.пои, ДО данной оболочки включительно Споава
приведена пдс.тепопатето.иостъ уровней с учетом спин-орбиталыюго взаймы
дейегнич, указаны характеристики уровней, число нуклонов на каждом
уровне, а 1акжо их суммарное число но мере заполнения оболочек
Как витою, отоюиасгичная оболочечнная модель объясняет природу нук-
лонных сое ючннй и правильно воспроизводит все магически ядерные числа.
В заключение отметим, что нейтроны и протоны независимо заполняют
coovaeiciB) тощие ядерные состояния, однако, если для легких ядер нейт-
ронный и проюнный потенциал практически совпадают, го в тяжелых ядрах
глубина iipotOHtioro потенциала оказывается существенно меньше в силу их
кулоновского расталкивания Именно поэтому в легких ядрах число прото-
нов и нейтронов практически одинаково, а в тяжелых нейтронов примерно
в полтора раза больше числа протонов. Заполнение нейтронных и протон-
ных состояний происходит так, что их верхние заполненные уровни прак-
тически совпадают но энергии. Ядра, у которых нейтронный (либо протон-
ный) уровень оказывается выше по энергии, обладают большей энергией,
чем при равенстве но энергии верхних состояний. Такие ядра нестабильны
и переходят в более устойчивую конфигурацию путем бета-распада.
Тудавда1ро9адие электрон»» в сверхпроводниках
Поолесс кеаджда Wшэдрозадж - это чодоаръерное проникновение час-
Е ® oSv’дата ’ ДРУ1Ж' Э^пе₽имен™ “° измеРению Ч-нцедьки
свХтаовдадотдачда cl?w'yP обьТОЮ П₽О1!ОДЯТСЯ “едаюч* обрам>,
ЯЖ? На/даладда пдастинку с заранее подготовленными KomaoaMfl
наносится хзхая года W пленки первого металла. За гем эта полоска окисляет-
НДЦОСНЩЯХ А А ся таК1 чтобы пленка оказалась покрытой слоем
248- Схема, эксцери-
м^НТальцон установки ДЛЯ
вд-чдаг тудедаго эф-
фе^а: 1, — стеклянная плд-
СТМНКД, 2 — WW первого
эд?талр1д, 3i — даенка второго,
М^алла,
изолирующего окисла толщиной в несколько де-
сятков ангстрем, (барьерный слой). После этойв
поперечном направлении наносится узкая поло-
ска, пденки второго мдаалла. Место пересечения
этих двух полосок (площадью порядка I мм2) и
представляет собой туннельный переход.
Обсудим теперь какой вид будут иметь вольт-
амперные характеристики для разных случаев
туннельных переходов.
Прежде всего рассмотрим различие в, схемах
энергетических уровней электронов в сверхпро
воднике и нормальном металле. В металле элек-
Троны являются независимыми частицами к по-
этому в одноэлек тройном приближении энергия
уровня не зависит от того, заняты другие уровни
или нет. В отличие от нормального металла, в
сверхпроводнике электроны не являются, незави-
симыми частицами и их вклад в полную энер-
гию зависит от того, образуют они пары или нет
Цзгза, сидьцоц корреляции, между спаренными электронами все куперовские
цдрьг цр.ц T = QK находятся в конденсате в силу того, что они являются
бозоцами. 9цц описываются единой волновой функцией и имеют минималь-
но, возмрждую энергию, как это показано схематично на рис. 249а.
При ненулевой температуре некоторые электронные пары распадаются,
образуя цо, две квазичастццы, энергия системы увеличивается как минимум
------------------ —I------------
------------------ ------ф-------
------------------*------ф—I—
Цф—фф—фф_фф—фф— * —фф—фф—фф—
24Р- ft температура Т=О, К, все Электронные пары сконденсированы на, нижайг
щем, эцергетцдеском уровце; б —уемцература Т > О К, за счет теплового возбуждения,
^е^0Т0рр(е.эдектроцные дары, разрываются и электроны заполняют более высоко распр-
доведаю цр, эцергиц достояния
Ш
на величину связи пары 2Л. Свойства »»
чаются от свойств независимых электрт™4™™* "Расчески »
можно представить в виде квазинепрер ПЮТ0«У их уров " "е ™-
ОТ энергетического уровня пар на" “ и системы уровней э"еР™и
Г> О К частично заполняются в с„от. ЧИ"У че™ 4 э“',"*лен«
форми-Дирака (рис. 2496Д “°Т“етствии с Функцией” У’™и
Пусть Г > О К и мы ввели в сверхпровп ра“Р=Деления
состояние с противоположными импульсом ,ИК до6авочный электро» По
ный электрон ведет себя как возбужден ” B"a введен
„з соответствующих уровней. Если же так0£Х™""' заиима»Щая один
есть электрон с противоположными импульсом ™"™ Т™ <“ системе
пара и полная энергия понижается минимум „а ,л ’’ то о6Разуется
дыдущим случаем. Аналогично для перевода пои т"° Жвна™ю с пре»
сверхпроводника в нормальный металл нужно <пЛ 1 ~ ° К эле^рона из
личить энергию системы на 2Д. разорвать» пару, т. е
Отметим, что мы не рассматрива-
ем возможность туннелирования пар
как целого (эффект Джозефсона), по-
скольку пара имеет удвоенный заряд
и удвоенную массу и поэтому, при
используемых в экспериментах по
туннелированию толщинах барьеров,
много больших длины когерентности,
вероятность туннелирования пары
пренебрежимо мала по сравнению с
вероятностью туннелирования квази-
частиц.
Изложенное позволяет понять
суть часто используемой для качест-
венных рассуждений «полупроводни-
ковой модели» энергетических уров-
ней сверхпроводника. В этой модели
считается, что при Т = О К все энер-
гетические уровни ог 0 до ер — Д за-
няты электронами, а все уровни выше
су + Д — свободны. Полоса шириной
2Д является как бы запрещенной зо-
ной. Таким образом в этой модели
Рис. 250. Энергетическая зависимость
плотности состояний в сверхпроводнике в
полупроводниковой модели; пунктиром
показана плотность состояний свободных
электронов, которая пропорциональна
за счет теплового возбуждения неко-
торые электронные пары разрываются и
электроны заполняют более высоко рас-
положенные по энергии состояния
учитывается, что для перевода элект-
рона через барьер из сверхпроводни-
ка или в сверхпроводник ему нужно
ка или в сверхпроводник ему нужно сообщить дополнительную энергию
Д. При этом можно не думать о происхождении этой энергии (т. е. о парах)
и рассматривать только независимые квазичастицы (электроны).
Наша задача — качественно описать вольт-амперные характеристики
туннельных контактов нормальный металл—изолятор-сверхпроводник
(NIS) и сверхпроводник-изолятор—сверхпроводник (SIS). Вид этих ха-
рактеристик существенным образом зависит от плотности эле^Р0^^
состояний. Так как состояния пар строятся из состояни од
тронов, то при сверхпроводящем переходе числ° эне„гетической
пениться, но изменяется плотность состоянии. Появление э р
щели означает, что часть состояний .выдавливается, из области
и тем самым плотность состоянии вблизг' ра ферМи.Поверхность
наглядности обычно говорят о появлении да
489
электронов в металле, находящихся в сверхпроводящем состоянии и
Давление Приводит к деформации плотности состояний вблизи' щблЙ’ й'
помним, Ито в образовании Щели участвуют в основном лишь элек^Ж
Из узкой области энергий ~ /iu>n вблизи £f. На рис. 25б Схематично
показано, Как изменяется плотность состояний электронов в Свер^°
воднике по сравнению с таковой в нормальном металле.
Рассмотрим на основе полупроводниковой модели энергетическую
рамму перехода H1S, т. е. функцию распределения квазичастиц (элёктио-
Нов) по энергии (рис. 251). Напомним, что функция распределения есть
произведение плотНости состояний на вероятность заполнения (функцию
Ферми-Дерака). В состоянии теплового равновесия уровни Ферми металлоа
ДоЛжнМ совпадать. При приложении разности потенциалов, такой ч'Ю
eP«:£F, происходит сдвиг всех энергетических уровней на величину eV'
При Нулевой температуре ток через переход не возникает до тех пор, пока
V < Д/е, так как находящиеся слева электроны не могут попасть на свобод-
ные места справа.
Рис. 251. Энергетическая диаграмма NIS-перехода согласно полупроводниковой моде-
ли при нулевой температуре: и — напряжете на переходе V =0,6— И^0;б —вбльт-
амперная характеристика перехода
При V = А/е происходит резкое увеличение тока, и это происходит йе
только потому, что теперь электроны могут туннелировать, но и из-за болы
шой плотности состояний, на которые они могут переходить. При да'лён’ей1
шем увеличении напряжения на переходе ток продолжает возраётат'ь; йк
это видно-из рис. 251, так как увеличивается и число электронов, которые
могут туннелировать, и число свободных мест.
Конечно, при Т > О К и конечном напряжении имеется небольшой
число электронов, для которых £ > ер + Д, и тем самым конечный тун-
нельный ток есть и при V < Л/е, но он очень мал, как это схематично
Показано на рис. 252.
490
(“'J*1 f'Wan Двух одниа-
"'""''"'Ч’1’ чег. 4“ < 'л Л*1'*'4 <* 153?
' п"; иаиронш друг дру№ DII.„| i;,' 1вв.«№я
na-nvunHi. |||)И 1ЩЦРЩЩУ ‘ “й Ul »6)latin t рчень
ччпю (-1 .'mmiaiaiea u ottacin у л У|1е, №лЬ1-амНе|Я1ая
и II II citcn-ме NIS. Л е' а!1аЯо|’ЙЧНо юму,
i
II '"Ч ’! '1И мм имеем SlS-eipyxIypy с разшИШкми све|м|фо-
....... " I' 1Чч-1ычу тем случае. Ilpil Т = О К Юк (rttyrelbyer,
............................I .................................................... lunipaxvllim IlcUbclartallla длм «Иьднййя, за-
..................................................... ( к ва ниц верхним краем Щели справа.
При I |’ К 11 -.1 ри<- .’5-D сшуацпя немного сложнее. Чтобы Получить
....... ......... । ирипи волы-амнерной xapakieplictHkH в этом случае,
(;Vi,-I г чш'111 ’ни не л Hitiiia щелей суЩесюенйо размай, н НуетЬ
i|:i - \> При чем \с'1ов11н можно пренебречь терь1ИЧескй возбуж-
। in 11 ’и и ”'.t и справа При подаче напряжения чок начинает нро-
................ни с росюм напряжения, пока Напряжение не до-
,\>- А|)/е. При дальнейшем уйеЛИЧеННИ Напряже-
на ч vicki ропон слева, способных туННелНроватЬ,
a ihioiiiocih еосюЯПИй, в которые оНИ liepexoflan
пне 11 инельпый юк надает. Эго нрьИсхЬДИУ До тех
яелпЧниы lz = (Al + А1)/<1. к»да дая
Д
X 41-Л|
Д1~Д|
......
к|1и илям "’рРУДДу t)_„0,IM-aUII6|ll»U|!“1l)Wl!|’,“"<'1
электронов слева под щелью становятся доступными свободные состоят,
справа над щелью, и ток резко возрастает.
Полупроводниковая модель очень наглядна, в ней разрешенные переход,,
всегда «горизонтальны», что соответствует закону сохранения энергии ппи
туннелировании, но опа как бы игнорирует тот факт, что сверхпроводящие
электроны спарены. Поэтому рассмотрим, как нужно рассматривать процесс
туннелирования па языке куперовских пар. При таком подходе пара, нахом
щаяся на уровне Ферми, разрывается и одна из квазичастиц «подымается» в
одно из незаполненных состояний в том же сверхпроводнике, а вторая квази-
частица при этом получает возможность перейти в свободное состояние спра-
ва, как это схематически показано на рис. 255. Конечно, такой процесс проис-
ходит только тогда, когда это энергетически возможно.
Рис, 255. Схематическое изображение туннельного эффекта между сверхпроводника-
ми, имеющими различные величины щели Д1 и Д2 с помощью куперовских пар и «воз-
бужденных» квазичастиц; Sc —энергия конденсации пар; а — нулевое напряжение на
переходе; б — на переход подано напряжение, знаками «+» и «—«указана его полярность
Еще раз подчеркнем, что в рассматриваемой модели каждый сверхпровод-
ник характеризуется, с одной стороны, наличием куперовских пар и, с другой
стороны, набором состояний, доступных для единичных электронов, образую-
щихся в результате разрыва этих пар. Отметим, что приходится на одной схе-
ме одновременно изображать состояния пар, т. е. коллективные состояния, и
состояния неспаренных частиц, т. е. одноэлектронные состояния.
492
войной CipyKTVbbi
И кри< lonnax ltTPOHHoro CfieltTpa
It UH I 11)0, Ч)|, <_ JKUij)
, ip.,„,.pHlu г.вж.ро;,^0™"” ““бедных атомах является
................. I"' “ "шишом вотенХ® Тк₽ете"Ш“тац"«ар-
..................оюма водорода J Wepe““® такой
“И............... ......... притоныюнлыа „с1°®|1°да’ " “™лЫ1Ых вгаих
,.77777 7.
" r 'h |KKpbijitlW1CH В neivr^roT ектронов’ и волновые
............ И'ЧЧ твоего атома и иолуча,отЭ»«КТР°'ШПерестают
.....; •„.7
- ......................
7 i, ’7 7777) "" "°"Z'W Митттеааи, „р,^.
''’""И' ' "... ,а> и 1, MIIOI oa.'icK т ровных атомах, производят замену
’ “ ' '!' »>».:и’-1мдсисfния на лскоюрое эффективное внешнее поле
• ' '’•* ‘-’ИНЫИ Ah *-|рон го сюроны остальных электронов. Такое
' *'•'*“*•>' ' •< ' -*М'*< Л.шкиииным, поскольку для его нахождения надо
шю),,р?ни,цн j.ichipoiia, коюрая в свою очередь должна нахо-
Н1и,-н> ..p.iiii'HHH Шрсдишс-ра с заданным эффективным полем. В ре-
> и I-IH 'll1.- irpno.iH.rсини елочную многочастичную задачу удается све-
nt г > шюл1<г rp.yhihHi во внешнем по1енциале.
11.1 । р< ।t жни ••‘.о,».но 01 раннчи i ься рассмотрением модельной задачи
•j o>;u<ni'!‘ jiirip'-ihi i> нрое<ранс1венно периодическом поле. Периодич-
н-,< и, гк >:< i чю пон иииальная энергия электрона не меняется при
< ив 00)! и.) .ц.дю’1 игнор. /7(Г Т а) = {/(Г), где a = niai + лгаг+ лзаз,
ai dj а- «у.икан.н- вгкюры (периоды) кристаллической решетки, а
,/| /I. ц< ,и.(< чи'.ш Эю означает, чю если Ф(г) — решение уравнения
IJJoohhh p.t IO и 'Pir-i-aj - юже решение.
' II,„ у II loiuocti, в,.рояпюс||| нахождения электрона не зависит от
' 1 _________III/г. _1_ <О — /т/я\Ш г\
IIOI >•> lb.- ) IllOfltUCIb Bljl'winuvin .IVW-r,--. — Г
(.,io. копии Н1МЛО V3.1J pctueiKH он находится, то Ч'(г + а) =С(а)У(г),
„р,,.„ |< la, I' _ I I.-., самым С(а) = ехр(/ка), где к - произвольный
ы.гор 1.J образы Ф(г + а)=ехр(/ка)Ч1(г).Какследуотизэт„™вы-
р-жения. ,ч.ш > не, юру к прибавшь вектор Ь, такой, что ецЬа) ,
л» сое,«» буду, о.вечаж ОДНОЙ и той же волновой функции, т.е. будут
Филипсе,и эхвввален|ны. Если представить “Ч ‘
Ь =- рцЬ, Ч- niibi ч- шчЬу, где mi. "U, '"3 *™£ обратной'решеткой (см.
ьекюры b|. Ь2 Ьз- образуют решетку, иазываему р
493
задачу 2.9). Элементарная ячейка обратной решетки носит название зоны
Бриллюэна. , ,
Если мы рассматриваем кристалл конечного размера lx, ly, iZt то
сохранения трансляционных свойств надо ввести периодические граничные
условия Ф(х, + (/) = Ф(х/) - так называемые условия Борна-Кармана. Это
приводит к тому, что число разрешенных значений волнового вектора в зоне
Бриллюэна равно числу элементарных (примитивных) ячеек кристалла. В
случае простой кубической решетки оно совпадает с числом атомов в
кристалле.
Общий вид волновой функции электрона в кристалле может быть пред,
ставлен в виде = «кл (г) ехР • ГДС (r + а) — “kn (г) - Такая функция
называется функцией Блоха. В этом выражении мы фактически имеем дело с
плоской волной промодулированной решеточным потенциалом. Постоянный
вектор Йк играет роль импульса электрона. Однако он не является импульсом
в строгом понимании этого слова. Действительно, волновая функция свободно-
го электрона Ф = С exp(ipr/fi) является собственной функцией оператора им-
пульса р = — г'ЙУ и соответствует состоянию с определенным импульсом. Это
есть следствие симметрии пространства относительно сдвига на сколь угодно
малый вектор. В кристалле это свойство отсутствует, так как решетка симмет-
рична только относительно сдвигов на дискретные вектора (периоды решетки).
Поэтому волновая функция Блоха не является собственной функцией операто-
ра импульса и величину Йк принято называть квазиимпульсом. Что касается
целочисленного квантового числа л, характеризующего другие решения урав-
нения Шредингера при заданном к, то оно носит название зонного индекса.
Закон дисперсии электрона в кристалле <£(| (к) обладает свойствами
периодичности и четности в обратном пространстве <8/((k + b) =<S„(k) и
(£п (—к) — (к). Сохранение квазиимпульса электрона в периодическом
поле отражает тот факт, что при рассеянии на решетке последняя может
принимать импульс только квантованными порциями Йк'— йк = йЬ (см.
задачу 2.15). Если это условие не выполняется, то рассеяние не происходит
и квазиимпульс электрона сохраняется. Указанное условие соответствует
брэгговской дифракции и, как будет показано ниже, определяет положение
границ зоны Бриллюэна.
Для качественного объяснения возникновения зонного характера элект-
ронного спектра рассмотрим два предельных случая.
Приближение почти свободных электронов
В этом приближении периодический потенциал считается «малым» по
7» 2
сравнению с кинетической энергией электрона $(k) где тс — масса
2»го
свободного электрона. Для значений квазиимпульса, лежащих далеко от
границы зоны Бриллюэна, волновые функции практически совпадают с
плоской волной, а энергия - с энергией свободного электрона. Когда же
величина вектора к почти совпадает с одним из векторов обратной решетки,
т.е. когда (к + Ь) к2 или (kb) = —62/2 происходит брэгговское рассеяние
и распространение плоской волны с данным к невозможно. Это условие
определяет плоскость в ^-пространстве и указывает на способ построения
зоны Бриллюэна: из данного узла обратной решетки надо провести векторы
ко всем узлам и через середины этих векторов провести перпендикулярные
им плоскости. Многогранник минимального объема, ограниченный этими
плоскостями, называется ячейкой Вигнера-Зейтца и соответствует первой
зоне Бриллюэна.
494
Рели рассмагривам, одномерный слу.,,,-.
фуиьцп» aacKipoiia (шлчетеч суммой, „ ’ • ' » при t = ±( ,
И .„(„подмоет о> сдвига фаз ||р„ отра»™" 11 т'Ра«епвой ’"«"Ия
sll,t.v паи costa. Чи, волны oLnS”'™ "Ш|™« ®°с™“И,м“-
11||К,С1П нахождения элек|р011а в 1?СШсъ рас,,РеДелснИем Пл ВЧИе B0J1Hbl-
кс одпа максимальна в области узпп„ ВеР°-
pcinciKii, jipyiая — между ними (0)Мс_
шм. чю и смуте плоской волны илог-
110011, верея i нои I и везде одинакова). Это
„1НШОДП1 К IOMV. 410 при /< = ±
мы имеем дне разиичающпсся до знаку
добаики к оперши jjicKipoiia и спектр
icpiiin разрыв На границах зон Брил-
лиона возникаю! щели в спектре п па-
рабола *'ра-зГншас1ся'' па ряд эпсрюгп-
ческих ПОЛОС энергоичсских зон
(рис 250) На границах зоны Бриллю-
зпа групповая скироси, электрона обра-
щайся в пула, тк как мы имеем дело
со сгоячси волной. В двумерном и трех-
мерном случаях па границах зоны
нрил.по.чш эт.«1 запулим,с» нормальная компонента гпуппоппй
злемропа (при услиаш, ч.о имсо.ся плоскость оеркаль, ой симметрии „™
оаалсльная .чои границе). ^ммщрии па-
а ' а О 4-Л +2гс
Рис. 256. Энергетический спектп
электрона в модели почти свободам
электронов. Одномерный случай
и
лпг
Приближение сильной связи
II лом подходе рассмшрнвасгся другой предельный случай - в нулевом
приближении 1 icKipoiibi локализованы на своих атомах и их волновые функ-
ции нс перекрываю 1ся, При учете слабого перекрытия потенциальная энергия
.\icKipona в крис । ал нс видоизменяется
(рис 257) пллск । рои получас г возможность
про । у нас пиропа 1ь через барьер и перейти
на соседний анзм. Oimciiim. чю oio lyiinc-
лнрованис oi личаек я oi задачи, например,
об ц-распаде I ам первоначальное стацио-
нарное сосюяпис с 1апо1П1!ся iicciannonap-
пым за счс1 ухода а-чаешцы на бесконеч-
ное и>. При ,н ом уровень приобрс) ас г конеч-
ную ширину В крисюллс же, сосгоящсм из
Nuгомон, сое гояпне элею ронаосчастся ста-
ционарным п происходи! расщепление
первоначально //-краню вырожденного
агомно! о уровня па /V подуровней.
PaccMoipiiM сначала задачу о двух
симмс 1рично расположенных одпомер-
z.;z.("!nn ™
ЛИПС11110Й комГшпа.шп решении для
В силу симмории ijoicinuwia cj--C2- Р Для четного
волновой функции на сгонках ям, обращенных_ уВелиЧивается.
решения сс кривизна уменьшается, а дл четного решения
Поскольку рх = - ill (Жу). то ото оздач 1|е’щ.[[0ГО _ увеличится. По-
кинетическая энергия уменьшится, а Д
Рис. 257. Пунктирной линией
обозначен потенциал И(г) изолиро-
ванного атома; сплошной — кри-
сталлический потенциал 1/(г) вдоль
двух соседних узлов решетки
495
этому четный уровень опустится относительно исходного, а нечетный
поднимется. В результате вместо двух вырожденных состояний мы
лучим два расщепленных невырожденных (рис. 258). Можно также гп
верить, что при объединении ям область локализации электрона для Че
ного решения увеличилась (вероятность обнаружить его между ямам'
стала больше), а для нечетного — уменьшилась. Иногда говорят, что из**
менилась эффективная ширина ям. Согласно соотношению неопределен-
ностей изменение области локализации ведет к изменению кинетической
энергии — делокализация энергетически выгодна. Расчет показывает, ЧТо
величина расщепления пропорциональна vZ), где D — коэффициент тун-
нелирования через барьер. Такую зависимость можно качественно объ
яснить тем, что поскольку волновая функция электрона является супеп.
позицией состояний в отдельных ямах, то для попадания в соседнюю
яму электрону достаточно преодолеть только половину расстояния между
ямами, (см. задачу 3.1) При рассмотрении задачи об N ямах волновая
функция электрона ищется в виде линейной комбинации атомных вол-
новых функций, причем коэффициенты этой комбинации подбираются
такими, чтобы полная волновая функция имела блоховский вид. В ре-
зультате для исходных s-состояний с волновыми функциями фат(г) с
энергией <SaT можно получить следующее выражение для закона диспер-
сии электронов:
<S (к) = <£ат — С — (г) ехР ((кгп) •
Рис. 258. Схема образования симметричного (а) и антисимметричного (б) состояний
электронов при сближении изолированных потенцильных ям
Здесь С = j | ipai (г) |2 [£/(г) — К(г) ] dV > 0 — разность энергий электро-
на в поле решетки V(г) и изолированного атома U (г) (интеграл перекрытия на
одном атоме); Л(г) = J <р£т(г) [ С/ (г) — Г (г - r„) ] <рат(г - r„) dV > 0 - ин-
теграл перекрытия с другими атомами (интеграл переноса). Т.о. в кристалле
атомные уровни сначала понижают свою энергию (за счет слагаемогоС), а за-
тем расщепляются в зону (за счет слагаемого с Л).
В приближении ближайших соседей A (rn) =А = const мы получаем:
а) для простой кубической решетки
<£(к) = <Ват — с — 2А (cos кха + cos куа + cos Kza),
496
<з"сс'зе иллюстрации приведены изоэвергетаческие лм-
сильной связи (а) и приближении почта свободных
ий
о-
ia
Н'
ле
а-
I
497’''
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
1. Фундаментальные физические константы
Постоянные СИ
Е0 = 8,854-10-12Ф/м; 1/4ле0 « 9-109 м/Ф
|л0 = 4л-10-7 = 12,566-10-7 Гн/м
Скорость света в вакууме
с = 2,9979-1010 см/с
Постоянная Планка ~~_____ _____ . 4
\h = 6,6261-Ю-27 эрг-с; ^ = -^ = 1,0546 10~27 эрг-с -
Гравитационная постоянная
V = 6,6726 • 10-8 дин • см2/г2 = 6,6726 • 10-11 Н • м2/кг2
Постоянная Больцмана
къ = к = 1,3807 •10-16 эрг/К » 0,8617 10-10 МэВ/К
Постоянная Алогадро
Wa = 6,0221-О23 моль-1
Универсальная газовая постоянная
R = 8,3145-107 эрг/(моль К.) = 8,3145 Дж/(моль-К)
Постоянная Стефана-Больцмана
° = ~^Г2 = 5’6105 1 °~5 Т-тг 5,6705 10-8
60Г? с-см-К4 м -К
Постоянная в законе смещения Вина
Ь = ХщахГ = 0,2898 см-К
Элементарный заряд
е = 4,8032- Ю-10 ед. СГСЭ = 1,60218-10-19 Кл
Электрон-вольт _. ________________
|1 эВ= 1,60218-10-12эрг
Температура, соответствующая 1 эВ
ТэВ = 11 606 К
Атомная единица массы
1 а. е. м. = 1,66054-10'24 г (931,494 МэВ)
498
Кинт магнитного, потока (сверхпроводящий,
Ф“" = Л = 2 0б78 I О-7 Гс-см2
Ksjht холловского сопротивления
Ro = 4 = 25812,806377 Ом
Магнетон Борз
= SS? = °'92740‘ 10"°эрг/Гс
Ядерный мл неюн
= ТтЬ ~ 0.50508- Ю’23 эрг/Гс
Постоянная юнкой счрумуры
с - 7- - 7.2973 - 1П~3 =_ 1
"г 137.036
Постоянная Ридберга
R‘ = —= -Л- = 109737,31 см~ 1
Беюккий рлвпс
= -Ц = Л = 0.52918-10“8см
Атмосфера стандартная
I лгм = 10 1325 Па = 1.01325- |06 дин/см2
Объем моля идеальною газа при мочальных условиях (Р= 101325Па;
Г = 273.15 К)
1 к-,,, = 22,4 14 1 .т/мо.ть
Ускорение сядь: тяжести
у = 9.S06&5 '-i/c-
Электрон
Масса
тс = 9.10939 -1СГ-' г
(п..<2 = 0.51 1 МэВ
Удельный заряд
Л = -5.2728 IО'7 ед СГСЭ = -1.7588 Ю11 Кл(кт
т~
Комптоновская длина волны
лс = ^ = 3.8616-,0-”cM;Ae = i = 2.««-10- «
Г71.-С 4
Классический радиус
Г„ = МЛ = 2.8179-10-‘3 СМ
тес~
499
Протон
Масса
Ulf = 1,6726- 10^24г = 1,007276 а. е. м-
/ЛрС2= 938,272 МэВ
Отношение массы протона к массе электрона
= 1836,1527
те
Удельный заряд
2,8716 -1014 ед. СГСЭ = 9,5788-107 Кл/кг
Шр
Комптоновская длина волны
Др = _L = г, 103• 10"'4 см; Ар = -/- = 1,3214-10-13см
р WpC г ™РС
Магнитный момент
[ Др = 2,7928-Ця„ = 1,4106-10-23 эрг/Гс ,
Нейтрон
Масса
тп = 1,67 4 6-10 - 24 г = 1,00866 а. е. м.
»1„с2 = 939,565 МэВ
Отношение массы нейтрона, к массе протона
—= 1,001378
тр
Комптоновская длина волны
А„= — = 0,210-10~13 см; Д„=А_= 1,31959-10-13 см
тпс тпс
Магнитный момеыт-^»-цд=—------------
Грп= -1,9130-цяд = —0,9662-10-23 эрг/Гс ;
]___—------—
2. Некоторые астрофизические постоянные и единицы
J год = 3,1557-Ю7 с,
1 св. год = 9,46053- Ю17 см,
1а,е. = 1,496-1013 см
Солнце
Масса Солнца
Мс= 1,989-1033 г,
Радиус Солнца
Яс = б,96-1О10 см,
Средняя плотность Солнца
РС = 1,409 г/см3
500
Vc-ioson диаметр Co.™» та среднем расстоянии от Земли
ас=31 э9,26 0,0093 рад.
Температура "“ерхноста Солнца (зффектганая температура)
.ргия. излучаемая Солнцем в I с, или светимость
Э"еР " Lc = 3.826 Ю33 эрг/с = 3,826 . К)26 Вт
.чная посюянная (плотность потока излучения Солнца на среднем
с°’ расстоянии oi Земли до Солнца вне атмосферы Земли)
jc = 1,373- Ю° эрг/(с-см2) = 1373 Вт/м2
Земля и Луна
Масса Земли
А/3 = 5.974- 10г г
Средний ради) с Земли
R-з = 6.573- 10ь см = 6378 км
Средняя плотпосш Земли
РЗ = 5.51 7 г/см3
Среднее расстояние от Земли до Солнца
Z.j= I а.е = 1,496-1013 см - 1,496-108 км
Среднее расстояние oi Земли до Луны
£.1 = 3.844-1О10 см = 3.344-105 км
Средняя скорость движения Земли по орбите
-з = 29.79 км/с = 2.979-106 см/с
Угловая скорость вращения Земли
шз = -Д= 7.272-10-5 с“‘
Первая и вторая космичссикие скорости
f-t - - у/^7= 7.91 -Ю5 см/с = 7,91 км/с.
= vT,.| = 11,19- Ю5 см/с = 11,19 км/с.
Масса Луны
Л/д = 7.350-1025 г
Средняя плотность Луны
рл = 3,341 г/см3
Средний радиус Луны
/?л= 1.7382- I03 см= 1738,2 км
Период обращения Луны вокруг Земли
ГЛ = 29,531 сут
50!
Планеты
Планета Большая полуось, а. е. Орбитальный период Период вращения Масса в Мз Радиус в Лз Средняя плотность, г/см3 Ускорение своб. падения на поверхности, см/с2 Альбедо*)
Меркурий 0,387 87,97 сут. 58,7 сут 0,055 0,382 5,4 370 0,06
Венера 0,723 224,7 сут. 243,0 сут 0,815 0,949 5,3 887 0,75
Земля 1,0 365,256 сут. 23,9 ч 1,0 1,0 5,5 980 0,36
Марс 1,52 1,88 года 24,6 ч 0,107 0,533 3,9 370 0,24
Юпитер 5,20 11,9 года 9,92 ч 318,0 11,2 1,3 2490 0,50
Сатурн 9,54 29,5 года 10,7ч 95,2 9,45 0,7 1050 0,76
Уран 19,2 84,0 года 23,9 ч 14,6 4,10 1,2 852 0,62
Нептун 30,1 165,0 лет 17,8ч 17,2 3,88 1,6 1117 0,50
Плутон 39,4 248,0 лет 6,39 сут -—0,002 ~ 0,24 0,8 ~ 300 0,09
*) Альбедо — отношение количества света, отраженного поверхностью планеты, к количеству падающего на нее света
3. Соотношение некоторых физических величин в СИ и СГСЭ
Длина L, 1 метр (м) Ю2 см
Масса т килограмм (кг) 103 г
Время t секунда(с) 1 с
Сила F ньютон (Н) I05 дин
Работа, энергия A, <g джоуль (Дж) 107эрг
| Мощность Л7, ГИ ватт (Вт) 1 о7 эрг/с
Давление Р паскаль (Па) 10 дин/см2
Плотность потока энергии J <Вт/м2) Ю3 эрг/(с-см2)
Сила электрического тока 3 ампер (А) 3- ю’ ед. СГСЭ
Электрический заряд Q. <? кулон (Кл) 3 • 109 ед. СГСЭ
Электрический потенциал, напряжение <р, V вольт (В) жсд-сгсэ
Напряженность электрического поля Е (В/м) Ь10-4ед. СГСЭ
Электрическая емкость С фарада (Ф) 9- I011 ед. СГСЭ
Электрическое сопротивление R ом (Ом) А.- 10“и с/см
Удельной электрическое сопротивление Р (Ом-м) |-10-9с
Электрическая проводимость Л = 1/R сименс (См) 9 • 1011 см/с
Удельная электрическая проводимость о = 1/р (См/м) 9-109с-1 |
Магнитный поток Ф вебер (Вб) Ю8 Гс-см2(максвелл) jj
Магнитная индукция В тесла (Тл) 104Гс I
Напряженность магнитного поля Н (А/м) 4л-10-3Э (эрстед) 1
Индуктивность В генри (Гн) 109 см
Намагниченность /, м (А/м) —• 104 Гс (гаусс)
• Вектор поляризации р <Кл/м2> МО5 ед. СГСЭ ,
|1 Электрическое смещение (индукция) D (Кл/м2) 2д.10дед. СГСЭ |
4. Лептоны
Все лептоны — фермионы. Нейтрино имеют только отрицательную спиральность (левоспиральные частицы), а антинейт-
рино — только положительную (правоспиральные),*)
Поколение Частица Символ Масса, МэВ Время жизни Лептонный заряд Преобладающая схема распада
Частица Анти- частица Le L Lx
I электрон е- е+ 0,511 >4,3-1023 лет + 1 0 0
электронное нейтрино ve ve < (2+ 2,5) эВ — > 300 -±- Шц. ЭВ + 1 0 0 -
II мюон и" ц+ 105,658 207,767шс 2,197-10~6с 0 +1 0 е vc
мюонное нейтрино <0,17 -^> 15,4 — nht эВ 0 + 1 0 -
III таон т" т + 1777,0 0,290 -10~12 с 0 0 +1 vx;'C_ve
таоннбе нейтрино VT < 18,2 ? 0 0 +1 -
•) Спиральностью частицы называется косинус угла между векторами спина и импульса частицы. Для ультрарслятивист-
ских фермионов спиральность Может принимать только два значения: ± 1.
5. Кварки
Все кварки — фермионы (спин 1/2). с барионным зарядом 1/3 i икварки имекм квантовые числа с противоположными
знаками.
Поколение Название Сим- вол Элек ip заряд. "Токовая» Проекция изоспина, /з Заряд Блоковая масс (всосшве 1 адрона). | ГэВ
' с > 1 < ь
I верхний (up) u -r 2/3 1.5-4 МэВ Т 1/2 0 0 0 0 0,33
нижний (down) d -1/3 4-8 МэВ - 1/2 0 0 0 0 0,33
И очарованный (charm) с + 2/3 1.1 — 1,4 ГэВ 0 + 1 0 0 0 1,8
странный (strange) s -1/3 80—130 МэВ 0 0 -1 0 0 I 0,51
III t-кварк (top) t 4- 2/3 174,3 ±5,1 ГэВ 0 0 0 I + 1 0 1 *)
b-кварк (bottom) b -1/3 4,1—4,4 ГэВ 0 | 0 j О | О | — 1 | 5,0
*•) t_кварк имеет такое малое время жизни, что он распадается до образования t — адронов, поэтому блоковой массы не
имеет. Токовая масса t — кварка 174,3 ±5,1 ГэВ.
6. Адроны
Частица Кварковый состав Масса, МэВ Время жизни, с Преобладающие'' каналы распада
Мезоны
л (ud); (du) 139,567 2,603-10s
и° (uu — dd)VT 134,976 8,4-IO-17 л0 —24
к* (us); (us) 493,677 1,239-10-8 К+^ Р-+ Л + JL°
к0 (ds) 497,672 К§; 0,893 • !О-10 Kg; 5,17-10“® к?- Kg — 1 л+ л" W л- е* ме л- р* Зл° Л+ л" л°
D± (cd); (cd) 1869,3 1.057-10"12 D+-> К" я+ К0 е+ vt kVv„
D° (ей) 1864,5 4,15-10~13 D+->- K"i+ K“e+ve К0 л+ л"
Df (был F±) (cs); (cs) 1968,5 4,67-10"13 Множество почти равновероятных каналов
В* •(ub); (fib) 5278,9 1.65-10“12 «
в0 (db) 5279,2 1.56-10~12 «
T)c(ls) (cc) 2979,8 полная ширина Г= 13,2 МэВ «
J/lpG5) (cc) 3096,9 полная ширина Г = 87 МэВ «
Y(ls) (bb) 9460,4 полная ширина Г = 52,5 кэВ • _
4 Масса, RnZTTr-------------г—
р (uud) 938,27231
1,6-1025 дет -
п (udd) 939,56563 887
л°(Л) (uds) 1115,68 2,632-IO'10 e ve .
A0-. p)T [nn°
s+ (uus) 1189,37 7.99-10-11 s+-> p/-
7° (uds) 1192,65 7,4-Ю-20 Z0->Ai
Г (dds) 1197,44 1,479-Ю-10
-0 (uss) 1314,9 2,90-Ю-10 S°->Ait0
i (dss) 1321,32 1,639-IO-10 Е-»Л д'
fi° (sss) 1672,45 8,22-Ю-11 fT-^ ЛК" E° тГ E“ n°
Ac (udc) 2284,9 2,06-IO-13 Ag-> pK ji+ Л Л+ 7t+ И-
z» (ddc) 2452,1 ? Sc“*Ac n
i—-с (use) 2465,6 3,5- IO-13 + Л К 7t+ Jl+ 2° K“ Ji+Jt+
—0 “C (dsc) 2470,3 0,98-Ю-13 s°->' ji+ K-K’°
fig (ssc) 2704 0,064-Ю-12 q°^z+k7K-^+
a8 (udb) 5624 1,24-10-12 л8-*Лс e"5e
7. Масса некоторых нейтральных атомов (в а. е. м. за вычетом
энергии связи электронов) и энергия связи ядер.
Ядра Л'/ai (а. е. м.) £сб (МэВ)
1н 1,00782522 —
1Н 2,01410222 2,2
?н 3,01604971 8,5
32Не 3,01602968 7.7
аНе 4,0026033 28,3
3U 6,0151232 32,0
7,0160044 39,2
fu 8,0224874 41,3
jBe 7,0169295 37,6
,Ве 8,0053052 56.5
ЗВе 9,0121829 58,2
'“в 10,0129385 64,7
"в 11,009305 76,2
‘бС 11,011431 73,4
Чс 12,000000 92,2
‘бС 13,003354 97,1
'бС 14,003242 105,3
,37N 13,005739 94,1
1-k, 7n 14,003074 104,7
“n 15,000108 115,5
“о 15.003072 111,9
15,994915 127,6
,7/Л sO 16.999133 131,8
18г; 9 г 18,000950 137,4
18,998405 147,8
29°F 19,999985 154,4
loNe 19,992440 160,6
23,, 1 j Na 22,989773 186,6
liMfi 23,985044 198,3
ЙЛ1 26,981535 225,0
uSi 27,976927 236,5
1.5I’ 30,972074 262,9
32c 31,972074 271,8
“ci 34,968854 398,2
17С1 36,965896 317,1
40, 18м- 93,362384 343,8
39т/ 19K 38,963714 333,7
207,97664 1636,4
234,04090 1778,6
235,04393 1783,8
Hu 238,05076 1801,7
8. Дебаевская температура и плотность некоторых элементов и
соединений
Вещество 0, К р, г/см3
алмаз 2250 3,25-5-3,50
алюминий 433 2,6889
apron (тв.) 92 1,40 (при 87,15 К)
берилий 1481 1,848
пара-водород 122 0,0708 (жидк. при 20,37 К)
508
Вещество р. г/см3 —
шифрам ^83 19П&==^==^=
Ломаний (крист) 373
графит 413 1.9 + 23 : —
орто-дейтерий 114
зпспрознп 183 S.5.TO — _
железо 477 7,874 —
ЭО.ЧОТО 162 19,32 '—
индий 112 7,31 ' '
яггербий 118 6,965
кадмий 210 8,65 ~
калий 91 0.862 ‘
кальций 229 1,55 —
«-кислород 126 М4 (жидк.при90.25К)
кобальт 460 8.90 —
кремний Upnei > 645 2,33 (при 25"С)
крин тон 72 2.155 (жида, при 120 К)
ксенон 64 3,52 (жидк.при 164,15К)
линий 344 0,534
магний 403 1,738
марганец 409 7,21-7,44
медь 347 8,96
молибден 423 10,22
мышьяк (крист> 282 5,73
натрий 156 0,971
неон 75 2,205 (жидк. при 27,15 К)
никель 477 8,91
олово 199 5,85 (серое, а)
платина 237 21,45
ртуть 72 13,5461 (жидк.)
свинец 105 11,336
селен (крист) 152 4,79 _
серебро 227 10.50 .
титан 420 4,505
уран 248 19,040 —
хром 606 7,18 + 7,20
цинк 329 7,133 _
GaAs 345 5,35
КВг ]74 2,76
КС) 230 1,99 ——
NaCJ 275 2,165 (при 2£С)____ J
509
Электронные параметры ряда металлов, вычисленные В; Мо,
дели; свободный: электронов-
Wee значения приведены ДОЯ комнатной температуры, за искдащ,^
№а;.К,.Шт„- От (при' У Е> и~ 1л (при- 78 KJ)
Ножи е»:и е:- Концентрация электронов N/V определяется произведя,,,
ем: валентности металла на число- атомов в 1 см . Если выражать кп а,л
Щ.- — к см/с-, Г — в- см3, то получим следующие соотношения:
= (Зл?-ЮТ)Щ = (ZS.fiOSW)1/3; UF = Sfce/»i = l,157tF; ee=mol/2, или,ед
ли.еЕВыразитьаэВ-.тосш(эВ) =0,284-10 15uf; Гр(К) = 1,16- 104ер(эВ).
СТ р аГ Металл и 5 и: 5 £2 S’ £ о Й ст н о O, lai — S U — A- jS n a Волновой вектор Ферми к.?, 10a см-3 Скорость Ферми i'F, 108 см/с s 2 <u в co — n. u w Ф 1 Температура 1 феодш I Tf = er/ZcFi, 1O4- K.
Г Li Nai К. Rb Cs- Cu A£ Au. 4,70 2,65 1,40 L, 15 0,91 8,45 5,85 5,90 1,11 0,92 0,75 0,70 0,64 1,36 1,20 1,20 1,29 1,07 0,86 0,81 0,75 1,57 1,39 1,39 4,72 3,23 2,12 1,85 1,58 7,00 5,48 5,51 5,48 3,75 2,46 2,15 1,83 8,12. 6,36 6,39
Z Be Ms Ca_ Sr Ba. Zh. ca 24,20 8,60 4,60 3,56 3,20 13,10 9,28 1,93 1,37 1,11 1,02 0,98 1,57 1,40 2,23 1,58 1,28 1,18 1,13 1,82 1,62 14,14 7,13 4,68 3,95 3,65 9,39 7,46 16,41 8,27’ 5,43 4,58. 4,24 10,90 8,66.
35 AL 18,06 1,75 2,02 11,63 13,49-
Ga. Ih‘ 1530 11,49 I 65 1,50 1,91 1,74 10,35 8,60 12,0L 9,98-
4- Eb’1 8п-.(бёл)' 13,20 14-48 1,57 1,62 1,82 1,88 9,37 10,03 10,877 11,64-
0. Цвиоторы* свойства полупроводник,»
Ширина зап решенной зоны, эВ Постоян- ная рещет- ки а, А
А (0 К) А (300 К)
^-ЗДСКТВОД мад 14 | па' г I
Si 1,166 1,11 5,43
' 1
Ge 0.744 0,664 5,66 1,58(11) 0,08(4) 0,8 I
GiiAb 1,520 1,43 5,653 0,07 j
InSh 0,235 0,17 6,4787 ' 0,0133 0,(8 j
CdSe 1,85 1,74 а: 4,499 с: 7,010 0,13 здф -с I 0,4(4) I
PbSe 0.15 0,26 6,124 0,07(11) ' 0,039(1) оЛ() ~ 1 о,03(1) I
PhFc 0,19 0,29 6,460 0,?М||)7 0,22(4) - “ I , 0.02(4), • |
здесь u и с —осн pen оси. ii. Значений нан i. $лЛГА\/.т = 6 2. J (Л- == 0 0. « з . 1- 3. f U7 = J 2, 0 е'-1 4. 6, 2, co Л 4. (^= 2, 0e~‘ У 24 тки; || — вдоль оси элипсоида; -L —перпендикулярна'его | вторых определенных интегралов . . | _ 1. 1 2 ' " 2’ > ”1 s , л..ч | /г!, п > 0, целое. ' и VjF л 1 т-" = 0; , 1.. (22_1и, н— целое нечетное; /2 l-3'3-...-(n-G
2 2”« '25, 0=1; 8 0 = 2; 56, о = 3; Л, 0=5; 43, о=10. 31, „=1/2; /6 п = 1; (05, и = 2; /15, >1 = 3; ,9, н = 4. К: ,.4Л Лйй?У
Учебное пособие
ОВЧИНКИН Владимир Александрович
РАЕВСКИЙ Александр Осипович
ЦИПЕНЮК Юрий Михайлович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Часть 3. Атомная и ядерная физика. Строение вещества.
Компьютерная верстка В. П. Нагирный
Художники А/. В. Ивановский, В. П. Нагирный
Подписано в печать 30.06.2009. Формат 60x88/16.
Усл. печ. л. 31,3- Уч.-изд. л. 33,8. Печать офсетная. Бумага офсетяя» [
Тираж 3000 экз. Заказ № 1158.
Издательство «фнзматкнига»
141700, г. Долгопрудный Московской обл, Институтский пер., д. 66
Тел.: (495) 410-24-63, телефакс 408-76-81
E-mail: publishers@mail.mipt.ru
Интернет-магазин литературы по фундаментальным и прикладным наукам
WWW.nZMATKNlGA.RU
Отпечатано в ППП Типография «Наука» АИЦ «Наука» РАН.
121099, Москва Г-99, Шубинский пер., д. 6
Периодическая система эле
I II III IV I 7~v г
I 1 н 1
II 2 Li 3 6 9?! литий Be 9 01213 ЗЕ^ИЛЛИЙ 5 в 10 311 2 c 12011 УГЛЕРОД 7 N 1' 0967 АЗОТ
III 3 № 11 229В977 натрий Мд ,г МАГНИЙ AI 26.9515- АШМНИЙ v Si КРЕМНИЙ ’5 p 3327376 ©SCOOP
4 к 39 0953 КАЛИЙ Са 20 КАЛЬЦИЙ Sc 21 дг 95591 Ti 22 THTAn V 2 59,9415 ВАНАДИЙ С 51
IV 5 гэ Си МЕДЬ 33 Zn 65 39 21 Ga 32 Ge ГЕРМАНИЙ 33 .As Ta 9216 АШ'ЬЧК
6 Rb 37 85/678 РУБИДИЙ Sr 3 67 6 2 СТРОНЦИЙ у И 83 9959 ИТТРИЙ Zr 40 iiiPKO-M Nb J’ 92,9'954 НИОБИЙ ? 9 К
V 7 47 Ад 507,6552 СЕРЕБРО 15 Cd 112/1 КАДМИЙ а- In 3 Sn 11S.T10 ОЛО5О 51 Sb 121.75 СУРвМА
8 Cs 55 132,9054 ЦЕЗИЙ Ba 55 137.33 БАРИЙ 57-71 La-Lu Hf 72 178-19 ГАФНИЙ Ta 73 180,9479 ТАНТАЛ
VJ 9 79 Аи 196,9665 ЗОЛОТО 60 Нд 200,59 РТУТЬ SI TI 2CP 383 ТАЛЛИЙ 82 Pb 207,2 С511НЕЦ 33 в 2OB.S5CP БИОМУ
10 Fr 87 223,0197 ФРАНЦИЙ Ra 88 226,0254 РАДИЙ S9-103 Ac-(Lr) Rf 104 [261] РЕЗЕРФОРДИЙ Db ,к (262] ДУБНИЙ
VII 11 Rg 1,1 [272] РЕКГГЕНИЙ
La 27 Се 53 Рг 55 Nd “ Pm 61 Sm 63 Ей 63 Gd
Лантаноиды 138,9055 140,115 140,90765 144,24 144,9127 150,36 151,965 157,2;
ЛАНТАН ЦЕРИЙ ПРАЗЕОДИМ НЕОДИМ ПРОМЕТИЙ САМАРИЙ ЕВРОПИЙ. ГАДО
Актиноиды Ас 59 227,0278 АКТИНИЙ Th 90 232,0381 ТОРИЙ Ра 91 231,03588 ПРОТАКТИНИЙ и 92 238,0289 УРАН Np 93 237,0482 НЕПТУНИЙ Ри 94 244,0842 ПЛУТОНИЙ ArtPHCr 234,0614 247,С АМЕРИЦИЙ IjOOPi
ема элементов Д. И. Менделеева
5 lGtl ";<‘lTb ‘: Ду
1157,25
рлдолдацу
1159.92531
ТЕРБИЙ
1162 50
|flHCnPO3W
Ho 5T
164,93032
гольмий
Er
1167 26
|ЭРБИИ
63
Tm 69
163,9342
Yb 7C
173,04
ИТ1ЕРБИЙ
Lu '
174,967
MEIW
93
hd? 0537
Cf
Es ® |Fm
252,083
^ГмсГ
|257.()951 258,10
No 102
259,1009